Splątane cząstki: prosta wersja nierówności Bella

Od samego początku istnienia mechaniki kwantowej wysuwano przeciw niej różne zastrzeżenia, robili to uczeni tak wybitni, jak A. Einstein (słynne „Bóg nie gra w kości”), czy Erwin Schrödinger – autor najczęściej stosowanego równania tej teorii. Jednym z problemów były szczególne korelacje kwantowe, sprawiające wrażenie jakiegoś „niesamowitego (spooky) oddziaływania na odległość” – jak ujęli to Albert Einstein, Nathan Rosen i Boris Podolsky w swej pracy z roku 1935. Dziś fenomen ten nazywamy splątaniem i został on do pewnego stopnia odczarowany, a w każdym razie wiemy, iż jest koniecznym składnikiem mechaniki kwantowej i obserwuje się go doświadczalnie. Wiemy także, iż nie jest oddziaływaniem i nie może posłużyć do przekazywania informacji. Chodzi o to, że cząstki kwantowe mogą zachowywać się jak pewna skorelowana całość mimo tego, że są od siebie daleko.

Rozpatrzmy prosty przykład dwóch cząstek o spinie 1/2 (jak elektron i proton). Spin jest wewnętrznym momentem pędu cząstki – kwantowe cząstki mają zawsze konkretną wartość momentu pędu. Są więc wtedy nie tyle matematycznymi punktami co strzałkami, które mają orientację w przestrzeni. Kiedy wiruje jakiś obiekt makroskopowy, możemy wskazać kierunek osi jego obrotu (stanowiący kierunek wektora momentu pędu. I wiemy, że obiekt ten nie zmienia się od tego, że na niego patrzymy. W mechanice kwantowej nie wolno jednak beztrosko przypisywać wartości wielkościom, których nie zmierzyliśmy. W przypadku elektronu możemy zadać eksperymentalne pytanie, czy jego spin ma kierunek wskazanej przez nas osi. Przyroda odpowiada w losowy sposób tak-nie, a mechanika kwantowa pozwala przewidywać prawdopodobieństwa otrzymania danej odpowiedzi. Dla osi skierowanej do góry (osi z) mamy dwa możliwe stany spinu: spin w górę: |\uparrow\rangle oraz spin w dół: |\downarrow\rangle (stany kwantowe są wektorami: wolno je dodawać do siebie i mnożyć przez liczby, tak samo jak inne wektory).

Do tej chwili mówiliśmy o jednym spinie. Splątanie pojawia się, kiedy mamy do czynienia z dwiema lub więcej cząstkami. Załóżmy, że jakaś spoczywająca cząstka o spinie 0 rozpada się na dwie cząstki o spinie 1/2. Powstała para spinów musi znaleźć się w stanie o łącznym spinie równym zeru (gdyż moment pędu nie może się zmienić w wyniku rozpadu). Oznacza to, że spiny obu cząstek są przeciwne. Zapisuje się to jako następujący stan

|{\downarrow}\rangle_L |\uparrow\rangle_R-|\uparrow\rangle_L \downarrow\rangle_R.

Indeksy L i R wskazują nam cząstki biegnące w lewo i w prawo. Różnica stanów oznacza, że oba jej składniki są możliwe i jednakowo prawdopodobne: a więc możliwe jest, że mierząc spin lewej cząstki, uzyskamy wynik w dół. Będzie temu automatycznie towarzyszyć wynik w górę dla drugiej cząstki. Widzimy, czym niepokoił się Einstein: skąd ta druga cząstka wie, że uzyskałem dla pierwszej wynik spin w dół? Tym bardziej, że mógłbym uzyskać wynik negatywny, tzn. spin w górę, a wtedy druga cząstka z pewnością wskazałaby spin w dół. W dodatku to jeszcze nie wszystko. Mogę zmienić kierunek osi. Zapis stanu powyżej nie zmieni się ani na jotę. Dla tego nowego kierunku osi nadal wyniki będą skorelowane.

