Leonhard Euler i problem bazylejski (1735)

Ścisłe sumowanie szeregów nieskończonych ma często coś z magii. Takim szeregiem słynnym w XVII wieku był szereg Leibniza:

Problem bazylejski polegał na znalezieniu sumy szeregu

Oznaczyliśmy tę sumę , można bowiem rozważać także sumy odwrotności innych potęg liczb naturalnych. Wiadomo, że przy wartościach wykładnika szereg jest zbieżny. Tak określona funkcja to zeta Riemanna, funkcja, którą wprowadził już Euler, lecz stała się sławna dużo później i jest jedną z najważniejszych funkcji w matematyce. W roku 1735 dwudziestoośmioletni Leonhard Euler, profesor matematyki z Bazylei, pracujący w Sankt Petersburgu, udowodnił, że

Niedługo później podał wyrażenia dla wartości przy całkowitych dodatnich wartościach . Był to przełomowy moment w karierze młodego matematyka, który szybko uznany został za najwybitniejszego nie tylko w swoim pokoleniu i w swojej epoce, lecz jednego z najbardziej twórczych uczonych w całej historii matematyki i fizyki.

Odkrycie było przełomowe, ponieważ wynik jest elegancki i do pewnego stopnia zaskakujący. Piszę – do pewnego stopnia – gdyż można by się go spodziewać jako czegoś w rodzaju kwadratu szeregu Leibniza. Suma odwrotności kwadratów liczb nieparzystych wystarczy, by znaleźć :

a więc mamy

Rzeczywiście, istnieje dowód korzystający z szeregu Leibniza (por. np. M. Aigner, G.M. Ziegler, Proofs from the Book), lecz jest znacznie późniejszy.

Problem bazylejski okazał się za trudny dla Jakoba i Johanna Bernoullich, braci i dwóch najważniejszychych matematyków wywodzących się z tego miasta. Euler był o pokolenie młodszy, przyjaźnił się z synami Johanna, Danielem i Nicolasem II. Leonhard jako student filozofii i teologii  uczęszczał na sobotnie lekcje matematyki do Johanna, podczas których mógł prosić o wyjaśnienie trudnych miejsc z czytanych samodzielnie dzieł matematycznych. Łatwo wpadający w gniew Johann nie był zapewne idealnym pedagogiem, ale dla kogoś takiego jak Euler, któremu nie trzeba było objaśniać zbyt wiele, była to nauka bezcenna – bezpośrednio u najwybitniejszego żyjącego mistrza analizy matematycznej. W Sankt Petersburgu Euler mieszkał początkowo u Daniela Bernoulliego, przyjaźnił się też z Christianem Goldbachem (tym od hipotezy Goldbacha w teorii liczb). Wkrótce Euler usamodzielnił się życiowo i naukowo i nie potrzebował mentorów, choć jak wszyscy uczeni epoki chętnie korespondował z innymi matematykami.

Pierwszą trudnością w rozwiązaniu problemu bazylejskiego było znalezienie wartości liczbowej wyniku. Bezpośrednie sumowanie szeregu bez komputera jest niewykonalne. Toteż jedną z pierwszych prac Eulera poświęconych temu problemowi było znalezienie szeregu, który jest szybciej zbieżny.

W pracy tej z 1731 roku (E20) Euler rozważa następujący szereg funkcyjny:

Funkcję tę nazywamy dziś dilogarytmem, jest ona oczywistym uogólnieniem naszego wyjściowego problemu. Mamy równość . Dla dowolnego zachodzi tożsamość

Wystarczy teraz wziąć i otrzymujemy szybko zbieżny szereg

Jest to dokładnie wartość . Euler zwraca uwagę, że aby uzyskać tę dokładność z prostego sumowania odwrotności kwadratów, należałoby dodać ponad tysiąc wyrazów. 

