Isaac Newton: dwa twierdzenia o ruchu planet (1684)

Znane są przypadki wybitnych uczonych, którzy niezbyt chętnie publikują nawet istotne wyniki. Doktoranci Caltechu obawiali się przedstawiać swoje prace Richardowi Feynmanowi, bo mógł on wyjąć z biurka jakieś swoje stare obliczenia, zawierające to samo. Podobne historie opowiadano o Larsie Onsagerze, który latami nie publikował wielu swoich wyników (jak np. ścisłe rozwiązanie dwuwymiarowego modelu Isinga), przedstawiając je tylko na jakimś wykładzie albo w formie uwag po czyimś seminarium.

W roku 1684 w środowisku londyńskich członków Towarzystwa Królewskiego dyskutowano na temat ruchu planet. Wysuwano przypuszczenie, że na planety działa ze strony Słońca siła odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości planety od naszej gwiazdy. Sir Christopher Wren, wybitny architekt, twórca katedry św. Pawła i wielu ważnych budowli w Londynie, wyznaczył nawet nagrodę: książkę o wartości 40 szylingów dla tego, kto rozwiąże zagadnienie ruchu planet. Próbował tego dokonać astronom Edmond Halley, jednak bez skutku. Robert Hooke chwalił się, że zna rozwiązanie, ale go nie pokazał. W sierpniu tego roku Halley był w Cambridge i spotkał się tam z Isaakiem Newtonem. Zapytał go, po jakim torze poruszać się powinna planeta poddana przyciąganiu odwrotnie proporcjonalnemu do kwadratu odległości od Słońca. Po elipsie – odrzekł bez wahania Newton. Okazało się, że kiedyś już to wykazał, nie mógł jednak znaleźć dowodu wśród papierów, obiecał więc go wysłać pocztą. Za jakiś czas Halley otrzymał krótką pracę De motu corporum in gyrum„O ruchu ciał po orbitach”. Ważniejsze było, że pod wpływem tej rozmowy Newton na nowo zajął się zagadnieniem ruchu planet. Wciągnęło go ono na tyle, że w ciągu osiemnastu miesięcy napisał najważniejszą książkę w historii nauk ścisłych: Matematyczne zasady filozofii przyrody (1687). Odkrył po drodze prawo powszechnego ciążenia i niejako przy okazji sformułował trzy zasady dynamiki, których uczy się w szkołach.

Dwa główne wyniki De motu corporum in gyrum dotyczą siły działającej na planetę ze strony Słońca. Znane było od dawna, choć niezbyt dobrze rozumiane II prawo Keplera: promień wodzący planety zakreśla w jednakowych czasach jednakowe pola. Newton zdał sobie sprawę, że prawo to oznacza, iż na planetę działa siła skierowana ku Słońcu.

propositio1

(Rysunek z Matematycznych zasad, 1687)

Łamana ABCDEF jest drogą planety. Wyobrażamy sobie, że w jednakowych odstępach czasu planeta popychana jest impulsami skierowanymi do Słońca S, wskutek tego zamiast poruszać się ruchem prostoliniowym po odcinku Bc, porusza się po odcinku BC. Trójkąty SBc i SBC mają jednak tę samą wysokość, a więc ich pola powierzchni są równe.

Wiemy zatem, że siła poruszająca planetę skierowana jest ku Słońcu. Jeśli przyjmiemy za Keplerem, że orbita planety jest elipsą, to można wykazać dodatkowo, iż siła ta jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości planety od Słońca r=SP. (Słońce jest w ognisku elipsy, nazywanym tu przez Newtona: umbilicus – dosł. pępek).

lohne

 

Na drodze od P do Q planeta „spada” w kierunku linii SP o odcinek RQ. Droga PQ przebywana jest w krótki czasie \Delta t . Jeśli czas ten jest bardzo krótki, planeta porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym:

RQ=\dfrac{1}{2} g{\Delta t}^2 \mbox{, czyli } g=\dfrac{2 RQ}{\Delta t^2}.

Przyspieszenie grawitacyjne planety oznaczyliśmy g. Należy więc drogę RQ oraz czas wyrazić za pomocą wielkości geometrycznych. Figura QRPx jest równoległobokiem, na przedłużeniu QX leży v: punkt przecięcia z CP. Planeta spada w kierunku Px, ale z geometrii elipsy łatwo jest wyznaczyć Pv, dlatego wprowadzamy ten pomocniczy punkt v. Mamy

Pv\approx (Qv)^2 \dfrac{d_1}{2d_2^2}\mbox{ (*)},

gdzie znak \approx oznacza równość w granicy, gdy Q\rightarrow P; 2d_1 oraz 2d_2 są tzw. średnicami sprzężonymi elipsy GCP oraz DCK (linia DK jest równoległa do stycznej PR w punkcie P). Równanie (*) wynika z własności elipsy, szczegóły na końcu wpisu.

