Johannes Kepler: Jak działa ludzkie oko? (1602-1604)

Jesienią roku 1602 Johannes Kepler, „matematyk” cesarza Rudolfa II (czyli nadworny astronom), bronić się musiał przed posądzeniami o lenistwo. Chodziło o zadanie obliczenia nowych tablic astronomicznych na podstawie obserwacji zmarłego niedawno Tychona Brahego. Zięć duńskiego astronoma, Franz Gansneb Tengnagel, parający się amatorsko astronomią, starał się przejąć to zadanie, ale głównie chodziło mu w tym o cenny zbiór obserwacji teścia, za które oczekiwał zapłaty u dworu. Tengnagel nie potrafił obliczać żadnych tablic, a Kepler był z pewnością jedynym uczonym zdolnym do zreformowania astronomii tak, żeby tablice owe były coś warte. Broniąc się przed zarzutami, Kepler zobowiązał się do napisania dwóch dzieł. Jedno z nich, Komentarze o ruchach Marsa, gotowe miało być na najbliższą Wielkanoc, drugie zaś – Optyczna część astronomii, już za osiem tygodni.

Prace te okazały się znacznie trudniejsze, niż to się zawsze optymistycznemu Keplerowi wydawało: książkę optyczną skończył dopiero pod koniec następnego roku (ukazała się w roku 1604), książka astronomiczna, Astronomia nova, ukazała się dopiero w 1609 roku. Wydłużenie terminów brało się z gruntowności uczonego, który nigdy nie poprzestawał na łatwych osiągnięciach i szedł w swych badaniach dużo dalej, niż potrafili to zrozumieć i zaakceptować jego koledzy. Obie książki były rewolucyjne: optyczna wyjaśniła rolę oka w widzeniu, astronomiczna zawierała odkrycie eliptycznego kształtu orbity Marsa.

Pierwszym zagadnieniem optycznym, którym zajął się Kepler jeszcze w Grazu, było tworzenie się obrazu w ciemni optycznej – camera obscura. Oto jak udało mu się rozwikłać ten problem:

(…) odwołałem się do własnych obserwacji w trzech wymiarach. Umieściłem w górze książkę tak, by zajęła miejsce świecącego ciała. Między nią a podłogą ustawiłem stolik mający wieloboczny otwór. Następnie przeciągnąłem nitkę z jednego rogu książki poprzez otwór aż na podłogę; jej koniec znalazł się na podłodze w takim punkcie, że nitka ocierała się o brzegi otworu; zakreśliłem wytworzone w taki sposób punkty i utworzyłem na podłodze figurę podobną do otworu. Podobnie za pomocą nitki przywiązanej do drugiego, trzeciego i czwartego rogu książki a następnie do pewnej liczby punktów wzdłuż jej krawędzi, na podłodze wynikła z tego pewna liczba zakreślonych figur w kształcie otworu, które razem utworzyły wielką czworokątną figurę kształtu książki.

Bardzo możliwe, że metoda Keplera wzorowana była na procedurach opisanych przez Alberta Dürera w jego traktacie Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit („Nauka mierzenia za pomocą cyrkla i liniału”, 1525). Książka Dürera była swego rodzaju praktycznym podręcznikiem geometrii przeznaczonym dla rysowników, architektów i rzemieślników. Posługując się nitkami Kepler ustalił, że każdy punkt przedmiotu jest w ciemni optycznej odwzorowywany na obraz otworu tego urządzenia, a przez nałożenie się takich obrazów otworu tworzy się obserwowany przez nas obraz przedmiotu. W ten sposób, jeśli powiedzmy otwór będzie miał kształt trójkąta, a obserwowanym przedmiotem będzie słońce, to każdy punkt słońca będzie odwzorowany jako trójkąt i z nałożenia się takich trójkątów powstanie ostatecznie obraz słońca, który będzie oczywiście okrągły, a nie trójkątny. Obraz ten będzie także nieco większy i tym bardziej rozmyty, im większa jest średnica otworu. Wyjaśniało to wyniki przeprowadzonych w Grazu obserwacji zaćmienia Słońca. Patrząc bezpośrednio na Słońce widać było wówczas ostro zakończony sierp, natomiast obraz Słońca dawany przez ciemnię optyczną miał zaokrąglone krawędzie. Kepler nie był pierwszym, który zrozumiał sposób działania camera obscura, ale zrobił to niezależnie od innych i pierwszy miał opublikować swoje wyniki.

Panujące wówczas poglądy na widzenie wywodziły się od Alhazena (Ibn al-Hajsama), islamskiego uczonego urodzonego w Basrze mniej więcej wtedy, kiedy Mieszko zaczął myśleć o chrzcie Polski. Światło wedle jego teorii wpadało do oka prostopadle (tylko takie promienie dawały wkład do widzenia), a promienie załamywały się potem tak, aby powstał zmmniejszony obraz zewnętrznego przedmiotu. Promienie świetlne nie przecinały się wewnątrz oka, gdyż wtedy powstałby obraz odwrócony i widzielibyśmy wszystko „do góry nogami”. Obraz był także mały, mógł się więc zmieścić w nerwie i przedostać do mózgu – wyobrażano go sobie dość dosłownie jako mały obrazek przenoszony aż do mózgu.

Rysunek za Davidem C. Lindbergiem, Theories of Vision from Al-Kindi to Kepler.

W ciągu kilkudziesięciu lat drugiej połowy XVI wieku ukazało się sporo książek traktujących o budowie ciała ludzkiego na podstawie przeprowadzanych sekcji, a dzięki wynalazkowi druku oraz drzeworytom wyniki tych badań można było przedstawiać w postaci plansz i rysunków. Kepler korzystał z pracy Felixa Plattera, profesora medycyny z Bazylei, zatytułowanej De corporis humana structura et usu („O budowie i funkcjonowaniu ciała ludzkiego”, 1583), będącej w zasadzie zbiorem plansz anatomicznych z dodanym krótkim komentarzem. Używał także dzieła Anatomia Pragensis („Anatomia praska”) znanego mu osobiście i zaprzyjaźnionego z nim Jana Jesenskiego. Uważano wówczas przewąnie, że soczewka oczna, „humor krystaliczny”, odczuwa bezpośrednio światło i kolor, a ponieważ jest połączona z resztą oka i nerwem ocznym, przekazuje ten obraz dalej. Tymczasem Platter pokazał, że soczewka nie jest połączona z nerwem ocznym i siatkówką. Kwestia ta nie była zresztą jednoznacznie rozstrzygnięta przez anatomów, Jesensky różnił się tu od Plattera i Kepler przedłożył pogląd uczonego z Bazylei nad opinię swego przyjaciela.

Fragment planszy Plattera, Kepler zreprodukował ją w swoim dziele.

W miejsce koncepcji promieni prostopadłych Kepler zaproponował tworzenie się obrazu na siatkówce oka. „Widzenie zachodzi, kiedy obraz całej połowy sfery świata przed okiem (…) tworzy się na czerwonawej powierzchni siatkówki.” Promienie od przedmiotu padające w różnych punktach soczewki oka są przez nią załamywane w taki sposób, że skupiają się w punkt dokładnie na siatkówce, na tylnej ściance oka. Dzięki temu każdy punkt przedmiotu daje punktowy obraz na siatkówce. Wcześniej zbadał tworzenie się obrazu w kulistej soczewce zarówno teoretycznie, jak i eksperymentalnie (używając do doświadczeń kulistych szklanych kolb na mocz napełnionych wodą).

Cała ta koncepcja mechanizmu widzenia była pod wieloma względami rewolucyjna. Oko stawało się tylko przyrządem optycznym, zamiast być narządem zmysłów reagującym na swojej zewnętrznej powierzchni na światło. W ten sposób optyka oka stawała się częścią fizyki, podobnie jak dziś optyka aparatu fotograficznego. Część światłoczuła została przesunięta na siatkówkę, tam właśnie miał się wytwarzać obraz i to odwrócony. Był to rzeczywisty obraz, który Kepler nazwał pictura – można by go dostrzec na powierzchni siatkówki, gdyby dało się tam umieścić jakiegoś obserwatora. Kepler nie zamieścił żadnego rysunku tej sytuacji, ale ideę jego teorii dokładnie przedstawia rysunek z dzieła Kartezjusza La Dioptrique z roku 1637. Mamy tam nawet dodatkowego obserwatora oglądającego obraz na siatkówce monstrualnie wielkiego oka.

Tworzenie się obrazu w oku według teorii Keplera. (Rysunek z La Dioptrique Kartezjusza.)

Obraz na siatkówce jest jednak, niestety, odwrócony. Kepler niełatwo pogodził się z tą konsekwencją swojej teorii, pisze, że męczył się bardzo pragnąc wykazać, że promienie raz jeszcze się po drodze przecinają dając ostatecznie obraz prosty. Niezrozumiałe było, czemu nie widzimy wszystkiego do góry nogami. Powstawało też pytanie, jak to się dzieje, że stosunkowo duży obraz na siatkówce zostaje przesłany cienkim nerwem optycznym do mózgu. Teoria Keplera rodziła wyraźne kłopoty dla wciąż zalążkowej fizjologii widzenia. Wyraźnie rozdzielona została jednak część optyczna od części fizjologicznej widzenia: aż do utworzenia się obrazu na siatkówce mamy do czynienia z optyką, a co się dzieje z tym obrazem dalej, to pozostaje już w gestii fizjologów. Co więcej, obrazami rzeczywistymi, takimi jak na siatkówce, można zajmować się w sposób obiektywny: mierzyć ich położenie, rozmiary itd.

Ze ściśle technicznego punktu widzenia Kepler zbudował optykę geometryczną z jej wykreślaniem biegu promieni i szukaniem punktów przecięcia – wszystko to, czego do dziś uczy się w szkołach. Teoria Keplera wymagała rozpatrzenia biegu promieni przez ośrodek o kształcie zbliżonym do kuli. Kepler wykazał, że jeśli kulę taką przesłonimy przesłoną (odgrywającą rolę źrenicy) to będzie ona ogniskować promienie w jakimś punkcie. Będzie więc zachowywać się jak soczewka. Oczywiście taki model kulistego ośrodka z przesłoną nie jest dokładnym przedstawieniem gałki ocznej, ale Kepler argumentował, że zachowuje on najważniejsze cechy rzeczywistej sytuacji i jest wystarczający do jego celów.
Praktyczną konsekwencją pracy Keplera było wyjaśnienie, jak działają okulary korekcyjne. Okulary poprawiające wzrok stosowane były od kilkuset lat, pojawiły się już w XIII wieku, początkowo wytwarzano tylko soczewki wypukłe przeznaczone dla dalekowidzów, zwykle osób starszych (umożliwiło to wielu uczonym kontynuowanie pracy także w starszym wieku). W XV wieku zaczęto także szlifować soczewki wklęsłe korygujące wadę krótkowzroczności u osób młodych. Okulary były z początku przedmiotem zbytku i powodem do dumy dla swych posiadaczy, jak wnosić można choćby z przedstawień w sztuce: głowa kanonika w okularach wyrzeźbiona jest na fasadzie katedry w Meaux niedaleko Paryża (XIV wiek), van Eyck umieścił okulary na swoim słynnym obrazie Madonny kanonika van der Paele. Do tej pory stosowano jednak okulary jako wynalazek czysto praktyczny, nie rozumiejąc istoty ich działania. Praca Keplera otworzyła drogę do naukowego badania kwestii wad wzroku u ludzi. Umożliwiła też kilka lat później zrozumienie, jak działa teleskop astronomiczny.

Ściśle techniczne osiągnięcie dotyczące działania oka miało też ważne konsekwencje poznawcze i filozoficzne. Oto bowiem, używając wzroku, odwołujemy się w istocie do obrazów złożonych w całość przez mózg. Dociera do nas ze świata zestaw plamek, pikseli na siatkówce, które muszą dopiero zostać przetworzone w kształt drzewa albo znajomej twarzy. Wszelkie poznanie jest więc znacznie mniej bezpośrednie, niż to się dotąd wydawało. Cztery wieki później zaczynamy powoli rozumieć, jak z impulsów przewodzonych przez neurony mózg składa wyobrażenie tego, co widzimy. W istocie ostro widzimy tylko za pomocą plamki żółtej, niewielkiego fragmentu siatkówki, połączonego niewielką liczbą neuronów tworzących ciało kolankowate boczne z korą wzrokową. Ścieżka między okiem a mózgiem jest więc bardzo wąska i wciąż omiatamy wzrokiem otoczenie, aby zebrać potrzebne informacje. To, co widzimy, jest głównie kreacją naszego mózgu, o czym dobrze wiedzą śledczy, mający na codzień do czynienia z naocznymi świadkami wydarzeń.

Wstęp do sprawy Galileusza

Sprawa Galileusza była tyleż heroiczną, co bezskuteczną próbą zatrzymania czasu i naukowego postępu przez Kościół rzymski. Od czasu skazania Galileusza pojawił się wzór działania, powtarzający się aż do dziś: „nauki” Kościoła, interpretowane przez słabo zorientowanych w nauce teologów, utrzymywane jedynie siłą stojącej za nimi instytucji, wycofywały się stopniowo i chyłkiem z co bardziej oczywistych głupstw głoszonych jako prawdy objawione. Co nie znaczy, że działo się to szybko. Jak zauważył kiedyś Albert Camus: „Książki Kopernika i Galileusza były na indeksie do 1822 roku. Trzy wieki uporu to już kokieteria” (przeł. J. Guze).

Odkrycia dokonywane w XVII wieku w astronomii i fizyce prowadziły do obrazu świata coraz bardziej oddalonego od potocznych wyobrażeń, a więc także i od zdroworozsądkowej u swego korzenia filozofii Arystotelesa oraz od literalnego rozumienia tekstu Pisma Świętego. Teoria Kopernika była jednym z pierwszych przykładów, gdy nauka głosiła tezę sprzeczną z naszym bezpośrednim doświadczeniem. Zamęt poznawczy jeszcze bardziej pogłębiły teleskopowe odkrycia Galileusza na niebie. Już sam fakt, że istnieją obiekty niepostrzegalne gołym okiem, stanowił duży wstrząs dla współczesnych. Sam uczony pod wpływem tych odkryć zaczął coraz śmielej głosić kopernikanizm, uznając, że potrafi nie tylko udowodnić fałszywość fizyki arystotelesowskiej, ale także wykazać naukowo ruch Ziemi.

