Johann Bernoulli i brachistochrona – krzywa najszybszego spadku (1697)

W roku 1691 Johann Bernoulli, młody matematyk bez stałych dochodów, w jednym z paryskich salonów spotkał nieco starszego markiza de L’Hôpital, wielkiego amatora matematyki. Bernoulli zrobił piorunujące wrażenie pokazując swój niepublikowany wynik dotyczący promienia krzywizny dowolnej krzywej. Szwajcar był w tym okresie najwybitniejszym w Europie, a więc i na świecie, ekspertem, znającym nowe metody rachunku różniczkowego i całkowego Leibniza. Tylko Newton w Anglii umiał więcej, ale w tym czasie Anglik coraz mniej zajmował się nauką, wkrótce zamieszkał w Londynie i zajął się nadzorowaniem królewskiej mennicy. Markiz de L’Hôpital zaczął brać u Bernoulliego lekcje, a po trzech latach zaproponował następujący układ: będzie Szwajcarowi wypłacał pensję roczną wysokości co najmniej 300 liwrów w zamian za możliwość dyskretnego otrzymywania części jego wyników naukowych wraz z możliwością publikowania ich przez markiza jako własne. Kiedy w 1696 roku markiz ogłosił anonimowo książkę Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes („Analiza nieskończenie małych w celu badania linii krzywych”) – pierwszy podręcznik rachunku różniczkowego i całkowego, umowa się załamała, i to pomimo faktu, że w przedmowie de L’Hôpital zadeklarował ogólnikowo, iż wiele zawdzięcza Johannowi Bernoulliemu. Szwajcar zrozumiał, że sprzedał w ten sposób najlepszą cząstkę siebie i potem pilnował się, by tego błędu więcej nie powtórzyć. Kto uczył się o granicach funkcji, spotkał zapewne regułę de L’Hôpitala – to skutek owej umowy, regułę wymyślił Johann Bernoulli, ale po dziś dzień wszyscy nazywają ją regułą de L’Hôpitala.

Johann_Bernoulli

To, niestety, portret z ok. 1740 roku. W młodości chyba nie było go stać na portrecistów.

 Rachunek różniczkowy i całkowy stał się podstawą fizyki, a także różnych dziedzin inżynierskich. W szczególności można było teraz rozwiązywać w sposób systematyczny różne problemy związane z osiąganiem maksimum albo minimum danej funkcji. Pojawiły się także problemy bardziej ogólne, w których szukamy nie jakiegoś punktu na krzywej, ale samej krzywej. Np. mamy zadane dwa punkty i interesuje nas, jaką krzywą należy te dwa punkty połączyć, aby koralik nanizany na krzywą i ślizgający się bez tarcia dotarł do punktu położonego niżej w najkrótszym czasie. Możemy sobie wyobrażać (albo budować z drutu) różne krzywe i dla każdej sprawdzać, ile czasu zajmie koralikowi przebycie całej drogi. To jest właśnie problem brachistochrony – czyli krzywej najkrótszego spadku.
Johann Bernoulli w roku 1696 znalazł rozwiązanie i nie opublikował go, lecz rzucił wyzwanie innym matematykom, by także znaleźli rozwiązanie, jeśli potrafią.
Prędkość naszego koralika zależy tylko od wysokości, dla ślizgania bez tarcia słuszna jest zasada zachowania energii mechanicznej: ile koralik straci energii potencjalnej, tyle zyska kinetycznej.

brachistochrone

Obrazek ze strony http://www.mathcurve.com/courbes2d/brachistochrone/brachistochrone.shtml

Moglibyśmy połączyć punkty linią prostą, ale widzimy, że nie jest to najlepszy pomysł, chociaż droga przebywana przez koralik jest wtedy najkrótsza. Nabiera on jednak zbyt wolno prędkości. Nasz koralik ma największe przyspieszenie, spadając pionowo. Ale wówczas musi przebyć jeszcze odcinek poziomy i łączna droga jest za duża (załamanie krzywej nie ma znaczenia, można sobie wyobrażać, że jest to ciasny zakręt, a nie ostre załamanie), czas jest krótszy niż poprzednio, ale nie najkrótszy. Rozwiązaniem jest łuk cykloidy. To krzywa zataczana przez punkt na obwodzie toczącego się koła. Punkt wykonuje okresowe podskoki na wysokość równą średnicy koła. Odwrócona cykloida stanowi rozwiązanie problemu Bernoulliego.

