Kepler w Rzymie

Wyobrażam sobie, że Ziemia się kręci, lecz nie dla racji, jakie przedstawiał Kopernik, ale z tych to względów: ogień piekielny, jak uczy Pismo Święte, jest zamknięty we wnętrzu Ziemi, a potępieni, pragnąc uciec przed żarem płomienia, wspinają się aż pod strop, obracając przy tym Ziemię; tak samo pies zamknięty w kole obraca je, drepcząc.

Cyrano de Bergerac (przeł. J. Rogoziński)

Campanella w swojej Apologii przedstawia nieco naciąganą listę zwolenników idei ruchu Ziemi. Występuje na niej żyjący w XV wieku kardynał Mikołaj z Kuzy, którego taka możliwość bynajmniej nie gorszyła, choć trudno go uznać za prekursora Kopernika w sensie ściśle naukowym. Pojawia się też „Nolańczyk i inni, których imion nie możemy wymienić z powodu ich herezji. Nie zostali jednak potępieni z tej przyczyny”.ⁱ Nolańczyk to oczywiście Giordano Bruno; przypominanie, że był zwolennikiem ruchu Ziemi nie było dyplomatyczne. Można jednak sądzić, że nie tylko Campanella, ale i Bellarmin, a także inni hierarchowie, słysząc o Koperniku, myśleli o Brunie, i nie miało większego znaczenia, jaki rodzaj kopernikanizmu wyznawał Bruno ani to, że nie był on w sensie technicznym astronomem. Większość nazwisk na liście Campanelli stanowią uczeni protestanccy. Niektórzy, np. Erasmus Reinhold, stosowali tylko kopernikańską technikę obliczeniową, inni, tacy jak Michael Mästlin i jego uczeń Kepler, byli autentycznymi zwolennikami nowej astronomii.

Mogłoby się wydawać, że szczególnie gorące dyskusje wywoła kopernikanizm wśród protestantów, przyzwyczajonych do samodzielnej lektury Pisma, podczas gdy wśród katolików znajomość Biblii ograniczona była do kleru i bardzo wąskiej garstki ludzi wykształconych. Tak się jednak nie stało, potępienia kopernikanizmu przez teologów protestanckich były najwyżej incydentami bez większych konsekwencji. Luter nie interesował się tym problemem wcale, Jan Kalwin uznał, że skoro Pismo nie zgadza się z Ptolemeuszem, to tym samym nie przeczy Kopernikowi, i powoływanie się w dyskusjach astronomicznych na święty tekst jest nieuprawnione. Pismo Święte było przystosowane do czytelników i nie miało na celu nauczania astronomii czy innych nauk szczegółowych.ⁱⁱ Doktryna Kalwina wywarła wielki wpływ na świat protestancki i ułatwiła także przyjęcie kopernikanizmu.

Najwybitniejszym astronomem epoki był bez wątpienia Johannes Kepler, odkrywca praw rządzących ruchem planet. Kepler był żarliwym luteraninem, więc problem sprzeczności kopernikanizmu z Pismem Świętym stanął przed nim w sposób naturalny. Swe stanowisko przedstawił w długiej przedmowie do Astronomia nova, znanej zapewne Galileuszowi. W słowach Psalmu 19: „raduje się jak olbrzym ruszający do biegu”, Kepler widział jedynie sformułowanie poetyckie, dostosowane do sposobu, w jaki zjawiska przedstawiają się naszym oczom. Widzimy, że Słońce się porusza, nie znaczy to jednak, że naprawdę porusza się Słońce, a nie Ziemia. Kepler omawia także cud Jozuego. Słowa wodza Izraelitów: „Stań, słońce, nad Gibeonem! I ty, księżycu, nad doliną Ajjalonu!” (Joz 10,12), wskazują wyraźnie, względem jakiego układu odniesienia zatrzymać się miały oba ciała niebieskie. Chodziło o to, aby się nie poruszały, oświetlając scenę bitwy: dla Jozuego cały dzień stały one pośrodku nieba, a dla ludzi znajdujących się po drugiej stronie globu tak samo długo znajdowały się pod ziemią. Zatem nawet zwolennik tradycyjnej kosmologii musi przyznać, że sformułowanie Jozuego wcale nie jest do końca oczywiste, ukryte są w nim pewne założenia: to samo usytuowanie Słońca względem Ziemi oznacza dzień dla jednych, noc dla drugich. „Jozue miał tylko to jedno życzenie, aby góry nie zasłaniały mu słońca, i wyraził je słowami zgodnymi z tym, co widać; bo czymś nienaturalnym byłoby w owej chwili rozmyślać o astronomii i złudzeniach wzroku. Gdyż jeśliby ktoś zwrócił mu uwagę, że Słońce nie porusza się naprawdę względem doliny Ajjalonu, lecz jedynie tak się wydaje, to czyż nie zakrzyknąłby Jozue, że pragnie jedynie, aby dzień się wydłużył, wszystko jedno w jaki sposób? Tak samo by postąpił, gdyby ktoś z nim wtedy wszczął spór na temat spoczynku Słońca i ruchu Ziemi. Ze słów Jozuego Bóg z łatwością zrozumiał, jakie jest jego życzenie, i spełnił je, wstrzymując ruch Ziemi, tak aby Jozuemu zdawało się, że stanęło Słońce”.

Kepler, choć sam nie miał żadnych wątpliwości co do kopernikanizmu, uważał go za doktrynę trudną, przeznaczoną dla uczonych: „Przeto zaklinam mego czytelnika, aby nie zapominając o bożych dobrodziejstwach zesłanych ludziom (…), po powrocie ze świątyni wstąpił do szkoły astronomii. (…) Kto jednak jest zbyt niepojętny, aby móc zrozumieć naukę astronomii, albo zbyt trwożliwy, by bez zgorszenia dla swojej pobożności uwierzyć Kopernikowi, temu radzę, aby opuścił szkołę astronomii, zostawił w spokoju nauki filozoficzne i poświęcił się własnym sprawom”.ⁱⁱⁱ Dla umysłów pośrednich proponował Kepler system Tychona, zaczynający właśnie zdobywać sobie popularność wśród jezuitów, gdyż nie zrywał tak gwałtownie z tradycją i bliższy był arystotelesowsko-tomistycznej filozofii, która była oficjalną doktryną Towarzystwa Jezusowego.

W roku 1617 Kepler otrzymał za pośrednictwem jednego ze swych korespondentów rozprawkę Ingolego De situ et quiete Terrae contra Copernici systema disputatio. Zareagował na nią w maju następnego roku tekstem Responsio ad Ingoli Disputationem („Odpowiedź na dysputę Ingolego”), który z kolei doczekał się w październiku odpowiedzi Ingolego. Cała ta polemika nie została opublikowana, krążyła jednak w odpisach wśród zainteresowanych. Z dużym opóźnieniem, bo dopiero w roku 1624, włączył się do niej Galileusz, pisząc Lettera a Francesco Ingoli („List do Francesca Ingolego”).

Ingoli wkrótce po napisaniu swej pierwszej rozprawki i ogłoszeniu dekretu Kongregacji Indeksu w sprawie Kopernika został mianowany konsultorem tej kongregacji. Mogło to wynikać stąd, że jego patronowi, kardynałowi Caetaniemu, powierzono zadanie przygotowania poprawek do dzieła Kopernika, niewątpliwie jednak nominacja taka była ważnym dowodem zaufania wobec Ingolego. On też miał ostatecznie zająć się poprawkami do Kopernika. Był więc w tych latach jedną z bardziej widocznych postaci po stronie kościelnej, osobą, która prywatnie wygłaszała poglądy zgodne z decyzjami Kościoła hierarchicznego. We wszystkich tych wypadkach astronomowie jezuiccy milczeli, zachowując posłuszeństwo, zaiste perinde ac cadaver – „na podobieństwo trupa” – i nawet pytani o zdanie, nie próbowali wpłynąć na stanowisko Kościoła.

Gdyby nie szczególne usytuowanie jej autora, rozprawka Ingolego nie byłaby może ciekawa, zawiera bowiem jedynie to, czego można by się spodziewać po inteligentnym dyletancie: znane z literatury naukowej argumenty antykopernikańskie oraz pewną liczbę nieporozumień. Dziełko rozważa trzy rodzaje argumentów: matematyczne, fizyczne i teologiczne. Już pierwszy argument obniża oczekiwania czytelnika co do reszty: „Gdyby Słońce było w środku świata, to miałoby większą paralaksę niż Księżyc, ale ponieważ następnik jest fałszywy, więc fałszywy musi być i poprzednik”. Ingoli nie rozumiał, że wielkość paralaksy wiąże się jedynie z odległością ciała od Ziemi i błąd ten, jak się zdaje, bez skutku starali się mu wyperswadować dwaj najwybitniejsi żyjący uczeni. Bardziej interesujące były argumenty teologiczne. Z Księgi Rodzaju dowiadujemy się, że Stwórca stworzył na firmamencie ciała niebieskie. A „firmament” i jego hebrajski odpowiednik znaczą tyle co rozciągłość czy przestwór, a więc obwód, a nie środek. Zatem największe ciało niebieskie – Słońce – nie może być w środku świata. Innym argumentem niech będzie fakt, że piekło – miejsce przebywania demonów i potępionych – musi być jak najdalej od nieba, a więc w środku Ziemi. Stąd mamy zstępowanie do piekła i wstępowanie do nieba. Tyle na temat położeń Słońca i Ziemi. Jeśli chodzi o ruch, wystarczy przytoczyć cud Jozuego (a jakże! – widzimy, dlaczego możliwe wyjaśnienie tego właśnie cudu podał Galileusz), a ponadto w hymnie kościelnym Telluris ingens Conditor mamy słowa: „Ziemię stworzyłeś nieruchomą”.^iv Warto zauważyć, że dwa z czterech argumentów odnosiły się nie do Pisma, lecz do wiary wywodzącej się z tradycji: usytuowanie piekła oraz hymn kościelny. Jakkolwiek osobliwie by wyglądały takie argumenty z folkloru, Ingoli i jego mocodawcy nie żartowali. Zapewne chodziło o podkreślenie różnicy między Kościołem rzymskim a zrywającymi z tradycją „heretykami” (którzy odwdzięczali się „papistom” zarzutami o kultywowanie zabobonów). Z przytoczenia cudu Jozuego można chyba wywnioskować, że o. Caccini nie strzelał na ślepo podczas swego kazania i miał w Rzymie poparcie. Ingoli udzielił też z góry odpowiedzi na argument, iż cud Jozuego mógłby być opisany w Piśmie językiem dostosowanym do ludzkiego pojmowania: wszyscy Ojcowie Kościoła objaśniają ten ustęp w taki sposób, że Ziemia jest nieruchoma, a Słońce się porusza. Sobór trydencki postanowił, iż nie wolno odchodzić od interpretacji Ojców; wprawdzie dotyczyło to kwestii wiary i moralności, ale nie da się zaprzeczyć, że zmiana interpretacji nie spodobałaby się Ojcom Kościoła. W ostatecznym rozrachunku o tym, co jest zgodne z tradycją, decydował Rzym, a co znajduje posłuch w Rzymie, Ingoli wiedział bardzo dobrze. Powołanie się na Ojców Kościoła wskazywało na katolicką proweniencję tej wykładni – dla protestantów pogląd Ojców Kościoła nie był wiążący.

Zauważmy też, że nie ma tu miejsca na subtelności: nie tylko interpretacja Pisma, ale cała wiedza ludzka nie może wykraczać poza to, co dostępne było intelektualnie Ojcom Kościoła w pierwszych wiekach nowej ery. Biblijny obraz świata miał być alfą i omegą wszelkiego poznania. Trudno o bardziej antynaukowe stanowisko.

Johannes Kepler nie słyszał o dekrecie Kongregacji Indeksu, dochodziły do niego tylko niejednoznaczne informacje. Nie wiedział też, kim jest Ingoli i jaką rolę odgrywa w Rzymie. Jako zdeklarowany zwolennik Kopernika gotów był jednak dyskutować na ten temat z każdym. Był astronomem katolickiego cesarza, ale przez całe ćwierćwiecze mógł swobodnie przyznawać się do kopernikańskich poglądów i nie spotkały go z tego tytułu żadne szykany, jeśli nie liczyć niechęci teologów luterańskich w Tybindze. W roku 1618 Kepler wydał trzy pierwsze księgi dzieła Epitome astronomiae copernicanae („Skrót astronomii kopernikańskiej”), które było streszczeniem jego dojrzałych poglądów na astronomię. W tych początkowych księgach omawiał podstawy astronomii: sferę niebieską, pory roku, wschody i zachody ciał niebieskich. Czynił to jednak od początku z punktu widzenia kopernikańskiego. Przedstawiał bliżej ruch dobowy Ziemi i jego fizyczne konsekwencje. Znalazł się też tam rysunek przedstawiający kopernikańskie wyjaśnienie pór roku na Ziemi. Najważniejsze osiągnięcia naukowe Keplera zawarte były w dalszych księgach Epitome, przygotowywanych wówczas do druku, ale również ta część wstępna miała zdecydowanie kopernikański charakter.

Polemizując z Ingolim, Kepler odpowiadał na zarzuty, które nieraz już słyszał, choćby od samego Tychona Brahego, swego poprzednika na stanowisku cesarskiego astronoma. Dlatego też w wielu sprawach odsyłał Ingolego do tekstu Epitome. Na płaszczyźnie czysto naukowej nie było mowy o ich równorzędnej dyskusji, która zresztą i tak nie mogła sprawy rozstrzygnąć. Kepler jako astronom starał się zrozumieć, jak funkcjonuje kosmos, wychodząc z obserwacji i doskonale rozumiejąc, czego trzeba, aby te obserwacje opisać. Ingoli, z wykształcenia doktor obojga praw, pozostawał na płaszczyźnie filozoficznej czy raczej popularnonaukowej i mógł swobodnie krytykować różne założenia i koncepcje, nic go to bowiem nie kosztowało: wszystko pozostawało abstrakcyjnym ćwiczeniem retorycznym w stylu dysput na średniowiecznych uniwersytetach. Przyznanie komuś racji zależało wyłącznie od uznania jego argumentów, co w ostatecznym rozrachunku sprowadzało się do wiary w takie lub inne założenia metafizyczne.

Kopernikanizm w naturalny sposób prowadził do ujednolicenia opisu różnych części wszechświata, dzięki czemu można było np. ziemską mechanikę zastosować do zjawisk kosmicznych. W Epitome Kepler następująco pisze o wirowaniu Ziemi wokół osi:

„Jeśli chłopcy mogą wprawić w obrót bączka w którąkolwiek stronę, tym bardziej równomiernym i ustalonym ruchem, im mocniejszy ruch mu nadadzą, tak że bączek, raz puszczony w ruch, mocą swego impetu wykonuje wiele obrotów, aż powstrzymany przez nierówności podłogi i opór powietrza, a także pokonany własnym ciężarem, stopniowo zwalniając, upada, to czemu Bóg nie mógłby Ziemi na początku nadać takiego ruchu, jakby z zewnątrz, że nawet dzisiaj, po wielu kolejnych obrotach, wiruje z takim samym wigorem, choć było ich już dwieście tysięcy, gdyż wirowaniu temu nie przeszkadzają wystające nierówności ani gęstość eteru, ani też jej waga, czyli wewnętrzna ciężkość; ile ma bowiem bezwładności ze swej materii, tym większą skłonność do przyjęcia impetu i kontynuowania obrotów”.^v Kepler, podobnie zresztą jak Galileusz, zwrócił uwagę, że Ziemia zachowuje stałą orientację osi obrotu w przestrzeni – i że odpowiada to sytuacji wirującego mechanicznego bąka. W odpowiedzi Ingoli pisze, że „nie można wiedzieć a priori, czy Bóg nadał Ziemi ruch, inaczej niż z Pisma Świętego albo dzięki objawieniu, ale żaden z tych sposobów nie prowadzi do wniosku, że Bóg nadał ruch Ziemi, gdyż z Pisma Świętego dowiadujemy się o nieruchomości Ziemi”.^vi W ten sposób po raz kolejny Pismo Święte staje się granicą możliwej do pomyślenia nauki.

Kepler nie musiał liczyć się z władzami rzymskimi, mógł więc, w przeciwieństwie do Galileusza, przedstawić swoją odpowiedź na teologiczną argumentację Ingolego. Na argument o największym oddaleniu zbawionych od potępionych zauważa z rozbawieniem, że „gdybyśmy szukali dla zbawionych i potępionych miejsc obdarzonych takimi własnościami geometrycznymi, to łatwo byśmy przyznali miejsce środkowe zbawionym, gdyż środek jest pod strażą Jowisza, natomiast potępieni zostaliby wyrzuceni ze świata w zewnętrzne ciemności, gdzie zgrzytają zębami”. Całkiem już na serio stwierdzał, że teologowie nie powinni mieszać się do astronomii, podobnie jak astronomowie nie powinni wkraczać na obszary wiary i obyczaju, zarezerwowane dla teologii. Co do dosłownego rozumienia Pisma stwierdzał: „Ilekroć w jego wyjaśnianiu odchodzimy od sensu naocznego, natychmiast pojawiają się wielkie różnice między interpretatorami (…). Gdy tylko można, należy zachować sens dosłowny. Piękna zasada. Powiedz zatem – pytam – jaki sędzia ustala, czy można go zachować? Czyż nie wspólne doświadczenie ludzkie? Należy więc wysłuchać także i mniej potocznego doświadczenia astronomów i tam, gdzie oni powiedzą, że nie jest możliwe, aby dane stwierdzenia były zgodne z sensem naocznym i zarazem prawdziwe oraz zgodne co do joty z astronomią, tam interpretator Pisma powinien przestać się troszczyć o sens astronomiczny”.^vii

Niemiecki astronom był nie tylko gorącym zwolennikiem kopernikanizmu, ale także miłośnikiem spokojnej, rzeczowej argumentacji. Uważał, że dyskusje naukowe należy pozostawić uczonym. Ingerencji duchownych i teologów obawiał się tym bardziej, że widział na każdym kroku, jak ostre formy przybiera konflikt wyznaniowy: właśnie w roku 1618 rozpoczęła się wojna religijna, znana w historii jako wojna trzydziestoletnia. Zdając sobie sprawę, że nauka Kopernika nie jest łatwa do przyjęcia dla ogółu, nie upierał się, by nauczać jej powszechnie. Tam jednak, gdzie prowadzi się dyskusję naukową, nie wolno w niej używać argumentów religijnych, jeśli sam temat nie łączy się z kwestiami wiary i moralności.

Nie należy lekceważyć trudności, jakich doświadczali zwolennicy tradycyjnej kosmologii w zetknięciu z kopernikanizmem. Jednak średniowieczna filozofia nominalistów czy św. Tomasza także nigdy nie zawędrowały pod strzechy. Od pasterzy Kościoła, powszechnego choćby tylko z nazwy, można było wymagać, by nie angażowali się z taką energią w sprawy budowy astronomicznego kosmosu. Argumenty Ingolego dotyczące piekła wskazują wszakże na pewną trudność: tradycyjna kosmologia Arystotelesa, schrystianizowana w średniowieczu, przydzielała konkretne miejsce niebu i piekłu. Najbardziej sugestywny opis takiego wszechświata pozostawił Dante Alighieri w Boskiej Komedii. Średniowieczny kosmos był nie tylko geocentryczny, ale także diablocentryczny – w środku Ziemi znajdował się bowiem sam Lucyfer. Topografią dantejskiego piekła zajmował się młody Galileusz w rozprawie odczytanej przed Akademią florencką. To, co dla niego było może tylko szczególnym ćwiczeniem poetycko-matematycznym, dla wielu innych stanowiło element wiary religijnej.

