Isaac Newton o załamaniu i odbiciu światła (1687)

Prawo załamania światła było pierwszym ścisłym matematycznym prawem fizyki odkrytym w XVII w. (Nieco wcześniejsze prawa spadku swobodnego Galileusza dotyczyły sytuacji mocno wyidealizowanej: ruchu w próżni, której doświadczalnie jeszcze nie potrafiono wytwarzać za życia włoskiego uczonego.) Descartes podał wyjaśnienie prawa załamania oparte na niemożliwej fizyce, której nigdy wystarczająco nie skonkretyzował. Ciekawym pomysłem była zasada minimum Fermata, ale sama ta zasada zawieszona była w metafizyce, bo niby dlaczego przyroda ma się zachowywać w proponowany sposób? Teoria falowa Huygensa zawierała wyjaśnienie prawa załamania, lecz nie zostało ono powszechnie przyjęte (mimo tego że jest prawdziwe). Jak więc wyjaśniano zachowanie promieni światła, a właściwie, jak wyjaśniał te zjawiska największy uczony tego stulecia Isaac Newton?

Newton uważał światło za złożone ze zróżnicowanych cząstek: różnym cząstkom odpowiadało wrażenie różnych barw i miały one nieco różne współczynniki załamania. Uczony starał się nie konkretyzować nadmiernie teorii cząstkowej (korpuskularnej), nie chcąc wykraczać poza wnioski wprost wynikające z doświadczenia. Nie było więc jasne, czy cząstki światła różnią się masą, czy prędkością. Prawo załamania według Newtona wyjaśniały siły działające w wąskim pasie przy granicy dwóch powierzchni. Siły te miały być prostopadłe do powierzchni. Ruch wyglądał, jak na rysunku z Principiów.

GHPIK jest torem cząstki światła, która w obszarze między AR i BI poddana jest siłom skierowanym pionowo do góry. Przedstawimy sytuację językiem dzisiejszej mechaniki, analiza Newtona jest dokładnie równoważna. Siły te wykonują ujemną pracę -W, w rezultacie zmienia się energia kinetyczna cząstki (m jest masą):

\dfrac{mv_2^2}{2}=\dfrac{mv_1^2}{2}-W.

Po przejściu warstwy granicznej cząstka ma nową prędkość v_2. Jednocześnie składowa wzdłuż granicy obu ośrodków nie zmienia się, gdyż żadna siła styczna do powierzchni nie działa. Mamy więc równość

v_1\sin\vartheta_1=v_2\sin\vartheta_2

gdzie \vartheta_1,\vartheta_2 są kątami miedzy kierunkiem prędkości a normalną do powierzchni. Jest to prawo Snella, widzimy, że prędkości cząstek światła są proporcjonalne do współczynników załamania. Z punktu widzenia Newtona różne ośrodki odpowiadają różnym poziomom energii potencjalnej cząstki.

Oznacza to oczywiście, że promienie nie załamują się w punkcie, lecz zakrzywiają się na pewnym niewielkim obszarze, a następnie biegną prostoliniowo przez ośrodek. Teoria tego rodzaju objaśnia także odbicie oraz całkowite odbicie wewnętrzne, gdy promienie pozostają w gęstszym ośrodku np. w szkle, bo zgodnie z prawem Snella sinus kąta załamania musiałyby być większy od jedności.

Oczywiście, kąt padania równa się kątowo odbicia, jeśli tylko cząstki światła nie doznają oporu poruszając się w ośrodku. Wyjaśnienie Newtona opierało się na prawdziwej mechanice. Trudnością teorii było wyjaśnienie, czemu światło porusza się tak prędko i czemu w danym ośrodku prędkość danego rodzaju światła, np. czerwonego, jest zawsze taka sama. Niewiele jednak wtedy wiedziano na temat prędkości światła, Ole Rømer dopiero niedawno ustalił, że prędkość ta jest skończona wbrew temu, co sądził Descartes. Newton sądził, że obserwowane przez niego ugięcie światła w pobliżu ostrza potwierdza jego teorię: światło zaczyna odchylać się od linii prostej już w pobliżu ciała gęstszego i oddziaływanie to zależy od odległości.

Istotne byłyby więc tu siły działające na odległość – czyli coś, co właśnie Isaac Newton wprowadził do fizyki. Nb. dla przeważającej liczby ówczesnych fizyków idea, że siła może działać tam, gdzie nie ma ciała będącego jej źródłem, poprzez próżnię, była wyjątkowo trudna do przyjęcia. Huygens dziwił się, że Newton poświęcił tyle trudnych rozważań matematycznych idei tak chimerycznej jak grawitacja odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości. Może nawet grawitacja i jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości, ale skąd się bierze, jakie jest jej fizyczne pochodzenie? Z punktu widzenia tych uczonych Newton zajął się nie tym problemem, co należy.

Jednak w optyce, tak samo jak w mechanice, Newton zwyciężył. Teoretycznie, można by wprawdzie zmierzyć prędkość światła w ośrodku takim jak woda i rozstrzygnąć, czy jest ona n=1,33 razy mniejsza niż w powietrzu (Huygens), czy tyle samo razy większa (Newton)? Zanim nauczono się mierzyć prędkość światła na ziemskich, a nie kosmicznych, dystansach, fizyka falowa zwyciężyła.