Cycloid_f

Problem nie był aż tak trudny, jak Bernoulli sądził. Leibniz przysłał mu rozwiązanie natychmiast, gdy z listu dowiedział się o problemie. Bernoulli miał jednak nadzieję, że problem ten okaże się za trudny dla Newtona.
Właśnie zaczynał się spór o autorstwo nowej matematyki między Leibnizem i Newtonem. Niemal nikt na kontynencie nie chciał uwierzyć, że Newton kilkanaście lat przed Leibnizem posunął się bardzo daleko w rachunku różniczkowym i całkowym (u niego nazywało to się fluksje i kwadratury). Takie wyrażenia jak ów wzór na promień krzywizny, które tak zadziwił markiza de L’Hôpital, Newton uzyskał jeszcze w latach sześćdziesiątych. Nic z tego nie opublikował, niektóre fragmenty w rękopisie znali wybrani uczeni angielscy. Ponieważ nie publikował, trudno było teraz udowodnić, że tak wcześnie uzyskał istotne wyniki. Działało to także w drugą stronę: Newton, zawsze podejrzliwy, uznał, że to Leibniz musiał coś zaczerpnąć z jego rękopisów, kiedy odwiedził Anglię (nie spotkali się osobiście, ale Leibniz konferował z ludźmi posiadającymi pewne prace Newtona). W niezależne odkrycie tych samych technik nie bardzo wierzył – nie grzeszył skromnością, ale też nie znał nikogo, kto by mu dorównywał, więc właściwie było to proste uogólnienie obserwacji. Teraz, podrażniony wyzwaniem, zostawił na parę godzin sprawy mennicy i rozwiązał zagadnienie brachistochrony, burcząc, że nie lubi, kiedy go zaczepiają cudzoziemcy i odrywają od pilnowania interesów Korony.
Problem nie był aż tak trudny, rozwiązał go także markiz de L’Hôpital i starszy brat Johanna, Jakob, także wybitny matematyk. Rozwiązania zostały opublikowane w „Acta Eruditorum” w 1697 roku. Było to jednak zadanie, z którym wtedy potrafiło sobie poradzić zaledwie kilka osób. Później powstała specjalna gałąź matematyki, rachunek wariacyjny, badająca w sposób systematyczny różne zagadnienia tego typu.

Jakie warunki musi spełniać brachistochrona? Istnieje w przyrodzie coś, co porusza się tak, aby czas ruchu był najkrótszy. Tym obiektem jest światło. Wybiera ono drogę odpowiadającą najkrótszemu czasowi. (Zauważył to niegdyś Pierre Fermat, autor słynnego twierdzenia). Dla światła zachodzi też prawo załamania Snella. Zwykle zapisuje się je za pomocą współczynnika załamania, co zaciemnia związek z prędkością. Tymczasem prawo załamania mówi po prostu tyle, że sinus kąta (do normalnej rozdzielającej ośrodki) jest proporcjonalny do prędkości w danym ośrodku:

\sin\alpha=kv,

gdzie k jest stałe dla danego promienia. (Dlatego kąt w powietrzu jest większy niż w wodzie: bo prędkość światła w powietrzu jest większa niż w wodzie.) W przypadku ruchu koralika kwadrat jego prędkości w punkcie P jest proporcjonalny do wysokości, z której spadł od początku swego ruchu:

v^2=2gh,

gdzie g jest przyspieszeniem ziemskim. Prędkość zależy więc jedynie od wysokości. Możemy wyobrażać sobie zamiast ruchu koralika rozchodzenie się światła w ośrodku, w którym prędkość zależy od wysokości.

cyclo_brachisto_s

 

Przypomina to nieco drogę światła w atmosferze ziemskiej, która ma różną gęstość na różnych wysokościach. Promień światła biegnie po linii krzywej – oczywiście w przypadku atmosfery efekt ten jest niewielki, choć ważny dla astronomów i znany od wieków (nazywa się refrakcją astronomiczną). Łącząc nasze dwa równania, możemy napisać:

