Christiaan Huygens i jego zasada (1679, 1690)

Wszyscy wiedzą, że Huygens przedstawił falową teorię światła sprzeczną z korpuskularną doktryną Newtona. Newtonowskie eksperymenty z Optics stały się kanoniczne i przeważnie wierzono, iż światło składa się z cząstek, teoria Huygensa na dobre powróciła dopiero na początku XIX wieku. Po raz pierwszy Huygens przedstawił ją w Paryżu przed Akademią Nauk w 1679 r., ale dopiero w 1690 r. ukazał się jego Traité de la lumière („Traktat o świetle”), niewielkie arcydzieło naukowe, ukazujące zupełnie inną drogę niż ta Newtonowska.

Traktat o świetle, gdzie wyjaśniono przyczyny tego, co się dzieje przy odbiciu i załamaniu, a zwłaszcza przy osobliwym załamaniu w krysztale islandzkim przez C.H.D.Z. [Christiaana Huygensa pana Zeelhem] wraz z Rozprawą na temat przyczyn ciężkości. Egzemplarz dedykowany dla Fatio de Duilliera, młodego szwajcarskiego uczonego, który przez krótki czas był blisko Isaaca Newtona i poznał także Christiaana Huygensa.

W Traktacie Huygens uznał światło za rozchodzące się zaburzenie eteru – ośrodka materialnego wypełniającego świat. Korzystał tu z analogii z dźwiękiem, ale musimy pamiętać, że matematyka fal sprężystych pojawiła się dopiero w połowie XVIII wieku, więc sama analogia nie prowadziła zbyt daleko.

Szybki ruch cząstek np. w płomieniu świecy wywoływać miał falę sprężystą w eterze złożonym ze sztywnych kulek. Uderzenie pierwszej w szeregu sprawia, że ruch przekazany zostaje ostatniej, a kulki pomiędzy skrajnymi pozostają w spoczynku. Fale elementarne rozchodzić się miały także i na boki, na tej samej zasadzie. To oczywiście czysta kartezjańska fantazja. Mocną stroną Huygensa była jednak umiejętność matematycznego formułowania problemów. Z reguły tam, gdzie wkracza matematyka, fizyka osiąga najwięcej.

W jaki sposób rozchodzą się fale wzbudzane mnóstwem cząstek w płomieniu? Otóż fale rozchodzą się ze skończoną prędkością. Huygens sądził tak, zanim jeszcze Ole Rømer odkrył, że zaćmienia księżyców Jowisza opóźniają się zawsze wtedy, gdy planeta znajduje się daleko od Ziemi. W określonym czasie fale z punktu A dotrą do łuku okręgu BG. Poruszane falą cząstki eteru bbbb wytwarzają nowe fale elementarne. Co sprawia, że nie widzimy chaosu tych fal elementarnych, lecz jedną dobrze określoną falę? To, co możemy zobaczyć, jest obwiednią fal elementarnych. Czoło fali CE jest styczne do nieskończenie wielu fal elementarnych. Fale Huygensa nie są okresowe, przypominają raczej falę uderzeniową. Nie mamy tu do czynienia z interferencją, o jakiej uczymy się w szkole (Young, Fresnel, XIX wiek).

(Grom dźwiękowy, Wikipedia)

Znanym przypadkiem tworzenia się takiej obwiedni fal elementarnych jest grom dźwiękowy towarzyszący przelotowi samolotu z szybkością naddźwiękową w pobliżu nas. Innym przykładem jest promieniowanie Czerenkowa wytwarzane przez cząstkę o prędkości większej niż prędkość światła w danym ośrodku.

Huygens sądził, że fale tak wytworzone rozchodzą się prostoliniowo, co w tym przypadku, oznacza, iż czoło fali DCEF jest w każdym punkcie prostopadłe do kierunku promieni, np. AC i AE. Zjawisko dyfrakcji ignorował, choć w Akademii Nauk w Paryżu powtarzano pewne doświadczenia Grimaldiego. Tworzenie się czoła fali jako obwiedni fal elementarnych stanowi treść zasady Huygensa w jego własnym sformułowaniu. Dodanie do tego mechanizmu interferencji jest już dodatkiem Fresnela z początku XIX w. Zasada ta musi być stosowana z dodatkowymi środkami ostrożności, bo np. gdyby fale elementarne były kołowe, to czemu nie powstaje druga fala biegnąca wstecz?

Ścisły opis fal dają odpowiednie równania różniczkowe cząstkowe, zasadę Huygensa można na ich podstawie udowodnić np. w trzech wymiarach, ale już nie w dwóch.