Galileusz zajął się teologią z konieczności, ponieważ został zadenuncjowany jako heretyk i stał się celem niewybrednych ataków ze strony dominikanów z Florencji. Najważniejszy z jego tekstów teologicznych, List do Wielkiej Księżny Krystyny (1615), pochodzi z okresu, gdy uczony wciąż jeszcze miał nadzieję, że Kościół katolicki nie opowie się oficjalnie przeciwko nauce kopernikańskiej. Wymagało to jednak odstąpienia od dosłownej interpretacji niektórych fragmentów Pisma Świętego. Galileusz przedstawił własną propozycję hermeneutyki Biblii, zwracając uwagę na fakt, że adresowana jest ona także do ludzi nieuczonych i posługuje się w tym celu językiem potocznym, nie można więc oczekiwać od tekstu Pisma objaśnień zjawisk przyrodniczych. Co więcej, przywołując tradycję dwóch ksiąg: księgi objawionej i księgi przyrody, stara się wykazać, że w razie pozornego konfliktu obu tych źródeł poznania, gdyby jakaś dobrze udowodniona prawda nauk przyrodniczych stała w sprzeczności z naszym zrozumieniem Pisma, należałoby zastanowić się nad zmianą interpretacji tekstu świętego. Podkreślić należy, że przynajmniej w ogólnych zarysach taki punkt widzenia nie był jakoś szczególnie oryginalny w XVII wieku. Przed Galileuszem zbliżone podejście hermeneutyczne głosił Johannes Kepler, później w podobnym duchu wypowiadali się niemal wszyscy przedstawiciele nowej nauki, nawet tacy fundamentaliści biblijni jak Isaac Newton. Jako przykład nowej interpretacji Biblii podaje Galileusz cud z Księgi Jozuego, gdy wedle tekstu Pisma Św. (Joz, 10, 13) słońce zatrzymało się na pewien czas. Otóż cud ten – zdaniem Galileusza – można zrozumieć naukowo, gdy przyjmiemy, że Słońce (znajdujące się pośrodku układu planetarnego) przestało obracać się wokół osi, co z kolei sprawiło, że także planety stanęły i cały kosmiczny zegar znieruchomiał, po czym znowu ruszył. Jak się wydaje, Galileusz zaczerpnął tu wiele ze wstępu do Astronomia nova (1609) Keplera, gdzie zaproponowany został taki właśnie mechanizm omawianego cudu (cudowne było zatrzymanie i ponowne uruchomienie Słońca, pozostałe zjawiska przebiegały w sposób naturalny).

Kościół katolicki wyjątkowo niechętnie patrzył na próby indywidualnej interpretacji Pisma, zwłaszcza podejmowane przez ludzi świeckich, nawet tak wybitnych jak Galileusz. Toteż różne zabiegi Galileusza, w tym jego kampania informacyjno-propagandowa prowadzona w Rzymie wśród najwyższego duchowieństwa, nie odniosły skutku. W roku 1616 nieruchomość Słońca uznano za sprzeczną z tekstem Pisma Św., a ruch Ziemi – za co najmniej błąd w wierze. Sam Galileusz został napomniany, by nie głosił poglądów kopernikańskich, choć dokładny sens tego napomnienia pozostaje wciąż niejasny – zachowały się na ten temat dwa nieco różne w treści dokumenty. Galileusz zrozumiał, że musi zamilknąć, choć poglądów kopernikańskich nie zmienił. Na razie uczonego nie spotkało nic złego. Do jego patronów w tym okresie należał m. in. kardynał Maffeo Barberini, który w 1620 r. napisał nawet na jego cześć wiersz pod tytułem Adulatio perniciosa („Zgubna pochwała”). Jak bardzo proroczy okazał się tytuł owego wiersza, miał się Galileusz przekonać, gdy Barberini został papieżem, przybierając imię Urbana VIII. Papież uważał się za intelektualistę i uczony uznał, że nadszedł sprzyjający czas na otwarte opowiedzenie się za ruchem Ziemi, ogłaszając w 1632 r. Dialog o dwu najważniejszych układach świata Ptolemeuszowym i Kopernikowym. Książka miała wprawdzie wszelkie możliwe zezwolenia władz kościelnych, lecz nie przypadła do gustu papieżowi. Rozpętała się burza, zakończona skazaniem Galileusza na dożywotni areszt domowy i całkowity zakaz publikacji. Musiał też publicznie podczas upokarzającej ceremonii wyrzec się swych poglądów.

Obraz z XIX wieku przedstawiający wyrzeczenie się poglądów przez Galileusza (Joseph-Nicolas Robert-Fleury). W rzeczywistości uczony wystąpił w worku pokutnym i musiał klęczeć, odczytując poniższy tekst:

Ja, Galileo, syn Vincenza Galilei z Florencji, w wieku lat moich 70, osobiście stanąwszy przed sądem, na klęczkach w obliczu waszym, najdostojniejsi i najwielebniejsi panowie kardynałowie, generalni inkwizytorzy w całej powszechności chrześcijańskiej przeciwko występkowi herezji, mając przed oczami moimi najświętszą Ewangelię, której dotykam własnymi rękami, przysięgam, że zawsze wierzyłem, obecnie wierzę i z pomocą bożą w przyszłości wierzyć będę w to wszystko, co utrzymuje, głosi i czego naucza św. Kościół katolicki i apostolski. Ponieważ jednak po tym, gdy to Święte Oficjum upomniało mnie i nakazało z mocą prawną, bym całkowicie porzucił fałszywe mniemanie, że Słońce jest środkiem świata i nie porusza się, a Ziemia nie jest środkiem świata i się porusza, i abym nie utrzymywał, nie bronił ani nie nauczał tej fałszywej doktryny, i po tym, gdy mi podano do wiadomości, że doktryna ta jest sprzeczna z Pismem Świętym, napisałem i ogłosiłem drukiem książkę, w której omawiam tę potępioną już doktrynę i na jej poparcie przytaczam bardzo przekonujące argumenty, nie dając żadnego rozwiązania – przeto uznany zostałem za mocno podejrzanego o herezję, a mianowicie, iż utrzymywałem i wierzyłem, że Słońce, nieruchome, jest środkiem świata (*), a Ziemia nie jest tym środkiem i się porusza.
Pragnę tedy z umysłów Waszych Eminencji i każdego prawego chrześcijanina usunąć to mocne podejrzenie, jakie słusznie wzbudziłem. (…) Przysięgam, że w przyszłości nigdy już nie będę głosił ani twierdził, słowem bądź pismem, niczego, co skłoniłoby do takiego podejrzenia. Jeślibym zaś poznał jakiegoś heretyka lub podejrzanego o herezję, doniosę o tym Świętemu Oficjum (…) Ja, Galileo Galilei, wyrzekam się, przysięgam, obiecuję i przyjmuję wszystko to, co wyżej przeczytałem, i na przypieczętowanie tego własnoręcznie podpisuję niniejszy dokument, który odczytałem słowo po słowie w Rzymie, w klasztorze Santa Maria sopra Minerva, dzisiaj, w dniu 22 czerwca 1633 roku.
Ja, Galileo Galilei, wyrzekłem się, jak wyżej, i własnoręcznie podpisuję.

Sprawa Galileusza jest oczywiście w jakiejś mierze konfliktem intelektualnym, starciem idei. Rozstrzygała się kwestia nowego podejścia do interpretacji Pisma Św. Kościół instytucjonalny nie miał jednak cienia wątpliwości, że filozofia nadal powinna być służką tradycyjnie rozumianej teologii. Galileusz i jego zwolennicy (często także duchowni) nie zostali wysłuchani – linia podziału biegła tu zresztą nie tyle między Kościołem a nauką, co raczej między zwolennikami nowych idei a ich przeciwnikami. Ostateczne decyzje zarówno w roku 1616, jak i w roku 1633 zapadły bez głębszego rozważenia tez Galileusza. W tym drugim przypadku sprawdzano tylko, czy można znaleźć w książce podstawy do oskarżenia jej autora. Bardzo możliwe, że jakąś rolę odegrał tu gniew Urbana VIII, który poczuł się urażony widząc własne słowa włożone w usta Simplicia – niezbyt rozgarniętego uczestnika Galileuszowego Dialogu. Cała sprawa Galileusza stała się głośnym przykładem użycia (czy też nadużycia) władzy doczesnej Kościoła katolickiego do cenzurowania treści teorii naukowej. Nie ma w tym kontekście znaczenia, czy Galileusz miał mocne dowody naukowe przemawiające za ruchem Ziemi – bardzo rzadko uczony może przedstawić takie dowody już w chwili publikacji swej teorii.

Przemiana światopoglądowa związana z rewolucją naukową była już wówczas w toku i żadne zakazy nie mogły tego odwrócić. Jednak tak ostry konflikt nie był nieuchronny. W tym konkretnym przypadku rolę odegrały zapewne cechy osobiste uczonego, który miał temperament zjadliwego polemisty, a także szersze uwarunkowania, jak osłabiona pozycja polityczna papieża i potrydencka mentalność oblężonej twierdzy.

Nie wszędzie dopasowanie prawd naukowych i prawd religijnych dokonywało się w sposób administracyjny, jak w Rzymie. W krajach protestanckich nie było żadnego odpowiednika sprawy Galileusza. W roku 1638 John Wilkins opublikował w Londynie książkę The Discovery of A World in the Moone, w której głosił kopernikanizm zbliżony do poglądów Galileusza. Wilkinsa nie tylko nie spotkały z powodu książki żadne represje, ale pod koniec życia został biskupem Kościoła anglikańskiego i jednym z założycieli Towarzystwa Królewskiego.

Konsekwencje sprawy Galileusza dla dalszego rozwoju nauki były stosunkowo niewielkie, m. in. dlatego, że niebawem znaczenie zyskały kraje północne, przede wszystkim Francja, Holandia i Anglia, gdzie cenzura kościelna miała wpływ niewielki albo żaden. Kartezjusz wolał jednak na wszelki wypadek mieszkać w Holandii i wstrzymał się z ogłoszeniem gotowego w roku 1633 Świata albo traktatu o świetle. Kartezjusz, podobnie jak Galileusz, był szczerym katolikiem i z wielu powodów nie chciał konfliktu ze swym kościołem.

Wstyd Kościoła pozostał do dziś. Jeszcze pod koniec XX wieku, kiedy podjęto na wniosek Jana Pawła II badania nad sprawą Galileusza, strona kościelna starała się zrzucić z siebie winę, przyznając jedynie, że uczony „wiele wycierpiał
(…) ze strony ludzi i instytucji Kościoła”, dodając zarazem jednym tchem, że to Galileusz błędnie rozumiał metodę naukową.

(*) Nb. Galileusz nie uważał, że Słońce jest środkiem świata, w ogóle nie wierzył, aby istniał jakiś środek świata, ale z pozycji klęcznej trudno było zaczynać na ten temat dyskusję.

Dialog o dwu najważniejszych układach świata: ptolemeuszowym i kopernikowym – Galileo Galilei (1/2)

Dialog o dwu najważniejszych układach świata: ptolemeuszowym i kopernikowym – Galileo Galilei (2/2)

Mikołaj Kopernik, Commentariolus (przed 1514 r.)

Mikołaj Kopernik jest jednym z najbardziej przecenianych astronomów w historii. Dzieje jego pośmiertnej sławy mogłyby stać się pasjonującym przedmiotem badań (interesujący podtemat stanowi tu walka polskich i niemieckich uczonych o zaprzęgniecie postaci Nicolausa Coppernicusa czy Koppernigka w służbę szowinizmu narodowego (*)). Im dalej od astronomii leżały kompetencje historyka i im więcej mijało czasu, tym głośniej wychwalano rewolucję kopernikańską. Dziś wiemy, iż prawdziwa rewolucja zaczęła się w nauce niemal sto lat później, już w wieku XVII, a Kopernik był tylko jednym z uczonych w długim szeregu od Greków i Ptolemeusza, przez astronomów islamskich, jak Pers Nasir At-Tūsi i Syryjczyk Ibn aš-Šātir, po pochodzących z krajów niemieckich Georga Peurbacha i Johannesa Müllera, znanego jako Regiomontanus. Kopernik wysunał rzeczywiście zadziwiający pomysł ruchu Ziemi i bezruchu Słońca, ale był on sprzeczny z całą nauką o ruchu – ówczesną fizyką i filozofią przyrody, natomiast w samej astronomii Kopernik był skrajnym konserwatystą, raczej ostatnim uczonym średniowiecznym niż pierwszym nowożytnym. Z pewnością nie zamierzał „ruszyć z posad bryły świata”, jak to zapowiadał Eugène Pottier, dziewiętnastowieczny autor słów Miedzynarodówki. Pomysł Kopernika okazał się płodny znacznie później, natomiast jego astronomia była porażką, jałowym dodawaniem epicykli do znanego modelu. W wyniku powstał model matematyczny, który raczej psuł, niż poprawiał astronomię Ptolemeusza. Astronomię przebudowali dopiero Tycho Brahe i Johannes Kepler: dlatego uczymy się o prawach Keplera, a nie o prawach Kopernika.

Wszystko to nie znaczy, rzecz jasna, że Niklas Koppernig niczego nie dokonał. Był najwybitniejszym astronomem swego pokolenia, tyle że nie każdemu pokoleniu dane jest dokonać w nauce czegoś przełomowego. Pomysł astronomii heliocentrycznej był krokiem w dobrym kierunku. Używając języka dzisiejszej fizyki, można powiedzieć, że Kopernik odkrył czy może zwrócił mocno uwagę na ukrytą symetrię ruchów planetarnych. Planety przed Kopernikiem poruszały się na niebie tak samo jak i po nim, model Kopernikański nie był ani trochę dokładniejszy niż Ptolemeuszowy, ale od tej pory zaczęliśmy dostrzegać nowy punkt widzenia: widziane ze Słońca ruchy planet są znacznie prostsze niż z Ziemi. Nie zamieszkaliśmy na Słońcu, ale mogliśmy wykorzystać tę symetrię, ułatwiła ona późniejsze, znacznie późniejsze zrozumienie, jaki jest rzeczywisty mechanizm ruchu planet (u Kopernika Słońce było tylko lampą oświetlającą kosmos, nie wpływało fizycznie na ruchy planet).

Nie jest jasne, kiedy Mikołaj Kopernik powziął myśl o zbudowaniu całkiem nowego systemu świata. Być może podczas pobytu we Włoszech, ale najprawdopodobniej już po powrocie na Warmię. Możliwe, że idea nowego systemu dojrzewała w jego głowie całymi latami. Kopernik nigdy nie mógł się zajmować wyłącznie astronomią, wciąż musiał pamiętać przede wszystkim o tym, co może być przydatne dla kapituły fromborskiej, astronomia była jego zajęciem ubocznym. Po powrocie na Warmię był praktycznie odizolowany od kręgów naukowych i pozostał amatorem – w najlepszym znaczeniu tego słowa – z czasem stał się bowiem najbardziej kompetentnym astronomem swojej epoki.

