Czy to, co krąży, musi kiedyś spaść? Przypadek atomu i podwójnych obiektów astrofizycznych

Krążenie planet uchodziło od starożytności za kosmiczny miernik czasu. Dlatego właśnie Mikołaj Kopernik zdecydował się na radykalny krok i zamiast układu geocentrycznego wybrał heliocentryczny. Miał przy tym nadzieję, że teraz nie tylko całość kosmicznej konstrukcji nabierze sensu, ale że – i to przede wszystkim – ruchy planet staną się doskonale jednostajne (u Ptolemeusza tak nie było). Okazało się później, że tylko heliocentryzm przetrwał, ruch planet zachodzi po elipsach ze zmienną prędkością.

W 1913 r. Niels Bohr zaproponował planetarny model atomu. W najprostszym przypadku atomu wodoru mielibyśmy jeden elektron krążący po okręgu wokół niewielkiego jądra, dziś zwanego protonem. Dozwolone orbity spełniać miały specjalny warunek zawierający liczbę całkowitą n=1,2,3,\ldots. Wynikało z niego, że pierwsza z tych orbit miała promień r\approx 0,5\cdot 10^{-10} m. Wielkość tę nazywa się promieniem Bohra. W czym leżała rewolucyjność podejścia Bohra? Przyjął on, że krążąc po dozwolonych orbitach, elektron nie promieniuje, dzięki czemu atom jest trwały: elektron może skokowo zmieniać orbitę, ale gdy znajdzie się na najniższej, nie może już bardziej zbliżyć się do protonu i według duńskiego fizyka miał tak krążyć wiecznie, jeśli żadne oddziaływanie go z tego stanu nie wytrąci.

Można obliczyć, co powinno się stać z elektronem według fizyki klasycznej, czyli w tym przypadku elektrodynamiki Maxwella. Elektron krążący wokół protonu jest obracającym się dipolem elektrycznym. Dipol taki promieniuje moc daną  równaniem

P=\dfrac{q_e^2 r^2 \omega^2}{6\pi\varepsilon_0 c^3}.\mbox{ (*)}

We wzorze tym q_e jest ładunkiem elementarnym, \varepsilon_0 przenikalnością próżni, a c oznacza prędkość światła w próżni.

Wskutek unoszenia energii przez falę elektromagnetyczną elektron krąży po coraz niższych orbitach, zachowując się podobnie do satelity Ziemi, który wchodzi w atmosferę. Nietrudno obliczyć, że elektron spadnie na jądro po czasie równym

\tau=\dfrac{r^3}{4c r_0^2}\approx 1,3\cdot 10^{-11} s.

Zastosowaliśmy tu skrót r_0=\frac{q_e^2}{4\pi\varepsilon_0 mc^2}, wielkość tę nazywamy klasycznym promieniem elektronu (gdyby elektron był kulką tej mniej więcej wielkości, to jego pole elektrostatyczne miałoby energię mc^2, ale możemy to uważać jedynie za wygodny skrót). Częstość krążenia elektronu powinna stopniowo rosnąć w miarę jego zbliżania się do protonu. Znaczy to, że klasycznie rzecz biorąc, elektron promieniuje falę o coraz wyższej częstości, gdyż częstość jego wirowania równa jest częstości emitowanej fali. Mamy więc piękną katastrofę – nie tylko planetarnego atomu, ale w ogóle każdego modelu klasycznego –nie można zbudować modelu atomu, mając do dyspozycji jedynie klasyczną mechanikę Newtona i elektrodynamikę Maxwella. Każdy atom powinien bowiem przez krótką chwilę emitować falę o rosnącej częstości, a potem przestać istnieć jako układ, w którym ładunki ujemne i dodatnie są przestrzennie rozdzielone. Oczywiście, Bohr dobrze o tym wiedział, szukał jednak wyjścia z impasu, w jakim znalazła się fizyka i który został rozwiązany zadowalająco dopiero po kilkunastu latach, gdy stworzono mechanikę kwantową. Jego model był desperacką próbą nowego otwarcia, i pod tym względem spełnił swoją rolę. Ważnym elementem modelu Bohra i późniejszych teorii mikroświata było wprowadzenie nowej stałej fizycznej: stałej Plancka h. Pojawia się ona wszędzie, gdzie mamy do czynienia z mikroświatem (u nas ukryta jest w promieniu Bohra).

Teorię grawitacji Newtona Einstein zastąpił w 1915 r. ogólną teorią względności. Można się było spodziewać, że poruszające się ciała powinny promieniować fale grawitacyjne i w rezultacie tracić energię. W roku 1918 Einstein opublikował pracę, w której obliczył, jaką moc emituje ruchomy układ mas w postaci fal grawitacyjnych. Można więc oczekiwać, że również obiekty astrofizyczne krążące wokół środka masy z czasem będą się zbliżać, a nawet łączyć w większe ciała. W roku 1918 nie było szans na zmierzenie fal grawitacyjnych, sto lat później zaczęły one być jednak rejestrowane. Fale te wysyłane są tuż przed połączeniem się dwóch obiektów – czarnych dziur

Wyobraźmy sobie dwa ciała kosmiczne o jednakowych masach M (dla uproszczenia), krążące wokół wspólnego środka masy w odległości D od siebie. Całkowita moc wypromieniowywana w postaci fal grawitacyjnych równa jest

P=\dfrac{32}{5}\,\dfrac{G}{c^5}\, I^2 \omega^6, \mbox{ (**)}

We wzorze tym G jest stałą grawitacyjną, a I – momentem bezwładności, czyli wielkością mówiącą coś na temat rozkładu mas, \omega jest prędkością kątową. Analogicznie jak w przypadku atomu możemy obliczyć czas życia takiego układu podwójnego. Jest on równy

T=\dfrac{5}{64} \dfrac{R_s}{c} \left(\dfrac{c}{\pi f_0 R_s}\right)^{\frac{8}{3}}.

Wyraziliśmy tu czas przez wielkość promienia Schwarzschilda R_s\equiv \frac{2GM}{c^2} dla każdego z obiektów oraz częstość fali grawitacyjnej emitowanej w chwili początkowej f_0. Wzór ten możemy stosować, dopóki mamy do czynienia z dwoma wyraźnie rozgraniczonymi ciałami, najlepiej punktowymi (we wszechświecie najbliżej tego ideału są czarne dziury oraz gwiazdy neutronowe). Częstość fali grawitacyjnej jest dwa razy większa niż częstość krążenia ciał. Wynika to stąd, że po połowie okresu kwadraty współrzędnych wracają do tych samych wartości, czyli z punktu widzenia momentu bezwładności wracamy do punktu wyjścia. Gdyby dwie gwiazdy o masie Słońca krążyły w odległości takiej, jak dzisiejsza odległość Ziemia-Słońce, czas życia takiego układu byłby równy T=4\cdot10^{17} lat, czyli niezmiernie długo w porównaniu z wiekiem wszechświata 14\cdot 10^{10} lat. Widać jednak ze wzoru, że gdy częstość krążenia f_0 będzie znaczna, czas życia będzie znacznie krótszy i wtedy możliwe będzie doczekanie chwili, gdy oba ciała złączą się w jedną czarną dziurę. Eksperyment LIGO zmierzył kilka przypadków takiego właśnie łączenia się dwóch obiektów.

Widzimy tu falę o rosnącej częstości. W chwili t=0,35 s częstość f_0=42 Hz, w chwili t=0,43 s częstość ucieka w górę – jest to słynne „ćwierknięcie” – chirp. Zatem od f_0 do nieskończoności upływa czas T=0,08 s. Wstawiając taki czas oraz wartość f_0, wyznaczyć możemy promień Schwarzschilda, a stąd masę naszych obiektów. Jest ona równa około 40,6 mas Słońca. Obliczyliśmy to przy upraszczającym założeniu, że obie kosmiczne masy są jednakowe. Można wykonać dokładniejsze obliczenia bez tego założenia.

Najwyższa częstość równa jest około 300 Hz. Przyjmując, że obie czarne dziury zetknęły się wówczas swoimi horyzontami, można wyznaczyć sumę mas obu dziur z III prawa Keplera. Okazuje się ona równa 76 mas Słońca, a więc w zgodzie z tym, co powiedzieliśmy wyżej.

Z fizycznego punktu widzenia najciekawsze zjawiska zachodzą, gdy dziury zlewają się w jedną i potem nowopowstała dziura drga jeszcze przez chwilę. Modelowanie tej fazy możliwe jest wyrafinowanymi metodami numerycznymi.

(*) Zobaczmy, od czego zależy moc emitowana przez obracający się dipol złożony z dwóch ładunków elementarnych q_e odległych o r. Pole elektromagnetyczne będzie proporcjonalne do iloczynu q_e r (momentu dipolowego). Zatem natężenie fali musi być proporcjonalne do kwadratu tego iloczynu. Powinna też zależeć od prędkości kątowej \omega. Łatwo sprawdzić, że z wielkości (q_er)^2, \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}, \omega oraz c można zbudować tylko następujące wyrażenie dające moc w watach:

P=\dfrac{(q_e r)^2 \omega^2}{4\pi\varepsilon_0 c^3}.

Dokładne rozważania dają jeszcze współczynnik liczbowy \frac{2}{3}. Łatwo sprawdzić, że w ruchu orbitalnym całkowita energia elektronu równa jest

E=-\dfrac{1}{2}\,\dfrac{q_e^2}{4\pi\varepsilon_{0} r}.

Dalej traktujemy r jako funkcję czasu. Różniczkując wyrażenie na energię, otrzymamy szybkość zmiany energii, która musi być równa wypromieniowywanej mocy. Całkując otrzymane równanie, otrzymamy wynik postaci r(t)^3=r(0)^3-4r_0^2 ct – trzecia potęga odległości maleje liniowo. Stąd łatwo znaleźć czas życia.

(**) Podobne postępowanie da się zastosować do pary krążących wokół środka mas ciał niebieskich. Natężenie fali emitowanej przez ten układ będzie zależeć od momentu bezwładności:

I=M\dfrac{D^2}{4}+M\dfrac{D^2}{4}=\dfrac{MD^2}{2},

gdzie M oznacza masy, D jest odległością obu mas od siebie (obie są więc odległe o D/2 od środka masy układu). Moc będzie zatem proporcjonalna do kwadratu momentu bezwładności. Będzie także zależeć od prędkości kątowej, stałej grawitacyjnej G oraz prędkości światła. Łatwo sprawdzić, że wielkości te dadzą moc, jeśli wyrażenie będzie następujące:

P=\dfrac{G}{c^5}I^2\,\omega^6.

Współczynnik liczbowy \frac{32}{5} wynika ze szczegółowych obliczeń. Analogicznie jak w poprzednim przypadku możemy zapisać energię w postaci

E=-\dfrac{1}{2}\,\dfrac{GM^2}{D}.

Zupełnie podobnie otrzymuje się równanie różniczkowe dla D(t). Teraz D^4 maleje liniowo z czasem. Korzystając z III prawa Keplera, możemy zamiast D obliczyć okres obiegu oraz częstość f.

Reklamy

Po co człowiekowi w życiu logarytmy? Henry Briggs (1617)

Zanim przejdziemy do tytułowego pytania, zacznijmy od tego, jak należy wyobrażać sobie teorię oraz praktykę. Cesare Ripa daje następującą odpowiedź:

Słowo Theoria, oznaczające u Greków kontemplowanie, oglądanie, u nas zaczęło być stosowane na oznaczenie wszelkiego wywodu rozumowego opartego na przyczynach rzeczy stosownie do właściwych im porządków i z uwzględnieniem zasad zależących nie od rozsądku, lecz raczej od intelektu, gdyż zasady zawisłe od rozsądku określają Praktykę, przeciwstawną wszak Teorii. Ze względu na te okoliczności uważam, że Teorię całkiem trafnie przedstawić można w postaci młodej Niewiasty spoglądającej w górę, z dłońmi złączonymi, na głowie mającej cyrkiel o ramionach rozwartych i celujących w Niebo. Ma ona być odziana w dostojną błękitną suknię, i schodzić ze szczytu schodów. Wszystkie te szczegóły symbolizują wybitność, dostojność i wzniosłość. (przeł. I. Kania)

(…) Praktykę można przedstawić w postaci Staruchy z głową i rękami opuszczonymi w dół, ubranej nędznie w bure suknie, z wielkim rozwartym cyrklem, którego jedna nóżka wbita jest w ziemię; jedną ręką wspiera się na rzeczonym cyrklu, drugą – na liniale, w taki sposób, że druga nóżka cyrkla dotyka końca liniału układając się razem w kształt greckiej litery π, którą oni zwykli oznaczać Praktykę, podczas gdy Teorię oznaczali literą θ. (przekł. jw.)

Kto chodził do szkoły, ten wie, że Teoria ma przewagę nad Praktyką: ledwo zdążymy oswoić się z jednym pojęciem, a już mówi się o następnych i idzie dalej i dalej, nie pokazując zastosowań. W podobny sposób działały uniwersytety i szkoły także na przełomie XVI i XVII wieku. Dlatego znaczna część Rewolucji naukowej przebiegała niejako równolegle do systemu edukacji, który nawet owej rewolucji nie zauważył, nadal kształcąc na bazie Arystotelesa.

Logarytmy są wynalazkiem praktycznym, jednym z niewielu ważnych pojęć matematycznych, które powinno się wynosić ze szkoły. I nie chodzi o definicję czy dziwaczne równania z niewiadomymi pod logarytmem, ale o ideę zapisywania bardzo dużych albo bardzo małych liczb w krótki sposób. Logarytmy dziesiętne wprowadził Henry Briggs, profesor w londyńskim Gresham College. Była to szkoła o nastawieniu praktycznym, kształciła mierniczych, inżynierów i nawigatorów (żegluga oceaniczna zmusiła korzystania z astronomicznych metod wyznaczania położenia, a te wymagały obliczeń matematycznych). Pomysł należał do Szkota Johna Napiera, choć niezależnie od niego wpadł na podobną ideę Jost Bürgi, zegarmistrz i konstruktor przyrządów, zaprzyjaźniony z Johannesem Keplerem. Logarytmy pozwalały znacznie przyspieszyć obliczenia numeryczne, ponieważ mnożenie i dzielenie zastępują dodawaniem i odejmowaniem – działaniami znacznie mniej czasochłonnymi. Mówiono, że dzięki logarytmom życie astronomów wydłużyło się dwukrotnie, tak bardzo skracały one bowiem rachunki. Najważniejsze tablice astronomiczne czasów nowożytnych: Tablice Rudolfińskie (1627) Johannesa Keplera zostały obliczone przy wykorzystaniu logarytmów. Dzieło to zawierało frontispis przedstawiający świątynię astronomii, w której kilku sławnych uczonych minionych wieków prowadzi zaświatową debatę nad systemem planetarnym. Jedynie dwie kolumny oznaczone imionami Kopernika i Tychona Brahego są zdrowe i mocne, w suterenie widzimy Johannesa Keplera pochylonego nad swymi pracami.

Przyjrzyjmy się alegorycznym figurom na dachu świątyni. Cesarski orzeł zrzuca guldeny, co było raczej pobożnym życzeniem Keplera niż faktem, choć w sumie dzieło powstało dzięki patronatowi kolejnych cesarzy od Rudolfa II począwszy. Kobiece postaci od lewej strony począwszy to Physica lucis – fizyka światła, Optica – dzierżąca teleskop, Logarithmica – alegoria, niemal bogini logarytmów, Doctrina triangulorum – trygonometria, Stathmica – statyka przedstawiona z dźwignią (prawo dźwigni odgrywało zdaniem Keplera istotną rolę w ruchu planet) oraz Magnetica – alegoria nauki o magnetyzmie (uczony sądził, że jedną z sił poruszających planety jest specjalna siła magnetyczna). W aureoli wokół głowy Logarithmiki znajdują się cyfry 6931472, odpowiadające \ln(2)=0,6931472, dlatego pręty, które trzyma nasza bogini mają stosunek długości 1:2.

