Elementy – Euklides (ok. 300 p.npe.)

Myślimy często o starożytnej Grecji jako o cywilizacji, która dała nam filozofię, teatr, poezję, historię, sztukę, logikę, demokrację. Mniej dostrzegane są początki nauk ścisłych, które, wbrew wszelkiemu prawdopodobieństwu, osiągnęły u Greków niezwykle wysoki poziom. Dwa najważniejsze dzieła, Elementy i Almagestpowstały w Aleksandrii, pierwsze na początku świetności miasta, drugie już pod jej koniec. Oddzielone od siebie ponad czterema wiekami, skondensowały w sobie to, co najlepsze w starożytnym dorobku. A bez greckiej geometrii i astronomii nie do pomyślenia byłaby późniejsza nauka islamska, a także praca Mikołaja Kopernika i jego następców prowadząca do rewolucji naukowej XVII wieku.

Tekst Elementów, podzielony na trzynaście ksiąg, obejmuje w sposób systematyczny najważniejsze osiągnięcia matematyki greckiej przed Archimedesem. Napisane około roku 300 p.n.e. dzieło było przez wieki kopiowane zarówno w greckim oryginale, jak i w przekładach na hebrajski, arabski i łacinę, a od 1482 roku zaczęło ukazywać się drukiem w niezliczonych wydaniach książkowych, które liczbą ustępują tylko wydaniom Biblii. Aż do początku XIX wieku znano tekst Euklidesa jedynie w redakcji Teona z Aleksandrii, uczonego z IV w.n.e., ojca Hypatii. W 1808 r. François Peyrard, pierwszy bibliotekarz École Polytechnique w Paryżu, odkrył, iż rękopis Elementów zrabowany z Watykanu przez Napoleona (Vaticanus graecus 190, zwany też P) jest wcześniejszą wersją dzieła. Stała się ona później podstawą definitywnego wydania opracowanego przez duńskiego filologa Johana Ludviga Heiberga.

[Vaticanus graecus 190]

Dzieło Euklidesa nie było pierwszym noszącym ten tytuł, szybko stało się jednak klasyczne, czego pośrednim dowodem jest fakt, że nie zachowały się niemal żadne wcześniejsze teksty matematyczne – w czasach gdy kopiowanie książek było kosztowne i pracochłonne, następowała swoista selekcja naturalna rękopisów, w której te bardziej przydatne wypierały mniej użyteczne. Elementy są najwcześniejszym zachowanym greckim traktatem poświęconym matematyce, ponieważ stanowią one podręcznik, z którego można nauczyć się podstaw matematyki. Stosowane były w tej funkcji nie tylko w starożytności, ale i w czasach późniejszych aż po dziewiętnasty wiek.

Zadziwiająco mało wiemy o autorze tekstu, nawet jego istnienie podawano w wątpliwość, argumentując, że dzieło jest niejednorodne i różne jego księgi wykazują rozmaity stopień dojrzałości. Na ogół sądzi się jednak, że Euklides działał i prawdopodobnie także urodził się w Aleksandrii, mieście niedługo wcześniej założonym przez Aleksandra Wielkiego i przez długie wieki stanowiącym ośrodek nauki i kultury greckiej. Według Proklosa, neoplatończyka z V w.n.e., Euklides żył za panowania Ptolemeusza I i był młodszy niż krąg uczniów Platona, a starszy od Archimedesa i Eratostenesa. Miał być platonikiem i z tego powodu dzieło jego kulminowało konstrukcją i omówieniem pięciu brył platońskich, znanych z Timajosa. Euklidesa nie uważano nigdy za oryginalnego twórcę, sądzono, że zebrał on i usystematyzował osiągniecia poprzedników, w szczególności Eudoksosa i Teajteta. Elementy nie są jednak prostą kompilacją znanego już materiału, lecz próbą zbudowania dedukcyjnego systemu wiedzy matematycznej. Możliwe, że tak jak i w późniejszej historii matematyki, po okresach szybkich postępów następowały okresy systematyzacji i porządkowania wiedzy i Elementy są świadectwem takiego dążenia. Choć odkrycia późniejszych matematyków, takich jak Archimedes, Apoloniusz i Pappus, znacznie wykroczyły poza problematykę Elementów, dzieło to pozostało najszerzej używanym podręcznikiem w historii. Jego znaczenie nie ogranicza się do matematyki: dedukcyjny system wiedzy stał się ideałem wielu późniejszych filozofów i uczonych. W naukach ścisłych aż do dziś uważa się możliwość ustrukturyzowania wykładu na wzór greckiej geometrii za ważny sprawdzian dojrzałości danej dyscypliny. Wprowadzając postulaty, z których następnie wyprowadzamy twierdzenia, osiągamy pojęciową jasność i większą przejrzystość konstrukcji myślowych, musimy bowiem uświadomić sobie jasno przyjęte założenia.

Pamiętać też należy, iż grecka geometria nie była traktowana jako abstrakcyjna gra logiczna, lecz jako teoria wywodząca się z obserwacji dotyczących ciał w przestrzeni, stanowiła więc i nadal stanowi (wraz z nieeklidesowymi rozszerzeniami) podstawę fizyki. Można więc traktować ją jako pierwszą matematyczną teorię fizyczną. Kiedy niedługo później Archimedes w podobny sposób ujmował zasady równowagi ciał, rozszerzał niejako geometrię, tworząc zarazem pierwszą fizykę matematyczną.

Poniżej skoncentrujemy się na przedstawieniu metody postępowania Euklidesa, ograniczając się do tego, co było znane i czytane najszerzej i nie ograniczało się tylko do samej matematyki. Aksjomatyczna konstrukcja wiedzy jest osiągnięciem greckim nie mniejszym niż demokratyczne rządy albo rzeźba. Dzięki Euklidesowi nigdy już nie stracono z oczu, przynajmniej w kręgu śródziemnomorskim, owej metody uzyskiwania zdań niezbitych i pewnych. Jeśli prawdą jest, że (jak ujął to Alfred North Whitehead) filozofia europejska stanowi ciąg przypisów do Platona, to z niemniejszą dozą słuszności powiedzieć można, że nauki ścisłe – fizyka w nie mniejszym stopniu niż matematyka – stanowią rozbudowany komentarz do Elementów Euklidesa.

Każda z ksiąg (albo grup ksiąg) poprzedzona jest definicjami. Księga pierwsza zaczyna się od wymienienia pięciu postulatów geometrii oraz pięciu ogólniejszych prawidłowości odnoszących się do tego, co Euklides nazywa wielkościami – może tu chodzić (jak czytelnik dowiaduje się przy okazji kolejnych twierdzeń) o długość odcinka, wielkość kąta, pole powierzchni czy objętość pewnych brył. Następnie z owych dziesięciu założeń wyprowadzane są kolejne twierdzenia oraz konstrukcje. Księgi I-IV oraz VI, XI-XIII poświęcone są geometrii, sięga V zawiera wykład teorii proporcji Eudoksosa (odgrywały one w matematyce greckiej rolę dzisiejszych liczb rzeczywistych), księgi VII-IX dotyczą arytmetyki, w księdze X dyskutowane są rozmaite rodzaje liczb niewymiernych, zawsze jednak traktowanych jako proporcje długości pewnych odcinków. Ostatnia księga XIII kończy się twierdzeniem, że istnieje dokładnie pięć brył platońskich (sześcian oraz foremne: czworościan, ośmiościan, dwunastościan i dwudziestościan).

Podejście Euklidesa niewątpliwie wiele zawdzięcza istniejącej już tradycji matematycznej, a także platońskiemu rozróżnieniu między przedmiotami postrzeganymi przez zmysły a bytami idealnymi: korzystając z rysunków, traktuje je tylko jako pomoc w wyobrażeniu sobie, jak mają się do siebie idealne figury geometryczne. Koncepcję uporządkowania wiedzy, zaczynając od założeń, których prawdziwość przyjmuje się bez dowodu, znaleźć można u Arystotelesa, nie wiadomo jednak, czy występuje tu jakaś bezpośrednia zależność, czy tylko wspólna tradycja filozoficzna. Geometria stała się pierwszą wyspecjalizowaną dziedziną wiedzy, uprawianą nie ze względów praktycznych, lecz dla niej samej. Wysokie mniemanie o pedagogicznych wartościach geometrii żywił Platon, sądząc, że kieruje ona uwagę ku temu, co wieczne i niezmienne. Stobajos przytacza następującą anegdotę:

Ktoś zaczął się uczyć u Euklidesa i kiedy poznał pierwsze twierdzenie, spytał:
– Co mi przyjdzie z tego, żem się tego nauczył?

Na to Euklides zawołał niewolnika i powiedział:

– Daj mu trzy obole, jeśli musi mieć zysk z tego, czego się uczy.

Omówimy bliżej główne linie rozumowania księgi I Elementów. Tekst poprzedzają 23 definicje, np. „Punkt jest tym, co nie ma żadnych części”, „Linia zaś jest długością bez szerokości”, „Równoległe są proste, które będąc na tej samej płaszczyźnie rozciągają się bez kresu w obie strony, ale w żadnej części się nie przetną” (przeł. M. Roszkowski). Linia prosta u Euklidesa jest zawsze skończona, tzn. jest odcinkiem wedle dzisiejszej terminologii. Dzisiejsi matematycy nie definiują wszystkich pojęć danej teorii, część z nich muszą bowiem stanowić pojęcia pierwotne, które przyjmuje się bez definicji, a ich sens ujawnia się dopiero, gdy badamy, w jaki sposób pojęcia występują one w aksjomatach i twierdzeniach.

