Pitagoras i Vincenzo Galilei: początek i koniec tradycji pitagorejskiej (VI w. p.n.e., 1588)

Pitagoras pierwszy nazwał się filozofem, lecz stał się założycielem sekty na poły religijnej, która przekazywała sobie wierzenia, obyczaje, obrządki i nie dopuszczała nikogo bez długiego procesu formowania charakteru i umysłu. Pitagorejczycy wierzyli w wędrówkę dusz, obejmującą także dusze zwierzęce, więc nie składali ofiar ze zwierząt i starali się nie jeść mięsa, zazwyczaj zadowalali się warzywami, kaszą i przyprawami. Mieli też osobliwą na tle ówczesnej Grecji koncepcję piękna:

Piękny jest więc widok całego nieba i poruszających się po nim gwiazd, jeśli ktoś potrafi dostrzec ich porządek; a piękne jest to wszystko przez uczestniczenie w tym, co pierwsze i dostrzegalne umysłem. Pierwsza zaś jest dla Pitagorasa natura liczb i stosunków liczbowych, ogarniająca całość rzeczywistości, zgodnie z nimi bowiem wszechświat jest mądrze zbudowany i prawidłowo uporządkowany; mądrość zaś jest wiedzą o tym, co piękne i pierwsze, boskie i niezniszczalne, zawsze takie samo i podlegające takiemu samemu porządkowi (…) filozofia natomiast to umiłowanie takiej kontemplacji [Jamblich, O życiu pitagorejskim, przeł. J. Gajda-Krynicka].

Wszechświat postrzegali pitagorejczycy jako κόσμος – kosmos, czyli pięknie złożoną harmonijną całość. Pitagoras odkrył, że prostym proporcjom liczbowym, takim jak 2:1; 3:2 oraz 4:3 odpowiadają harmonijnie współbrzmiące interwały dźwięków: oktawa, kwinta i kwarta. Fakt ten stał się punktem wyjścia całej jego filozofii i kosmologii. Odgrywały w nich rolę muzyka i matematyka, ich związek był fundamentalny. Muzyka miała bowiem swe odbicie w strukturze wszechświata, nie była jedynie sztuką wydawania sugestywnych dźwięków. W ten sposób, po raz pierwszy, wszechświat stał się matematyczny.

Pitagorejczycy uzasadniali owe proporcje dźwięków w sposób numerologiczny. Ich zdaniem liczby 1, 2, 3, 4, były wieloznacznymi symbolami. Suma tych czterech liczb nazywana była tetraktys – arcyczwórką. Arytmetyka miała być także podstawą geometrii: przestrzeń wyobrażali sobie pitagorejczycy jako „skwantowaną”, złożoną z dyskretnych wielkości. Doprowadziło to do kryzysu: zgodnie bowiem z twierdzeniem Pitagorasa długość przekątnej kwadratu o boku równym 1 wynosi \sqrt{2}. Jeśli przyjąć, że można tę liczbę zapisać jako stosunek liczb całkowitych (jak powinno być w dyskretnej przestrzeni), dochodzi się do sprzeczności. Dziś mówimy, że \sqrt{2} jest liczbą niewymierną. Odkrycie tego faktu wstrząsnęło pitagorejczykami.

Wróćmy jednak do harmonii dźwięków. Mamy tu początek fizyki matematycznej – oto pewne stosunki w przyrodzie poddane są zasadom matematyki. Z czasem miało się okazać, że jest to prawda w odniesieniu do całej przyrody, choć uznanie tego faktu zajęło ludzkości ponad dwa tysiące lat. Dziś nie mamy wątpliwości co do nadzwyczajnej skuteczności matematyki w badaniu przyrody. Niektórzy uważają nawet, że w każdej nauce tyle jest prawdy, ile jest w niej matematyki.

W jakim sensie proporcje związane są z parami dźwięków?

Jamblich tak pisze o okolicznościach dokonania owego odkrycia przez Pitagorasa:

Rozmyślał kiedyś i zastanawiał się, czy da się wymyślić dla słuchu jakieś pomocnicze narzędzie, pewne i nieomylne, jakie ma wzrok w cyrklu, w miarce (…), dotyk zaś w wadze i w wynalazku miar; a przechadzając się w pobliżu warsztatu kowalskiego, jakimś boskim zrządzeniem losu usłyszał młoty kujące żelazo na kowadle i wydające dźwięki zgodne ze sobą, z wyjątkiem jednej kombinacji. Rozpoznał zaś w nich współbrzmienie oktawy, kwinty i kwarty. Dostrzegł natomiast, że dźwięk pośredni między oktawą a kwintą sam w sobie pozbawiony jest harmonii, lecz uzupełnia to, czego w innych jest w nadmiarze. Zadowolony zatem, ponieważ została mu zesłana pomoc od boga, poszedł do warsztatu i po wielu rozmaitych próbach odkrył, iż różnica dźwięków rodzi się z ciężaru młotów, nie z siły uderzających, nie z kształtu narzędzi ani też nie z przekształceń kutego żelaza; a zbadawszy dokładnie odpowiednie wagi i ciężary młotów, poszedł do domu i wbił między ściany, od kąta do kąta, jeden kołek, jeden by z wielości kołków albo też z różnej ich natury nie zrodziła się jakaś różnica; następnie przywiesił do kołka w równym od siebie oddaleniu cztery struny z jednakowej materii, jednakowej długości, grubości i jednakowo sporządzone, przywiązawszy do każdej z dołu ciężar i wyrównawszy całkowicie długość strun. Następnie uderzając jednocześnie w dwie struny na przemian, odnalazł wymienione wyżej współbrzmienia, inne w każdym ze związków. Odkrył bowiem, że ta, która obciążona była największym ciężarem wraz z tą, która miała ciężar najmniejszy, razem uderzone tworzą stosunek oktawy. Jedna bowiem miała dwanaście ciężarków, druga zaś sześć; w podwójnej proporcji ujawniła się oktawa, jak to wskazywały same ciężarki. [przeł. J. Gajda-Krynicka]

Jamblich był syryjskim pitagorejczykiem żyjącym w III/IV w. n.e., a więc niemal tysiąc lat po filozofie z Samos. Dlatego, jak to się zdarza zwolennikom bardziej entuzjastycznym niż rozumiejącym, poplątał to i owo w tej historii. Wiemy, że pragnął swymi opowieściami przewyższyć zdobywające sobie popularność historie o innym mistrzu, Jezusie Chrystusie.

Jamblich przedstawia nam etapy odkrycia: mamy więc problem (jak proporcje mogą być odwzorowane dźwiękami?), iluminację pod wpływem przypadkowego bodźca (młoty kowalskie), analizę i wyjaśnienie sensu owej iluminacji, a następnie przeprowadzenie eksperymentu, w którym początkowa sytuacja zostaje sprowadzona do najważniejszej istotnej zależności: chodzi nie młoty, lecz dźwięki; można je badać za pomocą jednakowych strun pod działaniem różnych sił naciągu.

Mamy właściwie przepis, jak należy odkrywać matematyczne prawa przyrody, oczywiście w stosownej chwili musimy otrzymać pomoc od boga, inaczej wkroczymy w jedną z tych niezliczonych ścieżek, które nigdy nie zawiodły do żadnego rozsądnego punktu. Bywa i tak, że ciąg dalszy odnajduje się po wielu latach – w tym sensie z oceną wartości pewnych prac naukowych należy poczekać.

Niestety, ciąg dalszy opowieści Jamblicha dowodzi, że nie zrozumiał on odkrycia mistrza. Nie chodzi bowiem o siły naciągu, lecz długości strun. To one muszą być w odpowiedniej proporcji. Np. kwintę otrzymamy, biorąc taką samą strunę z takim samym naciągiem, lecz o długości krótszej w proporcji 2:3. Przez wieki powtarzano błąd Jamblicha, nie zadając sobie trudu mierzenia czegokolwiek. Powszechnie sądzono, że owe proporcje zawarte są we wszystkich sposobach wydobywania dźwięków tak, jak to widzimy na ilustracji poniżej, pochodzącej z przełomu XV i XVI wieku.

