Pierre Fermat: zasada najmniejszego działania dla światła (1657-1662)

Greccy geometrzy zauważyli, że światło biegnie po najkrótszej drodze, i to zarówno wtedy, gdy porusza się prostoliniowo między dwoma punktami (np. A i C), jak i wówczas, gdy po drodze odbija się od zwierciadła, biegnąc po łamanej ABC. Najkrótszej drodze odpowiada prawo odbicia: kąt odbicia równy jest kątowi padania.

fermat-heron

Rozumowanie z rysunku znajdujemy u Herona z Aleksandrii w jego Katoptryce (czyli optyce zwierciadeł). Jeśli punkt A odbijemy symetrycznie w płaszczyźnie zwierciadła (prostopadłej do rysunku), otrzymujemy A’. Drogi A’B i AB są więc równe. Zamiast ABC możemy rozpatrywać A’BC. Dowolna łamana AXC ma taką samą długość, jak A’XC. Ponieważ każda łamana biegnąca od A’ do C jest dłuższa niż odcinek prostej, więc najkrótsza droga równa jest ABC i punkt B leży wówczas na odcinku A’C. Łatwo widać, że dla takiej drogi kąt odbicia równa się kątowi padania.

W roku 1657 Pierre Fermat, radca parlamentu (czyli sądu) w Tuluzie, otrzymał w prezencie książkę poświęconą światłu.

la_lumiere_cureau_de_la-chambre

Jej autorem był Marin Cureau de La Chambre, lekarz, do którego nastoletni Ludwik XIV, przyszły Król-Słońce miał ogromne zaufanie. Fermat, urzędnik królewski, czuł się w obowiązku zajrzeć do książki doradcy tak uczonego i ustosunkowanego na dworze (zręczność dyplomatyczną autora widać i w tym, że na karcie tytułowej jego własne nazwisko złożone jest znacznie mniejszą czcionką niż nazwisko potężnego kardynała Mazarin). Książka zawierała dowód Herona. Cureau de La Chambre zwracał też uwagę, że gdy światło się załamuje, przebywana przez nie droga już nie jest najkrótsza.

fermat0

Droga ABC jest oczywiście dłuższa niż ADC na rysunku. Fermat znał, jak wszyscy, prawo załamania (prawo Snella), opublikowane przez Kartezjusza w 1637 roku. Nie zgadzał się jednak z fizycznym wyprowadzeniem tego prawa, niezbyt wierzył chyba w te wszystkie niewidzialne cząstki rozmaitych kształtów i wielkości, które miały się ze sobą zderzać i na siebie napierać, tłumacząc absolutnie wszystko: od ruchu planet i optyki, po magnetyzm i ciężkość ciał. Jako matematyk szukał wyjaśnienia elegantszego i mniej uwikłanego w trudne do sprawdzenia przesłanki. Gdyby przyjąć, że w gęstszym ośrodku światło napotyka większy opór, to należałoby drogę w ośrodku liczyć np. podwójnie. A więc nadal można podejrzewać, że światło wybiera najłatwiejszą drogę. Należałoby jednak minimalizować nie sumę dróg, lecz pewną ich kombinację, np. AB+2BC. Gęstszemu ośrodkowi odpowiadałby większy współczynnik: wyglądało to rozsądnie, gdyż u Kartezjusza światło miało „większą siłę” w ośrodku gęstszym, co nie jest zbyt intuicyjne (ani zrozumiałe). Nie chcąc wdawać się w spory na temat natury światła, Fermat unikał mówienia o jego prędkości – bowiem zdaniem kartezjan oraz Cureau de La Chambre światło rozchodzi się momentalnie. Sporów z kartezjanami, uczniami mistrza, nie uniknął, podobnie jak dwadzieścia lat wcześniej z ojcem-założycielem tej sekty filozoficznej. Fermat znany był z wysuwania twierdzeń, których nie chciało mu się albo których nie potrafił dowieść, słynnym przykładem jest jego Wielkie Twierdzenie udowodnione pod koniec XX wieku. Także i tym razem niezbyt chętnie brał się do sprawdzenia, czy rzeczywiście światło podlega zasadzie najmniejszego działania. Miał własną metodę szukania ekstremum, dość toporną z dzisiejszego punktu widzenia, zastąpioną później przez obliczanie pochodnych. W wersji Fermata prowadziła ona do długich rachunków, ale w pierwszym dniu nowego roku 1662 zakomunikował Cureau de La Chambre, że obliczenia się udały i prowadzą do znanego prawa załamania. Niemal pięcioletnie opóźnienie między wysunięciem twierdzenia a zbadaniem jego konsekwencji tłumaczył Fermat dwiema przeszkodami: po pierwsze, nie był całkiem pewien, jak należy sformułować zasadę minimum i czy prawo Snella jest ściśle słuszne. Drugą przeszkodą była, typowa dla matematyków, niechęć do długich rachunków. W tym przypadku w grę wchodziły cztery odcinki, a więc cztery pierwiastki z sumy kwadratów współrzędnych. „Obawa, że po długich i trudnych rachunkach dojdę do jakiejś fantastycznej i nieregularnej proporcji oraz moja naturalna skłonność do lenistwa pozostawiły rzecz w tym stanie aż do ostatniego napomnienia, którego udzielił mi w pańskim imieniu pan przewodniczący de Miremont. (…) Nagroda za tę pracę okazała się zupełnie nadzwyczajna, niespodziewana i szczęśliwa. Kiedy bowiem przebrnąłem przez wszystkie równania, mnożenia, antytezy i inne operacje, jakich wymaga moja metoda (…) stwierdziłem, że moja zasada daje dokładnie tę samą proporcję załamania, jaką ustalił pan Descartes. Tak bardzo zaskoczył mnie ten niespodziewany wynik, że z trudem mogłem dojść do siebie. Wiele razy powtórzyłem różne operacje algebraiczne, otrzymując stale ten sam wynik, choć moje rozumowanie zakłada, iż przejście światła przez gęste ciała jest trudniejsze niż przez rzadkie, co uważam za prawdziwe oraz niewątpliwe, niemniej jednak pan Descartes zakłada coś przeciwnego”.

Fermat zakłada więc, że nie suma dróg s_1+s_2 musi być minimalna, lecz suma ich kombinacji liniowych s_1+ns_2, gdzie n jest współczynnikiem załamania drugiego ośrodka (względem pierwszego). Łatwo widać, że jeśli przyjmiemy za prędkość światła w drugim ośrodku wielkość v=c/n (gdzie c jest prędkością w ośrodku pierwszym), to można tę zasadę sformułować jako zasadę najkrótszego czasu:

t=\dfrac{s_1}{c}+\dfrac{s_2}{v}=\dfrac{s_1+n s_2}{c}.

Fermat dumny był z otrzymania eleganckiego wyniku, lecz kartezjanie uważali go za ciekawostkę matematyczną, a nie zasadę odnoszącą się do światła. Zasada Fermata nabrała sensu dopiero dla Christiaana Huygensa, który światło uznawał za rozchodzące się zaburzenie eteru, coś w rodzaju fali nieokresowej, jak np. fala uderzeniowa. Wiedział on już, że prędkość światła jest skończona. Huygens przedstawił też elegancki dowód, że zasada Fermata prowadzi do prawa załamania Snella. Jest on wyraźnie prostszy niż obliczenie Fermata – zwykle udaje się uprościć rozumowanie, kiedy już wiadomo, dokąd prowadzi.

fermat-a-la-huygens

Porównujemy rzeczywisty bieg promienia światła ABC z fikcyjnym AFC. Budujemy prostokąt AOHB, mamy w ten sposób pewność, że AB=OH. Na BC opuszczamy prostopadłą GF z punktu G. Z prawa załamania mamy

\dfrac{\mbox{HF}}{\mbox{BG}}=\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=n.

Zachodzą też nierówności

\mbox{AF}>\mbox{OH}+\mbox{HF}=\mbox{AB}+n\mbox{BG},

n\mbox{FC}>n\mbox{GC}.

Dodając te nierówności stronami, otrzymujemy:

\mbox{AF}+n\mbox{FC}>\mbox{AB}+n\mbox{BC}.

Zmieniając nieco nasz rysunek, możemy zrozumieć przyczynę prawa załamania dla fal. Linie AA’ oraz BH to czoła fali w pierwszym ośrodku, GF oraz CC’ to czoła fali w drugim ośrodku. W czasie potrzebnym na przejście odległości HF w pierwszym ośrodku, w drugim fala przejdzie odległość BG.

fermat-huygens2

Zatem stosunek obu odległości równy jest

\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\dfrac{c}{v}=n.

Bezpośrednie wyjaśnienie zasady Fermata daje nam mechanika kwantowa albo falowa teoria światła: faza światła zależy od czasu. W sąsiedztwie ekstremum fazy zmieniają się bardzo powoli i rezultatem jest silna fala wypadkowa.

Warto może przytoczyć dzisiejszą wersję obliczeń Fermata. Jest ona banalna, co nie oznacza, że jesteśmy mądrzejsi od Fermata, ale że mamy lepsze techniki rachunkowe. Pojawiły się one już kilka lat później w rękopisach Isaaca Newtona, które niewielu widziało, a później w 1684 roku w pierwszej publikacji Leibniza na temat rachunku różniczkowego. Metoda Fermata przekształciła się w algorytmy, do których stosowania wcale nie potrzeba inteligencji, z powodzeniem robią to dziś programy w rodzaju WolframAlpha itp.

fermat

Wielkość, którą mamy zminimalizować, ma postać:

s(x)=\sqrt{(x-x_a)^2+y_a^2}+n\sqrt{((x-x_b)^2+y_b^2}.

