Jak Bóg gra w kości: Czemu wzbudzony atom promieniuje? (1927-1930)

Stany elektronu związanego w atomie są w mechanice kwantowej dyskretne, tzn. energia przyjmuje ciąg ściśle określonych wartości. Np. w atomie wodoru jest to ciąg

E=-\dfrac{13,6\;{\rm eV}}{n^2},\;\; \mbox{gdzie}\;\; n=1,2,\ldots.

Konsekwencją tego faktu są linie widmowe: atom wysyła promieniowanie o energii ściśle odpowiadającej różnicy dwóch poziomów energetycznych. Może też pochłaniać promieniowanie o takiej energii. W roku 1916 Albert Einstein, zastanawiając się nad oddziaływaniem światła z materią, odkrył, że mamy tu do czynienia z trzema możliwymi procesami: gdy oświetlimy grupę atomów promieniowaniem o odpowiedniej energii, możemy wywołać przejścia między wyższym i niższym poziomem energetycznym w obie strony, tzw. przejścia wymuszone. Jeśli atom był w stanie podstawowym, może przejść do stanu wzbudzonego i odwrotnie: jeśli początkowo był w stanie wzbudzonym, może przejść do stanu podstawowego. Znaczy to, że jeśli początkowo większość atomów była w stanie o niższej energii (typowa sytuacja), to pod wpływem promieniowania pewna ich część przejdzie do stanu wzbudzonego, a część promieniowania zostanie pochłonięta. Oba procesy: absorpcji i emisji zachodzą z jednakową intensywnością, co Einstein odkrył (jednakowe są współczynniki wymuszonej emisji i absorpcji: B_{1\rightarrow 2}=B_{2\rightarrow 1}.) Czasem mówi się, że w ten sposób pojawiła się teoretyczna możliwość zbudowania lasera. Chodzi o to, że jeśli wytworzymy sytuację, w której większość atomów znajduje się w stanie wzbudzonym, to pod wpływem światła o ustalonej energii atomy zaczną wysyłać jeszcze więcej takiego samego światła. Tak właśnie działa laser, oczywiście wytworzenie i podtrzymanie tej specyficznej sytuacji, gdy stan wzbudzony obsadzony jest liczniej niż stan podstawowy, wymaga dostarczania energii z zewnątrz.

Trzeci proces odkryty przez Einsteina to emisja spontaniczna. Jeśli atom znajduje się w stanie wzbudzonym, to prędzej czy później wyemituje on spontanicznie foton i elektron przejdzie do stanu podstawowego. Spontanicznie, znaczy tu bez żadnego oddziaływania z zewnątrz. Żadnego promieniowania, żadnych pól zewnętrznych itd. itp. W przypadkowo wybranej chwili nasz atom wysyła foton. Dokładnie takie samo zjawisko zachodzi w rozpadzie promieniotwórczym np. radu. Jądro radu jest niestabilne i w przypadkowo wybranej chwili ulega rozpadowi z wysłaniem cząstki alfa, czyli jądra helu. Prawdopodobieństwo, że wybrany atom (jądro) nie ulegnie rozpadowi przez czas t jest równe

p(t)=e^{-\gamma t},

gdzie \gamma jest pewną stałą. Jest to prawo rozpadu promieniotwórczego albo prawdopodobieństwo przeżycia czasu t w rosyjskiej ruletce. Przypadek atomu i jądra różni się tylko rodzajem obiektu i sił oddziaływania, ale fizyka kwantowa jest taka sama. Einstein oznaczał stałą emisji spontanicznej literą A zamiast \gamma. Emisja spontaniczna odpowiada za większość promieniowania obserwowanego wokół nas, np. większość fotonów ze Słońca powstaje w emisji spontanicznej. Zjawisko to odpowiada za fakt, że każdy układ fizyczny z czasem przechodzi do stanu o niższej energii. Tylko stan o najniższej energii jest stabilny.

Einstein w roku 1916 nie zdawał sobie zapewne sprawy, jak niebezpieczny proces zapoczątkował. Szukał bowiem fizyki deterministycznej, w które skutek zawsze jest poprzedzony przyczyną. A tu mamy do czynienia z czymś, co nie ma żadnej określonej przyczyny. Jakby w przypadku wzbudzonego atomu czy jądra natura sama grała bezustannie w rodzaj rosyjskiej ruletki aż do skutku, tzn. aż do chwili gdy nasz układ przejdzie do stanu podstawowego. Co jest przyczyną emisji spontanicznej (rozpadu promieniotwórczego)? Nie ma tu zewnętrznego oddziaływania, tzn. musimy przyjąć, że nawet gdy nie ma zewnętrznych pól, „coś” zostaje: próżnia kwantowa. W roku 1927 Paul Dirac uzyskał teoretyczne wartości współczynników A, B Einsteina, stosując mechanikę kwantową, a właściwie zapoczątkowując kwantową elektrodynamikę.

Atom nigdy nie jest izolowany, istnieje bowiem pole elektromagnetyczne, które może zostać wzbudzone, nawet jeśli z początku nie było. Przyjmiemy, że stan wzbudzony ma energię E=0, a stan podstawowy energię E=-\hbar\omega_0 (istotna jest tylko różnica obu energii, a nie ich wartości z osobna). Znaczy to, że oczekujemy wyemitowania fotonu o częstości (kołowej) \omega_0. Oprócz atomu mamy też pole elektromagnetyczne, możemy je sobie wyobrażać np. jako fale stojące w wielkim pudle (technicznie: wnęce rezonansowej). Jeśli pole elektryczne znika na ściankach wnęki, fale stojące wyglądają następująco: 

tmp_44l2z5nv

Przedstawiliśmy cztery mody o najdłuższych falach i najniższych częstościach. Będą one dane funkcjami sinus: \sin kx, gdzie

kL=m\pi,\;\;\mbox{gdzie}\;\; m=1,2,3,\ldots

Częstości odpowiadające kolejnym wartościom m będą równe \omega_k =ck, gdzie c jest prędkością światła. Ciąg dopuszczalnych częstości jest nieograniczony z góry. Dowolne pole elektryczne w pustym pudle możemy przedstawić jako szereg takich sinusów, jest to matematycznie rzecz biorąc rozwinięcie w szereg Fouriera. Analogiczne rozwinięcie można przeprowadzić w pudle trójwymiarowym, szczegóły nie są nam potrzebne. Skwantowanie pola elektromagnetycznego polega na zastąpieniu zbioru dozwolonych modów fal przez zbiór oscylatorów kwantowych. Energia własna każdego oscylatora jest równa

E_n=\hbar\omega_k n, \;\;\mbox{gdzie}\;\; n=0,1,2,3,\ldots.

Matematyka oscylatorów jest bardzo prosta i omawialiśmy ją już kiedyś. Każdy stan o energii E_n możemy uważać za stan, w którym mamy n fotonów o energii \hbar\omega_k każdy. Przestrzeń stanów oscylatora możemy sobie wyobrażać jako liniowe kombinacje stanów |n\rangle odpowiadających energiom n \hbar\omega_k , czyli stanów różnych liczbach fotonów:

|\psi\rangle={\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}c_n|n\rangle.}

Stan kwantowy pola w pudle podamy określając stan każdego oscylatora-modu z osobna. Stanem o najniższej energii będzie zbiór stanów podstawowych każdego z oscylatorów. Oznacza to w języku kwantowym, że żaden oscylator nie jest wzbudzony albo inaczej: mamy zero fotonów każdego modu. Taki jest stan wyjściowy pola elektromagnetycznego w naszym pudle.

Gdyby pole elektromagnetyczne nie oddziaływało z żadnym elektronem, nie byłoby powodu, aby opuściło ono stan próżni. Podobnie, gdyby atom w stanie wzbudzonym nie oddziaływał z polem elektromagnetycznym, tkwiłby w tym stanie na wieczność. Wiemy jednak, że elektron ma ładunek, a ładunki oddziałują z polem elektromagnetycznym. Oznacza to, że w równaniu Schrödingera musimy uwzględnić dodatkowe wyrazy sprzęgające oba układy: atom i pole. Nie będziemy zajmować się tu konkretną postacią tego oddziaływania, wystarczy nam, by sprzęgało ono oba układy. Najpierw zapiszemy sytuację bez oddziaływania. Stan kwantowy naszego połączonego układu można opisać jako iloczyn stanu atomowego: wzbudzonego |1\rangle (energia E=0) bądź podstawowego |2\rangle (energia E=-\hbar\omega_0) oraz stanu próżni pola elektromagnetycznego |\Phi_0\rangle (energia pola E=0) bądź stanu jednofotonowego |k\rangle (energia pola E=\hbar\omega_k):

|\Psi\rangle=a(t)| 1\rangle | \Phi_0\rangle+{\displaystyle \sum_{k}b_k(t) | 2\rangle | k\rangle},

gdzie stanowi wzbudzonemu towarzyszą próżniowe stany fotonowe, a stanowi podstawowemu – stany  z jednym fotonem o energii \hbar\omega_k. Kwadraty modułu współczynników a, b_k są proporcjonalne do prawdopodobieństwa znalezienia układu odpowiednio w stanie wzbudzonym oraz podstawowym po wypromieniowaniu konkretnego fotonu o wektorze falowym k. Jeśli ograniczymy się tylko do takich stanów (to pierwsze z naszych przybliżeń), równanie Schrödingera sprowadza się do układu równań liniowych:

\dfrac{da}{dt}=-\dfrac{i}{\hbar}{\displaystyle \sum_{k}H_{1k}b_k, }

\dfrac{db_k}{dt}=-i(\omega_k-\omega_0)b_k-\dfrac{i}{\hbar}H_{k1}a.

Bez wyrazów sprzęgających atom z polem elektromagnetycznym, mielibyśmy a(t)=const jako rozwiązanie pierwszego równania, rozwiązanie drugiego miałoby zaś postać

b_k(t)=Ce^{-i(\omega_k-\omega_0)t}.

Oznaczałoby to stan stacjonarny, prawdopodobieństwo nie zmienia się z czasem. Szukamy rozwiązań, dla których a(0)=1 oraz b_k(0)=0. Łatwo jest znaleźć rozwiązanie drugiego równania w takiej sytuacji: ma ono postać pewnej funkcji czasu razy powyższy czynnik eksponencjalny:

b_k(t)=-\dfrac{i}{\hbar} e^{-i(\omega_k-\omega_0)t} {\displaystyle \int_{0}^{t} dt' H_{k1}a(t')e^{i(\omega_k-\omega_0)t'},}

co łatwo sprawdzić różniczkowaniem po t. Wstawiając to rozwiązanie do pierwszego równania otrzymujemy

\dfrac{da}{dt}=-\dfrac{1}{\hbar^2}{\displaystyle \sum_{k}|H_{1k}|^2  \int_{0}^{t} dt' a(t')e^{i(\omega_k-\omega_0)(t'-t)}}.

Skorzystaliśmy z faktu, że H_{1k}=H_{k1}^{\star}. Wyrażenie podcałkowe gwałtownie oscyluje i rozsądnie jest oczekiwać, że największy wkład wniosą wyrazy z t\approx t', wobec tego możemy przyjąć przybliżenie: a(t')=a(t) i wyraz zawierający a(t) wyłączyć przed całkę (przybliżenie Weisskopffa-Wignera, 1930). Zostaje wtedy

\dfrac{da}{dt}=-a(t)\dfrac{1}{\hbar^2}{\displaystyle \sum_{k}|H_{1k}|^2  \int_{0}^{t} dt' e^{i(\omega_k-\omega_0)(t'-t)}}.

Chcielibyśmy mieć

\dfrac{da}{dt}=-\dfrac{\gamma}{2}a,

bo wtedy prawdopodobieństwo przetrwania atomu w stanie wzbudzonym jest równe |a(t)|^2=\exp{(-\gamma t)}. Sumę po dozwolonych wartościach k możemy zapisać za pomocą funkcji gęstości stanów fotonowych. Liczba stanów w przedziale energii dE jest z definicji równa \rho(E)dE=\rho(\hbar\omega)\hbar d\omega. Dostajemy następujące wyrażenie dla stałej \gamma:

\gamma=\dfrac{2}{\hbar} {\displaystyle \int_{0}^{\infty} d\omega \rho(\hbar \omega) |H(\omega)|^2 \;\dfrac{ \sin(\omega-\omega_0)t }{\omega-\omega_0 }}.

Dla dużych wartości t funkcja podcałkowa jest iloczynem potęgowo zmieniającej się funkcji oraz ilorazu z funkcją sinus, który gwałtownie oscyluje. Wkład wnoszą tylko wyrazy \omega\approx \omega_0.

tmp_6gawvumr

Ostatecznie

\gamma=\dfrac{2\pi}{\hbar} |H(\hbar\omega_0)|^2\rho(\hbar\omega_0).

Jest to wynik uzyskany po raz pierwszy przez Diraca, ale zwany zwykle złotą regułą Fermiego. Liczba \pi pojawiła się jako całka 

{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}dx\; \dfrac{\sin x}{x}=\pi.}

Można też obliczyć współczynniki b_k(t) w granicy dużych czasów. Okazuje się, że

|b(\omega)|^2\sim \dfrac{1}{(\omega-\omega_0)^2+\frac{\gamma^2}{4}}.

Daje to tzw. krzywą Lorentza na obrazku. Jest to naturalny kształt linii widmowej emitowanej przez nasz atom. Szerokość rozkładu równa jest \gamma.

tmp_540sr5iv

Wartość \gamma jest odwrotnością średniego czasu życia \tau stanu wzbudzonego:

\gamma=\dfrac{1}{\tau}.

Z obserwacyjnego punktu widzenia stan wzbudzony ma energię rozmytą z szerokością \Delta E= \hbar\gamma. Otrzymujemy zasadę nieoznaczoności dla energii: \Delta E\,\tau=\hbar. W przypadku cząstek elementarnych, które rozpadają się na jakieś inne cząstki będzie to znaczyć, że ich masa nie jest ściśle określona (bo E=mc^2). Ściśle określoną energię może mieć tylko stan podstawowy danego układu.

Kwantowa teoria pola stanowi odpowiedź na pytania stawiane przez Einsteina od roku 1905: Jak zmodyfikować teorię Maxwella, żeby uwzględniała ona efekty kwantowe. Fotony, zjawisko fotoelektryczne, oddziaływanie promieniowania z atomami itd. – wszystkie te kwestie zostały stopniowo rozstrzygnięte w sposób zgodny z obserwacjami. Postęp był tu pełen wahań i pojawiających się trudności natury zarówno fizycznej, jak matematycznej. W naszym przykładzie milcząco przyjęliśmy, że \gamma jest liczbą rzeczywistą, tzn. wzięliśmy część rzeczywistą całki. Jeśli obliczymy jej część urojoną, okaże się ona nieskończona w przypadku emisji w pustym pudle. Fizycznie część urojona współczynnika \gamma oznacza przesunięcie w energii wywołane oddziaływaniem z polem elektromagnetycznym. Takie przesunięcie zostało zaobserwowane w roku 1947 przez Willisa Lamba i zwane przesunięciem Lamba. Jest ono w rzeczywistości niewielkie i dopiero po wojnie udało się je obliczyć teoretycznie. Najpierw zrobił to Hans Bethe, potem inni twórcy elektrodynamiki kwantowej: Julian Schwinger, Sin-Itiro Tomonaga, Richard Feynman i inni. Albert Einstein wyłączył się z rozwijania fizyki kwantowej na początku lat trzydziestych i nie śledził jej kolejnych osiągnięć. Einstein nie zgadzał się z odrzuceniem przyczynowości, właśnie takim jak w emisji spontanicznej. Na jego usprawiedliwienie można dodać, że nie wszyscy fizycy młodszego – „kwantowego” – pokolenia wierzyli w prawdziwość elektrodynamiki kwantowej. Nawet Paul Dirac, który zapoczątkował tę drogę, nie wierzył, by znaleziono zadowalającą odpowiedź. Ostatecznie elektrodynamika kwantowa okazała się najdokładniejszą teorią, jaką stworzono w historii fizyki.

Prawdopodobieństwo wyemitowania fotonu w czasie (t,t+dt) jest równe \exp{(-\gamma t)}\gamma dt (prawdopodobieństwo dotrwania do chwili t razy prawdopodobieństwo rozpadu w przedziale czasu o długości dt, czyli \gamma dt), wobec tego średni czas życia atomu/cząstki jest równy

\tau={\displaystyle \int_{0}^{\infty} t \exp{(-\gamma t)} \gamma dt}=\dfrac{1}{\gamma}.

Najważniejsza chwila w naukowym życiu Alberta Einsteina: wyjaśnienie anomalii Merkurego (18 XI 1915)

Jeszcze latem 1915 roku Einstein sądził, że od dwóch lat jest autorem prawidłowej teorii grawitacji. Chodziło o pracę napisaną wspólnie z Marcelem Grossmannem, dziś zwaną jako teoria Entwurf. Miała ona pewne wady, przede wszystkim była nieelegancka i nie dopuszczała stosowania dowolnych układów współrzędnych, wbrew pierwotnym zamysłom Einsteina. Autor przekonywał jednak swoich korespondentów, że nic lepszego nie można sformułować, choć jak się zdaje, sam był nie do końca przekonany. W czerwcu 1913 roku zastosował teorię Entwurf do obliczeń znanej i od lat niewyjaśnionej anomalii w ruchu Merkurego. Gdyby Merkury podlegał jedynie przyciąganiu grawitacyjnemu Słońca, jego orbita byłaby dokładnie eliptyczna i oś owej elipsy nie zmieniałaby położenia względem gwiazd. Wiemy od czasów Newtona, że inne planety także mają pewien wpływ na ruch Merkurego. Jednym ze skutków ich łącznego oddziaływania jest powolny obrót osi elipsy Merkurego w płaszczyźnie orbity. Stosując prawo powszechnego ciążenia wyjaśniono niemal całkowicie obserwowany obrót osi elipsy (in. obrót peryhelium). W połowie XIX wieku Urbain Le Verrier, współodkrywca planety Neptun, stwierdził, że pozostaje niewielki obrót, którego nie daje się wyjaśnić na podstawie praw Newtona. Różnica 43 sekund kątowych na stulecie nie poddawała się żadnym rachunkom. Znaczyło to, że choć efekt jest drobny, to musi kryć się za nim jakaś nieznana dotąd przyczyna: albo nie zaobserwowaliśmy jeszcze wszystkich planet (hipoteza planety Wulkan), albo newtonowskie prawo ciążenia należy w jakiś sposób zmodyfikować dla małych odległości (dlatego anomalia widoczna była najlepiej w przypadku planety najbliższej Słońca). Obu tych dróg próbowano bez skutku. Toteż w 1913 roku Einstein zastosował znalezioną przez siebie teorię Entwurf do tego problemu. Ponieważ często mylił się w rachunkach, więc poprosił o pomoc Michele Bessa. Otrzymali odchylenie od teorii Newtona, ale równe było tylko 18” i Einstein stracił zapał do tej kwestii. Obserwowana anomalia w ruchu Merkurego była jednak na tyle niewielka, że nie było pewności, czy nawet prawidłowa teoria zdoła ją wyjaśnić. Zanim dojdzie się do owych 43”, trzeba uwzględnić wiele rozmaitych efektów w sumie dających 5600” – istniała więc możliwość, że astronomowie czegoś nie uwzględnili, np. możliwości nieznacznego spłaszczenia Słońca. Na razie teoria Entwurf wydawała się całkiem dobra, sprawę Merkurego Einstein odłożył ad acta.

Dopiero jesienią 1915 roku uświadomił sobie, że teoria Entwurf nie zachowuje się tak, jak tego oczekiwał w obracających się układach współrzędnych. Ten brak, który Einstein przeoczył dzięki elementarnym pomyłkom w rachunkach, zapoczątkował powrót do punktu wyjścia pracy z Grossmannem. I tak, jak rok 1905 był cudownym rokiem Einsteina (kiedyś tego określenia: annus mirabilis użyto w odniesieniu do prac Newtona w roku 1666), listopad 1915 roku okazał się jego mensis mirabilis: w cztery kolejne czwartki tego miesiąca przedstawiał on Królewsko-Pruskiej Akademii Nauk prace rozwiązujące ostatecznie problem równań pola w teorii grawitacji. Były one sukcesywnie publikowane w „Sitzungsberichte” Akademii z tygodniowym opóźnieniem. W pierwszej, drugiej i czwartej przedstawione zostały kolejne propozycje równań pola – dopiero ostatnia była całkowicie poprawna. Sam ich autor napisał pod koniec miesiąca:
„Niestety, unieśmiertelniłem w sprawozdaniach Akademii (…) końcowe błędy popełnione w tej walce”. Praca trzecia zawierała obliczenie ruchu perihelium Merkurego; tym razem Einstein otrzymał 43″ na stulecie, wynik, który trafił do podręczników fizyki. Wyjaśnił też, już na zawsze, iż odchylenie promienia świetlnego w pobliżu Słońca powinno być dwa razy większe, niż sądził do tej pory. Przyczyną było  zakrzywienie przestrzeni trójwymiarowej, które należy wziąć pod uwagę także przy słabym polu grawitacyjnym – coś, o czym wcześniej nie pomyślał.

Szybkie postępy pracy Einsteina w tych  gorączkowych tygodniach wynikały także częściowo z presji, jaką odczuwał: wiedział bowiem, że tym samym problemem zajął się David Hilbert w Getyndze.  Korespondowali nawet trochę w tym czasie, ale  żaden z nich nie znał dokładnie wyników uzyskanych  przez drugiego. Hilbert zapisał tzw. równanie  wariacyjne dla teorii względności – w wielu dzisiejszych  podręcznikach tak właśnie wprowadza się  równania pola Einsteina. Jak się jednak zdaje, Hilbert nie  przeprowadził obliczeń i nie uzyskał w tym czasie równań wynikających z zasady wariacyjnej (w dodatku  jego teoria nie była ogólnie kowariantna). Einstein  zwrócił mu uwagę, że trudność leży nie w napisaniu  równań, lecz w ich fizycznej interpretacji: „Trudno było dostrzec, że równania te są uogólnieniem, tzn. prostym i naturalnym uogólnieniem prawa Newtona”.

