Dziesięć przykazań Szilarda

Nie mam pod ręką Bronowskiego, nie wiem więc, czy te dziesięć przykazań Szilarda było publikowane po polsku. Warto je w każdym razie uważnie przeczytać.

1. Staraj się rozumieć powiązania różnych rzeczy, a także prawa ludzkich zachowań, żebyś wiedział, co robisz.
2. Niech twoje czyny mają godny cel, lecz nie zastanawiaj się, czy go osiągną; mają bowiem stanowić model i przykład, a nie środki do celu.
3. Mów do innych tak, jak mówisz do siebie, nie myśląc nad tym, jakie robisz wrażenie, tak żeby nie odcinać ich od twojego świata, żebyś w izolacji nie stracił z oczu sensu życia i nie zgubił wiary w doskonałość stworzenia.
4. Nie niszcz tego, czego nie potrafisz stworzyć.
5. Nie tykaj dania, gdy nie jesteś głodny.
6. Nie pożądaj tego, czego nie możesz mieć.
7. Nie kłam bez potrzeby.
8. Szanuj dzieci. Słuchaj ich słów z szacunkiem i mów do nich z bezgraniczną miłością.
9. Prowadź swoje prace przez sześć lat, ale w siódmym roku idź na pustynię lub pomiędzy obcych, żeby pamięć przyjaciół nie wzbraniała ci być tym, kim się stałeś
10. Prowadź swe życie lekką ręką i bądź gotów odejść, kiedy zostaniesz wezwany.

30 października 1940 r.

Leo Szilard (Leó Szilárd), Marsjanin na walizkach

Enrico Fermi na pewnym seminarium przedstawił opowieść o życiu we wszechświecie. Wszechświat jest wielki i niemożliwe jest, by w wielu miejscach nie powstało życie. Mając miliardy lat do dyspozycji, życie musiało, przynajmniej na niektórych planetach, wyewoluować w wyższe formy, także inteligentne. Niemal nieunikniony jest wniosek, że owi inteligentni obcy nie ograniczą się do własnej macierzystej planety, lecz zaczną szukać innych dogodnych środowisk. Z ich punktu widzenia Ziemia ze swoimi zasobami wodnymi, roślinami przetwarzającymi i magazynującymi energię słoneczną, umiarkowanymi temperaturami, powinna wydawać się idealna do zasiedlenia. A w takim razie – kontynuował Fermi – gdzie oni wszyscy są? Na co obecny na sali Leó Szilárd rzucił: ależ oni są wśród nas, mówimy na nich Węgrzy.

Mamy legendę międzywojennej polskiej szkoły matematycznej, czy właściwie dwóch szkół: lwowskiej i warszawskiej. Grupa niezwykle utalentowanych węgierskich Żydów w naukach ścisłych nie tworzyła wprawdzie jednej szkoły, lecz okazała się niebywale wpływowa. W Stanach Zjednoczonych mówiono na nich często Marsjanie, ponieważ wyróżniali się nie tylko inteligencją, ale także mówili między sobą językiem kompletnie niezrozumiałym i trudnym nawet do zidentyfikowania. Jako młodzi ludzie emigrowali, ponieważ nie mieli warunków do rozwoju naukowego ani nawet spokojnego życia w kraju rządzonym przez antysemicki prawicowy reżim Horthy’ego, admirała w kraju bez morza, któremu w 2013 r. postawiono w Budapeszcie pomnik. W rezultacie wszyscy: Theodore von Kármán, John von Neumann, Eugene Wigner, Leó Szilárd, Michael Polanyi, Edward Teller uczyli się w Niemczech – ówczesnym centrum naukowego świata. Gdy Niemcy dokonały intelektualnego samobójstwa za pomocą nazistowskiego motłochu, musieli szukać sobie miejsca w świecie anglosaskim: Polanyi – w Wielkiej Brytanii, pozostali – w Stanach Zjednoczonych. Za „marsjańskim” pochodzeniem tej grupy przemawia także fakt, że nie ma w Budapeszcie ulic imienia von Neumanna, von Kármána czy Szilárda, mają oni natomiast swe kratery na Księżycu. Fermi uważał za paradoksalny fakt, że nie napotkaliśmy dotąd obcych form inteligencji, tymczasem teraz w wielu miejscach na Ziemi doświadczamy regresu inteligentnych form życia: choćby na Węgrzech, w Rosji, czy nawet w Stanach Zjednoczonych. Cywilizacja nie została dana raz na zawsze, można się z niej cofać i cofać aż do samozagłady.

Leó Szilárd był w tym gronie oryginałów i pierwszorzędnych umysłów postacią nietypową. Zapisane czarno na białym w publikacjach wyniki nie dają obrazu jego pozycji w nauce. Przede wszystkim nie miał on właściwie żadnej określonej specjalności naukowej. Zrobił wprawdzie doktorat i habilitację z fizyki teoretycznej, ale zwłaszcza habilitacja dotyczyła związku entropii z informacją, co wtedy, w latach dwudziestych, wyprzedzało epokę o dobre kilkadziesiąt lat. Później zajmował się fizyką jądrową, jako pierwszy zrozumiał zagrożenie, jakie sprowadzić mogła reakcja łańcuchowego rozszczepienia jąder, brał udział w budowie pierwszego reaktora jądrowego w Chicago, po wojnie zajmował się biologią, m.in. mechanizmem pamięci i starzenia się. Wszystko to robił nie zajmując oficjalnych stanowisk na uczelniach bądź pracując na jakichś dziwnych zleceniach jako konsultant, wizytujący profesor, czy badacz. Właściwie jego oficjalne CV wyglądałoby jak kronika prac dorywczych, często bezpłatnych, nie mieszczących się w normalnym planie badawczym instytucji, które go nominalnie zatrudniały. Żył trochę z własnych środków, trochę z patentów i konsultacji, czasem z jakichś prywatnych grantów. Główną formą jego pracy naukowej było siedzenie w wannie przed południem oraz przeszkadzanie kolegom w pracy przez zadawanie pytań albo sugerowanie innego niż dotąd kierunku badań. Nie miał domu, mieszkał w hotelach, pensjonatach, w latach trzydziestych żył z dwoma walizkami: w jednej miał rzeczy osobiste, w drugiej przenośne laboratorium jądrowe (do fizyki jądrowej wystarczał wówczas stół w laboratorium, jakiś licznik Geigera, trochę materiałów promieniotwórczych). Przy tym wszystkim Szilárd miał ambicję wpływania na politykę, instynkt organizatora różnych przedsięwzięć dla dobra ludzkości, potrafił pracować niemal dzień i noc na rzecz uchodźców naukowych z nazistowskich Niemiec, nie myśląc przy tym o sobie i własnym losie.

Jako dwudziestoparoletni student Szilárd brał udział w słynnych berlińskich kolokwiach (tzn. seminariach), gdzie w pierwszym rzędzie zasiadali Max Planck, Max von Laue, Albert Einstein, Fritz Haber, James Franck, później także Erwin Schrödinger. Niełatwo było z sensem zabierać głos w tych kolokwiach, na których przedstawiano najnowsze prace i na które przyjeżdżali wszyscy liczący się i aspirujący fizycy. Werner Heisenberg na całe życie zapamiętał swój wykład na berlińskim kolokwium, gdy prezentował właśnie odkrytą przez siebie mechanikę macierzową, czyli jedną z wersji mechaniki kwantowej. Szilárd w ciągu paru lat awansował na kolokwium z ostatniego rzędu do drugiego dzięki swoim błyskotliwym uwagom wygłaszanym w arogancki, choć zapewne i niepozbawiony wdzięku sposób, szybko przyzwyczajono się do jego sposobu bycia. Po habilitacji (dającej prawo nauczania) prowadził na uniwersytecie seminaria na temat nowej fizyki wymiennie ze Schrödingerem. Zaprzyjaźnił się też w Berlinie z Albertem Einsteinem, co oczywiście było raczej niezwykłe, biorąc dwadzieścia lat różnicy wieku, ówczesne zwyczaje i sławę Einsteina. W każdym razie młodszy uczony odprowadzał starszego spacerem do domu, bywał u niego na podwieczorkach, współpracowali także nad szeregiem patentów na lodówki oraz elektromagnetyczne pompy bez ruchomych części. Szilárd potrzebował pieniędzy i uważał zarabianie na patentach za formę zarobkowania dającą więcej niezależności niż etaty w instytucjach. Zgadzało się to z poglądami Einsteina, który będąc noblistą i członkiem Akademi Nauk, wciąż z sentymentem wspominał pracę w urzędzie patentowym i obawiał się, że uczony zmuszony do przedstawiania wciąż nowych wyników swej pracy („znoszenia złotych jaj”) łatwo się degeneruje w zwykłego wyrobnika. Lodówki ich pomysłu miały być bezpieczne, zdarzały się bowiem wówczas wypadki zatruć, nawet śmiertelnych, pod wpływem gazu wydobywającego się z nieszczelnej instalacji chłodniczej. Einstein przez większość życia pracował od czasu do czasu jako konsultant przemysłowy i technika była mu nieobca. Wspólnie z Szilárdem zgłosili trzynaście oryginalnych patentów (wniosków patentowych w różnych krajach było znacznie więcej). Zarobili też na nich trochę pieniędzy, mimo że nie weszły one do produkcji. Charakterystyczne jest, że Szilárd wykorzystywał znajomość z Einsteinem niemal wyłącznie w celach publicznych, nie do promowania swojej kariery. Einstein zresztą potrafił realistycznie oceniać walory naukowe ludzi i w przypadku Szilárda widział wybitną inteligencję, niezwykłą pomysłowość, lecz zarazem brak monotematyczności niezbędnej, aby stać się kimś w rodzaju Diraca czy Heisenberga. Wydaje się też, że po prostu młodszego kolegę lubił, Einstein miał słabość do ludzi, którzy nie pasują do ram instytucjonalnych, trochę nawiedzonych, potrafiących przejmować się abstrakcyjnymi ideami tak, jakby to były ich sprawy osobiste. Taki był np. Michele Besso, jego przyjaciel przez całe życie.

Od grudnia roku 1933 Szilárd zafiksowany był na idei jądrowej reakcji łańcuchowej. Impulsem miało być stwierdzenie Ernesta Rutherforda, że uzyskiwanie energii z reakcji jądrowych to czysta mrzonka. Rzeczywiście, reakcje jądrowe, jakie wówczas prowadzono na stołach laboratoryjnych, nawet jeśli były egzoenergetyczne (tzn. wydzielały więcej energii niż pochłaniały), nie mogły mieć zauważalnego wpływu na nic, gdyż odbywały się na małą skalę. Prawie nic nie wiedziano jednak o budowie jąder atomowych. Dopiero odkryty (w zespole Rutherforda) neutron zmieniał całkowicie możliwości fizyków i Szilárd zdał sobie z tego sprawę. Neutrony jako cząstki neutralne nie są odpychane przez jądra, mogą więc swobodnie do nich wnikać i wywoływać dalsze przekształcenia. Jeśli zaś wskutek reakcji wydzieli się energia oraz więcej neutronów, możemy mieć do czynienia z reakcją samopowielającą się – łańcuchową i potencjalnie niszczycielską. Szilárd proponował, by zbadać reakcje neutronów ze wszystkimi pierwiastkami z układu okresowego, ale nie udało mu się tego zorganizować. Niezależnie od niego, ale bez nadziei i obaw w związku z reakcją łańcuchową, taki program badań zrealizowała później grupa Fermiego w Rzymie. Szilárd myślał o reakcji łańcuchowej, lecz nie wiedział, gdzie jej szukać, odkryli ją Otto Hahn i Fritz Strassmann pod koniec 1938 roku, a ich wieloletnia współpracowniczka i od niedawna przymusowa emigrantka Lise Meitner wraz ze swym siostrzeńcem Robertem Frischem zrozumieli, co się naprawdę wydarzyło. Był początek 1939 roku, w ciągu tego roku rozpoczęła się druga wojna światowa, a wielu fizyków zrozumiało, że rozszczepienie uranu może być źródłem nowej i być może niszczycielskiej energii.

W Stanach Zjednoczonych Szilárd forsował badania nad reakcją łańcuchową, to on zainicjował słynny list Einsteina do prezydenta Franklina Delano Roosevelta w sprawie badań nad uranem. Próbował też innych sposobów dotarcia do ważnych postaci naukowych i politycznych, starając się im uświadomić, czym grozi broń jądrowa w rękach Hitlera. Stany Zjednoczone z początku nie brały udziału w wojnie i projekty szły opornie. Szilárd współpracował też z Enrico Fermim, przy czym była to współpraca wielce osobliwa. Węgier był skrajnym indywidualistą, rzucał nowe pomysły i potem ich nie rozwijał, stale też snuł jakieś plany organizacyjne i instytucjonalne, zapoznawał ludzi, którzy mogli się przydać w tych projektach. W ten sposób Szilárd poznał np. Lewisa Straussa, który zainteresował się promieniotwórczością, ponieważ jego rodzice zmarli na raka. Fermi trafił do Stanów Zjednoczonych po odebraniu Nagrody Nobla w 1938 roku (jego żona Laura była Żydówką, a w Italii właśnie wprowadzano ustawy rasistowskie za przykładem Niemiec). Włoch był niezwykle sumiennym badaczem, nie cierpiał pochopnego wyciągania wniosków i szybujący wciąż nad ziemią Szilárd był dla niego trudnym partnerem. Wspólnie jednak zaprojektowali pierwszy reaktor jądrowy, który grupa Fermiego wybudowała w Chicago. Szilárd nie brał udziału w ciężkiej i brudnej pracy układania stosu bloków uranu i grafitu, lecz krążył stale gdzieś w pobliżu, zasypując kolegów pomysłami, nie zawsze witanymi życzliwie. Wielką zasługą Szilárda było zorganizowanie odpowiednio dużych ilości uranu i grafitu. Do niego też należało drobne, lecz bezcenne spostrzeżenie, że grafit przemysłowy był zanieczyszczony borem i zamiast spowalniać neutrony, pochłaniał je silnie. Dopiero po oczyszczeniu nadawał się na moderator (czyli spowalniacz neutronów – powolne cząstki mają większą długość fali de Broglie’a i łatwiej trafiają w jądro atomowe, są efektywnie większe). W Niemczech nad problemem tym pracował Walter Bothe, znany fizyk doświadczalny, który ten fakt przeoczył i w rezultacie Niemcy nie zastosowali grafitu, lecz skoncentrowali się na ciężkiej wodzie, co zatrzymało skutecznie ich program jądrowy. Oczywiście, w czasie wojny nikt o tym nie wiedział.

