Thomas Wright: kosmos jako ogród Boga (1750)

Kopernik odebrał Ziemi wyjątkowy status ciała centralnego, ciężkiego i bezwładnego, zbudowanego z innej materii niż świetliste i lekkie ciała niebieskie. Bardzo to uwierało rzymską Kongregację Indeksu, która w 1620 roku ogłosiła „korektę” dzieła, zalecając na użytek wiernych poprawki, np. „Ziemia nie jest gwiazdą (tzn. ciałem niebieskim), jaką ją czyni Kopernik”. Autor nie żył już od niemal osiemdziesięciu lat, ale nic to: poprawki mogli wprowadzić samodzielnie czytelnicy, by ich własne oko nie musiało się gorszyć (a przyjaciele nie donieśli komu trzeba). Jak wykazała kwerenda Owena Gingericha do zaleceń tych zastosowano się jednak niechętnie, nawet w Italii i Hiszpanii, a więc krajach ultrakatolickich, nieskażonych zarazą protestantyzmu. Poza tym im dalej od Rzymu, tym gorzej.

Zakazy kościelne okazały się patetycznie bezsilne wobec fali nowej nauki wzbierającej nawet w Italii, gdzie po skazaniu Galileusza należało uciekać się do rozmaitych wybiegów. Np. Giovanni Alfonso Borelli ogłosił teorię ruchu księżyców Jowisza, choć w oczywisty sposób chodziło mu o ruch planet wokół Słońca. Matematycznie było to to samo, a nie drażniło się inkwizycji. Nauki ścisłe i eksperymentalne opuszczały jednak Italię i rozkwitały głównie w Anglii, Holandii i Francji, dokąd nie sięgały zakazy teologów rzymskich. Protestanci z upodobaniem głosili poglądy sprzeczne z tym, co głosili „papiści”. Korelacja wyznania i wkładu do rewolucji naukowej w XVII i XVIII wieku jest wyraźna. Różnica kulturowa między Europą północno-zachodnią a południowo-wschodnią stawała się coraz głębsza. Protestantyzm był tu zresztą raczej symptomem niż przyczyną. Chrześcijaństwo Lutra i Kalwina było oczyszczone i odnowione, starało się „odczarować” świat, odrzucając magiczne aspekty religii. Tamten podział Europy istnieje do dziś, podobnie jak w badaniach społecznych widać granice zaborów w Polsce.

Uznanie wszechświata za nieskończony a Słońca za jedną gwiazd (w dzisiejszym znaczeniu tego słowa, a więc ciała niebieskiego, które świeci w zakresie widzialnym) nie wynikało z kopernikanizmu w sensie logicznym, ale było jego naturalną konsekwencją. Galileusz bardzo podkreślał, że nie tylko Ziemia nie spoczywa w środku świata, ale wszechświat zapewne nie ma w ogóle żadnego środka. Nie zgadzał się z tym jego największy współczesny Johannes Kepler, który wierzył, że Słońce spoczywa w centrum świata, a gwiazdy są światłami na nieruchomej sferze niebieskiej. Po Isaacu Newtonie nieskończony wszechświat wydawał się jedyną realną możliwością: gwiazdy w skończonym i statycznym wszechświecie musiałyby się zapaść grawitacyjnie do wspólnego środka masy. Nieskończony wszechświat mógłby teoretycznie znajdować się w stanie równowagi nietrwałej. Sytuację taką zasugerował teolog Richard Bentley w listownej dyskusji z Newtonem, a ten niechętnie uznał to za możliwe. Sam raczej sądził, że grawitacja wywołuje rzeczywiście niestabilność, ale Stwórca od czasu do czasu daje prztyczka ciałom niebieskim, aby je przywołać do porządku bądź zbudować nowy porządek. Na przykład księżyce Jowisza mogłyby być zapasowymi planetami trzymanymi na przyszłość. Hipoteza nieskończonego wszechświata prowadziła też niektórych do wniosku, że niebo w nocy powinno świecić jak powierzchnia Słońca. To poważne zastrzeżenie, które Newton, a właściwie Halley starał się obalić niezbyt przekonującymi argumentami.

