Model Ehrenfesta: w którą stronę płynie czas?

Tylko jedno prawo fizyki odróżnia przeszłość od przyszłości: II zasada termodynamiki. Mówi ona z grubsza tyle, że temperatury z czasem się wyrównują, różnice stężeń też, a bałagan wypiera porządek. Można temu ogólnemu kierunkowi opierać się przez jakiś czas, ale trzeba z zewnątrz czerpać uporządkowanie. Np. żeby żyć, trzeba jeść, a żeby było co jeść, tzn. do wytworzenia cukrów rośliny korzystają ze źródła uporządkowanego promieniowania, jakim jest Słońce. Technicznie mówiąc, potrzeba źródła niskiej entropii. Entropia mierzy nieuporządkowanie – im jest większa, tym większy bałagan. II zasada termodynamiki mówi, że entropia rośnie (dla układu izolowanego).

Prawa mechaniki, elektrodynamiki i wszelkie inne prawa opisujące oddziaływania nie wyróżniają kierunku czasu. Gdy popatrzeć na film z kilkoma poruszającymi się i oddziałującymi cząstkami, nie można poznać, czy film puszczony jest do przodu, czy do tyłu. Chyba że film przedstawia jakieś ogromne zbiorowisko cząstek, np. jajko rozbijane na jajecznicę. Wtedy od razu poznamy, czy film puszczony został prawidłowo, czy wstecz.

Jak to się dzieje, że entropia rośnie, mimo że podstawowe prawa oddziaływania cząstek nie wyróżniają czasu? Na pytanie to odpowiedział Ludwig Boltzmann. Jego uczniem był Paul Ehrenfest, znakomity nauczyciel i przyjaciel Einsteina. Ehrenfest lubił docierać do istoty zagadnienia bez długich rachunków, miał nawet kłopot z uzyskiwaniem właściwej odpowiedzi w wyprowadzeniach podczas wykładów, zwykle gdzieś zgubił jakieś 2\pi albo znak minus. Mimo to jego studenci wspominali go jako wybitnego wykładowcę, dwóch z nich otrzymało Nagrodę Nobla, inny Casimir, też był wybitnym fizykiem.

Ehrenfest obmyślił kiedyś model pokazujący, skąd się bierze nieodwracalność czasu. Wyobraźmy sobie dwa leżące koło siebie psy: Azora i Burka. Na Azorze siedzi N pcheł, Burek jest wolny od pcheł. Co jednostkę czasu zostaje wylosowana w sposób przypadkowy jedna pchła (są one ponumerowane). Wylosowana pchła przeskakuje na drugiego psa. Jasne jest, że z czasem liczby pcheł na obu psach mniej więcej się wyrównają. Wygląda to np. tak (wzięliśmy N=50):

Obraz6

Jak można opisać dochodzenie do „równowagi” w liczbie pcheł na obu czworonogach? W każdej chwili mikrostan naszego układu złożonego z obu psów można scharakteryzować, podając, na którym psie przebywa każda z N pcheł. Mamy tu 2^N takich mikrostanów. Nie możemy w ramach naszego modelu podać żadnej bardziej szczegółowej informacji. Nawet jednak przy pięćdziesięciu pchłach jest to 2^{50}\approx 10^{15} stanów. Zbyt wiele na praktyczne potrzeby. Możemy ograniczyć się do odnotowania jedynie liczby pcheł na Azorze, jak na wykresach. Tak scharakteryzowane stany są zwykle znacznie ciekawsze, bo np. można je łatwo zmierzyć. Kiedy robimy doświadczenie na gazie w zbiorniku, nie obchodzi nas każda cząsteczka z osobna, lecz tylko pewne globalne charakterystyki, jak temperatura (w istocie jest to średnia energia owych cząsteczek, których nie widzimy i nawet nie chcemy oglądać).

Łatwo zauważyć, że w naszym modelu wszystkie mikrostany są jednakowo prawdopodobne: powstają one przez losowanie. Inaczej jest z makrostanami. Jeśli wiemy, że na Azorze siedzi N_A pcheł, to liczba mikrostanów odpowiadających tej sytuacji jest równa liczbie kombinacji:

W=\binom{N}{N_A}=\dfrac{N!}{N_A!(N-N_A)!}.

Inaczej mówiąc, jest to liczba sposobów wybrania podzbioru pcheł na Azorze ze zbioru wszystkich pcheł (pamiętamy, że są one ponumerowane i potrafimy je odróżniać). Jasne jest, że najwięcej sposobów realizacji takiego podzbioru będzie wówczas, gdy pchły rozłożą się po równo (pomijamy przypadek, gdy ich liczba jest nieparzysta i nie mogą się rozłożyć dokładnie po równo). Ale także makrostany w pobliżu tego równego podziału będą dość prawdopodobne. Można obliczyć rozkład prawdopodobieństwa po danej liczbie jednostek czasu. Wygląda on tak:

Pchly_prawdopodobienstwo

Zaczynaliśmy od wszystkich pcheł na Azorze, ale po pewnym czasie układ osiąga równowagę i najbardziej prawdopodobny jest rozkład, w którym połowa pcheł przebywa na Burku albo jakiś do niego podobny. Trzeba pamiętać, że nawet jeśli w jakiejś chwili dokładnie połowa pcheł będzie na Azorze, to stan ten nie utrzyma się na stałe, liczba pcheł będzie się zmieniać w przypadkowy sposób.

