Spadający deszcz i czarna dziura Schwarzschilda

Opiszemy za Thanu Padmanabhanem prosty, choć nie całkiem prawidłowy, sposób otrzymania metryki czarnej dziury Schwarzschilda. Fizycznie jest to zagadnienie pola grawitacyjnego wokół sferycznej masy M. Spróbujmy znaleźć metrykę daleko od naszego ciała, w odległości r od centrum. Wyobrażamy sobie infinitezymalne układy współrzędnych: jeden xy nieruchomy względem centrum, a drugi x_{in}y_{in} swobodnie spadający ku centrum z nieskończoności. Układ swobodnie spadający jest lokalnie inercjalny, więc metryka w nim ma szczególnie prostą postać metryki Minkowskiego (wszędzie c=1):

ds^2=dt_{in}^2-d\vec{r}_{in}\,^2.

Zakładamy teraz, że przejścia od układu spadającego do nieruchomego możemy dokonać za pomocą transformacji Galileusza, czyli tak, jakbyśmy nie uczyli się nigdy o Einsteinie:

\begin{cases}d\vec{r}_{in}=d\vec{r}-\vec{v}dT \\  dt_{in}=dT.\end{cases}

Wstawiając tę transformację do metryki swobodnej, otrzymujemy

ds^2=(1-v^2)dT^2 +2\vec{v}\cdot \vec{dr} dT -d\vec{r}\,^2.

Newtonowska prędkość ciała spadającego z nieskończoności jest równa prędkości ucieczki:

v=\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}.

Ostatecznie nasza metryka wygląda we współrzędnych radialnych następująco:

ds^2=\left(1-\dfrac{2GM}{r}\right)dT^2-2\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}dr dT-d\vec{r}\,^2.

Jest to metryka spadającego deszczu, w której czas jest czasem własnym spadających na centrum cząstek. Inaczej metryka Painlevé’go-Gullstranda. Nasza procedura nie jest prawidłowym wyprowadzeniem, ale nieco ułatwia wyobrażenie sobie, skąd takie wyrażenie może pochodzić. Ostateczną weryfikacją byłoby obliczenie dla tej metryki tensora Ricciego i wykazanie, że znika on dla wszystkich r>0.

Nietrudno pokazać, że spadanie z prędkością

\dfrac{dr}{dT}=-\sqrt{\dfrac{2GM}{r}},

jest ruchem geodezyjnym. Jeśli w metryce wydzielimy po prawej stronie dT^2, otrzymamy (dla ruchu radialnego d\vec{r}\,^2=dr^2):

ds^2=\left[1-\left(\dfrac{dr}{dT}+\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}\right)^2\right]dT\,^2\le dT\,^2.

Maksymalne ds otrzymamy więc, gdy znika nawias zwykły w ostatnim wyrażeniu i wtedy ds=dT. Pokazaliśmy już poprzednio, jak wyglądają stożki świetlne w tych współrzędnych, łatwo zauważyć istnienie horyzontu wokół centralnej osobliwości r=0. Można też przejść od naszych współrzędnych deszczu do zwykłej metryki Schwarzschilda (odwrotną drogę przebył Painlevé w 1921 r.). Należy w tym celu zmienić definicję czasu:

dT=dt+\dfrac{\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}}{1-\dfrac{2GM}{r}}dr.

Funkcję po prawej stronie można otrzymać, pisząc dT=dt+f(r)dr i tak dobierając funkcję f(r), żeby znikł wyraz niediagonalny z dr dt.

Reklamy

Paul Painlevé, Einstein i czarne dziury (1921-1922)

Dzieje rodziny Paula Painlevé’go mogłyby posłużyć jakiemuś nowemu Balzacowi: dawni winogrodnicy, bednarze i kamieniarze, w pokoleniu dziadków zajęli się drukarstwem i litografią, przyszły ojciec uczonego z drukarza-litografa przeobraził się w przedsiębiorcę, producenta farby drukarskiej. Paul uczył się w renomowanych liceach paryskich Saint-Louis i Louis-le-Grand, a studiował matematykę w prestiżowej École normale supérieure, będącej znakomitym wstępem zarówno do kariery naukowej, jak politycznej. (Jej absolwenci zdobyli trzynaście Nagród Nobla, dziesięć Medali Fieldsa i dwie Nagrody Abela). Painlevé uzupełniał wykształcenie matematyczne w Getyndze u Hermanna Schwarza i Feliksa Kleina. W roku 1900, będąc jeszcze przed czterdziestką został członkiem Akademii Nauk, co naszej rodaczce Marii Skłodowskiej-Curie nie udało się nigdy, pomimo dwóch Nagród Nobla. Francuskie elity naukowe były mocno konserwatywne i nie każdy mógł zostać do nich dopuszczony. Painlevé interesował się także lotnictwem: teoretycznie – obliczając siłę nośną oraz praktycznie – odbywając w roku 1908 z Wilburem Wrightem ponadgodzinny lot na wysokości 10 m, przebyli 55 km i szczęśliwie wylądowali, był to ówczesny rekord. Alma Mahler wspomina, że Painlevé należał do entuzjastów symfonii Gustava Mahlera i jeździł specjalnie w różne miejsca, aby ich wysłuchać. Razem z generałem Georges’em Picquartem grywali je podobno na fortepianie w aranżacjach na cztery ręce. Wyciągi fortepianowe dzieł symfonicznych czy oper były dość popularne w czasach, gdy muzyki można było słuchać jedynie na żywo, a fortepiany lub pianina stały w niemal każdym mieszczańskim domu. Z Picquartem łączyły Painlevé’go poglądy w sprawie Dreyfusa, to właśnie Picquart udowodnił, że nie Alfred Dreyfus, lecz Ferdinand Esterhazy był szpiegiem w armii francuskiej. Przez kraj przetoczyła się wcześniej zajadła kampania antysemicka, wysokie dowództwo armii nie chciało przyznać się do błędu i Dreyfus został zrehabilitowany przeszło dziesięć lat po degradacji i uwięzieniu na Diabelskiej Wyspie. W 1910 r. Painlevé został socjalistycznym deputowanym do parlamentu. Od tej pory zajmował się czynnie polityką, bywał ministrem, przewodniczącym Izby Deputowanych, a nawet premierem. W 1921 roku zaczął zabiegać o wizytę Einsteina w Paryżu, niewątpliwie pragnąc w ten sposób zbliżyć oba narody po krwawej wojnie. W następnym roku Einstein rzeczywiście przyjął zaproszenie i przyjechał, o czym pisałem.

Painlevé interesował się nie tylko aspektem politycznym, zajął się bliżej teorią względności, z czego wynikło kilka prac oraz ożywione dyskusje z Einsteinem w Paryżu. Matematyk odkrył nowy sposób opisu pola grawitacyjnego wokół masy punktowej, z czego wyciągnął dość radykalne wnioski, osłabiające w jego mniemaniu, teorię względności. Einstein, nie zgadzając się z tymi wnioskami, nie potrafił wtedy udzielić bardziej konkretnej odpowiedzi. Dyskusje te miały także pewne praktyczne następstwa. Otóż szwedzki okulista, ale i matematyk, Allvar Gullstrand także odkrył ową metrykę Gullstranda-Painlevé’go, jak to się dziś nazywa. I uznał, podobnie, jak Painlevé, że teoria względności nie daje jednoznacznych przewidywań. Oznaczałoby to, że światowa sensacja wokół teorii względności po odkryciu ugięcia światła gwiazd w pobliżu tarczy słonecznej była mocno na wyrost. Gullstrand opiniował prace Einsteina dla Komitetu Noblowskiego i w roku 1921 nagrody nie przyznano. Einstein był najpoważniejszym kandydatem, ale Gullstrand podważał wartość jego prac. W końcu Nagrodę przyznano Einsteinowi dopiero w roku 1922 (za poprzedni rok), a więc po długim bardzo namyśle. W dodatku uznano, że bezpieczniej będzie zostawić na boku kwestię teorii względności, toteż przyznano Nagrodę za wyjaśnienie zjawiska fotoelektrycznego – w tym przypadku nie było wątpliwości, że przewidywania Einsteina zostały wyraźnie potwierdzone eksperymentalnie. Painlevé wyrażał swą krytykę o tyle bardziej dyplomatycznie, że uznawał zarazem wartość poznawczą podejścia Einsteina i zestawiał go z Lagrange’em. Obaj jednak, zarówno Francuz, jak Szwed, mieli spore zastrzeżenia.

Opiszę, na czym polegały zastrzeżenia Painlevé’go i co odpowiadał mu Einstein (na ile to dziś wiadomo). W drugiej części opiszę metrykę Gullstranda-Painlevé’go i jej konsekwencje: czarną dziurę. Uczeni pomiędzy rokiem 1915 a latami pięćdziesiątymi XX stulecia wiele razy natykali się na zagadnienie czarnych dziur i na rozmaite sposoby cofali się przed ich uznaniem, błędnie interpretując swoje równania. Pokazuje to, że interpretacja formalizmu matematycznego była tu niesłychanie trudnym problemem, znacznie poważniejszym niż formalne przekształcenia, które w różnych wersjach wykonywało wielu uczonych.

Ogólna teoria względności ma tę własność, że możemy używać w zasadzie niemal dowolnych czterech współrzędnych dla opisania miejsca i czasu. Same współrzędne nie muszą nic oznaczać z fizycznego punktu widzenia, tę samą sytuację można więc opisywać na różne sposoby. Często nie widać, że owe różne opisy dotyczą w istocie tej samej sytuacji. Tak było w przypadku metryki Gullstranda-Painlevé’go.

