Henrietta Swan Leavitt i pulsowanie gwiazd (1908-1912)

Nauka wywodzi się z faktów, ale samo ich zbieranie to jeszcze nie nauka. Oczywiście, doświadczenia czy obserwacje, jeśli są rzetelne, mogą zawsze się przydać. Na miano odkrycia zasługują jednak tylko wówczas, gdy ujawnią coś istotnie nowego: obiekt inny niż dotychczas znane, nowe zjawisko albo nieoczekiwaną prawidłowość. Henrietta Swan Leavitt badała pewną klasę gwiazd zmieniających okresowo jasność. Odkryła, że im jaśniejsza gwiazda, tym dłuższy jest jej okres. Oznaczało to, że mierząc okres, możemy znaleźć jasność absolutną gwiazdy, tzn. obliczyć, jak jasna byłaby ona, gdyby obserwować ją z pewnej ustalonej odległości. Znając więc obserwowaną jasność gwiazdy, można byłoby obliczyć jej odległość. Astronomowie widzą jedynie, z jakiego kierunku przybywa światło, wyznaczenie odległości do różnych ciał niebieskich było zawsze zadaniem bardzo trudnym i zarazem fundamentalnym. Odkrycie Leavitt wykorzystano później do zbadania kształtu Galaktyki i wyznaczenia odległości do innych galaktyk. Była to zatem nie tylko nieoczekiwana prawidłowość, ale i niezastąpione narzędzie dla innych astronomów.

Leavitt pochodziła z rodziny pastorów, jej przodek, John Leavitt, był diakonem swego kościoła i krawcem, który osiadł w Massachusetts. Purytanie szukający dla siebie nowego kraju byli ludźmi przedsiębiorczymi, zdyscyplinowanymi, wytrwałymi, kochającymi wolność i religijnymi. Połączenie tych wszystkich cech nadało Ameryce swoiste piętno, odczuwane do dziś. Surowi i niepobłażający własnym słabościom, sami wybierali sobie pasterzy, tworząc kongregacje silnie ze sobą związane, do których niełatwo było przeniknąć. Gdy chciało się zostać członkiem kościoła, przez lata trzeba było przechodzić próbę charakteru i zachowania. Ich zasady religijne nakazywały, aby każda władza, kościelna bądź świecka, była ograniczona do niezbędnego minimum. Jeśli dodamy do tego wysoki poziom edukacji (już w XVII wieku koloniści w Ameryce osiągnęli poziom alfabetyzacji porównywalny albo wyższy niż w przedwojennej Polsce) i szacunek dla uważnej pracy (w dni powszednie należy stale robić coś pożytecznego, w niedziele modlić się i myśleć o Bogu, nie oddawać się próżnym rozrywkom), to jasne jest, że społeczeństwo takie musiało odnieść sukces ekonomiczny. Ojciec Leavitt był pastorem kongregacji z Plymouth pełniącym posługę w Cleveland. Córka uczyła się tam przez rok w konserwatorium, lecz zaczęła stopniowo tracić słuch, aż w końcu zupełnie ogłuchła. Studiowała potem w koedukacyjnym Oberlin College i następnie w Cambridge (Massachusetts) w żeńskim kolegium, przekształconym później w Radcliffe College. Leavitt zdobyła wszechstronne wykształcenie: od języków starożytnych aż do rachunku różniczkowego i całkowego. Uczyła się też astronomii, lecz nigdy nie zdobyła dyplomu z tej dziedziny.

leavitt_aavso

Nigdy nie była też zatrudniona jako samodzielna badaczka, pracowała jako skromny pracownik techniczny Harvard College Observatory. Jego dyrektor, Edward Pickering, zaczął szeroko stosować fotografię do badania widm oraz jasności gwiazd. Szybko gromadziły się tysiące szklanych płyt fotograficznych, które należało poddać bliższym badaniom. Niezadowolony z asystentów, Pickering stwierdził, że ich pracę lepiej by wykonała jego służąca i rzeczywiście zatrudnił swoją służącą, Willaminę Fleming. Z czasem pod jej kierunkiem zgromadził się cały zespół kobiet, zwanych rachmistrzyniami (computers) albo mniej elegancko „haremem Pickeringa”. Wykształcone kobiety nie miały zbyt wiele możliwości pracy, toteż chętnie pracowały w obserwatorium.

pickerings_harem

(Leavitt trzecia z lewej)

Specjalnością Leavitt były gwiazdy zmienne, potrafiła wyłowić je, porównując płyty fotograficzne naświetlone w różnym czasie. Była to praca żmudna i wymagająca wielkiej koncentracji. Swoistym dowodem uznania ze strony dyrektora była jej stawka godzinowa: 30 centów zamiast 25 płaconych koleżankom (sam zarabiał około 2 dolarów za godzinę). W roku 1908 w „Annals of Harvard College Observatory” Leavitt ogłosiła odkrycie 1777 gwiazd zmiennych w dwóch Obłokach Magellana. Samych Obłoków, będących satelitami naszej galaktyki, Leavitt nigdy nie widziała, opracowywała tylko fotografie zrobione w filii obserwatorium na półkuli południowej. Praca naukowa zaczęła więc przypominać taśmową produkcję w zakładach samochodowych Henry’ego Forda. Leavitt zauważyła, że wśród gwiazd zmiennych okresowych występuje zależność średniej jasności i okresu. Ponieważ należało przypuszczać, iż gwiazdy w Obłokach Magellana znajdują się praktycznie w tej samej odległości od Słońca, znaczyło to, że ich jasności absolutne także skorelowane są z okresem.

lea

Na osi pionowej mamy wielkość gwiazdową (proporcjonalną do ujemnego logarytmu z jasności), na poziomej okres, a z prawej jego logarytm. Dwie linie odpowiadają maksymalnej i minimalnej jasności obserwowanej. Dane dotyczą gwiazd z Małego Obłoku Magellana. Praca ta, z roku 1912, podpisana była przez Pickeringa, który stwierdzał jednak na wstępie, że komunikat „przygotowany został przez pannę Leavitt”. Tak wyglądało cywilizowane traktowanie kobiet sto lat temu.

Czemu niektóre gwiazdy zmieniają okresowo jasność? Zazwyczaj gwiazdy są stabilne, to znaczy ciśnienie głębszych warstw utrzymuje ciężar warstw bardziej zewnętrznych (podobnie ciśnienie w atmosferze ziemskiej maleje z wysokością). Czasem zdarza się jednak, że zamiast stanu równowagi pojawiają się oscylacje: gwiazda okresowo powiększa się i kurczy. Związane to jest z nieprzezroczystością materii gwiazdy. Gdy rośnie temperatura, więcej atomów ulega jonizacji, przez co materia staje się nieprzezroczysta (mieszanina dodatnich i ujemnych ładunków silnie pochłania fale elektromagnetyczne, podczas gdy zwykły gaz złożony z atomów jest przezroczysty, jak powietrze). Jeśli więc wytworzy się na pewnej głębokości taka nieprzezroczysta warstwa, energia cieplna będzie się gromadzić, a w konsekwencji wzrośnie ciśnienie i wypchnie tę warstwę na zewnątrz. Jednak rozszerzaniu towarzyszy zmniejszanie się temperatury i nasza warstwa w stanie ekspansji przepuszcza więcej energii na zewnątrz, co z kolei zmniejsza ciśnienie i wywołuje kurczenie się i wzrost nieprzezroczystości.

Dlaczego jasność i okres są powiązane? Pomijając szczegóły, można powiedzieć, że jasność L pulsującej gwiazdy jest proporcjonalna do pola jej powierzchni, a więc kwadratu promienia R: L\sim R^2. Okres pulsacji powinien wiązać się z promieniem gwiazdy oraz przyspieszeniem grawitacyjnym g na jej powierzchni (przyspieszenie grawitacyjne wewnątrz gwiazdy stanowi jakiś ułamek g). Z wielkości tych możemy utworzyć tylko jedną kombinację dającą czas (por. wzór na okres wahadła):

T\sim\sqrt{\dfrac{R}{g}}.

Ponieważ przyspieszenie grawitacyjne można zapisać jako

g=\dfrac{GM}{R^2},

gdzie G jest stałą grawitacyjną, a M masą, więc łącząc te wyrażenia, otrzymamy

T\sim R^{\frac{3}{2}}M^{-\frac{1}{2}}\sim L^{\frac{3}{4}}M^{-\frac{1}{2}}.

Obserwowana zależność to T\sim L^{0,86}. Po zlogarytmowaniu otrzymamy linie proste z wykresu Leavitt.