Matematyczna historia tęczy 2: Christiaan Huygens (1652)

Christiaan Huygens pochodził z wpływowej rodziny blisko związanej z dynastią orańską. Ojciec, Constatijn, był amatorem nauk i sztuk, poetą, kompozytorem, w jego domu w Hadze bywali nie tylko ludzie władzy, ale również tacy goście jak René Descartes czy Rembrandt van Rijn. Najstarszy syn, także Constatijn, został sekretarzem Wilhelma III Orańskiego stadhoudera Niderlandów, a później jako Wilhelm II króla Anglii i Szkocji. Christiaan zamiast kariery wojskowej bądź dyplomatycznej wybrał zainteresowanie naukami ścisłymi. Do tego stopnia, że przy okazji swej pierwszej podróży do Londynu wolał obserwować tranzyt Merkurego przed tarczą Słońca niż koronację Karola II. Naturalne było, że młodzieniec znalazł się pod wpływem Descartes’a, pod koniec życia wspominał:

Pan des Cartes znalazł sposób, aby jego przypuszczenia i fikcje brane były za prawdę. I z tymi, którzy czytali jego Zasady filozofii, działo się coś podobnego co z tymi, którzy czytają romanse – gdy podobają się im i robią na nich takie samo wrażenie jak prawdziwe historie. Nowość kształtu jego małych cząstek i wirów sprawia wielką przyjemność. Zdawało mi się, gdy czytałem księgę jego Zasad po raz pierwszy, że wszystko jest w najlepszym porządku, a kiedy natrafiałem na jakąś trudność, sądziłem, że to moja wina, iż nie pojmuję dobrze jego myśli. Miałem wtedy zaledwie 15 czy 16 lat. Lecz później, odkrywając od czasu do czasu rzeczy jawnie fałszywe oraz inne bardzo mało prawdopodobne, odwróciłem się od złudzeń, w jakich trwałem i w obecnej dobie nie znajduję niemal niczego, co mógłbym uznać za prawdę w całej jego fizyce ani w metafizyce, ani w meteorologii. (…)

Najpiękniejszą rzeczą, którą odkrył w dziedzinie fizyki i może jedyną, w której sprawił się dobrze, jest przyczyna podwójnego łuku tęczy, tzn. określenie ich kątów, czyli pozornych średnic, gdyż co do przyczyny kolorów, to nic nie może być mniej prawdopodobne moim zdaniem. Pisma innych filozofów przed nim były na ten temat żałosne, gdyż nie znali dość geometrii, nie znali prawdziwych praw załamania ani nie posiłkowali się doświadczeniami. To prawda, że wszystko wskazuje na to, że prawa załamania nie są wynalazkiem pana des Cartes’a, gdyż pewne jest, że widział on w rękopisie książkę Snelliusa, którą także ja widziałem; pisze on tam wyraźnie o naturze załamania i dochodzi do reguły, za którą dziękuje Bogu, choć zamiast rozważać sinusy, brał on, co na jedno wychodzi, boki trójkąta i choć mylił się, twierdząc, że promień padający prostopadle na powierzchnię wody, skraca się i dlatego dno naczynia wydaje nam się położone wyżej niż jest w rzeczywistości.

Mimo tej niewielkiej ilości prawdy, jaką znajduję w księdze Zasad pana des Cartes’a, nie przeczę, iż trzeba wiele dowcipu, by stworzyć, tak jak on, cały nowy system i nadać mu ów pozór prawdopodobieństwa, którym zadowala się i w którym znajduje upodobanie niezliczona rzesza ludzi. Można nawet powiedzieć, że podając swoje dogmaty z wielką pewnością siebie i stając się bardzo sławnym autorem tym bardziej pobudził tych, którzy piszą po nim do podjęcia jego spuścizny i usiłowania znalezienia czegoś lepszego. Bo też i nie bez zasługi zyskał on wielką estymę; wystarczy bowiem tego, co napisał i odkrył w przedmiocie geometrii i algebry, by zdobył reputację wielkiego umysłu.

[Dodatek do listu Ch. Huygensa do Pierre’a Bayle’a, 26 II 1693 r., Oeuvres complètes de Christiaan Huygens, La Haye 1905, t. X, p. 403-406]

Rysunek, którym posługiwał się Willebrord Snel van Royen, in. Snellius, wyglądał następująco:

Promień światła biegnie tu z punktu V w gęstszym ośrodku do góry, załamując się w punkcie R. Stosunek odcinków RV:RJ jest stały. Snel wyjaśniał w ten sposób, czemu dno zbiornika z wodą wydaje się leżeć wyżej niż w rzeczywistości i stosował owo wyjaśnienie także do promienia padającego pionowo. Naprawdę efekt podniesienia dna będzie zależeć od kąta, pod którym patrzymy, znowu pojawia się tu kaustyka, różne promienie biegnące z V ku powierzchni będą biegły pod różnymi kątami, a po załamaniu będą rozbiegać się pozornie z różnych punktów, kaustyka jest obwiednią rodziny tych promieni biegnących w ośrodku rzadszym.

Christiaana Huygensa czekała wielka kariera naukowa, był może jedynym uczonym, przed którym respekt czuł Isaac Newton, wzorując się na jego książce o zegarze wahadłowym. Wcześniej, pod koniec 1652 r. Christiaan Huygens zajął się badaniem teorii soczewek przy użyciu prawa załamania. Na marginesie tej pracy rozwiązał zagadnienie maksymalnego odchylenia promieni słonecznych w kroplach wody. Jak opisywaliśmy, Descartes uciekł się do metody numerycznej. Huygens pokazał, jak można rozwiązać matematyczny problem maksimum w tym przypadku.

