Jakob Hermann pisze do Johanna Bernoulliego na temat ruchu planet, 12 lipca 1710 r.

Ulmenses sunt mathematici – mieszkańcy Ulm to matematycy – głosiło stare porzekadło. Znamy jednego matematyka z Ulm Johannesa Faulhabera, który miał kontakty z Keplerem i być może z Kartezjuszem. Słynna ogrzewana komora, w której rozmyślał francuski filozof pewnej jesieni, mieściła się w Neuburgu niezbyt oddalonym od Ulm. No i w Ulm urodził się Albert Einstein, lecz rodzina rok później się przeprowadziła i uczony jako człowiek dorosły nigdy potem nie odwiedził już swego miasta rodzinnego.

Prawdziwą kolebką matematyków była natomiast leżąca niezbyt daleko od Ulm Bazylea. Stąd pochodziła rozgałęziona rodzina Bernoullich, a także Leonhard Euler i Jakob Hermann. Protoplastą naukowego rodu był Jakob Bernoulli, to od niego uczyli się matematyki jego brat Johann oraz Jakob Hermann. Johann z kolei był ojcem wybitnego Daniela i nauczycielem genialnego Eulera. Ponieważ posad dla matematyków nie było w Europie wiele, więc wszyscy ci matematycy sporo podróżowali. Dzięki bazylejskim matematykom rachunek różniczkowy i całkowy Leibniza stał się podstawą nowożytnej matematyki.

Drugim wielkim zadaniem uczonych od końca XVII wieku stało się przyswojenie osiągnięć Isaaca Newtona. Matematyczne zasady filozofii przyrody zawierały rewolucyjną fizykę przedstawioną za pomocą indywidualnego języka matematycznego, stworzonego przez autora. Nie było w historii nauki traktatu tak oryginalnego zarówno pod względem treści fizycznej, jak i matematycznej. Toteż jego zrozumienie i opanowanie zajmowało całe lata nawet wybitnym uczonym. Na kontynencie panował matematyczny idiom Leibniza i twierdzenia Newtona tłumaczono niejako na tę zrozumiałą wśród uczonych symbolikę.

Jakob Hermann pierwszy podał różniczkowe sformułowanie II zasady dynamiki. Miało ono u niego postać

G=M dV: dT,

gdzie G,M oznaczały siłę i masę, a dV, dT – różniczki prędkości i czasu. Zapis ten pojawił się dopiero na 57 stronie jego traktatu Phoronomia (1716) i odnosił się do siły ciężkości zależnej od położenia. Oczywiście, Newton już w 1687 r. rozważał takie siły, ale wyłącznie w postaci geometrycznej. Jego II prawo brzmiało: „Zmiana ruchu jest proporcjonalna do przyłożonej siły poruszającej i następuje w kierunku prostej, wzdłuż której siła ta jest przyłożona.” Newton miał na myśli zmiany pędu ciała w pewnym krótkim czasie. Jednym problemem tego sformułowania była kwestia opisywania zmian w czasie, drugim problemem był wektorowy charakter siły: ilość ruchu, pęd, zmienia się w kierunku przyłożonej siły.

Pokażemy, jak Hermann rozwiązał problem ruchu ciała przyciąganego siłą odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości od nieruchomego centrum. Zwolennicy Leibniza mieli zastrzeżenia do Newtonowskiego dowodu tego faktu, zbyt szkicowego. Pragnęli wyraźnego wykazania, że tylko stożkowe (albo część linii prostej) mogą być torem ciała.

Wyobrażamy sobie przyciągane przez centrum S ciało zakreślające krzywą CD. Jego ruch w nieskończenie krótkim czasie dt można przedstawić jako sumę wektorową ruchu bezwładnego od C do E oraz spadania od E do D wzdłuż kierunku siły w punkcie C, tzn. odcinki SC i DE są równoległe. Zmiana współrzędnej x w ruchu bezwładnym byłaby równa dx. Efekt działania siły przyciągającej to różniczka drugiego rzędu ddx (co później zapisywano d^{2}x). Oczywiście do ddx wchodzi tylko x-owa składowa siły.

Dziś narysowalibyśmy to tak, Hermann odnajduje trójkąty podobne na swoim rysunku i dochodzi do wniosku, że

ddx \propto F\dfrac{x}{r} dt^2.

Pole SCD zakreślane w czasie dt można przedstawić jako pole trójkąta o bokach [x,y] oraz [dx,dy], a więc jest ono równe połowie pola równoległoboku dt\propto y dx-x dy.
Ostatecznie różniczkę ddx możemy zapisać następująco (siła jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości):

-a ddx=\dfrac{x}{r^3}(y dx-x dy)^2,

gdzie a jest stałą proporcjonalności. Naszym zadaniem jest znalezienie równania krzywej.
Całką tego równania jest

a dx=\dfrac{y}{r}(ydx-xdy).

Dzieląc obustronnie przez x^2 i całkując ponownie, otrzymujemy

-\dfrac{a}{x}+c=\dfrac{r}{x}\;\Rightarrow\; -a+cx=r,

gdzie c jest stałą całkowania. Jest to równanie stożkowej (po obustronnym podniesieniu do kwadratu otrzymamy wielomian kwadratowy w zmiennych x,y).

Postępowanie Hermanna jest pomysłowe, choć całkowania są nieintuicyjne. Można jednak, jak zawsze, sprawdzić je, idąc od końca do początku, tzn. wykonując dwa kolejne różniczkowania. Tak naprawdę sztuka rozwiązywania równań różniczkowych jest często zamaskowanym odgadywaniem całek. Różniczkowania wynikają z reguły Leibniza dla iloczynu d(uv)=v du+u dv.
W naszym przypadku mamy np. dla drugiego równania

d\left(\dfrac{y}{r}\right)=\dfrac{rdy-ydr}{r^2}=\dfrac{r^2 dy-y rdr}{r^3}.

Pamiętając, że r^2=x^2+y^2, mamy rdr=xdx+ydy. Itd. itp. rachunki „od końca” są łatwe. W pierwszym całkowaniu przyjęliśmy stałą całkowania równą zeru, co nie zmniejsza ogólności wyniku, bo Hermann zakłada, iż oś Sx jest osią toru planety, tzn. przecięcie z osią x z lewej strony punktu S następuje w peryhelium albo aphelium, czyli przy y=0 powinno być dx=0.
Johann Bernoulli, który miał dość nieznośny charakter (nigdy nie dość wypominania mu, jak to konkurował ze swym synem Danielem) odpowiedział wybrzydzaniem na procedurę Hermanna i przedstawił swoją ogólniejszą, opartą na innym podejściu.

Z dzisiejszego punktu widzenia Hermann odkrył pewną całkę pierwszą problemu Keplera (tak się dziś nazywa problem ruchu wokół centrum przyciągającego jak 1/r^2). Całka pierwsza to wyrażenie, którego wartość nie zmienia się podczas ruchu. U Hermanna jest to

-\dfrac{dx}{dt}L_{z}-\dfrac{y}{r}=A_{y}=const.

W wyrażeniu tym L_z=xp_{y}-yp_{x}. Gdyby zająć się przyspieszeniem wzdłuż osi Sy, otrzymalibyśmy drugą całkę. Razem składają się one na wektor

\vec{A}=\vec{p}\times \vec{L}-\dfrac{\vec{r}}{r}.

Nazywa się go wektorem Rungego-Lenza, choć odkrył go właściwie Jakob Hermann. W pełni zdał sobie sprawę z faktu, że mamy trzy takie całki pierwsze, czyli w istocie wektor, Joseph Lagrange, a po nim Pierre Simon Laplace. Laplace przedyskutował też systematycznie wszystkie całki pierwsze problemu Keplera (trzy to moment pędu, trzy to nasz wektor, jedna to energia całkowita planety). Carl David Runge (ur. 1856) oraz Wilhelm Lenz (ur. 1888) pojawiają się w tej historii późno i w rolach dość przypadkowych. Pierwszy (znany z algorytmu Rungego-Kutty) użył tego wektora w swoim podręczniku analizy wektorowej, drugi zastosował go do pewnego problemu w starej teorii kwantów, przepisując go z podręcznika Rungego. Zupełnie niekosztowny sposób wejścia do historii. Wilhelm Lenz jest natomiast autorem tzw. modelu Isinga (Ernst Ising był jego doktorantem). Wektor odegrał pewną rolę w powstaniu mechaniki kwantowej. Stosując go, Wolfgang Pauli otrzymał wartości energii w atomie wodoru na podstawie formalizmu macierzowego Heisenberga. Chwilę później Erwin Schrödinger zrobił to samo w swoim formalizmie i wielu fizyków nie wiedziało, co o tym myśleć, bo na pierwszy rzut oka oba podejścia różniły się kompletnie.

