Evangelista Torricelli: nieskończona trąba i barometr (1643-1644)

Nauka powstająca w XVII wieku była iście rewolucyjna: podważono jednocześnie niemal cały tradycyjny system myślowy, wiedzę zgromadzoną od tysiącleci. Świat materialny zmienił się niewiele od średniowiecza, choć nauczono się żeglować po oceanach i korzystać z broni palnej. Jednak technika była wciąż prymitywna, energia trudno dostępna, a większość ludzi walczyła jedynie o przetrwanie. Zanim przeobraziła się cywilizacja, należało najpierw przebudować zawartość głów. Postęp pojęciowy jest zawsze niezmiernie trudny, trzeba pokonać własne nawyki myślowe, wyciągnąć wnioski z nowych założeń, niewielu ludzi potrafi żyć wśród tymczasowych koncepcji i bez żalu porzucać je na rzecz innych, nowych, lepiej opisujących wymykającą się rzeczywistość. M.in. dlatego niewielu jest einsteinów na świecie, mimo że nie brak ludzi bardzo inteligentnych i utalentowanych.

Evangelista Torricelli określany jest często jako uczeń Galileusza. W istocie był bardziej uczniem Benedetta Castellego, wiernego przyjaciela i okazjonalnie współpracownika mistrza z Florencji. Ze starym, niewidomym już uczonym spędził ledwie kilka miesięcy: od października 1641 r. do stycznia roku następnego, gdy Galileusz zmarł. Torricelli był już wtedy po trzydziestce i był ukształtowanym uczonym w duchu archimedesowym, gdzieś między matematyką a inżynierią i eksperymentem. Odziedziczył po Galileuszu stanowisko matematyka przy księciu Toskanii. Galileusz był także nadwornym filozofem, czyli fizykiem i astronomem, ale w owej chwili, dziesięć lat po wyroku inkwizycji, lepiej było nie kłuć w oczy władz kościelnych. Sławnego uczonego pochowano w nieoznaczonym grobie i musiało minąć sto lat, nim pozwolono na postawienie tablicy nagrobnej. Torricelli w roku 1643 stał się sławny w całej uczonej Europie dzięki rozważaniom na temat pewnej nieskończonej bryły, która miała skończoną objętość. Przypominała ona wnętrze trąby.

tromba

Bryła Torricellego powstaje z obrotu hiperboli (równobocznej) wokół jednej z asymptot. Wycinamy z niej tylko część zaznaczoną na rysunku: mamy zwężającą się, nieskończenie długą trąbę. Torricelli wykazał, że pole powierzchni takiej trąby jest nieskończone, lecz objętość jest skończona. Oszacujemy tę objętość. Dzielimy naszą bryłę na cylindryczne cienkie powłoki: leżą one jedna wewnątrz drugiej jak składany tubus. Pole podstawy takiej powłoki (wydrążonego walca) równe jest 2\pi r dr, co jest iloczynem długości okręgu i grubości naszej powłoki dr. Objętość wydrążonego walca o takiej podstawie  i wysokości h(r) możemy łatwo oszacować z góry:

dV=2\pi r dr h(r) < 2 \pi r dr \dfrac{a^2}{r}=2 \pi a^2 dr.

Zatem suma objętości wszystkich wydrążonych walców jest mniejsza niż 2\pi a^2 R, gdzie R to największy promień przekroju poprzecznego trąby. Torricelli obliczył tę objętość, stosując metodę Cavalieriego, a także przeprowadzając dowód w duchu Archimedesa. Paradoksalny wynik wzbudził zainteresowanie i komentowali go najwięksi matematycy epoki: jeśli był prawdziwy, granice matematyki matematyki zostały poszerzone.

W roku następnym został Torricelli odkrywcą barometru. Tak się zwykle mówi, bardzo upraszczając całą sprawę. On sam nie uznawał siebie za wynalazcę takiego przyrządu ani nad nim jakoś szczególnie nie pracował. Dopiero później urządzenie takie zaczęto nazywać barometrem i traktować jako przyrząd służący do pomiaru ciśnienia atmosferycznego. Torricelli niczego nie mierzył w sposób ciągły, lecz uważał swoje doświadczenie za rodzaj filozoficznego (tj. naukowego) pokazu. Chodziło w nim o istnienie próżni. Natura abhorret vacuum – natura nie znosi próżni – mawiali filozofowie scholastyczni, czerpiąc to twierdzenie od Arystotelesa. Wiadomo było z praktycznych doświadczeń inżynierów, iż nie można wciągnąć wody w rurze wyżej niż na 18 łokci. Galileusz objaśniał to siłami spoistości wody: gdy wysokość jej słupa przekracza owe 18 łokci, słup rozrywa się pod własnym ciężarem, tak jak rozerwałaby się pod własnym ciężarem dostatecznie długa kolumna z marmuru zawieszona od góry. Torricelli sądził inaczej, uważał, że słup cieczy równoważony jest ciśnieniem zewnętrznym. A skoro chodzi o równowagę, to zamiast 18 łokci wody wystarczy 5/4 łokcia i jeden cal żywego srebra (rtęci) – gdyż jego ciężar właściwy jest kilkanaście razy większy. Wystarczy wziąć szklaną rurkę długości, powiedzmy, dwóch łokci, zatopioną z jednej strony i nalać do niej rtęci. Następnie zatykamy rurkę palcem i odwracamy zatopioną częścią do góry, po czym wkładamy rurkę do naczynia z rtęcią (nikt w XVII wieku nie rozumiał, jak się zdaje, jak szkodliwe może być takie nieostrożne manipulowanie rtęcią, Newton żartował sobie, że posiwiał wcześnie z powodu używania rtęci w doświadczeniach alchemicznych, naprawdę chyba się tym jednak nie przejmował).

torr

Uczony sądził, że nad rtęcią tworzy się próżnia. A więc łatwo jest ją wytworzyć i natura się jej nie lęka. O swoich doświadczeniach napisał do Michelangela Ricciego w czerwcu 1644 roku. Pokazywał je też ojcu Marinowi Mersenne’owi, który spełniał w owych czasach rolę serwera pocztowego dla środowiska uczonych, gdy ten odwiedził go we Florencji. Nie słychać, aby Torricelli zamienił swoją odwróconą rurkę na stały przyrząd, który można z dnia na dzień obserwować. Spodziewał się chyba, że zmiany ciśnienia atmosferycznego będą większe, niż są w rzeczywistości. W tym samym liście pisał, iż żyjemy na dnie oceanu powietrza – coś podobnego sugerował kilkanaście lat wcześniej Giovanni Battista Baliani w liście do Galileusza. Torricelli mógł o takim poglądzie słyszeć. Tak czy owak nie zajmował się sprawą dłużej, dopiero kilka lat później stała się ona europejską sensacją, gdy doświadczenia podobne zaczęto powtarzać w różnych krajach, a przede wszystkim we Francji, a zagadnieniem ciśnienia atmosferycznego i istnienia próżni zajął się m.in. Blaise Pascal. Dla jego analitycznego i skłonnego do paradoksów umysłu pogląd, który przeczył jednocześnie scholastykom i „nowoczesnemu” Kartezjuszowi, musiał wydawać się wielce interesujący. Torricelli zmarł młodo, w roku 1649, i nie dożył czasów, w których uznano go za „odkrywcę barometru”. Zapewne byłby zdziwiony, że ten maleńki fragment jego naukowego dorobku doczekał się takiej sławy, podczas gdy o reszcie mało kto dziś pamięta.