W XVI wieku powiększono listę dźwięków współbrzmiących harmonijnie, uzasadniając to zresztą także na sposób pitagorejski. Gioseffo Zarlino, maestro di capella San Marco w Wenecji, proponował dołączenie 5 i 6 do starożytnego zestawu. Uzasadniał to rozmaitymi „nadzwyczajnymi” własnościami liczby sześć: jest liczbą doskonałą (równą sumie swych podzielników), sześć było dni Stworzenia itd.

Empiryczne podejście do tego zagadnienia zawdzięczamy sceptycyzmowi i jadowitemu charakterowi Vincenza Galilei, muzyka i teoretyka muzyki z Florencji. Był on uczniem Zarlina, lecz zaatakował go bezpardonowo w wydanym w roku 1589 traktacie. Uważał wszelką numerologię za nonsens i postanowił wykazać to doświadczalnie. Stosunki dźwięków nie są bowiem związane jednoznacznie ze stosunkami liczbowymi. Np. kwintę możemy uzyskać nie tylko skracając strunę w stosunku 3/2, ale także zwiększając siłę naciągu w proporcji (3/2)^2=9/4. Mamy więc następujące prawo: chcąc otrzymać dany wyższy dźwięk możemy albo skrócić strunę x razy, albo zwiększyć siłę naciągu x^2 razy. Było to pierwsze w ogóle nowożytne prawo fizyki matematycznej.
W ten sposób numerologia została pogrążona, gdyż widzimy, że równie dobrze można by wiązać kwintę z proporcją 9/4. Był to tylko jeden z wielu argumentów wysuwanych w traktacie przeciwko Zarlinowi. Vincenzo Galilei miał zdolnego syna o imieniu Galileo, któremu przekazał swój choleryczny temperament i namiętną pogardę dla umysłowej niższości. Niewykluczone, że eksperymenty nad tą kwestią prowadzili zresztą obaj razem, zapewne w roku 1588. W roku następnym Galileo uzyskał skromną posadę na uniwersytecie w Pizie. Napisał tam poemat na temat noszenia togi, w którym drwił z księży (wrogowie wszelkiej niewygody), uczonych kolegów (są jak flaszki wina: nieraz we wspaniale oplecionych butelkach zamiast bukietu czuje się wiatr albo perfumowaną wodę i nadają się tylko do tego, by do nich nasikać), a także twierdził, że chodzenie nago jest największym dobrem. Zajął się też poważnie mechaniką. Możliwe, że to ciężarki zawieszone na końcu struny w eksperymentach prowadzonych z ojcem, a nie kandelabr w katedrze, nasunęły mu myśl o wahadle.

Prawo odkryte przez Vincenza Galileo łatwo uzasadnić. Prędkość rozchodzenia się dźwięku v w strunie naciągniętej siłą T, która ma gęstość liniową (masa na jednostkę długości) \varrho równa się

v=\sqrt{\dfrac{T}{\varrho}}.

Jeśli końce struny są nieruchome, to długość powstającej fali \lambda jest dwa razy większa niż długość struny L: \lambda=2L. Zatem częstość drgań struny \nu jest równa

\nu=\dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{T}{\varrho}}.

Napięcie struny wchodzi więc w potędze 1/2, stąd wynik Vinzenza Galileo.

Reklamy

Thomas Wright: kosmos jako ogród Boga (1750)

Kopernik odebrał Ziemi wyjątkowy status ciała centralnego, ciężkiego i bezwładnego, zbudowanego z innej materii niż świetliste i lekkie ciała niebieskie. Bardzo to uwierało rzymską Kongregację Indeksu, która w 1620 roku ogłosiła „korektę” dzieła, zalecając na użytek wiernych poprawki, np. „Ziemia nie jest gwiazdą (tzn. ciałem niebieskim), jaką ją czyni Kopernik”. Autor nie żył już od niemal osiemdziesięciu lat, ale nic to: poprawki mogli wprowadzić samodzielnie czytelnicy, by ich własne oko nie musiało się gorszyć (a przyjaciele nie donieśli komu trzeba). Jak wykazała kwerenda Owena Gingericha do zaleceń tych zastosowano się jednak niechętnie, nawet w Italii i Hiszpanii, a więc krajach ultrakatolickich, nieskażonych zarazą protestantyzmu. Poza tym im dalej od Rzymu, tym gorzej.

Zakazy kościelne okazały się patetycznie bezsilne wobec fali nowej nauki wzbierającej nawet w Italii, gdzie po skazaniu Galileusza należało uciekać się do rozmaitych wybiegów. Np. Giovanni Alfonso Borelli ogłosił teorię ruchu księżyców Jowisza, choć w oczywisty sposób chodziło mu o ruch planet wokół Słońca. Matematycznie było to to samo, a nie drażniło się inkwizycji. Nauki ścisłe i eksperymentalne opuszczały jednak Italię i rozkwitały głównie w Anglii, Holandii i Francji, dokąd nie sięgały zakazy teologów rzymskich. Protestanci z upodobaniem głosili poglądy sprzeczne z tym, co głosili „papiści”. Korelacja wyznania i wkładu do rewolucji naukowej w XVII i XVIII wieku jest wyraźna. Różnica kulturowa między Europą północno-zachodnią a południowo-wschodnią stawała się coraz głębsza. Protestantyzm był tu zresztą raczej symptomem niż przyczyną. Chrześcijaństwo Lutra i Kalwina było oczyszczone i odnowione, starało się „odczarować” świat, odrzucając magiczne aspekty religii. Tamten podział Europy istnieje do dziś, podobnie jak w badaniach społecznych widać granice zaborów w Polsce.

Uznanie wszechświata za nieskończony a Słońca za jedną gwiazd (w dzisiejszym znaczeniu tego słowa, a więc ciała niebieskiego, które świeci w zakresie widzialnym) nie wynikało z kopernikanizmu w sensie logicznym, ale było jego naturalną konsekwencją. Galileusz bardzo podkreślał, że nie tylko Ziemia nie spoczywa w środku świata, ale wszechświat zapewne nie ma w ogóle żadnego środka. Nie zgadzał się z tym jego największy współczesny Johannes Kepler, który wierzył, że Słońce spoczywa w centrum świata, a gwiazdy są światłami na nieruchomej sferze niebieskiej. Po Isaacu Newtonie nieskończony wszechświat wydawał się jedyną realną możliwością: gwiazdy w skończonym i statycznym wszechświecie musiałyby się zapaść grawitacyjnie do wspólnego środka masy. Nieskończony wszechświat mógłby teoretycznie znajdować się w stanie równowagi nietrwałej. Sytuację taką zasugerował teolog Richard Bentley w listownej dyskusji z Newtonem, a ten niechętnie uznał to za możliwe. Sam raczej sądził, że grawitacja wywołuje rzeczywiście niestabilność, ale Stwórca od czasu do czasu daje prztyczka ciałom niebieskim, aby je przywołać do porządku bądź zbudować nowy porządek. Na przykład księżyce Jowisza mogłyby być zapasowymi planetami trzymanymi na przyszłość. Hipoteza nieskończonego wszechświata prowadziła też niektórych do wniosku, że niebo w nocy powinno świecić jak powierzchnia Słońca. To poważne zastrzeżenie, które Newton, a właściwie Halley starał się obalić niezbyt przekonującymi argumentami.

Protestancka swoboda spekulacji kosmologicznych zaowocowała sporą liczbą różnych traktatów, w których starano się pogodzić prawo ciążenia i dane astronomiczne z Pismem św. Nie było tu mrożącego efektu inkwizycji. Nie tylko teologowie, ale różnego rodzaju samoucy zastanawiali się nad budową i dziejami wszechświata. Do tej ostatniej kategorii zaliczał się Thomas Wright, który niewiele chodził do szkoły. Jako syn cieśli nie mógł liczyć na głębszą edukację, tym bardziej że rozgniewany ojciec spalił mu kiedyś książki, nad którymi jego zdaniem syn spędzał zbyt wiele czasu. Terminował w zawodzie zegarmistrza, potem w sztuce budowania przyrządów nawigacyjnych. Uczył nawigacji marynarzy spędzających zimy na handlu węglem i czekaniu na sezon żeglugowy. Z czasem uczył także nauk matematycznych w domach arystokratycznych, zaczął też projektować ogrody, na co był spory popyt.