Szukamy ekstremum tej funkcji, przyrównując jej pochodną do zera:

s'(x)=\dfrac{2(x-x_a)}{2\sqrt{(x-x_a)^2+y_a^2}}+n\dfrac{2(x-x_b)}{2\sqrt{((x-x_b)^2+y_b^2}}=0.

Łatwo spostrzec, patrząc na rysunek, że pierwszy składnik równy jest \sin\alpha, a drugi -n\sin\beta, skąd otrzymujemy prawo Snella.

Sny Kartezjusza (10/11 listopada 1619)

Ludzie, a także i całe społeczeństwa robią sobie czasem wakacje od rozumu i popełniają błędy, mimo iż wiedzą, że postępują źle i nierozsądnie. Przedkładają jednak chwilowe upojenie bliskością innych, podobnie czujących, nad ustawiczny wysiłek chłodnego namysłu. Nie pomagają wówczas żadne argumenty ani statystyki. Na ekspertów patrzy się jak na błaznów bądź płatnych zdrajców. Ludzi mądrych uważa się za głupców albo sklerotyków. Największe głupstwa, a nawet szaleństwa prowadzące do zbrodni, zaczynały się wśród powszechnego entuzjazmu. Pod koniec czerwca 1914 roku serbski nacjonalista zastrzelił arcyksięcia Franciszka Ferdynanda i jego żonę Zofię. Uchroniło to być może Puszczę Białowieską przed wytrzebieniem zwierzyny (arcyksiążę był fanatykiem myślistwa), lecz incydent ten uruchomił międzynarodowe domino: wszyscy wszystkim zaczęli stawiać jakieś ultymatywne żądania i wypowiadać wojnę. Latem 1914 roku w całej Europie żegnano na dworcach kolejowych radosnych młodzieńców udających się na krótką – tak się wszystkim zdawało – męską przygodę wojenną. Jesienią roku 1918 wracało ich o siedemnaście milionów mniej i nikt się już nie cieszył: ani zwycięzcy, ani pokonani. W roku 1933 entuzjazm milionów Niemców zagłuszył wszelkie wątpliwości i skrupuły, jakie powinien wzbudzić sposób rządzenia nazistów, jak i sama osoba ich paranoicznego Führera. Cierpieli zresztą „jedynie” Żydzi, komuniści, homoseksualiści i liberałowie – nie było się więc czym przejmować. Dumny naród niemiecki mógł wreszcie wziąć odwet na pogardzanej Europie. Nastrój udzielał się zresztą wszystkim, nawet w biednej, słabej i pełnej analfabetów Polsce wykrzykiwano, że nie oddamy ani guzika – i też bijano Żydów, bo byli bezbronni.
Być może znowu wchodzimy w okres „historii spuszczonej z łańcucha” i tańca na wulkanie. Ostatecznie okresy spokoju i choćby względnego dostatku nigdy nie były dniem powszednim historii, częstsze były plagi, wojny, choroby, zamieszki i głód. Niektórzy próbowali wśród powszechnego zamętu robić coś pożytecznego. Na przełomie roku 1916 i 1917 przebywający na froncie wschodnim astronom Karl Schwarzschild napisał dwie niezmiernie ważne prace na temat Einsteinowskiej teorii grawitacji. Rozwiązanie Schwarzschilda dotyczyło pola grawitacyjnego sferycznej masy, np. gwiazdy. Ani Einstein, ani Schwarzschild, który kilka miesięcy później umarł, nie rozumieli wówczas, jak wielkie znaczenie ma owo rozwiązanie – opisuje ono bowiem czarną dziurę, jeden z najosobliwszych obiektów w przyrodzie. Młody lekarz Tadeusz Żeleński, zajmował się w roku 1917 przekładaniem Kartezjusza na polski, starając się zaszczepić rodakom coś z francuskiej klarowności myślenia i prostej elegancji stylu.

Nie zapomnę tego wrażenia… Było to rok temu, w lecie, z początkiem czwartego roku wojny. Siedziałem w mojej izdebce dyżurnego lekarza wojskowej stacji opatrunkowej, i korzystając z chwilowej bezczynności, pracowałem nad pierwszymi rozdziałami tej książki. Tuż prawie pod oknami ochoczo rżnęła orkiestra, odprowadzając kilka marszkompanii, jadących, w ślicznych nowych butach, na „włoski front”. Na fali trywialnej melodii, myśl Descartes’a pędziła wartko, skocznie, radośnie, tak iż ledwo piórem mogłem jej nadążyć. Doznawałem szczególnego uczucia. Nigdy nie mam zbyt mocnego przeświadczenia o rzeczywistości zewnętrznego świata – w tej chwili miałem go mniej niż kiedykolwiek…

Rozprawa o metodzie ukazała się wraz z końcem wojny, pod opaską: „Tylko dla dorosłych”. Był to żarcik tłumacza, który chciał w ten sposób dotrzeć do niefilozoficznych czytelników. Rozmyślania swe Kartezjusz rozpoczął w roku 1619, podczas zupełnie innej wojny. Także i tamta wojna rozpoczęła się od zdarzenia dość małej wagi: oto z zamku na Hradczanach w Pradze rozeźleni protestanci wyrzucili przez okno dwóch przedstawicieli cesarza, którzy nie chcieli się zgodzić na budowanie kościołów, mimo że formalnie zagwarantowana była swoboda wyznania. Nieszczęśni wysłannicy przeżyli upadek z wysokości kilkunastu metrów – wedle katolików stało się to dzięki aniołom, które działając w czasie rzeczywistym, złagodziły skutki grawitacji, natomiast nieokrzesani protestanci przypisywali ten efekt kupie gnijących odpadków, nagromadzonych pod oknami wielkiej sali jadalnej zamku. Wojna nie zakończyła się żadnym miękkim lądowaniem, toczyła się przez trzydzieści lat, pustosząc znaczną część środkowej Europy. W zasadzie było to starcie dwóch głównych odmian chrześcijaństwa walczących o to, która z nich bliższa jest nauce Jezusa Chrystusa: czy katolicy przechowujący tradycję, w której niezmienność święcie wierzyli, czy protestanci, starający się samodzielnie zgłębiać tekst Pisma św. i odrzucający takie magiczne atrybuty religii, jak święte obrazy, relikwie, czy kult świętych. Kiedy obie strony wierzą niezachwianie we własne racje, tylko wyczerpanie zasobów może położyć kres konfliktowi.
O początkach swoich rozmyślań pisał Kartezjusz następująco:

Byłem wówczas w Niemczech, dokąd powołały mnie wojny, które ciągną się tam jeszcze. Kiedy wracałem z koronacji cesarza [Ferdynanda II we Frankfurcie we wrześniu 1619 r.] do armii, początek zimy zatrzymał mnie na kwaterze, gdzie, nie znajdując żadnego towarzystwa, które by mi odpowiadało, i nie mając zresztą, na szczęście, trosk ani namiętności, które by mnie mąciły, siedziałem przez cały dzień zamknięty sam w ciepłej izbie, za jedyną rozrywkę zabawiając się z własnymi myślami. Jedną z pierwszych myśli było spostrzeżenie, że często dzieła złożone z rozmaitych części i wykonane ręką rozmaitych mistrzów mniej są doskonałe niż te, nad którymi pracował tylko jeden człowiek. Tak widzimy, że budowle, które jeden architekt podjął i wykonał, są zazwyczaj piękniejsze i lepiej rozmieszczone niż te, które wielu ludzi starało się skleić, posługując się starymi murami zbudowanymi w innych celach. (przeł. T. Żeleński-Boy)

