Pierre Bayle, Myśli różne o komecie (1683)

Chrześcijaństwo należy do tradycji Europy – to prawda, lecz pamiętać musimy, że jego kształt zmieniał się bardzo z czasem. Czym innym był np. arystotelizm św. Tomasza, a czym innym reformy Lutra i Kalwina. Protestantyzm starał się chrześcijaństwo oczyścić przez powrót do źródeł oraz odrzucenie magicznej obrzędowości, był surowy, wymagał dużo od wiernych, którzy ściślej musieli się pilnować w życiu codziennym, by dostąpić łaski. Takimi właśnie surowymi protestantami, przez lata rozmyślającymi nad podstawami swej wiary, byli zarówno Isaac Newton, jak i Pierre Bayle. Protestantyzm towarzyszył przemianom mentalności europejskiej w XVI i XVII wieku, kształtował także założycieli Stanów Zjednoczonych. Nie przypadkiem nowożytna nauka i nowoczesna gospodarka rozwinęły się najbardziej w krajach protestanckich.

Kometa z lat 1680/1681 została przez Isaaca Newtona uwieczniona pierwszym obliczeniem orbity na podstawie prawa powszechnego ciążenia. Przyczyniło się to do rozwiania astrologicznych fantazji na temat związku komet z wydarzeniami na Ziemi. Był to proces powolny zapoczątkowany sto lat wcześniej odkryciem Tychona Brahego, że komety są prawdziwymi ciałami niebieskimi, tzn. nie są jakimś wyziewem górnych warstw atmosfery ziemskiej, jak sądzono od czasów Arystotelesa. Astrologia w drugiej połowie XVII wieku nie była już traktowana poważnie przez uczonych, podciął jej korzenie kopernikanizm: no bo skoro Ziemia jest tylko jedną z planet i komety też są rodzajem planet, to nie ma powodu uważać, aby zdarzenia historyczne czy meteorologiczne na planecie Ziemia dyktowane były akurat zjawieniem się jakiejś komety. Młody Isaac Newton kupił sobie książkę o astrologii na jarmarku na błoniach Stourbridge, szybko wszakże doszedł do wniosku, że zawiera bzdury. Nie potrafiąc narysować jakiejś figury omawianej w książce, sięgnął do Euklidesa. Niebawem już czytał Geometrię Kartezjusza, dzieło trudne, które jednak przestudiował. W ciągu roku opanował samodzielnie znaną wówczas matematykę i zaczął twórczość oryginalną. Niemal wszystkiego nauczył się sam i osiem imponujących tomów jego Mathematical Papers pokazuje, że matematyka towarzyszyła potem stale jego innym zainteresowaniom. Jest to zapewne jedyny przykład, gdy astrologia do czegoś realnego się przydała.


Niezbyt wierzono, przynajmniej w kręgach ludzi wykształconych, by komety zwiastowały nieszczęścia lub zostały zesłane z nieba w celu naszej moralnej poprawy, ale spotykało się wciąż rozmaite opinie. Możliwy do pomyślenia był oczywiście jakiś ich wpływ naturalny, np. katastrofa kosmiczna albo oddziaływanie z ziemską atmosferą. Tak czy owak zjawiska kometarne przesuwały się ze sfery cudownej i nadprzyrodzonej w domenę ciekawostek natury.
Madame de Sévigné, której listy stanowią jedno z arcydzieł języka francuskiego, pisała w na początku stycznia 1681 r. do swego kuzyna hrabiego de Bussy-Rabutina:

Mamy tutaj wielce okazałą kometę, która ma najpiękniejszy warkocz, jaki można oglądać. Wszystkie ważne osobistości wpadły w popłoch, gdyż wierzą mocno, iż niebiosa tak przejęły się ich stratą, że powiadamiają o niej poprzez ową kometę. Mówi się, że kardynała Mazarin, któremu medycy nic już nie potrafią pomóc, dworzanie poinformowali o pojawieniu się wielkiej komety, budzącej w nich lęk, ponieważ byłaby ich zdaniem cudem stosownym dla uczczenia śmierci kogoś tak wybitnego. Kardynał znalazł siłę, aby to wyśmiać i stwierdził żartobliwie, że kometa wyświadczyłaby mu zbyt wielki honor.

De Bussy-Rabutin odpisał z Burgundii, że i tam różne lokalne znakomitości obawiają się w związku z kometą o siebie. „Mercure galant” pokpiwał, że kometa najwyraźniej zapowiadała śmierć jakiejś wielkiej istoty, ponieważ umarł słoń trzymany w Wersalu.

Wykładowca hugonockiego kolegium w Sedanie, Pierre Bayle, zainteresował się nie tyle samą kometą z 1680/1681 r., ile mechanizmem społecznej wiary i niewiary, a także sensem religijnym tego zjawiska. Rozważaniom tym poświęcił książkę, wydaną anonimowo w roku 1683. Można by gorzko stwierdzić, iż w jego przypadku kometa była zapowiedzią znacznych zmian: w lipcu 1681 roku kolegium zamknięto. Było to jedno z posunięć króla Ludwika XIV w zbożnym dziele oczyszczania Francji z heretyków, tzn. z protestantów. Bayle spędził resztę życia w Rotterdamie, pisząc i stając się jednym z prekursorów Oświecenia. Obawiał się o swoją rodzinę we Francji, młodszy jego brat nie wytrzymał pobytu w lochach arcykatolickiego władcy, gdzie znalazł się wyłącznie z powodu swej wiary. Bayle pisał:

Gdyby wiedziano, jak ostrego sensu nabrało obecnie to słowo, nie zazdroszczono by Francji, że jest całkowicie katolicka pod panowaniem Ludwika XIV. Już od dawna bowiem ci, którzy mają się za wcielenie katolicyzmu, postępują w sposób budzący zgrozę, że uczciwy człowiek powinien miano katolika uważać za obelgę; a po tym, co zrobiliście ostatnio w owym arcykatolickim królestwie, powinno być teraz wszystko jedno, czy mówi się: religia katolicka, czy też: religia ludzi niegodziwych (przeł. J. Lalewicz).

Okoliczności zewnętrzne, a także daleko posunięta uczciwość intelektualna, skłaniały Bayle’a do sceptycyzmu wobec utartych mniemań. Podważał rolę tradycji, która ostatecznie zasadza się na tym, że powtarzamy czyjąś opinię, nie zadawszy sobie trudu jej przemyślenia. Gdyby więc trochę dokładniej przyjrzeć się temu, skąd biorą się różne tradycje, mogłoby się okazać, że w gruncie rzeczy powtarza się bezkrytycznie pogląd jednego czy dwóch autorów. Ta prosta myśl mogła podważyć nie tylko wierzenia dotyczące komet, ale i jeden z filarów Kościoła katolickiego, który z poszanowania tradycji robił swój wyróżnik, swoją differentia specifica, pośród doktryn chrześcijańskich.
Nie należy więc specjalnie wierzyć w argumenty z tradycji:

Tak więc świadectwa historyków dowodzą tego jedynie, że komety się pojawiały i że po nich występowały rozmaite niepokoje w świecie – niezmiernie stąd daleko do udowodnienia, iż jedna z tych rzeczy stanowi przyczynę bądź prognostyk drugiej, jeśli nie chcemy być jak owa kobieta z ulicy Saint Honoré [w Paryżu], która widzi przejeżdżające karety, ilekroć wyjrzy z okna i wyobraża sobie, że to ona jest przyczyną ich pojawiania się lub przynajmniej jej ukazanie się w oknie stanowi dla całej dzielnicy prognostyk, iż wkrótce przejedzie kareta (§5).

