Leibniz, Newton i liczba pi (1676)

W roku 1676 dobiegł końca czteroletni pobyt Gottfrieda Wilhelma Leibniza w Paryżu. Teologiczno-dyplomatyczne cele jego misji nie zostały osiągnięte, Leibniz zetknął się jednak w Paryżu z najnowszymi naukami ścisłymi, w szczególności zajął się bliżej matematyką. Były to najświetniejsze lata paryskiej działalności Christiaana Huygensa, którego traktat o zegarze wahadłowym wtedy właśnie ujrzał światło dzienne. Leibniz chłonął nowości i robił szybkie postępy. Już w roku 1673 udało mu się znaleźć słynne przedstawienie liczby pi za pomocą szeregu. Odkrycie to zrobiło spore wrażenie zarówno na paryskich uczonych, jak i na samym odkrywcy, zachęcając go do dalszej pracy w dziedzinie matematyki (w przypadku uczonego tak wszechstronnie uzdolnionego, jak Leibniz, wybór dziedziny nie był bynajmniej czymś oczywistym). Dwa lata później odkrył Leibniz rachunek różniczkowy i całkowy. Ale szereg stanowił wciąż jego powód do dumy. Toteż pochwalił się nim, pisząc w roku 1676 do Henry’ego Oldenburga, sekretarza londyńskiego Royal Society. Z pewnym niedowierzaniem dowiedział się, że „jego” szereg znany jest na Wyspach. Było to trochę tak, jakby ktoś wracając z Princeton z wynikiem, który wszystkich zachwycił, usłyszał, że w Rosji na prowincji dawno już o tym wiedzą.

Szereg to uogólnienie sumy na przypadek nieskończonej liczby wyrazów. Znanym przykładem jest szereg geometryczny. Np.

Co można zilustrować dzieleniem pola kwadratu jednostkowego na kolejne połowy.

Oczywiście, nie zawsze suma taka jest dobrze określona. Jednym z najprostszych nieoczywistych szeregów jest szereg harmoniczny, odwrotności kolejnych liczb naturalnych:

Można łatwo pokazać, że szereg ten jest rozbieżny, tzn. jego sumy częściowe przekraczają dowolną z góry zadaną liczbę – należy tylko zsumować odpowiednio wiele składników. Podobnie rozbieżny jest szereg odwrotności liczb nieparzystych (mimo że z poprzedniego szeregu wybraliśmy jedynie co drugi wyraz):

Nawet gdy ograniczymy się jedynie do odwrotności liczb pierwszych, szereg pozostanie rozbieżny, ten ostatni fakt udowodnił Leonhard Euler.

Szereg Leibniza ma następującą postać:

Jest on naprzemienny, tzn. znaki kolejnych wyrazów się przeplatają. Szereg taki na pewno jest zbieżny, jeśli tylko jego wyraz ogólny dąży do zera. Nie zawsze jednak łatwo jest znaleźć wartość takiej sumy. Leibnizowi udało się odkryć powiązanie z liczbą , znaną z geometrii. Na pierwszy rzut oka nie ma żadnych powodów, aby taki szereg, zbudowany za pomocą prostej arytmetyki, doprowadzić miał do liczby . Stąd wrażenie, jakie to odkrycie wywarło. Jak ujął to dwudziestowieczny matematyk K.H.D. Knopp: „Dzięki temu rozwinięciu opadła jakby zasłona spowijająca tę dziwną liczbę []”.

Za pośrednictwem Oldenburga Isaac Newton reprezentował wyspiarzy. Profesor z Cambridge (które było wtedy matematyczną pustynią) przesłał mu dwa obszerne listy z przeznaczeniem dla Leibniza. Newton znany był wtedy w Europie jedynie z prac optycznych. Był jednak, i może przede wszystkim, matematykiem, najwybitniejszym w tamtej epoce. Derek T. Whiteside poświęcił najlepsze lata życia na wydanie jego rękopisów matematycznych w ośmiu ogromnych tomach. Większość tego materiału z różnych powodów nie ukazała się drukiem za życia Newtona. W chwili gdy napisał Leibniz, Newton był – by tak rzec – w trakcie czwartego tomu swoich dzieł, dawno po odkryciu rachunku fluksji i fluent, czyli swojej wersji rachunku różniczkowego i całkowego (a jak zwykle u matematyków pierwsze tomy dzieł zebranych są najciekawsze). Obaj uczeni chwalili się wynikami, nie przedstawiając dowodów i tylko mgliście napomykając o rachunku. Tak się składa, że rozwinięcia w szereg stanowiły inny ulubiony temat Newtona. Odkrył np., że naprzemienny szereg harmoniczny związany jest z wartościami funkcji logarytmicznej:

Przemawiała do niego elegancja samych rozwinięć, a także ich aspekt praktyczny: pozwalały one obliczać wartości różnych funkcji albo stałych matematycznych, takich jak . Posługując się odkrytym przez siebie rozwinięciem w szereg funkcji logarytmicznej, młody Isaac Newton obliczył kiedyś dla zabawy wartość

.

Prócz ludycznego miało to też aspekt praktyczny. Tablice logarytmów stosowane były w geodezji, nawigacji, astronomii. Znając z dużą dokładnością jedną lub kilka wartości logarytmu, można zbudować tablice, już z mniejszą liczbą cyfr znaczących (ze względu na błędy zaokragleń). Newton znał oczywiście szereg Leibniza. Zrewanżował mu się innym szeregiem, łudząco podobnym:

Dokumenty Leibniza pokazują, że mimo wskazówki, jak można ten szereg otrzymać, sztuka ta nie udała się Leibnizowi.

Henry Oldenburg niedługo później zmarł i Newton stracił na długo kontakt z Royal Society i z szerszym światem. Zresztą w tamtych latach pochłaniała go raczej teologia niż matematyka. Żaden z nich nie opisał drugiemu rachunku różniczkowego i całkowego. Po latach obaj zaczęli podejrzewać tego drugiego o kradzież intelektualną. Był to objaw paranoi, o którą nietrudno było w sytuacji, gdy matematycy chętniej publikowali wyniki niż metody zastosowane do ich uzyskania.

Spójrzmy na koniec na szczegóły. Otóż Leibniz, czytając pewien artykuł Pascala, wpadł na pomysł, aby szukanie pola pod jedną krzywą przekształcić w szukanie pola pod inną krzywą. Nazwał to metodą transmutacji. Opierała się ona na następującej obserwacji.

Rysujemy styczną do krzywej w pewnym punkcie, przecina ona oś w pewnym punkcie. Rozpatrujemy następnie krzywoliniowy „trójkąt” złożony z małego odcinka krzywej i dwóch boków równoległych do osi. Gdy ów „trójkąt” staje się coraz mniejszy, zbliża się do prawdziwego trójkąta. Możemy napisać proporcję

Pola infinitezymalnego (=„nieskończenie małego”) trójkąta utworzonego z dwóch promieni wodzących (linie przerywane) i odcinka krzywej równe jest . Sumując takie pola, czyli całkując, możemy obliczyć pole skończonego wycinka krzywej. Korzystając zaś z powyższej proporcji pole to można zamienić polem pewnej innej krzywej : . Wynik ten może się przydać, jeśli zamiana jednej krzywej drugą prowadzi do uproszczenia problemu. Leibniz zastosował swoją metodę do okręgu.

