Jak Johannes Kepler odkrył eliptyczny kształt orbity Marsa? (1605)

Kepler był pierwszym liczącym się naukowo zwolennikiem teorii heliocentrycznej. Otaczał wielką czcią postać Mikołaja Kopernika, ale astronomię zbudował właściwie na nowo. Zawiłą drogę do odkrycia tego, co dziś nazywamy dwoma pierwszymi prawami Keplera, opisał w legendarnie trudnej książce Astronomia nova. Dotyczyła ona głównie ruchu Marsa, częściowo także Ziemi. Uczony miał do dyspozycji wieloletnie precyzyjne obserwacje Tychona Brahego. Na ich podstawie zbudował teorię, która dorównywała im dokładnością, był to największy krok od czasów starożytnych Greków. Bez tak precyzyjnej teorii trudno sobie wyobrazić odkrycie prawa ciążenia przez Isaaca Newtona. Sam Newton sądził, iż Kepler wiedział, że orbity planet są owalne, a odgadł, że są one eliptyczne. W jakimś stopniu miał rację: nawet obserwacje Tychona, najlepsze, jakie kiedykolwiek zgromadzono, były zbyt mało dokładne, aby precyzyjnie wyznaczyć kształt orbity szukając jej punkt po punkcie. Odkrycie było więc wynikiem konfrontowania rozważań teoretycznych i obserwacji.
W praktyce dzięki pomysłowym metodom postępowania Kepler potrafił z dużą dokładnością wyznaczyć kierunek Słońce-Mars w zależności od czasu oraz z mniejszą dokładnością odległości planety od Słońca w różnych chwilach. Jego zdaniem Mars poruszany jest przez jakąś siłę emanującą ze Słońca. A właściwie wyobrażał sobie nawet dwie takie siły, pamiętajmy, że mechanika była wciąż na etapie arystotelesowskim: siła ciągnie albo popycha – ciało się porusza, siła przestaje działać – ciało staje. Była to dynamika przesuwanej szafy. Mimo to lepsza była taka dynamika niż żadna. Przed Keplerem, a i po nim, wyobrażano sobie ruchy planet jako coś całkowicie odmiennego od mechaniki ziemskich przedmiotów. Dla Kopernika Słońce było centralną latarnią w świecie, a nie źródłem siły.
Kepler przyjął, że ruch Marsa wokół Słońca zachodzi po krzywej zamkniętej. Najprościej było przyjąć, że jest nią okrąg o umownym promieniu równym 1. Musimy jednak wtedy Słońce odsunąć od środka okręgu o pewną wielkość znaną z obserwacji, tzw. mimośród orbity. W przypadku Marsa \mbox{AS}=e \approx 1/11.

mars 1 area law

Wiadomo też z obserwacji, że planeta porusza się szybciej, gdy jest bliżej Słońca. Z takim ruchem niejednostajnym Kepler zmierzył się jako pierwszy. Intuicyjnie wydawało mu się to zrozumiałe, że z mniejszej odległości Słońce oddziałuje silniej, a więc porusza szybciej naszą planetą (Wyobrażał sobie, że Słońce wiruje wokół osi i niejako zagarnia planety swoim polem siłowym, toteż ucieszył się, kiedy odkryto wirowanie Słońca wokół osi). Uprościmy rozważania na ten temat, zakładając tzw. prawo pól, czyli dziś II prawo Keplera. W trakcie swej wojny z Marsem (jak sam ją określał w alegorycznym duchu epoki) astronom stosował także różne inne przybliżenia, które dla uproszczenia pominiemy. Prawo pól mówi, że pole powierzchni zakreślonej przez promień wodzący Marsa, czyli np. powierzchni SCM jest proporcjonalne do czasu. Np. pole wycinka SM’C jest mniej więcej równe polu BAC, czyli ćwiartce koła. Znaczy to, że Mars znajdzie się w tym położeniu po jednej czwartej obiegu. Po połowie obiegu znajdzie się oczywiście w punkcie najbliższym Słońca (peryhelium).
Na przebycie łuku orbity CM planeta potrzebuje czasu t, który spełnia następującą proporcję

\dfrac{t}{T}=\dfrac{\mbox{pole MAC}+\mbox{pole SAM}}{\pi}\Rightarrow t=\beta+e\sin\beta.

Przyjęliśmy umownie, że okres obiegu Marsa T=2\pi. Jest to tzw. równanie Keplera. Kąt \beta nazywa się anomalią mimośrodową. Nie jest to wprawdzie ten kąt, który może wprost zainteresować astronoma i który można wyznaczyć z obserwacji (choć nie wprost – trudno umieścić się na Słońcu!). Istotnym obserwacyjnie kątem jest MSC, tzw. anomalia prawdziwa. Z rysunku widać, że anomalię tę można wyznaczyć w sposób trygonometryczny. Mając \beta, możemy więc znaleźć czas i położenie planety. Równanie Keplera jest przestępne, nie można podać prostego wyrażenia na funkcję \beta(t), był to jeden z kłopotów Keplera, a potem wszystkich następnych astronomów, gdyż równanie Keplera obowiązuje także dla orbity eliptycznej. Od teraz będziemy zakładać prawo pól dla każdego kształtu orbity. Kiedy zastosuje się je do Marsa, anomalie prawdziwe (czyli kąty widziane ze Słońca) różnią się od obserwowanych mniej więcej tak:

mars circular errors

(rysunek wg pracy H. Martynki)

Różnice nie są wielkie, lecz w miarę wyraźne. Kepler znał tylko kilka punktów tej krzywej, nie miał do dyspozycji żadnych narzędzi obliczeniowych, nawet logarytmy były nieznane, każde mnożenie, dzielenie itd. trzeba było mozolnie wykonywać krok po kroku. Obserwacje Tychona pozwalały na błędy rzędu jednej albo dwóch minut kątowych (bez użycia teleskopu nie da się zresztą rozróżnić mniejszych kątów, patrz George Biddell Airy: Jak drobne szczegóły można dostrzec przez teleskop? Nasze oko ograniczone jest średnicą źrenicy, a także gęstością komórek światłoczułych na siatkówce). Kepler sprawdził także, że orbita Marsa powinna być odrobinę spłaszczona. Rzecz jednak w tym, że nie szukał jedynie odpowiedniej krzywej, ale chciał także, żeby jej kształt wynikał jakoś z mechaniki. Wpadł na pomysł dość dziwaczny dla nas, ale uzasadniony tradycją astronomii: na dużym kole (deferencie) obraca się małe koło (epicykl). Można taką konstrukcją zastąpić okrąg rozważany wyżej.

mars2 ekscent

Odcinek CM jest stale równoległy do SA. Można albo sobie wyobrażać ruch po czerwonym okręgu albo po dwóch czarnych, wynik będzie ten sam. Nowy pomysł Keplera polegał na tym, aby epicykl nadal obracał się jednostajnie, ale ruch planety miał być niejednostajny: w rezultacie kąt NXM będzie większy niż kąt NSC i wypadkowa krzywa stanie się spłaszczonym nieco owalem. Jednostajny obrót epicykla uważał Kepler za możliwy fizycznie (wymagało to jakiejś dodatkowej siły wywołującej ten obrót, ale tak czy owak potrzebował dwóch różnych sił: jednej wywołującej krążenie wokół Słońca oraz drugiej na przemian zbliżającej i oddalającej planetę od Słońca).

mars oval

Owal też nie spełnił zadania. Kepler miał kłopoty z obliczeniem jego kształtu, choć zadanie nie jest szczególnie trudne, gdy zastosować trygonometrię w zapisie algebraicznym albo prosty rachunek całkowy – narzędzia te nie były mu dostępne, bo ich jeszcze nie było. Błędy w anomaliach prawdziwych okazały się teraz równie duże co poprzednio, miały jednak inne znaki.

mars errors oval

(rysunek wg pracy H. Martynki)