Leibniz, Newton i liczba pi (1676)

W roku 1676 dobiegł końca czteroletni pobyt Gottfrieda Wilhelma Leibniza w Paryżu. Teologiczno-dyplomatyczne cele jego misji nie zostały osiągnięte, Leibniz zetknął się jednak w Paryżu z najnowszymi naukami ścisłymi, w szczególności zajął się bliżej matematyką. Były to najświetniejsze lata paryskiej działalności Christiaana Huygensa, którego traktat o zegarze wahadłowym wtedy właśnie ujrzał światło dzienne. Leibniz chłonął nowości i robił szybkie postępy. Już w roku 1673 udało mu się znaleźć słynne przedstawienie liczby pi za pomocą szeregu. Odkrycie to zrobiło spore wrażenie zarówno na paryskich uczonych, jak i na samym odkrywcy, zachęcając go do dalszej pracy w dziedzinie matematyki (w przypadku uczonego tak wszechstronnie uzdolnionego, jak Leibniz, wybór dziedziny nie był bynajmniej czymś oczywistym). Dwa lata później odkrył Leibniz rachunek różniczkowy i całkowy. Ale szereg stanowił wciąż jego powód do dumy. Toteż pochwalił się nim, pisząc w roku 1676 do Henry’ego Oldenburga, sekretarza londyńskiego Royal Society. Z pewnym niedowierzaniem dowiedział się, że „jego” szereg znany jest na Wyspach. Było to trochę tak, jakby ktoś wracając z Princeton z wynikiem, który wszystkich zachwycił, usłyszał, że w Rosji na prowincji dawno już o tym wiedzą.

Szereg to uogólnienie sumy na przypadek nieskończonej liczby wyrazów. Znanym przykładem jest szereg geometryczny. Np.

\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\ldots =1.

Co można zilustrować dzieleniem pola kwadratu jednostkowego na kolejne połowy.

Oczywiście, nie zawsze suma taka jest dobrze określona. Jednym z najprostszych nieoczywistych szeregów jest szereg harmoniczny, odwrotności kolejnych liczb naturalnych:

1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\ldots

Można łatwo pokazać, że szereg ten jest rozbieżny, tzn. jego sumy częściowe przekraczają dowolną z góry zadaną liczbę – należy tylko zsumować odpowiednio wiele składników. Podobnie rozbieżny jest szereg odwrotności liczb nieparzystych (mimo że z poprzedniego szeregu wybraliśmy jedynie co drugi wyraz):

1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}+\ldots

Nawet gdy ograniczymy się jedynie do odwrotności liczb pierwszych, szereg pozostanie rozbieżny, ten ostatni fakt udowodnił Leonhard Euler.

Szereg Leibniza ma następującą postać:

\dfrac{\pi}{4}=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\ldots

Jest on naprzemienny, tzn. znaki kolejnych wyrazów się przeplatają. Szereg taki na pewno jest zbieżny, jeśli tylko jego wyraz ogólny dąży do zera. Nie zawsze jednak łatwo jest znaleźć wartość takiej sumy. Leibnizowi udało się odkryć powiązanie z liczbą \pi, znaną z geometrii. Na pierwszy rzut oka nie ma żadnych powodów, aby taki szereg, zbudowany za pomocą prostej arytmetyki, doprowadzić miał do liczby \pi. Stąd wrażenie, jakie to odkrycie wywarło. Jak ujął to dwudziestowieczny matematyk K.H.D. Knopp: „Dzięki temu rozwinięciu opadła jakby zasłona spowijająca tę dziwną liczbę [\pi]”.

Za pośrednictwem Oldenburga Isaac Newton reprezentował wyspiarzy. Profesor z Cambridge (które było wtedy matematyczną pustynią) przesłał mu dwa obszerne listy z przeznaczeniem dla Leibniza. Newton znany był wtedy w Europie jedynie z prac optycznych. Był jednak, i może przede wszystkim, matematykiem, najwybitniejszym w tamtej epoce. Derek T. Whiteside poświęcił najlepsze lata życia na wydanie jego rękopisów matematycznych w ośmiu ogromnych tomach. Większość tego materiału z różnych powodów nie ukazała się drukiem za życia Newtona. W chwili gdy napisał Leibniz, Newton był – by tak rzec – w trakcie czwartego tomu swoich dzieł, dawno po odkryciu rachunku fluksji i fluent, czyli swojej wersji rachunku różniczkowego i całkowego (a jak zwykle u matematyków pierwsze tomy dzieł zebranych są najciekawsze). Obaj uczeni chwalili się wynikami, nie przedstawiając dowodów i tylko mgliście napomykając o rachunku. Tak się składa, że rozwinięcia w szereg stanowiły inny ulubiony temat Newtona. Odkrył np., że naprzemienny szereg harmoniczny związany jest z wartościami funkcji logarytmicznej:

\ln{2}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\ldots .

Przemawiała do niego elegancja samych rozwinięć, a także ich aspekt praktyczny: pozwalały one obliczać wartości różnych funkcji albo stałych matematycznych, takich jak \pi. Posługując się odkrytym przez siebie rozwinięciem w szereg funkcji logarytmicznej, młody Isaac Newton obliczył kiedyś dla zabawy wartość

\ln{1,1}=0,09531 01798 04324 86004 39521 23280 76509 22206 05365  30864 4199183.

Prócz ludycznego miało to też aspekt praktyczny. Tablice logarytmów stosowane były w geodezji, nawigacji, astronomii. Znając z dużą dokładnością jedną lub kilka wartości logarytmu, można zbudować tablice, już z mniejszą liczbą cyfr znaczących (ze względu na błędy zaokragleń). Newton znał oczywiście szereg Leibniza. Zrewanżował mu się innym szeregiem, łudząco podobnym:

\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}=1+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}+\ldots.

Dokumenty Leibniza pokazują, że mimo wskazówki, jak można ten szereg otrzymać, sztuka ta nie udała się Leibnizowi.

Henry Oldenburg niedługo później zmarł i Newton stracił na długo kontakt z Royal Society i z szerszym światem. Zresztą w tamtych latach pochłaniała go raczej teologia niż matematyka. Żaden z nich nie opisał drugiemu rachunku różniczkowego i całkowego. Po latach obaj zaczęli podejrzewać tego drugiego o kradzież intelektualną. Był to objaw paranoi, o którą nietrudno było w sytuacji, gdy matematycy chętniej publikowali wyniki niż metody zastosowane do ich uzyskania.

Spójrzmy na koniec na szczegóły. Otóż Leibniz, czytając pewien artykuł Pascala, wpadł na pomysł, aby szukanie pola pod jedną krzywą przekształcić w szukanie pola pod inną krzywą. Nazwał to metodą transmutacji. Opierała się ona na następującej obserwacji.

Rysujemy styczną do krzywej w pewnym punkcie, przecina ona oś y w pewnym punkcie. Rozpatrujemy następnie krzywoliniowy „trójkąt” złożony z małego odcinka krzywej i dwóch boków równoległych do osi. Gdy ów „trójkąt” staje się coraz mniejszy, zbliża się do prawdziwego trójkąta. Możemy napisać proporcję

\dfrac{dx}{ds}=\dfrac{h}{y} \, \Rightarrow y dx=h ds.

Pola infinitezymalnego (=„nieskończenie małego”) trójkąta utworzonego z dwóch promieni wodzących (linie przerywane) i odcinka krzywej równe jest \frac{1}{2} h ds. Sumując takie pola, czyli całkując, możemy obliczyć pole skończonego wycinka krzywej. Korzystając zaś z powyższej proporcji pole to można zamienić polem pewnej innej krzywej y(x): \frac{1}{2}\int{h ds}=\frac{1}{2}\int{ y dx}. Wynik ten może się przydać, jeśli zamiana jednej krzywej drugą prowadzi do uproszczenia problemu. Leibniz zastosował swoją metodę do okręgu.

Leibniz chciał obliczyć pole ćwiartki koła (\frac{\pi}{4}, składającej się z wycinka kołowego i trójkąta. Pole wycinka znaleźć można obliczając pole pod krzywą y(x), która ma równanie zapisane na rysunku. Łatwiej jest obliczyć pole między osią y a krzywą:

Szczegóły rachunku znaleźć można tutaj. Ostatecznie otrzymujemy

\dfrac{\pi}{4}={\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{dx}{1+x^2}}.

Ułamek po prawej stronie zastępujemy szeregiem geometrycznym:

\dfrac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\ldots

i całkujemy wyraz po wyrazie. Wynik Newtona uzyskuje się z całki

{\displaystyle \int_{-1}^{1}\dfrac{dx}{1+\sqrt{2} x+x^2}=\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}=2\int_{0}^{1}\dfrac{1+x^2}{1+x^4}dx}.

