Emmy Noether i jej twierdzenie, część I (1918)

W fizyce XX wieku ogromną rolę odegrały zasady zachowania oraz symetrie. Zasady zachowania energii, pędu, momentu pędu itd. uważa się dziś za podstawowe prawa przyrody. Zarówno na gruncie fizyki klasycznej, jak i kwantowej, zasady zachowania związane są z symetriami układów fizycznych. Np. niezmienność w czasie praw fizycznych wiąże się z zasadą zachowania energii, symetria translacyjna wiąże się z zasadą zachowania pędu itp. Związek między symetriami a zasadami zachowania określa jedno z twierdzeń udowodnionych przez Emmy Noether. Najpierw powiemy trochę o postaci Emmy Noether, której ranga naukowa daleko wykracza poza twierdzenia znane każdemu fizykowi. W drugiej części przedstawimy szczególny przypadek twierdzenia Noether, obowiązujący w mechanice punktów materialnych. Pamiętać jednak trzeba, że twierdzenie Noether stało się ważną częścią współczesnej fizyki w ogóle, a nie wyłącznie mechaniki.

W roku 1935, gdy Emmy Noether niespodziewanie zmarła w Stanach Zjednoczonych wskutek powikłań pooperacyjnych, wspomnienie pośmiertne o jej osiągnięciach znalazło się w liście Alberta Einsteina do „New York Timesa”. Najwybitniejszy z naukowych uchodźców niemieckich uhonorował w ten sposób pierwszą tej rangi matematyczkę w historii. Mimo że w latach 1915-1933 pracowała ona w Getyndze, najlepszym wówczas ośrodku matematycznym świata, była znana wśród kolegów, miała uczniów, doktorantów itd., nie udało się jej nigdy uzyskać pełnej profesury, i to pomimo wsparcia Feliksa Kleina oraz Davida Hilberta. Opór przed powołaniem kobiety na katedrę był zbyt silny. W tym czasie w Niemczech profesurę z fizyki eksperymentalnej przyznano tylko jednej kobiecie: Lise Meitner w Berlinie, który uchodził za bardziej postępowy. Pierwszą katedrę matematyki objęła w Niemczech w 1957 r., a więc w zupełnie innych czasach, Ruth Moufang. Noether pracowała przez większą część życia za darmo albo otrzymując niewielkie pieniądze za prowadzenie zajęć na uczelni. Żyła skromnie, nie była zamożna, ale i nie biedna, jej ojciec Max był profesorem matematyki w Erlangen. Emmy miała także braci utalentowanych w kierunkach ścisłych, choć ostatecznie okazało się, że to ona była najwybitniejszym uczonym w rodzinie. Emmy nie uczyła się nigdy w szkole średniej, maturę zdała eksternistycznie. Także na uniwersytecie, w Erlangen i w Getyndze, miała jedynie prawo słuchania wykładów, bez możliwości formalnego ukończenia studiów. Co ciekawe, jej talent matematyczny rozwinął się dość późno. Swój przyzwoity i bardzo pracochłonny doktorat uważała później za nieistotny (obliczyła w nim postać 331 kowariantnych form czwartego stopnia trzech zmiennych). Było to rozszerzenie pracy opiekuna jej doktoratu Paula Gordana. Ówczesna algebra sprawiała na postronnych widzach wrażenie dziedziny zupełnie oderwanej od zastosowań, choć prawie nigdy nie da się tego uczciwie stwierdzić o żadnym dziale matematyki. Prace Gordana i jeszcze starszego Alfreda Clebscha zawierają np. znane w fizyce kwantowej współczynniki Clebscha-Gordana. Współczynniki te są więc kilkadziesiąt lat starsze niż sama mechanika kwantowa.

Fotografia ok. 1915 r. (http://physikerinnen.de)

Już po trzydziestce trafiła do Getyngi z inicjatywy Kleina i Hilberta. Zajęła się tam kwestią symetrii oraz zasad zachowania. Udowodniła dwa słynne dziś twierdzenia na ten temat. Wówczas nie były one tak znane, choć ich udowodnienie miało spore znaczenie dla ogólnej teorii względności. Hilbert zajmował się tą teorią równolegle do Einsteina, wyraźnie z się z nim ścigając. Był to skutek wykładów Einsteina w Getyndze w połowie roku 1915. David Hilbert zapalił się do tego podejścia, jednak jego cel był inny niż Einsteina: pragnął bowiem zaproponować teorię wszystkiego, obejmującą także materię. Ten ambitny zamysł był zdecydowanie przedwczesny, lecz jesienią roku 1915 Hilbert deptał Einsteinowi po piętach. Stanowiło to przykład szeroko wtedy znanego zwyczaju matematyków z Getyngi, że bez większych skrupułów wchodzili w tematykę prac innych kolegów. Nazywano to złośliwie „nostryfikacją”. Einstein o mały włos nie padł ofiarą takiej nostryfikacji. Wielu historyków sądziło zresztą, że to Hilbert pierwszy napisał równania pola ogólnej teorii względności. Tak jednak nie było i sam Hilbert nigdy nie zgłaszał w tej kwestii żadnych roszczeń. Dziś wiemy zresztą, że nie miałby do tego podstaw. Równania pola ogólnej teorii względności sformułował Einstein w listopadzie 1915 roku. Stosunki obu uczonych, przez chwilę dość napięte, wróciły potem do poprzedniego przyjaznego tonu. Hilbert, a później i Klein, interesowali się dość żywo teorią Einsteina, szczególnie kwestią zasady zachowania energii-pędu. Z pracy Noether wynikało, że tensor Einsteina G oraz tensor energii-pędu T muszą spełniać związek {G^{\mu\nu}}_{;\nu}=0={T^{\mu\nu}}_{;\nu}. Dopiero później zauważono, iż włoski geometra Luigi Bianchi już w 1902 ogłosił tożsamości nazwane dziś jego imieniem (nb. tożsamości te znał już Gregorio Ricci dwie dekady wcześniej), z których fakt powyższy wynika. Pokazuje to spory zamęt, jaki istniał nie tylko w samej nowej fizyce, ale także i w stosowanej do niej nienowej matematyce, która jednak nie była znana nawet największym ówczesnym matematykom (wyjątkiem był tu Tullio Levi-Civita).