Protestancka swoboda spekulacji kosmologicznych zaowocowała sporą liczbą różnych traktatów, w których starano się pogodzić prawo ciążenia i dane astronomiczne z Pismem św. Nie było tu mrożącego efektu inkwizycji. Nie tylko teologowie, ale różnego rodzaju samoucy zastanawiali się nad budową i dziejami wszechświata. Do tej ostatniej kategorii zaliczał się Thomas Wright, który niewiele chodził do szkoły. Jako syn cieśli nie mógł liczyć na głębszą edukację, tym bardziej że rozgniewany ojciec spalił mu kiedyś książki, nad którymi jego zdaniem syn spędzał zbyt wiele czasu. Terminował w zawodzie zegarmistrza, potem w sztuce budowania przyrządów nawigacyjnych. Uczył nawigacji marynarzy spędzających zimy na handlu węglem i czekaniu na sezon żeglugowy. Z czasem uczył także nauk matematycznych w domach arystokratycznych, zaczął też projektować ogrody, na co był spory popyt.

W roku 1750 Wright ogłosił książkę pt. An original theory or new hypothesis of the Universe. Obiecywał w niej wyjaśnić ni mniej, ni więcej tylko budowę wszechświata, trzymając się praw natury i zasad matematycznych – zwłaszcza te ostatnie po Newtonie były w cenie. Dzięki tej modzie wiele dam spośród arystokracji pragnęło poznać tajniki nauk ścisłych i interesowało się astronomią. Szczególną wagę przywiązywał Wright do wyjaśnienia „zjawiska Via Lactea” – czyli Drogi Mlecznej na niebie. Można przypuszczać, że słuchaczki zadawały mu często pytanie, czym jest owa Droga Mleczna. W tamtych czasach marnego oświetlenia nie sposób było nie znać widoku nocnego nieba.

Już Galileusz po pierwszych obserwacjach przez teleskop twierdził, że Droga Mleczna to nagromadzenie słabych gwiazdek, które zlewają się w jednolitą poświatę. W czasach Wrighta wiedziano więcej na temat odległości gwiazd. Przede wszystkim starano się wykryć paralaksę roczną – zjawisko pozornego przemieszczania się gwiazd po sferze niebieskiej w rytmie obiegów Ziemi wokół Słońca. Albo Kopernik nie miał racji, albo gwiazdy były bardzo daleko. Ponieważ po Newtonie system heliocentryczny nabrał sensu fizycznego, więc należało przyznać, że odległości gwiazd od Słońca są niewiarygodnie wielkie. Paralaksa roczna z pewnością nie przekraczała 20”, na co wskazywały obserwacje Jamesa Bradleya. Oznaczałoby to, że gwiazdy są dalej niż 1000 odległości Saturna od Słońca. Można też było oszacować tę odległość na podstawie obserwowanej jasności. Należało wówczas założyć, że gwiazdy są takie jak Słońce i ich obserwowana jasność jest wyłącznie skutkiem ich oddalenia od nas. Newton szacował na tej podstawie, że odległość jasnych gwiazd jest rzędu 100 000 odległości Saturn-Słońce (*). Wszechświat był zatem bardzo pusty i gdyby nawet miał się zapaść, to nie nastąpiłoby to zbyt szybko – musimy pamiętać, że wiek świata liczono w tysiącach lat, zgodnie z Biblią. Newton (nb. fundamentalista biblijny) podał jednak oszacowanie wieku Ziemi na podstawie eksperymentów z czasem stygnięcia na co najmniej 50 000 lat. Wright następująco przedstawił znany wówczas Układ Słoneczny wraz z wydłużonymi orbitami komet (w roku 1750 nie zaobserwowano jeszcze żadnego przypadku komety okresowej).

Odległość do Syriusza, najjaśniejszej gwiazdy na niebie, a więc zapewne także najbliższej przedstawił Wright na środkowym rysunku poniżej (nie udało mu się zachować proporcji). Na dolnym mamy proporcje orbit planetarnych, ukazujące, jak pusto jest nawet w samym Układzie Słonecznym.

Najważniejsze wszakże miało być objaśnienie, czemu widzimy Drogę Mleczną. Najlepiej przedstawia to rysunek.

Jeśli Słońce jest gwiazdą A na rysunku i znajduje się wewnątrz płaskiego zbiorowiska gwiazd, to patrząc w kierunku H albo D widzimy wiele gwiazd, a w kierunku B i C niezbyt wiele. W ten sposób układ gwiazd będzie nam się jawił jako pas wokół sfery niebieskiej.

Mniej więcej w tym miejscu kończy się wkład Wrighta do kosmologii i astronomii. Recenzję z jego książki, bez rysunków, przeczytał w pewnym czasopiśmie pewien zupełnie nieznany magister na prowincjonalnym uniwersytecie w Królewcu. Nazywał się Immanuel Kant i kilka lat później zainspirowany pomysłami Wrighta napisał całą książkę na temat wszechświata. Długo pozostawała ona nieznana, właściwie zwrócono na nią uwagę dopiero po latach, kiedy Kant zdobył sławę, lecz nie jako astronom, tylko jako twórca systemu filozofii.

