Johannes Kepler: III prawo ruchu planet (15 V 1618)

Niemal wszystkie wielkie odkrycia naukowe dla swych odkrywców znaczyły co innego niż dla potomnych. Z tego powodu dzisiejsza wiedza jest często mało przydatna, gdy chcemy dowiedzieć się, w jaki sposób zostały dokonane jakieś odkrycia. Przykład praw Keplera jest tu wielce pouczający: to, co dziś uważamy za trzy prawa Keplera, on sam uważał za istotne wprawdzie, ale trzy pojedyncze fakty w całym gmachu astronomii, który zbudował.

Johannes Kepler zdecydował się zająć astronomią, kiedy odkrył – jak mu się zdawało – ukryty sens geometryczny proporcji orbit planetarnych. Stwórca zrealizował bowiem w niebiosach wielce barokową konstrukcję geometryczną. Nastąpiły długie lata studiowania ruchów planet, szczęśliwym zbiegiem okoliczności mógł wykorzystać zbiór obserwacji Tychona Brahego, najdokładniejszych w dziejach i obejmujących najdłuższy przedział czasu. Ktoś porównał sytuację przed Tychonem i obserwacje Tychona do oddzielnych fotografii i długiego filmu: ruchy planet monitorowane były przez duńskiego astronoma nieomal z dnia na dzień. Kepler pierwszy zbudował w pełni heliocentryczną astronomię, w której Słońce było nie tylko wielką lampą oświetlającą wszechświat i umieszczoną centralnie, ale także źródłem ruchu sześciu znanych planet. Uzyskane przez niego wyniki podsumowuje się dziś w formie trzech praw ruchu. Pamiętać jednak należy, że zawarte one były w książkach Keplera wśród długich rozważań i nigdzie nie zostały sformułowane w taki właśnie sposób.

Dwa pierwsze prawa znalazły się w Astronomia nova z 1609 roku. Eliptyczny kształt orbit był najbardziej oczywistym wynikiem tej pracy, choć wielu nie dało się przekonać: astronomowie przyzwyczajeni byli do kół poruszających się po kołach i podejście Keplera wydawało się dziwaczne. Tym bardziej, że nawet obserwacje Brahego nie były na tyle dokładne, by jakoś zdecydowanie rozstrzygać, jaki jest właściwie kształt orbity – mogły to być rozmaite owale, a poza tym krzywe takie można skonstruować na różne sposoby, więc elipsy wydawały się wnioskiem zbyt silnym. Tak rozumiał to np. Isaac Newton, kiedy pisał: „Kepler wiedział, iż orbity planet nie są kołowe, lecz owalne, i odgadł, że są eliptyczne”. Kepler nie tyle zresztą zgadywał, ile kierował się tu (obok obserwacji) własną teorią ruchu planet – pierwszą mechaniką niebios – lecz z pozycji newtonowskich próba ta była chybiona, więc Newton mógł potraktować to jako zgadywanie. Elipsy z czasem znalazły sobie miejsce wśród uznanych faktów astronomicznych. Aż do czasów Newtona nie wiedziano jednak, co zrobić z Keplerowskim prawem pól – dzisiejszym II prawem Keplera. Teoretyczne wyjaśnienia samego Keplera nie przekonały jego następców, w dodatku prawo to jest niełatwe do praktycznego stosowania, gdyż prowadzi do równania przestępnego: t=E-e\sin E, gdzie t jest czasem, e mimośrodem orbity, a E tzw. anomalią mimośrodową, wielkością potrzebną do obliczenia położenia planety na elipsie. Równanie Keplera należało rozwiązywać metodami przybliżonymi, co w XVII wieku było trudne zarówno praktycznie, jak i pojęciowo. II prawo Keplera odrodziło się dopiero dzięki Newtonowi, który spostrzegł, że musi ono obowiązywać zawsze, gdy siły działają wzdłuż linii łączącej planetę i Słońce, bez względu na konkretną zależność sił od odległości. Dziś mówimy, że w ruchu pod wpływem sił centralnych zachowany jest moment pędu.

Kepler traktował własną pracę nad geometrycznym i mechanicznym opisem ruchu planet jako bardzo długi wstęp, rodzaj dygresji, właściwym celem było odkrycie, czemu Stwórca zbudował układ planet tak, a nie jakoś inaczej. Z jego perspektywy najciekawsze więc wydawało się wyjaśnienie odległości, okresów i ekscentryczności orbit, a więc nie tyle mechanika, co warunki początkowe – one bowiem mówiły nam coś o Bogu. Uczony, kiedy tylko mógł, wracał do rozważań na temat harmonii świata, one właśnie wydawały mu się najcenniejsze. Niosły mu też pociechę – to w czasie żałoby po śmierci córeczki zajął się pisaniem Harmonice mundi („Harmonii świata”). Do brył platońskich z młodzieńczej konstrukcji doszły teraz harmonie muzyczne – idea pitagorejska. Johannes Kepler stworzył najbardziej rozbudowaną i szczegółowo opracowaną wersję tej starej idei. Wszechświat był dla niego kosmosem, uładzoną i piękną całością. Sądził, że potrafi wyjaśnić ekscentryczności orbit planetarnych. Tym, co miało budować harmonie muzyczne kosmosu były prędkości kątowe planet widziane ze Słońca. Ich zakres odpowiadał pewnej skali muzycznej. Była to więc muzyka czysto matematyczna, którą obserwować mogły mieszkające na Słońcu anioły.

To, co przepowiedziałem dwadzieścia dwa lata temu, kiedy odkryłem pięć brył foremnych między sferami niebieskimi; to, o czym mocno byłem przekonany wewnętrznie, zanim jeszcze ujrzałem Harmonie Ptolemeusza; to, co obiecałem przyjaciołom w tytule tej piątej Księgi, nim jeszcze nabrałem całkowitej pewności; to, o czym szesnaście lat temu pisałem publicznie, nalegając, iż musi być zbadane; to, co skłoniło mnie, by spędzić najlepszą część życia na spekulacjach astronomicznych, wybrać się do Tychona Brahego do Pragi i samemu zamieszkać w Pradze; to, do czego Bóg Najlepszy i Największy nakłaniał mój umysł i rozbudzał pragnienie poznania, przedłużając me życie i siły umysłu, a także dostarczając innych środków dzięki hojności dwóch cesarzy oraz szlachty stanów Górnej Austrii; to w końcu, gdy wypełniłem swoje obowiązki astronomiczne w wystarczającym stopniu, mogłem wreszcie wydobyć na światło i stwierdziłem, że jest prawdą bardziej nawet, niż miałem nadzieję: odkryłem pośród ruchów niebieskich pełną naturę harmonii, w stopniu, w jakim ona występuje, wraz ze wszystkimi swymi częściami, objaśnionymi w Księdze III – wprawdzie nie w taki sposób, w jaki ją sobie wyobrażałem (co stanowi nie najmniejszą część mojej radości), ale w zupełnie inny sposób, najpiękniejszy i zarazem najdoskonalszy. (KGW t. VI, s. 289; )

Samo III prawo Keplera jest prostą zależnością ilościową: jeśli wyrazimy okres obiegu planety T w latach, a półoś orbity a (czyli średnią odległość od Słońca) w jednostkach orbity Ziemi, to przyjmuje ono postać: T^2=a^3. Prawo to znajduje się w Księdze piątej Harmonice mundi jako ósme twierdzenie rozdziału trzeciego, a więc wplecione w pitagorejskie rozważania.

Tak więc część mojej Tajemnicy kosmosu, która została zawieszona dwadzieścia dwa lata temu, ponieważ nie była jeszcze jasna, zostaje dokończona i tutaj umieszczona. Bo kiedy znalezione zostały prawdziwe odległości sfer, poprzez obserwacje Brahego i ustawiczny długotrwały trud, to w końcu – w końcu – prawda co do stosunku okresów i wielkości sfer
choć późno, wejrzała na opieszalca,
Wejrzała jednak i w końcu, po długim czasie, nastała.(*)
a jeśli trzeba wam dokładnego czasu, zrodzona została w umyśle 8 marca tego roku 1618, lecz poddana rachunkowi w pechowy sposób i odrzucona jako fałsz, aż wreszcie powróciła 15 maja i przyjmując inną linię ataku, pokonała ciemności mego umysłu. Tak silne było wsparcie siedemnastu lat mojej pracy nad obserwacjami Brahego oraz obecnych badań, które połączyły swe siły, iż z początku myślałem, że śnię i gdzieś w założeniach wprowadzam moją konkluzję. Ale jest absolutnie pewne i ścisłe, że stosunek okresów dowolnych dwóch planet równa się dokładnie stosunkowi ich średnich odległości do potęgi 3/2 (Harmonice mundi, 1619, s. 189; KGW t. VI, s. 302)

Spośród praw Keplera to było najmniej kontrowersyjne, bo łatwe do sprawdzenia. Co więcej, pozwalało poprawić wielkości orbit, ponieważ okresy obiegu znane były znacznie dokładniej niż odległości, co pierwszy zauważył Jeremiah Horrocks, który, gdyby nie zabrała go śmierć w wieku dwudziestu dwóch lat, z pewnością zostałby jednym z najważniejszych astronomów XVII stulecia.

(*) Wykształconemu klasycznie Keplerowi przyszła tu na myśl pierwsza ekloga Wergiliusza:

Wolność, która, choć późno, wejrzała na opieszalca,
Kiedy już siwiejące spod brzytwy sypały się włosy,
Wejrzała jednak i w końcu, po długim czasie, nastała.
(przeł. Z. Kubiak, Literatura Greków i Rzymian, s. 430)

Reklamy

Kometa 1680-1681: Flamsteed i Newton

W listopadzie 1680 roku ukazała się w gwiazdozbiorze Panny jasna kometa. Widoczna była przed wschodem słońca, nie wszędzie można ją było bez przeszkód obserwować, ponieważ w wielu miejscach Europy niebo było zachmurzone o tej porze roku. W połowie grudnia pojawiła się następna kometa, tym razem łatwiejsza do obserwacji, gdyż świeciła wieczorem po zachodzie słońca i obserwowano ją aż do wczesnej wiosny – stopniowo słabła i pod koniec można ją było dostrzec jedynie przez teleskop.

