Benjamin Franklin: dwa zastosowania latawca (1752)

Jako mały chłopiec bawiłem się pewnego dnia puszczaniem latawca; znalazłszy się na brzegu stawu, który miał prawie milę długości, przywiązałem sznurek latawca do słupa i poszedłem popływać, ponieważ było bardzo gorąco. Po jakimś czasie, chcąc jednocześnie bawić się dalej latawcem i cieszyć przyjemnością pływania, wróciłem na brzeg i odwiązałem sznurek latawca wraz z kijkiem, do którego był uwiązany; wróciłem z nim do wody, gdzie stwierdziłem, iż leżąc na plecach i trzymając w rękach ów kijek, jestem [przez latawiec] ciągnięty w bardzo przyjemny sposób. Poprosiłem więc swego kolegę, by przeniósł moje ubranie dookoła stawu we wskazane przeze mnie miejsce, a sam puściłem się przez wodę z pomocą latawca, który ciągnął mnie bez żadnego wysiłku z mej strony i najprzyjemniej, jak tylko można (…) od tamtej pory nie praktykowałem owej szczególnej metody pływania, ale wyobrażam sobie, że w razie potrzeby człowiek mógłby w ten sposób przepłynąć z Dover do Calais. [List do Jacquesa Barbeu-Dubourga, marzec 1773]

Wychowywany w Bostonie, największym porcie na wybrzeżu Ameryki, Franklin od małego pływał wpław, a także umiał sterować łodzią żaglową. Gdy znalazł się w Londynie budził sensację, pokazując na Tamizie swe umiejętności w pływaniu i nurkowaniu, przez chwilę zastanawiał się nawet, czy nie zacząć zarabiać na życie jako instruktor pływacki dzieci dżentelmenów. Pływanie z pomocą latawca, a także paletek przywiązanych do rąk i nóg, należało do rozrywek tego pomysłowego i przedsiębiorczego młodzieńca, który mając siedemnaście lat uciekł z domu i od tamtej pory utrzymywał się sam z drukarstwa.

Ćwierć wieku później Franklin był już zamożnym człowiekiem, ojcem rodziny, wydawcą gazety, szanowanym obywatelem Filadelfii, gdzie zakładał różne pożyteczne organizacje, począwszy od biblioteki i straży pożarnej, a skończywszy na ochotniczej milicji do obrony Pensylwanii. Mając czterdzieści lat i więcej wolnego czasu, zajął się eksperymentami elektrycznymi. Opracował pomysłową teorię, która pierwsza wyjaśniła, co dzieje się podczas ładowania i rozładowania butelki lejdejskiej – był to najważniejszy problem końca lat czterdziestych XVIII wieku. Wpadł też na pomysł, jak sprawdzić, czy pioruny są zjawiskiem elektrycznym. Potrzebował do tego metalowego ostrza umieszczonego wysoko nad ziemią. Przymocował więc metalowe ostrze długości jednej stopy do latawca, który unosił się nad ziemią na konopnym szpagacie; na jego dolnym końcu uwiązany był żelazny klucz. Uczony trzymał dolny koniec szpagatu za pomocą jedwabnej taśmy. Chodziło o to, by szpagat sprowadził elektryczność z ostrza do klucza – włókna konopne, nawet suche, były przewodnikiem, a po zamoczeniu przewodziły jeszcze lepiej. Jedwab natomiast był standardowo używanym w eksperymentach izolatorem (pod warunkiem, że nie był mokry – eksperymentator musiał więc stać pod dachem). Według relacji Josepha Priestleya, który słyszał ją zapewne od samego odkrywcy, wyglądało to następująco. Franklin obawiając się śmieszności, nie wtajemniczył w swe zamiary nikogo oprócz syna. Był czerwiec 1752 roku. Pogoda była burzowa, ale bez uderzeń piorunów w pobliżu.

Tu widzimy ilustrację podobnego doświadczenia przeprowadzonego rok później przez Jacques’a de Romas, asesora sądu w Nérac na południu Francji

Latawiec wzniósł się w powietrze i przez dłuższy czas nie wykazywał żadnych oznak naelektryzowania. Jedna bardzo obiecująca chmura przepłynęła nad nim bez żadnego efektu; kiedy po pewnym czasie zaczynał już wątpić w swoje urządzenie, zauważył, iż niektóre luźne nitki wystające ze szpagatu najeżyły się i zaczęły się wzajemnie odpychać, tak jakby były zawieszone na zwykłym [naładowanym] przewodniku. Zachęcony tym obiecującym zachowaniem przybliżył kłykieć dłoni do klucza i oto (niech czytelnik sam osądzi, jak nadzwyczajną przyjemność musiał on poczuć w owym momencie) odkrycie się dokonało: bardzo wyraźnie poczuł iskrę elektryczną. Po niej następne, nim jeszcze szpagat zdążył nasiąknąć, rozstrzygając rzecz ponad wszelką wątpliwość; a kiedy deszcz zmoczył szpagat, zbierał już bardzo obficie ogień elektryczny.