Kartezjuszowi marzyła się więc nauka będąca dziełem jednego autora, jak poemat albo dzieło historyczne. Po części wynikało to chyba z jego temperamentu, trochę może ze swoistej wielkopańskiej wyniosłości w sferze intelektu – nie dopuszczał bowiem myśli, by ktokolwiek inny mógł dokonać czegoś ważnego w obszarze, który jego samego zajmował. Dlatego np. lekceważył dokonania Galileusza na polu mechaniki ani nie uważał za stosowne wspomnieć o tym, co zawdzięczał Willebrordowi Snellowi (prawo załamania światła) albo Isaakowi Beeckmanowi. Francis Bacon wyobrażał sobie naukę jako wielkie biuro patentowe użytecznych wynalazków, Kartezjusz sądził, że liczą się wybitne jednostki i ich myśli, a więc raczej konstrukcja niż detale. Znalazł naśladowców, pycha filozofów tworzących systemy osłabnąć miała dopiero w XX wieku. Podział na naukę i humanistykę przebiega zresztą do dziś w tym samym miejscu: jeśli ważniejszy jest indywidualny styl autora niż to, co mówi, i jeśli może on wybierać z tradycji dowolne elementy, które samodzielnie interpretuje, to mamy do czynienia z humanistyką. W nauce rządzą znacznie surowsze reguły: musimy znać ściśle określony kanon uznanej wiedzy (zazwyczaj z drugiej ręki), liczą się natomiast bezosobowe dokonania, dowód matematyczny czy eksperyment geniusza powtórzyć może każdy wykształcony specjalista i stanowi to wręcz warunek, aby praca była akceptowalna. Zapewne dlatego w nauce tak zażarcie toczą się spory o priorytet: inne cechy indywidualne roztapiają się w podręcznikach i z czasem coraz trudniej odróżnić wkład konkretnych uczonych. Kartezjusz miał nadzieję połączyć oba rodzaje działalności i stworzyć gmach wiedzy, którego żaden sceptycyzm nie mógłby zburzyć. Prawda jest tylko jedna, zatem i jej odkrywca w zasadzie musi być jeden, inni skazani są na pisanie gloss i uzupełnień.
W listopadzie 1619 roku dwudziestotrzyletni uczony kwaterował w Neuburgu. Był żołnierzem zaciężnym księcia Bawarii, nie bardzo mu zależało na wygranej jednej albo drugiej strony, przedtem służył w Holandii. Czekano na cieplejszą porę roku, by na nowo podjąć działania zbrojne.
Na kwaterze unikał rozmów i pijatyk, którym oddawali się jego kompani, mało wychodził, całymi dniami rozmyślał nad nową podstawą wiedzy. Nie stworzył jej od razu, zapamiętał jednak i zapisał trzy sny, jakie miał w nocy z 10 na 11 listopada 1619 roku. Zarys racjonalnej filozofii objawił się więc w sposób zgoła nieracjonalny, uczony wierzył, że sny mogą być zsyłane przez Boga albo demony, to Stwórca w ostatecznym rachunku miał gwarantować, że wszystko to, co tu widzimy i przeżywamy nie jest tylko jakimś uporczywym sennym majakiem.
W pierwszym śnie pojawiły się jakieś zjawy tak straszne, że zmuszony był kroczyć mocno przechylony na lewą stronę, gdyż z prawej strony czuł niezmierną słabość. Zawstydzony sytuacją, młodzieniec spróbował się wyprostować, wtedy jednak zawiał potężny wiatr w formie wiru i okręcił go kilkakroć na lewej nodze. Na swej drodze spostrzegł kolegium (może La Flèche, gdzie się uczył?) i zapragnął się w nim schronić. Miał zamiar dotrzeć do kościoła, aby się pomodlić. Minął znajomą osobę, lecz jej nie pozdrowił; kiedy chciał naprawić ten lapsus, nie mógł się cofnąć, ponieważ znowu zaczął wiać silny wiatr w kierunku kościoła. Spotkał też innego znajomego, który przekazał mu dla pana N. zamorski owoc, przypominający melona. Wszyscy inni widziani we śnie poruszali się i zachowywali normalnie, jedynie on jeden doświadczał trudności w utrzymaniu równowagi. Niebawem się ocknął i spostrzegł, że leży na lewym boku. Sądząc, że sen może być dziełem złego demona, uczony obrócił się na prawy bok i jął się modlić, pamiętając, iż w oczach Boga winny jest wielu grzechów, które popełniał w skrytości, tak aby ludzie ich nie widzieli. Po mniej więcej dwóch godzinach rozmyślań nad dobrem i złem zasnął znowu. We śnie usłyszał wielki huk, który wziął za grzmot pioruna. Natychmiast obudził się ze strachu i dostrzegł mrowie drobnych iskierek ognia wypełniających pokój. Zdarzało mu się już wcześniej doświadczać takiego zjawiska, teraz jednak zdecydowany był zaobserwować jego przyczyny i zamykając oraz otwierając oczy, śledził swoje wrażenia. Filozoficzny namysł rozproszył lęk i uczony zasnął po raz trzeci. Tym razem nie było się czego bać. Znalazł na stole książkę, o której nie pamiętał, by ją wcześniej tam położył. Otworzył ją, stwierdzając zaś, że to słownik, ucieszył się, ponieważ książka mogła się przydać. W tej samej chwili odkrył też obok inną książkę, także dla niego nową, nie mając pojęcia, skąd się wzięła. Była to antologia Corpus poetarum, otwarła mu się na wierszu zawierającym słowa: Quod vitae sectabor iter? (Jaką drogę życia wybiorę?). W tej samej chwili spostrzegł nieznanego mu męża, który wręczył mu, zachwalając jako znakomity, wiersz zaczynający się od słów Est et Non (Tak i nie). Zaczęli rozmawiać o tym wierszu, w którym Kartezjusz rozpoznał jedną z idylli Auzoniusza. Po chwili książki i dziwny interlokutor rozpłynęli się, a uczony, wciąż się nie budząc, uznał, że śni; ów słownik oznacza wszelką wiedzę zgromadzoną w jednym miejscu, antologia poezji, Corpus poetarum zaś – filozofię oraz mądrość złączone w jedno.

Wierzył bowiem, że wcale nie należy się dziwić, iż poeci, nawet bawiąc się płochymi rzeczami, wypowiadają wiele zdań poważniejszych, bardziej sensownych i lepiej wyrażonych niż to, co mówią filozofowie. Przypisywał to boskiemu natchnieniu oraz sile wyobraźni, która wydobywa zarodki mądrości (zawarte w umyśle każdego człowieka niczym iskry w krzemieniu) z większą łatwością i błyskotliwiej, niż czyni to rozum filozofów.

Rozmyślał też (ciągle we śnie) nad słowami Quod vitae sectabor iter? Po czym zbudził się, nie przestając się zastanawiać nad symboliką swoich snów. Sen trzeci, przechodzący w jawę, zapowiadać miał życie filozofa, który przezwycięży pokusy płynące z różnych stron. Nazajutrz filozof modlił się gorąco do Boga, by zechciał mu odsłonić swoją wolę, oświecić go i prowadzić w poszukiwaniu prawdy. Potem zwrócił się do Matki Bożej, polecając jej tę sprawę, najważniejszą w swym życiu, złożył też ślub, że przy okazji podróży do Italii, którą planował w najbliższym czasie, odbędzie pielgrzymkę do Loreto. Później zobowiązał się nawet, że od Wenecji odbędzie tę pielgrzymkę pieszo. Religijno-filozoficzny entuzjazm po kilku dniach opadł. Ostatecznie filozof nie wybrał się tej zimy do Italii.
Nie znaczy to bynajmniej, że kiedy później ochłonął, przestał wierzyć w natchnienie płynące z owych snów. Epizod ten odegrał, jak się zdaje, ważną rolę w duchowym rozwoju Kartezjusza, choć trudno treść owych snów powiązać z jakimiś uchwytnymi etapami jego poglądów. Najprawdopodobniej rzecz dotyczy pewnych głębszych skojarzeń, poetyckiej strony filozofii, dopiero później umiał ją wyrazić w terminach jasnych, jak sądził, dla każdego człowieka obdarzonego rozsądkiem.

Wziąwszy pod rozwagę, iż zasady tych nauk winny być wszystkie zaczerpnięte z filozofii, w której nie znajdowałem jeszcze pewnych podstaw, pomyślałem, iż trzeba mi przede wszystkim starać się ustalić takowe, i że – wobec tego, iż jest to rzecz najważniejsza w świecie i w której najbardziej należało się obawiać pośpiechu i uprzedzenia – nie powinienem podejmować dzieła tego wprzódy, aż osiągnę wiek o wiele dojrzalszy niż dwadzieścia trzy lat, które wówczas liczyłem, i aż zużyję wiele czasu na przygotowanie się do tych zadań, tak wykorzeniając z umysłu wszystkie błędne mniemania, jakie przyjąłem weń przed tym czasem, jak też gromadząc rozmaite doświadczenia, aby zbierać materię dla moich rozumowań i ćwicząc się ciągle w metodzie, jaką obrałem, aby umocnić się w niej coraz więcej. (przeł. T. Żeleński-Boy)

Jeśli wierzyć wspomnieniom filozofa, rozpoczął on wtedy swego rodzaju eksperyment poznawczy, traktując życie i jego przypadki jako spektakl odbywający się na jego oczach i dostarczający materiału do przyszłej pracy filozoficznej. Ustalił sobie na okres przejściowy pewne reguły postępowania, ponieważ nie można zanegować wszystkiego jednocześnie. Sceptyczny po to, aby się ze sceptycyzmu raz na zawsze wydobyć, traktował te lata wędrówki jak prolog.

