Fale wzdłuż struny raz jeszcze

Rozpatrywaliśmy już wcześniej działanie dla przypadku jednowymiarowej struny. Jeśli wychylenie w danym punkcie x oraz w jakiejś chwili t oznaczymy przez y=y(x,t), to działanie będzie miało postać

{\displaystyle S=\int_{0}^{\tau} {\cal L}dx dt, \mbox{ gdzie }  {\cal L}=\dfrac{k}{2}\left[\dfrac{1}{c^2}\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)^2-\left(\dfrac{\partial y}{\partial x}\right)^2\right] },

gdzie wyłączyliśmy pewną wspólną stałą k, która jest bez znaczenia, oraz wprowadziliśmy drugą stałą, która okaże się prędkością naszych fal c. W dalszym ciągu dla uproszczenia będziemy przyjmować, że prędkość ta równa jest jeden (można to zawsze osiągnąć, dobierając odpowiednio jednostki odległości lub czasu). Będziemy też rozpatrywać strunę nieskończonej długości, żeby nie komplikować sobie sytuacji warunkami na jej końcach. Zasada wariacyjna \delta S=0 przy zmianie (wariacji) naszego wychylenia o \delta y prowadzi do równania falowego. Zamiast jednak powtarzać poprzednią procedurę wprowadźmy do działania nowe zmienne x_{+} oraz x_{-} zdefiniowane następująco:

x_{\pm}=x\pm t.

Zamieniając zmienne w działaniu, otrzymamy:

{\displaystyle S=\int_{0}^{\tau} {\cal L}dx_{-}dx_{+}, \mbox{ gdzie }  {\cal L}=-k\dfrac{\partial y}{\partial x_{-}} \dfrac{\partial y}{\partial x_{+}}}.

Obliczając wariację tego działania (po drodze trzeba, jak zawsze wykonać całkowanie przez części), dostaniemy teraz równanie

{\displaystyle \dfrac{\partial^2 y}{ \partial x_{-}\partial x_{+} }=\dfrac{\partial}{\partial x_{-}}\left(\dfrac{\partial y}{\partial x_{+}}\right)=0}.

Jest to równanie falowe w nowych zmiennych. Jest ono znacznie łatwiejsze do rozwiązania: wyrażenie w nawiasie nie zależy od zmiennej x_{-}, musi być więc funkcją jedynie x_{+}.

{\displaystyle \dfrac{\partial y}{\partial x_{+}}=h(x_{+})}.

Całkując obustronnie po x_{+}, dostajemy nową funkcję g zmiennej x_{+} plus dowolną funkcję f zmiennej x_{-} (zamiast stałej całkowania):

{\displaystyle y=g(x_{+})+f(x_{-})=g(x+ct)+f(x-ct)}.

Funkcje te przedstawiają fale biegnące odpowiednio w lewo albo w prawo. Widzimy, że jest to najogólniejsze rozwiązanie równania struny. Fala biegnąca w prawo może wyglądać np. tak (na czerwono zaznaczona jest tylko różna od zera część wykresu funkcji f):

Łatwo też utworzyć rozwiązanie odpowiadające pewnym warunkom początkowym. Dla równania drugiego rzędu musimy zadać początkowy kształt całej struny oraz początkową prędkość każdego jej elementu, potrzebne są więc dwie funkcje. Załóżmy dla uproszczenia, że nasza struna jest w chwili t=0 nieruchoma, a jej kształt zadany jest funkcją y(x,0)=f(x). Łatwo sprawdzić, że rozwiązaniem spełniającym ten warunek początkowy jest

y(x,t)=\frac{1}{2}f(x-ct)+\frac{1}{2}f(x+ct).

Już w wieku XVIII Jean d’Alembert znał rozwiązanie dla dowolnych warunków początkowych (tzn. także zadanego rozkładu prędkości początkowych). Na rysunku poniżej funkcja f opisująca początkowe odkształcenie ma kształt trójkąta. Odkształcenie struny w dowolnej późniejszej chwili będzie miało postać dwóch mniejszych trójkątów o tej samej szerokości, przy czym jeden będzie przesuwał się w lewo, a drugi w prawo.

Funkcje na rysunkach nie są gładkie, a więc ściśle biorąc, nie są różniczkowalne w niektórych punktach. Można temu zaradzić albo rozszerzając pojęcie rozwiązania równania, albo przybliżając rozwiązania funkcjami gładkimi, możemy sobie wyobrażać, że wykresy w powiększeniu okazałyby się gładkie.

Reklamy

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Google+

Komentujesz korzystając z konta Google+. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj /  Zmień )

w

Connecting to %s