W roku 1926 szwedzki matematyk Gösta Mittag-Leffler, zwolennik równouprawnienia kobiet w nauce, który przyczynił się do profesury Sofii Kowalewskiej w Sztokholmie i Nagrody Nobla dla Marii Skłodowskiej-Curie, chciał nominacji Leavitt do tej nagrody. Dowiedział się jednak, że kilka lat wcześniej zmarła ona na raka w wieku 53 lat. Nagroda Nobla wymaga wielkich osiągnięć, ale często także dobrego zdrowia, by jej dożyć. Leavitt żyła skromnie, pozostawiła po sobie majątek wartości 314 dolarów i 91 centów. Niewątpliwie należała do tych, którym nauka zawdzięcza dużo więcej niż oni nauce.

Parabola, sounding-board i piękno geometrii

Wielka Brytania ma do dziś znakomitą tradycję uprawiania nauki za stosunkowo niewielkie pieniądze. Royal Society i inne uczone towarzystwa były długo organizacjami zrzeszającymi amatorów na równi z zawodowcami. Sprawiało to, że rozmaite dziwne eksperymenty czy obserwacje osobliwości sąsiadowały w angielskich czasopismach z rzetelnymi osiągnięciami profesjonalistów. Przynajmniej jednak za dziwactwa te rząd Jego/Jej Królewskiej Mości nie musiał wypłacać wysokich apanaży czy to w formie pensji, czy grantów na dogłębne studia nad niczym.

W 1826 roku zbudowano w Attercliffe koło Sheffield niewielki kościół. Okazało się, że występował w nim silny pogłos i choć dźwięk mowy pastora był dobrze słyszalny, to zamazany i niewyraźny. Standardowym sposobem wzmacniania dźwięku idącego od ambony do wiernych była drewniana płyta, sounding-board, umieszczana zwykle poziomo nad amboną. Odbijała ona część dźwięku w stronę publiczności. Określenie sounding-board do dziś zresztą funkcjonuje w angielszczyźnie, lecz głównie w sensie przenośnym. W Attercliffe tego rodzaju rozwiązanie nie pomogło. Toteż wielebny John Blackburn, który studiował w St. John’s College w Cambridge, sięgnął po rozwiązanie znane z geometrii od czasów starożytnych. Wiadomo, że paraboloida – powierzchnia powstająca przy obrocie paraboli wokół osi – ma własność ogniskowania promieni w jednym punkcie. Może więc także służyć jako reflektor, gdy w ognisku umieścimy źródło naszych promieni. John Blackburn obudował więc ambonę w taki sposób, że mówca znajdował się w jej ognisku, a dźwięk rozchodził się na wnętrze kościoła.

Efekty były znakomite, wielebny Blackburn opisał ze szczegółami swą konstrukcję w „The Philosophical Magazine” w roku 1829. Podobnego rozwiązania używa się do dziś, np. w mikrofonach parabolicznych zbierających dźwięk z jakiegoś kierunku i umożliwiających słuchanie rozmów ze sporej odległości.

512px-parabolicmicrophone

Innych przykładów dostarczają wszelkie teleskopy optyczne i radiowe, tu np. gigantyczny radioteleskop w Arecibo, za pomocą którego Aleksander Wolszczan odkrył pierwsze planety poza Układem Słonecznym (a macierzysty UMK zerwał z nim współpracę, bo uczony kiedyś spotykał się z jakimiś agentami SB – co godne i sprawiedliwe, a także słuszne i zbawienne – wszak mamy tylu uczonych, którzy z nikim się nie spotykali oraz niczego nie odkryli).

telescopio_arecibo_thumb

Z jakichś powodów, znanych wyłącznie wysokim komisjom ds. programów nauczania, nie uczy się w szkole nic ponadto, że parabola to wykres funkcji kwadratowej, np. y=ax^2. W sposób naturalny pojawia się ta krzywa w rzutach (gdy opór powietrza jest do pominięcia). Np. w rzucie poziomym ciało przesuwa się poziomo wciąż z tą samą prędkością początkową v, spadając jednocześnie pionowo z przyspieszeniem ziemskim g. Mamy więc dwa równania: w kierunku poziomym x położenie jest proporcjonalne do czasu, a w kierunku pionowym y – do kwadratu czasu (oś y kierujemy w dół).

\left\{ \begin{array}{l}  x=vt\\  y=\dfrac{gt^2}{2} \end{array} \right.\quad \Rightarrow \quad y=\left(\dfrac{g}{2v^2}\right)x^2=ax^2

Dokładnie tyle potrafił udowodnić Galileusz na temat rzutów (miał techniczny problem z rzutami ukośnymi, nie było jeszcze geometrii analitycznej). Rzut poziomy można zilustrować pokazem, przedstawiony zabytkowy przyrząd pochodzi z Teylers Museum w Haarlemie.

large1

Kulka stacza się po łuku z lewej strony i następnie przelatuje przez kolejne pierścienie rozmieszczone zgodnie z równaniem paraboli.

Pokażemy, że kształt paraboliczny może ogniskować promienie w jednym punkcie. Starożytni, którzy nie znali algebry, definiowali parabolę inaczej: jest to zbiór punktów równoodległych od pewnej zadanej prostej (fioletowa na rysunku)oraz od pewnego punktu F.

parabola

Łatwo pokazać, jak można konstrukcyjnie wyznaczyć punkty paraboli. Zaczynamy od P’. Wystawiamy z tego punktu prostopadłą do naszej poziomej prostej (zwanej kierownicą) oraz budujemy dwusieczną odcinka FP’: XP. Szukany punkt P paraboli leży na przecięciu obu prostych i spełnia warunki definicji paraboli. Z konstrukcji tej wynika też, że kąty FPX oraz XPP’ są równe, więc promień biegnący pionowo z góry do P odbije się w kierunku F. Ponieważ dotyczy to każdego promienia biegnącego wzdłuż osi, więc wszystkie one przetną się w F (zwanym ogniskiem).

Łatwo też pokazać, że tak wyznaczona krzywa spełnia algebraiczne równanie paraboli. Niech ognisko znajduje się w punkcie (0,f) układu współrzędnych, kierownica zaś ma równanie y=-f (na rysunku f=0,25). Równe odległości punktu (x,y) od kierownicy i od ogniska dają równanie

(y+f)^2=x^2+(y-f)^2 \Rightarrow y=\dfrac{x^2}{4f}.

Istnieje jeszcze inna definicja paraboli jako przecięcia stożka. Wyobraźmy sobie stożek, bierzemy płaszczyznę styczną do jednej z jego tworzących SR, a następnie przecinamy stożek inną płaszczyzną równoległą do tej pierwszej. Krzywa powstająca na przecięciu płaszczyzny z powierzchnią stożka będzie parabolą.

parabola_conic

Z rysunku odczytać możemy równanie krzywej. Zaczynając od okręgu na dole, mamy x^2=\mbox{PM}\cdot \mbox{MR} (jest to znane twierdzenie nt. wysokości trójkąta prostokątnego (u nas PLR). Ze środkowego rysunku (obie płaszczyzny są prostopadłe do rysunku) widać, że długość MR nie zależy od tego, na jakiej wysokości przetniemy stożek płaszczyzną prostopadłą do jego osi. Natomiast długość PM z twierdzenia Talesa jest proporcjonalna do y, mamy więc y\propto x^2. Ta ostatnia definicja sugeruje związek paraboli z innymi możliwymi przecięciami stożka: elipsą oraz hiperbolą. Ale to już całkiem inna historia.

Vincent van Gogh, Gwiaździsta noc: chaos i kosmos (czerwiec 1889)

W Słowniku komunałów Gustave’a Flauberta czytamy: „GENIUSZ: nie ma czego podziwiać, to tylko «neuroza»”. Niechęć i fałszywą wyższość dobrze myślącego obywatela, zmieszaną z udawanym współczuciem, znajdujemy w notatce z lokalnej gazety w Arles pod koniec roku 1888:

KRONIKA LOKALNA
Ubiegłej niedzieli pół godziny przed północą niejaki Vincent Vangogh, malarz, narodowości holenderskiej, zjawił się w domu publicznym nr 1, gdzie poprosił niejaką Rachel i wręczył jej …swoje ucho, ze słowami „proszę przechować ten cenny przedmiot”, a następnie odszedł. Policja, poinformowana o tym zajściu, którego sprawca z pewnością musiał być nieszczęsnym szaleńcem, udała się następnego ranka do mieszkania owego osobnika i zastała go śpiącego w swoim łóżku, bez żadnych prawie oznak życia.
Nieszczęśnik przyjęty został natychmiast do szpitala.

