Kepler w Rzymie

Wyobrażam sobie, że Ziemia się kręci, lecz nie dla racji, jakie przedstawiał Kopernik, ale z tych to względów: ogień piekielny, jak uczy Pismo Święte, jest zamknięty we wnętrzu Ziemi, a potępieni, pragnąc uciec przed żarem płomienia, wspinają się aż pod strop, obracając przy tym Ziemię; tak samo pies zamknięty w kole obraca je, drepcząc.

Cyrano de Bergerac (przeł. J. Rogoziński)

Campanella w swojej Apologii przedstawia nieco naciąganą listę zwolenników idei ruchu Ziemi. Występuje na niej żyjący w XV wieku kardynał Mikołaj z Kuzy, którego taka możliwość bynajmniej nie gorszyła, choć trudno go uznać za prekursora Kopernika w sensie ściśle naukowym. Pojawia się też „Nolańczyk i inni, których imion nie możemy wymienić z powodu ich herezji. Nie zostali jednak potępieni z tej przyczyny”.ⁱ Nolańczyk to oczywiście Giordano Bruno; przypominanie, że był zwolennikiem ruchu Ziemi nie było dyplomatyczne. Można jednak sądzić, że nie tylko Campanella, ale i Bellarmin, a także inni hierarchowie, słysząc o Koperniku, myśleli o Brunie, i nie miało większego znaczenia, jaki rodzaj kopernikanizmu wyznawał Bruno ani to, że nie był on w sensie technicznym astronomem. Większość nazwisk na liście Campanelli stanowią uczeni protestanccy. Niektórzy, np. Erasmus Reinhold, stosowali tylko kopernikańską technikę obliczeniową, inni, tacy jak Michael Mästlin i jego uczeń Kepler, byli autentycznymi zwolennikami nowej astronomii.

Mogłoby się wydawać, że szczególnie gorące dyskusje wywoła kopernikanizm wśród protestantów, przyzwyczajonych do samodzielnej lektury Pisma, podczas gdy wśród katolików znajomość Biblii ograniczona była do kleru i bardzo wąskiej garstki ludzi wykształconych. Tak się jednak nie stało, potępienia kopernikanizmu przez teologów protestanckich były najwyżej incydentami bez większych konsekwencji. Luter nie interesował się tym problemem wcale, Jan Kalwin uznał, że skoro Pismo nie zgadza się z Ptolemeuszem, to tym samym nie przeczy Kopernikowi, i powoływanie się w dyskusjach astronomicznych na święty tekst jest nieuprawnione. Pismo Święte było przystosowane do czytelników i nie miało na celu nauczania astronomii czy innych nauk szczegółowych.ⁱⁱ Doktryna Kalwina wywarła wielki wpływ na świat protestancki i ułatwiła także przyjęcie kopernikanizmu.

Najwybitniejszym astronomem epoki był bez wątpienia Johannes Kepler, odkrywca praw rządzących ruchem planet. Kepler był żarliwym luteraninem, więc problem sprzeczności kopernikanizmu z Pismem Świętym stanął przed nim w sposób naturalny. Swe stanowisko przedstawił w długiej przedmowie do Astronomia nova, znanej zapewne Galileuszowi. W słowach Psalmu 19: „raduje się jak olbrzym ruszający do biegu”, Kepler widział jedynie sformułowanie poetyckie, dostosowane do sposobu, w jaki zjawiska przedstawiają się naszym oczom. Widzimy, że Słońce się porusza, nie znaczy to jednak, że naprawdę porusza się Słońce, a nie Ziemia. Kepler omawia także cud Jozuego. Słowa wodza Izraelitów: „Stań, słońce, nad Gibeonem! I ty, księżycu, nad doliną Ajjalonu!” (Joz 10,12), wskazują wyraźnie, względem jakiego układu odniesienia zatrzymać się miały oba ciała niebieskie. Chodziło o to, aby się nie poruszały, oświetlając scenę bitwy: dla Jozuego cały dzień stały one pośrodku nieba, a dla ludzi znajdujących się po drugiej stronie globu tak samo długo znajdowały się pod ziemią. Zatem nawet zwolennik tradycyjnej kosmologii musi przyznać, że sformułowanie Jozuego wcale nie jest do końca oczywiste, ukryte są w nim pewne założenia: to samo usytuowanie Słońca względem Ziemi oznacza dzień dla jednych, noc dla drugich. „Jozue miał tylko to jedno życzenie, aby góry nie zasłaniały mu słońca, i wyraził je słowami zgodnymi z tym, co widać; bo czymś nienaturalnym byłoby w owej chwili rozmyślać o astronomii i złudzeniach wzroku. Gdyż jeśliby ktoś zwrócił mu uwagę, że Słońce nie porusza się naprawdę względem doliny Ajjalonu, lecz jedynie tak się wydaje, to czyż nie zakrzyknąłby Jozue, że pragnie jedynie, aby dzień się wydłużył, wszystko jedno w jaki sposób? Tak samo by postąpił, gdyby ktoś z nim wtedy wszczął spór na temat spoczynku Słońca i ruchu Ziemi. Ze słów Jozuego Bóg z łatwością zrozumiał, jakie jest jego życzenie, i spełnił je, wstrzymując ruch Ziemi, tak aby Jozuemu zdawało się, że stanęło Słońce”.

Kepler, choć sam nie miał żadnych wątpliwości co do kopernikanizmu, uważał go za doktrynę trudną, przeznaczoną dla uczonych: „Przeto zaklinam mego czytelnika, aby nie zapominając o bożych dobrodziejstwach zesłanych ludziom (…), po powrocie ze świątyni wstąpił do szkoły astronomii. (…) Kto jednak jest zbyt niepojętny, aby móc zrozumieć naukę astronomii, albo zbyt trwożliwy, by bez zgorszenia dla swojej pobożności uwierzyć Kopernikowi, temu radzę, aby opuścił szkołę astronomii, zostawił w spokoju nauki filozoficzne i poświęcił się własnym sprawom”.ⁱⁱⁱ Dla umysłów pośrednich proponował Kepler system Tychona, zaczynający właśnie zdobywać sobie popularność wśród jezuitów, gdyż nie zrywał tak gwałtownie z tradycją i bliższy był arystotelesowsko-tomistycznej filozofii, która była oficjalną doktryną Towarzystwa Jezusowego.

W roku 1617 Kepler otrzymał za pośrednictwem jednego ze swych korespondentów rozprawkę Ingolego De situ et quiete Terrae contra Copernici systema disputatio. Zareagował na nią w maju następnego roku tekstem Responsio ad Ingoli Disputationem („Odpowiedź na dysputę Ingolego”), który z kolei doczekał się w październiku odpowiedzi Ingolego. Cała ta polemika nie została opublikowana, krążyła jednak w odpisach wśród zainteresowanych. Z dużym opóźnieniem, bo dopiero w roku 1624, włączył się do niej Galileusz, pisząc Lettera a Francesco Ingoli („List do Francesca Ingolego”).

Ingoli wkrótce po napisaniu swej pierwszej rozprawki i ogłoszeniu dekretu Kongregacji Indeksu w sprawie Kopernika został mianowany konsultorem tej kongregacji. Mogło to wynikać stąd, że jego patronowi, kardynałowi Caetaniemu, powierzono zadanie przygotowania poprawek do dzieła Kopernika, niewątpliwie jednak nominacja taka była ważnym dowodem zaufania wobec Ingolego. On też miał ostatecznie zająć się poprawkami do Kopernika. Był więc w tych latach jedną z bardziej widocznych postaci po stronie kościelnej, osobą, która prywatnie wygłaszała poglądy zgodne z decyzjami Kościoła hierarchicznego. We wszystkich tych wypadkach astronomowie jezuiccy milczeli, zachowując posłuszeństwo, zaiste perinde ac cadaver – „na podobieństwo trupa” – i nawet pytani o zdanie, nie próbowali wpłynąć na stanowisko Kościoła.

Gdyby nie szczególne usytuowanie jej autora, rozprawka Ingolego nie byłaby może ciekawa, zawiera bowiem jedynie to, czego można by się spodziewać po inteligentnym dyletancie: znane z literatury naukowej argumenty antykopernikańskie oraz pewną liczbę nieporozumień. Dziełko rozważa trzy rodzaje argumentów: matematyczne, fizyczne i teologiczne. Już pierwszy argument obniża oczekiwania czytelnika co do reszty: „Gdyby Słońce było w środku świata, to miałoby większą paralaksę niż Księżyc, ale ponieważ następnik jest fałszywy, więc fałszywy musi być i poprzednik”. Ingoli nie rozumiał, że wielkość paralaksy wiąże się jedynie z odległością ciała od Ziemi i błąd ten, jak się zdaje, bez skutku starali się mu wyperswadować dwaj najwybitniejsi żyjący uczeni. Bardziej interesujące były argumenty teologiczne. Z Księgi Rodzaju dowiadujemy się, że Stwórca stworzył na firmamencie ciała niebieskie. A „firmament” i jego hebrajski odpowiednik znaczą tyle co rozciągłość czy przestwór, a więc obwód, a nie środek. Zatem największe ciało niebieskie – Słońce – nie może być w środku świata. Innym argumentem niech będzie fakt, że piekło – miejsce przebywania demonów i potępionych – musi być jak najdalej od nieba, a więc w środku Ziemi. Stąd mamy zstępowanie do piekła i wstępowanie do nieba. Tyle na temat położeń Słońca i Ziemi. Jeśli chodzi o ruch, wystarczy przytoczyć cud Jozuego (a jakże! – widzimy, dlaczego możliwe wyjaśnienie tego właśnie cudu podał Galileusz), a ponadto w hymnie kościelnym Telluris ingens Conditor mamy słowa: „Ziemię stworzyłeś nieruchomą”.^iv Warto zauważyć, że dwa z czterech argumentów odnosiły się nie do Pisma, lecz do wiary wywodzącej się z tradycji: usytuowanie piekła oraz hymn kościelny. Jakkolwiek osobliwie by wyglądały takie argumenty z folkloru, Ingoli i jego mocodawcy nie żartowali. Zapewne chodziło o podkreślenie różnicy między Kościołem rzymskim a zrywającymi z tradycją „heretykami” (którzy odwdzięczali się „papistom” zarzutami o kultywowanie zabobonów). Z przytoczenia cudu Jozuego można chyba wywnioskować, że o. Caccini nie strzelał na ślepo podczas swego kazania i miał w Rzymie poparcie. Ingoli udzielił też z góry odpowiedzi na argument, iż cud Jozuego mógłby być opisany w Piśmie językiem dostosowanym do ludzkiego pojmowania: wszyscy Ojcowie Kościoła objaśniają ten ustęp w taki sposób, że Ziemia jest nieruchoma, a Słońce się porusza. Sobór trydencki postanowił, iż nie wolno odchodzić od interpretacji Ojców; wprawdzie dotyczyło to kwestii wiary i moralności, ale nie da się zaprzeczyć, że zmiana interpretacji nie spodobałaby się Ojcom Kościoła. W ostatecznym rozrachunku o tym, co jest zgodne z tradycją, decydował Rzym, a co znajduje posłuch w Rzymie, Ingoli wiedział bardzo dobrze. Powołanie się na Ojców Kościoła wskazywało na katolicką proweniencję tej wykładni – dla protestantów pogląd Ojców Kościoła nie był wiążący.

Zauważmy też, że nie ma tu miejsca na subtelności: nie tylko interpretacja Pisma, ale cała wiedza ludzka nie może wykraczać poza to, co dostępne było intelektualnie Ojcom Kościoła w pierwszych wiekach nowej ery. Biblijny obraz świata miał być alfą i omegą wszelkiego poznania. Trudno o bardziej antynaukowe stanowisko.

Johannes Kepler nie słyszał o dekrecie Kongregacji Indeksu, dochodziły do niego tylko niejednoznaczne informacje. Nie wiedział też, kim jest Ingoli i jaką rolę odgrywa w Rzymie. Jako zdeklarowany zwolennik Kopernika gotów był jednak dyskutować na ten temat z każdym. Był astronomem katolickiego cesarza, ale przez całe ćwierćwiecze mógł swobodnie przyznawać się do kopernikańskich poglądów i nie spotkały go z tego tytułu żadne szykany, jeśli nie liczyć niechęci teologów luterańskich w Tybindze. W roku 1618 Kepler wydał trzy pierwsze księgi dzieła Epitome astronomiae copernicanae („Skrót astronomii kopernikańskiej”), które było streszczeniem jego dojrzałych poglądów na astronomię. W tych początkowych księgach omawiał podstawy astronomii: sferę niebieską, pory roku, wschody i zachody ciał niebieskich. Czynił to jednak od początku z punktu widzenia kopernikańskiego. Przedstawiał bliżej ruch dobowy Ziemi i jego fizyczne konsekwencje. Znalazł się też tam rysunek przedstawiający kopernikańskie wyjaśnienie pór roku na Ziemi. Najważniejsze osiągnięcia naukowe Keplera zawarte były w dalszych księgach Epitome, przygotowywanych wówczas do druku, ale również ta część wstępna miała zdecydowanie kopernikański charakter.

Polemizując z Ingolim, Kepler odpowiadał na zarzuty, które nieraz już słyszał, choćby od samego Tychona Brahego, swego poprzednika na stanowisku cesarskiego astronoma. Dlatego też w wielu sprawach odsyłał Ingolego do tekstu Epitome. Na płaszczyźnie czysto naukowej nie było mowy o ich równorzędnej dyskusji, która zresztą i tak nie mogła sprawy rozstrzygnąć. Kepler jako astronom starał się zrozumieć, jak funkcjonuje kosmos, wychodząc z obserwacji i doskonale rozumiejąc, czego trzeba, aby te obserwacje opisać. Ingoli, z wykształcenia doktor obojga praw, pozostawał na płaszczyźnie filozoficznej czy raczej popularnonaukowej i mógł swobodnie krytykować różne założenia i koncepcje, nic go to bowiem nie kosztowało: wszystko pozostawało abstrakcyjnym ćwiczeniem retorycznym w stylu dysput na średniowiecznych uniwersytetach. Przyznanie komuś racji zależało wyłącznie od uznania jego argumentów, co w ostatecznym rozrachunku sprowadzało się do wiary w takie lub inne założenia metafizyczne.

Kopernikanizm w naturalny sposób prowadził do ujednolicenia opisu różnych części wszechświata, dzięki czemu można było np. ziemską mechanikę zastosować do zjawisk kosmicznych. W Epitome Kepler następująco pisze o wirowaniu Ziemi wokół osi:

„Jeśli chłopcy mogą wprawić w obrót bączka w którąkolwiek stronę, tym bardziej równomiernym i ustalonym ruchem, im mocniejszy ruch mu nadadzą, tak że bączek, raz puszczony w ruch, mocą swego impetu wykonuje wiele obrotów, aż powstrzymany przez nierówności podłogi i opór powietrza, a także pokonany własnym ciężarem, stopniowo zwalniając, upada, to czemu Bóg nie mógłby Ziemi na początku nadać takiego ruchu, jakby z zewnątrz, że nawet dzisiaj, po wielu kolejnych obrotach, wiruje z takim samym wigorem, choć było ich już dwieście tysięcy, gdyż wirowaniu temu nie przeszkadzają wystające nierówności ani gęstość eteru, ani też jej waga, czyli wewnętrzna ciężkość; ile ma bowiem bezwładności ze swej materii, tym większą skłonność do przyjęcia impetu i kontynuowania obrotów”.^v Kepler, podobnie zresztą jak Galileusz, zwrócił uwagę, że Ziemia zachowuje stałą orientację osi obrotu w przestrzeni – i że odpowiada to sytuacji wirującego mechanicznego bąka. W odpowiedzi Ingoli pisze, że „nie można wiedzieć a priori, czy Bóg nadał Ziemi ruch, inaczej niż z Pisma Świętego albo dzięki objawieniu, ale żaden z tych sposobów nie prowadzi do wniosku, że Bóg nadał ruch Ziemi, gdyż z Pisma Świętego dowiadujemy się o nieruchomości Ziemi”.^vi W ten sposób po raz kolejny Pismo Święte staje się granicą możliwej do pomyślenia nauki.

