Johannes Kepler: Jak w wolnych chwilach odkryć tajemnicę kosmosu? (1595)


W lipcu 1595 roku Johannes Kepler był dwudziestotrzyletnim nauczycielem w luterańskiej szkole w Grazu w Styrii. Przysłano go tam z Tybingi, gdzie się uczył i miał nadzieję zostać teologiem. Był jednak biedny i korzystał z książęcego stypendium, musiał więc pojechać do Grazu, kiedy tylko zwierzchnicy tak postanowili. Nawiasem mówiąc, Wirtembergia z czasów Keplera miała znakomity system edukacyjny, w którym biedny, lecz uzdolniony młodzieniec mógł przejść przez szkoły wszystkich stopni, nie płacąc ani za naukę, ani za utrzymanie w bursie. A był to przecież XVI wiek! Rządzący kierowali się głównie względami religijnymi: potrzeba było jak najwięcej wykształconych teologów luterańskich, ale uczono porządnie, choć raczej w duchu konserwatywnym.
Kepler podczas studiów zainteresował się astronomią, i to heliocentryczną – jego nauczyciel Michael Mästlin był bowiem jednym z niewielu zwolenników Kopernika. Pół wieku po ukazaniu się dzieła toruńskiego astronoma, zwolenników jego nauk można było policzyć na palcach jednej ręki. Nie było mowy o żadnym przewrocie kopernikańskim, ponieważ prawie nikt nie wierzył, iż Ziemia naprawdę się porusza, a przedstawiony przez Kopernika system to coś więcej niż ćwiczenie z zakresu matematyki stosowanej, bez konsekwencji kosmologicznych.
Kepler w Grazu wciąż chciał myśleć, że po kilku latach wróci do Tybingi i dokończy studia teologiczne. Stało się inaczej, pochłonęła go astronomia (i astrologia), a i władze w Tybindze niezbyt chyba chciały mieć Keplera z powrotem. Był prawdziwie pobożny, ale jak często się to zdarza takim ludziom, nie był ostrożny w wypowiadaniu poglądów i mówił to, w co wierzył. A zwierzchnikom chodziło raczej o ujednoliconą doktrynę, nie o prywatne przemyślenia. Posłuszeństwo ceniono wyżej niż błyskotliwość i gorący zapał.
Uczył w Grazu przedmiotów matematycznych, co obejmowało astrologię. Młody nauczyciel lubił opowiadać nie tylko, co myśli, ale także jak do tego doszedł. Dzięki temu wiemy, że zajął się latem 1595 roku astronomią kopernikańską: „Kiedy pragnąłem dobrze i zgodnie z kierunkiem pracy spędzić czas wolny od zajęć” [ten i poniższe cytaty za: J. Kepler, Tajemnica kosmosu, przeł. M. Skrzypczak i E. Zakrzewska-Gębka, Ossolineum 1972, nieznacznie zmienione].
W astronomii Kopernika proporcje orbit planetarnych wyznaczone są przez obserwacje. Jeśli nawet system heliocentryczny był nieco prostszy, to nasuwało się pytanie: czemu sfery planet są takiej a nie innej wielkości? Jeśli była to rzeczywista architektura kosmosu, to czym kierował się boski Architekt?

solar

A były głównie trzy problemy, których przyczyn, dlaczego jest tak a nie inaczej szukałem, a mianowicie liczba, wielkość i ruch sfer. Odwagi dodała mi owa idealna zgodność pozostających w bezruchu Słońca, gwiazd stałych i przestrzeni pośredniej, z Bogiem-Ojcem, Synem i Duchem Świętym. (…) Początkowo rozważałem zagadnienie w zależności od liczb i zastanawiałem się, czy jedna sfera może być dwa, trzy, cztery razy większa od drugiej w teorii Kopernika. Wiele czasu poświęciłem tej pracy jakby zabawie, ponieważ nie ukazywała się żadna zgodność ani samych proporcji, ani jej przyrostu. Nie osiągnąłem z tego żadnych korzyści; wbiłem sobie jednak głęboko w pamięć odległości, tak jak zostały podane przez Kopernika. (…) Wydaje się, jakoby ruch zawsze podążał za odległością i że gdzie istniał wielki przeskok między sferami, to podobny przeskok występował także między ich ruchami.

Warto zauważyć, że już wtedy Kepler usiłował dociekać, jaka jest zależność między okresem obrotu a wielkością sfery (czyli orbity) planety – w roku 1618 odkrył ścisłe prawo rządzące tą zależnością, zwane dziś III prawem Keplera. Był to więc jeden z problemów, nad którymi rozmyślał całe życie. Młody nauczyciel był pomysłowy: próbował np. umieścić między Marsem a Jowiszem nową planetę, a inną między Wenus i Merkurym, sprawdzając, czy wtedy proporcje jakoś orbit dadzą się lepiej zrozumieć. Teoretycznie było możliwe, że krążą tam gdzieś jakieś niewielkie i nie wykryte planety. Między Marsem a Jowiszem rzeczywiście krąży wiele takich ciał, znanych jako planetoidy. Badał też inne pomysły. Wszystko na próżno.

Prawie całe lato straciłem na tych męczarniach. W końcu przy jakiejś drobnej okazji przybliżyłem się do sedna sprawy. Uznałem, że z bożej łaski udało mi się znaleźć przypadkowo to, czego wcześniej nie mogłem osiągnąć pracą. Uwierzyłem w to tym bardziej, że zawsze prosiłem Boga, aby pozwolił ziścić się moim zamiarom, jeśli Kopernik miał słuszność. W dniu 19 lipca 1595 r., zamierzając pokazać moim słuchaczom skok wielkich koniunkcji przez osiem znaków (…) wpisałem w jedno koło wiele trójkątów, albo quasi-trójkątów, tak aby koniec jednego był początkiem drugiego.

koniunkcje

 

Rysunek przedstawia koniunkcje Jowisza i Saturna na tle znaków zodiaku – jest więc całkowicie abstrakcyjny. Koniunkcje te powtarzają się w odległości około jednej trzeciej zodiaku, jeśli połączyć te punkty liniami, uzyskuje się rysunek Keplera. Sądzono, że te koniunkcje mają ważne znaczenie astrologiczne, stąd taki temat lekcji. Kepler dostrzegł jednak w tym rysunku coś innego:

triangles

Teraz mamy trójkąt wpisany między dwa okręgi. Mogłyby to być sfery Saturna i Jowisza – dwóch planet najdalszych od Słońca. Może więc kwadrat należy wpisać między sferę Jowisza i Marsa itd. Pojawia się jednak kłopot: mamy tylko sześć planet (znanych ówcześnie), a wieloboków foremnych jest nieskończenie wiele. Konstrukcja powinna wyjaśniać, czemu jest akurat sześć planet, a nie np. 120. Wtedy przypomniał sobie Kepler XIII księgę Elementów Euklidesa. Grecki matematyk dowodzi tam, że istnieje dokładnie pięć wielościanów foremnych, czyli takich, że wszystkie ich ściany są jednakowymi wielobokami foremnymi.Platonic_solids

Rysunek: Wikipedia, Максим Пе

W Platońskim Timajosie wielościany te powiązane są z pięcioma elementami, z których zbudowany jest kosmos: sześcian z ziemią, dwudziestościan z wodą, ośmiościan z powietrzem, czworościan z ogniem, a dwunastościan z eterem wypełniającym wszechświat. Była to wówczas śmiała spekulacja oparta na najnowszej matematyce Teajteta, jednego z uczniów Platona. Teraz Kepler znalazł dla tych wielościanów nowe zastosowanie. Należało między sześć sfer planetarnych wpisać owe pięć brył platońskich.

kepler

Jest to konstrukcja zawrotna: pewien głęboki fakt matematyczny został powiązany z układem planetarnym – dla Keplera nasz układ był jedyny we wszechświecie, a Stwórca myślał językiem geometrii. Pozostawało tylko zająć się szczegółami: kolejnością brył, kwestią, jak cienkie powinny być sfery planetarne, czy ich środek liczyć od środka orbity Ziemi, czy od Słońca. Rozwiązana została tajemnica kopernikańskiego kosmosu. I taki właśnie tytuł: Tajemnica kosmosu, nosiło dziełko opublikowane przez Keplera w następnym roku. Zwracał się w nim do czytelnika: „Nie znajdziesz nowych i nieznanych planet, jak te, o których mówiłem nieco wyżej – nie zdobyłem się na taką zuchwałość. Znajdziesz te stare (…) tak jednak utwierdzone, że mógłbyś odpowiedzieć rolnikowi pytającemu, na jakich hakach zawieszone jest niebo, że nie osuwa się”.

Nasz Układ Słoneczny okazał się raczej dziełem dość chaotycznych procesów niż wytworem Platońskiego demiurga. Proporcje orbit nie wynikają z żadnej ścisłej matematyki, Kepler się mylił. Był to szczęśliwy błąd – uskrzydlony odkryciem, pogodził się z tym, że nie zostanie teologiem i zajął się astronomią, co z pewnością wyszło na dobre nauce. Do końca życia wierzył, że wielościany mają coś wspólnego z uporządkowaniem sfer planetarnych, umysłowi zawsze trudno się rozstać z ulubionymi chimerami. W następstwie hipotezy wielościanowej Kepler zajął się szczegółami ruchów planet – to na tej drodze czekały go wielkie odkrycia.

Wielościany foremne związane są ze skończonymi podgrupami grupy obrotów w przestrzeni trójwymiarowej. Można o nich poczytać w książce M. Zakrzewskiego, Algebra z geometrią, Oficyna Wydawnicza GiS 2015. Bardziej popularne są piękne i znakomicie ilustrowane odczyty Hermanna Weyla, wielkiego matematyka i kolegi Einsteina z Zurychu i Princeton, pt. Symetria, PWN 1960, wznowione przez wydawnictwo Prószyński i S-ka w 1997 r.

Zabdiel Boylston, czarna ospa w Bostonie i siła charakteru (1721-1722)

W XX wieku czarna ospa zabiła 300 mln. ludzi – trzy razy więcej niż zginęło w obu wojnach światowych. I w tym samym XX wieku udało się tę chorobę wyeliminować. Można, oczywiście, buntować się przeciwko nowoczesnej cywilizacji, ale żadna z tych 300 mln osób nie zrozumiałaby, o co nam właściwie chodzi. Nie ma jednak szczepionki przeciwko głupocie i w naszych światłych czasach dzieci chorują albo będą chorować na rozmaite groźne przypadłości jedynie dlatego, że ich rodzice albo rodzice ich kolegów są podejrzliwymi idiotami, którzy sądzą, że wiedzą lepiej niż eksperci.

W XVIII wieku nie znano przyczyn ani mechanizmu szerzenia się ospy, jasne było tylko, że jest to choroba zakaźna. Ponieważ objawy występują dopiero po 12 dniach, więc izolacja chorych była na ogół spóźniona i zdążyli oni już zarazić osoby, z którymi się stykali. Wiadomo też było z obserwacji, że ci, którzy przeszli chorobę i przeżyli, byli na nią później odporni. Ryzyko było tak duże, że w Anglii w XVII wieku był zwyczaj, by nie zapisywać majątku dzieciom, zanim nie przeszły ospy, ponieważ ich przyszłość była wciąż bardzo niepewna. Spośród tych, co przeżyli, wielu było oślepionych albo oszpeconych na całe życie. Jedną z takich osób, których urodę zniszczyła ospa, była Mary Wortley Montagu, arystokratka, pisarka (sama nauczyła się łaciny w ojcowskiej bibliotece) i żona ambasadora brytyjskiego w Konstantynopolu. Dowiedziała się ona o praktyce wariolizacji stosowanej w imperium osmańskim: pobierano płyn z pęcherzyków na skórze chorego i zaszczepiano go osobom zdrowym. Pacjenci chorowali wówczas na ogół w sposób łagodny, nabywając przy tym odporności. Nie zawsze wariolizacja przynosiła pożądane efekty, zdarzały się przy jej stosowaniu wypadki śmiertelne. Montagu propagowała tę metodę w Londynie, przekonując m.in. księżnę Walii Karolinę do zaszczepienia dzieci. Metoda była kontrowersyjna. Wyglądała na jakiś rodzaj zabobonu, w dodatku przychodziła do Europy z krajów niecieszących się zaufaniem w sprawach medycznych i naukowych: stosowano ją na Kaukazie, w Afryce. W Konstantynopolu szczepieniami zajmowały się zwykle stare kobiety, co też nie wyglądało wiarygodnie w oczach Zachodu. Z punktu widzenia dzisiejszej wiedzy wariolizacja stanowiła postęp, lecz była obarczona ryzykiem. Dopiero pod koniec XVIII wieku Edward Jenner wynalazł skuteczną odmianę tej metody szczepienia: należy zaszczepiać ospę krowią, pacjenci wówczas nie chorują i nabierają odporności na ospę ludzką. Także i wtedy nie rozumiano, dlaczego szczepienie jest skuteczne i jak działa, opierano się wyłącznie na obserwacjach.