List Torricellego do Ricciego.

Jego angielski przekład

 

Parabola, sounding-board i piękno geometrii

Wielka Brytania ma do dziś znakomitą tradycję uprawiania nauki za stosunkowo niewielkie pieniądze. Royal Society i inne uczone towarzystwa były długo organizacjami zrzeszającymi amatorów na równi z zawodowcami. Sprawiało to, że rozmaite dziwne eksperymenty czy obserwacje osobliwości sąsiadowały w angielskich czasopismach z rzetelnymi osiągnięciami profesjonalistów. Przynajmniej jednak za dziwactwa te rząd Jego/Jej Królewskiej Mości nie musiał wypłacać wysokich apanaży czy to w formie pensji, czy grantów na dogłębne studia nad niczym.

W 1826 roku zbudowano w Attercliffe koło Sheffield niewielki kościół. Okazało się, że występował w nim silny pogłos i choć dźwięk mowy pastora był dobrze słyszalny, to zamazany i niewyraźny. Standardowym sposobem wzmacniania dźwięku idącego od ambony do wiernych była drewniana płyta, sounding-board, umieszczana zwykle poziomo nad amboną. Odbijała ona część dźwięku w stronę publiczności. Określenie sounding-board do dziś zresztą funkcjonuje w angielszczyźnie, lecz głównie w sensie przenośnym. W Attercliffe tego rodzaju rozwiązanie nie pomogło. Toteż wielebny John Blackburn, który studiował w St. John’s College w Cambridge, sięgnął po rozwiązanie znane z geometrii od czasów starożytnych. Wiadomo, że paraboloida – powierzchnia powstająca przy obrocie paraboli wokół osi – ma własność ogniskowania promieni w jednym punkcie. Może więc także służyć jako reflektor, gdy w ognisku umieścimy źródło naszych promieni. John Blackburn obudował więc ambonę w taki sposób, że mówca znajdował się w jej ognisku, a dźwięk rozchodził się na wnętrze kościoła.

Efekty były znakomite, wielebny Blackburn opisał ze szczegółami swą konstrukcję w „The Philosophical Magazine” w roku 1829. Podobnego rozwiązania używa się do dziś, np. w mikrofonach parabolicznych zbierających dźwięk z jakiegoś kierunku i umożliwiających słuchanie rozmów ze sporej odległości.

512px-parabolicmicrophone

Innych przykładów dostarczają wszelkie teleskopy optyczne i radiowe, tu np. gigantyczny radioteleskop w Arecibo, za pomocą którego Aleksander Wolszczan odkrył pierwsze planety poza Układem Słonecznym (a macierzysty UMK zerwał z nim współpracę, bo uczony kiedyś spotykał się z jakimiś agentami SB – co godne i sprawiedliwe, a także słuszne i zbawienne – wszak mamy tylu uczonych, którzy z nikim się nie spotykali oraz niczego nie odkryli).

telescopio_arecibo_thumb

Z jakichś powodów, znanych wyłącznie wysokim komisjom ds. programów nauczania, nie uczy się w szkole nic ponadto, że parabola to wykres funkcji kwadratowej, np. y=ax^2. W sposób naturalny pojawia się ta krzywa w rzutach (gdy opór powietrza jest do pominięcia). Np. w rzucie poziomym ciało przesuwa się poziomo wciąż z tą samą prędkością początkową v, spadając jednocześnie pionowo z przyspieszeniem ziemskim g. Mamy więc dwa równania: w kierunku poziomym x położenie jest proporcjonalne do czasu, a w kierunku pionowym y – do kwadratu czasu (oś y kierujemy w dół).

\left\{ \begin{array}{l}  x=vt\\  y=\dfrac{gt^2}{2} \end{array} \right.\quad \Rightarrow \quad y=\left(\dfrac{g}{2v^2}\right)x^2=ax^2

Dokładnie tyle potrafił udowodnić Galileusz na temat rzutów (miał techniczny problem z rzutami ukośnymi, nie było jeszcze geometrii analitycznej). Rzut poziomy można zilustrować pokazem, przedstawiony zabytkowy przyrząd pochodzi z Teylers Museum w Haarlemie.

large1

Kulka stacza się po łuku z lewej strony i następnie przelatuje przez kolejne pierścienie rozmieszczone zgodnie z równaniem paraboli.

Pokażemy, że kształt paraboliczny może ogniskować promienie w jednym punkcie. Starożytni, którzy nie znali algebry, definiowali parabolę inaczej: jest to zbiór punktów równoodległych od pewnej zadanej prostej (fioletowa na rysunku)oraz od pewnego punktu F.

parabola

Łatwo pokazać, jak można konstrukcyjnie wyznaczyć punkty paraboli. Zaczynamy od P’. Wystawiamy z tego punktu prostopadłą do naszej poziomej prostej (zwanej kierownicą) oraz budujemy dwusieczną odcinka FP’: XP. Szukany punkt P paraboli leży na przecięciu obu prostych i spełnia warunki definicji paraboli. Z konstrukcji tej wynika też, że kąty FPX oraz XPP’ są równe, więc promień biegnący pionowo z góry do P odbije się w kierunku F. Ponieważ dotyczy to każdego promienia biegnącego wzdłuż osi, więc wszystkie one przetną się w F (zwanym ogniskiem).

Łatwo też pokazać, że tak wyznaczona krzywa spełnia algebraiczne równanie paraboli. Niech ognisko znajduje się w punkcie (0,f) układu współrzędnych, kierownica zaś ma równanie y=-f (na rysunku f=0,25). Równe odległości punktu (x,y) od kierownicy i od ogniska dają równanie

(y+f)^2=x^2+(y-f)^2 \Rightarrow y=\dfrac{x^2}{4f}.

Istnieje jeszcze inna definicja paraboli jako przecięcia stożka. Wyobraźmy sobie stożek, bierzemy płaszczyznę styczną do jednej z jego tworzących SR, a następnie przecinamy stożek inną płaszczyzną równoległą do tej pierwszej. Krzywa powstająca na przecięciu płaszczyzny z powierzchnią stożka będzie parabolą.

parabola_conic

Z rysunku odczytać możemy równanie krzywej. Zaczynając od okręgu na dole, mamy x^2=\mbox{PM}\cdot \mbox{MR} (jest to znane twierdzenie nt. wysokości trójkąta prostokątnego (u nas PLR). Ze środkowego rysunku (obie płaszczyzny są prostopadłe do rysunku) widać, że długość MR nie zależy od tego, na jakiej wysokości przetniemy stożek płaszczyzną prostopadłą do jego osi. Natomiast długość PM z twierdzenia Talesa jest proporcjonalna do y, mamy więc y\propto x^2. Ta ostatnia definicja sugeruje związek paraboli z innymi możliwymi przecięciami stożka: elipsą oraz hiperbolą. Ale to już całkiem inna historia.

