Matematyczna historia tęczy 3: Isaac Barrow, Isaac Newton, Jakob Hermann (1669, ok. 1672, 1704)

W 1664 r. nowo utworzoną na uniwersytecie w Cambridge katedrę matematyki Lucasa objął Izaac Barrow. W okresie Republiki Barrow występował w obronie nauki przed pobożnym zapałem niektórych purytanów i nie krył sympatii rojalistycznych. Aby uniknąć konfliktu, wyjechał w kilkuletnią podróż do Francji, Włoch i na Bliski Wschód, z której wrócił niedługo przed restauracją monarchii. Został nagrodzony za wierność najpierw katedrą greki, a później katedrą matematyki. Barrow był duchownym, znawcą języków klasycznych (łącznie z hebrajskim i pewną znajomością arabskiego), lecz „stwierdziwszy, że aby zostać dobrym teologiem, musi znać chronologię, a chronologia wymaga astronomii, astronomia zaś matematyki, zajął się tą ostatnią ze znacznym powodzeniem”. Połączenie filologii martwych języków klasycznych z zamiłowaniem do matematyki było dość częstym połączeniem nie tylko wówczas, ale i później w Cambridge.

Profesor katedry Lucasa obowiązany był wykładać jakąś część geometrii, astronomii, geografii, optyki, statyki bądź jakiejś innej dyscypliny matematycznej w każdym tygodniu w ciągu jednego z trymestrów. Miał złożyć w bibliotece uniwersytetu kopie 10 spośród prowadzonych wykładów, powinien również przez kilka godzin w tygodniu udzielać odpowiedzi na pytania oraz wyjaśniać trudności studentom. Nie wolno mu było przyjąć żadnego stanowiska kościelnego związanego z duszpasterstwem albo wyjazdem na stałe ani żadnej funkcji w kolegium lub na uniwersytecie. W zamian otrzymywał jedne z najwyższych dochodów w Cambridge, przywilej uczenia (jako tutor) wyłącznie najbogatszych studentów (fellow commoners) oraz prawo noszenia szkarłatnej togi.

W 1669 r. Izaac Barrow ustąpił z katedry i spowodował, iż jego następcą został Isaac Newton. Rzadko się zdarza, aby profesor odstąpił swoje stanowisko zdolnemu młodszemu koledze. Niewątpliwie Barrow dostrzegł talent młodego Newtona i zrobił rzecz słuszną ze swego punktu widzenia: czuł się głównie duchownym i z biegiem lat zabawa matematyką wydawała mu się jałowym ćwiczeniem umysłu. Matematyką zajmował się z czystego upodobania, nie traktował jej jak powołania. Nie znaczy to, że nie osiągnął wybitnych wyników, przeciwnie zapisał się w historii matematyki jako ważny prekursor rachunku różniczkowego i całkowego, doszedł też do interesujących wyników w optyce geometrycznej, którą traktował jako czysto matematyczne ćwiczenie w stosowaniu prawa odbicia i prawa załamania.

Barrow zachęcił Isaaca Newtona do nawiązania kontaktów ze światem naukowym. Trudno powiedzieć, w jak zażyłych stosunkach pozostawali ci dwaj całkowicie odmienni ludzie, wygląda jednak na to, że Barrow potrafił zdobyć zaufanie swego nadmiernie podejrzliwego i zamkniętego w sobie, lecz nadzwyczajnie utalentowanego młodszego kolegi. Powierzał mu drobne prace w rodzaju korekty swoich wykładów z optyki, a z kolei Newton był tak uprzejmy, że nie skrytykował twierdzeń o barwach, które były już, od czasu jego własnej pracy, nieaktualne. Z pewnością nie było między nimi szerszej współpracy naukowej, starszy uczony z pewnością znał tylko mały wycinek osiągnięć Newtona z dziedziny mechaniki, optyki i matematyki. Obaj prowadzili wykłady z optyki. Wykłady Barrowa zostały wydane drukiem w roku 1669. Newton także zachęcany był do opublikowania swoich wykładów, ale jak narzekał John Collins, londyński amator wymieniający  korespondencję z wieloma uczonymi w Wielkiej Brytanii i na kontynencie, „niełatwo przekonać księgarzy do wydania czegokolwiek matematycznego oprócz jakichś bagatel” (list do Thomasa Bakera 10 II 1676/77 w S.P. Rigaud (wyd.), Correspondence). Tak zostało zresztą do dziś, Stephena Hawkinga wydawcy przekonywali, że każdy wzór matematyczny w książce zmniejsza nakład o połowę. Wykłady Newtona wydane zostały dopiero po śmierci autora. Wcześniej, bo w roku 1704, ukazała się przenoszona o trzydzieści lat Optics, gdzie jednak nacisk  położony był na fizykę eksperymentalną.