Upewniwszy się w ten sposób co do tych zasad i odłożywszy je na stronę wraz z prawdami wiary, które zawsze były na pierwszym miejscu w moich wierzeniach, osądziłem, iż, co do reszty mniemań, mogę swobodnie przystąpić do ich uprzątnięcia. Otóż, spodziewałem się lepiej z tym uporać, obcując z ludźmi, niż pozostając dłużej zamknięty w komorze, gdzie począłem wszystkie te myśli: zima tedy jeszcze niezupełnie dobiegła końca, a ja już puściłem się w drogę. I przez całe następne dziewięć lat czyniłem nie co innego, jak tylko tłukłem się tu i tam po świecie, starając się być raczej widzem niż aktorem we wszystkich komediach, jakie się na nim odgrywa. Rozważając w każdym przedmiocie szczególnie to, co mogłoby go uczynić podejrzanym i dać nam sposobność do omyłki, wykorzeniałem równocześnie z mego umysłu wszystkie błędy, jakie mogły się weń wprzódy wśliznąć. Nie iżbym w tym naśladował sceptyków, którzy wątpią, aby wątpić, i lubują się zawsze w niezdecydowaniu; przeciwnie, cały mój zamiar dążył tylko ku temu, aby się upewnić. Odrzucałem ruchomą ziemię i piasek, aby natrafić na skałę lub glinę. Udawało mi się to, jak sądzę, dość dobrze, ile że, starając się odkryć fałszywość lub niepewność twierdzeń, jakie rozpatrywałem, nie za pomocą słabych przypuszczeń, ale za pomocą jasnych i pewnych rozumowań, nie spotykałem wśród nich tak wątpliwego, z którego bym nie wyciągnął jakiejś dość pewnej konkluzji, choćby tej właśnie, iż nie zawiera ono nic pewnego. I jako burząc stare domostwo, zachowuje się zazwyczaj gruz, aby się nim posłużyć ku zbudowaniu nowego, tak niwecząc wszystkie mniemania, które osądziłem jako źle ugruntowane, czyniłem rozmaite spostrzeżenia i nabywałem mnogich doświadczeń, które posłużyły mi później ku zbudowaniu pewniejszych. Co więcej, ćwiczyłem się wciąż w metodzie, jaką sobie przepisałem; poza tym bowiem, iż starałem się na ogół prowadzić wszystkie moje myśli wedle reguł, zachowywałem sobie, od czasu do czasu, kilka godzin, które obracałem osobliwie na ćwiczenie się w trudnościach matematycznych lub nawet także w niektórych innych, które mogłem niejako upodobnić do matematycznych, odłączając je od zasad wszystkich nauk, które mi się nie zdawały dość pewne, jako ujrzycie, iż uczyniłem w wielu wyłożonych w tymże tomie. I tak, nie żyjąc na pozór w inny sposób niż ci, którzy, nie mając innego zadania, jak tylko pędzić życie lube a niewinne, starają się oddzielić przyjemności od błędów, i którzy, aby się cieszyć swoim wczasem nie nudząc się, zażywają wszystkich godziwych rozrywek, nie zaniedbywałem statecznego posuwania się w moim zamiarze i zapuszczania się w poznanie prawdy, być może więcej, niż gdybym był tylko czytał książki lub obcował z uczonymi. (przeł. T. Żeleński-Boy)

Niewiele wiemy o tych fascynujących Wanderjahre filozofa. Rok po nocy snów uczestniczył w oblężeniu i zdobyciu Pragi. Nie jest jasne, jaki był jego osobisty udział w walkach, ważnych dla losów Czech, wtedy to bowiem, w bitwie na Białej Górze, czescy protestanci ponieśli sromotną klęskę, która przesądziła o rządach Habsburgów na kilka wieków. Przywódcy powstania przeciw cesarzowi zostali ścięci, a ich głowy zatknięte na moście przez wiele lat stanowiły przestrogę dla potencjalnych buntowników. Palatyn reński, Fryderyk V, „zimowy król” Czech, uciekł, zabierając jedynie trochę klejnotów. Parę lat wcześniej na uroczystościach jego zaślubin z Anną Stuart odegrano Burzę Williama Shakespeare’a. Pochłonięty mocarstwowymi rojeniami młodzik, nie zwrócił zapewne żadnej uwagi na słowa Prospera:

Aktorzy moi, jak ci powiedziałem,
Były to duchy; na moje rozkazy
Na wiatr się lekki wszystkie rozpłynęły.
Jak bezpodstawna widzeń tych budowa,
Jasne pałace i wieże w chmur wieńcu,
Święte kościoły, wielka ziemi kula,
Tak wszystko kiedyś na nic się rozpłynie,
Jednego pyłku na ślad nie zostawi,
Jak moich duchów powietrzne zjawisko.
Sen i my z jednych złożeni pierwiastków;
Żywot nasz krótki w sen jest owinięty. —

Gottfried Wilhelm Leibniz: Dusze jako hologramy świata (list do księżnej elektorowej Zofii, 4 listopada 1696)

Wiek XVII to epoka, gdy zaczęła się współczesność. Nasze nauki, idee, koncepcje, metody i złudzenia mają swe źródła właśnie wtedy. Oczywiście, przedtem było średniowiecze, które nie zawsze było ciemne, a jeszcze przedtem Grecy z geometrią i z tragediami ilustrującymi, jak działa nieubłagane przeznaczenie. Dopiero jednak w XVII wieku różne nikłe strumyczki złączyły się w rzekę, która na złe i dobre niesie nas w nieznane.
Ojcowie założyciele nowożytnej nauki nie zawsze już są dla nas zrozumiali. Gottfried Wilhelm Leibniz jest jednym z najoryginalniejszych myślicieli tamtego wieku. Trwałym jego osiągnięciem okazał się rachunek różniczkowy i całkowy. Zajmował się Leibniz niemal wszystkim: od religii, historii i prawa, przez teologię, fizykę, logikę, matematykę aż po filozofię. Jeden z najmądrzejszych ludzi w Europie spędzał życie w służbie niezbyt rozgarniętych książąt. Nadrabiał to korespondencją, wiek XVII to pierwszy wiek dobrze działającej poczty w Europie. Rozpuszczeni internetem nie rozumiemy już, jak wielkie to było osiągnięcie, jak bardzo przyczyniło się do wymiany myśli. Pisanie listów zmuszało do przemyślenia poglądów, wyrażenia ich w formie kilkustronicowego skrótu, wciąż daleko było do czasów, gdy każdą ideę można zawrzeć w 140 znakach.

correspondance_leibniz

Świat Leibniza nie składa się z materialnych atomów, wypełniony jest bytami po brzegi, na wszystkich poziomach. Każdy jego fragment zawiera nieskończenie wiele mniejszych bytów, przypomina samopodobny zbiór Mandelbrota, który w powiększeniu przypomina do złudzenia sam siebie. Podstawowymi jednostkami są dusze – słynne monady, z których każda odzwierciedla cały wszechświat. Istnieją one, odkąd zostały stworzone, i będą istnieć, dopóki Stwórca ich nie unicestwi. Każda z owych dusz rozwija się niejako realizując wbudowany w nią od początku program. Nie ma śmierci, jest tylko przeobrażenie. Nic nigdy nie ginie ani nie powstaje, rozwija się tylko, ewoluuje ku większej doskonałości. Jest to piękny sen o racjonalnym świecie urządzonym przez dobrego Boga. W oczach Leibniza rzeczywistość była rodzajem uporządkowanego snu czy filmu, czymś w rodzaju rzeczywistości wirtualnej zaprogramowanej przez Stwórcę. Była ona przy tym zaprogramowana tak zmyślnie, że owe programy uwzględniały wszystkie pozostałe programy: dzięki temu możemy mieć wrażenie, iż uczestniczymy interaktywnie w rzeczywistym świecie, ale naprawdę mamy tylko nałożone okulary VR. Wszechświat jest holograficzny: ekstrahując informację z jego maleńkiego wycinka, z pojedynczej duszy, moglibyśmy poznać całą resztę dusz, a więc wszystko, co jest do poznania.

Samopodobieństwo zbioru Mandelbrota zobaczyć można np. tu i jeszcze w większym pliku tu.

Księżna elektorowa Zofia była żoną Ernesta Augusta, księcia Brunszwiku-Lüneburga. Leibniz był ich nadwornym bibliotekarzem i historykiem, ta ostatnia dziedzina okazała się niezwykle istotna dla księcia – dzięki dokumentom odnalezionym przez uczonego został on podniesiony przez cesarza do godności elektora. Zofia pod koniec życia uzyskała prawo do tronu angielskiego, z którego skorzystał dopiero jej syn Jerzy I. Dynastia hanowerska rządzi w Anglii do dziś. List jest jednym z wielu, które uczony pisał do księżnej Zofii, osoby wykształconej i inteligentnej. Kobiety na tych dworach często miały zainteresowania intelektualne czy artystyczne, ich mężowie zwykle nie sięgali wyobraźnią poza bieżące machinacje polityczne oraz polowania.

