Einstein o patriotyzmie (1915)

Toczyła się wojna światowa, Niemcy napadły na Belgię, popełniając wiele zbrodni wojennych i łamiąc traktaty. Wszystko po to, aby raz jeszcze upokorzyć Francuzów i zdobyć Paryż, jak w roku 1871. Tym razem sztuka się nie udała i linia frontu ustabilizowała się na całe lata, ponieważ żadna ze stron nie potrafiła ustąpić. Einstein obserwował to ze zgrozą. Przeniósł się niedługo przed wybuchem wojny do Berlina, skuszony posadą członka Pruskiej Akademii Nauk (najmłodszego w dziejach) i brakiem obciążeń pedagogicznych. Był obywatelem Szwajcarii, jako nastolatek zrzekł się obywatelstwa Rzeszy, ponieważ nie chciał służyć w wojsku. Teraz, otoczony zewsząd entuzjazmem i bojowym nastawieniem niemieckich kolegów, pogrążył się w pracy. Czuł się jak ktoś zdrowy psychicznie w domu wariatów.

Zabijanie wrogów ojczyzny, w ogóle zabijanie, nie było w jego pojęciu łatwe do moralnego usprawiedliwienia. Wśród lektur uczonego znalazł się esej Lwa Tołstoja Chrześcijaństwo i patriotyzm, w którym autor pisał:

Wszyscy uważamy się za wolnych, wykształconych, humanitarnych ludzi, a także za chrześcijan, jednocześnie jednak znajdujemy się w takiej sytuacji, że gdyby jutro Wilhelm obraził się na Aleksandra albo pan N.N. napisał podburzający artykuł o kwestii wschodniej, albo jakikolwiek książę ograbił jakichkolwiek Bułgarów albo Serbów, albo jakaś królowa czy cesarzowa obraziła się z jakiegokolwiek powodu, to my wszyscy, humanitarni chrześcijanie, powinniśmy iść zabijać ludzi, których nie znamy i wobec których mamy takie same przyjazne uczucia jak wobec wszystkich ludzi. (…) Do tego, aby wprowadzić największe i najważniejsze zmiany w życiu ludzkości, nie potrzeba wielkich czynów: ani uzbrojenia milionowej armii, ani budowy nowych dróg i maszyn, ani urządzania wystaw, ani zakładania związków robotniczych, ani rewolucji, ani barykad, ani wybuchów, ani wynalazków, ani latania w powietrzu – potrzebna jest jedynie zmiana przekonań opinii publicznej.

Tołstoj porównywał w tym eseju patriotyczne uniesienia do swoistej społecznej epidemii, do czegoś na kształt opisanej przez profesora psychiatrii z Kijowa Iwana Sikorskiego malewanszczyzny: kiedy wśród chłopów z niektórych wsi guberni kijowskiej zaczęła szerzyć się wiara, iż niebawem nastąpi koniec świata, przestali pracować, zaczęli ucztować, rozdawać swoje mienie albo kupować rzeczy zupełnie im niepotrzebne, np. parasolki czy jedwabne chusteczki, i stracili zainteresowanie dla wszelkich codziennych obowiązków.

Einstein zgadzał się z zawartą w eseju krytyką wychowania społecznego. W samym środku gorączkowej pracy nad teorią grawitacji, na przełomie października i listopada 1915 roku, znalazł czas, by napisać krótki tekst zawierający jego poglądy na temat wojny. Powstał on na prośbę Towarzystwa Goethego (Goethebund), które przygotowywało właśnie„księgę pamiątkową ojczyzny”, Das Land Goethes 1914–1916 („Kraj Goethego 1914–1916”). Uczony pisał:

Psychologiczne korzenie wojny mają według mnie swe biologiczne podłoże w agresywnym charakterze samców. Nie tylko my – «korona stworzenia» – możemy się poszczycić tym wyróżnieniem; niektóre zwierzęta, np. byk i kogut, przewyższają nas w tym względzie. Owa skłonność do agresji wysuwa się na plan pierwszy, ilekroć poszczególne samce znajdą się obok siebie, a jeszcze bardziej, kiedy mają ze sobą do czynienia bliskie sobie społeczności. Prowadzi to niemal zawsze do sporów, które kończą się na kłótniach i morderstwach, jeżeli nie podejmie się stosownych środków zaradczych, aby im zapobiec. Nigdy nie zapomnę krwiożerczej i szczerej nienawiści, jaką żywili przez lata moi szkolni koledzy do pierwszoklasistów ze szkoły na sąsiedniej ulicy. Toczyły się niezliczone bójki na pięści, w wyniku których niejeden malec miał rozbitą głowę. Któż może wątpić, iż wendeta i pojedynki wyrastają z uczuć tego rodzaju?

(…) Mimo niewymownie smutnej sytuacji obecnej, przekonany jestem, że w najbliższej przyszłości będzie możliwe utworzenie w Europie ponadnarodowej organizacji, która sprawi, iż wojny europejskie staną się tak samo niemożliwe, jak teraz w Rzeszy Niemieckiej niemożliwa jest wojna pomiędzy Bawarią i Wirtembergią.

Opowiadał się też Einstein za przewietrzeniem ideału patriotyzmu, który pod pozorem świętości skrywa mordercze instynkty wobec innych, i otwarcie deklarował swe internacjonalistyczne przekonania:

Można zastanawiać się nad pytaniem: czemu podczas pokoju, kiedy wspólnota państwowa tłumi niemal każdą formę męskiej wojowniczości, ludzie nie tracą tych zdolności i motywacji, które umożliwiają im popełnianie masowych zbrodni na wojnie? Przyczyny wydają mi się następujące. Kiedy zaglądam do umysłu zwykłego dobrego obywatela, widzę w nim jasno oświetlony, przytulny pokoik. Gospodarz pokazuje każdemu gościowi swoją dumę: stojący w kącie, troskliwie przechowywany relikwiarz, na którym dużymi literami wypisane jest słowo patriotyzm. Zazwyczaj nie wolno otwierać tego relikwiarza. Co więcej, gospodarz sam nie wie albo ledwie się domyśla, że relikwiarz ów skrywa moralne rekwizyty bestialskiej nienawiści i masowych zbrodni, które wydobędzie z niego w razie wojny, by ich użyć. Relikwiarza tego rodzaju nie znajdziesz, drogi czytelniku, w moim pokoju i byłbym szczęśliwy, gdybyś i ty uznał, że w owym kącie twojego pokoju pianino albo półka z książkami byłyby bardziej na miejscu niż tamten mebel, który uważasz za znośny jedynie dlatego, że przywykłeś do niego od wczesnej młodości.
Nie mam zamiaru ukrywać swoich ponadnarodowych przekonań. Ludzie i ludzkie organizacje są mi bliskie zależnie od tego, jak oceniam ich zamiary i zdolności. Państwo, do którego należę jako obywatel, nie odgrywa w moim życiu duchowym żadnej roli, ponieważ postrzegam je raczej jako związek oparty na interesie, tak jak moje stosunki z towarzystwem ubezpieczeń na życie. (Z tego, co wyżej powiedziałem, powinno być jasne, że muszę starać się być obywatelem takiego państwa, które nie będzie mnie zmuszać do udziału w wojnie.)

Cały ostatni fragment nie ujrzał wówczas światła dziennego – wypowiadanie publicznie myśli tego rodzaju podczas trwającej wojny mogłoby niepotrzebnie zdemobilizować czytelników.

Po cóż jednak tyle słów – kończył swą wypowiedź Einstein – skoro mogę wszystko zamknąć w jednym zdaniu, i to zdaniu, które mnie, jako Żydowi, szczególnie przystoi wypowiedzieć:

«Czcijcie Pana waszego, Jezusa Chrystusa, nie tylko słowami i pieśnią, lecz przede wszystkim uczynkami».

To, co czasem sprawiało u Einsteina wrażenie cynizmu, było raczej swego rodzaju prostotą; podobnie myślał Tołstoj, który nie potrafił zrozumieć, jak chrześcijanin może zabijać.

Jak długo spadał Lucyfer?

Nie tylko Wielki Wybuch głosi chwałę Pana. Także i obecność szatanów, co wszędzie są czynni. Najlepszym dowodem ich siły jest dzisiejsze radosne zgromadzenie na Stadionie Narodowym w stolicy naszego kraju. Ojciec John Bashobora oraz arcypasterz Pragi wraz z setkami duchownych wypędzać tam będą diabły na oczach 40 000 wiernych (bilety po 60 zł). Może i tym razem o. Bashobora kogoś wskrzesi, co mu się już nieraz zdarzało. Z całą pewnością uzdrowi wielu, dzięki czemu poprawią się finanse NFZ.

W środku świata przebywa Lucyfer, dlatego świat nasz zwiemy diablocentrycznym. Jaki był jednak fizyczny sposób, by strącić tam Księcia Tego Świata? Ciężkość. Wyobraźmy sobie tunel przewiercony przez Ziemię na wskroś. Gdyby wrzucić doń Lucyfera, to jak długo bestia by spadał? I czy zatrzymałby się w środku Ziemi, czy też przeleciał dalej, aż na antypody? Zdania były tu podzielone. Bartolomeus Amicus SJ, rówieśnik Galileusza, sądził, że kamień wrzucony do takiego tunelu doleci do środka Ziemi i świata, gdzie się zatrzyma. Pogląd ten był wypowiadany i wcześniej, stąd zapewne u Dantego w Boskiej Komedii mamy obraz Lucyfera zarytego w środku świata, z trzema paszczami, w każdej po jednym słynnym zdrajcy. Inaczej uważał Nicole Oresme, zwolennik impetusu. Jego zdaniem kamień (albo Lucyfer) w środku Ziemi osiągnie największy impetus, dzięki czemu przeleci dalej aż do antypodów. I będzie tak sobie oscylować, aż mu się impetus całkiem wyczerpie. Ostatecznie zalegnie Lucyfer w środku Ziemi, lecz po iluś zabawnych oscylacjach.

Fizyka Newtona pozwala obliczyć, jak długo spadałby Lucyfer do środka Ziemi. Rozpatrzymy dwa skrajne przypadki: gdyby Ziemia wypełniona była materią jednorodnej gęstości oraz gdyby jej cała masa skupiona była w punkcie centralnym. Prawda zawiera się gdzieś pośrodku: gęstość rośnie ku centrum Ziemi, lecz stopniowo, nie skokowo, jak w drugim przypadku.

Przypadek jednorodnej Ziemi

Przyspieszenie grawitacyjne naszego Lucyfera w odległości r od środka Ziemi byłoby równe

g(r)=\dfrac{Gm(r)}{r^2},

gdzie m(r) to masa małej kuli o promieniu r. Przyjmujemy, że gęstość materii ziemskiej jest wszędzie taka sama, masa jest więc proporcjonalna do objętości i przyspieszenie grawitacyjne będzie ostatecznie proporcjonalne do r:

g(r)=\dfrac{GMr)}{R^3}=\dfrac{g}{R}r \Rightarrow T=2\pi\sqrt{\dfrac{R}{g}}.

Przez G, M, R oznaczyliśmy odpowiednio stałą grawitacji oraz masę i promień Ziemi; g to przyspieszenie ziemskie na powierzchni Ziemi. Przyspieszenie Lucyfera jest więc proporcjonalne do odległości i równanie to jest takie samo jak dla wahadła matematycznego, promień Ziemi odgrywa tu rolę długości. Zatem będzie nasz Lucyfer oscylował z okresem opisanym wzorem dla wahadła matematycznego. Do środka Ziemi będzie to ćwierć oscylacji, co zajmie niecałe dwadzieścia jeden minut.

Przypadek całej masy skupionej w centrum

W tym przypadku przyspieszenie ziemskie rośnie w miarę zbliżania się do środka:

g(r)=\dfrac{GM}{r^2},

Czas spadku znaleźć można, tak jak zrobił to Newton, wyobrażając sobie najpierw ruch po elipsie o długości dużej półosi a=\frac{1}{2}R. Jeśli elipsę tę będziemy stopniowo spłaszczać (zachowując długość dużej półosi) okres się nie zmieni (III prawo Keplera). Ognisko elipsy będzie się przybliżać do jej wierzchołka. Czas spadku będzie połową okresu obiegu takiej elipsy.