Metoda Huygensa nie jest optymalna, lecz okazała się skuteczna. Przerysowaliśmy jego rysunek z niewielkimi zmianami. Łamana PFDKO to droga promienia świetlnego. Zamiast wyrażać stosunek sinusów kąta padania i załamania jako stosunek odcinka p do promienia okręgu AM piszemy n – wartość współczynnika załamania, a promień okręgu uważamy za jednostkowy. Należy jednak pamiętać, że wciąż traktowano liczby rzeczywiste jako stosunki odcinków, co  zaciemniało zapis.

Szukamy takiego położenia promienia wchodzącego do kropli PF, żeby kąt \angle OKN był maksymalny. Tym samym łuk BD ma być maksymalny, a odcinek AL – minimalny. Spełnione ma być przy tym prawo załamania, co oznacza stały zadany stosunek długości odcinków DF:AC. Zmienną jest odległość AC\equiv x.

Najpierw wyznaczamy długość odcinka AG=\cos i za pomocą tw. cosinusów zastosowanego do trójkąta \triangle ACF. Otrzymujemy

AG=\dfrac{n^2 x^2-x^2-1}{2x}.

Następnie korzystamy z tw. o iloczynie siecznych dla siecznych CDF oraz $latex $CBM$ i stąd wyznaczamy długość

CD=\dfrac{x^2-1}{nx}.

Z tw. Talesa dla zielonych równoległych znajdujemy LG. Szukana odległość AL=LG-AG. Ostatecznie

AL=\dfrac{(n^2-1)x^4+(n^2+2)x^2-1}{2n^2 x^3}.

Do znalezienia wartości x, przy której funkcja osiąga minimum, Huygens stosuje metodę Fermata. Brała się ona z zauważenia, że w ekstremum styczna do krzywej biegnie płasko, tzn. ma nachylenie 0.

Dodając do x niewielką wartość e, zmienimy wartość funkcji o wielkość mniejszą niż e. Sprawdźmy to na przykładzie wielomianu, np. f(x)=x^4-3x^2. Obliczamy

f(x+e)=x^4+4x^3 e+4 x^2 e^2+e^4-3x^2-6xe-3e^2.

Gdy e jest bardzo małe e^4\ll e^3 \ll e^2 \ll e. Znaczy to, że blisko ekstremum żądamy, aby

f(x+e)\sim x^4-3x^2+ (4x^3-6x)e\sim f(x).

Oprócz trywialnej równości f(x)=f(x) dostajemy także nietrywialną równość

4x^3-6x=0,

należy sobie wyobrażać, że dzielimy obustronnie przez e, zanim jeszcze wartość e stanie się równa zeru. Dziś powiedzielibyśmy, że pochodna funkcji ma być równa zeru w ekstremum. Współcześnie mówi się, że pochodna funkcji to liniowa część przyrostu f(x+e)-f(x), tzn. ta część, w której e występuje w potędze pierwszej. W ekstremum owa część liniowa znika, bo każda przyzwoita funkcja w pobliżu ekstremum wygląda jak parabola w pobliżu wierzchołka. Łatwo można taką metodę uogólnić do ilorazu funkcji, jak w przypadku rozpatrywanym przez Huygensa. Znając wartość x można już otrzymać np.

GF=\sin i=\sqrt{4-n^2}{3}.

To kąt padania odpowiadający maksymalnemu wychyleniu promienia, czyli tzw. promieniowi Descartes’a. Promień łuku tęczy będzie równy 4r-2i zgodnie z tabelką francuskiego uczonego. Huygens przy okazji rozwiązał także zagadnienie odwrotne, jak znając wielkość tęczy, obliczyć współczynnik załamania. problem wymaga rozwiązania równania trzeciego stopnia.

Matematyczna historia tęczy 1: René Descartes (1629, 1637)

Zaczynam dłuższy cykl poświęcony tęczy w ujęciu matematycznym. Pisałem już trochę o tęczy tutaj i tutaj. Na przykładzie podejścia do tęczy zobaczymy jak zmieniało się rozumienie zjawisk optycznych i jak zmieniała się matematyka stosowana do opisu przyrody. Naukową i mitologiczną prehistorię tęczy, interesującą, ale niezbyt skuteczną poznawczo, odkładamy na inny czas. Od XVII wieku wiemy, że jedną z najlepszych metod zrozumienia świata jest budowanie matematycznych modeli. Rozumiemy tyle, ile potrafimy obliczyć i sprawdzić eksperymentalnie. Matematyka pozwala symbolicznie oswajać świat znacznie skuteczniej niż np. magia czy przesądy (tzw. tradycja), mówiąc skrótowo: zachodnie samoloty i rakiety latają, a nawet kiedy spadają, potrafimy to wyjaśnić w kategoriach racjonalnych.