Leibniz chciał obliczyć pole ćwiartki koła (, składającej się z wycinka kołowego i trójkąta. Pole wycinka znaleźć można obliczając pole pod krzywą , która ma równanie zapisane na rysunku. Łatwiej jest obliczyć pole między osią a krzywą:

Szczegóły rachunku znaleźć można tutaj. Ostatecznie otrzymujemy

Ułamek po prawej stronie zastępujemy szeregiem geometrycznym:

i całkujemy wyraz po wyrazie. Wynik Newtona uzyskuje się z całki

Całkę po prawej stronie rozwijamy w szereg jw. Leibniz nie znał, jak się wydaje, rozkładu na czynniki

Johann Bernoulli i krzywa łańcuchowa (1690)

Matematycy XVII wieku lubili badać rozmaite osobliwe krzywe i uwielbiali chełpić się swoimi umiejętnościami. Krzywe stożkowe: elipsa, parabola i hiperbola, czyli krzywe opisywane równaniami drugiego stopnia, już im nie wystarczały. Isaac Newton przeprowadził klasyfikację wszystkich krzywych trzeciego stopnia, co jest znacznie trudniejsze niż dla drugiego stopnia. Chętnie też zajmowali się krzywymi powstającymi wskutek ruchu (jak cykloida) albo jako rozwiązanie pewnego problemu z mechaniki. Jedną z takich krzywych była linia łańcuchowa, czyli kształt, jak przyjmuje giętki i ciężki łańcuch zawieszony na dwóch końcach.
Jeszcze w XVI wieku młody Galileusz starał się poznać kształt krzywej łańcuchowej, sądząc, że jest to ta sama krzywa, jaką zakreśla rzucone ciało. Prowadził wraz z Guidobaldem del Monte eksperymenty, aby porównać obie krzywe. Krzywą balistyczną rysowali puszczając kulkę zamoczoną w atramencie po równi pochyłej, jak na obrazku.

Okazało się, że krzywa balistyczna przypomina parabolę, lecz krzywa łańcuchowa różni się od niej znacząco. Jak wiemy, Galileuszowi udało się znaleźć mechaniczne wyjaśnienie dla krzywej balistycznej. Jednak kształtu krzywej łańcuchowej nie potrafił opisać matematycznie.
W 1690 roku Jacob Bernoulli, matematyk z Lozanny, rzucił na łamach „Acta Eruditorum” – pierwszego niemieckiego czasopisma naukowego, założonego z inicjatywy Leibniza – wyzwanie do innych matematyków, by opisali kształt krzywej łańcuchowej. Jeszcze w tym samym roku zagadnienie to rozwiązali Gottfried Wilhelm Leibniz, a także młodszy brat Jacoba, dwudziestoczteroletni Johann, kształcący się na medyka. Kilka lat wcześniej Leibniz w tym samym czasopiśmie ogłosił zarysy rachunku różniczkowego i całkowego. Bracia Bernoulli pilnie przestudiowali tę technikę formułowania i rozwiązywania problemów, obaj też wkrótce przewyższyli Leibniza, zwłaszcza Johann, który stał się szybko jednym z mistrzów rachunku różniczkowego i całkowego. Ambitny Johann nie został medykiem (podobnie jak niegdyś Galileusz). Niedługo później zrobił furorę w matematycznych kręgach Paryża. Jego wykłady częściowo opublikował pod swoim nazwiskiem markiz de L’Hôpital (któremu Johann sprzedał wyniki), druga ich część opublikowana została dopiero pół wieku później w t.3 Opera omnia Johanna.
Po roku „Acta Eruditorum” opublikowały wyniki Leibniza, Huygensa i Johanna Bernoulliego, lecz bez dowodów. Ówcześni matematycy niechętnie ujawniali metody, woleli raczej drażnić konkurentów swymi umiejętnościami.
Praca Christiaana Huygensa była niezadowalająca, stary mistrz nie znał nowych technik. Rozpatrywał łańcuch zbudowany z odcinków i próbował wykonać przejście graniczne do krzywej ciągłej, gdy długość każdego odcinka dąży do zera. Leibniz podał rozwiązanie w najprostszy sposób jako konstrukcję średniej arytmetycznej z dwóch krzywych wykładniczych („curva logarithmica”). Kilka lat później Leibniz opisał szczegółowo swoje rozwiązanie w liście do Huygensa. Nie było ono zbyt eleganckie, lecz ukazywało siłę metody postępowania, dzięki której nawet mało inteligentne podejście do problemu dawało się skutecznie przeforsować. Sam Jacob nie zdołał rozwiązać problemu i niezbyt mu się podobało, że dokonał tego jego młodszy brat.

Johann Bernoulli wyraził swoje rozwiązanie w postaci pola pod pewną krzywą, czyli całki. Przeanalizował też szczegółowo cały problem i rozwiązał go w sposób zdecydowanie elegantszy. Podał szereg twierdzeń, które przedstawione są na kolejnych rysunkach.

Punktem wyjścia jest zasada następująca: (Fig. 131) siły działające w dwóch dowolnych punktach A i C po różnych stronach minimum mają kierunek styczny do krzywej (łańcuch jest giętki) i muszą dodane wektorowo zrównoważyć ciężar łańcucha pomiędzy A i C. Środek ciężkości odcinka AC łańcucha znajdzie się dokładnie nad punktem D. Jeśli (Fig. 133) utniemy jakiś kawałek łańcucha, np. powyżej F, pozostała część nie zmieni kształtu. W szczególności (Fig. 132 i 135) możemy wybrać jako jedną z sił styczną w minimum, pozwala to szczególnie prosto sformułować warunek, jaki musi spełniać nasza krzywa. Fig. 136 daje konstrukcję Leibniza, równoważną Fig. 137 konstrukcję Johanna.
Podstawowa własność krzywej łańcuchowej daje się odczytać ze współczesnej wersji Fig. 132.

Aby utrzymać w równowadze odcinek łańcucha o długości i ciężarze potrzebna jest równa temu ciężarowi składowa pionowa siły (fioletowa). Składowe poziome (czerwone) równoważą się nawzajem, co oznacza, że składowa pozioma jest niezależna od wysokości. Możemy więc zapisać dla naszej krzywej

Nachylenie stycznej proporcjonalne jest do odległości od minimum. Bez zmniejszenia ogólności możemy przyjąć, że stała proporcjonalności równa jest 1 – możemy to zawsze osiągnąć wybierając odpowiednio jednostkę długości. Reszta jest zastosowaniem cudownej metody Leibniza (*), która szybko prowadzi do wyniku:

Obecnie sumę taką jak w kształcie krzywej łańcuchowej zapisujemy jako cosinus hiperboliczny: algebra funkcji hiperbolicznych jest podobna do trygonometrycznych, z tą istotną różnicą, że jedynka trygonometryczna zastąpiona jest wyrażeniem i pochodna cosinusa hiperbolicznego jest równa sinusowi hiperbolicznemu (bez minusa).
Krzywa łańcuchowa różni się od paraboli tym bardziej, im dalej od minimum się znajdziemy.

(*) Oznaczmy pochodną szukanej funkcji przez . Różniczkując obie strony równania krzywej łańcuchowej, otrzymujemy

Stąd

Całkę możemy obliczyć korzystając z jedynki hiperbolicznej: . Podstawiając , mamy i po lewej stronie zostaje całka z 1:

Możemy wziąć sinh z obu stron, otrzymamy wówczas

Całkując ostatnią równość, otrzymujemy . Stałe całkowania powinny być równe 0, jeśli chcemy mieć wykres taki, jak na obrazkach powyżej.

Thomas Wright: kosmos jako ogród Boga (1750)

Kopernik odebrał Ziemi wyjątkowy status ciała centralnego, ciężkiego i bezwładnego, zbudowanego z innej materii niż świetliste i lekkie ciała niebieskie. Bardzo to uwierało rzymską Kongregację Indeksu, która w 1620 roku ogłosiła „korektę” dzieła, zalecając na użytek wiernych poprawki, np. „Ziemia nie jest gwiazdą (tzn. ciałem niebieskim), jaką ją czyni Kopernik”. Autor nie żył już od niemal osiemdziesięciu lat, ale nic to: poprawki mogli wprowadzić samodzielnie czytelnicy, by ich własne oko nie musiało się gorszyć (a przyjaciele nie donieśli komu trzeba). Jak wykazała kwerenda Owena Gingericha do zaleceń tych zastosowano się jednak niechętnie, nawet w Italii i Hiszpanii, a więc krajach ultrakatolickich, nieskażonych zarazą protestantyzmu. Poza tym im dalej od Rzymu, tym gorzej.

