Wstęp do sprawy Galileusza

Sprawa Galileusza była tyleż heroiczną, co bezskuteczną próbą zatrzymania czasu i naukowego postępu przez Kościół rzymski. Od czasu skazania Galileusza pojawił się wzór działania, powtarzający się aż do dziś: „nauki” Kościoła, interpretowane przez słabo zorientowanych w nauce teologów, utrzymywane jedynie siłą stojącej za nimi instytucji, wycofywały się stopniowo i chyłkiem z co bardziej oczywistych głupstw głoszonych jako prawdy objawione. Co nie znaczy, że działo się to szybko. Jak zauważył kiedyś Albert Camus: „Książki Kopernika i Galileusza były na indeksie do 1822 roku. Trzy wieki uporu to już kokieteria” (przeł. J. Guze).

Odkrycia dokonywane w XVII wieku w astronomii i fizyce prowadziły do obrazu świata coraz bardziej oddalonego od potocznych wyobrażeń, a więc także i od zdroworozsądkowej u swego korzenia filozofii Arystotelesa oraz od literalnego rozumienia tekstu Pisma Świętego. Teoria Kopernika była jednym z pierwszych przykładów, gdy nauka głosiła tezę sprzeczną z naszym bezpośrednim doświadczeniem. Zamęt poznawczy jeszcze bardziej pogłębiły teleskopowe odkrycia Galileusza na niebie. Już sam fakt, że istnieją obiekty niepostrzegalne gołym okiem, stanowił duży wstrząs dla współczesnych. Sam uczony pod wpływem tych odkryć zaczął coraz śmielej głosić kopernikanizm, uznając, że potrafi nie tylko udowodnić fałszywość fizyki arystotelesowskiej, ale także wykazać naukowo ruch Ziemi.

Galileusz zajął się teologią z konieczności, ponieważ został zadenuncjowany jako heretyk i stał się celem niewybrednych ataków ze strony dominikanów z Florencji. Najważniejszy z jego tekstów teologicznych, List do Wielkiej Księżny Krystyny (1615), pochodzi z okresu, gdy uczony wciąż jeszcze miał nadzieję, że Kościół katolicki nie opowie się oficjalnie przeciwko nauce kopernikańskiej. Wymagało to jednak odstąpienia od dosłownej interpretacji niektórych fragmentów Pisma Świętego. Galileusz przedstawił własną propozycję hermeneutyki Biblii, zwracając uwagę na fakt, że adresowana jest ona także do ludzi nieuczonych i posługuje się w tym celu językiem potocznym, nie można więc oczekiwać od tekstu Pisma objaśnień zjawisk przyrodniczych. Co więcej, przywołując tradycję dwóch ksiąg: księgi objawionej i księgi przyrody, stara się wykazać, że w razie pozornego konfliktu obu tych źródeł poznania, gdyby jakaś dobrze udowodniona prawda nauk przyrodniczych stała w sprzeczności z naszym zrozumieniem Pisma, należałoby zastanowić się nad zmianą interpretacji tekstu świętego. Podkreślić należy, że przynajmniej w ogólnych zarysach taki punkt widzenia nie był jakoś szczególnie oryginalny w XVII wieku. Przed Galileuszem zbliżone podejście hermeneutyczne głosił Johannes Kepler, później w podobnym duchu wypowiadali się niemal wszyscy przedstawiciele nowej nauki, nawet tacy fundamentaliści biblijni jak Isaac Newton. Jako przykład nowej interpretacji Biblii podaje Galileusz cud z Księgi Jozuego, gdy wedle tekstu Pisma Św. (Joz, 10, 13) słońce zatrzymało się na pewien czas. Otóż cud ten – zdaniem Galileusza – można zrozumieć naukowo, gdy przyjmiemy, że Słońce (znajdujące się pośrodku układu planetarnego) przestało obracać się wokół osi, co z kolei sprawiło, że także planety stanęły i cały kosmiczny zegar znieruchomiał, po czym znowu ruszył. Jak się wydaje, Galileusz zaczerpnął tu wiele ze wstępu do Astronomia nova (1609) Keplera, gdzie zaproponowany został taki właśnie mechanizm omawianego cudu (cudowne było zatrzymanie i ponowne uruchomienie Słońca, pozostałe zjawiska przebiegały w sposób naturalny).

Kościół katolicki wyjątkowo niechętnie patrzył na próby indywidualnej interpretacji Pisma, zwłaszcza podejmowane przez ludzi świeckich, nawet tak wybitnych jak Galileusz. Toteż różne zabiegi Galileusza, w tym jego kampania informacyjno-propagandowa prowadzona w Rzymie wśród najwyższego duchowieństwa, nie odniosły skutku. W roku 1616 nieruchomość Słońca uznano za sprzeczną z tekstem Pisma Św., a ruch Ziemi – za co najmniej błąd w wierze. Sam Galileusz został napomniany, by nie głosił poglądów kopernikańskich, choć dokładny sens tego napomnienia pozostaje wciąż niejasny – zachowały się na ten temat dwa nieco różne w treści dokumenty. Galileusz zrozumiał, że musi zamilknąć, choć poglądów kopernikańskich nie zmienił. Na razie uczonego nie spotkało nic złego. Do jego patronów w tym okresie należał m. in. kardynał Maffeo Barberini, który w 1620 r. napisał nawet na jego cześć wiersz pod tytułem Adulatio perniciosa („Zgubna pochwała”). Jak bardzo proroczy okazał się tytuł owego wiersza, miał się Galileusz przekonać, gdy Barberini został papieżem, przybierając imię Urbana VIII. Papież uważał się za intelektualistę i uczony uznał, że nadszedł sprzyjający czas na otwarte opowiedzenie się za ruchem Ziemi, ogłaszając w 1632 r. Dialog o dwu najważniejszych układach świata Ptolemeuszowym i Kopernikowym. Książka miała wprawdzie wszelkie możliwe zezwolenia władz kościelnych, lecz nie przypadła do gustu papieżowi. Rozpętała się burza, zakończona skazaniem Galileusza na dożywotni areszt domowy i całkowity zakaz publikacji. Musiał też publicznie podczas upokarzającej ceremonii wyrzec się swych poglądów.

Obraz z XIX wieku przedstawiający wyrzeczenie się poglądów przez Galileusza (Joseph-Nicolas Robert-Fleury). W rzeczywistości uczony wystąpił w worku pokutnym i musiał klęczeć, odczytując poniższy tekst:

Ja, Galileo, syn Vincenza Galilei z Florencji, w wieku lat moich 70, osobiście stanąwszy przed sądem, na klęczkach w obliczu waszym, najdostojniejsi i najwielebniejsi panowie kardynałowie, generalni inkwizytorzy w całej powszechności chrześcijańskiej przeciwko występkowi herezji, mając przed oczami moimi najświętszą Ewangelię, której dotykam własnymi rękami, przysięgam, że zawsze wierzyłem, obecnie wierzę i z pomocą bożą w przyszłości wierzyć będę w to wszystko, co utrzymuje, głosi i czego naucza św. Kościół katolicki i apostolski. Ponieważ jednak po tym, gdy to Święte Oficjum upomniało mnie i nakazało z mocą prawną, bym całkowicie porzucił fałszywe mniemanie, że Słońce jest środkiem świata i nie porusza się, a Ziemia nie jest środkiem świata i się porusza, i abym nie utrzymywał, nie bronił ani nie nauczał tej fałszywej doktryny, i po tym, gdy mi podano do wiadomości, że doktryna ta jest sprzeczna z Pismem Świętym, napisałem i ogłosiłem drukiem książkę, w której omawiam tę potępioną już doktrynę i na jej poparcie przytaczam bardzo przekonujące argumenty, nie dając żadnego rozwiązania – przeto uznany zostałem za mocno podejrzanego o herezję, a mianowicie, iż utrzymywałem i wierzyłem, że Słońce, nieruchome, jest środkiem świata (*), a Ziemia nie jest tym środkiem i się porusza.
Pragnę tedy z umysłów Waszych Eminencji i każdego prawego chrześcijanina usunąć to mocne podejrzenie, jakie słusznie wzbudziłem. (…) Przysięgam, że w przyszłości nigdy już nie będę głosił ani twierdził, słowem bądź pismem, niczego, co skłoniłoby do takiego podejrzenia. Jeślibym zaś poznał jakiegoś heretyka lub podejrzanego o herezję, doniosę o tym Świętemu Oficjum (…) Ja, Galileo Galilei, wyrzekam się, przysięgam, obiecuję i przyjmuję wszystko to, co wyżej przeczytałem, i na przypieczętowanie tego własnoręcznie podpisuję niniejszy dokument, który odczytałem słowo po słowie w Rzymie, w klasztorze Santa Maria sopra Minerva, dzisiaj, w dniu 22 czerwca 1633 roku.
Ja, Galileo Galilei, wyrzekłem się, jak wyżej, i własnoręcznie podpisuję.

Sprawa Galileusza jest oczywiście w jakiejś mierze konfliktem intelektualnym, starciem idei. Rozstrzygała się kwestia nowego podejścia do interpretacji Pisma Św. Kościół instytucjonalny nie miał jednak cienia wątpliwości, że filozofia nadal powinna być służką tradycyjnie rozumianej teologii. Galileusz i jego zwolennicy (często także duchowni) nie zostali wysłuchani – linia podziału biegła tu zresztą nie tyle między Kościołem a nauką, co raczej między zwolennikami nowych idei a ich przeciwnikami. Ostateczne decyzje zarówno w roku 1616, jak i w roku 1633 zapadły bez głębszego rozważenia tez Galileusza. W tym drugim przypadku sprawdzano tylko, czy można znaleźć w książce podstawy do oskarżenia jej autora. Bardzo możliwe, że jakąś rolę odegrał tu gniew Urbana VIII, który poczuł się urażony widząc własne słowa włożone w usta Simplicia – niezbyt rozgarniętego uczestnika Galileuszowego Dialogu. Cała sprawa Galileusza stała się głośnym przykładem użycia (czy też nadużycia) władzy doczesnej Kościoła katolickiego do cenzurowania treści teorii naukowej. Nie ma w tym kontekście znaczenia, czy Galileusz miał mocne dowody naukowe przemawiające za ruchem Ziemi – bardzo rzadko uczony może przedstawić takie dowody już w chwili publikacji swej teorii.

Przemiana światopoglądowa związana z rewolucją naukową była już wówczas w toku i żadne zakazy nie mogły tego odwrócić. Jednak tak ostry konflikt nie był nieuchronny. W tym konkretnym przypadku rolę odegrały zapewne cechy osobiste uczonego, który miał temperament zjadliwego polemisty, a także szersze uwarunkowania, jak osłabiona pozycja polityczna papieża i potrydencka mentalność oblężonej twierdzy.

Nie wszędzie dopasowanie prawd naukowych i prawd religijnych dokonywało się w sposób administracyjny, jak w Rzymie. W krajach protestanckich nie było żadnego odpowiednika sprawy Galileusza. W roku 1638 John Wilkins opublikował w Londynie książkę The Discovery of A World in the Moone, w której głosił kopernikanizm zbliżony do poglądów Galileusza. Wilkinsa nie tylko nie spotkały z powodu książki żadne represje, ale pod koniec życia został biskupem Kościoła anglikańskiego i jednym z założycieli Towarzystwa Królewskiego.

Konsekwencje sprawy Galileusza dla dalszego rozwoju nauki były stosunkowo niewielkie, m. in. dlatego, że niebawem znaczenie zyskały kraje północne, przede wszystkim Francja, Holandia i Anglia, gdzie cenzura kościelna miała wpływ niewielki albo żaden. Kartezjusz wolał jednak na wszelki wypadek mieszkać w Holandii i wstrzymał się z ogłoszeniem gotowego w roku 1633 Świata albo traktatu o świetle. Kartezjusz, podobnie jak Galileusz, był szczerym katolikiem i z wielu powodów nie chciał konfliktu ze swym kościołem.

Wstyd Kościoła pozostał do dziś. Jeszcze pod koniec XX wieku, kiedy podjęto na wniosek Jana Pawła II badania nad sprawą Galileusza, strona kościelna starała się zrzucić z siebie winę, przyznając jedynie, że uczony „wiele wycierpiał
(…) ze strony ludzi i instytucji Kościoła”, dodając zarazem jednym tchem, że to Galileusz błędnie rozumiał metodę naukową.

(*) Nb. Galileusz nie uważał, że Słońce jest środkiem świata, w ogóle nie wierzył, aby istniał jakiś środek świata, ale z pozycji klęcznej trudno było zaczynać na ten temat dyskusję.

Dialog o dwu najważniejszych układach świata: ptolemeuszowym i kopernikowym – Galileo Galilei (1/2)

Dialog o dwu najważniejszych układach świata: ptolemeuszowym i kopernikowym – Galileo Galilei (2/2)

Reklamy

Mikołaj Kopernik, Commentariolus (przed 1514 r.)

Mikołaj Kopernik jest jednym z najbardziej przecenianych astronomów w historii. Dzieje jego pośmiertnej sławy mogłyby stać się pasjonującym przedmiotem badań (interesujący podtemat stanowi tu walka polskich i niemieckich uczonych o zaprzęgniecie postaci Nicolausa Coppernicusa czy Koppernigka w służbę szowinizmu narodowego (*)). Im dalej od astronomii leżały kompetencje historyka i im więcej mijało czasu, tym głośniej wychwalano rewolucję kopernikańską. Dziś wiemy, iż prawdziwa rewolucja zaczęła się w nauce niemal sto lat później, już w wieku XVII, a Kopernik był tylko jednym z uczonych w długim szeregu od Greków i Ptolemeusza, przez astronomów islamskich, jak Pers Nasir At-Tūsi i Syryjczyk Ibn aš-Šātir, po pochodzących z krajów niemieckich Georga Peurbacha i Johannesa Müllera, znanego jako Regiomontanus. Kopernik wysunał rzeczywiście zadziwiający pomysł ruchu Ziemi i bezruchu Słońca, ale był on sprzeczny z całą nauką o ruchu – ówczesną fizyką i filozofią przyrody, natomiast w samej astronomii Kopernik był skrajnym konserwatystą, raczej ostatnim uczonym średniowiecznym niż pierwszym nowożytnym. Z pewnością nie zamierzał „ruszyć z posad bryły świata”, jak to zapowiadał Eugène Pottier, dziewiętnastowieczny autor słów Miedzynarodówki. Pomysł Kopernika okazał się płodny znacznie później, natomiast jego astronomia była porażką, jałowym dodawaniem epicykli do znanego modelu. W wyniku powstał model matematyczny, który raczej psuł, niż poprawiał astronomię Ptolemeusza. Astronomię przebudowali dopiero Tycho Brahe i Johannes Kepler: dlatego uczymy się o prawach Keplera, a nie o prawach Kopernika.

Wszystko to nie znaczy, rzecz jasna, że Niklas Koppernig niczego nie dokonał. Był najwybitniejszym astronomem swego pokolenia, tyle że nie każdemu pokoleniu dane jest dokonać w nauce czegoś przełomowego. Pomysł astronomii heliocentrycznej był krokiem w dobrym kierunku. Używając języka dzisiejszej fizyki, można powiedzieć, że Kopernik odkrył czy może zwrócił mocno uwagę na ukrytą symetrię ruchów planetarnych. Planety przed Kopernikiem poruszały się na niebie tak samo jak i po nim, model Kopernikański nie był ani trochę dokładniejszy niż Ptolemeuszowy, ale od tej pory zaczęliśmy dostrzegać nowy punkt widzenia: widziane ze Słońca ruchy planet są znacznie prostsze niż z Ziemi. Nie zamieszkaliśmy na Słońcu, ale mogliśmy wykorzystać tę symetrię, ułatwiła ona późniejsze, znacznie późniejsze zrozumienie, jaki jest rzeczywisty mechanizm ruchu planet (u Kopernika Słońce było tylko lampą oświetlającą kosmos, nie wpływało fizycznie na ruchy planet).

Nie jest jasne, kiedy Mikołaj Kopernik powziął myśl o zbudowaniu całkiem nowego systemu świata. Być może podczas pobytu we Włoszech, ale najprawdopodobniej już po powrocie na Warmię. Możliwe, że idea nowego systemu dojrzewała w jego głowie całymi latami. Kopernik nigdy nie mógł się zajmować wyłącznie astronomią, wciąż musiał pamiętać przede wszystkim o tym, co może być przydatne dla kapituły fromborskiej, astronomia była jego zajęciem ubocznym. Po powrocie na Warmię był praktycznie odizolowany od kręgów naukowych i pozostał amatorem – w najlepszym znaczeniu tego słowa – z czasem stał się bowiem najbardziej kompetentnym astronomem swojej epoki.

Przez kilka lat Kopernik pełnił funkcję sekretarza swego wuja biskupa Lucasa Watzenrode, będąc po trosze lekarzem, po trosze humanistą. Początkowo mógł jeszcze wahać się co do wyboru dalszej drogi życiowej: humanista, lekarz, sekretarz dostojnika i kandydat na przyszłego biskupa, czy badacz gwiazd? W roku 1509 wydał zadedykowany wujowi przekład Listów Teofilakta. Było to ćwiczenie ze znajomości greki, literacko bezwartościowe, lecz przydatne dla astronoma, pragnącego rozumieć niektóre teksty źródłowe. W wierszu poprzedzającym tekst Teofilakta Wawrzyniec Korwin, pisarz królewskiego miasta Wrocławia, maluje taki obraz swego przyjaciela przy wuju biskupie: „Przy nim uczony mąż, jak wierny Achates przy Eneaszu, tłumacz dzieła niniejszego z greki na łacinę, który szybki ruch Księżyca i zmienne biegi bratniego Słońca, jako też gwiazd i planet – zdumiewające dzieło Wszechmocnego – wraz z ukrytymi przyczynami zjawisk umie objaśniać na godnych podziwu zasadach.” Może w tym czasie pojawił się już pomysł nowej astronomii. Niewykluczone, że pomysł ten miał wpływ na dalsze losy jego autora: chcąc opracować swą teorię, zrezygnował z kariery kościelnej (do której zapewne nakłaniał go wuj, nie mający żadnych innych bliskich krewnych, kandydatów na swych następców) i wrócił do sprawowania funkcji kanonika, która jednak umożliwiała pracę naukową. W każdym razie od roku 1510, jeszcze za życia wuja, zamieszkał Kopernik na stałe w siedzibie kapituły we Fromborku, gdzie z przerwami mieszkać miał już do końca życia. O mitrę biskupią wyraźnie się nie ubiegał (choć raz umieszczono go honorowo na liście kandydatów, bez realnej szansy na wybór), nie przyjął też wyższych święceń – kanonicy przyjmowali je często dopiero wtedy, gdy mieli zostać biskupami. Wśród szesnastu kanoników kapituły, gdzie wszystko – począwszy od miejsc w katedrze aż po kolejność zabierania głosu na posiedzeniach – regulowane było wedle zasady precedencji, czyli kolejności objęcia stanowiska kanonika, doszedł z czasem do miejsca piątego.