W roku 1735 w pracy E47 Euler obliczył wartość jeszcze dokładniej za pomocą odkrytego przez siebie wzoru (dziś zwanego wzorem Eulera-Maclaurina). Metoda jest subtelna i bardzo ogólna. Sumę wartości funkcji możemy w niej zastąpić całką oznaczoną z tej funkcji plus nieskończenie wiele wyrazów poprawkowych związanych z kolejnymi pochodnymi:

Współczynniki po prawej stronie mają postać , gdzie są to liczby Bernoulliego, nazwane tak przez Eulera, gdyż pojawiły się po raz pierwszy w wyrażeniach dla sumy -tych potęg kolejnych liczb naturalnych rozpatrywanych przez Jakoba Bernoulliego. Możemy bez trudu zastosować ten wzór dla funkcji i sumowania do nieskończoności. Euler otrzymuje

Biorąc , otrzymuje sumę 1,549767731166540, a dodając do niej wyrazy z powyższego wyrażenia:

Wszystkie cyfry dziesiętne są tutaj dokładne. Stosowanie tej metody zawiera jednak istotną subtelność: szereg różnic pochodnych nie jest zbieżny, liczby Bernoulliego rosną coraz szybciej dla dużych indeksów i metodę należy stosować z wyczuciem. Jeśli weźmiemy niezby małe oraz nie za dużo wyrazów z pochodnymi, otrzymamy wartościowy wynik. Euler zdawał sobie z tego sprawę. Stosując różne metody, mógł sprawdzić ich słuszność, jego matematyka była w znacznej mierze eksperymentalna, ówczesna analiza nie dysponowała ścisłymi dowodami, jakie pojawiły się w XIX wieku. Warto może dodać, że najdokładniejsze liczbowo wyniki fizyki, uzyskiwane w kwantowej teorii pola, też obliczane są za pomocą szeregów podobnego typu. Wiadomo, że nie są one zbieżne, lecz przy niewielu wyrazach sumowanych dokładność może być zdumiewająca: kilkanaście cyfr znaczących. Praca Eulera nie była więc jedynie sztuką dla sztuki, jak mogłoby się wydawać na pierwszy rzut oka.

Nie wiemy, czy powyższa analiza numeryczna poprzedzała dowód, że . Niewątpliwie wzmacniała prawdopodobieństwo, że wynik jest prawidłowy. Podejrzewam, że Euler najpierw znał wynik liczbowy, a następnie szukał potwierdzenia innymi metodami. Zastosowanym w roku 1735 (E41) podejściem było spojrzenie na funkcję sinus jak na wielomian. Gdyby rzeczywiście sinus zachowywał się jak wielomian, powinien być równy

ponieważ jego miejsca zerowe to , gdzie jest dowolną liczbą całkowitą.  Wszystkie pierwiastki są pojedyncze. Mielibyśmy wówczas

Korzystając z rozwinięcia funkcji sinus w szereg Maclaurina mamy też

Gdyby w iloczynie nieskończonym przemnożyć wyrazy, otrzymalibyśmy początek rozwinięcia

Z porównania wyrazów przy można od razu otrzymać wynik. Wyprowadzenie Eulera szybko stało się sławne, choć było też krytykowane jako ryzykowne. Dowód, iż sinus można w istocie przedstawić jako taki iloczyn nieskończony, przekraczał możliwości ówczesnej analizy. Korzystając z tego rozwinięcia można także znaleźć funkcje zeta dla parzystych argumentów, choć analiza staje się nieprzejrzysta.

Problem bazylejski pozostawił niedosyt także u Eulera, który wracał do niego kilkakrotnie. W roku 1743 podał bardzo zwyczajne wyprowadzenie wartości . Zaczynamy od rozwinięcia w szereg funkcji arcus sinus:

Następnie całkujemy obie strony w granicach od do . Mamy

Ostatnią całkę obliczamy przez części: w odpowiednich granicach. Wyrazy w nawiasie kwadratowym to , natomiast , w ten sposób . Ostatecznie

Wracając do wyjściowego wyrażenia, dostajemy

 

Wykorzystaną wyżej tożsamość dla dilogarytmów można wykazać rozbijając całkę po przedziale na dwie całki po przedziałach oraz . W tej drugiej zamieniamy zmienną i całkujemy przez części.

