Isaac Newton i niektóre matematyczne sekrety Stwórcy

Pod koniec roku 1684 Isaac Newton zrozumiał, że ruchy planet wyjaśnić może siła przyciągania między nimi a Słońcem, która jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości. Newton miał wówczas czterdzieści dwa lata i był bardzo mało aktywnym profesorem katedry Lucasa w Cambridge. Wbrew późniejszej legendzie nie odkrył tego prawa w młodości (choć niewiele mu brakowało). W poprzednich latach zajmował się głównie teologią i alchemią, nie szukając rozgłosu i niewiele kontaktując się ze światem zewnętrznym. Teraz spostrzegł, że rysuje się możliwość rozwiązania problemu nie dającego spokoju uczonym od czasów starożytnych. Aż do 1687 roku pracował gorączkowo nad wyprowadzaniem różnych konsekwencji prawa ciążenia powszechnego. Trudno dziwić się jego entuzjazmowi: jedno proste prawo matematyczne pozwalało zrozumieć wiele skomplikowanych zjawisk we wszechświecie.

Czemu siła ciążenia jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości? Można przecież wyobrazić sobie inne możliwe prawa. Dla Newtona było to pytanie: czemu Stwórca zdecydował się na taki, a nie inny wszechświat? Wiele rozważań w Matematycznych zasadach filozofii naturalnej poświęconych jest ruchowi ciał pod działaniem sił zmieniających się w inny sposób z odległością: np. malejących jak trzecia czy piąta jej potęga. A także rosnących proporcjonalnie do odległości. Ten ostatni przypadek był interesujący, dawał bowiem ruchy eliptyczne. Wszystkie planety miałyby wówczas taki sam okres obiegu wokół Słońca.

Jak wygląda ruch planety pod działaniem siły przyciągania proporcjonalnej do odległości? Powszechnie znany jest jednowymiarowy przypadek takiego ruchu:

F=a=-\omega^2 x \Rightarrow x(t)=A\cos\omega t,

F, a, x, t są tu odpowiednio siłą, przyspieszeniem, wychyleniem z położenia równowagi (w którym siła jest równa zeru) i czasem, \omega wielkością stałą, tzw. częstością kołową, określoną przez wielkość siły i masę ciała, którą przyjmujemy za równą 1. Stała A jest dowolna. Jest to ruch harmoniczny, czyli najprostsze możliwe drgania.

W przypadku trójwymiarowym ruch nie jest dużo bardziej skomplikowany. Po pierwsze zachodzi w stałej płaszczyźnie, mamy więc tylko dwa wymiary. Po drugie można go potraktować jako dwa niezależne ruchy wzdłuż osi Ox oraz Oy:

\left\{ \begin{array}{l}  F_x=a_x=-\omega^2 x\\  \mbox{}\\  F_y=a_y=-\omega^2 y.  \end{array}\right.\quad \Rightarrow \quad \left\{  \begin{array}{l}  a_x=A\cos\omega t\\  \mbox{}\\  a_y=B\sin\omega t.  \end{array}\right.

Wybraliśmy rozwiązania w taki sposób, aby planeta P zakreślała elipsę zorientowaną jak na rysunku.

Łatwo sprawdzić, że mamy do czynienia z elipsą, wyznaczając z powyższych równań funkcje trygonometryczne i korzystając z jedynki:

\cos^2\omega t+\sin^2 \omega t=1=\dfrac{x^2}{A^2}+\dfrac{y^2}{B^2}.

Każda elipsa jest rzutem jednostajnego ruchu po okręgu punktu Q (dokładnie tak, jak gdybyśmy patrzyli na ten ruch po okręgu z ukosa, pod pewnym kątem: okrąg skraca się wtedy w jednym kierunku). Częstość kołowa i okres są takie same dla wszystkich torów. Nazwijmy ten tor elipsą Hooke’a (od prawa Hooke’a), choć Newton bardzo by się zżymał na tę nazwę, także ten ruch zbadał bowiem sam, a Hooke’owi pamiętał do końca życia protekcjonalny i lekceważący sposób, w jaki ten go kiedyś potraktował w dyskusji na temat optyki. Z powodu tej animozji nie wiemy dziś na pewno, jak wyglądał Robert Hooke, Newton bowiem go przeżył i kazał usunąć jego portret z Towarzystwa Królewskiego.

Newton zadał sobie pytanie, jak te elipsy (w środku których byłoby Słońce) mają się do elips keplerowskich (w których ognisku jest Słońce)? Okazuje się, że można podać związek między siłami wywołującymi oba te ruchy.

Rozpatrzmy planetę P zakreślającą jakikolwiek tor pod wpływem siły \vec{F} skierowanej ku pewnemu stałemu punktowi S.

Na rysunku przedstawiona jest elipsa, ale kształt krzywej nie jest w tym punkcie istotny. Korzystamy ze wzoru na siłę  dośrodkową:

F_n=\dfrac{v^2}{\varrho},

gdzie \varrho jest promieniem krzywizny toru w danym punkcie. Wiemy także, iż moment pędu L naszej planety musi być stały:

L=rv\sin\varepsilon.

Wobec tego siła F równa jest

F=\dfrac{F_n}{\sin\varepsilon}=\dfrac{L^2}{\varrho r^2 \sin^3\varepsilon}.

Teraz zastosujemy uzyskane wyrażenie do porównania siły grawitacji z siłą Hooke’a. Wyobraźmy sobie, że taką samą elipsę zatacza planeta pod wpływem siły skierowanej ku ognisku elipsy S oraz pod wpływem siły skierowanej ku środkowi elipsy C. Przyjmujemy, że moment pędu planety jest w obu przypadkach taki sam. Wobec tego

\dfrac{F_S}{F_C}=\dfrac{r_C^2 \sin^3\varepsilon_C}{r_S^2 \sin^3\varepsilon_S}.

Odcinek EC jest równoległy do wektora prędkości. Stosując twierdzenie sinusów do trójkąta ECP , mamy:

\dfrac{\sin\varepsilon_C}{\sin\varepsilon_S}=\dfrac{EP}{r_C}.

Ostatnim potrzebnym elementem jest tzw. lemat Newtona: odległość EP=A, tzn. dużej półosi elipsy. Jest to własność elipsy, którą udowadniamy poniżej. Wobec tego siła grawitacji równa jest

F_S=\dfrac{F_C}{r_C}\dfrac{A^3}{r_S^2}=\omega^2 \cdot \dfrac{ A^3}{r_S^2}\sim \dfrac{1}{r_S^2}.

Otrzymaliśmy więc z elipsy Hooke’a elipsę keplerowską oraz z prawa Hooke’a prawo grawitacji. Oba te rodzaje ruchu okazują się matematycznie powiązane. Można pokazać, że tylko te dwa rodzaje sił prowadzą do torów zamkniętych, których peryhelia się nie obracają.

