Isaac Newton o załamaniu i odbiciu światła (1687)

Prawo załamania światła było pierwszym ścisłym matematycznym prawem fizyki odkrytym w XVII w. (Nieco wcześniejsze prawa spadku swobodnego Galileusza dotyczyły sytuacji mocno wyidealizowanej: ruchu w próżni, której doświadczalnie jeszcze nie potrafiono wytwarzać za życia włoskiego uczonego.) Descartes podał wyjaśnienie prawa załamania oparte na niemożliwej fizyce, której nigdy wystarczająco nie skonkretyzował. Ciekawym pomysłem była zasada minimum Fermata, ale sama ta zasada zawieszona była w metafizyce, bo niby dlaczego przyroda ma się zachowywać w proponowany sposób? Teoria falowa Huygensa zawierała wyjaśnienie prawa załamania, lecz nie zostało ono powszechnie przyjęte (mimo tego że jest prawdziwe). Jak więc wyjaśniano zachowanie promieni światła, a właściwie, jak wyjaśniał te zjawiska największy uczony tego stulecia Isaac Newton?

Newton uważał światło za złożone ze zróżnicowanych cząstek: różnym cząstkom odpowiadało wrażenie różnych barw i miały one nieco różne współczynniki załamania. Uczony starał się nie konkretyzować nadmiernie teorii cząstkowej (korpuskularnej), nie chcąc wykraczać poza wnioski wprost wynikające z doświadczenia. Nie było więc jasne, czy cząstki światła różnią się masą, czy prędkością. Prawo załamania według Newtona wyjaśniały siły działające w wąskim pasie przy granicy dwóch powierzchni. Siły te miały być prostopadłe do powierzchni. Ruch wyglądał, jak na rysunku z Principiów.

GHPIK jest torem cząstki światła, która w obszarze między AR i BI poddana jest siłom skierowanym pionowo do góry. Przedstawimy sytuację językiem dzisiejszej mechaniki, analiza Newtona jest dokładnie równoważna. Siły te wykonują ujemną pracę , w rezultacie zmienia się energia kinetyczna cząstki ( jest masą):

Po przejściu warstwy granicznej cząstka ma nową prędkość . Jednocześnie składowa wzdłuż granicy obu ośrodków nie zmienia się, gdyż żadna siła styczna do powierzchni nie działa. Mamy więc równość

gdzie są kątami miedzy kierunkiem prędkości a normalną do powierzchni. Jest to prawo Snella, widzimy, że prędkości cząstek światła są proporcjonalne do współczynników załamania. Z punktu widzenia Newtona różne ośrodki odpowiadają różnym poziomom energii potencjalnej cząstki.

Oznacza to oczywiście, że promienie nie załamują się w punkcie, lecz zakrzywiają się na pewnym niewielkim obszarze, a następnie biegną prostoliniowo przez ośrodek. Teoria tego rodzaju objaśnia także odbicie oraz całkowite odbicie wewnętrzne, gdy promienie pozostają w gęstszym ośrodku np. w szkle, bo zgodnie z prawem Snella sinus kąta załamania musiałyby być większy od jedności.

Oczywiście, kąt padania równa się kątowo odbicia, jeśli tylko cząstki światła nie doznają oporu poruszając się w ośrodku. Wyjaśnienie Newtona opierało się na prawdziwej mechanice. Trudnością teorii było wyjaśnienie, czemu światło porusza się tak prędko i czemu w danym ośrodku prędkość danego rodzaju światła, np. czerwonego, jest zawsze taka sama. Niewiele jednak wtedy wiedziano na temat prędkości światła, Ole Rømer dopiero niedawno ustalił, że prędkość ta jest skończona wbrew temu, co sądził Descartes. Newton sądził, że obserwowane przez niego ugięcie światła w pobliżu ostrza potwierdza jego teorię: światło zaczyna odchylać się od linii prostej już w pobliżu ciała gęstszego i oddziaływanie to zależy od odległości.

Istotne byłyby więc tu siły działające na odległość – czyli coś, co właśnie Isaac Newton wprowadził do fizyki. Nb. dla przeważającej liczby ówczesnych fizyków idea, że siła może działać tam, gdzie nie ma ciała będącego jej źródłem, poprzez próżnię, była wyjątkowo trudna do przyjęcia. Huygens dziwił się, że Newton poświęcił tyle trudnych rozważań matematycznych idei tak chimerycznej jak grawitacja odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości. Może nawet grawitacja i jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości, ale skąd się bierze, jakie jest jej fizyczne pochodzenie? Z punktu widzenia tych uczonych Newton zajął się nie tym problemem, co należy.

Jednak w optyce, tak samo jak w mechanice, Newton zwyciężył. Teoretycznie, można by wprawdzie zmierzyć prędkość światła w ośrodku takim jak woda i rozstrzygnąć, czy jest ona razy mniejsza niż w powietrzu (Huygens), czy tyle samo razy większa (Newton)? Zanim nauczono się mierzyć prędkość światła na ziemskich, a nie kosmicznych, dystansach, fizyka falowa zwyciężyła.

Christiaan Huygens o załamaniu światła w atmosferze

W swym Traktacie o świetle Huygens zajmuje się także kwestią rozchodzenia się światła po liniach krzywych. Najbardziej znanym przypadkiem jest tu refrakcja astronomiczna: dzięki załamaniu w atmosferze ciała niebieskie wydają się nieco wyżej niż gdyby atmosfery nie było. Efekt rośnie wraz ze zbliżaniem się do horyzontu, spłaszczony kształt dysku Słońca lub Księżyca pochodzi właśnie stąd: dolna krawędź dysku podniesiona jest bardziej niż górna i widzimy owal. Samo Słońce jest wtedy już pod horyzontem i widzimy je tylko dzięki zakrzywieniu promieni w atmosferze. Astronomowie znali i mierzyli ten efekt od dawna, a od czasów Tychona Brahego jego wielkość znana była dość dokładnie.

Wielkość refrakcji podana jest w minutach kątowych, obserwowana wysokość ciała niebieskiego w stopniach. Dane Tychona zestawione na wykresie z pracy: Waldemar H. Lehn, Siebren van der Werf, Atmospheric refraction: A history, „Applied Optics”, t. 44, (2005), s. 5632. Tycho niepotrzebnie podawał inne wartości dla Słońca i gwiazd, częściowo za tę różnicę odpowiadała przyjmowana wtedy błędna (o wiele za duża) wartość paralaksy Słońca. Dla ciał niebieskich położonych względnie wysoko nad horyzontem efekt zależy jedynie od współczynnika załamania światła w atmosferze na poziomie obserwatora względem próżni.

Z obrazka widzimy, że bez względu na liczbę płaskorównoległych warstw powietrza otrzymamy dla ostatniej z nich równość

gdzie jest kątem refrakcji. Korzystając ze wzoru na sinus sumy kątów i faktu, że dla małych kątów oraz , otrzymujemy

Potrzebujemy znać jedynie współczynnik załamania powietrza względem próżni na wysokości obserwatora, co jest stosunkowo łatwe. Isaac Newton podawał wartość zmierzoną przez Francisa Hauksbeego. Oczywiście, wyrażenie to nie może być słuszne dla kątów bliskich , bo funkcja tangens jest w tym punkcie rozbieżna. Model warstw płaskorównoległych nie wystarczy, trzeba uwzględnić zakrzywienie Ziemi i zależność współczynnika załamania od wysokości.

Huygens podał wyjaśnienie krzywoliniowego rozchodzenia się światła w swojej teorii.

Jeśli prędkość fali świetlnej maleje z wysokością, promień będzie poruszał się po linii zwróconej wypukłością do góry, jak na rysunku. (Musimy pamiętać, że promień światła jest prostopadły do powierzchni czoła fali.) Łatwo też sobie wyobrazić, co stanie się, gdy prędkość światła będzie rosnąć przy ziemi – wtedy promień zakrzywi się wypukłością w dół. Sytuacja taka odpowiada mirażom np. nad rozgrzaną powierzchnią drogi.

Huygens nie rozwijał ilościowo teorii możliwych krzywych, przedstawił natomiast rysunek sytuacji z punktu widzenia teorii falowej.

 

Mamy tu falę płaską biegnącą z prawa na lewo. AFHB stanowi czoło fali w pewnej chwili. W chwili późniejszej czoło fali KL będzie obwiednią fal sferycznych rozchodzących się ze starego czoła fali. Odległość AK jest większa niż BL, ponieważ prędkość fali rozchodzącej się z A jest większa niż prędkość fali rozchodzącej się z B. W chwili następnej utworzy się czoło fali MN jeszcze bardziej zakrzywione w stronę malejącej prędkości rozchodzenia.

Huygens nie rozwinął tego tematu dalej, prawdopodobnie chodziło mu tylko o pokazanie, w jaki sposób można by tego dokonać. Jego rozumowanie jest słuszne, praktycznie tak samo ponad dwa wieki później Einstein pokazał, jak światło powinno się zakrzywiać w polu grawitacyjnym (co także sprowadza się do zmiany współczynnika załamania albo efektywnej prędkości fali, tym razem w pobliżu Słońca).

Zobaczmy, jak Huygens mógłby bez trudu skonkretyzować swoją teorię rozchodzenia się światła w atmosferze. Zacznijmy od jego rysunku.

Widzimy z niego, że kąt odchylenia czoła fali jest równy

Krzywizna promienia światła, czyli odwrotność promienia krzywizny jest równa

Gdy promień biegnie pod kątem do zenitu, możemy zastąpić przez różnicę wysokości . Promień krzywizny promienia świetlnego jest wówczas równy

 

Dla atmosfery płaskiej Ziemi, złożonej z warstw płaskorównoległych, prawo załamania oznacza, że stosunek jest stały wzdłuż promienia. Najprostszą sytuację otrzymamy, gdy prędkość światła rośnie liniowo z wysokością. W takim przypadku krzywizna promienia jest stała, co oznacza, że jest on łukiem okręgu o promieniu .

Tory promieni świetlnych nad powierzchnią płaskiej Ziemi są wówczas łukami okręgów o środkach położonych na poziomie odpowiadającym . Oczywiście, taki model jest pewną matematyczną fikcją, choć Huygens gdyby chciał, mógłby oszacować promień krzywizny. W przypadku promienia biegnącego poziomo nad powierzchnią Ziemi w przypadku atmosfery izotermicznej otrzymuje się . Przy pewnych warunkach, gdy temperatura spada około 1°C na 10 m, promień krzywizny promienia świetlnego staje się równy promieniowi Ziemi i promienie światła mogą biec praktycznie równolegle do powierzchni naszej planety. Zjawisko takie obserwowano czasem w Arktyce. Uwzględnienie zależności prędkości światła od gradientu temperatury była jednak zdecydowanie poza zasięgiem możliwości Huygensa, jak i kogokolwiek w tamtych czasach. Pamiętajmy, że nasze skale temperatur pochodzą z XVIII wieku, a równanie stanu gazu doskonałego z początku wieku XIX.

W teorii Huygensa współczynnik załamania oznacza, że prędkość fali jest razy mniejsza niż w próżni. Na przeszło sto lat wygrała inna teoria światła, wysunięta przez Newtona, w której współczynnik załamania jest proporcjonalny do prędkości cząstek światła. Newton przedstawił też niemal doskonałą teorię refrakcji astronomicznej.

Pierre Fermat: zasada najmniejszego działania dla światła (1657-1662)

Greccy geometrzy zauważyli, że światło biegnie po najkrótszej drodze, i to zarówno wtedy, gdy porusza się prostoliniowo między dwoma punktami (np. A i C), jak i wówczas, gdy po drodze odbija się od zwierciadła, biegnąc po łamanej ABC. Najkrótszej drodze odpowiada prawo odbicia: kąt odbicia równy jest kątowi padania.

Rozumowanie z rysunku znajdujemy u Herona z Aleksandrii w jego Katoptryce (czyli optyce zwierciadeł). Jeśli punkt A odbijemy symetrycznie w płaszczyźnie zwierciadła (prostopadłej do rysunku), otrzymujemy A’. Drogi A’B i AB są więc równe. Zamiast ABC możemy rozpatrywać A’BC. Dowolna łamana AXC ma taką samą długość, jak A’XC. Ponieważ każda łamana biegnąca od A’ do C jest dłuższa niż odcinek prostej, więc najkrótsza droga równa jest ABC i punkt B leży wówczas na odcinku A’C. Łatwo widać, że dla takiej drogi kąt odbicia równa się kątowi padania.

W roku 1657 Pierre Fermat, radca parlamentu (czyli sądu) w Tuluzie, otrzymał w prezencie książkę poświęconą światłu.

Jej autorem był Marin Cureau de La Chambre, lekarz, do którego nastoletni Ludwik XIV, przyszły Król-Słońce miał ogromne zaufanie. Fermat, urzędnik królewski, czuł się w obowiązku zajrzeć do książki doradcy tak uczonego i ustosunkowanego na dworze (zręczność dyplomatyczną autora widać i w tym, że na karcie tytułowej jego własne nazwisko złożone jest znacznie mniejszą czcionką niż nazwisko potężnego kardynała Mazarin). Książka zawierała dowód Herona. Cureau de La Chambre zwracał też uwagę, że gdy światło się załamuje, przebywana przez nie droga już nie jest najkrótsza.

Droga ABC jest oczywiście dłuższa niż ADC na rysunku. Fermat znał, jak wszyscy, prawo załamania (prawo Snella), opublikowane przez Kartezjusza w 1637 roku. Nie zgadzał się jednak z fizycznym wyprowadzeniem tego prawa, niezbyt wierzył chyba w te wszystkie niewidzialne cząstki rozmaitych kształtów i wielkości, które miały się ze sobą zderzać i na siebie napierać, tłumacząc absolutnie wszystko: od ruchu planet i optyki, po magnetyzm i ciężkość ciał. Jako matematyk szukał wyjaśnienia elegantszego i mniej uwikłanego w trudne do sprawdzenia przesłanki. Gdyby przyjąć, że w gęstszym ośrodku światło napotyka większy opór, to należałoby drogę w ośrodku liczyć np. podwójnie. A więc nadal można podejrzewać, że światło wybiera najłatwiejszą drogę. Należałoby jednak minimalizować nie sumę dróg, lecz pewną ich kombinację, np. AB+2BC. Gęstszemu ośrodkowi odpowiadałby większy współczynnik: wyglądało to rozsądnie, gdyż u Kartezjusza światło miało „większą siłę” w ośrodku gęstszym, co nie jest zbyt intuicyjne (ani zrozumiałe). Nie chcąc wdawać się w spory na temat natury światła, Fermat unikał mówienia o jego prędkości – bowiem zdaniem kartezjan oraz Cureau de La Chambre światło rozchodzi się momentalnie. Sporów z kartezjanami, uczniami mistrza, nie uniknął, podobnie jak dwadzieścia lat wcześniej z ojcem-założycielem tej sekty filozoficznej. Fermat znany był z wysuwania twierdzeń, których nie chciało mu się albo których nie potrafił dowieść, słynnym przykładem jest jego Wielkie Twierdzenie udowodnione pod koniec XX wieku. Także i tym razem niezbyt chętnie brał się do sprawdzenia, czy rzeczywiście światło podlega zasadzie najmniejszego działania. Miał własną metodę szukania ekstremum, dość toporną z dzisiejszego punktu widzenia, zastąpioną później przez obliczanie pochodnych. W wersji Fermata prowadziła ona do długich rachunków, ale w pierwszym dniu nowego roku 1662 zakomunikował Cureau de La Chambre, że obliczenia się udały i prowadzą do znanego prawa załamania. Niemal pięcioletnie opóźnienie między wysunięciem twierdzenia a zbadaniem jego konsekwencji tłumaczył Fermat dwiema przeszkodami: po pierwsze, nie był całkiem pewien, jak należy sformułować zasadę minimum i czy prawo Snella jest ściśle słuszne. Drugą przeszkodą była, typowa dla matematyków, niechęć do długich rachunków. W tym przypadku w grę wchodziły cztery odcinki, a więc cztery pierwiastki z sumy kwadratów współrzędnych. „Obawa, że po długich i trudnych rachunkach dojdę do jakiejś fantastycznej i nieregularnej proporcji oraz moja naturalna skłonność do lenistwa pozostawiły rzecz w tym stanie aż do ostatniego napomnienia, którego udzielił mi w pańskim imieniu pan przewodniczący de Miremont. (…) Nagroda za tę pracę okazała się zupełnie nadzwyczajna, niespodziewana i szczęśliwa. Kiedy bowiem przebrnąłem przez wszystkie równania, mnożenia, antytezy i inne operacje, jakich wymaga moja metoda (…) stwierdziłem, że moja zasada daje dokładnie tę samą proporcję załamania, jaką ustalił pan Descartes. Tak bardzo zaskoczył mnie ten niespodziewany wynik, że z trudem mogłem dojść do siebie. Wiele razy powtórzyłem różne operacje algebraiczne, otrzymując stale ten sam wynik, choć moje rozumowanie zakłada, iż przejście światła przez gęste ciała jest trudniejsze niż przez rzadkie, co uważam za prawdziwe oraz niewątpliwe, niemniej jednak pan Descartes zakłada coś przeciwnego”.

