Pierre Bayle, Myśli różne o komecie (1683)

Chrześcijaństwo należy do tradycji Europy – to prawda, lecz pamiętać musimy, że jego kształt zmieniał się bardzo z czasem. Czym innym był np. arystotelizm św. Tomasza, a czym innym reformy Lutra i Kalwina. Protestantyzm starał się chrześcijaństwo oczyścić przez powrót do źródeł oraz odrzucenie magicznej obrzędowości, był surowy, wymagał dużo od wiernych, którzy ściślej musieli się pilnować w życiu codziennym, by dostąpić łaski. Takimi właśnie surowymi protestantami, przez lata rozmyślającymi nad podstawami swej wiary, byli zarówno Isaac Newton, jak i Pierre Bayle. Protestantyzm towarzyszył przemianom mentalności europejskiej w XVI i XVII wieku, kształtował także założycieli Stanów Zjednoczonych. Nie przypadkiem nowożytna nauka i nowoczesna gospodarka rozwinęły się najbardziej w krajach protestanckich.

Kometa z lat 1680/1681 została przez Isaaca Newtona uwieczniona pierwszym obliczeniem orbity na podstawie prawa powszechnego ciążenia. Przyczyniło się to do rozwiania astrologicznych fantazji na temat związku komet z wydarzeniami na Ziemi. Był to proces powolny zapoczątkowany sto lat wcześniej odkryciem Tychona Brahego, że komety są prawdziwymi ciałami niebieskimi, tzn. nie są jakimś wyziewem górnych warstw atmosfery ziemskiej, jak sądzono od czasów Arystotelesa. Astrologia w drugiej połowie XVII wieku nie była już traktowana poważnie przez uczonych, podciął jej korzenie kopernikanizm: no bo skoro Ziemia jest tylko jedną z planet i komety też są rodzajem planet, to nie ma powodu uważać, aby zdarzenia historyczne czy meteorologiczne na planecie Ziemia dyktowane były akurat zjawieniem się jakiejś komety. Młody Isaac Newton kupił sobie książkę o astrologii na jarmarku na błoniach Stourbridge, szybko wszakże doszedł do wniosku, że zawiera bzdury. Nie potrafiąc narysować jakiejś figury omawianej w książce, sięgnął do Euklidesa. Niebawem już czytał Geometrię Kartezjusza, dzieło trudne, które jednak przestudiował. W ciągu roku opanował samodzielnie znaną wówczas matematykę i zaczął twórczość oryginalną. Niemal wszystkiego nauczył się sam i osiem imponujących tomów jego Mathematical Papers pokazuje, że matematyka towarzyszyła potem stale jego innym zainteresowaniom. Jest to zapewne jedyny przykład, gdy astrologia do czegoś realnego się przydała.


Niezbyt wierzono, przynajmniej w kręgach ludzi wykształconych, by komety zwiastowały nieszczęścia lub zostały zesłane z nieba w celu naszej moralnej poprawy, ale spotykało się wciąż rozmaite opinie. Możliwy do pomyślenia był oczywiście jakiś ich wpływ naturalny, np. katastrofa kosmiczna albo oddziaływanie z ziemską atmosferą. Tak czy owak zjawiska kometarne przesuwały się ze sfery cudownej i nadprzyrodzonej w domenę ciekawostek natury.
Madame de Sévigné, której listy stanowią jedno z arcydzieł języka francuskiego, pisała w na początku stycznia 1681 r. do swego kuzyna hrabiego de Bussy-Rabutina:

Mamy tutaj wielce okazałą kometę, która ma najpiękniejszy warkocz, jaki można oglądać. Wszystkie ważne osobistości wpadły w popłoch, gdyż wierzą mocno, iż niebiosa tak przejęły się ich stratą, że powiadamiają o niej poprzez ową kometę. Mówi się, że kardynała Mazarin, któremu medycy nic już nie potrafią pomóc, dworzanie poinformowali o pojawieniu się wielkiej komety, budzącej w nich lęk, ponieważ byłaby ich zdaniem cudem stosownym dla uczczenia śmierci kogoś tak wybitnego. Kardynał znalazł siłę, aby to wyśmiać i stwierdził żartobliwie, że kometa wyświadczyłaby mu zbyt wielki honor.

De Bussy-Rabutin odpisał z Burgundii, że i tam różne lokalne znakomitości obawiają się w związku z kometą o siebie. „Mercure galant” pokpiwał, że kometa najwyraźniej zapowiadała śmierć jakiejś wielkiej istoty, ponieważ umarł słoń trzymany w Wersalu.

Wykładowca hugonockiego kolegium w Sedanie, Pierre Bayle, zainteresował się nie tyle samą kometą z 1680/1681 r., ile mechanizmem społecznej wiary i niewiary, a także sensem religijnym tego zjawiska. Rozważaniom tym poświęcił książkę, wydaną anonimowo w roku 1683. Można by gorzko stwierdzić, iż w jego przypadku kometa była zapowiedzią znacznych zmian: w lipcu 1681 roku kolegium zamknięto. Było to jedno z posunięć króla Ludwika XIV w zbożnym dziele oczyszczania Francji z heretyków, tzn. z protestantów. Bayle spędził resztę życia w Rotterdamie, pisząc i stając się jednym z prekursorów Oświecenia. Obawiał się o swoją rodzinę we Francji, młodszy jego brat nie wytrzymał pobytu w lochach arcykatolickiego władcy, gdzie znalazł się wyłącznie z powodu swej wiary. Bayle pisał:

Gdyby wiedziano, jak ostrego sensu nabrało obecnie to słowo, nie zazdroszczono by Francji, że jest całkowicie katolicka pod panowaniem Ludwika XIV. Już od dawna bowiem ci, którzy mają się za wcielenie katolicyzmu, postępują w sposób budzący zgrozę, że uczciwy człowiek powinien miano katolika uważać za obelgę; a po tym, co zrobiliście ostatnio w owym arcykatolickim królestwie, powinno być teraz wszystko jedno, czy mówi się: religia katolicka, czy też: religia ludzi niegodziwych (przeł. J. Lalewicz).

Okoliczności zewnętrzne, a także daleko posunięta uczciwość intelektualna, skłaniały Bayle’a do sceptycyzmu wobec utartych mniemań. Podważał rolę tradycji, która ostatecznie zasadza się na tym, że powtarzamy czyjąś opinię, nie zadawszy sobie trudu jej przemyślenia. Gdyby więc trochę dokładniej przyjrzeć się temu, skąd biorą się różne tradycje, mogłoby się okazać, że w gruncie rzeczy powtarza się bezkrytycznie pogląd jednego czy dwóch autorów. Ta prosta myśl mogła podważyć nie tylko wierzenia dotyczące komet, ale i jeden z filarów Kościoła katolickiego, który z poszanowania tradycji robił swój wyróżnik, swoją differentia specifica, pośród doktryn chrześcijańskich.
Nie należy więc specjalnie wierzyć w argumenty z tradycji:

Tak więc świadectwa historyków dowodzą tego jedynie, że komety się pojawiały i że po nich występowały rozmaite niepokoje w świecie – niezmiernie stąd daleko do udowodnienia, iż jedna z tych rzeczy stanowi przyczynę bądź prognostyk drugiej, jeśli nie chcemy być jak owa kobieta z ulicy Saint Honoré [w Paryżu], która widzi przejeżdżające karety, ilekroć wyjrzy z okna i wyobraża sobie, że to ona jest przyczyną ich pojawiania się lub przynajmniej jej ukazanie się w oknie stanowi dla całej dzielnicy prognostyk, iż wkrótce przejedzie kareta (§5).

Bayle tak daleko zaszedł w intelektualnym sceptycyzmie, że wyrażano często wątpliwości, czy nie stał się ateistą. Głosił w każdym razie radykalne oddzielenie religii – domeny wiary, od filozofii – domeny rozumu. „Jeśli sprawiedliwy żyje swą wiarą, to filozof także powinien żyć swoją; znaczy to, że w swym osądzie rzeczy powinien być niezależny od tego, co sądzą inni. Powinien badać głęboko swoje przedmioty [roztrząsań]”.