Zakazy kościelne okazały się patetycznie bezsilne wobec fali nowej nauki wzbierającej nawet w Italii, gdzie po skazaniu Galileusza należało uciekać się do rozmaitych wybiegów. Np. Giovanni Alfonso Borelli ogłosił teorię ruchu księżyców Jowisza, choć w oczywisty sposób chodziło mu o ruch planet wokół Słońca. Matematycznie było to to samo, a nie drażniło się inkwizycji. Nauki ścisłe i eksperymentalne opuszczały jednak Italię i rozkwitały głównie w Anglii, Holandii i Francji, dokąd nie sięgały zakazy teologów rzymskich. Protestanci z upodobaniem głosili poglądy sprzeczne z tym, co głosili „papiści”. Korelacja wyznania i wkładu do rewolucji naukowej w XVII i XVIII wieku jest wyraźna. Różnica kulturowa między Europą północno-zachodnią a południowo-wschodnią stawała się coraz głębsza. Protestantyzm był tu zresztą raczej symptomem niż przyczyną. Chrześcijaństwo Lutra i Kalwina było oczyszczone i odnowione, starało się „odczarować” świat, odrzucając magiczne aspekty religii. Tamten podział Europy istnieje do dziś, podobnie jak w badaniach społecznych widać granice zaborów w Polsce.

Uznanie wszechświata za nieskończony a Słońca za jedną gwiazd (w dzisiejszym znaczeniu tego słowa, a więc ciała niebieskiego, które świeci w zakresie widzialnym) nie wynikało z kopernikanizmu w sensie logicznym, ale było jego naturalną konsekwencją. Galileusz bardzo podkreślał, że nie tylko Ziemia nie spoczywa w środku świata, ale wszechświat zapewne nie ma w ogóle żadnego środka. Nie zgadzał się z tym jego największy współczesny Johannes Kepler, który wierzył, że Słońce spoczywa w centrum świata, a gwiazdy są światłami na nieruchomej sferze niebieskiej. Po Isaacu Newtonie nieskończony wszechświat wydawał się jedyną realną możliwością: gwiazdy w skończonym i statycznym wszechświecie musiałyby się zapaść grawitacyjnie do wspólnego środka masy. Nieskończony wszechświat mógłby teoretycznie znajdować się w stanie równowagi nietrwałej. Sytuację taką zasugerował teolog Richard Bentley w listownej dyskusji z Newtonem, a ten niechętnie uznał to za możliwe. Sam raczej sądził, że grawitacja wywołuje rzeczywiście niestabilność, ale Stwórca od czasu do czasu daje prztyczka ciałom niebieskim, aby je przywołać do porządku bądź zbudować nowy porządek. Na przykład księżyce Jowisza mogłyby być zapasowymi planetami trzymanymi na przyszłość. Hipoteza nieskończonego wszechświata prowadziła też niektórych do wniosku, że niebo w nocy powinno świecić jak powierzchnia Słońca. To poważne zastrzeżenie, które Newton, a właściwie Halley starał się obalić niezbyt przekonującymi argumentami.

Protestancka swoboda spekulacji kosmologicznych zaowocowała sporą liczbą różnych traktatów, w których starano się pogodzić prawo ciążenia i dane astronomiczne z Pismem św. Nie było tu mrożącego efektu inkwizycji. Nie tylko teologowie, ale różnego rodzaju samoucy zastanawiali się nad budową i dziejami wszechświata. Do tej ostatniej kategorii zaliczał się Thomas Wright, który niewiele chodził do szkoły. Jako syn cieśli nie mógł liczyć na głębszą edukację, tym bardziej że rozgniewany ojciec spalił mu kiedyś książki, nad którymi jego zdaniem syn spędzał zbyt wiele czasu. Terminował w zawodzie zegarmistrza, potem w sztuce budowania przyrządów nawigacyjnych. Uczył nawigacji marynarzy spędzających zimy na handlu węglem i czekaniu na sezon żeglugowy. Z czasem uczył także nauk matematycznych w domach arystokratycznych, zaczął też projektować ogrody, na co był spory popyt.

W roku 1750 Wright ogłosił książkę pt. An original theory or new hypothesis of the Universe. Obiecywał w niej wyjaśnić ni mniej, ni więcej tylko budowę wszechświata, trzymając się praw natury i zasad matematycznych – zwłaszcza te ostatnie po Newtonie były w cenie. Dzięki tej modzie wiele dam spośród arystokracji pragnęło poznać tajniki nauk ścisłych i interesowało się astronomią. Szczególną wagę przywiązywał Wright do wyjaśnienia „zjawiska Via Lactea” – czyli Drogi Mlecznej na niebie. Można przypuszczać, że słuchaczki zadawały mu często pytanie, czym jest owa Droga Mleczna. W tamtych czasach marnego oświetlenia nie sposób było nie znać widoku nocnego nieba.

Już Galileusz po pierwszych obserwacjach przez teleskop twierdził, że Droga Mleczna to nagromadzenie słabych gwiazdek, które zlewają się w jednolitą poświatę. W czasach Wrighta wiedziano więcej na temat odległości gwiazd. Przede wszystkim starano się wykryć paralaksę roczną – zjawisko pozornego przemieszczania się gwiazd po sferze niebieskiej w rytmie obiegów Ziemi wokół Słońca. Albo Kopernik nie miał racji, albo gwiazdy były bardzo daleko. Ponieważ po Newtonie system heliocentryczny nabrał sensu fizycznego, więc należało przyznać, że odległości gwiazd od Słońca są niewiarygodnie wielkie. Paralaksa roczna z pewnością nie przekraczała 20”, na co wskazywały obserwacje Jamesa Bradleya. Oznaczałoby to, że gwiazdy są dalej niż 1000 odległości Saturna od Słońca. Można też było oszacować tę odległość na podstawie obserwowanej jasności. Należało wówczas założyć, że gwiazdy są takie jak Słońce i ich obserwowana jasność jest wyłącznie skutkiem ich oddalenia od nas. Newton szacował na tej podstawie, że odległość jasnych gwiazd jest rzędu 100 000 odległości Saturn-Słońce (*). Wszechświat był zatem bardzo pusty i gdyby nawet miał się zapaść, to nie nastąpiłoby to zbyt szybko – musimy pamiętać, że wiek świata liczono w tysiącach lat, zgodnie z Biblią. Newton (nb. fundamentalista biblijny) podał jednak oszacowanie wieku Ziemi na podstawie eksperymentów z czasem stygnięcia na co najmniej 50 000 lat. Wright następująco przedstawił znany wówczas Układ Słoneczny wraz z wydłużonymi orbitami komet (w roku 1750 nie zaobserwowano jeszcze żadnego przypadku komety okresowej).

Odległość do Syriusza, najjaśniejszej gwiazdy na niebie, a więc zapewne także najbliższej przedstawił Wright na środkowym rysunku poniżej (nie udało mu się zachować proporcji). Na dolnym mamy proporcje orbit planetarnych, ukazujące, jak pusto jest nawet w samym Układzie Słonecznym.

Najważniejsze wszakże miało być objaśnienie, czemu widzimy Drogę Mleczną. Najlepiej przedstawia to rysunek.

Jeśli Słońce jest gwiazdą A na rysunku i znajduje się wewnątrz płaskiego zbiorowiska gwiazd, to patrząc w kierunku H albo D widzimy wiele gwiazd, a w kierunku B i C niezbyt wiele. W ten sposób układ gwiazd będzie nam się jawił jako pas wokół sfery niebieskiej.

Mniej więcej w tym miejscu kończy się wkład Wrighta do kosmologii i astronomii. Recenzję z jego książki, bez rysunków, przeczytał w pewnym czasopiśmie pewien zupełnie nieznany magister na prowincjonalnym uniwersytecie w Królewcu. Nazywał się Immanuel Kant i kilka lat później zainspirowany pomysłami Wrighta napisał całą książkę na temat wszechświata. Długo pozostawała ona nieznana, właściwie zwrócono na nią uwagę dopiero po latach, kiedy Kant zdobył sławę, lecz nie jako astronom, tylko jako twórca systemu filozofii.

Thomas Wright nie ograniczył się do tego, co wiadomo z obserwacji i teorii naukowych. Pragnął przede wszystkim zbudować model wszechświata, w którym jest przestrzenne miejsce dla Zbawienia i Potępienia. Jak niemal wszyscy wówczas, traktował dane religijne jako równie pewne jak naukowe. Tradycyjny średniowieczny model świata zawierał Piekło w środku Ziemi i Raj poza sferą gwiazd stałych. Wright spróbował niejako przenicować ten model: w środku miał się znajdować Raj, na zewnątrz, w ciemnościach, Piekło.

