Najmniejsze działanie: od kształtu liny do zasady Hamiltona

Isaac Newton nie traktował trzech zasad dynamiki jako swego szczególnie ważnego odkrycia; sądził, że formułuje tylko fakty znane wcześniejszym badaczom, takim jak np. Christiaan Huygens. Jednak to jego sformułowanie okazało się kanoniczne i trafiło do podręczników. Nie jest to zupełny przypadek: zasady te pozwoliły bowiem zbudować konsekwentną naukę o ruchu i określiły sposób myślenia jego następców. Newton pojawił się w odpowiedniej chwili historycznej, gdy kwestia ruchu w mechanice dojrzała do ścisłego przedstawienia i kiedy pojawiła się stosowna matematyka – czy to w postaci rachunku fluksji samego Newtona, czy rachunku różniczkowego i całkowego Leibniza i Johanna Bernoulliego.

Mechanikę można sformułować na kilka innych sposobów. Zwłaszcza Newtonowskie pojęcie siły jest było nowatorskie i zapewne by się nie pojawiło, gdyby nie samotnik z Cambridge. Nauki ścisłe także są konstrukcją ludzką i tylko częściowo odkrycia w nich przypominają odkrycia geograficzne: kto pierwszy zobaczy wyspę Kuba, automatycznie staje się jej odkrywcą. Nie ma tu bowiem platońskiego świata idei do odkrycia, a w każdym razie idee te mogą przyjmować zupełnie różne kształty i ich zarysy stają się widoczne dopiero wtedy, kiedy ktoś taki jak Albert Einstein albo Andrew Wiles je nam wskaże.

We współczesnej fizyce, zarówno klasycznej, jak kwantowej, najważniejszym sposobem zapisywania praw są zasady najmniejszego działania (in. zasady wariacyjne). Historycznie pojawiły się one później niż Newtonowskie siły, ich znaczenie stopniowo jednak rosło. Gdyby Albert Einstein dostatecznie mocno wierzył w zasady wariacyjne, to zapewne sformułowałby równania swej teorii grawitacji kilka lat wcześniej, jeszcze w Zurychu, a nie w Berlinie, oszczędzając sobie mnóstwa ciężkiej pracy i frustracji z powodu niepowodzeń. Klasyczne zasady najmniejszego działania nabrały nowego sensu w fizyce kwantowej, w Feynmanowskich sumach po historiach. Model Standardowy cząstek elementarnych, czyli sumę naszej wiedzy o mikroświecie, też zapisuje się za pomocą działania.

Poniżej przedstawimy dwa przykłady pokazujące, jak  można sformułować mechanikę w postaci zasad najmniejszego działania.

Kształt ciężkiej liny

Chcemy znaleźć kształt, jaki przyjmie ciężka lina zaczepiona w dwóch punktach.Stan równowagi odpowiada minimalnej energii całkowitej.

Mamy tu do czynienia z dwoma rodzajami energii. Z jednej strony działa grawitacja: im niżej znajdzie się dany element liny, tym niższa będzie jego energia potencjalna. Odcinek liny odpowiadający małemu przedziałowi będzie miał masę i jego energia potencjalna będzie równa ( jest przyspieszeniem ziemskim):

Drugim rodzajem energii jest tu energia sprężysta. Wyobraźmy sobie, że zależy ona tylko od wydłużenia naszej liny i dla jej małego elementu równa jest

gdzie jest siłą napięcia liny.

Dla uproszczenia rachunków ograniczymy się do przypadku, gdy nasza lina ma niewielką strzałkę ugięcia, czyli jest znacznie mniejsze niż . Możemy wtedy przekształcić wyrażenie na energię sprężystą następująco:

W równości przybliżonej skorzystaliśmy z przybliżenia , słusznego dla wartości . Zauważmy, że działa ono nieźle nawet dla stosunkowo dużych wartości , np. otrzymujemy zamiast , co oznacza błąd poniżej 10%.

Mamy więc dwa wkłady do energii: energia potencjalna obniża się, gdy dany odcinek liny znajdzie się niżej, ale żeby to było możliwe, lina musi się wydłużyć, co powiększa jej energię sprężystą. Pytanie, jakie sobie stawiamy, brzmi: jak znaleźć krzywą opisującą kształt liny?

Energia całkowita naszej liny jest równa

Jeśli zadamy krzywą i wstawimy ją do powyższego równania, to dostaniemy energię odpowiadającą danemu kształtowi. Matematycy mówią, ze mamy funkcjonał: czyli funkcji przypisujemy pewną liczbę. Dziedziną naszego funkcjonału jest zbiór różnych funkcji, które mogłyby opisywać kształt naszej liny.