Bóg zdaniem Bayle’a nie mógł być kapryśnym władcą, swego rodzaju Królem-Słońce na niebiesiech, kierującym się przesądami i gniewem. Filozof żadną miarą nie potrafił wierzyć w Boga, który posługuje się teatralną maszynerią przyrody: kometami, by siać lęk i przerażenie, wykorzystując do swoich celów ludzką łatwowierność i skłonność do doszukiwania się magicznych powiązań w świecie. Nie chciał być jak jezuici z upodobaniem sięgający po światło, dźwięk i dekoracje dla wzmocnienia wymowy religijnego przesłania. Ludzkość zbyt łatwo ulega rozmaitym złudzeniom, zbyt łatwo daje się oszukiwać i dobry nauczyciel nie powinien się uciekać do tego rodzaju tanich sztuczek nawet w dobrej intencji. Jego Bóg był wyższy ponad moralne kuglarstwo. Nie powinien też rozbudzać pychy, która i tak jest właściwa ludziom:

Im dłużej zgłębia się człowieka, tym lepiej się poznaje, iż pycha jest jego dominującą namiętnością i że sili się on na wielkość w najbardziej nawet żałosnej nędzy. Będąc stworzeniem tak lichym i znikomym, zdołał przecież sobie wmówić, że jego śmierć nie może nie wstrząsnąć całą przyrodą i nie zmusić Niebios do specjalnych zachodów dla uświetnienia jego pogrzebu. Głupia i śmieszna to próżność. Gdybyśmy mieli właściwe pojęcie o wszechświecie, rychło zrozumielibyśmy, że śmierć lub narodzenie jakiegoś władcy to rzecz tak znikoma w odniesieniu do całej natury, iż nie ma powodu, by się nią w niebie wzruszano (przeł. J. Lalewicz, §83).

Zabobonność, idolatria: w oczach Bayle’a były to najgorsze cechy nierozumu. Protestantyzm pragnął chrześcijaństwo oczyścić z magii, z kultu obrazów, posągów i relikwii. Sama religia może bowiem rozbudzać w ludziach absurdalne wierzenia i uprzedzenia:

By powrócić do zabobonnego usposobienia, które Szatan znalazł w ludzkim umyśle – twierdzę, że ten wróg Boga i naszego zbawienia tak się przyłożył i tak dobrze wykorzystał okazję, że to, co jest na świecie najlepsze, a mianowicie religię, uczynił zbiorem niewiarygodnych dziwactw, niedorzeczności i niesłychanych zbrodni; a co gorsze, za pośrednictwem takich skłonności wciągnął ludzi w najśmieszniejsze i najbardziej odrażające bałwochwalstwo, jakie sobie można wyobrazić” (przeł. J. Lalewicz, §67)

Bayle mówił tu o religii pogańskiej, ale oczywiście chodziło mu o to, by nie sprowadzać wiary do uczestnictwa w obrządkach i nie urządzać procesji i modłów z okazji komety, praktykując jednocześnie najróżniejsze występki. „Wiara, iż religia, w której zostało się wychowanym, jest jak najlepsza oraz praktykowanie wszelkich występków przez nią zakazanych, są to rzeczy nadzwyczaj często idące w parze, tak wśród wielkiego świata, jak wśród ludu”.
Powiedział wreszcie Bayle, że można sobie wyobrazić społeczeństwo ateistów, które bynajmniej nie składałoby się z samych potworów, a nawet może byłoby lepsze od społeczeństwa chrześcijan. Ateizm w oczach Boga wcale nie jest gorszy od zabobonu. Wręcz przeciwnie, ateiści, którzy potrafili porzucić zabobony i idolatrię, mogą być ludźmi lepszymi niż pełen uprzedzeń tłum, dostrzegający w religii jedynie magię.

Poglądy Bayle’a raziły wielu, nie tylko katolików, ale także i protestantów. Gwałtownie polemizował z nim Pierre Jurieu, niecierpliwie wyglądający znaków upadku Antychrysta, tzn. papieża. Swoistą polemiką z Bayle’em była także Teodycea Gottfrieda Wilhelma Leibniza. Bayle twierdził bowiem, iż zło i grzech są dla nas niezrozumiałe, są tajemnicą, jeśli wierzymy we wszechmocnego i najlepszego Boga. Nie może bowiem być wyjaśnieniem zdanie, że Bóg dopuszcza grzech, aby z móc z niego potem z Jego pomocą wyjść.

Bóg byłby wówczas jak ojciec rodziny, który pozwala swym dzieciom połamać nogi tylko po to, aby przed całym miastem ukazać swą zręczność w nastawianiu kości; albo jak monarcha, który pozwalałby rozkwitać buntom i zamieszkom w swoim państwie, by zyskać chwałę tego, który je stłumił” (Dictionnaire, 1725, t. 3: N-Z, Pauliciens, przyp. g, s. 160).

Leibniz podjął się uzasadnienia, iż świat, jaki znamy, jest zarazem najlepszym z możliwych: gdyby zmienić w nim cokolwiek, byłby jeszcze gorszy – Bóg stosuje swego rodzaju zasadę najlepszych skutków, optymalizując bieg zdarzeń. Jeśli zdaje się nam, że nie żyjemy na najlepszym ze światów, to tylko z powodu ograniczonej perspektywy, gdybyśmy mogli widzieć całość, zrozumielibyśmy wielki boży zamysł.

Ciąg dalszy napisał Voltaire, zresztą wielki czytelnik Bayle’a:

Po trzęsieniu ziemi, które zniszczyło trzy czwarte Lizbony, mędrcy owej krainy nie znaleźli skuteczniejszego środka przeciw całkowitej ruinie, jak dać ludowi piękne autodafé. Uniwersytet w Coimbre orzekł, iż widowisko kilku osób spalonych uroczyście na wolnym ogniu jest niezawodnym sekretem przeciwko trzęsieniu ziemi.
W myśl tego zapatrywania pochwycono jakiegoś Biskajczyka, któremu dowiedziono, iż zaślubił swą kumę, oraz dwóch Portugalczyków, którzy, jedząc kuraka, oddzielili tłustość (…)
Kandyd, przerażony, oszołomiony, odurzony, cały zakrwawiony i drżący, powiadał sam do siebie: „Jeżeli to jest najlepszy z możliwych światów, jakież są inne? mniejsza jeszcze, gdyby mnie tylko oćwiczono, toż samo zdarzyło mi się u Bułgarów; ale, o drogi Panglossie! największy z filozofów, trzebaż, bym patrzał, jak dyndasz, nie wiadomo za co! o, drogi anabaptysto, najlepszy z ludzi, trzebaż było ci utonąć w porcie! o, panno Kunegundo! perło dziewic, trzebaż, aby ci rozpruto żołądek! (przeł. T. Boy-Żeleński)

 

Reklamy

Kometa 1680-1681: Flamsteed i Newton

W listopadzie 1680 roku ukazała się w gwiazdozbiorze Panny jasna kometa. Widoczna była przed wschodem słońca, nie wszędzie można ją było bez przeszkód obserwować, ponieważ w wielu miejscach Europy niebo było zachmurzone o tej porze roku. W połowie grudnia pojawiła się następna kometa, tym razem łatwiejsza do obserwacji, gdyż świeciła wieczorem po zachodzie słońca i obserwowano ją aż do wczesnej wiosny – stopniowo słabła i pod koniec można ją było dostrzec jedynie przez teleskop.

Przedstawienia toru komety 1680/1681 na niebie wg Gottfrieda Kircha

Zjawisko budziło powszechne zainteresowanie i choć coraz mniej było tych, którzy traktowali je jako znak od Boga, oznajmienie śmierci jakiegoś władcy bądź zapowiedź nadchodzących nieszczęść, to publiczna ciekawość chętnie znajdowała ujście w spekulacjach wiążących kometę z osobliwymi zjawiskami na Ziemi. Oto w Rzymie kura zniosła jajo noszące na skorupce wyraźny znak komety, co miało znaczenie tym większe, że stało się w pałacu panów Maximi. Jajo to widział Jego Świątobliwość Innocenty XI, a także królowa Krystyna Wazówna oraz wiele znakomitych osób oraz naturalistów. Pisał o jaju nawet paryski „Journal des Savants”.