Lemat Newtona

Odcinek S'F jest równoległy do EC oraz \vec{v}. Trójkąt FPS' jest równoramienny, ponieważ promień światła wysłany z S i odbijający się w punkcie P przejdzie przez S'. Mamy zatem FP=PS'. Odcinki EC oraz S'F są równoległe i przepoławiają odcinek SS', a więc także i odcinek SF. Zatem SE=EF. Mamy więc

EP=EF+FP=\frac{1}{2}SF+\frac{1}{2}(FP+PS')=\dfrac{SP+PS'}{2}=A.

W ostatniej równości skorzystaliśmy z faktu, że suma odległości punktu elipsy od obu ognisk jest stała.

 

 

 

 

Tory planet i komet: wielkie odkrycie Isaaca Newtona

Johannes Kepler w roku 1609 ogłosił odkrycie, że planety poruszają się wokół Słońca po elipsach, a Słońce jest wspólnym ogniskiem tym wszystkich elips (I prawo Keplera). Nie bardzo mu wówczas chciano wierzyć, wprowadził bowiem nowe rodzaje sił, jedna miała ciągnąć planetę wokół Słońca, a druga, magnetyczna, miała na przemian, to przyciągać ją, to odpychać. Prędkość planety miała zależeć od jej odległości od Słońca: bliżej niego planeta poruszała się szybciej i na odwrót, kiedy była dalej, poruszała się wolniej (II prawo Keplera).

Z czasem astronomowie stwierdzili, że opisane przez Keplera prawa dobrze odzwierciedlają zjawiska na niebie: dokładność tablic wzrosła wielokrotnie. W 1687 roku ukazały się Matematyczne zasady filozofii przyrody, w których Isaac Newton wyjaśnił ruchy planet i szereg innych zjawisk, jak przypływy i odpływy mórz albo precesję ziemskiej osi obrotu za pomocą jednej jedynej siły: grawitacji. Wszystkie ciała we wszechświecie miały się przyciągać siłami odwrotnie proporcjonalnymi do ich odległości i proporcjonalnymi do mas. Jedno proste matematycznie prawo pozwalało zrozumieć dynamikę układu planetarnego. Problem postawiony jeszcze przez starożytnych Greków i Babilończyków został w ten sposób rozwiązany. Najważniejszą częścią tego rozwiązania było udowodnienie, że z prawa grawitacji wynikają Keplerowskie elipsy. Poniżej pokażemy współczesne sformułowanie tego rozwiązania.

Wyobraźmy sobie planetę P poruszającą się wokół nieruchomego Słońca (nie jest trudno pójść o krok dalej i uwzględnić także ruch Słońca).

Każda z orbit ma punkt najbliższy Słońca: perihelium P_0. Wybierzmy oś Ox tak, żeby przechodziła ona przez perihelium i następnie poruszała się w kierunku P. Równanie ruchu planety zgodnie z II zasadą dynamiki oraz prawem powszechnego ciążenia ma postać:

\dfrac{d\vec{v}}{dt}=-\dfrac{k}{r^2}\vec{e}_r.

Wektory \vec{e}_r, \vec{e}_\varphi mają odpowiednio kierunek promienia i kierunek do niego prostopadły (transwersalny) oraz długość jednostkową, k=GM jest iloczynem stałej grawitacyjnej i masy Słońca (masa planety nie wchodzi do zagadnienia). Znak minus pochodzi stąd, że grawitacja jest siłą przyciągającą.

W ruchu planety nie zmienia się wielkość jej momentu pędu (przyjmujemy tu masę planety równą 1):

L=rv_{\varphi}=r^2 \omega=const.

Jest to współczesne sformułowanie II prawa Keplera. Wchodzi do niego składowa \vec{v}_\varphi prędkości prostopadła do promienia. W ostatniej równości użyliśmy prędkości kątowej \omega=v_\varphi/r. Więcej szczegółów dotyczących tego wyrażenia można znaleźć niżej (*).

Pokażemy, że torem planety musi być krzywa stożkowa ze Słońcem w ognisku. W tym celu udowodnimy, że odległość planety od Słońca spełnia równanie stożkowej:

r=\dfrac{p}{1+e\cos\varphi},

gdzie p, e zwane są odpowiednio parametrem i mimośrodem stożkowej, a kąt \varphi jest kątem z osią Ox na rysunku. Wyprowadzenie tego równania można znaleźć poniżej (**).

Zakładamy, że moment pędu jest różny od zera: znaczy to, iż planeta nie porusza się po prostej przechodzącej przez Słońce. Oczywiście takie tory są matematycznie i fizycznie dopuszczalne, eliminujemy je jednak z dalszych rozważań.

Równanie ruchu planety można uprościć, jeśli zamiast czasu wprowadzić do niego kąt \varphi. Wyznaczając prędkość kątową z zasady zachowania momentu pędu, otrzymujemy

\omega=\dfrac{d\varphi}{dt}=\dfrac{L}{r^2}.

W obu równaniach występuje r^2 w mianowniku, wobec tego, dzieląc je stronami i korzystając ze wzorów na pochodną funkcji złożonej i odwrotnej, możemy się tej zależności pozbyć:

\dfrac{d\vec{v}}{d\varphi}=\dfrac{d\vec{v}}{dt}\cdot \dfrac{dt}{d\varphi}=-\dfrac{k}{L}\vec{e}_r.

Równanie wektorowe to para równań dla składowych wektora prędkości:

\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{dv_x}{d\varphi}=-\dfrac{k}{L}\cos\varphi \\  \mbox{}\\  \dfrac{dv_y}{d\varphi}=-\dfrac{k}{L}\sin\varphi.  \end{array}\right.\quad \Rightarrow \quad \left\{  \begin{array}{l}  v_x=-\dfrac{k}{L}\sin\varphi+A_x \\  \mbox{}\\  v_y=\dfrac{k}{L}\cos\varphi+A_y.  \end{array}\right.

Ostatnią parę równań możemy zapisać w postaci wektorowej

\vec{v}=\dfrac{k}{L}\vec{e}_\varphi+\vec{A}.