Jak znaleźć minimum energii? Metodę postępowania podał w roku 1755 pewien bystry dziewiętnastolatek, Joseph Lagrange, w liście do słynnego Leonharda Eulera. Wyobraźmy sobie, że daną funkcję nieznacznie zmienimy na . Jak wtedy zmieni się nasz funkcjonał? Łatwo pokazać, że zmiana energii jest w naszym przypadku równa

(*)

Pominięte zostały wyrazy zawierające  . Funkcja (tzw. wariacja, czyli zmiana, ) jest dowolna. W minimum niewielka wariacja  nie powinna wpływać na wartość funkcjonału: kiedy jesteśmy już na dnie, to jest nam wszystko jedno, w którą stronę się przesuniemy, i tak będziemy na dnie. Jest to słuszne tylko w pierwszym przybliżeniu, gdy możemy pominąć wkłady kwadratowe i wyższe wariacji funkcji. Zatem warunkiem na minimum jest znikanie wariacji funkcjonału:

Ostatnia równoważność wynika stąd, że znikanie całki z nawiasu razy dowolna (niewielka) funkcja musi oznaczać, iż ten nawias jest równy zeru dla każdego .

Dwa wnioski: ogólny i szczegółowy.

Wniosek ogólny: Warunkiem minimum funkcjonału jest spełnienie pewnego równania zawierającego pochodną.

Wniosek szczegółowy: W naszym przypadku równanie to stwierdza, że druga pochodna ma być stała. Znaczy to, że pierwsza pochodna jest funkcją liniową, a sama funkcja jest kwadratowa, kształt krzywej to parabola. Żeby się te rozważania nie wydawały zbyt abstrakcyjne, proszę spojrzeć na obrazek.

Akashi Kaikyō Bridge, Wikipedia

Ruch rzuconego ciała

Teraz zapomnijmy o fizycznej treści poprzedniego punktu, pozostańmy przy samej matematyce: takie same równania mają takie same rozwiązania, jak uczył Feynman. Jeżeli wziąć za zmienną niezależną czas zamiast , to stała druga pochodna oznacza, ze mamy stałe przyspieszenie, czyli ruch w polu grawitacyjnym Ziemi. Możemy nieco zmienić oznaczenia , zamiast napiszmy , bo tak się standardowo oznacza działanie. Mamy więc zasadę wariacyjną i równoważne jej równanie różniczkowe:

gdzie działanie równe jest

Zamiast równań Newtona dla rzuconego ciała, możemy zażądać, aby znikała wariacja z działania. W naszym przypadku nadal rozwiązaniem jest parabola.

Zmieniła się jej interpretacja fizyczna: teraz opisujemy ruch jednowymiarowy, rzut pionowy. Skądinąd wiemy, że rozciągnięty w czasie rzut pionowy będzie miał kształt paraboli (mówimy tu o krzywej we współrzędnych ). Jeśli przyjrzeć się postaci działania, to oba składniki w nawiasie powinny nam się kojarzyć z energią kinetyczną i potencjalną:

 

Otrzymujemy w ten sposób zasadę Hamiltona najmniejszego działania. Równania, które z niej wynikają, nazywają się, żeby rzecz całą zagmatwać, równaniami Lagrange’a (są one równoważne zasadom dynamiki Newtona). Funkcja pod całką nazywa się lagranżianem i jest równa: . Należy zwrócić uwagę, że nie jest energią całkowitą, lecz różnicą energii kinetycznej i potencjalnej – przechodząc od liny do rzutu, zmieniliśmy znak. Zasada najmniejszego działania oznacza, że jeśli nieco zmienimy ruch w stosunku do ruchu rzeczywistego, to działanie się nie zmieni. Funkcje, które rozpatrujemy, zaczynają się w chwili 0 w punkcie i kończą w tym samym punkcie w chwili . Można wybrać dowolne punkty przestrzeni, ustalony jest tu natomiast przedział czasu. Wszystkie rozpatrywane funkcje zaczynają się i kończą w tych samych chwilach i w tych samych dwu punktach. Rzeczywisty ruch cząstki spełnia zasadę najmniejszego działania.

Sformułowanie mechaniki za pomocą zasady Hamiltona ma wiele różnych zalet matematycznych, o których teraz nie będziemy pisać. Pojawiło się stosunkowo późno, bo w XIX wieku, choć zasada najkrótszego czasu w optyce znana była dwa stulecia wcześniej. Sam fakt, że na ruch można spojrzeć w taki sposób, jest interesujący i nowatorski. Polecam zupełnie elementarny wykład Feynmana na temat tej zasady.