W roku 1750 Wright ogłosił książkę pt. An original theory or new hypothesis of the Universe. Obiecywał w niej wyjaśnić ni mniej, ni więcej tylko budowę wszechświata, trzymając się praw natury i zasad matematycznych – zwłaszcza te ostatnie po Newtonie były w cenie. Dzięki tej modzie wiele dam spośród arystokracji pragnęło poznać tajniki nauk ścisłych i interesowało się astronomią. Szczególną wagę przywiązywał Wright do wyjaśnienia „zjawiska Via Lactea” – czyli Drogi Mlecznej na niebie. Można przypuszczać, że słuchaczki zadawały mu często pytanie, czym jest owa Droga Mleczna. W tamtych czasach marnego oświetlenia nie sposób było nie znać widoku nocnego nieba.

Już Galileusz po pierwszych obserwacjach przez teleskop twierdził, że Droga Mleczna to nagromadzenie słabych gwiazdek, które zlewają się w jednolitą poświatę. W czasach Wrighta wiedziano więcej na temat odległości gwiazd. Przede wszystkim starano się wykryć paralaksę roczną – zjawisko pozornego przemieszczania się gwiazd po sferze niebieskiej w rytmie obiegów Ziemi wokół Słońca. Albo Kopernik nie miał racji, albo gwiazdy były bardzo daleko. Ponieważ po Newtonie system heliocentryczny nabrał sensu fizycznego, więc należało przyznać, że odległości gwiazd od Słońca są niewiarygodnie wielkie. Paralaksa roczna z pewnością nie przekraczała 20”, na co wskazywały obserwacje Jamesa Bradleya. Oznaczałoby to, że gwiazdy są dalej niż 1000 odległości Saturna od Słońca. Można też było oszacować tę odległość na podstawie obserwowanej jasności. Należało wówczas założyć, że gwiazdy są takie jak Słońce i ich obserwowana jasność jest wyłącznie skutkiem ich oddalenia od nas. Newton szacował na tej podstawie, że odległość jasnych gwiazd jest rzędu 100 000 odległości Saturn-Słońce (*). Wszechświat był zatem bardzo pusty i gdyby nawet miał się zapaść, to nie nastąpiłoby to zbyt szybko – musimy pamiętać, że wiek świata liczono w tysiącach lat, zgodnie z Biblią. Newton (nb. fundamentalista biblijny) podał jednak oszacowanie wieku Ziemi na podstawie eksperymentów z czasem stygnięcia na co najmniej 50 000 lat. Wright następująco przedstawił znany wówczas Układ Słoneczny wraz z wydłużonymi orbitami komet (w roku 1750 nie zaobserwowano jeszcze żadnego przypadku komety okresowej).

Odległość do Syriusza, najjaśniejszej gwiazdy na niebie, a więc zapewne także najbliższej przedstawił Wright na środkowym rysunku poniżej (nie udało mu się zachować proporcji). Na dolnym mamy proporcje orbit planetarnych, ukazujące, jak pusto jest nawet w samym Układzie Słonecznym.

Najważniejsze wszakże miało być objaśnienie, czemu widzimy Drogę Mleczną. Najlepiej przedstawia to rysunek.

Jeśli Słońce jest gwiazdą A na rysunku i znajduje się wewnątrz płaskiego zbiorowiska gwiazd, to patrząc w kierunku H albo D widzimy wiele gwiazd, a w kierunku B i C niezbyt wiele. W ten sposób układ gwiazd będzie nam się jawił jako pas wokół sfery niebieskiej.

Mniej więcej w tym miejscu kończy się wkład Wrighta do kosmologii i astronomii. Recenzję z jego książki, bez rysunków, przeczytał w pewnym czasopiśmie pewien zupełnie nieznany magister na prowincjonalnym uniwersytecie w Królewcu. Nazywał się Immanuel Kant i kilka lat później zainspirowany pomysłami Wrighta napisał całą książkę na temat wszechświata. Długo pozostawała ona nieznana, właściwie zwrócono na nią uwagę dopiero po latach, kiedy Kant zdobył sławę, lecz nie jako astronom, tylko jako twórca systemu filozofii.

Thomas Wright nie ograniczył się do tego, co wiadomo z obserwacji i teorii naukowych. Pragnął przede wszystkim zbudować model wszechświata, w którym jest przestrzenne miejsce dla Zbawienia i Potępienia. Jak niemal wszyscy wówczas, traktował dane religijne jako równie pewne jak naukowe. Tradycyjny średniowieczny model świata zawierał Piekło w środku Ziemi i Raj poza sferą gwiazd stałych. Wright spróbował niejako przenicować ten model: w środku miał się znajdować Raj, na zewnątrz, w ciemnościach, Piekło.

Pomysł Wrighta polegał na tym, że wszechświat jest trwały, bo gwiazdy poruszają się po orbitach wokół centrum. Nieporządek wśród gwiazd jest pozorny, patrzymy po prostu z niewłaściwego miejsca. Wcześniej o czymś takim rozmyślał Johannes Kepler, który pisał:

Musielibyśmy bowiem uznać, że Bóg uczynił coś w świecie bez powodu, nie kierując się najlepszymi racjami. Nikt nie przekona mnie do takiego poglądu, gdyż sądzę, że [rozumny ład] panuje nawet wśród gwiazd stałych, których położenia wydają nam się zupełnie bezładne, niczym ziarno rzucone przypadkiem w zasiewie. (Tajemnica kosmosu, rozdz. 2)

Wright go chyba nie czytał, zaczerpnął pomysł zapewne od Williama Whistona, arianina i następcy Newtona na katedrze Lucasa w Cambridge (Whiston miał poglądy religijne zbliżone do Newtona, lecz w odróżnieniu od swego poprzednika głosił je otwarcie, toteż go zwolniono).

Gdyby nasza perspektywa była taka jak Stwórcy, dostrzeglibyśmy ład.

Rzeczywisty obraz wszechświata jest bowiem taki

Słońce A zawarte byłoby wewnątrz ogromnej cienkiej powłoki kulistej. Inną rozpatrywaną przez śmiałego ogrodnika możliwość przedstawia rysunek poniżej:

Takich systemów gwiezdnych miało być nieskończenie wiele.

Oczywiście, wszystko to było czystą fantazją Thomasa Wrighta, który z upodobaniem mieszał rozmaite symbole chrześcijańskie, masońskie i starożytne. Zachował się następujący plan ogrodu kuchennego autorstwa Wrighta, wzorowany na kosmosie.

(*) Interesujące są szczegóły oszacowania odległości do gwiazd. Newton podał je w swoim De mundi systemate liber, czyli popularnej wersji III księgi Matematycznych zasad filozofii przyrody. Metoda opublikowana została w 1668 roku przez szkockiego matematyka Davida Gregory’ego. Co zabawne, oszacowanie to znalazło się w książce opublikowanej w Padwie, a więc za zgodą władz kościelnych, które widocznie nie przyglądały się zbyt dokładnie zawartości książki albo cenzor uznał, że formalnie jest to tylko hipoteza, a więc nie twierdzenie i nie może przeczyć prawdzie natchnionego tekstu. Trudność była w porównaniu jasności Słońca z jasnością jakiejś gwiazdy, nikt nie potrafił wówczas mierzyć jasności. Tak się jednak składa, że planeta Saturn ma średnicę kątową 17” albo 18”. Saturn świeci dla oka niezuzbrojonego jak gwiazda pierwszej wielkości. Znaczy to, że na tę planetę pada 1/(21\cdot 10^8) światła słonecznego, bo w takiej proporcji jest pole powierzchni dysku planety \pi r^2 do pola powierzchni sfery o promieniu R równym wielkości orbity Saturna. mamy

\dfrac{\pi r^2}{4\pi R^2}=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{r}{R}\right)^2.

Wielkość w nawiasie to promień dysku Saturna w radianach. Jeśli przyjmiemy, że jedna czwarta światła słonecznego jest odbijana od powierzchni Saturna, to znaczy, że dysk Saturna świeci 42\cdot 10^8 razy słabiej niż Słońce. A więc gwiazda pierwszej wielkości jest \sqrt(42)\cdot 10^4 razy dalej niż Saturn. Zaokrąglając w górę, otrzymał Newton wartość 100 000. Gregory otrzymał z podobnego rachunku 83 190 jednostek astronomicznych, czyli odległości Ziemia-Słońce, a więc o rząd wielkości mniej. Istniało też oszacowanie Huygensa 27 664 jednostek astronomicznych.