Kepler nie musiał liczyć się z władzami rzymskimi, mógł więc, w przeciwieństwie do Galileusza, przedstawić swoją odpowiedź na teologiczną argumentację Ingolego. Na argument o największym oddaleniu zbawionych od potępionych zauważa z rozbawieniem, że „gdybyśmy szukali dla zbawionych i potępionych miejsc obdarzonych takimi własnościami geometrycznymi, to łatwo byśmy przyznali miejsce środkowe zbawionym, gdyż środek jest pod strażą Jowisza, natomiast potępieni zostaliby wyrzuceni ze świata w zewnętrzne ciemności, gdzie zgrzytają zębami”. Całkiem już na serio stwierdzał, że teologowie nie powinni mieszać się do astronomii, podobnie jak astronomowie nie powinni wkraczać na obszary wiary i obyczaju, zarezerwowane dla teologii. Co do dosłownego rozumienia Pisma stwierdzał: „Ilekroć w jego wyjaśnianiu odchodzimy od sensu naocznego, natychmiast pojawiają się wielkie różnice między interpretatorami (…). Gdy tylko można, należy zachować sens dosłowny. Piękna zasada. Powiedz zatem – pytam – jaki sędzia ustala, czy można go zachować? Czyż nie wspólne doświadczenie ludzkie? Należy więc wysłuchać także i mniej potocznego doświadczenia astronomów i tam, gdzie oni powiedzą, że nie jest możliwe, aby dane stwierdzenia były zgodne z sensem naocznym i zarazem prawdziwe oraz zgodne co do joty z astronomią, tam interpretator Pisma powinien przestać się troszczyć o sens astronomiczny”.^vii

Niemiecki astronom był nie tylko gorącym zwolennikiem kopernikanizmu, ale także miłośnikiem spokojnej, rzeczowej argumentacji. Uważał, że dyskusje naukowe należy pozostawić uczonym. Ingerencji duchownych i teologów obawiał się tym bardziej, że widział na każdym kroku, jak ostre formy przybiera konflikt wyznaniowy: właśnie w roku 1618 rozpoczęła się wojna religijna, znana w historii jako wojna trzydziestoletnia. Zdając sobie sprawę, że nauka Kopernika nie jest łatwa do przyjęcia dla ogółu, nie upierał się, by nauczać jej powszechnie. Tam jednak, gdzie prowadzi się dyskusję naukową, nie wolno w niej używać argumentów religijnych, jeśli sam temat nie łączy się z kwestiami wiary i moralności.

Nie należy lekceważyć trudności, jakich doświadczali zwolennicy tradycyjnej kosmologii w zetknięciu z kopernikanizmem. Jednak średniowieczna filozofia nominalistów czy św. Tomasza także nigdy nie zawędrowały pod strzechy. Od pasterzy Kościoła, powszechnego choćby tylko z nazwy, można było wymagać, by nie angażowali się z taką energią w sprawy budowy astronomicznego kosmosu. Argumenty Ingolego dotyczące piekła wskazują wszakże na pewną trudność: tradycyjna kosmologia Arystotelesa, schrystianizowana w średniowieczu, przydzielała konkretne miejsce niebu i piekłu. Najbardziej sugestywny opis takiego wszechświata pozostawił Dante Alighieri w Boskiej Komedii. Średniowieczny kosmos był nie tylko geocentryczny, ale także diablocentryczny – w środku Ziemi znajdował się bowiem sam Lucyfer. Topografią dantejskiego piekła zajmował się młody Galileusz w rozprawie odczytanej przed Akademią florencką. To, co dla niego było może tylko szczególnym ćwiczeniem poetycko-matematycznym, dla wielu innych stanowiło element wiary religijnej.

Z filozoficznego punktu widzenia nie ma potrzeby przypisywania jakiejś lokalizacji przestrzennej duszom zmarłych, piekłu i niebu, jednak wyobraźnia ludzka szuka przestrzennych ram pojęciowych. Cała kultura kontrreformacji, barok z jego przerysowanymi gestami i przeładowanymi dekoracjami, przepych ceremonii w Rzymie, naśladowanych we wszystkich diecezjach katolickiej Europy, odwoływały się do wyobraźni wizualnej. Epoka uwielbiała teatralne przedstawienia, które aktualizowały w czasie i przestrzeni rozmaite wydarzenia z historii świętej. Sztuka katolicka obrała zupełnie inną orientację niż sztuka w protestanckiej części Europy, gdzie zwyciężyli ikonoklaści. Cudowne sceny z historii świętej malowane i rzeźbione przez artystów katolickich usiłowały zamienić dynamikę cudu na migawkowe ujęcie: wstępowanie do nieba wyglądało niemal jak telewizyjny reportaż na żywo. Cała ta kultura wizualizacji świętości zagrożona była kopernikanizmem. I to zapewne rodziło głęboką i być może nie zawsze jasno uświadamianą niechęć rzymskich prałatów do naruszania kosmicznego status quo. Ów problem, by tak rzec, religijnej wyobraźni przestrzennej na dłuższą metę okazał się poważny. Wielu chrześcijan tu właśnie upatrywało źródło uwiądu religijnego, jaki dotknął cywilizację europejską kilku ostatnich stuleci.^viii

Odpowiadając Keplerowi, Ingoli informuje nas przy okazji o tym, jaki klimat intelektualny panował wówczas w Rzymie. Prace nad poprawkami do Kopernika były już na ukończeniu i Ingoli uznał, że powinien wystąpić jako obrońca właściwej wersji chrześcijaństwa oraz jedynie słusznej filozofii. Nie tylko on jeden tak sądził, do napisania tej rozprawki namawiał go Ludovico Ridolfi, główny szambelan (maestro di camera) papieża Pawła V i jednocześnie radca cesarski. „Po pierwsze, mówiłeś – pisze Ingoli – nie przystoi w żaden sposób, aby prawda o miejscu Ziemi w środku świata i jej nieruchomości pozostawała bez obrony, zwłaszcza dziś, gdy jest ona – i to stanowi drugi punkt – ponad wszelką wątpliwość katolicka. Dodawałeś ponadto, że wiem, jak miłe będzie to moje studium kardynałom Świętej Kongregacji Indeksu, gdyż lepiej niż ktokolwiek wiem, co sądzą oni o poglądach Keplera na ten temat. Gdy zauważyłem, że księgi Kopernika, o których zdawałem tam relację, ledwie uniknęły wiecznego potępienia, odrzekłeś, iż gdyby nie uznano ich użyteczności dla ogółu w kwestii skorygowania i poprawienia ruchów niebieskich i gdyby nie możliwość ich ocalenia na drodze hipotez tak, aby nie były sprzeczne z bożym Pismem, musiałyby zostać całkowicie wyeliminowane z Kościoła bożego”.

Dziełko Ingolego miało także pełnić funkcję propagandową, ukazując reszcie Europy, że cenzura rzymska nie działa bez określonych zasad i w sposób arbitralny, lecz po dojrzałym namyśle i starannym rozważeniu racji. Autor miał też nadzieję, że „za pomocą powtarzania owa prześladowana prawda lepiej się ujawni i będzie mogła wejść w umysły ludzkie, tak aby fałszywe dogmaty Kopernika, które dzięki staraniom amatorów nowinek od niewielu lat zaczynają zajmować dusze śmiertelników, stopniowo popadły w zapomnienie i powróciły w mroki swej osobliwej niepewności”.^ix Tak wielki zamysł tłumaczył nawet zuchwałość, na jaką porwał się Ingoli, polemizując ze sławnym Keplerem, do czego zresztą sam się z całą skromnością przyznaje.

Utrwalanie poglądu o nieruchomości Ziemi i odparcie kopernikanizmu, najwyraźniej zgodne z polityką Kościoła, nie było skutkiem administracyjnej pomyłki czy nierozważną decyzją. Nie chodziło też o żadne filozoficzne czy metodologiczne subtelności: zgodnie z Pismem Świętym Ziemia jest nieruchoma i tej prawdy postanowiono bronić wbrew wszelkim możliwym, lepszym czy gorszym, argumentom naukowym. Jak zobaczymy w dalszym ciągu, stanowisko to nie było także ograniczone czasowo do jakiegoś jednego pontyfikatu czy jednego składu Kongregacji Świętego Oficjum i Kongregacji Indeksu.

Francesco Ingoli, oprócz napisania odpowiedzi na tekst Keplera, zajął się bliżej jego nowym dziełem, Epitome astronomiae copernicane, o którym obaj wspominali w polemice. „Książka jest bardzo ciekawa i piękna” – stwierdzał teatyn w cenzurze przedstawionej Kongregacji Indeksu. Zawiera jednakowoż dwa mylne poglądy: kopernikanizm i twierdzenie, że Słońce jest ożywione, co jest błędem popełnionym już kiedyś przez Orygenesa. W rezultacie na posiedzeniu Kongregacji 28 lutego 1619 roku, odbytym w pałacu kardynała Bellarmina w obecności kardynała Barberiniego (przyszłego papieża) i pięciu innych kardynałów, postanowiono objąć Epitome astronomiae copernicanae całkowitym zakazem, bez żadnej możliwości poprawek.^x

Kepler nie wiedział, z kim polemizuje ani że przyspiesza w ten sposób objęcie zakazem własnej książki. W pierwszej połowie roku 1619 dobiegał końca druk innego jego wielkiego dzieła, Harmonices mundi libri V („Harmonia świata w pięciu księgach”). Według cesarskiego matematyka układ planetarny Kopernika należało z jednej strony objaśniać za pomocą fizyki ruchu, i temu służyły odkryte przez niego wcześniej prawa, dziś zwane pierwszym i drugim prawem Keplera. Z drugiej strony należało także wyjaśnić, czym kierował się Stwórca, konstruując taki a nie inny układ planetarny: czemu orbity były tej właśnie wielkości, dlaczego np. orbita Marsa ma znaczne spłaszczenie, a orbita Wenus bardzo niewielkie itp. Wyjaśnień tego drugiego rodzaju szukał Kepler w geometrii i pitagorejskiej idei harmonii dźwięków. Orbity planet miały być w zawiły sposób zharmonizowane ze sobą i cesarski matematyk wierzył, że odkrył tę harmonię. W tej pitagorejsko-platońskiej linii poszukiwań naukowych przyszłość nie przyznała Keplerowi racji, ale przy okazji tych badań udało mu się odkryć jeszcze jedno prawo dotyczące planet: sześcian wielkości orbity jest proporcjonalny do kwadratu okresu obiegu. To prawo, w Harmonii świata ukryte pośród wielu rozważań, dziś nazywane trzecim prawem Keplera, uczony odkrył w tym samym miesiącu, w którym napisał swoją odpowiedź Ingolemu. Stanowi ono także stanowi mocny argument na rzecz kopernikańskiego wszechświata, tym bardziej że dotyczy wszelkich ciał krążących wokół wspólnego centrum i słuszne jest np. dla satelitów Jowisza – „gwiazd medycejskich” odkrytych i badanych przez Galileusza.

Harmonia świata była ulubionym tematem Keplera i zależało mu na tym, aby poświęcona jej książka mogła być sprzedawana także w Italii, gdzie już wcześniej trudno było kupić jego publikacje. Teraz, kiedy wprowadzono zakaz głoszenia kopernikanizmu, Kepler (nieświadomy jeszcze postanowień w sprawie Epitome) postanowił napisać swego rodzaju zapowiedź wydawniczą Harmonii świata, skierowaną do księgarzy w Italii. „Napisałem tę pracę jako Niemiec i wedle obyczaju i wolności niemieckiej. Im większa jest owa wolność, tym większą rodzi wiarę w szczerość tych, którzy uprawiają nauki. Jestem chrześcijaninem i synem Kościoła i uznaję naukę katolicką nie tylko samym sercem, ale także i głową, w takim stopniu, w jakim w mym obecnym wieku mogłem ją pojąć; składam tego dowody w niejednym miejscu książki. Tak więc to, co się w niej znajduje, nie niesie z sobą żadnego niebezpieczeństwa, może wytrzymać przyjętą w waszym kraju cenzurę i nie trzeba lękać się tego, co zawiera. Jedynie w nauce o ruchu Ziemi pojawia się trudność, gdyż z powodu nierozwagi tych, którzy nauki astronomiczne wykładali nie w swoim miejscu i niewłaściwą metodą, czytanie Kopernika, od lat niespełna osiemdziesięciu dozwolone (odkąd dzieło zadedykowane było papieżowi Pawłowi III), zostało zakazane aż do czasu wprowadzenia poprawek”.

Kepler, który jak sam pisze, od dwudziestu sześciu lat jest zwolennikiem Kopernika, wierzy, że książka o harmonii musi przekonać także i tych, którzy dotąd wątpili w prawdziwość heliocentryzmu. Proponuje, by księgarze rozpowszechniali jego dzieło jedynie wśród uczonych: „Wy, księgarze, postąpicie zgodnie z prawem i porządkiem, jeśli egzemplarzy [książki] ze względu na wyrok nie wystawicie publicznie na sprzedaż. Wiedzcie bowiem, iż jesteście dla filozofii i dla dobrych autorów jak notariusze, którzy dostarczają sędziom pisma obrończe. Sprzedawajcie więc książkę tylko najwybitniejszym teologom, najświatlejszym filozofom, najdoświadczeńszym matematykom, najgłębszym metafizykom, do których ja jako adwokat Kopernika nie mogę dotrzeć. Niech oni się zastanowią, czy mają do czynienia jedynie z wykwitem wybujałej fantazji, czy też raczej z czymś, co wywodzi się z samej natury i może być potwierdzone ewidentnymi dowodami. Niech się zastanowią, czy ta potężna chwała dzieł bożych ukazana powinna być wszystkim, czy też raczej zamknięta, a jej sława prześladowana cenzurą. Cokolwiek się zdarzy, czy Kopernik został, czy też dopiero zostanie przez nich poprawiony, niech zobaczą, czy astronomia Kopernika zarysowana w moich komentarzach o ruchach Marsa, rozwinięta w drugiej części Epitome astronomiae, która się właśnie drukuje, czy także owa harmoniczna konstrukcja ruchów niebieskich, przedstawiona w tej książce, może w ogóle istnieć, jeśli wyeliminuje się ruch Ziemi i zastąpi go ruchem Słońca. I za którą z dwóch hipotez należy iść: Kopernika czy Brahego (…) (gdyż starożytna [hipoteza] Ptolemeusza z pewnością jest fałszywa). Cokolwiek zostanie ustalone po wszystkich potrzebnych z natury rzeczy dowodach, z całą pewnością uznane zostanie za obowiązujące i święte przez wszystkich katolickich matematyków”.^xi

Ukazujące się właśnie dzieła Keplera rzeczywiście były jednym wielkim argumentem za kopernikanizmem. W dalszym ciągu cytowanego tekstu do księgarzy, wśród szczegółów piątej księgi Harmonii świata, znajduje się jako punkt dziewiąty dokładne sformułowanie III prawa Keplera. Oczywiście współcześni nie od razu się zorientowali, z jakim bogactwem mają do czynienia. Nie rozumiał tego nawet Galileusz, a więc – zdawałoby się – sojusznik w kopernikańskiej sprawie. Jednak odkrycia zostały już dokonane, ich dalsze zrozumienie było wyłącznie kwestią czasu.