Całkę po prawej stronie rozwijamy w szereg jw. Leibniz nie znał, jak się wydaje, rozkładu na czynniki

1+x^4=(1+\sqrt{2}x+x^2)(1-\sqrt{2}x+x^2).

Johann Bernoulli i krzywa łańcuchowa (1690)

Matematycy XVII wieku lubili badać rozmaite osobliwe krzywe i uwielbiali chełpić się swoimi umiejętnościami. Krzywe stożkowe: elipsa, parabola i hiperbola, czyli krzywe opisywane równaniami drugiego stopnia, już im nie wystarczały. Isaac Newton przeprowadził klasyfikację wszystkich krzywych trzeciego stopnia, co jest znacznie trudniejsze niż dla drugiego stopnia. Chętnie też zajmowali się krzywymi powstającymi wskutek ruchu (jak cykloida) albo jako rozwiązanie pewnego problemu z mechaniki. Jedną z takich krzywych była linia łańcuchowa, czyli kształt, jak przyjmuje giętki i ciężki łańcuch zawieszony na dwóch końcach.
Jeszcze w XVI wieku młody Galileusz starał się poznać kształt krzywej łańcuchowej, sądząc, że jest to ta sama krzywa, jaką zakreśla rzucone ciało. Prowadził wraz z Guidobaldem del Monte eksperymenty, aby porównać obie krzywe. Krzywą balistyczną rysowali puszczając kulkę zamoczoną w atramencie po równi pochyłej, jak na obrazku.

Okazało się, że krzywa balistyczna przypomina parabolę, lecz krzywa łańcuchowa różni się od niej znacząco. Jak wiemy, Galileuszowi udało się znaleźć mechaniczne wyjaśnienie dla krzywej balistycznej. Jednak kształtu krzywej łańcuchowej nie potrafił opisać matematycznie.
W 1690 roku Jacob Bernoulli, matematyk z Lozanny, rzucił na łamach „Acta Eruditorum” – pierwszego niemieckiego czasopisma naukowego, założonego z inicjatywy Leibniza – wyzwanie do innych matematyków, by opisali kształt krzywej łańcuchowej. Jeszcze w tym samym roku zagadnienie to rozwiązali Gottfried Wilhelm Leibniz, a także młodszy brat Jacoba, dwudziestoczteroletni Johann, kształcący się na medyka. Kilka lat wcześniej Leibniz w tym samym czasopiśmie ogłosił zarysy rachunku różniczkowego i całkowego. Bracia Bernoulli pilnie przestudiowali tę technikę formułowania i rozwiązywania problemów, obaj też wkrótce przewyższyli Leibniza, zwłaszcza Johann, który stał się szybko jednym z mistrzów rachunku różniczkowego i całkowego. Ambitny Johann nie został medykiem (podobnie jak niegdyś Galileusz). Niedługo później zrobił furorę w matematycznych kręgach Paryża. Jego wykłady częściowo opublikował pod swoim nazwiskiem markiz de L’Hôpital (któremu Johann sprzedał wyniki), druga ich część opublikowana została dopiero pół wieku później w t.3 Opera omnia Johanna.
Po roku „Acta Eruditorum” opublikowały wyniki Leibniza, Huygensa i Johanna Bernoulliego, lecz bez dowodów. Ówcześni matematycy niechętnie ujawniali metody, woleli raczej drażnić konkurentów swymi umiejętnościami.
Praca Christiaana Huygensa była niezadowalająca, stary mistrz nie znał nowych technik. Rozpatrywał łańcuch zbudowany z odcinków i próbował wykonać przejście graniczne do krzywej ciągłej, gdy długość każdego odcinka dąży do zera. Leibniz podał rozwiązanie w najprostszy sposób jako konstrukcję średniej arytmetycznej z dwóch krzywych wykładniczych („curva logarithmica”). Kilka lat później Leibniz opisał szczegółowo swoje rozwiązanie w liście do Huygensa. Nie było ono zbyt eleganckie, lecz ukazywało siłę metody postępowania, dzięki której nawet mało inteligentne podejście do problemu dawało się skutecznie przeforsować. Sam Jacob nie zdołał rozwiązać problemu i niezbyt mu się podobało, że dokonał tego jego młodszy brat.

Johann Bernoulli wyraził swoje rozwiązanie w postaci pola pod pewną krzywą, czyli całki. Przeanalizował też szczegółowo cały problem i rozwiązał go w sposób zdecydowanie elegantszy. Podał szereg twierdzeń, które przedstawione są na kolejnych rysunkach.

Punktem wyjścia jest zasada następująca: (Fig. 131) siły działające w dwóch dowolnych punktach A i C po różnych stronach minimum mają kierunek styczny do krzywej (łańcuch jest giętki) i muszą dodane wektorowo zrównoważyć ciężar łańcucha pomiędzy A i C. Środek ciężkości odcinka AC łańcucha znajdzie się dokładnie nad punktem D. Jeśli (Fig. 133) utniemy jakiś kawałek łańcucha, np. powyżej F, pozostała część nie zmieni kształtu. W szczególności (Fig. 132 i 135) możemy wybrać jako jedną z sił styczną w minimum, pozwala to szczególnie prosto sformułować warunek, jaki musi spełniać nasza krzywa. Fig. 136 daje konstrukcję Leibniza, równoważną Fig. 137 konstrukcję Johanna.
Podstawowa własność krzywej łańcuchowej daje się odczytać ze współczesnej wersji Fig. 132.

Aby utrzymać w równowadze odcinek łańcucha o długości s i ciężarze \varrho s potrzebna jest równa temu ciężarowi składowa pionowa siły (fioletowa). Składowe poziome (czerwone) równoważą się nawzajem, co oznacza, że składowa pozioma jest niezależna od wysokości. Możemy więc zapisać dla naszej krzywej

\dfrac{dy}{dx}=\mbox{tg }\alpha = s.

Nachylenie stycznej proporcjonalne jest do odległości od minimum. Bez zmniejszenia ogólności możemy przyjąć, że stała proporcjonalności równa jest 1 – możemy to zawsze osiągnąć wybierając odpowiednio jednostkę długości. Reszta jest zastosowaniem cudownej metody Leibniza (*), która szybko prowadzi do wyniku:

y(x)=\cosh x\equiv \dfrac{e^x+e^{-x}}{2}.

Obecnie sumę taką jak w kształcie krzywej łańcuchowej zapisujemy jako cosinus hiperboliczny: algebra funkcji hiperbolicznych jest podobna do trygonometrycznych, z tą istotną różnicą, że jedynka trygonometryczna zastąpiona jest wyrażeniem \cosh^2 x-\sinh^2 x=1 i pochodna cosinusa hiperbolicznego jest równa sinusowi hiperbolicznemu (bez minusa).
Krzywa łańcuchowa różni się od paraboli tym bardziej, im dalej od minimum się znajdziemy.

(*) Oznaczmy pochodną szukanej funkcji przez u. Różniczkując obie strony równania krzywej łańcuchowej, otrzymujemy

\dfrac{du}{dx}=\dfrac{ds}{dx}=\dfrac{\sqrt{dy^2+dx^2}}{dx}=\sqrt{u^2+1}.

Stąd

{\displaystyle \int {\dfrac{du}{\sqrt{u^2+1}}}=\int dx=x+A,}

Całkę możemy obliczyć korzystając z jedynki hiperbolicznej: \cosh^2 z=\sinh^2 z+1. Podstawiając u=\sinh z, mamy du=\cosh z dz i po lewej stronie zostaje całka z 1:

z=x+A.

Możemy wziąć sinh z obu stron, otrzymamy wówczas

\sinh z=u=\dfrac{dy}{dx}=\sinh (x+A).

Całkując ostatnią równość, otrzymujemy y=\cosh x. Stałe całkowania powinny być równe 0, jeśli chcemy mieć wykres taki, jak na obrazkach powyżej.

Newton na plaży, Einstein w bibliotece

Einstein miał w swoim gabinecie w Berlinie trzy portrety: Newtona, Faradaya i Maxwella. Była to, rzec można, historia fizyki w trzech portretach: ojca założyciela nowożytnej fizyki i dwóch uczonych, eksperymentatora i teoretyka, odpowiedzialnych za koncepcję pola elektromagnetycznego. Einstein zbudował na tej podstawie teorię pola grawitacyjnego jako krzywizny czasoprzestrzeni, a resztę życia poświęcił głównie na nieudane próby matematycznego ujednolicenia Maxwellowskiego elektromagnetyzmu z grawitacją – miała to być słynna Einheitliche Feldtheorie: jednolita teoria pola.