Wskazywało to na zbytnie spłaszczenie owalu w stosunku do rzeczywistości. Owal miał rzeczywiście kształt jajka (ovum), choć w praktyce jajo to nie różniło się wiele od elipsy i w jakimś momencie Kepler zaczął je przybliżać elipsą. Nie zauważył, że prawo pól zastosowane do różnych elips oznacza, że planety tak się poruszające znajdują się w każdej chwili na jednej linii prostopadłej do osi NMM’. Zatem jeśli błękitna elipsa daje położenie M’, a okrąg położenie N i oba są z przeciwnym błędem, to rozwiązaniem powinna być elipsa pośrednia między tymi dwiema (okrąg to też elipsa).

mars 3 ellipses

W każdym z tych przypadków słuszne jest równanie Keplera, które wypisaliśmy wyżej. Kepler szukał jednak wyjaśnienia fizycznego: owal miał jakieś uzasadnienie, inna elipsa nie bardzo. Bez epicykla i bez okręgu znalazł się w kropce. Wrócił do odległości. Owal był nieco węższy w kierunku prostopadłym do osi (linia łącząca położenie najbliższe i najdalsze od Słońca, u nas pozioma). Między okręgiem a owalem zostawał cienki sierp, lunula – jak go określił.

mars lunulae1

Astronom wiedział, że prawdziwy tor planety mieści się gdzieś pośrodku. Obserwowane odległości nie przesądzały jednak gdzie dokładnie. Wczesną wiosną 1605 roku zauważył dość szczególne prawo, które pasowało do obserwacji i tego, co wiedział.

mars click

Najpierw przyjrzyjmy się niebieskiemu trójkątowi SKA. Kepler wiedział, że kąt na rysunku równy jest dla Marsa \varphi=5^{\circ} 18'. Przy takim kącie SK=1,00429, a więc do jedynki dodana jest mniej więcej połowa szerokości lunuli. Tymczasem odległość SM powinna być równa wówczas 1. Czyli tam, gdzie orbita jest najwęższa, od okręgu należałoby ująć mniej więcej 0,00429. Prawo, które zaproponował, przedstawione jest na rysunku. Zamiast odległości SN należało w każdym punkcie wziąć odległość ND – była to więc reguła, o ile należy skrócić promień w stosunku do promienia wodzącego SN (N leży na okręgu). Zapisane trygonometrycznie prawo to ma rzeczywiście prostą postać

r=1+e\sin\beta.

Można było mieć nadzieję, że tak proste prawo wynika jakoś z mechaniki. Miało ono zastąpić ów nieszczęsny epicykl, który sprawił mu mnóstwo zachodu. Brakowało jeszcze ustalenia, w którym kierunku należy odłożyć ową odległość r. W końcu zauważył, że prawidłowy rysunek wygląda następująco.

mars kepler ellipse

Można wykazać, że odkładając odległość DN jako SM (obie zaznaczone są na niebiesko), otrzymujemy punkt M leżący na elipsie. Spośród wszystkich elips, które mają taką samą długość dużej półosi, wybieramy dzięki tej konstrukcji taką, że Słońce znajduje się w jej ognisku (sam astronom nie zauważył tego w pierwszej chwili). Nie jest to oczywisty sposób na skonstruowanie elipsy, ale jest on prawidłowy. Zapisane przez nas równania oraz łatwy do wyznaczenia z rysunku kąt anomalii prawdziwej dają nam równania ruchu planety w postaci parametrycznej, gdzie \beta jest parametrem. Zauważmy, że linia AN nie celuje ku planecie, lecz ku pewnemu punktowi na pomocniczym okręgu. Konstrukcja jest dość zawiła, ale nie da się tego zrobić dużo prościej, to ruchy planet są skomplikowane.
W rzeczywistości orbity Marsa rozpatrywane przez Keplera bardzo mało się od siebie różnią. Na rysunku przedstawiłem przypadek e=0,4, mimośrody planet nie są tak duże. Widzimy, dlaczego starożytne teorie oparte na okręgach działały tak dobrze.

mars e equal04

(rysunek wg pracy H. Martynki)

A tak poprawiła się dokładność przewidywań w teorii Keplera w porównaniu z efemerydami przed nim.

marspos

Dane O. Gingericha

Dla porządku zapiszę jeszcze wzory dla anomalii prawdziwej v, czyli kąta MSC na rysunku wyżej. Rzutując SM na prostą SC, otrzymujemy:

r\cos v=e+\cos\beta.

Rzutując SM na prostą NM, otrzymujemy:

r\sin v=\sqrt{1-e^2}\sin\beta,

gdzie \sqrt{1-e^2} jest stosunkiem długości małej osi elipsy do dużej. Łatwo stąd otrzymać także biegunowe równanie elipsy, lepiej znane niż wzór Keplera na r. Mnożąc obie strony wzoru z \cos v przez e oraz dodając do obu stron 1, mamy:

1+er\cos v=e^2+(1+e\cos\beta)=e^2+r.

Wyznaczając r, dostajemy równanie elipsy

r=\dfrac{1-e^2}{1-e\cos v}.

W podręcznikach cosinusy mają inne znaki, ponieważ my trzymamy się historycznego sposobu liczenia kątów od aphelium, a obecnie liczy się od perihelium: \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha. Owal Keplera ma równanie

r=\dfrac{1-e^2}{\sqrt{1-2e\cos v+e^2}}.

Arystarch z Samos (przed 230 r. p.n.e.)

Archimedes wspomina o jego osobliwym poglądzie na wszechświat:

Wedle jego hipotez gwiazdy stałe oraz Słońce są nieruchome, Ziemia unoszona jest po kole wokół centralnie położonego Słońca, a sfera gwiazd stałych (mająca ten sam środek co Słońce) jest tak ogromna, iż koło, po którym według niego unoszona jest Ziemia, ma się do odległości gwiazd stałych jak środek sfery do jej powierzchni.

Następnie Archimedes udaje, że nie rozumie, o co chodzi: środek sfery to punkt, a więc nie jest w żadnej proporcji do promienia sfery. Arystarch najwyraźniej miał na myśli tylko tyle, że sfera gwiazd stałych musi być ogromna w porównaniu do orbity Ziemi, inaczej dostrzeglibyśmy, że gwiazdy przesuwają się w cyklu rocznym. Wymaganie takie było konieczne w każdej teorii heliocentrycznej, paralaksę roczną odkryto bowiem dopiero w 1838 roku, wcześniej było to technicznie niemożliwe. Pogląd Arystarcha nie przyjął się wśród greckich astronomów, można tylko spekulować, dlaczego tak się stało. Ścisła astronomia matematyczna Greków miała dopiero powstać. Najprawdopodobniej system geocentryczny pozwalał zdać sprawę z obserwowanych zjawisk, nie prowadząc do żadnych paradoksów i nie zmuszając naszej wyobraźni do gwałtownego przeskoku. Toteż poczekaliśmy na ów przeskok jeszcze trochę, bo aż do Kopernika, a właściwie Keplera i Galileusza.

Arystarch pochodził z Samos, tak jak Pitagoras, Azja Mniejsza i pobliskie wyspy (obecnie wybrzeże Turcji i wyspy greckie – okolice pojawiające się w newsach z powodu imigrantów) to kolebka naszej cywilizacji naukowej. W czasach Arystarcha, w pierwszej połowie III w.p.n.e., upłynęły już trzy wieki od Talesa z Miletu, nauka przeniosła się do Aleksandrii. Dwa pokolenia przed Arystarchem Euklides zebrał większość znanej wiedzy geometrycznej w Elementy, jedną z najważniejszych książek w dziejach ludzkości. Arystarch także przebywał w Aleksandrii, ale nie znamy szczegółów. To, co wiemy o tych greckich uczonych: ich najważniejsze dzieła, nie zawsze w całości, i prawie żadnych szczegółów biograficznych, bliskie jest ideałowi Alberta Einsteina. Sądził on, że liczą się tylko osiągnięcia, a błędy i biografia to rzeczy nieistotne.