Główne me rozważania obracają się wokół dwóch przedmiotów: jedności i nieskończoności. Dusze są jednościami, a ciała wielościami – lecz nieskończonymi, tak że najmniejszy pyłek zawiera jakiś świat z nieskończonością stworzeń. Mikroskopy ukazały naocznie, że w kropli wody znajdować się może więcej niż milion żyjątek. Jedności wszakże – choć są niepodzielne i nie mają części – nie przestają przedstawiać wielości, mniej więcej tak, jak wszystkie promienie okręgu łączą się w jego środku. Na takim właśnie złączeniu polega podziwu godna natura postrzeżenia; ono także sprawia, iż każda dusza jest osobnym światem, przedstawiającym wielki świat na swój sposób i wedle swego punktu widzenia, toteż każda dusza, skoro raz już zaczęła istnieć, musi być tak samo trwała jak ów świat, którego jest wiecznym zwierciadłem. Zwierciadła te są uniwersalne i każda dusza przedstawia dokładnie cały wszechświat. Gdyż nie ma w świecie niczego, co nie miałoby udziału w całej reszcie, choć wpływ staje się mniej dostrzegalny wraz odległością. Wśród wszystkich dusz nie ma bardziej wzniosłych niż te, które zdolne są rozumieć prawdy wieczne, zdolne nie tylko przedstawiać świat w niewyraźny sposób, ale także rozumieć i posiadać wyraźne idee piękna oraz wielkości substancji suwerennej. Znaczy to być nie tylko zwierciadłem wszechświata (jakim są wszystkie dusze), lecz również tego, co we wszechświecie najlepsze. To znaczy samego Boga; to właśnie zastrzeżone jest dla umysłów albo inteligencji, które dzięki temu zdolne są kierować innymi stworzeniami w naśladowaniu Stwórcy.
Skoro więc każda dusza przedstawia wiernie cały wszechświat, a każdy umysł przedstawia jeszcze dodatkowo samego Boga we wszechświecie, łatwo dojść do wniosku, iż umysły są czymś większym, niż się sądzi. Jest bowiem prawdą pewną, że każda substancja dojść musi do takiej doskonałości, do której jest zdolna i która zawiera się w niej niejako zwinięta. Dobrze jest też rozważyć, iż w tym życiu zmysłowym starzejemy się po osiągnięciu dojrzałości, ponieważ zbliżamy się ku śmierci, która jest jedynie zmianą sceny; ale życie wieczne dusz nie podlega śmierci i tak samo nie podlega starości. Dlatego doskonalą się one i dojrzewają ustawicznie, tak samo jak świat, którego są obrazem; nic bowiem nie ma na zewnątrz wszechświata, co mogłoby mu stanąć na przeszkodzie, toteż wszechświat musi stale doskonalić się i rozwijać.
Można by wysunąć zarzut, że to doskonalenie nie jest widoczne, a nawet, że niejako cofa się skutkiem panującego nieładu. Jest tak jednak tylko na pozór, co można stwierdzić na przykładzie astronomii: nam, znajdującym się na ziemskim globie, ruch planet wydaje się czymś nieuporządkowanym. Gwiazdy zdają się błądzić i poruszać bezładnie raz w przód, a raz wstecz, a nawet zatrzymywać się od czasu do czasu. Kiedy jednak dzięki Kopernikowi umieściliśmy się na Słońcu – przynajmniej przy pomocy oczu naszego umysłu – odkryliśmy ład godny podziwu. W ten sposób nie tylko że wszystko dokonuje się zgodnie z zasadami tego ładu, ale nawet i ludzkie umysły zdolne są zdać sobie z tego sprawę w miarę, jak czynią postępy.
(…) Mam nadzieję, że [umysły] we Francji odwrócą się stopniowo od tej mechanicznej sekty [kartezjan] i od tego małostkowego przekonania o ograniczonej szczodrobliwości natury, która tylko nam jednym miałaby przyznać przywilej posiadania duszy. Kto wniknie głębiej w przedstawione przeze mnie myśli na temat nieskończoności, ten wyrobi sobie zgoła inne pojęcie o majestacie wszechświata zamiast uważać go za warsztat rzemieślnika, jak czyni to autor wielości światów [Fontenelle] w rozmowach ze swoją markizą. Każda bowiem machina naturalna ma nieskończenie wiele narządów i co jest jeszcze bardziej godne podziwu, to właśnie dzięki temu każde zwierzę odporne jest na wszelkie przypadłości i nie zostaje nigdy zniszczone, lecz jedynie zmienione i oddzielone przez śmierć, tak jak wąż zrzuca starą skórę; narodziny i śmierć są bowiem tylko rozwijaniem i zwijaniem, aby przyswoić nowy pokarm i aby go potem porzucić, gdy posiądzie się jego istotę, a zwłaszcza gdy zatrzyma się w sobie ślady postrzeżeń, które się posiadło i które zostają na zawsze i nigdy nie ulegają całkowicie zapomnieniu i choć nie zawsze ma się okazję je przypomnieć, idee takie nie omieszkają się przypomnieć i stać użyteczne z biegiem czasu. Toteż można dowieść matematycznie, iż wszelkie działanie, jakkolwiek małe by ono było, rozciąga się do nieskończoności, zarówno pod względem miejsc, jak i w czasie, promieniując – by tak rzec – na cały wszechświat i przechowując się przez całą wieczność. Tak więc nie tylko dusze, ale i ich działania przechowują się wiecznie, a nawet działanie każdej z nich przechowuje się we wszystkich duszach wszechświata za sprawą współdziałania i zgodności wszystkich rzeczy; świat cały zawarty jest w każdej swej części, ale w jednych bardziej wyraźnie niż w drugich i na tym właśnie polega przewaga tych umysłów, dla których suwerenna inteligencja stworzyła wszystko inne, aby dać się poznać oraz kochać, niejako mnożąc się w ten sposób we wszystkich żyjących zwierciadłach, które ją przedstawiają.

List Kaspara Schoppego do Konrada Rittershausena o spaleniu Giordana Bruna (17 lutego 1600)

…Jeżeli ci teraz jeszcze raz piszę, to zmusza mnie do tego dzisiejszy dzień, w którym Giordano Bruno z powodu herezji spalony został żywcem, publicznie i na oczach wszystkich, na Campo di Fiore przed teatrem Pompejusza. (…) Gdybyś teraz był w Rzymie, usłyszałbyś z ust większości Włochów, że spalony został luteranin, i to naturalnie jeszcze bardziej umocniłoby twoje zdanie o naszym okrucieństwie.

Jednakże musisz wiedzieć, mój Rittershausenie, że nasi Włosi nie czynią żadnych subtelnych różnic pomiędzy heretykami i wszystko, co jest kacerskie, nazywają zwykle luterskim. (…) Abyś jednak usłyszał ode mnie prawdę, chcę ci donieść i mogę ci na to dać moje słowo, że żaden luteranin ani kalwin, jeśli nie jest odstępcą od wiary katolickiej albo jeżeli nie sieje zgorszenia publicznymi napaściami na tę wiarę , nie ma się czego obawiać w Rzymie, nie mówiąc już o tym, żeby miał być skazany na śmierć. (…)

bruno

Wymieniony Bruno pochodził z miasta Noli, z Królestwa Neapolitańskiego. Należał do zakonu dominikańskiego. Jeszcze przed osiemnastu laty zaczął wątpić w Przeistoczenie, czemu jak poucza twój św. Chryzostom, nie przeczy rozum. Rzeczony Bruno zaprzeczał temu dogmatowi całkowicie, jak również negował dziewictwo Najświętszej Marii Panny, którą tenże Chryzostom uważa za czystszą od wszystkich cherubinów i serafinów. Udał się potem do Genewy i bawił tam przez dwa lata. W końcu, ponieważ niezupełnie zgadzał się z nauką Kalwina, która jest prostą drogą do ateizmu, został stamtąd wygnany i najpierw przybył do Lyonu, potem do Tuluzy, a następnie do Paryża, gdzie został profesorem nadzwyczajnym, gdyż nie chciał zająć katedry profesora zwyczajnego, byłby bowiem obowiązany do uczestniczenia w mszy. Potem udał się do Londynu, gdzie wydał swój paszkwil o triumfującej bestii, tj. o papieżu, którego wasi zwykli zaszczycać tytułem bestia. Stamtąd udał się do Wittenbergi i tu, jeśli się nie mylę, w ciągu dwóch lat miał publiczne wykłady. Potem wyjechał do Pragi i wydał tu książkę De immenso et infinito oraz inną De innumerabilis (…), a potem inną książkę De umbris idearum, w których nauczał horrendalnych i zupełnie absurdalnych idei (…) Z Pragi udał się do Brunszwiku i Helmstadtu i tam był przez pewien czas profesorem. Stamtąd przeniósł się do Frankfurtu, aby wydać książkę, i wreszcie przybył do Wenecji, gdzie wpadł w ręce inkwizycji, przez którą był długo więziony. (…)

Rzeczony Bruno wprowadzony został na salę inkwizycji i musiał na kolanach wysłuchać sentencji zapadłego przeciwko niemu wyroku (…) Następnie, jak my to nazywamy, zdegradowano go i ekskomunikowano i w celu ukarania wydano świeckiej władzy z prośbą, aby ukarano go jak najłagodniej i bez przelewu krwi. Kiedy to wszystko zakończyło się, Giordano groźnie odrzekł: „Zaprawdę, wy z większą trwogą ogłaszacie przeciwko mnie ten wyrok, aniżeli ja go wysłuchuję”. Został tedy przez miejskich pachołków odprowadzony do więzienia i tam był trzymany jeszcze przez pewien czas, w nadziei, że odwoła swoje błędy, lecz nadaremnie. Dziś więc zaprowadzono go na stos. Kiedy umierającemu podano krzyż święty z wizerunkiem Zbawiciela, odwrócił on z pogardą swoje oblicze i tak, palony, nędznie zginął, aby jak sądzę, wstąpić do owych wymarzonych przez siebie światów i opowiedzieć tam, jak zwykło się postępować w Rzymie z bluźniercami i bezbożnikami.(przeł. W. Zawadzki)

Parę uwag

Kaspar Schoppe, dwudziestotrzylatek, przeszedł w poprzednim roku z luteranizmu na katolicyzm, Rittershausen był jego dawnym nauczycielem, profesorem prawa z Altdorfu, luteraninem.

Sam fakt podróżowania po krajach protestanckich był mocno podejrzany w oczach inkwizycji, która starała się zresztą wtłoczyć Giordana Bruna w ramy kalwinizmu albo luteranizmu – to one były głównym zmartwieniem tej instytucji polityczno-pedagogicznej.

Główne zarzuty inkwizytorów tak podsumowuje Luigi Firpo (są one wywnioskowane z innych dokumentów, nie zachowały się bowiem w oryginale):

  1. Żywił poglądy sprzeczne z wiarą świętą i wygłaszał zdania sprzeczne z nią i z naukami kapłanów.
  2. Żywił błędne poglądy na temat Trójcy św., boskości Chrystusa i wcielenia.
  3. Żywił błędne poglądy na temat Chrystusa
  4. Żywił błędne poglądy na temat Przeistoczenia i mszy.
  5. Utrzymywał, iż istnieje wiele światów i są one wieczne
  6. Wierzył w metempsychozę i przechodzenie duszy ludzkiej w zwierzęta.
  7. Zajmował się wróżbiarstwem i magią.
  8. Nie wierzył w dziewictwo Najświętszej Marii Panny.

