George Biddell Airy: Jak drobne szczegóły można dostrzec przez teleskop? (1834)

Widziałem jakiś czas temu reklamę, a w niej na zdjęciu – rzekomo satelitarnym – rozpoznawalne twarze jakichś celebrytów. Czy to możliwe technicznie? Nie bardzo. Wprawdzie w sprawach techniki lepiej nie twierdzić, że coś jest niemożliwe, ale tutaj trudności są dość zasadnicze i wynikają z falowej natury światła.

Do wyjaśnienia sprawy przyczynił się Airy, wtedy niedługo po trzydziestce, profesor katedry Plume’a w Cambridge, a niebawem 7. Astronom Królewski, ten ostatni urząd pełnił niemal pół wieku. Wyróżniał się jako zdolny młodzieniec, zanim skończył siedemnaście lat, znał dziewięć rozdziałów Matematycznych zasad filozofii przyrody Isaaca Newtona, a więc materiał matematycznie nietrywialny. Dostał się na studia do Trinity College w Cambridge jako sizar, czyli coś w rodzaju studenta służącego, ponieważ miał talent do matematyki, łaciny oraz greki. Ze zdecydowanie najlepszym wynikiem zdał Tripos, egzamin matematyczny, który bardzo ceniono. Potem przez dwa lata był profesorem katedry Lucasa – tak jak kiedyś Newton. Katedra ta nie przynosiła jednak wówczas dochodów, płacono 99 funtów rocznie, podczas gdy Airy jako młodszy tutor zarabiał 150. Namówiono go jednak, aby się o nią ubiegał ze względów wizerunkowo-prestiżowych. Szczerze mówiąc, katedra podupadła, Airy był pierwszym liczącym się profesorem na niej od czasów Newtona. Kiedy poinformowano go, że profesor katedry Plume’a („astronomia i filozofia eksperymentalna”) czuje się niezbyt dobrze i zapewne długo nie pociągnie, Airy zaczął się starać o tę posadę. Zdobył ją, kiedy się zwolniła drogą naturalną, przy okazji wydębiając od uniwersytetu podwyżkę z 300 do 500 funtów. W ten sposób został astronomem, do jego obowiązków bowiem należało kierowanie obserwatorium uniwersyteckim. Airy potrzebował pieniędzy: studia dawały mu możliwość awansu, nie upierał się, że musi być uczonym, ale skoro los tak chciał, to nim został. Pragnął też się ożenić, do czego również potrzebował pieniędzy. Był niezwykle pracowity, dobrze zorganizowany, sumienny, nie wyrzucał żadnych papierów, zszywał je, tworząc do nich system odnośników. Codziennie tłumaczył jakiś kawałek z angielskiego na łacinę. Optyką zajął się jako nauką pomocniczą astronomii. Odkrył we własnym wzroku wadę, zwaną dziś astygmatyzmem i jako pierwszy starał się ją skorygować specjalnymi soczewkami. Ogłosił drukiem 518 krótszych prac oraz kilka książek. Nie był wielkim uczonym, ale sporo osiągnął. Nie wszyscy muszą być twórczy i mieć szalone pomysły, nauka do codziennego funkcjonowania potrzebuje ludzi pracowitych i kompetentnych.

W 1834 roku Airy przedstawił w Cambridge Philosophical Society pracę na temat ugięcia światła na kołowym otworze. Sam chyba nie rozumiał wówczas, że rozstrzygnął fundamentalny problem astronomii: jakie najmniejsze kąty można rozróżnić posługując się przyrządem optycznym o danej średnicy – jego wynik dotyczy oka ludzkiego, aparatów fotograficznych, teleskopów, mikroskopów itd. Airy urodził się mniej więcej wtedy, gdy Thomas Young zaproponował falową teorię światła. Została ona rozwinięta niezależnie przez Augustine’a Fresnela. Fale mogą ze sobą interferować, to znaczy, gdy do jakiegoś obszaru docierają np. dwie niezależne fale, zaobserwujemy ich sumę. Fala wyjściowa może być silniejsza (interferencja konstruktywna)

constructive

Może też wystąpić interferencja destruktywna, w szczególnym przypadku, wypadkowa może być równa zeru.

destructive

Na obu rysunkach fala niebieska jest sumą zielonej i czerwonej. Oba rysunki możemy traktować albo jako zrobione w funkcji czasu w jednym miejscu, albo jako migawkowe zdjęcia fali w przestrzeni w pewnym określonym momencie. Ponieważ fala to przesuwające się z pewną prędkością drganie, zależności przestrzenne można przełożyć na czasowe i odwrotnie.

Rozważmy najpierw dyfrakcję na wąskiej długiej szczelinie. Z lewej strony dociera fala płaska, za szczeliną rozchodzi się fala nieco rozmyta pod względem kierunku (powierzchnie falowe są prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali).

Wave_Diffraction_4Lambda_Slit

Wikipedia: Diffraction

Jakie będzie kątowe rozmycie fali ugiętej? Mamy do dyspozycji dwie wielkości: \lambda – długość fali oraz d. Można z nich utworzyć kąt w radianach, które są bezwymiarowe (iloraz długości luku i promienia): \lambda/d. Prawdopodobnie nasz kąt będzie w przybliżeniu równy temu ilorazowi z dokładnością do jakegoś czynnika czysto liczbowego (odwrotny iloraz nie zachowywałby się dobrze przy \lambda\rightarrow 0, gdy dyfrakcja powinna być niewidoczna; gdyby fale miały zerową długość, wystarczyłaby do wszystkiego optyka geometryczna i wyobrażanie sobie światła jako promieni).

Właśnie to rozmycie w kierunkach ogranicza zdolność rozdzielczą. Soczewka teleskopu czy oka nie zmienia tego faktu. Bez dyfrakcji działanie soczewki wyglądałoby tak:

Lens_and_wavefronts

Wikipedia: Lens

Jeśli kierunki za soczewką (otworem) są rozmyte, to obraz w ognisku nie będzie punktowy, lecz będzie stanowił plamkę. Dlatego w dalszym ciągu zostawiamy soczewki, ponieważ nie one są tu istotne, lecz rozważamy szczelinę – w tym zjawisku liczy się fakt, że soczewka jest otworem, a nie np. z czego jest wykonana itp. Żeby obliczyć falę docierającą do jakiegoś punktu, można posłużyć się zasadą Huygensa: każdy punkt czoła fali jest źródłem kulistych fal. Należy wszystkie te fale dodać do siebie, co w przypadku szerokiej szczeliny oznacza całkowanie, ale obejdziemy się bez niego. W  przejściu przez szczelinę źródłami fal są wszystkie jej punkty. Jeśli punkt obserwacji znajduje się daleko, to fale cząstkowe będą biegły praktycznie równolegle do siebie. W kierunku prostopadłym do czoła fali padającej (kąt \theta=0) wszystkie fale cząstkowe mają tak samo daleko, więc będą się dodawać konstruktywnie: na wprost naszej szczeliny pojawi się maksimum natężenia fali. Jeśli nasz punkt obserwacji będzie nieco z boku, jedne fale będą miały dalej, drugie bliżej, więc w wyniku interferencji powstanie fala o nieco mniejszej amplitudzie: składowe fale nieco się „rozjeżdżają”, nie wszystkie drgają w tej samej fazie. Dla jakiego kąta \theta pojawi się pierwsze minimum natężenia? Sytuację przedstawia rysunek.

destruktywna

Skrajne fale elementarne z dwóch końców szczeliny mają teraz różnicę odległości równą \lambda – czyli długość fali. Te skrajne fale będą się więc wzmacniać, co jednak z resztą? Możemy naszą szczelinę podzielić w myślach na połowy i rozpatrywać pary fal, jak na rysunku. Różnica odległości między nimi to dokładnie \frac{1}{2} \lambda, a więc będą interferować destruktywnie, dając w wyniku zerowe natężenie. Ponieważ dla każdej fali z górnej połówki szczeliny możemy znaleźć drugą w dolnej połówce, która ją unicestwi, więc w efekcie dostaniemy zero: minimum natężenia. Kąt, dla którego wystąpi owo minimum spełnia warunek widoczny z rysunku:

\sin\theta=\dfrac{\lambda}{d}.\mbox{ (*)}

Dla małych kątów sinus można zamienić kątem (w radianach; 2\pi\, \mbox{rd}=360^{\circ}). Mamy więc

\theta \approx\dfrac{\lambda}{d}.

Natężenie za szczeliną przedstawia wykres.

sincsquared

Pierwsze minimum występuje dla kątów spełniających warunek (*). Większa cześć światła pojawi się jako jasny środkowy prążek, obok którego wystąpią mniej jasne prążki poboczne. Kiedy możemy rozróżnić dwie fale przybiegające z lewej strony pod różnymi kątami? Za graniczną sytuację uważa się taką, jak poniżej: główne maksimum jednej fali przypada na minimum drugiej (to tzw. kryterium Rayleigha).

rayleigh

Co się zmieni, gdy zamiast szczeliny weźmiemy okrągły otwór. To zadanie w sam raz dla Senior Wranglera (zwycięzcy Tripos). Wynik nie wyraża się przez funkcje elementarne, lecz przez funkcje Bessela. Airy obliczył je numerycznie, co w tamtych czasach – bez Wolfram Alpha, Mathematiki, Sage’a itd. – było niewyobrażalnie pracochłonne, a dziś można to liczyć w przeglądarce. Obraz jakościowo się nie zmienił. Oczywiście, będzie miał symetrię osiową, teraz będziemy mieli środkową jasną plamkę (plamkę Airy’ego), otoczoną pierścieniami.

283px-Airy-pattern.svg

Wikipedia: Airy disk

Kąt do pierwszego minimum wynosi dokładnie

\sin\theta=1,22 \, \dfrac{\lambda}{d}.

Możemy teraz obliczyć zdolność rozdzielczą fotografii satelitarnych. Oznaczmy przez x długość najmniejszego obiektu, który chcemy rozróżnić; niech nasz satelita krąży na wysokości h, wówczas kąt \theta będzie równy

\theta= \dfrac{x}{h}.

Podstawiając h=500 \mbox{ km}, d=2,5 \mbox{ m} (więcej niż teleskop Hubble’a!) oraz biorąc długość fali żółtego swiatła \lambda=0,6 μm, otrzymujemy

x=1,22 \, \dfrac{\lambda h}{d}\approx 0, 15 \mbox{ m}

Obliczyliśmy mniej więcej graniczną wartość „piksela” na zdjęciu satelitarnym. Rzeczywiste rozmiary piksela obecnych satelitów cywilnych są kilkukrotnie większe. Nie ma mowy o rozróżnianiu twarzy. Problem stanowi średnica naszego obiektywu. Większe wartości niż kilka metrów są zdecydowanie niepraktyczne. Można posłużyć się np. dwoma mniejszymi obiektywami, które będą dość daleko od siebie, np. w odległości 10 m albo i dużo więcej, i łączyć ich obrazy. Astronomowie używają czegoś takiego, więc pewnie i wojskowi mogą. Wciąż jednak mało prawdopodobne, aby stosować sprzęt tego rodzaju do sfotografowania paru celebrytów, których można bez problemu sfotografować z odległości kilku metrów.

Dyfrakcyjne ograniczenie zdolności rozdzielczej jest problemem w pewnych sytuacjach, choć astronomowie na Ziemi większy kłopot mają z ruchami atmosfery, które poruszają obrazem i zamazują go przy dłuższej ekspozycji. Rozumiejąc zjawiska dyfrakcyjne, można częściowo oczyścić z nich obraz za pomocą odpowiednich procedur matematycznych, ale niełatwo osiągnąć jakąś zdecydowaną poprawę.

Ugięcie światła gwiazd w pobliżu Słońca (Praga 1911-Berlin 1915, z Zurychem po drodze)

W Pradze Einstein wrócił po kilkuletniej przerwie do problemu grawitacji. Pierwszą pracą opublikowaną w Pradze było obliczenie kąta odchylenia promienia światła przechodzącego w pobliżu Słońca. Przewidywana wartość wynosiła 0,87 sekundy kątowej i można było mieć nadzieję, że astronomowie będą potrafil zmierzyć ten niewielki kąt. Rozważania Einsteina nad polem grawitacyjnym w teorii względności znalazłyby wówczas oparcie w obserwacjach.
Czemu światło w polu grawitacyjnym miałoby się odchylać? Odpowiedź na to pytanie była łatwa aż do początku wieku XIX. Uważano bowiem wtedy za Newtonem, iż światło jest strumieniem cząstek o wielkiej prędkości. Byłoby więc naturalne, że cząstki owe są przyciągane przez Słońce, tak samo jak każdy inny rodzaj materii. Wielkość takiego ugięcia obliczyli Johann Georg von Soldner (1804), a przed nim Henry Cavendish (ok. 1784, niepublikowane), w którego papierach znaleziono ścisły wzór na odchylenie cząstki poruszającej się po orbicie hiperbolicznej. Promienie biegnące przy krawędzi Słońca powinny odchylać się o 0,87 sekundy kątowej. Jak obliczyć wielkość Newtonowską odchylenia, pokazuję tutaj.