Obraz4

Jest oczywiście możliwe, że w pewnej chwili wszystkie pchły znajdą się z powrotem na Azorze, a nawet wiadomo, że tak kiedyś będzie. Nasz model nie ma wbudowanego kierunku czasu, każdy z przebiegów mógłby równie dobrze wydarzyć się w odwrotnej kolejności. Oto wielka tajemnica czasu: czas płynie tak, że zaczynając od sytuacji, gdy wszystkie pchły siedziały na Azorze, po pewnym czasie (najprawdopodobniej) zastaniemy nasz układ w jednym ze stanów bliskich „równowagi”. Czas płynie tak, aby liczba pcheł się wyrównywała. I to właściwie wszystko, co trzeba wiedzieć o II zasadzie termodynamiki. Jeśli odczekamy dostatecznie długo, to (na ogół) zastaniemy układ w jakimś stanie spośród tych najbardziej prawdopodobnych. Czas płynie w określonym kierunku nie z powodu praw fizyki, ale z tego powodu, że nasz świat zaczął się w stanie, gdy wszystkie pchły siedziały na Azorze. Zatem nie prawa fizyki, lecz warunki początkowe. Kolejne „dlaczego” w tej sprawie przenoszą nas aż do Wielkiego Wybuchu i w tym punkcie możemy odpowiedzieć: „nie wiemy”. Jak ktoś lubi wyobrażać sobie Stwórcę, może uznać, że wybrał On bardzo szczególny rodzaj wszechświata.

creator

W przestrzeni stanów równowaga termiczna zajmuje najwięcej miejsca, więc od jeśli zaczniemy od stanu dalekiego od równowagi, to w końcu na nią natrafimy.

equilibrium

(Rysunki Rogera Penrose’a)

Trzy uwagi na koniec:

1. Czemu nie obserwuje się spontanicznego powrotu wszystkich pcheł na Azora? Dlatego, że jest to jeden z 10^{15} stanów, a wszystkie są tak samo prawdopodobne. Gdy weźmiemy za N np. liczbę Avogadro, okaże się, że wieku wszechświata za mało, byśmy doczekali takiej sytuacji.

2. Entropia naszego ukladu jest równa

S=k\ln W.

Jest to najważniejsze odkrycie Boltzmanna. Wynika z niego w szczególności, że entropia nie rośnie zawsze, lecz tylko przeważnie. II zasada termodynamiki obowiązuje nadal, gdy układ jest duży.

(Stała k, zwana stałą Boltzmanna, potrzebna jest, żeby tak zdefiniowana entropia była dokładnie tym samym, czego używano przed Boltzmannem.)

3. Czemu odpowiadają pchły w „poważnej” fizyce? Można sobie wyobrażać spiny \frac{1}{2} w kontakcie z termostatem o bardzo wysokiej temperaturze, żeby zmiany entropii termostatu można było pominąć w rozważaniach.

6 myśli nt. „Model Ehrenfesta: w którą stronę płynie czas?

  1. Nie wydaje mi się, aby model statystyczny był w jakimkolwiek godził kierunek upływu czasu z deterministyczną mechaniką.

    Gdybyśmy chcieli utrzymać tezę, jakoby ewolucja świata miałaby być deterministyczna i zależna jedynie od położeń i prędkości wszystkich cząstek, nie powinno się obserwować stałego wzrostu entropii. Wszak każdemu mikroskopowemu stanowi dowolnego układu odpowiadającemu czasowi biegnącego w przód odpowiada analogiczny stan, dla którego czas biegnie do tyłu (wystarczy zmienić znak wszystkich prędkości). Ponieważ stanów „biegnących w przód” i „biegnących w tył” jest tyle samo, dla niektórych układów entropia powinna rosnąc, a dla innych maleć (i nie mówię tu o skali ruchów Browna, lecz o dowolnej – przecież dla każdego mikrostanu odpowiadającego wybuchowi supernowej istnieje analogiczny mikrostan odpowiedzialny za samoistne powstanie supernowej ze szczątków materii dookoła w bardzo krótkim czasie).

    Poczynione tutaj założenie, iż pozostawiony samemu sobie układ termodynamiczny losuje „stan”, w jakim znajdzie się w dalekim czasie w żadnym wypadku nie jest łącznikiem między mechanika klasyczną a termodynamiką – założenie to wręcz zaprzecza mechanice klasycznej.

