Od zasady najdłuższego czasu do równań Maxwella III

W poprzednich dwóch częściach rozpatrzyliśmy zasadę wariacyjną dla cząstki w polu, które okazało się elektromagnetyczne (przy okazji otrzymaliśmy siłę Lorentza) oraz zasadę wariacyjną dla pola elektromagnetycznego. Skoro zaszło się tak daleko, warto może pokazać jeszcze kilka prostych konsekwencji tego, co uzyskaliśmy. Dwa równania Maxwella (prawo Gaussa i prawo Ampère’a) mają u nas postać:

\partial^{\mu}F_{\mu\nu}=\mu_0 j_{\nu},\mbox{(1)}

gdzie j_{\nu}=(c\rho,-\vec{j}) jest czterowektorem gęstości ładunku oraz gęstości prądu; nie wprowadzaliśmy ich poprzednio, ponieważ ominęliśmy obliczenie wariacji lagranżianu oddziaływania pola z cząstkami, wyraz taki ma postać -\int j^{\mu}A_{\mu} d^{4}x. Jasne jest, że muszą pojawić się jakieś źródła: ładunki i prądy.

Dwa pozostałe równania Maxwella (prawo Faradaya oraz magnetyczny odpowiednik prawa Gaussa) wyglądają następująco:

\partial_{\mu}F_{\nu\rho}+\partial_{\rho}F_{\mu\nu}+\partial_{\nu}F_{\rho\mu}=0.\mbox{(2)}

Z równości tej otrzymujemy cztery równania skalarne, gdy trzy wskaźniki są różne. Jednak samo równanie jest prawdziwe dla dowolnego zestawu wskaźników, przy powtarzających się dostajemy tożsamościowo zero, np.

\partial_{0}F_{01}+\partial_{1}F_{00}+\partial_{0}F_{10}=0,

gdyż wyraz środkowy równy jest zeru, a dwa skrajne mają przeciwne znaki (bo F_{\mu\nu}=-F_{\nu\mu}).

Pokażemy trzy krótkie wnioski z równań zapisanych w tej postaci:

  1. Równania Maxwella w próżni sprowadzają się do równania falowego, a to znaczy, że pole elektromagnetyczne może wędrować w przestrzeni jako fala.
  2. Możemy zapisać te równania za pomocą czteropotencjału A_{\mu}.
  3. Spełniona jest zasada zachowania ładunku.

Ad 1 Obliczmy pochodną \partial^{\mu} z naszego równania (2):

\partial^{\mu}\partial_{\mu}F_{\nu\rho}+\partial^{\mu}\partial_{\rho}F_{\mu\nu}+\partial^{\mu}\partial_{\nu}F_{\rho\mu}=0.

Należy to sobie wyobrażać jako wzięcie pochodnej, a następnie wysumowanie po powtarzającym się wskaźniku. Dwa ostatnie wyrazy są w próżni równe zeru na mocy równania (1). Wyraz pierwszy to

\partial^{\mu}\partial_{\mu}=\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}-\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}-\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}\equiv \square.

Taki operator nazywa się dalambercjanem (od Jeana Le Ronda d’Alemberta, który zajmował się jeszcze w XVIII wieku równaniem falowym) przez analogię do laplasjanu. Otrzymany wynik można więc krótko zapisać:

\square F_{\mu\nu}=0.

A więc teoria przewiduje fale w próżni.

Ad 2 Tensor pola wyraża się przez czteropotencjał następująco:

F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}.

Wartości pola elektromagnetycznego otrzymujemy przez różniczkowanie, więc jasne jest, iż wybór czteropotencjału nie jest jednoznaczny. Równanie (2) zapisane za pomocą czteropotencjału daje tożsamościowo zero:

\partial_{\mu}(\partial_{\nu}A_{\rho}-\partial_{\rho} A_{\nu})+\partial_{\rho}(\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu})+ \partial_{\nu}(\partial_{\rho}A_{\mu}-\partial_{\mu}A_{\rho})=0.

Łatwo zauważyć, że mamy pary wyrazów różniących się tylko znakiem (kolejność różniczkowania wolno zawsze zmienić). W bardziej rozbudowanej matematycznie teorii jest to tzw. tożsamość Bianchiego (od matematyka włoskiego z przełomu XIX i XX wieku, pierwszy zresztą tę tożsamość zapisał Ricci-Curbastro, a potem odkrywana była jeszcze wiele razy na nowo). Wstawiając potencjał do równania (1), otrzymujemy

\partial^{\mu}(\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu})=\square A_{\nu}-\partial_{\nu}(\partial^{\mu}A_{\mu})=\mu_{0}j_{\nu}.