Johannes Kepler widział więc wagę logarytmów dla astronomii. Henry Briggs obliczył pierwsze praktyczne tablice logarytmów dziesiętnych. Poniżej wyjaśnimy, jak tego dokonał, najpierw jednak spróbujemy odpowiedzieć na pytanie, do czego w życiu przydają się logarytmy. Są one potrzebne szczególnie wtedy, gdy mamy do czynienia z procesami, w których jakaś wielkość zmienia się bardzo silnie. Np. ludność świata w milionach od czasów prehistorycznych do roku 2015. Widzimy, co znaczy określenie eksplozja demograficzna i dlaczego jest nas dziś więcej niż wszystkich ludzi razem wziętych w minionych epokach. W zaświatach spotkalibyśmy niemal wyłącznie współczesnych.

Drugi wykres ma skalę logarytmiczną na osi pionowej: znacznie lepiej widać zmiany szybkości eksplozji demograficznej: nachylenie krzywej (tangens kąta) mierzy wskaźnik przyrostu naturalnego. Stałe nachylenie to stały przyrost procentowy. Nadal widzimy eksplozję w ostatnich stuleciach, ale teraz widać znacznie więcej szczegółów zachowania krzywej. Spójrzmy jeszcze na wykres obejmujący tylko dwa ostatnie stulecia.

Widać na nim właściwie trzy odcinki prostoliniowe: 1800-1900, 1900-1950, 1950-2015. Zupełnie niewidoczne są obie wojny światowe. Skoki przyrostu naturalnego wiążą się najwyraźniej z postępem cywilizacyjnym: nawozy sztuczne, mniejsza umieralność niemowląt i dzieci, dłuższy średni czas życia.

Logarytm dziesiętny to w zasadzie liczba zer w zapisie: zamiast liczb 0,01;10;100000 piszemy -2,1,5. Oczywiście, musimy umieć obliczać logarytmy także innych liczb niż całkowite potęgi dziesiątki. Jeśli np. naszą liczbą jest a=3\cdot 10^4, to widać od razu, że jej logarytm musi być większy niż 4, lecz mniejszy niż 5 (bo 10^4<3\cdot 10^4<10^5). Trzeba znaleźć taki wykładnik, aby 10^{x}=3. Wiadomo, że x=0,477121, mamy więc

a=3\cdot 10^{4}=10^{0,477121}\cdot 10^{4}=10^{0,477121+4}=10^{4,477121}.

Zatem \log 3\cdot 10^4=4,477121.

Możemy powiedzieć (niestandardowo), że liczba 3\cdot 10^4=30000 ma 4,477121 zer. Logarytm jest więc uogólnieniem liczby zer, skonstruowanym w taki sposób, żeby zachować zwykłe reguły potęgowania, np. 10^{x}\cdot 10^{y}=10^{x+y}.

Jak można skonstruować tablice logarytmów, wiedząc tyle, ile Henry Briggs, to znaczy bez znajomości szeregów, pochodnych itd.? W zasadzie wystarczy umiejętność wyciągania pierwiastka kwadratowego – dawniej uczono, jak to się robi. Szybką metodę przybliżoną znano od czasów starożytnych. Przyjmijmy więc, że umiemy wyciągać pierwiastki kwadratowe. Możemy obliczyć teraz kolejne pierwiastki kwadratowe z 10 aż powstanie tabelka jak poniżej.

Zaczerpnęliśmy ją z rozdziału 22 tomu I wykładów Richarda Feynmana. Oczywiście, nietrudno ją obliczyć samemu, ale warto też spojrzeć na stronice Feynmana poświęcone temu zagadnieniu. Richard Feynman cenił matematykę praktyczną, metody uzyskiwania konkretnych liczbowych odpowiedzi. Pewnie dlatego zainteresował się Briggsem i sposobem konstruowania tablic. Gdybyśmy znaleźli się na bezludnej wyspie, będziemy wiedzieć, jak obliczyć tablice logarytmów. Ważniejszym powodem jest może ten, że wiedza powinna tworzyć powiązany system, a nie bezładne nagromadzenie faktów, i Feynman zawsze starał się poznać całe łańcuchy rozumowań od faktów doświadczalnych do teorii. (Nawiasem mówiąc, ta swoista niechęć do wykraczania poza fakty stała się chyba przyczyną, dla której nie podobały mu się kwarki, zaproponowane teoretycznie. Wprowadził nawet swoją nazwę: partony na części protonu, które obserwuje się w rozproszeniach przy dużych energiach. Uparcie nie chciał ich jednak uznać za kwarki.)

Z tabelki widać, że kolejne pierwiastki przejawiają prostą regularność:

10^{x}\approx 1+2,3025 x. \mbox{   (*)}

Także Briggs to zauważył: zamiast obliczać pierwiastki odpowiadające małym wykładnikom, można zastosować powyższe przybliżenie. Weźmy teraz jakąkolwiek liczbę z przedziału (1,10), np. 3. Szukamy w trzeciej kolumnie tabeli czynników, które przybliżą 3 z dołu:

10^{\frac{1}{4}}\cdot 10^{\frac{1}{8}}\cdot 10^{\frac{1}{16}}\cdot 10^{\frac{1}{32}}\cdot 10^{\frac{1}{128}}=10^{0,476563}\approx 2,996143.

Mamy już prawie 3. Brakujący czynnik to 3/2,996143=1,001287. Stosując przybliżenie (*) otrzymamy logarytm tego czynnika równy 0,000559. Liczbę tę należy dodać do wykładnika powyżej:

\log {3}=0,476563+0,000559=0,477121.

Metoda zastosowana przez Briggsa była nieco bardziej skomplikowana, ale w istocie sprowadzała się do tego samego. Zauważmy, że każdą liczbę z przedziału (0,1) możemy zapisać jako sumę potęg dwójkowych – będzie to po prostu owa liczba zapisana dwójkowo. Henry Briggs obliczył 54 kolejne pierwiastki z dokładnością 30 cyfr znaczących, co było pracą iście herkulesową (gdyby tylko Herkules pracował umysłowo, a nie fizycznie). W dodatku prawie wcale się przy tym nie mylił, drobne pomyłki nie wpłynęły na wyniki tablic. Zawierały one w pierwszej wersji logarytmy liczb od 1 do 1000 z dokładnością czternastu znaków. Po sześciu latach rozszerzył te tablice do liczb 1-20 000 oraz 90 000-100 000 z tą samą monstrualną dokładnością czternastu cyfr. Wydawca flamandzki Adriaan Vlacq zatrudnił mierniczego Ezechiela de Deckera, aby dokończyć tablice od 1 do 100 000. Miały one dokładność już tylko dziesięciu cyfr, de Decker stosował interpolację. Tablice Vlacqa ukazały się w 1627, trzy lata po niepełnych tablicach Briggsa.

Korzystałem m.in. z artykułu Iana Bruce’a, The agony and the ecstasy – the development of logarithms by Henry Briggs, „The Matematical Gazette”, t. 86 (2002), s. 216-227.

(*) Przybliżenie znalezione przez Briggsa łatwo uzasadnić rozwijając funkcję wykładniczą w szereg MacLaurina:

10^{x}=e^{x\ln 10}\approx 1+x\ln {10}.

 

 

 

Ucieczka na Południe, 29 grudnia 1894 roku

Było to w końcu grudnia, niedługo po zimowym przesileniu. Lokomotywa posapywała i wypuszczała od czasu do czasu kłęby dymu i pary, które niknęły gdzieś pod dachem dworca. Wzdłuż oświetlonych elektrycznością peronów odbywała się spieszna krzątanina, słychać było podekscytowane nawoływania, jakaś dama ze szpicem na ręku szła poprzedzona karawaną kufrów niesionych przez bagażowych, wąsaty kolejarz flegmatycznie obstukiwał osie wagonów, sprawdzając hamulce pneumatyczne. Młody człowiek o bystrej twarzy, piwnych oczach i ciemnych kędzierzawych włosach, w magicznym wieku na granicy dzieciństwa i dorosłości, taszcząc walizkę i futerał na skrzypce, wsiadł do wagonu trzeciej klasy pociągu do Włoch. Potem rozległy się gwizdki zawiadowcy i trzaski zamykanych drzwi, pociąg ruszył, posapując, i po dłuższej chwili rytm kół stukających o spojenia szyn stał się równy i miarowy. Zniknęła hala dworca, w tyle zostało parę oświetlonych ulic i za oknem migały już tylko nieliczne światła domów.

Dworzec Główny w Monachium oświetlony lampami łukowymi firmy Siemens & Halske.

Scena ta nie przeszła do historii, możemy się jedynie domyślać jej dokładnego przebiegu. Wiemy, że był 29 grudnia 1894 roku. Wieczorny pociąg z Monachium w nocy przekraczał przełęcz Brenner, następnego dnia pasażerowie budzili się już we Włoszech: Trydent, Werona, wreszcie, o 3:46 po południu przybywali do Mediolanu. Ów młody człowiek, Albert Einstein, nie uprzedził rodziców o przyjeździe, zjawił się po prostu na progu ich mieszkania. Teraz następowało najtrudniejsze: musiał im to wszystko jakoś wytłumaczyć. Czemu porzucił gimnazjum, dlaczego nie chce wracać, nie tylko do Monachium, ale w ogóle do Niemiec. Trzeba było przekonać ich do rzeczy oczywistych: ta szkoła nie mogła go już niczego nauczyć, a on nie skończy jak ojciec, bez wykształcenia i bez sukcesów, wdając się w przedsięwzięcia od początku skazane na klęskę. Nie był taki jak ojciec, łączył w sobie najlepszy rozum Einsteinów i cierpliwość oraz inicjatywę Kochów. Wiedział, że da sobie radę i wiedział, że nie wróci do Niemiec. Musi tylko teraz przelać tę spokojną pewność na zatrwożonych rodziców.

Posługując się wystawionym przez lekarza, przyjaciela domu, zaświadczeniem o wyczerpaniu nerwowym Albert opuścił, a właściwie porzucił gimnazjum Luitpolda. Zakład naukowy noszący imię księcia-regenta mieścił się w okazałym gmachu dawnego lazaretu wojskowego, kadra nauczycielska miała w większości tytuły doktorów, niektórzy pisali prace naukowe. Szkoła ta z pewnością nie przynosiła stolicy Bawarii wstydu, wręcz przeciwnie: mogła być powodem do dumy. Jednak najwybitniejszy uczeń w jej dziejach nie wytrwał do matury.

A więc szkoła: jej duch, atmosfera, a także poszczególne przedmioty. Nie wytrzymałby kolejnych trzech lat. Siedem godzin łaciny i sześć godzin greki: Cyceron, Katon Starszy, Ksenofont, ciągle nowe, nigdy nie kończące się księgi Odysei. I od tego roku, nauczający owych skarbów użytecznej wiedzy wielmożny pan doktor Joseph Degenhart, Ordinarius, który stwierdził przy całej klasie, że Einstein „nigdy nie dojdzie do niczego w życiu”. Wszystkie pary oczu utkwione w niego w tym momencie. Na ustach Alberta lekko drwiący uśmieszek, nie zamierzał kapitulować wobec tego osła. To Degenhart nie wytrzymał, wezwał go do siebie po paru tygodniach i wyraził życzenie, aby pan Einstein opuścił szkołę. Na niewinne pytanie, co mu zarzuca, nauczyciel odparł, że samą swą obecnością podważa jego autorytet. Autorytet – owa rzecz bezcenna i tak krucha, iż trzeba by ją nosić ze sobą w osobnym futerale. Oto ja, a to mój autorytet. Sprawy zaszły za daleko, zresztą szkoda było czasu. W programie matematyki dopiero teraz, w siódmej klasie, zaczynały się równania kwadratowe i najprostsza trygonometria. Na lekcjach fizyki równia pochyła i prawo Archimedesa. A przecież Albert zajmował się już rachunkiem różniczkowym i całkowym oraz elektromagnetyzmem! Joseph Ducrue, który uczył obu przedmiotów ścisłych, bez oporu wystawił zaświadczenie, że uczeń Einstein opanował matematykę i fizykę w stopniu wystarczającym do matury.


Nie tylko przedmioty ścisłe, ale nawet język niemiecki, stanowiły zaledwie dodatek do programu klasycznego gimnazjum, ustępstwo na rzecz nowych czasów, niechętnie traktowane przez zwolenników tradycji. Nie chodziło o to, by wychować zastępy łacinników i znawców klasycznej greki. Prawdziwym celem było ćwiczenie charakteru, pamięci i sprawności myślenia na tym abstrakcyjnym materiale przypominającym marmur wypolerowany przez czas i ludzki dotyk. Celem było także nauczanie cnoty na uświęconych tradycją przykładach. Cezar podbijający Galię, wszystkie jej trzy części. Ale też Caesar pontifex. Cywilizacja zorganizowana jak mowa w senacie albo przemówienie do legionistów przed bitwą. Tych samych tekstów uczyli się chłopcy w całej Europie. Przekładali klasyczne okresy na swoje barbarzyńskie języki ze świadomością, że jest to właściwie niemożliwe: nie można bowiem dorównać klasykom, a już z pewnością nie mogą tego dokonać oni, niezbyt starannie przygotowani do lekcji, nieuformowani. Nie mogą też zadaniu temu sprostać ich ojczyste języki, które dopiero powoli zdobywały sobie prawo obywatelstwa. Już w samych usiłowaniach przekładu kryło się pewne ustępstwo wobec nowych czasów: uczniom nie groziły bowiem jak niegdyś plagi za używanie ojczystego języka między sobą na przerwach.

Właściwie tylko Ferdinand Reuss potrafił na lekcjach powiązać tę całą szacowną spuściznę z literaturą niemiecką i z jakimkolwiek życiem. Schiller, a zwłaszcza Goethe, prawdziwy olimpijczyk, panujący nad formą i głęboki bez widocznego wysiłku. To jednak coś więcej niż zjadliwość i sentymentalizm Heinego, choć wobec jego przenikliwej inteligencji – chapeau bas. Hermann und Dorothea – heksametry poświęcone prawdziwym uczuciom dwojga młodych, zbuntowanych przeciwko światu dorosłych, w którym liczą się jedynie kalkulacje, stanowiska i majątki. Wreszcie coś autentycznego, o żywych ludziach, a nie mitologicznych herosach. Zaczął doceniać subtelność języka niemieckiego, skończyły się długie godziny pamięciowego wkuwania. Nawet lekcje łaciny stały się mniej martwe. Za czasów Reussa, w szóstej klasie, osiągnął najwyższą swą notę z łaciny: jedynkę. Niestety, obecny rok szkolny od początku był katastrofą.
W sumie nie był złym uczniem. Po części dlatego, że nie chciał martwić rodziców, a po części dlatego, że nauka przychodziła mu bez trudu. Słabsze stopnie, dwójki, miał tylko z owej nieszczęsnej greki. Była to ocena dobra, ale i nic więcej: nie miał pamięci do słówek ani ambicji, by przygotowywać więcej, niż zadawał Degenhart. Gospodarz klasy bardzo chciał zmobilizować chłopców do rywalizacji, toteż krzywo patrzył na odmowę uczestnictwa w grupowym wysiłku. Albert miał jednak wadę wielu inteligentnych ludzi: nie cierpiał robić rzeczy, które wydawały mu się bez sensu. Pomysł, by posłać go do gimnazjum klasycznego, dobrze świadczył o ambicjach rodziców – były to w Niemczech szkoły elitarne, choć znaleźć je można było w każdym większym miasteczku. Większość ważnych stanowisk w kraju zajmowali absolwenci gimnazjum. Matura była świadectwem przynależności do lepszej części społeczeństwa i w zamian za bezsensowny trud uczenia się rzeczy zbytecznych przynosiła pewien prestiż, możliwość wzniesienia się ponad swoje pochodzenie. W przypadku Żydów wykształcenie stanowiło przepustkę do wolnych zawodów, czasem do działalności naukowej, gdyż służba państwowa, zarówno cywilna, jak wojskowa, była dla nich praktycznie niedostępna. Ojciec Alberta musiał poprzestać na szkole realnej i zająć się prowadzeniem interesów, nie było mowy o studiach, choć podobno był zdolny, a szczególnie dobrze szła mu matematyka.