W kwietniu 1721 roku do Bostonu, stolicy Massachusetts, zawinął okręt „Seahorse”, płynący z Barbadosu. Jeden z członków załogi zachorował na ospę i został odizolowany w domu z czerwoną ostrzegawczą flagą. Później zachorowali także inni marynarze z tej jednostki i stało się jasne, że kwarantanna nie wystarczy, ponieważ choroba zdążyła się już rozprzestrzenić. Ówczesny Boston był małym miastem, liczącym sobie około jedenastu tysięcy mieszkańców. Rządy duchowe sprawowała w nim dynastia purytańskich ministrów: wiekowy Increase Mather i jego dobiegający sześćdziesiątki syn, Cotton Mather. Obaj zapisali się poprzednio w annałach ścigania czarownic i czarowników: to za ich aprobatą toczyła się sprawa w Salem w roku 1692. Wszechstronnie wykształcony w Ameryce i w Anglii, Cotton Mather, członek Towarzystwa Królewskiego, był zarazem ciasnym bigotem, głęboko wierzącym w realność i szkodliwość czarów. W swym dziele Pamiętne zrządzenia opatrzności opisywał przypadek irlandzkiej praczki, niejakiej Glover, która jako czarownica nękała pobożną rodzinę Goodwinów, którzy podczas owych diabelskich ataków głuchli, niemieli, ślepli albo wszystko to na raz. Mather przyczynił się do prześladowań w Salem, choć zarazem podkreślał potrzebę niezbitych dowodów w każdym przypadku. Teraz, wobec zagrożenia ospą, także starał się interweniować i tym razem jego wpływ okazał się jednoznacznie korzystny. Mather przekonany był bowiem do wariolizacji: czytał o niej wcześniej w „Transactions of the Royal Society”, miał też w domu niewolnika z Afryki, który mu opowiadał o tej metodzie. Minister skierował do lekarzy bostońskich pismo przedstawiające zalety wariolizacji. Medycy zareagowali wrogo, obawiając się, że wskutek wariolizacji epidemia jeszcze bardziej się rozszerzy. Wrogo też reagowali niektórzy duchowni. Ich zdaniem człowiek nie powinien ingerować w naznaczony przez Boga bieg wypadków. Znaleziono nawet pierwowzór wariolizacji w Księdze Hioba: „Odszedł szatan sprzed oblicza Pańskiego i obsypał Hioba trądem złośliwym, od palca stopy aż do wierzchu głowy. [Hiob] wziął więc skorupę, by się nią drapać siedząc na gnoju” (Hi 2, 7-8). A więc także Pismo św. wskazywało więc wyraźnie, że nie należy nikogo szczepić. Pismo św, jak zawsze, wskazuje we wszystkich kierunkach jednocześnie.

Jedynie chirurg Zabdiel Boylston gotów był spróbować wariolizacji. Nie miał on wykształcenia akademickiego, uczył się medycyny od swego ojca i innego jeszcze lekarza, w Ameryce nie było zresztą żadnej szkoły medycznej. Boylston dał się poznać jako sprawny chirurg, który nie obawiał się przeprowadzać ryzykownych operacji, jak usuwanie kamieni żółciowych czy pierwsza mastektomia w Ameryce. Operacje przeprowadzało się bez znieczulenia, należało wszystko robić błyskawicznie, żeby pacjent nie zmarł wskutek szoku i upływu krwi. Później groziły mu oczywiście wszelkie infekcje, Boylston był ponoć pedantycznie czysty i zapewne pomagało to jego pacjentom (nikt wówczas nie kojarzył chirurgii z czystością). Pierwsze szczepienia ospy przeprowadził na własnym synu oraz parze swych niewolników: ojcu i synu. Wszyscy trzej przeżyli. Boylston zaczął więc stosować tę metodę, choć przyjmowano to wrogo i lekarz obawiał się o swe bezpieczeństwo. W pewnym momencie rada miejska oficjalnie zakazała mu tych praktyk. Nie ujął się też za nim Mather, nie do końca chyba przekonany do wariolizacji (nie zaszczepił np. własnego syna). Ostatecznie Boylston przeprowadzał szczepienia na niezbyt dużą skalę, tylko u pacjentów, którzy sami się z tym do niego zwracali. Był także ostro krytykowany w miejscowej prasie. W tygodniowej gazecie wydawanej przez Jamesa Franklina (terminował u niego wtedy młodszy brat, Benjamin, który z czasem miał zostać najsławniejszym uczonym Ameryki) szczepienia atakowano jako szkodliwy przesąd. W pewnym stopniu postawa gazety wynikała z jej opozycyjności: James Franklin był przeciwny rządom Mathera i atmosferze moralnego terroru wprowadzanej przez purytanów, nietrudno więc było go przekonać, że duchowny także i tym razem broni jakichś przesądów. Ostatecznie w ciągu niecałego roku zachorowało w Bostonie około 6000 osób – ponad połowa ludności (około tysiąca bogatszych wyjechało na wieś i tam przeczekali epidemię). Zmarły w tym czasie na ospę 844 osoby, czyli 14% zainfekowanych. Za Boylstonem przemawiały liczby: spośród 286 osób, jakie zaszczepił, zmarło jedynie sześć. W dodatku nie zawsze było jasne, czy osoby te były zdrowe w momencie wariolizacji, być może choroba już się u nich rozwijała, lecz nie dawała jeszcze widocznych objawów. Tak czy inaczej było to tylko 2,4% – statystycznie biorąc, wariolizacja działała.

smallpox account-x

Doświadczenia swe Boylston opisał w książce, przyjęto go też do Towarzystwa Królewskiego. Wariolizację zaczęto, choć z oporami, uznawać. Nabrał do niej przekonania także Benjamin Franklin, choć obawiał się związanego z nią ryzyka. Pisze w swej autobiografii:

W roku 1736 straciłem jednego z mych synów, pięknego czteroletniego chłopca. Umarł na ospę, którą się w zwykły sposób zaraził. Długo i gorzko żałowałem potem i nadal żałuję, że nie kazałem go szczepić. Wspominam o tym ku przestrodze rodziców, którzy nie szczepią swych dzieci z obawy, że mogłyby wskutek tego umrzeć, czego nigdy nie mogliby sobie wybaczyć. Mój przykład świadczy, że żałować trzeba nieraz i w przeciwnym wypadku, a wobec tego lepiej wybierać drogę bezpieczniejszą. (przeł. J. Stawiński)

Grawitacja: Newton na ramionach Hooke’a? (1679-1680) (2/2)

Newton zastał list Hooke’a po powrocie do Cambridge. Ostatnie pół roku spędził w swych stronach rodzinnych w Lincolnshire: w czerwcu zmarła jego matka, potem porządkował różne sprawy spadkowe. W odpowiedzi napisał Hooke’owi, że nie zajmuje się prawie wcale „filozofią” (czyli naukami ścisłymi): „moje upodobanie do filozofii wygasło i obchodzi mnie ona równie mało, jak kupca obchodzą cudze interesy albo wieśniaka – nauka”. Zapewne nie udawał, wprawdzie śmierć matki nie była dla niego takim wstrząsem, jak sądzili niektórzy biografowie, ale pochłonęły go sprawy praktyczne, a w poprzednich latach więcej się zajmował teologią i alchemią niż matematyką czy fizyką. Odkąd wyjaśniło się, że nie musi mieć święceń, by pozostać w Trinity College, żył trochę jak na obcej planecie, pochłonięty wyłącznie własnymi myślami i badaniami, które dotyczyły kwestii takich, jak pochodzenie dogmatu Trójcy św. (uważał go fałszerstwo historyczne św. Atanazego), sens Apokalipsy albo zrozumienie pewnych procesów (al)chemicznych. Zaproponował jednak Hooke’owi eksperyment mogący wykazać ruch obrotowy Ziemi. Wyobraźmy sobie ciało swobodnie spadające z pewnej wysokości nad Ziemią na równiku. Ponieważ prędkość ruchu wirowego na tej wysokości jest większa, niż na powierzchni, więc ciało powinno względem Ziemi odchylić się od pionu i spaść nieco na wschód (dziś mówimy o przyspieszeniu Coriolisa). Newton zamieścił rysunek krzywej zakreślonej przez takie ciało (względem obracającej się Ziemi).

Torem ciała jest ADE, z bliżej nieznanego powodu tor przedłużony został pod powierzchnią Ziemi.

Hooke zareagował, poprawiając rysunek Newtona. Otóż jego zdaniem tor wyglądałby następująco:

W istocie mamy tu dwa różne tory: zamknięty AFGHA (wariant bez oporu ośrodka) oraz spiralny AIKLMNOC (wariant z oporem ośrodka). Hooke wyobrażał sobie, że rozcinamy Ziemię na dwie połowy wzdłuż równika, a następnie obie połówki nieco rozsuwamy i pozwalamy ciału krążyć w tej wolnej przestrzeni. Jego modelem eksperymentalnym było wahadło stożkowe. Różnica między obrazkami Hooke’a i Newtona częściowo bierze się stąd, że tor u Hooke’a jest narysowany z nieobracającego się układu odniesienia – dlatego prędkość początkowa jest styczna do równika. Jak pokazał Derek Whiteside, oba tory są dość podobne (w wariancie z oporem ośrodka).

Z kolei zareagował Newton, przedstawiając tor, jaki jego zdaniem zakreśli ciało w przypadku, gdy grawitacja jest stała, niezależna od odległości od środka Ziemi (w układzie nieobracającym się).

Tor miał być krzywą niezamkniętą z kolejnymi apocentrami A, H i K tworzącymi kąt większy od kąta prostego. Szkic ten uzyskany został wykreślnie za pomocą metody, której Newton nie opisał. Stwierdził też, że gdy grawitacja rośnie wraz ze zbliżaniem się do środka, można otrzymać także spiralę.

Hooke sprawdził eksperymentalnie, jaki kształt toru otrzymamy w tym przypadku, obserwując kulkę krążącą po powierzchni odwróconego stożka: rzeczywiście tor ma kształt rozety. Stwierdził też, że krzywa z jego listu dotyczyła nie grawitacji niezależnej od odległości, ale rosnącej jak 1/r^2 (r jest odległością od Środka Ziemi C). Podkreślił przy tym, że w bardziej realistycznym przypadku ruchu wewnątrz Ziemi, grawitacja będzie raczej rosnąć wraz z odległością r, a nie spadać. Raz jeszcze zadał pytanie, jaką krzywą zakreśli ciało w przypadku takiej grawitacji i braku oporu ośrodka.

Na pytanie to nie doczekał się odpowiedzi. Chyba że za odpowiedź uznamy Matematyczne zasady filozofii przyrody. Odpowiedź ta była nieco spóźniona: Newton zajął się pracą nad swym arcydziełem dopiero od jesieni 1684 roku. W okresie między początkiem 1680 a 1684 spostrzegł, że pomysł Hooke’a ma sens, gdyż otrzymuje się w ten sposób elipsy Keplerowskie. Nie uważał tego spostrzeżenia za coś bardzo istotnego, być może najpierw potraktował je jako pewną matematyczną fantazję niekoniecznie odpowiadającą ściśle empirycznej prawdzie. Wymiana z Hookiem była cokolwiek abstrakcyjna i zaświatowa, przypominała kwestię rozważaną przez średniowiecznych filozofów: co się stanie, jeśli do tunelu przechodzącego przez Ziemię na wylot wrzucimy kamień? Czy kamień zatrzyma się w środku Ziemi, czy też może wróci do nas po takim czasie co Gagarin po okrążeniu Ziemi?

Gdy podczas pisania Matematycznych zasad doszły go słuchy, że Hooke rości sobie prawa do zależności 1/r^2, zdenerwował się na tyle że usunął z dzieła wzmianki dotyczące Hooke’a.

Cóż, Isaac Newton nie był wielkoduszny, nie chciał i nie potrafił negocjować społecznie w celu osiągnięcia kompromisu. Mógł być okaleczony psychicznie, matka zostawiła go w dzieciństwie z powodu nowego związku, bez wątpienia był niezwykle zamkniętym i żyjącym we własnym świecie człowiekiem. Zazdrośnie pilnował swoich zabawek.

