Dlaczego atomy są trwałe?

Atomów nie można opisać za pomocą dziewiętnastowiecznej fizyki klasycznej. W doświadczeniach Hansa Geigera i Ernesta Marsdena, prowadzonych pod kierunkiem Ernesta Rutherforda w Manchesterze w latach 1909-1913, okazało się, że praktycznie cała masa atomu mieści się w bardzo małym obszarze o promieniu pojedynczych femtometrów (1 {\rm fm}=10^{-15} {\rm m}). Przedtem sądzono (model J.J. Thomsona), że atom zawiera rozmyty ładunek dodatni, w którym znadują się, niczym rodzynki w cieście, lekkie punktowe elektrony. Przy bombardowaniu cienkiej złotej folii za pomocą cząstek α (jąder helu) zdarzało się jednak, że cząstki te rozpraszały się pod wielkimi kątami, niemal zawracały. Byłoby to niemożliwe, gdyby dodatni ładunek rozmyty był na znacznym obszarze. Tak silne pole elektryczne wymagało niemal punktowego ładunku – atom musi więc zawierać niewielkie jądro. Tak narodził się model planetarny Ernesta Rutherforda.

Na rysunku nie można oddać różnicy skali między modelami Thomsona i Rutherforda. Elektrony krążą w znacznie większym obszarze kilkudziesięciu pikometrów (1 {\rm pm}=10^{-12} {\rm m}): w przypadku wodoru objętość atomu jest 2\cdot 10^{14} razy większa od objętości protonu w centrum. Znaczy to, że atom jest praktycznie pusty. Analogia z planetami krążącymi wokół Słońca niezbyt się tu jednak stosuje, ponieważ poruszający się z  przyspieszeniem elektron powinien emitować energię w postaci fal elektromagnetycznych. Z teorii Maxwella wynika, że w czasie rzędu 10^{-11} \,{\rm s} elektron powinien spaść na jądro. Atomy nie są stabilne – do takiego wniosku prowadzi Newtonowska mechanika w połączeniu z elektrodynamiką Maxwella.

Prowizorycznym wyjściem z sytuacji był model Nielsa Bohra: wprowadzał on dozwolone orbity elektronów i jakimś cudem przewidywał prawidłowo długości fal w widmie wodoru. Postulat kwantowania orbit jest nie do pogodzenia z fizyką klasyczną: trzeba bowiem założyć, że elektrodynamika czasem działa, a czasem nie. Jej prawa są z jakiegoś powodu zawieszone w przypadku orbit Bohra.

 Problem rozwiązała dopiero mechanika kwantowa. Przyjrzymy się, jak objaśnia ona stabilność atomu wodoru. Dla uproszczenia będziemy mówić o ruchu elektronu w polu elektrostatycznym nieruchomego jądra (wprowadzane w ten sposób przybliżenie łatwo zastąpić dokładniejszymi rachunkami). Mamy więc elektron o energii składającej się z energii kinetycznej oraz elektrostatycznej energii potencjalnej:

E=\dfrac{{\mathbf p}^2}{2m}-\dfrac{e^2}{r},

gdzie {\mathbf p} oraz m są odpowiednio pędem i masą elektronu, r jest jego odległością od punktowego jądra, a stała e^2\equiv\frac{q_e^2}{4\pi\varepsilon_0}. Nasz problem stabilności łatwiej zrozumieć, patrząc na wykres energii potencjalnej. 

Energia potencjalna w funkcji odległości elektronu od protonu (zaznaczone są dwa najniższe poziomy energetyczne atomu wodoru)

Zaznaczone są dozwolone wartości energii całkowitej. Energia krążącego elektronu jest stała tylko pod warunkiem pominięcia promieniowania. Inaczej będzie ona szybko się zmniejszać, a więc jak widać z wykresu nasz elektron będzie coraz ciaśniej okrążał proton. Studnia potencjału jest nieskończenie głęboka, bez dna (w przybliżeniu punktowego protonu). 

Mechanika kwantowa opisuje stany elektronu za pomocą funkcji falowej \psi(x,y,z)=\psi({\mathbf r}). Jej znaczenie jest statystyczne, pozwala ona obliczać rozmaite wartości średnie: np. średnią wartość energii kinetycznej, albo potencjalnej. Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w danym obszarze przestrzeni V jest równe

Pr(V)={\displaystyle \int_{V} |\psi|^2 dV}.