Korzystając z III prawa Keplera mamy

T^2=\dfrac{4\pi^2 a^3}{GM}\Rightarrow T=2\pi\sqrt{\dfrac{R3}{8GM}}=\pi\sqrt{\dfrac{R}{2g}}.

Połowa tego okresu jest szukanym czasem, a więc w tej wersji Lucyfer będzie spadał niecałe piętnaście minut.

Dla rzeczywistej zależności m(r) dla Ziemi przyspieszenie ziemskie najpierw nieco rośnie w głąb planety, a potem zaczyna spadać mniej więcej liniowo, kiedy znajdziemy się w żelazowo-niklowym jądrze.

Rozważania średniowiecznych filozofów w rodzaju takiego hipotetycznego kamienia w hipotetycznym tunelu przez Ziemię przyczyniały się do zrozumienia zagadnień ruchu i grawitacji, były to ówczesne Gedankenexperimente. Oresme w XIV wieku miał jednak nowocześniejszą teorię niż Amicus w XVII. Pojęcie impetus, choć dalekie jeszcze od dzisiejszego pędu, miało przed sobą przyszłość. Samo jednak wyostrzanie pojęć jest na nic, dopóki nic nie można obliczyć, przynajmniej w fizyce.

Wierutne głupstwa Roberta Jastrowa

Uprawianie żurnalistyki naukowej, polega na tym, aby spłycić i uprzystępnić oraz opatrzyć całość chwytliwym tytułem. W ostatni weekend w „Gazecie świątecznej” ukazał się wywiad Piotra Cieślińskiego z ks. prof. Michałem Hellerem. Zaczyna się tak:

Prof. Michał Heller: Teoria Wielkiego Wybuchu jest jak czarny sen racjonalistów

Wspięli się na najwyższy szczyt, zaraz odkryją tajemnicę narodzin Wszechświata. A na szczycie witają ich teologowie, którzy siedzieli tam od wieków.

Dopiero gdzieś głęboko w tekście dowiadujemy się, że to nie Ksiądz Profesor, ale amerykański astronom Robert Jastrow powiedział, i w dodatku czterdzieści lat temu. Było to głupstwo w 1978 roku i jest nadal głupstwem w 2017 roku.

Równie dobrze można powiedzieć, że, proszę, fizycy odkryli, iż kwarki mamy w trzech kolorach, których nie można wprost zaobserwować w eksperymencie, ponieważ Byt istnieje w trzech hipostazach, popularnie zwanych Osobami, i nie można tego eksperymentalnie zmierzyć. Teologowie czekali więc na szczycie, zanim uczeni stworzą chromodynamikę kwantową.

A gdzie siedzieli teologowie, kiedy Galileusz dowodził, że Ziemia jest ciałem niebieskim, jedną z planet, i się porusza, a wszechświat nie ma środka? Siedzieli po drugiej stronie stołu przesłuchań Galileusza, byli już tam wcześniej.

Gdzie teologowie byli i gdzie znaleźli w Piśmie, że człowiek pochodzi od małpy?

Dlaczego niby tekst Biblii miałby zawierać cokolwiek wartościowego na temat przyrody? A nie np. Wedy? Albo Kalevala? Czy Kubuś Puchatek? („Im bardziej Puchatek zaglądał do środka, tym bardziej Prosiaczka tam nie było” – myśl ta zapowiada niewątpliwie odkrycie ciemnej energii: wszechświat rozszerza się bowiem coraz prędzej.)

Galileusz cytował kardynała Cesare Baronia, iż Pismo nie mówi, jak rusza się niebo, lecz jak do niego trafić. Nie był to pogląd popularny w kręgach kościelnych i chyba nie jest do dziś, ale to zmartwienie wierzących.

Narzekał na to w roku 1822 ojciec Filippo Anfossi OP, Mistrz Świętego Pałacu Apostolskiego (czyli szef rzymskiej cenzury), który z żalem postawił takie oto pytanie: „Czy Duch Święty wiedział, jakie odkrycia zostaną dokonane w przyszłości? Jeśli wiedział, to czemu świątobliwe osoby z jego inspiracji mówiły nam przeszło osiemdziesiąt razy, że Słońce się porusza, a ani razu, że jest ono nieruchome?”

Wracając zaś do Wielkiego Wybuchu. Żadna teoria kosmologiczna i w ogóle naukowa nie ma związku z religią. Kropka. Nie ma najmniejszego znaczenia, czy uczeni są księżmi, czy ateistami, czy też jest im wszystko jedno. Inspirację czerpać mogą z Pisma równie dobrze, jak z baśni Andersena – nie ma to żadnego znaczenia. Jedyne, co liczy się w nauce, to wyprowadzenie z teorii obserwowalnych zjawisk i skonfrontowanie tego z pomiarami. Jeśli kogoś zainspiruje Królowa Śniegu to też dobrze. Nazywa się to kontekst odkrycia i kontekst uzasadnienia. Nie ma znaczenia, czy Einstein doszedł do ogólnej teorii względności drogą logicznie najprostszą i co go motywowało. Ważne, że równania są prawidłowe, co przez ostatnie sto lat wciąż się potwierdzało (teologów na tym szczycie nie było).

Teologia chrześcijańska odegrała pewną rolę w historii nauki: było to w średniowieczu i dotyczyło głównie kwestii czysto logicznych czy filozoficznych, zderzenia Jerozolimy z Atenami, mówiąc pokrótce. Jest to wkład poważny i można się na serio zastanawiać, czy bez tego przygotowania możliwy byłaby Rewolucja naukowa XVII wieku.

Podstawy rzeczowe do rozważań o teologach na szczycie są w tym tylko, że w latach sześćdziesiątych ubiegłego wieku modna była teoria stanu stacjonarnego, w której wszechświat nie ma początku. Potem odkryto mikrofalowe promieniowanie tła i jasne się stało, że nastąpił Wielki Wybuch. Nigdy nie był to spór kosmologów wierzących i niewierzących, bo większość kosmologów nie interesuje się w ogóle kwestią, jaki jest związek ich badań z teologią, domyślnie zakładając, że żaden.