Czasoprzestrzeń wokół punktowej masy m w teorii Einsteina opisana jest metryką Schwarzschilda:

ds^2=\left(1-\dfrac{r_S}{r}\right)dt^2-\dfrac{dr^2}{1-\dfrac{r_S}{r}}-r^2 d\varphi^2.

Stała r_S jest promieniem Schwarzschilda (dziś: promieniem horyzontu czarnej dziury). Painlevé i niezależnie od niego Gullstrand odkryli, że można tę samą sytuację opisać także za pomocą innej metryki:

ds^2=\left(1-\dfrac{r_S}{r}\right)dt^2+2\sqrt{\dfrac{r_S}{r}}dr dt-dr^2-r^2 d\varphi^2.

W obu przypadkach zapisałem metrykę tylko w płaszczyźnie równikowej, żeby mniej pisać (mamy wtedy jedynie zmienne t, r,\varphi). Painlevé podał także inne możliwe postaci owej metryki, sugerując, że dowodzi to, iż teoria Einsteina jest w istocie pusta, można bowiem wyciągnąć z niej rozmaite wnioski dla tej samej sytuacji fizycznej. Np. w pierwszej metryce przestrzeń trójwymiarowa nie jest euklidesowa, a w drugiej jest. Ergo wnioski Einsteina dotyczące światła w polu grawitacyjnym Słońca oraz ruchu Merkurego są nieuzasadnione. Podobnie rozumował Gullstrand, słuchany uważnie przez Komitet Noblowski.

Painlevé uznał, że wyciąganie z postaci metryki wniosków fizycznych to „czysta fikcja”. Zakomunikował to na posiedzeniu paryskiej Akademii Nauk i uprzejmie doniósł o tym listownie Einsteinowi. Na co Einstein, członek berlińskiej Akademii Nauk, równie uprzejmie oznajmił, że „metryczna interpretacja ds^2 nie jest żadną «pure imagination», lecz samym sednem teorii (der innerste Kern)” [Einstein Papers, t. 12, s. 369]. Podkreślał też, że same współrzędne nie znaczą nic, trzeba z nich dopiero wyciągnąć wnioski fizyczne nt. czasu i odległości.

Pewne zbliżenie stanowisk nastąpiło podczas dyskusji w Paryżu, choć Painlevé pisał już mniej bojowo, wkrótce zresztą wrócił do polityki. Paul Langevin podsumował to, mówiąc, że byłoby lepiej, gdyby Painlevé przeczytał o teorii względności, zanim wystąpił ze swą krytyką, a nie dopiero później. Tak to w akademiach bywa: ludzie dostają się do nich dzięki dawnym osiągnięciom, a nie stanowi to żadnej gwarancji, że dobrze rozumieją nowości naukowe. W dodatku akademie (przynajmniej wtedy) drukowały wszystko, co ich członkowie uznali za ciekawe. Dyskusja w paryskiej Akademii Nauk na temat teorii względności w latach 1921-1922 nie stała na zbyt wysokim poziomie. Akademicy byli na ogół niechętni Einsteinowi. Na propozycję, aby go przyjąć na członka-korespondenta, jeden z szacownych uczonych zareagował stwierdzeniem, że trudno wyróżniać w ten sposób człowieka, który „zniszczył mechanikę”.

Podczas wizyty Einsteina matematyk Jacques Hadamard zapytał o kwestię osobliwości metryki Schwarzschilda dla r=r_S. Niemiecki uczony przekonywał, a nawet poparł pewnymi rachunkami, które przeprowadził z dnia na dzień, że taka „katastrofa Hadamarda” nie może się zdarzyć w rzeczywistości, ponieważ zanim skoncentruje się materię pod promieniem Schwarzschilda, to wcześniej ciśnienie wewnątrz takiej gwiazdy stanie się nieskończone. Nie miał w tej kwestii racji, ale także później starał się dowodzić, że czarne dziury są niemożliwe. Einstein martwił się o spójność własnej teorii, ale wyrażał też dość powszechne stanowisko, Arthur Eddington, największy specjalista od budowy wnętrza gwiazd, twierdził, że z pewnością musi istnieć prawo fizyczne zabraniające takiego upakowania materii.

Jak można spojrzeć na tę dyskusję z perspektywy czasu, mając po swej stronie „łaskę późnego urodzenia”? Na wątpliwości Hadamarda (jak najbardziej uzasadnione) odpowiada metryka Painlevé’ego. Wystarczy spojrzeć, że nic się tam nie dzieje przy r=r_S (także jej wyznacznik jest różny od zera). Zatem w innych współrzędnych osobliwości tu nie ma i Einstein nie musiał się męczyć żadnymi rachunkami. Katastrofa Hadamarda jest osobliwością konkretnych współrzędnych Schwarzschilda, to coś w rodzaju „osobliwości” współrzędnych geograficznych na biegunie ziemskim, gdzie zbiegają się wszystkie południki. Wiemy jednak, że nic się tam złego nie dzieje z Ziemią.

W dodatku metryka Painlevé’go ze znakiem minus przed pierwiastkiem też stanowi rozwiązanie równań Einsteina. Nietrudno zobaczyć, co wtedy otrzymamy dla światła, tzn. gdy ds^2=0. Załóżmy dodatkowo, że promień świetlny biegnie radialnie, tzn. d\varphi=0. Dostajemy

0=\left(1-\dfrac{r_S}{r}\right)dt^2 -2\sqrt{\dfrac{r_S}{r}} dr dt-dr^2.

Dzieląc obie strony przez dt^2, dostajemy równanie kwadratowe dla prędkości radialnej. Jego rozwiązania dane są wyrażeniem:

\dfrac{dr}{dt}=\pm 1 -\sqrt{\dfrac{r_s}{r}}.

Równanie to opisuje dwa skrajne promienie świetlne: spadający na centrum i oddalający się od centrum. Gdy r>r_S jeden z nich zbliża się do centrum, drugi oddala. Kiedy jednak przekroczymy punkt „katastrofy Hadamarda” i r<r_S oba promienie zbliżają się ku centrum. Znaczy to, że nawet promień świetlny nie może się wydostać poza obszar r<r_S, czyli spod horyzontu czarnej dziury.

Przejście do współrzędnych Painlevé’go nie zmienia współrzędnej r, lecz jedynie czas. Jest on teraz mierzony jako czas własny cząstek spadających z nieskończoności na centrum. Są to współrzędne padającego deszczu, jak nazywają to Edwin F. Taylor i John Archibald Wheeler (*) w swej książce Exploring Black Holes.

 

 

(Na rysunku odległości i czasy wyskalowane są w promieniach Schwarzschilda)

Gdy cząstka mija horyzont, jej stożek przyszłości zaczyna być zwrócony ku wnętrzu, a to znaczy, że niebawem spadnie na centralną osobliwość. Drugi znak we współrzędnych Painlevé’go odpowiadałby wznoszeniu się z centrum do nieskończoności. Prawa grawitacji nie mówią nic na temat kierunku czasu: zawsze możliwy jest ruch przeciwny. Jak się zdaje, tylko współrzędne związane ze spadaniem mają jakiś sens fizyczny. W 1922 r. nie miał o tym wszystkim pojęcia ani Paul Painlevé, ani Albert Einstein.

(*) John Wheeler był autorem określenia „czarna dziura”.

Teoria grawitacji Einsteina w kwadrans

Ogólna teoria względności ma tę własność, że możemy używać w zasadzie niemal dowolnych czterech współrzędnych dla opisania miejsca i czasu. Same współrzędne nie muszą nic oznaczać z fizycznego punktu widzenia, tę samą sytuację można więc opisywać na różne sposoby. Często nie widać, że owe różne opisy dotyczą w istocie tej samej sytuacji.

  • Metryka

Czym jest metryka? Jest to przepis, jak z niewielkich różnic współrzędnych zbudować odległość. Np. we współrzędnych kartezjańskich dla dwóch bliskich punktów możemy napisać:

ds^2=dx^2+dy^2,\mbox{ (*) }

gdzie ds, dx, dy oznaczają odpowiednio odległość, różnicę współrzędnej x oraz y. Jest to zwykłe twierdzenie Pitagorasa. Można jednak wprowadzić inne współrzędne na płaszczyźnie, np. biegunowe: należy podać odległość punktu od początku układu r oraz kąt wektora wodzącego z ustaloną osią \varphi. Odległość dwóch bliskich punktów na płaszczyźnie wyraża się teraz następująco:

ds^2=dr^2+r^2 d\varphi^2.

Geometria się nie zmieniła, inny jest tylko układ współrzędnych. Dla każdej dwuwymiarowej i gładkiej powierzchni można zapisać metrykę lokalnie w postaci (*), ponieważ płaszczyzna styczna do powierzchni jest euklidesowa (a lokalnie możemy powierzchnię wiernie opisać za pomocą płaskiego planu – z tego powodu rysując plan miasta zwykle nie potrzebujemy się martwić, jakiej siatki kartograficznej używamy).

Oba wyrażenia opisują zwykłą geometrię euklidesową, czyli taką, w której suma kątów trójkąta jest zawsze równa 180^{\circ}. Odległość ds ma pewien sens fizyczny: jest to odległość, jaką można zmierzyć linijką. Gdy zmienimy układ współrzędnych, przepis na obliczanie odległości, czyli właśnie metryka, może się zmienić, ale sama odległość jest niezmienna.

Przykład metryki na sferze dwuwymiarowej (globus). Współrzędnymi są \vartheta – odpowiednik szerokości geograficznej, ale liczy się przeważnie od bieguna północnego oraz \varphi  – odpowiednik długości geograficznej. Jak wynika z obrazka metryka ma postać:

ds^2=R^2 d\vartheta^2+R\sin^2 \vartheta d\varphi^2.