\sin^2\alpha=k^2v^2=2gk^2 h\equiv \dfrac{h}{2r} \mbox{ (*).}

Oznaczyliśmy przez 2r największą głębokość, na jaką zsunie się nasz koralik, wówczas kąt \alpha=90^\circ i koralik-światło będzie poruszać się poziomo. Odpowiada to dnu cykloidy.
Możemy teraz sprawdzić, że cykloida spełnia warunek (*). Wyobraźmy sobie cykloidę zataczaną przez punkt P leżący na obwodzie koła o promieniu r. W chwili początkowej punkt P pokrywał się z początkiem układu, teraz odtoczył się do pewnego położenia P, tak jak na rysunku.

cycloid-1

Wektor prędkości punktu P jest prostopadły do odcinka SP. Łatwo to zrozumieć, zauważając, że toczące się koło ma w każdym momencie jeden nieruchomy punkt – jest nim punkt styku z podłożem S. Koło obraca się chwilowo wokół punktu S. Zatem chwilowa prędkość punktu P musi być prostopadła do odcinka SP i trójkąt SPQ jest prostokątny (SQ musi być średnicą koła – kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym). Gdy przyjrzymy się trójkątom prostokątnym na rysunku, stwierdzimy, że zachodzą równości:

\sin\alpha=\dfrac{SP'}{SP}=\dfrac{h}{SP}\mbox{ oraz }\sin\alpha=\dfrac{SP}{2r}.

Mnożąc je stronami, otrzymamy wzór (*). Zatem cykloida jest brachistochroną. Oczywiście, trochę oszukujemy (za Bernoullim!), korzystając z własności światła: w gruncie rzeczy nie chodzi jednak o światło, a o fakt, iż najkrótszy czas ruchu wiąże się z prawem załamania. Postaram się kiedyś napisać, jak Fermat doszedł do swej zasady najkrótszego czasu i co to ma wspólnego z prawem załamania.

DODATEK DLA ZNAJĄCYCH POJĘCIE POCHODNEJ

Wzór (*) możemy zapisać przez współrzędną y punktu P, wyznaczając z niego y, otrzymujemy

-y=2r\sin^2\alpha=r(1-\cos2\alpha).

Potraktujemy to jako jedno z równań parametrycznych naszej krzywej, parametrem jest kąt \alpha z osią y. Jeśli nasza krzywa biegnie pod kątem \alpha do osi y, to dla niewielkich przyrostów przyrostów funkcji wzdłuż krzywej mamy

\Delta x=-\Delta y\tan\alpha .

(tan oznacza tangens). Dzieląc to przez \Delta\alpha i przechodząc do granicy, dostaniemy pierwszą równość w

\dfrac{dx}{d\alpha}=-\tan\alpha\dfrac{dy}{d\alpha}=2r\tan\alpha\sin2\alpha=4r\sin^2\alpha=2r(1-\cos2\alpha).

Ostatnie wyrażenie możemy scałkować i otrzymamy wówczas:

x=r(2\alpha-\sin 2\alpha).

Otrzymaliśmy parametryczne równania cykloidy, zwykle kąt 2\alpha zapisuje się jako \varphi – ma on sens kąta obrotu naszego koła generującego cykloidę od chwili początkowej.
Warto też zwrócić uwagę, że dwa zadane punkty łączy tylko jedna cykloida. Załóżmy, że mamy dane punkty O i A.

cycloid_single

Rysujemy cykloidę zakreślaną przez koło o promieniu 1. Cykloida ta przetnie prostą OA w jakimś punkcie P. Należy teraz zatoczyć cykloidę za pomocą koła o promieniu r równym

r=\dfrac{OA}{OP},

przejdzie ona przez punkt A. Wynika to stąd, że każda cykloida ma tylko jeden parametr określający jej kształt, a mianowicie promień koła, które się toczy. Jeśli znajdziemy właściwy promień, to nie ma już żadnej swobody wyboru naszej cykloidy.

Reklamy

Markiza du Châtelet atakuje sekretarza paryskiej Akademii nauk, 1740

W roku 1740 ukazała się anonimowo książka Institution de physique („Podstawy fizyki”). Cały Paryż wiedział, że autorką jest arystokratka, Gabrielle Émilie Le Tonnelier de Breteuil, po mężu markiza du Châtelet, dama znana z zainteresowań filozofią i naukami matematycznymi, wieloletnia  partnerka Voltaire’a, mieszkająca z nim razem w swoim château w Cirey. Książka napisana była w celu kształcenia syna markizy. Nie wiadomo, czy nastolatek ją przeczytał, z pewnością nie był to podręcznik zupełnie elementarny. Stanowił wprowadzenie w filozofię Leibniza, a także przystępny wstęp do mechaniki, bez użycia matematyki, nierezygnujący wszakże z tematów tak wówczas aktualnych jak Newtonowska grawitacja.