Przedstawienia toru komety 1680/1681 na niebie wg Gottfrieda Kircha

Zjawisko budziło powszechne zainteresowanie i choć coraz mniej było tych, którzy traktowali je jako znak od Boga, oznajmienie śmierci jakiegoś władcy bądź zapowiedź nadchodzących nieszczęść, to publiczna ciekawość chętnie znajdowała ujście w spekulacjach wiążących kometę z osobliwymi zjawiskami na Ziemi. Oto w Rzymie kura zniosła jajo noszące na skorupce wyraźny znak komety, co miało znaczenie tym większe, że stało się w pałacu panów Maximi. Jajo to widział Jego Świątobliwość Innocenty XI, a także królowa Krystyna Wazówna oraz wiele znakomitych osób oraz naturalistów. Pisał o jaju nawet paryski „Journal des Savants”.

Isaac Newton pędził w Cambridge życie samotnicze, pogrążony w rozważaniach, które akurat przyciągnęły jego uwagę, wiele czasu spędzając nad teologią, alchemią i dość szczególnie pojmowaną historią. Na początku roku 1680 korespondował z Robertem Hookiem na temat hipotetycznego ruchu ciała, które mogłoby spaść aż do środka Ziemi. Jak się zdaje, pod wpływem tej korespondencji sprawdził, że jeśli ciało porusza się po elipsie zgodnie z prawem pól Keplera, to siła wywołująca ów ruch jest przyciąganiem odwrotnie proporcjonalnym do kwadratu odległości. Hooke sugerował, że tak właśnie być powinno, ale nie potrafił tego matematycznie udowodnić. Newton nie napisał mu o tym dowodzie, w ogóle przestał do niego pisać. Jak się zdaje, traktował ten dowód jako ćwiczenie matematyczne bez większego znaczenia. Na pewno nie myślał jeszcze o ciążeniu powszechnym.
Przez cały rok 1680 nie działo się w jego życiu nic dostrzegalnego na zewnątrz. Do Hooke’a napisał w grudniu, ale w zupełnie innej sprawie: chodziło o przybysza z Italii, który chciał przedstawić Towarzystwu Królewskiemu lecznicze działanie kory pewnego peruwiańskiej rośliny, drzewa chinowego (zawierającego chininę, stosowaną jeszcze czasem przeciw malarii, a także do produkcji toniku). W grudniu napisał do Newtona John Flamsteed, królewski astronom z informacjami na temat komety. Flamsteed utrzymywał, że komety z listopada i z grudnia są tym samym ciałem niebieskim. Wyobrażał sobie, że kometa była najpierw przyciągana, a następnie odpychana magnetycznie od Słońca, jednocześnie biorąc udział w wirowym ruchu materii wokół Słońca. Wiry takie miały zdaniem Kartezjusza odpowiadać za uporządkowane ruchy planet. Komety natomiast miały być planetami, które wypadły ze swego wiru i dość bezładnie wędrują między różnymi wirami.

Kometa wg Kartezjusza

Kometa wg Flamsteeda (linia przerywana okrąg wielkości orbity Ziemi, wiadomo było, że kometa nie porusza się w płaszczyźnie ekliptyki)

Magnetyczne przyciąganie i odpychanie przez Słońce zaproponował kiedyś Johannes Kepler jako przyczynę zbliżania i oddalania planet od ciała centralnego. Dodatkowo działać miała na nie pewnego rodzaju siła obrotowa, rodzaj pola siłowego, species immateriata. Kartezjusz wprowadził w miejsce niematerialnego pola wiry cieczy, jak w wannie. W podejściu Flamsteeda najbardziej oryginalny był pomysł, by obie komety: poranną i wieczorną uważać za jedno ciało.
Newton zainteresował się kometą, zaczął ją nawet sam obserwować i robił to tak długo, jak była ona widoczna, korzystając pod koniec z coraz lepszych teleskopów. Uprzejmie wypowiedział się na temat przedstawionych mu rozważań. Po pierwsze sądził, że są to dwie komety. Uważał, że poruszają się one ruchem prostoliniowym albo bliskim prostoliniowemu, starał się nawet wyznaczyć ich tor w przestrzeni. Nie wierzył w żadne przyciąganie magnetyczne w tym przypadku, bo Słońce jest zbyt gorące na magnetyzm (wiedział, że magnesy w wysokiej temperaturze tracą swe własności magnetyczne). Ponadto nie rozumiał, w jaki sposób kometa miałaby być najpierw przyciągana, a potem odpychana. Gdyby była ona jak igła magnetyczna, to obracałaby się zawsze tak do Słońca, że siła byłaby przyciągająca. Mógł sobie wyobrazić jakąś siłę przyciągającą kometę ku Słońcu, ale wówczas powinna się ona poruszać raczej w taki sposób, zataczając wokół niego łuk.

Tor komety zaproponowany przez Newtona w dyskusji z Flamsteedem jako nieco bardziej prawdopodobny (1681 r.)

Ruch radialny (wzdłuż promienia) byłby wówczas opisany za pomocą dwóch sił: przyciągania oraz siły odśrodkowej. W perihelium siła odśrodkowa przeważa nad przyciąganiem i dlatego kometa zaczyna się oddalać od Słońca. Widzimy, że nie tylko nie myślał jeszcze o przyciąganiu komety przez Słońce, ale także opisywał ruch za pomocą siły odśrodkowej, tak jak kartezjaniści (choć w tym przypadku mogło mu też chodzić o to, by Flamsteed rozumiał o czym mowa – Newton miał swoje głębokie przemyślenia na temat mechaniki i był pod tym względem, by tak rzec, w innym punkcie niż jego współcześni). Flamsteed przysłał mu jeszcze proponowany przez siebie tor komety (na rysunku widzimy jego rzut na płaszczyznę orbity Ziemi, kometa poruszała się bowiem płaszczyźnie tworzącej z nią kąt 65º).

Tor komety wg Flamsteeda, z niepewnością w pobliżu Słońca (nie był on obliczony, lecz po prostu narysowany mniej więcej w zgodzie z obserwacjami).

Newton pozostał przy swoim zdaniu, że komety były dwie i poruszały się mniej więcej prostoliniowo, nieprawdopodobna mu się wydawała tak szybka i znaczna zmiana prędkości komety – na niemal przeciwną po minięciu Słońca. Zajął się innymi tematami, do sprawy komet wrócił cztery lata później, kiedy wpadł na pomysł ciążenia powszechnego. Wymyślił też wtedy metodę pozwalającą obliczyć paraboliczny tor komety z trzech obserwacji. Po zastosowaniu tej metody do komety z lat 1680/81 otrzymał następujący tor.

Komety miały stać się jednym z najlepszych przykładów działania siły powszechnego ciążenia. Okazało się, że podlegają ścisłemu matematycznemu prawu. Niemal automatycznie przestano je wiązać z cudami i astrologicznymi przepowiedniami. Nauka czasem wypiera zabobon.

John Maynard Keynes, Isaac Newton i Pitagoras z Samos (1694)

W roku 1936 na aukcji w domu Sotheby’s sprzedano dużą kolekcję rękopisów alchemicznych i religijnych Isaaca Newtona. Ani uniwersytet w Cambridge, ani British Museum nie były zainteresowane kupnem. Znaczną część papierów nabyli dwaj zapaleni kolekcjonerzy bibliofile: ekonomista John Maynard Keynes i filolog arabista i biblista Abraham Shalom Yahuda. Keynes przeżywa dziś renesans jako pierwszy ekonomista zalecający zwiększenie wydatków w celu pobudzenia gospodarki w kryzysie i uruchomienia mocy produkcyjnych. Współczesna wersja tego podejścia to quantitative easing – stosowane w ciągu ostatniej dekady praktyki skupowania obligacji przez bank centralny, dzięki czemu zamieniane są one na gotówkę, wpływającą do gospodarki. Keynes był postacią skomplikowaną i niełatwą do zaszufladkowania. Studiował matematykę w Cambridge, zajmował się filozofią, trochę chodził na wykłady z ekonomii, obracał się wśród artystów i pisarzy, znanych jako grupa z Bloomsbury (m.in. Virginia Woolf, E.M. Forster, Lytton Strachey), był wysokim urzędnikiem, dyrektorem Banku Anglii, prywatnym inwestorem, mecenasem sztuki, doradcą rządowym. Brał udział w wypracowywaniu traktatu wersalskiego po I wojnie światowej i był przeciwny nakładaniu na Niemcy wysokich reparacji (jak wiemy, Niemców upokorzono, co znacznie się przyczyniło do sukcesów nazizmu i następnej wojny). Bertrand Russell, logik matematyczny i filozof, pisał o nim:

Keynes miał najbystrzejszy i najklarowniejszy umysł, z jakim się zetknąłem. Kiedy się z nim spierałem, miałem uczucie, że walczę o życie i rzadko kiedy nie miałem potem wrażenia, iż okazałem się po trosze głupcem. Czasami sobie myślałem, że taka błyskotliwość jest nie do pogodzenia z głębią, lecz nie sądzę, żeby ten pogląd był uzasadniony. [Autobiography 1872-1914, koniec rozdz. 3]

Bertrand Russell, John Maynard Keynes, Lytton Strachey w roku 1915, National Portrait Gallery

Keynes już jako młody człowiek interesował się postacią Newtona i kupił pierwsze wydanie Principiów. W latach czterdziestych napisał, jak wyobraża sobie wielkiego uczonego.