Zaczynamy od Descartes’a. Pisał o nim Tadeusz Żeleński we wrześniu 1918 r.:

Dzieje życia mieszczą się całkowicie w dziejach jego myśli. Urodził się w La Haye w Turenii, w r. 1596 (ojciec Descartes’a był rajcą parlamentu). Pierwsze nauki odbył świetnie w kolegium jezuitów w La Flèche; w młodych latach zdradzał zamiłowanie do poezji, które zachował i później. W 17 roku dostaje się do Paryża, gdzie prowadzi życie dość rozproszone: zwłaszcza hołduje grze, której — podobnie jak Pascal — rychło ogarnia wszystkie tajniki i kombinacje. Naraz na nowo opanowany żądzą nauki, ginie z oczu towarzyszom zabaw, którzy szukają go po zakątach Paryża, podczas gdy on studiuje prawo w Poitiers. W rok później — ma wówczas lat 21 — porzuca książki i postanawia czytać jedynie w „wielkiej księdze życia”; w tym celu, zaciąga się jako ochotnik do wojska w Holandii, pod ks. Maurycym Nassauskim. Bawiąc w Bredzie, Descartes widzi na ulicy tłum ludzi gromadzący się przed wielkim afiszem wypisanym w języku flamandzkim i prosi sąsiada o wytłumaczenie. Był to osobliwie zawiły problem geometrii oraz wezwanie do rozwiązania go. Nagabnięty przechodzień, którym był przypadkowo uczony matematyk, rektor kolegium w Dordrecht [Isaac Beeckman], przełożył mu treść afisza, zachęcając żartobliwie do rozwiązania. Ku wielkiemu jego zdumieniu, młodzik przyniósł nazajutrz żądaną solucję.

Po upływie dwu lat, René opuszcza Holandię i udaje się do Niemiec, gdzie bierze udział w pierwszych utarczkach wojny trzydziestoletniej. Z początkiem r. 1619, zima zatrzymuje go na granicy Bawarii w Neuburgu (przełomowy ten moment życia opisuje Descartes w drugiej części Rozprawy o metodzie). Tutaj, zamknięty w swojej izdebce, odkrywa, przez zastosowanie algebry do geometrii, zasady matematyki powszechnej, w której, w upojeniu entuzjazmu, widzi klucz do rozwiązania wszystkich sekretów przyrody. Kilka lat jeszcze ciągnie Descartes żołnierską włóczęgę, wciąż nieprzerwanie prowadząc swoje dociekania matematyczne i szukając zbliżenia z wybitnymi uczonymi epoki; rzuciwszy armię, kilka lat znowuż spędza na podróżach, przebiega Włochy, Szwajcarię, gdzie, u stóp Mont-Cenis, czyni swoje obserwacje meteorologiczne. Wreszcie, postanawia w zupełności poświęcić się filozofii, „aby (jak mówi), o ile to w jego mocy, przyczynić się do dobra bliźnich”. W tym celu, uchodząc od paryskiego zgiełku, osiedla się w Holandii, uważając, iż pobyt w tym kraju daje największą swobodę myślom i dociekaniom, zapewniając równocześnie potrzebne dla pracy naukowej dogodności. Tutaj spędza 20 lat na nieprzerwanych badaniach, w których przeważnie zajmuje się matematyką i zjawiskami przyrody; jednakże wśród naukowych doświadczeń wciąż przyświeca mu dążenie do syntezy ogarniającej cały wszechświat. W ciągu tych lat ogłasza Próby filozoficzne (1637), które zawierają Rozprawę o metodzie, a obok niej Geometrię, Rozprawę o meteorach i Dioptrykę: układa słynny Traktat o świecie, który niszczy jednakże na wieść o skazaniu Galileusza; wreszcie Traktat o namiętnościach duszy.

René Descartes był postacią skomplikowaną i pełną sprzeczności. Postulował pojęciową jasność i prostotę, ale jego idee analizowane są od czterystu lat i nadal budzą kontrowersje interpretacyjne. Twierdził, że rozsądek jest najsprawiedliwiej rozdzielony między ludzi i że on sam nie ma żadnych szczególnych zdolności, ale z pasją reagował, kiedy inni dochodzili do podobnych co on rezultatów. Twierdził, że posiada metodę zdobywania wiedzy i że wystarczy ją stosować, by dowiedzieć się rzeczy dotąd nieznanych. Do dziś nie ma jednak żadnej pewnej metody, która by niczym jakaś ulepszona sztuczna inteligencja generowała nową i użyteczną wiedzę. Spędził większość dorosłego życia w Niderlandach, dość często zmieniając miejsce pobytu. Mogło to być związane z ówczesną walką polityczną we Francji i zaangażowaniem uczonego (pisze o tym Harold J. Cook, choć nie wszyscy się zgadzają na tak sensacyjne ujęcie życia naszego bohatera). W każdym razie jego emigracja mogła nie być tylko skutkiem poszukiwania spokoju do pracy. W każdym razie Francuz i katolik Descartes spędził większość dorosłego życia w protestanckich Niderlandach, a wskutek dziwacznej symetrii historycznej Holender  protestant Christiaan Huygens przemieszkał długie lata we Francji, zmuszony stamtąd wrócić po odwołaniu edyktu nantejskiego. Descartes przygotowywał fundamentalny Traktat o świecie, gdy w 1633 r. skazano Galileusza. Jako wierzący katolik, który pielgrzymował do Loreto, był tym wyrokiem rzymskiej inkwizycji wstrząśnięty. Zrozumiał bowiem, że jego poglądy naukowe mogą sprowadzić na niego kłopoty. Wstrzymał się z wydaniem książki, i to na resztę życia. Ostatecznie debiutował w druku po przekroczeniu czterdziestki, w wieku wówczas uważanym za dojrzały. Niejako zastępczo wydał w 1637 r. Rozprawę o metodzie wraz z trzema przykładami na działanie owej metody. Pierwszą z nich była Dioptryka, czyli nauka o załamaniu światła. Podał w niej Descartes po raz pierwszy w druku prawo załamania, nie wiadomo czy odkrył je niezależnie, gdyż znane były w Niderlandach prace Willebrorda Snela i mógł się z nimi spotkać. Niezależnie od priorytetu odkrycia Descartes podał jednak uzasadnienie prawa Snela i zastosował owe prawo do problemu ulepszania teleskopów. Chodziło o aberrację sferyczną. Soczewki szlifowane w zwykły sposób mają powierzchnie sferyczne, które łatwiej uzyskać szlifując taflę szkła na sferycznej podstawie, tak zarabiał na życie Baruch Spinoza, którego tu jeszcze spotkamy. Światło nie ogniskuje się w jednym punkcie, promienie dalsze od osi optycznej przecinają się bliżej soczewki.

