Einstein dadaista (1919-1920)

Przyjmowanie nowej prawdy naukowej to proces dramatyczny. Grają w nim rolę emocje, ambicje, przesądy, ale na szczęście także racjonalne przesłanki – na dłuższą metę nie da się utrzymać teorii, która nie ma eksperymentalnych potwierdzeń i dzięki której nie udało się zrozumieć niczego nowego. Teoria względności zyskała efektowne potwierdzenie w roku 1919 i Albert Einstein nagle stał się sławny na cały świat.

Artystka awangardowa Hannah Höch umieściła go na sławnym kolażu Cięcie dadaistycznym nożem kuchennym przez piwny brzuch najnowszej epoki weimarskiej w kulturze Niemiec (1919).

Hannah Höch, Cut with the Kitchen Knife Dada Through the Last Weimar Beer-Belly Cultural Epoch of Germany, 1919-20

Obrazek na flickr zawiera identyfikację niektórych postaci kolażu. A tu jest jego większa wersja:

https://www.artsy.net/artwork/hannah-hoch-cut-with-the-dada-kitchen-knife-through-the-last-weimar-beer-belly-cultural-epoch-in-germanyc

Na prawo od Einsteina mamy nieco pokiereszowaną twarz cesarza Wilhelma II, który abdykował po przegranej wojnie i uciekł do Holandii, pod nim fragment fotografii z manifestacji bezrobotnych. Są także Karol Marks i Lenin, niemieccy komuniści i artyści. Obok Einsteina głowa prezydenta Republiki Weimarskiej Friedricha Eberta doklejona do torsu tancerki topless. W prawym dolnym rogu znajduje się główka autorki na tle mapy Europy z zaznaczonymi krajami, w których kobiety nie mają jeszcze prawa głosu (Francja, Portugalia, Bałkany; Polska znalazła się tu chyba przez pomyłkę). Einstein – Żyd i naukowy rewolucjonista – niemal automatycznie łączony był z lewicą społeczną i artystycznym undergroundem. Wciąż zapowiadano jego wyjazd do Moskwy, gdzie nigdy nie był ani się też nigdy nie wybierał. Jeszcze po drugiej wojnie światowej FBI usiłowało ustalić, czy uczony był członkiem partii komunistycznej w Niemczech (nie był, nie był też żadnym sympatykiem komunizmu), przeszukiwano jego śmieci i podsłuchiwano telefon.

W roku 1919 fizyk nieoczekiwanie znalazł się w centrum zainteresowania mediów. Jego teoria zaczęła ściągać na siebie entuzjazm albo oburzenie, które trudno dziś zrozumieć. Jako element kultury masowej zaczęła być krytykowana, objaśniana bądź zwalczana przez ludzi, którzy nie mieli pojęcia o fizyce. Z jakiegoś powodu wszyscy zapragnęli mieć na jej temat własny pogląd. Szczególnie bulwersowała względność czasu: oto nie płynie on jednakowo dla wszystkich i zamiast być solidną podstawą rzeczywistości sam staje się jeszcze jednym zjawiskiem, kolejną zmienną fizyczną, podlegającą pomiarowi. Czas własny mierzony przez dwóch obserwatorów, którzy rozdzielili się i potem ponownie spotykają, zależy od ich historii, od tego, co im się po drodze przydarzyło, obaj na ogół zmierzą inny odstęp czasu pomiędzy spotkaniami. Jest to paradoks bliźniąt – w istocie żaden paradoks, lecz własność naszego świata sprawdzana tysiące razy eksperymentalnie, choć nie na bliźniakach.

W Niemczech publiczna dyskusja na temat teorii względności od początku zatruta była oparami nacjonalizmu: Żyd Einstein dla niektórych nie był dość narodowoniemiecki, toteż nie mógł mieć racji. Intelekt żydowski różni się bowiem od germańskiego: jest powierzchowny, nie zgłębia istoty rzeczy, tworzy sztuczne uogólnienia, lubuje się w abstrakcjach. Żydzi w Niemczech stanowili zaledwie 1% ludności, lecz spośród nich wywodziła się wielka część wybitnych uczonych, w miastach takich jak Berlin większość prawników i lekarzy było pochodzenia żydowskiego, do Żydów należały wielkie domy towarowe i koncerny prasowe. Konstytucję Republiki Weimarskiej napisał Żyd. Z punktu widzenia nacjonalistów to Żydzi stali za przegraną wojną (teoria noża w plecy) i to oni teraz bogacili się w kapitalistycznej gospodarce. Nawet komunistami, buntującymi się przeciwko kapitalizmowi, też często byli Żydzi.

W życiu politycznym jest mniej przypadków, niż się sądzi. Osoba Einsteina była wygodnym celem ataków: żeby wzbudzić wrogość, trzeba najpierw stworzyć postać wroga, wykazać, jak przebiegłe są jego knowania. Paul Weyland, zawodowy hochsztapler i mąciciel, umyślił sobie, że przeprowadzi całą kampanię przeciwko teorii względności i jej autorowi. Założył coś, co nazywało się Grupą Roboczą Niemieckich Przyrodników dla Zachowania Czystej Nauki (Arbeitgemeinschaft
deutscher Naturforscher zur Erhaltung reiner Wissenschaft). Naprawdę istniał chyba tylko ten szyld oraz pieniądze, które Weyland obiecywał różnym uczonym za wzięcie udziału w zwalczaniu teorii względności – 10 do 15 tys. marek – nie wiadomo, czy ktoś ostatecznie otrzymał taką sumę, czy też Weyland dopiero zamierzał ją zarobić. Jak się zdaje, Weyland zachęcany był przez dwóch noblistów, antysemitów i nacjonalistów: Philippa Lenarda i Johannesa Starka. W sierpniu 1920 roku w wielkiej sali Filharmonii Berlińskiej odbył się pierwszy z zapowiadanej serii antyeinsteinowskich sabatów. Wystąpili na nim sam Weyland oraz profesor eksperymentator z Berlina, Ernst Gehrcke, od lat zwalczający teorię względności. Weyland, określający Einsteina jako naukowego dadaistę, następująco przedstawił sytuację Niemiec:

Teraz, gdy zubożeliśmy pod względem finansowym, prowadzi się działania mające nam odebrać naszą własność  intelektualną; od dziś mamy przestać myśleć w sposób niezależny. W polityce to się im udało. Widzicie to każdego dnia i każdej godziny we wszystkich wiadomościach, jak oszalała grupa bezkrytycznych ludzi pod wodzą pozbawionych  skrupułów i egoistycznych przywódców zmierza do bolszewizmu. Etyka i moralność stały się pustymi słowami, ludzie, którzy starają się zabić w Niemcach wszystko, co czyniło ich wielkimi, teraz chcą im odebrać także naukę. (…) Bo konsekwencje i intencje teorii względności i zasady względności Einsteina i jego zwolenników sięgają dalej i głębiej, niż uświadamia to sobie opinia publiczna.

Niewykluczone, że Weyland starał się po prostu zarobić na biletach wstępu na owo przedstawienie. Zjawiło się sporo publiczności, w tym sam Einstein. Gehrcke przedstawił główne tezy swej broszury: Teoria względności – naukowa sugestia masowa, wydanej nakładem Grupy Roboczej jako pierwszy zeszyt serii. Gehrcke starał się ograniczać do argumentacji naukowej i żywo zaprzeczał, że kierują nim jakieś pozanaukowe względy. Przeświadczony był jednak, że zdemaskował rozmaite szalbierstwa Einsteina. Jego zdaniem Einstein sprytnie wykorzystywał fakt, że naukowcy ograniczeni są swoją specjalnością i stworzył teorię, która zawiera elementy filozofii, fizyki i matematyki tak pomieszane, że nikt nie czuje się dostatecznie kompetentny, aby ją zanegować.

Ernst Gehrcke. Einstein powiedział o nim: „ Gdyby miał tyle inteligencji co arogancji, to dyskusja z nim byłaby nawet przyjemna”.

Z rzeczy pozytywnych Gehrcke wierzył w istnienie eteru i wypowiedzi Einsteina na ten temat uważał za sprytne kluczenie oraz mylenie tropów. Rzeczywiście, był tu Einstein niekonsekwentny: najpierw, w szczególnej teorii, z młodzieńczą dezynwolturą stwierdził, że eter jest zbędny, później, w teorii ogólnej, obdarzył czasoprzestrzeń strukturą geometryczną, która w pewnym stopniu mogła przypominać eter. Nie była to jednak zmiana poglądów filozoficznych, lecz raczej podążanie za fizyką: fizyk nie może sobie zadekretować, że zawsze będzie trzymać się jakichś ram pojęciowych, bo przyroda może nie zechcieć z nim współpracować w tej kwestii. W każdym razie to, co dla kogoś innego byłoby naukowym namysłem, ewolucją poglądów wskutek wieloletniej pracy, w oczach Gehrckego stało się po prostu próbą oszustwa. Szczególnie upodobał sobie Gehrcke następujący argument przeciwko paradoksowi bliźniąt: skoro Einstein twierdzi, że wszystkie ruchy są względne, to obaj bliźniacy znajdują się w symetrycznej sytuacji, bo z każdym z nich można związać układ odniesienia (co jest prawdą, ale nie oznacza, że historie obu stają się dzięki temu symetryczne). Wiele też mówił Gehrcke o grawitacyjnym przesunięciu linii widmowych ku czerwieni, które było przewidziane przez Einsteina, lecz nie zostało zaobserwowane. Pomijał przy tym trudności obserwacyjne: przewidywany efekt był niewielki w porównaniu z szerokością typowych linii widmowych ciał niebieskich. Jako specjalista od optyki musiał to świetnie rozumieć, wolał jednak udawać, że obserwacje wyraźnie przeczą teorii względności. Także obserwacje Eddingtona – ugięcia promieni świetlnych w pobliżu Słońca – zbył pobieżnym omówieniem, jakby już fakt potwierdzenia niemieckiej teorii przez Anglika tuż po wojnie nie stanowił dodatkowego argumentu na rzecz Einsteina. Nikt nigdy nie kwestionował zresztą absolutnej uczciwości i prawdomówności kwakra Eddingtona. Milczał też Gehrcke na temat berlińskich zwolenników teorii względności: przede wszystkim Maksa Plancka, uchodzącego za największy autorytet nie tylko naukowy, ale i moralny, a także Maksa von Laue, noblisty i niewątpliwie „prawdziwego” Niemca. Postawa Gehrckego charakteryzowała się nienaukowymi uprzedzeniami, nawet jeśli pozornie prowadził on debatę ściśle naukową.

Ostatecznie z serii wykładów i wydawnictw nic nie wyszło. Inni naukowcy wycofali się z przedsięwzięcia, widząc, że nie przyniesie im ono chluby. Wycofał się też chyłkiem Philipp Lenard, który nawet poczuł się urażony tym, że jest wymieniany w kontekście tej sprawy – najwyraźniej wydawało mu się, że hipokryzja warta jest tyle samo co cnota.

Epizody tego rodzaju nie były na szczęście całą prawdą o nauce niemieckiej, ale też stanowiły coś więcej niż nieprzyjemne incydenty. Życie publiczne Niemiec przesiąknięte było nienawiścią i żądzą odwetu. W roku 1920 Niemcy nie były jeszcze skazane na powtórną wojnę i jej złowieszcze konsekwencje. Były jednak krajem wewnętrznie bardzo podzielonym. Podziały te z upływem lat rosły i po wieloletnim podżeganiu do nienawiści, po zimnej wojnie domowej z elementami przemocy, wykoleiły kraj zupełnie. Stało się to w latach trzydziestych, gdy gospodarka zaczęła już wychodzić z kryzysu. To najlepszy dowód, że Marks się mylił: ekonomia nie determinuje historii. Jeśli na nią wpływa, to w sposób pośredni, poprzez społeczne nastroje, a one zależą od wielu czynników, także irracjonalnych i trudnych do zmierzenia. W przypadku Niemiec wielką rolę odegrało poczucie upokorzenia przegraną wojną i jej wersalskimi następstwami. Hitler obiecywał lepszą przyszłość i jednocześnie wpędził Niemcy w wojnę, która musiała być przegrana – wystarczyło spojrzeć na mapę. Ale społeczeństwo powodowane resentymentem łatwo dało sobie wyperswadować, że w taki właśnie sposób uda się stworzyć potęgę kraju i zapewnić trwały pokój. Gdyby Niemcy nie cierpieli na ten chorobliwy, pełen kompleksów nacjonalizm, ich kraj stałby się mocarstwem dwadzieścia lat wcześniej w sposób pokojowy. Nacjonalizm nigdy nie jest lekarstwem, zawsze jest chorobą.