Ale też zawdzięczał Hooke’owi dużo mniej, niż sądził tamten. Ponieważ Newton obsesyjnie zapisywał swoje rozważania, poprawiał je i przepisywał bez końca i zostawił mnóstwo rękopisów, wiemy sporo na temat jego naukowego rozwoju. Przed 1687 r. nie opublikował nic z mechaniki, bo nie zadał sobie trudu zebrania swych wyników, które były niebagatelne.

Jednym z najwcześniejszych, jeszcze z lat sześćdziesiątych, było obliczenie siły odśrodkowej (później opublikował zbliżone rozważania Christian Huygens). Pierwsze rozumowanie było bardzo proste: wyobraźmy sobie ciało odbijające się sprężyście od powierzchni bocznej walca w taki sposób, że jego tor jest wielokątem foremnym.

Kolejne zmiany pędu ciała są skierowane do centrum. Patrząc na rysunek z prawej strony, widzimy, że suma owych zmian pędu \Sigma \Delta p odpowiada długości wielokąta, gdy pęd jest promieniem okręgu opisanego na wielokącie. Wobec tego stosunek obu wielkości, gdy liczba boków rośnie nieograniczenie dąży do stosunku długości okręgu do jego promienia:

\dfrac{\Sigma \Delta p}{p}\rightarrow 2\pi.

Jest to inna postać wzoru na siłę dośrodkową F_{d} (mówiąc językiem współczesnym, ponewtonowskim):

F_{d}=\dfrac{\Sigma \Delta p}{T}=\dfrac{2\pi p}{T}=\omega p=\dfrac{mv^2}{R}.,

gdzie T,\omega,m,R są odpowiednio okresem, prędkością kątową, masą i promieniem okręgu.

Kilka lat później wyprowadził Newton tę zależność nieco inaczej. Zastosował ją też w połączeniu z III prawem Keplera, by wywnioskować, że siła odśrodkowa w ruchu planet wokół Słońca powinna być jak 1/r^2. Przeprowadził też test Księżycowy, który dał zły wynik z powodu błędnej wartości promienia Ziemi. To nie wszystko: rozwijając swoją metodę fluksji, znalazł wyrażenie na promień krzywizny, gdy znane jest równanie krzywej. Tor w kształcie rozety obliczył prawdopodobnie, wykorzystując wyrażenie dla siły dośrodkowej

F_d=\dfrac{mv^2}{\varrho}=F\sin\alpha,

skąd można obliczyć promień krzywizny, a następnie zbudować krzywą z kolejnych łuków okręgów krzywizny.

Najprawdopodobniej Hooke nie zrozumiałby tej metody, gdyby Newton mu ją przedstawił. W każdym razie daleko mu było do samodzielnego obliczenia kształtu toru w którymkolwiek przypadku.

Jak się zdaje, największym wkładem Hooke’a w odkrycie grawitacji był sam pomysł. Newton wrócił do niego na dobre dopiero w 1684 roku. Patrząc z dzisiejszego punktu widzenia, dziwimy się nieco: wszystkie składniki były już pod ręką, należało je tylko ułożyć we właściwy sposób. Od strony technicznej najważniejszym krokiem było dla Newtona spostrzeżenie, że siła skierowana ku centrum oznacza prawo pól. Wyobraził sobie, że siła działa impulsowo, w stałych odstępach czasu dodając pewien pęd zwrócony ku centrum. Wówczas pola zakreślane przez promień wodzący planety będą w każdym odcinku czasu jednakowe.

Dzięki temu twierdzeniu Newton nie tylko zrozumiał, jaki jest głębszy sens prawa pól Keplera, ale także uzyskał narzędzie pozwalające wprowadzić do geometrii ruchu czas. Należało po prostu wyrażać czas przez pola zakreślane przez poruszające się ciało. Twierdzenie to znalazło się na początku Matematycznych zasad. Niewykluczone też, że Newton przyglądał się różnym ruchom, korzystając z takiej konstrukcji. W taki właśnie sposób oblicza się tory cząstek za pomocą komputerów – możemy dziś oczywiście wykonać znacznie więcej kroków, co oznacza, że możemy wybrać odpowiednio mały krok czasowy.

Orbity ciała w stałym co do wartości polu, a więc odpowiadające przybliżonym wynikom Newtona uzyskanym z promienia krzywizny.

Już w trakcie wymiany listów z Hookiem zauważył Newton prawdopodobnie, że dla siły zmieniającej się jak 1/r^3 torem jest spirala.

W roku 1684 wiedział już, że torem w przypadku siły 1/r^2 rzeczywiście jest Keplerowska elipsa albo inna krzywa stożkowa, jak podejrzewał Robert Hooke. Metoda matematyczna zastosowana przez Newtona nie była jednak rachunkiem różniczkowym i całkowym w znanej nam postaci, lecz przeniesieniem pojęć granicy na geometrię syntetyczną. Wyglądało to np. tak.

Pokażemy jeszcze, jak promień krzywizny wraz z prawem pól pozwala rozwiązać zagadnienie ruchu w polu sił centralnych (tak ostatcznie przyjęło się nazywać siły skierowane wzdłuż promienia wodzącego, przyciągające bądź odpychające).

Rysunek przedstawia realizację idei Hooke’a: ruch prostoliniowy wzdłuż stycznej PR składamy ze spadaniem wzdłuż promienia wodzącego o wektor RQ=PQ’. Kąt d\phi jest infinitezymalny.

QR=\dfrac{F dt^2}{2},

gdzie dt jest odstępem czasu i masa równa jest 1, czyli siła = przyspieszenie). Pole wycinka SQP jest proporcjonalne do czasu hdt/2 (h jest stałą proporcjonalności). Przybliżając to pole polem trójkąta SQP, otrzymujemy

F={\displaystyle \lim_{dt\rightarrow 0}}\,\dfrac{2 h^2 QR}{SP^2\times QT^2}.

Rozwijając r(\phi+d\phi) w szereg Taylora do wyrazów kwadratowych w d\phi oraz obliczając z taką dokładnością ST i Q’T otrzymujemy

F=\dfrac{h^2}{r^2}\left(\dfrac{1}{r}+\dfrac{d^2}{d\phi^2}\dfrac{1}{r}\right).

W przypadku siły zależnej od odległości jak k/r^2 nawias musi być stałą niezależną od r, co oznacza, że

\dfrac{1}{r}=\cos\phi+\dfrac{k}{h^2}.

Jest to równanie stożkowej. Newton nie traktował tego w taki sposób, stosowanie algebry i symboli funkcji cosinus jest w tym kontekście anachronizmem, chodzi nam tu jednak o sens matematyczny operacji, a nie wierność historycznym formom zapisu.

Na koniec zauważmy, że ostatnie wyrażenie dla siły możemy porównać z wartością siły dośrodkowej. Otrzymamy w ten sposób wzór na krzywiznę krzywej we współrzędnych biegunowych

\varrho=\dfrac{1}{\sin^3\alpha}\left(\dfrac{1}{r}+\dfrac{d^2}{d\phi^2}\dfrac{1}{r}\right).

Otrzymał go Newton w latach siedemdziesiątych. Potem stopniowo oddalał się od zapisów algebraicznych, pisząc Matematyczne zasady nie stosował go wprost, ale z pewnością rozumiał sens geometryczny takich wyrażeń. Niestosowanie układów współrzędnych i rozbudowanej algebry było jego wyborem. We współczesnych podręcznikach pojawia się równanie toru zapisane przez drugą pochodną 1/r, zwykle nie zwraca się przy tym uwagi, że owe formalne manipulacje symbolami mają geometryczny sens krzywizny.

 

Grawitacja: Newton na ramionach Hooke’a? (1679-1680) (1/2)

„Jeśli dalej sięgnąłem wzrokiem, to dlatego że stałem na ramionach olbrzymów” – pisałem jakiś czas temu o debacie, w której Newton użył tego określenia. Chodziło tam o optykę i profesor z Cambridge wyraził się z pewną retoryczną przesadą. Jeśli miał naukowy dług wdzięczności wobec Roberta Hooke’a, to raczej w kwestii grawitacji. Prawo ciążenia było największym osiągnięciem Newtona i zapewne największym odkryciem w dziejach nauki, epoka nowożytna – nasza epoka – zaczęła się właśnie wtedy, na dobre i złe. Hooke głosił ideę grawitacji poruszającej planety przed Newtonem, choć nie potrafił przekuć jej w matematyczne dowody. Myśl, że może komuś coś zawdzięczać, a w dodatku tym kimś ma być kłótliwy i namolny Robert Hooke, doprowadzała Newtona do białej gorączki.

Umiejętność stawania na ramionach poprzedników stanowi główną siłę naszego gatunku. Metaforę takiej wertykalnej sztafety pokoleń napotykamy nie tylko w tekstach, ale i w sztuce, np. na witrażach katedry w Chartres.

Tutaj Ewangeliści stoją (boso, z iście ewangeliczną prostotą, nie jak dzisiejsi biskupi) na ramionach tych proroków starotestamentowych, którzy mieli ich zapowiadać zgodnie ze średniowieczną teologią (Ezechiel św. Jana, Daniel – św. Marka itd). Idea postępu, rozwijania się w czasie wywodzi się zresztą z chrześcijaństwa, choć jej głównym przykładem stały się od XVII wieku nauka i technologia. O postępie społecznym, moralnym, politycznym – we wszystkich obszarach, gdzie ujawnia się tzw. natura ludzka – lepiej zamilczeć. Mamy, niestety, więcej z szympansów zwyczajnych niż z bonobo. Czy samcza agresja jest jakoś sprzężona z twórczością intelektualną? Widzimy, że małpy potrafiące posługiwać się iphonem i twitterem mogą stać się tym bardziej niebezpieczne dla przyszłości naszego gatunku.

Jednym z przejawów walki o status osobnika alfa są w nauce spory o priorytet odkrycia. Zdaniem Roberta K. Mertona, klasyka socjologii, chodzi też o coś więcej. Naukowe uznanie, ranga uczonego, jest nagrodą za oryginalność badań, a ta nie może być podrabiana. Wszyscy stoją więc na ramionach kolegów, ale kłócąc się zawzięcie o rozmiary własnej postaci na witrażu.

Gresham College i narożnik, w którym mieszkał Robert Hooke (9), na dachu widać daszek jego obserwatorium (8), w którym zamontował nieruchomy zenitalny teleskop do obserwacji paralaksy rocznej. Twierdził, że ją wykrył, wiemy, że to nieprawda. Efekt był mniejszy, niż wtedy sądzono, wcześniej wykryto aberrację światła.

Profesor geometrii w Gresham College w Londynie, Robert Hooke był uczonym wybitnym, niezwykle wszechstronnym, zorientowanym zarówno w literaturze naukowej, jak i w praktycznych osiągnięciach rzemieślników budujących zegary, teleskopy, przyrządy miernicze czy nawigacyjne. Zajmował się budową pomp próżniowych, doświadczeniami z gazem, obserwacjami mikroskopowymi, astronomią (odkrył czerwoną plamę na Jowiszu i usiłował zmierzyć paralaksę gwiazdy γ Draconis), urządzeniami mechanicznymi, dokonał ważnych obserwacji biologicznych i paleontologicznych, zbudował wychwyt kotwicowy – ważny element zegara sprężynowego, miał oryginalną teorię umysłu, a także, co ważne dla nas w tej chwili, głosił pomysł siły przyciągającej między Słońcem i planetami. Wychwyt kotwicowy zbudował też Christiaan Huygens, prawo ciążenia powszechnego sformułował Newton, który potrafił też przedstawić jego liczne zastosowania. W obu przypadkach Hooke usiłował bronić swojego priorytetu, jednak na próżno. Dziś tylko prawo sprężystości upamiętnia tego uczonego, tak ważnego dla Towarzystwa Królewskiego i dla Londynu, to on bowiem obok sir Christophera Wrena był jednym z głównych budowniczych stolicy po wielkim pożarze z 1666 roku. Obserwatorium w Greenwich, sławny Bedlam – szpital dla obłąkanych i wiele innych budowli to jego dzieło. Pomagał też przy niełatwej konstrukcji wielkiej kopuły katedry św. Pawła. Nie zachował się żaden jego portret (niektórzy widzą w tym fakcie przejaw mściwości Newtona, który po śmierci Hooke’a przewodniczył Towarzystwu Królewskiemu), poniżej zamieszczamy coś w rodzaju portretu pamięciowego, sporządzonego zgodnie z opisami powierzchowności uczonego.