Sfera dwuwymiarowa jest powierzchnią zakrzywioną: żaden atlas świata nie jest wierny, gdy trzeba przedstawić np. Afrykę albo Azję. 

W szczególnej teorii względności należy uwzględnić jeszcze różnicę czasu między dwoma punktami (zdarzeniami). Znów jednak „odległość” (interwał czasoprzestrzenny) jest niezależna od układu odniesienia. Możemy ją wyrazić dla czasoprzestrzeni 3+1 wymiarowej (trzy wymiary przestrzenne plus czas) jako:

ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2.\mbox{ (**) }

Tym razem ds^2 ma być zachowane przy przekształceniach współrzędnych (przyjmujemy tu c=1, czas i przestrzeń w tych samych jednostkach). Przekształcenia, które zachowują tę wielkość, są to transformacje Lorentza (ew. z obrotami). Zauważmy, że nasze ds^2 nie musi być dodatnie, może być zerowe albo ujemne: czas i współrzędne przestrzenne wchodzą z innymi znakami – czas nawet w teorii względności nie jest tym samym co przestrzeń. Odległość czasoprzestrzenna zdarzeń OB i OX jest dodatnia, OY zerowa, OA ujemna. Nie jest to więc odległość w takim sensie jak w zwykłej geometrii. Znak odległości (albo położenie względem stożków przeszłości i przyszłości) mają decydujące znaczenie: X albo Y mogą być przyczynowo związane z O, a B może być następstwem O. Zdarzenia O i A nie mogą być związane przyczynowo, bo oddziaływanie musiałoby się rozchodzić szybciej niż c, a w dodatku ich kolejność w czasie zależy od obserwatora.

Ten sam interwał czasoprzestrzenny moglibyśmy wyrazić za pomocą współrzędnych biegunowych, wymiar jest (2+1) dla uproszczenia:

ds^2=dt^2-dr^2-r^2 d\varphi^2.

Jest to nadal rzeczywistość szczególnej teorii względności, czyli czasoprzestrzeń Minkowskiego, ale w nieco innych współrzędnych. Taka czasoprzestrzeń nadal jest płaska, sama zmiana współrzędnych niczego tu nie zmienia.

  • Geodezyjne i krzywizna

Mając metrykę, możemy obliczyć odległość dwóch bliskich punktów, a sumując odległości także i długość łamanej, skąd łatwo przejść do dowolnej krzywej przez całkowanie. Krzywe o długości minimalnej nazywamy geodezyjnymi: w  przestrzeni euklidesowej są to odcinki prostej łączącej dwa punkty. Geodezyjne są więc uogólnieniem pojęcia linii prostej. Możemy z nich budować np. trójkąty albo wielokąty. Okazuje się, że suma kątów trójkąta może być zarówno zawsze większa od 180^{\circ}, jak i zawsze równa 180^{\circ} albo zawsze mniejsza od 180^{\circ}. Odpowiednio do tego mamy do czynienia z krzywizną dodatnią (np. powierzchnia kuli), zerową (geometria euklidesowa) albo ujemną (powierzchnie przypominające przełęcz w górach).

  • Zasada równoważności

Einstein mówił, że to najszczęśliwsza myśl jego życia: „Siedziałem sobie na krześle w Biurze Patentowym w Bernie, kiedy nagle uderzyła mnie myśl: «Jeśli człowiek spada swobodnie, to z pewnością nie odczuwa wtedy własnego ciężaru»”. Delikwent ów znajduje się w stanie nieważkości, który dobrze znamy z filmów przesyłanych ze stacji kosmicznych. Swobodnie spadający układ współrzędnych jest układem inercjalnym – to do niego stosuje się szczególna teoria względności, transformacje Lorentza itd. Inaczej mówiąc, nie możemy odróżnić sił grawitacji od sił bezwładności odczuwanych np. w hamującym albo skręcającym pojeździe. Wynika to z faktu, że siły jednego i drugiego rodzaju są ściśle proporcjonalne do masy.

Mogłyby istnieć dwa pojęcia masy: grawitacyjna – mierzona siłami ciężkości oraz bezwładna – mierzona bezwładnością ciała, masa występująca w drugiej zasadzie dynamiki: F=ma. Jednak w przyrodzie jest tylko jeden rodzaj masy, fakt ten z niejakim zdziwieniem odnotował Isaac Newton, przeprowadzając dla pewności doświadczenia z wahadłami (w ruchu wahadła mamy zarówno masę grawitacyjną, jak i bezwładną, można więc sprawdzić z jaką dokładnością się one pokrywają).

Zasada równoważności mówi, że w małym obszarze czasoprzestrzeni (statek kosmiczny) możemy uniknąć grawitacji, jeśli wybierzemy właściwy układ współrzędnych. Matematycznie rzecz ujmując, w każdym punkcie czasoprzestrzeni przestrzeń styczna jest czasoprzestrzenią Minkowskiego (tzn. można wprowadzić w niej metrykę (**)). Oznacza to np., że możemy wprowadzić trzy współrzędne przestrzenne i jedną czasową, różniącą się znakiem w metryce. W przypadku fizycznej grawitacji możemy metrykę Minkowskiego wprowadzić w pobliżu dowolnego punktu, ale tylko lokalnie, nie dla całej przestrzeni. Winda spadająca na antypodach będzie miała przyspieszenie dokładnie przeciwne do windy spadającej obok nas. Siły grawitacyjne zależą od miejsca i czasu, nie da się ich więc wyłączyć wszędzie za jednym zamachem.

  • Ruch ciał pod działaniem grawitacji

W ogólnej teorii względności nie ma grawitacji, jest tylko zakrzywiona czasoprzestrzeń (trzeba pamiętać, że zakrzywiona musi być czasoprzestrzeń, niekoniecznie zwykła fizyczna 3-przestrzeń). Krzywizna czasoprzestrzeni powiązana jest z masami/energiami, które się w tej czasoprzestrzeni znajdują. Opisują to równania Einsteina, gdy je rozwiążemy dla danego przypadku, otrzymujemy metrykę danej czasoprzestrzeni. Co wynika z tego, że znamy metrykę? Ano tyle, że możemy ustalić, jak fizyczne odległości i czasy są związane ze współrzędnymi. Możemy też obliczyć, jak powinny się w naszej czasoprzestrzeni poruszać ciała. Zamiast siły grawitacji mamy tu po prostu zasadę najdłuższego czasu własnego: ciała poruszają się po takich krzywych, że \Delta s jest dla nich największe. Zatem ruch pod wpływem grawitacji przedstawiamy jako ruch po krzywych geodezyjnych, a samą grawitację opisujemy za pomocą geometrii: brak grawitacji daje czasoprzestrzeń płaską, w obecności mas czasoprzestrzeń się zakrzywia, co znajduje swe odbicie w metryce. Mówimy tu wyłącznie o ruchu pod działaniem grawitacji, jeśli obecne są jakieś inne siły, to ruch cząstki nie będzie geodezyjny.

Idea zastąpienia grawitacji geometrią możliwa była dlatego, że w polu grawitacyjnym wszystkie masy spadają jednakowo: nie musimy wiedzieć, z czego zrobiony jest sztuczny satelita, ponieważ każdy będzie się poruszał jednakowo. Skoro ten ruch nie zależy od masy poruszającego się ciała ani od żadnych innych jego własności, to możemy powiązać go z samą czasoprzestrzenią i powiedzieć, że czasoprzestrzeń jest tak ukształtowana, iż każde ciało szuka geodezyjnej, i to jest właśnie grawitacja. Można na geodezyjną spojrzeć również jako na krzywą, która po prostu zachowuje kierunek (wtedy nie musimy się zastanawiać, skąd cząstka wie, na której drodze czas własny będzie maksymalny, cząstki zwykle nie są inteligentne).

  • Przykład: pole grawitacyjne przy powierzchni Ziemi

Jak wygląda metryka czasoprzestrzeni w przypadku słabego pola grawitacyjnego, takiego jak przy powierzchni Ziemi? Możemy ją zapisać jako

ds^2=c^2\left(1+\dfrac{2gh}{c^2}\right) dt^2-dl^2.

We wzorze tym g, h oznaczają przyspieszenie ziemskie i wysokość, a dl euklidesową (zwykłą) odległość dwóch punktów. Zapisaliśmy tu jawnie prędkości światła, żeby widać było, które wielkości są małe, gdy pole jest słabe, a prędkości niewielkie (w porównaniu z c! zawsze trzeba pamiętać w porównaniu z czym coś jest małe). Możemy całe powyższe wyrażenie zapisać jako

ds=c\sqrt{1+\dfrac{2gh}{c^2}-\dfrac{v^2}{c^2}}dt.

Skorzystaliśmy z tego, że droga dl podzielona przez czas dt daje prędkość v. Pod pierwiastkiem mamy niewielkie dodatki do jedynki, można więc użyć przybliżonego wyrażenia dla pierwiastka:

\sqrt{1+x}\approx 1+\dfrac{x}{2},\mbox{ gdy }|x|\ll 1.

Otrzymujemy

ds \approx c\left(1+\dfrac{gh}{c^2}-\dfrac{v^2}{2c^2}\right) dt=c dt-\dfrac{1}{c}\left(\dfrac{v^2}{2}-gh\right)dt.

Pierwszy składnik po prawej stronie nie zmienia się, gdy rozpatrujemy różne krzywe łączące dwa dane zdarzenia, dając po prostu różnicę czasu. Drugi natomiast dla danej krzywej będzie równy (pomijając znak i 1/c sprzed nawiasu)

{\displaystyle \int \left(\dfrac{v^2}{2}-gh\right)dt.}

Łatwo zauważyć, że jeśli pomnożymy to przez masę poruszającego się ciała, dostaniemy klasyczne działanie

{\displaystyle S=\int \left(\dfrac{mv^2}{2}-mgh\right)dt.}

Zatem zasada najdłuższego czasu ds prowadzi do zasady najmniejszego działania w fizyce Newtona. W ten sposób wiemy, że dysponujemy teorią bardziej ogólną zarówno w stosunku do dynamiki Newtona, jak i szczególnej teorii względności. Działanie w teorii względności (jednej i drugiej) można zapisać jako

{\displaystyle S=-mc\int ds}.