W matematyce tęczy Newton szedł śladem Barrowa. Starszy uczony ustalił, jak ogniskuje się światło po załamaniu w powierzchni sferycznej. Newton podał konstrukcję geometryczną, która pozwala znaleźć punkt ogniskowania wąskiej wiązki promieni świetlnych. Podamy Newtonowską wersję tego twierdzenia. Otwiera ono drogę do zrozumienia tego, co dzieje się w kroplach wody dających zjawisko tęczy. Metoda postępowania jest tu wyraźnie odmienna od podejścia Huygensa. Oto konstrukcja Newtona  z jego dowodem z Optical Lectures (1728), jest to u niego Proposition XXXII.

Mamy tu dwa blisko położone promienie świetlne biegnące z punktu A i załamujące się w sferycznej powierzchni o zadanym współczynniku załamania; ANZK, AnZ. Chcemy skonstruować punkt przecięcia obu promieni Z. W tym celu konstruujemy trzy kolejne punkty; R,V i Q.

1. W N wystawiamy prostopadłą do AN, jej punkt przecięcia z osią optyczną to R.
2. Z R prowadzimy prostą równoległą do AN oraz z punktu N styczną do okręgu. Punkt przecięcia obu prostych to V.
3. Z N wystawiamy prostopadłą do NK, a przez V prowadzimy równoległą do NK. Obie proste przecinają się w punkcie Q.
4. Przedłużamy QC do przecięcia z NK i to jest szukany punkt ogniskowania Z.

Dowód polega na wykazaniu, że w granicy, gdy promień An zbliża się do AN, mamy

Zgodnie z założeniem , gdzie oznaczamy współczynnik załamania (ahistorycznie, bo wtedy zapisywano go jako stosunek dwóch wielkości). Podobnie ahistoryczne są poniżej oznaczenia funkcji trygonometrycznych, ale ułatwiają zrozumienie ludziom nienawykłym do języka proporcji używanego w XVII w. Obliczamy teraz

(*) Korzystamy z podobieństwa trójkątów i tw. Talesa:

Cor. 1

Dla dowodu korzystamy z podobieństwa trójkątów oraz

Cor. 2

Przy zadanym położeniu przedmiotu A otrzymujemy położenie ogniska Z.

Dowód polega np. na zauważeniu, że

oraz

mnożąc obie proporcje stronami i korzystając z Cor.1 otrzymujemy wynik.

Cor. 3 Gdy punkt A oddala się do nieskończoności, czyli gdy padające promienie biegną równolegle do osi optycznej, ostatni wynik się upraszcza, mamy bowiem

Czytelnik zechce zauważyć, jak oszczędne są rozumowania Newtona. W czasie, gdy wygłaszał swoje wykłady z optyki dla raczej nielicznych i słabo zorientowanych słuchaczy, był już mocno zaawansowany w rachunku różniczkowym i całkowym oraz rozwinięciach w szeregi nieskończone. Dlatego naturalnym zastosowaniem powyższego wyniku jest dla niego uogólnienie do przypadku dowolnej krzywej: lokalnie bowiem każda gładka krzywa ma postać okręgu swojej krzywizny. Standardowe dziś wzory na promień krzywizny czy współrzędne środka krzywizny krzywej były Newtonowi czymś dobrze już znanym. Gdyby historia potoczyła się inaczej i uczony wydał swoje prace matematyczne już w latach siedemdziesiątych wieku XVII, to już wtedy znana byłaby większość wyników, które odkrywali pracowicie Wilhelm Gottfried Leibniz oraz bracia Johann i Jakob Bernoulli przez jakieś dwadzieścia lat począwszy od połowy lat osiemdziesiątych.

Ta ostatnia postać naszego wyniku z wniosku 3 wystarczy do opisu biegu promieni słonecznych w kropli wody. W istocie Barrow i za nim Newton uzyskali tu kaustykę powierzchni sferycznej, czyli miejsce geometryczne ognisk dla wąskich wiązek promieni. Jesteśmy tu poza przybliżeniem stosowanym w szkolnej optyce, że wszystkie promienie biegną blisko osi optycznej. Wynik jest tak ścisły jak samo prawo załamania. Tak wygląda ta kaustyka na obrazku. Promienie padające biegną równolegle wzdłuż osi Ox (promienie załamują się tylko jeden raz, prawa połówka okręgu ma znaczenie ilustracyjne).