Pobyt we Fromborku nie oznaczał bynajmniej wygodnego i beztroskiego życia. Kopernik pracował jako administrator, ceniony lekarz, był jednym z najlepiej wykształconych ludzi na tym skrawku ziemi. Kanonicy byli wprawdzie ludźmi dość majętnymi, ale mieli liczne obowiązki, oprócz spraw czysto kościelnych administrować musieli należącymi do kapituły ogromnymi dobrami. Cała Warmia była oddzielnym księstwem rządzonym przez biskupa. W dodatku była terenem pogranicznym, z trzech stron otoczonym przez ziemie Zakonu Krzyżackiego, który stanowił ciągłe zagrożenie i z którym niezmordowanie walczył biskup Watzenrode, zabiegając jednocześnie w Rzymie o przeniesienie Zakonu z Prus na Podole. Kopernik zmuszony był więc zarówno do prowadzenia ksiąg, jak objeżdżania konno różnych majątków, a nawet gromadzenia broni na wypadek krzyżackiego oblężenia. Zajmował się też kwestiami reform gospodarczych, popierał unię monetarną Prus Królewskich z Koroną. Wcześniej w różnych miastach Prus Toruniu, Gdańsku i Elblągu bito własne monety, z herbem króla z jednej strony, a herbem miasta z drugiej. Nasilała się też tendencja do psucia monety, co było w interesie rządzących oraz oszustów. Kopernik chciał temu zaradzić przez ujednolicenie monety i ustalenie w niej stałej zawartości kruszcu.

W istocie jednak prowadził podwójne życie i wolne chwile poświęcał astronomii. Pierwszy zarys nowego systemu opisany został w krótkim anonimowym streszczeniu znanym jako Komentarzyk. Ów kilkustronicowy Komentarzyk znajdował się w roku 1514 w księgozbiorze krakowskiego uczonego Macieja z Miechowa, musiał więc zostać napisany wcześniej.

Pisze tam Kopernik:

Wielką ilość sfer niebieskich przodkowie nasi przyjęli, jak sądzę, dla zachowania zasady regularności w pozornym ruchu planet. Całkowicie niedorzeczne wydawało się bowiem przypuszczenie, by ciała niebieskie nie poruszały się zawsze jednostajnie po doskonałych kołach. Zauważyli zaś, że wskutek złożenia i połączenia ruchów jednostajnych na różne sposoby osiągnąć można dowolny ruch pozorny każdego z tych ciał do dowolnego położenia. (przeł. J. Drewnowski, M. Kopernik, Dzieła wszystkie, t. 3, Pisma pomniejsze, przekł. nieco zmieniony)

Następnie omawia krótko sytuację w astronomii od starożytności: najpierw Kallippos i Eudoksos starali się wyjaśnić ruchy nieba za pomocą sfer współśrodkowych, następnie przyjęto teorię Ptolemeusza, posługującą się kołami. Przeciwko pierwszej teorii w Komentarzyku, a także wielokrotnie później, przytaczał argument znany już od starożytności: przy stałych odległościach od Ziemi jasności planet nie powinny się zmieniać, podczas gdy w rzeczywistości zmieniają się bardzo wyraźnie.

Jednakże to, co głosili Ptolemeusz i wielu innych, pozostawało wprawdzie w zgodzie z danymi liczbowymi, ale budziło również niemałe wątpliwości. Tłumaczenia te nie były bowiem wystarczające bez dodatkowego wprowadzenia pewnych fikcyjnych kół wyrównujących, z których wynikało, że planeta ani na swojej sferze unoszącej, ani w odniesieniu do środka swego epicykla nie porusza się z zawsze jednakową prędkością. Toteż tego rodzaju system nie wydawał się ani ostatecznie doskonały, ani wystarczająco zgodny z rozumem.

Owe fikcyjne koła wyrównujące, to koła o środku w ekwancie E – którego nazwa łacińska brzmiała punctum equans – a więc punkt wyrównujący. Konstrukcja ta, wprowadzona przez Ptolemeusza, znakomicie poprawiała zgodność teorii z obserwacjami. Ruch punktu C był jednostajny, gdy patrzeć z punktu E, Ziemia jednak była w punkcie Z i mechanizm ten był nielogiczny z zegarmistrzowskiego punktu widzenia: obroty kół powinny być jednostajne, bo chodzi o idealny zegar stworzony przez Boga, który nie mógł być przecież partaczem; powinny one także być jednostajne względem swoich środków, a nie jakichś innych punktów.

Zważywszy te braki często się zastanawiałem, czy by się nie dało wynaleźć racjonalniejszego układu kół, od których zależałyby wszelkie pozorne nierówności ruchów i które obracałyby się ruchem jednostajnym względem własnych środków tak, jak tego wymaga zasada ruchu doskonałego. Przystąpiwszy do tego trudnego i niemal nierozwiązywalnego problemu znalazłem wreszcie sposób, w jaki można tego dokonać za pomocą kół o wiele mniej licznych i o wiele bardziej ze sobą zgodnych, niż przyjmowano dawniej, jeśli tylko wolno nam będzie przyjąć następujące założenia, zwane aksjomatami.

Założenie pierwsze

Nie istnieje jeden środek wszystkich sfer niebieskich.

Założenie drugie

Środek Ziemi nie jest środkiem świata, lecz tylko środkiem ciężkości i sfery Księżyca.

Założenie trzecie

Wszystkie sfery krążą wokół Słońca jako środka i dlatego w pobliżu Słońca znajduje się środek świata.

Założenie czwarte

Stosunek odległości Słońca od Ziemi do wysokości firmamentu jest o tyle mniejszy od stosunku promienia ziemskiego do odległości Słońca, że odległość ta jest niezauważalna w porównaniu z wielkością firmamentu.

Założenie piąte

Każdy ruch widoczny na firmamencie jest wywołany nie jego własnym ruchem, lecz ruchem Ziemi. Ziemia więc, wraz z otaczającymi ją żywiołami, w ciągu doby obraca się cała w swoich niezmiennych biegunach, podczas gdy firmament i najwyższe niebo pozostają nieruchome.

Założenie szóste

Cokolwiek spostrzegamy jako ruch Słońca, nie jest jego własnym ruchem, lecz skutkiem ruchu Ziemi i naszej sfery, z którą się obracamy wokół Słońca podobnie jak każda inna planeta; Ziemia wykonuje zatem kilka ruchów.

Założenie siódme

To, co u planet wydaje się ruchem wstecznym lub posuwaniem się naprzód, nie pochodzi od nich, lecz od Ziemi. Jej więc ruch sam wystarczy dla wyjaśnienia tak wielu nierówności dostrzeganych na niebie.

U Kopernika Ziemia przestaje pokrywać się ze środkiem świata – wbrew temu, co dowodził Arystoteles – stając się centrum już tylko lokalnym: ciążą ku niej ciała, ale tylko te, które znajdują się blisko, w granicach sfery Księżyca. Ciała ciężkie spadają więc w kierunku centrum Ziemi, a nie centrum świata.

Oprócz Słońca także gwiazdy są w rzeczywistości nieruchome, nie obracają się wokół Ziemi. Wraz z wprowadzeniem ruchu dobowego Ziemi odwraca się tradycyjny porządek: do tej pory to niebo, obejmująca wszystko najwyższa sfera gwiazd, miała się najszybciej, raz na dobę, obracać. U Arystotelesa niebo obracane miało być przez Nieruchomego Poruszyciela i miało przekazywać ruch do dołu. U chrześcijan takim poruszycielem stał się Bóg. Teraz ta największa sfera zastygnąć miała w absolutnym bezruchu.

Giovanni di Paolo, Stworzenie świata i wygnanie z Raju (1445)

Oczywiście obserwowane na niebie zjawiska będą takie same bez względu na to, czy to Ziemia się obraca raz na dobę, czy niebo krąży wokół niej raz na dobę. Wiedziano o tym już od starożytności, zawsze jednak wybierano tę drugą możliwość. Skoro Słońce jest w środku świata, to oczywiście jest ono nieruchome. Mamy więc obok sfery gwiazd drugie nieruchome ciało w kosmosie.

Roczny ruch Słońca na niebie, jego przesuwanie się wzdłuż Zodiaku [ekliptyki] także jest złudzeniem optycznym wywołanym ruchem Ziemi. Znów: z punktu widzenia obserwowanych zjawisk astronomicznych wszystko przebiegać będzie tak samo. Motywem Kopernika nie jest uzyskanie precyzyjniejszego opisu zjawisk, lecz zbliżenie się do prawdy. System Ptolemeusza jest wprawdzie „w zgodzie z danymi liczbowymi”, ale to za mało.

Założenia piąte i szóste zawierają, w sensie dosłownym, nowe spojrzenie na zjawiska niebieskie. Można sobie z tych słów wyobrazić, jak od czasu swego pomysłu Kopernik zaczął patrzeć na niebo zupełnie innym wzrokiem. Co innego widzi się wiedząc, że niebo obraca się wokół nas, co innego zaś, gdy uważamy, że to my obserwujemy niebo z wirującej karuzeli. Patrzenie nie jest czynnością prostą i niezależną od refleksji: co innego widzi zwolennik Ptolemeusza, dla którego cały świat wiruje, co innego zaś Kopernik, czy jego późniejsi zwolennicy, widząc absolutnie nieruchome gwiazdy. Jest to dwoistość poznawcza przypominająca pewne grafiki M.C. Eschera.

Psychologiczne doświadczenie nowego spojrzenia na wszechświat musiało być dla Kopernika niezwykle ważnym przeżyciem. Nigdy nie wrócił już do tradycyjnego obrazu. Nie usiłował ich też w żaden sposób pogodzić. Dla współczesnego człowieka przyzwyczajonego do zmian układów odniesienia oraz do względności prawd i punktów widzenia kopernikanizm może wydać się dość banalnym ćwiczeniem z tego zakresu. Trudno jest wyobrazić sobie sytuację kogoś, kto wykonuje je po raz pierwszy. Bez wątpienia Kopernik przekonany był o prawdziwości swojego pomysłu i wierzył w niego, choć nie miał na to żadnych dowodów.

Założenie siódme sprawia, że niepotrzebne stają się Ptolemeuszowe epicykle dla pięciu planet, wprowadzone właśnie po to, aby opisać zmiany kierunku ich ruchu na tle gwiazd. Jeśli przyjmiemy ruch Ziemi, to wszystkie planety poruszają się stale w jednym kierunku, bez żadnych ruchów wstecznych. Tu właśnie kopernikańskie spojrzenie przynosi najwieksze korzyści: układ planet wygląda teraz prościej.

Komentarzyk był przedstawieniem niezwykłego pomysłu. Przekonywał, że układ heliocentryczny może być astronomicznie nie gorszy, a nawet lepszy od tradycyjnego Ptolemeuszowego. Pokazywał, że możemy w nowy, niezwykły sposób spojrzeć na zjawiska niebieskie i że wtedy system świata przedstawia się prościej. Planety obiegają Słońce w czasie tym dłuższym, im dalej znajdują się od niego. Co więcej, w Komentarzyku Kopernik sądzi, że tor zakreślany przez daną planetę jest niezmienny, że powraca ona regularnie do tych samych miejsc kosmosu (w teorii Ptolemeusza tak nie było, ponieważ okresy obrotu epicyklu i deferentu były niewspółmierne). Później, pracując nad swoim traktatem Kopernik odkrył, że od czasów Ptolemeusza orbity planet zmieniły wyraźnie swą orientację względem gwiazd.

Ruch Słońca i ruch gwiazd są więc jedynie złudzeniem wywołanym ruchem Ziemi. Należało zatem Ziemi przypisać kilka ruchów, a dokładnie trzy:

Ziemia podlega trzem ruchom. Pierwszy jest ruch na wielkiej sferze [wielkim kręgu Orbis Magnus], z której okrążając Słońce według kolejności znaków Zodiaku, dokonuje obrotu w ciągu roku […] wydaje się, że Słońe porusza się po kole takim ruchem, jakby Ziemia leżała w środku świata. Tymczasem dzieje się to nie wskutek ruchu Słońca, lecz Ziemi. Kiedy na przykład znajduje się ona w znaku Koziorożca, Słońce widoczne jest na wprost, w kierunku średnicy, w znaku Raka i tak dalej […]

Potrzebny był Kopernikowi jeszcze jeden, trzeci ruch Ziemi, który wyjaśnić mógłby, dlaczego oś Ziemi zamiast obracać się w okresie roku, zachowuje mniej więcej stały kierunek względem gwiazd. Kopernik, zgodnie z tradycją, wyobrażał sobie ruch Ziemi wokół Słońca tak, jakby była ona unoszona na jakimś sztywnym ramieniu – było to myślenie kategoriami machina mundi, machiny świata złożonej ze sfer. Oś Ziemi unoszonej w taki sposób musiałaby się także obracać razem z nią samą, dlatego potrzebne było wprowadzenie trzeciego ruchu kompensującego. Nie istniało jeszcze takie pojęcie przestrzeni, do jakiego później przyzwyczaił nas Newton (obecnie stałość kierunku ziemskiej osi w przestrzeni objaśniana jest zasadą zachowania momentu pędu: Ziemia jak wirujący żyroskop zachowuje stałą orientację osi). Jednocześnie zastanawiał się Kopernik nad możliwością jakiegoś fizycznego mechanizmu zapewniającego stałą orientację osi ziemskiej względem gwiazd: „Wiem – by sięgnąć do pomniejszych spraw – że namagnesowana igła przyjmuje zawsze ten sam kierunek” (W późniejszych tekstach Kopernik już nie wraca do tego pomysłu, astronomia w jego pojęciu wymaga zresztą opisu zjawisk, a nie podawania ich fizycznych przyczyn).

Przy okazji ów trzeci ruch Ziemi, ruch jej osi obrotu, można było wykorzystać do tego, aby zdać także sprawę ze zjawiska precesji, „obrotu ósmej sfery”. Wystarczyło założyć, że okres trzeciego ruchu nie pokrywa się dokładnie z okresem obiegu Ziemi po orbicie, dzięki temu po wykonaniu pełnego okrążenia oś ziemska nie wraca dokładnie do tej samej orientacji, lecz nieznacznie obraca się względem gwiazd. Jak pisze Kopernik, „Powszechnie przyjmuje sie więc, że firmament obarczony jest kilkoma ruchami, którymi rządzą prawa, niedostatecznie dotąd zrozumiane. Ale ruch Ziemi może te zmienności wyjaśnić w bardziej naturalny sposób.”

Zamiast więc przypisywać niebu gwiaździstemu kilka ruchów, można te wszystkie ruchy przypisać Ziemi, gwiazdy uznając za nieruchome. To nie oś nieba wykonuje ruchy w kosmosie, ale oś Ziemi wykonuje te ruchy. Z technicznego punktu widzenia nic się nie zmieniało. Oczywiście rozwiązanie takie było bardziej zadowalające kosmologicznie: łatwiej przypisać pewne, nawet dość zawiłe ruchy Ziemi niż doskonałemu niebu.

Komentarzyk jest tekstem o tyle osobliwym, że zaczyna od tradycyjnej filozoficznej krytyki ekwantów – niejednostajności ruchów kołowych w tradycyjnej astronomii – a następnie formułuje ideę uproszczenia układu świata przez wprowadzenie ruchu Ziemi. Obie te kwestie nie są logicznie powiązane. Można wyeliminować ekwanty i pozostać przy układzie geocentrycznym, jak zrobili to dużo wcześniej uczeni islamscy ze szkoły w Maragha tacy, jak Nasir At-Tūsi i Ibn aš-Šātir. Można też przyjąć układ heliocentryczny oraz ekwanty, jak na pewnym etapie swej pracy zrobił Johannes Kepler. Kopernik miał trzymać się obu tych założeń jednocześnie.

Rozwiązania geometryczne astronomów islamskich są w zasadzie identyczne z przyjętymi przez Kopernika. Dzieła islamskie nie były powszechnie znane za czasów Kopernika, do niedawna nie były też znane historykom współczesnym. Zbyt wiele jednak szczegółów u Kopernika pokrywa się z rozwiązaniami stosowanymi w szkole z Maragha, aby mogło to być jedynie zbiegiem okoliczności. Najprawdopodobniej podczas pobytu w Italii Kopernik zetknął się z jakimiś manuskryptami ze Wschodu. Uczeni islamscy nie proponowali jednak ruchu Ziemi. Astronomiczna teoria heliocentryczna – zawierająca wszelkie niezbędne szczegóły – jest niewątpliwie własnością intelektualną Kopernika. Wielu historyków czuje się pewniej, gdy mogą sprowadzić odkrycie do zapożyczenia pewnych elementów z przeszłości, jakby nie wierząc, by jakikolwiek pomysł na świecie mógł powstać jedynie dzięki myśleniu. Wyznają oni swego rodzaju atomizm w świecie idei: idee krążą wiecznie niby niezmienne atomy, łącząc się co najwyżej od czasu do czasu w nowe wzory i kombinacje. Poszukiwano z zapałem także i prekursorów teorii Kopernika, jednak bez zadowalających rezultatów. Pomysły jakiegoś ruchu Ziemi pojawiały się niejednokrotnie, zwykle były to jednak tylko pomysły, nie traktowane zbyt serio przez tych, którzy je głosili. Sama możliwość ruchu Ziemi znajdowała się od starożytności właściwie ciągle w polu widzenia uczonych, odkąd Arystoteles i Ptolemeusz uznali za stosowne podać argumenty przeciwko ruchowi Ziemi. Kopernik chcąc zrewidować punkt widzenia astronomii zwracał oczywiście uwagę na wzmianki o ruchu Ziemi. Bardziej oczywistą ideą był tu ruch dobowy Ziemi wokół osi. Chyba jednak nikt prócz Arystarcha (o którym Kopernik nie wiedział) nie rozpatrywał ruchu rocznego, znacznie bardziej brzemiennego w skutki i ważniejszego, zarówno dla Kopernika, jak i dla dalszego rozwoju nauki. Ponadto gdybyśmy nawet znaleźli jakieś źródła, które mogły zasugerować Kopernikowi jego punkt wyjścia, to i tak pozostaje faktem, że nikt nie przekształcił idei tego rodzaju w funkcjonującą teorię astronomiczną, a tylko to się ostatecznie liczy w nauce. Z dwóch podstawowych innowacji kopernikańskich: heliocentryzmu i ruchów jednostajnych, to ta pierwsza – bardziej zaskakująca i ważniejsza historycznie – okazuje się własnością intelektualną Kopernika, druga zaś – która zdawała się ważniejsza współczesnym Kopernika – okazała się zbieżna z wcześniejszymi rozwiązaniami astronomów islamskich i być może nie jest nawet niezależnym wkładem Kopernika do nauki.