W słowach tych czuje się krzywy uśmieszek podrzędnego pismaka, który nie dostąpił jeszcze zaszczytu pisywania do szmatławca pod własnym nazwiskiem i chce nas zabawić pikantną anegdotą: wiadomo, ci artyści…
W wieku trzydziestu pięciu lat Vincent van Gogh z niezrozumiałym uporem trzyma się myśli, iż jest malarzem, choć nikt nie ceni jego płócien; nie ukończył żadnej szkoły ani nie radził sobie z typowymi ćwiczeniami rysunkowymi, powtarzano mu raczej, że się do tego nie nadaje; jest biedakiem, utrzymywanym przez niezamożnego brata, cierpi też na niemożliwą dziś do zdiagnozowania chorobę psychiczną z epizodami psychotycznymi.
Mieszczańskie społeczeństwo nie zna już właściwie pojęcia powołania: wybiera się jedynie lepszy bądź gorszy sposób zarabiania pieniędzy. Śmierć Boga dotknęła wszystkich, najbardziej może kościoły i ich funkcjonariuszy, którzy też coraz rzadziej mówią o powołaniu, rozumiejąc przez nie zazwyczaj wygodne i dostatnie życie bez kłopotów. Van Gogh, człowiek na swój sposób głęboko religijny, niezbyt cenił kapłanów i ich urzędowo administrowaną moralność.
Sto lat później Muzeum van Gogha w Amsterdamie odwiedzają każdego roku miliony widzów, w osobliwej pielgrzymce śledząc mozolne wykluwanie się artysty. Widziany na tle swoich współczesnych, nie robi specjalnego wrażenia, ulega modzie na japońszczyznę i impresjonizm, kopiuje tych, których podziwia: wielkich jak Jean François Millet czy Eugène Delacroix albo niezbyt dziś pamiętanych, jak Gustave Doré. Nie jest zręczny, nic nie przychodzi mu łatwo i nic też nie zapowiada wielkiej sztuki. Jeśli czymś się wyróżnia, to uważnością, dostrzeganiem rzeczy drobnych i ludzi niepozornych, biednych, zniszczonych, w czym nic dziwnego, bo sam jest jednym z nich. Pielgrzymka do świętego miejsca sztuki wznosi się spiralnie z piętra na piętro. Dopiero na ostatnim z nich, najwyższym, znajduje się garstka obrazów, które są racją istnienia tego muzeum i które zmieniły nasz sposób patrzenia. Ich autor spędził ten okres – ostatnie dwa lata życia – przeważnie w zakładach dla obłąkanych, z poczuciem zbliżającego się końca.
Romantyczny idea twórczego natchnienia, które niczym duch boży tchnie, kędy chce, do dziś zachowała aktualność. Oznacza to, że nic nie pomoże odmieniać słowo kreatywność przez przypadki i organizować rozmaite warsztaty, liczy się tylko powołanie, a tego nie zapewni żaden certyfikat ani dyplom. Jest ono równie rzadkie co zbawienie u kalwinów, jego znaki zaś nie zawsze łatwe do odczytania przez ludzi, których wzrok przysłania łuska. Nie znamy rzeczywistych źródeł geniuszu, nie jest on jednak z pewnością objawem choroby. Niewykluczone, że dzisiejsze antydepresanty pozbawiłyby van Gogha twórczej siły, ale nie znaczy to wcale, że wystarczy być chorym i nie przyjmować leków, aby stać się artystą podobnej miary.

Koniecznie chciałbym teraz namalować niebo gwiaździste. Często wydaje mi się, że noc jest jeszcze bogatsza w kolory niż dzień, zabarwiona najbardziej intensywnymi fioletami, błękitami i zieleniami.
Gdy zwrócisz na nie uwagę, zauważysz, że niektóre gwiazdy są cytrynowe, inne świecą różowo, zielono albo niebiesko jak niezapominajki. I jest chyba oczywiste, że aby namalować niebo gwiaździste, nie wystarczy porozmieszczać białe punkty na błękitnej czerni. (List do Willemien van Gogh 14 IX 1888)

…czy życie całe jest dla nas widoczne, czy też przed śmiercią znamy tylko jego jedną półkulę?
(…) nic o tym nie wiem, ale widok gwiazd zawsze mnie rozmarza w równie prosty sposób, jak czarne punkty wyobrażające na mapie miasta i wsie. Dlaczego, powiadam sobie, świetlne punkty na firmamencie miałyby być dla mnie mniej dostępne niż czarne punkty na mapie Francji?
Udając się do Taraskonu czy do Rouen wsiadamy do pociągu, kiedy wybieramy się do gwiazd, śmierć jest naszym sposobem lokomocji.
Jedno jest niewątpliwe w tym rozumowaniu: żywi nie możemy pojechać na gwiazdę, tak samo jak nie możemy wsiąść do pociągu umarli.
I w końcu nie wydaje się niemożliwe, żeby cholera, piasek w nerkach, suchoty, rak nie mogły być środkiem komunikacji niebieskiej, tak samo jak statek parowy, omnibus i pociąg są środkami komunikacji ziemskiej.
Umrzeć spokojnie ze starości znaczyłoby pójść do nieba pieszo. (List do Theo 9 albo 10 VII 1888)

Zapewniam cię, że jest mi tu dobrze, i na razie nie widzę powodu, dla którego miałbym zamieszkać w Paryżu albo w jego okolicy. Mam mały pokój oklejony szarozieloną tapetą, firanki są zielone, koloru wody, z motywem z bladych róż, które ożywiają cienkie kreski krwistej czerwieni. (…) przez okratowane okno widzę zamknięty kwadrat zboża – perspektywa jak u van Goyena; z rana widzę, jak nad tym polem wstaje słońce w całej swej chwale. (…) Sala, w której przebywa się w dni deszczowe, przypomina poczekalnię trzeciej klasy w jakimś zapomnianym od Boga miasteczku, tym bardziej że są tu szacowni wariaci, którzy zawsze chodzą w kapeluszu na głowie, w okularach, w stroju podróżnym i z laską w ręce – mniej więcej jak w kąpielisku nadmorskim; grają tu rolę podróżnych. (…)

Narysowałem wczoraj bardzo wielką ćmę, dość rzadką, zwaną trupia główka (w rzeczywistości Pawica gruszkówka, Saturnia pyri) w zdumiewająco dystyngowanych kolorach: czarnym, szarym, białym, cieniowaną z przebłyskami karminu bądź nieznacznie wpadającymi w oliwkową zieleń. (List do Theo, 23 V 1889)

 

papillon-de-nuitunnamed-2742px-vincent_van_gogh_-_emperor_moth_-_google_art_project

Tego ranka widziałem pejzaż z mego okna na długo przed wschodem słońca, świeciła jedynie Gwiazda Zaranna, która wydawała się bardzo wielka. (List do Theo, między 31 V a 6 VI 1889)

van-gogh-starry-night-469x376

Na stronie Moma

Próbowano odnaleźć na namalowanym niebie znane gwiazdozbiory, co się chyba tylko połowicznie udało i nie ma większego znaczenia. Świeci na nim Gwiazda Zaranna – Wenus i dziwny Księżyc: gdyby miało to być przed wschodem słońca, powinien mieć kształt pochylonej do tyłu litery C. Światła wioski są tego samego koloru co gwiazdy, to z pewnością nieprzypadkowe, tak samo jak nieprzypadkowe są dwa pionowe akcenty obrazu: płomienisty cyprys i wieża wiejskiego kościółka Saint Martin. W oczach van Gogha natura ważyła więcej niż ludzkie obrzędy.

Arystofanes wyśmiewał filozofię w osobie Sokratesa, co bamałuci tylko młodzieńców, szerząc bezbożność (jak wiemy, za to właśnie filozof skazany został na śmierć przez wypicie cykuty – satyryk po stronie siły to postać doprawdy ohydna). Owóż ta arystofanesowa kreatura Sokratesa naucza, że nie istnieje Zeus, a światem rządzą chmury.

– A któż to je zmusza, jeśli nie Zeus, by się ruszały i tłukły?
– Nie żaden Zeus, lecz powietrzny wir. (przeł. J. Ławińska-Tyszkowska)

Dla Greków kosmos był przeciwieństwem chaosu. Słowa kosmos – znaczącego tyle, co piękny ład, regularny porządek (z tego samego rdzenia mamy kosmetykę, czyli sztukę upiększania) – w odniesieniu do wszechświata użył Pitagoras. Chaos przerażał Greków, dlatego wir powietrzny albo atomy Demokryta były doktryną wywrotową, która burzy państwo i porządek. Napięcie między boskim ładem i niezliczonymi atomami, drobinami krążącymi i pulsującymi w próżni, przez długie wieki wydawało się nieusuwalne.