Oznacza to, że całka po całej przestrzeni musi być równa 1, mówimy wtedy, że funkcja falowa jest unormowana. Aby otrzymać rozmaite wartości średnie, musimy mieć przepis na ich tworzenie. Jest on następujący: każdej wielkości fizycznej przypisuje się operator. Np. operatorem składowej x położenia jest mnożenie przez x. Znaczy to, że pod działaniem tego operatora funkcja \psi przechodzi w x\psi. Bardziej skomplikowanym przypadkiem jest pęd. Składowa x pędu zastępowana jest braniem pochodnej po x:

\psi \mapsto \dfrac{\hbar}{i} \dfrac{\partial\psi}{\partial x}.

Pojawia się tutaj stała Plancka \hbar znak niechybny, że mamy do czynienia z fizyką kwantową, i jest tu jednostką urojoną – nasza funkcja \psi ma wartości zespolone. Z początku budziło to pewne zdumienie ojców mechaniki kwantowej, dziś wiemy, że liczby zespolone są tu nieodzowne. 

Mając pęd i położenie, możemy zbudować operator energii, czyli hamiltonian: zastępujemy po prostu pędy i położenia ich operatorami.  W jednym wymiarze wyglądałoby to następująco

H=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial ^2}{\partial x^2}- \dfrac{e^2}{x}.

Pierwszy składnik oznacza, że należy dea razy wziąć pochodną po x i pomnożyć przez odpwoednią stałą, drugi składnik jest zwykłym mnożeniem funkcji. W trzech wymiarach mamy trzy składowe pędu, czyli trzy pochodne składające się w symbol zwany laplasjanem (czyli operatorem Laplace’a):

\Delta=\dfrac{\partial ^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial ^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial ^2}{\partial z^2}.

Zapisany w ten sposób hamiltonian ma postać:

H=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta-\dfrac{e^2}{r}.

Ostatni potrzebny nam składnik formalizmu to przepis na znajdowanie wartości średnich. Jeśli operator przypisany szukanej zmiennej nazwiemy A, to wartość średnia zmiennej jest równa

\langle A \rangle={\bf \int }\psi^{\star}A\psi dV.

Pojawia się tu funkcja zespolona sprzężona \psi^{\star}. Operatory odpowiadające wielkościom mierzalnym fizycznie (obserwablom) to tzw. operatory hermitowskie, które dają w powyższym przepisie wynik rzeczywisty, tak jak tego oczekujemy w eksperymencie. Hermitowskie są w szczególności operatory pędu, położenia i hamiltonian.

W zasadzie tyle formalizmu wystarczy, bez rozwiązywania równań różniczkowych, by pokazać, że dla dowolnej rozsądnej funkcji falowej (normowalnej) energia ograniczona jest z dołu. Czyli nie możemy uzyskać w żadnym eksperymencie mniej niż owo dolne ograniczenie. Co więcej, w każdym stanie związanym prawdopodobieństwo, że elektron znajdzie się bardzo blisko jądra jest znikome. Formalizm mechaniki kwantowej osiąga to dzięki wprowadzeniu funkcji \psi, która skoncentrowana w małym obszarze wymusza dużą energię kinetyczną. Jakościowo odpowiada to zasadzie nieoznaczoności: mała nieoznaczoność położenia oznacza dużą nieoznaczoność pędu, a więc i energii kinetycznej. Jednak zasady nieoznaczoności nie możemy tu zastosować wprost. 

Rozpatrzmy operator {\bf A} dany równaniem

{\bf A}={\bf p}-i\beta \dfrac{{\bf r}}{r},

gdzie \beta jest dowolną liczbą rzeczywistą. Ponieważ całka z kwadratu modułu {\bf A}\psi nie może być ujemna, otrzymujemy nierówność

\langle {\bf p}^2\rangle-2\beta\hbar\left\langle\dfrac{1}{r}\right\rangle+\beta^2\ge 0,\mbox{(*)}

słuszną dla każdego \beta. Bierzemy najpierw \beta=\hbar\langle\frac{1}{r}\rangle. Dostajemy nierówność

\langle {\bf p}^2\rangle\ge \hbar^2\left\langle \dfrac{1}{r}\right\rangle^2.

Dla dowolnej wartości r_0>0 możemy ograniczyć wartość całki do obszaru r<r_0, gdzie 1/r>1/r_0, otrzymujemy w ten sposób nierówność

\langle {\bf p}^2\rangle^{\frac{1}{2}}\ge \dfrac{\hbar}{r_0} Pr(r<r_0). 