Albert rozumiał to wszystko, nie chciał być ciężarem dla rodziców, widział zresztą, że ojciec nie jest bynajmniej obrotnym Semitą z ludowych anegdot, który zawsze znajdzie sposób, żeby wyjść na swoje. Czuł się jednak organicznie niezdolny do spędzania lepszej części każdego dnia w zimnym gmachu z budującymi maksymami na barokowych plafonach. Nie chciał słuchać dyrektora prawiącego o obowiązkach i „kategorycznym imperatywie naszego filozofa Kanta”. Bronił się przed nimi i nimi gardził: potrafili wszystko strywializować, wszelkie cnoty sprowadzić do posłuszeństwa wobec przełożonych. Formowano ich na przyszłych urzędników, niezawodne trybiki w machinie państwa. Nawet ci liberalni Bawarczycy coraz mocniej przesiąkali duchem pruskim. Dopiero w domu stawał się sobą, odzyskiwał równowagę: musiał zagrać Mozarta, żeby oczyścić umysł i zmyć cierpki osad absurdu przynoszony z tej niesłychanej instytucji niczym kurz na butach. Samo granie Mozarta nie mogło oczywiście wystarczyć, nigdy przecież nie zostanie wirtuozem. Na szczęście były książki: czyste intelektualne piękno matematyki, zbyt dostojne dla bandy dorastających chłopaków, którzy całą energię obracali na podglądanie bujnej Gretchen usługującej w piwiarni. Co oni mogli wiedzieć o falach Hertza i eterze?

Także starszy od Einsteina o kilka lat Thomas Mann nie cierpiał szkoły i nie doszedł do matury, stając się, jak to sam ujmował: „wykolejonym gimnazistą” . Pisarz wspominał: „Nienawidziłem szkoły i do samego końca nie mogłem sprostać jej wymaganiom. Gardziłem nią jako środowiskiem, krytykowałem maniery jej władców i wcześnie zająłem wobec niej stanowisko, które było swojego rodzaju literacką opozycją przeciw panującemu w niej duchowi, dyscyplinie, metodom tresury. Indolencja, może konieczna dla mego odrębnego rozwoju, potrzeba dużej ilości wolnego czasu na próżnowanie i spokojną lekturę, prawdziwe lenistwo umysłowe (…) – wszystko to sprawiało, że nienawidziłem przymusowej nauki i lekceważyłem ją przekornie”. Młody patrycjusz o artystycznych zainteresowaniach, tak samo jak przyszły uczony, nie potrafił się pogodzić z pamięciowym wkuwaniem i koszarowym kolektywizmem systemu nauczania. Obaj potrzebowali czasu na swobodne, niespieszne lektury. Albert Einstein twierdził później, że do edukacji młodzieży wystarczyłyby z powodzeniem cztery godziny dziennie lekcji w szkole i dwie godziny własnej nauki.

Obaj, przyszły pisarz i przyszły uczony, byli marzycielskimi nastolatkami, których urzekała muzyka i romantyczna poezja niemiecka. Obaj lubili improwizować na fortepianie, Albert uczył się od szóstego roku życia gry na skrzypcach.
Każdy inteligentny nastolatek odczuwa potrzebę buntu i przeżywa kryzys wiary w oficjalną moralność. Dobrze wówczas mieć towarzysza niedoli, który podobnie myśli i czuje, wydaje się naszym alter ego. Thomas Mann pisze o swej młodzieńczej przyjaźni: „Komitywa nasza przetrwała wszystkie lata szkolne bodaj z tej samej przyczyny, z której niegdyś powstała. Był to «patos dystansu» wobec większości naszych kolegów; zna go każdy, kto mając lat piętnaście czytuje potajemnie Heinego i w tercji wydaje zdecydowane sądy o świecie i ludziach”. Jak się zdaje, Albert Einstein przeżywał ów nietzscheański patos dystansu samotnie, w okresie życia, kiedy odczuwa się tak wielką potrzebę zwierzeń i bliskości, nie przyjaźnił się z żadnym rówieśnikiem. Występuje tu pewna osobliwość: Einstein, który później zaprzyjaźniał się z ludźmi łatwo, a nawet może zbyt łatwo i zbyt powierzchownie, w okresie pobytu w Monachium nie miał żadnego powiernika, nauczył się zachowywać dla siebie większość swoich myśli. Po latach pojawił się jakiś gimnazjalny kolega wspominający, jak Einstein czytał Kanta, nie ma wszakże żadnych dowodów, by przyjaźnili się bliżej w okresie szkolnym.

Przyzwyczaił się do osobności, może od początku był nieco osobny. Nawet mówić zaczął później i przez jakiś czas miał zwyczaj wygłaszać każde zdanie najpierw po cichu, a dopiero później powtarzał je na głos. Bawił się sam i wykazywał nieczęstą u dzieci cierpliwość w budowaniu wysokich budowli z kamiennych klocków Anker albo w ustawianiu domków z kart wysokich na czternaście kondygnacji. Nie była to zresztą dokładnie biorąc samotność, ponieważ miał matkę, która nad nim stale czuwała, nawet na odległość, a także młodszą siostrę. Często odwiedzała ich rodzina, miał wielu kuzynów i kuzynek, niemal codziennie bywał w fabryce, rozmawiał ze stryjkiem Jakobem i pracownikami. Rodzina nie zrywała też związków z gminą żydowską, nawet jeśli nie były one religijne. Co czwartek zapraszano na obiad ubogiego studenta medycyny z Polski, Maksa Talmuda. To on, obok stryjka Jakoba, zajmował się jego umysłowym rozwojem. Max był wyznawcą materializmu medycznego, zaczął przynosić Albertowi książki o nauce. Seria popularnych książeczek Aarona Bernsteina o cudach nauk, o planetach i atomach, światach, w których nie byliśmy, ale coraz więcej o nich wiemy. Ludwiga Büchnera Kraft und Stoff – „Siła i materia”. Istnieje tylko materia i działające na nią oraz poprzez nią siły. Nie ma świata nadprzyrodzonego, prawa przyrody są niewzruszone i nie zależą od naszego widzimisię. Zjawiska w przyrodzie przebiegają niezależnie od tego, czy ktoś je obserwuje i czy ktoś je rozumie. I nie zależą od naszej moralności. Przeświadczenie o ojcowskiej opiece Stwórcy stało się wkrótce dla Alberta tak samo nieprawdopodobne jak opowieści o Noem, który po Potopie przeżył jeszcze trzysta pięćdziesiąt lat, a w sumie lat dziewięćset pięćdziesiąt. Odkrył, że każda religia, żydowska, tak samo jak chrześcijańska, służy jedynie władzy – zamiast stawiać przy każdym policjanta, który by go pilnował, wmawia się ludziom, że ich czyny widzi Bóg, który choć jest wszechmocny i w najwyższym stopniu mądry, lecz z jakiegoś powodu z wielkim zainteresowaniem zajmuje się śledzeniem postępków każdego Barucha czy Hansa. Rozwiązanie tanie, choć coraz mniej skuteczne. Poczuł gorzką radość demaskatora: jeśli żywisz jakieś złe podejrzenia co do motywów postępowania poszczególnych ludzi, a także całych społeczeństw, to zapewne masz rację. Są tacy, jak przypuszczasz, albo i gorsi.

Przed cynizmem uchronił go pierwszy podręcznik geometrii i zachwyt dla niewzruszonej logiki rozumowań. Nie musimy sprawdzać, czy w każdym trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych. Wystarczy to udowodnić raz na zawsze i ten dowód pozostanie słuszny, nawet dla trójkątów, których nikt jeszcze nie narysował albo takich, które ktoś już starł z tablicy. Myślał przez wiele dni, jak można udowodnić twierdzenie Pitagorasa, aż w końcu wpadł na pewien pomysł: trzeba wykorzystać podobieństwo trójkątów (dopiero później dowiedział się, że tak się to pojęcie nazywa). Podręcznik geometrii stał się jego „świętą książeczką”. Stryj Jakob, inżynier z głową pełną pomysłów, wprowadził go też w algebrę: „Gdy nie możemy znaleźć zwierzyny, na którą polujemy, chwilowo nazywamy ją x i kontynuujemy polowanie, póki nie wsadzimy jej do torby”. Albert z upodobaniem rozwiązywał zadania i zagadki podsunięte mu przez stryja.

Jeszcze bardziej cudowne było to, że wszechobecne i niewidzialne siły, mogące poruszać tłokiem maszyny parowej albo wytwarzać prąd elektryczny, jak w prądnicach stryja Jakoba, nie tylko dawały się zmierzyć i przewidzieć, lecz poddane były ścisłemu rygorowi matematyki! Jak święta książeczka geometrii stosowała się do mierzenia odległości gwiazd, tak samo prawa fizyki pozwalały obliczyć i zrozumieć ruch planet i komet, każdego atomu – cały wszechświat nabierał w ten sposób głębokiego sensu. I nie były to jedynie czcze urojenia fantastów z białymi brodami, wizjonerów, którym mylił się dzień z nocą i sen z jawą. Uczeni, wielka międzynarodowa wspólnota ludzi dokonujących dokładnych i cierpliwych pomiarów, analizujących zjawiska, przeprowadzających obliczenia – to oni byli byli prawdziwymi kapłanami, to oni poddawali się surowej regule nakazującej rzetelność, ścisłość i pokorę wobec tajemnic świata. To była prawdziwa świętość, której daremnie szukał w religii. Świat był świętością, choć ludzie tak często okazywali się świniami.

Ucieczka Alberta z Monachium była instynktowna, czuł, że w istocie nie ma wyboru. Dopiero potem przyszła pora na racjonalizację. Trzeba to było jakoś praktycznie urządzić. Rozum zazwyczaj lojalnie wspiera porywy uczuć, przedstawiając je w postaci zobiektywizowanej i możliwej do przyjęcia przez innych, niczym starszy brat lojalnie wstawiający się za młodszym. Nie chodziło przecież o brak rodziców, w życiu nastolatka rodzina stanowi raczej tło obrazu niż jego pierwszy plan. To prawda, od jesieni został w Monachium sam, jeśli nie liczyć wszystkich ciotek i znajomych matki, które należało odwiedzać w niedzielę. Rodzice i Maja wyjechali do Mediolanu. Ojciec poniósł klęskę w interesach i zmuszony został do zamknięcia firmy, sprzedaży jej wyposażenia, a nawet działki, na której mieściły się fabryka i ich dom rodzinny. Teren położony niedaleko Sendliger Tor kupił przedsiębiorca budowlany po to, żeby wszystko wyburzyć, miasto szybko się rozrastało i potrzebowało nowych kamienic. Koledzy w klasie nie znali szczegółów, można było udawać, że to nie bankructwo, lecz przeprowadzka. Prawda była jednak taka, że bracia Einstein nie otrzymali dużego zamówienia od miasta, mimo że byli jedyną fabryką z Monachium i mimo że to oni pierwsi zainstalowali elektryczne oświetlenie na Oktoberfest i zbudowali sieć elektryczną w Schwabing. Zamówienie trafiło do firmy Schukert i S-ka z Norymbergi, prowadzonej przez „prawdziwych Niemców”. Fabryczka braci Einstein nie miała zresztą szans w konkurencji z wielkimi firmami, które połykały mniejsze: Schukertwerke za kilka lat połączyły się z berlińskim potentatem Siemens & Halske, tworząc koncern funkcjonujący do dziś jako Siemens AG.

Czy trudniej być Żydem, czy synem bankruta? Jako jedyny Żyd w klasie chodził wprawdzie na lekcje judaizmu, lecz nie czuł się potomkiem proroków. Edukacja była liberalna, nikt nie wymagał od niego deklaracji wiary. Owszem, przeszedł parę lat temu okres przypływu uczuć religijnych, chwilami graniczyło to z ekstazą. Ku zdumieniu całej postępowej rodziny przestał jeść wieprzowinę i zaczął układać hymny na cześć Pana, które nucił po drodze do szkoły i z powrotem. Ku niekłamanej uldze ojca, ta faza religijna szybko minęła, jeszcze przed bar micwą, nie powstał więc kłopotliwy problem praktykującego syna przy pokpiwającym z ortodoksji ojcu. Żydostwo było zatem nie tyle religią, ile specyficznym rodzajem obcości wśród Niemców, jakimś oddzielnym rodzajem niemieckości. W gimnazjum na ogół mu tego nie wytykano, ponieważ obowiązywało tu dobre wychowanie. Profesorowie zazwyczaj zachowywali się grzecznie, jak na oficerów przystało. Uczniowie także starali się im dorównać, Albert nie reagował zresztą na krzywe uśmieszki i grube aluzje. Co innego w szkole podstawowej. Zetknął się tam z drobnym ludkiem katolickim i wracając ze szkoły musiał dobrze uważać, żeby nie popędziła za nim banda uliczników z okrzykami: „Żyd, Żyd…” Nie były to prawdziwe prześladowania, raczej wybryki pospólstwa ogłupianego przez równie przesądnych księży, bredzących o zabójcach Pana Jezusa. Ponieważ najlepsza jest nauka poglądowa, katecheta przyniósł kiedyś ogromny gwóźdź, oświadczając, że właśnie takie posłużyły do ukrzyżowania Chrystusa. Na szczęście nikt nie pokazał go przy tym palcem, ale wystarczało to, aby czuć się obco, mimo że nie miał żadnej innej ojczyzny. Rodziny Kochów i Einsteinów mieszkały w Wirtembergii od wieków, wszyscy mówili tym samym językiem, jego szwabska odmiana była mową jego dzieciństwa. Przyzwyczaił się, że jest jedynym Żydem w klasie. Być może wzmocniło to tylko jego naturalne samotnictwo.

Einstein twierdził, że właściwie nie zetknął się w Bawarii z poważniejszym antysemityzmem. Żydowskie pochodzenie sprawiało tylko, że czuł się kimś trochę innym niż reszta Niemców. W mniejszym stopniu utożsamiał się też z państwem, które przeżywało wówczas upojenie nacjonalizmem. Powstanie II Rzeszy Niemcy odczuwali jako wielki akt dziejowej sprawiedliwości. Albert nie poddawał się tym uniesieniom, patrzył z boku. W jego oczach szkoła jawiła się jako przedłużenie cesarstwa niemieckiego, choć w nieco łagodniejszej wersji bawarskiej. Według słynnej i wielokrotnie powtarzanej oceny uczonego nauczyciele szkoły podstawowej przypominali feldfebli, a profesorowie gimnazjum – poruczników. Pruscy feldfeble uchodzili za okrutnych nadzorców dyscypliny, porucznicy dokładali do tego pewną zimną ogładę. Trzeba nam wiedzieć, czym w ówczesnych Niemczech był porucznik: „Pruski porucznik szedł przez świat jak młodszy bóg, a mieszczanin porucznik rezerwy – niczym półbóg”. Oficerami w armii byli niemal wyłącznie dobrze urodzeni. Dla młodzieńców z rodzin mieszczańskich (choć z wyjątkiem Żydów, ateistów, socjaldemokratów i katolików) stopień porucznika rezerwy był awansem i zbliżeniem się do elity. Einstein po latach wspominał, że jeden z jego nauczycieli był porucznikiem rezerwy i bardzo się tym szczycił. Lubowano się w uniformach i defilowaniu paradnym krokiem (od ćwiczenia owego kroku Thomas Mann dostał zapalenia ścięgna i jego służba wojskowa zakończyła się przedwcześnie po kilku miesiącach). Był to częsty widok – Monachium było także miastem garnizonowym. Może ta wszechobecność wojskowego drylu skłoniła Alberta do następującej refleksji: „Każdy, komu sprawia przyjemność maszerowanie w szeregu przy dźwiękach muzyki, już przez to samo wywołuje we mnie uczucie pogardy; jedynie przez przypadek obdarzono go wielką mózgownicą, gdyż mlecz pacierzowy wystarczyłby najzupełniej na jego potrzeby”. Nie były to poglądy popularne w kraju, w którym starano się upodobnić klasy szkolne do oddziałów wojska, a stosunki nauczycieli i uczniów kształtować na wzór dyscypliny militarnej. Obchodzono uroczyści Dzień Sedanu – rocznicę zwycięstwa nad Francuzami, zmarłemu kanclerzowi Bismarckowi stawiano pomniki, a także poświęcone mu kolumny, jak kraj długi i szeroki. Cesarz Wilhelm II publicznie oświadczał, że szkoły powinny kształtować żołnierską krzepę i wychowywać młodzież na Niemców, a nie na Greków czy Rzymian.