Niezależny indywidualista Szilárd, ratujący świat wedle swego sumienia, nie pasował do armii. Nic więc dziwnego, że generał Groves, szef Projektu Manhattan, zaciekle z nim walczył i uważał go za co najmniej sabotażystę politycznego, a może i szpiega. (Sumiennego i zdyscyplinowanego Klausa Fuchsa, który rzeczywiście był szpiegiem w Projekcie Manhattan, nikt chyba nigdy nie podejrzewał i gdyby nie rozszyfrowane po latach depesze sowieckie Fuchs mógłby nadal pracować w Wielkiej Brytanii.) Mimo to Szilárda trudno było wygumkować podczas wojny, zbyt wysoko cenili go koledzy, udało się to dopiero po jej zakończeniu. M. in. dlatego uczony zajął się biologią, choć interesował się nią dużo wcześniej. Znów balansował wśród doraźnych projektów, grantów, bezpłatnych konsultacji, bez stałego mieszkania. Pierwszy stałe zatrudnienie uzyskał dopiero pod koniec życia w Instytucie Salka w La Jolla, instytucie, który pomógł zorganizować. Jego zdaniem nauka amerykańska była zanadto przejęta protestanckim kultem pracowitości: nieważne, co się robi, byle przez cały dzień. Twierdził, że Europa była pod tym względem lepsza, ponieważ nicnierobienie – byle tylko przyjemne – zawsze było tam uważane za godny szacunku sposób spędzania czasu. Cytował Henri Poincarégo, który mawiał, że rolą nauki nie jest zapewnianie nam posiłków, lecz chronienie nas przed nudą pomiędzy posiłkami. „Najważniejszą rzeczą, o której trzeba pamiętać w nauce, jest to, że ma przynosić radość. Nauka uprawiana przez kogoś nie staje się pierwszorzędna tylko dlatego, że przynosi radość jej twórcy, ale jeśli nie sprawia mu ona radości, to z konieczności musi być drugorzędna”.

Sprawa Oppenheimera (1942-1954)

Let me here remind you that the essence of dramatic tragedy is not unhappiness. It resides in the solemnity of the remorseless working of things. This inevitableness of destiny can only be illustrated in terms of human life by incidents which in fact involve unhappiness. For it is only by them that the futility of escape can be made evident in the drama. This remorseless inevitableness is what pervades scientific thought. The laws of physics are the decrees of fate.

„… istotą [greckiej] tragedii nie jest nieszczęście. Istotą jej jest powaga bezlitosnego działania rzeczy. W kategoriach życia ludzkiego nieuchronność przeznaczenia ilustrować mogą jedynie przypadki, które w rzeczywistości pociągają za sobą nieszczęście. Bowiem tylko w ten sposób można w dramacie ukazać daremność ucieczki. Myśl naukową przenika taka właśnie bezlitosna konieczność. Prawa fizyki to wyroki losu.” [A.N. Whitehead, przeł. M. Kozłowski, M. Pieńkowski]

Żyjemy w pożyczonym czasie. Wystarczy odrobina szaleństwa po którejś stronie Atlantyku i w ciągu paru godzin z Ameryki Północnej, Europy od Lizbony po Ural i jeszcze dalej zostaną radioaktywne zgliszcza. Pewnie ludzkość by to przetrwała jako gatunek biologiczny, może Chiny mogłyby wreszcie zapanować nad światem, jak marzy się Generalnemu Sekretarzowi Xi. Byłoby to jednak ponure zwieńczenie czterech wieków nauki nowożytnej: od Keplera i Galileusza do Feynmana, Weinberga, Salama, Glashowa, Grossa, Politzera, Wilczka i ‚t Hoofta. Zbudowanie i użycie bomby atomowej stało się symbolicznym początkiem ery nuklearnej, a także początkiem Stanów Zjednoczonych w roli supermocarstwa dominującego w światowej polityce. Jak do tej pory pierwotny zamysł, aby wyprodukować tę potworną broń szybciej, niż zrobią to naziści/komuniści, sprawdził się. Gdyby nie militarna dominacja Stanów Zjednoczonych, broni jądrowej użyto by już dawno na mniejszą albo raczej na większą skalę.

Znakomity film Christophera Nolana przypomniał dramat Roberta Oppenheimera, jednego z bohaterów amerykańskiej wyobraźni. Nie sądziłem, że można zrobić wysokobudżetowy film dla masowej widowni, upraszczając tak niewiele i wkładając tak wiele informacji historycznej i psychologicznej. (Wątek Einsteina brzmiał dość fałszywie: nikt by się nie zwracał do Einsteina w sprawie obliczeń Hansa Bethego dotyczących fizyki jądrowej, jeśli już to do Fermiego czy Szilarda; prawdziwe natomiast jest to, że Einstein niezbyt rozumiał, czemu Oppenheimer daje się upokarzać jakimś komisjom, jeśli nie musi. On sam nie wierzył w państwo jako instytucję, nie miał zbyt wielu złudzeń, choć uważał państwo amerykańskie za znacznie lepsze od swoich ojczystych Niemiec. Dlatego zresztą nawet nie myślał o powrocie do Niemiec po wojnie. Nb. ci agenci FBI grzebiący w śmieciach i podsłuchujący telefony to była rzeczywistość nie tylko Oppenheimera, ale i Einsteina, choć ten żadnych „tajemnic atomowych” nie znał ani nie chciał znać.)

Sprawa Oppenheimera była z pozoru intrygą biurokratyczną: wyznaczona arbitralnie komisja, działająca w sposób inkwizytorski, odmówiła uczonemu certyfikatu dostępu do tajemnic wojskowych i państwowych. W ten sposób jeden z największych patriotów amerykańskich odsunięty został od wpływu na decyzje w sprawach broni nuklearnej. W roku 1954 był to szok dla opinii publicznej, Oppenheimer znany był bowiem jako dyrektor programu budowy bomby atomowej w Los Alamos, jego sława przyćmiła nawet Einsteina. Zbombardowanie Hiroszimy i Nagasaki przyspieszyło kapitulację Japonii i koniec wojny, tak przynajmniej powszechnie wierzono. Oppenheimer stał się ikoną życia publicznego, twarzą amerykańskiej nauki, wierzono, że jest supergeniuszem. Nie był nawet szeregowym geniuszem, lecz umiejętnie kierował ludźmi od siebie znacznie wybitniejszymi, jak Isidor Rabi, Hans Bethe, Enrico Fermi, Richard Feynman, Rudolf Peierls, John von Neumann, Stanisław Ulam, a także Edward Teller – enfant terrible Programu Manhattan, obsesyjny zwolennik broni termojądrowej, chimeryczny i paranoiczny węgierski teoretyk niepasujący do żadnego zespołu ludzi, pełen jednak pomysłów, których ogromna większość była do niczego, ale kilka okazało się dobrych. W Projekcie Manhattan Teller był na uboczu, snując wizje broni termojądrowej.

Aż do roku 1951, do projektu Tellera-Ulama, bomba termojądrowa była tylko umykającym marzeniem Tellera bez realnej nadziei na sukces. Koła wojskowe naciskały, by realizować ten projekt nawet kosztem realnego programu budowy bomb rozszczepialnych. Nie chodziło tylko o podział wydatków, ale i decyzje, co produkować w reaktorach: więcej plutonu do bomb rozszczepialnych, czy trytu do superbomby Tellera. Decyzja polityczna podjęta została w roku 1949, gdy nie było żadnego realnie działającego pomysłu bomby termojądrowej. To, że gwiazdy potrafią syntetyzować wodór w hel, jest wskazówką niezbyt pomocną z technicznego punktu widzenia. Wiadomo było, że należy jakoś wykorzystać wybuch bomby rozszczepialnej, by stworzyć ekstremalnie wysoką temperaturę potrzebną do rozpoczęcia syntezy jąder. Jak jednak sprawić, żeby doszło do podtrzymującej się reakcji, zanim energia wybuchu rozproszy się w otoczeniu, nikt nie wiedział. Oppenheimer nie był entuzjastą superbomby z tego i z innych powodów. Zapowiadało się, że będzie to konstrukcja gigantyczna. Trzeba by ją wozić wołami na miejsce wybuchu, pierwsza amerykańska bomba Ivy Mike to było całe laboratorium z ciekłym deuterem wysadzone zdalnie w powietrze, nie było mowy o transportowaniu tego w całości w bezpieczny sposób nawet na okręcie. Istniała też wątpliwość strategiczna: czy wojsko może sensownie użyć bomby niszczącej nie tylko jedno miasto, ale i cały kilkudziesięciokilometrowy okręg wokół tego miasta. To jest niewątpliwie broń masowego ludobójstwa, żadne cele militarne tego nie usprawiedliwiają. Stanowisko Oppenheimera nie było zresztą pacyfistyczne, przeciwstawiał się on raczej entuzjastycznej postawie kół wojskowych, które sprowadzały rzecz do tego, kto będzie miał silniejsze bomby, nie wątpiąc ani na chwilę, że zawsze będą to Amerykanie. To się nie sprawdziło. Rosjanie mieli fizyków i zasoby, żeby zbudować sobie taką broń. Korzystali z informacji szpiegowskich, ale i bez nich historia wyglądałaby tak samo, dwa lata wcześniej, czy później nie miało tu żadnego znaczenia.

Oppenheimer miał przeciwników i wrogów. Teller doszukiwał się wpływów Oppenheimera w każdej decyzji, która była nie po jego myśli. Kompleks niższości wobec Oppenheimera żywił Lewis Strauss, sprzedawca butów, który dorobił się milionów na inwestycjach i po wojnie został admirałem, choć przesiedział ten okres w biurach zaopatrzenia (złośliwi nazywali go „admirałem holowników”). Strauss  pełnił różne funkcje w administracji waszyngtońskiej i szczerze znienawidził Oppenheimera za arogancję, co racjonalizował w podejrzeniach o szpiegostwo (składał też donosy, że Oppenheimer nie rozlicza się uczciwie z powierzonych funduszy). Rozpowiadał też, że Oppenheimer miał romans z Ruth Tolman, żoną znakomitego fizyka Richarda Tolmana z Caltechu i że sprawa ta przyspieszyła śmierć Richarda, co było paskudną plotką. Strauss nie dość, że nie skończył szkoły średniej i pieniądze miał w pierwszym pokoleniu, był bardzo religijnym Żydem i ktoś taki jak Oppenheimer: bogaty od urodzenia, właściciel van Goghów i Corotów, znający się nie tylko na kwestiach naukowych, ale i na sztuce, literaturze, w dodatku podobający się kobietom, będący w jego pojęciu niemoralnym ateistą, zdrajcą swej religii i tradycji, niemal na pewno był sowieckim szpiegiem. Gdzieś w ukryciu był J. Edgar Hoover, szef FBI, który śledził wszystkich, marzył, aby odebrać obywatelstwo amerykańskie Einsteinowi (za rzekomą działalność komunistyczną) i miał na oku na Oppenheimera jeszcze od lat czterdziestych. Gotów był zaakceptować i prowadzić każdy wątek w tym śledztwie: nawet podejrzenie, że uczony był homoseksualny (nie był; to Hoover był homoseksualistą, do czego zgodnie z ciągle żywą prawicową tradycją nigdy się nie przyznał).

Strauss jako przewodniczący Komisji Energii Atomowej (AEC) postanowił odebrać Oppenheimerowi poświadczenie bezpieczeństwa. Wygasało ono wprawdzie automatycznie w połowie roku 1954, chodziło jednak o to, by odebrać je wcześniej i upokorzyć uczonego. Oznaczało to także, że Oppenheimer nie będzie konsultantem nie tylko w AEC, ale i we wszystkich agencjach i komitetach rządowych. Skład trzyosobowej specjalnej komisji prowadzącej postępowanie (Personnel Security Board, PBS) w sprawie poświadczenia bezpieczeństwa wybrał Strauss, on także wybrał prawnika prowadzącego postępowanie, agresywnego specjalistę od przesłuchań Rogera Robba. FBI zapewniła podsłuchy codziennych konsultacji Oppenheimera i jego prawników, tak że Strauss na bieżąco kontrolował przebieg postępowania, znając rozmowy i nastroje strony przeciwnej. Przygotowywał też świadków, np. Edward Teller powtórzył tylko przed komisją to, co wcześniej uzgodnił ze Straussem. Obrona nie miała dostępu do tajnych materiałów, Robb mógł więc łapać Oppenheimera na nieścisłościach w jego wypowiedziach sprzed dwunastu lat podsłuchanych przez FBI. Uczonemu nie udostępniono tych taśm, musiał więc wierzyć na słowo, że mówił to, co mówił.

Oppenheimer miał polityczną przeszłość, która mobilizowała agentów do grzebania w poszukiwaniu podejrzanych kontaktów. W latach trzydziestych i na początku czterdziestych wśród jego znajomych, studentów, doktorantów, przyjaciół i kochanek pełno było komunistów. Członkiem partii komunistycznej był także jego młodszy brat Frank. Do dziś spekuluje się, czy Robert Oppenheimer był członkiem partii komunistycznej, czy nie. Jest to trochę talmudyczna dyskusja, rozstrzygnęłoby ją może dopiero znalezienie legitymacji członkowskiej Oppenheimera. Bez wątpienia sympatyzował z lewicą, ale w Kalifornii przed wojną nie musiało to oznaczać działania na rzecz państwa sowieckiego. Oppenheimer, podobnie jak Jean Tatlock, jego kochanka, córka profesora literatury w Berkeley, byli raczej kawiorową lewicą, ludźmi uprzywilejowanymi, którzy nie chcieli, aby te przywileje dostępne były jedynie wybrańcom losu. Kto nie był za młodu lewicowy, ten na starość staje się świnią. Nie było nigdy dowodów, aby Robert Oppenheimer był lojalny wobec jakiegokolwiek innego państwa poza swoim własnym. Czuł się stuprocentowym amerykańskim patriotą i pragnął pomóc własnemu krajowi, a także światu, wygrać wojnę światową. Rosjanie aż do końca wojny byli zresztą sojusznikami Zachodu – z tego powodu nie można było skazać Klausa Fuchsa na więcej niż czternaście lat, jego szpiegostwo nie dotyczyło bowiem kraju wrogiego.