Pierre Fermat: zasada najmniejszego działania dla światła (1657-1662)

Greccy geometrzy zauważyli, że światło biegnie po najkrótszej drodze, i to zarówno wtedy, gdy porusza się prostoliniowo między dwoma punktami (np. A i C), jak i wówczas, gdy po drodze odbija się od zwierciadła, biegnąc po łamanej ABC. Najkrótszej drodze odpowiada prawo odbicia: kąt odbicia równy jest kątowi padania.

fermat-heron

Rozumowanie z rysunku znajdujemy u Herona z Aleksandrii w jego Katoptryce (czyli optyce zwierciadeł). Jeśli punkt A odbijemy symetrycznie w płaszczyźnie zwierciadła (prostopadłej do rysunku), otrzymujemy A’. Drogi A’B i AB są więc równe. Zamiast ABC możemy rozpatrywać A’BC. Dowolna łamana AXC ma taką samą długość, jak A’XC. Ponieważ każda łamana biegnąca od A’ do C jest dłuższa niż odcinek prostej, więc najkrótsza droga równa jest ABC i punkt B leży wówczas na odcinku A’C. Łatwo widać, że dla takiej drogi kąt odbicia równa się kątowi padania.

W roku 1657 Pierre Fermat, radca parlamentu (czyli sądu) w Tuluzie, otrzymał w prezencie książkę poświęconą światłu.

la_lumiere_cureau_de_la-chambre

Jej autorem był Marin Cureau de La Chambre, lekarz, do którego nastoletni Ludwik XIV, przyszły Król-Słońce miał ogromne zaufanie. Fermat, urzędnik królewski, czuł się w obowiązku zajrzeć do książki doradcy tak uczonego i ustosunkowanego na dworze (zręczność dyplomatyczną autora widać i w tym, że na karcie tytułowej jego własne nazwisko złożone jest znacznie mniejszą czcionką niż nazwisko potężnego kardynała Mazarin). Książka zawierała dowód Herona. Cureau de La Chambre zwracał też uwagę, że gdy światło się załamuje, przebywana przez nie droga już nie jest najkrótsza.

fermat0

Droga ABC jest oczywiście dłuższa niż ADC na rysunku. Fermat znał, jak wszyscy, prawo załamania (prawo Snella), opublikowane przez Kartezjusza w 1637 roku. Nie zgadzał się jednak z fizycznym wyprowadzeniem tego prawa, niezbyt wierzył chyba w te wszystkie niewidzialne cząstki rozmaitych kształtów i wielkości, które miały się ze sobą zderzać i na siebie napierać, tłumacząc absolutnie wszystko: od ruchu planet i optyki, po magnetyzm i ciężkość ciał. Jako matematyk szukał wyjaśnienia elegantszego i mniej uwikłanego w trudne do sprawdzenia przesłanki. Gdyby przyjąć, że w gęstszym ośrodku światło napotyka większy opór, to należałoby drogę w ośrodku liczyć np. podwójnie. A więc nadal można podejrzewać, że światło wybiera najłatwiejszą drogę. Należałoby jednak minimalizować nie sumę dróg, lecz pewną ich kombinację, np. AB+2BC. Gęstszemu ośrodkowi odpowiadałby większy współczynnik: wyglądało to rozsądnie, gdyż u Kartezjusza światło miało „większą siłę” w ośrodku gęstszym, co nie jest zbyt intuicyjne (ani zrozumiałe). Nie chcąc wdawać się w spory na temat natury światła, Fermat unikał mówienia o jego prędkości – bowiem zdaniem kartezjan oraz Cureau de La Chambre światło rozchodzi się momentalnie. Sporów z kartezjanami, uczniami mistrza, nie uniknął, podobnie jak dwadzieścia lat wcześniej z ojcem-założycielem tej sekty filozoficznej. Fermat znany był z wysuwania twierdzeń, których nie chciało mu się albo których nie potrafił dowieść, słynnym przykładem jest jego Wielkie Twierdzenie udowodnione pod koniec XX wieku. Także i tym razem niezbyt chętnie brał się do sprawdzenia, czy rzeczywiście światło podlega zasadzie najmniejszego działania. Miał własną metodę szukania ekstremum, dość toporną z dzisiejszego punktu widzenia, zastąpioną później przez obliczanie pochodnych. W wersji Fermata prowadziła ona do długich rachunków, ale w pierwszym dniu nowego roku 1662 zakomunikował Cureau de La Chambre, że obliczenia się udały i prowadzą do znanego prawa załamania. Niemal pięcioletnie opóźnienie między wysunięciem twierdzenia a zbadaniem jego konsekwencji tłumaczył Fermat dwiema przeszkodami: po pierwsze, nie był całkiem pewien, jak należy sformułować zasadę minimum i czy prawo Snella jest ściśle słuszne. Drugą przeszkodą była, typowa dla matematyków, niechęć do długich rachunków. W tym przypadku w grę wchodziły cztery odcinki, a więc cztery pierwiastki z sumy kwadratów współrzędnych. „Obawa, że po długich i trudnych rachunkach dojdę do jakiejś fantastycznej i nieregularnej proporcji oraz moja naturalna skłonność do lenistwa pozostawiły rzecz w tym stanie aż do ostatniego napomnienia, którego udzielił mi w pańskim imieniu pan przewodniczący de Miremont. (…) Nagroda za tę pracę okazała się zupełnie nadzwyczajna, niespodziewana i szczęśliwa. Kiedy bowiem przebrnąłem przez wszystkie równania, mnożenia, antytezy i inne operacje, jakich wymaga moja metoda (…) stwierdziłem, że moja zasada daje dokładnie tę samą proporcję załamania, jaką ustalił pan Descartes. Tak bardzo zaskoczył mnie ten niespodziewany wynik, że z trudem mogłem dojść do siebie. Wiele razy powtórzyłem różne operacje algebraiczne, otrzymując stale ten sam wynik, choć moje rozumowanie zakłada, iż przejście światła przez gęste ciała jest trudniejsze niż przez rzadkie, co uważam za prawdziwe oraz niewątpliwe, niemniej jednak pan Descartes zakłada coś przeciwnego”.

Fermat zakłada więc, że nie suma dróg s_1+s_2 musi być minimalna, lecz suma ich kombinacji liniowych s_1+ns_2, gdzie n jest współczynnikiem załamania drugiego ośrodka (względem pierwszego). Łatwo widać, że jeśli przyjmiemy za prędkość światła w drugim ośrodku wielkość v=c/n (gdzie c jest prędkością w ośrodku pierwszym), to można tę zasadę sformułować jako zasadę najkrótszego czasu:

t=\dfrac{s_1}{c}+\dfrac{s_2}{v}=\dfrac{s_1+n s_2}{c}.