Największe osiągnięcia Emmy Noether przypadają na lata dwudzieste. Stała się ona ważną postacią w rozwoju nowoczesnej algebry abstrakcyjnej, w której bada się struktury określone za pomocą aksjomatów, niezależnie od konkretnej reprezentacji. Prace te prowadzone były w duchu Hilberta, który od dawna zabiegał o ścisłą aksjomatyzację zarówno matematyki, jak i fizyki. W fizyce podejście tego rodzaju niezbyt się przyjęło, w matematyce szukanie ogólniejszych struktur jest często skuteczną metodą atakowania szczegółowych problemów, tak np. udowodniono wielkie twierdzenie Fermata. Emmy Noether prowadziła w Getyndze słynne z czasem wykłady. Początkowo miały one formę stałego zastępstwa za Davida Hilberta. Chodziło o ominięcie formalnej trudności: Noether nie miała prawa nauczania. Wykłady te przyciągały niezbyt liczne, lecz ważne grono młodych badaczy. W formie przypominały raczej głośne myślenie na temat matematyki niż uporządkowane rozdziały podręcznika. Jednak drugi tom znanej wówczas monografii Moderne Algebra Bartela van der Waerdena w znacznym stopniu był opracowaniem idei z wykładów Noether w Getyndze. W wieku pięćdziesięciu lat osiągnęła niemal wszystko, czego może sobie życzyć uczony: miała liczne publikacje, wielu uczniów, którzy rozwijali jej idee (chętnie się nimi dzieliła i nie zgłaszała roszczeń do pierwszeństwa, nawet gdy się jej ono należało), dwa razy zaproszona była do wygłoszenia referatów na Międzynarodowym Kongresie Matematyków, współredagowała „Mathematische Annalen”. Nie była tylko wciąż profesorem, choć jej młodszy i nie tak wybitny brat, Fritz, uzyskał katedrę na Politechnice Wrocławskiej (wówczas Technische Hochschule) już w 1922 roku.

Na dworcu w Getyndze jesienią 1933 r. (http://physikerinnen.de)

Aż nadeszła katastrofa roku 1933. Oczywiście, większość Niemców uznawała ją w tamtej chwili za zwycięstwo albo przynajmniej za krok w dobrym kierunku. Społeczeństwo, karmione od dziesiątków lat rasistowskimi bredniami o wyższości Niemców nad Żydami, nie protestowało, gdy władze polityczne wyciągnęły wnioski z tych nauk i na początek wyrzuciły wszystkich Żydów ze stanowisk państwowych, w tym z uniwersytetów. Emmy Noether nie interesowała się polityką. Nie reagowała nawet, gdy któryś z jej studentów przyszedł na wykład w brunatnej koszuli. Teraz jednak straciła swą i tak mało znaczącą posadę i nie mogła uczyć. Jak wielu rozsądnych ludzi, miała nadzieję, że to szaleństwo skończy się jak zły sen. Znalazła pracę w Stanach Zjednoczonych, w roku 1934 odwiedziła Niemcy jako uczona z zagranicy. Żona jej współpracownika, profesora z Hamburga, Emila Artina wspominała:

Rzeczą, która najbardziej zapadła mi w pamięci, była jazda metrem w Hamburgu. Zabraliśmy Emmy spod Instytutu i natychmiast oboje z Artinem zaczęli rozmawiać o matematyce. Chodziło wtedy o teorię ideałów (Idealtheorie) i mówili o pojęciach takich, jak Ideal, Führer, Gruppe i Untergruppe, po chwili cały wagon zaczął nadstawiać uszu. Byłam śmiertelnie przerażona, myślałam, Boże, za chwilę ktoś nas aresztuje. Był to już rok 1934, a Emmy, nie zwracając na nic uwagi, mówiła bardzo głośno i w podnieceniu coraz głośniej i głośniej, i co chwila pojawiały się słowa Führer oraz Ideal. Była pełna temperamentu i zawsze mówiła bardzo szybko i bardzo głośno.

Terminologia matematyczna nałożyła się tu na partyjną nowomowę, której Emmy zapewne nie znała albo nie zwracała na nią uwagi jako na bełkot. Żona Artina była Żydówką i miała wszelkie powody, by się bać. Rok rządów nazistów pogłębił różnice miedzy wolnym światem a narodowo-socjalistycznym obłędem, przy czym rewolucja dopiero się rozkręcała. Trzy lata później także Artin musiał wyjechać, bo już nawet żona Żydówka nie mogła być tolerowana w czystym rasowo państwie. Emmy zlikwidowała tamtego lata swoje mieszkanie w Getyndze i zrozumiała, że nie wróci szybko do Niemiec. Najbardziej gorzkim aspektem rasistowskiego obłędu było to, że ludzie tacy jak Noether czuli się zawsze Niemcami, nie byli w żaden sposób ludnością napływową, od wieków mieszkali w Niemczech, od XIX wieku tworzyli w coraz większym stopniu ich naukę i kulturę. Żeby nie kończyć myślami o zniszczeniu i nienawiści, przytoczmy słowa Einsteina ze wspomnianego listu do NYT:

Istnieje, na szczęście, mniejszość złożona z tych, którzy wcześnie zdali sobie sprawę, że najpiękniejsze i przynoszące najwięcej satysfakcji przeżycia dostępne człowiekowi nie pochodzą ze świata zewnętrznego, lecz z rozwoju indywidualnych uczuć, myśli i działań. Prawdziwi artyści, badacze i myśliciele zawsze byli osobami tego rodzaju. I choćby życie takich jednostek upłynęło całkiem niepozornie, to jednak owoce ich wysiłków są najcenniejszym dziedzictwem każdego pokolenia dla swych następców.