Przez kilka lat Kopernik pełnił funkcję sekretarza swego wuja biskupa Lucasa Watzenrode, będąc po trosze lekarzem, po trosze humanistą. Początkowo mógł jeszcze wahać się co do wyboru dalszej drogi życiowej: humanista, lekarz, sekretarz dostojnika i kandydat na przyszłego biskupa, czy badacz gwiazd? W roku 1509 wydał zadedykowany wujowi przekład Listów Teofilakta. Było to ćwiczenie ze znajomości greki, literacko bezwartościowe, lecz przydatne dla astronoma, pragnącego rozumieć niektóre teksty źródłowe. W wierszu poprzedzającym tekst Teofilakta Wawrzyniec Korwin, pisarz królewskiego miasta Wrocławia, maluje taki obraz swego przyjaciela przy wuju biskupie: „Przy nim uczony mąż, jak wierny Achates przy Eneaszu, tłumacz dzieła niniejszego z greki na łacinę, który szybki ruch Księżyca i zmienne biegi bratniego Słońca, jako też gwiazd i planet – zdumiewające dzieło Wszechmocnego – wraz z ukrytymi przyczynami zjawisk umie objaśniać na godnych podziwu zasadach.” Może w tym czasie pojawił się już pomysł nowej astronomii. Niewykluczone, że pomysł ten miał wpływ na dalsze losy jego autora: chcąc opracować swą teorię, zrezygnował z kariery kościelnej (do której zapewne nakłaniał go wuj, nie mający żadnych innych bliskich krewnych, kandydatów na swych następców) i wrócił do sprawowania funkcji kanonika, która jednak umożliwiała pracę naukową. W każdym razie od roku 1510, jeszcze za życia wuja, zamieszkał Kopernik na stałe w siedzibie kapituły we Fromborku, gdzie z przerwami mieszkać miał już do końca życia. O mitrę biskupią wyraźnie się nie ubiegał (choć raz umieszczono go honorowo na liście kandydatów, bez realnej szansy na wybór), nie przyjął też wyższych święceń – kanonicy przyjmowali je często dopiero wtedy, gdy mieli zostać biskupami. Wśród szesnastu kanoników kapituły, gdzie wszystko – począwszy od miejsc w katedrze aż po kolejność zabierania głosu na posiedzeniach – regulowane było wedle zasady precedencji, czyli kolejności objęcia stanowiska kanonika, doszedł z czasem do miejsca piątego.

Pobyt we Fromborku nie oznaczał bynajmniej wygodnego i beztroskiego życia. Kopernik pracował jako administrator, ceniony lekarz, był jednym z najlepiej wykształconych ludzi na tym skrawku ziemi. Kanonicy byli wprawdzie ludźmi dość majętnymi, ale mieli liczne obowiązki, oprócz spraw czysto kościelnych administrować musieli należącymi do kapituły ogromnymi dobrami. Cała Warmia była oddzielnym księstwem rządzonym przez biskupa. W dodatku była terenem pogranicznym, z trzech stron otoczonym przez ziemie Zakonu Krzyżackiego, który stanowił ciągłe zagrożenie i z którym niezmordowanie walczył biskup Watzenrode, zabiegając jednocześnie w Rzymie o przeniesienie Zakonu z Prus na Podole. Kopernik zmuszony był więc zarówno do prowadzenia ksiąg, jak objeżdżania konno różnych majątków, a nawet gromadzenia broni na wypadek krzyżackiego oblężenia. Zajmował się też kwestiami reform gospodarczych, popierał unię monetarną Prus Królewskich z Koroną. Wcześniej w różnych miastach Prus Toruniu, Gdańsku i Elblągu bito własne monety, z herbem króla z jednej strony, a herbem miasta z drugiej. Nasilała się też tendencja do psucia monety, co było w interesie rządzących oraz oszustów. Kopernik chciał temu zaradzić przez ujednolicenie monety i ustalenie w niej stałej zawartości kruszcu.

W istocie jednak prowadził podwójne życie i wolne chwile poświęcał astronomii. Pierwszy zarys nowego systemu opisany został w krótkim anonimowym streszczeniu znanym jako Komentarzyk. Ów kilkustronicowy Komentarzyk znajdował się w roku 1514 w księgozbiorze krakowskiego uczonego Macieja z Miechowa, musiał więc zostać napisany wcześniej.

Pisze tam Kopernik:

Wielką ilość sfer niebieskich przodkowie nasi przyjęli, jak sądzę, dla zachowania zasady regularności w pozornym ruchu planet. Całkowicie niedorzeczne wydawało się bowiem przypuszczenie, by ciała niebieskie nie poruszały się zawsze jednostajnie po doskonałych kołach. Zauważyli zaś, że wskutek złożenia i połączenia ruchów jednostajnych na różne sposoby osiągnąć można dowolny ruch pozorny każdego z tych ciał do dowolnego położenia. (przeł. J. Drewnowski, M. Kopernik, Dzieła wszystkie, t. 3, Pisma pomniejsze, przekł. nieco zmieniony)

Następnie omawia krótko sytuację w astronomii od starożytności: najpierw Kallippos i Eudoksos starali się wyjaśnić ruchy nieba za pomocą sfer współśrodkowych, następnie przyjęto teorię Ptolemeusza, posługującą się kołami. Przeciwko pierwszej teorii w Komentarzyku, a także wielokrotnie później, przytaczał argument znany już od starożytności: przy stałych odległościach od Ziemi jasności planet nie powinny się zmieniać, podczas gdy w rzeczywistości zmieniają się bardzo wyraźnie.

Jednakże to, co głosili Ptolemeusz i wielu innych, pozostawało wprawdzie w zgodzie z danymi liczbowymi, ale budziło również niemałe wątpliwości. Tłumaczenia te nie były bowiem wystarczające bez dodatkowego wprowadzenia pewnych fikcyjnych kół wyrównujących, z których wynikało, że planeta ani na swojej sferze unoszącej, ani w odniesieniu do środka swego epicykla nie porusza się z zawsze jednakową prędkością. Toteż tego rodzaju system nie wydawał się ani ostatecznie doskonały, ani wystarczająco zgodny z rozumem.

Owe fikcyjne koła wyrównujące, to koła o środku w ekwancie E – którego nazwa łacińska brzmiała punctum equans – a więc punkt wyrównujący. Konstrukcja ta, wprowadzona przez Ptolemeusza, znakomicie poprawiała zgodność teorii z obserwacjami. Ruch punktu C był jednostajny, gdy patrzeć z punktu E, Ziemia jednak była w punkcie Z i mechanizm ten był nielogiczny z zegarmistrzowskiego punktu widzenia: obroty kół powinny być jednostajne, bo chodzi o idealny zegar stworzony przez Boga, który nie mógł być przecież partaczem; powinny one także być jednostajne względem swoich środków, a nie jakichś innych punktów.

Zważywszy te braki często się zastanawiałem, czy by się nie dało wynaleźć racjonalniejszego układu kół, od których zależałyby wszelkie pozorne nierówności ruchów i które obracałyby się ruchem jednostajnym względem własnych środków tak, jak tego wymaga zasada ruchu doskonałego. Przystąpiwszy do tego trudnego i niemal nierozwiązywalnego problemu znalazłem wreszcie sposób, w jaki można tego dokonać za pomocą kół o wiele mniej licznych i o wiele bardziej ze sobą zgodnych, niż przyjmowano dawniej, jeśli tylko wolno nam będzie przyjąć następujące założenia, zwane aksjomatami.

Założenie pierwsze

Nie istnieje jeden środek wszystkich sfer niebieskich.

Założenie drugie

Środek Ziemi nie jest środkiem świata, lecz tylko środkiem ciężkości i sfery Księżyca.

Założenie trzecie

Wszystkie sfery krążą wokół Słońca jako środka i dlatego w pobliżu Słońca znajduje się środek świata.

Założenie czwarte

Stosunek odległości Słońca od Ziemi do wysokości firmamentu jest o tyle mniejszy od stosunku promienia ziemskiego do odległości Słońca, że odległość ta jest niezauważalna w porównaniu z wielkością firmamentu.

Założenie piąte

Każdy ruch widoczny na firmamencie jest wywołany nie jego własnym ruchem, lecz ruchem Ziemi. Ziemia więc, wraz z otaczającymi ją żywiołami, w ciągu doby obraca się cała w swoich niezmiennych biegunach, podczas gdy firmament i najwyższe niebo pozostają nieruchome.

Założenie szóste

Cokolwiek spostrzegamy jako ruch Słońca, nie jest jego własnym ruchem, lecz skutkiem ruchu Ziemi i naszej sfery, z którą się obracamy wokół Słońca podobnie jak każda inna planeta; Ziemia wykonuje zatem kilka ruchów.

Założenie siódme

To, co u planet wydaje się ruchem wstecznym lub posuwaniem się naprzód, nie pochodzi od nich, lecz od Ziemi. Jej więc ruch sam wystarczy dla wyjaśnienia tak wielu nierówności dostrzeganych na niebie.

U Kopernika Ziemia przestaje pokrywać się ze środkiem świata – wbrew temu, co dowodził Arystoteles – stając się centrum już tylko lokalnym: ciążą ku niej ciała, ale tylko te, które znajdują się blisko, w granicach sfery Księżyca. Ciała ciężkie spadają więc w kierunku centrum Ziemi, a nie centrum świata.

Oprócz Słońca także gwiazdy są w rzeczywistości nieruchome, nie obracają się wokół Ziemi. Wraz z wprowadzeniem ruchu dobowego Ziemi odwraca się tradycyjny porządek: do tej pory to niebo, obejmująca wszystko najwyższa sfera gwiazd, miała się najszybciej, raz na dobę, obracać. U Arystotelesa niebo obracane miało być przez Nieruchomego Poruszyciela i miało przekazywać ruch do dołu. U chrześcijan takim poruszycielem stał się Bóg. Teraz ta największa sfera zastygnąć miała w absolutnym bezruchu.

Giovanni di Paolo, Stworzenie świata i wygnanie z Raju (1445)

Oczywiście obserwowane na niebie zjawiska będą takie same bez względu na to, czy to Ziemia się obraca raz na dobę, czy niebo krąży wokół niej raz na dobę. Wiedziano o tym już od starożytności, zawsze jednak wybierano tę drugą możliwość. Skoro Słońce jest w środku świata, to oczywiście jest ono nieruchome. Mamy więc obok sfery gwiazd drugie nieruchome ciało w kosmosie.

Roczny ruch Słońca na niebie, jego przesuwanie się wzdłuż Zodiaku [ekliptyki] także jest złudzeniem optycznym wywołanym ruchem Ziemi. Znów: z punktu widzenia obserwowanych zjawisk astronomicznych wszystko przebiegać będzie tak samo. Motywem Kopernika nie jest uzyskanie precyzyjniejszego opisu zjawisk, lecz zbliżenie się do prawdy. System Ptolemeusza jest wprawdzie „w zgodzie z danymi liczbowymi”, ale to za mało.

Założenia piąte i szóste zawierają, w sensie dosłownym, nowe spojrzenie na zjawiska niebieskie. Można sobie z tych słów wyobrazić, jak od czasu swego pomysłu Kopernik zaczął patrzeć na niebo zupełnie innym wzrokiem. Co innego widzi się wiedząc, że niebo obraca się wokół nas, co innego zaś, gdy uważamy, że to my obserwujemy niebo z wirującej karuzeli. Patrzenie nie jest czynnością prostą i niezależną od refleksji: co innego widzi zwolennik Ptolemeusza, dla którego cały świat wiruje, co innego zaś Kopernik, czy jego późniejsi zwolennicy, widząc absolutnie nieruchome gwiazdy. Jest to dwoistość poznawcza przypominająca pewne grafiki M.C. Eschera.

Psychologiczne doświadczenie nowego spojrzenia na wszechświat musiało być dla Kopernika niezwykle ważnym przeżyciem. Nigdy nie wrócił już do tradycyjnego obrazu. Nie usiłował ich też w żaden sposób pogodzić. Dla współczesnego człowieka przyzwyczajonego do zmian układów odniesienia oraz do względności prawd i punktów widzenia kopernikanizm może wydać się dość banalnym ćwiczeniem z tego zakresu. Trudno jest wyobrazić sobie sytuację kogoś, kto wykonuje je po raz pierwszy. Bez wątpienia Kopernik przekonany był o prawdziwości swojego pomysłu i wierzył w niego, choć nie miał na to żadnych dowodów.

Założenie siódme sprawia, że niepotrzebne stają się Ptolemeuszowe epicykle dla pięciu planet, wprowadzone właśnie po to, aby opisać zmiany kierunku ich ruchu na tle gwiazd. Jeśli przyjmiemy ruch Ziemi, to wszystkie planety poruszają się stale w jednym kierunku, bez żadnych ruchów wstecznych. Tu właśnie kopernikańskie spojrzenie przynosi najwieksze korzyści: układ planet wygląda teraz prościej.

Komentarzyk był przedstawieniem niezwykłego pomysłu. Przekonywał, że układ heliocentryczny może być astronomicznie nie gorszy, a nawet lepszy od tradycyjnego Ptolemeuszowego. Pokazywał, że możemy w nowy, niezwykły sposób spojrzeć na zjawiska niebieskie i że wtedy system świata przedstawia się prościej. Planety obiegają Słońce w czasie tym dłuższym, im dalej znajdują się od niego. Co więcej, w Komentarzyku Kopernik sądzi, że tor zakreślany przez daną planetę jest niezmienny, że powraca ona regularnie do tych samych miejsc kosmosu (w teorii Ptolemeusza tak nie było, ponieważ okresy obrotu epicyklu i deferentu były niewspółmierne). Później, pracując nad swoim traktatem Kopernik odkrył, że od czasów Ptolemeusza orbity planet zmieniły wyraźnie swą orientację względem gwiazd.