Bayle tak daleko zaszedł w intelektualnym sceptycyzmie, że wyrażano często wątpliwości, czy nie stał się ateistą. Głosił w każdym razie radykalne oddzielenie religii – domeny wiary, od filozofii – domeny rozumu. „Jeśli sprawiedliwy żyje swą wiarą, to filozof także powinien żyć swoją; znaczy to, że w swym osądzie rzeczy powinien być niezależny od tego, co sądzą inni. Powinien badać głęboko swoje przedmioty [roztrząsań]”.

Bóg zdaniem Bayle’a nie mógł być kapryśnym władcą, swego rodzaju Królem-Słońce na niebiesiech, kierującym się przesądami i gniewem. Filozof żadną miarą nie potrafił wierzyć w Boga, który posługuje się teatralną maszynerią przyrody: kometami, by siać lęk i przerażenie, wykorzystując do swoich celów ludzką łatwowierność i skłonność do doszukiwania się magicznych powiązań w świecie. Nie chciał być jak jezuici z upodobaniem sięgający po światło, dźwięk i dekoracje dla wzmocnienia wymowy religijnego przesłania. Ludzkość zbyt łatwo ulega rozmaitym złudzeniom, zbyt łatwo daje się oszukiwać i dobry nauczyciel nie powinien się uciekać do tego rodzaju tanich sztuczek nawet w dobrej intencji. Jego Bóg był wyższy ponad moralne kuglarstwo. Nie powinien też rozbudzać pychy, która i tak jest właściwa ludziom:

Im dłużej zgłębia się człowieka, tym lepiej się poznaje, iż pycha jest jego dominującą namiętnością i że sili się on na wielkość w najbardziej nawet żałosnej nędzy. Będąc stworzeniem tak lichym i znikomym, zdołał przecież sobie wmówić, że jego śmierć nie może nie wstrząsnąć całą przyrodą i nie zmusić Niebios do specjalnych zachodów dla uświetnienia jego pogrzebu. Głupia i śmieszna to próżność. Gdybyśmy mieli właściwe pojęcie o wszechświecie, rychło zrozumielibyśmy, że śmierć lub narodzenie jakiegoś władcy to rzecz tak znikoma w odniesieniu do całej natury, iż nie ma powodu, by się nią w niebie wzruszano (przeł. J. Lalewicz, §83).

Zabobonność, idolatria: w oczach Bayle’a były to najgorsze cechy nierozumu. Protestantyzm pragnął chrześcijaństwo oczyścić z magii, z kultu obrazów, posągów i relikwii. Sama religia może bowiem rozbudzać w ludziach absurdalne wierzenia i uprzedzenia:

By powrócić do zabobonnego usposobienia, które Szatan znalazł w ludzkim umyśle – twierdzę, że ten wróg Boga i naszego zbawienia tak się przyłożył i tak dobrze wykorzystał okazję, że to, co jest na świecie najlepsze, a mianowicie religię, uczynił zbiorem niewiarygodnych dziwactw, niedorzeczności i niesłychanych zbrodni; a co gorsze, za pośrednictwem takich skłonności wciągnął ludzi w najśmieszniejsze i najbardziej odrażające bałwochwalstwo, jakie sobie można wyobrazić” (przeł. J. Lalewicz, §67)

Bayle mówił tu o religii pogańskiej, ale oczywiście chodziło mu o to, by nie sprowadzać wiary do uczestnictwa w obrządkach i nie urządzać procesji i modłów z okazji komety, praktykując jednocześnie najróżniejsze występki. „Wiara, iż religia, w której zostało się wychowanym, jest jak najlepsza, nader często idzie w parze z praktykowaniem wszelkich  zakazanych przez nią występków, i to zarówno wśród wielkiego świata, jak wśród ludu”.
Powiedział wreszcie Bayle, że można sobie wyobrazić społeczeństwo ateistów, które bynajmniej nie składałoby się z samych potworów, a nawet może byłoby lepsze od społeczeństwa chrześcijan. Ateizm w oczach Boga wcale nie jest gorszy od zabobonu. Wręcz przeciwnie, ateiści, którzy potrafili porzucić zabobony i idolatrię, mogą być ludźmi lepszymi niż pełen uprzedzeń tłum, dostrzegający w religii jedynie magię.

Poglądy Bayle’a raziły wielu, nie tylko katolików, ale także i protestantów. Gwałtownie polemizował z nim Pierre Jurieu, niecierpliwie wyglądający znaków upadku Antychrysta, tzn. papieża. Swoistą polemiką z Bayle’em była także Teodycea Gottfrieda Wilhelma Leibniza. Bayle twierdził bowiem, iż zło i grzech są dla nas niezrozumiałe, są tajemnicą, jeśli wierzymy we wszechmocnego i najlepszego Boga. Nie może bowiem być wyjaśnieniem zdanie, że Bóg dopuszcza grzech, aby z móc z niego potem z Jego pomocą wyjść.

Bóg byłby wówczas jak ojciec rodziny, który pozwala swym dzieciom połamać nogi tylko po to, aby przed całym miastem ukazać swą zręczność w nastawianiu kości; albo jak monarcha, który pozwalałby rozkwitać buntom i zamieszkom w swoim państwie, by zyskać chwałę tego, który je stłumił” (Dictionnaire, 1725, t. 3: N-Z, Pauliciens, przyp. g, s. 160).

Leibniz podjął się uzasadnienia, iż świat, jaki znamy, jest zarazem najlepszym z możliwych: gdyby zmienić w nim cokolwiek, byłby jeszcze gorszy – Bóg stosuje swego rodzaju zasadę najlepszych skutków, optymalizując bieg zdarzeń. Jeśli zdaje się nam, że nie żyjemy na najlepszym ze światów, to tylko z powodu ograniczonej perspektywy, gdybyśmy mogli widzieć całość, zrozumielibyśmy wielki boży zamysł.

Ciąg dalszy napisał Voltaire, zresztą wielki czytelnik Bayle’a:

Po trzęsieniu ziemi, które zniszczyło trzy czwarte Lizbony, mędrcy owej krainy nie znaleźli skuteczniejszego środka przeciw całkowitej ruinie, jak dać ludowi piękne autodafé. Uniwersytet w Coimbre orzekł, iż widowisko kilku osób spalonych uroczyście na wolnym ogniu jest niezawodnym sekretem przeciwko trzęsieniu ziemi.
W myśl tego zapatrywania pochwycono jakiegoś Biskajczyka, któremu dowiedziono, iż zaślubił swą kumę, oraz dwóch Portugalczyków, którzy, jedząc kuraka, oddzielili tłustość (…)
Kandyd, przerażony, oszołomiony, odurzony, cały zakrwawiony i drżący, powiadał sam do siebie: „Jeżeli to jest najlepszy z możliwych światów, jakież są inne? mniejsza jeszcze, gdyby mnie tylko oćwiczono, toż samo zdarzyło mi się u Bułgarów; ale, o drogi Panglossie! największy z filozofów, trzebaż, bym patrzał, jak dyndasz, nie wiadomo za co! o, drogi anabaptysto, najlepszy z ludzi, trzebaż było ci utonąć w porcie! o, panno Kunegundo! perło dziewic, trzebaż, aby ci rozpruto żołądek! (przeł. T. Boy-Żeleński)

 

Reklamy

Rachunek różniczkowy i całkowy w kwadrans

  • Pochodna

Chcąc ustalić, jak szybko zmienia się jakaś wielkość, wygodnie jest rozważać bardzo niewielkie jej przyrosty. Można je uważać za wielkości nieskończenie małe, np. dodatnia nieskończenie mała jest różna od zera, ale mniejsza od każdej dodatniej liczby rzeczywistej. Zazwyczaj interesują nas pewne ilorazy owych nieskończenie małych, które mogą być nie tylko określone, ale i równe jakiejś zwykłej liczbie rzeczywistej. Rozpatrzmy przykład funkcji y=x^3. Biorąc dwie wartości argumentu x, x+\Delta x, możemy obliczyć przyrost tej funkcji:

\Delta y=(x+\Delta x)^3-x^3=3x^2\Delta x+3x\Delta x^2+\Delta x^3.