O ile jednak Kepler mógł być spokojny swych racji w długiej perspektywie, o tyle wiadomość, że zakazano Epitome, przyjął ze wzburzeniem. Dowiedział się o tym latem 1619 roku, gdy jeden z jego korespondentów, medyk cesarski Johannes Remus Quietanus, doniósł, że z powodu zakazu Galileusz nie może zdobyć egzemplarza Epitome. Wiadomość wyglądała groźnie, Kepler zaczął się obawiać o losy swoich książek zarówno już wydrukowanych, jak i tych, które zamierzał wydać. Jeśli cenzura obejmie Austrię, nie znajdzie drukarza, a wydrukowane egzemplarze przepadną. Przez dwadzieścia sześć lat mógł spokojnie rozwijać badania, opierając się na teorii Kopernika, a teraz być może przyjdzie mu porzucić astronomię albo opuścić cesarstwo. Na szczęście dekrety rzymskie miały niewielką siłę sprawczą poza Italią i Kepler mógł dokończyć swoje prace. Nie jest jasne, czy zakazana została całość Epitome, ponieważ dalsze księgi wyszły na świat już po ogłoszeniu dekretu Kongregacji Indeksu. Chyba później stracono zapał do przyglądaniu się dorobkowi Keplera, żadna inna jego książka nie trafiła na indeks.

i Tommaso Campanella,Apologia pro Galileo,s. 9.

ii R. Hooykaas, Religia i powstanie nowożytnej nauki, przeł. S. Ławicki, Instytut Wydawniczy PAX, Warszawa 1975, s. 143 i n.

iii Johannes Kepler, Astronomia nova, Gesammelte Werke, t. III, s. 30, 33.

iv Francesco Ingoli, De situ et quiete Terrae contra Copernici systema disputatio, OG V, s. 411.

v Johannes Kepler, Epitome astronomiae copernicanae, Lib. I, Pars 5, w: Joannis Kepleri astronomi Opera omnia, t. 6, Francofurti et Erlangae 1866, s. 176.

vi Francesco Ingoli, Replicationes ad Kepleri impugnationes, w: M. Bucciantini, Contro Galileo: alle origini dell’affaire, Leo S. Olschki, Firenze 1995, s. 201.

vii Johannes Kepler, Responsio ad Ingoli disputationem de systemate, Gesammelte Werke, t. 20.1, s. 176, 179.

viii Por. Cz. Miłosz, Metafizyczna pauza, Wydawnictwo Znak, Kraków 1989, s. 61.

ix Francesco Ingoli, Replicationes ad Kepleri impugnationes, w: M. Bucciantini, Contro Galileo, s. 178.

x P.N. Mayaud, La condamnation des livres coperniciens, s. 59, 65-66.

xi Johannes Kepler, Admonito ad bibliopolas exteros, praesertim italos de Opere Harmonico, Opera omnia, t. V, Francofurti et Erlangae 1864, s. 8-9.

George Biddell Airy: Jak drobne szczegóły można dostrzec przez teleskop? (1834)

Widziałem jakiś czas temu reklamę, a w niej na zdjęciu – rzekomo satelitarnym – rozpoznawalne twarze jakichś celebrytów. Czy to możliwe technicznie? Nie bardzo. Wprawdzie w sprawach techniki lepiej nie twierdzić, że coś jest niemożliwe, ale tutaj trudności są dość zasadnicze i wynikają z falowej natury światła.

Do wyjaśnienia sprawy przyczynił się Airy, wtedy niedługo po trzydziestce, profesor katedry Plume’a w Cambridge, a niebawem 7. Astronom Królewski, ten ostatni urząd pełnił niemal pół wieku. Wyróżniał się jako zdolny młodzieniec, zanim skończył siedemnaście lat, znał dziewięć rozdziałów Matematycznych zasad filozofii przyrody Isaaca Newtona, a więc materiał matematycznie nietrywialny. Dostał się na studia do Trinity College w Cambridge jako sizar, czyli coś w rodzaju studenta służącego, ponieważ miał talent do matematyki, łaciny oraz greki. Ze zdecydowanie najlepszym wynikiem zdał Tripos, egzamin matematyczny, który bardzo ceniono. Potem przez dwa lata był profesorem katedry Lucasa – tak jak kiedyś Newton. Katedra ta nie przynosiła jednak wówczas dochodów, płacono 99 funtów rocznie, podczas gdy Airy jako młodszy tutor zarabiał 150. Namówiono go jednak, aby się o nią ubiegał ze względów wizerunkowo-prestiżowych. Szczerze mówiąc, katedra podupadła, Airy był pierwszym liczącym się profesorem na niej od czasów Newtona. Kiedy poinformowano go, że profesor katedry Plume’a („astronomia i filozofia eksperymentalna”) czuje się niezbyt dobrze i zapewne długo nie pociągnie, Airy zaczął się starać o tę posadę. Zdobył ją, kiedy się zwolniła drogą naturalną, przy okazji wydębiając od uniwersytetu podwyżkę z 300 do 500 funtów. W ten sposób został astronomem, do jego obowiązków bowiem należało kierowanie obserwatorium uniwersyteckim. Airy potrzebował pieniędzy: studia dawały mu możliwość awansu, nie upierał się, że musi być uczonym, ale skoro los tak chciał, to nim został. Pragnął też się ożenić, do czego również potrzebował pieniędzy. Był niezwykle pracowity, dobrze zorganizowany, sumienny, nie wyrzucał żadnych papierów, zszywał je, tworząc do nich system odnośników. Codziennie tłumaczył jakiś kawałek z angielskiego na łacinę. Optyką zajął się jako nauką pomocniczą astronomii. Odkrył we własnym wzroku wadę, zwaną dziś astygmatyzmem i jako pierwszy starał się ją skorygować specjalnymi soczewkami. Ogłosił drukiem 518 krótszych prac oraz kilka książek. Nie był wielkim uczonym, ale sporo osiągnął. Nie wszyscy muszą być twórczy i mieć szalone pomysły, nauka do codziennego funkcjonowania potrzebuje ludzi pracowitych i kompetentnych.

W 1834 roku Airy przedstawił w Cambridge Philosophical Society pracę na temat ugięcia światła na kołowym otworze. Sam chyba nie rozumiał wówczas, że rozstrzygnął fundamentalny problem astronomii: jakie najmniejsze kąty można rozróżnić posługując się przyrządem optycznym o danej średnicy – jego wynik dotyczy oka ludzkiego, aparatów fotograficznych, teleskopów, mikroskopów itd. Airy urodził się mniej więcej wtedy, gdy Thomas Young zaproponował falową teorię światła. Została ona rozwinięta niezależnie przez Augustine’a Fresnela. Fale mogą ze sobą interferować, to znaczy, gdy do jakiegoś obszaru docierają np. dwie niezależne fale, zaobserwujemy ich sumę. Fala wyjściowa może być silniejsza (interferencja konstruktywna)

Może też wystąpić interferencja destruktywna, w szczególnym przypadku, wypadkowa może być równa zeru.

Na obu rysunkach fala niebieska jest sumą zielonej i czerwonej. Oba rysunki możemy traktować albo jako zrobione w funkcji czasu w jednym miejscu, albo jako migawkowe zdjęcia fali w przestrzeni w pewnym określonym momencie. Ponieważ fala to przesuwające się z pewną prędkością drganie, zależności przestrzenne można przełożyć na czasowe i odwrotnie.

Rozważmy najpierw dyfrakcję na wąskiej długiej szczelinie. Z lewej strony dociera fala płaska, za szczeliną rozchodzi się fala nieco rozmyta pod względem kierunku (powierzchnie falowe są prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali).

Wikipedia: Diffraction

Jakie będzie kątowe rozmycie fali ugiętej? Mamy do dyspozycji dwie wielkości: – długość fali oraz . Można z nich utworzyć kąt w radianach, które są bezwymiarowe (iloraz długości luku i promienia): . Prawdopodobnie nasz kąt będzie w przybliżeniu równy temu ilorazowi z dokładnością do jakegoś czynnika czysto liczbowego (odwrotny iloraz nie zachowywałby się dobrze przy , gdy dyfrakcja powinna być niewidoczna; gdyby fale miały zerową długość, wystarczyłaby do wszystkiego optyka geometryczna i wyobrażanie sobie światła jako promieni).

Właśnie to rozmycie w kierunkach ogranicza zdolność rozdzielczą. Soczewka teleskopu czy oka nie zmienia tego faktu. Bez dyfrakcji działanie soczewki wyglądałoby tak:

Wikipedia: Lens

Jeśli kierunki za soczewką (otworem) są rozmyte, to obraz w ognisku nie będzie punktowy, lecz będzie stanowił plamkę. Dlatego w dalszym ciągu zostawiamy soczewki, ponieważ nie one są tu istotne, lecz rozważamy szczelinę – w tym zjawisku liczy się fakt, że soczewka jest otworem, a nie np. z czego jest wykonana itp. Żeby obliczyć falę docierającą do jakiegoś punktu, można posłużyć się zasadą Huygensa: każdy punkt czoła fali jest źródłem kulistych fal. Należy wszystkie te fale dodać do siebie, co w przypadku szerokiej szczeliny oznacza całkowanie, ale obejdziemy się bez niego. W  przejściu przez szczelinę źródłami fal są wszystkie jej punkty. Jeśli punkt obserwacji znajduje się daleko, to fale cząstkowe będą biegły praktycznie równolegle do siebie. W kierunku prostopadłym do czoła fali padającej (kąt ) wszystkie fale cząstkowe mają tak samo daleko, więc będą się dodawać konstruktywnie: na wprost naszej szczeliny pojawi się maksimum natężenia fali. Jeśli nasz punkt obserwacji będzie nieco z boku, jedne fale będą miały dalej, drugie bliżej, więc w wyniku interferencji powstanie fala o nieco mniejszej amplitudzie: składowe fale nieco się „rozjeżdżają”, nie wszystkie drgają w tej samej fazie. Dla jakiego kąta pojawi się pierwsze minimum natężenia? Sytuację przedstawia rysunek.

Skrajne fale elementarne z dwóch końców szczeliny mają teraz różnicę odległości równą – czyli długość fali. Te skrajne fale będą się więc wzmacniać, co jednak z resztą? Możemy naszą szczelinę podzielić w myślach na połowy i rozpatrywać pary fal, jak na rysunku. Różnica odległości między nimi to dokładnie , a więc będą interferować destruktywnie, dając w wyniku zerowe natężenie. Ponieważ dla każdej fali z górnej połówki szczeliny możemy znaleźć drugą w dolnej połówce, która ją unicestwi, więc w efekcie dostaniemy zero: minimum natężenia. Kąt, dla którego wystąpi owo minimum spełnia warunek widoczny z rysunku:

Dla małych kątów sinus można zamienić kątem (w radianach; ). Mamy więc

Natężenie za szczeliną przedstawia wykres.

Pierwsze minimum występuje dla kątów spełniających warunek (*). Większa cześć światła pojawi się jako jasny środkowy prążek, obok którego wystąpią mniej jasne prążki poboczne. Kiedy możemy rozróżnić dwie fale przybiegające z lewej strony pod różnymi kątami? Za graniczną sytuację uważa się taką, jak poniżej: główne maksimum jednej fali przypada na minimum drugiej (to tzw. kryterium Rayleigha).

Co się zmieni, gdy zamiast szczeliny weźmiemy okrągły otwór. To zadanie w sam raz dla Senior Wranglera (zwycięzcy Tripos). Wynik nie wyraża się przez funkcje elementarne, lecz przez funkcje Bessela. Airy obliczył je numerycznie, co w tamtych czasach – bez Wolfram Alpha, Mathematiki, Sage’a itd. – było niewyobrażalnie pracochłonne, a dziś można to liczyć w przeglądarce. Obraz jakościowo się nie zmienił. Oczywiście, będzie miał symetrię osiową, teraz będziemy mieli środkową jasną plamkę (plamkę Airy’ego), otoczoną pierścieniami.

Wikipedia: Airy disk

Kąt do pierwszego minimum wynosi dokładnie

Możemy teraz obliczyć zdolność rozdzielczą fotografii satelitarnych. Oznaczmy przez długość najmniejszego obiektu, który chcemy rozróżnić; niech nasz satelita krąży na wysokości , wówczas kąt będzie równy

Podstawiając , (więcej niż teleskop Hubble’a!) oraz biorąc długość fali żółtego swiatła μm, otrzymujemy

Obliczyliśmy mniej więcej graniczną wartość „piksela” na zdjęciu satelitarnym. Rzeczywiste rozmiary piksela obecnych satelitów cywilnych są kilkukrotnie większe. Nie ma mowy o rozróżnianiu twarzy. Problem stanowi średnica naszego obiektywu. Większe wartości niż kilka metrów są zdecydowanie niepraktyczne. Można posłużyć się np. dwoma mniejszymi obiektywami, które będą dość daleko od siebie, np. w odległości 10 m albo i dużo więcej, i łączyć ich obrazy. Astronomowie używają czegoś takiego, więc pewnie i wojskowi mogą. Wciąż jednak mało prawdopodobne, aby stosować sprzęt tego rodzaju do sfotografowania paru celebrytów, których można bez problemu sfotografować z odległości kilku metrów.

Dyfrakcyjne ograniczenie zdolności rozdzielczej jest problemem w pewnych sytuacjach, choć astronomowie na Ziemi większy kłopot mają z ruchami atmosfery, które poruszają obrazem i zamazują go przy dłuższej ekspozycji. Rozumiejąc zjawiska dyfrakcyjne, można częściowo oczyścić z nich obraz za pomocą odpowiednich procedur matematycznych, ale niełatwo osiągnąć jakąś zdecydowaną poprawę.

Johannes Kepler: Jak w wolnych chwilach odkryć tajemnicę kosmosu? (1595)

W lipcu 1595 roku Johannes Kepler był dwudziestotrzyletnim nauczycielem w luterańskiej szkole w Grazu w Styrii. Przysłano go tam z Tybingi, gdzie się uczył i miał nadzieję zostać teologiem. Był jednak biedny i korzystał z książęcego stypendium, musiał więc pojechać do Grazu, kiedy tylko zwierzchnicy tak postanowili. Nawiasem mówiąc, Wirtembergia z czasów Keplera miała znakomity system edukacyjny, w którym biedny, lecz uzdolniony młodzieniec mógł przejść przez szkoły wszystkich stopni, nie płacąc ani za naukę, ani za utrzymanie w bursie. A był to przecież XVI wiek! Rządzący kierowali się głównie względami religijnymi: potrzeba było jak najwięcej wykształconych teologów luterańskich, ale uczono porządnie, choć raczej w duchu konserwatywnym.
Kepler podczas studiów zainteresował się astronomią, i to heliocentryczną – jego nauczyciel Michael Mästlin był bowiem jednym z niewielu zwolenników Kopernika. Pół wieku po ukazaniu się dzieła toruńskiego astronoma, zwolenników jego nauk można było policzyć na palcach jednej ręki. Nie było mowy o żadnym przewrocie kopernikańskim, ponieważ prawie nikt nie wierzył, iż Ziemia naprawdę się porusza, a przedstawiony przez Kopernika system to coś więcej niż ćwiczenie z zakresu matematyki stosowanej, bez konsekwencji kosmologicznych.
Kepler w Grazu wciąż chciał myśleć, że po kilku latach wróci do Tybingi i dokończy studia teologiczne. Stało się inaczej, pochłonęła go astronomia (i astrologia), a i władze w Tybindze niezbyt chyba chciały mieć Keplera z powrotem. Był prawdziwie pobożny, ale jak często się to zdarza takim ludziom, nie był ostrożny w wypowiadaniu poglądów i mówił to, w co wierzył. A zwierzchnikom chodziło raczej o ujednoliconą doktrynę, nie o prywatne przemyślenia. Posłuszeństwo ceniono wyżej niż błyskotliwość i gorący zapał.
Uczył w Grazu przedmiotów matematycznych, co obejmowało astrologię. Młody nauczyciel lubił opowiadać nie tylko, co myśli, ale także jak do tego doszedł. Dzięki temu wiemy, że zajął się latem 1595 roku astronomią kopernikańską: „Kiedy pragnąłem dobrze i zgodnie z kierunkiem pracy spędzić czas wolny od zajęć” [ten i poniższe cytaty za: J. Kepler, Tajemnica kosmosu, przeł. M. Skrzypczak i E. Zakrzewska-Gębka, Ossolineum 1972, nieznacznie zmienione].
W astronomii Kopernika proporcje orbit planetarnych wyznaczone są przez obserwacje. Jeśli nawet system heliocentryczny był nieco prostszy, to nasuwało się pytanie: czemu sfery planet są takiej a nie innej wielkości? Jeśli była to rzeczywista architektura kosmosu, to czym kierował się boski Architekt?