Zamiast mgh możemy wstawić lepsze wyrażenie na energię potencjalną grawitacji.

Nasza metryka nie zmienia nic w części przestrzennej, ale wprowadza dodatkowy czynnik obok czasu. Zbadajmy jego znaczenie. Metryka nie zależy od czasu, więc gdy wyślemy dwa sygnały świetlne w odstępie czasu \Delta t do góry, to przyjdą one w takim samym odstępie czasu – są to po prosu takie same linie świata powtórzone. Dla zegara spoczywającego na poziomie h=0 mamy

\Delta s\equiv c\Delta \tau=c\Delta t,

dla znajdującego się wyżej:

\Delta s_1\equiv c\Delta \tau_1\approx c\left( 1+\dfrac{gh}{c^2}\right)\Delta t.

Dzieląc stronami drugie równanie przez pierwsze, otrzymamy

\Delta \tau_1=\left( 1+\dfrac{gh}{c^2}\right)\Delta \tau.

Fizyczny odstęp czasu, czyli czas własny, jest dłuższy na zegarze znajdującym się wyżej w polu grawitacyjnym. Jeśli zegary będą związane z emisją jakiejś linii widmowej, to częstość światła tej linii będzie niższa wg zegara umieszczonego wyżej. Efekt ten jest uwzględniany w działaniu GPS.

  • Przykład: czarna dziura Schwarzschilda

Równania pola grawitacyjnego, czyli równania określające krzywiznę czasoprzestrzeni, wydawały się trudne do ścisłego rozwiązania. Tak sądził Einstein, gdy w ciągu listopada 1915 roku, w pracach publikowanych na kolejnych cotygodniowych posiedzeniach Pruskiej Akademii Nauk, doszedł do ich ostatecznego sformułowania, a także stwierdził, że wyjaśniają one obrót peryhelium Merkurego, którego astronomowie nie potrafili zrozumieć od ponad pół wieku. Toteż bardzo się zdziwił, kiedy jeszcze tej jesieni otrzymał pracę Karla Schwarzschilda, przebywającego na froncie astronoma z Getyngi, zawierającą pierwsze ścisłe rozwiązanie w teorii względności. Dotyczyło ono sferycznie symetrycznego rozkładu mas, czyli np. pola grawitacyjnego na zewnątrz gwiazdy. Wiadomo, że pole grawitacyjne w takim przypadku jest takie jak masy punktowej umieszczonej w środku gwiazdy. W następnym roku metrykę tę otrzymał niezależnie Johannes Droste, był jednak znacznie mniej znanym uczonym, więc zwykle mówi się (niezbyt sprawiedliwie) o metryce Schwarzschilda. Zapiszemy ją tylko w płaszczyźnie równikowej gwiazdy, żeby mniej pisać – zagadnienie ma symetrię sferyczną, więc płaszczyzna równikowa dobrze reprezentuje wszystkie płaszczyzny przechodzące przez środek gwiazdy.

Metryka ma postać:

ds^2=\left(1-\dfrac{r_S}{r}\right)dt^2-\dfrac{dr^2}{1-\dfrac{r_S}{r}}-r^2 d\varphi^2.

Stała r_S to tzw. promień Schwarzschilda, równy

r_S=\dfrac{2GM}{c^2},

gdzie G to stała grawitacyjna, a M – masa naszej gwiazdy. Dziś wiemy, że jest to promień horyzontu czarnej dziury, ale do tej wiedzy uczeni doszli już po śmierci Einsteina. Jakie własności ma metryka Schwarzschilda? Czas własny i czas w danym punkcie związane są zależnością:

d\tau=\sqrt{1-\dfrac{r_S}{r}} dt.

Można sprawdzić, że jest to ogólniejszy przypadek przesunięcia ku czerwieni, czyli spowolnienia zegarów znajdujących się wyżej w polu grawitacyjnym.

Jeśli weźmiemy dwa punkty czasoprzestrzeni różniące się tylko kątem \varphi, ich odległość dana będzie związkiem

dl=\sqrt{-ds^2}=r d\varphi.

Zatem obwód okręgu o promieniu r jest równy 2\pi r. Niezbyt to odkrywcze, ale naprawdę informuje nas o tym, jaki jest sens parametru r – jeśli okrąg ma długość l, to definiujemy promień jako l/2\pi. Odległość wzdłuż promienia równa jest

dl=\dfrac{dr}{\sqrt{1-\dfrac{r_S}{r}}}>dr.

Zatem geometria przestrzeni nie jest euklidesowa, bo w geometrii euklidesowej powinniśmy otrzymać dokładnie dr (jako różnicę promieni okręgów r+dr oraz r).

Formalnie biorąc, rozwiązanie Schwarzschilda obowiązuje dla wszystkich promieni 0\le r<\infty. Pojawiają się jednak dwa problemy: metryka jest osobliwa, gdy r=r_S oraz r=0. Powiedzmy od razu, że pierwsza osobliwość jest pozorna i dotyczy tylko układu współrzędnych. Druga natomiast jest realna.

Gdy zbliżając się do zera, miniemy punkt r=r_S w naszej metryce znaki części z dt^2 i dr^2 też się zmienią. Ale znaki te są związane z tym, co jest czasem, a co przestrzenią, czyli wewnątrz obszaru ograniczonego powierzchnią r=r_S przestrzeń zamienia się w pewnym sensie na czas. Pokazuje to ładnie obrazek Johna Nortona

źródło: Black Holes

Promień Schwarzschilda jest promieniem horyzontu zdarzeń, wewnątrz niego stożki świetlne przyszłości zwrócone są ku osobliwości w r=0 (singularity). Znaczy to, że dla kogoś, kto przekroczył horyzont, osobliwość należy do przyszłości i jest tak samo nieunikniona, jak każda przyszłość. Można obliczyć czas własny, po jakim obserwator przekraczający horyzont dotrze do osobliwości, jest on rzędu r_S/c, co dla wielkich czarnych dziur w centrach galaktyk daje czas rzędu minuty. Im bliżej osobliwości, tym większe siły przypływowe, czyli różnice sił grawitacyjnych działających na różne punkty danego ciała. Prowadzi to do rozerwania wszelkiej materii na coraz drobniejsze fragmenty. Sam horyzont nie jest żadną osobliwością i niezbyt uważny obserwator może go przekroczyć, niczego nie spostrzegając. Nie da się jednak stamtąd wrócić ani nawet wysłać wiadomości, bo wszystkie stożki świetlne zwrócone są ku osobliwości.

Można też tę sytuację przedstawić na diagramie Penrose’a. Linie świata światła biegną na nim stale pod kątem \pm 45^{\circ}, cała czasoprzestrzeń została skompresowana do skończonego obszaru. Ponieważ linie świata cząstek muszą zawsze biec wewnątrz stożków, więc można łatwo zobaczyć, co w tej czasoprzestrzeni jest możliwe, a co nie. Mamy dwa obszary: ponad horyzontem i wewnątrz horyzontu. Zielone kropki są punktami w nieskończoności, ten górny nie należy do osobliwości. Dlatego możliwe są linie świata takie, jak zielona, które omijają horyzont (można np. po prostu krążyć wokół czarnej dziury, jeśli tylko nie znajdujemy się zbyt blisko). Ale możliwe są i takie linie świata, które go przekraczają i wtedy już nie ma powrotu (linia czerwona). Żółte linie świata oznaczają linie zerowe, czyli możliwe linie fotonów. Spod horyzontu nawet światło nie może uciec.

Nasz diagram nie stanowi całości rozwiązania Schwarzschilda. Pole grawitacyjne dopuszcza także istnienie symetrycznych białych dziur i dopiero całość stanowi matematyczne rozwiązanie problemu. Nie narysowaliśmy tej części, ponieważ nie odpowiada ona fizycznej rzeczywistości, w istocie lewa krawędź naszego obrazka też jest niefizyczna. Czarne dziury tworzą się przez kolaps (zapadanie) grawitacyjne i ta część rozwiązania powinna zostać zastąpiona opisem sytuacji wewnątrz zapadającej się gwiazdy. Realne jest natomiast utworzenie się horyzontu oraz osobliwości (cokolwiek może ona oznaczać). Istnienie osobliwości przy pewnych ogólnych założeniach wynika z szeregu twierdzeń udowodnionych przez Rogera Penrose’a, Stephena Hawkinga i innych. innymi słowy: teoria Einsteina przewiduje swoją własną niekompletność, gdyż osobliwości nie należą do czasoprzestrzeni.

  • Równania pola

Same równania pola są w teorii Einsteina są skomplikowane, jeśli wyrazić je jako pochodne metryki. Są to wówczas równania cząstkowe drugiego rzędu, jest ich dziesięć. Opisują one tak zwany tensor krzywizny Ricciego. Fizycznie są bezpośrednim i właściwie nieuniknionym uogólnieniem teorii Newtona. Oczywiście, stało się to takie jasne po stu latach, kiedy Einstein pracował nad swoją teorią nawet matematycy, którzy zajmowali się tym rodzajem geometrii, nie byli od niego dużo mądrzejsi. W pustej przestrzeni równania Einsteina stwierdzają po prostu, że tensor Ricciego znika:

R_{\mu\nu}=0,

gdzie  \mu,\nu=0,1,2,3. Tensor jest symetryczny, ma więc dziesięć składowych. Napisaliśmy te równania tylko dla porządku, żeby można było na nie spojrzeć. W gruncie rzeczy równanie to jest naturalnym uogólnieniem równania Laplace’a dla potencjału grawitacyjnego V w teorii newtonowskiej:

\Delta V\equiv \dfrac{\partial^2 V}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 V}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 V}{\partial z^2}=0.