Isaac Newton pędził w Cambridge życie samotnicze, pogrążony w rozważaniach, które akurat przyciągnęły jego uwagę, wiele czasu spędzając nad teologią, alchemią i dość szczególnie pojmowaną historią. Na początku roku 1680 korespondował z Robertem Hookiem na temat hipotetycznego ruchu ciała, które mogłoby spaść aż do środka Ziemi. Jak się zdaje, pod wpływem tej korespondencji sprawdził, że jeśli ciało porusza się po elipsie zgodnie z prawem pól Keplera, to siła wywołująca ów ruch jest przyciąganiem odwrotnie proporcjonalnym do kwadratu odległości. Hooke sugerował, że tak właśnie być powinno, ale nie potrafił tego matematycznie udowodnić. Newton nie napisał mu o tym dowodzie, w ogóle przestał do niego pisać. Jak się zdaje, traktował ten dowód jako ćwiczenie matematyczne bez większego znaczenia. Na pewno nie myślał jeszcze o ciążeniu powszechnym.
Przez cały rok 1680 nie działo się w jego życiu nic dostrzegalnego na zewnątrz. Do Hooke’a napisał w grudniu, ale w zupełnie innej sprawie: chodziło o przybysza z Italii, który chciał przedstawić Towarzystwu Królewskiemu lecznicze działanie kory pewnego peruwiańskiej rośliny, drzewa chinowego (zawierającego chininę, stosowaną jeszcze czasem przeciw malarii, a także do produkcji toniku). W grudniu napisał do Newtona John Flamsteed, królewski astronom z informacjami na temat komety. Flamsteed utrzymywał, że komety z listopada i z grudnia są tym samym ciałem niebieskim. Wyobrażał sobie, że kometa była najpierw przyciągana, a następnie odpychana magnetycznie od Słońca, jednocześnie biorąc udział w wirowym ruchu materii wokół Słońca. Wiry takie miały zdaniem Kartezjusza odpowiadać za uporządkowane ruchy planet. Komety natomiast miały być planetami, które wypadły ze swego wiru i dość bezładnie wędrują między różnymi wirami.

Kometa wg Kartezjusza

Kometa wg Flamsteeda (linia przerywana okrąg wielkości orbity Ziemi, wiadomo było, że kometa nie porusza się w płaszczyźnie ekliptyki)

Magnetyczne przyciąganie i odpychanie przez Słońce zaproponował kiedyś Johannes Kepler jako przyczynę zbliżania i oddalania planet od ciała centralnego. Dodatkowo działać miała na nie pewnego rodzaju siła obrotowa, rodzaj pola siłowego, species immateriata. Kartezjusz wprowadził w miejsce niematerialnego pola wiry cieczy, jak w wannie. W podejściu Flamsteeda najbardziej oryginalny był pomysł, by obie komety: poranną i wieczorną uważać za jedno ciało.
Newton zainteresował się kometą, zaczął ją nawet sam obserwować i robił to tak długo, jak była ona widoczna, korzystając pod koniec z coraz lepszych teleskopów. Uprzejmie wypowiedział się na temat przedstawionych mu rozważań. Po pierwsze sądził, że są to dwie komety. Uważał, że poruszają się one ruchem prostoliniowym albo bliskim prostoliniowemu, starał się nawet wyznaczyć ich tor w przestrzeni. Nie wierzył w żadne przyciąganie magnetyczne w tym przypadku, bo Słońce jest zbyt gorące na magnetyzm (wiedział, że magnesy w wysokiej temperaturze tracą swe własności magnetyczne). Ponadto nie rozumiał, w jaki sposób kometa miałaby być najpierw przyciągana, a potem odpychana. Gdyby była ona jak igła magnetyczna, to obracałaby się zawsze tak do Słońca, że siła byłaby przyciągająca. Mógł sobie wyobrazić jakąś siłę przyciągającą kometę ku Słońcu, ale wówczas powinna się ona poruszać raczej w taki sposób, zataczając wokół niego łuk.

Tor komety zaproponowany przez Newtona w dyskusji z Flamsteedem jako nieco bardziej prawdopodobny (1681 r.)

Ruch radialny (wzdłuż promienia) byłby wówczas opisany za pomocą dwóch sił: przyciągania oraz siły odśrodkowej. W perihelium siła odśrodkowa przeważa nad przyciąganiem i dlatego kometa zaczyna się oddalać od Słońca. Widzimy, że nie tylko nie myślał jeszcze o przyciąganiu komety przez Słońce, ale także opisywał ruch za pomocą siły odśrodkowej, tak jak kartezjaniści (choć w tym przypadku mogło mu też chodzić o to, by Flamsteed rozumiał o czym mowa – Newton miał swoje głębokie przemyślenia na temat mechaniki i był pod tym względem, by tak rzec, w innym punkcie niż jego współcześni). Flamsteed przysłał mu jeszcze proponowany przez siebie tor komety (na rysunku widzimy jego rzut na płaszczyznę orbity Ziemi, kometa poruszała się bowiem płaszczyźnie tworzącej z nią kąt 65º).

Tor komety wg Flamsteeda, z niepewnością w pobliżu Słońca (nie był on obliczony, lecz po prostu narysowany mniej więcej w zgodzie z obserwacjami).

Newton pozostał przy swoim zdaniu, że komety były dwie i poruszały się mniej więcej prostoliniowo, nieprawdopodobna mu się wydawała tak szybka i znaczna zmiana prędkości komety – na niemal przeciwną po minięciu Słońca. Zajął się innymi tematami, do sprawy komet wrócił cztery lata później, kiedy wpadł na pomysł ciążenia powszechnego. Wymyślił też wtedy metodę pozwalającą obliczyć paraboliczny tor komety z trzech obserwacji. Po zastosowaniu tej metody do komety z lat 1680/81 otrzymał następujący tor.

Komety miały stać się jednym z najlepszych przykładów działania siły powszechnego ciążenia. Okazało się, że podlegają ścisłemu matematycznemu prawu. Niemal automatycznie przestano je wiązać z cudami i astrologicznymi przepowiedniami. Nauka czasem wypiera zabobon.

Spadający deszcz i czarna dziura Schwarzschilda

Opiszemy za Thanu Padmanabhanem prosty, choć nie całkiem prawidłowy, sposób otrzymania metryki czarnej dziury Schwarzschilda. Fizycznie jest to zagadnienie pola grawitacyjnego wokół sferycznej masy M. Spróbujmy znaleźć metrykę daleko od naszego ciała, w odległości r od centrum. Wyobrażamy sobie infinitezymalne układy współrzędnych: jeden xy nieruchomy względem centrum, a drugi x_{in}y_{in} swobodnie spadający ku centrum z nieskończoności. Układ swobodnie spadający jest lokalnie inercjalny, więc metryka w nim ma szczególnie prostą postać metryki Minkowskiego (wszędzie c=1):

ds^2=dt_{in}^2-d\vec{r}_{in}\,^2.

Zakładamy teraz, że przejścia od układu spadającego do nieruchomego możemy dokonać za pomocą transformacji Galileusza, czyli tak, jakbyśmy nie uczyli się nigdy o Einsteinie:

\begin{cases}d\vec{r}_{in}=d\vec{r}-\vec{v}dT \\  dt_{in}=dT.\end{cases}

Wstawiając tę transformację do metryki swobodnej, otrzymujemy

ds^2=(1-v^2)dT^2 +2\vec{v}\cdot \vec{dr} dT -d\vec{r}\,^2.

Newtonowska prędkość ciała spadającego z nieskończoności jest równa prędkości ucieczki:

v=\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}.

Ostatecznie nasza metryka wygląda we współrzędnych radialnych następująco:

ds^2=\left(1-\dfrac{2GM}{r}\right)dT^2-2\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}dr dT-d\vec{r}\,^2.

Jest to metryka spadającego deszczu, w której czas jest czasem własnym spadających na centrum cząstek. Inaczej metryka Painlevé’go-Gullstranda. Nasza procedura nie jest prawidłowym wyprowadzeniem, ale nieco ułatwia wyobrażenie sobie, skąd takie wyrażenie może pochodzić. Ostateczną weryfikacją byłoby obliczenie dla tej metryki tensora Ricciego i wykazanie, że znika on dla wszystkich r>0.