Poinformował też kolegę z Getyngi, iż trzy lata wcześniej rozważali już z Grossmannem takie równania.  Była to ścisła informacja, w Notatniku zuryskim znajdujemy tensor, który pojawił się w pierwszej  listopadowej pracy z roku 1915. Cudowna szybkość, z jaką teraz mógł się posuwać, związana była z tym,  że po pierwsze, korzystał z różnych wyników cząstkowych uzyskanych wcześniej, a po drugie, w ciągu  trzech lat nauczył się skutecznie używać geometrii różniczkowej.

Dowiadując się o sukcesie Einsteina w sprawie peryhelium Merkurego, Hilbert zauważył z pewną  zazdrością (i chyba z lekkim poczuciem wyższości): „Gdybym potrafił liczyć tak szybko jak pan, elektron  skapitulowałby w obliczu mojego równania, a atom wodoru musiałby jakoś się wytłumaczyć, dlaczego nie  promieniuje”. Także i tym razem nie chodziło o szybkość prowadzenia obliczeń, Einstein nie był jakimś  szczególnie sprawnym rachmistrzem, po prostu obliczenia ruchu peryhelium Merkurego już wcześniej  przeprowadzał, teraz musiał w nich to i owo zmienić, ale nie był to zupełnie nowy problem. Druga część  cytowanego wyżej zdania Hilberta wskazuje także na inny brak jego pracy: chciał on zbudować za jednym  zamachem teorię wszystkiego, w szczególności miał chyba nadzieję na uzyskanie widma wodoru –  zaledwie dwa lata wcześniej Niels Bohr po raz pierwszy otrzymał na drodze teoretycznej prawidłowe  długości linii widma. Jego teoria nie była całkowicie poprawna z dzisiejszego punktu widzenia, stanowiła  jednak krok ku mechanice kwantowej. David Hilbert próbował alternatywnego podejścia, które nie  okazało się udane.

Obaj uczeni zmagali się też z dość prostymi dziś trudnościami matematycznymi: nie znali np. tzw. zwężonych tożsamości Bianchiego, które automatycznie zapewniają, że zasada zachowania pędu-energii jest spełniona. Tożsamości te znane były w literaturze matematycznej, lecz nie od razu nauczono się ich używać w tym kontekście. Wiele kwestii matematycznych miało być w nadchodzących latach wyjaśnione w ślad za powstaniem teorii Einsteina, co przyciągnęło uwagę zarówno fizyków, jak i może nawet częściej
matematyków. Dziś geometria różniczkowa przestała być wiedzą tajemną, uczą jej setki książek, co świadczy o postępie nauki. Jak napisał kiedyś antropolog społeczny Max Gluckman: „Nauką jest każda dyscyplina, w której głupiec obecnego pokolenia może pójść dalej niż geniusz pokolenia poprzedniego” (nb. napisał to jako wprowadzenie do swojej krytyki poglądów Bronisława Malinowskiego).

Sprawa priorytetu uzyskania równań pola wywołała przejściowe napięcie w  stosunkach Einsteina z Hilbertem, jednak matematyk ostatecznie pogodził się z faktem, że choć wniósł pewien wkład w powstanie teorii grawitacji, to nie on jest jej twórcą.

Anomalia Merkurego była pierwszym wielkim sukcesem nowej teorii. On sam wspominał chwilę, gdy uzyskał zgodny z obserwacjami wynik jako kulminacyjny punkt swego życia naukowego. Pomyślmy tylko: przez osiem lat starał się zbudować teorię, która byłaby logicznym rozwinięciem szczególnej teorii względności. Przez ten czas zajmował się tylko kwestiami warunków fizycznych i matematycznych, jakie nowa teoria powinna spełniać. Nie korzystał z żadnych danych eksperymentalnych. I po tej całej pracy zawieszonej gdzieś w świecie abstrakcyjnych spekulacji okazuje się, że wynik pasuje do superdokładnych obserwacji i obliczeń astronomów poprzednich pokoleń, rozwiązuje problem postawiony jeszcze przez Le Verriera. „Przez kilka dni nie posiadałem się z radosnego podniecenia” – pisał do Paula Ehrenfesta. Innemu koledze zwierzał się: „Coś we mnie wtedy pękło”. Kolejny sukces teorii: zmierzenie w roku 1919 ugięcia światła w pobliżu Słońca, zapoczątkował wprawdzie ogromną sławę uczonego, lecz nie miał już takiego znaczenia w jego życiu wewnętrznym. Od jesieni 1915 roku Einstein wierzył niezachwianie w swoją teorię.

Przyjrzymy się obliczeniu precesji peryhelium Merkurego. Najpierw pokażemy, czemu w teorii Newtona elipsa planety się nie obraca.

Będziemy stosować zasadę zachowania energii i opisywać ruch planety we współrzędnych biegunowych (r,\varphi).

Jak widać z rysunku kwadrat prędkości możemy za pomocą twierdzenia Pitagorasa zapisać w postaci

v^2=\dfrac{\Delta r^2+r\Delta\varphi^2}{\Delta t^2}=\dot{r}^2+r^2\dot{\varphi}^2,

gdzie kropki oznaczają pochodne po czasie. Jeśli planeta o jednostkowej masie znajduje się w odległości r od Słońca o masie M, to jej całkowita energia równa jest

E=\dfrac{1}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\varphi}^2)-\dfrac{GM}{r},

G jest stałą grawitacyjną, a masa planety jest nieistotna, o ile interesuje nas jedynie ruch względny planety wokół Słońca. Oprócz energii zachowany jest także moment pędu równy

L=r^2\dot{\varphi}.\;\; \mbox{(*)}

Matematycznie równanie to jest równoważne prawu pól Keplera. Wyznaczamy stąd prędkość kątową planety i wstawiamy do równania zachowania energii:

\dot{r}^2=2\left(E+\dfrac{GM}{r}-\dfrac{L^2}{2r^2}\right).\;\;\mbox{(**)}

Otrzymaliśmy problem jednowymiarowy dla funkcji r(t). W nawiasie mamy różnicę całkowitej energii i efektywnej energii potencjalnej

V_{eff}=-\dfrac{GM}{r}+\dfrac{L^2}{2r^2}.

Jest to suma funkcji -1/r oraz 1/r^2 z pewnymi współczynnikami liczbowymi. Dla małych r dominuje człon drugi, odpychający. Dla dużych r – pierwszy, przyciągający. Cały potencjał efektywny wygląda następująco:

Gdy całkowita energia odpowiada minimum potencjału, możliwa jest tylko jedna wartość r, co odpowiada ruchowi po okręgu. Gdy energia jest nieco większa, dozwolony pozostaje ograniczony przedział promieni wodzących r\in(r_{-},r_{+}). Dla jeszcze większej energii planeta odleci do nieskończoności.

Aby wyznaczyć kształt toru należy zrobić dwie rzeczy: zastosować nową zmienną u=1/r oraz różniczkowanie po czasie zastąpić różniczkowaniem po kącie \varphi. Korzystamy z (*) i (**)

\dfrac{du}{d\varphi}=-\dfrac{1}{r^2}\dfrac{dr}{d\varphi}=-\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\dot{r}}{\dot{\varphi}}=-\dfrac{\dot{r}}{L}. \;\;\mbox{(***)}

Równanie toru przybiera postać

\dfrac{du}{d\varphi}=\pm \sqrt{\dfrac{2E}{L^2}+\dfrac{2GMu}{L^2}-u^2}\equiv\pm\sqrt{P(u)}.

Wyrażenie podpierwiastkowe musi być nieujemne. Znak przed pierwiastkiem zależy od kierunku ruchu, dalej wybieramy znak plus. Wyrażenie podpierwiastkowe w przypadku planety będzie wyglądało jak na rysunku

Wobec tego kąt zakreślony przed planetę między aphelium i peryhelium będzie równy

\Delta\varphi={\displaystyle \int_{u_{-}}^{u_{+}}\dfrac{du}{\sqrt{P(u)}}=\pi.}

Szczegóły rachunku przytaczam poniżej, idea jest taka, że całka jest typu \int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}, co daje arcus sinus, którego całkowita zmienność to właśnie \pi. Ponieważ planeta oscyluje w promieniu wodzącym od aphelium do peryhelium i z powrotem, całkowity kąt między dwoma apheliami albo dwoma peryheliami równy jest 2\pi. Oznacza to, że tor jest krzywą zamkniętą. Fakt ten znał już Isaac Newton i nieruchomość osi orbit planet przytaczał jako argument świadczący o tym, że siła przyciągania Słońca zmienia się jak 1/r^2. Twierdzenie udowodnione pod koniec XIX wieku przez Bertranda głosi, że tylko siła grawitacji 1/r^2 i siła proporcjonalna do odległości r prowadzą do zamkniętych torów wokół centrum (różnych od okręgu). Oczywiście, jeśli uwzględnimy także siły pochodzące od pozostałych planet, ten prosty obraz zostanie zaburzony: nadal przybliżenie eliptyczne jest dobrym punktem wyjścia, ale elipsy ulegają powolnej precesji, szczególnie wyraźnej w przypadku Merkurego.

Przejdźmy teraz do przypadku rozważanego przez Einsteina. Metryka czasoprzestrzeni wokół Słońca dana jest rozwiązaniem Schwarzschilda:

ds^2= A(r) dt^2-B(r) dr^2-r^2 d\varphi^2,

gdzie zostawiliśmy tylko ruch w płaszczyźnie, postać funkcji A,B podamy później. Równania ruchu cząstki otrzymujemy z warunku maksymalnego czasu własnego

\delta \int ds =0.

Okazuje się, że zasada ta jest równoważna zasadzie wariacyjnej

\delta\int {\cal L} d\tau, \;\;\mbox{gdzie}\; {\cal L}(t,r,\varphi,\dot{t},\dot{r},\dot{\varphi})= A(r) \left(\dfrac{dt}{d\tau}\right)^2-B(r)\left(\dfrac{dr}{d\tau}\right)^2-r^2\left(\dfrac{d\varphi}{d\tau}\right)^2.

Inaczej mówiąc spełnione są równania Lagrange’a z powyższym lagranżianem, kropka oznacza teraz całkowanie po czasie własnym \tau, trójka (t(\tau), r(\tau), \varphi(\tau)) opisuje ruch cząstki. Ponieważ metryka (i lagranżian) nie zależy jawnie od czasu t oraz kąta \varphi, więc dwa równania wyglądają szczególnie prosto:

\dfrac{d}{d\tau}(A\dot{t})=0 \;\; \Rightarrow A\dot{t}=E,

gdzie E jest pewną stałą podczas ruchu cząstki. Drugie równanie ma postać

\dfrac{d}{d\tau}(r^2\dot{\varphi})=0 \;\;\Rightarrow r^2\dot{\varphi}=L,

gdzie L jest inną stałą ruchu. Oba te równania odpowiadają zasadzie zachowania energii oraz momentu pędu u Newtona i wynikają z podobnych powodów fizycznych: zasada zachowania energii jest spełniona, gdy translacja w czasie jest symetrią układu, zasada zachowania momentu pędu jest spełniona, gdy obrót wokół osi (u nas prostopadłej do płaszczyzny orbity) jest symetrią układu.

Zamiast rozważać równanie Lagrange’a dla zmiennej r możemy skorzystać z faktu, że podczas ruchu cząstki masywnej {\cal L}=1:

{\cal L}= A\left(\dfrac{E}{A}\right)^2-B\dot{r}^2-\dfrac{L^2}{r^2}=1 .

Wyznaczajmy stąd kwadrat prędkości radialnej

\dot{r}^2=\dfrac{E^2}{AB}-\dfrac{1}{B} -\dfrac{1}{B}\dfrac{L^2}{r^2}.

Funkcje A, B dane są w przypadku rozwiązania Schwarzschilda równaniami

A=B^{-1}=1-\dfrac{r_{S}}{r},\;\;\mbox{gdzie} \; r_S=\dfrac{2GM}{c^2}

 jest promieniem Schwarzschilda. Tak jak w przypadku newtonowskim wprowadzamy zmienną u=1/r i korzystamy ponownie ze związku (***). W wyniku dostajemy

\dfrac{du}{d\varphi}=\pm\sqrt{\dfrac{E^2-1}{L^2}+\dfrac{r_S}{L^2}u-u^2+r_S u^3}=\pm\sqrt{P'(u)}.

Porównując to wyrażenie z newtonowskim, widzimy, że pomijając inną definicję stałej energii (wyraz wolny pod pierwiastkiem), mamy dwa wyrazy z u oraz u^2 takie, jak poprzednio, doszedł teraz wyraz trzeciego stopnia. Wyrażenie podcałkowe ma teraz trzy pierwiastki rzeczywiste i wykres jak poniżej.

Szukamy niewielkiej poprawki do ruchu newtonowskiego, wobec tego pierwiastki u_{\pm} powinny leżeć tak jak poprzednio, a trzeci pierwiastek u_0 powinien być znacznie od tamtych większy. Całkę

\Delta\varphi ={\displaystyle \int_{u_{-}}^{u_{+}}\dfrac{du}{\sqrt{P'(u)}}}

można obliczyć jako całkę eliptyczną. Przejrzystsza jest tu jednak metoda przybliżona. Zapisujemy wielomian P'(u) w postaci

P'(u)=r_S(u-u_{-})(u_{+}-u)(u_0-u)\approx r_S u_0\left(1-\dfrac{u}{u_0}\right)(u-u_{-})(u_{+}-u).

Mamy w tym przybliżeniu ponownie do czynienia z całką zawierającą pierwiastek z trójmianu kwadratowego, jaką obliczaliśmy już wcześniej.

\Delta\varphi=\dfrac{1}{\sqrt{r_S u_0}}{\displaystyle \int_{u_{-}}^{u_{+}}\dfrac{du}{\sqrt{(u-u_{-})(u_{+}-u)}}\left(1+\dfrac{u}{2u_0}\right).}

Całkując, dostajemy

\Delta\varphi=\dfrac{\pi}{\sqrt{r_S u_0}}\left(1+\dfrac{u_{-}+u_{+}}{4u_0}\right).

Aby obliczyć wielkość au_0 porównujemy wyrazy zawierające u^2 w wyrażeniu P'(u). Otrzymamy

r_S(u_0+u_{-}+u_{+})=1, \;\;\Rightarrow r_Su_0=1-r_S(u_{-}+u_{+})\approx 1,

możemy więc w przybliżeniu napisać

\dfrac{1}{\sqrt{r_s u_0}}\approx 1+r_S\dfrac{u_{-}+u_{+}}{2}.

Kąt między aphelium a perihelium planety równa się łącznie

\Delta\varphi=\pi\left[1+\dfrac{3}{4} r_S(u_{-}+u_{+})\right]=\pi \left[1+\dfrac{3}{2}\dfrac{GM}{c^2}\left(\dfrac{1}{r_{+}}+\dfrac{1}{r_{-}}\right)\right].

Precesja peryhelium przypadająca na jeden obieg planety będzie dwa razy większa

\Delta\varphi=2\pi+\dfrac{3GM\pi}{c^2}\left(\dfrac{1}{r_{+}}+\dfrac{1}{r_{-}}\right)\equiv 2\pi+\dfrac{3\pi}{2}r_S\left(\dfrac{1}{r_{+}}+\dfrac{1}{r_{-}}\right)\equiv 2\pi+\dfrac{3r_S\pi}{2a(1-e^2)}.

W ostatnim wyrażeniu a,e oznaczają odpowienio dużą półoś i mimośród orbity planety. Jak widać, metoda obliczeń zastosowana przez Einsteina była całkiem elementarna. Poprzednio w teorii Entwurf, w pracy z 1913 roku, którą  pod względem rachunkowym sprawdzał Besso, otrzymywało się wartość dodatkowej precesji na obieg równą

\Delta\varphi=\dfrac{5}{4}\dfrac{GM\pi}{c^2}\left(\dfrac{1}{r_{+}}+\dfrac{1}{r_{-}}\right),

stąd owe nieszczęsne 18” na stulecie.

Całki, które pojawiają się w tym zagadnieniu, oblicza się za pomocą podstawienia

u=\dfrac{u_{-}+u_{+}}{2}+\dfrac{u_{+}-u_{-}}{2}\cos t.

Przedział całkowania (u_{-},u_{+}) przechodzi w przedział (\pi,0). Bardziej wymyślna metoda to użycie konturu na płaszczyźnie zespolonej wokół cięcia (u_{-},u_{+}), choć w tym przypadku jest to trochę overkill. Einstein we wcześniejszej pracy na temat peryhelium z roku 1913 stosuje metodę zespoloną do całej rodziny całek podobnego typu (można to zobaczyć w t. 4 Einstein Papers).

W każdym razie obliczenie ruchu peryhelium nie było bynajmniej czymś wyrafinowanym, co mogłoby sprawić trudność Hilbertowi albo Einsteinowi. Istotny był nowy punkt wyjścia, nowe spojrzenie na czasoprzestrzeń.

Oppenheimer o Einsteinie (1965 r.)

Robert Oppenheimer dziś znany jest głównie z kierowania Projektem Manhattan, czyli programem budowy pierwszych bomb atomowych. Wcześniej jednak, w latach trzydziestych, stworzył pierwszą amerykańską szkołę fizyki teoretycznej. Był charyzmatycznym wykładowcą, który zarażał entuzjazmem, nawet jeśli studenci nie byli pewni, czy się czegoś nauczyli – wykłady bardziej przypominały misteria niż systematyczne wprowadzanie materiału krok po kroku. Zgromadził wokół siebie grono studentów i doktorantów jeżdżących za nim między Caltechem a Berkeley. Znał świetnie i z pierwszej ręki osiągnięcia kwantowe: między 1925 a 1929 rokiem, a więc wtedy gdy powstawała mechanika kwantowa, pracował i dyskutował z Ralphem Fowlerem i Paulem Dirakiem w Cambridge, spędził jakiś czas w Lejdzie u Paula Ehrenfesta, potem w Getyndze zrobił doktorat u Maksa Borna, współpracował także z Wolfgangiem Paulim, poznał też wszystkich innych wielkich fizyków tego okresu. Gdy wracał do Stanów Zjednoczonych, miał już spory i interesujący dorobek. W latach trzydziestych raczej kierował pracą swoich młodych kolegów. Sam rzadko wykonywał jakieś obliczenia i w dodatku często się przy tym mylił. Miał wszakże nosa do wyszukiwania ważnych problemów, a intuicja pozwalała mu podążać w dobrym kierunku. Jego wadą było nietrzymanie się ziemi i brak zainteresowania systematycznymi rachunkami, lecz jako duchowy przewodnik grona młodych sprawdzał się znakomicie. Szerokie zainteresowania humanistyczne wzbudzały często w kolegach mieszane uczucia, lecz magnetyczna osobowość i neurotyczna wrażliwość przyciągała do niego kobiety. Historia jego związków erotycznych jest długa, powikłana i niezbyt nadaje się na przykład dla młodzieży.

Po wojnie i zakończeniu Projektu Manhattan Oppenheimer stał się sławny wśród szerokiej publiczności, uważano go za głównego autora bomby atomowej. Oczywiście, bomba była dziełem zbiorowym, ale też należy przyznać, że niestabilny emocjonalnie i przed wojną komunizujący fizyk przekształcił się w energicznego patriotę i inteligentnego przywódcę grona ludzi o wybujałych osobowościach, którzy niełatwo poddawali się czyimkolwiek poleceniom. W 1947 r. Oppenheimer został dyrektorem Institute for Advanced Study w Princeton i pełnił tę funkcję niemal dwadzieścia lat, najdłużej w dziejach Instytutu. Po raz pierwszy znalazł się tam jeszcze w 1935 r., donosił wtedy bratu w liście:

Princeton to dom wariatów: jego solipsystyczni luminarze błyszczą, każdy odobno, w nieuleczalnej pustce. Einstein jest zupełnie stuknięty.

Albert Einstein był pierwszą i największą gwiazdą IAS, placówki szczególnej, zatrudniających wyłącznie uczonych bardzo wybitnych, niemających żadnych obowiązków dydaktycznych i mogących za znaczne pieniądze w pełni poświęcić się pracy naukowej. Z początku oprócz Einsteina pracowali tam głównie matematycy. Do dziś zresztą fizyka teoretyczna i matematyka jest tam znakomita. Pracują tam Edward Witten, fizyk matematyczny o najwyższym indeksie Hirscha na świecie (158), Nima Arkani-Hamed czy Juan Maldacena, autor zasady holograficznej (najliczniej cytowana praca z fizyki, ponad 10 000 cytowań w niecałe dwadzieścia lat). Do tego mnóstwo medalistów Fieldsa, z których większość jakoś związana była z IAS w pewnym momencie.

Skąd więc negatywna opinia Oppenheimera? Z jego punktu widzenia – fizyka, dla którego w 1925 r. zaczął się najbardziej ekscytujący okres: stworzenie mechaniki kwantowej, ktoś taki jak Einstein, kto ignorując te najnowsze osiągnięcia, prowadził badania na swój własny sposób, mógł się wydawać dziwakiem. Prace Einsteina z tego okresu nie były zresztą całkowicie chybione, przyczyniły się bowiem do wyjaśnienia pewnych kwestii w ogólnej teorii względności. Sama jednak ta teoria była wówczas niezmiernie daleko od obserwacji i eksperymentów, przetestowano ją jedynie w przypadku dość słabych pól grawitacyjnych, a więc nie były to testy zbyt wymagające. Zastosowania kosmologiczne mogły wydawać się zbyt daleko idącą generalizacją: za pomocą mocno spekulatywnej teorii staramy się opisać wszechświat jako całość.

Chyba dopiero po wojnie Einstein zetknął się bliżej z Oppenheimerem, który starał się zdyskontować sławę starszego uczonego. Oto np. zdjęcie z tygodnika „Life”, gdzie ukazał się ilustrowany reportaż z IAS.