Fermat dumny był z otrzymania eleganckiego wyniku, lecz kartezjanie uważali go za ciekawostkę matematyczną, a nie zasadę odnoszącą się do światła. Zasada Fermata nabrała sensu dopiero dla Christiaana Huygensa, który światło uznawał za rozchodzące się zaburzenie eteru, coś w rodzaju fali nieokresowej, jak np. fala uderzeniowa. Wiedział on już, że prędkość światła jest skończona. Huygens przedstawił też elegancki dowód, że zasada Fermata prowadzi do prawa załamania Snella. Jest on wyraźnie prostszy niż obliczenie Fermata – zwykle udaje się uprościć rozumowanie, kiedy już wiadomo, dokąd prowadzi.

fermat-a-la-huygens

Porównujemy rzeczywisty bieg promienia światła ABC z fikcyjnym AFC. Budujemy prostokąt AOHB, mamy w ten sposób pewność, że AB=OH. Na BC opuszczamy prostopadłą GF z punktu G. Z prawa załamania mamy

\dfrac{\mbox{HF}}{\mbox{BG}}=\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=n.

Zachodzą też nierówności

\mbox{AF}>\mbox{OH}+\mbox{HF}=\mbox{AB}+n\mbox{BG},

n\mbox{FC}>n\mbox{GC}.

Dodając te nierówności stronami, otrzymujemy:

\mbox{AF}+n\mbox{FC}>\mbox{AB}+n\mbox{BC}.

Zmieniając nieco nasz rysunek, możemy zrozumieć przyczynę prawa załamania dla fal. Linie AA’ oraz BH to czoła fali w pierwszym ośrodku, GF oraz CC’ to czoła fali w drugim ośrodku. W czasie potrzebnym na przejście odległości HF w pierwszym ośrodku, w drugim fala przejdzie odległość BG.

fermat-huygens2

Zatem stosunek obu odległości równy jest

\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\dfrac{c}{v}=n.

Bezpośrednie wyjaśnienie zasady Fermata daje nam mechanika kwantowa albo falowa teoria światła: faza światła zależy od czasu. W sąsiedztwie ekstremum fazy zmieniają się bardzo powoli i rezultatem jest silna fala wypadkowa.

Warto może przytoczyć dzisiejszą wersję obliczeń Fermata. Jest ona banalna, co nie oznacza, że jesteśmy mądrzejsi od Fermata, ale że mamy lepsze techniki rachunkowe. Pojawiły się one już kilka lat później w rękopisach Isaaca Newtona, które niewielu widziało, a później w 1684 roku w pierwszej publikacji Leibniza na temat rachunku różniczkowego. Metoda Fermata przekształciła się w algorytmy, do których stosowania wcale nie potrzeba inteligencji, z powodzeniem robią to dziś programy w rodzaju WolframAlpha itp.

fermat

Wielkość, którą mamy zminimalizować, ma postać:

s(x)=\sqrt{(x-x_a)^2+y_a^2}+n\sqrt{((x-x_b)^2+y_b^2}.

Szukamy ekstremum tej funkcji, przyrównując jej pochodną do zera:

s'(x)=\dfrac{2(x-x_a)}{2\sqrt{(x-x_a)^2+y_a^2}}+n\dfrac{2(x-x_b)}{2\sqrt{((x-x_b)^2+y_b^2}}=0.

Łatwo spostrzec, patrząc na rysunek, że pierwszy składnik równy jest \sin\alpha, a drugi -n\sin\beta, skąd otrzymujemy prawo Snella.

Spirala logarytmiczna

Ponieważ pisałem o spiralach u van Gogha, więc może warto napisać trochę więcej o ich matematyce. Zdefiniujmy spiralę jako krzywą, która zawsze tworzy kąt \alpha z promieniem wodzącym z początku układu.

logarithmic_spiral

Najłatwiej równanie spirali zaleźć we współrzędnych biegunowych: położenie punktu określamy przez odległość od początku układu r oraz kąt \varphi, jaki tworzy promień wodzący z ustaloną półosią. Kąty liczymy przeciwnie do wskazówek zegara. Wielkim odkryciem XVII wieku w matematyce było zauważenie, że krzywe gładkie można traktować jak złożone z bardzo krótkich odcinków linii prostych, najlepiej nieskończenie małych odcinków (ale zawsze można sobie wyobrażać coraz mniejsze odcinki skończone). Narysujmy sobie taki nieskończenie mały odcinek spirali. Oczywiście, musimy narysować odcinek skończony (niebieski na rysunku), nieskończenie małe wielkości nie nadają się do rysowania.

logarithmic-spiral

Stałość kąta \alpha oznacza, że stały, tj. niezależny od punktu jest także jego cotangens:

\mbox{ctg}\alpha=k=\dfrac{dr}{rd\varphi}\Rightarrow \dfrac{dr}{r}=k d\varphi.

Oznaczyliśmy cotangens kąta \alpha literą k, żeby mniej pisać. Wielkość ta nie zależy od punktu spirali. Znaczy to, że gdy obracamy wektor wodzący o d\varphi, to jego nowa długość równa się

r+dr=r(1+kd\varphi).

Po dwóch obrotach o d\varphi dostaniemy r(1+kd\varphi)^2. Gdyby kąt był czasem, a k stopą procentową, to mielibyśmy procent składany: po każdym okresie d\varphi nasz kapitał rośnie o stały czynnik (1+kd\varphi). Sens geometryczny tej spirali jest więc łatwy do uchwycenia: każdy obrót o ustalony kąt oznacza wzrost promienia o ustalony procent, czyli o ustalony czynnik. Wzrost jest więc wykładniczy. Zaczynając od promienia r_0 przy kącie \varphi=0, mamy po n obrotach

r=r_0(1+kd\varphi)^n.

Skończony kąt \varphi możemy uzyskać jako złożenie bardzo wielu obrotów o mały kąt d\varphi. Będzie wówczas spełniony warunek \varphi=nd\varphi. Promień r będzie równy

r=r_0\left(1+\dfrac{k\varphi}{n}\right)^n \Rightarrow r=r_0  e^{k\varphi},

gdzie e oznacza podstawę logarytmu naturalnego (*). Wykładnicza zależność r(\varphi) oznacza, że obracając się w kierunku ujemnym, nigdy nie otrzymamy zera, a więc nasza spirala nie tylko rozwija się nieskończenie, ale i zwija w pobliżu zera nieskończenie wiele razy. Wynika to po prostu z faktu, że \varphi może przyjmować dowolne wartości rzeczywiste, dodatnie, ujemne (albo zero), a r zawsze będzie dodatnie. Nie można narysować otoczenia początku układu, bo tam spirala zwija się nieskończenie wiele razy.

logarithmicspiral

Łatwo jest też obliczyć długość spirali od punktu początkowego do danego kąta \varphi. Patrząc jeszcze raz na nasz nieskończenie mały odcinek spirali, widzimy, że całkowita jej długość jest proporcjonalna do r, a więc skończona:

ds=\dfrac{dr}{\cos\alpha}\Rightarrow s=\dfrac{r}{\cos\alpha}.