Wynik ma prostą interpretację geometryczną: pierwszy wektor po prawej stronie zakreśla okrąg o promieniu k/L, a promień wodzący tego okręgu tworzy z osią Ox kąt równy 90^{\circ}+\varphi, obracając się razem z promieniem wodzącym planety. W zależności od długości wektora \vec{A} możliwe są następujące cztery sytuacje:

Punkt P_0 odpowiada kątowi \varphi=0, wektor prędkości jest wtedy równoległy do osi Oy (w chwili gdy odległość osiąga minimum, składowa x prędkości musi znikać). Oznacza to, że A_x=0. W każdym przypadku koniec wektora prędkości zakreśla okrąg albo jego łuk. Krzywą taką nazywa się hodografem. Zatem hodograf ruchu keplerowskiego jest łukiem okręgu (w trzecim przypadku to okrąg bez dolnego punktu, w czwartym dozwolone są tylko te wartości \varphi, dla których wektor \vec{v} ma z okręgiem dwa punkty wspólne; pewien zakres kątów jest niedozwolony, ruch zachodzi tu po gałęzi hiperboli i ograniczony jest jej asymptotami.) Kształt hodografu ruchu keplerowskiego odkrył William Rowan Hamilton w XIX wieku i opublikował w pracy zawierającej wyłącznie słowny opis, bez żadnego rysunku i bez wzorów. Brytyjczycy (Hamilton był Irlandczykiem) po Newtonie specjalizowali się w takiej matematyce bez rachunków, co nie zawsze da się z sensem przeprowadzić. Nieco mniej formalne podejście do hodografu tego ruchu.

albo tutaj

Równanie hodografu daje nam prędkości, łatwo z nich przejść do równania toru. Wystarczy znaleźć składową v_\varphi prędkości. Otrzymamy ją przez rzutowanie wektora prędkości na kierunek promienia okręgu zaznaczonego na rysunkach. Otrzymujemy z nich

v_\varphi=\dfrac{k}{L}+A\cos\varphi \quad\Rightarrow\quad r=\dfrac{L}{k/L+A\cos\varphi}=\dfrac{\frac{L^2}{k}}{1+\frac{LA}{k}\cos\varphi}.

Ostatnie równanie jest biegunowym równaniem stożkowej o mimośrodzie e=\frac{LA}{k}, odległości liczone są od ogniska owej stożkowej. Otrzymaliśmy uogólnioną wersję I prawa Keplera.

Na rysunku oba tory: w przestrzeni prędkości oraz w przestrzeni położeń, czyli w zwykłej przestrzeni. A to paraboliczna orbita komety z roku 1680 wyznaczona przez Newtona (obliczenia robił Edmond Halley).

(*) Prędkość kątowa to

\omega=\dfrac{\Delta \varphi}{\Delta t}=\dfrac{v_\varphi \Delta t}{r \Delta t}=\dfrac{v_\varphi }{r }.

Zastępujemy tu dla małych kątów tangens wartością kąta w radianach.

(**) Stożkową definiuje się zadając pewien punkt, zwany ogniskiem oraz prostą, zwaną kierownicą (na rysunku czerwone) oraz wartość mimośrodu e.

Stożkową będzie zbiór takich punktów P, że ich odległość od ogniska jest e razy większa od ich odległości od kierownicy:

OP=ePP'.

Łatwo stąd znaleźć równanie stożkowej. Mamy bowiem

r\cos\varphi+PP'=QQ' \Rightarrow  r\cos\varphi+\dfrac{r}{e}=\dfrac{p}{e}.

Mnożąc ostatnie równanie obustronnie przez e i wyznaczając z niego r, otrzymujemy

r=\dfrac{p}{1+e\cos\varphi}.

Antonie van Leeuwenhoek: Delft, czyli wszechświat

W XVII wieku podróże po Europie stały się modne, choć mieszkając w kraju takim, jak Holandia, można było wiedzieć sporo o świecie, nawet nie ruszając się z domu. Antonie van Leeuwenhoek, kupiec bławatny i pasmanteryjny, terminował w Amsterdamie, podróżował do Anglii, większość jednak swego długiego, dziewięćdziesięcioletniego życia spędził w rodzinnym Delft. Nauką zajął się późno, bo grubo po trzydziestce, kiedy porzucił już handel i został urzędnikiem miejskim, służąc na wielu stanowiskach, m.in. geodety i kontrolera sprowadzanych win i innych trunków. Liczące przeszło dwadzieścia tysięcy mieszkańców Delft nigdy nie było tak dużym ośrodkiem, jak pobliska Haga (barki do stolicy odpływały co pół godziny), słynęło jednak ze swych niebieskich, ręcznie malowanych fajansów, miało też własną gildię malarzy. W Delft pracował przez całe życie, znany wówczas jedynie znawcom, Johannes Vermeer, rówieśnik Leeuwenhoeka. Wpis chrztu malarza datowany pięć dni wcześniej od chrztu uczonego znajduje się na tej samej stronie księgi parafialnej z roku 1632. Z pewnością znali się jako wybitni obywatele tego samego miasta, tak niezrównanie przedstawionego przez malarza.

view_of_delft

To o tym obrazie pisał Marcel Proust: „Odkąd w haskim muzeum zobaczyłem Widok Delft, wiem, że widziałem obraz najpiękniejszy na świecie”Niezrównany i subtelny kolorysta, cyzelował długo każdy szczegół swoich płócien. Namalował ich w rezultacie niewiele i mimo bogatego ożenku zmarł pogrążony w długach. Leeuwenhoeka wyznaczono na kuratora spadku po artyście. Nie przyjaźnili się zapewne i fakt ten dowodzi raczej tylko wysokiego mniemania władz miasta o uczciwości Leeuwenhoeka. Zadanie było delikatne i niewdzięczne, zostało jednak pomyślnie przeprowadzone do końca. Francuski szlachcic, Balthasar de Monconys, dziwił się bardzo, znajdując później u piekarza z Delft pewien obraz Vermeera, za który zapłacono sześćset liwrów, a za który podróżnik nie dałby więcej niż sześć pistoli. Mistrz piekarski z Delft znał się więc dużo lepiej na sztuce niż francuski szlachcic.

f1-large

Nie znamy upodobań Leeuwenhoeka, był człowiekiem niewykształconym, nie znał żadnego języka prócz własnego i sam przyznawał, że niechętnie pisze. Jeśli coś mogło zbliżyć tych dwóch ludzi, to upodobanie do wnikliwej obserwacji i mistyczna niemal adoracja światła. Tkaniny u Vermeera oddane są z niezwykłym pietyzmem, a być może właśnie od przyglądania się detalom tkanin za pomocą szkła powiększającego zaczęła się pasja Leeuwenhoeka. Musiał być człowiekiem niezwykle sumiennym i cierpliwym, gdyż wytrwale doskonalił kunszt szlifowania szkieł i zdołał zbudować mikroskopy lepsze niż ktokolwiek inny.

Używane przez niego mikroskopy miały tylko jedną kulistą soczewkę. Kula taka jest soczewką skupiającą i przy typowym współczynniku załamania szkła jej ognisko leży o pół promienia za powierzchnią (a więc w odległości \frac{3}{2}r od jej środka, patrz poniżej). Używając soczewki możemy przedmiot przybliżyć do oka znacznie bliżej niż wynosi odległość dobrego widzenia, równa zwykle D=25 \mbox{ cm}. Dzięki temu widzimy szczegóły pod większym kątem.

oko

Powiększenie kątowe równe jest

\dfrac{\beta}{\alpha}=\dfrac{h}{d}\dfrac{D}{h}=\dfrac{D}{d}.