Pięć postulatów głosi kolejno, że

1. Z każdego punktu do każdego innego można poprowadzić prostą (odcinek).
2. Odcinek można (obustronnie) przedłużać.
3. Z dowolnego środka można zakreślić okrąg przechodzący przez dany punkt.
4. Wszystkie kąty proste są wzajemnie równe.
5. Jeśli prosta przecina dwie inne proste, tworząca dwa kąty wewnętrzne mniejsze (w sumie) od dwóch kątów prostych, to można owe dwie proste przedłużyć tak, aby się przecięły.

Kąt prosty zdefiniowany jest tak, jak to widać na rysunku: gdy oba kąty utworzone przez półprostą o początku leżącym na danej prostej są równe, to kąty są kątami prostymi. Postulat 4 głosi, że dowolne kąty proste są równe, co znaczy tyle, że są przystające – mogą być na siebie nałożone tak, aby ich wierzchołki oraz ramiona się pokrywały (Euklides nie mówi tego wprost).

Pięć aksjomatów ogólnych stwierdza (w redakcji M. Kordosa):
1. Dwie wielkości równe trzeciej są równe.
2. Dodając do równych równe, dostajemy równe.
3. Odejmując od równych równe, dostajemy równe.
4. Wielkości dające się zamienić są równe.
5. Część jest mniejsza od całości.

Aksjomaty te stosowane są do porównania długości, kątów, figur, jak np. trójkąty. Mniejszy oznacza np. w przypadku odcinków, że po ich nałożeniu zostaje jeszcze jakaś niepokryta część większego (całości). Euklides nie posługuje się żadnymi miarami, porównuje tylko wielkości między sobą. Dlatego np. trójkąty są równe, gdy są przystające (można je na siebie nałożyć), ale także, gdy mają np. wspólną podstawę oraz jednakowe wysokości – dziś powiedzielibyśmy, że ich pola powierzchni są równe. Euklides nie myślał o długości jako liczbie, ani o polu prostokąta jako iloczynie długości boków, porównywał co najwyżej między sobą dwie wielkości.

Cały wykład podzielony jest na zagadnienia, które mogą być albo rozwiązaniem problemu konstrukcyjnego, albo twierdzeniem. W księdze I znajduje się 48 zagadnień, twierdzenie I,47 to twierdzenie dziś nazywane tw. Pitagorasa, I,48 to twierdzenie do niego odwrotne. Przyjrzyjmy się postępowaniu Euklidesa. Stosujemy dla przejrzystości nieco uwspółcześnioną terminologię, sformułowania nasze nie są wprawdzie dosłownym przekładem oryginału, ale też i nie odbiegają od niego zbyt daleko.

I,1 Mając dany odcinek AB, skonstruować na nim trójkąt równoboczny.

Konstrukcja sprowadza się do zakreślenia dwóch okręgów (Post. 3), które wyznaczą punkty przecięcia (co jednak nie wynika z aksjomatów Euklidesa, choć jest prawdą). Mając punkt przecięcia C, budujemy dwa odcinki AB oraz BC (Post. 1). Odcinki te są równe, ponieważ równe są odcinkowi AB (Aksj. 1). Trójkąt jest więc równoboczny. Warto zwrócić uwagę na eliminowanie kroków „oczywistych” i zastępowanie ich odwołaniami do postulatów i aksjomatów – w tym leży matematyczna siła Euklidesa, choć w oczach mniej matematycznie nastawionego czytelnika wywołuje to wrażenie (może nadmiernej) pedanterii.

I,2 Mając dany odcinek BC oraz punkt A nie leżący na nim, skonstruować odcinek AE=BC.

Łączymy w tym celu punkty AB (Post. 1) i budujemy trójkąt równoboczny za pomocą I,1. Promieniem BC zakreślamy okrąg o środku B (Post. 3). Przedłużamy następnie odcinek BD (Post. 2) do przecięcia z tym okręgiem H. Następnie promieniem HD zakreślamy okrąg o środku D. Przedłużenie AD (Post. 2) przetnie się z tym okręgiem w punkcie E. Odcinek AE (Post. 1) jest szukanym odcinkiem równym BC. Z aksjomatów ogólnych łatwo wnioskujemy, że odcinki te są równe, tzn. równe są ich długości (promień większego okręgu na rysunku to suma AB i boku trójkąta, odejmując potem bok trójkąta, otrzymujemy naszą tezę).
Warto zauważyć, że konstrukcje Euklidesa wykonywane są za pomocą linijki bez żadnej skali oraz cyrkla, który także nie pozwala przenosić odległości, lecz tylko poprwadzić okrąg z danego środka przez dany punkt (po przeniesieniu cyrkiel „nie pamięta” swego rozwarcia). Dzięki I,2 możemy uwolnić się od tego ograniczenia i odtwarzać odległość dwóch punktów w innym miejscu.

I,4 Dwa trójkąty, których dwa boki oraz zawarty między nimi kąt są równe, są przystające (równe).

Jest to cecha przystawania trójkątów bok-kąt-bok (bkb). Euklides dowodzi tego twierdzenia, nakładając na siebie oba trójkąty. Nie jest to postępowanie oczywiste, jeśli nie uważamy naszych figur za sztywne obiekty, które można przemieszczać bez zmiany kształtu i długości. David Hilbert przyjął w XIX w. to twierdzenie za jeden z aksjomatów w swoim wykładzie geometrii euklidesowej.

I,5 W trójkącie równoramiennym ABC, w którym AB=BC, kąty wewnętrzne przy podstawie są równe.

Przedłużamy ramiona trójkąta o jednakowe odcinki BF=CG. Trójkąty ABG i ACF są przystające na mocy poprzedniego twierdzenia, zatem także kąty ABG oraz ACF są równe. Trójkąty BFC i CGB są przystające na mocy tego samego twierdzenia (kąty BFC i BGC są równe, gdyż oba trójkąty pierwszej pary są przystające). Kąty ABC i BCA można przedstawić jako różnicę odpowiednio równych kątów (np. \sphericalangle ABC=\sphericalangle ABG-\sphericalangle CBG), muszą zatem być równe.
Twierdzenie to zyskało w średniowieczu nazwę Pons asinorum („ośli most”), nie wiadomo, czy z powodu kształtu towarzyszącego mu rysunku, czy też dlatego, że w tym miejscu ujawniał się już podział na tych, którzy rozumieją geometrię i na tych, którzy jej nie rozumieją. Pappus przedstawił prostszy dowód, w którym I,4 stosujemy do trójkątów BAC i CAB: ich boki są parami równe, a kąt przy wierzchołku jest tym samym kątem BAC, zatem oba trójkąty są przystające i kąty przy podstawie są równe. Euklides mógł mieć opory przeciwko takiemu potraktowaniu jednego trójkąta jako dwóch.

I,6 Jeśli kąty przy podstawie trójkąta są równe, to trójkąt jest równoramienny.

Euklides dowodzi tego twierdzenia przez sprowadzenie do niedorzeczności (reductio ad absurdum). Zakładamy, że teza twierdzenia jest fałszywa, a następnie staramy się wykazać, że wynika stąd zaprzeczenie założeń twierdzenia. Jeśli AB\neq AC, to któryś z odcinków jest większy, tzn. ma większą długość. Załóżmy, że AB>AC. Możemy wówczas na odcinku AB odłożyć odcinek AD=AC. Kąt DCB jest zatem mniejszy od kąta ACB. Jednocześnie trójkąt DBC jest równoboczny, a więc kąty DCB i DBC są równe na mocy poprzedniego twierdzenia. Kąt DBC jest tym samym, co kąt ABC, ergo ABC jest mniejszy od ACB wbrew założeniu.

I,9 Skonstruować dwusieczną danego kąta.

Na ramionach kąta odkładamy równe odcinki AD i AE. Następnie na odcinku AD konstruujemy trójkąt równoboczny. Jego trzeci wierzchołek wraz z wierzchołkiem kąta wyznaczają szukaną dwusieczną, co można łatwo udowodnić: kąty ADE i AED są równe jako kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego. W takim razie także kąty ADF i AEF są równe i oba trójkąty ADF i AEF są przystające. Wobec tego kąty DAF i FAE są równe c.n.d.

I,11 Skonstruować prostopadłą do danej prostej w punkcie D.

Wyznaczamy na prostej dwa punkty A i B w równych odległościach od D: AD=DB. Następnie na odcinku AB konstruujemy trójkąt równoboczny. Jego trzeci wierzchołek C wraz z punktem D wyznaczają szukaną prostopadłą. Aby to udowodnić, zauważamy, że trójkąty ADC i BDC są przystające, a zatem kąty CDA i CDB są równe – spełniona jest więc definicja kąta prostego i oba te kąt są równe kątowi prostemu. Tym samym DC jest prostopadła do prostej AB.

I,20 (Nierówność trójkąta) Dwa boki trójkąta razem są dłuższe od trzeciego boku.

Niech będzie dany trójkąt CAB, chcemy dowieść, że odcinki AC wraz z CB są większe od AB. W tym celu na przedłużeniu AC odkładamy odcinek CD=CB. Kąt ABD jest większy od kąta CBD. Ten ostatni równy jest kątowi CDB, czyli ADB. W trójkącie ABD naprzeciwko większego kąta leży większy bok (I, 19; nie przytaczamy dowodu), a zatem AD=AC+CB>AB (stosując współczesny zapis).
Z twierdzenia tego wynika, że długość łamanej łączącej dwa punkty jest zawsze większa niż długość odcinka łączącego te punkty. W konsekwencji, jeśli połączymy oba punkty jakąś krzywą gładką, ale taką że zarówno samą krzywą, jak i jej długość można dowolnie przybliżać za pomocą łamanych, to długość łuku krzywej nie może być mniejsza niż długość odcinka łączącego dane punkty. Inaczej mówiąc, odcinek jest krzywą o najmniejszej długości (przy ustalonych obu końcach). Euklides nie dowodzi takiego twierdzenia, ale było ono znane greckim geometrom.
Dopiero blisko połowy księgi I staje się potrzebny Postulat 5.