Z filozoficznego punktu widzenia nie ma potrzeby przypisywania jakiejś lokalizacji przestrzennej duszom zmarłych, piekłu i niebu, jednak wyobraźnia ludzka szuka przestrzennych ram pojęciowych. Cała kultura kontrreformacji, barok z jego przerysowanymi gestami i przeładowanymi dekoracjami, przepych ceremonii w Rzymie, naśladowanych we wszystkich diecezjach katolickiej Europy, odwoływały się do wyobraźni wizualnej. Epoka uwielbiała teatralne przedstawienia, które aktualizowały w czasie i przestrzeni rozmaite wydarzenia z historii świętej. Sztuka katolicka obrała zupełnie inną orientację niż sztuka w protestanckiej części Europy, gdzie zwyciężyli ikonoklaści. Cudowne sceny z historii świętej malowane i rzeźbione przez artystów katolickich usiłowały zamienić dynamikę cudu na migawkowe ujęcie: wstępowanie do nieba wyglądało niemal jak telewizyjny reportaż na żywo. Cała ta kultura wizualizacji świętości zagrożona była kopernikanizmem. I to zapewne rodziło głęboką i być może nie zawsze jasno uświadamianą niechęć rzymskich prałatów do naruszania kosmicznego status quo. Ów problem, by tak rzec, religijnej wyobraźni przestrzennej na dłuższą metę okazał się poważny. Wielu chrześcijan tu właśnie upatrywało źródło uwiądu religijnego, jaki dotknął cywilizację europejską kilku ostatnich stuleci.^viii

Odpowiadając Keplerowi, Ingoli informuje nas przy okazji o tym, jaki klimat intelektualny panował wówczas w Rzymie. Prace nad poprawkami do Kopernika były już na ukończeniu i Ingoli uznał, że powinien wystąpić jako obrońca właściwej wersji chrześcijaństwa oraz jedynie słusznej filozofii. Nie tylko on jeden tak sądził, do napisania tej rozprawki namawiał go Ludovico Ridolfi, główny szambelan (maestro di camera) papieża Pawła V i jednocześnie radca cesarski. „Po pierwsze, mówiłeś – pisze Ingoli – nie przystoi w żaden sposób, aby prawda o miejscu Ziemi w środku świata i jej nieruchomości pozostawała bez obrony, zwłaszcza dziś, gdy jest ona – i to stanowi drugi punkt – ponad wszelką wątpliwość katolicka. Dodawałeś ponadto, że wiem, jak miłe będzie to moje studium kardynałom Świętej Kongregacji Indeksu, gdyż lepiej niż ktokolwiek wiem, co sądzą oni o poglądach Keplera na ten temat. Gdy zauważyłem, że księgi Kopernika, o których zdawałem tam relację, ledwie uniknęły wiecznego potępienia, odrzekłeś, iż gdyby nie uznano ich użyteczności dla ogółu w kwestii skorygowania i poprawienia ruchów niebieskich i gdyby nie możliwość ich ocalenia na drodze hipotez tak, aby nie były sprzeczne z bożym Pismem, musiałyby zostać całkowicie wyeliminowane z Kościoła bożego”.

Dziełko Ingolego miało także pełnić funkcję propagandową, ukazując reszcie Europy, że cenzura rzymska nie działa bez określonych zasad i w sposób arbitralny, lecz po dojrzałym namyśle i starannym rozważeniu racji. Autor miał też nadzieję, że „za pomocą powtarzania owa prześladowana prawda lepiej się ujawni i będzie mogła wejść w umysły ludzkie, tak aby fałszywe dogmaty Kopernika, które dzięki staraniom amatorów nowinek od niewielu lat zaczynają zajmować dusze śmiertelników, stopniowo popadły w zapomnienie i powróciły w mroki swej osobliwej niepewności”.^ix Tak wielki zamysł tłumaczył nawet zuchwałość, na jaką porwał się Ingoli, polemizując ze sławnym Keplerem, do czego zresztą sam się z całą skromnością przyznaje.

Utrwalanie poglądu o nieruchomości Ziemi i odparcie kopernikanizmu, najwyraźniej zgodne z polityką Kościoła, nie było skutkiem administracyjnej pomyłki czy nierozważną decyzją. Nie chodziło też o żadne filozoficzne czy metodologiczne subtelności: zgodnie z Pismem Świętym Ziemia jest nieruchoma i tej prawdy postanowiono bronić wbrew wszelkim możliwym, lepszym czy gorszym, argumentom naukowym. Jak zobaczymy w dalszym ciągu, stanowisko to nie było także ograniczone czasowo do jakiegoś jednego pontyfikatu czy jednego składu Kongregacji Świętego Oficjum i Kongregacji Indeksu.

Francesco Ingoli, oprócz napisania odpowiedzi na tekst Keplera, zajął się bliżej jego nowym dziełem, Epitome astronomiae copernicane, o którym obaj wspominali w polemice. „Książka jest bardzo ciekawa i piękna” – stwierdzał teatyn w cenzurze przedstawionej Kongregacji Indeksu. Zawiera jednakowoż dwa mylne poglądy: kopernikanizm i twierdzenie, że Słońce jest ożywione, co jest błędem popełnionym już kiedyś przez Orygenesa. W rezultacie na posiedzeniu Kongregacji 28 lutego 1619 roku, odbytym w pałacu kardynała Bellarmina w obecności kardynała Barberiniego (przyszłego papieża) i pięciu innych kardynałów, postanowiono objąć Epitome astronomiae copernicanae całkowitym zakazem, bez żadnej możliwości poprawek.^x

Kepler nie wiedział, z kim polemizuje ani że przyspiesza w ten sposób objęcie zakazem własnej książki. W pierwszej połowie roku 1619 dobiegał końca druk innego jego wielkiego dzieła, Harmonices mundi libri V („Harmonia świata w pięciu księgach”). Według cesarskiego matematyka układ planetarny Kopernika należało z jednej strony objaśniać za pomocą fizyki ruchu, i temu służyły odkryte przez niego wcześniej prawa, dziś zwane pierwszym i drugim prawem Keplera. Z drugiej strony należało także wyjaśnić, czym kierował się Stwórca, konstruując taki a nie inny układ planetarny: czemu orbity były tej właśnie wielkości, dlaczego np. orbita Marsa ma znaczne spłaszczenie, a orbita Wenus bardzo niewielkie itp. Wyjaśnień tego drugiego rodzaju szukał Kepler w geometrii i pitagorejskiej idei harmonii dźwięków. Orbity planet miały być w zawiły sposób zharmonizowane ze sobą i cesarski matematyk wierzył, że odkrył tę harmonię. W tej pitagorejsko-platońskiej linii poszukiwań naukowych przyszłość nie przyznała Keplerowi racji, ale przy okazji tych badań udało mu się odkryć jeszcze jedno prawo dotyczące planet: sześcian wielkości orbity jest proporcjonalny do kwadratu okresu obiegu. To prawo, w Harmonii świata ukryte pośród wielu rozważań, dziś nazywane trzecim prawem Keplera, uczony odkrył w tym samym miesiącu, w którym napisał swoją odpowiedź Ingolemu. Stanowi ono także stanowi mocny argument na rzecz kopernikańskiego wszechświata, tym bardziej że dotyczy wszelkich ciał krążących wokół wspólnego centrum i słuszne jest np. dla satelitów Jowisza – „gwiazd medycejskich” odkrytych i badanych przez Galileusza.

Harmonia świata była ulubionym tematem Keplera i zależało mu na tym, aby poświęcona jej książka mogła być sprzedawana także w Italii, gdzie już wcześniej trudno było kupić jego publikacje. Teraz, kiedy wprowadzono zakaz głoszenia kopernikanizmu, Kepler (nieświadomy jeszcze postanowień w sprawie Epitome) postanowił napisać swego rodzaju zapowiedź wydawniczą Harmonii świata, skierowaną do księgarzy w Italii. „Napisałem tę pracę jako Niemiec i wedle obyczaju i wolności niemieckiej. Im większa jest owa wolność, tym większą rodzi wiarę w szczerość tych, którzy uprawiają nauki. Jestem chrześcijaninem i synem Kościoła i uznaję naukę katolicką nie tylko samym sercem, ale także i głową, w takim stopniu, w jakim w mym obecnym wieku mogłem ją pojąć; składam tego dowody w niejednym miejscu książki. Tak więc to, co się w niej znajduje, nie niesie z sobą żadnego niebezpieczeństwa, może wytrzymać przyjętą w waszym kraju cenzurę i nie trzeba lękać się tego, co zawiera. Jedynie w nauce o ruchu Ziemi pojawia się trudność, gdyż z powodu nierozwagi tych, którzy nauki astronomiczne wykładali nie w swoim miejscu i niewłaściwą metodą, czytanie Kopernika, od lat niespełna osiemdziesięciu dozwolone (odkąd dzieło zadedykowane było papieżowi Pawłowi III), zostało zakazane aż do czasu wprowadzenia poprawek”.

Kepler, który jak sam pisze, od dwudziestu sześciu lat jest zwolennikiem Kopernika, wierzy, że książka o harmonii musi przekonać także i tych, którzy dotąd wątpili w prawdziwość heliocentryzmu. Proponuje, by księgarze rozpowszechniali jego dzieło jedynie wśród uczonych: „Wy, księgarze, postąpicie zgodnie z prawem i porządkiem, jeśli egzemplarzy [książki] ze względu na wyrok nie wystawicie publicznie na sprzedaż. Wiedzcie bowiem, iż jesteście dla filozofii i dla dobrych autorów jak notariusze, którzy dostarczają sędziom pisma obrończe. Sprzedawajcie więc książkę tylko najwybitniejszym teologom, najświatlejszym filozofom, najdoświadczeńszym matematykom, najgłębszym metafizykom, do których ja jako adwokat Kopernika nie mogę dotrzeć. Niech oni się zastanowią, czy mają do czynienia jedynie z wykwitem wybujałej fantazji, czy też raczej z czymś, co wywodzi się z samej natury i może być potwierdzone ewidentnymi dowodami. Niech się zastanowią, czy ta potężna chwała dzieł bożych ukazana powinna być wszystkim, czy też raczej zamknięta, a jej sława prześladowana cenzurą. Cokolwiek się zdarzy, czy Kopernik został, czy też dopiero zostanie przez nich poprawiony, niech zobaczą, czy astronomia Kopernika zarysowana w moich komentarzach o ruchach Marsa, rozwinięta w drugiej części Epitome astronomiae, która się właśnie drukuje, czy także owa harmoniczna konstrukcja ruchów niebieskich, przedstawiona w tej książce, może w ogóle istnieć, jeśli wyeliminuje się ruch Ziemi i zastąpi go ruchem Słońca. I za którą z dwóch hipotez należy iść: Kopernika czy Brahego (…) (gdyż starożytna [hipoteza] Ptolemeusza z pewnością jest fałszywa). Cokolwiek zostanie ustalone po wszystkich potrzebnych z natury rzeczy dowodach, z całą pewnością uznane zostanie za obowiązujące i święte przez wszystkich katolickich matematyków”.^xi

Ukazujące się właśnie dzieła Keplera rzeczywiście były jednym wielkim argumentem za kopernikanizmem. W dalszym ciągu cytowanego tekstu do księgarzy, wśród szczegółów piątej księgi Harmonii świata, znajduje się jako punkt dziewiąty dokładne sformułowanie III prawa Keplera. Oczywiście współcześni nie od razu się zorientowali, z jakim bogactwem mają do czynienia. Nie rozumiał tego nawet Galileusz, a więc – zdawałoby się – sojusznik w kopernikańskiej sprawie. Jednak odkrycia zostały już dokonane, ich dalsze zrozumienie było wyłącznie kwestią czasu.

O ile jednak Kepler mógł być spokojny swych racji w długiej perspektywie, o tyle wiadomość, że zakazano Epitome, przyjął ze wzburzeniem. Dowiedział się o tym latem 1619 roku, gdy jeden z jego korespondentów, medyk cesarski Johannes Remus Quietanus, doniósł, że z powodu zakazu Galileusz nie może zdobyć egzemplarza Epitome. Wiadomość wyglądała groźnie, Kepler zaczął się obawiać o losy swoich książek zarówno już wydrukowanych, jak i tych, które zamierzał wydać. Jeśli cenzura obejmie Austrię, nie znajdzie drukarza, a wydrukowane egzemplarze przepadną. Przez dwadzieścia sześć lat mógł spokojnie rozwijać badania, opierając się na teorii Kopernika, a teraz być może przyjdzie mu porzucić astronomię albo opuścić cesarstwo. Na szczęście dekrety rzymskie miały niewielką siłę sprawczą poza Italią i Kepler mógł dokończyć swoje prace. Nie jest jasne, czy zakazana została całość Epitome, ponieważ dalsze księgi wyszły na świat już po ogłoszeniu dekretu Kongregacji Indeksu. Chyba później stracono zapał do przyglądaniu się dorobkowi Keplera, żadna inna jego książka nie trafiła na indeks.

i Tommaso Campanella,Apologia pro Galileo,s. 9.

ii R. Hooykaas, Religia i powstanie nowożytnej nauki, przeł. S. Ławicki, Instytut Wydawniczy PAX, Warszawa 1975, s. 143 i n.

iii Johannes Kepler, Astronomia nova, Gesammelte Werke, t. III, s. 30, 33.

iv Francesco Ingoli, De situ et quiete Terrae contra Copernici systema disputatio, OG V, s. 411.

v Johannes Kepler, Epitome astronomiae copernicanae, Lib. I, Pars 5, w: Joannis Kepleri astronomi Opera omnia, t. 6, Francofurti et Erlangae 1866, s. 176.

vi Francesco Ingoli, Replicationes ad Kepleri impugnationes, w: M. Bucciantini, Contro Galileo: alle origini dell’affaire, Leo S. Olschki, Firenze 1995, s. 201.

vii Johannes Kepler, Responsio ad Ingoli disputationem de systemate, Gesammelte Werke, t. 20.1, s. 176, 179.

viii Por. Cz. Miłosz, Metafizyczna pauza, Wydawnictwo Znak, Kraków 1989, s. 61.

ix Francesco Ingoli, Replicationes ad Kepleri impugnationes, w: M. Bucciantini, Contro Galileo, s. 178.

x P.N. Mayaud, La condamnation des livres coperniciens, s. 59, 65-66.

xi Johannes Kepler, Admonito ad bibliopolas exteros, praesertim italos de Opere Harmonico, Opera omnia, t. V, Francofurti et Erlangae 1864, s. 8-9.

Johannes Kepler: Jak w wolnych chwilach odkryć tajemnicę kosmosu? (1595)

W lipcu 1595 roku Johannes Kepler był dwudziestotrzyletnim nauczycielem w luterańskiej szkole w Grazu w Styrii. Przysłano go tam z Tybingi, gdzie się uczył i miał nadzieję zostać teologiem. Był jednak biedny i korzystał z książęcego stypendium, musiał więc pojechać do Grazu, kiedy tylko zwierzchnicy tak postanowili. Nawiasem mówiąc, Wirtembergia z czasów Keplera miała znakomity system edukacyjny, w którym biedny, lecz uzdolniony młodzieniec mógł przejść przez szkoły wszystkich stopni, nie płacąc ani za naukę, ani za utrzymanie w bursie. A był to przecież XVI wiek! Rządzący kierowali się głównie względami religijnymi: potrzeba było jak najwięcej wykształconych teologów luterańskich, ale uczono porządnie, choć raczej w duchu konserwatywnym.
Kepler podczas studiów zainteresował się astronomią, i to heliocentryczną – jego nauczyciel Michael Mästlin był bowiem jednym z niewielu zwolenników Kopernika. Pół wieku po ukazaniu się dzieła toruńskiego astronoma, zwolenników jego nauk można było policzyć na palcach jednej ręki. Nie było mowy o żadnym przewrocie kopernikańskim, ponieważ prawie nikt nie wierzył, iż Ziemia naprawdę się porusza, a przedstawiony przez Kopernika system to coś więcej niż ćwiczenie z zakresu matematyki stosowanej, bez konsekwencji kosmologicznych.
Kepler w Grazu wciąż chciał myśleć, że po kilku latach wróci do Tybingi i dokończy studia teologiczne. Stało się inaczej, pochłonęła go astronomia (i astrologia), a i władze w Tybindze niezbyt chyba chciały mieć Keplera z powrotem. Był prawdziwie pobożny, ale jak często się to zdarza takim ludziom, nie był ostrożny w wypowiadaniu poglądów i mówił to, w co wierzył. A zwierzchnikom chodziło raczej o ujednoliconą doktrynę, nie o prywatne przemyślenia. Posłuszeństwo ceniono wyżej niż błyskotliwość i gorący zapał.
Uczył w Grazu przedmiotów matematycznych, co obejmowało astrologię. Młody nauczyciel lubił opowiadać nie tylko, co myśli, ale także jak do tego doszedł. Dzięki temu wiemy, że zajął się latem 1595 roku astronomią kopernikańską: „Kiedy pragnąłem dobrze i zgodnie z kierunkiem pracy spędzić czas wolny od zajęć” [ten i poniższe cytaty za: J. Kepler, Tajemnica kosmosu, przeł. M. Skrzypczak i E. Zakrzewska-Gębka, Ossolineum 1972, nieznacznie zmienione].
W astronomii Kopernika proporcje orbit planetarnych wyznaczone są przez obserwacje. Jeśli nawet system heliocentryczny był nieco prostszy, to nasuwało się pytanie: czemu sfery planet są takiej a nie innej wielkości? Jeśli była to rzeczywista architektura kosmosu, to czym kierował się boski Architekt?

A były głównie trzy problemy, których przyczyn, dlaczego jest tak a nie inaczej szukałem, a mianowicie liczba, wielkość i ruch sfer. Odwagi dodała mi owa idealna zgodność pozostających w bezruchu Słońca, gwiazd stałych i przestrzeni pośredniej, z Bogiem-Ojcem, Synem i Duchem Świętym. (…) Początkowo rozważałem zagadnienie w zależności od liczb i zastanawiałem się, czy jedna sfera może być dwa, trzy, cztery razy większa od drugiej w teorii Kopernika. Wiele czasu poświęciłem tej pracy jakby zabawie, ponieważ nie ukazywała się żadna zgodność ani samych proporcji, ani jej przyrostu. Nie osiągnąłem z tego żadnych korzyści; wbiłem sobie jednak głęboko w pamięć odległości, tak jak zostały podane przez Kopernika. (…) Wydaje się, jakoby ruch zawsze podążał za odległością i że gdzie istniał wielki przeskok między sferami, to podobny przeskok występował także między ich ruchami.