Czemu więc Albert Einstein uciekł z Monachium – miasta, w którym się wychował, jedynego, jakie znał? Nie był sentymentalny, ale mimo to może nas dziwić, że uczony, który później tak wiele podróżował i często zmieniał miejsca pobytu, omijał zawsze Monachium. Czy jeszcze po latach dokuczała mu pamięć banalnych szkolnych powikłań, czy chodziło raczej o głębszą niechęć wobec tego, co już jako chłopak dostrzegł w Niemcach, świadomość, że Monachium nie było i nie mogło być jego ojczystym miastem? Ponieważ niemieckość była zadrą, do której nie chciał się przyznać, więc wolał nie pamiętać o rodzinnym mieście? Bo przecież obiektywnie – gdyby w ludzkim świecie mogło istnieć coś obiektywnego – Monachium to jedno z najświetniejszych miast europejskich, nie miało może splendoru Paryża, energii Londynu czy starożytności Rzymu, ale kwitło tu autentyczne życie kulturalne, artystyczne, naukowe. Gdyby nie był Żydem, w jakimś wszechświecie alternatywnym, spojrzałby może na stolicę Bawarii przychylniej, tak jak widział ją (choć nie bez iskierki ironii) w roku 1902 Thomas Mann:

Monachium jaśniało. Nad paradnymi placami i białymi kolumnami świątyń, nad klasycyzującymi pomnikami i barokowymi pałacami, nad tryskającymi fontannami, nad pałacami i ogrodami rezydencji rozpościerało się promienne niebo z błękitnego jedwabiu, a szerokie, jasne, objęte zielenią i doskonale rozplanowane arterie uliczne zalane były słonecznym żarem pierwszego pięknego czerwcowego dnia.
Szczebiot ptaków i utajona radość nad wszystkimi ulicami. A na placach i w zaułkach turkoce, wzbiera i szumi niespieszne, wesołe życie tego pięknego i dostojnego miasta. Podróżni wszelakiej narodowości jeżdżą po nim małymi powolnymi dorożkami wybiegając z niewybredną ciekawością spojrzeniem w prawo i w lewo na ściany domów i wstępując na szerokie zewnętrzne schody, wiodące do muzeów.
Wiele okien jest otwartych i z wielu wybiega na ulice muzyka, ćwiczenia na fortepianie, skrzypcach lub wiolonczeli, rzetelne i pełne dobrej woli wysiłki dyletantów. W «Odeonie» jednak, jak słychać, odbywają się poważne studia przy wielu fortepianach.
Młodzi ludzie gwiżdżąc motyw Nothunga i zapełniając wieczorem ostatnie rzędy modnego teatru wchodzą i wychodzą przez drzwi uniwersytetu i biblioteki państwowej z pismami literackimi w bocznych kieszeniach kurtek. (…) Młodzi malarze w okrągłych kapelusikach, zsuniętych w tył głowy, luźno zawiązanych krawatach i bez laski, beztroskie chłopaki, co opłacają komorne kolorowymi szkicami, idą oto na spacer, chcąc, aby to błękitne przedpołudnie wywołało w nich nastrój.

Urodzony w Lubece, Thomas Mann właśnie w Monachium rozpoczynał swoją pisarską karierę, obracał się wśród pisarzy, artystów, uczonych, przedstawicieli cyganerii i akademików, korzystał z bogatego życia koncertowego i teatralnego. Pisarz ożenił się tu, wychowywał dzieci, założył dom i gdyby nie naziści, prawdopodobnie nadal Monachium stanowiłoby centrum jego pracowitego życia.

Tymczasem Albert Einstein zjawił się u rodziców w Mediolanie, przekonując, że teraz będzie uczył się sam i że będzie zdawać na Politechnikę w Zurychu, która nie wymagała matury, jeśli się zdało egzamin wstępny. Zaczął uczyć się włoskiego i wszystko go we Włoszech zachwycało: galerie obrazów, życie uliczne, słońce. Nic nie wiemy o jego wizytach w monachijskich przybytkach sztuki, tamtejsze muzea, teatry i koncerty nie pozostawiły żadnych śladów. Może był za młody, nie miał jeszcze szesnastu lat. Ale przecież ktoś, kto czytał Kanta, musiał także z pewnością słyszeć o Wagnerze, o artystach, o uniwersytecie. Wydaje się, jakby młody Albert Einstein dopiero w Mediolanie odkrywał to, co mógłby z powodzeniem znaleźć także w swym rodzinnym Monachium, mieście z pewnością nie mniej europejskim.

Oczywiście, mogło tu swoje zrobić odkrycie Południa, co dla przybyszy z mniej nasłonecznionych krain bywało przeżyciem nieledwie mistycznym. Pisał Friedrich Nietzsche: „Nie mam dość siły na Północ – królują tam ciężkie i przemyślne dusze, pracujące tak wytrwale i koniecznie nad środkami ostrożności, niczym bóbr przy swej tamie. I pomyśleć, że spędziłem wśród nich całą młodość!” Także na Albercie Einsteinie Włochy wywarły wrażenie, chętnie wracał później do wspomnień, a nawet do języka włoskiego, którego nieźle się zdążył nauczyć, mimo że zawsze deklarował brak zdolności językowych, tłumacząc tym nawet swoją niechęć do programu klasycznego gimnazjum w Monachium. Odkrycie Południa rozciągnęło się też chyba dla niego na dłuższy czas: pod koniec grudnia Mediolan niekoniecznie jest dużo jaśniejszy od Monachium. Albert nie widział zresztą zbyt wiele Włoch oprócz Mediolanu, Pawii i Genui, krótkiego pobytu w Wenecji. Nie starał się też nigdy o zamieszkanie we Włoszech na stałe, nie myślał, aby tam studiować. Wracał jedynie na okresy wolne od zajęć na Politechnice w Zurychu, wcześnie też zaczął odkładać pieniądze na uzyskanie obywatelstwa szwajcarskiego.

Ucieczka z Monachium stała się dla młodego Alberta wyzwoleniem. Podobała mu się włoska bezpośredniość w obcowaniu z ludźmi, pod tym względem był raczej impulsywnym południowcem. Rzecz była jednak głębsza: on także nie należał do bobrów pracowicie wznoszących tamy, już prędzej był falą, która owe tamy przerywa. Włochy mogły też przemawiać do artystycznej strony jego osobowości, choć nigdy później nie interesował się szczególnie architekturą, rzeźbą czy malarstwem. Cenił ideał prostego życia ludzi wolnych, codzienną kulturę Włoch, ale bliższa stała mu się Szwajcaria i zapewne nie tylko z racji języka. W miarę jak kształtowały się jego poglądy polityczne, zaczął przeciwstawiać liberalną i demokratyczną Szwajcarię autorytarnym i zmilitaryzowanym Niemcom.

Jego ojczyzna i mała ojczyzna, Heimat, dały mu język: zarówno rubaszny szwabski dialekt, jak subtelny i dobitny środek wyrazu pisarzy i filozofów, uczył się coraz lepiej nim posługiwać, w nim formułował myśli, nie zmieniły tego nawet lata pobytu w Ameryce. Trudniejszym darem był trwały i głęboki głęboki sceptycyzm wobec obiegowych opinii. Postawy takiej nie nabywa się dobrowolnie i bezboleśnie, kto jednak potrafi z nią żyć i odnaleźć równowagę, ten nie będzie chciał się karmić łatwymi złudzeniami i nie zabraknie mu odwagi, by zrywać nawet silne więzy, kiedy wymaga tego wierność sobie. Albert Einstein nie mieścił się w żadnym opresyjnym systemie: to nie przypadek, że będzie jednym z nieprzejednanych przeciwników narodowego socjalizmu. Można sądzić, że nigdy by się z nim nie pogodził, nawet gdyby nie był Żydem.
Sceptycyzm łatwo prowadzi do zwątpienia. Einstein był jednak człowiekiem wiary. Dziecięcy zapał religijny przeniósł się na naukę i nigdy nie osłabł, nawet wtedy, gdy jego praca latami nie przynosiła owoców. Niezachwianie wierzył w bezosobowy i ponadosobisty ład świata i można by do niego zastosować, z większą może trafnością, to, co mówiono o Heinem: iż jest on Unglaubengenosse Spinozy – towarzyszem Spinozy w niewierze. Była to bowiem niewiara gorąca i żarliwa, a zarazem chłodna i poddana rozumowi i Albert gotów był jej służyć już w tamtej chwili, kiedy po raz pierwszy zadecydował o swym losie i na zawsze porzucił Monachium.

Marcel Grossmann – przyjaciel i współpracownik Einsteina

Było ich pięcioro w Sekcji VIA Politechniki w Zurychu (obecna ETH) – „matematycy”: Marcel Grossmann, Jakob Ehrat i Louis Kollros oraz „fizycy”: Albert Einstein i Mileva Marić. Sekcja VIA była wydziałem ogólnym Politechniki, przygotowującym przyszłych nauczycieli matematyki i fizyki. Uczyli się oni (w nieco odmiennych proporcjach) matematyki i fizyki, tylko podgrupa „fizyków” miała praktyczne zajęcia laboratoryjne. Politechnika w Zurychu (obok paryskiej Sorbony) przyjmowała na studia kobiety, należąc pod tym względem do nielicznych wyjątków w Europie. Dlatego Mileva Marić, uzdolniona Serbka z Wojwodiny, trafiła tam na studia. Mileva została z czasem żoną Alberta, Marcel należał do jego najbliższych przyjaciół. Wzorowo prowadzone notatki Grossmanna z wykładów służyły Albertowi pomocą przed egzaminami, Einstein był bowiem studentem niezbyt sumiennym, czytał prace wielkich fizyków na własną rękę i zajmował się tym, co mu się akurat wydawało interesujące, a nie tym, co wynikało akurat z programu studiów. Nie miał w szczególności zbyt wiele zapału do tych części matematyki, które wydawały się oderwane od zastosowań w fizyce. Stracił na tym zapewne, ponieważ wśród wykładowców matematyki na Politechnice byli uczeni tak wybitni jak Adolf Hurwitz i Hermann Minkowski. Nie orientował się wówczas – podobnie jak większość jego profesorów – że w przyszłości aparat matematyczny fizyki bardzo się powiększy.

W lipcu 1900 roku wszyscy oni, oprócz Milevy, uzyskali dyplom Politechniki. Grossmann i Kollros zostali dość szybko profesorami tej uczelni, Einstein natomiast nie mógł przez długi czas znaleźć pracy. Pisał do Grossmanna z domu rodziców we Włoszech:

Drogi Marcelu! Gdy wczoraj znalazłem twój list, byłem wzruszony wiernością i życzliwością, które nie pozwoliły ci zapomnieć o starym przyjacielu pechowcu. Niełatwo byłoby znaleźć lepszych przyjaciół niż ty i [Jakob] Ehrat. Nie muszę chyba mówić, że byłbym szczęśliwy, mogąc zająć się tak piękną sferą aktywności, i że dołożyłbym starań, by nie zawieść okazanego mi zaufania. Już od trzech tygodni jestem u rodziców i stąd usiłuję zdobyć posadę asystenta na jakimkolwiek uniwersytecie. Już dawno bym uzyskał posadę, gdyby nie intrygi Webera. Pomimo to staram się nie przeoczyć żadnej okazji i nie tracę humoru. Bóg stworzył osła i dał mu grubą skórę.
Mamy tu prześliczną wiosnę i cały świat uśmiecha się tak radośnie, że siłą rzeczy trzeba odrzucić wszelką hipochondrię. Poza tym moi muzyczni znajomi chronią mnie od zgorzknienia.
Co się tyczy nauki – przyszło mi do głowy parę pięknych pomysłów, ale muszą one jeszcze dojrzeć. (14 IV 1901)

Dzięki ojcu Grossmanna, który znał dyrektora Biura Patentowego w Bernie, Friedricha Hallera, Einstein trafił do niego na rozmowę kwalifikacyjną i został przyjęty do pracy jako ekspert techniczny III klasy. Było to w czerwcu 1902 roku, po dwóch latach niepewności i braku stabilizacji finansowej. Einstein przez całe życie wdzięczny był Grossmannowi za pomoc w tym trudnym momencie.

W roku 1912 Marcel Grossmann już jako profesor ETH zaproponował Einsteinowi profesurę na tej uczelni. Sytuacja była już zupełnie inna: Einstein był najwybitniejszym fizykiem Europy, a więc i świata, jego prace z teorii względności, fizyki statystycznej, fizyki kwantowej zasługiwały już nie na jedną, lecz na kilka Nagród Nobla. Teraz to ETH miała zyskać sławnego uczonego, Einstein zgodził się, ponieważ w Pradze, gdzie przebywał, nie czuł się zbyt dobrze, a Mileva była zupełnie osamotniona. Einstein pracował intensywnie nad teorią grawitacji. Miał wtedy ponoć zwrócić się do swego kolegi słowami: „Grossmann, pomóż mi, bo inaczej zwariuję”.

Pracowali wspólnie w ciągu niecałych dwóch lat, jakie spędził Einstein w Zurychu. Opublikowali dwie wspólne prace. Pierwsza z nich, tzw. Entwurf, była chybionym zarysem teorii grawitacji. To Grossmann skierował uwagę Einsteina na geometrię różniczkową Levi-Civity i Ricciego-Curbastro. Fizycy zawdzięczają Grossmannowi określenie tensor (samo pojęcie było znane). Praca Entwurf składała się z dwóch części: fizycznej autorstwa Einsteina oraz matematycznej autorstwa Grossmanna. Grossmann zaprezentował w swej części zarys geometrii różniczkowej znanej w tamtym momencie w sposób jednolity i do pewnego stopnia autorski. Nie była to matematyka, którą Grossmann uprawiał naukowo ani przedtem, ani później. Jego specjalnością była geometria wykreślna oraz konstrukcje geometryczne w geometrii nieeuklidesowej. Jak się wydaje, sam wolał się dystansować od odpowiedzialności za prezentowaną teorię fizyczną. Czy jego pomoc ograniczała się wyłącznie do kwestii technicznych? I tak, i nie. Brał on udział w obliczeniach, część z nich znajduje się w tzw. Notatniku z Zurychu, analizowanym szczegółowo przez historyków. Podejście czysto matematyczne nie doprowadziło do sukcesu. Teoria przedstawiona w Enwurf jest nieelegancka i nieprawdziwa fizycznie (co nie od razu było jasne). Potęga formalizmu geometrii różniczkowej nie była wykorzystana w pełni, obaj, jak się zdaje, nie doceniali jej wtedy. Grossmann nie interesował się zbytnio dalszym losem teorii grawitacji, w każdym razie ich współpraca skończyła się w sposób naturalny w roku 1914. Einstein wyjechał do Berlina, aby objąć najbardziej prestiżowe stanowisko w Niemczech, stworzone specjalnie dla niego: miał być członkiem Pruskiej Akademii Nauk otrzymującym wysoką pensję bez żadnych zobowiązań dydaktycznych. Max Planck i Walther Nernst, którzy mu tę posadę zaproponowali, liczyli, że Berlin utrzyma dzięki temu pozycję najważniejszego centrum fizyki w Niemczech. Silną konkurencją było Monachium, gdzie pracował Arnold Sommerfeld, a później także Getynga, w czasach Maksa Borna i Jamesa Francka. Marcel Grossmann nie pracował wiele naukowo, zajął się uczeniem matematyki oraz organizacją. Ich synowie chodzili potem do jednej klasy gimnazjalnej w Zurychu (Mileva zamieszkała tam po rozstaniu z Albertem.