 

4_26

W istocie mamy tu do czynienia z dość skomplikowaną strukturą i całą powierzchnią złożoną z ognisk, zwaną kaustyką.

urn_cambridge.org_id_binary_84889_20160504081643245-0091_00633fig9_2

Kaustyki znamy wszyscy np. jako odblaski na pofalowanej powierzchni wody – z kierunku, z którego dociera do oka wiele promieni, widzimy jasną linię. Podobne struktury powstają też wskutek odbicia lub załamania w różnych strukturach np. szklankach. Dziś generuje się lepiej albo gorzej kaustyki, aby wywołać efekt oglądania rzeczywistego krajobrazu, np. w grach komputerowych.

Descartes sam nie zajmował się kaustykami, lecz zapoczątkował poszukiwanie powierzchni soczewek wolnych od aberracji sferycznej. Problem okazał się mniej istotny, niż uczony sądził: nawet bowiem, gdy utworzymy soczewkę niesferyczną o odpowiednio dobranym kształcie (co jest technicznie niełatwe), pozostanie problem dyspersji, czyli różnego załamania światła różnej barwy. Ale to zauważył dopiero Newton.

Drugą pracą była Rozprawa o meteorach, traktująca o wszelkich zjawiskach meteorologicznych: chmurach, oparach i wyziewach, naturze soli, wiatrach, śniegu, gradzie, burzach – tym wszystkim, czym zajmował się Arystoteles w swej Meteorologice. Znajduje się tu objaśnienie tęczy, znane Descartes’owi od 1629 r., a teraz opublikowane jako przykład metody. Uczony miał ambicję zastąpienia tekstów scholastycznych w szkołach jezuickich swoim własnym traktatem. 

Najgłośniejszą z trzech rozpraw była Geometria, gdzie pokazał, jak problemy geometryczne mogą być rozwiązywane algebraicznie i vice versa. Chodziło o geometrię analityczną, która tak bardzo wrosła w matematykę, że wydaje się niemal oczywista (niezależnie od Descartes’a podejście takie sformułował Pierre Fermat, który nie znał dobrodziejstw Kartezjuszowej metody, lecz był po prostu świetnym matematykiem). 

Zjawisku tęczy poświęcona została ósma część Rozprawy o meteorach. Descartes z pewnym upodobaniem objaśniał zjawiska na niebie w sposób naturalny, czujemy tu pewną odrazę do przesądów gminu, nawet jeśli są pobożne. Tęcza, która miała tak wielkie znaczenie symboliczne w Piśmie św., okazała się zjawiskiem czysto subiektywnym – każdy z nas widzi własną tęczę. Jak mówią Anglicy: Beauty is in the eye of the beholder. Descartes zauważa, że tęczę dostrzec można nie tylko na niebie, ale i np. w fontannach, ulubionej dekoracji królewskich ogrodów w XVII wieku. Potrzebne są więc promienie słoneczne, krople wody i promienie biegnące do naszego oka. Krople wody są kuliste (co uczony objaśnia w innym miejscu, dziś wiemy, że odpowiada za to napięcie powierzchniowe: pole powierzchni kuli jest minimalne spośród brył o tej samej objętości). Dalej, rozmiary kropel nie mają znaczenia, możemy zatem zrobić sobie jedną dużą kroplę z kulistego flakonu z wodą i na tym przykładzie prowadzić obserwacje. Nie był w tym pierwszy, Teodoryk z Fryburga robił to w XIII wieku, a Libert Froidmont w książce o meteorologii wydanej dziesięć lat wcześniej w Antwerpii wspominał, iż tęczę można uzyskać za pomocą trójkątnego szkła (pryzmatu), a także urynału albo zwykłego baniaka na wino. Descartes nie wspomina nic o swych poprzednikach, mógł o nich nie wiedzieć albo, co bardziej prawdopodobne, sądził, że prawdziwa wiedza zaczyna się dopiero od jego metody. Kiedy Descartes spojrzał na swą gigantyczną kroplę wody pod kątem mniej więcej 42° do kierunku światła słonecznego, dostrzegł czerwony kolor dochodzący z części D.

Kiedy kąt wzrastał, barwa znikała. Przy nieco mniejszym kącie widać było natomiast inne barwy: żółtą, błękitną, po czym barwy zanikały. Podobne zachowanie można było zaobserwować dla kąta 52° i drogi promienia FGHIKE z tą różnicą, że teraz barwa czerwona pojawiała się nagle przy najmniejszym kącie, po czym stopniowo przechodziła w żółtą i błękitną dla kątów większych. Światło było też słabsze niż w pierwszym przypadku. Następnie zadał sobie Descartes pytanie, co sprawia, że część D staje się czerwona? Kiedy zasłaniał czymś nieprzezroczystym część kuli z wodą, okazywało się, że jedynie obszary B i D potrzebne były do wytworzenia zjawiska kolorów. Czemu jednak tylko pod określonym kątem kolory się pojawiały? Tu po raz drugi wkraczał eksperyment, tym razem z pryzmatem.