Liczby Bernoulliego. Dla naturalnego definiujemy liczby Bernoulliego związkiem rekurencyjnym

który należy rozumieć w ten sposób, że wykładniki potęg traktujemy jako indeksy. Razem z wartością związek ten określa ciąg liczb Bernoulliego. Stosując taki sam zapis wielomiany Bernoulliego (przy ) określamy następująco:

W zwykłym zapisie: 

Wielomiany te począwszy od drugiego spełniają warunki

Wzór Eulera-Maclaurina otrzymujemy w sposób rekurencyjny, całkując przez części:

Następnie po prawej stronie zastępujemy przez i znowu całkujemy przez części. Euler stosował tę procedurę ad infinitum, dziś raczej zatrzymujemy się na skończonej liczbie takich operacji i uzyskujemy wzór na resztę. Por. np. E. Hairer, G. Wanner, Analysis by Its History, Springer 2008.

Jakob Hermann pisze do Johanna Bernoulliego na temat ruchu planet, 12 lipca 1710 r.

Ulmenses sunt mathematici – mieszkańcy Ulm to matematycy – głosiło stare porzekadło. Znamy jednego matematyka z Ulm Johannesa Faulhabera, który miał kontakty z Keplerem i być może z Kartezjuszem. Słynna ogrzewana komora, w której rozmyślał francuski filozof pewnej jesieni, mieściła się w Neuburgu niezbyt oddalonym od Ulm. No i w Ulm urodził się Albert Einstein, lecz rodzina rok później się przeprowadziła i uczony jako człowiek dorosły nigdy potem nie odwiedził już swego miasta rodzinnego.

Prawdziwą kolebką matematyków była natomiast leżąca niezbyt daleko od Ulm Bazylea. Stąd pochodziła rozgałęziona rodzina Bernoullich, a także Leonhard Euler i Jakob Hermann. Protoplastą naukowego rodu był Jakob Bernoulli, to od niego uczyli się matematyki jego brat Johann oraz Jakob Hermann. Johann z kolei był ojcem wybitnego Daniela i nauczycielem genialnego Eulera. Ponieważ posad dla matematyków nie było w Europie wiele, więc wszyscy ci matematycy sporo podróżowali. Dzięki bazylejskim matematykom rachunek różniczkowy i całkowy Leibniza stał się podstawą nowożytnej matematyki.

Drugim wielkim zadaniem uczonych od końca XVII wieku stało się przyswojenie osiągnięć Isaaca Newtona. Matematyczne zasady filozofii przyrody zawierały rewolucyjną fizykę przedstawioną za pomocą indywidualnego języka matematycznego, stworzonego przez autora. Nie było w historii nauki traktatu tak oryginalnego zarówno pod względem treści fizycznej, jak i matematycznej. Toteż jego zrozumienie i opanowanie zajmowało całe lata nawet wybitnym uczonym. Na kontynencie panował matematyczny idiom Leibniza i twierdzenia Newtona tłumaczono niejako na tę zrozumiałą wśród uczonych symbolikę.

Jakob Hermann pierwszy podał różniczkowe sformułowanie II zasady dynamiki. Miało ono u niego postać

gdzie oznaczały siłę i masę, a – różniczki prędkości i czasu. Zapis ten pojawił się dopiero na 57 stronie jego traktatu Phoronomia (1716) i odnosił się do siły ciężkości zależnej od położenia. Oczywiście, Newton już w 1687 r. rozważał takie siły, ale wyłącznie w postaci geometrycznej. Jego II prawo brzmiało: „Zmiana ruchu jest proporcjonalna do przyłożonej siły poruszającej i następuje w kierunku prostej, wzdłuż której siła ta jest przyłożona.” Newton miał na myśli zmiany pędu ciała w pewnym krótkim czasie. Jednym problemem tego sformułowania była kwestia opisywania zmian w czasie, drugim problemem był wektorowy charakter siły: ilość ruchu, pęd, zmienia się w kierunku przyłożonej siły.