Ostatecznie Kopernik formułuje swój układ heliocentrycznego kosmosu, w którym planety poruszają się dzięki złożeniu ściśle jednostajnych ruchów kołowych. Potrzebował do tego, jak sam obwieszcza w Komentarzyku 34 kół. W stosunku do 55 sfer Arystotelesa stanowi to niewątpliwe uproszczenie. Rzecz jednak w tym, że należałoby tę teorię zestawiać nie z filozoficznym modelem Arystotelesa, który nigdy nie objaśniał ilościowo żadnych zjawisk i stanowił raczej rodzaj muzealnego zegara, od którego nie wymaga się by chodził, lecz z działającą teorią matematyczną Ptolemeusza. Na razie jednak Kopernik nie zbudował porównywalnej teorii, miał jedynie jej zarys, wstępną wersję. W trakcie pracy nad Obrotami miał się przekonać, że szczegółowe porównanie nie wypada już tak jednoznacznie na korzyść jego systemu.

Ruch planet wg Komentarzyka. Słońce (w istocie tzw. Słońce średnie, a nie to fizyczne, świecące na niebie) znajduje się w centrum dużego koła o promieniu R. Znikły epicykle Ptolemeusza, ale wprowadza Kopernik dwa dodatkowe epicykle: jeden o promieniu e_1 obracał się tak, aby linia C_1C_2 pozostawała stale równoległa do linii SO. Z dzisiejszego punktu widzenia powiedzielibyśmy, że wektor C_1C_2 pozostaje stały (względem gwiazd), dla Kopernika obracał się on, ponieważ położenia C_2 mierzono od prostej SC_1, czyli tak jakby mniejsze koło obracało się na jakimś mechanicznym ramieniu. To pierwsze koło łatwo było zastąpić kołem mimośrodowym – ekscentrykiem – w terminologii ówczesnych astronomów. Było jeszcze drugie koło o promieniu e_2 i ono obracało się tak, aby trapez C_2PEO pozostawał wciąż równoramienny. Ta konstrukcja zastępowała ekwant i wymyślona była przez Ibn aš-Šātira. Planeta zakreślała zamkniętą, nieco owalną linię (owal wybrzuszony był w złą stronę w porównaniu do keplerowskiej elipsy). François Viète zauważył pod koniec wieku XVI, że ruch po dwóch mniejszych kółkach można zastąpić jednym ruchem po elipsie, ale oczywiście Kopernikowi nie o to chodziło.

Wielu historyków nauki zastanawiało się nad genezą reformy Kopernika. Komentarzyk ukazuje nam gotowe rozwiązanie, w którym zmienić się miały już tylko szczegóły techniczne, nie mówi natomiast nic o tym, jak przyszła mu do głowy tak niezwykła myśl i dlaczego Kopernik zdecydował się prześledzić jej konsekwencje. Wiedział też Kopernik zastanawiając się nad swoim pomysłem, że z jednej strony ma tu pewne wsparcie w starożytnych tekstach – ruch Ziemi nie jest więc pomysłem aż tak absurdalnym, jakby się to mogło na pozór wydawać. Z drugiej zaś strony zauważył, niewątpliwie po skrupulatnym zbadaniu sprawy, że „argumenty, którymi filozofowie przyrody starają się udowodnić nieruchomość Ziemi, po większej części oparte są na zjawiskach i wszystkie zostaną tu obalone, gdy tylko wyjdziemy poza pozory” [O obrotach, ks. I] – argumenty te tracą swą moc dowodową, jeśli prawdą jest, że Ziemia się porusza; nie dowodzą więc one w istocie niczego, są przekonywaniem przekonanych, nie mogą więc przeszkodzić w rozważeniu hipotezy ruchu Ziemi. Stosuje się to np. do arystotelesowskiego utożsamienia środka ku któremu spadają ciała ze środkiem świata. Jeśli uznamy, jak Kopernik, że ciała spadają ku środkowi Ziemi, to tym samym stanie się możliwe, że Ziemia nie jest środkiem świata.

Istotą kopernikanizmu z punktu widzenia ruchów w świecie są dwa założenia (piąte i szóste w Komentarzyku): o nieruchomości gwiazd oraz nieruchomości Słońca. Pierwsze przerzuca na Ziemię ruch dobowy oraz długookresowy ruch precesyjny: Ziemia wiruje, oś jej obrotu zmienia położenie w przestrzeni. Drugie zastępuje widoczny roczny ruch Słońca rocznym ruchem orbitalnym Ziemi. Trudno też ustalić, który z dwóch pomysłów – nieruchomość gwiazd czy nieruchomość Słońca pojawił się jako pierwszy. Jasne jest bowiem, że jeśli uda nam się wyjaśnić jakiś ruch obserwowany na niebie odpowiednim ruchem Ziemi, to aż się prosi, aby podobną metodę rozciągnąć i na inne ruchy.

Być może punktem wyjścia był nawet nie obrót dobowy, choć ten akurat obrót najczęściej bywał wcześniej rozpatrywany. W którymś momencie Kopernik mógł zdać sobie sprawę, że zawiłe ruchy precesyjne gwiazd – ruchy ósmej sfery, wymagające wprowadzania kolejnych sfer dziewiątej i dziesiątej – prościej jest opisać zmianami położenia osi Ziemi, nie każąc gwiazdom wykonywać skomplikowanych obrotów i kołysań, które im niezbyt przystoją. Z chwilą gdy gwiazdy uznamy za nieruchome, przyjąć trzeba, że Ziemia wiruje. Za takim punktem wyjścia pracy Kopernika opowiadał się Jerome R. Ravetz.

Inną możliwością było zwrócenie uwagi na to, że Ptolemeuszowe epicykle planet górnych obracają się względem gwiazd w okresie rocznym: ich obrót jest ściśle ze sobą zsynchronizowany. Linie ZS i XM pozostają równoległe do siebie w każdej chwili. Jednocześnie koła w konstrukcji ptolemeuszowej można przestawiać, ponieważ dodawanie wektorów jest przemienne. Model Ptolemeuszowy można dowolnie przeskalowywać, ważne są w nim jedynie kąty. Dlatego wszystkie koła obracające się w okresie roku możemy zastąpić jednym wspólnym kołem i uznać je za orbitę Słońca wokół Ziemi. Powstaje wówczas konstrukcja, w której środki kół planet leżą w Słońcu. Schemat taki pozwalał zaoszczędzić po jednym kole dla każdej z pięciu planet, których dotyczył. W dodatku pewne regularności, które w teorii Ptolemeusza były dodatkowymi i niekoniecznymi założeniami (jak synchronizacja epicyklów), u Kopernika znajdowały naturalne wyjaśnienie. Struktura teorii astronomicznej wyraźnie zyskiwała na przejrzystości, można było zrozumieć fakty przedtem niepowiązane ze sobą. Otrzymywało się także znacznie lepiej wyglądający układ planet, bez dużych epicyklów.

Ostatecznie Komentarzyk nie jest przekonujący dla sceptyka, nie przedstawia bowiem żadnych rozstrzygających argumentów za rozwiązaniem Kopernikańskim. Argumentów takich nie było zresztą również długo po śmierci Kopernika. Można się było zgodzić, że na gruncie astronomii pomysł Kopernika miał pewne zalety i nie prowadził do natychmiastowej sprzeczności z faktami, nie był więc tak absurdalny, jakby mogło się na początku wydawać. Aby jednak serio potraktować propozycję Kopernika, należało najpierw przejść do porządku nad argumentami arystotelików przeciwko ruchowi Ziemi. Wprawdzie argumenty te istotnie były słabsze, niż się mogło wydawać – Kopernik miał tu trafne przeczucie, tym niemniej nie można było ich zbyć kilkoma zdaniami. Na szczęście dla rodzącej się teorii Kopernik nie poświęcał im wielkiej uwagi. Być może sprzyjającą okolicznością była tu naukowa izolacja Kopernika, obracając się na codzień wśród akademickich kolegów musiałby odpierać ich ataki, do czego nie był wtedy przygotowany merytorycznie, ani jak się zdaje psychicznie. Środowiska naukowe urabiają poglądy swoich członków, a w tym przypadku trudno byłoby oczekiwać przychylnych reakcji na nową ideę. Niejednokrotnie w historii nauki pewna izolacja badacza, przynajmniej w jakimś okresie, sprzyjała rozwijaniu oryginalnego punktu widzenia.

Nie wiadomo, jakie były reakcje na Komentarzyk, nie ma wszakże powodu przypuszczać, aby były zachęcające. Alexandre Koyré uważa, że Komentarzyk znała bardzo ograniczona liczba osób, w szczególności nie był zapewne pokazywany profesorom w Krakowie, ponieważ w przeciwnym razie mielibyśmy jakieś wiadomości o ich reakcjach. Według świadectwa jednego z późniejszych astronomów Caspara Peucera nazwisko Kopernika jako uczonego stało się głośne już około 1525 r.

Szczegółowe dowody matematyczne zostały „przeznaczone do większego dzieła.” Dopiero później nastąpić miało wieloletnie opracowywanie matematycznych szczegółów – szczegółów, które w astronomii są wszystkim. Najbardziej zadziwiające jest to, że owo większe dzieło istotnie powstało. Mieszkając z dala od ośrodków życia umysłowego, pochłonięty uciążliwymi codziennymi obowiązkami, Kopernik potrafił nie tylko zaproponować, lecz także i opracować we wszystkich matematycznych szczegółach nową teorię niebios, znaleźć czas i siły na niezbędne obserwacje i, przede wszystkim, obliczenia. Teorii takiej nie zaproponował ani żaden z astronomów islamskich, którzy przez wieki zastanawiali się nad dorobkiem Ptolemeusza, ani żaden z astronomów europejskich, sławnych poprzedników Kopernika, jak Georg Peurbach czy Regiomontanus. Dwaj ostatni żyli wprawdzie dość krótko, nic jednak nie wskazuje, aby mieli ideę równie wielkiego dzieła. Jeśli podziwiamy śmiałość Kolumba czy Vasco da Gamy, którzy potrafili zdobyć się na odszukanie nowych dróg i nie wahali się podejmować ryzyka, to należy także mieć podziw dla intelektualnej odwagi Kopernika, ktory podjął się opracowania nowego systemu astronomii, sprawdzenia do końca swojego odważnego pomysłu, mimo że wydawać on się mógł szalony. Oczywiście innego rodzaju odwagi wymaga morska podróż i astronomiczne obliczenia – w obu jednak wypadkach trzeba wierzyć w swoją szczęśliwą gwiazdę. Być może właśnie w odwadze zapuszczenia się w gąszcz rachunków i obserwacji niezbędnych do zbudowania nowej astronomii należy upatrywać wpływu epoki Odrodzenia, Kopernik jest człowiekem renesansu, człowiekem odważniejszym i podejmującym ryzyko.

Impulsem do opracowania traktatu stało się może zetknięcie z drukowanym wydaniem Almagestu (1515) Ptolemeusza, który ukazywał wyraźnie, czego potrzeba, aby zbudować kompletną teorię ruchu planet. Kopernik jako pierwszy nowożytny astronom podjął się tego zadania. Z tą myślą zaczął prowadzić obserwacje niezbędne, by wyznaczyć parametry ruchów planet. Jak się wydaje, to właśnie na potrzeby dzieła Kopernik zajął się poważniej obserwacjami astronomicznymi. Choć dokonywał ich także i wcześniej, i do książki weszła nawet jedna z obserwacji wykonanych jeszcze we Włoszech, to Kopernik nie był nigdy wielkim obserwatorem. Nie był też obserwatorem najdokładniejszym. Jego przyrządy były stosunkowo proste, by nie powiedzieć prymitywne i służyć miały jedynie uzyskaniu niezbędnych danych liczbowych. Ostateczna teoria nie była ani dokładniejsza, ani prostsza od Ptolemeuszowej. Istotny okazał się właściwie tylko heliocentryczny punkt wyjścia, cała reszta zestarzała się szybko. W 1609 r. Johannes Kepler wydał dzieło Astronomia nova i to ono stanowi początek nowożytnej astronomii.

(*) Przybysz z innego układu planetarnego mógłby się zdziwić, czemu tyle ulic i szkół w Polsce nosi imię Niemca z Prus Królewskich, który we Włoszech zapoznał się z astronomią Arabów i Persów rozwijaną w Azerbejdżanie irańskim oraz w Syrii i opracował alternatywę dla modelu aleksandryjskiego Greka Ptolemeusza, mieszkając całe życie na Warmii, która była oddzielnym księstwem, nie graniczącym z Polską.

Trochę rachunków na koniec. Wprowadźmy ruchomy układ współrzędnych x,y jak na rysunku. Mamy wtedy dla położenia planety w funkcji kąta M (proporcjonalnego do czasu):

\left\{\begin{array}{l} x=(e_1+e_2)\sin M \\[5pt] y=(e_1-e_2)\cos M.\end{array}\right.

Łatwo zauważyć, że tor jest elipsą o półosiach e_1+e_2,e_1-e_2 (wystarczy skorzystać z jedynki trygonometrycznej).

Można też obliczyć kąt M-v oraz odległość planety od Słońca r (przyjmujemy R=1:

\left\{\begin{array}{l} \mbox{tg}\, (M-v)=\dfrac{(e_1+e_2)\sin M}{1+(e_1-e_2) \cos M} \\[15pt] r^2=(1+y)^2+x^2.\end{array}\right.

Najlepsze dopasowanie do modelu Ptolemeusza uzyskamy, gdy

e_1=\frac{3}{2} e \ \ e_2=\frac{1}{2} e.

Ani Ibn aš-Šātir (który wymyślił ten podwójny epicykl), ani Kopernik, który go stosował, nie wiedzieli, jak dobrać optymalnie wartości e_1, e_2. Stosując rozwinięcia wzgledem e, otrzymujemy z dokładnością do wyrazów kwadratowych

\left\{\begin{array}{l}M-v=2e\sin M-e^2 \sin^2 2M \\[5pt] r=1+e^2+e\cos M-e^2 \cos 2M.\end{array}\right.

Błędy w stosunku do ruchu keplerowskiego są teraz równe

\left\{\begin{array}{l} \Delta v=-\frac{1}{4}e^2 \sin 2M \\[5pt] \Delta r=-\frac{1}{2}e^2 (1-\cos 2M).\end{array}\right.

Widzimy więc, że kąt v ma ten sam błąd co u Ptolemeusza, natomiast błędy odległości są dwa razy większe. Teoria Ptolemeusza była więc potencjalnie lepsza. Ideologia świata-boskiego zegara psuła astronomię.

 

 

Czemu Ptolemeusz był wielkim astronomem?

Klaudiusz Ptolemeusz – jak wskazuje rzymskie Klaudiusz i greckie Ptolemeusz – był Grekiem żyjącym w czasach imperium rzymskiego. Pracował w kosmopolitycznej, handlowej i uczonej Aleksandrii, jednym z wielu miast założonych przez Aleksandra Macedońskiego. Zdobywca światów umarł młodo, lecz poszerzył zasięg greckiej kultury. Egipska Aleksandria stała się głównym ośrodkiem nauki tworzonej w języku greckim: Muzeum albo Musejon, przybytek muz, był czymś w rodzaju instytutu naukowego ze słynną biblioteką, obserwatorium astronomicznym, ogrodami botanicznymi i zoologicznymi. Od Euklidesa przez Apoloniusza, Hipparcha do Ptolemeusza rozwijały się tam nauki matematyczne. Sam Ptolemeusz jest autorem Geografii, traktatów o muzyce, optyce i astrologii oraz podstawowego dzieła astronomicznego Mathēmatikē Syntaxis („Zbiór matematyczny”– bezbarwne tytuły nie są wynalazkiem współczesnych uczonych), znanego też jako Megiste („Największy”), co przeszło w arabskie al-majisṭī, z czego wzięła się używana od średniowiecza do dziś nazwa Almagest. Już sama historia tego tytułu pokazuje skomplikowane dzieje przekazywania wiedzy greckiej do nowożytnej Europy.

Mapa świata wg Geografii Ptolemeusza narysowana w XV wieku (Wikimedia Commons)

Mapka rozpowszechnienia Almagestu do czasów Kopernika (В.А. Бронштэн, Клавдий Птолемей, 1988)

Z czasem dzieło Ptolemeusza zawędrowało nawet dalej niż sięgały zdobycze Aleksandra Macedońskiego, bo aż do Indii i do Chin. Co było w nim tak niezwykłego, że tłumaczono je na różne języki, pracowicie kopiowano, a potem drukowano? Almagest i Elementy to najważniejsze dzieła greckie dotyczące nauk ścisłych. Elementy były popularne aż do końca XIX wieku, ponieważ zawierały podstawy geometrii i nadawały się do nauczania w szkołach. Jednak późniejsi uczeni greccy, jak Archimedes, Apoloniusz czy Pappus znacznie powiększyli wiedzę matematyczną. Inaczej w przypadku Almagestu: stanowił on szczyt osiągnięć greckich i można odpowiedzialnie powiedzieć, że dopiero Johannes Kepler posunął dalej sztukę rozumienia ruchów planet, przekraczając poziom osiągnięty przez Ptolemeusza. A więc od II w.n.e. aż do początku wieku XVII ludzkość nie miała lepszej astronomii niż Ptolemeuszowa. Zmieniały się mapy polityczne, wierzenia, religie, języki, kultury, a dzieło Ptolemeusza wciąż stanowiło punkt odniesienia, szczyt kiedyś już zdobyty, ale wciąż trudny do ponownego zdobycia.