Podpis pod tym zdjęciem głosił: „Einstein opowiada Oppenheimerowi o swych najnowszych próbach objaśnienia materii w kategoriach przestrzeni”. Najprawdopodobniej obaj nie rozmawiali na tematy naukowe, dzieliło ich zbyt wiele. Zresztą Oppenheimer w zasadzie przestał już publikować i poświęcił się działalności administracyjnej oraz politycznej. Co ciekawe, choć Oppenheimer nie był jastrzębiem, jak np. Edward Teller, nie bardzo potrafili z Einsteinem uzgodnić poglądy na to, co należy robić w świecie, w którym wraz z bronią atomową pojawiło się niebezpieczeństwo zniszczenia cywilizacji. Anarchiczny Einstein nie potrafił zrozumieć słabości Oppenheimera do kuluarów waszyngtońskich i jego pragnienia odegrania roli w kształtowaniu polityki bezpieczeństwa. Z kolei Oppenheimer miał mu za złe publiczne wystąpienia, wzbudzające wielką wrzawę medialną. Einstein mógł sobie jednak pozwolić, by robić to, co uważał za słuszne, a nie to, co komuś się spodoba bądź nie spodoba.

W 1965 r. Oppenheimer wziął udział w dość dziwacznym międzynarodowym kolokwium w Paryżu poświęconym dziesięcioleciu śmierci Einsteina i Teilharda de Chardin, dziś już zapomnianego jezuity, filozofującego na temat ewolucji w duchu chrześcijańskim pod bożą opieką. Obu myślicieli nie łączyło nic prócz daty śmierci. Robert Oppenheimer postanowił przy tej okazji zdemitologizować postać Einsteina. Jego wystąpienie stało się znane, ukazało się bowiem w „The New York Review of Books” i odnotowała je prasa na całym świecie. Albert Einstein jawi się w nim jako uczony wyrastający z pewnej tradycji: teorii pola w fizyce i determinizmu w filozofii. I to właśnie owa tradycja stała się źródłem jego naukowej klęski w późniejszych latach.

Spędził te lata najpierw na próbach wykazania, że teoria kwantowa jest niekonsekwentna. Nikt nie potrafiłby obmyślić bardziej pomysłowych, nieoczekiwanych i sprytnych przykładów; okazało się jednak, że nie ma żadnych niekonsekwencji, a rozwiązania często można było znaleźć we wcześniejszych pracach samego Einsteina.

Historię piszą zwycięzcy, mechanika kwantowa okazała się niezwykle skuteczna, więc nie zwracano uwagi na trudności pojęciowe, jakie zawiera. Nurt głębokich wątpliwości odżył w ostatnich latach, nie wszystkie zastrzeżenia Einsteina były chybione. Oppenheimer patrzył jak szeregowy fizyk zaangażowany w bieżące osiągnięcia, Einsteina interesowały kwestie strategiczne: tworzenie teorii i szukanie pojęciowej jedności w naszej wiedzy o świecie.

Chociaż Einstein budził u wszystkich ciepłe uczucia, a nawet miłość za swą determinację w wypełnianiu własnego programu, stracił w dużym stopniu kontakt z profesją fizyka, ponieważ niektóre rzeczy przyszły w jego życiu zbyt późno, by mógł się nimi przejąć.

Znów: jest to część prawdy, lecz wypowiedziana w sposób cokolwiek arogancki jak na kogoś, kto od piętnastu lat sam nic nie opublikował. Einstein pracował do końca życia naukowo, nie zamienił się w działacza społecznego czy politycznego. Czy jego prace były świadectwem utraty kontaktu z profesją fizyka? Z pewnością nie były to prace nadzwyczajne czy przełomowe. Einstein przez jakieś dwadzieścia lat publikował prace wielkie. To bardzo długo, niektórzy wybitni uczeni są twórcami kilku ważnych prac. Żaden z twórców mechaniki kwantowej: ani Heisenberg, ani Schrödinger, ani nawet Dirac nie wpływali tak długo na rozwój fizyki. Zazwyczaj dziesięć twórczych lat to skala uczonego genialnego. Późne prace Einsteina nie miały wpływu na naukę, ale tak jest z ogromną większością prac – niech nas nie zwiodą ogromne liczby publikacji w dzisiejszym świecie, naprawdę ważnych prac ukazuje się niezbyt wiele, nawet w najlepszych czasopismach. Najlepszą pracą Oppenheimera okazała się paradoksalnie jego analiza (ze Snyderem) kolapsu grawitacyjnego gwiazdy z punktu widzenia ogólnej teorii względności. Sam chyba nie wierzył w jej prawdziwość. Można by więc orzec, że Oppenheimer stracił kontakt z profesją fizyka już po 1939 roku, a ostatnie ćwierć wieku był jedynie organizatorem i mówcą na konferencjach niewiążących się ściśle z fizyką.

Chyba tylko kompleksami uzasadnić można inne stwierdzenie Oppenheimera, że wczesne prace Einsteina były „olśniewająco piękne, ale z licznymi błędami”.

Po tym, co usłyszeliście, nie muszę dodawać jak błyskotliwa była jego inteligencja. Był niemal całkiem pozbawiony wyrafinowania i wyzbyty światowości. Myślę, że w Anglii określono by to jako brak wychowania, a w Ameryce jako brak edukacji.

Oppenheimer pochodził z rodziny bogatych Żydów nowojorskich, Einstein z żydowskiej drobnej burżuazji niemieckiej. Oczywiście, Einstein nie był jakimś prostaczkiem obdarzonym geniuszem naukowym. Jednak studiowanie Bhadgavadgity czy poezji T.S. Eliota niekoniecznie oznacza intelektualną rafinadę. Zdaniem Oppenheimera Einstein był dwudziestowiecznym Eklezjastesem, który z nieustępliwą i nieposkromioną radością powtarza: „Marność nad marnościami i wszystko marność”. Niewykluczone, że Oppenheimer nie potrafił uwolnić się od myśli o przemijalności własnych osiągnięć. Dowiedział się w tym czasie, że jest chory na raka krtani. Z pewnością jednak nie potrafił się zdobyć na spokojny obiektywizm, który był jedną z piękniejszych cech osobowości Einsteina.

Arnold Sommerfeld i zagadka widma wodoru (1916)

Miał historycznego pecha: był 81 razy nominowany do Nagrody Nobla z fizyki, ale nigdy jej nie dostał. „Planck był autorytetem, Einstein – geniuszem, a Sommerfeld – nauczycielem”, jak ujął to historyk Armin Hermann. Nauczycielem noblistów, trzeba dodać. Czterech jego doktorantów i trzech postdoków zostało później laureatami Nobla, a do tego dochodzi mnóstwo nazwisk uczniów i współpracowników, które i dziś znane są fizykowi. Jego ośrodek w Monachium obok Getyngi Maksa Borna i Kopenhagi Nielsa Bohra wychował całe pokolenie genialnych chłopców lat dwudziestych (osobny był tylko Paul Dirac, ale on był zawsze osobny). Sommerfelda wyjaśnienie struktury subtelnej widma wodoru było eleganckie i niezwykle dokładne. Jednak osiągnięcia Sommerfelda nie stanowiły zamkniętej teorii, było jeszcze za wcześnie na mechanikę kwantową. Trudno czynić mu z tego zarzut: ani Planck, ani Einstein nie posunęli się dalej.

Sommerfeld był właściwie matematykiem zajmującym się zagadnieniami fizyki matematycznej. Gdy w 1906 r. objął katedrę fizyki teoretycznej w Monachium nie było jeszcze fizyki kwantowej oprócz pionierskich prac Plancka i Einsteina. Dopiero podczas wojny Sommerfeld zainteresował się serio zagadnieniami kwantowymi. 

Czterdziestopięcioletni profesor nie został powołany do wojska ze względu na wiek, zresztą pomimo swego patriotyzmu nie był entuzjastą wojny, jak większość jego rodaków. Wkrótce jednak i jemu udzieliła się nieuchronna atmosfera paranoi i oblężonej twierdzy, podpisał np. antybrytyjski apel Wilhelma Wiena wzywający, by niemieccy uczeni nie publikowali w angielskich czasopismach i odrzucali „nieuzasadnione wpływy naukowe Anglików”. Było więcej tego rodzaju wstydliwych wystąpień, zresztą po obu stronach konfliktu. Zaledwie rok wcześniej, w roku 1913, zarówno Wien, jak Sommerfeld brali udział w drugim Kongresie Solvaya, gdzie spotykała się elita ówczesnych fizyków i mogło się wydawać, że nauki ścisłe nie mają narodowości.

855px-Solvay_conference_1913

Sommerfeld znany był z otwartości i bliskich kontaktów ze swymi studentami. Chodził z nimi na piwo i jeździli wspólnie na narty, w tamtych czasach taka postawa była rzadkością. Einstein, kiedy poznał Sommerfelda, obiecywał sobie, że będzie miał podobne podejście do studentów. Podczas wojny Sommerfeld prowadził wprawdzie nadal wykłady, ale wielu studentów i młodszych kolegów było na froncie. Chętnie jednak w miarę możliwości korespondowali na tematy naukowe, pozwalało im to na chwilę zapomnieć o toczącej się wciąż wojnie.

Sommerfeld stosował metodę, którą później wielokrotnie stosował Steven Weinberg: jeśli chcesz nauczyć się jakiegoś przedmiotu, wygłoś na ten temat cykl wykładów. W przypadku Sommerfelda wynikiem jest wielotomowy kurs fizyki teoretycznej, a także monografia Atombau und Spektrallinien („Budowa atomu i linie widmowe”), biblia pierwszych lat fizyki kwantowej. W przypadku Weinberga to seria znakomitych solidnych podręczników na różnym poziomie, a także zarys historii fizyki.

W lutym 1915 roku Sommerfeld pisał do Wiena: „W tym semestrze prowadziłem wykłady na temat [modelu] Bohra i interesuję się tą kwestią, na ile wojna pozwala. Dzisiejsze 100 000 Rosjan to z pewnością piękniejsza wiadomość niż wyjaśnienie serii Balmera przez Bohra. Mam jednak piękne nowe wyniki na ten temat.” Owe 100 000 Rosjan to jeńcy po bitwie nad jeziorami mazurskimi. Przez cały rok 1915 Sommerfeld pracował, choć z przerwami, nad zagadnieniem atomu. Udało mu się uogólnić warunki kwantowania Bohra, a następnie zastosował do elektronu mechanikę szczególnej teorii względności (którą także w owym czasie wykładał). Model relatywistyczny pozwolił wyjaśnić rozszczepienie optycznych linii widmowych wodoru, a także optycznych i rentgenowskich linii cięższych pierwiastków. Wyjaśniła się w ten sposób kwestia znana od wielu lat: linie widmowe pierwiastków mają często kilka blisko położonych składowych widocznych przy dużej zdolności rozdzielczej (np. żółta linia sodu świecąca w lampach sodowych jest dubletem). Tę strukturę subtelną wodoru odkryli Albert Michelson i Edward Morley jeszcze w roku 1887. Dzięki Sommerfeldowi wyjaśniło się, że odgrywa tu rolę szczególna teoria względności, w latach 1915-1916 jej słuszność wcale nie była jeszcze oczywista, obie teorie względności jeszcze długo później uchodziły za „kontrowersyjne”, pamiętajmy, że Nagrodę Nobla przyznano Einsteinowi z wyraźnym zastrzeżeniem, iż nie jest nagrodą za teorię względności. Wspominany w tym blogu kilkukrotnie Ernst Gehrcke, zaciekły przeciwnik teorii Einsteina, był specjalistą od pomiarów widmowych. Przez lata spierał się z Friedrichem Paschenem, który zmierzył wielkość rozszczepienia linii zgodną z wynikami Sommerfelda. Gehrcke otrzymywał wciąż nieco inną wartość. I to z pozornie obiektywnych pomiarów, w których widmo było rejestrowane przez przyrząd. Nienawiść zaślepia. 

Wynik Sommerfelda niemal pokrywa się z tym, co uzyskano później z równania Diraca. Eleganckie i zgodne z obserwacjami wyniki Sommerfelda stały się największym sukcesem tzw. starej teorii kwantów, czyli fizyki sprzed powstania mechaniki kwantowej. Co ciekawe, twórcy mechaniki kwantowej, Schrödinger i Pauli, publikując rozwiązania dla atomu wodoru w styczniu 1926 roku, nie do końca byli usatysfakcjonowani. Obaj bowiem, zupełnie niezależnie, próbowali osiągnąć wynik Sommerfelda i im się to nie udało. Musieli zadowolić się podejściem nierelatywistycznym, bez struktury subtelnej. Mieli więc świadomość, że górują pod względem metody, ale nie dorównują wynikom Sommerfelda. Relatywistyczną mechanikę kwantową zapoczątkował w 1928 r. Paul Dirac, lecz okazało się dość szybko, jeszcze w latach trzydziestych, że potrzebna jest tu kwantowa teoria pola. Obliczenia w ramach teorii pola szybko doprowadziły do impasu: niektóre wyniki okazywały się nieskończone. Wyjście z tego impasu znaleziono dopiero po II wojnie światowej: było nim sformułowanie elektrodynamiki kwantowej przez Juliana Schwingera, Shin’ichirō Tomonagę i Richarda Feynmana. Dopiero wtedy dokładność teorii (a także pomiarów) wyprzedziła wyniki Sommerfelda i Diraca.

W modelu Bohra dozwolone są orbity kołowe, które spełniają warunek

L=mrv=n\dfrac{h}{2\pi},

gdzie L,r,m,v,h to odpowiednio moment pędu, promień orbity, masa i prędkość elektronu oraz stała Plancka, a n jest dodatnią liczbą całkowitą. Max Planck interesował się zagadnieniem oscylatora harmonicznego – oscylatory takie emitują bądź pochłaniają fale elektromagnetyczne. Można opisać je w przestrzeni fazowej, gdzie współrzędnymi są położenie q oraz pęd p. Jeśli położenie w zależności od czasu opisane jest równaniem q=A \sin 2\pi\nu t (\nu jest częstością), to pęd elektronu jest równy p=m2\pi\nu A \cos 2\pi\nu t i łatwo sprawdzić, że tor w przestrzeni fazowej jest elipsą (wystarczy skorzystać z jedynki trygonometrycznej). Warunek kwantowania Plancka ma postać następującą:

quantum action

Pole zakreślane w przestrzeni fazowej przez elektron jest wielokrotnością stałej h. Można ten warunek zapisać w postaci

W={\displaystyle \int dp dq =nh.}

Zastanawiano się także nad dodaniem jakiejś stałej w rodzaju 1/2 do n, ale na razie zostawmy to bez stałej. Dla eliptycznego toru w przestrzeni fazowej, mamy więc W=\pi A (m\omega A)=nh. Obliczając energię oscylatora, otrzymamy

E=\dfrac{p_{max}^2}{2m}= nh\nu.

Jest to zgodne z tym, co na temat oscylatorów twierdzili Planck i Einstein.

Warunek kwantowania można zapisać także w postaci:

W={\displaystyle \int (p_{+}-p_{-})dq=\oint p dq=nh.}

Druga całka jest po zamkniętym konturze, jej sens geometryczny jest taki sam.

quantum_action_3

quantum_action_2

Sommerfeld zastosował warunki kwantowania w tej drugiej postaci do ruchu elektronu w polu kulombowskim. Ruch klasyczny jest płaski, mamy więc dwa stopnie swobody. Położenie elektronu określają np. współrzędne biegunowe: odległość od jądra r oraz kąt \varphi z ustalonym kierunkiem. Odpowiadają tym zmiennym dwa pędy: składowa radialna p_r oraz składowa styczna p_{\varphi}. W naszym przypadku element odległości ds w zmiennych biegunowych ma postać

ds^2=dr^2+r^2 d\varphi^2.

polar coordinates

Iloczyn p dq w przypadku składowej radialnej przyjmuje postać m\frac{dr}{dt} dr=p_r dr, a w przypadku składowej stycznej p_{\perp}r d\varphi = p_{\varphi} d\varphi \equiv L d\varphi, pędem skojarzonym z kątem jest po prostu moment pędu. Można to uzasadnić ściślej, istnieje w mechanice precyzyjny przepis, jak dowolnej zmiennej uogólnionej przypisać odpowiedni pęd, por. niżej (*).

Przestrzeń fazowa jest teraz czterowymiarowa. Mamy dwa warunki kwantowania dla obu par zmiennych. Dla kąta \varphi i L warunek jest trywialny i pokrywa się z warunkiem Bohra:

{\displaystyle \oint L d\varphi=L2\pi=n_{\varphi}h.}

Dla zmiennych radialnych otrzymujemy coś nowego:

{\displaystyle \oint p_r dr=n_{\varphi} h}

gdzie liczby kwantowe n_r, n_{\varphi} mogą się różnić. Ponieważ dopuszczamy teraz zmiany odległości od jądra, należy się spodziewać, że podobnie jak w przypadku ruchu planet wokół Słońca dopuszczalne ruchy elektronu będą zachodzić po elipsach (mówimy tylko o stanach związanych, warunki kwantowania dotyczą tylko takiej sytuacji). 

Energia kinetyczna elektronu jest zatem równa

E_k=\dfrac{m}{2}\dfrac{ds^2}{dt^2}=\dfrac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\varphi}^2)=\dfrac{p_r^2}{2m}+\dfrac{p_{\varphi}^2}{2mr^2}.

Całkowita energia elektronu w atomie wodoru (pomijamy ruch jądra) dana jest wyrażeniem

E=\dfrac{p_r^2}{2m}+\dfrac{p_{\varphi}^2}{2mr^2}-\dfrac{e^2}{r},

gdzie piszemy e^2\equiv\dfrac{q_e^2}{4\pi\varepsilon_0} (q_e, \varepsilon_0 to ładunek elementarny i przenikalność dielektryczna próżni). Możemy wyznaczyć p_r z równania energii i wstawić do warunku kwantowania. Obliczając całkę (**) i wyznaczając E dostajemy wynik Bohra:

E=-\dfrac{me^4}{2\hbar^2 (n_r+n_{\varphi})^2}\equiv-mc^2\dfrac{\alpha^2}{2n^2}.

Zamiast jednej liczby kwantowej, mamy teraz sumę dwóch liczb kwantowych: n=n_r+n_{\varphi}. Stała \alpha jest bezwymiarowa i równa

\alpha=\dfrac{e^2}{\hbar c}\approx 1/137.

Stała ta zwana stałą struktury subtelnej nabiera znaczenia w teorii relatywistycznej, jak zobaczymy niżej. Istnieje więc pewna liczba stanów o tej samej energii: wszystkie odpowiadają orbitom o tej samej dużej osi i różnym spłaszczeniu. Łatwo pokazać, że stosunek długości osi małej b i dużej a jest równy

\dfrac{b}{a}=\dfrac{n_{\varphi}}{n_r+n_{\varphi}}.

Sommerfeld wykluczył stany o zerowym momencie pędu, gdy tor elektronu jest odcinkiem o końcu w jądrze atomu. W ten sposób zamiast trzeciej orbity Bohra mamy zestaw okręgu i dwóch elips (jądro jest zawsze w ognisku elipsy). Mamy więc w ogólności wiele stanów o tej samej energii: zdegenerowanych.

sommerfeld 3

Nietrudno procedurę Sommerfelda uogólnić na przypadek relatywistyczny. Klasyczne elipsy ulegają teraz precesji. Nie jest to precesja Einsteina z ogólnej teorii względności, Sommerfeld, śledzący na bieżąco postępy Einsteina, doskonale wiedział o różnicy. Obliczył nawet, że w przypadku Merkurego precesja byłaby równa 7 sekund kątowych na stulecie.

p0347-sel

Rysunek z Atombau Sommerfelda

Wystarczy wstawić mc^2+E=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4} do równania na energię, E jest ujemną energią wiązania. Ponownie wyznaczając p_r i całkując warunek kwantowy, otrzymamy

E+mc^2=mc^2\left\{ 1+\dfrac{\alpha^2}{\left( n_r+\sqrt{n_{\varphi}^2-\alpha^2}\right)^2} \right\}^{-\frac{1}{2}}.

W bardziej przejrzystym przybliżeniu w postaci szeregu w stałej struktury subtelnej:

E\approx -mc^2\dfrac{\alpha^2}{2n^2}-mc^2\dfrac{\alpha^4}{2n^4}\left( \dfrac{n_r+n_\varphi}{n_{\varphi}}-\dfrac{3}{4}\right).

Wyniki te niewiele zmieniają się w teorii Diraca, należy tylko zastąpić n_{\varphi} przez j+\frac{1}{2}, gdzie j jest liczbą kwantową całkowitego momentu pędu z uwzględnieniem spinu. Oczywiście w roku 1916 o spinie jeszcze nikt nie słyszał. W elektrodynamice kwantowej wyniki uzyskuje się w postaci szeregu potęgowego względem \alpha. Dzięki takim rozwinięciom można elektrodynamikę potwierdzić z dokładnością kilkunastu cyfr znaczących.

 

(*) W przypadku współrzędnych uogólnionych pędy zdefiniowane są jako

p_i=\dfrac{\partial E_k}{\partial \dot{q_i}},

gdzie E_k jest energią kinetyczną, a \dot{q_i} pochodną czasową zmiennej q_i.

(**) Całki występujące w obu wersjach kwantowania Sommerfelda są postaci

{\displaystyle \oint \dfrac{dx}{x}\sqrt{-Ax^2+2Bx-C}=2\pi\left(\dfrac{B}{\sqrt{A}}-\sqrt{C}\right) }.

Współczynniki A,B,C są dodatnie i wyrażenie podcałkowe ma dwa miejsca zerowe. Można w tym przypadku znaleźć całkę nieoznaczoną i wziąć ją w odpowiednich granicach. Metoda elegancka to scałkowanie wyrażenia na płaszczyźnie zespolonej z rozcięciem wzdłuż osi rzeczywistej między dwoma pierwiastkami. Można też użyć pakietu Sagemath, Maxima albo Mathematica.

Widmo wodoru i symetrie (1/2)

I. Od Balmera do Bohra

Naszym bohaterem jest zbiór linii widmowych wodoru i proste wyrażenie, które go opisuje. Widmo składa się z serii, z których najbardziej znana jest seria Balmera przypadająca na obszar widzialny i bliski nadfiolet.