Fermat zakłada więc, że nie suma dróg musi być minimalna, lecz suma ich kombinacji liniowych , gdzie jest współczynnikiem załamania drugiego ośrodka (względem pierwszego). Łatwo widać, że jeśli przyjmiemy za prędkość światła w drugim ośrodku wielkość (gdzie jest prędkością w ośrodku pierwszym), to można tę zasadę sformułować jako zasadę najkrótszego czasu:

Fermat dumny był z otrzymania eleganckiego wyniku, lecz kartezjanie uważali go za ciekawostkę matematyczną, a nie zasadę odnoszącą się do światła. Zasada Fermata nabrała sensu dopiero dla Christiaana Huygensa, który światło uznawał za rozchodzące się zaburzenie eteru, coś w rodzaju fali nieokresowej, jak np. fala uderzeniowa. Wiedział on już, że prędkość światła jest skończona. Huygens przedstawił też elegancki dowód, że zasada Fermata prowadzi do prawa załamania Snella. Jest on wyraźnie prostszy niż obliczenie Fermata – zwykle udaje się uprościć rozumowanie, kiedy już wiadomo, dokąd prowadzi.

Porównujemy rzeczywisty bieg promienia światła ABC z fikcyjnym AFC. Budujemy prostokąt AOHB, mamy w ten sposób pewność, że . Na BC opuszczamy prostopadłą GF z punktu G. Z prawa załamania mamy

Zachodzą też nierówności

Dodając te nierówności stronami, otrzymujemy:

Zmieniając nieco nasz rysunek, możemy zrozumieć przyczynę prawa załamania dla fal. Linie AA’ oraz BH to czoła fali w pierwszym ośrodku, GF oraz CC’ to czoła fali w drugim ośrodku. W czasie potrzebnym na przejście odległości HF w pierwszym ośrodku, w drugim fala przejdzie odległość BG.

Zatem stosunek obu odległości równy jest

Bezpośrednie wyjaśnienie zasady Fermata daje nam mechanika kwantowa albo falowa teoria światła: faza światła zależy od czasu. W sąsiedztwie ekstremum fazy zmieniają się bardzo powoli i rezultatem jest silna fala wypadkowa.

Warto może przytoczyć dzisiejszą wersję obliczeń Fermata. Jest ona banalna, co nie oznacza, że jesteśmy mądrzejsi od Fermata, ale że mamy lepsze techniki rachunkowe. Pojawiły się one już kilka lat później w rękopisach Isaaca Newtona, które niewielu widziało, a później w 1684 roku w pierwszej publikacji Leibniza na temat rachunku różniczkowego. Metoda Fermata przekształciła się w algorytmy, do których stosowania wcale nie potrzeba inteligencji, z powodzeniem robią to dziś programy w rodzaju WolframAlpha itp.

Wielkość, którą mamy zminimalizować, ma postać:

Szukamy ekstremum tej funkcji, przyrównując jej pochodną do zera:

Łatwo spostrzec, patrząc na rysunek, że pierwszy składnik równy jest , a drugi , skąd otrzymujemy prawo Snella.

Huygens w Londynie i spotkania z Newtonem (1689)

Pod koniec roku 1688 wojska niderlandzkie pod wodzą Wilhelma Orańskiego wylądowały w Anglii, dokonując przewrotu zwanego Wspaniałą Rewolucją. Stadhouder Niderlandów Wilhelm ożeniony był z Marią, córką króla Jakuba II, był też siostrzeńcem króla, który zdaniem większości poddanych prowadził Anglię ku katolicyzmowi, sojuszowi z Francją i zgubie. Dlatego wezwano na pomoc Wilhelma, protestanta i wroga Francji. Wyprawa udała się nadzwyczaj pomyślnie, ludność witała wojska pomarańczowymi wstążkami, groźba katolicyzmu została zażegnana na dobre, a wydarzenia te ukształtowały system polityczny Zjednoczonego Królestwa.

Starszy brat Christiaana Huygensa Constantyn brał udział w tych wydarzeniach jako sekretarz Wilhelma, rodzina Huygensów związana była z domem Orańskim od pokoleń. Toteż nic dziwnego, że gdy tylko sytuacja polityczna się nieco ustabilizowała, Anglię odwiedził Christiaan Huygens, który właśnie skończył sześćdziesiąt lat i nudził się w Niderlandach pozbawiony kontaktu z żywym środowiskiem naukowym Paryża. W paryskiej Akademii Nauk był najwybitniejszym uczonym, ale nie wystarczało to w zetknięciu z królewską administracją, zresztą protestantów traktowano w katolickiej Francji coraz gorzej, wielu uczonych, rzemieślników i kupców wyjechało, uciekając przed prześladowaniami m.in. do Niderlandów i Anglii. Huygens chciał poznać Isaaca Newtona, z którym jeszcze w latach siedemdziesiątych dyskutował listownie na temat kolorów. W swoim czasie wysłał mu egzemplarz Horologium oscillatorium („Zegar wahadłowy”), później Newton przesłał mu egzemplarz Principiów, które nie mogły nie wywrzeć wrażenia na ceniącym matematykę i ścisłe obserwacje Huygensie. Nie znaczy to, że zgadzał się z Newtonowską teorią grawitacji. Z punktu widzenia Huygensa problem leżał nie tyle w sformułowaniu praw grawitacji, co w zrozumieniu jej przyczyn. Jak większość ówczesnych uczonych pragnął zrozumieć przede wszystkim cząsteczkowy mechanizm grawitacji. Podejście Newtona sprawdziło się z czasem. Do dziś nie potrafimy wyjaśnić „przyczyn” grawitacji, tak samo zresztą jak i pozostałych trzech rodzajów oddziaływań. Musi nam wystarczyć  ich matematyczna teoria.

Uczeni spotkali się na dwóch zebraniach Towarzystwa Królewskiego. Huygens przedstawił swoją falową teorię światła, z którą Newton oczywiście się nie zgadzał. Rzeczywiście, słabym punktem teorii Huygensa była kwestia prostoliniowego rozchodzenia się światła. Natomiast wielkim jego osiągnięciem było wyjaśnienie dwójłomności w kryształach szpatu islandzkiego (kalcytu). W sposób widoczny podwajają one obrazy. Huygens wyjaśnił to rozchodzeniem się dwóch rodzajów fal, oprócz zwyczajnej fali generowanej przez sferyczne fronty falowe, miałaby się tu rozchodzić jeszcze fala o kształcie elipsoidy, której osie związane są z kierunkami w krysztale. Owa fala nadzwyczajna ma taką właściwość, że kierunek promieni (zielony) nie jest prostopadły do kierunku czoła fali (czerwone). W ten sposób promień padający prostopadle na kryształ załamuje się jako promień nadzwyczajny pod niezerowym kątem (drugi promień, zwyczajny, zachowuje się standardowo).

Kierunki osi elipsoidy zaznaczone są na niebiesko. Huygens zastosował tę teorię do kalcytu w sposób ilościowy. Nie prowadził, zdaje się, szerszych badań eksperymentalnych nad tym zjawiskiem. Wyraźnie zabrakło tu środowiska naukowego, które mogłoby opracować dokładniej ideę Huygensa. Newton zaproponował swoje wyjaśnienie zjawisk w kalcycie, naciągane i w dodatku błędne w konfrontacji z doświadczeniem. Huygensowskie wyjaśnienie dwójłomności zostało zapomniane na całe stulecie, dopiero na początku wieku XIX powróciła falowa teoria światła, Augustin Fresnel podał matematycznie kompletne wyjaśnienie dwójłomności i okazało się, że Huygens miał rację. Obaj wielcy rywale, Newton i Huygens, nie potrafili uczyć się od siebie wzajemnie, bo gdyby Huygens docenił znaczenie okresowości fal, jego teoria wyjaśniałyby znacznie więcej. Miał tu znaczenie i fakt, że było jeszcze wypracowanych metod matematycznych dla zjawisk falowych.

Stosunki obu uczonych były przyjazne, Newton właśnie uczył się poruszać w świecie stolicy, nie powrócił już do pracy naukowej na dłużej. Dzięki wstawiennictwu Christiaana Huygensa Isaac Newton został przyjęty przez Wilhelma na audiencji jako kandydat na provosta King’s College w Cambridge. Mimo królewskiej akceptacji Newton nie otrzymał stanowiska, gdyż zdecydowanie sprzeciwili się członkowie College’u. Christiaan Huygens wrócił po kilku tygodniach do Niderlandów, Newtona czekała kariera administracyjna w Mennicy, tytuł szlachecki, wielkie uznanie, dość rzadkie w przypadku uczonych, choć w jego przypadku niewątpliwie zasłużone. Osamotniony w swoim domu na wodzie Hofwijck, Huygens zajął się rozważaniami na temat istot inteligentnych w kosmosie.

Christiaan Huygens i jego zasada (1679, 1690)

Wszyscy wiedzą, że Huygens przedstawił falową teorię światła sprzeczną z korpuskularną doktryną Newtona. Newtonowskie eksperymenty z Optics stały się kanoniczne i przeważnie wierzono, iż światło składa się z cząstek, teoria Huygensa na dobre powróciła dopiero na początku XIX wieku. Po raz pierwszy Huygens przedstawił ją w Paryżu przed Akademią Nauk w 1679 r., ale dopiero w 1690 r. ukazał się jego Traité de la lumière („Traktat o świetle”), niewielkie arcydzieło naukowe, ukazujące zupełnie inną drogę niż ta Newtonowska.

Traktat o świetle, gdzie wyjaśniono przyczyny tego, co się dzieje przy odbiciu i załamaniu, a zwłaszcza przy osobliwym załamaniu w krysztale islandzkim przez C.H.D.Z. [Christiaana Huygensa pana Zeelhem] wraz z Rozprawą na temat przyczyn ciężkości. Egzemplarz dedykowany dla Fatio de Duilliera, młodego szwajcarskiego uczonego, który przez krótki czas był blisko Isaaca Newtona i poznał także Christiaana Huygensa.

W Traktacie Huygens uznał światło za rozchodzące się zaburzenie eteru – ośrodka materialnego wypełniającego świat. Korzystał tu z analogii z dźwiękiem, ale musimy pamiętać, że matematyka fal sprężystych pojawiła się dopiero w połowie XVIII wieku, więc sama analogia nie prowadziła zbyt daleko.

Szybki ruch cząstek np. w płomieniu świecy wywoływać miał falę sprężystą w eterze złożonym ze sztywnych kulek. Uderzenie pierwszej w szeregu sprawia, że ruch przekazany zostaje ostatniej, a kulki pomiędzy skrajnymi pozostają w spoczynku. Fale elementarne rozchodzić się miały także i na boki, na tej samej zasadzie. To oczywiście czysta kartezjańska fantazja. Mocną stroną Huygensa była jednak umiejętność matematycznego formułowania problemów. Z reguły tam, gdzie wkracza matematyka, fizyka osiąga najwięcej.

W jaki sposób rozchodzą się fale wzbudzane mnóstwem cząstek w płomieniu? Otóż fale rozchodzą się ze skończoną prędkością. Huygens sądził tak, zanim jeszcze Ole Rømer odkrył, że zaćmienia księżyców Jowisza opóźniają się zawsze wtedy, gdy planeta znajduje się daleko od Ziemi. W określonym czasie fale z punktu A dotrą do łuku okręgu BG. Poruszane falą cząstki eteru bbbb wytwarzają nowe fale elementarne. Co sprawia, że nie widzimy chaosu tych fal elementarnych, lecz jedną dobrze określoną falę? To, co możemy zobaczyć, jest obwiednią fal elementarnych. Czoło fali CE jest styczne do nieskończenie wielu fal elementarnych. Fale Huygensa nie są okresowe, przypominają raczej falę uderzeniową. Nie mamy tu do czynienia z interferencją, o jakiej uczymy się w szkole (Young, Fresnel, XIX wiek).

(Grom dźwiękowy, Wikipedia)

Znanym przypadkiem tworzenia się takiej obwiedni fal elementarnych jest grom dźwiękowy towarzyszący przelotowi samolotu z szybkością naddźwiękową w pobliżu nas. Innym przykładem jest promieniowanie Czerenkowa wytwarzane przez cząstkę o prędkości większej niż prędkość światła w danym ośrodku.

Huygens sądził, że fale tak wytworzone rozchodzą się prostoliniowo, co w tym przypadku, oznacza, iż czoło fali DCEF jest w każdym punkcie prostopadłe do kierunku promieni, np. AC i AE. Zjawisko dyfrakcji ignorował, choć w Akademii Nauk w Paryżu powtarzano pewne doświadczenia Grimaldiego. Tworzenie się czoła fali jako obwiedni fal elementarnych stanowi treść zasady Huygensa w jego własnym sformułowaniu. Dodanie do tego mechanizmu interferencji jest już dodatkiem Fresnela z początku XIX w. Zasada ta musi być stosowana z dodatkowymi środkami ostrożności, bo np. gdyby fale elementarne były kołowe, to czemu nie powstaje druga fala biegnąca wstecz?

Ścisły opis fal dają odpowiednie równania różniczkowe cząstkowe, zasadę Huygensa można na ich podstawie udowodnić np. w trzech wymiarach, ale już nie w dwóch.

Huygens bez trudu uzasadnił na podstawie swej teorii prawa odbicia i załamania światła. Rozpatrzmy załamanie

Czoło fali AHHHC dociera do powierzchni AKKKB dzielącej dwa ośrodki. W drugim ośrodku fala rozchodzi się wolniej i w czasie, gdy w pierwszym przebywa drogę CLLLB, w drugim przebywa proporcjonalnie mniejszą drogę AOOON. Jeśli u góry mamy powietrze, a u dołu szkło, droga w szkle będzie 1,5 razy mniejsza, inaczej mówiąc, prędkość światła w szkle jest 1,5 razy mniejsza niż w powietrzu. Prawdziwym tour de force Huygensa było podanie falowego wyjaśnienia załamania w ośrodkach anizotropowych, o czym napiszemy może innym razem. Pokazał też Huygens związek kaustyk Barrowa i Newtona, o których mówiliśmy poprzednio, z teorią falową.