Nic dziwnego, że z perspektywy wieków pracę Newtona postrzegał Einstein jako swego rodzaju raj dzieciństwa. Pisał o nim:

Szczęśliwy Newton, szczęśliwe dzieciństwo nauki! Ten, kto znajdzie czas i spokój ducha, by przeczytać tę książkę [Optics], przeżyje jeszcze raz cudowne zdarzenia, których wielki Newton doświadczył w swych młodych latach. Natura była dla niego niczym otwarta księga, której litery odczytywał bez trudności. Koncepcje, których używał, by zredukować materię egzystencji do uporządkowanego ładu, zdawały się samorzutnie wypływać z samego doświadczenia, z pięknych eksperymentów, które ułożył po kolei jak zabawki i opisał z czułą dbałością o szczegóły. W jednej osobie złączył się tu eksperymentator, teoretyk, mechanik, a także, co nie najmniej ważne, artysta w sposobie wykładu.

Niewykluczone, że Einstein natrafił gdzieś na słynny cytat z Newtona:

Nie wiem, kim się wydaję dla świata, ale sam sobie wydawałem się jedynie chłopcem igrającym na brzegu morza, który zabawia się, znajdując od czasu do czasu gładszy kamyk albo muszlę ładniejszą od innych, podczas gdy wielki ocean prawdy leżał nieodkryty przede mną.

Ten obraz dziecka na plaży zupełnie nie pasuje do innych wypowiedzi Newtona. Nie mamy nawet pewności, czy uczony widział  kiedykolwiek morze. Jako dziecko żył od morza daleko, a potem mieszkając w Londynie, niewiele się poruszał i nigdy bez określonego celu. Zabawa na plaży nie mogła się więc odnosić do jego własnych wspomnień, jako stary kawaler nie brał też udziału w życiu wielopokoleniowej rodziny. Wypowiedź tę, pochodzącą ponoć z ostatnich lat życia uczonego, przekazał Andrew Michael Ramsey, który jednak przebywał w tym czasie we Francji, a do Anglii wrócił trzy lata po śmierci Newtona. Mógł ją oczywiście od kogoś usłyszeć i zapisać jako uderzającą, legenda Newtona była już wtedy bardzo żywa, więc z pewnością zwracano uwagę na wszystko, co mogło od niego pochodzić. Nie ma jednak żadnego innego źródła, które by przekazało taką bądź zbliżoną wypowiedź uczonego.

Nie sądzę też, aby Newton skłonny był porównywać swoją pracę do dziecinnej zabawy. Dla nas zabawa taka jest uczeniem się świata, przejawem kreatywności, którą dorośli często tracą z wiekiem, skłonni jesteśmy widzieć w dzieciństwie utracony raj. Inaczej w czasach Newtona, gdy starano się z dzieci uczynić miniaturowych dorosłych i do zachowania dzieci przykładano miary moralne i religijne dorosłego życia. Dzieciństwo służyło właściwie temu, by jak najszybciej z niego wyrosnąć, stając się świadomym i odpowiedzialnym członkiem wspólnoty społecznej i religijnej. Newton był człowiekiem surowo religijnym, purytaninem, który niechętnie patrzył na wszelkie marnowanie czasu i wszystko robił zawsze w jakimś „poważnym” celu. Porównanie do dziecięcej zabawy odbierałoby jego pracy naukowej znaczenie. Podobny obraz dziecka na plaży pojawia się u Johna Miltona, purytańskiego poety, w poemacie Raj odzyskany. Szatan jest w nim umysłem zgłębiającym książkowe mądrości i przeciwstawiony jest mu Jezus, który posiadł tę madrość, która jest najważniejsza. Jezus mówi tam do Szatana m.in.

Kto czyta nieustannie a w swoje czytania
Nie wprowadza rownego lub wyższego zdania
I nie ma DUCHA błądzi kto zaś z DUCHEM czyta
Nie potrzebuje Greka mieć za Erudyta
Słuchacz Pogańskich Nauk bez pomocy DUCHA
Musi grążnąć w ciemnościach choć Doktorów słucha
Niepewny zawsze traci prac swoich pożytki
Głęboko biegły w książkach a sam w sobie płytki
Dowcip otruty jadem lub niedowarzony
Co fraszki lub świecidła zbiera z każdey strony
Warte gębki on je ma za godne Krytyki
Jak dziecko zbierające na piaskach krzemyki.

[przeł. Jacek Przybylski, Kraków 1792]

Książkowe mądrości warte są gąbki – tzn. dziś byśmy powiedzieli warte są wciśnięcia klawisza Delete (na tabliczkach do pisania stosowano gąbkę do ścierania treści, stąd tabula rasa – czysta tabliczka u Johna Locke’a, współczesnego Newtonowi). Nie wiemy, czy Newton czytał Miltona, mógł go przeglądać z powodu bliskości religijnej, choć wiemy, że uczony za poezją nie przepadał, a może lepiej powiedzieć: nie miał do poezji słuchu i wyobraźni. Isaac Newton nie lubił metafor, starał się przekształcić symbole w jakieś konkrety, jak u czytanych przez siebie alchemików. Użycie takiego miltonowskiego porównania byłoby oznaką dystansu starego uczonego wobec zajęć swej młodości i wieku średniego, psychologicznie wydaje się jednak niewiarygodne.

Swe zajęcia traktował Newton raczej jako obcowanie ze Stwórcą niż igraszkę. W tym punkcie spotykał się z Einsteinem, którego stosunek do religii instytucjonalnych był niezbyt przychylny, choć nie uważał się także za ateistę. W roku 1929 na pytanie „Czy wierzy pan w Boga?” odpowiedział:

Nie jestem w każdym razie ateistą. Ale to kwestia nie na nasz ograniczony rozum. Jesteśmy w sytuacji małego dziecka, które znalazło się w olbrzymiej bibliotece wypełnionej książkami w wielu językach. Dziecko wie, że ktoś je musiał napisać. Ale nie wie, jak, i nie zna języków, w których zostały spisane. Przeczuwa, że wszystkie te tomy ustawiono w jakimś porządku, ale nie ma pojęcia, w jakim. Taka też jest moim zdaniem sytuacja nawet najinteligentniejszych ludzi w obliczu Boga. Widzimy cudownie urządzony wszechświat, działający wedle pewnych zasad – tyle że bardzo słabo rozumiemy te zasady. (przeł. J. Skowroński)

Także ten obraz dziecka w niezrozumiałej bibliotece pochodzi tylko z jednego niezbyt wiarygodnego źródła. Jest nim występujący w roli dziennikarza George Sylvester Viereck, który przeprowadził wywiady z wieloma sławnymi ludźmi, np. z Freudem i Hitlerem. Viereck [„Czworokąt”] – nazwisko jak najbardziej odpowiednie dla kogoś, kto rozmawia z odkrywcą geometrycznej natury grawitacji, był nieślubnym wnukiem cesarza Wilhelma II i choć wychowywał się w Stanach Zjednoczonych czuł zawsze słabość do niemieckiego militaryzmu, co zaowocowało nawet kilkuletnią odsiadką w amerykańskim więzieniu.

 

 

Wstęp do sprawy Galileusza

Sprawa Galileusza była tyleż heroiczną, co bezskuteczną próbą zatrzymania czasu i naukowego postępu przez Kościół rzymski. Od czasu skazania Galileusza pojawił się wzór działania, powtarzający się aż do dziś: „nauki” Kościoła, interpretowane przez słabo zorientowanych w nauce teologów, utrzymywane jedynie siłą stojącej za nimi instytucji, wycofywały się stopniowo i chyłkiem z co bardziej oczywistych głupstw głoszonych jako prawdy objawione. Co nie znaczy, że działo się to szybko. Jak zauważył kiedyś Albert Camus: „Książki Kopernika i Galileusza były na indeksie do 1822 roku. Trzy wieki uporu to już kokieteria” (przeł. J. Guze).

Odkrycia dokonywane w XVII wieku w astronomii i fizyce prowadziły do obrazu świata coraz bardziej oddalonego od potocznych wyobrażeń, a więc także i od zdroworozsądkowej u swego korzenia filozofii Arystotelesa oraz od literalnego rozumienia tekstu Pisma Świętego. Teoria Kopernika była jednym z pierwszych przykładów, gdy nauka głosiła tezę sprzeczną z naszym bezpośrednim doświadczeniem. Zamęt poznawczy jeszcze bardziej pogłębiły teleskopowe odkrycia Galileusza na niebie. Już sam fakt, że istnieją obiekty niepostrzegalne gołym okiem, stanowił duży wstrząs dla współczesnych. Sam uczony pod wpływem tych odkryć zaczął coraz śmielej głosić kopernikanizm, uznając, że potrafi nie tylko udowodnić fałszywość fizyki arystotelesowskiej, ale także wykazać naukowo ruch Ziemi.