W roku 1954 nie było żadnych informacji, które nie byłyby znane w roku 1947, kiedy to przedłużono Oppenheimerowi dostęp do tajemnic. Wcześniej oczywiście był projekt Manhattan, wtedy pomimo zastrzeżeń służb generał Leslie Groves zadecydował, że uczony ma otrzymać poświadczenie bezpieczeństwa, ponieważ jest zbyt ważny dla całego programu. Groves miał rację, bez Oppenheimera, który potrafił zmotywować swoim entuzjazmem i zaangażowaniem wszystkich pracujących nad projektem, od noblistów i przyszłych noblistów aż po sekretarki i kobiety zatrudnione do obliczeń na arytmometrach jako „human computers”, Projekt Manhattan nie powiódłby się w tak krótkim czasie. Pod koniec prac Oppenheimer ważył 52 kg przy wzroście 178 cm. Udało się jednak w ciągu dwóch lat zaprojektować i zbudować nie jeden, ale dwa rodzaje bomb rozszczepialnych: uranową i plutonową. Przy czym w przypadku tej drugiej trudności techniczne były ogromne i jeszcze pod koniec roku 1944 nie było pewności, czy się uda. Pluton jest bowiem najpierw ściskany energią implozji, co zapoczątkowuje reakcję łańcuchową. Jak na ironię, mechanizmami implozji zajmował się m.in. Klaus Fuchs, niemiecki fizyk, który dołączył do programu ze strony brytyjskiej. Był ważnym członkiem zespołu, zaraz po wojnie wraz z Johnem von Neumannem zgłosił tajny patent na zapłon reakcji termojądrowej za pomocą implozji materiału rozszczepialnego – był to już wstęp do prac nad bombą termojądrową. Fuchs uchodził za jednego z najzdolniejszych teoretyków w projekcie Manhattan. Nikt się nie domyślał, że ma jedną wadę: jest fanatycznym komunistą i przekaże informacje Sowietom. Oczywiście służby wytrwale szczekały nie pod tym drzewem. Identyfikacja Fuchsa okazała się możliwa dopiero po wojnie dzięki projektowi Venona, wytrwałej pracy nad rozszyfrowywaniem sowieckich depesz. Sukces ten był głównie dziełem kobiet zatrudnionych w tym żmudnym projekcie, a nie dzielnych agentów FBI podsłuchujących i śledzących podejrzane kontakty lewicowych uczonych.

Komisja drążyła głównie dwie kwestie: wątek Eltentona i niechętny stosunek do superbomby. Ten pierwszy problem stworzył sobie sam uczony, informując w połowie roku 1943 służby wojskowe, że niejaki George Eltenton, inżynier pracujący w Shell Oil, w imieniu Rosjan próbował szukać kontaktu z uczonymi związanymi z programem atomowym. Oppenheimer mówił o trzech takich próbach i nie chciał wymienić żadnych nazwisk. Służby, zarówno wojskowe, jak i FBI,  przez następne lata bezskutecznie próbowały ustalić, kto był tym pośrednikiem i do kogo się zwracano. Ostatecznie okazało się, że chodziło jeden taki przypadek, o rozmowę w kuchni między Oppenheimerem a Haakonem Chevalierem, profesorem romanistyki z Berkeley. Chevalier poinformował Oppenheimera, że Eltenton ofiarowywał się jako pośrednik w przekazaniu informacji o programie Rosjanom. Oppenheimer uciął rozmowę, uważając, że byłaby to zdrada. Nie wydarzyło się nic więcej. Wzmianka o trzech osobach była niepotrzebnym kłamstewkiem, mającym zapewne odwrócić uwagę od faktu, że chodziło o samego Oppenheimera. Epizod ten wydarzył się na początku roku 1943, kiedy było bardzo niewiele „tajemnic atomowych”, nie powstał jeszcze ośrodek w Los Alamos, nie zaczęła się na serio praca nad rozdzielaniem izotopów uranu, zaledwie miesiąc wcześniej zaczął działać eksperymentalny reaktor jądrowy w Chicago. Naiwność/głupota Oppenheimera sprawiła, że epizod z Chevalierem znalazł się w polu zainteresowania służb. Wracano do tego w trakcie projektu Manhattan, a także po wojnie. Sprawę tę rozdęto do ponadnaturalnych rozmiarów w roku 1954, uznając, że świadczy o niefrasobliwym podejściu do kwestii bezpieczeństwa. Innym argumentem było spotkanie z Jean Tatlock w roku 1943, które dla śledzących uczonego agentów było co najmniej podejrzane, Tatlock była bowiem komunistką i w spotkaniu tym upatrywano potencjalnego kontaktu z Rosjanami. W rzeczywistości w tym czasie Tatlock nie interesowała się polityką, była lekarzem-psychiatrą i cierpiała na depresję. Niedługo później popełniła samobójstwo i nie miało to nic wspólnego z polityką, lecz najprawdopodobniej z jej orientacją seksualną (nawet lekarze sądzili wówczas, że homo czy biseksualizm jest chorobą). Wyciągnięto ten epizod prawdopodobnie także dlatego, żeby w trakcie przesłuchań dowiedziała się o nim Kitty Oppenheimer, żona uczonego, może liczono na to, że rozgniewana tymi rewelacjami ujawni coś kompromitującego na temat męża. Oppenheimer rzeczywiście kręcił w sprawie Eltentona, choć trzeba też stwierdzić, że to przez jego skrupuły zaistniał cały ów problem. Gdyby Oppenheimer nie wspomniał o Eltentonie, służby nic by o tym epizodzie nie wiedziały. Uczony chciał zapewne chronić tożsamość Chevaliera, ale później, pod naciskiem wyjawił nazwisko Chevaliera Grovesowi, a w 1946 roku FBI. Chevalier stracił posadę w Kalifornii i po kilku latach życia na marginesie udało mu się wyjechać do Francji (miał także obywatelstwo francuskie).

Niechętny stosunek do superbomby dziś brzmi raczej jak głos rozsądku. W tamtym czasie wojsko chciało mieć wszystko atomowe: samoloty, statki, działa. Chciano zarazem silniejszych bomb, ale i słabszych, które mogłyby się przydać na froncie. Lotnictwo uważało, że Oppenheimer działa na rzecz marynarki, twierdząc, iż nie będzie samolotów z napędem nuklearnym. W ogóle armia amerykańska była cichym uczestnikiem tego postępowania przeciwko Oppenheimerowi, o czym film Nolana prawie nie wspomina. Warto też pamiętać, że Oppenheimer po wojnie i po Hiroszimie nie był jakimś nawiedzonym pacyfistą, który chciał z wujkiem Stalinem pod rękę zaprowadzić wieczny pokój. Zdawał sobie sprawę, jak wygląda reżim sowiecki, jego bliskim przyjacielem był George Kennan, architekt zimnej wojny. Starał się jednak szukać szansy na powstrzymanie wyścigu zbrojeń, może naiwnie, ale wojny nuklearnej powinniśmy się obawiać także i dziś (co  wcale nie znaczy, iż należy np. ustępować przed rosyjskim szantażem). Podejście uczonego do spraw broni nuklearnej było złożone, zmieniało się też z czasem i sytuacją. Ktoś napisał, że film „Oppenheimer” pokazuje, iż łatwiej być fizykiem niż politykiem. Cóż, i tak, i nie. Obie dziedziny niosą inny rodzaj trudności. Uczony wiedział, jak trudno być naprawdę twórczym fizykiem: znał Heisenberga, Pauliego, Bohra, Fermiego, Diraca i musiał czuć się przy nich chwilami jak Strauss przy Oppenheimerze. Był za inteligentny na to, żeby nie dostrzegać różnicy między kimś wszechstronnie uzdolnionym a geniuszem. Polityka jest sztuką zarządzania ludźmi i ich emocjami, co może wydawać się czasem trudniejsze niż powstrzymanie reakcji łańcuchowej w uranie. Z pewnością Oppenheimer nie był człowiekiem prostym i politycznie naiwnym, ale nie był też cynikiem i dlatego całe to dochodzenie w sprawie dostępu do tajemnic złamało go. Wynikiem postępowania nie było zresztą odebranie głosu fizykom, ale oddanie go Edwardowi Tellerowi, też fizykowi, tyle że dość paranoidalnemu. Oppenheimer wycofał się z życia publicznego, pilnował się, żeby nie wypowiadać się na żadne drażliwe tematy. Jego przeciwnicy sądzili, że może uciec do Związku Sowieckiego, choć jemu nawet Europa zachodnia wydawała się obcym światem, mimo tego, że znał języki, literaturę, miał przyjaciół.

Być może w naturze ludzkiej leży, by nie rezygnować ze zdobycia tego, co jest możliwe, nawet gdy czujemy, jakie to niebezpieczne. Oppenheimer miał daleko posunięte upodobanie do sytuacji granicznych i niebezpiecznych. Ludzie, którzy jeździli z nim po Nowym Meksyku konno, wspominali to często jako doświadczenie ekstremalne. Koń Oppenheimera nauczony był kłusować tak, aby zawsze tylko jednym kopytem dotykać ziemi, dzięki czemu i on, i jeździec radzili sobie w najtrudniejszym terenie, w nocy, podczas burzy. Być może ludzkość skazana jest na najgorsze, na rządy kolejnych wujków Stalinów i Putinów, paranoicznych miłośników tajnych służb i realpolitik, ale może jednak jest jeszcze jakaś nadzieja, że nie tylko złe prognozy muszą się spełniać.

 

 

Christiaan Huygens o załamaniu światła w atmosferze

W swym Traktacie o świetle Huygens zajmuje się także kwestią rozchodzenia się światła po liniach krzywych. Najbardziej znanym przypadkiem jest tu refrakcja astronomiczna: dzięki załamaniu w atmosferze ciała niebieskie wydają się nieco wyżej niż gdyby atmosfery nie było. Efekt rośnie wraz ze zbliżaniem się do horyzontu, spłaszczony kształt dysku Słońca lub Księżyca pochodzi właśnie stąd: dolna krawędź dysku podniesiona jest bardziej niż górna i widzimy owal. Samo Słońce jest wtedy już pod horyzontem i widzimy je tylko dzięki zakrzywieniu promieni w atmosferze. Astronomowie znali i mierzyli ten efekt od dawna, a od czasów Tychona Brahego jego wielkość znana była dość dokładnie.

Wielkość refrakcji podana jest w minutach kątowych, obserwowana wysokość ciała niebieskiego w stopniach. Dane Tychona zestawione na wykresie z pracy: Waldemar H. Lehn, Siebren van der Werf, Atmospheric refraction: A history, „Applied Optics”, t. 44, (2005), s. 5632. Tycho niepotrzebnie podawał inne wartości dla Słońca i gwiazd, częściowo za tę różnicę odpowiadała przyjmowana wtedy błędna (o wiele za duża) wartość paralaksy Słońca. Dla ciał niebieskich położonych względnie wysoko nad horyzontem efekt zależy jedynie od współczynnika załamania światła w atmosferze na poziomie obserwatora względem próżni.

Z obrazka widzimy, że bez względu na liczbę płaskorównoległych warstw powietrza otrzymamy dla ostatniej z nich równość

gdzie jest kątem refrakcji. Korzystając ze wzoru na sinus sumy kątów i faktu, że dla małych kątów oraz , otrzymujemy

Potrzebujemy znać jedynie współczynnik załamania powietrza względem próżni na wysokości obserwatora, co jest stosunkowo łatwe. Isaac Newton podawał wartość zmierzoną przez Francisa Hauksbeego. Oczywiście, wyrażenie to nie może być słuszne dla kątów bliskich , bo funkcja tangens jest w tym punkcie rozbieżna. Model warstw płaskorównoległych nie wystarczy, trzeba uwzględnić zakrzywienie Ziemi i zależność współczynnika załamania od wysokości.

Huygens podał wyjaśnienie krzywoliniowego rozchodzenia się światła w swojej teorii.

Jeśli prędkość fali świetlnej maleje z wysokością, promień będzie poruszał się po linii zwróconej wypukłością do góry, jak na rysunku. (Musimy pamiętać, że promień światła jest prostopadły do powierzchni czoła fali.) Łatwo też sobie wyobrazić, co stanie się, gdy prędkość światła będzie rosnąć przy ziemi – wtedy promień zakrzywi się wypukłością w dół. Sytuacja taka odpowiada mirażom np. nad rozgrzaną powierzchnią drogi.

Huygens nie rozwijał ilościowo teorii możliwych krzywych, przedstawił natomiast rysunek sytuacji z punktu widzenia teorii falowej.

 

Mamy tu falę płaską biegnącą z prawa na lewo. AFHB stanowi czoło fali w pewnej chwili. W chwili późniejszej czoło fali KL będzie obwiednią fal sferycznych rozchodzących się ze starego czoła fali. Odległość AK jest większa niż BL, ponieważ prędkość fali rozchodzącej się z A jest większa niż prędkość fali rozchodzącej się z B. W chwili następnej utworzy się czoło fali MN jeszcze bardziej zakrzywione w stronę malejącej prędkości rozchodzenia.

Huygens nie rozwinął tego tematu dalej, prawdopodobnie chodziło mu tylko o pokazanie, w jaki sposób można by tego dokonać. Jego rozumowanie jest słuszne, praktycznie tak samo ponad dwa wieki później Einstein pokazał, jak światło powinno się zakrzywiać w polu grawitacyjnym (co także sprowadza się do zmiany współczynnika załamania albo efektywnej prędkości fali, tym razem w pobliżu Słońca).

Zobaczmy, jak Huygens mógłby bez trudu skonkretyzować swoją teorię rozchodzenia się światła w atmosferze. Zacznijmy od jego rysunku.

Widzimy z niego, że kąt odchylenia czoła fali jest równy

Krzywizna promienia światła, czyli odwrotność promienia krzywizny jest równa

Gdy promień biegnie pod kątem do zenitu, możemy zastąpić przez różnicę wysokości . Promień krzywizny promienia świetlnego jest wówczas równy

 

Dla atmosfery płaskiej Ziemi, złożonej z warstw płaskorównoległych, prawo załamania oznacza, że stosunek jest stały wzdłuż promienia. Najprostszą sytuację otrzymamy, gdy prędkość światła rośnie liniowo z wysokością. W takim przypadku krzywizna promienia jest stała, co oznacza, że jest on łukiem okręgu o promieniu .