Uwaga: Znikanie wariacji nie musi oznaczać minimum, tak samo jak znikanie zwykłej pochodnej funkcji niekoniecznie oznacza, że mamy do czynienia z minimum: może to być maksimum albo punkt przegięcia. Zwyczajowo mówi się o najmniejszym działaniu, choć w konkretnych przypadkach bywa to maksimum.

(*) Warto może przedstawić krótko procedurę obliczania wariacji funkcjonału. Sztuka polega na scałkowaniu przez części: jest to krok powtarzany do skutku we wszystkich obliczeniach wariacji. Chodzi o to, żeby zamiast mieć . Operacje różniczkowania i brania wariacji są przemienne, bo pochodna różnicy to różnica pochodnych.

Pierwszy składnik pod całką zmienia się wskutek tego, że zastępujemy przez , różnica wyrażeń podcałkowych to

gdzie pominęliśmy . Po wstawieniu tego pod całkę otrzymujemy wynik, pamiętając, że nasze wariacje znikają na końcach przedziału: .

Reklamy

Pierre Fermat: zasada najmniejszego działania dla światła (1657-1662)

Greccy geometrzy zauważyli, że światło biegnie po najkrótszej drodze, i to zarówno wtedy, gdy porusza się prostoliniowo między dwoma punktami (np. A i C), jak i wówczas, gdy po drodze odbija się od zwierciadła, biegnąc po łamanej ABC. Najkrótszej drodze odpowiada prawo odbicia: kąt odbicia równy jest kątowi padania.

Rozumowanie z rysunku znajdujemy u Herona z Aleksandrii w jego Katoptryce (czyli optyce zwierciadeł). Jeśli punkt A odbijemy symetrycznie w płaszczyźnie zwierciadła (prostopadłej do rysunku), otrzymujemy A’. Drogi A’B i AB są więc równe. Zamiast ABC możemy rozpatrywać A’BC. Dowolna łamana AXC ma taką samą długość, jak A’XC. Ponieważ każda łamana biegnąca od A’ do C jest dłuższa niż odcinek prostej, więc najkrótsza droga równa jest ABC i punkt B leży wówczas na odcinku A’C. Łatwo widać, że dla takiej drogi kąt odbicia równa się kątowi padania.

W roku 1657 Pierre Fermat, radca parlamentu (czyli sądu) w Tuluzie, otrzymał w prezencie książkę poświęconą światłu.

Jej autorem był Marin Cureau de La Chambre, lekarz, do którego nastoletni Ludwik XIV, przyszły Król-Słońce miał ogromne zaufanie. Fermat, urzędnik królewski, czuł się w obowiązku zajrzeć do książki doradcy tak uczonego i ustosunkowanego na dworze (zręczność dyplomatyczną autora widać i w tym, że na karcie tytułowej jego własne nazwisko złożone jest znacznie mniejszą czcionką niż nazwisko potężnego kardynała Mazarin). Książka zawierała dowód Herona. Cureau de La Chambre zwracał też uwagę, że gdy światło się załamuje, przebywana przez nie droga już nie jest najkrótsza.