Niebo gwiaździste van Gogha to nie tylko dalekie światła, lecz także porywający wszystko spiralny wir. Uczeni komentatorzy zastanawiali się nad owymi spiralami. Van Gogh mógł gdzieś widzieć rysunki mgławic spiralnych, obserwowanych wówczas przez jeden tylko przyrząd na świecie, wielki teleskop lorda Rosse’a. Były one reprodukowane w niezliczonych książkach i czasopismach. Nikt nie rozumiał dobrze, czym są owe spirale ani skąd się biorą (tego drugiego nie wiemy zbyt dokładnie także i dziś). Nie wiedziano też, czy chodzi o zbiorowiska gwiazd, czy obłoki gazu, a może są to tworzące się nowe układy planetarne?

f3-large

Kształt spiralnych ramion wielu galaktyk bliski jest spirali logarytmicznej. To osobliwa krzywa, którą Jakob Bernoulli kazał wyryć na swoim nagrobku z napisem: resurgo eadem mutata – zmieniona odradzam się ta sama (wyryto mu jednak spiralę Archimedesa bez porównania banalniejszą).

logarithmic_spiral

Rysunek http://www.daviddarling.info/encyclopedia/L/logarithmic_spiral.html

Spiralę taką zatacza jastrząb, polując na zdobycz, którą stara się widzieć stale pod tym samym kątem do kierunku lotu – z tego powodu krzywa ta bywa nazywana spiralą równokątną. Aby dotrzeć do punktu środkowego, trzeba nieskończenie wielu okrążeń, choć droga przebywana przy tej okazji jest skończona. Spiralę taką zataczają ćmy wokół lampy, uczeni wyjaśniają to błędem nawigacji: zachowując stały kąt względem Księżyca ćma leci po linii prostej, zachowując natomiast stały kąt do lampy, zatacza śmiertelną spiralę.

Oli

Przekłady listów do Theo wg J. Guze, z niewielkimi zmianami i uzupełnieniami, datowanie wg http://vangoghletters.org/vg/letters.html.

 

Carl Friedrich Gauss i jego funkcja błędu (1809)

Gauss był cudownym dzieckiem, jego zdolności zwróciły uwagę księcia, dzięki czemu młody człowiek mógł się kształcić: najpierw w rodzinnym Brunszwiku, potem w Getyndze. Syn skromnego ogrodnika i murarza początkowo nie znał nawet dokładnej daty swego urodzenia – matka pamiętała jedynie, że była to środa, osiem dni przed Wniebowstąpieniem Pańskim – w 1799 roku młody uczony obliczył, że musiało to być 30 kwietnia 1777 roku. Już jego wczesne prace matematyczne, Disquisitiones Arithmeticae, poświęcone teorii liczb, oraz doktorat, zawierający dowód podstawowego twierdzenia algebry (każde równanie wielomianowe ma przynajmniej jeden pierwiastek zespolony), zawierały istotne wyniki, szeroki rozgłos zdobył jednak dzięki astronomii. W Nowy Rok 1801 teatyn z Palermo, Giuseppe Piazzi, zaobserwował słaby obiekt, który okazał się nową planetą (według współczensej terminologii: planetą karłowatą), zwaną dziś Ceres. Planeta zbliżyła się po pewnym czasie pozornie do Słońca i Piazzi nie potrafił jej później odnaleźć. Odkrył więc nową planetę i ją zagubił. Próbowano obliczyć orbitę Ceres na podstawie dostępnych obserwacji, zadanie to rozwiązał najlepiej właśnie Gauss: jego metoda nie wymagała żadnych upraszczających założeń, np. że orbita nowo odkrytego ciała niebieskiego jest okręgiem. Dzięki obliczeniom Gaussa, który był nie tylko znakomitym matematykiem, ale też bardzo sprawnym rachmistrzem, Ceres została odnaleziona. Kilka lat później uczonemu zaproponowano stanowisko dyrektora obserwatorium w Getyndze, które zajmował aż do śmierci. W roku 1809 opublikował swoją metodę wyznaczania orbity pt. Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium (Teoria ruchu ciał niebieskich krążących wokół Słońca po krzywych stożkowych). Był to rok tragiczny dla Gaussa, we wrześniu urodziło się jego trzecie dziecko, syn Louis, miesiąc później wskutek komplikacji poporodowych zmarła jego żona Johanna. Louis przeżył swą matkę o zaledwie kilka miesięcy. Uczony ożenił się wprawdzie niedługo później ponownie: miał dwoje małych dzieci na wychowaniu, ale tragedia ta odcisnęła się głęboko na jego psychice.

Bendixen_-_Carl_Friedrich_Gauß,_1828

Portret z 1828 roku (Wikipedia)

Theoria motus zawiera rozważania na temat błędów i metody najmniejszych kwadratów. Sama ta metoda została wcześniej opublikowana przez Adriena Marie Legendre’a, lecz rozważania Gaussa poszły dalej, inspirując z kolei Laplace’a. Przedstawimy podejście Gaussa do funkcji błędu – dziś nazywamy ją rozkładem Gaussa bądź rozkładem normalnym. Gauss założył, że prawdopodobieństwo otrzymania w pomiarze wyniku różniącego się o (x, x+dx) od rzeczywistej wartości równe jest p(x)dx. Naszym zadaniem jest wyznaczenie kształtu owej funkcji. Można przypuszczać, że powinna mieć ona kształt dzwonowy: błędy przeciwnych znaków powinny być jednakowo prawdopodobne, dla dużych wartości |x| prawdopodobieństwo powinno być niewielkie.

Załóżmy, że dysponujemy serią niezależnych wyników pomiaru pewnej wielkości \mu: x_0, x_1,\ldots, x_n. Jeśli za każdym razem funkcją błędu jest p(x), to prawdopodobieństwo powinno być proporcjonalne do iloczynu:

p(x_0-\mu)p(x_1-\mu)\ldots p(x_n-\mu).

Szukamy wartości najbardziej prawdopodobnej, traktując iloczyn jako funkcję \mu. Możemy zlogarytmować nasz iloczyn i poszukać maksimum sumy logarytmów:

\ln{p(x_0-\mu)}+\ln{p(x_1-\mu)}+\ldots+\ln{p(x_n-\mu)}.

W maksimum pochodna równa jest zero, oznaczając tę pochodną przez g(x)=\frac{d\ln{p(x)}}{dx}, mamy

g(x_0-\mu)+g(x_1-\mu)+\ldots+g(x_n-\mu)=0.\mbox{(*)}

Funkcje p(x), g(x) przedstawione są jakościowo na rysunku.

error_function

Następnie Gauss robi założenie, że prawidłową wartością \mu powinna być średnia arytmetyczna wszystkich wyników. Jeśli tak, to równanie (*) słuszne jest dla każdej liczby składników i dowolnych wyników pomiaru. Możemy wziąć np. wartości

x_0-(n+1)y=x_1=\ldots=x_n,

gdzie y jest dowolną liczbą. Równanie (*) przyjmuje wówczas postać:

g(ny)+ng(-y)=0\Rightarrow g(ny)=ng(y).

Łatwo zauważyć, że oznacza to, iż g musi być funkcją liniową, którą zapiszemy jako g(y)=-y/h^2, gdzie h jest pewną stałą; uwzględniając definicję g(x), dostajemy

p(x)=C\exp{(-\frac{x^2}{2h^2})}.

Mamy więc słynną krzywą dzwonową Gaussa. Stała C musi być tak dobrana, aby pole pod krzywą było równe 1.

normal67

Parametr h zależy od dokładności pomiarów i określa szerokość krzywej, nazywamy go odchyleniem standardowym (na wykresie jest on jednostką na osi x). Iloczyn gęstości prawdopodobieństwa przyjmuje postać:

\exp{(-(x_0-\mu)^2-(x_1-\mu)^2+\ldots-(x_n-\mu)^2)}.

Szukanie najbardziej prawdopodobnej wartości \mu odpowiada więc minimalizacji sumy kwadratów odchyleń w wykładniku:

(x_0-\mu)^2+(x_1-\mu)^2+\ldots+(x_n-\mu)^2.