Pokażemy, jak Hermann rozwiązał problem ruchu ciała przyciąganego siłą odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości od nieruchomego centrum. Zwolennicy Leibniza mieli zastrzeżenia do Newtonowskiego dowodu tego faktu, zbyt szkicowego. Pragnęli wyraźnego wykazania, że tylko stożkowe (albo część linii prostej) mogą być torem ciała. Opisywałem kiedyś rozwiązanie tego problemu podane w XIX wieku przez Williama Rowana Hamiltona.

Wyobrażamy sobie przyciągane przez centrum S ciało zakreślające krzywą CD. Jego ruch w nieskończenie krótkim czasie można przedstawić jako sumę wektorową ruchu bezwładnego od C do E oraz spadania od E do D wzdłuż kierunku siły w punkcie C, tzn. odcinki SC i DE są równoległe. Zmiana współrzędnej w ruchu bezwładnym byłaby równa . Efekt działania siły przyciągającej to różniczka drugiego rzędu (co później zapisywano ). Oczywiście do wchodzi tylko x-owa składowa siły.

Dziś narysowalibyśmy to tak, Hermann odnajduje trójkąty podobne na swoim rysunku i dochodzi do wniosku, że

Pole SCD zakreślane w czasie można przedstawić jako pole trójkąta o bokach oraz , a więc jest ono równe połowie pola równoległoboku
Ostatecznie różniczkę możemy zapisać następująco (siła jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości):

gdzie jest stałą proporcjonalności. Naszym zadaniem jest znalezienie równania krzywej.
Całką tego równania jest

Dzieląc obustronnie przez i całkując ponownie, otrzymujemy

gdzie jest stałą całkowania. Jest to równanie stożkowej (po obustronnym podniesieniu do kwadratu otrzymamy wielomian kwadratowy w zmiennych ).

Postępowanie Hermanna jest pomysłowe, choć całkowania są nieintuicyjne. Można jednak, jak zawsze, sprawdzić je, idąc od końca do początku, tzn. wykonując dwa kolejne różniczkowania. Tak naprawdę sztuka rozwiązywania równań różniczkowych jest często zamaskowanym odgadywaniem całek. Różniczkowania wynikają z reguły Leibniza dla iloczynu .
W naszym przypadku mamy np. dla drugiego równania

Pamiętając, że , mamy . Itd. itp. rachunki „od końca” są łatwe. W pierwszym całkowaniu przyjęliśmy stałą całkowania równą zeru, co nie zmniejsza ogólności wyniku, bo Hermann zakłada, iż oś jest osią toru planety, tzn. przecięcie z osią z lewej strony punktu następuje w peryhelium albo aphelium, czyli przy powinno być .
Johann Bernoulli, który miał dość nieznośny charakter (nigdy nie dość wypominania mu, jak to konkurował ze swym synem Danielem) odpowiedział wybrzydzaniem na procedurę Hermanna i przedstawił swoją ogólniejszą, opartą na innym podejściu.

Z dzisiejszego punktu widzenia Hermann odkrył pewną całkę pierwszą problemu Keplera (tak się dziś nazywa problem ruchu wokół centrum przyciągającego jak ). Całka pierwsza to wyrażenie, którego wartość nie zmienia się podczas ruchu. U Hermanna jest to

W wyrażeniu tym . Gdyby zająć się przyspieszeniem wzdłuż osi , otrzymalibyśmy drugą całkę. Razem składają się one na wektor