Huygens bez trudu uzasadnił na podstawie swej teorii prawa odbicia i załamania światła. Rozpatrzmy załamanie

Czoło fali AHHHC dociera do powierzchni AKKKB dzielącej dwa ośrodki. W drugim ośrodku fala rozchodzi się wolniej i w czasie, gdy w pierwszym przebywa drogę CLLLB, w drugim przebywa proporcjonalnie mniejszą drogę AOOON. Jeśli u góry mamy powietrze, a u dołu szkło, droga w szkle będzie 1,5 razy mniejsza, inaczej mówiąc, prędkość światła w szkle jest 1,5 razy mniejsza niż w powietrzu. Prawdziwym tour de force Huygensa było podanie falowego wyjaśnienia załamania w ośrodkach anizotropowych, o czym napiszemy może innym razem. Pokazał też Huygens związek kaustyk Barrowa i Newtona, o których mówiliśmy poprzednio, z teorią falową.

Na powierzchnię sferyczną pada od góry fala płaska albo, jak kto woli, wiązka równoległych promieni światła. Rysunki sporządzone są dla przypadku szkła. Jak widzieliśmy dla tęczy promienie załamują się pod różnymi kątami, tworząc kaustykę NC, czyli linię ogniskowania się promieni albo obwiednię rodziny promieni. Jest to sama kaustyka, którą opisywaliśmy wcześniej , rysunek został obrócony tak, żeby zgadzał się z obrazkiem Huygensa. Spójrzmy teraz na sytuację w języku Huygensa. Czoło fali DTRA załamuje się do QGH, potem FPS, wreszcie EVK, gdzie punkt E odpowiada promieniowi stycznemu do kuli, który załamuje się w kierunku ENa. Huygens pokazuje, że powyższe powierzchnie czoła dali w różnych chwilach są ewolwentami kaustyki NC. Przypomnijmy, co to takiego ewolwenta krzywej. Wcześniej Huygens stworzył sam to pojęcie, pracując nad wahadłem cykloidalnym.

Wahadłem idealnym, takim, którego okres nie zależy od amplitudy wychyleń byłoby wahadło jak na rysunku: tutaj nić OAP odwija się z krzywej AO. Niebieska krzywa – tor zakreślany przez ciężarek P – jest właśnie ewolwentą krzywej czerwonej. Oznacza to dwie rzeczy: AP jest normalna do ewolwenty oraz A jest chwilowym środkiem krzywizny ewolwenty. Krzywą AO nazywamy ewolutą. Ta sama ewoluta może mieć nieskończenie wiele ewolwent, po prostu możemy zmieniać długość nici.

Wracając do załamania światła w powierzchni sferycznej, krzywa EVK jest ewolwentą NC. Nić stanowi odcinek EN oraz NC. Odwijając tę nić w kierunku K otrzymamy całą linię czoła fali EVK. Używając odpowiednio dłuższych nici, które odrywają się od kaustyki poniżej N, zakreślimy rozmaite czoła fali odpowiadające chwilom wcześniejszym. Huygens nie potrafił podać jawnej postaci owego czoła fali ani też kaustyki. Metoda Barrowa też nie podaje równania kaustyki, lecz zawiera sposób jej skonstruowania. Z dzisiejszego punktu widzenia nie jest takie ważne, by otrzymać równanie (nb. kaustyka Barrowa ma znane równania w postaci parametrycznej).

Rozwiązał natomiast Huygens nieco łatwiejsze zagadnienie kaustyki dla odbicia od powierzchni okręgu.

Więcej fotografii kaustyk na stronie Henrika Wanna Jensena.

Na rysunku Huygensa promienie światła/płaska fala świetlna padają pionowo od dołu. Fala odbija się od okręgu ABC, tworząc kaustykę AFNE.

Kaustyka jest tu epicykloidą krzywą otrzymaną przez toczenie mniejszego okręgu po większym.

Pokażmy, jak otrzymać obwiednię promieni odbitych w okręgu.

Rozumowanie należy do Johanna Bernoulliego (opublikowane w roku 1692). Z rysunku widać, że trójkąt OAP jest równoramienny, jego podstawa OP=1. Stąd

Promień odbity AP tworzy kąt z osią . Zatem równanie promienia odbitego to

Otrzymaliśmy równanie całej rodziny promieni odbitych dla różnych wartości . Różniczkując to równanie po przy stałych wartościach otrzymamy równanie zawierające tylko zmienną , z którego

Podstawiając tę wartość do wyjściowego równania, otrzymamy współrzędną :

Są to równania parametryczne kaustyki. Możemy wyrazić je także w postaci złożenia dwóch okręgów:

Różniczkowanie po parametrze łatwo uzasadnić, jeśli ktoś się wcześniej nie spotkał z szukaniem obwiedni. Niech równanie rodziny krzywych ma postać . Szukamy przecięcia dwóch bliskich krzywych z rodziny, czyli

Odejmując stronami i przechodząc do granicy , otrzymujemy pochodną .