Ruch Słońca i ruch gwiazd są więc jedynie złudzeniem wywołanym ruchem Ziemi. Należało zatem Ziemi przypisać kilka ruchów, a dokładnie trzy:

Ziemia podlega trzem ruchom. Pierwszy jest ruch na wielkiej sferze [wielkim kręgu Orbis Magnus], z której okrążając Słońce według kolejności znaków Zodiaku, dokonuje obrotu w ciągu roku […] wydaje się, że Słońe porusza się po kole takim ruchem, jakby Ziemia leżała w środku świata. Tymczasem dzieje się to nie wskutek ruchu Słońca, lecz Ziemi. Kiedy na przykład znajduje się ona w znaku Koziorożca, Słońce widoczne jest na wprost, w kierunku średnicy, w znaku Raka i tak dalej […]

Potrzebny był Kopernikowi jeszcze jeden, trzeci ruch Ziemi, który wyjaśnić mógłby, dlaczego oś Ziemi zamiast obracać się w okresie roku, zachowuje mniej więcej stały kierunek względem gwiazd. Kopernik, zgodnie z tradycją, wyobrażał sobie ruch Ziemi wokół Słońca tak, jakby była ona unoszona na jakimś sztywnym ramieniu – było to myślenie kategoriami machina mundi, machiny świata złożonej ze sfer. Oś Ziemi unoszonej w taki sposób musiałaby się także obracać razem z nią samą, dlatego potrzebne było wprowadzenie trzeciego ruchu kompensującego. Nie istniało jeszcze takie pojęcie przestrzeni, do jakiego później przyzwyczaił nas Newton (obecnie stałość kierunku ziemskiej osi w przestrzeni objaśniana jest zasadą zachowania momentu pędu: Ziemia jak wirujący żyroskop zachowuje stałą orientację osi). Jednocześnie zastanawiał się Kopernik nad możliwością jakiegoś fizycznego mechanizmu zapewniającego stałą orientację osi ziemskiej względem gwiazd: „Wiem – by sięgnąć do pomniejszych spraw – że namagnesowana igła przyjmuje zawsze ten sam kierunek” (W późniejszych tekstach Kopernik już nie wraca do tego pomysłu, astronomia w jego pojęciu wymaga zresztą opisu zjawisk, a nie podawania ich fizycznych przyczyn).

Przy okazji ów trzeci ruch Ziemi, ruch jej osi obrotu, można było wykorzystać do tego, aby zdać także sprawę ze zjawiska precesji, „obrotu ósmej sfery”. Wystarczyło założyć, że okres trzeciego ruchu nie pokrywa się dokładnie z okresem obiegu Ziemi po orbicie, dzięki temu po wykonaniu pełnego okrążenia oś ziemska nie wraca dokładnie do tej samej orientacji, lecz nieznacznie obraca się względem gwiazd. Jak pisze Kopernik, „Powszechnie przyjmuje sie więc, że firmament obarczony jest kilkoma ruchami, którymi rządzą prawa, niedostatecznie dotąd zrozumiane. Ale ruch Ziemi może te zmienności wyjaśnić w bardziej naturalny sposób.”

Zamiast więc przypisywać niebu gwiaździstemu kilka ruchów, można te wszystkie ruchy przypisać Ziemi, gwiazdy uznając za nieruchome. To nie oś nieba wykonuje ruchy w kosmosie, ale oś Ziemi wykonuje te ruchy. Z technicznego punktu widzenia nic się nie zmieniało. Oczywiście rozwiązanie takie było bardziej zadowalające kosmologicznie: łatwiej przypisać pewne, nawet dość zawiłe ruchy Ziemi niż doskonałemu niebu.

Komentarzyk jest tekstem o tyle osobliwym, że zaczyna od tradycyjnej filozoficznej krytyki ekwantów – niejednostajności ruchów kołowych w tradycyjnej astronomii – a następnie formułuje ideę uproszczenia układu świata przez wprowadzenie ruchu Ziemi. Obie te kwestie nie są logicznie powiązane. Można wyeliminować ekwanty i pozostać przy układzie geocentrycznym, jak zrobili to dużo wcześniej uczeni islamscy ze szkoły w Maragha tacy, jak Nasir At-Tūsi i Ibn aš-Šātir. Można też przyjąć układ heliocentryczny oraz ekwanty, jak na pewnym etapie swej pracy zrobił Johannes Kepler. Kopernik miał trzymać się obu tych założeń jednocześnie.

Rozwiązania geometryczne astronomów islamskich są w zasadzie identyczne z przyjętymi przez Kopernika. Dzieła islamskie nie były powszechnie znane za czasów Kopernika, do niedawna nie były też znane historykom współczesnym. Zbyt wiele jednak szczegółów u Kopernika pokrywa się z rozwiązaniami stosowanymi w szkole z Maragha, aby mogło to być jedynie zbiegiem okoliczności. Najprawdopodobniej podczas pobytu w Italii Kopernik zetknął się z jakimiś manuskryptami ze Wschodu. Uczeni islamscy nie proponowali jednak ruchu Ziemi. Astronomiczna teoria heliocentryczna – zawierająca wszelkie niezbędne szczegóły – jest niewątpliwie własnością intelektualną Kopernika. Wielu historyków czuje się pewniej, gdy mogą sprowadzić odkrycie do zapożyczenia pewnych elementów z przeszłości, jakby nie wierząc, by jakikolwiek pomysł na świecie mógł powstać jedynie dzięki myśleniu. Wyznają oni swego rodzaju atomizm w świecie idei: idee krążą wiecznie niby niezmienne atomy, łącząc się co najwyżej od czasu do czasu w nowe wzory i kombinacje. Poszukiwano z zapałem także i prekursorów teorii Kopernika, jednak bez zadowalających rezultatów. Pomysły jakiegoś ruchu Ziemi pojawiały się niejednokrotnie, zwykle były to jednak tylko pomysły, nie traktowane zbyt serio przez tych, którzy je głosili. Sama możliwość ruchu Ziemi znajdowała się od starożytności właściwie ciągle w polu widzenia uczonych, odkąd Arystoteles i Ptolemeusz uznali za stosowne podać argumenty przeciwko ruchowi Ziemi. Kopernik chcąc zrewidować punkt widzenia astronomii zwracał oczywiście uwagę na wzmianki o ruchu Ziemi. Bardziej oczywistą ideą był tu ruch dobowy Ziemi wokół osi. Chyba jednak nikt prócz Arystarcha (o którym Kopernik nie wiedział) nie rozpatrywał ruchu rocznego, znacznie bardziej brzemiennego w skutki i ważniejszego, zarówno dla Kopernika, jak i dla dalszego rozwoju nauki. Ponadto gdybyśmy nawet znaleźli jakieś źródła, które mogły zasugerować Kopernikowi jego punkt wyjścia, to i tak pozostaje faktem, że nikt nie przekształcił idei tego rodzaju w funkcjonującą teorię astronomiczną, a tylko to się ostatecznie liczy w nauce. Z dwóch podstawowych innowacji kopernikańskich: heliocentryzmu i ruchów jednostajnych, to ta pierwsza – bardziej zaskakująca i ważniejsza historycznie – okazuje się własnością intelektualną Kopernika, druga zaś – która zdawała się ważniejsza współczesnym Kopernika – okazała się zbieżna z wcześniejszymi rozwiązaniami astronomów islamskich i być może nie jest nawet niezależnym wkładem Kopernika do nauki.

Ostatecznie Kopernik formułuje swój układ heliocentrycznego kosmosu, w którym planety poruszają się dzięki złożeniu ściśle jednostajnych ruchów kołowych. Potrzebował do tego, jak sam obwieszcza w Komentarzyku 34 kół. W stosunku do 55 sfer Arystotelesa stanowi to niewątpliwe uproszczenie. Rzecz jednak w tym, że należałoby tę teorię zestawiać nie z filozoficznym modelem Arystotelesa, który nigdy nie objaśniał ilościowo żadnych zjawisk i stanowił raczej rodzaj muzealnego zegara, od którego nie wymaga się by chodził, lecz z działającą teorią matematyczną Ptolemeusza. Na razie jednak Kopernik nie zbudował porównywalnej teorii, miał jedynie jej zarys, wstępną wersję. W trakcie pracy nad Obrotami miał się przekonać, że szczegółowe porównanie nie wypada już tak jednoznacznie na korzyść jego systemu.

Ruch planet wg Komentarzyka. Słońce (w istocie tzw. Słońce średnie, a nie to fizyczne, świecące na niebie) znajduje się w centrum dużego koła o promieniu R. Znikły epicykle Ptolemeusza, ale wprowadza Kopernik dwa dodatkowe epicykle: jeden o promieniu e_1 obracał się tak, aby linia C_1C_2 pozostawała stale równoległa do linii SO. Z dzisiejszego punktu widzenia powiedzielibyśmy, że wektor C_1C_2 pozostaje stały (względem gwiazd), dla Kopernika obracał się on, ponieważ położenia C_2 mierzono od prostej SC_1, czyli tak jakby mniejsze koło obracało się na jakimś mechanicznym ramieniu. To pierwsze koło łatwo było zastąpić kołem mimośrodowym – ekscentrykiem – w terminologii ówczesnych astronomów. Było jeszcze drugie koło o promieniu e_2 i ono obracało się tak, aby trapez C_2PEO pozostawał wciąż równoramienny. Ta konstrukcja zastępowała ekwant i wymyślona była przez Ibn aš-Šātira. Planeta zakreślała zamkniętą, nieco owalną linię (owal wybrzuszony był w złą stronę w porównaniu do keplerowskiej elipsy). François Viète zauważył pod koniec wieku XVI, że ruch po dwóch mniejszych kółkach można zastąpić jednym ruchem po elipsie, ale oczywiście Kopernikowi nie o to chodziło.

Wielu historyków nauki zastanawiało się nad genezą reformy Kopernika. Komentarzyk ukazuje nam gotowe rozwiązanie, w którym zmienić się miały już tylko szczegóły techniczne, nie mówi natomiast nic o tym, jak przyszła mu do głowy tak niezwykła myśl i dlaczego Kopernik zdecydował się prześledzić jej konsekwencje. Wiedział też Kopernik zastanawiając się nad swoim pomysłem, że z jednej strony ma tu pewne wsparcie w starożytnych tekstach – ruch Ziemi nie jest więc pomysłem aż tak absurdalnym, jakby się to mogło na pozór wydawać. Z drugiej zaś strony zauważył, niewątpliwie po skrupulatnym zbadaniu sprawy, że „argumenty, którymi filozofowie przyrody starają się udowodnić nieruchomość Ziemi, po większej części oparte są na zjawiskach i wszystkie zostaną tu obalone, gdy tylko wyjdziemy poza pozory” [O obrotach, ks. I] – argumenty te tracą swą moc dowodową, jeśli prawdą jest, że Ziemia się porusza; nie dowodzą więc one w istocie niczego, są przekonywaniem przekonanych, nie mogą więc przeszkodzić w rozważeniu hipotezy ruchu Ziemi. Stosuje się to np. do arystotelesowskiego utożsamienia środka ku któremu spadają ciała ze środkiem świata. Jeśli uznamy, jak Kopernik, że ciała spadają ku środkowi Ziemi, to tym samym stanie się możliwe, że Ziemia nie jest środkiem świata.

Istotą kopernikanizmu z punktu widzenia ruchów w świecie są dwa założenia (piąte i szóste w Komentarzyku): o nieruchomości gwiazd oraz nieruchomości Słońca. Pierwsze przerzuca na Ziemię ruch dobowy oraz długookresowy ruch precesyjny: Ziemia wiruje, oś jej obrotu zmienia położenie w przestrzeni. Drugie zastępuje widoczny roczny ruch Słońca rocznym ruchem orbitalnym Ziemi. Trudno też ustalić, który z dwóch pomysłów – nieruchomość gwiazd czy nieruchomość Słońca pojawił się jako pierwszy. Jasne jest bowiem, że jeśli uda nam się wyjaśnić jakiś ruch obserwowany na niebie odpowiednim ruchem Ziemi, to aż się prosi, aby podobną metodę rozciągnąć i na inne ruchy.

Być może punktem wyjścia był nawet nie obrót dobowy, choć ten akurat obrót najczęściej bywał wcześniej rozpatrywany. W którymś momencie Kopernik mógł zdać sobie sprawę, że zawiłe ruchy precesyjne gwiazd – ruchy ósmej sfery, wymagające wprowadzania kolejnych sfer dziewiątej i dziesiątej – prościej jest opisać zmianami położenia osi Ziemi, nie każąc gwiazdom wykonywać skomplikowanych obrotów i kołysań, które im niezbyt przystoją. Z chwilą gdy gwiazdy uznamy za nieruchome, przyjąć trzeba, że Ziemia wiruje. Za takim punktem wyjścia pracy Kopernika opowiadał się Jerome R. Ravetz.

Inną możliwością było zwrócenie uwagi na to, że Ptolemeuszowe epicykle planet górnych obracają się względem gwiazd w okresie rocznym: ich obrót jest ściśle ze sobą zsynchronizowany. Linie ZS i XM pozostają równoległe do siebie w każdej chwili. Jednocześnie koła w konstrukcji ptolemeuszowej można przestawiać, ponieważ dodawanie wektorów jest przemienne. Model Ptolemeuszowy można dowolnie przeskalowywać, ważne są w nim jedynie kąty. Dlatego wszystkie koła obracające się w okresie roku możemy zastąpić jednym wspólnym kołem i uznać je za orbitę Słońca wokół Ziemi. Powstaje wówczas konstrukcja, w której środki kół planet leżą w Słońcu. Schemat taki pozwalał zaoszczędzić po jednym kole dla każdej z pięciu planet, których dotyczył. W dodatku pewne regularności, które w teorii Ptolemeusza były dodatkowymi i niekoniecznymi założeniami (jak synchronizacja epicyklów), u Kopernika znajdowały naturalne wyjaśnienie. Struktura teorii astronomicznej wyraźnie zyskiwała na przejrzystości, można było zrozumieć fakty przedtem niepowiązane ze sobą. Otrzymywało się także znacznie lepiej wyglądający układ planet, bez dużych epicyklów.

Ostatecznie Komentarzyk nie jest przekonujący dla sceptyka, nie przedstawia bowiem żadnych rozstrzygających argumentów za rozwiązaniem Kopernikańskim. Argumentów takich nie było zresztą również długo po śmierci Kopernika. Można się było zgodzić, że na gruncie astronomii pomysł Kopernika miał pewne zalety i nie prowadził do natychmiastowej sprzeczności z faktami, nie był więc tak absurdalny, jakby mogło się na początku wydawać. Aby jednak serio potraktować propozycję Kopernika, należało najpierw przejść do porządku nad argumentami arystotelików przeciwko ruchowi Ziemi. Wprawdzie argumenty te istotnie były słabsze, niż się mogło wydawać – Kopernik miał tu trafne przeczucie, tym niemniej nie można było ich zbyć kilkoma zdaniami. Na szczęście dla rodzącej się teorii Kopernik nie poświęcał im wielkiej uwagi. Być może sprzyjającą okolicznością była tu naukowa izolacja Kopernika, obracając się na codzień wśród akademickich kolegów musiałby odpierać ich ataki, do czego nie był wtedy przygotowany merytorycznie, ani jak się zdaje psychicznie. Środowiska naukowe urabiają poglądy swoich członków, a w tym przypadku trudno byłoby oczekiwać przychylnych reakcji na nową ideę. Niejednokrotnie w historii nauki pewna izolacja badacza, przynajmniej w jakimś okresie, sprzyjała rozwijaniu oryginalnego punktu widzenia.