Statyczny wszechświat nie może być stabilny, ten problem przenosi się na teorię grawitacji Einsteina. W przypadku Newtonowskim można łatwo oszacować z III prawa Keplera czas spadku gwiazdy na Słońce, byłby on dla danych Newtona rzędu 30\cdot 10^{5\cdot 3/2}\approx 10^9, liczba 30 to okres obiegu Saturna w latach.

Najmniejsze działanie: od kształtu liny do zasady Hamiltona

Isaac Newton nie traktował trzech zasad dynamiki jako swego szczególnie ważnego odkrycia; sądził, że formułuje tylko fakty znane wcześniejszym badaczom, takim jak np. Christiaan Huygens. Jednak to jego sformułowanie okazało się kanoniczne i trafiło do podręczników. Nie jest to zupełny przypadek: zasady te pozwoliły bowiem zbudować konsekwentną naukę o ruchu i określiły sposób myślenia jego następców. Newton pojawił się w odpowiedniej chwili historycznej, gdy kwestia ruchu w mechanice dojrzała do ścisłego przedstawienia i kiedy pojawiła się stosowna matematyka – czy to w postaci rachunku fluksji samego Newtona, czy rachunku różniczkowego i całkowego Leibniza i Johanna Bernoulliego.

Mechanikę można sformułować na kilka innych sposobów. Zwłaszcza Newtonowskie pojęcie siły jest było nowatorskie i zapewne by się nie pojawiło, gdyby nie samotnik z Cambridge. Nauki ścisłe także są konstrukcją ludzką i tylko częściowo odkrycia w nich przypominają odkrycia geograficzne: kto pierwszy zobaczy wyspę Kuba, automatycznie staje się jej odkrywcą. Nie ma tu bowiem platońskiego świata idei do odkrycia, a w każdym razie idee te mogą przyjmować zupełnie różne kształty i ich zarysy stają się widoczne dopiero wtedy, kiedy ktoś taki jak Albert Einstein albo Andrew Wiles je nam wskaże.

We współczesnej fizyce, zarówno klasycznej, jak kwantowej, najważniejszym sposobem zapisywania praw są zasady najmniejszego działania (in. zasady wariacyjne). Historycznie pojawiły się one później niż Newtonowskie siły, ich znaczenie stopniowo jednak rosło. Gdyby Albert Einstein dostatecznie mocno wierzył w zasady wariacyjne, to zapewne sformułowałby równania swej teorii grawitacji kilka lat wcześniej, jeszcze w Zurychu, a nie w Berlinie, oszczędzając sobie mnóstwa ciężkiej pracy i frustracji z powodu niepowodzeń. Klasyczne zasady najmniejszego działania nabrały nowego sensu w fizyce kwantowej, w Feynmanowskich sumach po historiach. Model Standardowy cząstek elementarnych, czyli sumę naszej wiedzy o mikroświecie, też zapisuje się za pomocą działania.

Poniżej przedstawimy dwa przykłady pokazujące, jak  można sformułować mechanikę w postaci zasad najmniejszego działania.

Kształt ciężkiej liny

Chcemy znaleźć kształt, jaki przyjmie ciężka lina zaczepiona w dwóch punktach.Stan równowagi odpowiada minimalnej energii całkowitej.

Mamy tu do czynienia z dwoma rodzajami energii. Z jednej strony działa grawitacja: im niżej znajdzie się dany element liny, tym niższa będzie jego energia potencjalna. Odcinek liny odpowiadający małemu przedziałowi (x, x+\Delta x) będzie miał masę \varrho dx i jego energia potencjalna będzie równa (g jest przyspieszeniem ziemskim):

\Delta V=-\varrho gy \Delta x.

Drugim rodzajem energii jest tu energia sprężysta. Wyobraźmy sobie, że zależy ona tylko od wydłużenia naszej liny i dla jej małego elementu równa jest

\Delta T=N(\Delta s-\Delta x),

gdzie N jest siłą napięcia liny.

Dla uproszczenia rachunków ograniczymy się do przypadku, gdy nasza lina ma niewielką strzałkę ugięcia, czyli dy jest znacznie mniejsze niż dx. Możemy wtedy przekształcić wyrażenie na energię sprężystą następująco:

dT=N(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}-\Delta x)\approx \dfrac{1}{2}N\left(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2 \Delta x.

W równości przybliżonej skorzystaliśmy z przybliżenia \sqrt{1+g}\approx 1+\frac{1}{2} g, słusznego dla wartości g\ll 1. Zauważmy, że działa ono nieźle nawet dla stosunkowo dużych wartości g, np. otrzymujemy \sqrt{2}\approx 1,5 zamiast 1,41, co oznacza błąd poniżej 10%.

Mamy więc dwa wkłady do energii: energia potencjalna obniża się, gdy dany odcinek liny znajdzie się niżej, ale żeby to było możliwe, lina musi się wydłużyć, co powiększa jej energię sprężystą. Pytanie, jakie sobie stawiamy, brzmi: jak znaleźć krzywą opisującą kształt liny?

Energia całkowita naszej liny jest równa

{\displaystyle E=\int_{0}^{L}\left(\dfrac{1}{2}N\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2-\varrho g y\right)dx.}

Jeśli zadamy krzywą y(x) i wstawimy ją do powyższego równania, to dostaniemy energię odpowiadającą danemu kształtowi. Matematycy mówią, ze mamy funkcjonał: czyli funkcji przypisujemy pewną liczbę. Dziedziną naszego funkcjonału jest zbiór różnych funkcji, które mogłyby opisywać kształt naszej liny.

Jak znaleźć minimum energii? Metodę postępowania podał w roku 1755 pewien bystry dziewiętnastolatek, Joseph Lagrange, w liście do słynnego Leonharda Eulera. Wyobraźmy sobie, że daną funkcję y(x) nieznacznie zmienimy na y(x)+\delta y(x). Jak wtedy zmieni się nasz funkcjonał? Łatwo pokazać, że zmiana energii jest w naszym przypadku równa

{\displaystyle \delta E=\int_{0}^{L}\left( N \dfrac{d^2 y}{dx^2}-\varrho g \right) \delta y(x) dx.} (*)

Pominięte zostały wyrazy zawierające  \delta y^2. Funkcja \delta y(x) (tzw. wariacja, czyli zmiana, y(x)) jest dowolna. W minimum niewielka wariacja y  nie powinna wpływać na wartość funkcjonału: kiedy jesteśmy już na dnie, to jest nam wszystko jedno, w którą stronę się przesuniemy, i tak będziemy na dnie. Jest to słuszne tylko w pierwszym przybliżeniu, gdy możemy pominąć wkłady kwadratowe i wyższe wariacji funkcji. Zatem warunkiem na minimum jest znikanie wariacji funkcjonału:

 \delta E=0  \Leftrightarrow N \dfrac{d^2 y}{dx^2}-\varrho g =0.

Ostatnia równoważność wynika stąd, że znikanie całki z nawiasu razy dowolna (niewielka) funkcja \delta y(x) musi oznaczać, iż ten nawias jest równy zeru dla każdego x.

Dwa wnioski: ogólny i szczegółowy.

Wniosek ogólny: Warunkiem minimum funkcjonału jest spełnienie pewnego równania zawierającego pochodną.

Wniosek szczegółowy: W naszym przypadku równanie to stwierdza, że druga pochodna y''(x) ma być stała. Znaczy to, że pierwsza pochodna y'(x) jest funkcją liniową, a sama funkcja y(x) jest kwadratowa, kształt krzywej to parabola. Żeby się te rozważania nie wydawały zbyt abstrakcyjne, proszę spojrzeć na obrazek.

