Balony i ciemne gwiazdy Johna Michella (1783)

We wrześniu 1783 roku podpisano traktat pokojowy między Stanami Zjednoczonymi a Wielką Brytanią. Amerykańska kolonia wywalczyła sobie niepodległość. Sporą rolę w politycznych zabiegach o wolność odegrał Benjamin Franklin, znany uczony i pierwszy Amerykanin sławny na cały ówczesny świat. Sędziwy uczony pełnił w tych latach funkcję ambasadora we Francji, co miało ogromne znaczenie – bez francuskiej pomocy finansowej i wojskowej kolonie nie zdołałyby się wyzwolić. Franklin, członek Towarzystwa Królewskiego, który spędził przedtem wiele lat w Londynie i czuł się tam jak w domu, uznał jesienią tego roku, że czas nawiązać zerwane z powodu wojny stosunki naukowe. Nic jednak na tym świecie nie wraca do punktu wyjścia, rozbrat z Anglią stał się nieodwracalny. Toteż pisząc do sir Josepha Banksa, przewodniczącego Towarzystwa Królewskiego, Franklin dał mu odczuć po której stronie się znajduje.

Jesień tego roku upłynęła w Paryżu pod znakiem kolejnych prób lotów balonem. Dziesiątki tysięcy ludzi przyglądało się pierwszym lotom. Niektórzy widzieli w tym jedynie niepoważną modę, Franklin sądził inaczej. Pisał do Banksa:

Przykro mi, że ten eksperyment pozostaje całkowicie zaniedbany w Anglii, gdzie tak silny jest geniusz mechaniczny. Szkoda, że nie ma takiego samego współzawodnictwa między narodami, jakie widzę tutaj między dwoma stronnictwami: wasza filozofia wydaje się zbyt nieśmiała. W tym kraju nie boimy się tak bardzo, że ktoś się może z nas śmiać. Jeśli zrobimy coś głupiego, to pierwsi jesteśmy gotowi się z tego śmiać i niemal taką samą przyjemność sprawia nam bon mot albo dobra chanson, gdy wyśmiewają niepowodzenie jakiegoś projektu, jak i chwalą sukces. Nie wydaje mi się, aby warto było rezygnować z przeprowadzenia nowego eksperymentu tylko dlatego, że nie widzimy, do czego można by wykorzystać tę umiejętność.

Opisał mu też jedną z takich prób:

Ponieważ czułem się trochę niedysponowany, powietrze było chłodne, a ziemia wilgotna, zrezygnowałem z udania się do Ogrodu Tuileries, gdzie umieszczony był balon, nie wiedząc, jak długo będzie trzeba czekać, zanim będzie on gotów do odlotu, i zdecydowałem pozostać w mym powozie blisko posągu Ludwika XV (…) ranek był mglisty, ale koło pierwszej znacznie się przejaśniło ku wielkiemu zadowoleniu widzów, których była niezliczona rzesza, gdyż kilka dni wcześniej ogłoszono w gazetach zamiar przeprowadzenia eksperymentu, tak że wyległ na zewnątrz nie tylko cały Paryż: w okolicach Tuileries, na nabrzeżach i mostach, na ulicach, w oknach i na dachach domów, ale także mieszkańcy okolicznych miast i wiosek. Nigdy dotąd żaden eksperyment filozoficzny nie zgromadził tyle publiczności. (…) Między pierwszą a drugą widzowie uraczeni zostali widokiem [balonu] wznoszącego się majestatycznie ponad drzewa, a następnie stopniowo ponad budynki, co dostarczyło niezwykle pięknego spektaklu! Na wysokości jakichś dwustu stóp dzielni śmiałkowie wychylili się i pomachali białym proporczykiem na obie strony swej gondoli, aby pozdrowić widzów, którzy odpowiedzieli gromkim aplauzem. (…) Miałem ze sobą kieszonkową lunetę, za pomocą której śledziłem balon, stopniowo przestając rozróżniać najpierw ludzi, potem gondolę, a kiedy po raz ostatni widziałem balon, wydawał mi się nie większy niż orzeszek laskowy

W odpowiedzi Banks przywoływał zasługi brytyjskie: biskupa Johna Wilkinsa, który w XVII wieku fantazjował na temat machin latających i Henry’ego Cavendisha, który pierwszy napełniał bańki mydlane palnym powietrzem (tzn. wodorem).

Kiedy jednak nasi przyjaciele po Pańskiej stronie morza nieco ochłoną, zauważą z pewnością, jak przyglądamy się zbiorowiskom gwiazd i meteorów, badając, czy nie potrafimy zdobyć nie mniejszej wiedzy dzięki zastosowaniu teorii do tego, co znajdujemy w arsenałach nieba.
Pan Michell przedstawił interesujący artykuł, w którym traktuje światło jako podlegające działaniu grawitacji na równi z innymi ciałami.

John Michell, duchowny, geolog, badacz magnetyzmu i autor pierwszego przyrządu do „zważenia Ziemi”, tzn. wyznaczenia jej średniej gęstości (albo masy, co na jedno wychodzi), uznał, że grawitacja działa także na cząstki światła. Ponieważ przyspieszenie nadawane przez siły grawitacji nie zależy od rodzaju ciała, więc nie musimy nic wiedzieć na temat mas takich cząstek światła.

Posługując się mechaniką Newtona, obliczył on, o ile cząstki światła dobiegające do Ziemi spowalniane są przez grawitację Słońca. Potrzebował do tego obliczyć prędkość ucieczki ze Słońca v w porównaniu z prędkością światła c. Otrzymał

\dfrac{v}{c}\approx \dfrac{1}{497}.

Oznaczało to, że prędkość cząstek światła daleko od powierzchni Słońca można wyznaczyć z warunku

c_{\infty}^2=c^2-v^2 \Rightarrow c_{\infty}=\sqrt{c^2-v^2}\approx c\left(1-\dfrac{1}{494000}\right).

Prędkość zmieniałaby się więc w tym przypadku nieznacznie. Można jednak wyobrazić sobie, że we wszechświecie istnieją ciała znacznie masywniejsze od Słońca. Jeśli przyjmiemy, że mają one tę samą co ono gęstość średnią, to wystarczy, by ich promień był 497 razy większy od promienia Słońca, by światło nie mogło uciec z ich pola grawitacyjnego. Byłyby to więc ciemne gwiazdy, niewidoczne optycznie. Możliwe byłyby także sytuacje, gdy prędkość cząstek światła jest znacznie zmniejszona w stosunku do swej wartości wyjściowej. Można by zaobserwować takie zmiany dzięki zjawisku załamania, które zależy od prędkości światła w obu ośrodkach. Astronomowie dość szybko stwierdzili, że nie obserwuje się takich zmian.

Cztery uwagi na koniec.

  1. Hipoteza Michella jest naturalna w cząstkowej teorii światła. Nie ma natomiast powodu, aby światło podlegało działaniu grawitacji, jeśli jest ono falą w eterze. Nie ma też takiego powodu w elektromagnetycznej teorii Maxwella. Oddziaływanie grawitacji na światło pojawia się dopiero w teorii Einsteina, ponieważ deformuje się czasoprzestrzeń, w której porusza się światło i nie ma tu znaczenia, czym jest światło – każda cząstka o zerowej masie będzie się poruszać tak samo.
  2. Wynik Michella dla ciemnych gwiazd jest liczbowo taki sam, jak wzór na promień Schwarzschilda dla czarnej dziury.  Znaczy to, że możliwa jest czarna dziura zbudowana z materii o gęstości Słońca, a więc rzędu gęstości wody, byle tylko masa była dostatecznie duża: 500^3=125\cdot 10^6 mas Słońca. Takie czarne dziury znajdują się w centrach galaktyk. To przykład, że utworzenie się czarnej dziury nie musi następować w warunkach skrajnie wielkiej gęstości. Promień Schwarzschilda jest proporcjonalny do masy, więc średnia gęstość równa masa/promień^3 jest proporcjonalna do M^{-2}.
  3. Gwiazda Michella różni się od czarnej dziury: światło mogłoby z niej uciec, gdyby zostało wyemitowane np. ze wznoszącej się rakiety. Podobnie astronauta mógłby uciec z ciemnej gwiazdy Michella posługując się rakietą. W przypadku czarnej dziury nie ma takiej możliwości.
  4. Teoria emisyjna światła broniona była na początku XX w. przez Waltera Ritza. Silnym kontrargumentem obserwacyjnym jest wobec niej fakt, że nie obserwuje się zmian prędkości światła wysyłanego przez składniki gwiazd podwójnych. Zmiany prędkości źródła nie wpływają na prędkość światła – zwrócił na to uwagę Willem de Sitter.

Zobaczmy, jak Michell obliczył prędkość ucieczki ze Słońca.
Promień kątowy Słońca to 16’, czyli w radianach 1/214,19. Promień Słońca R jest więc 214,19 razy mniejszy od promienia orbity Ziemi. Z III prawa Keplera zastosowanego do Ziemi i satelity Słońca na orbicie równej jego promieniowi, otrzymujemy okres obiegu takiego (hipotetycznego) satelity: T=10067 \mbox{ s}. Wiadomo z dzieła Newtona, że prędkość ucieczki jest \sqrt{2} razy większa od prędkości satelity na orbicie kołowej. Wiadomo wreszcie, że światło biegnie ze Słońca t=488\mbox{ s} (używamy tu danych Michella).
Mamy więc

\dfrac{v}{c}=\sqrt{2}\,\dfrac{2\pi R}{T}\dfrac{t}{214,19 R}\approx \dfrac{1}{497}.

Kwadrat prędkości ucieczki z pola grawitacyjnego równy jest kwadratowi prędkości uzyskanej w spadaniu ze spoczynku aż do powierzchni (Słońca w naszym przypadku):

{\displaystyle v^2=\int_{R}^{\infty}\dfrac{2GM}{r^2}dr=\dfrac{2GM}{R}}.

Na rysunku całka to pole pod krzywą zaznaczone na niebiesko i równe polu powierzchni czerwonego prostokąta z lewej strony. Do tradycji szkoły brytyjskiej należało posługiwanie się geometrią i opisem słownym, bez wyrażeń algebraicznych.

Zauważmy, że przy powiększaniu ciała bez zmiany gęstości masa M będzie proporcjonalna do R^3 i prędkość będzie proporcjonalna do R: dlatego ciemna gwiazda powinna mieć promień 497 razy większy od Słońca.
Michell, podobnie jak Newton, nie znał pojęcia energii potencjalnej. Dziś zapisalibyśmy zasadę zachowania energii w nieskończoności i na powierzchni Słońca:

\dfrac{c_{\infty}^2}{2}=\dfrac{c^2}{2}-\dfrac{GM}{R}.

Reklamy

Pierwsze echa ogólnej teorii względności w Polsce (1920-1927)

Światowa opinia publiczna zetknęła się z postacią Alberta Einsteina jesienią 1919 roku, kiedy w Towarzystwie Królewskim w Londynie omawiano wyniki obserwacji światła w pobliżu tarczy słonecznej. Promienie świetlne biegnące od gwiazd miały zgodnie z teorią Einsteina odchylać się o kąt równy 1,7'' (d/R), gdzie d jest odległością kątową gwiazdy od środka tarczy słonecznej, a R – promieniem kątowym tarczy słonecznej. Elektromagnetyczna teoria światła nie dawała powodów do jakiegokolwiek odchylenia fali biegnącej w polu grawitacyjnym, zatem odchylenie powinno być równe zeru. Można było też wyobrazić sobie światło jako cząstki, wówczas ich odchylenie w polu grawitacyjnym byłoby naturalne i zgodnie z Newtonowskim prawem ciążenia powinno ono być dokładnie dwa razy mniejsze niż wynik Einsteina. Dwie ekspedycje brytyjskie uzyskały wyniki wskazujące dość zdecydowanie na wielkość Einsteinowską. Była to sensacja: po dwustu z górą latach teoria Newtona, bardzo solidnie do tej pory przetestowana obserwacyjnie, ukazała swoje ograniczenia.

Koncepcje Einsteina napotkały nieracjonalnie wielki opór. Jeden z powodów mógł być natury psychologicznej: oto podważone zostały dotychczasowe fundamenty wiedzy i to u samych podstaw: gdyż chodziło o czas i przestrzeń, które przestały grać rolę niezmiennej sceny wydarzeń i same stały się niejako aktorami. Zamiast absolutów pojawiły się płynne relacje, świat stawał się mniej bezpieczny. Byli i tacy, którym podobało się właśnie wzruszenie „bryły świata” i rewolucyjne zadekretowanie nowych praw. Uczony znalazł się w centrum społecznego imaginarium, postrzegany bądź jako egzystencjalne zagrożenie, bądź wyzwolenie z opresji. Na to wszystko nakładał się fakt, że Albert Einstein był Żydem, co przedtem nie miało dla niego znaczenia i co uświadomił sobie naprawdę dopiero po I wojnie światowej, kiedy zetknął się z niemieckim antysemityzmem, rozbudzonym przez pragnienie znalezienia winnych przegranej. Antysemici stworzyli w ten sposób wielu Żydów.

Dyskusja publiczna w Polsce, niezbyt zresztą żywa, obracała się w znacznej mierze wokół antysemickich stereotypów. Pozycja nauki w społeczeństwie nie była wysoka, podobnie jak dziś częste było o demonstrowanie nadąsanego prowincjonalizmu jako postawy krytycznej wobec tego, co docierało z Zachodu. Zabawnym przykładem jest artykuł ze „Słowa Polskiego” z października 1920 roku, a więc w chwili gdy Weyland i Gehrcke usiłowali zwalczać teorię Einsteina.