A były głównie trzy problemy, których przyczyn, dlaczego jest tak a nie inaczej szukałem, a mianowicie liczba, wielkość i ruch sfer. Odwagi dodała mi owa idealna zgodność pozostających w bezruchu Słońca, gwiazd stałych i przestrzeni pośredniej, z Bogiem-Ojcem, Synem i Duchem Świętym. (…) Początkowo rozważałem zagadnienie w zależności od liczb i zastanawiałem się, czy jedna sfera może być dwa, trzy, cztery razy większa od drugiej w teorii Kopernika. Wiele czasu poświęciłem tej pracy jakby zabawie, ponieważ nie ukazywała się żadna zgodność ani samych proporcji, ani jej przyrostu. Nie osiągnąłem z tego żadnych korzyści; wbiłem sobie jednak głęboko w pamięć odległości, tak jak zostały podane przez Kopernika. (…) Wydaje się, jakoby ruch zawsze podążał za odległością i że gdzie istniał wielki przeskok między sferami, to podobny przeskok występował także między ich ruchami.

Warto zauważyć, że już wtedy Kepler usiłował dociekać, jaka jest zależność między okresem obrotu a wielkością sfery (czyli orbity) planety – w roku 1618 odkrył ścisłe prawo rządzące tą zależnością, zwane dziś III prawem Keplera. Był to więc jeden z problemów, nad którymi rozmyślał całe życie. Młody nauczyciel był pomysłowy: próbował np. umieścić między Marsem a Jowiszem nową planetę, a inną między Wenus i Merkurym, sprawdzając, czy wtedy proporcje jakoś orbit dadzą się lepiej zrozumieć. Teoretycznie było możliwe, że krążą tam gdzieś jakieś niewielkie i nie wykryte planety. Między Marsem a Jowiszem rzeczywiście krąży wiele takich ciał, znanych jako planetoidy. Badał też inne pomysły. Wszystko na próżno.

Prawie całe lato straciłem na tych męczarniach. W końcu przy jakiejś drobnej okazji przybliżyłem się do sedna sprawy. Uznałem, że z bożej łaski udało mi się znaleźć przypadkowo to, czego wcześniej nie mogłem osiągnąć pracą. Uwierzyłem w to tym bardziej, że zawsze prosiłem Boga, aby pozwolił ziścić się moim zamiarom, jeśli Kopernik miał słuszność. W dniu 19 lipca 1595 r., zamierzając pokazać moim słuchaczom skok wielkich koniunkcji przez osiem znaków (…) wpisałem w jedno koło wiele trójkątów, albo quasi-trójkątów, tak aby koniec jednego był początkiem drugiego.

 

Rysunek przedstawia koniunkcje Jowisza i Saturna na tle znaków zodiaku – jest więc całkowicie abstrakcyjny. Koniunkcje te powtarzają się w odległości około jednej trzeciej zodiaku, jeśli połączyć te punkty liniami, uzyskuje się rysunek Keplera. Sądzono, że te koniunkcje mają ważne znaczenie astrologiczne, stąd taki temat lekcji. Kepler dostrzegł jednak w tym rysunku coś innego:

Teraz mamy trójkąt wpisany między dwa okręgi. Mogłyby to być sfery Saturna i Jowisza – dwóch planet najdalszych od Słońca. Może więc kwadrat należy wpisać między sferę Jowisza i Marsa itd. Pojawia się jednak kłopot: mamy tylko sześć planet (znanych ówcześnie), a wieloboków foremnych jest nieskończenie wiele. Konstrukcja powinna wyjaśniać, czemu jest akurat sześć planet, a nie np. 120. Wtedy przypomniał sobie Kepler XIII księgę Elementów Euklidesa. Grecki matematyk dowodzi tam, że istnieje dokładnie pięć wielościanów foremnych, czyli takich, że wszystkie ich ściany są jednakowymi wielobokami foremnymi.

Rysunek: Wikipedia, Максим Пе

W Platońskim Timajosie wielościany te powiązane są z pięcioma elementami, z których zbudowany jest kosmos: sześcian z ziemią, dwudziestościan z wodą, ośmiościan z powietrzem, czworościan z ogniem, a dwunastościan z eterem wypełniającym wszechświat. Była to wówczas śmiała spekulacja oparta na najnowszej matematyce Teajteta, jednego z uczniów Platona. Teraz Kepler znalazł dla tych wielościanów nowe zastosowanie. Należało między sześć sfer planetarnych wpisać owe pięć brył platońskich.

Jest to konstrukcja zawrotna: pewien głęboki fakt matematyczny został powiązany z układem planetarnym – dla Keplera nasz układ był jedyny we wszechświecie, a Stwórca myślał językiem geometrii. Pozostawało tylko zająć się szczegółami: kolejnością brył, kwestią, jak cienkie powinny być sfery planetarne, czy ich środek liczyć od środka orbity Ziemi, czy od Słońca. Rozwiązana została tajemnica kopernikańskiego kosmosu. I taki właśnie tytuł: Tajemnica kosmosu, nosiło dziełko opublikowane przez Keplera w następnym roku. Zwracał się w nim do czytelnika: „Nie znajdziesz nowych i nieznanych planet, jak te, o których mówiłem nieco wyżej – nie zdobyłem się na taką zuchwałość. Znajdziesz te stare (…) tak jednak utwierdzone, że mógłbyś odpowiedzieć rolnikowi pytającemu, na jakich hakach zawieszone jest niebo, że nie osuwa się”.

Nasz Układ Słoneczny okazał się raczej dziełem dość chaotycznych procesów niż wytworem Platońskiego demiurga. Proporcje orbit nie wynikają z żadnej ścisłej matematyki, Kepler się mylił. Był to szczęśliwy błąd – uskrzydlony odkryciem, pogodził się z tym, że nie zostanie teologiem i zajął się astronomią, co z pewnością wyszło na dobre nauce. Do końca życia wierzył, że wielościany mają coś wspólnego z uporządkowaniem sfer planetarnych, umysłowi zawsze trudno się rozstać z ulubionymi chimerami. W następstwie hipotezy wielościanowej Kepler zajął się szczegółami ruchów planet – to na tej drodze czekały go wielkie odkrycia.

Wielościany foremne związane są ze skończonymi podgrupami grupy obrotów w przestrzeni trójwymiarowej. Można o nich poczytać w książce M. Zakrzewskiego, Algebra z geometrią, Oficyna Wydawnicza GiS 2015. Bardziej popularne są piękne i znakomicie ilustrowane odczyty Hermanna Weyla, wielkiego matematyka i kolegi Einsteina z Zurychu i Princeton, pt. Symetria, PWN 1960, wznowione przez wydawnictwo Prószyński i S-ka w 1997 r.

Co to jest ciemna energia?

Ciemna energia to ponad dwie trzecie energii wszechświata. Wyjaśnienie jej pochodzenia jest zapewne największym wyzwaniem fizyki i kosmologii. Pokażemy krótko, o co chodzi, gdy mówimy o ciemnej energii.

1. Prawo Hubble’a

Edwin Hubble odkrył, że wszystkie dalekie obiekty oddalają się od nas z prędkością, która jest proporcjonalna do odległości. Wektorowo możemy to zapisać następująco:

Parametr nazywamy parametrem Hubble’a. Gdybyśmy się przenieśli do galaktyki położonej w punkcie , prawo Hubble’a nadal będzie obowiązywało dla prędkości i położeń liczonych od galaktyki nr 1:

Na prawo Hubble’a należy patrzeć jak na rozszerzanie się przestrzeni: galaktyki są w stałych położeniach (jak rodzynki w cieście drożdżowym), a odległości między nimi stale rosną (całe ciasto „rośnie”). Skoro odległości te obecnie rosną, to znaczy, że w przeszłości były mniejsze. Łatwo obliczyć, jak dawno temu wszystkie galaktyki powinny być „obok siebie”. Wystarczy podzielić odległość przez prędkość:

Czas ten nie zależy od tego, którą konkretnie galaktykę wybierzemy do obliczeń. Nazywamy go czasem Hubble’a, jego wartość równa się około 14 mld. lat. Zatem lat temu cały wszechświat powinien być bardzo gęsty. Oczywiście, czas Hubble’a nie musi być równy wiekowi wszechświata. Byłoby tak, gdyby w przeszłości galaktyki oddalały się z taką samą prędkością jak dziś. Jednak prędkość ich oddalania się stopniowo maleje za sprawą grawitacji, która jest siłą przyciągającą. Oczekujemy więc, że wiek wszechświata jest mniejszy od czasu Hubble’a.

2. Od czego zależy parametr Hubble’a?

Obserwacje wskazują, że we wszechświecie gęstość materii jest wszędzie stała (oczywiście w odpowiednio dużej skali; nieco podobnie jak możemy uważać, że gaz ma stałą gęstość w skali znacznie większej niż odległość pojedynczych atomów). Pole grawitacyjne ma specyficzną własność: jeśli wyobrazimy sobie kulistą wnękę opróżnioną z materii, to w każdym jej punkcie przyciąganie grawitacyjne jakiejś małej próbnej masy będzie równe zeru.

Oznacza to, że rozpatrując, co się dzieje z całym nieskończonym wszechświatem o stałej gęstości, wystarczy zająć się zachowaniem wybranej kuli – cała materia na zewnątrz tej kuli nie będzie wywierała żadnej siły wypadkowej. Rozpatrzmy więc kulę z galaktykami, która rozszerza się razem z całym wszechświatem. Galaktyki na powierzchni tej kuli mają pewną prędkość oddalania się, jest to zarazem prędkość ekspansji naszej kuli.

Możliwe są trzy przypadki: prędkość (dowolnej) galaktyki na powierzchni kuli może być większa, równa albo mniejsza od prędkości ucieczki z kuli. Sytuacja jest dokładnie taka, jak w przypadku wystrzeliwania jakiegoś ciała z powierzchni Ziemi: jego prędkość może być większa, równa albo mniejsza od prędkości ucieczki i nasze ciało albo oddali się nieograniczenie (w dwóch pierwszych wypadkach), albo oddali się na pewną maksymalną odległość, a potem zawróci. Obserwacje wskazują, że nasz wszechświat z jakichś powodów zachowuje się tak, że galaktyki mają dokładnie prędkość graniczną: prędkość ucieczki. Nie jest to oczywiste, wygląda na to, że warunki początkowe Wielkiego Wybuchu zostały w precyzyjny sposób wybrane właśnie tak, aby prędkość galaktyk była równa prędkości ucieczki. Wybrane – nie znaczy: wybrane przez Stwórcę, ale jakoś fizycznie wyróżnione. Objaśniają to teorie tzw. inflacji, którymi tutaj nie będziemy się zajmować.
Prędkość ucieczki z powierzchni kuli o masie i promieniu równa się (zob. dowolny podręcznik fizyki albo stosowne hasło Wikipedii):

gdzie jest stałą grawitacyjną. Ponieważ w naszej rozszerzającej się kuli są wciąż te same galaktyki, jej masa jest stała i wobec tego prędkość maleje w miarę ekspansji – czegoś takiego oczekujemy od grawitacji. Ktoś, kto zna pochodne, łatwo sprawdzi, że rozwiązaniem tego równania jest , (a pochodna ). Na wykresie wygląda to tak.

Masę kuli można zapisać jako iloczyn gęstości i objętości, otrzymamy wówczas prawo Hubble’a:

Ze wzoru tego wynikają dwie rzeczy: bez względu na to jak dużą weźmiemy kulę, otrzymamy tę samą wartość parametru , jak być powinno, jeśli nasze rozumowanie ma być prawdziwe. Po drugie, w miarę jak kula będzie się rozszerzać, gęstość materii będzie maleć (wciąż ta sama masa przypada bowiem na coraz większą objętość). Zatem parametr Hubble’a też będzie maleć z czasem. Cofając się w czasie, otrzymamy coraz mniejsze promienie i coraz większe gęstości oraz prędkości. Widać, że model ten traci sens, gdy promień równa się zeru, odpowiada to bowiem nieskończonej gęstości. To właśnie jest Wielki Wybuch. Nasz model, podobnie jak ogólna teoria względności, traci sens dla . Możemy natomiast przewidywać, co się będzie działo po Wielkim Wybuchu, a więc dla . I jeszcze jedno: Wielki Wybuch jest granicą czasową naszego wszechświata, ale nie jest związany z żadnym miejscem w przestrzeni. Moglibyśmy naszą kulę wybrać ze środkiem w dowolnym punkcie i wyniki byłyby takie same. Zatem Wielki Wybuch dokonał się jednocześnie w całej przestrzeni: to nie był wybuch jakiejś bomby w pewnym punkcie.

3. Ciemna energia

Parametr Hubble’a maleje, gdy maleje gęstość wszechświata. Tak być powinno, grawitacja spowalnia ekspansję. Ponieważ nasz wszechświat rozszerza się z prędkością ucieczki, powinien spowalniać coraz bardziej, a parametr Hubble’a powinien dążyć asymptotycznie do zera, nigdy go nie osiągając. Obserwacje (Nobel 2011) wykazały jednak, że do gęstości materii galaktyk należy w ostatnim wzorze na dodać pewną dodatkową stałą gęstość – jest to energia próżni albo inaczej ciemna energia. Nie jest to jakaś drobna poprawka, w dzisiejszym wszechświecie stanowi około 70% całości. Co taki wyraz oznacza? Mamy nową stałą fizyczną, przynajmniej w naszym wszechświecie. Z czasem gęstość ciemnej energii będzie jeszcze bardziej dominować (bo gęstość materii ciągle maleje wskutek ekspansji). Stała Hubble’a nie dąży więc do zera, lecz do pewnej wartości stałej

.

Prędkość ekspansji będzie więc proporcjonalna do rozmiarów kuli wszechświata. Im większa kula, tym szybciej będzie się nadymać. Oznacza to wzrost wykładniczy, a więc wszechświat rozszerzający się wciąż szybciej i szybciej. Ciemna energia działa zatem jak dodatkowa siła odpychająca, która w końcu przeważa nad grawitacją. Gdyby już dziś liczyła się tylko ciemna energia, dalsze losy wszechświata wyglądałyby następująco.

Jest to zupełnie rozsądne przybliżenie naszej kosmicznej przyszłości. Naprawdę oba wykresy z punktów 2 i 3 gładko w siebie przechodzą, dając tzw. Model uzgodniony (The Concordance Model).
Co może znaczyć taka stała gęstość energii (bo energia i masa są proporcjonalne: )? Może to być np. energia drgań zerowych pól kwantowych. W mechanice kwantowej niemożliwy jest absolutny spoczynek: dlatego np. elektron w atomie stale się porusza. Spoczynek oznaczałby naruszenie zasady nieoznaczoności Heisenberga. Z podobnego powodu atomy w krysztale drgają nawet w temperaturze zera bezwzględnego. No dobrze, ale tu mówimy o pustej przestrzeni. Co ma się w niej poruszać, gdy zabierzemy wszelkie cząstki? Z kwantowego punktu widzenia każda cząstka jest kwantem pewnego pola. Np. fotony są kwantami pola elektromagnetycznego. Pola takie muszą drgać nawet wówczas, gdy nie ma ani jednego fotonu. A muszą drgać, bo inaczej naruszona zostałaby zasada nieoznaczoności. Drgające pole ma pewną energię, więc pola kwantowe powinny mieć energię nawet wtedy, gdy usuniemy wszystkie cząstki. Tak to powinno wglądać, kłopot w tym, że nikt nie potrafi zamienić intuicji tego rodzaju na jakiś rachunek, który by pokazywał, jakie to konkretnie pola dają obserwowaną energię próżni, czyli ciemną energię.

Równania, które napisaliśmy, wynikają także z ogólnej teorii względności, ale wtedy rachunki są bardziej złożone technicznie.