`Oba portrety autorstwa Rity Greer, 2006

Próba nawiązania korespondencji z Newtonem w roku 1675 okazała się nieudana i zakończyła się na jednym liście profesora z Cambridge, tym zawierającym metaforę następców stojących na ramionach wielkich poprzedników. Pod koniec 1679 roku Hooke napisał znowu, miał pretekst formalny: został sekretarzem Towarzystwa Królewskiego i do jego obowiązków należała korespondencja w imieniu Towarzystwa. Zapewniał, iż osobiście nie czuje żadnej wrogości i chciał  się dowiedzieć, co Newton sądzi m.in. na temat jego hipotezy, że ruchy planet można uważać za wypadkową ruchu prostoliniowego i ruchu pod wpływem przyciągania w kierunku ciała centralnego. List nie zawiera rysunku, ale hipoteza wyglądałaby mniej więcej tak.

Wiadomo było od czasów Galileusza i Torricellego, że idealną (bez oporu ośrodka) krzywą balistyczną można było uzyskać w podobny sposób.

Mogłoby się wydawać, że jesteśmy już bardzo blisko prawa ciążenia: należy „tylko” ustalić, jak siła ciężkości zależy od odległości od ciała centralnego, a potem skonstruować krzywą według narysowanego przepisu. Ściśle biorąc, należało uważać wektory za nieskończenie małe: planeta nieco się przesuwa wzdłuż stycznej i jednocześnie spada. Matematyka niezbędna do znalezienia krzywej to rachunek różniczkowy i całkowy, odkryty i rozwinięty przez Newtona jeszcze w latach sześćdziesiątych i na początku siedemdziesiątych. Prace te nie były publikowane, mało kto o nich wiedział, a z pewnością nikt nie rozumiał ich głębi i znaczenia. Hooke mógł coś słyszeć o matematycznym geniuszu Newtona, ale z pewnością nie znał szczegółów. Sam był wprawdzie profesorem geometrii, lecz oznaczało to matematykę elementarną potrzebną mierniczym i nawigatorom, którzy uczyli się w Gresham College. Hooke swoje pomysły przedstawił w druku kilka lat wcześniej w postaci trzech założeń.

Pierwsze, że wszystkie ciała niebieskie obdarzone są mocą przyciągającą albo grawitacyjną w kierunku swego centrum, za pomocą której przyciągają nie tylko swoje własne części, nie pozwalając im odlecieć, jak
to obserwujemy na Ziemi, ale że przyciągają także wszystkie inne ciała niebieskie, które znajdują się w obrębie ich sfery aktywności, tak że nie tylko Słońce i Księżyc mają wpływ na ciało i ruchy Ziemi, a Ziemia na nie,
ale także Merkury, Wenus, Mars, Jowisz, Saturn mają dzięki swym mocom przyciągającym istotny wpływ na jej ruch, podobnie jak odpowiednia moc przyciągająca Ziemi ma duży wpływ na każdy z ich ruchów.

Drugie założenie mówi, że wszystkie ciała wprawione w prosty i prostoliniowy ruch będą kontynuować taki ruch po linii prostej, dopóki nie zostaną przez jakieś działające moce odchylone i zmuszone do ruchu po okręgu, elipsie albo jakiejś innej złożonej linii krzywej.

Założenie trzecie mówi, że te moce przyciągające są tym potężniejsze w działaniu, im bliżej ich środka znajdzie się ciało, na które działają. [An Attempt to prove the Motion of the Earth from Observations, London 1674, s. 27-28.]

Zanim przedstawimy reakcję Newtona, zróbmy rzut oka wstecz. W roku 1619 Johannes Kepler podsumował swoje rozumienie ruchów planetarnych, ilustruje je rysunek z Epitome astronomiae Copernicane („Skrót astronomii kopernikańskiej” – w istocie była to astronomia Keplerowska, tylko nieruchomość Słońca wiązała ją z Kopernikiem). Kepler był jednak uczonym wyjątkowo skromnym i tak oryginalnym, że nie potrzebował walczyć o swój priorytet, bowiem współcześni niezbyt rozumiejąc, czego dokonał, niezbyt mu też zazdrościli.

Mamy tu ruch planety po elipsie wokół Słońca w jednym z jej ognisk. Mechanika nieba, która za tym stała, była następująca. Po pierwsze, każde ciało obdarzone było siłą inercji i pozostawione samo sobie zatrzymywało się po chwili. To dynamika przesuwania ciężkiej szafy: pchamy – szafa się przesuwa, przestajemy pchać – szafa staje w miejscu. Dzięki tej zasadzie bezwładności można się było nie obawiać, że planety pospadają na Słońce. Do wytworzenia ich ruchu obiegowego służyła Keplerowi specjalna moc obracająca, rodzaj pola siłowego, którego źródłem było obracające się wokół osi Słońce (Kepler pierwszy upatrywał w Słońcu źródło siły poruszającej planety, dla Kopernika Słońce było po prostu rodzajem lampy centralnie umieszczonej w machinie świata). Im dalej od Słońca znajduje się planeta, tym mniejszą ma prędkość. Drugie prawo Keplera można zapisać jako v_{\perp}\sim 1/r, gdzie v_{\perp} to składowa prędkości prostopadła do promienia wodzącego r. Dziś fakt ten nazywamy zasadą zachowania momentu pędu. U Keplera odpowiadała za to siła. Ponieważ jednak planety poruszają się po ekscentrycznych elipsach, na przemian zbliżając się i oddalając od Słońca, więc potrzebna była druga jeszcze siła: magnetyczna. Magnetyzm znany był z dzieła Williama Gilberta (De magnete, 1600), lekarza królowej Elżbiety I, a więc dynastycznie jakby wczoraj. Wyjaśnił on działanie kompasu, o którym przedtem wypisywano różne magiczne głupstwa. W tym celu zbadał zachowanie igły magnetycznej w pobliżu magnesu o kształcie kulistym, będącego niczym mała Ziemia, terrella.

Magnetyzm ograniczony był jego zdaniem do pewnej sfery działania: orbis virtutis na rysunku. U Keplera mamy osobliwy mechanizm magnetyczny: planeta jest rodzajem igły zachowującej stale tę samą orientację przestrzenną, Słońce natomiast jest magnesem, którego jeden biegun jest na powierzchni, drugi zaś ukryty w centrum. Oczywiście nie ma w przyrodzie takich magnesów, podobnie zachowywałby się monopol magnetyczny. Całość tej konstrukcji Keplera sprawia trochę wrażenie barokowego gabinetu osobliwości, gdzie nazbierało się wiele różnych dziwnych urządzeń czy eksponatów. Musimy jednak pamiętać, że nie było jeszcze żadnej matematycznej dynamiki, a Kepler starał się powiązać ten mechanizm z bardzo precyzyjnym matematycznym opisem ruchu planet (trzy prawa Keplera). Jego matematyka była znakomita, mechanika natomiast musiała zostać stworzona na nowo.

W XVII wieku mechanika ziemska i niebieska szybko stawała się nauką. A jak to określił antropolog Max Gluckman, „nauką jest każda dyscyplina, w której głupiec obecnego pokolenia może sięgnąć dalej niż geniusz pokolenia minionego” (Politics, Law, and Ritual in Tribal Society, s. 32; chodziło tam zresztą o kurtuazyjną, lecz zdecydowaną krytykę naszego rodaka Bronisława Malinowskiego). Hooke nie był bynajmniej głupcem, ale stał już na ramionach wielu uczonych: Kartezjusza, Huygensa i całej plejady pomniejszych twórców Rewolucji naukowej. Czym górowała hipoteza Hooke’a? Jej założenie drugie było doskonalszą formą zasady bezwładności: nie tylko spoczynek, ale i ruch jednostajny prostoliniowy nie wymagał podtrzymywania. Aby była to prawda, trzeba było przyjąć, że opór ośrodka wypełniającego kosmos jest zaniedbywalny. Zasada ta pochodziła zresztą od Kartezjusza, choć u niego opór eteru niweczył stale tendencję do prostoliniowego, bezwładnego ruchu. Potrzebna była też tylko jedna siła, skierowana ku Słońcu. Wzajemne przyciąganie komplikowało zarazem problem: gdybyśmy musieli, jak w założeniu pierwszym Hooke’a, uwzględniać przyciąganie wszystkich pozostałych planet, wyjaśnienie ruchów w Układzie Słonecznym musiałoby poczekać aż do drugiej połowy wieku dwudziestego i wynalezienia komputerów. Na szczęście można ruch ten przedstawić jako przyciąganie przez jedno ciało centralne plus niewielkie poprawki wynikające z przyciągania innych obiektów.

Hooke zaproponował więc radykalne uproszczenie pojęciowe problemu ruchu planet – najważniejszego zagadnienia nauk ścisłych od starożytności. Nie wszystko pochodziło tu od niego, raczej przekształcił on idee krążące w londyńskim powietrzu, w dyskusjach uczonych takich, jak Christopher Wren czy Edmond Halley. Ów świeży powiew z Londynu ożywił zastałe powietrze Cambridge i stał się ważnym impulsem dla Newtona, o czym opowiemy w następnej części.

Światło w cienkich warstwach: Newton na ramionach Hooke’a (1675)

Jedną z cech nowej nauki, tej, która powstała w XVII wieku w Europie i zmieniła bieg historii całego świata, jest uważność, drobiazgowa dbałość o szczegóły. Nie ma przedmiotów czy tematów nieistotnych, czy niewartych poznania. Postawa taka pojawiała się wprawdzie i wcześniej, Arystoteles na przykład badał zwierzęta morskie, nie kierując się ludzką estetyką czy przydatnością swych obserwacji do praktycznych celów. Dopiero jednak w XVII wieku obserwacje i eksperymenty stały się prawdziwą namiętnością. Organizacje takie, jak londyńskie Towarzystwo Królewskie, założono po to właśnie, by ułatwić rozpowszechnianie nieznanych dotąd szczegółów funkcjonowania przyrody. Nauka jest bowiem kumulowaniem wiedzy, ale także, i może przede wszystkim, wyjaśnień pozwalających ową wiedzę uporządkować w logiczną strukturę.

„Jeśli dalej sięgnąłem wzrokiem, to dlatego że stałem na ramionach olbrzymów” – napisał Isaac Newton do Roberta Hooke’a w Londynie 5 lutego 1676 roku. To słynne zdanie przytacza się często jako przykład uznania uczonego dla swoich poprzedników, ma ono wtedy rolę dydaktyczną: oto jak powinien postępować mąż uczony i niemałostkowy. Metafory tej używać miał już Bernard z Chartres, kierujący tamtejszą szkołą katedralną w XII wieku: „… jesteśmy niczym karły stające na ramionach gigantów, żeby widzieć więcej i dalej niż oni, nie dzięki bystrości własnego wzroku ani wielkiemu wzrostowi, lecz dlatego, że podnosi nas i wywyższa wielkość owych olbrzymów” [Jan z Salisbury, Metalogicon, f. 217r].

Dyskusja dotyczyła pewnych eksperymentów i hipotez, głównie dotyczących światła, które Newton przedstawił w formie listu do Towarzystwa Królewskiego. Robert Hooke, „kurator eksperymentów” Towarzystwa, starał się umniejszyć oryginalność pracy profesora z Cambridge, twierdząc że sam wykonywał wcześniej takie eksperymenty. Chodziło o tęczowe barwy cienkich przezroczystych warstewek, dziś najczęściej obserwowane, gdy olej rozlewa się po powierzchni kałuży.

Hooke zaobserwował takie barwy w warstewkach miki, używając mikroskopu własnej konstrukcji. Newton poszedł w badaniach barw cienkich warstewek znacznie dalej niż Hooke i chciał, aby zostało to docenione. Obaj uczeni mieli wyraźny rys paranoiczny, przy czym Hooke był paranoikiem ekstrawertycznym, zabieganym i znającym wszystkich w Londynie, stale skarżącym się, że inni odbierają mu pierwszeństwo jego prac, Newton natomiast był paranoikiem introwertycznym, cichym, małomównym, unikającym ludzi, długo jednak obracającym w głowie prawdziwe bądź urojone akty agresji wobec swoich dokonań. W stosunku do Hooke’a czuł daleko posuniętą rezerwę, przynajmniej od czasu gdy kurator Towarzystwa lekceważąco zbył Newtonowskie odkrycia dotyczące barw pryzmatycznych. Tamta publikacja zdobyła wprawdzie rozgłos, lecz profesor z Cambridge wyrzucał sobie, że goniąc za cieniem, dał się wciągnąć w liczne polemiki, z których niczego się nie nauczył, a które odebrały mu spokój ducha – jedyną rzecz prawdziwie cenną. Pamiętać musimy, że działalność naukowa nie należała do jego obowiązków, które były jedynie dydaktyczne, a na sławie niezbyt mu zależało (co w epoce mediów społecznościowych coraz trudniej nam pojąć). Hooke napisał do Newtona pojednawczy list, w którym komplementował młodszego kolegę i skarżył się na osoby siejące niezgodę (chodziło o Henry’ego Oldenburga, sekretarza Towarzystwa, który prowadził oficjalną korespondencję m.in. z Newtonem). Proponował nawiązanie bezpośredniej korespondencji na tematy „filozoficzne” – tzn. naukowe. Zdanie o olbrzymach znalazło się w odpowiedzi Newtona niejako na odczepne: odwzajemniał komplementy, lecz nie podjął propozycji. Isaac Newton nie miał chęci na dyskusje z bystrym, lecz asertywnym i niezbyt lojalnym partnerem, zresztą jego zainteresowania kierowały się w tym czasie raczej ku eksperymentom alchemicznym i dociekaniom teologicznym. Udało mu się uzyskać zwolnienie królewskie od obowiązku przyjęcia święceń. Z przyczyn formalnych, gdyż był profesorem katedry Lucasa. Prawdziwą przyczyną starań był konflikt sumienia. Uczony doszedł do zdecydowanego antytrynitaryzmu i nie chciał składać fałszywych przysiąg. I tak jego sytuacja teologiczna była delikatna: był przecież członkiem Trinity College: Kolegium św. i niepodzielnej Trójcy. Do tego antytrynitaryzm był jedną z herezji jawnie wymienionych w prawie i zagrożonych karą śmierci.

