Od nacjonalizmu do idiotyzmu: duch francuski i fizyka niemiecka (1915, 1936)

Ponieważ przybliża się chwila, gdy nasze niestrudzone władze powołają wreszcie do życia Narodowy Instytut Fizyki im. Antoniego od Wielu Wybuchów, więc warto może przypomnieć chlubne przykłady z przeszłości. Złudne jest bowiem mniemanie, że dziedziny takie, jak matematyka albo fizyka nie mają charakteru narodowego. Otóż mają i dlatego tak ważne jest promowanie autentycznie polskiej fizyki. A jakaż to będzie radość dla dziatek naszych najmilszych, gdy w programie szkół po Koperniku będzie od razu Maria Skłodowska-Curie, wypadną zaś te wszystkie Newtony, Ohmy, Hertze i Einsteiny. Wszak żarówkę wynalazł Łodygin, nie jakiś Edison. A była przecież i lampa naftowa Łukasiewicza, i elektryczne świece Jabłoczkowa. My, Słowianie (czyli w zasadzie Polacy), daliśmy światu tyle, tylko on o tym nic nie wie. Kto zaś będzie negował nasze osiągnięcia, ten skazany być może na 3 lata naszej szkoły i nawet wśród pingwinów dopadnie go karząca ręka prawa i sprawiedliwości.

Pierwszy przykład pięknej myśli narodowej w naukach ścisłych znajdujemy u Pierre’a Duhema. Wybitny specjalista od termodynamiki, najbardziej znany jest jako filozof i historyk nauki. Wprowadził on rozróżnienie umysłów naukowych na typ angielski i francuski. Miało się ono wywodzić z tego, co Blaise Pascal określał jako zmysł życiowy (esprit de finesse) oraz zmysł geometryczny (esprit de géométrie). W nauce mielibyśmy uczonych, którzy tworzą różne modele, trzymając się danych doświadczalnych, nawet gdy wprowadza to pewien zamęt pojęciowy; drudzy to budowniczowie prostych teorii, koncentrujący się na ich konsekwencjach. Przykładem typu angielskiego miał być Michael Faraday, francuskiego – Isaac Newton. Rozróżnienie nie miało więc charakteru nacjonalnego, lecz analityczny. Duhem nie lubił brytyjskiej szkoły posługującej się pojęciem pola elektromagnetycznego i mocno atakował Jamesa Clerka Maxwella z pozycji filozoficznych. Oczywiście, żadna filozofia nie mogła na dłuższą metę zaszkodzić osiągnięciom Maxwella, filozofowie mówią swoje, a nauka idzie dalej, nawet bez ich pozwolenia.