 

 

Reklamy

Kosmologia relatywistyczna w kwadrans II

  • Metryka czasoprzestrzeni

Dla naszego jednorodnego i izotropowego modelu z płaską 3-przestrzenią metryka wszechświata przyjmuje prostą postać:

ds^2=c^2 dt^2-R^2 d\vec{x}\,^2=c^2 dt^2-R^2 (dr^2+r^2 d\vartheta^2+r^2 \sin^2\vartheta d\varphi^2).

Druga postać zapisana jest przez współrzędne sferyczne r, \vartheta, \varphi. Współrzędne x,y,z oraz r, \vartheta, \varphi dla danej galaktyki pozostają stałe (o ile nie ma ona ruchu własnego, a tylko bierze udział w rozszerzaniu wszechświata: przepływie Hubble’a). Jedyny parametr, czynnik skali R(t) opisuje ewolucję wszechświata, czyli jego rozszerzanie (choć równie dopuszczalne teoretycznie byłoby kurczenie się). Czasoprzestrzeń ta nie jest płaska, mimo że płaska jest 3-przestrzeń. Ogólna teoria względności dopuszcza dowolne układy współrzędnych, ten nasz wyróżniony jest fizycznie: w tym układzie współrzędnych mamy wspólny kosmiczny czas oraz współrzędne współporuszające się. Odległość danej galaktyki od nas (r=0) równa jest

D=R(t)r,

oznacza to, że szybkość oddalania się danej galaktyki równa jest (przyjmujemy, że galaktyka nie ma ruchu własnego):

\dot{D}=\dot{R}r =\dfrac{\dot{R}}{R}Rr\equiv H(t) D.

Jest to prawo Hubble’a. Zauważmy, że ta odległość mierzona jest w danej chwili kosmicznego czasu, a więc i prędkość powinna być obecną prędkością galaktyki. W rzeczywistości nie możemy obserwować całej przestrzeni w żadnej chwili – jedyne, co widzimy, to stożek przeszłości: dalsze obiekty w chwilach odpowiednio wcześniejszych itd. W napisanym powyżej prawie Hubble’a prędkość nie musi być mniejsza niż c. Nie musimy się tym przejmować, ponieważ startujemy z metryki, która automatycznie zapewnia lokalną stałość prędkości, a jedynie to się liczy.

  • Mikrofalowe promieniowanie tła (CMB)

Do tej pory mówiliśmy tylko o grawitacji, nie interesowaliśmy się zjawiskami opisanymi przez inne dziedziny fizyki. Jeśli wszechświat był kiedyś gęsty, to musiał także być gorący. Rozpatrzmy, co się dzieje z gęstością energii promieniowania u (w dżulach na metr sześcienny), gdy objętość V się zmienia. Z I zasady termodynamiki mamy (rozszerzanie jest adiabatyczne):

dE=d(uV)=V du+u dV=-p dV,

gdzie p jest ciśnieniem promieniowania. Jest ono równe p=\frac{1}{3}u. Wstawiając to do I zasady termodynamiki i korzystając z faktu, że V=\frac{4}{3}\pi R^3, a dV=4\pi R^2 dR, dostaniemy

\dfrac{du}{u}+4\dfrac{dR}{R}=0\Rightarrow u\sim R^{-4}.

Gęstość energii podzielona przez c^2 daje wkład promieniowania do całkowitej gęstości materii – wielkość, którą należy traktować jako źródło grawitacji w równaniu (*) z pierwszej części. Patrząc nieco inaczej, długość fali promieniowania powinna skalować się, jak R^{-1}, a liczba fotonów w jednostce objętości jak R^{-3}.

Ponieważ energia atomów zależy od współczynnika skali jak R^{-3}, więc dla małych R energia promieniowania wszystko zdominuje. Wiadomo też, że gęstość energii promieniowania jest proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury T^4, otrzymujemy więc

T\sim\dfrac{1}{R}.

Temperatura promieniowania jest tym wyższa, im bliżej Wielkiego Wybuchu jesteśmy i energia promieniowania dominuje nad innymi postaciami energii. Mamy więc gorący Wielki Wybuch. W 1965 roku zaobserwowano promieniowanie, które pozostało z wczesnego etapu wszechświata i które z tego powodu zwane jest też reliktowym, jest bowiem czymś w rodzaju skamieliny. Od tamtej pory badane jest ono z coraz większą dokładnością przez różne misje, ostatnią był satelita Planck.

To, co dociera do nas z każdego kierunku wszechświata jest promieniowaniem cieplnym, rozkładem Plancka, o temperaturze niecałe 3K, a więc głównie mikrofalowym. Promieniowanie to jest obrazem wszechświata w chwili t=380 \,000 lat po Wielkim Wybuchu. Zostało wyemitowane gdy czynnik skali był 1000 razy mniejszy niż dziś, miało więc ono wówczas temperaturę 3000 K i przypadało na obszar widzialny i podczerwień. Co więcej, okazuje się, że z bardzo dużą dokładnością (10^{-5}) temperatura owego promieniowania jest taka sama w każdym kierunku. Kolejne misje satelitarne badały właśnie owe fluktuacje: ich rozkład i wielkość zawierają najróżniejsze informacje na temat wszechświata w tamtym momencie. Z niejednorodności tych wyewoluował dzisiejszy wszechświat.

Skąd wzięło się promieniowanie tła? Wszechświat przed t=380\, 000 lat składał się głównie z protonów i elektronów, które miały na tyle dużą energię kinetyczną (temperaturę), że nie łączyły się w atomy wodoru. Taka plazma silnie rozprasza promieniowanie elektromagnetyczne, ponieważ naładowane cząstki wprawiane są przez nie w drgania, a to z kolei oznacza wysyłanie nowej fali elektromagnetycznej (jak w antenie) kosztem energii fali pierwotnej. W rezultacie energia wysyłana jest na wszystkie strony, ośrodek nie przepuszcza promieniowania. Sytuacja zmieniła się, gdy temperatura spadła na tyle, by elektrony mogły utworzyć z protonami atomy wodoru. Powstał wtedy zwykły atomowy gaz, tak samo przezroczysty jak np. powietrze. Od tamtej pory termodynamiczne losy atomów i promieniowania rozprzęgły się. Z atomów powstało wszystko, co dziś widzimy: gwiazdy, planety, galaktyki itp., natomiast promieniowanie stygło w miarę rozszerzania, aż dotarło do nas.

Mała dygresja. Przy okazji promieniowania zauważmy, że statyczny wszechświat Einsteina, omawiany poprzednio, byłby niestabilny także z powodów astrofizycznych. Gdyby nawet dobrać odpowiednio jego gęstość i stałą grawitacyjną, to po pewnym czasie zmieniłaby się jego zawartość: gwiazdy syntetyzują hel z wodoru i cięższe pierwiastki z lżejszych, zamieniając różnicę energii na promieniowanie. Z czasem więc mniej będzie materii atomowej, a więcej promieniowania. Gdyby to było wszystko, pole grawitacyjne by się nie zmieniło, ponieważ obie zmiany są równe za sprawą zasady zachowania energii. Jednak źródłem pola grawitacyjnego jest nie sama gęstość materii \varrho, lecz wielkość \varrho+3p/c^2. Oznacza to, że pole grawitacyjne stanie się silniejsze po zamianie materii atomowej na promieniowanie, gdyż dla promieniowania (po uwzględnieniu, że p=u/3c^2\equiv \varrho/3) mamy: \varrho +3p/c^2=2\varrho. W einsteinowskiej grawitacji ciśnienie światła też jest źródłem pola grawitacyjnego.

  • Odległości

W rozszerzającym się wszechświecie należy być ostrożnym, kiedy mówi się o odległościach. Jedną z możliwych definicji wymieniliśmy wyżej: to odległość mierzona w danym momencie kosmicznego czasu. Do innej miary odległości prowadzi chwila wyemitowania światła t_e, które obserwujemy dziś w t_0. Światło to biegło więc t_0-t_e lat. Jak daleko znajdowało się owe źródło w chwili emisji? Inaczej mówiąc, jak daleko dotrze światło wysłane w chwili t_e z punktu r=0 i odebrane w chwili t_0? Światło biegnie po linii świata, dla której ds=0, a więc jego współrzędna r w chwili t_0 będzie równa

c dt=R(t) dr \Rightarrow r={\displaystyle \int_{t_e}^{t_0}}\dfrac{c dt}{R(t)}.

Odległość tego punktu w chwili emisji jest dana równaniem

D=R(t_e)r,

a dzisiejsza odległość tego punktu równa jest

D_{now}=R(t_0)r.

Odległość D jako funkcja chwili emisji jest to stożek przeszłości zbudowany na zdarzeniu tu i teraz. Ponieważ wszechświat kurczy się, gdy cofamy się w czasie, więc odległości D osiągają maksimum dla pewnej chwili emisji. Oznacza to, że wszystko, co widzimy, znajduje się w odległościach nie większych od owego maksimum. W ten sposób kątowe rozmiary galaktyk osiągają pewne minimum, a te, które wysłały światło jeszcze wcześniej, będą widziane jako większe na niebie (choć słabsze).

Na rysunku widzimy kształt stożka przeszłości i dwie linie świata galaktyk. Każdą z nich mogliśmy zobaczyć w chwili przecięcia jej linii świata ze stożkiem przeszłości. Obie były wtedy w podobnej odległości, powinny więc być jednakowej wielkości kątowej. Światło odpowiadające czerwonej galaktyce biegło do nas dłużej, a  jego długość fali rozciągnęła się bardziej, uległa większemu przesunięciu ku czerwieni w języku astronomów. Dziś obie znajdują się znacznie dalej od nas, ale już tego nie zobaczymy.

  • Trudności kosmologii Wielkiego Wybuchu: płaskość i horyzonty

Obserwowana 3-przestrzeń jest płaska. Oznacza to, że całkowita gęstość wszystkich form energii równa się dokładnie wartości krytycznej. Inaczej mówiąc nasz wszechświat ma dokładnie prędkość ucieczki: ani mniej, ani więcej. Oznacza to, że np. w jedną nanosekundę po Wielkim Wybuchu gęstość musiała być dopasowana bardzo ściśle, inaczej nasz wszechświat zachowywałby się całkiem inaczej. To tak, jakbyśmy wystrzelili z Ziemi pocisk z prędkością idealnie równą 11,2 km/s, ani trochę więcej, ani trochę mniej. Nie jest to niemożliwe, nie wygląda jednak na sytuację zbyt „naturalną” – postawiłem cudzysłów, ponieważ nie wiemy, co jest, a co nie jest naturalne dla wszechświata. Fizycy woleliby jakiś mechanizm, który faworyzuje płaski wszechświat.

Źródło: Ned Wright Cosmological Tutorial

Innym problemem jest stałość temperatury promieniowania tła docierającego z każdej strony. Na pierwszy rzut oka stałość ta wygląda zdroworozsądkowo: gaz był w równowadze termicznej, więc wysyłał promieniowanie o jednej temperaturze. Żeby zobaczyć, dlaczego jest to problem, wprowadźmy tzw. czas konforemny, spełniający warunek dt =R d\tau. Mamy wówczas

ds^2=R^2(c^2 d\tau^2-d\vec{x}\,^2).