Tory promieni świetlnych nad powierzchnią płaskiej Ziemi są wówczas łukami okręgów o środkach położonych na poziomie odpowiadającym . Oczywiście, taki model jest pewną matematyczną fikcją, choć Huygens gdyby chciał, mógłby oszacować promień krzywizny. W przypadku promienia biegnącego poziomo nad powierzchnią Ziemi w przypadku atmosfery izotermicznej otrzymuje się . Przy pewnych warunkach, gdy temperatura spada około 1°C na 10 m, promień krzywizny promienia świetlnego staje się równy promieniowi Ziemi i promienie światła mogą biec praktycznie równolegle do powierzchni naszej planety. Zjawisko takie obserwowano czasem w Arktyce. Uwzględnienie zależności prędkości światła od gradientu temperatury była jednak zdecydowanie poza zasięgiem możliwości Huygensa, jak i kogokolwiek w tamtych czasach. Pamiętajmy, że nasze skale temperatur pochodzą z XVIII wieku, a równanie stanu gazu doskonałego z początku wieku XIX.

W teorii Huygensa współczynnik załamania oznacza, że prędkość fali jest razy mniejsza niż w próżni. Na przeszło sto lat wygrała inna teoria światła, wysunięta przez Newtona, w której współczynnik załamania jest proporcjonalny do prędkości cząstek światła. Newton przedstawił też niemal doskonałą teorię refrakcji astronomicznej.

Pierre Fermat: zasada najmniejszego działania dla światła (1657-1662)

Greccy geometrzy zauważyli, że światło biegnie po najkrótszej drodze, i to zarówno wtedy, gdy porusza się prostoliniowo między dwoma punktami (np. A i C), jak i wówczas, gdy po drodze odbija się od zwierciadła, biegnąc po łamanej ABC. Najkrótszej drodze odpowiada prawo odbicia: kąt odbicia równy jest kątowi padania.

Rozumowanie z rysunku znajdujemy u Herona z Aleksandrii w jego Katoptryce (czyli optyce zwierciadeł). Jeśli punkt A odbijemy symetrycznie w płaszczyźnie zwierciadła (prostopadłej do rysunku), otrzymujemy A’. Drogi A’B i AB są więc równe. Zamiast ABC możemy rozpatrywać A’BC. Dowolna łamana AXC ma taką samą długość, jak A’XC. Ponieważ każda łamana biegnąca od A’ do C jest dłuższa niż odcinek prostej, więc najkrótsza droga równa jest ABC i punkt B leży wówczas na odcinku A’C. Łatwo widać, że dla takiej drogi kąt odbicia równa się kątowi padania.

W roku 1657 Pierre Fermat, radca parlamentu (czyli sądu) w Tuluzie, otrzymał w prezencie książkę poświęconą światłu.

Jej autorem był Marin Cureau de La Chambre, lekarz, do którego nastoletni Ludwik XIV, przyszły Król-Słońce miał ogromne zaufanie. Fermat, urzędnik królewski, czuł się w obowiązku zajrzeć do książki doradcy tak uczonego i ustosunkowanego na dworze (zręczność dyplomatyczną autora widać i w tym, że na karcie tytułowej jego własne nazwisko złożone jest znacznie mniejszą czcionką niż nazwisko potężnego kardynała Mazarin). Książka zawierała dowód Herona. Cureau de La Chambre zwracał też uwagę, że gdy światło się załamuje, przebywana przez nie droga już nie jest najkrótsza.

Droga ABC jest oczywiście dłuższa niż ADC na rysunku. Fermat znał, jak wszyscy, prawo załamania (prawo Snella), opublikowane przez Kartezjusza w 1637 roku. Nie zgadzał się jednak z fizycznym wyprowadzeniem tego prawa, niezbyt wierzył chyba w te wszystkie niewidzialne cząstki rozmaitych kształtów i wielkości, które miały się ze sobą zderzać i na siebie napierać, tłumacząc absolutnie wszystko: od ruchu planet i optyki, po magnetyzm i ciężkość ciał. Jako matematyk szukał wyjaśnienia elegantszego i mniej uwikłanego w trudne do sprawdzenia przesłanki. Gdyby przyjąć, że w gęstszym ośrodku światło napotyka większy opór, to należałoby drogę w ośrodku liczyć np. podwójnie. A więc nadal można podejrzewać, że światło wybiera najłatwiejszą drogę. Należałoby jednak minimalizować nie sumę dróg, lecz pewną ich kombinację, np. AB+2BC. Gęstszemu ośrodkowi odpowiadałby większy współczynnik: wyglądało to rozsądnie, gdyż u Kartezjusza światło miało „większą siłę” w ośrodku gęstszym, co nie jest zbyt intuicyjne (ani zrozumiałe). Nie chcąc wdawać się w spory na temat natury światła, Fermat unikał mówienia o jego prędkości – bowiem zdaniem kartezjan oraz Cureau de La Chambre światło rozchodzi się momentalnie. Sporów z kartezjanami, uczniami mistrza, nie uniknął, podobnie jak dwadzieścia lat wcześniej z ojcem-założycielem tej sekty filozoficznej. Fermat znany był z wysuwania twierdzeń, których nie chciało mu się albo których nie potrafił dowieść, słynnym przykładem jest jego Wielkie Twierdzenie udowodnione pod koniec XX wieku. Także i tym razem niezbyt chętnie brał się do sprawdzenia, czy rzeczywiście światło podlega zasadzie najmniejszego działania. Miał własną metodę szukania ekstremum, dość toporną z dzisiejszego punktu widzenia, zastąpioną później przez obliczanie pochodnych. W wersji Fermata prowadziła ona do długich rachunków, ale w pierwszym dniu nowego roku 1662 zakomunikował Cureau de La Chambre, że obliczenia się udały i prowadzą do znanego prawa załamania. Niemal pięcioletnie opóźnienie między wysunięciem twierdzenia a zbadaniem jego konsekwencji tłumaczył Fermat dwiema przeszkodami: po pierwsze, nie był całkiem pewien, jak należy sformułować zasadę minimum i czy prawo Snella jest ściśle słuszne. Drugą przeszkodą była, typowa dla matematyków, niechęć do długich rachunków. W tym przypadku w grę wchodziły cztery odcinki, a więc cztery pierwiastki z sumy kwadratów współrzędnych. „Obawa, że po długich i trudnych rachunkach dojdę do jakiejś fantastycznej i nieregularnej proporcji oraz moja naturalna skłonność do lenistwa pozostawiły rzecz w tym stanie aż do ostatniego napomnienia, którego udzielił mi w pańskim imieniu pan przewodniczący de Miremont. (…) Nagroda za tę pracę okazała się zupełnie nadzwyczajna, niespodziewana i szczęśliwa. Kiedy bowiem przebrnąłem przez wszystkie równania, mnożenia, antytezy i inne operacje, jakich wymaga moja metoda (…) stwierdziłem, że moja zasada daje dokładnie tę samą proporcję załamania, jaką ustalił pan Descartes. Tak bardzo zaskoczył mnie ten niespodziewany wynik, że z trudem mogłem dojść do siebie. Wiele razy powtórzyłem różne operacje algebraiczne, otrzymując stale ten sam wynik, choć moje rozumowanie zakłada, iż przejście światła przez gęste ciała jest trudniejsze niż przez rzadkie, co uważam za prawdziwe oraz niewątpliwe, niemniej jednak pan Descartes zakłada coś przeciwnego”.

Fermat zakłada więc, że nie suma dróg musi być minimalna, lecz suma ich kombinacji liniowych , gdzie jest współczynnikiem załamania drugiego ośrodka (względem pierwszego). Łatwo widać, że jeśli przyjmiemy za prędkość światła w drugim ośrodku wielkość (gdzie jest prędkością w ośrodku pierwszym), to można tę zasadę sformułować jako zasadę najkrótszego czasu:

Fermat dumny był z otrzymania eleganckiego wyniku, lecz kartezjanie uważali go za ciekawostkę matematyczną, a nie zasadę odnoszącą się do światła. Zasada Fermata nabrała sensu dopiero dla Christiaana Huygensa, który światło uznawał za rozchodzące się zaburzenie eteru, coś w rodzaju fali nieokresowej, jak np. fala uderzeniowa. Wiedział on już, że prędkość światła jest skończona. Huygens przedstawił też elegancki dowód, że zasada Fermata prowadzi do prawa załamania Snella. Jest on wyraźnie prostszy niż obliczenie Fermata – zwykle udaje się uprościć rozumowanie, kiedy już wiadomo, dokąd prowadzi.

Porównujemy rzeczywisty bieg promienia światła ABC z fikcyjnym AFC. Budujemy prostokąt AOHB, mamy w ten sposób pewność, że . Na BC opuszczamy prostopadłą GF z punktu G. Z prawa załamania mamy

Zachodzą też nierówności

Dodając te nierówności stronami, otrzymujemy:

Zmieniając nieco nasz rysunek, możemy zrozumieć przyczynę prawa załamania dla fal. Linie AA’ oraz BH to czoła fali w pierwszym ośrodku, GF oraz CC’ to czoła fali w drugim ośrodku. W czasie potrzebnym na przejście odległości HF w pierwszym ośrodku, w drugim fala przejdzie odległość BG.

Zatem stosunek obu odległości równy jest

Bezpośrednie wyjaśnienie zasady Fermata daje nam mechanika kwantowa albo falowa teoria światła: faza światła zależy od czasu. W sąsiedztwie ekstremum fazy zmieniają się bardzo powoli i rezultatem jest silna fala wypadkowa.

Warto może przytoczyć dzisiejszą wersję obliczeń Fermata. Jest ona banalna, co nie oznacza, że jesteśmy mądrzejsi od Fermata, ale że mamy lepsze techniki rachunkowe. Pojawiły się one już kilka lat później w rękopisach Isaaca Newtona, które niewielu widziało, a później w 1684 roku w pierwszej publikacji Leibniza na temat rachunku różniczkowego. Metoda Fermata przekształciła się w algorytmy, do których stosowania wcale nie potrzeba inteligencji, z powodzeniem robią to dziś programy w rodzaju WolframAlpha itp.

Wielkość, którą mamy zminimalizować, ma postać:

Szukamy ekstremum tej funkcji, przyrównując jej pochodną do zera:

Łatwo spostrzec, patrząc na rysunek, że pierwszy składnik równy jest , a drugi , skąd otrzymujemy prawo Snella.

Huygens w Londynie i spotkania z Newtonem (1689)

Pod koniec roku 1688 wojska niderlandzkie pod wodzą Wilhelma Orańskiego wylądowały w Anglii, dokonując przewrotu zwanego Wspaniałą Rewolucją. Stadhouder Niderlandów Wilhelm ożeniony był z Marią, córką króla Jakuba II, był też siostrzeńcem króla, który zdaniem większości poddanych prowadził Anglię ku katolicyzmowi, sojuszowi z Francją i zgubie. Dlatego wezwano na pomoc Wilhelma, protestanta i wroga Francji. Wyprawa udała się nadzwyczaj pomyślnie, ludność witała wojska pomarańczowymi wstążkami, groźba katolicyzmu została zażegnana na dobre, a wydarzenia te ukształtowały system polityczny Zjednoczonego Królestwa.

Starszy brat Christiaana Huygensa Constantyn brał udział w tych wydarzeniach jako sekretarz Wilhelma, rodzina Huygensów związana była z domem Orańskim od pokoleń. Toteż nic dziwnego, że gdy tylko sytuacja polityczna się nieco ustabilizowała, Anglię odwiedził Christiaan Huygens, który właśnie skończył sześćdziesiąt lat i nudził się w Niderlandach pozbawiony kontaktu z żywym środowiskiem naukowym Paryża. W paryskiej Akademii Nauk był najwybitniejszym uczonym, ale nie wystarczało to w zetknięciu z królewską administracją, zresztą protestantów traktowano w katolickiej Francji coraz gorzej, wielu uczonych, rzemieślników i kupców wyjechało, uciekając przed prześladowaniami m.in. do Niderlandów i Anglii. Huygens chciał poznać Isaaca Newtona, z którym jeszcze w latach siedemdziesiątych dyskutował listownie na temat kolorów. W swoim czasie wysłał mu egzemplarz Horologium oscillatorium („Zegar wahadłowy”), później Newton przesłał mu egzemplarz Principiów, które nie mogły nie wywrzeć wrażenia na ceniącym matematykę i ścisłe obserwacje Huygensie. Nie znaczy to, że zgadzał się z Newtonowską teorią grawitacji. Z punktu widzenia Huygensa problem leżał nie tyle w sformułowaniu praw grawitacji, co w zrozumieniu jej przyczyn. Jak większość ówczesnych uczonych pragnął zrozumieć przede wszystkim cząsteczkowy mechanizm grawitacji. Podejście Newtona sprawdziło się z czasem. Do dziś nie potrafimy wyjaśnić „przyczyn” grawitacji, tak samo zresztą jak i pozostałych trzech rodzajów oddziaływań. Musi nam wystarczyć  ich matematyczna teoria.

Uczeni spotkali się na dwóch zebraniach Towarzystwa Królewskiego. Huygens przedstawił swoją falową teorię światła, z którą Newton oczywiście się nie zgadzał. Rzeczywiście, słabym punktem teorii Huygensa była kwestia prostoliniowego rozchodzenia się światła. Natomiast wielkim jego osiągnięciem było wyjaśnienie dwójłomności w kryształach szpatu islandzkiego (kalcytu). W sposób widoczny podwajają one obrazy. Huygens wyjaśnił to rozchodzeniem się dwóch rodzajów fal, oprócz zwyczajnej fali generowanej przez sferyczne fronty falowe, miałaby się tu rozchodzić jeszcze fala o kształcie elipsoidy, której osie związane są z kierunkami w krysztale. Owa fala nadzwyczajna ma taką właściwość, że kierunek promieni (zielony) nie jest prostopadły do kierunku czoła fali (czerwone). W ten sposób promień padający prostopadle na kryształ załamuje się jako promień nadzwyczajny pod niezerowym kątem (drugi promień, zwyczajny, zachowuje się standardowo).