Jakie na to wszystko Einstein daje dowody? Tam są człony i kolumny matematyczne ciągnące się bez końca, mające niby dowieść czy uzupełnić słowny tekst. (…) Czy są tam jakieś konkretne przykłady wzięte z rzeczywistego świata? Nie ma. Z wyjątkiem jednego przykładu wozu wobec gościńca i pociągu wobec toru kolejowego z twierdzeniem, że ruch człowieka w wagonie wobec tego wagonu znajdującego się w biegu jest względny, jak w ogóle wszelki ruch na świecie. Poza tym są inne przykłady wzięte z fantazji, fikcje: jest jakaś teoretyczna spekulacja na temat równoczesności, z jaką dwa pioruny w dwie szyny żelazne strzelają, co z zegarkiem w ręku stojący człowiek przy tym torze bada czy ma badać; jest w przestrzeni jakaś skrzynia w kształcie pokoju, w której znajduje się jakiś człowiek; za sznur przyczepiony do tej skrzyni ciągnie bez ustanku jakaś istota tak, skrzynia w przyspieszonym tempie unosi się w górę; ten chłop zaś w skrzyni przekona się za jakiś czas, że jego skrzynia znajduje się w polu ciężkości czasowo stałym i że ona wisi w spoczynku, bo ruch jest względny, relatywny, ruchu nie ma. (…)

Ten, kto by twierdził, że jest zwolennikiem teorii Einsteina, że się z nią zgadza i ją akceptuje, uznaje ją za swoją, byłby podobny do człowieka, który stanąwszy przed pustą stajnią powiedział, że wszystkie konie, jakie tam się znajdują, należą do niego, chociaż w stajni nie ma ani jednego konia i oprócz gołych ścian i koni malowanych na nich nie ma tam nic. (…) Albert Einstein jest w odniesieniu do najwyższych zagadnień umysłu ludzkiego pseudofilozoficzny nihilista, który dla nauki, świata i jego przyszłości ma zgoła relatywne znaczenie

Androny te odbijają w krzywym polskim zwierciadle (te konie! ta stajnia! wóz na gościńcu!) zarzuty, które stawiano Einsteinowi także w bardziej oświecony sposób. Jednym z nich, powszechnym wśród filozofów, zwłaszcza kantowskiej proweniencji, było to, że jakaś teoria sformułowana w języku matematyki nie może określać, czym jest czas i jak on biegnie. Einstein rozszerzył bowiem wyraźnie zakres fizyki na badanie czasu i przestrzeni, tak jak bada się zjawiska. Zarzucano mu także, że jego teorie nie są poglądowe. Rzeczywiście, były one sformułowane matematycznie, w fizyce jednak nie ma znaczenia, czy łatwo nam sobie wyobrazić jakieś pojęcie, istotne jest jedynie, czy możemy wysnuć jakieś przewidywania, które zgodne są z obserwacjami. A także: czy rozumiemy więcej współzależności w świecie dzięki danej teorii.

Profesor Politechniki we Lwowie Maksymilian Tytus Huber próbował prostować dziennikarskie idiotyzmy w broszurze poświęconej teorii względności. On też przełożył na polski popularną książkę Einsteina poświęconą teorii względności.

Pełny tekst dostępny tutaj.

Pisał Huber:

Niestety, przyjęcie przez Einsteina odznaczenia od Royal Society w Londynie stało się niedawno w Niemczech hasłem do szowinistycznej nagonki na głośnego fizyka, niepozbawionej co najmniej dziwnego w tym wypadku antysemickiego zabarwienia. Do tej tylko na tle ogólnego zdziczenia wojennego możliwej akcji przyłączyła się pewna niewielka grupa uczonych, jak się zdaje, przeważnie filozofów, z tych, którzy widocznie nie mogli się wznieść na wyżyny myśli nowożytnego reformatora fizyki (…)

Na zakończenie jeszcze jedna uwaga, jaką nasuwa artykuł p. J.Z., ziejący jakoby zbożnym zachowawczym wstrętem do przedsięwziętej i dokonanej przez Einsteina rewolucji w nauce. Taki wstręt da się obiektywnie usprawiedliwić jedynie w odniesieniu do wielkich przewrotów społecznych w rodzaju ostatniej rosyjskiej rewolucji, te bowiem wyrządzają ludzkości niewątpliwie trudne do powetowania szkody, które dałyby się prawie zupełnie uniknąć przez postawienie hasła ewolucji w miejsce rewolucji. W imię dobra całej ludzkości jest przeto całkiem zrozumiałym zwalczanie idei, że tylko gwałtowny przewrót może usunąć tzw. zła w ustroju społecznym. Jak natomiast niepotrzebną i bezrozumną byłaby obawa przed przewrotem w nauce, tego chyba dowodzić nie potrzeba, prócz bowiem pewnej przykrości dla niektórych uczonych i uczących, niezdolnych do przyswojenia sobie nowych poglądów, oraz marnowania czasu i papieru przez niefortunnych oponentów, żadnej innej szkody ludzkość przez przewrót naukowy nie poniesie, nie mówiąc już o korzyściach.

Ataki w Niemczech na Einsteina były rzeczywiście w jakimś stopniu skutkiem wojennego zdziczenia obyczajów i szukania winnych klęski. Nie miały one nic wspólnego z jakimkolwiek zachowaniem uczonego. Arthur Eddington chciał przyznania mu złotego medalu Królewskiego Towarzystwa Astronomicznego i nawet napisał o tym do Einsteina. Jednak Rada Towarzystwa nie zgodziła się na medal dla Niemca, w rezultacie w roku 1920 nie nagrodzono nikogo. Nie mógł więc Einstein przyjąć angielskiej nagrody, ponieważ mu jej nie przyznano. Dopiero w 1925 r. dostał Medal Copleya Towarzystwa Królewskiego.

Uwagi Hubera o rewolucjach w ustroju państwa pozostały aktualne, a nawet nabrały w ciągu ostatnich dwóch lat nowej aktualności, niestety.

Wyśmiewane przez dziennikarza „Słowa Polskiego” rozważania o równoczesności uderzenia dwóch piorunów są jak najbardziej poważną ilustracją faktu, że chcąc ustalić, czy dwa zdarzenia w różnych miejscach zaszły równocześnie, musimy podać metodę eksperymentalnego ustalenia ich kolejności, a nie dysponujemy w tym celu niczym lepszym niż promienie świetlne. Z kolei zamknięty pokój na sznurku to winda Einsteina: naukowiec zamknięty w windzie nie może rozróżnić pola grawitacyjnego od skutków przyspieszenia windy (w szczególności w spadającej windzie znalazłby się w stanie nieważkości). Chodzi tu o zasadę równoważności – początek teorii grawitacji Einsteina.

Nawet w Niemczech, gdzie poziom fizyki był bez porównania wyższy niż w Polsce, do dyskusji czysto naukowych dołączało się rasistowskie zacietrzewienie. Żydzi z kolei siłą rzeczy często stawali się rzecznikami i popularyzatorami nowej teorii.

 

Józef Kramsztyk, fizyk z wykształcenia, jest tłumaczem – znakomitym zresztą – pierwszego tomu Czarodziejskiej Góry Thomasa Manna na polski. Przedwojenny przekład drugiego tomu (innych autorów) był nieudany i tom ten został po wojnie przełożony na nowo przez Władysława Tatarkiewicza, który akurat staraniem władzy ludowej miał kilka lat wolnych od pracy na uniwersytecie. Na karcie tytułowej filozof figuruje pod pseudonimem Jan Łukowski i nawet po upadku PRL-u nie wszyscy wydawcy wiedzieli, komu przypisać autorstwo przekładu do dziś wznawianego (Kramsztyk+Tatarkiewicz).

Innym popularyzatorem nauki w ogóle i teorii Einsteina w szczególności był Bruno Winawer, fizyk, dziennikarz, pisarz, popularyzator, a nawet aktor filmowy.

Wielu Żydów polskich interesowało się teorią względności w sposób naukowy. Na myśl przychodzą Jakob Laub, urodzony w 1872 r. w Rzeszowie pierwszy współpracownik naukowy Einsteina, Ludwik Silberstein, urodzony w tym samym roku w Warszawie wieloletni krytyk teorii grawitacji Einsteina, a z młodszego pokolenia, oczywiście Leopold Infeld (ur. 1898) oraz Myron Mathisson (ur. 1897 i zmarły na gruźlicę w 1940 r. w Cambridge), autor kilku wybitnych prac z teorii grawitacji Einsteina.

Atmosferę w latach dwudziestych obrazuje znakomicie primaaprilisowy tekst Juliana Tuwima (i Antoniego Słonimskiego) z roku 1921 poświęcony nauce Einsteina.

Bolszewizujący żydek z Pragi czeskiej Albert (!) Einstein z właściwą tej rasie arogancją rzuca się oto na podwaliny nauk ścisłych i ogłasza drukiem teorię, z której wynika, że czas jest rzeczą względną, że energia ma masę (tak!), że geometria Euklidesa jest abstrakcją (Sic!), że promień świetlny załamuje się w pobliżu ciał ważkich, że wszechświat nie ma granic, a jednak nie jest nieskończony (sik–sik!) itd. Nie zajmowalibyśmy się tymi bzdurami, gdyby nie to, że jad filozofii Einsteinowskiej płynie już szeroką strugą i ku nam. Prasa krakowska zwłaszcza poświęca sążniste artykuły zasadom cadyka z Pragi, profesorowie wszechnicy jagiellońskiej wygłaszają o nim odczyty, a najszanowniejsza z naszych bas bleus utrzymuje w wieloszpaltowym felietonie, iż ekspedycja złożona z wybitnych uczonych angielskich stwierdziła jakieś wyniki, zaobserwowała jakieś odchylenia światła i że Akademia londyńska otrąbiła na cały świat, jakoby ów Albert (!!!) był godnym następcą Newtona. Jeżeli zważymy, że Newton miał na imię Izaak, to zrozumiemy dopiero, jak daleko sięga solidarność tej rasy i nie zdziwimy się wcale, gdyby nawet mocarstwo anonimowe domagać się miało nagrody Nobla dla swego prowodyra. Nagroda Nobla jest, jak wiadomo, funduszem gadzinowym, z którego od dawna już najciemniejsze typy międzynarodówki wszechświatowej czerpią środków w celach przeciwpaństwowych. Sam fundator (przekonałem się o tym naocznie w niedzielę) pochodzi przecież z ulicy Furmańskiej, gdzie do dziś dnia na kamienicy nr 8 widnieje jeszcze źle zamalowany szyld z napisem: „Kierosin bratjew Nobel”. Nie wiem, w jakich celach wywędrował ten człowiek do Europy, nie wiem zwłaszcza, kto przy ulicy Miodowej i kiedy ośmielił się wydać mu paszport zagraniczny? W każdym bądź razie jest chyba rzeczą jasną, że w interesie młodego, powstającego do życia państwa nie może leżeć obalenie geometrii Euklidesa. Nie może młody, konsolidujący się dopiero organizm zezwolić na to, aby w poważnej prasie zagranicznej utarło się zdanie, że czas jest względny i zależy od ruchu danego układu. Po tylu gorzkich doświadczeniach wiemy niestety aż nadto dobrze, komu dziś w Europie zależy na tym, aby energia miała masę, i dla kogo to będzie wodą na młyn, jeżeli promień świetlny załamie się w pobliżu słońca. Co zaś do obserwatora, zamkniętego w szczelnym pudle i podróżującego, bez żadnej łączności ze światem, po przestworzach,obserwatora, o którym często wspomina Einstein w swojej Relatywności (sic!), to wiemy dokładnie, o kim tu mowa i każdej chwili odnośne dokumenty złożyć możemy na ręce komisji międzysojuszniczej! Doprawdy czas już skończyć nareszcie z potworną hydrą, wyciągającą mace i macki swoje poza wszelkie granice cierpliwości aryjskiej! Czas ma dla was wartość względną, ale chociaż czas to pieniądz, pieniądz ma jednak wartość bezwzględną! Czyż nie tak, panie Einstein?

Na marginesie tego żartu dodajmy, że ową sawantką (bas bleu) była zapewne Maria Sułkowska, która pisała w „Czasie” z 8 lutego 1920 roku o uznaniu dla Einsteina w Londynie. Imię Newtona nie świadczy oczywiście o pochodzeniu żydowskim, wśród protestantów częste były imiona starotestamentowe, ponieważ czytali oni Biblię (w odróżnieniu od katolików). Imię Albert nadali uczonemu liberalni rodzice (zgodnie z tradycją powinni dać mu imię dziadka Abraham).

 

 

 

Einstein dadaista (1919-1920)

Przyjmowanie nowej prawdy naukowej to proces dramatyczny. Grają w nim rolę emocje, ambicje, przesądy, ale na szczęście także racjonalne przesłanki – na dłuższą metę nie da się utrzymać teorii, która nie ma eksperymentalnych potwierdzeń i dzięki której nie udało się zrozumieć niczego nowego. Teoria względności zyskała efektowne potwierdzenie w roku 1919 i Albert Einstein nagle stał się sławny na cały świat.

Artystka awangardowa Hannah Höch umieściła go na sławnym kolażu Cięcie dadaistycznym nożem kuchennym przez piwny brzuch najnowszej epoki weimarskiej w kulturze Niemiec (1919).