Bruno był filozofem, o teologii wypowiadał się raczej marginalnie, ale zazwyczaj z pogardą, co nie poprawiło jego sytuacji. Kościoły tamtej epoki miały swoje ulubione formuły wiary i każda wypowiedź z nimi niezgodna stawała się co najmniej podejrzana. Poglądy Bruna nie były zgodne także z konfesjami protestanckimi. Pozostaje jednak faktem, że aresztowany został w Italii, gdzie inkwizycja była szczególnie skuteczna. Stało się to wskutek donosu pewnego obywatela Wenecji, który sprowadził Bruna do miasta, chcąc się od niego zapewne nauczyć jakichś sztuczek magicznych. Kiedy nauczyciel go rozczarował, uczeń zadenuncjował go inkwizycji.

Filozofia Bruna była szczególną mieszanką wiary w dusze, nieskończoność wszechświata, wieczny kołowrót zmian itd. – nie był to jakiś sterylny system, lecz raczej dość bezładne nagromadzenie różnych przekonań, zazwyczaj sprzecznych z tymi powszechnie przyjętymi. Ciała niebieskie poruszały się jego zdaniem samodzielnie, ponieważ miały dusze. Podobnie sądził np. Kepler, który uważał przez całe życie, że Ziemia ma duszę, dzięki której może obserwować planety i w ten sposób wpływają one np. na pogodę. Co do ruchu planet Kepler także zastanawiał się przez jakiś czas, czy nie przypisać go duszom. Wylano sporo atramentu dowodząc, że Bruno nie był uczonym takim jak np. Kopernik czy Kepler, lecz był jedynie filozofem. A filozofów łatwiej przychodzi palić na stosie.

Bruno nie był kopernikaninem w sensie astronomicznym, bo nie zajmował się astronomią ani jej głębiej nie znał, ale wierzył, że Ziemia się porusza, a układów planetarnych jest nieskończenie wiele i to ostatnie przekonanie, jak widać choćby z cytowanego listu, mocno uwierało ortodoksów. Galileo Galilei, jak się zdaje, miał dość podobny obraz kosmosu. Po spaleniu Bruna nie mógł go oczywiście głosić, ale z upodobaniem zwalczał zawsze zdania, że Ziemia/Słońce jest w środku wszechświata, twierdząc, że wszechświat nie jest kulisty, nie ma więc zapewne żadnego środka. Kilkadziesiąt lat później pogląd, że każda gwiazda stanowi centrum swego układu planetarnego wydawało się Kartezjuszowi oczywisty.

W więzieniach inkwizycji Bruno spędził niemal osiem lat, po pewnym czasie zrozumiał, że jeśli nawet wszystko odwoła, to i tak będzie tam gnił do śmierci, wybrał więc rozwiązanie radykalne i nie wyrzekł się swoich poglądów. Inkwizycja zabiegała zawsze do samego końca o odwołanie poglądów ze względów propagandowych: żeby móc powiedzieć, iż w obliczu śmierci grzesznik pojednał się z Kościołem albo choć prosił o wybaczenie. Z podobnych względów rozpowszechniano budujące opisy śmierci różnych niedowiarków, którzy w ostatniej chwili wykazywali skruchę, często zresztą kłamano w takich sprawach bezwstydnie, ale przecież cel uświęca środki.

René Descartes (Kartezjusz), tęcza i uczeni jezuici (1637)

Pisze się często z uznaniem o uczonych jezuitach, zwłaszcza w XVII wieku, bo w następnym stuleciu zakon zaczął chylić się ku upadkowi i w końcu uległ kasacie papieskiej. Nauka stanowiła jakąś cząstkę szerokiej działalności pedagogicznej ojców i rzeczywiście, niektórzy z nich zasłużyli się różnymi odkryciami: np. plam słonecznych czy dyfrakcji światła. Dopóty, dopóki chodziło o badania czysto eksperymentalne albo obserwacyjne, ich osiągnięcia były niewątpliwe. Gorzej było z interpretacją wyników: ojcowie obowiązani byli trzymać się Arystotelesa, który był beznadziejnie przestarzały. W latach trzydziestych wieku XVII wieku doszedł jeszcze jeden kłopot: nie wolno im było głosić także kopernikanizmu. Skazanie Galileusza wpłynęło zastraszająco na wielu uczonych, również poza Italią. Taki zresztą był zamiar papieża Urbana VIII, który ubrdał sobie, że ruch Ziemi podważa prawdy wiary (w jakimś sensie miał zresztą rację: jedynie kosmologia geocentryczna wydaje się logiczna z religijnego punktu widzenia).
René Descartes, dawny uczeń jezuitów w La Flèche, wolał przezornie zamieszkać w Holandii. Wierzący katolik, spędził resztę życia na emigracji w krajach protestanckich. Nie opublikował też swego pierwszego dzieła Świat albo traktat o świetle, obawiając się, że jest zbyt kopernikańskie. Zadebiutował w druku dopiero w 1637 roku jako filozof, matematyk, a także fizyk. W tej ostatniej dziedzinie z jego śmiałych teorii, obejmujących właściwie cały wszechświat, ocalało ostatecznie jedynie wyjaśnienie zjawiska tęczy, podane w rozprawie Les météores.
Mimo zainteresowania tym zjawiskiem, ustalono niezbyt wiele. Jak pisał uczony jezuita, Jean Leurechon: „Jeśli mnie zapytacie o sposób wytwarzania, układ i formę tych kolorów [tęczy], to odpowiem, iż pochodzą one z odbicia oraz załamania światła, i to wszystko. Platon dobrze powiedział, że Iryda jest córą podziwu, a nie objaśnienia (…) wszyscy bowiem filozofowie i matematycy, którzy przez tak wiele lat zajmowali się poszukiwaniem i wyjaśnianiem ich przyczyn, a także spekulacjami, dowiedzieli się tylko, iż nic nie wiedzą i że dostępne są im jedynie pozory prawdy”. Ojciec Leurechon trochę przesadzał, ale czynił to w zbożnym i wychowawczym celu. Galileusz rozprawiający o ruchu Ziemi w Rzymie też wydawał się tamtejszym monsignorom nieledwie bezczelny: cóż on mógł wiedzieć o dekretach Stwórcy i urządzeniu wszechświata! Uczonym przystoi pokora.
Wiemy, że książkę Leurechona czytał Descartes i zapewne postanowił wykazać, że można jednak coś ustalić na temat świata i nie musimy w kółko powtarzać frazesów o własnej niewiedzy.
Powstawanie dwóch łuków tęczy przedstawia rysunek. Wewnętrzny łuk powstaje wskutek jednokrotnego odbicia światła wewnątrz kropli wody, zewnętrzny – wskutek dwukrotnego odbicia. W przypadku łuku wewnętrznego promień biegnie do oka obserwatora po drodze ABCDE, w przypadku łuku zewnętrznego biegnie po drodze FGHIKE.

fcarc-february2009-descartes-medium-original

descartes3

Tęcza nie jest żadnym realnym obiektem, ale każdy z nas widzi niejako własną tęczę, która przemieszcza się wraz z obserwatorem, jeśli tylko w powietrzu znajdują się w odpowiednim miejscu krople wody. Łuk wewnętrzny tworzy kąt 42º z kierunkiem promieni słonecznych, łuk zewnętrzny – kąt 52º. Descartes wyjaśnił, skąd biorą się oba kąty. Trudność polegała na tym, że promienie wpadające do kropli pod różnymi kątami wychodzą z niej także pod różnymi kątami. Nie od razu widać, co wyróżnia te dwie wartości: 42º oraz 52º.

descartes1

Kąt między promieniem Słońca a promieniem biegnącym po jednokrotnym odbiciu równy jest

\theta=4\beta-2\alpha.

Kąty \alpha oraz \beta związane są prawem załamania. Descartes ułożył tabelkę liczbowych wartości kątów odchylenia dla promienia odbitego raz i dwa razy. My przedstawimy to za pomocą wykresu.

descartes arc-en-ciel

Wykres interaktywny

Wewnętrzny łuk tęczy odpowiada maksymalnemu kątowi około 42º. W okolicy maksimum wykres funkcji staje się płaski, a to oznacza, iż znaczna część promieni będzie biegła w zbliżonym kierunku. W rezultacie dotrze do nas najwięcej promieni z okolic 42º. Łuk tęczy powinien mieć zewnętrzną krawędź ostrzejszą, a wewnętrzną bardziej rozmytą. Dla zewnętrznego łuku tęczy (powstającego przez dwukrotne odbicie) będzie na odwrót: minimalny kąt równa się ok. 51º i należy się spodziewać, że z tego kierunku dobiegać będzie najwięcej promieni. Pomiędzy tymi dwoma łukami niebo powinno być ciemniejsze. Tak więc kąty obserwowane w zjawisku tęczy odpowiadają ekstremalnym odchyleniom promienia od kierunku początkowego.

descartes2

W wyjaśnieniu Descartes’a pojawił się ilościowy aspekt zjawiska: jeśli natężenie światła z pewnego kierunku będzie zbyt małe, nie będziemy nic widzieć. Trochę promieni biegnie pod niemal każdym kątem, ale liczą się tylko te kierunki, w których biegnie dużo promieni. Tęcza nie ma wyraźnych granic zewnętrznych, gdybyśmy mogli rejestrować słabsze światło, oba pasy byłyby szersze. W czasach Descartes’a dzięki teleskopowi zrozumiano już, że nie zawsze widzimy światło dobiegające do naszych oczu: jego natężenie musi przekroczyć pewną progową wartość.