Jednak od początku XIX wieku światło uważano za falę i nie było widać żadnego konkretnego powodu, by grawitacja zakłócała bieg takich fal. A ponieważ kąt 0”,87 jest bardzo niewielki, więc nie próbowano nawet sprawdzić obserwacyjnie, czy efekt ten istnieje. Praca Soldnera została całkowicie zapomniana.

Punktem wyjścia Alberta Einsteina była zasada równoważności, spostrzeżenie, które uważał później za najszczęśliwszą myśl swego życia. Chodziło o związek pola grawitacyjnego z przyspieszeniem. Jeśli znajdziemy się w statku kosmicznym, który nie ma włączonych silników, doznajemy stanu nieważkości: wewnątrz naszego statku grawitacja jest „wyłączona”. Dokonując obserwacji w kabinie takiego statku, zauważymy, że obowiązuje w nim I zasada dynamiki: ciała, na które nie działają żadne siły, poruszają się ruchem jednostajnym i prostoliniowym. Inaczej mówiąc, układ odniesienia związany ze statkiem kosmicznym jest układem inercjalnym. Teoria względności sformułowana przez Einsteina w roku 1905 dotyczyła właśnie takich układów odniesienia. Zasada równoważności mówi także, że kiedy włączymy silniki naszego statku kosmicznego i zaczniemy poruszać się z przyspieszeniem, astronauta odczuje to jako „włączenie” pola grawitacyjnego. Promień światła biegnący prostoliniowo w układzie inercjalnym, w układzie przyspieszonym będzie się zakrzywiał. A ponieważ układ przyspieszony jest fizycznie równoważny polu grawitacyjnemu, więc należy oczekiwać, że w polu grawitacyjnym promień światła ulegnie zakrzywieniu.

Lokalne zakrzywienie promienia będzie zresztą dokładnie takie, jakby światło było newtonowską cząstką w polu grawitacyjnym. Można do niego zastosować wzór opisujący zwykły rzut paraboliczny (*). Einstein w roku 1911 zastosował zasadę równoważności w połączeniu z geometrią euklidesową, ponieważ aż do listopada 1915 roku nie zdawał sobie sprawy, że w zagadnieniu tym ważne okaże się także zakrzywienie 3-przestrzeni.

W przypadku fali zmiana kierunku wiąże się ze zmianą prędkości rozchodzenia. Einstein musiał więc przyjąć, że zasada stałości prędkości światła w próżni – jeden z fundamentów szczególnej teorii względności – nie obowiązuje w sposób absolutnie ścisły. Prędkość światła miała się nieco zmieniać zależnie od położenia w polu grawitacyjnym. Zależność była następująca:

c(h)\approx c(0)\left(1+\dfrac{ah}{c^2}\right),

tzn. na wysokości h prędkość światła jest nieco większa. Wielkość ah jest to potencjał pola grawitacyjnego – wielkość, która pomnożona przez masę m cząstki daje jej energię potencjalną (w polu o przyspieszeniu grawitacyjnym a energia potencjalna równa jest mah). Naruszając przyjętą wcześniej przez siebie samego zasadę stałości prędkości światła, Einstein wykazywał się odwagą, której nie brakowało mu także i później, nie był nigdy niewolniczo przywiązany do własnych pomysłów. W tym przypadku pakował się w kłopoty, które dopiero stopniowo sobie uświadamiał. Szczególna teoria względności była zbyt ważna, by ją poświęcać. Intuicja mówiła mu jednak, że także zasada równoważności powinna być słuszna. Zgodnie z nią, światło wysłane do góry w polu grawitacyjnym powinno mieć w punkcie odbioru częstość mniejszą niż w punkcie wysłania. Częstość to liczba okresów w jednej sekundzie, a więc jedna sekunda na górze zawiera mniej okresów fali niż na dole. Sekunda jest więc na górze krótsza, a odmierzany takimi sekundami czas płynie szybciej. Mamy tu do czynienia z dwoma rodzajami czasu.

Pierwszym jest czas własny mierzony np. za pomocą zegara atomowego, czyli częstości jakiejś określonej linii widmowej. Światło biegnące z dołu do góry w polu grawitacyjnym będzie miało tak mierzoną częstość mniejszą u góry niż miało w chwili wysłania na dole.

Drugim rodzajem czasu jest współrzędna czasowa. Jeśli pole grawitacyjne jest statyczne, to odstępy czasu mierzone współrzędną czasową (za pomocą czasu współrzędnościowego, jak się czasem mówi) między jednakowymi sygnałami (cząstkami) wysyłanymi w punkcie 0 i odbieranymi w punkcie h powinny być jednakowe. Kiedy popatrzymy na wykres czasoprzestrzenny (poniżej), stanie się jasne dlaczego. W sytuacji statycznej linia świata cząstki nie powinna zależeć od tego, w jakiem momencie zostanie ona wysłana, bo fizyka nie zależy od czasu. mamy więc taką samą krzywą przesuniętą jedynie w czasie (współrzędnościowym). Takie liczenie czasu ma sens, jeśli chcemy porównywać, co dzieje się w różnych punktach.

Z rysunku widać, że okres (i częstość) światła mierzony czasem współrzędnościowym będzie taki sam na każdej wysokości. Aby pogodzić te dwa sposoby liczenia czasu, musimy przyjąć, że odstęp czasu własnego \Delta\tau odpowiadający danemu \Delta t jest na wysokości h równy

\Delta\tau=\Delta t \left(1+\dfrac{ah}{c^2}\right).

Pole grawitacyjne zmienia więc przelicznik jednego czasu na drugi. Czas współrzędnościowy związany jest z globalną sytuacją, umożliwia nam porównania miedzy różnymi punktami, nie mierzymy go bezpośrednio. Czas własny natomiast to będzie zawsze czas mierzony w danym punkcie za pomocą standardowego zegara. Prędkość światła wyrażona w czasie własnym jest zawsze równa c i tego nie zmienia żadne pole grawitacyjne. Natomiast prędkość światła wyrażona za pomocą współrzędnej czasowej może zmieniać się od punktu do punktu i tak należy rozumieć wzór wyżej opisujący zmiany prędkości światła.

W pierwszej pracy wysłanej z Pragi odchylenie promienia świetlnego obliczone jest na podstawie zasady Huyghensa: każdy punkt czoła fali jest źródłem nowej fali kulistej, a obwiednia tych wszystkich fal kulistych staje się nowym czołem fali. Skoro prędkość fali zależy od położenia, jej czoło musi zmienić kierunek.

Można na efekt ten patrzeć jak na skutek przyciągania grawitacyjnego, ale Einstein zapoczątkował tu nowe podejście: prędkość światła się zmienia, bo zmienia się przelicznik czasu globalnego (umożliwiającego porównania) na lokalny (który mierzymy obserwując zjawiska w pewnym miejscu). Inaczej mówiąc, światło biegnie nadal po krzywej najkrótszego czasu, ale przestrzeń stała się czymś w rodzaju ośrodka o zmiennym współczynniku załamania. Odchylenie od prostoliniowości toru jest więc podobne do tego, co obserwuje się w zjawiskach takich jak miraże w rozgrzanym powietrzu nad drogą (albo pustynią).

Przewidywany efekt był niewielki, ale można było mieć nadzieję na jego wykrycie podczas zaćmienia Słońca (gdy widać gwiazdy blisko tarczy naszej gwiazdy). Tak się rzeczywiście stało, ale dopiero w roku 1919. Wcześniej Einstein zbudował, zburzył i zbudował na nowo swoją teorię grawitacji, czyli ogólną teorię względności. Okazało się przy okazji, że w Pradze widział sprawy zbyt prosto. Nawet w przypadku stosunkowo słabego pola grawitacyjnego Słońca należy bowiem uwzględnić także zakrzywienie przestrzeni. Matematycznie wygląda to następująco. Dla dwóch zdarzeń w czasoprzestrzeni Minkowskiego (szczególna teoria względności) odległych o \Delta t, \, \Delta x, \, \Delta y, \, \Delta z, kwadrat odległości \Delta s ma postać

\Delta s^2=c^2 \Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2.

Oznacza to m.in., że dla zdarzeń, które można połączyć sygnałem świetlnym \Delta s=0, a to z kolei pociąga za sobą równość

\left(\dfrac{\Delta x}{\Delta t}\right)^2+ \left(\dfrac{\Delta y}{\Delta t}\right)^2+  \left(\dfrac{\Delta z}{\Delta t}\right)^2 =c^2.

Jest to po prostu twierdzenie Pitagorasa dla składowych prędkości światła, jej wartość zawsze równa się c -pewnej stałej fizycznej. Podejście praskie oznaczało, że kwadrat odległości czasoprzestrzennej ma postać:

\Delta s^2=(c^2+2\Phi) \Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2,

gdzie \Phi jest potencjałem grawitacyjnym, czyli uogólnieniem ah z wyrażeń wyżej. Teraz kwadrat prędkości światła jest równy

c^2\left(1+\dfrac{2\Phi}{c^2}\right),

a sama prędkość

c\left(1+\dfrac{\Phi}{c^2}\right).

Przyjmujemy tutaj, że \Phi\ll c^2, co znaczy, że pole grawitacyjne nie jest bardzo silne. Co się zmieniło w ostatecznej, berlińskiej, wersji teorii Einsteina? Odległość czasoprzestrzenna przybrała postać:

\Delta s^2=(c^2+2\Phi) \Delta t^2-\left(1-\dfrac{2\Phi}{c^2}\right)(\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2).

Czynnik, który pojawił się przed współrzędnymi przestrzennymi, daje zakrzywienie 3-przestrzeni. Jeśli teraz obliczymy prędkość światła (tak jak wyżej z warunku ds=0), dostaniemy wartość

c\left(1+\dfrac{2\Phi}{c^2}\right).

Dodatkowa dwójka w liczniku daje dwukrotnie większy efekt zakrzywienia toru światła, co Einstein skonstatował ze sporym zdziwieniem. Tę właśnie podwojoną wartość (1,74 sekundy kątowej przy tarczy Słońca) zmierzył w roku 1919 Arthur Eddington. Nowa teoria nie tylko zupełnie inaczej opisywała świat (zamiast siły grawitacji inna geometria czasoprzestrzeni), ale też przewidywała inny wynik obserwacyjny. Okazało się to bardzo ważne dla akceptacji nowej teorii, zapoczątkowało też ogromną sławę uczonego, która w jakiś sposób trwa po dziś dzień.

Więcej o Einsteinowskiej teorii grawitacji.

(*) Jak zwrócili uwagę Jürgen Ehlers i Wolfgang Rindler (General Relativity and Gravitation, 29, No. 4 (1997), 519-529.

Grawitacja: Newton na ramionach Hooke’a? (1679-1680) (2/2)

Newton zastał list Hooke’a po powrocie do Cambridge. Ostatnie pół roku spędził w swych stronach rodzinnych w Lincolnshire: w czerwcu zmarła jego matka, potem porządkował różne sprawy spadkowe. W odpowiedzi napisał Hooke’owi, że nie zajmuje się prawie wcale „filozofią” (czyli naukami ścisłymi): „moje upodobanie do filozofii wygasło i obchodzi mnie ona równie mało, jak kupca obchodzą cudze interesy albo wieśniaka – nauka”. Zapewne nie udawał, wprawdzie śmierć matki nie była dla niego takim wstrząsem, jak sądzili niektórzy biografowie, ale pochłonęły go sprawy praktyczne, a w poprzednich latach więcej się zajmował teologią i alchemią niż matematyką czy fizyką. Odkąd wyjaśniło się, że nie musi mieć święceń, by pozostać w Trinity College, żył trochę jak na obcej planecie, pochłonięty wyłącznie własnymi myślami i badaniami, które dotyczyły kwestii takich, jak pochodzenie dogmatu Trójcy św. (uważał go fałszerstwo historyczne św. Atanazego), sens Apokalipsy albo zrozumienie pewnych procesów (al)chemicznych. Zaproponował jednak Hooke’owi eksperyment mogący wykazać ruch obrotowy Ziemi. Wyobraźmy sobie ciało swobodnie spadające z pewnej wysokości nad Ziemią na równiku. Ponieważ prędkość ruchu wirowego na tej wysokości jest większa, niż na powierzchni, więc ciało powinno względem Ziemi odchylić się od pionu i spaść nieco na wschód (dziś mówimy o przyspieszeniu Coriolisa). Newton zamieścił rysunek krzywej zakreślonej przez takie ciało (względem obracającej się Ziemi).