Nie wiadomo, jakie były reakcje na Komentarzyk, nie ma wszakże powodu przypuszczać, aby były zachęcające. Alexandre Koyré uważa, że Komentarzyk znała bardzo ograniczona liczba osób, w szczególności nie był zapewne pokazywany profesorom w Krakowie, ponieważ w przeciwnym razie mielibyśmy jakieś wiadomości o ich reakcjach. Według świadectwa jednego z późniejszych astronomów Caspara Peucera nazwisko Kopernika jako uczonego stało się głośne już około 1525 r.

Szczegółowe dowody matematyczne zostały „przeznaczone do większego dzieła.” Dopiero później nastąpić miało wieloletnie opracowywanie matematycznych szczegółów – szczegółów, które w astronomii są wszystkim. Najbardziej zadziwiające jest to, że owo większe dzieło istotnie powstało. Mieszkając z dala od ośrodków życia umysłowego, pochłonięty uciążliwymi codziennymi obowiązkami, Kopernik potrafił nie tylko zaproponować, lecz także i opracować we wszystkich matematycznych szczegółach nową teorię niebios, znaleźć czas i siły na niezbędne obserwacje i, przede wszystkim, obliczenia. Teorii takiej nie zaproponował ani żaden z astronomów islamskich, którzy przez wieki zastanawiali się nad dorobkiem Ptolemeusza, ani żaden z astronomów europejskich, sławnych poprzedników Kopernika, jak Georg Peurbach czy Regiomontanus. Dwaj ostatni żyli wprawdzie dość krótko, nic jednak nie wskazuje, aby mieli ideę równie wielkiego dzieła. Jeśli podziwiamy śmiałość Kolumba czy Vasco da Gamy, którzy potrafili zdobyć się na odszukanie nowych dróg i nie wahali się podejmować ryzyka, to należy także mieć podziw dla intelektualnej odwagi Kopernika, ktory podjął się opracowania nowego systemu astronomii, sprawdzenia do końca swojego odważnego pomysłu, mimo że wydawać on się mógł szalony. Oczywiście innego rodzaju odwagi wymaga morska podróż i astronomiczne obliczenia – w obu jednak wypadkach trzeba wierzyć w swoją szczęśliwą gwiazdę. Być może właśnie w odwadze zapuszczenia się w gąszcz rachunków i obserwacji niezbędnych do zbudowania nowej astronomii należy upatrywać wpływu epoki Odrodzenia, Kopernik jest człowiekem renesansu, człowiekem odważniejszym i podejmującym ryzyko.

Impulsem do opracowania traktatu stało się może zetknięcie z drukowanym wydaniem Almagestu (1515) Ptolemeusza, który ukazywał wyraźnie, czego potrzeba, aby zbudować kompletną teorię ruchu planet. Kopernik jako pierwszy nowożytny astronom podjął się tego zadania. Z tą myślą zaczął prowadzić obserwacje niezbędne, by wyznaczyć parametry ruchów planet. Jak się wydaje, to właśnie na potrzeby dzieła Kopernik zajął się poważniej obserwacjami astronomicznymi. Choć dokonywał ich także i wcześniej, i do książki weszła nawet jedna z obserwacji wykonanych jeszcze we Włoszech, to Kopernik nie był nigdy wielkim obserwatorem. Nie był też obserwatorem najdokładniejszym. Jego przyrządy były stosunkowo proste, by nie powiedzieć prymitywne i służyć miały jedynie uzyskaniu niezbędnych danych liczbowych. Ostateczna teoria nie była ani dokładniejsza, ani prostsza od Ptolemeuszowej. Istotny okazał się właściwie tylko heliocentryczny punkt wyjścia, cała reszta zestarzała się szybko. W 1609 r. Johannes Kepler wydał dzieło Astronomia nova i to ono stanowi początek nowożytnej astronomii.

(*) Przybysz z innego układu planetarnego mógłby się zdziwić, czemu tyle ulic i szkół w Polsce nosi imię Niemca z Prus Królewskich, który we Włoszech zapoznał się z astronomią Arabów i Persów rozwijaną w Azerbejdżanie irańskim oraz w Syrii i opracował alternatywę dla modelu aleksandryjskiego Greka Ptolemeusza, mieszkając całe życie na Warmii, która była oddzielnym księstwem, nie graniczącym z Polską.

Trochę rachunków na koniec. Wprowadźmy ruchomy układ współrzędnych x,y jak na rysunku. Mamy wtedy dla położenia planety w funkcji kąta M (proporcjonalnego do czasu):

\left\{\begin{array}{l} x=(e_1+e_2)\sin M \\[5pt] y=(e_1-e_2)\cos M.\end{array}\right.

Łatwo zauważyć, że tor jest elipsą o półosiach e_1+e_2,e_1-e_2 (wystarczy skorzystać z jedynki trygonometrycznej).

Można też obliczyć kąt M-v oraz odległość planety od Słońca r (przyjmujemy R=1:

\left\{\begin{array}{l} \mbox{tg}\, (M-v)=\dfrac{(e_1+e_2)\sin M}{1+(e_1-e_2) \cos M} \\[15pt] r^2=(1+y)^2+x^2.\end{array}\right.

Najlepsze dopasowanie do modelu Ptolemeusza uzyskamy, gdy

e_1=\frac{3}{2} e \ \ e_2=\frac{1}{2} e.

Ani Ibn aš-Šātir (który wymyślił ten podwójny epicykl), ani Kopernik, który go stosował, nie wiedzieli, jak dobrać optymalnie wartości e_1, e_2. Stosując rozwinięcia wzgledem e, otrzymujemy z dokładnością do wyrazów kwadratowych

\left\{\begin{array}{l}M-v=2e\sin M-e^2 \sin^2 2M \\[5pt] r=1+e^2+e\cos M-e^2 \cos 2M.\end{array}\right.

Błędy w stosunku do ruchu keplerowskiego są teraz równe

\left\{\begin{array}{l} \Delta v=-\frac{1}{4}e^2 \sin 2M \\[5pt] \Delta r=-\frac{1}{2}e^2 (1-\cos 2M).\end{array}\right.

Widzimy więc, że kąt v ma ten sam błąd co u Ptolemeusza, natomiast błędy odległości są dwa razy większe. Teoria Ptolemeusza była więc potencjalnie lepsza. Ideologia świata-boskiego zegara psuła astronomię.

 

 

Czemu Ptolemeusz był wielkim astronomem?

Klaudiusz Ptolemeusz – jak wskazuje rzymskie Klaudiusz i greckie Ptolemeusz – był Grekiem żyjącym w czasach imperium rzymskiego. Pracował w kosmopolitycznej, handlowej i uczonej Aleksandrii, jednym z wielu miast założonych przez Aleksandra Macedońskiego. Zdobywca światów umarł młodo, lecz poszerzył zasięg greckiej kultury. Egipska Aleksandria stała się głównym ośrodkiem nauki tworzonej w języku greckim: Muzeum albo Musejon, przybytek muz, był czymś w rodzaju instytutu naukowego ze słynną biblioteką, obserwatorium astronomicznym, ogrodami botanicznymi i zoologicznymi. Od Euklidesa przez Apoloniusza, Hipparcha do Ptolemeusza rozwijały się tam nauki matematyczne. Sam Ptolemeusz jest autorem Geografii, traktatów o muzyce, optyce i astrologii oraz podstawowego dzieła astronomicznego Mathēmatikē Syntaxis („Zbiór matematyczny”– bezbarwne tytuły nie są wynalazkiem współczesnych uczonych), znanego też jako Megiste („Największy”), co przeszło w arabskie al-majisṭī, z czego wzięła się używana od średniowiecza do dziś nazwa Almagest. Już sama historia tego tytułu pokazuje skomplikowane dzieje przekazywania wiedzy greckiej do nowożytnej Europy.

Mapa świata wg Geografii Ptolemeusza narysowana w XV wieku (Wikimedia Commons)

Mapka rozpowszechnienia Almagestu do czasów Kopernika (В.А. Бронштэн, Клавдий Птолемей, 1988)

Z czasem dzieło Ptolemeusza zawędrowało nawet dalej niż sięgały zdobycze Aleksandra Macedońskiego, bo aż do Indii i do Chin. Co było w nim tak niezwykłego, że tłumaczono je na różne języki, pracowicie kopiowano, a potem drukowano? Almagest i Elementy to najważniejsze dzieła greckie dotyczące nauk ścisłych. Elementy były popularne aż do końca XIX wieku, ponieważ zawierały podstawy geometrii i nadawały się do nauczania w szkołach. Jednak późniejsi uczeni greccy, jak Archimedes, Apoloniusz czy Pappus znacznie powiększyli wiedzę matematyczną. Inaczej w przypadku Almagestu: stanowił on szczyt osiągnięć greckich i można odpowiedzialnie powiedzieć, że dopiero Johannes Kepler posunął dalej sztukę rozumienia ruchów planet, przekraczając poziom osiągnięty przez Ptolemeusza. A więc od II w.n.e. aż do początku wieku XVII ludzkość nie miała lepszej astronomii niż Ptolemeuszowa. Zmieniały się mapy polityczne, wierzenia, religie, języki, kultury, a dzieło Ptolemeusza wciąż stanowiło punkt odniesienia, szczyt kiedyś już zdobyty, ale wciąż trudny do ponownego zdobycia.

Teorie wykładane w Almageście nie są autorstwa Ptolemeusza. Konstrukcje geometryczne zawierające złożenia ruchów po okręgach zastosował już Apoloniusz. Wiele ważnych obserwacji dokonał Hipparch. Do Ptolemeusza jednak należy synteza całej tradycji i sformułowanie jej w postaci pewnego systemu wiedzy. Korzystał z nagromadzonych obserwacji, sam był aktywnym obserwatorem, poprawił też zastane rozwiązania. Almagest pozwala dla danej daty i godziny znaleźć położenie na niebie Słońca, Księżyca, a także pięciu znanych wówczas planet. Sądzono, że położenia te mają wpływ na los człowieka – astrologia była głównym motywem badań astronomicznych. Można wszakże sądzić, że matematyczne umysły w rodzaju Apoloniusza czy Ptolemeusza tak czy owak zgłębiałyby ruchy planet. Są one bowiem powtarzalne, ale niezupełnie, ich usytuowanie nigdy się naprawdę nie powtarza, choć w oczywisty sposób zawiera pewne cykle. Sądzę, że i bez astrologii ruch planet byłby wyzwaniem. Astrologia była raczej koniecznym dopowiedzeniem: skoro świat jest tak urządzony, że owe boskie ciała krążą w zawiły sposób po niebie, to musi to w jakiś sposób dotyczyć także naszego losu. Oczywiście, przeskok od matematyki do cech charakteru czy obliczenia daty odpowiedniej  np. na ślub był logicznie i empirycznie wadliwy, ale i zrozumiały: ludzie zawsze starają się znaleźć w świecie przede wszystkim to, co może ich dotyczyć. Egocentryzm jest postawą jeszcze bardziej naturalną niż geocentryzm.

Podstawowa idea modeli planetarnych była prosta. Mamy dwa okręgi: większy o środku O (deferent) i mniejszy o środku C (epicykl). Wektor \overrightarrow{OC} obraca się, unosząc epicykl, planeta P znajduje się na jego obwodzie, na końcu wektora \overrightarrow{CP}. Ziemia spoczywa w punkcie Z. Ruch zachodzi tu w jednej płaszczyźnie. Planety znajdują się na niebie zawsze w pobliżu ekliptyki, czyli rzutu płaszczyzny orbity Ziemi na sferą niebieską. A więc w pierwszym przybliżeniu możemy ich ruchy rzutować na tę jedną płaszczyznę – dla nas jest to płaszczyzna orbity Ziemi, dla starożytnych była to płaszczyzna orbity Słońca. Dzięki temu model płaski może opisywać najważniejszą część ruchu planet. Odchyleniami od ekliptyki zajmowano się również, ale było to niejako drugie przybliżenie, którego szczegóły tutaj sobie darujemy. Warto pamietać, że dopiero Johannes Kepler wpadł na pomysł, iż orbity planet leżą w płaszczyznach, które przecinają się w Słońcu. Nie wiedzieli o tym starożytni ani Mikołaj Kopernik.

Zazwyczaj dominuje ruch po deferencie w lewo i planeta porusza się względem gwiazd z zachodu na wschód. Czasem jednak zatrzymuje się i zaczyna poruszać się ruchem wstecznym, ze wschodu na zachód. Potem znów wraca do ruchu prostego, tzn. z zachodu na wschód. Pętla w naszym przybliżeniu powinna być spłaszczona: zostaje tylko zmieniający się ruch w płaszczyźnie ekliptyki. Epicykl potrzebny był właśnie do tego, by odtwarzać ruch wsteczny planety.

 

Ptolemeusz ani jego koledzy nie wiedzieli prawie nic o odległościach planet. Wiadomo wprawdzie, że np. Mars jest najjaśniejszy w środku swego ruchu wstecznego, kiedy jest na niebie po przeciwnej stronie niż Słońce (jest w opozycji do Słońca, mówią astronomowie). Sugeruje to, że powinien wtedy być bliżej, ale epicykl ma taki, a nie inny kształt z przyczyn estetyczno-filozoficznych: co się porusza w cyklu, powinno się poruszać koliście. Kierunki przewidywane przez ten model są  opisane prawidłowo – tyle wiedział Ptolemeusz. Fakt, że również i odległości są opisane prawidłowo, jest dodatkową cechą modelu, z czego pierwszy zdał sobie sprawę Kopernik. Jeśli znamy kierunki obu wektorów \overrightarrow{OC}, \overrightarrow{CP}, to znamy i wektor położenia planety

\overrightarrow{ZP}=\overrightarrow{ZO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CP}.

Pierwszy z wektorów po prawej stronie jest stały. Zauważył bowiem Hipparch, że Ziemię lepiej jest odsunąć nieco od środka deferentu O (dla każdej planety inaczej i w innym kierunku). Dwa ruchome wektory obracają się jednostajnie i ich kierunek dla danej chwili można zawsze obliczyć.