Nasza metryka jest taka jak przestrzeni Minkowskiego, choć niezupełnie, gdyż przemnożona jest przez pewien wspólny czynnik skali. Nie ma sztuczki sprowadzającej zakrzywioną przestrzeń do płaskiej, ponieważ są one geometrycznie różne. Nasza czasoprzestrzeń nadal jest zakrzywiona, czego oznaką jest funkcja R(t). Jednak takie współrzędne są wygodne, gdyż zapewniają, że światło na wykresie czasoprzestrzennym biegnie pod kątem \pm 45^{\circ} (przyjmujemy c=1). Galaktyki w tym układzie współrzędnych mają stałe położenia, czyli ich linie świata biegną pionowo w górę. Sytuacja wygląda wówczas następująco. W chwili rozprzęgnięcia promieniowania z atomami stożki przeszłości różnych punktów CMB były rozłączne.

Rozłączne stożki przeszłości oznaczają, że w przeszłości zdarzenia takie nie miały żadnych wspólnych zdarzeń, a więc i możliwości wyrównania temperatury, bo takie wyrównywanie następuje dzięki wymianie energii. Izotropia promieniowania tła staje się więc wynikiem jakiegoś bardzo szczególnego wyboru warunków początkowych. Znów: fizycy woleliby nie zakładać aż tak szczególnych warunków początkowych. Obliczenia pokazują, że promieniowanie docierające z kątów większych niż $1,5^{\circ}$ powinno być fizycznie niezależne. Cała sfera niebieska rozpada się na ok. 10 000 niezależnych kawałków. Z jakiegoś powodu wszystkie te kawałki mają taką samą temperaturę.

Standardowym sposobem uniknięcia tych paradoksów jest inflacja. W bardzo wczesnym etapie po Wielkim Wybuchu, np. t=10^{-35} s przez bardzo krótki czas mamy dużą stałą kosmologiczną i wszechświat rozszerza się wykładniczo zgodnie z modelem de Sittera. Potem wraca do zwykłego modelu, o którym mówiliśmy. W przypadku płaskości skutek inflacji jest taki, jakbyśmy niewiarygodnie mocno nadmuchali balon: jego powierzchnia stanie się automatycznie płaska, przynajmniej dla naszej dokładności pomiarów. Także problem horyzontu rozwiązuje się wtedy dość naturalnie. Inflacja trwa bardzo krótko, licząc w czasie kosmicznym, ale długo w czasie konforemnym. Wygląda to tak.

Skutek jest więc taki, jakbyśmy cofnęli chwilę Wielkiego Wybuchu i dzięki temu stożki przeszłości różnych punktów promieniowania tła zdążyły się zetknąć.

Inflacja przewiduje także właściwe zachowanie fluktuacji promieniowania tła, co jest ważne, bo przesądza o dalszej ewolucji wszechświata.

Jak to zwykle bywa, każde rozwiązanie rodzi dalsze pytania i trudności. Nie wiadomo nic o konkretnym fizycznym mechanizmie inflacji, to znaczy wiadomo tyle, ile wynika z ograniczeń kosmologicznych, nic nie wiemy natomiast o konkretnych polach, które miałyby inflację wywołać. Jest też problem łagodnego wyjścia z fazy inflacyjnej, tzw. graceful exit. Chodzi o to, że modele przewidujące inflację na ogół nie chcą się zatrzymać, lecz dalej wywołują zachowania budzące wątpliwości. Np. generują bąble czasoprzestrzeni, które byłyby oddzielnymi wszechświatami. Nie ma więc żadnego ogólnie przyjętego opisu tej fazy wszechświata. Niektórzy, np. Roger Penrose, sądzą, że idea ta więcej kłopotów rodzi niż rozwiązuje.

Kosmologia relatywistyczna w kwadrans I

Kosmologia, czyli nauka o wszechświecie jako jednym obiekcie fizycznym, została zapoczątkowana przez Einsteina w 1917 roku. Nauka ta ma więc zaledwie sto lat i niesamowite osiągnięcia: potrafimy dziś bardzo wiele powiedzieć na temat wszechświata, w którym się znajdujemy.

  • Sens równań Einsteina

Ponieważ nie chcemy wprowadzać aparatu matematycznego geometrii różniczkowej, skorzystamy ze sformułowania H.C. Baeza i E.F. Bunna, gdzie można znaleźć więcej szczegółów.

Wyobraźmy sobie niewielką kulę cząstek próbnych, które są względem siebie w spoczynku w chwili t=0 i spadają swobodnie w  polu grawitacyjnym. Jeśli chwilę odczekamy, kula ta pod działaniem grawitacji przekształci się w elipsoidę. Przesunięcia cząstek będą proporcjonalne do kwadratu czasu (mierzonego w środku naszej kuli). Objętość kuli także zmieni się proporcjonalnie do kwadratu czasu:

V(\delta t)=V(0)+\dfrac{1}{2}\ddot{V} \delta t^2,

gdzie \ddot{V} jest drugą pochodną objętości naszej kuli (pierwsza pochodna znika, ponieważ cząstki spoczywają w chwili początkowej). Jeśli w objętości naszej kuli znajduje się jakaś materia, to można ją opisać za pomocą gęstości \varrho oraz ciśnień, jakie ona wywiera: p_x, p_y, p_z. W teorii względności ciśnienie (które jest niczym innym niż strumieniem pędu cząstek przypadającym na jednostkę powierzchni) należy dodać do gęstości materii.

Dla naszej kuli cząstek próbnych (zakładamy, że ich masa i energia jest znikomo mała) obowiązuje równanie grawitacyjne:

\dfrac{\ddot{V}}{V}=-4\pi G \left(\varrho+\dfrac{p_x+p_y+p_z}{c^2}\right) \mbox{ (*)}.

Stała G jest stałą grawitacji. Okazuje się, że równanie to jest równoważne tensorowym równaniom Einsteina, musimy tylko dopuścić kule cząstek próbnych poruszających się w chwili początkowej z dowolnymi prędkościami względem naszego inercjalnego (swobodnie spadającego) układu odniesienia. Zazwyczaj ciśnienie jest symetryczne i możemy wtedy zapisać wyraz z ciśnieniami jako 3p/c^2.

Intuicyjny sens tego równania jest jasny: materia (a także ciśnienie) zmniejszają objętość kuli cząstek próbnych – grawitacja jest siłą przyciągającą. Jeśli nasza kula znajduje się w pustej przestrzeni, jej objętość się nie zmieni, zmieniać się będzie natomiast jej kształt.

  • Ekspansja wszechświata

Przyjmiemy przybliżenie wszechświata jednorodnego (taki sam w każdym miejscu) oraz izotropowego (taki sam w każdym kierunku). Obserwacje pokazują, że w dostatecznie dużej skali założenia te są spełnione. Wszechświat nasz się rozszerza, co można sobie wyobrazić, jak na rysunku: daleki obiekty (np. galaktyki) są wciąż względem siebie rozmieszczone tak samo, powiększa się jedynie skala tego obrazu. Możemy ją mierzyć za pomocą jednego parametru R(t). Mamy więc pewien wyróżniony układ współrzędnych dla wszechświata: względem niego galaktyki się nie poruszają (średnio biorąc, ponieważ mogą one mieć swoje prędkości własne, których na rysunku nie zaznaczyliśmy). Jest też jeden wyróżniony czas. Spoczynek galaktyk w tym naszym układzie współrzędnych jest ich ruchem w polu grawitacyjnym (linie stałych współrzędnych są krzywymi geodezyjnymi).

Rozszerzanie nie dotyczy obiektów bliskich, np. Układu Słonecznego albo naszej Galaktyki. Obserwacje wskazują, że R(t) jest funkcją rosnącą czasu. Chwila, w której R(t_{BB})=0, jest chwilą Wielkiego Wybuchu. Skala wszechświata byłaby w niej równa zeru, czyli wszystkie odległości zmniejszyłyby się do zera. Wielki Wybuch jest więc ściągnięciem (być może nieskończonej) przestrzeni do zera, osobliwością. Nie jest wybuchem np. bomby w przestrzeni, lecz wybuchem samej przestrzeni. Znaczy to tylko tyle, że ogólna teoria względności, jak i wszystko, co dziś wiemy, słuszne jest dla t>t_{BB}\equiv 0. Sytuacja jest podobna jak dla funkcji y=1/x: jest ona określona dla wartości x>0 i nie ma sensu w x=0. To wszystko nie wyklucza, że kiedyś jakaś lepsza teoria nie zastąpi owej osobliwości czymś skończonym, gdyż wielkości nieskończone to żadne przewidywanie.

  • Dynamika wszechświata Einsteina-de Sittera

Najprostszy model wszechświata wskazali w 1932 roku Albert Einstein i Willem de Sitter w krótkim komunikacie. Ponieważ chcemy skorzystać z równania Einsteina (*), więc powinniśmy rozpatrzyć kulę cząstek próbnych (galaktyk) spoczywających względem siebie w pewnej chwili. Na rysunku kula ta oznaczona jest jako B’.

Zmiany jej objętości łatwo powiązać ze zmianami jej promienia r(t). Otrzymujemy:

\dfrac{\ddot{V}}{V}=3\dfrac{\ddot{r}}{r}=-4\pi G \varrho,

gdzie pominęliśmy wyraz z ciśnieniem materii.

Wyobraźmy sobie teraz drugą kulę, która rozszerza się wraz z wszechświatem. Dla uproszczenia przyjmijmy, że obie kule mają jednakowy promień w chwili początkowej. Różnią się prędkościami ruchu, czyli pierwszymi pochodnymi współrzędnych, tak jak to zaznaczono na rysunku. Cząstki na powierzchni obu kul poruszają się z tym samym przyspieszeniem, ponieważ ich ruch jest spadaniem w polu grawitacyjnym, a wszystko spada z takim samym przyspieszeniem. Mamy zatem \ddot{R}=\ddot{r} i możemy poprzednie równanie przepisać dla kuli współporuszającej się z galaktykami:

3\dfrac{\ddot{R}}{R}=-4\pi G\varrho.

Zapisaliśmy to dla nieskończenie małej kuli, ale w jednorodnym i izotropowym wszechświecie równanie takie będzie słuszne dla kuli o dowolnych rozmiarach. Druga pochodna promienia równa jest

\ddot{R}=-\dfrac{4}{3}\pi R^3 \varrho \dfrac{G}{R^2}=-\dfrac{GM}{R^2}. \mbox{(2)}

Zastąpiliśmy iloczyn objętości kuli i gęstości masą M. Ta masa zawarta wewnątrz kuli nie zmienia się z czasem, ponieważ kula współporusza się z galaktykami. Otrzymaliśmy równanie, które ma prostą interpretację newtonowską. Jest to równanie ruchu ciała (czerwona kropka) w polu grawitacyjnym masy M.

Wiemy, że zależnie od wartości prędkości możliwe są dwie sytuacje: albo nasza czerwona kropka zawróci po osiągnięciu pewnej maksymalnej odległości, albo będzie oddalać się do nieskończoności. Ten sam wniosek dotyczy kuli galaktyk: albo zawrócą one w pewnej chwili, albo nigdy nie zawrócą i będą się oddalać nieograniczenie. Model Einsteina-de Sittera dotyczy sytuacji granicznej: gdy prędkość oddalania jest równa prędkości ucieczki. Jest to więc najmniejsza prędkość, przy której ekspansja nigdy się nie zatrzyma. Całkowita „energia” naszej czerwonej kropki równa się zero (piszemy w cudzysłowie, bo to nie jest energia świata, lecz jedynie wielkość analogiczna do energii, gdyż takie same równania mają takie same rozwiązania i możemy skorzystać z wiedzy przedeinsteinowskiej):

\dfrac{\dot{R}^2}{2}-\dfrac{GM}{R}=0 \Rightarrow R(t)\sim t^{\frac{2}{3}}.

W modelu tym wszechświat zaczyna się Wielkim Wybuchem. Einstein i de Sitter chcieli zbudować najprostszy relatywistyczny model rozszerzającego się wszechświata i niezbyt przejmowali się szczegółowymi wynikami obserwacji. Model ten ma jeszcze tę własność, że trójwymiarowa przestrzeń jest w nim płaska. W teorii Einsteina to sytuacja szczególna, nasza siatka galaktyk mogłaby bowiem być zakrzywiona.