Hannah Höch, Cut with the Kitchen Knife Dada Through the Last Weimar Beer-Belly Cultural Epoch of Germany, 1919-20

Obrazek na flickr zawiera identyfikację niektórych postaci kolażu. A tu jest jego większa wersja:

https://www.artsy.net/artwork/hannah-hoch-cut-with-the-dada-kitchen-knife-through-the-last-weimar-beer-belly-cultural-epoch-in-germanyc

Na prawo od Einsteina mamy nieco pokiereszowaną twarz cesarza Wilhelma II, który abdykował po przegranej wojnie i uciekł do Holandii, pod nim fragment fotografii z manifestacji bezrobotnych. Są także Karol Marks i Lenin, niemieccy komuniści i artyści. Obok Einsteina głowa prezydenta Republiki Weimarskiej Friedricha Eberta doklejona do torsu tancerki topless. W prawym dolnym rogu znajduje się główka autorki na tle mapy Europy z zaznaczonymi krajami, w których kobiety nie mają jeszcze prawa głosu (Francja, Portugalia, Bałkany; Polska znalazła się tu chyba przez pomyłkę). Einstein – Żyd i naukowy rewolucjonista – niemal automatycznie łączony był z lewicą społeczną i artystycznym undergroundem. Wciąż zapowiadano jego wyjazd do Moskwy, gdzie nigdy nie był ani się też nigdy nie wybierał. Jeszcze po drugiej wojnie światowej FBI usiłowało ustalić, czy uczony był członkiem partii komunistycznej w Niemczech (nie był, nie był też żadnym sympatykiem komunizmu), przeszukiwano jego śmieci i podsłuchiwano telefon.

W roku 1919 fizyk nieoczekiwanie znalazł się w centrum zainteresowania mediów. Jego teoria zaczęła ściągać na siebie entuzjazm albo oburzenie, które trudno dziś zrozumieć. Jako element kultury masowej zaczęła być krytykowana, objaśniana bądź zwalczana przez ludzi, którzy nie mieli pojęcia o fizyce. Z jakiegoś powodu wszyscy zapragnęli mieć na jej temat własny pogląd. Szczególnie bulwersowała względność czasu: oto nie płynie on jednakowo dla wszystkich i zamiast być solidną podstawą rzeczywistości sam staje się jeszcze jednym zjawiskiem, kolejną zmienną fizyczną, podlegającą pomiarowi. Czas własny mierzony przez dwóch obserwatorów, którzy rozdzielili się i potem ponownie spotykają, zależy od ich historii, od tego, co im się po drodze przydarzyło, obaj na ogół zmierzą inny odstęp czasu pomiędzy spotkaniami. Jest to paradoks bliźniąt – w istocie żaden paradoks, lecz własność naszego świata sprawdzana tysiące razy eksperymentalnie, choć nie na bliźniakach.

W Niemczech publiczna dyskusja na temat teorii względności od początku zatruta była oparami nacjonalizmu: Żyd Einstein dla niektórych nie był dość narodowoniemiecki, toteż nie mógł mieć racji. Intelekt żydowski różni się bowiem od germańskiego: jest powierzchowny, nie zgłębia istoty rzeczy, tworzy sztuczne uogólnienia, lubuje się w abstrakcjach. Żydzi w Niemczech stanowili zaledwie 1% ludności, lecz spośród nich wywodziła się wielka część wybitnych uczonych, w miastach takich jak Berlin większość prawników i lekarzy było pochodzenia żydowskiego, do Żydów należały wielkie domy towarowe i koncerny prasowe. Konstytucję Republiki Weimarskiej napisał Żyd. Z punktu widzenia nacjonalistów to Żydzi stali za przegraną wojną (teoria noża w plecy) i to oni teraz bogacili się w kapitalistycznej gospodarce. Nawet komunistami, buntującymi się przeciwko kapitalizmowi, też często byli Żydzi.

W życiu politycznym jest mniej przypadków, niż się sądzi. Osoba Einsteina była wygodnym celem ataków: żeby wzbudzić wrogość, trzeba najpierw stworzyć postać wroga, wykazać, jak przebiegłe są jego knowania. Paul Weyland, zawodowy hochsztapler i mąciciel, umyślił sobie, że przeprowadzi całą kampanię przeciwko teorii względności i jej autorowi. Założył coś, co nazywało się Grupą Roboczą Niemieckich Przyrodników dla Zachowania Czystej Nauki (Arbeitgemeinschaft
deutscher Naturforscher zur Erhaltung reiner Wissenschaft). Naprawdę istniał chyba tylko ten szyld oraz pieniądze, które Weyland obiecywał różnym uczonym za wzięcie udziału w zwalczaniu teorii względności – 10 do 15 tys. marek – nie wiadomo, czy ktoś ostatecznie otrzymał taką sumę, czy też Weyland dopiero zamierzał ją zarobić. Jak się zdaje, Weyland zachęcany był przez dwóch noblistów, antysemitów i nacjonalistów: Philippa Lenarda i Johannesa Starka. W sierpniu 1920 roku w wielkiej sali Filharmonii Berlińskiej odbył się pierwszy z zapowiadanej serii antyeinsteinowskich sabatów. Wystąpili na nim sam Weyland oraz profesor eksperymentator z Berlina, Ernst Gehrcke, od lat zwalczający teorię względności. Weyland, określający Einsteina jako naukowego dadaistę, następująco przedstawił sytuację Niemiec:

Teraz, gdy zubożeliśmy pod względem finansowym, prowadzi się działania mające nam odebrać naszą własność  intelektualną; od dziś mamy przestać myśleć w sposób niezależny. W polityce to się im udało. Widzicie to każdego dnia i każdej godziny we wszystkich wiadomościach, jak oszalała grupa bezkrytycznych ludzi pod wodzą pozbawionych  skrupułów i egoistycznych przywódców zmierza do bolszewizmu. Etyka i moralność stały się pustymi słowami, ludzie, którzy starają się zabić w Niemcach wszystko, co czyniło ich wielkimi, teraz chcą im odebrać także naukę. (…) Bo konsekwencje i intencje teorii względności i zasady względności Einsteina i jego zwolenników sięgają dalej i głębiej, niż uświadamia to sobie opinia publiczna.

Niewykluczone, że Weyland starał się po prostu zarobić na biletach wstępu na owo przedstawienie. Zjawiło się sporo publiczności, w tym sam Einstein. Gehrcke przedstawił główne tezy swej broszury: Teoria względności – naukowa sugestia masowa, wydanej nakładem Grupy Roboczej jako pierwszy zeszyt serii. Gehrcke starał się ograniczać do argumentacji naukowej i żywo zaprzeczał, że kierują nim jakieś pozanaukowe względy. Przeświadczony był jednak, że zdemaskował rozmaite szalbierstwa Einsteina. Jego zdaniem Einstein sprytnie wykorzystywał fakt, że naukowcy ograniczeni są swoją specjalnością i stworzył teorię, która zawiera elementy filozofii, fizyki i matematyki tak pomieszane, że nikt nie czuje się dostatecznie kompetentny, aby ją zanegować.

Ernst Gehrcke. Einstein powiedział o nim: „ Gdyby miał tyle inteligencji co arogancji, to dyskusja z nim byłaby nawet przyjemna”.

Z rzeczy pozytywnych Gehrcke wierzył w istnienie eteru i wypowiedzi Einsteina na ten temat uważał za sprytne kluczenie oraz mylenie tropów. Rzeczywiście, był tu Einstein niekonsekwentny: najpierw, w szczególnej teorii, z młodzieńczą dezynwolturą stwierdził, że eter jest zbędny, później, w teorii ogólnej, obdarzył czasoprzestrzeń strukturą geometryczną, która w pewnym stopniu mogła przypominać eter. Nie była to jednak zmiana poglądów filozoficznych, lecz raczej podążanie za fizyką: fizyk nie może sobie zadekretować, że zawsze będzie trzymać się jakichś ram pojęciowych, bo przyroda może nie zechcieć z nim współpracować w tej kwestii. W każdym razie to, co dla kogoś innego byłoby naukowym namysłem, ewolucją poglądów wskutek wieloletniej pracy, w oczach Gehrckego stało się po prostu próbą oszustwa. Szczególnie upodobał sobie Gehrcke następujący argument przeciwko paradoksowi bliźniąt: skoro Einstein twierdzi, że wszystkie ruchy są względne, to obaj bliźniacy znajdują się w symetrycznej sytuacji, bo z każdym z nich można związać układ odniesienia (co jest prawdą, ale nie oznacza, że historie obu stają się dzięki temu symetryczne). Wiele też mówił Gehrcke o grawitacyjnym przesunięciu linii widmowych ku czerwieni, które było przewidziane przez Einsteina, lecz nie zostało zaobserwowane. Pomijał przy tym trudności obserwacyjne: przewidywany efekt był niewielki w porównaniu z szerokością typowych linii widmowych ciał niebieskich. Jako specjalista od optyki musiał to świetnie rozumieć, wolał jednak udawać, że obserwacje wyraźnie przeczą teorii względności. Także obserwacje Eddingtona – ugięcia promieni świetlnych w pobliżu Słońca – zbył pobieżnym omówieniem, jakby już fakt potwierdzenia niemieckiej teorii przez Anglika tuż po wojnie nie stanowił dodatkowego argumentu na rzecz Einsteina. Nikt nigdy nie kwestionował zresztą absolutnej uczciwości i prawdomówności kwakra Eddingtona. Milczał też Gehrcke na temat berlińskich zwolenników teorii względności: przede wszystkim Maksa Plancka, uchodzącego za największy autorytet nie tylko naukowy, ale i moralny, a także Maksa von Laue, noblisty i niewątpliwie „prawdziwego” Niemca. Postawa Gehrckego charakteryzowała się nienaukowymi uprzedzeniami, nawet jeśli pozornie prowadził on debatę ściśle naukową.

Ostatecznie z serii wykładów i wydawnictw nic nie wyszło. Inni naukowcy wycofali się z przedsięwzięcia, widząc, że nie przyniesie im ono chluby. Wycofał się też chyłkiem Philipp Lenard, który nawet poczuł się urażony tym, że jest wymieniany w kontekście tej sprawy – najwyraźniej wydawało mu się, że hipokryzja warta jest tyle samo co cnota.

Epizody tego rodzaju nie były na szczęście całą prawdą o nauce niemieckiej, ale też stanowiły coś więcej niż nieprzyjemne incydenty. Życie publiczne Niemiec przesiąknięte było nienawiścią i żądzą odwetu. W roku 1920 Niemcy nie były jeszcze skazane na powtórną wojnę i jej złowieszcze konsekwencje. Były jednak krajem wewnętrznie bardzo podzielonym. Podziały te z upływem lat rosły i po wieloletnim podżeganiu do nienawiści, po zimnej wojnie domowej z elementami przemocy, wykoleiły kraj zupełnie. Stało się to w latach trzydziestych, gdy gospodarka zaczęła już wychodzić z kryzysu. To najlepszy dowód, że Marks się mylił: ekonomia nie determinuje historii. Jeśli na nią wpływa, to w sposób pośredni, poprzez społeczne nastroje, a one zależą od wielu czynników, także irracjonalnych i trudnych do zmierzenia. W przypadku Niemiec wielką rolę odegrało poczucie upokorzenia przegraną wojną i jej wersalskimi następstwami. Hitler obiecywał lepszą przyszłość i jednocześnie wpędził Niemcy w wojnę, która musiała być przegrana – wystarczyło spojrzeć na mapę. Ale społeczeństwo powodowane resentymentem łatwo dało sobie wyperswadować, że w taki właśnie sposób uda się stworzyć potęgę kraju i zapewnić trwały pokój. Gdyby Niemcy nie cierpieli na ten chorobliwy, pełen kompleksów nacjonalizm, ich kraj stałby się mocarstwem dwadzieścia lat wcześniej w sposób pokojowy. Nacjonalizm nigdy nie jest lekarstwem, zawsze jest chorobą.

 

 

Kosmologia relatywistyczna w kwadrans I

Kosmologia, czyli nauka o wszechświecie jako jednym obiekcie fizycznym, została zapoczątkowana przez Einsteina w 1917 roku. Nauka ta ma więc zaledwie sto lat i niesamowite osiągnięcia: potrafimy dziś bardzo wiele powiedzieć na temat wszechświata, w którym się znajdujemy.

  • Sens równań Einsteina

Ponieważ nie chcemy wprowadzać aparatu matematycznego geometrii różniczkowej, skorzystamy ze sformułowania H.C. Baeza i E.F. Bunna, gdzie można znaleźć więcej szczegółów.

Wyobraźmy sobie niewielką kulę cząstek próbnych, które są względem siebie w spoczynku w chwili t=0 i spadają swobodnie w  polu grawitacyjnym. Jeśli chwilę odczekamy, kula ta pod działaniem grawitacji przekształci się w elipsoidę. Przesunięcia cząstek będą proporcjonalne do kwadratu czasu (mierzonego w środku naszej kuli). Objętość kuli także zmieni się proporcjonalnie do kwadratu czasu:

V(\delta t)=V(0)+\dfrac{1}{2}\ddot{V} \delta t^2,

gdzie \ddot{V} jest drugą pochodną objętości naszej kuli (pierwsza pochodna znika, ponieważ cząstki spoczywają w chwili początkowej). Jeśli w objętości naszej kuli znajduje się jakaś materia, to można ją opisać za pomocą gęstości \varrho oraz ciśnień, jakie ona wywiera: p_x, p_y, p_z. W teorii względności ciśnienie (które jest niczym innym niż strumieniem pędu cząstek przypadającym na jednostkę powierzchni) należy dodać do gęstości materii.

Dla naszej kuli cząstek próbnych (zakładamy, że ich masa i energia jest znikomo mała) obowiązuje równanie grawitacyjne:

\dfrac{\ddot{V}}{V}=-4\pi G \left(\varrho+\dfrac{p_x+p_y+p_z}{c^2}\right) \mbox{ (*)}.