Nietrudno pokazać, że spadanie z prędkością

\dfrac{dr}{dT}=-\sqrt{\dfrac{2GM}{r}},

jest ruchem geodezyjnym. Jeśli w metryce wydzielimy po prawej stronie dT^2, otrzymamy (dla ruchu radialnego d\vec{r}\,^2=dr^2):

ds^2=\left[1-\left(\dfrac{dr}{dT}+\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}\right)^2\right]dT\,^2\le dT\,^2.

Maksymalne ds otrzymamy więc, gdy znika nawias zwykły w ostatnim wyrażeniu i wtedy ds=dT. Pokazaliśmy już poprzednio, jak wyglądają stożki świetlne w tych współrzędnych, łatwo zauważyć istnienie horyzontu wokół centralnej osobliwości r=0. Można też przejść od naszych współrzędnych deszczu do zwykłej metryki Schwarzschilda (odwrotną drogę przebył Painlevé w 1921 r.). Należy w tym celu zmienić definicję czasu:

dT=dt+\dfrac{\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}}{1-\dfrac{2GM}{r}}dr.

Funkcję po prawej stronie można otrzymać, pisząc dT=dt+f(r)dr i tak dobierając funkcję f(r), żeby znikł wyraz niediagonalny z dr dt.

Paul Painlevé, Einstein i czarne dziury (1921-1922)

Dzieje rodziny Paula Painlevé’go mogłyby posłużyć jakiemuś nowemu Balzacowi: dawni winogrodnicy, bednarze i kamieniarze, w pokoleniu dziadków zajęli się drukarstwem i litografią, przyszły ojciec uczonego z drukarza-litografa przeobraził się w przedsiębiorcę, producenta farby drukarskiej. Paul uczył się w renomowanych liceach paryskich Saint-Louis i Louis-le-Grand, a studiował matematykę w prestiżowej École normale supérieure, będącej znakomitym wstępem zarówno do kariery naukowej, jak politycznej. (Jej absolwenci zdobyli trzynaście Nagród Nobla, dziesięć Medali Fieldsa i dwie Nagrody Abela). Painlevé uzupełniał wykształcenie matematyczne w Getyndze u Hermanna Schwarza i Feliksa Kleina. W roku 1900, będąc jeszcze przed czterdziestką został członkiem Akademii Nauk, co naszej rodaczce Marii Skłodowskiej-Curie nie udało się nigdy, pomimo dwóch Nagród Nobla. Francuskie elity naukowe były mocno konserwatywne i nie każdy mógł zostać do nich dopuszczony. Painlevé interesował się także lotnictwem: teoretycznie – obliczając siłę nośną oraz praktycznie – odbywając w roku 1908 z Wilburem Wrightem ponadgodzinny lot na wysokości 10 m, przebyli 55 km i szczęśliwie wylądowali, był to ówczesny rekord. Alma Mahler wspomina, że Painlevé należał do entuzjastów symfonii Gustava Mahlera i jeździł specjalnie w różne miejsca, aby ich wysłuchać. Razem z generałem Georges’em Picquartem grywali je podobno na fortepianie w aranżacjach na cztery ręce. Wyciągi fortepianowe dzieł symfonicznych czy oper były dość popularne w czasach, gdy muzyki można było słuchać jedynie na żywo, a fortepiany lub pianina stały w niemal każdym mieszczańskim domu. Z Picquartem łączyły Painlevé’go poglądy w sprawie Dreyfusa, to właśnie Picquart udowodnił, że nie Alfred Dreyfus, lecz Ferdinand Esterhazy był szpiegiem w armii francuskiej. Przez kraj przetoczyła się wcześniej zajadła kampania antysemicka, wysokie dowództwo armii nie chciało przyznać się do błędu i Dreyfus został zrehabilitowany przeszło dziesięć lat po degradacji i uwięzieniu na Diabelskiej Wyspie. W 1910 r. Painlevé został socjalistycznym deputowanym do parlamentu. Od tej pory zajmował się czynnie polityką, bywał ministrem, przewodniczącym Izby Deputowanych, a nawet premierem. W 1921 roku zaczął zabiegać o wizytę Einsteina w Paryżu, niewątpliwie pragnąc w ten sposób zbliżyć oba narody po krwawej wojnie. W następnym roku Einstein rzeczywiście przyjął zaproszenie i przyjechał, o czym pisałem.

Painlevé interesował się nie tylko aspektem politycznym, zajął się bliżej teorią względności, z czego wynikło kilka prac oraz ożywione dyskusje z Einsteinem w Paryżu. Matematyk odkrył nowy sposób opisu pola grawitacyjnego wokół masy punktowej, z czego wyciągnął dość radykalne wnioski, osłabiające w jego mniemaniu, teorię względności. Einstein, nie zgadzając się z tymi wnioskami, nie potrafił wtedy udzielić bardziej konkretnej odpowiedzi. Dyskusje te miały także pewne praktyczne następstwa. Otóż szwedzki okulista, ale i matematyk, Allvar Gullstrand także odkrył ową metrykę Gullstranda-Painlevé’go, jak to się dziś nazywa. I uznał, podobnie, jak Painlevé, że teoria względności nie daje jednoznacznych przewidywań. Oznaczałoby to, że światowa sensacja wokół teorii względności po odkryciu ugięcia światła gwiazd w pobliżu tarczy słonecznej była mocno na wyrost. Gullstrand opiniował prace Einsteina dla Komitetu Noblowskiego i w roku 1921 nagrody nie przyznano. Einstein był najpoważniejszym kandydatem, ale Gullstrand podważał wartość jego prac. W końcu Nagrodę przyznano Einsteinowi dopiero w roku 1922 (za poprzedni rok), a więc po długim bardzo namyśle. W dodatku uznano, że bezpieczniej będzie zostawić na boku kwestię teorii względności, toteż przyznano Nagrodę za wyjaśnienie zjawiska fotoelektrycznego – w tym przypadku nie było wątpliwości, że przewidywania Einsteina zostały wyraźnie potwierdzone eksperymentalnie. Painlevé wyrażał swą krytykę o tyle bardziej dyplomatycznie, że uznawał zarazem wartość poznawczą podejścia Einsteina i zestawiał go z Lagrange’em. Obaj jednak, zarówno Francuz, jak Szwed, mieli spore zastrzeżenia.

Opiszę, na czym polegały zastrzeżenia Painlevé’go i co odpowiadał mu Einstein (na ile to dziś wiadomo). W drugiej części opiszę metrykę Gullstranda-Painlevé’go i jej konsekwencje: czarną dziurę. Uczeni pomiędzy rokiem 1915 a latami pięćdziesiątymi XX stulecia wiele razy natykali się na zagadnienie czarnych dziur i na rozmaite sposoby cofali się przed ich uznaniem, błędnie interpretując swoje równania. Pokazuje to, że interpretacja formalizmu matematycznego była tu niesłychanie trudnym problemem, znacznie poważniejszym niż formalne przekształcenia, które w różnych wersjach wykonywało wielu uczonych.

Ogólna teoria względności ma tę własność, że możemy używać w zasadzie niemal dowolnych czterech współrzędnych dla opisania miejsca i czasu. Same współrzędne nie muszą nic oznaczać z fizycznego punktu widzenia, tę samą sytuację można więc opisywać na różne sposoby. Często nie widać, że owe różne opisy dotyczą w istocie tej samej sytuacji. Tak było w przypadku metryki Gullstranda-Painlevé’go.

Czasoprzestrzeń wokół punktowej masy m w teorii Einsteina opisana jest metryką Schwarzschilda:

ds^2=\left(1-\dfrac{r_S}{r}\right)dt^2-\dfrac{dr^2}{1-\dfrac{r_S}{r}}-r^2 d\varphi^2.

Stała r_S jest promieniem Schwarzschilda (dziś: promieniem horyzontu czarnej dziury). Painlevé i niezależnie od niego Gullstrand odkryli, że można tę samą sytuację opisać także za pomocą innej metryki:

ds^2=\left(1-\dfrac{r_S}{r}\right)dt^2+2\sqrt{\dfrac{r_S}{r}}dr dt-dr^2-r^2 d\varphi^2.