Full_featured_double_rainbow_at_Savonlinna_1000px

Zdjęcie: Laurie Kosonen

Wyjaśnienie tęczy podane przez Descartes’a było na tyle nowatorskie, że wielu uczonych nadal próbowało rozwiązać ten problem, nie dostrzegając, iż został już rozwiązany. To wcale nierzadka sytuacja, po teorii względności zaczęły się np. pojawiać prace, w których usiłowano inaczej rozwiązać problemy postawione przez Einsteina. Descartes przesłał swoją pracę o tęczy do ojca Étienne’a Noëla, jezuity, który uczył go niegdyś i z którym korespondował. Miał nadzieję, że jego rozprawa stanie się podręcznikiem używanym w kolegiach jezuickich. Stało się inaczej, nie doczekał się żadnej reakcji. Kilku innych uczonych zajmowało się później zagadnieniem tęczy tak, jakby nie istniała praca Descartes’a, m.in. teolog z Louvain, Libert Froidmont, który nie widział potrzeby uwzględnienia rozwiązania Descartes’a, gdy kilkakrotnie w późniejszym czasie wznawiał własną książkę na ten sam temat. Przyczyną niechęci Froidmonta i jezuitów mogło być to, co najmocniej przemawia do nas dzisiaj: poddanie zjawisk przyrody matematycznej konieczności. Bo jeśli światem rządzą matematyczne konieczności, to niepotrzebny staje się Stwórca. Descartes wcale tak zresztą nie myślał, ale inni zarzucali mu szerzenie bezbożnictwa naukowego. Isaac Newton, biblijny fundamentalista, z tego właśnie powodu zwalczał poglądy Descartes’a (jezuitów też zresztą nie cierpiał). Musiał w tym celu wymyślić własną wersję Boga-Ojca, który samorządnie i samowładnie realizuje swe matematyczne dekrety i obecny jest w każdym punkcie przestrzeni. Do Newtona należało wyjaśnienie kolorów tęczy: różne barwy mają rozmaity współczynnik załamania, toteż łuki różnych barw widzimy w nieco innych miejscach. Także Newton zastąpił numeryczną analizę Descartes’a twierdzeniem o ekstremum funkcji, matematyka była już znacznie bardziej zaawansowana.

Voltaire i Émilie du Châtelet: umysłowe powinowactwa z wyboru

Kardynał de Polignac opowiadał kiedyś z przejęciem markizie du Deffand o męczeństwie św. Dionizego, który, zdekapitowany za wiarę, zabrał swoją głowę z miejsca kaźni i powędrował z nią z Paryża aż do miejsca, gdzie dziś wznosi się bazylika Saint-Denis.

– To całe dwie mile, madame, dwie mile!

– Och, monseigneur, w takich sytuacjach najtrudniejszy jest pierwszy krok – odparła markiza.

Nie doceniamy, jak trudno jest zrobić pierwszy krok. W nauce najtrudniejsze nie są bynajmniej popisy sprawności matematycznej czy technicznej, lecz przezwyciężenie trudności pojęciowych, dostrzeżenie problemu z właściwej strony, nowatorskie ujęcie, pozbycie się niepotrzebnego balastu myślowego. Dotyczy to twórców, ale też i tych, którzy wbrew panującym poglądom propagują myśli dotąd niespotykane.

Voltaire i Émilie du Châtelet wprowadzali do Francji, a tym samym do Europy, filozofię Locke’a i fizykę Newtona. Oznaczało to dla nich, że człowiek, posługując się rozumem i eksperymentem, może poznać budowę wszechświata. Dziś nie umiemy już sobie wyobrazić owego olśnienia: oto ludzkość nie jest skazana na dreptanie w kółko, jałowe spekulacje i wieczne powtarzanie błędów. Uchwyciliśmy początki prawdziwej wiedzy, która nie przeminie wraz z modą na pudrowane peruki.

Na razie jednak po dwóch stronach kanału La Manche wszechświat wydawał się zupełnie różny. Francuzi przyjęli, wprawdzie z niemal stuletnim opóźnieniem, poglądy swego rodaka-emigranta, Kartezjusza. Nauczał on, że nie ma próżni, gdzie bowiem jest rozciągłość, tam jest i materia. Świat miał być wypełniony najróżniejszymi cząstkami, które wciąż się poruszały i stale wypełniały nawet najmniejsze załomki przestrzeni. Ciała mogły się wedle Kartezjusza zderzać, ale w żadnym razie przyciągać. Zderzenia były przekazywaniem ruchu, jak w przypadku kul bilardowych. Przyciąganie na odległość było w tej filozofii wyklęte, było magią, nawrotem do scholastyki, dziwacznym przesądem „światło ćmiącym”. Anglicy widzieli to inaczej (gdyby Bóg nie zamierzał ich oddzielić od Francuzów, nie stworzyłby The English Channel). Isaac Newton przedstawił pewną teorię matematyczną dotyczącą przyrody. Gdyby planety były przyciągane przez Słońce siłą odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości, to poruszałyby się tak, jak to obserwują astronomowie. Kosmiczny ośrodek tylko by w tym przeszkadzał. Gdyby taka siła działała, to i Słońce powinno być przyciągane przez planety. A także planety powinny się przyciągać wzajemnie. Gdyby to była prawda, to Ziemia powinna być spłaszczona u biegunów, a morza powinny podążać za ruchem Księżyca… Grawitacja była jednym z owych rzadkich gdyby, stopniowo zamieniających się w pewność.

Francuz, który przybywa do Londynu, zastaje tam mnóstwo zmian nie tylko w filozofii, lecz w ogóle wszędzie. Zostawił w Paryżu świat pełen, a tutaj zastaje go pustym. W Paryżu każdy widzi wszechświat złożony z wirów subtelnej materii, w Londynie nikt czegoś podobnego nie spostrzega. U nas ciśnienie Księżyca wywołuje przypływ morza, u Anglików zaś morze ciąży w kierunku Księżyca (…) Dowiecie się także, iż Słońce, które we Francji się do tego nie wtrąca, tutaj ma jedną czwartą udziału w rzeczonej sprawie. U waszych kartezjanów wszystko dzieje się na skutek impulsów, których nikt nie rozumie, u pana Newtona zawdzięczamy wszystko przyciąganiu, którego przyczyny także nikt nie zna. W Paryżu wyobrażacie sobie Ziemię okrągłą jak melon; w Londynie Ziemia jest na biegunach spłaszczona. Dla kartezjanina światło istnieje w powietrzu, a dla newtończyka przybywa ono ze Słońca w sześć i pół minuty [Listy filozoficzne, przeł. J. Rogoziński].

Pamiętajmy, że kiedy Voltaire to pisał, rozstrzygnięcie było nieznane. Ilu z dzisiejszych poetów potrafi prawidłowo rozpoznać, która z współczesnych teorii fizycznych będzie najpłodniejsza przez następne dwieście lat? I pamiętajmy, że książka, z której pochodzi ten cytat, została spalona ręką kata, a jej autor stał się człowiekiem wyjętym spod prawa. To nie było beztroskie głoszenie oryginalnych poglądów, można było drogo zapłacić za luksus opinii innej niż oficjalna. Oczywiście, prześladowcom Voltaire’a nie o samą naukę chodziło: Newton i Locke byli fragmentem obrazoburczej całości, w której monarchia mogłaby być bardziej oświecona, a kler nieco bardziej ewangeliczny – adresaci tych postulatów źle znosili uwagi jakiegoś tam poety, choćby i sławnego. Francja była na szczęście dyktaturą łagodzoną koneksjami, Voltaire schronił się więc u markizy du Châtelet w jej château Cirey.

2.Emilie_Chatelet_portrait_by_Latour

 

(portret Maurice’a Quentina de La Tour)

Kochali się i przez lata byli sobie wierni; fakt, że Émilie była mężatką, nie miał tu większego znaczenia. Był to bodaj pierwszy w historii związek dwojga ludzi, których prócz miłości, łączyły wspólne cele intelektualne i wymiana myśli (Heloiza i Abelard to jednak nie to samo). Émilie du Châtelet nie odebrała szkolnego wykształcenia – panny posyłano wówczas najwyżej do szkół klasztornych, gdzie edukacja była nader licha – ale znała łacinę i języki nowożytne, potrafiła nauczyć się matematyki. Nie zdążyła być wielką fizyczką, zaczęła zbyt późno. Lepiej wszakże niż Voltaire rozumiała matematyczne zasady Newtona – przełożyła jego legendarnie trudne Principia na francuski – do dziś nie ma innego przekładu. Oboje byli amatorami w najlepszym sensie tego słowa, wywodzącego się przecież od łacińskiego amare – kochać. Znaczyło to, że nie muszą zajmować się nudnymi rzeczami jedynie dla kariery, lecz mogą skupić się na tym, co ważne. Pracując we dwoje, dokonali więcej niż niejedno uczone towarzystwo. Nasza cywilizacja nie została stworzona wyłącznie przez odosobnionych geniuszy w rodzaju Newtona, wielką rolę odegrali także ci, którzy potrafili wielkie idee uczynić powszechną własnością – wprowadzanie w obieg wartościowych idei jest nie mniej ważne niż wprowadzanie w obieg rzetelnego pieniądza.