Warto zauważyć, że już wtedy Kepler usiłował dociekać, jaka jest zależność między okresem obrotu a wielkością sfery (czyli orbity) planety – w roku 1618 odkrył ścisłe prawo rządzące tą zależnością, zwane dziś III prawem Keplera. Był to więc jeden z problemów, nad którymi rozmyślał całe życie. Młody nauczyciel był pomysłowy: próbował np. umieścić między Marsem a Jowiszem nową planetę, a inną między Wenus i Merkurym, sprawdzając, czy wtedy proporcje jakoś orbit dadzą się lepiej zrozumieć. Teoretycznie było możliwe, że krążą tam gdzieś jakieś niewielkie i nie wykryte planety. Między Marsem a Jowiszem rzeczywiście krąży wiele takich ciał, znanych jako planetoidy. Badał też inne pomysły. Wszystko na próżno.

Prawie całe lato straciłem na tych męczarniach. W końcu przy jakiejś drobnej okazji przybliżyłem się do sedna sprawy. Uznałem, że z bożej łaski udało mi się znaleźć przypadkowo to, czego wcześniej nie mogłem osiągnąć pracą. Uwierzyłem w to tym bardziej, że zawsze prosiłem Boga, aby pozwolił ziścić się moim zamiarom, jeśli Kopernik miał słuszność. W dniu 19 lipca 1595 r., zamierzając pokazać moim słuchaczom skok wielkich koniunkcji przez osiem znaków (…) wpisałem w jedno koło wiele trójkątów, albo quasi-trójkątów, tak aby koniec jednego był początkiem drugiego.

 

Rysunek przedstawia koniunkcje Jowisza i Saturna na tle znaków zodiaku – jest więc całkowicie abstrakcyjny. Koniunkcje te powtarzają się w odległości około jednej trzeciej zodiaku, jeśli połączyć te punkty liniami, uzyskuje się rysunek Keplera. Sądzono, że te koniunkcje mają ważne znaczenie astrologiczne, stąd taki temat lekcji. Kepler dostrzegł jednak w tym rysunku coś innego:

Teraz mamy trójkąt wpisany między dwa okręgi. Mogłyby to być sfery Saturna i Jowisza – dwóch planet najdalszych od Słońca. Może więc kwadrat należy wpisać między sferę Jowisza i Marsa itd. Pojawia się jednak kłopot: mamy tylko sześć planet (znanych ówcześnie), a wieloboków foremnych jest nieskończenie wiele. Konstrukcja powinna wyjaśniać, czemu jest akurat sześć planet, a nie np. 120. Wtedy przypomniał sobie Kepler XIII księgę Elementów Euklidesa. Grecki matematyk dowodzi tam, że istnieje dokładnie pięć wielościanów foremnych, czyli takich, że wszystkie ich ściany są jednakowymi wielobokami foremnymi.

Rysunek: Wikipedia, Максим Пе

W Platońskim Timajosie wielościany te powiązane są z pięcioma elementami, z których zbudowany jest kosmos: sześcian z ziemią, dwudziestościan z wodą, ośmiościan z powietrzem, czworościan z ogniem, a dwunastościan z eterem wypełniającym wszechświat. Była to wówczas śmiała spekulacja oparta na najnowszej matematyce Teajteta, jednego z uczniów Platona. Teraz Kepler znalazł dla tych wielościanów nowe zastosowanie. Należało między sześć sfer planetarnych wpisać owe pięć brył platońskich.

Jest to konstrukcja zawrotna: pewien głęboki fakt matematyczny został powiązany z układem planetarnym – dla Keplera nasz układ był jedyny we wszechświecie, a Stwórca myślał językiem geometrii. Pozostawało tylko zająć się szczegółami: kolejnością brył, kwestią, jak cienkie powinny być sfery planetarne, czy ich środek liczyć od środka orbity Ziemi, czy od Słońca. Rozwiązana została tajemnica kopernikańskiego kosmosu. I taki właśnie tytuł: Tajemnica kosmosu, nosiło dziełko opublikowane przez Keplera w następnym roku. Zwracał się w nim do czytelnika: „Nie znajdziesz nowych i nieznanych planet, jak te, o których mówiłem nieco wyżej – nie zdobyłem się na taką zuchwałość. Znajdziesz te stare (…) tak jednak utwierdzone, że mógłbyś odpowiedzieć rolnikowi pytającemu, na jakich hakach zawieszone jest niebo, że nie osuwa się”.

Nasz Układ Słoneczny okazał się raczej dziełem dość chaotycznych procesów niż wytworem Platońskiego demiurga. Proporcje orbit nie wynikają z żadnej ścisłej matematyki, Kepler się mylił. Był to szczęśliwy błąd – uskrzydlony odkryciem, pogodził się z tym, że nie zostanie teologiem i zajął się astronomią, co z pewnością wyszło na dobre nauce. Do końca życia wierzył, że wielościany mają coś wspólnego z uporządkowaniem sfer planetarnych, umysłowi zawsze trudno się rozstać z ulubionymi chimerami. W następstwie hipotezy wielościanowej Kepler zajął się szczegółami ruchów planet – to na tej drodze czekały go wielkie odkrycia.

Wielościany foremne związane są ze skończonymi podgrupami grupy obrotów w przestrzeni trójwymiarowej. Można o nich poczytać w książce M. Zakrzewskiego, Algebra z geometrią, Oficyna Wydawnicza GiS 2015. Bardziej popularne są piękne i znakomicie ilustrowane odczyty Hermanna Weyla, wielkiego matematyka i kolegi Einsteina z Zurychu i Princeton, pt. Symetria, PWN 1960, wznowione przez wydawnictwo Prószyński i S-ka w 1997 r.

Joseph Louis Lagrange i „wektor Laplace’a-Rungego-Lenza” (1781)

Pisałem kiedyś o zasadzie Arnolda: „Jeśli jakieś pojęcie nazwano czyimś imieniem, to nie jest to imię odkrywcy”. Przykładem może tu być tzw. wektor Rungego-Lenza, niemal odkryty przez Jakoba Hermanna, a na pewno odkryty przez Josepha Lagrange’a.

Joseph Louis Lagrange jest mało znany poza kręgiem profesjonalnych matematyków i fizyków. Wiele jego dokonań weszło do języka nauki i stała się dobrem powszechnym, funkcjonującym często bezimiennie. Urodzony w Turynie jako Giuseppe Luigi Lagrangia, poddany królestwa Sardynii, syn urzędnika królewskiego francuskiego pochodzenia, odkrył w sobie talent matematyczny jako nastolatek-samouk. Ojciec stracił fortunę w ryzykownych spekulacjach i syn potrzebował płatnego zajęcia. Pod koniec życia uczony twierdził, że gdyby nie potrzeba zarabiania, pewne nie zostałby matematykiem. Zapewne przesadzał. Talent tej wielkości nie daje chyba możliwości wyboru. W każdym razie młody Lagrange zadziwił Leonharda Eulera, z którym zaczął korespondować na temat rachunku wariacyjnego. W wieku dziewiętnastu lat został też mianowany sostituto – „zastępcą” profesora matematyki w szkole artyleryjskiej w Turynie. Uczył tam młodzieńców starszych od siebie, artyleria była uczonym rodzajem wojsk – to ze szkoły artylerii Napoleon Bonaparte wyniósł swój szacunek do przedmiotów ścisłych. Niezbyt przedsiębiorczy i cichy Lagrange spędził w Turynie wiele lat. Dopiero w wieku trzydziestu lat dzięki protekcji Jeana d’Alemberta został powołany do Akademii Nauk w Berlinie w miejsce Eulera, który wolał carową Katarzynę II od Fryderyka II pruskiego. Piemontczyk spędził w Prusach dwie dekady, narzekając na chłody i pisząc wciąż nowe ważne prace. W Berlinie powstało jego największe dzieło Méchanique analitique (sic!), opublikowane w dwóch tomach już w Paryżu, gdzie spędził resztę życia. Tam podczas Rewolucji zajmował się wprowadzeniem metrycznego systemu miar oraz nowego kalendarza i nowego podziału doby. Metr zdefiniowano wtedy jako jedną czterdziestomilionową część południka paryskiego, lecz babiloński, sześćdziesiątkowy podział godzin i minut okazał się zbyt głęboko zakorzeniony i tutaj zmiany się nie przyjęły. Został też Lagrange pierwszym profesorem analizy w École polytechnique, elitarnej i bardzo nowoczesnej na swe czasy szkole wyższej, modelu dla licznych politechnik na całym świecie.

Książka Lagrange’a była, niemal równo sto lat po Zasadach matematycznych Isaaca Newtona, podsumowaniem dorobku Newtonowskiej mechaniki za pomocą metod analitycznych spod znaku Leibniza, Bernoullich i Eulera.

W książce tej nie znajdzie Czytelnik żadnych rysunków. Metody, jakie w niej wykładam, nie wymagają żadnych konstrukcji ani rozumowań geometrycznych bądź mechanicznych, lecz jedynie operacji algebraicznych poddanych regularnym i jednolitym procedurom. Ci, co kochają Analizę, z przyjemnością zobaczą, jak mechanika staje się jej kolejną gałęzią i będą mi wdzięczni za takie poszerzenie jej domeny.

Newton byłby zapewne wstrząśnięty lekturą dzieła Lagrange’a. Zwyciężyła w nim algebra, metody formalnego przekształcania równań. Algorytmy zwyciężyły z wyobraźnią, ponieważ do ich stosowania wystarczy trzymać się prostych reguł. W ten sposób druga zasada dynamiki stała się układem trzech (lub więcej, zależnie od problemu) równań różniczkowych. Zagadnienie trzech przyciągających się ciał – jeden z wielkich problemów epoki, wymaga dwunastu całkowań. Lagrange pokazał w jednej ze swych prac, jak z dwunastu potrzebnych całkowań, zostaje do wykonania tylko siedem. Osiągnięcia tego rodzaju musiały być elitarne, choć miały też szersze znaczenie. Wielkim problemem epoki ponewtonowskiej była stabilność Układu Słonecznego. Newton przypuszczał, że wzajemne przyciąganie planet doprowadzi z czasem do rozregulowania się kosmicznego zegara, co zresztą może leżeć w boskim planie stwórczym: jako gorliwy czytelnik i komentator Apokalipsy św. Jana traktował znaną nam postać świata jako przejściową, próbował nawet oszacować, kiedy nastąpi ponowne przyjście Chrystusa. Lagrange, a po nim Pierre Simon Laplace (obaj raczej indyferentni religijnie) podjęli zagadnienie stabilności Układu Słonecznego. Wyglądało na to, że system planetarny zmienia się jedynie okresowo i nie ma w nim jednokierunkowych zmian parametrów orbit takich, jak ich rozmiar czy mimośród – a zatem grawitacja nie musi prowadzić do katastrofy kosmicznej. Zagadnienie to okazało się zresztą bardziej skomplikowane, niż sądzili Lagrange i Laplace. Pokazał to pod koniec wieku XIX Henri Poincaré. W wieku XX zrozumiano, że w układach takich jak planetarne powszechnie występują zjawiska chaotyczne. Chaos nie jest jednak nieuchronny, niezbyt wielkie zaburzenia nie naruszają bowiem regularnego charakteru ruchu. Wielkim osiągnięciem dwudziestowiecznej mechaniki analitycznej jest teoria KAM, zwana tak od nazwisk jej twórców: Andrieja Kołmogorowa, Vladimira Arnolda (to jego nazwisko pojawia się w zasadzie Arnolda – sformułowanej oczywiście nie przez niego, lecz przez Michaela Berry’ego) i Jürgena Mosera.

Pokażemy, jak Lagrange wprowadził trzy stałe ruchu Keplerowskiego, które dziś nazywa się powszechnie wektorem (Laplace’a)-Rungego-Lenza. Było to w roku 1779, a dwa lata później zostało opublikowane w pracach Akademii Berlińskiej (w Oeuvres de Lagrange, t. 5, s. 127-133). Algebraiczne podejście Lagrange’a łatwo daje się uogólnić na przestrzeń n-wymiarową , dlatego tak je pokażemy, uwspółcześniając nieco zapis. Siła grawitacji jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości od centrum, działa wzdłuż promienia wodzącego planety (wektor o współrzędnych jest wektorem jednostkowym o kierunku promienia wodzącego). Przyspieszenie planety zapisane jako składowe kartezjańskie spełnia równania

gdzie kropki oznaczają pochodne po czasie , jest iloczynem masy Słońca i stałej grawitacyjnej, a Po powtarzających się wskaźnikach sumujemy – jest to konwencja sumacyjna Einsteina, którą uczony żartobliwie nazywał swoim największym odkryciem matematycznym (nigdy nie uważał się za matematyka, lecz za fizyka, któremu przyszło stosować nowe techniki matematyczne i który przychodził do matematyki z innej strony). Za czasów Lagrange’a i jeszcze długo później pisano po trzy równania dla współrzędnych , co wydłużało (niepotrzebnie z naszego dzisiejszego punktu widzenia) prace. Sam zapis równań jako trzech składowych kartezjańskich nie był czymś oczywistym za życia Newtona, a więc nawet na początku XVIII wieku. Jakob Hermann uważał, iż wymaga to uzasadnienia.

Szukamy wyrażeń, kombinacji współrzędnych i prędkości, które pozostają stałe podczas ruchu (są to tzw. całki pierwsze). Znanym wyrażeniem tego rodzaju jest energia będąca sumą energii kinetycznej i potencjalnej:

Lagrange podał jeszcze inne całki ruchu Keplerowskiego (w istocie wystarczy, aby siła działająca ze strony centrum skierowana była radialnie, konkretna jej postać jest nieistotna):

Mamy tych całek tyle, ile możliwości wyboru dwóch różnych wskaźników spośród n, czyli . Naprawdę jest to Keplerowskie prawo pól w przebraniu, a właściwie prawo pól plus stwierdzenie, że ruch zachodzi w płaszczyźnie (to ostatnie bywa nazywane zerowym prawem Keplera, co jest o tyle słuszne historycznie, że od niego Johannes Kepler zaczął swoje badania – przyjął je jako założenie. Kopernik nie wiedział, że tory planet są płaskie!). Zawsze możemy wybrać współrzędne tak, żeby co najwyżej dwie były różne od zera podczas ruchu, np. . W przypadku 3D trzy całki zachowują się jak wektor, jest to wektor momentu pędu.

Trzecia grupa całek, odkryta przez Lagrange’a i właściwa tylko siłom grawitacji, daje się zapisać w postaci

Wartości są stałe. Jest to wektor zwany powszechnie w literaturze wektorem Rungego-Lenza. Lepiej poinformowani piszą o wektorze Laplace’a-Rungego-Lenza. W istocie jest to wektor Lagrange’a, którego szczególny przypadek podał Jakob Hermann, o czym Lagrange zapewne nie wiedział. Nie interesował go zresztą fakt, że jest to wektor, ważne dla niego były trzy całki ruchu. Laplace zaczerpnął te całki z pracy Lagrange’a i spopularyzował je, umieszczając w słynnym traktacie o mechanice niebios: Traité de mécanique céleste. Laplace, który uczył się pracy naukowej, czytając Lagrange’a, nie zawsze był lojalny wobec starszego kolegi. Ten zaś był chyba zbyt dumny, aby stale jak kupiec podkreślać swoje zasługi, co czyniła większość uczonych, konkurujących między sobą o niewielką pulę płatnych posad. Całki Lagrange’a z dzieł Laplace’a czerpali później inni bądź też sami odkrywali je niezależnie, jak William Rowan Hamilton. Runge i Lenz trafili do historii przypadkiem, z lenistwa późniejszych autorów, zbyt zajętych bieżącą pracą, aby włożyć wysiłek w przypisy.

Zobaczmy jeszcze, jak z wektora Lagrange’a wynika kształt toru planety. Mnożąc obie strony ostatniego równania przez i sumując po powtarzającym się wskaźniku , otrzymujemy

gdzie .Jest to równanie stożkowej o mimośrodzie .

Trzeba podkreślić, że dla Lagrange’a nie było to jakieś szczególne osiągnięcie, lecz jedynie punkt wyjścia do pracy nad bardziej skomplikowanym zagadnieniem, gdy do problemu Keplera dodamy jeszcze siłę zaburzającą, jak w rzeczywistym problemie ruchu planet przyciąganych nie tylko przez Słońce, ale także przez inne planety.

Pokażemy jeszcze powyższe wyniki w zapisie wektorowym. Mamy wówczas

Moment pędu równa się

a wektor Lagrange’a:

Mnożąc obie strony skalarnie przez , otrzymamy

Uwaga techniczna. Łatwo sprawdzić, że podane wielkości są całkami pierwszymi, trudniej było je oczywiście odgadnąć. Kluczem jest tutaj obliczenie pochodnej po czasie z wektora jednostkowego, co Lagrange robi pozornie bez powodu, to znaczy powód wyjaśnia się po chwili. Mamy bowiem

Korzystamy z faktu, że (jest to zróżniczkowane tw. Pitagorasa: ). Postać wektorowa jest przejrzysta, lecz ograniczona do .

 

 

Problem Keplera: Planety poruszają się po okręgach

Jednym z najważnieszych wątków w historii nauk ścisłych było badanie ruchów planet. Starożytni i Kopernik starali się je przedstawić jako złożenie jednostajnych lub prawie ruchów po okręgach. Doskonała machina kosmosu powinna być swego rodzaju majstersztykiem, czyli działającym dowodem umiejętności Majstra, który ją stworzył. Johannes Kepler włączył do tych rozważań nową, barokową wizję świata i estetykę. W sfery niebieskie wpisane zostały elipsy, a kosmos stał się dynamiczny, dopuszczalne było teraz przyspieszanie i zwalnianie ruchu, geometria pożeniona została z fizyką. Dopiero jednak Isaac Newton podał matematyczne wyjaśnienie fizyki ruchu planet: działa na nie ze strony Słońca siła grawitacji odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości. Wyjaśnił w ten sposób odkryte przez Keplera prawidłowości za pomocą siły, która w tajemniczy sposób oddziaływała poprzez próżnię. Można powiedzieć, że dalszy rozwój fizyki to dzieje przyzwyczajania się do prawa ciążenia Newtona. Okazało się one niezwykle precyzyjne i płodne, dopiero w 1915 r. Albert Einstein zaproponował lepszą, to znaczy bliższą obserwacjom teorię grawitacji.

Także spora część matematyki po Newtonie dotyczyła mechaniki niebios, czyli rozmaitych ruchów pod wpływem siły ciążenia. Problemem Keplera nazywają matematycy zagadnienie ruchu wokół nieruchomego centrum pod działaniem siły odwrotnie proporcjonalnej do kwadratu odległości. Jest to zerowe przybliżenie dla Układu Słonecznego: gdy pominiemy siły grawitacji pomiędzy planetami i innymi małymi ciałami tego Układu. Przyspieszenie planety jest równe

gdzie jest zależnym od czasu położeniem i pominęliśmy nieistotne dla matematyka stałe. Oczywiście rozwiązania tego równania są doskonale znane. Jak się jednak okazuje, wciąż można coś nowego na ich temat powiedzieć. Korzystamy tu z pracy Jespera Göranssona z roku 2015, na którą zwrócił uwagę John Baez. Rzecz jest tym bardziej interesująca przez to, że Göransson nie jest chyba akademickim uczonym, lecz amatorem w ściśle etymologicznym znaczeniu słowa, czyli miłośnikiem (nie mylić z amatorszczyzną, którą można spotkać bez trudu i na uczelniach).