Oczywiście na obrazku możemy przedstawić dwuwymiarowe powierzchnie, a w tym przypadku chodzi o trójwymiarową przestrzeń.

Wydaje się, że 3-przestrzeń naszego wszechświata jest płaska, tzn. jeśli byłaby zakrzywiona, to promień krzywizny musiałby być gigantyczny nawet w skali kosmologicznej.

  • Stała kosmologiczna = ciemna energia

Einstein zauważył, że z formalnego punktu widzenia jego równania pola mogą zawierać dodatkowy wyraz proporcjonalny do metryki. Fizycznie odpowiadałby on stałej gęstości energii w całej przestrzeni równej \varrho_{vac} c^2  oraz stałemu ciśnieniu p. Wyobraźmy sobie pewną objętość V. Energia w niej zawarta równa się \varrho_{vac} c^2 V. Z termodynamiki wiemy, że zmiana energii dE równa się pracy wykonanej nad układem -pdV. W naszym przypadku

dE=\varrho_{vac} c^2 dV=-pdV\Rightarrow p=-\varrho_{vac} c^2.

Nietypowy znak ciśnienia związany jest z tym, że teraz rozszerzanie powiększa energię zamiast ją zmniejszać, jak w przypadku gazu w naczyniu. Jeśli we wszechświecie nie ma żadnej innej formy energii, równania Einsteina przybierają postać:

3\dfrac{\ddot{R}}{R}=-4\pi G (\varrho_{vac} -3\varrho_{vac})=8\pi G \varrho_{vac}\equiv \Lambda c^2.

Parametr \Lambda zwany jest stałą kosmologiczną. Wszechświat taki prędzej czy później zacznie się rozszerzać (przyjmujemy, że stała kosmologiczna jest dodatnia), i to coraz szybciej. Pusty wszechświat ze stałą kosmologiczną nazywa się wszechświatem de Sittera. Czynnik skali R(t) rośnie wykładniczo z czasem:

R(t)=R_0\exp\left(\sqrt{\dfrac{\Lambda c^2}{3}}t\right).

Zauważmy, że w takim modelu nie ma Wielkiego Wybuchu, ponieważ czynnik skali zawsze jest dodatni. Oczywiście, wiemy, że w naszym wszechświecie występuje materia, a więc wszechświat de Sittera nie jest realistycznym modelem, lecz jedynie pewnym przybliżeniem. Obserwacje pokazują, że nasz wszechświat coraz bardziej zbliża się do świata de Sittera. Mówimy dziś o ciemnej energii, co jest inną nazwą dla stałej kosmologicznej (choć może się też okazać, że sytuacja jest bardziej skomplikowana i opis za pomocą \Lambda nie wystarczy).

  • Wszechświat Einsteina i wszechświat w XXI wieku

Stała kosmologiczna wprowadzona została przez Einsteina w pracy, która zapoczątkowała kosmologię w dzisiejszym sensie. Uczony sądził, że obserwacje wskazują, iż wszechświat jest statyczny, nie zmienia się z czasem. Równania pola grawitacyjnego nie dopuszczają takiej możliwości, dopóki nie wprowadzimy stałej kosmologicznej. Równanie (*) przybiera postać:

3\dfrac{\ddot{R}}{R}=-4\pi G\varrho+\Lambda c^2,

co można przekształcić podobnie jak dla modelu EdS:

\ddot{R}=-\dfrac{MG}{R^2}+\dfrac{\Lambda c^2}{3}R\mbox{ (3)}.

W porównaniu z (2) do przyciągającego wyrazu grawitacyjnego doszedł wyraz odpychający ze stałą kosmologiczną. Jeśli zażądamy, aby ich suma była równa zeru, otrzymamy statyczny model Einsteina z 1917 roku. Później, kiedy okazało się, że wszechświat się rozszerza, Einstein bez żalu pozbył się wyrazu kosmologicznego. Model statyczny był zresztą i tak nie do utrzymania, ponieważ nie jest on stabilny. Załóżmy bowiem, że dobraliśmy tak stałe, iż prawa strona równania (3) równa jest zeru. Mamy więc równowagę. Jeśli jednak powiększymy choćby nieznacznie czynnik skali R, to wzrosną oba wyrazy po prawej stronie i przyspieszenie będzie dodatnie, tzn. niewielki przyrost R powiększy się i nasz wszechświat zacznie się rozszerzać. Podobnie, jeśli zmniejszylibyśmy nieznacznie czynnik skali, prawa strona równania stałaby się ujemna i czynnik skali zacząłby się samorzutnie zmniejszać. Można to też pokazać, zapisując zasadę zachowania „energii” dla równania (3), podobnie jak to zrobiliśmy dla równania (2):

\dfrac{v^2}{2}-\dfrac{GM}{R}-\dfrac{\Lambda c^2 R^2}{6}\equiv E_k+E_p=const.

Nasza „energia” potencjalna ma w tym przypadku postać wzniesienia: jeśli nawet znajdziemy się na jego szczycie z zerową „energią” kinetyczną, to każde, nawet najmniejsze, zaburzenie wytrąci nas z położenia równowagi.

Sytuacja ta ma zasadnicze znaczenie dla naszego wszechświata, ponieważ zawiera on zarówno materię, jak i ciemną energię. Znajdujemy się już po prawej stronie zbocza i coraz szybciej staczamy się w dół, co oznacza, że wyraz kosmologiczny dominuje nad zwykłą grawitacją.

Źródło ilustracji: NASA

Na powyższym obrazku mamy porównanie kilku różnych modeli kosmologicznych. Linia czerwona oznacza 30% materii i 70% ciemnej energii (stałej kosmologicznej) – to są proporcje naszego wszechświata. Linia niebieska pokazuje, jak zachowywałby się czynnik skali, gdyby przyjąć, że ciemnej energii nie ma. Linia zielona odpowiada światowi Einsteina-de Sittera, w którym nie ma ciemnej energii. Wreszcie linia pomarańczowa opisuje wszechświat znacznie gęstszy od naszego, który najpierw się rozszerza, po czym zaczyna się kurczyć aż po Wielki Krach.

 

Tu jeszcze raz widzimy czynnik skali zgodny z obserwacjami naszego wszechświata. 3-przestrzeń jest płaska. Funkcję tę można wyrazić przez funkcje elementarne (por. koniec tekstu). Dla małych t zachowanie przypomina model EdS, później przełącza się na model dS (sama ciemna energia). Grawitacja zakrzywia funkcję w dół, ciemna energia wypycha ją w górę. W rezultacie powstaje krzywa dość zbliżona do linii prostej, ale jest to początek wykładniczego wzrostu.

  • Geometria modelu Einsteina

Nasze podejście do równań Einsteina utrudnia nieco zbadanie, jak wygląda geometria różnych modeli. Pokażemy poniżej, że model statyczny Einsteina opisywany jest geometrią sferyczną: tzn. 3-przestrzeń jest sferą trójwymiarową (powierzchnią kuli czterowymiarowej).

Mamy więc

3\dfrac{\ddot{V}}{V}=-4\pi G\varrho_0+\Lambda c^2=0.

Warunek ten otrzymany był dla niewielkiej kuli cząstek próbnych spoczywającej względem materii wszechświata Einsteina. Rozpatrzmy teraz inną kulę cząstek próbnych, która porusza się ruchem jednostajnym z prędkością v względem materii wszechświata. W układzie nowych cząstek próbnych materia świata ma większą energię: zamiast spoczynkowej mc^2 każda cząstka świata ma teraz energię mc^2+\frac{mv^2}{2} (zakładamy, że prędkość jest nierelatywistyczna). Ponadto długość w kierunku ruchu się skróci i objętość zmniejszy o czynnik \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\approx 1-\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}. Łącznie gęstość naszej materii wzrośnie:

\varrho=\varrho_0\left(1+\dfrac{v^2}{c^2}\right).

W naszym układzie odniesienia pojawi się też ciśnienie w kierunku ruchu, ponieważ wszystkie cząstki poruszają się z taką samą prędkością v.

Pęd transportowany przez powierzchnię o polu S w czasie \delta t będzie równy całkowitemu pędowi cząstek na rysunku, czyli \varrho_0 vv\delta t S, a ciśnienie prostopadłe do powierzchni będzie równe p=\varrho_0 v^2. Łącznie otrzymamy

\dfrac{\ddot{V}}{V}=-8\pi G\varrho_0\dfrac{v^2}{c^2}. \mbox{ (4)}

Co to znaczy, że przestrzeń jest zakrzywiona? Prędkości naszych cząstek próbnych są jednakowe i każda z nich porusza się po południku. Zakrzywienie przestrzeni będzie przejawiać się w tym, że takie równolegle poruszające się cząstki będą się do siebie zbliżać: dwóch podróżników startujących na północ z dwóch punktów równika spotka się na biegunie północnym. Kula poruszająca się w przestrzeni kulistej (możemy sobie wyobrazić koło poruszające się po powierzchni sferycznej) o promieniu krzywizny R_U zostaje skrócona w kierunku prostopadłym do ruchu, ponieważ jej cząstki biegną po południkach, a te zbiegają się ku sobie.

Wyobraźmy sobie, że skrajne cząstki naszego koła poruszają się po południkach tworzących ze sobą kąt \delta \varphi. Obie cząstki poruszają się z przyspieszeniem dośrodkowym. Patrząc sponad bieguna północnego naszej kuli, zaobserwujemy przyspieszenia obu cząstek \vec{a}_1 oraz \vec{a}_2.

Przyspieszenie względne, jak to widać z rysunku, będzie równe

\ddot{y}=-a\delta\varphi=-\dfrac{v^2}{R_U}\dfrac{y}{R_U}=-y\dfrac{v^2}{R_U^2}.

Wobec tego kula 3D cząstek próbnych skróci się w kulistej przestrzeni w dwóch wymiarach prostopadłych do kierunku ruchu i będziemy mieli

\dfrac{\ddot{V}}{V}=2\dfrac{\ddot{r}}{r}=-\dfrac{2v^2}{R_U^2}.

Wstawiając ten wynik do równania (4), otrzymamy warunek

\dfrac{2 v^2}{R_U^2}=8\pi G \varrho_0 \dfrac{v^2}{c^2} \Rightarrow R_U=\dfrac{c}{\sqrt{4\pi G\varrho_0}}=\dfrac{1}{\sqrt{\Lambda}}.

Tyle właśnie otrzymał Einstein. Wniosek ten dość mu się podobał, ponieważ wszechświat miałby skończoną objętość, a zarazem nie miał brzegu.

  • Zależność czynnika skali od czasu

Obliczmy czynnik skali wszechświata dla płaskiego świata zbudowanego z chłodnej materii (p=0) i ciemnej energii. Jest to przypadek naszego wszechświata. Płaskość 3-przestrzeni oznacza, że suma „energii” kinetycznej i potencjalnej jest równa zeru:

\dfrac{1}{2}\dot{R}^2=\dfrac{GM}{R^2}\Rightarrow H^2\equiv \dfrac{1}{R^2}\left(\dfrac{dR}{dt}\right)^2=\dfrac{8\pi G \varrho_{crit}}{3}.

Otrzymaliśmy warunek, jaki spełniać musi gęstość wszechświata: musi być ona równa \varrho_{crit}. Wyrażenie \frac{\dot{R}}{R} nazywa się stałą Hubble’a. Stała Hubble’a zależy od czasu (nie jest więc ściśle biorąc stałą). W przypadku gdy wszechświat jest płaski, lecz zawiera oprócz zwykłej materii także ciemną energię, warunek płaskości przybiera postać:

\varrho_{crit}=\varrho_m+\varrho_{vac}.

Przeważnie zapisuje się to, podając ułamek energii każdego składnika:

\Omega_m+\Omega_{\Lambda}=1,\,\mbox{ gdzie } \Omega_m\equiv\dfrac{\varrho_m}{\varrho_{crit}} \mbox{ oraz } \Omega_{\Lambda}\equiv\dfrac{\varrho_{vac}}{\varrho_{crit}}.