Droga ABC jest oczywiście dłuższa niż ADC na rysunku. Fermat znał, jak wszyscy, prawo załamania (prawo Snella), opublikowane przez Kartezjusza w 1637 roku. Nie zgadzał się jednak z fizycznym wyprowadzeniem tego prawa, niezbyt wierzył chyba w te wszystkie niewidzialne cząstki rozmaitych kształtów i wielkości, które miały się ze sobą zderzać i na siebie napierać, tłumacząc absolutnie wszystko: od ruchu planet i optyki, po magnetyzm i ciężkość ciał. Jako matematyk szukał wyjaśnienia elegantszego i mniej uwikłanego w trudne do sprawdzenia przesłanki. Gdyby przyjąć, że w gęstszym ośrodku światło napotyka większy opór, to należałoby drogę w ośrodku liczyć np. podwójnie. A więc nadal można podejrzewać, że światło wybiera najłatwiejszą drogę. Należałoby jednak minimalizować nie sumę dróg, lecz pewną ich kombinację, np. AB+2BC. Gęstszemu ośrodkowi odpowiadałby większy współczynnik: wyglądało to rozsądnie, gdyż u Kartezjusza światło miało „większą siłę” w ośrodku gęstszym, co nie jest zbyt intuicyjne (ani zrozumiałe). Nie chcąc wdawać się w spory na temat natury światła, Fermat unikał mówienia o jego prędkości – bowiem zdaniem kartezjan oraz Cureau de La Chambre światło rozchodzi się momentalnie. Sporów z kartezjanami, uczniami mistrza, nie uniknął, podobnie jak dwadzieścia lat wcześniej z ojcem-założycielem tej sekty filozoficznej. Fermat znany był z wysuwania twierdzeń, których nie chciało mu się albo których nie potrafił dowieść, słynnym przykładem jest jego Wielkie Twierdzenie udowodnione pod koniec XX wieku. Także i tym razem niezbyt chętnie brał się do sprawdzenia, czy rzeczywiście światło podlega zasadzie najmniejszego działania. Miał własną metodę szukania ekstremum, dość toporną z dzisiejszego punktu widzenia, zastąpioną później przez obliczanie pochodnych. W wersji Fermata prowadziła ona do długich rachunków, ale w pierwszym dniu nowego roku 1662 zakomunikował Cureau de La Chambre, że obliczenia się udały i prowadzą do znanego prawa załamania. Niemal pięcioletnie opóźnienie między wysunięciem twierdzenia a zbadaniem jego konsekwencji tłumaczył Fermat dwiema przeszkodami: po pierwsze, nie był całkiem pewien, jak należy sformułować zasadę minimum i czy prawo Snella jest ściśle słuszne. Drugą przeszkodą była, typowa dla matematyków, niechęć do długich rachunków. W tym przypadku w grę wchodziły cztery odcinki, a więc cztery pierwiastki z sumy kwadratów współrzędnych. „Obawa, że po długich i trudnych rachunkach dojdę do jakiejś fantastycznej i nieregularnej proporcji oraz moja naturalna skłonność do lenistwa pozostawiły rzecz w tym stanie aż do ostatniego napomnienia, którego udzielił mi w pańskim imieniu pan przewodniczący de Miremont. (…) Nagroda za tę pracę okazała się zupełnie nadzwyczajna, niespodziewana i szczęśliwa. Kiedy bowiem przebrnąłem przez wszystkie równania, mnożenia, antytezy i inne operacje, jakich wymaga moja metoda (…) stwierdziłem, że moja zasada daje dokładnie tę samą proporcję załamania, jaką ustalił pan Descartes. Tak bardzo zaskoczył mnie ten niespodziewany wynik, że z trudem mogłem dojść do siebie. Wiele razy powtórzyłem różne operacje algebraiczne, otrzymując stale ten sam wynik, choć moje rozumowanie zakłada, iż przejście światła przez gęste ciała jest trudniejsze niż przez rzadkie, co uważam za prawdziwe oraz niewątpliwe, niemniej jednak pan Descartes zakłada coś przeciwnego”.

Fermat zakłada więc, że nie suma dróg musi być minimalna, lecz suma ich kombinacji liniowych , gdzie jest współczynnikiem załamania drugiego ośrodka (względem pierwszego). Łatwo widać, że jeśli przyjmiemy za prędkość światła w drugim ośrodku wielkość (gdzie jest prędkością w ośrodku pierwszym), to można tę zasadę sformułować jako zasadę najkrótszego czasu:

Fermat dumny był z otrzymania eleganckiego wyniku, lecz kartezjanie uważali go za ciekawostkę matematyczną, a nie zasadę odnoszącą się do światła. Zasada Fermata nabrała sensu dopiero dla Christiaana Huygensa, który światło uznawał za rozchodzące się zaburzenie eteru, coś w rodzaju fali nieokresowej, jak np. fala uderzeniowa. Wiedział on już, że prędkość światła jest skończona. Huygens przedstawił też elegancki dowód, że zasada Fermata prowadzi do prawa załamania Snella. Jest on wyraźnie prostszy niż obliczenie Fermata – zwykle udaje się uprościć rozumowanie, kiedy już wiadomo, dokąd prowadzi.

Porównujemy rzeczywisty bieg promienia światła ABC z fikcyjnym AFC. Budujemy prostokąt AOHB, mamy w ten sposób pewność, że . Na BC opuszczamy prostopadłą GF z punktu G. Z prawa załamania mamy

Zachodzą też nierówności

Dodając te nierówności stronami, otrzymujemy:

Zmieniając nieco nasz rysunek, możemy zrozumieć przyczynę prawa załamania dla fal. Linie AA’ oraz BH to czoła fali w pierwszym ośrodku, GF oraz CC’ to czoła fali w drugim ośrodku. W czasie potrzebnym na przejście odległości HF w pierwszym ośrodku, w drugim fala przejdzie odległość BG.

Zatem stosunek obu odległości równy jest

Bezpośrednie wyjaśnienie zasady Fermata daje nam mechanika kwantowa albo falowa teoria światła: faza światła zależy od czasu. W sąsiedztwie ekstremum fazy zmieniają się bardzo powoli i rezultatem jest silna fala wypadkowa.