(*) Możemy sobie wyobrażać, że liczba n staje się coraz większa, ale tak aby nd\varphi=\varphi . Korzystamy z z granicy przy n\rightarrow\infty:

\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n=e^x.

Vincent van Gogh, Gwiaździsta noc: chaos i kosmos (czerwiec 1889)

W Słowniku komunałów Gustave’a Flauberta czytamy: „GENIUSZ: nie ma czego podziwiać, to tylko «neuroza»”. Niechęć i fałszywą wyższość dobrze myślącego obywatela, zmieszaną z udawanym współczuciem, znajdujemy w notatce z lokalnej gazety w Arles pod koniec roku 1888:

KRONIKA LOKALNA
Ubiegłej niedzieli pół godziny przed północą niejaki Vincent Vangogh, malarz, narodowości holenderskiej, zjawił się w domu publicznym nr 1, gdzie poprosił niejaką Rachel i wręczył jej …swoje ucho, ze słowami „proszę przechować ten cenny przedmiot”, a następnie odszedł. Policja, poinformowana o tym zajściu, którego sprawca z pewnością musiał być nieszczęsnym szaleńcem, udała się następnego ranka do mieszkania owego osobnika i zastała go śpiącego w swoim łóżku, bez żadnych prawie oznak życia.
Nieszczęśnik przyjęty został natychmiast do szpitala.

W słowach tych czuje się krzywy uśmieszek podrzędnego pismaka, który nie dostąpił jeszcze zaszczytu pisywania do szmatławca pod własnym nazwiskiem i chce nas zabawić pikantną anegdotą: wiadomo, ci artyści…
W wieku trzydziestu pięciu lat Vincent van Gogh z niezrozumiałym uporem trzyma się myśli, iż jest malarzem, choć nikt nie ceni jego płócien; nie ukończył żadnej szkoły ani nie radził sobie z typowymi ćwiczeniami rysunkowymi, powtarzano mu raczej, że się do tego nie nadaje; jest biedakiem, utrzymywanym przez niezamożnego brata, cierpi też na niemożliwą dziś do zdiagnozowania chorobę psychiczną z epizodami psychotycznymi.
Mieszczańskie społeczeństwo nie zna już właściwie pojęcia powołania: wybiera się jedynie lepszy bądź gorszy sposób zarabiania pieniędzy. Śmierć Boga dotknęła wszystkich, najbardziej może kościoły i ich funkcjonariuszy, którzy też coraz rzadziej mówią o powołaniu, rozumiejąc przez nie zazwyczaj wygodne i dostatnie życie bez kłopotów. Van Gogh, człowiek na swój sposób głęboko religijny, niezbyt cenił kapłanów i ich urzędowo administrowaną moralność.
Sto lat później Muzeum van Gogha w Amsterdamie odwiedzają każdego roku miliony widzów, w osobliwej pielgrzymce śledząc mozolne wykluwanie się artysty. Widziany na tle swoich współczesnych, nie robi specjalnego wrażenia, ulega modzie na japońszczyznę i impresjonizm, kopiuje tych, których podziwia: wielkich jak Jean François Millet czy Eugène Delacroix albo niezbyt dziś pamiętanych, jak Gustave Doré. Nie jest zręczny, nic nie przychodzi mu łatwo i nic też nie zapowiada wielkiej sztuki. Jeśli czymś się wyróżnia, to uważnością, dostrzeganiem rzeczy drobnych i ludzi niepozornych, biednych, zniszczonych, w czym nic dziwnego, bo sam jest jednym z nich. Pielgrzymka do świętego miejsca sztuki wznosi się spiralnie z piętra na piętro. Dopiero na ostatnim z nich, najwyższym, znajduje się garstka obrazów, które są racją istnienia tego muzeum i które zmieniły nasz sposób patrzenia. Ich autor spędził ten okres – ostatnie dwa lata życia – przeważnie w zakładach dla obłąkanych, z poczuciem zbliżającego się końca.
Romantyczny idea twórczego natchnienia, które niczym duch boży tchnie, kędy chce, do dziś zachowała aktualność. Oznacza to, że nic nie pomoże odmieniać słowo kreatywność przez przypadki i organizować rozmaite warsztaty, liczy się tylko powołanie, a tego nie zapewni żaden certyfikat ani dyplom. Jest ono równie rzadkie co zbawienie u kalwinów, jego znaki zaś nie zawsze łatwe do odczytania przez ludzi, których wzrok przysłania łuska. Nie znamy rzeczywistych źródeł geniuszu, nie jest on jednak z pewnością objawem choroby. Niewykluczone, że dzisiejsze antydepresanty pozbawiłyby van Gogha twórczej siły, ale nie znaczy to wcale, że wystarczy być chorym i nie przyjmować leków, aby stać się artystą podobnej miary.

Koniecznie chciałbym teraz namalować niebo gwiaździste. Często wydaje mi się, że noc jest jeszcze bogatsza w kolory niż dzień, zabarwiona najbardziej intensywnymi fioletami, błękitami i zieleniami.
Gdy zwrócisz na nie uwagę, zauważysz, że niektóre gwiazdy są cytrynowe, inne świecą różowo, zielono albo niebiesko jak niezapominajki. I jest chyba oczywiste, że aby namalować niebo gwiaździste, nie wystarczy porozmieszczać białe punkty na błękitnej czerni. (List do Willemien van Gogh 14 IX 1888)

…czy życie całe jest dla nas widoczne, czy też przed śmiercią znamy tylko jego jedną półkulę?
(…) nic o tym nie wiem, ale widok gwiazd zawsze mnie rozmarza w równie prosty sposób, jak czarne punkty wyobrażające na mapie miasta i wsie. Dlaczego, powiadam sobie, świetlne punkty na firmamencie miałyby być dla mnie mniej dostępne niż czarne punkty na mapie Francji?
Udając się do Taraskonu czy do Rouen wsiadamy do pociągu, kiedy wybieramy się do gwiazd, śmierć jest naszym sposobem lokomocji.
Jedno jest niewątpliwe w tym rozumowaniu: żywi nie możemy pojechać na gwiazdę, tak samo jak nie możemy wsiąść do pociągu umarli.
I w końcu nie wydaje się niemożliwe, żeby cholera, piasek w nerkach, suchoty, rak nie mogły być środkiem komunikacji niebieskiej, tak samo jak statek parowy, omnibus i pociąg są środkami komunikacji ziemskiej.
Umrzeć spokojnie ze starości znaczyłoby pójść do nieba pieszo. (List do Theo 9 albo 10 VII 1888)

Zapewniam cię, że jest mi tu dobrze, i na razie nie widzę powodu, dla którego miałbym zamieszkać w Paryżu albo w jego okolicy. Mam mały pokój oklejony szarozieloną tapetą, firanki są zielone, koloru wody, z motywem z bladych róż, które ożywiają cienkie kreski krwistej czerwieni. (…) przez okratowane okno widzę zamknięty kwadrat zboża – perspektywa jak u van Goyena; z rana widzę, jak nad tym polem wstaje słońce w całej swej chwale. (…) Sala, w której przebywa się w dni deszczowe, przypomina poczekalnię trzeciej klasy w jakimś zapomnianym od Boga miasteczku, tym bardziej że są tu szacowni wariaci, którzy zawsze chodzą w kapeluszu na głowie, w okularach, w stroju podróżnym i z laską w ręce – mniej więcej jak w kąpielisku nadmorskim; grają tu rolę podróżnych. (…)