Torem ciała jest ADE, z bliżej nieznanego powodu tor przedłużony został pod powierzchnią Ziemi.

Hooke zareagował, poprawiając rysunek Newtona. Otóż jego zdaniem tor wyglądałby następująco:

W istocie mamy tu dwa różne tory: zamknięty AFGHA (wariant bez oporu ośrodka) oraz spiralny AIKLMNOC (wariant z oporem ośrodka). Hooke wyobrażał sobie, że rozcinamy Ziemię na dwie połowy wzdłuż równika, a następnie obie połówki nieco rozsuwamy i pozwalamy ciału krążyć w tej wolnej przestrzeni. Jego modelem eksperymentalnym było wahadło stożkowe. Różnica między obrazkami Hooke’a i Newtona częściowo bierze się stąd, że tor u Hooke’a jest narysowany z nieobracającego się układu odniesienia – dlatego prędkość początkowa jest styczna do równika. Jak pokazał Derek Whiteside, oba tory są dość podobne (w wariancie z oporem ośrodka).

Z kolei zareagował Newton, przedstawiając tor, jaki jego zdaniem zakreśli ciało w przypadku, gdy grawitacja jest stała, niezależna od odległości od środka Ziemi (w układzie nieobracającym się).

Tor miał być krzywą niezamkniętą z kolejnymi apocentrami A, H i K tworzącymi kąt większy od kąta prostego. Szkic ten uzyskany został wykreślnie za pomocą metody, której Newton nie opisał. Stwierdził też, że gdy grawitacja rośnie wraz ze zbliżaniem się do środka, można otrzymać także spiralę.

Hooke sprawdził eksperymentalnie, jaki kształt toru otrzymamy w tym przypadku, obserwując kulkę krążącą po powierzchni odwróconego stożka: rzeczywiście tor ma kształt rozety. Stwierdził też, że krzywa z jego listu dotyczyła nie grawitacji niezależnej od odległości, ale rosnącej jak 1/r^2 (r jest odległością od Środka Ziemi C). Podkreślił przy tym, że w bardziej realistycznym przypadku ruchu wewnątrz Ziemi, grawitacja będzie raczej rosnąć wraz z odległością r, a nie spadać. Raz jeszcze zadał pytanie, jaką krzywą zakreśli ciało w przypadku takiej grawitacji i braku oporu ośrodka.

Na pytanie to nie doczekał się odpowiedzi. Chyba że za odpowiedź uznamy Matematyczne zasady filozofii przyrody. Odpowiedź ta była nieco spóźniona: Newton zajął się pracą nad swym arcydziełem dopiero od jesieni 1684 roku. W okresie między początkiem 1680 a 1684 spostrzegł, że pomysł Hooke’a ma sens, gdyż otrzymuje się w ten sposób elipsy Keplerowskie. Nie uważał tego spostrzeżenia za coś bardzo istotnego, być może najpierw potraktował je jako pewną matematyczną fantazję niekoniecznie odpowiadającą ściśle empirycznej prawdzie. Wymiana z Hookiem była cokolwiek abstrakcyjna i zaświatowa, przypominała kwestię rozważaną przez średniowiecznych filozofów: co się stanie, jeśli do tunelu przechodzącego przez Ziemię na wylot wrzucimy kamień? Czy kamień zatrzyma się w środku Ziemi, czy też może wróci do nas po takim czasie co Gagarin po okrążeniu Ziemi?

Gdy podczas pisania Matematycznych zasad doszły go słuchy, że Hooke rości sobie prawa do zależności 1/r^2, zdenerwował się na tyle że usunął z dzieła wzmianki dotyczące Hooke’a.

Cóż, Isaac Newton nie był wielkoduszny, nie chciał i nie potrafił negocjować społecznie w celu osiągnięcia kompromisu. Mógł być okaleczony psychicznie, matka zostawiła go w dzieciństwie z powodu nowego związku, bez wątpienia był niezwykle zamkniętym i żyjącym we własnym świecie człowiekiem. Zazdrośnie pilnował swoich zabawek.

Ale też zawdzięczał Hooke’owi dużo mniej, niż sądził tamten. Ponieważ Newton obsesyjnie zapisywał swoje rozważania, poprawiał je i przepisywał bez końca i zostawił mnóstwo rękopisów, wiemy sporo na temat jego naukowego rozwoju. Przed 1687 r. nie opublikował nic z mechaniki, bo nie zadał sobie trudu zebrania swych wyników, które były niebagatelne.

Jednym z najwcześniejszych, jeszcze z lat sześćdziesiątych, było obliczenie siły odśrodkowej (później opublikował zbliżone rozważania Christian Huygens). Pierwsze rozumowanie było bardzo proste: wyobraźmy sobie ciało odbijające się sprężyście od powierzchni bocznej walca w taki sposób, że jego tor jest wielokątem foremnym.

Kolejne zmiany pędu ciała są skierowane do centrum. Patrząc na rysunek z prawej strony, widzimy, że suma owych zmian pędu \Sigma \Delta p odpowiada długości wielokąta, gdy pęd jest promieniem okręgu opisanego na wielokącie. Wobec tego stosunek obu wielkości, gdy liczba boków rośnie nieograniczenie dąży do stosunku długości okręgu do jego promienia:

\dfrac{\Sigma \Delta p}{p}\rightarrow 2\pi.

Jest to inna postać wzoru na siłę dośrodkową F_{d} (mówiąc językiem współczesnym, ponewtonowskim):

F_{d}=\dfrac{\Sigma \Delta p}{T}=\dfrac{2\pi p}{T}=\omega p=\dfrac{mv^2}{R}.,

gdzie T,\omega,m,R są odpowiednio okresem, prędkością kątową, masą i promieniem okręgu.

Kilka lat później wyprowadził Newton tę zależność nieco inaczej. Zastosował ją też w połączeniu z III prawem Keplera, by wywnioskować, że siła odśrodkowa w ruchu planet wokół Słońca powinna być jak 1/r^2. Przeprowadził też test Księżycowy, który dał zły wynik z powodu błędnej wartości promienia Ziemi. To nie wszystko: rozwijając swoją metodę fluksji, znalazł wyrażenie na promień krzywizny, gdy znane jest równanie krzywej. Tor w kształcie rozety obliczył prawdopodobnie, wykorzystując wyrażenie dla siły dośrodkowej

F_d=\dfrac{mv^2}{\varrho}=F\sin\alpha,

skąd można obliczyć promień krzywizny, a następnie zbudować krzywą z kolejnych łuków okręgów krzywizny.

Najprawdopodobniej Hooke nie zrozumiałby tej metody, gdyby Newton mu ją przedstawił. W każdym razie daleko mu było do samodzielnego obliczenia kształtu toru w którymkolwiek przypadku.

Jak się zdaje, największym wkładem Hooke’a w odkrycie grawitacji był sam pomysł. Newton wrócił do niego na dobre dopiero w 1684 roku. Patrząc z dzisiejszego punktu widzenia, dziwimy się nieco: wszystkie składniki były już pod ręką, należało je tylko ułożyć we właściwy sposób. Od strony technicznej najważniejszym krokiem było dla Newtona spostrzeżenie, że siła skierowana ku centrum oznacza prawo pól. Wyobraził sobie, że siła działa impulsowo, w stałych odstępach czasu dodając pewien pęd zwrócony ku centrum. Wówczas pola zakreślane przez promień wodzący planety będą w każdym odcinku czasu jednakowe.

Dzięki temu twierdzeniu Newton nie tylko zrozumiał, jaki jest głębszy sens prawa pól Keplera, ale także uzyskał narzędzie pozwalające wprowadzić do geometrii ruchu czas. Należało po prostu wyrażać czas przez pola zakreślane przez poruszające się ciało. Twierdzenie to znalazło się na początku Matematycznych zasad. Niewykluczone też, że Newton przyglądał się różnym ruchom, korzystając z takiej konstrukcji. W taki właśnie sposób oblicza się tory cząstek za pomocą komputerów – możemy dziś oczywiście wykonać znacznie więcej kroków, co oznacza, że możemy wybrać odpowiednio mały krok czasowy.

Orbity ciała w stałym co do wartości polu, a więc odpowiadające przybliżonym wynikom Newtona uzyskanym z promienia krzywizny.

Już w trakcie wymiany listów z Hookiem zauważył Newton prawdopodobnie, że dla siły zmieniającej się jak 1/r^3 torem jest spirala.

W roku 1684 wiedział już, że torem w przypadku siły 1/r^2 rzeczywiście jest Keplerowska elipsa albo inna krzywa stożkowa, jak podejrzewał Robert Hooke. Metoda matematyczna zastosowana przez Newtona nie była jednak rachunkiem różniczkowym i całkowym w znanej nam postaci, lecz przeniesieniem pojęć granicy na geometrię syntetyczną. Wyglądało to np. tak.

Pokażemy jeszcze, jak promień krzywizny wraz z prawem pól pozwala rozwiązać zagadnienie ruchu w polu sił centralnych (tak ostatcznie przyjęło się nazywać siły skierowane wzdłuż promienia wodzącego, przyciągające bądź odpychające).

Rysunek przedstawia realizację idei Hooke’a: ruch prostoliniowy wzdłuż stycznej PR składamy ze spadaniem wzdłuż promienia wodzącego o wektor RQ=PQ’. Kąt d\phi jest infinitezymalny.

QR=\dfrac{F dt^2}{2},

gdzie dt jest odstępem czasu i masa równa jest 1, czyli siła = przyspieszenie). Pole wycinka SQP jest proporcjonalne do czasu hdt/2 (h jest stałą proporcjonalności). Przybliżając to pole polem trójkąta SQP, otrzymujemy

F={\displaystyle \lim_{dt\rightarrow 0}}\,\dfrac{2 h^2 QR}{SP^2\times QT^2}.

Rozwijając r(\phi+d\phi) w szereg Taylora do wyrazów kwadratowych w d\phi oraz obliczając z taką dokładnością ST i Q’T otrzymujemy

F=\dfrac{h^2}{r^2}\left(\dfrac{1}{r}+\dfrac{d^2}{d\phi^2}\dfrac{1}{r}\right).

W przypadku siły zależnej od odległości jak k/r^2 nawias musi być stałą niezależną od r, co oznacza, że

\dfrac{1}{r}=\cos\phi+\dfrac{k}{h^2}.

Jest to równanie stożkowej. Newton nie traktował tego w taki sposób, stosowanie algebry i symboli funkcji cosinus jest w tym kontekście anachronizmem, chodzi nam tu jednak o sens matematyczny operacji, a nie wierność historycznym formom zapisu.

Na koniec zauważmy, że ostatnie wyrażenie dla siły możemy porównać z wartością siły dośrodkowej. Otrzymamy w ten sposób wzór na krzywiznę krzywej we współrzędnych biegunowych

\varrho=\dfrac{1}{\sin^3\alpha}\left(\dfrac{1}{r}+\dfrac{d^2}{d\phi^2}\dfrac{1}{r}\right).

Otrzymał go Newton w latach siedemdziesiątych. Potem stopniowo oddalał się od zapisów algebraicznych, pisząc Matematyczne zasady nie stosował go wprost, ale z pewnością rozumiał sens geometryczny takich wyrażeń. Niestosowanie układów współrzędnych i rozbudowanej algebry było jego wyborem. We współczesnych podręcznikach pojawia się równanie toru zapisane przez drugą pochodną 1/r, zwykle nie zwraca się przy tym uwagi, że owe formalne manipulacje symbolami mają geometryczny sens krzywizny.

 

Grawitacja: Newton na ramionach Hooke’a? (1679-1680) (1/2)

„Jeśli dalej sięgnąłem wzrokiem, to dlatego że stałem na ramionach olbrzymów” – pisałem jakiś czas temu o debacie, w której Newton użył tego określenia. Chodziło tam o optykę i profesor z Cambridge wyraził się z pewną retoryczną przesadą. Jeśli miał naukowy dług wdzięczności wobec Roberta Hooke’a, to raczej w kwestii grawitacji. Prawo ciążenia było największym osiągnięciem Newtona i zapewne największym odkryciem w dziejach nauki, epoka nowożytna – nasza epoka – zaczęła się właśnie wtedy, na dobre i złe. Hooke głosił ideę grawitacji poruszającej planety przed Newtonem, choć nie potrafił przekuć jej w matematyczne dowody. Myśl, że może komuś coś zawdzięczać, a w dodatku tym kimś ma być kłótliwy i namolny Robert Hooke, doprowadzała Newtona do białej gorączki.