Wielki Wybuch to nie to samo co creatio ex nihilo. Istnieją zupełnie porządne teorie, które sytuują go jako epizod w dziejach wszechświata. A więc (może) nie potrzeba żadnego początku. Możliwe, że nasz wszechświat jest jednym z odgałęzień multiświata. Wszystkie te dyskusje w żaden sposób nie wiążą się z Księgą Rodzaju.

Racjonaliści (Jastrow mówi, dokładnie biorąc, o uczonych żyjących wiarą w moc rozumu) nie mają powodów do złych snów. Wszechświat, który zaczyna się i kończy (przynajmniej w znanej formie) jest raczej łatwiejszy do przyjęcia niż taki, który trwa od zawsze. Nasze życie też zaczyna się kończy i nie ma niebiańskiego ciągu dalszego.

Kiedyś przemądrzali teologowie decydowali, co ma być prawdą, a co nie w naukach eksperymentalnych. Dziś starają się podłączyć do historycznego sukcesu nauki i wykazują, że nauka to nie wszystko, teologowie gdzieś wcześniej byli itd. itp.

Znacznie lepszym tytułem tej byłoby: WIELKI WYBUCH NIE MA NIC WSPÓLNEGO Z KSIĘGĄ RODZAJU i lepiej nie mącić w głowach ludziom, którzy czytają o nauce, lecz nie mają wykształcenia, aby ocenić samodzielnie to, co czytają.

Dosłowny cytat z Jastrowa wygląda tak:

For the scientist who has lived by his faith in the power of reason, the story ends like a bad dream. He has scaled the mountains of ignorance, he is about to conquer the highest peak; as he pulls himself over the final rock, he is greeted by a band of theologians who have been sitting there for centuries.

God and the Astronomers, 1978

Einstein o Lukrecjuszu, 1924

PIOTR: Ktoś ty? DUCH: Lukrecy, Lewiatan, Voltaire, Alter Fritz, Legio sum.

[A. Mickiewicz, Dziady]

Dziś zajmiemy się diabłem zwanym przez wieszcza Lukrecy, czyli Lukrecjusz.

Żyjący w I w. p.n.e. Titus Lucretius Carus, autor poematu O rzeczywistości (in. O naturze rzeczy), był zarazem wybitnym poetą i zwolennikiem atomizmu w wersji Epikura. Idea, że świat zbudowany jest z atomów i nie jest kierowany przez osobowe bóstwa, przyjmowała się trudno i z oporami. Człowiek ma umysł, który chętnie postrzega rzeczywistość w kategoriach celu. Dlatego w różnych epokach od starożytności począwszy traktowano poglądy Lukrecjusza jako absurdalne i heretyckie. Nie wierzono, aby jako tako uładzony wszechświat mógł powstać bez czynnej interwencji bóstwa. Zderzające się w nieskończoności atomy wydawały się wizją jałową i ponurą, a do tego wielce nieprawdopodobną: no bo jak długo musiałyby się zderzać atomy, by utworzyć Einsteina? Wiemy jednak, że Einstein powstał nie z mgławicy gazowej, lecz jako człowiek, a człowiek od australopiteka itd. itp. Życie na Ziemi powstało (w skali kosmicznej) niemal nazajutrz po utworzeniu się planety, co wskazywałoby albo na to, że ewolucja od chemii do biologii nie jest aż tak nieprawdopodobna, albo wracamy do kapłanów i ich wyjaśnień na ten temat, które nic nie wyjaśniają.

Poniższy tekst jest wstępem Alberta Einsteina do poematu Lukrecjusza. Uczony zdobył w tym czasie światową sławę, choć nie wszystkich Niemców to cieszyło, albowiem był on Żydem. W kraju, po puczu monachijskim Adolfa Hitlera i wciąż w kryzysie gospodarczym, narastały kompleksy i nacjonalizm. Toteż Einstein czuł się tam, jak „ktoś, kto leży w dobrym łóżku, lecz oblazły go pluskwy”. Znamy to uczucie.

https://kierul.wordpress.com/2013/02/01/einstein-zydowski-prorok-we-wlasnym-kraju/

https://kierul.wordpress.com/2012/11/22/einstein-i-mann-koniec-wielkich-niemiec/

Każdy, kto nie idzie całkowicie z duchem naszego czasu i kto czuje się niekiedy obserwatorem otaczającego świata, a zwłaszcza duchowej postawy swych współczesnych, nie może pozostać obojętny na czar dzieła Lukrecjusza. Widzimy w nim bowiem, jak wyobraża sobie świat człowiek niezależny, wyposażony w żywe doznania zmysłowe i zdolność rozumowania, obdarzony naukową i spekulatywną ciekawością, człowiek, niemający najmniejszego pojęcia o osiągnięciach współczesnej nauki, które nam wpojono w dzieciństwie, nim jeszcze mogliśmy się z nimi skonfrontować w sposób świadomy i krytyczny.

Głębokie wrażenie robi na nas niezmącona pewność Lukrecjusza – wiernego ucznia Demokryta i Epikura – że świat jest zrozumiały, tzn. wszystko, co się w nim dzieje, powiązane jest łańcuchem przyczyn i skutków. Żywi on mocne przekonanie, a nawet sądzi, iż potrafi udowodnić, że wszystko bierze się z poddanego prawom ruchu niezmiennych atomów, którym nie przypisuje żadnych innych własności prócz geometrycznych i mechanicznych. Jakości zmysłowe, takie jak ciepło, zimno, barwa, zapach i smak, sprowadzają się do ruchu atomów; to samo dotyczy życia. Dusza i umysł są w jego mniemaniu zbudowane ze szczególnie lekkich atomów, wiąże on przy tym (niezbyt konsekwentnie) pewne szczególne własności materii z konkretnymi cechami doświadczenia.