Jak Johannes Kepler odkrył eliptyczny kształt orbity Marsa? (1605)

Kepler był pierwszym liczącym się naukowo zwolennikiem teorii heliocentrycznej. Otaczał wielką czcią postać Mikołaja Kopernika, ale astronomię zbudował właściwie na nowo. Zawiłą drogę do odkrycia tego, co dziś nazywamy dwoma pierwszymi prawami Keplera, opisał w legendarnie trudnej książce Astronomia nova. Dotyczyła ona głównie ruchu Marsa, częściowo także Ziemi. Uczony miał do dyspozycji wieloletnie precyzyjne obserwacje Tychona Brahego. Na ich podstawie zbudował teorię, która dorównywała im dokładnością, był to największy krok od czasów starożytnych Greków. Bez tak precyzyjnej teorii trudno sobie wyobrazić odkrycie prawa ciążenia przez Isaaca Newtona. Sam Newton sądził, iż Kepler wiedział, że orbity planet są owalne, a odgadł, że są one eliptyczne. W jakimś stopniu miał rację: nawet obserwacje Tychona, najlepsze, jakie kiedykolwiek zgromadzono, były zbyt mało dokładne, aby precyzyjnie wyznaczyć kształt orbity szukając jej punkt po punkcie. Odkrycie było więc wynikiem konfrontowania rozważań teoretycznych i obserwacji.
W praktyce dzięki pomysłowym metodom postępowania Kepler potrafił z dużą dokładnością wyznaczyć kierunek Słońce-Mars w zależności od czasu oraz z mniejszą dokładnością odległości planety od Słońca w różnych chwilach. Jego zdaniem Mars poruszany jest przez jakąś siłę emanującą ze Słońca. A właściwie wyobrażał sobie nawet dwie takie siły, pamiętajmy, że mechanika była wciąż na etapie arystotelesowskim: siła ciągnie albo popycha – ciało się porusza, siła przestaje działać – ciało staje. Była to dynamika przesuwanej szafy. Mimo to lepsza była taka dynamika niż żadna. Przed Keplerem, a i po nim, wyobrażano sobie ruchy planet jako coś całkowicie odmiennego od mechaniki ziemskich przedmiotów. Dla Kopernika Słońce było centralną latarnią w świecie, a nie źródłem siły.
Kepler przyjął, że ruch Marsa wokół Słońca zachodzi po krzywej zamkniętej. Najprościej było przyjąć, że jest nią okrąg o umownym promieniu równym 1. Musimy jednak wtedy Słońce odsunąć od środka okręgu o pewną wielkość znaną z obserwacji, tzw. mimośród orbity. W przypadku Marsa \mbox{AS}=e \approx 1/11.

mars 1 area law

Wiadomo też z obserwacji, że planeta porusza się szybciej, gdy jest bliżej Słońca. Z takim ruchem niejednostajnym Kepler zmierzył się jako pierwszy. Intuicyjnie wydawało mu się to zrozumiałe, że z mniejszej odległości Słońce oddziałuje silniej, a więc porusza szybciej naszą planetą (Wyobrażał sobie, że Słońce wiruje wokół osi i niejako zagarnia planety swoim polem siłowym, toteż ucieszył się, kiedy odkryto wirowanie Słońca wokół osi). Uprościmy rozważania na ten temat, zakładając tzw. prawo pól, czyli dziś II prawo Keplera. W trakcie swej wojny z Marsem (jak sam ją określał w alegorycznym duchu epoki) astronom stosował także różne inne przybliżenia, które dla uproszczenia pominiemy. Prawo pól mówi, że pole powierzchni zakreślonej przez promień wodzący Marsa, czyli np. powierzchni SCM jest proporcjonalne do czasu. Np. pole wycinka SM’C jest mniej więcej równe polu BAC, czyli ćwiartce koła. Znaczy to, że Mars znajdzie się w tym położeniu po jednej czwartej obiegu. Po połowie obiegu znajdzie się oczywiście w punkcie najbliższym Słońca (peryhelium).
Na przebycie łuku orbity CM planeta potrzebuje czasu t, który spełnia następującą proporcję

\dfrac{t}{T}=\dfrac{\mbox{pole MAC}+\mbox{pole SAM}}{\pi}\Rightarrow t=\beta+e\sin\beta.

Przyjęliśmy umownie, że okres obiegu Marsa T=2\pi. Jest to tzw. równanie Keplera. Kąt \beta nazywa się anomalią mimośrodową. Nie jest to wprawdzie ten kąt, który może wprost zainteresować astronoma i który można wyznaczyć z obserwacji (choć nie wprost – trudno umieścić się na Słońcu!). Istotnym obserwacyjnie kątem jest MSC, tzw. anomalia prawdziwa. Z rysunku widać, że anomalię tę można wyznaczyć w sposób trygonometryczny. Mając \beta, możemy więc znaleźć czas i położenie planety. Równanie Keplera jest przestępne, nie można podać prostego wyrażenia na funkcję \beta(t), był to jeden z kłopotów Keplera, a potem wszystkich następnych astronomów, gdyż równanie Keplera obowiązuje także dla orbity eliptycznej. Od teraz będziemy zakładać prawo pól dla każdego kształtu orbity. Kiedy zastosuje się je do Marsa, anomalie prawdziwe (czyli kąty widziane ze Słońca) różnią się od obserwowanych mniej więcej tak:

mars circular errors

(rysunek wg pracy H. Martynki)

Różnice nie są wielkie, lecz w miarę wyraźne. Kepler znał tylko kilka punktów tej krzywej, nie miał do dyspozycji żadnych narzędzi obliczeniowych, nawet logarytmy były nieznane, każde mnożenie, dzielenie itd. trzeba było mozolnie wykonywać krok po kroku. Obserwacje Tychona pozwalały na błędy rzędu jednej albo dwóch minut kątowych (bez użycia teleskopu nie da się zresztą rozróżnić mniejszych kątów, patrz George Biddell Airy: Jak drobne szczegóły można dostrzec przez teleskop? Nasze oko ograniczone jest średnicą źrenicy, a także gęstością komórek światłoczułych na siatkówce). Kepler sprawdził także, że orbita Marsa powinna być odrobinę spłaszczona. Rzecz jednak w tym, że nie szukał jedynie odpowiedniej krzywej, ale chciał także, żeby jej kształt wynikał jakoś z mechaniki. Wpadł na pomysł dość dziwaczny dla nas, ale uzasadniony tradycją astronomii: na dużym kole (deferencie) obraca się małe koło (epicykl). Można taką konstrukcją zastąpić okrąg rozważany wyżej.

mars2 ekscent

Odcinek CM jest stale równoległy do SA. Można albo sobie wyobrażać ruch po czerwonym okręgu albo po dwóch czarnych, wynik będzie ten sam. Nowy pomysł Keplera polegał na tym, aby epicykl nadal obracał się jednostajnie, ale ruch planety miał być niejednostajny: w rezultacie kąt NXM będzie większy niż kąt NSC i wypadkowa krzywa stanie się spłaszczonym nieco owalem. Jednostajny obrót epicykla uważał Kepler za możliwy fizycznie (wymagało to jakiejś dodatkowej siły wywołującej ten obrót, ale tak czy owak potrzebował dwóch różnych sił: jednej wywołującej krążenie wokół Słońca oraz drugiej na przemian zbliżającej i oddalającej planetę od Słońca).

mars oval

Owal też nie spełnił zadania. Kepler miał kłopoty z obliczeniem jego kształtu, choć zadanie nie jest szczególnie trudne, gdy zastosować trygonometrię w zapisie algebraicznym albo prosty rachunek całkowy – narzędzia te nie były mu dostępne, bo ich jeszcze nie było. Błędy w anomaliach prawdziwych okazały się teraz równie duże co poprzednio, miały jednak inne znaki.

mars errors oval

(rysunek wg pracy H. Martynki)

Wskazywało to na zbytnie spłaszczenie owalu w stosunku do rzeczywistości. Owal miał rzeczywiście kształt jajka (ovum), choć w praktyce jajo to nie różniło się wiele od elipsy i w jakimś momencie Kepler zaczął je przybliżać elipsą. Nie zauważył, że prawo pól zastosowane do różnych elips oznacza, że planety tak się poruszające znajdują się w każdej chwili na jednej linii prostopadłej do osi NMM’. Zatem jeśli błękitna elipsa daje położenie M’, a okrąg położenie N i oba są z przeciwnym błędem, to rozwiązaniem powinna być elipsa pośrednia między tymi dwiema (okrąg to też elipsa).

mars 3 ellipses

W każdym z tych przypadków słuszne jest równanie Keplera, które wypisaliśmy wyżej. Kepler szukał jednak wyjaśnienia fizycznego: owal miał jakieś uzasadnienie, inna elipsa nie bardzo. Bez epicykla i bez okręgu znalazł się w kropce. Wrócił do odległości. Owal był nieco węższy w kierunku prostopadłym do osi (linia łącząca położenie najbliższe i najdalsze od Słońca, u nas pozioma). Między okręgiem a owalem zostawał cienki sierp, lunula – jak go określił.

mars lunulae1

Astronom wiedział, że prawdziwy tor planety mieści się gdzieś pośrodku. Obserwowane odległości nie przesądzały jednak gdzie dokładnie. Wczesną wiosną 1605 roku zauważył dość szczególne prawo, które pasowało do obserwacji i tego, co wiedział.

mars click

Najpierw przyjrzyjmy się niebieskiemu trójkątowi SKA. Kepler wiedział, że kąt na rysunku równy jest dla Marsa \varphi=5^{\circ} 18'. Przy takim kącie SK=1,00429, a więc do jedynki dodana jest mniej więcej połowa szerokości lunuli. Tymczasem odległość SM powinna być równa wówczas 1. Czyli tam, gdzie orbita jest najwęższa, od okręgu należałoby ująć mniej więcej 0,00429. Prawo, które zaproponował, przedstawione jest na rysunku. Zamiast odległości SN należało w każdym punkcie wziąć odległość ND – była to więc reguła, o ile należy skrócić promień w stosunku do promienia wodzącego SN (N leży na okręgu). Zapisane trygonometrycznie prawo to ma rzeczywiście prostą postać

r=1+e\sin\beta.