Thomas Wright nie ograniczył się do tego, co wiadomo z obserwacji i teorii naukowych. Pragnął przede wszystkim zbudować model wszechświata, w którym jest przestrzenne miejsce dla Zbawienia i Potępienia. Jak niemal wszyscy wówczas, traktował dane religijne jako równie pewne jak naukowe. Tradycyjny średniowieczny model świata zawierał Piekło w środku Ziemi i Raj poza sferą gwiazd stałych. Wright spróbował niejako przenicować ten model: w środku miał się znajdować Raj, na zewnątrz, w ciemnościach, Piekło.

Pomysł Wrighta polegał na tym, że wszechświat jest trwały, bo gwiazdy poruszają się po orbitach wokół centrum. Nieporządek wśród gwiazd jest pozorny, patrzymy po prostu z niewłaściwego miejsca. Wcześniej o czymś takim rozmyślał Johannes Kepler, który pisał:

Musielibyśmy bowiem uznać, że Bóg uczynił coś w świecie bez powodu, nie kierując się najlepszymi racjami. Nikt nie przekona mnie do takiego poglądu, gdyż sądzę, że [rozumny ład] panuje nawet wśród gwiazd stałych, których położenia wydają nam się zupełnie bezładne, niczym ziarno rzucone przypadkiem w zasiewie. (Tajemnica kosmosu, rozdz. 2)

Wright go chyba nie czytał, zaczerpnął pomysł zapewne od Williama Whistona, arianina i następcy Newtona na katedrze Lucasa w Cambridge (Whiston miał poglądy religijne zbliżone do Newtona, lecz w odróżnieniu od swego poprzednika głosił je otwarcie, toteż go zwolniono).

Gdyby nasza perspektywa była taka jak Stwórcy, dostrzeglibyśmy ład.

Rzeczywisty obraz wszechświata jest bowiem taki

Słońce A zawarte byłoby wewnątrz ogromnej cienkiej powłoki kulistej. Inną rozpatrywaną przez śmiałego ogrodnika możliwość przedstawia rysunek poniżej:

Takich systemów gwiezdnych miało być nieskończenie wiele.

Oczywiście, wszystko to było czystą fantazją Thomasa Wrighta, który z upodobaniem mieszał rozmaite symbole chrześcijańskie, masońskie i starożytne. Zachował się następujący plan ogrodu kuchennego autorstwa Wrighta, wzorowany na kosmosie.

(*) Interesujące są szczegóły oszacowania odległości do gwiazd. Newton podał je w swoim De mundi systemate liber, czyli popularnej wersji III księgi Matematycznych zasad filozofii przyrody. Metoda opublikowana została w 1668 roku przez szkockiego matematyka Davida Gregory’ego. Co zabawne, oszacowanie to znalazło się w książce opublikowanej w Padwie, a więc za zgodą władz kościelnych, które widocznie nie przyglądały się zbyt dokładnie zawartości książki albo cenzor uznał, że formalnie jest to tylko hipoteza, a więc nie twierdzenie i nie może przeczyć prawdzie natchnionego tekstu. Trudność była w porównaniu jasności Słońca z jasnością jakiejś gwiazdy, nikt nie potrafił wówczas mierzyć jasności. Tak się jednak składa, że planeta Saturn ma średnicę kątową 17” albo 18”. Saturn świeci dla oka niezuzbrojonego jak gwiazda pierwszej wielkości. Znaczy to, że na tę planetę pada 1/(21\cdot 10^8) światła słonecznego, bo w takiej proporcji jest pole powierzchni dysku planety \pi r^2 do pola powierzchni sfery o promieniu R równym wielkości orbity Saturna. mamy

\dfrac{\pi r^2}{4\pi R^2}=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{r}{R}\right)^2.

Wielkość w nawiasie to promień dysku Saturna w radianach. Jeśli przyjmiemy, że jedna czwarta światła słonecznego jest odbijana od powierzchni Saturna, to znaczy, że dysk Saturna świeci 42\cdot 10^8 razy słabiej niż Słońce. A więc gwiazda pierwszej wielkości jest \sqrt(42)\cdot 10^4 razy dalej niż Saturn. Zaokrąglając w górę, otrzymał Newton wartość 100 000. Gregory otrzymał z podobnego rachunku 83 190 jednostek astronomicznych, czyli odległości Ziemia-Słońce, a więc o rząd wielkości mniej. Istniało też oszacowanie Huygensa 27 664 jednostek astronomicznych.