Teorie wykładane w Almageście nie są autorstwa Ptolemeusza. Konstrukcje geometryczne zawierające złożenia ruchów po okręgach zastosował już Apoloniusz. Wiele ważnych obserwacji dokonał Hipparch. Do Ptolemeusza jednak należy synteza całej tradycji i sformułowanie jej w postaci pewnego systemu wiedzy. Korzystał z nagromadzonych obserwacji, sam był aktywnym obserwatorem, poprawił też zastane rozwiązania. Almagest pozwala dla danej daty i godziny znaleźć położenie na niebie Słońca, Księżyca, a także pięciu znanych wówczas planet. Sądzono, że położenia te mają wpływ na los człowieka – astrologia była głównym motywem badań astronomicznych. Można wszakże sądzić, że matematyczne umysły w rodzaju Apoloniusza czy Ptolemeusza tak czy owak zgłębiałyby ruchy planet. Są one bowiem powtarzalne, ale niezupełnie, ich usytuowanie nigdy się naprawdę nie powtarza, choć w oczywisty sposób zawiera pewne cykle. Sądzę, że i bez astrologii ruch planet byłby wyzwaniem. Astrologia była raczej koniecznym dopowiedzeniem: skoro świat jest tak urządzony, że owe boskie ciała krążą w zawiły sposób po niebie, to musi to w jakiś sposób dotyczyć także naszego losu. Oczywiście, przeskok od matematyki do cech charakteru czy obliczenia daty odpowiedniej  np. na ślub był logicznie i empirycznie wadliwy, ale i zrozumiały: ludzie zawsze starają się znaleźć w świecie przede wszystkim to, co może ich dotyczyć. Egocentryzm jest postawą jeszcze bardziej naturalną niż geocentryzm.

Podstawowa idea modeli planetarnych była prosta. Mamy dwa okręgi: większy o środku O (deferent) i mniejszy o środku C (epicykl). Wektor \overrightarrow{OC} obraca się, unosząc epicykl, planeta P znajduje się na jego obwodzie, na końcu wektora \overrightarrow{CP}. Ziemia spoczywa w punkcie Z. Ruch zachodzi tu w jednej płaszczyźnie. Planety znajdują się na niebie zawsze w pobliżu ekliptyki, czyli rzutu płaszczyzny orbity Ziemi na sferą niebieską. A więc w pierwszym przybliżeniu możemy ich ruchy rzutować na tę jedną płaszczyznę – dla nas jest to płaszczyzna orbity Ziemi, dla starożytnych była to płaszczyzna orbity Słońca. Dzięki temu model płaski może opisywać najważniejszą część ruchu planet. Odchyleniami od ekliptyki zajmowano się również, ale było to niejako drugie przybliżenie, którego szczegóły tutaj sobie darujemy. Warto pamietać, że dopiero Johannes Kepler wpadł na pomysł, iż orbity planet leżą w płaszczyznach, które przecinają się w Słońcu. Nie wiedzieli o tym starożytni ani Mikołaj Kopernik.

Zazwyczaj dominuje ruch po deferencie w lewo i planeta porusza się względem gwiazd z zachodu na wschód. Czasem jednak zatrzymuje się i zaczyna poruszać się ruchem wstecznym, ze wschodu na zachód. Potem znów wraca do ruchu prostego, tzn. z zachodu na wschód. Pętla w naszym przybliżeniu powinna być spłaszczona: zostaje tylko zmieniający się ruch w płaszczyźnie ekliptyki. Epicykl potrzebny był właśnie do tego, by odtwarzać ruch wsteczny planety.

 

Ptolemeusz ani jego koledzy nie wiedzieli prawie nic o odległościach planet. Wiadomo wprawdzie, że np. Mars jest najjaśniejszy w środku swego ruchu wstecznego, kiedy jest na niebie po przeciwnej stronie niż Słońce (jest w opozycji do Słońca, mówią astronomowie). Sugeruje to, że powinien wtedy być bliżej, ale epicykl ma taki, a nie inny kształt z przyczyn estetyczno-filozoficznych: co się porusza w cyklu, powinno się poruszać koliście. Kierunki przewidywane przez ten model są  opisane prawidłowo – tyle wiedział Ptolemeusz. Fakt, że również i odległości są opisane prawidłowo, jest dodatkową cechą modelu, z czego pierwszy zdał sobie sprawę Kopernik. Jeśli znamy kierunki obu wektorów \overrightarrow{OC}, \overrightarrow{CP}, to znamy i wektor położenia planety

\overrightarrow{ZP}=\overrightarrow{ZO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CP}.

Pierwszy z wektorów po prawej stronie jest stały. Zauważył bowiem Hipparch, że Ziemię lepiej jest odsunąć nieco od środka deferentu O (dla każdej planety inaczej i w innym kierunku). Dwa ruchome wektory obracają się jednostajnie i ich kierunek dla danej chwili można zawsze obliczyć.

I w tym miejscu pojawia się z pozoru drobne ulepszenie autorstwa Ptolemeusza: ekwant. Miał on do dyspozycji więcej obserwacji niż Hipparch, minęły między nimi stulecia – postęp naukowy był wówczas niesłychanie powolny. Zresztą po Ptolemeuszu w zasadzie postępu nie było przez następne tysiąc pięćset lat. Piszę w zasadzie, ponieważ astronomowie islamscy i potem chrześcijańscy aż do Kopernika i do końca XVI wieku wprowadzali rozmaite udoskonalenia, które jednak niczego nie poprawiały. Na początku XVII wieku nadal najlepszą teorią była ta Ptolemeuszowa. Jej błędy dla Marsa zwykle nie przekraczały 1°.

Błędy w położeniach Marsa według efemeryd Origanusa (Ptolemeusz) i Keplera (źródło: O. Gingerich, Johannes Kepler and the Rudolphine Tables, „Sky and Telescope”, December, 1971, s. 328). Warto może dodać, że oprócz uczonych islamskich i Kopernika nikt nie dodawał epicykli do epicykli. Spotyka się czasem powiedzenie, że dalsze poprawianie jakiejś niezbyt udanej teorii to dodawanie kolejnych epicykli. Otóż takiego dodawania kolejnych epicykli w historii nie było. Teoria Ptolemeusza zestarzała się, by tak rzec moralnie (heliocentryzm itd.), ale matematycznie i pod względem zgodności z obserwacjami – wcale. Dalsze epicykle nie były potrzebne.

Gdy obserwuje się ruchy Marsa (w tym przypadku widać to najwyraźniej), okazuje się, że pętle ruchu wstecznego mają różne wielkości w różnych częściach nieba. Planeta w opozycji porusza się też raz szybciej, raz wolniej. Odsunięcie Ziemi od środka deferentu nie wystarczy. Dlatego Ptolemeusz wprowadził kontrowersyjne, ale znakomite rozwiązanie. Przyjął mianowicie, że punkt C  porusza się jednostajnie nie względem środka okręgu O, lecz względem pewnego innego punktu E (zwanego ekwantem) i położonego po drugiej stronie środka deferentu tak, że ZO=OE.

Teraz kąt M jest proporcjonalny do czasu, planeta nadal krąży jednostajnie po epicyklu (kąt \gamma=\angle{HCP} jest proporcjonalny do czasu). Teoria przewiduje następujące ruchy Marsa:

Z punktu widzenia obserwatora ziemskiego Mars zatacza skomplikowane spirale: ich pętle odpowiadają ruchowi wstecznemu. Widzimy, że ich wielkość zależy od miejsca, w którym planeta znajdzie się najbliżej Ziemi: opozycje bliskie ujemnemu kierunkowi osi x odpowiadają mniejszej odległości planety od Ziemi niż opozycje po przeciwnej stronie ekliptyki. Dobrą zgodność ilościową otrzymujemy, uwzględniając ekwant – kontrowersyjne, jako się rzekło, rozwiązanie Ptolemeusza. Popatrzmy jeszcze na pętle Wenus:

Na drugim wykresie widać, że tor planety podwaja się po ośmiu latach. Zjawisko to wynika ze szczególnej wartości stosunku okresów obiegu Ziemi i Wenus wokół Słońca i nie ma dotąd przekonującego wyjaśnienia.

Jak dobrym przybliżeniem rzeczywistości jest ekwant? W przypadku Marsa deferent odpowiada orbicie planety, epicykl – orbicie Ziemi. Ograniczmy się do deferentu.

Położenie punktu C, czyli heliocentrycznie rzecz biorąc, planety, dane jest odległością r i kątem v. Kąt M jest proporcjonalny do czasu. Można łatwo obliczyć, że w modelu Ptolemeusza dla R=1, otrzymujemy (pomijając wyrazy z potęgami e wyższymi niż druga):

\left\{\begin{array}{l}M-v=2e\sin M-e^2 \sin 2M\\[5pt] r=1+\frac{3}{4}e^2+e\cos M-\frac{3}{4}e^2\cos 2M.\end{array}\right.

Porównajmy to z wynikami dla ruchu keplerowskiego po elipsie z tą samą dokładnością:

\left\{ \begin{array}{l} M-v=2e\sin M-\frac{5}{4}e^2 \sin 2M \\[5pt] r=1+\frac{1}{2}e^2+e\cos M-\frac{1}{2}e^2 \cos 2M.\end{array}\right.

Zatem błędy równe są

\left\{\begin{array}{l}\Delta v=-\frac{1}{4}e^2 \sin 2M \\[5pt] \Delta r=-\frac{1}{4}e^2(1-\cos 2M).\end{array}\right.

Nawet dla Marsa, gdy e\approx 0,1, błędy są mniejsze niż \Delta v=0,0025 \mbox{ rd}=8,5', a \Delta r=0,0025. Teoria Ptolemeusza jest więc rewelacyjnie dokładna, biorąc pod uwagę ówczesny stan wiedzy i dokładność pomiarów. O takiej dokładności marzył Mikołaj Kopernik, ale jej nie osiągnął. Problemem była tu nie teoria, lecz dobór parametrów modelu na podstawie obserwacji.

Jeszcze na koniec powiedzmy, dlaczego pomysł z ekwantami był kontrowersyjny przez 1500 lat, zanim Kepler nie zrozumiał, jak świetne jest to przybliżenie rzeczywistych ruchów i nie poszedł dalej. Teoria geometryczna była znakomita, ale nie bardzo sobie wyobrażano, jak niebiosa realizują taki ruch. Planety były, jak wierzono, unoszone przez pewne sfery, rodzaj mechanizmu zegarowego. Można wyobrazić sobie, że ów mechanizm zawiera mniejsze i większe kółka. Można było nawet umieścić Ziemię ekscentrycznie. Jednak obrót, który nie jest jednostajny względem swego środka C, ale względem innego punktu E, wydawał się mechanicznie niewykonalny. Ludzie rozumieją zawsze tyle, ile potrafią wykonać albo przynajmniej wyobrazić sobie jako pewną idealną wersję tego, co działa tu na Ziemi. Ptolemeusz wykazał się niezwykłą odwagą, przedkładając zgodność z obserwacjami nad fizyczną realizację. Jego ekwant był ogniskiem elipsy w zarodku: w jednym ognisku mamy Słońce, wokół drugiego ogniska, które jest puste, prędkość kątowa jest niemal stała.

Pokażemy jeszcze, jak w dzisiejszym języku opisać można Ptolemeuszowe tory planet i jak wyznaczyć M-v,r w funkcji M, czyli czasu.

Z trójkąta COE i twierdzenia sinusów dostajemy

\dfrac{\sin (\beta-M)}{e}=\dfrac{\sin M}{R} \Rightarrow \beta=M+\arcsin (\frac{e}{R}\sin M).

Wektor położenia planety jest zatem równy:

\overrightarrow{ZP}=[e+R\cos\beta+\varrho \cos\alpha,R\sin\beta+\varrho\cos\alpha],

gdzie \alpha jest kątem CP z osią x. Oba kąty M, \alpha zmieniają się liniowo z czasem:

 M=\dfrac{2\pi}{T_1}+M_0,\; \alpha=\dfrac{2\pi}{T_2}+\alpha_0,

gdzie T_1,T_2 są okresami obiegu deferentu i epicyklu. Linie zakreślane przez P narysowane zostały wyżej dla przypadku Marsa i Wenus.

Z rysunku tego łatwo wyznaczyć M-v,r w funkcji M, czyli czasu.

Mamy bowiem kolejno:

\mbox{tg}\,(M-v)=\dfrac{ZE''}{CE''}=\dfrac{2e\sin M}{CE'+E'E''},

CE'=1^2-e^2\sin^2 M,\, E'E''=e\cos M.

Ostatecznie więc

\mbox{tg}\, (M-v)=\dfrac{2e\sin M}{\sqrt{1-e^2\sin^2 M}+e\cos M}.

Odległość r znajdujemy z tw. Pitagorasa. Wynik dla ruchu keplerowskiego znaleźć można w podręcznikach mechaniki niebios, np. klasycznej książce F.R. Moultona. Nasza konwencja jest zgodna z tradycją dawnej astronomii: mierzymy kąty od apogeum. Obecnie panuje zwyczaj mierzenia ich od perigeum/perihelium, różnią się więc o 180º, co daje nieco inne znaki.

Wieczny powrót od Retyka i Kopernika do Poincarégo

Niebo Greków składało się z wirujących z różną prędkością sfer. Jak pisał Platon w Timajosie:

…aby dać jasną miarę relatywnej powolności i szybkości, z którymi gwiazdy wykonują swoich osiem ruchów, Bóg umieścił na drugiej po Ziemi orbicie światło, które nazywamy teraz Słońcem, aby całe niebo było oświetlone, a jestestwa żyjące, wszelkie, jakie natura zamierzyła, mogły uczestniczyć w Liczbie, ucząc się arytmetyki przez obroty Tego Samego i podobnego. (…)  A na obieg innych gwiazd ludzie, z bardzo małymi wyjątkami, nie zwracają uwagi, nie nadają im nazw, nie porównują ich obiegów ilościowo, tak, że powiedzieć można, nie wiedzą, że czas to błędne wędrówki tych gwiazd nieprzeliczone i przedziwnie różnorodne. Mimo to można pojąć, że doskonała liczba czasu wypełnia rok doskonały wtedy, gdy wszystkie osiem obrotów, mających swoje względne stopnie szybkości, dokona się wspólnie i zakończy w tym samym czasie, mierzonym obrotem Tego Samego, które się porusza w sposób jednostajny. (39 c-39d)

Według Platona po 36 000 lat cykl kosmiczny się powtarza. W XVI w. Georg Joachim Retyk, jedyny uczeń Kopernika, powiązał epoki historyczne ze zmianami mimośrodu orbity Ziemi. Środek orbity Ziemi poruszał się bowiem u Kopernika po niewielkim kółku , a okres tego ruchu wynosił 3434 lat egipskich. Kiedy mimośród orbity Ziemi był największy Rzym stał się z republiki cesarstwem. Po ćwierci obiegu owego małego kółka powstał islam, a po następnej ćwierci ok. 1652 r. – upadnie, jak prorokował. Drugie przyjście Chrystusa miało nastąpić w roku 2510, gdy mimosród wróci po raz drugi do swej wartości w chwili stworzenia. W książce Kopernika nie znajdziemy rozważań tego typu. Nie ma jednak podstaw by sądzić, że ich nie aprobował. Astrologia była dziedziną respektowaną, głównym powodem badania położeń planet na niebie. Więc choć Kopernik nie był z pewnością entuzjastycznym astrologiem – nie zachowały się tworzone jego ręką horoskopy, to mógł wierzyć, że los Ziemi i jej mieszkańców jest powiązany ze zjawiskami niebieskimi. O obrotach było dziełem czysto astronomicznym i matematycznym, zatem umieszczanie w nim astrologicznych konkretów byłoby nie na miejscu.

Środek orbity Ziemi \bar{S} porusza się po małym kółku, rzeczywiste Słońce spoczywa sobie spokojnie obok, nie biorąc udziału w tych „rewolucjach”. Słowo użyte przez Kopernika w tytule De revolutionibus oznaczało obroty, a więc coś cyklicznego, z czasem zaczęło oznaczać wszelkie dramatyczne przemiany, na ogół już jednokierunkowe. Proporcje na rysunku są oczywiście przesadzone, inaczej niewiele byłoby widać.

Wraz z upadkiem idei sfer niebieskich znaczenie cyklów planetarnych zmalało, a czas zaczął wydawać się nieskończony niczym prosta euklidesowa: od minus do plus nieskończoności. Oczywiście, chrześcijanie obowiązani byli wierzyć w stworzenie świata i jego koniec, ale z braku dopływu nowych bodźców wiara ta wyraźnie słabła. Już w XVIII wieku niezbyt się buntowano, gdy Buffon obliczył wiek Ziemi na mniej więcej dziesięć razy dłuższy, niż wynikałby z Biblii. Potem Fourier, zajmując się stygnięciem Ziemi, jeszcze powiększył tę wartość. Mechanistyczny wszechświat najłatwiej było sobie wyobrażać jako trwający od zawsze i mający istnieć zawsze. Od połowy XIX w. do obrazu tego doszły dwie zasady termodynamiki. Według pierwszej – zasady zachowania energii – istnieje wielkość, która we wszystkich przemianach się nie zmienia, co przemawia za tym, że wszechświat nie ma końca. Według drugiej zasady energia rozkłada się z czasem coraz bardziej równomiernie, świat powinien stawać się jednolitym ośrodkiem o stałej gęstości i temperaturze. Tak więc choć istniałby zawsze, po pewnym czasie przechodziłby w postać mało interesującą i praktycznie martwą. Mówiło się o „śmierci cieplnej” wszechświata.

Pomysł wiecznego powrotu pojawił się w latach osiemdziesiątych XIX stulecia nie u uczonego, lecz u filozofa, Friedricha Nietzschego. Pisał on:

Jeśli wszechświat należy uważać za pewną ilość energii, za pewną liczbę ośrodków energii, a każda inna koncepcja pozostaje nieokreślona i przez to bezużyteczna, to wynika stąd, że wszechświat przejść musi przez obliczalną liczbę kombinacji w wielkiej grze losowej, którą jest jego istnienie. W nieskończoności, w takim albo innym momencie, zrealizowana musi zostać każda możliwa kombinacja; a nawet więcej: musi ona zostać zrealizowana nieskończenie wiele razy. (…) wszechświat ukazuje się więc jako ruch kolisty, który zdążył się już powtórzyć nieskończenie wiele razy i który toczy swą grę przez całą wieczność.