Rozwiązaniami problemu Keplera są ruchy po elipsach, parabolach bądź hiperbolach – zależnie od znaku całkowitej energii ( jest prędkością cząstki):

Zajmiemy się poniżej przypadkiem eliptycznym, gdy energia jest ujemna. Zamiast opisywać zależność położenia od czasu wprowadzimy nową zmienną , która spełnia równanie

Wszystkie orbity elipityczne mają u nas okres , zarówno gdy używamy czasu , jak i przy użyciu „czasu” . Gdy planeta jest bliżej centrum biegnie szybciej. Możemy ruch planety opisać podając czterowymiarowy wektor . Oznaczmy prędkości mierzone wzgledem nowego czasu primami. Równanie energii przybiera postać

Koniec wektora czterowymiarowej prędkości leży na sferze o środku . Narysowaliśmy sferę , pomijając zmienną . Okazuje się, że możliwe ruchy naszego punktu są kołami wielkimi w , tzn. kołami o promieniu 1. Koła wielkie są najkrótszymi drogami łączącymi punkty na sferze, z tego powodu wybierają je samoloty na długich trasach – dlatego np. lecąc z Londynu do Seattle, przelatujemy nad Grenlandią. Kiedy się spojrzy na globus, widać, że to ma sens. A więc wszystkie ruchy w problemie Keplera odpowiadają kołom wielkim w przestrzeni prędkości i odbywają się ze stałą jednostkową prędkością. Inaczej mówiąc, „czas” jest kątem mierzonym ze środka sfery. Narysowaliśmy jedno z takich kół wielkich, nachylone pod kątem do równika. Gdy kąt , planeta zakreśli okrąg w płaszczyźnie . Gdy kąt , planeta będzie się poruszać wzdłuż osi , to także jeden z możliwych ruchów: spadanie wprost na centrum. Mówiliśmy o obrotach w płaszczyźnie . W czterowymiarowej przestrzeni mamy sześć możliwych płaszczyzn i dowolny obrót czterowymiarowy przeprowadza koło wielkie w jakieś inne koło wielkie. Ruchy planety mają więc symetrię czterowymiarowej grupy obrotów . Możemy więc powiedzieć, że planeta zawsze porusza się jednostajnie po okręgu na sferze , a elipsy, które obserwujemy, wynikają z rzutowania czterowymiarowej czasoprzestrzeni na przestrzeń trójwymiarową. Wektor prędkości zakreśla elipsę wynikającą wprost z rzutowania.

Łatwo pokazać, że położenia planety leżą na elipsie o mimośrodzie związanym z kątem związkiem

Ta elipsa jest przesunięta o tak, że początek układu (centrum siły, Słońce) jest w jej ognisku.

„Nowy czas” jest w istocie znaną od czasów Keplera anomalią mimośrodową.

Jest to szczególna konstrukcja: gdy planeta zakreśla elipsę, to punkt , jej swoisty cień, zakreśla okrąg jednostkowy. Kąt związany jest z fizycznym czasem równaniem Keplera:

Odległość planety od Słońca dana jest prostym równaniem oscylacyjnym:

Fakt ten odkrył kiedyś Kepler podczas swej „wojny z Marsem”. Göransson pokazał też analogiczne konstrukcje dla energii dodatniej i zerowej. W pierwszym przypadku ruch odbywa się po hiperboloidzie z metryką Minkowskiego (grupą symetrii jest grupa Lorentza), w drugim po paraboloidzie (grupą symetrii są izometrie euklidesowe).

 

 

Religia Einsteina i Spinoza

W związku z publicznym zainteresowaniem postacią Barucha Spinozy pragnę przypomnieć, że do wiary w Boga Spinozy przyznawał się wielokrotnie Albert Einstein. Uczony czytał Spinozę, zwiedził jego dom zamieniony na muzeum i wielokrotnie się wypowiadał na temat filozofa. Więcej o Spinozie pisałem tutaj. Przypominam wpis z roku 2012, choć nie sądzę, żeby w wiadomościach TVP pojawił się pasek o treści: „Einstein wierzył w Boga Spinozy”

Przez media przewinęła się ostatnio wiadomość o wystawieniu na aukcji listu Einsteina z 1954 roku, a więc napisanego niedługo przed śmiercią uczonego. List dotyczy religii i skierowany był do filozofa Erika Gutkinda. Może to objaw nasilenia wojny kultur (a może szukania dobrych lokat kapitału w niepewnych czasach), w każdym razie list został sprzedany za przeszło trzy miliony dolarów, podczas gdy w 2008 kosztował zaledwie 400 000 dolarów.

Einstein mówi w tym liście rzeczy, jakie wielokrotnie powtarzał w ciągu swego życia. „Słowo Bóg jest dla mnie jedynie wyrazem i wytworem ludzkiej słabości, a Biblia zbiorem dostojnych, lecz jednak mocno prymitywnych legend. Żadna, nawet najbardziej subtelna interpretacja nie może tego (moim zdaniem) zmienić. Te wysubtelnione  interpretacje są ze swej natury wielce różnorodne i nie mają prawie nic wspólnego z pierwotnym tekstem. Nieskażona religia żydowska jest dla mnie, tak samo jak wszystkie inne religie, wcieleniem prymitywnych przesądów. I naród żydowski, do którego chętnie należę i z którego mentalnością czuję się głęboko zrośnięty, nie ma w moich oczach żadnej szczególnej godności, odmiennej niż inne narody”.

Jeszcze w okresie międzywojennym Einstein został zaatakowany przez kardynała Bostonu Williama Henry’ego O’Connella: „Zwątpienie i mgliste spekulacje na temat czasu i przestrzeni prowadzą jedynie do stworzenia zasłony, poza którą skrywa się upiorne widmo ateizmu”. Także rabin Herbert S. Goldstein z Nowego Jorku poczuł się zaniepokojony i wysłał do Einsteina telegram: „Czy wierzy pan w Boga? Stop. Odpowiedź opłacona do 50 słów”. Odpowiedź uczonego, choć telegraficznie skrótowa, nie zadowoliła chyba rabina: „Wierzę w Boga Spinozy, który objawia się w regularnej harmonii wszystkiego, co istnieje, ale nie w Boga, który zajmuje się losami i uczynkami ludzkości”.

A jednak mimo wypowiedzi, które sprawiać musiały spory zawód rozmaitym przedstawicielom Boga na ziemi, Albert Einstein był głęboko religijny z natury. Kiedy mówił o Bogu, który nie rzuca kośćmi albo jest wyrafinowany, lecz nie złośliwy, mówił bardziej serio, niż mogło się zdawać. Bóg w jego ustach był czymś więcej niż tylko façon de parler. Uczonemu bliżej było do bogobojnego protestanta Keplera niż do obrazoburcy Galileusza. Wypowiadał się otwarcie, nie ukrywał poglądów, ale nie miał temperamentu bojownika, polemisty, dyskutanta, pragnącego odnieść zwycięstwo za wszelką cenę. Choćby za cenę prawdy. Wspominany przeze mnie Max Brod wydał w 1948 roku jeszcze jedną powieść historyczną o uczonych. Nosiła tytuł Galilei in Gefangenschaft („Galileusz uwięziony”) i zapewne nie była lepsza od książki o Tychonie Brahe. Autor przesłał ją Einsteinowi, a ten odpisał z podziękowaniem i uwagami po lekturze. „Wyobrażam go sobie inaczej. Nie należy wątpić w to, że walczył on namiętnie o prawdę – bardziej niż ktokolwiek inny. Ale trudno uwierzyć, aby człowiek dojrzały widział sens połączenia odnalezionej prawdy z płytkimi myślami tłumu, zaplątanego w groszowe interesy. (…) Bez szczególnej potrzeby udaje się on do Rzymu, by walczyć z klechami i innymi politykierami. Taki obraz nie odpowiada memu wyobrażeniu o niezależności wewnętrznej starego Galileusza. Nie mogę sobie wyobrazić, bym ja na przykład przedsięwziął coś w tym rodzaju, by bronić teorii względności. Pomyślałbym, że prawda jest znacznie silniejsza ode mnie i wydawałoby mi się śmieszną donkiszoterią bronić jej mieczem, osiodławszy Rosynanta”.

Intuicja Einsteina była częściowo trafna. Galileusz niewątpliwie bardziej od Einsteina gustował w polemikach (choć nie był chyba bardziej od Einsteina uparty, jeśli chodzi o pryncypia). Jednak Galileusz nie jeździł do Rzymu jedynie po to, by zaspokoić swoją potrzebę wielkości i chwały. Być może z początku wiodła go ambicja. Szybko jednak zrozumiał, że gra toczy się o elementarną swobodę dyskusji i ocalenie własnej skóry. Był szanowanym uczonym, który chciał ogłosić dzieło życia, wiedząc, że nie zostanie ono dobrze przyjęte przez władze kościelne. Dzieło nie dotyczyło religii, wydawało się więc, że jakiś kompromis będzie możliwy, aby obie strony mogły wyjść z twarzą.  Kościół zawsze deklarował poparcie dla nauk. Jednak układy z władzą absolutną obowiązują tylko jedną stronę. Galileusz zapewne musiał przegrać, ponieważ był zbyt mało cyniczny.

Albert Einstein miał zdecydowane poglądy w wielu sprawach, ale był też człowiekiem mądrym (to nie to samo, co być wybitnym uczonym: głupich, choć wybitnych był legion). Rozumiał, że nie każda dyskusja może zostać rozstrzygnięta, czy to w nauce, czy w życiu publicznym. Podejrzewam też, że rozumiał, jak niewiele w istocie dzieli ludzi, jeśli chcą się poważnie zastanowić nad swoimi poglądami i swoją wiarą, a nie podporządkować sobie innych. Większość tzw. debat publicznych nie ma niestety nic wspólnego z namysłem, bardzo zaś wiele z władzą i dominacją. Poszukiwanie prawdy jest czymś zgoła innym.

Jakob Hermann pisze do Johanna Bernoulliego na temat ruchu planet, 12 lipca 1710 r.

Ulmenses sunt mathematici – mieszkańcy Ulm to matematycy – głosiło stare porzekadło. Znamy jednego matematyka z Ulm Johannesa Faulhabera, który miał kontakty z Keplerem i być może z Kartezjuszem. Słynna ogrzewana komora, w której rozmyślał francuski filozof pewnej jesieni, mieściła się w Neuburgu niezbyt oddalonym od Ulm. No i w Ulm urodził się Albert Einstein, lecz rodzina rok później się przeprowadziła i uczony jako człowiek dorosły nigdy potem nie odwiedził już swego miasta rodzinnego.

Prawdziwą kolebką matematyków była natomiast leżąca niezbyt daleko od Ulm Bazylea. Stąd pochodziła rozgałęziona rodzina Bernoullich, a także Leonhard Euler i Jakob Hermann. Protoplastą naukowego rodu był Jakob Bernoulli, to od niego uczyli się matematyki jego brat Johann oraz Jakob Hermann. Johann z kolei był ojcem wybitnego Daniela i nauczycielem genialnego Eulera. Ponieważ posad dla matematyków nie było w Europie wiele, więc wszyscy ci matematycy sporo podróżowali. Dzięki bazylejskim matematykom rachunek różniczkowy i całkowy Leibniza stał się podstawą nowożytnej matematyki.

Drugim wielkim zadaniem uczonych od końca XVII wieku stało się przyswojenie osiągnięć Isaaca Newtona. Matematyczne zasady filozofii przyrody zawierały rewolucyjną fizykę przedstawioną za pomocą indywidualnego języka matematycznego, stworzonego przez autora. Nie było w historii nauki traktatu tak oryginalnego zarówno pod względem treści fizycznej, jak i matematycznej. Toteż jego zrozumienie i opanowanie zajmowało całe lata nawet wybitnym uczonym. Na kontynencie panował matematyczny idiom Leibniza i twierdzenia Newtona tłumaczono niejako na tę zrozumiałą wśród uczonych symbolikę.

Jakob Hermann pierwszy podał różniczkowe sformułowanie II zasady dynamiki. Miało ono u niego postać

gdzie oznaczały siłę i masę, a – różniczki prędkości i czasu. Zapis ten pojawił się dopiero na 57 stronie jego traktatu Phoronomia (1716) i odnosił się do siły ciężkości zależnej od położenia. Oczywiście, Newton już w 1687 r. rozważał takie siły, ale wyłącznie w postaci geometrycznej. Jego II prawo brzmiało: „Zmiana ruchu jest proporcjonalna do przyłożonej siły poruszającej i następuje w kierunku prostej, wzdłuż której siła ta jest przyłożona.” Newton miał na myśli zmiany pędu ciała w pewnym krótkim czasie. Jednym problemem tego sformułowania była kwestia opisywania zmian w czasie, drugim problemem był wektorowy charakter siły: ilość ruchu, pęd, zmienia się w kierunku przyłożonej siły.

Pokażemy, jak Hermann rozwiązał problem ruchu ciała przyciąganego siłą odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości od nieruchomego centrum. Zwolennicy Leibniza mieli zastrzeżenia do Newtonowskiego dowodu tego faktu, zbyt szkicowego. Pragnęli wyraźnego wykazania, że tylko stożkowe (albo część linii prostej) mogą być torem ciała. Opisywałem kiedyś rozwiązanie tego problemu podane w XIX wieku przez Williama Rowana Hamiltona.

Wyobrażamy sobie przyciągane przez centrum S ciało zakreślające krzywą CD. Jego ruch w nieskończenie krótkim czasie można przedstawić jako sumę wektorową ruchu bezwładnego od C do E oraz spadania od E do D wzdłuż kierunku siły w punkcie C, tzn. odcinki SC i DE są równoległe. Zmiana współrzędnej w ruchu bezwładnym byłaby równa . Efekt działania siły przyciągającej to różniczka drugiego rzędu (co później zapisywano ). Oczywiście do wchodzi tylko x-owa składowa siły.

Dziś narysowalibyśmy to tak, Hermann odnajduje trójkąty podobne na swoim rysunku i dochodzi do wniosku, że

Pole SCD zakreślane w czasie można przedstawić jako pole trójkąta o bokach oraz , a więc jest ono równe połowie pola równoległoboku
Ostatecznie różniczkę możemy zapisać następująco (siła jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości):

gdzie jest stałą proporcjonalności. Naszym zadaniem jest znalezienie równania krzywej.
Całką tego równania jest

Dzieląc obustronnie przez i całkując ponownie, otrzymujemy

gdzie jest stałą całkowania. Jest to równanie stożkowej (po obustronnym podniesieniu do kwadratu otrzymamy wielomian kwadratowy w zmiennych ).

Postępowanie Hermanna jest pomysłowe, choć całkowania są nieintuicyjne. Można jednak, jak zawsze, sprawdzić je, idąc od końca do początku, tzn. wykonując dwa kolejne różniczkowania. Tak naprawdę sztuka rozwiązywania równań różniczkowych jest często zamaskowanym odgadywaniem całek. Różniczkowania wynikają z reguły Leibniza dla iloczynu .
W naszym przypadku mamy np. dla drugiego równania

Pamiętając, że , mamy . Itd. itp. rachunki „od końca” są łatwe. W pierwszym całkowaniu przyjęliśmy stałą całkowania równą zeru, co nie zmniejsza ogólności wyniku, bo Hermann zakłada, iż oś jest osią toru planety, tzn. przecięcie z osią z lewej strony punktu następuje w peryhelium albo aphelium, czyli przy powinno być .
Johann Bernoulli, który miał dość nieznośny charakter (nigdy nie dość wypominania mu, jak to konkurował ze swym synem Danielem) odpowiedział wybrzydzaniem na procedurę Hermanna i przedstawił swoją ogólniejszą, opartą na innym podejściu.

Z dzisiejszego punktu widzenia Hermann odkrył pewną całkę pierwszą problemu Keplera (tak się dziś nazywa problem ruchu wokół centrum przyciągającego jak ). Całka pierwsza to wyrażenie, którego wartość nie zmienia się podczas ruchu. U Hermanna jest to

W wyrażeniu tym . Gdyby zająć się przyspieszeniem wzdłuż osi , otrzymalibyśmy drugą całkę. Razem składają się one na wektor

Nazywa się go wektorem Rungego-Lenza, choć odkrył go właściwie Jakob Hermann. W pełni zdał sobie sprawę z faktu, że mamy trzy takie całki pierwsze, czyli w istocie wektor, Joseph Lagrange, a po nim Pierre Simon Laplace. Laplace przedyskutował też systematycznie wszystkie całki pierwsze problemu Keplera (trzy to moment pędu, trzy to nasz wektor, jedna to energia całkowita planety). Carl David Runge (ur. 1856) oraz Wilhelm Lenz (ur. 1888) pojawiają się w tej historii późno i w rolach dość przypadkowych. Pierwszy (znany z algorytmu Rungego-Kutty) użył tego wektora w swoim podręczniku analizy wektorowej, drugi zastosował go do pewnego problemu w starej teorii kwantów, przepisując go z podręcznika Rungego. Zupełnie niekosztowny sposób wejścia do historii. Wilhelm Lenz jest natomiast autorem tzw. modelu Isinga (Ernst Ising był jego doktorantem). Wektor odegrał pewną rolę w powstaniu mechaniki kwantowej. Stosując go, Wolfgang Pauli otrzymał wartości energii w atomie wodoru na podstawie formalizmu macierzowego Heisenberga. Chwilę później Erwin Schrödinger zrobił to samo w swoim formalizmie i wielu fizyków nie wiedziało, co o tym myśleć, bo na pierwszy rzut oka oba podejścia różniły się kompletnie.

Johannes Kepler: Jak działa ludzkie oko? (1602-1604)

Jesienią roku 1602 Johannes Kepler, „matematyk” cesarza Rudolfa II (czyli nadworny astronom), bronić się musiał przed posądzeniami o lenistwo. Chodziło o zadanie obliczenia nowych tablic astronomicznych na podstawie obserwacji zmarłego niedawno Tychona Brahego. Zięć duńskiego astronoma, Franz Gansneb Tengnagel, parający się amatorsko astronomią, starał się przejąć to zadanie, ale głównie chodziło mu w tym o cenny zbiór obserwacji teścia, za które oczekiwał zapłaty u dworu. Tengnagel nie potrafił obliczać żadnych tablic, a Kepler był z pewnością jedynym uczonym zdolnym do zreformowania astronomii tak, żeby tablice owe były coś warte. Broniąc się przed zarzutami, Kepler zobowiązał się do napisania dwóch dzieł. Jedno z nich, Komentarze o ruchach Marsa, gotowe miało być na najbliższą Wielkanoc, drugie zaś – Optyczna część astronomii, już za osiem tygodni.