Zastępujemy tu kąty (w radianach) ich tangensami, co stanowi dobre przybliżenie, gdy kąty są niewielkie. Odległość d w przypadku soczewki kulistej równa się \frac{3}{2}r. Należy więc używać jak najmniejszych kulek szklanych, powiększenia uzyskiwane przez Leeuwenhoeka sięgały kilkuset razy. Tak wygląda współczesna rekonstrukcja jego mikroskopu.

hl1

Strona Hansa Loncke

Holender prowadził dziennik obserwacji, jego fragmenty wysyłał do Towarzystwa Królewskiego do Londynu. Tłumaczone na angielski lub łacinę, ukazywały się przez wiele lat w „Philosophical Transactions”. Zrazu uczeni byli nieufni, z czasem jednak zaczęto Leewenhoeka i jego odkrycia traktować serio. Zaczęli go odwiedzać inni badacze, którzy mogli się naocznie przekonać, że Holender jest rzeczywiście wytrawnym obserwatorem i niczego nie zmyśla. Niektóre z jego odkryć zostały niezależnie powtórzone, ogólnie jednak był z tym kłopot: nikomu nie udawało się sporządzać tak małych kulek szklanych dobrej jakości optycznej. Angielski autorytet w dziedzinie optyki Robert Hooke, autor zdumiewających rysunków mikroskopowych, takich jak poniższa pchła, używał mikroskopu z dwóch soczewek i nie był przekonany do metody Leeuwenhoeka.

4879769

Odkrycia Holendra nie były aż tak spektakularne, gdyż dotyczyły żyjątek niezwykle drobnych, wręcz nieprawdopodobnie małych, o rozmiarach niewielu mikrometrów. Leeuwenhoek odkrył cały świat mikroflory bakteryjnej, obserwował przejawy życia w kroplach wody i w najróżniejszych płynach ustrojowych, jak krew i sperma. Tak wyglądały np. bakterie z jamy ustnej (specjaliści zidentyfikowali je później).

drawings-of-animalcules-form-leeuwenhoeks-letter-dr-jeremy-byrgess

Nasienie zwierząt i ludzi pełne było zadziwiających, żywo poruszających się stworów, przypominających kijanki. Leeuwenhoek odkrył w ten sposób plemniki. Badania tego rodzaju nieco go krępowały, tłumaczył, że spermę uzyskał bez grzechu jako skutek stosunku małżeńskiego. Sądził jednak, że odkrycie to jest w najwyższym stopniu godne uwagi.

lind006gesc01ill24

Ówcześni uczeni przypuszczali, że początkiem życia człowieka jest komórka jajowa (w istocie to, co brali za komórkę jajową było pęcherzykami jajnikowymi). Sądzono, że pramatka Ewa nosiła w sobie jajeczka wszystkich ludzi, którzy później przyszli na świat. Obserwacje Leeuwenhoeka wskazywały na coś zupełnie innego: to plemniki odgrywają decydującą rolę, podczas gdy komórka jajowa dostarcza jedynie pożywienia wzrastającemu organizmowi. Nicolas Hartsoeker, lekarz i rodak Leewuwenhoeka, przekonywał, że to plemnik zawiera całego człowieka w miniaturze (słówko homunculus pojawiło się dwa wieki później). Jak się zdaje, podobnego mniemania był także Leeuwenhoek.

human-sperm-17th-century-granger

Zapłodnienie zdaniem Hartsoekera nie polegało na tym, że najsilniejszy plemnik (powiedzmy Donald Trump) przebija się do środka komórki jajowej. Sądził on, że plemnik przyczepia się do jajeczka ogonkiem, przez który czerpie substancje odżywcze i który z czasem zamienia się w pępowinę łączącą zarodek z organizmem matki. Interpretując te poglądy w duchu tzw. obrońców życia: nie tylko zygota ludzka byłaby święta, ale należałoby jak osoby ludzkie traktować także wszystkie plemniki, które także byłyby święte. Oczywiście, wszystkie one powinny koniecznie mieć imiona, zanim umrą.

Leeuwenhoek był pionierem, jego badań nikt nie kontynuował. Częściowo sam sobie był winien, ponieważ nie ujawniał swojej metody wytwarzania soczewek i nikt inny tego nie potrafił. Nauka nie była przygotowana na cały ten zawrotny świat mikroorganizmów, kiedy nie można zrozumieć pewnych faktów, spycha się je po prostu na bok. Z czasem Leewenhoek spostrzegł, że młodzi ludzie nie są zainteresowani nauczeniem się jego sekretów i kontynuacją jego badań. Pisał: „Większość studentów idzie tam [na uniwersytet w Lejdzie], aby zarabiać pieniądze dzięki wiedzy albo zdobyć reputację w świecie uczonych. Lecz szlifowanie soczewek i odkrywanie rzeczy ukrytych przed wzrokiem nie ma z tym nic wspólnego”. Trzeba przyznać, że i dziś ten podział nie całkiem się zatarł: na tych, co odnoszą korzyści z nauki i tych, z których korzyść odnosi nauka.

kula
Kąt \beta, jak widać z rysunku, równy jest

\beta=\dfrac{h}{r+f}.

Ogniskową f znajdujemy, rozpatrując dwukrotne załamanie promienia bliskiego środka kuli (w ten sposób wszystkie kąty są małe, zostały na rysunku powiększone dla przejrzystości). Odchylenie na pierwszej powierzchni równe jest \delta-\varepsilon; oba kąty spełniają prawo załamania

\dfrac{\delta}{\varepsilon}=n,

gdzie n jest współczynnikiem załamania.

leeuwenhoek

Odchylenie na drugiej powierzchni jest takie samo. Należy uwzględnić fakt, że nasza soczewka jest gruba, tzn. promień zbliża się do osi z odległości x na odległość y. Ostatecznie, wartość ogniskowej równa jest

f=\dfrac{r}{2}\cdot \dfrac{2-n}{n-1}.

Przy n=1,5 otrzymamy f=\dfrac{1}{2}r.

Evangelista Torricelli: nieskończona trąba i barometr (1643-1644)

Nauka powstająca w XVII wieku była iście rewolucyjna: podważono jednocześnie niemal cały tradycyjny system myślowy, wiedzę zgromadzoną od tysiącleci. Świat materialny zmienił się niewiele od średniowiecza, choć nauczono się żeglować po oceanach i korzystać z broni palnej. Jednak technika była wciąż prymitywna, energia trudno dostępna, a większość ludzi walczyła jedynie o przetrwanie. Zanim przeobraziła się cywilizacja, należało najpierw przebudować zawartość głów. Postęp pojęciowy jest zawsze niezmiernie trudny, trzeba pokonać własne nawyki myślowe, wyciągnąć wnioski z nowych założeń, niewielu ludzi potrafi żyć wśród tymczasowych koncepcji i bez żalu porzucać je na rzecz innych, nowych, lepiej opisujących wymykającą się rzeczywistość. M.in. dlatego niewielu jest einsteinów na świecie, mimo że nie brak ludzi bardzo inteligentnych i utalentowanych.