Znany był jako Arystarch Matematyk, zapewne dla odróżnienia od imienników o odmiennych zainteresowaniach. Zachowała się jedna tylko jego praca: O rozmiarach i odległościach Słońca i Księżyca. Jak na matematyka przystało, szacuje on owe odległości z góry i z dołu. Największe znaczenie miało jego oszacowanie odległości Ziemia-Słońce w porównaniu do odległości Ziemia-Księżyc. Wyszło mu, że Słońce jest od nas 18 do 20 razy dalej niż Księżyc, a tym samym, że musi ono być mniej więcej tyle samo razy większe od naszego satelity, gdyż średnice kątowe obu ciał są jednakowe – wiemy to z przebiegu zaćmień Słońca. Liczby podane przez Arystarcha są mniej więcej 20 razy zaniżone, ale wynik ten przyjmowali wszyscy astronomowie aż do Kopernika. Kepler nieco je poprawił, ale też właściwie nic pewnego nie wiedział. Odległość Ziemia-Słońce wyznaczono poprawnie dopiero w drugiej połowie XVII wieku.

arystarch0

Istotę rozumowania Arystarcha przedstawia rysunek. Przyjął on założenie, że kiedy widzimy dokładnie połowę Księżyca, kąt między nim a Słońcem równy jest 87º. Dokładnie biorąc, nie używano wtedy stopni, Arystarch mówi, że kąt jest mniejszy od kąta prostego o 1/30 kąta prostego. Według naszej wiedzy trygonometrycznej, stosunek obu odległości równy jest

\dfrac{d}{r}=\dfrac{1}{\sin 3^{\circ}}

Co trzeba zrobić? Wystarczy wpisać w Google’a: sin(3 deg), a otrzymamy wynik: 0.0523359562. Wartość 1/sin(3 deg) jest równa mniej więcej 19. Oczywiście, w czasach Arystarcha nie było Google’a, nie było też pojęcia funkcji sinus, które z Indii przeszło do Arabów i następnie do Europy, ale dużo później. Używali go dopiero Regiomontanus i Kopernik, który pierwszy ogłosił tablice sinusów. Grecka trygonometria powstała dużo później niż działał Arystarch. A więc jak oszacować wielkość sinusa (my dla wygody będziemy używać funkcji trygonometrycznych i kątów wyrażonych w stopniach), kiedy nie mamy nic? Arystarch wiedział, jak szybko rosną sinusy i tangensy wraz z kątem. Można to przedstawić rysunkiem.

arystarch

Widzimy z niego, że dodając takie same kąty, dodajemy coraz mniejsze wartości do sinusa (z lewej strony) i coraz większe odcinki do tangensa (z prawej strony). Nie wiemy, czy umiał tego dowieść, zachowane dowody tych faktów są dużo późniejsze. Intuicyjnie rzecz jest jednak jasna. Mamy nierówności:

\dfrac{\sin n\alpha}{\sin\alpha} < n<\dfrac{\mbox{tg}\: n\alpha}{\mbox{tg}\: \alpha}.

 

Jedno oszacowanie jest proste:

\dfrac{\sin 30^{\circ}}{\sin 3^{\circ}}<10\Rightarrow \dfrac{1}{\sin 3^{\circ}}<20.

Skorzystaliśmy z wartości sinusa 30º – a tę ostatnią można znaleźć, przepoławiając trójkąt równoboczny.

Do drugiego oszacowania można użyć funkcji tangens (oczywiście Arystarch mówił o pewnych proporcjach). Np.

\dfrac{1}{\sin 3^{\circ}}>\dfrac{\cos 3^{\circ}}{\sin 3^{\circ}}=\dfrac{1}{\mbox{tg}\: 3^{\circ}}>\dfrac{15}{\mbox{tg}\: 45^{\circ}}=15.

Arystarch nie poszedł jednak na łatwiznę i znalazł oszacowanie dla \mbox{tg}\: 22,5^{\circ}, co pozwala ulepszyć wynik. Oto, jak rozumował, szukając tej wartości.

arystarch2

Mamy tu łuk okręgu o promieniu równym 1. Rysujemy dwusieczną kąta prostego, a potem jeszcze raz dwusieczną (linia kropkowana), szukaną wartość x możemy odnaleźć w trójkącie prostokątnym ABC, który jest także równoramienny. Stosując twierdzenie Pitagorasa (rodaka z Samos), otrzymamy równanie kwadratowe, które pozwala wyrazić x przez \sqrt{2}. Arystarch szukał czegoś prostszego, napisał więc następujące szacowanie:

(1-x)^2=2x^2>\dfrac{49}{25}x^2=\left(\dfrac{7}{5}x\right)^2,

opuszczając kwadraty po obu stronach i wyznaczając x, dostajemy

x=\mbox{tg}\: 22,5^{\circ}<\dfrac{5}{12}\Rightarrow \dfrac{1}{\mbox{tg}\: 22,5^{\circ}}>\dfrac{12}{5}.

\dfrac{1}{\sin 3^{\circ}}>\dfrac{1}{\mbox{tg}\: 3^{\circ}}>\dfrac{22,5}{3}\dfrac{1}{\mbox{tg}\: 22,5^{\circ}}>18.

Mamy więc wynik Arystarcha. Znaczył on, że Słońce jest wielkie w porównaniu z Księżycem, a także z Ziemią (oszacował on też odległość Księżyca od Ziemi). Być może z powodu wielkości Słońca, Arystarch zaczął rozważać hipotezę heliocentryczną: naturalniej wygląda, gdy mniejsze ciało krąży wokół większego niż odwrotnie. Wartość kąta 87º przyjęta była najprawdopodobniej tylko po to, żeby pokazać, że nawet jak się weźmie jakiś mały kąt, to można oszacować stosunki boków w trójkącie. Jak na matematyka przystało, nie przejmował się bardzo rzeczywistymi wartościami liczbowymi, jeśli nie są całkowite albo nie mają jakichś szczególnych własności. Ironią historii niedbałe szacowanie Arystarcha przetrwało aż po XVII wiek. Już po Arystarchu wyznaczono odległość Księżyca od Ziemi na 60 promieni ziemskich. Słońce byłoby więc w odległości 1200 promieni ziemskich. Przyjmując jeszcze, ze sfery planet powinny do siebie przylegać, wyznaczano wielkość wszystkich sfer aż do gwiazd stałych. Oczywiście, nic to nie miało wspólnego z rzeczywistością.

Nawiasem mówiąc wartość \sin 3^{\circ} daje się wyrazić przez ułamki i pierwiastki z liczb całkowitych, co oznacza, że można ją uzyskać za pomocą jakiejś konstrukcji geometrycznej. Dokładne wyrażenie wygląda następująco:

\sin(3^{\circ})=-\frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{8}-\frac{1}{8 \sqrt{2}}+\frac{\sqrt{\frac{5}{2}}}{8}+\frac{\sqrt{\frac{15}{2}}}{8}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} \left(\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}\right)}-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2} \left(\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}\right)}ˆ

Johannes Kepler: Jak w wolnych chwilach odkryć tajemnicę kosmosu? (1595)