Wrócimy do niej za chwilę. Raz jeszcze korzystamy z (*), tym razem dla \beta=\frac{me^2}{\hbar}. Porządkując wyrazy, otrzymujemy wartość oczekiwaną energii:

\boxed{ \left\langle \dfrac{{\mathbf p}^2}{2m}-\dfrac{e^2}{r}\right\rangle\ge -\dfrac{me^4}{2\hbar^2.}}

Mechanika kwantowa przewiduje zatem dolną wartość energii, równą -13,6\, \rm{eV}.

Aby oszacować \langle{\mathbf p}^2\rangle , założymy, że mamy elektron w stanie związanym, a więc całkowita energia jest ujemna – klasycznie znaczy to, że elektron nie może uciec z pola elektrostatycznego protonu. 

Mamy

\left\langle \dfrac{{\mathbf p}^2}{2m}-\dfrac{e^2}{r}\right\rangle<0,

co można przepisać w postaci

\left\langle \dfrac{{\mathbf p}^2}{4m}\right\rangle<-\left\langle \dfrac{{\mathbf p}^2}{4m}-\dfrac{e^2}{r}\right\rangle.

Do prawej strony możemy zastosować nierówność z ramki przy masie cząstki równej 2m. Otrzymujemy stąd szacowanie dla

\left\langle {\mathbf p}^2\right\rangle \le \dfrac{2me^2}{\hbar}.

Ostatecznie, prawdopodobieństwo znalezienia elektronu nie dalej niż r_0 od jądra spełnia nierówność

\boxed{Pr(r<r_0)<\dfrac{2 r_0}{a_0},}

gdzie a_0\equiv \frac{\hbar}{me^2}\approx 53 \,{\rm pm} zwane jest promieniem Bohra. Jest to promień pierwszej orbity w modelu Bohra.

Widzimy więc, że formalizm mechaniki kwantowej dostarcza wyjaśnienia, czemu atomy są trwałe, co jest niezmiernie ważnym faktem. Uwzględnienie poprawek relatywistycznych itd. niewiele tu zmienia. Można udowodnić więcej: także w układzie wielu jąder i wielu oddziałujących ze sobą elektronów kolaps jest niemożliwy. W tym przypadku ważną rolę odgrywa także fakt, iż elektrony są fermionami, tzn. żadne dwa z nich nie mogą zajmować tych samych stanów (wliczając spin). Podstawowe wyniki w tym obszarze należą do Elliotta Lieba i Waltera Thirringa. Rozważania takie są interesujące ze względów poznawczych, ale także pomagają zrozumieć zachowanie dużych układów, dla których bezpośrednie rachunki bez żadnych przybliżeń są niemożliwe.

Korzystałem z książki E. B. Manoukian, 100 Years of Fundamental Theoretical Physics in the Palm of Your Hand.
Integrated Technical Treatment, Springer Nature 2020.

John Perry, lord Kelvin i wiek Ziemi, czyli lepiej być sławnym i bogatym (1895)

Kim był John Perry? Pracował kiedyś jako asystent Thomsona (późn. Kelvina) na uniwersytecie w Glasgow, potem został profesorem mechaniki inżynierskiej. Perry polemizował z Kelvinem na temat wieku Ziemi i miał rację, ale niestety nic z tego nie wynikło. Kelvin zastosował fizykę matematyczną do tego zagadnienia: założył, iż na początku wewnątrz globu panowała pewna wysoka temperatura, która na powierzchni spadała do zera (z grubsza wszystko jedno w jakiej skali). Ponieważ skały przewodzą ciepło, więc profil temperatury powinien się stopniowo pochylać, jak na obrazku. Kelvin Można zmierzyć, jak szybko rośnie temperatura w miarę zagłębiania się w Ziemi, a stąd nietrudno obliczyć ile lat ma Ziemia. Wyszło mu, że pewnie kilkadziesiąt milionów lat. Wynik był bardzo ważny, bo zadawał kłam geologom, którzy wyobrażali sobie na podstawie różnych niepewnych rozumowań, że chodzi przynajmniej o setki milionów lat – a więc co najmniej dziesięć razy dłużej. Wynik Kelvina stanowił też kłopot dla Darwina i jego zwolenników, bo ewolucja w ciągu, powiedzmy 20 milionów lat, musiałaby przejść wszystkie etapy od organizmów jednokomórkowych do królowej Wiktorii (dziś wiemy, że trwało to 200 razy dłużej). Geologowie nie mieli ilościowych argumentów, wydawało się, że rozumowaniu Kelvina nic nie można przeciwstawić, trudno się sprzeczać z matematyką. I tu na scenę wkracza John Perry. Gdyby przyjąć, że tylko cienka warstwa powierzchniowa skorupy ziemskiej jest w stałym stanie skupienia, wnętrze zaś płynne, to temperatura owego wnętrza mogłaby się szybciej wyrównywać dzięki prądom konwekcyjnym (korzystają z nich szybownicy w pogodne dni). Nikt nie umiał obliczyć, jak zmienią się wyniki, gdyby uwzględnić konwekcję. Perry przyjął, że przewodzenie ciepła zachodzi tylko przy powierzchni Ziemi, w cienkiej warstwie o grubości L. Strumień ciepła w W/m2 jest proporcjonalny do gradientu temperatury (deg/m):