Gdy wybuchła pierwsza wojna światowa, czyli wielka wojna (nikt jeszcze nie wiedział, że będzie następna), Duhem, za stary, aby iść na front, zaczął pisać i nauczać o niemieckiej nauce. Co pochlebnego można było powiedzieć o nauce wrogów? Duhem nie zamierzał ich chwalić, wprowadził i omówił pojęcie umysłu typu niemieckiego. Nauka niemiecka była formalistyczna, polegająca na wywodach logicznych nawet tam, gdzie to nie ma większego sensu. „Niemiec jest pracowity, skrupulatny, zdyscyplinowany i podporządkowany”. To geometra, brak mu subtelności. Przykładem Bernhard Riemann, twórca abstrakcyjnego ujęcia geometrii nieeuklidesowej. „Doktryna Riemanna jest ścisłą algebrą, gdyż wszystkie twierdzenia, jakie się w niej formułuje, są bardzo precyzyjnie wydedukowane z przyjętych postulatów; zaspokaja to zmysł geometryczny. Nie jest jednak prawdziwą geometrią, gdyż, wprowadzając swoje postulaty, wcale nie zatroszczyła się, aby wnioski z nich zgadzały się w każdym punkcie z osądami wyprowadzonymi z doświadczenia, które składają się na nasze intuicje dotyczące przestrzeni; w ten sposób przeczy ona zdrowemu rozsądkowi”. Był luty roku 1915, w listopadzie Albert Einstein zapisał równania pola grawitacyjnego w swej teorii. Od kilku lat ci, którzy śledzili rozwój fizyki, wiedzieli, że właśnie geometria riemannowska jest językiem matematycznym nowej teorii. Inaczej mówiąc: owa formalistyczna geometria, rzekomo ignorująca nasze pojęcie przestrzeni, okazała się nauką o fizycznej czasoprzestrzeni, jak najbardziej konkretną, podlegającą pomiarom. Duhem nie śledził zapewne grawitacyjnych prac Einsteina, ponieważ już wcześniejsza szczególna teoria względności nie zyskała w jego oczach aprobaty. Sądził, iż nie istnieje graniczna prędkość w przyrodzie, gdyż można sobie zawsze wyobrazić przebycie określonej drogi w dowolnie krótkim czasie, nawet gdy praktycznie nie potrafimy tego zrealizować. Przyjęcie zasady względności Einsteina, Minkowskiego i Lauego sprawia, że prędkość ponadświetlna staje się sprzecznością logiczną – twierdzi Duhem. „To, iż zasada względności dezorganizuje wszelkie intuicje wynikające ze zdrowego rozsądku, nie wywołuje u fizyków niemieckich żadnych wątpliwości. Przyjęcie jej oznacza siłą rzeczy obalenie wszystkich doktryn dotyczących przestrzeni, czasu, ruchu, wszystkich teorii mechaniki i fizyki; w tak wielkiej dewastacji nie ma niczego, co by nie mogło się podobać myśli germańskiej. Na terenie, który zostanie oczyszczony z dawnych poglądów, geometryczny zmysł Niemców pozwoli im całym sercem oddać się dziełu zbudowania na nowo całej fizyki, której fundamentem stanie się zasada względności”. Widzimy więc na tych przykładach, jak bardzo niefrancuska, a tym samym przykra dla zrównoważonego umysłu, była niemiecka nauka Einsteina.

Mamy drugi jeszcze przykład, jak wolna myśl narodowa kształtować może zdrową etnicznie fizykę. Autorem naszym jest Philipp Lenard, laureat Nagrody Nobla z fizyki eksperymentalnej, człowiek mimo to zgorzkniały i upatrujący odrodzenia nauki aryjskiej w wyzwoleniu się od wpływów żydowskich. Zdaniem Lenarda fizyka stworzona została niemal wyłącznie przez Aryjczyków: Francuzów w jego opowieści nie było, Anglicy, Szkoci i Skandynawowie to praktycznie Niemcy. Niemcami byli też wielcy eksperymentatorzy, jak Heinrich Hertz, odkrywca fal elektromagnetycznych, u którego Lenard pracował kiedyś jako asystent. Hertz nie był jednak „czystej krwi”: jego ojciec, prawnik i senator hanzeatyckiego miasta Hamburga, był Żydem przechrzczonym na luteranizm. Miało to złowieszcze, zdaniem Lenarda, następstwa, gdyż w ostatnich latach życia Hertz zajmował się zasadami mechaniki. W pracy tej „silnie wyszedł na jaw duch żydowski, który w jego wcześniejszych owocnych pracach pozostawał w ukryciu”. W 1936 roku ukazało się czterotomowe dzieło Philippa Lenarda, zatytułowane Deutsche Physik. Był to podręcznik zawierający zdrową pod względem narodowym część fizyki, a nie – jakby ktoś złośliwy mógł pomyśleć – to, co z fizyki zrozumiał Lenard. We wstępie do swego wiekopomnego dzieła skromny jego autor zwracał się do czytelnika: „«Fizyka niemiecka?» – zapytacie. Mógłbym równie dobrze powiedzieć fizyka aryjska albo fizyka ludzi typu nordyckiego, fizyka badaczy rzeczywistości, poszukiwaczy prawdy, fizyka tych, którzy stworzyli badania naukowe. «Nauka jest międzynarodowa i zawsze taka pozostanie» – zaczniecie protestować. (…) W rzeczywistości tak samo, jak wszystko, co tworzy człowiek, również nauka zdeterminowana jest przez rasę albo krew. (…) Należy powiedzieć tu nieco o «fizyce» narodu żydowskiego, ponieważ stoi ona w jaskrawym przeciwieństwie do fizyki niemieckiej (…) fizyka żydowska dopiero niedawno poddana została wyważonej ocenie publicznej. Pod koniec wojny, kiedy Żydzi w Niemczech zaczęli dominować i narzucać ton, wezbrała niczym powódź i ujawniły się jej wszystkie cechy. Znalazła szybko gorliwych zwolenników wśród wielu autorów krwi innej niż żydowska albo nie czysto żydowska”. Oczywiście, przykładem fizyki żydowskiej par excellence musiał być Albert Einstein, jego teorie „kompletnie zgrały się w zetknięciu z rzeczywistością. Najwyraźniej nie były nawet w zamierzeniu prawdziwe. Żyd pozbawiony jest całkowicie zrozumienia prawdy innej niż tylko powierzchowna zgodność z rzeczywistością, [prawdy], która nie zależy od ludzkiej myśli. (…) Zdumiewające jest, że prawda czy rzeczywistość nie wydają się Żydowi czymś szczególnym bądź różnym od nieprawdy, lecz są one równoważne jednej z wielu możliwych opcji teoretycznych”.