Za najważniejszy cel swego dzieła uważa Lukrecjusz uwolnienie człowieka od niewolniczego strachu, wynikłego z religii i przesądów, a podsycanego i wykorzystywanego przez kapłanów dla własnych celów. Z pewnością jest to dla niego bardzo ważne. Wydaje się jednak, że powoduje nim przede wszystkim chęć przekonania czytelników do atomistyczno-mechanistycznego obrazu świata, choć nie odważa się tego powiedzieć wprost praktycznie nastawionym Rzymianom. Wzruszający jest też jego szacunek dla Epikura oraz języka i kultury Grecji, które uważa za znacznie doskonalsze niż język łaciński i kultura rzymska. Przynosi Rzymianom zaszczyt, że można było mówić im takie rzeczy. Czy któryś ze współczesnych narodów potrafiłby wypowiadać się tak szlachetnie o innym?

Wiersze Dielsa czyta się tak naturalnie, iż zapomina się, że to przekład.

Berlin, czerwiec 1924 roku

http://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol14-doc/498

Isaac Newton i niektóre matematyczne sekrety Stwórcy

Pod koniec roku 1684 Isaac Newton zrozumiał, że ruchy planet wyjaśnić może siła przyciągania między nimi a Słońcem, która jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości. Newton miał wówczas czterdzieści dwa lata i był bardzo mało aktywnym profesorem katedry Lucasa w Cambridge. Wbrew późniejszej legendzie nie odkrył tego prawa w młodości (choć niewiele mu brakowało). W poprzednich latach zajmował się głównie teologią i alchemią, nie szukając rozgłosu i niewiele kontaktując się ze światem zewnętrznym. Teraz spostrzegł, że rysuje się możliwość rozwiązania problemu nie dającego spokoju uczonym od czasów starożytnych. Aż do 1687 roku pracował gorączkowo nad wyprowadzaniem różnych konsekwencji prawa ciążenia powszechnego. Trudno dziwić się jego entuzjazmowi: jedno proste prawo matematyczne pozwalało zrozumieć wiele skomplikowanych zjawisk we wszechświecie.

Czemu siła ciążenia jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości? Można przecież wyobrazić sobie inne możliwe prawa. Dla Newtona było to pytanie: czemu Stwórca zdecydował się na taki, a nie inny wszechświat? Wiele rozważań w Matematycznych zasadach filozofii naturalnej poświęconych jest ruchowi ciał pod działaniem sił zmieniających się w inny sposób z odległością: np. malejących jak trzecia czy piąta jej potęga. A także rosnących proporcjonalnie do odległości. Ten ostatni przypadek był interesujący, dawał bowiem ruchy eliptyczne. Wszystkie planety miałyby wówczas taki sam okres obiegu wokół Słońca.

Jak wygląda ruch planety pod działaniem siły przyciągania proporcjonalnej do odległości? Powszechnie znany jest jednowymiarowy przypadek takiego ruchu:

F=a=-\omega^2 x \Rightarrow x(t)=A\cos\omega t,

F, a, x, t są tu odpowiednio siłą, przyspieszeniem, wychyleniem z położenia równowagi (w którym siła jest równa zeru) i czasem, \omega wielkością stałą, tzw. częstością kołową, określoną przez wielkość siły i masę ciała, którą przyjmujemy za równą 1. Stała A jest dowolna. Jest to ruch harmoniczny, czyli najprostsze możliwe drgania.

W przypadku trójwymiarowym ruch nie jest dużo bardziej skomplikowany. Po pierwsze zachodzi w stałej płaszczyźnie, mamy więc tylko dwa wymiary. Po drugie można go potraktować jako dwa niezależne ruchy wzdłuż osi Ox oraz Oy:

\left\{ \begin{array}{l}  F_x=a_x=-\omega^2 x\\  \mbox{}\\  F_y=a_y=-\omega^2 y.  \end{array}\right.\quad \Rightarrow \quad \left\{  \begin{array}{l}  a_x=A\cos\omega t\\  \mbox{}\\  a_y=B\sin\omega t.  \end{array}\right.

Wybraliśmy rozwiązania w taki sposób, aby planeta P zakreślała elipsę zorientowaną jak na rysunku.

Łatwo sprawdzić, że mamy do czynienia z elipsą, wyznaczając z powyższych równań funkcje trygonometryczne i korzystając z jedynki:

\cos^2\omega t+\sin^2 \omega t=1=\dfrac{x^2}{A^2}+\dfrac{y^2}{B^2}.

Każda elipsa jest rzutem jednostajnego ruchu po okręgu punktu Q (dokładnie tak, jak gdybyśmy patrzyli na ten ruch po okręgu z ukosa, pod pewnym kątem: okrąg skraca się wtedy w jednym kierunku). Częstość kołowa i okres są takie same dla wszystkich torów. Nazwijmy ten tor elipsą Hooke’a (od prawa Hooke’a), choć Newton bardzo by się zżymał na tę nazwę, także ten ruch zbadał bowiem sam, a Hooke’owi pamiętał do końca życia protekcjonalny i lekceważący sposób, w jaki ten go kiedyś potraktował w dyskusji na temat optyki. Z powodu tej animozji nie wiemy dziś na pewno, jak wyglądał Robert Hooke, Newton bowiem go przeżył i kazał usunąć jego portret z Towarzystwa Królewskiego.

Newton zadał sobie pytanie, jak te elipsy (w środku których byłoby Słońce) mają się do elips keplerowskich (w których ognisku jest Słońce)? Okazuje się, że można podać związek między siłami wywołującymi oba te ruchy.

Rozpatrzmy planetę P zakreślającą jakikolwiek tor pod wpływem siły \vec{F} skierowanej ku pewnemu stałemu punktowi S.

Na rysunku przedstawiona jest elipsa, ale kształt krzywej nie jest w tym punkcie istotny. Korzystamy ze wzoru na siłę  dośrodkową:

F_n=\dfrac{v^2}{\varrho},

gdzie \varrho jest promieniem krzywizny toru w danym punkcie. Wiemy także, iż moment pędu L naszej planety musi być stały:

L=rv\sin\varepsilon.

Wobec tego siła F równa jest

F=\dfrac{F_n}{\sin\varepsilon}=\dfrac{L^2}{\varrho r^2 \sin^3\varepsilon}.