Pomysł Wrighta polegał na tym, że wszechświat jest trwały, bo gwiazdy poruszają się po orbitach wokół centrum. Nieporządek wśród gwiazd jest pozorny, patrzymy po prostu z niewłaściwego miejsca. Wcześniej o czymś takim rozmyślał Johannes Kepler, który pisał:

Musielibyśmy bowiem uznać, że Bóg uczynił coś w świecie bez powodu, nie kierując się najlepszymi racjami. Nikt nie przekona mnie do takiego poglądu, gdyż sądzę, że [rozumny ład] panuje nawet wśród gwiazd stałych, których położenia wydają nam się zupełnie bezładne, niczym ziarno rzucone przypadkiem w zasiewie. (Tajemnica kosmosu, rozdz. 2)

Wright go chyba nie czytał, zaczerpnął pomysł zapewne od Williama Whistona, arianina i następcy Newtona na katedrze Lucasa w Cambridge (Whiston miał poglądy religijne zbliżone do Newtona, lecz w odróżnieniu od swego poprzednika głosił je otwarcie, toteż go zwolniono).

Gdyby nasza perspektywa była taka jak Stwórcy, dostrzeglibyśmy ład.

Rzeczywisty obraz wszechświata jest bowiem taki

Słońce A zawarte byłoby wewnątrz ogromnej cienkiej powłoki kulistej. Inną rozpatrywaną przez śmiałego ogrodnika możliwość przedstawia rysunek poniżej:

Takich systemów gwiezdnych miało być nieskończenie wiele.

Oczywiście, wszystko to było czystą fantazją Thomasa Wrighta, który z upodobaniem mieszał rozmaite symbole chrześcijańskie, masońskie i starożytne. Zachował się następujący plan ogrodu kuchennego autorstwa Wrighta, wzorowany na kosmosie.

(*) Interesujące są szczegóły oszacowania odległości do gwiazd. Newton podał je w swoim De mundi systemate liber, czyli popularnej wersji III księgi Matematycznych zasad filozofii przyrody. Metoda opublikowana została w 1668 roku przez szkockiego matematyka Davida Gregory’ego. Co zabawne, oszacowanie to znalazło się w książce opublikowanej w Padwie, a więc za zgodą władz kościelnych, które widocznie nie przyglądały się zbyt dokładnie zawartości książki albo cenzor uznał, że formalnie jest to tylko hipoteza, a więc nie twierdzenie i nie może przeczyć prawdzie natchnionego tekstu. Trudność była w porównaniu jasności Słońca z jasnością jakiejś gwiazdy, nikt nie potrafił wówczas mierzyć jasności. Tak się jednak składa, że planeta Saturn ma średnicę kątową 17” albo 18”. Saturn świeci dla oka niezuzbrojonego jak gwiazda pierwszej wielkości. Znaczy to, że na tę planetę pada światła słonecznego, bo w takiej proporcji jest pole powierzchni dysku planety do pola powierzchni sfery o promieniu równym wielkości orbity Saturna. mamy

Wielkość w nawiasie to promień dysku Saturna w radianach. Jeśli przyjmiemy, że jedna czwarta światła słonecznego jest odbijana od powierzchni Saturna, to znaczy, że dysk Saturna świeci razy słabiej niż Słońce. A więc gwiazda pierwszej wielkości jest razy dalej niż Saturn. Zaokrąglając w górę, otrzymał Newton wartość 100 000. Gregory otrzymał z podobnego rachunku 83 190 jednostek astronomicznych, czyli odległości Ziemia-Słońce, a więc o rząd wielkości mniej. Istniało też oszacowanie Huygensa 27 664 jednostek astronomicznych.

Statyczny wszechświat nie może być stabilny, ten problem przenosi się na teorię grawitacji Einsteina. W przypadku Newtonowskim można łatwo oszacować z III prawa Keplera czas spadku gwiazdy na Słońce, byłby on dla danych Newtona rzędu liczba to okres obiegu Saturna w latach.

Najmniejsze działanie: od kształtu liny do zasady Hamiltona

Isaac Newton nie traktował trzech zasad dynamiki jako swego szczególnie ważnego odkrycia; sądził, że formułuje tylko fakty znane wcześniejszym badaczom, takim jak np. Christiaan Huygens. Jednak to jego sformułowanie okazało się kanoniczne i trafiło do podręczników. Nie jest to zupełny przypadek: zasady te pozwoliły bowiem zbudować konsekwentną naukę o ruchu i określiły sposób myślenia jego następców. Newton pojawił się w odpowiedniej chwili historycznej, gdy kwestia ruchu w mechanice dojrzała do ścisłego przedstawienia i kiedy pojawiła się stosowna matematyka – czy to w postaci rachunku fluksji samego Newtona, czy rachunku różniczkowego i całkowego Leibniza i Johanna Bernoulliego.

Mechanikę można sformułować na kilka innych sposobów. Zwłaszcza Newtonowskie pojęcie siły jest było nowatorskie i zapewne by się nie pojawiło, gdyby nie samotnik z Cambridge. Nauki ścisłe także są konstrukcją ludzką i tylko częściowo odkrycia w nich przypominają odkrycia geograficzne: kto pierwszy zobaczy wyspę Kuba, automatycznie staje się jej odkrywcą. Nie ma tu bowiem platońskiego świata idei do odkrycia, a w każdym razie idee te mogą przyjmować zupełnie różne kształty i ich zarysy stają się widoczne dopiero wtedy, kiedy ktoś taki jak Albert Einstein albo Andrew Wiles je nam wskaże.

We współczesnej fizyce, zarówno klasycznej, jak kwantowej, najważniejszym sposobem zapisywania praw są zasady najmniejszego działania (in. zasady wariacyjne). Historycznie pojawiły się one później niż Newtonowskie siły, ich znaczenie stopniowo jednak rosło. Gdyby Albert Einstein dostatecznie mocno wierzył w zasady wariacyjne, to zapewne sformułowałby równania swej teorii grawitacji kilka lat wcześniej, jeszcze w Zurychu, a nie w Berlinie, oszczędzając sobie mnóstwa ciężkiej pracy i frustracji z powodu niepowodzeń. Klasyczne zasady najmniejszego działania nabrały nowego sensu w fizyce kwantowej, w Feynmanowskich sumach po historiach. Model Standardowy cząstek elementarnych, czyli sumę naszej wiedzy o mikroświecie, też zapisuje się za pomocą działania.

Poniżej przedstawimy dwa przykłady pokazujące, jak  można sformułować mechanikę w postaci zasad najmniejszego działania.

Kształt ciężkiej liny

Chcemy znaleźć kształt, jaki przyjmie ciężka lina zaczepiona w dwóch punktach.Stan równowagi odpowiada minimalnej energii całkowitej.

Mamy tu do czynienia z dwoma rodzajami energii. Z jednej strony działa grawitacja: im niżej znajdzie się dany element liny, tym niższa będzie jego energia potencjalna. Odcinek liny odpowiadający małemu przedziałowi będzie miał masę i jego energia potencjalna będzie równa ( jest przyspieszeniem ziemskim):

Drugim rodzajem energii jest tu energia sprężysta. Wyobraźmy sobie, że zależy ona tylko od wydłużenia naszej liny i dla jej małego elementu równa jest

gdzie jest siłą napięcia liny.

Dla uproszczenia rachunków ograniczymy się do przypadku, gdy nasza lina ma niewielką strzałkę ugięcia, czyli jest znacznie mniejsze niż . Możemy wtedy przekształcić wyrażenie na energię sprężystą następująco:

W równości przybliżonej skorzystaliśmy z przybliżenia , słusznego dla wartości . Zauważmy, że działa ono nieźle nawet dla stosunkowo dużych wartości , np. otrzymujemy zamiast , co oznacza błąd poniżej 10%.