Na powierzchnię sferyczną pada od góry fala płaska albo, jak kto woli, wiązka równoległych promieni światła. Rysunki sporządzone są dla przypadku szkła. Jak widzieliśmy dla tęczy promienie załamują się pod różnymi kątami, tworząc kaustykę NC, czyli linię ogniskowania się promieni albo obwiednię rodziny promieni. Jest to sama kaustyka, którą opisywaliśmy wcześniej , rysunek został obrócony tak, żeby zgadzał się z obrazkiem Huygensa. Spójrzmy teraz na sytuację w języku Huygensa. Czoło fali DTRA załamuje się do QGH, potem FPS, wreszcie EVK, gdzie punkt E odpowiada promieniowi stycznemu do kuli, który załamuje się w kierunku ENa. Huygens pokazuje, że powyższe powierzchnie czoła dali w różnych chwilach są ewolwentami kaustyki NC. Przypomnijmy, co to takiego ewolwenta krzywej. Wcześniej Huygens stworzył sam to pojęcie, pracując nad wahadłem cykloidalnym.

Wahadłem idealnym, takim, którego okres nie zależy od amplitudy wychyleń byłoby wahadło jak na rysunku: tutaj nić OAP odwija się z krzywej AO. Niebieska krzywa – tor zakreślany przez ciężarek P – jest właśnie ewolwentą krzywej czerwonej. Oznacza to dwie rzeczy: AP jest normalna do ewolwenty oraz A jest chwilowym środkiem krzywizny ewolwenty. Krzywą AO nazywamy ewolutą. Ta sama ewoluta może mieć nieskończenie wiele ewolwent, po prostu możemy zmieniać długość nici.

Wracając do załamania światła w powierzchni sferycznej, krzywa EVK jest ewolwentą NC. Nić stanowi odcinek EN oraz NC. Odwijając tę nić w kierunku K otrzymamy całą linię czoła fali EVK. Używając odpowiednio dłuższych nici, które odrywają się od kaustyki poniżej N, zakreślimy rozmaite czoła fali odpowiadające chwilom wcześniejszym. Huygens nie potrafił podać jawnej postaci owego czoła fali ani też kaustyki. Metoda Barrowa też nie podaje równania kaustyki, lecz zawiera sposób jej skonstruowania. Z dzisiejszego punktu widzenia nie jest takie ważne, by otrzymać równanie (nb. kaustyka Barrowa ma znane równania w postaci parametrycznej).

Rozwiązał natomiast Huygens nieco łatwiejsze zagadnienie kaustyki dla odbicia od powierzchni okręgu.

Więcej fotografii kaustyk na stronie Henrika Wanna Jensena.

Na rysunku Huygensa promienie światła/płaska fala świetlna padają pionowo od dołu. Fala odbija się od okręgu ABC, tworząc kaustykę AFNE.

Kaustyka jest tu epicykloidą krzywą otrzymaną przez toczenie mniejszego okręgu po większym.

Pokażmy, jak otrzymać obwiednię promieni odbitych w okręgu.

Rozumowanie należy do Johanna Bernoulliego (opublikowane w roku 1692). Z rysunku widać, że trójkąt OAP jest równoramienny, jego podstawa OP=1. Stąd

Promień odbity AP tworzy kąt z osią . Zatem równanie promienia odbitego to

Otrzymaliśmy równanie całej rodziny promieni odbitych dla różnych wartości . Różniczkując to równanie po przy stałych wartościach otrzymamy równanie zawierające tylko zmienną , z którego

Podstawiając tę wartość do wyjściowego równania, otrzymamy współrzędną :

Są to równania parametryczne kaustyki. Możemy wyrazić je także w postaci złożenia dwóch okręgów:

Różniczkowanie po parametrze łatwo uzasadnić, jeśli ktoś się wcześniej nie spotkał z szukaniem obwiedni. Niech równanie rodziny krzywych ma postać . Szukamy przecięcia dwóch bliskich krzywych z rodziny, czyli

Odejmując stronami i przechodząc do granicy , otrzymujemy pochodną .

Matematyczna historia tęczy 4: Henry Pemberton, Thomas Young i George Biddell Airy (1722, 1803, 1838)

Henry Pemberton, lekarz i członek Royal Society, wspominany dziś bywa jedynie dlatego, że był redaktorem III wydania Newtonowskich Principiów, ostatniego za życia wielkiego człowieka. Biegły był nie tylko w medycynie, ale i matematyce oraz fizyce ówczesnej i przy okazji pewnej polemiki zwrócił na siebie uwagę sędziwego sir Isaaca. My przedstawimy tu krótko jego pracę z 1722 r., zawierającą wyjaśnienie nadliczbowych łuków tęczy pojawiających się czasem wewnątrz pierwszego łuku Kartezjańskiego. Isaac Newton wprowadził swego czasu hipotezę przystępów łatwego odbicia i załamania dla promieni światła. Wprowadzała ona do optyki geometrycznej element okresowości przestrzennej, ale bez wspominania o falach. Zjawiska falowe nie były w XVII w. zbyt dobrze rozumiane  nawet tzw. falowa teoria Huygensa dotyczyła nieokresowych zaburzeń w eterze, czegoś w rodzaju fal uderzeniowych. Pomysł Newtona był taki, że po załamaniu w ośrodku promień nabierał własności okresowych i dlatego napotykając następną powierzchnię, mógł się odbić albo załamać  – w zależności od tego, czy był właśnie w przystępie łatwego odbicia, czy załamania. Mogło to jego zdaniem wynikać z oddziaływania cząstek światła z falą wzbudzoną przez nie w ośrodku (niczym fale na wodzie, do której wpadł kamień), która to fala rozchodziła się szybciej od światła i niejako decydowała, czy zostanie ono przepuszczone, czy odbite. Owe mityczne przystępy bądź napady (fits) objaśniać miały bardzo konkretne wyniki doświadczeń z interferencją w cienkich warstwach. Idea była jednak na tyle karkołomna i spekulatywna, że pomimo bałwochwalczego stosunku rodaków do myśli dożywotniego przewodniczącego Royal Society nie bardzo się przyjęła. Pemberton, wczuwając się w świat Newtonowskich idei, wpadł na pomysł, że owe przystępy mogłyby wyjaśnić nadliczbowe łuki tęczy.

Niech BCD  będzie drogą promienia ekstremalnego, wyznaczającego granicę tęczy (rysunek zaczyna się od punktu odbicia w kropli B). Można podejrzewać, że oprócz BC biegną z tego punktu także jakieś słabsze promienie BE, BG, BF i BH. Zauważmy, że łamią one prawo odbicia. Jeśli już się z tym pogodzimy, to można rozumować następująco: promień BCK (kartezjański) przechodzi granicę woda-powietrze, więc musi być w przystępie załamania. Pobliskie promienie BG i BE będą w takim razie w przystępie odbicia i odbiją się wewnątrz kropli, nie wychodząc z niej przynajmniej na razie. Możemy sobie jednak wyobrazić nieco dalszą parę promieni BF i BH, takich że akurat są w przystępie załamania i wyjdą z kropli równolegle do siebie. One właśnie utworzą pierwszy łuk nadliczbowy (bo oczywiście ich kąt odchylenia musi być mniejszy od ekstremalnej wartości 42°). W dodatku, ponieważ odległość owych przystępów zależy od barwy, więc i promień tego łuku będzie zależał od barwy. Tyle udało się Pembertonowi. Na osiemdziesiąt lat zapadła cisza, przerywana jedynie monotonią podręczników, które ubarwiały tęczę po swojemu. Tłumaczono np. łuki nadliczbowe obecnością cząstek siarki (w szerszym pojęciu niż dzisiaj: siarka nie była jeszcze pierwiastkiem chemicznym, lecz niemal uniwersalnym składnikiem materii). Itd. itp. Przypominał to nieco niektóre wyjaśnienia sprzed Descartes’a, gdy zamiast zrozumieć kąt 42°, podawano w wątpliwość obserwacje. Zresztą nawet Descartes w swej Meteorologii asekurancko dodawał, że kąt może się różnić od znalezionego przezeń z powodu odmiennych warunków pogodowych. Rzecz w tym, że nie może, temperatura słabo wpływa na współczynnik załamania wody, a nic innego tu nie wchodzi w grę.

W ten sposób dochodzimy do Thomasa Younga, także lekarza, ale i uniwersalnego uczonego. Postaci takich jak Young w Polsce nie miewaliśmy. Stąd może Royal Society od XVII w. z jednej strony, a cud w Parczewie w wieku XXI z drugiej. I nie chodzi tu bynajmniej o religijność. Young wywodził się z rodziny kwakierskiej, choć w wieku dorosłym był już standardowo , tzn. anglikańsko, religijny. Był człowiekiem obsesyjnie skupionym na faktach, nastawionym empirycznie, znającym także matematykę, a do tego cały zestaw języków nowożytnych i starożytnych. Rzeczowość, nawet pedanteria, brak błyskotliwości, niestrudzona pracowitość, rozległa, zaiste encyklopedyczna wiedza (zdawało się, że mógłby samodzielnie zostać kompetentnym autorem całej encyklopedii powszechnej, pisał zresztą artykuły do Encyclopedia Britannica na imponujący zestaw najprzeróżniejszych tematów). Z tego pracowitego żywota (zajmował się także praktyką lekarską, choć był finansowo niezależny) dziś pamiętamy głównie zasadę interferencji światła i resuscytację falowej teorii światła. Doświadczenie Younga zostało uznane za najpiękniejszy eksperyment w fizyce: światło z dwóch wąskich szczelin interferuje ze sobą, dając prążki na ekranie. Wykonywano takie doświadczenia nie tylko ze światłem, ale i z elektronami, a nawet fullerenami, ukazuje ono bowiem coś więcej niż falowość światła: falowość wszelkich cząstek mikroświata. Young nie wykonał takiego idealnego eksperymentu, był on dla niego bardziej ideą wywiedzioną z doświadczeń i pomiarów, niż sprawozdaniem laboraoryjnym. W tym, co obserwował, pomieszane były skutki interferencji z dwóch otworów z dyfrakcją na samych otworach. Najbliżej sytuacji idealnej był wówczas, gdy światło słoneczne z małego otworka skierował na ustawioną krawędzią kartę tekturową. Na ekranie pojawiły się prążki, które znikały, gdy zasłonić jedną ze stron wiązki.

Young wiedział już wówczas, że aby uzyskać maksimum natężenia, różnica dróg optycznych dwóch promieni światła musi być całkowitą wielokrotnością długości fali. Gdy różnica dróg jest połówkową wielokrotnością, otrzymujemy minimum. Wiedział też, że droga w ośrodku o współczynniku załamania n musi być liczona n-krotnie, co wynika stąd, że w takim ośrodku długość fali zmniejsza się się n razy.

Nie będziemy opisywać rozmaitych badań optycznych Younga, pokażemy tylko jedną z plansz do jego wykładów. Prowadził on przez kilka lat popularne wykłady w Royal Institution. Uczęszczali na nie po pracy londyńscy rzemieślnicy bądź urzędnicy, ale także i damy z wyższych sfer. Wykłady Younga dotyczyły całości filozofii naturalnej, a także elementów matematyki. Ukazują stan wiedzy dwa wieki temu.

Więcej plansz Younga można znaleźć tutaj.

Young objaśnił nadliczbowe łuki tęczy interferencją promieni takich, jak na rysunku. Dwa równoległe promienie załamują się w kropli, a następnie po odbiciu ją opuszczają także jako równoległe. Ponieważ są to promienie, które odchylają się mniej niż promień Descartes’a efekt ich interferencji widoczny będzie pod kątem mniejszym, niż słynne 42°.

Wyjaśnienie to przedstawił w roku 1803 podczas wykładu Bakera w Royal Society, jednakże bez rysunku i żadnych obliczeń. Więcej informacji znalazło się w jego artykule do Encyclopedia Britannica Supplement zatytułowanym Chromatics napisanym w 1817 r. Różnica dróg optycznych dla dwóch promieni na rysunku równa się

Przyjęliśmy promień kropli równy 1. Young przedstawił tabelkę różnic drogi optycznej dla współczynnika załamania odpowiadającego skrajnej czerwieni.

Tabelka ułożona jest wg odległości kątowych od krawędzi tęczy. A więc (przykład Younga), jeśli czerwień pierwszej dodatkowej tęczy pojawi się o 2° od czerwieni tęczy głównej, to oznacza to, że drogi obu promieni różnią się o długość światła czerwonego (wartość zmierzona przez Younga). Znajdujemy w tabelce pozycję 2° i odczytujemy, że kąty załamania (i zarazem odbicia) dla obu promieni równają się wtedy 42°59′ i 36°23, a różnica dróg 0,004. Znaczy to, że promień kropel wynosi

Widzimy praktyczny cel owej tabelki: obserwator tęczy mógł sobie obliczyć, jakiej wielkości krople wywołały zjawisko. Uczony zadał sobie sporo pracy, szukając numerycznie kątów odpowiadających zadanym odległościom od krawędzi tęczy. Warunek Younga na maksima można zatem zapisać w postaci

Sam unikał matematyki tak długo, jak się dało, co było skutkiem pewnego przesądu. Otóż twierdził on, że wysoce zmatematyzowana fizyka w postaci algebraicznej, uprawiana zwłaszcza na kontynencie, jest czymś w rodzaju sztucznych ułatwień dla myśli, która zaczyna prześlizgiwać się po temacie zamiast go precyzyjnie ogarnąć. „Wydaje się wręcz, że matematyczna uczoność stanowi coś w rodzaju eutanazji talentu fizycznego”. Wygłosił on tę opinię w biogramie Josepha Lagrange’a, co chyba nie było ani trafne, ani dobrze usytuowane.

Oczywiście, prace uczonych takich jak Euler, Lagrange czy Laplace (z których Young także korzystał) mogły czasem sprawiać wrażenie przesadnego zmatematyzowania. Ale to samo było kiedyś z Isaakiem Newtonem, naukowym idolem Younga: w reakcji na Principia w XVII w. dość często powtarzał się ni to zarzut, ni to pobłażliwa ocena, iż jest to czysta matematyka, a zatem nie odnosi się wprost do naszego niedoskonałego świata i nie musimy sobie tym zawracać głowy, tym bardziej że matematyka trudna. Young ulegał tu jednak przesądowi, i to podwójnemu. Pierwszy typowy dla wyspiarzy polegał na unikaniu jak ognia wszelkich zapisów algebraicznych i prowadzeniu rozumowań słowami. Była to maniera szkodliwa i niemądra, opóźniająca import kontynentalnej matematyki na Wyspy. W Cambridge mniej więcej od początku wieku działało już Analytical Society, które stawiało sobie za cel zapoznanie studentów z europejskim dorobkiem i pozbycie się zapóźnienia wywołanego zapatrzeniem w bardzo osobiste, idiosynkratyczne podejście  do analizy stosowane przez Isaaca Newtona. Drugi przesąd Younga polegał na niedocenianiu wagi matematyki w fizyce. Zdrowy rozsądek jest owszem cenny, ale niebyt daleko prowadzi. Historia fizyki pokazuje, że najbardziej zaawansowana i pozornie odległa od rzeczywistości doświadczalnej matematyka nie tylko znajduje zastosowanie, ale często okazuje się niezbędna. Żeby zrozumieć wszechświat, potrzebna jest geometria riemannowska, żeby zrozumieć właściwości materiałów wokół nas, potrzebna jest mechanika kwantowa rozgrywająca się przecież w zespolonych przestrzeniach Hilberta, a nie w przestrzeni naszych bezpośrednich doświadczeń.