 

Długości fali w angstremach (1 {\rm \AA}=10^{-10} {\rm m}).

Jakob Balmer, znając długości czterech pierwszych linii, odgadł ukrytą w nich prawidłowość. Długości fal spełniają równanie

\lambda=h\,\dfrac{n^2}{n^2-4},\;\;n=3,4,5,6,

gdzie h jest stałą. Okazało się, że seria linii jest nieskończona, jeszcze za życia Balmera jego wzór potwierdził się dla kilkunastu linii. Okazało się też, że istnieją inne serie widmowe. Wszystkie można opisać wzorem

\dfrac{1}{\lambda}=R\left(\dfrac{1}{m^2}-\dfrac{1}{n^2}\right),\; n=m+1,\,m+2,\,\ldots,

gdzie m=1,2,3, \ldots, a stała R zwana jest stałą Rydberga. Co ważne, wzór Balmera, w tej wersji zwany najczęściej wzorem Rydberga, w przypadku wodoru spełniony jest bardzo dokładnie, choć jeszcze pod koniec XIX wieku zaobserwowano, że linie widmowe wodoru są naprawdę dubletami: parami bardzo blisko położonych linii. Tą tzw. strukturą subtelną nie będziemy się tu zajmować. Wyjaśnia ją równanie Diraca, a więc uwzględnienie efektów relatywistycznych oraz spinu elektronu. Efekty relatywistyczne są jednak poprawkami do energii rzędu \alpha^2, gdzie \alpha\approx\frac{1}{137} jest stałą struktury subtelnej, a więc pięć rzędów wielkości mniejszymi.

Postać wzoru Rydberga łatwo zrozumieć jako zapis zasady zachowania energii, jeśli posłużymy się pojęciem fotonu, wprowadzonym przez Alberta Einsteina w 1905 r. (określenie foton jest dużo późniejsze). Cząstki światła mają energię

E=h\nu=\dfrac{h c}{\lambda},

h, c, \nu oznaczają odpowiednio stałą Plancka, prędkość światła i częstość fotonu. Zatem wzór Rydberga oznacza, że poziomy energetyczne elektronu w atomie wodoru dane są równaniem

E_n=-\dfrac{hcR}{n^2},\,\, n=1,2,3,\ldots.

Dlaczego taka, a nie inna wartość R? Dlaczego pojawia się tu kwadrat liczby naturalnej? Tak proste wyrażenie powinno mieć jakieś uzasadnienie. 

Niels Bohr pierwszy podał teoretyczne wyjaśnienie wartości stałej Rydberga w swoim planetarnym modelu atomu. Energie elektronu na dozwolonych orbitach są w nim równe

E_n=-\dfrac{me^4}{2\hbar^2 n^2},

tutaj m oznacza masę elektronu, e^2=\frac{q_e^2}{4\pi\epsilon_0} to kwadrat ładunku elementarnego razy stała z prawa Coulomba, \hbar\equiv h/2\pi. Liczba naturalna n jest u niego po prostu numerem orbity i konsekwencją postulatu kwantowego:

L=mvr=n\hbar.

Słowami: moment pędu L elektronu na orbicie o promieniu r i prędkości v jest wielokrotnością stałej Plancka. Postulat ten nie wynikał z głębszych rozważań, trzeba go było przyjąć, aby otrzymać prawidłowe wyniki. Można powiedzieć, że Bohr przesunął zgadywankę Balmera z numerologii na teren fizyki.

Ogromnym sukcesem było powiązanie stałej Rydberga z wielkościami elementarnymi: masą i ładunkiem elektronu, stałą Plancka i siłą oddziaływań elektrostatycznych. Zawsze kiedy uda się tego rodzaju sztuka, znaczy, że jesteśmy blisko jakieś bardziej fundamentalnej prawdy. Jednak model Bohra od początku był prowizoryczny. W myśl klasycznej elektrodynamiki elektron krążący po orbicie z pewną częstością f powinien promieniować falę elektromagnetyczną o częstości f. Tymczasem w jego modelu do emisji promieniowania dochodzi, gdy elektron przeskakuje między dwiema orbitami, z których każda charakteryzuje się jakąś częstością krążenia f_n. Podobieństwo do fizyki klasycznej pojawia się dopiero, gdy weźmiemy dwie orbity o dużych numerach, wtedy

\nu_{n+1 n}\approx f_{n}\approx f_{n+1}.

Niels Bohr bardzo niechętnie pogodził się z ideą fotonu. Rozumiał oczywiście, że eksperyment potwierdza proste równanie h\nu=E_n-E_m, tajemnicą był jednak mechanizm fizyczny, jaki za tym stał. Nie znał go ani Einstein, ani Bohr, foton wszedł do fizyki na dobre dopiero w roku 1925. Teorią, która poprawnie przewiduje wartości energii w atomie wodoru, jest mechanika kwantowa. A w pełni konsekwentny opis emisji fotonu daje dopiero kwantowa teoria pola, w której foton jest kwantem pola elektromagnetycznego.

II. Erwin Schrödinger, 1925

W połowie roku 1925 Werner Heisenberg wpadł na pomysł, aby wprowadzić do fizyki wielkości, których mnożenie jest nieprzemienne: operatory albo macierze. W krótkim czasie powstały trzy na pozór niezależne formalizmy do opisania fizyki kwantowej: macierze Heisenberga (oraz Maksa Borna i Pascuala Jordana, którzy wraz z Heisenbergiem rozwinęli tę ideę), funkcje falowe Erwina Schrödingera oraz abstrakcyjny formalizm Paula Diraca.

Krótkie omówienie formalizmu mechaniki kwantowej znajduje się na końcu wpisu.

Wersja Schrödingera najbardziej przypominała klasyczną fizykę drgań. Aby znaleźć dozwolone energie elektronu należy rozwiązać równanie 

-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi-\dfrac{e^2}{r}\psi=E\psi,

gdzie r jest odległością od jądra, a \Delta to laplasjan, czyli suma drugich pochodnych:

\Delta\equiv \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}.

Wyraz z laplasjanem odpowiada energii kinetycznej, drugi wyraz po lewej stronie odpowiada energii potencjalnej. Szukamy takich funkcji \psi(x,y,z), które wstawione po lewej stronie dadzą po prawej liczbę pomnożoną przez tę samą funkcję \psi. Funkcja taka to funkcja własna, a energia jest wartością własną. Otrzymujemy w ten sposób stany niezależne od czasu, stacjonarne, i tylko takimi będziemy się zajmować.

Funkcje falowe \psi powinny znikać w nieskończoności oraz nie mieć osobliwości. Warunki te prowadzą do skwantowanych poziomów energetycznych. Ponieważ problem jest sferycznie symetryczny (energia potencjalna zależy tylko od odległości elektronu od protonu r), więc można wprowadzić współrzędne sferyczne: odległość od początku układu r, dopełnienie szerokości geograficznej do 90^{\circ} oznaczane \vartheta oraz długość geograficzną oznaczaną \varphi.

spherical

Korzystamy z tożsamości

\Delta\equiv \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}=\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \dfrac{\partial}{\partial r}\right)-\dfrac{L^2}{\hbar^2},

gdzie L^2 jest operatorem zależnym tylko od kątów, a nie od r. Możemy zapisać równanie Schrödingera w postaci

L^2 \psi=\hbar^2\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dfrac{\partial\psi}{\partial r}\right)+2mr^2\left(E+\dfrac{e^2}{r}\right)\psi.

Sama funkcja falowa nie musi być jednak sferycznie symetryczna i można ją zapisać w postaci iloczynu funkcji zależnych od promienia i od kątów:

\psi(r,\vartheta,\varphi)=R(r)Y(\vartheta,\varphi).

Podstawiając tę funkcję do równania Schrödingera i dzieląc obustronnie przez \psi możemy doprowadzić je do postaci:

\dfrac{L^2 Y}{Y}=\lambda=\dfrac{1}{R}\, \hbar^2\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dfrac{\partial R}{\partial r}\right)+2mr^2\left(E+\dfrac{e^2}{r}\right).

Po lewej stronie mamy funkcje zależne od kątów, po skrajnej prawej zależne od odległości. Rozseparowaliśmy zmienne, oba wyrażenia muszą równać się wspólnej stałej \lambda. Mamy więc dwa prostsze równania:

\begin{array}{c} -\dfrac{\hbar^2}{2m}\,\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dfrac{\partial R}{\partial r}\right)+\left(\dfrac{\lambda}{2m r^2}-\dfrac{e^2}{r}\right)R=ER \\[20pt] L^2 Y=\lambda Y. \end{array}

Drugie z tych równań nie zawiera potencjału i jest stałym punktem programu dla wszystkich sytuacji z symetrią sferyczną. Rozwiązaniami są tzw. harmoniki sferyczne Y_{lm}(\vartheta,\varphi), gdzie l=0,1,2,\ldots, a dla każdej wartości l mamy 2l+1 różnych wartości m=-l,-l+1,\ldots. l Dozwolone wartości własne równe są \lambda=\hbar^2 l(l+1). Kształt przestrzenny tych funkcji każdy widział jako obrazki orbitali s,p,d itd. Funkcje te przydają się zawsze, gdy mamy do czynienia z rozkładem jakiejś wielkości na sferze, np. mapy promieniowania tła w kosmologii albo szczegóły ziemskiego pola grawitacyjnego z uwzględnieniem niesferyczności Ziemi itp (Wtedy oczywiście nie pojawia się w tych wzorach stała Plancka, ale to szczegół techniczny).

Spójrzmy raz jeszcze na pierwsze równanie (radialne), w którym wprowadzamy nową funkcję radialną: u(r)\equiv rR(r):

-\dfrac{\hbar^2}{2m}\,\dfrac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\left(\dfrac{\hbar^2 l(l+1)}{2m r^2}-\dfrac{e^2}{r}\right)u=Eu.

Jest to równanie Schrödingera jednowymiarowe. mamy teraz jeden wymiar: radialny, ale bardziej skomplikowany potencjał: do energii elektrostatycznej doszedł dodatni człon z l(l+1). Jego znaczenie fizyczne dość łatwo zidentyfikować przez analogię do mechaniki klasycznej. W ruchu w polu kulombowskim możemy w każdej chwili rozłożyć wektor pędu elektronu na składową radialną p_r i prostopadłą do niego składową styczną p_t. Zgodnie z tw. Pitagorasa energia kinetyczna ma postać

E_k=\dfrac{p_r^2}{2m}+\dfrac{p_t^2}{2m}=\dfrac{p_r^2}{2m}+\dfrac{L^2}{2mr^2},

w ostatniej równości skorzystaliśmy z faktu, że moment pędu elektronu L=rp_{t}. Gdybyśmy dla takiego radialnego problemu napisali równanie Schrödingera, byłoby to właśnie równanie, które uzyskaliśmy w wyniku separacji zmiennych. Zatem dozwolone kwantowe wartości kwadratu momentu pędu są równe L^2=\hbar^2 l(l+1). Nie jest to, rzecz jasna, dowód, lecz wskazanie prawdopodobnej (i prawdziwej) interpretacji fizycznej naszego równania. Mamy więc efektywne potencjały zależne od nieujemnej całkowitej liczby kwantowej l. Wyglądają one w przypadku atomu wodoru następująco:

tmp_iispvexy

Studnia potencjału tylko w przypadku l=0 jest nieskończenie głęboka, wraz z rosnącym l staje się ona coraz płytsza. Nie będziemy rozwiązywać do końca tego równania radialnego. Okazuje się, że aby uzyskać funkcje znikające w nieskończoności i nie wybuchające w pobliżu r=0, rozwiązania mają postać

R_{nl}(r)=W_{n-1 l}(r)e^{-r/na_0},

gdzie n jest tzw. główną liczbą kwantową, a_0 promieniem Bohra (promieniem pierwszej orbity w modelu Bohra), a W jest wielomianem stopnia n-1. Dozwolone wartości l=0,1,\ldots, n-1. Prawdopodobieństwa dane są kwadratami funkcji falowej. Np. dla stanu podstawowego wodoru wygląda to tak.

tmp_72yjso5t

Pionowa linia wskazuje granicę obszaru dozwolonego klasycznie, tzn. takiego, że energia całkowita jest większa od energii potencjalnej (poza tym obszarem energia kinetyczna powinna być ujemna). Falowy charakter równania przejawia się w tym, że nic nie dzieje się nagle, funkcja zanika płynnie w pewnym obszarze. Fizycznie oznacza to możliwość przenikania barier potencjału, czyli efekt tunelowy, odpowiedzialny m.in. za świecenie gwiazd.

Energie stanów równe są dokładnie temu, co obliczył Bohr. Zależą one tylko od n, a nie zależą od wartości l, mimo że potencjał efektywny jest zupełnie inny przy różnych l. Łącznie danej wartości n odpowiada n^2 różnych rozwiązań. Bezpośrednie rozwiązanie równania Schrödingera nie bardzo pozwala zrozumieć, skąd się bierze aż taka rozmaitość. Te same energie powinniśmy otrzymywać dla jednakowego l i różnych wartości m, bo oznaczają one różne wartości rzutu momentu pędu na oś z. Zatem symetria obrotowa wyjaśnia tylko część degeneracji stanów w atomie wodoru. Jeśli weźmiemy pod uwagę potencjał inny niż kulombowski, to ta dodatkowa degeneracja zniknie: stany o różnych l rozszczepią się energetycznie. Tak jest np. w atomie litu, gdzie elektron walencyjny porusza się w efektywnym polu jądra oraz dwóch pozostałych elektronów. Z daleka mamy więc tylko ładunek (3-2)q_e=q_e, tak jak w atomie wodoru, z bliska jednak potencjał jest inny, choć nadal sferycznie symetryczny.

lithlev

Nawet po rozwiązaniu zagadnienia atomu wodoru za pomocą równania Schrödingera nadal niezbyt dobrze rozumiemy, dlaczego stany są zdegenerowane: E_{2s}=E_{2p}, E_{3s}=E_{3p}=E_{3d}, itd. W przyszłości pokażemy, że stany związane atomu wodoru wykazują  dodatkową symetrię i że łącznie grupą symetrii jest tu grupa obrotów w przestrzeni czterowymiarowej. Dopiero ten fakt wyjaśnia głębiej wzór Balmera.

Poniżej przedstawiłem niektóre szczegóły matematyczne dla zainteresowanych.

Zasady mechaniki kwantowej w przypadku jednej cząstki

Stany cząstki

Stan elektronu w formalizmie Schrödingera opisujemy za pomocą pewnej funkcji (zespolonej) falowej \psi(x,y,z,t). Rozmaite dopuszczalne funkcje można traktować jak wektory: dodawanie funkcji i mnożenie przez liczbę (zespoloną) daje inną dopuszczalną funkcję. Zbiorem funkcji może być np. zbiór funkcji znikających dostatecznie szybko w nieskończoności:

{\displaystyle \int_{{\bf R}^3}}\; |\psi(x,y,z)|^2 \, dV<\infty.

Określamy także operację iloczynu skalarnego dwóch funkcji:

(\psi,\chi)={\displaystyle \int_{{\bf R}^3}}\; \psi^{\star}\chi\, dV.

Iloczyn wektora przez siebie jest kwadratem jego długości, czyli normy:

\lVert \psi \rVert^2=(\psi,\psi)={\displaystyle \int_{{\bf R}^3}}\; |\psi(x,y,z)|^2 \,dV.

Definiując odległość dwóch wektorów \psi, \chi jako \Vert \psi-\chi\rVert otrzymujemy przestrzeń Hilberta (do definicji należy jeszcze dodać warunek zupełności: żeby ciągi zbieżne w normie nie wyprowadzały poza naszą przestrzeń).

Wielkości fizyczne

Wielkościom fizycznym odpowiadają operatory, czyli przekształcenia liniowe określone na przestrzeni funkcji. Liniowość oparatora A oznacza, że dla dowolnych dwóch wektorów \psi,\chi i dowolnych dwóch liczb zespolonych \alpha,\beta, mamy

A(\alpha \psi+\beta\chi)=\alpha A\psi+\beta A\chi.

Łatwo to sprawdzić w poszczególnych przypadkach, np. dla składowej x pędu otrzymamy: p_x(\psi_1+\psi_2)=p_x\psi_1+p_x\psi_2, bo pochodna sumy funkcji, to suma pochodnych itd. Operatory odpowiadające wielkościom fizycznym muszą być hermitowskie, tzn. dla dowolnych wektorów mamy

(\chi, A\psi)=(A\chi,\psi).

Warunek ten zapewnia, że mierzone wartości wielkości fizycznych są rzeczywiste, mimo że cały formalizm oparty jest na liczbach zespolonych.

Operatory można składać, czyli mnożyć, wykonując po prostu jedną operację po drugiej. Składając więc operator B i następnie operator A otrzymujemy AB, który działa następująco na wektor:

(AB)\psi=A(B\psi).

Jasne jest, że tak określone mnożenie operatorów na ogół jest nieprzemienne, tzn. wynik zależy od kolejności. W fizyce kwantowej szczególne znaczenie mają tzw. komutatory operatorów, zdefiniowane jako różnica między pomnożeniem ich w odmiennej kolejności: [A,B]=AB-BA.

Komutatory tej samej składowej współrzędnej i pędu nie komutują i muszą spełniać warunek odkryty przez Heisenberga:

[x,p_x]=i\hbar,

ale [x,p_y]=[x,p_z]=0. Komutują też między sobą operatory różnych składowych współrzędnej albo pędu. Z operatorów pędu i współrzędnych budować możemy operatory innych wielkości fizycznych, np. momentu pędu badź energii (hamiltonian). Wszystkie one muszą być hermitowskie. Szczególną rolę odgrywa hamiltonian H({\bf x},{\bf p}), gdyż określa ewolucję czasową układu. Spełnione musi być w każdej chwili równanie Schrödingera

i\hbar\dfrac{\partial\psi}{\partial t}=H\psi.

Gdy hamiltonian nie zależy od czasu, możemy szukać funkcji spełniających równanie 

H\chi=E\chi,

tzw. równanie Schrödingera bez czasu. Wówczas 

\psi(t)= \exp{\left(-\dfrac{iEt}{\hbar}\right)}\chi,

jest rozwiązaniem ogólniejszego równania Schrödingera. Ewolucja w czasie polega wówczas tylko na zmianie fazy zespolonej, jest to stan kwantowy o ustalonej energii, stan stacjonarny.

Postulat interpretacyjny

Wartość oczekiwana wielkości fizycznej A w stanie \psi dana jest równaniem

\langle A\rangle=\dfrac{(\psi,A\psi)}{(\psi,\psi)}.

Gdy używamy funkcji unormowanej (\psi,\psi)=1 z wyrażenia tego zostaje tylko licznik. Widzimy, że zawsze można funkcję falową pomnożyć przez dowolny niezerowy czynnik, nie zmieniając wyników doświadczenia. Jeśli interesuje nas pytanie, czy cząstka znajduje się w obszarze V możemy za operator A_V wziąć mnożenie przez funkcję charakterystyczną tego obszaru (równą 1 dla {\bf x}\in V oraz 0 poza obszarem), wtedy prawdopodobieństwo znalezienia cząstki wenątrz V dane jest

Pr(V)={\displaystyle \int_V}|\psi|^2\, dV.

(Zakładamy unormowanie funkcji \psi.)

Widać też szczególną rolę wektorów i stanów własnych. Jeśli spełnione jest równanie 

A\psi=a\psi,

to mówimy, że funkcja \psi jest wektorem własnym, a wartość a wartością własną. Z postulatu interpretacyjnego wynika, że w wyniku pomiaru wielkości A otrzymamy wartość a. A więc w tym przypadku wielkość fizyczna przyjmuje ściśle określoną wartość, nie ma żadnego kwantowego rozmycia. Łatwo zauważyć, że tylko w takim przypadku możemy mówić o ściśle określonej wartości wielkości fizycznej. Tworząc operator (A-a)^2 widzimy, że

\langle (A-a)^2\rangle=0 \Leftrightarrow A\psi=a\psi.

W sytuacji takiej nie ma żadnego rozrzutu wyników, otrzymujemy zawsze tylko i wyłącznie wartość a.

Dwa fakty matematyczne

Gdy pewien stan \psi jest jednocześnie stanem własnym dwóch operatorów A\psi=a\psi oraz B\psi=b\psi, to operatory te komutują na tym stanie:

AB\psi=Ab\psi=ab\psi=ba\psi=BA\psi.

Z kolei stany należące do różnych wartości własnych danego operatora A są ortogonalne, tzn. gdy A\psi=a\psi oraz A\chi=b\chi, to mamy

a(\psi,\chi)=(A\psi,\chi)=(\psi, A\chi)=b(\psi,\chi) \Leftrightarrow (a-b)(\psi,\chi)=0.

Szczegóły matematyczne problemu atomu wodoru

Laplasjan

Dla laplasjanu mamy tożsamość:

\Delta\equiv \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}=\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \dfrac{\partial}{\partial r}\right)-\dfrac{({\bf x}\times {\bf \nabla})^2}{\hbar^2},

Najłatwiej sprawdzić to we współrzędnych kartezjańskich, licząc operator ({\bf x}\times {\bf \nabla})^2 i wyrażając operator r\frac{\partial}{\partial r} przez pochodne kartezjańskie:

r\dfrac{\partial }{\partial r}=x\dfrac{\partial }{\partial x}+y\dfrac{\partial }{\partial y}+z\dfrac{\partial }{\partial z},

gdzie korzystamy wielokrotnie z równości r^2=x^2+y^2+z^2. Podobnie możemy obliczyć kwadrat operatora po lewej stronie.

Moment pędu

Procedura przejścia do mechaniki kwantowej polega na zastąpieniu każdej zmiennej fizycznej odpowiednim operatorem. Każdą ze współrzędnych x,y,z zastępujemy mnożeniem przez odpowiednią współrzędną. Działając na funkcję \psi dają one nowe funkcję, x\psi,y\psi, z\psi. Podobnie operatory składowych pędu działając na funkcję, dają pochodne, \frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial x} itd. 