Prace te okazały się znacznie trudniejsze, niż to się zawsze optymistycznemu Keplerowi wydawało: książkę optyczną skończył dopiero pod koniec następnego roku (ukazała się w roku 1604), książka astronomiczna, Astronomia nova, ukazała się dopiero w 1609 roku. Wydłużenie terminów brało się z gruntowności uczonego, który nigdy nie poprzestawał na łatwych osiągnięciach i szedł w swych badaniach dużo dalej, niż potrafili to zrozumieć i zaakceptować jego koledzy. Obie książki były rewolucyjne: optyczna wyjaśniła rolę oka w widzeniu, astronomiczna zawierała odkrycie eliptycznego kształtu orbity Marsa.

Pierwszym zagadnieniem optycznym, którym zajął się Kepler jeszcze w Grazu, było tworzenie się obrazu w ciemni optycznej – camera obscura. Oto jak udało mu się rozwikłać ten problem:

(…) odwołałem się do własnych obserwacji w trzech wymiarach. Umieściłem w górze książkę tak, by zajęła miejsce świecącego ciała. Między nią a podłogą ustawiłem stolik mający wieloboczny otwór. Następnie przeciągnąłem nitkę z jednego rogu książki poprzez otwór aż na podłogę; jej koniec znalazł się na podłodze w takim punkcie, że nitka ocierała się o brzegi otworu; zakreśliłem wytworzone w taki sposób punkty i utworzyłem na podłodze figurę podobną do otworu. Podobnie za pomocą nitki przywiązanej do drugiego, trzeciego i czwartego rogu książki a następnie do pewnej liczby punktów wzdłuż jej krawędzi, na podłodze wynikła z tego pewna liczba zakreślonych figur w kształcie otworu, które razem utworzyły wielką czworokątną figurę kształtu książki.

Bardzo możliwe, że metoda Keplera wzorowana była na procedurach opisanych przez Alberta Dürera w jego traktacie Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit („Nauka mierzenia za pomocą cyrkla i liniału”, 1525). Książka Dürera była swego rodzaju praktycznym podręcznikiem geometrii przeznaczonym dla rysowników, architektów i rzemieślników. Posługując się nitkami Kepler ustalił, że każdy punkt przedmiotu jest w ciemni optycznej odwzorowywany na obraz otworu tego urządzenia, a przez nałożenie się takich obrazów otworu tworzy się obserwowany przez nas obraz przedmiotu. W ten sposób, jeśli powiedzmy otwór będzie miał kształt trójkąta, a obserwowanym przedmiotem będzie słońce, to każdy punkt słońca będzie odwzorowany jako trójkąt i z nałożenia się takich trójkątów powstanie ostatecznie obraz słońca, który będzie oczywiście okrągły, a nie trójkątny. Obraz ten będzie także nieco większy i tym bardziej rozmyty, im większa jest średnica otworu. Wyjaśniało to wyniki przeprowadzonych w Grazu obserwacji zaćmienia Słońca. Patrząc bezpośrednio na Słońce widać było wówczas ostro zakończony sierp, natomiast obraz Słońca dawany przez ciemnię optyczną miał zaokrąglone krawędzie. Kepler nie był pierwszym, który zrozumiał sposób działania camera obscura, ale zrobił to niezależnie od innych i pierwszy miał opublikować swoje wyniki.

Panujące wówczas poglądy na widzenie wywodziły się od Alhazena (Ibn al-Hajsama), islamskiego uczonego urodzonego w Basrze mniej więcej wtedy, kiedy Mieszko zaczął myśleć o chrzcie Polski. Światło wedle jego teorii wpadało do oka prostopadle (tylko takie promienie dawały wkład do widzenia), a promienie załamywały się potem tak, aby powstał zmmniejszony obraz zewnętrznego przedmiotu. Promienie świetlne nie przecinały się wewnątrz oka, gdyż wtedy powstałby obraz odwrócony i widzielibyśmy wszystko „do góry nogami”. Obraz był także mały, mógł się więc zmieścić w nerwie i przedostać do mózgu – wyobrażano go sobie dość dosłownie jako mały obrazek przenoszony aż do mózgu.

Rysunek za Davidem C. Lindbergiem, Theories of Vision from Al-Kindi to Kepler.

W ciągu kilkudziesięciu lat drugiej połowy XVI wieku ukazało się sporo książek traktujących o budowie ciała ludzkiego na podstawie przeprowadzanych sekcji, a dzięki wynalazkowi druku oraz drzeworytom wyniki tych badań można było przedstawiać w postaci plansz i rysunków. Kepler korzystał z pracy Felixa Plattera, profesora medycyny z Bazylei, zatytułowanej De corporis humana structura et usu („O budowie i funkcjonowaniu ciała ludzkiego”, 1583), będącej w zasadzie zbiorem plansz anatomicznych z dodanym krótkim komentarzem. Używał także dzieła Anatomia Pragensis („Anatomia praska”) znanego mu osobiście i zaprzyjaźnionego z nim Jana Jesenskiego. Uważano wówczas przewąnie, że soczewka oczna, „humor krystaliczny”, odczuwa bezpośrednio światło i kolor, a ponieważ jest połączona z resztą oka i nerwem ocznym, przekazuje ten obraz dalej. Tymczasem Platter pokazał, że soczewka nie jest połączona z nerwem ocznym i siatkówką. Kwestia ta nie była zresztą jednoznacznie rozstrzygnięta przez anatomów, Jesensky różnił się tu od Plattera i Kepler przedłożył pogląd uczonego z Bazylei nad opinię swego przyjaciela.

Fragment planszy Plattera, Kepler zreprodukował ją w swoim dziele.

W miejsce koncepcji promieni prostopadłych Kepler zaproponował tworzenie się obrazu na siatkówce oka. „Widzenie zachodzi, kiedy obraz całej połowy sfery świata przed okiem (…) tworzy się na czerwonawej powierzchni siatkówki.” Promienie od przedmiotu padające w różnych punktach soczewki oka są przez nią załamywane w taki sposób, że skupiają się w punkt dokładnie na siatkówce, na tylnej ściance oka. Dzięki temu każdy punkt przedmiotu daje punktowy obraz na siatkówce. Wcześniej zbadał tworzenie się obrazu w kulistej soczewce zarówno teoretycznie, jak i eksperymentalnie (używając do doświadczeń kulistych szklanych kolb na mocz napełnionych wodą).

Cała ta koncepcja mechanizmu widzenia była pod wieloma względami rewolucyjna. Oko stawało się tylko przyrządem optycznym, zamiast być narządem zmysłów reagującym na swojej zewnętrznej powierzchni na światło. W ten sposób optyka oka stawała się częścią fizyki, podobnie jak dziś optyka aparatu fotograficznego. Część światłoczuła została przesunięta na siatkówkę, tam właśnie miał się wytwarzać obraz i to odwrócony. Był to rzeczywisty obraz, który Kepler nazwał pictura – można by go dostrzec na powierzchni siatkówki, gdyby dało się tam umieścić jakiegoś obserwatora. Kepler nie zamieścił żadnego rysunku tej sytuacji, ale ideę jego teorii dokładnie przedstawia rysunek z dzieła Kartezjusza La Dioptrique z roku 1637. Mamy tam nawet dodatkowego obserwatora oglądającego obraz na siatkówce monstrualnie wielkiego oka.

Tworzenie się obrazu w oku według teorii Keplera. (Rysunek z La Dioptrique Kartezjusza.)

Obraz na siatkówce jest jednak, niestety, odwrócony. Kepler niełatwo pogodził się z tą konsekwencją swojej teorii, pisze, że męczył się bardzo pragnąc wykazać, że promienie raz jeszcze się po drodze przecinają dając ostatecznie obraz prosty. Niezrozumiałe było, czemu nie widzimy wszystkiego do góry nogami. Powstawało też pytanie, jak to się dzieje, że stosunkowo duży obraz na siatkówce zostaje przesłany cienkim nerwem optycznym do mózgu. Teoria Keplera rodziła wyraźne kłopoty dla wciąż zalążkowej fizjologii widzenia. Wyraźnie rozdzielona została jednak część optyczna od części fizjologicznej widzenia: aż do utworzenia się obrazu na siatkówce mamy do czynienia z optyką, a co się dzieje z tym obrazem dalej, to pozostaje już w gestii fizjologów. Co więcej, obrazami rzeczywistymi, takimi jak na siatkówce, można zajmować się w sposób obiektywny: mierzyć ich położenie, rozmiary itd.

Ze ściśle technicznego punktu widzenia Kepler zbudował optykę geometryczną z jej wykreślaniem biegu promieni i szukaniem punktów przecięcia – wszystko to, czego do dziś uczy się w szkołach. Teoria Keplera wymagała rozpatrzenia biegu promieni przez ośrodek o kształcie zbliżonym do kuli. Kepler wykazał, że jeśli kulę taką przesłonimy przesłoną (odgrywającą rolę źrenicy) to będzie ona ogniskować promienie w jakimś punkcie. Będzie więc zachowywać się jak soczewka. Oczywiście taki model kulistego ośrodka z przesłoną nie jest dokładnym przedstawieniem gałki ocznej, ale Kepler argumentował, że zachowuje on najważniejsze cechy rzeczywistej sytuacji i jest wystarczający do jego celów.
Praktyczną konsekwencją pracy Keplera było wyjaśnienie, jak działają okulary korekcyjne. Okulary poprawiające wzrok stosowane były od kilkuset lat, pojawiły się już w XIII wieku, początkowo wytwarzano tylko soczewki wypukłe przeznaczone dla dalekowidzów, zwykle osób starszych (umożliwiło to wielu uczonym kontynuowanie pracy także w starszym wieku). W XV wieku zaczęto także szlifować soczewki wklęsłe korygujące wadę krótkowzroczności u osób młodych. Okulary były z początku przedmiotem zbytku i powodem do dumy dla swych posiadaczy, jak wnosić można choćby z przedstawień w sztuce: głowa kanonika w okularach wyrzeźbiona jest na fasadzie katedry w Meaux niedaleko Paryża (XIV wiek), van Eyck umieścił okulary na swoim słynnym obrazie Madonny kanonika van der Paele. Do tej pory stosowano jednak okulary jako wynalazek czysto praktyczny, nie rozumiejąc istoty ich działania. Praca Keplera otworzyła drogę do naukowego badania kwestii wad wzroku u ludzi. Umożliwiła też kilka lat później zrozumienie, jak działa teleskop astronomiczny.

Ściśle techniczne osiągnięcie dotyczące działania oka miało też ważne konsekwencje poznawcze i filozoficzne. Oto bowiem, używając wzroku, odwołujemy się w istocie do obrazów złożonych w całość przez mózg. Dociera do nas ze świata zestaw plamek, pikseli na siatkówce, które muszą dopiero zostać przetworzone w kształt drzewa albo znajomej twarzy. Wszelkie poznanie jest więc znacznie mniej bezpośrednie, niż to się dotąd wydawało. Cztery wieki później zaczynamy powoli rozumieć, jak z impulsów przewodzonych przez neurony mózg składa wyobrażenie tego, co widzimy. W istocie ostro widzimy tylko za pomocą plamki żółtej, niewielkiego fragmentu siatkówki, połączonego niewielką liczbą neuronów tworzących ciało kolankowate boczne z korą wzrokową. Ścieżka między okiem a mózgiem jest więc bardzo wąska i wciąż omiatamy wzrokiem otoczenie, aby zebrać potrzebne informacje. To, co widzimy, jest głównie kreacją naszego mózgu, o czym dobrze wiedzą śledczy, mający na codzień do czynienia z naocznymi świadkami wydarzeń.

Wstęp do sprawy Galileusza

Sprawa Galileusza była tyleż heroiczną, co bezskuteczną próbą zatrzymania czasu i naukowego postępu przez Kościół rzymski. Od czasu skazania Galileusza pojawił się wzór działania, powtarzający się aż do dziś: „nauki” Kościoła, interpretowane przez słabo zorientowanych w nauce teologów, utrzymywane jedynie siłą stojącej za nimi instytucji, wycofywały się stopniowo i chyłkiem z co bardziej oczywistych głupstw głoszonych jako prawdy objawione. Co nie znaczy, że działo się to szybko. Jak zauważył kiedyś Albert Camus: „Książki Kopernika i Galileusza były na indeksie do 1822 roku. Trzy wieki uporu to już kokieteria” (przeł. J. Guze).

Odkrycia dokonywane w XVII wieku w astronomii i fizyce prowadziły do obrazu świata coraz bardziej oddalonego od potocznych wyobrażeń, a więc także i od zdroworozsądkowej u swego korzenia filozofii Arystotelesa oraz od literalnego rozumienia tekstu Pisma Świętego. Teoria Kopernika była jednym z pierwszych przykładów, gdy nauka głosiła tezę sprzeczną z naszym bezpośrednim doświadczeniem. Zamęt poznawczy jeszcze bardziej pogłębiły teleskopowe odkrycia Galileusza na niebie. Już sam fakt, że istnieją obiekty niepostrzegalne gołym okiem, stanowił duży wstrząs dla współczesnych. Sam uczony pod wpływem tych odkryć zaczął coraz śmielej głosić kopernikanizm, uznając, że potrafi nie tylko udowodnić fałszywość fizyki arystotelesowskiej, ale także wykazać naukowo ruch Ziemi.

Galileusz zajął się teologią z konieczności, ponieważ został zadenuncjowany jako heretyk i stał się celem niewybrednych ataków ze strony dominikanów z Florencji. Najważniejszy z jego tekstów teologicznych, List do Wielkiej Księżny Krystyny (1615), pochodzi z okresu, gdy uczony wciąż jeszcze miał nadzieję, że Kościół katolicki nie opowie się oficjalnie przeciwko nauce kopernikańskiej. Wymagało to jednak odstąpienia od dosłownej interpretacji niektórych fragmentów Pisma Świętego. Galileusz przedstawił własną propozycję hermeneutyki Biblii, zwracając uwagę na fakt, że adresowana jest ona także do ludzi nieuczonych i posługuje się w tym celu językiem potocznym, nie można więc oczekiwać od tekstu Pisma objaśnień zjawisk przyrodniczych. Co więcej, przywołując tradycję dwóch ksiąg: księgi objawionej i księgi przyrody, stara się wykazać, że w razie pozornego konfliktu obu tych źródeł poznania, gdyby jakaś dobrze udowodniona prawda nauk przyrodniczych stała w sprzeczności z naszym zrozumieniem Pisma, należałoby zastanowić się nad zmianą interpretacji tekstu świętego. Podkreślić należy, że przynajmniej w ogólnych zarysach taki punkt widzenia nie był jakoś szczególnie oryginalny w XVII wieku. Przed Galileuszem zbliżone podejście hermeneutyczne głosił Johannes Kepler, później w podobnym duchu wypowiadali się niemal wszyscy przedstawiciele nowej nauki, nawet tacy fundamentaliści biblijni jak Isaac Newton. Jako przykład nowej interpretacji Biblii podaje Galileusz cud z Księgi Jozuego, gdy wedle tekstu Pisma Św. (Joz, 10, 13) słońce zatrzymało się na pewien czas. Otóż cud ten – zdaniem Galileusza – można zrozumieć naukowo, gdy przyjmiemy, że Słońce (znajdujące się pośrodku układu planetarnego) przestało obracać się wokół osi, co z kolei sprawiło, że także planety stanęły i cały kosmiczny zegar znieruchomiał, po czym znowu ruszył. Jak się wydaje, Galileusz zaczerpnął tu wiele ze wstępu do Astronomia nova (1609) Keplera, gdzie zaproponowany został taki właśnie mechanizm omawianego cudu (cudowne było zatrzymanie i ponowne uruchomienie Słońca, pozostałe zjawiska przebiegały w sposób naturalny).

Kościół katolicki wyjątkowo niechętnie patrzył na próby indywidualnej interpretacji Pisma, zwłaszcza podejmowane przez ludzi świeckich, nawet tak wybitnych jak Galileusz. Toteż różne zabiegi Galileusza, w tym jego kampania informacyjno-propagandowa prowadzona w Rzymie wśród najwyższego duchowieństwa, nie odniosły skutku. W roku 1616 nieruchomość Słońca uznano za sprzeczną z tekstem Pisma Św., a ruch Ziemi – za co najmniej błąd w wierze. Sam Galileusz został napomniany, by nie głosił poglądów kopernikańskich, choć dokładny sens tego napomnienia pozostaje wciąż niejasny – zachowały się na ten temat dwa nieco różne w treści dokumenty. Galileusz zrozumiał, że musi zamilknąć, choć poglądów kopernikańskich nie zmienił. Na razie uczonego nie spotkało nic złego. Do jego patronów w tym okresie należał m. in. kardynał Maffeo Barberini, który w 1620 r. napisał nawet na jego cześć wiersz pod tytułem Adulatio perniciosa („Zgubna pochwała”). Jak bardzo proroczy okazał się tytuł owego wiersza, miał się Galileusz przekonać, gdy Barberini został papieżem, przybierając imię Urbana VIII. Papież uważał się za intelektualistę i uczony uznał, że nadszedł sprzyjający czas na otwarte opowiedzenie się za ruchem Ziemi, ogłaszając w 1632 r. Dialog o dwu najważniejszych układach świata Ptolemeuszowym i Kopernikowym. Książka miała wprawdzie wszelkie możliwe zezwolenia władz kościelnych, lecz nie przypadła do gustu papieżowi. Rozpętała się burza, zakończona skazaniem Galileusza na dożywotni areszt domowy i całkowity zakaz publikacji. Musiał też publicznie podczas upokarzającej ceremonii wyrzec się swych poglądów.

Obraz z XIX wieku przedstawiający wyrzeczenie się poglądów przez Galileusza (Joseph-Nicolas Robert-Fleury). W rzeczywistości uczony wystąpił w worku pokutnym i musiał klęczeć, odczytując poniższy tekst:

Ja, Galileo, syn Vincenza Galilei z Florencji, w wieku lat moich 70, osobiście stanąwszy przed sądem, na klęczkach w obliczu waszym, najdostojniejsi i najwielebniejsi panowie kardynałowie, generalni inkwizytorzy w całej powszechności chrześcijańskiej przeciwko występkowi herezji, mając przed oczami moimi najświętszą Ewangelię, której dotykam własnymi rękami, przysięgam, że zawsze wierzyłem, obecnie wierzę i z pomocą bożą w przyszłości wierzyć będę w to wszystko, co utrzymuje, głosi i czego naucza św. Kościół katolicki i apostolski. Ponieważ jednak po tym, gdy to Święte Oficjum upomniało mnie i nakazało z mocą prawną, bym całkowicie porzucił fałszywe mniemanie, że Słońce jest środkiem świata i nie porusza się, a Ziemia nie jest środkiem świata i się porusza, i abym nie utrzymywał, nie bronił ani nie nauczał tej fałszywej doktryny, i po tym, gdy mi podano do wiadomości, że doktryna ta jest sprzeczna z Pismem Świętym, napisałem i ogłosiłem drukiem książkę, w której omawiam tę potępioną już doktrynę i na jej poparcie przytaczam bardzo przekonujące argumenty, nie dając żadnego rozwiązania – przeto uznany zostałem za mocno podejrzanego o herezję, a mianowicie, iż utrzymywałem i wierzyłem, że Słońce, nieruchome, jest środkiem świata (*), a Ziemia nie jest tym środkiem i się porusza.
Pragnę tedy z umysłów Waszych Eminencji i każdego prawego chrześcijanina usunąć to mocne podejrzenie, jakie słusznie wzbudziłem. (…) Przysięgam, że w przyszłości nigdy już nie będę głosił ani twierdził, słowem bądź pismem, niczego, co skłoniłoby do takiego podejrzenia. Jeślibym zaś poznał jakiegoś heretyka lub podejrzanego o herezję, doniosę o tym Świętemu Oficjum (…) Ja, Galileo Galilei, wyrzekam się, przysięgam, obiecuję i przyjmuję wszystko to, co wyżej przeczytałem, i na przypieczętowanie tego własnoręcznie podpisuję niniejszy dokument, który odczytałem słowo po słowie w Rzymie, w klasztorze Santa Maria sopra Minerva, dzisiaj, w dniu 22 czerwca 1633 roku.
Ja, Galileo Galilei, wyrzekłem się, jak wyżej, i własnoręcznie podpisuję.