Równania pola plus zasada maksymalnego czasu to całość teorii Einsteina. Oszczędni Szwajcarzy przedstawili to na monecie pięciofrankowej.

Proust i Einstein

Jak chętnie porozmawiałbym z tobą o Einsteinie! Bo chociaż pisano mi, że z niego zaczerpnąłem, to nie rozumiem z jego teorii ani słowa, nie znając algebry. A wątpię także, aby on czytał moje powieści. Wydaje się, że mamy analogiczny sposób deformowania czasu. Ale nie mogę tego ustalić, ponieważ chodzi o mnie samego, a nie znamy siebie samych; nie mogę też tego ustalić w odniesieniu do niego, ponieważ jest wielkim umysłem w naukach, o których nic nie wiem i w których już w pierwszej linijce zatrzymują mnie „znaki”, których nie rozpoznaję. [List do Armanda de Guiche, grudzień 1921 r.]

Einstein nie znał książek Prousta. Szukanie analogii między dziedzinami tak odległymi jak powieść i fizyka teoretyczna jest oczywiście dość ryzykowne. Można jednak, jak sądzę, wskazać pewne elementy łączące obu wielkich twórców. Nie oznacza to, że któryś z nich był pod wpływem drugiego. Jakiś powierzchowny wpływ na Prousta mogły wywrzeć różne prasowe omówienia teorii względności, ale przecież nie zmienił pod ich wpływem swego wypracowanego przez lata podejścia do świata i roli pisarza. A przede wszystkim do czasu. Czas Prousta jest pozornie subiektywny, zawarty w ułamkach wspomnień, które dzięki pracy umysłu i uważnemu wejrzeniu w głąb przeszłości pozwalają odtworzyć cały zaginiony bezpowrotnie świat. Jest to rodzaj archeologii wewnętrznej. Niektóre wrażenia, takie jak smak magdalenki zamoczonej w herbacie, ewokują zupełnie inny czas, stając się początkiem odkrycia zatopionej w jego bezmiarze Atlantydy:

I z chwilą gdy poznałem smak zmoczonej w kwiecie lipowym magdalenki, którą mi dawała ciotka (mimo że jeszcze nie wiedziałem i aż znacznie później miałem odkryć, czemu to wspomnienie czyniło mnie tak szczęśliwym), natychmiast stary, szary dom od ulicy, gdzie był jej pokój, przystawił się niby dekoracja teatralna do wychodzącej na ogród oficynki, którą zbudowano dla rodziców od tyłu (owa ścięta ściana, jedyna którą wprzód widziałem) i wraz z domem miasto, od rana do wieczora i w każdym czasie, rynek, na który wysyłano mnie przed śniadaniem, ulice, gdzie załatwiałem sprawunki, drogi, którymi się chodziło, kiedy było ładnie. I jak w owej zabawie, w której Japończycy zanurzają w porcelanowym naczyniu pełnym wody kawałeczki papieru z pozoru byle jakie, które, ledwo się zanurzywszy, wydłużają się, skręcają, barwią, różniczkują się, zmieniając się w kwiat, w domy, w wyraźne osoby, tak samo teraz, wszystkie kwiaty z naszego ogrodu i z parku pana Swanna, i lilie wodne z Vivonne, i prości ludzie ze wsi, i ich domki, i kościół, i całe Combray, i jego okolice, wszystko to, przybrawszy kształt i trwałość, wyszło – miasto i ogrody – z mojej filiżanki herbaty. [W stronę Swanna, przeł. T. Żeleński(Boy)]

Mamy tu do czynienia z czymś, co pisarz SF nazwałby tunelem czasoprzestrzennym łączącym dwa zdarzenia i dwa światy. Strategia wyszukiwania takich tuneli, a następnie podążania nimi wytrwale w przeszłość, była wielkim wynalazkiem pisarskim Prousta. Tylko pewien rodzaj skojarzeń prowadził bowiem do odtworzenia minionego świata, punktem wyjścia nie była nigdy myśl, lecz jakieś doznanie zmysłowe: dźwięk, zapach, smak.

Czas pisarza jest subiektywny, przechowany w jego podświadomości, siłą rzeczy obraz, który udaje mu się odtworzyć zawiera obserwatora i jego wyróżniony punkt widzenia. Analityczny rozum podpowiada nam oczywiście, że światy widziane przez innych ludzi będą podobnie subiektywne, że prawda naszych wrażeń jest do pewnego stopnia względna. W szczególności czas zegarowy i kalendarzowy nie mają wielkiego znaczenia w porządku naszych skojarzeń, czas może się przesuwać albo przeskakiwać. Wprowadzając do swej książki pewien anachronizm – przesuwając w czasie drugą podróż do Balbec i koncert u Guermantes’ów, Proust napisał do przyjaciela: „Zeinsteinizujmy to, ponieważ moje byty są nieco spłaszczone za sprawą obrotu w czasie”. Dostrzegał więc pewną analogię między swoją metodą a elastycznym i ruchomym czasem Einsteina. Teoria naukowa odbierająca czasowi walor absolutny niewątpliwie ułatwiała także przeskoki czasowe w wyobraźni, niemal je sankcjonowała. Zanim powstała teoria względności, sporo było różnych fantastycznych rozważań na temat przemieszczania się w czasie. Łatwiej pomyśleć coś, co przypomina do pewnego stopnia rzecz albo sytuację już pomyślaną. Wyobraźnia, sfera tego, co potrafimy sobie wyobrazić, poszerza się przez różne myślowe doświadczenia, nawet fikcyjne albo baśniowe. Tym bardziej poszerza ją teoria naukowa, nosząca piętno ścisłości, nawet gdy nie jest powszechnie zrozumiała.

Ale nie tylko ruchomość i elastyczność czasu jest u Prousta „einsteinowska”. Nazwa teoria względności nie jest szczególnie udana, gdyż zwłaszcza pośród laików od początku rodziła nieporozumienia.

Czasoprzestrzeń teorii względności nie jest relatywna, relatywne są jedynie nasze opisy. Matematycznie biorąc, mamy pewien obiekt czterowymiarowy, rozmaitość czasoprzestrzenną, który można opisywać za pomocą rozmaitych współrzędnych, tzw. map. Jest to sytuacja analogiczna do przedstawiania powierzchni Ziemi za pomocą rozmaitych map w atlasach. Wiemy, że mapy takie mogą w rozmaity sposób deformować to, co na nich widzimy, ale obiektem, który badamy jest sama powierzchnia Ziemi, a nie umowne siatki współrzędnych. Różni obserwatorzy mogą wprowadzać swoje współrzędne, ich odczyty – „rozumienie sytuacji” – będzie różne, ale prawdą jest to, co wspólne i niezależne od układu odniesienia. Można by teorię względności nazwać teorią niezmienników (inwariantów), jak proponował Max Planck, którego przyciągnęło do niej właśnie poszukiwanie absolutu, a nie jakaś skłonność, aby wszystko relatywizować, czy to w sensie fizycznym, czy etycznym. Był to człowiek, który zawsze chodził wyprostowany i zapięty pod szyję, i ponad wszystko przedkładał etykę obowiązku.

Marcel Proust, wyruszając w swe podróże w czasie, nie uciekał od teraźniejszości, nie szukał żadnego narkotyku wzmacniającego doznania. Jego celem było dotknięcie absolutu – tego, co znajduje się poza naszymi siatkami współrzędnych, czego dotknąć i co wyrazić językiem dyskursywnym jest niezwykle trudno. Pisarz musi pracować w słowie, nie ma żadnych innych środków. Musi więc za pomocą języka i skojarzeń, które on niesie, zbudować odpowiednik przeżycia. W tym sensie Proust także poszukiwał prawdy niezależnej od subiektywnego punktu widzenia. Jak my wszyscy, skazany na egocentryczność, szukał wyjścia poza nią w swego rodzaju historii naturalnej pamięci i umysłu. Jednostkowy punkt widzenia, obraz, przedstawiony bez sentymentalizmu i sztucznych upiększeń, może służyć zrozumieniu, w jakimś stopniu wyzwala z bólu istnienia drogą kontemplacji, trochę tak jak w buddyzmie. Wysiłek pisarski Marcela Prousta, trwający niemal do ostatniego dnia jego życia, nie byłby możliwy bez przekonania pisarza, że ściga absolut, zmaga się z niewyrażalnym. Po cóż byłoby się tak trudzić, przez szesnaście lat odmawiać sobie wszelkich przyjemności życiowych, służąc swemu dziełu. Czegoś takiego nie robi się z prostej ambicji ani z chęci przypodobania się przyszłym pokoleniom. Ich osąd będzie tylko trochę mniej chimeryczny i przypadkowy niż opinia współczesnych zależna od tylu trzeciorzędnych czynników.

Proust miał ostrą świadomość bytowania rozciągniętego w czasie.