W przypadku atomu wodoru z punktowym protonem w początku układu dowolny obrót wokół początku układu nie powinien zmieniać fizyki. W fizyce klasycznej oznacza to, że moment pędu układu jest stały. Jest on zdefiniowany jako

{\bf L}={\bf x} \times {\bf p}, \, \Leftrightarrow L_x=y p_z-z p_y, \, L_y=z p_x-x p_z, \, L_z=x p_y-y p_x,

w ostatnich trzech równaniach możemy cyklicznie przestawiać wskaźniki x\rightarrow y\rightarrow\ z\rightarrow x \ldots. Krócej zapisać można te związki w postaci:

L_i=\varepsilon_{ijk}x_jp_k,

gdzie zamiast x,y,z piszemy x_i, a symbol całkowicie antysymetryczny \varepsilon_{123}=1 i zmienia znak przy każdym przestawieniu dwóch wskaźników oraz \varepsilon_{ijk}=0, gdy jakieś wskaźniki się powtarzają. Zakładamy sumowanie po każdej parze powtarzających się wskaźników.

W mechanice kwantowej operatory L_i tworzymy dokładnie tak samo, tyle że teraz musimy pamiętać, że kolejność operatorów może być istotna. Operatory momentu pędu komutują z hamiltonianem atomu wodoru:

[H,L_i]=0,

Także operator kwadratu momentu pędu L^2=L_1^2+L_2^2+L_3^2 komutuje z hamiltonianem, a także z poszczególnymi składowymi momentu pędu:

[L^2,H]=0,\;\; [L^2,L_i]=0, \,\, i=1,2,3.

Jednakże operatory L_i nie komutują ze sobą:

[L_i,L_j]=i\hbar\varepsilon_{ijk} L_k.

Maksymalnym zbiorem komutujących operatorów jest więc H, L^2 oraz jedna z trzech składowych momentu pędu. Standardowo wybiera się tu L_3\equiv L_z. Możemy więc szukać funkcji własnych hamiltonianu, które będą zarazem funkcjami własnymi L^2 oraz L_3.

Wprowadzimy współrzędne sferyczne punktu,  Łatwo sprawdzić, że operatory momentu pędu zależą tylko od kątów, nie od r  Np.

L_3=\dfrac{\hbar}{i} \dfrac{\partial}{\partial \varphi}.

Możemy to sprawdzić, korzystając z wyrażeń na współrzędne kartezjańskie:

\left\{ \begin{array}{l} x=r\sin\vartheta\cos\varphi \\ y=r\sin\vartheta\sin\varphi \\ z=r\cos\vartheta. \end{array}\right.

Obliczamy, stosując wzór na pochodną funkcji złożonej:

\dfrac{\partial}{\partial \varphi}=\dfrac{\partial x}{\partial \varphi}\dfrac{\partial}{\partial x}+\dfrac{\partial y}{\partial \varphi}\dfrac{\partial}{\partial y}=-y\dfrac{\partial}{\partial x}+x\dfrac{\partial}{\partial y}.

W pozostałych składowych momentu pędy odległość r pojawia się raz w liczniku, a drugi raz w mianowniku przy różniczkowaniu, ostatecznie zostają wyrażenia zależne wyłącznie od kątów \vartheta, \varphi. Wracając do naszego równania z głównego tekstu:

L^2 \psi=\hbar^2\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dfrac{\partial\psi}{\partial r}\right)+2mr^2\left(E+\dfrac{e^2}{r}\right)\psi.

Funkcja falowa \psi powinna być w pobliżu początku układu analityczna, tzn. zachowywać się jak wielomian stopnia l (może być stała, wtedy l=0) plus wyrazy wyższego stopnia. Można ją w pobliżu r=0 zapisać jako \psi=r^{l}Y(\frac{ {\bf x}}{r}) – wyłączyliśmy przed funkcję wszystkie potęgi r, pozostała część jest funkcją wektora jednostkowego, tzn. zależy tylko od kierunku. Drugi składnik po prawej stronie zawiera r w potęgach wyższych niż l-2, jest więc do pominięcia blisko początku układu. Obliczając pierwszy składnik po prawej stronie, dostaniemy

L^2 Y \rightarrow \hbar l(l+1) Y.

Funkcje własne kwadratu momentu pędu to wielomiany jednorodne (wszystkie składniki są tego samego stopnia  l) zmiennych x,y,z. Łatwo sprawdzić, że spełniają one warunek

\Delta(r^l Y)=0.

Funkcje Y_{lm} nazywane są harmonikami sferycznymi. Drugi wskaźnik informuje o wartości L_3\equiv L_z. Dla l=1 mamy funkcje (nie wypisujemy stałych normalizacyjnych), tzw. orbitale p:

\left\{ \begin{array}{l} Y_{1\pm 1} \sim\dfrac{x\pm iy}{r}= \sin\vartheta e^{\pm i\varphi}\\[5pt] Y_{10} \sim\dfrac{z}{r}=\cos\vartheta.\end{array}\right.

Dla l=2 otrzymujemy pięć orbitali d:

\left\{ \begin{array}{l} Y_{2\pm 2} \sim\dfrac{(x\pm iy)^2}{r^2}= \sin^2\vartheta e^{\pm i2\varphi}\\[8pt]Y_{2\pm 1} \sim\dfrac{(x\pm iy)z}{r^2}=\sin\theta\cos\vartheta e^{\pm i\varphi}\\[8pt] Y_{20}\sim \dfrac{2z^2-x^2-y^2}{r^2}=3\cos^2\vartheta-1.\end{array}\right.

Czynnik e^{im\varphi} określa wartość składowej z momentu pędu:

\dfrac{\hbar}{i}(e^{im\varphi})=m\hbar e^{im\varphi}.

Dla każdej wartości l mamy 2l+1 dopuszczalnych wartości L_z. Stany te powinny mieć taką samą energię.

 

 

Nagroda Nobla dla Einsteina: polityka i pieniądze

Einstein był przekonany, że prędzej czy później otrzyma Nagrodę Nobla. W 1918 r. zaproponował pieniądze z Nagrody swej pierwszej żonie Milevie jako fundusz zabezpieczający przyszłość synów. Oferta ta miała ją skłonić do zgody na rozwód, którego wciąż mu odmawiała, mimo że od 1914 roku mieszkali w innych krajach: ona w Szwajcarii, on w Niemczech. Einstein chciał uregulować prawnie swój związek z kuzynką Elsą Einstein, która miała dwie dorosłe córki z poprzedniego małżeństwa. Już teraz zaproponował Milevie 40 000 marek jako zaliczkę na poczet przyszłej Nagrody.

Czy rzeczywiście mógł się spodziewać Nagrody Nobla? Był niewątpliwie najwybitniejszym uczonym tamtego okresu i całej pierwszej ćwierci wieku XX. Jego dorobek był przy tym różnorodny, oprócz teorii względności: szczególnej i ogólnej obejmował początki fizyki kwantowej: cząstki światła (dziś zwane fotonami), skwantowane drgania kryształów (zwane fononami), teorię promieniowania (z której wyprowadza się działanie lasera), miała jeszcze do tego dojść kondensacja Bosego-Einsteina, przykład przemiany fazowej możliwej tylko dzięki kwantowej naturze materii. A do tego jeszcze teoria ruchów Browna, dzięki której ponad wszelką wątpliwość stwierdzono istnienie atomów (w tej dziedzinie równolegle do Einsteina z powodzeniem pracował Marian Smoluchowski zmarły przedwcześnie w 1917 roku). Z tego materiału dałoby się wykroić kilka porządnych Nagród Nobla, spora część tych osiągnięć miała potwierdzenie doświadczalne: Robert Millikan wykazał słuszność równania Einsteina dla zjawiska fotoelektrycznego, pomiary Walthera Nernsta i innych wskazywały, że drgania kryształów są skwantowane, a Jean Perrin zbadał szczegółowo ruchy Browna. No i w roku 1919 Arthur Eddington zmierzył ugięcie promieni świetlnych w pobliżu Słońca. Można powiedzieć, że nie było w historii tej nagrody uczonego, któremu bardziej by się ona należała.

Społeczność naukowa zdawała sobie z tego sprawę: od roku 1910 był Einstein nominowany do Nagrody Nobla regularnie (z wyjątkiem lat 1911 i 1915), z czasem przez coraz większą liczbę uczonych. Komitet Noblowski (udzielający rekomendacji z danej dziedziny), a także Akademia Królewska (która zatwierdza kandydatury, ale czasem zgłasza i zatwierdza własnych kandydatów) nie mogły więc nie zdawać sobie sprawy z jego pozycji w świecie naukowym. Szwedzcy uczeni mieli silne związki ze światem niemieckim, wydawałoby się, że powinno to faworyzować kandydata z Berlina. Jednak nie takiego kandydata Szwedzi pragnęli. Faworyzowali oni tradycyjnie badania doświadczalne, wielu akademików wciąż wierzyło, że tylko fakty eksperymentalne mają znaczenie, a wyszukane, by nie powiedzieć: wydumane, teorie stanowią jedynie zbędną nadbudowę. W dodatku ich sympatie polityczne były wyraźnie prawicowe i nacjonalistyczne, choć Szwecja była podczas wojny neutralna. Einstein niezbyt pasował do wizerunku statecznego profesora służącego własnemu krajowi: był zbyt bezkompromisowy i nonkonformistyczny, w dodatku deklarował się jako pacyfista. Toteż pierwsza uroczystość noblowska po wojnie, w czerwcu 1920 roku, doborem laureatów sprawiała raczej wrażenie rewanżystowskie.

11821-landscape-gallery

filmik z roku 1920

Mamy tu od lewej: Fritza Habera (chemia, 1918), Charlesa Glovera Barklę (fizyka, 1917), Maksa Plancka (fizyka, 1918), Richarda Willstättera (chemia, 1915), Johannesa Starka (fizyka, 1919) i Maksa von Laue (fizyka, 1914), wszyscy prócz wdowca Willstättera w towarzystwie małżonek. Niewątpliwie przeważają Niemcy, a także eksperymentatorzy,  teoretykami są tu Planck i von Laue. Nagroda dla Habera, pomysłodawcy i gorliwego wykonawcy broni chemicznej, była jawną prowokacją, choć przyznano mu ją za proces Habera-Boscha ważny w produkcji nawozów dla rolnictwa (dzięki temu samemu procesowi Niemcy mogły prowadzić latami wojnę mimo odcięcia od chilijskiej saletry). Planck otrzymał nagrodę mocno już spóźnioną, ale był najbardziej szanowanym fizykiem w Niemczech i nie sposób było go pominąć. Max von Laue został nagrodzony za dyfrakcję rentgenowską (choć nie on przeprowadził eksperymenty), Stark za prace doświadczalne wybitne wprawdzie, ale z pewnością nie przełomowe – za jego kandydaturą stał Philipp Lenard, także eksperymentator i podobnie jak Stark skrajny nacjonalista. Osobliwym przypadkiem jest Barkla – jedyny przedstawiciel Ententy, Brytyjczyk, znany z prac nad widmami rentgenowskimi, lecz wówczas już raczej na marginesie, głoszący dziwne i słabo umotywowane poglądy na temat tzw. zjawiska J. Pozostały one na zawsze w obszarze niesprawdzonych i nie potwierdzonych spekulacji. Zgłosił go Ernest Rutherford, ale był to jeden z tych laureatów, o których szybko i zasłużenie zapomniano.

W roku 1920, a więc wkrótce po obserwacjach Eddingtona, raport na temat Einsteina przygotował Svante Arrhenius, wybitny fizykochemik, twórca teorii dysocjacji elektrolitycznej, który był zwolennikiem panspermii – idei, iż zarodki życia przybyły z kosmosu. Arrhenius sądził, że mogły być przenoszone przez ciśnienie promieniowania gwiazd. Dziś pamiętany jest także jako pionier badania wpływu CO2 w atmosferze na temperaturę Ziemi. Jak widzimy, zainteresowania Arrheniusa były wprawdzie szerokie, lecz odległe od fizyki fundamentalnej. Jego raport przynosił dyskusję trzech efektów obserwacyjnych przewidywanych przez teorię względności: precesji peryhelium Merkurego (potwierdzona), ugięcia światła w pobliżu tarczy Słońca (jego zdaniem: efekt nie potwierdzony jednoznacznie ze względu na duże błędy obserwacji) oraz grawitacyjnego przesunięcia ku czerwieni (efekt zaobserwowany dopiero w 1959 roku przez Roberta Pounda i Glena Rebkę, gdy dzięki zjawisku Mößbauera, otrzymano bardzo wąskie linie widmowe). Arrhenius nie był przekonany, reszta Komitetu i Akademii także nie, kandydatura Einsteina nie została nawet poddana pod głosowanie. Dodatkowo był to rok kampanii antyeinsteinowskiej prowadzonej przez Lenarda, Starka i tyleż nieprzejednanego co niekompetentnego w tej dziedzinie Ernsta Gehrckego (specjalistę od spektroskopii). Nagrodę Nobla za rok 1920 przyznano Szwajcarowi, Charlesowi Édouardowi Guillaume, dyrektorowi Międzynarodowego Biura Miar i Wag za odkrycie inwaru, stopu żelaza i niklu o bardzo niskim współczynniku rozszerzalności. Było to odkrycie bez wątpienia pożyteczne, pozwalało bowiem na budowę dokładniejszych zegarów wahadłowych, choć jak dziś wiemy, zegary wahadłowe nie miały przed sobą wielkiej przyszłości w roku 1920. Dokładne pomiary – choćby nawet nic z nich nie wynikało – były jednak ideałem bliskim szwedzkim uczonym. Oczywiście, pomiary jako informacja o zachowaniu przyrody są bezcenne, ale ponieważ nie można zmierzyć zależności wszystkiego od wszystkiego, warto wybierać wielkości, których pomiar autentycznie rozwija wiedzę, a nie tylko zapełnia tablice Landolta-Börnsteina. Nagroda w dziedzinie chemii trafiła znacznie bardziej fortunnie do Walthera Nernsta.

W roku 1921 aż czternastu uczonych (na trzydziestu dwóch) wskazało kandydaturę Einsteina. Jako jedyny Einstein otrzymał nominacje z obu stron niedawnego konfliktu, mimo że panowała naukowa zimna wojna i Niemcy byli izolowani, zwłaszcza przez Anglików i Francuzów, od udziału w konferencjach, międzynarodowych komitetach itp. Alianci wciąż nie mogli zapomnieć niemieckich zbrodni wojennych: chloru i gazu musztardowego, zatapiania statków  pasażerskich przez U-booty, a także wystosowaniem orędzia Do cywilizowanego świata, podpisanego przez 93 niemieckich luminarzy i zaprzeczającego oczywistym faktom. Einsteina, który nie podpisał owego fatalnego dokumentu i znany był z pacyfizmu, traktowano inaczej niż jego kolegów niemieckich (co zresztą rodziło trudności i napięcia w jego stosunkach z krajowymi kolegami, na ogół przepojonymi żądzą odwetu za wojnę). Zadania oceny dorobku Einsteina tym razem podjął się Allvar Gulstrand, oftalmolog i laureat Nagrody z medycyny. Zajmował się on optyką wzroku i miał w tej dziedzinie osiągnięcia, np. ulepszenie lampy szczelinowej, do dziś używanej przez okulistów. Czuł się jednak mocny także w fizyce matematycznej. 

allvar-gullstrand-68126cb2-b5ab-49c3-93a0-15fc2a843c5-resize-750

Gullstrand opublikował w 1921 r. pracę, w której odkrył inną postać metryki dla sferycznie symetrycznego ciała w teorii względności. Jest to bardzo ważny przypadek, bo dotyczy typowej sytuacji astrofizycznej. Pierwsi rozwiązania takie uzyskali Karl Schwarzschild i niezależnie od niego Johannes Droste. Za pomocą nowej metryki, dziś zwanej metryką Painlevégo-Gullstranda, szwedzki profesor usiłował dowieść, że teoria Einsteina nie daje jednoznacznych przewidywań, a nawet można w niej otrzymać dowolną wielkość precesji peryhelium Merkurego w zależności od pewnej arbitralnie przyjętej stałej całkowania. Nie jest to prawda. Sytuacja była już w tamtym czasie dość dobrze rozpoznana i równania Einsteinowskie rozwiązywali w swoich wykładach i książkach m.in. wybitni matematycy tacy, jak David Hilbert i Hermann Weyl. Trudno się było spodziewać, że i oni, i Max von Laue, który także napisał książkę poświęconą teorii Einsteina, nie dostrzegli elementarnego błędu. Na publikację Gullstranda zareagował zresztą jego rodak, w dodatku fizyk teoretyczny, Carl Wilhelm Oseen, który zauważył słusznie, że w teorii względności z zasady nie ma jednego układu współrzędnych, ponieważ obowiązuje ogólna kowariancja, tzn. równania słuszne są w dowolnych współrzędnych. W związku z tym nie wolno przypisywać wybranym współrzędnym jakiegoś szczególnego znaczenia fizycznego, są one tylko swego rodzaju etykietami, które nie mogą wpływać na obserwowane zjawiska. 

carl-wilhelm-oseen-9dd0178c-b8e5-4800-9819-7f37e5753c9-resize-750

Gullstrand nie dawał się jednak nikomu przekonać i miał ponoć stwierdzić, że „Einstein nie może dostać Nagrody Nobla, choćby nawet cały świat się tego domagał”. Jego zdecydowana postawa przeważyła tym łatwiej, że większość akademików i tak nie miała ochoty przyznawać nagrody Einsteinowi. W roku 1921 nagrody z fizyki nie przyznano, odkładając decyzję na rok następny. 

W roku 1922 sytuacja nieco się zmieniła. Teraz do Komitetu Noblowskiego dołączył Oseen i zaczął prowadzić misterną grę. Nie był on wielkim zwolennikiem Einsteina, choć jako teoretyk lepiej sobie zdawał sprawę z wysokiej pozycji uczonego. Celem Oseena było jednak zapewnienie nagrody Nielsowi Bohrowi za jego model atomu. Duńczyk potrzebował pieniędzy na rozwinięcie swego instytutu w Kopenhadze, powszechnie zresztą sądzono, że nagroda mu się należy. Ponieważ jednak praca Bohra pochodziła z roku 1913 i Duńczyk był w stosunku do Einsteina już młodszym pokoleniem fizyków, Oseen zadbał, aby przyznano nagrodę zarówno Einsteinowi, jak i Bohrowi. W przypadku Einsteina obrał sprytną strategię, by ograniczyć się do jednej tylko pracy, lecz dobrze potwierdzonej przez doświadczenie. Chodziło o równanie zjawiska fotoelektrycznego. Eksperyment potwierdzał równanie Einsteina i można było na chwilę zapomnieć o leżącej u podstaw tego równania teorii, że światło ma naturę cząstkową. Równanie w każdym razie było słuszne i Oseen skoncentrował się na tym jednym punkcie. Strategia ta przyniosła podwójny sukces: postanowiono przyznać Einsteinowi nagrodę za rok 1921, a Bohrowi za rok 1922. 

Wczesną jesienią 1922 roku zaczęto Einsteinowi dawać do zrozumienia, że być może powinien zarezerwować czas, aby w grudniu udać się do Sztokholmu. Uczony zignorował te aluzje i wybrał się na wcześniej zaplanowaną turę odczytów do Japonii. Gdy oficjalnie ogłoszono przyznanie obu nagród z fizyki, był na morzu między Hong Kongiem a Szanghajem. Nie uważał za stosowne odnotować otrzymania Nagrody Nobla w dzienniku podróży, który prowadził. Najprawdopodobniej niezbyt go to obeszło, a poza tym pieniądze obiecał już Milevie. Wkrótce pochłonęły go egzotyczne wrażenia z Japonii, gdzie na Święcie Chryzantem stał się większą atrakcją niż cesarzowa. Podczas oficjalnej uroczystości 10 grudnia 1922 roku Svante Arrhenius następująco przedstawił osiągnięcia Einsteina:

Nie ma prawdopodobnie wśród żyjących współcześnie fizyków nikogo, kogo imię znane by było tak szeroko, jak imię Alberta Einsteina. Dyskusje koncentrują się przeważnie na jego teorii względności. Ma ona związek z epistemologią i dlatego była przedmiotem ożywionej debaty w kręgach filozoficznych. Nie jest sekretem, iż sławny filozof Bergson z Paryża kwestionuje tę teorię, podczas gdy inni filozofowie popierają ją całkowicie. Teoria ta posiada także implikacje astronomiczne, które są obecnie sprawdzane w dokładny sposób.

Tradycjonalistyczny upór Akademii Szwedzkiej sprawił ostatecznie, że Einstein otrzymał Nagrodę Nobla za swoją najbardziej wizjonerską pracę dotyczącą fotonów (nawet Planck sądził, że Einstein posunął się w niej zbyt daleko, co pokazuje, jak bardzo młody Einstein wyprzedzał poglądy kolegów). Dyplom i medal odebrał ambasador Niemiec, który okazał się bardziej asertywny od ambasadora Szwajcarii (Einstein wciąż uważał się za obywatela Szwajcarii). Dopiero w styczniu 1923 roku Einstein oficjalnie podziękował za przyznanie mu Nagrody Nobla, pisząc do Arrheniusa: „Bardzo się cieszę, między innymi dlatego, że nie będą mnie już z wyrzutem pytać: «Czemu nie dostał pan Nagrody Nobla?»”