Teraz zastosujemy uzyskane wyrażenie do porównania siły grawitacji z siłą Hooke’a. Wyobraźmy sobie, że taką samą elipsę zatacza planeta pod wpływem siły skierowanej ku ognisku elipsy S oraz pod wpływem siły skierowanej ku środkowi elipsy C. Przyjmujemy, że moment pędu planety jest w obu przypadkach taki sam. Wobec tego

\dfrac{F_S}{F_C}=\dfrac{r_C^2 \sin^3\varepsilon_C}{r_S^2 \sin^3\varepsilon_S}.

Odcinek EC jest równoległy do wektora prędkości. Stosując twierdzenie sinusów do trójkąta ECP , mamy:

\dfrac{\sin\varepsilon_C}{\sin\varepsilon_S}=\dfrac{EP}{r_C}.

Ostatnim potrzebnym elementem jest tzw. lemat Newtona: odległość EP=A, tzn. dużej półosi elipsy. Jest to własność elipsy, którą udowadniamy poniżej. Wobec tego siła grawitacji równa jest

F_S=\dfrac{F_C}{r_C}\dfrac{A^3}{r_S^2}=\omega^2 \cdot \dfrac{ A^3}{r_S^2}\sim \dfrac{1}{r_S^2}.

Otrzymaliśmy więc z elipsy Hooke’a elipsę keplerowską oraz z prawa Hooke’a prawo grawitacji. Oba te rodzaje ruchu okazują się matematycznie powiązane. Można pokazać, że tylko te dwa rodzaje sił prowadzą do torów zamkniętych, których peryhelia się nie obracają.

Lemat Newtona

Odcinek S'F jest równoległy do EC oraz \vec{v}. Trójkąt FPS' jest równoramienny, ponieważ promień światła wysłany z S i odbijający się w punkcie P przejdzie przez S'. Mamy zatem FP=PS'. Odcinki EC oraz S'F są równoległe i przepoławiają odcinek SS', a więc także i odcinek SF. Zatem SE=EF. Mamy więc

EP=EF+FP=\frac{1}{2}SF+\frac{1}{2}(FP+PS')=\dfrac{SP+PS'}{2}=A.

W ostatniej równości skorzystaliśmy z faktu, że suma odległości punktu elipsy od obu ognisk jest stała.

 

 

 

 

Tory planet i komet: wielkie odkrycie Isaaca Newtona

Johannes Kepler w roku 1609 ogłosił odkrycie, że planety poruszają się wokół Słońca po elipsach, a Słońce jest wspólnym ogniskiem tym wszystkich elips (I prawo Keplera). Nie bardzo mu wówczas chciano wierzyć, wprowadził bowiem nowe rodzaje sił, jedna miała ciągnąć planetę wokół Słońca, a druga, magnetyczna, miała na przemian, to przyciągać ją, to odpychać. Prędkość planety miała zależeć od jej odległości od Słońca: bliżej niego planeta poruszała się szybciej i na odwrót, kiedy była dalej, poruszała się wolniej (II prawo Keplera).

Z czasem astronomowie stwierdzili, że opisane przez Keplera prawa dobrze odzwierciedlają zjawiska na niebie: dokładność tablic wzrosła wielokrotnie. W 1687 roku ukazały się Matematyczne zasady filozofii przyrody, w których Isaac Newton wyjaśnił ruchy planet i szereg innych zjawisk, jak przypływy i odpływy mórz albo precesję ziemskiej osi obrotu za pomocą jednej jedynej siły: grawitacji. Wszystkie ciała we wszechświecie miały się przyciągać siłami odwrotnie proporcjonalnymi do ich odległości i proporcjonalnymi do mas. Jedno proste matematycznie prawo pozwalało zrozumieć dynamikę układu planetarnego. Problem postawiony jeszcze przez starożytnych Greków i Babilończyków został w ten sposób rozwiązany. Najważniejszą częścią tego rozwiązania było udowodnienie, że z prawa grawitacji wynikają Keplerowskie elipsy. Poniżej pokażemy współczesne sformułowanie tego rozwiązania.

Wyobraźmy sobie planetę P poruszającą się wokół nieruchomego Słońca (nie jest trudno pójść o krok dalej i uwzględnić także ruch Słońca).

Każda z orbit ma punkt najbliższy Słońca: perihelium P_0. Wybierzmy oś Ox tak, żeby przechodziła ona przez perihelium i następnie poruszała się w kierunku P. Równanie ruchu planety zgodnie z II zasadą dynamiki oraz prawem powszechnego ciążenia ma postać:

\dfrac{d\vec{v}}{dt}=-\dfrac{k}{r^2}\vec{e}_r.

Wektory \vec{e}_r, \vec{e}_\varphi mają odpowiednio kierunek promienia i kierunek do niego prostopadły (transwersalny) oraz długość jednostkową, k=GM jest iloczynem stałej grawitacyjnej i masy Słońca (masa planety nie wchodzi do zagadnienia). Znak minus pochodzi stąd, że grawitacja jest siłą przyciągającą.

W ruchu planety nie zmienia się wielkość jej momentu pędu (przyjmujemy tu masę planety równą 1):

L=rv_{\varphi}=r^2 \omega=const.

Jest to współczesne sformułowanie II prawa Keplera. Wchodzi do niego składowa \vec{v}_\varphi prędkości prostopadła do promienia. W ostatniej równości użyliśmy prędkości kątowej \omega=v_\varphi/r. Więcej szczegółów dotyczących tego wyrażenia można znaleźć niżej (*).

Pokażemy, że torem planety musi być krzywa stożkowa ze Słońcem w ognisku. W tym celu udowodnimy, że odległość planety od Słońca spełnia równanie stożkowej:

r=\dfrac{p}{1+e\cos\varphi},

gdzie p, e zwane są odpowiednio parametrem i mimośrodem stożkowej, a kąt \varphi jest kątem z osią Ox na rysunku. Wyprowadzenie tego równania można znaleźć poniżej (**).

Zakładamy, że moment pędu jest różny od zera: znaczy to, iż planeta nie porusza się po prostej przechodzącej przez Słońce. Oczywiście takie tory są matematycznie i fizycznie dopuszczalne, eliminujemy je jednak z dalszych rozważań.

Równanie ruchu planety można uprościć, jeśli zamiast czasu wprowadzić do niego kąt \varphi. Wyznaczając prędkość kątową z zasady zachowania momentu pędu, otrzymujemy

\omega=\dfrac{d\varphi}{dt}=\dfrac{L}{r^2}.