Kierunki osi elipsoidy zaznaczone są na niebiesko. Huygens zastosował tę teorię do kalcytu w sposób ilościowy. Nie prowadził, zdaje się, szerszych badań eksperymentalnych nad tym zjawiskiem. Wyraźnie zabrakło tu środowiska naukowego, które mogłoby opracować dokładniej ideę Huygensa. Newton zaproponował swoje wyjaśnienie zjawisk w kalcycie, naciągane i w dodatku błędne w konfrontacji z doświadczeniem. Huygensowskie wyjaśnienie dwójłomności zostało zapomniane na całe stulecie, dopiero na początku wieku XIX powróciła falowa teoria światła, Augustin Fresnel podał matematycznie kompletne wyjaśnienie dwójłomności i okazało się, że Huygens miał rację. Obaj wielcy rywale, Newton i Huygens, nie potrafili uczyć się od siebie wzajemnie, bo gdyby Huygens docenił znaczenie okresowości fal, jego teoria wyjaśniałyby znacznie więcej. Miał tu znaczenie i fakt, że było jeszcze wypracowanych metod matematycznych dla zjawisk falowych.

Stosunki obu uczonych były przyjazne, Newton właśnie uczył się poruszać w świecie stolicy, nie powrócił już do pracy naukowej na dłużej. Dzięki wstawiennictwu Christiaana Huygensa Isaac Newton został przyjęty przez Wilhelma na audiencji jako kandydat na provosta King’s College w Cambridge. Mimo królewskiej akceptacji Newton nie otrzymał stanowiska, gdyż zdecydowanie sprzeciwili się członkowie College’u. Christiaan Huygens wrócił po kilku tygodniach do Niderlandów, Newtona czekała kariera administracyjna w Mennicy, tytuł szlachecki, wielkie uznanie, dość rzadkie w przypadku uczonych, choć w jego przypadku niewątpliwie zasłużone. Osamotniony w swoim domu na wodzie Hofwijck, Huygens zajął się rozważaniami na temat istot inteligentnych w kosmosie.

Christiaan Huygens i jego zasada (1679, 1690)

Wszyscy wiedzą, że Huygens przedstawił falową teorię światła sprzeczną z korpuskularną doktryną Newtona. Newtonowskie eksperymenty z Optics stały się kanoniczne i przeważnie wierzono, iż światło składa się z cząstek, teoria Huygensa na dobre powróciła dopiero na początku XIX wieku. Po raz pierwszy Huygens przedstawił ją w Paryżu przed Akademią Nauk w 1679 r., ale dopiero w 1690 r. ukazał się jego Traité de la lumière („Traktat o świetle”), niewielkie arcydzieło naukowe, ukazujące zupełnie inną drogę niż ta Newtonowska.

Traktat o świetle, gdzie wyjaśniono przyczyny tego, co się dzieje przy odbiciu i załamaniu, a zwłaszcza przy osobliwym załamaniu w krysztale islandzkim przez C.H.D.Z. [Christiaana Huygensa pana Zeelhem] wraz z Rozprawą na temat przyczyn ciężkości. Egzemplarz dedykowany dla Fatio de Duilliera, młodego szwajcarskiego uczonego, który przez krótki czas był blisko Isaaca Newtona i poznał także Christiaana Huygensa.

W Traktacie Huygens uznał światło za rozchodzące się zaburzenie eteru – ośrodka materialnego wypełniającego świat. Korzystał tu z analogii z dźwiękiem, ale musimy pamiętać, że matematyka fal sprężystych pojawiła się dopiero w połowie XVIII wieku, więc sama analogia nie prowadziła zbyt daleko.

Szybki ruch cząstek np. w płomieniu świecy wywoływać miał falę sprężystą w eterze złożonym ze sztywnych kulek. Uderzenie pierwszej w szeregu sprawia, że ruch przekazany zostaje ostatniej, a kulki pomiędzy skrajnymi pozostają w spoczynku. Fale elementarne rozchodzić się miały także i na boki, na tej samej zasadzie. To oczywiście czysta kartezjańska fantazja. Mocną stroną Huygensa była jednak umiejętność matematycznego formułowania problemów. Z reguły tam, gdzie wkracza matematyka, fizyka osiąga najwięcej.

W jaki sposób rozchodzą się fale wzbudzane mnóstwem cząstek w płomieniu? Otóż fale rozchodzą się ze skończoną prędkością. Huygens sądził tak, zanim jeszcze Ole Rømer odkrył, że zaćmienia księżyców Jowisza opóźniają się zawsze wtedy, gdy planeta znajduje się daleko od Ziemi. W określonym czasie fale z punktu A dotrą do łuku okręgu BG. Poruszane falą cząstki eteru bbbb wytwarzają nowe fale elementarne. Co sprawia, że nie widzimy chaosu tych fal elementarnych, lecz jedną dobrze określoną falę? To, co możemy zobaczyć, jest obwiednią fal elementarnych. Czoło fali CE jest styczne do nieskończenie wielu fal elementarnych. Fale Huygensa nie są okresowe, przypominają raczej falę uderzeniową. Nie mamy tu do czynienia z interferencją, o jakiej uczymy się w szkole (Young, Fresnel, XIX wiek).

(Grom dźwiękowy, Wikipedia)

Znanym przypadkiem tworzenia się takiej obwiedni fal elementarnych jest grom dźwiękowy towarzyszący przelotowi samolotu z szybkością naddźwiękową w pobliżu nas. Innym przykładem jest promieniowanie Czerenkowa wytwarzane przez cząstkę o prędkości większej niż prędkość światła w danym ośrodku.

Huygens sądził, że fale tak wytworzone rozchodzą się prostoliniowo, co w tym przypadku, oznacza, iż czoło fali DCEF jest w każdym punkcie prostopadłe do kierunku promieni, np. AC i AE. Zjawisko dyfrakcji ignorował, choć w Akademii Nauk w Paryżu powtarzano pewne doświadczenia Grimaldiego. Tworzenie się czoła fali jako obwiedni fal elementarnych stanowi treść zasady Huygensa w jego własnym sformułowaniu. Dodanie do tego mechanizmu interferencji jest już dodatkiem Fresnela z początku XIX w. Zasada ta musi być stosowana z dodatkowymi środkami ostrożności, bo np. gdyby fale elementarne były kołowe, to czemu nie powstaje druga fala biegnąca wstecz?

Ścisły opis fal dają odpowiednie równania różniczkowe cząstkowe, zasadę Huygensa można na ich podstawie udowodnić np. w trzech wymiarach, ale już nie w dwóch.

Huygens bez trudu uzasadnił na podstawie swej teorii prawa odbicia i załamania światła. Rozpatrzmy załamanie

Czoło fali AHHHC dociera do powierzchni AKKKB dzielącej dwa ośrodki. W drugim ośrodku fala rozchodzi się wolniej i w czasie, gdy w pierwszym przebywa drogę CLLLB, w drugim przebywa proporcjonalnie mniejszą drogę AOOON. Jeśli u góry mamy powietrze, a u dołu szkło, droga w szkle będzie 1,5 razy mniejsza, inaczej mówiąc, prędkość światła w szkle jest 1,5 razy mniejsza niż w powietrzu. Prawdziwym tour de force Huygensa było podanie falowego wyjaśnienia załamania w ośrodkach anizotropowych, o czym napiszemy może innym razem. Pokazał też Huygens związek kaustyk Barrowa i Newtona, o których mówiliśmy poprzednio, z teorią falową.

Na powierzchnię sferyczną pada od góry fala płaska albo, jak kto woli, wiązka równoległych promieni światła. Rysunki sporządzone są dla przypadku szkła. Jak widzieliśmy dla tęczy promienie załamują się pod różnymi kątami, tworząc kaustykę NC, czyli linię ogniskowania się promieni albo obwiednię rodziny promieni. Jest to sama kaustyka, którą opisywaliśmy wcześniej , rysunek został obrócony tak, żeby zgadzał się z obrazkiem Huygensa. Spójrzmy teraz na sytuację w języku Huygensa. Czoło fali DTRA załamuje się do QGH, potem FPS, wreszcie EVK, gdzie punkt E odpowiada promieniowi stycznemu do kuli, który załamuje się w kierunku ENa. Huygens pokazuje, że powyższe powierzchnie czoła dali w różnych chwilach są ewolwentami kaustyki NC. Przypomnijmy, co to takiego ewolwenta krzywej. Wcześniej Huygens stworzył sam to pojęcie, pracując nad wahadłem cykloidalnym.

Wahadłem idealnym, takim, którego okres nie zależy od amplitudy wychyleń byłoby wahadło jak na rysunku: tutaj nić OAP odwija się z krzywej AO. Niebieska krzywa – tor zakreślany przez ciężarek P – jest właśnie ewolwentą krzywej czerwonej. Oznacza to dwie rzeczy: AP jest normalna do ewolwenty oraz A jest chwilowym środkiem krzywizny ewolwenty. Krzywą AO nazywamy ewolutą. Ta sama ewoluta może mieć nieskończenie wiele ewolwent, po prostu możemy zmieniać długość nici.

Wracając do załamania światła w powierzchni sferycznej, krzywa EVK jest ewolwentą NC. Nić stanowi odcinek EN oraz NC. Odwijając tę nić w kierunku K otrzymamy całą linię czoła fali EVK. Używając odpowiednio dłuższych nici, które odrywają się od kaustyki poniżej N, zakreślimy rozmaite czoła fali odpowiadające chwilom wcześniejszym. Huygens nie potrafił podać jawnej postaci owego czoła fali ani też kaustyki. Metoda Barrowa też nie podaje równania kaustyki, lecz zawiera sposób jej skonstruowania. Z dzisiejszego punktu widzenia nie jest takie ważne, by otrzymać równanie (nb. kaustyka Barrowa ma znane równania w postaci parametrycznej).

Rozwiązał natomiast Huygens nieco łatwiejsze zagadnienie kaustyki dla odbicia od powierzchni okręgu.

Więcej fotografii kaustyk na stronie Henrika Wanna Jensena.

Na rysunku Huygensa promienie światła/płaska fala świetlna padają pionowo od dołu. Fala odbija się od okręgu ABC, tworząc kaustykę AFNE.

Kaustyka jest tu epicykloidą krzywą otrzymaną przez toczenie mniejszego okręgu po większym.

Pokażmy, jak otrzymać obwiednię promieni odbitych w okręgu.

Rozumowanie należy do Johanna Bernoulliego (opublikowane w roku 1692). Z rysunku widać, że trójkąt OAP jest równoramienny, jego podstawa OP=1. Stąd

Promień odbity AP tworzy kąt z osią . Zatem równanie promienia odbitego to

Otrzymaliśmy równanie całej rodziny promieni odbitych dla różnych wartości . Różniczkując to równanie po przy stałych wartościach otrzymamy równanie zawierające tylko zmienną , z którego

Podstawiając tę wartość do wyjściowego równania, otrzymamy współrzędną :

Są to równania parametryczne kaustyki. Możemy wyrazić je także w postaci złożenia dwóch okręgów:

Różniczkowanie po parametrze łatwo uzasadnić, jeśli ktoś się wcześniej nie spotkał z szukaniem obwiedni. Niech równanie rodziny krzywych ma postać . Szukamy przecięcia dwóch bliskich krzywych z rodziny, czyli

Odejmując stronami i przechodząc do granicy , otrzymujemy pochodną .

Matematyczna historia tęczy 4: Henry Pemberton, Thomas Young i George Biddell Airy (1722, 1803, 1838)

Henry Pemberton, lekarz i członek Royal Society, wspominany dziś bywa jedynie dlatego, że był redaktorem III wydania Newtonowskich Principiów, ostatniego za życia wielkiego człowieka. Biegły był nie tylko w medycynie, ale i matematyce oraz fizyce ówczesnej i przy okazji pewnej polemiki zwrócił na siebie uwagę sędziwego sir Isaaca. My przedstawimy tu krótko jego pracę z 1722 r., zawierającą wyjaśnienie nadliczbowych łuków tęczy pojawiających się czasem wewnątrz pierwszego łuku Kartezjańskiego. Isaac Newton wprowadził swego czasu hipotezę przystępów łatwego odbicia i załamania dla promieni światła. Wprowadzała ona do optyki geometrycznej element okresowości przestrzennej, ale bez wspominania o falach. Zjawiska falowe nie były w XVII w. zbyt dobrze rozumiane  nawet tzw. falowa teoria Huygensa dotyczyła nieokresowych zaburzeń w eterze, czegoś w rodzaju fal uderzeniowych. Pomysł Newtona był taki, że po załamaniu w ośrodku promień nabierał własności okresowych i dlatego napotykając następną powierzchnię, mógł się odbić albo załamać  – w zależności od tego, czy był właśnie w przystępie łatwego odbicia, czy załamania. Mogło to jego zdaniem wynikać z oddziaływania cząstek światła z falą wzbudzoną przez nie w ośrodku (niczym fale na wodzie, do której wpadł kamień), która to fala rozchodziła się szybciej od światła i niejako decydowała, czy zostanie ono przepuszczone, czy odbite. Owe mityczne przystępy bądź napady (fits) objaśniać miały bardzo konkretne wyniki doświadczeń z interferencją w cienkich warstwach. Idea była jednak na tyle karkołomna i spekulatywna, że pomimo bałwochwalczego stosunku rodaków do myśli dożywotniego przewodniczącego Royal Society nie bardzo się przyjęła. Pemberton, wczuwając się w świat Newtonowskich idei, wpadł na pomysł, że owe przystępy mogłyby wyjaśnić nadliczbowe łuki tęczy.

Niech BCD  będzie drogą promienia ekstremalnego, wyznaczającego granicę tęczy (rysunek zaczyna się od punktu odbicia w kropli B). Można podejrzewać, że oprócz BC biegną z tego punktu także jakieś słabsze promienie BE, BG, BF i BH. Zauważmy, że łamią one prawo odbicia. Jeśli już się z tym pogodzimy, to można rozumować następująco: promień BCK (kartezjański) przechodzi granicę woda-powietrze, więc musi być w przystępie załamania. Pobliskie promienie BG i BE będą w takim razie w przystępie odbicia i odbiją się wewnątrz kropli, nie wychodząc z niej przynajmniej na razie. Możemy sobie jednak wyobrazić nieco dalszą parę promieni BF i BH, takich że akurat są w przystępie załamania i wyjdą z kropli równolegle do siebie. One właśnie utworzą pierwszy łuk nadliczbowy (bo oczywiście ich kąt odchylenia musi być mniejszy od ekstremalnej wartości 42°). W dodatku, ponieważ odległość owych przystępów zależy od barwy, więc i promień tego łuku będzie zależał od barwy. Tyle udało się Pembertonowi. Na osiemdziesiąt lat zapadła cisza, przerywana jedynie monotonią podręczników, które ubarwiały tęczę po swojemu. Tłumaczono np. łuki nadliczbowe obecnością cząstek siarki (w szerszym pojęciu niż dzisiaj: siarka nie była jeszcze pierwiastkiem chemicznym, lecz niemal uniwersalnym składnikiem materii). Itd. itp. Przypominał to nieco niektóre wyjaśnienia sprzed Descartes’a, gdy zamiast zrozumieć kąt 42°, podawano w wątpliwość obserwacje. Zresztą nawet Descartes w swej Meteorologii asekurancko dodawał, że kąt może się różnić od znalezionego przezeń z powodu odmiennych warunków pogodowych. Rzecz w tym, że nie może, temperatura słabo wpływa na współczynnik załamania wody, a nic innego tu nie wchodzi w grę.