Einstein dopiero w roku 1915 spostrzegł, że teoria Entwurf nie jest tym, o czym myślał. Chodziło o to, że nie dało się jej zastosować w układzie obracającym się. Tymczasem jedną z głównych idei „uogólnionej” czy „ogólnej” teorii względności było dopuszczenie dowolnych układów współrzędnych. Dzięki pracy poprzednich lat mógł teraz Einstein szybko wrócić do niedokończonych obliczeń i części układanki szybko się domknęły. A właściwie kolejno domykały w listopadzie 1915 roku. Przez cztery tygodnie opublikował wtedy Einstein cztery kolejne prace (był to rytm posiedzeń Akademii Nauk), przy czym każda następna zmieniała nieco wyniki poprzedniej. Powstał zamęt, w którym tylko sam Einstein umiał się odnaleźć. Toteż w roku 1916 napisał dużą pracę podsumowującą wyniki.

Był to największy sukces naukowy Einsteina, choć dopiero po latach stało się jasne, jak znakomitą i świetnie zgadzającą się z doświadczeniami teorię stworzył. Nie ulega też kwestii, że nikt inny wtedy by jej nie zbudował. Grossmann bardzo tu Einsteinowi pomógł, kierując go we właściwą z matematycznego punktu widzenia stronę. Był jednak w tę pracę zaangażowany w mniejszym chyba stopniu niż Besso, który brał udział w obliczeniach obrotu peryhelium Merkurego. Einstein nie miał nigdy współpracownika, który dorównywałby mu intelektualnie. Być może zresztą uczeni mający silne osobowości nie bardzo dają się zaprzęgnąć do pracy zespołowej czy nawet partnerskiej, mają bowiem wyraźnie sprecyzowane cele i własne wyobrażenie drogi do nich.

Galileusz i Torricelli: krzywe balistyczne (pierwsza połowa XVII wieku)

Rewolucja naukowa XVII wieku ukazała nowe zastosowania matematyki: poznano kształt orbit planetarnych, a także krzywą balistyczną – tor wystrzelonego bądź rzuconego ciała. Jedną z osobliwości rozwoju nauki na planecie Ziemia jest fakt, że skomplikowany eliptyczny ruch planet został odkryty przez Johannesa Keplera, zanim jeszcze poznano prosty paraboliczny kształt krzywej balistycznej. Odkrycia te były zupełnie od siebie niezależne, dopiero Isaac Newton potrafił dostrzec, że w obu przypadkach mamy do czynienia z przejawami ciążenia powszechnego.
Galileusz bardziej niż ktokolwiek inny przyczynił się do zmiany sposobu podejścia do nauki o ruchu: miała ona stać się matematyczna i ugruntowana w eksperymencie. Miała też być zupełnie nowa, osiągnięcia dawnych filozofów traciły gwałtownie na znaczeniu.

Jak pisał Galileusz w jednej ze swych zjadliwych polemik z jezuitą, o. Grassim (występującym pod nom de plume Sarsi):

„[Sarsi] zadaje pełne irytacji pytania: za kim zatem należałoby pójść? Może za Ptolemeuszem (…)? A może za Kopernikiem, od którego trzeba się jednak trzymać z daleka, z powodu potępienia jego hipotez? (…) w podejściu Sarsiego daje się zauważyć silna wiara, że w filozofii zawsze trzeba się opierać na opiniach jakiegoś sławnego autora, tak jakby nasza inteligencja, jeśli nie weźmie sobie za męża cudzego rozumu, musiała na zawsze pozostać sterylna i bezpłodna. Albo może jest on zdania, że filozofia jest czymś na kształt księgi lub wytworu ludzkiej fantazji, jak Iliada albo Orland szalony, czyli dzieła, w którym najmniej się liczy, czy to, co jest napisane, jest prawdą. Panie Sarsi, nie tak się rzeczy mają! Filozofia zawarta jest w tej przeogromnej księdze, którą ciągle mamy otwartą przed oczami (nazywam tę księgę wszechświatem), jednakże nie można jej pojąć, jeśli wpierw nie pozna się języka, nie pozna się znaków, za których pomocą została napisana. A księga ta została napisana w języku matematyki, i jej literami są trójkąty, koła i inne figury geometryczne” (przeł. T. Sierotowicz).

Odkrycie parabolicznego kształtu krzywej balistycznej jest jednym ze sławnych osiągnięć Galileusza. Brzmi prosto, ale wyjaśnianie, czemu tak jest, czy rzeczywiście tak jest i w jakich warunkach, zajęło uczonemu wiele lat i nie całkiem się udało pod względem matematycznym. W zadowalającej i eleganckiej formie ujął to dopiero Evangelista Torricelli, rozwijając prace mistrza. Starość Galileusza upłynęła w areszcie domowym po wyroku inkwizycji. Nawet kiedy umarł, papież Urban VIII zakazał uroczystego pogrzebu i uczonego pochowano w miejscu nie oznaczonym żadnym nagrobkiem. Pierwszym pomnikiem Galileusza było popiersie wybudowane przez jego ucznia Vincenza Vivianiego na ścianie własnego domu pół wieku później. Krzywa balistyczna znalazła się wsród emblematycznych osiągnięć wielkiego Toskańczyka. Po następnych czterdziestu latach szczątki uczonego doczekały się nie tylko uroczystego pochówku, ale i zaczęły być traktowane jak relikwie (do dziś przechowywane tu i ówdzie), co było może nieuniknione w kraju tak bardzo katolickim, lecz nieźle by ubawiło samego Galileusza.

Punktem wyjścia były w poprzednim stuleciu rozważania takie, jak u Niccolò Fontany, zwanego Tartaglia (czyli „Jąkała”). Chwalił się on, że rozwiązał zagadnienie krzywej balistycznej. W jego pojęciu ruch pocisku czy innego wystrzelonego ciała składa się z trzech etapów: z początku jest to prostoliniowy ruch wymuszony, na końcu jest to także ruch prostoliniowy, lecz naturalny: spadanie pionowo w dół. Obie te fazy miały uzasadnienie w fizyce Arystotelesa. Zdroworozsądkowym dodatkiem było uznanie, że między tymi dwiema fazami jest jeszcze krzywoliniowe interludium, o którym teoria nie mówiła nic. Zupełnie gołosłownie Tartaglia twierdził, że zasięg strzału jest największy, gdy strzela się pod kątem 45° do poziomu. Istniały zatem aż dwie teorie tego, co się miało dziać podczas ruchu, w dodatku żadna z nich nie była ilościowa ani matematyczna. Arystoteles prowadził rozważania jakościowe, „filozoficzne”. Tymczasem artylerzyści rozumieli, że z teorią czy bez, pociski lecą wzdłuż określonej trajektorii.

Pierwszym patronem młodego Galileo Galilei z Florencji był Guidobaldo del Monte. Wspólnie przeprowadzili oni doświadczenia dotyczące kształtu krzywej balistycznej. Puszczali w tym celu ukośnie kulkę zanurzoną wcześniej w atramencie po nachylonej płaszczyźnie. Odkryli, że krzywa balistyczna jest symetryczna i podobna do paraboli lub hiperboli. Błędnie utożsamili jej kształt z krzywą łańcuchową – opisującą kształt ciężkiego łańcucha zamocowanego z obu końców. Galileusz do końca życia był przywiązany do tej obserwacji, choć w późniejszych doświadczeniach sprawdził, że obie krzywe są do siebie zbliżone tylko wtedy, gdy są dość płaskie. W drugiej połowie XVII wieku, stosując rachunek różniczkowy i całkowy, ustalono, że linia łańcuchowa to kombinacja funkcji wykładniczych (cosinus hiperboliczny), a więc nie ma wiele wspólnego z krzywą balistyczną.

Zrozumienie, skąd bierze się parabola jako krzywa balistyczna, wymagało czasu i eksperymentów. Galileusz zrozumiał, że ruch poziomy i ruch pionowy są od siebie niezależne (jeśli tylko opór ośrodka możemy pominąć). Pionowy spadek jest ruchem przyspieszonym, a więc odległość rośnie jak kwadrat czasu. Razem z jednostajnym ruchem poziomym daje to właśnie parabolę. Pierwszy opublikował te rozważania w roku 1632 Bonaventura Cavalieri, młody matematyk, który był przekonany, że Galileusz musiał je kiedyś wcześniej ogłosić. Starszy uczony zareagował furią, ale Cavalieri jakoś go ugłaskał i przekonał, że nie miał złych intencji. Dowód Cavalieriego, a także opublikowany później dowód Galileusza, odnosiły się do przypadku rzutu poziomego. Galileusz nie udowodnił, ściśle rzecz biorąc, że w rzucie ukośnym także powstaje parabola.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Powstawanie paraboli odcinki pionowe przebywane w równych czasach mają się jak 1:3:5:7 (czyli całkowite drogi mają się jak 1:4:9:16).  Rysunek z książki Cavalieriego, Lo Specchio ustorio („Zwierciadło zapalające”), 1632 r.

Jednak to Galileusza należy uznać za odkrywcę kształtu toru, on pierwszy bowiem zrozumiał w zasadzie wszystko, co było potrzebne do matematycznego opisu krzywej balistycznej. Przeprowadził też doświadczenia, w których mierzył zasięg rzutu poziomego kulek staczających się z równi pochyłej o różnych wysokościach. Uczony wiedział, że prędkość kulek u podnóża równi jest proporcjonalna do pierwiastka z wysokości. Zmierzył, że zasięg rzutu x jest proporcjonalny do tej prędkości.

Dopiero Evangelista Torricelli domknął stronę matematyczną teorii i udowodnił, że także w ruchu ukośnym mamy do czynienia z parabolą.

Znalazł też prosty sposób przedstawienia maksymalnej wysokości oraz zasięgu rzutu w zależności od kąta. Jeśli AB jest maksymalną wysokością przy pionowym strzale, to należy skonstruować półokrąg, jak na rysunku. Dla dowolnego kąta wystrzału rysujemy linię AF: mamy wówczas maksymalną wysokość równą AE=h, odcinek EF=x/4 jest równy jednej czwartej zasięgu. Widać od razu, że maksymalny zasięg uzyskamy dla kąta \alpha=45^{\circ}. Widać też, że przy kątach różnych od 45^{\circ} każdemu zasięgowi odpowiadają dwie wartości kąta: można więc osiągnąć tę odległość za pomocą dwóch parabol: jednej mniej, a drugiej bardziej stromej.

Ruch paraboliczny jest wypadkową jednostajnego ruchu prostoliniowego i swobodnego spadku w kierunku pionowym. Reszta jest ćwiczeniem geometrycznym.

Także Torricelli zbadał kształt krzywej bezpieczeństwa: oddzielającej punkty będące w zasięgu strzału od tych, które są poza zasięgiem (przy danej prędkości pocisku). Krzywa ta także jest parabolą o wysokości równej wysokości strzału pionowego, a połowa jej szerokości równa się maksymalnemu zasięgowi strzału.


Książka Torricellego ukazała się w 1644 roku (choć wyniki zostały uzyskane jeszcze za życia Galileusza i stary mistrz miał okazję się z nimi zapoznać). W 1687 roku Isaac Newton pokazał, że dowolny ruch orbitalny jest złożeniem ruchu prostoliniowego i spadku swobodnego. Musimy tylko wziąć pod uwagę, że wielkość grawitacji zmienia się od punktu do punktu, a więc opis tego rodzaju słuszny jest jedynie w bardzo krótkim przedziale czasu. Jest to spora komplikacja matematyczna, pozwala jednak opisać w sposób jednolity rozmaite ruchy we wszechświecie. Tor wypadkowy będzie parabolą jedynie lokalnie, jego kształt w przypadku planet jest jedną z krzywych stożkowych. Podobno Isaac Newton tylko raz wybuchnął śmiechem: kiedy ktoś go zapytał, jaki jest pożytek z matematyki. Lepiej niż jego współcześni rozumiemy teraz głębokie powody tego śmiechu.

Obliczenia. Jeśli wprowadzimy układ współrzędnych poziomej – X i pionowej Y, to wektor  początkowej możemy zapisać jako \vec{v}=[v\cos\alpha, v\sin\alpha], a przyspieszenie ziemskie \vec{g}=[0,-g]. Równania ruchu mają więc postać:

\begin{cases} X=v\cos\alpha t,\\  Y=v\sin\alpha t-\dfrac{gt^2}{2v^2 \cos^2\alpha}.\end{cases}

Dla \alpha\neq \pi/2 równanie toru można obliczyć, wyznaczając t z pierwszego równania i wstawiając do drugiego:

Y=X\mbox{tg}\,\alpha -\dfrac{gX^2}{2v^2 \cos^2\alpha}.

Jest to równanie z funkcją kwadratową X po prawej stronie – tor jest więc parabolą. Łatwo można wyznaczyć współrzędne wierzchołka paraboli (za pomocą szkolnych wzorów albo szukając maksimum funkcji). W oznaczeniach z rysunków otrzymamy

\begin{cases} \dfrac{x}{2}=\dfrac{v^2}{g}\sin\alpha\cos\alpha,\\ \\h=\dfrac{v^2}{2g}\sin^2\alpha.\end{cases}

Ostatnie wyrażenie słuszne jest także dla \alpha=\pi/2, co wynika np. z ciągłości funkcji: gdy zbliżamy się do kąta \pi/2 wysokość maksymalna nie powina mieć skoku. Zatem maksymalna wysokość możliwa do osiągnięcia równa jest

AB=\dfrac{v^2}{2g}.

Odcinki na rysunku Torricellego są z naszego współczesnego (trygonometrycznego) punktu widzenia równe:

\begin{cases}\dfrac{EF}{AB}=\dfrac{EF}{AF}\cdot\dfrac{AF}{AB}=\cos\alpha\sin\alpha,\\ \\  \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AE}{AF}\cdot\dfrac{AF}{AB}=\sin^2\alpha.\end{cases}

Zasięg i maksymalna wysokość skalują się zatem jak odpowiednie funkcje trygonometryczne, \sin2\alpha oraz \sin^2\alpha.

Richarda Feynmana droga do równania Schrödingera (1941)

Jeszcze w trakcie swoich studiów pierwszego stopnia w MIT (ukończył je w 1939 r.) Feynman dowiedział się o trudnościach elektrodynamiki kwantowej. Teoria taka była niezbędna do opisania oddziaływań przy większych energiach: kiedy mogą tworzyć się albo anihilować pary elektron-pozyton. Obliczenia prowadziły jednak do całek rozbieżnych, teoria wymagała nowego podejścia.

W swoim wykładzie noblowskim Richard Feynman opowiada o kilku ideach, które starał się rozwijać w trakcie swoich dalszych studiów w Princeton (na egzaminach wstępnych z fizyki uzyskał tam komplet punktów, co zdarzyło się po raz pierwszy). W roku 1942 r uzyskał doktorat pod kierunkiem Johna Archibalda Wheelera i niebawem zaczął pracę w Projekcie Manhattan.

Jednym z pomysłów Feynmana było nowe sformułowanie mechaniki kwantowej. Poszukiwał podejścia, w którym można by opisać, co dzieje się z cząstkami w czasoprzestrzeni. Chodziło mu o teorię relatywistyczną, w której opis taki wydaje się naturalny. Należało się spodziewać, że zamiast hamiltonianu pojawi się tu lagranżian cząstek (sformułowanie Lagrange’a mechaniki daje się łatwo zapisać w postaci jawnie kowariantnej, w której zgodność z teorią względności jest punktem wyjścia, a nie dodatkowym założeniem). Na początek udało mu się sformułować w nowy sposób „starą” mechanikę kwantową, która liczyła wprawdzie dopiero piętnaście lat, lecz dla młodego człowieka była to już prehistoria. Właśnie to sformułowanie znalazło się w doktoracie.