Jeszcze za życia Thomasa Younga falowa teoria światła została niezależnie odkryta i rozwinięta w algebraicznej kontynentalnej postaci. Dokonał tego Augustin Fresnel, który potrafił połączyć solidną matematykę z École polytechnique z inżynierską precyzją eksperymentów. Taka właśnie matematyczna optyka falowa zdominowała cały wiek XIX. Zastosowanie do tęczy zawdzięczamy jednak paradoksalnie Anglikowi, astronomowi George’owi Biddellowi Airy’emu. Objął on z czasem stanowisko Astronoma Królewskiego. Był człowiekiem niezwykle pracowitym i systematycznym. Jego biograf opowiada z uznaniem, iż potrafił spędzić całe popołudnie na wypisywaniu etykietek z napisem „puste” w celu odróżnienia  pudełek wypełnionych od pustych. Zapisał się w historii tym, że udało mu się nie spotkać w roku 1845 z Johnem Couchem Adamsem. Raz Airy był we Francji, miesiąc później nie było go w domu, Adams zostawił kartkę i wrócił po godzinie, by usłyszeć, że teraz Astronom Królewski je obiad i się z nim nie spotka. Chodziło zaś o odkrycie kolejnej za Uranem planety. Zirytowany Adams przestał nachodzić Airy’ego, planetę odkryto dzięki obliczeniom nie Adamsa, lecz Francuza Le Verriera. Oprócz tej prestiżowej wpadki cierpliwy i dobrze wykształcony Airy zrobił co najmniej dwie rzeczy pamiętane przez potomność: obliczył dyfrakcyjną zdolność rozdzielczą teleskopu, a także rozkład natężeń w tęczy na podstawie teorii falowej. Pokażemy krótko, jak to się robi.

Promienie świetlne w pobliżu krawędzi tęczy zachowują się tak, jakby pochodziły z wygiętego w kształcie S czoła fali (promienie są bowiem prostopadłe do czoła fali). Wygląda to tak na współczesnym rysunku.

Obrazek za: H.C. van de Hulst, Light Scattering by Light Particles.

Czoło fali jest prostopadłe do promieni, promień wychodzący z O odpowiada maksymalnemu odchyleniu , promienie wychodzące z P i R jakiejś bliskiej wartości kąta . Kształt powierzchni falowej jest krzywą trzeciego stopnia, czyli można go zapisać w postaci

gdzie jest bezwymiarowym współczynnikiem, a promień kropli w mianowniku musi być w kwadracie, żeby zgadzały się jednostki, trójka jest tu dla wygody. Współczynnik ten nietrudno obliczyć (*), choć nie jest szczególnie istotny, w każdym razie dopóki nie porównujemy teorii z eksperymentem bądź obserwacją tęczy. Promienie docierające pod kątem mają różnicę fazy wynikającą z kształtu czoła fali oraz z kąta obserwacji. Różnica faz odpowiadająca odległości RQ jest równa

Sumując wszystkie fale   dla różnych wartości , czyli całkując otrzymujemy zespoloną amplitudę fali obserwowanej pod danym kątem proporcjonalną do

Tutaj oznacza . Rozszerzyliśmy granice całkowania do nieskończoności, ponieważ sądzimy, iż funkcja w wykładniku urojonym oscyluje coraz szybciej i nie wniesie istotnego wkładu dla dużych . Okazuje się też rzeczywista, ponieważ wykładnik jest nieparzystą funkcją . Ostatecznie natężenie, jakiego możemy oczekiwać po zsumowaniu wszystkich fal będzie proporcjonalne do kwadratu amplitudy, czyli kwadratu całki

gdzie

Airy obliczył tę całkę numerycznie, co nie jest zadaniem banalnym: najpierw trzeba ją obliczyć na jakimś odcinku skończonym, a później znaleźć przybliżenie dla reszty aż do nieskończoności. Praca ta musiała go kosztować bardzo dużo wysiłku, wykonał ją porządnie, zamieścił tabelki funkcji w swoim artykule. Z oczywistych powodów nazywa się ona funkcją Airy’ego. Spotyka się ją także w mechanice kwantowej dla potencjału opisywanego funkcją liniową (por. np. L.D. Landau i E. M. Lifszyc, Mechanika kwantowa).

Airy porównał swoje wyniki dla tęczy z teorią Descartes’a i Younga. Widzimy, że maksima Younga są wyraźnie przesunięte w stosunku do teorii falowej. Tak czy owak teoria Younga jest zbyt prosta matematycznie i nie opisuje złożoności sytuacji. Jej główny brak jest właśnie matematyczny: zamiast dwóch promieni trzeba uwzględnić nieskończenie wiele fal. Nie darmo wprowadzono całkowanie jako swoiste uogólnienie sumowania. Teoria Airy’ego przewiduje też, że pierwsze maksimum tęczy leży nieco wewnątrz łuku Descartes’a (oś pionowa na rysunku). Więcej konkretnych wyników pokazałem tutaj. Oczywiście, także teoria Airy’ego jest przybliżona, choćby z powodu rozszerzenia całkowania do nieskończoności w kierunku poprzecznym. Okazuje się jednak, że jest to przybliżenie wyjątkowo skuteczne, gdy chcemy zrozumieć, co się dzieje.

A to obrazki funkcji Airy’ego i jej kwadratu, czyli u nas natężenia światła w pobliżu krawędzi tęczy.

W mechanice kwantowej funkcja Airy’ego to funkcja falowa w polu jednorodnym: z prawej strony mamy zanikającą wykładniczo część „tunelową”, odpowiadającą ujemnej energii kinetycznej, z lewej strony coraz szybsze oscylacje odpowiadające coraz większej energii kinetycznej cząstki. Kwadrat funkcji falowej opisuje gęstość prawdopodobieństwa i jak to w mechanice kwantowej cząstka ma niezerowe prawdopodobieństwo znalezienia się w obszarze klasycznie zabronionym, gdzie energia kinetyczna jest ujemna. W przypadku tęczy jest proporcjonalne do odległości kątowej od krawędzi tęczy geometrycznej – odpowiada jej oś pionowa. Ponieważ jest to teoria falowa, więc fale wnikają nawet tam, gdzie klasycznie jest to zabronione (prawa część wykresu dla ). Pierwsze maksimum leży nieco wewnątrz tęczy Descartes’a, pojawiają się także kolejne, coraz bliżej siebie. Young był blisko prawdy, jeśli chodzi o położenie maksimów natężenia w tęczy jego warunek na różnicę dróg optycznych należy zmodyfikować do postaci

Nadal nie jest to dokładnie to samo co w teorii Airy’ego, ale dość blisko. Źródło tej dodatkowej różnicy faz można wyjaśnić, lecz wyjaśnienie wymaga dodatkowego wysiłku matematycznego, którego tu nie podejmiemy.

Gustav Mie już na początku wieku XX obliczył, jak wygląda rozpraszanie fali elektromagnetycznej na dielektrycznej kuli, co obejmuje interesujący nas przypadek. Wynik ma postać rozwinięcia nieskończonego i choć jest ścisły nie bardzo pozwala coś zobaczyć po drodze między wejściem a wyjściem, wymaga uwzględnienia tysięcy wyrazów, czyli komputera. Stosowano też do zagadnienia tęczy zespolone momenty pędu, ale nie jestem przekonany, czy problem stał się przejrzystszy. Inaczej mówiąc, panujemy nad nim rachunkowo, ale czasem jest to tylko zwycięstwo numeryczne, a zatem ograniczone.

(*) Zobaczmy jeszcze, jak znaleźć współczynnik h. Kąt odchylenia promienia dla pierwszego łuku tęczy dany jest wzorem

gdzie . W okolicy ekstremalnego odchylenia otrzymamy

Tutaj jest drugą pochodną wziętą w ekstremum. Patrząc na rysunek powyżej, mamy

Po scałkowaniu dostaniemy wynik.

Matematyczna historia tęczy 3: Isaac Barrow, Isaac Newton, Jakob Hermann (1669, ok. 1672, 1704)

W 1664 r. nowo utworzoną na uniwersytecie w Cambridge katedrę matematyki Lucasa objął Izaac Barrow. W okresie Republiki Barrow występował w obronie nauki przed pobożnym zapałem niektórych purytanów i nie krył sympatii rojalistycznych. Aby uniknąć konfliktu, wyjechał w kilkuletnią podróż do Francji, Włoch i na Bliski Wschód, z której wrócił niedługo przed restauracją monarchii. Został nagrodzony za wierność najpierw katedrą greki, a później katedrą matematyki. Barrow był duchownym, znawcą języków klasycznych (łącznie z hebrajskim i pewną znajomością arabskiego), lecz „stwierdziwszy, że aby zostać dobrym teologiem, musi znać chronologię, a chronologia wymaga astronomii, astronomia zaś matematyki, zajął się tą ostatnią ze znacznym powodzeniem”. Połączenie filologii martwych języków klasycznych z zamiłowaniem do matematyki było dość częstym połączeniem nie tylko wówczas, ale i później w Cambridge.

Profesor katedry Lucasa obowiązany był wykładać jakąś część geometrii, astronomii, geografii, optyki, statyki bądź jakiejś innej dyscypliny matematycznej w każdym tygodniu w ciągu jednego z trymestrów. Miał złożyć w bibliotece uniwersytetu kopie 10 spośród prowadzonych wykładów, powinien również przez kilka godzin w tygodniu udzielać odpowiedzi na pytania oraz wyjaśniać trudności studentom. Nie wolno mu było przyjąć żadnego stanowiska kościelnego związanego z duszpasterstwem albo wyjazdem na stałe ani żadnej funkcji w kolegium lub na uniwersytecie. W zamian otrzymywał jedne z najwyższych dochodów w Cambridge, przywilej uczenia (jako tutor) wyłącznie najbogatszych studentów (fellow commoners) oraz prawo noszenia szkarłatnej togi.

W 1669 r. Izaac Barrow ustąpił z katedry i spowodował, iż jego następcą został Isaac Newton. Rzadko się zdarza, aby profesor odstąpił swoje stanowisko zdolnemu młodszemu koledze. Niewątpliwie Barrow dostrzegł talent młodego Newtona i zrobił rzecz słuszną ze swego punktu widzenia: czuł się głównie duchownym i z biegiem lat zabawa matematyką wydawała mu się jałowym ćwiczeniem umysłu. Matematyką zajmował się z czystego upodobania, nie traktował jej jak powołania. Nie znaczy to, że nie osiągnął wybitnych wyników, przeciwnie zapisał się w historii matematyki jako ważny prekursor rachunku różniczkowego i całkowego, doszedł też do interesujących wyników w optyce geometrycznej, którą traktował jako czysto matematyczne ćwiczenie w stosowaniu prawa odbicia i prawa załamania.

Barrow zachęcił Isaaca Newtona do nawiązania kontaktów ze światem naukowym. Trudno powiedzieć, w jak zażyłych stosunkach pozostawali ci dwaj całkowicie odmienni ludzie, wygląda jednak na to, że Barrow potrafił zdobyć zaufanie swego nadmiernie podejrzliwego i zamkniętego w sobie, lecz nadzwyczajnie utalentowanego młodszego kolegi. Powierzał mu drobne prace w rodzaju korekty swoich wykładów z optyki, a z kolei Newton był tak uprzejmy, że nie skrytykował twierdzeń o barwach, które były już, od czasu jego własnej pracy, nieaktualne. Z pewnością nie było między nimi szerszej współpracy naukowej, starszy uczony z pewnością znał tylko mały wycinek osiągnięć Newtona z dziedziny mechaniki, optyki i matematyki. Obaj prowadzili wykłady z optyki. Wykłady Barrowa zostały wydane drukiem w roku 1669. Newton także zachęcany był do opublikowania swoich wykładów, ale jak narzekał John Collins, londyński amator wymieniający  korespondencję z wieloma uczonymi w Wielkiej Brytanii i na kontynencie, „niełatwo przekonać księgarzy do wydania czegokolwiek matematycznego oprócz jakichś bagatel” (list do Thomasa Bakera 10 II 1676/77 w S.P. Rigaud (wyd.), Correspondence). Tak zostało zresztą do dziś, Stephena Hawkinga wydawcy przekonywali, że każdy wzór matematyczny w książce zmniejsza nakład o połowę. Wykłady Newtona wydane zostały dopiero po śmierci autora. Wcześniej, bo w roku 1704, ukazała się przenoszona o trzydzieści lat Optics, gdzie jednak nacisk  położony był na fizykę eksperymentalną.

W matematyce tęczy Newton szedł śladem Barrowa. Starszy uczony ustalił, jak ogniskuje się światło po załamaniu w powierzchni sferycznej. Newton podał konstrukcję geometryczną, która pozwala znaleźć punkt ogniskowania wąskiej wiązki promieni świetlnych. Podamy Newtonowską wersję tego twierdzenia. Otwiera ono drogę do zrozumienia tego, co dzieje się w kroplach wody dających zjawisko tęczy. Metoda postępowania jest tu wyraźnie odmienna od podejścia Huygensa. Oto konstrukcja Newtona  z jego dowodem z Optical Lectures (1728), jest to u niego Proposition XXXII.

Mamy tu dwa blisko położone promienie świetlne biegnące z punktu A i załamujące się w sferycznej powierzchni o zadanym współczynniku załamania; ANZK, AnZ. Chcemy skonstruować punkt przecięcia obu promieni Z. W tym celu konstruujemy trzy kolejne punkty; R,V i Q.

1. W N wystawiamy prostopadłą do AN, jej punkt przecięcia z osią optyczną to R.
2. Z R prowadzimy prostą równoległą do AN oraz z punktu N styczną do okręgu. Punkt przecięcia obu prostych to V.
3. Z N wystawiamy prostopadłą do NK, a przez V prowadzimy równoległą do NK. Obie proste przecinają się w punkcie Q.
4. Przedłużamy QC do przecięcia z NK i to jest szukany punkt ogniskowania Z.

Dowód polega na wykazaniu, że w granicy, gdy promień An zbliża się do AN, mamy

Zgodnie z założeniem , gdzie oznaczamy współczynnik załamania (ahistorycznie, bo wtedy zapisywano go jako stosunek dwóch wielkości). Podobnie ahistoryczne są poniżej oznaczenia funkcji trygonometrycznych, ale ułatwiają zrozumienie ludziom nienawykłym do języka proporcji używanego w XVII w. Obliczamy teraz

(*) Korzystamy z podobieństwa trójkątów i tw. Talesa:

Cor. 1

Dla dowodu korzystamy z podobieństwa trójkątów oraz

Cor. 2

Przy zadanym położeniu przedmiotu A otrzymujemy położenie ogniska Z.

Dowód polega np. na zauważeniu, że

oraz

mnożąc obie proporcje stronami i korzystając z Cor.1 otrzymujemy wynik.

Cor. 3 Gdy punkt A oddala się do nieskończoności, czyli gdy padające promienie biegną równolegle do osi optycznej, ostatni wynik się upraszcza, mamy bowiem

Czytelnik zechce zauważyć, jak oszczędne są rozumowania Newtona. W czasie, gdy wygłaszał swoje wykłady z optyki dla raczej nielicznych i słabo zorientowanych słuchaczy, był już mocno zaawansowany w rachunku różniczkowym i całkowym oraz rozwinięciach w szeregi nieskończone. Dlatego naturalnym zastosowaniem powyższego wyniku jest dla niego uogólnienie do przypadku dowolnej krzywej: lokalnie bowiem każda gładka krzywa ma postać okręgu swojej krzywizny. Standardowe dziś wzory na promień krzywizny czy współrzędne środka krzywizny krzywej były Newtonowi czymś dobrze już znanym. Gdyby historia potoczyła się inaczej i uczony wydał swoje prace matematyczne już w latach siedemdziesiątych wieku XVII, to już wtedy znana byłaby większość wyników, które odkrywali pracowicie Wilhelm Gottfried Leibniz oraz bracia Johann i Jakob Bernoulli przez jakieś dwadzieścia lat począwszy od połowy lat osiemdziesiątych.