W ten sposób dochodzimy do Thomasa Younga, także lekarza, ale i uniwersalnego uczonego. Postaci takich jak Young w Polsce nie miewaliśmy. Stąd może Royal Society od XVII w. z jednej strony, a cud w Parczewie w wieku XXI z drugiej. I nie chodzi tu bynajmniej o religijność. Young wywodził się z rodziny kwakierskiej, choć w wieku dorosłym był już standardowo , tzn. anglikańsko, religijny. Był człowiekiem obsesyjnie skupionym na faktach, nastawionym empirycznie, znającym także matematykę, a do tego cały zestaw języków nowożytnych i starożytnych. Rzeczowość, nawet pedanteria, brak błyskotliwości, niestrudzona pracowitość, rozległa, zaiste encyklopedyczna wiedza (zdawało się, że mógłby samodzielnie zostać kompetentnym autorem całej encyklopedii powszechnej, pisał zresztą artykuły do Encyclopedia Britannica na imponujący zestaw najprzeróżniejszych tematów). Z tego pracowitego żywota (zajmował się także praktyką lekarską, choć był finansowo niezależny) dziś pamiętamy głównie zasadę interferencji światła i resuscytację falowej teorii światła. Doświadczenie Younga zostało uznane za najpiękniejszy eksperyment w fizyce: światło z dwóch wąskich szczelin interferuje ze sobą, dając prążki na ekranie. Wykonywano takie doświadczenia nie tylko ze światłem, ale i z elektronami, a nawet fullerenami, ukazuje ono bowiem coś więcej niż falowość światła: falowość wszelkich cząstek mikroświata. Young nie wykonał takiego idealnego eksperymentu, był on dla niego bardziej ideą wywiedzioną z doświadczeń i pomiarów, niż sprawozdaniem laboraoryjnym. W tym, co obserwował, pomieszane były skutki interferencji z dwóch otworów z dyfrakcją na samych otworach. Najbliżej sytuacji idealnej był wówczas, gdy światło słoneczne z małego otworka skierował na ustawioną krawędzią kartę tekturową. Na ekranie pojawiły się prążki, które znikały, gdy zasłonić jedną ze stron wiązki.

Young wiedział już wówczas, że aby uzyskać maksimum natężenia, różnica dróg optycznych dwóch promieni światła musi być całkowitą wielokrotnością długości fali. Gdy różnica dróg jest połówkową wielokrotnością, otrzymujemy minimum. Wiedział też, że droga w ośrodku o współczynniku załamania n musi być liczona n-krotnie, co wynika stąd, że w takim ośrodku długość fali zmniejsza się się n razy.

Nie będziemy opisywać rozmaitych badań optycznych Younga, pokażemy tylko jedną z plansz do jego wykładów. Prowadził on przez kilka lat popularne wykłady w Royal Institution. Uczęszczali na nie po pracy londyńscy rzemieślnicy bądź urzędnicy, ale także i damy z wyższych sfer. Wykłady Younga dotyczyły całości filozofii naturalnej, a także elementów matematyki. Ukazują stan wiedzy dwa wieki temu.

Więcej plansz Younga można znaleźć tutaj.

Young objaśnił nadliczbowe łuki tęczy interferencją promieni takich, jak na rysunku. Dwa równoległe promienie załamują się w kropli, a następnie po odbiciu ją opuszczają także jako równoległe. Ponieważ są to promienie, które odchylają się mniej niż promień Descartes’a efekt ich interferencji widoczny będzie pod kątem mniejszym, niż słynne 42°.

Wyjaśnienie to przedstawił w roku 1803 podczas wykładu Bakera w Royal Society, jednakże bez rysunku i żadnych obliczeń. Więcej informacji znalazło się w jego artykule do Encyclopedia Britannica Supplement zatytułowanym Chromatics napisanym w 1817 r. Różnica dróg optycznych dla dwóch promieni na rysunku równa się

Przyjęliśmy promień kropli równy 1. Young przedstawił tabelkę różnic drogi optycznej dla współczynnika załamania odpowiadającego skrajnej czerwieni.

Tabelka ułożona jest wg odległości kątowych od krawędzi tęczy. A więc (przykład Younga), jeśli czerwień pierwszej dodatkowej tęczy pojawi się o 2° od czerwieni tęczy głównej, to oznacza to, że drogi obu promieni różnią się o długość światła czerwonego (wartość zmierzona przez Younga). Znajdujemy w tabelce pozycję 2° i odczytujemy, że kąty załamania (i zarazem odbicia) dla obu promieni równają się wtedy 42°59′ i 36°23, a różnica dróg 0,004. Znaczy to, że promień kropel wynosi

Widzimy praktyczny cel owej tabelki: obserwator tęczy mógł sobie obliczyć, jakiej wielkości krople wywołały zjawisko. Uczony zadał sobie sporo pracy, szukając numerycznie kątów odpowiadających zadanym odległościom od krawędzi tęczy. Warunek Younga na maksima można zatem zapisać w postaci

Sam unikał matematyki tak długo, jak się dało, co było skutkiem pewnego przesądu. Otóż twierdził on, że wysoce zmatematyzowana fizyka w postaci algebraicznej, uprawiana zwłaszcza na kontynencie, jest czymś w rodzaju sztucznych ułatwień dla myśli, która zaczyna prześlizgiwać się po temacie zamiast go precyzyjnie ogarnąć. „Wydaje się wręcz, że matematyczna uczoność stanowi coś w rodzaju eutanazji talentu fizycznego”. Wygłosił on tę opinię w biogramie Josepha Lagrange’a, co chyba nie było ani trafne, ani dobrze usytuowane.

Oczywiście, prace uczonych takich jak Euler, Lagrange czy Laplace (z których Young także korzystał) mogły czasem sprawiać wrażenie przesadnego zmatematyzowania. Ale to samo było kiedyś z Isaakiem Newtonem, naukowym idolem Younga: w reakcji na Principia w XVII w. dość często powtarzał się ni to zarzut, ni to pobłażliwa ocena, iż jest to czysta matematyka, a zatem nie odnosi się wprost do naszego niedoskonałego świata i nie musimy sobie tym zawracać głowy, tym bardziej że matematyka trudna. Young ulegał tu jednak przesądowi, i to podwójnemu. Pierwszy typowy dla wyspiarzy polegał na unikaniu jak ognia wszelkich zapisów algebraicznych i prowadzeniu rozumowań słowami. Była to maniera szkodliwa i niemądra, opóźniająca import kontynentalnej matematyki na Wyspy. W Cambridge mniej więcej od początku wieku działało już Analytical Society, które stawiało sobie za cel zapoznanie studentów z europejskim dorobkiem i pozbycie się zapóźnienia wywołanego zapatrzeniem w bardzo osobiste, idiosynkratyczne podejście  do analizy stosowane przez Isaaca Newtona. Drugi przesąd Younga polegał na niedocenianiu wagi matematyki w fizyce. Zdrowy rozsądek jest owszem cenny, ale niebyt daleko prowadzi. Historia fizyki pokazuje, że najbardziej zaawansowana i pozornie odległa od rzeczywistości doświadczalnej matematyka nie tylko znajduje zastosowanie, ale często okazuje się niezbędna. Żeby zrozumieć wszechświat, potrzebna jest geometria riemannowska, żeby zrozumieć właściwości materiałów wokół nas, potrzebna jest mechanika kwantowa rozgrywająca się przecież w zespolonych przestrzeniach Hilberta, a nie w przestrzeni naszych bezpośrednich doświadczeń.

Jeszcze za życia Thomasa Younga falowa teoria światła została niezależnie odkryta i rozwinięta w algebraicznej kontynentalnej postaci. Dokonał tego Augustin Fresnel, który potrafił połączyć solidną matematykę z École polytechnique z inżynierską precyzją eksperymentów. Taka właśnie matematyczna optyka falowa zdominowała cały wiek XIX. Zastosowanie do tęczy zawdzięczamy jednak paradoksalnie Anglikowi, astronomowi George’owi Biddellowi Airy’emu. Objął on z czasem stanowisko Astronoma Królewskiego. Był człowiekiem niezwykle pracowitym i systematycznym. Jego biograf opowiada z uznaniem, iż potrafił spędzić całe popołudnie na wypisywaniu etykietek z napisem „puste” w celu odróżnienia  pudełek wypełnionych od pustych. Zapisał się w historii tym, że udało mu się nie spotkać w roku 1845 z Johnem Couchem Adamsem. Raz Airy był we Francji, miesiąc później nie było go w domu, Adams zostawił kartkę i wrócił po godzinie, by usłyszeć, że teraz Astronom Królewski je obiad i się z nim nie spotka. Chodziło zaś o odkrycie kolejnej za Uranem planety. Zirytowany Adams przestał nachodzić Airy’ego, planetę odkryto dzięki obliczeniom nie Adamsa, lecz Francuza Le Verriera. Oprócz tej prestiżowej wpadki cierpliwy i dobrze wykształcony Airy zrobił co najmniej dwie rzeczy pamiętane przez potomność: obliczył dyfrakcyjną zdolność rozdzielczą teleskopu, a także rozkład natężeń w tęczy na podstawie teorii falowej. Pokażemy krótko, jak to się robi.

Promienie świetlne w pobliżu krawędzi tęczy zachowują się tak, jakby pochodziły z wygiętego w kształcie S czoła fali (promienie są bowiem prostopadłe do czoła fali). Wygląda to tak na współczesnym rysunku.

Obrazek za: H.C. van de Hulst, Light Scattering by Light Particles.

Czoło fali jest prostopadłe do promieni, promień wychodzący z O odpowiada maksymalnemu odchyleniu , promienie wychodzące z P i R jakiejś bliskiej wartości kąta . Kształt powierzchni falowej jest krzywą trzeciego stopnia, czyli można go zapisać w postaci

gdzie jest bezwymiarowym współczynnikiem, a promień kropli w mianowniku musi być w kwadracie, żeby zgadzały się jednostki, trójka jest tu dla wygody. Współczynnik ten nietrudno obliczyć (*), choć nie jest szczególnie istotny, w każdym razie dopóki nie porównujemy teorii z eksperymentem bądź obserwacją tęczy. Promienie docierające pod kątem mają różnicę fazy wynikającą z kształtu czoła fali oraz z kąta obserwacji. Różnica faz odpowiadająca odległości RQ jest równa

Sumując wszystkie fale   dla różnych wartości , czyli całkując otrzymujemy zespoloną amplitudę fali obserwowanej pod danym kątem proporcjonalną do

Tutaj oznacza . Rozszerzyliśmy granice całkowania do nieskończoności, ponieważ sądzimy, iż funkcja w wykładniku urojonym oscyluje coraz szybciej i nie wniesie istotnego wkładu dla dużych . Okazuje się też rzeczywista, ponieważ wykładnik jest nieparzystą funkcją . Ostatecznie natężenie, jakiego możemy oczekiwać po zsumowaniu wszystkich fal będzie proporcjonalne do kwadratu amplitudy, czyli kwadratu całki

gdzie

Airy obliczył tę całkę numerycznie, co nie jest zadaniem banalnym: najpierw trzeba ją obliczyć na jakimś odcinku skończonym, a później znaleźć przybliżenie dla reszty aż do nieskończoności. Praca ta musiała go kosztować bardzo dużo wysiłku, wykonał ją porządnie, zamieścił tabelki funkcji w swoim artykule. Z oczywistych powodów nazywa się ona funkcją Airy’ego. Spotyka się ją także w mechanice kwantowej dla potencjału opisywanego funkcją liniową (por. np. L.D. Landau i E. M. Lifszyc, Mechanika kwantowa).

Airy porównał swoje wyniki dla tęczy z teorią Descartes’a i Younga. Widzimy, że maksima Younga są wyraźnie przesunięte w stosunku do teorii falowej. Tak czy owak teoria Younga jest zbyt prosta matematycznie i nie opisuje złożoności sytuacji. Jej główny brak jest właśnie matematyczny: zamiast dwóch promieni trzeba uwzględnić nieskończenie wiele fal. Nie darmo wprowadzono całkowanie jako swoiste uogólnienie sumowania. Teoria Airy’ego przewiduje też, że pierwsze maksimum tęczy leży nieco wewnątrz łuku Descartes’a (oś pionowa na rysunku). Więcej konkretnych wyników pokazałem tutaj. Oczywiście, także teoria Airy’ego jest przybliżona, choćby z powodu rozszerzenia całkowania do nieskończoności w kierunku poprzecznym. Okazuje się jednak, że jest to przybliżenie wyjątkowo skuteczne, gdy chcemy zrozumieć, co się dzieje.

A to obrazki funkcji Airy’ego i jej kwadratu, czyli u nas natężenia światła w pobliżu krawędzi tęczy.

W mechanice kwantowej funkcja Airy’ego to funkcja falowa w polu jednorodnym: z prawej strony mamy zanikającą wykładniczo część „tunelową”, odpowiadającą ujemnej energii kinetycznej, z lewej strony coraz szybsze oscylacje odpowiadające coraz większej energii kinetycznej cząstki. Kwadrat funkcji falowej opisuje gęstość prawdopodobieństwa i jak to w mechanice kwantowej cząstka ma niezerowe prawdopodobieństwo znalezienia się w obszarze klasycznie zabronionym, gdzie energia kinetyczna jest ujemna. W przypadku tęczy jest proporcjonalne do odległości kątowej od krawędzi tęczy geometrycznej – odpowiada jej oś pionowa. Ponieważ jest to teoria falowa, więc fale wnikają nawet tam, gdzie klasycznie jest to zabronione (prawa część wykresu dla ). Pierwsze maksimum leży nieco wewnątrz tęczy Descartes’a, pojawiają się także kolejne, coraz bliżej siebie. Young był blisko prawdy, jeśli chodzi o położenie maksimów natężenia w tęczy jego warunek na różnicę dróg optycznych należy zmodyfikować do postaci

Nadal nie jest to dokładnie to samo co w teorii Airy’ego, ale dość blisko. Źródło tej dodatkowej różnicy faz można wyjaśnić, lecz wyjaśnienie wymaga dodatkowego wysiłku matematycznego, którego tu nie podejmiemy.