I,29 Jeśli prosta EF przecina parę prostych równoległych AB i CD, to kąty naprzemianległe wewnętrzne są równe.

Wykażemy, że kąt AGF równy jest kątowi EHD. Załóżmy, że oba te kąty nie są równe. Niech np. AGF będzie większy od EHD. Ponieważ kąty AGF i BGF dopełniają się do dwóch kątów prostych (I,14; nie przytaczamy dowodu), więc suma kątów BGF i EHD jest mniejsza od dwóch kątów prostych. Z Post. 5 wynika, że proste AB i CD (po ewentualnym przedłużeniu) przetną się, nie są zatem – wbrew założeniu – prostymi równoległymi.
Postulat 5 sformułowany został tak, aby wygodnie się nim było posługiwać do wykazania, że dwie proste nie są równoległe. Nie wydawał się on tak oczywisty jak pozostałe i wzbudzał zawsze rozmaite wątpliwości. Jest on równoważny innemu postulatowi sformułowanemu przez Playfaira: Przez punkt nie leżący na danej prostej można przeprowadzić dokładnie jedną prostą równoległą do danej. Postulat 5 jest także równoważny twierdzeniu o sumie kątów wewnętrznych trójkąta.

I,32 Suma kątów wewnętrznych trójkąta równa jest dwóm kątom prostym.

Wystarczy zauważyć równość zaznaczonych kątów na rysunku (linia przerywana jest równoległa do boku trójkąta).

I,47 (Tw. Pitagorasa) W trójkącie prostokątnym suma kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa kwadratowi zbudowanemu na przeciwprostokątnej.

Zwróćmy uwagę na sformułowanie: należy najpierw skonstruować kwadraty, o których mowa w twierdzeniu, a następnie wykazać, że suma (pól) dwóch mniejszych kwadratów jest równa polu kwadratu największego. Wysokość trójkąta opuszczona z kąta prostego po przedłużeniu dzieli kwadrat na dwa prostokąty. Euklides wykazuje, że dla trójkąta ABΓ oba pola zaznaczone na zielono oraz oba pola zaznaczone na niebiesko są równe.

Dowód Euklidesa korzysta z konstrukcji I,46 kwadratu na danym odcinku oraz linii równoległej do BΔ i ΓE przechodzącej przez dany punkt A (I,31). Wykazuje następnie, że AH jest przedłużeniem AΓ oraz AΘ jest przedłużeniem AB (I,14). Trójkąty ABΔ oraz ZBΓ są przystające na mocy twierdzenia I,4 (bkb). Prostokąt BΛ o podstawie BΔ ma tę samą wysokość co trójkąt ABΔ o tej samej podstawie. Na mocy I,41 prostokąt jest dwa razy większy od trójkąta (to wynik równoważny wzorowi na pole trójkąta, gdy określimy pole prostokąta). Kwadrat BH jest z tego samego powodu dwa razy większy od trójkąta ZBΓ o podstawie ZB. W analogiczny sposób pokazać można, że oba pola zaznaczone na niebiesko są równe, co kończy dowód.

W księdze VI Euklides przytacza inny dowód tw. Pitagorasa, oparty na podobieństwie mniejszych trójkątów na rysunku i trójkąta wyjściowego. Ten drugi dowód znany był prawdopodobnie wcześniej, dowód I,47, pochodzący zapewne od samego Euklidesa, jest bardziej zadowalający matematycznie, gdyż używa mniejszej liczby założeń: w księdze I daleko jeszcze jesteśmy od tak subtelnych konstrukcji jak figury podobne.
Ostatnie twierdzenie tej księgi I,48 jest odwrotne do tw. Pitagorasa: Jeśli spełniony jest warunek pól dla kwadratów zbudowanych na bokach trójkąta, to trójkąt ów jest prostokątny.

Elementy są podręcznikiem i były nim już w chwili powstania. Ścisłość rozumowań Euklidesa stała się wzorem dla przyszłych matematyków. Wybitny matematyk XX wieku André Weil pisał: „ [Elementy] Euklidesa to pierwszy zachowany tekst matematyczny, w którym pojęcie dowodu utożsamione zostało z łańcuchem wnioskowań pozbawionym luk; nie bez powodu ten sposób widzenia przedmiotu zachował swą aktualność do dziś”.

Nie sposób oczywiście przedstawić nawet pobieżnie wpływu książki czytanej w ciągu dwudziestu kilku wieków przez tysiące ludzi: wybitnych matematyków, jak i myślicieli czy po prostu uważnych czytelników mniej lub bardziej oddalonych od nauk ścisłych.

Greckie manuskrypty Elementów przechowywane były w Bizancjum. Od nich pochodziły przekłady arabskie, które z kolei dały początek rozpowszechnianiu się tekstu zarówno na Wschód (języki hebrajski, syryjski, perski), jak i na Zachód (łacina). W europejskim średniowieczu przekładano Euklidesa z arabskiego na łacinę wielokrotnie w wieku dwunastym i później. Już sama międzynarodowa lista tłumaczy daje pojęcie o zainteresowaniu Elementami: Adelard z Bath, Hermann z Karyntii, Gerard z Cremony, Robert z Chester, Campanus z Novary. Przekład tego ostatniego stał się podstawą pierwszego drukowanego wydania Elementów w Wenecji w roku 1482. W XVI wieku udało się też dotrzeć do tekstu greckiego (w wersji Teona). Od tamtej pory ukazały się niezliczone wydania oraz przekłady na języki narodowe (brak nadal kompletnego przekładu polskiego, choć już w 1808 Józef Czech, dyrektor Liceum Krzemienieckiego, przełożył osiem ksiąg, opierając się na angielskiej wersji Roberta Simonsa).

Twierdzenie Pitagorasa w weneckim wydaniu z 1482 r. (numeracja twierdzenia lekko w nim szwankowała)

Geometria oraz arytmetyka miały w średniowieczu mocną pozycję jako sztuki wyzwolone wchodzące w skład quadrivium („czterodroże”) wraz z astronomią i muzyką (która obejmowała głównie teoretyczną naukę o proporcjach dźwięków w różnych skalach). Także i później podstawy geometrii stanowiły nieodzowny element wykształcenia, Elementów długo jeszcze używano jako podręcznika. Bertrand Russell, logik i filozof, wspomina: „W wieku jedenastu lat zacząłem Euklidesa z moim bratem w roli tutora. Było to w moim życiu wielkie wydarzenie, równie olśniewające co pierwsza miłość. Wcześniej nie wyobrażałem sobie nawet, że istnieje na świecie coś tak zachwycającego. Kiedy przeszedłem Zagadnienie 5 (Pons asinorum), brat powiedział mi, że powszechnie uchodzi ono za trudne, ja jednak nie napotkałem w nim żadnych trudności. To wtedy po raz pierwszy zaświtało w mej głowie, że może obdarzony zostałem jakąś inteligencją”. Kilka lat młodszy Albert Einstein nie uczył się wprawdzie z Elementów, lecz z podręcznika będącego ich zmodernizowaną wersją; także dla niego odkrycie geometrii było wielkim przeżyciem, wspominał potem podręcznik jako „świętą książeczkę”, co w jego ustach – uduchowionego niedowiarka i spinozisty – miało swoją wymowę. Einstein sądził wręcz, że głęboki wstrząs intelektualny, jaki wówczas przeżył, stanowi niejako rodzaj probierza, czy ktoś się do nauki nadaje, czy nie. Zanim jeszcze podręcznik trafił w jego ręce, udało mu się znaleźć dowód twierdzenia Pitagorasa oparty na podobieństwie trójkątów (VI,31).

Metoda geometryczna kusiła też filozofów. Thomas Hobbes, mając już czterdzieści lat, natknął się w bibliotece znajomego gentlemana na egzemplarz Elementów, które otwarte były na stronie zawierającej twierdzenie Pitagorasa. Przeczytawszy jego treść, wykrzyknął: na Boga, to niemożliwe! Potem jednak cofając się stopniowo do twierdzeń, na których oparty był dowód, zrozumiał, że rozumowanie Euklidesa jest bez zarzutu. René Descartes sam był wybitnym matematykiem i z geometrią zapoznał się wcześnie w jezuickim kolegium w La Flèche. Właśnie na goemetrii wzorował się w swym podejściu do filozofii, która miała być nowym początkiem ludzkiej wiedzy. „Owe długie łańcuchy uzasadnień, zupełnie proste i łatwe, którymi zazwyczaj posługują się geometrzy, by dotrzeć do swych najtrudniejszych dowodzeń, dały mi sposobność do wyobrażenia sobie, że wszystkie rzeczy dostępne poznaniu ludzkiemu wynikają w taki sam sposób wzajemnie ze siebie, a także, że nie mogą istnieć tak odległe, do których byśmy wreszcie nie dotarli, i tak ukryte, których byśmy nie wykryli, bylebyśmy tylko nie przyjmowali za prawdziwą żadnej rzeczy, która by prawdziwą nie była, i zachowywali zawsze należyty porządek w wyprowadzaniu jednych z drugich” (przeł. W. Wojciechowska, Rozprawa o metodzie, PWN 1981, s. 23). Zdaniem Immanuela Kanta przedmioty, które bada matematyka: przestrzeń i czas nie pochodzą z doświadczenia, ale mają swe źródło w poznającym przedmiocie. Geometria stała się w ten sposób nauką o jedynie możliwej przestrzeni.