Stała Hubble’a w danym momencie od Wielkiego Wybuchu nie zależy od konkretnego wyboru czynnika skali, można więc wybrać go tak, jak lubią astronomowie obserwacyjni, żeby obecna skala wszechświata była równa 1. Możemy teraz napisać:

\dfrac{1}{R}\dfrac{dR}{dt}=H_0 \sqrt{ \dfrac{\Omega_{m,0}}{R^3}+\Omega_{\Lambda,0} }.

W ostatnim równaniu wyraziliśmy gęstości o prawej stronie przez ich dzisiejsze wartości (gęstość materii skaluje się jak R^{-3}, gęstość energii próżni się nie zmienia). Chcemy teraz wyznaczyć z tego równania funkcję R(t). Pomnóżmy obie strony równania przez \frac{3}{2} R^{3/2}, otrzymujemy wówczas;

\dfrac{ dR^{\frac{3}{2}} }{dt}=\dfrac{3}{2}H_0 \sqrt{ \Omega_{m,0}+\Omega_{\Lambda,0}R^{3} }.

Jeśli wprowadzimy nową zmienną u=R^{3/2}, możemy nasze równanie przepisać w postaci

\dfrac{du}{\sqrt{ k^2+u^2} }=\dfrac{3H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda,0}}}{2} dt,

gdzie k^2\equiv \frac{\Omega_{m,0}}{\Omega_{\Lambda,0}}. Wykonując jeszcze jedno postawienie u=k\sinh \zeta, otrzymamy

\zeta=\dfrac{3H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda,0}}}{2} t,

a wracając do starej zmiennej, możemy zapisać wyrażenie na czynnik skali:

R=\left( \dfrac{\Omega_{m,0}} {\Omega_{\Lambda,0} }\right)^{\frac{1}{3}} \sinh^{\frac{2}{3}} \dfrac{3H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda,0} }}{2} t .

Wyrażenie to pozwala natychmiast zobaczyć, że dla małych czasów (\sinh x\approx x) czynnik skali rośnie jak t^{\frac{2}{3}}, dla dużych natomiast staje się wykładniczy (\sinh x\approx \frac{1}{2}e^{x}). Możemy więc opisać ewolucję naszego wszechświata za pomocą trzech parametrów dzisiejszego wszechświata: stałej Hubble’a oraz dwóch gęstości.

  • Wiek wszechświata

Znajomość obecnego składu wszechświata $latex \Omega_{m,0}$ oraz $latex \Omega_{\Lambda,0}$ wraz ze znajomością dzisiejszej stałej Hubble’a pozwala też obliczyć czas T, jaki upłynął od Wielkiego Wybuchu (czyli czas, gdy a(T)=1):

T=\dfrac{2}{3 H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda,0} }} \,\mbox{artgh}\, \sqrt{\Omega_{\Lambda,0}  }.

Dla danych misji Planck z roku 2015: \Omega_{m,0}=1-\Omega_{\Lambda,0}=0.3089 i stałej Hubble’a H_0=67.90 km/s/Mpc wiek wszechświata T=13.80\cdot 10^9 lat. Zadziwiające jest, że tak niewielka liczba parametrów (gęstość, stała Hubble’a plus wiedza o płaskości) wystarczy do obliczenia, co dzieje się z obiektem tak skomplikowanym jak wszechświat.

 

Johannes Kepler: III prawo ruchu planet (15 V 1618)

Niemal wszystkie wielkie odkrycia naukowe dla swych odkrywców znaczyły co innego niż dla potomnych. Z tego powodu dzisiejsza wiedza jest często mało przydatna, gdy chcemy dowiedzieć się, w jaki sposób zostały dokonane jakieś odkrycia. Przykład praw Keplera jest tu wielce pouczający: to, co dziś uważamy za trzy prawa Keplera, on sam uważał za istotne wprawdzie, ale trzy pojedyncze fakty w całym gmachu astronomii, który zbudował.

Johannes Kepler zdecydował się zająć astronomią, kiedy odkrył – jak mu się zdawało – ukryty sens geometryczny proporcji orbit planetarnych. Stwórca zrealizował bowiem w niebiosach wielce barokową konstrukcję geometryczną. Nastąpiły długie lata studiowania ruchów planet, szczęśliwym zbiegiem okoliczności mógł wykorzystać zbiór obserwacji Tychona Brahego, najdokładniejszych w dziejach i obejmujących najdłuższy przedział czasu. Ktoś porównał sytuację przed Tychonem i obserwacje Tychona do oddzielnych fotografii i długiego filmu: ruchy planet monitorowane były przez duńskiego astronoma nieomal z dnia na dzień. Kepler pierwszy zbudował w pełni heliocentryczną astronomię, w której Słońce było nie tylko wielką lampą oświetlającą wszechświat i umieszczoną centralnie, ale także źródłem ruchu sześciu znanych planet. Uzyskane przez niego wyniki podsumowuje się dziś w formie trzech praw ruchu. Pamiętać jednak należy, że zawarte one były w książkach Keplera wśród długich rozważań i nigdzie nie zostały sformułowane w taki właśnie sposób.

Dwa pierwsze prawa znalazły się w Astronomia nova z 1609 roku. Eliptyczny kształt orbit był najbardziej oczywistym wynikiem tej pracy, choć wielu nie dało się przekonać: astronomowie przyzwyczajeni byli do kół poruszających się po kołach i podejście Keplera wydawało się dziwaczne. Tym bardziej, że nawet obserwacje Brahego nie były na tyle dokładne, by jakoś zdecydowanie rozstrzygać, jaki jest właściwie kształt orbity – mogły to być rozmaite owale, a poza tym krzywe takie można skonstruować na różne sposoby, więc elipsy wydawały się wnioskiem zbyt silnym. Tak rozumiał to np. Isaac Newton, kiedy pisał: „Kepler wiedział, iż orbity planet nie są kołowe, lecz owalne, i odgadł, że są eliptyczne”. Kepler nie tyle zresztą zgadywał, ile kierował się tu (obok obserwacji) własną teorią ruchu planet – pierwszą mechaniką niebios – lecz z pozycji newtonowskich próba ta była chybiona, więc Newton mógł potraktować to jako zgadywanie. Elipsy z czasem znalazły sobie miejsce wśród uznanych faktów astronomicznych. Aż do czasów Newtona nie wiedziano jednak, co zrobić z Keplerowskim prawem pól – dzisiejszym II prawem Keplera. Teoretyczne wyjaśnienia samego Keplera nie przekonały jego następców, w dodatku prawo to jest niełatwe do praktycznego stosowania, gdyż prowadzi do równania przestępnego: t=E-e\sin E, gdzie t jest czasem, e mimośrodem orbity, a E tzw. anomalią mimośrodową, wielkością potrzebną do obliczenia położenia planety na elipsie. Równanie Keplera należało rozwiązywać metodami przybliżonymi, co w XVII wieku było trudne zarówno praktycznie, jak i pojęciowo. II prawo Keplera odrodziło się dopiero dzięki Newtonowi, który spostrzegł, że musi ono obowiązywać zawsze, gdy siły działają wzdłuż linii łączącej planetę i Słońce, bez względu na konkretną zależność sił od odległości. Dziś mówimy, że w ruchu pod wpływem sił centralnych zachowany jest moment pędu.

Kepler traktował własną pracę nad geometrycznym i mechanicznym opisem ruchu planet jako bardzo długi wstęp, rodzaj dygresji, właściwym celem było odkrycie, czemu Stwórca zbudował układ planet tak, a nie jakoś inaczej. Z jego perspektywy najciekawsze więc wydawało się wyjaśnienie odległości, okresów i ekscentryczności orbit, a więc nie tyle mechanika, co warunki początkowe – one bowiem mówiły nam coś o Bogu. Uczony, kiedy tylko mógł, wracał do rozważań na temat harmonii świata, one właśnie wydawały mu się najcenniejsze. Niosły mu też pociechę – to w czasie żałoby po śmierci córeczki zajął się pisaniem Harmonice mundi („Harmonii świata”). Do brył platońskich z młodzieńczej konstrukcji doszły teraz harmonie muzyczne – idea pitagorejska. Johannes Kepler stworzył najbardziej rozbudowaną i szczegółowo opracowaną wersję tej starej idei. Wszechświat był dla niego kosmosem, uładzoną i piękną całością. Sądził, że potrafi wyjaśnić ekscentryczności orbit planetarnych. Tym, co miało budować harmonie muzyczne kosmosu były prędkości kątowe planet widziane ze Słońca. Ich zakres odpowiadał pewnej skali muzycznej. Była to więc muzyka czysto matematyczna, którą obserwować mogły mieszkające na Słońcu anioły.

To, co przepowiedziałem dwadzieścia dwa lata temu, kiedy odkryłem pięć brył foremnych między sferami niebieskimi; to, o czym mocno byłem przekonany wewnętrznie, zanim jeszcze ujrzałem Harmonie Ptolemeusza; to, co obiecałem przyjaciołom w tytule tej piątej Księgi, nim jeszcze nabrałem całkowitej pewności; to, o czym szesnaście lat temu pisałem publicznie, nalegając, iż musi być zbadane; to, co skłoniło mnie, by spędzić najlepszą część życia na spekulacjach astronomicznych, wybrać się do Tychona Brahego do Pragi i samemu zamieszkać w Pradze; to, do czego Bóg Najlepszy i Największy nakłaniał mój umysł i rozbudzał pragnienie poznania, przedłużając me życie i siły umysłu, a także dostarczając innych środków dzięki hojności dwóch cesarzy oraz szlachty stanów Górnej Austrii; to w końcu, gdy wypełniłem swoje obowiązki astronomiczne w wystarczającym stopniu, mogłem wreszcie wydobyć na światło i stwierdziłem, że jest prawdą bardziej nawet, niż miałem nadzieję: odkryłem pośród ruchów niebieskich pełną naturę harmonii, w stopniu, w jakim ona występuje, wraz ze wszystkimi swymi częściami, objaśnionymi w Księdze III – wprawdzie nie w taki sposób, w jaki ją sobie wyobrażałem (co stanowi nie najmniejszą część mojej radości), ale w zupełnie inny sposób, najpiękniejszy i zarazem najdoskonalszy. (KGW t. VI, s. 289; )

Samo III prawo Keplera jest prostą zależnością ilościową: jeśli wyrazimy okres obiegu planety T w latach, a półoś orbity a (czyli średnią odległość od Słońca) w jednostkach orbity Ziemi, to przyjmuje ono postać: T^2=a^3. Prawo to znajduje się w Księdze piątej Harmonice mundi jako ósme twierdzenie rozdziału trzeciego, a więc wplecione w pitagorejskie rozważania.

Tak więc część mojej Tajemnicy kosmosu, która została zawieszona dwadzieścia dwa lata temu, ponieważ nie była jeszcze jasna, zostaje dokończona i tutaj umieszczona. Bo kiedy znalezione zostały prawdziwe odległości sfer, poprzez obserwacje Brahego i ustawiczny długotrwały trud, to w końcu – w końcu – prawda co do stosunku okresów i wielkości sfer
choć późno, wejrzała na opieszalca,
Wejrzała jednak i w końcu, po długim czasie, nastała.(*)
a jeśli trzeba wam dokładnego czasu, zrodzona została w umyśle 8 marca tego roku 1618, lecz poddana rachunkowi w pechowy sposób i odrzucona jako fałsz, aż wreszcie powróciła 15 maja i przyjmując inną linię ataku, pokonała ciemności mego umysłu. Tak silne było wsparcie siedemnastu lat mojej pracy nad obserwacjami Brahego oraz obecnych badań, które połączyły swe siły, iż z początku myślałem, że śnię i gdzieś w założeniach wprowadzam moją konkluzję. Ale jest absolutnie pewne i ścisłe, że stosunek okresów dowolnych dwóch planet równa się dokładnie stosunkowi ich średnich odległości do potęgi 3/2 (Harmonice mundi, 1619, s. 189; KGW t. VI, s. 302)

Spośród praw Keplera to było najmniej kontrowersyjne, bo łatwe do sprawdzenia. Co więcej, pozwalało poprawić wielkości orbit, ponieważ okresy obiegu znane były znacznie dokładniej niż odległości, co pierwszy zauważył Jeremiah Horrocks, który, gdyby nie zabrała go śmierć w wieku dwudziestu dwóch lat, z pewnością zostałby jednym z najważniejszych astronomów XVII stulecia.