Gustav Mie już na początku wieku XX obliczył, jak wygląda rozpraszanie fali elektromagnetycznej na dielektrycznej kuli, co obejmuje interesujący nas przypadek. Wynik ma postać rozwinięcia nieskończonego i choć jest ścisły nie bardzo pozwala coś zobaczyć po drodze między wejściem a wyjściem, wymaga uwzględnienia tysięcy wyrazów, czyli komputera. Stosowano też do zagadnienia tęczy zespolone momenty pędu, ale nie jestem przekonany, czy problem stał się przejrzystszy. Inaczej mówiąc, panujemy nad nim rachunkowo, ale czasem jest to tylko zwycięstwo numeryczne, a zatem ograniczone.

(*) Zobaczmy jeszcze, jak znaleźć współczynnik h. Kąt odchylenia promienia dla pierwszego łuku tęczy dany jest wzorem

gdzie . W okolicy ekstremalnego odchylenia otrzymamy

Tutaj jest drugą pochodną wziętą w ekstremum. Patrząc na rysunek powyżej, mamy

Po scałkowaniu dostaniemy wynik.

Matematyczna historia tęczy 3: Isaac Barrow, Isaac Newton, Jakob Hermann (1669, ok. 1672, 1704)

W 1664 r. nowo utworzoną na uniwersytecie w Cambridge katedrę matematyki Lucasa objął Izaac Barrow. W okresie Republiki Barrow występował w obronie nauki przed pobożnym zapałem niektórych purytanów i nie krył sympatii rojalistycznych. Aby uniknąć konfliktu, wyjechał w kilkuletnią podróż do Francji, Włoch i na Bliski Wschód, z której wrócił niedługo przed restauracją monarchii. Został nagrodzony za wierność najpierw katedrą greki, a później katedrą matematyki. Barrow był duchownym, znawcą języków klasycznych (łącznie z hebrajskim i pewną znajomością arabskiego), lecz „stwierdziwszy, że aby zostać dobrym teologiem, musi znać chronologię, a chronologia wymaga astronomii, astronomia zaś matematyki, zajął się tą ostatnią ze znacznym powodzeniem”. Połączenie filologii martwych języków klasycznych z zamiłowaniem do matematyki było dość częstym połączeniem nie tylko wówczas, ale i później w Cambridge.

Profesor katedry Lucasa obowiązany był wykładać jakąś część geometrii, astronomii, geografii, optyki, statyki bądź jakiejś innej dyscypliny matematycznej w każdym tygodniu w ciągu jednego z trymestrów. Miał złożyć w bibliotece uniwersytetu kopie 10 spośród prowadzonych wykładów, powinien również przez kilka godzin w tygodniu udzielać odpowiedzi na pytania oraz wyjaśniać trudności studentom. Nie wolno mu było przyjąć żadnego stanowiska kościelnego związanego z duszpasterstwem albo wyjazdem na stałe ani żadnej funkcji w kolegium lub na uniwersytecie. W zamian otrzymywał jedne z najwyższych dochodów w Cambridge, przywilej uczenia (jako tutor) wyłącznie najbogatszych studentów (fellow commoners) oraz prawo noszenia szkarłatnej togi.

W 1669 r. Izaac Barrow ustąpił z katedry i spowodował, iż jego następcą został Isaac Newton. Rzadko się zdarza, aby profesor odstąpił swoje stanowisko zdolnemu młodszemu koledze. Niewątpliwie Barrow dostrzegł talent młodego Newtona i zrobił rzecz słuszną ze swego punktu widzenia: czuł się głównie duchownym i z biegiem lat zabawa matematyką wydawała mu się jałowym ćwiczeniem umysłu. Matematyką zajmował się z czystego upodobania, nie traktował jej jak powołania. Nie znaczy to, że nie osiągnął wybitnych wyników, przeciwnie zapisał się w historii matematyki jako ważny prekursor rachunku różniczkowego i całkowego, doszedł też do interesujących wyników w optyce geometrycznej, którą traktował jako czysto matematyczne ćwiczenie w stosowaniu prawa odbicia i prawa załamania.

Barrow zachęcił Isaaca Newtona do nawiązania kontaktów ze światem naukowym. Trudno powiedzieć, w jak zażyłych stosunkach pozostawali ci dwaj całkowicie odmienni ludzie, wygląda jednak na to, że Barrow potrafił zdobyć zaufanie swego nadmiernie podejrzliwego i zamkniętego w sobie, lecz nadzwyczajnie utalentowanego młodszego kolegi. Powierzał mu drobne prace w rodzaju korekty swoich wykładów z optyki, a z kolei Newton był tak uprzejmy, że nie skrytykował twierdzeń o barwach, które były już, od czasu jego własnej pracy, nieaktualne. Z pewnością nie było między nimi szerszej współpracy naukowej, starszy uczony z pewnością znał tylko mały wycinek osiągnięć Newtona z dziedziny mechaniki, optyki i matematyki. Obaj prowadzili wykłady z optyki. Wykłady Barrowa zostały wydane drukiem w roku 1669. Newton także zachęcany był do opublikowania swoich wykładów, ale jak narzekał John Collins, londyński amator wymieniający  korespondencję z wieloma uczonymi w Wielkiej Brytanii i na kontynencie, „niełatwo przekonać księgarzy do wydania czegokolwiek matematycznego oprócz jakichś bagatel” (list do Thomasa Bakera 10 II 1676/77 w S.P. Rigaud (wyd.), Correspondence). Tak zostało zresztą do dziś, Stephena Hawkinga wydawcy przekonywali, że każdy wzór matematyczny w książce zmniejsza nakład o połowę. Wykłady Newtona wydane zostały dopiero po śmierci autora. Wcześniej, bo w roku 1704, ukazała się przenoszona o trzydzieści lat Optics, gdzie jednak nacisk  położony był na fizykę eksperymentalną.

W matematyce tęczy Newton szedł śladem Barrowa. Starszy uczony ustalił, jak ogniskuje się światło po załamaniu w powierzchni sferycznej. Newton podał konstrukcję geometryczną, która pozwala znaleźć punkt ogniskowania wąskiej wiązki promieni świetlnych. Podamy Newtonowską wersję tego twierdzenia. Otwiera ono drogę do zrozumienia tego, co dzieje się w kroplach wody dających zjawisko tęczy. Metoda postępowania jest tu wyraźnie odmienna od podejścia Huygensa. Oto konstrukcja Newtona  z jego dowodem z Optical Lectures (1728), jest to u niego Proposition XXXII.

Mamy tu dwa blisko położone promienie świetlne biegnące z punktu A i załamujące się w sferycznej powierzchni o zadanym współczynniku załamania; ANZK, AnZ. Chcemy skonstruować punkt przecięcia obu promieni Z. W tym celu konstruujemy trzy kolejne punkty; R,V i Q.

1. W N wystawiamy prostopadłą do AN, jej punkt przecięcia z osią optyczną to R.
2. Z R prowadzimy prostą równoległą do AN oraz z punktu N styczną do okręgu. Punkt przecięcia obu prostych to V.
3. Z N wystawiamy prostopadłą do NK, a przez V prowadzimy równoległą do NK. Obie proste przecinają się w punkcie Q.
4. Przedłużamy QC do przecięcia z NK i to jest szukany punkt ogniskowania Z.

Dowód polega na wykazaniu, że w granicy, gdy promień An zbliża się do AN, mamy

Zgodnie z założeniem , gdzie oznaczamy współczynnik załamania (ahistorycznie, bo wtedy zapisywano go jako stosunek dwóch wielkości). Podobnie ahistoryczne są poniżej oznaczenia funkcji trygonometrycznych, ale ułatwiają zrozumienie ludziom nienawykłym do języka proporcji używanego w XVII w. Obliczamy teraz

(*) Korzystamy z podobieństwa trójkątów i tw. Talesa:

Cor. 1

Dla dowodu korzystamy z podobieństwa trójkątów oraz

Cor. 2

Przy zadanym położeniu przedmiotu A otrzymujemy położenie ogniska Z.

Dowód polega np. na zauważeniu, że

oraz

mnożąc obie proporcje stronami i korzystając z Cor.1 otrzymujemy wynik.

Cor. 3 Gdy punkt A oddala się do nieskończoności, czyli gdy padające promienie biegną równolegle do osi optycznej, ostatni wynik się upraszcza, mamy bowiem

Czytelnik zechce zauważyć, jak oszczędne są rozumowania Newtona. W czasie, gdy wygłaszał swoje wykłady z optyki dla raczej nielicznych i słabo zorientowanych słuchaczy, był już mocno zaawansowany w rachunku różniczkowym i całkowym oraz rozwinięciach w szeregi nieskończone. Dlatego naturalnym zastosowaniem powyższego wyniku jest dla niego uogólnienie do przypadku dowolnej krzywej: lokalnie bowiem każda gładka krzywa ma postać okręgu swojej krzywizny. Standardowe dziś wzory na promień krzywizny czy współrzędne środka krzywizny krzywej były Newtonowi czymś dobrze już znanym. Gdyby historia potoczyła się inaczej i uczony wydał swoje prace matematyczne już w latach siedemdziesiątych wieku XVII, to już wtedy znana byłaby większość wyników, które odkrywali pracowicie Wilhelm Gottfried Leibniz oraz bracia Johann i Jakob Bernoulli przez jakieś dwadzieścia lat począwszy od połowy lat osiemdziesiątych.

Ta ostatnia postać naszego wyniku z wniosku 3 wystarczy do opisu biegu promieni słonecznych w kropli wody. W istocie Barrow i za nim Newton uzyskali tu kaustykę powierzchni sferycznej, czyli miejsce geometryczne ognisk dla wąskich wiązek promieni. Jesteśmy tu poza przybliżeniem stosowanym w szkolnej optyce, że wszystkie promienie biegną blisko osi optycznej. Wynik jest tak ścisły jak samo prawo załamania. Tak wygląda ta kaustyka na obrazku. Promienie padające biegną równolegle wzdłuż osi Ox (promienie załamują się tylko jeden raz, prawa połówka okręgu ma znaczenie ilustracyjne).

Na drugim obrazku zieloną linią zaznaczone są ogniska promieni biegnących dalej od osi niż promień Descartes’a, czerwoną – dla promieni bliższych osi. Promieniowi Descartes’a odpowiada ognisko leżące na okręgu. Inaczej mówiąc, równoległe promienie biegnące blisko promienia Descartes’a ogniskują się na powierzchni kropli i tam ulegają odbiciu, po czym znowu wybiegają równolegle. Fakt ten wyjaśnia, czemu dostrzegamy tęczę tam, gdzie dostrzegamy: krople dla tych promieni działają jak reflektor kierujący wiązkę promieni słonecznych w innym kierunku. Trzeci obrazek pokazuje początek kaustyki w punkcie C odpowiadającym promieniowi padającemu stycznie na kroplę. W punkcie C kaustyka jest styczna do okręgu o promieniu .

Na pierwszym obrazku promień nr 7 to promień Descartes’a, widać też w górnym prawym kwadrancie zarys kaustyki, którą dokładnie widać na drugim obrazku (na fioletowo i żółto). Oczywiście, kropla działa jak soczewka dla promieni, które zamiast się odbić załamują się na tylnej powierzchni kropli, co daje znowu kaustykę dla drugiego załamania, co nas tutaj nie interesuje.

Barrow i po nim Newton zrozumieli więc, że promień Descartes’a, ten dający maksymalne odchylenie, ma tę właściwość, że bliskie mu promienie ogniskują się na tylnej powierzchni kropli i po odbiciu wychodzą znowu równoległe. Matematycznie warunek ten można przedstawić jako

Niewykluczone, że znał go już Thomas Harriot (zm. w 1621 r.), który znał także prawo załamania. Wszystkie te badania pozostawały jednak nieznane i odkryte na nowo dopiero w XX w. Niekompletność rękopisów nie pozwala dziś ustalić ponad wszelką wątpliwość, jak daleko sięgała jego prywatna wiedza, która nigdy nie stała się publiczna.

Podobnie będzie dla drugiego i dalszych łuków tęczy, tyle że promienie odbijają się N razy w kropli, zanim ją opuszczą. Stosowny rysunek zaczerpnęliśmy od Jakoba Hermanna z pracy z roku 1704. W tym czasie Edmond Halley podał wyrażenie dla kąta padania przy N-tej tęczy,  Newton ogłosił wreszcie swoją Optics (gdzie były wyniki bez metody ich otrzymania). W tym samym czasie Johann Bernoulli podał swoje wyprowadzenie, ogólnie biorąc, wszyscy potrafili już robić bez trudu to, co w czasie Huygensa (1652) i Barrowa (1669) było jeszcze wiedzą sekretną. Przyjrzyjmy się bliżej wyprowadzeniu Hermanna, choć nie był on pierwszoplanowym graczem, to przedstawił rozumowanie bardzo jasno.

Oznaczmy , . Trójkąty mamy więc

Zauważmy, że wykazaliśmy w ten sposób, że , czyli obliczyliśmy pochodną funkcji sinus w sposób graficzny. Dalej mamy,

Korzystamy z podobieństwa trójkątów :

W przypadku pierwszego łuku tęczy kąt odchylenia promienia po jednym odbiciu równy jest , wobec tego warunek stacjonarności to . Podstawiając uzyskane wyżej wyrażenia, dostajemy warunek dla kąta Descartes’a:

Warunek ogniskowania na tylnej powierzchni kropli, to zarazem warunek stacjonarności. Jeśli wyobrazimy sobie promienie padające na krople w rosnącej od zera odległości od środka, punkt K przecięcia promienia załamanego z okręgiem na rysunku Hermanna będzie wędrował. Jego najwyższe położenie odpowiada stacjonarności odchylenia, czyli matematycznie . Ten ostatni warunek jest równoważny , czyli w myśl Cor. 3: .