Nietzsche, pogrążający się już w szaleństwie, przekonany był, że rozumowanie takie przeczy mechanistycznej nauce, którą traktował pogardliwie. Jednak w roku 1889 Henri Poincaré udowodnił, że w newtonowskiej mechanice także mamy do czynienia z wiecznym powrotem. Jego rozprawa zatytułowana O problemie trzech ciał i równaniach dynamiki zawierała nowatorskie podejście do klasycznego tematu za pomocą metod topologii, czyli rozważań operujących ogólnymi pojęciami takimi jak ciągłość, które okazały się bardzo owocne. Poincaré stał się prekursorem teorii chaosu. A metody topologiczne wykazywały jeszcze nieraz swą przydatność: np. w badaniu osobliwości w ogólnej teorii względności (czarne dziury, początek wszechświata) czy w badaniach osobliwych stanów materii (Nobel 2016).

Poincaré udowodnił następujące twierdzenie: Jeśli dopuszczalne stany układu mechanicznego zawarte są w pewnym ograniczonym obszarze D, to w dowolnym otoczeniu U każdego punktu obszaru D znajdzie się punkt s, który powraca do otoczenia U.

Można to narysować. Przestrzeń stanów to zbiór punktów, których współrzędnymi są położenia i pędy x,p (same położenia nie wystarczą, bo nie precyzują, jak zachodzi ruch; jest to tzw. przestrzeń fazowa układu). Naszym obszarem D jest niebieska elipsa (obszar ograniczony odpowiada temu, że np. energia układu jest stała). Rozpatrujemy dowolnie mały obszar U (u nas ma postać czerwonego kółka). Stany z obszaru U po jakimś kroku czasowym przechodzą w stany g(U), niemające wspólnego punktu z U (gdyby tak nie było, to już mamy tezę twierdzenia). Po kolejnych krokach czasowych otrzymujemy g^2(U),\ldots g^n(U). Wiadomo z mechaniki, że objętości tych wszystkich obszarów U, g(U),\ldots g^n(U) są jednakowe (twierdzenie Liouville’a). Skoro tak, to któryś z obszarów ciągu g^n(U) musi przeciąć się z U, a tym samym istnieć będzie punkt s należący zarówno do U, jak i g^n(U) (*)

Oznacza to, że wybierając dowolny stan początkowy i czekając dostatecznie długo, doczekamy się powrotu naszego układu jeśli nie do punktu początkowego to dowolnie blisko tego punktu. Wynik jest zupełnie ogólny, nie musimy nic wiedzieć na temat działających sił, a nasz układ może być dowolnie duży. Twierdzenie Poincarégo pokazuje więc, że na gruncie mechaniki mamy do czynienia z wiecznym powrotem. Można pokazać, że powroty takie będą się powtarzać nieskończenie wiele razy. Idea powrotu nie przeczy więc mechanicznemu światu, choć niezgodna jest ze śmiercią cieplną wszechświata. Poincaré zauważył filozoficzne konsekwencje swego twierdzenia. Zauważył je także młody matematyk Ernst Zermelo, asystent Plancka, który wystąpił z polemiką przeciwko koncepcji entropii Boltzmanna. Zermelo dał się potem poznać jako wybitny specjalista od podstaw matematyki, jego aksjomaty teorii mnogości stosowane są dziś powszechnie.

(*) Idea dowodu twierdzenia Poincarégo opiera się na zachowaniu objętości w przestrzeni fazowej. Kolejne zbiory g^k(U) mają takie same objętości, nie mogą więc być parami rozłączne, gdyż wtedy suma ich objętości przekroczyłaby każdą zadaną liczbę, a wszystko musi się zmieścić w większym obszarze D. Jeśli zaś jakaś para tych obszarów nie jest rozłączna, np. g^k(U) \cap g^l(U)\neq \O przy pewnych k>l\geq 0, to g^{k-l}(U)\cap U \neq\O , co oznacza, że dla jakiegoś punktu s\in U mamy s=g^{k-l}y, gdzie y\in S.

Zachowanie objętości kolejnych obszarów wynika stąd, że gdybyśmy wyobrazili sobie punkty przestrzeni fazowej jako punkty w poruszającej się cieczy, to dywergencja pola prędkości owej cieczy równa się zeru, a to jest warunek dla cieczy nieściśliwej, czyli zachowującej objętość. Oznaczając wektor prędkości \vec{q}=(\dot{x}_i,\dot{p}_i) dla i=1,\ldots, 3N (gdzie N jest liczbą cząstek składających się na układ), mamy

\mbox{div } \vec{q}=\dfrac{\partial\dot{x}_i}{\partial x_i}+\dfrac{\partial\dot{p}_i}{\partial p_i}=\dfrac{\partial^2 H}{\partial x_i \partial p_i}-\dfrac{\partial^2 H}{\partial p_i \partial x_i}=0,

gdzie H=H(x,p) jest hamiltonianem układu, po wskaźniku i sumujemy.

Dodatek matematyczny, twierdzenie Poincarégo w nowoczesnym sformułowaniu. Ujęcie to zawdzięczamy Constantinowi Carathéodory’emu, matematykowi z Getyngi, był już rok 1919. Pojawiło się pojęcie miary, będące uogólnieniem zwykłej objętości. Twierdzenie Poincarégo można uściślić w ten sposób, że zbiór punktów przestrzeni fazowej, które nigdy nie powracają do wybranego otoczenia jest miary zero. Zbiory miary zero, czyli zerowej objętości, mogą mieć skomplikowaną strukturę, ale są rzadkie w tym sensie, że nie można im przypisać żadnej dodatniej objętości. Nowoczesne pojęcie miary zbioru rozszerza dodawanie miar na zbiory przeliczalne (dające się ponumerować liczbami naturalnymi, ciągi zbiorów). Miara spełnia więc warunek:

\mu(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i)=\sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(A_i),

gdy zbiory są parami rozłączne: A_i\cap A_j=\O, dla różnych wskaźników i,j. Pokażemy, że jeśli odwzorowanie g zachowuje miarę, a miara obszaru D jest skończona, to miara zbioru tych punktów D, które nie mają własności powracania, jest równa zeru. W tym sensie prawie każdy stan ma własność powracania.

Dla dowodu pokrywamy obszar D przeliczalną liczbą kul U_1, U_2, \ldots, . Dla każdej kuli U_n definiujemy jej podzbiór B_n jako zbiór tych s\in U_n, dla których g^k(s)\in U_n tylko dla skończenie wielu wartości wskaźnika k. Zbiór B=\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} B_i jest zbiorem punktów niepowracających. Ponieważ \mu(B)\leq \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(B_i), wystarczy udowodnić, że każdy ze zbiorów B_n jest miary zero.

W tym celu wybierzmy dowolny wskaźnik i. Będziemy teraz pisać oznaczenia U_i bez indeksu dla  uproszczenia zapisu.

Rozpatrzmy zbiór C=U\setminus \bigcup\limits_{p=1}^{\infty}g^{-p}(U). Punkt s\in g^{-k}(U) wtedy i tylko wtedy, gdy g^k(s)\in U oraz g^m(s)\notin U przy m>k. Zbiory g^{-i}(C), g^{-j}(C) są parami rozłączne, gdy wskaźniki i, j są różne, przy czym dopuszczamy, aby któryś z nich równał się zeru (g^{-0}(C)=C). Zbiór B_i=\bigcup\limits_{p=0}^{\infty}g^{-p}(C). Zatem mamy

\mu(B_i)=\sum\limits_{p=0}^{\infty}\mu(g^{-p}(C)).

Miary wszystkich zbiorów po prawej stronie są takie same, bo nasze odwzorowanie zachowuje miarę. Gdyby miary te były dodatnie, suma byłaby nieskończona, co jest niemożliwe, gdyż B_i\subset U_i, więc jego miara musi być skończona. Zatem wszystkie miary po prawej stronie są zerowe i \mu(B_i)=0. Zbiór B jest przeliczalną sumą B_i, zatem i on musi być miary zero. Dowód ten pochodzi z artykułu R. Daniela Mouldina, Probability and Nonlinear Systems, „Los Alamos Science” nr poświęcony Stanisławowi Ulamowi.

Twierdzenie Poincarégo o powracaniu ilustruje tzw. kot Arnolda (chodzi o Vladimira Arnolda, wybitnego matematyka rosyjskiego). Mamy tu ograniczoną przestrzeń stanów i pewną grupę stanów początkowych, które ułożone są w kształt kociego pyszczka. Gdy puścimy w ruch tę animację, zobaczymy, że w pewnych chwilach kot powraca.

 

Po co człowiekowi w życiu logarytmy? Henry Briggs (1617)

Zanim przejdziemy do tytułowego pytania, zacznijmy od tego, jak należy wyobrażać sobie teorię oraz praktykę. Cesare Ripa daje następującą odpowiedź:

Słowo Theoria, oznaczające u Greków kontemplowanie, oglądanie, u nas zaczęło być stosowane na oznaczenie wszelkiego wywodu rozumowego opartego na przyczynach rzeczy stosownie do właściwych im porządków i z uwzględnieniem zasad zależących nie od rozsądku, lecz raczej od intelektu, gdyż zasady zawisłe od rozsądku określają Praktykę, przeciwstawną wszak Teorii. Ze względu na te okoliczności uważam, że Teorię całkiem trafnie przedstawić można w postaci młodej Niewiasty spoglądającej w górę, z dłońmi złączonymi, na głowie mającej cyrkiel o ramionach rozwartych i celujących w Niebo. Ma ona być odziana w dostojną błękitną suknię, i schodzić ze szczytu schodów. Wszystkie te szczegóły symbolizują wybitność, dostojność i wzniosłość. (przeł. I. Kania)

(…) Praktykę można przedstawić w postaci Staruchy z głową i rękami opuszczonymi w dół, ubranej nędznie w bure suknie, z wielkim rozwartym cyrklem, którego jedna nóżka wbita jest w ziemię; jedną ręką wspiera się na rzeczonym cyrklu, drugą – na liniale, w taki sposób, że druga nóżka cyrkla dotyka końca liniału układając się razem w kształt greckiej litery π, którą oni zwykli oznaczać Praktykę, podczas gdy Teorię oznaczali literą θ. (przekł. jw.)

Kto chodził do szkoły, ten wie, że Teoria ma przewagę nad Praktyką: ledwo zdążymy oswoić się z jednym pojęciem, a już mówi się o następnych i idzie dalej i dalej, nie pokazując zastosowań. W podobny sposób działały uniwersytety i szkoły także na przełomie XVI i XVII wieku. Dlatego znaczna część Rewolucji naukowej przebiegała niejako równolegle do systemu edukacji, który nawet owej rewolucji nie zauważył, nadal kształcąc na bazie Arystotelesa.

Logarytmy są wynalazkiem praktycznym, jednym z niewielu ważnych pojęć matematycznych, które powinno się wynosić ze szkoły. I nie chodzi o definicję czy dziwaczne równania z niewiadomymi pod logarytmem, ale o ideę zapisywania bardzo dużych albo bardzo małych liczb w krótki sposób. Logarytmy dziesiętne wprowadził Henry Briggs, profesor w londyńskim Gresham College. Była to szkoła o nastawieniu praktycznym, kształciła mierniczych, inżynierów i nawigatorów (żegluga oceaniczna zmusiła korzystania z astronomicznych metod wyznaczania położenia, a te wymagały obliczeń matematycznych). Pomysł należał do Szkota Johna Napiera, choć niezależnie od niego wpadł na podobną ideę Jost Bürgi, zegarmistrz i konstruktor przyrządów, zaprzyjaźniony z Johannesem Keplerem. Logarytmy pozwalały znacznie przyspieszyć obliczenia numeryczne, ponieważ mnożenie i dzielenie zastępują dodawaniem i odejmowaniem – działaniami znacznie mniej czasochłonnymi. Mówiono, że dzięki logarytmom życie astronomów wydłużyło się dwukrotnie, tak bardzo skracały one bowiem rachunki. Najważniejsze tablice astronomiczne czasów nowożytnych: Tablice Rudolfińskie (1627) Johannesa Keplera zostały obliczone przy wykorzystaniu logarytmów. Dzieło to zawierało frontispis przedstawiający świątynię astronomii, w której kilku sławnych uczonych minionych wieków prowadzi zaświatową debatę nad systemem planetarnym. Jedynie dwie kolumny oznaczone imionami Kopernika i Tychona Brahego są zdrowe i mocne, w suterenie widzimy Johannesa Keplera pochylonego nad swymi pracami.

Przyjrzyjmy się alegorycznym figurom na dachu świątyni. Cesarski orzeł zrzuca guldeny, co było raczej pobożnym życzeniem Keplera niż faktem, choć w sumie dzieło powstało dzięki patronatowi kolejnych cesarzy od Rudolfa II począwszy. Kobiece postaci od lewej strony począwszy to Physica lucis – fizyka światła, Optica – dzierżąca teleskop, Logarithmica – alegoria, niemal bogini logarytmów, Doctrina triangulorum – trygonometria, Stathmica – statyka przedstawiona z dźwignią (prawo dźwigni odgrywało zdaniem Keplera istotną rolę w ruchu planet) oraz Magnetica – alegoria nauki o magnetyzmie (uczony sądził, że jedną z sił poruszających planety jest specjalna siła magnetyczna). W aureoli wokół głowy Logarithmiki znajdują się cyfry 6931472, odpowiadające \ln(2)=0,6931472, dlatego pręty, które trzyma nasza bogini mają stosunek długości 1:2.

Johannes Kepler widział więc wagę logarytmów dla astronomii. Henry Briggs obliczył pierwsze praktyczne tablice logarytmów dziesiętnych. Poniżej wyjaśnimy, jak tego dokonał, najpierw jednak spróbujemy odpowiedzieć na pytanie, do czego w życiu przydają się logarytmy. Są one potrzebne szczególnie wtedy, gdy mamy do czynienia z procesami, w których jakaś wielkość zmienia się bardzo silnie. Np. ludność świata w milionach od czasów prehistorycznych do roku 2015. Widzimy, co znaczy określenie eksplozja demograficzna i dlaczego jest nas dziś więcej niż wszystkich ludzi razem wziętych w minionych epokach. W zaświatach spotkalibyśmy niemal wyłącznie współczesnych.

Drugi wykres ma skalę logarytmiczną na osi pionowej: znacznie lepiej widać zmiany szybkości eksplozji demograficznej: nachylenie krzywej (tangens kąta) mierzy wskaźnik przyrostu naturalnego. Stałe nachylenie to stały przyrost procentowy. Nadal widzimy eksplozję w ostatnich stuleciach, ale teraz widać znacznie więcej szczegółów zachowania krzywej. Spójrzmy jeszcze na wykres obejmujący tylko dwa ostatnie stulecia.

Widać na nim właściwie trzy odcinki prostoliniowe: 1800-1900, 1900-1950, 1950-2015. Zupełnie niewidoczne są obie wojny światowe. Skoki przyrostu naturalnego wiążą się najwyraźniej z postępem cywilizacyjnym: nawozy sztuczne, mniejsza umieralność niemowląt i dzieci, dłuższy średni czas życia.

Logarytm dziesiętny to w zasadzie liczba zer w zapisie: zamiast liczb 0,01;10;100000 piszemy -2,1,5. Oczywiście, musimy umieć obliczać logarytmy także innych liczb niż całkowite potęgi dziesiątki. Jeśli np. naszą liczbą jest a=3\cdot 10^4, to widać od razu, że jej logarytm musi być większy niż 4, lecz mniejszy niż 5 (bo 10^4<3\cdot 10^4<10^5). Trzeba znaleźć taki wykładnik, aby 10^{x}=3. Wiadomo, że x=0,477121, mamy więc

a=3\cdot 10^{4}=10^{0,477121}\cdot 10^{4}=10^{0,477121+4}=10^{4,477121}.

Zatem \log 3\cdot 10^4=4,477121.

Możemy powiedzieć (niestandardowo), że liczba 3\cdot 10^4=30000 ma 4,477121 zer. Logarytm jest więc uogólnieniem liczby zer, skonstruowanym w taki sposób, żeby zachować zwykłe reguły potęgowania, np. 10^{x}\cdot 10^{y}=10^{x+y}.

Jak można skonstruować tablice logarytmów, wiedząc tyle, ile Henry Briggs, to znaczy bez znajomości szeregów, pochodnych itd.? W zasadzie wystarczy umiejętność wyciągania pierwiastka kwadratowego – dawniej uczono, jak to się robi. Szybką metodę przybliżoną znano od czasów starożytnych. Przyjmijmy więc, że umiemy wyciągać pierwiastki kwadratowe. Możemy obliczyć teraz kolejne pierwiastki kwadratowe z 10 aż powstanie tabelka jak poniżej.

Zaczerpnęliśmy ją z rozdziału 22 tomu I wykładów Richarda Feynmana. Oczywiście, nietrudno ją obliczyć samemu, ale warto też spojrzeć na stronice Feynmana poświęcone temu zagadnieniu. Richard Feynman cenił matematykę praktyczną, metody uzyskiwania konkretnych liczbowych odpowiedzi. Pewnie dlatego zainteresował się Briggsem i sposobem konstruowania tablic. Gdybyśmy znaleźli się na bezludnej wyspie, będziemy wiedzieć, jak obliczyć tablice logarytmów. Ważniejszym powodem jest może ten, że wiedza powinna tworzyć powiązany system, a nie bezładne nagromadzenie faktów, i Feynman zawsze starał się poznać całe łańcuchy rozumowań od faktów doświadczalnych do teorii. (Nawiasem mówiąc, ta swoista niechęć do wykraczania poza fakty stała się chyba przyczyną, dla której nie podobały mu się kwarki, zaproponowane teoretycznie. Wprowadził nawet swoją nazwę: partony na części protonu, które obserwuje się w rozproszeniach przy dużych energiach. Uparcie nie chciał ich jednak uznać za kwarki.)

Z tabelki widać, że kolejne pierwiastki przejawiają prostą regularność:

10^{x}\approx 1+2,3025 x. \mbox{   (*)}

Także Briggs to zauważył: zamiast obliczać pierwiastki odpowiadające małym wykładnikom, można zastosować powyższe przybliżenie. Weźmy teraz jakąkolwiek liczbę z przedziału (1,10), np. 3. Szukamy w trzeciej kolumnie tabeli czynników, które przybliżą 3 z dołu:

10^{\frac{1}{4}}\cdot 10^{\frac{1}{8}}\cdot 10^{\frac{1}{16}}\cdot 10^{\frac{1}{32}}\cdot 10^{\frac{1}{128}}=10^{0,476563}\approx 2,996143.

Mamy już prawie 3. Brakujący czynnik to 3/2,996143=1,001287. Stosując przybliżenie (*) otrzymamy logarytm tego czynnika równy 0,000559. Liczbę tę należy dodać do wykładnika powyżej:

\log {3}=0,476563+0,000559=0,477121.

