Zaczynam dłuższy cykl poświęcony tęczy w ujęciu matematycznym. Pisałem już trochę o tęczy tutaj i tutaj. Na przykładzie podejścia do tęczy zobaczymy jak zmieniało się rozumienie zjawisk optycznych i jak zmieniała się matematyka stosowana do opisu przyrody. Naukową i mitologiczną prehistorię tęczy, interesującą, ale niezbyt skuteczną poznawczo, odkładamy na inny czas. Od XVII wieku wiemy, że jedną z najlepszych metod zrozumienia świata jest budowanie matematycznych modeli. Rozumiemy tyle, ile potrafimy obliczyć i sprawdzić eksperymentalnie. Matematyka pozwala symbolicznie oswajać świat znacznie skuteczniej niż np. magia czy przesądy (tzw. tradycja), mówiąc skrótowo: zachodnie samoloty i rakiety latają, a nawet kiedy spadają, potrafimy to wyjaśnić w kategoriach racjonalnych.
Zaczynamy od Descartes’a. Pisał o nim Tadeusz Żeleński we wrześniu 1918 r.:
Dzieje życia mieszczą się całkowicie w dziejach jego myśli. Urodził się w La Haye w Turenii, w r. 1596 (ojciec Descartes’a był rajcą parlamentu). Pierwsze nauki odbył świetnie w kolegium jezuitów w La Flèche; w młodych latach zdradzał zamiłowanie do poezji, które zachował i później. W 17 roku dostaje się do Paryża, gdzie prowadzi życie dość rozproszone: zwłaszcza hołduje grze, której — podobnie jak Pascal — rychło ogarnia wszystkie tajniki i kombinacje. Naraz na nowo opanowany żądzą nauki, ginie z oczu towarzyszom zabaw, którzy szukają go po zakątach Paryża, podczas gdy on studiuje prawo w Poitiers. W rok później — ma wówczas lat 21 — porzuca książki i postanawia czytać jedynie w „wielkiej księdze życia”; w tym celu, zaciąga się jako ochotnik do wojska w Holandii, pod ks. Maurycym Nassauskim. Bawiąc w Bredzie, Descartes widzi na ulicy tłum ludzi gromadzący się przed wielkim afiszem wypisanym w języku flamandzkim i prosi sąsiada o wytłumaczenie. Był to osobliwie zawiły problem geometrii oraz wezwanie do rozwiązania go. Nagabnięty przechodzień, którym był przypadkowo uczony matematyk, rektor kolegium w Dordrecht [Isaac Beeckman], przełożył mu treść afisza, zachęcając żartobliwie do rozwiązania. Ku wielkiemu jego zdumieniu, młodzik przyniósł nazajutrz żądaną solucję.
Po upływie dwu lat, René opuszcza Holandię i udaje się do Niemiec, gdzie bierze udział w pierwszych utarczkach wojny trzydziestoletniej. Z początkiem r. 1619, zima zatrzymuje go na granicy Bawarii w Neuburgu (przełomowy ten moment życia opisuje Descartes w drugiej części Rozprawy o metodzie). Tutaj, zamknięty w swojej izdebce, odkrywa, przez zastosowanie algebry do geometrii, zasady matematyki powszechnej, w której, w upojeniu entuzjazmu, widzi klucz do rozwiązania wszystkich sekretów przyrody. Kilka lat jeszcze ciągnie Descartes żołnierską włóczęgę, wciąż nieprzerwanie prowadząc swoje dociekania matematyczne i szukając zbliżenia z wybitnymi uczonymi epoki; rzuciwszy armię, kilka lat znowuż spędza na podróżach, przebiega Włochy, Szwajcarię, gdzie, u stóp Mont-Cenis, czyni swoje obserwacje meteorologiczne. Wreszcie, postanawia w zupełności poświęcić się filozofii, „aby (jak mówi), o ile to w jego mocy, przyczynić się do dobra bliźnich”. W tym celu, uchodząc od paryskiego zgiełku, osiedla się w Holandii, uważając, iż pobyt w tym kraju daje największą swobodę myślom i dociekaniom, zapewniając równocześnie potrzebne dla pracy naukowej dogodności. Tutaj spędza 20 lat na nieprzerwanych badaniach, w których przeważnie zajmuje się matematyką i zjawiskami przyrody; jednakże wśród naukowych doświadczeń wciąż przyświeca mu dążenie do syntezy ogarniającej cały wszechświat. W ciągu tych lat ogłasza Próby filozoficzne (1637), które zawierają Rozprawę o metodzie, a obok niej Geometrię, Rozprawę o meteorach i Dioptrykę: układa słynny Traktat o świecie, który niszczy jednakże na wieść o skazaniu Galileusza; wreszcie Traktat o namiętnościach duszy.