519px-Emilie_du_Chatelet

W książce Émilie – jak nazywał ją Voltaire – opowiedziała się stanowczo za jedną ze stron sporu, który dzielił ówczesny świat naukowy. Chodziło o tzw. „siły żywe”. W gruncie rzeczy chodziło o naukowe sprecyzowanie potocznego pojęcia. Mówimy, że jakieś ciało porusza się „z większą bądź mniejszą siłą”. Mówimy tak nawet dziś, mimo kilku wieków powtarzania za Newtonem, że siła to czynnik zmieniający ruch, a nie przysługujący poruszającemu się ciału. Także i wtedy debata toczyła się niejako obok mechaniki newtonowskiej. Pojęcie siły żywej wprowadził zresztą Wilhelm Gottfried Leibniz, wielki rywal Newtona, także na polu mechaniki. Leibniz sądził, z powodów metafizycznych, że całkowita siła żywa cząstek w świecie jest stała.
Jasne było, że siła żywa jest proporcjonalna do masy ciała: widać to chociażby w skutkach zderzeń przy tej samej prędkości. Głównym przedmiotem sporu była kwestia, jak siła żywa zależy od ruchu ciała: czy jest proporcjonalna do prędkości, czy też może do jej kwadratu. Za drugim rozwiązaniem opowiadał się Leibniz, a także Johann Bernoulli, trzeci wielki matematyk i fizyk tamtej epoki. Rozwiązanie to wybrała także markiza du Châtelet. Przedstawiła następującą argumentację. Rozpatrzmy ciało spadające swobodnie. Ciało przyspiesza i działanie siły grawitacji możemy sobie wyobrażać tak jakby wzdłuż toru ułożone były ściśnięte sprężyny, które kolejno rozprężając się, przyspieszają nasze ciało. Łączna siła żywa, jakiej ciało nabierze, będzie proporcjonalna do liczby owych sprężyn, a więc także i do przebytej drogi. Wiadomo, że w spadku swobodnym kwadrat prędkości końcowej jest proporcjonalny do wysokości, z jakiej spadło ciało. A zatem siła żywa jest proporcjonalna do kwadratu prędkości. Rzut pionowy możemy sobie wyobrazić jako stopniową utratę siły żywej na ściskanie kolejnych sprężyn ułożonych wzdłuż drogi ciała. Współczesny czytelnik zauważy pełną analogię do zamiany energii potencjalnej w kinetyczną (podczas spadku) i vice versa.
Technikę imaginacyjnych sprężyn wprowadził Johann Bernoulli w pracy konkursowej przedstawionej paryskiej Akademii nauk w roku 1724. Bernoulli wiedział, że Leibnizowska siła żywa nie jest specjalnie popularna wśród francuskich uczonych, sądził jednak, że zmusi ich do kapitulacji swymi dowodami, wspartymi też rachunkiem całkowym. Niechęć do mv^2 wynikała z rozmaitych powodów. Jednym była swoista wierność kartezjanizmowi, a Kartezjusz uczył, iż to całkowita ilość ruchu (mv) cząstek w świecie pozostaje w świecie stała. Fizyka dopiero zaczęła się matematyzować i nie wszyscy rozumieli, że zdrowy rozsądek to za mało. Akademicy mieli np. zastrzeżenia do Leibnizowskiego kwadratu prędkości, ponieważ nie rozumieli jego sensu i pochodzenia. Dziś wiemy, że nie można tu „zrozumieć” nic więcej, można jedynie wyprowadzić odpowiednie wyrażenie, jak to zrobił Bernoulli, i zastanawiać się ewentualnie nad tym, czy założenia rachunku są spełnione w naturze. Szwajcarskiego uczonego spotkał spory zawód, nie tylko bowiem nie przekonał paryżan, ale wystąpił przeciwko niemu nie kto inny niż Jean-Jacques Dortous de Mairan, z którym korespondował i któremu przekazywał swoje prace i myśli.