Więcej: Kosmologia relatywistyczna w kwadrans I, Kosmologia relatywistyczna w kwadrans II

Czy globalne ocieplenie to bzdura? Pochwała atmosfery

Atmosfera Ziemi jest jak „uszyta na miarę”: chroni nas przed meteorytami, tłumi promieniowanie nadfioletowe, wytwarzające mutacje (np. raka skóry), zapewnia nam tlen niezbędny do oddychania i jest przezroczysta akurat w tym obszarze fal elektromagnetycznych, które widzimy. Oczywiście, od czasów Charlesa Darwina, wiemy, że trzeba spojrzeć na to odwrotnie: na drodze jakiej ewolucji doszło do tej sytuacji. Ochrona przed meteorytami jest np. niepełna, o czym boleśnie przekonały się dinozaury (zostały tylko energooszczędne zwierzątka w rodzaju dzisiejszych ryjówek – nasi prarodzice). Nam też w zasadzie grozi podobny los, jeśli odpowiednio duża asteroida uderzy w Ziemię. Warstwę ozonową, która chroni przed nadfioletem, dość łatwo byłoby zniszczyć, na szczęście przestaliśmy wypuszczać do atmosfery niektóre związki chemiczne, stosowane w celach dość trywialnych: w dezodorantach i lodówkach. Za tlen powinniśmy dziękować naszym braciom mniejszym roślinom, bez nich (bez fotosyntezy) nie moglibyśmy żyć. Widzimy fale elektromagnetyczne o takich długościach, bo nasza gwiazda centralna najwięcej wysyła w tym obszarze widma (byłoby bez sensu mieć oczy wrażliwe na fale, których praktycznie nie ma). To, że dzięki temu możemy widzieć także inne ciała niebieskie jest tylko wspaniałym dodatkiem. A dzięki obserwacjom gwiazd i planet powstała astronomia matematyczna. A dzięki astronomii powstała fizyka, a dzięki fizyce, a później chemii i biologii, powstała nasza cywilizacja w obecnym kształcie.

W sierpniu 1883 roku na wysepce Krakatau w Indonezji wybuchł wulkan. Wskutek tej erupcji i wywołanych nią fal tsunami zginęło 40 000 ludzi. W końcu października w Europie zaczęły się niesamowicie piękne zachody słońca – znaczyło to, że pył wyrzucony do atmosfery podczas erupcji zdążył już przywędrować na umiarkowane szerokości geograficzne (kolory zachodów słońca to głównie skutek rozpraszania Rayleigha). W Wielkiej Brytanii zachody słońca obserwował zafascynowany nimi poeta, żarliwy katolik, Gerald Manley Hopkins. Swoje opisy wysłał do „Nature”: „Ponad zielenią ukazał się czerwony blask, szerszy i bardziej krzepki; był miękko cętkowany i w żebrach czy pasach kolor był bliższy różu, a w prześwitach, gdzie przeświecał błękit nieba, bliższy malwy. Wyżej był niewyraźnie bzowy. Czerwień można było dostrzec najpierw na wysokości 45º nad horyzontem i widziało się w niej promienie, które jeden z patrzących porównał do ludzkiej dłoni. Do 4:45 czerwień wyparła zieleń i stapiając się z resztką pomarańczowego dosięgła horyzontu” (cyt. w: http://publicdomainreview.org/2012/05/28/the-krakatoa-sunsets/). Malarz William Askroft spędził wiele popołudni, malując widoki nieba na brzegu Tamizy w Chelsea, było to dla niego frustrujące doświadczenie: jego sztuka była bezsilna wobec tej ruchomej powodzi kolorów.

Zachody słońca po erupcji Krakatau pokazały naocznie, że atmosfera jest wspólna dla całej Ziemi. Jeszcze jedną wspaniałą zaletą, za którą winniśmy wdzięczność naszej siostrze atmosferze, jest efekt cieplarniany. Gdyby nie było atmosfery temperatura Ziemi byłaby równa -20º C – tyle wynika z prostego bilansu energii przychodzącej ze Słońca i wysyłanej przez Ziemię. Ilości energii przychodzącej i wysyłanej w jednostce czasu powinny być równe, inaczej Ziemia musi się ogrzewać albo stygnąć. Naprawdę gdyby temperatura była tak niska, na powierzchni Ziemi byłoby dużo lodu, który świetnie odbija światło i w rezultacie mniej światła słonecznego byłoby pochłaniane przez Ziemię, co znaczy, że temperatura byłaby jeszcze niższa.
Nasza atmosfera przepuszcza niemal całkowicie światło widzialne – większą część energii docierającej do nas ze Słońca. Ziemia, a także sama atmosfera, także wysyłają promieniowanie termiczne, ale jest ono w większości podczerwone, gdyż temperatura Ziemi jest 20 razy mniejsza od temperatury Słońca. Atmosfera Ziemi jest jednak nieprzezroczysta w podczerwieni, dzięki parze wodnej i CO₂. Bilans energetyczny wygląda w rezultacie tak.

Ziemia wysyła więcej promieniowania podczerwonego, niż otrzymuje ze Słońca. Bilans energii zarówno „pod atmosferą”, jak i „nad atmosferą” jest zerowy: tyle samo energii przychodzi i ucieka. Jednak atmosfera promieniuje w górę i w dół, dzięki czemu Ziemia może wysyłać więcej energii – a to oznacza, że jej temperatura jest wyższa: zamiast -20º C otrzymalibyśmy +30º C (-20º C będzie teraz temperaturą na skraju atmosfery, a nie na Ziemi). Temperatura wyszła trochę za wysoka, ale to szczegół. Gdybyśmy przyjęli, że nie cała energia wysyłana w podczerwieni przez Ziemię jest pochłaniana przez atmosferę, ale część jej ucieka w kosmos, wynik byłby bardziej realistyczny. Widać o co chodzi: im bardziej nieprzezroczysta atmosfera w podczerwieni, tym wyższa temperatura planety. Efekt ten – efekt cieplarniany – jest zbawienny, bo, powtórzmy, marnie by nam się żyło w temperaturach średnich poniżej -20º C. Tyle, że gdy atmosfera stanie się zanadto nieprzezroczysta w podczerwieni, na Ziemi może stać się zbyt ciepło. Ludzie od XVIII wieku wysłali do atmosfery tyle CO₂, że zaczęło to już wpływać na klimat globalny. Możemy stać się ofiarami naszego sukcesu ewolucyjnego i cywilizacyjnego. Oczywiście, przyszłość jest nieznana, bo może też nadlecieć za, powiedzmy, pięćdziesiąt lat duża asteroida i zafundować nam nie tylko piękne zachody słońca, ale w ogóle zimę na dziesięć lat. Wtedy nikt się nie będzie musiał martwić globalnym ociepleniem, zresztą ryjówki mają na to za mały mózg.

Dante Alighieri i 3-sfera

Zaczniemy od Dantego. Jak Rembrandt czy Michał Anioł, jest Dante jednym z tych artystów, których pamiętamy z imienia. W XIV wieku, gdy opisał swą podróż po zaświatach, kosmologia spleciona była ściśle z teologią. Arystotelesowski system sfer (wywodzący się od Eudoksosa) został schrystianizowany przez Tomasza z Akwinu. Świat z boskiego zwierzęcia, które porusza się samo, stał się areną dramatu moralnego. U Dantego dokładnie w środku Ziemi znajduje się głowa upadłego Lucyfera. Humanista Antonio Manetti przedstawił je w roku 1506 następująco:

• 

  Mamy tu przy okazji hierarchię grzechów, a więc od góry: rozpusta, łakomstwo, chciwość, gniew i zniechęcenie we wspólnym kręgu piekielnym, przemoc (nie zmieściły się na rysunku: herezja, oszustwo i zdrada)

Młody Galileusz wygłosił w Accademia Fiorentina dwa wykłady, poświęcone topografii dantejskiego piekła. Wykłady te pomyślane były jako sposób kultywowania „czystej mowy toskańskiej”, co należało do celów działalności Akademii. W grę wchodził także patriotyzm: młody uczony bronił poglądów swego rodaka, Antonia Manettiego, przed niezasłużoną krytyką Alessandra Velutella z Lukki. Piekło bowiem, jak wiadomo, znajduje się dokładnie pod Jerozolimą i ma kształt stożka o kącie rozwarcia 60º i wierzchołku w środku Ziemi. Poszczególne jego kręgi tworzą coś w rodzaju amfiteatru – infernal teatro – na którego samym dole znajduje się Lucyfer, a w jego trzech paszczach trzej najwięksi zdrajcy:
Judasz oraz Brutus i Kasjusz, organizatorzy zamachu na Juliusza Cezara.

Galileusz, podobnie jak jego poprzednicy, starał się wyczytać z tekstu Dantego matematyczne szczegóły. Fragment opisu Lucyfera w Pieśni XXIV można było potraktować jako proporcję.

Cesarz, władnący nad krainą nędzy,
Z lodu wysterczał do połowy łona,
A olbrzym ze mną porówna się prędzej
Niż z olbrzymami jego dwa ramiona.

Wynika stąd, że wzrost Dantego ma się do wzrostu olbrzyma tak, jak wzrost olbrzyma do długości ramion Lucyfera. Wzrost Dantego znamy: wynosił on 3 braccia. Potrzebny jest jeszcze wzrost olbrzyma. Informację tę daje Pieśń XXXI:

Jako Piotrowa szyszka, tej wielkości
Była ogromna głowa wielkoluda.

Chodziło o szyszkę z brązu znajdującą się w Rzymie i mającą wielkość 5½ braccia, taką samą wielkość ma zatem głowa olbrzyma. Ponieważ wysokość człowieka równa jest ośmiu rozmiarom głowy, więc wysokość olbrzyma równa jest 44 braccia. Korzystając z tej wielkości obliczamy wielkość ramienia Lucyfera: będzie ona równa 645 braccia. Wzrost człowieka jest trzykrotnie większy niż długość ramienia, stosując tę proporcję otrzymujemy 1935 braccia. Jako prawdziwy humanista, młody uczony także do olbrzyma i Lucyfera przykłada ludzką miarę; po latach udowodni, że proporcje ciała muszą zmieniać się z rozmiarami każdego stworzenia, inaczej kości nie wytrzymałyby ciężaru. Po uwzględnieniu uwagi poety, że Lucyfer jest jeszcze nieco większy („olbrzym ze mną porówna się prędzej…”), dostajemy na wzrost Lucyfera okrągło 2000 braccia. W podobny sposób oblicza Galileusz inne wielkości charakteryzujące Dantejskie Piekło.

Jak traktować tego typu rozważania? Zapewne podobnie jak dzisiejsze doktoraty: nie wszystko musi być tu prawdą, chodzi raczej o pewne ćwiczenie formalne, w którym startując z określonych założeń, adept stara się wykazać swobodą w posługiwaniu się metodami naukowymi: tym razem warsztatem humanisty z matematyczną ogładą. W dużo mniejszym stopniu chodziło zapewne o samo Piekło, choć bowiem Dante miał status wizjonera, to Boska Komedia nie była nigdy oficjalnym stanowiskiem Kościoła. W samo istnienie Piekła, gdzieś pod ziemią, wierzono chyba dość
powszechnie i zapewne wierzyć w nie mógł także młody Galileusz. Nie zetknął się jeszcze z kopernikanizmem i nie zdążył przemyśleć zagadnień kosmologii. W dojrzałym wieku uzna argument o centralnym miejscu Piekła we wszechświecie za śmiechu warty.

Ziemia i jej na ogół nieszczęśni mieszkańcy była w środku, lecz moralnie najniżej. Doskonalsze, bo zbudowane z niezniszczalnego tworzywa – eteru – były sfery planetarne. Doskonalszy także, bo kołowy, był ich ruch. Całość przedstawił Peter Apian, już po śmierci Kopernika, na znanym drzeworycie.

Jest to wersja wszechświata przeznaczona dla filozofów i poetów, astronomowie korzystali z innej. Ponad siódmą sferą Saturna mamy ósmą zawierającą gwiazdy, a także dziewiątą, kryształową, oraz dziesiątą: Primum Mobile. Owa dziesiąta (u Dantego – dziewiąta) sfera wprawiała w ruch wszystko poniżej, a poruszała się siłą intelektualnej miłości do Boga, który oczywiście u Arystotelesa znaczył zupełnie co innego niż u Dantego.

Świat jest więc skończony, a nawet zdaje się mieć brzeg, poza który wychynąć nie można. Otóż w XXVIII Pieśni Raju Dante dociera do owej największej sfery i opisuje nam to, co zobaczył i co objaśnia mu niezawodna przewodniczka, Beatrycze (w życiu ziemskim była mężatką, a on miał czworo dzieci z żoną, w zaświatach jednak stosunki ich przybrały inny obrót). Spoglądając, wydawałoby się z brzegu wszechświata, widzi Dante cały nowy świat wirujący wokół centralnego boskiego ognia. Jest tam też dziewięć sfer, ale zamieszkałych przez istoty wyższe, całą hierarchię anielską.

Poeta znajduje się gdzieś w punkcie P.

Interpretatorzy mieli zazwyczaj kłopot z tym drugim światem. Tymczasem z matematycznego punktu widzenia oba te kuliste światy mogłyby być połówkami 3-sfery, czyli sfery trójwymiarowej, . Sferę taką stanowił świat Einsteina, pierwszy nowoczesny model kosmologiczny. Przestrzeń ma ograniczoną objętość, lecz nie ma brzegu, podobnie jak powierzchnia kuli. Przyjrzyjmy się temu bliżej.

Kula (jednostkowa) to zbiór punktów leżących bliżej niż 1 od pewnego punktu środkowego. W jednym wymiarze to po prostu odcinek otwarty . Jego brzeg, czyli 0-sferę stanowią dwa punkty . W dwóch wymiarach kula to wnętrze koła, jej brzeg to 1-sfera , czyli okrąg.

Zauważmy, że okrąg stanowią punkty spełniające równanie . Możemy okrąg uważać za złożony z dwóch części: dodatniej () i ujemnej (). Każdą z tych części możemy w sposób ciągły i wzajemnie jednoznaczny zrzutować na kulę , czyli odcinek:  gdzie . Aby uzyskać cały okrąg (1-sferę), musimy dodać jeszcze dwa brakujące punkty , czyli 0-sferę.

Można zatem 1-sferę uważać za sumę dwóch oddzielnych egzemplarzy oraz 0-sfery. Taki podział daje się też przeprowadzić dla 2-sfery.

Każą z dwóch półsfer: dodatnią i ujemną można zrzutować w sposób ciągły i wzajemnie jednoznaczny na kulę . Jeśli dodamy do tego 1-sferę , otrzymamy całą 2-sferę, czyli brzeg kuli . W przypadku 3-sfery, czyli brzegu kuli czterowymiarowej nie możemy sporządzić wprawdzie rysunku, ale postępowanie da się łatwo uogólnić. 3-sfera jest zbiorem punktów w przestrzeni czterowymiarowej spełniających równanie , skąd . Możemy więc każdemu punktowi przypisać dokładnie dwa punkty na 3-sferze:

Otrzymamy w ten sposób dwie połsfery , które należy jeszcze uzupełnić o sferę „równikową” . Przecinając sferę rozmaitymi płaszczyznami począwszy od „bieguna północnego” (x,y,z,1), otrzymywać bedziemy coraz większe 2-sfery odgrywające rolę równoleżników. Największą 2-sferą jest równik: przecięcie płaszczyzną , następnie dla ujemnych wartości przecięcia będą 2-sferami o coraz mniejszym promieniu aż zbiegną się w „biegun południowy”. 

Dante znajdując się w punkcie równika 3-sfery miał więc przed sobą dwie połówki owej 3-sfery, z których każda równoważna jest kuli – inaczej mówiąc miał przed oczami dwa zbiory koncentrycznych 2-sfer: środek jednej stanowiła Ziemia, a dokładniej Lucyfer, środek drugiej – Bóg widziany jako gorejący świetlisty punkt. Można 3-sferę przedstawić jako złożenie dwóch (np. jednakowych, ale różnych) kul, w których odpowiadające sobie, „tak samo położone” punkty brzegu zostały utożsamione. Idąc więc od Ziemi, w punkcie P znajdujemy się na wspólnym brzegu obu kul i podziwiać możemy oba światy. Poeta wykazał się tu znakomitą intuicją topologiczną. Całość tej konstrukcji, 3-sfera, nie ma brzegu, tak jak świat Dantego.

Wykorzystałem artykuł Marka Petersona Dante and 3-sphere, „American Journal of Physics”, t. 47(12), (1979), s. 1031-1035.