Sprawa Galileusza jest oczywiście w jakiejś mierze konfliktem intelektualnym, starciem idei. Rozstrzygała się kwestia nowego podejścia do interpretacji Pisma Św. Kościół instytucjonalny nie miał jednak cienia wątpliwości, że filozofia nadal powinna być służką tradycyjnie rozumianej teologii. Galileusz i jego zwolennicy (często także duchowni) nie zostali wysłuchani – linia podziału biegła tu zresztą nie tyle między Kościołem a nauką, co raczej między zwolennikami nowych idei a ich przeciwnikami. Ostateczne decyzje zarówno w roku 1616, jak i w roku 1633 zapadły bez głębszego rozważenia tez Galileusza. W tym drugim przypadku sprawdzano tylko, czy można znaleźć w książce podstawy do oskarżenia jej autora. Bardzo możliwe, że jakąś rolę odegrał tu gniew Urbana VIII, który poczuł się urażony widząc własne słowa włożone w usta Simplicia – niezbyt rozgarniętego uczestnika Galileuszowego Dialogu. Cała sprawa Galileusza stała się głośnym przykładem użycia (czy też nadużycia) władzy doczesnej Kościoła katolickiego do cenzurowania treści teorii naukowej. Nie ma w tym kontekście znaczenia, czy Galileusz miał mocne dowody naukowe przemawiające za ruchem Ziemi – bardzo rzadko uczony może przedstawić takie dowody już w chwili publikacji swej teorii.

Przemiana światopoglądowa związana z rewolucją naukową była już wówczas w toku i żadne zakazy nie mogły tego odwrócić. Jednak tak ostry konflikt nie był nieuchronny. W tym konkretnym przypadku rolę odegrały zapewne cechy osobiste uczonego, który miał temperament zjadliwego polemisty, a także szersze uwarunkowania, jak osłabiona pozycja polityczna papieża i potrydencka mentalność oblężonej twierdzy.

Nie wszędzie dopasowanie prawd naukowych i prawd religijnych dokonywało się w sposób administracyjny, jak w Rzymie. W krajach protestanckich nie było żadnego odpowiednika sprawy Galileusza. W roku 1638 John Wilkins opublikował w Londynie książkę The Discovery of A World in the Moone, w której głosił kopernikanizm zbliżony do poglądów Galileusza. Wilkinsa nie tylko nie spotkały z powodu książki żadne represje, ale pod koniec życia został biskupem Kościoła anglikańskiego i jednym z założycieli Towarzystwa Królewskiego.

Konsekwencje sprawy Galileusza dla dalszego rozwoju nauki były stosunkowo niewielkie, m. in. dlatego, że niebawem znaczenie zyskały kraje północne, przede wszystkim Francja, Holandia i Anglia, gdzie cenzura kościelna miała wpływ niewielki albo żaden. Kartezjusz wolał jednak na wszelki wypadek mieszkać w Holandii i wstrzymał się z ogłoszeniem gotowego w roku 1633 Świata albo traktatu o świetle. Kartezjusz, podobnie jak Galileusz, był szczerym katolikiem i z wielu powodów nie chciał konfliktu ze swym kościołem.

Wstyd Kościoła pozostał do dziś. Jeszcze pod koniec XX wieku, kiedy podjęto na wniosek Jana Pawła II badania nad sprawą Galileusza, strona kościelna starała się zrzucić z siebie winę, przyznając jedynie, że uczony „wiele wycierpiał
(…) ze strony ludzi i instytucji Kościoła”, dodając zarazem jednym tchem, że to Galileusz błędnie rozumiał metodę naukową.

(*) Nb. Galileusz nie uważał, że Słońce jest środkiem świata, w ogóle nie wierzył, aby istniał jakiś środek świata, ale z pozycji klęcznej trudno było zaczynać na ten temat dyskusję.

Dialog o dwu najważniejszych układach świata: ptolemeuszowym i kopernikowym – Galileo Galilei (1/2)

Dialog o dwu najważniejszych układach świata: ptolemeuszowym i kopernikowym – Galileo Galilei (2/2)

Mikołaj Kopernik, Commentariolus (przed 1514 r.)

Mikołaj Kopernik jest jednym z najbardziej przecenianych astronomów w historii. Dzieje jego pośmiertnej sławy mogłyby stać się pasjonującym przedmiotem badań (interesujący podtemat stanowi tu walka polskich i niemieckich uczonych o zaprzęgniecie postaci Nicolausa Coppernicusa czy Koppernigka w służbę szowinizmu narodowego (*)). Im dalej od astronomii leżały kompetencje historyka i im więcej mijało czasu, tym głośniej wychwalano rewolucję kopernikańską. Dziś wiemy, iż prawdziwa rewolucja zaczęła się w nauce niemal sto lat później, już w wieku XVII, a Kopernik był tylko jednym z uczonych w długim szeregu od Greków i Ptolemeusza, przez astronomów islamskich, jak Pers Nasir At-Tūsi i Syryjczyk Ibn aš-Šātir, po pochodzących z krajów niemieckich Georga Peurbacha i Johannesa Müllera, znanego jako Regiomontanus. Kopernik wysunał rzeczywiście zadziwiający pomysł ruchu Ziemi i bezruchu Słońca, ale był on sprzeczny z całą nauką o ruchu – ówczesną fizyką i filozofią przyrody, natomiast w samej astronomii Kopernik był skrajnym konserwatystą, raczej ostatnim uczonym średniowiecznym niż pierwszym nowożytnym. Z pewnością nie zamierzał „ruszyć z posad bryły świata”, jak to zapowiadał Eugène Pottier, dziewiętnastowieczny autor słów Miedzynarodówki. Pomysł Kopernika okazał się płodny znacznie później, natomiast jego astronomia była porażką, jałowym dodawaniem epicykli do znanego modelu. W wyniku powstał model matematyczny, który raczej psuł, niż poprawiał astronomię Ptolemeusza. Astronomię przebudowali dopiero Tycho Brahe i Johannes Kepler: dlatego uczymy się o prawach Keplera, a nie o prawach Kopernika.

Wszystko to nie znaczy, rzecz jasna, że Niklas Koppernig niczego nie dokonał. Był najwybitniejszym astronomem swego pokolenia, tyle że nie każdemu pokoleniu dane jest dokonać w nauce czegoś przełomowego. Pomysł astronomii heliocentrycznej był krokiem w dobrym kierunku. Używając języka dzisiejszej fizyki, można powiedzieć, że Kopernik odkrył czy może zwrócił mocno uwagę na ukrytą symetrię ruchów planetarnych. Planety przed Kopernikiem poruszały się na niebie tak samo jak i po nim, model Kopernikański nie był ani trochę dokładniejszy niż Ptolemeuszowy, ale od tej pory zaczęliśmy dostrzegać nowy punkt widzenia: widziane ze Słońca ruchy planet są znacznie prostsze niż z Ziemi. Nie zamieszkaliśmy na Słońcu, ale mogliśmy wykorzystać tę symetrię, ułatwiła ona późniejsze, znacznie późniejsze zrozumienie, jaki jest rzeczywisty mechanizm ruchu planet (u Kopernika Słońce było tylko lampą oświetlającą kosmos, nie wpływało fizycznie na ruchy planet).

Nie jest jasne, kiedy Mikołaj Kopernik powziął myśl o zbudowaniu całkiem nowego systemu świata. Być może podczas pobytu we Włoszech, ale najprawdopodobniej już po powrocie na Warmię. Możliwe, że idea nowego systemu dojrzewała w jego głowie całymi latami. Kopernik nigdy nie mógł się zajmować wyłącznie astronomią, wciąż musiał pamiętać przede wszystkim o tym, co może być przydatne dla kapituły fromborskiej, astronomia była jego zajęciem ubocznym. Po powrocie na Warmię był praktycznie odizolowany od kręgów naukowych i pozostał amatorem – w najlepszym znaczeniu tego słowa – z czasem stał się bowiem najbardziej kompetentnym astronomem swojej epoki.

Przez kilka lat Kopernik pełnił funkcję sekretarza swego wuja biskupa Lucasa Watzenrode, będąc po trosze lekarzem, po trosze humanistą. Początkowo mógł jeszcze wahać się co do wyboru dalszej drogi życiowej: humanista, lekarz, sekretarz dostojnika i kandydat na przyszłego biskupa, czy badacz gwiazd? W roku 1509 wydał zadedykowany wujowi przekład Listów Teofilakta. Było to ćwiczenie ze znajomości greki, literacko bezwartościowe, lecz przydatne dla astronoma, pragnącego rozumieć niektóre teksty źródłowe. W wierszu poprzedzającym tekst Teofilakta Wawrzyniec Korwin, pisarz królewskiego miasta Wrocławia, maluje taki obraz swego przyjaciela przy wuju biskupie: „Przy nim uczony mąż, jak wierny Achates przy Eneaszu, tłumacz dzieła niniejszego z greki na łacinę, który szybki ruch Księżyca i zmienne biegi bratniego Słońca, jako też gwiazd i planet – zdumiewające dzieło Wszechmocnego – wraz z ukrytymi przyczynami zjawisk umie objaśniać na godnych podziwu zasadach.” Może w tym czasie pojawił się już pomysł nowej astronomii. Niewykluczone, że pomysł ten miał wpływ na dalsze losy jego autora: chcąc opracować swą teorię, zrezygnował z kariery kościelnej (do której zapewne nakłaniał go wuj, nie mający żadnych innych bliskich krewnych, kandydatów na swych następców) i wrócił do sprawowania funkcji kanonika, która jednak umożliwiała pracę naukową. W każdym razie od roku 1510, jeszcze za życia wuja, zamieszkał Kopernik na stałe w siedzibie kapituły we Fromborku, gdzie z przerwami mieszkać miał już do końca życia. O mitrę biskupią wyraźnie się nie ubiegał (choć raz umieszczono go honorowo na liście kandydatów, bez realnej szansy na wybór), nie przyjął też wyższych święceń – kanonicy przyjmowali je często dopiero wtedy, gdy mieli zostać biskupami. Wśród szesnastu kanoników kapituły, gdzie wszystko – począwszy od miejsc w katedrze aż po kolejność zabierania głosu na posiedzeniach – regulowane było wedle zasady precedencji, czyli kolejności objęcia stanowiska kanonika, doszedł z czasem do miejsca piątego.

Pobyt we Fromborku nie oznaczał bynajmniej wygodnego i beztroskiego życia. Kopernik pracował jako administrator, ceniony lekarz, był jednym z najlepiej wykształconych ludzi na tym skrawku ziemi. Kanonicy byli wprawdzie ludźmi dość majętnymi, ale mieli liczne obowiązki, oprócz spraw czysto kościelnych administrować musieli należącymi do kapituły ogromnymi dobrami. Cała Warmia była oddzielnym księstwem rządzonym przez biskupa. W dodatku była terenem pogranicznym, z trzech stron otoczonym przez ziemie Zakonu Krzyżackiego, który stanowił ciągłe zagrożenie i z którym niezmordowanie walczył biskup Watzenrode, zabiegając jednocześnie w Rzymie o przeniesienie Zakonu z Prus na Podole. Kopernik zmuszony był więc zarówno do prowadzenia ksiąg, jak objeżdżania konno różnych majątków, a nawet gromadzenia broni na wypadek krzyżackiego oblężenia. Zajmował się też kwestiami reform gospodarczych, popierał unię monetarną Prus Królewskich z Koroną. Wcześniej w różnych miastach Prus Toruniu, Gdańsku i Elblągu bito własne monety, z herbem króla z jednej strony, a herbem miasta z drugiej. Nasilała się też tendencja do psucia monety, co było w interesie rządzących oraz oszustów. Kopernik chciał temu zaradzić przez ujednolicenie monety i ustalenie w niej stałej zawartości kruszcu.

W istocie jednak prowadził podwójne życie i wolne chwile poświęcał astronomii. Pierwszy zarys nowego systemu opisany został w krótkim anonimowym streszczeniu znanym jako Komentarzyk. Ów kilkustronicowy Komentarzyk znajdował się w roku 1514 w księgozbiorze krakowskiego uczonego Macieja z Miechowa, musiał więc zostać napisany wcześniej.

Pisze tam Kopernik:

Wielką ilość sfer niebieskich przodkowie nasi przyjęli, jak sądzę, dla zachowania zasady regularności w pozornym ruchu planet. Całkowicie niedorzeczne wydawało się bowiem przypuszczenie, by ciała niebieskie nie poruszały się zawsze jednostajnie po doskonałych kołach. Zauważyli zaś, że wskutek złożenia i połączenia ruchów jednostajnych na różne sposoby osiągnąć można dowolny ruch pozorny każdego z tych ciał do dowolnego położenia. (przeł. J. Drewnowski, M. Kopernik, Dzieła wszystkie, t. 3, Pisma pomniejsze, przekł. nieco zmieniony)

Następnie omawia krótko sytuację w astronomii od starożytności: najpierw Kallippos i Eudoksos starali się wyjaśnić ruchy nieba za pomocą sfer współśrodkowych, następnie przyjęto teorię Ptolemeusza, posługującą się kołami. Przeciwko pierwszej teorii w Komentarzyku, a także wielokrotnie później, przytaczał argument znany już od starożytności: przy stałych odległościach od Ziemi jasności planet nie powinny się zmieniać, podczas gdy w rzeczywistości zmieniają się bardzo wyraźnie.

Jednakże to, co głosili Ptolemeusz i wielu innych, pozostawało wprawdzie w zgodzie z danymi liczbowymi, ale budziło również niemałe wątpliwości. Tłumaczenia te nie były bowiem wystarczające bez dodatkowego wprowadzenia pewnych fikcyjnych kół wyrównujących, z których wynikało, że planeta ani na swojej sferze unoszącej, ani w odniesieniu do środka swego epicykla nie porusza się z zawsze jednakową prędkością. Toteż tego rodzaju system nie wydawał się ani ostatecznie doskonały, ani wystarczająco zgodny z rozumem.

Owe fikcyjne koła wyrównujące, to koła o środku w ekwancie E – którego nazwa łacińska brzmiała punctum equans – a więc punkt wyrównujący. Konstrukcja ta, wprowadzona przez Ptolemeusza, znakomicie poprawiała zgodność teorii z obserwacjami. Ruch punktu C był jednostajny, gdy patrzeć z punktu E, Ziemia jednak była w punkcie Z i mechanizm ten był nielogiczny z zegarmistrzowskiego punktu widzenia: obroty kół powinny być jednostajne, bo chodzi o idealny zegar stworzony przez Boga, który nie mógł być przecież partaczem; powinny one także być jednostajne względem swoich środków, a nie jakichś innych punktów.

Zważywszy te braki często się zastanawiałem, czy by się nie dało wynaleźć racjonalniejszego układu kół, od których zależałyby wszelkie pozorne nierówności ruchów i które obracałyby się ruchem jednostajnym względem własnych środków tak, jak tego wymaga zasada ruchu doskonałego. Przystąpiwszy do tego trudnego i niemal nierozwiązywalnego problemu znalazłem wreszcie sposób, w jaki można tego dokonać za pomocą kół o wiele mniej licznych i o wiele bardziej ze sobą zgodnych, niż przyjmowano dawniej, jeśli tylko wolno nam będzie przyjąć następujące założenia, zwane aksjomatami.

Założenie pierwsze

Nie istnieje jeden środek wszystkich sfer niebieskich.

Założenie drugie

Środek Ziemi nie jest środkiem świata, lecz tylko środkiem ciężkości i sfery Księżyca.

Założenie trzecie

Wszystkie sfery krążą wokół Słońca jako środka i dlatego w pobliżu Słońca znajduje się środek świata.

Założenie czwarte

Stosunek odległości Słońca od Ziemi do wysokości firmamentu jest o tyle mniejszy od stosunku promienia ziemskiego do odległości Słońca, że odległość ta jest niezauważalna w porównaniu z wielkością firmamentu.

Założenie piąte

Każdy ruch widoczny na firmamencie jest wywołany nie jego własnym ruchem, lecz ruchem Ziemi. Ziemia więc, wraz z otaczającymi ją żywiołami, w ciągu doby obraca się cała w swoich niezmiennych biegunach, podczas gdy firmament i najwyższe niebo pozostają nieruchome.

Założenie szóste

Cokolwiek spostrzegamy jako ruch Słońca, nie jest jego własnym ruchem, lecz skutkiem ruchu Ziemi i naszej sfery, z którą się obracamy wokół Słońca podobnie jak każda inna planeta; Ziemia wykonuje zatem kilka ruchów.

Założenie siódme

To, co u planet wydaje się ruchem wstecznym lub posuwaniem się naprzód, nie pochodzi od nich, lecz od Ziemi. Jej więc ruch sam wystarczy dla wyjaśnienia tak wielu nierówności dostrzeganych na niebie.

U Kopernika Ziemia przestaje pokrywać się ze środkiem świata – wbrew temu, co dowodził Arystoteles – stając się centrum już tylko lokalnym: ciążą ku niej ciała, ale tylko te, które znajdują się blisko, w granicach sfery Księżyca. Ciała ciężkie spadają więc w kierunku centrum Ziemi, a nie centrum świata.

Oprócz Słońca także gwiazdy są w rzeczywistości nieruchome, nie obracają się wokół Ziemi. Wraz z wprowadzeniem ruchu dobowego Ziemi odwraca się tradycyjny porządek: do tej pory to niebo, obejmująca wszystko najwyższa sfera gwiazd, miała się najszybciej, raz na dobę, obracać. U Arystotelesa niebo obracane miało być przez Nieruchomego Poruszyciela i miało przekazywać ruch do dołu. U chrześcijan takim poruszycielem stał się Bóg. Teraz ta największa sfera zastygnąć miała w absolutnym bezruchu.

Giovanni di Paolo, Stworzenie świata i wygnanie z Raju (1445)

Oczywiście obserwowane na niebie zjawiska będą takie same bez względu na to, czy to Ziemia się obraca raz na dobę, czy niebo krąży wokół niej raz na dobę. Wiedziano o tym już od starożytności, zawsze jednak wybierano tę drugą możliwość. Skoro Słońce jest w środku świata, to oczywiście jest ono nieruchome. Mamy więc obok sfery gwiazd drugie nieruchome ciało w kosmosie.