Metoda zastosowana przez Briggsa była nieco bardziej skomplikowana, ale w istocie sprowadzała się do tego samego. Zauważmy, że każdą liczbę z przedziału (0,1) możemy zapisać jako sumę potęg dwójkowych – będzie to po prostu owa liczba zapisana dwójkowo. Henry Briggs obliczył 54 kolejne pierwiastki z dokładnością 30 cyfr znaczących, co było pracą iście herkulesową (gdyby tylko Herkules pracował umysłowo, a nie fizycznie). W dodatku prawie wcale się przy tym nie mylił, drobne pomyłki nie wpłynęły na wyniki tablic. Zawierały one w pierwszej wersji logarytmy liczb od 1 do 1000 z dokładnością czternastu znaków. Po sześciu latach rozszerzył te tablice do liczb 1-20 000 oraz 90 000-100 000 z tą samą monstrualną dokładnością czternastu cyfr. Wydawca flamandzki Adriaan Vlacq zatrudnił mierniczego Ezechiela de Deckera, aby dokończyć tablice od 1 do 100 000. Miały one dokładność już tylko dziesięciu cyfr, de Decker stosował interpolację. Tablice Vlacqa ukazały się w 1627, trzy lata po niepełnych tablicach Briggsa.

Korzystałem m.in. z artykułu Iana Bruce’a, The agony and the ecstasy – the development of logarithms by Henry Briggs, „The Matematical Gazette”, t. 86 (2002), s. 216-227.

(*) Przybliżenie znalezione przez Briggsa łatwo uzasadnić rozwijając funkcję wykładniczą w szereg MacLaurina:

10^{x}=e^{x\ln 10}\approx 1+x\ln {10}.

 

 

 

Galileusz i Torricelli: krzywe balistyczne (pierwsza połowa XVII wieku)

Rewolucja naukowa XVII wieku ukazała nowe zastosowania matematyki: poznano kształt orbit planetarnych, a także krzywą balistyczną – tor wystrzelonego bądź rzuconego ciała. Jedną z osobliwości rozwoju nauki na planecie Ziemia jest fakt, że skomplikowany eliptyczny ruch planet został odkryty przez Johannesa Keplera, zanim jeszcze poznano prosty paraboliczny kształt krzywej balistycznej. Odkrycia te były zupełnie od siebie niezależne, dopiero Isaac Newton potrafił dostrzec, że w obu przypadkach mamy do czynienia z przejawami ciążenia powszechnego.
Galileusz bardziej niż ktokolwiek inny przyczynił się do zmiany sposobu podejścia do nauki o ruchu: miała ona stać się matematyczna i ugruntowana w eksperymencie. Miała też być zupełnie nowa, osiągnięcia dawnych filozofów traciły gwałtownie na znaczeniu.

Jak pisał Galileusz w jednej ze swych zjadliwych polemik z jezuitą, o. Grassim (występującym pod nom de plume Sarsi):

„[Sarsi] zadaje pełne irytacji pytania: za kim zatem należałoby pójść? Może za Ptolemeuszem (…)? A może za Kopernikiem, od którego trzeba się jednak trzymać z daleka, z powodu potępienia jego hipotez? (…) w podejściu Sarsiego daje się zauważyć silna wiara, że w filozofii zawsze trzeba się opierać na opiniach jakiegoś sławnego autora, tak jakby nasza inteligencja, jeśli nie weźmie sobie za męża cudzego rozumu, musiała na zawsze pozostać sterylna i bezpłodna. Albo może jest on zdania, że filozofia jest czymś na kształt księgi lub wytworu ludzkiej fantazji, jak Iliada albo Orland szalony, czyli dzieła, w którym najmniej się liczy, czy to, co jest napisane, jest prawdą. Panie Sarsi, nie tak się rzeczy mają! Filozofia zawarta jest w tej przeogromnej księdze, którą ciągle mamy otwartą przed oczami (nazywam tę księgę wszechświatem), jednakże nie można jej pojąć, jeśli wpierw nie pozna się języka, nie pozna się znaków, za których pomocą została napisana. A księga ta została napisana w języku matematyki, i jej literami są trójkąty, koła i inne figury geometryczne” (przeł. T. Sierotowicz).

Odkrycie parabolicznego kształtu krzywej balistycznej jest jednym ze sławnych osiągnięć Galileusza. Brzmi prosto, ale wyjaśnianie, czemu tak jest, czy rzeczywiście tak jest i w jakich warunkach, zajęło uczonemu wiele lat i nie całkiem się udało pod względem matematycznym. W zadowalającej i eleganckiej formie ujął to dopiero Evangelista Torricelli, rozwijając prace mistrza. Starość Galileusza upłynęła w areszcie domowym po wyroku inkwizycji. Nawet kiedy umarł, papież Urban VIII zakazał uroczystego pogrzebu i uczonego pochowano w miejscu nie oznaczonym żadnym nagrobkiem. Pierwszym pomnikiem Galileusza było popiersie wybudowane przez jego ucznia Vincenza Vivianiego na ścianie własnego domu pół wieku później. Krzywa balistyczna znalazła się wsród emblematycznych osiągnięć wielkiego Toskańczyka. Po następnych czterdziestu latach szczątki uczonego doczekały się nie tylko uroczystego pochówku, ale i zaczęły być traktowane jak relikwie (do dziś przechowywane tu i ówdzie), co było może nieuniknione w kraju tak bardzo katolickim, lecz nieźle by ubawiło samego Galileusza.

Punktem wyjścia były w poprzednim stuleciu rozważania takie, jak u Niccolò Fontany, zwanego Tartaglia (czyli „Jąkała”). Chwalił się on, że rozwiązał zagadnienie krzywej balistycznej. W jego pojęciu ruch pocisku czy innego wystrzelonego ciała składa się z trzech etapów: z początku jest to prostoliniowy ruch wymuszony, na końcu jest to także ruch prostoliniowy, lecz naturalny: spadanie pionowo w dół. Obie te fazy miały uzasadnienie w fizyce Arystotelesa. Zdroworozsądkowym dodatkiem było uznanie, że między tymi dwiema fazami jest jeszcze krzywoliniowe interludium, o którym teoria nie mówiła nic. Zupełnie gołosłownie Tartaglia twierdził, że zasięg strzału jest największy, gdy strzela się pod kątem 45° do poziomu. Istniały zatem aż dwie teorie tego, co się miało dziać podczas ruchu, w dodatku żadna z nich nie była ilościowa ani matematyczna. Arystoteles prowadził rozważania jakościowe, „filozoficzne”. Tymczasem artylerzyści rozumieli, że z teorią czy bez, pociski lecą wzdłuż określonej trajektorii.

Pierwszym patronem młodego Galileo Galilei z Florencji był Guidobaldo del Monte. Wspólnie przeprowadzili oni doświadczenia dotyczące kształtu krzywej balistycznej. Puszczali w tym celu ukośnie kulkę zanurzoną wcześniej w atramencie po nachylonej płaszczyźnie. Odkryli, że krzywa balistyczna jest symetryczna i podobna do paraboli lub hiperboli. Błędnie utożsamili jej kształt z krzywą łańcuchową – opisującą kształt ciężkiego łańcucha zamocowanego z obu końców. Galileusz do końca życia był przywiązany do tej obserwacji, choć w późniejszych doświadczeniach sprawdził, że obie krzywe są do siebie zbliżone tylko wtedy, gdy są dość płaskie. W drugiej połowie XVII wieku, stosując rachunek różniczkowy i całkowy, ustalono, że linia łańcuchowa to kombinacja funkcji wykładniczych (cosinus hiperboliczny), a więc nie ma wiele wspólnego z krzywą balistyczną.

Zrozumienie, skąd bierze się parabola jako krzywa balistyczna, wymagało czasu i eksperymentów. Galileusz zrozumiał, że ruch poziomy i ruch pionowy są od siebie niezależne (jeśli tylko opór ośrodka możemy pominąć). Pionowy spadek jest ruchem przyspieszonym, a więc odległość rośnie jak kwadrat czasu. Razem z jednostajnym ruchem poziomym daje to właśnie parabolę. Pierwszy opublikował te rozważania w roku 1632 Bonaventura Cavalieri, młody matematyk, który był przekonany, że Galileusz musiał je kiedyś wcześniej ogłosić. Starszy uczony zareagował furią, ale Cavalieri jakoś go ugłaskał i przekonał, że nie miał złych intencji. Dowód Cavalieriego, a także opublikowany później dowód Galileusza, odnosiły się do przypadku rzutu poziomego. Galileusz nie udowodnił, ściśle rzecz biorąc, że w rzucie ukośnym także powstaje parabola.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Powstawanie paraboli odcinki pionowe przebywane w równych czasach mają się jak 1:3:5:7 (czyli całkowite drogi mają się jak 1:4:9:16).  Rysunek z książki Cavalieriego, Lo Specchio ustorio („Zwierciadło zapalające”), 1632 r.

Jednak to Galileusza należy uznać za odkrywcę kształtu toru, on pierwszy bowiem zrozumiał w zasadzie wszystko, co było potrzebne do matematycznego opisu krzywej balistycznej. Przeprowadził też doświadczenia, w których mierzył zasięg rzutu poziomego kulek staczających się z równi pochyłej o różnych wysokościach. Uczony wiedział, że prędkość kulek u podnóża równi jest proporcjonalna do pierwiastka z wysokości. Zmierzył, że zasięg rzutu x jest proporcjonalny do tej prędkości.

Dopiero Evangelista Torricelli domknął stronę matematyczną teorii i udowodnił, że także w ruchu ukośnym mamy do czynienia z parabolą.

Znalazł też prosty sposób przedstawienia maksymalnej wysokości oraz zasięgu rzutu w zależności od kąta. Jeśli AB jest maksymalną wysokością przy pionowym strzale, to należy skonstruować półokrąg, jak na rysunku. Dla dowolnego kąta wystrzału rysujemy linię AF: mamy wówczas maksymalną wysokość równą AE=h, odcinek EF=x/4 jest równy jednej czwartej zasięgu. Widać od razu, że maksymalny zasięg uzyskamy dla kąta \alpha=45^{\circ}. Widać też, że przy kątach różnych od 45^{\circ} każdemu zasięgowi odpowiadają dwie wartości kąta: można więc osiągnąć tę odległość za pomocą dwóch parabol: jednej mniej, a drugiej bardziej stromej.

Ruch paraboliczny jest wypadkową jednostajnego ruchu prostoliniowego i swobodnego spadku w kierunku pionowym. Reszta jest ćwiczeniem geometrycznym.

Także Torricelli zbadał kształt krzywej bezpieczeństwa: oddzielającej punkty będące w zasięgu strzału od tych, które są poza zasięgiem (przy danej prędkości pocisku). Krzywa ta także jest parabolą o wysokości równej wysokości strzału pionowego, a połowa jej szerokości równa się maksymalnemu zasięgowi strzału.


Książka Torricellego ukazała się w 1644 roku (choć wyniki zostały uzyskane jeszcze za życia Galileusza i stary mistrz miał okazję się z nimi zapoznać). W 1687 roku Isaac Newton pokazał, że dowolny ruch orbitalny jest złożeniem ruchu prostoliniowego i spadku swobodnego. Musimy tylko wziąć pod uwagę, że wielkość grawitacji zmienia się od punktu do punktu, a więc opis tego rodzaju słuszny jest jedynie w bardzo krótkim przedziale czasu. Jest to spora komplikacja matematyczna, pozwala jednak opisać w sposób jednolity rozmaite ruchy we wszechświecie. Tor wypadkowy będzie parabolą jedynie lokalnie, jego kształt w przypadku planet jest jedną z krzywych stożkowych. Podobno Isaac Newton tylko raz wybuchnął śmiechem: kiedy ktoś go zapytał, jaki jest pożytek z matematyki. Lepiej niż jego współcześni rozumiemy teraz głębokie powody tego śmiechu.

Obliczenia. Jeśli wprowadzimy układ współrzędnych poziomej – X i pionowej Y, to wektor  początkowej możemy zapisać jako \vec{v}=[v\cos\alpha, v\sin\alpha], a przyspieszenie ziemskie \vec{g}=[0,-g]. Równania ruchu mają więc postać:

\begin{cases} X=v\cos\alpha t,\\  Y=v\sin\alpha t-\dfrac{gt^2}{2v^2 \cos^2\alpha}.\end{cases}

Dla \alpha\neq \pi/2 równanie toru można obliczyć, wyznaczając t z pierwszego równania i wstawiając do drugiego:

Y=X\mbox{tg}\,\alpha -\dfrac{gX^2}{2v^2 \cos^2\alpha}.

Jest to równanie z funkcją kwadratową X po prawej stronie – tor jest więc parabolą. Łatwo można wyznaczyć współrzędne wierzchołka paraboli (za pomocą szkolnych wzorów albo szukając maksimum funkcji). W oznaczeniach z rysunków otrzymamy

\begin{cases} \dfrac{x}{2}=\dfrac{v^2}{g}\sin\alpha\cos\alpha,\\ \\h=\dfrac{v^2}{2g}\sin^2\alpha.\end{cases}

Ostatnie wyrażenie słuszne jest także dla \alpha=\pi/2, co wynika np. z ciągłości funkcji: gdy zbliżamy się do kąta \pi/2 wysokość maksymalna nie powina mieć skoku. Zatem maksymalna wysokość możliwa do osiągnięcia równa jest

AB=\dfrac{v^2}{2g}.

Odcinki na rysunku Torricellego są z naszego współczesnego (trygonometrycznego) punktu widzenia równe:

\begin{cases}\dfrac{EF}{AB}=\dfrac{EF}{AF}\cdot\dfrac{AF}{AB}=\cos\alpha\sin\alpha,\\ \\  \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AE}{AF}\cdot\dfrac{AF}{AB}=\sin^2\alpha.\end{cases}

Zasięg i maksymalna wysokość skalują się zatem jak odpowiednie funkcje trygonometryczne, \sin2\alpha oraz \sin^2\alpha.

Galileo Galilei, Dialog o dwu najważniejszych układach świata, 1632 (2/2)

Galileuszowy Dialog rozgrywa się w pałacu Sagreda w Wenecji, dokąd przybywają na dyskusję Filippo Salviati i Simplicio (pedanterią byłoby w tym miejscu wytykanie autorowi, że Sagredo i Salviati nigdy się nie spotkali). Ich wymiana myśli odbywa się więc nie później niż w roku 1614, kiedy obaj przyjaciele uczonego jeszcze żyli, a więc przed ogłoszeniem dekretu Kongregacji Indeksu w sprawie Kopernika, w czasie gdy swobodna dyskusja była jeszcze możliwa. Rozmowy podzielone są na cztery kolejne dni i nie zawsze trzymają się ściśle wyznaczonego tematu. Przydaje to Dialogowi naturalności, a autorowi stwarza okazję, aby zatrącić o pewne kwestie, nie trzymając się zawsze ustalonego porządku. Ten pozorny chaos Galileuszowych dyskusji był zamierzony, choć niektórzy czytelnicy czuli się z tego powodu zagubieni. Osobisty ton rozważań miał do odegrania niezwykle ważną rolę: czytelnik uświadamia sobie, że zwolennicy nowej kosmologii nie są jakimiś ignorantami czy szaleńcami, wręcz przeciwnie: znają większość tradycyjnej nauki i argumentów geocentrycznych, lecz odrzucają je po dojrzałym namyśle. Salviati jest Simpliciem, który nauczył się matematyki, przemyślał swoje poglądy i opanował wiele nowych idei. Sagredo, mając do wyboru argumenty tradycjonalistów i nowe idee, przychyla się z reguły do tych nowych, nie dlatego wszakże, że są nowe, lecz dlatego, że lepiej objaśniają świat, kiedy im się przyjrzeć bez uprzedzeń. Największą wartością Dialogu był właśnie pewien eksperyment poznawczy: wyobrażenie sobie świata na wzór kopernikański i rozważenie różnych tego konsekwencji. Okazuje się, że nie tylko można być zwolennikiem Kopernika, nie tracąc zdrowego rozsądku, ale że nie sposób już być konsekwentnym zwolennikiem Ptolemeusza. Galileusz sprowadził rozważania do ostrej dychotomii: albo Ptolemeusz, albo Kopernik. Pominął całkiem układ Tychona, choć można twierdzić, że z jego punktu widzenia rozwiązanie Tychona nic nie wnosiło, zajmował się bowiem głównie pytaniem, czy Ziemia jest planetą i się porusza, a w tej kwestii duński astronom był równie konserwatywny jak starożytni Grecy.

Giovanni Francesco Sagredo (Ashmolean Museum)

Pierwszy dzień rozmów poświęcony jest tematowi jedności materii we wszechświecie. Wedle Arystotelesa niebiosa zbudowane są z eteru, takie też stanowisko obowiązywało w zasadzie jezuitów, choć, jak pamiętamy, ich największy teolog, Bellarmin, prywatnie uważał, że niebiosa mogą być z ognia. Tak czy inaczej, zwolennicy tradycji nie chcieli żadną miarą uznać, aby Ziemia miała w czymś przypominać ciała niebieskie. Galileusz przede wszystkim pokazuje, że powszechnie znane i nauczane na uniwersytetach argumenty Arystotelesa są nic niewarte. Poprawia zresztą greckiego filozofa z upodobaniem niemal w każdej sprawie. Gdy Simplicio, który jest skarbnicą książkowych mądrości, przytacza opinię Arystotelesa, że ciała mają trzy wymiary: długość, szerokość i głębokość, gdyż liczba trzy jest doskonała, Salviati zauważa natychmiast, że nie ma czegoś takiego jak doskonałość sama przez się, gdyż doskonałość służy zawsze jakiemuś celowi: zwierzęta np. mają parę nóg albo cztery nogi, a nigdy trzy. Co do geometrii, proponuje inny sposób podejścia. Można bowiem z dowolnego punktu wytyczyć trzy wzajemnie prostopadłe proste. Simplicio nie całkiem rozumie, czemu akurat trzy – winę ponosi tu jego brak edukacji matematycznej. Galileusz nie wiedział, że mogą istnieć geometrie wielowymiarowe, ale jego podejście zadowoliłoby współczesnego fizyka: wymiar przestrzeni należy do faktów empirycznych i określamy go sprawdzając, jaki rodzaj geometrii stosuje się do przestrzeni. I oczywiście doskonałość liczby trzy nie ma tu nic do rzeczy.