Warunkiem otrzymania pieniędzy z Nagrody jest poprowadzenie wykładu. Arrhenius zaprosił Einsteina do Göteborga na odbywający się latem zjazd skandynawskich przyrodników i zaproponował mu, by na temat wykładu wybrał nie zjawisko fotoelektryczne, lecz teorię względności. Einstein uprzejmie się zgodził, choć opowiedział głównie o swojej nowej wersji jednolitej teorii pola. Jak zawsze, najbardziej interesowała go praca, którą się w danym momencie
zajmował. W odczycie wygłoszonym do dwóch tysięcy słuchaczy, wśród których znajdował się król Szwecji, Einstein streścił obie teorie względności. Przedstawił też „będący obecnie przedmiotem żywego zainteresowania problem identyczności pola grawitacyjnego i pola elektromagnetycznego. Umysł dążący do unifikacji teorii nie może być  usatysfakcjonowany tym, że istnieją dwa pola, które są całkowicie od siebie niezależne. Poszukiwana jest  matematycznie jednolita teoria, w której pole grawitacyjne i pole elektromagnetyczne będą interpretowane jako różne składowe czy przejawy tego samego jednolitego pola (…) W szczególności teoria pola, moim zdaniem, może być  zadowalająca tylko wówczas, gdy dopuszczać będzie elementarne ciała elektryczne jako rozwiązania wolne od osobliwości”. Był to program badawczy uczonego na następne trzydzieści lat. Fizyka poszła za Bohrem.

Pieniądze z Nagrody – równowartość swych dziesięcioletnich zarobków – rzeczywiście przekazał Milevie, która kupiła najpierw jeden, a potem dwa kolejne domy w Zurychu. Mileva nie miała żyłki do interesów i inwestycje te okazały się raczej kosztowną klapą. Einstein z daleka próbował jej pomagać, głównie ze względu na synów, z których młodszy Eduard trafił do zakładu psychiatrycznego i jego utrzymanie sporo kosztowało. Uczony po wyjeździe do Stanów Zjednoczonych stracił większość swego europejskiego majątku, który skonfiskowali naziści. Żeby kupić w Princeton słynny domek przy Mercer Street 112, musiał zorganizować specjalną aukcję jednego ze swych rękopisów. 

Ugięcie światła gwiazd w pobliżu Słońca (Praga 1911-Berlin 1915, z Zurychem po drodze)

W Pradze Einstein wrócił po kilkuletniej przerwie do problemu grawitacji. Pierwszą pracą opublikowaną w Pradze było obliczenie kąta odchylenia promienia światła przechodzącego w pobliżu Słońca. Przewidywana wartość wynosiła 0,87 sekundy kątowej i można było mieć nadzieję, że astronomowie będą potrafil zmierzyć ten niewielki kąt. Rozważania Einsteina nad polem grawitacyjnym w teorii względności znalazłyby wówczas oparcie w obserwacjach.
Czemu światło w polu grawitacyjnym miałoby się odchylać? Odpowiedź na to pytanie była łatwa aż do początku wieku XIX. Uważano bowiem wtedy za Newtonem, iż światło jest strumieniem cząstek o wielkiej prędkości. Byłoby więc naturalne, że cząstki owe są przyciągane przez Słońce, tak samo jak każdy inny rodzaj materii. Wielkość takiego ugięcia obliczyli Johann Georg von Soldner (1804), a przed nim Henry Cavendish (ok. 1784, niepublikowane), w którego papierach znaleziono ścisły wzór na odchylenie cząstki poruszającej się po orbicie hiperbolicznej. Promienie biegnące przy krawędzi Słońca powinny odchylać się o 0,87 sekundy kątowej. Jak obliczyć wielkość Newtonowską odchylenia, pokazuję tutaj.

Jednak od początku XIX wieku światło uważano za falę i nie było widać żadnego konkretnego powodu, by grawitacja zakłócała bieg takich fal. A ponieważ kąt 0”,87 jest bardzo niewielki, więc nie próbowano nawet sprawdzić obserwacyjnie, czy efekt ten istnieje. Praca Soldnera została całkowicie zapomniana.

Punktem wyjścia Alberta Einsteina była zasada równoważności, spostrzeżenie, które uważał później za najszczęśliwszą myśl swego życia. Chodziło o związek pola grawitacyjnego z przyspieszeniem. Jeśli znajdziemy się w statku kosmicznym, który nie ma włączonych silników, doznajemy stanu nieważkości: wewnątrz naszego statku grawitacja jest „wyłączona”. Dokonując obserwacji w kabinie takiego statku, zauważymy, że obowiązuje w nim I zasada dynamiki: ciała, na które nie działają żadne siły, poruszają się ruchem jednostajnym i prostoliniowym. Inaczej mówiąc, układ odniesienia związany ze statkiem kosmicznym jest układem inercjalnym. Teoria względności sformułowana przez Einsteina w roku 1905 dotyczyła właśnie takich układów odniesienia. Zasada równoważności mówi także, że kiedy włączymy silniki naszego statku kosmicznego i zaczniemy poruszać się z przyspieszeniem, astronauta odczuje to jako „włączenie” pola grawitacyjnego. Promień światła biegnący prostoliniowo w układzie inercjalnym, w układzie przyspieszonym będzie się zakrzywiał. A ponieważ układ przyspieszony jest fizycznie równoważny polu grawitacyjnemu, więc należy oczekiwać, że w polu grawitacyjnym promień światła ulegnie zakrzywieniu.

Lokalne zakrzywienie promienia będzie zresztą dokładnie takie, jakby światło było newtonowską cząstką w polu grawitacyjnym. Można do niego zastosować wzór opisujący zwykły rzut paraboliczny (*). Einstein w roku 1911 zastosował zasadę równoważności w połączeniu z geometrią euklidesową, ponieważ aż do listopada 1915 roku nie zdawał sobie sprawy, że w zagadnieniu tym ważne okaże się także zakrzywienie 3-przestrzeni.

W przypadku fali zmiana kierunku wiąże się ze zmianą prędkości rozchodzenia. Einstein musiał więc przyjąć, że zasada stałości prędkości światła w próżni – jeden z fundamentów szczególnej teorii względności – nie obowiązuje w sposób absolutnie ścisły. Prędkość światła miała się nieco zmieniać zależnie od położenia w polu grawitacyjnym. Zależność była następująca:

c(h)\approx c(0)\left(1+\dfrac{ah}{c^2}\right),

tzn. na wysokości h prędkość światła jest nieco większa. Wielkość ah jest to potencjał pola grawitacyjnego – wielkość, która pomnożona przez masę m cząstki daje jej energię potencjalną (w polu o przyspieszeniu grawitacyjnym a energia potencjalna równa jest mah). Naruszając przyjętą wcześniej przez siebie samego zasadę stałości prędkości światła, Einstein wykazywał się odwagą, której nie brakowało mu także i później, nie był nigdy niewolniczo przywiązany do własnych pomysłów. W tym przypadku pakował się w kłopoty, które dopiero stopniowo sobie uświadamiał. Szczególna teoria względności była zbyt ważna, by ją poświęcać. Intuicja mówiła mu jednak, że także zasada równoważności powinna być słuszna. Zgodnie z nią, światło wysłane do góry w polu grawitacyjnym powinno mieć w punkcie odbioru częstość mniejszą niż w punkcie wysłania. Częstość to liczba okresów w jednej sekundzie, a więc jedna sekunda na górze zawiera mniej okresów fali niż na dole. Sekunda jest więc na górze krótsza, a odmierzany takimi sekundami czas płynie szybciej. Mamy tu do czynienia z dwoma rodzajami czasu.

Pierwszym jest czas własny mierzony np. za pomocą zegara atomowego, czyli częstości jakiejś określonej linii widmowej. Światło biegnące z dołu do góry w polu grawitacyjnym będzie miało tak mierzoną częstość mniejszą u góry niż miało w chwili wysłania na dole.

Drugim rodzajem czasu jest współrzędna czasowa. Jeśli pole grawitacyjne jest statyczne, to odstępy czasu mierzone współrzędną czasową (za pomocą czasu współrzędnościowego, jak się czasem mówi) między jednakowymi sygnałami (cząstkami) wysyłanymi w punkcie 0 i odbieranymi w punkcie h powinny być jednakowe. Kiedy popatrzymy na wykres czasoprzestrzenny (poniżej), stanie się jasne dlaczego. W sytuacji statycznej linia świata cząstki nie powinna zależeć od tego, w jakiem momencie zostanie ona wysłana, bo fizyka nie zależy od czasu. mamy więc taką samą krzywą przesuniętą jedynie w czasie (współrzędnościowym). Takie liczenie czasu ma sens, jeśli chcemy porównywać, co dzieje się w różnych punktach.

Z rysunku widać, że okres (i częstość) światła mierzony czasem współrzędnościowym będzie taki sam na każdej wysokości. Aby pogodzić te dwa sposoby liczenia czasu, musimy przyjąć, że odstęp czasu własnego \Delta\tau odpowiadający danemu \Delta t jest na wysokości h równy

\Delta\tau=\Delta t \left(1+\dfrac{ah}{c^2}\right).

Pole grawitacyjne zmienia więc przelicznik jednego czasu na drugi. Czas współrzędnościowy związany jest z globalną sytuacją, umożliwia nam porównania miedzy różnymi punktami, nie mierzymy go bezpośrednio. Czas własny natomiast to będzie zawsze czas mierzony w danym punkcie za pomocą standardowego zegara. Prędkość światła wyrażona w czasie własnym jest zawsze równa c i tego nie zmienia żadne pole grawitacyjne. Natomiast prędkość światła wyrażona za pomocą współrzędnej czasowej może zmieniać się od punktu do punktu i tak należy rozumieć wzór wyżej opisujący zmiany prędkości światła.

W pierwszej pracy wysłanej z Pragi odchylenie promienia świetlnego obliczone jest na podstawie zasady Huyghensa: każdy punkt czoła fali jest źródłem nowej fali kulistej, a obwiednia tych wszystkich fal kulistych staje się nowym czołem fali. Skoro prędkość fali zależy od położenia, jej czoło musi zmienić kierunek.

Można na efekt ten patrzeć jak na skutek przyciągania grawitacyjnego, ale Einstein zapoczątkował tu nowe podejście: prędkość światła się zmienia, bo zmienia się przelicznik czasu globalnego (umożliwiającego porównania) na lokalny (który mierzymy obserwując zjawiska w pewnym miejscu). Inaczej mówiąc, światło biegnie nadal po krzywej najkrótszego czasu, ale przestrzeń stała się czymś w rodzaju ośrodka o zmiennym współczynniku załamania. Odchylenie od prostoliniowości toru jest więc podobne do tego, co obserwuje się w zjawiskach takich jak miraże w rozgrzanym powietrzu nad drogą (albo pustynią).

Przewidywany efekt był niewielki, ale można było mieć nadzieję na jego wykrycie podczas zaćmienia Słońca (gdy widać gwiazdy blisko tarczy naszej gwiazdy). Tak się rzeczywiście stało, ale dopiero w roku 1919. Wcześniej Einstein zbudował, zburzył i zbudował na nowo swoją teorię grawitacji, czyli ogólną teorię względności. Okazało się przy okazji, że w Pradze widział sprawy zbyt prosto. Nawet w przypadku stosunkowo słabego pola grawitacyjnego Słońca należy bowiem uwzględnić także zakrzywienie przestrzeni. Matematycznie wygląda to następująco. Dla dwóch zdarzeń w czasoprzestrzeni Minkowskiego (szczególna teoria względności) odległych o \Delta t, \, \Delta x, \, \Delta y, \, \Delta z, kwadrat odległości \Delta s ma postać

\Delta s^2=c^2 \Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2.

Oznacza to m.in., że dla zdarzeń, które można połączyć sygnałem świetlnym \Delta s=0, a to z kolei pociąga za sobą równość

\left(\dfrac{\Delta x}{\Delta t}\right)^2+ \left(\dfrac{\Delta y}{\Delta t}\right)^2+  \left(\dfrac{\Delta z}{\Delta t}\right)^2 =c^2.

Jest to po prostu twierdzenie Pitagorasa dla składowych prędkości światła, jej wartość zawsze równa się c -pewnej stałej fizycznej. Podejście praskie oznaczało, że kwadrat odległości czasoprzestrzennej ma postać:

\Delta s^2=(c^2+2\Phi) \Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2,

gdzie \Phi jest potencjałem grawitacyjnym, czyli uogólnieniem ah z wyrażeń wyżej. Teraz kwadrat prędkości światła jest równy

c^2\left(1+\dfrac{2\Phi}{c^2}\right),

a sama prędkość

c\left(1+\dfrac{\Phi}{c^2}\right).

Przyjmujemy tutaj, że \Phi\ll c^2, co znaczy, że pole grawitacyjne nie jest bardzo silne. Co się zmieniło w ostatecznej, berlińskiej, wersji teorii Einsteina? Odległość czasoprzestrzenna przybrała postać:

\Delta s^2=(c^2+2\Phi) \Delta t^2-\left(1-\dfrac{2\Phi}{c^2}\right)(\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2).

Czynnik, który pojawił się przed współrzędnymi przestrzennymi, daje zakrzywienie 3-przestrzeni. Jeśli teraz obliczymy prędkość światła (tak jak wyżej z warunku ds=0), dostaniemy wartość

c\left(1+\dfrac{2\Phi}{c^2}\right).

Dodatkowa dwójka w liczniku daje dwukrotnie większy efekt zakrzywienia toru światła, co Einstein skonstatował ze sporym zdziwieniem. Tę właśnie podwojoną wartość (1,74 sekundy kątowej przy tarczy Słońca) zmierzył w roku 1919 Arthur Eddington. Nowa teoria nie tylko zupełnie inaczej opisywała świat (zamiast siły grawitacji inna geometria czasoprzestrzeni), ale też przewidywała inny wynik obserwacyjny. Okazało się to bardzo ważne dla akceptacji nowej teorii, zapoczątkowało też ogromną sławę uczonego, która w jakiś sposób trwa po dziś dzień.

Więcej o Einsteinowskiej teorii grawitacji.

(*) Jak zwrócili uwagę Jürgen Ehlers i Wolfgang Rindler (General Relativity and Gravitation, 29, No. 4 (1997), 519-529.

Einstein w Pradze (1911-1912)

Kariera akademicka Einsteina na dobre zaczęła się w 1909 roku, kiedy w wieku trzydziestu lat został profesorem nadzwyczajnym na uniwersytecie w Zurychu i mógł zrezygnować z posady w Biurze Patentowym. Kontrkandydatem na to stanowisko był Friedrich Adler, który się jednak wycofał, uznając, że sprawiedliwiej będzie, jeśli otrzyma ją Einstein (por. Einstein, gildia cór Koryntu i Friedrich Adler (1909)). Już w następnym roku pojawiła się perspektywa stanowiska bardziej prestiżowego: profesora zwyczajnego fizyki teoretycznej na uniwersytecie niemieckim w Pradze. W ówczesnym świecie uniwersyteckim profesora zwyczajnego od nadzwyczajnego dzieliła niemal przepaść. W szczególności oznaczało to też większą pensję. Einstein zaczął negocjacje z Pragą, które ciągnęły się dość długo. Wydział Filozoficzny w Pradze zaproponował Einsteina jako pierwszego z trzech kandydatów, drugim był Gustav Jaumann, uczeń Macha, profesor politechniki w Brnie. Minister kierujący oświatą w Wiedniu, Karl von Stürgkh, wolał Jaumanna, który był obywatelem Austro-Węgier. Jaumann wszakże w końcu nie zdecydował się na wyjazd do Pragi (legenda, że obraził na wieść o tym, iż uczelnia woli Einsteina, jest, jak się zdaje, nieprawdziwa). Wrócono w każdym razie do kandydatury Einsteina. Uczony musiał zadeklarować swoje wyznanie jako mojżeszowe, ponieważ cesarz Franciszek Józef nie uznawał żadnych dysydentów religijnych. Jeszcze jednym warunkiem była zmiana obywatelstwa, ale to żądanie Einstein po prostu zignorował i pozostał obywatelem szwajcarskim (por. Obywatelstwa Einsteina).

Kiedy w Zurychu dowiedziano się o propozycji z Pragi, studenci złożyli petycję o zatrzymanie młodego profesora, który chętnie rozmawiał ze studentami, a nawet zapraszał ich do kawiarni albo do domu w celu kontynuowania dyskusji, w ściśle hierarchicznym świecie akademickim była to postawa niespotykana. Pod petycją podpisało się piętnaście osób, w tym Polak, Stefan Straszewicz, matematyk, który został w Zurychu dłużej, pracując nad doktoratem u Ernsta Zermelo. Straszewicz, późniejszy profesor Politechniki Warszawskiej, opowiadał jako anegdotę, że uczył Einsteina (na jego prośbę) podstaw teorii mnogości. Środowisko matematyków i fizyków w Zurychu było na tyle małe, że wszyscy znali się tam nawzajem. Uniwersytet w Zurychu podniósł wprawdzie już po roku pensję Einsteina z 4500 do 5500 franków rocznie, ale i tak nie udało się go zatrzymać. Nie chodziło chyba tylko o pieniądze, Einstein wystąpił do władz uczelni, by zmniejszyły opłatę studencką za udział w jego seminarium pod pretekstem, że trwa ono nie dwie godziny, lecz tylko jedną – z pewnością pamiętał jeszcze dobrze chude studenckie życie i starał się ułatwić sytuację młodym ludziom. Pieniędzy mu już wtedy nie brakowało, pod koniec roku 1910 otrzymał bowiem trzyletnie prywatne stypendium wynoszące 5000 marek rocznie (ok. 6200 franków szwajcarskich), ufundowane przez anionimowego darczyńcę. Był nim Franz Oppenheim, przemysłowiec związany z firmą Agfa. Prace dotyczące termodynamiki i kwantów światła były uważnie czytane przez uczonych berlińskich takich, jak Walther Nernst, mający bliskie kontakty z przemysłem. Ostatecznie Einstein zrezygnował z posady w Zurychu i od 1 kwietnia 1911 roku został przez Jego Cesarsko-Królewską Apostolską Wysokość łaskawie mianowany na profesora fizyki teoretycznej w Pradze. Jego pensja wynosić miała 6400 koron (czyli 6720 franków szwajcarskich) plus spore dodatki. Nominacja ta zapewniała ustalone podwyżki co pięć lat „służby” – wszyscy bowiem profesorowie, tak jak urzędnicy i wojsko, służyli cesarzowi, któremu uroczyście zaprzysięgano wierność. Jako członek korpusu urzędniczego Cesarstwa Austro-Węgier sprawił sobie przepisowy piękny mundur, który czasem wkładał na spacer do parku, chcąc sprawić przyjemność Hansowi Albertowi (7 lat) – wyglądał w nim bowiem jak jakiś admirał. Jego służbowa kariera aż po emeryturę i śmierć uregulowana była ścisłymi przepisami. Nikt wtedy nie podejrzewał, że za siedem lat zniknie z mapy samo Cesarstwo. Einstein wytrwał w Pradze trzy semestry, latem 1912 wrócił do Zurychu, ale na stanowisko profesora zwyczajnego i nie na uniwersytecie, lecz w ETH, swej macierzystej uczelni, gdzie dwanaście lat wcześniej nie było dla niego miejsca. Niejako symbolicznie, w 1912 roku zmarł Heinrich Weber, profesor, który swego czasu wstrzymał karierę Einsteina na wiele lat (por. Student Einstein, profesor Weber i diamenty (1906)). Uczony miał tam zarabiać 11000 franków, ale po dwóch latach i tak przeniósł się do Berlina, który był wtedy światowym centrum fizyki.

Praga rozczarowała Einsteina, który jeszcze w tym samym roku zaczął negocjować stanowisko w Utrechcie i na ETH. Studenci byli tu na gorszym poziomie niż w Zurychu, uniwersytet niemiecki funkcjonował równolegle do uniwersytetu czeskiego, lecz miał znacznie mniej słuchaczy. Mniejszości niemiecka i żydowska (też niemieckojęzyczna) żyły w izolacji od społeczeństwa czeskiego. Uczony obracał się wyłącznie w kręgu niemieckojęzycznym.

Wśród zalet swej pozycji w Pradze uczony wymieniał dobrze zaopatrzoną bibliotekę oraz duży gabinet z czterema oknami wychodzącymi na piękny park, po którym spacerowali w pewnych porach wyłącznie mężczyźni, a w innych – kobiety. Zaintrygowany, spytał kogoś o powód tak osobliwej sytuacji i dowiedział się, że są to lżej chorzy pacjenci szpitala psychiatrycznego. Dużo w tym czasie pracował, często podróżował, m.in. został zaproszony na bardzo elitarny Kongres Solvayowski, gdzie mówił o kwantowym podejściu do drgań atomów w kryształach – jeszcze jednej ze swych rewolucyjnych prac (por. Student Einstein, profesor Weber i diamenty (1906)). Nieco wcześniej poznał osobiście Hendrika Lorentza, jedynego bodaj fizyka, przed którym czuł respekt. Na kongresie poznał też Marię Curie, atakowaną właśnie przez prawicową prasę francuską za romans z Paulem Langevinem („Żydówka-imigrantka, która rozbija katolicką rodzinę”, nie miało oczywiście żadnego znaczenia, że Maria Skłodowska nie była Żydówką, a Langevin miał poglądy zdecydowanie lewicowe, podobnie jak pani Curie). Znakomity matematyk, Henri Poincaré, nie zrobił na Einsteinie wrażenia kogoś, kto naprawdę rozumie problemy ówczesnej fizyki. Einstein natomiast robił na wszystkich znakomite wrażenie, bez przesady można powiedzieć, że był nadzieją fizyki – sądzili tak uczeni tak różni, jak Hendrik Lorentz, Max Planck, Arnold Sommerfeld, a także Henri Poincaré i Maria Curie (Planck rekomendował Einsteina do Pragi, a Poincaré i Curie do ETH).