Światło słoneczne pada tu mniej więcej prostopadle na ściankę NM pryzmatu szklanego, który z drugiej strony ograniczony jest wąską przysłoną DE. Po załamaniu na drugiej ściance pryzmatu światło tworzy pasmo barwne na ekranie HGF, przy czym w okolicy F mamy barwę czerwoną, a w okolicy H barwę niebieską czy też fioletową. Wnioskuje z tego doświadczenia nasz bohater, że powierzchnie nie muszą być zakrzywione, aby wytworzyć barwy. Ponieważ w doświadczeniu zachodzi tylko pojedyncze załamanie i nie ma odbicia, przeto należy wnioskować, że nie odbicie, lecz właśnie załamanie jest przyczyną pojawiania się kolorów tęczy. Ponadto z faktu, że barw takich nie obserwuje się w płaskich płytkach szkła (np. w szybach), należy wnioskować, iż musi być to załamanie nie skompensowane żadnym innym. Dalej: aby widzieć barwy, potrzebujemy światła (antyczne rozróżnienie wciąż się narzucało) i również cienia, czyli „ograniczenia światła” – bo gdy szczelina staje się szeroka lub gdy ją całkiem usuniemy, obraz ma postać białego pasa zabarwionego jedynie przy brzegach. Barwy pojawiają się zatem w obszarze sąsiadującym z cieniem na skutek załamania. Próbując wyjaśnić, dlaczego jeden brzeg obrazu jest fioletowo-niebieski, drugi zaś czerwono-żółty, Kartezjusz przyjmuje, że okrągłe cząstki eteru, które przekazują owo „działanie czy ruch”, jakim jest światło, mogą się obracać. Przy obu brzegach cienia ruch obrotowy nadawany cząstkom materii jest różny. Tam, gdzie obserwuje się barwę czerwoną (tradycyjnie uważaną za najsilniejszą), cząstki „dążą do obracania się z większą siłą niż do poruszania po linii prostej” (chodziło prawdopodobnie o prędkość obrotu większą niż ruchu postępowego, równe prędkości odpowiadałyby toczeniu się), barwie fioletowej (najsłabszej) odpowiada sytuacja odwrotna.

Rysunek z pracy Jeda Z. Buchwalda, Descartes’s Experimental Journey Past the Prism and Through the
Invisible World to the Rainbow, „Annals of Science”, t. 65 (1) (2008), s. 19.

W rozumowaniu tym widać, jak Kartezjusz wyobrażał sobie osiąganie pewnych wyników w nauce za pomocą swej metody. Skoro światło jest tylko skłonnością do ruchu w materii, to nie trzeba mnożyć bytów i osobno szukać objaśnienia barw i światła. Skoro zaś możliwe ruchy są postępowe lub obrotowe, a światło ma rozmaite kierunki rozchodzenia się i barwy, to z konieczności barwy należy wiązać z obrotami.

Przy okazji Kartezjusz obalił rozróżnienie barw pozornych – takich jak barwy tęczy, i barw prawdziwych – takich jak barwy przedmiotów, które istnieją, jak wierzono, nawet w ciemności. U Kartezjusza wszystkie barwy stają się barwami pozornymi: nie tylko więc nie widzimy bezpośrednio samych przedmiotów, lecz jedynie wysyłane przez nie światło, ale również nie widzimy ich barw, lecz jedynie barwę światła wpadającego do naszych oczu.

Jeśli obraz świata wypełnionego mikroskopijnymi kulkami, które wypełniają szczeliny między wszystkimi innymi cząstkami, nie wydaje nam się oczywisty, to tylko dlatego że nie poznaliśmy siły argumentacji uczonego, który dowiódł ponad wszelką wątpliwość, że wszystkie rzeczy składają się z trzech rodzajów niewidzialnych cząstek. Współcześni zrazu także niezbyt uwierzyli Descartes’owi, ale głównie dlatego, iż wierzyli w cztery elementy Arystotelesa albo (znacznie rzadziej) w jakąś swoją odmianę świata korpuskularnego. Wracając do tęczy Descartes poszukał odpowiednika granicy z cieniem w tym zjawisku i znalazł je, jak sądził, w kątach biegu promieni po jednym bądź dwu odbiciach w kropli. Wyobraźmy sobie promień EF biegnący początkowo w odległości FH od środka kropli. Odległość IC promienia załamanego jest 187/250 razy mniejsza niż FH. Łatwo sprawdzić, że to prawo Snela dla współczynnika załamania wody względem powietrza równego 250/187 (wartość ta była prawdopodobnie wynikiem pomiarów Descartes’a).

Problem polega jednak na tym, że promienie biegnące w różnych odległościach FH od środka kropli załamują się pod różnymi kątami i pod różnymi kątami odchylenia wychodzą z kropli po odbiciu. Nie ma tu jednej wartości, która odpowiadałaby owym 42°. W tej sytuacji nasuwało się wyjście inżynierskie (Descartes pewnie często służył swą wiedzą matematyczną przy różnych wojskowych zastosowaniach, były to czasy artylerii i skomplikowanych w kształtach twierdz, gdzie projektowano obszary ostrzału). Tym bardziej, że dysponował prawem załamania. Zestawił więc tabelę kątów odpowiadających różnym odległościom  HK.