Tymczasem matematycy nabierali coraz więcej wątpliwości. Karl Friedrich Gauss już w roku 1813 rozmyślał nad geometrią nieuklidesową, lecz oportunistycznie nie zdecydował się na publikację swych wyników. Także Ferdinand Karl Schweikart, profesor prawa, rozwijał podobne idee w zaciszu gabinetu. Dopiero János Bolyai i Nikołaj Iwanowicz Łobaczewski, niezależnie od siebie zaryzykowali publikację prac sprzecznych z dotychczasową tradycją, nie były one przyjęte dobrze. Obaj zajmowali się geometrią hiperboliczną, w której istnieje nieskończenie wiele prostych równoległych do danej prostej. Postulat 5 Euklidesa jest bowiem niezależny od pozostałych i równie dobrze można zbudować konsekwentną geometrię, wychodząc z jego zaprzeczenia. Pod koniec XIX wieku David Hilbert podał ścisłe sformułowanie geometrii euklidesowej. Znalazło się w nim dwadzieścia aksjomatów, trzy pojęcia pierwotne (punkt, linia prosta, płaszczyzna) oraz cztery relacje pierwotne (leżenia pomiedzy, zawierania oraz przystawania odcinków oraz kątów). Różnica w podejściu między dawną geometrią a jej nowoczesnym, abstrakcyjnym sformułowaniem podkreślona została przez Hilberta następująco: „Powinno się w każdej chwili móc wstawić w miejsce punktów, linii i płaszczyzn – stoły, krzesła i kufle do piwa” (oczywiście pod warunkiem, że obiekty te spełniają aksjomaty geometrii).

Reklamy

Czy Einstein zapowiadał się na geniusza? (1879-1894)

„Nie mam żadnych szczególnych uzdolnień. Cechuje mnie tylko niepohamowana ciekawość”.
Einstein napisał te słowa w liście do swego przyszłego biografa Carla Seeliga w roku 1952, a więc mając już przeszło siedemdziesiąt lat i spoglądając wstecz na całe minione życie. Nie sądzę, by powodowała nim skromność, raczej przedstawił trzeźwy osąd własnego talentu. Przez te lata znał wielu ludzi bardzo wybitnych, niektórych wręcz genialnych, miał więc skalę porównawczą. Nie był dużym dzieckiem, jakim się go – zwłaszcza dawniej – przedstawiało: oto geniusz zachowujący dziecięcą prostotę w świecie dorosłych, ktoś, kto potrafi, nic sobie nie robiąc ze społecznych ani filozoficznych konwencji, spojrzeć inaczej na kwestie tak fundamentalne, jak czas i przestrzeń. Dziecko z baśni Andersena, które woła: król jest nagi.

Rozwijał się dość szybko, nie miał jednak nic z wunderkinda. Mówił powoli, z rozwagą, zastanawiał się nad swymi odpowiedziami, nie miał powierzchownej łatwości i szybkiego refleksu, które często brane są za oznaki zdolności. Dorastał w zamożnej rodzinie. Dom w Monachium, niedaleko za bramą miejską, otoczony ogrodem i wygodny, stanowił miejsce jego pierwszych zabaw. Nawet zabawki były po mieszczańsku solidne: kamienne klocki firmy Anker, miniaturowa maszyna parowa podarowana przez wuja. Zadziwił go jednak kompas, którego igła uparcie trzymała się jednego kierunku, podlegając jakiejś niewidzialnej sile – dobry początek dla kogoś, kto całe życie poświęci teorii pola.

Grająca na fortepianie matka zauważyła, że ma słuch muzyczny. Zaczął więc przychodzić nauczyciel gry na skrzypcach, chłopiec uczył się, choć bez zapału. W szkole nie błyszczał, ale nauka przychodziła mu łatwo. Katolicka szkoła podstawowa wpłynęła na Alberta w nieoczekiwany sposób. Musiał tam uczyć się religii, szło mu to na tyle dobrze, że podpowiadał nawet katolickim kolegom. Jego rodzice, choć niezwiązani z religią i nie uczęszczający do synagogi, poczuli się w obowiązku zapewnić Albertowi dla równowagi lekcje judaizmu. W rezultacie Albert stał się niezwykle pobożny, przestał jeść wieprzowinę, układał hymny do Pana, które śpiewał sobie po drodze do szkoły. Tolerancyjni rodzice nie bardzo wiedzieli, co z tym począć. Ujawniła się w ten sposób istotna różnica między Albertem a jego ojcem, Hermannem, który lekceważąco wypowiadał się o żydowskiej religii, traktując ją jako nagromadzenie przesądów. Być może doszła tu do głosu różnica pokoleniowa: Hermann pragnął asymilacji i zatarcia różnic kulturowych, Albert natomiast wcześnie zdał sobie sprawę, że jako Żyd skazany jest w niemieckim społeczeństwie na alienację – zawsze bowiem będzie kimś obcym. Nie zetknął się w tym czasie z poważniejszymi przejawami antysemityzmu, nauczyciele starali się zachować neutralność, choć chłopcy, zwłaszcza w szkole podstawowej, przynosili z domu niechęć i lekceważenie wobec Żydów, objawiające się dokuczaniem i zaczepkami. Nie można wykluczyć, że religijność Alberta miała w sobie także motyw obronny. Nie tylko nie zaczął wstydzić się swego pochodzenia, lecz wręcz przeciwnie, pragnął je zaakcentować.

Wiara Alberta nie dotrwała do bar micwy, nim skończył trzynaście lat, jego nową wiarą stała się nauka. Zainteresowania naukowe Alberta jeszcze bardziej oddaliły go od szkoły. Uczęszczał teraz do klasycznego Gimnazjum Luitpolda. Rodzice chcieli, aby zdobył najlepsze wykształcenie. W ówczesnej Europie najbardziej prestiżowymi szkołami były gimnazja klasyczne, w których połowę czasu zajmowały łacina i greka. Wierzono, że czas spędzony nad językami klasycznymi służy rozwojowi umysłu, stanowiąc swego rodzaju gimnastykę mózgu. Ponadto warstewka kultury klasycznej pozwalała od razu poznać, kto przeszedł edukację tego rodzaju. „Najbardziej zdumiewającą cechą edukacji jest to, jak wielką ilość ignorancji udaje się w niej zmieścić pod postacią martwych faktów” (Henry Adams). Jak się zdaje, jedyne co Albert zawdzięczał szkole to lekcje niemieckiego w szóstej klasie gimnazjum. Zainteresowanie Goethem zostało mu na całe życie. Nie nauczył się natomiast w szkole niczego z matematyki i fizyki.

Zwrot w kierunku nauki nastąpił pod wpływem osobliwej przyjaźni Alberta z przychodzącym do nich na obiady studentem medycyny z Polski, Maksem Talmudem. Chłopiec zapalił się do materializmu filozoficznego w stylu Georga Büchnera (nb. lekarza), który głosił, iż istnieje tylko siła i materia. Dzięki popularnym książkom Aarona Bernsteina zapoznał się z podstawami chemii, astronomii, fizyki, biologii. Bernstein, syn rabina z Gdańska, głosił pochwałę ludzkiego rozumu, nie był jednak ateistą jak Büchner.

Bardzo ważnym doświadczeniem Alberta stało się zetknięcie z geometrią. Częściowo dokonało się to dzięki rozmowom ze stryjem Jakobem, inżynierem, częściowo wpływ miał Max Talmud, przynosząc chłopcu odpowiednie książki. Zanim jeszcze ujrzał pierwszy podręcznik geometrii, udało mu się wykazać twierdzenie Pitagorasa.

Zauważył (po dłuższym zastanawianiu się nad tym problemem), że wysokość opuszczona z kąta prostego dzieli trójkąt na dwa mniejsze i podobne trójkąty. (Pojęcie podobieństwa trójkątów uznał za oczywiste. Zatem ich pola powierzchni są proporcjonalne do kwadratu długości przeciwprostokątnych, czyli kc^2=ka^2+kb^2, gdzie k jest wspólnym współczynnikiem proporcjonalności). Tym, co zrobiło na Einsteinie ogromne wrażenie, były nie tyle rozmaite twierdzenia, ile sam fakt, że można owe twierdzenia udowodnić, wychodząc z pewnych postulatów. Chodziło zatem o metodę postępowania, nie wyniki. Pierwszy swój podręcznik geometrii opisywał potem Einstein jako „świętą książeczkę”. Dziś zaniedbuje się nauczania geometrii, niewielu więc uczniów ma podobne doświadczenia. Klasyczna geometria nadaje się zresztą nadzwyczajnie do tego, by pokazać na czym polega prawdziwa matematyka, ponieważ już na poziomie szkolnym łatwo znaleźć zadania, które mogą stanowić wyzwanie intelektualne, a zarazem możliwe do rozwiązania bez wielkiej wiedzy i szczególnych technik.

Geometria Euklidesa była pierwszą historycznie dziedziną sformułowaną w sposób aksjomatyczny. Pewność takiej metody dedukcyjnej robiła wrażenie na wielu uczonych w przeszłości. Wielu też starało się tę metodę naśladować w innych dziedzinach, np. Kartezjusz albo Newton. Albert dopiero z czasem zdał sobie sprawę, że aksjomaty geometrii nie są bynajmniej oczywiste, tak samo jak i jej rezultaty. Przyjmując pewien zestaw aksjomatów, otrzymujemy teorię pewnego typu – nie ma jednak żadnych przesłanek, oprócz logicznej niesprzeczności, aby przyjąć ten zestaw aksjomatów raczej niż inny. Gdy zajmujemy się matematyką, kryterium wyboru może stanowić to, czy powstała teoria jest ciekawa, czy wiąże się z innymi teoriami matematycznymi itd. Fizyk musi wybrać postulaty, które nie prowadzą do sprzeczności z doświadczeniem.