Philipp Franck, który był następcą Einsteina na katedrze w Pradze i znał go osobiście, wspominał:

Bezpośrednie wrażenie, jakie Einstein wywierał na otoczeniu, było niejednoznaczne. Zachowywał się tak samo wobec wszystkich. Takim samym tonem zwracał się zarówno do najważniejszych urzędników uniwersytetu, jak i do sklepikarza czy sprzątaczki w laboratorium. Wskutek swych wielkich odkryć naukowych zyskał już głębokie poczucie pewności siebie. Presja, jaką często odczuwał w młodości, ustąpiła. Pogrążony był w pracy, której zamierzał poświęcić życie i do której się nadawał. Z perspektywy tej pracy problemy dnia codziennego wydawały mu się nieważne. (…) Widział sprawy codzienne w nieco komicznym świetle i coś z tego nastawienia wyzierało z jego słów; jego poczucie humoru rzucało się w oczy. Kiedy ktoś powiedział coś zabawnego, intencjonalnie albo niechcący, Einstein reagował bardzo żywiołowo. Wydobywający się z głębi jego jestestwa śmiech był jedną z jego charakterystycznych cech, które natychmiast zwracały uwagę. Dla ludzi dookoła był ów śmiech źródłem radości i ożywienia. Czasem jednak dawało się w nim wyczuć krytycyzm, który nie każdemu przypadał do gustu. Ludziom o wysokiej pozycji społecznej niezbyt się podobało, że Einstein uważa ich świat za śmiechu warty w porównaniu z wielkimi problemami, którymi sam się zajmuje. Jednak ludzie o niższej pozycji społecznej czerpali zawsze przyjemność z obcowania z Einsteinem. Jego sposób prowadzenia rozmowy sytuował się gdzieś między dziecinnymi żartami a gryzącym szyderstwem, tak że niektórzy nie wiedzieli, czy powinni się śmiać, czy obrazić. (…) Toteż wrażenie, jakie Einstein wywierał na otoczeniu, oscylowało między dziecinną wesołością a cynizmem.

Czasem wydawał się osobą, która „potrafi serdecznie przejąć się losem kogoś zupełnie obcego, a czasem egoistą, który przy bliższym kontakcie natychmiast zamyka się w sobie”. Owa dwoistość pogłębiała się z czasem, choć wszędzie potrafił Einstein znaleźć szybko przyjaciół. Albert Einstein z aparycji przypominał wówczas bardziej skrzypka wirtuoza niż profesora. Szybko zresztą znalazł w Pradze towarzyszy do uprawiania muzyki kameralnej, m.in. Georga Picka, wybitnego matematyka i zamiłowanego skrzypka. Poznał też Moritza Winternitza, profesora sanskrytu, ojca pięciorga dzieci, i zaprzyjaźnił się z nim oraz z całą jego rodziną. Szwagierka profesora, stara panna i nauczycielka muzyki, grywała
razem z nim, nie szczędząc słów krytyki, kiedy mu się coś nie udało. Towarzyski Einstein szybko się zadomowił w nowym miejscu, choć brak mu było partnerów do dyskusji naukowych. Gorzej wyjazd ten zniosła Mileva, zajęta wychowaniem dwóch synów, z których młodszy, Eduard, zwany w rodzinie Tete, przyszedł na świat zaledwie rok wcześniej. Małżonkowie
mocno się już od siebie oddalili, przyjaciołom rzucała się w oczy odmienność ich charakterów: Mileva niełatwo się zaprzyjaźniała z ludźmi, była milcząca, skłonna do melancholii i niezbyt towarzyska. Ich małżeństwo zaczynało się rozpadać, Mileva, niegdyś marząca o pracy naukowej, była teraz uwiązana w domu, coraz rzadziej towarzyszyła mężowi w jego podróżach, nie stała się też jego partnerką czy nawet powiernicą w sprawach naukowych.

Mieszkali teraz znacznie wygodniej, Einsteinowie po raz pierwszy mieli tu światło elektryczne – w Bernie używali lamp naftowych, w Zurychu oświetlenie było gazowe. Mieli także służącą na stałe. Hans Albert poszedł do katolickiej szkoły, gdzie lekcje religii były obowiązkowe, i  Einstein żartował, że dziecko zacznie sobie wyobrażać Boga jako kręgowca w gazowym stanie skupienia. Było to nawiązanie do tezy Ernsta Haeckla z Kongresu Wolnomyślicieli w roku 1904: „Antropomorficzny Bóg, kręgowiec w gazowym stanie skupienia, należy do dziedziny literatury mistycznej”.

Miasto bardzo się Einsteinowi podobało pod względem architektury, znacznie mniej jako miejsce do życia: woda była niezdrowa, a w powietrzu unosiła się sadza. Po wypielęgnowanych i schludnych miastach szwajcarskich stolica Czech wydawała się brudna i zaniedbana. Ludzie łączyli w sobie wyniosłość z oślizgłą służalczością, co także stanowiło
nieprzyjemny kontrast z atmosferą obywatelskiego społeczeństwa Szwajcarii. W każdej sprawie konieczne były pisma urzędowe i bez zgody namiestnika cesarskiego nie można było nawet zakupić środków czystości na potrzeby Instytutu.

Einstein zetknął się tu ze środowiskiem niemieckojęzycznych Żydów, będących pod wpływem Martina Bubera, poznał Franza Kafkę i Hugona Bergmanna, jednego z założycieli ruchu syjonistycznego. Kafka nie był wtedy znany jako pisarz, pisarza z kolei niezbyt interesował uczony, było to więc spotkanie bez żadnych konsekwencji. Wszyscy oni zbierali się w salonie artystycznym bogatej patronki, Berty Fanty (po czesku Fantová). Był to dla Einsteina, przyzwyczajonego do szwajcarskiej neutralności i panujących tam liberalnych wartości, zupełnie nowy świat. Dotąd nie myślał zbyt wiele o swej żydowskości, rzadko stykał się z przejawami antysemityzmu. Nawet jednak w szczęśliwej Szwajcarii Żydzi utrzymywali kontakty głównie z Żydami. Z czasem, w miarę upływu wieku XX, świadomość żydowska będzie się dla niego stawać coraz ważniejsza, choć wszelkie uczucia zbiorowe zawsze wydawały mu się podejrzane.

W roku 1912 przyjechał do Pragi na kilka dni Paul Ehrenfest, fizyk o rok młodszy od Einsteina, który dzielił wiele jego poglądów. Znali się dotąd ze swych publikacji. Ehrenfest, Żyd i wiedeńczyk, ożeniony z rosyjską matematyczką, Tatjaną Afanassjewą, mieszkał teraz w Sankt Petersburgu, gdzie doskwierała mu naukowa izolacja, myślał więc o powrocie do Europy. Einsteinowie powitali go na dworcu kolejowym i zaprosili do kawiarni, a potem panowie, już bez Milevy, udali się do Instytutu, gdzie mogli rozmawiać o fizyce. Obu im tego ostatnio brakowało, odkryli, że wiele ich łączy. Zaprzyjaźnili się w ciągu kilku godzin i była to przyjaźń na całe życie. Einstein proponował później, aby Ehrenfest objął po nim katedrę w Pradze, lecz ten, pryncypialny ateista, nie chciał za żadną cenę deklarować się jako wierzący

Wspomnienie Pragi wróciły do Einsteina w nieoczekiwanej postaci. W ostatnich latach życia pozostawał w bliskim związku z Johanną Fantovą, synową Berty Fantovej, której salon odwiedzał kiedyś w Pradze. Później zaprzyjaźnił się z Johanną w Berlinie, kiedy porządkowała mu bibliotekę. Niedługo przed wojną Fantová przyjechała do Stanów Zjednoczonych i spotkała się z Einsteinem w Princeton. Poradził jej, aby uczyła się bibliotekarstwa, po studiach została zatrudniona przez bibliotekę miejscowego uniwersytetu. Była dla niego częścią utraconego świata przedwojennej Europy. Czytała mu Goethego, on pisywał dla niej wierszyki. Das Ewigweibliche, pierwiastek kobiecy, pociągał go nawet w ostatnich latach życia, kiedy podupadał coraz bardziej na zdrowiu i powoli musiał wyrzekać się uroków świata. Zarówno w Berlinie, jak i w Princeton pływał z Johanną swoją żaglówką. Dziennik Fantovej w bibliotece Princeton University stanowi mało znany dokument z ostatnich lat uczonego.

Einstein, Gödel i czas

Einsteinowska teoria względności wprowadziła pojęcie czasoprzestrzeni: czterowymiarowego połączenia przestrzeni i czasu. Punktami czasoprzestrzeni są zdarzenia: należy podać ich miejsce i czas. W takim obrazie świata czas przypomina współrzędne przestrzenne, do pewnego stopnia może się z nimi mieszać (choć nie do końca). Zdarzenia, które mogą przyczynowo wynikać z danego zdarzenia punktowego, tworzą w czasoprzestrzeni stożek, którego wierzchołkiem jest właśnie owo punktowe zdarzenie. Pobocznicę stożka tworzą zdarzenia, które mogą zostać połączone z wierzchołkiem impulsem biegnącym z prędkością światła: np. falą elektromagnetyczną albo grawitacyjną. We wnętrzu stożka leżą zdarzenia, do których można się przedostać za pomocą innych, nie tak szybkich oddziaływań. Łącznie stożek przyszłości obejmuje wszystkie fizycznie możliwe następstwa danego zdarzenia. Obszar poza tym stożkiem, jest niedostępny dla oddziaływań. O tych zdarzeniach poza stożkiem przyszłości nie możemy nawet powiedzieć, że następują później, ponieważ w innym układzie odniesienia mogą nastąpić wcześniej albo równocześnie z naszym punktowym zdarzeniem. Ponieważ zdarzenia spoza stożka nie mogą być skutkami naszego zdarzenia, więc ewentualna zmiana kolejności czasowej niczego nie burzy w porządku świata.
Można powiedzieć, że perspektywa fizyka-relatywisty to spojrzenie z punktu widzenia wieczności: cała rozmaitość wszechświata wypełniona zdarzeniami we wszystkich możliwych czasach. My sami, podobnie jak każdy inny obiekt, możemy być przedstawieni za pomocą linii świata (może całej ich wiązki), czyli naszej trajektorii w czasoprzestrzeni. Nawet siedząc w fotelu przemieszczamy się w czasoprzestrzeni, czy może niezliczona liczba naszych kopii współistnieje w różnych jej punktach. Fizycznie możliwe linie świata leżą w stożku przyszłości każdego swego punktu, są to krzywe czasopodobne.
Kurt Gödel, urodzony w Brnie, lecz pochodzący z rodziny niemieckiej, wybrał obywatelstwo austriackie zamiast czechosłowackiego. Pod koniec lat trzydziestych Gödel cieszył się już sławą niewątpliwego geniusza. Jego młodzieńcze twierdzenia o niezupełności – wykazujące, że matematyka jest dziedziną znacznie bardziej ograniczoną, niż sądzono dotąd – są zapewne najważniejszym wynikiem z dziedziny podstaw matematyki w całym ubiegłym stuleciu. Jednak nawet niewątpliwe aryjskie papiery i światowa sława nie wystarczyły, aby mógł nadal pracować na uniwersytecie w Wiedniu po przyłączeniu Austrii do III Rzeszy. Gödel miał wcześniej zbyt liczne kontakty z żydowskimi uczonymi, aby mógł zostać na uczelni. Ostatecznie trafił do Princeton, gdzie bywał już wcześniej i gdzie zdążył się zaprzyjaźnić z Einsteinem. Paranoiczny, neurotyczny, trudny w kontaktach Gödel wydawał się przeciwieństwem przyjacielskiego, otwartego i skłonnego do żartów Einsteina. Obaj często razem wracali spacerem z Instytutu (Institute for Advanced Study). Fizyk zwierzył się nawet komuś, że właściwie chodził do Instytutu głównie ze względu na możliwość tych wspólnych spacerów, bo do własnej pracy nie przywiązywał już większej wagi. Einstein był także jednym ze świadków podczas zaprzysiężenia Gödla na obywatela amerykańskiego. Logik, spytany przez sędziego, czy sądzi, że w Stanach Zjednoczonych mógłby do władzy dojść reżim podobny do nazistów, zaczął wyjaśniać, że i owszem, konstytucja amerykańska jest bowiem wewnętrznie niespójna. Na szczęście sędzia Phillip Forman, który wcześniej zaprzysięgał Einsteina, zmienił dyplomatycznie temat, nie pozwalając logikowi rozwinąć szerzej swoich refleksji.
Gödel był gorącym teistą, luteraninem i sądził, że czas jest naszym złudzeniem, rzeczywisty świat musi być bezczasowy. W przeświadczeniu tym umacniało go odkrycie w roku 1949 dość szczególnego rozwiązania równań Einsteina. Rozwiązanie Gödla opisuje wszechświat, w którym istnieją zamknięte krzywe czasopodobne (close time-like curves, CTC).

reality_closed_timelike_curve

Oznacza to, że dla obserwatora poruszającego się w określony, lecz fizycznie możliwy sposób, czas się zapętla, a więc zdarzenia powtarzają się bez końca. Rozwiązanie Gödla nie opisuje naszego wszechświata, było to jasne od samego początku. „Fakt, że światy, w których nie ma czasu absolutnego i w których obiektywny odstęp czasu nie istnieje, zgodne są z prawami przyrody, rzuca pewne światło na sens czasu także w tych światach, w których można określić czas absolutny. – pisze Gödel – Gdyż (…) to, czy obiektywny odstęp czasu istnieje, czy nie (…) zależy od konkretnej konfiguracji materii i ruchu w świecie. Nie mamy tu wprawdzie bezpośredniej sprzeczności, lecz nie można uznać za satysfakcjonujący poglądu filozoficznego, który prowadzi do takich konsekwencji” (Albert Einstein: Philosopher-scientist, red. P.A. Schilpp, New York 1949, s. 562).
Odkrycie Gödla dało początek następnym rozwiązaniom tego rodzaju. Choć chyba praktycznie nikt nie wierzy, aby mogły one opisywać rzeczywisty wszechświat, ich analizowanie jest interesujące pod względem teoretycznym. Placet experiri – jak powtarzał Hans Castorp.

AEinstein_Goedel

Widzimy tu obu tak nieprawdopodobnych przyjaciół na jednym ze spacerów.

Albert Einstein, Szkic autobiograficzny (1955)

Latem 1954 roku redakcja pisma „Schweizerische Hochschulzeitung” („Gazeta szwajcarskich szkół wyższych”) zwróciła się do Einsteina z prośbą o wspomnienia dotyczące Politechniki Związkowej (ETH) w Zurychu. Miała ona bowiem w roku następnym obchodzić stulecie założenia, a uczony był bez wątpienia jej najsławniejszym absolwentem. Einstein wysłał rękopis 29 marca 1955 roku, dwa tygodnie później, 29 kwietnia zmarł wskutek krwotoku z aorty brzusznej (miał zdiagnozowanego parę lat wcześniej tętniaka). Był to jego ostatni dłuższy tekst. Poniżej zamieszczam przekład całości tego ciekawego tekstu (nieco ponad 2000 słów).

Przedtem trochę komentarza. Einstein traktował swoją pracę jako wkład w pewne obiektywne przedsięwzięcie i w związku z tym niezbyt interesował się okolicznościami historycznymi własnej pracy, nie czytał swoich biografii, sądził, że liczą się tylko trwałe wyniki, pewna logika rozwoju, a nie to, kto i jak je osiągnął. Jego zdaniem ambicja osobista jest fałszywym przewodnikiem w badaniach naukowych, twórca powinien niejako roztapiać się w swoim dziele. Podkreślał zawsze swój ograniczony talent do uczenia się i słabą pamięć, która mu przeszkadzała w byciu dobrym uczniem i później studentem. Nie jest to kokieteria, uczony zdawał sobie bowiem sprawę, jak łatwo zadowolić się powierzchownym zrozumieniem jakiegoś zagadnienia i jak trudno poza nie wykroczyć. Od samego początku był samoukiem i nawyk chodzenia własnymi drogami nigdy go nie opuścił. Nie należy oczywiście sądzić, że był jakimś prostaczkiem, który nie zna niezbędnego warsztatu badawczego, ale też nie należał do encyklopedystów, nie starał się wiedzieć wszystkiego i często niezbyt dobrze znał prace swoich poprzedników. Nie był też szczególnie sprawny w prowadzeniu trudnych rachunków, zapewne z ulgą przyjąłby istnienie programów takich jak Mathematica.

Szkic stał się okazją do przypomnienia jego współpracy z Marcelem Grossmannem (Więcej na ten temat można znaleźć w poście Marcel Grossmann, przyjaciel i współpracownik Einsteina). Einstein nie pamiętał czasem, by zamieścić wzmiankę o współpracownikach, w późniejszych wypowiedziach odnoszących się do powstania ogólnej teorii względności nie zawsze odnotowywał pomoc kolegów takich, jak Grossmann czy Michele Besso (o tym drugim nie wspomina i tutaj, por. Michele Angelo Besso, przyjaciel Einsteina). Nie doszukiwałbym się w tym jakichś złych intencji, z pewnością niczego nie ukrywał, prędzej przejawiał w ten sposób swego rodzaju niewrażliwość na kwestie personalne. Miał on w znacznym stopniu dar odsuwania od siebie wszelkich spraw egzystencjalnych, emocjonalnych i koncentrowania się na nauce, byłoby hipokryzją cenić jego osiągnięcia naukowe – skutek pewnej życiowej jednostronności, i jednocześnie mieć mu za złe, że nie był idealnym przyjacielem, mężem czy ojcem (co byśmy wtedy zrobili z tymi wszystkimi, którzy są kiepskimi mężami, ojcami i przyjaciółmi, a w dodatku brak im jakichkolwiek osiągnięć, nie mówiąc o takich na jego miarę?). Musimy też pamiętać, że ogólna teoria względności była w przeważającej mierze wynikiem jego indywidualnego zgłębiania podstaw fizyki i szukania lepszych zasad fundamentalnych. Jego najwybitniejsi koledzy, jak Planck, uważali tę pracę za swoiste dziwactwo, nie było w tej dziedzinie żadnego wyścigu. Wiadomo było, że przydałaby się nowocześniejsza teoria grawitacji, ale brak było nowych danych eksperymentalnych do wyjaśnienia oprócz niewielkiego, nie do końca wyjaśnionego ruchu peryhelium Merkurego. Toteż Einstein miał prawo czuć się autorem nowej teorii grawitacji.

Opisuje też Einstein w skrócie genezę ogólnej teorii względności. Pragnął, aby była ona uogólnieniem teorii szczególnej na ruchy przyspieszone. W szczególnej teorii równouprawnione są wszystkie układy inercjalne (czyli takie, w których obowiązuje I zasada dynamiki Newtona (zasada bezwładności): gdy nie działa siła, ruch ciała jest jednostajny i prostoliniowy). Jeśli spróbujemy sformułować fizykę w sposób słuszny także w układach nieinercjalnych (samochód na zakręcie, hamujacy pociąg itp.), musimy do bilansu sił doliczyć tzw. siły bezwładności, jak siła odśrodkowa albo siła Coriolisa (zakręcająca wiatry w wiry wokół centrum wyżu czy niżu). Siły bezwładności, zwane też czasami siłami pozornymi, występują tylko w układach nieinercjalnych, gdy upieramy się budować równania np. z punktu widzenia hamującego pociągu. Ich cechą szczególną jest to, że zawsze są proporcjonalne do masy, na którą działają. W fizyce mamy także jeszcze inne siły proporcjonalne do masy: grawitację. Chcąc więc dopuścić układy nieinercjalne, musimy je traktować łącznie z grawitacją, a nawet więcej: lokalnie nie można rozróżnić, ile jest w nich grawitacji, a ile sił bezwładności. Dlatego kwestia układów nieinercjalnych powiązana jest z grawitacją. Fakt, że masa w prawie grawitacji i masa w II zasadzie dynamiki są równe, potwierdzają eksperymenty – od czasu Galileusza i Newtona, który badał ruch specjalnie sporządzonego wahadła, żeby stwierdzić, czy na pewno nie zależy on od rodzaju materii, z jakiego owo wahadło jest zbudowane.

Droga do zbudowania teorii ogólnej była zawiła i pełna zakrętów. M.in. Einstein szukał równań, które będą słuszne w każdym układzie współrzędnych (także poruszających się i krzywoliniowych). Uwzględnienie grawitacji wymagało rezygnacji z geometrii euklidesowej na rzecz ogólniejszej geometrii Riemanna. Aby mieć pewność, że wyniki uzyskane w jednym układzie współrzędnych słuszne są także we wszystkich innych, można zastosować formalizm tensorowy rozwinięty m.in. przez Gregoria Ricciego-Curbastro i jego ucznia Tullia Levi-Civitę. Np. równania pola grawitacyjnego w pustej przestrzeni mają postać R_{ik}=0, gdzie R_{ik} (i,k=1,2,3,4) jest tzw. tensorem Ricciego, opisującym możliwą w tych warunkach krzywiznę (za krzywiznę odpowiada obiekt bardziej skomplikowany, tensor Riemanna R_{ijkl} i dopiero jego znikanie oznacza brak jakiegokolwiek pola grawitacyjnego, wiemy, że pole rozciąga się na obszary wolne od materii). Oba tensory wyrażają się przez metrykę g_{ik}, która tutaj odgrywa rolę podobną do potencjału w teorii Newtonowskiej. Formalizm matematyczny zapewnia, że jeżeli tensor Ricciego znika w jednym układzie współrzędnych, to znika także we wszystkich innych. Mamy więc formalizm ogólnie kowariantny, inaczej mówiąc słuszny w każdym układzie współrzędnych. Tyle matematyka, z którą zapoznali się Einstein i Grossmann.

Trudnością, która zatrzymała na dwa lata postępy pracy, był pozorna niezgodność formalizmu matematycznego z żądaniami natury fizycznej: teoria powinna w granicy słabych pól sprowadzać się do grawitacji Newtonowskiej, powinna też w niej obowiązywać zasada zachowania energii i pędu. Formalizm matematyczny wydawał się Einsteinowi niezgodny z tymi żądaniami fizycznymi. Wymyślił nawet tzw. argument z dziury (the Hole Argument), który przemawiać miał za równaniami mniej ogólnymi. Ostatecznie równania okazały się jednak ogólnie kowariantne. Uczony sądził, że zrównuje w ten sposób między sobą przyspieszone układy współrzędnych, podobnie jak w szczególnej teorii zrównane są wszystkie inercjalne układy odniesienia. Na tym miało polegać przejście od teorii szczególnej do ogólnej (tak np. przedstawia tę kwestię Leopold Infeld w Ewolucji fizyki, pisanej przy pewnym udziale Einsteina). Nie do końca miał rację, można bowiem także teorię Newtonowską sformułować w sposób ogólnie kowariantny, co zrobił Élie Cartan w latach dwudziestych ubiegłego wieku. W ogóle Einstein zarówno w podczas tworzenia teorii ogólnej, jak i później, na etapie odkrywania jej konsekwencji, popełnił mnóstwo błędów i żywił wiele błędnych przekonań. Nie umniejsza to jego wielkości naukowej, raczej przypomina, że był człowiekiem i nie zawsze miał rację. Wielkość uczonego polega raczej na tym, że w jakiejś kwestii, większej czy mniejszej, miał on ostatecznie rację albo przynajmniej wskazał dobry kierunek innym, a nie że zawsze i w każdym przypadku był natchnioną wyrocznią. Choć sam Einstein nie miał cierpliwości do roztrząsania własnych błędów, historycy prześledzili zawiły bieg myśli uczonego (a także wkład jego kolegów i adwersarzy) w czasie pracy nad ogólną teorią względności. Napiszę może o tym kiedyś o tym w sposób nietechniczny.