Punktem wyjścia była rozmowa z Herbertem Jehle w „Nassau Inn” w Princeton któregoś wieczoru. Jehle, Niemiec, syn generała, był kwakrem i pacyfistą, wyemigrował z nazistowskiej ojczyzny, pracował w Brukseli, w końcu trafił do obozu internowania w Gurs w Pirenejach w republice Vichy, skąd trafił do Stanów Zjednoczonych. Jehle znał pewną pracę Paula Diraca, w której pojawiał się lagranżian. Nazajutrz wybrali się obaj do biblioteki, aby odszukać tę pracę z 1933 roku. Była ona opublikowana w dość nieprawdopodobnym miejscu, bo w rosyjskim czasopiśmie „Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion”.

Dirac pisze, jak znaleźć funkcję falową w chwili późniejszej t+\varepsilon z funkcji falowej w chwili t, korzystając z zasady Huygensa:

\psi(x,t+\varepsilon)={\displaystyle \int G(x,y)\psi(y,t)dy}.

Funkcja G(x,y) jest dziś zwana propagatorem cząstki. Funkcja falowa w późniejszym czasie jest więc sumą funkcji falowych w czasie wcześniejszym wziętą z odpowiednimi wagami – wagi te opisuje propagator. Angielski uczony stwierdził też, że propagator dla krótkich czasów „odpowiada” (corresponds to) wyrażeniu

e^{iL \varepsilon /\hbar},

gdzie L jest lagranżianem, \hbar – stałą Plancka. W wykładniku mamy tu działanie dla bardzo krótkiego czasu \varepsilon. Feynman spróbował natychmiast ustalić, co oznacza owa odpowiedniość. Jeśli wziąć dwa punkty x i y, to średnia prędkość cząstki powinna się równać

v=\frac{x-y}{\varepsilon},

a energia potencjalna powinna być także jakąś wartością średnią:

V=V(\frac{x+y}{2}).

Lagranżian to różnica energii kinetycznej i potencjalnej, a więc wyrażenie wykładnicze Diraca jest równe:

\exp\left(\frac{im(x-y)^2}{2\hbar\varepsilon}-\frac{i}{\hbar}V(\frac{x+y}{2})\varepsilon\right).

Dla niewielkich \varepsilon pierwszy składnik wykładnika będzie gwałtownie oscylował, drugi natomiast staje się coraz mniejszy i może być zastąpiony przybliżeniem liniowym. Oznaczając x-y=\xi i przyjmując, że „odpowiada” u Diraca znaczy „jest proporcjonalny”, mielibyśmy

\psi(x,t+\varepsilon) =A(\varepsilon) {\displaystyle \int \exp\left(\dfrac{im\xi^2}{2\varepsilon\hbar}\right)\left\{ 1-\dfrac{i\varepsilon}{\hbar}V(x-{\xi}/{2})\right\}\psi(x-\xi)d\xi}.

Ponieważ pierwszy czynnik pod całką gwałtownie oscyluje, więc możemy funkcję falową pod całką przybliżyć jej rozwinięciem Taylora wokół x:

\psi(x-\xi)\approx \psi(x)-\xi \dfrac{\partial \psi}{\partial x}+\dfrac{\xi^2}{2}\dfrac{\partial^2\psi}{\partial x^2}.

Także energię potencjalną możemy zamienić jej wartością w punkcie x. Całki po prawej stronie dają się w tym przybliżeniu bez trudu obliczyć i otrzymujemy:

\psi(x,t+\varepsilon)=\psi(x,t)-\dfrac{i\varepsilon }{\hbar}V(x)\psi(x,t)+\dfrac{i\hbar \varepsilon}{2m}\,\dfrac{\partial^2\psi}{\partial x^2}.

Możemy to równanie przekształcić do postaci

i\hbar \dfrac{\psi(x,t+\varepsilon)-\psi(x,t)}{\varepsilon}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+V(x)\psi(x,t),

co w granicy \varepsilon\rightarrow 0 przechodzi w równanie Schrödingera.

Jak opowiada Feynman, obliczenie to wykonał od razu w obecności Jehlego, który pilnie notował kolejne kroki.
Był to punkt wyjścia do całek Feynmana po trajektoriach (albo po historiach cząstki – jak nazwał to John Wheeler). Wyobraźmy sobie bowiem, że dany przedział czasu (0,T) dzielimy na N+1 podprzedziałów o długości \varepsilon każdy.

Propagator cząstki przyjmuje postać:

G(x,y)=A^{N+1}{\displaystyle \int\ldots\int \exp(\frac{i\varepsilon}{\hbar}(L(y,x_1)+L(x_1,x_2)+\ldots+L(x_N,x))dx_1\ldots dx_N}\mbox{(*)}.

Jeśli wyobrazimy sobie, że N\rightarrow\infty, to wykładnik w funkcji wykładniczej będzie dążył do całki działania pomnożonej przez czynnik i/\hbar:

\dfrac{i}{\hbar}S={\displaystyle \frac{i}{\hbar}\int_0^T L\left(x,\frac{dx}{dt}\right)dt}.

Mamy więc procedurę obliczania wartości G(x,y) za pomocą sumy po różnych możliwych trajektoriach. G można zinterpretować fizycznie: kwadrat modułu tej zespolonej wartości jest prawdopodobieństwem, że cząstka z punktu czasoprzestrzeni (y,0) przemieści się do punktu (x,T). Po drodze „próbuje” ona niejako wszelkich możliwych trajektorii i każda z nich daje wkład proporcjonalny do wartości działania:

G(x,T|y,0) \sim {\displaystyle \sum_{trajektorie}e^{iS[trajektoria]/\hbar}}.

Zapisujemy to następująco:

G(x,T|y,0)= {\displaystyle \int e^{iS[x(t)]/\hbar}{\mathcal D}[x(t)]}.

Całka Feynmana jest w istocie granicą wyrażeń (*) i w celu obliczenia jej wartości musimy wracać do tej definicji. Okazuje się jednak, że sformułowanie to pozwala nie tylko spojrzeć inaczej na znaną fizykę, ale także umożliwia konkretne numeryczne obliczenia metodą Monte Carlo. Pozwala też łatwo zrozumieć, czemu przechodząc od fizyki kwantowej do klasycznej, otrzymujemy zasadę najmniejszego działania.

Wartości potrzebnych całek wynikają ze znanego wzoru:

{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^2}dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}} }.

Jest on słuszny także dla czysto urojonych wartości \alpha. Różniczkowanie tego wzoru po \alpha generuje nam także całkę \int x^2 e^{-\alpha x^2} dx. Stała A równa jest

A=\sqrt{\dfrac{m}{2\pi i\hbar \varepsilon}}.

Kiedyś napiszę może trochę więcej na temat obliczania całek przez Feynmana, nieprzypadkowo zajmował się on w Los Alamos nadzorowaniem praktycznych obliczeń numerycznych – jak mało kto potrafił bowiem szybko obliczyć niemal wszystko, co daje się obliczyć metodami klasycznej analizy.

 

Galileo Galilei, Dialog o dwu najważniejszych układach świata, 1632 (2/2)

Galileuszowy Dialog rozgrywa się w pałacu Sagreda w Wenecji, dokąd przybywają na dyskusję Filippo Salviati i Simplicio (pedanterią byłoby w tym miejscu wytykanie autorowi, że Sagredo i Salviati nigdy się nie spotkali). Ich wymiana myśli odbywa się więc nie później niż w roku 1614, kiedy obaj przyjaciele uczonego jeszcze żyli, a więc przed ogłoszeniem dekretu Kongregacji Indeksu w sprawie Kopernika, w czasie gdy swobodna dyskusja była jeszcze możliwa. Rozmowy podzielone są na cztery kolejne dni i nie zawsze trzymają się ściśle wyznaczonego tematu. Przydaje to Dialogowi naturalności, a autorowi stwarza okazję, aby zatrącić o pewne kwestie, nie trzymając się zawsze ustalonego porządku. Ten pozorny chaos Galileuszowych dyskusji był zamierzony, choć niektórzy czytelnicy czuli się z tego powodu zagubieni. Osobisty ton rozważań miał do odegrania niezwykle ważną rolę: czytelnik uświadamia sobie, że zwolennicy nowej kosmologii nie są jakimiś ignorantami czy szaleńcami, wręcz przeciwnie: znają większość tradycyjnej nauki i argumentów geocentrycznych, lecz odrzucają je po dojrzałym namyśle. Salviati jest Simpliciem, który nauczył się matematyki, przemyślał swoje poglądy i opanował wiele nowych idei. Sagredo, mając do wyboru argumenty tradycjonalistów i nowe idee, przychyla się z reguły do tych nowych, nie dlatego wszakże, że są nowe, lecz dlatego, że lepiej objaśniają świat, kiedy im się przyjrzeć bez uprzedzeń. Największą wartością Dialogu był właśnie pewien eksperyment poznawczy: wyobrażenie sobie świata na wzór kopernikański i rozważenie różnych tego konsekwencji. Okazuje się, że nie tylko można być zwolennikiem Kopernika, nie tracąc zdrowego rozsądku, ale że nie sposób już być konsekwentnym zwolennikiem Ptolemeusza. Galileusz sprowadził rozważania do ostrej dychotomii: albo Ptolemeusz, albo Kopernik. Pominął całkiem układ Tychona, choć można twierdzić, że z jego punktu widzenia rozwiązanie Tychona nic nie wnosiło, zajmował się bowiem głównie pytaniem, czy Ziemia jest planetą i się porusza, a w tej kwestii duński astronom był równie konserwatywny jak starożytni Grecy.

Giovanni Francesco Sagredo (Ashmolean Museum)

Pierwszy dzień rozmów poświęcony jest tematowi jedności materii we wszechświecie. Wedle Arystotelesa niebiosa zbudowane są z eteru, takie też stanowisko obowiązywało w zasadzie jezuitów, choć, jak pamiętamy, ich największy teolog, Bellarmin, prywatnie uważał, że niebiosa mogą być z ognia. Tak czy inaczej, zwolennicy tradycji nie chcieli żadną miarą uznać, aby Ziemia miała w czymś przypominać ciała niebieskie. Galileusz przede wszystkim pokazuje, że powszechnie znane i nauczane na uniwersytetach argumenty Arystotelesa są nic niewarte. Poprawia zresztą greckiego filozofa z upodobaniem niemal w każdej sprawie. Gdy Simplicio, który jest skarbnicą książkowych mądrości, przytacza opinię Arystotelesa, że ciała mają trzy wymiary: długość, szerokość i głębokość, gdyż liczba trzy jest doskonała, Salviati zauważa natychmiast, że nie ma czegoś takiego jak doskonałość sama przez się, gdyż doskonałość służy zawsze jakiemuś celowi: zwierzęta np. mają parę nóg albo cztery nogi, a nigdy trzy. Co do geometrii, proponuje inny sposób podejścia. Można bowiem z dowolnego punktu wytyczyć trzy wzajemnie prostopadłe proste. Simplicio nie całkiem rozumie, czemu akurat trzy – winę ponosi tu jego brak edukacji matematycznej. Galileusz nie wiedział, że mogą istnieć geometrie wielowymiarowe, ale jego podejście zadowoliłoby współczesnego fizyka: wymiar przestrzeni należy do faktów empirycznych i określamy go sprawdzając, jaki rodzaj geometrii stosuje się do przestrzeni. I oczywiście doskonałość liczby trzy nie ma tu nic do rzeczy.

U Arystotelesa kierunki do góry i w dół miały sens absolutny i związane były z elementami ognia i powietrza – naturalnie wznoszącymi się w górę, oraz wody i ziemi – naturalnie spadającymi w dół. Z eterem związany był ruch kolisty – co objaśniać miało wieczność i niezmienność świata nadksiężycowego. Galileusz kwestionuje te rozumowania, zawierające jako założenie to, czego się dopiero chce dowieść. „Wszystko to wygląda tak, jakby celem Arystotelesa było przemieszanie nam kart w ręku i dostosowanie planu architektonicznego do świata już zbudowanego, a nie budowanie świata wedle wskazań architektury. Jeżeli bowiem oświadczę, że we wszechświecie istnieć mogą tysiące ruchów kołowych, a co za tym idzie, tysiące ośrodków, to otrzymamy też wówczas tysiące ruchów w górę i w dół” – stwierdza Sagredo. Uczony rozmontowuje i unieszkodliwia krok po kroku całą arystotelesowską machinę argumentów, stanowiącą wówczas podstawową wiedzę, jaką wynosiło się z uniwersytetów. Trudno sobie wyobrazić, aby zadania tego podjął się ktoś przepełniony respektem dla instytucji akademickich. Galileusz nie mógł zniszczyć tradycyjnej kosmologii w sposób łagodny, operacja ta musiała też wywoływać reakcje obronne u tych, którzy wychowali się w arystotelesowskiej wierze. Nie doceniamy dziś siły tamtej tradycji i Dialog nie wywołuje już u nas wstrząsu intelektualnego, wtedy jednak chodziło o zakwestionowanie całego systemu wyjaśniania i wyobrażania sobie świata.

W niektórych założeniach Galileusz nie odbiega jednak od Arystotelesa: obaj uważali świat za doskonale uporządkowaną całość – po grecku „kosmos”. W kosmosie Arystotelesa ruchy prostoliniowe ograniczone były do bezpośredniego sąsiedztwa Ziemi, dlatego ruch prostoliniowy i naturalny musiał mieć początek i koniec. Także Galileusz wzdraga się przed ruchem prostoliniowym: „W dodatku zważmy, że ruch po linii prostej z natury swojej jest nieskończony, gdyż sama linia prosta jest nieskończona i nieokreślona. Jest więc niepodobieństwem, by coś ruchomego miało z przyrodzenia swego właściwość poruszania się po linii prostej, to jest do celu, którego nie sposób osiągnąć, ponieważ nie posiada on kresu. Jak zresztą sam Arystoteles bardzo słusznie zaznacza, przyroda nie nakreśla sobie zadań, które nie mogą być osiągnięte, i nie zwykła jest zmierzać tam, dokąd dojść nie można”. Widzimy, że droga do sformułowania I zasady dynamiki była jeszcze długa – Isaac Newton urodził się w roku śmierci Galileusza.

Chcąc, aby kosmos był uporządkowany, Galileusz zakłada w nim istnienie ruchów kołowych. W odróżnieniu od Arystotelesa uważa, że nie potrzebują one jednak żadnego poruszyciela, mogą trwać niezakłócone w nieskończoność. By wyjaśnić początek układu planetarnego, odwołuje się do swej hipotezy, w myśl której Stwórca wypuścił na początku planety z jednego punktu i spadały one ku Słońcu ruchem przyspieszonym aż do chwili, gdy każda osiągnęła przepisaną odległość od Słońca. Wówczas ich ruch zmienił kierunek na obiegowy, ale wartości ich prędkości się nie zmieniła. Kosmogonia w wydaniu Galileusza przypomina nieco jego własne eksperymenty, w których zmieniał on kierunek prędkości – np. po stoczeniu się kulki z równi pochyłej na płaski stół – i obserwował, że jej wartość pozostaje taka sama. Uczony traktował te spekulacje jako pewne uzupełnienie Platońskiego Timajosa, gdzie opowiedziana jest historia o zbudowaniu świata przez demiurga. Wyniki jego obliczeń zdawały się zgodne z danymi na temat planet. Matematyk Wielkiego Księcia nie mówił o siłach i ciężkości, tym bardziej ciężkości powszechnej, jego mechanika była kinematyką. Hipoteza kosmogoniczna Galileusza była później rozważana z całą powagą przez Isaaca Newtona, który zauważył, że grawitacja Słońca musiałaby zostać podwojona w chwili zmiany kierunku prędkości.