Obawa śmieszności była zrozumiała, Franklin starał się przewidzieć, jak zachowa się przyroda w pewnej sytuacji, nie mógł mieć pewności, że jego rozumowanie było prawidłowe. „Niechaj zostanie przeprowadzony eksperyment” – napisał w swoich notatkach. Wiedział też, że jego pomysły na temat piorunów wyśmiewane są przez ekspertów. Właśnie dlatego wyniki doświadczeń okazały się taką sensacją. W tym samym czerwcu 1752 roku powszechnie czytany w Wielkiej Brytanii „Gentelman’s Magazine” opublikował list „pewnego dżentelmena z Paryża do jego przyjaciela w Tulonie”, oddający przemianę nastrojów wśród uczonych: „Z pewnością pamięta pan, jak bardzo wykpiwaliśmy pomysł pana Franklina, by opróżniać chmury z ich elektryczności i że jego samego uważaliśmy nieledwie za jakąś wyimaginowaną postać. Teraz okazuje się, iż to my byliśmy marnymi filozofami [virtuosi]; gdyż wczoraj spotkałem pewnego uczonego dżentelmena z akademii, który mnie zapewnił, że eksperyment został bardzo niedawno z powodzeniem przeprowadzony”.

Chodziło tu o nieco inne doświadczenie, którego pomysł opublikował Franklin i które zostało po raz pierwszy wykonane w maju 1752 we Francji. Ani Francuzi nie wiedzieli wtedy o latawcu, ani Franklin, w Ameryce, nie słyszał o ich udanej próbie – wiadomości przenosiły się wolno przez Atlantyk.

Dzięki tym doświadczeniom uwierzono, iż elektryczność stanowi potężną siłę przyrody, choć dotąd znano ją głównie z salonowych eksperymentów. Praktyczny Franklin zastosował wyniki do budowy piorunochronu: pierwsze takie urządzenie otrzymała Akademia w Filadelfii (szkoła założona z jego inicjatywy – sam nie mógł chodzić do szkoły jako dziecko i teraz pragnął ułatwić innym zdobycie wykształcenia) oraz na jego domu. To ostatnie urządzenie miało dwa dzwoneczki i młoteczek, który między nimi oscylował, dzwoniąc, kiedy atmosfera stawała się „elektryczna”. Żona Franklina, Deborah, denerwowała się tym dzwonieniem i kiedy Benjamin wyjechał, dopytywała się go w listach, jak można cały ten wynalazek wyłączyć.

Pierre Fermat: zasada najmniejszego działania dla światła (1657-1662)

Greccy geometrzy zauważyli, że światło biegnie po najkrótszej drodze, i to zarówno wtedy, gdy porusza się prostoliniowo między dwoma punktami (np. A i C), jak i wówczas, gdy po drodze odbija się od zwierciadła, biegnąc po łamanej ABC. Najkrótszej drodze odpowiada prawo odbicia: kąt odbicia równy jest kątowi padania.

fermat-heron

Rozumowanie z rysunku znajdujemy u Herona z Aleksandrii w jego Katoptryce (czyli optyce zwierciadeł). Jeśli punkt A odbijemy symetrycznie w płaszczyźnie zwierciadła (prostopadłej do rysunku), otrzymujemy A’. Drogi A’B i AB są więc równe. Zamiast ABC możemy rozpatrywać A’BC. Dowolna łamana AXC ma taką samą długość, jak A’XC. Ponieważ każda łamana biegnąca od A’ do C jest dłuższa niż odcinek prostej, więc najkrótsza droga równa jest ABC i punkt B leży wówczas na odcinku A’C. Łatwo widać, że dla takiej drogi kąt odbicia równa się kątowi padania.