Umiejętność stawania na ramionach poprzedników stanowi główną siłę naszego gatunku. Metaforę takiej wertykalnej sztafety pokoleń napotykamy nie tylko w tekstach, ale i w sztuce, np. na witrażach katedry w Chartres.

Tutaj Ewangeliści stoją (boso, z iście ewangeliczną prostotą, nie jak dzisiejsi biskupi) na ramionach tych proroków starotestamentowych, którzy mieli ich zapowiadać zgodnie ze średniowieczną teologią (Ezechiel św. Jana, Daniel – św. Marka itd). Idea postępu, rozwijania się w czasie wywodzi się zresztą z chrześcijaństwa, choć jej głównym przykładem stały się od XVII wieku nauka i technologia. O postępie społecznym, moralnym, politycznym – we wszystkich obszarach, gdzie ujawnia się tzw. natura ludzka – lepiej zamilczeć. Mamy, niestety, więcej z szympansów zwyczajnych niż z bonobo. Czy samcza agresja jest jakoś sprzężona z twórczością intelektualną? Widzimy, że małpy potrafiące posługiwać się iphonem i twitterem mogą stać się tym bardziej niebezpieczne dla przyszłości naszego gatunku.

Jednym z przejawów walki o status osobnika alfa są w nauce spory o priorytet odkrycia. Zdaniem Roberta K. Mertona, klasyka socjologii, chodzi też o coś więcej. Naukowe uznanie, ranga uczonego, jest nagrodą za oryginalność badań, a ta nie może być podrabiana. Wszyscy stoją więc na ramionach kolegów, ale kłócąc się zawzięcie o rozmiary własnej postaci na witrażu.

Gresham College i narożnik, w którym mieszkał Robert Hooke (9), na dachu widać daszek jego obserwatorium (8), w którym zamontował nieruchomy zenitalny teleskop do obserwacji paralaksy rocznej. Twierdził, że ją wykrył, wiemy, że to nieprawda. Efekt był mniejszy, niż wtedy sądzono, wcześniej wykryto aberrację światła.

Profesor geometrii w Gresham College w Londynie, Robert Hooke był uczonym wybitnym, niezwykle wszechstronnym, zorientowanym zarówno w literaturze naukowej, jak i w praktycznych osiągnięciach rzemieślników budujących zegary, teleskopy, przyrządy miernicze czy nawigacyjne. Zajmował się budową pomp próżniowych, doświadczeniami z gazem, obserwacjami mikroskopowymi, astronomią (odkrył czerwoną plamę na Jowiszu i usiłował zmierzyć paralaksę gwiazdy γ Draconis), urządzeniami mechanicznymi, dokonał ważnych obserwacji biologicznych i paleontologicznych, zbudował wychwyt kotwicowy – ważny element zegara sprężynowego, miał oryginalną teorię umysłu, a także, co ważne dla nas w tej chwili, głosił pomysł siły przyciągającej między Słońcem i planetami. Wychwyt kotwicowy zbudował też Christiaan Huygens, prawo ciążenia powszechnego sformułował Newton, który potrafił też przedstawić jego liczne zastosowania. W obu przypadkach Hooke usiłował bronić swojego priorytetu, jednak na próżno. Dziś tylko prawo sprężystości upamiętnia tego uczonego, tak ważnego dla Towarzystwa Królewskiego i dla Londynu, to on bowiem obok sir Christophera Wrena był jednym z głównych budowniczych stolicy po wielkim pożarze z 1666 roku. Obserwatorium w Greenwich, sławny Bedlam – szpital dla obłąkanych i wiele innych budowli to jego dzieło. Pomagał też przy niełatwej konstrukcji wielkiej kopuły katedry św. Pawła. Nie zachował się żaden jego portret (niektórzy widzą w tym fakcie przejaw mściwości Newtona, który po śmierci Hooke’a przewodniczył Towarzystwu Królewskiemu), poniżej zamieszczamy coś w rodzaju portretu pamięciowego, sporządzonego zgodnie z opisami powierzchowności uczonego.

`Oba portrety autorstwa Rity Greer, 2006

Próba nawiązania korespondencji z Newtonem w roku 1675 okazała się nieudana i zakończyła się na jednym liście profesora z Cambridge, tym zawierającym metaforę następców stojących na ramionach wielkich poprzedników. Pod koniec 1679 roku Hooke napisał znowu, miał pretekst formalny: został sekretarzem Towarzystwa Królewskiego i do jego obowiązków należała korespondencja w imieniu Towarzystwa. Zapewniał, iż osobiście nie czuje żadnej wrogości i chciał  się dowiedzieć, co Newton sądzi m.in. na temat jego hipotezy, że ruchy planet można uważać za wypadkową ruchu prostoliniowego i ruchu pod wpływem przyciągania w kierunku ciała centralnego. List nie zawiera rysunku, ale hipoteza wyglądałaby mniej więcej tak.

Wiadomo było od czasów Galileusza i Torricellego, że idealną (bez oporu ośrodka) krzywą balistyczną można było uzyskać w podobny sposób.

Mogłoby się wydawać, że jesteśmy już bardzo blisko prawa ciążenia: należy „tylko” ustalić, jak siła ciężkości zależy od odległości od ciała centralnego, a potem skonstruować krzywą według narysowanego przepisu. Ściśle biorąc, należało uważać wektory za nieskończenie małe: planeta nieco się przesuwa wzdłuż stycznej i jednocześnie spada. Matematyka niezbędna do znalezienia krzywej to rachunek różniczkowy i całkowy, odkryty i rozwinięty przez Newtona jeszcze w latach sześćdziesiątych i na początku siedemdziesiątych. Prace te nie były publikowane, mało kto o nich wiedział, a z pewnością nikt nie rozumiał ich głębi i znaczenia. Hooke mógł coś słyszeć o matematycznym geniuszu Newtona, ale z pewnością nie znał szczegółów. Sam był wprawdzie profesorem geometrii, lecz oznaczało to matematykę elementarną potrzebną mierniczym i nawigatorom, którzy uczyli się w Gresham College. Hooke swoje pomysły przedstawił w druku kilka lat wcześniej w postaci trzech założeń.

Pierwsze, że wszystkie ciała niebieskie obdarzone są mocą przyciągającą albo grawitacyjną w kierunku swego centrum, za pomocą której przyciągają nie tylko swoje własne części, nie pozwalając im odlecieć, jak
to obserwujemy na Ziemi, ale że przyciągają także wszystkie inne ciała niebieskie, które znajdują się w obrębie ich sfery aktywności, tak że nie tylko Słońce i Księżyc mają wpływ na ciało i ruchy Ziemi, a Ziemia na nie,
ale także Merkury, Wenus, Mars, Jowisz, Saturn mają dzięki swym mocom przyciągającym istotny wpływ na jej ruch, podobnie jak odpowiednia moc przyciągająca Ziemi ma duży wpływ na każdy z ich ruchów.

Drugie założenie mówi, że wszystkie ciała wprawione w prosty i prostoliniowy ruch będą kontynuować taki ruch po linii prostej, dopóki nie zostaną przez jakieś działające moce odchylone i zmuszone do ruchu po okręgu, elipsie albo jakiejś innej złożonej linii krzywej.

Założenie trzecie mówi, że te moce przyciągające są tym potężniejsze w działaniu, im bliżej ich środka znajdzie się ciało, na które działają. [An Attempt to prove the Motion of the Earth from Observations, London 1674, s. 27-28.]

Zanim przedstawimy reakcję Newtona, zróbmy rzut oka wstecz. W roku 1619 Johannes Kepler podsumował swoje rozumienie ruchów planetarnych, ilustruje je rysunek z Epitome astronomiae Copernicane („Skrót astronomii kopernikańskiej” – w istocie była to astronomia Keplerowska, tylko nieruchomość Słońca wiązała ją z Kopernikiem). Kepler był jednak uczonym wyjątkowo skromnym i tak oryginalnym, że nie potrzebował walczyć o swój priorytet, bowiem współcześni niezbyt rozumiejąc, czego dokonał, niezbyt mu też zazdrościli.

Mamy tu ruch planety po elipsie wokół Słońca w jednym z jej ognisk. Mechanika nieba, która za tym stała, była następująca. Po pierwsze, każde ciało obdarzone było siłą inercji i pozostawione samo sobie zatrzymywało się po chwili. To dynamika przesuwania ciężkiej szafy: pchamy – szafa się przesuwa, przestajemy pchać – szafa staje w miejscu. Dzięki tej zasadzie bezwładności można się było nie obawiać, że planety pospadają na Słońce. Do wytworzenia ich ruchu obiegowego służyła Keplerowi specjalna moc obracająca, rodzaj pola siłowego, którego źródłem było obracające się wokół osi Słońce (Kepler pierwszy upatrywał w Słońcu źródło siły poruszającej planety, dla Kopernika Słońce było po prostu rodzajem lampy centralnie umieszczonej w machinie świata). Im dalej od Słońca znajduje się planeta, tym mniejszą ma prędkość. Drugie prawo Keplera można zapisać jako v_{\perp}\sim 1/r, gdzie v_{\perp} to składowa prędkości prostopadła do promienia wodzącego r. Dziś fakt ten nazywamy zasadą zachowania momentu pędu. U Keplera odpowiadała za to siła. Ponieważ jednak planety poruszają się po ekscentrycznych elipsach, na przemian zbliżając się i oddalając od Słońca, więc potrzebna była druga jeszcze siła: magnetyczna. Magnetyzm znany był z dzieła Williama Gilberta (De magnete, 1600), lekarza królowej Elżbiety I, a więc dynastycznie jakby wczoraj. Wyjaśnił on działanie kompasu, o którym przedtem wypisywano różne magiczne głupstwa. W tym celu zbadał zachowanie igły magnetycznej w pobliżu magnesu o kształcie kulistym, będącego niczym mała Ziemia, terrella.

Magnetyzm ograniczony był jego zdaniem do pewnej sfery działania: orbis virtutis na rysunku. U Keplera mamy osobliwy mechanizm magnetyczny: planeta jest rodzajem igły zachowującej stale tę samą orientację przestrzenną, Słońce natomiast jest magnesem, którego jeden biegun jest na powierzchni, drugi zaś ukryty w centrum. Oczywiście nie ma w przyrodzie takich magnesów, podobnie zachowywałby się monopol magnetyczny. Całość tej konstrukcji Keplera sprawia trochę wrażenie barokowego gabinetu osobliwości, gdzie nazbierało się wiele różnych dziwnych urządzeń czy eksponatów. Musimy jednak pamiętać, że nie było jeszcze żadnej matematycznej dynamiki, a Kepler starał się powiązać ten mechanizm z bardzo precyzyjnym matematycznym opisem ruchu planet (trzy prawa Keplera). Jego matematyka była znakomita, mechanika natomiast musiała zostać stworzona na nowo.

W XVII wieku mechanika ziemska i niebieska szybko stawała się nauką. A jak to określił antropolog Max Gluckman, „nauką jest każda dyscyplina, w której głupiec obecnego pokolenia może sięgnąć dalej niż geniusz pokolenia minionego” (Politics, Law, and Ritual in Tribal Society, s. 32; chodziło tam zresztą o kurtuazyjną, lecz zdecydowaną krytykę naszego rodaka Bronisława Malinowskiego). Hooke nie był bynajmniej głupcem, ale stał już na ramionach wielu uczonych: Kartezjusza, Huygensa i całej plejady pomniejszych twórców Rewolucji naukowej. Czym górowała hipoteza Hooke’a? Jej założenie drugie było doskonalszą formą zasady bezwładności: nie tylko spoczynek, ale i ruch jednostajny prostoliniowy nie wymagał podtrzymywania. Aby była to prawda, trzeba było przyjąć, że opór ośrodka wypełniającego kosmos jest zaniedbywalny. Zasada ta pochodziła zresztą od Kartezjusza, choć u niego opór eteru niweczył stale tendencję do prostoliniowego, bezwładnego ruchu. Potrzebna była też tylko jedna siła, skierowana ku Słońcu. Wzajemne przyciąganie komplikowało zarazem problem: gdybyśmy musieli, jak w założeniu pierwszym Hooke’a, uwzględniać przyciąganie wszystkich pozostałych planet, wyjaśnienie ruchów w Układzie Słonecznym musiałoby poczekać aż do drugiej połowy wieku dwudziestego i wynalezienia komputerów. Na szczęście można ruch ten przedstawić jako przyciąganie przez jedno ciało centralne plus niewielkie poprawki wynikające z przyciągania innych obiektów.