Sagredo pyta, czy prędkość nie mogłaby zostać nadana planecie w sposób skokowy, po co to spadanie i przechodzenie kolejnych prędkości? „Ja nie powiedziałem i nie śmiałbym twierdzić, że dla natury i Boga byłoby niemożliwe nadanie takiej, jak mówicie, prędkości, i to natychmiast. Twierdzę jedynie, że de facto natura tego nie czyni. Takie rozwiązanie stałoby poza naturalnym biegiem rzeczy, a więc należałoby do dziedziny cudów” – odpowiada Salviati. Galileusz podkreśla, że nie ogranicza w ten sposób boskiej wszechmocy, bada jedynie świat taki, jaki dany jest nam w doświadczeniu, tak a nie inaczej stworzony. Koronny zarzut wobec niego będzie oparty na niezrozumieniu natury działalności naukowej. Florentyńczyk czuł się badaczem kosmosu już stworzonego, zupełnie nie interesowały go pytania o atrybuty samego Stwórcy. Rozważając choćby niezobowiązująco, jak mógł powstać układ planetarny, ryzykował oskarżenie, że wkracza na teren zastrzeżony dla Księgi Rodzaju. Spekulacje na temat puszczenia w ruch machiny kosmicznej prowadził zresztą także Kartezjusz, katolik z pewnością nie mniej liczący się z głosem Kościoła niż Galileusz. W miarę poznawania praw ruchu nieuniknione były tego rodzaju spekulacje, zaglądające niejako Stwórcy przez ramię.

Rozumowania Arystotelesa nie miały wartości: „Ani Arystoteles, ani wy sami nigdy nie będziecie w stanie dowieść, że Ziemia de facto znajduje się w środku wszechświata. A jeżeli może być mowa o określeniu jakiegoś środka wszechświata, to okaże się, że raczej Słońce może być w nim umieszczone”. W trakcie dalszych rozważań Galileusz podkreśla, że nie sposób ustalić, czy wszechświat w ogóle ma jakiś środek. Słońce jest środkiem ruchu planet, nie znaczy to jednak wcale, że musi być zarazem środkiem całego wszechświata. Urzędowi czytelnicy ze Świętego Oficjum nie zwrócili bądź woleli nie zwracać uwagi na te stwierdzenia Dialogu i przypisano Galileuszowi pogląd, że Słońce jest w środku świata. Jeśli ani Ziemia, ani Słońce nie były środkiem, to pozostawała wizja Bruna i Kartezjusza: nieskończonego wszechświata z nieskończoną mnogością „środków” w postaci gwiazd okrążanych przez planety.

Kosmos Galileusza nie musi być niezmienny. Podobnie jak Ziemia nie byłaby doskonalsza, gdyby „była cała jednym rozległym piaszczystym pustkowiem czy kulą z jaspisu, czy też gdyby w czasie potopu zamarzły pokrywające ją wody, a ona stała się olbrzymim globem zlodowaciałym; gdyby na niej nic się nie rodziło, nic nie przeobrażało i nie zmieniało (…) Im bardziej zagłębiam się w niedorzeczność rozpowszechnionych pojęć, tym bardziej stają się one dla mnie lekkomyślne i bezsensowne. Czyż można sobie wyobrazić większą głupotę aniżeli nazywanie rzadkich kamieni, srebra i złota kosztownościami – a ziemi i błota marnościami? I jakże tym ludziom nie przychodzi tu na myśl, że jeśliby ziemia należała do takich rzadkości jak klejnoty i najcenniejsze metale, to nie znalazłby się książę, który by nie poświęcił worka diamentów i rubinów oraz czterech wozów złota, by mieć przynajmniej garść ziemi, wystarczającą do posadzenia w małym wazoniku jaśminu czy zasiania pomarańczy chińskiej, aby przyglądać się, jak wschodzi, rośnie, okrywa się pięknymi liśćmi, pachnącymi kwiatami, wdzięcznymi owocami. (…) Ci, którzy egzaltują się niezniszczalnością, niezmiennością itd., dochodzą, jak sądzę, do wypowiadania podobnych stwierdzeń jedynie dlatego, że w obawie przed śmiercią pragną przetrwać jak najdłużej”. Dla Galileusza Ziemia – taka, jaka jest – nie jest niedoskonała. Wcale nie przeszkadza mu myśl, że podobne do niej mogą być inne ciała niebieskie. Przekonanie, że cały kosmos ma służyć jedynie Ziemi i jej mieszkańcom, wkłada w usta Simplicia: „Dla wygody człowieka rodzą się konie, dla żywienia koni ziemia wydaje trawę, a obłoki dostarczają jej wody. Dla wygody i wyżywienia ludzi rodzą się trawy, zboża, owoce, zwierzęta, ptaki, ryby, i w ogóle, jeśli starannie zbadamy i zgłębimy wszystkie te rzeczy, dojdziemy do wniosku, że cel, ku któremu wszystko to zmierza, to potrzeba, pożytek, wygoda i przyjemność człowieka. A jaki pożytek mogłyby mieć dla rodzaju ludzkiego płody powstające na Księżycu czy na innej planecie? Bo chyba nie chcielibyście mnie przekonywać, że na Księżycu są również ludzie, korzystający z rodzących się na nim owoców; myśl taka bądź trąci bajką, bądź jest bezbożna”. Z argumentami tego rodzaju spotykał się Galileusz nie raz. Odpowiada, że nie wydaje mu się prawdopodobne, by na Księżycu byli ludzie, ale to jeszcze wcale nie oznacza, że nie może tam być żadnych zmian. Naszą wyobraźnię kształtują doświadczenia; ktoś, kto mieszkałby w lesie i nie znał żadnych zbiorników wodnych, nie potrafiłby sobie wyobrazić ryb ani statków przepływających oceany. Wrażliwość Galileusza jest raczej panteistyczna niż antropocentryczna: różnorodność i porządek w naturze są dla niego źródłem zachwytu, Stwórca w jego pojęciu nie ograniczył się tylko do zapewnienia bytu ludziom, lecz stworzył naturę godną podziwu i badania dla niej samej.

Simplicio opisuje swym rozmówcom Księżyc i wychodzi mu z rozumowań, że musi on być zrobiony ze szczególnie twardej i nieprzenikliwej materii. „Jakżeż piękny byłby ten materiał niebieski do budowania pałaców, jeśliby można było nabyć coś równie twardego i przezroczystego” – wzdycha Sagredo, po czym obaj z Salviatim zastanawiają się, czy mieszkańcy obijaliby się o te niewidzialne ściany, czy też nie – biorąc pod uwagę, że materia niebios jest także niedotykalna. Galileusz przedstawia argumenty za tym, że także Ziemia widziana z daleka byłaby podobna do Księżyca. Charakterystyczna jest jednak ostrożność, z jaką uczony przedstawia wnioski dotyczące tak odległych światów, jak dalekie planety – ostrożność ta bardzo kontrastuje z beztroską pewnością siebie wszystkich Simpliciów, z którymi przychodziło mu się stykać. Galileusz cały czas podkreśla, że rozumiemy bardzo niewiele. Wprowadza tu rozróżnienie poznania ekstensywnego i intensywnego. W sensie ekstensywnym zawsze skazani jesteśmy na znajomość drobnego ułamka tego, co jest we wszechświecie. „Ale biorąc pod uwagę drogę intensywną – o ile pojęcie intensywności oznacza intensywne, a więc doskonałe zrozumienie – umysł ludzki poznaje, zdaniem moim, niektóre zagadnienia tak doskonale i z taką absolutną pewnością, jaką posiada tylko przyroda. Takimi są właśnie czyste nauki matematyczne, a więc geometria i arytmetyka – w których rozum boży zna nieskończenie większą liczbę prawd – gdyż zna je wszystkie – jednak z tych niewielu znanych rozumowi ludzkiemu mieści się, według mnie, poznanie równe bożemu w obiektywnej pewności, gdyż dochodzi do zrozumienia zawartej w nich konieczności – a nie może chyba istnieć większa pewność aniżeli właśnie ta”. Ta piękna intuicja platońska stała się jednym więcej kamieniem obrazy dla sędziów uczonego. Warto zwrócić uwagę, że podobne przekonania nie były wyłączną własnością Galileusza: tak samo myśleli Kepler i Kartezjusz, i większość tych, którzy w XVII wieku stworzyli nowożytną naukę.

Dzień drugi Dialogu poświęcony jest kwestii ruchu obrotowego Ziemi wokół osi. Galileusz przytacza (ustami Sagreda) charakterystyczną anegdotę: „Byłem pewnego dnia w domu bardzo szanowanego w Wenecji lekarza. Jedni odwiedzali go ze względu na swoje studia, a inni przez ciekawość, by zobaczyć sekcję, przeprowadzaną ręką tego równie uczonego, jak sumiennego i zręcznego anatoma. Tego dnia właśnie zdarzyło się, że poszukiwał on miejsca, skąd biorą początek nerwy, na temat których toczy się sławny spór między lekarzami-galenistami i perypatetykami. Anatom pokazał, jak wielki pęk nerwów, wychodząc z mózgu i idąc przez potylicę, schodzi wzdłuż stosu pacierzowego, rozgałęziając się na całe ciało, tak że jedno tylko włókno, cieniutkie jak nić, dochodzi do serca. Zwracając się następnie do pewnego szlachcica, którego znał jako filozofa-perypatetyka i gwoli którego ze szczególną dokładnością odsłonił i zademonstrował to wszystko, zapytał go, czy mu to wystarcza i czy nabrał pewności, że nerwy biorą początek w mózgu, a nie w sercu, na co ów filozof po krótkim namyśle odpowiedział: «Pokazaliście mi to wszystko w sposób tak jasny i dotykalny, że gdyby tekst Arystotelesa, według którego nerwy powstają w sercu, nie był z tym sprzeczny, to musiałbym siłą rzeczy uznać wasze twierdzenie za prawdę»”. Galileusz uwielbiał dworować z niesamodzielności intelektualnej zwolenników Arystotelesa, którzy uznawali greckiego filozofa za wyrocznię we wszystkich sprawach, choć po części rozumiał, skąd się to bierze. Simplicio tłumaczy, że pisma Arystotelesa tworzą wspaniały, skomplikowany gmach i trzeba znać je wszystkie, by rozumieć właściwie ich treść. Rzeczywiście gmach wiedzy zbudowany, czy raczej nadbudowany, przez średniowiecze nad naukami Greka mógł imponować i stwarzać wrażenie ostatecznej prawdy. W czasach Galileusza tacy filozofowie, jak Borro czy Cremonini, przez całe życie nie zajmowali się niczym innym jak komentowaniem tego korpusu wiedzy i dociekaniem, co Filozof naprawdę miał na myśli. Ludzie o takim nastawieniu, nawet słysząc o wynalazku teleskopu, potrafili znaleźć ustęp u Arystotelesa, gdzie się o nim wspomina. Oczywiście Sagredo i Salviati bawią się, przywołując anegdoty tego rodzaju. Także astrologia i alchemia traktowane są niezbyt serio: „W podobny sposób alchemicy, pod wpływem uporczywego maniactwa, utrzymują, że wszystkie najwznioślejsze umysły świata zajęte były jedynie opisywaniem sposobów wytwarzania złota (…) Jest rzeczą nadzwyczaj zabawną rozczytywanie się w ich komentarzach do poetów antycznych, u których dopatrują się największych tajemnic ukrytych pod osłoną baśni: co oznaczały miłostki bogini Księżyca i jej zejście na ziemię w pogoni za Endymionem, jej gniew na Akteona, przemiana Jowisza raz w złoty deszcz – to znów w palące się płomienie”. Czytając takie fragmenty, zaczynamy się zastanawiać, jak bardzo wiarygodne były dla Galileusza opisy cudów chrześcijańskich, czy jeśli w ogóle traktował je serio, to nie sądził, że należałoby je odrzeć z otoczki zbyt naiwnych stwierdzeń. Jak się zdaje, niedługo przed Dialogiem uczony napisał jakiś traktat poświęcony naturalistycznym wyjaśnieniom cudów, który się jednak nie zachował.

Wśród argumentów przemawiających za wirowaniem Ziemi był i ten, że łatwiej wyobrazić sobie nieruchomy wszechświat z niewielką wirującą Ziemią niż odwrotnie. Sagredo mówi: „Uważałbym tego, kto mniema, że słuszniej jest kazać poruszać się całemu światu, byle tylko utrzymać w bezruchu Ziemię, za mniej rozsądnego od kogoś, kto wzniósłby się na szczyt waszej kopuły (*) tylko po to, by spojrzeć na miasto wraz z otaczającymi je osiedlami, i domagał się, by cała okolica obracała się dokoła niego, byleby on nie ponosił trudu obracania głowy”. Simplicio widzi jednak sytuację inaczej: „O ile jednak chodzi o potęgę Tego, który wszystko wprawia w ruch – a przecież jest ona nieskończona – to nie mniej Mu łatwo poruszyć wszechświat aniżeli Ziemię czy słomkę. A skoro ta potęga jest nieskończona, to dlaczego nie miałaby raczej objawiać się większa jej część aniżeli mniejsza?”

Standardowy argument przemawiający za nieruchomością Ziemi był taki, że gdyby ona wirowała ciało swobodnie upuszczone ze szczytu wieży musiałoby spaść daleko na zachód od jej podnóża. Odmianami tego argumentu były doświadczenia z armatami: strzelając pionowo w górę, powinniśmy zaobserwować podobny efekt przesuwania się Ziemi pod pociskiem, który musiałby spaść daleko od miejsca wystrzału. Długości strzałów na wschód i na zachód powinny się różnić od siebie. „Jaka szkoda, że artyleria nie istniała za czasów Arystotelesa. Przy jej pomocy pokonałby on niewiedzę i mówił bez żadnego wahania o sprawach wszechświata” – stwierdza sarkastycznie Sagredo. Galileusz szczegółowo analizuje takie sytuacje, wykazując, że ruch Ziemi nie wpływa na obserwowany przebieg zjawisk.

Od czasu do czasu broniący wciąż stanowiska kopernikańskiego Salviati czuje się w obowiązku przypomnieć, że jest to jedynie jego rola w Dialogu, a nie wewnętrzne przekonanie. Ale zarówno zwolennicy, jak przeciwnicy Kopernika (i Galileusza) uznali, że gra toczy się bardziej serio, niż twierdziły persony Dialogu.

Badanie konsekwencji względności ruchu zajęło dużą część rozważań tego dnia. Pojawia się tam także dość osobliwy fragment, w którym Galileusz stara się spojrzeć na spadek swobodny na obracającej się Ziemi z punktu widzenia kogoś, kto się nie obraca razem z nią. Prędkość wirowania Ziemi udzieli się wówczas spadającemu ciału i jego tor będzie jakąś linią krzywą. Jaką konkretnie krzywą? Łukiem okręgu kończącym się w środku Ziemi – odpowiada Salviati. Sam Galileusz mówił o tym fragmencie bizzarrìa – czyli fantazja, i rzeczywiście koncepcja jest osobliwa (i nieprawdziwa). Dyskusje na takie wydumane tematy, jak tor spadku do środka Ziemi, miały już swoją tradycję i posunęły naprzód rozumienie fizyki ruchu; słynna wymiana listów na ten temat miała odbyć się w przyszłości między Robertem Hookiem a Isaakiem Newtonem i stała się ważnym bodźcem dla profesora z Cambridge.

Innym argumentem przeciwko ruchowi obrotowemu Ziemi był brak obserwowanej siły odśrodkowej. Galileusz stara się wykazać, że taka siła w ogóle w przypadku Ziemi nie występuje. Idzie tu zbyt daleko. Trzydzieści lat później Isaac Newton, nieznany wtedy jeszcze nikomu, czytając Dialog, obliczy wartość tej siły i udowodni, że jest ona wprawdzie znacznie mniejsza od siły ciążenia, ale różna od zera.

Dzieło Galileusza stanowiło raczej początek, wstęp do dalszych badań. Autor, wykazując cierpliwie, skutecznie i konsekwentnie, że Arystoteles nic nie wiedział o ruchu, działał na współczesnych mu konserwatystów zaiste jak artyleria.

Na celowniku uczonego znalazła się antykopernikańska książeczka Lochera, ucznia Christopha Scheinera, prawdopodobnie ich wspólne dzieło.

Spiralne spadanie ciał na obracającą się Ziemię ze sfery Księżyca. Trwa sześć dni (Johann Georg Locher, Disquisitiones mathematicae, de controversiis et novitatibus astronomicis, Ingolstadt 1614). Oś obrotu Ziemi νλ jest na rysunku pozioma; spadek kuli z punktu A nad równikiem odbywa się po spirali, która prostopadle przecina rysunek aż do punktu B. Linia przerywana zaczynająca się w γ jest torem kuli spadającej znad miejsca na Ziemi położonego w umiarkowanej szerokości geograficznej (tak jak Ingolstadt). Jezuici wyobrażali sobie, że cała sfera Księżyca musiałaby u Kopernika wirować w ciągu doby.