Nazywa się go wektorem Rungego-Lenza, choć odkrył go właściwie Jakob Hermann. W pełni zdał sobie sprawę z faktu, że mamy trzy takie całki pierwsze, czyli w istocie wektor, Joseph Lagrange, a po nim Pierre Simon Laplace. Laplace przedyskutował też systematycznie wszystkie całki pierwsze problemu Keplera (trzy to moment pędu, trzy to nasz wektor, jedna to energia całkowita planety). Carl David Runge (ur. 1856) oraz Wilhelm Lenz (ur. 1888) pojawiają się w tej historii późno i w rolach dość przypadkowych. Pierwszy (znany z algorytmu Rungego-Kutty) użył tego wektora w swoim podręczniku analizy wektorowej, drugi zastosował go do pewnego problemu w starej teorii kwantów, przepisując go z podręcznika Rungego. Zupełnie niekosztowny sposób wejścia do historii. Wilhelm Lenz jest natomiast autorem tzw. modelu Isinga (Ernst Ising był jego doktorantem). Wektor odegrał pewną rolę w powstaniu mechaniki kwantowej. Stosując go, Wolfgang Pauli otrzymał wartości energii w atomie wodoru na podstawie formalizmu macierzowego Heisenberga. Chwilę później Erwin Schrödinger zrobił to samo w swoim formalizmie i wielu fizyków nie wiedziało, co o tym myśleć, bo na pierwszy rzut oka oba podejścia różniły się kompletnie.

Spirala logarytmiczna

Ponieważ pisałem o spiralach u van Gogha, więc może warto napisać trochę więcej o ich matematyce. Zdefiniujmy spiralę jako krzywą, która zawsze tworzy kąt z promieniem wodzącym z początku układu.

Najłatwiej równanie spirali zaleźć we współrzędnych biegunowych: położenie punktu określamy przez odległość od początku układu oraz kąt , jaki tworzy promień wodzący z ustaloną półosią. Kąty liczymy przeciwnie do wskazówek zegara. Wielkim odkryciem XVII wieku w matematyce było zauważenie, że krzywe gładkie można traktować jak złożone z bardzo krótkich odcinków linii prostych, najlepiej nieskończenie małych odcinków (ale zawsze można sobie wyobrażać coraz mniejsze odcinki skończone). Narysujmy sobie taki nieskończenie mały odcinek spirali. Oczywiście, musimy narysować odcinek skończony (niebieski na rysunku), nieskończenie małe wielkości nie nadają się do rysowania.

Stałość kąta oznacza, że stały, tj. niezależny od punktu jest także jego cotangens:

Oznaczyliśmy cotangens kąta literą , żeby mniej pisać. Wielkość ta nie zależy od punktu spirali. Znaczy to, że gdy obracamy wektor wodzący o , to jego nowa długość równa się

Po dwóch obrotach o dostaniemy . Gdyby kąt był czasem, a stopą procentową, to mielibyśmy procent składany: po każdym okresie nasz kapitał rośnie o stały czynnik . Sens geometryczny tej spirali jest więc łatwy do uchwycenia: każdy obrót o ustalony kąt oznacza wzrost promienia o ustalony procent, czyli o ustalony czynnik. Wzrost jest więc wykładniczy. Zaczynając od promienia przy kącie , mamy po obrotach

Skończony kąt możemy uzyskać jako złożenie bardzo wielu obrotów o mały kąt . Będzie wówczas spełniony warunek . Promień będzie równy

gdzie oznacza podstawę logarytmu naturalnego (*). Wykładnicza zależność oznacza, że obracając się w kierunku ujemnym, nigdy nie otrzymamy zera, a więc nasza spirala nie tylko rozwija się nieskończenie, ale i zwija w pobliżu zera nieskończenie wiele razy. Wynika to po prostu z faktu, że może przyjmować dowolne wartości rzeczywiste, dodatnie, ujemne (albo zero), a zawsze będzie dodatnie. Nie można narysować otoczenia początku układu, bo tam spirala zwija się nieskończenie wiele razy.