Odczuwałem znużenie i trwogę pojmując, że cały ten czas, jakże długi, był nie tylko bez przerwy przeżywany, przemyśliwany i wydzielany przeze mnie, że był moim życiem, że był mną, lecz jeszcze musiałem w każdej minucie podtrzymywać z nim związek, że był mi fundamentem, że tkwiłem na jego zawrotnym wierzchołku, że nie mogłem się poruszyć, by go nie przesunąć. Dzień, w którym usłyszałem dźwięk dzwonka w Combray, owa data tak odległa, a jednak wewnętrzna, był punktem wyjścia w tych bezmiarach, co rozciągały się we mnie bez mojej wiedzy. Doznałem zawrotu głowy widząc pod sobą – a jednak spoglądałem od środka w siebie, jakby to były mile wysokości – widząc tyle lat. (…) wydawało mi się, że nie starczy mi sił, by długo utrzymać przy sobie tę przeszłość, która zstępowała już tak daleko. Ale jeśli zostanie mi dość czasu, bym zdążył dokonać mego dzieła, nie omieszkam w nich najpierw opisać ludzi (choćby mieli w tym opisie przypominać potwory) jako zajmujących w Czasie miejsce tak znaczne, jak ograniczone jest ich miejsce wyznaczone im w przestrzeni, miejsce rozszerzające się niepomiernie, gdyż niczym zagłębieni w latach giganci dotykają przeżytych przez siebie, tak odległych epok, między którymi mieści się tyle dni – wśród Czasu [Czas odnaleziony, przeł. J. Rogoziński, przekł. poprawiony].

Nie będzie wielką przesadą powiedzenie, że Proust wierzył w bytowanie czasoprzestrzenne, linię świata, którą można oglądać, jeśli uda nam się osiągnąć dostateczny stopień koncentracji. Z tego punktu widzenia zdarzenia współwystępują, podobnie jak bytują obok siebie przedmioty w przestrzeni. Jest to boski punkt widzenia, niedostępny na co dzień istotom przyszpilonym do uciekającej chwili teraźniejszej.

Dla Asi

Einstein w Paryżu (1922)

Nie była to zwyczajna wizyta naukowa, nie minęły jeszcze cztery lata od zakończenia wojny. Zginęło w niej 1,3 mln Francuzów i w Paryżu nie wszyscy chcieli przyjmować uczonego niemieckiego. Prasa podkreślała wprawdzie, że Einstein nie podpisał podczas wojny Manifestu 93 – szowinistycznego przesłania do reszty Europy, w którym dowodzono, iż Niemcy walczą w imię kultury, Goethego, Beethovena i Kanta. Nie brakowało jednak również głosów takich, jak Roberta Havarda de la Montagne: „Jakakolwiek była postawa Einsteina, jest on Niemcem”. Wizyta miała więc wyraźny podtekst polityczny, miała być pierwszą jaskółką ocieplenia stosunków, Einstein rozmawiał o niej z Harrym Kesslerem, współpracownikiem ministra spraw zagranicznych Walthera Rathenaua, który dążył do ułożenia na nowo stosunków z krajami Ententy. Po drugiej stronie na rzecz ostrożnego zbliżenia działał Paul Painlevé, polityk i matematyk. Einstein przyjeżdżał na zaproszenie Collège de France, inicjatywa należała do profesora owej instytucji i prywatnie jego przyjaciela Paula Langevina. Langevin, uczeń Poincarégo, przekonał się do teorii względności i został jej gorliwym propagatorem. Łączyła go z Einsteinem przyjaźń, jak również socjalistyczne przekonania polityczne.

Prasa wietrzyła sensację, a nawet wypatrywała skandalu. Nagłówki krzyczały: „Einstein w Paryżu”, „Czekając na Einsteina”, „Einstein się ukrywa”, „Einstein nie przybył do Paryża”. Rzeczywiście, uczony postarał się zmylić tropy dziennikarzom, przyjechał niezauważony i zamieszkał w przygotowanym mieszkaniu zamiast w hotelu. W wypowiedzi dla prasy Paul Painlevé stwierdził: „Powinniśmy go przyjąć z szacunkiem jako wielki umysł i z sympatią jako Niemca wiernego swemu krajowi, lecz przy tym szlachetnego i bardzo europejskiego”. Na pytanie o teorie Einsteina Painlevé odpowiedział: „Opierają się one jedynie na potężnych podstawach matematycznych i są raczej wielką próbą ujednolicenia niż konkretnym rezultatem. Ale w nauce początek jest równie ważny jak osiągnięcie równowagi”.

Painlevé osobiście sprawdza bilety wstępu na spotkanie z Einsteinem

Częściowo z przyczyn politycznych Einstein nie brał udziału w spotkaniach otwartych dla publiczności. Wziął udział w czterech sesjach dyskusyjnych w Collège de France, a także wystąpił we Francuskim Towarzystwie Filozoficznym. Wstęp na owe imprezy mieli w zasadzie tylko uczeni oraz studenci, choć pojawiło się także trochę osób z wielkiego świata, jak hrabina Greffulhe, która była prototypem księżny Guermantes w powieści Marcela Prousta, a także hrabina de Noailles, poetka i bliska przyjaciółka pisarza. Sam Proust także bardzo interesował się tą wizytą, mimo że był już bardzo chory i pochłonięty kończeniem swego arcydzieła, były to ostatnie miesiące jego życia. Niewykluczone, że ktoś z kręgu przyjaciół przekazał mu swoje wrażenia na temat Einsteina.

Podwójny portret fotograficzny hrabiny Greffulhe, Otto Wegener, 1899 (Metropolitan Museum of Art)

Siedzą od lewej: Langevin, Einstein, hrabina de Noailles, Painlevé; stoją od lewej: sir Thomas Barclay (prawnik), Leo Strisower (prawnik), Paul Appell (rektor Sorbony), Emil Borel (matematyk) oraz Henri Lichtenberger (germanista),  (Wellcome Collection)

Astronom Charles Nordmann, który wraz z Langevinem organizował tę wizytę, zwrócił uwagę na szeroką czaszkę Einsteina, jego brachycefaliczność. Przypominał on budową czaszki Ernesta Renana. Według rozmaitych rasowych czy może rasistowskich teorii antropologicznych inteligencja miała być skojarzona z długą czaszką, dolichocefaliczną.

Ernest Renan

Uwagi Nordmanna są czysto opisowe, ale zwolennicy rasy aryjskiej już wtedy uciekali się do swoistego fortelu: ponieważ nie można było zanegować żydowskości Einsteina, należało negować jego teorie. Także w przedwojennej Polsce dało się słyszeć głosy różnych mędrków, którzy spod swej gruszy oceniali największe osiągnięcia ludzkości – i wcale ich one nie zachwycały, przeciwnie, byli mocno sceptyczni.

Albert Einstein (1879-1955), physicien américain d’origine allemande, et Paul Langevin (1872-1946), physicien français.
© Neurdein / Roger-Viollet

Dyskusje w Paryżu były kurtuazyjne, lecz pełne zastrzeżeń. Paul Painlevé przedstawił nową postać metryki Schwarzschilda i wyciągał z niej daleko idące wnioski, sądził, że teoria grawitacji Einsteina jest czymś w rodzaju języka matematycznego, który można dostosować do różnych zjawisk. Inny matematyk, Jacques Hadamard, zastanawiał się nad tym, co by się stało, gdyby jakieś ciało niebieskie osiągnęło tak małe rozmiary, że metryka Schwarzschilda staje się rozbieżna (w istocie chodzi tu o pozorną osobliwość, przy promieniu Schwarzschilda tworzy się horyzont zdarzeń, nikt tego wówczas nie wiedział). Wystąpił też Élie Cartan, wielki geometra francuski, który nawiązał później z Einsteinem współpracę. Przy okazji kolejny raz wystąpił ze swą pseudoteorią Edouard Guillaume, Szwajcar, który prześladował Einsteina, usiłując dowieść, iż teoria względności jest wewnętrznie sprzeczna. Filozoficznym oponentem Einsteina był Henri Bergson, niezwykle wtedy popularny wykładowca i pisarz, głoszący własną teorię czasu. Spotykali się później wiele razy i wszyscy oczekiwali starcia dwóch stanowisk. Einstein zwykle uchylał się od polemiki, kiedyś zniecierpliwiony stwierdził na temat teorii Bergsona: „Niech Bóg mu ją wybaczy”.

Wpływ uczonych na politykę był niewielki. Ambasador niemiecki w Paryżu raportował, że wizyta była sukcesem, także z niemieckiego punktu widzenia, ale Einstein postrzegany jest jako nietypowy Niemiec, więc nie należy się spodziewać ocieplenia w uczuciach Francuzów. Tymczasem w Niemczech szło ku gorszemu, kilka miesięcy później prawicowi bojówkarze zamordowali ministra Rathenaua. Nacjonalistyczna prawica nie chciała demokracji, nie chciała normalizacji stosunków z Europą i nie chciała Żydów na eksponowanych stanowiskach. W następnym roku odbył się pucz monachijski, pierwsza, jeszcze nieudana próba dojścia Adolfa Hitlera do władzy.

James Clerk Maxwell: Pole magnetyczne jako wiry materii (1862)

Mody intelektualne przychodzą i odchodzą podobnie jak wszelkie inne mody. W XVII wieku starano się wszystkie zjawiska fizyczne wyjaśniać za pomocą ruchu jakichś niewidzialnych cząstek, które miały się zderzać i przekazywać sobie ruch. Chodziło głównie o to, by wyeliminować z nauki wszelkie oddziaływanie na odległość: cząstki oddziaływały tylko podczas zderzeń i nie działały pomiędzy nimi żadne siły spójności. René Descartes, zwany u nas Kartezjuszem, tak sobie wyobrażał działanie magnesu.