Galileusz zajął się teologią z konieczności, ponieważ został zadenuncjowany jako heretyk i stał się celem niewybrednych ataków ze strony dominikanów z Florencji. Najważniejszy z jego tekstów teologicznych, List do Wielkiej Księżny Krystyny (1615), pochodzi z okresu, gdy uczony wciąż jeszcze miał nadzieję, że Kościół katolicki nie opowie się oficjalnie przeciwko nauce kopernikańskiej. Wymagało to jednak odstąpienia od dosłownej interpretacji niektórych fragmentów Pisma Świętego. Galileusz przedstawił własną propozycję hermeneutyki Biblii, zwracając uwagę na fakt, że adresowana jest ona także do ludzi nieuczonych i posługuje się w tym celu językiem potocznym, nie można więc oczekiwać od tekstu Pisma objaśnień zjawisk przyrodniczych. Co więcej, przywołując tradycję dwóch ksiąg: księgi objawionej i księgi przyrody, stara się wykazać, że w razie pozornego konfliktu obu tych źródeł poznania, gdyby jakaś dobrze udowodniona prawda nauk przyrodniczych stała w sprzeczności z naszym zrozumieniem Pisma, należałoby zastanowić się nad zmianą interpretacji tekstu świętego. Podkreślić należy, że przynajmniej w ogólnych zarysach taki punkt widzenia nie był jakoś szczególnie oryginalny w XVII wieku. Przed Galileuszem zbliżone podejście hermeneutyczne głosił Johannes Kepler, później w podobnym duchu wypowiadali się niemal wszyscy przedstawiciele nowej nauki, nawet tacy fundamentaliści biblijni jak Isaac Newton. Jako przykład nowej interpretacji Biblii podaje Galileusz cud z Księgi Jozuego, gdy wedle tekstu Pisma Św. (Joz, 10, 13) słońce zatrzymało się na pewien czas. Otóż cud ten – zdaniem Galileusza – można zrozumieć naukowo, gdy przyjmiemy, że Słońce (znajdujące się pośrodku układu planetarnego) przestało obracać się wokół osi, co z kolei sprawiło, że także planety stanęły i cały kosmiczny zegar znieruchomiał, po czym znowu ruszył. Jak się wydaje, Galileusz zaczerpnął tu wiele ze wstępu do Astronomia nova (1609) Keplera, gdzie zaproponowany został taki właśnie mechanizm omawianego cudu (cudowne było zatrzymanie i ponowne uruchomienie Słońca, pozostałe zjawiska przebiegały w sposób naturalny).

Kościół katolicki wyjątkowo niechętnie patrzył na próby indywidualnej interpretacji Pisma, zwłaszcza podejmowane przez ludzi świeckich, nawet tak wybitnych jak Galileusz. Toteż różne zabiegi Galileusza, w tym jego kampania informacyjno-propagandowa prowadzona w Rzymie wśród najwyższego duchowieństwa, nie odniosły skutku. W roku 1616 nieruchomość Słońca uznano za sprzeczną z tekstem Pisma Św., a ruch Ziemi – za co najmniej błąd w wierze. Sam Galileusz został napomniany, by nie głosił poglądów kopernikańskich, choć dokładny sens tego napomnienia pozostaje wciąż niejasny – zachowały się na ten temat dwa nieco różne w treści dokumenty. Galileusz zrozumiał, że musi zamilknąć, choć poglądów kopernikańskich nie zmienił. Na razie uczonego nie spotkało nic złego. Do jego patronów w tym okresie należał m. in. kardynał Maffeo Barberini, który w 1620 r. napisał nawet na jego cześć wiersz pod tytułem Adulatio perniciosa („Zgubna pochwała”). Jak bardzo proroczy okazał się tytuł owego wiersza, miał się Galileusz przekonać, gdy Barberini został papieżem, przybierając imię Urbana VIII. Papież uważał się za intelektualistę i uczony uznał, że nadszedł sprzyjający czas na otwarte opowiedzenie się za ruchem Ziemi, ogłaszając w 1632 r. Dialog o dwu najważniejszych układach świata Ptolemeuszowym i Kopernikowym. Książka miała wprawdzie wszelkie możliwe zezwolenia władz kościelnych, lecz nie przypadła do gustu papieżowi. Rozpętała się burza, zakończona skazaniem Galileusza na dożywotni areszt domowy i całkowity zakaz publikacji. Musiał też publicznie podczas upokarzającej ceremonii wyrzec się swych poglądów.

Obraz z XIX wieku przedstawiający wyrzeczenie się poglądów przez Galileusza (Joseph-Nicolas Robert-Fleury). W rzeczywistości uczony wystąpił w worku pokutnym i musiał klęczeć, odczytując poniższy tekst:

Ja, Galileo, syn Vincenza Galilei z Florencji, w wieku lat moich 70, osobiście stanąwszy przed sądem, na klęczkach w obliczu waszym, najdostojniejsi i najwielebniejsi panowie kardynałowie, generalni inkwizytorzy w całej powszechności chrześcijańskiej przeciwko występkowi herezji, mając przed oczami moimi najświętszą Ewangelię, której dotykam własnymi rękami, przysięgam, że zawsze wierzyłem, obecnie wierzę i z pomocą bożą w przyszłości wierzyć będę w to wszystko, co utrzymuje, głosi i czego naucza św. Kościół katolicki i apostolski. Ponieważ jednak po tym, gdy to Święte Oficjum upomniało mnie i nakazało z mocą prawną, bym całkowicie porzucił fałszywe mniemanie, że Słońce jest środkiem świata i nie porusza się, a Ziemia nie jest środkiem świata i się porusza, i abym nie utrzymywał, nie bronił ani nie nauczał tej fałszywej doktryny, i po tym, gdy mi podano do wiadomości, że doktryna ta jest sprzeczna z Pismem Świętym, napisałem i ogłosiłem drukiem książkę, w której omawiam tę potępioną już doktrynę i na jej poparcie przytaczam bardzo przekonujące argumenty, nie dając żadnego rozwiązania – przeto uznany zostałem za mocno podejrzanego o herezję, a mianowicie, iż utrzymywałem i wierzyłem, że Słońce, nieruchome, jest środkiem świata (*), a Ziemia nie jest tym środkiem i się porusza.
Pragnę tedy z umysłów Waszych Eminencji i każdego prawego chrześcijanina usunąć to mocne podejrzenie, jakie słusznie wzbudziłem. (…) Przysięgam, że w przyszłości nigdy już nie będę głosił ani twierdził, słowem bądź pismem, niczego, co skłoniłoby do takiego podejrzenia. Jeślibym zaś poznał jakiegoś heretyka lub podejrzanego o herezję, doniosę o tym Świętemu Oficjum (…) Ja, Galileo Galilei, wyrzekam się, przysięgam, obiecuję i przyjmuję wszystko to, co wyżej przeczytałem, i na przypieczętowanie tego własnoręcznie podpisuję niniejszy dokument, który odczytałem słowo po słowie w Rzymie, w klasztorze Santa Maria sopra Minerva, dzisiaj, w dniu 22 czerwca 1633 roku.
Ja, Galileo Galilei, wyrzekłem się, jak wyżej, i własnoręcznie podpisuję.

Sprawa Galileusza jest oczywiście w jakiejś mierze konfliktem intelektualnym, starciem idei. Rozstrzygała się kwestia nowego podejścia do interpretacji Pisma Św. Kościół instytucjonalny nie miał jednak cienia wątpliwości, że filozofia nadal powinna być służką tradycyjnie rozumianej teologii. Galileusz i jego zwolennicy (często także duchowni) nie zostali wysłuchani – linia podziału biegła tu zresztą nie tyle między Kościołem a nauką, co raczej między zwolennikami nowych idei a ich przeciwnikami. Ostateczne decyzje zarówno w roku 1616, jak i w roku 1633 zapadły bez głębszego rozważenia tez Galileusza. W tym drugim przypadku sprawdzano tylko, czy można znaleźć w książce podstawy do oskarżenia jej autora. Bardzo możliwe, że jakąś rolę odegrał tu gniew Urbana VIII, który poczuł się urażony widząc własne słowa włożone w usta Simplicia – niezbyt rozgarniętego uczestnika Galileuszowego Dialogu. Cała sprawa Galileusza stała się głośnym przykładem użycia (czy też nadużycia) władzy doczesnej Kościoła katolickiego do cenzurowania treści teorii naukowej. Nie ma w tym kontekście znaczenia, czy Galileusz miał mocne dowody naukowe przemawiające za ruchem Ziemi – bardzo rzadko uczony może przedstawić takie dowody już w chwili publikacji swej teorii.