Kilka dni temu, w wieku pięćdziesięciu trzech lat, zmarła wybitna matematyczka, profesor Emmy Noether, związana z uniwersytetem w Getyndze, a przez ostatnie dwa lata z Bryn Mawr College. W opinii najbardziej kompetentnych współczesnych matematyków, Fräulein Noether była największym twórczym talentem matematycznym, jaki pojawił się od chwili, gdy zaczęło się wyższe wykształcenie kobiet. W dziedzinie algebry, którą od stuleci zajmują się najbardziej utalentowani matematycy, odkryła ona metody, które okazały się niezmiernie ważne dla osiągnięć obecnego młodszego pokolenia matematyków. Matematyka czysta jest na swój sposób poezją idei logicznych. Szuka się w niej najogólniejszych idei zdolnych do połączenia w prostej, logicznej i jednolitej formie jak najszerszego kręgu związków formalnych. W tym dążeniu do logicznego piękna odkrywa się uduchowione formuły konieczne, by głębiej przeniknąć prawa natury.

Einstein nie pisał takich tekstów bez zastanowienia. Zawsze przemawiał do niego ideał życia odosobnionego, niemal klasztornego, i poświęconego spokojnemu namysłowi nad światem. Niezbyt lubił błyszczeć, a przynajmniej szybko go to nudziło. Wielki rozgłos, jaki go otaczał, przyjmował raczej z rozbawieniem, jako coś w istocie niepoważnego i nieco wstydliwego. Przyjaźnił się zresztą nie tylko z wybitnymi uczonymi, ale także z różnego rodzaju dziwakami i oryginałami, cenił osobowość, nie lubił ludzi nijakich. O skali osiągnięć Emmy Noether wiedział zapewne od Hermanna Weyla, który mógł to kompetentnie ocenić. Jego podziw dla matematyki narastał z czasem; w latach trzydziestych w jego pracy nie odgrywało już żadnej roli eksperyment, musiał więc kierować się względami formalnymi, czysto matematycznymi. I rzeczywiście, każdy niemal rodzaj matematyki, prędzej czy później znajduje zastosowanie w naukach o przyrodzie czy świecie społecznym.

 

Reklamy

Augustin Fresnel: piękna matematyka dyfrakcji (1818)

Stanisław Lem stwierdził kiedyś: „Nikt nic nie czyta, a jeśli czyta, to nic nie rozumie, a jeśli nawet rozumie, to nic nie pamięta”. Zjawisko to zresztą stare jak świat, w gruncie rzeczy różne informacje przypominają elementy puzzli: bez nich nie da się złożyć obrazka, ale one same nie wystarczą, bo trzeba jeszcze je odpowiednio dopasować. Każdy, kto się czegoś uczył, zauważył pewnie, że jeśli uda nam się coś dobrze zrozumieć, stworzyć pewną logiczną strukturę z tego, czego się uczyliśmy, to trudno to potem zapomnieć. Łatwo się zapomina fragmenty, które nigdy nam do niczego nie pasowały albo pasowały dość luźno.

Historycy mają skłonność sądzić, że jeśli X czytał albo choć posiadał w bibliotece tekst Y, to znaczy, że Y wpłynął na X. Często zresztą X sam nie wie, czy Y na niego wpłynął. Na uniwersytecie w Getyndze, będącym matematycznym centrum Niemiec, sto lat temu mówiło się o „nostryfikacji” idei czy pomysłów. Znane nawet było pojęcie „samonostryfikacji”, gdy ktoś wpadał na pomysł kiedyś już przez niego samego opublikowany. Einstein latem roku 1915 wygłosił tam cykl wykładów o swej teorii grawitacji, sądząc, że jest zakończona. Jesienią zauważył, że równania pola grawitacyjnego powinny być inne i zaczął nad nimi gorączkowo pracować, tym intensywniej, że w Getyndze David Hilbert zajął się tym samym tematem – groziła więc Einsteinowi „nostryfikacja” ze strony jednego z najlepszych matematyków tamtych czasów. Ostatecznie to Einstein pierwszy zapisał prawidłowe równania teorii grawitacji, można powiedzieć, że wszystko się skończyło szczęśliwie, bo włożył wiele trudu w zbudowanie tej teorii i należała mu się taka finałowa satysfakcja.

Augustin Fresnel był z zawodu inżynierem drogowym, nadzorował rozmaite budowy na prowincji. Może nie zająłby się poważniej fizyką, która go interesowała, lecz o której nie wiedział zbyt wiele, gdyby nie Napoleon. Wielki cesarz powrócił właśnie z zesłania na Elbie i próbował odbudować imperium, co jak wiemy skończyło się bitwą pod Waterloo. Fresnel jako polityczny przeciwnik cesarstwa stracił posadę i miał dużo wolnego czasu, który spędzał w rodzinnej wiosce matki, Mathieu w regionie Calvados, pod nadzorem policji. Z pomocą miejscowego kowala zbudował przyrządy do obserwacji optycznych, kropla miodu służyła mu za soczewkę. Znał matematykę. Czytał trochę Thomasa Younga, ale że nie znał angielskiego, niezbyt chyba wiele od niego zaczerpnął. Nie będziemy dociekać, ile dokładnie wziął od Younga, w każdym razie posunął się znacznie dalej niż angielski przyrodnik, tworząc matematyczną teorię światła jako fal i sprawdzając ją za pomocą świetnych eksperymentów. Kilka lat później został przyjęty do paryskiej Akademii Nauk. Słabowity przez całe życie, zmarł na gruźlicę w 1827 roku, niedługo po swoich trzydziestych dziewiątych urodzinach – żył więc tak samo długo jak Chopin, Słowacki i Riemann, którzy cierpieli na tę chorobę.

fresnel-1

W roku 1818 Fresnel przedstawił matematycznie prawidłową teorię ugięcia światła na nieprzezroczystej półpłaszczyźnie. Podstawą tej teorii jest zasada Huygensa: każdy punkt czoła fali traktujemy jak nowe źródło fal, które rozchodzą się we wszystkich kierunkach. W punkcie obserwacji, np. w jakimś punkcie ekranu, sumują się drgania przychodzące od każdego punktu fali. Łatwo opisać, jak to będzie wyglądać, gdy mamy tylko dwie fale dochodzące do danego punktu. Obserwujemy wówczas sumę drgań (wtedy nie wiedziano, co tam właściwie drga, my dziś wiemy, że są to pola elektryczne oraz magnetyczne).

fresnelDrganie można przedstawić jako rzut obracającego się wektora o pewnej długości. Na rysunku wektory te obracają się przeciwnie do wskazówek zegara z prędkością kątową

\omega=\dfrac{2\pi}{T},

gdzie T jest okresem fali (i drgania w danym punkcie), \omega nazywa się częstością kołową. Złożenie dwóch drgań o takiej samej częstości będzie sumowaniem dwóch obracających się wektorów. Ponieważ oba obracają się tak samo, możemy obrazek unieruchomić i dodawać te wektory tak, jak się dodaje wektory – według reguły równoległoboku albo (dolny rysunek) rysując je jeden za drugim. Wynik będzie taki sam, ale tą drugą techniką możemy dodać tyle wektorów, ile zechcemy.