Stała G jest stałą grawitacji. Okazuje się, że równanie to jest równoważne tensorowym równaniom Einsteina, musimy tylko dopuścić kule cząstek próbnych poruszających się w chwili początkowej z dowolnymi prędkościami względem naszego inercjalnego (swobodnie spadającego) układu odniesienia. Zazwyczaj ciśnienie jest symetryczne i możemy wtedy zapisać wyraz z ciśnieniami jako 3p/c^2.

Intuicyjny sens tego równania jest jasny: materia (a także ciśnienie) zmniejszają objętość kuli cząstek próbnych – grawitacja jest siłą przyciągającą. Jeśli nasza kula znajduje się w pustej przestrzeni, jej objętość się nie zmieni, zmieniać się będzie natomiast jej kształt.

  • Ekspansja wszechświata

Przyjmiemy przybliżenie wszechświata jednorodnego (taki sam w każdym miejscu) oraz izotropowego (taki sam w każdym kierunku). Obserwacje pokazują, że w dostatecznie dużej skali założenia te są spełnione. Wszechświat nasz się rozszerza, co można sobie wyobrazić, jak na rysunku: daleki obiekty (np. galaktyki) są wciąż względem siebie rozmieszczone tak samo, powiększa się jedynie skala tego obrazu. Możemy ją mierzyć za pomocą jednego parametru R(t). Mamy więc pewien wyróżniony układ współrzędnych dla wszechświata: względem niego galaktyki się nie poruszają (średnio biorąc, ponieważ mogą one mieć swoje prędkości własne, których na rysunku nie zaznaczyliśmy). Jest też jeden wyróżniony czas. Spoczynek galaktyk w tym naszym układzie współrzędnych jest ich ruchem w polu grawitacyjnym (linie stałych współrzędnych są krzywymi geodezyjnymi).

Rozszerzanie nie dotyczy obiektów bliskich, np. Układu Słonecznego albo naszej Galaktyki. Obserwacje wskazują, że R(t) jest funkcją rosnącą czasu. Chwila, w której R(t_{BB})=0, jest chwilą Wielkiego Wybuchu. Skala wszechświata byłaby w niej równa zeru, czyli wszystkie odległości zmniejszyłyby się do zera. Wielki Wybuch jest więc ściągnięciem (być może nieskończonej) przestrzeni do zera, osobliwością. Nie jest wybuchem np. bomby w przestrzeni, lecz wybuchem samej przestrzeni. Znaczy to tylko tyle, że ogólna teoria względności, jak i wszystko, co dziś wiemy, słuszne jest dla t>t_{BB}\equiv 0. Sytuacja jest podobna jak dla funkcji y=1/x: jest ona określona dla wartości x>0 i nie ma sensu w x=0. To wszystko nie wyklucza, że kiedyś jakaś lepsza teoria nie zastąpi owej osobliwości czymś skończonym, gdyż wielkości nieskończone to żadne przewidywanie.

  • Dynamika wszechświata Einsteina-de Sittera

Najprostszy model wszechświata wskazali w 1932 roku Albert Einstein i Willem de Sitter w krótkim komunikacie. Ponieważ chcemy skorzystać z równania Einsteina (*), więc powinniśmy rozpatrzyć kulę cząstek próbnych (galaktyk) spoczywających względem siebie w pewnej chwili. Na rysunku kula ta oznaczona jest jako B’.

Zmiany jej objętości łatwo powiązać ze zmianami jej promienia r(t). Otrzymujemy:

\dfrac{\ddot{V}}{V}=3\dfrac{\ddot{r}}{r}=-4\pi G \varrho,

gdzie pominęliśmy wyraz z ciśnieniem materii.

Wyobraźmy sobie teraz drugą kulę, która rozszerza się wraz z wszechświatem. Dla uproszczenia przyjmijmy, że obie kule mają jednakowy promień w chwili początkowej. Różnią się prędkościami ruchu, czyli pierwszymi pochodnymi współrzędnych, tak jak to zaznaczono na rysunku. Cząstki na powierzchni obu kul poruszają się z tym samym przyspieszeniem, ponieważ ich ruch jest spadaniem w polu grawitacyjnym, a wszystko spada z takim samym przyspieszeniem. Mamy zatem \ddot{R}=\ddot{r} i możemy poprzednie równanie przepisać dla kuli współporuszającej się z galaktykami:

3\dfrac{\ddot{R}}{R}=-4\pi G\varrho.

Zapisaliśmy to dla nieskończenie małej kuli, ale w jednorodnym i izotropowym wszechświecie równanie takie będzie słuszne dla kuli o dowolnych rozmiarach. Druga pochodna promienia równa jest

\ddot{R}=-\dfrac{4}{3}\pi R^3 \varrho \dfrac{G}{R^2}=-\dfrac{GM}{R^2}. \mbox{(2)}

Zastąpiliśmy iloczyn objętości kuli i gęstości masą M. Ta masa zawarta wewnątrz kuli nie zmienia się z czasem, ponieważ kula współporusza się z galaktykami. Otrzymaliśmy równanie, które ma prostą interpretację newtonowską. Jest to równanie ruchu ciała (czerwona kropka) w polu grawitacyjnym masy M.

Wiemy, że zależnie od wartości prędkości możliwe są dwie sytuacje: albo nasza czerwona kropka zawróci po osiągnięciu pewnej maksymalnej odległości, albo będzie oddalać się do nieskończoności. Ten sam wniosek dotyczy kuli galaktyk: albo zawrócą one w pewnej chwili, albo nigdy nie zawrócą i będą się oddalać nieograniczenie. Model Einsteina-de Sittera dotyczy sytuacji granicznej: gdy prędkość oddalania jest równa prędkości ucieczki. Jest to więc najmniejsza prędkość, przy której ekspansja nigdy się nie zatrzyma. Całkowita „energia” naszej czerwonej kropki równa się zero (piszemy w cudzysłowie, bo to nie jest energia świata, lecz jedynie wielkość analogiczna do energii, gdyż takie same równania mają takie same rozwiązania i możemy skorzystać z wiedzy przedeinsteinowskiej):

\dfrac{\dot{R}^2}{2}-\dfrac{GM}{R}=0 \Rightarrow R(t)\sim t^{\frac{2}{3}}.

W modelu tym wszechświat zaczyna się Wielkim Wybuchem. Einstein i de Sitter chcieli zbudować najprostszy relatywistyczny model rozszerzającego się wszechświata i niezbyt przejmowali się szczegółowymi wynikami obserwacji. Model ten ma jeszcze tę własność, że trójwymiarowa przestrzeń jest w nim płaska. W teorii Einsteina to sytuacja szczególna, nasza siatka galaktyk mogłaby bowiem być zakrzywiona.

Oczywiście na obrazku możemy przedstawić dwuwymiarowe powierzchnie, a w tym przypadku chodzi o trójwymiarową przestrzeń.

Wydaje się, że 3-przestrzeń naszego wszechświata jest płaska, tzn. jeśli byłaby zakrzywiona, to promień krzywizny musiałby być gigantyczny nawet w skali kosmologicznej.

  • Stała kosmologiczna = ciemna energia

Einstein zauważył, że z formalnego punktu widzenia jego równania pola mogą zawierać dodatkowy wyraz proporcjonalny do metryki. Fizycznie odpowiadałby on stałej gęstości energii w całej przestrzeni równej \varrho_{vac} c^2  oraz stałemu ciśnieniu p. Wyobraźmy sobie pewną objętość V. Energia w niej zawarta równa się \varrho_{vac} c^2 V. Z termodynamiki wiemy, że zmiana energii dE równa się pracy wykonanej nad układem -pdV. W naszym przypadku

dE=\varrho_{vac} c^2 dV=-pdV\Rightarrow p=-\varrho_{vac} c^2.

Nietypowy znak ciśnienia związany jest z tym, że teraz rozszerzanie powiększa energię zamiast ją zmniejszać, jak w przypadku gazu w naczyniu. Jeśli we wszechświecie nie ma żadnej innej formy energii, równania Einsteina przybierają postać:

3\dfrac{\ddot{R}}{R}=-4\pi G (\varrho_{vac} -3\varrho_{vac})=8\pi G \varrho_{vac}\equiv \Lambda c^2.

Parametr \Lambda zwany jest stałą kosmologiczną. Wszechświat taki prędzej czy później zacznie się rozszerzać (przyjmujemy, że stała kosmologiczna jest dodatnia), i to coraz szybciej. Pusty wszechświat ze stałą kosmologiczną nazywa się wszechświatem de Sittera. Czynnik skali R(t) rośnie wykładniczo z czasem:

R(t)=R_0\exp\left(\sqrt{\dfrac{\Lambda c^2}{3}}t\right).

Zauważmy, że w takim modelu nie ma Wielkiego Wybuchu, ponieważ czynnik skali zawsze jest dodatni. Oczywiście, wiemy, że w naszym wszechświecie występuje materia, a więc wszechświat de Sittera nie jest realistycznym modelem, lecz jedynie pewnym przybliżeniem. Obserwacje pokazują, że nasz wszechświat coraz bardziej zbliża się do świata de Sittera. Mówimy dziś o ciemnej energii, co jest inną nazwą dla stałej kosmologicznej (choć może się też okazać, że sytuacja jest bardziej skomplikowana i opis za pomocą \Lambda nie wystarczy).

  • Wszechświat Einsteina i wszechświat w XXI wieku

Stała kosmologiczna wprowadzona została przez Einsteina w pracy, która zapoczątkowała kosmologię w dzisiejszym sensie. Uczony sądził, że obserwacje wskazują, iż wszechświat jest statyczny, nie zmienia się z czasem. Równania pola grawitacyjnego nie dopuszczają takiej możliwości, dopóki nie wprowadzimy stałej kosmologicznej. Równanie (*) przybiera postać:

3\dfrac{\ddot{R}}{R}=-4\pi G\varrho+\Lambda c^2,

co można przekształcić podobnie jak dla modelu EdS:

\ddot{R}=-\dfrac{MG}{R^2}+\dfrac{\Lambda c^2}{3}R\mbox{ (3)}.

W porównaniu z (2) do przyciągającego wyrazu grawitacyjnego doszedł wyraz odpychający ze stałą kosmologiczną. Jeśli zażądamy, aby ich suma była równa zeru, otrzymamy statyczny model Einsteina z 1917 roku. Później, kiedy okazało się, że wszechświat się rozszerza, Einstein bez żalu pozbył się wyrazu kosmologicznego. Model statyczny był zresztą i tak nie do utrzymania, ponieważ nie jest on stabilny. Załóżmy bowiem, że dobraliśmy tak stałe, iż prawa strona równania (3) równa jest zeru. Mamy więc równowagę. Jeśli jednak powiększymy choćby nieznacznie czynnik skali R, to wzrosną oba wyrazy po prawej stronie i przyspieszenie będzie dodatnie, tzn. niewielki przyrost R powiększy się i nasz wszechświat zacznie się rozszerzać. Podobnie, jeśli zmniejszylibyśmy nieznacznie czynnik skali, prawa strona równania stałaby się ujemna i czynnik skali zacząłby się samorzutnie zmniejszać. Można to też pokazać, zapisując zasadę zachowania „energii” dla równania (3), podobnie jak to zrobiliśmy dla równania (2):

\dfrac{v^2}{2}-\dfrac{GM}{R}-\dfrac{\Lambda c^2 R^2}{6}\equiv E_k+E_p=const.

Nasza „energia” potencjalna ma w tym przypadku postać wzniesienia: jeśli nawet znajdziemy się na jego szczycie z zerową „energią” kinetyczną, to każde, nawet najmniejsze, zaburzenie wytrąci nas z położenia równowagi.

Sytuacja ta ma zasadnicze znaczenie dla naszego wszechświata, ponieważ zawiera on zarówno materię, jak i ciemną energię. Znajdujemy się już po prawej stronie zbocza i coraz szybciej staczamy się w dół, co oznacza, że wyraz kosmologiczny dominuje nad zwykłą grawitacją.

Źródło ilustracji: NASA

Na powyższym obrazku mamy porównanie kilku różnych modeli kosmologicznych. Linia czerwona oznacza 30% materii i 70% ciemnej energii (stałej kosmologicznej) – to są proporcje naszego wszechświata. Linia niebieska pokazuje, jak zachowywałby się czynnik skali, gdyby przyjąć, że ciemnej energii nie ma. Linia zielona odpowiada światowi Einsteina-de Sittera, w którym nie ma ciemnej energii. Wreszcie linia pomarańczowa opisuje wszechświat znacznie gęstszy od naszego, który najpierw się rozszerza, po czym zaczyna się kurczyć aż po Wielki Krach.

 

Tu jeszcze raz widzimy czynnik skali zgodny z obserwacjami naszego wszechświata. 3-przestrzeń jest płaska. Funkcję tę można wyrazić przez funkcje elementarne (por. koniec tekstu). Dla małych t zachowanie przypomina model EdS, później przełącza się na model dS (sama ciemna energia). Grawitacja zakrzywia funkcję w dół, ciemna energia wypycha ją w górę. W rezultacie powstaje krzywa dość zbliżona do linii prostej, ale jest to początek wykładniczego wzrostu.

  • Geometria modelu Einsteina

Nasze podejście do równań Einsteina utrudnia nieco zbadanie, jak wygląda geometria różnych modeli. Pokażemy poniżej, że model statyczny Einsteina opisywany jest geometrią sferyczną: tzn. 3-przestrzeń jest sferą trójwymiarową (powierzchnią kuli czterowymiarowej).

Mamy więc

3\dfrac{\ddot{V}}{V}=-4\pi G\varrho_0+\Lambda c^2=0.