Wydana w 1665 r. książka Hooke’a, Micrographia, poświęcona była najrozmaitszym przejawom mikroskopowego świata: zawiera opisy i rysunki m.in. ostrza, komórek korka, liścia pokrzywy, oka muchy, pchły i wszy. Zmiana skali odkrywała  nowy poziom rzeczywistości, zadziwiający świat, o którego istnieniu nikt wcześniej nie miał pojęcia.

Liście pokrzywy

Pleśń na książce oprawionej w skórę jagnięcą

Pchła z Micrographii (National Library of Wales, Wikimedia )

Na czym polegał wkład Newtona w problem barw w cienkich warstwach? Jego też pasjonowało przyglądanie się różnym zjawiskom, ale nie wystarczały mu same obserwacje, szukał zawsze wyjaśnienia matematycznego. Jego sposób myślenia był formalny, precyzyjny i bardzo konsekwentny. Poprzednio, badając rozszczepienie światła w pryzmacie, przeprowadził dziesiątki eksperymentów, które wskazywały i potwierdzały, że ściśle biorąc współczynnik załamania światła jest różny dla różnych barw. W ten sposób, używając swego zaciemnionego pokoju jako camera obscura – kamery otworkowej, powinien otrzymać okrągły obraz dysku Słońca. Kiedy jednak na drodze promieni znajdzie się pryzmat, obraz staje się wydłużony, gdyż jest nałożeniem się okrągłych obrazów dla każdej barwy z osobna.

W przypadku cienkich warstw okazało się, że każda barwa ma charakterystyczną długość, określającą, co zobaczymy po odbiciu bądź przepuszczeniu światła. By kontrolować grubość warstwy, Newton zastosował płaskowypukłą soczewkę o długiej ogniskowej, a więc dużym promieniu krzywizny powierzchni sferycznej. Po zestawieniu jej z płaską płytką szklaną i oświetleniu światłem, otrzymujemy dwa dopełniające się systemy pierścieni w świetle odbitym i przepuszczonym. Mierząc promienie pierścieni, łatwo możemy obliczyć, jakim grubościom warstwy odpowiadają. Używając światła monochromatycznego – wydzielonego z rozszczepienia przez pryzmat, sprawiamy, że pierścienie stają się cieńsze i widać ich więcej.

Na obraz pierścieni w świetle przechodzącym nałożona jest skala z podziałką 100 μm (Warrencarpani) 

Plansza z Optics, Newtona (1704)

Newton ustalił za pomocą drobiazgowych pomiarów, jaki obraz otrzymamy w zależności od barwy światła, grubości warstwy, kąta biegu promieni światła oraz współczynnika załamania ośrodka stanowiącego przezroczystą warstwę. Stwierdził, np., że jasne prierścienie w świetle odbitym dla koloru „jasnocytrynowożółtego” leżącego na granicy pomiedzy barwą żółtą i pomarańczową w widmie Słońca odpowiadają grubościom warstwy danym wzorem:

h=(2k+1)\dfrac{1}{178000}\mbox{ cala, gdzie } k=0,1,2,\ldots.

Szczegółowe zależności ilościowe niezbyt ciekawiły Roberta Hooke’a, stanowiły jednak wyróżnik pracy Newtona, a za nim całej fizyki nowożytnej. Eksperymenty opisane tak, aby każdy mógł je powtórzyć, oraz dokładne staranne pomiary niektórym uczonym wydawały się wręcz istotą fizyki. W wieku XIX, gdy zbudowano dwie wielkie teorie: termodynamikę oraz elektrodynamikę wraz z optyką falową, wielu uczonych niechętnie patrzyło na rozważania teoretyczne, ceniąc je niżej niż porządny eksperyment. Kryło się za tym przekonanie, że wyniki eksperymentalne pozostaną słuszne zawsze, natomiast teorie mogą się zmieniać. Newton bardziej niż ktokolwiek pokazał, jak przekształcić naukę w maszynę zdobywania wiedzy opartą na matematycznych teoriach i ekspeymentalnych szczegółach. Pedanteria i wąski sposób myślenia stały się metodą: nie próbujemy na codzień wyjaśnić natury świata ani udzielić odpowiedzi na pytania ostateczne, lecz koncentrujemy się na tych szczegółach, które rozumiemy, najlepiej w sposób matematyczny. Sam Newton sądził, że wszystkie barwy przedmiotów mają pochodzenie interferencyjne, możemy więc z ich obserwacji wysnuć wnioski na temat struktury. Tak nie nie jest, choć pewne barwy w przyrodzie – np. błękitne skrzydła motyla Morpho są rzeczywiście interferencyjne.

Wyjaśnienie zjawisk interferencyjnych sprawiało Newtonowi trudność. Uważał bowiem światło za strumień cząstek, choć nie miał na to rozstrzygających dowodów. Dlatego w pracach takich, jak Optics, nie zajmował wyraźnego stanowiska, ograniczając się do tego, co pewne, tj. wyników doświadczeń. W okresie korespondencji z Hookiem Newton sądził, iż cząstka światła, padając na pierwszą powierzchnię, wzbudza falę eteru. Fala ta podróżuje szybciej niż światło i gdy cząstka światła dotrze do drugiej powierzchni, napotyka zgęszczenie bądź rozrzedzenie eteru i odbija się bądź przechodzi przez tę powierzchnię. Tak więc istniałyby swego rodzaju fale pilotujące, które decydują o losie cząstki. Zauważmy, że z punktu widzenia klasycznego trudno wyjaśnić, skąd cząstka światła „wie” o drugiej powierzchni. Cząstki kwantowe są swoistym połączeniem aspektu falowego i cząstkowego: amplituda fali określa prawdopodobieństwo, ale też wiemy, że zachowania kwantowe wciąz zaskakują fizyków.

Zobaczmy na koniec, jakie jest falowe wyjaśnienie pierścieni Newtona. Aby otrzymać interferencję konstruktywną (wzmocnienie fal odbitych od obu powierzchni warstwy), jej grubość musi spełniać warunek:

2h=(2k+1)\dfrac{\lambda}{2},

gdzie \lambda jest długością fali (różnica odległości to 2h, dodatkowe \frac{1}{2}\lambda bierze się ze zmian fazy przy odbiciu, koniecznej, aby dla h=0, czyli przy braku warstwy, odbicie nie następowało (oczywiście, wyjaśniają to równania Maxwella). Długość fali odpowiadająca Newtonowskiej barwie jasnocytrynowożółtej to \lambda=0,57\, \mu m – lampy sodowe popularne na ulicach dają światło o \lambda=0,589\,\mu m. Podobnie jest dla innych barw, Isaac Newton rzeczywiście był pedantycznie dokładny. I nawet tak mało istotne zjawisko jak barwy warstewek może prowadzić do ważnych odkryć.

Opiszemy jeszcze związek promienia pierścienia x i grubości warstwy. Z tw. Pitagorasa otrzymujemy

x^2=R^2-(R-h)^2=h(2R-h)\approx 2Rh.

Newton stosował tę samą matematykę do obliczenia przyspieszenia dośrodkowego, zob. Księżycowy test Isaaca Newtona.

René Descartes (Kartezjusz), tęcza i uczeni jezuici (1637)

Dopóki jeszcze wolno, powtarzam swój dawny wpis na temat tęczy.

Pisze się często z uznaniem o uczonych jezuitach, zwłaszcza w XVII wieku, bo w następnym stuleciu zakon zaczął chylić się ku upadkowi i w końcu uległ kasacie papieskiej. Nauka stanowiła jakąś cząstkę szerokiej działalności pedagogicznej ojców i rzeczywiście, niektórzy z nich zasłużyli się różnymi odkryciami: np. plam słonecznych czy dyfrakcji światła. Dopóty, dopóki chodziło o badania czysto eksperymentalne albo obserwacyjne, ich osiągnięcia były niewątpliwe. Gorzej było z interpretacją wyników: ojcowie obowiązani byli trzymać się Arystotelesa, który był beznadziejnie przestarzały. W latach trzydziestych wieku XVII wieku doszedł jeszcze jeden kłopot: nie wolno im było głosić także kopernikanizmu. Skazanie Galileusza wpłynęło zastraszająco na wielu uczonych, również poza Italią. Taki zresztą był zamiar papieża Urbana VIII, który ubrdał sobie, że ruch Ziemi podważa prawdy wiary (w jakimś sensie miał zresztą rację: jedynie kosmologia geocentryczna wydaje się logiczna z religijnego punktu widzenia).
René Descartes, dawny uczeń jezuitów w La Flèche, wolał przezornie zamieszkać w Holandii. Wierzący katolik, spędził resztę życia na emigracji w krajach protestanckich. Nie opublikował też swego pierwszego dzieła Świat albo traktat o świetle, obawiając się, że jest zbyt kopernikańskie. Zadebiutował w druku dopiero w 1637 roku jako filozof, matematyk, a także fizyk. W tej ostatniej dziedzinie z jego śmiałych teorii, obejmujących właściwie cały wszechświat, ocalało ostatecznie jedynie wyjaśnienie zjawiska tęczy, podane w rozprawie Les météores.
Mimo zainteresowania tym zjawiskiem, ustalono niezbyt wiele. Jak pisał uczony jezuita, Jean Leurechon: „Jeśli mnie zapytacie o sposób wytwarzania, układ i formę tych kolorów [tęczy], to odpowiem, iż pochodzą one z odbicia oraz załamania światła, i to wszystko. Platon dobrze powiedział, że Iryda jest córą podziwu, a nie objaśnienia (…) wszyscy bowiem filozofowie i matematycy, którzy przez tak wiele lat zajmowali się poszukiwaniem i wyjaśnianiem ich przyczyn, a także spekulacjami, dowiedzieli się tylko, iż nic nie wiedzą i że dostępne są im jedynie pozory prawdy”. Ojciec Leurechon trochę przesadzał, ale czynił to w zbożnym i wychowawczym celu. Galileusz rozprawiający o ruchu Ziemi w Rzymie też wydawał się tamtejszym monsignorom nieledwie bezczelny: cóż on mógł wiedzieć o dekretach Stwórcy i urządzeniu wszechświata! Uczonym przystoi pokora.
Wiemy, że książkę Leurechona czytał Descartes i zapewne postanowił wykazać, że można jednak coś ustalić na temat świata i nie musimy w kółko powtarzać frazesów o własnej niewiedzy.
Powstawanie dwóch łuków tęczy przedstawia rysunek. Wewnętrzny łuk powstaje wskutek jednokrotnego odbicia światła wewnątrz kropli wody, zewnętrzny – wskutek dwukrotnego odbicia. W przypadku łuku wewnętrznego promień biegnie do oka obserwatora po drodze ABCDE, w przypadku łuku zewnętrznego biegnie po drodze FGHIKE.

fcarc-february2009-descartes-medium-original

descartes3

Tęcza nie jest żadnym realnym obiektem, ale każdy z nas widzi niejako własną tęczę, która przemieszcza się wraz z obserwatorem, jeśli tylko w powietrzu znajdują się w odpowiednim miejscu krople wody. Łuk wewnętrzny tworzy kąt 42º z kierunkiem promieni słonecznych, łuk zewnętrzny – kąt 52º. Descartes wyjaśnił, skąd biorą się oba kąty. Trudność polegała na tym, że promienie wpadające do kropli pod różnymi kątami wychodzą z niej także pod różnymi kątami. Nie od razu widać, co wyróżnia te dwie wartości: 42º oraz 52º.

descartes1

Kąt między promieniem Słońca a promieniem biegnącym po jednokrotnym odbiciu równy jest

\theta=4\beta-2\alpha.