Ta ostatnia postać naszego wyniku z wniosku 3 wystarczy do opisu biegu promieni słonecznych w kropli wody. W istocie Barrow i za nim Newton uzyskali tu kaustykę powierzchni sferycznej, czyli miejsce geometryczne ognisk dla wąskich wiązek promieni. Jesteśmy tu poza przybliżeniem stosowanym w szkolnej optyce, że wszystkie promienie biegną blisko osi optycznej. Wynik jest tak ścisły jak samo prawo załamania. Tak wygląda ta kaustyka na obrazku. Promienie padające biegną równolegle wzdłuż osi Ox (promienie załamują się tylko jeden raz, prawa połówka okręgu ma znaczenie ilustracyjne).

Na drugim obrazku zieloną linią zaznaczone są ogniska promieni biegnących dalej od osi niż promień Descartes’a, czerwoną – dla promieni bliższych osi. Promieniowi Descartes’a odpowiada ognisko leżące na okręgu. Inaczej mówiąc, równoległe promienie biegnące blisko promienia Descartes’a ogniskują się na powierzchni kropli i tam ulegają odbiciu, po czym znowu wybiegają równolegle. Fakt ten wyjaśnia, czemu dostrzegamy tęczę tam, gdzie dostrzegamy: krople dla tych promieni działają jak reflektor kierujący wiązkę promieni słonecznych w innym kierunku. Trzeci obrazek pokazuje początek kaustyki w punkcie C odpowiadającym promieniowi padającemu stycznie na kroplę. W punkcie C kaustyka jest styczna do okręgu o promieniu .

Na pierwszym obrazku promień nr 7 to promień Descartes’a, widać też w górnym prawym kwadrancie zarys kaustyki, którą dokładnie widać na drugim obrazku (na fioletowo i żółto). Oczywiście, kropla działa jak soczewka dla promieni, które zamiast się odbić załamują się na tylnej powierzchni kropli, co daje znowu kaustykę dla drugiego załamania, co nas tutaj nie interesuje.

Barrow i po nim Newton zrozumieli więc, że promień Descartes’a, ten dający maksymalne odchylenie, ma tę właściwość, że bliskie mu promienie ogniskują się na tylnej powierzchni kropli i po odbiciu wychodzą znowu równoległe. Matematycznie warunek ten można przedstawić jako

Niewykluczone, że znał go już Thomas Harriot (zm. w 1621 r.), który znał także prawo załamania. Wszystkie te badania pozostawały jednak nieznane i odkryte na nowo dopiero w XX w. Niekompletność rękopisów nie pozwala dziś ustalić ponad wszelką wątpliwość, jak daleko sięgała jego prywatna wiedza, która nigdy nie stała się publiczna.

Podobnie będzie dla drugiego i dalszych łuków tęczy, tyle że promienie odbijają się N razy w kropli, zanim ją opuszczą. Stosowny rysunek zaczerpnęliśmy od Jakoba Hermanna z pracy z roku 1704. W tym czasie Edmond Halley podał wyrażenie dla kąta padania przy N-tej tęczy,  Newton ogłosił wreszcie swoją Optics (gdzie były wyniki bez metody ich otrzymania). W tym samym czasie Johann Bernoulli podał swoje wyprowadzenie, ogólnie biorąc, wszyscy potrafili już robić bez trudu to, co w czasie Huygensa (1652) i Barrowa (1669) było jeszcze wiedzą sekretną. Przyjrzyjmy się bliżej wyprowadzeniu Hermanna, choć nie był on pierwszoplanowym graczem, to przedstawił rozumowanie bardzo jasno.

Oznaczmy , . Trójkąty mamy więc

Zauważmy, że wykazaliśmy w ten sposób, że , czyli obliczyliśmy pochodną funkcji sinus w sposób graficzny. Dalej mamy,

Korzystamy z podobieństwa trójkątów :

W przypadku pierwszego łuku tęczy kąt odchylenia promienia po jednym odbiciu równy jest , wobec tego warunek stacjonarności to . Podstawiając uzyskane wyżej wyrażenia, dostajemy warunek dla kąta Descartes’a:

Warunek ogniskowania na tylnej powierzchni kropli, to zarazem warunek stacjonarności. Jeśli wyobrazimy sobie promienie padające na krople w rosnącej od zera odległości od środka, punkt K przecięcia promienia załamanego z okręgiem na rysunku Hermanna będzie wędrował. Jego najwyższe położenie odpowiada stacjonarności odchylenia, czyli matematycznie . Ten ostatni warunek jest równoważny , czyli w myśl Cor. 3: .

Dla porównania technik obliczmy jeszcze ekstremalny kąt odchylenia współczesnymi metodami. Nadal traktujemy jako zmienną. Kąt odchylenia promienia od początkowego kierunku w każdym załamaniu równy jest , a w każdym odbiciu . Zatem po dwóch załamaniach i N odbiciach wewnątrz kropli kąt z kierunkiem środka tęczy równy będzie

Kąt z kierunkiem środka tęczy to . Można to wyrazić jawnie jako funkcję z dokładnością do znaku i stałych addytywnych:

Warunek znikania pierwszej pochodnej daje

Zauważmy, że obliczenie i rysunek Hermanna dają nam dokładnie to samo: jest to geometryczne wyjaśnienie nie tylko faktu, że , ale i tego, że Warunek na N-ty promień Descartes’a przyjmuje postać

Wykres odchylenia w funkcji ma następującą postać pomiędzy dwoma łukami mamy „obszar zabroniony”, czyli ciemnię Aleksandra z Afrodyzji:

Zauważmy, że ekstrema są łaskie, co oznacza, że w sporym zakresie kątów padania, otrzymujemy niemal takie same kąty odchylenia. Osobne wykresy narysowaliśmy dla skrajnych barw widma. I tu przechodzimy do najważniejszego odkrycia Isaaca Newtona dotyczącego fizyki światła. Descartes chwalił się, że wyjaśnił barwy tęczy (teoria rotacji kulek), ale naprawdę dokonał tego Isaac Newton. W kilkudziesięciu znanych z jego rękopisów i publikacji eksperymentach dowiódł, że prawo załamania obowiązuje dokładniej, niż się spodziewano: każdej barwie odpowiada nieco inny współczynnik załamania. Gdy w roku 1672 opublikował swe odkrycie w „Philosophical Transactions” wywołał długą polemikę, po której zamilkł na kilkanaście lat. Odkrycie, że światło białe składa się z promieni o różnym współczynniku załamania i barwie, rozstrzygało ciągnącą się dwa tysiące lat dyskusję filozoficzną. Ostatecznie okazywało się, że za zjawiska barwne odpowiadają różne rodzaje światła i nic więcej. Światło monochromatyczne byłoby więc złożone z takich samych cząstek, które zachowują się zawsze tak samo w eksperymentach. Newton wyobrażał sobie, że mogą one mieć np. taką samą masę albo taką samą prędkość. Załamanie w pryzmacie czy np. zjawisko całkowitego odbicia wewnętrznego pozwala rozseparować owe cząstki światła. Tym, co widzimy jako barwę, jest pewna średnia ważona z barw promieni świetlnych, które do nas docierają.

Descartes zapoczątkował program badań nad skonstruowaniem idealnej soczewki, która ogniskowałaby całe światło w jednym punkcie. Wprowadził w ten sposób do nauki m.in. owale Descartesa (Kartezjusza). Szukał przyszłości teleskopów w szlifowaniu soczewek o innych niż sferyczna powierzchniach. Huygens poświęcił cały traktat zagadnieniu soczewek, choć jako praktyk (szlifowali razem z bratem Constatijnem soczewki do swoich teleskopów) starał się dobrać takie powierzchnie sferyczne, aby aberracja jak najmniej przeszkadzała. Newton położył kres temu programowi, wykazał w swoich wykładach i potem w Optics, że poważniejszą wadą teleskopów jest aberracja chromatyczna: każde załamanie powoduje rozdzielenie przestrzenne różnych barw i trudno sprawić, żeby tak rozdzielone promienie skupiły się z powrotem w jednym punkcie. A właściwie jest to ściśle biorąc niemożliwe, choć można w praktyce budować dobre obiektywy achromatyczne, dobierając odpowiednie i różne rodzaje szkła. Dyspersja, czyli zależność współczynnika załamania od barwy, w czasach Newtona była niemożliwa do wyjaśnienia, praktycznie biorąc dopiero mechanika kwantowa pozwala objaśniać teoretycznie optyczne własności materiałów, choć nawet teraz łatwiej te własności zmierzyć niż obliczyć teoretycznie.

Optyka geometryczna, optyka promieni świetlnych, nie może nam więcej powiedzieć na temat zjawiska tęczy. Szczegóły ilościowe proporcji natężenia odbitego i załamanego światła także musiały poczekać do wieku XIX: są to tzw. współczynniki Fresnela zależne od polaryzacji fali. To, co widzimy, zależy także od czułości naszego oka na różne barwy, w XVII w. nic o tym nie wiedziano, dopiero na początku wieku XIX odkryto promieniowanie podczerwone i nadfioletowe i zdano sobie w pełni sprawę, że widzimy tylko mały wycinek widma. Isaac Newton, który wierzył, iż światło składa się z cząstek, rozumiał doskonale, że cząstki te mają pewne niezwykłe właściwości. W pobliżu przeszkód nie biegną prostoliniowo. W kryształach szpatu islandzkiego (kalcytu) załamują się na dwa różne sposoby. Odbijając się w cienkiej warstwie „wiedzą” o tym, jak gruba jest ta warstwa. Nawet tak proste zjawisko jak częściowe odbicie niełatwo zrozumieć w ramach teorii korpuskularnej: skąd cząstka światła „wie”, czy się odbić, czy załamać? I dlaczego zachodzi to zawsze w takich samych proporcjach? Foton oczywiście nie wie, co zrobić. Mechanika kwantowa przewiduje tylko prawdopodobieństwa odbicia i przejścia fotonu przez granicę ośrodków.

Kończymy tę część rysunkami z Optics z roku 1704 przedstawiającymi bieg promieni w tęczy, obliczenie szerokości łuków to niewątpliwy tryumf Newtona. Współczynniki załamania wody dla skrajnych promieni równe są wg jego pomiarów 108/81 (czerwień) i 109/81 (fiolet). Daje to dla pierwszego łuku tęczy szerokość 1°45′, a po doliczeniu kątowej średnicy Słońca: 2°15′. Podobnie dla zewnętrznego łuku otrzymujemy 3°10′ i 3°45′.

 

 

 

 

 

Matematyczna historia tęczy 2: Christiaan Huygens (1652)

Christiaan Huygens pochodził z wpływowej rodziny blisko związanej z dynastią orańską. Ojciec, Constatijn, był amatorem nauk i sztuk, poetą, kompozytorem, w jego domu w Hadze bywali nie tylko ludzie władzy, ale również tacy goście jak René Descartes czy Rembrandt van Rijn. Najstarszy syn, także Constatijn, został sekretarzem Wilhelma III Orańskiego stadhoudera Niderlandów, a później jako Wilhelm II króla Anglii i Szkocji. Christiaan zamiast kariery wojskowej bądź dyplomatycznej wybrał zainteresowanie naukami ścisłymi. Do tego stopnia, że przy okazji swej pierwszej podróży do Londynu wolał obserwować tranzyt Merkurego przed tarczą Słońca niż koronację Karola II. Naturalne było, że młodzieniec znalazł się pod wpływem Descartes’a, pod koniec życia wspominał:

Pan des Cartes znalazł sposób, aby jego przypuszczenia i fikcje brane były za prawdę. I z tymi, którzy czytali jego Zasady filozofii, działo się coś podobnego co z tymi, którzy czytają romanse – gdy podobają się im i robią na nich takie samo wrażenie jak prawdziwe historie. Nowość kształtu jego małych cząstek i wirów sprawia wielką przyjemność. Zdawało mi się, gdy czytałem księgę jego Zasad po raz pierwszy, że wszystko jest w najlepszym porządku, a kiedy natrafiałem na jakąś trudność, sądziłem, że to moja wina, iż nie pojmuję dobrze jego myśli. Miałem wtedy zaledwie 15 czy 16 lat. Lecz później, odkrywając od czasu do czasu rzeczy jawnie fałszywe oraz inne bardzo mało prawdopodobne, odwróciłem się od złudzeń, w jakich trwałem i w obecnej dobie nie znajduję niemal niczego, co mógłbym uznać za prawdę w całej jego fizyce ani w metafizyce, ani w meteorologii. (…)

Najpiękniejszą rzeczą, którą odkrył w dziedzinie fizyki i może jedyną, w której sprawił się dobrze, jest przyczyna podwójnego łuku tęczy, tzn. określenie ich kątów, czyli pozornych średnic, gdyż co do przyczyny kolorów, to nic nie może być mniej prawdopodobne moim zdaniem. Pisma innych filozofów przed nim były na ten temat żałosne, gdyż nie znali dość geometrii, nie znali prawdziwych praw załamania ani nie posiłkowali się doświadczeniami. To prawda, że wszystko wskazuje na to, że prawa załamania nie są wynalazkiem pana des Cartes’a, gdyż pewne jest, że widział on w rękopisie książkę Snelliusa, którą także ja widziałem; pisze on tam wyraźnie o naturze załamania i dochodzi do reguły, za którą dziękuje Bogu, choć zamiast rozważać sinusy, brał on, co na jedno wychodzi, boki trójkąta i choć mylił się, twierdząc, że promień padający prostopadle na powierzchnię wody, skraca się i dlatego dno naczynia wydaje nam się położone wyżej niż jest w rzeczywistości.

Mimo tej niewielkiej ilości prawdy, jaką znajduję w księdze Zasad pana des Cartes’a, nie przeczę, iż trzeba wiele dowcipu, by stworzyć, tak jak on, cały nowy system i nadać mu ów pozór prawdopodobieństwa, którym zadowala się i w którym znajduje upodobanie niezliczona rzesza ludzi. Można nawet powiedzieć, że podając swoje dogmaty z wielką pewnością siebie i stając się bardzo sławnym autorem tym bardziej pobudził tych, którzy piszą po nim do podjęcia jego spuścizny i usiłowania znalezienia czegoś lepszego. Bo też i nie bez zasługi zyskał on wielką estymę; wystarczy bowiem tego, co napisał i odkrył w przedmiocie geometrii i algebry, by zdobył reputację wielkiego umysłu.

[Dodatek do listu Ch. Huygensa do Pierre’a Bayle’a, 26 II 1693 r., Oeuvres complètes de Christiaan Huygens, La Haye 1905, t. X, p. 403-406]

Rysunek, którym posługiwał się Willebrord Snel van Royen, in. Snellius, wyglądał następująco:

Promień światła biegnie tu z punktu V w gęstszym ośrodku do góry, załamując się w punkcie R. Stosunek odcinków jest stały. Snel wyjaśniał w ten sposób, czemu dno zbiornika z wodą wydaje się leżeć wyżej niż w rzeczywistości i stosował owo wyjaśnienie także do promienia padającego pionowo. Naprawdę efekt podniesienia dna będzie zależeć od kąta, pod którym patrzymy, znowu pojawia się tu kaustyka, różne promienie biegnące z ku powierzchni będą biegły pod różnymi kątami, a po załamaniu będą rozbiegać się pozornie z różnych punktów, kaustyka jest obwiednią rodziny tych promieni biegnących w ośrodku rzadszym.