Promień kropli wynosi u Descartes’a 10000 części, kąty wyrażone są w stopniach i minutach. Kąt ONP odpowiada wewnętrznemu łukowi tęczy (po jednym odbiciu), kąt SQR łukowi zewnętrznemu (po dwóch odbiciach). W drugiej i trzeciej kolumnie mamy kąty odpowiadające łukom FG i FK z wierzchołkiem w środku kropli. Tabela ta nie prowadzi do oczywistych wniosków, ale można zauważyć, że kąt ONP nie przekracza nigdy 42°, natomiast kąt SQR nie jest w żadnym przypadku mniejszy niż 52°. Potrzeba dalszych obliczeń, bardziej szczegółowych.

Teraz widać dokładniej, że maksymalna wartość kąta ONP równa jest 41°30′, co po dodaniu 17′ promienia kątowego Słońca daje kąt graniczny 41°47. Żaden promień odbity jednokrotnie nie wychodzi pod kątem większym niż ten graniczny. Podobnie dla tęczy zewnętrznej otrzymujemy 51°37′. Wyjaśnia to także, czemu w obszarze między łukami tęczy widzimy obszar ciemny, co zauważył już Aleksander z Afrodyzji, działający na przełomie II i III w.n.e. filozof ze szkoły perypatetyckiej w Atenach. Na wykresie (pierwsze wykresy funkcji pojawiły się w drugiej połowie wieku XVII) widzimy dokładniej zachowanie promieni: mamy dwa ekstrema i w okolicy ekstremów wiele promieni wychodzących pod niemal tym samym kątem. Natężenie światła powinno w pobliżu owych ekstremów dążyć do nieskończoności, ale znów posługujemy się pojęciami z późniejszej epoki, o natężeniach światła zaczęto mówić dopiero w wieku XVIII. Descartes widział tu wiele promieni i sądził, że ma to związek z barwą czerwoną. Nb. jeśli mierzalna wielkość – jak tutaj natężenie światła – rośnie do nieskończoności, to znaczy, że nasza teoria się załamuje. Falowa teoria światła rozmyje te maksima i sprowadzi do skończonych rozmiarów.

Przy okazji Descartes poprawia tych uczonych, którzy sądzili jak Kepler, że kąt łuku tęczy może być równy np. 45°: żeby otrzymać taką wartość, należy przyjąć wyraźnie odmienną wartość współczynnika załamania wody, co przeczy obserwacjom. „Najmocniejsza” barwa czerwona występuje na granicy ciemni Aleksandra w obu tęczach, co Descartes łączył z wynikami obserwacji pryzmatycznych i co jest nieprawdą, podobnie jak te roje kulistych cząstek wypełniające świat. 

Można się zastanawiać, jak z perspektywy czasu będzie wyglądać nasza dzisiejsza wiedza na różne tematy. Zapewne także okaże się pomieszaniem piramidalnych błędów (kulki wypełniające wszechświat) z przebłyskami rzetelnej wiedzy (tu zastosowanie prawa Snela). 

Zestawienie danych do tabelek Descartes’a nie wydawało się w tamtej epoce rzeczą prostą. Baruch Spinoza poświęcił całą osobną pracę na zrozumienie, jak zbudować owe tabelki. Descartes podał tylko, że kąt ONP jest równy 180°+kąt FG-2 kąty FK. Spinoza (w pracy przetłumaczonej na polski w antologii Empiryczne podstawy o obrzeża filozofii XVII wieku, Wydawnictwo UMK, Toruń 2014) zmaga się m.in. z problemem, jak z danej odległości CI otrzymać kąt FCK i robi to dziwaczną okrężną drogą, podczas gdy wystarczą tablice sinusów. Dla przyszłych matematyków zarysował się tu problem, jak obliczyć położenia ekstremów, dziś wystarczy obliczyć pochodną i przyrównać ją do zera. Problem rozwiązał jednak Christiaan Huygens, zanim jeszcze „oficjalnie” powstał rachunek różniczkowy, o czym napiszę w kolejnej części.

Dla porządku spójrzmy jeszcze, jak obliczyć kąt wyjścia promieni po jednym załamaniu.

Odległość HF=10000\sin i. Z prawa załamania otrzymujemy \sin i =n\sin r. Dla dwukrotnego odbicia otrzymamy kąt 180^{\circ}+2i-6r.

 

 

 

 

Jak Ptolemeusz nie odkrył prawa Snella

Klaudiusz Ptolemeusz był astronomem i astrologiem, wierzył zapewne w boskość ciał niebieskich i studiowanie ich ruchów traktował jako udział w pewnym misterium. Bo też zrozumienie każdej, nawet drobnej tajemnicy świata ma w sobie coś z misterium i z obrzędu wtajemniczenia. Nie trzeba do tego mieszać ludzi w szatach rytualnych, profesjonalistów, którzy zazwyczaj niczego nie rozumieją. Nie potrzeba pleść o Bogu, o którym wszyscy wiemy bardzo niewiele.

Wyjaśnienie ruchu planet musiało Ptolemeuszowi przynieść wielką satysfakcję: dokończył dzieła wielu pokoleń. My dzisiaj patrzymy na jego teorię jak na wstęp do Kopernika i Keplera, lecz przez czternaście wieków uważano ją za niedościgniony wzór. Geocentryzm nikomu właściwie nie przeszkadzał, był oczywisty, tak jak my uważamy za oczywistość, że Ziemia się porusza, choć nie każdy potrafiłby wskazać doświadczalne dowody tego faktu. Ptolemeusz zresztą doskonale sobie zdawał sprawę z możliwości ruchu Ziemi, odrzucał ją przedstawiając pewne argumenty, a więc nie z braku wyobraźni.