Można było mieć nadzieję, że tak proste prawo wynika jakoś z mechaniki. Miało ono zastąpić ów nieszczęsny epicykl, który sprawił mu mnóstwo zachodu. Brakowało jeszcze ustalenia, w którym kierunku należy odłożyć ową odległość r. W końcu zauważył, że prawidłowy rysunek wygląda następująco.

mars kepler ellipse

Można wykazać, że odkładając odległość DN jako SM (obie zaznaczone są na niebiesko), otrzymujemy punkt M leżący na elipsie. Spośród wszystkich elips, które mają taką samą długość dużej półosi, wybieramy dzięki tej konstrukcji taką, że Słońce znajduje się w jej ognisku (sam astronom nie zauważył tego w pierwszej chwili). Nie jest to oczywisty sposób na skonstruowanie elipsy, ale jest on prawidłowy. Zapisane przez nas równania oraz łatwy do wyznaczenia z rysunku kąt anomalii prawdziwej dają nam równania ruchu planety w postaci parametrycznej, gdzie \beta jest parametrem. Zauważmy, że linia AN nie celuje ku planecie, lecz ku pewnemu punktowi na pomocniczym okręgu. Konstrukcja jest dość zawiła, ale nie da się tego zrobić dużo prościej, to ruchy planet są skomplikowane.
W rzeczywistości orbity Marsa rozpatrywane przez Keplera bardzo mało się od siebie różnią. Na rysunku przedstawiłem przypadek e=0,4, mimośrody planet nie są tak duże. Widzimy, dlaczego starożytne teorie oparte na okręgach działały tak dobrze.

mars e equal04

(rysunek wg pracy H. Martynki)

A tak poprawiła się dokładność przewidywań w teorii Keplera w porównaniu z efemerydami przed nim.

marspos

Dane O. Gingericha

Dla porządku zapiszę jeszcze wzory dla anomalii prawdziwej v, czyli kąta MSC na rysunku wyżej. Rzutując SM na prostą SC, otrzymujemy:

r\cos v=e+\cos\beta.

Rzutując SM na prostą NM, otrzymujemy:

r\sin v=\sqrt{1-e^2}\sin\beta,

gdzie \sqrt{1-e^2} jest stosunkiem długości małej osi elipsy do dużej. Łatwo stąd otrzymać także biegunowe równanie elipsy, lepiej znane niż wzór Keplera na r. Mnożąc obie strony wzoru z \cos v przez e oraz dodając do obu stron 1, mamy:

1+er\cos v=e^2+(1+e\cos\beta)=e^2+r.

Wyznaczając r, dostajemy równanie elipsy

r=\dfrac{1-e^2}{1-e\cos v}.

W podręcznikach cosinusy mają inne znaki, ponieważ my trzymamy się historycznego sposobu liczenia kątów od aphelium, a obecnie liczy się od perihelium: \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha. Owal Keplera ma równanie

r=\dfrac{1-e^2}{\sqrt{1-2e\cos v+e^2}}.

Czy ogon macha psem? – o pewnym argumencie na rzecz heliocentryzmu

W listopadzie 1948 roku Albert Einstein napisał w liście do starego przyjaciela:

U nas, jak dotąd, wszystko dobrze. Także moja siostra nie cierpi, choć obiektywnie jej stan pogarsza się w sposób widoczny. Czytam jej co wieczór – dziś np. dziwne argumenty wysuwane przez Ptolemeusza przeciwko poglądowi Arystarcha, że Ziemia się obraca, a nawet obiega Słońce. Nie mogę się oprzeć skojarzeniu z niektórymi argumentami współczesnych fizyków: uczone i wyszukane, ale bez wyczucia. Ocena wagi argumentów w roztrząsaniach teoretycznych to zawsze kwestia intuicji.

Maja Einstein cierpiała po udarze i powoli gasła, była jednak sprawna umysłowo, toteż brat czytał jej wieczorami rozmaite książki, przeważnie klasyczne (Maja miała doktorat z filologii romańskiej). W sprawie mechaniki kwantowej Albert Einstein zapewne się mylił, miał jednak rację, że póki dane rozwiązanie naukowe dopiero się kształtuje, jest in statu nascendi, dopóty nie ma prostego sposobu ustalenia, jakie argumenty są trafne, a jakie nie, trzeba zawierzyć intuicji.

Dyskusja na temat tez kopernikańskich była długa i zażarta. Spojrzymy tu tylko na jeden argument, który sam nie miał jakiejś ogromnej wagi i niczego nie przesądził, ale wiązał się wyraźnie z wyobrażeniem wszechświata. Według Kopernika porusza się niewielka Ziemia, a nie ogromne niebo. W szczególności to owa niewielka Ziemia krąży wokół znacznie większego Słońca, a nie na odwrót.

Johannes Kepler pisał (Astronomia nova, 1609, Introductio): „Popatrzmy tedy na ciała Ziemi i Słońca i zdecydujmy, któremu z nich bardziej przystoi być źródłem ruchu tego drugiego. Czy to Słońce, które porusza także pozostałe planety, porusza Ziemią, czy też Ziemia – Słońcem, poruszającym owe pozostałe [planety] i tylekroć od niej większym?” Myślał tu o układzie Tychona Brahego, w myśl którego wszystkie planety prócz Ziemi krążą wokół Słońca. Dla Keplera było to nieprawdopodobne, gdyż uważał, że to Słońce jest źródłem siły poruszającej planetami, z jego punktu widzenia układ Tychona nie miał uzasadnienia dynamicznego, bo ruchem Słońca wokół Ziemi rządziłoby wówczas jakieś inne i odrębne prawo. Ponadto Słońce jest znacznie większe od Ziemi. Mamy więc ogon machający psem.

cyrano

Co wiedziano na temat rozmiarów Słońca i Ziemi? Astronomowie mieli zwyczaj używania kąta, tzw. paralaksy (dziennej). Paralaksa Słońca to kąt, pod jakim ze Słońca widać byłoby promień Ziemi. Oczywiście, niełatwo taki kąt znaleźć. Od starożytności wierzono, iż kąt ten wynosi 3′, Kepler przypuszczał, że równy on jest 1′, pod koniec wieku XVII znano już w przybliżeniu prawidłową wielkość: p\approx 9''. Z trójkąta prostokątnego na rysunku łatwo wyznaczyć odległość Słońca w jednostkach promienia Ziemi. Ten sam rysunek moglibyśmy zastosować, zamieniając miejscami Słońce i Ziemię: otrzymalibyśmy wówczas kątowy promień tarczy słonecznej widzianej z Ziemi \theta. W takim razie stosunek promienia Słońca R_S do promienia Ziemi R_Z równy jest

\dfrac{R_S}{R_Z}=\dfrac{\sin\theta}{\sin p}\approx \dfrac{\theta}{p}\approx \dfrac{16'}{p}.

(Sinusy małych kątów możemy zamienić wielkościami samych kątów.) Ptolemeusz sądził więc, że Słońce jest 5 razy większe od Ziemi, Kepler – że jest 15 razy większe, a naprawdę jest ono przeszło sto razy większe.

Digges_Leonard_1596_A_prognostication_everlastinge_of_right_good_effect_Page_15(1)

Leonard Digges, Prognostication Everlasting, 1596

Co odpowiadano na taki argument? Uczony jezuita Giovanni Riccioli w swoim niezwykle obszernym i kompetentnym dziele Almagestum novum (1651) nie miał innego wyjścia niż zwalczać Kopernika, gdyż tak postanowił Kościół Święty, a przynajmniej ówczesny papież, w sprawie Galileusza. Na argument, iż łatwiej i mniejszym kosztem byłoby Bogu i Naturze poruszać niewielką Ziemią zamiast ogromnym niebem, Riccioli stwierdza, że po pierwsze wysiłek nie jest tu aż tak wielki, ponieważ we wszechświecie ruch nie napotyka żadnego oporu, a po drugie Bóg oraz Inteligencje łatwo by sobie poradziły, nawet gdyby jakieś opory występowały.