Wyobraźmy sobie teraz, że wartość \Delta x jest nieskończenie małą: przyrost funkcji też stanie się nieskończenie małą, jak widać jest sumą trzech wyrazów z różnymi potęgami \Delta x – każdy z nich też jest nieskończenie małą. Żeby ustalić, jak szybko rośnie nasza funkcja, dzielimy przyrost wartości przez przyrost argumentu:

\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=3x^2+3x\Delta x+\Delta x^2.

Pierwszy wyraz po prawej stronie nie zawiera żadnych nieskończenie małych, jest zwykłą liczbą rzeczywistą, pozostałe dwa są nieskończenie małe. Definiujemy pochodną funkcji jako wartość rzeczywistą, która zostaje z prawej strony po odrzuceniu nieskończenie małych. Nazywamy ją wartością standardową liczby, mamy więc

\dfrac{dy}{dx}\equiv f'(x)\equiv y'=\mbox{st}\left(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right)=3x^2.

W bardziej konwencjonalnym podejściu obliczamy granicę prawej strony, gdy \Delta x\rightarrow 0.

Uwaga: W XVII i XVIII wieku używano pojęcia nieskończenie małych, później wprowadzono ścisłe pojecie granicy, a jeszcze później, bo w drugiej połowie XX wieku, wykazano, że można rozszerzyć pojęcie liczb rzeczywistych tak, aby zawierało także liczby nieskończenie małe oraz nieskończenie wielkie. Każda standardowa liczba rzeczywista x otoczona jest nieskończenie bliskimi liczbami postaci x+dx, gdzie dx jest nieskończenie małe. Można jednak zrzutować taką liczbę hiperrzeczywistą na zwykłą prostą rzeczywistą i otrzymamy wówczas wartość standardową st(x+dx)=x. Podejście takie, zwane analizą niestandardową albo infinitezymalną, jest równie ścisłe jak dziewiętnastowieczne armaty z \epsilon ,\delta.

Pochodna mierzy nachylenie funkcji w danym punkcie, co jest znacznie wygodniejsze niż używanie średnich nachyleń w skończonym przedziale.

nachylenie stycznej

Można sobie wyobrażać, że każda porządna linia krzywa jest łamaną złożoną z nieskończenie wielu nieskończenie krótkich odcinków. Obliczanie pochodnych jest bardzo proste, mamy pewien zbiór reguł, które pozwalają to robić. Np. pochodna sumy funkcji jest sumą pochodnych itd. Jeśli nie chce się nam liczyć, wchodzimy na WolframAlpha i wpisujemy, w naszym przykładzie: derivative of x^3 (co po angielsku znaczy pochodna z).

  • Całka nieoznaczona

Obliczając pochodną funkcji w danym punkcie otrzymujemy jakąś wartość rzeczywistą. Jeśli potraktować x jako zmienną, otrzymujemy nową funkcję x\mapsto f'(x). Można więc traktować obliczanie pochodnej (zwane ze względów historycznych różniczkowaniem) jako pewne odwzorowanie przypisujące funkcji f pewną inną funkcję f'. Można też spojrzeć na sprawę odwrotnie i dla pochodnej równej g(x) szukać funkcji pierwotnej G(x), tzn. takiej, że G'(x)=g(x). Każda tablica pochodnych czytana od prawej do lewej strony jest tablicą funkcji pierwotnych, inaczej całek nieoznaczonych:

\int{ g(x)dx}\equiv G(x)\Leftrightarrow G'(x)=g(x).

Symbol dx pod całką wskazuje tylko nazwę zmiennej. Przykład z poprzedniego punktu dowodzi, że

\int{3x^2 dx}=x^3.

W WolframAlpha: integral of 3x^2. Do funkcji pierwotnej zawsze można dodać jakąś stałą, ponieważ nie zmienia to pochodnej (nachylenie funkcji stałej jest zawsze równe 0). W odróżnieniu od obliczania pochodnych znajdowanie całek nieoznaczonych bywa trudne, a niektóre funkcje elementarne nie mają elementarnych całek oznaczonych. Zawsze można natomiast bez trudności sprawdzić, czy całka znaleziona jest prawidłowo: wystarczy wynik zróżniczkować.

  • Całka oznaczona czyli pole pod wykresem

Mając pewną funkcję f(x), zdefiniujmy nową funkcję S(x), która jest polem zawartym między wykresem funkcji a osią Ox oraz między dwiema wartościami argumentu: stałym a oraz zmiennym x.

newton_leibniz

Pole takie to z definicji całka oznaczona z funkcji f:

S(x)\equiv\int_{a}^{x}f(x) dx.

Obowiązuje następujące twierdzenie Newtona-Leibniza (choć znali je wcześniej James Gregory oraz Isaac Barrow): Jeśli F(x) jest dowolną funkcją pierwotną (ciągłej) funkcji f(x), to zachodzi równość:

\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a).

Twierdzenie to wskazuje główną motywację obliczania całek nieoznaczonych: możemy za ich pomocą wyznaczyć całkę oznaczoną czyli pole, a to się często przydaje.

Dlaczego słuszne jest tw. Newtona-Leibniza? Jeśli rozpatrzyć dwie bliskie wartości argumentu x, x+\Delta x, to przyrost funkcji S(x) jest równy

\Delta S=S(x+\Delta x)-S(x)\approx f(x)\Delta x \Rightarrow \dfrac{\Delta S}{\Delta x}\approx f(x),

gdzie równość przybliżona bierze się stąd, że krzywoliniowy cienki pasek można w przybliżeniu zastąpić polem prostokąta. Równość staje się dokładna, gdy \Delta x dąży do zera. Zatem S'(x)=f(x). Łatwo zauważyć, że trzeba wybrać funkcję pierwotną F(x)-F(a), bo zapewnia ona, że dla x=a otrzymamy pole równe 0. .

Możemy zilustrować tw. Newtona-Leibniza na naszym przykładzie funkcji pierwotnej do 3x^2:

\int_{0}^{x}3t^2 dt=x^3-0^3=x^3\Leftrightarrow \int_{0}^{x}t^2 dt=\dfrac{x^3}{3}

Wynik ten znał już Archimedes: pole pod parabolą jest równe 1/3 pola prostokąta na rysunku.

pole_paraboli

Jeśli nasza funkcja nie jest stale dodatnia, to całka oznaczona jest polem zsumowanym ze znakiem + albo -, jak na rysunku. Oblicza się ją nadal za pomocą tw. Newtona-Leibniza.

pole_calka

Gottfried Wilhelm Leibniz: Dusze jako hologramy świata (list do księżnej elektorowej Zofii, 4 listopada 1696)

Wiek XVII to epoka, gdy zaczęła się współczesność. Nasze nauki, idee, koncepcje, metody i złudzenia mają swe źródła właśnie wtedy. Oczywiście, przedtem było średniowiecze, które nie zawsze było ciemne, a jeszcze przedtem Grecy z geometrią i z tragediami ilustrującymi, jak działa nieubłagane przeznaczenie. Dopiero jednak w XVII wieku różne nikłe strumyczki złączyły się w rzekę, która na złe i dobre niesie nas w nieznane.
Ojcowie założyciele nowożytnej nauki nie zawsze już są dla nas zrozumiali. Gottfried Wilhelm Leibniz jest jednym z najoryginalniejszych myślicieli tamtego wieku. Trwałym jego osiągnięciem okazał się rachunek różniczkowy i całkowy. Zajmował się Leibniz niemal wszystkim: od religii, historii i prawa, przez teologię, fizykę, logikę, matematykę aż po filozofię. Jeden z najmądrzejszych ludzi w Europie spędzał życie w służbie niezbyt rozgarniętych książąt. Nadrabiał to korespondencją, wiek XVII to pierwszy wiek dobrze działającej poczty w Europie. Rozpuszczeni internetem nie rozumiemy już, jak wielkie to było osiągnięcie, jak bardzo przyczyniło się do wymiany myśli. Pisanie listów zmuszało do przemyślenia poglądów, wyrażenia ich w formie kilkustronicowego skrótu, wciąż daleko było do czasów, gdy każdą ideę można zawrzeć w 140 znakach.