Co maszyny parowe mówią nam o czarnych dziurach? (Carnot, 1824, Hawking 1974)

Termodynamika jest dziedziną zdumiewającą. Wyprowadzone z niej zależności pojawiają się w najróżniejszych dziedzinach fizyki. Pokażemy tu mały przykład: rozumowanie Sadiego Carnota dotyczące sprawności maszyn parowych i pewien eksperyment myślowy zaproponowany przez Roberta Gerocha w 1971 r., który doprowadził do odkrycia niezerowej temperatury czarnych dziur. Pracowało nad tym zagadnieniem kilku uczonych, najważniejszy wkład wnieśli Jacob Beckenstein i Stephen Hawking. Ten ostatni końcową formułę uznał za tak ważną, że pragnął, by mu ją wyryto na nagrobku. Odkrycie to oznaczało, że czarne dziury nie są zupełnie czarne, wysyłają bowiem promieniowanie cieplne i kiedyś, po bardzo długim czasie, wyparują.

Angielski napis: Tu spoczywa to, co było śmiertelne w Stephenie Hawkingu. Słowa powtarzają po angielsku to, co wyryto kiedyś na nagrobku Isaaca Newtona nieopodal: Hic depositum est quod mortale fuit Isaaci Newtoni.

Zaczniemy od Carnota. Sadi, był synem Lazare’a Carnota, generała-matematyka, polityka i organizatora, dzięki któremu armia rewolucyjna odnosiła sukcesy i który później służył Napoleonowi Bonaparte, póki ten nie zdradził ideałów rewolucji dla osobistej władzy. Lazare Carnot napisał znany podręcznik mechaniki maszyn. Jego syn, Sadi, absolwent École Polytechnique, także został inżynierem wojskowym. Nie mógł raczej liczyć na karierę we Francji w czasach restauracji monarchii Burbonów, zajmował więc jakieś niewiele znaczące stanowiska w Sztabie Generalnym i rozwijał się intelektualnie. Mając 27 lat, w 1824 roku opublikował niewielką książeczkę Réflexions sur la Puissance Motrice du Feu (Rozważania o sile poruszającej ognia). Nie została ona doceniona przez współczesnych, a kilka lat później Carnot zmarł na cholerę. Pracę Carnota odkryło dopiero następne pokolenie fizyków, w tym William Thomson, późniejszy lord Kelvin.

Carnot rozumiał, jak ogromną rolę odgrywają maszyny parowe: w jego czasach znajdowały one wciąż nowe zastosowania, zwłaszcza Anglia korzystała na rozpowszechnieniu nowych technologii, bez nich nie byłoby Imperium Brytyjskiego. Toteż Carnot spróbował zbudować naukową teorię wydajności maszyn cieplnych. Posługiwał się zresztą teorią cieplika, nieznana była bowiem jeszcze zasada zachowania energii, lecz rozumowania Carnota można było łatwo zmodyfikować, tak też poniżej zrobimy. Odkrycie Carnota jest równoważne temu, co później stało się II zasadą termodynamiki

Rozumiano oczywiście, że nie może istnieć maszyna, która wiecznie będzie się poruszać: perpetuum mobile. Paryska Akademia nauk w roku 1775 uchwaliła, że zaprzestaje analizowania nadsyłanych wciąż rozwiązań problemu podwojenia sześcianu, kwadratury koła i trysekcji kąta, a także wynalazków umożliwiających wieczny ruch bez napędu z zewnątrz. Problemy geometryczne znane były od starożytności i coraz bardziej się przekonywano, że są nierozwiązalne jako konstrukcje za pomocą liniału i cyrkla. Maszyny parowe (oraz wszelkie silniki cieplne, a także zwierzęta) zamieniają ciepło na pracę. Z dzisiejszego punktu widzenia rzec można, iż zamieniają nieuporządkowany ruch cząsteczek i atomów na uporządkowany ruch tłoka. Tutaj także obowiązuje pewien zakaz: nie można zamienić bez strat ciepła na energię mechaniczną. Czasem mówi się, że niemożliwe jest perpetuum mobile drugiego rodzaju, czyli urządzenie, które pobierałoby ciepło wyłącznie z jednego źródła, a następnie zamieniało je w całości na pracę. Jest to istota II zasady termodynamiki. Gdyby możliwe było np. pobranie z oceanów światowych ilości ciepła odpowiadającej zmianie temperatury o 1 K i zamiana go w całości na pracę, uzyskalibyśmy około 10²⁵ J, czyli mniej więcej sto tysięcy razy więcej, niż roczna produkcja energii elektrycznej na świecie w 2013 roku. Zasada zachowania energii byłaby przy tym spełniona, naruszałoby to jedynie II zasadę termodynamiki.

Carnot podszedł do zagadnienia w duchu kartezjańskim i matematycznym. Pominął wszelkie szczegóły konstrukcyjne, sprowadzając maszynę parową do takiego działania cyklicznego, w którym pobieramy najpierw pewną ilość ciepła w wyższej temperaturze, a następnie oddajemy mniejszą ilość ciepła w temperaturze niższej.

Konieczne są tu obiekty o dwóch różnych temperaturach: źródło ciepła i chłodnica. Intuicyjnie jasne jest, że gdy ciepło przepływa wprost z ciała o wyższej temperaturze do ciała o niższej temperaturze, to tracimy możliwość wykonania użytecznej pracy – mamy do czynienia z procesem nieodwracalnym. Maszyna cieplna o największej wydajności, to taka, w której ciepło przepływa zawsze między ciałami o praktycznie tej samej temperaturze: wystarczy wówczas nieznacznie zmienić jedną z temperatur, by odwrócić kierunek przepływu ciepła. W przypadku silnika cieplnego najpierw należy mu dostarczyć ciepła w sytuacji, gdy substancja robocza (np. para wodna) ma temperaturę nieznacznie mniejszą od temperatury źródła ciepła , następnie wykonuje ona pracę, a potem oddaje pewną ilość ciepła do chłodnicy, przy czym substancja robocza powinna mieć temperaturę nieznacznie tylko wyższą niż . Łatwo wyobrazić sobie odwrócenie takiego cyklu, nasza maszyna pracowałaby wówczas jak lodówka.

Carnot udowodnił, że maszyna odwracalna nie może mieć mniejszej wydajności niż nieodwracalna. Gdyby tak było, moglibyśmy obie maszyny sprząc ze sobą: pierwszą w kierunku normalnym, a drugą działającą odwrotnie (lodówka) i jeszcze uzyskalibyśmy pewną dodatkową pracę zewnętrzną.

Widać z obrazka, że takie urządzenie (niebieski prostokąt) wykonuje cykl, w którym zamienia na pracę ciepło pobrane z chłodnicy, a to jest niemożliwe. Musi więc zachodzić nierówność , a więc także i wydajność silnika cieplnego

Ponieważ dwie maszyny odwracalne pracujące między danymi temperaturami muszą spełnić takie nierówności w obie strony, więc muszą mieć jednakową wydajność. Wydajność maszyny odwracalnej jest wyłącznie funkcją obu temperatur. Sprawność takiej maszyny odwracalnej jest granicą teoretyczną wydajności maszyn rzeczywistych i równa jest

Ostatnia równość jest zarazem definicją skali temperatur absolutnych. Wprowadził ją Thomson w 1848 roku. Jego oraz Rudolfa Clausiusa uważa się za odkrywców II zasady termodynamiki, odkryli oni na nowo fakty znane Carnotowi, a także rozwinęli tę dziedzinę. II zasadę można sformułować także w ten sposób, że całkowita suma entropii świata rośnie.

Przenosimy się teraz o 150 lat w przód. Wiadomo, że zasady termodynamiki mają zastosowanie powszechne, niezależnie od tego, z jakim obszarem zjawisk mamy do czynienia: elektromagnetyzm, reakcje chemiczne, grawitacja – fizyka nie jest zbiorem niezależnych poddziedzin, lecz spójną całością. W latach szęśćdziesiątych ubiegłego wieku fizycy zrozumieli, że we wszechświecie powinny w pewnych warunkach tworzyć się czarne dziury. Jedną z najważniejszych postaci w tej nowej astrofizyce był John Wheeler, autor określenia „czarne dziury“ i mentor całej plejady wybitnych relatywistów. Jego doktorantem był Ja’akow Beckenstein. Kiedyś Wheeler w niezobowiązującej pogawędce zauważył, że zawsze czuje się jak przestępca, kiedy stawia filiżankę gorącej herbaty obok filiżanki mrożonej herbaty i pozwala im wyrównać temperatury.

Moja zbrodnia zostawia ślad aż po kres czasu i nie ma sposobu, by ją zatrzeć albo odwrócić. Wystarczy jednak, by w pobliżu przepływała akurat jakaś czarna dziura i żebym wrzucił do niej gorącą herbatę i tę mrożoną, a dowody mojej zbrodni zostałyby zatarte na zawsze.

Należy przy tym wyobrazić sobie Johna Wheelera, ubranego w nienaganny garnitur, konserwatystę z przekonań, który rzeczywiście mógłby odczuwać moralny dyskomfort z powodu beztroskiego powiększania entropii świata. Oczywiście treść fizyczna tej wypowiedzi była jak najbardziej serio: znikanie różnych obiektów za horyzontem zdarzeń sprawia, że z bilansu entropii wszechświata znika to, co wpadło do dziury. W ten sposób II zasada termodynamiki traci ważność, bo nie możemy sporządzić pełnego bilansu entropii świata. Wiadomo było, że czarne dziury zacierają jakikolwiek ślad tego, co do nich wpada i jedynym śladem jest zmiana masy, momentu pędu i ładunku dziury. Czy obiekty tak proste mogą być obdarzone entropią, która jest miarą liczby mikrostanów danego obiektu? Wiadomo było dzięki Stephenowi Hawkingowi, że pole powierzchni horyzontu czarnej dziury zawsze rośnie, przypominając pod tym względem entropię. Ale tylko przypominając – nikt bowiem nie chciał uwierzyć, że dziury naprawdę mają entropię. Gdyby miały, powinny też mieć niezerową temperaturę, a każdy obiekt o niezerowej temperaturze wysyła promieniowanie cieplne. Tymczasem dziura ma jedynie pochłaniać cząstki i promieniowanie. 

Robert Geroch przedstawił tę sytuację za pomocą silnika cieplnego. Wyglądałoby to jakoś tak:

Rysunek Louisa Fulgoniego

Napełniamy pudło promieniowaniem o pewnej temperaturze z dala od dziury tak, że energia promieniowania równa się . Pudło ma masę . Następnie powoli opuszczamy na lince nasze pudło. Opuszczaniu masy w polu grawitacyjnym towarzyszy wykonanie pewnej pracy i np. wygenerowanie prądu zasilającego żarówkę, jak na rysunku. Jeśli opuścimy pudło aż do horyzontu zdarzeń, jego energia całkowita stanie się równa zero (jakby do energii spoczynkowej doszła energia potencjalna grawitacji równa ).  Znaczy to, że całą energię udało nam się zamienić na pracę. Otwieramy teraz pudło, pozwalając promieniowaniu wpaść do dziury i podnosimy z powrotem puste, lekkie pudło. Cykl się zamyka. Stworzyliśmy idealny silnik cieplny.

Jacob Beckenstein, analizując sytuacje takie jak powyższa, pierwszy zasugerował, że czarna dziura powinna mieć entropię i ustalił, jaki wzór powinien ją opisywać. Był wtedy młodym uczonym tuż po doktoracie i musiał wytrzymać ciśnienie zmasowanej krytyki uznanych ekspertów, w tym Stephena Hawkinga. W końcu to Hawking rozstrzygnął problem, wykazując, ku własnemu zdumieniu, że czarne dziury promieniują i obliczył stosowną temperaturę. Praca ta powstała na gruncie kwantowej teorii pola, rozszerzając jej zastosowanie na zakrzywioną czasoprzestrzeń. 

Silnik Gerocha nie ma stuprocentowej sprawności. Jeśli promieniowanie ma temperaturę T, to samo pudło musi mieć rozmiar przynajmniej typowej długości fali L. Najniższe możliwe położenie pudła osiągniemy, gdy jego dolna ścianka dotknie horyzontu zdarzeń. Środek masy pudła znajduje się wtedy na pewnej wysokości i energia całkowita pudła równa się ( jest natężeniem pola grawitacyjnego na powierzchni horyzontu). 

Toteż praca uzyskana podczas opuszczania pudła równa jest

a sprawność maszyny wynosi

Typową długość fali odpowiadającą temperaturze możemy znaleźć jako warunek równości energii cieplnej ( jest stałą Boltzmanna – czyli w zasadzie przelicznikiem energii na temperaturę i odwrotnie) i energii fotonu (jest to też treść tzw. prawa Wiena dla promieniowania cieplnego):

Sprawność silnika przyjmuje więc postać

Z porównania otrzymujemy oszacowanie temperatury Hawkinga

Oczywiście niezbyt przejmowaliśmy się stałymi liczbowymi, toteż nie należy się spodziewać, że wynik ten będzie dokładny. Wartość dokładna okazuje się mniejsza o czynnik :

William Unruh udowodnił, że jeśli poruszamy się z przyspieszeniem w pustej przestrzeni, to zaobserwujemy w naszym układzie odniesienia promieniowanie o takiej temperaturze jak we wzorze Hawkinga. Jest to tzw. efekt Unruh. Zgodnie z zasadą równoważności pole grawitacyjne i przyspieszenie są lokalnie równoważne.

Temperatura Hawkinga w przypadku czarnych dziur o masach astrofizycznych jest skrajnie mała i zdecydowanie poza zasięgiem obserwacji. Osiągnięciem Hawkinga było pokazanie, że i w tym przypadku obowiązuje II zasada termodynamiki. Fakt, że czarna dziura promieniuje, i to tym silniej, im mniejszą ma masę, oznacza, że po bardzo długim czasie czarne dziury wyparują i wszechświat wypełniony będzie samym promieniowaniem. Taki kres wszechświata, według ulubionej hipotezy Rogera Penrose’a, byłby możliwym początkiem następnego wszechświata. 

Żeby otrzymać temperaturę w postaci z nagrobka w Westminster Abbey, należy wstawić za wartość 

gdzie to promień Schwarzschilda:

a oznaczają odpowiednio stałą grawitacyjną i masę dziury. Wzór opisujący jest (przypadkowo) taki sam jak w teorii klasycznej dla grawitacji na powierzchni kuli o promieniu . 

O temperaturze Hawkinga pisałem już wcześniej.

Einstein w Pradze (1911-1912)

Kariera akademicka Einsteina na dobre zaczęła się w 1909 roku, kiedy w wieku trzydziestu lat został profesorem nadzwyczajnym na uniwersytecie w Zurychu i mógł zrezygnować z posady w Biurze Patentowym. Kontrkandydatem na to stanowisko był Friedrich Adler, który się jednak wycofał, uznając, że sprawiedliwiej będzie, jeśli otrzyma ją Einstein (por. Einstein, gildia cór Koryntu i Friedrich Adler (1909)). Już w następnym roku pojawiła się perspektywa stanowiska bardziej prestiżowego: profesora zwyczajnego fizyki teoretycznej na uniwersytecie niemieckim w Pradze. W ówczesnym świecie uniwersyteckim profesora zwyczajnego od nadzwyczajnego dzieliła niemal przepaść. W szczególności oznaczało to też większą pensję. Einstein zaczął negocjacje z Pragą, które ciągnęły się dość długo. Wydział Filozoficzny w Pradze zaproponował Einsteina jako pierwszego z trzech kandydatów, drugim był Gustav Jaumann, uczeń Macha, profesor politechniki w Brnie. Minister kierujący oświatą w Wiedniu, Karl von Stürgkh, wolał Jaumanna, który był obywatelem Austro-Węgier. Jaumann wszakże w końcu nie zdecydował się na wyjazd do Pragi (legenda, że obraził na wieść o tym, iż uczelnia woli Einsteina, jest, jak się zdaje, nieprawdziwa). Wrócono w każdym razie do kandydatury Einsteina. Uczony musiał zadeklarować swoje wyznanie jako mojżeszowe, ponieważ cesarz Franciszek Józef nie uznawał żadnych dysydentów religijnych. Jeszcze jednym warunkiem była zmiana obywatelstwa, ale to żądanie Einstein po prostu zignorował i pozostał obywatelem szwajcarskim (por. Obywatelstwa Einsteina).