431px-Miger_-_Dortous_de_Mairan

Dortous de Mairan unikał pojęcia siła żywa, mówił o „sile poruszającej” i miała ona być proporcjonalna do prędkości, mniej więcej w duchu Kartezjusza. Wprowadził w swej pracy dość osobliwą miarę tej siły. Otóż miałaby ona być mierzona nie odległościami przebytymi przez ciało, ale odległościami przez nie nieprzebytymi: tzn. różnicami odległości rzeczywiście przebytych i odległości, jakie byłyby przebyte, gdyby ciało poruszało się jednostajnie, zamiast zmieniać prędkość. Podawał prosty przykład (cała jego praca nie wykraczała matematycznie poza ten przykład). Weźmy dwa jednakowe ciała A i B. Rzucamy ciało B pionowo w górę z prędkością 1 i wznosi się ono w jednostce czasu na maksymalną wysokość, którą także oznaczymy jako 1. Wiadomo, że gdyby poruszało się jednostajnie do góry, wzniosłoby się na wysokość 2. Różnica tych dwóch wysokości jest „odległością nieprzebytą” i to jest miara „siły poruszającej” naszego ciała A w chwili początkowej. Ciało B wzniesie się na wysokość 4 razy większą i zajmie mu to 2 jednostki czasu. W ciągu pierwszej jego prędkość zmniejszy się do 1 i znajdzie się ono na wysokości 3. Wysokość, jaką by osiągnęło w ruchu jednostajnym byłaby w tym czasie równa 4. Wobec tego w pierwszym odcinku czasu „odległość nieprzebyta” to 4-3=1. Na początku drugiego odcinka czasu ciało ma prędkość 1, a więc znajduje się w takiej sytuacji jak B na początku: wzniesie się więc o 1, zamiast o 2. „Odległość nieprzebyta” w drugiej jednostce czasu wynosi 1. W sumie dla ciała A otrzymujemy 2 jako miarę siły poruszającej, a dla ciała B – 1. Siła poruszająca jest zatem proporcjonalna do prędkości.
Markiza du Châtelet zaatakowała de Mairana (który zdążył do tej pory zostać sekretarzem Akademii nauk) z punktu widzenia swojej ulubionej teorii. Istotnie patrząc na powyższy przykład z tego punktu widzenia, ciało A ma siłę żywą równą 4, a ciało B – 1, i takie też są wysokości, na jakie oba ciała się wznoszą. W teorii „siły żywej” czas nie miał nic do rzeczy: „Jak w mierzeniu majątku człowieka, który musi być taki sam, bez względu na to, czy wyda się go w jeden dzień, rok, czy w sto lat”. (Markiza wiedziała o czym mówi: przegrała kiedyś w karty mniej więcej równowartość miliona dolarów w ciągu kilku godzin.) Émilie okazała się skuteczna retorycznie, stwierdzając, że de Mairan równie dobrze mógłby dowodzić, że 2+2=6.
Dyskusja nie mogła być rozstrzygnięta. Dziś rozumiemy, że obie strony sporu posługiwały się innym zestawem pojęć i w nieco inny sposób. Intuicje Bernoulliego i markizy du Châtelet wymagały dzielenia drogi na odcinki jednakowej długości – co prowadzi do zasady zachowania energii mechanicznej (suma en. kinetycznej i potencjalnej). Dortous de Mairan mimo osobliwych sformułowań miał także swoją rację – jego „odległości nieprzebyte” mierzą zmiany prędkości. Można bowiem podzielić ruch na odcinki odpowiadające równym czasom i wówczas „siła ruchu” zależy liniowo od prędkości. Jest to równoważne dzisiejszemu sformułowaniu II zasady dynamiki: F\Delta t =m \Delta v.
Kompetentne i odważne wystąpienie markizy w sporze z Dortous de Mairanem dodało jej pewności siebie, kolejne wydanie Institutions de physique zawiera już bowiem nazwisko autorki, a także jako suplement polemikę z sekretarzem Akademii. Uczona kobieta okazała się co najmniej równa uznanemu autorytetowi – na kolejne przykłady takiej sytuacji wypadło we Francji czekać wyjątkowo długo, bo aż do czasów Marii Skłodowskiej-Curie.

Nb. polska Wikipedia lekko bredzi, twierdząc, że markizie du Châtelet zawdzięczamy wyrażenie na energię kinetyczną i to w osobliwej postaci przybliżonej:bb3745077452708dc3b5e4b81566a6ea