Uważam, że Newton był inny, niż się zwykle wyobraża. Nie sądzę jednak, że był przez to mniej wielki. Był mniej zwyczajny, bardziej niezwykły, niż XIX wiek starał się go przedstawić. Geniusze są ludźmi wielce osobliwymi. (…) Od XVIII stulecia począwszy, zaczęto uznawać Newtona za pierwszego i największego uczonego nowożytnego, racjonalistę, kogoś, kto nauczył nas kierować się w myśleniu jedynie chłodnym i pozbawionym uprzedzeń rozumem. Ja nie patrzę na niego w taki sposób. Nie sądzę, by ktokolwiek, kto pochylił się nad zawartością tej skrzyni, którą Newton spakował, gdy ostatecznie opuszczał Cambridge w roku 1696, i której zawartość, choć częściowo rozproszona, dotarła do nas, mógł o nim myśleć w taki sposób. Newton nie był pierwszym przedstawicielem Wieku Rozumu. Był ostatnim z magów, ostatnim z Babilończyków i Sumerów, ostatnim z wielkich myślicieli patrzących na świat widzialny i duchowy tymi samymi oczyma, co ci, którzy zaczęli budować nasze intelektualne dziedzictwo niespełna 10 000 lat temu. Isaac Newton, pogrobowiec, dziecko bez ojca, urodzone w Boże Narodzenie 1642 roku, był ostatnim cudownym dzieckiem, któremu Trzej Magowie mogliby złożyć szczery i stosowny hołd. (…) Czemu nazywam go magiem? Ponieważ patrzył na cały wszechświat i na wszystko, co się w nim znajduje, jak na zagadkę, tajemnicę, która może zostać odczytana dzięki skupieniu czystej myśli na pewnych dowodach, pewnych mistycznych wskazówkach umieszczonych przez Boga w świecie, aby umożliwić ezoterycznemu bractwu coś w rodzaju polowania na filozoficzny skarb. Uważał, że owe wskazówki znaleźć można po części w świadectwach niebios i w budowie elementów (i to właśnie wywołuje fałszywą sugestię, jakoby był filozofem eksperymentalnym), ale po części także w pewnych dokumentach i tradycjach przekazywanych przez braci w jednym nieprzerwanym łańcuchu od pierwotnego zaszyfrowanego objawienia w Babilonii. Uważał wszechświat za kryptogram Wszechmogącego – podobnie jak sam zawarł odkrycie rachunku różniczkowego i całkowego w anagramie przekazanym Leibnizowi. Sądził, że dzięki czystej myśli, dzięki koncentracji umysłu, owa zagadka zostanie odsłonięta przed wtajemniczonymi. Udało mu się odczytać zagadkę niebios. I wierzył, że dzięki tym samym zdolnościom introspekcyjnej wyobraźni odczyta zagadkę Boskiej osoby, zagadkę przeszłych i przyszłych wydarzeń zapisanych u Boga, zagadkę elementów i ich utworzenia się z niezróżnicowanej pierwszej materii, zagadkę zdrowia i nieśmiertelności. Wszystko zostanie przed nim odsłonięte, jeśli tylko wytrwa aż do końca, będzie sam i nikt mu nie będzie przeszkadzał, nikt nie będzie wchodził do pokoju; jeśli będzie czytał, prze pisywał, sam wszystko sprawdzał, bez żadnych przerw, bez ujawniania czegokolwiek, bez ciągłego wtrącania się i obiekcji z zewnątrz, gdy z lękiem i dreszczem przypuszcza atak na owe rzeczy na poły nakazane, na poły zabronione, skrywając się w łonie Boga jak w łonie matki.

Kopia portretu Godfreya Knellera z 1689, uczony wcześnie posiwiał, mówił, że to skutek eksperymentów z rtęcią. (Wikipedia). Sam portret jest własnością prywatną i rzadko można go oglądać.

Keynes miał niewątpliwie rację, uważając Newtona raczej za epigona pewnej tradycji niż za prekursora nowej nauki (my patrzymy na niego jakby przez odwróconą lunetę, wiedząc, jak później eksplodowały nauki ścisłe). Bez wątpienia także był Newton postacią wymykającą się klasyfikacjom, zupełnie nieprzewidywalną i osobną, posiadającą swoją prywatną wizję wszechświata, którą rzadko i niechętnie dzielił się z innymi. Nie był ani zawodowym uczonym, ani nauczycielem, ani filozofem. Szukał wiedzy dla siebie i nie dzielił jej na naukową i nienaukową. Alchemia jako zagadka była dla niego nie mniej pasjonująca niż Apokalipsa św. Jana i zawarte w niej proroctwa. Dzięki katedrze Lucasa mógł robić, co chciał i niezbyt chętnie informował o tym świat zewnętrzny (czasem nawet nie mógł, bo np. jako członek Kolegium Św. Trójcy – Trinity College – nie mógł powiedzieć głośno, że Trójca św. jest fikcją wymyśloną przez Atanazego, niezgodną z tradycją i pismami wczesnego Kościoła). Nie potrzebował cudzych pochwał, niezbyt też chyba wierzył w to, że ktoś mógłby mu powiedzieć na temat matematyki czy fizyki coś istotnego, do czego sam już wcześniej nie doszedł. Rzadko ktoś go zaskakiwał w nauce, on wszystkich – niemal zawsze. Wszystkie właściwie prace trzeba było z niego wyduszać, niewiele go obchodziło, co inni sądzą na ich temat, rozmawiał niezdawkowo tylko z ludźmi zaprzyjaźnionymi, a i to dość rzadko.

Dobrym przykładem jego postawy jest kontekst, w jakim widział prawo ciążenia. Dla nas jest jego odkrywcą, można spokojnie założyć, że gdyby mały Isaac zmarł zaraz po porodzie (a był słabiutkim wcześniakiem i nikt nie wierzył, że przeżyje), to prawa powszechnego ciążenia nie znano by jeszcze długo, gdzieś do połowy XVIII wieku. On sam czuł się wprawdzie jego odkrywcą, ale wierzył, że przed nim musiano już to prawo znać. Podejrzewał, że zapewne znał je już Pitagoras.

W roku 1694 Newton zastanawiał się nad drugim wydaniem swoich Matematycznych zasad filozofii przyrody. Myślał o tym, aby prowadzić pewne komentarze – scholia do sformułowania praw ciążenia. (Ponieważ nie stosowano jeszcze zapisu algebraicznego, Newton podawał kolejno różne własności grawitacji: że jest proporcjonalna do masy jednego ciała, a także masy drugiego ciała i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi – nie było jednego wyrażenia matematycznego). Ostatecznie nie zdecydował się na publikację tych Scholiów klasycznych. Dają nam one jednak wgląd w jego sposób myślenia o historii. Musimy pamiętać, że Newton znał praktycznie całą klasyczną literaturę i filozofię, nie dlatego że cenił poezję, lecz ze swoistej ostrożności poznawczej, ze względu na elementy wiedzy, którą być może znali starożytni. Znał też praktycznie na pamięć pisma kilkuset Ojców Kościoła, eksperci przypuszczają, że był ostatnim takim erudytą. Do tego dochodzi jeszcze tradycja hermetyczna i alchemiczna. Jak się zdaje, nigdy nie zapominał tego, co raz przeczytał. Newton szukał w tych różnych tekstach zapomnianej albo specjalnie ukrytej wiedzy.

Jego własne poglądy naukowe przypominały starożytny epikureizm, znany głównie z poematu Lukrecjusza O naturze rzeczy. Nieskończony wszechświat, czy może nawet nieskończone zbiorowisko wszechświatów, wypełnionych atomami, które działają na siebie siłami ciążenia. Kłopot z Lukrecjuszem i epikureizmem był taki, że ich filozofia powstała z wyraźnym przesłaniem etycznym: nie potrzebujemy obawiać się bogów, bo oni z pewnością się nami nie zajmują, jest tylko materia, która podlega w przyrodzie wiecznemu recyclingowi, jak we śnie ekologa. Newton był natomiast fundamentalistą biblijnym i religijnym fanatykiem, dla którego nawet Kartezjusz był bezbożnikiem, gdyż w jego systemie świata nie było miejsca na Boga. Toteż uznał, że system Lukrecjusza został źle zrozumiany i jest pozostałością po jeszcze starszej wiedzy, którą np. posiadał Pitagoras. Dotyczyć miała nie tylko atomów i ich budowy (chodziło o to, że materia ma stałą gęstość, a jeśli np. woda ma mniejszą gęstość niż złoto, to znaczy, że w cząstkach wody znajduje się więcej próżni). Także prawo powszechnego ciążenia znane było Pitagorasowi albo uczonym przed nim. Ukryte było w koncepcji harmonii świata. Gdyby wyobrazić sobie, że odległość Słońce-planeta to długość struny, to chcąc wszystkie te struny doprowadzić do unisono, należałoby do nich zastosować prawo, odkryte przez Vincenza Galilei, wiążące siłę naciągu i długość: zamiast skracać strunę x razy możemy zastosować x^2 razy większą siłę ciążenia. W ten sposób wszystkie kosmiczne „dźwięki” miałyby tę samą wysokość.

Czy Newton naprawdę wierzył w ten pomysł? Zdawał sobie sprawę, że ściśle biorąc, nie ma w tekstach starożytnych nic o prawie wiążącym naciąg struny i kwadrat jej długości. Ale dopuszczał możliwość, że taka wiedza została z czasem zagubiona bądź zniekształcona, ponieważ przekazywano ją w postaci symboli zrozumiałych dla wtajemniczonych, aby trzymać tajniki nauki z dala od profanów. Tak działali pitagorejczycy, a w czasach nowożytnych – alchemicy. Sam Newton przypuszczał, że geometryczne ujęcie rachunku różniczkowego i całkowego, które odkrył, było w zasadzie wiedzą starożytnych. Czuł się więc bardziej kontynuatorem starożytnych niż swoich współczesnych. Nie należy uważać, że jest w tym jedynie dziwactwo wielkiego uczonego. To znaczy jest tu element osobistego dziwactwa, ale także i obce nam podejście do historii. Dla Newtona wiedza naukowa nie była konstrukcją historyczną, lecz zbiorem sekretów, które posiąść mogą wybrani (z wyraźną pomocą Bożą). Mity i podania uznawał za zaszyfrowane informacje, które można odkodować, jeśli złamie się klucz. Nie występuje w jego świecie coś takiego jak licentia poetica, jeśli nie wszystko da się zrozumieć i odczytać, to jest to skutek błędów w przekazie.

Hermann Minkowski i czasoprzestrzeń (1908)

We wrześniu roku 1908 na Zjeździe Niemieckich Przyrodników i Lekarzy  w Kolonii odczyt wygłosił Hermann Minkowski, matematyk z Getyngi. Powiedział tam:

Poglądy na przestrzeń i czas, które zamierzam tu rozwinąć, wyrosły z gruntu doświadczalno-fizykalnego. Tendencja ich jest radykalna. Odtąd przestrzeń w sobie i czas w sobie mają całkowicie stać się cieniami i tylko pewien rodzaj ich unii utrzymać ma samodzielność. („Wiadomości matematyczne”, t. 13, z. 5-6 (1909), s. 231.)