U Arystotelesa kierunki do góry i w dół miały sens absolutny i związane były z elementami ognia i powietrza – naturalnie wznoszącymi się w górę, oraz wody i ziemi – naturalnie spadającymi w dół. Z eterem związany był ruch kolisty – co objaśniać miało wieczność i niezmienność świata nadksiężycowego. Galileusz kwestionuje te rozumowania, zawierające jako założenie to, czego się dopiero chce dowieść. „Wszystko to wygląda tak, jakby celem Arystotelesa było przemieszanie nam kart w ręku i dostosowanie planu architektonicznego do świata już zbudowanego, a nie budowanie świata wedle wskazań architektury. Jeżeli bowiem oświadczę, że we wszechświecie istnieć mogą tysiące ruchów kołowych, a co za tym idzie, tysiące ośrodków, to otrzymamy też wówczas tysiące ruchów w górę i w dół” – stwierdza Sagredo. Uczony rozmontowuje i unieszkodliwia krok po kroku całą arystotelesowską machinę argumentów, stanowiącą wówczas podstawową wiedzę, jaką wynosiło się z uniwersytetów. Trudno sobie wyobrazić, aby zadania tego podjął się ktoś przepełniony respektem dla instytucji akademickich. Galileusz nie mógł zniszczyć tradycyjnej kosmologii w sposób łagodny, operacja ta musiała też wywoływać reakcje obronne u tych, którzy wychowali się w arystotelesowskiej wierze. Nie doceniamy dziś siły tamtej tradycji i Dialog nie wywołuje już u nas wstrząsu intelektualnego, wtedy jednak chodziło o zakwestionowanie całego systemu wyjaśniania i wyobrażania sobie świata.

W niektórych założeniach Galileusz nie odbiega jednak od Arystotelesa: obaj uważali świat za doskonale uporządkowaną całość – po grecku „kosmos”. W kosmosie Arystotelesa ruchy prostoliniowe ograniczone były do bezpośredniego sąsiedztwa Ziemi, dlatego ruch prostoliniowy i naturalny musiał mieć początek i koniec. Także Galileusz wzdraga się przed ruchem prostoliniowym: „W dodatku zważmy, że ruch po linii prostej z natury swojej jest nieskończony, gdyż sama linia prosta jest nieskończona i nieokreślona. Jest więc niepodobieństwem, by coś ruchomego miało z przyrodzenia swego właściwość poruszania się po linii prostej, to jest do celu, którego nie sposób osiągnąć, ponieważ nie posiada on kresu. Jak zresztą sam Arystoteles bardzo słusznie zaznacza, przyroda nie nakreśla sobie zadań, które nie mogą być osiągnięte, i nie zwykła jest zmierzać tam, dokąd dojść nie można”. Widzimy, że droga do sformułowania I zasady dynamiki była jeszcze długa – Isaac Newton urodził się w roku śmierci Galileusza.

Chcąc, aby kosmos był uporządkowany, Galileusz zakłada w nim istnienie ruchów kołowych. W odróżnieniu od Arystotelesa uważa, że nie potrzebują one jednak żadnego poruszyciela, mogą trwać niezakłócone w nieskończoność. By wyjaśnić początek układu planetarnego, odwołuje się do swej hipotezy, w myśl której Stwórca wypuścił na początku planety z jednego punktu i spadały one ku Słońcu ruchem przyspieszonym aż do chwili, gdy każda osiągnęła przepisaną odległość od Słońca. Wówczas ich ruch zmienił kierunek na obiegowy, ale wartości ich prędkości się nie zmieniła. Kosmogonia w wydaniu Galileusza przypomina nieco jego własne eksperymenty, w których zmieniał on kierunek prędkości – np. po stoczeniu się kulki z równi pochyłej na płaski stół – i obserwował, że jej wartość pozostaje taka sama. Uczony traktował te spekulacje jako pewne uzupełnienie Platońskiego Timajosa, gdzie opowiedziana jest historia o zbudowaniu świata przez demiurga. Wyniki jego obliczeń zdawały się zgodne z danymi na temat planet. Matematyk Wielkiego Księcia nie mówił o siłach i ciężkości, tym bardziej ciężkości powszechnej, jego mechanika była kinematyką. Hipoteza kosmogoniczna Galileusza była później rozważana z całą powagą przez Isaaca Newtona, który zauważył, że grawitacja Słońca musiałaby zostać podwojona w chwili zmiany kierunku prędkości.

Sagredo pyta, czy prędkość nie mogłaby zostać nadana planecie w sposób skokowy, po co to spadanie i przechodzenie kolejnych prędkości? „Ja nie powiedziałem i nie śmiałbym twierdzić, że dla natury i Boga byłoby niemożliwe nadanie takiej, jak mówicie, prędkości, i to natychmiast. Twierdzę jedynie, że de facto natura tego nie czyni. Takie rozwiązanie stałoby poza naturalnym biegiem rzeczy, a więc należałoby do dziedziny cudów” – odpowiada Salviati. Galileusz podkreśla, że nie ogranicza w ten sposób boskiej wszechmocy, bada jedynie świat taki, jaki dany jest nam w doświadczeniu, tak a nie inaczej stworzony. Koronny zarzut wobec niego będzie oparty na niezrozumieniu natury działalności naukowej. Florentyńczyk czuł się badaczem kosmosu już stworzonego, zupełnie nie interesowały go pytania o atrybuty samego Stwórcy. Rozważając choćby niezobowiązująco, jak mógł powstać układ planetarny, ryzykował oskarżenie, że wkracza na teren zastrzeżony dla Księgi Rodzaju. Spekulacje na temat puszczenia w ruch machiny kosmicznej prowadził zresztą także Kartezjusz, katolik z pewnością nie mniej liczący się z głosem Kościoła niż Galileusz. W miarę poznawania praw ruchu nieuniknione były tego rodzaju spekulacje, zaglądające niejako Stwórcy przez ramię.

Rozumowania Arystotelesa nie miały wartości: „Ani Arystoteles, ani wy sami nigdy nie będziecie w stanie dowieść, że Ziemia de facto znajduje się w środku wszechświata. A jeżeli może być mowa o określeniu jakiegoś środka wszechświata, to okaże się, że raczej Słońce może być w nim umieszczone”. W trakcie dalszych rozważań Galileusz podkreśla, że nie sposób ustalić, czy wszechświat w ogóle ma jakiś środek. Słońce jest środkiem ruchu planet, nie znaczy to jednak wcale, że musi być zarazem środkiem całego wszechświata. Urzędowi czytelnicy ze Świętego Oficjum nie zwrócili bądź woleli nie zwracać uwagi na te stwierdzenia Dialogu i przypisano Galileuszowi pogląd, że Słońce jest w środku świata. Jeśli ani Ziemia, ani Słońce nie były środkiem, to pozostawała wizja Bruna i Kartezjusza: nieskończonego wszechświata z nieskończoną mnogością „środków” w postaci gwiazd okrążanych przez planety.

Kosmos Galileusza nie musi być niezmienny. Podobnie jak Ziemia nie byłaby doskonalsza, gdyby „była cała jednym rozległym piaszczystym pustkowiem czy kulą z jaspisu, czy też gdyby w czasie potopu zamarzły pokrywające ją wody, a ona stała się olbrzymim globem zlodowaciałym; gdyby na niej nic się nie rodziło, nic nie przeobrażało i nie zmieniało (…) Im bardziej zagłębiam się w niedorzeczność rozpowszechnionych pojęć, tym bardziej stają się one dla mnie lekkomyślne i bezsensowne. Czyż można sobie wyobrazić większą głupotę aniżeli nazywanie rzadkich kamieni, srebra i złota kosztownościami – a ziemi i błota marnościami? I jakże tym ludziom nie przychodzi tu na myśl, że jeśliby ziemia należała do takich rzadkości jak klejnoty i najcenniejsze metale, to nie znalazłby się książę, który by nie poświęcił worka diamentów i rubinów oraz czterech wozów złota, by mieć przynajmniej garść ziemi, wystarczającą do posadzenia w małym wazoniku jaśminu czy zasiania pomarańczy chińskiej, aby przyglądać się, jak wschodzi, rośnie, okrywa się pięknymi liśćmi, pachnącymi kwiatami, wdzięcznymi owocami. (…) Ci, którzy egzaltują się niezniszczalnością, niezmiennością itd., dochodzą, jak sądzę, do wypowiadania podobnych stwierdzeń jedynie dlatego, że w obawie przed śmiercią pragną przetrwać jak najdłużej”. Dla Galileusza Ziemia – taka, jaka jest – nie jest niedoskonała. Wcale nie przeszkadza mu myśl, że podobne do niej mogą być inne ciała niebieskie. Przekonanie, że cały kosmos ma służyć jedynie Ziemi i jej mieszkańcom, wkłada w usta Simplicia: „Dla wygody człowieka rodzą się konie, dla żywienia koni ziemia wydaje trawę, a obłoki dostarczają jej wody. Dla wygody i wyżywienia ludzi rodzą się trawy, zboża, owoce, zwierzęta, ptaki, ryby, i w ogóle, jeśli starannie zbadamy i zgłębimy wszystkie te rzeczy, dojdziemy do wniosku, że cel, ku któremu wszystko to zmierza, to potrzeba, pożytek, wygoda i przyjemność człowieka. A jaki pożytek mogłyby mieć dla rodzaju ludzkiego płody powstające na Księżycu czy na innej planecie? Bo chyba nie chcielibyście mnie przekonywać, że na Księżycu są również ludzie, korzystający z rodzących się na nim owoców; myśl taka bądź trąci bajką, bądź jest bezbożna”. Z argumentami tego rodzaju spotykał się Galileusz nie raz. Odpowiada, że nie wydaje mu się prawdopodobne, by na Księżycu byli ludzie, ale to jeszcze wcale nie oznacza, że nie może tam być żadnych zmian. Naszą wyobraźnię kształtują doświadczenia; ktoś, kto mieszkałby w lesie i nie znał żadnych zbiorników wodnych, nie potrafiłby sobie wyobrazić ryb ani statków przepływających oceany. Wrażliwość Galileusza jest raczej panteistyczna niż antropocentryczna: różnorodność i porządek w naturze są dla niego źródłem zachwytu, Stwórca w jego pojęciu nie ograniczył się tylko do zapewnienia bytu ludziom, lecz stworzył naturę godną podziwu i badania dla niej samej.

Simplicio opisuje swym rozmówcom Księżyc i wychodzi mu z rozumowań, że musi on być zrobiony ze szczególnie twardej i nieprzenikliwej materii. „Jakżeż piękny byłby ten materiał niebieski do budowania pałaców, jeśliby można było nabyć coś równie twardego i przezroczystego” – wzdycha Sagredo, po czym obaj z Salviatim zastanawiają się, czy mieszkańcy obijaliby się o te niewidzialne ściany, czy też nie – biorąc pod uwagę, że materia niebios jest także niedotykalna. Galileusz przedstawia argumenty za tym, że także Ziemia widziana z daleka byłaby podobna do Księżyca. Charakterystyczna jest jednak ostrożność, z jaką uczony przedstawia wnioski dotyczące tak odległych światów, jak dalekie planety – ostrożność ta bardzo kontrastuje z beztroską pewnością siebie wszystkich Simpliciów, z którymi przychodziło mu się stykać. Galileusz cały czas podkreśla, że rozumiemy bardzo niewiele. Wprowadza tu rozróżnienie poznania ekstensywnego i intensywnego. W sensie ekstensywnym zawsze skazani jesteśmy na znajomość drobnego ułamka tego, co jest we wszechświecie. „Ale biorąc pod uwagę drogę intensywną – o ile pojęcie intensywności oznacza intensywne, a więc doskonałe zrozumienie – umysł ludzki poznaje, zdaniem moim, niektóre zagadnienia tak doskonale i z taką absolutną pewnością, jaką posiada tylko przyroda. Takimi są właśnie czyste nauki matematyczne, a więc geometria i arytmetyka – w których rozum boży zna nieskończenie większą liczbę prawd – gdyż zna je wszystkie – jednak z tych niewielu znanych rozumowi ludzkiemu mieści się, według mnie, poznanie równe bożemu w obiektywnej pewności, gdyż dochodzi do zrozumienia zawartej w nich konieczności – a nie może chyba istnieć większa pewność aniżeli właśnie ta”. Ta piękna intuicja platońska stała się jednym więcej kamieniem obrazy dla sędziów uczonego. Warto zwrócić uwagę, że podobne przekonania nie były wyłączną własnością Galileusza: tak samo myśleli Kepler i Kartezjusz, i większość tych, którzy w XVII wieku stworzyli nowożytną naukę.

Dzień drugi Dialogu poświęcony jest kwestii ruchu obrotowego Ziemi wokół osi. Galileusz przytacza (ustami Sagreda) charakterystyczną anegdotę: „Byłem pewnego dnia w domu bardzo szanowanego w Wenecji lekarza. Jedni odwiedzali go ze względu na swoje studia, a inni przez ciekawość, by zobaczyć sekcję, przeprowadzaną ręką tego równie uczonego, jak sumiennego i zręcznego anatoma. Tego dnia właśnie zdarzyło się, że poszukiwał on miejsca, skąd biorą początek nerwy, na temat których toczy się sławny spór między lekarzami-galenistami i perypatetykami. Anatom pokazał, jak wielki pęk nerwów, wychodząc z mózgu i idąc przez potylicę, schodzi wzdłuż stosu pacierzowego, rozgałęziając się na całe ciało, tak że jedno tylko włókno, cieniutkie jak nić, dochodzi do serca. Zwracając się następnie do pewnego szlachcica, którego znał jako filozofa-perypatetyka i gwoli którego ze szczególną dokładnością odsłonił i zademonstrował to wszystko, zapytał go, czy mu to wystarcza i czy nabrał pewności, że nerwy biorą początek w mózgu, a nie w sercu, na co ów filozof po krótkim namyśle odpowiedział: «Pokazaliście mi to wszystko w sposób tak jasny i dotykalny, że gdyby tekst Arystotelesa, według którego nerwy powstają w sercu, nie był z tym sprzeczny, to musiałbym siłą rzeczy uznać wasze twierdzenie za prawdę»”. Galileusz uwielbiał dworować z niesamodzielności intelektualnej zwolenników Arystotelesa, którzy uznawali greckiego filozofa za wyrocznię we wszystkich sprawach, choć po części rozumiał, skąd się to bierze. Simplicio tłumaczy, że pisma Arystotelesa tworzą wspaniały, skomplikowany gmach i trzeba znać je wszystkie, by rozumieć właściwie ich treść. Rzeczywiście gmach wiedzy zbudowany, czy raczej nadbudowany, przez średniowiecze nad naukami Greka mógł imponować i stwarzać wrażenie ostatecznej prawdy. W czasach Galileusza tacy filozofowie, jak Borro czy Cremonini, przez całe życie nie zajmowali się niczym innym jak komentowaniem tego korpusu wiedzy i dociekaniem, co Filozof naprawdę miał na myśli. Ludzie o takim nastawieniu, nawet słysząc o wynalazku teleskopu, potrafili znaleźć ustęp u Arystotelesa, gdzie się o nim wspomina. Oczywiście Sagredo i Salviati bawią się, przywołując anegdoty tego rodzaju. Także astrologia i alchemia traktowane są niezbyt serio: „W podobny sposób alchemicy, pod wpływem uporczywego maniactwa, utrzymują, że wszystkie najwznioślejsze umysły świata zajęte były jedynie opisywaniem sposobów wytwarzania złota (…) Jest rzeczą nadzwyczaj zabawną rozczytywanie się w ich komentarzach do poetów antycznych, u których dopatrują się największych tajemnic ukrytych pod osłoną baśni: co oznaczały miłostki bogini Księżyca i jej zejście na ziemię w pogoni za Endymionem, jej gniew na Akteona, przemiana Jowisza raz w złoty deszcz – to znów w palące się płomienie”. Czytając takie fragmenty, zaczynamy się zastanawiać, jak bardzo wiarygodne były dla Galileusza opisy cudów chrześcijańskich, czy jeśli w ogóle traktował je serio, to nie sądził, że należałoby je odrzeć z otoczki zbyt naiwnych stwierdzeń. Jak się zdaje, niedługo przed Dialogiem uczony napisał jakiś traktat poświęcony naturalistycznym wyjaśnieniom cudów, który się jednak nie zachował.

Wśród argumentów przemawiających za wirowaniem Ziemi był i ten, że łatwiej wyobrazić sobie nieruchomy wszechświat z niewielką wirującą Ziemią niż odwrotnie. Sagredo mówi: „Uważałbym tego, kto mniema, że słuszniej jest kazać poruszać się całemu światu, byle tylko utrzymać w bezruchu Ziemię, za mniej rozsądnego od kogoś, kto wzniósłby się na szczyt waszej kopuły (*) tylko po to, by spojrzeć na miasto wraz z otaczającymi je osiedlami, i domagał się, by cała okolica obracała się dokoła niego, byleby on nie ponosił trudu obracania głowy”. Simplicio widzi jednak sytuację inaczej: „O ile jednak chodzi o potęgę Tego, który wszystko wprawia w ruch – a przecież jest ona nieskończona – to nie mniej Mu łatwo poruszyć wszechświat aniżeli Ziemię czy słomkę. A skoro ta potęga jest nieskończona, to dlaczego nie miałaby raczej objawiać się większa jej część aniżeli mniejsza?”

Standardowy argument przemawiający za nieruchomością Ziemi był taki, że gdyby ona wirowała ciało swobodnie upuszczone ze szczytu wieży musiałoby spaść daleko na zachód od jej podnóża. Odmianami tego argumentu były doświadczenia z armatami: strzelając pionowo w górę, powinniśmy zaobserwować podobny efekt przesuwania się Ziemi pod pociskiem, który musiałby spaść daleko od miejsca wystrzału. Długości strzałów na wschód i na zachód powinny się różnić od siebie. „Jaka szkoda, że artyleria nie istniała za czasów Arystotelesa. Przy jej pomocy pokonałby on niewiedzę i mówił bez żadnego wahania o sprawach wszechświata” – stwierdza sarkastycznie Sagredo. Galileusz szczegółowo analizuje takie sytuacje, wykazując, że ruch Ziemi nie wpływa na obserwowany przebieg zjawisk.

Od czasu do czasu broniący wciąż stanowiska kopernikańskiego Salviati czuje się w obowiązku przypomnieć, że jest to jedynie jego rola w Dialogu, a nie wewnętrzne przekonanie. Ale zarówno zwolennicy, jak przeciwnicy Kopernika (i Galileusza) uznali, że gra toczy się bardziej serio, niż twierdziły persony Dialogu.