I w tym miejscu pojawia się z pozoru drobne ulepszenie autorstwa Ptolemeusza: ekwant. Miał on do dyspozycji więcej obserwacji niż Hipparch, minęły między nimi stulecia – postęp naukowy był wówczas niesłychanie powolny. Zresztą po Ptolemeuszu w zasadzie postępu nie było przez następne tysiąc pięćset lat. Piszę w zasadzie, ponieważ astronomowie islamscy i potem chrześcijańscy aż do Kopernika i do końca XVI wieku wprowadzali rozmaite udoskonalenia, które jednak niczego nie poprawiały. Na początku XVII wieku nadal najlepszą teorią była ta Ptolemeuszowa. Jej błędy dla Marsa zwykle nie przekraczały 1°.

Błędy w położeniach Marsa według efemeryd Origanusa (Ptolemeusz) i Keplera (źródło: O. Gingerich, Johannes Kepler and the Rudolphine Tables, „Sky and Telescope”, December, 1971, s. 328). Warto może dodać, że oprócz uczonych islamskich i Kopernika nikt nie dodawał epicykli do epicykli. Spotyka się czasem powiedzenie, że dalsze poprawianie jakiejś niezbyt udanej teorii to dodawanie kolejnych epicykli. Otóż takiego dodawania kolejnych epicykli w historii nie było. Teoria Ptolemeusza zestarzała się, by tak rzec moralnie (heliocentryzm itd.), ale matematycznie i pod względem zgodności z obserwacjami – wcale. Dalsze epicykle nie były potrzebne.

Gdy obserwuje się ruchy Marsa (w tym przypadku widać to najwyraźniej), okazuje się, że pętle ruchu wstecznego mają różne wielkości w różnych częściach nieba. Planeta w opozycji porusza się też raz szybciej, raz wolniej. Odsunięcie Ziemi od środka deferentu nie wystarczy. Dlatego Ptolemeusz wprowadził kontrowersyjne, ale znakomite rozwiązanie. Przyjął mianowicie, że punkt C  porusza się jednostajnie nie względem środka okręgu O, lecz względem pewnego innego punktu E (zwanego ekwantem) i położonego po drugiej stronie środka deferentu tak, że ZO=OE.

Teraz kąt M jest proporcjonalny do czasu, planeta nadal krąży jednostajnie po epicyklu (kąt \gamma=\angle{HCP} jest proporcjonalny do czasu). Teoria przewiduje następujące ruchy Marsa:

Z punktu widzenia obserwatora ziemskiego Mars zatacza skomplikowane spirale: ich pętle odpowiadają ruchowi wstecznemu. Widzimy, że ich wielkość zależy od miejsca, w którym planeta znajdzie się najbliżej Ziemi: opozycje bliskie ujemnemu kierunkowi osi x odpowiadają mniejszej odległości planety od Ziemi niż opozycje po przeciwnej stronie ekliptyki. Dobrą zgodność ilościową otrzymujemy, uwzględniając ekwant – kontrowersyjne, jako się rzekło, rozwiązanie Ptolemeusza. Popatrzmy jeszcze na pętle Wenus:

Na drugim wykresie widać, że tor planety podwaja się po ośmiu latach. Zjawisko to wynika ze szczególnej wartości stosunku okresów obiegu Ziemi i Wenus wokół Słońca i nie ma dotąd przekonującego wyjaśnienia.

Jak dobrym przybliżeniem rzeczywistości jest ekwant? W przypadku Marsa deferent odpowiada orbicie planety, epicykl – orbicie Ziemi. Ograniczmy się do deferentu.

Położenie punktu C, czyli heliocentrycznie rzecz biorąc, planety, dane jest odległością r i kątem v. Kąt M jest proporcjonalny do czasu. Można łatwo obliczyć, że w modelu Ptolemeusza dla R=1, otrzymujemy (pomijając wyrazy z potęgami e wyższymi niż druga):

\left\{\begin{array}{l}M-v=2e\sin M-e^2 \sin 2M\\[5pt] r=1+\frac{3}{4}e^2+e\cos M-\frac{3}{4}e^2\cos 2M.\end{array}\right.

Porównajmy to z wynikami dla ruchu keplerowskiego po elipsie z tą samą dokładnością:

\left\{ \begin{array}{l} M-v=2e\sin M-\frac{5}{4}e^2 \sin 2M \\[5pt] r=1+\frac{1}{2}e^2+e\cos M-\frac{1}{2}e^2 \cos 2M.\end{array}\right.

Zatem błędy równe są

\left\{\begin{array}{l}\Delta v=-\frac{1}{4}e^2 \sin 2M \\[5pt] \Delta r=-\frac{1}{4}e^2(1-\cos 2M).\end{array}\right.

Nawet dla Marsa, gdy e\approx 0,1, błędy są mniejsze niż \Delta v=0,0025 \mbox{ rd}=8,5', a \Delta r=0,0025. Teoria Ptolemeusza jest więc rewelacyjnie dokładna, biorąc pod uwagę ówczesny stan wiedzy i dokładność pomiarów. O takiej dokładności marzył Mikołaj Kopernik, ale jej nie osiągnął. Problemem była tu nie teoria, lecz dobór parametrów modelu na podstawie obserwacji.

Jeszcze na koniec powiedzmy, dlaczego pomysł z ekwantami był kontrowersyjny przez 1500 lat, zanim Kepler nie zrozumiał, jak świetne jest to przybliżenie rzeczywistych ruchów i nie poszedł dalej. Teoria geometryczna była znakomita, ale nie bardzo sobie wyobrażano, jak niebiosa realizują taki ruch. Planety były, jak wierzono, unoszone przez pewne sfery, rodzaj mechanizmu zegarowego. Można wyobrazić sobie, że ów mechanizm zawiera mniejsze i większe kółka. Można było nawet umieścić Ziemię ekscentrycznie. Jednak obrót, który nie jest jednostajny względem swego środka C, ale względem innego punktu E, wydawał się mechanicznie niewykonalny. Ludzie rozumieją zawsze tyle, ile potrafią wykonać albo przynajmniej wyobrazić sobie jako pewną idealną wersję tego, co działa tu na Ziemi. Ptolemeusz wykazał się niezwykłą odwagą, przedkładając zgodność z obserwacjami nad fizyczną realizację. Jego ekwant był ogniskiem elipsy w zarodku: w jednym ognisku mamy Słońce, wokół drugiego ogniska, które jest puste, prędkość kątowa jest niemal stała.

Pokażemy jeszcze, jak w dzisiejszym języku opisać można Ptolemeuszowe tory planet i jak wyznaczyć M-v,r w funkcji M, czyli czasu.

Z trójkąta COE i twierdzenia sinusów dostajemy

\dfrac{\sin (\beta-M)}{e}=\dfrac{\sin M}{R} \Rightarrow \beta=M+\arcsin (\frac{e}{R}\sin M).

Wektor położenia planety jest zatem równy:

\overrightarrow{ZP}=[e+R\cos\beta+\varrho \cos\alpha,R\sin\beta+\varrho\cos\alpha],

gdzie \alpha jest kątem CP z osią x. Oba kąty M, \alpha zmieniają się liniowo z czasem:

 M=\dfrac{2\pi}{T_1}+M_0,\; \alpha=\dfrac{2\pi}{T_2}+\alpha_0,

gdzie T_1,T_2 są okresami obiegu deferentu i epicyklu. Linie zakreślane przez P narysowane zostały wyżej dla przypadku Marsa i Wenus.

Z rysunku tego łatwo wyznaczyć M-v,r w funkcji M, czyli czasu.

Mamy bowiem kolejno:

\mbox{tg}\,(M-v)=\dfrac{ZE''}{CE''}=\dfrac{2e\sin M}{CE'+E'E''},

CE'=1^2-e^2\sin^2 M,\, E'E''=e\cos M.

Ostatecznie więc

\mbox{tg}\, (M-v)=\dfrac{2e\sin M}{\sqrt{1-e^2\sin^2 M}+e\cos M}.

Odległość r znajdujemy z tw. Pitagorasa. Wynik dla ruchu keplerowskiego znaleźć można w podręcznikach mechaniki niebios, np. klasycznej książce F.R. Moultona. Nasza konwencja jest zgodna z tradycją dawnej astronomii: mierzymy kąty od apogeum. Obecnie panuje zwyczaj mierzenia ich od perigeum/perihelium, różnią się więc o 180º, co daje nieco inne znaki.

Po co człowiekowi w życiu logarytmy? Henry Briggs (1617)

Zanim przejdziemy do tytułowego pytania, zacznijmy od tego, jak należy wyobrażać sobie teorię oraz praktykę. Cesare Ripa daje następującą odpowiedź:

Słowo Theoria, oznaczające u Greków kontemplowanie, oglądanie, u nas zaczęło być stosowane na oznaczenie wszelkiego wywodu rozumowego opartego na przyczynach rzeczy stosownie do właściwych im porządków i z uwzględnieniem zasad zależących nie od rozsądku, lecz raczej od intelektu, gdyż zasady zawisłe od rozsądku określają Praktykę, przeciwstawną wszak Teorii. Ze względu na te okoliczności uważam, że Teorię całkiem trafnie przedstawić można w postaci młodej Niewiasty spoglądającej w górę, z dłońmi złączonymi, na głowie mającej cyrkiel o ramionach rozwartych i celujących w Niebo. Ma ona być odziana w dostojną błękitną suknię, i schodzić ze szczytu schodów. Wszystkie te szczegóły symbolizują wybitność, dostojność i wzniosłość. (przeł. I. Kania)

(…) Praktykę można przedstawić w postaci Staruchy z głową i rękami opuszczonymi w dół, ubranej nędznie w bure suknie, z wielkim rozwartym cyrklem, którego jedna nóżka wbita jest w ziemię; jedną ręką wspiera się na rzeczonym cyrklu, drugą – na liniale, w taki sposób, że druga nóżka cyrkla dotyka końca liniału układając się razem w kształt greckiej litery π, którą oni zwykli oznaczać Praktykę, podczas gdy Teorię oznaczali literą θ. (przekł. jw.)

Kto chodził do szkoły, ten wie, że Teoria ma przewagę nad Praktyką: ledwo zdążymy oswoić się z jednym pojęciem, a już mówi się o następnych i idzie dalej i dalej, nie pokazując zastosowań. W podobny sposób działały uniwersytety i szkoły także na przełomie XVI i XVII wieku. Dlatego znaczna część Rewolucji naukowej przebiegała niejako równolegle do systemu edukacji, który nawet owej rewolucji nie zauważył, nadal kształcąc na bazie Arystotelesa.

Logarytmy są wynalazkiem praktycznym, jednym z niewielu ważnych pojęć matematycznych, które powinno się wynosić ze szkoły. I nie chodzi o definicję czy dziwaczne równania z niewiadomymi pod logarytmem, ale o ideę zapisywania bardzo dużych albo bardzo małych liczb w krótki sposób. Logarytmy dziesiętne wprowadził Henry Briggs, profesor w londyńskim Gresham College. Była to szkoła o nastawieniu praktycznym, kształciła mierniczych, inżynierów i nawigatorów (żegluga oceaniczna zmusiła korzystania z astronomicznych metod wyznaczania położenia, a te wymagały obliczeń matematycznych). Pomysł należał do Szkota Johna Napiera, choć niezależnie od niego wpadł na podobną ideę Jost Bürgi, zegarmistrz i konstruktor przyrządów, zaprzyjaźniony z Johannesem Keplerem. Logarytmy pozwalały znacznie przyspieszyć obliczenia numeryczne, ponieważ mnożenie i dzielenie zastępują dodawaniem i odejmowaniem – działaniami znacznie mniej czasochłonnymi. Mówiono, że dzięki logarytmom życie astronomów wydłużyło się dwukrotnie, tak bardzo skracały one bowiem rachunki. Najważniejsze tablice astronomiczne czasów nowożytnych: Tablice Rudolfińskie (1627) Johannesa Keplera zostały obliczone przy wykorzystaniu logarytmów. Dzieło to zawierało frontispis przedstawiający świątynię astronomii, w której kilku sławnych uczonych minionych wieków prowadzi zaświatową debatę nad systemem planetarnym. Jedynie dwie kolumny oznaczone imionami Kopernika i Tychona Brahego są zdrowe i mocne, w suterenie widzimy Johannesa Keplera pochylonego nad swymi pracami.

Przyjrzyjmy się alegorycznym figurom na dachu świątyni. Cesarski orzeł zrzuca guldeny, co było raczej pobożnym życzeniem Keplera niż faktem, choć w sumie dzieło powstało dzięki patronatowi kolejnych cesarzy od Rudolfa II począwszy. Kobiece postaci od lewej strony począwszy to Physica lucis – fizyka światła, Optica – dzierżąca teleskop, Logarithmica – alegoria, niemal bogini logarytmów, Doctrina triangulorum – trygonometria, Stathmica – statyka przedstawiona z dźwignią (prawo dźwigni odgrywało zdaniem Keplera istotną rolę w ruchu planet) oraz Magnetica – alegoria nauki o magnetyzmie (uczony sądził, że jedną z sił poruszających planety jest specjalna siła magnetyczna). W aureoli wokół głowy Logarithmiki znajdują się cyfry 6931472, odpowiadające \ln(2)=0,6931472, dlatego pręty, które trzyma nasza bogini mają stosunek długości 1:2.

Johannes Kepler widział więc wagę logarytmów dla astronomii. Henry Briggs obliczył pierwsze praktyczne tablice logarytmów dziesiętnych. Poniżej wyjaśnimy, jak tego dokonał, najpierw jednak spróbujemy odpowiedzieć na pytanie, do czego w życiu przydają się logarytmy. Są one potrzebne szczególnie wtedy, gdy mamy do czynienia z procesami, w których jakaś wielkość zmienia się bardzo silnie. Np. ludność świata w milionach od czasów prehistorycznych do roku 2015. Widzimy, co znaczy określenie eksplozja demograficzna i dlaczego jest nas dziś więcej niż wszystkich ludzi razem wziętych w minionych epokach. W zaświatach spotkalibyśmy niemal wyłącznie współczesnych.

Drugi wykres ma skalę logarytmiczną na osi pionowej: znacznie lepiej widać zmiany szybkości eksplozji demograficznej: nachylenie krzywej (tangens kąta) mierzy wskaźnik przyrostu naturalnego. Stałe nachylenie to stały przyrost procentowy. Nadal widzimy eksplozję w ostatnich stuleciach, ale teraz widać znacznie więcej szczegółów zachowania krzywej. Spójrzmy jeszcze na wykres obejmujący tylko dwa ostatnie stulecia.