\dfrac{P}{4\pi R^2}=K\dfrac{T}{L},

gdzie P jest mocą przekazywaną przez całą Ziemię na zewnątrz, R jej promieniem, K współczynnikiem przewodnictwa, zależnym od materiału, a T temperaturą wewnątrz Ziemi (na zewnątrz przyjmujemy zero). Jest to prawo przewodnictwa Fouriera, Kelvin też je stosował, tyle że do całego globu, a nie tylko do warstwy powierzchniowej. Moc to ilość ciepła \Delta Q przepływającego na zewnątrz podzielona przez czas \Delta t, można ją zapisać przez zmianę temperatury \Delta T (duże T – temperatura, małe t – czas), masę Ziemi M oraz jej ciepło właściwe c – to zwykła kalorymetria:

P=\dfrac{\Delta Q}{\Delta t}=-\dfrac{Mc\Delta T}{\Delta t}.

Minus w ostatnim równaniu informuje, że gdy ciepło wypływa, temperatura maleje. Łącząc oba równania, otrzymamy szybkość zmian temperatury (ściśle biorąc chodzi o pochodną, ale jeśli ktoś nie zna tego pojęcia, to nic nie szkodzi):

\dfrac{\Delta T}{\Delta t}=-\left(\dfrac{3K}{\varrho c LR}\right)T\equiv -\dfrac{T}{t_0}.

Wielkość \varrho to średnia gęstość Ziemi. Wszystkie współczynniki przed temperaturą dają się zapisać w jedną stałą t_0 o wymiarze czasu. Im niższa jest temperatura, tym wolniej spada. Równanie takie opisuje wykładniczy zanik temperatury (Takie samo prawo obowiązuje np. w rozpadzie promieniotwórczym). Okazuje się jednak, że proces ten jest znacznie wolniejszy niż w modelu Kelvina. Na rysunku zaznaczone są górna i dolna granica strumienia ciepła, możliwe do przyjęcia (trudno wyliczyć średnią dla całej powierzchni Ziemi). Dane wchodzące do obliczeń nie zmieniły się istotne od czasów Kelvina i Perry’ego. perry Parametry liczbowe są dla obu modeli takie same. Jak widać model Perry’ego dla L=50\mbox{ km} pozwala wydłużyć wiek Ziemi do dwóch miliardów lat. Nasz wykres kończy się na prawdziwym wieku Ziemi. Jak na prościutki model, wyniki są zupełnie dobre. Dziś wiemy, że rację miał Perry, a nie jego idol Kelvin. Ani Kelvin, ani Peter Guthrie Tait – inna ówczesna znakomitość, nie wzięli poważnie pod uwagę modelu Perry’ego. Sprawę wieku Ziemi przesądzono na niekorzyść Kelvina dziesięć lat później. Zrobił to Ernest Rutherford, który zwrócił uwagę, że zgodnie z odkryciem Pierre’a Curie i André Laborde’a, pierwiastki radioaktywne wewnątrz Ziemi wydzielają ciepło, co zmienia bilans. Rutherford wspominał swój wykład z roku 1904:

Wszedłem do na wpół zaciemnionej sali i po chwili zauważyłem wśród publiczności lorda Kelvina, co oznaczało dla mnie kłopoty, bo ostatnia część prelekcji dotyczyła wieku Ziemi i moje poglądy w tej sprawie nie zgadzały się z jego opinią. Na szczęście zapadł on w mocną drzemkę, kiedy jednak doszedłem do tego ważnego punktu, zobaczyłem, że stary ptak siada prosto i rzuca mi spod brwi srogie spojrzenie! Wtedy spłynęło na mnie nagłe natchnienie i powiedziałem, że lord Kelvin ograniczył wiek Ziemi przy założeniu, że nie zostanie odkryte żadne nowe źródło ciepła. To prorocze stwierdzenie odnosi się do tego, o czym dziś mówimy – do radu. I proszę, staruszek się do mnie promiennie uśmiechnął.