correspondance_leibniz

Świat Leibniza nie składa się z materialnych atomów, wypełniony jest bytami po brzegi, na wszystkich poziomach. Każdy jego fragment zawiera nieskończenie wiele mniejszych bytów, przypomina samopodobny zbiór Mandelbrota, który w powiększeniu przypomina do złudzenia sam siebie. Podstawowymi jednostkami są dusze – słynne monady, z których każda odzwierciedla cały wszechświat. Istnieją one, odkąd zostały stworzone, i będą istnieć, dopóki Stwórca ich nie unicestwi. Każda z owych dusz rozwija się niejako realizując wbudowany w nią od początku program. Nie ma śmierci, jest tylko przeobrażenie. Nic nigdy nie ginie ani nie powstaje, rozwija się tylko, ewoluuje ku większej doskonałości. Jest to piękny sen o racjonalnym świecie urządzonym przez dobrego Boga. W oczach Leibniza rzeczywistość była rodzajem uporządkowanego snu czy filmu, czymś w rodzaju rzeczywistości wirtualnej zaprogramowanej przez Stwórcę. Była ona przy tym zaprogramowana tak zmyślnie, że owe programy uwzględniały wszystkie pozostałe programy: dzięki temu możemy mieć wrażenie, iż uczestniczymy interaktywnie w rzeczywistym świecie, ale naprawdę mamy tylko nałożone okulary VR. Wszechświat jest holograficzny: ekstrahując informację z jego maleńkiego wycinka, z pojedynczej duszy, moglibyśmy poznać całą resztę dusz, a więc wszystko, co jest do poznania.

Samopodobieństwo zbioru Mandelbrota zobaczyć można np. tu i jeszcze w większym pliku tu.

Księżna elektorowa Zofia była żoną Ernesta Augusta, księcia Brunszwiku-Lüneburga. Leibniz był ich nadwornym bibliotekarzem i historykiem, ta ostatnia dziedzina okazała się niezwykle istotna dla księcia – dzięki dokumentom odnalezionym przez uczonego został on podniesiony przez cesarza do godności elektora. Zofia pod koniec życia uzyskała prawo do tronu angielskiego, z którego skorzystał dopiero jej syn Jerzy I. Dynastia hanowerska rządzi w Anglii do dziś. List jest jednym z wielu, które uczony pisał do księżnej Zofii, osoby wykształconej i inteligentnej. Kobiety na tych dworach często miały zainteresowania intelektualne czy artystyczne, ich mężowie zwykle nie sięgali wyobraźnią poza bieżące machinacje polityczne oraz polowania.

Główne me rozważania obracają się wokół dwóch przedmiotów: jedności i nieskończoności. Dusze są jednościami, a ciała wielościami – lecz nieskończonymi, tak że najmniejszy pyłek zawiera jakiś świat z nieskończonością stworzeń. Mikroskopy ukazały naocznie, że w kropli wody znajdować się może więcej niż milion żyjątek. Jedności wszakże – choć są niepodzielne i nie mają części – nie przestają przedstawiać wielości, mniej więcej tak, jak wszystkie promienie okręgu łączą się w jego środku. Na takim właśnie złączeniu polega podziwu godna natura postrzeżenia; ono także sprawia, iż każda dusza jest osobnym światem, przedstawiającym wielki świat na swój sposób i wedle swego punktu widzenia, toteż każda dusza, skoro raz już zaczęła istnieć, musi być tak samo trwała jak ów świat, którego jest wiecznym zwierciadłem. Zwierciadła te są uniwersalne i każda dusza przedstawia dokładnie cały wszechświat. Gdyż nie ma w świecie niczego, co nie miałoby udziału w całej reszcie, choć wpływ staje się mniej dostrzegalny wraz odległością. Wśród wszystkich dusz nie ma bardziej wzniosłych niż te, które zdolne są rozumieć prawdy wieczne, zdolne nie tylko przedstawiać świat w niewyraźny sposób, ale także rozumieć i posiadać wyraźne idee piękna oraz wielkości substancji suwerennej. Znaczy to być nie tylko zwierciadłem wszechświata (jakim są wszystkie dusze), lecz również tego, co we wszechświecie najlepsze. To znaczy samego Boga; to właśnie zastrzeżone jest dla umysłów albo inteligencji, które dzięki temu zdolne są kierować innymi stworzeniami w naśladowaniu Stwórcy.
Skoro więc każda dusza przedstawia wiernie cały wszechświat, a każdy umysł przedstawia jeszcze dodatkowo samego Boga we wszechświecie, łatwo dojść do wniosku, iż umysły są czymś większym, niż się sądzi. Jest bowiem prawdą pewną, że każda substancja dojść musi do takiej doskonałości, do której jest zdolna i która zawiera się w niej niejako zwinięta. Dobrze jest też rozważyć, iż w tym życiu zmysłowym starzejemy się po osiągnięciu dojrzałości, ponieważ zbliżamy się ku śmierci, która jest jedynie zmianą sceny; ale życie wieczne dusz nie podlega śmierci i tak samo nie podlega starości. Dlatego doskonalą się one i dojrzewają ustawicznie, tak samo jak świat, którego są obrazem; nic bowiem nie ma na zewnątrz wszechświata, co mogłoby mu stanąć na przeszkodzie, toteż wszechświat musi stale doskonalić się i rozwijać.
Można by wysunąć zarzut, że to doskonalenie nie jest widoczne, a nawet, że niejako cofa się skutkiem panującego nieładu. Jest tak jednak tylko na pozór, co można stwierdzić na przykładzie astronomii: nam, znajdującym się na ziemskim globie, ruch planet wydaje się czymś nieuporządkowanym. Gwiazdy zdają się błądzić i poruszać bezładnie raz w przód, a raz wstecz, a nawet zatrzymywać się od czasu do czasu. Kiedy jednak dzięki Kopernikowi umieściliśmy się na Słońcu – przynajmniej przy pomocy oczu naszego umysłu – odkryliśmy ład godny podziwu. W ten sposób nie tylko że wszystko dokonuje się zgodnie z zasadami tego ładu, ale nawet i ludzkie umysły zdolne są zdać sobie z tego sprawę w miarę, jak czynią postępy.
(…) Mam nadzieję, że [umysły] we Francji odwrócą się stopniowo od tej mechanicznej sekty [kartezjan] i od tego małostkowego przekonania o ograniczonej szczodrobliwości natury, która tylko nam jednym miałaby przyznać przywilej posiadania duszy. Kto wniknie głębiej w przedstawione przeze mnie myśli na temat nieskończoności, ten wyrobi sobie zgoła inne pojęcie o majestacie wszechświata zamiast uważać go za warsztat rzemieślnika, jak czyni to autor wielości światów [Fontenelle] w rozmowach ze swoją markizą. Każda bowiem machina naturalna ma nieskończenie wiele narządów i co jest jeszcze bardziej godne podziwu, to właśnie dzięki temu każde zwierzę odporne jest na wszelkie przypadłości i nie zostaje nigdy zniszczone, lecz jedynie zmienione i oddzielone przez śmierć, tak jak wąż zrzuca starą skórę; narodziny i śmierć są bowiem tylko rozwijaniem i zwijaniem, aby przyswoić nowy pokarm i aby go potem porzucić, gdy posiądzie się jego istotę, a zwłaszcza gdy zatrzyma się w sobie ślady postrzeżeń, które się posiadło i które zostają na zawsze i nigdy nie ulegają całkowicie zapomnieniu i choć nie zawsze ma się okazję je przypomnieć, idee takie nie omieszkają się przypomnieć i stać użyteczne z biegiem czasu. Toteż można dowieść matematycznie, iż wszelkie działanie, jakkolwiek małe by ono było, rozciąga się do nieskończoności, zarówno pod względem miejsc, jak i w czasie, promieniując – by tak rzec – na cały wszechświat i przechowując się przez całą wieczność. Tak więc nie tylko dusze, ale i ich działania przechowują się wiecznie, a nawet działanie każdej z nich przechowuje się we wszystkich duszach wszechświata za sprawą współdziałania i zgodności wszystkich rzeczy; świat cały zawarty jest w każdej swej części, ale w jednych bardziej wyraźnie niż w drugich i na tym właśnie polega przewaga tych umysłów, dla których suwerenna inteligencja stworzyła wszystko inne, aby dać się poznać oraz kochać, niejako mnożąc się w ten sposób we wszystkich żyjących zwierciadłach, które ją przedstawiają.