Widać na nim właściwie trzy odcinki prostoliniowe: 1800-1900, 1900-1950, 1950-2015. Zupełnie niewidoczne są obie wojny światowe. Skoki przyrostu naturalnego wiążą się najwyraźniej z postępem cywilizacyjnym: nawozy sztuczne, mniejsza umieralność niemowląt i dzieci, dłuższy średni czas życia.

Logarytm dziesiętny to w zasadzie liczba zer w zapisie: zamiast liczb 0,01;10;100000 piszemy -2,1,5. Oczywiście, musimy umieć obliczać logarytmy także innych liczb niż całkowite potęgi dziesiątki. Jeśli np. naszą liczbą jest a=3\cdot 10^4, to widać od razu, że jej logarytm musi być większy niż 4, lecz mniejszy niż 5 (bo 10^4<3\cdot 10^4<10^5). Trzeba znaleźć taki wykładnik, aby 10^{x}=3. Wiadomo, że x=0,477121, mamy więc

a=3\cdot 10^{4}=10^{0,477121}\cdot 10^{4}=10^{0,477121+4}=10^{4,477121}.

Zatem \log 3\cdot 10^4=4,477121.

Możemy powiedzieć (niestandardowo), że liczba 3\cdot 10^4=30000 ma 4,477121 zer. Logarytm jest więc uogólnieniem liczby zer, skonstruowanym w taki sposób, żeby zachować zwykłe reguły potęgowania, np. 10^{x}\cdot 10^{y}=10^{x+y}.

Jak można skonstruować tablice logarytmów, wiedząc tyle, ile Henry Briggs, to znaczy bez znajomości szeregów, pochodnych itd.? W zasadzie wystarczy umiejętność wyciągania pierwiastka kwadratowego – dawniej uczono, jak to się robi. Szybką metodę przybliżoną znano od czasów starożytnych. Przyjmijmy więc, że umiemy wyciągać pierwiastki kwadratowe. Możemy obliczyć teraz kolejne pierwiastki kwadratowe z 10 aż powstanie tabelka jak poniżej.

Zaczerpnęliśmy ją z rozdziału 22 tomu I wykładów Richarda Feynmana. Oczywiście, nietrudno ją obliczyć samemu, ale warto też spojrzeć na stronice Feynmana poświęcone temu zagadnieniu. Richard Feynman cenił matematykę praktyczną, metody uzyskiwania konkretnych liczbowych odpowiedzi. Pewnie dlatego zainteresował się Briggsem i sposobem konstruowania tablic. Gdybyśmy znaleźli się na bezludnej wyspie, będziemy wiedzieć, jak obliczyć tablice logarytmów. Ważniejszym powodem jest może ten, że wiedza powinna tworzyć powiązany system, a nie bezładne nagromadzenie faktów, i Feynman zawsze starał się poznać całe łańcuchy rozumowań od faktów doświadczalnych do teorii. (Nawiasem mówiąc, ta swoista niechęć do wykraczania poza fakty stała się chyba przyczyną, dla której nie podobały mu się kwarki, zaproponowane teoretycznie. Wprowadził nawet swoją nazwę: partony na części protonu, które obserwuje się w rozproszeniach przy dużych energiach. Uparcie nie chciał ich jednak uznać za kwarki.)

Z tabelki widać, że kolejne pierwiastki przejawiają prostą regularność:

10^{x}\approx 1+2,3025 x. \mbox{   (*)}

Także Briggs to zauważył: zamiast obliczać pierwiastki odpowiadające małym wykładnikom, można zastosować powyższe przybliżenie. Weźmy teraz jakąkolwiek liczbę z przedziału (1,10), np. 3. Szukamy w trzeciej kolumnie tabeli czynników, które przybliżą 3 z dołu:

10^{\frac{1}{4}}\cdot 10^{\frac{1}{8}}\cdot 10^{\frac{1}{16}}\cdot 10^{\frac{1}{32}}\cdot 10^{\frac{1}{128}}=10^{0,476563}\approx 2,996143.

Mamy już prawie 3. Brakujący czynnik to 3/2,996143=1,001287. Stosując przybliżenie (*) otrzymamy logarytm tego czynnika równy 0,000559. Liczbę tę należy dodać do wykładnika powyżej:

\log {3}=0,476563+0,000559=0,477121.

Metoda zastosowana przez Briggsa była nieco bardziej skomplikowana, ale w istocie sprowadzała się do tego samego. Zauważmy, że każdą liczbę z przedziału (0,1) możemy zapisać jako sumę potęg dwójkowych – będzie to po prostu owa liczba zapisana dwójkowo. Henry Briggs obliczył 54 kolejne pierwiastki z dokładnością 30 cyfr znaczących, co było pracą iście herkulesową (gdyby tylko Herkules pracował umysłowo, a nie fizycznie). W dodatku prawie wcale się przy tym nie mylił, drobne pomyłki nie wpłynęły na wyniki tablic. Zawierały one w pierwszej wersji logarytmy liczb od 1 do 1000 z dokładnością czternastu znaków. Po sześciu latach rozszerzył te tablice do liczb 1-20 000 oraz 90 000-100 000 z tą samą monstrualną dokładnością czternastu cyfr. Wydawca flamandzki Adriaan Vlacq zatrudnił mierniczego Ezechiela de Deckera, aby dokończyć tablice od 1 do 100 000. Miały one dokładność już tylko dziesięciu cyfr, de Decker stosował interpolację. Tablice Vlacqa ukazały się w 1627, trzy lata po niepełnych tablicach Briggsa.

Korzystałem m.in. z artykułu Iana Bruce’a, The agony and the ecstasy – the development of logarithms by Henry Briggs, „The Matematical Gazette”, t. 86 (2002), s. 216-227.

(*) Przybliżenie znalezione przez Briggsa łatwo uzasadnić rozwijając funkcję wykładniczą w szereg MacLaurina:

10^{x}=e^{x\ln 10}\approx 1+x\ln {10}.

 

 

 

Johannes Kepler: III prawo ruchu planet (15 V 1618)

Niemal wszystkie wielkie odkrycia naukowe dla swych odkrywców znaczyły co innego niż dla potomnych. Z tego powodu dzisiejsza wiedza jest często mało przydatna, gdy chcemy dowiedzieć się, w jaki sposób zostały dokonane jakieś odkrycia. Przykład praw Keplera jest tu wielce pouczający: to, co dziś uważamy za trzy prawa Keplera, on sam uważał za istotne wprawdzie, ale trzy pojedyncze fakty w całym gmachu astronomii, który zbudował.

Johannes Kepler zdecydował się zająć astronomią, kiedy odkrył – jak mu się zdawało – ukryty sens geometryczny proporcji orbit planetarnych. Stwórca zrealizował bowiem w niebiosach wielce barokową konstrukcję geometryczną. Nastąpiły długie lata studiowania ruchów planet, szczęśliwym zbiegiem okoliczności mógł wykorzystać zbiór obserwacji Tychona Brahego, najdokładniejszych w dziejach i obejmujących najdłuższy przedział czasu. Ktoś porównał sytuację przed Tychonem i obserwacje Tychona do oddzielnych fotografii i długiego filmu: ruchy planet monitorowane były przez duńskiego astronoma nieomal z dnia na dzień. Kepler pierwszy zbudował w pełni heliocentryczną astronomię, w której Słońce było nie tylko wielką lampą oświetlającą wszechświat i umieszczoną centralnie, ale także źródłem ruchu sześciu znanych planet. Uzyskane przez niego wyniki podsumowuje się dziś w formie trzech praw ruchu. Pamiętać jednak należy, że zawarte one były w książkach Keplera wśród długich rozważań i nigdzie nie zostały sformułowane w taki właśnie sposób.

Dwa pierwsze prawa znalazły się w Astronomia nova z 1609 roku. Eliptyczny kształt orbit był najbardziej oczywistym wynikiem tej pracy, choć wielu nie dało się przekonać: astronomowie przyzwyczajeni byli do kół poruszających się po kołach i podejście Keplera wydawało się dziwaczne. Tym bardziej, że nawet obserwacje Brahego nie były na tyle dokładne, by jakoś zdecydowanie rozstrzygać, jaki jest właściwie kształt orbity – mogły to być rozmaite owale, a poza tym krzywe takie można skonstruować na różne sposoby, więc elipsy wydawały się wnioskiem zbyt silnym. Tak rozumiał to np. Isaac Newton, kiedy pisał: „Kepler wiedział, iż orbity planet nie są kołowe, lecz owalne, i odgadł, że są eliptyczne”. Kepler nie tyle zresztą zgadywał, ile kierował się tu (obok obserwacji) własną teorią ruchu planet – pierwszą mechaniką niebios – lecz z pozycji newtonowskich próba ta była chybiona, więc Newton mógł potraktować to jako zgadywanie. Elipsy z czasem znalazły sobie miejsce wśród uznanych faktów astronomicznych. Aż do czasów Newtona nie wiedziano jednak, co zrobić z Keplerowskim prawem pól – dzisiejszym II prawem Keplera. Teoretyczne wyjaśnienia samego Keplera nie przekonały jego następców, w dodatku prawo to jest niełatwe do praktycznego stosowania, gdyż prowadzi do równania przestępnego: t=E-e\sin E, gdzie t jest czasem, e mimośrodem orbity, a E tzw. anomalią mimośrodową, wielkością potrzebną do obliczenia położenia planety na elipsie. Równanie Keplera należało rozwiązywać metodami przybliżonymi, co w XVII wieku było trudne zarówno praktycznie, jak i pojęciowo. II prawo Keplera odrodziło się dopiero dzięki Newtonowi, który spostrzegł, że musi ono obowiązywać zawsze, gdy siły działają wzdłuż linii łączącej planetę i Słońce, bez względu na konkretną zależność sił od odległości. Dziś mówimy, że w ruchu pod wpływem sił centralnych zachowany jest moment pędu.

Kepler traktował własną pracę nad geometrycznym i mechanicznym opisem ruchu planet jako bardzo długi wstęp, rodzaj dygresji, właściwym celem było odkrycie, czemu Stwórca zbudował układ planet tak, a nie jakoś inaczej. Z jego perspektywy najciekawsze więc wydawało się wyjaśnienie odległości, okresów i ekscentryczności orbit, a więc nie tyle mechanika, co warunki początkowe – one bowiem mówiły nam coś o Bogu. Uczony, kiedy tylko mógł, wracał do rozważań na temat harmonii świata, one właśnie wydawały mu się najcenniejsze. Niosły mu też pociechę – to w czasie żałoby po śmierci córeczki zajął się pisaniem Harmonice mundi („Harmonii świata”). Do brył platońskich z młodzieńczej konstrukcji doszły teraz harmonie muzyczne – idea pitagorejska. Johannes Kepler stworzył najbardziej rozbudowaną i szczegółowo opracowaną wersję tej starej idei. Wszechświat był dla niego kosmosem, uładzoną i piękną całością. Sądził, że potrafi wyjaśnić ekscentryczności orbit planetarnych. Tym, co miało budować harmonie muzyczne kosmosu były prędkości kątowe planet widziane ze Słońca. Ich zakres odpowiadał pewnej skali muzycznej. Była to więc muzyka czysto matematyczna, którą obserwować mogły mieszkające na Słońcu anioły.

To, co przepowiedziałem dwadzieścia dwa lata temu, kiedy odkryłem pięć brył foremnych między sferami niebieskimi; to, o czym mocno byłem przekonany wewnętrznie, zanim jeszcze ujrzałem Harmonie Ptolemeusza; to, co obiecałem przyjaciołom w tytule tej piątej Księgi, nim jeszcze nabrałem całkowitej pewności; to, o czym szesnaście lat temu pisałem publicznie, nalegając, iż musi być zbadane; to, co skłoniło mnie, by spędzić najlepszą część życia na spekulacjach astronomicznych, wybrać się do Tychona Brahego do Pragi i samemu zamieszkać w Pradze; to, do czego Bóg Najlepszy i Największy nakłaniał mój umysł i rozbudzał pragnienie poznania, przedłużając me życie i siły umysłu, a także dostarczając innych środków dzięki hojności dwóch cesarzy oraz szlachty stanów Górnej Austrii; to w końcu, gdy wypełniłem swoje obowiązki astronomiczne w wystarczającym stopniu, mogłem wreszcie wydobyć na światło i stwierdziłem, że jest prawdą bardziej nawet, niż miałem nadzieję: odkryłem pośród ruchów niebieskich pełną naturę harmonii, w stopniu, w jakim ona występuje, wraz ze wszystkimi swymi częściami, objaśnionymi w Księdze III – wprawdzie nie w taki sposób, w jaki ją sobie wyobrażałem (co stanowi nie najmniejszą część mojej radości), ale w zupełnie inny sposób, najpiękniejszy i zarazem najdoskonalszy. (KGW t. VI, s. 289; )

Samo III prawo Keplera jest prostą zależnością ilościową: jeśli wyrazimy okres obiegu planety T w latach, a półoś orbity a (czyli średnią odległość od Słońca) w jednostkach orbity Ziemi, to przyjmuje ono postać: T^2=a^3. Prawo to znajduje się w Księdze piątej Harmonice mundi jako ósme twierdzenie rozdziału trzeciego, a więc wplecione w pitagorejskie rozważania.

Tak więc część mojej Tajemnicy kosmosu, która została zawieszona dwadzieścia dwa lata temu, ponieważ nie była jeszcze jasna, zostaje dokończona i tutaj umieszczona. Bo kiedy znalezione zostały prawdziwe odległości sfer, poprzez obserwacje Brahego i ustawiczny długotrwały trud, to w końcu – w końcu – prawda co do stosunku okresów i wielkości sfer
choć późno, wejrzała na opieszalca,
Wejrzała jednak i w końcu, po długim czasie, nastała.(*)
a jeśli trzeba wam dokładnego czasu, zrodzona została w umyśle 8 marca tego roku 1618, lecz poddana rachunkowi w pechowy sposób i odrzucona jako fałsz, aż wreszcie powróciła 15 maja i przyjmując inną linię ataku, pokonała ciemności mego umysłu. Tak silne było wsparcie siedemnastu lat mojej pracy nad obserwacjami Brahego oraz obecnych badań, które połączyły swe siły, iż z początku myślałem, że śnię i gdzieś w założeniach wprowadzam moją konkluzję. Ale jest absolutnie pewne i ścisłe, że stosunek okresów dowolnych dwóch planet równa się dokładnie stosunkowi ich średnich odległości do potęgi 3/2 (Harmonice mundi, 1619, s. 189; KGW t. VI, s. 302)

Spośród praw Keplera to było najmniej kontrowersyjne, bo łatwe do sprawdzenia. Co więcej, pozwalało poprawić wielkości orbit, ponieważ okresy obiegu znane były znacznie dokładniej niż odległości, co pierwszy zauważył Jeremiah Horrocks, który, gdyby nie zabrała go śmierć w wieku dwudziestu dwóch lat, z pewnością zostałby jednym z najważniejszych astronomów XVII stulecia.