Hooke zaproponował więc radykalne uproszczenie pojęciowe problemu ruchu planet – najważniejszego zagadnienia nauk ścisłych od starożytności. Nie wszystko pochodziło tu od niego, raczej przekształcił on idee krążące w londyńskim powietrzu, w dyskusjach uczonych takich, jak Christopher Wren czy Edmond Halley. Ów świeży powiew z Londynu ożywił zastałe powietrze Cambridge i stał się ważnym impulsem dla Newtona, o czym opowiemy w następnej części.

Światło w cienkich warstwach: Newton na ramionach Hooke’a (1675)

Jedną z cech nowej nauki, tej, która powstała w XVII wieku w Europie i zmieniła bieg historii całego świata, jest uważność, drobiazgowa dbałość o szczegóły. Nie ma przedmiotów czy tematów nieistotnych, czy niewartych poznania. Postawa taka pojawiała się wprawdzie i wcześniej, Arystoteles na przykład badał zwierzęta morskie, nie kierując się ludzką estetyką czy przydatnością swych obserwacji do praktycznych celów. Dopiero jednak w XVII wieku obserwacje i eksperymenty stały się prawdziwą namiętnością. Organizacje takie, jak londyńskie Towarzystwo Królewskie, założono po to właśnie, by ułatwić rozpowszechnianie nieznanych dotąd szczegółów funkcjonowania przyrody. Nauka jest bowiem kumulowaniem wiedzy, ale także, i może przede wszystkim, wyjaśnień pozwalających ową wiedzę uporządkować w logiczną strukturę.

„Jeśli dalej sięgnąłem wzrokiem, to dlatego że stałem na ramionach olbrzymów” – napisał Isaac Newton do Roberta Hooke’a w Londynie 5 lutego 1676 roku. To słynne zdanie przytacza się często jako przykład uznania uczonego dla swoich poprzedników, ma ono wtedy rolę dydaktyczną: oto jak powinien postępować mąż uczony i niemałostkowy. Metafory tej używać miał już Bernard z Chartres, kierujący tamtejszą szkołą katedralną w XII wieku: „… jesteśmy niczym karły stające na ramionach gigantów, żeby widzieć więcej i dalej niż oni, nie dzięki bystrości własnego wzroku ani wielkiemu wzrostowi, lecz dlatego, że podnosi nas i wywyższa wielkość owych olbrzymów” [Jan z Salisbury, Metalogicon, f. 217r].

Dyskusja dotyczyła pewnych eksperymentów i hipotez, głównie dotyczących światła, które Newton przedstawił w formie listu do Towarzystwa Królewskiego. Robert Hooke, „kurator eksperymentów” Towarzystwa, starał się umniejszyć oryginalność pracy profesora z Cambridge, twierdząc że sam wykonywał wcześniej takie eksperymenty. Chodziło o tęczowe barwy cienkich przezroczystych warstewek, dziś najczęściej obserwowane, gdy olej rozlewa się po powierzchni kałuży.

Hooke zaobserwował takie barwy w warstewkach miki, używając mikroskopu własnej konstrukcji. Newton poszedł w badaniach barw cienkich warstewek znacznie dalej niż Hooke i chciał, aby zostało to docenione. Obaj uczeni mieli wyraźny rys paranoiczny, przy czym Hooke był paranoikiem ekstrawertycznym, zabieganym i znającym wszystkich w Londynie, stale skarżącym się, że inni odbierają mu pierwszeństwo jego prac, Newton natomiast był paranoikiem introwertycznym, cichym, małomównym, unikającym ludzi, długo jednak obracającym w głowie prawdziwe bądź urojone akty agresji wobec swoich dokonań. W stosunku do Hooke’a czuł daleko posuniętą rezerwę, przynajmniej od czasu gdy kurator Towarzystwa lekceważąco zbył Newtonowskie odkrycia dotyczące barw pryzmatycznych. Tamta publikacja zdobyła wprawdzie rozgłos, lecz profesor z Cambridge wyrzucał sobie, że goniąc za cieniem, dał się wciągnąć w liczne polemiki, z których niczego się nie nauczył, a które odebrały mu spokój ducha – jedyną rzecz prawdziwie cenną. Pamiętać musimy, że działalność naukowa nie należała do jego obowiązków, które były jedynie dydaktyczne, a na sławie niezbyt mu zależało (co w epoce mediów społecznościowych coraz trudniej nam pojąć). Hooke napisał do Newtona pojednawczy list, w którym komplementował młodszego kolegę i skarżył się na osoby siejące niezgodę (chodziło o Henry’ego Oldenburga, sekretarza Towarzystwa, który prowadził oficjalną korespondencję m.in. z Newtonem). Proponował nawiązanie bezpośredniej korespondencji na tematy „filozoficzne” – tzn. naukowe. Zdanie o olbrzymach znalazło się w odpowiedzi Newtona niejako na odczepne: odwzajemniał komplementy, lecz nie podjął propozycji. Isaac Newton nie miał chęci na dyskusje z bystrym, lecz asertywnym i niezbyt lojalnym partnerem, zresztą jego zainteresowania kierowały się w tym czasie raczej ku eksperymentom alchemicznym i dociekaniom teologicznym. Udało mu się uzyskać zwolnienie królewskie od obowiązku przyjęcia święceń. Z przyczyn formalnych, gdyż był profesorem katedry Lucasa. Prawdziwą przyczyną starań był konflikt sumienia. Uczony doszedł do zdecydowanego antytrynitaryzmu i nie chciał składać fałszywych przysiąg. I tak jego sytuacja teologiczna była delikatna: był przecież członkiem Trinity College: Kolegium św. i niepodzielnej Trójcy. Do tego antytrynitaryzm był jedną z herezji jawnie wymienionych w prawie i zagrożonych karą śmierci.

Wydana w 1665 r. książka Hooke’a, Micrographia, poświęcona była najrozmaitszym przejawom mikroskopowego świata: zawiera opisy i rysunki m.in. ostrza, komórek korka, liścia pokrzywy, oka muchy, pchły i wszy. Zmiana skali odkrywała  nowy poziom rzeczywistości, zadziwiający świat, o którego istnieniu nikt wcześniej nie miał pojęcia.

Liście pokrzywy

Pleśń na książce oprawionej w skórę jagnięcą

Pchła z Micrographii (National Library of Wales, Wikimedia )

Na czym polegał wkład Newtona w problem barw w cienkich warstwach? Jego też pasjonowało przyglądanie się różnym zjawiskom, ale nie wystarczały mu same obserwacje, szukał zawsze wyjaśnienia matematycznego. Jego sposób myślenia był formalny, precyzyjny i bardzo konsekwentny. Poprzednio, badając rozszczepienie światła w pryzmacie, przeprowadził dziesiątki eksperymentów, które wskazywały i potwierdzały, że ściśle biorąc współczynnik załamania światła jest różny dla różnych barw. W ten sposób, używając swego zaciemnionego pokoju jako camera obscura – kamery otworkowej, powinien otrzymać okrągły obraz dysku Słońca. Kiedy jednak na drodze promieni znajdzie się pryzmat, obraz staje się wydłużony, gdyż jest nałożeniem się okrągłych obrazów dla każdej barwy z osobna.

W przypadku cienkich warstw okazało się, że każda barwa ma charakterystyczną długość, określającą, co zobaczymy po odbiciu bądź przepuszczeniu światła. By kontrolować grubość warstwy, Newton zastosował płaskowypukłą soczewkę o długiej ogniskowej, a więc dużym promieniu krzywizny powierzchni sferycznej. Po zestawieniu jej z płaską płytką szklaną i oświetleniu światłem, otrzymujemy dwa dopełniające się systemy pierścieni w świetle odbitym i przepuszczonym. Mierząc promienie pierścieni, łatwo możemy obliczyć, jakim grubościom warstwy odpowiadają. Używając światła monochromatycznego – wydzielonego z rozszczepienia przez pryzmat, sprawiamy, że pierścienie stają się cieńsze i widać ich więcej.

Na obraz pierścieni w świetle przechodzącym nałożona jest skala z podziałką 100 μm (Warrencarpani) 

Plansza z Optics, Newtona (1704)

Newton ustalił za pomocą drobiazgowych pomiarów, jaki obraz otrzymamy w zależności od barwy światła, grubości warstwy, kąta biegu promieni światła oraz współczynnika załamania ośrodka stanowiącego przezroczystą warstwę. Stwierdził, np., że jasne prierścienie w świetle odbitym dla koloru „jasnocytrynowożółtego” leżącego na granicy pomiedzy barwą żółtą i pomarańczową w widmie Słońca odpowiadają grubościom warstwy danym wzorem:

h=(2k+1)\dfrac{1}{178000}\mbox{ cala, gdzie } k=0,1,2,\ldots.

Szczegółowe zależności ilościowe niezbyt ciekawiły Roberta Hooke’a, stanowiły jednak wyróżnik pracy Newtona, a za nim całej fizyki nowożytnej. Eksperymenty opisane tak, aby każdy mógł je powtórzyć, oraz dokładne staranne pomiary niektórym uczonym wydawały się wręcz istotą fizyki. W wieku XIX, gdy zbudowano dwie wielkie teorie: termodynamikę oraz elektrodynamikę wraz z optyką falową, wielu uczonych niechętnie patrzyło na rozważania teoretyczne, ceniąc je niżej niż porządny eksperyment. Kryło się za tym przekonanie, że wyniki eksperymentalne pozostaną słuszne zawsze, natomiast teorie mogą się zmieniać. Newton bardziej niż ktokolwiek pokazał, jak przekształcić naukę w maszynę zdobywania wiedzy opartą na matematycznych teoriach i ekspeymentalnych szczegółach. Pedanteria i wąski sposób myślenia stały się metodą: nie próbujemy na codzień wyjaśnić natury świata ani udzielić odpowiedzi na pytania ostateczne, lecz koncentrujemy się na tych szczegółach, które rozumiemy, najlepiej w sposób matematyczny. Sam Newton sądził, że wszystkie barwy przedmiotów mają pochodzenie interferencyjne, możemy więc z ich obserwacji wysnuć wnioski na temat struktury. Tak nie nie jest, choć pewne barwy w przyrodzie – np. błękitne skrzydła motyla Morpho są rzeczywiście interferencyjne.

Wyjaśnienie zjawisk interferencyjnych sprawiało Newtonowi trudność. Uważał bowiem światło za strumień cząstek, choć nie miał na to rozstrzygających dowodów. Dlatego w pracach takich, jak Optics, nie zajmował wyraźnego stanowiska, ograniczając się do tego, co pewne, tj. wyników doświadczeń. W okresie korespondencji z Hookiem Newton sądził, iż cząstka światła, padając na pierwszą powierzchnię, wzbudza falę eteru. Fala ta podróżuje szybciej niż światło i gdy cząstka światła dotrze do drugiej powierzchni, napotyka zgęszczenie bądź rozrzedzenie eteru i odbija się bądź przechodzi przez tę powierzchnię. Tak więc istniałyby swego rodzaju fale pilotujące, które decydują o losie cząstki. Zauważmy, że z punktu widzenia klasycznego trudno wyjaśnić, skąd cząstka światła „wie” o drugiej powierzchni. Cząstki kwantowe są swoistym połączeniem aspektu falowego i cząstkowego: amplituda fali określa prawdopodobieństwo, ale też wiemy, że zachowania kwantowe wciąz zaskakują fizyków.

Zobaczmy na koniec, jakie jest falowe wyjaśnienie pierścieni Newtona. Aby otrzymać interferencję konstruktywną (wzmocnienie fal odbitych od obu powierzchni warstwy), jej grubość musi spełniać warunek:

2h=(2k+1)\dfrac{\lambda}{2},

gdzie \lambda jest długością fali (różnica odległości to 2h, dodatkowe \frac{1}{2}\lambda bierze się ze zmian fazy przy odbiciu, koniecznej, aby dla h=0, czyli przy braku warstwy, odbicie nie następowało (oczywiście, wyjaśniają to równania Maxwella). Długość fali odpowiadająca Newtonowskiej barwie jasnocytrynowożółtej to \lambda=0,57\, \mu m – lampy sodowe popularne na ulicach dają światło o \lambda=0,589\,\mu m. Podobnie jest dla innych barw, Isaac Newton rzeczywiście był pedantycznie dokładny. I nawet tak mało istotne zjawisko jak barwy warstewek może prowadzić do ważnych odkryć.