Johann Bernoulli i brachistochrona – krzywa najszybszego spadku (1697)

W roku 1691 Johann Bernoulli, młody matematyk bez stałych dochodów, w jednym z paryskich salonów spotkał nieco starszego markiza de L’Hôpital, wielkiego amatora matematyki. Bernoulli zrobił piorunujące wrażenie pokazując swój niepublikowany wynik dotyczący promienia krzywizny dowolnej krzywej. Szwajcar był w tym okresie najwybitniejszym w Europie, a więc i na świecie, ekspertem, znającym nowe metody rachunku różniczkowego i całkowego Leibniza. Tylko Newton w Anglii umiał więcej, ale w tym czasie Anglik coraz mniej zajmował się nauką, wkrótce zamieszkał w Londynie i zajął się nadzorowaniem królewskiej mennicy. Markiz de L’Hôpital zaczął brać u Bernoulliego lekcje, a po trzech latach zaproponował następujący układ: będzie Szwajcarowi wypłacał pensję roczną wysokości co najmniej 300 liwrów w zamian za możliwość dyskretnego otrzymywania części jego wyników naukowych wraz z możliwością publikowania ich przez markiza jako własne. Kiedy w 1696 roku markiz ogłosił anonimowo książkę Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes („Analiza nieskończenie małych w celu badania linii krzywych”) – pierwszy podręcznik rachunku różniczkowego i całkowego, umowa się załamała, i to pomimo faktu, że w przedmowie de L’Hôpital zadeklarował ogólnikowo, iż wiele zawdzięcza Johannowi Bernoulliemu. Szwajcar zrozumiał, że sprzedał w ten sposób najlepszą cząstkę siebie i potem pilnował się, by tego błędu więcej nie powtórzyć. Kto uczył się o granicach funkcji, spotkał zapewne regułę de L’Hôpitala – to skutek owej umowy, regułę wymyślił Johann Bernoulli, ale po dziś dzień wszyscy nazywają ją regułą de L’Hôpitala.

Johann_Bernoulli

To, niestety, portret z ok. 1740 roku. W młodości chyba nie było go stać na portrecistów.

 Rachunek różniczkowy i całkowy stał się podstawą fizyki, a także różnych dziedzin inżynierskich. W szczególności można było teraz rozwiązywać w sposób systematyczny różne problemy związane z osiąganiem maksimum albo minimum danej funkcji. Pojawiły się także problemy bardziej ogólne, w których szukamy nie jakiegoś punktu na krzywej, ale samej krzywej. Np. mamy zadane dwa punkty i interesuje nas, jaką krzywą należy te dwa punkty połączyć, aby koralik nanizany na krzywą i ślizgający się bez tarcia dotarł do punktu położonego niżej w najkrótszym czasie. Możemy sobie wyobrażać (albo budować z drutu) różne krzywe i dla każdej sprawdzać, ile czasu zajmie koralikowi przebycie całej drogi. To jest właśnie problem brachistochrony – czyli krzywej najkrótszego spadku.
Johann Bernoulli w roku 1696 znalazł rozwiązanie i nie opublikował go, lecz rzucił wyzwanie innym matematykom, by także znaleźli rozwiązanie, jeśli potrafią.
Prędkość naszego koralika zależy tylko od wysokości, dla ślizgania bez tarcia słuszna jest zasada zachowania energii mechanicznej: ile koralik straci energii potencjalnej, tyle zyska kinetycznej.

brachistochrone

Obrazek ze strony http://www.mathcurve.com/courbes2d/brachistochrone/brachistochrone.shtml

Moglibyśmy połączyć punkty linią prostą, ale widzimy, że nie jest to najlepszy pomysł, chociaż droga przebywana przez koralik jest wtedy najkrótsza. Nabiera on jednak zbyt wolno prędkości. Nasz koralik ma największe przyspieszenie, spadając pionowo. Ale wówczas musi przebyć jeszcze odcinek poziomy i łączna droga jest za duża (załamanie krzywej nie ma znaczenia, można sobie wyobrażać, że jest to ciasny zakręt, a nie ostre załamanie), czas jest krótszy niż poprzednio, ale nie najkrótszy. Rozwiązaniem jest łuk cykloidy. To krzywa zataczana przez punkt na obwodzie toczącego się koła. Punkt wykonuje okresowe podskoki na wysokość równą średnicy koła. Odwrócona cykloida stanowi rozwiązanie problemu Bernoulliego.

Cycloid_f

Problem nie był aż tak trudny, jak Bernoulli sądził. Leibniz przysłał mu rozwiązanie natychmiast, gdy z listu dowiedział się o problemie. Bernoulli miał jednak nadzieję, że problem ten okaże się za trudny dla Newtona.
Właśnie zaczynał się spór o autorstwo nowej matematyki między Leibnizem i Newtonem. Niemal nikt na kontynencie nie chciał uwierzyć, że Newton kilkanaście lat przed Leibnizem posunął się bardzo daleko w rachunku różniczkowym i całkowym (u niego nazywało to się fluksje i kwadratury). Takie wyrażenia jak ów wzór na promień krzywizny, które tak zadziwił markiza de L’Hôpital, Newton uzyskał jeszcze w latach sześćdziesiątych. Nic z tego nie opublikował, niektóre fragmenty w rękopisie znali wybrani uczeni angielscy. Ponieważ nie publikował, trudno było teraz udowodnić, że tak wcześnie uzyskał istotne wyniki. Działało to także w drugą stronę: Newton, zawsze podejrzliwy, uznał, że to Leibniz musiał coś zaczerpnąć z jego rękopisów, kiedy odwiedził Anglię (nie spotkali się osobiście, ale Leibniz konferował z ludźmi posiadającymi pewne prace Newtona). W niezależne odkrycie tych samych technik nie bardzo wierzył – nie grzeszył skromnością, ale też nie znał nikogo, kto by mu dorównywał, więc właściwie było to proste uogólnienie obserwacji. Teraz, podrażniony wyzwaniem, zostawił na parę godzin sprawy mennicy i rozwiązał zagadnienie brachistochrony, burcząc, że nie lubi, kiedy go zaczepiają cudzoziemcy i odrywają od pilnowania interesów Korony.
Problem nie był aż tak trudny, rozwiązał go także markiz de L’Hôpital i starszy brat Johanna, Jakob, także wybitny matematyk. Rozwiązania zostały opublikowane w „Acta Eruditorum” w 1697 roku. Było to jednak zadanie, z którym wtedy potrafiło sobie poradzić zaledwie kilka osób. Później powstała specjalna gałąź matematyki, rachunek wariacyjny, badająca w sposób systematyczny różne zagadnienia tego typu.