Lenard nie mógł przeboleć, że powstaje nowa fizyka, tworzona m.in. przez Einsteina, a popierana ku jego niezadowoleniu przez Maksa Plancka czy Maksa Lauego, późn. von Laue – niewątpliwych etnicznych Niemców. Poglądy wygłaszane przez Lenarda, choć sformułowane prymitywniej, są w istocie zbliżone do zarzutów Duhema. Dla obu teoria względności sprzeczna była ze zdrowym rozsądkiem, była wykwitem zbyt dużej skłonności do abstrakcji oderwanej od rzeczywistości, przerośniętym esprit de géométrie. Duhem widział w tym cechę niemiecką, Lenard natomiast żydowską.

„«Ja cierpię» – Lepiej tak powiedzieć, niż powiedzieć: «Ten krajobraz jest brzydki»” (Simone Weil).

Reklamy

Einstein – żydowski prorok we własnym kraju

Obserwacje zaćmienia Słońca w 1919 roku potwierdziły zjawisko odchylenia światła w polu grawitacyjnym i to w wersji Einsteina (wartość jest dwa razy większa od newtonowskiej). Uczony w ciągu paru miesięcy został jednym z najsławniejszych ludzi na Ziemi.

Nie wszyscy czuli się przekonani do teorii względności, i nic w tym dziwnego: sformułowana została zaledwie parę lat wcześniej i nikt, łącznie z Einsteinem, nie zdawał sobie jeszcze sprawy z tego, jak głębokie zmiany nastąpią w fizyce pod jej wpływem. Widać to dopiero dziś, patrząc wstecz. W roku 1919 teoria ta wydawała się czymś niezwykle śmiałym i skomplikowanym matematycznie – poza niektórymi matematykami nikt bowiem nie znał geometrii riemannowskiej, potrzebnej do jej sformułowania (to jeszcze jedno z wielkich osiągnięć Bernharda Riemanna).

W listopadzie 1919 roku Einstein napisał krótki artykuł o swej teorii do „Timesa”, zakończony żartobliwym zdaniem: „Przystosowując teorię względności do upodobań czytelników, w Niemczech nazywają mnie niemieckim uczonym, a w Anglii – szwajcarskim Żydem. Jeśli zacznę być uważany za bête noire [czarną owcę], określenia te zostaną odwrócone: dla Niemców będę szwajcarskim Żydem, a dla Anglików niemieckim uczonym”.

Albert Einstein, Physiker, D/USA, Titelblatt Berliner Illustrirte

W grudniu portret uczonego ukazał się na stronie tytułowej „Berliner Illustrirte Zeitung” z podpisem: „Nowa znakomitość w dziejach świata: Albert Einstein; jego badania oznaczają zupełny przewrót w naszym rozumieniu przyrody, a jego idee dorównują w ważności osiągnięciom Kopernika, Keplera i Newtona”. Podobnie entuzjastyczny ton przyjął „Berliner Tagenblatt”.

Nie wszyscy byli jednak zachwyceni Einsteinem i jego teorią. Niemieckie gazety, które wychwalały Einsteina, należały do Żydów. Dla wielu „prawdziwych Niemców” był to tylko kolejny przykład żydowskiej propagandy, która niszczy i relatywizuje autentyczne wartości. „Berliner Tagenblatt” nazwany był w niektórych kręgach „Judenblatt” (skąd my to znamy?). Sama zaś teoria była uznawana za bezsensowny bełkot albo plagiat. Czasem nawet za jedno i drugie jednocześnie!