W obu przypadkach zapisałem metrykę tylko w płaszczyźnie równikowej, żeby mniej pisać (mamy wtedy jedynie zmienne t, r,\varphi). Painlevé podał także inne możliwe postaci owej metryki, sugerując, że dowodzi to, iż teoria Einsteina jest w istocie pusta, można bowiem wyciągnąć z niej rozmaite wnioski dla tej samej sytuacji fizycznej. Np. w pierwszej metryce przestrzeń trójwymiarowa nie jest euklidesowa, a w drugiej jest. Ergo wnioski Einsteina dotyczące światła w polu grawitacyjnym Słońca oraz ruchu Merkurego są nieuzasadnione. Podobnie rozumował Gullstrand, słuchany uważnie przez Komitet Noblowski.

Painlevé uznał, że wyciąganie z postaci metryki wniosków fizycznych to „czysta fikcja”. Zakomunikował to na posiedzeniu paryskiej Akademii Nauk i uprzejmie doniósł o tym listownie Einsteinowi. Na co Einstein, członek berlińskiej Akademii Nauk, równie uprzejmie oznajmił, że „metryczna interpretacja ds^2 nie jest żadną «pure imagination», lecz samym sednem teorii (der innerste Kern)” [Einstein Papers, t. 12, s. 369]. Podkreślał też, że same współrzędne nie znaczą nic, trzeba z nich dopiero wyciągnąć wnioski fizyczne nt. czasu i odległości.

Pewne zbliżenie stanowisk nastąpiło podczas dyskusji w Paryżu, choć Painlevé pisał już mniej bojowo, wkrótce zresztą wrócił do polityki. Paul Langevin podsumował to, mówiąc, że byłoby lepiej, gdyby Painlevé przeczytał o teorii względności, zanim wystąpił ze swą krytyką, a nie dopiero później. Tak to w akademiach bywa: ludzie dostają się do nich dzięki dawnym osiągnięciom, a nie stanowi to żadnej gwarancji, że dobrze rozumieją nowości naukowe. W dodatku akademie (przynajmniej wtedy) drukowały wszystko, co ich członkowie uznali za ciekawe. Dyskusja w paryskiej Akademii Nauk na temat teorii względności w latach 1921-1922 nie stała na zbyt wysokim poziomie. Akademicy byli na ogół niechętni Einsteinowi. Na propozycję, aby go przyjąć na członka-korespondenta, jeden z szacownych uczonych zareagował stwierdzeniem, że trudno wyróżniać w ten sposób człowieka, który „zniszczył mechanikę”.

Podczas wizyty Einsteina matematyk Jacques Hadamard zapytał o kwestię osobliwości metryki Schwarzschilda dla r=r_S. Niemiecki uczony przekonywał, a nawet poparł pewnymi rachunkami, które przeprowadził z dnia na dzień, że taka „katastrofa Hadamarda” nie może się zdarzyć w rzeczywistości, ponieważ zanim skoncentruje się materię pod promieniem Schwarzschilda, to wcześniej ciśnienie wewnątrz takiej gwiazdy stanie się nieskończone. Nie miał w tej kwestii racji, ale także później starał się dowodzić, że czarne dziury są niemożliwe. Einstein martwił się o spójność własnej teorii, ale wyrażał też dość powszechne stanowisko, Arthur Eddington, największy specjalista od budowy wnętrza gwiazd, twierdził, że z pewnością musi istnieć prawo fizyczne zabraniające takiego upakowania materii.

Jak można spojrzeć na tę dyskusję z perspektywy czasu, mając po swej stronie „łaskę późnego urodzenia”? Na wątpliwości Hadamarda (jak najbardziej uzasadnione) odpowiada metryka Painlevé’ego. Wystarczy spojrzeć, że nic się tam nie dzieje przy r=r_S (także jej wyznacznik jest różny od zera). Zatem w innych współrzędnych osobliwości tu nie ma i Einstein nie musiał się męczyć żadnymi rachunkami. Katastrofa Hadamarda jest osobliwością konkretnych współrzędnych Schwarzschilda, to coś w rodzaju „osobliwości” współrzędnych geograficznych na biegunie ziemskim, gdzie zbiegają się wszystkie południki. Wiemy jednak, że nic się tam złego nie dzieje z Ziemią.

W dodatku metryka Painlevé’go ze znakiem minus przed pierwiastkiem też stanowi rozwiązanie równań Einsteina. Nietrudno zobaczyć, co wtedy otrzymamy dla światła, tzn. gdy ds^2=0. Załóżmy dodatkowo, że promień świetlny biegnie radialnie, tzn. d\varphi=0. Dostajemy

0=\left(1-\dfrac{r_S}{r}\right)dt^2 -2\sqrt{\dfrac{r_S}{r}} dr dt-dr^2.

Dzieląc obie strony przez dt^2, dostajemy równanie kwadratowe dla prędkości radialnej. Jego rozwiązania dane są wyrażeniem:

\dfrac{dr}{dt}=\pm 1 -\sqrt{\dfrac{r_s}{r}}.

Równanie to opisuje dwa skrajne promienie świetlne: spadający na centrum i oddalający się od centrum. Gdy r>r_S jeden z nich zbliża się do centrum, drugi oddala. Kiedy jednak przekroczymy punkt „katastrofy Hadamarda” i r<r_S oba promienie zbliżają się ku centrum. Znaczy to, że nawet promień świetlny nie może się wydostać poza obszar r<r_S, czyli spod horyzontu czarnej dziury.

Przejście do współrzędnych Painlevé’go nie zmienia współrzędnej r, lecz jedynie czas. Jest on teraz mierzony jako czas własny cząstek spadających z nieskończoności na centrum. Są to współrzędne padającego deszczu, jak nazywają to Edwin F. Taylor i John Archibald Wheeler (*) w swej książce Exploring Black Holes.

 

 

(Na rysunku odległości i czasy wyskalowane są w promieniach Schwarzschilda)

Gdy cząstka mija horyzont, jej stożek przyszłości zaczyna być zwrócony ku wnętrzu, a to znaczy, że niebawem spadnie na centralną osobliwość. Drugi znak we współrzędnych Painlevé’go odpowiadałby wznoszeniu się z centrum do nieskończoności. Prawa grawitacji nie mówią nic na temat kierunku czasu: zawsze możliwy jest ruch przeciwny. Jak się zdaje, tylko współrzędne związane ze spadaniem mają jakiś sens fizyczny. W 1922 r. nie miał o tym wszystkim pojęcia ani Paul Painlevé, ani Albert Einstein.

(*) John Wheeler był autorem określenia „czarna dziura”.

Temperatura Hawkinga dla Oli

Ola jest biologiem, lecz ponieważ dużo się teraz wszędzie pisze o osiągnięciach Stephena Hawkinga, chciałaby się dowiedzieć, co to takiego promieniowanie Hawkinga. Praca Hawkinga miała takie wielkie znaczenie, ponieważ połączyła obszar klasyczny i kwantowy: teorię grawitacji Einsteina z kwantową teorią pola. Nikomu nie udało się uzyskać pełnej teorii łączącej obie dziedziny, fizyka podstawowa pozostaje rozdwojona, mimo pracy najlepszych uczonych przez ostatnie pół wieku.

Krótko w punktach:

  • Teorie fundamentalne w fizyce wiążą się z konkretnymi stałymi. Szczególna teoria względności wprowadziła prędkość światła jako przelicznik czasu na przestrzeń, jej wyrażenia zawierają więc c. Ogólna teoria względności Einsteina (teoria grawitacji) zawiera jeszcze stałą grawitacji G (tę z prawa powszechnego ciążenia). Z kolei mechanika kwantowa używa stałej Plancka h, jej relatywistyczna wersja, kwantowa teoria pola, używa zarówno h, jak i c. Formalnie można uznać, że zadanie stojące przed fizykami to zbudowanie teorii, która będzie korzystać ze wszystkich wymienionych stałych. Pojawiają się one w wyrażeniu na temperaturę Hawkinga, m.in. dlatego było to ważne osiągnięcie teoretyczne (1974 r.)