Jakie warunki musi spełniać brachistochrona? Istnieje w przyrodzie coś, co porusza się tak, aby czas ruchu był najkrótszy. Tym obiektem jest światło. Wybiera ono drogę odpowiadającą najkrótszemu czasowi. (Zauważył to niegdyś Pierre Fermat, autor słynnego twierdzenia). Dla światła zachodzi też prawo załamania Snella. Zwykle zapisuje się je za pomocą współczynnika załamania, co zaciemnia związek z prędkością. Tymczasem prawo załamania mówi po prostu tyle, że sinus kąta (do normalnej rozdzielającej ośrodki) jest proporcjonalny do prędkości w danym ośrodku:

\sin\alpha=kv,

gdzie k jest stałe dla danego promienia. (Dlatego kąt w powietrzu jest większy niż w wodzie: bo prędkość światła w powietrzu jest większa niż w wodzie.) W przypadku ruchu koralika kwadrat jego prędkości w punkcie P jest proporcjonalny do wysokości, z której spadł od początku swego ruchu:

v^2=2gh,

gdzie g jest przyspieszeniem ziemskim. Prędkość zależy więc jedynie od wysokości. Możemy wyobrażać sobie zamiast ruchu koralika rozchodzenie się światła w ośrodku, w którym prędkość zależy od wysokości.

cyclo_brachisto_s

 

Przypomina to nieco drogę światła w atmosferze ziemskiej, która ma różną gęstość na różnych wysokościach. Promień światła biegnie po linii krzywej – oczywiście w przypadku atmosfery efekt ten jest niewielki, choć ważny dla astronomów i znany od wieków (nazywa się refrakcją astronomiczną). Łącząc nasze dwa równania, możemy napisać:

\sin^2\alpha=k^2v^2=2gk^2 h\equiv \dfrac{h}{2r} \mbox{ (*).}

Oznaczyliśmy przez 2r największą głębokość, na jaką zsunie się nasz koralik, wówczas kąt \alpha=90^\circ i koralik-światło będzie poruszać się poziomo. Odpowiada to dnu cykloidy.
Możemy teraz sprawdzić, że cykloida spełnia warunek (*). Wyobraźmy sobie cykloidę zataczaną przez punkt P leżący na obwodzie koła o promieniu r. W chwili początkowej punkt P pokrywał się z początkiem układu, teraz odtoczył się do pewnego położenia P, tak jak na rysunku.

cycloid-1

Wektor prędkości punktu P jest prostopadły do odcinka SP. Łatwo to zrozumieć, zauważając, że toczące się koło ma w każdym momencie jeden nieruchomy punkt – jest nim punkt styku z podłożem S. Koło obraca się chwilowo wokół punktu S. Zatem chwilowa prędkość punktu P musi być prostopadła do odcinka SP i trójkąt SPQ jest prostokątny (SQ musi być średnicą koła – kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym). Gdy przyjrzymy się trójkątom prostokątnym na rysunku, stwierdzimy, że zachodzą równości:

\sin\alpha=\dfrac{SP'}{SP}=\dfrac{h}{SP}\mbox{ oraz }\sin\alpha=\dfrac{SP}{2r}.

Mnożąc je stronami, otrzymamy wzór (*). Zatem cykloida jest brachistochroną. Oczywiście, trochę oszukujemy (za Bernoullim!), korzystając z własności światła: w gruncie rzeczy nie chodzi jednak o światło, a o fakt, iż najkrótszy czas ruchu wiąże się z prawem załamania. Postaram się kiedyś napisać, jak Fermat doszedł do swej zasady najkrótszego czasu i co to ma wspólnego z prawem załamania.

DODATEK DLA ZNAJĄCYCH POJĘCIE POCHODNEJ

Wzór (*) możemy zapisać przez współrzędną y punktu P, wyznaczając z niego y, otrzymujemy

-y=2r\sin^2\alpha=r(1-\cos2\alpha).

Potraktujemy to jako jedno z równań parametrycznych naszej krzywej, parametrem jest kąt \alpha z osią y. Jeśli nasza krzywa biegnie pod kątem \alpha do osi y, to dla niewielkich przyrostów przyrostów funkcji wzdłuż krzywej mamy

\Delta x=-\Delta y\tan\alpha .

(tan oznacza tangens). Dzieląc to przez \Delta\alpha i przechodząc do granicy, dostaniemy pierwszą równość w

\dfrac{dx}{d\alpha}=-\tan\alpha\dfrac{dy}{d\alpha}=2r\tan\alpha\sin2\alpha=4r\sin^2\alpha=2r(1-\cos2\alpha).

Ostatnie wyrażenie możemy scałkować i otrzymamy wówczas:

x=r(2\alpha-\sin 2\alpha).

Otrzymaliśmy parametryczne równania cykloidy, zwykle kąt 2\alpha zapisuje się jako \varphi – ma on sens kąta obrotu naszego koła generującego cykloidę od chwili początkowej.
Warto też zwrócić uwagę, że dwa zadane punkty łączy tylko jedna cykloida. Załóżmy, że mamy dane punkty O i A.

cycloid_single

Rysujemy cykloidę zakreślaną przez koło o promieniu 1. Cykloida ta przetnie prostą OA w jakimś punkcie P. Należy teraz zatoczyć cykloidę za pomocą koła o promieniu r równym

r=\dfrac{OA}{OP},

przejdzie ona przez punkt A. Wynika to stąd, że każda cykloida ma tylko jeden parametr określający jej kształt, a mianowicie promień koła, które się toczy. Jeśli znajdziemy właściwy promień, to nie ma już żadnej swobody wyboru naszej cykloidy.

Kuszenie księżnej Karoliny

Wilhelmina Karolina von Brandenburg-Ansbach była córką władcy niewielkiego księstwa Ansbachu, wchodzącego w skład Cesarstwa. Dzieciństwo miała raczej smutne, najpierw umarł na ospę jej ojciec, potem matka wyszła powtórnie za mąż za wysoko urodzonego brutala, który żył w związku ze swą przyrodnią siostrą i groził śmiercią żonie oraz jej dzieciom. Dwa lata później ojczym Karoliny i jego kochanka niemal jednocześnie zmarli, także na ospę. Niedługo później umarła jej matka i sierota trafiła na dwór pruski w Berlinie pod opiekę Fryderyka I i jego żony, Zofii Szarlotty.

W Berlinie inteligentna i urodziwa Karolina nabrała nie tylko ogłady, lecz zaczęła też prędko nadrabiać braki w wykształceniu. Zetknęła się tam z Wilhelmem Gottfriedem Leibnizem, który utrzymywał bliskie stosunki z Zofią Szarlottą i jej matką Zofią.