Ostatnie równanie można uprościć, korzystając ze swobody cechowania. Możemy bowiem zażądać, żeby ostatni wyraz w nawiasie po lewej stronie był równy zeru. Ograniczamy w ten sposób dowolność wyboru czteropotencjału. Warunek ten nazywa się cechowaniem Lorenza (od duńskiego uczonego Ludwiga Lorenza, którego nie należy mylić z Holendrem Hendrikiem Lorentzem od transformacji Lorentza). Jeśli go nałożymy, to nasz czteropotencjał spełnia niejednorodne równanie falowe:

\square A_{\mu}=\mu_{0}j_{\mu}.

Tam gdzie nie ma ładunków ani prądów, otrzymujemy równanie falowe dla czteropotencjału. W tej formie równania Maxwella wyglądają więc następująco:

\begin{cases} \square A_{\mu}=\mu_{0}j_{\mu}\\ \partial^{\mu}A_{\mu}=0.\end{cases}

W tej postaci mamy tylko jedno równanie na czterowektor plus warunek cechowania. Czyli w istocie pole elektromagnetyczne nie potrzebuje sześciu składowych (po trzy dla pola elektrycznego i magnetycznego), wystarczą cztery, a nawet nieco mniej, ze względu na warunek cechowania, który ogranicza możliwości.

Ad 3 Ostatni punkt: zasada zachowania ładunku. Wynika ona z równania (1), gdy weźmiemy jego pochodną:

\partial^{\nu}\partial^{\mu}F_{\mu\nu}=0=\mu_{0} (\partial^{\nu}j_{\nu}).

Pierwsza równość pochodzi stąd, że pochodne możemy przestawiać bez zmiany znaku, natomiast tensor F_{\mu\nu} jest antysymetryczny. Tak przy okazji, nazywa się często F_{\mu\nu} tensorem Faradaya, oczywiście Michael Faraday nie miał pojęcia o tensorach, odkrył jednak, że zmienne pole magnetyczne generuje pole elektryczne. Ostatnie wyrażenie to uogólnienie dywergencji na cztery wymiary:

\dfrac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\vec{j}=0.

Ostatnie równanie znaczy tyle, że jeśli w danym punkcie prąd wypływa, to gęstość ładunku musi odpowiednio maleć. Ładunek jest zachowany, i to lokalnie: aby wypłynął z danej objętości, musi przeciąć powierzchnię, która tę objętość ogranicza. Jeśli był, a teraz go nie ma, to znaczy, że musiał przejść przez granicę.

Równania Maxwella zapisane jak wyżej nie tylko wyglądają prościej, ale wskazują jawnie, że teoria jest relatywistycznie kowariantna, tzn. zgodna z teorią względności. To nie koniec zalet takiego podejścia: okazuje się, że w teorii grawitacji Einsteina postać równań Maxwella jest właściwie taka sama.

Reklamy

Fale wzdłuż struny raz jeszcze

Rozpatrywaliśmy już wcześniej działanie dla przypadku jednowymiarowej struny. Jeśli wychylenie w danym punkcie x oraz w jakiejś chwili t oznaczymy przez y=y(x,t), to działanie będzie miało postać

{\displaystyle S=\int_{0}^{\tau} {\cal L}dx dt, \mbox{ gdzie }  {\cal L}=\dfrac{k}{2}\left[\dfrac{1}{c^2}\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)^2-\left(\dfrac{\partial y}{\partial x}\right)^2\right] },

gdzie wyłączyliśmy pewną wspólną stałą k, która jest bez znaczenia, oraz wprowadziliśmy drugą stałą, która okaże się prędkością naszych fal c. W dalszym ciągu dla uproszczenia będziemy przyjmować, że prędkość ta równa jest jeden (można to zawsze osiągnąć, dobierając odpowiednio jednostki odległości lub czasu). Będziemy też rozpatrywać strunę nieskończonej długości, żeby nie komplikować sobie sytuacji warunkami na jej końcach. Zasada wariacyjna \delta S=0 przy zmianie (wariacji) naszego wychylenia o \delta y prowadzi do równania falowego. Zamiast jednak powtarzać poprzednią procedurę wprowadźmy do działania nowe zmienne x_{+} oraz x_{-} zdefiniowane następująco:

x_{\pm}=x\pm t.