Warto może przytoczyć dzisiejszą wersję obliczeń Fermata. Jest ona banalna, co nie oznacza, że jesteśmy mądrzejsi od Fermata, ale że mamy lepsze techniki rachunkowe. Pojawiły się one już kilka lat później w rękopisach Isaaca Newtona, które niewielu widziało, a później w 1684 roku w pierwszej publikacji Leibniza na temat rachunku różniczkowego. Metoda Fermata przekształciła się w algorytmy, do których stosowania wcale nie potrzeba inteligencji, z powodzeniem robią to dziś programy w rodzaju WolframAlpha itp.

Wielkość, którą mamy zminimalizować, ma postać:

Szukamy ekstremum tej funkcji, przyrównując jej pochodną do zera:

Łatwo spostrzec, patrząc na rysunek, że pierwszy składnik równy jest , a drugi , skąd otrzymujemy prawo Snella.

Christiaan Huygens: idealny pomiar czasu i zegar wahadłowy (1673)

Huygens był najwybitniejszym uczonym epoki przed Newtonem. Miał tego pecha, że urodził się w złym momencie: za późno albo za wcześnie na przełomowe odkrycia. Te wcześniejsze należały do Galileusza, późniejsze – do Newtona. Coś jednak zostało. M.in. to Huygens pierwszy obliczył przyspieszenie odśrodkowe, zbadał prawa zderzeń sprężystych, wysunął ideę, że światło jest falą oraz odkrył prawdziwy kształt pierścieni Saturna i wyjaśnił, czemu widać je pod różnym kątem w różnych latach.

To żadne odkrycie – wystarczy spojrzeć w teleskop, powie ktoś. No tak, ale Huygens sam sobie zbudował teleskop, który umożliwił te obserwacje. Poprzednie teleskopy nie pozwalały rozstrzygnąć, co właściwie znajduje się wokół Saturna.

Głównie jednak był fizykiem matematycznym. Od czasu Galileusza wiadomo było, że wahadło może służyć do pomiaru czasu, ale pierwsze zegary wahadłowe skonstruował według wskazówek Huygensa zegarmistrz Salomon Coster.

Zegar Costera z roku 1657 i książka Huygensa z roku 1673 (w książce opisał fakty znane mu od lat, stąd ta różnica dat). Muzeum Boerhaave w Lejdzie.

Aż do początków XX wieku były to najdokładniejsze zegary. Także zrozumienie matematyki wahadła zawdzięczamy Huygensowi. Spróbujemy to opisać.

Galileusz sądził, że wahadło ma stały okres zależny od długości, może więc służyć do pomiaru czasu. Sprawa nie jest jednak taka prosta. Spróbujemy opisać ją z dzisiejszego punktu widzenia, a potem przedstawimy obliczenie okresu dla wahadła idealnego – ten drugi rachunek będzie w duchu Huygensa, ale w bardziej dla nas zrozumiałych oznaczeniach. Znowu pojawi się magiczna krzywa XVII wieku – cykloida, o ktorej już pisaliśmy.

(Źródło: Oleg Aleksandrov)

Zaczniemy od innego układu: masy na sprężynie. Jeśli wychylić taką masę z położenia równowagi, zacznie poruszać się ruchem drgającym. Jest to przykład oscylatora harmonicznego, układu niezmiernie w fizyce ważnego: wszelkie zegary, nawet te atomowe, zawierają jakiś oscylator, za pomocą oscylatorów opisuje się drgania atomów w kryształach, a także pole elektromagnetyczne. Przyjrzyjmy się masie na sprężynie. Gdy wychylimy ją o z położenia równowagi, siła wypadkowa działająca na naszą masę będzie równa , gdzie jest pewną stałą opisującą sztywność sprężyny. Co taka siła oznacza? Ano tyle, że siła skierowana jest przeciwnie do wychylenia. Im dalej wychylimy sprężynę, tym większa będzie siła przywracająca równowagę. Ponieważ siła to masa razy przyspieszenie , możemy napisać,

Z matematycznego punktu widzenia równanie to opisuje wszystko, co możemy powiedzieć o ruchu masy na sprężynie (czyli oscylatora). Wyobraźmy sobie, że znaleźliśmy jakieś rozwiązanie tego równania . Intuicyjnie jasne jest, że powinno ono być okresowe. Co się stanie, jeśli rozpatrzymy nowy ruch ? W każdej chwili wychylenie naszej masy jest dwa razy większe niż poprzednio. Zatem prędkość będzie dwa razy większa niż poprzednio. A także przyspieszenie. Czyli lewa i prawa strona równania (1) są dwa razy większe, równanie jest więc nadal spełnione. Okres w pierwszym i drugim przypadku będzie taki sam: wystarczy pomyśleć o powrotach do położenia równowagi, jeśli dla jakiegoś mamy , to także . Uklad taki jak masa na sprężynie ma taki sam okres, bez względu na to, czy wychylimy go na początku mocniej, czy słabiej. Matematycy mówią, że jest to układ liniowy.