Narysowałem wczoraj bardzo wielką ćmę, dość rzadką, zwaną trupia główka (w rzeczywistości Pawica gruszkówka, Saturnia pyri) w zdumiewająco dystyngowanych kolorach: czarnym, szarym, białym, cieniowaną z przebłyskami karminu bądź nieznacznie wpadającymi w oliwkową zieleń. (List do Theo, 23 V 1889)

 

papillon-de-nuitunnamed-2742px-vincent_van_gogh_-_emperor_moth_-_google_art_project

Tego ranka widziałem pejzaż z mego okna na długo przed wschodem słońca, świeciła jedynie Gwiazda Zaranna, która wydawała się bardzo wielka. (List do Theo, między 31 V a 6 VI 1889)

van-gogh-starry-night-469x376

Na stronie Moma

Próbowano odnaleźć na namalowanym niebie znane gwiazdozbiory, co się chyba tylko połowicznie udało i nie ma większego znaczenia. Świeci na nim Gwiazda Zaranna – Wenus i dziwny Księżyc: gdyby miało to być przed wschodem słońca, powinien mieć kształt pochylonej do tyłu litery C. Światła wioski są tego samego koloru co gwiazdy, to z pewnością nieprzypadkowe, tak samo jak nieprzypadkowe są dwa pionowe akcenty obrazu: płomienisty cyprys i wieża wiejskiego kościółka Saint Martin. W oczach van Gogha natura ważyła więcej niż ludzkie obrzędy.

Arystofanes wyśmiewał filozofię w osobie Sokratesa, co bamałuci tylko młodzieńców, szerząc bezbożność (jak wiemy, za to właśnie filozof skazany został na śmierć przez wypicie cykuty – satyryk po stronie siły to postać doprawdy ohydna). Owóż ta arystofanesowa kreatura Sokratesa naucza, że nie istnieje Zeus, a światem rządzą chmury.

– A któż to je zmusza, jeśli nie Zeus, by się ruszały i tłukły?
– Nie żaden Zeus, lecz powietrzny wir. (przeł. J. Ławińska-Tyszkowska)

Dla Greków kosmos był przeciwieństwem chaosu. Słowa kosmos – znaczącego tyle, co piękny ład, regularny porządek (z tego samego rdzenia mamy kosmetykę, czyli sztukę upiększania) – w odniesieniu do wszechświata użył Pitagoras. Chaos przerażał Greków, dlatego wir powietrzny albo atomy Demokryta były doktryną wywrotową, która burzy państwo i porządek. Napięcie między boskim ładem i niezliczonymi atomami, drobinami krążącymi i pulsującymi w próżni, przez długie wieki wydawało się nieusuwalne.

Niebo gwiaździste van Gogha to nie tylko dalekie światła, lecz także porywający wszystko spiralny wir. Uczeni komentatorzy zastanawiali się nad owymi spiralami. Van Gogh mógł gdzieś widzieć rysunki mgławic spiralnych, obserwowanych wówczas przez jeden tylko przyrząd na świecie, wielki teleskop lorda Rosse’a. Były one reprodukowane w niezliczonych książkach i czasopismach. Nikt nie rozumiał dobrze, czym są owe spirale ani skąd się biorą (tego drugiego nie wiemy zbyt dokładnie także i dziś). Nie wiedziano też, czy chodzi o zbiorowiska gwiazd, czy obłoki gazu, a może są to tworzące się nowe układy planetarne?

f3-large

Kształt spiralnych ramion wielu galaktyk bliski jest spirali logarytmicznej. To osobliwa krzywa, którą Jakob Bernoulli kazał wyryć na swoim nagrobku z napisem: resurgo eadem mutata – zmieniona odradzam się ta sama (wyryto mu jednak spiralę Archimedesa bez porównania banalniejszą).

logarithmic_spiral

Rysunek http://www.daviddarling.info/encyclopedia/L/logarithmic_spiral.html

Spiralę taką zatacza jastrząb, polując na zdobycz, którą stara się widzieć stale pod tym samym kątem do kierunku lotu – z tego powodu krzywa ta bywa nazywana spiralą równokątną. Aby dotrzeć do punktu środkowego, trzeba nieskończenie wielu okrążeń, choć droga przebywana przy tej okazji jest skończona. Spiralę taką zataczają ćmy wokół lampy, uczeni wyjaśniają to błędem nawigacji: zachowując stały kąt względem Księżyca ćma leci po linii prostej, zachowując natomiast stały kąt do lampy, zatacza śmiertelną spiralę.

Oli

Przekłady listów do Theo wg J. Guze, z niewielkimi zmianami i uzupełnieniami, datowanie wg http://vangoghletters.org/vg/letters.html.

 

Jak Ptolemeusz nie odkrył prawa Snella

Klaudiusz Ptolemeusz był astronomem i astrologiem, wierzył zapewne w boskość ciał niebieskich i studiowanie ich ruchów traktował jako udział w pewnym misterium. Bo też zrozumienie każdej, nawet drobnej tajemnicy świata ma w sobie coś z misterium i z obrzędu wtajemniczenia. Nie trzeba do tego mieszać ludzi w szatach rytualnych, profesjonalistów, którzy zazwyczaj niczego nie rozumieją. Nie potrzeba pleść o Bogu, o którym wszyscy wiemy bardzo niewiele.

Wyjaśnienie ruchu planet musiało Ptolemeuszowi przynieść wielką satysfakcję: dokończył dzieła wielu pokoleń. My dzisiaj patrzymy na jego teorię jak na wstęp do Kopernika i Keplera, lecz przez czternaście wieków uważano ją za niedościgniony wzór. Geocentryzm nikomu właściwie nie przeszkadzał, był oczywisty, tak jak my uważamy za oczywistość, że Ziemia się porusza, choć nie każdy potrafiłby wskazać doświadczalne dowody tego faktu. Ptolemeusz zresztą doskonale sobie zdawał sprawę z możliwości ruchu Ziemi, odrzucał ją przedstawiając pewne argumenty, a więc nie z braku wyobraźni.

Był zawodowym uczonym, zajmował się całością nauk matematycznych, a więc także geografią i skalami muzycznymi oraz optyką. Pierwszy opisał ilościowo i doświadczalnie zbadał zjawisko załamania światła. Używał do tego następującego przyrządu.

ptolemy_refraction

Światło biegnie po łamanej ZEH, DEB jest linią rozdziału dwóch ośrodków, np. na dole mamy wodę albo szkło (w kształcie połowy walca), a u góry powietrze. Koło zaopatrzone jest w podziałkę w stopniach. Uczony mierzył kąty padania i oraz załamania r. Oto jego wyniki dla granicy powietrze-woda.