Mamy więc dwa wkłady do energii: energia potencjalna obniża się, gdy dany odcinek liny znajdzie się niżej, ale żeby to było możliwe, lina musi się wydłużyć, co powiększa jej energię sprężystą. Pytanie, jakie sobie stawiamy, brzmi: jak znaleźć krzywą opisującą kształt liny?

Energia całkowita naszej liny jest równa

Jeśli zadamy krzywą i wstawimy ją do powyższego równania, to dostaniemy energię odpowiadającą danemu kształtowi. Matematycy mówią, ze mamy funkcjonał: czyli funkcji przypisujemy pewną liczbę. Dziedziną naszego funkcjonału jest zbiór różnych funkcji, które mogłyby opisywać kształt naszej liny.

Jak znaleźć minimum energii? Metodę postępowania podał w roku 1755 pewien bystry dziewiętnastolatek, Joseph Lagrange, w liście do słynnego Leonharda Eulera. Wyobraźmy sobie, że daną funkcję nieznacznie zmienimy na . Jak wtedy zmieni się nasz funkcjonał? Łatwo pokazać, że zmiana energii jest w naszym przypadku równa

(*)

Pominięte zostały wyrazy zawierające  . Funkcja (tzw. wariacja, czyli zmiana, ) jest dowolna. W minimum niewielka wariacja  nie powinna wpływać na wartość funkcjonału: kiedy jesteśmy już na dnie, to jest nam wszystko jedno, w którą stronę się przesuniemy, i tak będziemy na dnie. Jest to słuszne tylko w pierwszym przybliżeniu, gdy możemy pominąć wkłady kwadratowe i wyższe wariacji funkcji. Zatem warunkiem na minimum jest znikanie wariacji funkcjonału:

Ostatnia równoważność wynika stąd, że znikanie całki z nawiasu razy dowolna (niewielka) funkcja musi oznaczać, iż ten nawias jest równy zeru dla każdego .

Dwa wnioski: ogólny i szczegółowy.

Wniosek ogólny: Warunkiem minimum funkcjonału jest spełnienie pewnego równania zawierającego pochodną.

Wniosek szczegółowy: W naszym przypadku równanie to stwierdza, że druga pochodna ma być stała. Znaczy to, że pierwsza pochodna jest funkcją liniową, a sama funkcja jest kwadratowa, kształt krzywej to parabola. Żeby się te rozważania nie wydawały zbyt abstrakcyjne, proszę spojrzeć na obrazek.

Akashi Kaikyō Bridge, Wikipedia

Ruch rzuconego ciała

Teraz zapomnijmy o fizycznej treści poprzedniego punktu, pozostańmy przy samej matematyce: takie same równania mają takie same rozwiązania, jak uczył Feynman. Jeżeli wziąć za zmienną niezależną czas zamiast , to stała druga pochodna oznacza, ze mamy stałe przyspieszenie, czyli ruch w polu grawitacyjnym Ziemi. Możemy nieco zmienić oznaczenia , zamiast napiszmy , bo tak się standardowo oznacza działanie. Mamy więc zasadę wariacyjną i równoważne jej równanie różniczkowe:

gdzie działanie równe jest

Zamiast równań Newtona dla rzuconego ciała, możemy zażądać, aby znikała wariacja z działania. W naszym przypadku nadal rozwiązaniem jest parabola.

Zmieniła się jej interpretacja fizyczna: teraz opisujemy ruch jednowymiarowy, rzut pionowy. Skądinąd wiemy, że rozciągnięty w czasie rzut pionowy będzie miał kształt paraboli (mówimy tu o krzywej we współrzędnych ). Jeśli przyjrzeć się postaci działania, to oba składniki w nawiasie powinny nam się kojarzyć z energią kinetyczną i potencjalną:

 

Otrzymujemy w ten sposób zasadę Hamiltona najmniejszego działania. Równania, które z niej wynikają, nazywają się, żeby rzecz całą zagmatwać, równaniami Lagrange’a (są one równoważne zasadom dynamiki Newtona). Funkcja pod całką nazywa się lagranżianem i jest równa: . Należy zwrócić uwagę, że nie jest energią całkowitą, lecz różnicą energii kinetycznej i potencjalnej – przechodząc od liny do rzutu, zmieniliśmy znak. Zasada najmniejszego działania oznacza, że jeśli nieco zmienimy ruch w stosunku do ruchu rzeczywistego, to działanie się nie zmieni. Funkcje, które rozpatrujemy, zaczynają się w chwili 0 w punkcie i kończą w tym samym punkcie w chwili . Można wybrać dowolne punkty przestrzeni, ustalony jest tu natomiast przedział czasu. Wszystkie rozpatrywane funkcje zaczynają się i kończą w tych samych chwilach i w tych samych dwu punktach. Rzeczywisty ruch cząstki spełnia zasadę najmniejszego działania.

Sformułowanie mechaniki za pomocą zasady Hamiltona ma wiele różnych zalet matematycznych, o których teraz nie będziemy pisać. Pojawiło się stosunkowo późno, bo w XIX wieku, choć zasada najkrótszego czasu w optyce znana była dwa stulecia wcześniej. Sam fakt, że na ruch można spojrzeć w taki sposób, jest interesujący i nowatorski. Polecam zupełnie elementarny wykład Feynmana na temat tej zasady.

Uwaga: Znikanie wariacji nie musi oznaczać minimum, tak samo jak znikanie zwykłej pochodnej funkcji niekoniecznie oznacza, że mamy do czynienia z minimum: może to być maksimum albo punkt przegięcia. Zwyczajowo mówi się o najmniejszym działaniu, choć w konkretnych przypadkach bywa to maksimum.

(*) Warto może przedstawić krótko procedurę obliczania wariacji funkcjonału. Sztuka polega na scałkowaniu przez części: jest to krok powtarzany do skutku we wszystkich obliczeniach wariacji. Chodzi o to, żeby zamiast mieć . Operacje różniczkowania i brania wariacji są przemienne, bo pochodna różnicy to różnica pochodnych.

Pierwszy składnik pod całką zmienia się wskutek tego, że zastępujemy przez , różnica wyrażeń podcałkowych to

gdzie pominęliśmy . Po wstawieniu tego pod całkę otrzymujemy wynik, pamiętając, że nasze wariacje znikają na końcach przedziału: .

Pierre Fermat: zasada najmniejszego działania dla światła (1657-1662)

Greccy geometrzy zauważyli, że światło biegnie po najkrótszej drodze, i to zarówno wtedy, gdy porusza się prostoliniowo między dwoma punktami (np. A i C), jak i wówczas, gdy po drodze odbija się od zwierciadła, biegnąc po łamanej ABC. Najkrótszej drodze odpowiada prawo odbicia: kąt odbicia równy jest kątowi padania.

Rozumowanie z rysunku znajdujemy u Herona z Aleksandrii w jego Katoptryce (czyli optyce zwierciadeł). Jeśli punkt A odbijemy symetrycznie w płaszczyźnie zwierciadła (prostopadłej do rysunku), otrzymujemy A’. Drogi A’B i AB są więc równe. Zamiast ABC możemy rozpatrywać A’BC. Dowolna łamana AXC ma taką samą długość, jak A’XC. Ponieważ każda łamana biegnąca od A’ do C jest dłuższa niż odcinek prostej, więc najkrótsza droga równa jest ABC i punkt B leży wówczas na odcinku A’C. Łatwo widać, że dla takiej drogi kąt odbicia równa się kątowi padania.

W roku 1657 Pierre Fermat, radca parlamentu (czyli sądu) w Tuluzie, otrzymał w prezencie książkę poświęconą światłu.

Jej autorem był Marin Cureau de La Chambre, lekarz, do którego nastoletni Ludwik XIV, przyszły Król-Słońce miał ogromne zaufanie. Fermat, urzędnik królewski, czuł się w obowiązku zajrzeć do książki doradcy tak uczonego i ustosunkowanego na dworze (zręczność dyplomatyczną autora widać i w tym, że na karcie tytułowej jego własne nazwisko złożone jest znacznie mniejszą czcionką niż nazwisko potężnego kardynała Mazarin). Książka zawierała dowód Herona. Cureau de La Chambre zwracał też uwagę, że gdy światło się załamuje, przebywana przez nie droga już nie jest najkrótsza.