W roku 1657 Pierre Fermat, radca parlamentu (czyli sądu) w Tuluzie, otrzymał w prezencie książkę poświęconą światłu.

la_lumiere_cureau_de_la-chambre

Jej autorem był Marin Cureau de La Chambre, lekarz, do którego nastoletni Ludwik XIV, przyszły Król-Słońce miał ogromne zaufanie. Fermat, urzędnik królewski, czuł się w obowiązku zajrzeć do książki doradcy tak uczonego i ustosunkowanego na dworze (zręczność dyplomatyczną autora widać i w tym, że na karcie tytułowej jego własne nazwisko złożone jest znacznie mniejszą czcionką niż nazwisko potężnego kardynała Mazarin). Książka zawierała dowód Herona. Cureau de La Chambre zwracał też uwagę, że gdy światło się załamuje, przebywana przez nie droga już nie jest najkrótsza.

fermat0

Droga ABC jest oczywiście dłuższa niż ADC na rysunku. Fermat znał, jak wszyscy, prawo załamania (prawo Snella), opublikowane przez Kartezjusza w 1637 roku. Nie zgadzał się jednak z fizycznym wyprowadzeniem tego prawa, niezbyt wierzył chyba w te wszystkie niewidzialne cząstki rozmaitych kształtów i wielkości, które miały się ze sobą zderzać i na siebie napierać, tłumacząc absolutnie wszystko: od ruchu planet i optyki, po magnetyzm i ciężkość ciał. Jako matematyk szukał wyjaśnienia elegantszego i mniej uwikłanego w trudne do sprawdzenia przesłanki. Gdyby przyjąć, że w gęstszym ośrodku światło napotyka większy opór, to należałoby drogę w ośrodku liczyć np. podwójnie. A więc nadal można podejrzewać, że światło wybiera najłatwiejszą drogę. Należałoby jednak minimalizować nie sumę dróg, lecz pewną ich kombinację, np. AB+2BC. Gęstszemu ośrodkowi odpowiadałby większy współczynnik: wyglądało to rozsądnie, gdyż u Kartezjusza światło miało „większą siłę” w ośrodku gęstszym, co nie jest zbyt intuicyjne (ani zrozumiałe). Nie chcąc wdawać się w spory na temat natury światła, Fermat unikał mówienia o jego prędkości – bowiem zdaniem kartezjan oraz Cureau de La Chambre światło rozchodzi się momentalnie. Sporów z kartezjanami, uczniami mistrza, nie uniknął, podobnie jak dwadzieścia lat wcześniej z ojcem-założycielem tej sekty filozoficznej. Fermat znany był z wysuwania twierdzeń, których nie chciało mu się albo których nie potrafił dowieść, słynnym przykładem jest jego Wielkie Twierdzenie udowodnione pod koniec XX wieku. Także i tym razem niezbyt chętnie brał się do sprawdzenia, czy rzeczywiście światło podlega zasadzie najmniejszego działania. Miał własną metodę szukania ekstremum, dość toporną z dzisiejszego punktu widzenia, zastąpioną później przez obliczanie pochodnych. W wersji Fermata prowadziła ona do długich rachunków, ale w pierwszym dniu nowego roku 1662 zakomunikował Cureau de La Chambre, że obliczenia się udały i prowadzą do znanego prawa załamania. Niemal pięcioletnie opóźnienie między wysunięciem twierdzenia a zbadaniem jego konsekwencji tłumaczył Fermat dwiema przeszkodami: po pierwsze, nie był całkiem pewien, jak należy sformułować zasadę minimum i czy prawo Snella jest ściśle słuszne. Drugą przeszkodą była, typowa dla matematyków, niechęć do długich rachunków. W tym przypadku w grę wchodziły cztery odcinki, a więc cztery pierwiastki z sumy kwadratów współrzędnych. „Obawa, że po długich i trudnych rachunkach dojdę do jakiejś fantastycznej i nieregularnej proporcji oraz moja naturalna skłonność do lenistwa pozostawiły rzecz w tym stanie aż do ostatniego napomnienia, którego udzielił mi w pańskim imieniu pan przewodniczący de Miremont. (…) Nagroda za tę pracę okazała się zupełnie nadzwyczajna, niespodziewana i szczęśliwa. Kiedy bowiem przebrnąłem przez wszystkie równania, mnożenia, antytezy i inne operacje, jakich wymaga moja metoda (…) stwierdziłem, że moja zasada daje dokładnie tę samą proporcję załamania, jaką ustalił pan Descartes. Tak bardzo zaskoczył mnie ten niespodziewany wynik, że z trudem mogłem dojść do siebie. Wiele razy powtórzyłem różne operacje algebraiczne, otrzymując stale ten sam wynik, choć moje rozumowanie zakłada, iż przejście światła przez gęste ciała jest trudniejsze niż przez rzadkie, co uważam za prawdziwe oraz niewątpliwe, niemniej jednak pan Descartes zakłada coś przeciwnego”.