Widzimy, że wynik dodawania zależy tylko od różnicy fazy \varphi między dwoma drganiami.

Rozpatrzmy teraz falę płaską padającą na nieprzezroczystą półpłaszczyznę AB, punkty B, D, E i C współtworzą czoło fali biegnącej z lewej strony z dalekiego źródła. Możemy odpowiadające im drgania zapisać jako strzałki, wszystkie mają tę samą fazę – ustawiliśmy je pionowo.

f30-07_tc_bigRysunek 30.7 z wykładów Feynmana (kto czuje niedosyt, może zajrzeć do podrozdziału 30-6 w t. 1)

Załóżmy, że interesuje nas natężenie światła w pewnym punkcie P. Fala docierająca do tego punktu z E musi przebyć odległość s, nieco większą niż odległość ekranu b:

fresnel1Z trójkąta prostokątnego na rysunku i z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy

(b+\Delta)^2=b^2+2b\Delta+\Delta^2=b^2+h^2.

Różnice odległości \Delta, które mogą być dla nas ważne, są porównywalne z długością fali światła, a więc są znacznie mniejsze niż typowa odległość ekranu, możemy więc pominąć \Delta^2 w porównaniu do 2b\Delta, otrzymujemy wówczas:

\Delta=\dfrac{h^2}{2b}.

Dodając przyczynki od różnych punktów czoła fali, możemy przyjąć, że amplitudy fal cząstkowych są jednakowe: dodajemy więc wektory tej samej długości. Nie możemy natomiast pominąć faz. Różnica fazy między falą z E i falą z D będzie równa

\varphi=2\pi\dfrac{\Delta}{\lambda}=\dfrac{\pi h^2}{b\lambda}\sim h^2.

Zsumowanie nieskończenie wielu fal cząstkowych to obliczenie całki – coś, co Fresnel jako dobry inżynier z początku XIX wieku potrafił. Możemy uzyskać jakościowe wyobrażenie o wyniku, dodając bardzo wiele jednakowych strzałek. Zaczynamy od punktu D leżącego najbliżej punktu obserwacji P. Gdy przesuwamy się wyżej, faza rośnie proporcjonalnie do h^2: w wyniku powstanie spirala zwijająca się od punktu D w prawo i w górę, spirala ta zawija się coraz gęściej wokół pewnego punktu.

f30-08_tc_big(Rysunek 30-8 z wykładów Feynmana)

Podobnie będzie z wektorami z fragmentu BD naszego czoła fali, będzie im odpowiadać fragment spirali od B_P do D. Całkowite drganie odpowiadające punktowi obserwacji P dane będzie wektorem B_{P\infty} na rysunku. Jeśli nasz punkt obserwacji będzie leżał w cieniu, jak Q na rysunku, dodawać będziemy tylko fale cząstkowe od B_Q w górę i nasz wektor wypadkowy będzie miał koniec w punkcie \infty, im dalej w cień, tym bardziej spada natężenie światła. Po jasnej stronie półpłaszczyzny w punkcie R: musimy wystartować w B_{R} na lewym zwoju spirali i zakończyć gdzieś na prawym zwoju, co w rezultacie da wektor w przybliżeniu od lewego centrum spirali do jakiegoś punktu w pobliżu centrum prawego: długość wektora będzie się (niemal) okresowo zmieniać. Kwadrat długości naszego wektora to natężenie światła, czyli to co zwykle rejestrujemy. Obliczony ściśle wynik wygląda następująco:

FresnelFresnel_diffraction_of_straight_edge_density_plotwikimedia commons, autor: Gisling

Oś y wykresu leży na krawędzi szczeliny, na lewo mamy część „zacienioną”, na prawo – „jasną”, oś x wyskalowana jest w jednostkach \sqrt{b\lambda/2} (dla żółtego światła o \lambda=0,6 \mu m i odległości ekranu b=3,3 m będzie to skala w milimetrach. Wahania natężenia widać jako prążki. Tak wygląda granica cienia, jeśli się jej dokładniej przyjrzeć i jeśli fala padająca ma dobrze określoną fazę, np. oświetlamy naszą półpłaszczyznę laserem. Można to zrobić i bez lasera (jak Fresnel w XIX wieku), ale wówczas źródło fal musi być dostatecznie małe.

CornuSpiral1Elegancka spirala, którą otrzymaliśmy wyżej nazywa się spiralą Cornu. Fresnel obliczył całki, które są tu potrzebne, samo przestawienie graficzne jest późniejsze.

Najłatwiej zastosować tutaj wzór Eulera: nasza płaszczyzna jest wówczas płaszczyzną zespoloną, a dodawanie wektorów jest dodawaniem liczb zespolonych. Napiszmy jeszcze wzór na zespoloną sumę drgań S (kwadrat jej modułu to natężenie światła):

S=\int\limits_{-a}^{\infty} e^{i\frac{\pi h^2}{b\lambda}} dh,

a to odległość DB. Część rzeczywista i urojona tej liczby wyraża się przez tzw. całki Fresnela, funkcje wprowadzone do nauki i obliczone po raz pierwszy przez naszego uczonego.

Einstein i jednolita teoria pola: zmarnowane trzydzieści lat?