Droga ABC jest oczywiście dłuższa niż ADC na rysunku. Fermat znał, jak wszyscy, prawo załamania (prawo Snella), opublikowane przez Kartezjusza w 1637 roku. Nie zgadzał się jednak z fizycznym wyprowadzeniem tego prawa, niezbyt wierzył chyba w te wszystkie niewidzialne cząstki rozmaitych kształtów i wielkości, które miały się ze sobą zderzać i na siebie napierać, tłumacząc absolutnie wszystko: od ruchu planet i optyki, po magnetyzm i ciężkość ciał. Jako matematyk szukał wyjaśnienia elegantszego i mniej uwikłanego w trudne do sprawdzenia przesłanki. Gdyby przyjąć, że w gęstszym ośrodku światło napotyka większy opór, to należałoby drogę w ośrodku liczyć np. podwójnie. A więc nadal można podejrzewać, że światło wybiera najłatwiejszą drogę. Należałoby jednak minimalizować nie sumę dróg, lecz pewną ich kombinację, np. AB+2BC. Gęstszemu ośrodkowi odpowiadałby większy współczynnik: wyglądało to rozsądnie, gdyż u Kartezjusza światło miało „większą siłę” w ośrodku gęstszym, co nie jest zbyt intuicyjne (ani zrozumiałe). Nie chcąc wdawać się w spory na temat natury światła, Fermat unikał mówienia o jego prędkości – bowiem zdaniem kartezjan oraz Cureau de La Chambre światło rozchodzi się momentalnie. Sporów z kartezjanami, uczniami mistrza, nie uniknął, podobnie jak dwadzieścia lat wcześniej z ojcem-założycielem tej sekty filozoficznej. Fermat znany był z wysuwania twierdzeń, których nie chciało mu się albo których nie potrafił dowieść, słynnym przykładem jest jego Wielkie Twierdzenie udowodnione pod koniec XX wieku. Także i tym razem niezbyt chętnie brał się do sprawdzenia, czy rzeczywiście światło podlega zasadzie najmniejszego działania. Miał własną metodę szukania ekstremum, dość toporną z dzisiejszego punktu widzenia, zastąpioną później przez obliczanie pochodnych. W wersji Fermata prowadziła ona do długich rachunków, ale w pierwszym dniu nowego roku 1662 zakomunikował Cureau de La Chambre, że obliczenia się udały i prowadzą do znanego prawa załamania. Niemal pięcioletnie opóźnienie między wysunięciem twierdzenia a zbadaniem jego konsekwencji tłumaczył Fermat dwiema przeszkodami: po pierwsze, nie był całkiem pewien, jak należy sformułować zasadę minimum i czy prawo Snella jest ściśle słuszne. Drugą przeszkodą była, typowa dla matematyków, niechęć do długich rachunków. W tym przypadku w grę wchodziły cztery odcinki, a więc cztery pierwiastki z sumy kwadratów współrzędnych. „Obawa, że po długich i trudnych rachunkach dojdę do jakiejś fantastycznej i nieregularnej proporcji oraz moja naturalna skłonność do lenistwa pozostawiły rzecz w tym stanie aż do ostatniego napomnienia, którego udzielił mi w pańskim imieniu pan przewodniczący de Miremont. (…) Nagroda za tę pracę okazała się zupełnie nadzwyczajna, niespodziewana i szczęśliwa. Kiedy bowiem przebrnąłem przez wszystkie równania, mnożenia, antytezy i inne operacje, jakich wymaga moja metoda (…) stwierdziłem, że moja zasada daje dokładnie tę samą proporcję załamania, jaką ustalił pan Descartes. Tak bardzo zaskoczył mnie ten niespodziewany wynik, że z trudem mogłem dojść do siebie. Wiele razy powtórzyłem różne operacje algebraiczne, otrzymując stale ten sam wynik, choć moje rozumowanie zakłada, iż przejście światła przez gęste ciała jest trudniejsze niż przez rzadkie, co uważam za prawdziwe oraz niewątpliwe, niemniej jednak pan Descartes zakłada coś przeciwnego”.

Fermat zakłada więc, że nie suma dróg musi być minimalna, lecz suma ich kombinacji liniowych , gdzie jest współczynnikiem załamania drugiego ośrodka (względem pierwszego). Łatwo widać, że jeśli przyjmiemy za prędkość światła w drugim ośrodku wielkość (gdzie jest prędkością w ośrodku pierwszym), to można tę zasadę sformułować jako zasadę najkrótszego czasu:

Fermat dumny był z otrzymania eleganckiego wyniku, lecz kartezjanie uważali go za ciekawostkę matematyczną, a nie zasadę odnoszącą się do światła. Zasada Fermata nabrała sensu dopiero dla Christiaana Huygensa, który światło uznawał za rozchodzące się zaburzenie eteru, coś w rodzaju fali nieokresowej, jak np. fala uderzeniowa. Wiedział on już, że prędkość światła jest skończona. Huygens przedstawił też elegancki dowód, że zasada Fermata prowadzi do prawa załamania Snella. Jest on wyraźnie prostszy niż obliczenie Fermata – zwykle udaje się uprościć rozumowanie, kiedy już wiadomo, dokąd prowadzi.

Porównujemy rzeczywisty bieg promienia światła ABC z fikcyjnym AFC. Budujemy prostokąt AOHB, mamy w ten sposób pewność, że . Na BC opuszczamy prostopadłą GF z punktu G. Z prawa załamania mamy

Zachodzą też nierówności

Dodając te nierówności stronami, otrzymujemy:

Zmieniając nieco nasz rysunek, możemy zrozumieć przyczynę prawa załamania dla fal. Linie AA’ oraz BH to czoła fali w pierwszym ośrodku, GF oraz CC’ to czoła fali w drugim ośrodku. W czasie potrzebnym na przejście odległości HF w pierwszym ośrodku, w drugim fala przejdzie odległość BG.

Zatem stosunek obu odległości równy jest

Bezpośrednie wyjaśnienie zasady Fermata daje nam mechanika kwantowa albo falowa teoria światła: faza światła zależy od czasu. W sąsiedztwie ekstremum fazy zmieniają się bardzo powoli i rezultatem jest silna fala wypadkowa.

Warto może przytoczyć dzisiejszą wersję obliczeń Fermata. Jest ona banalna, co nie oznacza, że jesteśmy mądrzejsi od Fermata, ale że mamy lepsze techniki rachunkowe. Pojawiły się one już kilka lat później w rękopisach Isaaca Newtona, które niewielu widziało, a później w 1684 roku w pierwszej publikacji Leibniza na temat rachunku różniczkowego. Metoda Fermata przekształciła się w algorytmy, do których stosowania wcale nie potrzeba inteligencji, z powodzeniem robią to dziś programy w rodzaju WolframAlpha itp.

Wielkość, którą mamy zminimalizować, ma postać:

Szukamy ekstremum tej funkcji, przyrównując jej pochodną do zera:

Łatwo spostrzec, patrząc na rysunek, że pierwszy składnik równy jest , a drugi , skąd otrzymujemy prawo Snella.

Christiaan Huygens: idealny pomiar czasu i zegar wahadłowy (1673)

Huygens był najwybitniejszym uczonym epoki przed Newtonem. Miał tego pecha, że urodził się w złym momencie: za późno albo za wcześnie na przełomowe odkrycia. Te wcześniejsze należały do Galileusza, późniejsze – do Newtona. Coś jednak zostało. M.in. to Huygens pierwszy obliczył przyspieszenie odśrodkowe, zbadał prawa zderzeń sprężystych, wysunął ideę, że światło jest falą oraz odkrył prawdziwy kształt pierścieni Saturna i wyjaśnił, czemu widać je pod różnym kątem w różnych latach.

To żadne odkrycie – wystarczy spojrzeć w teleskop, powie ktoś. No tak, ale Huygens sam sobie zbudował teleskop, który umożliwił te obserwacje. Poprzednie teleskopy nie pozwalały rozstrzygnąć, co właściwie znajduje się wokół Saturna.