Zainteresowanych nieco szerszym, lecz popularnym ujęciem tematu odsyłam do postu Istota teorii względności. Wersję bardziej zmatematyzowaną znaleźć można w poście Teoria grawitacji Einsteina względności w kwadrans. Nieco trudniejszy jest post Dlaczego grawitacja wiąże się z krzywizną czasoprzestrzeni?

Warto też zwrócić uwagę, z jaką pokorą pisze Einstein o następnych czterdziestu latach swej pracy. Jej celem było uogólnienie teorii grawitacji obejmujące elektrodynamikę. Uczony miał nadzieję, że nieliniowa teoria pola dostarczy nowego spojrzenia na cząstki w fizyce: staną się one zlokalizowanymi konfiguracjami pola. W rezultacie przewyciężony będzie dualizm cząstek i pól, a może także pojawi się możliwość „zrozumienia” mechaniki kwantowej. Więcej o tym w poście Einstein i jednolita teoria pola: zmarnowane trzydzieści lat? Uczony nie wspomina nawet o swoich pracach kwantowych, choć były one niezmiernie ważne w historii i należałaby mu się za nie nie jedna Nagroda Nobla (którą otrzymał), ale przynajmniej jeszcze jedna (za kondensację Bosego-Einsteina). Zapewne z perspektywy czasu owe prace kwantowe wydały mu się mniej ważne, ponieważ później przesłonięte zostały mechaniką kwantową, stając się w ten sposób zaledwie wstępem do czegoś, a nie kompletnym osiągnięciem. Taki jest wszakże los najlepszych prac: inni budują na nich nowe konstrukcje. Pozostałe prace zostają gdzieś z boku, na stronach historycznych czasopism. Czasami, bardzo rzadko, zdarza im się przebudzenie po latach, jak było w przypadku kondensacji Bosego-Einsteina, która przez ostatnie ćwierć wieku rozrosła się w nową dziedzinę badań.

Warto też zwrócić uwagę na refleksje Einsteina na temat szkoły i edukacji: czy wybieramy model pruski, oparty na drylu, czy może liberalny model szwajcarski. Czy chcemy kształcić kaprali, czy obywateli.

Szkic autobiograficzny

Redaktorzy tego jubileuszowego wydania poprosili mnie łaskawie, bym wniósł do niego swój wkład. Na początku nie wiedziałem, jak się do tego zabrać i odpowiedziałem zakłopotanym milczeniem. Kiedy jednak spostrzegłem, że nie da się  od tego wymówić z gracją, poddałem się. Ponieważ nie czułem się na siłach napisać na temat Politechniki Związkowej niczego wartego przeczytania o charakterze obiektywnym, jedynym wyjściem było opowiedzenie o moich osobistych doświadczeniach, które były w jakiś sposób związane z Politechniką. Przede wszystkim konieczne było tu przezwyciężenie wewnętrznego oporu, który wiąże się z psychologią zawodową naukowca zajmującego się naukami ścisłymi. Choć i on, podobnie jak wszyscy inni przedstawiciele gatunku, eufemistycznie określającego się mianem Homo sapiens, nie jest bynajmniej wolny od próżności, to niechętnie pisze o sobie. Jego wykształcenie i działalność naukowa ograniczają go do przedmiotów obiektywnych i uchwytnych pojęciowo.

Umyślnie grzeszę przeciwko tej dobroczynnej i wyzwalającej praktyce. Ale nie grzeszę bez planu i w sposób nieumiarkowany. Nawet bowiem dla czytelnika o obiektywnym nastawieniu może być interesujące, co postawiło jednostkę na jej drodze i zmusiło ją do rozwoju w pewien szczególny sposób. Ten grzech daje mi również miłą okazję do przypomnienia niektórych postaci, którym wiele zawdzięczam.

Rok 1895: w wieku szesnastu lat przyjechałem do Zurychu z Włoch. Poprzedni rok spędziłem przy rodzicach w Mediolanie bez szkoły i bez nauczycieli. Moim celem było dostanie się na Politechnikę, choć nie miałem jasnego wyobrażenia, jak to osiągnąć. Byłem upartym, lecz skromnym młodym człowiekiem, który elementy stosownej wiedzy zdobył głównie dzięki samokształceniu. Pragnąłem głębszego zrozumienia, nie miałem jednak talentu do przyswajania wiedzy, na przeszkodzie stała też moja kiepska pamięć, toteż studia nie wydawały mi się bynajmniej łatwym zadaniem. Z poczuciem uzasadnionej niepewności zapisałem się na egzamin wstępny na Wydziale Inżynierskim. Egzamin ten obnażył boleśnie braki mojego wykształcenia, mimo że egzaminatorzy byli cierpliwi i pełni wyrozumiałości. Porażkę odczuwałem jako w pełni zasłużoną, pocieszeniem mógł być fakt, że fizyk, H.F. Weber, poinformował mnie, że gdybym został w Zurychu, mogę uczęszczać na jego wykłady. Jednak rektor, profesor Albin Herzog zarekomendował mnie do szkoły kantonalnej w Aarau, gdzie po rocznej nauce uzyskałem maturę. Szkoła ta wywarła na mnie niezapomniane wrażenie swym liberalnym duchem i pełną powagi prostotą nauczycieli, którzy polegali na swoim własnym osądzie zamiast zewnętrznych autorytetów. Porównanie z trwającą sześć lat nauką w niemieckim gimnazjum, rządzonym w sposób autorytarny, przekonało mnie, jak bardzo edukacja zachęcająca do swobodnego działania i brania odpowiedzialności góruje nad wychowaniem opartym na wojskowym drylu, narzuconych autorytetach i osobistych ambicjach. Autentyczna demokracja nie jest czczą iluzją.

Podczas tego roku w Aarau przyszło mi do głowy następujące pytanie: gdyby poruszać się razem z falą świetlną z prędkością światła, to widziałoby się pofalowane pole niezależne od czasu. Wydaje się jednak, że coś takiego nie istnieje! To był pierwszy, młodzieńczy eksperyment myślowy mający związek z teorią względności. Pomysł nie jest wytworem logicznego myślenia, nawet jeśli produkt końcowy związany jest z jakąś strukturą logiczną

Lata 1896-1900, studia na Wydziale Nauczycielskim Politechniki Związkowej. Szybko zdałem sobie sprawę, iż muszę się zadowolić tym, że będę przeciętnym studentem. Bo żeby być dobrym studentem, trzeba mieć łatwość pojmowania; wolę, aby skoncentrować siły na wszystkim, co jest wykładane; a także upodobanie do porządku, żeby robić notatki z wykładów i potem je sumiennie opracowywać. Wszystkich tych cech stanowczo mi brakowało, jak to sobie z przykrością uświadomiłem. Toteż stopniowo nauczyłem się żyć z nie całkiem czystym sumieniem i tak ukierunkowywać studia, by odpowiadały moim możliwościom intelektualnym oraz zainteresowaniom. Niektóre wykłady śledziłem z napiętą uwagą. Z innych jednak „wagarowałem”, w domu studiując ze świętym zapałem mistrzów fizyki teoretycznej. Było to dobre samo w sobie, a także służyło do uciszenia wyrzutów sumienia tak skutecznie, że uniknąłem wszelkich poważniejszych zaburzeń emocjonalnych. Wróciłem do swego dawnego zwyczaju długich sesji prywatnych studiów, w czym towarzyszyła mi serbska studentka Mileva Marić, którą potem poślubiłem. Jednocześnie pracowałem gorliwie i z zapałem w laboratorium fizycznym profesora H.F. Webera. Fascynowały mnie także wykłady geometrii różniczkowej profesora Geisera, które były prawdziwym dziełem sztuki w swoim rodzaju i okazały się niezmiernie pomocne później, kiedy zmagałem się z ogólną teorią względności. Oprócz tego jednak wyższa matematyka nie cieszyła się na ogół moim zainteresowaniem podczas studiów. Błędnie sądziłem, iż jest ona dziedziną tak rozgałęzioną, że łatwo można zużyć całą swoją energię w jakiejś jej odległej prowincji. W swej niewinności mniemałem, że fizykowi wystarczy jasne pojmowanie elementarnych pojęć matematycznych i umiejętność ich stosowania, a cała reszta składa się z jałowych subtelności, bezużytecznych dla fizyka – pożałowania godny błąd, z którego zdałem sobie sprawę dopiero później. Najwyraźniej mój talent matematyczny nie był wystarczający, by odróżnić to, co centralne i podstawowe od rzeczy peryferyjnych bez większego znaczenia.

Podczas tych lat studiów zaprzyjaźniłem się blisko z kolegą ze studiów, Marcelem Grossmannem. Spotykaliśmy się co tydzień o stałej porze w Café Metropol na Limmatquai i rozmawialiśmy nie tylko na temat studiów, lecz o wszystkim, co może interesować młodych ludzi z otwartą głową. W odróżnieniu ode mnie nie był on typem wagabundy ani samotnika, lecz kimś kto będąc zakotwiczonym w szwajcarskim środowisku, nie stracił przy tym swej wewnętrznej niezależności. Prócz tego obdarzony był szczodrze tymi właśnie talentami, których mnie brakowało: łatwością pojmowania i porządkowania pod każdym względem. Nie tylko chodził na wszystkie przepisane wykłady, ale także opracowywał je w tak doskonały sposób, że jego zeszyty nadawałyby się do druku. Gdy trzeba było przygotować się do egzaminu, użyczał mi swoich notatek, które stawały się moją ostatnią deską ratunku. Wolę nie spekulować, jak bez nich potoczyłyby się moje studia.

Nawet jednak z jego nieocenioną pomocą i mimo tego, że wszystkie poruszane na wykładach tematy były interesujące same przez się, ciągle musiałem walczyć ze swą niechęcią do solidnego opanowania tych wszystkich rzeczy. Studia wyższe niekoniecznie mają dobry wpływ na refleksyjnych ludzi mojego pokroju. Przymus zjedzenia tak wielu dobrych rzeczy może trwale zepsuć apetyt i żołądek. Ognik świętej ciekawości może zagasnąć na zawsze. Na szczęście ta intelektualna depresja trwała u mnie zaledwie rok po pomyślnym ukończeniu studiów.

Największą przysługę oddał mi jednak Marcel Grossmann jako przyjaciel, gdy niemal rok po ukończeniu przez mnie studiów polecił mnie z pomocą swego ojca dyrektorowi Friedrichowi Hallerowi ze Szwajcarskiego Urzędu Patentowego, który nosił wtedy nazwę „Urzędu własności intelektualnej”. Po gruntownym egzaminie ustnym pan [Friedrich] Haller mnie zatrudnił. Dzięki temu w najbardziej twórczych latach 1902–1909 mogłem być wolny od trosk życiowych. W dodatku praca nad ostatecznym sformułowaniem patentów technicznych okazała się dla mnie prawdziwym błogosławieństwem, zmuszając do wielotorowego myślenia i dostarczając też ważnych impulsów do rozmyślań o fizyce. W ogóle zawód praktyczny jest błogosławieństwem dla ludzi mojego pokroju. Gdyż kariera akademicka stawia młodego człowieka w sytuacji przymusowej – musi on w dużych ilościach produkować prace naukowe, co rodzi pokusę powierzchowności, której oprzeć się potrafią tylko najsilniejsze charaktery. Większość zawodów praktycznych jest także tego rodzaju, że człowiek o przeciętnych zdolnościach może wykonać to, czego się od niego oczekuje. Jego miszczańska egzystencja nie zależy od jakiejś szczególnej inspiracji. Jeśli ma jakieś głębsze zainteresowania naukowe, może poza swoją obowiązkową pracą zatapiać się w ulubionym problemie. Nie musi się dręczyć obawami, że jego wysiłki mogą nie przynieść rezultatów. To, że znalazłem się w takim szczęśliwym położeniu, zawdzięczam Marcelowi Grossmannowi.

Spośród przeżyć naukowych owych szczęśliwych lat w Bernie wymienię w szczególności jedno, które okazało się najbardziej owocną myślą mego życia. Szczególna teoria względności liczyła już sobie wtedy parę lat. Problem polegał na tym, czy zasada względności ograniczona jest do układów inercjalnyych, tzn. układów współrzędnych poruszających się względem siebie ruchem jednostajnym prostoliniowym (liniowe transformacje współrzędnych). Na poziomie formalnym nasuwa się instynktownie odpowiedź: „Prawdopodobnie nie!” Jednakże fundamentem każdej mechaniki do tamtej pory była zasada bezwładności, co zdawało się wykluczać jakiekolwiek rozszerzenie zasady względności. W istocie, jeśli wprowadzimy przyspieszony (względem układu inercjalnego) układ współrzędnych, to „odizolowany” punkt materialny nie porusza się już względem niego ruchem jednostajnym prostoliniowym. W tym miejscu umysł nieskrępowany utartymi koleinami myślowymi zadałby pytanie: „Czy ruch tego typu pozwala mi odróżnić w jakiś sposób układ inercjalny od nieinercjalnego?”. I musiałby on następnie dojść do wniosku, że tak nie jest (przynajmniej w przypadku przyspieszenia o stałej wartości i kierunku). Gdyż zachowanie mechaniczne ciał względem takiego przyspieszonego układu współrzędnych można także uznać za skutek pola grawitacyjnego. Jest to możliwe dzięki eksperymentalnemu faktowi, że w polu grawitacyjnym przyspieszenie dowolnego ciała jest zawsze takie samo. To spostrzeżenie (zasada równoważności) nie tylko uprawdopodobniało, że prawa natury muszą mieć postać niezmienniczą (AE używa określenia: inwariantne) względem grupy transformacji współrzędnych ogólniejszej niż grupa Lorentza (rozszerzenie zasady względności), ale także iż takie rozszerzenie doprowadzi do pogłębionej teorii grawitacji. Nie miałem najmniejszej wątpliwości, że myśl ta musi być słuszna co do zasady. Jednak trudności w jej przeprowadzeniu wydawały się prawie nie do pokonania. Począwszy od tego, że elementarne rozważania pokazywały, iż przejście do szerszej grupy transformacji jest nie do pogodzenia z bezpośrednią interpretacją fizyczną współrzędnych czasoprzestrzennych, która przygotowała grunt pod szczególną teorię względności. Co więcej, z początku trudno było dostrzec, jak należy wybrać poszerzoną grupę transformacji. W istocie doszedłem do zasady równoważności drogą okrężną, na której relacjonowanie nie ma tu miejsca.

W latach 1902-1912, gdy nauczałem fizyki teoretycznej na uniwersytetach w Zurychu i w Pradze, wciąż rozważałem ten problem. W roku 1912, gdy zostałem powołany na Politechnikę w Zurychu, zbliżyłem się znacznie do jego rozwiązania. Istotna okazała się tu przeprowadzona przez Hermanna Minkowskiego analiza formalnych podstaw szczególnej teorii względności. Można ją podsumować jednym zdaniem: przestrzeń czterowymiarowa posiada (inwariantną) metrykę pseudoeuklidesową; fakt ten określa zarówno sprawdzalne doświadczalnie własności metryczne przestrzeni, jak też zasadę bezwładności, a także postać równań kowariantnych (AE: inwariantnych) względem transformacji Lorentza. W przestrzeni tej istnieją wyróżnione, kwazikartezjańskie układy współrzędnych, jedyne, jakie są tu „naturalne” (układy inercjalne).

Zasada równoważności skłania nas do wprowadzenia w takiej przestrzeni nieliniowych transformacji współrzędnych, tzn. współrzędnych niekartezjańskich (krzywoliniowych). Metryka pseudoeuklidesowa przyjmuje przy tym postać ogólną:

ds^2=\Sigma g_{ik}dx_{i}dx_{k},

wysumowaną po wskaźnikach i,k (od 1 do 4). Owe g_{ik} są wówczas funkcjami czterech współrzędnych, które w myśl zasady równoważności oprócz metryki opisują także „pole grawitacyjne”. To ostatnie ma pewną szczególną własność, można je bowiem przetransformować do szczególnej postaci

-dx_1^2-dx_2^2-dx_3^2+dx_4^2,

tzn. postaci, w której funkcje nie zależą od współrzędnych. W takim przypadku transformacja pozwala się „pozbyć” pola grawitacyjnego opisywanego przez g_{ik}. W tej drugiej, szczególnej postaci ruch bezwładny masywnego i izolowanego ciała opisany jest za pomocą (czasopodobnej) linii prostej. W postaci ogólnej odpowiada mu „krzywa geodezyjna”.

Powyższe sformułowanie nadal odnosiło się tylko do przypadku przestrzeni pseudoeuklidesowej. Pokazało jednak wyraźnie, jak osiągnąć przejście do pól grawitacyjnych o charakterze ogólnym. Także w tym przypadku pole grawitacyjne można opisać pewnym rodzajem metryki, to znaczy symetrycznym polem tensorowym g_{ik}. Uogólnienie polega po prostu na tym, iż odrzucamy założenie, że pole to można przekształcić w pole pseudoeuklidesowe za pomocą zwykłej transformacji współrzędnych.

Problem grawitacji został więc zredukowany do czysto matematycznego. Czy istnieją równania różniczkowe dla , które są kowariantne (niezmienicze) wobec nieliniowych przekształceń współrzędnych? Takie i tylko takie równania różniczkowe należało brać pod uwagę jako równania pola grawitacyjnego. Prawo ruchu punktu materialnego jest wówczas równaniem linii geodezyjnej.

Z takim zadaniem w głowie udałem się w 1912 roku do mojego starego przyjaciela ze studiów, Marcela Grossmanna, który do tej pory został już profesorem matematyki na Politechnice Związkowej. Natychmiast się zapalił, chociaż jako prawdziwy matematyk miał do fizyki stosunek nieco sceptyczny. W naszych studenckich czasach, gdy mieliśmy zwyczaj wymieniać myśli przy kawie, zrobił kiedyś tak ładną i charakterystyczną uwagę, że nie mogę się powstrzymać od zacytowania jej tutaj: „Przyznaję, że z nauki fizyki odniosłem jednak autentyczną korzyść. Wcześniej, kiedy siadałem na krześle jeszcze trochę ciepłym od osoby siedzącej przede mną, czułem się odrobinę nieswojo. Teraz zupełnie mi to minęło, gdyż dowiedziałem się z fizyki, że ciepło jest czymś zupełnie bezosobowym”.

Teraz gotów był z radością współpracować ze mną nad tym problemem, ale z zastrzeżeniem, że nie będzie odpowiedzialny za jakiekolwiek twierdzenia czy interpretacje natury fizycznej. Przejrzał literaturę i wkrótce odkrył, że wskazany problem matematyczny został już rozwiązany, głównie przez Riemanna, Ricciego i Levi-Civitę. Osiągnięcia te wiązały się z Gaussa teorią krzywizny powierzchni, w której po raz pierwszy stosowane były w sposób systematyczny współrzędne uogólnione. Najwięcej dokonał Riemann. Pokazał, jak z pola tensorowego można tworzyć tensory przez różniczkowanie kowariantne drugiego rzędu. Można było stąd wywnioskować, jak powinny wyglądać równania pola grawitacyjnego – jeśli zażądamy kowariantności (inwariantności) względem grupy wszystkich ciągłych przekształceń współrzędnych. Nie było jednak łatwo zrozumieć, iż żądanie to jest uzasadnione, tym bardziej że sądziłem, iż znalazłem przeciwko niemu argumenty. Zastrzeżenia te, choć błędne, sprawiły, że teoria w ostatecznej formie pojawiła się dopiero w 1916 roku.

Gdy pracowałem pilnie z moim starym przyjacielem, żaden z nas nie przypuszczał, że podstępna choroba wyniszczy wkrótce tego wspaniałego człowieka. Pragnienie, by choć raz w życiu wyrazić wdzięczność Marcelowi Grossmannowi, dodało mi odwagi do napisania tego nieco bezładnego szkicu autobiograficznego.

Od ukończenia teorii grawitacji minęło czterdzieści lat. Poświęcone były one niemal wyłącznie próbom uogólnienia teorii pola grawitacyjnego i uzyskania teorii pola, która mogłaby stanowić podstawę całej fizyki. Wielu dążyło do tego samego celu. W tym czasie próbowałem kilku pozornie obiecujących podejść, które potem zarzuciłem. Ostatnie dziesięć lat doprowadziło w końcu do teorii, która wydaje mi się naturalna i obiecująca. Ale do tej pory nie jestem w stanie przekonać sam siebie, czy powinienem uważać tę teorię za wartościową dla fizyki, czy też nie. Wynika to przede wszystkim z trudności matematycznych niemożliwych na razie do pokonania, pojawiają się one zresztą w każdej nieliniowej teorii pola. W dodatku wydaje się raczej wątpliwe, czy teoria pola może prawidłowo opisać atomistyczną strukturę materii i promieniowania, jak też zjawiska kwantowe. Większość fizyków bez wahania odpowiedziałaby: „nie”, ponieważ wierzą oni, że problem kwantowy został w zasadzie rozwiązany w inny sposób. Tak czy inaczej, możemy się pocieszać zdaniem Lessinga, że pogoń za prawdą cenniejsza jest niż jej bezpieczne posiadanie.