Chodziło w istocie o usunięcie sprzeczności miedzy dwiema wielkimi teoriami fizyki: mechaniką Newtona i elektrodynamiką Maxwella i Lorentza. Elektrodynamika przewidywała istnienie fal elektromagnetycznych, które w próżni rozchodzić się miały z prędkością światła c. Zbieżność wynikającej z teorii wartości z mierzoną prędkością światła była silnym argumentem za teorią Maxwella. Aby jednak wyznaczyć prędkość czegokolwiek, w tym impulsu świetlnego, musimy sprecyzować układ odniesienia, np. układ współrzędnych kartezjańskich. W jakim układzie odniesienia prędkość światła i innych fal elektromagnetycznych równa się dokładnie c? Sądzono powszechnie, że istnieje pewien nieruchomy ośrodek, eter, w którym rozchodzą się fale elektromagnetyczne, podobnie jak fale dźwiękowe w powietrzu albo innym ośrodku sprężystym. Eter długo zresztą pokutował w mowie potocznej jako „fale eteru”. Ponieważ Ziemia porusza się wokół Słońca, więc nie może zawsze spoczywać względem eteru, a skoro tak to obserwowana na Ziemi prędkość światła nie może być zawsze i w każdym kierunku taka sama. Wektorowe składanie prędkości wynika jednoznacznie z mechaniki Newtona, która miała za sobą dwa wieki sukcesów. Eksperymenty prowadzone przez wiele lat, głównie przez Alberta Michelsona, nie wykazywały żadnych efektów ruchu Ziemi: ani o żadnej porze roku, ani w piwnicy, ani w górach. Hendrik Lorentz wykazał, że można ocalić spójność fizyki za cenę wprowadzenia dość osobliwego założenia o skracaniu się ciał wzdłuż kierunku ruchu. Wprowadził też dodatkowy czas t', pewną matematyczną fikcję, która sprawiała, że równania elektrodynamiki nie zmieniały się w poruszającym się układzie odniesienia. Dopiero Albert Einstein rozciął ów węzeł gordyjski, stwierdzając, że pojecie eteru jest „zbędne”, nie istnieje żaden uprzywilejowany układ odniesienia. W każdym układzie odniesienia prawa fizyki: zarówno mechaniki, jak i elektrodynamiki mają taką samą postać (dokładnie w układzie inercjalnym, tzn. takim, który nie porusza się ruchem przyspieszonym, jak hamujący autobus bądź karuzela w ruchu). Oznacza to w szczególności, że prędkość światła zmierzona przez każdego obserwatora będzie równa c. Ceną za usunięcie sprzeczności była fundamentalna zmiana w pojęciu czasu. Jak pisał Minkowski w dalszym ciągu swego wykładu:

Lecz dopiero zasługą jest A. Einsteina wykazanie ścisłe, że czas jednego elektronu jest tak dobry jak drugiego, tj. że t i t' należy traktować jednakowo.

Einstein był młody i nie pracował na uniwersytecie w Getyndze, lecz w Biurze Patentowym w Bernie. Obie te okoliczności pozwoliły mu na przyjęcie radykalnego rozwiązania, że wyniki pomiaru czasu mogą zależeć od ruchu układu odniesienia. Do tej pory czas miał być absolutną miarą zmian w świecie fizycznym. Pogląd Newtona, zakorzeniony w jego metafizyce i teologii, stał się niewzruszony dla następnych pokoleń uczonych. Młodość oznaczała w tym wypadku pewną bezwzględność w stosunku do szacownych poprzedników. W zasadzie klocki pojęciowe zostały już uformowane przez Lorentza i Henri Poincarégo, Einstein ustawił je tylko w pozornie paradoksalny sposób, nie troszcząc się o wrażliwość starego pokolenia. Ustawienie to przetrwało do dziś. Z Lorentzem zresztą się później zaprzyjaźnił, Poincaré, przyznając mu naukową rangę, mocno się dystansował od jego ujęcia. Dlaczego pomogło mu, że nie pracował w Getyndze? Młody Albert porzucił gimnazjum w Monachium, nie mając jeszcze szesnastu lat, i wyjechał z Niemiec, zrzekł się też wkrótce obywatelstwa Królestwa Wirtembergii, a tym samym Rzeszy Niemieckiej. Nie cierpiał niemieckiego ducha posłuszeństwa, uważał, że w gimnazjum jest jak w wojsku. W rezultacie studiował na Politechnice w Zurychu, która była uczelnią gorszą niż uniwersytety niemieckie albo Uniwersytet Wiedeński. Prawie nie miał tam fizyki teoretycznej oprócz jednego wykładu Minkowskiego, gdzie omawiane były kwestie takie jak włoskowatość, a więc zupełnie już przestarzałe z punktu widzenia fizyka. Einstein nauczył się wszystkiego sam. Po studiach, ponieważ był dość pyskaty, nie znalazł miejsca na uczelni. Nie chcieli go nawet do prowadzenia ćwiczeń ze studentami, których na politechnice było dużo i które były tak samo wtedy, jak i dziś, niezbyt rozwijające intelektualnie. Urząd patentowy był pracą zastępczą. Przedtem różne uniwersytety z całej niemal Europy zdążyły odrzucić podania młodego absolwenta. Gdyby miał szczęście i zaczął pracować w Getyndze, wśród wybitnych matematyków i fizyków, trudniej byłoby mu zachować niezależność. Tamtejsza szkoła wywierała silne piętno na pracujących tam uczonych. Minkowski, który z Zurychu przeniósł się do Getyngi, miał niezbyt wysokie pojęcie o Einsteinie, który niewiele zresztą chodził na wykłady czysto matematyczne (choć stopnie z egzaminów miał dobre, uczył się w ostatniej chwili). Ujmując rzecz ogólnie: Pan Bóg wiedział, co robi, tworząc odrębne profesje matematyków i fizyków. David Hilbert i Felix Klein interesowali się fizyką, ale osiągnięcia, zarówno ich własne, jak i młodszych kolegów w tej dziedzinie były wybitne, a jednocześnie jakoś chybione. Powstawały prace eleganckie, lecz puste z punktu widzenia fizyka. Toteż lepiej, że Einstein nie musiał walczyć z presją tamtejszego środowiska. Możliwe zresztą, że by sobie poradził, bo miał wyjątkowo silny charakter. Sam zresztą mówił, że charakter ważniejszy jest od talentu, chodziło mu o to, żeby robić swoje, nie myśląc, że to się może nie udać. Fizyka w jego wydaniu to były niemal zawsze prace, które mogły się udać albo okazać kompletnym nieporozumieniem. Charakter potrzebny był mu do podejmowania ryzyka i nieprzejmowania się porażkami, których zawsze jest więcej niż sukcesów.

Wprowadzona przez Minkowskiego czasoprzestrzeń stała się trwałą częścią fizyki. Teoria względności, naruszając niezmienność czasu, wciąga go niejako do gry, pozwalając mu mieszać się z przestrzenią. Ze współczesnego punktu widzenia prędkość światła jest jedynie przelicznikiem między czasem a odległością. Stała c ma obecnie pewną wartość zadekretowaną przez międzynarodowe porozumienia. Żeby mieć te same jednostki na osiach możemy umieszczać ct oraz współrzędne x,y,z (będziemy też czasem pisać po prostu t zamiast $ct$). W czasoprzestrzeni punktami są zdarzenia o określonych współrzędnych (x, y, z, ct). Wygląda to tak dla czasoprzestrzeni (2+1)-wymiarowej:

Powiedzmy, że O jest zdarzeniem, które nas szczególnie interesuje. Zdarzenia, które mogły wywrzeć wpływ na O albo leżą na stożku przeszłości, jak Y – sygnał świetlny mógł dotrzeć do O. Stożek przeszłości, to wszystko, co widzimy: galaktykę w Andromedzie widzimy taką, jaka była dwa miliony lat temu, bo tyle czasu potrzebuje światło, aby do nas dotrzeć. Wszystkie zjawiska, które mogłyby wpłynąć na O leżą na stożku przeszłości albo wewnątrz niego, jak X. Analogiczną rolę pełni stożek przyszłości: leżą na nim albo wewnątrz niego wszystkie zdarzenia, na które O może (w zasadzie) mieć wpływ. Natomiast zdarzenia takie, jak A nie są w żadnym związku przyczynowym ani skutkowym z O. Struktura taka pozostaje niezmienna dla każdego obserwatora, choć inaczej on umiejscowi poszczególne punkty obrazka. To, co pozostaje nienaruszone, to wyżej opisane relacje: jeśli np. X było w stożku przeszłości względem O, to zawsze tak będzie, choć położenie X wewnątrz stożka może się różnym obserwatorom wydać różne.

Pokażemy teraz, jakie wartości różni obserwatorzy przypisują tym samym zdarzeniom. Fizyka powinna być niezależna od układu współrzędnych. Możemy np. obrócić układ współrzędnych w płaszczyźnie xy. Każdy punkt P=(x,y) w nowym układzie osi będzie miał nowe współrzędne (x',y').

\begin{cases}x'=x\cos\varphi-y\sin\varphi \\y'=y\cos\varphi+x\sin\varphi.\end{cases}

Transformacja ta nie zmienia odległości punktu P od początku układu współrzędnych, zatem:

x^2+y^2=x'^2+y'^2.

Łatwo sprawdzić, że wypisane wyżej równania spełniają ten warunek, po drodze musimy skorzystać z jedynki trygonometrycznej \sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1.

Możemy też zmienić układ współrzędnych nieprimowany na poruszający się ruchem jednostajnym układ primowany.

Klasyczny i „zdroworozsądkowy” związek między współrzędnymi przyjmie teraz postać:

\begin{cases}x'=x-vt\\y'=y\\t'=t.\end{cases}

Jest to tzw. transformacja Galileusza. Prawidłową transformacją jest jednak tzw. transformacja Lorentza. Minkowski spojrzał na nią w sposób geometryczny, jak na przekształcenie, które zachowuje następującą wielkość (odtąd zachowujemy tylko x,t, współrzędne y,z nie zmieniają się, gdy ruch zachodzi w kierunku osi x):

x^2-t^2=x'^2-t'^2.