Warunek ten otrzymany był dla niewielkiej kuli cząstek próbnych spoczywającej względem materii wszechświata Einsteina. Rozpatrzmy teraz inną kulę cząstek próbnych, która porusza się ruchem jednostajnym z prędkością v względem materii wszechświata. W układzie nowych cząstek próbnych materia świata ma większą energię: zamiast spoczynkowej mc^2 każda cząstka świata ma teraz energię mc^2+\frac{mv^2}{2} (zakładamy, że prędkość jest nierelatywistyczna). Ponadto długość w kierunku ruchu się skróci i objętość zmniejszy o czynnik \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\approx 1-\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}. Łącznie gęstość naszej materii wzrośnie:

\varrho=\varrho_0\left(1+\dfrac{v^2}{c^2}\right).

W naszym układzie odniesienia pojawi się też ciśnienie w kierunku ruchu, ponieważ wszystkie cząstki poruszają się z taką samą prędkością v.

Pęd transportowany przez powierzchnię o polu S w czasie \delta t będzie równy całkowitemu pędowi cząstek na rysunku, czyli \varrho_0 vv\delta t S, a ciśnienie prostopadłe do powierzchni będzie równe p=\varrho_0 v^2. Łącznie otrzymamy

\dfrac{\ddot{V}}{V}=-8\pi G\varrho_0\dfrac{v^2}{c^2}. \mbox{ (4)}

Co to znaczy, że przestrzeń jest zakrzywiona? Prędkości naszych cząstek próbnych są jednakowe i każda z nich porusza się po południku. Zakrzywienie przestrzeni będzie przejawiać się w tym, że takie równolegle poruszające się cząstki będą się do siebie zbliżać: dwóch podróżników startujących na północ z dwóch punktów równika spotka się na biegunie północnym. Kula poruszająca się w przestrzeni kulistej (możemy sobie wyobrazić koło poruszające się po powierzchni sferycznej) o promieniu krzywizny R_U zostaje skrócona w kierunku prostopadłym do ruchu, ponieważ jej cząstki biegną po południkach, a te zbiegają się ku sobie.

Wyobraźmy sobie, że skrajne cząstki naszego koła poruszają się po południkach tworzących ze sobą kąt \delta \varphi. Obie cząstki poruszają się z przyspieszeniem dośrodkowym. Patrząc sponad bieguna północnego naszej kuli, zaobserwujemy przyspieszenia obu cząstek \vec{a}_1 oraz \vec{a}_2.

Przyspieszenie względne, jak to widać z rysunku, będzie równe

\ddot{y}=-a\delta\varphi=-\dfrac{v^2}{R_U}\dfrac{y}{R_U}=-y\dfrac{v^2}{R_U^2}.

Wobec tego kula 3D cząstek próbnych skróci się w kulistej przestrzeni w dwóch wymiarach prostopadłych do kierunku ruchu i będziemy mieli

\dfrac{\ddot{V}}{V}=2\dfrac{\ddot{r}}{r}=-\dfrac{2v^2}{R_U^2}.

Wstawiając ten wynik do równania (4), otrzymamy warunek

\dfrac{2 v^2}{R_U^2}=8\pi G \varrho_0 \dfrac{v^2}{c^2} \Rightarrow R_U=\dfrac{c}{\sqrt{4\pi G\varrho_0}}=\dfrac{1}{\sqrt{\Lambda}}.

Tyle właśnie otrzymał Einstein. Wniosek ten dość mu się podobał, ponieważ wszechświat miałby skończoną objętość, a zarazem nie miał brzegu.

  • Zależność czynnika skali od czasu

Obliczmy czynnik skali wszechświata dla płaskiego świata zbudowanego z chłodnej materii (p=0) i ciemnej energii. Jest to przypadek naszego wszechświata. Płaskość 3-przestrzeni oznacza, że suma „energii” kinetycznej i potencjalnej jest równa zeru:

\dfrac{1}{2}\dot{R}^2=\dfrac{GM}{R^2}\Rightarrow H^2\equiv \dfrac{1}{R^2}\left(\dfrac{dR}{dt}\right)^2=\dfrac{8\pi G \varrho_{crit}}{3}.

Otrzymaliśmy warunek, jaki spełniać musi gęstość wszechświata: musi być ona równa \varrho_{crit}. Wyrażenie \frac{\dot{R}}{R} nazywa się stałą Hubble’a. Stała Hubble’a zależy od czasu (nie jest więc ściśle biorąc stałą). W przypadku gdy wszechświat jest płaski, lecz zawiera oprócz zwykłej materii także ciemną energię, warunek płaskości przybiera postać:

\varrho_{crit}=\varrho_m+\varrho_{vac}.

Przeważnie zapisuje się to, podając ułamek energii każdego składnika:

\Omega_m+\Omega_{\Lambda}=1,\,\mbox{ gdzie } \Omega_m\equiv\dfrac{\varrho_m}{\varrho_{crit}} \mbox{ oraz } \Omega_{\Lambda}\equiv\dfrac{\varrho_{vac}}{\varrho_{crit}}.

Stała Hubble’a w danym momencie od Wielkiego Wybuchu nie zależy od konkretnego wyboru czynnika skali, można więc wybrać go tak, jak lubią astronomowie obserwacyjni, żeby obecna skala wszechświata była równa 1. Możemy teraz napisać:

\dfrac{1}{R}\dfrac{dR}{dt}=H_0 \sqrt{ \dfrac{\Omega_{m,0}}{R^3}+\Omega_{\Lambda,0} }.

W ostatnim równaniu wyraziliśmy gęstości o prawej stronie przez ich dzisiejsze wartości (gęstość materii skaluje się jak R^{-3}, gęstość energii próżni się nie zmienia). Chcemy teraz wyznaczyć z tego równania funkcję R(t). Pomnóżmy obie strony równania przez \frac{3}{2} R^{3/2}, otrzymujemy wówczas;

\dfrac{ dR^{\frac{3}{2}} }{dt}=\dfrac{3}{2}H_0 \sqrt{ \Omega_{m,0}+\Omega_{\Lambda,0}R^{3} }.

Jeśli wprowadzimy nową zmienną u=R^{3/2}, możemy nasze równanie przepisać w postaci

\dfrac{du}{\sqrt{ k^2+u^2} }=\dfrac{3H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda,0}}}{2} dt,

gdzie k^2\equiv \frac{\Omega_{m,0}}{\Omega_{\Lambda,0}}. Wykonując jeszcze jedno postawienie u=k\sinh \zeta, otrzymamy

\zeta=\dfrac{3H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda,0}}}{2} t,

a wracając do starej zmiennej, możemy zapisać wyrażenie na czynnik skali:

R=\left( \dfrac{\Omega_{m,0}} {\Omega_{\Lambda,0} }\right)^{\frac{1}{3}} \sinh^{\frac{2}{3}} \dfrac{3H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda,0} }}{2} t .

Wyrażenie to pozwala natychmiast zobaczyć, że dla małych czasów (\sinh x\approx x) czynnik skali rośnie jak t^{\frac{2}{3}}, dla dużych natomiast staje się wykładniczy (\sinh x\approx \frac{1}{2}e^{x}). Możemy więc opisać ewolucję naszego wszechświata za pomocą trzech parametrów dzisiejszego wszechświata: stałej Hubble’a oraz dwóch gęstości.

  • Wiek wszechświata

Znajomość obecnego składu wszechświata $latex \Omega_{m,0}$ oraz $latex \Omega_{\Lambda,0}$ wraz ze znajomością dzisiejszej stałej Hubble’a pozwala też obliczyć czas T, jaki upłynął od Wielkiego Wybuchu (czyli czas, gdy a(T)=1):

T=\dfrac{2}{3 H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda,0} }} \,\mbox{artgh}\, \sqrt{\Omega_{\Lambda,0}  }.

Dla danych misji Planck z roku 2015: \Omega_{m,0}=1-\Omega_{\Lambda,0}=0.3089 i stałej Hubble’a H_0=67.90 km/s/Mpc wiek wszechświata T=13.80\cdot 10^9 lat. Zadziwiające jest, że tak niewielka liczba parametrów (gęstość, stała Hubble’a plus wiedza o płaskości) wystarczy do obliczenia, co dzieje się z obiektem tak skomplikowanym jak wszechświat.

 

Paul Painlevé, Einstein i czarne dziury (1921-1922)

Dzieje rodziny Paula Painlevé’go mogłyby posłużyć jakiemuś nowemu Balzacowi: dawni winogrodnicy, bednarze i kamieniarze, w pokoleniu dziadków zajęli się drukarstwem i litografią, przyszły ojciec uczonego z drukarza-litografa przeobraził się w przedsiębiorcę, producenta farby drukarskiej. Paul uczył się w renomowanych liceach paryskich Saint-Louis i Louis-le-Grand, a studiował matematykę w prestiżowej École normale supérieure, będącej znakomitym wstępem zarówno do kariery naukowej, jak politycznej. (Jej absolwenci zdobyli trzynaście Nagród Nobla, dziesięć Medali Fieldsa i dwie Nagrody Abela). Painlevé uzupełniał wykształcenie matematyczne w Getyndze u Hermanna Schwarza i Feliksa Kleina. W roku 1900, będąc jeszcze przed czterdziestką został członkiem Akademii Nauk, co naszej rodaczce Marii Skłodowskiej-Curie nie udało się nigdy, pomimo dwóch Nagród Nobla. Francuskie elity naukowe były mocno konserwatywne i nie każdy mógł zostać do nich dopuszczony. Painlevé interesował się także lotnictwem: teoretycznie – obliczając siłę nośną oraz praktycznie – odbywając w roku 1908 z Wilburem Wrightem ponadgodzinny lot na wysokości 10 m, przebyli 55 km i szczęśliwie wylądowali, był to ówczesny rekord. Alma Mahler wspomina, że Painlevé należał do entuzjastów symfonii Gustava Mahlera i jeździł specjalnie w różne miejsca, aby ich wysłuchać. Razem z generałem Georges’em Picquartem grywali je podobno na fortepianie w aranżacjach na cztery ręce. Wyciągi fortepianowe dzieł symfonicznych czy oper były dość popularne w czasach, gdy muzyki można było słuchać jedynie na żywo, a fortepiany lub pianina stały w niemal każdym mieszczańskim domu. Z Picquartem łączyły Painlevé’go poglądy w sprawie Dreyfusa, to właśnie Picquart udowodnił, że nie Alfred Dreyfus, lecz Ferdinand Esterhazy był szpiegiem w armii francuskiej. Przez kraj przetoczyła się wcześniej zajadła kampania antysemicka, wysokie dowództwo armii nie chciało przyznać się do błędu i Dreyfus został zrehabilitowany przeszło dziesięć lat po degradacji i uwięzieniu na Diabelskiej Wyspie. W 1910 r. Painlevé został socjalistycznym deputowanym do parlamentu. Od tej pory zajmował się czynnie polityką, bywał ministrem, przewodniczącym Izby Deputowanych, a nawet premierem. W 1921 roku zaczął zabiegać o wizytę Einsteina w Paryżu, niewątpliwie pragnąc w ten sposób zbliżyć oba narody po krwawej wojnie. W następnym roku Einstein rzeczywiście przyjął zaproszenie i przyjechał, o czym pisałem.

Painlevé interesował się nie tylko aspektem politycznym, zajął się bliżej teorią względności, z czego wynikło kilka prac oraz ożywione dyskusje z Einsteinem w Paryżu. Matematyk odkrył nowy sposób opisu pola grawitacyjnego wokół masy punktowej, z czego wyciągnął dość radykalne wnioski, osłabiające w jego mniemaniu, teorię względności. Einstein, nie zgadzając się z tymi wnioskami, nie potrafił wtedy udzielić bardziej konkretnej odpowiedzi. Dyskusje te miały także pewne praktyczne następstwa. Otóż szwedzki okulista, ale i matematyk, Allvar Gullstrand także odkrył ową metrykę Gullstranda-Painlevé’go, jak to się dziś nazywa. I uznał, podobnie, jak Painlevé, że teoria względności nie daje jednoznacznych przewidywań. Oznaczałoby to, że światowa sensacja wokół teorii względności po odkryciu ugięcia światła gwiazd w pobliżu tarczy słonecznej była mocno na wyrost. Gullstrand opiniował prace Einsteina dla Komitetu Noblowskiego i w roku 1921 nagrody nie przyznano. Einstein był najpoważniejszym kandydatem, ale Gullstrand podważał wartość jego prac. W końcu Nagrodę przyznano Einsteinowi dopiero w roku 1922 (za poprzedni rok), a więc po długim bardzo namyśle. W dodatku uznano, że bezpieczniej będzie zostawić na boku kwestię teorii względności, toteż przyznano Nagrodę za wyjaśnienie zjawiska fotoelektrycznego – w tym przypadku nie było wątpliwości, że przewidywania Einsteina zostały wyraźnie potwierdzone eksperymentalnie. Painlevé wyrażał swą krytykę o tyle bardziej dyplomatycznie, że uznawał zarazem wartość poznawczą podejścia Einsteina i zestawiał go z Lagrange’em. Obaj jednak, zarówno Francuz, jak Szwed, mieli spore zastrzeżenia.

Opiszę, na czym polegały zastrzeżenia Painlevé’go i co odpowiadał mu Einstein (na ile to dziś wiadomo). W drugiej części opiszę metrykę Gullstranda-Painlevé’go i jej konsekwencje: czarną dziurę. Uczeni pomiędzy rokiem 1915 a latami pięćdziesiątymi XX stulecia wiele razy natykali się na zagadnienie czarnych dziur i na rozmaite sposoby cofali się przed ich uznaniem, błędnie interpretując swoje równania. Pokazuje to, że interpretacja formalizmu matematycznego była tu niesłychanie trudnym problemem, znacznie poważniejszym niż formalne przekształcenia, które w różnych wersjach wykonywało wielu uczonych.