Przemiana światopoglądowa związana z rewolucją naukową była już wówczas w toku i żadne zakazy nie mogły tego odwrócić. Jednak tak ostry konflikt nie był nieuchronny. W tym konkretnym przypadku rolę odegrały zapewne cechy osobiste uczonego, który miał temperament zjadliwego polemisty, a także szersze uwarunkowania, jak osłabiona pozycja polityczna papieża i potrydencka mentalność oblężonej twierdzy.

Nie wszędzie dopasowanie prawd naukowych i prawd religijnych dokonywało się w sposób administracyjny, jak w Rzymie. W krajach protestanckich nie było żadnego odpowiednika sprawy Galileusza. W roku 1638 John Wilkins opublikował w Londynie książkę The Discovery of A World in the Moone, w której głosił kopernikanizm zbliżony do poglądów Galileusza. Wilkinsa nie tylko nie spotkały z powodu książki żadne represje, ale pod koniec życia został biskupem Kościoła anglikańskiego i jednym z założycieli Towarzystwa Królewskiego.

Konsekwencje sprawy Galileusza dla dalszego rozwoju nauki były stosunkowo niewielkie, m. in. dlatego, że niebawem znaczenie zyskały kraje północne, przede wszystkim Francja, Holandia i Anglia, gdzie cenzura kościelna miała wpływ niewielki albo żaden. Kartezjusz wolał jednak na wszelki wypadek mieszkać w Holandii i wstrzymał się z ogłoszeniem gotowego w roku 1633 Świata albo traktatu o świetle. Kartezjusz, podobnie jak Galileusz, był szczerym katolikiem i z wielu powodów nie chciał konfliktu ze swym kościołem.

Wstyd Kościoła pozostał do dziś. Jeszcze pod koniec XX wieku, kiedy podjęto na wniosek Jana Pawła II badania nad sprawą Galileusza, strona kościelna starała się zrzucić z siebie winę, przyznając jedynie, że uczony „wiele wycierpiał
(…) ze strony ludzi i instytucji Kościoła”, dodając zarazem jednym tchem, że to Galileusz błędnie rozumiał metodę naukową.

(*) Nb. Galileusz nie uważał, że Słońce jest środkiem świata, w ogóle nie wierzył, aby istniał jakiś środek świata, ale z pozycji klęcznej trudno było zaczynać na ten temat dyskusję.

Dialog o dwu najważniejszych układach świata: ptolemeuszowym i kopernikowym – Galileo Galilei (1/2)

Dialog o dwu najważniejszych układach świata: ptolemeuszowym i kopernikowym – Galileo Galilei (2/2)

Czy to, co krąży, musi kiedyś spaść? Przypadek atomu i podwójnych obiektów astrofizycznych

Krążenie planet uchodziło od starożytności za kosmiczny miernik czasu. Dlatego właśnie Mikołaj Kopernik zdecydował się na radykalny krok i zamiast układu geocentrycznego wybrał heliocentryczny. Miał przy tym nadzieję, że teraz nie tylko całość kosmicznej konstrukcji nabierze sensu, ale że – i to przede wszystkim – ruchy planet staną się doskonale jednostajne (u Ptolemeusza tak nie było). Okazało się później, że tylko heliocentryzm przetrwał, ruch planet zachodzi po elipsach ze zmienną prędkością.

W 1913 r. Niels Bohr zaproponował planetarny model atomu. W najprostszym przypadku atomu wodoru mielibyśmy jeden elektron krążący po okręgu wokół niewielkiego jądra, dziś zwanego protonem. Dozwolone orbity spełniać miały specjalny warunek zawierający liczbę całkowitą n=1,2,3,\ldots. Wynikało z niego, że pierwsza z tych orbit miała promień r\approx 0,5\cdot 10^{-10} m. Wielkość tę nazywa się promieniem Bohra. W czym leżała rewolucyjność podejścia Bohra? Przyjął on, że krążąc po dozwolonych orbitach, elektron nie promieniuje, dzięki czemu atom jest trwały: elektron może skokowo zmieniać orbitę, ale gdy znajdzie się na najniższej, nie może już bardziej zbliżyć się do protonu i według duńskiego fizyka miał tak krążyć wiecznie, jeśli żadne oddziaływanie go z tego stanu nie wytrąci.

Można obliczyć, co powinno się stać z elektronem według fizyki klasycznej, czyli w tym przypadku elektrodynamiki Maxwella. Elektron krążący wokół protonu jest obracającym się dipolem elektrycznym. Dipol taki promieniuje moc daną  równaniem

P=\dfrac{q_e^2 r^2 \omega^2}{6\pi\varepsilon_0 c^3}.\mbox{ (*)}

We wzorze tym q_e jest ładunkiem elementarnym, \varepsilon_0 przenikalnością próżni, a c oznacza prędkość światła w próżni.

Wskutek unoszenia energii przez falę elektromagnetyczną elektron krąży po coraz niższych orbitach, zachowując się podobnie do satelity Ziemi, który wchodzi w atmosferę. Nietrudno obliczyć, że elektron spadnie na jądro po czasie równym

\tau=\dfrac{r^3}{4c r_0^2}\approx 1,3\cdot 10^{-11} s.

Zastosowaliśmy tu skrót r_0=\frac{q_e^2}{4\pi\varepsilon_0 mc^2}, wielkość tę nazywamy klasycznym promieniem elektronu (gdyby elektron był kulką tej mniej więcej wielkości, to jego pole elektrostatyczne miałoby energię mc^2, ale możemy to uważać jedynie za wygodny skrót). Częstość krążenia elektronu powinna stopniowo rosnąć w miarę jego zbliżania się do protonu. Znaczy to, że klasycznie rzecz biorąc, elektron promieniuje falę o coraz wyższej częstości, gdyż częstość jego wirowania równa jest częstości emitowanej fali. Mamy więc piękną katastrofę – nie tylko planetarnego atomu, ale w ogóle każdego modelu klasycznego –nie można zbudować modelu atomu, mając do dyspozycji jedynie klasyczną mechanikę Newtona i elektrodynamikę Maxwella. Każdy atom powinien bowiem przez krótką chwilę emitować falę o rosnącej częstości, a potem przestać istnieć jako układ, w którym ładunki ujemne i dodatnie są przestrzennie rozdzielone. Oczywiście, Bohr dobrze o tym wiedział, szukał jednak wyjścia z impasu, w jakim znalazła się fizyka i który został rozwiązany zadowalająco dopiero po kilkunastu latach, gdy stworzono mechanikę kwantową. Jego model był desperacką próbą nowego otwarcia, i pod tym względem spełnił swoją rolę. Ważnym elementem modelu Bohra i późniejszych teorii mikroświata było wprowadzenie nowej stałej fizycznej: stałej Plancka h. Pojawia się ona wszędzie, gdzie mamy do czynienia z mikroświatem (u nas ukryta jest w promieniu Bohra).

Teorię grawitacji Newtona Einstein zastąpił w 1915 r. ogólną teorią względności. Można się było spodziewać, że poruszające się ciała powinny promieniować fale grawitacyjne i w rezultacie tracić energię. W roku 1918 Einstein opublikował pracę, w której obliczył, jaką moc emituje ruchomy układ mas w postaci fal grawitacyjnych. Można więc oczekiwać, że również obiekty astrofizyczne krążące wokół środka masy z czasem będą się zbliżać, a nawet łączyć w większe ciała. W roku 1918 nie było szans na zmierzenie fal grawitacyjnych, sto lat później zaczęły one być jednak rejestrowane. Fale te wysyłane są tuż przed połączeniem się dwóch obiektów – czarnych dziur

Wyobraźmy sobie dwa ciała kosmiczne o jednakowych masach M (dla uproszczenia), krążące wokół wspólnego środka masy w odległości D od siebie. Całkowita moc wypromieniowywana w postaci fal grawitacyjnych równa jest

P=\dfrac{32}{5}\,\dfrac{G}{c^5}\, I^2 \omega^6, \mbox{ (**)}

We wzorze tym G jest stałą grawitacyjną, a I – momentem bezwładności, czyli wielkością mówiącą coś na temat rozkładu mas, \omega jest prędkością kątową. Analogicznie jak w przypadku atomu możemy obliczyć czas życia takiego układu podwójnego. Jest on równy

T=\dfrac{5}{64} \dfrac{R_s}{c} \left(\dfrac{c}{\pi f_0 R_s}\right)^{\frac{8}{3}}.