    Lubię

    • To nie jest takie proste. Mechanika klasyczna także losuje przyszłe stany, np. kiedy rozważymy w szczegółach ruch monety. To chaos deterministyczny. Ehrenfest poszedł w swoim modelu na skróty, ale wydaje się, że po drodze nie wyciął nic istotnego – dlatego ten model jest taki ważny. Jeśli wzbogacimy go o szczegóły rachunkowe, nic się w zasadzie nie zmieni.

      Lubię

  2. Chciałbym tu rozróżnić pewne aspekty; wyjdę od modelu gazu doskonałego.
    Gdybyśmy mieli idealny gaz w sztywnym, szczelnym sześcianie, jego ewolucja byłaby w pewnym stopniu cykliczna. Startując od całego gazu upchanego w jednym kącie, w skończonym czasie doszlibyśmy do stanu dowolnie bliskiemu stanowi początkowemu (domyślam się, że ten fakt jest Panu znany; w razie czego mogę poszukać matematycznego dowodu, bo gdzieś takowy widziałem). Oczywiście przez znakomitą większość czasu gaz znajdowałby się w stanie, który postrzegamy jako chaos.
    Ponieważ moment, w którym dokonujemy obserwacji układu jest losowy, prawdopodobieństwo na znalezienie układu w danym stanie jest proporcjonalne do czasu, przez jaki w tym stanie przebywa. Oczywiście, jeżeli pewne klasy stanów postrzegamy jako takie same, prawdopodobieństwo zaobserwowania dowolnego reprezentanta takiej klasy jest odpowiednio większe.
    W tym kontekście możemy mówić, że mechanika losuje przyszłe stany zgodnie z prezentowana w artykule zasadą.

    Jednakże ewolucja naszego układu jest cykliczna, regularnie (w odpowiednio dużej skali czasu) zdarzają się sytuacje, w której gaz samoistnie ściska się w którymś kącie, by znów się rozprężyć. Analizując takie pudło z gazem przez bardzo długi okres nie da się stwierdzić, w którą stronę płynie czas. Sprężanie i rozprężanie są dokładnie tak samo często występującymi zjawiskami. Zaobserwowanie samoistnego sprzężenia jak i samoistnego rozprzężenia gazu jest równie prawdopodobne.

    Dlaczego zatem, przy założeniu, że wszechświat jest deterministyczny, wszystkie gwiazdy ewoluują w tę samą stronę?

    Lubię

    • Jeśli zaczniemy od tego, że wszystkie cząstki gazu są w jednym narożniku, a pojemnik jest ogromny, to czas powrotu do tego stanu początkowego będzie gigantycznie większy od czasu trwania wszechświata. Tutaj jest link do wartości tego czasu. Dyskusja na ten temat była prowadzona przez Loschmidta i Zermelo oraz, po przeciwnej stronie, Boltzmanna. Można sporo znaleźć na ten temat w sieci. Jest też książka dobrze wprowadzająca do tematu: S. Carroll, Stąd do wieczności i z powrotem.

      Lubię

      • Nie podejmuję się szacowania czasu, jaki byłby potrzebny takiemu układowi; może zostałem źle zrozumiany, ale w żadnym wypadku nie miałem na myśli, że wszechświat powinien cyklicznie powracać do punktu wyjścia w skali życia ludzkości. Natomiast co do samej wartości z linku, podchodzę do niej z dużym dystansem – nieraz widziałem oszacowania prawdopodobieństwa zajścia różnych „nieprawdopodobnych” zdarzeń we wszechświecie i zazwyczaj oszacowania te grubo różniły się co do rzędu wielkości.
        W każdym razie: czas, jaki byłby potrzebny na powrót wszystkich cząstek do jednego narożnika przy dużym pudełku byłby gigantycznie większy od czasu trwania wszechświata – w tym punkcie się zgadzamy.
        —–
        Czyli zasadniczo odpowiedzią na pytanie „Dlaczego zatem, przy założeniu, że wszechświat jest deterministyczny, wszystkie gwiazdy ewoluują w tę samą stronę?” jest „Nie wszystkie, a tylko te w pewnym naszym otoczeniu i nie zawsze, a tylko teraz”.
        Fakt, że w obserwowalnym przez nas wszechświecie entropia rośnie wynika tylko z tego, iż żyjemy stosunkowo niedawno po Wielkim Wybuchu (czy ogólniej: po pewnym stanie wszechświata o bardzo niskiej entropii).
        Stwierdzenie „…entropia nie rośnie zawsze, lecz tylko przeważnie” jest zatem w odniesieniu do deterministycznego wszechświata lekkim nadużyciem – w odpowiednio dużej skali czasowej wzrost entropii jest dokładnie tak samo prawdopodobny jak spadek.

        Lubię

  3. Skoro wszechświat powstał z tego, że wszystkie pchły były na Azorze, to nie możemy determinować składników psa i pcheł, i uznawać tego za namacalne. Czy jest jakaś różnica pomiędzy iluzją a modelem probabilistycznym istnienia wszechświata? Symulacja.

    Lubię

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Log Out / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Log Out / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Log Out / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Log Out / Zmień )

Connecting to %s