Kiedy w Zurychu dowiedziano się o propozycji z Pragi, studenci złożyli petycję o zatrzymanie młodego profesora, który chętnie rozmawiał ze studentami, a nawet zapraszał ich do kawiarni albo do domu w celu kontynuowania dyskusji, w ściśle hierarchicznym świecie akademickim była to postawa niespotykana. Pod petycją podpisało się piętnaście osób, w tym Polak, Stefan Straszewicz, matematyk, który został w Zurychu dłużej, pracując nad doktoratem u Ernsta Zermelo. Straszewicz, późniejszy profesor Politechniki Warszawskiej, opowiadał jako anegdotę, że uczył Einsteina (na jego prośbę) podstaw teorii mnogości. Środowisko matematyków i fizyków w Zurychu było na tyle małe, że wszyscy znali się tam nawzajem. Uniwersytet w Zurychu podniósł wprawdzie już po roku pensję Einsteina z 4500 do 5500 franków rocznie, ale i tak nie udało się go zatrzymać. Nie chodziło chyba tylko o pieniądze, Einstein wystąpił do władz uczelni, by zmniejszyły opłatę studencką za udział w jego seminarium pod pretekstem, że trwa ono nie dwie godziny, lecz tylko jedną – z pewnością pamiętał jeszcze dobrze chude studenckie życie i starał się ułatwić sytuację młodym ludziom. Pieniędzy mu już wtedy nie brakowało, pod koniec roku 1910 otrzymał bowiem trzyletnie prywatne stypendium wynoszące 5000 marek rocznie (ok. 6200 franków szwajcarskich), ufundowane przez anionimowego darczyńcę. Był nim Franz Oppenheim, przemysłowiec związany z firmą Agfa. Prace dotyczące termodynamiki i kwantów światła były uważnie czytane przez uczonych berlińskich takich, jak Walther Nernst, mający bliskie kontakty z przemysłem. Ostatecznie Einstein zrezygnował z posady w Zurychu i od 1 kwietnia 1911 roku został przez Jego Cesarsko-Królewską Apostolską Wysokość łaskawie mianowany na profesora fizyki teoretycznej w Pradze. Jego pensja wynosić miała 6400 koron (czyli 6720 franków szwajcarskich) plus spore dodatki. Nominacja ta zapewniała ustalone podwyżki co pięć lat „służby” – wszyscy bowiem profesorowie, tak jak urzędnicy i wojsko, służyli cesarzowi, któremu uroczyście zaprzysięgano wierność. Jako członek korpusu urzędniczego Cesarstwa Austro-Węgier sprawił sobie przepisowy piękny mundur, który czasem wkładał na spacer do parku, chcąc sprawić przyjemność Hansowi Albertowi (7 lat) – wyglądał w nim bowiem jak jakiś admirał. Jego służbowa kariera aż po emeryturę i śmierć uregulowana była ścisłymi przepisami. Nikt wtedy nie podejrzewał, że za siedem lat zniknie z mapy samo Cesarstwo. Einstein wytrwał w Pradze trzy semestry, latem 1912 wrócił do Zurychu, ale na stanowisko profesora zwyczajnego i nie na uniwersytecie, lecz w ETH, swej macierzystej uczelni, gdzie dwanaście lat wcześniej nie było dla niego miejsca. Niejako symbolicznie, w 1912 roku zmarł Heinrich Weber, profesor, który swego czasu wstrzymał karierę Einsteina na wiele lat (por. Student Einstein, profesor Weber i diamenty (1906)). Uczony miał tam zarabiać 11000 franków, ale po dwóch latach i tak przeniósł się do Berlina, który był wtedy światowym centrum fizyki.

Praga rozczarowała Einsteina, który jeszcze w tym samym roku zaczął negocjować stanowisko w Utrechcie i na ETH. Studenci byli tu na gorszym poziomie niż w Zurychu, uniwersytet niemiecki funkcjonował równolegle do uniwersytetu czeskiego, lecz miał znacznie mniej słuchaczy. Mniejszości niemiecka i żydowska (też niemieckojęzyczna) żyły w izolacji od społeczeństwa czeskiego. Uczony obracał się wyłącznie w kręgu niemieckojęzycznym.

Wśród zalet swej pozycji w Pradze uczony wymieniał dobrze zaopatrzoną bibliotekę oraz duży gabinet z czterema oknami wychodzącymi na piękny park, po którym spacerowali w pewnych porach wyłącznie mężczyźni, a w innych – kobiety. Zaintrygowany, spytał kogoś o powód tak osobliwej sytuacji i dowiedział się, że są to lżej chorzy pacjenci szpitala psychiatrycznego. Dużo w tym czasie pracował, często podróżował, m.in. został zaproszony na bardzo elitarny Kongres Solvayowski, gdzie mówił o kwantowym podejściu do drgań atomów w kryształach – jeszcze jednej ze swych rewolucyjnych prac (por. Student Einstein, profesor Weber i diamenty (1906)). Nieco wcześniej poznał osobiście Hendrika Lorentza, jedynego bodaj fizyka, przed którym czuł respekt. Na kongresie poznał też Marię Curie, atakowaną właśnie przez prawicową prasę francuską za romans z Paulem Langevinem („Żydówka-imigrantka, która rozbija katolicką rodzinę”, nie miało oczywiście żadnego znaczenia, że Maria Skłodowska nie była Żydówką, a Langevin miał poglądy zdecydowanie lewicowe, podobnie jak pani Curie). Znakomity matematyk, Henri Poincaré, nie zrobił na Einsteinie wrażenia kogoś, kto naprawdę rozumie problemy ówczesnej fizyki. Einstein natomiast robił na wszystkich znakomite wrażenie, bez przesady można powiedzieć, że był nadzieją fizyki – sądzili tak uczeni tak różni, jak Hendrik Lorentz, Max Planck, Arnold Sommerfeld, a także Henri Poincaré i Maria Curie (Planck rekomendował Einsteina do Pragi, a Poincaré i Curie do ETH).

Philipp Franck, który był następcą Einsteina na katedrze w Pradze i znał go osobiście, wspominał:

Bezpośrednie wrażenie, jakie Einstein wywierał na otoczeniu, było niejednoznaczne. Zachowywał się tak samo wobec wszystkich. Takim samym tonem zwracał się zarówno do najważniejszych urzędników uniwersytetu, jak i do sklepikarza czy sprzątaczki w laboratorium. Wskutek swych wielkich odkryć naukowych zyskał już głębokie poczucie pewności siebie. Presja, jaką często odczuwał w młodości, ustąpiła. Pogrążony był w pracy, której zamierzał poświęcić życie i do której się nadawał. Z perspektywy tej pracy problemy dnia codziennego wydawały mu się nieważne. (…) Widział sprawy codzienne w nieco komicznym świetle i coś z tego nastawienia wyzierało z jego słów; jego poczucie humoru rzucało się w oczy. Kiedy ktoś powiedział coś zabawnego, intencjonalnie albo niechcący, Einstein reagował bardzo żywiołowo. Wydobywający się z głębi jego jestestwa śmiech był jedną z jego charakterystycznych cech, które natychmiast zwracały uwagę. Dla ludzi dookoła był ów śmiech źródłem radości i ożywienia. Czasem jednak dawało się w nim wyczuć krytycyzm, który nie każdemu przypadał do gustu. Ludziom o wysokiej pozycji społecznej niezbyt się podobało, że Einstein uważa ich świat za śmiechu warty w porównaniu z wielkimi problemami, którymi sam się zajmuje. Jednak ludzie o niższej pozycji społecznej czerpali zawsze przyjemność z obcowania z Einsteinem. Jego sposób prowadzenia rozmowy sytuował się gdzieś między dziecinnymi żartami a gryzącym szyderstwem, tak że niektórzy nie wiedzieli, czy powinni się śmiać, czy obrazić. (…) Toteż wrażenie, jakie Einstein wywierał na otoczeniu, oscylowało między dziecinną wesołością a cynizmem.

Czasem wydawał się osobą, która „potrafi serdecznie przejąć się losem kogoś zupełnie obcego, a czasem egoistą, który przy bliższym kontakcie natychmiast zamyka się w sobie”. Owa dwoistość pogłębiała się z czasem, choć wszędzie potrafił Einstein znaleźć szybko przyjaciół. Albert Einstein z aparycji przypominał wówczas bardziej skrzypka wirtuoza niż profesora. Szybko zresztą znalazł w Pradze towarzyszy do uprawiania muzyki kameralnej, m.in. Georga Picka, wybitnego matematyka i zamiłowanego skrzypka. Poznał też Moritza Winternitza, profesora sanskrytu, ojca pięciorga dzieci, i zaprzyjaźnił się z nim oraz z całą jego rodziną. Szwagierka profesora, stara panna i nauczycielka muzyki, grywała
razem z nim, nie szczędząc słów krytyki, kiedy mu się coś nie udało. Towarzyski Einstein szybko się zadomowił w nowym miejscu, choć brak mu było partnerów do dyskusji naukowych. Gorzej wyjazd ten zniosła Mileva, zajęta wychowaniem dwóch synów, z których młodszy, Eduard, zwany w rodzinie Tete, przyszedł na świat zaledwie rok wcześniej. Małżonkowie
mocno się już od siebie oddalili, przyjaciołom rzucała się w oczy odmienność ich charakterów: Mileva niełatwo się zaprzyjaźniała z ludźmi, była milcząca, skłonna do melancholii i niezbyt towarzyska. Ich małżeństwo zaczynało się rozpadać, Mileva, niegdyś marząca o pracy naukowej, była teraz uwiązana w domu, coraz rzadziej towarzyszyła mężowi w jego podróżach, nie stała się też jego partnerką czy nawet powiernicą w sprawach naukowych.

Mieszkali teraz znacznie wygodniej, Einsteinowie po raz pierwszy mieli tu światło elektryczne – w Bernie używali lamp naftowych, w Zurychu oświetlenie było gazowe. Mieli także służącą na stałe. Hans Albert poszedł do katolickiej szkoły, gdzie lekcje religii były obowiązkowe, i  Einstein żartował, że dziecko zacznie sobie wyobrażać Boga jako kręgowca w gazowym stanie skupienia. Było to nawiązanie do tezy Ernsta Haeckla z Kongresu Wolnomyślicieli w roku 1904: „Antropomorficzny Bóg, kręgowiec w gazowym stanie skupienia, należy do dziedziny literatury mistycznej”.

Miasto bardzo się Einsteinowi podobało pod względem architektury, znacznie mniej jako miejsce do życia: woda była niezdrowa, a w powietrzu unosiła się sadza. Po wypielęgnowanych i schludnych miastach szwajcarskich stolica Czech wydawała się brudna i zaniedbana. Ludzie łączyli w sobie wyniosłość z oślizgłą służalczością, co także stanowiło
nieprzyjemny kontrast z atmosferą obywatelskiego społeczeństwa Szwajcarii. W każdej sprawie konieczne były pisma urzędowe i bez zgody namiestnika cesarskiego nie można było nawet zakupić środków czystości na potrzeby Instytutu.

Einstein zetknął się tu ze środowiskiem niemieckojęzycznych Żydów, będących pod wpływem Martina Bubera, poznał Franza Kafkę i Hugona Bergmanna, jednego z założycieli ruchu syjonistycznego. Kafka nie był wtedy znany jako pisarz, pisarza z kolei niezbyt interesował uczony, było to więc spotkanie bez żadnych konsekwencji. Wszyscy oni zbierali się w salonie artystycznym bogatej patronki, Berty Fanty (po czesku Fantová). Był to dla Einsteina, przyzwyczajonego do szwajcarskiej neutralności i panujących tam liberalnych wartości, zupełnie nowy świat. Dotąd nie myślał zbyt wiele o swej żydowskości, rzadko stykał się z przejawami antysemityzmu. Nawet jednak w szczęśliwej Szwajcarii Żydzi utrzymywali kontakty głównie z Żydami. Z czasem, w miarę upływu wieku XX, świadomość żydowska będzie się dla niego stawać coraz ważniejsza, choć wszelkie uczucia zbiorowe zawsze wydawały mu się podejrzane.

W roku 1912 przyjechał do Pragi na kilka dni Paul Ehrenfest, fizyk o rok młodszy od Einsteina, który dzielił wiele jego poglądów. Znali się dotąd ze swych publikacji. Ehrenfest, Żyd i wiedeńczyk, ożeniony z rosyjską matematyczką, Tatjaną Afanassjewą, mieszkał teraz w Sankt Petersburgu, gdzie doskwierała mu naukowa izolacja, myślał więc o powrocie do Europy. Einsteinowie powitali go na dworcu kolejowym i zaprosili do kawiarni, a potem panowie, już bez Milevy, udali się do Instytutu, gdzie mogli rozmawiać o fizyce. Obu im tego ostatnio brakowało, odkryli, że wiele ich łączy. Zaprzyjaźnili się w ciągu kilku godzin i była to przyjaźń na całe życie. Einstein proponował później, aby Ehrenfest objął po nim katedrę w Pradze, lecz ten, pryncypialny ateista, nie chciał za żadną cenę deklarować się jako wierzący

Wspomnienie Pragi wróciły do Einsteina w nieoczekiwanej postaci. W ostatnich latach życia pozostawał w bliskim związku z Johanną Fantovą, synową Berty Fantovej, której salon odwiedzał kiedyś w Pradze. Później zaprzyjaźnił się z Johanną w Berlinie, kiedy porządkowała mu bibliotekę. Niedługo przed wojną Fantová przyjechała do Stanów Zjednoczonych i spotkała się z Einsteinem w Princeton. Poradził jej, aby uczyła się bibliotekarstwa, po studiach została zatrudniona przez bibliotekę miejscowego uniwersytetu. Była dla niego częścią utraconego świata przedwojennej Europy. Czytała mu Goethego, on pisywał dla niej wierszyki. Das Ewigweibliche, pierwiastek kobiecy, pociągał go nawet w ostatnich latach życia, kiedy podupadał coraz bardziej na zdrowiu i powoli musiał wyrzekać się uroków świata. Zarówno w Berlinie, jak i w Princeton pływał z Johanną swoją żaglówką. Dziennik Fantovej w bibliotece Princeton University stanowi mało znany dokument z ostatnich lat uczonego.