Najzabawniejsze jest jednak to, że Rutherford też nie miał racji, pierwiastki promieniotwórcze nie zmieniają bilansu cieplnego Ziemi wystarczająco, by obalić rozumowanie Kelvina. Kiedy pisałem o wieku Ziemi, też tego nie wiedziałem – podręczniki powtarzają tę mądrość o pierwiastkach radioaktywnych, a za podręcznikami ludzie. Model Perry’ego jest znacznie bliższy prawdy niż model Kelvina. Wnętrze Ziemi jest płynne, dziś modeluje się komputerowo procesy przepływu ciepła i wiadomo na ten temat znacznie więcej. Od początku problem leżał nie w przybliżonym charakterze modeli, bo to można poprawić, lecz w odmiennych założeniach. Kelvin i ówczesny establishment nie chcieli przyjąć „dziwnego” założenia o płynnym wnętrzu Ziemi. Gdyby je przyjęli, dużo wcześniej zgodzono by się na ruch płyt tektonicznych – jeszcze jedną heretycką hipotezę. Kelvin wielkim uczonym był i sam Perry to rozumiał. Toteż wszyscy posłuchali Kelvina zamiast myśleć na własny rachunek. Oczywiście, oprócz stadnego myślenia wchodziła też w grę niechęć do arbitralnych, jak się mogło wydawać, założeń Perry’ego: bo dlaczego tylko taka warstwa miałaby podlegać prawu przewodnictwa? Kelvin wykazał, że przewodnictwo cieplne w wysokich temperaturach się nie zmienia oraz uznał, że konwekcją można się nie przejmować, głównie dlatego, że nikt nie potrafił uwzględnić jej w obliczeniach.

Korzystałem z artykułu, P. England, P. Molnar, F. Richter, John Perry’s neglected critique of Kelvin’s age for the Earth:A missed opportunity in geodynamics, „GSA Today”, t. 17, nr. 1 (2007), s. 4-9. Jest też jego popularna wersja na stronie internetowej „American Scientist”.

Henry Moseley, brakujące pierwiastki i śmierć pod Gallipoli (1887-1915)

W tym roku mija sto lat od wybuchu pierwszej wojny światowej. Przysłonięta jeszcze straszniejszą drugą wojną, wydaje nam się niesłychanie odległa. Trudno zwłaszcza zrozumieć ówczesny entuzjazm: czemu miliony młodych ludzi po obu stronach rwało się na ochotnika do walki i czemu przeciwnicy wojny traktowani byli jak trędowaci, nie tylko przez oficjalną propagandę, ale także przez ogół społeczeństwa (Pisałem o stosunku Alberta Einsteina do tej wojny.) Wśród ofiar znalazł się Karl Schwarzschild, astrofizyk, który odkrył rozwiązanie równań Einsteina odpowiadające czarnej dziurze. Inną z trzydziestu siedmiu milionów ofiar tej wojny był Henry Moseley.
Moseley pochodził z rodziny o naukowych tradycjach, ojciec i obaj dziadkowie byli członkami Towarzystwa Królewskiego. Studiował w Oksfordzie, w egzaminach końcowych zdobył pierwszą lokatę z matematyki i dopiero drugą z fizyki – ten wynik traktował jako porażkę. Studia w Oksfordzie były dla niego w ogóle rozczarowaniem, ponieważ musiał się nauczyć wielu niepotrzebnych rzeczy do egzaminów. Nie ma zresztą czegoś takiego jak studia dobre dla każdego – to, co jednemu przyniesie korzyść, dla innego może być stratą czasu (mówimy o ludziach, którym zależy, żeby później coś z tą wiedzą zrobić).

slide3_moseley

To zdjęcie w Laboratorium Balliol-Trinity w Oksfordzie ok. 1910 roku.

Zaczął pracować w Manchesterze u Ernesta Rutherforda, w najlepszym zespole badawczym tamtych czasów. W Manchesterze odkryto jądro atomowe, a Niels Bohr zaczął serię prac na temat budowy atomu. Moseley słynął z niezwykłej pracowitości, pracował kilkanaście godzin na dobę, jadł owoce, ser i chleb, z laboratorium wychodził o trzeciej nad ranem. Po kilku innych pracach zajął się tematem widm rentgenowskich. Otóż różne atomy wysyłają promieniowanie rentgenowskie o ściśle określonych długościach fali – przypomina to widma optyczne, jakie można oglądać w spektroskopie. Widma optyczne są jednak zwykle skomplikowane, trudne do szczegółowej analizy. W latach 1913-1914 w ciągu mniej więcej roku Moseley zbadał widma rentgenowskie szeregu pierwiastków i odkrył, że są one bardzo regularne. Położenie linii zależy jedynie od liczby atomowej, czyli numeru pierwiastka w układzie okresowym. Do tamtej pory pierwiastki szeregowano głównie na podstawie masy atomowej. Czasem należało się też kierować własnościami chemicznymi: inaczej argon (39,95) musiałby zająć miejsce potasu (39,10) itp. Jednak liczba atomowa była tylko numerem. Teraz się okazało, że ma ona jakiś sens fizyczny.

