Jeszcze latem 1915 roku Einstein sądził, że od dwóch lat jest autorem prawidłowej teorii grawitacji. Chodziło o pracę napisaną wspólnie z Marcelem Grossmannem, dziś zwaną jako teoria Entwurf. Miała ona pewne wady, przede wszystkim była nieelegancka i nie dopuszczała stosowania dowolnych układów współrzędnych, wbrew pierwotnym zamysłom Einsteina. Autor przekonywał jednak swoich korespondentów, że nic lepszego nie można sformułować, choć jak się zdaje, sam był nie do końca przekonany. W czerwcu 1913 roku zastosował teorię Entwurf do obliczeń znanej i od lat niewyjaśnionej anomalii w ruchu Merkurego. Gdyby Merkury podlegał jedynie przyciąganiu grawitacyjnemu Słońca, jego orbita byłaby dokładnie eliptyczna i oś owej elipsy nie zmieniałaby położenia względem gwiazd. Wiemy od czasów Newtona, że inne planety także mają pewien wpływ na ruch Merkurego. Jednym ze skutków ich łącznego oddziaływania jest powolny obrót osi elipsy Merkurego w płaszczyźnie orbity. Stosując prawo powszechnego ciążenia wyjaśniono niemal całkowicie obserwowany obrót osi elipsy (in. obrót peryhelium). W połowie XIX wieku Urbain Le Verrier, współodkrywca planety Neptun, stwierdził, że pozostaje niewielki obrót, którego nie daje się wyjaśnić na podstawie praw Newtona. Różnica 43 sekund kątowych na stulecie nie poddawała się żadnym rachunkom. Znaczyło to, że choć efekt jest drobny, to musi kryć się za nim jakaś nieznana dotąd przyczyna: albo nie zaobserwowaliśmy jeszcze wszystkich planet (hipoteza planety Wulkan), albo newtonowskie prawo ciążenia należy w jakiś sposób zmodyfikować dla małych odległości (dlatego anomalia widoczna była najlepiej w przypadku planety najbliższej Słońca). Obu tych dróg próbowano bez skutku. Toteż w 1913 roku Einstein zastosował znalezioną przez siebie teorię Entwurf do tego problemu. Ponieważ często mylił się w rachunkach, więc poprosił o pomoc Michele Bessa. Otrzymali odchylenie od teorii Newtona, ale równe było tylko 18” i Einstein stracił zapał do tej kwestii. Obserwowana anomalia w ruchu Merkurego była jednak na tyle niewielka, że nie było pewności, czy nawet prawidłowa teoria zdoła ją wyjaśnić. Zanim dojdzie się do owych 43”, trzeba uwzględnić wiele rozmaitych efektów w sumie dających 5600” – istniała więc możliwość, że astronomowie czegoś nie uwzględnili, np. możliwości nieznacznego spłaszczenia Słońca. Na razie teoria Entwurf wydawała się całkiem dobra, sprawę Merkurego Einstein odłożył ad acta.
Dopiero jesienią 1915 roku uświadomił sobie, że teoria Entwurf nie zachowuje się tak, jak tego oczekiwał w obracających się układach współrzędnych. Ten brak, który Einstein przeoczył dzięki elementarnym pomyłkom w rachunkach, zapoczątkował powrót do punktu wyjścia pracy z Grossmannem. I tak, jak rok 1905 był cudownym rokiem Einsteina (kiedyś tego określenia: annus mirabilis użyto w odniesieniu do prac Newtona w roku 1666), listopad 1915 roku okazał się jego mensis mirabilis: w cztery kolejne czwartki tego miesiąca przedstawiał on Królewsko-Pruskiej Akademii Nauk prace rozwiązujące ostatecznie problem równań pola w teorii grawitacji. Były one sukcesywnie publikowane w „Sitzungsberichte” Akademii z tygodniowym opóźnieniem. W pierwszej, drugiej i czwartej przedstawione zostały kolejne propozycje równań pola – dopiero ostatnia była całkowicie poprawna. Sam ich autor napisał pod koniec miesiąca:
„Niestety, unieśmiertelniłem w sprawozdaniach Akademii (…) końcowe błędy popełnione w tej walce”. Praca trzecia zawierała obliczenie ruchu perihelium Merkurego; tym razem Einstein otrzymał 43″ na stulecie, wynik, który trafił do podręczników fizyki. Wyjaśnił też, już na zawsze, iż odchylenie promienia świetlnego w pobliżu Słońca powinno być dwa razy większe, niż sądził do tej pory. Przyczyną było zakrzywienie przestrzeni trójwymiarowej, które należy wziąć pod uwagę także przy słabym polu grawitacyjnym – coś, o czym wcześniej nie pomyślał.