Caroline_Wilhelmina_of_Brandenburg-Ansbach_by_Sir_Godfrey_Kneller kadr1

Fragment portretu Karoliny jako księżnej Walii pędzla Godfreya

Leibniz, stary kawaler, uwielbiał towarzystwo, a zwłaszcza towarzystwo kobiet. Było to upodobanie na tyle niezwykłe, że wspomniał o nim nawet Fontenelle w oficjalnej eulogii, napisanej po śmierci niemieckiego polihistora. Filozof nie miał w sobie nic z zasuszonego profesora, był dowcipny i kurtuazyjny, nie znaczy to jednak wcale, że toczył puste i błahe konwersacje salonowe. Potrafił opowiadać o tysiącu rzeczy, na których się znał i którymi się zajmował, filozofii nie wyłączając. Kobiety w naturalny sposób były partnerkami do takich rozmów, gdyż, jak ujął to jeden z historyków, ówczesne dwory cechował „skrajny dymorfizm kulturowy”: mężczyźni zajmowali się wyłącznie polowaniami, wojskiem i polityką. W ten sposób sztuka, literatura i wszelkie zajęcia umysłowe stawały się domeną kobiet. Niektóre z nich interesowały się nawet naukami przyrodniczymi, filozofią i teologią. Leibniz sądził, że „ich ciekawość i subtelność mogłaby być bardziej użyteczna dla rodzaju ludzkiego i lepiej głosić chwałę Bożą, niż wszystkie plany zdobywców, gdy ci wprowadzają tylko zamęt i zniszczenie”.

W roku 1704 Karolina stała się przedmiotem szczególnych zabiegów. Miała 21 lat i dzięki znakomitemu pochodzeniu zaczęto interesować się jej zamążpójściem. Pretendował do jej ręki arcyksiążę Karol Austriacki, brat przyszłego cesarza Austrii. Przeszkodą było luterańskie wyznanie Karoliny, przysłano więc uczonego jezuitę, ojca Ferdinanda Orbana, aby nawrócił ją na katolicyzm. Ojciec Orban przychodził dyskutować z Karoliną, przekonywał, naciskał, wynajdywał argumenty. Dziewczyna raz mówiła „tak”, innym razem „nie”, prowadzili długie i wyczerpujące seanse z tekstem Biblii w ręku. Ostatecznie jednak Karolina stwierdziła, że wyznania nie zmieni i basta. Ojciec Orban długo jeszcze zasypywał ją listami, lecz z konwersji (i z małżeństwa) nic nie wyszło. Stawka matrymonialna była wysoka: arcyksiążę Karol był kandydatem do tronu Hiszpanii i z czasem został cesarzem. Wśród książąt protestanckich Karolina stała się dzięki tej odmowie niezwykle popularna, trafiła nawet na karty powieści.

Wyszła za mąż za Jerzego Augusta, syna elektora Hanoweru. Niebawem elektor w wieku pięćdziesięciu czterech lat został królem Anglii Jerzym I, a tym samym jego syn i synowa zostali księciem i księżną Walii. I tu odegrało rolę przywiązanie do protestantyzmu, bo choć Jerzy I był bardzo dalekim krewnym zmarłej królowej Anglii, Anny, to jednak wszyscy pozostali (w liczbie kilkudziesięciu!) jako katolicy nie wchodzili w grę. Anglią nie mógł rządzić katolik, tak postanowił parlament.

Księżna Karolina przeniosła się wraz z całym dworem do Anglii, w Hanowerze został tylko samotny Gottfried Leibniz, któremu król zabronił podążyć za sobą. Leibniz miał najpierw ukończyć dzieło historyczne poświęcone domowi hanowerskiemu. Filozof starał się o stanowisko oficjalnego historyka Wielkiej Brytanii, ale król nie zamierzał antagonizować nowych poddanych nominacją cudzoziemca. Co więcej, Leibniz pozostawał wówczas w ostrym sporze z Isaakiem Newtonem na temat odkrycia rachunku różniczkowego i całkowego, był więc dla angielskich kół naukowych persona non grata.

Stary filozof musiał pogodzić się także i z tym, że jedyna życzliwa mu osoba na dworze angielskim – księżna Karolina, dostała się w orbitę Newtona i jego uczniów. Dawna czytelniczka Teodycei, dyskutowała teraz godzinami z Samuelem Clarke’iem, oglądała pokazy eksperymentów Newtona dotyczących kolorów i istnienia próżni – i czuła się „niemal nawrócona” na jej istnienie. (Był to jeden z licznych punktów spornych między wizją Newtona planet poruszających się w pustej przestrzeni niebios, a Leibniza, który utrzymywał, iż próżnia jest niemożliwa.) Leibniz postanowił walczyć o duszę księżnej Karoliny, postarał się ją ostrzec przed niebezpiecznymi poglądami Anglików. Pisał: „Wielu uważa dusze za cielesne, jeszcze inni za cielesnego mają samego Boga. (…) Pan Newton i jego stronnicy mają jeszcze jedno nader zabawne mniemanie o dziele Bożym. Wedle nich Bóg potrzebuje nakręcać od czasu do czasu swój zegar. W przeciwnym razie ustałoby jego działanie. Nie był bowiem na tyle przezorny, aby nadać mu ruch wieczny. (…) Moim zdaniem, siła i energia pozostają w tej machinie zawsze te same i tylko przechodzą z materii na materię zgodnie z prawami natury i z pięknym, ustanowionym wprzód porządkiem” (G.W. Leibniz, Wyznanie wiary filozofa, przeł. S. Cichowicz i H. Krzeczkowski, PWN, Warszawa 1969, s. 321). Karolina przekazała pismo Samuelowi Clarke’owi, ten zaś na nie odpisał. Wiemy dziś, że Clarke uzgadniał swe argumenty z Newtonem, tak że w istocie ścierali się tu Leibniz z Newtonem. Tak rozpoczęła się jedna z najsławniejszych debat w filozofii, prowadzona w formie listów między Clarke’iem a Leibnizem, kierowanych na ręce księżny, która miała być kimś w rodzaju arbitra. Anglik twierdził, że księżna znała z góry wiele argumentów Leibniza. Ostatecznie polemika pozostała nierozstrzygnięta i niezakończona, piąta odpowiedź Clarke’a nie doczekała się riposty, gdyż Gottfried Leibniz zmarł. Na pogrzebie największego filozofa Niemiec nie pojawił się ani król Jerzy I, który przebywał wówczas w ojczyźnie, ani nikt z jego dworu (Karolina została w Anglii).

Więcej o tym fundamentalnym sporze Leibniza z Newtonem na temat funkcjonowania świata:

http://www.toya.net.pl/~jerzykierul/Newton/31.htm

Korzystałem m.in. z pracy Gregory’ego Browna, Leibniz’s Endgame and the Ladies of the Courts, „Journal of the History of Ideas”, t. 65 (2004), s. 75-100.

Markiza du Châtelet atakuje sekretarza paryskiej Akademii nauk, 1740

W roku 1740 ukazała się anonimowo książka Institution de physique („Podstawy fizyki”). Cały Paryż wiedział, że autorką jest arystokratka, Gabrielle Émilie Le Tonnelier de Breteuil, po mężu markiza du Châtelet, dama znana z zainteresowań filozofią i naukami matematycznymi, wieloletnia  partnerka Voltaire’a, mieszkająca z nim razem w swoim château w Cirey. Książka napisana była w celu kształcenia syna markizy. Nie wiadomo, czy nastolatek ją przeczytał, z pewnością nie był to podręcznik zupełnie elementarny. Stanowił wprowadzenie w filozofię Leibniza, a także przystępny wstęp do mechaniki, bez użycia matematyki, nierezygnujący wszakże z tematów tak wówczas aktualnych jak Newtonowska grawitacja.