Opiszemy jeszcze związek promienia pierścienia x i grubości warstwy. Z tw. Pitagorasa otrzymujemy

x^2=R^2-(R-h)^2=h(2R-h)\approx 2Rh.

Newton stosował tę samą matematykę do obliczenia przyspieszenia dośrodkowego, zob. Księżycowy test Isaaca Newtona.

René Descartes (Kartezjusz), tęcza i uczeni jezuici (1637)

Dopóki jeszcze wolno, powtarzam swój dawny wpis na temat tęczy.

Pisze się często z uznaniem o uczonych jezuitach, zwłaszcza w XVII wieku, bo w następnym stuleciu zakon zaczął chylić się ku upadkowi i w końcu uległ kasacie papieskiej. Nauka stanowiła jakąś cząstkę szerokiej działalności pedagogicznej ojców i rzeczywiście, niektórzy z nich zasłużyli się różnymi odkryciami: np. plam słonecznych czy dyfrakcji światła. Dopóty, dopóki chodziło o badania czysto eksperymentalne albo obserwacyjne, ich osiągnięcia były niewątpliwe. Gorzej było z interpretacją wyników: ojcowie obowiązani byli trzymać się Arystotelesa, który był beznadziejnie przestarzały. W latach trzydziestych wieku XVII wieku doszedł jeszcze jeden kłopot: nie wolno im było głosić także kopernikanizmu. Skazanie Galileusza wpłynęło zastraszająco na wielu uczonych, również poza Italią. Taki zresztą był zamiar papieża Urbana VIII, który ubrdał sobie, że ruch Ziemi podważa prawdy wiary (w jakimś sensie miał zresztą rację: jedynie kosmologia geocentryczna wydaje się logiczna z religijnego punktu widzenia).
René Descartes, dawny uczeń jezuitów w La Flèche, wolał przezornie zamieszkać w Holandii. Wierzący katolik, spędził resztę życia na emigracji w krajach protestanckich. Nie opublikował też swego pierwszego dzieła Świat albo traktat o świetle, obawiając się, że jest zbyt kopernikańskie. Zadebiutował w druku dopiero w 1637 roku jako filozof, matematyk, a także fizyk. W tej ostatniej dziedzinie z jego śmiałych teorii, obejmujących właściwie cały wszechświat, ocalało ostatecznie jedynie wyjaśnienie zjawiska tęczy, podane w rozprawie Les météores.
Mimo zainteresowania tym zjawiskiem, ustalono niezbyt wiele. Jak pisał uczony jezuita, Jean Leurechon: „Jeśli mnie zapytacie o sposób wytwarzania, układ i formę tych kolorów [tęczy], to odpowiem, iż pochodzą one z odbicia oraz załamania światła, i to wszystko. Platon dobrze powiedział, że Iryda jest córą podziwu, a nie objaśnienia (…) wszyscy bowiem filozofowie i matematycy, którzy przez tak wiele lat zajmowali się poszukiwaniem i wyjaśnianiem ich przyczyn, a także spekulacjami, dowiedzieli się tylko, iż nic nie wiedzą i że dostępne są im jedynie pozory prawdy”. Ojciec Leurechon trochę przesadzał, ale czynił to w zbożnym i wychowawczym celu. Galileusz rozprawiający o ruchu Ziemi w Rzymie też wydawał się tamtejszym monsignorom nieledwie bezczelny: cóż on mógł wiedzieć o dekretach Stwórcy i urządzeniu wszechświata! Uczonym przystoi pokora.
Wiemy, że książkę Leurechona czytał Descartes i zapewne postanowił wykazać, że można jednak coś ustalić na temat świata i nie musimy w kółko powtarzać frazesów o własnej niewiedzy.
Powstawanie dwóch łuków tęczy przedstawia rysunek. Wewnętrzny łuk powstaje wskutek jednokrotnego odbicia światła wewnątrz kropli wody, zewnętrzny – wskutek dwukrotnego odbicia. W przypadku łuku wewnętrznego promień biegnie do oka obserwatora po drodze ABCDE, w przypadku łuku zewnętrznego biegnie po drodze FGHIKE.

fcarc-february2009-descartes-medium-original

descartes3

Tęcza nie jest żadnym realnym obiektem, ale każdy z nas widzi niejako własną tęczę, która przemieszcza się wraz z obserwatorem, jeśli tylko w powietrzu znajdują się w odpowiednim miejscu krople wody. Łuk wewnętrzny tworzy kąt 42º z kierunkiem promieni słonecznych, łuk zewnętrzny – kąt 52º. Descartes wyjaśnił, skąd biorą się oba kąty. Trudność polegała na tym, że promienie wpadające do kropli pod różnymi kątami wychodzą z niej także pod różnymi kątami. Nie od razu widać, co wyróżnia te dwie wartości: 42º oraz 52º.

descartes1

Kąt między promieniem Słońca a promieniem biegnącym po jednokrotnym odbiciu równy jest

\theta=4\beta-2\alpha.

Kąty \alpha oraz \beta związane są prawem załamania. Descartes ułożył tabelkę liczbowych wartości kątów odchylenia dla promienia odbitego raz i dwa razy. My przedstawimy to za pomocą wykresu.

descartes arc-en-ciel

Wykres interaktywny

Wewnętrzny łuk tęczy odpowiada maksymalnemu kątowi około 42º. W okolicy maksimum wykres funkcji staje się płaski, a to oznacza, iż znaczna część promieni będzie biegła w zbliżonym kierunku. W rezultacie dotrze do nas najwięcej promieni z okolic 42º. Łuk tęczy powinien mieć zewnętrzną krawędź ostrzejszą, a wewnętrzną bardziej rozmytą. Dla zewnętrznego łuku tęczy (powstającego przez dwukrotne odbicie) będzie na odwrót: minimalny kąt równa się ok. 51º i należy się spodziewać, że z tego kierunku dobiegać będzie najwięcej promieni. Pomiędzy tymi dwoma łukami niebo powinno być ciemniejsze. Tak więc kąty obserwowane w zjawisku tęczy odpowiadają ekstremalnym odchyleniom promienia od kierunku początkowego.

descartes2

W wyjaśnieniu Descartes’a pojawił się ilościowy aspekt zjawiska: jeśli natężenie światła z pewnego kierunku będzie zbyt małe, nie będziemy nic widzieć. Trochę promieni biegnie pod niemal każdym kątem, ale liczą się tylko te kierunki, w których biegnie dużo promieni. Tęcza nie ma wyraźnych granic zewnętrznych, gdybyśmy mogli rejestrować słabsze światło, oba pasy byłyby szersze. W czasach Descartes’a dzięki teleskopowi zrozumiano już, że nie zawsze widzimy światło dobiegające do naszych oczu: jego natężenie musi przekroczyć pewną progową wartość.

Full_featured_double_rainbow_at_Savonlinna_1000px

Zdjęcie: Laurie Kosonen

Wyjaśnienie tęczy podane przez Descartes’a było na tyle nowatorskie, że wielu uczonych nadal próbowało rozwiązać ten problem, nie dostrzegając, iż został już rozwiązany. To wcale nierzadka sytuacja, po teorii względności zaczęły się np. pojawiać prace, w których usiłowano inaczej rozwiązać problemy postawione przez Einsteina. Descartes przesłał swoją pracę o tęczy do ojca Étienne’a Noëla, jezuity, który uczył go niegdyś i z którym korespondował. Miał nadzieję, że jego rozprawa stanie się podręcznikiem używanym w kolegiach jezuickich. Stało się inaczej, nie doczekał się żadnej reakcji. Kilku innych uczonych zajmowało się później zagadnieniem tęczy tak, jakby nie istniała praca Descartes’a, m.in. teolog z Louvain, Libert Froidmont, który nie widział potrzeby uwzględnienia rozwiązania Descartes’a, gdy kilkakrotnie w późniejszym czasie wznawiał własną książkę na ten sam temat. Przyczyną niechęci Froidmonta i jezuitów mogło być to, co najmocniej przemawia do nas dzisiaj: poddanie zjawisk przyrody matematycznej konieczności. Bo jeśli światem rządzą matematyczne konieczności, to niepotrzebny staje się Stwórca. Descartes wcale tak zresztą nie myślał, ale inni zarzucali mu szerzenie bezbożnictwa naukowego. Isaac Newton, biblijny fundamentalista, z tego właśnie powodu zwalczał poglądy Descartes’a (jezuitów też zresztą nie cierpiał). Musiał w tym celu wymyślić własną wersję Boga-Ojca, który samorządnie i samowładnie realizuje swe matematyczne dekrety i obecny jest w każdym punkcie przestrzeni. Do Newtona należało wyjaśnienie kolorów tęczy: różne barwy mają rozmaity współczynnik załamania, toteż łuki różnych barw widzimy w nieco innych miejscach. Także Newton zastąpił numeryczną analizę Descartes’a twierdzeniem o ekstremum funkcji, matematyka była już znacznie bardziej zaawansowana.

Newton, Leibniz i liczba pi z szeregu Fouriera

Pisałem niedawno o szeregach odkrytych przez Leibniza i Newtona, a związanych z liczbą \pi. Oba te szeregi można łatwo powiązać ze sobą za pomocą rozwinięcia Fouriera. Kiedyś już pisałem o Josephie Fourierze i jego nieśmiertelnym wynalazku. Tutaj pokażemy tylko, jak to się wiąże z szeregami Leibniza:

\dfrac{\pi}{4}=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\ldots

i Newtona:

\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}=1+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}+\ldots.

Rozwinięcie w szereg Fouriera stosuje się do funkcji okresowych. Weźmy np. funkcję f(x)=x w przedziale x\in (-\pi,\pi).

Możemy zrobić z niej funkcję okresową powtarzając jedynie zęby piły na kolejnych przedziałach. Funkcja ta jest nieciągła na końcach przedziałów, ale to nie szkodzi. Idea Fouriera polega na przybliżeniu dowolnej funkcji f(x) nieskończoną sumą sinusów i cosinusów o coraz mniejszych okresach. W naszym przypadku okresem f(x) jest 2\pi, a funkcja jest nieparzysta, jak sinus. Szukamy więc rozwinięcia następującej postaci:

{\displaystyle f(x)=\sum_{i=1}^{\infty}a_{n}\sin nx}.

Żeby znaleźć wartości współczynników rozwinięcia, mnożymy obie strony przez \sin mx. Ponieważ całka po okresie z iloczynu dwóch sinusów znika, więc z prawej strony przeżywa tylko wyraz n=m (*):

{\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin mx dx =a_m \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 mx dx=a_m \pi}.

Ostatnia równość po prawej stronie wynika stąd, że kwadrat sinusa scałkowany po wielokrotności okresów daje \frac{1}{2} razy długość przedziału całkowania.
W naszym przypadku

x=2\left(\dfrac{\sin x}{1}-\dfrac{\sin 2x}{2}+\dfrac{\sin 3x}{3}+\ldots\right),

gdzie cały czas ograniczamy się do przedziału (-\pi,\pi). Proszę zobaczyć, co otrzymamy, biorąc coraz większe liczby składników sumy.


Widać gołym okiem, że szereg jest zbieżny oprócz może końców przedziału, gdzie nasza funkcja ma skok.
Teraz wystarczy wziąć dwie wartości argumentu. Dla x=\frac{\pi}{2} otrzymamy szereg Leibniza, dla x=\frac{\pi}{4} – szereg Newtona. Warto zauważyć, że jesteśmy daleko od końców przedziału, gdzie mogą być kłopoty ze zbieżnością. Oczywiście Joseph Fourier to już XIX wiek, czyli matematyka bogatsza o 150 lat rozwoju od czasów Leibniza i Newtona. Najprostszy znany mi wykład o szeregach Fouriera znaleźć można w rozdz. 50 t.1 Wykładów Feynmana.

(*) Wynika to z tożsamości:

2\sin mx\sin nx=\cos(n-m)x-\cos(n+m)x.

Całka z cosinusa po okresie równa jest zero, więc tylko pierwszy wyraz po prawej stronie dla m=n przeżywa całkowanie.

Jakob Hermann pisze do Johanna Bernoulliego na temat ruchu planet, 12 lipca 1710 r.