Statyczny wszechświat nie może być stabilny, ten problem przenosi się na teorię grawitacji Einsteina. W przypadku Newtonowskim można łatwo oszacować z III prawa Keplera czas spadku gwiazdy na Słońce, byłby on dla danych Newtona rzędu 30\cdot 10^{5\cdot 3/2}\approx 10^9, liczba 30 to okres obiegu Saturna w latach.

Reklamy

Isaac Newton: Jak przyciąga kula? (1685)

Od czasów Galileusza wiadomo, że jabłko spada z jabłoni z przyspieszeniem g, zwanym przyspieszeniem ziemskim. Z tym samym przyspieszeniem spadają także wszystkie inne ciała (pomijamy opór powietrza).

Newton nie był pierwszym uczonym, który wpadł na pomysł, że ciężar jabłka to siła, z jaką jest ono przyciągane przez Ziemię i że ta sama siła odpowiada także za obserwowane ruchy Księżyca i planet. Siła taka powinna być odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości – na co wskazywały znane fakty astronomii. Ale to Isaac Newton pierwszy ściśle wykazał, że trzy prawa Keplera ruchu planet będą spełnione, jeśli na planety działa ze strony Słońca siła tego rodzaju. Co więcej, w roku 1684 Newton wysunął przypuszczenie, że każda cząstka materii przyciąga każdą inną cząstkę z siłą proporcjonalną do mas obu cząstek i odwrotnie proporcjonalną do ich odległości. Oznacza to, że planety przyciągają Słońce (które także musi się poruszać), oraz przyciągają się nawzajem, a więc prawa Keplera są słuszne tylko w pierwszym przybliżeniu. Miało się okazać, że prawo grawitacji jest kluczem do rozwiązania najstarszego i najważniejszego problemu nauk ścisłych: problemu ruchu planet. Mechanika i właściwie cała fizyka powstały niejako przy okazji rozwiązywania tego starego problemu. Można powiedzieć, że nasza cywilizacja wzięła się z prób zrozumienia, jak poruszają się planety: połączenie precyzyjnych obserwacji z abstrakcyjną matematyką okazało się niezmiernie silnym narzędziem intelektualnym.

Prawo grawitacji rodziło jednak pewien problem szczegółowy. Planety są daleko od siebie, możemy je w praktyce uważać za punkty materialne. Jak jednak będzie wyglądało przyciąganie jabłka przez Ziemię? Jabłko jest bowiem przyciągane przez każdy kawałek Ziemi: swój wkład będą tu miały wszystkie części Ziemi, na rysunku zaznaczyliśmy trzy przykładowe kawałki naszego globu; należałoby jednak dodać wkłady od nieskończonej liczby takich małych kawałków. Nie możemy założyć, że Ziemia jest punktowa, gdy razem z jabłkiem jesteśmy na jej powierzchni.

gauss5

Należy więc zbadać, jak przyciąga kula. Nasza planeta jest kulista (w pierwszym przybliżeniu), można też przypuszczać, że składa się z koncentrycznych powłok sferycznych o stałych gęstościach: wewnątrz najcięższe, a potem coraz lżejsze (przypominałoby to cebulę, gdyby cebula była kulista). Przyciąganie jabłka przez Ziemię jest więc sumą przyciągania przez każdą z tych warstw, na które należałoby rozbić Ziemię.

Jeśli potrafimy obliczyć, jak przyciąga powłoka sferyczna (o jednorodnej gęstości), to będziemy potrafili obliczyć przyciąganie całej Ziemi. Poniżej przedstawiamy dwa sposoby obliczenia tego przyciągania.

Pierwsze rozumowanie nie pochodzi od Newtona, jest raczej w duchu fizyki dziewiętnastowiecznej, która wprowadziła pojęcie pola: w każdym punkcie przestrzeni mamy do czynienia z polem grawitacyjnym. Natężenie tego pola to prostu przyspieszenie, z jakim spadałoby w tym miejscu ciało puszczone swobodnie.

Przypomnijmy pojęcie kąta bryłowego \Delta\omega. Gdy na sferze o promieniu r wybierzemy pewną powierzchnię o polu \Delta S, a następnie połączymy środek sfery z brzegami naszej powierzchni, wytniemy kąt bryłowy równy

\Delta\omega=\dfrac{\Delta S}{r^2}.

gauss0

Powierzchnia może być dowolna, gdy weźmiemy całą powierzchnię sfery, kąt bryłowy wyniesie

\Delta\omega=\dfrac{4\pi r^2}{r^2}=4\pi.