Moseley-Fig3

(Linie są naprawdę wielokrotne, stąd dwie bliskie proste odpowiadające tzw. liniom K oraz cztery wyżej odpowiadające tzw. liniom L, nie będziemy się tą komplikacją przejmować.) Wykres tej zależności staje się linią prostą, jeśli na jednej osi wykreślić pierwiastek z częstotliwości, a na drugiej liczbę atomową. Musiało się to skojarzyć z widmami optycznymi, dla wodoru mamy np. takie prawo (\lambda jest długością fali):

\dfrac{1}{\lambda}=R\left(\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{1}{m^2}\right),

gdzie m, n są liczbami całkowitymi, a R jest stałą fizyczną zwaną stałą Rydberga. Niels Bohr umiał obliczyć jej wartość na podstawie swojego modelu atomu. Moseley zauważył, że podobnie można zapisać długości fal dla widm rentgenowskich. Np. seria K układała się następująco.

moseley

Na osi pionowej mamy \frac{1}{\sqrt{\lambda}} w pewnych jednostkach. Dane pochodzą z pracy Moseleya, czerwone kropki to wyniki pomiarów, kropka niebieska to przecięcie linii prostej z osią. Obserwowana zależność to przeskalowane widmo wodoru (Z jest liczbą atomową):

\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{3}{4}R(Z-1)^2=R\left(\dfrac{1}{1^2}-\dfrac{1}{2^2}\right)(Z-1)^2.

Stała R to ta sama stała Rydberga co wyżej, więc raczej nie może być mowy o przypadku. Podobne prawo zachodzi dla linii serii L, tej wyżej położonej na wykresie Moseleya, tyle że stała liczbowa mnożąca R równa się nie \frac{3}{4}, lecz

\dfrac{5}{36}=\left(\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{3^2}\right),

a wykres przecina oś liczb atomowych w jeszcze innym punkcie. W roku 1914 nie było wiadomo, jak to wszystko należy rozumieć.

Praca eksperymentalna Moseleya miała natomiast oczywistą wartość doraźną: można było wyjaśnić wątpliwości chemików i sprawdzić, których pierwiastków brakuje: były to numery 43, 61, 72, 75. Odkryto je w późniejszym czasie (chemicy podejrzewali zresztą ich istnienie). Można też było łatwo rozróżnić pierwiastki z grupy lantanowców, które chemicznie trudne są do rozseparowania. Wiadomo też było, że jest ich równo 15. Henry Moseley zdążył opublikować dwie prace o widmach rentgenowskich, po czym wybuchła wojna. Był wtedy w Australii, wrócił do kraju i zgłosił się do oddziałów łączności. Turecki snajper zabił go pod Gallipoli 10 sierpnia 1915 roku. W kilku językach podzielonej Europy odnotowano tę stratę: dwudziestosiedmioletni uczony typowany był już wtedy do Nagrody Nobla. Z pewnością mógłby jeszcze coś zdziałać w fizyce, jego szef, Rutherford, po Nagrodzie Nobla za promieniotwórczość odkrył jeszcze jądro atomowe i wszystko to zdążył zrobić przed czterdziestką.

Moseley sądził, że jego wyniki potwierdzają Bohra model atomu. Rzecz nie jest jednak aż tak prosta. Liczba atomowa Z to ładunek jądra (dziś wiemy, że to liczba dodatnich protonów w jądrze). Jeśli przyjmiemy, że wokół jądra krąży tylko jeden elektron, to energia jego wiązania na każdej orbicie powinna być dokładnie Z^2 razy większa niż w wodorze, ponieważ energia fotonu jest proporcjonalna do \frac{1}{\lambda}, więc otrzymalibyśmy niemal to, co trzeba. Można by sobie wyobrazić, że linie K odpowiadają przejściom z drugiej orbity na pierwszą, linie L z trzeciej na drugą itd. Proste \frac{1}{\sqrt{\lambda}} w zależności od Z przechodziłyby przez początek układu, a tak nie jest. W atomie mamy jednak wiele elektronów (musi ich być Z, bo atom jest elektrycznie obojętny), więc zapewne takie skalowanie nie może być ścisłe.