(*) Wykształconemu klasycznie Keplerowi przyszła tu na myśl pierwsza ekloga Wergiliusza:

Wolność, która, choć późno, wejrzała na opieszalca,
Kiedy już siwiejące spod brzytwy sypały się włosy,
Wejrzała jednak i w końcu, po długim czasie, nastała.
(przeł. Z. Kubiak, Literatura Greków i Rzymian, s. 430)

Thomas Wright: kosmos jako ogród Boga (1750)

Kopernik odebrał Ziemi wyjątkowy status ciała centralnego, ciężkiego i bezwładnego, zbudowanego z innej materii niż świetliste i lekkie ciała niebieskie. Bardzo to uwierało rzymską Kongregację Indeksu, która w 1620 roku ogłosiła „korektę” dzieła, zalecając na użytek wiernych poprawki, np. „Ziemia nie jest gwiazdą (tzn. ciałem niebieskim), jaką ją czyni Kopernik”. Autor nie żył już od niemal osiemdziesięciu lat, ale nic to: poprawki mogli wprowadzić samodzielnie czytelnicy, by ich własne oko nie musiało się gorszyć (a przyjaciele nie donieśli komu trzeba). Jak wykazała kwerenda Owena Gingericha do zaleceń tych zastosowano się jednak niechętnie, nawet w Italii i Hiszpanii, a więc krajach ultrakatolickich, nieskażonych zarazą protestantyzmu. Poza tym im dalej od Rzymu, tym gorzej.

Zakazy kościelne okazały się patetycznie bezsilne wobec fali nowej nauki wzbierającej nawet w Italii, gdzie po skazaniu Galileusza należało uciekać się do rozmaitych wybiegów. Np. Giovanni Alfonso Borelli ogłosił teorię ruchu księżyców Jowisza, choć w oczywisty sposób chodziło mu o ruch planet wokół Słońca. Matematycznie było to to samo, a nie drażniło się inkwizycji. Nauki ścisłe i eksperymentalne opuszczały jednak Italię i rozkwitały głównie w Anglii, Holandii i Francji, dokąd nie sięgały zakazy teologów rzymskich. Protestanci z upodobaniem głosili poglądy sprzeczne z tym, co głosili „papiści”. Korelacja wyznania i wkładu do rewolucji naukowej w XVII i XVIII wieku jest wyraźna. Różnica kulturowa między Europą północno-zachodnią a południowo-wschodnią stawała się coraz głębsza. Protestantyzm był tu zresztą raczej symptomem niż przyczyną. Chrześcijaństwo Lutra i Kalwina było oczyszczone i odnowione, starało się „odczarować” świat, odrzucając magiczne aspekty religii. Tamten podział Europy istnieje do dziś, podobnie jak w badaniach społecznych widać granice zaborów w Polsce.

Uznanie wszechświata za nieskończony a Słońca za jedną gwiazd (w dzisiejszym znaczeniu tego słowa, a więc ciała niebieskiego, które świeci w zakresie widzialnym) nie wynikało z kopernikanizmu w sensie logicznym, ale było jego naturalną konsekwencją. Galileusz bardzo podkreślał, że nie tylko Ziemia nie spoczywa w środku świata, ale wszechświat zapewne nie ma w ogóle żadnego środka. Nie zgadzał się z tym jego największy współczesny Johannes Kepler, który wierzył, że Słońce spoczywa w centrum świata, a gwiazdy są światłami na nieruchomej sferze niebieskiej. Po Isaacu Newtonie nieskończony wszechświat wydawał się jedyną realną możliwością: gwiazdy w skończonym i statycznym wszechświecie musiałyby się zapaść grawitacyjnie do wspólnego środka masy. Nieskończony wszechświat mógłby teoretycznie znajdować się w stanie równowagi nietrwałej. Sytuację taką zasugerował teolog Richard Bentley w listownej dyskusji z Newtonem, a ten niechętnie uznał to za możliwe. Sam raczej sądził, że grawitacja wywołuje rzeczywiście niestabilność, ale Stwórca od czasu do czasu daje prztyczka ciałom niebieskim, aby je przywołać do porządku bądź zbudować nowy porządek. Na przykład księżyce Jowisza mogłyby być zapasowymi planetami trzymanymi na przyszłość. Hipoteza nieskończonego wszechświata prowadziła też niektórych do wniosku, że niebo w nocy powinno świecić jak powierzchnia Słońca. To poważne zastrzeżenie, które Newton, a właściwie Halley starał się obalić niezbyt przekonującymi argumentami.

Protestancka swoboda spekulacji kosmologicznych zaowocowała sporą liczbą różnych traktatów, w których starano się pogodzić prawo ciążenia i dane astronomiczne z Pismem św. Nie było tu mrożącego efektu inkwizycji. Nie tylko teologowie, ale różnego rodzaju samoucy zastanawiali się nad budową i dziejami wszechświata. Do tej ostatniej kategorii zaliczał się Thomas Wright, który niewiele chodził do szkoły. Jako syn cieśli nie mógł liczyć na głębszą edukację, tym bardziej że rozgniewany ojciec spalił mu kiedyś książki, nad którymi jego zdaniem syn spędzał zbyt wiele czasu. Terminował w zawodzie zegarmistrza, potem w sztuce budowania przyrządów nawigacyjnych. Uczył nawigacji marynarzy spędzających zimy na handlu węglem i czekaniu na sezon żeglugowy. Z czasem uczył także nauk matematycznych w domach arystokratycznych, zaczął też projektować ogrody, na co był spory popyt.

W roku 1750 Wright ogłosił książkę pt. An original theory or new hypothesis of the Universe. Obiecywał w niej wyjaśnić ni mniej, ni więcej tylko budowę wszechświata, trzymając się praw natury i zasad matematycznych – zwłaszcza te ostatnie po Newtonie były w cenie. Dzięki tej modzie wiele dam spośród arystokracji pragnęło poznać tajniki nauk ścisłych i interesowało się astronomią. Szczególną wagę przywiązywał Wright do wyjaśnienia „zjawiska Via Lactea” – czyli Drogi Mlecznej na niebie. Można przypuszczać, że słuchaczki zadawały mu często pytanie, czym jest owa Droga Mleczna. W tamtych czasach marnego oświetlenia nie sposób było nie znać widoku nocnego nieba.

Już Galileusz po pierwszych obserwacjach przez teleskop twierdził, że Droga Mleczna to nagromadzenie słabych gwiazdek, które zlewają się w jednolitą poświatę. W czasach Wrighta wiedziano więcej na temat odległości gwiazd. Przede wszystkim starano się wykryć paralaksę roczną – zjawisko pozornego przemieszczania się gwiazd po sferze niebieskiej w rytmie obiegów Ziemi wokół Słońca. Albo Kopernik nie miał racji, albo gwiazdy były bardzo daleko. Ponieważ po Newtonie system heliocentryczny nabrał sensu fizycznego, więc należało przyznać, że odległości gwiazd od Słońca są niewiarygodnie wielkie. Paralaksa roczna z pewnością nie przekraczała 20”, na co wskazywały obserwacje Jamesa Bradleya. Oznaczałoby to, że gwiazdy są dalej niż 1000 odległości Saturna od Słońca. Można też było oszacować tę odległość na podstawie obserwowanej jasności. Należało wówczas założyć, że gwiazdy są takie jak Słońce i ich obserwowana jasność jest wyłącznie skutkiem ich oddalenia od nas. Newton szacował na tej podstawie, że odległość jasnych gwiazd jest rzędu 100 000 odległości Saturn-Słońce (*). Wszechświat był zatem bardzo pusty i gdyby nawet miał się zapaść, to nie nastąpiłoby to zbyt szybko – musimy pamiętać, że wiek świata liczono w tysiącach lat, zgodnie z Biblią. Newton (nb. fundamentalista biblijny) podał jednak oszacowanie wieku Ziemi na podstawie eksperymentów z czasem stygnięcia na co najmniej 50 000 lat. Wright następująco przedstawił znany wówczas Układ Słoneczny wraz z wydłużonymi orbitami komet (w roku 1750 nie zaobserwowano jeszcze żadnego przypadku komety okresowej).

Odległość do Syriusza, najjaśniejszej gwiazdy na niebie, a więc zapewne także najbliższej przedstawił Wright na środkowym rysunku poniżej (nie udało mu się zachować proporcji). Na dolnym mamy proporcje orbit planetarnych, ukazujące, jak pusto jest nawet w samym Układzie Słonecznym.

Najważniejsze wszakże miało być objaśnienie, czemu widzimy Drogę Mleczną. Najlepiej przedstawia to rysunek.

Jeśli Słońce jest gwiazdą A na rysunku i znajduje się wewnątrz płaskiego zbiorowiska gwiazd, to patrząc w kierunku H albo D widzimy wiele gwiazd, a w kierunku B i C niezbyt wiele. W ten sposób układ gwiazd będzie nam się jawił jako pas wokół sfery niebieskiej.

Mniej więcej w tym miejscu kończy się wkład Wrighta do kosmologii i astronomii. Recenzję z jego książki, bez rysunków, przeczytał w pewnym czasopiśmie pewien zupełnie nieznany magister na prowincjonalnym uniwersytecie w Królewcu. Nazywał się Immanuel Kant i kilka lat później zainspirowany pomysłami Wrighta napisał całą książkę na temat wszechświata. Długo pozostawała ona nieznana, właściwie zwrócono na nią uwagę dopiero po latach, kiedy Kant zdobył sławę, lecz nie jako astronom, tylko jako twórca systemu filozofii.

Thomas Wright nie ograniczył się do tego, co wiadomo z obserwacji i teorii naukowych. Pragnął przede wszystkim zbudować model wszechświata, w którym jest przestrzenne miejsce dla Zbawienia i Potępienia. Jak niemal wszyscy wówczas, traktował dane religijne jako równie pewne jak naukowe. Tradycyjny średniowieczny model świata zawierał Piekło w środku Ziemi i Raj poza sferą gwiazd stałych. Wright spróbował niejako przenicować ten model: w środku miał się znajdować Raj, na zewnątrz, w ciemnościach, Piekło.

Pomysł Wrighta polegał na tym, że wszechświat jest trwały, bo gwiazdy poruszają się po orbitach wokół centrum. Nieporządek wśród gwiazd jest pozorny, patrzymy po prostu z niewłaściwego miejsca. Wcześniej o czymś takim rozmyślał Johannes Kepler, który pisał:

Musielibyśmy bowiem uznać, że Bóg uczynił coś w świecie bez powodu, nie kierując się najlepszymi racjami. Nikt nie przekona mnie do takiego poglądu, gdyż sądzę, że [rozumny ład] panuje nawet wśród gwiazd stałych, których położenia wydają nam się zupełnie bezładne, niczym ziarno rzucone przypadkiem w zasiewie. (Tajemnica kosmosu, rozdz. 2)

Wright go chyba nie czytał, zaczerpnął pomysł zapewne od Williama Whistona, arianina i następcy Newtona na katedrze Lucasa w Cambridge (Whiston miał poglądy religijne zbliżone do Newtona, lecz w odróżnieniu od swego poprzednika głosił je otwarcie, toteż go zwolniono).

Gdyby nasza perspektywa była taka jak Stwórcy, dostrzeglibyśmy ład.

Rzeczywisty obraz wszechświata jest bowiem taki

Słońce A zawarte byłoby wewnątrz ogromnej cienkiej powłoki kulistej. Inną rozpatrywaną przez śmiałego ogrodnika możliwość przedstawia rysunek poniżej:

Takich systemów gwiezdnych miało być nieskończenie wiele.

Oczywiście, wszystko to było czystą fantazją Thomasa Wrighta, który z upodobaniem mieszał rozmaite symbole chrześcijańskie, masońskie i starożytne. Zachował się następujący plan ogrodu kuchennego autorstwa Wrighta, wzorowany na kosmosie.

(*) Interesujące są szczegóły oszacowania odległości do gwiazd. Newton podał je w swoim De mundi systemate liber, czyli popularnej wersji III księgi Matematycznych zasad filozofii przyrody. Metoda opublikowana została w 1668 roku przez szkockiego matematyka Davida Gregory’ego. Co zabawne, oszacowanie to znalazło się w książce opublikowanej w Padwie, a więc za zgodą władz kościelnych, które widocznie nie przyglądały się zbyt dokładnie zawartości książki albo cenzor uznał, że formalnie jest to tylko hipoteza, a więc nie twierdzenie i nie może przeczyć prawdzie natchnionego tekstu. Trudność była w porównaniu jasności Słońca z jasnością jakiejś gwiazdy, nikt nie potrafił wówczas mierzyć jasności. Tak się jednak składa, że planeta Saturn ma średnicę kątową 17” albo 18”. Saturn świeci dla oka niezuzbrojonego jak gwiazda pierwszej wielkości. Znaczy to, że na tę planetę pada 1/(21\cdot 10^8) światła słonecznego, bo w takiej proporcji jest pole powierzchni dysku planety \pi r^2 do pola powierzchni sfery o promieniu R równym wielkości orbity Saturna. mamy

\dfrac{\pi r^2}{4\pi R^2}=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{r}{R}\right)^2.

Wielkość w nawiasie to promień dysku Saturna w radianach. Jeśli przyjmiemy, że jedna czwarta światła słonecznego jest odbijana od powierzchni Saturna, to znaczy, że dysk Saturna świeci 42\cdot 10^8 razy słabiej niż Słońce. A więc gwiazda pierwszej wielkości jest \sqrt(42)\cdot 10^4 razy dalej niż Saturn. Zaokrąglając w górę, otrzymał Newton wartość 100 000. Gregory otrzymał z podobnego rachunku 83 190 jednostek astronomicznych, czyli odległości Ziemia-Słońce, a więc o rząd wielkości mniej. Istniało też oszacowanie Huygensa 27 664 jednostek astronomicznych.

Statyczny wszechświat nie może być stabilny, ten problem przenosi się na teorię grawitacji Einsteina. W przypadku Newtonowskim można łatwo oszacować z III prawa Keplera czas spadku gwiazdy na Słońce, byłby on dla danych Newtona rzędu 30\cdot 10^{5\cdot 3/2}\approx 10^9, liczba 30 to okres obiegu Saturna w latach.