Fermat zakłada więc, że nie suma dróg s_1+s_2 musi być minimalna, lecz suma ich kombinacji liniowych s_1+ns_2, gdzie n jest współczynnikiem załamania drugiego ośrodka (względem pierwszego). Łatwo widać, że jeśli przyjmiemy za prędkość światła w drugim ośrodku wielkość v=c/n (gdzie c jest prędkością w ośrodku pierwszym), to można tę zasadę sformułować jako zasadę najkrótszego czasu:

t=\dfrac{s_1}{c}+\dfrac{s_2}{v}=\dfrac{s_1+n s_2}{c}.

Fermat dumny był z otrzymania eleganckiego wyniku, lecz kartezjanie uważali go za ciekawostkę matematyczną, a nie zasadę odnoszącą się do światła. Zasada Fermata nabrała sensu dopiero dla Christiaana Huygensa, który światło uznawał za rozchodzące się zaburzenie eteru, coś w rodzaju fali nieokresowej, jak np. fala uderzeniowa. Wiedział on już, że prędkość światła jest skończona. Huygens przedstawił też elegancki dowód, że zasada Fermata prowadzi do prawa załamania Snella. Jest on wyraźnie prostszy niż obliczenie Fermata – zwykle udaje się uprościć rozumowanie, kiedy już wiadomo, dokąd prowadzi.

fermat-a-la-huygens

Porównujemy rzeczywisty bieg promienia światła ABC z fikcyjnym AFC. Budujemy prostokąt AOHB, mamy w ten sposób pewność, że AB=OH. Na BC opuszczamy prostopadłą GF z punktu G. Z prawa załamania mamy

\dfrac{\mbox{HF}}{\mbox{BG}}=\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=n.

Zachodzą też nierówności

\mbox{AF}>\mbox{OH}+\mbox{HF}=\mbox{AB}+n\mbox{BG},

n\mbox{FC}>n\mbox{GC}.

Dodając te nierówności stronami, otrzymujemy:

\mbox{AF}+n\mbox{FC}>\mbox{AB}+n\mbox{BC}.

Zmieniając nieco nasz rysunek, możemy zrozumieć przyczynę prawa załamania dla fal. Linie AA’ oraz BH to czoła fali w pierwszym ośrodku, GF oraz CC’ to czoła fali w drugim ośrodku. W czasie potrzebnym na przejście odległości HF w pierwszym ośrodku, w drugim fala przejdzie odległość BG.

fermat-huygens2

Zatem stosunek obu odległości równy jest

\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\dfrac{c}{v}=n.

Bezpośrednie wyjaśnienie zasady Fermata daje nam mechanika kwantowa albo falowa teoria światła: faza światła zależy od czasu. W sąsiedztwie ekstremum fazy zmieniają się bardzo powoli i rezultatem jest silna fala wypadkowa.

Warto może przytoczyć dzisiejszą wersję obliczeń Fermata. Jest ona banalna, co nie oznacza, że jesteśmy mądrzejsi od Fermata, ale że mamy lepsze techniki rachunkowe. Pojawiły się one już kilka lat później w rękopisach Isaaca Newtona, które niewielu widziało, a później w 1684 roku w pierwszej publikacji Leibniza na temat rachunku różniczkowego. Metoda Fermata przekształciła się w algorytmy, do których stosowania wcale nie potrzeba inteligencji, z powodzeniem robią to dziś programy w rodzaju WolframAlpha itp.

fermat

Wielkość, którą mamy zminimalizować, ma postać:

s(x)=\sqrt{(x-x_a)^2+y_a^2}+n\sqrt{((x-x_b)^2+y_b^2}.

Szukamy ekstremum tej funkcji, przyrównując jej pochodną do zera:

s'(x)=\dfrac{2(x-x_a)}{2\sqrt{(x-x_a)^2+y_a^2}}+n\dfrac{2(x-x_b)}{2\sqrt{((x-x_b)^2+y_b^2}}=0.

Łatwo spostrzec, patrząc na rysunek, że pierwszy składnik równy jest \sin\alpha, a drugi -n\sin\beta, skąd otrzymujemy prawo Snella.

J.J. Thomson: Jak powstaje fala elektromagnetyczna? (1903)

Pole elektryczne spoczywającego ładunku zachowuje się tak, jak linie prędkości cieczy (nieściśliwej). Oznacza to, że linie sił pola biegną radialnie z ładunku punktowego i każdą zamkniętą powierzchnię otaczającą nasz ładunek przecina tyle samo linii sił. Strumień pola elektrycznego jest taki sam przez każdą powierzchnię zamkniętą (taka sama objętość cieczy przepływa w jednostce czasu przez każdą powierzchnię: ciecz nie gromadzi się ani nigdzie nie ucieka, np. w czwarty wymiar, ile wpłynęło przez jedną powierzchnię, tyle musi wypłynąć przez drugą).

maxwell fluid

Zatem natężenie pola E razy pole powierzchni sferycznej o promieniu r jest stałe:

E4\pi r^2=\dfrac{q}{\varepsilon_0}\Rightarrow E=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \mbox{(*)}.