Przejdźmy teraz do przypadku wahadła. Na początek zauważmy, że wahadło nie potrzebuje sznurka, wystarczy, że jakaś masa (np. koralik nawleczony na drut) ślizga się wzdłuż odpowiednio wygiętego drutu. Rolę długości wahadła pełni promień łuku. Przyspieszenie grawitacyjne wzdłuż drutu równe jest (dokładnie tyle samo otrzymuje się w podręcznikach fizyki dla masy na równi pochyłej). Dostajemy więc równanie

Kąt możemy wyrazić przez odległość od najniższego punktu oraz długość wahadła , otrzymujemy

Teraz równanie nie jest liniowe, bo jeśli jest jego rozwiązaniem, to już nie, ponieważ . Oznacza to, że okres wahadła zależy od amplitudy drgań. Dlaczego w takim razie Galileusz był taki dumny z odkrycia, że okres drgań nie zależy od amplitudy? Chodzi o to, że dla niewielkich kątów można sinus zastąpić kątem (w radianach):

Pomijając sens wielkości w nawiasie (co dla matematyka jest nieistotne), dostajemy znowu równanie (1). Zatem przy niewielkich wychyleniach wahadło zachowuje się jak układ liniowy, tzn. jego okres nie zależy od amplitudy drgań. Inaczej mówiąc, nadaje się ono na element zliczający czas, ponieważ zawsze drga z takim samym okresem.

Nasuwa się naturalne pytanie: jak zmienić kształt krzywej, żeby okres nie zależał od amplitudy? Odpowiedź jest bardzo prosta: musi to być taka krzywa, żeby długość łuku (mierzona od najniższego położenia) była proporcjonalna do sinusa kąta . Niech np. (gdzie jest pewną stałą), otrzymujemy wówczas:

A więc znowu dostajemy równanie (1) i okres nie zależy od wielkości drgań. Łatwo wykazać, że krzywą, która spełnia taki warunek jest cykloida; szczegóły poniżej w (*).

Oznacza to, że z każdego punktu cykloidy punkt zjeżdża w jednakowym czasie. Mówiąc z grecka, cykloida to tautochrona (a także brachistochrona)

Huygens nie odkrył tego faktu w taki właśnie sposób, jego rozumowania były dość zawiłe, potem je udoskonalił, ale i tak dla nas ówczesny sposób zapisywania wszystkiego przez proporcje geometryczne jest wysoce nieprzejrzysty.

Obliczymy jeszcze czas wznoszenia się ciała po łuku cykloidy (będzie on oczywiście równy czasowi ześlizgiwania się). Tym razem jest to uwspółcześniona wersja rozumowania Huygensa. Załóżmy, że w najniższym punkcie prędkość ciała równa jest . Z geometrii cykloidy wynika, że na wysokości kąt nachylenia spełnia równanie por. (d) niżej. Prędkość ciała na wysokosci spełnia równanie , gdzie jest przyspieszeniem ziemskim. Równanie to wynika np. z zasady zachowania energii: Huygens o tym wiedział, chociaż wtedy to się tak nie nazywało. Rozpatrzmy teraz maleńki kawałek drogi wzdłuż cykloidy . Czas potrzebny na przebycie tego kawałka drogi to

W drugiej równości skorzystaliśmy z wyrażenia (a) dla . Wygląda to dość zawile, ale można zapisane wyrażenie uprościć. Gdyby tak wyrażenie pod pierwiastkiem miało postać: , moglibyśmy skorzystać z jedynki trygonometrycznej. Spróbujmy to osiągnąć: definiujemy nową zmienną , która spełnia równanie:

W najwyższym punkcie toru ciało się zatrzymuje, czyli jego prędkość równa się zeru. Łatwo sprawdzić, że oznacza to, że zmienia się w przedziale od (na dnie) do Przyrost sinusa to cosinus razy przyrost zmiennej, por. (b):

Jeśli zastosujemy to do równania (3) i podstawimy do wyrażenia (2) na czas, stanie się mały cud i uzyskamy:

Funkcje trygonometryczne znikły, podobnie jak prędkość : nic więc nie zależy od prędkości początkowej, a zatem i od wysokości, na jaką ciało się wzniesie – tak być powinno, bo czas ma być niezależny od amplitudy drgań. Sumując wkłady od wszystkich małych elementów cykloidy, otrzymamy czas wypadkowy:

(Suma przyrostów kąta równa się ) Okres wahań obejmuje cztery takie cykle, więc okres wahadła cykloidalnego równy jest

Huygens na tym nie skończył, lecz wykazał, że wahadło takie możemy uzyskać w następujący sposób.