Badanie konsekwencji względności ruchu zajęło dużą część rozważań tego dnia. Pojawia się tam także dość osobliwy fragment, w którym Galileusz stara się spojrzeć na spadek swobodny na obracającej się Ziemi z punktu widzenia kogoś, kto się nie obraca razem z nią. Prędkość wirowania Ziemi udzieli się wówczas spadającemu ciału i jego tor będzie jakąś linią krzywą. Jaką konkretnie krzywą? Łukiem okręgu kończącym się w środku Ziemi – odpowiada Salviati. Sam Galileusz mówił o tym fragmencie bizzarrìa – czyli fantazja, i rzeczywiście koncepcja jest osobliwa (i nieprawdziwa). Dyskusje na takie wydumane tematy, jak tor spadku do środka Ziemi, miały już swoją tradycję i posunęły naprzód rozumienie fizyki ruchu; słynna wymiana listów na ten temat miała odbyć się w przyszłości między Robertem Hookiem a Isaakiem Newtonem i stała się ważnym bodźcem dla profesora z Cambridge.

Innym argumentem przeciwko ruchowi obrotowemu Ziemi był brak obserwowanej siły odśrodkowej. Galileusz stara się wykazać, że taka siła w ogóle w przypadku Ziemi nie występuje. Idzie tu zbyt daleko. Trzydzieści lat później Isaac Newton, nieznany wtedy jeszcze nikomu, czytając Dialog, obliczy wartość tej siły i udowodni, że jest ona wprawdzie znacznie mniejsza od siły ciążenia, ale różna od zera.

Dzieło Galileusza stanowiło raczej początek, wstęp do dalszych badań. Autor, wykazując cierpliwie, skutecznie i konsekwentnie, że Arystoteles nic nie wiedział o ruchu, działał na współczesnych mu konserwatystów zaiste jak artyleria.

Na celowniku uczonego znalazła się antykopernikańska książeczka Lochera, ucznia Christopha Scheinera, prawdopodobnie ich wspólne dzieło.

Spiralne spadanie ciał na obracającą się Ziemię ze sfery Księżyca. Trwa sześć dni (Johann Georg Locher, Disquisitiones mathematicae, de controversiis et novitatibus astronomicis, Ingolstadt 1614). Oś obrotu Ziemi νλ jest na rysunku pozioma; spadek kuli z punktu A nad równikiem odbywa się po spirali, która prostopadle przecina rysunek aż do punktu B. Linia przerywana zaczynająca się w γ jest torem kuli spadającej znad miejsca na Ziemi położonego w umiarkowanej szerokości geograficznej (tak jak Ingolstadt). Jezuici wyobrażali sobie, że cała sfera Księżyca musiałaby u Kopernika wirować w ciągu doby.

SAGREDO: Ach, jakież piękne rysunki, co za ptaki, co za kule – a co to za inne piękne rzeczy?

SIMPLICIO: To kule, które przybywają ze sfery księżycowej.

SAGREDO: A to, cóż to takiego?

SIMPLICIO: To małża, z gatunku tych, które u nas w Wenecji nazywają buovoli. I ona też przybywa ze sfery księżycowej.

SAGREDO: Tak jest istotnie. Oto dlaczego Księżyc wywiera tak wielki wpływ na pewne stwory morskie z gatunku ostrygowatych.

Otóż autorzy ci, chcąc zdyskredytować ideę ruchu Ziemi, postarali się wykonać pewne obliczenia: ile mil na godzinę przebywa punkt na równiku, a ile na innych równoleżnikach, a także jaką drogę przebędzie w ciągu minuty, a nawet sekundy. Cel propagandowy tych obliczeń był oczywisty: prędkość wirowania Ziemi jest porównywalna z prędkością dźwięku, a więc wydaje się ogromna nawet i dziś. Chodziło o to, by idea ruchu Ziemi wydała się absurdalna. Autorzy następnie wyobrażają sobie spadek kuli armatniej ze sfery Księżyca, co miałoby, ich zdaniem, trwać sześć dni.

„Otóż, jeśliby wszechmocą boską czy też za sprawą jakiegoś anioła cudownie została przeniesiona tam, wysoko, wielka kula armatnia, umieszczona w naszym zenicie i puszczona stamtąd swobodnie, to wówczas, zdaniem autora i moim – mówi Simplicio – byłoby rzeczą najbardziej niewiarygodną, by spadając w dół, utrzymywała się zawsze na linii naszego pionu, w ciągu tylu dni zachowując wciąż wraz z Ziemią ruch obrotowy naokoło jej środka, zakreślając na równiku linię spiralną w płaszczyźnie tego największego koła, podczas gdy na równoleżnikach zakreślałaby linie spiralne naokoło stożków, a na biegunach spadałaby po zwykłej linii prostej”. Salviati pyta o założenia dotyczące spadku ze sfery Księżyca na Ziemię. Jezuici wyobrażali sobie, że spadanie takie byłoby jednostajne, w dodatku popełnili prosty błąd obliczeniowy: skoro cała sfera Księżyca obraca się raz na dobę, to spadanie z taką prędkością do centrum powinno zająć 2π razy krócej, czyli mniej niż 4 godziny, a nie sześć dni. Już lepiej z geometrią radzą sobie bednarze – zauważa Salviati. Przy okazji przedstawia prawo spadku przyspieszonego: „Studiowałem wszystkie te sprawy z największą radością i zachwytem, widząc, że powstaje cała nowa dziedzina wiedzy. Dotyczy ona spraw, o których napisano już setki tomów, a żadne z nieskończenie wielu cudownych odkryć, które obejmuje, nie zostało zauważone i zrozumiane przez nikogo wcześniej, aż dopiero przez naszego przyjaciela [tj. Galileusza – J.K.]”. Galileusz oblicza, jak długo spadałaby kula z wysokości Księżyca, jeśli wiadomo, że z wysokości stu łokci spada w ciągu pięciu sekund. Oczywiście z punktu widzenia uczonego nie ma powodu, aby spadek następował po jakiejś linii spiralnej. Prawo spadku swobodnego i własności ruchu przyspieszonego po raz pierwszy pojawiają się tu w druku. Było to odkrycie rzeczywiście ogromnej wagi – jeszcze jedno z odkryć prowadzących w stronę mechaniki Newtona.

Prawo odkryte przez Galileusza stosować się miało do wszystkich ciał, bez rozróżnienia lekkich i ciężkich, inaczej niż u Arystotelesa, który ruch wiązał z naturą danego ciała. „Jeżeli wymienione tu rzeczy są z natury swej różne, a rzeczy z natury różne nie mogą mieć wspólnego ruchu, to należałoby (…) pomyśleć o czymś innym, aniżeli tylko o dwóch ruchach, w górę i w dół. Jeśli trzeba wynaleźć jeden ruch dla strzał, inny dla ślimaków, jeszcze inny dla kamieni – jakiś inny jeszcze dla ryb, to trzeba by pomyśleć również o dżdżownicach, topazach i grzybkach, które z przyrodzenia swego nie różnią się mniej jedne od drugich aniżeli grad i śnieg”. Książeczka Lochera i Scheinera zostaje wykpiona na wielu stronach, Galileusz zasłużenie traktuje ją jak stek głupstw. Bo też jezuiccy autorzy, gromadząc swe argumenty, nie próbowali w ogóle zrozumieć stanowiska strony kopernikańskiej. Straszyli katastrofami, jakie miałyby wynikać z ruchu Ziemi, nie zastanawiając się nad tym, że gdyby naprawdę teoria kopernikańska była taka łatwa do obalenia, to jej zwolennikami nie byliby najwybitniejsi uczeni epoki, Kepler i Galileusz. Istniała realna trudność przestawienia wyobraźni na kopernikanizm, nawet Galileusz miał z tym czasami kłopoty, było to dla ludzi tej epoki zadaniem trudnym. Ale istniał też opór przed kopernikanizmem wynikający ze złej nauki i złej naukowej wiary.

Następnym omawianym autorem jest Scipione Chiaramonti. „Gdybym nie miał nadziei, że od tego drugiego autora usłyszę coś mądrzejszego, to niewiem, czy nie zdecydowałbym się raczej na przejażdżkę gondolą w poszukiwaniu świeżości” – stwierdza bez ogródek Sagredo. Galileusz udowadnia, że Chiaramonti nie zna teorii, którą zawzięcie krytykuje. Tenże autor wystąpił też niefortunnie w sprawie odległości gwiazdy nowej obserwowanej przez Tychona, dowodząc, że z pewnością leży ona poniżej Księżyca.

Rozważania te należały już do dnia trzeciego Dialogu. Był on poświęcony ruchowi rocznemu Ziemi. Arystoteles dowodził, że gwiazdy zajmują obszar sferyczny i obracają się raz na dobę wokół Ziemi – z tego powodu uważał wszechświat za skończony. Jeśli jednak odrzucić jego założenie, przyjąć ruch dobowy Ziemi i zgodzić się na nieruchome gwiazdy, to znika powód, by uważać świat za skończony. Równie dobrze może on być nieskończony i nie mieć żadnego kształtu.

Obserwacje wskazują, że planety mają swój środek ruchu w Słońcu – w tym punkcie zgodni byli Tycho Brahe i Kopernik. Pozostaje więc do rozstrzygnięcia, czy Słońce, czy raczej Ziemia poruszają się ruchem rocznym. Zdaniem Salviatiego-Galileusza więcej przemawia za nieruchomym Słońcem. Oprócz dawniej już znanych argumentów przedstawił on nowy, wywodzący się z obserwacji plam słonecznych. Ich przesuwanie pokazuje, że Słońce wiruje wokół osi. Okazuje się jednak, że w różnych porach roku tory plam na tle tarczy słonecznej mają różny kształt. W czerwcu i grudniu są prostoliniowe i tworzą ustalony kąt z ekliptyką, w marcu i wrześniu natomiast mają kształt łuków. Najprostsze wyjaśnienie zjawiska daje teoria Kopernika: oś Słońca ma stałe nachylenie do płaszczyzny orbity Ziemi i w ciągu roku oglądamy raz nieco więcej południowej półkuli Słońca, raz nieco więcej jego półkuli północnej. Nie potrzeba już żadnych innych ruchów, aby objaśnić to, co się obserwuje. Dla Galileusza takie wirowanie wokół osi nie wymagało podtrzymywania. Podobnie rzecz się ma z Ziemią: jej oś obrotu nachylona jest do płaszczyzny orbity – czego skutkiem są zmiany pór roku. Kopernik, aby zachować stałość kierunku osi ziemskiej, przyjmował jeszcze dodatkowy trzeci ruch Ziemi, Galileusz go nie potrzebował.

W Dialogu Galileusz twierdzi, że odkrył nachylenie osi Słońca do ekliptyki prowadząc obserwacje z willi Le Selve, a więc przed rokiem 1614. Wydaje się to mało prawdopodobne; dokładne obserwacje plam i ich ruchu pojawiły się w monumentalnej książce Christopha Scheinera Rosa Ursina, która ujrzała światło dzienne w czasie, gdy Galileusz pisał Dialog. Dopiero w 1629 roku dostrzegł kopernikańskie wyjaśnienie zjawiska i zamieścił w książce. Znowu okazało się, że herkulesowe trudy Scheinera zaowocowały zgrabnym argumentem przeciwko Ptolemeuszowemu układowi świata. Oczywiście można wyjaśnić każde zjawisko równie dobrze w ziemskim układzie odniesienia, trzeba jednak przypisać wtedy Słońcu wiele ruchów zamiast jednego ruchu obrotowego. Z kopernikańskiego punktu widzenia wszystko układało się w konsystentną całość: wszystkie ruchy obrotowe i obiegowe zachodzą bowiem w jednym kierunku i nie potrzeba z każdym nowo odkrytym zjawiskiem dopisywać wciąż jakichś nowych ruchów.

Co do osobistej uczciwości Galileusza, nie ma twardych dowodów, że korzystał on z obserwacji Scheinera, pewne jest natomiast, iż ponownie dostrzegł on więcej niż jezuicki astronom, który poświęcił znaczną część swego dzieła na jałowy z natury (choć pasjonujący dla uczestników) spór o pierwszeństwo odkrycia plam na Słońcu. Trudno oprzeć się wrażeniu, że mnogość i dokładność obserwacji, jakkolwiek potrzebne, ważne są tylko wtedy, gdy pozwalają nam coś więcej zrozumieć ze sposobu funkcjonowania świata. Jeden koń arabski pobiegnie szybciej niż sto koni fryzyjskich.

W dniu trzecim Dialogu Galileusz wraca też do książeczki Lochera i przytacza inne jeszcze wnioski, do których – wedle jezuity – prowadzić miał kopernikanizm: „W tak fantastycznym układzie świata trzeba głosić różne kapitalne bzdury, na przykład takie, że Słońce, Wenus i Merkury znajdują się pod Ziemią, że materie ciężkie ruchem naturalnym poruszają się ku górze, a lekkie w dół; że Chrystus, nasz Pan i Zbawiciel, wstąpił do piekieł i zstąpił na niebiosa, gdy zbliżał się ku Słońcu; że gdy Jozue rozkazał Słońcu, by się zatrzymało, to Ziemia się zatrzymała, bądź też Słoń-

ce poruszać się zaczęło w kierunku przeciwnym do Ziemi; że gdy Słońce jest w znaku Raka, to Ziemia biegnie przez Koziorożca, że zimowe znaki zodiaku wywołują lato, a letnie zimę; że nie gwiazdy wschodzą i zachodzą dla Ziemi, lecz Ziemia wschodzi i zachodzi dla gwiazd; że wschód zaczyna się na zachodzie, a zachód na wschodzie i że jednym słowem, wywraca się cały porządek świata”.

Najsłabszą częścią Dialogu jest dzień czwarty, mający w zamyśle autora dostarczyć najsilniejszego argumentu za ruchem Ziemi. Tym argumentem jest istnienie pływów na morzach. Simplicio odnosi się do pomysłu sceptycznie:

„SIMPLICIO: Powiem jednakże z tą swobodą, która wśród nas jest dozwolona, że wprowadzanie tu ruchu Ziemi i robienie go przyczyną przypływu i odpływu w nie mniejszej mierze wydaje mi się pomysłem z bajki niż wszystkie inne, o których dotąd słyszałem; a gdyby mi nie podano innych wyjaśnień, bardziej odpowiadających prawom przyrody, to bez obawy powziąłbym przeświadczenie, że ma się tu do czynienia ze zjawiskiem nadprzyrodzonym, a więc cudownym i niedostępnym dla umysłów ludzkich, jak zresztą i nieskończona liczba innych zjawisk, zależnych bezpośrednio od wszechmogącej ręki Boga.

SALVIATI: (…) wśród wszystkich przyczyn, które przytoczone były dotychczas jako prawdziwe, żadna, jakiekolwiek byśmy stosowali zabiegi, nie byłaby w stanie wyjaśnić podobnych zjawisk. Albowiem ani przy pomocy światła Księżyca czy Słońca, ani umiarkowanej ciepłoty, ani różnic głębiny nie zdoła się w sztuczny sposób spowodować, aby woda zawarta w nieruchomym naczyniu poruszała się tam i z powrotem, aby wznosiła się i opadała, i to w jednym miejscu tak, a w drugim inaczej. Jeśli jednak bez żadnych sztuczek i w najnaturalniejszy sposób, wprowadzając naczynie w ruch, potrafię dokładnie odtworzyć wszystkie te zmiany, które widzi się na wodach mórz, to dlaczego mielibyście odrzucić takie wyjaśnienie i uciekać się do cudu.

Cały ten fragment i jego dalszy ciąg wkraczają na ryzykowny temat cudów, przynajmniej werbalnie. Galileusz tłumaczy, że gdyby w sposób cudowny nadać Ziemi niejednostajny ruch, to w jego następstwie wody zaczną – w sposób najzupełniej naturalny – poruszać się tak, jak to widzimyw zjawisku pływów. Dalej zaś wyjaśnia, że zamiast cudownego poruszania Ziemią wystarczy jej ruch naturalny, taki jak u Kopernika. Rozumowanie uczonego nie tylko odzierało zjawisko pływów z wszelkiej cudowności, ale też sprawiało wrażenie, iż inne wyjaśnienie jest niemożliwe. W ten sposób istnienie pływów byłoby dowodem, że ruch Ziemi jest „prawdą absolutną” – wbrew najgłębszemu przekonaniu Maffeo Barberiniego. Swoistym dowodem uznania ze strony Kościoła był fakt, że nikt nie próbował argumentacji Galileusza kwestionować na gruncie naukowym, jakby zgadzano się z nim, że inne wyjaśnienie naukowe i naturalne jest niemożliwe.

Tymczasem teoria Galileusza była pod wieloma względami nieudana: nie tłumaczyła okresów powtarzania się przypływów i nie wyjaśniała, czemu występują one dwa razy na dobę. Uczony niewiele wiedział na temat samego zjawiska i niezbyt przejmował się tym, co wiedział. Znane są w nauce, i nie tylko w nauce, takie przypadki ślepego przywiązania do własnych idei. Galileusz, który niezmiernie łatwo popadał w mentorski ton wobec innych, tutaj sam nie potrafił sprostać wymaganiom, jakie należy postawić porządnej teorii.

Nie zmienia to jednak faktu, że Dialog jest książką wyjątkową, pierwszą tak dobrze pomyślaną i przeprowadzoną argumentacją na rzecz ruchu Ziemi. Choć z naukowego punktu widzenia nie zawiera żadnego absolutnego dowodu słuszności kopernikanizmu, pokazuje, że jest to pogląd naukowo spójny, nie prowadzący do sprzeczności i zupełnie prawdopodobny. Dowody na rzecz kopernikanizmu jeszcze długo później były jedynie pośrednie, ale świat stawał się zrozumiały, gdy patrzeć na niego z tej właśnie perspektywy. Dyskusja Galileusza, mimo polemicznej werwy, jest na ogół rzetelna; mało kto tak dogłębnie jak on przemyślał argumenty zwolenników Arystotelesa i nikt wcześniej nie poddał ich tak druzgocącej krytyce. Wielką zasługą historyczną kopernikanizmu była właśnie zmiana spojrzenia na usytuowanie Ziemi i człowieka w kosmosie, Galileusz bardziej niż ktokolwiek inny przyczynił się do przeprowadzenia tej przemiany obrazu świata.

(*) Chodzi o słynną kopułę na katedrze florenckiej autorstwa Filippa Brunelleschiego