Szybkie postępy pracy Einsteina w tych gorączkowych tygodniach wynikały także częściowo z presji, jaką odczuwał: wiedział bowiem, że tym samym problemem zajął się David Hilbert w Getyndze. Korespondowali nawet trochę w tym czasie, ale żaden z nich nie znał dokładnie wyników uzyskanych przez drugiego. Hilbert zapisał tzw. równanie wariacyjne dla teorii względności – w wielu dzisiejszych podręcznikach tak właśnie wprowadza się równania pola Einsteina. Jak się jednak zdaje, Hilbert nie przeprowadził obliczeń i nie uzyskał w tym czasie równań wynikających z zasady wariacyjnej (w dodatku jego teoria nie była ogólnie kowariantna). Einstein zwrócił mu uwagę, że trudność leży nie w napisaniu równań, lecz w ich fizycznej interpretacji: „Trudno było dostrzec, że równania te są uogólnieniem, tzn. prostym i naturalnym uogólnieniem prawa Newtona”.
Poinformował też kolegę z Getyngi, iż trzy lata wcześniej rozważali już z Grossmannem takie równania. Była to ścisła informacja, w Notatniku zuryskim znajdujemy tensor, który pojawił się w pierwszej listopadowej pracy z roku 1915. Cudowna szybkość, z jaką teraz mógł się posuwać, związana była z tym, że po pierwsze, korzystał z różnych wyników cząstkowych uzyskanych wcześniej, a po drugie, w ciągu trzech lat nauczył się skutecznie używać geometrii różniczkowej.
Dowiadując się o sukcesie Einsteina w sprawie peryhelium Merkurego, Hilbert zauważył z pewną zazdrością (i chyba z lekkim poczuciem wyższości): „Gdybym potrafił liczyć tak szybko jak pan, elektron skapitulowałby w obliczu mojego równania, a atom wodoru musiałby jakoś się wytłumaczyć, dlaczego nie promieniuje”. Także i tym razem nie chodziło o szybkość prowadzenia obliczeń, Einstein nie był jakimś szczególnie sprawnym rachmistrzem, po prostu obliczenia ruchu peryhelium Merkurego już wcześniej przeprowadzał, teraz musiał w nich to i owo zmienić, ale nie był to zupełnie nowy problem. Druga część cytowanego wyżej zdania Hilberta wskazuje także na inny brak jego pracy: chciał on zbudować za jednym zamachem teorię wszystkiego, w szczególności miał chyba nadzieję na uzyskanie widma wodoru – zaledwie dwa lata wcześniej Niels Bohr po raz pierwszy otrzymał na drodze teoretycznej prawidłowe długości linii widma. Jego teoria nie była całkowicie poprawna z dzisiejszego punktu widzenia, stanowiła jednak krok ku mechanice kwantowej. David Hilbert próbował alternatywnego podejścia, które nie okazało się udane.
Obaj uczeni zmagali się też z dość prostymi dziś trudnościami matematycznymi: nie znali np. tzw. zwężonych tożsamości Bianchiego, które automatycznie zapewniają, że zasada zachowania pędu-energii jest spełniona. Tożsamości te znane były w literaturze matematycznej, lecz nie od razu nauczono się ich używać w tym kontekście. Wiele kwestii matematycznych miało być w nadchodzących latach wyjaśnione w ślad za powstaniem teorii Einsteina, co przyciągnęło uwagę zarówno fizyków, jak i może nawet częściej
matematyków. Dziś geometria różniczkowa przestała być wiedzą tajemną, uczą jej setki książek, co świadczy o postępie nauki. Jak napisał kiedyś antropolog społeczny Max Gluckman: „Nauką jest każda dyscyplina, w której głupiec obecnego pokolenia może pójść dalej niż geniusz pokolenia poprzedniego” (nb. napisał to jako wprowadzenie do swojej krytyki poglądów Bronisława Malinowskiego).
Sprawa priorytetu uzyskania równań pola wywołała przejściowe napięcie w stosunkach Einsteina z Hilbertem, jednak matematyk ostatecznie pogodził się z faktem, że choć wniósł pewien wkład w powstanie teorii grawitacji, to nie on jest jej twórcą.