René Descartes był postacią skomplikowaną i pełną sprzeczności. Postulował pojęciową jasność i prostotę, ale jego idee analizowane są od czterystu lat i nadal budzą kontrowersje interpretacyjne. Twierdził, że rozsądek jest najsprawiedliwiej rozdzielony między ludzi i że on sam nie ma żadnych szczególnych zdolności, ale z pasją reagował, kiedy inni dochodzili do podobnych co on rezultatów. Twierdził, że posiada metodę zdobywania wiedzy i że wystarczy ją stosować, by dowiedzieć się rzeczy dotąd nieznanych. Do dziś nie ma jednak żadnej pewnej metody, która by niczym jakaś ulepszona sztuczna inteligencja generowała nową i użyteczną wiedzę. Spędził większość dorosłego życia w Niderlandach, dość często zmieniając miejsce pobytu. Mogło to być związane z ówczesną walką polityczną we Francji i zaangażowaniem uczonego (pisze o tym Harold J. Cook, choć nie wszyscy się zgadzają na tak sensacyjne ujęcie życia naszego bohatera). W każdym razie jego emigracja mogła nie być tylko skutkiem poszukiwania spokoju do pracy. W każdym razie Francuz i katolik Descartes spędził większość dorosłego życia w protestanckich Niderlandach, a wskutek dziwacznej symetrii historycznej Holender protestant Christiaan Huygens przemieszkał długie lata we Francji, zmuszony stamtąd wrócić po odwołaniu edyktu nantejskiego. Descartes przygotowywał fundamentalny Traktat o świecie, gdy w 1633 r. skazano Galileusza. Jako wierzący katolik, który pielgrzymował do Loreto, był tym wyrokiem rzymskiej inkwizycji wstrząśnięty. Zrozumiał bowiem, że jego poglądy naukowe mogą sprowadzić na niego kłopoty. Wstrzymał się z wydaniem książki, i to na resztę życia. Ostatecznie debiutował w druku po przekroczeniu czterdziestki, w wieku wówczas uważanym za dojrzały. Niejako zastępczo wydał w 1637 r. Rozprawę o metodzie wraz z trzema przykładami na działanie owej metody. Pierwszą z nich była Dioptryka, czyli nauka o załamaniu światła. Podał w niej Descartes po raz pierwszy w druku prawo załamania, nie wiadomo czy odkrył je niezależnie, gdyż znane były w Niderlandach prace Willebrorda Snela i mógł się z nimi spotkać. Niezależnie od priorytetu odkrycia Descartes podał jednak uzasadnienie prawa Snela i zastosował owe prawo do problemu ulepszania teleskopów. Chodziło o aberrację sferyczną. Soczewki szlifowane w zwykły sposób mają powierzchnie sferyczne, które łatwiej uzyskać szlifując taflę szkła na sferycznej podstawie, tak zarabiał na życie Baruch Spinoza, którego tu jeszcze spotkamy. Światło nie ogniskuje się w jednym punkcie, promienie dalsze od osi optycznej przecinają się bliżej soczewki.
W istocie mamy tu do czynienia z dość skomplikowaną strukturą i całą powierzchnią złożoną z ognisk, zwaną kaustyką.
Kaustyki znamy wszyscy np. jako odblaski na pofalowanej powierzchni wody – z kierunku, z którego dociera do oka wiele promieni, widzimy jasną linię. Podobne struktury powstają też wskutek odbicia lub załamania w różnych strukturach np. szklankach. Dziś generuje się lepiej albo gorzej kaustyki, aby wywołać efekt oglądania rzeczywistego krajobrazu, np. w grach komputerowych.
Descartes sam nie zajmował się kaustykami, lecz zapoczątkował poszukiwanie powierzchni soczewek wolnych od aberracji sferycznej. Problem okazał się mniej istotny, niż uczony sądził: nawet bowiem, gdy utworzymy soczewkę niesferyczną o odpowiednio dobranym kształcie (co jest technicznie niełatwe), pozostanie problem dyspersji, czyli różnego załamania światła różnej barwy. Ale to zauważył dopiero Newton.