Łatwo jest też obliczyć długość spirali od punktu początkowego do danego kąta . Patrząc jeszcze raz na nasz nieskończenie mały odcinek spirali, widzimy, że całkowita jej długość jest proporcjonalna do , a więc skończona:

(*) Możemy sobie wyobrażać, że liczba staje się coraz większa, ale tak aby . Korzystamy z z granicy przy :

Vincent van Gogh, Gwiaździsta noc: chaos i kosmos (czerwiec 1889)

W Słowniku komunałów Gustave’a Flauberta czytamy: „GENIUSZ: nie ma czego podziwiać, to tylko «neuroza»”. Niechęć i fałszywą wyższość dobrze myślącego obywatela, zmieszaną z udawanym współczuciem, znajdujemy w notatce z lokalnej gazety w Arles pod koniec roku 1888:

KRONIKA LOKALNA
Ubiegłej niedzieli pół godziny przed północą niejaki Vincent Vangogh, malarz, narodowości holenderskiej, zjawił się w domu publicznym nr 1, gdzie poprosił niejaką Rachel i wręczył jej …swoje ucho, ze słowami „proszę przechować ten cenny przedmiot”, a następnie odszedł. Policja, poinformowana o tym zajściu, którego sprawca z pewnością musiał być nieszczęsnym szaleńcem, udała się następnego ranka do mieszkania owego osobnika i zastała go śpiącego w swoim łóżku, bez żadnych prawie oznak życia.
Nieszczęśnik przyjęty został natychmiast do szpitala.

W słowach tych czuje się krzywy uśmieszek podrzędnego pismaka, który nie dostąpił jeszcze zaszczytu pisywania do szmatławca pod własnym nazwiskiem i chce nas zabawić pikantną anegdotą: wiadomo, ci artyści…
W wieku trzydziestu pięciu lat Vincent van Gogh z niezrozumiałym uporem trzyma się myśli, iż jest malarzem, choć nikt nie ceni jego płócien; nie ukończył żadnej szkoły ani nie radził sobie z typowymi ćwiczeniami rysunkowymi, powtarzano mu raczej, że się do tego nie nadaje; jest biedakiem, utrzymywanym przez niezamożnego brata, cierpi też na niemożliwą dziś do zdiagnozowania chorobę psychiczną z epizodami psychotycznymi.
Mieszczańskie społeczeństwo nie zna już właściwie pojęcia powołania: wybiera się jedynie lepszy bądź gorszy sposób zarabiania pieniędzy. Śmierć Boga dotknęła wszystkich, najbardziej może kościoły i ich funkcjonariuszy, którzy też coraz rzadziej mówią o powołaniu, rozumiejąc przez nie zazwyczaj wygodne i dostatnie życie bez kłopotów. Van Gogh, człowiek na swój sposób głęboko religijny, niezbyt cenił kapłanów i ich urzędowo administrowaną moralność.
Sto lat później Muzeum van Gogha w Amsterdamie odwiedzają każdego roku miliony widzów, w osobliwej pielgrzymce śledząc mozolne wykluwanie się artysty. Widziany na tle swoich współczesnych, nie robi specjalnego wrażenia, ulega modzie na japońszczyznę i impresjonizm, kopiuje tych, których podziwia: wielkich jak Jean François Millet czy Eugène Delacroix albo niezbyt dziś pamiętanych, jak Gustave Doré. Nie jest zręczny, nic nie przychodzi mu łatwo i nic też nie zapowiada wielkiej sztuki. Jeśli czymś się wyróżnia, to uważnością, dostrzeganiem rzeczy drobnych i ludzi niepozornych, biednych, zniszczonych, w czym nic dziwnego, bo sam jest jednym z nich. Pielgrzymka do świętego miejsca sztuki wznosi się spiralnie z piętra na piętro. Dopiero na ostatnim z nich, najwyższym, znajduje się garstka obrazów, które są racją istnienia tego muzeum i które zmieniły nasz sposób patrzenia. Ich autor spędził ten okres – ostatnie dwa lata życia – przeważnie w zakładach dla obłąkanych, z poczuciem zbliżającego się końca.
Romantyczny idea twórczego natchnienia, które niczym duch boży tchnie, kędy chce, do dziś zachowała aktualność. Oznacza to, że nic nie pomoże odmieniać słowo kreatywność przez przypadki i organizować rozmaite warsztaty, liczy się tylko powołanie, a tego nie zapewni żaden certyfikat ani dyplom. Jest ono równie rzadkie co zbawienie u kalwinów, jego znaki zaś nie zawsze łatwe do odczytania przez ludzi, których wzrok przysłania łuska. Nie znamy rzeczywistych źródeł geniuszu, nie jest on jednak z pewnością objawem choroby. Niewykluczone, że dzisiejsze antydepresanty pozbawiłyby van Gogha twórczej siły, ale nie znaczy to wcale, że wystarczy być chorym i nie przyjmować leków, aby stać się artystą podobnej miary.