Anomalia Merkurego była pierwszym wielkim sukcesem nowej teorii. On sam wspominał chwilę, gdy uzyskał zgodny z obserwacjami wynik jako kulminacyjny punkt swego życia naukowego. Pomyślmy tylko: przez osiem lat starał się zbudować teorię, która byłaby logicznym rozwinięciem szczególnej teorii względności. Przez ten czas zajmował się tylko kwestiami warunków fizycznych i matematycznych, jakie nowa teoria powinna spełniać. Nie korzystał z żadnych danych eksperymentalnych. I po tej całej pracy zawieszonej gdzieś w świecie abstrakcyjnych spekulacji okazuje się, że wynik pasuje do superdokładnych obserwacji i obliczeń astronomów poprzednich pokoleń, rozwiązuje problem postawiony jeszcze przez Le Verriera. „Przez kilka dni nie posiadałem się z radosnego podniecenia” – pisał do Paula Ehrenfesta. Innemu koledze zwierzał się: „Coś we mnie wtedy pękło”. Kolejny sukces teorii: zmierzenie w roku 1919 ugięcia światła w pobliżu Słońca, zapoczątkował wprawdzie ogromną sławę uczonego, lecz nie miał już takiego znaczenia w jego życiu wewnętrznym. Od jesieni 1915 roku Einstein wierzył niezachwianie w swoją teorię.
Przyjrzymy się obliczeniu precesji peryhelium Merkurego. Najpierw pokażemy, czemu w teorii Newtona elipsa planety się nie obraca.
Będziemy stosować zasadę zachowania energii i opisywać ruch planety we współrzędnych biegunowych .
Jak widać z rysunku kwadrat prędkości możemy za pomocą twierdzenia Pitagorasa zapisać w postaci
gdzie kropki oznaczają pochodne po czasie. Jeśli planeta o jednostkowej masie znajduje się w odległości od Słońca o masie , to jej całkowita energia równa jest
jest stałą grawitacyjną, a masa planety jest nieistotna, o ile interesuje nas jedynie ruch względny planety wokół Słońca. Oprócz energii zachowany jest także moment pędu równy
Matematycznie równanie to jest równoważne prawu pól Keplera. Wyznaczamy stąd prędkość kątową planety i wstawiamy do równania zachowania energii:
Otrzymaliśmy problem jednowymiarowy dla funkcji . W nawiasie mamy różnicę całkowitej energii i efektywnej energii potencjalnej
Jest to suma funkcji oraz z pewnymi współczynnikami liczbowymi. Dla małych dominuje człon drugi, odpychający. Dla dużych – pierwszy, przyciągający. Cały potencjał efektywny wygląda następująco:
Gdy całkowita energia odpowiada minimum potencjału, możliwa jest tylko jedna wartość , co odpowiada ruchowi po okręgu. Gdy energia jest nieco większa, dozwolony pozostaje ograniczony przedział promieni wodzących . Dla jeszcze większej energii planeta odleci do nieskończoności.
Aby wyznaczyć kształt toru należy zrobić dwie rzeczy: zastosować nową zmienną oraz różniczkowanie po czasie zastąpić różniczkowaniem po kącie . Korzystamy z (*) i (**)
Równanie toru przybiera postać
Wyrażenie podpierwiastkowe musi być nieujemne. Znak przed pierwiastkiem zależy od kierunku ruchu, dalej wybieramy znak plus. Wyrażenie podpierwiastkowe w przypadku planety będzie wyglądało jak na rysunku
Wobec tego kąt zakreślony przed planetę między aphelium i peryhelium będzie równy
Szczegóły rachunku przytaczam poniżej, idea jest taka, że całka jest typu , co daje arcus sinus, którego całkowita zmienność to właśnie . Ponieważ planeta oscyluje w promieniu wodzącym od aphelium do peryhelium i z powrotem, całkowity kąt między dwoma apheliami albo dwoma peryheliami równy jest . Oznacza to, że tor jest krzywą zamkniętą. Fakt ten znał już Isaac Newton i nieruchomość osi orbit planet przytaczał jako argument świadczący o tym, że siła przyciągania Słońca zmienia się jak . Twierdzenie udowodnione pod koniec XIX wieku przez Bertranda głosi, że tylko siła grawitacji i siła proporcjonalna do odległości prowadzą do zamkniętych torów wokół centrum (różnych od okręgu). Oczywiście, jeśli uwzględnimy także siły pochodzące od pozostałych planet, ten prosty obraz zostanie zaburzony: nadal przybliżenie eliptyczne jest dobrym punktem wyjścia, ale elipsy ulegają powolnej precesji, szczególnie wyraźnej w przypadku Merkurego.