W roku 1915 Einstein przedstawił ostateczną wersję równań pola grawitacyjnego. No, może prawie ostateczną, bo niebawem dopisał jeszcze do nich człon kosmologiczny – z czysto matematycznego punktu widzenia wyraz ten może się tam znaleźć, choć nie musi, z fizycznego punktu widzenia nie było wówczas powodu, by to zrobić (dzięki stałej kosmologicznej mógł zbudować wszechświat, w którym przestrzeń trójwymiarowa nie ma brzegu, odpadał więc problem warunków brzegowych, jego motywy były matematyczno-filozoficzne, znane już wtedy obserwacje Sliphera nie zgadzały się z tym modelem). Taki powód istnieje dziś: obserwacje wskazują, że ekspansja wszechświata przyspiesza i człon kosmologiczny opisuje ten fakt (mówimy dziś o ciemnej energii, ale to tylko nowa nazwa dla starej wielkości).

Droga Einsteina do teorii grawitacji, którą nazywał ogólną teorią względności (OTW, dla odróżnienia od szczególnej STW z roku 1905), była wielce zagmatwana, pełna błędów i fałszywych objawień. Jednak ostateczny wynik – równania pola – są praktycznie jedyne możliwe. Zamiast pola grawitacyjnego mamy w OTW wielkość zwaną tensorem metrycznym, jest to dziesięć funkcji współrzędnych i czasu. Znając je, możemy analizować stosunki przestrzenne i czasowe w danej sytuacji fizycznej, obliczać tory cząstek itp. Mamy 10 równań dla tych 10 funkcji, przy czym tylko sześć równań jest niezależnych, bo układ współrzędnych można sobie dość dowolnie wybierać i matematyka nie może tego za nas rozstrzygać. Równania te nie mogą być inne (z dokładnością do członu kosmologicznego). Sama matematyka narzuca ich postać. Einstein nie wiedział o tym przed odkryciem, dopiero po fakcie zorientował się, że w gruncie rzeczy nie miał wielkiego wyboru. Jego droga była tak zagmatwana, ponieważ nie znał dostatecznie głęboko matematyki, którą się posługiwał. Nie on jeden zresztą: David Hilbert czy Felix Klein, wielcy matematycy z Getyngi, też nad nim nie górowali w owym czasie (choć Hilbert próbował się z nim ścigać i przegrał). Geometria różniczkowa, czyli dział matematyki zajmujący się zakrzywionymi przestrzeniami, zaczęła się szybciej rozwijać w następstwie teorii Einsteina, przedtem była to ezoteryczna dziedzina dla kilku wtajemniczonych, jak np. Tullio Levi Civita, z którym Einstein lubił korespondować podczas I wojny światowej, prosił nawet, by Włoch pisał do niego w ojczystym języku, bo przypominało mu to młodość, gdy często bywał we Włoszech u rodziców.

einstein_smalldynamiclead_dynamic_lead_slide

Einstein wypisujący na tablicy równania OTW w próżni: R_{ik}=0.

OTW rozwiązywała problem, którego prawie nikt nie stawiał. Owszem, przypuszczano, że stara teoria grawitacji Newtona musi zostać zmodyfikowana. W XIX wieku James Clerk Maxwell połączył całą naukę o elektryczności, magnetyzmie i optyce w jedną teorię. Było to wielkie osiągnięcie i jest nim do dziś: najróżniejsi specjaliści: od energetyki, prądnic, silników elektrycznych, łączności radiowej, kuchenek mikrofalowych, radarów, optyki, światłowodów, elektroniki itd. uczą się swego fachu startując z czterech równań Maxwella. Ogromny obszar zjawisk daje się zrozumieć w jednolity sposób. Jest to nie tylko eleganckie matematycznie, lecz także nadzwyczaj skuteczne w praktyce. Dlatego się mówi, że nie ma nic bardziej praktycznego niż porządna teoria. Otóż po Maxwellu podejrzewano, że także grawitacja powinna zostać zmodyfikowana, że np. pole grawitacyjne nie powinno rozchodzić się momentalnie, lecz ze skończoną prędkością – gdyby Księżyc znikł w danej chwili, to wody oceanów powinny to odczuć z opóźnieniem około sekundy. Ogólnie jednak biorąc, stara teoria Newtona radziła sobie świetnie, astronomowie potrafili z niezwykłą precyzją obliczać ruchy ciał niebieskich, astronomia stała się synonimem precyzyjnej nauki ścisłej aż nudnej w tym przywiązaniu do drobnych efektów, których nikt nie zauważa. Za czasów Einsteina OTW była piękną teorią zjawisk bardzo trudno mierzalnych. Grawitacja jest najsłabszym ze znanych oddziaływań i dlatego trudnym do badań w laboratorium czy bliskim kosmosie. W sumie OTW nie jest bynajmniej nauką o drobnych efektach, choć okazało się to już w bliższych nam czasach, gdy zaczęto obserwować ekstremalne zjawiska w kosmosie i badać czarne dziury.

Einstein zbudował więc grawitacyjny odpowiednik teorii Maxwella. Kiedy w roku 1919 okazało się, że OTW znajduje potwierdzenie w obserwacjach, stał się z jakiegoś kaprysu zbiorowej wyobraźni pierwszym naukowym celebrytą, może tylko Stephen Hawking cieszy się podobną, lecz zapewne mniejszą sławą. Fizycy w tamtych latach zajmowali się głównie zjawiskami atomowymi i kwantowymi. Czynił to także i Einstein, choć jego punkt widzenia różnił się zasadniczo od tego, co wypracowali Bohr, Born, Heisenberg, Dirac i inni twórcy mechaniki kwantowej. Tamtych interesowały przede wszystkim zjawiska atomowe: widma, zachowanie linii widmowych w polu elektrycznym albo magnetycznym, moment magnetyczny atomów itd. Einstein myślał raczej na poziomie ogólnym: pragnął połączyć swoją teorię grawitacji z elektrodynamiką Maxwella. Połączyć w sposób nietrywialny, bo można po prostu złożyć obie teorie „mechanicznie” w jedną. Nie było żadnych eksperymentów, które wskazywałyby, że pole elektromagnetyczne oraz grawitacyjne mają ze sobą cokolwiek wspólnego. Do dziś zresztą nie ma takich danych eksperymentalnych. Einstein sądził, że skoro brak eksperymentów, to tym gorzej dla faktów: on poszuka syntezy obu teorii i tak. Pozostawała mu jedynie droga matematyczna. Można przypuszczać, że wielkie wrażenie zrobił na nim fakt, iż OTW jest określona jednoznacznie przez ogólne założenia matematyczne i fizyczne, bez szczegółowego zagłębiania się w eksperymentalną kuchnię. Gdyby wiedział o tym przed rokiem 1915, znacznie szybciej znalazłby równania OTW.