Inaczej mówiąc, kwadrat odległości w prawie Coulomba bierze się stąd, że pole powierzchni sfery rośnie jak r^2. W równaniach tych q oznacza ładunek, \varepsilon_0 stałą informującą o wielkości sił elektrycznych, jest to tzw. przenikalność próżni i jest stałą fizyczną. Najczęściej jednak mamy do czynienia nie z polami elektrostatycznymi, lecz z falami elektromagnetycznymi: dzięki tym falom widzimy na ekranie ten tekst, dzięki tym falom możemy rozmawiać przez komórkę albo obserwować wszechświat, można śmiało stwierdzić, że większość naszej jednostkowej i cywilizacyjnej wiedzy zdobyliśmy dzięki falom elektromagnetycznym.

Spójrzmy nieco inaczej na rysunek wyżej. Gdyby punkt w środku oznaczał Słońce (albo jakąś inną gwiazdę, albo dowolne źródło o symetrii kulistej), a linie były promieniami światła, to przez każdą powierzchnię zamkniętą w jednostce czasu powinna przechodzić taka sama ilość energii, inaczej mówiąc: moc przepływająca przez każdą powierzchnię byłaby taka sama – wszechświat jest dość pusty i praktycznie cała energia przepływa dalej (gdybyśmy zresztą wyobrazili sobie planetę między dwiema powłokami, to po pierwsze byłaby ona malutka w porównaniu do gwiazdy, a więc pochłaniałaby niewiele mocy, a poza tym wysyłałaby tyle watów, ile pochłania – inaczej planeta gwałtownie stygłaby albo się ogrzewała.) Równanie zapisane wyżej można by powtórzyć z niewielkimi zmianami: jeśli I to moc na jednostkę powierzchni (W/m2), czyli natężenie promieniowania gwiazdy, to możemy napisać:

I4\pi r^2=P\Rightarrow I=\dfrac{P}{4\pi r^2}.

P jest mocą gwiazdy [W], czyli ilością energii wysyłanej przez nią w jednostce czasu. Zatem natężenie fali powinno maleć jak 1/r^2, ponieważ pole powierzchni sfery rośnie jak r^2. Natężenie fali jest dla wszystkich rodzajów fal, nie tylko elektromagnetycznych, proporcjonalne do kwadratu amplitudy. Mamy zatem

I\sim E^2\sim \dfrac{1}{r^2}\Rightarrow E\sim \dfrac{1}{r}.

Pole elektryczne fali powinno być odwrotnie proporcjonalne do odległości od źródła, a nie do jej kwadratu, jak w przypadku statycznym (*). Możemy teraz zrozumieć, czemu pole elektrostatyczne trudniej zaobserwować: maleje ono bowiem z odległością szybciej niż pole fali elektromagnetycznej. Jest i drugi powód: atomy zawierają tyle samo ładunku ujemnego co dodatniego i w efekcie pola elektrostatyczne niemal się równoważą – niemal, bo ładunki dodatnie (jądra) są średnio biorąc w innym miejscu niż ujemne (elektrony), wypadkowe pole maleje w rezultacie jeszcze szybciej, z sześcianem odległości. Siły elektrostatyczne są bardzo istotne dla wiązań atomów, czyli na niewielkich odległościach.

Jak można z pola spoczywającego ładunku otrzymać pole fali elektromagnetycznej? Zacznijmy od jednostek. Skoro dla pola statycznego E maleje jak 1/r^2, to aby otrzymać zależność 1/r, musimy we wzorze (*) znaleźć dodatkowy czynnik w mianowniku o wymiarze długości (m). Pole fali elektromagnetycznej związane jest z ruchem przyspieszonym ładunku, logicznie jest przypuścić, że powinno być proporcjonalne do jego przyspieszenia a (m/s2). Mamy więc w liczniku metry podzielone przez sekundy do kwadratu. A chcielibyśmy mieć same metry, i w mianowniku. Możemy wykorzystać w tym miejscu drugą stałą fizyczną elektromagnetyzmu, tzn. prędkość światła c (pierwsza to \varepsilon_0). Jeśli przyspieszenie podzielimy przez c^2, dostaniemy taki wymiar, jak potrzeba:

\left[\dfrac{a}{c^2}\right]=\dfrac{m/s^2}{m^2/s^2}=\dfrac{1}{m}.