Przejdźmy teraz do przypadku rozważanego przez Einsteina. Metryka czasoprzestrzeni wokół Słońca dana jest rozwiązaniem Schwarzschilda:
gdzie zostawiliśmy tylko ruch w płaszczyźnie, postać funkcji podamy później. Równania ruchu cząstki otrzymujemy z warunku maksymalnego czasu własnego
Okazuje się, że zasada ta jest równoważna zasadzie wariacyjnej
Inaczej mówiąc spełnione są równania Lagrange’a z powyższym lagranżianem, kropka oznacza teraz całkowanie po czasie własnym , trójka opisuje ruch cząstki. Ponieważ metryka (i lagranżian) nie zależy jawnie od czasu oraz kąta , więc dwa równania wyglądają szczególnie prosto:
gdzie jest pewną stałą podczas ruchu cząstki. Drugie równanie ma postać
gdzie jest inną stałą ruchu. Oba te równania odpowiadają zasadzie zachowania energii oraz momentu pędu u Newtona i wynikają z podobnych powodów fizycznych: zasada zachowania energii jest spełniona, gdy translacja w czasie jest symetrią układu, zasada zachowania momentu pędu jest spełniona, gdy obrót wokół osi (u nas prostopadłej do płaszczyzny orbity) jest symetrią układu.
Zamiast rozważać równanie Lagrange’a dla zmiennej możemy skorzystać z faktu, że podczas ruchu cząstki masywnej :
Wyznaczajmy stąd kwadrat prędkości radialnej
Funkcje dane są w przypadku rozwiązania Schwarzschilda równaniami
jest promieniem Schwarzschilda. Tak jak w przypadku newtonowskim wprowadzamy zmienną i korzystamy ponownie ze związku (***). W wyniku dostajemy
Porównując to wyrażenie z newtonowskim, widzimy, że pomijając inną definicję stałej energii (wyraz wolny pod pierwiastkiem), mamy dwa wyrazy z oraz takie, jak poprzednio, doszedł teraz wyraz trzeciego stopnia. Wyrażenie podcałkowe ma teraz trzy pierwiastki rzeczywiste i wykres jak poniżej.
Szukamy niewielkiej poprawki do ruchu newtonowskiego, wobec tego pierwiastki powinny leżeć tak jak poprzednio, a trzeci pierwiastek powinien być znacznie od tamtych większy. Całkę
można obliczyć jako całkę eliptyczną. Przejrzystsza jest tu jednak metoda przybliżona. Zapisujemy wielomian P'(u) w postaci
Mamy w tym przybliżeniu ponownie do czynienia z całką zawierającą pierwiastek z trójmianu kwadratowego, jaką obliczaliśmy już wcześniej.
Całkując, dostajemy
Aby obliczyć wielkość porównujemy wyrazy zawierające w wyrażeniu . Otrzymamy
możemy więc w przybliżeniu napisać
Kąt między aphelium a perihelium planety równa się łącznie
Precesja peryhelium przypadająca na jeden obieg planety będzie dwa razy większa
W ostatnim wyrażeniu oznaczają odpowienio dużą półoś i mimośród orbity planety. Jak widać, metoda obliczeń zastosowana przez Einsteina była całkiem elementarna. Poprzednio w teorii Entwurf, w pracy z 1913 roku, którą pod względem rachunkowym sprawdzał Besso, otrzymywało się wartość dodatkowej precesji na obieg równą
stąd owe nieszczęsne 18” na stulecie.
Całki, które pojawiają się w tym zagadnieniu, oblicza się za pomocą podstawienia
Przedział całkowania przechodzi w przedział . Bardziej wymyślna metoda to użycie konturu na płaszczyźnie zespolonej wokół cięcia , choć w tym przypadku jest to trochę overkill. Einstein we wcześniejszej pracy na temat peryhelium z roku 1913 stosuje metodę zespoloną do całej rodziny całek podobnego typu (można to zobaczyć w t. 4 Einstein Papers).
W każdym razie obliczenie ruchu peryhelium nie było bynajmniej czymś wyrafinowanym, co mogłoby sprawić trudność Hilbertowi albo Einsteinowi. Istotny był nowy punkt wyjścia, nowe spojrzenie na czasoprzestrzeń.