W lipcu 1595 roku Johannes Kepler był dwudziestotrzyletnim nauczycielem w luterańskiej szkole w Grazu w Styrii. Przysłano go tam z Tybingi, gdzie się uczył i miał nadzieję zostać teologiem. Był jednak biedny i korzystał z książęcego stypendium, musiał więc pojechać do Grazu, kiedy tylko zwierzchnicy tak postanowili. Nawiasem mówiąc, Wirtembergia z czasów Keplera miała znakomity system edukacyjny, w którym biedny, lecz uzdolniony młodzieniec mógł przejść przez szkoły wszystkich stopni, nie płacąc ani za naukę, ani za utrzymanie w bursie. A był to przecież XVI wiek! Rządzący kierowali się głównie względami religijnymi: potrzeba było jak najwięcej wykształconych teologów luterańskich, ale uczono porządnie, choć raczej w duchu konserwatywnym.
Kepler podczas studiów zainteresował się astronomią, i to heliocentryczną – jego nauczyciel Michael Mästlin był bowiem jednym z niewielu zwolenników Kopernika. Pół wieku po ukazaniu się dzieła toruńskiego astronoma, zwolenników jego nauk można było policzyć na palcach jednej ręki. Nie było mowy o żadnym przewrocie kopernikańskim, ponieważ prawie nikt nie wierzył, iż Ziemia naprawdę się porusza, a przedstawiony przez Kopernika system to coś więcej niż ćwiczenie z zakresu matematyki stosowanej, bez konsekwencji kosmologicznych.
Kepler w Grazu wciąż chciał myśleć, że po kilku latach wróci do Tybingi i dokończy studia teologiczne. Stało się inaczej, pochłonęła go astronomia (i astrologia), a i władze w Tybindze niezbyt chyba chciały mieć Keplera z powrotem. Był prawdziwie pobożny, ale jak często się to zdarza takim ludziom, nie był ostrożny w wypowiadaniu poglądów i mówił to, w co wierzył. A zwierzchnikom chodziło raczej o ujednoliconą doktrynę, nie o prywatne przemyślenia. Posłuszeństwo ceniono wyżej niż błyskotliwość i gorący zapał.
Uczył w Grazu przedmiotów matematycznych, co obejmowało astrologię. Młody nauczyciel lubił opowiadać nie tylko, co myśli, ale także jak do tego doszedł. Dzięki temu wiemy, że zajął się latem 1595 roku astronomią kopernikańską: „Kiedy pragnąłem dobrze i zgodnie z kierunkiem pracy spędzić czas wolny od zajęć” [ten i poniższe cytaty za: J. Kepler, Tajemnica kosmosu, przeł. M. Skrzypczak i E. Zakrzewska-Gębka, Ossolineum 1972, nieznacznie zmienione].
W astronomii Kopernika proporcje orbit planetarnych wyznaczone są przez obserwacje. Jeśli nawet system heliocentryczny był nieco prostszy, to nasuwało się pytanie: czemu sfery planet są takiej a nie innej wielkości? Jeśli była to rzeczywista architektura kosmosu, to czym kierował się boski Architekt?

solar

A były głównie trzy problemy, których przyczyn, dlaczego jest tak a nie inaczej szukałem, a mianowicie liczba, wielkość i ruch sfer. Odwagi dodała mi owa idealna zgodność pozostających w bezruchu Słońca, gwiazd stałych i przestrzeni pośredniej, z Bogiem-Ojcem, Synem i Duchem Świętym. (…) Początkowo rozważałem zagadnienie w zależności od liczb i zastanawiałem się, czy jedna sfera może być dwa, trzy, cztery razy większa od drugiej w teorii Kopernika. Wiele czasu poświęciłem tej pracy jakby zabawie, ponieważ nie ukazywała się żadna zgodność ani samych proporcji, ani jej przyrostu. Nie osiągnąłem z tego żadnych korzyści; wbiłem sobie jednak głęboko w pamięć odległości, tak jak zostały podane przez Kopernika. (…) Wydaje się, jakoby ruch zawsze podążał za odległością i że gdzie istniał wielki przeskok między sferami, to podobny przeskok występował także między ich ruchami.

Warto zauważyć, że już wtedy Kepler usiłował dociekać, jaka jest zależność między okresem obrotu a wielkością sfery (czyli orbity) planety – w roku 1618 odkrył ścisłe prawo rządzące tą zależnością, zwane dziś III prawem Keplera. Był to więc jeden z problemów, nad którymi rozmyślał całe życie. Młody nauczyciel był pomysłowy: próbował np. umieścić między Marsem a Jowiszem nową planetę, a inną między Wenus i Merkurym, sprawdzając, czy wtedy proporcje jakoś orbit dadzą się lepiej zrozumieć. Teoretycznie było możliwe, że krążą tam gdzieś jakieś niewielkie i nie wykryte planety. Między Marsem a Jowiszem rzeczywiście krąży wiele takich ciał, znanych jako planetoidy. Badał też inne pomysły. Wszystko na próżno.

Prawie całe lato straciłem na tych męczarniach. W końcu przy jakiejś drobnej okazji przybliżyłem się do sedna sprawy. Uznałem, że z bożej łaski udało mi się znaleźć przypadkowo to, czego wcześniej nie mogłem osiągnąć pracą. Uwierzyłem w to tym bardziej, że zawsze prosiłem Boga, aby pozwolił ziścić się moim zamiarom, jeśli Kopernik miał słuszność. W dniu 19 lipca 1595 r., zamierzając pokazać moim słuchaczom skok wielkich koniunkcji przez osiem znaków (…) wpisałem w jedno koło wiele trójkątów, albo quasi-trójkątów, tak aby koniec jednego był początkiem drugiego.

koniunkcje

 

Rysunek przedstawia koniunkcje Jowisza i Saturna na tle znaków zodiaku – jest więc całkowicie abstrakcyjny. Koniunkcje te powtarzają się w odległości około jednej trzeciej zodiaku, jeśli połączyć te punkty liniami, uzyskuje się rysunek Keplera. Sądzono, że te koniunkcje mają ważne znaczenie astrologiczne, stąd taki temat lekcji. Kepler dostrzegł jednak w tym rysunku coś innego:

triangles

Teraz mamy trójkąt wpisany między dwa okręgi. Mogłyby to być sfery Saturna i Jowisza – dwóch planet najdalszych od Słońca. Może więc kwadrat należy wpisać między sferę Jowisza i Marsa itd. Pojawia się jednak kłopot: mamy tylko sześć planet (znanych ówcześnie), a wieloboków foremnych jest nieskończenie wiele. Konstrukcja powinna wyjaśniać, czemu jest akurat sześć planet, a nie np. 120. Wtedy przypomniał sobie Kepler XIII księgę Elementów Euklidesa. Grecki matematyk dowodzi tam, że istnieje dokładnie pięć wielościanów foremnych, czyli takich, że wszystkie ich ściany są jednakowymi wielobokami foremnymi.Platonic_solids

Rysunek: Wikipedia, Максим Пе

W Platońskim Timajosie wielościany te powiązane są z pięcioma elementami, z których zbudowany jest kosmos: sześcian z ziemią, dwudziestościan z wodą, ośmiościan z powietrzem, czworościan z ogniem, a dwunastościan z eterem wypełniającym wszechświat. Była to wówczas śmiała spekulacja oparta na najnowszej matematyce Teajteta, jednego z uczniów Platona. Teraz Kepler znalazł dla tych wielościanów nowe zastosowanie. Należało między sześć sfer planetarnych wpisać owe pięć brył platońskich.

kepler

Jest to konstrukcja zawrotna: pewien głęboki fakt matematyczny został powiązany z układem planetarnym – dla Keplera nasz układ był jedyny we wszechświecie, a Stwórca myślał językiem geometrii. Pozostawało tylko zająć się szczegółami: kolejnością brył, kwestią, jak cienkie powinny być sfery planetarne, czy ich środek liczyć od środka orbity Ziemi, czy od Słońca. Rozwiązana została tajemnica kopernikańskiego kosmosu. I taki właśnie tytuł: Tajemnica kosmosu, nosiło dziełko opublikowane przez Keplera w następnym roku. Zwracał się w nim do czytelnika: „Nie znajdziesz nowych i nieznanych planet, jak te, o których mówiłem nieco wyżej – nie zdobyłem się na taką zuchwałość. Znajdziesz te stare (…) tak jednak utwierdzone, że mógłbyś odpowiedzieć rolnikowi pytającemu, na jakich hakach zawieszone jest niebo, że nie osuwa się”.

Nasz Układ Słoneczny okazał się raczej dziełem dość chaotycznych procesów niż wytworem Platońskiego demiurga. Proporcje orbit nie wynikają z żadnej ścisłej matematyki, Kepler się mylił. Był to szczęśliwy błąd – uskrzydlony odkryciem, pogodził się z tym, że nie zostanie teologiem i zajął się astronomią, co z pewnością wyszło na dobre nauce. Do końca życia wierzył, że wielościany mają coś wspólnego z uporządkowaniem sfer planetarnych, umysłowi zawsze trudno się rozstać z ulubionymi chimerami. W następstwie hipotezy wielościanowej Kepler zajął się szczegółami ruchów planet – to na tej drodze czekały go wielkie odkrycia.