Huygens_Christiaan_1698_The_celestial_worlds_discoverd_Page_15

Christiaan Huygens, Cosmotheoros, wyd. ang., 1698 (wartość paralaksy Słońca jest już mniej więcej znana)

Popularną wersję odpowiedzi znajdziemy u Besiana Arroya, dokora Sorbony i teologa miasta Lyonu, który w 1671 roku napisał książeczkę Le Prince Instruit (Władca oświecony), zadedykowaną samemu królowi, w której oświeca przyszłych polityków. Otóż Ziemia tkwi nieruchomo w środku, ponieważ jest ciężka. Zgodnie z fizyką Arystotelesa, gdyby nawet się poruszyła, to tylko ruchem prostoliniowym, bo ciężkie ciała spadają ku centrum świata. Gwiazdy zaś (tzn. wszelkie ciała niebieskie) „wedle swej naturalnej dyspozycji są lekkie, okrągłe i ustanowione, aby oświetlać Ziemię, toteż muszą się poruszać zgodnie ze swą naturalną skłonnością i dążnością, jaką dał im Wszechmocny”. Śmiechu warty jest Kopernik, w jego systemie jest tak, jakbyśmy przenosili komnaty, stoły i całe domostwa w pobliże pochodni, by je oświetlić, zamiast wnieść pochodnię do środka. Zwolennicy filozofii Arystotelesa nie wierzyli w jedność materii: dla nich ciała niebieskie były z eteru, nie miały więc bezwładności i stosunkowo nietrudno było nimi poruszyć. Inaczej to wyglądało dla tych, którzy jak Kepler i Galileusz, szukali jednolitych praw i jednolitej materii w całym wszechświecie.

Chrześcijanie tradycyjni wierzyli także, że cały świat stworzony został dla człowieka, jego rozmiary świadczyły o potędze Boga. Sceptycy widzieli to nieco inaczej. Cyrano de Bergerac pisał: „Dorzuć pan do tego nieznośną a właściwą ludziom pychę, która wmówiła im, że Naturę dla nich jedynie stworzono, jak gdyby ktoś mógł dać wiarę, że Słońce, olbrzymie ciało 434 razy większe od Ziemi [chodzi o objętość – J.K.], zapalono tylko z tej racji, aby dojrzewała ich nieszpułki i aby obradzała kapusta” (Tamten świat, przeł. J. Rogoziński). Bernard Le Bovier de Fontenelle dopowiadał: „Do owego szalonego Ateńczyka niejako podobni jesteśmy, który sobie uroił, że wszystkie okręty do portu Pirejskiego przybijające do niego należały. Nasze szaleństwo w tym się wydaje, iż mniemamy, że cały świat dla naszych szczególnie stworzony został wygód, i gdy się pytamy filozofów, na co się przyda tak wiele gwiazd stałych, których jedna część też by czyniła skutki, które wszystkie razem czynią, odpowiadają ozięble, iż do ukontentowania oczu ich służą” (przeł. E. Dębicki, przekład uwspółcześniony. za: W. Voisé, Historia kopernikanizmu w dwunastu szkicach). Książkę Fontenelle’a przełożył na polski ksiądz pijar Eustachy Dębicki w 1765 roku, a więc osiemdziesiąt lat po jej napisaniu. W 1687 roku kwestię, co krąży wokół czego rozstrzygnął Isaac Newton. Stwierdził z pewną satysfakcją, że nikt dotąd nie miał racji, gdyż planety i Słońce krążą wokół wspólnego środka masy, więc ściśle biorąc także Słońce nie jest nieruchome.

W połowie wieku XVIII do przeszłości należały nie tylko fizyka Arystotelesa i boje o kopernikanizm, ale zdążył zapanować i upaść także kartezjanizm, i to nawet we Francji, gdzie był najmocniejszy. Nikt poważnie już nie wątpił w mechanikę Newtona. Rewolucja naukowa XVII wieku dopiero teraz zaczęła docierać także do Polski. Ksiądz Jędrzej Kitowicz, nie do końca świadomie, daje świadectwo potwornego zacofania, z jakiego zaczęto się wówczas wydobywać:

W akademiach zaś publicznych, czyli generalnych, jako to krakowskiej, zamojskiej i wileńskiej, prócz nauk dopiero wyliczonych były nadto: nauka matematyki wszelkiego rodzaju, astrologii, geografii, geometrii, kosmografii, do tego: jurisprudencji, medycyny, i zwały się te akademie universitates. Co się tycze ogółem filozofii – tej patriarchów nie było więcej jak dwóch: Arystoteles i św. Tomasz, ponieważ na wszystkich dysputach nie tłomaczyli się inaczej walczący z sobą, tylko albo „iuxta mentem Aristotelis”, albo „iuxta mentem divi Thomae”. W akademiach kto się promował do godności doktorskiej w filozofii, musiał przysięgać, jako inaczej nie będzie trzymał i uczył, tylko „iuxta mentem divi Thomae”; ci tedy, którzy się trzymali zdania Arystotelesa, zwali się peripatetici, a którzy św. Tomasza, zwali się thomistae.

Pierwsi pijarowie jakoś około roku 1749 czyli trochę wyżej odważyli się wydrukować w jednym kalendarzyku politycznym niektóre kawałki z Kopernika, dowodzące, że się ziemia obraca, a słońce stoi. Czego ledwo dostrzegli jezuici, nie omięszkali i swoich rozumów, co ich tylko mieli najbystrzejszych, użyć przeciwko pijarom, ciężkim przeciwnikom swoim, ale też inne zakony przeciw nim poburzyć o takową hypothesim, czyli zdanie dawnej nauce przeciwne. Rozruch ten po szkołach był na kształt pospolitego ruszenia przeciwko pijarom; wydawali książki zbijające takową opinią, zapraszali pijarów na dysputy i najwięcej z tej materii pijarom dokuczeć usiłowali. Ci atoli, coraz nowy jaki kawałek wyrwawszy z teraźniejszych wodzów filozoficznych: Kopernika, Kartezjusza, Newtona, Leibniza, dokazali tego, że wszystkie szkoły przyjęły neoteryzm, czyli naukę recentiorum [nowszych autorów], według której ziemia się obraca koło słońca, nie słońce około ziemi, tak jak pieczenia obraca się koło ognia, nie ogień koło pieczeni. Koloru nie masz żadnego w rzeczach, tylko te barwy, które na nich widziemy: białe, czarne, zielone, czerwone, żółte etc., sprawuje temperament oczu i światła, czego jest wielkim dowodem jabłko na przykład, w dzień zielone, które toż samo przy świecach wydaje się granatowe; że ból, świerzbienie i inne czucia nie mają swego placu w ciele, tylko w duszy, ponieważ ciało bez duszy nic nie czuje. (Opis obyczajów za panowania Augusta III, rozdział O szkołach publicznych).

Gottfried Wilhelm Leibniz: Dusze jako hologramy świata (list do księżnej elektorowej Zofii, 4 listopada 1696)

Wiek XVII to epoka, gdy zaczęła się współczesność. Nasze nauki, idee, koncepcje, metody i złudzenia mają swe źródła właśnie wtedy. Oczywiście, przedtem było średniowiecze, które nie zawsze było ciemne, a jeszcze przedtem Grecy z geometrią i z tragediami ilustrującymi, jak działa nieubłagane przeznaczenie. Dopiero jednak w XVII wieku różne nikłe strumyczki złączyły się w rzekę, która na złe i dobre niesie nas w nieznane.
Ojcowie założyciele nowożytnej nauki nie zawsze już są dla nas zrozumiali. Gottfried Wilhelm Leibniz jest jednym z najoryginalniejszych myślicieli tamtego wieku. Trwałym jego osiągnięciem okazał się rachunek różniczkowy i całkowy. Zajmował się Leibniz niemal wszystkim: od religii, historii i prawa, przez teologię, fizykę, logikę, matematykę aż po filozofię. Jeden z najmądrzejszych ludzi w Europie spędzał życie w służbie niezbyt rozgarniętych książąt. Nadrabiał to korespondencją, wiek XVII to pierwszy wiek dobrze działającej poczty w Europie. Rozpuszczeni internetem nie rozumiemy już, jak wielkie to było osiągnięcie, jak bardzo przyczyniło się do wymiany myśli. Pisanie listów zmuszało do przemyślenia poglądów, wyrażenia ich w formie kilkustronicowego skrótu, wciąż daleko było do czasów, gdy każdą ideę można zawrzeć w 140 znakach.