Zamieniając zmienne w działaniu, otrzymamy:

{\displaystyle S=\int_{0}^{\tau} {\cal L}dx_{-}dx_{+}, \mbox{ gdzie }  {\cal L}=-k\dfrac{\partial y}{\partial x_{-}} \dfrac{\partial y}{\partial x_{+}}}.

Obliczając wariację tego działania (po drodze trzeba, jak zawsze wykonać całkowanie przez części), dostaniemy teraz równanie

{\displaystyle \dfrac{\partial^2 y}{ \partial x_{-}\partial x_{+} }=\dfrac{\partial}{\partial x_{-}}\left(\dfrac{\partial y}{\partial x_{+}}\right)=0}.

Jest to równanie falowe w nowych zmiennych. Jest ono znacznie łatwiejsze do rozwiązania: wyrażenie w nawiasie nie zależy od zmiennej x_{-}, musi być więc funkcją jedynie x_{+}.

{\displaystyle \dfrac{\partial y}{\partial x_{+}}=h(x_{+})}.

Całkując obustronnie po x_{+}, dostajemy nową funkcję g zmiennej x_{+} plus dowolną funkcję f zmiennej x_{-} (zamiast stałej całkowania):

{\displaystyle y=g(x_{+})+f(x_{-})=g(x+ct)+f(x-ct)}.

Funkcje te przedstawiają fale biegnące odpowiednio w lewo albo w prawo. Widzimy, że jest to najogólniejsze rozwiązanie równania struny. Fala biegnąca w prawo może wyglądać np. tak (na czerwono zaznaczona jest tylko różna od zera część wykresu funkcji f):

Łatwo też utworzyć rozwiązanie odpowiadające pewnym warunkom początkowym. Dla równania drugiego rzędu musimy zadać początkowy kształt całej struny oraz początkową prędkość każdego jej elementu, potrzebne są więc dwie funkcje. Załóżmy dla uproszczenia, że nasza struna jest w chwili t=0 nieruchoma, a jej kształt zadany jest funkcją y(x,0)=f(x). Łatwo sprawdzić, że rozwiązaniem spełniającym ten warunek początkowy jest

y(x,t)=\frac{1}{2}f(x-ct)+\frac{1}{2}f(x+ct).

Już w wieku XVIII Jean d’Alembert znał rozwiązanie dla dowolnych warunków początkowych (tzn. także zadanego rozkładu prędkości początkowych). Na rysunku poniżej funkcja f opisująca początkowe odkształcenie ma kształt trójkąta. Odkształcenie struny w dowolnej późniejszej chwili będzie miało postać dwóch mniejszych trójkątów o tej samej szerokości, przy czym jeden będzie przesuwał się w lewo, a drugi w prawo.

Funkcje na rysunkach nie są gładkie, a więc ściśle biorąc, nie są różniczkowalne w niektórych punktach. Można temu zaradzić albo rozszerzając pojęcie rozwiązania równania, albo przybliżając rozwiązania funkcjami gładkimi, możemy sobie wyobrażać, że wykresy w powiększeniu okazałyby się gładkie.

Alexis Clairaut: Czy Newton się pomylił? (1747-1749)

15 listopada 1747 roku paryska Akademia Nauk zebrała się na dorocznym posiedzeniu inauguracyjnym. Różniło się ono od zwykłych obrad bardziej uroczystym charakterem, a także tym, że mogła w nim brać udział szersza publiczność. Trzydziestoczteroletni Alexis Clairaut wygłosił na nim sensacyjną tezę, że Newtonowskie prawo powszechnego ciążenia nie jest dokładnie spełnione. O co chodziło? Otóż według Newtona siła grawitacji między ciałami jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości. Już sam Isaac Newton zastanawiał się nad tym, dlaczego wykładnik potęgi w tym prawie równy jest dokładnie 2:

F\propto \dfrac{1}{r^2},

gdzie F jest siłą grawitacji, a r odległością dwóch ciał niebieskich. Gdyby planety były przyciągane jedynie przez Słońce, ich orbity byłyby elipsami, zgodnie z tym, co odkrył wcześniej Johannes Kepler. Newtonowskie ciążenie jest jednak powszechne: każde dwa ciała przyciągają się według tego prawa. Oznacza to, że ściśle biorąc, gdy chcemy opisać np. ruch Ziemi wokół Słońca, musimy uwzględnić, że jest ona przyciągana także przez inne planety (w tym przez Księżyc). Te dodatkowe siły przyciągania nie są wielkie, ale sprawiają, że orbity przestają być krzywymi zamkniętymi. Astronomowie opisują to za pomocą elips, które się obracają. Największy efekt tego rodzaju wykazuje Księżyc: przyciąga go bowiem nie tylko Ziemia, ale także odległe, lecz bardzo masywne Słońce. W rezultacie orbita Księżyca dość szybko się obraca.