Wielościany foremne związane są ze skończonymi podgrupami grupy obrotów w przestrzeni trójwymiarowej. Można o nich poczytać w książce M. Zakrzewskiego, Algebra z geometrią, Oficyna Wydawnicza GiS 2015. Bardziej popularne są piękne i znakomicie ilustrowane odczyty Hermanna Weyla, wielkiego matematyka i kolegi Einsteina z Zurychu i Princeton, pt. Symetria, PWN 1960, wznowione przez wydawnictwo Prószyński i S-ka w 1997 r.

Zanim zaśniesz, pomyśl, jak wiele zawdzięczasz Ptolemeuszowi

Każdy z nas, żyjących, jest dzieckiem szczęścia: nasze drzewo genealogiczne nie miało żadnych luk – inaczej nie przyszlibyśmy na świat. Odziedziczyliśmy jednak znacznie więcej niż geny: stoi za nami cała cywilizacja, korzystamy z dorobku pokoleń ludzi przemyślnych, inteligentnych, czasami genialnych. Od teorii promieniowania Einsteina przez pierwsze lasery w latach sześćdziesiątych dwudziestego wieku aż do odtwarzaczy Blue-ray i skanerów kodów paskowych w sklepie czy w bibliotece prowadzi droga długa, lecz możliwa do prześledzenia. Na szczęście nie musimy sami tej drogi powtarzać, korzystamy z gotowych wytworów, sprawdzonych technologii, podręczników udostępniających wiedzę kolejnym pokoleniom. Podobnie jest z tysiącem innych przedmiotów, wynalazków, odkryć. Cóż bardziej naturalnego?

Jeśli cofniemy się w czasie dostatecznie daleko, postęp wiedzy przestaje być w jakimś momencie oczywisty. Nasza cywilizacja naukowo-techniczna zaczęła się w XVII wieku na zachodzie Europy i stopniowo rozprzestrzeniła (w różnym stopniu) na resztę świata. Poprzednie wieki przynosiły bardzo powolny postęp, jeśli w ogóle go przynosiły. Kiedy upadło imperium rzymskie, przez całe wieki działo się w chrześcijańskiej części Europy bardzo niewiele dobrego. Cesarz Karol I nie potrafił nawet pisać i choć na starość mozolnie ćwiczył na woskowych tabliczkach, nie udało mu się jednak tej sztuki opanować. Przez wieki odsetek ludzi potrafiących pisać był znikomy, a przecież od czytania i pisania do twórczego uprawiania nauki jest jeszcze parę szczebli do pokonania. Dopiero po długiej, mniej więcej tysiącletniej przerwie Europa przyswoiła sobie dorobek nauki greckiej. Kopernik przy całej swej oryginalności był zaledwie uczniem Ptolemeusza i jego islamskich kontynuatorów.

Jednym z najważniejszych wątków w historii nauki była teoria ruchów planet, dziedzina na pozór mało praktyczna i odległa od zastosowań. Kto wie jednak, czy to nie teoria astronomiczna Ptolemeusza przesądziła o sukcesie zachodnioeuropejskiej nauki. Bez Ptolemeusza nie byłoby Kopernika, bez Kopernika trudno wyobrazić sobie Newtona, a bez Newtona całej reszty. To oczywiście tylko skrót rozumowania, ale można by je rozbudować. Zagadnienie ruchów planet wymagało dokładnych obserwacji i najlepszych dostępnych technik matematycznych od trygonometrii aż do analizy matematycznej i teorii równań różniczkowych.

Derek J. de Solla Price, amerykański historyk nauki, uważał, iż to właśnie astronomia Klaudiusza Ptolemeusza sprawiła, że nauka rozwinęła się w Europie, a nie np. w Chinach czy wśród Majów:

Można więc zaryzykować twierdzenie, że ta zwarta teoria stanowi intelektualne plateau naszej kultury – wysokie plateau, występujące wyłącznie u nas. We wszystkich dziedzinach nauki wszystkich innych kultur nie ma niczego, co mogłoby zaćmić tę wczesną, a tak wyrafinowaną i zaawansowaną próbę czysto matematycznego wyjaśnienia przyrody. Gdybyśmy mieli wskazać na jakiś cud w naszej historii intelektualnej, to nie wiadomo, czy nie tu właśnie należałoby szukać źródła naszej nowożytnej nauki. [Węzłowe problemy historii nauki, przeł. H. Krahelska, s. 15]

Dzieło Ptolemeusza, znane jako Almagest, było w istocie podsumowaniem długiej tradycji. Tak samo zresztą jak Elementy Euklidesa – druga najważniejsza książka naukowa Greków. Teksty się wówczas przepisywało, siłą rzeczy zostawały więc te najlepsze, przekazujące najbardziej uporządkowaną wiedzę, nikomu by się nie chciało opłacać kopisty dla powielenia rzeczy miernych. Almagest zawiera opis ruchu planet: możemy obliczyć za jego pomocą, gdzie danego dnia o danej godzinie będą się znajdować która planeta. I wynik będzie całkiem dokładny, jak na obserwacje przeprowadzane gołym okiem. Jest to więc kompletna szczegółowa teoria ruchów ciał niebieskich. Dzisiejsi inżynierowie, którzy modelują matematycznie np. przepływy powietrza wokół skrzydeł samolotu, kontynuują tę tradycję. Wiemy teraz, że za pomocą modeli matematycznych opisać można mnóstwo różnych zjawisk. Przyroda jest matematyczna, ale także i ekonomia czy nauki społeczne korzystają z matematyki.

Były dwie tradycje astronomiczne w tej części świata: babilońska i grecka. Klaudiusz Ptolemeusz opisał, ale także i rozwinął tradycję grecką. Babilończycy posługiwali się ciągami liczb, byli rachmistrzami. Ich astronomia była całkiem precyzyjna, ale przypominała długi wydruk wyników jakiegoś programu komputerowego bez użycia grafiki. Babilończycy obliczyli np. bardzo dokładnie wartość \sqrt{2}, ale to Grecy udowodnili, iż jest to liczba niewymierna. Dla nich był to stosunek długości przekątnej kwadratu do jego boku. Także ruch planet Grecy opisali w sposób geometryczny. Podstawą był ruch po okręgu. Wyobrażano sobie np., że roczny ruch Słońca zachodzi po okręgu. Hipparch zmierzył jednak długości astronomicznych pór roku: żadna z nich nie trwała równe ćwierć roku. Poradził sobie z tym w taki sposób, że uznał, iż Słońce porusza się wprawdzie po okręgu ruchem jednostajnym, ale Ziemia położona jest w pewnej odległości od środka okręgu. Znalazł odpowiednie parametry, żeby wszystko się zgadzało. Jego model zastosował potem niemal bez zmian Mikołaj Kopernik: zamienił tylko miejscami Ziemię i Słońce.

hipparch

Zobaczmy np., jak Ptolemeusz opisywał ruch planety takiej, jak Mars (analogiczne modele działają dla pozostałych dwóch planet górnych: Saturna i Jowisza). Mars zazwyczaj porusza się względem gwiazd z zachodu na wschód, ale od czasu do czasu, wtedy, gdy jest najjaśniejszy zmienia kierunek ruchu. Wygląda to tak.

marsretro

Jasne jest, że tutaj nie wystarczy taki prosty model jak w przypadku Słońca. Spójrzmy na to najpierw z perspektywy heliocentrycznej, do której jesteśmy przyzwyczajeni. (Pomijamy dalej fakt, że płaszczyzny orbit Ziemi i Marsa są lekko nachylone, nie popełniamy dużego błędu, płaszczyzny te przecinają się pod kątem mniejszym niż 2^{\circ}, Ptolemeusz miał osobną teorię dla opisania tego tzw. ruchu w szerokości.) Mamy dwa wektory opisujące ruch Marsa \vec{r}_M i Ziemi \vec{r}_Z. Końce obu tych wektorów zakreślają elipsy, ale są one w praktyce bardzo bliskie okręgom. To, co obserwujemy, to kierunek od Ziemi do Marsa (starożytni astronomowie niewiele wiedzieli o odległościach). Możemy zapisać wektor od Ziemi do Marsa jako różnicę:

\vec{R}=\vec{r}_M-\vec{r}_Z=\vec{r}_M+(-\vec{r}_Z)

ptolemeusz

Druga równość zilustrowana jest na rysunku z prawej strony. To jest właśnie model Ptolemeusza. Widać, że jeśli okręgi stanowią dobre przybliżenie orbit, model taki będzie działać. Duży okrąg nazwano później deferentem, mały – epicyklem. Z historycznego punktu widzenia największą zaletą modelu Ptolemeusza okazała się możliwość przejścia do heliocentryzmu, czyli od obrazka z prawej strony do obrazka z lewej. Gdybyśmy nie mieli geometrycznych przedstawień, byłoby to znacznie trudniejsze. Dokładnie biorąc, model Ptolemeusza zawierał jeszcze dwa szczegóły, które znacznie poprawiały zgodność z obserwacjami. Ziemia była nieco odsunięta od środka deferentu – inaczej mówiąc, Słońce było odsunięte od środka okręgu (orbity Marsa na lewym rysunku). Drugim szczegółem – i to jest wkład samego Ptolemeusza – jest ruch niejednostajny po deferencie. W obrazie kopernikańskim odpowiadałoby to niejednostajnemu ruchowi po orbicie, rzeczywiście planeta bliżej Słońca porusza się szybciej, to skutek zasady zachowania momentu pędu, jak podczas piruetów na lodzie: ręce wzdłuż ciała skutkują szybszym wirowaniem. Jak jednak Grek z II w.n.e., dysponując tylko prostą trygonometrią, mógł opisać taki ruch niejednostajny? Ptolemeusz przyjął, że istnieje wewnątrz deferentu pewien punkt E taki, że obserwowany z niego ruch środka epicykla jest jednostajny. Założenie to krytykowały później niezliczone pokolenia astronomów, z Kopernikiem włącznie, ale sprawdza się ono znakomicie w praktyce.

Tutaj można zobaczyć model Ptolemeuszowy dla Marsa w ruchu (warto włączyć ślad planety: Trail on, żeby zobaczyć, jak skomplikowany jest ten ruch z ziemskiego układu odniesienia, skomplikowane spirale zakreślane przez planetę nigdy się nie powtarzają)

Klaudiusz Ptolemeusz mógłby świetnie się nadawać na portret na T-shircie, nie wiemy jednak, jak wyglądał. Nie znamy nawet jego imienia: Klaudiusz Ptolemeusz to jego nomen i cognomen, czyli dwa człony nazwiska. Żył w II w. w Aleksandrii, która nieco przypominała dzisiejszy Hong Kong albo Nowy Jork: wielkie, kosmopolityczne, bogate miasto, nieszczędzące pieniędzy na naukę. Prawdopodobnie był Grekiem, obywatelem Rzymu. Swoje wcześniejsze dzieła dedykował Syrusowi, o którym wiadomo jeszcze mniej: może był to jego nauczyciel, a może kochanek.

Oszukujmy proroków (gra towarzyska)

Rodzaj ludzki, do którego tylu moich czytelników należy, od samego początku i zapewne do końca swego istnienia zabawia się w różne dziecinne gry, które dorośli uważają za nonsens. Jedną z najbardziej ulubionych jest gra pt. „Pozostawmy przyszłość nieznaną”, zwana też „Oszukujmy proroków”. Gracze uważnie i z pełnym respektem przysłuchują się temu, co ludzie mądrzy mówią o tym, co przydarzy się przyszłym pokoleniom. Następnie czekają, aż ci mądrzy ludzie umrą i chowają ich grzecznie. A potem gracze się rozchodzą i robią co innego. To wszystko. Ludziom o niewyszukanym smaku taka gra sprawia radość. (G.K. Chesterton, Napoleon z Notting Hill)

Pisarz S-F, Arthur C. Clarke, przyjrzał się kiedyś przykładom szczególnie nieudanych proroctw ekspertów rozmaitego autoramentu. Nas tutaj szczególnie interesują uczeni. Wybitny astronom Simon Newcomb w roku 1903 twierdził, że niemożliwe jest zbudowanie samolotu: aerodynamika na to nie pozwala. Pięć lat później bracia Wright, właściciele sklepu z rowerami, publicznie zademonstrowali swój wynalazek samolotu w Fort Myer (USA) i Le Mans (Francja). A.W. Bickerton, chemik i nauczyciel Rutherforda, dowodził w latach dwudziestych ubiegłego wieku, że sztuczny satelita jest niemożliwy, nawet gdyby użyć najsilniejszego materiału wybuchowego – nitrogliceryny. Chodzi o to, że jeden gram paliwa wydziela podczas wybuchu mniej energii, niż potrzeba do nadania masie jednego grama prędkości 7,9 km/s (co oczywiście jest prawdą, ale materiały wybuchowe wcale nie wydzielają najwięcej energii w spalaniu, a poza tym nie ma potrzeby wynosić na orbitę całej początkowej masy: od tego są rakiety wielostopniowe). Znaczna część techniki została wynaleziona obok albo wbrew uczonym: od maszyny parowej i żarówki po komputer osobisty. To trochę tak, jak w rosyjskiej bajce: było dwóch braci mądrych i trzeci Wania, przygłupi. I niezmiennie to ten trzeci dokonuje rzeczy niemożliwej dla pierwszych dwóch.
Arthur C. Clarke dzieli przypadki niedanych proroctw na brak śmiałości (failure of nerve) i brak wyobraźni (failure of imagination). W pierwszym przypadku wiedza naukowa istniała, ale nie potrafiono z niej skorzystać w sposób właściwy (w czasach Newcomba aerodynamika była już dostatecznie rozwinięta, lecz astronom nie potrafił z tego zrobić użytku). Innego przykładu dostarcza praca Isaaca Newtona: odkrył on, że w załamaniu światło rozszczepia się na kolory. Uznał więc pochopnie, że każdy przyrząd optyczny zawierający soczewki będzie dawał barwne i zamazane obrazy – co rzeczywiście było zmorą ówczesnych urządzeń. Już po śmierci Newtona zwykły rzemieślnik optyk, John Dollond, dokonał niemożliwego i zbudował obiektyw achromatyczny, stosując dwa rodzaje szkła (flint to szkło z dodatkiem ołowiu).

Chromatic_aberration_lens_diagram.svg

415px-Lens6b-en.svg

(ilustracje z Wikipedii)

W drugim przypadku w chwili wygłaszania proroctwa nie wiedziano czegoś istotnego, co dopiero miało zostać odkryte. Słynny jest przypadek filozofa Augusta Comte’a, który w roku 1835 przekonywał, że astronomowie nigdy nie poznają składu chemicznego ciał niebieskich. W roku 1859 powstała analiza widmowa, zupełnie odmieniając astronomię. Obecnie stały się też możliwe loty badawcze w obrębie Układu Słonecznego, więc można analizować ciała niebieskie tradycyjnymi metodami chemii.