Właściwie nie ma dobrego fundamentalnego wytłumaczenia, dlaczego proste nie przechodzą przez początek układu. W podręcznikach zwykle pisze się o ekranowaniu: chmura elektronowa między jądrem a najniższym elektronem miałaby łącznie ładunek -1, więc nasz elektron przechodząc z drugiej powłoki na pierwszą, znajdowałby się w polu ładunku Z-1. A dlaczego możemy pominąć pozostałe elektrony? Są one dalej od jądra, tworząc sferycznie symetryczną chmurę ładunku – wewnątrz takiej chmury pole elektryczne znika, więc nie mają one wpływu na ruch naszego niskiego elektronu. Niektórzy kwestionują takie wyjaśnienie; tak czy owak, nie można chyba wzorów Moseleya wyprowadzić ściśle. Co nie przeszkadza oczywiście w praktyce: analizatory widma rentgenowskiego pozwalają natychmiast sprawdzić, z jakimi pierwiastkami mamy do czynienia. Producenci tego sprzętu żyją ze sprzedawania odkrycia Henry’ego Moseleya.

Niels Bohr i jego sprzeczna z logiką teoria atomu (1913)

Gotowa nauka jest logiczna, jest systemem; w istocie im bardziej zwarty system tworzy, tym bardziej jest nauką – tzn. tym więcej rozumiemy z danego obszaru zjawisk. To jest jednak stan podręcznikowy, zastygły, kiedy już opadną wszelkie mgły zaciemniające obraz sytuacji. W trakcie powstawania, in statu nascendi, nauka wcale nie jest logiczna i często wymaga wykonania kroku w pustkę, zanim jeszcze zdobędziemy pewność, że stoimy na stabilnym gruncie. Arthur Koestler pisał o lunatykowaniu, chodzeniu przez sen, w którym delikwent z tajemniczą pewnością wymija przeszkody, których nie jest świadom. Początki teorii kwantów miały niewątpliwie tę lunatyczną właściwość. Świetny przykład stanowi praca Bohra na temat widma atomów.

Dnia 6 marca 1913 roku Niels Bohr wysłał do Ernesta Rutherforda rękopis swojej nowej pracy wraz z listem. Wyjaśniał w nim, że zrozumiał wzór Balmera opisujący długości linii widmowych wodoru. Od jakiegoś czasu stało się popularne zapisywanie tego wzoru w postaci

\dfrac{1}{\lambda}=R\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{m^2}\right)

Bohr odgadł, bardziej niż obliczył, że stała pojawiająca się w tym równaniu wyraża się przez stałe fizyczne oraz ładunek i masę elektronu:

R=\dfrac{2\pi^2 m e^4}{ch^3}.

Ładunek i masa elektronu są tu równe e i m, c jest prędkością światła, wzięło się z przeliczania jednostek i nie należy do zagadnienia, ważna jest natomiast stała Plancka h. Wiadomo było z prac Maksa Plancka i Alberta Einsteina, że z jakichś niejasnych powodów światło jest pochłaniane i wysyłane porcjami o energii

h\nu=\dfrac{hc}{\lambda}

(światło możemy scharakteryzować albo podając długość fali \lambda, albo częstotliwość \nu). Wiemy dziś, że pojawienie się stałej Plancka jest nieomylną oznaką, iż mamy do czynienia z fizyką kwantową. W tamtej chwili nie wszyscy byli o tym przekonani, były prace próbujące sprowadzić stałą Plancka do innych znanych stałych.

Oczywiście, tak skomplikowanego wyrażenia nie można było uzyskać prostym zgadywaniem. Niels Bohr wiedział z eksperymentów Rutherforda, że atom składa się z niewielkiego dodatnio naładowanego jądra oraz elektronów. Przyjął, że atom wodoru ma dokładnie jeden elektron (co nie było wtedy całkiem oczywiste). Wiedział też, że siły wewnątrz atomu to elektrostatyczne oddziaływanie kulombowskie – eksperymenty z rozpraszaniem cząstek alfa na foliach ze złota wykazały to jasno. Wobec tego elektron krąży wokół jądra (dziś wiemy, że jest nim proton) tak, jak planeta wokół Słońca. Siły elektrostatyczne zastępują tu grawitację, ale ponieważ jedne i drugie maleją jak kwadrat odległości, można do ruchu elektronu zastosować całą technikę badania ruchu planet.