correspondance_leibniz

Świat Leibniza nie składa się z materialnych atomów, wypełniony jest bytami po brzegi, na wszystkich poziomach. Każdy jego fragment zawiera nieskończenie wiele mniejszych bytów, przypomina samopodobny zbiór Mandelbrota, który w powiększeniu przypomina do złudzenia sam siebie. Podstawowymi jednostkami są dusze – słynne monady, z których każda odzwierciedla cały wszechświat. Istnieją one, odkąd zostały stworzone, i będą istnieć, dopóki Stwórca ich nie unicestwi. Każda z owych dusz rozwija się niejako realizując wbudowany w nią od początku program. Nie ma śmierci, jest tylko przeobrażenie. Nic nigdy nie ginie ani nie powstaje, rozwija się tylko, ewoluuje ku większej doskonałości. Jest to piękny sen o racjonalnym świecie urządzonym przez dobrego Boga. W oczach Leibniza rzeczywistość była rodzajem uporządkowanego snu czy filmu, czymś w rodzaju rzeczywistości wirtualnej zaprogramowanej przez Stwórcę. Była ona przy tym zaprogramowana tak zmyślnie, że owe programy uwzględniały wszystkie pozostałe programy: dzięki temu możemy mieć wrażenie, iż uczestniczymy interaktywnie w rzeczywistym świecie, ale naprawdę mamy tylko nałożone okulary VR. Wszechświat jest holograficzny: ekstrahując informację z jego maleńkiego wycinka, z pojedynczej duszy, moglibyśmy poznać całą resztę dusz, a więc wszystko, co jest do poznania.

Samopodobieństwo zbioru Mandelbrota zobaczyć można np. tu i jeszcze w większym pliku tu.

Księżna elektorowa Zofia była żoną Ernesta Augusta, księcia Brunszwiku-Lüneburga. Leibniz był ich nadwornym bibliotekarzem i historykiem, ta ostatnia dziedzina okazała się niezwykle istotna dla księcia – dzięki dokumentom odnalezionym przez uczonego został on podniesiony przez cesarza do godności elektora. Zofia pod koniec życia uzyskała prawo do tronu angielskiego, z którego skorzystał dopiero jej syn Jerzy I. Dynastia hanowerska rządzi w Anglii do dziś. List jest jednym z wielu, które uczony pisał do księżnej Zofii, osoby wykształconej i inteligentnej. Kobiety na tych dworach często miały zainteresowania intelektualne czy artystyczne, ich mężowie zwykle nie sięgali wyobraźnią poza bieżące machinacje polityczne oraz polowania.

Główne me rozważania obracają się wokół dwóch przedmiotów: jedności i nieskończoności. Dusze są jednościami, a ciała wielościami – lecz nieskończonymi, tak że najmniejszy pyłek zawiera jakiś świat z nieskończonością stworzeń. Mikroskopy ukazały naocznie, że w kropli wody znajdować się może więcej niż milion żyjątek. Jedności wszakże – choć są niepodzielne i nie mają części – nie przestają przedstawiać wielości, mniej więcej tak, jak wszystkie promienie okręgu łączą się w jego środku. Na takim właśnie złączeniu polega podziwu godna natura postrzeżenia; ono także sprawia, iż każda dusza jest osobnym światem, przedstawiającym wielki świat na swój sposób i wedle swego punktu widzenia, toteż każda dusza, skoro raz już zaczęła istnieć, musi być tak samo trwała jak ów świat, którego jest wiecznym zwierciadłem. Zwierciadła te są uniwersalne i każda dusza przedstawia dokładnie cały wszechświat. Gdyż nie ma w świecie niczego, co nie miałoby udziału w całej reszcie, choć wpływ staje się mniej dostrzegalny wraz odległością. Wśród wszystkich dusz nie ma bardziej wzniosłych niż te, które zdolne są rozumieć prawdy wieczne, zdolne nie tylko przedstawiać świat w niewyraźny sposób, ale także rozumieć i posiadać wyraźne idee piękna oraz wielkości substancji suwerennej. Znaczy to być nie tylko zwierciadłem wszechświata (jakim są wszystkie dusze), lecz również tego, co we wszechświecie najlepsze. To znaczy samego Boga; to właśnie zastrzeżone jest dla umysłów albo inteligencji, które dzięki temu zdolne są kierować innymi stworzeniami w naśladowaniu Stwórcy.
Skoro więc każda dusza przedstawia wiernie cały wszechświat, a każdy umysł przedstawia jeszcze dodatkowo samego Boga we wszechświecie, łatwo dojść do wniosku, iż umysły są czymś większym, niż się sądzi. Jest bowiem prawdą pewną, że każda substancja dojść musi do takiej doskonałości, do której jest zdolna i która zawiera się w niej niejako zwinięta. Dobrze jest też rozważyć, iż w tym życiu zmysłowym starzejemy się po osiągnięciu dojrzałości, ponieważ zbliżamy się ku śmierci, która jest jedynie zmianą sceny; ale życie wieczne dusz nie podlega śmierci i tak samo nie podlega starości. Dlatego doskonalą się one i dojrzewają ustawicznie, tak samo jak świat, którego są obrazem; nic bowiem nie ma na zewnątrz wszechświata, co mogłoby mu stanąć na przeszkodzie, toteż wszechświat musi stale doskonalić się i rozwijać.
Można by wysunąć zarzut, że to doskonalenie nie jest widoczne, a nawet, że niejako cofa się skutkiem panującego nieładu. Jest tak jednak tylko na pozór, co można stwierdzić na przykładzie astronomii: nam, znajdującym się na ziemskim globie, ruch planet wydaje się czymś nieuporządkowanym. Gwiazdy zdają się błądzić i poruszać bezładnie raz w przód, a raz wstecz, a nawet zatrzymywać się od czasu do czasu. Kiedy jednak dzięki Kopernikowi umieściliśmy się na Słońcu – przynajmniej przy pomocy oczu naszego umysłu – odkryliśmy ład godny podziwu. W ten sposób nie tylko że wszystko dokonuje się zgodnie z zasadami tego ładu, ale nawet i ludzkie umysły zdolne są zdać sobie z tego sprawę w miarę, jak czynią postępy.
(…) Mam nadzieję, że [umysły] we Francji odwrócą się stopniowo od tej mechanicznej sekty [kartezjan] i od tego małostkowego przekonania o ograniczonej szczodrobliwości natury, która tylko nam jednym miałaby przyznać przywilej posiadania duszy. Kto wniknie głębiej w przedstawione przeze mnie myśli na temat nieskończoności, ten wyrobi sobie zgoła inne pojęcie o majestacie wszechświata zamiast uważać go za warsztat rzemieślnika, jak czyni to autor wielości światów [Fontenelle] w rozmowach ze swoją markizą. Każda bowiem machina naturalna ma nieskończenie wiele narządów i co jest jeszcze bardziej godne podziwu, to właśnie dzięki temu każde zwierzę odporne jest na wszelkie przypadłości i nie zostaje nigdy zniszczone, lecz jedynie zmienione i oddzielone przez śmierć, tak jak wąż zrzuca starą skórę; narodziny i śmierć są bowiem tylko rozwijaniem i zwijaniem, aby przyswoić nowy pokarm i aby go potem porzucić, gdy posiądzie się jego istotę, a zwłaszcza gdy zatrzyma się w sobie ślady postrzeżeń, które się posiadło i które zostają na zawsze i nigdy nie ulegają całkowicie zapomnieniu i choć nie zawsze ma się okazję je przypomnieć, idee takie nie omieszkają się przypomnieć i stać użyteczne z biegiem czasu. Toteż można dowieść matematycznie, iż wszelkie działanie, jakkolwiek małe by ono było, rozciąga się do nieskończoności, zarówno pod względem miejsc, jak i w czasie, promieniując – by tak rzec – na cały wszechświat i przechowując się przez całą wieczność. Tak więc nie tylko dusze, ale i ich działania przechowują się wiecznie, a nawet działanie każdej z nich przechowuje się we wszystkich duszach wszechświata za sprawą współdziałania i zgodności wszystkich rzeczy; świat cały zawarty jest w każdej swej części, ale w jednych bardziej wyraźnie niż w drugich i na tym właśnie polega przewaga tych umysłów, dla których suwerenna inteligencja stworzyła wszystko inne, aby dać się poznać oraz kochać, niejako mnożąc się w ten sposób we wszystkich żyjących zwierciadłach, które ją przedstawiają.