Drugą pracą była Rozprawa o meteorach, traktująca o wszelkich zjawiskach meteorologicznych: chmurach, oparach i wyziewach, naturze soli, wiatrach, śniegu, gradzie, burzach – tym wszystkim, czym zajmował się Arystoteles w swej Meteorologice. Znajduje się tu objaśnienie tęczy, znane Descartes’owi od 1629 r., a teraz opublikowane jako przykład metody. Uczony miał ambicję zastąpienia tekstów scholastycznych w szkołach jezuickich swoim własnym traktatem.
Najgłośniejszą z trzech rozpraw była Geometria, gdzie pokazał, jak problemy geometryczne mogą być rozwiązywane algebraicznie i vice versa. Chodziło o geometrię analityczną, która tak bardzo wrosła w matematykę, że wydaje się niemal oczywista (niezależnie od Descartes’a podejście takie sformułował Pierre Fermat, który nie znał dobrodziejstw Kartezjuszowej metody, lecz był po prostu świetnym matematykiem).
Zjawisku tęczy poświęcona została ósma część Rozprawy o meteorach. Descartes z pewnym upodobaniem objaśniał zjawiska na niebie w sposób naturalny, czujemy tu pewną odrazę do przesądów gminu, nawet jeśli są pobożne. Tęcza, która miała tak wielkie znaczenie symboliczne w Piśmie św., okazała się zjawiskiem czysto subiektywnym – każdy z nas widzi własną tęczę. Jak mówią Anglicy: Beauty is in the eye of the beholder. Descartes zauważa, że tęczę dostrzec można nie tylko na niebie, ale i np. w fontannach, ulubionej dekoracji królewskich ogrodów w XVII wieku. Potrzebne są więc promienie słoneczne, krople wody i promienie biegnące do naszego oka. Krople wody są kuliste (co uczony objaśnia w innym miejscu, dziś wiemy, że odpowiada za to napięcie powierzchniowe: pole powierzchni kuli jest minimalne spośród brył o tej samej objętości). Dalej, rozmiary kropel nie mają znaczenia, możemy zatem zrobić sobie jedną dużą kroplę z kulistego flakonu z wodą i na tym przykładzie prowadzić obserwacje. Nie był w tym pierwszy, Teodoryk z Fryburga robił to w XIII wieku, a Libert Froidmont w książce o meteorologii wydanej dziesięć lat wcześniej w Antwerpii wspominał, iż tęczę można uzyskać za pomocą trójkątnego szkła (pryzmatu), a także urynału albo zwykłego baniaka na wino. Descartes nie wspomina nic o swych poprzednikach, mógł o nich nie wiedzieć albo, co bardziej prawdopodobne, sądził, że prawdziwa wiedza zaczyna się dopiero od jego metody. Kiedy Descartes spojrzał na swą gigantyczną kroplę wody pod kątem mniej więcej 42° do kierunku światła słonecznego, dostrzegł czerwony kolor dochodzący z części D.
Kiedy kąt wzrastał, barwa znikała. Przy nieco mniejszym kącie widać było natomiast inne barwy: żółtą, błękitną, po czym barwy zanikały. Podobne zachowanie można było zaobserwować dla kąta 52° i drogi promienia FGHIKE z tą różnicą, że teraz barwa czerwona pojawiała się nagle przy najmniejszym kącie, po czym stopniowo przechodziła w żółtą i błękitną dla kątów większych. Światło było też słabsze niż w pierwszym przypadku. Następnie zadał sobie Descartes pytanie, co sprawia, że część D staje się czerwona? Kiedy zasłaniał czymś nieprzezroczystym część kuli z wodą, okazywało się, że jedynie obszary B i D potrzebne były do wytworzenia zjawiska kolorów. Czemu jednak tylko pod określonym kątem kolory się pojawiały? Tu po raz drugi wkraczał eksperyment, tym razem z pryzmatem.