 

i r
10 8
20 15,5
30 22,5
40 29
50 35
60 40,5
70 45,5
80 50

Jest to rzadki przypadek starożytnej pracy eksperymentalnej poza astronomią. Optyka była przedłużeniem astronomii, więc dość naturalne było zainteresowanie zjawiskami świetlnymi. Tabelka Ptolemeusza nie jest jednak do końca wynikiem doświadczalnym, zauważymy to, analizując dokładniej wartości kątów załamania i ich różnice.

i r pierwsze różnice drugie różnice
10 8 8
20 15,5 7,5 -0,5
30 22,5 7 -0,5
40 29 6,5 -0,5
50 35 6 -0,5
60 40,5 5,5 -0,5
70 45,5 5 -0,5
80 50 4,5 -0,5

Uczony najwyraźniej „poprawiał” surowe dane eksperymentalne, być może nawet nie wykonał wszystkich pomiarów, zachował się jak niesumienny student podczas zajęć laboratoryjnych: i tak przecież wiadomo, co ma wyjść. Nie należy z tego powodu wszczynać larum, że przyłapaliśmy Ptolemeusza na oszustwie: w jego czasach i jeszcze bardzo długo potem starano się raczej uzyskać pewną formułę, jakiś rodzaj matematycznego zrozumienia zamiast relacjonować listę wyników obarczonych błędami. Teoria i eksperyment spotykały się w nieco innym miejscu niż dziś. Ptolemeusz zapewne chciał po inżyniersku rozumieć, skąd się biorą liczby w jego tabelce. Funkcja liniowa tu nie pasuje, bo wówczas różnice byłyby stałe. Jeśli drugie różnice (czyli różnice kolejnych różnic) są stałe, to znaczy, że opisujemy obserwowaną zależność funkcją kwadratową (*). Jej wykresem będzie parabola.

woda

Czerwone kropki są prawidłowymi wynikami dla kątów załamania w wodzie. Błędy nie są wielkie, choć znacznie przewyższają niedokładności tolerowane wówczas w astronomii. Podobne dane przedstawia Ptolemeusz dla szkła, także i one są dopasowane do paraboli.

szklo

W istocie Ptolemeusz stracił okazję do odkrycia prawa bardziej zadowalającego pod względem matematycznym. Podał on bowiem także wyniki dla załamania z wody do szkła. Także i tym razem dopasował je do funkcji kwadratowej, choć z pewnymi anomaliami. Nie zauważył jednak, że skoro ma dane dla granic ośrodków powietrze-woda oraz szkło-woda, to kąty dla załamania z wody do szkła powinny już wynikać z poprzednich danych. Wystarczy bowiem wyobrazić sobie następującą sekwencję ośrodków: woda-powietrze-szkło. Dla obu granic znamy zależności miedzy kątami po obu stronach (Ptolemeusz wiedział, że kierunek biegu promieni nie ma znaczenia w załamaniu, wyobrażał sobie zresztą nie promienie świetlne, lecz promienie wzrokowe, które wybiegają z oka). Możemy sobie następnie wyobrazić, że warstwa powietrza staje się coraz cieńsza: kąty w wodzie i w szkle cały czas są takie same, logicznie jest więc przypuścić, że pierwsze dwie zależności dają nam tę trzecią (woda-szkło). Ptolemeusz nie poszedł tą drogą i chyba nie zauważył, że przybliżenie kwadratowe jest nie do utrzymania dla trzeciej pary ośrodków. W gruncie rzeczy prawo Snella, choć takie proste, wymaga spojrzenia na zjawisko załamania w odpowiedni sposób, mieści w sobie od razu pewną teorię. Nie miejmy za złe Ptolemeuszowi w II w.n.e., że nie poradził sobie z problemem, który jeszcze na początku wieku XVII okazał się za trudny dla samego Johannesa Keplera. Ostatecznie prawo załamania odkrył Ibn Sahl, żyjący w X wieku, kiedy nasi przodkowie kryli się po lasach, a w XVII wieku niezależnie od siebie Thomas Harriot, Willebrord Snell i René Descartes. Tylko ten trzeci opublikował to prawo, a także jego mechaniczne uzasadnienie, zresztą fałszywe.

(*) Łatwo zauważyć, że różnice dla funkcji kwadratowej są liniową funkcją argumentu. W przypadku biegu promieni z powietrza do wody Ptolemeusz stosuje (niejawnie) funkcję

r=\dfrac{33}{40}i-\dfrac{1}{400}i^2.

Funkcja odwrotna nie jest już kwadratowa (musimy rozwiązać ostatnią równość względem i). Zatem złożenie tej funkcji odwrotnej z funkcją kwadratową nie może nam dać funkcji kwadratowej dla trzeciej pary ośrodków.

Dane Ptolemeusza

 

Robert M. May, Mitchell Feigenbaum i początki teorii chaosu (1975-1978)

Niektórzy uważają nauki ścisłe za nudne, ponieważ wszystko się w nich oblicza i wszystko poddane jest rygorom jakichś praw i formuł, w których brak rzekomo miejsca na twórczą swobodę. Okazuje się jednak, że nawet najprostsze wzory matematyczne prowadzić mogą do nieprzewidywalnych wyników.

Robert M. May zaczynał jako fizyk teoretyczny, potem zajął się matematyką stosowaną, a tak naprawdę jej zastosowaniami w biologii. Zwrócił on uwagę na niezwykłe własności prostego odwzorowania. Załóżmy, że chcemy modelować liczbę organizmów w jakimś zamkniętym środowisku w różnych latach. Organizmy się rozmnażają, więc ich liczba w danym roku x_{n+1} zależy od ich liczby w roku poprzednim x_{n} :

x_{n+1}=r x_{n},

gdzie parametr r oznacza współczynnik związany z przyrostem naturalnym. Jeśli r>1, to przyrost naturalny jest dodatni. Oznaczałoby to, że liczba naszych organizmów będzie rosła coraz szybciej, tworząc ciąg geometryczny. Byłby to przypadek eksplozji demograficznej albo sepsy. Zazwyczaj wzrost hamowany jest dostępnością pożywienia: im więcej jest organizmów, tym trudniej o pożywienie. Jeśli nasza nisza ekologiczna jest skończona, to możemy użyć zmodyfikowanej postaci poprzedniego wzoru:

x_{n+1}=r x_{n} (1-x_{n}),

Liczbę organizmów przedstawiamy teraz jako ułamek pewnej wartości maksymalnej, w ten sposób nasze x_{n} zawarte są w przedziale [0,1]. Efektywny współczynnik przyrostu jest teraz równy r (1-x_{n}) , maleje więc w miarę zapełniania się środowiska. Otrzymujemy w ten sposób proste równanie pozwalające obliczać liczbę organizmów w kolejnych pokoleniach. Odwzorowanie takie nazywa się logistycznym, uwzględnia ono skończoność zasobów i nadal jest stosunkowo proste. Zależy ono tylko od jednego parametru r, który powinien znajdować się w przedziale [0,4], żeby wynik kolejnej iteracji nie wyprowadził nas poza przedział [0,1], co w naszym modelu nie miałoby sensu. Robert May zdał sobie sprawę, że zachowanie odwzorowania logistycznego bywa zaskakujące i nietrywialne. W 1976 roku ogłosił w „Nature” artykuł o „prostych modelach matematycznych z bardzo złożoną dynamiką”. Głównym przykładem było odwzorowanie logistyczne.