Roczny ruch Słońca na niebie, jego przesuwanie się wzdłuż Zodiaku [ekliptyki] także jest złudzeniem optycznym wywołanym ruchem Ziemi. Znów: z punktu widzenia obserwowanych zjawisk astronomicznych wszystko przebiegać będzie tak samo. Motywem Kopernika nie jest uzyskanie precyzyjniejszego opisu zjawisk, lecz zbliżenie się do prawdy. System Ptolemeusza jest wprawdzie „w zgodzie z danymi liczbowymi”, ale to za mało.

Założenia piąte i szóste zawierają, w sensie dosłownym, nowe spojrzenie na zjawiska niebieskie. Można sobie z tych słów wyobrazić, jak od czasu swego pomysłu Kopernik zaczął patrzeć na niebo zupełnie innym wzrokiem. Co innego widzi się wiedząc, że niebo obraca się wokół nas, co innego zaś, gdy uważamy, że to my obserwujemy niebo z wirującej karuzeli. Patrzenie nie jest czynnością prostą i niezależną od refleksji: co innego widzi zwolennik Ptolemeusza, dla którego cały świat wiruje, co innego zaś Kopernik, czy jego późniejsi zwolennicy, widząc absolutnie nieruchome gwiazdy. Jest to dwoistość poznawcza przypominająca pewne grafiki M.C. Eschera.

Psychologiczne doświadczenie nowego spojrzenia na wszechświat musiało być dla Kopernika niezwykle ważnym przeżyciem. Nigdy nie wrócił już do tradycyjnego obrazu. Nie usiłował ich też w żaden sposób pogodzić. Dla współczesnego człowieka przyzwyczajonego do zmian układów odniesienia oraz do względności prawd i punktów widzenia kopernikanizm może wydać się dość banalnym ćwiczeniem z tego zakresu. Trudno jest wyobrazić sobie sytuację kogoś, kto wykonuje je po raz pierwszy. Bez wątpienia Kopernik przekonany był o prawdziwości swojego pomysłu i wierzył w niego, choć nie miał na to żadnych dowodów.

Założenie siódme sprawia, że niepotrzebne stają się Ptolemeuszowe epicykle dla pięciu planet, wprowadzone właśnie po to, aby opisać zmiany kierunku ich ruchu na tle gwiazd. Jeśli przyjmiemy ruch Ziemi, to wszystkie planety poruszają się stale w jednym kierunku, bez żadnych ruchów wstecznych. Tu właśnie kopernikańskie spojrzenie przynosi najwieksze korzyści: układ planet wygląda teraz prościej.

Komentarzyk był przedstawieniem niezwykłego pomysłu. Przekonywał, że układ heliocentryczny może być astronomicznie nie gorszy, a nawet lepszy od tradycyjnego Ptolemeuszowego. Pokazywał, że możemy w nowy, niezwykły sposób spojrzeć na zjawiska niebieskie i że wtedy system świata przedstawia się prościej. Planety obiegają Słońce w czasie tym dłuższym, im dalej znajdują się od niego. Co więcej, w Komentarzyku Kopernik sądzi, że tor zakreślany przez daną planetę jest niezmienny, że powraca ona regularnie do tych samych miejsc kosmosu (w teorii Ptolemeusza tak nie było, ponieważ okresy obrotu epicyklu i deferentu były niewspółmierne). Później, pracując nad swoim traktatem Kopernik odkrył, że od czasów Ptolemeusza orbity planet zmieniły wyraźnie swą orientację względem gwiazd.

Ruch Słońca i ruch gwiazd są więc jedynie złudzeniem wywołanym ruchem Ziemi. Należało zatem Ziemi przypisać kilka ruchów, a dokładnie trzy:

Ziemia podlega trzem ruchom. Pierwszy jest ruch na wielkiej sferze [wielkim kręgu Orbis Magnus], z której okrążając Słońce według kolejności znaków Zodiaku, dokonuje obrotu w ciągu roku […] wydaje się, że Słońe porusza się po kole takim ruchem, jakby Ziemia leżała w środku świata. Tymczasem dzieje się to nie wskutek ruchu Słońca, lecz Ziemi. Kiedy na przykład znajduje się ona w znaku Koziorożca, Słońce widoczne jest na wprost, w kierunku średnicy, w znaku Raka i tak dalej […]

Potrzebny był Kopernikowi jeszcze jeden, trzeci ruch Ziemi, który wyjaśnić mógłby, dlaczego oś Ziemi zamiast obracać się w okresie roku, zachowuje mniej więcej stały kierunek względem gwiazd. Kopernik, zgodnie z tradycją, wyobrażał sobie ruch Ziemi wokół Słońca tak, jakby była ona unoszona na jakimś sztywnym ramieniu – było to myślenie kategoriami machina mundi, machiny świata złożonej ze sfer. Oś Ziemi unoszonej w taki sposób musiałaby się także obracać razem z nią samą, dlatego potrzebne było wprowadzenie trzeciego ruchu kompensującego. Nie istniało jeszcze takie pojęcie przestrzeni, do jakiego później przyzwyczaił nas Newton (obecnie stałość kierunku ziemskiej osi w przestrzeni objaśniana jest zasadą zachowania momentu pędu: Ziemia jak wirujący żyroskop zachowuje stałą orientację osi). Jednocześnie zastanawiał się Kopernik nad możliwością jakiegoś fizycznego mechanizmu zapewniającego stałą orientację osi ziemskiej względem gwiazd: „Wiem – by sięgnąć do pomniejszych spraw – że namagnesowana igła przyjmuje zawsze ten sam kierunek” (W późniejszych tekstach Kopernik już nie wraca do tego pomysłu, astronomia w jego pojęciu wymaga zresztą opisu zjawisk, a nie podawania ich fizycznych przyczyn).

Przy okazji ów trzeci ruch Ziemi, ruch jej osi obrotu, można było wykorzystać do tego, aby zdać także sprawę ze zjawiska precesji, „obrotu ósmej sfery”. Wystarczyło założyć, że okres trzeciego ruchu nie pokrywa się dokładnie z okresem obiegu Ziemi po orbicie, dzięki temu po wykonaniu pełnego okrążenia oś ziemska nie wraca dokładnie do tej samej orientacji, lecz nieznacznie obraca się względem gwiazd. Jak pisze Kopernik, „Powszechnie przyjmuje sie więc, że firmament obarczony jest kilkoma ruchami, którymi rządzą prawa, niedostatecznie dotąd zrozumiane. Ale ruch Ziemi może te zmienności wyjaśnić w bardziej naturalny sposób.”

Zamiast więc przypisywać niebu gwiaździstemu kilka ruchów, można te wszystkie ruchy przypisać Ziemi, gwiazdy uznając za nieruchome. To nie oś nieba wykonuje ruchy w kosmosie, ale oś Ziemi wykonuje te ruchy. Z technicznego punktu widzenia nic się nie zmieniało. Oczywiście rozwiązanie takie było bardziej zadowalające kosmologicznie: łatwiej przypisać pewne, nawet dość zawiłe ruchy Ziemi niż doskonałemu niebu.

Komentarzyk jest tekstem o tyle osobliwym, że zaczyna od tradycyjnej filozoficznej krytyki ekwantów – niejednostajności ruchów kołowych w tradycyjnej astronomii – a następnie formułuje ideę uproszczenia układu świata przez wprowadzenie ruchu Ziemi. Obie te kwestie nie są logicznie powiązane. Można wyeliminować ekwanty i pozostać przy układzie geocentrycznym, jak zrobili to dużo wcześniej uczeni islamscy ze szkoły w Maragha tacy, jak Nasir At-Tūsi i Ibn aš-Šātir. Można też przyjąć układ heliocentryczny oraz ekwanty, jak na pewnym etapie swej pracy zrobił Johannes Kepler. Kopernik miał trzymać się obu tych założeń jednocześnie.

Rozwiązania geometryczne astronomów islamskich są w zasadzie identyczne z przyjętymi przez Kopernika. Dzieła islamskie nie były powszechnie znane za czasów Kopernika, do niedawna nie były też znane historykom współczesnym. Zbyt wiele jednak szczegółów u Kopernika pokrywa się z rozwiązaniami stosowanymi w szkole z Maragha, aby mogło to być jedynie zbiegiem okoliczności. Najprawdopodobniej podczas pobytu w Italii Kopernik zetknął się z jakimiś manuskryptami ze Wschodu. Uczeni islamscy nie proponowali jednak ruchu Ziemi. Astronomiczna teoria heliocentryczna – zawierająca wszelkie niezbędne szczegóły – jest niewątpliwie własnością intelektualną Kopernika. Wielu historyków czuje się pewniej, gdy mogą sprowadzić odkrycie do zapożyczenia pewnych elementów z przeszłości, jakby nie wierząc, by jakikolwiek pomysł na świecie mógł powstać jedynie dzięki myśleniu. Wyznają oni swego rodzaju atomizm w świecie idei: idee krążą wiecznie niby niezmienne atomy, łącząc się co najwyżej od czasu do czasu w nowe wzory i kombinacje. Poszukiwano z zapałem także i prekursorów teorii Kopernika, jednak bez zadowalających rezultatów. Pomysły jakiegoś ruchu Ziemi pojawiały się niejednokrotnie, zwykle były to jednak tylko pomysły, nie traktowane zbyt serio przez tych, którzy je głosili. Sama możliwość ruchu Ziemi znajdowała się od starożytności właściwie ciągle w polu widzenia uczonych, odkąd Arystoteles i Ptolemeusz uznali za stosowne podać argumenty przeciwko ruchowi Ziemi. Kopernik chcąc zrewidować punkt widzenia astronomii zwracał oczywiście uwagę na wzmianki o ruchu Ziemi. Bardziej oczywistą ideą był tu ruch dobowy Ziemi wokół osi. Chyba jednak nikt prócz Arystarcha (o którym Kopernik nie wiedział) nie rozpatrywał ruchu rocznego, znacznie bardziej brzemiennego w skutki i ważniejszego, zarówno dla Kopernika, jak i dla dalszego rozwoju nauki. Ponadto gdybyśmy nawet znaleźli jakieś źródła, które mogły zasugerować Kopernikowi jego punkt wyjścia, to i tak pozostaje faktem, że nikt nie przekształcił idei tego rodzaju w funkcjonującą teorię astronomiczną, a tylko to się ostatecznie liczy w nauce. Z dwóch podstawowych innowacji kopernikańskich: heliocentryzmu i ruchów jednostajnych, to ta pierwsza – bardziej zaskakująca i ważniejsza historycznie – okazuje się własnością intelektualną Kopernika, druga zaś – która zdawała się ważniejsza współczesnym Kopernika – okazała się zbieżna z wcześniejszymi rozwiązaniami astronomów islamskich i być może nie jest nawet niezależnym wkładem Kopernika do nauki.

Ostatecznie Kopernik formułuje swój układ heliocentrycznego kosmosu, w którym planety poruszają się dzięki złożeniu ściśle jednostajnych ruchów kołowych. Potrzebował do tego, jak sam obwieszcza w Komentarzyku 34 kół. W stosunku do 55 sfer Arystotelesa stanowi to niewątpliwe uproszczenie. Rzecz jednak w tym, że należałoby tę teorię zestawiać nie z filozoficznym modelem Arystotelesa, który nigdy nie objaśniał ilościowo żadnych zjawisk i stanowił raczej rodzaj muzealnego zegara, od którego nie wymaga się by chodził, lecz z działającą teorią matematyczną Ptolemeusza. Na razie jednak Kopernik nie zbudował porównywalnej teorii, miał jedynie jej zarys, wstępną wersję. W trakcie pracy nad Obrotami miał się przekonać, że szczegółowe porównanie nie wypada już tak jednoznacznie na korzyść jego systemu.

Ruch planet wg Komentarzyka. Słońce (w istocie tzw. Słońce średnie, a nie to fizyczne, świecące na niebie) znajduje się w centrum dużego koła o promieniu R. Znikły epicykle Ptolemeusza, ale wprowadza Kopernik dwa dodatkowe epicykle: jeden o promieniu obracał się tak, aby linia pozostawała stale równoległa do linii . Z dzisiejszego punktu widzenia powiedzielibyśmy, że wektor pozostaje stały (względem gwiazd), dla Kopernika obracał się on, ponieważ położenia mierzono od prostej , czyli tak jakby mniejsze koło obracało się na jakimś mechanicznym ramieniu. To pierwsze koło łatwo było zastąpić kołem mimośrodowym – ekscentrykiem – w terminologii ówczesnych astronomów. Było jeszcze drugie koło o promieniu i ono obracało się tak, aby trapez pozostawał wciąż równoramienny. Ta konstrukcja zastępowała ekwant i wymyślona była przez Ibn aš-Šātira. Planeta zakreślała zamkniętą, nieco owalną linię (owal wybrzuszony był w złą stronę w porównaniu do keplerowskiej elipsy). François Viète zauważył pod koniec wieku XVI, że ruch po dwóch mniejszych kółkach można zastąpić jednym ruchem po elipsie, ale oczywiście Kopernikowi nie o to chodziło.

Wielu historyków nauki zastanawiało się nad genezą reformy Kopernika. Komentarzyk ukazuje nam gotowe rozwiązanie, w którym zmienić się miały już tylko szczegóły techniczne, nie mówi natomiast nic o tym, jak przyszła mu do głowy tak niezwykła myśl i dlaczego Kopernik zdecydował się prześledzić jej konsekwencje. Wiedział też Kopernik zastanawiając się nad swoim pomysłem, że z jednej strony ma tu pewne wsparcie w starożytnych tekstach – ruch Ziemi nie jest więc pomysłem aż tak absurdalnym, jakby się to mogło na pozór wydawać. Z drugiej zaś strony zauważył, niewątpliwie po skrupulatnym zbadaniu sprawy, że „argumenty, którymi filozofowie przyrody starają się udowodnić nieruchomość Ziemi, po większej części oparte są na zjawiskach i wszystkie zostaną tu obalone, gdy tylko wyjdziemy poza pozory” [O obrotach, ks. I] – argumenty te tracą swą moc dowodową, jeśli prawdą jest, że Ziemia się porusza; nie dowodzą więc one w istocie niczego, są przekonywaniem przekonanych, nie mogą więc przeszkodzić w rozważeniu hipotezy ruchu Ziemi. Stosuje się to np. do arystotelesowskiego utożsamienia środka ku któremu spadają ciała ze środkiem świata. Jeśli uznamy, jak Kopernik, że ciała spadają ku środkowi Ziemi, to tym samym stanie się możliwe, że Ziemia nie jest środkiem świata.

Istotą kopernikanizmu z punktu widzenia ruchów w świecie są dwa założenia (piąte i szóste w Komentarzyku): o nieruchomości gwiazd oraz nieruchomości Słońca. Pierwsze przerzuca na Ziemię ruch dobowy oraz długookresowy ruch precesyjny: Ziemia wiruje, oś jej obrotu zmienia położenie w przestrzeni. Drugie zastępuje widoczny roczny ruch Słońca rocznym ruchem orbitalnym Ziemi. Trudno też ustalić, który z dwóch pomysłów – nieruchomość gwiazd czy nieruchomość Słońca pojawił się jako pierwszy. Jasne jest bowiem, że jeśli uda nam się wyjaśnić jakiś ruch obserwowany na niebie odpowiednim ruchem Ziemi, to aż się prosi, aby podobną metodę rozciągnąć i na inne ruchy.

Być może punktem wyjścia był nawet nie obrót dobowy, choć ten akurat obrót najczęściej bywał wcześniej rozpatrywany. W którymś momencie Kopernik mógł zdać sobie sprawę, że zawiłe ruchy precesyjne gwiazd – ruchy ósmej sfery, wymagające wprowadzania kolejnych sfer dziewiątej i dziesiątej – prościej jest opisać zmianami położenia osi Ziemi, nie każąc gwiazdom wykonywać skomplikowanych obrotów i kołysań, które im niezbyt przystoją. Z chwilą gdy gwiazdy uznamy za nieruchome, przyjąć trzeba, że Ziemia wiruje. Za takim punktem wyjścia pracy Kopernika opowiadał się Jerome R. Ravetz.

Inną możliwością było zwrócenie uwagi na to, że Ptolemeuszowe epicykle planet górnych obracają się względem gwiazd w okresie rocznym: ich obrót jest ściśle ze sobą zsynchronizowany. Linie i pozostają równoległe do siebie w każdej chwili. Jednocześnie koła w konstrukcji ptolemeuszowej można przestawiać, ponieważ dodawanie wektorów jest przemienne. Model Ptolemeuszowy można dowolnie przeskalowywać, ważne są w nim jedynie kąty. Dlatego wszystkie koła obracające się w okresie roku możemy zastąpić jednym wspólnym kołem i uznać je za orbitę Słońca wokół Ziemi. Powstaje wówczas konstrukcja, w której środki kół planet leżą w Słońcu. Schemat taki pozwalał zaoszczędzić po jednym kole dla każdej z pięciu planet, których dotyczył. W dodatku pewne regularności, które w teorii Ptolemeusza były dodatkowymi i niekoniecznymi założeniami (jak synchronizacja epicyklów), u Kopernika znajdowały naturalne wyjaśnienie. Struktura teorii astronomicznej wyraźnie zyskiwała na przejrzystości, można było zrozumieć fakty przedtem niepowiązane ze sobą. Otrzymywało się także znacznie lepiej wyglądający układ planet, bez dużych epicyklów.

Ostatecznie Komentarzyk nie jest przekonujący dla sceptyka, nie przedstawia bowiem żadnych rozstrzygających argumentów za rozwiązaniem Kopernikańskim. Argumentów takich nie było zresztą również długo po śmierci Kopernika. Można się było zgodzić, że na gruncie astronomii pomysł Kopernika miał pewne zalety i nie prowadził do natychmiastowej sprzeczności z faktami, nie był więc tak absurdalny, jakby mogło się na początku wydawać. Aby jednak serio potraktować propozycję Kopernika, należało najpierw przejść do porządku nad argumentami arystotelików przeciwko ruchowi Ziemi. Wprawdzie argumenty te istotnie były słabsze, niż się mogło wydawać – Kopernik miał tu trafne przeczucie, tym niemniej nie można było ich zbyć kilkoma zdaniami. Na szczęście dla rodzącej się teorii Kopernik nie poświęcał im wielkiej uwagi. Być może sprzyjającą okolicznością była tu naukowa izolacja Kopernika, obracając się na codzień wśród akademickich kolegów musiałby odpierać ich ataki, do czego nie był wtedy przygotowany merytorycznie, ani jak się zdaje psychicznie. Środowiska naukowe urabiają poglądy swoich członków, a w tym przypadku trudno byłoby oczekiwać przychylnych reakcji na nową ideę. Niejednokrotnie w historii nauki pewna izolacja badacza, przynajmniej w jakimś okresie, sprzyjała rozwijaniu oryginalnego punktu widzenia.