Einstein, Gödel i czas

Einsteinowska teoria względności wprowadziła pojęcie czasoprzestrzeni: czterowymiarowego połączenia przestrzeni i czasu. Punktami czasoprzestrzeni są zdarzenia: należy podać ich miejsce i czas. W takim obrazie świata czas przypomina współrzędne przestrzenne, do pewnego stopnia może się z nimi mieszać (choć nie do końca). Zdarzenia, które mogą przyczynowo wynikać z danego zdarzenia punktowego, tworzą w czasoprzestrzeni stożek, którego wierzchołkiem jest właśnie owo punktowe zdarzenie. Pobocznicę stożka tworzą zdarzenia, które mogą zostać połączone z wierzchołkiem impulsem biegnącym z prędkością światła: np. falą elektromagnetyczną albo grawitacyjną. We wnętrzu stożka leżą zdarzenia, do których można się przedostać za pomocą innych, nie tak szybkich oddziaływań. Łącznie stożek przyszłości obejmuje wszystkie fizycznie możliwe następstwa danego zdarzenia. Obszar poza tym stożkiem, jest niedostępny dla oddziaływań. O tych zdarzeniach poza stożkiem przyszłości nie możemy nawet powiedzieć, że następują później, ponieważ w innym układzie odniesienia mogą nastąpić wcześniej albo równocześnie z naszym punktowym zdarzeniem. Ponieważ zdarzenia spoza stożka nie mogą być skutkami naszego zdarzenia, więc ewentualna zmiana kolejności czasowej niczego nie burzy w porządku świata.
Można powiedzieć, że perspektywa fizyka-relatywisty to spojrzenie z punktu widzenia wieczności: cała rozmaitość wszechświata wypełniona zdarzeniami we wszystkich możliwych czasach. My sami, podobnie jak każdy inny obiekt, możemy być przedstawieni za pomocą linii świata (może całej ich wiązki), czyli naszej trajektorii w czasoprzestrzeni. Nawet siedząc w fotelu przemieszczamy się w czasoprzestrzeni, czy może niezliczona liczba naszych kopii współistnieje w różnych jej punktach. Fizycznie możliwe linie świata leżą w stożku przyszłości każdego swego punktu, są to krzywe czasopodobne.
Kurt Gödel, urodzony w Brnie, lecz pochodzący z rodziny niemieckiej, wybrał obywatelstwo austriackie zamiast czechosłowackiego. Pod koniec lat trzydziestych Gödel cieszył się już sławą niewątpliwego geniusza. Jego młodzieńcze twierdzenia o niezupełności – wykazujące, że matematyka jest dziedziną znacznie bardziej ograniczoną, niż sądzono dotąd – są zapewne najważniejszym wynikiem z dziedziny podstaw matematyki w całym ubiegłym stuleciu. Jednak nawet niewątpliwe aryjskie papiery i światowa sława nie wystarczyły, aby mógł nadal pracować na uniwersytecie w Wiedniu po przyłączeniu Austrii do III Rzeszy. Gödel miał wcześniej zbyt liczne kontakty z żydowskimi uczonymi, aby mógł zostać na uczelni. Ostatecznie trafił do Princeton, gdzie bywał już wcześniej i gdzie zdążył się zaprzyjaźnić z Einsteinem. Paranoiczny, neurotyczny, trudny w kontaktach Gödel wydawał się przeciwieństwem przyjacielskiego, otwartego i skłonnego do żartów Einsteina. Obaj często razem wracali spacerem z Instytutu (Institute for Advanced Study). Fizyk zwierzył się nawet komuś, że właściwie chodził do Instytutu głównie ze względu na możliwość tych wspólnych spacerów, bo do własnej pracy nie przywiązywał już większej wagi. Einstein był także jednym ze świadków podczas zaprzysiężenia Gödla na obywatela amerykańskiego. Logik, spytany przez sędziego, czy sądzi, że w Stanach Zjednoczonych mógłby do władzy dojść reżim podobny do nazistów, zaczął wyjaśniać, że i owszem, konstytucja amerykańska jest bowiem wewnętrznie niespójna. Na szczęście sędzia Phillip Forman, który wcześniej zaprzysięgał Einsteina, zmienił dyplomatycznie temat, nie pozwalając logikowi rozwinąć szerzej swoich refleksji.
Gödel był gorącym teistą, luteraninem i sądził, że czas jest naszym złudzeniem, rzeczywisty świat musi być bezczasowy. W przeświadczeniu tym umacniało go odkrycie w roku 1949 dość szczególnego rozwiązania równań Einsteina. Rozwiązanie Gödla opisuje wszechświat, w którym istnieją zamknięte krzywe czasopodobne (close time-like curves, CTC).

Oznacza to, że dla obserwatora poruszającego się w określony, lecz fizycznie możliwy sposób, czas się zapętla, a więc zdarzenia powtarzają się bez końca. Rozwiązanie Gödla nie opisuje naszego wszechświata, było to jasne od samego początku. „Fakt, że światy, w których nie ma czasu absolutnego i w których obiektywny odstęp czasu nie istnieje, zgodne są z prawami przyrody, rzuca pewne światło na sens czasu także w tych światach, w których można określić czas absolutny. – pisze Gödel – Gdyż (…) to, czy obiektywny odstęp czasu istnieje, czy nie (…) zależy od konkretnej konfiguracji materii i ruchu w świecie. Nie mamy tu wprawdzie bezpośredniej sprzeczności, lecz nie można uznać za satysfakcjonujący poglądu filozoficznego, który prowadzi do takich konsekwencji” (Albert Einstein: Philosopher-scientist, red. P.A. Schilpp, New York 1949, s. 562).
Odkrycie Gödla dało początek następnym rozwiązaniom tego rodzaju. Choć chyba praktycznie nikt nie wierzy, aby mogły one opisywać rzeczywisty wszechświat, ich analizowanie jest interesujące pod względem teoretycznym. Placet experiri – jak powtarzał Hans Castorp.

Widzimy tu obu tak nieprawdopodobnych przyjaciół na jednym ze spacerów.

Grawitacja: Newton na ramionach Hooke’a? (1679-1680) (2/2)

Newton zastał list Hooke’a po powrocie do Cambridge. Ostatnie pół roku spędził w swych stronach rodzinnych w Lincolnshire: w czerwcu zmarła jego matka, potem porządkował różne sprawy spadkowe. W odpowiedzi napisał Hooke’owi, że nie zajmuje się prawie wcale „filozofią” (czyli naukami ścisłymi): „moje upodobanie do filozofii wygasło i obchodzi mnie ona równie mało, jak kupca obchodzą cudze interesy albo wieśniaka – nauka”. Zapewne nie udawał, wprawdzie śmierć matki nie była dla niego takim wstrząsem, jak sądzili niektórzy biografowie, ale pochłonęły go sprawy praktyczne, a w poprzednich latach więcej się zajmował teologią i alchemią niż matematyką czy fizyką. Odkąd wyjaśniło się, że nie musi mieć święceń, by pozostać w Trinity College, żył trochę jak na obcej planecie, pochłonięty wyłącznie własnymi myślami i badaniami, które dotyczyły kwestii takich, jak pochodzenie dogmatu Trójcy św. (uważał go fałszerstwo historyczne św. Atanazego), sens Apokalipsy albo zrozumienie pewnych procesów (al)chemicznych. Zaproponował jednak Hooke’owi eksperyment mogący wykazać ruch obrotowy Ziemi. Wyobraźmy sobie ciało swobodnie spadające z pewnej wysokości nad Ziemią na równiku. Ponieważ prędkość ruchu wirowego na tej wysokości jest większa, niż na powierzchni, więc ciało powinno względem Ziemi odchylić się od pionu i spaść nieco na wschód (dziś mówimy o przyspieszeniu Coriolisa). Newton zamieścił rysunek krzywej zakreślonej przez takie ciało (względem obracającej się Ziemi).

Torem ciała jest ADE, z bliżej nieznanego powodu tor przedłużony został pod powierzchnią Ziemi.

Hooke zareagował, poprawiając rysunek Newtona. Otóż jego zdaniem tor wyglądałby następująco:

W istocie mamy tu dwa różne tory: zamknięty AFGHA (wariant bez oporu ośrodka) oraz spiralny AIKLMNOC (wariant z oporem ośrodka). Hooke wyobrażał sobie, że rozcinamy Ziemię na dwie połowy wzdłuż równika, a następnie obie połówki nieco rozsuwamy i pozwalamy ciału krążyć w tej wolnej przestrzeni. Jego modelem eksperymentalnym było wahadło stożkowe. Różnica między obrazkami Hooke’a i Newtona częściowo bierze się stąd, że tor u Hooke’a jest narysowany z nieobracającego się układu odniesienia – dlatego prędkość początkowa jest styczna do równika. Jak pokazał Derek Whiteside, oba tory są dość podobne (w wariancie z oporem ośrodka).

Z kolei zareagował Newton, przedstawiając tor, jaki jego zdaniem zakreśli ciało w przypadku, gdy grawitacja jest stała, niezależna od odległości od środka Ziemi (w układzie nieobracającym się).

Tor miał być krzywą niezamkniętą z kolejnymi apocentrami A, H i K tworzącymi kąt większy od kąta prostego. Szkic ten uzyskany został wykreślnie za pomocą metody, której Newton nie opisał. Stwierdził też, że gdy grawitacja rośnie wraz ze zbliżaniem się do środka, można otrzymać także spiralę.

Hooke sprawdził eksperymentalnie, jaki kształt toru otrzymamy w tym przypadku, obserwując kulkę krążącą po powierzchni odwróconego stożka: rzeczywiście tor ma kształt rozety. Stwierdził też, że krzywa z jego listu dotyczyła nie grawitacji niezależnej od odległości, ale rosnącej jak ( jest odległością od Środka Ziemi C). Podkreślił przy tym, że w bardziej realistycznym przypadku ruchu wewnątrz Ziemi, grawitacja będzie raczej rosnąć wraz z odległością , a nie spadać. Raz jeszcze zadał pytanie, jaką krzywą zakreśli ciało w przypadku takiej grawitacji i braku oporu ośrodka.

Na pytanie to nie doczekał się odpowiedzi. Chyba że za odpowiedź uznamy Matematyczne zasady filozofii przyrody. Odpowiedź ta była nieco spóźniona: Newton zajął się pracą nad swym arcydziełem dopiero od jesieni 1684 roku. W okresie między początkiem 1680 a 1684 spostrzegł, że pomysł Hooke’a ma sens, gdyż otrzymuje się w ten sposób elipsy Keplerowskie. Nie uważał tego spostrzeżenia za coś bardzo istotnego, być może najpierw potraktował je jako pewną matematyczną fantazję niekoniecznie odpowiadającą ściśle empirycznej prawdzie. Wymiana z Hookiem była cokolwiek abstrakcyjna i zaświatowa, przypominała kwestię rozważaną przez średniowiecznych filozofów: co się stanie, jeśli do tunelu przechodzącego przez Ziemię na wylot wrzucimy kamień? Czy kamień zatrzyma się w środku Ziemi, czy też może wróci do nas po takim czasie co Gagarin po okrążeniu Ziemi?

Gdy podczas pisania Matematycznych zasad doszły go słuchy, że Hooke rości sobie prawa do zależności , zdenerwował się na tyle że usunął z dzieła wzmianki dotyczące Hooke’a.

Cóż, Isaac Newton nie był wielkoduszny, nie chciał i nie potrafił negocjować społecznie w celu osiągnięcia kompromisu. Mógł być okaleczony psychicznie, matka zostawiła go w dzieciństwie z powodu nowego związku, bez wątpienia był niezwykle zamkniętym i żyjącym we własnym świecie człowiekiem. Zazdrośnie pilnował swoich zabawek.

Ale też zawdzięczał Hooke’owi dużo mniej, niż sądził tamten. Ponieważ Newton obsesyjnie zapisywał swoje rozważania, poprawiał je i przepisywał bez końca i zostawił mnóstwo rękopisów, wiemy sporo na temat jego naukowego rozwoju. Przed 1687 r. nie opublikował nic z mechaniki, bo nie zadał sobie trudu zebrania swych wyników, które były niebagatelne.

Jednym z najwcześniejszych, jeszcze z lat sześćdziesiątych, było obliczenie siły odśrodkowej (później opublikował zbliżone rozważania Christian Huygens). Pierwsze rozumowanie było bardzo proste: wyobraźmy sobie ciało odbijające się sprężyście od powierzchni bocznej walca w taki sposób, że jego tor jest wielokątem foremnym.

Kolejne zmiany pędu ciała są skierowane do centrum. Patrząc na rysunek z prawej strony, widzimy, że suma owych zmian pędu odpowiada długości wielokąta, gdy pęd jest promieniem okręgu opisanego na wielokącie. Wobec tego stosunek obu wielkości, gdy liczba boków rośnie nieograniczenie dąży do stosunku długości okręgu do jego promienia:

Jest to inna postać wzoru na siłę dośrodkową (mówiąc językiem współczesnym, ponewtonowskim):

gdzie są odpowiednio okresem, prędkością kątową, masą i promieniem okręgu.

Kilka lat później wyprowadził Newton tę zależność nieco inaczej. Zastosował ją też w połączeniu z III prawem Keplera, by wywnioskować, że siła odśrodkowa w ruchu planet wokół Słońca powinna być jak . Przeprowadził też test Księżycowy, który dał zły wynik z powodu błędnej wartości promienia Ziemi. To nie wszystko: rozwijając swoją metodę fluksji, znalazł wyrażenie na promień krzywizny, gdy znane jest równanie krzywej. Tor w kształcie rozety obliczył prawdopodobnie, wykorzystując wyrażenie dla siły dośrodkowej

skąd można obliczyć promień krzywizny, a następnie zbudować krzywą z kolejnych łuków okręgów krzywizny.

Najprawdopodobniej Hooke nie zrozumiałby tej metody, gdyby Newton mu ją przedstawił. W każdym razie daleko mu było do samodzielnego obliczenia kształtu toru w którymkolwiek przypadku.

Jak się zdaje, największym wkładem Hooke’a w odkrycie grawitacji był sam pomysł. Newton wrócił do niego na dobre dopiero w 1684 roku. Patrząc z dzisiejszego punktu widzenia, dziwimy się nieco: wszystkie składniki były już pod ręką, należało je tylko ułożyć we właściwy sposób. Od strony technicznej najważniejszym krokiem było dla Newtona spostrzeżenie, że siła skierowana ku centrum oznacza prawo pól. Wyobraził sobie, że siła działa impulsowo, w stałych odstępach czasu dodając pewien pęd zwrócony ku centrum. Wówczas pola zakreślane przez promień wodzący planety będą w każdym odcinku czasu jednakowe.

Dzięki temu twierdzeniu Newton nie tylko zrozumiał, jaki jest głębszy sens prawa pól Keplera, ale także uzyskał narzędzie pozwalające wprowadzić do geometrii ruchu czas. Należało po prostu wyrażać czas przez pola zakreślane przez poruszające się ciało. Twierdzenie to znalazło się na początku Matematycznych zasad. Niewykluczone też, że Newton przyglądał się różnym ruchom, korzystając z takiej konstrukcji. W taki właśnie sposób oblicza się tory cząstek za pomocą komputerów – możemy dziś oczywiście wykonać znacznie więcej kroków, co oznacza, że możemy wybrać odpowiednio mały krok czasowy.

Orbity ciała w stałym co do wartości polu, a więc odpowiadające przybliżonym wynikom Newtona uzyskanym z promienia krzywizny.

Już w trakcie wymiany listów z Hookiem zauważył Newton prawdopodobnie, że dla siły zmieniającej się jak torem jest spirala.

W roku 1684 wiedział już, że torem w przypadku siły rzeczywiście jest Keplerowska elipsa albo inna krzywa stożkowa, jak podejrzewał Robert Hooke. Metoda matematyczna zastosowana przez Newtona nie była jednak rachunkiem różniczkowym i całkowym w znanej nam postaci, lecz przeniesieniem pojęć granicy na geometrię syntetyczną. Wyglądało to np. tak.

Pokażemy jeszcze, jak promień krzywizny wraz z prawem pól pozwala rozwiązać zagadnienie ruchu w polu sił centralnych (tak ostatcznie przyjęło się nazywać siły skierowane wzdłuż promienia wodzącego, przyciągające bądź odpychające).

Rysunek przedstawia realizację idei Hooke’a: ruch prostoliniowy wzdłuż stycznej PR składamy ze spadaniem wzdłuż promienia wodzącego o wektor RQ=PQ’. Kąt jest infinitezymalny.

gdzie jest odstępem czasu i masa równa jest 1, czyli siła = przyspieszenie). Pole wycinka SQP jest proporcjonalne do czasu ( jest stałą proporcjonalności). Przybliżając to pole polem trójkąta SQP, otrzymujemy

Rozwijając w szereg Taylora do wyrazów kwadratowych w oraz obliczając z taką dokładnością ST i Q’T otrzymujemy

W przypadku siły zależnej od odległości jak nawias musi być stałą niezależną od , co oznacza, że

Jest to równanie stożkowej. Newton nie traktował tego w taki sposób, stosowanie algebry i symboli funkcji cosinus jest w tym kontekście anachronizmem, chodzi nam tu jednak o sens matematyczny operacji, a nie wierność historycznym formom zapisu.

Na koniec zauważmy, że ostatnie wyrażenie dla siły możemy porównać z wartością siły dośrodkowej. Otrzymamy w ten sposób wzór na krzywiznę krzywej we współrzędnych biegunowych

Otrzymał go Newton w latach siedemdziesiątych. Potem stopniowo oddalał się od zapisów algebraicznych, pisząc Matematyczne zasady nie stosował go wprost, ale z pewnością rozumiał sens geometryczny takich wyrażeń. Niestosowanie układów współrzędnych i rozbudowanej algebry było jego wyborem. We współczesnych podręcznikach pojawia się równanie toru zapisane przez drugą pochodną , zwykle nie zwraca się przy tym uwagi, że owe formalne manipulacje symbolami mają geometryczny sens krzywizny.