Na drugim obrazku zieloną linią zaznaczone są ogniska promieni biegnących dalej od osi niż promień Descartes’a, czerwoną – dla promieni bliższych osi. Promieniowi Descartes’a odpowiada ognisko leżące na okręgu. Inaczej mówiąc, równoległe promienie biegnące blisko promienia Descartes’a ogniskują się na powierzchni kropli i tam ulegają odbiciu, po czym znowu wybiegają równolegle. Fakt ten wyjaśnia, czemu dostrzegamy tęczę tam, gdzie dostrzegamy: krople dla tych promieni działają jak reflektor kierujący wiązkę promieni słonecznych w innym kierunku. Trzeci obrazek pokazuje początek kaustyki w punkcie C odpowiadającym promieniowi padającemu stycznie na kroplę. W punkcie C kaustyka jest styczna do okręgu o promieniu .

Na pierwszym obrazku promień nr 7 to promień Descartes’a, widać też w górnym prawym kwadrancie zarys kaustyki, którą dokładnie widać na drugim obrazku (na fioletowo i żółto). Oczywiście, kropla działa jak soczewka dla promieni, które zamiast się odbić załamują się na tylnej powierzchni kropli, co daje znowu kaustykę dla drugiego załamania, co nas tutaj nie interesuje.

Barrow i po nim Newton zrozumieli więc, że promień Descartes’a, ten dający maksymalne odchylenie, ma tę właściwość, że bliskie mu promienie ogniskują się na tylnej powierzchni kropli i po odbiciu wychodzą znowu równoległe. Matematycznie warunek ten można przedstawić jako

Niewykluczone, że znał go już Thomas Harriot (zm. w 1621 r.), który znał także prawo załamania. Wszystkie te badania pozostawały jednak nieznane i odkryte na nowo dopiero w XX w. Niekompletność rękopisów nie pozwala dziś ustalić ponad wszelką wątpliwość, jak daleko sięgała jego prywatna wiedza, która nigdy nie stała się publiczna.

Podobnie będzie dla drugiego i dalszych łuków tęczy, tyle że promienie odbijają się N razy w kropli, zanim ją opuszczą. Stosowny rysunek zaczerpnęliśmy od Jakoba Hermanna z pracy z roku 1704. W tym czasie Edmond Halley podał wyrażenie dla kąta padania przy N-tej tęczy,  Newton ogłosił wreszcie swoją Optics (gdzie były wyniki bez metody ich otrzymania). W tym samym czasie Johann Bernoulli podał swoje wyprowadzenie, ogólnie biorąc, wszyscy potrafili już robić bez trudu to, co w czasie Huygensa (1652) i Barrowa (1669) było jeszcze wiedzą sekretną. Przyjrzyjmy się bliżej wyprowadzeniu Hermanna, choć nie był on pierwszoplanowym graczem, to przedstawił rozumowanie bardzo jasno.

Oznaczmy , . Trójkąty mamy więc

Zauważmy, że wykazaliśmy w ten sposób, że , czyli obliczyliśmy pochodną funkcji sinus w sposób graficzny. Dalej mamy,

Korzystamy z podobieństwa trójkątów :

W przypadku pierwszego łuku tęczy kąt odchylenia promienia po jednym odbiciu równy jest , wobec tego warunek stacjonarności to . Podstawiając uzyskane wyżej wyrażenia, dostajemy warunek dla kąta Descartes’a:

Warunek ogniskowania na tylnej powierzchni kropli, to zarazem warunek stacjonarności. Jeśli wyobrazimy sobie promienie padające na krople w rosnącej od zera odległości od środka, punkt K przecięcia promienia załamanego z okręgiem na rysunku Hermanna będzie wędrował. Jego najwyższe położenie odpowiada stacjonarności odchylenia, czyli matematycznie . Ten ostatni warunek jest równoważny , czyli w myśl Cor. 3: .

Dla porównania technik obliczmy jeszcze ekstremalny kąt odchylenia współczesnymi metodami. Nadal traktujemy jako zmienną. Kąt odchylenia promienia od początkowego kierunku w każdym załamaniu równy jest , a w każdym odbiciu . Zatem po dwóch załamaniach i N odbiciach wewnątrz kropli kąt z kierunkiem środka tęczy równy będzie

Kąt z kierunkiem środka tęczy to . Można to wyrazić jawnie jako funkcję z dokładnością do znaku i stałych addytywnych:

Warunek znikania pierwszej pochodnej daje

Zauważmy, że obliczenie i rysunek Hermanna dają nam dokładnie to samo: jest to geometryczne wyjaśnienie nie tylko faktu, że , ale i tego, że Warunek na N-ty promień Descartes’a przyjmuje postać

Wykres odchylenia w funkcji ma następującą postać pomiędzy dwoma łukami mamy „obszar zabroniony”, czyli ciemnię Aleksandra z Afrodyzji:

Zauważmy, że ekstrema są łaskie, co oznacza, że w sporym zakresie kątów padania, otrzymujemy niemal takie same kąty odchylenia. Osobne wykresy narysowaliśmy dla skrajnych barw widma. I tu przechodzimy do najważniejszego odkrycia Isaaca Newtona dotyczącego fizyki światła. Descartes chwalił się, że wyjaśnił barwy tęczy (teoria rotacji kulek), ale naprawdę dokonał tego Isaac Newton. W kilkudziesięciu znanych z jego rękopisów i publikacji eksperymentach dowiódł, że prawo załamania obowiązuje dokładniej, niż się spodziewano: każdej barwie odpowiada nieco inny współczynnik załamania. Gdy w roku 1672 opublikował swe odkrycie w „Philosophical Transactions” wywołał długą polemikę, po której zamilkł na kilkanaście lat. Odkrycie, że światło białe składa się z promieni o różnym współczynniku załamania i barwie, rozstrzygało ciągnącą się dwa tysiące lat dyskusję filozoficzną. Ostatecznie okazywało się, że za zjawiska barwne odpowiadają różne rodzaje światła i nic więcej. Światło monochromatyczne byłoby więc złożone z takich samych cząstek, które zachowują się zawsze tak samo w eksperymentach. Newton wyobrażał sobie, że mogą one mieć np. taką samą masę albo taką samą prędkość. Załamanie w pryzmacie czy np. zjawisko całkowitego odbicia wewnętrznego pozwala rozseparować owe cząstki światła. Tym, co widzimy jako barwę, jest pewna średnia ważona z barw promieni świetlnych, które do nas docierają.

Descartes zapoczątkował program badań nad skonstruowaniem idealnej soczewki, która ogniskowałaby całe światło w jednym punkcie. Wprowadził w ten sposób do nauki m.in. owale Descartesa (Kartezjusza). Szukał przyszłości teleskopów w szlifowaniu soczewek o innych niż sferyczna powierzchniach. Huygens poświęcił cały traktat zagadnieniu soczewek, choć jako praktyk (szlifowali razem z bratem Constatijnem soczewki do swoich teleskopów) starał się dobrać takie powierzchnie sferyczne, aby aberracja jak najmniej przeszkadzała. Newton położył kres temu programowi, wykazał w swoich wykładach i potem w Optics, że poważniejszą wadą teleskopów jest aberracja chromatyczna: każde załamanie powoduje rozdzielenie przestrzenne różnych barw i trudno sprawić, żeby tak rozdzielone promienie skupiły się z powrotem w jednym punkcie. A właściwie jest to ściśle biorąc niemożliwe, choć można w praktyce budować dobre obiektywy achromatyczne, dobierając odpowiednie i różne rodzaje szkła. Dyspersja, czyli zależność współczynnika załamania od barwy, w czasach Newtona była niemożliwa do wyjaśnienia, praktycznie biorąc dopiero mechanika kwantowa pozwala objaśniać teoretycznie optyczne własności materiałów, choć nawet teraz łatwiej te własności zmierzyć niż obliczyć teoretycznie.

Optyka geometryczna, optyka promieni świetlnych, nie może nam więcej powiedzieć na temat zjawiska tęczy. Szczegóły ilościowe proporcji natężenia odbitego i załamanego światła także musiały poczekać do wieku XIX: są to tzw. współczynniki Fresnela zależne od polaryzacji fali. To, co widzimy, zależy także od czułości naszego oka na różne barwy, w XVII w. nic o tym nie wiedziano, dopiero na początku wieku XIX odkryto promieniowanie podczerwone i nadfioletowe i zdano sobie w pełni sprawę, że widzimy tylko mały wycinek widma. Isaac Newton, który wierzył, iż światło składa się z cząstek, rozumiał doskonale, że cząstki te mają pewne niezwykłe właściwości. W pobliżu przeszkód nie biegną prostoliniowo. W kryształach szpatu islandzkiego (kalcytu) załamują się na dwa różne sposoby. Odbijając się w cienkiej warstwie „wiedzą” o tym, jak gruba jest ta warstwa. Nawet tak proste zjawisko jak częściowe odbicie niełatwo zrozumieć w ramach teorii korpuskularnej: skąd cząstka światła „wie”, czy się odbić, czy załamać? I dlaczego zachodzi to zawsze w takich samych proporcjach? Foton oczywiście nie wie, co zrobić. Mechanika kwantowa przewiduje tylko prawdopodobieństwa odbicia i przejścia fotonu przez granicę ośrodków.

Kończymy tę część rysunkami z Optics z roku 1704 przedstawiającymi bieg promieni w tęczy, obliczenie szerokości łuków to niewątpliwy tryumf Newtona. Współczynniki załamania wody dla skrajnych promieni równe są wg jego pomiarów 108/81 (czerwień) i 109/81 (fiolet). Daje to dla pierwszego łuku tęczy szerokość 1°45′, a po doliczeniu kątowej średnicy Słońca: 2°15′. Podobnie dla zewnętrznego łuku otrzymujemy 3°10′ i 3°45′.