Proces przemiany Einsteina w szwajcarskiego Żyda był znacznie szybszy, niż on sam przypuszczał jesienią 1919 roku. Zdarzały się antysemickie incydenty na jego wykładach (miał ich zresztą niewiele, Einstein nie lubił uczyć). W sierpniu 1920 roku odbył się w sali Filharmonii Berlińskiej zjazd organizacji o nazwie Grupa Studyjna Niemieckich Badaczy Przyrody w Obronie Czystej Nauki. Organizację tę założył niejaki Paul Weyland, znany historii nie tylko ze swego antysemityzmu, ale i z tego, że działał na rzecz oderwania Śląska od Polski. Na zjeździe przemawiał także Ernst Gehrcke, profesor fizyki, utalentowany eksperymentator, którego stosunek do osoby Einsteina nazwać chyba należy namiętną nienawiścią. Twierdził on, że teoria względności to przykład zbiorowej hipnozy. W zasadzie jedynym tematem owego zjazdu było publiczne potępienie poglądów Einsteina, który zresztą wybrał się wraz z Waltherem Nernstem, aby tego posłuchać.

Na zjeździe nie było najwybitniejszego przeciwnika Einsteina, laureata nagrody Nobla, Philippa Lenarda, który w ostatniej chwili zrezygnował, być może uważając całe to przedsięwzięcie za nie dość poważne. Lenard był badaczem promieni katodowych – choć miał tego pecha, że najważniejsze odkrycie w tej dziedzinie, czyli odkrycie elektronu wiąże się nie z jego nazwiskiem, lecz z Anglikiem J.J. Thomsonem. Badał też zjawisko fotoelektryczne. Jego wyniki eksperymentalne na ten temat streszcza i podsumowuje znane równanie Einsteina z 1905 roku. Do bezpośredniego starcia z Lenardem doszło kilka tygodni później na zjeździe niemieckich przyrodników i lekarzy w Bad Nauheim. Dyskusja była dość jałowa, lecz tym razem merytoryczna. Zarzuty Lenarda były klasycznymi zastrzeżeniami praktyka w obliczu zmatematyzowanej teorii, której nie rozumie. Z mocno skróconych relacji z tego zjazdu trudno wywnioskować, czy w wystąpieniu Lenarda znalazły się jawne akcenty antysemickie. Wiadomo jednak, że starał się on wynaleźć przykłady Niemców, którzy wcześniej rzekomo osiągnęli takie same wyniki jak Einstein. I tak obrót perihelium Merkurego pojawił się już w pracy Paula Gerbera, nauczyciela ze Stargardu (praca była błędna). Związek masy i energii, słynne E=mc^2, pojawił się wcześniej w pracy Friedricha Hasenöhrla, teoretyka, który zginął podczas wojny światowej (w istocie jego równanie miało postać E=\frac{3}{4} mc^2 i nie było pierwszym wynikiem tego typu, rzecz analizowana była niedawno w pracy S. Boughna i T. Rothmana, ArXiv:1108.2250).

Albert Einstein jako jeden z pierwszych odczuł siłę niemieckiego nacjonalizmu. Wyjątkowo dobrze pasował do stereotypu Żyda-kosmopolity, choć Niemcy były jedyną ojczyzną, jaką kiedykolwiek miał, tu mieszkała jego kuzynka Elza, z którą wziął niedawno ślub. Miał potrzebę stabilizacji i odpowiadała mu niemiecka Gemütlichkeit. Ludzie mówili tu jego językiem ojczystym. W nadchodzących latach siły nacjonalistycznego obłędu doświadczyli również tacy Żydzi, którzy czuli się jak najbardziej lojalnymi obywatelami Niemiec, a bywało, że i niemieckimi szowinistami, jak Fritz Haber. Uczeni żydowskiego pochodzenia zostali zmuszeni do emigracji, Niemcy amputowały sobie naukową głowę, która nie odrosła do tej pory.

W roku 1920 wciąż daleko było jeszcze do 1933 i kanclerstwa Adolfa Hitlera. Niemcy, pokonane w wojnie i przeżywające trudności gospodarcze, były wciąż krajem budzącym szacunek zwłaszcza w kulturze i nauce. Czy rzeczywiście przyszłość już wtedy rysowała się czarno? Jednym z ważnych symptomów nadciągającej katastrofy było powszechna wśród niemieckich elit pogarda dla liberalizmu i demokracji. To właśnie dlatego nikt nie protestował w roku 1933, a Kościoły i uniwersytety poparły austriackiego ćwierćinteligenta na stanowisku przywódcy państwa.