Ulmenses sunt mathematici – mieszkańcy Ulm to matematycy – głosiło stare porzekadło. Znamy jednego matematyka z Ulm Johannesa Faulhabera, który miał kontakty z Keplerem i być może z Kartezjuszem. Słynna ogrzewana komora, w której rozmyślał francuski filozof pewnej jesieni, mieściła się w Neuburgu niezbyt oddalonym od Ulm. No i w Ulm urodził się Albert Einstein, lecz rodzina rok później się przeprowadziła i uczony jako człowiek dorosły nigdy potem nie odwiedził już swego miasta rodzinnego.

Prawdziwą kolebką matematyków była natomiast leżąca niezbyt daleko od Ulm Bazylea. Stąd pochodziła rozgałęziona rodzina Bernoullich, a także Leonhard Euler i Jakob Hermann. Protoplastą naukowego rodu był Jakob Bernoulli, to od niego uczyli się matematyki jego brat Johann oraz Jakob Hermann. Johann z kolei był ojcem wybitnego Daniela i nauczycielem genialnego Eulera. Ponieważ posad dla matematyków nie było w Europie wiele, więc wszyscy ci matematycy sporo podróżowali. Dzięki bazylejskim matematykom rachunek różniczkowy i całkowy Leibniza stał się podstawą nowożytnej matematyki.

Drugim wielkim zadaniem uczonych od końca XVII wieku stało się przyswojenie osiągnięć Isaaca Newtona. Matematyczne zasady filozofii przyrody zawierały rewolucyjną fizykę przedstawioną za pomocą indywidualnego języka matematycznego, stworzonego przez autora. Nie było w historii nauki traktatu tak oryginalnego zarówno pod względem treści fizycznej, jak i matematycznej. Toteż jego zrozumienie i opanowanie zajmowało całe lata nawet wybitnym uczonym. Na kontynencie panował matematyczny idiom Leibniza i twierdzenia Newtona tłumaczono niejako na tę zrozumiałą wśród uczonych symbolikę.

Jakob Hermann pierwszy podał różniczkowe sformułowanie II zasady dynamiki. Miało ono u niego postać

G=M dV: dT,

gdzie G,M oznaczały siłę i masę, a dV, dT – różniczki prędkości i czasu. Zapis ten pojawił się dopiero na 57 stronie jego traktatu Phoronomia (1716) i odnosił się do siły ciężkości zależnej od położenia. Oczywiście, Newton już w 1687 r. rozważał takie siły, ale wyłącznie w postaci geometrycznej. Jego II prawo brzmiało: „Zmiana ruchu jest proporcjonalna do przyłożonej siły poruszającej i następuje w kierunku prostej, wzdłuż której siła ta jest przyłożona.” Newton miał na myśli zmiany pędu ciała w pewnym krótkim czasie. Jednym problemem tego sformułowania była kwestia opisywania zmian w czasie, drugim problemem był wektorowy charakter siły: ilość ruchu, pęd, zmienia się w kierunku przyłożonej siły.

Pokażemy, jak Hermann rozwiązał problem ruchu ciała przyciąganego siłą odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości od nieruchomego centrum. Zwolennicy Leibniza mieli zastrzeżenia do Newtonowskiego dowodu tego faktu, zbyt szkicowego. Pragnęli wyraźnego wykazania, że tylko stożkowe (albo część linii prostej) mogą być torem ciała. Opisywałem kiedyś rozwiązanie tego problemu podane w XIX wieku przez Williama Rowana Hamiltona.

Wyobrażamy sobie przyciągane przez centrum S ciało zakreślające krzywą CD. Jego ruch w nieskończenie krótkim czasie dt można przedstawić jako sumę wektorową ruchu bezwładnego od C do E oraz spadania od E do D wzdłuż kierunku siły w punkcie C, tzn. odcinki SC i DE są równoległe. Zmiana współrzędnej x w ruchu bezwładnym byłaby równa dx. Efekt działania siły przyciągającej to różniczka drugiego rzędu ddx (co później zapisywano d^{2}x). Oczywiście do ddx wchodzi tylko x-owa składowa siły.

Dziś narysowalibyśmy to tak, Hermann odnajduje trójkąty podobne na swoim rysunku i dochodzi do wniosku, że

ddx \propto F\dfrac{x}{r} dt^2.

Pole SCD zakreślane w czasie dt można przedstawić jako pole trójkąta o bokach [x,y] oraz [dx,dy], a więc jest ono równe połowie pola równoległoboku dt\propto y dx-x dy.
Ostatecznie różniczkę ddx możemy zapisać następująco (siła jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości):

-a ddx=\dfrac{x}{r^3}(y dx-x dy)^2,

gdzie a jest stałą proporcjonalności. Naszym zadaniem jest znalezienie równania krzywej.
Całką tego równania jest

a dx=\dfrac{y}{r}(ydx-xdy).

Dzieląc obustronnie przez x^2 i całkując ponownie, otrzymujemy

-\dfrac{a}{x}+c=-\dfrac{r}{x}\;\Rightarrow\; a-cx=r,

gdzie c jest stałą całkowania. Jest to równanie stożkowej (po obustronnym podniesieniu do kwadratu otrzymamy wielomian kwadratowy w zmiennych x,y).

Postępowanie Hermanna jest pomysłowe, choć całkowania są nieintuicyjne. Można jednak, jak zawsze, sprawdzić je, idąc od końca do początku, tzn. wykonując dwa kolejne różniczkowania. Tak naprawdę sztuka rozwiązywania równań różniczkowych jest często zamaskowanym odgadywaniem całek. Różniczkowania wynikają z reguły Leibniza dla iloczynu d(uv)=v du+u dv.
W naszym przypadku mamy np. dla drugiego równania

d\left(\dfrac{y}{r}\right)=\dfrac{rdy-ydr}{r^2}=\dfrac{r^2 dy-y rdr}{r^3}.

Pamiętając, że r^2=x^2+y^2, mamy rdr=xdx+ydy. Itd. itp. rachunki „od końca” są łatwe. W pierwszym całkowaniu przyjęliśmy stałą całkowania równą zeru, co nie zmniejsza ogólności wyniku, bo Hermann zakłada, iż oś Sx jest osią toru planety, tzn. przecięcie z osią x z lewej strony punktu S następuje w peryhelium albo aphelium, czyli przy y=0 powinno być dx=0.
Johann Bernoulli, który miał dość nieznośny charakter (nigdy nie dość wypominania mu, jak to konkurował ze swym synem Danielem) odpowiedział wybrzydzaniem na procedurę Hermanna i przedstawił swoją ogólniejszą, opartą na innym podejściu.

Z dzisiejszego punktu widzenia Hermann odkrył pewną całkę pierwszą problemu Keplera (tak się dziś nazywa problem ruchu wokół centrum przyciągającego jak 1/r^2). Całka pierwsza to wyrażenie, którego wartość nie zmienia się podczas ruchu. U Hermanna jest to

-\dfrac{dx}{dt}L_{z}-\dfrac{y}{r}=A_{y}=const.

W wyrażeniu tym L_z=xp_{y}-yp_{x}. Gdyby zająć się przyspieszeniem wzdłuż osi Sy, otrzymalibyśmy drugą całkę. Razem składają się one na wektor

\vec{A}=\vec{p}\times \vec{L}-\dfrac{\vec{r}}{r}.

Nazywa się go wektorem Rungego-Lenza, choć odkrył go właściwie Jakob Hermann. W pełni zdał sobie sprawę z faktu, że mamy trzy takie całki pierwsze, czyli w istocie wektor, Joseph Lagrange, a po nim Pierre Simon Laplace. Laplace przedyskutował też systematycznie wszystkie całki pierwsze problemu Keplera (trzy to moment pędu, trzy to nasz wektor, jedna to energia całkowita planety). Carl David Runge (ur. 1856) oraz Wilhelm Lenz (ur. 1888) pojawiają się w tej historii późno i w rolach dość przypadkowych. Pierwszy (znany z algorytmu Rungego-Kutty) użył tego wektora w swoim podręczniku analizy wektorowej, drugi zastosował go do pewnego problemu w starej teorii kwantów, przepisując go z podręcznika Rungego. Zupełnie niekosztowny sposób wejścia do historii. Wilhelm Lenz jest natomiast autorem tzw. modelu Isinga (Ernst Ising był jego doktorantem). Wektor odegrał pewną rolę w powstaniu mechaniki kwantowej. Stosując go, Wolfgang Pauli otrzymał wartości energii w atomie wodoru na podstawie formalizmu macierzowego Heisenberga. Chwilę później Erwin Schrödinger zrobił to samo w swoim formalizmie i wielu fizyków nie wiedziało, co o tym myśleć, bo na pierwszy rzut oka oba podejścia różniły się kompletnie.

Leibniz, Newton i liczba pi (1676)

W roku 1676 dobiegł końca czteroletni pobyt Gottfrieda Wilhelma Leibniza w Paryżu. Teologiczno-dyplomatyczne cele jego misji nie zostały osiągnięte, Leibniz zetknął się jednak w Paryżu z najnowszymi naukami ścisłymi, w szczególności zajął się bliżej matematyką. Były to najświetniejsze lata paryskiej działalności Christiaana Huygensa, którego traktat o zegarze wahadłowym wtedy właśnie ujrzał światło dzienne. Leibniz chłonął nowości i robił szybkie postępy. Już w roku 1673 udało mu się znaleźć słynne przedstawienie liczby pi za pomocą szeregu. Odkrycie to zrobiło spore wrażenie zarówno na paryskich uczonych, jak i na samym odkrywcy, zachęcając go do dalszej pracy w dziedzinie matematyki (w przypadku uczonego tak wszechstronnie uzdolnionego, jak Leibniz, wybór dziedziny nie był bynajmniej czymś oczywistym). Dwa lata później odkrył Leibniz rachunek różniczkowy i całkowy. Ale szereg stanowił wciąż jego powód do dumy. Toteż pochwalił się nim, pisząc w roku 1676 do Henry’ego Oldenburga, sekretarza londyńskiego Royal Society. Z pewnym niedowierzaniem dowiedział się, że „jego” szereg znany jest na Wyspach. Było to trochę tak, jakby ktoś wracając z Princeton z wynikiem, który wszystkich zachwycił, usłyszał, że w Rosji na prowincji dawno już o tym wiedzą.

Szereg to uogólnienie sumy na przypadek nieskończonej liczby wyrazów. Znanym przykładem jest szereg geometryczny. Np.

\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\ldots =1.

Co można zilustrować dzieleniem pola kwadratu jednostkowego na kolejne połowy.

Oczywiście, nie zawsze suma taka jest dobrze określona. Jednym z najprostszych nieoczywistych szeregów jest szereg harmoniczny, odwrotności kolejnych liczb naturalnych:

1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\ldots

Można łatwo pokazać, że szereg ten jest rozbieżny, tzn. jego sumy częściowe przekraczają dowolną z góry zadaną liczbę – należy tylko zsumować odpowiednio wiele składników. Podobnie rozbieżny jest szereg odwrotności liczb nieparzystych (mimo że z poprzedniego szeregu wybraliśmy jedynie co drugi wyraz):

1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}+\ldots

Nawet gdy ograniczymy się jedynie do odwrotności liczb pierwszych, szereg pozostanie rozbieżny, ten ostatni fakt udowodnił Leonhard Euler.

Szereg Leibniza ma następującą postać:

\dfrac{\pi}{4}=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\ldots

Jest on naprzemienny, tzn. znaki kolejnych wyrazów się przeplatają. Szereg taki na pewno jest zbieżny, jeśli tylko jego wyraz ogólny dąży do zera. Nie zawsze jednak łatwo jest znaleźć wartość takiej sumy. Leibnizowi udało się odkryć powiązanie z liczbą \pi, znaną z geometrii. Na pierwszy rzut oka nie ma żadnych powodów, aby taki szereg, zbudowany za pomocą prostej arytmetyki, doprowadzić miał do liczby \pi. Stąd wrażenie, jakie to odkrycie wywarło. Jak ujął to dwudziestowieczny matematyk K.H.D. Knopp: „Dzięki temu rozwinięciu opadła jakby zasłona spowijająca tę dziwną liczbę [\pi]”.