Akashi Kaikyō Bridge, Wikipedia

Ruch rzuconego ciała

Teraz zapomnijmy o fizycznej treści poprzedniego punktu, pozostańmy przy samej matematyce: takie same równania mają takie same rozwiązania, jak uczył Feynman. Jeżeli wziąć za zmienną niezależną czas t zamiast x, to stała druga pochodna oznacza, ze mamy stałe przyspieszenie, czyli ruch w polu grawitacyjnym Ziemi. Możemy nieco zmienić oznaczenia N=\varrho=m, zamiast E napiszmy S, bo tak się standardowo oznacza działanie. Mamy więc zasadę wariacyjną i równoważne jej równanie różniczkowe:

 \delta S=0  \Leftrightarrow m \dfrac{d^2 y}{dt^2}-m g =0,

gdzie działanie równe jest

{\displaystyle S=\int_{0}^{T}\left(\dfrac{1}{2}m\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2-m g y\right)dx.}

Zamiast równań Newtona dla rzuconego ciała, możemy zażądać, aby znikała wariacja z działania. W naszym przypadku nadal rozwiązaniem jest parabola.

Zmieniła się jej interpretacja fizyczna: teraz opisujemy ruch jednowymiarowy, rzut pionowy. Skądinąd wiemy, że rozciągnięty w czasie rzut pionowy będzie miał kształt paraboli (mówimy tu o krzywej we współrzędnych t, y). Jeśli przyjrzeć się postaci działania, to oba składniki w nawiasie powinny nam się kojarzyć z energią kinetyczną i potencjalną:

 {\displaystyle S=\int_{0}^{T}\left(\dfrac{mv^2}{2}-V(y)\right)dt.}

Otrzymujemy w ten sposób zasadę Hamiltona najmniejszego działania. Równania, które z niej wynikają, nazywają się, żeby rzecz całą zagmatwać, równaniami Lagrange’a (są one równoważne zasadom dynamiki Newtona). Funkcja pod całką nazywa się lagranżianem i jest równa: {\cal L}=E_k-V. Należy zwrócić uwagę, że {\cal L} nie jest energią całkowitą, lecz różnicą energii kinetycznej i potencjalnej – przechodząc od liny do rzutu, zmieniliśmy znak. Zasada najmniejszego działania oznacza, że jeśli nieco zmienimy ruch w stosunku do ruchu rzeczywistego, to działanie się nie zmieni. Funkcje, które rozpatrujemy, zaczynają się w chwili 0 w punkcie y=0 i kończą w tym samym punkcie w chwili t=T. Można wybrać dowolne punkty przestrzeni, ustalony jest tu natomiast przedział czasu. Wszystkie rozpatrywane funkcje zaczynają się i kończą w tych samych chwilach i w tych samych dwu punktach. Rzeczywisty ruch cząstki spełnia zasadę najmniejszego działania.

Sformułowanie mechaniki za pomocą zasady Hamiltona ma wiele różnych zalet matematycznych, o których teraz nie będziemy pisać. Pojawiło się stosunkowo późno, bo w XIX wieku, choć zasada najkrótszego czasu w optyce znana była dwa stulecia wcześniej. Sam fakt, że na ruch można spojrzeć w taki sposób, jest interesujący i nowatorski. Polecam zupełnie elementarny wykład Feynmana na temat tej zasady.

Uwaga: Znikanie wariacji nie musi oznaczać minimum, tak samo jak znikanie zwykłej pochodnej funkcji niekoniecznie oznacza, że mamy do czynienia z minimum: może to być maksimum albo punkt przegięcia. Zwyczajowo mówi się o najmniejszym działaniu, choć w konkretnych przypadkach bywa to maksimum.

(*) Warto może przedstawić krótko procedurę obliczania wariacji funkcjonału. Sztuka polega na scałkowaniu przez części: jest to krok powtarzany do skutku we wszystkich obliczeniach wariacji. Chodzi o to, żeby zamiast \delta y'(x) mieć \delta y(x). Operacje różniczkowania \frac{d}{dx} i brania wariacji \delta są przemienne, bo pochodna różnicy to różnica pochodnych.

Pierwszy składnik pod całką zmienia się wskutek tego, że y'(x) zastępujemy przez y'(x)+\delta y'(x), różnica wyrażeń podcałkowych to

\frac{1}{2}N(2y'\delta y')=\frac{d}{dx}(Ny'\delta y)-Ny''\delta y,

gdzie pominęliśmy \delta y'^2. Po wstawieniu tego pod całkę otrzymujemy wynik, pamiętając, że nasze wariacje znikają na końcach przedziału: \delta y(0)=\delta y(L)=0.

Jak długo spadał Lucyfer?

Nie tylko Wielki Wybuch głosi chwałę Pana. Także i obecność szatanów, co wszędzie są czynni. Najlepszym dowodem ich siły jest dzisiejsze radosne zgromadzenie na Stadionie Narodowym w stolicy naszego kraju. Ojciec John Bashobora oraz arcypasterz Pragi wraz z setkami duchownych wypędzać tam będą diabły na oczach 40 000 wiernych (bilety po 60 zł). Może i tym razem o. Bashobora kogoś wskrzesi, co mu się już nieraz zdarzało. Z całą pewnością uzdrowi wielu, dzięki czemu poprawią się finanse NFZ.

W środku świata przebywa Lucyfer, dlatego świat nasz zwiemy diablocentrycznym. Jaki był jednak fizyczny sposób, by strącić tam Księcia Tego Świata? Ciężkość. Wyobraźmy sobie tunel przewiercony przez Ziemię na wskroś. Gdyby wrzucić doń Lucyfera, to jak długo bestia by spadał? I czy zatrzymałby się w środku Ziemi, czy też przeleciał dalej, aż na antypody? Zdania były tu podzielone. Bartolomeus Amicus SJ, rówieśnik Galileusza, sądził, że kamień wrzucony do takiego tunelu doleci do środka Ziemi i świata, gdzie się zatrzyma. Pogląd ten był wypowiadany i wcześniej, stąd zapewne u Dantego w Boskiej Komedii mamy obraz Lucyfera zarytego w środku świata, z trzema paszczami, w każdej po jednym słynnym zdrajcy. Inaczej uważał Nicole Oresme, zwolennik impetusu. Jego zdaniem kamień (albo Lucyfer) w środku Ziemi osiągnie największy impetus, dzięki czemu przeleci dalej aż do antypodów. I będzie tak sobie oscylować, aż mu się impetus całkiem wyczerpie. Ostatecznie zalegnie Lucyfer w środku Ziemi, lecz po iluś zabawnych oscylacjach.

Fizyka Newtona pozwala obliczyć, jak długo spadałby Lucyfer do środka Ziemi. Rozpatrzymy dwa skrajne przypadki: gdyby Ziemia wypełniona była materią jednorodnej gęstości oraz gdyby jej cała masa skupiona była w punkcie centralnym. Prawda zawiera się gdzieś pośrodku: gęstość rośnie ku centrum Ziemi, lecz stopniowo, nie skokowo, jak w drugim przypadku.

Przypadek jednorodnej Ziemi

Przyspieszenie grawitacyjne naszego Lucyfera w odległości r od środka Ziemi byłoby równe

g(r)=\dfrac{Gm(r)}{r^2},

gdzie m(r) to masa małej kuli o promieniu r. Przyjmujemy, że gęstość materii ziemskiej jest wszędzie taka sama, masa jest więc proporcjonalna do objętości i przyspieszenie grawitacyjne będzie ostatecznie proporcjonalne do r:

g(r)=\dfrac{GMr)}{R^3}=\dfrac{g}{R}r \Rightarrow T=2\pi\sqrt{\dfrac{R}{g}}.

Przez G, M, R oznaczyliśmy odpowiednio stałą grawitacji oraz masę i promień Ziemi; g to przyspieszenie ziemskie na powierzchni Ziemi. Przyspieszenie Lucyfera jest więc proporcjonalne do odległości i równanie to jest takie samo jak dla wahadła matematycznego, promień Ziemi odgrywa tu rolę długości. Zatem będzie nasz Lucyfer oscylował z okresem opisanym wzorem dla wahadła matematycznego. Do środka Ziemi będzie to ćwierć oscylacji, co zajmie niecałe dwadzieścia jeden minut.