W wyniku tego zgadywania, zwanego uczenie analizą wymiarową, możemy przypuszczać, że pole elektryczne fali wytwarzanej przez ładunek q powinno mieć postać:

E=\dfrac{qa}{4\pi\varepsilon_0 c^2 r}f(\theta).

Włączyliśmy tu jakąś nieznaną funkcję kąta miedzy przyspieszeniem a promieniem wodzącym. Kąty są bezwymiarowe, więc nie zmienia to naszych wniosków. Zobaczymy, jak można zrozumieć mechanizm wytwarzania fali i ostatni wzór. Rozumowanie poniżej pochodzi od J.J. Thomsona, który w roku 1903 miał wykłady w Yale, gdzie je przedstawił wśród wielu innych rozważań. Fale elektromagnetyczne znane były od kilku dziesięcioleci, wkład Thomsona jest tu czysto dydaktyczny (Główną jego naukową zasługą było odkrycie elektronu, za które otrzymał Nagrodę Nobla w 1906 roku.) Rozumowanie to było zresztą wielokrotnie powtarzane przez autorów podręczników, m.in. w kursie berkeleyowskim, znanym i w Polsce.

Punktem wyjścia jest fakt, że pole elektryczne ładunku poruszającego się jednostajnie wygląda w każdej chwili tak samo jak pole ładunku spoczywającego (*) – chcąc zmierzyć pole w danym punkcie i w danej chwili, musimy wstawić do tego wzoru odległość miedzy punktem a ładunkiem obliczoną właśnie w owej chwili. Zakładamy tu, że prędkość jest niewielka w porównaniu z prędkością światła, jest to założenie do uniknięcia, choć sam Thomson niezbyt dobrze rozumiał ten punkt – było to jeszcze przed teorią względności. W każdym razie w większości przypadków, oprócz akceleratorów cząstek albo kosmicznych katastrof, założenie to jest spełnione.

Impuls typu fali elektromagnetycznej uzyskamy, gdy nasz ładunek zmieni prędkość. Wyobraźmy sobie np., że w pewnej chwili t=0 ładunek zaczął hamować. Oczywiście nie mógł stanąć w miejscu, przez pewien krótki czas \tau poruszał się z przyspieszeniem, a potem już był nieruchomy. Jak powinny wyglądać linie sił w chwili T\gg \tau? Wiemy, że informacja nie może przenosić się szybciej niż c, zatem na zewnątrz sfery o promieniu cT=OR nic jeszcze nie wiadomo, że ładunek się zatrzymał i linie sił zbiegają do punktu O’, w którym powinien się on znaleźć, gdyby nadal poruszał się jednostajnie. W pobliżu ładunku, w odległościach mniejszych niż c(T-\tau)=OP, już wiadomo, że ładunek jest nieruchomy: linie sił zbiegają się w punkcie O. Linie sił pola elektrycznego muszą być ciągłe, nie mogą się zaczynać ani kończyć w punkcie przestrzeni, gdzie nie ma ładunku. Łącząc obraz sprzed hamowania i po hamowaniu uzyskamy co następuje:

electricitymatte00thombw

(Linia sił OPP’Q, oryginalny rysunek z wykładów Thomsona, Electricity and Matter, New Haven 1912)

purcell

(Linia sił to ABCD, ta sama sytuacja w podręczniku Purcella i Morina z roku 2013)

Na pierwszym rysunku nie zaznaczono drogi hamowania, na drugim jest ona zaznaczona, ale tak, że widać, iż jest znacznie krótsza niż droga v_0 T. Do pola radialnego doszło pole skierowane poprzecznie, prostopadle do promienia wodzącego. Właśnie to pole poprzeczne zmienia się jak 1/r. Nie wiem, czy dziś łatwiej się uczyć niż przed wiekiem, z pewnością lepsze są rysunki i liczniejsze źródła wiedzy. Trzymając się oznaczeń drugiego rysunku, widzimy, że stosunek pola poprzecznego E_{\theta} do radialnego E_r równy jest

\dfrac{E_{\theta}}{E_{r}}=\dfrac{v_0 T\sin\theta}{c\tau}=\dfrac{v_0}{\tau}\dfrac{cT}{c^2}\sin\theta=a\dfrac{r}{c^2}\sin\theta.

Widzimy, że wraz z rosnącą odległością stosunek obu składowych pola jest coraz większy: daleko od źródła zostaje jedynie pole poprzeczne. Wstawiając za E_{r} wzór (*), otrzymamy pole promieniowania.

E=\dfrac{qa\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0 c^2 r}.