Za pośrednictwem Oldenburga Isaac Newton reprezentował wyspiarzy. Profesor z Cambridge (które było wtedy matematyczną pustynią) przesłał mu dwa obszerne listy z przeznaczeniem dla Leibniza. Newton znany był wtedy w Europie jedynie z prac optycznych. Był jednak, i może przede wszystkim, matematykiem, najwybitniejszym w tamtej epoce. Derek T. Whiteside poświęcił najlepsze lata życia na wydanie jego rękopisów matematycznych w ośmiu ogromnych tomach. Większość tego materiału z różnych powodów nie ukazała się drukiem za życia Newtona. W chwili gdy napisał Leibniz, Newton był – by tak rzec – w trakcie czwartego tomu swoich dzieł, dawno po odkryciu rachunku fluksji i fluent, czyli swojej wersji rachunku różniczkowego i całkowego (a jak zwykle u matematyków pierwsze tomy dzieł zebranych są najciekawsze). Obaj uczeni chwalili się wynikami, nie przedstawiając dowodów i tylko mgliście napomykając o rachunku. Tak się składa, że rozwinięcia w szereg stanowiły inny ulubiony temat Newtona. Odkrył np., że naprzemienny szereg harmoniczny związany jest z wartościami funkcji logarytmicznej:

\ln{2}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\ldots .

Przemawiała do niego elegancja samych rozwinięć, a także ich aspekt praktyczny: pozwalały one obliczać wartości różnych funkcji albo stałych matematycznych, takich jak \pi. Posługując się odkrytym przez siebie rozwinięciem w szereg funkcji logarytmicznej, młody Isaac Newton obliczył kiedyś dla zabawy wartość

\ln{1,1}=0,09531 01798 04324 86004 39521 23280 76509 22206 05365  30864 4199183.

Prócz ludycznego miało to też aspekt praktyczny. Tablice logarytmów stosowane były w geodezji, nawigacji, astronomii. Znając z dużą dokładnością jedną lub kilka wartości logarytmu, można zbudować tablice, już z mniejszą liczbą cyfr znaczących (ze względu na błędy zaokragleń). Newton znał oczywiście szereg Leibniza. Zrewanżował mu się innym szeregiem, łudząco podobnym:

\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}=1+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}+\ldots.

Dokumenty Leibniza pokazują, że mimo wskazówki, jak można ten szereg otrzymać, sztuka ta nie udała się Leibnizowi.

Henry Oldenburg niedługo później zmarł i Newton stracił na długo kontakt z Royal Society i z szerszym światem. Zresztą w tamtych latach pochłaniała go raczej teologia niż matematyka. Żaden z nich nie opisał drugiemu rachunku różniczkowego i całkowego. Po latach obaj zaczęli podejrzewać tego drugiego o kradzież intelektualną. Był to objaw paranoi, o którą nietrudno było w sytuacji, gdy matematycy chętniej publikowali wyniki niż metody zastosowane do ich uzyskania.

Spójrzmy na koniec na szczegóły. Otóż Leibniz, czytając pewien artykuł Pascala, wpadł na pomysł, aby szukanie pola pod jedną krzywą przekształcić w szukanie pola pod inną krzywą. Nazwał to metodą transmutacji. Opierała się ona na następującej obserwacji.

Rysujemy styczną do krzywej w pewnym punkcie, przecina ona oś y w pewnym punkcie. Rozpatrujemy następnie krzywoliniowy „trójkąt” złożony z małego odcinka krzywej i dwóch boków równoległych do osi. Gdy ów „trójkąt” staje się coraz mniejszy, zbliża się do prawdziwego trójkąta. Możemy napisać proporcję

\dfrac{dx}{ds}=\dfrac{h}{y} \, \Rightarrow y dx=h ds.

Pola infinitezymalnego (=„nieskończenie małego”) trójkąta utworzonego z dwóch promieni wodzących (linie przerywane) i odcinka krzywej równe jest \frac{1}{2} h ds. Sumując takie pola, czyli całkując, możemy obliczyć pole skończonego wycinka krzywej. Korzystając zaś z powyższej proporcji pole to można zamienić polem pewnej innej krzywej y(x): \frac{1}{2}\int{h ds}=\frac{1}{2}\int{ y dx}. Wynik ten może się przydać, jeśli zamiana jednej krzywej drugą prowadzi do uproszczenia problemu. Leibniz zastosował swoją metodę do okręgu.

Leibniz chciał obliczyć pole ćwiartki koła (\frac{\pi}{4}, składającej się z wycinka kołowego i trójkąta. Pole wycinka znaleźć można obliczając pole pod krzywą y(x), która ma równanie zapisane na rysunku. Łatwiej jest obliczyć pole między osią y a krzywą:

Szczegóły rachunku znaleźć można tutaj. Ostatecznie otrzymujemy

\dfrac{\pi}{4}={\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{dx}{1+x^2}}.

Ułamek po prawej stronie zastępujemy szeregiem geometrycznym:

\dfrac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\ldots

i całkujemy wyraz po wyrazie. Wynik Newtona uzyskuje się z całki

{\displaystyle \int_{-1}^{1}\dfrac{dx}{1+\sqrt{2} x+x^2}=\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}=2\int_{0}^{1}\dfrac{1+x^2}{1+x^4}dx}.

Całkę po prawej stronie rozwijamy w szereg jw. Leibniz nie znał, jak się wydaje, rozkładu na czynniki

1+x^4=(1+\sqrt{2}x+x^2)(1-\sqrt{2}x+x^2).

Johann Bernoulli i krzywa łańcuchowa (1690)

Matematycy XVII wieku lubili badać rozmaite osobliwe krzywe i uwielbiali chełpić się swoimi umiejętnościami. Krzywe stożkowe: elipsa, parabola i hiperbola, czyli krzywe opisywane równaniami drugiego stopnia, już im nie wystarczały. Isaac Newton przeprowadził klasyfikację wszystkich krzywych trzeciego stopnia, co jest znacznie trudniejsze niż dla drugiego stopnia. Chętnie też zajmowali się krzywymi powstającymi wskutek ruchu (jak cykloida) albo jako rozwiązanie pewnego problemu z mechaniki. Jedną z takich krzywych była linia łańcuchowa, czyli kształt, jak przyjmuje giętki i ciężki łańcuch zawieszony na dwóch końcach.
Jeszcze w XVI wieku młody Galileusz starał się poznać kształt krzywej łańcuchowej, sądząc, że jest to ta sama krzywa, jaką zakreśla rzucone ciało. Prowadził wraz z Guidobaldem del Monte eksperymenty, aby porównać obie krzywe. Krzywą balistyczną rysowali puszczając kulkę zamoczoną w atramencie po równi pochyłej, jak na obrazku.

Okazało się, że krzywa balistyczna przypomina parabolę, lecz krzywa łańcuchowa różni się od niej znacząco. Jak wiemy, Galileuszowi udało się znaleźć mechaniczne wyjaśnienie dla krzywej balistycznej. Jednak kształtu krzywej łańcuchowej nie potrafił opisać matematycznie.
W 1690 roku Jacob Bernoulli, matematyk z Lozanny, rzucił na łamach „Acta Eruditorum” – pierwszego niemieckiego czasopisma naukowego, założonego z inicjatywy Leibniza – wyzwanie do innych matematyków, by opisali kształt krzywej łańcuchowej. Jeszcze w tym samym roku zagadnienie to rozwiązali Gottfried Wilhelm Leibniz, a także młodszy brat Jacoba, dwudziestoczteroletni Johann, kształcący się na medyka. Kilka lat wcześniej Leibniz w tym samym czasopiśmie ogłosił zarysy rachunku różniczkowego i całkowego. Bracia Bernoulli pilnie przestudiowali tę technikę formułowania i rozwiązywania problemów, obaj też wkrótce przewyższyli Leibniza, zwłaszcza Johann, który stał się szybko jednym z mistrzów rachunku różniczkowego i całkowego. Ambitny Johann nie został medykiem (podobnie jak niegdyś Galileusz). Niedługo później zrobił furorę w matematycznych kręgach Paryża. Jego wykłady częściowo opublikował pod swoim nazwiskiem markiz de L’Hôpital (któremu Johann sprzedał wyniki), druga ich część opublikowana została dopiero pół wieku później w t.3 Opera omnia Johanna.
Po roku „Acta Eruditorum” opublikowały wyniki Leibniza, Huygensa i Johanna Bernoulliego, lecz bez dowodów. Ówcześni matematycy niechętnie ujawniali metody, woleli raczej drażnić konkurentów swymi umiejętnościami.
Praca Christiaana Huygensa była niezadowalająca, stary mistrz nie znał nowych technik. Rozpatrywał łańcuch zbudowany z odcinków i próbował wykonać przejście graniczne do krzywej ciągłej, gdy długość każdego odcinka dąży do zera. Leibniz podał rozwiązanie w najprostszy sposób jako konstrukcję średniej arytmetycznej z dwóch krzywych wykładniczych („curva logarithmica”). Kilka lat później Leibniz opisał szczegółowo swoje rozwiązanie w liście do Huygensa. Nie było ono zbyt eleganckie, lecz ukazywało siłę metody postępowania, dzięki której nawet mało inteligentne podejście do problemu dawało się skutecznie przeforsować. Sam Jacob nie zdołał rozwiązać problemu i niezbyt mu się podobało, że dokonał tego jego młodszy brat.

Johann Bernoulli wyraził swoje rozwiązanie w postaci pola pod pewną krzywą, czyli całki. Przeanalizował też szczegółowo cały problem i rozwiązał go w sposób zdecydowanie elegantszy. Podał szereg twierdzeń, które przedstawione są na kolejnych rysunkach.

Punktem wyjścia jest zasada następująca: (Fig. 131) siły działające w dwóch dowolnych punktach A i C po różnych stronach minimum mają kierunek styczny do krzywej (łańcuch jest giętki) i muszą dodane wektorowo zrównoważyć ciężar łańcucha pomiędzy A i C. Środek ciężkości odcinka AC łańcucha znajdzie się dokładnie nad punktem D. Jeśli (Fig. 133) utniemy jakiś kawałek łańcucha, np. powyżej F, pozostała część nie zmieni kształtu. W szczególności (Fig. 132 i 135) możemy wybrać jako jedną z sił styczną w minimum, pozwala to szczególnie prosto sformułować warunek, jaki musi spełniać nasza krzywa. Fig. 136 daje konstrukcję Leibniza, równoważną Fig. 137 konstrukcję Johanna.
Podstawowa własność krzywej łańcuchowej daje się odczytać ze współczesnej wersji Fig. 132.

Aby utrzymać w równowadze odcinek łańcucha o długości s i ciężarze \varrho s potrzebna jest równa temu ciężarowi składowa pionowa siły (fioletowa). Składowe poziome (czerwone) równoważą się nawzajem, co oznacza, że składowa pozioma jest niezależna od wysokości. Możemy więc zapisać dla naszej krzywej

\dfrac{dy}{dx}=\mbox{tg }\alpha = s.

Nachylenie stycznej proporcjonalne jest do odległości od minimum. Bez zmniejszenia ogólności możemy przyjąć, że stała proporcjonalności równa jest 1 – możemy to zawsze osiągnąć wybierając odpowiednio jednostkę długości. Reszta jest zastosowaniem cudownej metody Leibniza (*), która szybko prowadzi do wyniku:

y(x)=\cosh x\equiv \dfrac{e^x+e^{-x}}{2}.

Obecnie sumę taką jak w kształcie krzywej łańcuchowej zapisujemy jako cosinus hiperboliczny: algebra funkcji hiperbolicznych jest podobna do trygonometrycznych, z tą istotną różnicą, że jedynka trygonometryczna zastąpiona jest wyrażeniem \cosh^2 x-\sinh^2 x=1 i pochodna cosinusa hiperbolicznego jest równa sinusowi hiperbolicznemu (bez minusa).
Krzywa łańcuchowa różni się od paraboli tym bardziej, im dalej od minimum się znajdziemy.

(*) Oznaczmy pochodną szukanej funkcji przez u. Różniczkując obie strony równania krzywej łańcuchowej, otrzymujemy

\dfrac{du}{dx}=\dfrac{ds}{dx}=\dfrac{\sqrt{dy^2+dx^2}}{dx}=\sqrt{u^2+1}.

Stąd

{\displaystyle \int {\dfrac{du}{\sqrt{u^2+1}}}=\int dx=x+A,}

Całkę możemy obliczyć korzystając z jedynki hiperbolicznej: \cosh^2 z=\sinh^2 z+1. Podstawiając u=\sinh z, mamy du=\cosh z dz i po lewej stronie zostaje całka z 1:

z=x+A.

Możemy wziąć sinh z obu stron, otrzymamy wówczas

\sinh z=u=\dfrac{dy}{dx}=\sinh (x+A).

Całkując ostatnią równość, otrzymujemy y=\cosh x. Stałe całkowania powinny być równe 0, jeśli chcemy mieć wykres taki, jak na obrazkach powyżej.