519px-Emilie_du_Chatelet

W książce Émilie – jak nazywał ją Voltaire – opowiedziała się stanowczo za jedną ze stron sporu, który dzielił ówczesny świat naukowy. Chodziło o tzw. „siły żywe”. W gruncie rzeczy chodziło o naukowe sprecyzowanie potocznego pojęcia. Mówimy, że jakieś ciało porusza się „z większą bądź mniejszą siłą”. Mówimy tak nawet dziś, mimo kilku wieków powtarzania za Newtonem, że siła to czynnik zmieniający ruch, a nie przysługujący poruszającemu się ciału. Także i wtedy debata toczyła się niejako obok mechaniki newtonowskiej. Pojęcie siły żywej wprowadził zresztą Wilhelm Gottfried Leibniz, wielki rywal Newtona, także na polu mechaniki. Leibniz sądził, z powodów metafizycznych, że całkowita siła żywa cząstek w świecie jest stała.
Jasne było, że siła żywa jest proporcjonalna do masy ciała: widać to chociażby w skutkach zderzeń przy tej samej prędkości. Głównym przedmiotem sporu była kwestia, jak siła żywa zależy od ruchu ciała: czy jest proporcjonalna do prędkości, czy też może do jej kwadratu. Za drugim rozwiązaniem opowiadał się Leibniz, a także Johann Bernoulli, trzeci wielki matematyk i fizyk tamtej epoki. Rozwiązanie to wybrała także markiza du Châtelet. Przedstawiła następującą argumentację. Rozpatrzmy ciało spadające swobodnie. Ciało przyspiesza i działanie siły grawitacji możemy sobie wyobrażać tak jakby wzdłuż toru ułożone były ściśnięte sprężyny, które kolejno rozprężając się, przyspieszają nasze ciało. Łączna siła żywa, jakiej ciało nabierze, będzie proporcjonalna do liczby owych sprężyn, a więc także i do przebytej drogi. Wiadomo, że w spadku swobodnym kwadrat prędkości końcowej jest proporcjonalny do wysokości, z jakiej spadło ciało. A zatem siła żywa jest proporcjonalna do kwadratu prędkości. Rzut pionowy możemy sobie wyobrazić jako stopniową utratę siły żywej na ściskanie kolejnych sprężyn ułożonych wzdłuż drogi ciała. Współczesny czytelnik zauważy pełną analogię do zamiany energii potencjalnej w kinetyczną (podczas spadku) i vice versa.
Technikę imaginacyjnych sprężyn wprowadził Johann Bernoulli w pracy konkursowej przedstawionej paryskiej Akademii nauk w roku 1724. Bernoulli wiedział, że Leibnizowska siła żywa nie jest specjalnie popularna wśród francuskich uczonych, sądził jednak, że zmusi ich do kapitulacji swymi dowodami, wspartymi też rachunkiem całkowym. Niechęć do mv^2 wynikała z rozmaitych powodów. Jednym była swoista wierność kartezjanizmowi, a Kartezjusz uczył, iż to całkowita ilość ruchu (mv) cząstek w świecie pozostaje w świecie stała. Fizyka dopiero zaczęła się matematyzować i nie wszyscy rozumieli, że zdrowy rozsądek to za mało. Akademicy mieli np. zastrzeżenia do Leibnizowskiego kwadratu prędkości, ponieważ nie rozumieli jego sensu i pochodzenia. Dziś wiemy, że nie można tu „zrozumieć” nic więcej, można jedynie wyprowadzić odpowiednie wyrażenie, jak to zrobił Bernoulli, i zastanawiać się ewentualnie nad tym, czy założenia rachunku są spełnione w naturze. Szwajcarskiego uczonego spotkał spory zawód, nie tylko bowiem nie przekonał paryżan, ale wystąpił przeciwko niemu nie kto inny niż Jean-Jacques Dortous de Mairan, z którym korespondował i któremu przekazywał swoje prace i myśli.

431px-Miger_-_Dortous_de_Mairan

Dortous de Mairan unikał pojęcia siła żywa, mówił o „sile poruszającej” i miała ona być proporcjonalna do prędkości, mniej więcej w duchu Kartezjusza. Wprowadził w swej pracy dość osobliwą miarę tej siły. Otóż miałaby ona być mierzona nie odległościami przebytymi przez ciało, ale odległościami przez nie nieprzebytymi: tzn. różnicami odległości rzeczywiście przebytych i odległości, jakie byłyby przebyte, gdyby ciało poruszało się jednostajnie, zamiast zmieniać prędkość. Podawał prosty przykład (cała jego praca nie wykraczała matematycznie poza ten przykład). Weźmy dwa jednakowe ciała A i B. Rzucamy ciało B pionowo w górę z prędkością 1 i wznosi się ono w jednostce czasu na maksymalną wysokość, którą także oznaczymy jako 1. Wiadomo, że gdyby poruszało się jednostajnie do góry, wzniosłoby się na wysokość 2. Różnica tych dwóch wysokości jest „odległością nieprzebytą” i to jest miara „siły poruszającej” naszego ciała A w chwili początkowej. Ciało B wzniesie się na wysokość 4 razy większą i zajmie mu to 2 jednostki czasu. W ciągu pierwszej jego prędkość zmniejszy się do 1 i znajdzie się ono na wysokości 3. Wysokość, jaką by osiągnęło w ruchu jednostajnym byłaby w tym czasie równa 4. Wobec tego w pierwszym odcinku czasu „odległość nieprzebyta” to 4-3=1. Na początku drugiego odcinka czasu ciało ma prędkość 1, a więc znajduje się w takiej sytuacji jak B na początku: wzniesie się więc o 1, zamiast o 2. „Odległość nieprzebyta” w drugiej jednostce czasu wynosi 1. W sumie dla ciała A otrzymujemy 2 jako miarę siły poruszającej, a dla ciała B – 1. Siła poruszająca jest zatem proporcjonalna do prędkości.
Markiza du Châtelet zaatakowała de Mairana (który zdążył do tej pory zostać sekretarzem Akademii nauk) z punktu widzenia swojej ulubionej teorii. Istotnie patrząc na powyższy przykład z tego punktu widzenia, ciało A ma siłę żywą równą 4, a ciało B – 1, i takie też są wysokości, na jakie oba ciała się wznoszą. W teorii „siły żywej” czas nie miał nic do rzeczy: „Jak w mierzeniu majątku człowieka, który musi być taki sam, bez względu na to, czy wyda się go w jeden dzień, rok, czy w sto lat”. (Markiza wiedziała o czym mówi: przegrała kiedyś w karty mniej więcej równowartość miliona dolarów w ciągu kilku godzin.) Émilie okazała się skuteczna retorycznie, stwierdzając, że de Mairan równie dobrze mógłby dowodzić, że 2+2=6.
Dyskusja nie mogła być rozstrzygnięta. Dziś rozumiemy, że obie strony sporu posługiwały się innym zestawem pojęć i w nieco inny sposób. Intuicje Bernoulliego i markizy du Châtelet wymagały dzielenia drogi na odcinki jednakowej długości – co prowadzi do zasady zachowania energii mechanicznej (suma en. kinetycznej i potencjalnej). Dortous de Mairan mimo osobliwych sformułowań miał także swoją rację – jego „odległości nieprzebyte” mierzą zmiany prędkości. Można bowiem podzielić ruch na odcinki odpowiadające równym czasom i wówczas „siła ruchu” zależy liniowo od prędkości. Jest to równoważne dzisiejszemu sformułowaniu II zasady dynamiki: F\Delta t =m \Delta v.
Kompetentne i odważne wystąpienie markizy w sporze z Dortous de Mairanem dodało jej pewności siebie, kolejne wydanie Institutions de physique zawiera już bowiem nazwisko autorki, a także jako suplement polemikę z sekretarzem Akademii. Uczona kobieta okazała się co najmniej równa uznanemu autorytetowi – na kolejne przykłady takiej sytuacji wypadło we Francji czekać wyjątkowo długo, bo aż do czasów Marii Skłodowskiej-Curie.

Nb. polska Wikipedia lekko bredzi, twierdząc, że markizie du Châtelet zawdzięczamy wyrażenie na energię kinetyczną i to w osobliwej postaci przybliżonej:bb3745077452708dc3b5e4b81566a6ea