Evangelista Torricelli określany jest często jako uczeń Galileusza. W istocie był bardziej uczniem Benedetta Castellego, wiernego przyjaciela i okazjonalnie współpracownika mistrza z Florencji. Ze starym, niewidomym już uczonym spędził ledwie kilka miesięcy: od października 1641 r. do stycznia roku następnego, gdy Galileusz zmarł. Torricelli był już wtedy po trzydziestce i był ukształtowanym uczonym w duchu archimedesowym, gdzieś między matematyką a inżynierią i eksperymentem. Odziedziczył po Galileuszu stanowisko matematyka przy księciu Toskanii. Galileusz był także nadwornym filozofem, czyli fizykiem i astronomem, ale w owej chwili, dziesięć lat po wyroku inkwizycji, lepiej było nie kłuć w oczy władz kościelnych. Sławnego uczonego pochowano w nieoznaczonym grobie i musiało minąć sto lat, nim pozwolono na postawienie tablicy nagrobnej. Torricelli w roku 1643 stał się sławny w całej uczonej Europie dzięki rozważaniom na temat pewnej nieskończonej bryły, która miała skończoną objętość. Przypominała ona wnętrze trąby.

tromba

Bryła Torricellego powstaje z obrotu hiperboli (równobocznej) wokół jednej z asymptot. Wycinamy z niej tylko część zaznaczoną na rysunku: mamy zwężającą się, nieskończenie długą trąbę. Torricelli wykazał, że pole powierzchni takiej trąby jest nieskończone, lecz objętość jest skończona. Oszacujemy tę objętość. Dzielimy naszą bryłę na cylindryczne cienkie powłoki: leżą one jedna wewnątrz drugiej jak składany tubus. Pole podstawy takiej powłoki (wydrążonego walca) równe jest 2\pi r dr, co jest iloczynem długości okręgu i grubości naszej powłoki dr. Objętość wydrążonego walca o takiej podstawie  i wysokości h(r) możemy łatwo oszacować z góry:

dV=2\pi r dr h(r) < 2 \pi r dr \dfrac{a^2}{r}=2 \pi a^2 dr.

Zatem suma objętości wszystkich wydrążonych walców jest mniejsza niż 2\pi a^2 R, gdzie R to największy promień przekroju poprzecznego trąby. Torricelli obliczył tę objętość, stosując metodę Cavalieriego, a także przeprowadzając dowód w duchu Archimedesa. Paradoksalny wynik wzbudził zainteresowanie i komentowali go najwięksi matematycy epoki: jeśli był prawdziwy, granice matematyki matematyki zostały poszerzone.

W roku następnym został Torricelli odkrywcą barometru. Tak się zwykle mówi, bardzo upraszczając całą sprawę. On sam nie uznawał siebie za wynalazcę takiego przyrządu ani nad nim jakoś szczególnie nie pracował. Dopiero później urządzenie takie zaczęto nazywać barometrem i traktować jako przyrząd służący do pomiaru ciśnienia atmosferycznego. Torricelli niczego nie mierzył w sposób ciągły, lecz uważał swoje doświadczenie za rodzaj filozoficznego (tj. naukowego) pokazu. Chodziło w nim o istnienie próżni. Natura abhorret vacuum – natura nie znosi próżni – mawiali filozofowie scholastyczni, czerpiąc to twierdzenie od Arystotelesa. Wiadomo było z praktycznych doświadczeń inżynierów, iż nie można wciągnąć wody w rurze wyżej niż na 18 łokci. Galileusz objaśniał to siłami spoistości wody: gdy wysokość jej słupa przekracza owe 18 łokci, słup rozrywa się pod własnym ciężarem, tak jak rozerwałaby się pod własnym ciężarem dostatecznie długa kolumna z marmuru zawieszona od góry. Torricelli sądził inaczej, uważał, że słup cieczy równoważony jest ciśnieniem zewnętrznym. A skoro chodzi o równowagę, to zamiast 18 łokci wody wystarczy 5/4 łokcia i jeden cal żywego srebra (rtęci) – gdyż jego ciężar właściwy jest kilkanaście razy większy. Wystarczy wziąć szklaną rurkę długości, powiedzmy, dwóch łokci, zatopioną z jednej strony i nalać do niej rtęci. Następnie zatykamy rurkę palcem i odwracamy zatopioną częścią do góry, po czym wkładamy rurkę do naczynia z rtęcią (nikt w XVII wieku nie rozumiał, jak się zdaje, jak szkodliwe może być takie nieostrożne manipulowanie rtęcią, Newton żartował sobie, że posiwiał wcześnie z powodu używania rtęci w doświadczeniach alchemicznych, naprawdę chyba się tym jednak nie przejmował).

torr

Uczony sądził, że nad rtęcią tworzy się próżnia. A więc łatwo jest ją wytworzyć i natura się jej nie lęka. O swoich doświadczeniach napisał do Michelangela Ricciego w czerwcu 1644 roku. Pokazywał je też ojcu Marinowi Mersenne’owi, który spełniał w owych czasach rolę serwera pocztowego dla środowiska uczonych, gdy ten odwiedził go we Florencji. Nie słychać, aby Torricelli zamienił swoją odwróconą rurkę na stały przyrząd, który można z dnia na dzień obserwować. Spodziewał się chyba, że zmiany ciśnienia atmosferycznego będą większe, niż są w rzeczywistości. W tym samym liście pisał, iż żyjemy na dnie oceanu powietrza – coś podobnego sugerował kilkanaście lat wcześniej Giovanni Battista Baliani w liście do Galileusza. Torricelli mógł o takim poglądzie słyszeć. Tak czy owak nie zajmował się sprawą dłużej, dopiero kilka lat później stała się ona europejską sensacją, gdy doświadczenia podobne zaczęto powtarzać w różnych krajach, a przede wszystkim we Francji, a zagadnieniem ciśnienia atmosferycznego i istnienia próżni zajął się m.in. Blaise Pascal. Dla jego analitycznego i skłonnego do paradoksów umysłu pogląd, który przeczył jednocześnie scholastykom i „nowoczesnemu” Kartezjuszowi, musiał wydawać się wielce interesujący. Torricelli zmarł młodo, w roku 1649, i nie dożył czasów, w których uznano go za „odkrywcę barometru”. Zapewne byłby zdziwiony, że ten maleńki fragment jego naukowego dorobku doczekał się takiej sławy, podczas gdy o reszcie mało kto dziś pamięta.

List Torricellego do Ricciego.