Nić wahadła OAP odwija się wzdłuż cykloidalnych „policzków” – w rezultacie koniec wahadła zakreśla cykloidę. Ostatecznie pomysł ten nie przyjął się w praktyce, w zegarach wahadło wychyla się o niewielki kąt.

Krzywe u góry to też cykloidy o tym samym promieniu. Widzimy, że w najniższym punkcie długość wahadła równa się , a więc nasz wzór daje ten sam wynik, co zwykły szkolny wzór na okres wahadła.

(*) Niezbędne rachunki.

Wyobraźmy sobie koło o promieniu r toczące się od punktu do S. Załóżmy, że toczy się ono z prędkością jednego radiana na sekundę, więc po czasie obróciło się o kat . Kąt jako kąt wpisany. W chwili punkt jest nieruchomy, a punkt obraca się wokół niego z prędkością kątową 1 radiana na sekundę. Wobec tego droga przebyta przez punkt na cykloidzie w krótkim czasie równa jest

Przyrost to

ponieważ sinus dla małych kątów możemy zastąpić kątem, a cosinus – jedynką.

Wobec tego z (a) wynika, że

Patrząc jeszcze raz na rysunek cykloidy, mamy

Ole Christensen Rømer: prędkość światła jest skończona (1676)

Jeden z pierwszych eksperymentów dotyczących prędkości światła zaproponował Heron z Aleksandrii. Należy pogodną nocą zamknąć oczy i następnie je otworzyć: gwiazdy widzimy natychmiast, bez żadnego opóźnienia. A więc światło rozchodzi się momentalnie (Heron, jak wielu starożytnych, wyobrażał sobie, że promienie biegną od naszych oczu do gwiazd – zgodnie z potocznym zwrotem: „rzucić na coś okiem”). Podobny pomysł przedstawił Galileusz w swoich Rozmowach i dowodzeniach matematycznych. Dwaj odlegli eksperymentatorzy mieliby na przemian zasłaniać i odsłaniać latarnie, każdy w chwili, gdy dotrze do niego sygnał drugiego. Z opóźnienia tych sygnałów można by wywnioskować, jaka jest prędkość światła. Galileusz nie prowadził, zdaje się, takich doświadczeń, ale doskonale rozumiał, że nie można twierdzić, iż światło rozchodzi się momentalnie. Można tylko powiedzieć, że nie wykryliśmy żadnego opóźnienia spowodowanego rozchodzeniem się światła. Takie też były wnioski z doświadczenia wykonanego przez florencką Accademia del Cimento już po śmierci Galileusza. Latarnie odległe były o milę.
René Descartes (Kartezjusz) sądził, że światło rozchodzi się momentalnie. Twierdził tak, mimo iż sam wykorzystywał zmiany prędkości światła po przejściu do innego ośrodka, aby wyjaśnić zjawisko załamania. Przedstawił też argument obserwacyjny za momentalnym rozchodzeniem się światła. Otóż gdyby światło od Księżyca do Ziemi biegło, powiedzmy, godzinę, to powinniśmy podczas zaćmień Księżyca zaobserwować pewną anomalię. Niech punkty A, B, C na rysunku oznaczają położenia Słońca, Ziemi i Księżyca podczas zaćmienia. Cień Ziemi dopiero po godzinie dotrze do punktu C. A będziemy mieli szansę to zobaczyć dopiero po następnej godzinie, gdy Ziemia znajdzie się już w punkcie E. Kąt GEC między przedłużeniem promieni Słońca a obserwowanym zaćmieniem powinien być w tej sytuacji całkiem spory, ponad 30º. Jasne jest więc, że światło nie może biec tak długo do Księżyca i z powrotem. Nie oznacza to jednak, że rozchodzi się momentalnie (w rzeczywistości przebiega tę odległość w czasie rzędu 1s).

(Rysunek z Traité de la lumière Christiaana Hyugensa, książka opublikowana była w 1690, ale Huygens przedstawiał jej wyniki w paryskiej Akademii Nauk w 1678 roku.)