Światło słoneczne pada tu mniej więcej prostopadle na ściankę NM pryzmatu szklanego, który z drugiej strony ograniczony jest wąską przysłoną DE. Po załamaniu na drugiej ściance pryzmatu światło tworzy pasmo barwne na ekranie HGF, przy czym w okolicy F mamy barwę czerwoną, a w okolicy H barwę niebieską czy też fioletową. Wnioskuje z tego doświadczenia nasz bohater, że powierzchnie nie muszą być zakrzywione, aby wytworzyć barwy. Ponieważ w doświadczeniu zachodzi tylko pojedyncze załamanie i nie ma odbicia, przeto należy wnioskować, że nie odbicie, lecz właśnie załamanie jest przyczyną pojawiania się kolorów tęczy. Ponadto z faktu, że barw takich nie obserwuje się w płaskich płytkach szkła (np. w szybach), należy wnioskować, iż musi być to załamanie nie skompensowane żadnym innym. Dalej: aby widzieć barwy, potrzebujemy światła (antyczne rozróżnienie wciąż się narzucało) i również cienia, czyli „ograniczenia światła” – bo gdy szczelina staje się szeroka lub gdy ją całkiem usuniemy, obraz ma postać białego pasa zabarwionego jedynie przy brzegach. Barwy pojawiają się zatem w obszarze sąsiadującym z cieniem na skutek załamania. Próbując wyjaśnić, dlaczego jeden brzeg obrazu jest fioletowo-niebieski, drugi zaś czerwono-żółty, Kartezjusz przyjmuje, że okrągłe cząstki eteru, które przekazują owo „działanie czy ruch”, jakim jest światło, mogą się obracać. Przy obu brzegach cienia ruch obrotowy nadawany cząstkom materii jest różny. Tam, gdzie obserwuje się barwę czerwoną (tradycyjnie uważaną za najsilniejszą), cząstki „dążą do obracania się z większą siłą niż do poruszania po linii prostej” (chodziło prawdopodobnie o prędkość obrotu większą niż ruchu postępowego, równe prędkości odpowiadałyby toczeniu się), barwie fioletowej (najsłabszej) odpowiada sytuacja odwrotna.
Rysunek z pracy Jeda Z. Buchwalda, Descartes’s Experimental Journey Past the Prism and Through the
Invisible World to the Rainbow, „Annals of Science”, t. 65 (1) (2008), s. 19.
W rozumowaniu tym widać, jak Kartezjusz wyobrażał sobie osiąganie pewnych wyników w nauce za pomocą swej metody. Skoro światło jest tylko skłonnością do ruchu w materii, to nie trzeba mnożyć bytów i osobno szukać objaśnienia barw i światła. Skoro zaś możliwe ruchy są postępowe lub obrotowe, a światło ma rozmaite kierunki rozchodzenia się i barwy, to z konieczności barwy należy wiązać z obrotami.
Przy okazji Kartezjusz obalił rozróżnienie barw pozornych – takich jak barwy tęczy, i barw prawdziwych – takich jak barwy przedmiotów, które istnieją, jak wierzono, nawet w ciemności. U Kartezjusza wszystkie barwy stają się barwami pozornymi: nie tylko więc nie widzimy bezpośrednio samych przedmiotów, lecz jedynie wysyłane przez nie światło, ale również nie widzimy ich barw, lecz jedynie barwę światła wpadającego do naszych oczu.
Jeśli obraz świata wypełnionego mikroskopijnymi kulkami, które wypełniają szczeliny między wszystkimi innymi cząstkami, nie wydaje nam się oczywisty, to tylko dlatego że nie poznaliśmy siły argumentacji uczonego, który dowiódł ponad wszelką wątpliwość, że wszystkie rzeczy składają się z trzech rodzajów niewidzialnych cząstek. Współcześni zrazu także niezbyt uwierzyli Descartes’owi, ale głównie dlatego, iż wierzyli w cztery elementy Arystotelesa albo (znacznie rzadziej) w jakąś swoją odmianę świata korpuskularnego. Wracając do tęczy Descartes poszukał odpowiednika granicy z cieniem w tym zjawisku i znalazł je, jak sądził, w kątach biegu promieni po jednym bądź dwu odbiciach w kropli. Wyobraźmy sobie promień EF biegnący początkowo w odległości FH od środka kropli. Odległość IC promienia załamanego jest 187/250 razy mniejsza niż FH. Łatwo sprawdzić, że to prawo Snela dla współczynnika załamania wody względem powietrza równego 250/187 (wartość ta była prawdopodobnie wynikiem pomiarów Descartes’a).
Problem polega jednak na tym, że promienie biegnące w różnych odległościach FH od środka kropli załamują się pod różnymi kątami i pod różnymi kątami odchylenia wychodzą z kropli po odbiciu. Nie ma tu jednej wartości, która odpowiadałaby owym 42°. W tej sytuacji nasuwało się wyjście inżynierskie (Descartes pewnie często służył swą wiedzą matematyczną przy różnych wojskowych zastosowaniach, były to czasy artylerii i skomplikowanych w kształtach twierdz, gdzie projektowano obszary ostrzału). Tym bardziej, że dysponował prawem załamania. Zestawił więc tabelę kątów odpowiadających różnym odległościom HK.