Nie zawsze łatwo rozróżnić te dwa defekty proroka. Np. ruch Ziemi wydawał się pomysłem równie fantastycznym jak latanie. Jeśli Ziemia krąży wokół Słońca, to dlaczego gwiazdy nie zataczają w okresie rocznym elips na niebie? (Chodzi o tzw. paralaksę roczną, patrząc z różnych punktów orbity Ziemi powinniśmy widzieć daną gwiazdę w różnych kierunkach – jej tor na niebie powinien być rzutem orbity Ziemi).

paralaksa

Wyobrażano sobie, że gwiazdy są znacznie bliżej, bo czemu miałyby być tak niesłychanie daleko? Pierwsi kopernikanie, Kepler i Galileusz, bezskutecznie starali się wykryć paralaksę roczną, mając nadzieję na uciszenie oponentów. Paralaksę udało się zmierzyć dopiero w XIX wieku, gdyż kąty, które wchodzą w grę, są poniżej jednej sekundy kątowej (1/3600 stopnia). A więc rozwiązanie istniało, wydawało się tylko trudne do przyjęcia. Wszechświat jest ogromny, wyrażanie jego rozmiarów w metrach czy innych „ludzkich” jednostkach prowadzi do niebywale dużych liczb.
Podobna sytuacja przydarzyła się w odniesieniu do wieku Ziemi i stałości gatunków w czasach Darwina. Znano wiele skamieniałości, wskazywały one ogólnie biorąc, że gatunki bliższe nam w czasie są bardziej podobne do żyjących dziś. Wystarczyło tylko connect the dots – połączyć kropki. A jednak idea stopniowych transformacji zwierząt i roślin wydawała się niemal wszystkim uczonym absurdalna. Richard Owen, krytykując Darwina (którego traktował protekcjonalnie jako nieźle piszącego gawędziarza, lecz naukowego dyletanta), przytaczał dane, iż w ciągu 30 000 lat polipy koralowca nie zmieniły się, ergo: gatunki się nie zmieniają. Darwin mówił o 300 milionach lat, ale został zakrzyczany przez ekspertów, więc pokornie nie wdawał się potem w żadne szacowania. Dziś wiemy, że życie istnieje niemal tak długo jak Ziemia, skala czasu liczona jest w miliardach lat (i oczywiście należy kropki łączyć). Dla człowieka 100 lat to długo, ale ewolucja właśnie wymaga bardzo wielu pokoleń, a więc czasu w naszej skali niezwykle długiego.
Jeszcze trudniej przychodziło uczonym uwierzyć, że przodkiem człowieka może być jakaś małpa. Thomas H. Huxley pierwszy wykonał rysunek pokazujący mniej więcej, jak to się stało. Łatwiej było mu przekonać robotników i rzemieślników na popularnych wykładach niż kolegów naukowców.

Frontispis Huxleya1

Mamy następujące prawo Clarke’a:

Gdy wybitny, lecz niemłody uczony twierdzi, że coś jest możliwe, niemal na pewno ma rację. Jeśli natomiast twierdzi, że coś jest niemożliwe, to jest bardzo prawdopodobne, że się myli.

Dodałbym do tego, że prawda nie zawsze najlepiej się czuje pod profesorskim biretem, a niemal każdy ekspert ma ludzką, arcyludzką słabość, by wypowiadać się na tematy, których nie przemyślał zbyt głęboko albo które są mu obce. To niebezpieczne zwłaszcza dziś, gdy mamy ekspertów od wszystkiego i nikt się na niczym nie zna (oczywiście, oprócz swojej wąskiej specjalności naukowej). Poza tym eksperci zwykle funkcjonują w środowisku innych specjalistów i myślą podobnie do nich. Z jednej strony to konieczność: delikatny mechanizm oceny, czy ktoś jest ekspertem i nie bredzi, musi być społeczny i ograniczony do specjalistów. Z drugiej jednak strony zbiorowa mądrość to oksymoron. To, co się nieźle sprawdza w codziennym funkcjonowaniu nauki, zawodzi w przypadkach najważniejszych: gdy jest coś naprawdę ważnego do odkrycia. Nie przypadkiem Kopernik i Darwin byli outsiderami, a Einstein pierwszego fizyka teoretyka zobaczył (jak sam mówił) w wieku trzydziestu lat.

James Bradley: obserwacyjny dowód ruchu Ziemi wokół Słońca (1728)

Jeśli Ziemia porusza się wokół Słońca w ciągu roku, to zmiany jej położenia powinny prowadzić do przesunięć gwiazd na niebie w okresie roku. Astronomowie nazywają to zjawisko paralaksą roczną. Kąt paralaksy p to wartość kąta Z1GS na rysunku. Jeśli światło od gwiazdy biegnie prostopadle do płaszczyzny orbity Ziemi (zwanej płaszczyzną ekliptyki), to powinniśmy obserwować, że w ciągu roku gwiazda zatacza na niebie okrąg o promieniu kątowym p. Okrąg ten jest rzutem orbity Ziemi wokół Słońca.

paralaksa

Kąt paralaksy p związany jest oczywistą zależnością z odległością gwiazdy od Słońca d=SG oraz promieniem orbity Ziemi R=SZ_1=SZ_2:

p=\dfrac{R}{d},

gdzie po lewej stronie zastąpiliśmy tangens kąta p jego wartością w radianach, wolno tak zrobić, gdy kąty są niewielkie (2\pi radianów odpowiada 360^{\circ}). Gdyby kierunek do gwiazdy tworzył z płaszczyzną ekliptyki kąt \beta, to zamiast okręgu, gwiazda powinna zataczać elipsę o półosiach p oraz p\sin\beta. Elipsa ta jest po prostu orbitą Ziemi zrzutowaną na płaszczyznę prostopadłą do promieni światła od gwiazdy – rzut okręgu jest elipsą. W szczególności, gdy gwiazda leży na ekliptyce, tzn. \beta=0, elipsa degeneruje się do odcinka: gwiazda powinna oscylować w okresie rocznym z amplitudą p, jej ruch będzie ruchem harmonicznym.

Brak zauważalnej paralaksy rocznej był od starożytności jednym z najpoważniejszych argumentów przeciwko ruchowi Ziemi. Był to także słaby punkt teorii Kopernika: rozwiązywała ona pewne problemy, rodząc nowe, jak choćby ten brak paralaksy. Po Galileuszu, który usunął trudności pojęciowe z mechaniką na poruszającej się Ziemi, oraz po Keplerze, który pokazał, że orbity wokół Słońca podlegają precyzyjnym prawom matematycznym (tzw. trzy prawa Keplera), właściwie nikt już nie kwestionował ruchu Ziemi. No, może oprócz tych, którzy musieli to robić z powodów ideologicznych, jak jezuici. Stąd ich dziwne łamańce, by nie przyznać, że Ziemia się porusza. Nie tylko zresztą Ziemia ignorowała orzeczenia najświętszego trybunału inkwizycji, także heretycy, tzn. protestanci, na ogół zgadzali się z nową nauką bez większych oporów. Wreszcie fizyka Newtona pozwoliła zrozumieć matematycznie różne zjawiska w Układzie Słonecznym i kwestia ruchu Ziemi przestała być kontrowersyjna, nawet w Italii nie próbowano już nikogo ścigać za kopernikanizm.

Nadal jednak, mimo wysiłków, nie udawało się wykryć paralaksy żadnej z gwiazd. Astronomowie stale zwiększali dokładność pomiarów kątowych, udoskonalali przyrządy i metody obserwacji. Wielebny James Bradley był profesorem astronomii na katedrze Savile’a w Oxfordzie i zręcznym obserwatorem. Pod koniec roku 1725 zaczęli z Samuelem Molyneux obserwować gwiazdę γ Draconis (czyli Smoka), która ma tę zaletę, że położona jest blisko bieguna ekliptyki (czyli mniej więcej tak, jak na naszych rysunkach). Góruje ona w Londynie blisko zenitu, co ułatwia precyzyjne pomiary jej wysokości kątowej nad horyzontem (nisko nad horyzontem kierunek promieni się zmienia wskutek załamania światła w atmosferze ziemskiej, jest to tzw. refrakcja: gdy widzimy, że słońce dotyka horyzontu, to naprawdę już zaszło). Gwiazdę tę obserwował już wcześniej Robert Hooke, który w 1669 roku twierdził, iż wykrył jej paralaksę roczną. Bradley i Molyneux chcieli sprawdzić, czy to prawda – Hooke często chełpił się odkryciami, mówiąc delikatnie, nie do końca potwierdzonymi. Dość szybko wykryli przesuwanie się gwiazdy na niebie, tyle że nie zgadzały się kierunki. Od grudnia do marca γ Draconis przesunęła się (w chwili górowania) o 20” kątowych na południe. Gdyby gwiazda wykazywała przesunięcia paralaktyczne, jej przesunięcie na niebie powinno zachodzić w kierunku do Słońca (por. rysunek). Tymczasem w chwili wiosennego górowania gwiazdy Słońce było na wschodzie! Prowadząc obserwacje przez resztę roku 1726 astronomowie upewnili się, że gwiazda oscyluje z amplitudą 20”. Obserwacje były precyzyjne i powtarzalne, nie chodziło o błędy pomiarowe. Gwiazda pochylała się nie w kierunku do Słońca, lecz w kierunku do niego prostopadłym, dokładnie w chwilowym kierunku wektora prędkości Ziemi w ruchu wokół Słońca. Sytuację z marca przedstawia rysunek.