Widzimy tu analogię do obrotów, różny jest tylko znak. Wielkość ta zwana jest interwałem czasoprzestrzennym i tym się różni od kwadratu odległości, że może przyjmować znaki zarówno dodatnie, jak i ujemne. Nowe i stare współrzędne muszą leżeć na jednej gałęzi hiperboli albo na jednej linii prostej (stożek). Narysowaliśmy jeden z możliwych przypadków:

Możemy wprowadzić nowe współrzędne:

\begin{cases}x_{-}=x-t\\x_{+}=x+t.\end{cases}

Zgadujemy następującą postać transformacji Lorentza:

\begin{cases}x'_{-}=e^{\varphi}x_{-}\\x'_{+}=e^{-\varphi}x_{+}.\end{cases}

Łatwo zauważyć, że wielkość interwału czasoprzestrzennego jest zachowana (wzory skróconego mnożenia). Przy okazji widać też, że transformacji odwrotnej odpowiadać będzie parametr -\varphi, a przy złożeniu dwóch ruchów parametry się dodadzą. Nie wiemy tylko jeszcze, jaki jest sens parametru \varphi, powinien on być jakoś związany z prędkością jednego układu względem drugiego. Wracając do zwykłych współrzędnych x,t, otrzymamy

\begin{cases}x'=x\cosh\varphi-t\sin\varphi\\t'=t\cosh\varphi-x\sinh\varphi.\end{cases}

Prędkość układu primowanego, to prędkość ruchu punktu x'=0. Korzystając z tego, dostajemy

v=\dfrac{x}{t}=\dfrac{\sinh\varphi}{\cosh\varphi}=\mbox{tgh }\varphi.

Przy małych wartościach \varphi jest równe prędkości. Widzimy też, że prędkość mieści się w przedziale (-c,c). Dla tangensów hiperbolicznych istnieje wzór podobny, jak w zwykłej trygonometrii:

u=\mbox{tgh }(\varphi_1+\varphi_2)=\dfrac{\mbox{tgh }\varphi_1+\mbox{tgh }\varphi_2}{1+\mbox{tgh }\varphi_1 \mbox{tgh }\varphi_1}=\dfrac{v_1+v_2}{1+v_1 v_2}.

Itd. itp. Łatwo można dalej wyprowadzać wnioski z postaci transformacji Lorentza.

 

Johann Heinrich Lambert i Immanuel Kant: astronomia gwiazdowa po kolacji (1749, 1755)

Niegdyś młodzi uczeni zaczynali często życie zawodowe jako guwernerzy w bogatych domach. Tak było w przypadku Lamberta – syna krawca, zamieszkałego w Szwajcarii hugonockiego emigranta z Francji, i Kanta – syna siodlarza z Królewca. Obaj z czasem wyzwolili się z prostego nauczycielstwa i doszli do znacznej pozycji naukowej. Lambert został członkiem Pruskiej Akademii Nauk i wybitnym matematykiem. Kant, po wielu latach spędzonych na nauczaniu studentów, wyrósł na najważniejszego filozofa epoki, stając się nie tylko najsławniejszym profesorem w Królewcu, ale i w Niemczech, a z czasem w całej Europie.
Obaj wnieśli pewien wkład do poznania budowy Galaktyki. W tamtych czasach, pozbawionych silnych źródeł światła, wszyscy znali widok nocnego nieba. Wywierał on głębokie wrażenie na naturach skłonnych do kontemplacji. Z górą sześćdziesięcioletni Kant wciąż czerpał z tego widoku natchnienie do pracy: „Dwie rzeczy napełniają umysł coraz to nowym i rosnącym podziwem i pełnym pokory szacunkiem, im częściej i trwalej zastanawiamy się nad nimi: Gwiazdami okryte niebo nade mną i prawo moralne we mnie.” (przeł. K. Kierski). Dodawał jednak Kant w dalszym ciągu wywodu:

Atoli podziw i szacunek mogą wprawdzie pobudzić do badania, ale nie mogą zastąpić jego braku. (…) Zastanawianie się nad światem zaczęło się od najwspanialszego widoku, jaki tylko ludzkie zmysły przedstawić mogą i jaki tylko rozsądek nasz znieść może, by śledzić go w jego dalekim zakresie, a zakończyło się – astrologią. Etyka rozpoczęła od najszlachetniejszej własności ludzkiej natury, której rozwój i kultura niezmierną korzyść obiecuje, a zakończyła – fantastycznością albo zabobonem. (…) Kiedy zaś, chociaż późno, weszła w życie maksyma, aby poprzednio dobrze rozważyć wszystkie kroki, które rozum zamierza uczynić, i nie pozwolić mu postępować inaczej, jak torem przedtem dobrze obmyślanej metody, wówczas sąd o budowie świata uzyskał zupełnie inny kierunek, a z nim zarazem bez porównania pomyślniejszy wynik. Rozłożenie spadania kamienia, ruchu procy na ich pierwiastki i ujawniające się przy tym siły, tudzież matematyczne ich opracowanie, spowodowało w końcu to jasne i po wszystkie czasy niezmienne poznanie budowy świata, które przy postępującej obserwacji może spodziewać się zawsze tylko swego rozszerzenia, nigdy zaś nie potrzebuje obawiać się, że będzie musiało się cofać.

Krytyka praktycznego rozumu, z której Zakończenia pochodzą powyższe słowa, prowadzić miała do ustanowienia nauki o moralności godnej istot rozumnych. Moralność ta powinna stosować się wszędzie tam, gdzie występują takie stworzenia, Kant wierzył, że wszechświat, a nawet nasz Układ Słoneczny, pełen jest zamieszkałych planet. Wyobrażał sobie, że im dalej od Słońca, tym lotniejsze i z subtelniejszej materii zbudowane są owe istoty. Co do rasy ludzkiej nie miał wielkich złudzeń, oprócz tego jednego, że można ją nieco poprawić dzięki rozumnemu postępowaniu nauczycieli. Po dwóch wiekach możemy stwierdzić, że nawet to chyba jest niemożliwe. Nauka Kanta stosuje się jedynie do rozumnych kosmitów, jeśli gdzieś tacy istnieją.

Zostawmy więc z boku wiarę filozofa w ludzką moralność jako źródło ładu i zajmijmy się astronomią gwiazd, gdzie postęp jest niewątpliwy.

Od czasu Kopernika gwiazdy przestały jawić się jako światełka na dwuwymiarowej sferze. Przestrzeń kosmiczna zyskała trzeci wymiar. Bardzo prawdopodobne było, że odległości do gwiazd są rozmaite i otacza nas bezmiar, o jakim nie śniło się filozofom (tych, którym się to śniło, palono na wszelki wypadek na stosie). Przeżycie nowego spojrzenia na znany od dawna widok nieba było także udziałem Genezypa Kapena:

Szedł potykając się, zapatrzony w niebo, na którym odprawiało się codzienne (nie każdodzienne oczywiście) misterium gwiaździstej nocy. Astronomia taka, jaką nauczył się ją pojmować w szkole, nie przedstawiała dla niego wielkiego uroku. Horyzont i azymut, kąty i deklinacje, skomplikowane wyliczenia, precesje i nutacje nudziły go okropnie. Krótki zarys astrofizyki i kosmogonii, zagubiony w nawale innych przedmiotów, był jedyną sferą, wzbudzającą lekki niepokój, graniczący z bardzo pierwotnym wzburzeniem metafizycznym. Ale „niepokój astronomiczny”, tak bliski niekiedy wyższym stanom, wiodącym do filozoficznych rozmyślań, codzienny dzień usuwa w dzisiejszych czasach szybko, jako niepotrzebny nikomu zbytek. Idąc teraz, Genezyp miał wrażenie, że patrzy w nocne niebo po raz pierwszy w życiu. Dotąd było ono dlań, mimo wszelkich wiadomości, dwuwymiarową płaszczyzną, pokrytą mniej lub więcej świecącymi punktami. Mimo poznania teorii, uczuciowo nie wychodził nigdy poza tę prymitywną koncepcję. Teraz przestrzeń dostała nagle trzeciego wymiaru, ukazując różnice odległości i nieskończone perspektywy. Myśl rzucona z szaloną siłą okrążyła dalekie światy, starając się przeniknąć ich sens ostateczny. Wiadomości nabyte, leżące w pamięci jak bezwładna masa, zaczęły teraz wydobywać się na wierzch i grupować koło pytań postawionych w nowej formie, nie jako zagadnienia umysłu, ale jako krzyk przerażenia wszechtajemnicą, zawartą w nieskończoności czasu i przestrzeni i w tym pozornie prostym fakcie, że wszystko było właśnie takim, a nie innym.
(…)
Genezyp patrząc w gwiazdy doznawał zawrotu głowy. Góra i dół przestały istnieć — wisiał w straszliwej przepaści, amorficznej, bezjakościowej. Uświadomił sobie na chwilę aktualną nieskończoność przestrzeni: wszystko to istniało i trwało w tej właśnie sekundzie, którą przeżywał. Wieczność wydała mu się niczym wobec potworności istniejącej w nieskończonostce czasu całej nieskończonej przestrzeni i istniejących w niej światów. Jak tu pojąć tę rzecz? Coś niewyobrażalnego, co narzuca się z absolutną ontologiczną koniecznością. Ta sama tajemnica ukazała mu znowu swą twarz zamaskowaną, ale inaczej. [S.I. Witkiewicz, Nienasycenie, s. 22-23].

Dwudziestojednoletni Lambert od dzieciństwa lubił wieczorem przesiadywać przy oknie otwartym na rozgwieżdżone niebo. Widział w nim świątynię Boga, po której rozświetlonym wnętrzu może błądzić wzrokiem. Nie poprzestał na zachwycie. Zwrócił uwagę na gwiazdy widoczne na tle pasa Drogi Mlecznej. Najwyraźniej są one bliżej Słońca niż te, których światło zlewa się w naszych oczach w mglistą poświatę owego pasa. Znaczy to, że układ gwiazd jest płaskim dyskiem, wewnątrz którego się znajdujemy. Był, wedle jego własnych słów, rok 1749.