Dla porównania technik obliczmy jeszcze ekstremalny kąt odchylenia współczesnymi metodami. Nadal traktujemy jako zmienną. Kąt odchylenia promienia od początkowego kierunku w każdym załamaniu równy jest , a w każdym odbiciu . Zatem po dwóch załamaniach i N odbiciach wewnątrz kropli kąt z kierunkiem środka tęczy równy będzie

Kąt z kierunkiem środka tęczy to . Można to wyrazić jawnie jako funkcję z dokładnością do znaku i stałych addytywnych:

Warunek znikania pierwszej pochodnej daje

Zauważmy, że obliczenie i rysunek Hermanna dają nam dokładnie to samo: jest to geometryczne wyjaśnienie nie tylko faktu, że , ale i tego, że Warunek na N-ty promień Descartes’a przyjmuje postać

Wykres odchylenia w funkcji ma następującą postać pomiędzy dwoma łukami mamy „obszar zabroniony”, czyli ciemnię Aleksandra z Afrodyzji:

Zauważmy, że ekstrema są łaskie, co oznacza, że w sporym zakresie kątów padania, otrzymujemy niemal takie same kąty odchylenia. Osobne wykresy narysowaliśmy dla skrajnych barw widma. I tu przechodzimy do najważniejszego odkrycia Isaaca Newtona dotyczącego fizyki światła. Descartes chwalił się, że wyjaśnił barwy tęczy (teoria rotacji kulek), ale naprawdę dokonał tego Isaac Newton. W kilkudziesięciu znanych z jego rękopisów i publikacji eksperymentach dowiódł, że prawo załamania obowiązuje dokładniej, niż się spodziewano: każdej barwie odpowiada nieco inny współczynnik załamania. Gdy w roku 1672 opublikował swe odkrycie w „Philosophical Transactions” wywołał długą polemikę, po której zamilkł na kilkanaście lat. Odkrycie, że światło białe składa się z promieni o różnym współczynniku załamania i barwie, rozstrzygało ciągnącą się dwa tysiące lat dyskusję filozoficzną. Ostatecznie okazywało się, że za zjawiska barwne odpowiadają różne rodzaje światła i nic więcej. Światło monochromatyczne byłoby więc złożone z takich samych cząstek, które zachowują się zawsze tak samo w eksperymentach. Newton wyobrażał sobie, że mogą one mieć np. taką samą masę albo taką samą prędkość. Załamanie w pryzmacie czy np. zjawisko całkowitego odbicia wewnętrznego pozwala rozseparować owe cząstki światła. Tym, co widzimy jako barwę, jest pewna średnia ważona z barw promieni świetlnych, które do nas docierają.

Descartes zapoczątkował program badań nad skonstruowaniem idealnej soczewki, która ogniskowałaby całe światło w jednym punkcie. Wprowadził w ten sposób do nauki m.in. owale Descartesa (Kartezjusza). Szukał przyszłości teleskopów w szlifowaniu soczewek o innych niż sferyczna powierzchniach. Huygens poświęcił cały traktat zagadnieniu soczewek, choć jako praktyk (szlifowali razem z bratem Constatijnem soczewki do swoich teleskopów) starał się dobrać takie powierzchnie sferyczne, aby aberracja jak najmniej przeszkadzała. Newton położył kres temu programowi, wykazał w swoich wykładach i potem w Optics, że poważniejszą wadą teleskopów jest aberracja chromatyczna: każde załamanie powoduje rozdzielenie przestrzenne różnych barw i trudno sprawić, żeby tak rozdzielone promienie skupiły się z powrotem w jednym punkcie. A właściwie jest to ściśle biorąc niemożliwe, choć można w praktyce budować dobre obiektywy achromatyczne, dobierając odpowiednie i różne rodzaje szkła. Dyspersja, czyli zależność współczynnika załamania od barwy, w czasach Newtona była niemożliwa do wyjaśnienia, praktycznie biorąc dopiero mechanika kwantowa pozwala objaśniać teoretycznie optyczne własności materiałów, choć nawet teraz łatwiej te własności zmierzyć niż obliczyć teoretycznie.

Optyka geometryczna, optyka promieni świetlnych, nie może nam więcej powiedzieć na temat zjawiska tęczy. Szczegóły ilościowe proporcji natężenia odbitego i załamanego światła także musiały poczekać do wieku XIX: są to tzw. współczynniki Fresnela zależne od polaryzacji fali. To, co widzimy, zależy także od czułości naszego oka na różne barwy, w XVII w. nic o tym nie wiedziano, dopiero na początku wieku XIX odkryto promieniowanie podczerwone i nadfioletowe i zdano sobie w pełni sprawę, że widzimy tylko mały wycinek widma. Isaac Newton, który wierzył, iż światło składa się z cząstek, rozumiał doskonale, że cząstki te mają pewne niezwykłe właściwości. W pobliżu przeszkód nie biegną prostoliniowo. W kryształach szpatu islandzkiego (kalcytu) załamują się na dwa różne sposoby. Odbijając się w cienkiej warstwie „wiedzą” o tym, jak gruba jest ta warstwa. Nawet tak proste zjawisko jak częściowe odbicie niełatwo zrozumieć w ramach teorii korpuskularnej: skąd cząstka światła „wie”, czy się odbić, czy załamać? I dlaczego zachodzi to zawsze w takich samych proporcjach? Foton oczywiście nie wie, co zrobić. Mechanika kwantowa przewiduje tylko prawdopodobieństwa odbicia i przejścia fotonu przez granicę ośrodków.

Kończymy tę część rysunkami z Optics z roku 1704 przedstawiającymi bieg promieni w tęczy, obliczenie szerokości łuków to niewątpliwy tryumf Newtona. Współczynniki załamania wody dla skrajnych promieni równe są wg jego pomiarów 108/81 (czerwień) i 109/81 (fiolet). Daje to dla pierwszego łuku tęczy szerokość 1°45′, a po doliczeniu kątowej średnicy Słońca: 2°15′. Podobnie dla zewnętrznego łuku otrzymujemy 3°10′ i 3°45′.

 

 

 

 

 

Matematyczna historia tęczy 2: Christiaan Huygens (1652)

Christiaan Huygens pochodził z wpływowej rodziny blisko związanej z dynastią orańską. Ojciec, Constatijn, był amatorem nauk i sztuk, poetą, kompozytorem, w jego domu w Hadze bywali nie tylko ludzie władzy, ale również tacy goście jak René Descartes czy Rembrandt van Rijn. Najstarszy syn, także Constatijn, został sekretarzem Wilhelma III Orańskiego stadhoudera Niderlandów, a później jako Wilhelm II króla Anglii i Szkocji. Christiaan zamiast kariery wojskowej bądź dyplomatycznej wybrał zainteresowanie naukami ścisłymi. Do tego stopnia, że przy okazji swej pierwszej podróży do Londynu wolał obserwować tranzyt Merkurego przed tarczą Słońca niż koronację Karola II. Naturalne było, że młodzieniec znalazł się pod wpływem Descartes’a, pod koniec życia wspominał:

Pan des Cartes znalazł sposób, aby jego przypuszczenia i fikcje brane były za prawdę. I z tymi, którzy czytali jego Zasady filozofii, działo się coś podobnego co z tymi, którzy czytają romanse – gdy podobają się im i robią na nich takie samo wrażenie jak prawdziwe historie. Nowość kształtu jego małych cząstek i wirów sprawia wielką przyjemność. Zdawało mi się, gdy czytałem księgę jego Zasad po raz pierwszy, że wszystko jest w najlepszym porządku, a kiedy natrafiałem na jakąś trudność, sądziłem, że to moja wina, iż nie pojmuję dobrze jego myśli. Miałem wtedy zaledwie 15 czy 16 lat. Lecz później, odkrywając od czasu do czasu rzeczy jawnie fałszywe oraz inne bardzo mało prawdopodobne, odwróciłem się od złudzeń, w jakich trwałem i w obecnej dobie nie znajduję niemal niczego, co mógłbym uznać za prawdę w całej jego fizyce ani w metafizyce, ani w meteorologii. (…)

Najpiękniejszą rzeczą, którą odkrył w dziedzinie fizyki i może jedyną, w której sprawił się dobrze, jest przyczyna podwójnego łuku tęczy, tzn. określenie ich kątów, czyli pozornych średnic, gdyż co do przyczyny kolorów, to nic nie może być mniej prawdopodobne moim zdaniem. Pisma innych filozofów przed nim były na ten temat żałosne, gdyż nie znali dość geometrii, nie znali prawdziwych praw załamania ani nie posiłkowali się doświadczeniami. To prawda, że wszystko wskazuje na to, że prawa załamania nie są wynalazkiem pana des Cartes’a, gdyż pewne jest, że widział on w rękopisie książkę Snelliusa, którą także ja widziałem; pisze on tam wyraźnie o naturze załamania i dochodzi do reguły, za którą dziękuje Bogu, choć zamiast rozważać sinusy, brał on, co na jedno wychodzi, boki trójkąta i choć mylił się, twierdząc, że promień padający prostopadle na powierzchnię wody, skraca się i dlatego dno naczynia wydaje nam się położone wyżej niż jest w rzeczywistości.

Mimo tej niewielkiej ilości prawdy, jaką znajduję w księdze Zasad pana des Cartes’a, nie przeczę, iż trzeba wiele dowcipu, by stworzyć, tak jak on, cały nowy system i nadać mu ów pozór prawdopodobieństwa, którym zadowala się i w którym znajduje upodobanie niezliczona rzesza ludzi. Można nawet powiedzieć, że podając swoje dogmaty z wielką pewnością siebie i stając się bardzo sławnym autorem tym bardziej pobudził tych, którzy piszą po nim do podjęcia jego spuścizny i usiłowania znalezienia czegoś lepszego. Bo też i nie bez zasługi zyskał on wielką estymę; wystarczy bowiem tego, co napisał i odkrył w przedmiocie geometrii i algebry, by zdobył reputację wielkiego umysłu.

[Dodatek do listu Ch. Huygensa do Pierre’a Bayle’a, 26 II 1693 r., Oeuvres complètes de Christiaan Huygens, La Haye 1905, t. X, p. 403-406]

Rysunek, którym posługiwał się Willebrord Snel van Royen, in. Snellius, wyglądał następująco:

Promień światła biegnie tu z punktu V w gęstszym ośrodku do góry, załamując się w punkcie R. Stosunek odcinków jest stały. Snel wyjaśniał w ten sposób, czemu dno zbiornika z wodą wydaje się leżeć wyżej niż w rzeczywistości i stosował owo wyjaśnienie także do promienia padającego pionowo. Naprawdę efekt podniesienia dna będzie zależeć od kąta, pod którym patrzymy, znowu pojawia się tu kaustyka, różne promienie biegnące z ku powierzchni będą biegły pod różnymi kątami, a po załamaniu będą rozbiegać się pozornie z różnych punktów, kaustyka jest obwiednią rodziny tych promieni biegnących w ośrodku rzadszym.

Christiaana Huygensa czekała wielka kariera naukowa, był może jedynym uczonym, przed którym respekt czuł Isaac Newton, wzorując się na jego książce o zegarze wahadłowym. Wcześniej, pod koniec 1652 r. Christiaan Huygens zajął się badaniem teorii soczewek przy użyciu prawa załamania. Na marginesie tej pracy rozwiązał zagadnienie maksymalnego odchylenia promieni słonecznych w kroplach wody. Jak opisywaliśmy, Descartes uciekł się do metody numerycznej. Huygens pokazał, jak można rozwiązać matematyczny problem maksimum w tym przypadku.

Metoda Huygensa nie jest optymalna, lecz okazała się skuteczna. Przerysowaliśmy jego rysunek z niewielkimi zmianami. Łamana to droga promienia świetlnego. Zamiast wyrażać stosunek sinusów kąta padania i załamania jako stosunek odcinka do promienia okręgu piszemy – wartość współczynnika załamania, a promień okręgu uważamy za jednostkowy. Należy jednak pamiętać, że wciąż traktowano liczby rzeczywiste jako stosunki odcinków, co  zaciemniało zapis.

Szukamy takiego położenia promienia wchodzącego do kropli , żeby kąt był maksymalny. Tym samym łuk ma być maksymalny, a odcinek – minimalny. Spełnione ma być przy tym prawo załamania, co oznacza stały zadany stosunek długości odcinków . Zmienną jest odległość .

Najpierw wyznaczamy długość odcinka za pomocą tw. cosinusów zastosowanego do trójkąta . Otrzymujemy

Następnie korzystamy z tw. o iloczynie siecznych dla siecznych oraz $latex $CBM$ i stąd wyznaczamy długość

Z tw. Talesa dla zielonych równoległych znajdujemy . Szukana odległość . Ostatecznie

Do znalezienia wartości , przy której funkcja osiąga minimum, Huygens stosuje metodę Fermata. Brała się ona z zauważenia, że w ekstremum styczna do krzywej biegnie płasko, tzn. ma nachylenie 0.

Dodając do niewielką wartość , zmienimy wartość funkcji o wielkość mniejszą niż . Sprawdźmy to na przykładzie wielomianu, np. . Obliczamy

Gdy jest bardzo małe . Znaczy to, że blisko ekstremum żądamy, aby

Oprócz trywialnej równości dostajemy także nietrywialną równość

należy sobie wyobrażać, że dzielimy obustronnie przez , zanim jeszcze wartość stanie się równa zeru. Dziś powiedzielibyśmy, że pochodna funkcji ma być równa zeru w ekstremum. Współcześnie mówi się, że pochodna funkcji to liniowa część przyrostu , tzn. ta część, w której występuje w potędze pierwszej. W ekstremum owa część liniowa znika, bo każda przyzwoita funkcja w pobliżu ekstremum wygląda jak parabola w pobliżu wierzchołka. Łatwo można taką metodę uogólnić do ilorazu funkcji, jak w przypadku rozpatrywanym przez Huygensa. Znając wartość można już otrzymać np.

To kąt padania odpowiadający maksymalnemu wychyleniu promienia, czyli tzw. promieniowi Descartes’a. Promień łuku tęczy będzie równy zgodnie z tabelką francuskiego uczonego. Huygens przy okazji rozwiązał także zagadnienie odwrotne, jak znając wielkość tęczy, obliczyć współczynnik załamania. problem wymaga rozwiązania równania trzeciego stopnia.