Jak widać, f(\theta)=\sin\theta. Ostatnia zależność oznacza, że tylko przyspieszenie ładunku prostopadłe do promienia wodzącego jest źródłem fali. Jeśli patrzymy na poruszający się ładunek i nie widzimy ruchu (bo porusza się on wzdłuż linii widzenia), nie ma promieniowania. Wyrażenie dla E_{\theta} słuszne jest dla dowolnego ruchu nierelatywistycznego. W antenach ładunki oscylują, zatem przyspieszenie zmienia się okresowo, a tym samym zgodnie z naszym wzorem zmienia się okresowo także pole elektryczne. Mamy rozchodzącą się falę elektromagnetyczną. Nie zajmowaliśmy się tu polem magnetycznym, które jest proporcjonalne do pola elektrycznego i prostopadłe do niego, a także do kierunku rozchodzenia się fali.

Uwaga nt. kątów: Natężenie fali elektromagnetycznej będzie zawierało kwadrat pola, a więc \sin^2\theta. Oczywiście, jeśli źródło złożone jest z wielu ładunków, których przyspieszenia rozmieszczone są przypadkowo i izotropowo (jak w przypadku gwiazdy), wypadkowa energia będzie niezależna od kierunku, zostanie tylko zależność od odległości.

Uwaga nt. stałych: Czasem używa się innej pary stałych: \varepsilon_0 oraz \mu_0. Zachodzi zależność:

\mu_0=\dfrac{1}{\varepsilon_0 c^2}.

Flaszki Kleista i butelki lejdejskie: elektryczny szok uczonej Europy (1745-1746)

Ważne odkrycia niemal zawsze są niespodziewane, bywają także niebezpieczne, gdyż odkrywcy zwykle są w roli ucznia czarnoksiężnika, rozpętując moce, nad którymi nie potrafią zapanować. Odkrycie butelki lejdejskiej stanowiło przełom w badaniach elektryczności. Do tej pory była ona jedynie źródłem interesujących i zabawnych pokazów. Elektron znaczy po grecku bursztyn, i to bursztyn był pierwszą substancją używaną do wywołania zjawisk przyciągania i odpychania lekkich drobnych przedmiotów w rodzaju skrawków papieru. Zauważono, że także inne materiały, jak siarka albo szkło, elektryzują się przez tarcie. Znane było doświadczenie Graya, pokazujące, że elektryczność może być przekazywana także przez ciało ludzkie.

0154.P.2.1612.1032

Stephen Gray, farbiarz, astronom i okazjonalnie demonstrator eksperymentów w Towarzystwie Królewskim, został pod koniec życia pensjonariuszem Charterhouse, czegoś w rodzaju szpitala z domem starców dla gentlemanów (pojęcie w Anglii bardzo rozciągliwe) połączonego z sierocińcem i szkołą. Do eksperymentów używał czterdziestosiedmiofuntowego chłopca zawieszonego na jedwabnych izolujących pasach. Na rysunku widzimy jeden z wariantów takiego doświadczenia. Osoba B obraca tu za pomocą przekładni szklaną kulę C, która jest pocierana ręką osoby D. Zawieszony w powietrzu chłopiec stopami dotyka kuli, podając rękę dziewczynce G (stojącej na izolacyjnej podkładce z żywicy albo smoły). Jej ręka przyciąga skrawki złotej folii leżące na gerydonie H. Na drugim rysunku mamy naelektryzowaną szklaną rurkę TT, która za pomocą brązowego drutu B połączona jest z dzwonkiem A. Młoteczek C zawieszony jest na jedwabnym sznurze i jest na przemian przyciągany oraz odpychany przez A, w rezultacie oscyluje między dzwonkami A i E, wywołując ich dzwonienie.

Georg Matthias Bose, profesor filozofii naturalnej z Wittenbergi i autor marnych francuskich wierszy, w swych eksperymentach przejawiał iście germańskie poczucie humoru. Jeden z nich, znany jako Venus electrificata, polegał na tym, by naelektryzować damę stojącą na izolowanej podkładce. Gdy następnie jakiś kawaler próbował ją pocałować, rażony był iskrą wybiegającą z warg wybranki. Innym jego popisowym doświadczeniem była „beatyfikacja”: delikwent wkładał na głowę specjalną koronę, która po naelektryzowaniu świeciła. Mimo tak bezceremonialnego podejścia do aureoli i świętości starał się Bose o uznanie wszędzie, nawet w Turcji i u Ojca Świętego Benedykta XIV. To ostatnie ściągnęło na niego represje na macierzystej uczelni, kolebce luteranizmu, spór musiał zażegnywać król Fryderyk.