Kilka lat później, w roku 1755, Immanuel Kant, starający się o posadę na uniwersytecie, ogłosił książkę zatytułowaną ambitnie: Powszechna historia naturalna i teoria nieba i zadedykowaną królowi Fryderykowi II. Podtytuł dzieła wyjaśniał, że oparte jest ono na „prawach Newtona”. Nie wiemy, czy dziełko to dotarło do króla, niebawem drukarz zbankrutował i książka nigdy nie stała się znana. Zaczęto o niej mówić dopiero kilkadziesiąt lat później, gdy Kant zdobył sławę jako filozof i wszelkie jego pisma zaczęły zwracać uwagę.

Punktem wyjścia Kanta była myśl wyczytana w gazecie: chodziło o recenzję dzieła Thomasa Wrighta. Kant uznał, że system gwiezdny, w którym znajduje się Słońce musi być płaski i że gwiazdy poruszają się, podobnie do planet, po orbitach wokół jednego lub większej liczby centrów. Ponieważ wyczytał (u Derhama), że obserwuje się mgławice o kształcie eliptycznym, uznał, iż są to inne systemy gwiezdne widziane z ukosa: dysk wyglądać powinien wówczas jak elipsa. Słyszał też o wykryciu ruchu niektórych gwiazd: porównując dawne i nowe obserwacje astronomowie wykryli zmiany położenia kilku jasnych gwiazd.

Reszta u Kanta jest czystą spekulacją. Stara się on wykazać, że prawa mechaniki muszą prowadzić do takiego właśnie świata, jaki widzimy. W ten sposób z pierwotnego chaosu wyłonić się miał kosmos, czyli porządek. Krążenie ciał zapewnić miała druga, obok ciążenia, siła działająca we wszechświecie, a mianowicie odpychanie. Newton nie mówi wiele o siłach odpychających, choć uznawał, że działają one między cząsteczkami gazów – dzięki temu gazy rozprężają się, wypełniając całą dostępną objętość. Odpychająca siła Kanta nie jest jednak tym samym co u Newtona. Jego fizyka jest bliższa poglądom Leibniza: ruch po okręgu jest w niej stanem równowagi między siłą grawitacyjną i odśrodkową (podobnie widzą to czasem dzisiejsi studenci, co jednak nie znaczy, że studiowali Leibniza). W istocie chodzi tu nie tyle o siłę odpychającą, co o moment pędu, czyli ilość ruchu obrotowego, która musi być zachowana.

Spekulacje Kanta dość przypadkowo najbliższe były rzeczywistości i jego teoria nazwana została teorią wszechświatów wyspowych (czyli galaktyk poprzedzielanych pustą przestrzenią). Był to zbieg okoliczności: filozof z Królewca powoływał się np. na dane Williama Derhama nt. mgławic. Spośród 21 wymienionych przez niego mgławic, pięć miało być eliptycznych (naprawdę tylko jedna z nich ma kształt eliptyczny). Kant niezbyt troszczył się o fakty obserwacyjne, były one dla niego raczej punktem wyjścia do rozważań spekulatywnych.

W XVIII wieku zawodowi astronomowie nie zajmowali się ruchem gwiazd, wiedziano tylko o nieznacznych przesunięciach paru gwiazd, nie znano ich odległości, niewiele można było w tej sytuacji zrobić. Jednak Newtonowskie prawo ciążenia pozwalało na pewne wnioski. Siła przyciągająca działa między dowolnymi rodzajami materii i maleje jak odwrotność kwadratu odległości, a więc nigdy nie staje się równa zeru. Oznacza to, że niemożliwy jest wszechświat statyczny. Ciała we wszechświecie muszą się poruszać.

Dziś wiemy, że także wszechświat jako całość nie może znajdować się w spoczynku, bo byłaby to sytuacja nietrwała. Na skalę kosmiczną działa jedynie grawitacja. Inne siły, np. elektromagnetyczne, są w praktyce krótkozasięgowe (ponieważ mamy tyle samo ładunków dodatnich i ujemnych). Tym, co chroni świat od zapadnięcia się, kolapsu grawitacyjnego albo elektromagnetycznego, jest w ostatecznym rachunku nie jakiś nowy rodzaj sił, lecz inna mechanika: kwantowa. Zasada nieoznaczoności nie pozwala cząstkom zajmować dowolnie małego obszaru przestrzeni, a zakaz Pauliego sprawia, że stany kwantowe cząstek takich, jak elektrony, zajmowane są po kolei (co wyjaśnia układ okresowy pierwiastków). Możliwe są też sytuacje, kiedy grawitacja przeważa i ciało zapada się, tworząc czarna dziurę, czyli obiekt, w którym materia traci jakąkolwiek tożsamość i swoje indywidualne charakterystyki. Zostaje czysta czasoprzestrzeń ukryta za horyzontem zdarzeń. O takiej możliwości także zresztą spekulowano już w wieku XVIII.

Thomas Wright: kosmos jako ogród Boga (1750)

Kopernik odebrał Ziemi wyjątkowy status ciała centralnego, ciężkiego i bezwładnego, zbudowanego z innej materii niż świetliste i lekkie ciała niebieskie. Bardzo to uwierało rzymską Kongregację Indeksu, która w 1620 roku ogłosiła „korektę” dzieła, zalecając na użytek wiernych poprawki, np. „Ziemia nie jest gwiazdą (tzn. ciałem niebieskim), jaką ją czyni Kopernik”. Autor nie żył już od niemal osiemdziesięciu lat, ale nic to: poprawki mogli wprowadzić samodzielnie czytelnicy, by ich własne oko nie musiało się gorszyć (a przyjaciele nie donieśli komu trzeba). Jak wykazała kwerenda Owena Gingericha do zaleceń tych zastosowano się jednak niechętnie, nawet w Italii i Hiszpanii, a więc krajach ultrakatolickich, nieskażonych zarazą protestantyzmu. Poza tym im dalej od Rzymu, tym gorzej.

Zakazy kościelne okazały się patetycznie bezsilne wobec fali nowej nauki wzbierającej nawet w Italii, gdzie po skazaniu Galileusza należało uciekać się do rozmaitych wybiegów. Np. Giovanni Alfonso Borelli ogłosił teorię ruchu księżyców Jowisza, choć w oczywisty sposób chodziło mu o ruch planet wokół Słońca. Matematycznie było to to samo, a nie drażniło się inkwizycji. Nauki ścisłe i eksperymentalne opuszczały jednak Italię i rozkwitały głównie w Anglii, Holandii i Francji, dokąd nie sięgały zakazy teologów rzymskich. Protestanci z upodobaniem głosili poglądy sprzeczne z tym, co głosili „papiści”. Korelacja wyznania i wkładu do rewolucji naukowej w XVII i XVIII wieku jest wyraźna. Różnica kulturowa między Europą północno-zachodnią a południowo-wschodnią stawała się coraz głębsza. Protestantyzm był tu zresztą raczej symptomem niż przyczyną. Chrześcijaństwo Lutra i Kalwina było oczyszczone i odnowione, starało się „odczarować” świat, odrzucając magiczne aspekty religii. Tamten podział Europy istnieje do dziś, podobnie jak w badaniach społecznych widać granice zaborów w Polsce.

Uznanie wszechświata za nieskończony a Słońca za jedną gwiazd (w dzisiejszym znaczeniu tego słowa, a więc ciała niebieskiego, które świeci w zakresie widzialnym) nie wynikało z kopernikanizmu w sensie logicznym, ale było jego naturalną konsekwencją. Galileusz bardzo podkreślał, że nie tylko Ziemia nie spoczywa w środku świata, ale wszechświat zapewne nie ma w ogóle żadnego środka. Nie zgadzał się z tym jego największy współczesny Johannes Kepler, który wierzył, że Słońce spoczywa w centrum świata, a gwiazdy są światłami na nieruchomej sferze niebieskiej. Po Isaacu Newtonie nieskończony wszechświat wydawał się jedyną realną możliwością: gwiazdy w skończonym i statycznym wszechświecie musiałyby się zapaść grawitacyjnie do wspólnego środka masy. Nieskończony wszechświat mógłby teoretycznie znajdować się w stanie równowagi nietrwałej. Sytuację taką zasugerował teolog Richard Bentley w listownej dyskusji z Newtonem, a ten niechętnie uznał to za możliwe. Sam raczej sądził, że grawitacja wywołuje rzeczywiście niestabilność, ale Stwórca od czasu do czasu daje prztyczka ciałom niebieskim, aby je przywołać do porządku bądź zbudować nowy porządek. Na przykład księżyce Jowisza mogłyby być zapasowymi planetami trzymanymi na przyszłość. Hipoteza nieskończonego wszechświata prowadziła też niektórych do wniosku, że niebo w nocy powinno świecić jak powierzchnia Słońca. To poważne zastrzeżenie, które Newton, a właściwie Halley starał się obalić niezbyt przekonującymi argumentami.

Protestancka swoboda spekulacji kosmologicznych zaowocowała sporą liczbą różnych traktatów, w których starano się pogodzić prawo ciążenia i dane astronomiczne z Pismem św. Nie było tu mrożącego efektu inkwizycji. Nie tylko teologowie, ale różnego rodzaju samoucy zastanawiali się nad budową i dziejami wszechświata. Do tej ostatniej kategorii zaliczał się Thomas Wright, który niewiele chodził do szkoły. Jako syn cieśli nie mógł liczyć na głębszą edukację, tym bardziej że rozgniewany ojciec spalił mu kiedyś książki, nad którymi jego zdaniem syn spędzał zbyt wiele czasu. Terminował w zawodzie zegarmistrza, potem w sztuce budowania przyrządów nawigacyjnych. Uczył nawigacji marynarzy spędzających zimy na handlu węglem i czekaniu na sezon żeglugowy. Z czasem uczył także nauk matematycznych w domach arystokratycznych, zaczął też projektować ogrody, na co był spory popyt.