 

  • Grawitacja jest siłą przyciągającą: im mniejsze są rozmiary ciała, tym silniej działa (mówimy o ciałach niebieskich utrzymujących się w całości dzięki własnej grawitacji). Teoria grawitacji Einsteina przewiduje, że jeśli masę M uda się zmieścić w obszarze o promieniu mniejszym niż

R=\dfrac{2GM}{c^2},

gdzie G jest stałą grawitacyjną, a c prędkością światła, powstanie czarna dziura, czyli obiekt zbudowany z samej czasoprzestrzeni, otoczony horyzontem zdarzeń: wszystkie linie świata mogą tylko wchodzić do wnętrza, nic nie może z tego obszaru uciec. Promień ten dla Słońca równy jest 3 km, czyli gdyby całą materię Słońca zmieścić w takim małym obszarze, stałoby się ono czarną dziurą. Słońcu to nie grozi, ale masywnym gwiazdom owszem.

Diagram czasoprzestrzenny kolapsu (zapadania) grawitacyjnego (ze strony Johna Nortona, znakomitego źródła popularnej informacji)

  • Osiągnięciem Stephena Hawkinga było pokazanie, że czarne dziury nie są takie czarne – „ain’t so black” – jak to ujął sam odkrywca. Efekt jest czysto kwantowy i związany z tym, że próżnia kwantowa jest bardzo ożywiona i dynamiczna. Tworzą się w niej np. wirtualne pary elektron-pozyton. Jeśli dzieje się to w pobliżu horyzontu zdarzeń, jedna z cząstek może wpaść do dziury, a druga uciec na zewnątrz. Czarna dziura powinna promieniować. Skądinąd wiadomo, że czarną dziurę w pełni można scharakteryzować, podając jej masę, moment pędu i ładunek. Dla nieobracającej się czarnej dziury o zerowym ładunku zostaje tylko jeden parametr: masa. Jeśli czarna dziura ma promieniować, to charakterystyczna długość fali promieniowania powinna być związana z promieniem, bo nie ma innych parametrów o wymiarze długości:

\lambda\sim R=\dfrac{2GM}{c^2}.

Znaczek \sim znaczy tu dla nas: z dokładnością do czynników czysto liczbowych w rodzaju 4\pi itp. Fotony o długości fali \lambda mają energię

E=\dfrac{hc}{\lambda}.

Jest to wzór Plancka-Einsteina: stała h to stała Plancka, jej pojawienie się świadczy zawsze o tym, że mamy do czynienia z fizyką kwantową. Pozostaje przeliczyć typową energię na temperaturę. Związek między nimi daje stała Boltzmanna k_B:

E \sim k_B T.

Łącząc te wyrażenia, dostajemy następujący wzór na temperaturę promieniowania czarnej dziury:

T\sim \dfrac{hc^3}{k_{B}GM}.

Dokładne wyrażenie zawiera jeszcze czynnik 4\pi^2 w mianowniku. Istotne jest, że dziura powinna promieniować, i to jak ciało o temperaturze danej powyższym wyrażeniem. Dla mas spotykanych w astrofizyce promieniowanie to ma skrajnie niską temperaturę i nie ma mowy o jego wykryciu. Taka jest zapewne główna przyczyna, dla której Stephen Hawking nie otrzymał Nagrody Nobla. Fizycy wierzą w samo zjawisko, ale nikt go nie zaobserwował. Wypromieniowywanie energii zmniejsza masę czarnej dziury (E=mc^2!), a więc z czasem każda czarna dziura powinna wyparować. Ponieważ promieniowanie jest tak słabe, więc czas potrzebny do wyparowania jest gigantyczny w porównaniu z wiekiem wszechświata.

  • Skoro czarne dziury mają temperaturę to powinny też mieć entropię (pierwszy mówił o tym Jacob Bekenstein, potem obliczył ją Hawking).

dS=\dfrac{dMc^2}{T}\sim \dfrac{c^3}{G\hbar}RdR,

całkując dostaniemy wyrażenie na entropię:

\dfrac{S}{k_B}\sim \dfrac{A}{l_{P}^2}.

W ostatnim wyrażeniu A jest polem powierzchni horyzontu zdarzeń, a l_{P} to długość Plancka:

l_{P}=\sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^3}}=1,6\cdot 10^{-35}\mbox{ m}.

Znaczy to, że czarna dziura ma jakieś mikrostany kwantowe: ich liczbę opisuje właśnie entropia. Czarne dziury nie są zatem, jak chciałby Einstein (a ściśle mówiąc, jego teoria) prostymi, niezłożonymi strukturami czasoprzestrzennymi, gdyż  mają mnóstwo stanów. Długość Plancka jest kilkadziesiąt rzędów wielkości poniżej skali dostępnej eksperymentom. Entropia wiąże się z informacją, można to symbolicznie pokazać na rysunku:

 

Źródło obrazka

Wygląda tak, jakby na powierzchni czarnej dziury mieściła się informacja o jej mikrostanach. Wynik ten jest dziwny, gdyż zazwyczaj entropia jest proporcjonalna do objętości ciała: entropia dwóch kawałków czegokolwiek jest równa sumie entropii każdego kawałka z osobna. A tu mamy proporcjonalność do pola powierzchni. Czasem w związku z tym mówi się o holografii: tutaj powierzchnia koduje stan układu czasoprzestrzennego, trochę tak, jak hologram dwuwymiarowy może zamknąć informację o przedmiocie w przestrzeni.

Od jakiegoś momentu zacząłem pisać \hbar\equiv h/2\pi, co nie ma znaczenia dla naszych oszacowań.

 

Proxima Centauri

Wszechświat jest niemal pusty: ogromne, niewyobrażalnie rozległe przestrzenie, oddzielają planety od siebie i Słońca, a jeszcze większe odległości dzielą Słońce od innych gwiazd. Światło ze Słońca na Ziemię podróżuje niecałe dziewięć minut, do najbliższej gwiazdy natomiast ponad cztery lata. Gwiazda ta, zwana stosownie Proxima Centauri, jest najmniejszym składnikiem układu potrójnego: dwie gwiazdy mniej więcej podobne do Słońca krążą dość blisko siebie, a w sporej od nich odległości krąży Proxima, czerwony karzeł o masie dziesięć razy mniejszej od Słońca. Całość widoczna jest gołym okiem na niebie południowym jako α Centauri, trzecia spośród najjaśniejszych gwiazd, za Syriuszem i Canopus. W roku 2016 odkryto, że Proxima ma planetę skalistą podobną do Ziemi, lecz znajdującą się bardzo blisko gwiazdy i przez to narażoną na wpływ cząstek wyrzucanych z jej powierzchni. Temperatura owej planety wynikająca z wielkości energii dostarczanej przez gwiazdę to jakieś -40ºC, jednak obecność atmosfery mogłaby podnieść temperaturę dzięki efektowi cieplarnianemu. W sumie więc, mimo że chodzi o nasze najbliższe sąsiedztwo, wiadomo niezbyt wiele. Istnieje projekt, Breakthrough Starshots, którego intencją jest wysłanie grupy miniaturowych bezzałogowych statków kosmicznych do układu α Centauri. Miałyby one osiągnąć prędkość 0,2c dzięki wykorzystaniu ciśnienia promieniowania. Z jednej strony jest to prędkość ogromna, tysiące razy większa niż do tej pory uzyskiwane. Z drugiej zaś, jest to niezbyt wiele, jak na potrzeby lotów międzygwiezdnych: całość misji będzie trwać i trwać przez wiele lat, a potem będzie trzeba latami oczekiwać na informacje.
Przyjrzyjmy się możliwościom między gwiezdnej podróży z punktu widzenia praw fizyki, nie przejmując się, jak można by praktycznie uzyskać prędkości podświetlne. Najszybsza teoretycznie podróż możliwa z ziemską załogą polegałaby na poruszaniu się ze stałym przyspieszeniem. Załoga odczuwałaby wtedy to przyspieszenie jako ciążenie. Z przyczyn fizjologicznych powinno ono być równe przyspieszeniu ziemskiemu g. Wyobraźmy więc sobie rakietę, która porusza się ze stałym przyspieszeniem. Według fizyki galileuszowej przebyta droga s byłaby równa

s=\dfrac{1}{2}gt^2,

gdzie t jest czasem podróży. Moglibyśmy przez połowę czasu przyspieszać, a przez drugą połowę czasu zwalniać. Wtedy t byłoby połową czasu podróży, a s – połową odległości. Gdy wyrazimy przyspieszenie ziemskie w wygodnych w tym zagadnieniu jednostkach, otrzymamy g\approx 1 (rok świetlny)/(rok)2. A więc w ciągu roku uzyskalibyśmy prędkość równą 1, czyli prędkość światła (=rok świetlny/rok). Fizyka galileuszowa nie nadaje się do tego zagadnienia, należy użyć teorii względności.
Stałe przyspieszenie w teorii względności oznacza, że nie prędkość v, lecz parametr prędkości \varphi jest proporcjonalny do czasu mierzonego w rakiecie \tau:

 \varphi=g\tau,

gdzie v= \mbox{tgh }\varphi. (spotkaliśmy go już wcześniej). Parametr \varphi przy małych prędkościach jest równy prędkości (w jednostkach c).