(Principia Philosophiae, 1644)

Świat składał się u niego z krążących strumieni cząstek, a ponieważ przestrzeń miała być tym samym co rozciągłość, cząstki owe krążyły wśród drobniejszych cząstek tak, aby nie pozostawiać nigdzie pustego miejsca (tak mu bowiem wyszło z rozumowań: że nie ma próżni, pusta przestrzeń to oksymoron, jak czarny śnieg albo zimny wrzątek). Wiry cząstek objaśniały rzeczy wielkie, jak ruch planet, a także małe, jak przyciąganie magnesu i żelaza. W przypadku magnetycznym cząstki owe przypominały makaron świderki, były skręcone i mogły się albo wkręcać, albo wykręcać z nagwintowanych porów magnesu. Nie wiemy, jak bardzo Kartezjusz wierzył w słuszność tego wyjaśnienia. Na szczęście filozofowie i uczeni nie muszą (zazwyczaj) umierać za swoje teorie, wystarczy, że to one, wiodąc żywot niezależny od swych autorów, giną albo zwyciężają w ich imieniu.

Jednak do połowy XVIII wieku Kartezjusz panował we Francji i z tego powodu nawet Newtonowska grawitacja – przyciągająca i działająca na odległość – przyjmowała się z trudem. Większość uczonych akademików i prowincjonalnych amatorów z upodobaniem wymyślała coraz to nowe cząstki i wiry, np. objaśniające elektryczność. Inaczej do sprawy podchodził Benjamin Franklin, który nie lubił zbyt skomplikowanych teorii i uznał elektryczność za rodzaj fluidu zawartego w ciałach. W naładowanym kondensatorze inne miało być stężenie owego fluidu po obu stronach izolatora. Franklin zauważył, że naładowany kondensator można rozładować za pomocą wahadełka, które przenosi ładunek od okładki do okładki – zawarty jest w tym pewien obraz elektryczności jako czegoś, co może się przenosić od jednego ciała do drugiego, jak jakiś specjalny płyn, nieważki, lecz rzeczywisty.

Butelka lejdejska (czyli kondensator) rozładowywana za pomocą wahadełka z korka

Wariant tego urządzenia zamontowany był w domu Franklina w Filadelfii: między piorunochronem a uziemieniem biegnie drut przerwany dwoma dzwonkami. Wahadełko umieszczone pomiędzy obu dzwonkami poruszało się, gdy pojawiał się w układzie ładunek. Żona badacza, Deborah, w słusznym odruchu twierdziła, że boi się tego dzwonienia podczas burzy czy wtedy, gdy się ma na burzę. Małżonek, przebywający w Londynie, zezwolił jej wówczas na zdemontowanie dzwonków.

W XIX wieku wierzono już w świat wypełniony nie sypkim piaskiem, ale raczej galaretowatym eterem. Wiedziano, że światło to fale poprzeczne, a więc i ośrodek musiał wykazywać pewną sprężystość kształtu, nie mógł przelewać się jak ciecz albo gaz. Trzeba to było jakoś pogodzić np. z ruchem ciał niebieskich, które poruszają się, nie napotykając oporu eteru. Rozwinęły się w związku z tym techniki równań różniczkowych cząstkowych oraz rozmaite fantastyczne idee na temat eteru. Michael Faraday wprowadził do nauki pojęcie linii sił. Wyobrażał sobie, że owe linie się wzajemnie odpychają, dążąc zarazem do skrócenia się, jakby były z gumy, dając w efekcie siły przyciągania bądź odpychania. Jako niematematyk wyobrażał je sobie jako pewne dość konkretne, choć niewidoczne byty. Ładunki elektryczne były dla niego w zasadzie zakończeniami owych linii sił, a nie czymś istniejącym samodzielnie. Fluid Franklina i inne tego rodzaju pomysły trafiły do lamusa. Wahadełko Franklina miało być przyciągane właśnie tymi elastycznymi i odpychającymi się liniami sił (na obrazku kulka przyciągana jest do lewej okładki kondensatora; kulka naładowana jest tak, jak prawa okładka).

W styczniu roku 1862 James Clerk Maxwell opublikował trzecią część pracy On Physical Lines of Force, w której zajmował się m.in. wyjaśnieniem pola magnetycznego za pomocą wirów w eterze. Eter wypełniać miały wielościenne, zbliżone do kul elastyczne cząstki („wiry molekularne”), a pomiędzy nimi była jeszcze pojedyncza warstwa drobniejszych cząstek kulistych.

Pole magnetyczne polegać miało na wirowaniu cząstek wielościennych – im silniejsze ple, tym większa prędkość kątowa. Obraz tych „wirów molekularnych” wiązał się z obserwacją Faradaya, że płaszczyzna polaryzacji światła obraca się, gdy fala biegnie wzdłuż kierunku pola magnetycznego. Efekt Faradaya wskazywał na związek pola magnetycznego i fali świetlnej. Aby sąsiednie wiry mogły obracać się w tym samym kierunku, potrzebna była dodatkowa warstwa cząstek przekazujących ruch i obracających się bez tarcia, nieco podobnie jak w łożysku kulkowym.

Gdy prędkość sąsiednich wirów była taka sama, owe dodatkowe kulki jedynie się obracały (lewa część rysunku), gdy natomiast prędkości wirowania się różniły, kulki dodatkowe przemieszczały się, odpowiadając za prąd elektryczny. Jednak według Maxwella nie były one nośnikami ładunku, inaczej niż to wyobrażamy sobie dziś. Włączając do modelu sprężystość wirów molekularnych, które mogły nie tylko się obracać, ale i odkształcać, Maxwell wprowadził do swej teorii prąd przesunięcia i efekty elektrostatyczne. W tej samej pracy obliczył prędkość rozchodzenia się sprężystych fal poprzecznych w swoim modelu eteru. Okazała się ona równa prędkości światła. Tak naprawdę jego model nie był do końca ściśle określony i dokładna zgodność z prędkością światła była do jakiegoś stopnia przypadkowa. Maxwell uwierzył jednak, że ma ona znaczenie i zainteresował się pomiarami elektrycznymi i magnetycznymi, które mogły dostarczyć dokładniejszej wartości stałych do modelu. Fale poprzeczne w tym eterze nie były jeszcze falami elektromagnetycznymi: pola elektryczne i magnetyczne nie zmieniały się w nich tak, jak w fali elektromagnetycznej. Dalsze prace Maxwella stopniowo oddalały się od tego modelu. Spełnił on jednak ważną rolę heurystyczną. Większość uczonych XIX wieku wierzyła, że zjawiska elektromagnetyczne w taki czy inny sposób należy sprowadzić do ruchów eteru. Mechanika była ich sposobem myślenia, był to wiek pary i urządzeń mechanicznych: przekładni, tłoków, łożysk, regulatorów itd.
Pierre Duhem, ważny filozof nauki i znacznie słabszy uczony, dostrzegał te inżynierskie parantele i patrzył na nie z pewnym politowaniem. Pisał, rozróżniając fizykę angielską i niemiecko-francuską (było to przed I wojną światową, zanim Niemcy przestali być jego faworytami):

Fizyk francuski bądź niemiecki przyjmował w przestrzeni dzielącej dwa przewodniki abstrakcyjne linie sił bez grubości, bez realnego istnienia; fizyk angielski uzna te linie za materialne, przyda im grubości, by stały się rozmiarów rurki, którą wypełni zwulkanizowanym kauczukiem; w miejsce idealnych linii sił, możliwych do pojęcia jedynie rozumowo, pojawi się u niego wiązka elastycznych strun, widzialnych i dotykalnych, mocno przyklejonych swymi końcami do powierzchni obu przewodników, naciągniętych, dążących do skrócenia się i pogrubienia zarazem (…) Tak przedstawia się słynny model oddziaływań elektrostatycznych wyobrażony przez Faraday i podziwiany jako owoc geniuszu przez Maxwella oraz całą szkołę angielską.
(…) Oto książka, która ma na celu przedstawienie nowoczesnej teorii elektryczności, przedstawienie nowej teorii; a mowa w niej wyłącznie o sznurach poruszających kołami obracającymi się w bębnach, poruszających kulkami, podnoszącymi ciężary; o rurach pompujących wodę i rurach skracających się i poszerzających, kołach zębatych sprzęgniętych ze sobą i z zębatkami; sądziliśmy, że wkraczamy do spokojnego i starannie zaprojektowanego gmachu dedukcyjnego rozumu, a trafiliśmy do fabryki”. [La Théorie physique: Son objet et sa structure, Paris 1906, s. 110-111]

Duhem ma tu na myśli książkę Olivera Lodge’a Modern views of electricity, ale i całą brytyjską szkołę naukową. Zabawnie pomyśleć, że Francuz, potomek Kartezjusza, tak bardzo gorszył się wyjaśnieniami mechanicznymi. Filozof słabo rozumiał swoje czasy, był bardzo konserwatywnym katolikiem, który starał się wykazać, że Galileusz niezbyt się przyczynił do rozwoju nauki; mniej w każdym razie niż kardynał Bellarmine, który spalił Giordana Bruna i wciągnął Kopernika na Indeks ksiąg zakazanych. Prawdopodobnie główną winą Galileusza oczach Duhema był fakt, że naraził się Kościołowi, a ten z zasady jest nieomylny. Oliver Lodge rzeczywiście miał przesadne upodobanie do mechanicznych wynalazków ilustrujących elektryczność i magnetyzm. Takie upodobanie miał także i Boltzmann, najważniejszy fizyk europejski między Maxwellem a Einsteinem. Można przypuszczać, że James Clerk Maxwell nie wykonałby swej ogromnej wieloletniej pracy nad teorią elektromagnetyzmu, gdyby nie mechaniczne modele. Odegrały one ważną rolę, bo pomagały mu w myśleniu. Duhem, podobnie jak wielu filozofów i wielu katolików, obszczekiwał nie to drzewo.