Jego angielski przekład

 

Pierre Fermat: zasada najmniejszego działania dla światła (1657-1662)

Greccy geometrzy zauważyli, że światło biegnie po najkrótszej drodze, i to zarówno wtedy, gdy porusza się prostoliniowo między dwoma punktami (np. A i C), jak i wówczas, gdy po drodze odbija się od zwierciadła, biegnąc po łamanej ABC. Najkrótszej drodze odpowiada prawo odbicia: kąt odbicia równy jest kątowi padania.

fermat-heron

Rozumowanie z rysunku znajdujemy u Herona z Aleksandrii w jego Katoptryce (czyli optyce zwierciadeł). Jeśli punkt A odbijemy symetrycznie w płaszczyźnie zwierciadła (prostopadłej do rysunku), otrzymujemy A’. Drogi A’B i AB są więc równe. Zamiast ABC możemy rozpatrywać A’BC. Dowolna łamana AXC ma taką samą długość, jak A’XC. Ponieważ każda łamana biegnąca od A’ do C jest dłuższa niż odcinek prostej, więc najkrótsza droga równa jest ABC i punkt B leży wówczas na odcinku A’C. Łatwo widać, że dla takiej drogi kąt odbicia równa się kątowi padania.

W roku 1657 Pierre Fermat, radca parlamentu (czyli sądu) w Tuluzie, otrzymał w prezencie książkę poświęconą światłu.

la_lumiere_cureau_de_la-chambre

Jej autorem był Marin Cureau de La Chambre, lekarz, do którego nastoletni Ludwik XIV, przyszły Król-Słońce miał ogromne zaufanie. Fermat, urzędnik królewski, czuł się w obowiązku zajrzeć do książki doradcy tak uczonego i ustosunkowanego na dworze (zręczność dyplomatyczną autora widać i w tym, że na karcie tytułowej jego własne nazwisko złożone jest znacznie mniejszą czcionką niż nazwisko potężnego kardynała Mazarin). Książka zawierała dowód Herona. Cureau de La Chambre zwracał też uwagę, że gdy światło się załamuje, przebywana przez nie droga już nie jest najkrótsza.

fermat0

Droga ABC jest oczywiście dłuższa niż ADC na rysunku. Fermat znał, jak wszyscy, prawo załamania (prawo Snella), opublikowane przez Kartezjusza w 1637 roku. Nie zgadzał się jednak z fizycznym wyprowadzeniem tego prawa, niezbyt wierzył chyba w te wszystkie niewidzialne cząstki rozmaitych kształtów i wielkości, które miały się ze sobą zderzać i na siebie napierać, tłumacząc absolutnie wszystko: od ruchu planet i optyki, po magnetyzm i ciężkość ciał. Jako matematyk szukał wyjaśnienia elegantszego i mniej uwikłanego w trudne do sprawdzenia przesłanki. Gdyby przyjąć, że w gęstszym ośrodku światło napotyka większy opór, to należałoby drogę w ośrodku liczyć np. podwójnie. A więc nadal można podejrzewać, że światło wybiera najłatwiejszą drogę. Należałoby jednak minimalizować nie sumę dróg, lecz pewną ich kombinację, np. AB+2BC. Gęstszemu ośrodkowi odpowiadałby większy współczynnik: wyglądało to rozsądnie, gdyż u Kartezjusza światło miało „większą siłę” w ośrodku gęstszym, co nie jest zbyt intuicyjne (ani zrozumiałe). Nie chcąc wdawać się w spory na temat natury światła, Fermat unikał mówienia o jego prędkości – bowiem zdaniem kartezjan oraz Cureau de La Chambre światło rozchodzi się momentalnie. Sporów z kartezjanami, uczniami mistrza, nie uniknął, podobnie jak dwadzieścia lat wcześniej z ojcem-założycielem tej sekty filozoficznej. Fermat znany był z wysuwania twierdzeń, których nie chciało mu się albo których nie potrafił dowieść, słynnym przykładem jest jego Wielkie Twierdzenie udowodnione pod koniec XX wieku. Także i tym razem niezbyt chętnie brał się do sprawdzenia, czy rzeczywiście światło podlega zasadzie najmniejszego działania. Miał własną metodę szukania ekstremum, dość toporną z dzisiejszego punktu widzenia, zastąpioną później przez obliczanie pochodnych. W wersji Fermata prowadziła ona do długich rachunków, ale w pierwszym dniu nowego roku 1662 zakomunikował Cureau de La Chambre, że obliczenia się udały i prowadzą do znanego prawa załamania. Niemal pięcioletnie opóźnienie między wysunięciem twierdzenia a zbadaniem jego konsekwencji tłumaczył Fermat dwiema przeszkodami: po pierwsze, nie był całkiem pewien, jak należy sformułować zasadę minimum i czy prawo Snella jest ściśle słuszne. Drugą przeszkodą była, typowa dla matematyków, niechęć do długich rachunków. W tym przypadku w grę wchodziły cztery odcinki, a więc cztery pierwiastki z sumy kwadratów współrzędnych. „Obawa, że po długich i trudnych rachunkach dojdę do jakiejś fantastycznej i nieregularnej proporcji oraz moja naturalna skłonność do lenistwa pozostawiły rzecz w tym stanie aż do ostatniego napomnienia, którego udzielił mi w pańskim imieniu pan przewodniczący de Miremont. (…) Nagroda za tę pracę okazała się zupełnie nadzwyczajna, niespodziewana i szczęśliwa. Kiedy bowiem przebrnąłem przez wszystkie równania, mnożenia, antytezy i inne operacje, jakich wymaga moja metoda (…) stwierdziłem, że moja zasada daje dokładnie tę samą proporcję załamania, jaką ustalił pan Descartes. Tak bardzo zaskoczył mnie ten niespodziewany wynik, że z trudem mogłem dojść do siebie. Wiele razy powtórzyłem różne operacje algebraiczne, otrzymując stale ten sam wynik, choć moje rozumowanie zakłada, iż przejście światła przez gęste ciała jest trudniejsze niż przez rzadkie, co uważam za prawdziwe oraz niewątpliwe, niemniej jednak pan Descartes zakłada coś przeciwnego”.

Fermat zakłada więc, że nie suma dróg s_1+s_2 musi być minimalna, lecz suma ich kombinacji liniowych s_1+ns_2, gdzie n jest współczynnikiem załamania drugiego ośrodka (względem pierwszego). Łatwo widać, że jeśli przyjmiemy za prędkość światła w drugim ośrodku wielkość v=c/n (gdzie c jest prędkością w ośrodku pierwszym), to można tę zasadę sformułować jako zasadę najkrótszego czasu:

t=\dfrac{s_1}{c}+\dfrac{s_2}{v}=\dfrac{s_1+n s_2}{c}.