Christiaana Huygensa czekała wielka kariera naukowa, był może jedynym uczonym, przed którym respekt czuł Isaac Newton, wzorując się na jego książce o zegarze wahadłowym. Wcześniej, pod koniec 1652 r. Christiaan Huygens zajął się badaniem teorii soczewek przy użyciu prawa załamania. Na marginesie tej pracy rozwiązał zagadnienie maksymalnego odchylenia promieni słonecznych w kroplach wody. Jak opisywaliśmy, Descartes uciekł się do metody numerycznej. Huygens pokazał, jak można rozwiązać matematyczny problem maksimum w tym przypadku.

Metoda Huygensa nie jest optymalna, lecz okazała się skuteczna. Przerysowaliśmy jego rysunek z niewielkimi zmianami. Łamana to droga promienia świetlnego. Zamiast wyrażać stosunek sinusów kąta padania i załamania jako stosunek odcinka do promienia okręgu piszemy – wartość współczynnika załamania, a promień okręgu uważamy za jednostkowy. Należy jednak pamiętać, że wciąż traktowano liczby rzeczywiste jako stosunki odcinków, co  zaciemniało zapis.

Szukamy takiego położenia promienia wchodzącego do kropli , żeby kąt był maksymalny. Tym samym łuk ma być maksymalny, a odcinek – minimalny. Spełnione ma być przy tym prawo załamania, co oznacza stały zadany stosunek długości odcinków . Zmienną jest odległość .

Najpierw wyznaczamy długość odcinka za pomocą tw. cosinusów zastosowanego do trójkąta . Otrzymujemy

Następnie korzystamy z tw. o iloczynie siecznych dla siecznych oraz $latex $CBM$ i stąd wyznaczamy długość

Z tw. Talesa dla zielonych równoległych znajdujemy . Szukana odległość . Ostatecznie

Do znalezienia wartości , przy której funkcja osiąga minimum, Huygens stosuje metodę Fermata. Brała się ona z zauważenia, że w ekstremum styczna do krzywej biegnie płasko, tzn. ma nachylenie 0.

Dodając do niewielką wartość , zmienimy wartość funkcji o wielkość mniejszą niż . Sprawdźmy to na przykładzie wielomianu, np. . Obliczamy

Gdy jest bardzo małe . Znaczy to, że blisko ekstremum żądamy, aby

Oprócz trywialnej równości dostajemy także nietrywialną równość

należy sobie wyobrażać, że dzielimy obustronnie przez , zanim jeszcze wartość stanie się równa zeru. Dziś powiedzielibyśmy, że pochodna funkcji ma być równa zeru w ekstremum. Współcześnie mówi się, że pochodna funkcji to liniowa część przyrostu , tzn. ta część, w której występuje w potędze pierwszej. W ekstremum owa część liniowa znika, bo każda przyzwoita funkcja w pobliżu ekstremum wygląda jak parabola w pobliżu wierzchołka. Łatwo można taką metodę uogólnić do ilorazu funkcji, jak w przypadku rozpatrywanym przez Huygensa. Znając wartość można już otrzymać np.

To kąt padania odpowiadający maksymalnemu wychyleniu promienia, czyli tzw. promieniowi Descartes’a. Promień łuku tęczy będzie równy zgodnie z tabelką francuskiego uczonego. Huygens przy okazji rozwiązał także zagadnienie odwrotne, jak znając wielkość tęczy, obliczyć współczynnik załamania. problem wymaga rozwiązania równania trzeciego stopnia.

Matematyczna historia tęczy 1: René Descartes (1629, 1637)

Zaczynam dłuższy cykl poświęcony tęczy w ujęciu matematycznym. Pisałem już trochę o tęczy tutaj i tutaj. Na przykładzie podejścia do tęczy zobaczymy jak zmieniało się rozumienie zjawisk optycznych i jak zmieniała się matematyka stosowana do opisu przyrody. Naukową i mitologiczną prehistorię tęczy, interesującą, ale niezbyt skuteczną poznawczo, odkładamy na inny czas. Od XVII wieku wiemy, że jedną z najlepszych metod zrozumienia świata jest budowanie matematycznych modeli. Rozumiemy tyle, ile potrafimy obliczyć i sprawdzić eksperymentalnie. Matematyka pozwala symbolicznie oswajać świat znacznie skuteczniej niż np. magia czy przesądy (tzw. tradycja), mówiąc skrótowo: zachodnie samoloty i rakiety latają, a nawet kiedy spadają, potrafimy to wyjaśnić w kategoriach racjonalnych.

Zaczynamy od Descartes’a. Pisał o nim Tadeusz Żeleński we wrześniu 1918 r.:

Dzieje życia mieszczą się całkowicie w dziejach jego myśli. Urodził się w La Haye w Turenii, w r. 1596 (ojciec Descartes’a był rajcą parlamentu). Pierwsze nauki odbył świetnie w kolegium jezuitów w La Flèche; w młodych latach zdradzał zamiłowanie do poezji, które zachował i później. W 17 roku dostaje się do Paryża, gdzie prowadzi życie dość rozproszone: zwłaszcza hołduje grze, której — podobnie jak Pascal — rychło ogarnia wszystkie tajniki i kombinacje. Naraz na nowo opanowany żądzą nauki, ginie z oczu towarzyszom zabaw, którzy szukają go po zakątach Paryża, podczas gdy on studiuje prawo w Poitiers. W rok później — ma wówczas lat 21 — porzuca książki i postanawia czytać jedynie w „wielkiej księdze życia”; w tym celu, zaciąga się jako ochotnik do wojska w Holandii, pod ks. Maurycym Nassauskim. Bawiąc w Bredzie, Descartes widzi na ulicy tłum ludzi gromadzący się przed wielkim afiszem wypisanym w języku flamandzkim i prosi sąsiada o wytłumaczenie. Był to osobliwie zawiły problem geometrii oraz wezwanie do rozwiązania go. Nagabnięty przechodzień, którym był przypadkowo uczony matematyk, rektor kolegium w Dordrecht [Isaac Beeckman], przełożył mu treść afisza, zachęcając żartobliwie do rozwiązania. Ku wielkiemu jego zdumieniu, młodzik przyniósł nazajutrz żądaną solucję.

Po upływie dwu lat, René opuszcza Holandię i udaje się do Niemiec, gdzie bierze udział w pierwszych utarczkach wojny trzydziestoletniej. Z początkiem r. 1619, zima zatrzymuje go na granicy Bawarii w Neuburgu (przełomowy ten moment życia opisuje Descartes w drugiej części Rozprawy o metodzie). Tutaj, zamknięty w swojej izdebce, odkrywa, przez zastosowanie algebry do geometrii, zasady matematyki powszechnej, w której, w upojeniu entuzjazmu, widzi klucz do rozwiązania wszystkich sekretów przyrody. Kilka lat jeszcze ciągnie Descartes żołnierską włóczęgę, wciąż nieprzerwanie prowadząc swoje dociekania matematyczne i szukając zbliżenia z wybitnymi uczonymi epoki; rzuciwszy armię, kilka lat znowuż spędza na podróżach, przebiega Włochy, Szwajcarię, gdzie, u stóp Mont-Cenis, czyni swoje obserwacje meteorologiczne. Wreszcie, postanawia w zupełności poświęcić się filozofii, „aby (jak mówi), o ile to w jego mocy, przyczynić się do dobra bliźnich”. W tym celu, uchodząc od paryskiego zgiełku, osiedla się w Holandii, uważając, iż pobyt w tym kraju daje największą swobodę myślom i dociekaniom, zapewniając równocześnie potrzebne dla pracy naukowej dogodności. Tutaj spędza 20 lat na nieprzerwanych badaniach, w których przeważnie zajmuje się matematyką i zjawiskami przyrody; jednakże wśród naukowych doświadczeń wciąż przyświeca mu dążenie do syntezy ogarniającej cały wszechświat. W ciągu tych lat ogłasza Próby filozoficzne (1637), które zawierają Rozprawę o metodzie, a obok niej Geometrię, Rozprawę o meteorach i Dioptrykę: układa słynny Traktat o świecie, który niszczy jednakże na wieść o skazaniu Galileusza; wreszcie Traktat o namiętnościach duszy.

René Descartes był postacią skomplikowaną i pełną sprzeczności. Postulował pojęciową jasność i prostotę, ale jego idee analizowane są od czterystu lat i nadal budzą kontrowersje interpretacyjne. Twierdził, że rozsądek jest najsprawiedliwiej rozdzielony między ludzi i że on sam nie ma żadnych szczególnych zdolności, ale z pasją reagował, kiedy inni dochodzili do podobnych co on rezultatów. Twierdził, że posiada metodę zdobywania wiedzy i że wystarczy ją stosować, by dowiedzieć się rzeczy dotąd nieznanych. Do dziś nie ma jednak żadnej pewnej metody, która by niczym jakaś ulepszona sztuczna inteligencja generowała nową i użyteczną wiedzę. Spędził większość dorosłego życia w Niderlandach, dość często zmieniając miejsce pobytu. Mogło to być związane z ówczesną walką polityczną we Francji i zaangażowaniem uczonego (pisze o tym Harold J. Cook, choć nie wszyscy się zgadzają na tak sensacyjne ujęcie życia naszego bohatera). W każdym razie jego emigracja mogła nie być tylko skutkiem poszukiwania spokoju do pracy. W każdym razie Francuz i katolik Descartes spędził większość dorosłego życia w protestanckich Niderlandach, a wskutek dziwacznej symetrii historycznej Holender  protestant Christiaan Huygens przemieszkał długie lata we Francji, zmuszony stamtąd wrócić po odwołaniu edyktu nantejskiego. Descartes przygotowywał fundamentalny Traktat o świecie, gdy w 1633 r. skazano Galileusza. Jako wierzący katolik, który pielgrzymował do Loreto, był tym wyrokiem rzymskiej inkwizycji wstrząśnięty. Zrozumiał bowiem, że jego poglądy naukowe mogą sprowadzić na niego kłopoty. Wstrzymał się z wydaniem książki, i to na resztę życia. Ostatecznie debiutował w druku po przekroczeniu czterdziestki, w wieku wówczas uważanym za dojrzały. Niejako zastępczo wydał w 1637 r. Rozprawę o metodzie wraz z trzema przykładami na działanie owej metody. Pierwszą z nich była Dioptryka, czyli nauka o załamaniu światła. Podał w niej Descartes po raz pierwszy w druku prawo załamania, nie wiadomo czy odkrył je niezależnie, gdyż znane były w Niderlandach prace Willebrorda Snela i mógł się z nimi spotkać. Niezależnie od priorytetu odkrycia Descartes podał jednak uzasadnienie prawa Snela i zastosował owe prawo do problemu ulepszania teleskopów. Chodziło o aberrację sferyczną. Soczewki szlifowane w zwykły sposób mają powierzchnie sferyczne, które łatwiej uzyskać szlifując taflę szkła na sferycznej podstawie, tak zarabiał na życie Baruch Spinoza, którego tu jeszcze spotkamy. Światło nie ogniskuje się w jednym punkcie, promienie dalsze od osi optycznej przecinają się bliżej soczewki.

 

W istocie mamy tu do czynienia z dość skomplikowaną strukturą i całą powierzchnią złożoną z ognisk, zwaną kaustyką.

Kaustyki znamy wszyscy np. jako odblaski na pofalowanej powierzchni wody – z kierunku, z którego dociera do oka wiele promieni, widzimy jasną linię. Podobne struktury powstają też wskutek odbicia lub załamania w różnych strukturach np. szklankach. Dziś generuje się lepiej albo gorzej kaustyki, aby wywołać efekt oglądania rzeczywistego krajobrazu, np. w grach komputerowych.

Descartes sam nie zajmował się kaustykami, lecz zapoczątkował poszukiwanie powierzchni soczewek wolnych od aberracji sferycznej. Problem okazał się mniej istotny, niż uczony sądził: nawet bowiem, gdy utworzymy soczewkę niesferyczną o odpowiednio dobranym kształcie (co jest technicznie niełatwe), pozostanie problem dyspersji, czyli różnego załamania światła różnej barwy. Ale to zauważył dopiero Newton.

Drugą pracą była Rozprawa o meteorach, traktująca o wszelkich zjawiskach meteorologicznych: chmurach, oparach i wyziewach, naturze soli, wiatrach, śniegu, gradzie, burzach – tym wszystkim, czym zajmował się Arystoteles w swej Meteorologice. Znajduje się tu objaśnienie tęczy, znane Descartes’owi od 1629 r., a teraz opublikowane jako przykład metody. Uczony miał ambicję zastąpienia tekstów scholastycznych w szkołach jezuickich swoim własnym traktatem. 

Najgłośniejszą z trzech rozpraw była Geometria, gdzie pokazał, jak problemy geometryczne mogą być rozwiązywane algebraicznie i vice versa. Chodziło o geometrię analityczną, która tak bardzo wrosła w matematykę, że wydaje się niemal oczywista (niezależnie od Descartes’a podejście takie sformułował Pierre Fermat, który nie znał dobrodziejstw Kartezjuszowej metody, lecz był po prostu świetnym matematykiem). 

Zjawisku tęczy poświęcona została ósma część Rozprawy o meteorach. Descartes z pewnym upodobaniem objaśniał zjawiska na niebie w sposób naturalny, czujemy tu pewną odrazę do przesądów gminu, nawet jeśli są pobożne. Tęcza, która miała tak wielkie znaczenie symboliczne w Piśmie św., okazała się zjawiskiem czysto subiektywnym – każdy z nas widzi własną tęczę. Jak mówią Anglicy: Beauty is in the eye of the beholder. Descartes zauważa, że tęczę dostrzec można nie tylko na niebie, ale i np. w fontannach, ulubionej dekoracji królewskich ogrodów w XVII wieku. Potrzebne są więc promienie słoneczne, krople wody i promienie biegnące do naszego oka. Krople wody są kuliste (co uczony objaśnia w innym miejscu, dziś wiemy, że odpowiada za to napięcie powierzchniowe: pole powierzchni kuli jest minimalne spośród brył o tej samej objętości). Dalej, rozmiary kropel nie mają znaczenia, możemy zatem zrobić sobie jedną dużą kroplę z kulistego flakonu z wodą i na tym przykładzie prowadzić obserwacje. Nie był w tym pierwszy, Teodoryk z Fryburga robił to w XIII wieku, a Libert Froidmont w książce o meteorologii wydanej dziesięć lat wcześniej w Antwerpii wspominał, iż tęczę można uzyskać za pomocą trójkątnego szkła (pryzmatu), a także urynału albo zwykłego baniaka na wino. Descartes nie wspomina nic o swych poprzednikach, mógł o nich nie wiedzieć albo, co bardziej prawdopodobne, sądził, że prawdziwa wiedza zaczyna się dopiero od jego metody. Kiedy Descartes spojrzał na swą gigantyczną kroplę wody pod kątem mniej więcej 42° do kierunku światła słonecznego, dostrzegł czerwony kolor dochodzący z części D.

Kiedy kąt wzrastał, barwa znikała. Przy nieco mniejszym kącie widać było natomiast inne barwy: żółtą, błękitną, po czym barwy zanikały. Podobne zachowanie można było zaobserwować dla kąta 52° i drogi promienia FGHIKE z tą różnicą, że teraz barwa czerwona pojawiała się nagle przy najmniejszym kącie, po czym stopniowo przechodziła w żółtą i błękitną dla kątów większych. Światło było też słabsze niż w pierwszym przypadku. Następnie zadał sobie Descartes pytanie, co sprawia, że część D staje się czerwona? Kiedy zasłaniał czymś nieprzezroczystym część kuli z wodą, okazywało się, że jedynie obszary B i D potrzebne były do wytworzenia zjawiska kolorów. Czemu jednak tylko pod określonym kątem kolory się pojawiały? Tu po raz drugi wkraczał eksperyment, tym razem z pryzmatem.