Kąty \alpha oraz \beta związane są prawem załamania. Descartes ułożył tabelkę liczbowych wartości kątów odchylenia dla promienia odbitego raz i dwa razy. My przedstawimy to za pomocą wykresu.

descartes arc-en-ciel

Wykres interaktywny

Wewnętrzny łuk tęczy odpowiada maksymalnemu kątowi około 42º. W okolicy maksimum wykres funkcji staje się płaski, a to oznacza, iż znaczna część promieni będzie biegła w zbliżonym kierunku. W rezultacie dotrze do nas najwięcej promieni z okolic 42º. Łuk tęczy powinien mieć zewnętrzną krawędź ostrzejszą, a wewnętrzną bardziej rozmytą. Dla zewnętrznego łuku tęczy (powstającego przez dwukrotne odbicie) będzie na odwrót: minimalny kąt równa się ok. 51º i należy się spodziewać, że z tego kierunku dobiegać będzie najwięcej promieni. Pomiędzy tymi dwoma łukami niebo powinno być ciemniejsze. Tak więc kąty obserwowane w zjawisku tęczy odpowiadają ekstremalnym odchyleniom promienia od kierunku początkowego.

descartes2

W wyjaśnieniu Descartes’a pojawił się ilościowy aspekt zjawiska: jeśli natężenie światła z pewnego kierunku będzie zbyt małe, nie będziemy nic widzieć. Trochę promieni biegnie pod niemal każdym kątem, ale liczą się tylko te kierunki, w których biegnie dużo promieni. Tęcza nie ma wyraźnych granic zewnętrznych, gdybyśmy mogli rejestrować słabsze światło, oba pasy byłyby szersze. W czasach Descartes’a dzięki teleskopowi zrozumiano już, że nie zawsze widzimy światło dobiegające do naszych oczu: jego natężenie musi przekroczyć pewną progową wartość.

Full_featured_double_rainbow_at_Savonlinna_1000px

Zdjęcie: Laurie Kosonen

Wyjaśnienie tęczy podane przez Descartes’a było na tyle nowatorskie, że wielu uczonych nadal próbowało rozwiązać ten problem, nie dostrzegając, iż został już rozwiązany. To wcale nierzadka sytuacja, po teorii względności zaczęły się np. pojawiać prace, w których usiłowano inaczej rozwiązać problemy postawione przez Einsteina. Descartes przesłał swoją pracę o tęczy do ojca Étienne’a Noëla, jezuity, który uczył go niegdyś i z którym korespondował. Miał nadzieję, że jego rozprawa stanie się podręcznikiem używanym w kolegiach jezuickich. Stało się inaczej, nie doczekał się żadnej reakcji. Kilku innych uczonych zajmowało się później zagadnieniem tęczy tak, jakby nie istniała praca Descartes’a, m.in. teolog z Louvain, Libert Froidmont, który nie widział potrzeby uwzględnienia rozwiązania Descartes’a, gdy kilkakrotnie w późniejszym czasie wznawiał własną książkę na ten sam temat. Przyczyną niechęci Froidmonta i jezuitów mogło być to, co najmocniej przemawia do nas dzisiaj: poddanie zjawisk przyrody matematycznej konieczności. Bo jeśli światem rządzą matematyczne konieczności, to niepotrzebny staje się Stwórca. Descartes wcale tak zresztą nie myślał, ale inni zarzucali mu szerzenie bezbożnictwa naukowego. Isaac Newton, biblijny fundamentalista, z tego właśnie powodu zwalczał poglądy Descartes’a (jezuitów też zresztą nie cierpiał). Musiał w tym celu wymyślić własną wersję Boga-Ojca, który samorządnie i samowładnie realizuje swe matematyczne dekrety i obecny jest w każdym punkcie przestrzeni. Do Newtona należało wyjaśnienie kolorów tęczy: różne barwy mają rozmaity współczynnik załamania, toteż łuki różnych barw widzimy w nieco innych miejscach. Także Newton zastąpił numeryczną analizę Descartes’a twierdzeniem o ekstremum funkcji, matematyka była już znacznie bardziej zaawansowana.

Po czym poznaje się wielkiego uczonego: Galileusz i inni na temat spadku swobodnego (pierwsza połowa XVII wieku)

Prawdziwa wielkość w nauce jest równie rzadka jak w sztuce czy literaturze. Tylko nieliczni zmieniają nasz sposób widzenia świata w taki sposób, że nie da się tego cofnąć ani zapomnieć. Galileusz odkrył paraboliczny kształt krzywej balistycznej. Co więcej, potrafił zrozumieć, skąd się ten kształt bierze i umieścić tę kwestię w nowym systemie pojęć. Jak ważny był kontekst tego odkrycia, świadczyć mogą słowa Isaaca Newtona. W 1687 r.  w Matematycznych zasadach filozofii przyrody formułuje on „Aksjomaty, czyli prawa ruchu”:

Prawo I Każde ciało pozostaje w swym stanie spoczynku lub ruchu jednostajnego po linii prostej, dopóki siły przyłożone nie zmuszą go do zmiany tego stanu.
Prawo II Zmiana ruchu jest proporcjonalna do przyłożonej siły poruszającej i następuje w kierunku prostej, wzdłuż której siła ta jest przyłożona.

Są to oczywiście zasady dynamiki, których naucza się po dziś dzień (nie przytaczamy treści III prawa, ponieważ nie będzie nam tu potrzebne). Ciekawy jest komentarz angielskiego uczonego (urodzonego w roku śmierci Galileusza) do tych praw zamieszczony w dalszym ciągu tekstu:

Zasady, które przyjmuję, zaakceptowane są przez matematyków i potwierdzone przez wielorakie eksperymenty. Za pomocą dwóch pierwszych praw Galileusz stwierdził, że spadek ciał ciężkich zachodzi w proporcji do kwadratu czasu, a ruch ciał wystrzelonych przebiega po paraboli, jak potwierdza to eksperyment, jeśli uwzględnić fakt, że ruchy te są nieco opóźniane przez opór powietrza. Gdy ciało spada, stała siła grawitacji, działając jednakowo w poszczególnych jednakowych odcinkach czasu, nadaje ciału jednakowe wartości siły i generuje jednakowe prędkości; a w całym czasie nadaje całkowitą siłę i generuje całkowitą prędkość proporcjonalną do czasu. A odległości przebywane w odcinkach czasu są proporcjonalne do prędkości i czasów jednocześnie, tzn. są jak kwadraty czasów. (…) A kiedy ciało zostanie wystrzelone wzdłuż dowolnej linii prostej, jego ruch nadany w chwili początkowej składa się z ruchem wynikającym z grawitacji.

Ostatnie zdanie ilustruje rysunek: położenie wypadkowe ciała jest sumą wektorów \vec{v}t, czyli prostoliniowego ruchu nadanego w chwili wystrzału, oraz spadku swobodnego \frac{1}{2}\vec{g}t^2. Zapisywanie ruchów za pomocą wzorów algebraicznych i pojęcie wektora są późniejsze niż Newton. Algebry zaczął używać w tym kontekście dopiero Leonhard Euler, a wektory to osiągnięcie późniego wieku XIX.

Newton nie był zbyt dobrze poinformowany historycznie, z książek Galileusza znał tylko Dialog o dwóch układach świata, w 1687 r. nie było wątpliwości, jak przebiega ruch kuli armatniej albo spadającego swobodnie ciała, jeśli pominąć opór powietrza. Newton zajmował się już innymi problemami, takimi jak wpływ oporu powietrza na tor wystrzelonego ciała albo ciłą ciężkości zmieniającą się od punktu do punktu. Z jego perspektywy dwa pierwsze prawa były właściwie oczywiste i jak widzimy wcale sobie do nich nie rościł pierwszeństwa, przypisując je, do pewnego stopnia błędnie, Galileuszowi.

Do jakiego miejsca dotarł rzeczywiście Galileusz? Otóż sądził, że bez oporu powietrza rzut jest złożeniem jednostajnego ruchu poziomego i pionowego spadku. Bez problemu opisywał rzut poziomy, przypadek rzutu ukośnego, taki jak na rysunku, opisali już inni. Spadek swobodny nie był dla niego skutkiem siły grawitacji, w ogóle u Galileusza nie znajdziemy dynamiki, lecz tylko kinematykę ruchów. Z jakiegoś powodu ruch poziomy jest jednostajny, o ile nic mu nie przeszkadza. Natomiast spadek swobodny przebiega w ten sposób, że prędkość chwilowa jest proporcjonalna do czasu. Widzimy, że Newton przypisał mu swoje własne prawa i swoje rozumienie sytuacji fizycznej. Z pewnością nieświadomie, ponieważ raczej nie był nadmiernie skłonny do dzielenia się chwałą z innymi, po prostu nie wiedział, jak wyglądała historia. Przypominał w tym dzisiejszych uczonych, którzy, zainteresowani rozwiązywaniem stojących przed nimi problemów, niezbyt interesują się meandrami historii.

Zasługą Galileusza było odrzucenie obowiązującej wówczas fizyki arystotelesowskiej. Spostrzegł on, że bez oporu powietrza ruchy ciał stają się prostsze. Musimy pamiętać, że dopiero po jego śmierci nauczono się wytwarzać próżnię, za życia Galileusza odkrycie praw ruchu (kinematycznych) oznaczało postawienie na głowie całej nauki, która przecież powinna zajmować się „prawdziwymi” ruchami i „prawdziwymi przyczynami” zjawisk. Zamiast tego Galileusz proponował teorię matematyczną, która stosuje się ściśle tylko do świata, jakiego nie ma. Była to, co się zowie, księżycowa teoria – na Księżycu zresztą byłoby ją najłatwiej testować, bo nie ma tam atmosfery. Teoria ta nic nie mówiła na temat przyczyn takich ruchów. Zresztą dynamika Newtona też wiele nie wyjaśniała: wprowadziła pojęcie siły, lecz siła była abstraktem matematycznym, który można wprawdzie badać ilościowo, ale nic o nim w gruncie rzeczy nie wiemy. Był to kolejny krok w budowaniu świata platońsko-pitagorejskiego, gdzie abstrakcyjna matematyka przydaje się w praktycznej pracy inżyniera, stąd wszystkie politechniki wymagają od studentów pewnej wiedzy matematycznej.

Galileusz nie był pewien, jakie jest najprostsze matematycznie prawo spadku swobodnego (sądził, że właśnie najprostsze prawo powinno obowiązywać w przyrodzie). Wahał się między prędkością proporcjonalną do czasu i prędkością proporcjonalną do drogi. Ostatecznie wybrał pierwszą ewentualność. Że nie był to wybór łatwy, świadczą jego wahania utrwalone w różnych tekstach, a także reakcja innych uczonych na prace Galileusza. Wielu z nich nie potrafiło się zgodzić na prędkość proporcjonalną do czasu. Jezuici, którzy z urzędu musieli demonstrować swą niechęć do heretyka nawet w sprawach dalekich od kopernikanizmu, optowali za różnymi dziwacznymi wersjami prawa swobodnego spadku. Drogi w kolejnych jednostkach czasu miały być np. w proporcjach 1:2:3:4… albo 1:2:4:8… Prędkość miała rosnąć proporcjonalnie do drogi albo skokowo w czasie. Niewiele lepiej wyglądało to wśród zwolenników, którzy także chętnie „poprawiali” Galileuszowe prawo spadku. Eksperymenty także nie wkazywały jednoznacznie, bo spadek swobodny zachodzi szybko, a nie potrafiono mierzyć czasów tak krótkich. Ponadto opór powietrza zniekształcał wyniki. Wielkość Galileusza jako uczonego przejawia się m.in. w tym, że umiał w warunkach niepewności eksperymentalnej i trudności pojęciowych wybrać właściwe rozwiązanie. Jest w tym lekkość i poczucie smaku, intuicja i długie przemyślenia. Galileusz jest wielkim uczonym także dlatego, że nie stworzył wszechogarniającego systemu, skoncentrował się na zagadnieniach, o których mógł coś powiedzieć, czasem spekulował, ale nie rościł sobie prawa do wiedzy absolutnej. Tylko ignoranci i Kościół katolicki znają wszystkie odpowiedzi. Galileusz ich nie znał. Nie wiedział np., czy wszechświat jest skończony, a jeśli tak, to gdzie leży jego środek. Wiedział, że nie jest nim Ziemia, już prędzej Słońce, ale też niekoniecznie. Jest pewna ironia w fakcie, że skazano go za głoszenie tez, które on sam uważał za nieprawdziwe. Nie chodziło jednak o to, kto ma rację, ale o to, kto ma władzę.