Koniecznie chciałbym teraz namalować niebo gwiaździste. Często wydaje mi się, że noc jest jeszcze bogatsza w kolory niż dzień, zabarwiona najbardziej intensywnymi fioletami, błękitami i zieleniami.
Gdy zwrócisz na nie uwagę, zauważysz, że niektóre gwiazdy są cytrynowe, inne świecą różowo, zielono albo niebiesko jak niezapominajki. I jest chyba oczywiste, że aby namalować niebo gwiaździste, nie wystarczy porozmieszczać białe punkty na błękitnej czerni. (List do Willemien van Gogh 14 IX 1888)

…czy życie całe jest dla nas widoczne, czy też przed śmiercią znamy tylko jego jedną półkulę?
(…) nic o tym nie wiem, ale widok gwiazd zawsze mnie rozmarza w równie prosty sposób, jak czarne punkty wyobrażające na mapie miasta i wsie. Dlaczego, powiadam sobie, świetlne punkty na firmamencie miałyby być dla mnie mniej dostępne niż czarne punkty na mapie Francji?
Udając się do Taraskonu czy do Rouen wsiadamy do pociągu, kiedy wybieramy się do gwiazd, śmierć jest naszym sposobem lokomocji.
Jedno jest niewątpliwe w tym rozumowaniu: żywi nie możemy pojechać na gwiazdę, tak samo jak nie możemy wsiąść do pociągu umarli.
I w końcu nie wydaje się niemożliwe, żeby cholera, piasek w nerkach, suchoty, rak nie mogły być środkiem komunikacji niebieskiej, tak samo jak statek parowy, omnibus i pociąg są środkami komunikacji ziemskiej.
Umrzeć spokojnie ze starości znaczyłoby pójść do nieba pieszo. (List do Theo 9 albo 10 VII 1888)

Zapewniam cię, że jest mi tu dobrze, i na razie nie widzę powodu, dla którego miałbym zamieszkać w Paryżu albo w jego okolicy. Mam mały pokój oklejony szarozieloną tapetą, firanki są zielone, koloru wody, z motywem z bladych róż, które ożywiają cienkie kreski krwistej czerwieni. (…) przez okratowane okno widzę zamknięty kwadrat zboża – perspektywa jak u van Goyena; z rana widzę, jak nad tym polem wstaje słońce w całej swej chwale. (…) Sala, w której przebywa się w dni deszczowe, przypomina poczekalnię trzeciej klasy w jakimś zapomnianym od Boga miasteczku, tym bardziej że są tu szacowni wariaci, którzy zawsze chodzą w kapeluszu na głowie, w okularach, w stroju podróżnym i z laską w ręce – mniej więcej jak w kąpielisku nadmorskim; grają tu rolę podróżnych. (…)

Narysowałem wczoraj bardzo wielką ćmę, dość rzadką, zwaną trupia główka (w rzeczywistości Pawica gruszkówka, Saturnia pyri) w zdumiewająco dystyngowanych kolorach: czarnym, szarym, białym, cieniowaną z przebłyskami karminu bądź nieznacznie wpadającymi w oliwkową zieleń. (List do Theo, 23 V 1889)

 

Tego ranka widziałem pejzaż z mego okna na długo przed wschodem słońca, świeciła jedynie Gwiazda Zaranna, która wydawała się bardzo wielka. (List do Theo, między 31 V a 6 VI 1889)