peryg

 

 

Isaac Newton usiłował znaleźć jakieś rozwiązanie tego problemu, odniósł jednak porażkę, co bardzo niechętnie i półgębkiem przyznał. Szybkość obrotu elipsy wychodziła dwa razy za mała. Gdyby do wykładnika 2 w prawie ciążenia dodać \frac{4}{243}, uzyskałoby się zgodność z obserwacjami Księżyca. Jednak prawo takie byłoby zdecydowanie nieeleganckie. Nie wiemy, czemu, ale matematyka rzeczywistego świata jest na ogół elegancka.

Alexis Clairaut przyjrzał się ponownie temu zagadnieniu w latach czterdziestych XVIII wieku przy użyciu udoskonalonych metod matematycznych. Jemu także prędkość obrotu elipsy Księżyca wychodziła dwa razy mniejsza, niż pokazują obserwacje. Dlatego w 1747 zaproponował poprawkę do prawa Newtona, siła przyciągania powinna być opisana wzorem

F\propto \dfrac{1}{r^2} + \dfrac{\alpha}{r^3},

gdzie \alpha jest jakąś stałą. Dodatkowy wyraz z trzecią potęgą odległości byłby nieistotny w przypadku dalekich planet, ale zmieniałby zachowanie Księżyca. Oczywiście, ponieważ mamy dodatkowy wyraz i dodatkową stałą \alpha, to można uzyskać zgodność z obserwacjami, dobierając odpowiednio \alpha.

Krok tego rodzaju: wprowadzenie poprawki ad hoc zapewniającej zgodność z obserwacjami jest właściwie aktem rozpaczy. Ale ostatecznie prawo ciążenia wywodzi się z obserwacji i obserwacje mogą je obalić albo zmodyfikować. Gdyby tezę taką wysunął ktoś inny niż Clairaut, nie byłaby może potraktowana poważnie. Chodziło jednak o najwybitniejszego fizyka matematycznego Francji – kogoś, kto pierwszą pracę naukową napisał w wieku dwunastu lat, a mając osiemnaście miał już dorobek upoważniający do przyjęcia do Akademii Nauk. Musiał zresztą jeszcze dwa lata zaczekać, ponieważ członek Akademii powinien mieć ukończone dwadzieścia lat. Kiedy Clairaut głośno przedstawił swoją tezę, okazało się, że nie on jeden o tym myślał. Leonhard Euler napisał mu z Berlina, że niezależnie doszedł do wniosku o niewystarczalności prawa Newtona w pracy, która nie została opublikowana. Sam proponował innego rodzaju poprawki niż Clairaut. Euler jeszcze łatwiej niż Clairaut zgadzał się na modyfikację prawa Newtona, które nigdy mu się nie podobało, ponieważ nie rozumiał skąd się bierze. Gdyby prawo Newtona było wynikiem działania jakiegoś kosmicznego eteru na planety, to jego postać matematyczna wynikałaby z czegoś bardziej fundamentalnego i wtedy zależność w rodzaju tej przyjętej przez Clairauta byłaby zapewne możliwa. Ostatecznie chodziło o gust filozoficzny: Newton był skłonny sądzić, że to Stwórca wprost zadekretował prawo ciążenia, a wtedy postać tego prawa powinna być elegancka, godna Autora. Niebawem także d’Alembert, młodszy kolega i bardzo zazdrosny konkurent Clairauta, ogłosił, że prawo Newtona daje dwa razy za wolny obrót elipsy.

504px-Alexis_Clairault

 Alexis Clairaut460px-Leonhard_Euler_by_Handmann_Leonhard Euler

I kiedy już najważniejsi uczeni wydawali się przekonani, że Newton nie miał racji, dokonał się nieoczekiwany zwrot akcji: wiosną 1749 roku Clairaut ogłosił, że udało mu się wyjaśnić obrót orbity Księżyca, nie uciekając się do żadnych poprawek. Wystarczy prawo Newtona w pierwotnej postaci. Problem leżał w matematyce i subtelnej sztuce stosowania przybliżeń w przypadku, gdy brak dokładnego rozwiązania. Nie prawo Newtona było błędne, ale metoda, którą wszyscy stosowali do tej pory.