Albert robił szybkie postępy w matematyce. W wieku piętnastu lat przerobił już podręcznik rachunku różniczkowego i całkowego H.B. Lübsena (jego autor sam był samoukiem, który okazał się dobrym nauczycielem). Einstein umiał dużo, jak na ówczesnego nastolatka, w przyszłości miał się nauczyć jeszcze więcej. Nie to jednak przesądziło o jego późniejszych osiągnięciach. Najważniejsza była ciekawość w połączeniu z upartym charakterem.

Zetknął się wcześnie z najnowocześniejszą wtedy techniką: elektrycznością. Stryj i ojciec prowadzili do spółki firmę produkującą generatory elektryczne, fabryka była nieopodal domu, Albert bywał tam często, wiedział, jak działają różne urządzenia, widział na ich przykładzie, jak niewidzialne siły pola elektromagnetycznego można przesyłać przewodami, jak można ich energię wykorzystać do oświetlenia albo do rozmów telefonicznych. Rozumiał technikę, ale nie upajał się jej osiągnięciami, dość szybko zauważył, że interesują go zasady działania tych urządzeń, a nie ich praktyczna realizacja czy ewentualne zyski. Ciekawość Alberta kierowała się ku fundamentalnym wyjaśnieniom, miała charakter teoretyczny.
Po rozczarowaniu religijnym, kiedy zrozumiał, że biblijne przypowieści nie mogą być prawdziwe w sensie dosłownym i że istniejące religie stanowią przedłużenie władzy państwowej, służąc raczej spętaniu jednostek niż ich wyzwoleniu, zaczął krytycznie obserwować wszystkich wokół: rodziców, nauczycieli gimnazjalnych. Jego cierpki krytycyzm potrafił ranić, a jego pewny siebie uśmieszek doprowadzał niektórych do wściekłości. Dawał odczuć, że jego prawdziwy świat znajduje się gdzie indziej i że jego królestwo niewiele ma wspólnego z codziennymi zabiegami i staraniami ludzi, którzy nie potrafią go dosięgnąć. Nie wiemy, kiedy dokładnie postanowił, że nie zostanie inżynierem – czy było to przed, czy raczej wskutek niepowodzeń ojca w interesach. Mała fabryczka braci Einstein nie miała szans w konkurencji z gigantami takimi, jak Siemens czy AEG (kapitał 20 milionów marek).

Po kolejnym niepowodzeniu bracia postanowili przenieść się do Włoch. Albert miał zostać w Monachium: czekały go jeszcze trzy lata gimnazjum, dopiero wtedy mógł zdać maturę i myśleć o uniwersytecie.

Ci, którzy go znali, pamiętali jego śmiech przypominający szczekanie foki. Philipp Frank pisał: „[Einstein] widział sprawy codzienne w nieco komicznym świetle i coś z tego nastawienia wyzierało z jego słów; jego poczucie humoru rzucało się w oczy. Kiedy ktoś powiedział coś zabawnego, intencjonalnie albo niechcący, Einstein reagował bardzo żywiołowo. Wydobywający się z głębi jego jestestwa śmiech był jedną z jego charakterystycznych cech, które natychmiast zwracały uwagę. Dla ludzi dookoła był ów śmiech źródłem radości i ożywienia. Czasem jednak dawało się w nim wyczuć krytycyzm, który nie każdemu przypadał do gustu. Ludziom o wysokiej pozycji społecznej niezbyt się podobało, że Einstein uważa ich świat za śmiechu warty w porównaniu z wielkimi problemami, którymi sam się zajmuje. Jednak ludzie o niższej pozycji społecznej czerpali zawsze przyjemność z obcowania z Einsteinem. Jego sposób prowadzenia rozmowy sytuował się gdzieś między dziecinnymi żartami a gryzącym szyderstwem, tak że niektórzy nie wiedzieli, czy powinni się śmiać, czy obrazić. (…) Toteż wrażenie, jakie Einstein wywierał na otoczeniu, oscylowało między dziecinną wesołością a cynizmem”.

Albert zamknął się w swoim świecie fizyki, matematyki, wyobraźni i pojęć, nauczył się też skutecznie go chronić, zaczął prowadzić coś w rodzaju podwójnego życia. W tym ważniejszym, niedostępnym dla innych, rządziła ciekawość, inżynierska dociekliwość: jak to jest zbudowane i jak działa. Jego ciekawość skierowana była wszakże w stronę, by tak rzec, euklidesową: w stronę poszukiwania zasad, na których opiera się świat. Zapewne ta ogromna ciekawość sprawiła, że spędził lata i dziesiątki lat na zastanawianiu się nad fizyką. Kiedy mówimy o uporze albo wytrwałości, akcentujemy cechy charakteru ważne, ale w jakiś sposób wtórne. W jego przypadku wytrwałość była dopełnieniem ciekawości, była napędzana kolejnymi pytaniami, jakie się wyłaniały w miarę znajdywania odpowiedzi na poprzednie pytania. Jego siostra Maja zapamiętała, że w dzieciństwie Albert cierpliwie budował domki z kart, osiągające nawet czternaście kondygnacji. Jakby już wtedy ujawniła się jego wielka cierpliwość oraz pogodna łatwość burzenia i zaczynania od nowa.

A co ze światem ludzi i jego wymaganiami? Wszyscy musimy w jakimś stopniu brać udział w jego oczekiwaniach i rytuałach. Albert nie nadawał się na buntownika, był na to zbyt racjonalny. Nauczył się jednak chronić swą wewnętrzną niezależność – i ta umiejętność odegrała wielką rolę w jego życiu naukowym. Pierwszą oznaką owej niezależności stał się banalny konflikt szkolny. W siódmej klasie gimnazjum pojawił się nowy wychowawca, doktor Joseph Degenhart. Podobnie jak inni nauczyciele w tym gimnazjum był człowiekiem dobrze wykształconym. Uczył greki, do której Albert nie pałał wielkim entuzjazmem, jak zresztą do wszelkiej nauki pamięciowej. Miał on bowiem zawsze tę wadę inteligentnych ludzi, że trudno go było zmusić do robienia czegoś, co uważał za bezsensowne. Nie znamy szczegółów konfliktu między Degenhartem i Einsteinem. Prawdopodobnie wychowawca starał się klasie zaszczepić współzawodnictwo w nauce greki, chciał, by uczniowie w zdyscyplinowany sposób podążali za nim, niczym za swoim dowódcą – porównanie bynajmniej nie nonsensowne – szkoły starano się zmilitaryzować, zaprowadzając dyscyplinę i ćwicząc w cnocie posłuszeństwa wobec przełożonych. Degenhart napotkał opór ze strony Alberta. Uczeń nie miał zamiaru spędzać zbyt wiele czasu nad greką, traktował ten przedmiot jako zło konieczne. Zirytowany Degenhart pozwolił sobie na publiczną uwagę, że z Einsteina nic nie będzie. Piętnastolatek odwzajemnił mu się milczącym szyderstwem. Ta psychomachia trwała jakiś czas, aż w końcu oznajmiono mu, że powinien zmienić szkołę, gdyż sama jego obecność podrywa autorytet profesora wobec klasy. Wkrótce Einstein zdobył zaświadczenie lekarskie, iż powinien odpocząć z powodu wyczerpania nerwowego i opuścił na zawsze szkołę oraz Monachium. Nie chciał mieszkać w Niemczech, nie chciał być dłużej obywatelem królestwa Wirtembergii (jakim był z racji urodzenia w Ulm) i nie chciał służyć w niemieckiej armii. „Każdy, komu sprawia przyjemność maszerowanie w szeregu przy dźwiękach muzyki, już przez to samo wywołuje we mnie uczucie pogardy; jedynie przez przypadek obdarzono go wielką mózgownicą, gdyż mlecz pacierzowy wystarczyłby najzupełniej na jego potrzeby”. Nie przypuszczał wtedy, iż kiedykolwiek wróci do Niemiec, choć wiedział przecież, ile znaczy niemiecka nauka i niemieckie uniwersytety. W szkolnych latach Einsteina na uniwersytecie w Monachium wykładał najwybitniejszy ówczesny fizyk, Ludwig Boltzmann, co oczywiście nie miało jeszcze żadnego znaczenia dla ucznia gimnazjum. Jednak już za niewiele lat Einstein miał twórczo rozwinąć prace Boltzmanna. Psychologowie podają regułę dziesięciu lat: tyle mniej więcej trzeba, aby ktoś zdolny doszedł do mistrzostwa w trudnej wyspecjalizowanej dziedzinie, jak gra w szachy, gra na instrumencie albo fizyka. Albert Einstein był na początku swojej dekady pogłębiania wiedzy i odkrywania jej dla siebie.

Porzucenie szkoły dwa i pół roku przed maturą nie było rozważne, decyzję podjął sam, nie uprzedzając o niej rodziców. Ale tak samo mało „rozważne” były niemal wszystkie prace Einsteina. Nigdy nie dążył do łatwo osiągalnego celu. Nie zadowalały go kompromisy i częściowe sukcesy, tak jak nie przejmował się tym, co inni sądzą na temat jego osoby czy pracy. Właśnie ta silna osobowość w połączeniu z ciekawością zapowiadała w nim kogoś nietuzinkowego. W owym czasie ani on sam, ani nikt inny nie mógł przepowiedzieć, jak bardzo niezwykłe będzie twórcze życie Einsteina. „Wielkość naukowa jest w zasadzie kwestią charakteru. Najważniejsze to nie iść na zgniłe kompromisy”.