W obu równaniach występuje r^2 w mianowniku, wobec tego, dzieląc je stronami i korzystając ze wzorów na pochodną funkcji złożonej i odwrotnej, możemy się tej zależności pozbyć:

\dfrac{d\vec{v}}{d\varphi}=\dfrac{d\vec{v}}{dt}\cdot \dfrac{dt}{d\varphi}=-\dfrac{k}{L}\vec{e}_r.

Równanie wektorowe to para równań dla składowych wektora prędkości:

\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{dv_x}{d\varphi}=-\dfrac{k}{L}\cos\varphi \\  \mbox{}\\  \dfrac{dv_y}{d\varphi}=-\dfrac{k}{L}\sin\varphi.  \end{array}\right.\quad \Rightarrow \quad \left\{  \begin{array}{l}  v_x=-\dfrac{k}{L}\sin\varphi+A_x \\  \mbox{}\\  v_y=\dfrac{k}{L}\cos\varphi+A_y.  \end{array}\right.

Ostatnią parę równań możemy zapisać w postaci wektorowej

\vec{v}=\dfrac{k}{L}\vec{e}_\varphi+\vec{A}.

Wynik ma prostą interpretację geometryczną: pierwszy wektor po prawej stronie zakreśla okrąg o promieniu k/L, a promień wodzący tego okręgu tworzy z osią Ox kąt równy 90^{\circ}+\varphi, obracając się razem z promieniem wodzącym planety. W zależności od długości wektora \vec{A} możliwe są następujące cztery sytuacje:

Punkt P_0 odpowiada kątowi \varphi=0, wektor prędkości jest wtedy równoległy do osi Oy (w chwili gdy odległość osiąga minimum, składowa x prędkości musi znikać). Oznacza to, że A_x=0. W każdym przypadku koniec wektora prędkości zakreśla okrąg albo jego łuk. Krzywą taką nazywa się hodografem. Zatem hodograf ruchu keplerowskiego jest łukiem okręgu (w trzecim przypadku to okrąg bez dolnego punktu, w czwartym dozwolone są tylko te wartości \varphi, dla których wektor \vec{v} ma z okręgiem dwa punkty wspólne; pewien zakres kątów jest niedozwolony, ruch zachodzi tu po gałęzi hiperboli i ograniczony jest jej asymptotami.) Kształt hodografu ruchu keplerowskiego odkrył William Rowan Hamilton w XIX wieku i opublikował w pracy zawierającej wyłącznie słowny opis, bez żadnego rysunku i bez wzorów. Brytyjczycy (Hamilton był Irlandczykiem) po Newtonie specjalizowali się w takiej matematyce bez rachunków, co nie zawsze da się z sensem przeprowadzić. Nieco mniej formalne podejście do hodografu tego ruchu.

albo tutaj

Równanie hodografu daje nam prędkości, łatwo z nich przejść do równania toru. Wystarczy znaleźć składową v_\varphi prędkości. Otrzymamy ją przez rzutowanie wektora prędkości na kierunek promienia okręgu zaznaczonego na rysunkach. Otrzymujemy z nich

v_\varphi=\dfrac{k}{L}+A\cos\varphi \quad\Rightarrow\quad r=\dfrac{L}{k/L+A\cos\varphi}=\dfrac{\frac{L^2}{k}}{1+\frac{LA}{k}\cos\varphi}.

Ostatnie równanie jest biegunowym równaniem stożkowej o mimośrodzie e=\frac{LA}{k}, odległości liczone są od ogniska owej stożkowej. Otrzymaliśmy uogólnioną wersję I prawa Keplera.

Na rysunku oba tory: w przestrzeni prędkości oraz w przestrzeni położeń, czyli w zwykłej przestrzeni. A to paraboliczna orbita komety z roku 1680 wyznaczona przez Newtona (obliczenia robił Edmond Halley).

(*) Prędkość kątowa to

\omega=\dfrac{\Delta \varphi}{\Delta t}=\dfrac{v_\varphi \Delta t}{r \Delta t}=\dfrac{v_\varphi }{r }.

Zastępujemy tu dla małych kątów tangens wartością kąta w radianach.

(**) Stożkową definiuje się zadając pewien punkt, zwany ogniskiem oraz prostą, zwaną kierownicą (na rysunku czerwone) oraz wartość mimośrodu e.

Stożkową będzie zbiór takich punktów P, że ich odległość od ogniska jest e razy większa od ich odległości od kierownicy:

OP=ePP'.

Łatwo stąd znaleźć równanie stożkowej. Mamy bowiem

r\cos\varphi+PP'=QQ' \Rightarrow  r\cos\varphi+\dfrac{r}{e}=\dfrac{p}{e}.

Mnożąc ostatnie równanie obustronnie przez e i wyznaczając z niego r, otrzymujemy

r=\dfrac{p}{1+e\cos\varphi}.

Benjamin Franklin: dwa zastosowania latawca (1752)

Jako mały chłopiec bawiłem się pewnego dnia puszczaniem latawca; znalazłszy się na brzegu stawu, który miał prawie milę długości, przywiązałem sznurek latawca do słupa i poszedłem popływać, ponieważ było bardzo gorąco. Po jakimś czasie, chcąc jednocześnie bawić się dalej latawcem i cieszyć przyjemnością pływania, wróciłem na brzeg i odwiązałem sznurek latawca wraz z kijkiem, do którego był uwiązany; wróciłem z nim do wody, gdzie stwierdziłem, iż leżąc na plecach i trzymając w rękach ów kijek, jestem [przez latawiec] ciągnięty w bardzo przyjemny sposób. Poprosiłem więc swego kolegę, by przeniósł moje ubranie dookoła stawu we wskazane przeze mnie miejsce, a sam puściłem się przez wodę z pomocą latawca, który ciągnął mnie bez żadnego wysiłku z mej strony i najprzyjemniej, jak tylko można (…) od tamtej pory nie praktykowałem owej szczególnej metody pływania, ale wyobrażam sobie, że w razie potrzeby człowiek mógłby w ten sposób przepłynąć z Dover do Calais. [List do Jacquesa Barbeu-Dubourga, marzec 1773]

Wychowywany w Bostonie, największym porcie na wybrzeżu Ameryki, Franklin od małego pływał wpław, a także umiał sterować łodzią żaglową. Gdy znalazł się w Londynie budził sensację, pokazując na Tamizie swe umiejętności w pływaniu i nurkowaniu, przez chwilę zastanawiał się nawet, czy nie zacząć zarabiać na życie jako instruktor pływacki dzieci dżentelmenów. Pływanie z pomocą latawca, a także paletek przywiązanych do rąk i nóg, należało do rozrywek tego pomysłowego i przedsiębiorczego młodzieńca, który mając siedemnaście lat uciekł z domu i od tamtej pory utrzymywał się sam z drukarstwa.