Pojawia się przy tym zasadnicza trudność: elektron krążący po orbicie powinien wypromieniowywać energię w postaci fal elektromagnetycznych i po spirali zbliżać się do jądra, jak satelita Ziemi, który wszedł w atmosferę i jest przez nią hamowany. Można było bez trudu obliczyć szybkość tego procesu. Dla orbity o wielkości atomu czas spadku powinien być rzędu 10-11 s. Inaczej mówiąc, atomy powinny być niestabilne. Przy czym elektron krążący z określoną częstotliwością powinien wysyłać falę o takiej właśnie częstotliwości.

Bohr spróbował założenia, że niektórych wybranych orbit to nie dotyczy. Przyjął, że elektron zbliżając się z daleka aż do orbity o numerze n traci energię równą dokładnie

nh\dfrac{f_n}{2},

gdzie f_n jest częstotliwością krążenia po orbicie nr n.

„Wyjaśnienie” tego faktu było następujące: swobodny elektron ma częstotliwość 0, związany f_n, więc spadając na jądro elektron wysyła promieniowanie o częstotliwości równej średniej z tych dwu skrajnych wartości, a więc \frac{f_n}{2}. Nie było to szczególnie przekonujące, ale prowadziło do prawidłowych wartości energii elektronu.

Kiedy natomiast elektron przeskakuje z jednej orbity na drugą, różnica energii wysyłana jest bądź pochłaniana w postaci światła. Zachodzi przy tym równość:

h\nu_{mn}= \dfrac{hc}{\lambda_{mn}} = E_m-E_n.

Z równania tego otrzymujemy wzór Balmera. Należy przyjąć, że n=2. Postulat kwantowania nie przekonywał chyba także samego Bohra, bo podał on kilka innych jego sformułowań. Chyba tylko jedno z nich brzmi przekonująco dla dzisiejszego fizyka. Gdy rozważamy poziomy energetyczne o dużej wartości n, okazuje się, że spełniony jest warunek

\nu_{n+1 n} \approx f_{n+1} \approx f_n.

Znaczy to, że częstotliwość obliczona kwantowo zbliża się do zwykłej częstotliwości orbitalnej dla obu sąsiadujących orbit. Fizyka kwantowa przechodzi w klasyczną. Jest to przykład tzw. zasady korespondencji.

Długi artykuł Bohra (Rutherford daremnie nalegał, by go skrócić) ukazał się latem w „Philosophical Magazine” i był pierwszym z trzech. Model Bohra nie zaprowadził zbyt daleko, można go stosować jedynie do układów z jednym elektronem.

Niezbyt jasne idee związane z modelem Bohra stanowią główny, utrwalony czarno na białym, wkład tego uczonego do fizyki. Odegrał on później wielką rolę w powstawaniu nowej fizyki, był mentorem m.in. Wernera Heisenberga. Rozwiązanie zagadki widma wodoru musiało poczekać do 1925 i 1926 roku, do chwili powstania mechaniki kwantowej. Z dziewięciu tomów jego zebranej spuścizny został ów model, mający znaczenie w pewnym momencie historycznym, a także kopenhaska interpretacja mechaniki kwantowej, na którą coraz częściej prychają dzisiejsi młodzi gniewni.

Niewielu jest jednak uczonych, którym udaje się pozostawić po sobie choćby jedną przełomową pracę.

Jak pisał Konstandinos Kawafis:

„Pewnego dnia Teokrytowi
tak się skarżył młody poeta Eumenes:
«Już dwa lata minęły, odkąd piszę,
a skończyłem tylko jedną idyllę.
To jedyne moje dzieło dokonane»”.

Na co odpowiedział Teokryt:

„To nie byle co, wejść tu, gdzie wszedłeś:
czegoś zdołał dokonać, wielka to chluba.
Nawet najniższy ten stopień wysoko
jest wydźwignięty nad pospolity świat.
Zanim się dotknie nogą tego stopnia,
trzeba zasłużyć na to, by się stać
obywatelem miasta myśli”.

(przeł. Z. Kubiak)

Ze względu na złudną prostotę rachunków przyjął się natomiast model Bohra w szkolnictwie, wywołując u wielu przekonanie, że w atomie elektrony krążą jak planety wokół Słońca. Podejrzewam jednak, że i to się skończyło (przynajmniej u nas), ponieważ dzisiejsza szkoła nie potrafi nauczyć nawet ruchu jednostajnie przyspieszonego, więc także i model Bohra znalazł się poza zasięgiem rozumienia wykształconego Polaka.