Głównie jednak był fizykiem matematycznym. Od czasu Galileusza wiadomo było, że wahadło może służyć do pomiaru czasu, ale pierwsze zegary wahadłowe skonstruował według wskazówek Huygensa zegarmistrz Salomon Coster.

Zegar Costera z roku 1657 i książka Huygensa z roku 1673 (w książce opisał fakty znane mu od lat, stąd ta różnica dat). Muzeum Boerhaave w Lejdzie.

Aż do początków XX wieku były to najdokładniejsze zegary. Także zrozumienie matematyki wahadła zawdzięczamy Huygensowi. Spróbujemy to opisać.

Galileusz sądził, że wahadło ma stały okres zależny od długości, może więc służyć do pomiaru czasu. Sprawa nie jest jednak taka prosta. Spróbujemy opisać ją z dzisiejszego punktu widzenia, a potem przedstawimy obliczenie okresu dla wahadła idealnego – ten drugi rachunek będzie w duchu Huygensa, ale w bardziej dla nas zrozumiałych oznaczeniach. Znowu pojawi się magiczna krzywa XVII wieku – cykloida, o ktorej już pisaliśmy.

(Źródło: Oleg Aleksandrov)

Zaczniemy od innego układu: masy na sprężynie. Jeśli wychylić taką masę z położenia równowagi, zacznie poruszać się ruchem drgającym. Jest to przykład oscylatora harmonicznego, układu niezmiernie w fizyce ważnego: wszelkie zegary, nawet te atomowe, zawierają jakiś oscylator, za pomocą oscylatorów opisuje się drgania atomów w kryształach, a także pole elektromagnetyczne. Przyjrzyjmy się masie na sprężynie. Gdy wychylimy ją o z położenia równowagi, siła wypadkowa działająca na naszą masę będzie równa , gdzie jest pewną stałą opisującą sztywność sprężyny. Co taka siła oznacza? Ano tyle, że siła skierowana jest przeciwnie do wychylenia. Im dalej wychylimy sprężynę, tym większa będzie siła przywracająca równowagę. Ponieważ siła to masa razy przyspieszenie , możemy napisać,

Z matematycznego punktu widzenia równanie to opisuje wszystko, co możemy powiedzieć o ruchu masy na sprężynie (czyli oscylatora). Wyobraźmy sobie, że znaleźliśmy jakieś rozwiązanie tego równania . Intuicyjnie jasne jest, że powinno ono być okresowe. Co się stanie, jeśli rozpatrzymy nowy ruch ? W każdej chwili wychylenie naszej masy jest dwa razy większe niż poprzednio. Zatem prędkość będzie dwa razy większa niż poprzednio. A także przyspieszenie. Czyli lewa i prawa strona równania (1) są dwa razy większe, równanie jest więc nadal spełnione. Okres w pierwszym i drugim przypadku będzie taki sam: wystarczy pomyśleć o powrotach do położenia równowagi, jeśli dla jakiegoś mamy , to także . Uklad taki jak masa na sprężynie ma taki sam okres, bez względu na to, czy wychylimy go na początku mocniej, czy słabiej. Matematycy mówią, że jest to układ liniowy.

Przejdźmy teraz do przypadku wahadła. Na początek zauważmy, że wahadło nie potrzebuje sznurka, wystarczy, że jakaś masa (np. koralik nawleczony na drut) ślizga się wzdłuż odpowiednio wygiętego drutu. Rolę długości wahadła pełni promień łuku. Przyspieszenie grawitacyjne wzdłuż drutu równe jest (dokładnie tyle samo otrzymuje się w podręcznikach fizyki dla masy na równi pochyłej). Dostajemy więc równanie

Kąt możemy wyrazić przez odległość od najniższego punktu oraz długość wahadła , otrzymujemy

Teraz równanie nie jest liniowe, bo jeśli jest jego rozwiązaniem, to już nie, ponieważ . Oznacza to, że okres wahadła zależy od amplitudy drgań. Dlaczego w takim razie Galileusz był taki dumny z odkrycia, że okres drgań nie zależy od amplitudy? Chodzi o to, że dla niewielkich kątów można sinus zastąpić kątem (w radianach):

Pomijając sens wielkości w nawiasie (co dla matematyka jest nieistotne), dostajemy znowu równanie (1). Zatem przy niewielkich wychyleniach wahadło zachowuje się jak układ liniowy, tzn. jego okres nie zależy od amplitudy drgań. Inaczej mówiąc, nadaje się ono na element zliczający czas, ponieważ zawsze drga z takim samym okresem.

Nasuwa się naturalne pytanie: jak zmienić kształt krzywej, żeby okres nie zależał od amplitudy? Odpowiedź jest bardzo prosta: musi to być taka krzywa, żeby długość łuku (mierzona od najniższego położenia) była proporcjonalna do sinusa kąta . Niech np. (gdzie jest pewną stałą), otrzymujemy wówczas:

A więc znowu dostajemy równanie (1) i okres nie zależy od wielkości drgań. Łatwo wykazać, że krzywą, która spełnia taki warunek jest cykloida; szczegóły poniżej w (*).

Oznacza to, że z każdego punktu cykloidy punkt zjeżdża w jednakowym czasie. Mówiąc z grecka, cykloida to tautochrona (a także brachistochrona)

Huygens nie odkrył tego faktu w taki właśnie sposób, jego rozumowania były dość zawiłe, potem je udoskonalił, ale i tak dla nas ówczesny sposób zapisywania wszystkiego przez proporcje geometryczne jest wysoce nieprzejrzysty.

Obliczymy jeszcze czas wznoszenia się ciała po łuku cykloidy (będzie on oczywiście równy czasowi ześlizgiwania się). Tym razem jest to uwspółcześniona wersja rozumowania Huygensa. Załóżmy, że w najniższym punkcie prędkość ciała równa jest . Z geometrii cykloidy wynika, że na wysokości kąt nachylenia spełnia równanie por. (d) niżej. Prędkość ciała na wysokosci spełnia równanie , gdzie jest przyspieszeniem ziemskim. Równanie to wynika np. z zasady zachowania energii: Huygens o tym wiedział, chociaż wtedy to się tak nie nazywało. Rozpatrzmy teraz maleńki kawałek drogi wzdłuż cykloidy . Czas potrzebny na przebycie tego kawałka drogi to

W drugiej równości skorzystaliśmy z wyrażenia (a) dla . Wygląda to dość zawile, ale można zapisane wyrażenie uprościć. Gdyby tak wyrażenie pod pierwiastkiem miało postać: , moglibyśmy skorzystać z jedynki trygonometrycznej. Spróbujmy to osiągnąć: definiujemy nową zmienną , która spełnia równanie:

W najwyższym punkcie toru ciało się zatrzymuje, czyli jego prędkość równa się zeru. Łatwo sprawdzić, że oznacza to, że zmienia się w przedziale od (na dnie) do Przyrost sinusa to cosinus razy przyrost zmiennej, por. (b):

Jeśli zastosujemy to do równania (3) i podstawimy do wyrażenia (2) na czas, stanie się mały cud i uzyskamy:

Funkcje trygonometryczne znikły, podobnie jak prędkość : nic więc nie zależy od prędkości początkowej, a zatem i od wysokości, na jaką ciało się wzniesie – tak być powinno, bo czas ma być niezależny od amplitudy drgań. Sumując wkłady od wszystkich małych elementów cykloidy, otrzymamy czas wypadkowy:

(Suma przyrostów kąta równa się ) Okres wahań obejmuje cztery takie cykle, więc okres wahadła cykloidalnego równy jest

Huygens na tym nie skończył, lecz wykazał, że wahadło takie możemy uzyskać w następujący sposób.

Nić wahadła OAP odwija się wzdłuż cykloidalnych „policzków” – w rezultacie koniec wahadła zakreśla cykloidę. Ostatecznie pomysł ten nie przyjął się w praktyce, w zegarach wahadło wychyla się o niewielki kąt.

Krzywe u góry to też cykloidy o tym samym promieniu. Widzimy, że w najniższym punkcie długość wahadła równa się , a więc nasz wzór daje ten sam wynik, co zwykły szkolny wzór na okres wahadła.

(*) Niezbędne rachunki.