Same korelacje nie muszą jednak oznaczać, że potrzebujemy mechaniki kwantowej. Może pary cząstek od samego początku są już w jakichś dwóch skorelowanych stanach, tak jakby jedna zawsze była niebieska a druga żółta. Jeśli ustalę, że ta lewa jest żółta, to prawa będzie niebieska, i na odwrót. Okazuje się, że można wykluczyć takie klasyczne korelacje i to jest właśnie treść nierówności Bella. Jest mnóstwo wersji tej nierówności, my przedstawimy jedną z najprostszych. Załóżmy, że nasza para obserwatorów (zwanych zgodnie ze świecką tradycją mechaniki kwantowej Alice i Bob) wykonuje pomiary dla wybranych kierunków osi i za każdym razem zapisuje kierunek osi oraz wynik (tak-nie). Celem pomiarów jest ustalenie częstości występowania jednakowych wyników w różnych przypadkach i porównanie z tym, co przewiduje mechanika kwantowa. Kierunki A i B oraz C i D różnią się o 45º, A jest pionowy, D – poziomy.
Bell
Mechanika kwantowa przewiduje, że gdy kierunki pomiarów obojga obserwatorów tworzą ze sobą kąt \theta, prawdopodobieństwo uzyskania przez nich jednakowych wyników pomiarów (tak-tak albo nie-nie) jest w naszym przypadku równe \sin^2\frac{\theta}{2} (wzór ten nie ma nic wspólnego ze splątaniem, tak zachowuje się spin 1/2, gdy zmieniamy kierunek osi, wyjaśniają to podręczniki mechaniki kwantowej, nawet gdy nie ma w nich nic o splątaniu i tw. Bella). Dla trzech par kierunków otrzymamy kolejno

P(A=C)=\sin^2\frac{135^{\circ}}{2}=0,85

P(B=C)=\sin^2\frac{180^\circ}{2}=1

P(B=D)=\sin^2\frac{135^{\circ}}{2}=0,85

Kierunki B i C są dokładnie przeciwne, dlatego wynik jest pewny. Kierunki A i C oraz B i D są „prawie” przeciwne, więc wartość jest bliska 1, ale mniejsza. Prawdopodobieństwa te są zgodne z obserwacjami.

Załóżmy teraz, że „naprawdę” nasze cząstki od początku biegną przygotowane w pewnym stanie. Spróbujmy określić prawdopodobieństwo, że wyniki Alice i Boba będą różne przy ustawieniach A i D. Jeśli dla danego pomiaru A\neq D, to mamy A\neq C lub B\neq D (ponieważ zawsze B=C). Wobec tego zdarzenie A\neq D zawarte jest w sumie zdarzeń A\neq C oraz B\neq D. Otrzymujemy

P(A\neq D)\leq P(A\neq C)+P( B\neq D)=0,3.

Tym samym P(A=D)\geq 0,7. Taki jest wynik klasycznej teorii prawdopodobieństwa.
Stosując do A i D wzór przytoczony wyżej, otrzymujemy P(A=D)=0,55. Doświadczenie to potwierdza.

Naruszenia tej i innych nierówności Bella pokazują, że mechaniki kwantowej nie można zastąpić teorią klasyczną w charakterze (lokalną) i jednocześnie pozwalającą na takie same przewidywania. Dziś sceptycyzm, zrozumiały w latach trzydziestych, ustąpił raczej miejsca ciekawości, do czego może nas to doprowadzić. A prowadzić może np. do komputera kwantowego, którego powstanie wydaje się tylko kwestią czasu i który potrafiłby przeprowadzać obliczenia dziś niewykonalne, mógłby np. złamać praktycznie wszystkie stosowane obecnie szyfry.

(Przykład pochodzi od B. Schumachera)

Reklamy

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Wyloguj / Zmień )

Connecting to %s