Johannes Kepler: Jak w wolnych chwilach odkryć tajemnicę kosmosu? (1595)


W lipcu 1595 roku Johannes Kepler był dwudziestotrzyletnim nauczycielem w luterańskiej szkole w Grazu w Styrii. Przysłano go tam z Tybingi, gdzie się uczył i miał nadzieję zostać teologiem. Był jednak biedny i korzystał z książęcego stypendium, musiał więc pojechać do Grazu, kiedy tylko zwierzchnicy tak postanowili. Nawiasem mówiąc, Wirtembergia z czasów Keplera miała znakomity system edukacyjny, w którym biedny, lecz uzdolniony młodzieniec mógł przejść przez szkoły wszystkich stopni, nie płacąc ani za naukę, ani za utrzymanie w bursie. A był to przecież XVI wiek! Rządzący kierowali się głównie względami religijnymi: potrzeba było jak najwięcej wykształconych teologów luterańskich, ale uczono porządnie, choć raczej w duchu konserwatywnym.
Kepler podczas studiów zainteresował się astronomią, i to heliocentryczną – jego nauczyciel Michael Mästlin był bowiem jednym z niewielu zwolenników Kopernika. Pół wieku po ukazaniu się dzieła toruńskiego astronoma, zwolenników jego nauk można było policzyć na palcach jednej ręki. Nie było mowy o żadnym przewrocie kopernikańskim, ponieważ prawie nikt nie wierzył, iż Ziemia naprawdę się porusza, a przedstawiony przez Kopernika system to coś więcej niż ćwiczenie z zakresu matematyki stosowanej, bez konsekwencji kosmologicznych.
Kepler w Grazu wciąż chciał myśleć, że po kilku latach wróci do Tybingi i dokończy studia teologiczne. Stało się inaczej, pochłonęła go astronomia (i astrologia), a i władze w Tybindze niezbyt chyba chciały mieć Keplera z powrotem. Był prawdziwie pobożny, ale jak często się to zdarza takim ludziom, nie był ostrożny w wypowiadaniu poglądów i mówił to, w co wierzył. A zwierzchnikom chodziło raczej o ujednoliconą doktrynę, nie o prywatne przemyślenia. Posłuszeństwo ceniono wyżej niż błyskotliwość i gorący zapał.
Uczył w Grazu przedmiotów matematycznych, co obejmowało astrologię. Młody nauczyciel lubił opowiadać nie tylko, co myśli, ale także jak do tego doszedł. Dzięki temu wiemy, że zajął się latem 1595 roku astronomią kopernikańską: „Kiedy pragnąłem dobrze i zgodnie z kierunkiem pracy spędzić czas wolny od zajęć” [ten i poniższe cytaty za: J. Kepler, Tajemnica kosmosu, przeł. M. Skrzypczak i E. Zakrzewska-Gębka, Ossolineum 1972, nieznacznie zmienione].
W astronomii Kopernika proporcje orbit planetarnych wyznaczone są przez obserwacje. Jeśli nawet system heliocentryczny był nieco prostszy, to nasuwało się pytanie: czemu sfery planet są takiej a nie innej wielkości? Jeśli była to rzeczywista architektura kosmosu, to czym kierował się boski Architekt?

solar

A były głównie trzy problemy, których przyczyn, dlaczego jest tak a nie inaczej szukałem, a mianowicie liczba, wielkość i ruch sfer. Odwagi dodała mi owa idealna zgodność pozostających w bezruchu Słońca, gwiazd stałych i przestrzeni pośredniej, z Bogiem-Ojcem, Synem i Duchem Świętym. (…) Początkowo rozważałem zagadnienie w zależności od liczb i zastanawiałem się, czy jedna sfera może być dwa, trzy, cztery razy większa od drugiej w teorii Kopernika. Wiele czasu poświęciłem tej pracy jakby zabawie, ponieważ nie ukazywała się żadna zgodność ani samych proporcji, ani jej przyrostu. Nie osiągnąłem z tego żadnych korzyści; wbiłem sobie jednak głęboko w pamięć odległości, tak jak zostały podane przez Kopernika. (…) Wydaje się, jakoby ruch zawsze podążał za odległością i że gdzie istniał wielki przeskok między sferami, to podobny przeskok występował także między ich ruchami.

Warto zauważyć, że już wtedy Kepler usiłował dociekać, jaka jest zależność między okresem obrotu a wielkością sfery (czyli orbity) planety – w roku 1618 odkrył ścisłe prawo rządzące tą zależnością, zwane dziś III prawem Keplera. Był to więc jeden z problemów, nad którymi rozmyślał całe życie. Młody nauczyciel był pomysłowy: próbował np. umieścić między Marsem a Jowiszem nową planetę, a inną między Wenus i Merkurym, sprawdzając, czy wtedy proporcje jakoś orbit dadzą się lepiej zrozumieć. Teoretycznie było możliwe, że krążą tam gdzieś jakieś niewielkie i nie wykryte planety. Między Marsem a Jowiszem rzeczywiście krąży wiele takich ciał, znanych jako planetoidy. Badał też inne pomysły. Wszystko na próżno.

Prawie całe lato straciłem na tych męczarniach. W końcu przy jakiejś drobnej okazji przybliżyłem się do sedna sprawy. Uznałem, że z bożej łaski udało mi się znaleźć przypadkowo to, czego wcześniej nie mogłem osiągnąć pracą. Uwierzyłem w to tym bardziej, że zawsze prosiłem Boga, aby pozwolił ziścić się moim zamiarom, jeśli Kopernik miał słuszność. W dniu 19 lipca 1595 r., zamierzając pokazać moim słuchaczom skok wielkich koniunkcji przez osiem znaków (…) wpisałem w jedno koło wiele trójkątów, albo quasi-trójkątów, tak aby koniec jednego był początkiem drugiego.

koniunkcje

 

Rysunek przedstawia koniunkcje Jowisza i Saturna na tle znaków zodiaku – jest więc całkowicie abstrakcyjny. Koniunkcje te powtarzają się w odległości około jednej trzeciej zodiaku, jeśli połączyć te punkty liniami, uzyskuje się rysunek Keplera. Sądzono, że te koniunkcje mają ważne znaczenie astrologiczne, stąd taki temat lekcji. Kepler dostrzegł jednak w tym rysunku coś innego:

triangles

Teraz mamy trójkąt wpisany między dwa okręgi. Mogłyby to być sfery Saturna i Jowisza – dwóch planet najdalszych od Słońca. Może więc kwadrat należy wpisać między sferę Jowisza i Marsa itd. Pojawia się jednak kłopot: mamy tylko sześć planet (znanych ówcześnie), a wieloboków foremnych jest nieskończenie wiele. Konstrukcja powinna wyjaśniać, czemu jest akurat sześć planet, a nie np. 120. Wtedy przypomniał sobie Kepler XIII księgę Elementów Euklidesa. Grecki matematyk dowodzi tam, że istnieje dokładnie pięć wielościanów foremnych, czyli takich, że wszystkie ich ściany są jednakowymi wielobokami foremnymi.Platonic_solids

Rysunek: Wikipedia, Максим Пе

W Platońskim Timajosie wielościany te powiązane są z pięcioma elementami, z których zbudowany jest kosmos: sześcian z ziemią, dwudziestościan z wodą, ośmiościan z powietrzem, czworościan z ogniem, a dwunastościan z eterem wypełniającym wszechświat. Była to wówczas śmiała spekulacja oparta na najnowszej matematyce Teajteta, jednego z uczniów Platona. Teraz Kepler znalazł dla tych wielościanów nowe zastosowanie. Należało między sześć sfer planetarnych wpisać owe pięć brył platońskich.

kepler

Jest to konstrukcja zawrotna: pewien głęboki fakt matematyczny został powiązany z układem planetarnym – dla Keplera nasz układ był jedyny we wszechświecie, a Stwórca myślał językiem geometrii. Pozostawało tylko zająć się szczegółami: kolejnością brył, kwestią, jak cienkie powinny być sfery planetarne, czy ich środek liczyć od środka orbity Ziemi, czy od Słońca. Rozwiązana została tajemnica kopernikańskiego kosmosu. I taki właśnie tytuł: Tajemnica kosmosu, nosiło dziełko opublikowane przez Keplera w następnym roku. Zwracał się w nim do czytelnika: „Nie znajdziesz nowych i nieznanych planet, jak te, o których mówiłem nieco wyżej – nie zdobyłem się na taką zuchwałość. Znajdziesz te stare (…) tak jednak utwierdzone, że mógłbyś odpowiedzieć rolnikowi pytającemu, na jakich hakach zawieszone jest niebo, że nie osuwa się”.

Nasz Układ Słoneczny okazał się raczej dziełem dość chaotycznych procesów niż wytworem Platońskiego demiurga. Proporcje orbit nie wynikają z żadnej ścisłej matematyki, Kepler się mylił. Był to szczęśliwy błąd – uskrzydlony odkryciem, pogodził się z tym, że nie zostanie teologiem i zajął się astronomią, co z pewnością wyszło na dobre nauce. Do końca życia wierzył, że wielościany mają coś wspólnego z uporządkowaniem sfer planetarnych, umysłowi zawsze trudno się rozstać z ulubionymi chimerami. W następstwie hipotezy wielościanowej Kepler zajął się szczegółami ruchów planet – to na tej drodze czekały go wielkie odkrycia.