Przypadek całej masy skupionej w centrum

W tym przypadku przyspieszenie ziemskie rośnie w miarę zbliżania się do środka:

g(r)=\dfrac{GM}{r^2},

Czas spadku znaleźć można, tak jak zrobił to Newton, wyobrażając sobie najpierw ruch po elipsie o długości dużej półosi a=\frac{1}{2}R. Jeśli elipsę tę będziemy stopniowo spłaszczać (zachowując długość dużej półosi) okres się nie zmieni (III prawo Keplera). Ognisko elipsy będzie się przybliżać do jej wierzchołka. Czas spadku będzie połową okresu obiegu takiej elipsy.

Korzystając z III prawa Keplera mamy

T^2=\dfrac{4\pi^2 a^3}{GM}\Rightarrow T=2\pi\sqrt{\dfrac{R3}{8GM}}=\pi\sqrt{\dfrac{R}{2g}}.

Połowa tego okresu jest szukanym czasem, a więc w tej wersji Lucyfer będzie spadał niecałe piętnaście minut.

Dla rzeczywistej zależności m(r) dla Ziemi przyspieszenie ziemskie najpierw nieco rośnie w głąb planety, a potem zaczyna spadać mniej więcej liniowo, kiedy znajdziemy się w żelazowo-niklowym jądrze.

Rozważania średniowiecznych filozofów w rodzaju takiego hipotetycznego kamienia w hipotetycznym tunelu przez Ziemię przyczyniały się do zrozumienia zagadnień ruchu i grawitacji, były to ówczesne Gedankenexperimente. Oresme w XIV wieku miał jednak nowocześniejszą teorię niż Amicus w XVII. Pojęcie impetus, choć dalekie jeszcze od dzisiejszego pędu, miało przed sobą przyszłość. Samo jednak wyostrzanie pojęć jest na nic, dopóki nic nie można obliczyć, przynajmniej w fizyce.

Wierutne głupstwa Roberta Jastrowa

Uprawianie żurnalistyki naukowej, polega na tym, aby spłycić i uprzystępnić oraz opatrzyć całość chwytliwym tytułem. W ostatni weekend w „Gazecie świątecznej” ukazał się wywiad Piotra Cieślińskiego z ks. prof. Michałem Hellerem. Zaczyna się tak:

Prof. Michał Heller: Teoria Wielkiego Wybuchu jest jak czarny sen racjonalistów

Wspięli się na najwyższy szczyt, zaraz odkryją tajemnicę narodzin Wszechświata. A na szczycie witają ich teologowie, którzy siedzieli tam od wieków.

Dopiero gdzieś głęboko w tekście dowiadujemy się, że to nie Ksiądz Profesor, ale amerykański astronom Robert Jastrow powiedział, i w dodatku czterdzieści lat temu. Było to głupstwo w 1978 roku i jest nadal głupstwem w 2017 roku.

Równie dobrze można powiedzieć, że, proszę, fizycy odkryli, iż kwarki mamy w trzech kolorach, których nie można wprost zaobserwować w eksperymencie, ponieważ Byt istnieje w trzech hipostazach, popularnie zwanych Osobami, i nie można tego eksperymentalnie zmierzyć. Teologowie czekali więc na szczycie, zanim uczeni stworzą chromodynamikę kwantową.

A gdzie siedzieli teologowie, kiedy Galileusz dowodził, że Ziemia jest ciałem niebieskim, jedną z planet, i się porusza, a wszechświat nie ma środka? Siedzieli po drugiej stronie stołu przesłuchań Galileusza, byli już tam wcześniej.

Gdzie teologowie byli i gdzie znaleźli w Piśmie, że człowiek pochodzi od małpy?

Dlaczego niby tekst Biblii miałby zawierać cokolwiek wartościowego na temat przyrody? A nie np. Wedy? Albo Kalevala? Czy Kubuś Puchatek? („Im bardziej Puchatek zaglądał do środka, tym bardziej Prosiaczka tam nie było” – myśl ta zapowiada niewątpliwie odkrycie ciemnej energii: wszechświat rozszerza się bowiem coraz prędzej.)

Galileusz cytował kardynała Cesare Baronia, iż Pismo nie mówi, jak rusza się niebo, lecz jak do niego trafić. Nie był to pogląd popularny w kręgach kościelnych i chyba nie jest do dziś, ale to zmartwienie wierzących.

Narzekał na to w roku 1822 ojciec Filippo Anfossi OP, Mistrz Świętego Pałacu Apostolskiego (czyli szef rzymskiej cenzury), który z żalem postawił takie oto pytanie: „Czy Duch Święty wiedział, jakie odkrycia zostaną dokonane w przyszłości? Jeśli wiedział, to czemu świątobliwe osoby z jego inspiracji mówiły nam przeszło osiemdziesiąt razy, że Słońce się porusza, a ani razu, że jest ono nieruchome?”

Wracając zaś do Wielkiego Wybuchu. Żadna teoria kosmologiczna i w ogóle naukowa nie ma związku z religią. Kropka. Nie ma najmniejszego znaczenia, czy uczeni są księżmi, czy ateistami, czy też jest im wszystko jedno. Inspirację czerpać mogą z Pisma równie dobrze, jak z baśni Andersena – nie ma to żadnego znaczenia. Jedyne, co liczy się w nauce, to wyprowadzenie z teorii obserwowalnych zjawisk i skonfrontowanie tego z pomiarami. Jeśli kogoś zainspiruje Królowa Śniegu to też dobrze. Nazywa się to kontekst odkrycia i kontekst uzasadnienia. Nie ma znaczenia, czy Einstein doszedł do ogólnej teorii względności drogą logicznie najprostszą i co go motywowało. Ważne, że równania są prawidłowe, co przez ostatnie sto lat wciąż się potwierdzało (teologów na tym szczycie nie było).

Teologia chrześcijańska odegrała pewną rolę w historii nauki: było to w średniowieczu i dotyczyło głównie kwestii czysto logicznych czy filozoficznych, zderzenia Jerozolimy z Atenami, mówiąc pokrótce. Jest to wkład poważny i można się na serio zastanawiać, czy bez tego przygotowania możliwy byłaby Rewolucja naukowa XVII wieku.

Podstawy rzeczowe do rozważań o teologach na szczycie są w tym tylko, że w latach sześćdziesiątych ubiegłego wieku modna była teoria stanu stacjonarnego, w której wszechświat nie ma początku. Potem odkryto mikrofalowe promieniowanie tła i jasne się stało, że nastąpił Wielki Wybuch. Nigdy nie był to spór kosmologów wierzących i niewierzących, bo większość kosmologów nie interesuje się w ogóle kwestią, jaki jest związek ich badań z teologią, domyślnie zakładając, że żaden.

Wielki Wybuch to nie to samo co creatio ex nihilo. Istnieją zupełnie porządne teorie, które sytuują go jako epizod w dziejach wszechświata. A więc (może) nie potrzeba żadnego początku. Możliwe, że nasz wszechświat jest jednym z odgałęzień multiświata. Wszystkie te dyskusje w żaden sposób nie wiążą się z Księgą Rodzaju.

Racjonaliści (Jastrow mówi, dokładnie biorąc, o uczonych żyjących wiarą w moc rozumu) nie mają powodów do złych snów. Wszechświat, który zaczyna się i kończy (przynajmniej w znanej formie) jest raczej łatwiejszy do przyjęcia niż taki, który trwa od zawsze. Nasze życie też zaczyna się kończy i nie ma niebiańskiego ciągu dalszego.

Kiedyś przemądrzali teologowie decydowali, co ma być prawdą, a co nie w naukach eksperymentalnych. Dziś starają się podłączyć do historycznego sukcesu nauki i wykazują, że nauka to nie wszystko, teologowie gdzieś wcześniej byli itd. itp.

Znacznie lepszym tytułem tej byłoby: WIELKI WYBUCH NIE MA NIC WSPÓLNEGO Z KSIĘGĄ RODZAJU i lepiej nie mącić w głowach ludziom, którzy czytają o nauce, lecz nie mają wykształcenia, aby ocenić samodzielnie to, co czytają.

Dosłowny cytat z Jastrowa wygląda tak:

For the scientist who has lived by his faith in the power of reason, the story ends like a bad dream. He has scaled the mountains of ignorance, he is about to conquer the highest peak; as he pulls himself over the final rock, he is greeted by a band of theologians who have been sitting there for centuries.