Weźmy teraz pewną sferę oraz punkt materialny P (o masie \Delta m) położony wewnątrz niej. Obliczymy jakie jest średnie przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni sfery (sfera jest czysto matematyczna).

gauss3

Na powierzchni sfery obieramy jakiś mały element powierzchni o dowolnym kształcie i polu \Delta S. Element ten odległy jest od P o r. Zakreślając z punktu P kawałek powierzchni sferycznej o tym promieniu, otrzymamy małą powierzchnię o polu \Delta S'. Powierzchnia ta jest rzutem \Delta S. Zgodnie z definicją kąta bryłowego, mamy

\Delta S'=\Delta\omega r^2=\Delta S\cos\theta.

Przyspieszenie grawitacyjne g pochodzące od punktu materialnego P będzie na naszym elemencie powierzchni sfery równe

g=\dfrac{G\Delta m}{r^2}.

G oznacza stałą grawitacyjną. Mnożąc oba ostatnie wyrażenia stronami, otrzymujemy

g\Delta S'= G\Delta m \Delta\omega=g\Delta S\cos\theta=g'\Delta S,

gdzie g' oznacza składową przyspieszenia zwróconą do środka naszej kuli. Przyjrzyjmy się równości

G\Delta m \Delta\omega=g'\Delta S.

Po lewej stronie mamy kąt bryłowy widziany z P, po prawej przyspieszenie g' i dowolny element powierzchni naszej sfery. Możemy wyobrazić sobie, że całą sferę dzielimy na na bardzo wielką liczbę n małych powierzchni i wszystkie te przyczynki sumujemy. Kąt bryłowy z lewej strony będzie równy 4\pi :

G\Delta m 4\pi=g'_1\Delta S_1+\ldots+g'_n\Delta S_n .

Wyobraźmy sobie teraz, że mamy więcej takich punktów materialnych jak P. Dla każdego możemy napisać wyrażenie jak wyżej i wszystko to dodać: po lewej stronie powiększy się masa, po prawej dostaniemy sumę przyspieszeń grawitacyjnych od każdej masy z osobna, czyli całkowite przyspieszenie grawitacyjne:

Gm 4\pi=g'_1\Delta S_1+\ldots+g'_n\Delta S_n .

Ostatnia równość jest słuszna dla dowolnego rozkładu masy wewnątrz sfery(*). Symbole g'_i oznaczają składową radialną (tzn. wzdłuż promienia) przyspieszenia grawitacyjnego. Zastosujmy to wyrażenie do powłoki kulistej koncentrycznej z naszą sferą i zawartej wewnątrz niej. Powłoka kulista musi przyciągać jednakowo w każdym punkcie sfery. Wartość przyspieszenia po prawej stronie jest więc stała i możemy napisać:

Gm 4\pi=g'(\Delta S_1+\ldots+\Delta S_n)=g'4\pi R^2,

gauss6

gdzie R jest promieniem naszej sfery. Zatem przyspieszenie grawitacyjne dawane przez dowolną powłokę kulistą (jej promień jest nieistotny, musi być tylko zawarta wewnątrz naszej sfery) równe jest

g=\dfrac{Gm}{R^2},

mogliśmy opuścić prim, gdyż korzystamy z faktu, że przyspieszenie grawitacyjne powłoki kulistej musi być skierowane wzdłuż promienia, obliczana przez nas składowa to w tym przypadku całe przyspieszenie.

Przyspieszenie grawitacyjne jest więc takie, jakby cała masa powłoki skupiona była w środku geometrycznym. Zatem chcąc obliczyć przyspieszenie ziemskie na powierzchni globu, wystarczy do ostatniego wzoru wstawić masę i promień Ziemi. Fakt, że otrzymuje się prawidłowy wynik świadczy o tym, że rozkład mas wewnątrz Ziemi w dobrym przybliżeniu jest kulistosymetryczny.

(*) Uzyskaliśmy w zasadzie prawo Gaussa dla powierzchni sferycznej: strumień pola przez powierzchnię zamkniętą jest proporcjonalny do masy wewnątrz tej powierzchni. Należałoby jeszcze pokazać, że masy położone na zewnątrz nie mają wpływu na nasze wyrażenie.