W roku 1750 Wright ogłosił książkę pt. An original theory or new hypothesis of the Universe. Obiecywał w niej wyjaśnić ni mniej, ni więcej tylko budowę wszechświata, trzymając się praw natury i zasad matematycznych – zwłaszcza te ostatnie po Newtonie były w cenie. Dzięki tej modzie wiele dam spośród arystokracji pragnęło poznać tajniki nauk ścisłych i interesowało się astronomią. Szczególną wagę przywiązywał Wright do wyjaśnienia „zjawiska Via Lactea” – czyli Drogi Mlecznej na niebie. Można przypuszczać, że słuchaczki zadawały mu często pytanie, czym jest owa Droga Mleczna. W tamtych czasach marnego oświetlenia nie sposób było nie znać widoku nocnego nieba.

Już Galileusz po pierwszych obserwacjach przez teleskop twierdził, że Droga Mleczna to nagromadzenie słabych gwiazdek, które zlewają się w jednolitą poświatę. W czasach Wrighta wiedziano więcej na temat odległości gwiazd. Przede wszystkim starano się wykryć paralaksę roczną – zjawisko pozornego przemieszczania się gwiazd po sferze niebieskiej w rytmie obiegów Ziemi wokół Słońca. Albo Kopernik nie miał racji, albo gwiazdy były bardzo daleko. Ponieważ po Newtonie system heliocentryczny nabrał sensu fizycznego, więc należało przyznać, że odległości gwiazd od Słońca są niewiarygodnie wielkie. Paralaksa roczna z pewnością nie przekraczała 20”, na co wskazywały obserwacje Jamesa Bradleya. Oznaczałoby to, że gwiazdy są dalej niż 1000 odległości Saturna od Słońca. Można też było oszacować tę odległość na podstawie obserwowanej jasności. Należało wówczas założyć, że gwiazdy są takie jak Słońce i ich obserwowana jasność jest wyłącznie skutkiem ich oddalenia od nas. Newton szacował na tej podstawie, że odległość jasnych gwiazd jest rzędu 100 000 odległości Saturn-Słońce (*). Wszechświat był zatem bardzo pusty i gdyby nawet miał się zapaść, to nie nastąpiłoby to zbyt szybko – musimy pamiętać, że wiek świata liczono w tysiącach lat, zgodnie z Biblią. Newton (nb. fundamentalista biblijny) podał jednak oszacowanie wieku Ziemi na podstawie eksperymentów z czasem stygnięcia na co najmniej 50 000 lat. Wright następująco przedstawił znany wówczas Układ Słoneczny wraz z wydłużonymi orbitami komet (w roku 1750 nie zaobserwowano jeszcze żadnego przypadku komety okresowej).

Odległość do Syriusza, najjaśniejszej gwiazdy na niebie, a więc zapewne także najbliższej przedstawił Wright na środkowym rysunku poniżej (nie udało mu się zachować proporcji). Na dolnym mamy proporcje orbit planetarnych, ukazujące, jak pusto jest nawet w samym Układzie Słonecznym.

Najważniejsze wszakże miało być objaśnienie, czemu widzimy Drogę Mleczną. Najlepiej przedstawia to rysunek.

Jeśli Słońce jest gwiazdą A na rysunku i znajduje się wewnątrz płaskiego zbiorowiska gwiazd, to patrząc w kierunku H albo D widzimy wiele gwiazd, a w kierunku B i C niezbyt wiele. W ten sposób układ gwiazd będzie nam się jawił jako pas wokół sfery niebieskiej.

Mniej więcej w tym miejscu kończy się wkład Wrighta do kosmologii i astronomii. Recenzję z jego książki, bez rysunków, przeczytał w pewnym czasopiśmie pewien zupełnie nieznany magister na prowincjonalnym uniwersytecie w Królewcu. Nazywał się Immanuel Kant i kilka lat później zainspirowany pomysłami Wrighta napisał całą książkę na temat wszechświata. Długo pozostawała ona nieznana, właściwie zwrócono na nią uwagę dopiero po latach, kiedy Kant zdobył sławę, lecz nie jako astronom, tylko jako twórca systemu filozofii.

Thomas Wright nie ograniczył się do tego, co wiadomo z obserwacji i teorii naukowych. Pragnął przede wszystkim zbudować model wszechświata, w którym jest przestrzenne miejsce dla Zbawienia i Potępienia. Jak niemal wszyscy wówczas, traktował dane religijne jako równie pewne jak naukowe. Tradycyjny średniowieczny model świata zawierał Piekło w środku Ziemi i Raj poza sferą gwiazd stałych. Wright spróbował niejako przenicować ten model: w środku miał się znajdować Raj, na zewnątrz, w ciemnościach, Piekło.

Pomysł Wrighta polegał na tym, że wszechświat jest trwały, bo gwiazdy poruszają się po orbitach wokół centrum. Nieporządek wśród gwiazd jest pozorny, patrzymy po prostu z niewłaściwego miejsca. Wcześniej o czymś takim rozmyślał Johannes Kepler, który pisał:

Musielibyśmy bowiem uznać, że Bóg uczynił coś w świecie bez powodu, nie kierując się najlepszymi racjami. Nikt nie przekona mnie do takiego poglądu, gdyż sądzę, że [rozumny ład] panuje nawet wśród gwiazd stałych, których położenia wydają nam się zupełnie bezładne, niczym ziarno rzucone przypadkiem w zasiewie. (Tajemnica kosmosu, rozdz. 2)

Wright go chyba nie czytał, zaczerpnął pomysł zapewne od Williama Whistona, arianina i następcy Newtona na katedrze Lucasa w Cambridge (Whiston miał poglądy religijne zbliżone do Newtona, lecz w odróżnieniu od swego poprzednika głosił je otwarcie, toteż go zwolniono).

Gdyby nasza perspektywa była taka jak Stwórcy, dostrzeglibyśmy ład.

Rzeczywisty obraz wszechświata jest bowiem taki

Słońce A zawarte byłoby wewnątrz ogromnej cienkiej powłoki kulistej. Inną rozpatrywaną przez śmiałego ogrodnika możliwość przedstawia rysunek poniżej:

Takich systemów gwiezdnych miało być nieskończenie wiele.

Oczywiście, wszystko to było czystą fantazją Thomasa Wrighta, który z upodobaniem mieszał rozmaite symbole chrześcijańskie, masońskie i starożytne. Zachował się następujący plan ogrodu kuchennego autorstwa Wrighta, wzorowany na kosmosie.

(*) Interesujące są szczegóły oszacowania odległości do gwiazd. Newton podał je w swoim De mundi systemate liber, czyli popularnej wersji III księgi Matematycznych zasad filozofii przyrody. Metoda opublikowana została w 1668 roku przez szkockiego matematyka Davida Gregory’ego. Co zabawne, oszacowanie to znalazło się w książce opublikowanej w Padwie, a więc za zgodą władz kościelnych, które widocznie nie przyglądały się zbyt dokładnie zawartości książki albo cenzor uznał, że formalnie jest to tylko hipoteza, a więc nie twierdzenie i nie może przeczyć prawdzie natchnionego tekstu. Trudność była w porównaniu jasności Słońca z jasnością jakiejś gwiazdy, nikt nie potrafił wówczas mierzyć jasności. Tak się jednak składa, że planeta Saturn ma średnicę kątową 17” albo 18”. Saturn świeci dla oka niezuzbrojonego jak gwiazda pierwszej wielkości. Znaczy to, że na tę planetę pada 1/(21\cdot 10^8) światła słonecznego, bo w takiej proporcji jest pole powierzchni dysku planety \pi r^2 do pola powierzchni sfery o promieniu R równym wielkości orbity Saturna. mamy

\dfrac{\pi r^2}{4\pi R^2}=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{r}{R}\right)^2.

Wielkość w nawiasie to promień dysku Saturna w radianach. Jeśli przyjmiemy, że jedna czwarta światła słonecznego jest odbijana od powierzchni Saturna, to znaczy, że dysk Saturna świeci 42\cdot 10^8 razy słabiej niż Słońce. A więc gwiazda pierwszej wielkości jest \sqrt(42)\cdot 10^4 razy dalej niż Saturn. Zaokrąglając w górę, otrzymał Newton wartość 100 000. Gregory otrzymał z podobnego rachunku 83 190 jednostek astronomicznych, czyli odległości Ziemia-Słońce, a więc o rząd wielkości mniej. Istniało też oszacowanie Huygensa 27 664 jednostek astronomicznych.

Statyczny wszechświat nie może być stabilny, ten problem przenosi się na teorię grawitacji Einsteina. W przypadku Newtonowskim można łatwo oszacować z III prawa Keplera czas spadku gwiazdy na Słońce, byłby on dla danych Newtona rzędu 30\cdot 10^{5\cdot 3/2}\approx 10^9, liczba 30 to okres obiegu Saturna w latach.

Najmniejsze działanie: od kształtu liny do zasady Hamiltona

Isaac Newton nie traktował trzech zasad dynamiki jako swego szczególnie ważnego odkrycia; sądził, że formułuje tylko fakty znane wcześniejszym badaczom, takim jak np. Christiaan Huygens. Jednak to jego sformułowanie okazało się kanoniczne i trafiło do podręczników. Nie jest to zupełny przypadek: zasady te pozwoliły bowiem zbudować konsekwentną naukę o ruchu i określiły sposób myślenia jego następców. Newton pojawił się w odpowiedniej chwili historycznej, gdy kwestia ruchu w mechanice dojrzała do ścisłego przedstawienia i kiedy pojawiła się stosowna matematyka – czy to w postaci rachunku fluksji samego Newtona, czy rachunku różniczkowego i całkowego Leibniza i Johanna Bernoulliego.

Mechanikę można sformułować na kilka innych sposobów. Zwłaszcza Newtonowskie pojęcie siły jest było nowatorskie i zapewne by się nie pojawiło, gdyby nie samotnik z Cambridge. Nauki ścisłe także są konstrukcją ludzką i tylko częściowo odkrycia w nich przypominają odkrycia geograficzne: kto pierwszy zobaczy wyspę Kuba, automatycznie staje się jej odkrywcą. Nie ma tu bowiem platońskiego świata idei do odkrycia, a w każdym razie idee te mogą przyjmować zupełnie różne kształty i ich zarysy stają się widoczne dopiero wtedy, kiedy ktoś taki jak Albert Einstein albo Andrew Wiles je nam wskaże.