Nie wiadomo, jakie były reakcje na Komentarzyk, nie ma wszakże powodu przypuszczać, aby były zachęcające. Alexandre Koyré uważa, że Komentarzyk znała bardzo ograniczona liczba osób, w szczególności nie był zapewne pokazywany profesorom w Krakowie, ponieważ w przeciwnym razie mielibyśmy jakieś wiadomości o ich reakcjach. Według świadectwa jednego z późniejszych astronomów Caspara Peucera nazwisko Kopernika jako uczonego stało się głośne już około 1525 r.

Szczegółowe dowody matematyczne zostały „przeznaczone do większego dzieła.” Dopiero później nastąpić miało wieloletnie opracowywanie matematycznych szczegółów – szczegółów, które w astronomii są wszystkim. Najbardziej zadziwiające jest to, że owo większe dzieło istotnie powstało. Mieszkając z dala od ośrodków życia umysłowego, pochłonięty uciążliwymi codziennymi obowiązkami, Kopernik potrafił nie tylko zaproponować, lecz także i opracować we wszystkich matematycznych szczegółach nową teorię niebios, znaleźć czas i siły na niezbędne obserwacje i, przede wszystkim, obliczenia. Teorii takiej nie zaproponował ani żaden z astronomów islamskich, którzy przez wieki zastanawiali się nad dorobkiem Ptolemeusza, ani żaden z astronomów europejskich, sławnych poprzedników Kopernika, jak Georg Peurbach czy Regiomontanus. Dwaj ostatni żyli wprawdzie dość krótko, nic jednak nie wskazuje, aby mieli ideę równie wielkiego dzieła. Jeśli podziwiamy śmiałość Kolumba czy Vasco da Gamy, którzy potrafili zdobyć się na odszukanie nowych dróg i nie wahali się podejmować ryzyka, to należy także mieć podziw dla intelektualnej odwagi Kopernika, ktory podjął się opracowania nowego systemu astronomii, sprawdzenia do końca swojego odważnego pomysłu, mimo że wydawać on się mógł szalony. Oczywiście innego rodzaju odwagi wymaga morska podróż i astronomiczne obliczenia – w obu jednak wypadkach trzeba wierzyć w swoją szczęśliwą gwiazdę. Być może właśnie w odwadze zapuszczenia się w gąszcz rachunków i obserwacji niezbędnych do zbudowania nowej astronomii należy upatrywać wpływu epoki Odrodzenia, Kopernik jest człowiekem renesansu, człowiekem odważniejszym i podejmującym ryzyko.

Impulsem do opracowania traktatu stało się może zetknięcie z drukowanym wydaniem Almagestu (1515) Ptolemeusza, który ukazywał wyraźnie, czego potrzeba, aby zbudować kompletną teorię ruchu planet. Kopernik jako pierwszy nowożytny astronom podjął się tego zadania. Z tą myślą zaczął prowadzić obserwacje niezbędne, by wyznaczyć parametry ruchów planet. Jak się wydaje, to właśnie na potrzeby dzieła Kopernik zajął się poważniej obserwacjami astronomicznymi. Choć dokonywał ich także i wcześniej, i do książki weszła nawet jedna z obserwacji wykonanych jeszcze we Włoszech, to Kopernik nie był nigdy wielkim obserwatorem. Nie był też obserwatorem najdokładniejszym. Jego przyrządy były stosunkowo proste, by nie powiedzieć prymitywne i służyć miały jedynie uzyskaniu niezbędnych danych liczbowych. Ostateczna teoria nie była ani dokładniejsza, ani prostsza od Ptolemeuszowej. Istotny okazał się właściwie tylko heliocentryczny punkt wyjścia, cała reszta zestarzała się szybko. W 1609 r. Johannes Kepler wydał dzieło Astronomia nova i to ono stanowi początek nowożytnej astronomii.

(*) Przybysz z innego układu planetarnego mógłby się zdziwić, czemu tyle ulic i szkół w Polsce nosi imię Niemca z Prus Królewskich, który we Włoszech zapoznał się z astronomią Arabów i Persów rozwijaną w Azerbejdżanie irańskim oraz w Syrii i opracował alternatywę dla modelu aleksandryjskiego Greka Ptolemeusza, mieszkając całe życie na Warmii, która była oddzielnym księstwem, nie graniczącym z Polską.

Trochę rachunków na koniec. Wprowadźmy ruchomy układ współrzędnych jak na rysunku. Mamy wtedy dla położenia planety w funkcji kąta (proporcjonalnego do czasu):

Łatwo zauważyć, że tor jest elipsą o półosiach (wystarczy skorzystać z jedynki trygonometrycznej).

Można też obliczyć kąt oraz odległość planety od Słońca (przyjmujemy :

Najlepsze dopasowanie do modelu Ptolemeusza uzyskamy, gdy

Ani Ibn aš-Šātir (który wymyślił ten podwójny epicykl), ani Kopernik, który go stosował, nie wiedzieli, jak dobrać optymalnie wartości . Stosując rozwinięcia wzgledem , otrzymujemy z dokładnością do wyrazów kwadratowych

Błędy w stosunku do ruchu keplerowskiego są teraz równe

Widzimy więc, że kąt ma ten sam błąd co u Ptolemeusza, natomiast błędy odległości są dwa razy większe. Teoria Ptolemeusza była więc potencjalnie lepsza. Ideologia świata-boskiego zegara psuła astronomię.

 

 

Czemu Ptolemeusz był wielkim astronomem?

Klaudiusz Ptolemeusz – jak wskazuje rzymskie Klaudiusz i greckie Ptolemeusz – był Grekiem żyjącym w czasach imperium rzymskiego. Pracował w kosmopolitycznej, handlowej i uczonej Aleksandrii, jednym z wielu miast założonych przez Aleksandra Macedońskiego. Zdobywca światów umarł młodo, lecz poszerzył zasięg greckiej kultury. Egipska Aleksandria stała się głównym ośrodkiem nauki tworzonej w języku greckim: Muzeum albo Musejon, przybytek muz, był czymś w rodzaju instytutu naukowego ze słynną biblioteką, obserwatorium astronomicznym, ogrodami botanicznymi i zoologicznymi. Od Euklidesa przez Apoloniusza, Hipparcha do Ptolemeusza rozwijały się tam nauki matematyczne. Sam Ptolemeusz jest autorem Geografii, traktatów o muzyce, optyce i astrologii oraz podstawowego dzieła astronomicznego Mathēmatikē Syntaxis („Zbiór matematyczny”– bezbarwne tytuły nie są wynalazkiem współczesnych uczonych), znanego też jako Megiste („Największy”), co przeszło w arabskie al-majisṭī, z czego wzięła się używana od średniowiecza do dziś nazwa Almagest. Już sama historia tego tytułu pokazuje skomplikowane dzieje przekazywania wiedzy greckiej do nowożytnej Europy.

Mapa świata wg Geografii Ptolemeusza narysowana w XV wieku (Wikimedia Commons)

Mapka rozpowszechnienia Almagestu do czasów Kopernika (В.А. Бронштэн, Клавдий Птолемей, 1988)

Z czasem dzieło Ptolemeusza zawędrowało nawet dalej niż sięgały zdobycze Aleksandra Macedońskiego, bo aż do Indii i do Chin. Co było w nim tak niezwykłego, że tłumaczono je na różne języki, pracowicie kopiowano, a potem drukowano? Almagest i Elementy to najważniejsze dzieła greckie dotyczące nauk ścisłych. Elementy były popularne aż do końca XIX wieku, ponieważ zawierały podstawy geometrii i nadawały się do nauczania w szkołach. Jednak późniejsi uczeni greccy, jak Archimedes, Apoloniusz czy Pappus znacznie powiększyli wiedzę matematyczną. Inaczej w przypadku Almagestu: stanowił on szczyt osiągnięć greckich i można odpowiedzialnie powiedzieć, że dopiero Johannes Kepler posunął dalej sztukę rozumienia ruchów planet, przekraczając poziom osiągnięty przez Ptolemeusza. A więc od II w.n.e. aż do początku wieku XVII ludzkość nie miała lepszej astronomii niż Ptolemeuszowa. Zmieniały się mapy polityczne, wierzenia, religie, języki, kultury, a dzieło Ptolemeusza wciąż stanowiło punkt odniesienia, szczyt kiedyś już zdobyty, ale wciąż trudny do ponownego zdobycia.

Teorie wykładane w Almageście nie są autorstwa Ptolemeusza. Konstrukcje geometryczne zawierające złożenia ruchów po okręgach zastosował już Apoloniusz. Wiele ważnych obserwacji dokonał Hipparch. Do Ptolemeusza jednak należy synteza całej tradycji i sformułowanie jej w postaci pewnego systemu wiedzy. Korzystał z nagromadzonych obserwacji, sam był aktywnym obserwatorem, poprawił też zastane rozwiązania. Almagest pozwala dla danej daty i godziny znaleźć położenie na niebie Słońca, Księżyca, a także pięciu znanych wówczas planet. Sądzono, że położenia te mają wpływ na los człowieka – astrologia była głównym motywem badań astronomicznych. Można wszakże sądzić, że matematyczne umysły w rodzaju Apoloniusza czy Ptolemeusza tak czy owak zgłębiałyby ruchy planet. Są one bowiem powtarzalne, ale niezupełnie, ich usytuowanie nigdy się naprawdę nie powtarza, choć w oczywisty sposób zawiera pewne cykle. Sądzę, że i bez astrologii ruch planet byłby wyzwaniem. Astrologia była raczej koniecznym dopowiedzeniem: skoro świat jest tak urządzony, że owe boskie ciała krążą w zawiły sposób po niebie, to musi to w jakiś sposób dotyczyć także naszego losu. Oczywiście, przeskok od matematyki do cech charakteru czy obliczenia daty odpowiedniej  np. na ślub był logicznie i empirycznie wadliwy, ale i zrozumiały: ludzie zawsze starają się znaleźć w świecie przede wszystkim to, co może ich dotyczyć. Egocentryzm jest postawą jeszcze bardziej naturalną niż geocentryzm.

Podstawowa idea modeli planetarnych była prosta. Mamy dwa okręgi: większy o środku (deferent) i mniejszy o środku (epicykl). Wektor obraca się, unosząc epicykl, planeta znajduje się na jego obwodzie, na końcu wektora . Ziemia spoczywa w punkcie . Ruch zachodzi tu w jednej płaszczyźnie. Planety znajdują się na niebie zawsze w pobliżu ekliptyki, czyli rzutu płaszczyzny orbity Ziemi na sferą niebieską. A więc w pierwszym przybliżeniu możemy ich ruchy rzutować na tę jedną płaszczyznę – dla nas jest to płaszczyzna orbity Ziemi, dla starożytnych była to płaszczyzna orbity Słońca. Dzięki temu model płaski może opisywać najważniejszą część ruchu planet. Odchyleniami od ekliptyki zajmowano się również, ale było to niejako drugie przybliżenie, którego szczegóły tutaj sobie darujemy. Warto pamietać, że dopiero Johannes Kepler wpadł na pomysł, iż orbity planet leżą w płaszczyznach, które przecinają się w Słońcu. Nie wiedzieli o tym starożytni ani Mikołaj Kopernik.

Zazwyczaj dominuje ruch po deferencie w lewo i planeta porusza się względem gwiazd z zachodu na wschód. Czasem jednak zatrzymuje się i zaczyna poruszać się ruchem wstecznym, ze wschodu na zachód. Potem znów wraca do ruchu prostego, tzn. z zachodu na wschód. Pętla w naszym przybliżeniu powinna być spłaszczona: zostaje tylko zmieniający się ruch w płaszczyźnie ekliptyki. Epicykl potrzebny był właśnie do tego, by odtwarzać ruch wsteczny planety.

 

Ptolemeusz ani jego koledzy nie wiedzieli prawie nic o odległościach planet. Wiadomo wprawdzie, że np. Mars jest najjaśniejszy w środku swego ruchu wstecznego, kiedy jest na niebie po przeciwnej stronie niż Słońce (jest w opozycji do Słońca, mówią astronomowie). Sugeruje to, że powinien wtedy być bliżej, ale epicykl ma taki, a nie inny kształt z przyczyn estetyczno-filozoficznych: co się porusza w cyklu, powinno się poruszać koliście. Kierunki przewidywane przez ten model są  opisane prawidłowo – tyle wiedział Ptolemeusz. Fakt, że również i odległości są opisane prawidłowo, jest dodatkową cechą modelu, z czego pierwszy zdał sobie sprawę Kopernik. Jeśli znamy kierunki obu wektorów , to znamy i wektor położenia planety

Pierwszy z wektorów po prawej stronie jest stały. Zauważył bowiem Hipparch, że Ziemię lepiej jest odsunąć nieco od środka deferentu (dla każdej planety inaczej i w innym kierunku). Dwa ruchome wektory obracają się jednostajnie i ich kierunek dla danej chwili można zawsze obliczyć.

I w tym miejscu pojawia się z pozoru drobne ulepszenie autorstwa Ptolemeusza: ekwant. Miał on do dyspozycji więcej obserwacji niż Hipparch, minęły między nimi stulecia – postęp naukowy był wówczas niesłychanie powolny. Zresztą po Ptolemeuszu w zasadzie postępu nie było przez następne tysiąc pięćset lat. Piszę w zasadzie, ponieważ astronomowie islamscy i potem chrześcijańscy aż do Kopernika i do końca XVI wieku wprowadzali rozmaite udoskonalenia, które jednak niczego nie poprawiały. Na początku XVII wieku nadal najlepszą teorią była ta Ptolemeuszowa. Jej błędy dla Marsa zwykle nie przekraczały 1°.

Błędy w położeniach Marsa według efemeryd Origanusa (Ptolemeusz) i Keplera (źródło: O. Gingerich, Johannes Kepler and the Rudolphine Tables, „Sky and Telescope”, December, 1971, s. 328). Warto może dodać, że oprócz uczonych islamskich i Kopernika nikt nie dodawał epicykli do epicykli. Spotyka się czasem powiedzenie, że dalsze poprawianie jakiejś niezbyt udanej teorii to dodawanie kolejnych epicykli. Otóż takiego dodawania kolejnych epicykli w historii nie było. Teoria Ptolemeusza zestarzała się, by tak rzec moralnie (heliocentryzm itd.), ale matematycznie i pod względem zgodności z obserwacjami – wcale. Dalsze epicykle nie były potrzebne.

Gdy obserwuje się ruchy Marsa (w tym przypadku widać to najwyraźniej), okazuje się, że pętle ruchu wstecznego mają różne wielkości w różnych częściach nieba. Planeta w opozycji porusza się też raz szybciej, raz wolniej. Odsunięcie Ziemi od środka deferentu nie wystarczy. Dlatego Ptolemeusz wprowadził kontrowersyjne, ale znakomite rozwiązanie. Przyjął mianowicie, że punkt   porusza się jednostajnie nie względem środka okręgu , lecz względem pewnego innego punktu (zwanego ekwantem) i położonego po drugiej stronie środka deferentu tak, że .

Teraz kąt jest proporcjonalny do czasu, planeta nadal krąży jednostajnie po epicyklu (kąt jest proporcjonalny do czasu). Teoria przewiduje następujące ruchy Marsa:

Z punktu widzenia obserwatora ziemskiego Mars zatacza skomplikowane spirale: ich pętle odpowiadają ruchowi wstecznemu. Widzimy, że ich wielkość zależy od miejsca, w którym planeta znajdzie się najbliżej Ziemi: opozycje bliskie ujemnemu kierunkowi osi x odpowiadają mniejszej odległości planety od Ziemi niż opozycje po przeciwnej stronie ekliptyki. Dobrą zgodność ilościową otrzymujemy, uwzględniając ekwant – kontrowersyjne, jako się rzekło, rozwiązanie Ptolemeusza. Popatrzmy jeszcze na pętle Wenus:

Na drugim wykresie widać, że tor planety podwaja się po ośmiu latach. Zjawisko to wynika ze szczególnej wartości stosunku okresów obiegu Ziemi i Wenus wokół Słońca i nie ma dotąd przekonującego wyjaśnienia.

Jak dobrym przybliżeniem rzeczywistości jest ekwant? W przypadku Marsa deferent odpowiada orbicie planety, epicykl – orbicie Ziemi. Ograniczmy się do deferentu.

Położenie punktu , czyli heliocentrycznie rzecz biorąc, planety, dane jest odległością i kątem . Kąt jest proporcjonalny do czasu. Można łatwo obliczyć, że w modelu Ptolemeusza dla , otrzymujemy (pomijając wyrazy z potęgami wyższymi niż druga):

Porównajmy to z wynikami dla ruchu keplerowskiego po elipsie z tą samą dokładnością:

Zatem błędy równe są

Nawet dla Marsa, gdy , błędy są mniejsze niż , a . Teoria Ptolemeusza jest więc rewelacyjnie dokładna, biorąc pod uwagę ówczesny stan wiedzy i dokładność pomiarów. O takiej dokładności marzył Mikołaj Kopernik, ale jej nie osiągnął. Problemem była tu nie teoria, lecz dobór parametrów modelu na podstawie obserwacji.

Jeszcze na koniec powiedzmy, dlaczego pomysł z ekwantami był kontrowersyjny przez 1500 lat, zanim Kepler nie zrozumiał, jak świetne jest to przybliżenie rzeczywistych ruchów i nie poszedł dalej. Teoria geometryczna była znakomita, ale nie bardzo sobie wyobrażano, jak niebiosa realizują taki ruch. Planety były, jak wierzono, unoszone przez pewne sfery, rodzaj mechanizmu zegarowego. Można wyobrazić sobie, że ów mechanizm zawiera mniejsze i większe kółka. Można było nawet umieścić Ziemię ekscentrycznie. Jednak obrót, który nie jest jednostajny względem swego środka , ale względem innego punktu , wydawał się mechanicznie niewykonalny. Ludzie rozumieją zawsze tyle, ile potrafią wykonać albo przynajmniej wyobrazić sobie jako pewną idealną wersję tego, co działa tu na Ziemi. Ptolemeusz wykazał się niezwykłą odwagą, przedkładając zgodność z obserwacjami nad fizyczną realizację. Jego ekwant był ogniskiem elipsy w zarodku: w jednym ognisku mamy Słońce, wokół drugiego ogniska, które jest puste, prędkość kątowa jest niemal stała.

Pokażemy jeszcze, jak w dzisiejszym języku opisać można Ptolemeuszowe tory planet i jak wyznaczyć w funkcji , czyli czasu.

Z trójkąta COE i twierdzenia sinusów dostajemy

Wektor położenia planety jest zatem równy:

gdzie jest kątem CP z osią x. Oba kąty zmieniają się liniowo z czasem:

 

gdzie są okresami obiegu deferentu i epicyklu. Linie zakreślane przez narysowane zostały wyżej dla przypadku Marsa i Wenus.

Z rysunku tego łatwo wyznaczyć w funkcji , czyli czasu.

Mamy bowiem kolejno:

Ostatecznie więc

Odległość znajdujemy z tw. Pitagorasa. Wynik dla ruchu keplerowskiego znaleźć można w podręcznikach mechaniki niebios, np. klasycznej książce F.R. Moultona. Nasza konwencja jest zgodna z tradycją dawnej astronomii: mierzymy kąty od apogeum. Obecnie panuje zwyczaj mierzenia ich od perigeum/perihelium, różnią się więc o 180º, co daje nieco inne znaki.