Warto może wspomnieć o dalszych losach „bohaterów” antysemickich wystąpień przeciwko Einsteinowi. Paul Weyland w 1933 usiłował się zapisać do partii nazistowskiej i do związku niemieckich pisarzy. Nie udało mu się, ponieważ organizacje te broniły się przed masowym napływem świeżo upieczonych zwolenników nazizmu. Lata wojny przesiedział w obozach w Dachau i Sachsenhausen (nic nie wiadomo, by walczył o jakąkolwiek uczciwą sprawę), później wyemigrował do USA, gdzie udało mu się złożyć donos na Einsteina. Ówczesny szef FBI J. Edgar Hoover polecił zbadać „sprawę Einsteina”, dzięki czemu teczka uczonego w tej instytucji zawiera około 1500 stron. Ernst Gehrcke przez całe dziesięciolecia aż do swej śmierci w roku 1960 zbierał wszelkie możliwe wycinki z prasy wielu krajów na temat Einsteina, mimowolnie tworząc zbiór interesujący dla historyków i udostępniony obecnie online. Nie doczekał chwili przebudzenia ludzkości ze zbiorowej hipnozy, zwanej teorią względności. Philipp Lenard był doradcą Hitlera ds. fizyki aryjskiej, od 1931 roku był emerytowanym profesorem uniwersytetu w Heidelbergu. Stanowisko to stracił w 1945 roku po klęsce Rzeszy.

Dyskusja z Bad Nauheim dostępna jest tu w oryginale, a tu w angielskim przekładzie.

Rok 1859, Hipoteza Riemanna

W czasach PRL-u krążył dowcip, że socjalizm polega na heroicznych próbach rozwiązania problemów, które sam stworzył. To samo stosuje się w znacznej mierze do matematyki, która mimo swych rozlicznych zastosowań pozostaje dziedziną samowystarczalną, labiryntem, gdzie można błądzić latami, napotykając wciąż nowe cuda platońskiego świata. Jednym z najważniejszych nierozwiązanych problemów matematyki jest kwestia prawdziwości tzw. hipotezy Riemanna. Za jej udowodnienie Instytut Matematyczny Claya wyznaczył nagrodę równą milion dolarów.

Teoria liczb

Liczby naturalne, obok podstaw geometrii, poznajemy we wczesnym dzieciństwie. Zwykle też w szkole podstawowej uczono trochę o podzielności liczb i istnieniu liczb pierwszych: tj. takich, które mają dokładnie dwa dzielniki: 1 oraz samą siebie. Sposób na odsianie liczb pierwszych spośród całej reszty, podał jeszcze w starożytności Eratostenes, zwany przez zawistnych kolegów Betą – ponieważ zajmował się niemal każdą dziedziną i w każdej był drugi.

Sieve_of_Eratosthenes_animation

Zaczynamy od liczby 2. Jest ona liczbą pierwszą, ale wszystkie jej wielokrotności – czyli liczby parzyste – musimy wykluczyć. Następna jest liczba 3, która też jest liczbą pierwszą. Wykluczamy wszystkie jej wielokrotności: 6, 9, 12, … Postępując w ten sposób możemy ustalić, które liczby są pierwsze, a które złożone. Widać, że liczb pierwszych jest „dużo mniej” niż wszystkich liczb naturalnych, zachodzi pytanie, czy liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Okazuje się, że tak, co także dobrze wiedzieli starożytni. Ze sposobu działania sita Eratostenesa widzimy, że im większa jest liczba, tym większa szansa, że będzie ona jakąś wielokrotnością. Inaczej mówiąc zbiór liczb pierwszych staje się coraz rzadszy, w miarę jak przechodzimy do coraz większych wartości. Nie jest to jednak cała prawda: bo eksplorując zbiór liczb naturalnych napotyka się dowolnie długie obszary bez liczb pierwszych, choć można też napotkać pary liczb pierwszych różniących się tylko o dwa. Wszystko wskazuje na to, że takich par jest nieskończenie wiele, ale nikt tego nie udowodnił. Podobnie jak nieudowodniona jest hipoteza Goldbacha, że każda parzysta liczba naturalna większa niż 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych.