Promień kropli wynosi u Descartes’a 10000 części, kąty wyrażone są w stopniach i minutach. Kąt ONP odpowiada wewnętrznemu łukowi tęczy (po jednym odbiciu), kąt SQR łukowi zewnętrznemu (po dwóch odbiciach). W drugiej i trzeciej kolumnie mamy kąty odpowiadające łukom FG i FK z wierzchołkiem w środku kropli. Tabela ta nie prowadzi do oczywistych wniosków, ale można zauważyć, że kąt ONP nie przekracza nigdy 42°, natomiast kąt SQR nie jest w żadnym przypadku mniejszy niż 52°. Potrzeba dalszych obliczeń, bardziej szczegółowych.
Teraz widać dokładniej, że maksymalna wartość kąta ONP równa jest 41°30′, co po dodaniu 17′ promienia kątowego Słońca daje kąt graniczny 41°47. Żaden promień odbity jednokrotnie nie wychodzi pod kątem większym niż ten graniczny. Podobnie dla tęczy zewnętrznej otrzymujemy 51°37′. Wyjaśnia to także, czemu w obszarze między łukami tęczy widzimy obszar ciemny, co zauważył już Aleksander z Afrodyzji, działający na przełomie II i III w.n.e. filozof ze szkoły perypatetyckiej w Atenach. Na wykresie (pierwsze wykresy funkcji pojawiły się w drugiej połowie wieku XVII) widzimy dokładniej zachowanie promieni: mamy dwa ekstrema i w okolicy ekstremów wiele promieni wychodzących pod niemal tym samym kątem. Natężenie światła powinno w pobliżu owych ekstremów dążyć do nieskończoności, ale znów posługujemy się pojęciami z późniejszej epoki, o natężeniach światła zaczęto mówić dopiero w wieku XVIII. Descartes widział tu wiele promieni i sądził, że ma to związek z barwą czerwoną. Nb. jeśli mierzalna wielkość – jak tutaj natężenie światła – rośnie do nieskończoności, to znaczy, że nasza teoria się załamuje. Falowa teoria światła rozmyje te maksima i sprowadzi do skończonych rozmiarów.
Przy okazji Descartes poprawia tych uczonych, którzy sądzili jak Kepler, że kąt łuku tęczy może być równy np. 45°: żeby otrzymać taką wartość, należy przyjąć wyraźnie odmienną wartość współczynnika załamania wody, co przeczy obserwacjom. „Najmocniejsza” barwa czerwona występuje na granicy ciemni Aleksandra w obu tęczach, co Descartes łączył z wynikami obserwacji pryzmatycznych i co jest nieprawdą, podobnie jak te roje kulistych cząstek wypełniające świat.
Można się zastanawiać, jak z perspektywy czasu będzie wyglądać nasza dzisiejsza wiedza na różne tematy. Zapewne także okaże się pomieszaniem piramidalnych błędów (kulki wypełniające wszechświat) z przebłyskami rzetelnej wiedzy (tu zastosowanie prawa Snela).
Zestawienie danych do tabelek Descartes’a nie wydawało się w tamtej epoce rzeczą prostą. Baruch Spinoza poświęcił całą osobną pracę na zrozumienie, jak zbudować owe tabelki. Descartes podał tylko, że kąt ONP jest równy 180°+kąt FG-2 kąty FK. Spinoza (w pracy przetłumaczonej na polski w antologii Empiryczne podstawy o obrzeża filozofii XVII wieku, Wydawnictwo UMK, Toruń 2014) zmaga się m.in. z problemem, jak z danej odległości CI otrzymać kąt FCK i robi to dziwaczną okrężną drogą, podczas gdy wystarczą tablice sinusów. Dla przyszłych matematyków zarysował się tu problem, jak obliczyć położenia ekstremów, dziś wystarczy obliczyć pochodną i przyrównać ją do zera. Problem rozwiązał jednak Christiaan Huygens, zanim jeszcze „oficjalnie” powstał rachunek różniczkowy, o czym napiszę w kolejnej części.
Dla porządku spójrzmy jeszcze, jak obliczyć kąt wyjścia promieni po jednym załamaniu.
Odległość 
Nie od razu naukę zbudowano 