(*) Wykształconemu klasycznie Keplerowi przyszła tu na myśl pierwsza ekloga Wergiliusza:

Wolność, która, choć późno, wejrzała na opieszalca,
Kiedy już siwiejące spod brzytwy sypały się włosy,
Wejrzała jednak i w końcu, po długim czasie, nastała.
(przeł. Z. Kubiak, Literatura Greków i Rzymian, s. 430)

Pierre Bayle, Myśli różne o komecie (1683)

Chrześcijaństwo należy do tradycji Europy – to prawda, lecz pamiętać musimy, że jego kształt zmieniał się bardzo z czasem. Czym innym był np. arystotelizm św. Tomasza, a czym innym reformy Lutra i Kalwina. Protestantyzm starał się chrześcijaństwo oczyścić przez powrót do źródeł oraz odrzucenie magicznej obrzędowości, był surowy, wymagał dużo od wiernych, którzy ściślej musieli się pilnować w życiu codziennym, by dostąpić łaski. Takimi właśnie surowymi protestantami, przez lata rozmyślającymi nad podstawami swej wiary, byli zarówno Isaac Newton, jak i Pierre Bayle. Protestantyzm towarzyszył przemianom mentalności europejskiej w XVI i XVII wieku, kształtował także założycieli Stanów Zjednoczonych. Nie przypadkiem nowożytna nauka i nowoczesna gospodarka rozwinęły się najbardziej w krajach protestanckich.

Kometa z lat 1680/1681 została przez Isaaca Newtona uwieczniona pierwszym obliczeniem orbity na podstawie prawa powszechnego ciążenia. Przyczyniło się to do rozwiania astrologicznych fantazji na temat związku komet z wydarzeniami na Ziemi. Był to proces powolny zapoczątkowany sto lat wcześniej odkryciem Tychona Brahego, że komety są prawdziwymi ciałami niebieskimi, tzn. nie są jakimś wyziewem górnych warstw atmosfery ziemskiej, jak sądzono od czasów Arystotelesa. Astrologia w drugiej połowie XVII wieku nie była już traktowana poważnie przez uczonych, podciął jej korzenie kopernikanizm: no bo skoro Ziemia jest tylko jedną z planet i komety też są rodzajem planet, to nie ma powodu uważać, aby zdarzenia historyczne czy meteorologiczne na planecie Ziemia dyktowane były akurat zjawieniem się jakiejś komety. Młody Isaac Newton kupił sobie książkę o astrologii na jarmarku na błoniach Stourbridge, szybko wszakże doszedł do wniosku, że zawiera bzdury. Nie potrafiąc narysować jakiejś figury omawianej w książce, sięgnął do Euklidesa. Niebawem już czytał Geometrię Kartezjusza, dzieło trudne, które jednak przestudiował. W ciągu roku opanował samodzielnie znaną wówczas matematykę i zaczął twórczość oryginalną. Niemal wszystkiego nauczył się sam i osiem imponujących tomów jego Mathematical Papers pokazuje, że matematyka towarzyszyła potem stale jego innym zainteresowaniom. Jest to zapewne jedyny przykład, gdy astrologia do czegoś realnego się przydała.


Niezbyt wierzono, przynajmniej w kręgach ludzi wykształconych, by komety zwiastowały nieszczęścia lub zostały zesłane z nieba w celu naszej moralnej poprawy, ale spotykało się wciąż rozmaite opinie. Możliwy do pomyślenia był oczywiście jakiś ich wpływ naturalny, np. katastrofa kosmiczna albo oddziaływanie z ziemską atmosferą. Tak czy owak zjawiska kometarne przesuwały się ze sfery cudownej i nadprzyrodzonej w domenę ciekawostek natury.
Madame de Sévigné, której listy stanowią jedno z arcydzieł języka francuskiego, pisała w na początku stycznia 1681 r. do swego kuzyna hrabiego de Bussy-Rabutina:

Mamy tutaj wielce okazałą kometę, która ma najpiękniejszy warkocz, jaki można oglądać. Wszystkie ważne osobistości wpadły w popłoch, gdyż wierzą mocno, iż niebiosa tak przejęły się ich stratą, że powiadamiają o niej poprzez ową kometę. Mówi się, że kardynała Mazarin, któremu medycy nic już nie potrafią pomóc, dworzanie poinformowali o pojawieniu się wielkiej komety, budzącej w nich lęk, ponieważ byłaby ich zdaniem cudem stosownym dla uczczenia śmierci kogoś tak wybitnego. Kardynał znalazł siłę, aby to wyśmiać i stwierdził żartobliwie, że kometa wyświadczyłaby mu zbyt wielki honor.

De Bussy-Rabutin odpisał z Burgundii, że i tam różne lokalne znakomitości obawiają się w związku z kometą o siebie. „Mercure galant” pokpiwał, że kometa najwyraźniej zapowiadała śmierć jakiejś wielkiej istoty, ponieważ umarł słoń trzymany w Wersalu.

Wykładowca hugonockiego kolegium w Sedanie, Pierre Bayle, zainteresował się nie tyle samą kometą z 1680/1681 r., ile mechanizmem społecznej wiary i niewiary, a także sensem religijnym tego zjawiska. Rozważaniom tym poświęcił książkę, wydaną anonimowo w roku 1683. Można by gorzko stwierdzić, iż w jego przypadku kometa była zapowiedzią znacznych zmian: w lipcu 1681 roku kolegium zamknięto. Było to jedno z posunięć króla Ludwika XIV w zbożnym dziele oczyszczania Francji z heretyków, tzn. z protestantów. Bayle spędził resztę życia w Rotterdamie, pisząc i stając się jednym z prekursorów Oświecenia. Obawiał się o swoją rodzinę we Francji, młodszy jego brat nie wytrzymał pobytu w lochach arcykatolickiego władcy, gdzie znalazł się wyłącznie z powodu swej wiary. Bayle pisał:

Gdyby wiedziano, jak ostrego sensu nabrało obecnie to słowo, nie zazdroszczono by Francji, że jest całkowicie katolicka pod panowaniem Ludwika XIV. Już od dawna bowiem ci, którzy mają się za wcielenie katolicyzmu, postępują w sposób budzący zgrozę, że uczciwy człowiek powinien miano katolika uważać za obelgę; a po tym, co zrobiliście ostatnio w owym arcykatolickim królestwie, powinno być teraz wszystko jedno, czy mówi się: religia katolicka, czy też: religia ludzi niegodziwych (przeł. J. Lalewicz).

Okoliczności zewnętrzne, a także daleko posunięta uczciwość intelektualna, skłaniały Bayle’a do sceptycyzmu wobec utartych mniemań. Podważał rolę tradycji, która ostatecznie zasadza się na tym, że powtarzamy czyjąś opinię, nie zadawszy sobie trudu jej przemyślenia. Gdyby więc trochę dokładniej przyjrzeć się temu, skąd biorą się różne tradycje, mogłoby się okazać, że w gruncie rzeczy powtarza się bezkrytycznie pogląd jednego czy dwóch autorów. Ta prosta myśl mogła podważyć nie tylko wierzenia dotyczące komet, ale i jeden z filarów Kościoła katolickiego, który z poszanowania tradycji robił swój wyróżnik, swoją differentia specifica, pośród doktryn chrześcijańskich.
Nie należy więc specjalnie wierzyć w argumenty z tradycji:

Tak więc świadectwa historyków dowodzą tego jedynie, że komety się pojawiały i że po nich występowały rozmaite niepokoje w świecie – niezmiernie stąd daleko do udowodnienia, iż jedna z tych rzeczy stanowi przyczynę bądź prognostyk drugiej, jeśli nie chcemy być jak owa kobieta z ulicy Saint Honoré [w Paryżu], która widzi przejeżdżające karety, ilekroć wyjrzy z okna i wyobraża sobie, że to ona jest przyczyną ich pojawiania się lub przynajmniej jej ukazanie się w oknie stanowi dla całej dzielnicy prognostyk, iż wkrótce przejedzie kareta (§5).

Bayle tak daleko zaszedł w intelektualnym sceptycyzmie, że wyrażano często wątpliwości, czy nie stał się ateistą. Głosił w każdym razie radykalne oddzielenie religii – domeny wiary, od filozofii – domeny rozumu. „Jeśli sprawiedliwy żyje swą wiarą, to filozof także powinien żyć swoją; znaczy to, że w swym osądzie rzeczy powinien być niezależny od tego, co sądzą inni. Powinien badać głęboko swoje przedmioty [roztrząsań]”.

Bóg zdaniem Bayle’a nie mógł być kapryśnym władcą, swego rodzaju Królem-Słońce na niebiesiech, kierującym się przesądami i gniewem. Filozof żadną miarą nie potrafił wierzyć w Boga, który posługuje się teatralną maszynerią przyrody: kometami, by siać lęk i przerażenie, wykorzystując do swoich celów ludzką łatwowierność i skłonność do doszukiwania się magicznych powiązań w świecie. Nie chciał być jak jezuici z upodobaniem sięgający po światło, dźwięk i dekoracje dla wzmocnienia wymowy religijnego przesłania. Ludzkość zbyt łatwo ulega rozmaitym złudzeniom, zbyt łatwo daje się oszukiwać i dobry nauczyciel nie powinien się uciekać do tego rodzaju tanich sztuczek nawet w dobrej intencji. Jego Bóg był wyższy ponad moralne kuglarstwo. Nie powinien też rozbudzać pychy, która i tak jest właściwa ludziom:

Im dłużej zgłębia się człowieka, tym lepiej się poznaje, iż pycha jest jego dominującą namiętnością i że sili się on na wielkość w najbardziej nawet żałosnej nędzy. Będąc stworzeniem tak lichym i znikomym, zdołał przecież sobie wmówić, że jego śmierć nie może nie wstrząsnąć całą przyrodą i nie zmusić Niebios do specjalnych zachodów dla uświetnienia jego pogrzebu. Głupia i śmieszna to próżność. Gdybyśmy mieli właściwe pojęcie o wszechświecie, rychło zrozumielibyśmy, że śmierć lub narodzenie jakiegoś władcy to rzecz tak znikoma w odniesieniu do całej natury, iż nie ma powodu, by się nią w niebie wzruszano (przeł. J. Lalewicz, §83).

Zabobonność, idolatria: w oczach Bayle’a były to najgorsze cechy nierozumu. Protestantyzm pragnął chrześcijaństwo oczyścić z magii, z kultu obrazów, posągów i relikwii. Sama religia może bowiem rozbudzać w ludziach absurdalne wierzenia i uprzedzenia:

By powrócić do zabobonnego usposobienia, które Szatan znalazł w ludzkim umyśle – twierdzę, że ten wróg Boga i naszego zbawienia tak się przyłożył i tak dobrze wykorzystał okazję, że to, co jest na świecie najlepsze, a mianowicie religię, uczynił zbiorem niewiarygodnych dziwactw, niedorzeczności i niesłychanych zbrodni; a co gorsze, za pośrednictwem takich skłonności wciągnął ludzi w najśmieszniejsze i najbardziej odrażające bałwochwalstwo, jakie sobie można wyobrazić” (przeł. J. Lalewicz, §67)

Bayle mówił tu o religii pogańskiej, ale oczywiście chodziło mu o to, by nie sprowadzać wiary do uczestnictwa w obrządkach i nie urządzać procesji i modłów z okazji komety, praktykując jednocześnie najróżniejsze występki. „Wiara, iż religia, w której zostało się wychowanym, jest jak najlepsza, nader często idzie w parze z praktykowaniem wszelkich  zakazanych przez nią występków, i to zarówno wśród wielkiego świata, jak wśród ludu”.
Powiedział wreszcie Bayle, że można sobie wyobrazić społeczeństwo ateistów, które bynajmniej nie składałoby się z samych potworów, a nawet może byłoby lepsze od społeczeństwa chrześcijan. Ateizm w oczach Boga wcale nie jest gorszy od zabobonu. Wręcz przeciwnie, ateiści, którzy potrafili porzucić zabobony i idolatrię, mogą być ludźmi lepszymi niż pełen uprzedzeń tłum, dostrzegający w religii jedynie magię.