Do rozmieszczenia liczb pierwszych można podejść statystycznie. Carl Friedrich Gauss, zauważył w ich rozmieszczeniu pewną prawidłowość. Jeśli oznaczymy przez π(x) liczbę liczb pierwszych mniejszych niż x, otrzymujemy dwie pierwsze kolumny poniższej tabeli:

x

π(x)

x/π(x)

przyrost

x/ln(x)

10

4

2,50

 

4,3

100

25

4,00

1,50

21,7

1000

168

5,95

1,95

144,8

10000

1229

8,14

2,18

1085,7

100000

9592

10,43

2,29

8685,9

1000000

78498

12,74

2,31

72382,4

Dziesięciokrotny wzrost x daje mniej więcej stały przyrost wartości w trzeciej kolumnie, tak zachowują się logarytmy. W dodatku wygląda na to, że wartość przyrostu stabilizuje się w okolicy liczby \ln(10)\approx 2,3

Ostatecznie funkcja π(x) powinna zachowywać się następująco przy dużych wartościach x:

1x

Być może nie wydaje się to szczególnie trudne. Musimy jednak pamiętać, że Gauss miał wówczas jakieś 16 albo 17 lat. Było to pod koniec XVIII wieku. Gauss nigdy nie potrafił udowodnić swojej hipotezy.

Liczby zespolone

Liczby naturalne łatwo rozszerzyć tak, aby obejmowały zero i liczby ujemne. Dzielenie liczb naturalnych prowadzi często do ułamków – w ten sposób uzyskujemy liczby wymierne (które można zapisać jako ułamek z naturalnym licznikiem i mianownikiem). W wielu zagadnieniach liczby wymierne nie wystarczają. Rozpatrzmy np. proste równanie

2x

Wiemy, że √2 jest liczbą niewymierną, można ją przybliżać kolejnymi cyframi po przecinku, ale nie da się jej zapisać skończonym rozwinięciem dziesiętnym. Także w zbiorze liczb rzeczywistych wiele równań algebraicznych nie ma rozwiązań, np. równanie różniące się tylko znakiem od poprzedniego.

3x

Aby temu zaradzić wprowadza się jednostkę urojoną i:

4xTeraz nasze ostatnie równanie także ma dwa pierwiastki, oba czysto urojone.

5x

W pierwszej chwili postępowanie takie może wyglądać na arbitralne, ale wprowadzenie liczb urojonych nie prowadzi do żadnych sprzeczności. Liczby te możemy dodawać do liczb rzeczywistych, w ogólnym przypadku otrzymujemy więc liczbę zespoloną:

6x

Liczby zespolone możemy przedstawiać jako punkty na płaszczyźnie albo wektory wychodzące z początku układu. Np. na rysunku zaznaczona jest liczba z=2+3i

polartri

Zamiast pary x, y można podać długość wektora r oraz kąt θ.

Na liczbach zespolonych można wykonywać wszystkie działania dozwolone dla liczb rzeczywistych, każde równanie algebraiczne stopnia n ma dokładnie n pierwiastków zespolonych (niektóre mogą być wielokrotne). Najciekawsze wyniki daje jednak teoria funkcji zespolonych, ujawniając różne nieoczekiwane powiązania, np. między funkcjami trygonometrycznymi a funkcją wykładniczą. Okazuje się, że gdy funkcje zespolone mają pochodną, to muszą być różniczkowalne nieskończenie wiele razy.

Bernhard Riemann

W maju roku 1859 w wieku 54 lat zmarł Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, profesor zwyczajny matematyki na uniwersytecie w Getyndze. Dzięki temu katedrę mógł objąć Bernhard Riemann. Dirichlet był wybitnym matematykiem i został profesorem zwyczajnym dopiero po śmierci Gaussa, zaledwie kilka lat wcześniej. Riemann był jednym z najbardziej twórczych matematyków w historii, mimo swych niespełna 33 lat, miał już bardzo poważny dorobek. Także i jemu nie było dane długo piastować katedrę, zapadł bowiem na gruźlicę i zmarł w 1866 roku.