Ma on też bardzo ważną własność: w teorii względności to parametry prędkości się dodają, a nie prędkości jak u Galileusza. Można łatwo obliczyć, że czas mierzony przez obserwatora na Ziemi t oraz położenie rakiety x będą miały następującą postać:

\begin{cases}t=\dfrac{1}{g}\sinh g\tau\\ \\ x=\dfrac{1}{g}\cosh g\tau.\end{cases}

Położenie i czas początkowy wybrane zostały tak, żeby ładniej wyglądały na wykresie poniżej (jednostkami są lata i lata świetlne, przyspieszenie jest równe przyspieszeniu ziemskiemu).

Widzimy, że otrzymaliśmy hiperbolę, która w miarę upływu czasu zbliża się asymptotycznie do linii prostej. Fizycznie oznacza to, że prędkość rakiety zbliża się do prędkości światła. Jest to odpowiednik ruchu jednostajnie przyspieszonego w teorii względności. Dla małych czasów zależność jest kwadratowa: startujemy z wierzchołka hiperboli, a każdy wierzchołek regularnej krzywej ma kształt paraboli w przybliżeniu. Możemy zresztą sprawdzić, że krzywa jest hiperbolą, spełnia bowiem warunek:

x^2-t^2=\dfrac{1}{g^2}=\mbox{const}.

Znów można złożyć podróż z dwóch faz: przyspieszania i hamowania i będą one symetryczne. Czas obserwowany na Ziemi będzie zawsze mniejszy niż zasięg lotu, bo lot odbywa się z prędkością mniejszą niż prędkość światła. Przy długich czasach obie te wielkości będą się przybliżać do siebie. Zupełnie inaczej jednak zachowuje się czas mierzony w rakiecie: jest to parametr \tau. Przy krótkiej podróży oba czasy różnią się niewiele, przy długiej różnice stają się ogromne. Jest to nieco inny przypadek paradoksu bliźniąt.

(Czas na wykresach mierzony jest w latach, g=1 w naszych jednostkach)

Wynika z tego, że w czasie swego życia astronauci mogą zalecieć bardzo daleko (jeśli tylko technika na to pozwoli). Wystąpi jednak efekt podróży w czasie w przód: zanim wrócą, na Ziemi minie bardzo wiele lat i albo już zapanuje raj, albo zupełnie nie będzie do czego wracać.

Obliczenia.

Odstęp czasu własnego d\tau i czasu ziemskiego związane są równaniem:

d\tau^2=dt^2-dx^2=dt^2-v^2 dt^2=dt^2 (1-v^2)=\dfrac{dt^2}{\cosh^2 \varphi}.

Obliczając stąd dt, otrzymujemy

dt=\cosh \varphi d\tau.

Obliczmy jeszcze pochodną

\dfrac{dx}{d\tau}=\dfrac{dx}{dt}\dfrac{dt}{d\tau}=\mbox{ tgh }\varphi \cosh\varphi=\sinh\varphi.

Wstawiając \varphi=g\tau i całkując (sinus i cosinus zamieniają się przy tym miejscami), otrzymujemy wzory w tekście. Jest to przykład, że funkcje hiperboliczne mogą być całkiem przydatne, jeśli uczyliśmy się kiedyś zwykłej trygonometrii.

 

Johann Heinrich Lambert i Immanuel Kant: astronomia gwiazdowa po kolacji (1749, 1755)

Niegdyś młodzi uczeni zaczynali często życie zawodowe jako guwernerzy w bogatych domach. Tak było w przypadku Lamberta – syna krawca, zamieszkałego w Szwajcarii hugonockiego emigranta z Francji, i Kanta – syna siodlarza z Królewca. Obaj z czasem wyzwolili się z prostego nauczycielstwa i doszli do znacznej pozycji naukowej. Lambert został członkiem Pruskiej Akademii Nauk i wybitnym matematykiem. Kant, po wielu latach spędzonych na nauczaniu studentów, wyrósł na najważniejszego filozofa epoki, stając się nie tylko najsławniejszym profesorem w Królewcu, ale i w Niemczech, a z czasem w całej Europie.
Obaj wnieśli pewien wkład do poznania budowy Galaktyki. W tamtych czasach, pozbawionych silnych źródeł światła, wszyscy znali widok nocnego nieba. Wywierał on głębokie wrażenie na naturach skłonnych do kontemplacji. Z górą sześćdziesięcioletni Kant wciąż czerpał z tego widoku natchnienie do pracy: „Dwie rzeczy napełniają umysł coraz to nowym i rosnącym podziwem i pełnym pokory szacunkiem, im częściej i trwalej zastanawiamy się nad nimi: Gwiazdami okryte niebo nade mną i prawo moralne we mnie.” (przeł. K. Kierski). Dodawał jednak Kant w dalszym ciągu wywodu:

Atoli podziw i szacunek mogą wprawdzie pobudzić do badania, ale nie mogą zastąpić jego braku. (…) Zastanawianie się nad światem zaczęło się od najwspanialszego widoku, jaki tylko ludzkie zmysły przedstawić mogą i jaki tylko rozsądek nasz znieść może, by śledzić go w jego dalekim zakresie, a zakończyło się – astrologią. Etyka rozpoczęła od najszlachetniejszej własności ludzkiej natury, której rozwój i kultura niezmierną korzyść obiecuje, a zakończyła – fantastycznością albo zabobonem. (…) Kiedy zaś, chociaż późno, weszła w życie maksyma, aby poprzednio dobrze rozważyć wszystkie kroki, które rozum zamierza uczynić, i nie pozwolić mu postępować inaczej, jak torem przedtem dobrze obmyślanej metody, wówczas sąd o budowie świata uzyskał zupełnie inny kierunek, a z nim zarazem bez porównania pomyślniejszy wynik. Rozłożenie spadania kamienia, ruchu procy na ich pierwiastki i ujawniające się przy tym siły, tudzież matematyczne ich opracowanie, spowodowało w końcu to jasne i po wszystkie czasy niezmienne poznanie budowy świata, które przy postępującej obserwacji może spodziewać się zawsze tylko swego rozszerzenia, nigdy zaś nie potrzebuje obawiać się, że będzie musiało się cofać.

Krytyka praktycznego rozumu, z której Zakończenia pochodzą powyższe słowa, prowadzić miała do ustanowienia nauki o moralności godnej istot rozumnych. Moralność ta powinna stosować się wszędzie tam, gdzie występują takie stworzenia, Kant wierzył, że wszechświat, a nawet nasz Układ Słoneczny, pełen jest zamieszkałych planet. Wyobrażał sobie, że im dalej od Słońca, tym lotniejsze i z subtelniejszej materii zbudowane są owe istoty. Co do rasy ludzkiej nie miał wielkich złudzeń, oprócz tego jednego, że można ją nieco poprawić dzięki rozumnemu postępowaniu nauczycieli. Po dwóch wiekach możemy stwierdzić, że nawet to chyba jest niemożliwe. Nauka Kanta stosuje się jedynie do rozumnych kosmitów, jeśli gdzieś tacy istnieją.

Zostawmy więc z boku wiarę filozofa w ludzką moralność jako źródło ładu i zajmijmy się astronomią gwiazd, gdzie postęp jest niewątpliwy.