Wyraziliśmy tu czas przez wielkość promienia Schwarzschilda R_s\equiv \frac{2GM}{c^2} dla każdego z obiektów oraz częstość fali grawitacyjnej emitowanej w chwili początkowej f_0. Wzór ten możemy stosować, dopóki mamy do czynienia z dwoma wyraźnie rozgraniczonymi ciałami, najlepiej punktowymi (we wszechświecie najbliżej tego ideału są czarne dziury oraz gwiazdy neutronowe). Częstość fali grawitacyjnej jest dwa razy większa niż częstość krążenia ciał. Wynika to stąd, że po połowie okresu kwadraty współrzędnych wracają do tych samych wartości, czyli z punktu widzenia momentu bezwładności wracamy do punktu wyjścia. Gdyby dwie gwiazdy o masie Słońca krążyły w odległości takiej, jak dzisiejsza odległość Ziemia-Słońce, czas życia takiego układu byłby równy T=4\cdot10^{17} lat, czyli niezmiernie długo w porównaniu z wiekiem wszechświata 14\cdot 10^{10} lat. Widać jednak ze wzoru, że gdy częstość krążenia f_0 będzie znaczna, czas życia będzie znacznie krótszy i wtedy możliwe będzie doczekanie chwili, gdy oba ciała złączą się w jedną czarną dziurę. Eksperyment LIGO zmierzył kilka przypadków takiego właśnie łączenia się dwóch obiektów.

Widzimy tu falę o rosnącej częstości. W chwili t=0,35 s częstość f_0=42 Hz, w chwili t=0,43 s częstość ucieka w górę – jest to słynne „ćwierknięcie” – chirp. Zatem od f_0 do nieskończoności upływa czas T=0,08 s. Wstawiając taki czas oraz wartość f_0, wyznaczyć możemy promień Schwarzschilda, a stąd masę naszych obiektów. Jest ona równa około 40,6 mas Słońca. Obliczyliśmy to przy upraszczającym założeniu, że obie kosmiczne masy są jednakowe. Można wykonać dokładniejsze obliczenia bez tego założenia.

Najwyższa częstość równa jest około 300 Hz. Przyjmując, że obie czarne dziury zetknęły się wówczas swoimi horyzontami, można wyznaczyć sumę mas obu dziur z III prawa Keplera. Okazuje się ona równa 76 mas Słońca, a więc w zgodzie z tym, co powiedzieliśmy wyżej.

Z fizycznego punktu widzenia najciekawsze zjawiska zachodzą, gdy dziury zlewają się w jedną i potem nowopowstała dziura drga jeszcze przez chwilę. Modelowanie tej fazy możliwe jest wyrafinowanymi metodami numerycznymi.

(*) Zobaczmy, od czego zależy moc emitowana przez obracający się dipol złożony z dwóch ładunków elementarnych q_e odległych o r. Pole elektromagnetyczne będzie proporcjonalne do iloczynu q_e r (momentu dipolowego). Zatem natężenie fali musi być proporcjonalne do kwadratu tego iloczynu. Powinna też zależeć od prędkości kątowej \omega. Łatwo sprawdzić, że z wielkości (q_er)^2, \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}, \omega oraz c można zbudować tylko następujące wyrażenie dające moc w watach:

P=\dfrac{(q_e r)^2 \omega^2}{4\pi\varepsilon_0 c^3}.

Dokładne rozważania dają jeszcze współczynnik liczbowy \frac{2}{3}. Łatwo sprawdzić, że w ruchu orbitalnym całkowita energia elektronu równa jest

E=-\dfrac{1}{2}\,\dfrac{q_e^2}{4\pi\varepsilon_{0} r}.

Dalej traktujemy r jako funkcję czasu. Różniczkując wyrażenie na energię, otrzymamy szybkość zmiany energii, która musi być równa wypromieniowywanej mocy. Całkując otrzymane równanie, otrzymamy wynik postaci r(t)^3=r(0)^3-4r_0^2 ct – trzecia potęga odległości maleje liniowo. Stąd łatwo znaleźć czas życia.

(**) Podobne postępowanie da się zastosować do pary krążących wokół środka mas ciał niebieskich. Natężenie fali emitowanej przez ten układ będzie zależeć od momentu bezwładności:

I=M\dfrac{D^2}{4}+M\dfrac{D^2}{4}=\dfrac{MD^2}{2},

gdzie M oznacza masy, D jest odległością obu mas od siebie (obie są więc odległe o D/2 od środka masy układu). Moc będzie zatem proporcjonalna do kwadratu momentu bezwładności. Będzie także zależeć od prędkości kątowej, stałej grawitacyjnej G oraz prędkości światła. Łatwo sprawdzić, że wielkości te dadzą moc, jeśli wyrażenie będzie następujące:

P=\dfrac{G}{c^5}I^2\,\omega^6.

Współczynnik liczbowy \frac{32}{5} wynika ze szczegółowych obliczeń. Analogicznie jak w poprzednim przypadku możemy zapisać energię w postaci

E=-\dfrac{1}{2}\,\dfrac{GM^2}{D}.

Zupełnie podobnie otrzymuje się równanie różniczkowe dla D(t). Teraz D^4 maleje liniowo z czasem. Korzystając z III prawa Keplera, możemy zamiast D obliczyć okres obiegu oraz częstość f.

Galileusz i Torricelli: krzywe balistyczne (pierwsza połowa XVII wieku)

Rewolucja naukowa XVII wieku ukazała nowe zastosowania matematyki: poznano kształt orbit planetarnych, a także krzywą balistyczną – tor wystrzelonego bądź rzuconego ciała. Jedną z osobliwości rozwoju nauki na planecie Ziemia jest fakt, że skomplikowany eliptyczny ruch planet został odkryty przez Johannesa Keplera, zanim jeszcze poznano prosty paraboliczny kształt krzywej balistycznej. Odkrycia te były zupełnie od siebie niezależne, dopiero Isaac Newton potrafił dostrzec, że w obu przypadkach mamy do czynienia z przejawami ciążenia powszechnego.
Galileusz bardziej niż ktokolwiek inny przyczynił się do zmiany sposobu podejścia do nauki o ruchu: miała ona stać się matematyczna i ugruntowana w eksperymencie. Miała też być zupełnie nowa, osiągnięcia dawnych filozofów traciły gwałtownie na znaczeniu.

Jak pisał Galileusz w jednej ze swych zjadliwych polemik z jezuitą, o. Grassim (występującym pod nom de plume Sarsi):

„[Sarsi] zadaje pełne irytacji pytania: za kim zatem należałoby pójść? Może za Ptolemeuszem (…)? A może za Kopernikiem, od którego trzeba się jednak trzymać z daleka, z powodu potępienia jego hipotez? (…) w podejściu Sarsiego daje się zauważyć silna wiara, że w filozofii zawsze trzeba się opierać na opiniach jakiegoś sławnego autora, tak jakby nasza inteligencja, jeśli nie weźmie sobie za męża cudzego rozumu, musiała na zawsze pozostać sterylna i bezpłodna. Albo może jest on zdania, że filozofia jest czymś na kształt księgi lub wytworu ludzkiej fantazji, jak Iliada albo Orland szalony, czyli dzieła, w którym najmniej się liczy, czy to, co jest napisane, jest prawdą. Panie Sarsi, nie tak się rzeczy mają! Filozofia zawarta jest w tej przeogromnej księdze, którą ciągle mamy otwartą przed oczami (nazywam tę księgę wszechświatem), jednakże nie można jej pojąć, jeśli wpierw nie pozna się języka, nie pozna się znaków, za których pomocą została napisana. A księga ta została napisana w języku matematyki, i jej literami są trójkąty, koła i inne figury geometryczne” (przeł. T. Sierotowicz).

Odkrycie parabolicznego kształtu krzywej balistycznej jest jednym ze sławnych osiągnięć Galileusza. Brzmi prosto, ale wyjaśnianie, czemu tak jest, czy rzeczywiście tak jest i w jakich warunkach, zajęło uczonemu wiele lat i nie całkiem się udało pod względem matematycznym. W zadowalającej i eleganckiej formie ujął to dopiero Evangelista Torricelli, rozwijając prace mistrza. Starość Galileusza upłynęła w areszcie domowym po wyroku inkwizycji. Nawet kiedy umarł, papież Urban VIII zakazał uroczystego pogrzebu i uczonego pochowano w miejscu nie oznaczonym żadnym nagrobkiem. Pierwszym pomnikiem Galileusza było popiersie wybudowane przez jego ucznia Vincenza Vivianiego na ścianie własnego domu pół wieku później. Krzywa balistyczna znalazła się wsród emblematycznych osiągnięć wielkiego Toskańczyka. Po następnych czterdziestu latach szczątki uczonego doczekały się nie tylko uroczystego pochówku, ale i zaczęły być traktowane jak relikwie (do dziś przechowywane tu i ówdzie), co było może nieuniknione w kraju tak bardzo katolickim, lecz nieźle by ubawiło samego Galileusza.