Praca z 1859 jest jedyną pracą Riemanna poświęconą teorii liczb. Wprowadził on w niej pewną funkcję zwaną od tej pory ζ [zeta] Riemanna. Oto jej definicja:

8x

Po prawej stronie mamy nieskończony szereg, aby wyrażenie takie miało sens, powinno ono zmierzać do jakiejś ustalonej wartości, gdy sumujemy coraz więcej wyrazów. Wiadomo było, że szereg taki jest zbieżny dla s>1. Niektóre przypadki badał już kiedyś Leonhard Euler, który udowodnił, że

10x
Także Euler zauważył, iż można szereg taki zamienić na nieskończony iloczyn przebiegający wyłącznie liczby pierwsze:
9x

Mamy więc związek funkcji ζ z liczbami pierwszymi. Rewolucyjnym posunięciem Riemanna było rozszerzenie dziedziny funkcji ζ na liczby zespolone. Dzięki temu można było do jej zbadania użyć metod analizy zespolonej. Funkcja ζ okazała się niezwykle regularna. Wiadomo było, że szereg jest rozbieżny dla s=1 i to się oczywiście nie zmieniło po rozszerzeniu dziedziny do liczb zespolonych. Jednak oprócz tego jednego punktu funkcja ζ jest wszędzie gładka i nie ma żadnych osobliwości.

arg osie

Na rysunku przedstawione jest zachowanie funkcji ζ na płaszczyźnie zespolonej (oś x odpowiada liczbom rzeczywistym, y – urojonym). Ponieważ wartości funkcji są liczbami zespolonymi, więc w każdym punkcie powinniśmy narysować parę liczb. Zamiast tego przedstawiony został jedynie kąt θ za pomocą koloru. W okolicach miejsc zerowych funkcji oraz w okolicy punktu s=1 zbiegają się wszystkie kolory. Jeśli pamiętamy o iloczynowym przedstawieniu funkcji ζ, to jasne jest, że wartości liczb pierwszych wpływają na wartości funkcji ζ. Riemann zauważył, że także odwrotnie: w funkcji ζ zakodowane są liczby pierwsze. Dokładniej, znajomość położenia zer funkcji ζ w pionowym pasie krytycznym (na rysunku barwnym mamy tylko trzy pierwsze zera z tego pasa, na schemacie z prawej strony pas ten zaznaczony jest na niebiesko) określa funkcję rozkładu liczb pierwszych π(x). Sformułował też hipotezę, że wszystkie zera funkcji ζ mają postać:

11x

Leżą więc nie tylko w pasie krytycznym, lecz na biegnącej jego środkiem linii prostej (czerwona linia na prawym rysunku).
Hipoteza Riemanna nie została dotąd udowodniona, słabsze od niej założenia pozwoliły (dopiero kilkadziesiąt lat po śmierci Riemanna!) udowodnić przypuszczenie Gaussa nt. zachowania π(x), od którego rozpoczęliśmy. Okazuje się, że znając położenie zer funkcji ζ, można przybliżać funkcję π(x). Nie podajemy wzoru, wykres poniżej pokazuje, jak zmienia się wynik w zależności od liczby zer wziętych pod uwagę.

psi

(Animacja ze strony http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/encoding2.htm, ściśle biorąc nie jest to nasza funkcja π(x), lecz inna, spokrewniona z nią funkcja rozkładu liczb pierwszych). Warto też obejrzeć aplet modelujący formułę Riemanna.

Istnieją przypuszczenia, że zera funkcji ζ mogą być wartościami energii jakiegoś nieznanego układu kwantowego. Jak zwykle, gdy w grę wchodzi teoria liczb, istnieją zaskakujące sformułowania hipotezy Riemanna. Każda liczba naturalna ma parzystą bądź nieparzystą liczbę czynników pierwszych, na które się rozkłada. Np. liczby pierwsze mają tylko jeden taki czynnik, 8 jest iloczynem trzech czynników pierwszych, a 9 – dwóch. Hipoteza Riemanna równoważna jest temu, że prawdopodobieństwa, iż dana liczba naturalna ma parzystą bądź nieparzystą liczbę czynników pierwszych, są jednakowe.

Czytelnikowi nieobawiającemu się matematyki, lecz niezbyt zaawansowanemu, polecam gorąco książkę Jeffreya Stopple’a, A Primer of Analytic Number Theory, Cambridge University Press 2003.