Światło słoneczne pada tu mniej więcej prostopadle na ściankę NM pryzmatu szklanego, który z drugiej strony ograniczony jest wąską przysłoną DE. Po załamaniu na drugiej ściance pryzmatu światło tworzy pasmo barwne na ekranie HGF, przy czym w okolicy F mamy barwę czerwoną, a w okolicy H barwę niebieską czy też fioletową. Wnioskuje z tego doświadczenia nasz bohater, że powierzchnie nie muszą być zakrzywione, aby wytworzyć barwy. Ponieważ w doświadczeniu zachodzi tylko pojedyncze załamanie i nie ma odbicia, przeto należy wnioskować, że nie odbicie, lecz właśnie załamanie jest przyczyną pojawiania się kolorów tęczy. Ponadto z faktu, że barw takich nie obserwuje się w płaskich płytkach szkła (np. w szybach), należy wnioskować, iż musi być to załamanie nie skompensowane żadnym innym. Dalej: aby widzieć barwy, potrzebujemy światła (antyczne rozróżnienie wciąż się narzucało) i również cienia, czyli „ograniczenia światła” – bo gdy szczelina staje się szeroka lub gdy ją całkiem usuniemy, obraz ma postać białego pasa zabarwionego jedynie przy brzegach. Barwy pojawiają się zatem w obszarze sąsiadującym z cieniem na skutek załamania. Próbując wyjaśnić, dlaczego jeden brzeg obrazu jest fioletowo-niebieski, drugi zaś czerwono-żółty, Kartezjusz przyjmuje, że okrągłe cząstki eteru, które przekazują owo „działanie czy ruch”, jakim jest światło, mogą się obracać. Przy obu brzegach cienia ruch obrotowy nadawany cząstkom materii jest różny. Tam, gdzie obserwuje się barwę czerwoną (tradycyjnie uważaną za najsilniejszą), cząstki „dążą do obracania się z większą siłą niż do poruszania po linii prostej” (chodziło prawdopodobnie o prędkość obrotu większą niż ruchu postępowego, równe prędkości odpowiadałyby toczeniu się), barwie fioletowej (najsłabszej) odpowiada sytuacja odwrotna.

Rysunek z pracy Jeda Z. Buchwalda, Descartes’s Experimental Journey Past the Prism and Through the
Invisible World to the Rainbow, „Annals of Science”, t. 65 (1) (2008), s. 19.

W rozumowaniu tym widać, jak Kartezjusz wyobrażał sobie osiąganie pewnych wyników w nauce za pomocą swej metody. Skoro światło jest tylko skłonnością do ruchu w materii, to nie trzeba mnożyć bytów i osobno szukać objaśnienia barw i światła. Skoro zaś możliwe ruchy są postępowe lub obrotowe, a światło ma rozmaite kierunki rozchodzenia się i barwy, to z konieczności barwy należy wiązać z obrotami.

Przy okazji Kartezjusz obalił rozróżnienie barw pozornych – takich jak barwy tęczy, i barw prawdziwych – takich jak barwy przedmiotów, które istnieją, jak wierzono, nawet w ciemności. U Kartezjusza wszystkie barwy stają się barwami pozornymi: nie tylko więc nie widzimy bezpośrednio samych przedmiotów, lecz jedynie wysyłane przez nie światło, ale również nie widzimy ich barw, lecz jedynie barwę światła wpadającego do naszych oczu.

Jeśli obraz świata wypełnionego mikroskopijnymi kulkami, które wypełniają szczeliny między wszystkimi innymi cząstkami, nie wydaje nam się oczywisty, to tylko dlatego że nie poznaliśmy siły argumentacji uczonego, który dowiódł ponad wszelką wątpliwość, że wszystkie rzeczy składają się z trzech rodzajów niewidzialnych cząstek. Współcześni zrazu także niezbyt uwierzyli Descartes’owi, ale głównie dlatego, iż wierzyli w cztery elementy Arystotelesa albo (znacznie rzadziej) w jakąś swoją odmianę świata korpuskularnego. Wracając do tęczy Descartes poszukał odpowiednika granicy z cieniem w tym zjawisku i znalazł je, jak sądził, w kątach biegu promieni po jednym bądź dwu odbiciach w kropli. Wyobraźmy sobie promień EF biegnący początkowo w odległości FH od środka kropli. Odległość IC promienia załamanego jest 187/250 razy mniejsza niż FH. Łatwo sprawdzić, że to prawo Snela dla współczynnika załamania wody względem powietrza równego 250/187 (wartość ta była prawdopodobnie wynikiem pomiarów Descartes’a).

Problem polega jednak na tym, że promienie biegnące w różnych odległościach FH od środka kropli załamują się pod różnymi kątami i pod różnymi kątami odchylenia wychodzą z kropli po odbiciu. Nie ma tu jednej wartości, która odpowiadałaby owym 42°. W tej sytuacji nasuwało się wyjście inżynierskie (Descartes pewnie często służył swą wiedzą matematyczną przy różnych wojskowych zastosowaniach, były to czasy artylerii i skomplikowanych w kształtach twierdz, gdzie projektowano obszary ostrzału). Tym bardziej, że dysponował prawem załamania. Zestawił więc tabelę kątów odpowiadających różnym odległościom  HK.

Promień kropli wynosi u Descartes’a 10000 części, kąty wyrażone są w stopniach i minutach. Kąt ONP odpowiada wewnętrznemu łukowi tęczy (po jednym odbiciu), kąt SQR łukowi zewnętrznemu (po dwóch odbiciach). W drugiej i trzeciej kolumnie mamy kąty odpowiadające łukom FG i FK z wierzchołkiem w środku kropli. Tabela ta nie prowadzi do oczywistych wniosków, ale można zauważyć, że kąt ONP nie przekracza nigdy 42°, natomiast kąt SQR nie jest w żadnym przypadku mniejszy niż 52°. Potrzeba dalszych obliczeń, bardziej szczegółowych.

Teraz widać dokładniej, że maksymalna wartość kąta ONP równa jest 41°30′, co po dodaniu 17′ promienia kątowego Słońca daje kąt graniczny 41°47. Żaden promień odbity jednokrotnie nie wychodzi pod kątem większym niż ten graniczny. Podobnie dla tęczy zewnętrznej otrzymujemy 51°37′. Wyjaśnia to także, czemu w obszarze między łukami tęczy widzimy obszar ciemny, co zauważył już Aleksander z Afrodyzji, działający na przełomie II i III w.n.e. filozof ze szkoły perypatetyckiej w Atenach. Na wykresie (pierwsze wykresy funkcji pojawiły się w drugiej połowie wieku XVII) widzimy dokładniej zachowanie promieni: mamy dwa ekstrema i w okolicy ekstremów wiele promieni wychodzących pod niemal tym samym kątem. Natężenie światła powinno w pobliżu owych ekstremów dążyć do nieskończoności, ale znów posługujemy się pojęciami z późniejszej epoki, o natężeniach światła zaczęto mówić dopiero w wieku XVIII. Descartes widział tu wiele promieni i sądził, że ma to związek z barwą czerwoną. Nb. jeśli mierzalna wielkość – jak tutaj natężenie światła – rośnie do nieskończoności, to znaczy, że nasza teoria się załamuje. Falowa teoria światła rozmyje te maksima i sprowadzi do skończonych rozmiarów.

Przy okazji Descartes poprawia tych uczonych, którzy sądzili jak Kepler, że kąt łuku tęczy może być równy np. 45°: żeby otrzymać taką wartość, należy przyjąć wyraźnie odmienną wartość współczynnika załamania wody, co przeczy obserwacjom. „Najmocniejsza” barwa czerwona występuje na granicy ciemni Aleksandra w obu tęczach, co Descartes łączył z wynikami obserwacji pryzmatycznych i co jest nieprawdą, podobnie jak te roje kulistych cząstek wypełniające świat. 

Można się zastanawiać, jak z perspektywy czasu będzie wyglądać nasza dzisiejsza wiedza na różne tematy. Zapewne także okaże się pomieszaniem piramidalnych błędów (kulki wypełniające wszechświat) z przebłyskami rzetelnej wiedzy (tu zastosowanie prawa Snela). 

Zestawienie danych do tabelek Descartes’a nie wydawało się w tamtej epoce rzeczą prostą. Baruch Spinoza poświęcił całą osobną pracę na zrozumienie, jak zbudować owe tabelki. Descartes podał tylko, że kąt ONP jest równy 180°+kąt FG-2 kąty FK. Spinoza (w pracy przetłumaczonej na polski w antologii Empiryczne podstawy o obrzeża filozofii XVII wieku, Wydawnictwo UMK, Toruń 2014) zmaga się m.in. z problemem, jak z danej odległości CI otrzymać kąt FCK i robi to dziwaczną okrężną drogą, podczas gdy wystarczą tablice sinusów. Dla przyszłych matematyków zarysował się tu problem, jak obliczyć położenia ekstremów, dziś wystarczy obliczyć pochodną i przyrównać ją do zera. Problem rozwiązał jednak Christiaan Huygens, zanim jeszcze „oficjalnie” powstał rachunek różniczkowy, o czym napiszę w kolejnej części.

Dla porządku spójrzmy jeszcze, jak obliczyć kąt wyjścia promieni po jednym załamaniu.

Odległość . Z prawa załamania otrzymujemy Dla dwukrotnego odbicia otrzymamy kąt .

 

 

 

 

René Descartes i jego sny (10/11 listopada 1619)

Powtarzam wpis z lipca 2016, bo dość aktualny, a także dlatego, że napiszę wkrótce o tym, jak Descartes odkrył, skąd się bierze zjawisko tęczy.

Ludzie, a także i całe społeczeństwa robią sobie czasem wakacje od rozumu i popełniają błędy, mimo iż wiedzą, że postępują źle i nierozsądnie. Przedkładają jednak chwilowe upojenie bliskością innych, podobnie czujących, nad ustawiczny wysiłek chłodnego namysłu. Nie pomagają wówczas żadne argumenty ani statystyki. Na ekspertów patrzy się jak na błaznów bądź płatnych zdrajców. Ludzi mądrych uważa się za głupców albo sklerotyków. Największe głupstwa, a nawet szaleństwa prowadzące do zbrodni, zaczynały się wśród powszechnego entuzjazmu. Pod koniec czerwca 1914 roku serbski nacjonalista zastrzelił arcyksięcia Franciszka Ferdynanda i jego żonę Zofię. Uchroniło to być może Puszczę Białowieską przed wytrzebieniem zwierzyny (arcyksiążę był fanatykiem myślistwa), lecz incydent ten uruchomił międzynarodowe domino: wszyscy wszystkim zaczęli stawiać jakieś ultymatywne żądania i wypowiadać wojnę. Latem 1914 roku w całej Europie żegnano na dworcach kolejowych radosnych młodzieńców udających się na krótką – tak się wszystkim zdawało – męską przygodę wojenną. Jesienią roku 1918 wracało ich o siedemnaście milionów mniej i nikt się już nie cieszył: ani zwycięzcy, ani pokonani. W roku 1933 entuzjazm milionów Niemców zagłuszył wszelkie wątpliwości i skrupuły, jakie powinien wzbudzić sposób rządzenia nazistów, jak i sama osoba ich paranoicznego Führera. Cierpieli zresztą „jedynie” Żydzi, komuniści, homoseksualiści i liberałowie – nie było się więc czym przejmować. Dumny naród niemiecki mógł wreszcie wziąć odwet na pogardzanej Europie. Nastrój udzielał się zresztą wszystkim, nawet w biednej, słabej i pełnej analfabetów Polsce wykrzykiwano, że nie oddamy ani guzika – i też bijano Żydów, bo byli bezbronni.
Być może znowu wchodzimy w okres „historii spuszczonej z łańcucha” i tańca na wulkanie. Ostatecznie okresy spokoju i choćby względnego dostatku nigdy nie były dniem powszednim historii, częstsze były plagi, wojny, choroby, zamieszki i głód. Niektórzy próbowali wśród powszechnego zamętu robić coś pożytecznego. Na przełomie roku 1916 i 1917 przebywający na froncie wschodnim astronom Karl Schwarzschild napisał dwie niezmiernie ważne prace na temat Einsteinowskiej teorii grawitacji. Rozwiązanie Schwarzschilda dotyczyło pola grawitacyjnego sferycznej masy, np. gwiazdy. Ani Einstein, ani Schwarzschild, który kilka miesięcy później umarł, nie rozumieli wówczas, jak wielkie znaczenie ma owo rozwiązanie – opisuje ono bowiem czarną dziurę, jeden z najosobliwszych obiektów w przyrodzie. Młody lekarz Tadeusz Żeleński, zajmował się w roku 1917 przekładaniem Kartezjusza na polski, starając się zaszczepić rodakom coś z francuskiej klarowności myślenia i prostej elegancji stylu.

Nie zapomnę tego wrażenia… Było to rok temu, w lecie, z początkiem czwartego roku wojny. Siedziałem w mojej izdebce dyżurnego lekarza wojskowej stacji opatrunkowej, i korzystając z chwilowej bezczynności, pracowałem nad pierwszymi rozdziałami tej książki. Tuż prawie pod oknami ochoczo rżnęła orkiestra, odprowadzając kilka marszkompanii, jadących, w ślicznych nowych butach, na „włoski front”. Na fali trywialnej melodii, myśl Descartes’a pędziła wartko, skocznie, radośnie, tak iż ledwo piórem mogłem jej nadążyć. Doznawałem szczególnego uczucia. Nigdy nie mam zbyt mocnego przeświadczenia o rzeczywistości zewnętrznego świata – w tej chwili miałem go mniej niż kiedykolwiek…

Rozprawa o metodzie ukazała się wraz z końcem wojny, pod opaską: „Tylko dla dorosłych”. Był to żarcik tłumacza, który chciał w ten sposób dotrzeć do niefilozoficznych czytelników. Rozmyślania swe Kartezjusz rozpoczął w roku 1619, podczas zupełnie innej wojny. Także i tamta wojna rozpoczęła się od zdarzenia dość małej wagi: oto z zamku na Hradczanach w Pradze rozeźleni protestanci wyrzucili przez okno dwóch przedstawicieli cesarza, którzy nie chcieli się zgodzić na budowanie kościołów, mimo że formalnie zagwarantowana była swoboda wyznania. Nieszczęśni wysłannicy przeżyli upadek z wysokości kilkunastu metrów – wedle katolików stało się to dzięki aniołom, które działając w czasie rzeczywistym, złagodziły skutki grawitacji, natomiast nieokrzesani protestanci przypisywali ten efekt kupie gnijących odpadków, nagromadzonych pod oknami wielkiej sali jadalnej zamku. Wojna nie zakończyła się żadnym miękkim lądowaniem, toczyła się przez trzydzieści lat, pustosząc znaczną część środkowej Europy. W zasadzie było to starcie dwóch głównych odmian chrześcijaństwa walczących o to, która z nich bliższa jest nauce Jezusa Chrystusa: czy katolicy przechowujący tradycję, w której niezmienność święcie wierzyli, czy protestanci, starający się samodzielnie zgłębiać tekst Pisma św. i odrzucający takie magiczne atrybuty religii, jak święte obrazy, relikwie, czy kult świętych. Kiedy obie strony wierzą niezachwianie we własne racje, tylko wyczerpanie zasobów może położyć kres konfliktowi.
O początkach swoich rozmyślań pisał Kartezjusz następująco:

Byłem wówczas w Niemczech, dokąd powołały mnie wojny, które ciągną się tam jeszcze. Kiedy wracałem z koronacji cesarza [Ferdynanda II we Frankfurcie we wrześniu 1619 r.] do armii, początek zimy zatrzymał mnie na kwaterze, gdzie, nie znajdując żadnego towarzystwa, które by mi odpowiadało, i nie mając zresztą, na szczęście, trosk ani namiętności, które by mnie mąciły, siedziałem przez cały dzień zamknięty sam w ciepłej izbie, za jedyną rozrywkę zabawiając się z własnymi myślami. Jedną z pierwszych myśli było spostrzeżenie, że często dzieła złożone z rozmaitych części i wykonane ręką rozmaitych mistrzów mniej są doskonałe niż te, nad którymi pracował tylko jeden człowiek. Tak widzimy, że budowle, które jeden architekt podjął i wykonał, są zazwyczaj piękniejsze i lepiej rozmieszczone niż te, które wielu ludzi starało się skleić, posługując się starymi murami zbudowanymi w innych celach. (przeł. T. Żeleński-Boy)

Kartezjuszowi marzyła się więc nauka będąca dziełem jednego autora, jak poemat albo dzieło historyczne. Po części wynikało to chyba z jego temperamentu, trochę może ze swoistej wielkopańskiej wyniosłości w sferze intelektu – nie dopuszczał bowiem myśli, by ktokolwiek inny mógł dokonać czegoś ważnego w obszarze, który jego samego zajmował. Dlatego np. lekceważył dokonania Galileusza na polu mechaniki ani nie uważał za stosowne wspomnieć o tym, co zawdzięczał Willebrordowi Snellowi (prawo załamania światła) albo Isaakowi Beeckmanowi. Francis Bacon wyobrażał sobie naukę jako wielkie biuro patentowe użytecznych wynalazków, Kartezjusz sądził, że liczą się wybitne jednostki i ich myśli, a więc raczej konstrukcja niż detale. Znalazł naśladowców, pycha filozofów tworzących systemy osłabnąć miała dopiero w XX wieku. Podział na naukę i humanistykę przebiega zresztą do dziś w tym samym miejscu: jeśli ważniejszy jest indywidualny styl autora niż to, co mówi, i jeśli może on wybierać z tradycji dowolne elementy, które samodzielnie interpretuje, to mamy do czynienia z humanistyką. W nauce rządzą znacznie surowsze reguły: musimy znać ściśle określony kanon uznanej wiedzy (zazwyczaj z drugiej ręki), liczą się natomiast bezosobowe dokonania, dowód matematyczny czy eksperyment geniusza powtórzyć może każdy wykształcony specjalista i stanowi to wręcz warunek, aby praca była akceptowalna. Zapewne dlatego w nauce tak zażarcie toczą się spory o priorytet: inne cechy indywidualne roztapiają się w podręcznikach i z czasem coraz trudniej odróżnić wkład konkretnych uczonych. Kartezjusz miał nadzieję połączyć oba rodzaje działalności i stworzyć gmach wiedzy, którego żaden sceptycyzm nie mógłby zburzyć. Prawda jest tylko jedna, zatem i jej odkrywca w zasadzie musi być jeden, inni skazani są na pisanie gloss i uzupełnień.
W listopadzie 1619 roku dwudziestotrzyletni uczony kwaterował w Neuburgu. Był żołnierzem zaciężnym księcia Bawarii, nie bardzo mu zależało na wygranej jednej albo drugiej strony, przedtem służył w Holandii. Czekano na cieplejszą porę roku, by na nowo podjąć działania zbrojne.
Na kwaterze unikał rozmów i pijatyk, którym oddawali się jego kompani, mało wychodził, całymi dniami rozmyślał nad nową podstawą wiedzy. Nie stworzył jej od razu, zapamiętał jednak i zapisał trzy sny, jakie miał w nocy z 10 na 11 listopada 1619 roku. Zarys racjonalnej filozofii objawił się więc w sposób zgoła nieracjonalny, uczony wierzył, że sny mogą być zsyłane przez Boga albo demony, to Stwórca w ostatecznym rachunku miał gwarantować, że wszystko to, co tu widzimy i przeżywamy nie jest tylko jakimś uporczywym sennym majakiem.
W pierwszym śnie pojawiły się jakieś zjawy tak straszne, że zmuszony był kroczyć mocno przechylony na lewą stronę, gdyż z prawej strony czuł niezmierną słabość. Zawstydzony sytuacją, młodzieniec spróbował się wyprostować, wtedy jednak zawiał potężny wiatr w formie wiru i okręcił go kilkakroć na lewej nodze. Na swej drodze spostrzegł kolegium (może La Flèche, gdzie się uczył?) i zapragnął się w nim schronić. Miał zamiar dotrzeć do kościoła, aby się pomodlić. Minął znajomą osobę, lecz jej nie pozdrowił; kiedy chciał naprawić ten lapsus, nie mógł się cofnąć, ponieważ znowu zaczął wiać silny wiatr w kierunku kościoła. Spotkał też innego znajomego, który przekazał mu dla pana N. zamorski owoc, przypominający melona. Wszyscy inni widziani we śnie poruszali się i zachowywali normalnie, jedynie on jeden doświadczał trudności w utrzymaniu równowagi. Niebawem się ocknął i spostrzegł, że leży na lewym boku. Sądząc, że sen może być dziełem złego demona, uczony obrócił się na prawy bok i jął się modlić, pamiętając, iż w oczach Boga winny jest wielu grzechów, które popełniał w skrytości, tak aby ludzie ich nie widzieli. Po mniej więcej dwóch godzinach rozmyślań nad dobrem i złem zasnął znowu. We śnie usłyszał wielki huk, który wziął za grzmot pioruna. Natychmiast obudził się ze strachu i dostrzegł mrowie drobnych iskierek ognia wypełniających pokój. Zdarzało mu się już wcześniej doświadczać takiego zjawiska, teraz jednak zdecydowany był zaobserwować jego przyczyny i zamykając oraz otwierając oczy, śledził swoje wrażenia. Filozoficzny namysł rozproszył lęk i uczony zasnął po raz trzeci. Tym razem nie było się czego bać. Znalazł na stole książkę, o której nie pamiętał, by ją wcześniej tam położył. Otworzył ją, stwierdzając zaś, że to słownik, ucieszył się, ponieważ książka mogła się przydać. W tej samej chwili odkrył też obok inną książkę, także dla niego nową, nie mając pojęcia, skąd się wzięła. Była to antologia Corpus poetarum, otwarła mu się na wierszu zawierającym słowa: Quod vitae sectabor iter? (Jaką drogę życia wybiorę?). W tej samej chwili spostrzegł nieznanego mu męża, który wręczył mu, zachwalając jako znakomity, wiersz zaczynający się od słów Est et Non (Tak i nie). Zaczęli rozmawiać o tym wierszu, w którym Kartezjusz rozpoznał jedną z idylli Auzoniusza. Po chwili książki i dziwny interlokutor rozpłynęli się, a uczony, wciąż się nie budząc, uznał, że śni; ów słownik oznacza wszelką wiedzę zgromadzoną w jednym miejscu, antologia poezji, Corpus poetarum zaś – filozofię oraz mądrość złączone w jedno.

Wierzył bowiem, że wcale nie należy się dziwić, iż poeci, nawet bawiąc się płochymi rzeczami, wypowiadają wiele zdań poważniejszych, bardziej sensownych i lepiej wyrażonych niż to, co mówią filozofowie. Przypisywał to boskiemu natchnieniu oraz sile wyobraźni, która wydobywa zarodki mądrości (zawarte w umyśle każdego człowieka niczym iskry w krzemieniu) z większą łatwością i błyskotliwiej, niż czyni to rozum filozofów.

Rozmyślał też (ciągle we śnie) nad słowami Quod vitae sectabor iter? Po czym zbudził się, nie przestając się zastanawiać nad symboliką swoich snów. Sen trzeci, przechodzący w jawę, zapowiadać miał życie filozofa, który przezwycięży pokusy płynące z różnych stron. Nazajutrz filozof modlił się gorąco do Boga, by zechciał mu odsłonić swoją wolę, oświecić go i prowadzić w poszukiwaniu prawdy. Potem zwrócił się do Matki Bożej, polecając jej tę sprawę, najważniejszą w swym życiu, złożył też ślub, że przy okazji podróży do Italii, którą planował w najbliższym czasie, odbędzie pielgrzymkę do Loreto. Później zobowiązał się nawet, że od Wenecji odbędzie tę pielgrzymkę pieszo. Religijno-filozoficzny entuzjazm po kilku dniach opadł. Ostatecznie filozof nie wybrał się tej zimy do Italii.
Nie znaczy to bynajmniej, że kiedy później ochłonął, przestał wierzyć w natchnienie płynące z owych snów. Epizod ten odegrał, jak się zdaje, ważną rolę w duchowym rozwoju Kartezjusza, choć trudno treść owych snów powiązać z jakimiś uchwytnymi etapami jego poglądów. Najprawdopodobniej rzecz dotyczy pewnych głębszych skojarzeń, poetyckiej strony filozofii, dopiero później umiał ją wyrazić w terminach jasnych, jak sądził, dla każdego człowieka obdarzonego rozsądkiem.

Wziąwszy pod rozwagę, iż zasady tych nauk winny być wszystkie zaczerpnięte z filozofii, w której nie znajdowałem jeszcze pewnych podstaw, pomyślałem, iż trzeba mi przede wszystkim starać się ustalić takowe, i że – wobec tego, iż jest to rzecz najważniejsza w świecie i w której najbardziej należało się obawiać pośpiechu i uprzedzenia – nie powinienem podejmować dzieła tego wprzódy, aż osiągnę wiek o wiele dojrzalszy niż dwadzieścia trzy lat, które wówczas liczyłem, i aż zużyję wiele czasu na przygotowanie się do tych zadań, tak wykorzeniając z umysłu wszystkie błędne mniemania, jakie przyjąłem weń przed tym czasem, jak też gromadząc rozmaite doświadczenia, aby zbierać materię dla moich rozumowań i ćwicząc się ciągle w metodzie, jaką obrałem, aby umocnić się w niej coraz więcej. (przeł. T. Żeleński-Boy)

Jeśli wierzyć wspomnieniom filozofa, rozpoczął on wtedy swego rodzaju eksperyment poznawczy, traktując życie i jego przypadki jako spektakl odbywający się na jego oczach i dostarczający materiału do przyszłej pracy filozoficznej. Ustalił sobie na okres przejściowy pewne reguły postępowania, ponieważ nie można zanegować wszystkiego jednocześnie. Sceptyczny po to, aby się ze sceptycyzmu raz na zawsze wydobyć, traktował te lata wędrówki jak prolog.

Upewniwszy się w ten sposób co do tych zasad i odłożywszy je na stronę wraz z prawdami wiary, które zawsze były na pierwszym miejscu w moich wierzeniach, osądziłem, iż, co do reszty mniemań, mogę swobodnie przystąpić do ich uprzątnięcia. Otóż, spodziewałem się lepiej z tym uporać, obcując z ludźmi, niż pozostając dłużej zamknięty w komorze, gdzie począłem wszystkie te myśli: zima tedy jeszcze niezupełnie dobiegła końca, a ja już puściłem się w drogę. I przez całe następne dziewięć lat czyniłem nie co innego, jak tylko tłukłem się tu i tam po świecie, starając się być raczej widzem niż aktorem we wszystkich komediach, jakie się na nim odgrywa. Rozważając w każdym przedmiocie szczególnie to, co mogłoby go uczynić podejrzanym i dać nam sposobność do omyłki, wykorzeniałem równocześnie z mego umysłu wszystkie błędy, jakie mogły się weń wprzódy wśliznąć. Nie iżbym w tym naśladował sceptyków, którzy wątpią, aby wątpić, i lubują się zawsze w niezdecydowaniu; przeciwnie, cały mój zamiar dążył tylko ku temu, aby się upewnić. Odrzucałem ruchomą ziemię i piasek, aby natrafić na skałę lub glinę. Udawało mi się to, jak sądzę, dość dobrze, ile że, starając się odkryć fałszywość lub niepewność twierdzeń, jakie rozpatrywałem, nie za pomocą słabych przypuszczeń, ale za pomocą jasnych i pewnych rozumowań, nie spotykałem wśród nich tak wątpliwego, z którego bym nie wyciągnął jakiejś dość pewnej konkluzji, choćby tej właśnie, iż nie zawiera ono nic pewnego. I jako burząc stare domostwo, zachowuje się zazwyczaj gruz, aby się nim posłużyć ku zbudowaniu nowego, tak niwecząc wszystkie mniemania, które osądziłem jako źle ugruntowane, czyniłem rozmaite spostrzeżenia i nabywałem mnogich doświadczeń, które posłużyły mi później ku zbudowaniu pewniejszych. Co więcej, ćwiczyłem się wciąż w metodzie, jaką sobie przepisałem; poza tym bowiem, iż starałem się na ogół prowadzić wszystkie moje myśli wedle reguł, zachowywałem sobie, od czasu do czasu, kilka godzin, które obracałem osobliwie na ćwiczenie się w trudnościach matematycznych lub nawet także w niektórych innych, które mogłem niejako upodobnić do matematycznych, odłączając je od zasad wszystkich nauk, które mi się nie zdawały dość pewne, jako ujrzycie, iż uczyniłem w wielu wyłożonych w tymże tomie. I tak, nie żyjąc na pozór w inny sposób niż ci, którzy, nie mając innego zadania, jak tylko pędzić życie lube a niewinne, starają się oddzielić przyjemności od błędów, i którzy, aby się cieszyć swoim wczasem nie nudząc się, zażywają wszystkich godziwych rozrywek, nie zaniedbywałem statecznego posuwania się w moim zamiarze i zapuszczania się w poznanie prawdy, być może więcej, niż gdybym był tylko czytał książki lub obcował z uczonymi. (przeł. T. Żeleński-Boy)

Niewiele wiemy o tych fascynujących Wanderjahre filozofa. Rok po nocy snów uczestniczył w oblężeniu i zdobyciu Pragi. Nie jest jasne, jaki był jego osobisty udział w walkach, ważnych dla losów Czech, wtedy to bowiem, w bitwie na Białej Górze, czescy protestanci ponieśli sromotną klęskę, która przesądziła o rządach Habsburgów na kilka wieków. Przywódcy powstania przeciw cesarzowi zostali ścięci, a ich głowy zatknięte na moście przez wiele lat stanowiły przestrogę dla potencjalnych buntowników. Palatyn reński, Fryderyk V, „zimowy król” Czech, uciekł, zabierając jedynie trochę klejnotów. Parę lat wcześniej na uroczystościach jego zaślubin z Anną Stuart odegrano Burzę Williama Shakespeare’a. Pochłonięty mocarstwowymi rojeniami młodzik, nie zwrócił zapewne żadnej uwagi na słowa Prospera:

Aktorzy moi, jak ci powiedziałem,
Były to duchy; na moje rozkazy
Na wiatr się lekki wszystkie rozpłynęły.
Jak bezpodstawna widzeń tych budowa,
Jasne pałace i wieże w chmur wieńcu,
Święte kościoły, wielka ziemi kula,
Tak wszystko kiedyś na nic się rozpłynie,
Jednego pyłku na ślad nie zostawi,
Jak moich duchów powietrzne zjawisko.
Sen i my z jednych złożeni pierwiastków;
Żywot nasz krótki w sen jest owinięty. —