Ćwierć wieku później Franklin był już zamożnym człowiekiem, ojcem rodziny, wydawcą gazety, szanowanym obywatelem Filadelfii, gdzie zakładał różne pożyteczne organizacje, począwszy od biblioteki i straży pożarnej, a skończywszy na ochotniczej milicji do obrony Pensylwanii. Mając czterdzieści lat i więcej wolnego czasu, zajął się eksperymentami elektrycznymi. Opracował pomysłową teorię, która pierwsza wyjaśniła, co dzieje się podczas ładowania i rozładowania butelki lejdejskiej – był to najważniejszy problem końca lat czterdziestych XVIII wieku. Wpadł też na pomysł, jak sprawdzić, czy pioruny są zjawiskiem elektrycznym. Potrzebował do tego metalowego ostrza umieszczonego wysoko nad ziemią. Przymocował więc metalowe ostrze długości jednej stopy do latawca, który unosił się nad ziemią na konopnym szpagacie; na jego dolnym końcu uwiązany był żelazny klucz. Uczony trzymał dolny koniec szpagatu za pomocą jedwabnej taśmy. Chodziło o to, by szpagat sprowadził elektryczność z ostrza do klucza – włókna konopne, nawet suche, były przewodnikiem, a po zamoczeniu przewodziły jeszcze lepiej. Jedwab natomiast był standardowo używanym w eksperymentach izolatorem (pod warunkiem, że nie był mokry – eksperymentator musiał więc stać pod dachem). Według relacji Josepha Priestleya, który słyszał ją zapewne od samego odkrywcy, wyglądało to następująco. Franklin obawiając się śmieszności, nie wtajemniczył w swe zamiary nikogo oprócz syna. Był czerwiec 1752 roku. Pogoda była burzowa, ale bez uderzeń piorunów w pobliżu.

Tu widzimy ilustrację podobnego doświadczenia przeprowadzonego rok później przez Jacques’a de Romas, asesora sądu w Nérac na południu Francji

Latawiec wzniósł się w powietrze i przez dłuższy czas nie wykazywał żadnych oznak naelektryzowania. Jedna bardzo obiecująca chmura przepłynęła nad nim bez żadnego efektu; kiedy po pewnym czasie zaczynał już wątpić w swoje urządzenie, zauważył, iż niektóre luźne nitki wystające ze szpagatu najeżyły się i zaczęły się wzajemnie odpychać, tak jakby były zawieszone na zwykłym [naładowanym] przewodniku. Zachęcony tym obiecującym zachowaniem przybliżył kłykieć dłoni do klucza i oto (niech czytelnik sam osądzi, jak nadzwyczajną przyjemność musiał on poczuć w owym momencie) odkrycie się dokonało: bardzo wyraźnie poczuł iskrę elektryczną. Po niej następne, nim jeszcze szpagat zdążył nasiąknąć, rozstrzygając rzecz ponad wszelką wątpliwość; a kiedy deszcz zmoczył szpagat, zbierał już bardzo obficie ogień elektryczny.

Obawa śmieszności była zrozumiała, Franklin starał się przewidzieć, jak zachowa się przyroda w pewnej sytuacji, nie mógł mieć pewności, że jego rozumowanie było prawidłowe. „Niechaj zostanie przeprowadzony eksperyment” – napisał w swoich notatkach. Wiedział też, że jego pomysły na temat piorunów wyśmiewane są przez ekspertów. Właśnie dlatego wyniki doświadczeń okazały się taką sensacją. W tym samym czerwcu 1752 roku powszechnie czytany w Wielkiej Brytanii „Gentelman’s Magazine” opublikował list „pewnego dżentelmena z Paryża do jego przyjaciela w Tulonie”, oddający przemianę nastrojów wśród uczonych: „Z pewnością pamięta pan, jak bardzo wykpiwaliśmy pomysł pana Franklina, by opróżniać chmury z ich elektryczności i że jego samego uważaliśmy nieledwie za jakąś wyimaginowaną postać. Teraz okazuje się, iż to my byliśmy marnymi filozofami [virtuosi]; gdyż wczoraj spotkałem pewnego uczonego dżentelmena z akademii, który mnie zapewnił, że eksperyment został bardzo niedawno z powodzeniem przeprowadzony”.

Chodziło tu o nieco inne doświadczenie, którego pomysł opublikował Franklin i które zostało po raz pierwszy wykonane w maju 1752 we Francji. Ani Francuzi nie wiedzieli wtedy o latawcu, ani Franklin, w Ameryce, nie słyszał o ich udanej próbie – wiadomości przenosiły się wolno przez Atlantyk.

Dzięki tym doświadczeniom uwierzono, iż elektryczność stanowi potężną siłę przyrody, choć dotąd znano ją głównie z salonowych eksperymentów. Praktyczny Franklin zastosował wyniki do budowy piorunochronu: pierwsze takie urządzenie otrzymała Akademia w Filadelfii (szkoła założona z jego inicjatywy – sam nie mógł chodzić do szkoły jako dziecko i teraz pragnął ułatwić innym zdobycie wykształcenia) oraz na jego domu. To ostatnie urządzenie miało dwa dzwoneczki i młoteczek, który między nimi oscylował, dzwoniąc, kiedy atmosfera stawała się „elektryczna”. Żona Franklina, Deborah, denerwowała się tym dzwonieniem i kiedy Benjamin wyjechał, dopytywała się go w listach, jak można cały ten wynalazek wyłączyć.