We wrześniu 1676 roku, Ole Christensen Rømer, duński astronom pracujący w Paryżu, przepowiedział, że zaćmienie pierwszego satelity Jowisza, które miało nastąpić 9 listopada, spóźni się o dziesięć minut. Tak się rzeczywiście stało. Rømer twierdził, że przyczyną opóźnienia jest skończona prędkość światła. Między sierpniem a listopadem odległość Ziemia-Jowisz znacznie wzrosła (odpowiadałoby to przesunięciu Ziemi na rysunku z punktu H do L). Światło zużyło więc te dodatkowe dziesięć minut na przebycie dodatkowej odległości. Czas potrzebny światłu na przebycie odległości Ziemia-Słońce byłby według Rømera równy 11 minut (w rzeczywistości jest nieco mniejszy niż 9 minut). Argumentował też Rømer, że kiedy Ziemia oddala się od Jowisza (od L do K na rysunku) zmierzone okresy obiegu satelity będą trochę dłuższe niż kiedy Ziemia zbliża się do Jowisza (od F do G na rysunku). Jego obserwacje potwierdzały taką prawidłowość, choć różnice te dla jednego okresu są niewielkie.

Punkty E, F, G, H, L, K to kolejne położenia Ziemi względem Jowisza B. Satelita wchodzi w cień Jowisza w punkcie C, wychodzi w punkcie D. Dla obserwatora oznacza to zniknięcie, a następnie pojawienie się księżyca, ponieważ samego cienia nie widać. (Rysunek z omówienia pracy Rømera w „Journal des Sçavans”, 7 grudnia 1676 roku)

Regularne obserwacje satelitów Jowisza zaczął ich odkrywca, Galileusz, który zdał sobie sprawę, że mogą one posłużyć za astronomiczny zegar. Obserwując to samo zjawisko np. zaćmienie z dwóch punktów Ziemi i notując lokalny czas obu obserwacji, możemy wyznaczyć różnicę długości geograficznej obu punktów. Było to ważne dla geodetów, ale także dla marynarzy przemierzających w obie strony Atlantyk: długość geograficzna informowała, jak daleko jeszcze do celu. Obserwacje satelitów Jowisza okazały się zbyt trudne dla nawigatorów, ale astronomowie studiowali je szczegółowo. Rømer nie był pierwszym, który zauważył zależność zjawisk w układzie Jowisza od odległości. Kilka lat wcześniej główny paryski astronom, Giovanni Domenico Cassini, wysunął takie przypuszczenie, potem się jednak z niego wycofał. Powodem była naukowa ostrożność: pozostałe trzy satelity Jowisza nie wykazywały podobnego zjawiska. Gdyby przyczyną nieregularności była skończona prędkość światła, to oczywiście powinno to dotyczyć wszystkich czterech w takim samym stopniu. Cassini nie kwestionował więc samych obserwacji, lecz tylko ich wyjaśnienie.

Dlatego w roku 1676 Rømer nie tyle wyznaczył prędkość światła, ile argumentował, że jest ona skończona. Wbrew Cassiniemu i wbrew wielu ówczesnym uczonym, którzy podzielali pogląd Kartezjusza. Wartość prędkości światła po raz pierwszy pojawiła się u Christiaana Huygensa, który miał bardziej realistyczne podejście do światła. Uważał je za pewien ruch przenoszony w ośrodku, podobnie jak dźwięk. Interesowało go zresztą bardziej porównanie prędkości światła i dźwięku: oba zjawiska były według niego wywołane impulsami, tyle że rozchodzącymi się w różnych ośrodkach. Eter wypełniający wszechświat musiał być w porównaniu z powietrzem znacznie rzadszy i dużo bardziej sprężysty.

Ostatecznie zastrzeżenia Cassiniego okazały się niesłuszne: ruchy pozostałych trzech „galileuszowych” satelitów Jowisza podlegają silnym zaburzeniom grawitacyjnym i stąd ich trudne do zrozumienia zachowanie. Nikt jednak wówczas tego nie wiedział, Isaac Newton opublikował swoje dzieło dopiero w 1687 roku. Tak bywa często: nadmierna ostrożność nie popłaca.

Ole Rømer kilka lat po ogłoszeniu tej pracy wrócił do Danii, gdzie został astronomem królewskim. Nie miałby zresztą możliwości pozostania we Francji. W roku 1685 Ludwik XIV odwołał edykt nantejski i wszyscy protestanci zostali z kraju wygnani. Także Christiaan Huygens nie mógł już tam pracować, choć najlepsze lata Akademii Nauk są z nim związane. Na emigrację wyjechało też wielu Francuzów, niektórzy spośród nich, jak Abraham de Moivre, zdobyli potem sławę naukową. Katolicy zostali wśród swoich.