Obaj jego konkurenci poczuli się nieco głupio. D’Alembert wycofał z Akademii swoją pracę na temat obrotu orbity Księżyca. Euler zaczął starania, aby dowiedzieć się, jak Clairaut uzyskał nowy wynik. Nie było to wcale łatwe, ponieważ Clairaut nie miał zamiaru publikować swego wyniku bez żadnych dodatkowych korzyści naukowych lub/i finansowych. Euler wykorzystał swoje wpływy w petersburskiej Akademii Nauk, żeby ta ogłosiła w roku 1750 konkurs właśnie na temat grawitacji i Księżyca. Liczył, że wezmą w nim udział d’Alembert, no i przede wszystkim Clairaut. Sam, jako członek Akademii petersburskiej, miał być w komisji konkursowej i dzięki temu poznałby pierwszy pracę Clairauta. Nie powodowała nim tylko ciekawość, pragnął bowiem jednocześnie, a najlepiej wcześniej, opublikować własną pracę na ten sam temat i zapewnić sobie priorytet, przynajmniej w druku. Konkurs wygrał oczywiście Clairaut, jego praca została też opublikowana jako pierwsza. Intryga Eulera się nie powiodła – nie dlatego jednak, aby Szwajcar poczuł w którymś momencie wyrzuty sumienia, lecz przez czysty zbieg okoliczności, którego nie mógł przewidzieć (najpierw chciał drukować swoją pracę w Petersburgu, potem sądził, że szybciej będzie w Berlinie, więc wycofał z Petersburga, tymczasem w Berlinie coś się popsuło w sprawie druku i musiał jeszcze raz posłać pracę do Petersburga). Oczywiście, Euler był fachowcem tak wysokiej klasy, że widząc pracę Clairauta, mógł ją powtórzyć po swojemu, tak czy owak postępowanie takie nie było zbyt uczciwe. Leonhard Euler nie był człowiekiem sympatycznym, choć matematykiem był genialnym.

Prawo Newtona okazało się znacznie dokładniejsze, niż początkowo sądzili wszyscy trzej uczeni. Dopiero Albert Einstein wykazał, że prawo w postaci newtonowskiej jest nie do końca ścisłe: odchylenia są jednak bardzo niewielkie w przypadku Układu Słonecznego.

 

 

Alexis Clairaut i powrót komety Halleya (1759)

Co właściwie odkrył Isaac Newton? Przede wszystkim prawo powszechnego ciążenia: każde dwie masy przyciągają się siłami odwrotnie proporcjonalnymi do kwadratu odległości.

Newton wykazał, że jego prawo jest dość dokładnie spełnione. Pojawiło się pytanie: jak dokładnie. Większość uczonych kontynentalnych jeszcze sześćdziesiąt lat po ukazaniu się książki Isaaca Newtona spierało się o przyciąganie. Wielu nie mogło się pogodzić z przyciąganiem działającym na odległość poprzez pustą przestrzeń. Wątpliwości budziła też powszechność owego ciążenia: każde ciało jest przyciągane przez wszystkie inne, więc problem ruchu robi się trudny, jeśli nie beznadziejny matematycznie. Łatwo było się zgodzić, że Słońce oddziałuje na planety. Ale według Newtona planety oddziaływały także na Słońce (III zasada dynamiki), poza tym przyciągały się nawzajem. Było więc proste matematycznie prawo, które prowadziło do skomplikowanych zachowań.

No dobrze, ale może to prawo ciążenia jest też tylko jakimś przybliżeniem prawdziwej sytuacji. Czemu mielibyśmy wierzyć, że akurat Newtonowi udało się jednym strzałem utrafić w samo sedno?

Alexis Claude Clairaut przyczynił się chyba najbardziej do ugruntowania wiary w prawo ciążenia w takiej dokładnie postaci, jaką nadał mu Newton, bez żadnych poprawek. W roku 1749 udało mu się wyjaśnić pewien kłopotliwy szczegół w ruchu Księżyca. Uprzedził w tym dwóch swoich wielkich rywali: Jeana Le Rond d’Alemberta i Leonharda Eulera (przedtem na zagadnieniu tym poległ sam Isaac Newton).