Ogólna teoria względności ma tę własność, że możemy używać w zasadzie niemal dowolnych czterech współrzędnych dla opisania miejsca i czasu. Same współrzędne nie muszą nic oznaczać z fizycznego punktu widzenia, tę samą sytuację można więc opisywać na różne sposoby. Często nie widać, że owe różne opisy dotyczą w istocie tej samej sytuacji. Tak było w przypadku metryki Gullstranda-Painlevé’go.

Czasoprzestrzeń wokół punktowej masy m w teorii Einsteina opisana jest metryką Schwarzschilda:

ds^2=\left(1-\dfrac{r_S}{r}\right)dt^2-\dfrac{dr^2}{1-\dfrac{r_S}{r}}-r^2 d\varphi^2.

Stała r_S jest promieniem Schwarzschilda (dziś: promieniem horyzontu czarnej dziury). Painlevé i niezależnie od niego Gullstrand odkryli, że można tę samą sytuację opisać także za pomocą innej metryki:

ds^2=\left(1-\dfrac{r_S}{r}\right)dt^2+2\sqrt{\dfrac{r_S}{r}}dr dt-dr^2-r^2 d\varphi^2.

W obu przypadkach zapisałem metrykę tylko w płaszczyźnie równikowej, żeby mniej pisać (mamy wtedy jedynie zmienne t, r,\varphi). Painlevé podał także inne możliwe postaci owej metryki, sugerując, że dowodzi to, iż teoria Einsteina jest w istocie pusta, można bowiem wyciągnąć z niej rozmaite wnioski dla tej samej sytuacji fizycznej. Np. w pierwszej metryce przestrzeń trójwymiarowa nie jest euklidesowa, a w drugiej jest. Ergo wnioski Einsteina dotyczące światła w polu grawitacyjnym Słońca oraz ruchu Merkurego są nieuzasadnione. Podobnie rozumował Gullstrand, słuchany uważnie przez Komitet Noblowski.

Painlevé uznał, że wyciąganie z postaci metryki wniosków fizycznych to „czysta fikcja”. Zakomunikował to na posiedzeniu paryskiej Akademii Nauk i uprzejmie doniósł o tym listownie Einsteinowi. Na co Einstein, członek berlińskiej Akademii Nauk, równie uprzejmie oznajmił, że „metryczna interpretacja ds^2 nie jest żadną «pure imagination», lecz samym sednem teorii (der innerste Kern)” [Einstein Papers, t. 12, s. 369]. Podkreślał też, że same współrzędne nie znaczą nic, trzeba z nich dopiero wyciągnąć wnioski fizyczne nt. czasu i odległości.

Pewne zbliżenie stanowisk nastąpiło podczas dyskusji w Paryżu, choć Painlevé pisał już mniej bojowo, wkrótce zresztą wrócił do polityki. Paul Langevin podsumował to, mówiąc, że byłoby lepiej, gdyby Painlevé przeczytał o teorii względności, zanim wystąpił ze swą krytyką, a nie dopiero później. Tak to w akademiach bywa: ludzie dostają się do nich dzięki dawnym osiągnięciom, a nie stanowi to żadnej gwarancji, że dobrze rozumieją nowości naukowe. W dodatku akademie (przynajmniej wtedy) drukowały wszystko, co ich członkowie uznali za ciekawe. Dyskusja w paryskiej Akademii Nauk na temat teorii względności w latach 1921-1922 nie stała na zbyt wysokim poziomie. Akademicy byli na ogół niechętni Einsteinowi. Na propozycję, aby go przyjąć na członka-korespondenta, jeden z szacownych uczonych zareagował stwierdzeniem, że trudno wyróżniać w ten sposób człowieka, który „zniszczył mechanikę”.

Podczas wizyty Einsteina matematyk Jacques Hadamard zapytał o kwestię osobliwości metryki Schwarzschilda dla r=r_S. Niemiecki uczony przekonywał, a nawet poparł pewnymi rachunkami, które przeprowadził z dnia na dzień, że taka „katastrofa Hadamarda” nie może się zdarzyć w rzeczywistości, ponieważ zanim skoncentruje się materię pod promieniem Schwarzschilda, to wcześniej ciśnienie wewnątrz takiej gwiazdy stanie się nieskończone. Nie miał w tej kwestii racji, ale także później starał się dowodzić, że czarne dziury są niemożliwe. Einstein martwił się o spójność własnej teorii, ale wyrażał też dość powszechne stanowisko, Arthur Eddington, największy specjalista od budowy wnętrza gwiazd, twierdził, że z pewnością musi istnieć prawo fizyczne zabraniające takiego upakowania materii.

Jak można spojrzeć na tę dyskusję z perspektywy czasu, mając po swej stronie „łaskę późnego urodzenia”? Na wątpliwości Hadamarda (jak najbardziej uzasadnione) odpowiada metryka Painlevé’ego. Wystarczy spojrzeć, że nic się tam nie dzieje przy r=r_S (także jej wyznacznik jest różny od zera). Zatem w innych współrzędnych osobliwości tu nie ma i Einstein nie musiał się męczyć żadnymi rachunkami. Katastrofa Hadamarda jest osobliwością konkretnych współrzędnych Schwarzschilda, to coś w rodzaju „osobliwości” współrzędnych geograficznych na biegunie ziemskim, gdzie zbiegają się wszystkie południki. Wiemy jednak, że nic się tam złego nie dzieje z Ziemią.

W dodatku metryka Painlevé’go ze znakiem minus przed pierwiastkiem też stanowi rozwiązanie równań Einsteina. Nietrudno zobaczyć, co wtedy otrzymamy dla światła, tzn. gdy ds^2=0. Załóżmy dodatkowo, że promień świetlny biegnie radialnie, tzn. d\varphi=0. Dostajemy

0=\left(1-\dfrac{r_S}{r}\right)dt^2 -2\sqrt{\dfrac{r_S}{r}} dr dt-dr^2.

Dzieląc obie strony przez dt^2, dostajemy równanie kwadratowe dla prędkości radialnej. Jego rozwiązania dane są wyrażeniem:

\dfrac{dr}{dt}=\pm 1 -\sqrt{\dfrac{r_s}{r}}.

Równanie to opisuje dwa skrajne promienie świetlne: spadający na centrum i oddalający się od centrum. Gdy r>r_S jeden z nich zbliża się do centrum, drugi oddala. Kiedy jednak przekroczymy punkt „katastrofy Hadamarda” i r<r_S oba promienie zbliżają się ku centrum. Znaczy to, że nawet promień świetlny nie może się wydostać poza obszar r<r_S, czyli spod horyzontu czarnej dziury.

Przejście do współrzędnych Painlevé’go nie zmienia współrzędnej r, lecz jedynie czas. Jest on teraz mierzony jako czas własny cząstek spadających z nieskończoności na centrum. Są to współrzędne padającego deszczu, jak nazywają to Edwin F. Taylor i John Archibald Wheeler (*) w swej książce Exploring Black Holes.

 

 

(Na rysunku odległości i czasy wyskalowane są w promieniach Schwarzschilda)

Gdy cząstka mija horyzont, jej stożek przyszłości zaczyna być zwrócony ku wnętrzu, a to znaczy, że niebawem spadnie na centralną osobliwość. Drugi znak we współrzędnych Painlevé’go odpowiadałby wznoszeniu się z centrum do nieskończoności. Prawa grawitacji nie mówią nic na temat kierunku czasu: zawsze możliwy jest ruch przeciwny. Jak się zdaje, tylko współrzędne związane ze spadaniem mają jakiś sens fizyczny. W 1922 r. nie miał o tym wszystkim pojęcia ani Paul Painlevé, ani Albert Einstein.

(*) John Wheeler był autorem określenia „czarna dziura”.

Teoria grawitacji Einsteina w kwadrans

Ogólna teoria względności ma tę własność, że możemy używać w zasadzie niemal dowolnych czterech współrzędnych dla opisania miejsca i czasu. Same współrzędne nie muszą nic oznaczać z fizycznego punktu widzenia, tę samą sytuację można więc opisywać na różne sposoby. Często nie widać, że owe różne opisy dotyczą w istocie tej samej sytuacji.

  • Metryka

Czym jest metryka? Jest to przepis, jak z niewielkich różnic współrzędnych zbudować odległość. Np. we współrzędnych kartezjańskich dla dwóch bliskich punktów możemy napisać:

ds^2=dx^2+dy^2,\mbox{ (*) }

gdzie ds, dx, dy oznaczają odpowiednio odległość, różnicę współrzędnej x oraz y. Jest to zwykłe twierdzenie Pitagorasa. Można jednak wprowadzić inne współrzędne na płaszczyźnie, np. biegunowe: należy podać odległość punktu od początku układu r oraz kąt wektora wodzącego z ustaloną osią \varphi. Odległość dwóch bliskich punktów na płaszczyźnie wyraża się teraz następująco:

ds^2=dr^2+r^2 d\varphi^2.

Geometria się nie zmieniła, inny jest tylko układ współrzędnych. Dla każdej dwuwymiarowej i gładkiej powierzchni można zapisać metrykę lokalnie w postaci (*), ponieważ płaszczyzna styczna do powierzchni jest euklidesowa (a lokalnie możemy powierzchnię wiernie opisać za pomocą płaskiego planu – z tego powodu rysując plan miasta zwykle nie potrzebujemy się martwić, jakiej siatki kartograficznej używamy).

Oba wyrażenia opisują zwykłą geometrię euklidesową, czyli taką, w której suma kątów trójkąta jest zawsze równa 180^{\circ}. Odległość ds ma pewien sens fizyczny: jest to odległość, jaką można zmierzyć linijką. Gdy zmienimy układ współrzędnych, przepis na obliczanie odległości, czyli właśnie metryka, może się zmienić, ale sama odległość jest niezmienna.

Przykład metryki na sferze dwuwymiarowej (globus). Współrzędnymi są \vartheta – odpowiednik szerokości geograficznej, ale liczy się przeważnie od bieguna północnego oraz \varphi  – odpowiednik długości geograficznej. Jak wynika z obrazka metryka ma postać:

ds^2=R^2 d\vartheta^2+R\sin^2 \vartheta d\varphi^2.

Sfera dwuwymiarowa jest powierzchnią zakrzywioną: żaden atlas świata nie jest wierny, gdy trzeba przedstawić np. Afrykę albo Azję. 

W szczególnej teorii względności należy uwzględnić jeszcze różnicę czasu między dwoma punktami (zdarzeniami). Znów jednak „odległość” (interwał czasoprzestrzenny) jest niezależna od układu odniesienia. Możemy ją wyrazić dla czasoprzestrzeni 3+1 wymiarowej (trzy wymiary przestrzenne plus czas) jako:

ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2.\mbox{ (**) }

Tym razem ds^2 ma być zachowane przy przekształceniach współrzędnych (przyjmujemy tu c=1, czas i przestrzeń w tych samych jednostkach). Przekształcenia, które zachowują tę wielkość, są to transformacje Lorentza (ew. z obrotami). Zauważmy, że nasze ds^2 nie musi być dodatnie, może być zerowe albo ujemne: czas i współrzędne przestrzenne wchodzą z innymi znakami – czas nawet w teorii względności nie jest tym samym co przestrzeń. Odległość czasoprzestrzenna zdarzeń OB i OX jest dodatnia, OY zerowa, OA ujemna. Nie jest to więc odległość w takim sensie jak w zwykłej geometrii. Znak odległości (albo położenie względem stożków przeszłości i przyszłości) mają decydujące znaczenie: X albo Y mogą być przyczynowo związane z O, a B może być następstwem O. Zdarzenia O i A nie mogą być związane przyczynowo, bo oddziaływanie musiałoby się rozchodzić szybciej niż c, a w dodatku ich kolejność w czasie zależy od obserwatora.

Ten sam interwał czasoprzestrzenny moglibyśmy wyrazić za pomocą współrzędnych biegunowych, wymiar jest (2+1) dla uproszczenia:

ds^2=dt^2-dr^2-r^2 d\varphi^2.

Jest to nadal rzeczywistość szczególnej teorii względności, czyli czasoprzestrzeń Minkowskiego, ale w nieco innych współrzędnych. Taka czasoprzestrzeń nadal jest płaska, sama zmiana współrzędnych niczego tu nie zmienia.

  • Geodezyjne i krzywizna

Mając metrykę, możemy obliczyć odległość dwóch bliskich punktów, a sumując odległości także i długość łamanej, skąd łatwo przejść do dowolnej krzywej przez całkowanie. Krzywe o długości minimalnej nazywamy geodezyjnymi: w  przestrzeni euklidesowej są to odcinki prostej łączącej dwa punkty. Geodezyjne są więc uogólnieniem pojęcia linii prostej. Możemy z nich budować np. trójkąty albo wielokąty. Okazuje się, że suma kątów trójkąta może być zarówno zawsze większa od 180^{\circ}, jak i zawsze równa 180^{\circ} albo zawsze mniejsza od 180^{\circ}. Odpowiednio do tego mamy do czynienia z krzywizną dodatnią (np. powierzchnia kuli), zerową (geometria euklidesowa) albo ujemną (powierzchnie przypominające przełęcz w górach).