Co może się stać, gdy zaczniemy wykonywać kolejne iteracje? Przy pewnym szczęściu mogłoby się okazać, że x=r x(1-x), Mamy wówczas punkt stały: za każdym razem dostaniemy to samo. Jeśli jednak zaczniemy od innej wartości, należy się spodziewać, że z czasem sytuacja będzie dążyć do stanu równowagi. Rzeczywiście tak się dzieje dla r<3. Np. dla r=2,9, startując z punktu x_0=0,5, otrzymamy oscylacje dążące do pewnej granicy. Jej wartość nie zależy od x_0, rozwiązanie dąży do punktu stałego.

image

Mamy więc dążenie do równowagi ekologicznej. Można tę sytuację zilustrować następującym wykresem:

r290

Mamy tu wykresy dwóch funkcji y=rx(1-x) oraz y=x. Startujemy z x_0=0,5, wynikiem pierwszej iteracji jest wartość leżąca na paraboli pionowo nad x_0. Chcemy następnie, aby wartość ta była punktem wyjścia do następnej iteracji: rysujemy więc odcinek poziomy aż do przecięcia z prostą y=x. Opuszczając teraz odcinek pionowy na parabolę, generujemy następny punkt, a przesuwając go poziomo do przecięcia z y=x, mamy punkt wyjścia dla iteracji nr 2. Widać, że punkty dążą do punktu stałego, który odpowiada przecięciu obu naszych wykresów funkcji.

Weźmy teraz wartość r=3,2. Oto, co dostajemy z iteracji: po pominięciu pewnej liczby początkowych wartości nasz wykres zaczyna oscylować:

image (1)

Zamiast równowagi ekologicznej mamy zależność okresową. Wykres pajęczynowy wygląda następująco:

r3.20

Dla jeszcze większych wartości, np. r=3,5 zamiast równowagi, dostajemy cykl o okresie cztery:

image (2)

 

r350

Co dalej? Można się domyślić, że teraz nic już nie zatrzyma kolejnych podwojeń. Nasze okresowe cykle będą się rozdwajać na cykle o podwojonym okresie. Wreszcie dla jeszcze większych wartości parametru r dostaniemy zachowanie chaotyczne, tak jakby okres stał się nieskończony.

image (5)

r380

Okazuje się, że to jeszcze nie koniec komplikacji: otóż dla pewnych wartości r powyżej progu chaotyczności, ponownie otrzymujemy wartości okresowe.

image (7)

r3832

Ten okres równy 3 podwaja się dla nieco większych wartości, w sumie obraz jest dość skomplikowany, i o tym właśnie napisał Robert M. May.

bifurkacje may

Tak przedstawiał się wykres w pracy z roku 1976. Na osi poziomej mamy parametr r, na pionowej wartości x. W istocie sytuacja jest znacznie skomplikowana, niż wówczas sądzono. Oto jakiś jej zwiastun:

tmp_m6W9Wb

Widzimy tu podwojenia i potem następne podwojenia. Wykres ten ma strukturę fraktalną: jego małe fragmenty są w powiększeniu takie jak większe. Łatwo go obejrzeć z większą rozdzielczością. Możemy też sami się pobawić oglądaniem tej struktury.

 

Większość wartości r powyżej 3,56995 wykazuje zachowania chaotyczne. Oznacza to np., że można by kolejnych tak generowanych liczb używać jako liczb pseudolosowych (niemal każda wartość początkowa prowadzi do innego ciągu).

W tym miejscu mogłoby się wydawać, że odwzorowanie logistyczne, dane równaniem kwadratowym jest jakoś wyróżnione. Okazuje się wszakże, że inne krzywe mające maksimum będą prowadzić do podobnych rezultatów. Odkrył to Mitchell Feigenbaum, potomek uchodźców z Polski (ojciec) i z Ukrainy (matka), który zrobił doktorat z cząstek elementarnych, długo nie publikował i jest człowiekiem dość ekscentrycznym. Bawił się on namiętnie wszystkim, co służyło do liczenia, aż wpadł mu w ręce pierwszy programowalny kalkulator HP-65. Za jego pomocą dokonał słynnego odkrycia uniwersalności w dochodzeniu do chaosu. Gdy rozpatrzymy kolejne wartości progów, przy których podwaja się okres, otrzymamy dla odwzorowania logistycznego, co następuje:

n 2^n r_n r_{n}-r_{n-1} ilorazy
1 2 3
2 4 3,44949 0,44949
3 8 3,54409 0,0946 4,751479915
4 16 3,564407 0,020317 4,656199242
5 32 3,5687594 0,0043524 4,667999265
6 64 3,5696916 0,0009322 4,66895516

Ponieważ liczyło się to długo, więc Feigenbaum próbował odgadywać, przy jakiej wartości pojawi się następny próg. Różnice kolejnych wartości bardzo szybko maleją. Feigenbaum odkrył, że

\dfrac{r_{n+1}-r_{n}}{r_{n+2}-r_{n+1}}\rightarrow 4,669201.

Okazało się, że jeśli zastąpić krzywą logistyczną jakąś inną funkcją o podobnym przebiegu, np. połówką sinusoidy, granica ta pozostanie taka sama. Wśród całego tego chaosu coś pozostaje stałe. Wartość tę nazywa się dziś Deltą Feigenbauma. Można ją też oglądać w zbiorze Mandelbrota: gdy powiększamy odpowiedni jego fragment przesuwając się przy tym, obserwujemy kolejne okręgi o promieniach w stosunku stałej Feigenbauma.

Mandelbrot_zoom

 

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Self-similarity

Z podobnym zjawiskiem uniwersalności spotykamy się w dziedzinie przejść fazowych, gdzie także obowiązują prawa skalowania i wykładniki w tych prawach powtarzają się dla wielu różnych układów. Praca Feigenbauma przyniosła mu sławę: nie każdy odkrywa jakąś nową stałą matematyczną. Jest to pewnie jedyny przypadek, aby za pomocą kalkulatora dokonano istotnego odkrycia, niebawem narzędziem stały się komputery, sam Feigenbaum też ich potrzebował, aby dokładniej znaleźć wartość swoich stałych (bo jest jeszcze jedna). Z początku niezbyt ścisłe argumenty oraz eksperymenty numeryczne były jego głównym osiągnięciem, miał w związku z tym spory kłopot z publikacją: przez kilka lat różne pisma odrzucały jego artykuł, który dopiero w 1978 ukazał się on w „Journal of Statistical Physics”. Recenzenci dość często nie wiedzą, co zrobić z pracą zanadto nowatorską i niesztampową. Żyjemy w czasach nauki biurokratycznej, choć realny postęp niekoniecznie nadchodzi z przewidywalnych kierunków.

Arkusz Google’a z odwzorowaniem logistycznym