Einsteina właściwie nie interesowała fizyka, tzn. rozwiązywanie kolejnych szczegółowych problemów. Oczywiście, lubił od czasu do czasu pokazać, jak się to robi, ale konkretne zagadnienia były dla niego przykładami czegoś bardziej ogólnego. Zawsze spoza drzew widział las i właściwie tylko las go naprawdę interesował. Psychiczną przykrość sprawiał mu brak logicznej spójności, dlatego sytuacja, gdy mamy w fizyce kilka różnych teorii, które niewiele ze sobą mają wspólnego, wydawała mu się zupełnie nieznośna. Natura jest jednolita i my powinniśmy zbudować jednolitą jej teorię. Lubił przywoływać Spinozę z jego bezwzględnie obowiązującą przyczynowością, sam był postacią w jakiś sposób siedemnastowieczną – to w epoce Kartezjusza, Spinozy i Leibniza tak mocno wierzono w racjonalny ład świata. Pogląd, że ze zjawiskiem fizycznym mamy do czynienia dopiero wtedy, gdy dokonamy jego pomiaru (takie było stanowisko Bohra), dla Einsteina było naigrawaniem się z racjonalnej wiary, nieomal świętokradztwem. Wszechświat rządzi się swoimi prawami, Księżyc istnieje także wtedy, gdy nikt na niego nie patrzy, a mysz nie zmienia swym spojrzeniem stanu wszechświata. Element subiektywności wprowadzony przez mechanikę kwantową był dla niego nie do przyjęcia. Dlatego mechanikę kwantową traktował jak szczególnie udaną teorię fenomenologiczną, tj. opisującą doświadczenia, ale bez ambicji dotarcia głębiej. Uważał, że prawidłowości statystyczne to nie nauka, lecz w najlepszym razie wstęp do nauki. Kiedy już poznamy te prawidłowości, to należy starać się zrozumieć, skąd się biorą.

Sądził, że musi istnieć teoria bardziej podstawowa, w ramach której wyjaśni się, z jakich cząstek zbudowany jest świat, a nawet czym jest cząstka. Według niego nie powinno być dwóch elementów teorii: cząstek (np. elektronów) oraz pól przez te cząstki wytwarzanych. Wszystko powinno być opisywane jako pola, cząstka to po prostu zlokalizowany obszar szczególnie silnego pola (coś w rodzaju solitonu – ale Einstein nie znał jeszcze tego pojęcia). Miał też nadzieję, że ruch owych cząstek także będzie wynikał z równań pola. OTW jest nieliniowa: suma dwóch rozwiązań nie jest w niej rozwiązaniem. W teoriach nieliniowych dwa ruchome „zgrubienia” pola będą jakoś ze sobą oddziaływać. W ten sposób spodziewał się zrozumieć zjawiska kwantowe. Z jego punktu widzenia trzeba było tylko znaleźć dobry punkt wyjścia. Jednolita teoria pola miała być połączeniem OTW i elektrodynamiki w nietrywialny matematycznie sposób.

Zaczął nad nią pracować niemal od razu po stworzeniu OTW, a w latach dwudziestych zaczął już publikować na ten temat. Sięgał po różne środki, pracowali z nim coraz to inni asystenci, cel pozostawał wciąż niezmienny. Co parę lat Einstein przekonany był, że najnowsza wersja równań jest właśnie tym, czego szuka. Potem zaczynał dostrzegać trudności, wreszcie zarzucał dane podejście. Jak to wyglądało, opisuje Ernst Gabor Straus, który pracował z Einsteinem w latach 1944-1948. Straus został później wybitnym matematykiem, opublikował 21 prac z Paulem Erdösem (co jest swego rodzaju tytułem szlacheckim) i zajmował się wieloma dziedzinami matematyki. Straus zapisywał różne charakterystyczne wypowiedzi Einsteina. „Do naszej pracy konieczne są dwie rzeczy: niezmordowana wytrwałość i gotowość, aby wyrzucić to, na co się poświęciło wiele czasu i pracy”. Sam był dwukrotnie świadkiem takiej sytuacji, za każdym razem Einstein na drugi dzień przychodził i jakby nigdy nic zaczynali pracę od nowa, stosując zupełnie inne podejście.

Einstein pracował nad jednolitą teorią pola aż do śmierci w roku 1955. Kiedy zaczynał, uchodził za największego fizyka świata, wszyscy czekali na jego kolejne prace, kończył jako zupełny outsider, dinozaur z innej epoki. Trzydzieści lat bez wyników. Byłoby to tragiczne, gdyby sam Einstein traktował swą pracę w sposób, by tak rzec romantyczny i ambicjonalny. Nie wierzył on jednak w rzeczy powstające tylko z ambicji. Niewiele znaczyły dla niego różne wyróżnienia. Kiedy dostał Medal Maksa Plancka schował go i nawet nie otworzył pudełeczka, żeby go obejrzeć. Potrafił całymi latami z jednakową koncentracją robić swoje, nie oglądając się na kolegów. Zaczynał działalność naukową jako urzędnik Biura Patentowego i przez wiele lat fizyka była dla niego zajęciem niezwiązanym z zarabianiem pieniędzy. Uważał nawet, że taka sytuacja jest przejrzystsza, bo inaczej człowiek żyje pod presją uzyskiwania wyników, a wyniki przychodzą albo nie. Nie należy drążyć deski w najcieńszym miejscu tylko dlatego, że tak jest najłatwiej.