Był zawodowym uczonym, zajmował się całością nauk matematycznych, a więc także geografią i skalami muzycznymi oraz optyką. Pierwszy opisał ilościowo i doświadczalnie zbadał zjawisko załamania światła. Używał do tego następującego przyrządu.

ptolemy_refraction

Światło biegnie po łamanej ZEH, DEB jest linią rozdziału dwóch ośrodków, np. na dole mamy wodę albo szkło (w kształcie połowy walca), a u góry powietrze. Koło zaopatrzone jest w podziałkę w stopniach. Uczony mierzył kąty padania i oraz załamania r. Oto jego wyniki dla granicy powietrze-woda.

 

i r
10 8
20 15,5
30 22,5
40 29
50 35
60 40,5
70 45,5
80 50

Jest to rzadki przypadek starożytnej pracy eksperymentalnej poza astronomią. Optyka była przedłużeniem astronomii, więc dość naturalne było zainteresowanie zjawiskami świetlnymi. Tabelka Ptolemeusza nie jest jednak do końca wynikiem doświadczalnym, zauważymy to, analizując dokładniej wartości kątów załamania i ich różnice.

i r pierwsze różnice drugie różnice
10 8 8
20 15,5 7,5 -0,5
30 22,5 7 -0,5
40 29 6,5 -0,5
50 35 6 -0,5
60 40,5 5,5 -0,5
70 45,5 5 -0,5
80 50 4,5 -0,5

Uczony najwyraźniej „poprawiał” surowe dane eksperymentalne, być może nawet nie wykonał wszystkich pomiarów, zachował się jak niesumienny student podczas zajęć laboratoryjnych: i tak przecież wiadomo, co ma wyjść. Nie należy z tego powodu wszczynać larum, że przyłapaliśmy Ptolemeusza na oszustwie: w jego czasach i jeszcze bardzo długo potem starano się raczej uzyskać pewną formułę, jakiś rodzaj matematycznego zrozumienia zamiast relacjonować listę wyników obarczonych błędami. Teoria i eksperyment spotykały się w nieco innym miejscu niż dziś. Ptolemeusz zapewne chciał po inżyniersku rozumieć, skąd się biorą liczby w jego tabelce. Funkcja liniowa tu nie pasuje, bo wówczas różnice byłyby stałe. Jeśli drugie różnice (czyli różnice kolejnych różnic) są stałe, to znaczy, że opisujemy obserwowaną zależność funkcją kwadratową (*). Jej wykresem będzie parabola.

woda

Czerwone kropki są prawidłowymi wynikami dla kątów załamania w wodzie. Błędy nie są wielkie, choć znacznie przewyższają niedokładności tolerowane wówczas w astronomii. Podobne dane przedstawia Ptolemeusz dla szkła, także i one są dopasowane do paraboli.

szklo

W istocie Ptolemeusz stracił okazję do odkrycia prawa bardziej zadowalającego pod względem matematycznym. Podał on bowiem także wyniki dla załamania z wody do szkła. Także i tym razem dopasował je do funkcji kwadratowej, choć z pewnymi anomaliami. Nie zauważył jednak, że skoro ma dane dla granic ośrodków powietrze-woda oraz szkło-woda, to kąty dla załamania z wody do szkła powinny już wynikać z poprzednich danych. Wystarczy bowiem wyobrazić sobie następującą sekwencję ośrodków: woda-powietrze-szkło. Dla obu granic znamy zależności miedzy kątami po obu stronach (Ptolemeusz wiedział, że kierunek biegu promieni nie ma znaczenia w załamaniu, wyobrażał sobie zresztą nie promienie świetlne, lecz promienie wzrokowe, które wybiegają z oka). Możemy sobie następnie wyobrazić, że warstwa powietrza staje się coraz cieńsza: kąty w wodzie i w szkle cały czas są takie same, logicznie jest więc przypuścić, że pierwsze dwie zależności dają nam tę trzecią (woda-szkło). Ptolemeusz nie poszedł tą drogą i chyba nie zauważył, że przybliżenie kwadratowe jest nie do utrzymania dla trzeciej pary ośrodków. W gruncie rzeczy prawo Snella, choć takie proste, wymaga spojrzenia na zjawisko załamania w odpowiedni sposób, mieści w sobie od razu pewną teorię. Nie miejmy za złe Ptolemeuszowi w II w.n.e., że nie poradził sobie z problemem, który jeszcze na początku wieku XVII okazał się za trudny dla samego Johannesa Keplera. Ostatecznie prawo załamania odkrył Ibn Sahl, żyjący w X wieku, kiedy nasi przodkowie kryli się po lasach, a w XVII wieku niezależnie od siebie Thomas Harriot, Willebrord Snell i René Descartes. Tylko ten trzeci opublikował to prawo, a także jego mechaniczne uzasadnienie, zresztą fałszywe.

(*) Łatwo zauważyć, że różnice dla funkcji kwadratowej są liniową funkcją argumentu. W przypadku biegu promieni z powietrza do wody Ptolemeusz stosuje (niejawnie) funkcję

r=\dfrac{33}{40}i-\dfrac{1}{400}i^2.

Funkcja odwrotna nie jest już kwadratowa (musimy rozwiązać ostatnią równość względem i). Zatem złożenie tej funkcji odwrotnej z funkcją kwadratową nie może nam dać funkcji kwadratowej dla trzeciej pary ośrodków.

Dane Ptolemeusza