Fermat dumny był z otrzymania eleganckiego wyniku, lecz kartezjanie uważali go za ciekawostkę matematyczną, a nie zasadę odnoszącą się do światła. Zasada Fermata nabrała sensu dopiero dla Christiaana Huygensa, który światło uznawał za rozchodzące się zaburzenie eteru, coś w rodzaju fali nieokresowej, jak np. fala uderzeniowa. Wiedział on już, że prędkość światła jest skończona. Huygens przedstawił też elegancki dowód, że zasada Fermata prowadzi do prawa załamania Snella. Jest on wyraźnie prostszy niż obliczenie Fermata – zwykle udaje się uprościć rozumowanie, kiedy już wiadomo, dokąd prowadzi.

fermat-a-la-huygens

Porównujemy rzeczywisty bieg promienia światła ABC z fikcyjnym AFC. Budujemy prostokąt AOHB, mamy w ten sposób pewność, że AB=OH. Na BC opuszczamy prostopadłą GF z punktu G. Z prawa załamania mamy

\dfrac{\mbox{HF}}{\mbox{BG}}=\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=n.

Zachodzą też nierówności

\mbox{AF}>\mbox{OH}+\mbox{HF}=\mbox{AB}+n\mbox{BG},

n\mbox{FC}>n\mbox{GC}.

Dodając te nierówności stronami, otrzymujemy:

\mbox{AF}+n\mbox{FC}>\mbox{AB}+n\mbox{BC}.

Zmieniając nieco nasz rysunek, możemy zrozumieć przyczynę prawa załamania dla fal. Linie AA’ oraz BH to czoła fali w pierwszym ośrodku, GF oraz CC’ to czoła fali w drugim ośrodku. W czasie potrzebnym na przejście odległości HF w pierwszym ośrodku, w drugim fala przejdzie odległość BG.

fermat-huygens2

Zatem stosunek obu odległości równy jest

\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\dfrac{c}{v}=n.

Bezpośrednie wyjaśnienie zasady Fermata daje nam mechanika kwantowa albo falowa teoria światła: faza światła zależy od czasu. W sąsiedztwie ekstremum fazy zmieniają się bardzo powoli i rezultatem jest silna fala wypadkowa.

Warto może przytoczyć dzisiejszą wersję obliczeń Fermata. Jest ona banalna, co nie oznacza, że jesteśmy mądrzejsi od Fermata, ale że mamy lepsze techniki rachunkowe. Pojawiły się one już kilka lat później w rękopisach Isaaca Newtona, które niewielu widziało, a później w 1684 roku w pierwszej publikacji Leibniza na temat rachunku różniczkowego. Metoda Fermata przekształciła się w algorytmy, do których stosowania wcale nie potrzeba inteligencji, z powodzeniem robią to dziś programy w rodzaju WolframAlpha itp.

fermat

Wielkość, którą mamy zminimalizować, ma postać:

s(x)=\sqrt{(x-x_a)^2+y_a^2}+n\sqrt{((x-x_b)^2+y_b^2}.

Szukamy ekstremum tej funkcji, przyrównując jej pochodną do zera:

s'(x)=\dfrac{2(x-x_a)}{2\sqrt{(x-x_a)^2+y_a^2}}+n\dfrac{2(x-x_b)}{2\sqrt{((x-x_b)^2+y_b^2}}=0.

Łatwo spostrzec, patrząc na rysunek, że pierwszy składnik równy jest \sin\alpha, a drugi -n\sin\beta, skąd otrzymujemy prawo Snella.

Spirala logarytmiczna

Ponieważ pisałem o spiralach u van Gogha, więc może warto napisać trochę więcej o ich matematyce. Zdefiniujmy spiralę jako krzywą, która zawsze tworzy kąt \alpha z promieniem wodzącym z początku układu.

logarithmic_spiral

Najłatwiej równanie spirali zaleźć we współrzędnych biegunowych: położenie punktu określamy przez odległość od początku układu r oraz kąt \varphi, jaki tworzy promień wodzący z ustaloną półosią. Kąty liczymy przeciwnie do wskazówek zegara. Wielkim odkryciem XVII wieku w matematyce było zauważenie, że krzywe gładkie można traktować jak złożone z bardzo krótkich odcinków linii prostych, najlepiej nieskończenie małych odcinków (ale zawsze można sobie wyobrażać coraz mniejsze odcinki skończone). Narysujmy sobie taki nieskończenie mały odcinek spirali. Oczywiście, musimy narysować odcinek skończony (niebieski na rysunku), nieskończenie małe wielkości nie nadają się do rysowania.

logarithmic-spiral

Stałość kąta \alpha oznacza, że stały, tj. niezależny od punktu jest także jego cotangens:

\mbox{ctg}\alpha=k=\dfrac{dr}{rd\varphi}\Rightarrow \dfrac{dr}{r}=k d\varphi.

Oznaczyliśmy cotangens kąta \alpha literą k, żeby mniej pisać. Wielkość ta nie zależy od punktu spirali. Znaczy to, że gdy obracamy wektor wodzący o d\varphi, to jego nowa długość równa się

r+dr=r(1+kd\varphi).

Po dwóch obrotach o d\varphi dostaniemy r(1+kd\varphi)^2. Gdyby kąt był czasem, a k stopą procentową, to mielibyśmy procent składany: po każdym okresie d\varphi nasz kapitał rośnie o stały czynnik (1+kd\varphi). Sens geometryczny tej spirali jest więc łatwy do uchwycenia: każdy obrót o ustalony kąt oznacza wzrost promienia o ustalony procent, czyli o ustalony czynnik. Wzrost jest więc wykładniczy. Zaczynając od promienia r_0 przy kącie \varphi=0, mamy po n obrotach

r=r_0(1+kd\varphi)^n.

Skończony kąt \varphi możemy uzyskać jako złożenie bardzo wielu obrotów o mały kąt d\varphi. Będzie wówczas spełniony warunek \varphi=nd\varphi. Promień r będzie równy

r=r_0\left(1+\dfrac{k\varphi}{n}\right)^n \Rightarrow r=r_0  e^{k\varphi},

gdzie e oznacza podstawę logarytmu naturalnego (*). Wykładnicza zależność r(\varphi) oznacza, że obracając się w kierunku ujemnym, nigdy nie otrzymamy zera, a więc nasza spirala nie tylko rozwija się nieskończenie, ale i zwija w pobliżu zera nieskończenie wiele razy. Wynika to po prostu z faktu, że \varphi może przyjmować dowolne wartości rzeczywiste, dodatnie, ujemne (albo zero), a r zawsze będzie dodatnie. Nie można narysować otoczenia początku układu, bo tam spirala zwija się nieskończenie wiele razy.

logarithmicspiral

Łatwo jest też obliczyć długość spirali od punktu początkowego do danego kąta \varphi. Patrząc jeszcze raz na nasz nieskończenie mały odcinek spirali, widzimy, że całkowita jej długość jest proporcjonalna do r, a więc skończona:

ds=\dfrac{dr}{\cos\alpha}\Rightarrow s=\dfrac{r}{\cos\alpha}.