bradley

Zjawisko było więc związane nie z chwilowym położeniem Ziemi, ale z kierunkiem jej prędkości. Bradley znalazł prawidłowe objaśnienie zjawiska: jest ono skutkiem ruchu Ziemi. Wektor prędkości światła obserwowany przez nas równy jest

\vec{c}_{obs}=\vec{c}-\vec{v},

gdzie \vec{c} jest wektorem względem Słońca, a \vec{v} jest wektorem prędkości Ziemi, którego koniec w ciągu roku zatacza okrąg.

aberracja

Geometria jest taka sama jak na rysunku wyżej, inne jest tylko znaczenie fizyczne boków trójkąta. Kąt między tymi wektorami równy jest

\theta=\dfrac{v}{c}.

Zjawisko to nazywa się aberracją światła. Wielkość okręgu zataczanego przez gwiazdę nie ma tu nic wspólnego z jej odległością. Gwiazda leżąca w kierunku tworzącym z ekliptyką kąt \beta, będzie zakreślać elipsę o półosiach \theta oraz \theta\sin\beta. Bradley sprawdził, że to prawda, zanim w 1728 roku opublikował artykuł o odkryciu w „Philosophical Transactions”.
W ten nieoczekiwany sposób znaleziony został pierwszy bezpośredni dowód obserwacyjny, że ruch Ziemi jest czymś realnym, a nie teoretycznym założeniem. Usiłując potwierdzić teorię Kopernika za pomocą pomiarów paralaksy,  potwierdzono ją nieoczekiwanie na całkiem inny sposób. Próby wykrycia paralaksy rocznej trwały nadal, upłynęło ponad sto lat, zanim udało się tego dokonać, chodzi bowiem o kąty mniejsze niż 1”.

Od herezji do truizmu

„[Prawdzie] przeznaczony jest tylko krótki triumf między dwoma długimi okresami, w których potępiona zostaje jako paradoks i zlekceważona jako prawda trywialna. Pierwszy los spotyka też zazwyczaj jej odkrywcę…” – napisał w sierpniu 1818 roku Arthur Schopenhauer [Świat jako wola i przedstawienie, Przedmowa do I wydania, przeł. J. Garewicz, PWN Warszawa 2009, s. 11]. Myśl ta funkcjonuje w różnych przeróbkach i wariantach, często gęsto błędnie przypisywanych także Schopenhauerowi. Podobne zdanie wypowiedział też T.H. Huxley, „buldog Darwina”, w roku 1880: „Nowe prawdy zazwyczaj zaczynają jako herezje, a kończą jako przesądy”.
Schopenhauer w roku 1818 miał nadzieję, że publikacja książki zapoczątkuje nowy sposób myślenia w filozofii, spotkał go jednak zawód – prawie nikt nie zwrócił uwagi na jego poglądy. Także jego wykłady w Berlinie nie przyciągnęły studentów, modny był wtedy Hegel. Z czasem pogodził się z brakiem sukcesu i popadł w mizantropię, dzięki której sformułował zresztą wiele celnych i dowcipnych obserwacji dotyczących zachowań społecznych homo sapiens. Zrobił w ten sposób dla naszego gatunku niemal tyle, ile Jane Goodall dla szympansów. Z czasem stał się sławny, ale raczej dzięki artystom i pisarzom niż filozofom akademickim.
Bez wątpienia zarówno Schopenhauer, jak i Huxley, mieli w pamięci historyczne perypetie kopernikanizmu. W wieku XIX ruch Ziemi był już dawno truizmem, do którego wszyscy się przyzwyczaili. Pamiętano też o wrogiej reakcji Kościoła i o tym, że to Kopernik miał ostatecznie rację. Był to modelowy przykład naukowej prawdy pokonującej drogę od herezji do truizmu.
Teoria Kopernika zaczynała rzeczywiście jako paradoks z lekka trącący herezją. I dość długo pozostawała na tyle mało znana, że nie rodziło to konfliktów. Przez pół wieku po śmierci fromborskiego kanonika niemal nikt nie brał serio idei ruchu Ziemi. Szanowano jego techniki matematyczne: Kopernik starał się w istocie poprawić Ptolemeusza, sprowadzając wszystkie ruchy do jednostajnych kołowych. Modele geometryczne stały się przez to bardziej zawikłane, ale „czystsze” teoretycznie – ruchy jednostajne bardziej pasowały do machiny stworzonej przez boskiego Zegarmistrza. Nawet ruch drgający prostoliniowy sprowadził Kopernik do toczenia się koła wewnątrz drugiego koła. Jest to tzw. para Tusiego – znana astronomom arabskim, którzy przed nim próbowali tej drogi.

200px-Tusi-coupleŹródło: http://en.wikipedia.org/wiki/Tusi-couple

Całe to podejście prowadziło w ślepą uliczkę; z dzieła Kopernika pozostać miała jedynie ogólna idea ruchu Ziemi, jego książka była zawikłana nie w tych miejscach, gdzie trzeba. Problem ruchu planet i ruchów na Ziemi musiał zostać przemyślany na nowo, co zrobili Johannes Kepler i Galileo Galilei. Obaj, broniąc kopernikanizmu, głosili sporo prawd wyglądających na paradoksalne. Jak wiemy, dla Galileusza skończyło się to niewesoło, choć nie było w tym żadnego historycznego fatalizmu – gdyby ówczesny papież wykazał nieco więcej zdrowego rozsądku, nie doszłoby do tej gorszącej sytuacji. Władza absolutna rzadko wszakże sprzyja autorefleksji. Kościół katolicki zatracił poczucie stosowności i został ukarany w sposób niezmiernie dotkliwy, utarło się bowiem raz na zawsze przekonanie, że jest wrogiem prawdy naukowej i żadne wypowiedzi, apele ani deklaracje raczej tego łatwo nie zmienią. Obecny stosunek Kościoła do zapłodnienia in vitro też się chyba nie przyczyni do poprawy owego nadszarpniętego wizerunku.

Arthur Schopenhauer miał też rację, że chwila świetności nowej prawdy jest stosunkowo krótka. Dwadzieścia lat po skazaniu Galileusza, około połowy XVII wieku, tylko zapyziali konserwatyści oraz katolicy nie wierzyli jeszcze w ruch Ziemi. Gdy w 1687 roku Isaac Newton ogłosił swoje Matematyczne zasady filozofii przyrody, potraktowano to jako zamknięcie sprawy heliocentryzmu. Praca Newtona została przedstawiona w londyńskim Towarzystwie Królewskim jako „matematyczny dowód hipotezy Kopernika w postaci zaproponowanej przez Keplera” [J. Kierul, Newton, PIW, Warszawa 2010, s. 278]. Problem ruchu planet został rozwiązany. Kopernikanizm stał się truizmem, zainteresowanie uczonych przesunęło się w stronę całkiem innych zagadnień.

W kwestii precyzyjnych cytatów z Schopenhauera i Huxleya korzystałem z ciekawej pracy J.O. Shallitta, Science, Pseudoscience, and The Three Stages of Truthhttps://cs.uwaterloo.ca/~shallit/Papers/stages.pdf