Isaac Newton: dwa twierdzenia o ruchu planet (1684)

Znane są przypadki wybitnych uczonych, którzy niezbyt chętnie publikują nawet istotne wyniki. Doktoranci Caltechu obawiali się przedstawiać swoje prace Richardowi Feynmanowi, bo mógł on wyjąć z biurka jakieś swoje stare obliczenia, zawierające to samo. Podobne historie opowiadano o Larsie Onsagerze, który latami nie publikował wielu swoich wyników (jak np. ścisłe rozwiązanie dwuwymiarowego modelu Isinga), przedstawiając je tylko na jakimś wykładzie albo w formie uwag po czyimś seminarium.

W roku 1684 w środowisku londyńskich członków Towarzystwa Królewskiego dyskutowano na temat ruchu planet. Wysuwano przypuszczenie, że na planety działa ze strony Słońca siła odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości planety od naszej gwiazdy. Sir Christopher Wren, wybitny architekt, twórca katedry św. Pawła i wielu ważnych budowli w Londynie, wyznaczył nawet nagrodę: książkę o wartości 40 szylingów dla tego, kto rozwiąże zagadnienie ruchu planet. Próbował tego dokonać astronom Edmond Halley, jednak bez skutku. Robert Hooke chwalił się, że zna rozwiązanie, ale go nie pokazał. W sierpniu tego roku Halley był w Cambridge i spotkał się tam z Isaakiem Newtonem. Zapytał go, po jakim torze poruszać się powinna planeta poddana przyciąganiu odwrotnie proporcjonalnemu do kwadratu odległości od Słońca. Po elipsie – odrzekł bez wahania Newton. Okazało się, że kiedyś już to wykazał, nie mógł jednak znaleźć dowodu wśród papierów, obiecał więc go wysłać pocztą. Za jakiś czas Halley otrzymał krótką pracę De motu corporum in gyrum„O ruchu ciał po orbitach”. Ważniejsze było, że pod wpływem tej rozmowy Newton na nowo zajął się zagadnieniem ruchu planet. Wciągnęło go ono na tyle, że w ciągu osiemnastu miesięcy napisał najważniejszą książkę w historii nauk ścisłych: Matematyczne zasady filozofii przyrody (1687). Odkrył po drodze prawo powszechnego ciążenia i niejako przy okazji sformułował trzy zasady dynamiki, których uczy się w szkołach.

Dwa główne wyniki De motu corporum in gyrum dotyczą siły działającej na planetę ze strony Słońca. Znane było od dawna, choć niezbyt dobrze rozumiane II prawo Keplera: promień wodzący planety zakreśla w jednakowych czasach jednakowe pola. Newton zdał sobie sprawę, że prawo to oznacza, iż na planetę działa siła skierowana ku Słońcu.

propositio1

(Rysunek z Matematycznych zasad, 1687)

Łamana ABCDEF jest drogą planety. Wyobrażamy sobie, że w jednakowych odstępach czasu planeta popychana jest impulsami skierowanymi do Słońca S, wskutek tego zamiast poruszać się ruchem prostoliniowym po odcinku Bc, porusza się po odcinku BC. Trójkąty SBc i SBC mają jednak tę samą wysokość, a więc ich pola powierzchni są równe.

Wiemy zatem, że siła poruszająca planetę skierowana jest ku Słońcu. Jeśli przyjmiemy za Keplerem, że orbita planety jest elipsą, to można wykazać dodatkowo, iż siła ta jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości planety od Słońca r=SP. (Słońce jest w ognisku elipsy, nazywanym tu przez Newtona: umbilicus – dosł. pępek).

lohne

 

Na drodze od P do Q planeta „spada” w kierunku linii SP o odcinek RQ. Droga PQ przebywana jest w krótki czasie \Delta t . Jeśli czas ten jest bardzo krótki, planeta porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym:

RQ=\dfrac{1}{2} g{\Delta t}^2 \mbox{, czyli } g=\dfrac{2 RQ}{\Delta t^2}.

Przyspieszenie grawitacyjne planety oznaczyliśmy g. Należy więc drogę RQ oraz czas wyrazić za pomocą wielkości geometrycznych. Figura QRPx jest równoległobokiem, na przedłużeniu QX leży v: punkt przecięcia z CP. Planeta spada w kierunku Px, ale z geometrii elipsy łatwo jest wyznaczyć Pv, dlatego wprowadzamy ten pomocniczy punkt v. Mamy

Pv\approx (Qv)^2 \dfrac{d_1}{2d_2^2}\mbox{ (*)},

gdzie znak \approx oznacza równość w granicy, gdy Q\rightarrow P; 2d_1 oraz 2d_2 są tzw. średnicami sprzężonymi elipsy GCP oraz DCK (linia DK jest równoległa do stycznej PR w punkcie P). Równanie (*) wynika z własności elipsy, szczegóły na końcu wpisu.

Korzystamy teraz z podobieństwa trójkątów Pxv i PEC. Mamy więc

RQ=Px=\dfrac{PE}{PC}Pv=\dfrac{a}{d_1}Pv.

Ostatnia równość wynika z tzw. lematu Newtona, por. niżej (**).

Do przyspieszenia wchodzi jeszcze czas, który możemy zastąpić polem trójkąta EPQ o podstawie EP=r i wysokości QT. Dwa trójkąty prostokątne QTx oraz PFE są podobne, zatem

QT=Qx\dfrac{PF}{PE}=Qx\dfrac{PF}{a}.

Wstawiając wszystkie znalezione zależności do wyrażenia na przyspieszenie, otrzymujemy

g\approx\dfrac{2a^3}{(d_2PF)^2}\dfrac{(Qv)^2}{(Qx)^2}\dfrac{1}{r^2}\sim\dfrac{1}{r^2}.

W ostatniej równości korzystamy z faktu, że iloczyn d_2PF nie zależy od położenia punktu P, por. niżej (***), oraz z faktu, że iloraz odległości Qv i Qx jest w granicy równy 1.

Prowadzenie obliczeń algebraicznych oraz przejścia graniczne przy użyciu proporcji nie były najwygodniejsze. Newton był jednak skrajnym konserwatystą i używał takiej techniki z przyczyn czysto ideologicznych: uważał bowiem geometrię grecką za doskonalszą niż analityczna geometria Kartezjusza. W młodości, korzystając z podejścia analitycznego, otrzymał wiele ważnych, do dziś podręcznikowych wyników, jak np. różne wyrażenia na promień krzywizny. Teraz, pisząc dzieło życia, świadomie wybrał metodę klasycznych proporcji. Mówił nawet, że specjalnie napisał swoje Matematyczne zasady trudnym językiem, żeby zniechęcić ludzi o powierzchownej znajomości matematyki.

Rysunek pochodzi z pracy J.A. Lohne, The Increasing Corruption of Newton’s Diagrams, „History of Science”, t. 6 (1968), s. 81 (rysunki u Newtona zwykle nie są najlepsze, nie wszyscy wydawcy przerysowywali je ze zrozumieniem).

Szczegóły techniczne

Elipsę na płaszczyźnie a’ można otrzymać jako rzut prostokątny okręgu leżącego na płaszczyźnie a.

projection

newton_elipsa

 

Dla okręgu nietrudno wyprowadzić zależność

y=\dfrac{x^2}{2r-y}\approx\dfrac{x^2}{2r}.

Ostatnia równość staje się dokładna, gdy y\rightarrow 0, r jest promieniem okręgu. W rzucie dwie prostopadłe średnice okręgu przejdą w dwie średnice sprzężone elipsy. Proporcje równoległych odcinków nie mogą się zmienić, więc

\dfrac{x}{r}=\dfrac{x'}{d_2} \mbox{ oraz } \dfrac{y}{r}=\dfrac{y'}{d_1}.

Stąd natychmiast otrzymujemy (*). Punkty I oraz S są ogniskami elipsy. Punkt H na rysunku w tekście zasadniczym otrzymujemy, odkładając na linii PE odległość PI=PH. Zatem trójkąt PIH jest równoramienny. Linia PF prostopadła do stycznej (normalna) jest dwusieczną kąta IPH (jest to znana własność elipsy: promienie światła wysłane z jednego ogniska skupiają się w drugim). PF jest więc symetralną IH i odcinek IH jest równoległy do EK. Kąt ISH jest przecięty tą parą równoległych. Ponieważ SC=CH (oba ogniska są równoodległe od środka elipsy), więc z tw. Talesa, mamy SE=EI. Suma odległości punktu P od obu ognisk jest stała i równa podwojonej dużej półosi a:

2a=SP+PH=2EI+2IP=2EP\mbox{, czyli }EP=a. \mbox{(**)}

Twierdzenie to nazywa się czasem lematem Newtona.

Aby otrzymać (***), rozważmy pole równoległoboku opisanego na elipsie, jest ono równe PFd_2 i nie zależy od położenia punktu P, ponieważ rzutując okrąg z opisanym na nim kwadratem na płaszczyznę a’, zawsze otrzymamy takie samo pole powierzchni równoległoboku na tej płaszczyźnie, bez względu na orientację kwadratu na płaszczyźnie a. Jest to tzw. drugie tw. Apoloniusza, znane niemal dwa tysiące lat przed Newtonem.