Od czasu Kopernika gwiazdy przestały jawić się jako światełka na dwuwymiarowej sferze. Przestrzeń kosmiczna zyskała trzeci wymiar. Bardzo prawdopodobne było, że odległości do gwiazd są rozmaite i otacza nas bezmiar, o jakim nie śniło się filozofom (tych, którym się to śniło, palono na wszelki wypadek na stosie). Przeżycie nowego spojrzenia na znany od dawna widok nieba było także udziałem Genezypa Kapena:

Szedł potykając się, zapatrzony w niebo, na którym odprawiało się codzienne (nie każdodzienne oczywiście) misterium gwiaździstej nocy. Astronomia taka, jaką nauczył się ją pojmować w szkole, nie przedstawiała dla niego wielkiego uroku. Horyzont i azymut, kąty i deklinacje, skomplikowane wyliczenia, precesje i nutacje nudziły go okropnie. Krótki zarys astrofizyki i kosmogonii, zagubiony w nawale innych przedmiotów, był jedyną sferą, wzbudzającą lekki niepokój, graniczący z bardzo pierwotnym wzburzeniem metafizycznym. Ale „niepokój astronomiczny”, tak bliski niekiedy wyższym stanom, wiodącym do filozoficznych rozmyślań, codzienny dzień usuwa w dzisiejszych czasach szybko, jako niepotrzebny nikomu zbytek. Idąc teraz, Genezyp miał wrażenie, że patrzy w nocne niebo po raz pierwszy w życiu. Dotąd było ono dlań, mimo wszelkich wiadomości, dwuwymiarową płaszczyzną, pokrytą mniej lub więcej świecącymi punktami. Mimo poznania teorii, uczuciowo nie wychodził nigdy poza tę prymitywną koncepcję. Teraz przestrzeń dostała nagle trzeciego wymiaru, ukazując różnice odległości i nieskończone perspektywy. Myśl rzucona z szaloną siłą okrążyła dalekie światy, starając się przeniknąć ich sens ostateczny. Wiadomości nabyte, leżące w pamięci jak bezwładna masa, zaczęły teraz wydobywać się na wierzch i grupować koło pytań postawionych w nowej formie, nie jako zagadnienia umysłu, ale jako krzyk przerażenia wszechtajemnicą, zawartą w nieskończoności czasu i przestrzeni i w tym pozornie prostym fakcie, że wszystko było właśnie takim, a nie innym.
(…)
Genezyp patrząc w gwiazdy doznawał zawrotu głowy. Góra i dół przestały istnieć — wisiał w straszliwej przepaści, amorficznej, bezjakościowej. Uświadomił sobie na chwilę aktualną nieskończoność przestrzeni: wszystko to istniało i trwało w tej właśnie sekundzie, którą przeżywał. Wieczność wydała mu się niczym wobec potworności istniejącej w nieskończonostce czasu całej nieskończonej przestrzeni i istniejących w niej światów. Jak tu pojąć tę rzecz? Coś niewyobrażalnego, co narzuca się z absolutną ontologiczną koniecznością. Ta sama tajemnica ukazała mu znowu swą twarz zamaskowaną, ale inaczej. [S.I. Witkiewicz, Nienasycenie, s. 22-23].

Dwudziestojednoletni Lambert od dzieciństwa lubił wieczorem przesiadywać przy oknie otwartym na rozgwieżdżone niebo. Widział w nim świątynię Boga, po której rozświetlonym wnętrzu może błądzić wzrokiem. Nie poprzestał na zachwycie. Zwrócił uwagę na gwiazdy widoczne na tle pasa Drogi Mlecznej. Najwyraźniej są one bliżej Słońca niż te, których światło zlewa się w naszych oczach w mglistą poświatę owego pasa. Znaczy to, że układ gwiazd jest płaskim dyskiem, wewnątrz którego się znajdujemy. Był, wedle jego własnych słów, rok 1749.

Kilka lat później, w roku 1755, Immanuel Kant, starający się o posadę na uniwersytecie, ogłosił książkę zatytułowaną ambitnie: Powszechna historia naturalna i teoria nieba i zadedykowaną królowi Fryderykowi II. Podtytuł dzieła wyjaśniał, że oparte jest ono na „prawach Newtona”. Nie wiemy, czy dziełko to dotarło do króla, niebawem drukarz zbankrutował i książka nigdy nie stała się znana. Zaczęto o niej mówić dopiero kilkadziesiąt lat później, gdy Kant zdobył sławę jako filozof i wszelkie jego pisma zaczęły zwracać uwagę.

Punktem wyjścia Kanta była myśl wyczytana w gazecie: chodziło o recenzję dzieła Thomasa Wrighta. Kant uznał, że system gwiezdny, w którym znajduje się Słońce musi być płaski i że gwiazdy poruszają się, podobnie do planet, po orbitach wokół jednego lub większej liczby centrów. Ponieważ wyczytał (u Derhama), że obserwuje się mgławice o kształcie eliptycznym, uznał, iż są to inne systemy gwiezdne widziane z ukosa: dysk wyglądać powinien wówczas jak elipsa. Słyszał też o wykryciu ruchu niektórych gwiazd: porównując dawne i nowe obserwacje astronomowie wykryli zmiany położenia kilku jasnych gwiazd.

Reszta u Kanta jest czystą spekulacją. Stara się on wykazać, że prawa mechaniki muszą prowadzić do takiego właśnie świata, jaki widzimy. W ten sposób z pierwotnego chaosu wyłonić się miał kosmos, czyli porządek. Krążenie ciał zapewnić miała druga, obok ciążenia, siła działająca we wszechświecie, a mianowicie odpychanie. Newton nie mówi wiele o siłach odpychających, choć uznawał, że działają one między cząsteczkami gazów – dzięki temu gazy rozprężają się, wypełniając całą dostępną objętość. Odpychająca siła Kanta nie jest jednak tym samym co u Newtona. Jego fizyka jest bliższa poglądom Leibniza: ruch po okręgu jest w niej stanem równowagi między siłą grawitacyjną i odśrodkową (podobnie widzą to czasem dzisiejsi studenci, co jednak nie znaczy, że studiowali Leibniza). W istocie chodzi tu nie tyle o siłę odpychającą, co o moment pędu, czyli ilość ruchu obrotowego, która musi być zachowana.

Spekulacje Kanta dość przypadkowo najbliższe były rzeczywistości i jego teoria nazwana została teorią wszechświatów wyspowych (czyli galaktyk poprzedzielanych pustą przestrzenią). Był to zbieg okoliczności: filozof z Królewca powoływał się np. na dane Williama Derhama nt. mgławic. Spośród 21 wymienionych przez niego mgławic, pięć miało być eliptycznych (naprawdę tylko jedna z nich ma kształt eliptyczny). Kant niezbyt troszczył się o fakty obserwacyjne, były one dla niego raczej punktem wyjścia do rozważań spekulatywnych.

W XVIII wieku zawodowi astronomowie nie zajmowali się ruchem gwiazd, wiedziano tylko o nieznacznych przesunięciach paru gwiazd, nie znano ich odległości, niewiele można było w tej sytuacji zrobić. Jednak Newtonowskie prawo ciążenia pozwalało na pewne wnioski. Siła przyciągająca działa między dowolnymi rodzajami materii i maleje jak odwrotność kwadratu odległości, a więc nigdy nie staje się równa zeru. Oznacza to, że niemożliwy jest wszechświat statyczny. Ciała we wszechświecie muszą się poruszać.

Dziś wiemy, że także wszechświat jako całość nie może znajdować się w spoczynku, bo byłaby to sytuacja nietrwała. Na skalę kosmiczną działa jedynie grawitacja. Inne siły, np. elektromagnetyczne, są w praktyce krótkozasięgowe (ponieważ mamy tyle samo ładunków dodatnich i ujemnych). Tym, co chroni świat od zapadnięcia się, kolapsu grawitacyjnego albo elektromagnetycznego, jest w ostatecznym rachunku nie jakiś nowy rodzaj sił, lecz inna mechanika: kwantowa. Zasada nieoznaczoności nie pozwala cząstkom zajmować dowolnie małego obszaru przestrzeni, a zakaz Pauliego sprawia, że stany kwantowe cząstek takich, jak elektrony, zajmowane są po kolei (co wyjaśnia układ okresowy pierwiastków). Możliwe są też sytuacje, kiedy grawitacja przeważa i ciało zapada się, tworząc czarna dziurę, czyli obiekt, w którym materia traci jakąkolwiek tożsamość i swoje indywidualne charakterystyki. Zostaje czysta czasoprzestrzeń ukryta za horyzontem zdarzeń. O takiej możliwości także zresztą spekulowano już w wieku XVIII.