Korzystamy teraz z podobieństwa trójkątów Pxv i PEC. Mamy więc

RQ=Px=\dfrac{PE}{PC}Pv=\dfrac{a}{d_1}Pv.

Ostatnia równość wynika z tzw. lematu Newtona, por. niżej (**).

Do przyspieszenia wchodzi jeszcze czas, który możemy zastąpić polem trójkąta EPQ o podstawie EP=r i wysokości QT. Dwa trójkąty prostokątne QTx oraz PFE są podobne, zatem

QT=Qx\dfrac{PF}{PE}=Qx\dfrac{PF}{a}.

Wstawiając wszystkie znalezione zależności do wyrażenia na przyspieszenie, otrzymujemy

g\approx\dfrac{2a^3}{(d_2PF)^2}\dfrac{(Qv)^2}{(Qx)^2}\dfrac{1}{r^2}\sim\dfrac{1}{r^2}.

W ostatniej równości korzystamy z faktu, że iloczyn d_2PF nie zależy od położenia punktu P, por. niżej (***), oraz z faktu, że iloraz odległości Qv i Qx jest w granicy równy 1.

Prowadzenie obliczeń algebraicznych oraz przejścia graniczne przy użyciu proporcji nie były najwygodniejsze. Newton był jednak skrajnym konserwatystą i używał takiej techniki z przyczyn czysto ideologicznych: uważał bowiem geometrię grecką za doskonalszą niż analityczna geometria Kartezjusza. W młodości, korzystając z podejścia analitycznego, otrzymał wiele ważnych, do dziś podręcznikowych wyników, jak np. różne wyrażenia na promień krzywizny. Teraz, pisząc dzieło życia, świadomie wybrał metodę klasycznych proporcji. Mówił nawet, że specjalnie napisał swoje Matematyczne zasady trudnym językiem, żeby zniechęcić ludzi o powierzchownej znajomości matematyki.

Rysunek pochodzi z pracy J.A. Lohne, The Increasing Corruption of Newton’s Diagrams, „History of Science”, t. 6 (1968), s. 81 (rysunki u Newtona zwykle nie są najlepsze, nie wszyscy wydawcy przerysowywali je ze zrozumieniem).

Szczegóły techniczne

Elipsę na płaszczyźnie a’ można otrzymać jako rzut prostokątny okręgu leżącego na płaszczyźnie a.

projection

newton_elipsa

 

Dla okręgu nietrudno wyprowadzić zależność

y=\dfrac{x^2}{2r-y}\approx\dfrac{x^2}{2r}.

Ostatnia równość staje się dokładna, gdy y\rightarrow 0, r jest promieniem okręgu. W rzucie dwie prostopadłe średnice okręgu przejdą w dwie średnice sprzężone elipsy. Proporcje równoległych odcinków nie mogą się zmienić, więc

\dfrac{x}{r}=\dfrac{x'}{d_2} \mbox{ oraz } \dfrac{y}{r}=\dfrac{y'}{d_1}.

Stąd natychmiast otrzymujemy (*). Punkty I oraz S są ogniskami elipsy. Punkt H na rysunku w tekście zasadniczym otrzymujemy, odkładając na linii PE odległość PI=PH. Zatem trójkąt PIH jest równoramienny. Linia PF prostopadła do stycznej (normalna) jest dwusieczną kąta IPH (jest to znana własność elipsy: promienie światła wysłane z jednego ogniska skupiają się w drugim). PF jest więc symetralną IH i odcinek IH jest równoległy do EK. Kąt ISH jest przecięty tą parą równoległych. Ponieważ SC=CH (oba ogniska są równoodległe od środka elipsy), więc z tw. Talesa, mamy SE=EI. Suma odległości punktu P od obu ognisk jest stała i równa podwojonej dużej półosi a:

2a=SP+PH=2EI+2IP=2EP\mbox{, czyli }EP=a. \mbox{(**)}

Twierdzenie to nazywa się czasem lematem Newtona.

Aby otrzymać (***), rozważmy pole równoległoboku opisanego na elipsie, jest ono równe PFd_2 i nie zależy od położenia punktu P, ponieważ rzutując okrąg z opisanym na nim kwadratem na płaszczyznę a’, zawsze otrzymamy takie samo pole powierzchni równoległoboku na tej płaszczyźnie, bez względu na orientację kwadratu na płaszczyźnie a. Jest to tzw. drugie tw. Apoloniusza, znane niemal dwa tysiące lat przed Newtonem.

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Log Out / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Log Out / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Log Out / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Log Out / Zmień )

Connecting to %s