Wyobraźmy sobie koło o promieniu r toczące się od punktu do S. Załóżmy, że toczy się ono z prędkością jednego radiana na sekundę, więc po czasie obróciło się o kat . Kąt jako kąt wpisany. W chwili punkt jest nieruchomy, a punkt obraca się wokół niego z prędkością kątową 1 radiana na sekundę. Wobec tego droga przebyta przez punkt na cykloidzie w krótkim czasie równa jest

Przyrost to

ponieważ sinus dla małych kątów możemy zastąpić kątem, a cosinus – jedynką.

Wobec tego z (a) wynika, że

Patrząc jeszcze raz na rysunek cykloidy, mamy

Ole Christensen Rømer: prędkość światła jest skończona (1676)

Jeden z pierwszych eksperymentów dotyczących prędkości światła zaproponował Heron z Aleksandrii. Należy pogodną nocą zamknąć oczy i następnie je otworzyć: gwiazdy widzimy natychmiast, bez żadnego opóźnienia. A więc światło rozchodzi się momentalnie (Heron, jak wielu starożytnych, wyobrażał sobie, że promienie biegną od naszych oczu do gwiazd – zgodnie z potocznym zwrotem: „rzucić na coś okiem”). Podobny pomysł przedstawił Galileusz w swoich Rozmowach i dowodzeniach matematycznych. Dwaj odlegli eksperymentatorzy mieliby na przemian zasłaniać i odsłaniać latarnie, każdy w chwili, gdy dotrze do niego sygnał drugiego. Z opóźnienia tych sygnałów można by wywnioskować, jaka jest prędkość światła. Galileusz nie prowadził, zdaje się, takich doświadczeń, ale doskonale rozumiał, że nie można twierdzić, iż światło rozchodzi się momentalnie. Można tylko powiedzieć, że nie wykryliśmy żadnego opóźnienia spowodowanego rozchodzeniem się światła. Takie też były wnioski z doświadczenia wykonanego przez florencką Accademia del Cimento już po śmierci Galileusza. Latarnie odległe były o milę.
René Descartes (Kartezjusz) sądził, że światło rozchodzi się momentalnie. Twierdził tak, mimo iż sam wykorzystywał zmiany prędkości światła po przejściu do innego ośrodka, aby wyjaśnić zjawisko załamania. Przedstawił też argument obserwacyjny za momentalnym rozchodzeniem się światła. Otóż gdyby światło od Księżyca do Ziemi biegło, powiedzmy, godzinę, to powinniśmy podczas zaćmień Księżyca zaobserwować pewną anomalię. Niech punkty A, B, C na rysunku oznaczają położenia Słońca, Ziemi i Księżyca podczas zaćmienia. Cień Ziemi dopiero po godzinie dotrze do punktu C. A będziemy mieli szansę to zobaczyć dopiero po następnej godzinie, gdy Ziemia znajdzie się już w punkcie E. Kąt GEC między przedłużeniem promieni Słońca a obserwowanym zaćmieniem powinien być w tej sytuacji całkiem spory, ponad 30º. Jasne jest więc, że światło nie może biec tak długo do Księżyca i z powrotem. Nie oznacza to jednak, że rozchodzi się momentalnie (w rzeczywistości przebiega tę odległość w czasie rzędu 1s).

(Rysunek z Traité de la lumière Christiaana Hyugensa, książka opublikowana była w 1690, ale Huygens przedstawiał jej wyniki w paryskiej Akademii Nauk w 1678 roku.)

We wrześniu 1676 roku, Ole Christensen Rømer, duński astronom pracujący w Paryżu, przepowiedział, że zaćmienie pierwszego satelity Jowisza, które miało nastąpić 9 listopada, spóźni się o dziesięć minut. Tak się rzeczywiście stało. Rømer twierdził, że przyczyną opóźnienia jest skończona prędkość światła. Między sierpniem a listopadem odległość Ziemia-Jowisz znacznie wzrosła (odpowiadałoby to przesunięciu Ziemi na rysunku z punktu H do L). Światło zużyło więc te dodatkowe dziesięć minut na przebycie dodatkowej odległości. Czas potrzebny światłu na przebycie odległości Ziemia-Słońce byłby według Rømera równy 11 minut (w rzeczywistości jest nieco mniejszy niż 9 minut). Argumentował też Rømer, że kiedy Ziemia oddala się od Jowisza (od L do K na rysunku) zmierzone okresy obiegu satelity będą trochę dłuższe niż kiedy Ziemia zbliża się do Jowisza (od F do G na rysunku). Jego obserwacje potwierdzały taką prawidłowość, choć różnice te dla jednego okresu są niewielkie.

Punkty E, F, G, H, L, K to kolejne położenia Ziemi względem Jowisza B. Satelita wchodzi w cień Jowisza w punkcie C, wychodzi w punkcie D. Dla obserwatora oznacza to zniknięcie, a następnie pojawienie się księżyca, ponieważ samego cienia nie widać. (Rysunek z omówienia pracy Rømera w „Journal des Sçavans”, 7 grudnia 1676 roku)

Regularne obserwacje satelitów Jowisza zaczął ich odkrywca, Galileusz, który zdał sobie sprawę, że mogą one posłużyć za astronomiczny zegar. Obserwując to samo zjawisko np. zaćmienie z dwóch punktów Ziemi i notując lokalny czas obu obserwacji, możemy wyznaczyć różnicę długości geograficznej obu punktów. Było to ważne dla geodetów, ale także dla marynarzy przemierzających w obie strony Atlantyk: długość geograficzna informowała, jak daleko jeszcze do celu. Obserwacje satelitów Jowisza okazały się zbyt trudne dla nawigatorów, ale astronomowie studiowali je szczegółowo. Rømer nie był pierwszym, który zauważył zależność zjawisk w układzie Jowisza od odległości. Kilka lat wcześniej główny paryski astronom, Giovanni Domenico Cassini, wysunął takie przypuszczenie, potem się jednak z niego wycofał. Powodem była naukowa ostrożność: pozostałe trzy satelity Jowisza nie wykazywały podobnego zjawiska. Gdyby przyczyną nieregularności była skończona prędkość światła, to oczywiście powinno to dotyczyć wszystkich czterech w takim samym stopniu. Cassini nie kwestionował więc samych obserwacji, lecz tylko ich wyjaśnienie.

Dlatego w roku 1676 Rømer nie tyle wyznaczył prędkość światła, ile argumentował, że jest ona skończona. Wbrew Cassiniemu i wbrew wielu ówczesnym uczonym, którzy podzielali pogląd Kartezjusza. Wartość prędkości światła po raz pierwszy pojawiła się u Christiaana Huygensa, który miał bardziej realistyczne podejście do światła. Uważał je za pewien ruch przenoszony w ośrodku, podobnie jak dźwięk. Interesowało go zresztą bardziej porównanie prędkości światła i dźwięku: oba zjawiska były według niego wywołane impulsami, tyle że rozchodzącymi się w różnych ośrodkach. Eter wypełniający wszechświat musiał być w porównaniu z powietrzem znacznie rzadszy i dużo bardziej sprężysty.

Ostatecznie zastrzeżenia Cassiniego okazały się niesłuszne: ruchy pozostałych trzech „galileuszowych” satelitów Jowisza podlegają silnym zaburzeniom grawitacyjnym i stąd ich trudne do zrozumienia zachowanie. Nikt jednak wówczas tego nie wiedział, Isaac Newton opublikował swoje dzieło dopiero w 1687 roku. Tak bywa często: nadmierna ostrożność nie popłaca.

Ole Rømer kilka lat po ogłoszeniu tej pracy wrócił do Danii, gdzie został astronomem królewskim. Nie miałby zresztą możliwości pozostania we Francji. W roku 1685 Ludwik XIV odwołał edykt nantejski i wszyscy protestanci zostali z kraju wygnani. Także Christiaan Huygens nie mógł już tam pracować, choć najlepsze lata Akademii Nauk są z nim związane. Na emigrację wyjechało też wielu Francuzów, niektórzy spośród nich, jak Abraham de Moivre, zdobyli potem sławę naukową. Katolicy zostali wśród swoich.