Poglądy Bayle’a raziły wielu, nie tylko katolików, ale także i protestantów. Gwałtownie polemizował z nim Pierre Jurieu, niecierpliwie wyglądający znaków upadku Antychrysta, tzn. papieża. Swoistą polemiką z Bayle’em była także Teodycea Gottfrieda Wilhelma Leibniza. Bayle twierdził bowiem, iż zło i grzech są dla nas niezrozumiałe, są tajemnicą, jeśli wierzymy we wszechmocnego i najlepszego Boga. Nie może bowiem być wyjaśnieniem zdanie, że Bóg dopuszcza grzech, aby z móc z niego potem z Jego pomocą wyjść.

Bóg byłby wówczas jak ojciec rodziny, który pozwala swym dzieciom połamać nogi tylko po to, aby przed całym miastem ukazać swą zręczność w nastawianiu kości; albo jak monarcha, który pozwalałby rozkwitać buntom i zamieszkom w swoim państwie, by zyskać chwałę tego, który je stłumił” (Dictionnaire, 1725, t. 3: N-Z, Pauliciens, przyp. g, s. 160).

Leibniz podjął się uzasadnienia, iż świat, jaki znamy, jest zarazem najlepszym z możliwych: gdyby zmienić w nim cokolwiek, byłby jeszcze gorszy – Bóg stosuje swego rodzaju zasadę najlepszych skutków, optymalizując bieg zdarzeń. Jeśli zdaje się nam, że nie żyjemy na najlepszym ze światów, to tylko z powodu ograniczonej perspektywy, gdybyśmy mogli widzieć całość, zrozumielibyśmy wielki boży zamysł.

Ciąg dalszy napisał Voltaire, zresztą wielki czytelnik Bayle’a:

Po trzęsieniu ziemi, które zniszczyło trzy czwarte Lizbony, mędrcy owej krainy nie znaleźli skuteczniejszego środka przeciw całkowitej ruinie, jak dać ludowi piękne autodafé. Uniwersytet w Coimbre orzekł, iż widowisko kilku osób spalonych uroczyście na wolnym ogniu jest niezawodnym sekretem przeciwko trzęsieniu ziemi.
W myśl tego zapatrywania pochwycono jakiegoś Biskajczyka, któremu dowiedziono, iż zaślubił swą kumę, oraz dwóch Portugalczyków, którzy, jedząc kuraka, oddzielili tłustość (…)
Kandyd, przerażony, oszołomiony, odurzony, cały zakrwawiony i drżący, powiadał sam do siebie: „Jeżeli to jest najlepszy z możliwych światów, jakież są inne? mniejsza jeszcze, gdyby mnie tylko oćwiczono, toż samo zdarzyło mi się u Bułgarów; ale, o drogi Panglossie! największy z filozofów, trzebaż, bym patrzał, jak dyndasz, nie wiadomo za co! o, drogi anabaptysto, najlepszy z ludzi, trzebaż było ci utonąć w porcie! o, panno Kunegundo! perło dziewic, trzebaż, aby ci rozpruto żołądek! (przeł. T. Boy-Żeleński)

 

Kometa 1680-1681: Flamsteed i Newton

W listopadzie 1680 roku ukazała się w gwiazdozbiorze Panny jasna kometa. Widoczna była przed wschodem słońca, nie wszędzie można ją było bez przeszkód obserwować, ponieważ w wielu miejscach Europy niebo było zachmurzone o tej porze roku. W połowie grudnia pojawiła się następna kometa, tym razem łatwiejsza do obserwacji, gdyż świeciła wieczorem po zachodzie słońca i obserwowano ją aż do wczesnej wiosny – stopniowo słabła i pod koniec można ją było dostrzec jedynie przez teleskop.

Przedstawienia toru komety 1680/1681 na niebie wg Gottfrieda Kircha

Zjawisko budziło powszechne zainteresowanie i choć coraz mniej było tych, którzy traktowali je jako znak od Boga, oznajmienie śmierci jakiegoś władcy bądź zapowiedź nadchodzących nieszczęść, to publiczna ciekawość chętnie znajdowała ujście w spekulacjach wiążących kometę z osobliwymi zjawiskami na Ziemi. Oto w Rzymie kura zniosła jajo noszące na skorupce wyraźny znak komety, co miało znaczenie tym większe, że stało się w pałacu panów Maximi. Jajo to widział Jego Świątobliwość Innocenty XI, a także królowa Krystyna Wazówna oraz wiele znakomitych osób oraz naturalistów. Pisał o jaju nawet paryski „Journal des Savants”.

Isaac Newton pędził w Cambridge życie samotnicze, pogrążony w rozważaniach, które akurat przyciągnęły jego uwagę, wiele czasu spędzając nad teologią, alchemią i dość szczególnie pojmowaną historią. Na początku roku 1680 korespondował z Robertem Hookiem na temat hipotetycznego ruchu ciała, które mogłoby spaść aż do środka Ziemi. Jak się zdaje, pod wpływem tej korespondencji sprawdził, że jeśli ciało porusza się po elipsie zgodnie z prawem pól Keplera, to siła wywołująca ów ruch jest przyciąganiem odwrotnie proporcjonalnym do kwadratu odległości. Hooke sugerował, że tak właśnie być powinno, ale nie potrafił tego matematycznie udowodnić. Newton nie napisał mu o tym dowodzie, w ogóle przestał do niego pisać. Jak się zdaje, traktował ten dowód jako ćwiczenie matematyczne bez większego znaczenia. Na pewno nie myślał jeszcze o ciążeniu powszechnym.
Przez cały rok 1680 nie działo się w jego życiu nic dostrzegalnego na zewnątrz. Do Hooke’a napisał w grudniu, ale w zupełnie innej sprawie: chodziło o przybysza z Italii, który chciał przedstawić Towarzystwu Królewskiemu lecznicze działanie kory pewnego peruwiańskiej rośliny, drzewa chinowego (zawierającego chininę, stosowaną jeszcze czasem przeciw malarii, a także do produkcji toniku). W grudniu napisał do Newtona John Flamsteed, królewski astronom z informacjami na temat komety. Flamsteed utrzymywał, że komety z listopada i z grudnia są tym samym ciałem niebieskim. Wyobrażał sobie, że kometa była najpierw przyciągana, a następnie odpychana magnetycznie od Słońca, jednocześnie biorąc udział w wirowym ruchu materii wokół Słońca. Wiry takie miały zdaniem Kartezjusza odpowiadać za uporządkowane ruchy planet. Komety natomiast miały być planetami, które wypadły ze swego wiru i dość bezładnie wędrują między różnymi wirami.

Kometa wg Kartezjusza

Kometa wg Flamsteeda (linia przerywana okrąg wielkości orbity Ziemi, wiadomo było, że kometa nie porusza się w płaszczyźnie ekliptyki)

Magnetyczne przyciąganie i odpychanie przez Słońce zaproponował kiedyś Johannes Kepler jako przyczynę zbliżania i oddalania planet od ciała centralnego. Dodatkowo działać miała na nie pewnego rodzaju siła obrotowa, rodzaj pola siłowego, species immateriata. Kartezjusz wprowadził w miejsce niematerialnego pola wiry cieczy, jak w wannie. W podejściu Flamsteeda najbardziej oryginalny był pomysł, by obie komety: poranną i wieczorną uważać za jedno ciało.
Newton zainteresował się kometą, zaczął ją nawet sam obserwować i robił to tak długo, jak była ona widoczna, korzystając pod koniec z coraz lepszych teleskopów. Uprzejmie wypowiedział się na temat przedstawionych mu rozważań. Po pierwsze sądził, że są to dwie komety. Uważał, że poruszają się one ruchem prostoliniowym albo bliskim prostoliniowemu, starał się nawet wyznaczyć ich tor w przestrzeni. Nie wierzył w żadne przyciąganie magnetyczne w tym przypadku, bo Słońce jest zbyt gorące na magnetyzm (wiedział, że magnesy w wysokiej temperaturze tracą swe własności magnetyczne). Ponadto nie rozumiał, w jaki sposób kometa miałaby być najpierw przyciągana, a potem odpychana. Gdyby była ona jak igła magnetyczna, to obracałaby się zawsze tak do Słońca, że siła byłaby przyciągająca. Mógł sobie wyobrazić jakąś siłę przyciągającą kometę ku Słońcu, ale wówczas powinna się ona poruszać raczej w taki sposób, zataczając wokół niego łuk.

Tor komety zaproponowany przez Newtona w dyskusji z Flamsteedem jako nieco bardziej prawdopodobny (1681 r.)

Ruch radialny (wzdłuż promienia) byłby wówczas opisany za pomocą dwóch sił: przyciągania oraz siły odśrodkowej. W perihelium siła odśrodkowa przeważa nad przyciąganiem i dlatego kometa zaczyna się oddalać od Słońca. Widzimy, że nie tylko nie myślał jeszcze o przyciąganiu komety przez Słońce, ale także opisywał ruch za pomocą siły odśrodkowej, tak jak kartezjaniści (choć w tym przypadku mogło mu też chodzić o to, by Flamsteed rozumiał o czym mowa – Newton miał swoje głębokie przemyślenia na temat mechaniki i był pod tym względem, by tak rzec, w innym punkcie niż jego współcześni). Flamsteed przysłał mu jeszcze proponowany przez siebie tor komety (na rysunku widzimy jego rzut na płaszczyznę orbity Ziemi, kometa poruszała się bowiem płaszczyźnie tworzącej z nią kąt 65º).

Tor komety wg Flamsteeda, z niepewnością w pobliżu Słońca (nie był on obliczony, lecz po prostu narysowany mniej więcej w zgodzie z obserwacjami).

Newton pozostał przy swoim zdaniu, że komety były dwie i poruszały się mniej więcej prostoliniowo, nieprawdopodobna mu się wydawała tak szybka i znaczna zmiana prędkości komety – na niemal przeciwną po minięciu Słońca. Zajął się innymi tematami, do sprawy komet wrócił cztery lata później, kiedy wpadł na pomysł ciążenia powszechnego. Wymyślił też wtedy metodę pozwalającą obliczyć paraboliczny tor komety z trzech obserwacji. Po zastosowaniu tej metody do komety z lat 1680/81 otrzymał następujący tor.

Komety miały stać się jednym z najlepszych przykładów działania siły powszechnego ciążenia. Okazało się, że podlegają ścisłemu matematycznemu prawu. Niemal automatycznie przestano je wiązać z cudami i astrologicznymi przepowiedniami. Nauka czasem wypiera zabobon.

Oliver Heaviside i głuchy telefon (1886-1891)

Heaviside był człowiekiem trudnym w kontaktach, nie bardzo też interesowała go kariera zawodowa. Rodzina była zbyt biedna, aby mógł zdobyć solidne wykształcenie, toteż zakończył swą szkolną edukację w wieku szesnastu lat. Przebyta w dzieciństwie szkarlatyna upośledziła jego słuch, izolując go od rówieśników. Choć z czasem odzyskał w znacznej mierze słuch, to pozostał autsajderem na resztę życia. Krótko pracował jako telegrafista i pracownik techniczny u boku starszego brata Arthura w firmie zarządzającej kablem pomiędzy Danią i Anglią, lecz zwolnił się w wieku dwudziestu czterech lat i już nigdy później nie pracował zawodowo. Mieszkając w pokoju u rodziców, zajmował się eksperymentalnie i teoretycznie elektrycznością, jedyne pieniądze zarabiał z publikacji artykułów w fachowym piśmie „The Electrician”. Był jednym z pierwszych kontynuatorów Jamesa Clerka Maxwella, udało mu się uprościć i przejrzyściej zapisać równania elektromagnetyzmu. Odkrył rachunek operatorowy ułatwiający rozwiązywanie równań różniczkowych (posługiwał się funkcją δ na długo przed Dirakiem). Zastosował też zapis wektorowy, bez którego trudno dziś sobie wyobrazić teorię Maxwella. Dzięki bratu, pracującemu jako inżynier, znał praktyczne problemy telefonii i podał metodę zbudowania linii przesyłowej w taki sposób, aby nie zniekształcała sygnałów. Problem był palący, ponieważ telefonia rozwijała się burzliwie i wraz ze wzrostem odległości sygnał nie tylko był słabszy, ale też ulegał zniekształceniu. Dalsza historia tego odkrycia Heaviside’a była zapewne do przewidzenia: z początku nie chciano mu wierzyć, a później to inni zarobili miliony na wcieleniu jego idei w życie.