Na stronie Moma

Próbowano odnaleźć na namalowanym niebie znane gwiazdozbiory, co się chyba tylko połowicznie udało i nie ma większego znaczenia. Świeci na nim Gwiazda Zaranna – Wenus i dziwny Księżyc: gdyby miało to być przed wschodem słońca, powinien mieć kształt pochylonej do tyłu litery C. Światła wioski są tego samego koloru co gwiazdy, to z pewnością nieprzypadkowe, tak samo jak nieprzypadkowe są dwa pionowe akcenty obrazu: płomienisty cyprys i wieża wiejskiego kościółka Saint Martin. W oczach van Gogha natura ważyła więcej niż ludzkie obrzędy.

Arystofanes wyśmiewał filozofię w osobie Sokratesa, co bamałuci tylko młodzieńców, szerząc bezbożność (jak wiemy, za to właśnie filozof skazany został na śmierć przez wypicie cykuty – satyryk po stronie siły to postać doprawdy ohydna). Owóż ta arystofanesowa kreatura Sokratesa naucza, że nie istnieje Zeus, a światem rządzą chmury.

– A któż to je zmusza, jeśli nie Zeus, by się ruszały i tłukły?
– Nie żaden Zeus, lecz powietrzny wir. (przeł. J. Ławińska-Tyszkowska)

Dla Greków kosmos był przeciwieństwem chaosu. Słowa kosmos – znaczącego tyle, co piękny ład, regularny porządek (z tego samego rdzenia mamy kosmetykę, czyli sztukę upiększania) – w odniesieniu do wszechświata użył Pitagoras. Chaos przerażał Greków, dlatego wir powietrzny albo atomy Demokryta były doktryną wywrotową, która burzy państwo i porządek. Napięcie między boskim ładem i niezliczonymi atomami, drobinami krążącymi i pulsującymi w próżni, przez długie wieki wydawało się nieusuwalne.

Niebo gwiaździste van Gogha to nie tylko dalekie światła, lecz także porywający wszystko spiralny wir. Uczeni komentatorzy zastanawiali się nad owymi spiralami. Van Gogh mógł gdzieś widzieć rysunki mgławic spiralnych, obserwowanych wówczas przez jeden tylko przyrząd na świecie, wielki teleskop lorda Rosse’a. Były one reprodukowane w niezliczonych książkach i czasopismach. Nikt nie rozumiał dobrze, czym są owe spirale ani skąd się biorą (tego drugiego nie wiemy zbyt dokładnie także i dziś). Nie wiedziano też, czy chodzi o zbiorowiska gwiazd, czy obłoki gazu, a może są to tworzące się nowe układy planetarne?

Kształt spiralnych ramion wielu galaktyk bliski jest spirali logarytmicznej. To osobliwa krzywa, którą Jakob Bernoulli kazał wyryć na swoim nagrobku z napisem: resurgo eadem mutata – zmieniona odradzam się ta sama (wyryto mu jednak spiralę Archimedesa bez porównania banalniejszą).

Rysunek http://www.daviddarling.info/encyclopedia/L/logarithmic_spiral.html

Spiralę taką zatacza jastrząb, polując na zdobycz, którą stara się widzieć stale pod tym samym kątem do kierunku lotu – z tego powodu krzywa ta bywa nazywana spiralą równokątną. Aby dotrzeć do punktu środkowego, trzeba nieskończenie wielu okrążeń, choć droga przebywana przy tej okazji jest skończona. Spiralę taką zataczają ćmy wokół lampy, uczeni wyjaśniają to błędem nawigacji: zachowując stały kąt względem Księżyca ćma leci po linii prostej, zachowując natomiast stały kąt do lampy, zatacza śmiertelną spiralę.

Oli

Przekłady listów do Theo wg J. Guze, z niewielkimi zmianami i uzupełnieniami, datowanie wg http://vangoghletters.org/vg/letters.html.