A teraz rozumowanie Newtona. Prop. LXXI, Liber I, Principia 1687, s. 193: Cząstka położona na zewnątrz powłoki sferycznej przyciągana jest do środka tej sfery siłą odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości tej cząstki od owego środka.

gauss newton

Dwa położenia cząstki względem sfery oznaczone są P oraz p. PL oraz PK są dwiema blisko położonymi prostymi, interesuje nas przyciąganie małego pasa powierzchni sfery położonego między prostymi IQ i HH’ zaznaczonymi na niebiesko (rysunki należałoby obrócić odpowiednio wokół PB pb). Na drugim rysunku punkt p położony jest w innej odległości, proste pl oraz pk wybieramy tak, żeby HK=hk oraz IL=il. Dalej wszystko już będzie łatwe. Z konstrukcji wynika, że SD=sd oraz SE=se. Ponieważ nasze proste PK i PL są bardzo blisko siebie, więc DF=SD-SE=sd-se=df (słuszne w granicy). Obliczamy teraz stosunek sił działających na p oraz P ze strony odpowiednich pasów naszej powłoki sferycznej. Każda z sił jest wprost proporcjonalna do pola powierzchni pasa (czyli masy), która z kolei proporcjonalna jest do iloczynu promienia IQ oraz długości łuku RH (analogicznie dla drugiego). Siła jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości PI. Obliczamy tylko jej rzut na prostą PB, bo tylko ta składowa jest różna od zera, gdy dodamy przyczynki od różnych części danego pasa. Rzut taki otrzymamy, mnożąc siłę przez cosinus kąta PFS, czyli PF:PS. Stosunek sił wygląda więc następująco

\dfrac{F_p}{F_P}=\dfrac{PI^2}{pi^2}\cdot \dfrac{hi\cdot iq}{HI\cdot IQ}\cdot\dfrac{PS\cdot pf}{PF\cdot ps}.

Trójkąty prostokątne PRI oraz PDF są podobne, tak samo dla drugiego rysunku. Mamy stąd

\dfrac{PI}{PF}\cdot\dfrac{pf}{pi}=\dfrac{RI\cdot df}{DF\cdot ri}=\dfrac{RI}{ri}=\dfrac{HI}{hi}.

W przedostatniej równości skorzystaliśmy z DF=df. W ostatniej korzystamy z podobieństwa małych trójkątów RHI oraz rhi. Kąty RHI oraz rhi są kątami między cięciwą a styczną do okręgu: dla jednakowych cięciw w jednakowych okręgach kąty te są równe.

Trójkąty prostokątne PIQ oraz PSE mają wspólny kąt ostry, są więc podobne. Tak samo będzie dla drugiego rysunku. Otrzymujemy zatem

\dfrac{PI}{PS}\cdot\dfrac{ps}{pi}=\dfrac{IQ}{SE}\cdot\dfrac{se}{iq}=\dfrac{IQ}{iq}.

W ostatniej równości korzystamy z SE=se.

Mnożymy teraz stronami dwa ostatnie równania, otrzymując

\dfrac{PI^2}{pi^2}\cdot\dfrac{pf\cdot ps}{PF\cdot PS}=\dfrac{HI}{hi}\cdot\dfrac{IQ}{iq}.

Mamy stąd

\dfrac{PI^2}{pi^2}\cdot\dfrac{hi\cdot iq}{HI\cdot IQ}=\dfrac{PF\cdot PS}{pf\cdot ps}.

Podstawiając to wyrażenie do stosunku sił, otrzymamy ostatecznie

\dfrac{F_p}{F_P}=\dfrac{PS^2}{ps^2}.

Sumując wkłady od poszczególnych pasków, na jakie możemy podzielić sferę, otrzymamy taką samą zależność również dla całkowitych sił przyciągania. W zasadzie, kiedy już mamy konstrukcję z rysunku, cała reszta jest trywialnym zastosowaniem podobieństw trójkątów. Niesamowity dowód. Podejrzewam, że Newton wymyślił tę konstrukcję i natychmiast zobaczył, że to już daje dowód, wystarczyło go tylko zapisać. D.T. Whiteside, który wiedział wszystko o matematyce Newtona, podkreślał, że twierdzenie to nie było szczególnie trudne z punktu widzenia autora Principiów, choć może nieco zaskakujące.

Oczywiście, pasy sferyczne muszą być nieskończenie cienkie i musi ich być nieskończenie wiele, aby to rozumowanie działało. Nie jest to wbrew staraniom Newtona typowa geometria starożytnych Greków (choć pewnie Archimedes zrozumiałby, o co chodzi). Naprawdę obliczamy tu pewną całkę, unikając mówienia o tym głośno.