Punktem wyjścia były w poprzednim stuleciu rozważania takie, jak u Niccolò Fontany, zwanego Tartaglia (czyli „Jąkała”). Chwalił się on, że rozwiązał zagadnienie krzywej balistycznej. W jego pojęciu ruch pocisku czy innego wystrzelonego ciała składa się z trzech etapów: z początku jest to prostoliniowy ruch wymuszony, na końcu jest to także ruch prostoliniowy, lecz naturalny: spadanie pionowo w dół. Obie te fazy miały uzasadnienie w fizyce Arystotelesa. Zdroworozsądkowym dodatkiem było uznanie, że między tymi dwiema fazami jest jeszcze krzywoliniowe interludium, o którym teoria nie mówiła nic. Zupełnie gołosłownie Tartaglia twierdził, że zasięg strzału jest największy, gdy strzela się pod kątem 45° do poziomu. Istniały zatem aż dwie teorie tego, co się miało dziać podczas ruchu, w dodatku żadna z nich nie była ilościowa ani matematyczna. Arystoteles prowadził rozważania jakościowe, „filozoficzne”. Tymczasem artylerzyści rozumieli, że z teorią czy bez, pociski lecą wzdłuż określonej trajektorii.

Pierwszym patronem młodego Galileo Galilei z Florencji był Guidobaldo del Monte. Wspólnie przeprowadzili oni doświadczenia dotyczące kształtu krzywej balistycznej. Puszczali w tym celu ukośnie kulkę zanurzoną wcześniej w atramencie po nachylonej płaszczyźnie. Odkryli, że krzywa balistyczna jest symetryczna i podobna do paraboli lub hiperboli. Błędnie utożsamili jej kształt z krzywą łańcuchową – opisującą kształt ciężkiego łańcucha zamocowanego z obu końców. Galileusz do końca życia był przywiązany do tej obserwacji, choć w późniejszych doświadczeniach sprawdził, że obie krzywe są do siebie zbliżone tylko wtedy, gdy są dość płaskie. W drugiej połowie XVII wieku, stosując rachunek różniczkowy i całkowy, ustalono, że linia łańcuchowa to kombinacja funkcji wykładniczych (cosinus hiperboliczny), a więc nie ma wiele wspólnego z krzywą balistyczną.

Zrozumienie, skąd bierze się parabola jako krzywa balistyczna, wymagało czasu i eksperymentów. Galileusz zrozumiał, że ruch poziomy i ruch pionowy są od siebie niezależne (jeśli tylko opór ośrodka możemy pominąć). Pionowy spadek jest ruchem przyspieszonym, a więc odległość rośnie jak kwadrat czasu. Razem z jednostajnym ruchem poziomym daje to właśnie parabolę. Pierwszy opublikował te rozważania w roku 1632 Bonaventura Cavalieri, młody matematyk, który był przekonany, że Galileusz musiał je kiedyś wcześniej ogłosić. Starszy uczony zareagował furią, ale Cavalieri jakoś go ugłaskał i przekonał, że nie miał złych intencji. Dowód Cavalieriego, a także opublikowany później dowód Galileusza, odnosiły się do przypadku rzutu poziomego. Galileusz nie udowodnił, ściśle rzecz biorąc, że w rzucie ukośnym także powstaje parabola.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Powstawanie paraboli odcinki pionowe przebywane w równych czasach mają się jak 1:3:5:7 (czyli całkowite drogi mają się jak 1:4:9:16).  Rysunek z książki Cavalieriego, Lo Specchio ustorio („Zwierciadło zapalające”), 1632 r.

Jednak to Galileusza należy uznać za odkrywcę kształtu toru, on pierwszy bowiem zrozumiał w zasadzie wszystko, co było potrzebne do matematycznego opisu krzywej balistycznej. Przeprowadził też doświadczenia, w których mierzył zasięg rzutu poziomego kulek staczających się z równi pochyłej o różnych wysokościach. Uczony wiedział, że prędkość kulek u podnóża równi jest proporcjonalna do pierwiastka z wysokości. Zmierzył, że zasięg rzutu x jest proporcjonalny do tej prędkości.

Dopiero Evangelista Torricelli domknął stronę matematyczną teorii i udowodnił, że także w ruchu ukośnym mamy do czynienia z parabolą.

Znalazł też prosty sposób przedstawienia maksymalnej wysokości oraz zasięgu rzutu w zależności od kąta. Jeśli AB jest maksymalną wysokością przy pionowym strzale, to należy skonstruować półokrąg, jak na rysunku. Dla dowolnego kąta wystrzału rysujemy linię AF: mamy wówczas maksymalną wysokość równą AE=h, odcinek EF=x/4 jest równy jednej czwartej zasięgu. Widać od razu, że maksymalny zasięg uzyskamy dla kąta \alpha=45^{\circ}. Widać też, że przy kątach różnych od 45^{\circ} każdemu zasięgowi odpowiadają dwie wartości kąta: można więc osiągnąć tę odległość za pomocą dwóch parabol: jednej mniej, a drugiej bardziej stromej.

Ruch paraboliczny jest wypadkową jednostajnego ruchu prostoliniowego i swobodnego spadku w kierunku pionowym. Reszta jest ćwiczeniem geometrycznym.

Także Torricelli zbadał kształt krzywej bezpieczeństwa: oddzielającej punkty będące w zasięgu strzału od tych, które są poza zasięgiem (przy danej prędkości pocisku). Krzywa ta także jest parabolą o wysokości równej wysokości strzału pionowego, a połowa jej szerokości równa się maksymalnemu zasięgowi strzału.


Książka Torricellego ukazała się w 1644 roku (choć wyniki zostały uzyskane jeszcze za życia Galileusza i stary mistrz miał okazję się z nimi zapoznać). W 1687 roku Isaac Newton pokazał, że dowolny ruch orbitalny jest złożeniem ruchu prostoliniowego i spadku swobodnego. Musimy tylko wziąć pod uwagę, że wielkość grawitacji zmienia się od punktu do punktu, a więc opis tego rodzaju słuszny jest jedynie w bardzo krótkim przedziale czasu. Jest to spora komplikacja matematyczna, pozwala jednak opisać w sposób jednolity rozmaite ruchy we wszechświecie. Tor wypadkowy będzie parabolą jedynie lokalnie, jego kształt w przypadku planet jest jedną z krzywych stożkowych. Podobno Isaac Newton tylko raz wybuchnął śmiechem: kiedy ktoś go zapytał, jaki jest pożytek z matematyki. Lepiej niż jego współcześni rozumiemy teraz głębokie powody tego śmiechu.

Obliczenia. Jeśli wprowadzimy układ współrzędnych poziomej – X i pionowej Y, to wektor  początkowej możemy zapisać jako \vec{v}=[v\cos\alpha, v\sin\alpha], a przyspieszenie ziemskie \vec{g}=[0,-g]. Równania ruchu mają więc postać:

\begin{cases} X=v\cos\alpha t,\\  Y=v\sin\alpha t-\dfrac{gt^2}{2v^2 \cos^2\alpha}.\end{cases}

Dla \alpha\neq \pi/2 równanie toru można obliczyć, wyznaczając t z pierwszego równania i wstawiając do drugiego:

Y=X\mbox{tg}\,\alpha -\dfrac{gX^2}{2v^2 \cos^2\alpha}.

Jest to równanie z funkcją kwadratową X po prawej stronie – tor jest więc parabolą. Łatwo można wyznaczyć współrzędne wierzchołka paraboli (za pomocą szkolnych wzorów albo szukając maksimum funkcji). W oznaczeniach z rysunków otrzymamy

\begin{cases} \dfrac{x}{2}=\dfrac{v^2}{g}\sin\alpha\cos\alpha,\\ \\h=\dfrac{v^2}{2g}\sin^2\alpha.\end{cases}

Ostatnie wyrażenie słuszne jest także dla \alpha=\pi/2, co wynika np. z ciągłości funkcji: gdy zbliżamy się do kąta \pi/2 wysokość maksymalna nie powina mieć skoku. Zatem maksymalna wysokość możliwa do osiągnięcia równa jest

AB=\dfrac{v^2}{2g}.

Odcinki na rysunku Torricellego są z naszego współczesnego (trygonometrycznego) punktu widzenia równe:

\begin{cases}\dfrac{EF}{AB}=\dfrac{EF}{AF}\cdot\dfrac{AF}{AB}=\cos\alpha\sin\alpha,\\ \\  \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AE}{AF}\cdot\dfrac{AF}{AB}=\sin^2\alpha.\end{cases}

Zasięg i maksymalna wysokość skalują się zatem jak odpowiednie funkcje trygonometryczne, \sin2\alpha oraz \sin^2\alpha.