504px-Alexis_Clairault

(źródło ilustracji: Wikipedia)

W roku 1757 zajął się kwestią komety. Edmond Halley obliczał kiedyś orbity komet w przestrzeni dla Newtona – było to żmudne, starszy uczony postanowił się wyręczyć młodszym kolegą. Metoda obliczeń zakładała, że orbita jest parabolą, a więc krzywą otwartą. Halley zauważył, że parabole dla komet z lat 1531, 1607, 1682 leżały bardzo blisko siebie w przestrzeni. Mogło więc chodzić o kometę poruszającą się po wydłużonej elipsie i powracającą w nasze okolice raz na 76 lat (na małym kawałku, który obserwujemy, wydłużona elipsa i parabola prawie się nie różnią). Jeśli tak, to kometa powinna wrócić około roku 1758.

Newton ani nawet Halley nie mieli szans dożyć tego momentu. Jeśli prawo ciążenia jest słuszne, to orbita komety mogła zostać trochę zaburzona wskutek przyciągania planet. Szczególnie ważne było tu przyciąganie dwóch największych planet Układu Słonecznego: Jowisza i Saturna (Urana i Neptuna jeszcze nie odkryto). Przyciąganie to mogło opóźnić albo przyspieszyć pojawienie się komety. Problem jednak w tym, że nie wystarczy wziąć pod uwagę przyciągania Jowisza, gdy kometa przelatuje w jego okolicy – trzeba uwzględnić jego wpływ w różnych odległościach i skutki tego przyciągania pododawać do siebie. Było to zagadnienie w sam raz dla komputera, tyle że komputerów nie było, a w dodatku obliczenie było pionierskie, bez gwarancji sukcesu.

halleyorb3Orbita komety Halleya (rysunek z książki J.D. Landstreet, Physical Processes in the Solar System), zwróćmy uwagę, że kometa obiega Słońce w przeciwnym kierunku do planet, świadczy to o jej burzliwej przeszłości wskutek której orbita przyjęła obecny kształt. Ale to dygresja.

Clairaut pracował z dwójką współpracowników: astronomem Josephem Jérôme’em de Lalande  oraz panią Nicole Reine Lepaute, żoną królewskiego zegarmistrza, konstruktora przyrządów wykorzystywanych w całej Europie. Pani Lepaute brała udział w konstruowaniu różnych wymyślnych zegarów, znała się też na astronomii.

491px-Jérôme_Lalande 465px-Nicole-Reine_Lepaute

(źródło ilustracji: Wikipedia)

Im bardziej wydłużały się rachunki, tym bardziej należało się spieszyć, aby zdążyć przed pojawieniem się komety na niebie. W ostatnim półroczu cała trójka pracowała bez wytchnienia, czasami nie przerywając obliczeń nawet podczas posiłków. Lalande twierdził, iż wskutek tej szalonej pracy, nabawił się choroby, która odmieniła jego temperament na resztę życia. Wreszcie na publicznym zebraniu Akademii Nauk 14 listopada 1758 roku Alexis Clairaut przedstawił wstępne wyniki pracy. Kometa miała przejść przez perihelium w połowie kwietnia następnego roku. Błąd tego przewidywania oszacował Clairaut na miesiąc. Pod koniec grudnia jako pierwszy kometę zaobserwował rolnik i astronom-amator Johan Georg Palitzsch. Wkrótce obserwowali ją wszyscy. Lalande wyznaczył z tych obserwacji moment przejścia komety przez perihelium: zdarzyło się to 13 marca 1759. Obliczenia trójki uczonych się potwierdziły.

Nie ma jednak takiego sukcesu, który wybaczyliby koledzy: zaczęto pracę Clairauta krytykować jako bardziej żmudną niż pożyteczną. Zaczęła się dyskusja, czy miesiąc błędu to dużo, czy mało i z czym ten błąd porównywać. Za większością tych krytyk stał Jean Le Rond d’Alembert, uczony wybitny, ale zawistny (prowadził także spory z Eulerem, który sam też nie był bez grzechu). Clairaut obliczył właściwie dwa pojawienia się komety: jedno z przeszłości dla kontroli, a drugie z 1759 roku. Twierdził, całkiem rozsądnie, że oba te rachunki stanowiły potwierdzenie teorii Newtona. Fakt, że jedno zdarzenie już się odbyło, nie zmienia obliczeń. Prognoza jest tylko efektowniejsza i ma większe znaczenie psychologiczne. W pewnym momencie zirytowany Clairaut stwierdził, że „wartość matematyka nie zawsze polega na tym, by zapełnić wiele stronic całkami i urojonymi wykładnikami” – wskazał tu na specjalność d’Alemberta, któremu nie chciało się wykonywać szczegółowych obliczeń i poprzestawał na wyrażeniach ogólnych.

