Piękna fizyka: kwantowe interferencje do kwadratu

Richard Feynman pokazał, że mechanika kwantowa jest w istocie bardzo prosta. Od rachunku prawdopodobieństwa różni się tym, że oblicza się w niej nie same prawdopodobieństwa, lecz pewne liczby zespolone, tzw. amplitudy prawdopodobieństwa. Chcąc otrzymać wartość prawdopodobieństwa, należy obliczyć kwadrat modułu owej amplitudy prawdopodobieństwa.

Dla naszych celów wystarczy przedstawienie liczby zespolonej jako punktu na płaszczyźnie, a właściwie wektora wodzącego danego punktu. Kwadrat modułu to po prostu kwadrat długości wektora.

Rozpatrzmy dla przykładu układ z rysunku (zaznaczony linią przerywaną element BSoutput na razie uważamy za nieistniejący). Z lewej strony wpuszczamy pojedyncze fotony. Element BSinput to zwierciadło półprzepuszczalne: foton ma 50% szans na odbicie i 50% na przepuszczenie. W pierwszym przypadku po jeszcze jednym odbiciu od zwykłego zwierciadła (mirror) pobiegnie drogą 2 prosto do detektora D2, który kliknie. W drugim przypadku foton pobiegnie drogą 1, odbije się od drugiego zwykłego zwierciadła (mirror), i po chwili kliknie detektor D1.

F1.large (2)

Jak obliczyć amplitudy prawdopodobieństwa dla obu możliwości? Dla każdej drogi fotonu należy przemnożyć przez siebie amplitudy odpowiadające kolejnym zdarzeniom (nieco podobna reguła działa w rachunku prawdopodobieństwa dla zdarzeń niezależnych,  tutaj mnożymy jednak amplitudy zespolone). Mnożenie przez liczbę zespoloną to obrót połączony ze zmianą długości. Ponieważ w naszym układzie szanse będą zawsze wyrównane, więc nie musimy się przejmować długościami wektorów, zostaje więc tylko obrót. Zaczynamy od wektora jednostkowego skierowanego wzdłuż osi Ox. Odpowiada on prawdopodobieństwu 1 — wiemy na pewno, że foton wpada z lewej strony. Możliwe są dwa ciągi zdarzeń: foton przechodzi przez pierwsze zwierciadło, biegnie po drodze 1, odbija się i wpada do D1; drugi ciąg zdarzeń: odbija się od pierwszego zwierciadła, potem od drugiego, biegnie po drodze 2 i wpada do D2. Jedyne wydarzenia, które wpływają na naszą strzałkę to odbicia od któregokolwiek ze zwierciadeł, obojętne czy półprzepuszczalnego, czy zwykłego. Każde odbicie oznacza obrót strzałki o 90° (z przyczyn, nazwijmy to, optycznych; nie jest to szczególnie istotne, po prostu tak jest).

Amplitudy trafienia fotonu do licznika D1 i D2 przedstawione są na rysunku — z lewej strony dla drogi nr 1, z prawej dla drogi nr 2. Wektory mają różne kierunki: uwzględniliśmy, że na drodze nr 1 foton raz się odbija, a na drodze nr 2 dwa razy. Uwzględniliśmy też możliwość, że droga nr 1 ma nieco inną długość (ponieważ odległość zmienia się w sposób ciągły, więc zmieniając odległość na drodze nr 1, możemy uzyskać obrót o dowolny kąt \Phi). Zauważmy, że na razie szczegóły tych obrotów nie mają znaczenia: żaden obrót nie zmieni długości wektorów. Zatem liczniki klikać będą tak samo często (na przemian, ponieważ zdarzenia się wykluczają).
1

Jeśli do naszego układu wprowadzimy drugie zwierciadło półprzepuszczalne BSoutput sytuacja stanie się ciekawsza, otrzymamy interferencję. Rozpatrzmy zdarzenie polegające na doleceniu fotonu do D2. Może on to zrobić, jeśli obierze drogę nr 1 i dodatkowo odbije się w zwierciadle BSoutput albo, alternatywnie, gdy obierze drogę nr 2 i zostanie przepuszczony przez zwierciadło BSoutput. Amplitudy dla obu dróg przedstawia rysunek (dodatkowy obrót o  90° dla drogi 1 odpowiada dodatkowemu odbiciu).