We współczesnej fizyce, zarówno klasycznej, jak kwantowej, najważniejszym sposobem zapisywania praw są zasady najmniejszego działania (in. zasady wariacyjne). Historycznie pojawiły się one później niż Newtonowskie siły, ich znaczenie stopniowo jednak rosło. Gdyby Albert Einstein dostatecznie mocno wierzył w zasady wariacyjne, to zapewne sformułowałby równania swej teorii grawitacji kilka lat wcześniej, jeszcze w Zurychu, a nie w Berlinie, oszczędzając sobie mnóstwa ciężkiej pracy i frustracji z powodu niepowodzeń. Klasyczne zasady najmniejszego działania nabrały nowego sensu w fizyce kwantowej, w Feynmanowskich sumach po historiach. Model Standardowy cząstek elementarnych, czyli sumę naszej wiedzy o mikroświecie, też zapisuje się za pomocą działania.

Poniżej przedstawimy dwa przykłady pokazujące, jak  można sformułować mechanikę w postaci zasad najmniejszego działania.

Kształt ciężkiej liny

Chcemy znaleźć kształt, jaki przyjmie ciężka lina zaczepiona w dwóch punktach.Stan równowagi odpowiada minimalnej energii całkowitej.

Mamy tu do czynienia z dwoma rodzajami energii. Z jednej strony działa grawitacja: im niżej znajdzie się dany element liny, tym niższa będzie jego energia potencjalna. Odcinek liny odpowiadający małemu przedziałowi (x, x+\Delta x) będzie miał masę \varrho dx i jego energia potencjalna będzie równa (g jest przyspieszeniem ziemskim):

\Delta V=-\varrho gy \Delta x.

Drugim rodzajem energii jest tu energia sprężysta. Wyobraźmy sobie, że zależy ona tylko od wydłużenia naszej liny i dla jej małego elementu równa jest

\Delta T=N(\Delta s-\Delta x),

gdzie N jest siłą napięcia liny.

Dla uproszczenia rachunków ograniczymy się do przypadku, gdy nasza lina ma niewielką strzałkę ugięcia, czyli dy jest znacznie mniejsze niż dx. Możemy wtedy przekształcić wyrażenie na energię sprężystą następująco:

dT=N(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}-\Delta x)\approx \dfrac{1}{2}N\left(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2 \Delta x.

W równości przybliżonej skorzystaliśmy z przybliżenia \sqrt{1+g}\approx 1+\frac{1}{2} g, słusznego dla wartości g\ll 1. Zauważmy, że działa ono nieźle nawet dla stosunkowo dużych wartości g, np. otrzymujemy \sqrt{2}\approx 1,5 zamiast 1,41, co oznacza błąd poniżej 10%.

Mamy więc dwa wkłady do energii: energia potencjalna obniża się, gdy dany odcinek liny znajdzie się niżej, ale żeby to było możliwe, lina musi się wydłużyć, co powiększa jej energię sprężystą. Pytanie, jakie sobie stawiamy, brzmi: jak znaleźć krzywą opisującą kształt liny?

Energia całkowita naszej liny jest równa

{\displaystyle E=\int_{0}^{L}\left(\dfrac{1}{2}N\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2-\varrho g y\right)dx.}

Jeśli zadamy krzywą y(x) i wstawimy ją do powyższego równania, to dostaniemy energię odpowiadającą danemu kształtowi. Matematycy mówią, ze mamy funkcjonał: czyli funkcji przypisujemy pewną liczbę. Dziedziną naszego funkcjonału jest zbiór różnych funkcji, które mogłyby opisywać kształt naszej liny.

Jak znaleźć minimum energii? Metodę postępowania podał w roku 1755 pewien bystry dziewiętnastolatek, Joseph Lagrange, w liście do słynnego Leonharda Eulera. Wyobraźmy sobie, że daną funkcję y(x) nieznacznie zmienimy na y(x)+\delta y(x). Jak wtedy zmieni się nasz funkcjonał? Łatwo pokazać, że zmiana energii jest w naszym przypadku równa

{\displaystyle \delta E=\int_{0}^{L}\left( N \dfrac{d^2 y}{dx^2}-\varrho g \right) \delta y(x) dx.} (*)

Pominięte zostały wyrazy zawierające  \delta y^2. Funkcja \delta y(x) (tzw. wariacja, czyli zmiana, y(x)) jest dowolna. W minimum niewielka wariacja y  nie powinna wpływać na wartość funkcjonału: kiedy jesteśmy już na dnie, to jest nam wszystko jedno, w którą stronę się przesuniemy, i tak będziemy na dnie. Jest to słuszne tylko w pierwszym przybliżeniu, gdy możemy pominąć wkłady kwadratowe i wyższe wariacji funkcji. Zatem warunkiem na minimum jest znikanie wariacji funkcjonału:

 \delta E=0  \Leftrightarrow N \dfrac{d^2 y}{dx^2}-\varrho g =0.

Ostatnia równoważność wynika stąd, że znikanie całki z nawiasu razy dowolna (niewielka) funkcja \delta y(x) musi oznaczać, iż ten nawias jest równy zeru dla każdego x.

Dwa wnioski: ogólny i szczegółowy.

Wniosek ogólny: Warunkiem minimum funkcjonału jest spełnienie pewnego równania zawierającego pochodną.

Wniosek szczegółowy: W naszym przypadku równanie to stwierdza, że druga pochodna y''(x) ma być stała. Znaczy to, że pierwsza pochodna y'(x) jest funkcją liniową, a sama funkcja y(x) jest kwadratowa, kształt krzywej to parabola. Żeby się te rozważania nie wydawały zbyt abstrakcyjne, proszę spojrzeć na obrazek.

Akashi Kaikyō Bridge, Wikipedia

Ruch rzuconego ciała

Teraz zapomnijmy o fizycznej treści poprzedniego punktu, pozostańmy przy samej matematyce: takie same równania mają takie same rozwiązania, jak uczył Feynman. Jeżeli wziąć za zmienną niezależną czas t zamiast x, to stała druga pochodna oznacza, ze mamy stałe przyspieszenie, czyli ruch w polu grawitacyjnym Ziemi. Możemy nieco zmienić oznaczenia N=\varrho=m, zamiast E napiszmy S, bo tak się standardowo oznacza działanie. Mamy więc zasadę wariacyjną i równoważne jej równanie różniczkowe:

 \delta S=0  \Leftrightarrow m \dfrac{d^2 y}{dt^2}-m g =0,

gdzie działanie równe jest

{\displaystyle S=\int_{0}^{T}\left(\dfrac{1}{2}m\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2-m g y\right)dx.}

Zamiast równań Newtona dla rzuconego ciała, możemy zażądać, aby znikała wariacja z działania. W naszym przypadku nadal rozwiązaniem jest parabola.

Zmieniła się jej interpretacja fizyczna: teraz opisujemy ruch jednowymiarowy, rzut pionowy. Skądinąd wiemy, że rozciągnięty w czasie rzut pionowy będzie miał kształt paraboli (mówimy tu o krzywej we współrzędnych t, y). Jeśli przyjrzeć się postaci działania, to oba składniki w nawiasie powinny nam się kojarzyć z energią kinetyczną i potencjalną:

 {\displaystyle S=\int_{0}^{T}\left(\dfrac{mv^2}{2}-V(y)\right)dt.}

Otrzymujemy w ten sposób zasadę Hamiltona najmniejszego działania. Równania, które z niej wynikają, nazywają się, żeby rzecz całą zagmatwać, równaniami Lagrange’a (są one równoważne zasadom dynamiki Newtona). Funkcja pod całką nazywa się lagranżianem i jest równa: {\cal L}=E_k-V. Należy zwrócić uwagę, że {\cal L} nie jest energią całkowitą, lecz różnicą energii kinetycznej i potencjalnej – przechodząc od liny do rzutu, zmieniliśmy znak. Zasada najmniejszego działania oznacza, że jeśli nieco zmienimy ruch w stosunku do ruchu rzeczywistego, to działanie się nie zmieni. Funkcje, które rozpatrujemy, zaczynają się w chwili 0 w punkcie y=0 i kończą w tym samym punkcie w chwili t=T. Można wybrać dowolne punkty przestrzeni, ustalony jest tu natomiast przedział czasu. Wszystkie rozpatrywane funkcje zaczynają się i kończą w tych samych chwilach i w tych samych dwu punktach. Rzeczywisty ruch cząstki spełnia zasadę najmniejszego działania.

Sformułowanie mechaniki za pomocą zasady Hamiltona ma wiele różnych zalet matematycznych, o których teraz nie będziemy pisać. Pojawiło się stosunkowo późno, bo w XIX wieku, choć zasada najkrótszego czasu w optyce znana była dwa stulecia wcześniej. Sam fakt, że na ruch można spojrzeć w taki sposób, jest interesujący i nowatorski. Polecam zupełnie elementarny wykład Feynmana na temat tej zasady.

Uwaga: Znikanie wariacji nie musi oznaczać minimum, tak samo jak znikanie zwykłej pochodnej funkcji niekoniecznie oznacza, że mamy do czynienia z minimum: może to być maksimum albo punkt przegięcia. Zwyczajowo mówi się o najmniejszym działaniu, choć w konkretnych przypadkach bywa to maksimum.

(*) Warto może przedstawić krótko procedurę obliczania wariacji funkcjonału. Sztuka polega na scałkowaniu przez części: jest to krok powtarzany do skutku we wszystkich obliczeniach wariacji. Chodzi o to, żeby zamiast \delta y'(x) mieć \delta y(x). Operacje różniczkowania \frac{d}{dx} i brania wariacji \delta są przemienne, bo pochodna różnicy to różnica pochodnych.

Pierwszy składnik pod całką zmienia się wskutek tego, że y'(x) zastępujemy przez y'(x)+\delta y'(x), różnica wyrażeń podcałkowych to

\frac{1}{2}N(2y'\delta y')=\frac{d}{dx}(Ny'\delta y)-Ny''\delta y,

gdzie pominęliśmy \delta y'^2. Po wstawieniu tego pod całkę otrzymujemy wynik, pamiętając, że nasze wariacje znikają na końcach przedziału: \delta y(0)=\delta y(L)=0.