Była w tym jednak i sprawa poważniejsza: d’Alembert uważał, że fizyka matematyczna musi być z natury przybliżona i takie rachunki, jakie przeprowadziła trójka uczonych, nie mają większego sensu, bo i tak nie można bardzo precyzyjnie obliczyć ruchów ciał niebieskich. Mylił się zasadniczo. Uważamy dziś, tak jak Clairaut, że teorie fundamentalne mają dokładnie przylegać do obserwacji. Teoria grawitacji Newtona, jak się z czasem okazało, jest dokładna do siedmiu cyfr znaczących, czyli jak 1 do 10 milionów. Teoria względności jest dokładna do czternastu cyfr znaczących, czyli 1 jak do stu bilionów (milionów milionów). Pracochłonne rachunki trójki uczonych miały więc głęboki sens fundamentalny, zawsze trzeba sprawdzać, ile wiemy, a gdzie zaczyna się nasza niewiedza.

Jean Le Rond d’Alembert i Benedykt XIV: coś w rodzaju dialogu (1758)

W połowie XVIII wieku mechanika Isaaca Newtona odnosiła kolejne tryumfy: spłaszczenie Ziemi przy biegunach, przypływy mórz, precesja, ruch Księżyca – wszystko świadczyło na korzyść tajemniczej siły grawitacji. Niektórzy sarkali jeszcze, że nie wiadomo, czym jest owa grawitacja – no bo jak ciała mogą się przyciągać poprzez próżnię? Argumentowano, że to jakiś nowy rodzaj jakości ukrytych, coś w rodzaju twierdzenia, iż opium usypia, ma bowiem zdolność usypiającą. Z wolna jednak oswajano się z myślą, że z jakiegoś powodu świat jest matematyczny i kiedy odgadnie się właściwe prawo, dostrzec można mnóstwo powiązań między pozornie oddzielnymi zjawiskami. „Przyczyn” grawitacji nie znamy zresztą do dziś, także teoria Einsteina tego nie wyjaśnia, formułuje tylko inny opis matematyczny, lepiej przystający do obserwacji.

Ruch Ziemi nie był już dawno kwestią, która by rozpalała umysły. Proces Galileusza, jak się zdaje, jeszcze bardziej przyspieszył nieuchronne zwycięstwo heliocentryzmu. Pod koniec wieku XVII trudno było mieć jeszcze jakieś wątpliwości. Christiaan Huygens pisał w 1698 roku, iż „wszyscy astronomowie prócz opóźnionych umysłowo albo tych, których poglądy podporządkowane są woli innych ludzi, przyjmują bez żadnych wątpliwości ruch Ziemi oraz jej usytuowanie pośród planet” (Kosmotheoros, s. 14). Także w Italii i także w Państwie Kościelnym uczeni, zajmujący się naukami ścisłymi, nie mieli żadnych wątpliwości, choć musieli uważać, by nie popaść w kłopoty. Utartym sposobem było wyraźne ogłoszenie, że wszystko, co się mówi, ma jedynie status hipotezy, a naprawdę wierzymy razem ze świętym Kościołem, że Ziemia poruszać się w żaden sposób nie może. Oto charakterystyczny przykład. Dwaj profesorowie, minimici, François Jacquier i Thomas Le Seur przygotowali nowe, komentowane wydanie Matematycznych zasad Newtona. Na wszelki wypadek zamieścili następującą deklarację (był rok 1742!):

declar

„Newton w tej trzeciej księdze przyjmuje hipotezę ruchu Ziemi. Nie mogliśmy objaśnić twierdzeń autora inaczej, niż także przyjmując taką hipotezę. Jesteśmy więc zmuszeni występować w nieswoim charakterze; deklarujemy jednak uniżone posłuszeństwo, należne dekretom papieży przeciwko ruchowi Ziemi”.