Isaac Newton: dwa twierdzenia o ruchu planet (1684)

Znane są przypadki wybitnych uczonych, którzy niezbyt chętnie publikują nawet istotne wyniki. Doktoranci Caltechu obawiali się przedstawiać swoje prace Richardowi Feynmanowi, bo mógł on wyjąć z biurka jakieś swoje stare obliczenia, zawierające to samo. Podobne historie opowiadano o Larsie Onsagerze, który latami nie publikował wielu swoich wyników (jak np. ścisłe rozwiązanie dwuwymiarowego modelu Isinga), przedstawiając je tylko na jakimś wykładzie albo w formie uwag po czyimś seminarium.

W roku 1684 w środowisku londyńskich członków Towarzystwa Królewskiego dyskutowano na temat ruchu planet. Wysuwano przypuszczenie, że na planety działa ze strony Słońca siła odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości planety od naszej gwiazdy. Sir Christopher Wren, wybitny architekt, twórca katedry św. Pawła i wielu ważnych budowli w Londynie, wyznaczył nawet nagrodę: książkę o wartości 40 szylingów dla tego, kto rozwiąże zagadnienie ruchu planet. Próbował tego dokonać astronom Edmond Halley, jednak bez skutku. Robert Hooke chwalił się, że zna rozwiązanie, ale go nie pokazał. W sierpniu tego roku Halley był w Cambridge i spotkał się tam z Isaakiem Newtonem. Zapytał go, po jakim torze poruszać się powinna planeta poddana przyciąganiu odwrotnie proporcjonalnemu do kwadratu odległości od Słońca. Po elipsie – odrzekł bez wahania Newton. Okazało się, że kiedyś już to wykazał, nie mógł jednak znaleźć dowodu wśród papierów, obiecał więc go wysłać pocztą. Za jakiś czas Halley otrzymał krótką pracę De motu corporum in gyrum„O ruchu ciał po orbitach”. Ważniejsze było, że pod wpływem tej rozmowy Newton na nowo zajął się zagadnieniem ruchu planet. Wciągnęło go ono na tyle, że w ciągu osiemnastu miesięcy napisał najważniejszą książkę w historii nauk ścisłych: Matematyczne zasady filozofii przyrody (1687). Odkrył po drodze prawo powszechnego ciążenia i niejako przy okazji sformułował trzy zasady dynamiki, których uczy się w szkołach.

Dwa główne wyniki De motu corporum in gyrum dotyczą siły działającej na planetę ze strony Słońca. Znane było od dawna, choć niezbyt dobrze rozumiane II prawo Keplera: promień wodzący planety zakreśla w jednakowych czasach jednakowe pola. Newton zdał sobie sprawę, że prawo to oznacza, iż na planetę działa siła skierowana ku Słońcu.

propositio1

(Rysunek z Matematycznych zasad, 1687)

Łamana ABCDEF jest drogą planety. Wyobrażamy sobie, że w jednakowych odstępach czasu planeta popychana jest impulsami skierowanymi do Słońca S, wskutek tego zamiast poruszać się ruchem prostoliniowym po odcinku Bc, porusza się po odcinku BC. Trójkąty SBc i SBC mają jednak tę samą wysokość, a więc ich pola powierzchni są równe.

Wiemy zatem, że siła poruszająca planetę skierowana jest ku Słońcu. Jeśli przyjmiemy za Keplerem, że orbita planety jest elipsą, to można wykazać dodatkowo, iż siła ta jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości planety od Słońca r=SP. (Słońce jest w ognisku elipsy, nazywanym tu przez Newtona: umbilicus – dosł. pępek).

lohne

 

Na drodze od P do Q planeta „spada” w kierunku linii SP o odcinek RQ. Droga PQ przebywana jest w krótki czasie \Delta t . Jeśli czas ten jest bardzo krótki, planeta porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym:

RQ=\dfrac{1}{2} g{\Delta t}^2 \mbox{, czyli } g=\dfrac{2 RQ}{\Delta t^2}.

Przyspieszenie grawitacyjne planety oznaczyliśmy g. Należy więc drogę RQ oraz czas wyrazić za pomocą wielkości geometrycznych. Figura QRPx jest równoległobokiem, na przedłużeniu QX leży v: punkt przecięcia z CP. Planeta spada w kierunku Px, ale z geometrii elipsy łatwo jest wyznaczyć Pv, dlatego wprowadzamy ten pomocniczy punkt v. Mamy

Pv\approx (Qv)^2 \dfrac{d_1}{2d_2^2}\mbox{ (*)},

gdzie znak \approx oznacza równość w granicy, gdy Q\rightarrow P; 2d_1 oraz 2d_2 są tzw. średnicami sprzężonymi elipsy GCP oraz DCK (linia DK jest równoległa do stycznej PR w punkcie P). Równanie (*) wynika z własności elipsy, szczegóły na końcu wpisu.