Teksty Galileusza i innych ówczesnych uczonych pokazują, jak wiele trudności pojęciowych musieli oni pokonać. Np. co to jest prędkość chwilowa (nie bardzo można ją zmierzyć). Galileusz posługiwał się następującym rysunkiem.

Linia AB oznacza czas. Linie poziome są prędkościami. AG i równoległe do niego odcinki odpowiadają ruchowi jednostajnemu. AIE to linia ograniczająca odcinki prędkości chwilowej rosnącej proporcjonalnie do czasu. Uczony dowodził, że suma jednakowych odcinków GA=FB jest taka sama, jak suma odcinków rosnących z czasem. Wobec czego można cały ruch przyspieszony zastąpić ruchem jednostajnym o prędkości równej połowie prędkości końcowej. Inaczej mówiąc prostokąt GABF jest równoważny trójkątowi AEB. Galileusz nie zrobił kroku, który nam wydaje się oczywisty, i nie utożsamił drogi przebywanej w obu ruchach z polem odpowiednich figur. Mówił o sumach odcinków. Iloczyn prędkości i czasu nie miał dla niego żadnego sensu, ponieważ chodzi o wielkości fundamentalnie różne. My przedstawilibyśmy to tak.

 

W drugiej połowie wieku XVII stało się jasne, że procedurę taką można uogólnić. Pole pod wykresem prędkości to droga i można ją zapisać jako całkę. Z kolei pochodna drogi po czasie daje prędkość chwilową. To podstawowa para operacji w rachunku różniczkowym i całkowym.

 

Gdyby prędkość była proporcjonalna do drogi, mielibyśmy do czynienia z wykładniczym wzrostem, jest to funkcja opisująca eksplozję (np. demograficzną albo jądrową)

\dfrac{ds}{dt}=ks\Rightarrow s=s_{0}\,e^{kt}.

Prędkość opisana jest taką samą funkcją (bo pochodna funkcji wykładniczej jest też funkcją wykładniczą).

Z obu tych wykresów widać, że funkcja taka niezbt nadaje się do opisania ruchu, który zaczyna się w określonej chwili bez żadnej prędkości początkowej, ponieważ nigdy nie jest równa zeru. Spadek od s=0 do dowolnego punktu musiałby trwać nieskończenie długo. Zatem prędkość w spadku nie może być proporcjonalna do drogi, bo przeczy to elementarnej wiedzy na temat spadku ciał. Oczywiście, można by spekulować, czy spadek nie może się od razu zaczynać z prędkością różną od zera. Rozwiązanie przyjęte przez Galileusza też było kontrowersyjne w oczach jego współczesnych: wymagało bowiem, aby ciało na początku poruszało się przez chwilę z dowolnie bliską zeru prędkością. Przywodziło to na myśl od razu paradoksy Zenona z Elei przeciwko ruchowi. Wiemy jednak, że spadające ciało się porusza, choć chwilę przedtem spoczywało. Eppur si muove.

Intuicja Galileusza pozwoliła mu też pozbyć się balastu niepotrzebnych pytań dodatkowych: o przyczyny spadku, o opór powietrza itd. Nauka rozwija się zawsze przez pracę nad konkretnymi zagadnieniami i trzeba umieć oddzielić to, czego nie da się w danym momencie rozstrzygnąć albo co nie ma znaczenia. Pouczająca jest tu reakcja Kartezjusza na dzieło Galileusza. Francuski filozof, młodszy o trzydzieści lat, z dużą pewnością siebie odrzucił rozwiązanie Galileusza. Zarzucił mu, że buduje bez podstaw, nie wiedząc nawet, skąd bierze się ciężar ciała (Kartezjusz był pewien, że to skutek popychania ciała przez niewidzialne cząstki materii subtelnej!). Jako dobry matematyk i do tego znacznie później urodzony stwierdził, że pod względem matematycznym praca florentyńczyka jest raczej słaba, jego dowody zaś niezbyt eleganckie. Zarzuty były do pewnego stopnia uzasadnione, ale to toskański uczony miał rację, o tyle, o ile można mieć w nauce rację: jego teoria zgodna była z eksperymentem i pozwalała pójść dalej.

Skąd się wzięła liczba pi w rozkładzie Gaussa, czyli o niepojętej skuteczności matematyki w naukach przyrodniczych

Eugene Wigner, należał do „Marsjan”, jak nazywano w Stanach Zjednoczonych grupę niezwykle wybitnych uczonych z Węgier. Na pytanie Enrica Fermiego, dlaczego wysoce rozwinięte cywilizacje z kosmosu nie odwiedziły do tej pory Ziemi, Leo Szilard odpowiedział, że owszem, już tutaj są, ale sami siebie nazywają Węgrami. Była to niezwykła konstelacja talentów: Paul Erdős, Paul Halmos, Theodore von Kármán, John G. Kemeny, John von Neumann, George Pólya, Leó Szilárd, Edward Teller. Ukształtowały ich naukowo Niemcy, zwłaszcza Getynga i Berlin. Po dojściu nazistów do władzy uczeni ci z racji żydowskiego pochodzenia zmuszeni zostali do emigracji i w Stanach Zjednoczonych pracowali nad aerodynamiką, budową bomby atomowej i wodorowej, budową pierwszych komputerów, jak też dokonywali odkryć w matematyce czystej, jak najdalszych od zastosowań. Wigner był ekspertem w zastosowaniach teorii grup w mechanice kwantowej, laureatem Nagrody Nobla, a więc kimś, kto na co dzień stykał się z tym, że abstrakcyjna z pozoru matematyka znajduje wciąż nowe eksperymentalne potwierdzenia.

Słynny jest esej Wignera pt. Niepojęta skuteczność matematyki w naukach przyrodniczych. Zaczyna się on następująco:

Istnieje opowiadanie o dwóch ludziach, którzy przyjaźnili się ze sobą w czasie wyższych studiów, a którzy spotkawszy się, opowiadają sobie o swojej pracy. Jeden z nich zajął się statystyką i badał trendy społeczne. Pokazał on dawnemu koledze jeden ze swych artykułów. Artykuł rozpoczynał się, jak zwykle, uwagami na temat rozkładu Gaussa i autor wyjaśnił swemu rozmówcy znaczenie poszczególnych symboli dla sytuacji aktualnego społeczeństwa, dla przeciętnego społeczeństwa i tak dalej. Jego kolega okazał pewne niedowierzanie i nie był zupełnie pewny, czy przyjaciel nie żartuje sobie z niego. „Skąd ta twoja wiedza?” brzmiało jego pytanie. „I czym jest ten tu symbol?”. „Och”, odpowiedział statystyk, „to jest \pi”. „Co to jest?” „Stosunek obwodu koła do jego średnicy”. „No, teraz już twoje dowcipy zaszły za daleko”, rzekł na to kolega, „z całą pewnością społeczeństwo nie ma nic wspólnego z obwodem koła”. (przeł. J. Dembek)

Matematyka jest sztuką wyprowadzania wniosków, najlepiej nieoczywistych, z pewnych przyjętych założeń. W zasadzie nie możemy więc za jej pomocą otrzymać niczego istotnie nowego, co nie tkwiłoby niejako w tych założeniach. Jednak droga od np. podstawowych praw arytmetyki i definicji liczb pierwszych do sformułowania Wielkiego Twierdzenia Fermata i jego dowodu zajęła zajęła ludzkości parę tysięcy lat i przez ostatnie stulecia wielu wybitnych uczonych straciło całe lata na bezowocne próby. Jednak najbardziej zdumiewającym aspektem matematyki są jej zastosowania w innych naukach. Nie rozstrzygniemy tu pytania, czy kryje się w tym głęboka tajemnica, czy też w zasadzie rzecz jest trywialna (bo np. matematyka w gruncie rzeczy pochodzi z doświadczenia albo, jak wierzył Platon, świat zmysłowy stanowi jedynie niedoskonałą kopię świata idei, gdzie linie nie mają grubości, a sfery są zbiorami punktów równooddalonych od swego środka).

W zastosowaniach matematyki, takich jak statystyka albo fizyka, musimy przyjąć wiele dodatkowych założeń, które często są trudne do bezpośredniego zweryfikowania. Mimo to wiemy np., że rozkład Gaussa, krzywa dzwonowa, stosuje się nie tylko do rozkładu prędkości cząsteczek w gazie, ale i np. cen akcji albo wzrostu grupy ludzi (w dwóch ostatnich przypadkach lepsze wyniki daje rozpatrywanie logarytmu tych wielkości). Istnieją matematyczne powody wszędobylskości rozkładu Gaussa: jeśli dana wielkość jest sumą zmiennych losowych, to można oczekiwać, iż bedzie dążyć do rozkładu Gaussa, gdy liczba tych zmiennych staje się coraz większa i gdy są one od siebie niezależne.

Wróćmy teraz do anegdoty Wignera. Skąd wzięła się liczba \pi w rozkładzie Gaussa? Rozkład ten ma postać

p(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}},

gdzie \sigma jest parametrem opisującym szerokość krzywej: może ona być bardziej albo mniej rozłożysta. Poniważ opisuje prawdopodobieństwa, pole powierzchni pod krzywą musi być równe 1. Na wykresie \sigma=1.

Wartość p(0)  jest więc związana z \pi:

p(0)=0,39894\approx \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}.

Liczba \pi pojawia się tu dlatego, że pole powierzchni pod krzywą musi być równe 1. Inaczej mówiąc chodzi o wartość następującej całki (gdzie dla wygody pzbyliśmy się dwójki):

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} dx=\sqrt{\pi}.

Całka nieoznaczona w tym wypadku nie wyraża się przez funkcje elementarne i obliczenie tej wartości wymaga pomysłu. Prawdopodobnie całkę tę pierwszy obliczył Pierre Simon Laplace (i to co najmniej na dwa sposoby). Prostszą metodę podał Denis Poisson, a my przedstawimy współczesne wariacje tej metody. Należy rozpatrzyć całkę dwuwymiarową po całej płaszczyżnie xy:

I^2= \displaystyle \iint e^{-x^2-y^2} dx dy=\left( \int e^{-x^2} dx\right)^2.

Zadanie sprowadza się do obliczenia objętości pod powierzchnią przypominającą (nieskończony) kapelusz z=e^{-x^2-y^2}.

Narysowaliśmy tylko jego środkową część. Inaczej mówiąc, jest to bryła powstająca z obrotu krzywej z=e^{-r^2} wokół osi z.

Objętość tej bryły możemy obliczyć dzieląc ją na walce o grubości dz i promieniu r^2=-\ln z:

I^2=-\displaystyle \int_0^1 \pi \ln z dz=\pi.

Możemy też podzielić naszą bryłę na wydrążone walce o grubości dr, promieniu r i wysokości z:

I^2=\displaystyle \int_0^{\infty} 2\pi r e^{-r^2}=\pi.

Ostatnią całkę oblicza się przez oczywiste podstawienie t=r^2.

Oba te rozwiązania sugerowałyby, że „nasze” \pi z rozkładu Gaussa ma jednak coś wspólnego z okręgami. W matematyce związki arytmetyki z geometrią są wszakże nieoczywiste: pokazywaliśmy przykłady szeregów Leibniza i Newtona prowadzących do liczby \pi (por. też tutaj). Także w naszym przypadku możemy sprowadzić problem do arytmetyki.

Rozkład Gaussa jest granicą rozkładu dwumianowego, czyli np. rozkładu liczby orłów (ktoś mniej patriotyczny niż ja mógłby rozważać liczbę reszek, ale my odrzucamy takie podejście) w serii rzutów monetą. Prawdopodobieństwa wyglądają wówczas następujaco:

Na histogramie przedstawiliśmy przypadek n=20 rzutów oraz stosowny rozkład Gaussa, który jest, jak widać całkiem dobrym przybliżeniem histogramu. Obliczmy prawdopodobieństwo, że w połowie rzutów otrzymamy orła – co odpowiada maksimum histogramu i krzywej Gaussa. Ponieważ prawdopodobieństwa wyrzucenia orła i reszki są równe, więc prawdopodobieństwo każdej serii jest równe iloczynowi: (\frac{1}{2})^n. Można przy tym tę połowę orłów uzyskać w rozmaitej kolejności – każdy konkretny wynik będzie wybraniem spośród zbioru n elementów podzbioru n/2 orłów. Można to zrobić na {n}\choose{n/2} sposobów (liczba kombinacji). Prawdopodobieństwo w środku naszego rozkładu będzie zatem równe (wzięliśmy n=2m):

P_m= \displaystyle {{2m}\choose{m}} \dfrac{1}{2^{2m}}.