Wiry molekularne Maxwella znalazły jakiś rodzaj kontynuacji we współczesnym opracowaniu matematycznym jego teorii. Pole magnetyczne okazuje się 2-formą, czymś, co w naturalny sposób daje się całkować po powierzchni. Obiekt taki geometrycznie przedstawia się jako rurkę z pewną skrętnością. Pole elektryczne jest 1-formą, czyli czymś, co daje się naturalnie całkować wzdłuż krzywej. Obiekt taki można przedstawić jako układ płaszczyzn czy powierzchni dwuwymiarowych, które przecinamy idąc w pewnym kierunku.

Rozważania Maxwella nie były więc tak bardzo od rzeczy, jak moglibyśmy dziś sądzić, słysząc o wirach molekularnych w eterze. Opisu świata dostarczają więc raczej obiekty matematyczne niż dziewiętnastowieczne przekładnie i zębatki.

Wydaje się, że ludzie najlepiej wyobrażają sobie to, co sami potrafią w danej epoce zbudować: dawniej były to mechanizmy zegarowe i urządzenia hydrauliczne, w wieku XIX różne pomysłowe maszyny, od końca wieku XX na wyobraźnię wpływają komputery. Wyobraźnia typu inżynierskiego, obrazowego, miała zawsze duże znaczenie w nauce: od Galileusza i Kartezjusza, przez Newtona aż do lorda Kelvina, Maxwella i Einsteina – wszyscy oni mieli spore kompetencje praktyczne. W tym sensie świat jednak bardziej jest fabryką niż świątynią dogmatycznego albo tylko matematycznego rozumu. Dziś co chwila pojawiają się „komputerowe” teorie świata, np. czy zamieszkujemy wszyscy jakiś program komputerowy, którego założenia poznajemy tylko przez obserwację? Jeden z największych sporów w fizyce dotyczy tego, co dzieje się z informacją wpadającą do czarnej dziury. Z jednej strony teoria grawitacji Einsteina mówi bowiem, że informacja ta ginie razem ze swym nośnikiem pod horyzontem dziury. Z drugiej strony teoria kwantów wymaga, aby informacja nigdy nie ginęła na dobre – może być praktycznie nie do odzyskania, ale co do zasady powinno być to możliwe. Promieniowanie Hawkinga nie rozwiązuje sprawy, ponieważ dziura nie jest wprawdzie absolutnie czarna, ale jej promieniowanie jest termiczne, a więc chaotyczne, nie zawierające informacji. Stworzono gigabajty prac na ten temat, lecz wciąż nie wiadomo, czy w którejś z nich zawarta jest poszukiwana informacja.

Od zasady najdłuższego czasu do równań Maxwella III

W poprzednich dwóch częściach rozpatrzyliśmy zasadę wariacyjną dla cząstki w polu, które okazało się elektromagnetyczne (przy okazji otrzymaliśmy siłę Lorentza) oraz zasadę wariacyjną dla pola elektromagnetycznego. Skoro zaszło się tak daleko, warto może pokazać jeszcze kilka prostych konsekwencji tego, co uzyskaliśmy. Dwa równania Maxwella (prawo Gaussa i prawo Ampère’a) mają u nas postać:

\partial^{\mu}F_{\mu\nu}=\mu_0 j_{\nu},\mbox{(1)}

gdzie j_{\nu}=(c\rho,-\vec{j}) jest czterowektorem gęstości ładunku oraz gęstości prądu; nie wprowadzaliśmy ich poprzednio, ponieważ ominęliśmy obliczenie wariacji lagranżianu oddziaływania pola z cząstkami, wyraz taki ma postać -\int j^{\mu}A_{\mu} d^{4}x. Jasne jest, że muszą pojawić się jakieś źródła: ładunki i prądy.

Dwa pozostałe równania Maxwella (prawo Faradaya oraz magnetyczny odpowiednik prawa Gaussa) wyglądają następująco:

\partial_{\mu}F_{\nu\rho}+\partial_{\rho}F_{\mu\nu}+\partial_{\nu}F_{\rho\mu}=0.\mbox{(2)}

Z równości tej otrzymujemy cztery równania skalarne, gdy trzy wskaźniki są różne. Jednak samo równanie jest prawdziwe dla dowolnego zestawu wskaźników, przy powtarzających się dostajemy tożsamościowo zero, np.

\partial_{0}F_{01}+\partial_{1}F_{00}+\partial_{0}F_{10}=0,

gdyż wyraz środkowy równy jest zeru, a dwa skrajne mają przeciwne znaki (bo F_{\mu\nu}=-F_{\nu\mu}).

Pokażemy trzy krótkie wnioski z równań zapisanych w tej postaci:

  1. Równania Maxwella w próżni sprowadzają się do równania falowego, a to znaczy, że pole elektromagnetyczne może wędrować w przestrzeni jako fala.
  2. Możemy zapisać te równania za pomocą czteropotencjału A_{\mu}.
  3. Spełniona jest zasada zachowania ładunku.

Ad 1 Obliczmy pochodną \partial^{\mu} z naszego równania (2):

\partial^{\mu}\partial_{\mu}F_{\nu\rho}+\partial^{\mu}\partial_{\rho}F_{\mu\nu}+\partial^{\mu}\partial_{\nu}F_{\rho\mu}=0.

Należy to sobie wyobrażać jako wzięcie pochodnej, a następnie wysumowanie po powtarzającym się wskaźniku. Dwa ostatnie wyrazy są w próżni równe zeru na mocy równania (1). Wyraz pierwszy to

\partial^{\mu}\partial_{\mu}=\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}-\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}-\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}\equiv \square.

Taki operator nazywa się dalambercjanem (od Jeana Le Ronda d’Alemberta, który zajmował się jeszcze w XVIII wieku równaniem falowym) przez analogię do laplasjanu. Otrzymany wynik można więc krótko zapisać:

\square F_{\mu\nu}=0.

A więc teoria przewiduje fale w próżni.

Ad 2 Tensor pola wyraża się przez czteropotencjał następująco:

F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}.

Wartości pola elektromagnetycznego otrzymujemy przez różniczkowanie, więc jasne jest, iż wybór czteropotencjału nie jest jednoznaczny. Równanie (2) zapisane za pomocą czteropotencjału daje tożsamościowo zero:

\partial_{\mu}(\partial_{\nu}A_{\rho}-\partial_{\rho} A_{\nu})+\partial_{\rho}(\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu})+ \partial_{\nu}(\partial_{\rho}A_{\mu}-\partial_{\mu}A_{\rho})=0.

Łatwo zauważyć, że mamy pary wyrazów różniących się tylko znakiem (kolejność różniczkowania wolno zawsze zmienić). W bardziej rozbudowanej matematycznie teorii jest to tzw. tożsamość Bianchiego (od matematyka włoskiego z przełomu XIX i XX wieku, pierwszy zresztą tę tożsamość zapisał Ricci-Curbastro, a potem odkrywana była jeszcze wiele razy na nowo). Wstawiając potencjał do równania (1), otrzymujemy

\partial^{\mu}(\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu})=\square A_{\nu}-\partial_{\nu}(\partial^{\mu}A_{\mu})=\mu_{0}j_{\nu}.

Ostatnie równanie można uprościć, korzystając ze swobody cechowania. Możemy bowiem zażądać, żeby ostatni wyraz w nawiasie po lewej stronie był równy zeru. Ograniczamy w ten sposób dowolność wyboru czteropotencjału. Warunek ten nazywa się cechowaniem Lorenza (od duńskiego uczonego Ludwiga Lorenza, którego nie należy mylić z Holendrem Hendrikiem Lorentzem od transformacji Lorentza). Jeśli go nałożymy, to nasz czteropotencjał spełnia niejednorodne równanie falowe:

\square A_{\mu}=\mu_{0}j_{\mu}.

Tam gdzie nie ma ładunków ani prądów, otrzymujemy równanie falowe dla czteropotencjału. W tej formie równania Maxwella wyglądają więc następująco:

\begin{cases} \square A_{\mu}=\mu_{0}j_{\mu}\\ \partial^{\mu}A_{\mu}=0.\end{cases}

W tej postaci mamy tylko jedno równanie na czterowektor plus warunek cechowania. Czyli w istocie pole elektromagnetyczne nie potrzebuje sześciu składowych (po trzy dla pola elektrycznego i magnetycznego), wystarczą cztery, a nawet nieco mniej, ze względu na warunek cechowania, który ogranicza możliwości.

Ad 3 Ostatni punkt: zasada zachowania ładunku. Wynika ona z równania (1), gdy weźmiemy jego pochodną:

\partial^{\nu}\partial^{\mu}F_{\mu\nu}=0=\mu_{0} (\partial^{\nu}j_{\nu}).

Pierwsza równość pochodzi stąd, że pochodne możemy przestawiać bez zmiany znaku, natomiast tensor F_{\mu\nu} jest antysymetryczny. Tak przy okazji, nazywa się często F_{\mu\nu} tensorem Faradaya, oczywiście Michael Faraday nie miał pojęcia o tensorach, odkrył jednak, że zmienne pole magnetyczne generuje pole elektryczne. Ostatnie wyrażenie to uogólnienie dywergencji na cztery wymiary:

\dfrac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\vec{j}=0.

Ostatnie równanie znaczy tyle, że jeśli w danym punkcie prąd wypływa, to gęstość ładunku musi odpowiednio maleć. Ładunek jest zachowany, i to lokalnie: aby wypłynął z danej objętości, musi przeciąć powierzchnię, która tę objętość ogranicza. Jeśli był, a teraz go nie ma, to znaczy, że musiał przejść przez granicę.

Równania Maxwella zapisane jak wyżej nie tylko wyglądają prościej, ale wskazują jawnie, że teoria jest relatywistycznie kowariantna, tzn. zgodna z teorią względności. To nie koniec zalet takiego podejścia: okazuje się, że w teorii grawitacji Einsteina postać równań Maxwella jest właściwie taka sama.