SAGREDO: Ach, jakież piękne rysunki, co za ptaki, co za kule – a co to za inne piękne rzeczy?

SIMPLICIO: To kule, które przybywają ze sfery księżycowej.

SAGREDO: A to, cóż to takiego?

SIMPLICIO: To małża, z gatunku tych, które u nas w Wenecji nazywają buovoli. I ona też przybywa ze sfery księżycowej.

SAGREDO: Tak jest istotnie. Oto dlaczego Księżyc wywiera tak wielki wpływ na pewne stwory morskie z gatunku ostrygowatych.

Otóż autorzy ci, chcąc zdyskredytować ideę ruchu Ziemi, postarali się wykonać pewne obliczenia: ile mil na godzinę przebywa punkt na równiku, a ile na innych równoleżnikach, a także jaką drogę przebędzie w ciągu minuty, a nawet sekundy. Cel propagandowy tych obliczeń był oczywisty: prędkość wirowania Ziemi jest porównywalna z prędkością dźwięku, a więc wydaje się ogromna nawet i dziś. Chodziło o to, by idea ruchu Ziemi wydała się absurdalna. Autorzy następnie wyobrażają sobie spadek kuli armatniej ze sfery Księżyca, co miałoby, ich zdaniem, trwać sześć dni.

„Otóż, jeśliby wszechmocą boską czy też za sprawą jakiegoś anioła cudownie została przeniesiona tam, wysoko, wielka kula armatnia, umieszczona w naszym zenicie i puszczona stamtąd swobodnie, to wówczas, zdaniem autora i moim – mówi Simplicio – byłoby rzeczą najbardziej niewiarygodną, by spadając w dół, utrzymywała się zawsze na linii naszego pionu, w ciągu tylu dni zachowując wciąż wraz z Ziemią ruch obrotowy naokoło jej środka, zakreślając na równiku linię spiralną w płaszczyźnie tego największego koła, podczas gdy na równoleżnikach zakreślałaby linie spiralne naokoło stożków, a na biegunach spadałaby po zwykłej linii prostej”. Salviati pyta o założenia dotyczące spadku ze sfery Księżyca na Ziemię. Jezuici wyobrażali sobie, że spadanie takie byłoby jednostajne, w dodatku popełnili prosty błąd obliczeniowy: skoro cała sfera Księżyca obraca się raz na dobę, to spadanie z taką prędkością do centrum powinno zająć 2π razy krócej, czyli mniej niż 4 godziny, a nie sześć dni. Już lepiej z geometrią radzą sobie bednarze – zauważa Salviati. Przy okazji przedstawia prawo spadku przyspieszonego: „Studiowałem wszystkie te sprawy z największą radością i zachwytem, widząc, że powstaje cała nowa dziedzina wiedzy. Dotyczy ona spraw, o których napisano już setki tomów, a żadne z nieskończenie wielu cudownych odkryć, które obejmuje, nie zostało zauważone i zrozumiane przez nikogo wcześniej, aż dopiero przez naszego przyjaciela [tj. Galileusza – J.K.]”. Galileusz oblicza, jak długo spadałaby kula z wysokości Księżyca, jeśli wiadomo, że z wysokości stu łokci spada w ciągu pięciu sekund. Oczywiście z punktu widzenia uczonego nie ma powodu, aby spadek następował po jakiejś linii spiralnej. Prawo spadku swobodnego i własności ruchu przyspieszonego po raz pierwszy pojawiają się tu w druku. Było to odkrycie rzeczywiście ogromnej wagi – jeszcze jedno z odkryć prowadzących w stronę mechaniki Newtona.

Prawo odkryte przez Galileusza stosować się miało do wszystkich ciał, bez rozróżnienia lekkich i ciężkich, inaczej niż u Arystotelesa, który ruch wiązał z naturą danego ciała. „Jeżeli wymienione tu rzeczy są z natury swej różne, a rzeczy z natury różne nie mogą mieć wspólnego ruchu, to należałoby (…) pomyśleć o czymś innym, aniżeli tylko o dwóch ruchach, w górę i w dół. Jeśli trzeba wynaleźć jeden ruch dla strzał, inny dla ślimaków, jeszcze inny dla kamieni – jakiś inny jeszcze dla ryb, to trzeba by pomyśleć również o dżdżownicach, topazach i grzybkach, które z przyrodzenia swego nie różnią się mniej jedne od drugich aniżeli grad i śnieg”. Książeczka Lochera i Scheinera zostaje wykpiona na wielu stronach, Galileusz zasłużenie traktuje ją jak stek głupstw. Bo też jezuiccy autorzy, gromadząc swe argumenty, nie próbowali w ogóle zrozumieć stanowiska strony kopernikańskiej. Straszyli katastrofami, jakie miałyby wynikać z ruchu Ziemi, nie zastanawiając się nad tym, że gdyby naprawdę teoria kopernikańska była taka łatwa do obalenia, to jej zwolennikami nie byliby najwybitniejsi uczeni epoki, Kepler i Galileusz. Istniała realna trudność przestawienia wyobraźni na kopernikanizm, nawet Galileusz miał z tym czasami kłopoty, było to dla ludzi tej epoki zadaniem trudnym. Ale istniał też opór przed kopernikanizmem wynikający ze złej nauki i złej naukowej wiary.

Następnym omawianym autorem jest Scipione Chiaramonti. „Gdybym nie miał nadziei, że od tego drugiego autora usłyszę coś mądrzejszego, to niewiem, czy nie zdecydowałbym się raczej na przejażdżkę gondolą w poszukiwaniu świeżości” – stwierdza bez ogródek Sagredo. Galileusz udowadnia, że Chiaramonti nie zna teorii, którą zawzięcie krytykuje. Tenże autor wystąpił też niefortunnie w sprawie odległości gwiazdy nowej obserwowanej przez Tychona, dowodząc, że z pewnością leży ona poniżej Księżyca.

Rozważania te należały już do dnia trzeciego Dialogu. Był on poświęcony ruchowi rocznemu Ziemi. Arystoteles dowodził, że gwiazdy zajmują obszar sferyczny i obracają się raz na dobę wokół Ziemi – z tego powodu uważał wszechświat za skończony. Jeśli jednak odrzucić jego założenie, przyjąć ruch dobowy Ziemi i zgodzić się na nieruchome gwiazdy, to znika powód, by uważać świat za skończony. Równie dobrze może on być nieskończony i nie mieć żadnego kształtu.

Obserwacje wskazują, że planety mają swój środek ruchu w Słońcu – w tym punkcie zgodni byli Tycho Brahe i Kopernik. Pozostaje więc do rozstrzygnięcia, czy Słońce, czy raczej Ziemia poruszają się ruchem rocznym. Zdaniem Salviatiego-Galileusza więcej przemawia za nieruchomym Słońcem. Oprócz dawniej już znanych argumentów przedstawił on nowy, wywodzący się z obserwacji plam słonecznych. Ich przesuwanie pokazuje, że Słońce wiruje wokół osi. Okazuje się jednak, że w różnych porach roku tory plam na tle tarczy słonecznej mają różny kształt. W czerwcu i grudniu są prostoliniowe i tworzą ustalony kąt z ekliptyką, w marcu i wrześniu natomiast mają kształt łuków. Najprostsze wyjaśnienie zjawiska daje teoria Kopernika: oś Słońca ma stałe nachylenie do płaszczyzny orbity Ziemi i w ciągu roku oglądamy raz nieco więcej południowej półkuli Słońca, raz nieco więcej jego półkuli północnej. Nie potrzeba już żadnych innych ruchów, aby objaśnić to, co się obserwuje. Dla Galileusza takie wirowanie wokół osi nie wymagało podtrzymywania. Podobnie rzecz się ma z Ziemią: jej oś obrotu nachylona jest do płaszczyzny orbity – czego skutkiem są zmiany pór roku. Kopernik, aby zachować stałość kierunku osi ziemskiej, przyjmował jeszcze dodatkowy trzeci ruch Ziemi, Galileusz go nie potrzebował.

W Dialogu Galileusz twierdzi, że odkrył nachylenie osi Słońca do ekliptyki prowadząc obserwacje z willi Le Selve, a więc przed rokiem 1614. Wydaje się to mało prawdopodobne; dokładne obserwacje plam i ich ruchu pojawiły się w monumentalnej książce Christopha Scheinera Rosa Ursina, która ujrzała światło dzienne w czasie, gdy Galileusz pisał Dialog. Dopiero w 1629 roku dostrzegł kopernikańskie wyjaśnienie zjawiska i zamieścił w książce. Znowu okazało się, że herkulesowe trudy Scheinera zaowocowały zgrabnym argumentem przeciwko Ptolemeuszowemu układowi świata. Oczywiście można wyjaśnić każde zjawisko równie dobrze w ziemskim układzie odniesienia, trzeba jednak przypisać wtedy Słońcu wiele ruchów zamiast jednego ruchu obrotowego. Z kopernikańskiego punktu widzenia wszystko układało się w konsystentną całość: wszystkie ruchy obrotowe i obiegowe zachodzą bowiem w jednym kierunku i nie potrzeba z każdym nowo odkrytym zjawiskiem dopisywać wciąż jakichś nowych ruchów.

Co do osobistej uczciwości Galileusza, nie ma twardych dowodów, że korzystał on z obserwacji Scheinera, pewne jest natomiast, iż ponownie dostrzegł on więcej niż jezuicki astronom, który poświęcił znaczną część swego dzieła na jałowy z natury (choć pasjonujący dla uczestników) spór o pierwszeństwo odkrycia plam na Słońcu. Trudno oprzeć się wrażeniu, że mnogość i dokładność obserwacji, jakkolwiek potrzebne, ważne są tylko wtedy, gdy pozwalają nam coś więcej zrozumieć ze sposobu funkcjonowania świata. Jeden koń arabski pobiegnie szybciej niż sto koni fryzyjskich.

W dniu trzecim Dialogu Galileusz wraca też do książeczki Lochera i przytacza inne jeszcze wnioski, do których – wedle jezuity – prowadzić miał kopernikanizm: „W tak fantastycznym układzie świata trzeba głosić różne kapitalne bzdury, na przykład takie, że Słońce, Wenus i Merkury znajdują się pod Ziemią, że materie ciężkie ruchem naturalnym poruszają się ku górze, a lekkie w dół; że Chrystus, nasz Pan i Zbawiciel, wstąpił do piekieł i zstąpił na niebiosa, gdy zbliżał się ku Słońcu; że gdy Jozue rozkazał Słońcu, by się zatrzymało, to Ziemia się zatrzymała, bądź też Słoń-

ce poruszać się zaczęło w kierunku przeciwnym do Ziemi; że gdy Słońce jest w znaku Raka, to Ziemia biegnie przez Koziorożca, że zimowe znaki zodiaku wywołują lato, a letnie zimę; że nie gwiazdy wschodzą i zachodzą dla Ziemi, lecz Ziemia wschodzi i zachodzi dla gwiazd; że wschód zaczyna się na zachodzie, a zachód na wschodzie i że jednym słowem, wywraca się cały porządek świata”.

Najsłabszą częścią Dialogu jest dzień czwarty, mający w zamyśle autora dostarczyć najsilniejszego argumentu za ruchem Ziemi. Tym argumentem jest istnienie pływów na morzach. Simplicio odnosi się do pomysłu sceptycznie:

„SIMPLICIO: Powiem jednakże z tą swobodą, która wśród nas jest dozwolona, że wprowadzanie tu ruchu Ziemi i robienie go przyczyną przypływu i odpływu w nie mniejszej mierze wydaje mi się pomysłem z bajki niż wszystkie inne, o których dotąd słyszałem; a gdyby mi nie podano innych wyjaśnień, bardziej odpowiadających prawom przyrody, to bez obawy powziąłbym przeświadczenie, że ma się tu do czynienia ze zjawiskiem nadprzyrodzonym, a więc cudownym i niedostępnym dla umysłów ludzkich, jak zresztą i nieskończona liczba innych zjawisk, zależnych bezpośrednio od wszechmogącej ręki Boga.

SALVIATI: (…) wśród wszystkich przyczyn, które przytoczone były dotychczas jako prawdziwe, żadna, jakiekolwiek byśmy stosowali zabiegi, nie byłaby w stanie wyjaśnić podobnych zjawisk. Albowiem ani przy pomocy światła Księżyca czy Słońca, ani umiarkowanej ciepłoty, ani różnic głębiny nie zdoła się w sztuczny sposób spowodować, aby woda zawarta w nieruchomym naczyniu poruszała się tam i z powrotem, aby wznosiła się i opadała, i to w jednym miejscu tak, a w drugim inaczej. Jeśli jednak bez żadnych sztuczek i w najnaturalniejszy sposób, wprowadzając naczynie w ruch, potrafię dokładnie odtworzyć wszystkie te zmiany, które widzi się na wodach mórz, to dlaczego mielibyście odrzucić takie wyjaśnienie i uciekać się do cudu.

Cały ten fragment i jego dalszy ciąg wkraczają na ryzykowny temat cudów, przynajmniej werbalnie. Galileusz tłumaczy, że gdyby w sposób cudowny nadać Ziemi niejednostajny ruch, to w jego następstwie wody zaczną – w sposób najzupełniej naturalny – poruszać się tak, jak to widzimyw zjawisku pływów. Dalej zaś wyjaśnia, że zamiast cudownego poruszania Ziemią wystarczy jej ruch naturalny, taki jak u Kopernika. Rozumowanie uczonego nie tylko odzierało zjawisko pływów z wszelkiej cudowności, ale też sprawiało wrażenie, iż inne wyjaśnienie jest niemożliwe. W ten sposób istnienie pływów byłoby dowodem, że ruch Ziemi jest „prawdą absolutną” – wbrew najgłębszemu przekonaniu Maffeo Barberiniego. Swoistym dowodem uznania ze strony Kościoła był fakt, że nikt nie próbował argumentacji Galileusza kwestionować na gruncie naukowym, jakby zgadzano się z nim, że inne wyjaśnienie naukowe i naturalne jest niemożliwe.

Tymczasem teoria Galileusza była pod wieloma względami nieudana: nie tłumaczyła okresów powtarzania się przypływów i nie wyjaśniała, czemu występują one dwa razy na dobę. Uczony niewiele wiedział na temat samego zjawiska i niezbyt przejmował się tym, co wiedział. Znane są w nauce, i nie tylko w nauce, takie przypadki ślepego przywiązania do własnych idei. Galileusz, który niezmiernie łatwo popadał w mentorski ton wobec innych, tutaj sam nie potrafił sprostać wymaganiom, jakie należy postawić porządnej teorii.

Nie zmienia to jednak faktu, że Dialog jest książką wyjątkową, pierwszą tak dobrze pomyślaną i przeprowadzoną argumentacją na rzecz ruchu Ziemi. Choć z naukowego punktu widzenia nie zawiera żadnego absolutnego dowodu słuszności kopernikanizmu, pokazuje, że jest to pogląd naukowo spójny, nie prowadzący do sprzeczności i zupełnie prawdopodobny. Dowody na rzecz kopernikanizmu jeszcze długo później były jedynie pośrednie, ale świat stawał się zrozumiały, gdy patrzeć na niego z tej właśnie perspektywy. Dyskusja Galileusza, mimo polemicznej werwy, jest na ogół rzetelna; mało kto tak dogłębnie jak on przemyślał argumenty zwolenników Arystotelesa i nikt wcześniej nie poddał ich tak druzgocącej krytyce. Wielką zasługą historyczną kopernikanizmu była właśnie zmiana spojrzenia na usytuowanie Ziemi i człowieka w kosmosie, Galileusz bardziej niż ktokolwiek inny przyczynił się do przeprowadzenia tej przemiany obrazu świata.

(*) Chodzi o słynną kopułę na katedrze florenckiej autorstwa Filippa Brunelleschiego