Gdzie jak gdzie, ale w tym wyrażeniu nie ma chyba liczby \pi? Oczywiście, jest. Okazuje się, że

\displaystyle \lim_{m\rightarrow\infty} \sqrt{m}P_m=\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}.

Inaczej mówiąc dla dużych wartości m mamy P_m\sim \frac{1}{\sqrt{\pi m}} – pojawia się pierwiastek z \pi, zmodyfikowany dodatkowym czynnikiem, który łatwo zrozumieć: rozkład dwumianowy przy rosnącym m coraz bardziej przypomina rozkład Gaussa, ale też staje się coraz szerszy, co skutkuje mniejszą wysokością, i tę właśnie zależność opisuje powyższy wzór.

W jaki sposób otrzymać ten wynik? Leonhard Euler w 1736 r. uzyskał przedstawienie funkcji sinus za pomocą nieskończonego iloczynu. Pomysł jest prosty. Każdy wielomian możemy przedstawić za pomocą iloczynu

f(x))=a(x-x_1)(x-x_2)\ldots (x-x_n),

gdzie x_1,x_2,\ldots, x_n to pierwiastki tego wielomianu, a jest stałą. Funkcja sinus jest też czymś w rodzaju wielomianu, tyle że ma nieskończenie wiele pierwiastków: 0, \pm\pi,\pm 2\pi,\ldots. Możemy zatem spróbować przedstawić ją następująco:

\sin x=x(1-\frac{x}{\pi}) (1+\frac{x}{\pi}) (1-\frac{x}{2\pi}) (1+\frac{x}{2 \pi}) \ldots.

Czynniki w nawiasach zapisane są tak, by dążyły do 1 wraz ze wzrostem numeru. Intuicja Eulera była trafna, przyglądając się temu rozwinięciu można uzyskać ciekawe wyniki, jak np.

\displaystyle \dfrac{\pi^2}{6}=1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\ldots.

Gdy podstawimy do tego iloczynu x=\pi/2, otrzymamy przedstawienie liczby \pi za pomocą nieskończonego iloczynu, tzw. wzór Wallisa. Nieco go przekształcając, można uzyskać naszą granicę \sqrt{m}P_m.

Kolejność historyczna była taka: najpierw John Wallis w roku 1655 odgadł swój wzór. Później w roku 1733 Abraham de Moivre udowodnił naszą równość. Jeszcze później, w 1736 r. Euler odkrył iloczyn nieskończony dla sinusa, w wieku XIX Karl Weierstrass pokazał, że pewna grupa wyjątkowo regularnych funkcji (funkcje całkowite) mają w istocie postać iloczynów.

Szczegół dotyczący P_m. Rozkład dwumianowy ma szerokość \sigma=\sqrt{m/2}, zatem związek de Moivre’a daje to samo co współczynnik \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} .

 

 

 

Problem Keplera: Planety poruszają się po okręgach

Jednym z najważnieszych wątków w historii nauk ścisłych było badanie ruchów planet. Starożytni i Kopernik starali się je przedstawić jako złożenie jednostajnych lub prawie ruchów po okręgach. Doskonała machina kosmosu powinna być swego rodzaju majstersztykiem, czyli działającym dowodem umiejętności Majstra, który ją stworzył. Johannes Kepler włączył do tych rozważań nową, barokową wizję świata i estetykę. W sfery niebieskie wpisane zostały elipsy, a kosmos stał się dynamiczny, dopuszczalne było teraz przyspieszanie i zwalnianie ruchu, geometria pożeniona została z fizyką. Dopiero jednak Isaac Newton podał matematyczne wyjaśnienie fizyki ruchu planet: działa na nie ze strony Słońca siła grawitacji odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości. Wyjaśnił w ten sposób odkryte przez Keplera prawidłowości za pomocą siły, która w tajemniczy sposób oddziaływała poprzez próżnię. Można powiedzieć, że dalszy rozwój fizyki to dzieje przyzwyczajania się do prawa ciążenia Newtona. Okazało się one niezwykle precyzyjne i płodne, dopiero w 1915 r. Albert Einstein zaproponował lepszą, to znaczy bliższą obserwacjom teorię grawitacji.

Także spora część matematyki po Newtonie dotyczyła mechaniki niebios, czyli rozmaitych ruchów pod wpływem siły ciążenia. Problemem Keplera nazywają matematycy zagadnienie ruchu wokół nieruchomego centrum pod działaniem siły odwrotnie proporcjonalnej do kwadratu odległości. Jest to zerowe przybliżenie dla Układu Słonecznego: gdy pominiemy siły grawitacji pomiędzy planetami i innymi małymi ciałami tego Układu. Przyspieszenie planety \vec{a} jest równe

\vec{a}=-\dfrac{\vec{r}}{r^3},

gdzie \vec{r} jest zależnym od czasu położeniem i pominęliśmy nieistotne dla matematyka stałe. Oczywiście rozwiązania tego równania są doskonale znane. Jak się jednak okazuje, wciąż można coś nowego na ich temat powiedzieć. Korzystamy tu z pracy Jespera Göranssona z roku 2015, na którą zwrócił uwagę John Baez. Rzecz jest tym bardziej interesująca przez to, że Göransson nie jest chyba akademickim uczonym, lecz amatorem w ściśle etymologicznym znaczeniu słowa, czyli miłośnikiem (nie mylić z amatorszczyzną, którą można spotkać bez trudu i na uczelniach).

Rozwiązaniami problemu Keplera są ruchy po elipsach, parabolach bądź hiperbolach – zależnie od znaku całkowitej energii E (v jest prędkością cząstki):

E=\dfrac{v^2}{2}-\dfrac{1}{r}.

Zajmiemy się poniżej przypadkiem eliptycznym, gdy energia jest ujemna. Zamiast opisywać zależność położenia od czasu t wprowadzimy nową zmienną u, która spełnia równanie

\dfrac{dt}{du}=r.

Wszystkie orbity elipityczne mają u nas okres 2\pi, zarówno gdy używamy czasu t, jak i przy użyciu „czasu” u. Gdy planeta jest bliżej centrum u biegnie szybciej. Możemy ruch planety opisać podając czterowymiarowy wektor (t,\vec{r}). Oznaczmy prędkości mierzone wzgledem nowego czasu primami. Równanie energii przybiera postać

(x')^2+(y')^2+(z')^2+(t'-1)^2=1.

Koniec wektora czterowymiarowej prędkości (t',\vec{r'}) leży na sferze S^3 o środku (1,0,0,0). Narysowaliśmy sferę S^2, pomijając zmienną z'. Okazuje się, że możliwe ruchy naszego punktu są kołami wielkimi w S^3, tzn. kołami o promieniu 1. Koła wielkie są najkrótszymi drogami łączącymi punkty na sferze, z tego powodu wybierają je samoloty na długich trasach – dlatego np. lecąc z Londynu do Seattle, przelatujemy nad Grenlandią. Kiedy się spojrzy na globus, widać, że to ma sens. A więc wszystkie ruchy w problemie Keplera odpowiadają kołom wielkim w przestrzeni prędkości i odbywają się ze stałą jednostkową prędkością. Inaczej mówiąc, „czas” u jest kątem mierzonym ze środka sfery. Narysowaliśmy jedno z takich kół wielkich, nachylone pod kątem \alpha do równika. Gdy kąt \alpha=0, planeta zakreśli okrąg w płaszczyźnie xy. Gdy kąt \alpha=\frac{\pi}{2}, planeta będzie się poruszać wzdłuż osi x, to także jeden z możliwych ruchów: spadanie wprost na centrum. Mówiliśmy o obrotach w płaszczyźnie ty. W czterowymiarowej przestrzeni mamy sześć możliwych płaszczyzn i dowolny obrót czterowymiarowy przeprowadza koło wielkie w jakieś inne koło wielkie. Ruchy planety mają więc symetrię czterowymiarowej grupy obrotów SO(4). Możemy więc powiedzieć, że planeta zawsze porusza się jednostajnie po okręgu na sferze S^3, a elipsy, które obserwujemy, wynikają z rzutowania czterowymiarowej czasoprzestrzeni na przestrzeń trójwymiarową. Wektor prędkości (x',y',z') zakreśla elipsę wynikającą wprost z rzutowania.

Łatwo pokazać, że położenia planety leżą na elipsie o mimośrodzie e związanym z kątem \alpha związkiem

e=\sin\alpha.

Ta elipsa jest przesunięta o e tak, że początek układu (centrum siły, Słońce) jest w jej ognisku.

„Nowy czas” u jest w istocie znaną od czasów Keplera anomalią mimośrodową.

Jest to szczególna konstrukcja: gdy planeta P zakreśla elipsę, to punkt P', jej swoisty cień, zakreśla okrąg jednostkowy. Kąt u związany jest z fizycznym czasem t równaniem Keplera:

t=u-e\sin u.

Odległość planety od Słońca dana jest prostym równaniem oscylacyjnym:

r=1-e\cos u.

Fakt ten odkrył kiedyś Kepler podczas swej „wojny z Marsem”. Göransson pokazał też analogiczne konstrukcje dla energii dodatniej i zerowej. W pierwszym przypadku ruch odbywa się po hiperboloidzie z metryką Minkowskiego (grupą symetrii jest grupa Lorentza), w drugim po paraboloidzie (grupą symetrii są izometrie euklidesowe).

 

 

Newton, Leibniz i liczba pi z szeregu Fouriera

Pisałem niedawno o szeregach odkrytych przez Leibniza i Newtona, a związanych z liczbą \pi. Oba te szeregi można łatwo powiązać ze sobą za pomocą rozwinięcia Fouriera. Kiedyś już pisałem o Josephie Fourierze i jego nieśmiertelnym wynalazku. Tutaj pokażemy tylko, jak to się wiąże z szeregami Leibniza:

\dfrac{\pi}{4}=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\ldots

i Newtona:

\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}=1+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}+\ldots.

Rozwinięcie w szereg Fouriera stosuje się do funkcji okresowych. Weźmy np. funkcję f(x)=x w przedziale x\in (-\pi,\pi).

Możemy zrobić z niej funkcję okresową powtarzając jedynie zęby piły na kolejnych przedziałach. Funkcja ta jest nieciągła na końcach przedziałów, ale to nie szkodzi. Idea Fouriera polega na przybliżeniu dowolnej funkcji f(x) nieskończoną sumą sinusów i cosinusów o coraz mniejszych okresach. W naszym przypadku okresem f(x) jest 2\pi, a funkcja jest nieparzysta, jak sinus. Szukamy więc rozwinięcia następującej postaci:

{\displaystyle f(x)=\sum_{i=1}^{\infty}a_{n}\sin nx}.

Żeby znaleźć wartości współczynników rozwinięcia, mnożymy obie strony przez \sin mx. Ponieważ całka po okresie z iloczynu dwóch sinusów znika, więc z prawej strony przeżywa tylko wyraz n=m (*):

{\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin mx dx =a_m \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 mx dx=a_m \pi}.

Ostatnia równość po prawej stronie wynika stąd, że kwadrat sinusa scałkowany po wielokrotności okresów daje \frac{1}{2} razy długość przedziału całkowania.
W naszym przypadku

x=2\left(\dfrac{\sin x}{1}-\dfrac{\sin 2x}{2}+\dfrac{\sin 3x}{3}+\ldots\right),

gdzie cały czas ograniczamy się do przedziału (-\pi,\pi). Proszę zobaczyć, co otrzymamy, biorąc coraz większe liczby składników sumy.


Widać gołym okiem, że szereg jest zbieżny oprócz może końców przedziału, gdzie nasza funkcja ma skok.
Teraz wystarczy wziąć dwie wartości argumentu. Dla x=\frac{\pi}{2} otrzymamy szereg Leibniza, dla x=\frac{\pi}{4} – szereg Newtona. Warto zauważyć, że jesteśmy daleko od końców przedziału, gdzie mogą być kłopoty ze zbieżnością. Oczywiście Joseph Fourier to już XIX wiek, czyli matematyka bogatsza o 150 lat rozwoju od czasów Leibniza i Newtona. Najprostszy znany mi wykład o szeregach Fouriera znaleźć można w rozdz. 50 t.1 Wykładów Feynmana.

(*) Wynika to z tożsamości:

2\sin mx\sin nx=\cos(n-m)x-\cos(n+m)x.

Całka z cosinusa po okresie równa jest zero, więc tylko pierwszy wyraz po prawej stronie dla m=n przeżywa całkowanie.