  • Zasada równoważności

Einstein mówił, że to najszczęśliwsza myśl jego życia: „Siedziałem sobie na krześle w Biurze Patentowym w Bernie, kiedy nagle uderzyła mnie myśl: «Jeśli człowiek spada swobodnie, to z pewnością nie odczuwa wtedy własnego ciężaru»”. Delikwent ów znajduje się w stanie nieważkości, który dobrze znamy z filmów przesyłanych ze stacji kosmicznych. Swobodnie spadający układ współrzędnych jest układem inercjalnym – to do niego stosuje się szczególna teoria względności, transformacje Lorentza itd. Inaczej mówiąc, nie możemy odróżnić sił grawitacji od sił bezwładności odczuwanych np. w hamującym albo skręcającym pojeździe. Wynika to z faktu, że siły jednego i drugiego rodzaju są ściśle proporcjonalne do masy.

Mogłyby istnieć dwa pojęcia masy: grawitacyjna – mierzona siłami ciężkości oraz bezwładna – mierzona bezwładnością ciała, masa występująca w drugiej zasadzie dynamiki: F=ma. Jednak w przyrodzie jest tylko jeden rodzaj masy, fakt ten z niejakim zdziwieniem odnotował Isaac Newton, przeprowadzając dla pewności doświadczenia z wahadłami (w ruchu wahadła mamy zarówno masę grawitacyjną, jak i bezwładną, można więc sprawdzić z jaką dokładnością się one pokrywają).

Zasada równoważności mówi, że w małym obszarze czasoprzestrzeni (statek kosmiczny) możemy uniknąć grawitacji, jeśli wybierzemy właściwy układ współrzędnych. Matematycznie rzecz ujmując, w każdym punkcie czasoprzestrzeni przestrzeń styczna jest czasoprzestrzenią Minkowskiego (tzn. można wprowadzić w niej metrykę (**)). Oznacza to np., że możemy wprowadzić trzy współrzędne przestrzenne i jedną czasową, różniącą się znakiem w metryce. W przypadku fizycznej grawitacji możemy metrykę Minkowskiego wprowadzić w pobliżu dowolnego punktu, ale tylko lokalnie, nie dla całej przestrzeni. Winda spadająca na antypodach będzie miała przyspieszenie dokładnie przeciwne do windy spadającej obok nas. Siły grawitacyjne zależą od miejsca i czasu, nie da się ich więc wyłączyć wszędzie za jednym zamachem.

  • Ruch ciał pod działaniem grawitacji

W ogólnej teorii względności nie ma grawitacji, jest tylko zakrzywiona czasoprzestrzeń (trzeba pamiętać, że zakrzywiona musi być czasoprzestrzeń, niekoniecznie zwykła fizyczna 3-przestrzeń). Krzywizna czasoprzestrzeni powiązana jest z masami/energiami, które się w tej czasoprzestrzeni znajdują. Opisują to równania Einsteina, gdy je rozwiążemy dla danego przypadku, otrzymujemy metrykę danej czasoprzestrzeni. Co wynika z tego, że znamy metrykę? Ano tyle, że możemy ustalić, jak fizyczne odległości i czasy są związane ze współrzędnymi. Możemy też obliczyć, jak powinny się w naszej czasoprzestrzeni poruszać ciała. Zamiast siły grawitacji mamy tu po prostu zasadę najdłuższego czasu własnego: ciała poruszają się po takich krzywych, że \Delta s jest dla nich największe. Zatem ruch pod wpływem grawitacji przedstawiamy jako ruch po krzywych geodezyjnych, a samą grawitację opisujemy za pomocą geometrii: brak grawitacji daje czasoprzestrzeń płaską, w obecności mas czasoprzestrzeń się zakrzywia, co znajduje swe odbicie w metryce. Mówimy tu wyłącznie o ruchu pod działaniem grawitacji, jeśli obecne są jakieś inne siły, to ruch cząstki nie będzie geodezyjny.

Idea zastąpienia grawitacji geometrią możliwa była dlatego, że w polu grawitacyjnym wszystkie masy spadają jednakowo: nie musimy wiedzieć, z czego zrobiony jest sztuczny satelita, ponieważ każdy będzie się poruszał jednakowo. Skoro ten ruch nie zależy od masy poruszającego się ciała ani od żadnych innych jego własności, to możemy powiązać go z samą czasoprzestrzenią i powiedzieć, że czasoprzestrzeń jest tak ukształtowana, iż każde ciało szuka geodezyjnej, i to jest właśnie grawitacja. Można na geodezyjną spojrzeć również jako na krzywą, która po prostu zachowuje kierunek (wtedy nie musimy się zastanawiać, skąd cząstka wie, na której drodze czas własny będzie maksymalny, cząstki zwykle nie są inteligentne).

  • Przykład: pole grawitacyjne przy powierzchni Ziemi

Jak wygląda metryka czasoprzestrzeni w przypadku słabego pola grawitacyjnego, takiego jak przy powierzchni Ziemi? Możemy ją zapisać jako

ds^2=c^2\left(1+\dfrac{2gh}{c^2}\right) dt^2-dl^2.

We wzorze tym g, h oznaczają przyspieszenie ziemskie i wysokość, a dl euklidesową (zwykłą) odległość dwóch punktów. Zapisaliśmy tu jawnie prędkości światła, żeby widać było, które wielkości są małe, gdy pole jest słabe, a prędkości niewielkie (w porównaniu z c! zawsze trzeba pamiętać w porównaniu z czym coś jest małe). Możemy całe powyższe wyrażenie zapisać jako

ds=c\sqrt{1+\dfrac{2gh}{c^2}-\dfrac{v^2}{c^2}}dt.

Skorzystaliśmy z tego, że droga dl podzielona przez czas dt daje prędkość v. Pod pierwiastkiem mamy niewielkie dodatki do jedynki, można więc użyć przybliżonego wyrażenia dla pierwiastka:

\sqrt{1+x}\approx 1+\dfrac{x}{2},\mbox{ gdy }|x|\ll 1.

Otrzymujemy

ds \approx c\left(1+\dfrac{gh}{c^2}-\dfrac{v^2}{2c^2}\right) dt=c dt-\dfrac{1}{c}\left(\dfrac{v^2}{2}-gh\right)dt.

Pierwszy składnik po prawej stronie nie zmienia się, gdy rozpatrujemy różne krzywe łączące dwa dane zdarzenia, dając po prostu różnicę czasu. Drugi natomiast dla danej krzywej będzie równy (pomijając znak i 1/c sprzed nawiasu)

{\displaystyle \int \left(\dfrac{v^2}{2}-gh\right)dt.}

Łatwo zauważyć, że jeśli pomnożymy to przez masę poruszającego się ciała, dostaniemy klasyczne działanie

{\displaystyle S=\int \left(\dfrac{mv^2}{2}-mgh\right)dt.}

Zatem zasada najdłuższego czasu ds prowadzi do zasady najmniejszego działania w fizyce Newtona. W ten sposób wiemy, że dysponujemy teorią bardziej ogólną zarówno w stosunku do dynamiki Newtona, jak i szczególnej teorii względności. Działanie w teorii względności (jednej i drugiej) można zapisać jako

{\displaystyle S=-mc\int ds}.

Zamiast mgh możemy wstawić lepsze wyrażenie na energię potencjalną grawitacji.

Nasza metryka nie zmienia nic w części przestrzennej, ale wprowadza dodatkowy czynnik obok czasu. Zbadajmy jego znaczenie. Metryka nie zależy od czasu, więc gdy wyślemy dwa sygnały świetlne w odstępie czasu \Delta t do góry, to przyjdą one w takim samym odstępie czasu – są to po prosu takie same linie świata powtórzone. Dla zegara spoczywającego na poziomie h=0 mamy

\Delta s\equiv c\Delta \tau=c\Delta t,

dla znajdującego się wyżej:

\Delta s_1\equiv c\Delta \tau_1\approx c\left( 1+\dfrac{gh}{c^2}\right)\Delta t.

Dzieląc stronami drugie równanie przez pierwsze, otrzymamy

\Delta \tau_1=\left( 1+\dfrac{gh}{c^2}\right)\Delta \tau.

Fizyczny odstęp czasu, czyli czas własny, jest dłuższy na zegarze znajdującym się wyżej w polu grawitacyjnym. Jeśli zegary będą związane z emisją jakiejś linii widmowej, to częstość światła tej linii będzie niższa wg zegara umieszczonego wyżej. Efekt ten jest uwzględniany w działaniu GPS.

  • Przykład: czarna dziura Schwarzschilda

Równania pola grawitacyjnego, czyli równania określające krzywiznę czasoprzestrzeni, wydawały się trudne do ścisłego rozwiązania. Tak sądził Einstein, gdy w ciągu listopada 1915 roku, w pracach publikowanych na kolejnych cotygodniowych posiedzeniach Pruskiej Akademii Nauk, doszedł do ich ostatecznego sformułowania, a także stwierdził, że wyjaśniają one obrót peryhelium Merkurego, którego astronomowie nie potrafili zrozumieć od ponad pół wieku. Toteż bardzo się zdziwił, kiedy jeszcze tej jesieni otrzymał pracę Karla Schwarzschilda, przebywającego na froncie astronoma z Getyngi, zawierającą pierwsze ścisłe rozwiązanie w teorii względności. Dotyczyło ono sferycznie symetrycznego rozkładu mas, czyli np. pola grawitacyjnego na zewnątrz gwiazdy. Wiadomo, że pole grawitacyjne w takim przypadku jest takie jak masy punktowej umieszczonej w środku gwiazdy. W następnym roku metrykę tę otrzymał niezależnie Johannes Droste, był jednak znacznie mniej znanym uczonym, więc zwykle mówi się (niezbyt sprawiedliwie) o metryce Schwarzschilda. Zapiszemy ją tylko w płaszczyźnie równikowej gwiazdy, żeby mniej pisać – zagadnienie ma symetrię sferyczną, więc płaszczyzna równikowa dobrze reprezentuje wszystkie płaszczyzny przechodzące przez środek gwiazdy.

Metryka ma postać:

ds^2=\left(1-\dfrac{r_S}{r}\right)dt^2-\dfrac{dr^2}{1-\dfrac{r_S}{r}}-r^2 d\varphi^2.

Stała r_S to tzw. promień Schwarzschilda, równy

r_S=\dfrac{2GM}{c^2},

gdzie G to stała grawitacyjna, a M – masa naszej gwiazdy. Dziś wiemy, że jest to promień horyzontu czarnej dziury, ale do tej wiedzy uczeni doszli już po śmierci Einsteina. Jakie własności ma metryka Schwarzschilda? Czas własny i czas w danym punkcie związane są zależnością:

d\tau=\sqrt{1-\dfrac{r_S}{r}} dt.

Można sprawdzić, że jest to ogólniejszy przypadek przesunięcia ku czerwieni, czyli spowolnienia zegarów znajdujących się wyżej w polu grawitacyjnym.

Jeśli weźmiemy dwa punkty czasoprzestrzeni różniące się tylko kątem \varphi, ich odległość dana będzie związkiem

dl=\sqrt{-ds^2}=r d\varphi.

Zatem obwód okręgu o promieniu r jest równy 2\pi r. Niezbyt to odkrywcze, ale naprawdę informuje nas o tym, jaki jest sens parametru r – jeśli okrąg ma długość l, to definiujemy promień jako l/2\pi. Odległość wzdłuż promienia równa jest

dl=\dfrac{dr}{\sqrt{1-\dfrac{r_S}{r}}}>dr.

Zatem geometria przestrzeni nie jest euklidesowa, bo w geometrii euklidesowej powinniśmy otrzymać dokładnie dr (jako różnicę promieni okręgów r+dr oraz r).

Formalnie biorąc, rozwiązanie Schwarzschilda obowiązuje dla wszystkich promieni 0\le r<\infty. Pojawiają się jednak dwa problemy: metryka jest osobliwa, gdy r=r_S oraz r=0. Powiedzmy od razu, że pierwsza osobliwość jest pozorna i dotyczy tylko układu współrzędnych. Druga natomiast jest realna.

Gdy zbliżając się do zera, miniemy punkt r=r_S w naszej metryce znaki części z dt^2 i dr^2 też się zmienią. Ale znaki te są związane z tym, co jest czasem, a co przestrzenią, czyli wewnątrz obszaru ograniczonego powierzchnią r=r_S przestrzeń zamienia się w pewnym sensie na czas. Pokazuje to ładnie obrazek Johna Nortona

źródło: Black Holes

Promień Schwarzschilda jest promieniem horyzontu zdarzeń, wewnątrz niego stożki świetlne przyszłości zwrócone są ku osobliwości w r=0 (singularity). Znaczy to, że dla kogoś, kto przekroczył horyzont, osobliwość należy do przyszłości i jest tak samo nieunikniona, jak każda przyszłość. Można obliczyć czas własny, po jakim obserwator przekraczający horyzont dotrze do osobliwości, jest on rzędu r_S/c, co dla wielkich czarnych dziur w centrach galaktyk daje czas rzędu minuty. Im bliżej osobliwości, tym większe siły przypływowe, czyli różnice sił grawitacyjnych działających na różne punkty danego ciała. Prowadzi to do rozerwania wszelkiej materii na coraz drobniejsze fragmenty. Sam horyzont nie jest żadną osobliwością i niezbyt uważny obserwator może go przekroczyć, niczego nie spostrzegając. Nie da się jednak stamtąd wrócić ani nawet wysłać wiadomości, bo wszystkie stożki świetlne zwrócone są ku osobliwości.