God and the Astronomers, 1978

Isaac Newton i niektóre matematyczne sekrety Stwórcy

Pod koniec roku 1684 Isaac Newton zrozumiał, że ruchy planet wyjaśnić może siła przyciągania między nimi a Słońcem, która jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości. Newton miał wówczas czterdzieści dwa lata i był bardzo mało aktywnym profesorem katedry Lucasa w Cambridge. Wbrew późniejszej legendzie nie odkrył tego prawa w młodości (choć niewiele mu brakowało). W poprzednich latach zajmował się głównie teologią i alchemią, nie szukając rozgłosu i niewiele kontaktując się ze światem zewnętrznym. Teraz spostrzegł, że rysuje się możliwość rozwiązania problemu nie dającego spokoju uczonym od czasów starożytnych. Aż do 1687 roku pracował gorączkowo nad wyprowadzaniem różnych konsekwencji prawa ciążenia powszechnego. Trudno dziwić się jego entuzjazmowi: jedno proste prawo matematyczne pozwalało zrozumieć wiele skomplikowanych zjawisk we wszechświecie.

Czemu siła ciążenia jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości? Można przecież wyobrazić sobie inne możliwe prawa. Dla Newtona było to pytanie: czemu Stwórca zdecydował się na taki, a nie inny wszechświat? Wiele rozważań w Matematycznych zasadach filozofii naturalnej poświęconych jest ruchowi ciał pod działaniem sił zmieniających się w inny sposób z odległością: np. malejących jak trzecia czy piąta jej potęga. A także rosnących proporcjonalnie do odległości. Ten ostatni przypadek był interesujący, dawał bowiem ruchy eliptyczne. Wszystkie planety miałyby wówczas taki sam okres obiegu wokół Słońca.

Jak wygląda ruch planety pod działaniem siły przyciągania proporcjonalnej do odległości? Powszechnie znany jest jednowymiarowy przypadek takiego ruchu:

F=a=-\omega^2 x \Rightarrow x(t)=A\cos\omega t,

F, a, x, t są tu odpowiednio siłą, przyspieszeniem, wychyleniem z położenia równowagi (w którym siła jest równa zeru) i czasem, \omega wielkością stałą, tzw. częstością kołową, określoną przez wielkość siły i masę ciała, którą przyjmujemy za równą 1. Stała A jest dowolna. Jest to ruch harmoniczny, czyli najprostsze możliwe drgania.

W przypadku trójwymiarowym ruch nie jest dużo bardziej skomplikowany. Po pierwsze zachodzi w stałej płaszczyźnie, mamy więc tylko dwa wymiary. Po drugie można go potraktować jako dwa niezależne ruchy wzdłuż osi Ox oraz Oy:

\left\{ \begin{array}{l}  F_x=a_x=-\omega^2 x\\  \mbox{}\\  F_y=a_y=-\omega^2 y.  \end{array}\right.\quad \Rightarrow \quad \left\{  \begin{array}{l}  a_x=A\cos\omega t\\  \mbox{}\\  a_y=B\sin\omega t.  \end{array}\right.

Wybraliśmy rozwiązania w taki sposób, aby planeta P zakreślała elipsę zorientowaną jak na rysunku.

Łatwo sprawdzić, że mamy do czynienia z elipsą, wyznaczając z powyższych równań funkcje trygonometryczne i korzystając z jedynki:

\cos^2\omega t+\sin^2 \omega t=1=\dfrac{x^2}{A^2}+\dfrac{y^2}{B^2}.

Każda elipsa jest rzutem jednostajnego ruchu po okręgu punktu Q (dokładnie tak, jak gdybyśmy patrzyli na ten ruch po okręgu z ukosa, pod pewnym kątem: okrąg skraca się wtedy w jednym kierunku). Częstość kołowa i okres są takie same dla wszystkich torów. Nazwijmy ten tor elipsą Hooke’a (od prawa Hooke’a), choć Newton bardzo by się zżymał na tę nazwę, także ten ruch zbadał bowiem sam, a Hooke’owi pamiętał do końca życia protekcjonalny i lekceważący sposób, w jaki ten go kiedyś potraktował w dyskusji na temat optyki. Z powodu tej animozji nie wiemy dziś na pewno, jak wyglądał Robert Hooke, Newton bowiem go przeżył i kazał usunąć jego portret z Towarzystwa Królewskiego.

Newton zadał sobie pytanie, jak te elipsy (w środku których byłoby Słońce) mają się do elips keplerowskich (w których ognisku jest Słońce)? Okazuje się, że można podać związek między siłami wywołującymi oba te ruchy.

Rozpatrzmy planetę P zakreślającą jakikolwiek tor pod wpływem siły \vec{F} skierowanej ku pewnemu stałemu punktowi S.

Na rysunku przedstawiona jest elipsa, ale kształt krzywej nie jest w tym punkcie istotny. Korzystamy ze wzoru na siłę  dośrodkową:

F_n=\dfrac{v^2}{\varrho},

gdzie \varrho jest promieniem krzywizny toru w danym punkcie. Wiemy także, iż moment pędu L naszej planety musi być stały:

L=rv\sin\varepsilon.

Wobec tego siła F równa jest

F=\dfrac{F_n}{\sin\varepsilon}=\dfrac{L^2}{\varrho r^2 \sin^3\varepsilon}.

Teraz zastosujemy uzyskane wyrażenie do porównania siły grawitacji z siłą Hooke’a. Wyobraźmy sobie, że taką samą elipsę zatacza planeta pod wpływem siły skierowanej ku ognisku elipsy S oraz pod wpływem siły skierowanej ku środkowi elipsy C. Przyjmujemy, że moment pędu planety jest w obu przypadkach taki sam. Wobec tego

\dfrac{F_S}{F_C}=\dfrac{r_C^2 \sin^3\varepsilon_C}{r_S^2 \sin^3\varepsilon_S}.

Odcinek EC jest równoległy do wektora prędkości. Stosując twierdzenie sinusów do trójkąta ECP , mamy:

\dfrac{\sin\varepsilon_C}{\sin\varepsilon_S}=\dfrac{EP}{r_C}.

Ostatnim potrzebnym elementem jest tzw. lemat Newtona: odległość EP=A, tzn. dużej półosi elipsy. Jest to własność elipsy, którą udowadniamy poniżej. Wobec tego siła grawitacji równa jest

F_S=\dfrac{F_C}{r_C}\dfrac{A^3}{r_S^2}=\omega^2 \cdot \dfrac{ A^3}{r_S^2}\sim \dfrac{1}{r_S^2}.

Otrzymaliśmy więc z elipsy Hooke’a elipsę keplerowską oraz z prawa Hooke’a prawo grawitacji. Oba te rodzaje ruchu okazują się matematycznie powiązane. Można pokazać, że tylko te dwa rodzaje sił prowadzą do torów zamkniętych, których peryhelia się nie obracają.

Lemat Newtona

Odcinek S'F jest równoległy do EC oraz \vec{v}. Trójkąt FPS' jest równoramienny, ponieważ promień światła wysłany z S i odbijający się w punkcie P przejdzie przez S'. Mamy zatem FP=PS'. Odcinki EC oraz S'F są równoległe i przepoławiają odcinek SS', a więc także i odcinek SF. Zatem SE=EF. Mamy więc

EP=EF+FP=\frac{1}{2}SF+\frac{1}{2}(FP+PS')=\dfrac{SP+PS'}{2}=A.

W ostatniej równości skorzystaliśmy z faktu, że suma odległości punktu elipsy od obu ognisk jest stała.

 

 

 

 

Tory planet i komet: wielkie odkrycie Isaaca Newtona

Johannes Kepler w roku 1609 ogłosił odkrycie, że planety poruszają się wokół Słońca po elipsach, a Słońce jest wspólnym ogniskiem tym wszystkich elips (I prawo Keplera). Nie bardzo mu wówczas chciano wierzyć, wprowadził bowiem nowe rodzaje sił, jedna miała ciągnąć planetę wokół Słońca, a druga, magnetyczna, miała na przemian, to przyciągać ją, to odpychać. Prędkość planety miała zależeć od jej odległości od Słońca: bliżej niego planeta poruszała się szybciej i na odwrót, kiedy była dalej, poruszała się wolniej (II prawo Keplera).