(*) Możemy sobie wyobrażać, że liczba n staje się coraz większa, ale tak aby nd\varphi=\varphi . Korzystamy z z granicy przy n\rightarrow\infty:

\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n=e^x.

Jak Ptolemeusz nie odkrył prawa Snella

Klaudiusz Ptolemeusz był astronomem i astrologiem, wierzył zapewne w boskość ciał niebieskich i studiowanie ich ruchów traktował jako udział w pewnym misterium. Bo też zrozumienie każdej, nawet drobnej tajemnicy świata ma w sobie coś z misterium i z obrzędu wtajemniczenia. Nie trzeba do tego mieszać ludzi w szatach rytualnych, profesjonalistów, którzy zazwyczaj niczego nie rozumieją. Nie potrzeba pleść o Bogu, o którym wszyscy wiemy bardzo niewiele.

Wyjaśnienie ruchu planet musiało Ptolemeuszowi przynieść wielką satysfakcję: dokończył dzieła wielu pokoleń. My dzisiaj patrzymy na jego teorię jak na wstęp do Kopernika i Keplera, lecz przez czternaście wieków uważano ją za niedościgniony wzór. Geocentryzm nikomu właściwie nie przeszkadzał, był oczywisty, tak jak my uważamy za oczywistość, że Ziemia się porusza, choć nie każdy potrafiłby wskazać doświadczalne dowody tego faktu. Ptolemeusz zresztą doskonale sobie zdawał sprawę z możliwości ruchu Ziemi, odrzucał ją przedstawiając pewne argumenty, a więc nie z braku wyobraźni.

Był zawodowym uczonym, zajmował się całością nauk matematycznych, a więc także geografią i skalami muzycznymi oraz optyką. Pierwszy opisał ilościowo i doświadczalnie zbadał zjawisko załamania światła. Używał do tego następującego przyrządu.

ptolemy_refraction

Światło biegnie po łamanej ZEH, DEB jest linią rozdziału dwóch ośrodków, np. na dole mamy wodę albo szkło (w kształcie połowy walca), a u góry powietrze. Koło zaopatrzone jest w podziałkę w stopniach. Uczony mierzył kąty padania i oraz załamania r. Oto jego wyniki dla granicy powietrze-woda.

 

i r
10 8
20 15,5
30 22,5
40 29
50 35
60 40,5
70 45,5
80 50

Jest to rzadki przypadek starożytnej pracy eksperymentalnej poza astronomią. Optyka była przedłużeniem astronomii, więc dość naturalne było zainteresowanie zjawiskami świetlnymi. Tabelka Ptolemeusza nie jest jednak do końca wynikiem doświadczalnym, zauważymy to, analizując dokładniej wartości kątów załamania i ich różnice.

i r pierwsze różnice drugie różnice
10 8 8
20 15,5 7,5 -0,5
30 22,5 7 -0,5
40 29 6,5 -0,5
50 35 6 -0,5
60 40,5 5,5 -0,5
70 45,5 5 -0,5
80 50 4,5 -0,5

Uczony najwyraźniej „poprawiał” surowe dane eksperymentalne, być może nawet nie wykonał wszystkich pomiarów, zachował się jak niesumienny student podczas zajęć laboratoryjnych: i tak przecież wiadomo, co ma wyjść. Nie należy z tego powodu wszczynać larum, że przyłapaliśmy Ptolemeusza na oszustwie: w jego czasach i jeszcze bardzo długo potem starano się raczej uzyskać pewną formułę, jakiś rodzaj matematycznego zrozumienia zamiast relacjonować listę wyników obarczonych błędami. Teoria i eksperyment spotykały się w nieco innym miejscu niż dziś. Ptolemeusz zapewne chciał po inżyniersku rozumieć, skąd się biorą liczby w jego tabelce. Funkcja liniowa tu nie pasuje, bo wówczas różnice byłyby stałe. Jeśli drugie różnice (czyli różnice kolejnych różnic) są stałe, to znaczy, że opisujemy obserwowaną zależność funkcją kwadratową (*). Jej wykresem będzie parabola.

woda

Czerwone kropki są prawidłowymi wynikami dla kątów załamania w wodzie. Błędy nie są wielkie, choć znacznie przewyższają niedokładności tolerowane wówczas w astronomii. Podobne dane przedstawia Ptolemeusz dla szkła, także i one są dopasowane do paraboli.

szklo

W istocie Ptolemeusz stracił okazję do odkrycia prawa bardziej zadowalającego pod względem matematycznym. Podał on bowiem także wyniki dla załamania z wody do szkła. Także i tym razem dopasował je do funkcji kwadratowej, choć z pewnymi anomaliami. Nie zauważył jednak, że skoro ma dane dla granic ośrodków powietrze-woda oraz szkło-woda, to kąty dla załamania z wody do szkła powinny już wynikać z poprzednich danych. Wystarczy bowiem wyobrazić sobie następującą sekwencję ośrodków: woda-powietrze-szkło. Dla obu granic znamy zależności miedzy kątami po obu stronach (Ptolemeusz wiedział, że kierunek biegu promieni nie ma znaczenia w załamaniu, wyobrażał sobie zresztą nie promienie świetlne, lecz promienie wzrokowe, które wybiegają z oka). Możemy sobie następnie wyobrazić, że warstwa powietrza staje się coraz cieńsza: kąty w wodzie i w szkle cały czas są takie same, logicznie jest więc przypuścić, że pierwsze dwie zależności dają nam tę trzecią (woda-szkło). Ptolemeusz nie poszedł tą drogą i chyba nie zauważył, że przybliżenie kwadratowe jest nie do utrzymania dla trzeciej pary ośrodków. W gruncie rzeczy prawo Snella, choć takie proste, wymaga spojrzenia na zjawisko załamania w odpowiedni sposób, mieści w sobie od razu pewną teorię. Nie miejmy za złe Ptolemeuszowi w II w.n.e., że nie poradził sobie z problemem, który jeszcze na początku wieku XVII okazał się za trudny dla samego Johannesa Keplera. Ostatecznie prawo załamania odkrył Ibn Sahl, żyjący w X wieku, kiedy nasi przodkowie kryli się po lasach, a w XVII wieku niezależnie od siebie Thomas Harriot, Willebrord Snell i René Descartes. Tylko ten trzeci opublikował to prawo, a także jego mechaniczne uzasadnienie, zresztą fałszywe.

(*) Łatwo zauważyć, że różnice dla funkcji kwadratowej są liniową funkcją argumentu. W przypadku biegu promieni z powietrza do wody Ptolemeusz stosuje (niejawnie) funkcję

r=\dfrac{33}{40}i-\dfrac{1}{400}i^2.

Funkcja odwrotna nie jest już kwadratowa (musimy rozwiązać ostatnią równość względem i). Zatem złożenie tej funkcji odwrotnej z funkcją kwadratową nie może nam dać funkcji kwadratowej dla trzeciej pary ośrodków.

Dane Ptolemeusza