Można też tę sytuację przedstawić na diagramie Penrose’a. Linie świata światła biegną na nim stale pod kątem \pm 45^{\circ}, cała czasoprzestrzeń została skompresowana do skończonego obszaru. Ponieważ linie świata cząstek muszą zawsze biec wewnątrz stożków, więc można łatwo zobaczyć, co w tej czasoprzestrzeni jest możliwe, a co nie. Mamy dwa obszary: ponad horyzontem i wewnątrz horyzontu. Zielone kropki są punktami w nieskończoności, ten górny nie należy do osobliwości. Dlatego możliwe są linie świata takie, jak zielona, które omijają horyzont (można np. po prostu krążyć wokół czarnej dziury, jeśli tylko nie znajdujemy się zbyt blisko). Ale możliwe są i takie linie świata, które go przekraczają i wtedy już nie ma powrotu (linia czerwona). Żółte linie świata oznaczają linie zerowe, czyli możliwe linie fotonów. Spod horyzontu nawet światło nie może uciec.

Nasz diagram nie stanowi całości rozwiązania Schwarzschilda. Pole grawitacyjne dopuszcza także istnienie symetrycznych białych dziur i dopiero całość stanowi matematyczne rozwiązanie problemu. Nie narysowaliśmy tej części, ponieważ nie odpowiada ona fizycznej rzeczywistości, w istocie lewa krawędź naszego obrazka też jest niefizyczna. Czarne dziury tworzą się przez kolaps (zapadanie) grawitacyjne i ta część rozwiązania powinna zostać zastąpiona opisem sytuacji wewnątrz zapadającej się gwiazdy. Realne jest natomiast utworzenie się horyzontu oraz osobliwości (cokolwiek może ona oznaczać). Istnienie osobliwości przy pewnych ogólnych założeniach wynika z szeregu twierdzeń udowodnionych przez Rogera Penrose’a, Stephena Hawkinga i innych. innymi słowy: teoria Einsteina przewiduje swoją własną niekompletność, gdyż osobliwości nie należą do czasoprzestrzeni.

  • Równania pola

Same równania pola są w teorii Einsteina są skomplikowane, jeśli wyrazić je jako pochodne metryki. Są to wówczas równania cząstkowe drugiego rzędu, jest ich dziesięć. Opisują one tak zwany tensor krzywizny Ricciego. Fizycznie są bezpośrednim i właściwie nieuniknionym uogólnieniem teorii Newtona. Oczywiście, stało się to takie jasne po stu latach, kiedy Einstein pracował nad swoją teorią nawet matematycy, którzy zajmowali się tym rodzajem geometrii, nie byli od niego dużo mądrzejsi. W pustej przestrzeni równania Einsteina stwierdzają po prostu, że tensor Ricciego znika:

R_{\mu\nu}=0,

gdzie  \mu,\nu=0,1,2,3. Tensor jest symetryczny, ma więc dziesięć składowych. Napisaliśmy te równania tylko dla porządku, żeby można było na nie spojrzeć. W gruncie rzeczy równanie to jest naturalnym uogólnieniem równania Laplace’a dla potencjału grawitacyjnego V w teorii newtonowskiej:

\Delta V\equiv \dfrac{\partial^2 V}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 V}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 V}{\partial z^2}=0.

Równania pola plus zasada maksymalnego czasu to całość teorii Einsteina. Oszczędni Szwajcarzy przedstawili to na monecie pięciofrankowej.

Proust i Einstein

Jak chętnie porozmawiałbym z tobą o Einsteinie! Bo chociaż pisano mi, że z niego zaczerpnąłem, to nie rozumiem z jego teorii ani słowa, nie znając algebry. A wątpię także, aby on czytał moje powieści. Wydaje się, że mamy analogiczny sposób deformowania czasu. Ale nie mogę tego ustalić, ponieważ chodzi o mnie samego, a nie znamy siebie samych; nie mogę też tego ustalić w odniesieniu do niego, ponieważ jest wielkim umysłem w naukach, o których nic nie wiem i w których już w pierwszej linijce zatrzymują mnie „znaki”, których nie rozpoznaję. [List do Armanda de Guiche, grudzień 1921 r.]

Einstein nie znał książek Prousta. Szukanie analogii między dziedzinami tak odległymi jak powieść i fizyka teoretyczna jest oczywiście dość ryzykowne. Można jednak, jak sądzę, wskazać pewne elementy łączące obu wielkich twórców. Nie oznacza to, że któryś z nich był pod wpływem drugiego. Jakiś powierzchowny wpływ na Prousta mogły wywrzeć różne prasowe omówienia teorii względności, ale przecież nie zmienił pod ich wpływem swego wypracowanego przez lata podejścia do świata i roli pisarza. A przede wszystkim do czasu. Czas Prousta jest pozornie subiektywny, zawarty w ułamkach wspomnień, które dzięki pracy umysłu i uważnemu wejrzeniu w głąb przeszłości pozwalają odtworzyć cały zaginiony bezpowrotnie świat. Jest to rodzaj archeologii wewnętrznej. Niektóre wrażenia, takie jak smak magdalenki zamoczonej w herbacie, ewokują zupełnie inny czas, stając się początkiem odkrycia zatopionej w jego bezmiarze Atlantydy:

I z chwilą gdy poznałem smak zmoczonej w kwiecie lipowym magdalenki, którą mi dawała ciotka (mimo że jeszcze nie wiedziałem i aż znacznie później miałem odkryć, czemu to wspomnienie czyniło mnie tak szczęśliwym), natychmiast stary, szary dom od ulicy, gdzie był jej pokój, przystawił się niby dekoracja teatralna do wychodzącej na ogród oficynki, którą zbudowano dla rodziców od tyłu (owa ścięta ściana, jedyna którą wprzód widziałem) i wraz z domem miasto, od rana do wieczora i w każdym czasie, rynek, na który wysyłano mnie przed śniadaniem, ulice, gdzie załatwiałem sprawunki, drogi, którymi się chodziło, kiedy było ładnie. I jak w owej zabawie, w której Japończycy zanurzają w porcelanowym naczyniu pełnym wody kawałeczki papieru z pozoru byle jakie, które, ledwo się zanurzywszy, wydłużają się, skręcają, barwią, różniczkują się, zmieniając się w kwiat, w domy, w wyraźne osoby, tak samo teraz, wszystkie kwiaty z naszego ogrodu i z parku pana Swanna, i lilie wodne z Vivonne, i prości ludzie ze wsi, i ich domki, i kościół, i całe Combray, i jego okolice, wszystko to, przybrawszy kształt i trwałość, wyszło – miasto i ogrody – z mojej filiżanki herbaty. [W stronę Swanna, przeł. T. Żeleński(Boy)]

Mamy tu do czynienia z czymś, co pisarz SF nazwałby tunelem czasoprzestrzennym łączącym dwa zdarzenia i dwa światy. Strategia wyszukiwania takich tuneli, a następnie podążania nimi wytrwale w przeszłość, była wielkim wynalazkiem pisarskim Prousta. Tylko pewien rodzaj skojarzeń prowadził bowiem do odtworzenia minionego świata, punktem wyjścia nie była nigdy myśl, lecz jakieś doznanie zmysłowe: dźwięk, zapach, smak.

Czas pisarza jest subiektywny, przechowany w jego podświadomości, siłą rzeczy obraz, który udaje mu się odtworzyć zawiera obserwatora i jego wyróżniony punkt widzenia. Analityczny rozum podpowiada nam oczywiście, że światy widziane przez innych ludzi będą podobnie subiektywne, że prawda naszych wrażeń jest do pewnego stopnia względna. W szczególności czas zegarowy i kalendarzowy nie mają wielkiego znaczenia w porządku naszych skojarzeń, czas może się przesuwać albo przeskakiwać. Wprowadzając do swej książki pewien anachronizm – przesuwając w czasie drugą podróż do Balbec i koncert u Guermantes’ów, Proust napisał do przyjaciela: „Zeinsteinizujmy to, ponieważ moje byty są nieco spłaszczone za sprawą obrotu w czasie”. Dostrzegał więc pewną analogię między swoją metodą a elastycznym i ruchomym czasem Einsteina. Teoria naukowa odbierająca czasowi walor absolutny niewątpliwie ułatwiała także przeskoki czasowe w wyobraźni, niemal je sankcjonowała. Zanim powstała teoria względności, sporo było różnych fantastycznych rozważań na temat przemieszczania się w czasie. Łatwiej pomyśleć coś, co przypomina do pewnego stopnia rzecz albo sytuację już pomyślaną. Wyobraźnia, sfera tego, co potrafimy sobie wyobrazić, poszerza się przez różne myślowe doświadczenia, nawet fikcyjne albo baśniowe. Tym bardziej poszerza ją teoria naukowa, nosząca piętno ścisłości, nawet gdy nie jest powszechnie zrozumiała.

Ale nie tylko ruchomość i elastyczność czasu jest u Prousta „einsteinowska”. Nazwa teoria względności nie jest szczególnie udana, gdyż zwłaszcza pośród laików od początku rodziła nieporozumienia.

Czasoprzestrzeń teorii względności nie jest relatywna, relatywne są jedynie nasze opisy. Matematycznie biorąc, mamy pewien obiekt czterowymiarowy, rozmaitość czasoprzestrzenną, który można opisywać za pomocą rozmaitych współrzędnych, tzw. map. Jest to sytuacja analogiczna do przedstawiania powierzchni Ziemi za pomocą rozmaitych map w atlasach. Wiemy, że mapy takie mogą w rozmaity sposób deformować to, co na nich widzimy, ale obiektem, który badamy jest sama powierzchnia Ziemi, a nie umowne siatki współrzędnych. Różni obserwatorzy mogą wprowadzać swoje współrzędne, ich odczyty – „rozumienie sytuacji” – będzie różne, ale prawdą jest to, co wspólne i niezależne od układu odniesienia. Można by teorię względności nazwać teorią niezmienników (inwariantów), jak proponował Max Planck, którego przyciągnęło do niej właśnie poszukiwanie absolutu, a nie jakaś skłonność, aby wszystko relatywizować, czy to w sensie fizycznym, czy etycznym. Był to człowiek, który zawsze chodził wyprostowany i zapięty pod szyję, i ponad wszystko przedkładał etykę obowiązku.

Marcel Proust, wyruszając w swe podróże w czasie, nie uciekał od teraźniejszości, nie szukał żadnego narkotyku wzmacniającego doznania. Jego celem było dotknięcie absolutu – tego, co znajduje się poza naszymi siatkami współrzędnych, czego dotknąć i co wyrazić językiem dyskursywnym jest niezwykle trudno. Pisarz musi pracować w słowie, nie ma żadnych innych środków. Musi więc za pomocą języka i skojarzeń, które on niesie, zbudować odpowiednik przeżycia. W tym sensie Proust także poszukiwał prawdy niezależnej od subiektywnego punktu widzenia. Jak my wszyscy, skazany na egocentryczność, szukał wyjścia poza nią w swego rodzaju historii naturalnej pamięci i umysłu. Jednostkowy punkt widzenia, obraz, przedstawiony bez sentymentalizmu i sztucznych upiększeń, może służyć zrozumieniu, w jakimś stopniu wyzwala z bólu istnienia drogą kontemplacji, trochę tak jak w buddyzmie. Wysiłek pisarski Marcela Prousta, trwający niemal do ostatniego dnia jego życia, nie byłby możliwy bez przekonania pisarza, że ściga absolut, zmaga się z niewyrażalnym. Po cóż byłoby się tak trudzić, przez szesnaście lat odmawiać sobie wszelkich przyjemności życiowych, służąc swemu dziełu. Czegoś takiego nie robi się z prostej ambicji ani z chęci przypodobania się przyszłym pokoleniom. Ich osąd będzie tylko trochę mniej chimeryczny i przypadkowy niż opinia współczesnych zależna od tylu trzeciorzędnych czynników.

Proust miał ostrą świadomość bytowania rozciągniętego w czasie.

Odczuwałem znużenie i trwogę pojmując, że cały ten czas, jakże długi, był nie tylko bez przerwy przeżywany, przemyśliwany i wydzielany przeze mnie, że był moim życiem, że był mną, lecz jeszcze musiałem w każdej minucie podtrzymywać z nim związek, że był mi fundamentem, że tkwiłem na jego zawrotnym wierzchołku, że nie mogłem się poruszyć, by go nie przesunąć. Dzień, w którym usłyszałem dźwięk dzwonka w Combray, owa data tak odległa, a jednak wewnętrzna, był punktem wyjścia w tych bezmiarach, co rozciągały się we mnie bez mojej wiedzy. Doznałem zawrotu głowy widząc pod sobą – a jednak spoglądałem od środka w siebie, jakby to były mile wysokości – widząc tyle lat. (…) wydawało mi się, że nie starczy mi sił, by długo utrzymać przy sobie tę przeszłość, która zstępowała już tak daleko. Ale jeśli zostanie mi dość czasu, bym zdążył dokonać mego dzieła, nie omieszkam w nich najpierw opisać ludzi (choćby mieli w tym opisie przypominać potwory) jako zajmujących w Czasie miejsce tak znaczne, jak ograniczone jest ich miejsce wyznaczone im w przestrzeni, miejsce rozszerzające się niepomiernie, gdyż niczym zagłębieni w latach giganci dotykają przeżytych przez siebie, tak odległych epok, między którymi mieści się tyle dni – wśród Czasu [Czas odnaleziony, przeł. J. Rogoziński, przekł. poprawiony].

Nie będzie wielką przesadą powiedzenie, że Proust wierzył w bytowanie czasoprzestrzenne, linię świata, którą można oglądać, jeśli uda nam się osiągnąć dostateczny stopień koncentracji. Z tego punktu widzenia zdarzenia współwystępują, podobnie jak bytują obok siebie przedmioty w przestrzeni. Jest to boski punkt widzenia, niedostępny na co dzień istotom przyszpilonym do uciekającej chwili teraźniejszej.

Dla Asi