Sztuczki tej próbował już Galileusz. To, co jemu się nie udało, udawało się jego następcom i nikogo więcej w tej sprawie nie prześladowano. Sprawa Galileusza była raczej władczym kaprysem Urbana VIII niż przemyślaną polityką Kościoła. Z czasem głoszenie geocentryzmu w imię dosłownego rozumienia Biblii stawało się coraz bardziej kłopotliwe. Tym bardziej, że Pismo św. coraz wyraźniej jawiło się jako dokument historyczny, nie zawierający ukrytej wiedzy na żaden właściwie temat naukowy. Biblia nie jest źródłem wiedzy, które można by postawić obok doświadczenia czy budowania teorii.
Na Stolicy Piotrowej w połowie wieku XVIII zasiadał Benedykt XIV, cieszący się opinią człowieka uczonego i nienastawionego wrogo do wszystkiego, co przynoszą nowe czasy. Wybrany został w niezwykle długim konklawe, po 254 głosowaniach. Za jego pontyfikatu ukazało się pierwsze na ziemi włoskiej od czasu osławionego procesu wydanie Dialogu o dwu najważniejszych układach świata Galileusza. Dzieło, poprzedzone wprawdzie tekstem wyroku inkwizycji oraz upokarzającą abiuracją uczonego, było niemal nietknięte cenzurą. Wydanie to przygotował zresztą padewski ksiądz i fizyk Giuseppe Toaldo. Już w czasie procesu Galileusza Kościół nie był monolitem, po stu latach widać było coraz więcej ludzi Kościoła, pragnących zmiany polityki w sprawie Kopernika i Galileusza.

Benoit-XIV

O zmianę taką apelował też Jean Le Rond d’Alembert, jeden z dwóch głównych autorów Wielkiej Encyklopedii Francuskiej. W haśle Copernic pisał: „Należałoby gorąco pragnąć, by kraj tak błyszczący wiedzą i rozumem, jak Italia, uznał w końcu ów błąd, tak szkodliwy dla postępu nauk i aby myślał na ten temat to samo co Francja! Odmiana taka godna byłaby oświeconego papieża, który kieruje dzisiaj Kościołem, papieża, który jest przyjacielem nauk i sam jest uczonym. To od niego zależy wydanie inkwizytorom prawa w tym przedmiocie (…) Ta furia inkwizycji zwrócona przeciwko ruchowi Ziemi szkodzi nawet samej religii”. Rozróżnienie między inkwizycją a papieżem nie jest trafne, choć d’Alembert wolał zapewne winę przypisać inkwizycji. W historycznej sprawie Galileusza rozkład winy był dokładnie odwrotny: to inkwizycja nie miała chęci skazywać uczonego i sterowała ku łagodnemu rozwiązaniu sprawy, a papież Urban VIII nakazywał zaostrzenie kursu.

portrait-of-jean-le-rond-d-alembert-1753.jpg!Large

Encyklopedyści byli gwałtownie atakowani przez rodzime środowiska klerykalne. Toteż w pierwszej chwili wydaje się mało prawdopodobne, aby apel kogoś takiego, jak d’Alembert, mógł zostać wysłuchany w Rzymie. Nie ma pewności, czy Benedykt zapoznał się z tekstem z Encyklopedii, ale stosowny cytat znalazł się w obszernej opinii przedstawionej Kongregacji Indeksu przez jezuitę, Pietra Lazzariego. Papież nadzorował osobiście prace tej Kongregacji, mógł więc czytać ten dokument. Lazzari kompetentnie wywiódł, że nie ma sensu utrzymywać zakazu książek dotyczących ruchu Ziemi, i to z wielu powodów. Między innymi dlatego, że zakaz jest nieskuteczny i prowadzi do konfliktów sumienia u katolików. Wśród uczonych sprawa została przesądzona. Popisał się też argumentem prawdziwie jezuickim: nawet jeśli ktoś uważa, że ruch Ziemi sprzeczny jest z Pismem św. i wiarą katolicką, to i tak nie potrzeba osobnego zakazu, gdyż wszystko, co sprzeczne z Pismem i wiarą, jest automatycznie zakazane. Lazzari dobrze rozumiał sytuację i zapewne sam odczuwał pewien dyskomfort widząc, że stanowisko Kościoła bardzo daleko odbiegło od złotego środka.
Jaki był wynik tych wszystkich deliberacji? Taki, że ogólny zakaz „wszystkich książek nauczających o ruchomości Ziemi i nieruchomości Słońca” nie został powtórzony w nowym wydaniu Indeksu Ksiąg Zakazanych z roku 1758. Nadal pozostały szczegółowe zakazy dotyczące dzieł Kopernika, Keplera i Galileusza. Na kolejny mały krok trzeba było czekać do XIX wieku.

Całą tę sprawę omawia Maurice A. Finocchiaro w książce Retrying Galileo 1633-1992, University of California Press 2005; można tam także znaleźć odsyłacze do oryginalnych tekstów.