Starzejący się uczeni często popadają w naukowe dziwactwa. Praca Einsteina nad jednolitą teorią pola nie całkiem pasuje do tego schematu, była raczej konsekwencją jego poglądów niż aberracją. Uczony nie odszedł od zmysłów, potrafił się uczyć (jeśli tylko chciał), nie przestał być twórczy ani nie zapomniał, jak się uprawia naukę.

Z dzisiejszego punktu widzenia jednolita teoria pola była zapewne pomyłką. Fizyka rozwinęła się zupełnie inaczej: najpierw cofnęła się do epoki sprzed teorii względności szczególnej (STW). Równanie Schrödingera z roku 1926 jest nierelatywistyczne. Potem stopniowo nauczono się łączyć STW z mechaniką kwantową – wynikiem jest kwantowa teoria pola. Einstein świadomie ją ignorował, choć za jego życia, mniej więcej w okresie asystentury Strausa, powstała elektrodynamika kwantowa. Już po śmierci Einsteina zbudowano jej uogólnienie – teorię oddziaływań elektrosłabych (tę od bozonu Higgsa). Ostatecznie mamy dziś nie do końca satysfakcjonujący, lecz zgodny z doświadczeniem, Model Standardowy cząstek. Zawiera on mnóstwo parametrów eksperymentalnych i oparty jest na kwantowej teorii pola. Mamy więc połączenie STW i fizyki kwantowej. I mamy też spory impas, ponieważ od czterdziestu lat nie udało się znaleźć teorii bardziej zadowalającej teoretycznie oraz zgodnej z eksperymentem. Może ulepszony LHC pozwoli uzyskać istotnie nowe dane eksperymentalne.

Natomiast OTW nie udało się połączyć z żadną teorią kwantową aż do dziś, mimo różnych cząstkowych osiągnięć. Chyba nikt nie stara się już kontynuować programu jednolitej teorii pola w sensie Einsteina: tzn. zbudowania wspólnej niekwantowej teorii oddziaływań. Wydaje się, że Einstein zaczął nie od tej strony, bo OTW jest marnym punktem wyjścia do badania zjawisk atomowych.

Niepowodzenie Einsteina trzeba widzieć na tle całości. Nauka wbrew pozorom jest bardziej historią niepowodzeń niż sukcesów, tzn. niepowodzenia są chlebem powszednim, sukcesy – świętem. Dzisiejsza fizyka fundamentalna, sześćdziesiąt lat po śmierci Einsteina, wygląda raczej na zagubioną. Ogromny program superstrun, angażujący od paru dziesiątków lat najzdolniejszych teoretyków świata z Edwardem Wittenem na czele (indeks Hirscha 150 i nadal rośnie), ugrzązł zdaje się na dobre, w każdym razie wymierne korzyści przyniósł do tej pory raczej matematyce niż fizyce. Uczeni pracujący w tej dziedzinie powtórzyli podobny błąd co Einstein: dali się uwieść matematyce i wylądowali w tzw. krajobrazie superstrun, w którym udowodnić można wszystko i niczego nie można przewidzieć.

Einstein miał oczywiście nadzieję, że któregoś dnia okaże się, iż w sprawie jednolitej teorii słuszność jest po jego stronie. Z biegiem lat ta nadzieja odsuwała się w coraz dalszą przyszłość. Bardzo niewielu uczonych tak głęboko utożsamiało się z tym, co robi i w co wierzy. Nauka nie była dla niego pracą, lecz sposobem realizacji powołania. Ta sama ścisła przyczynowość, która obowiązywała w jego fizyce, kształtowała także jego wyobrażenia o miejscu człowieka w świecie. Einstein wypowiadał się nieraz, że gdyby wiedział, iż ma umrzeć w ciągu godziny, to wcale by się tym nie przejął, gdyż wierzy w porządek świata, w którym człowiek jest tylko małą cząstką całości, a osobowość czymś w rodzaju złudzenia optycznego. Można mu wierzyć, bo potem rzeczywiście żył z wyrokiem śmierci. Ostatnie siedem lat życia przeżył z dużym zdiagnozowanym tętniakiem aorty brzusznej – nie można było wówczas zrobić operacji, uczony wiedział, że pewnego dnia tętniak pęknie. Kiedy to się stało, nie pozwolił się dręczyć lekarzom, sądził, że lepiej umrzeć, skoro nadszedł czas. Spokojnie porozmawiał z pasierbicą Margot, z synem Hansem Albertem, próbował nawet kontynuować jakieś zaczęte rachunki. Uprzednio zadbał, aby po śmierci jego ciało spalono, a prochy rozrzucono w nieznanym miejscu. Za coś w złym guście uważał pielgrzymki do grobów sławnych ludzi. Piękny przykład, że można obejść się bez magii i bez samozwańczych przedstawicieli Boga na ziemi nawet w obliczu śmierci.

Nie czuł się pokonany ani przegrany. Dwa tygodnie przed śmiercią rozmawiał z nim na różne tematy historyk nauki I.B. Cohen. Wspomina on: „Ogromny kontrast zachodził między jego cichą mową a dudniącym śmiechem. Lubił żartować, za każdym razem, gdy powiedział coś, co mu się podobało, albo usłyszał coś, co do niego przemówiło, wybuchał grzmiącym śmiechem, który odbijał się od ścian”. Jego śmiech wspominało wielu ludzi, którzy go znali. Hedwig Born, żona Maksa, po długich latach niewidzenia pisała do niego: „Chciałabym móc usłyszeć jeszcze raz twój potężny śmiech”.