Wielościany foremne związane są ze skończonymi podgrupami grupy obrotów w przestrzeni trójwymiarowej. Można o nich poczytać w książce M. Zakrzewskiego, Algebra z geometrią, Oficyna Wydawnicza GiS 2015. Bardziej popularne są piękne i znakomicie ilustrowane odczyty Hermanna Weyla, wielkiego matematyka i kolegi Einsteina z Zurychu i Princeton, pt. Symetria, PWN 1960, wznowione przez wydawnictwo Prószyński i S-ka w 1997 r.

Zanim zaśniesz, pomyśl, jak wiele zawdzięczasz Ptolemeuszowi

Każdy z nas, żyjących, jest dzieckiem szczęścia: nasze drzewo genealogiczne nie miało żadnych luk – inaczej nie przyszlibyśmy na świat. Odziedziczyliśmy jednak znacznie więcej niż geny: stoi za nami cała cywilizacja, korzystamy z dorobku pokoleń ludzi przemyślnych, inteligentnych, czasami genialnych. Od teorii promieniowania Einsteina przez pierwsze lasery w latach sześćdziesiątych dwudziestego wieku aż do odtwarzaczy Blue-ray i skanerów kodów paskowych w sklepie czy w bibliotece prowadzi droga długa, lecz możliwa do prześledzenia. Na szczęście nie musimy sami tej drogi powtarzać, korzystamy z gotowych wytworów, sprawdzonych technologii, podręczników udostępniających wiedzę kolejnym pokoleniom. Podobnie jest z tysiącem innych przedmiotów, wynalazków, odkryć. Cóż bardziej naturalnego?

Jeśli cofniemy się w czasie dostatecznie daleko, postęp wiedzy przestaje być w jakimś momencie oczywisty. Nasza cywilizacja naukowo-techniczna zaczęła się w XVII wieku na zachodzie Europy i stopniowo rozprzestrzeniła (w różnym stopniu) na resztę świata. Poprzednie wieki przynosiły bardzo powolny postęp, jeśli w ogóle go przynosiły. Kiedy upadło imperium rzymskie, przez całe wieki działo się w chrześcijańskiej części Europy bardzo niewiele dobrego. Cesarz Karol I nie potrafił nawet pisać i choć na starość mozolnie ćwiczył na woskowych tabliczkach, nie udało mu się jednak tej sztuki opanować. Przez wieki odsetek ludzi potrafiących pisać był znikomy, a przecież od czytania i pisania do twórczego uprawiania nauki jest jeszcze parę szczebli do pokonania. Dopiero po długiej, mniej więcej tysiącletniej przerwie Europa przyswoiła sobie dorobek nauki greckiej. Kopernik przy całej swej oryginalności był zaledwie uczniem Ptolemeusza i jego islamskich kontynuatorów.

Jednym z najważniejszych wątków w historii nauki była teoria ruchów planet, dziedzina na pozór mało praktyczna i odległa od zastosowań. Kto wie jednak, czy to nie teoria astronomiczna Ptolemeusza przesądziła o sukcesie zachodnioeuropejskiej nauki. Bez Ptolemeusza nie byłoby Kopernika, bez Kopernika trudno wyobrazić sobie Newtona, a bez Newtona całej reszty. To oczywiście tylko skrót rozumowania, ale można by je rozbudować. Zagadnienie ruchów planet wymagało dokładnych obserwacji i najlepszych dostępnych technik matematycznych od trygonometrii aż do analizy matematycznej i teorii równań różniczkowych.

Derek J. de Solla Price, amerykański historyk nauki, uważał, iż to właśnie astronomia Klaudiusza Ptolemeusza sprawiła, że nauka rozwinęła się w Europie, a nie np. w Chinach czy wśród Majów:

Można więc zaryzykować twierdzenie, że ta zwarta teoria stanowi intelektualne plateau naszej kultury – wysokie plateau, występujące wyłącznie u nas. We wszystkich dziedzinach nauki wszystkich innych kultur nie ma niczego, co mogłoby zaćmić tę wczesną, a tak wyrafinowaną i zaawansowaną próbę czysto matematycznego wyjaśnienia przyrody. Gdybyśmy mieli wskazać na jakiś cud w naszej historii intelektualnej, to nie wiadomo, czy nie tu właśnie należałoby szukać źródła naszej nowożytnej nauki. [Węzłowe problemy historii nauki, przeł. H. Krahelska, s. 15]

Dzieło Ptolemeusza, znane jako Almagest, było w istocie podsumowaniem długiej tradycji. Tak samo zresztą jak Elementy Euklidesa – druga najważniejsza książka naukowa Greków. Teksty się wówczas przepisywało, siłą rzeczy zostawały więc te najlepsze, przekazujące najbardziej uporządkowaną wiedzę, nikomu by się nie chciało opłacać kopisty dla powielenia rzeczy miernych. Almagest zawiera opis ruchu planet: możemy obliczyć za jego pomocą, gdzie danego dnia o danej godzinie będą się znajdować która planeta. I wynik będzie całkiem dokładny, jak na obserwacje przeprowadzane gołym okiem. Jest to więc kompletna szczegółowa teoria ruchów ciał niebieskich. Dzisiejsi inżynierowie, którzy modelują matematycznie np. przepływy powietrza wokół skrzydeł samolotu, kontynuują tę tradycję. Wiemy teraz, że za pomocą modeli matematycznych opisać można mnóstwo różnych zjawisk. Przyroda jest matematyczna, ale także i ekonomia czy nauki społeczne korzystają z matematyki.

Były dwie tradycje astronomiczne w tej części świata: babilońska i grecka. Klaudiusz Ptolemeusz opisał, ale także i rozwinął tradycję grecką. Babilończycy posługiwali się ciągami liczb, byli rachmistrzami. Ich astronomia była całkiem precyzyjna, ale przypominała długi wydruk wyników jakiegoś programu komputerowego bez użycia grafiki. Babilończycy obliczyli np. bardzo dokładnie wartość \sqrt{2}, ale to Grecy udowodnili, iż jest to liczba niewymierna. Dla nich był to stosunek długości przekątnej kwadratu do jego boku. Także ruch planet Grecy opisali w sposób geometryczny. Podstawą był ruch po okręgu. Wyobrażano sobie np., że roczny ruch Słońca zachodzi po okręgu. Hipparch zmierzył jednak długości astronomicznych pór roku: żadna z nich nie trwała równe ćwierć roku. Poradził sobie z tym w taki sposób, że uznał, iż Słońce porusza się wprawdzie po okręgu ruchem jednostajnym, ale Ziemia położona jest w pewnej odległości od środka okręgu. Znalazł odpowiednie parametry, żeby wszystko się zgadzało. Jego model zastosował potem niemal bez zmian Mikołaj Kopernik: zamienił tylko miejscami Ziemię i Słońce.

hipparch

Zobaczmy np., jak Ptolemeusz opisywał ruch planety takiej, jak Mars (analogiczne modele działają dla pozostałych dwóch planet górnych: Saturna i Jowisza). Mars zazwyczaj porusza się względem gwiazd z zachodu na wschód, ale od czasu do czasu, wtedy, gdy jest najjaśniejszy zmienia kierunek ruchu. Wygląda to tak.

marsretro

Jasne jest, że tutaj nie wystarczy taki prosty model jak w przypadku Słońca. Spójrzmy na to najpierw z perspektywy heliocentrycznej, do której jesteśmy przyzwyczajeni. (Pomijamy dalej fakt, że płaszczyzny orbit Ziemi i Marsa są lekko nachylone, nie popełniamy dużego błędu, płaszczyzny te przecinają się pod kątem mniejszym niż 2^{\circ}, Ptolemeusz miał osobną teorię dla opisania tego tzw. ruchu w szerokości.) Mamy dwa wektory opisujące ruch Marsa \vec{r}_M i Ziemi \vec{r}_Z. Końce obu tych wektorów zakreślają elipsy, ale są one w praktyce bardzo bliskie okręgom. To, co obserwujemy, to kierunek od Ziemi do Marsa (starożytni astronomowie niewiele wiedzieli o odległościach). Możemy zapisać wektor od Ziemi do Marsa jako różnicę:

\vec{R}=\vec{r}_M-\vec{r}_Z=\vec{r}_M+(-\vec{r}_Z)

ptolemeusz

Druga równość zilustrowana jest na rysunku z prawej strony. To jest właśnie model Ptolemeusza. Widać, że jeśli okręgi stanowią dobre przybliżenie orbit, model taki będzie działać. Duży okrąg nazwano później deferentem, mały – epicyklem. Z historycznego punktu widzenia największą zaletą modelu Ptolemeusza okazała się możliwość przejścia do heliocentryzmu, czyli od obrazka z prawej strony do obrazka z lewej. Gdybyśmy nie mieli geometrycznych przedstawień, byłoby to znacznie trudniejsze. Dokładnie biorąc, model Ptolemeusza zawierał jeszcze dwa szczegóły, które znacznie poprawiały zgodność z obserwacjami. Ziemia była nieco odsunięta od środka deferentu – inaczej mówiąc, Słońce było odsunięte od środka okręgu (orbity Marsa na lewym rysunku). Drugim szczegółem – i to jest wkład samego Ptolemeusza – jest ruch niejednostajny po deferencie. W obrazie kopernikańskim odpowiadałoby to niejednostajnemu ruchowi po orbicie, rzeczywiście planeta bliżej Słońca porusza się szybciej, to skutek zasady zachowania momentu pędu, jak podczas piruetów na lodzie: ręce wzdłuż ciała skutkują szybszym wirowaniem. Jak jednak Grek z II w.n.e., dysponując tylko prostą trygonometrią, mógł opisać taki ruch niejednostajny? Ptolemeusz przyjął, że istnieje wewnątrz deferentu pewien punkt E taki, że obserwowany z niego ruch środka epicykla jest jednostajny. Założenie to krytykowały później niezliczone pokolenia astronomów, z Kopernikiem włącznie, ale sprawdza się ono znakomicie w praktyce.