Biografia Heaviside’a skłania do zastanowienia nad rolą autorytetów w różnych dziedzinach. Będąc jednym z najwybitniejszych uczonych swoich czasów, postrzegany był jako jakiś niedouczony telegrafista, a przy tym dziwak. Jego artykuły w „The Electrician” były trudne do zrozumienia, a może po prostu nikt nie przykładał się do ich zrozumienia, ponieważ były autorstwa jakiegoś urzędnika, nie wiadomo właściwie kogo. Tymczasem stanowiły one oryginalny wykład do teorii elektromagnetyzmu. Gdy Heinrich Hertz odkrył fale elektromagnetyczne, w pracach Heaviside’a znaleźć można było nowocześniejsze i prostsze ujęcie teorii, która tak wspaniale się potwierdziła. Nasz „telegrafista” wyprzedził tu znacznie większość uczonych brytyjskich i kontynentalnych. W szczególności jego podejście górowało nad konserwatywnym i sceptycznym nastawieniem Williama Thomsona, późniejszego lorda Kelvina. Ten ostatni nie potrafił się przekonać do teorii Maxwella, co miało znaczenie, ponieważ był najsławniejszym uczonym Wielkiej Brytanii, zasiadał we wszystkich możliwych radach i towarzystwach, a każde jego słowo prasa traktowała jak wyrocznię. Tak było, gdy w 1888 roku, po odkryciu Hertza, Thomson orzekł, iż jego zastrzeżenia wobec teorii Maxwella nieco się zmniejszyły (uznał bowiem, że prąd przesunięcia – najważniejszy element pojęciowy zaproponowany przez Maxwella – z „zupełnie nie do utrzymania” awansował w jego oczach do kategorii „niezupełnie do utrzymania”). Thomson miał swoją wizję idealnej teorii elektromagnetyzmu, prawdopodobnie zresztą dlatego nie osiągnął końcowego sukcesu. W każdym razie to młodszy od niego James Clerk Maxwell rozwiązał problem, choć sir William nie chciał się z tym pogodzić.

 

Baron Kelvin of Largs

William Thomson umiał jednak zachowywać się fair i dzięki temu Oliver Heaviside doczekał się nieco uznania za życia. Wcześniej, w roku 1887, przeszedł swe najgorsze chwile, gdy stracił możliwość publikowania, a zarazem też skromne dochody, jakie ta działalność zapewniała. Za 40 funtów rocznie redakcja otrzymywała ciągły strumień oryginalnych publikacji z dziedziny elektromagnetyzmu. Kryzys nastąpił wtedy, gdy Oliver Heaviside wszedł w konflikt z Williamem Henry’m Preece’em, ważnym ekspertem brytyjskiej poczty. Preece starał się przeforsować kosztowną decyzję budowy linii telefonicznych z kablem miedzianym w miejsce żelaznego. Argumentował, że dzięki temu wzrośnie zasięg rozmów, ponieważ kable żelazne wytwarzają pole magnetyczne, a to prowadzi do strat energii (zmienne pole magnetyczne indukuje dodatkowe napięcie, mówi się o indukcyjności kabla: miedziane zmniejszały wg Preece’a indukcyjność i na tym polegała ich wyższość). Mało tego, Preece twierdził, że wykazał fałszywość teorii Maxwella. W tym samym czasie Arthur i  Oliver próbowali opublikować pracę, która podważała poglądy Preece’a, a nawet im przeczyła: otóż pole magnetyczne wcale nie musi przeszkadzać w przesyłaniu rozmów telefonicznych, a nawet może pomagać. Pewny siebie Preece zakazał publikacji. Obaj bracia zareagowali na to rozmaicie: Arthur jako podwładny Preece’a przestał się zajmować tym tematem, Oliver natomiast zaczął z upodobaniem dowodzić niekompetencji Preece’a, którego określał m.in. jako „the eminent scienticulist” – czyli coś w rodzaju „wybitnego mędrka”. Racja naukowa była całkowicie po stronie Heaviside’a, znalazł on warunek, jaki spełniać powinna linia przesyłowa, aby nie zniekształcała rozmów (chodzi o to, by składowe o różnych częstościach tłumione były w jednakowym stopniu, w ten sposób daleki odbiorca otrzymuje sygnał słabszy, lecz podobny do wysłanego). Ów warunek Heaviside’a był kontrintuicyjny, lecz prawdziwy i oznaczał, że należy w praktyce zwiększać indukcyjność linii, czyli wytwarzane przez nie pole magnetyczne. Nacisk Preece’a sprawił, że zmienił się redaktor naczelny „The Electrician” i nowy już nie chciał publikować artykułów Heaviside’a.

Karykatura z 1888 r.: Preece pod sztandarem wieloletnich doświadczeń pokonuje Olivera Lodge’a (który podawał w wątpliwość skuteczność używanych piorunochronów i krytykował jego teoretyczne rozważania, stając po stronie Heaviside’a)

Atmosfera wokół niego poprawiła się dopiero wówczas, gdy publicznie docenił jego teorię William Thomson. Otworzyło to drogę do przyjęcia Heaviside’a w roku 1891 na członka Towarzystwa Królewskiego, ułatwiło też publikację kolejnych prac. Zadziwiająco mało zmieniło się w życiu uczonego, który przywiązywał chyba większą wagę do możliwości publikacji niż do zarobku. Nadal pozostał prywatnym uczonym, po śmierci rodziców jego środki do życia mocno się skurczyły. Dzięki dyskretnym staraniom paru wybitnych uczonych zaczął Heaviside otrzymywać skromną emeryturę (dyskretnych, ponieważ drażliwy Heaviside nie chciał jałmużny). Żył dość długo, by widzieć, jak jego idea zwiększenia indukcyjności kabli telefonicznych została wcielona w życie jako pupinizacja albo krarupizacja. Zarówno Amerykanin serbskiego pochodzenia Mihajlo Pupin, jak i Duńczyk Karl Emil Krarup, wyciągnęli praktyczne wnioski z teorii Heaviside’a. Pupin po długiej batalii prawnej z firmą AT&T zarobił na swoim patencie 450 000 $ (blisko 30 mln $ obecnie). Jego rozwiązanie polegało na umieszczaniu w stałych odległościach cewek zwiększających indukcyjność. Krarup zastosował żelazne druty (zwiększające pole magnetyczne) oplatające miedziany rdzeń. Dzięki temu w pierwszych latach XX wieku wzrósł zasięg linii telefonicznych, a ich układanie stało się tańsze. Także kariera Preece’a, który nigdy nie przyznał się do błędu, nie doznała żadnego uszczerbku i rozwijała się pomyślnie, z czasem doczekał się on tytułu szlacheckiego. Tylko Heaviside dziwaczał coraz bardziej, mieszkał sam, pod koniec życia zastąpił meble blokami granitu, zaniedbał się i cierpiał na rodzaj manii prześladowczej. Nie dowiemy się już, czy dziwaczał, ponieważ nie osiągnął pozycji w społeczeństwie odpowiadającej jego talentowi, czy też odwrotnie: nie udało mu się zdobyć pozycji w bardzo konkurencyjnym wiktoriańskim społeczeństwie, ponieważ zbytnio odbiegał od przyjętych standardów zachowania i nawet talent nie mógł tu pomóc.

Die Vermittlungszentrale im Berliner Fernspreschamt II
Original: Frankfurt am Main, Deutsches Postmuseum
Foto: Berlin, 1894

Centrala telefoniczna w Berlinie, 1894 r.

Technika telefoniczna rozwijała się szybko. Kolejnym krokiem było skonstruowanie wzmacniacza na triodach (regeneratora sygnałów), który zaczął być stosowany komercyjnie tuż przed pierwszą wojną światową. Heaviside zdążył jeszcze przewidzieć istnienie jonosfery, dzięki której fale radiowe rozchodzą się wzdłuż powierzchni Ziemi, umożliwiając np. międzykontynentalne przekazywanie sygnału radiowego.

Pokażemy na przykładzie, jak Heaviside potraktował kwestię przesyłania sygnałów bez zniekształceń. Linia przesyłowa to rozciągnięty bardzo obwód. Można uważać, że każdy jego fragment o długości \Delta x składa się z podstawowych elementów obwodu: oporu R\Delta x, indukcyjności L\Delta x oraz połączonych równolegle pojemności C\Delta x oraz przewodnictwa G\Delta x. Dla pierwszego i ostatniego elementu obowiązuje prawo Ohma (przewodnictwo jest odwrotnością oporu):

\dfrac{U}{I}=R.

Napięcie na końcach indukcyjności równe jest

U=L\dfrac{dI}{dt},

co Heaviside w swoim języku symbolicznym zapisywał jako U=LpI (p oznaczało branie pochodnej po czasie). Dla pojemności mamy natomiast

I=\dfrac{dQ}{dt}=C\dfrac{dU}{dt}=CpU.

gdzie Q jest ładunkiem.

Stosunki napięcia do natężenia są zastępczymi oporami, mamy więc dla indukcyjności Lp, a dla pojemności 1/pC. Ponieważ możemy podzielić naszą linię transmisyjną na dowolnie dużą liczbę powtarzających się segmentów o długości \Delta x, więc dodanie kolejnego segmentu nie powinno zmieniać zastępczego oporu. Opór zastępczy całej linii Z (wejściowy) musi w takim razie być tym samym, co połączenie równoległe elementów G\Delta x, C\Delta x oraz (R+Lp)\Delta x + Z na końcu. W połączeniu równoległym dodają się odwrotności oporów, mamy więc

\dfrac{1}{Z}=(G+pC)\Delta x+\dfrac{1}{(R+pL)\Delta x+Z}.

Po przekształceniach dostajemy równanie kwadratowe na opór zastępczy:

Z^2+(R+pL)\Delta x Z=\dfrac{R+pL}{G+pC}.

Jeśli teraz przyjmiemy, że \Delta x\rightarrow 0, to otrzymamy

Z^2=\dfrac{R+pL}{G+pC}.

Otrzymany wynik wygląda odrobinę dziwnie, jeśli przypomnimy sobie, że p to różniczkowanie. Nie jest jasne, jak powinniśmy dzielić przez p i jak wyciągać pierwiastek. Heaviside szedł za swoim formalizmem tak daleko, jak tylko się dało i rozpatrywał wyrażenia takie, jak np. p^{\frac{1}{2}}. Uważał on matematykę za naukę empiryczną i jak mówił: „Czy mam odmówić zjedzenia obiadu, ponieważ nie znam wszystkich szczegółów trawienia?” My nie musimy iść aż tak daleko. Widać z ostatniego wyrażenia, że gdy spełniony będzie warunek

\dfrac{R}{G}=\dfrac{L}{C},

nasz ułamek się skróci (cokolwiek to znaczy) i nie będzie zawierał p, w takiej sytuacji sygnał o dowolnym kształcie nie ulegnie zmianie. Jest to warunek Heaviside’a. W praktyce znaczył tyle, że indukcyjność L należy powiększyć, czego nie rozumiał Preece. Dodać należy, że Heaviside formułował tę swoją matematykę także w konwencjonalny sposób – był może dziwakiem, ale w kwestii technik matematycznych zachowywał się całkiem racjonalnie. Obecnie stosuje się transformaty Laplace’a albo można sobie wyobrażać, że zależność od czasu ma postać \exp(i\omega t) (gdzie \omega to częstość kołowa), wówczas różniczkowanie sprowadza się do mnożenia i mamy po prostu p=i\omega.