Korzystamy teraz z podobieństwa trójkątów Pxv i PEC. Mamy więc

RQ=Px=\dfrac{PE}{PC}Pv=\dfrac{a}{d_1}Pv.

Ostatnia równość wynika z tzw. lematu Newtona, por. niżej (**).

Do przyspieszenia wchodzi jeszcze czas, który możemy zastąpić polem trójkąta EPQ o podstawie EP=r i wysokości QT. Dwa trójkąty prostokątne QTx oraz PFE są podobne, zatem

QT=Qx\dfrac{PF}{PE}=Qx\dfrac{PF}{a}.

Wstawiając wszystkie znalezione zależności do wyrażenia na przyspieszenie, otrzymujemy

g\approx\dfrac{2a^3}{(d_2PF)^2}\dfrac{(Qv)^2}{(Qx)^2}\dfrac{1}{r^2}\sim\dfrac{1}{r^2}.

W ostatniej równości korzystamy z faktu, że iloczyn d_2PF nie zależy od położenia punktu P, por. niżej (***), oraz z faktu, że iloraz odległości Qv i Qx jest w granicy równy 1.

Prowadzenie obliczeń algebraicznych oraz przejścia graniczne przy użyciu proporcji nie były najwygodniejsze. Newton był jednak skrajnym konserwatystą i używał takiej techniki z przyczyn czysto ideologicznych: uważał bowiem geometrię grecką za doskonalszą niż analityczna geometria Kartezjusza. W młodości, korzystając z podejścia analitycznego, otrzymał wiele ważnych, do dziś podręcznikowych wyników, jak np. różne wyrażenia na promień krzywizny. Teraz, pisząc dzieło życia, świadomie wybrał metodę klasycznych proporcji. Mówił nawet, że specjalnie napisał swoje Matematyczne zasady trudnym językiem, żeby zniechęcić ludzi o powierzchownej znajomości matematyki.

Rysunek pochodzi z pracy J.A. Lohne, The Increasing Corruption of Newton’s Diagrams, „History of Science”, t. 6 (1968), s. 81 (rysunki u Newtona zwykle nie są najlepsze, nie wszyscy wydawcy przerysowywali je ze zrozumieniem).

Szczegóły techniczne

Elipsę na płaszczyźnie a’ można otrzymać jako rzut prostokątny okręgu leżącego na płaszczyźnie a.

projection

newton_elipsa

 

Dla okręgu nietrudno wyprowadzić zależność

y=\dfrac{x^2}{2r-y}\approx\dfrac{x^2}{2r}.

Ostatnia równość staje się dokładna, gdy y\rightarrow 0, r jest promieniem okręgu. W rzucie dwie prostopadłe średnice okręgu przejdą w dwie średnice sprzężone elipsy. Proporcje równoległych odcinków nie mogą się zmienić, więc

\dfrac{x}{r}=\dfrac{x'}{d_2} \mbox{ oraz } \dfrac{y}{r}=\dfrac{y'}{d_1}.

Stąd natychmiast otrzymujemy (*). Punkty I oraz S są ogniskami elipsy. Punkt H na rysunku w tekście zasadniczym otrzymujemy, odkładając na linii PE odległość PI=PH. Zatem trójkąt PIH jest równoramienny. Linia PF prostopadła do stycznej (normalna) jest dwusieczną kąta IPH (jest to znana własność elipsy: promienie światła wysłane z jednego ogniska skupiają się w drugim). PF jest więc symetralną IH i odcinek IH jest równoległy do EK. Kąt ISH jest przecięty tą parą równoległych. Ponieważ SC=CH (oba ogniska są równoodległe od środka elipsy), więc z tw. Talesa, mamy SE=EI. Suma odległości punktu P od obu ognisk jest stała i równa podwojonej dużej półosi a:

2a=SP+PH=2EI+2IP=2EP\mbox{, czyli }EP=a. \mbox{(**)}

Twierdzenie to nazywa się czasem lematem Newtona.

Aby otrzymać (***), rozważmy pole równoległoboku opisanego na elipsie, jest ono równe PFd_2 i nie zależy od położenia punktu P, ponieważ rzutując okrąg z opisanym na nim kwadratem na płaszczyznę a’, zawsze otrzymamy takie samo pole powierzchni równoległoboku na tej płaszczyźnie, bez względu na orientację kwadratu na płaszczyźnie a. Jest to tzw. drugie tw. Apoloniusza, znane niemal dwa tysiące lat przed Newtonem.