Z czasem astronomowie stwierdzili, że opisane przez Keplera prawa dobrze odzwierciedlają zjawiska na niebie: dokładność tablic wzrosła wielokrotnie. W 1687 roku ukazały się Matematyczne zasady filozofii przyrody, w których Isaac Newton wyjaśnił ruchy planet i szereg innych zjawisk, jak przypływy i odpływy mórz albo precesję ziemskiej osi obrotu za pomocą jednej jedynej siły: grawitacji. Wszystkie ciała we wszechświecie miały się przyciągać siłami odwrotnie proporcjonalnymi do ich odległości i proporcjonalnymi do mas. Jedno proste matematycznie prawo pozwalało zrozumieć dynamikę układu planetarnego. Problem postawiony jeszcze przez starożytnych Greków i Babilończyków został w ten sposób rozwiązany. Najważniejszą częścią tego rozwiązania było udowodnienie, że z prawa grawitacji wynikają Keplerowskie elipsy. Poniżej pokażemy współczesne sformułowanie tego rozwiązania.

Wyobraźmy sobie planetę P poruszającą się wokół nieruchomego Słońca (nie jest trudno pójść o krok dalej i uwzględnić także ruch Słońca).

Każda z orbit ma punkt najbliższy Słońca: perihelium P_0. Wybierzmy oś Ox tak, żeby przechodziła ona przez perihelium i następnie poruszała się w kierunku P. Równanie ruchu planety zgodnie z II zasadą dynamiki oraz prawem powszechnego ciążenia ma postać:

\dfrac{d\vec{v}}{dt}=-\dfrac{k}{r^2}\vec{e}_r.

Wektory \vec{e}_r, \vec{e}_\varphi mają odpowiednio kierunek promienia i kierunek do niego prostopadły (transwersalny) oraz długość jednostkową, k=GM jest iloczynem stałej grawitacyjnej i masy Słońca (masa planety nie wchodzi do zagadnienia). Znak minus pochodzi stąd, że grawitacja jest siłą przyciągającą.

W ruchu planety nie zmienia się wielkość jej momentu pędu (przyjmujemy tu masę planety równą 1):

L=rv_{\varphi}=r^2 \omega=const.

Jest to współczesne sformułowanie II prawa Keplera. Wchodzi do niego składowa \vec{v}_\varphi prędkości prostopadła do promienia. W ostatniej równości użyliśmy prędkości kątowej \omega=v_\varphi/r. Więcej szczegółów dotyczących tego wyrażenia można znaleźć niżej (*).

Pokażemy, że torem planety musi być krzywa stożkowa ze Słońcem w ognisku. W tym celu udowodnimy, że odległość planety od Słońca spełnia równanie stożkowej:

r=\dfrac{p}{1+e\cos\varphi},

gdzie p, e zwane są odpowiednio parametrem i mimośrodem stożkowej, a kąt \varphi jest kątem z osią Ox na rysunku. Wyprowadzenie tego równania można znaleźć poniżej (**).

Zakładamy, że moment pędu jest różny od zera: znaczy to, iż planeta nie porusza się po prostej przechodzącej przez Słońce. Oczywiście takie tory są matematycznie i fizycznie dopuszczalne, eliminujemy je jednak z dalszych rozważań.

Równanie ruchu planety można uprościć, jeśli zamiast czasu wprowadzić do niego kąt \varphi. Wyznaczając prędkość kątową z zasady zachowania momentu pędu, otrzymujemy

\omega=\dfrac{d\varphi}{dt}=\dfrac{L}{r^2}.

W obu równaniach występuje r^2 w mianowniku, wobec tego, dzieląc je stronami i korzystając ze wzorów na pochodną funkcji złożonej i odwrotnej, możemy się tej zależności pozbyć:

\dfrac{d\vec{v}}{d\varphi}=\dfrac{d\vec{v}}{dt}\cdot \dfrac{dt}{d\varphi}=-\dfrac{k}{L}\vec{e}_r.

Równanie wektorowe to para równań dla składowych wektora prędkości:

\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{dv_x}{d\varphi}=-\dfrac{k}{L}\cos\varphi \\  \mbox{}\\  \dfrac{dv_y}{d\varphi}=-\dfrac{k}{L}\sin\varphi.  \end{array}\right.\quad \Rightarrow \quad \left\{  \begin{array}{l}  v_x=-\dfrac{k}{L}\sin\varphi+A_x \\  \mbox{}\\  v_y=\dfrac{k}{L}\cos\varphi+A_y.  \end{array}\right.

Ostatnią parę równań możemy zapisać w postaci wektorowej

\vec{v}=\dfrac{k}{L}\vec{e}_\varphi+\vec{A}.

Wynik ma prostą interpretację geometryczną: pierwszy wektor po prawej stronie zakreśla okrąg o promieniu k/L, a promień wodzący tego okręgu tworzy z osią Ox kąt równy 90^{\circ}+\varphi, obracając się razem z promieniem wodzącym planety. W zależności od długości wektora \vec{A} możliwe są następujące cztery sytuacje:

Punkt P_0 odpowiada kątowi \varphi=0, wektor prędkości jest wtedy równoległy do osi Oy (w chwili gdy odległość osiąga minimum, składowa x prędkości musi znikać). Oznacza to, że A_x=0. W każdym przypadku koniec wektora prędkości zakreśla okrąg albo jego łuk. Krzywą taką nazywa się hodografem. Zatem hodograf ruchu keplerowskiego jest łukiem okręgu (w trzecim przypadku to okrąg bez dolnego punktu, w czwartym dozwolone są tylko te wartości \varphi, dla których wektor \vec{v} ma z okręgiem dwa punkty wspólne; pewien zakres kątów jest niedozwolony, ruch zachodzi tu po gałęzi hiperboli i ograniczony jest jej asymptotami.) Kształt hodografu ruchu keplerowskiego odkrył William Rowan Hamilton w XIX wieku i opublikował w pracy zawierającej wyłącznie słowny opis, bez żadnego rysunku i bez wzorów. Brytyjczycy (Hamilton był Irlandczykiem) po Newtonie specjalizowali się w takiej matematyce bez rachunków, co nie zawsze da się z sensem przeprowadzić. Nieco mniej formalne podejście do hodografu tego ruchu.

albo tutaj

Równanie hodografu daje nam prędkości, łatwo z nich przejść do równania toru. Wystarczy znaleźć składową v_\varphi prędkości. Otrzymamy ją przez rzutowanie wektora prędkości na kierunek promienia okręgu zaznaczonego na rysunkach. Otrzymujemy z nich

v_\varphi=\dfrac{k}{L}+A\cos\varphi \quad\Rightarrow\quad r=\dfrac{L}{k/L+A\cos\varphi}=\dfrac{\frac{L^2}{k}}{1+\frac{LA}{k}\cos\varphi}.

Ostatnie równanie jest biegunowym równaniem stożkowej o mimośrodzie e=\frac{LA}{k}, odległości liczone są od ogniska owej stożkowej. Otrzymaliśmy uogólnioną wersję I prawa Keplera.

Na rysunku oba tory: w przestrzeni prędkości oraz w przestrzeni położeń, czyli w zwykłej przestrzeni. A to paraboliczna orbita komety z roku 1680 wyznaczona przez Newtona (obliczenia robił Edmond Halley).

(*) Prędkość kątowa to

\omega=\dfrac{\Delta \varphi}{\Delta t}=\dfrac{v_\varphi \Delta t}{r \Delta t}=\dfrac{v_\varphi }{r }.

Zastępujemy tu dla małych kątów tangens wartością kąta w radianach.

(**) Stożkową definiuje się zadając pewien punkt, zwany ogniskiem oraz prostą, zwaną kierownicą (na rysunku czerwone) oraz wartość mimośrodu e.

Stożkową będzie zbiór takich punktów P, że ich odległość od ogniska jest e razy większa od ich odległości od kierownicy:

OP=ePP'.

Łatwo stąd znaleźć równanie stożkowej. Mamy bowiem

r\cos\varphi+PP'=QQ' \Rightarrow  r\cos\varphi+\dfrac{r}{e}=\dfrac{p}{e}.

Mnożąc ostatnie równanie obustronnie przez e i wyznaczając z niego r, otrzymujemy

r=\dfrac{p}{1+e\cos\varphi}.