Tutaj można zobaczyć model Ptolemeuszowy dla Marsa w ruchu (warto włączyć ślad planety: Trail on, żeby zobaczyć, jak skomplikowany jest ten ruch z ziemskiego układu odniesienia, skomplikowane spirale zakreślane przez planetę nigdy się nie powtarzają)

Klaudiusz Ptolemeusz mógłby świetnie się nadawać na portret na T-shircie, nie wiemy jednak, jak wyglądał. Nie znamy nawet jego imienia: Klaudiusz Ptolemeusz to jego nomen i cognomen, czyli dwa człony nazwiska. Żył w II w. w Aleksandrii, która nieco przypominała dzisiejszy Hong Kong albo Nowy Jork: wielkie, kosmopolityczne, bogate miasto, nieszczędzące pieniędzy na naukę. Prawdopodobnie był Grekiem, obywatelem Rzymu. Swoje wcześniejsze dzieła dedykował Syrusowi, o którym wiadomo jeszcze mniej: może był to jego nauczyciel, a może kochanek.

Śmierć Hypatii: rok 415 po narodzeniu Chrystusa

Aleksandria słynęła swoją biblioteką i swoim uczonymi – tutaj powstała większość znanych osiągnięć nauki greckiej – miasto było zhellenizowane, kto chciał uprawiać naukę, musiał uczyć się greki. D. J. de Solla Price wysunął kiedyś tezę, że bez aleksandryjskiej nauki niemożliwa byłaby rewolucja naukowa XVII wieku, a więc w konsekwencji nasza współczesna cywilizacja. Pewne jest w każdym razie, że w Aleksandrii uprawiano najlepszą naukę w ówczesnym świecie.

Miasto u ujścia Nilu było bogate i wielonarodowe, oprócz Egipcjan wiele do powiedzenia mieli w nim Grecy, znajdowała się tu także największa kolonia żydowska poza ziemiami Izraela.

Hypatia była córką matematyka Teona. Razem z ojcem pracowała nad komentarzem do Optyki Euklidesa i nad wydaniem Almagestu Ptolemeusza, sama napisała komentarze do Stożkowych Apoloniusza, a także do pierwszych sześciu ksiąg Arytmetyki Diofantosa – samych dzieł stworzonych w Aleksandrii wystarczało aż nadto na pracowite życie. Prawdopodobnie dzięki zainteresowaniu Hypatii sześć pierwszych ksiąg Diofantosa zachowało się do naszych czasów, teksty trwały wówczas dopóty, dopóki ktoś uznawał je za warte trudu przepisywania. Dzieła aleksandryjskie stały się później podstawą nauki islamskiej, a także europejskiej w XVI i XVII wieku. Nie było właściwie uczonego, który nie czytałby swoich greckich poprzedników i nie nawiązywał z nimi swoistego dialogu. Tak było z Kopernikiem i Newtonem. Właśnie czytając Diofantosa Pierre de Fermat wpadł na pomysł swego wielkiego twierdzenia.

Dioph3

Stronica Diofantosa ze słynnym dopiskiem Fermata (oryginał się nie zachował, dysponujemy jedynie wydaniem z roku 1670 przygotowanym przez syna uczonego Clémenta-Samuela de Fermat). „Sześcian natomiast na dwa sześciany ani czwarta potęga na sumę dwóch czwartych potęg, ani ogólnie żadna inna potęga prócz kwadratu na sumę dwóch takich samych nie może zostać rozłożona, czego dowód zaprawdę cudowny odkryłem, nie starczy nań jednak miejsca na tym marginesie”.

Życie Hypatii przypadło na schyłek kultury antycznej. Chrześcijanie nie potrzebowali pogańskiej nauki, której nie znali i nie rozumieli. Tępili też zawzięcie wszystkie inne religie – bo przecież tylko ich religia mogła być prawdziwa. Pogańskie świątynie burzono bądź zamieniano na kościoły. Osławiony był pod tym względem patriarcha Teofil, „wieczny nieprzyjaciel pokoju i cnoty, człowiek zuchwały i zły, którego ręce zbrukane były na przemian złotem i krwią” (Edward Gibbon, The Decline and Fall of the Roman Empire, rozdz. 28). Przypisuje mu się także niszczenie resztek „pogańskiej” biblioteki aleksandryjskiej. Nie wiadomo, czy było jeszcze co niszczyć, z pewnością jednak Teofil nie widziałby szczególnego powodu, by ją chronić.

Sytuacja w mieście zaogniła się jeszcze bardziej, gdy po śmierci Teofila patriarchą i biskupem został jego siostrzeniec Cyryl – późniejszy święty, jeden z ojców i doktorów Kościoła – hierarcha nie mniej wojowniczy i równie ograniczony. Po poganach przyszła kolej na Żydów. Ponieważ chrześcijanie byli w większości, więc ostatecznie „mnóstwo Żydów opuściło miasto i to wydarzenie na pewno odbiło się na gospodarce miasta. Cyryl zaś niewątpliwie wykorzystał te wypadki, aby pozbyć się z Aleksandrii jak największej liczby Żydów. Wiedział bowiem, że osłabi to tradycyjną wrogość między wyznaniami i zmniejszy grono przeciwników polityki Kościoła w mieście” (M. Dzielska, Hypatia). Ta niezawodna metoda rozładowywania konfliktów nieraz jeszcze była z powodzeniem stosowana.

W wyniku zamieszek splądrowano mienie żydowskie i jedną z synagog zamieniono ku bożej chwale na kościół pod wezwaniem św. Jerzego. Prefekt Egiptu Orestes, podejrzewany o niechęć do chrześcijan, napadnięty został na ulicy przez chrześcijańskich fanatyków, jego gwardia przyboczna uciekła, a jeden z mnichów, niejaki Ammoniusz, trafił Orestesa kamieniem w głowę. Został później pojmany i zmarł w trakcie tortur. Biskup Cyryl przyznał mu palmę męczeńską za obronę wiary.

Hypatia nie była ani Żydówką, ani chrześcijanką. Maria Dzielska stawia tezę, że Hypatia miała wpływ na Orestesa i dlatego ją zabito. Autorytet Hypatii był jednak wyłącznie duchowy, a politykę w mieście uprawiało się, organizując bojówki i kontrbojówki. Zapewne oboje wraz z Orestesem starali się obronić miasto przed jedynowładztwem duchownych, w dodatku tak skrajnych i nieprzejednanych jak Cyryl.

Nietrudno było podburzyć przeciwko niej tłuszczę, skoro nawet świątobliwy historyk, biskup Jan z Nikiu, stwierdza: „Była w tym czasie w Aleksandrii pogańska filozofka o imieniu Hypatia; zajmowała się stale magią, astrolabiami i instrumentami muzycznymi i omamiła wielu ludzi szatańskimi sztuczkami. Nadzwyczajnie szanował ją prefekt miasta [Orestes], gdyż omamiła go swoją magią. Przestał uczęszczać do kościoła, jak zwykł to dotychczas czynić”. Dalej następuje opis prowokacji żydowskich i chrześcijańskiej odpowiedzi w postaci pogromu. Nie tłumacząc, jaki związek miały te wszystkie sprawy z Hypatią, Jan z Nikiu kontynuuje z wyraźną satysfakcją: „Następnie tłum wiernych Pańskich pod przewodnictwem urzędnika Piotra – który był doskonałym sługą Jezusa Chrystusa – zabrał się za szukanie owej pogańskiej kobiety, która swymi magicznymi sztuczkami omamiła mieszkańców miasta oraz prefekta. A gdy dowiedzieli się, gdzie przebywa, udali się po nią i zastali ją siedzącą na wysokim krześle. Zmusili ją do zejścia i wlekli ją po ziemi, aż zawlekli do wielkiego kościoła, zwanego Cezarejon. Było to podczas postu. I zdarli z niej szaty, i wlekli ją po ulicach miasta, aż umarła. I zanieśli ją do miejsca zwanego Kinaron, i spalili jej ciało w ogniu. Cały lud otoczył patriarchę Cyryla, obwołując go «nowym Teofilem», który zniszczył pozostałości pogaństwa w mieście”.

Wygląda więc na to, że gdy tłum spalił, co mógł żydowskiego, zajął się Hypatią, możliwe, że stało się to w trakcie jej wykładu. Ów „doskonały sługa Jezusa Chrystusa” Piotr, urzędnik, a może, jak piszą inni, kościelny lektor, mający niższe święcenia – sprawia, że ciarki przebiegają po krzyżu…

index

Frontispis Indeksu ksiąg zakazanych papieża Benedykta XIV z roku 1758. Podpis głosi: „I wielu też z tych, co uprawiali magię, poznosiło księgi i paliło je wobec wszystkich. Wartość ich obliczono na pięćdziesiąt tysięcy denarów w srebrze” (Dz 19,19). Indeks ten jako pierwszy nie powtarzał ogólnego zakazu ksiąg nauczających o ruchu Ziemi i nieruchomości Słońca, choć utrzymał szczegółowy zakaz czytania dzieł Kopernika, Keplera i Galileusza.