Einstein_laughing

List Ramanujana (1913)

Godfrey Harold Hardy, znakomity matematyk, Fellow Trinity College w Cambridge, otrzymał na początku 1913 roku list z Indii od pewnego amatora. Był nim Srinivasa Ramanujan, dwudziestopięcioletni urzędnik biurowy z portu Madras bez wykształcenia akademickiego. Autor listu stwierdzał, że w matematyce wytyczył sobie własną ścieżkę i załączał długą listę uzyskanych wyników. Hardy przeglądał tę listę z mieszanymi uczuciami. Widać było, że autor ma spore luki w wykształceniu. W dodatku przedstawił same sformułowania różnych wyników, nic nie pisząc na temat ich dowodów. Kilka wzorów wyglądało na znane albo nietrudne do udowodnienia. Były tam także twierdzenia wyglądające co najmniej dziwnie:

1+2+3+4+\ldots=-\dfrac{1}{12}  (*)

Widać też było, że Ramanujan odkrył twierdzenie o rozmieszczeniu liczb pierwszych, co było niemałym osiągnięciem (choć w tym przypadku ważniejsze było przeprowadzenie ścisłego dowodu w 1896 roku). Niektóre wyrażenia, jak ułamek łańcuchowy:

\dfrac{1}{\Bigl(\sqrt{\phi \sqrt{5}}-\phi\Bigr) e^{\frac25 \pi}} = 1+\cfrac{e^{-2\pi}} {1+\cfrac{e^{-4\pi}} {1+\cfrac{e^{-6\pi}}{1+\frac{e^{-8\pi}} {1+\ldots} } }} ,

gdzie \phi jest stałą złotego podziału, „były zapewne prawdziwe, bo nikomu nie starczyłoby wyobraźni, aby je zmyślić”. Hardy zrozumiał, że ma do czynienia z pierwszorzędnym matematykiem, na pewno nie z żadnym dziwakiem czy szaleńcem. Ramanujan zwrócił się do niego, ponieważ chciał się poświęcić pracy matematycznej, a był w trudnej sytuacji finansowej, miał na utrzymaniu żonę (w momencie ślubu ona miała dziewięć lat, on – dwadzieścia jeden). W Indiach nie potrafiono ocenić, czy jego praca ma jakąkolwiek wartość. Dzięki staraniom angielskiego matematyka Ramanujan przyjechał do Cambridge.

Srinivasa_Ramanujan_-_OPC_-_1

Od początku było jasne, że jest matematycznym geniuszem, ale też widać było, że nie uda się z niego zrobić matematyka pracującego według normalnych reguł akademickich. Trzeba mu było dopiero wyjaśnić, na czym polega dowód i dlaczego w matematyce liczy się tylko to, co zostało dowiedzione w sposób dostatecznie precyzyjny. Do tej pory jednym z głównych źródeł wiedzy Ramanujana była książka G. S. Carra będąca po prostu spisem 5000 twierdzeń z matematyki elementarnej. Nauczył się później różnych rzeczy, inne sam odkrył, ale w momencie przyjazdu do Anglii był już uformowany jako uczony. Jego wszystkie prace nosiły piętno wysoce indywidualnego stylu, często przedstawiały wyniki bez dowodu.

Dzięki pobytowi w Anglii Ramanujan zyskał bardziej konwencjonalną wiedzę matematyczną, zdobył też uznanie w kręgach akademickich, został przyjęty do Towarzystwa Królewskiego. Nie było mu jednak łatwo. Z początku słabo znał angielski. Był wegetarianinem i sam sobie gotował, w latach pierwszej wojny światowej niełatwo było zdobyć potrzebne mu składniki. Nie potrafił przywyknąć do klimatu, po paru latach poważnie zachorował i wrócił do Indii, gdzie zmarł w wieku trzydziestu dwóch lat.

Publikacje stanowią zaledwie małą cząstkę spuścizny Ramanujana. Większość jego wyników zawarta jest w notatnikach, które zaczęły ukazywać się dopiero po jego śmierci.

Godfrey Hardy oceniał talent Ramanujana na 100, swój własny na 25. Wielki matematyk niemiecki David Hilbert miał w tej skali 80 punktów. Hardy uważał, że w pewnych dziedzinach: w rozumieniu skomplikowanych wyrażeń algebraicznych czy w umiejętności manipulowania szeregami nieskończonymi Ramanujan dorównywał Eulerowi i Jacobiemu. Wypadało tylko żałować, że zbyt długo zdany był na własne siły: samotny nastolatek z Indii odkrył znaczną część tego, co zbiorowym wysiłkiem stworzyli najlepsi matematycy Europy. Nie miał dostępu do porządnej literatury matematycznej, nie znał niemieckiego ani francuskiego – a w tych językach ukazywały się najważniejsze książki XIX wieku. O sile jego oryginalności świadczyć może fakt, że wydawnictwo Springer publikuje czasopismo matematyczne „The Ramanujan Journal”, gdzie ukazują się wyłącznie prace z dziedzin, na które wpływ miał hinduski uczony.

Większość wyników Ramanujana dotyczy funkcji nieelementarnych. Dla przykładu przedstawimy tylko dwa. Wyrażenie stałych e oraz \pi jako sumy szeregu nieskończonego i ułamka łańcuchowego:

\sqrt{\dfrac{\pi e}{2}} =1+\dfrac{1}{1\cdot 3}+ \dfrac{1}{1\cdot 3 \cdot 5}+\ldots+ \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1+ \cfrac{2}{1 + \cfrac{3}{1+\cfrac{4}{1+\ldots}} } }}

I jeszcze szereg pozwalający obliczyć liczbę \pi . Opublikowany został w 1914 roku bez dowodu.

\dfrac{1}{\pi}=\dfrac {\sqrt{8}} {9801}\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^4 396^{4n}}

Ma on tę zaletę, że każdy następny wyraz daje kolejne osiem cyfr wyniku. W roku 1985 R. William Gosper Jr. obliczył za jego pomocą liczbę \pi z dokładnością ponad 17 milionów cyfr. Wkrótce też Jonathan i Peter Borweinowie udowodnili wzór Ramanujana, przy okazji znaleźli szeregi jeszcze szybciej zbieżne, których każdy wyraz daje kolejne pięćdziesiąt cyfr wyniku.

(*) Ten wzór wyglądający jak majaczenie szaleńca pierwszy uzyskał Leonard Euler w 1735 roku. Można mu nadać sens używając sumowania Abela albo wychodząc poza dziedzinę rzeczywistą i zauważając, że jest to funkcja zeta Riemanna \zeta(-1)