2

Po wstawieniu drugiego zwierciadła półprzepuszczalnego nie możemy określić, którą drogę obrał foton. Mogliśmy to ustalić jednoznacznie w poprzedniej sytuacji; teraz, aby wiedzieć, którędy pobiegł foton, musielibyśmy wykonać jakieś dodatkowe pomiary, czego nie robimy (in. mówiąc musiałoby zachodzić jakieś zjawisko pozwalające określić, którędy biegnie foton, nawet gdybyśmy go nie potrafili wykorzystać, ważne, czy w zasadzie można by to zrobić, czy nie). Zatem obie drogi są nierozróżnialne. Reguła postępowania w takich sytuacjach brzmi: amplitudę prawdopodobieństwa otrzymuje się dodając do siebie amplitudy członów alternatywy. Dodawanie liczb zespolonych to dodawanie wektorów według zasady równoległoboku.

3

W naszym przypadku wygląda to następująco. Kąt między obu wektorami równy jest \Phi (wspólny obrót o 180° nie ma znaczenia), a kwadrat długości wektora wypadkowego będzie równy 2cos^2\frac{\Phi}{2}. Gdybyśmy rozpatrzyli amplitudy zdarzenia polegającego na zarejestrowaniu fotonu przez D1, zmieniłoby się tyle, że foton na drodze nr 1 zaliczyłby o jedno odbicie mniej, a na drodze nr 2 o jedno więcej. Ostatecznie kwadrat długości wektora byłby równy teraz 2\sin^2\frac{\Phi}{2}. Zauważmy, że suma obu tych prawdopodobieństw jest stała, jak powinno być, jeśli nie gubimy fotonów i mamy idealne detektory.

Łatwo zobaczyć, że zbierane przez detektory liczby fotonów wyglądałyby, jak na tym wykresie.

F3.large (1)

Prawdopodobieństwa dla D1 zaznaczone są na niebiesko, dla D2 – na czerwono. Na dole jest sytuacja, w której rozróżniamy drogi, na górze ta z interferencją. Jest to wykres z prawdziwego eksperymentu przeprowadzonego w roku 2007 [V. Jacques et al., Experimental Realization of Wheeler’s Delayed-Choice GedankeExperiment, „Science” t. 315 (2007) s. 966]. Eksperyment dotyczył sytuacji bardziej skomplikowanej. Otóż John Wheeler, mentor Richarda Feynmana, postawił kiedyś następujące problem. Foton wpadający do naszej aparatury „nie wie”, czy na jej końcu znajduje się drugie zwierciadło półprzepuszczalne, czy nie. A od tego przecież zależą wyniki doświadczalne. Co więc by się stało, gdyby decyzja: wstawić BSoutput albo nie, zapadła dopiero wtedy, gdy foton już przejdzie przez pierwsze ze zwierciadeł półprzepuszczalnych? Doświadczenie Jacquesa i in. pokazało, że wyniki są dokładnie takie same, jak gdyby było to ustalone z góry. W układzie doświadczalnym decyzja co do drugiego zwierciadła zapadała losowo i w takim punkcie czasoprzestrzeni, że nie mogła mieć wpływu na wyniki pomiaru w detektorach. W istocie pojawienie się interferencji albo jej niepojawienie się staje się widoczne dopiero po skojarzeniu zapisów detektorów fotonów i zapisu na temat drugiego zwierciadła półprzepuszczalnego. Gdy podzielimy dane z detektorów na podgrupy bez i ze zwierciadłem BSoutput otrzymujemy obraz bez interferencji albo z interferencją.

Pod koniec ubiegłego roku opublikowano dwie piękne prace eksperymentalne, w których dwa stany: „nie ma zwierciadła BSoutput” oraz „jest zwierciadło BSoutput” stały się dwoma stanami kwantowymi, które mogą interferować ze sobą w zadanej proporcji. Oba składniki tej proporcji można umownie zapisać jako \cos\alpha oraz \sin\alpha (mamy pewność, że ich suma kwadratów jest zawsze równa jeden). Kąt \alpha=0 odpowiada brakowi BSoutput, kąt \alpha=\frac{\pi}{2} odpowiada jego obecności. W ten sposób zmieniając wartość \alpha przechodzimy od braku interferencji do pełnej interferencji w sposób płynny. Badacze sprawdzili, że istotnie jest to kwantowa interferencja interferencji, sprawdzając nierówność Bella (informuje ona, czy dany wynik może zostać uzyskany z teorii klasycznej). Ilustrują to wykresy poniżej, punkty są punktami doświadczalnymi.

F3.large (2)

[A. Peruzzo et al., A Quantum Delayed-Choice Experiment, „Science” t. 338, (2012) s. 634; F. Kaiser et al., Entanglement-Enabled Delayed-Choice Experiment, „Science” t.338 (2012) s. 637.]

Reklamy

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Wyloguj / Zmień )

Connecting to %s