bub_gb_FSJWAAAAcAAJ-xx

Jesienią 1745 roku eksperymentami elektrycznymi zajął się dziekan luterańskiej kapituły katedralnej w Kamieniu Pomorskim, Ewald Georg von Kleist. Dwadzieścia lat wcześniej studiował on w Lipsku i w Lejdzie i mógł się już wtedy zetknąć z elektrycznością, choć bezpośredniej inspiracji dostarczyły mu stosunkowo niedawne eksperymenty Bosego, m.in. uzyskiwanie iskry z wody oraz zapalanie spirytusu za pomocą elektryczności. Wyobrażano sobie wówczas elektryczność jako jakiś pewien rodzaj rodzaj subtelnej materii jakoś spowinowaconej z ogniem, mówiono nawet o ogniu elektrycznym. Eksperymenty z czerpaniem ognia z wody bądź zamianą iskry elektrycznej na rzeczywisty płomień zdawały się potwierdzać bliski związek obu tych tajemniczych substancji. Kleist pragnął naelektryzować wodę i udało mu się to w następujący sposób: butelkę napełniał częściowo wodą, rtęcią albo spirytusem, następnie zatykał korkiem, przez który przechodził drut albo gwóźdź. Jeśli trzymało się ten wynalazek w ręku, podczas gdy gwóźdź podłączony był do machiny elektrostatycznej, można było go bardzo mocno naelektryzować. Kolba średnicy czterech cali po naelektryzowaniu potrafiła powalić chłopca w wieku ośmiu bądź dziewięciu lat, jak starannie odnotował dobry dziekan (nie podając wszakże wagi chłopca). Po raz pierwszy wytworzona przez człowieka elektryczność przestała być niewinną salonową zabawą. Jak pisał Kleist, każdemu odechciałoby się całowania tak naelektryzowanej Wenus.

flasche-xx

Rysunek von Kleista z listu do Pawła Świetlickiego, diakona luterańskiego kościoła św. Jana w Gdańsku, przedstawiający jego urządzenie (z listu tego korzystał D. Gralath)

Odkrycie von Kleista było przypadkowe: nie rozumiał on, dlaczego musi trzymać swoje urządzenie w ręku, aby działało. Chcąc nagromadzić dużą ilość elektrycznego ognia, należałoby raczej izolować naczynie zamiast trzymać je w ręku i w ten sposób uziemiać. Dziś wiemy, że flaszka Kleista, jak nazywano ją czasem w Niemczech, była po prostu kondensatorem: ręka i woda z gwoździem stanowiły jego dwie okładki rozdzielone szkłem. Z punktu widzenia ówczesnej wiedzy działanie tego urządzenia było jednak niezrozumiałe. Spośród kilku uczonych, którzy otrzymali listowne doniesienia Kleista, eksperyment zdołał powtórzyć chyba tylko Daniel Gralath (a właściwie jego pomocnik Gottfried Reyger) w Gdańsku. Niedługo później, już w roku 1746, podobne doświadczenie przeprowadzono niezależnie w Lejdzie. Także i tu pierwszym odkrywcą był naukowy amator, Andreas Cunaeus, prawnik, zabawiający się eksperymentami w pracowni miejscowego profesora Pietera van Musshenbroeka. Przypadkowo zauważył on to samo co Kleist, jego eksperyment powtórzył później pomocnik profesora, Jean Nicolas Allamand, a na koniec i sam Musshenbroek, który był nim tak mocno wstrząśnięty, że, jak wyznał swemu paryskiemu koledze, nawet za całe królestwo Francji nie chciałby tego przeżyć po raz drugi.

leiden exp-x

Strach niebawem minął i elektrowstrząsy za pomocą butelek lejdejskich zaczęli wytwarzać wszyscy eksperymentatorzy, choć przez pewien czas do dobrego tonu należało informować o przypadkach konwulsji, paraliżu, zawrotów głowy itp. Żona profesora z Lipska, Johanna Heinricha Wincklera, po dwóch wyładowaniach poczuła się tak słabo, że ledwie mogła mówić. Tydzień później mąż zaaplikował jej jeszcze jedno wyładowanie, po którym krew się jej puściła z nosa. Profesor Winckler humanitarnie wstrzymał się jednak od przeprowadzania eksperymentów na ptakach, nie chcąc zadawać owym stworzeniom niepotrzebnych cierpień. Abbé Jean Antoine Nollet, mistrz pokazów fizycznych, utrzymujący się z produkcji naukowych urządzeń dla bogatych klientów, takich jak np. Voltaire i pani du Châtelet, zaprezentował w obecności króla Ludwika XV żywy łańcuch 180 grenadierów, poprzez który rozładowywała się butelka lejdejska. Wszyscy oni jednocześnie podskakiwali, co tak bardzo podobało się suwerenowi, że kazał sobie ten eksperyment powtarzać.