Od Eulera do Feynmana: Po co nam liczba e?

Ilu matematyków potrzeba do wkręcenia żarówki? Odpowiedź: $-e^{i\pi}$ .

Piętnastoletni Richard Feynman zapisał w swoim notatniku:

Najbardziej niezwykła równość w matematyce

$e^{i\pi}+1=0.$

Rzeczywiście, mamy tu trzy liczby: podstawę logarytmów naturalnych $e$ , stosunek długości okręgu do średnicy $\pi$ oraz jednostkę urojoną $i$ . Pokażemy, co wyróżnia liczbę $e$ , wprowadzoną w sposób systematyczny i nazwaną przez Leonharda Eulera. Przyjrzymy się funkcji wykładniczej $e^{x}$ w dwóch przypadkach: dla $x$ rzeczywistego oraz czysto urojonego – w tym drugim przypadku funkcja staje się okresowa, co jest na pierwszy rzut oka zaskakujące.

W dziedzinie rzeczywistej funkcja $e^x$ jest „najprostszą” funkcją wykładniczą. Na wykresie zaznaczona jest linią niebieską. Na czym polega jej prostota (albo naturalność)? Po pierwsze można każdą inną funkcję wykładniczą zapisać za jej pomocą, zatem inne są nam właściwie niepotrzebne. Po drugie zachowuje się ona najprościej w okolicy $x=0$ . Oczywiscie każda funkcja wykładnicza ma w tym punkcie wartość 1. Chodzi jednak o nachylenie, z jakim krzywa przecina oś $Oy$ . Z wykresu widać, że to nachylenie względem osi $Ox$ może być dowolne (oprócz 90º). Naturalna funkcja wykładnicza ma tangens nachylenia równy 1. Oznacza to, że dla małych wartości $x$ mamy

$e^x\approx 1+x. \mbox{ (*)}$

Dla porównania, przy podstawie 10, otrzymamy:

$10^x\approx 1+2,3026x.$

Widzimy, czemu matematycy nie chcą używać innych podstaw funkcji wykładniczej niż $e$ . Funkcję tę możemy zdefiniować jako szereg, czyli nieskończoną sumę:

$e^x=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\ldots.$

Nawet jeśli nie znamy analizy, wiadomo, jak używać takiego szeregu: gdy chcemy poznać wartość funkcji, musimy zsumować dostatecznie dużo jego wyrazów. Ile wyrazów – to zależy od wymaganej dokładności oraz od wartości $x$ .

Tak wygląda obliczanie wartości liczby $e$ .

Istnieje także inny, bardziej praktyczny sposób zdefiniowania liczby $e$ . Wyobraźmy sobie, że oddajemy złotówkę na lokatę ze stopą oprocentowania 10% na 10 lat. Ile będziemy mieli na koncie po 10 latach? Naiwna odpowiedź brzmi 2 zł (bo 10% razy 10 lat daje 100%). W rzeczywistości musimy uwzględnić kapitalizację odsetek, tzn. fakt, że co pewien czas obliczana jest nowa wartość naszej lokaty i następne odsetki oblicza się już od tej nowej wartości. Jeśli kapitalizacja odsetek następuje co roku, wartość naszej lokaty po 10 latach równa będzie

$\left(1+\dfrac{1}{10}\right)^{10}\approx 2,5937.$

A gdyby kapitalizować odsetki 10 razy w roku (oczywiście za każdym razem stopa będzie 10 razy mniejsza)? Wówczas wartość naszej lokaty będzie równa

$\left(1+\dfrac{1}{100}\right)^{100}\approx 2,7048.$

W tym miejscu uważny Czytelnik zauważy, iż nasze zadanie prowadzi najwyraźniej do liczby $e$ .

Bardziej rozbudowany przykład liczbowy.

Gdybyśmy kapitalizowali odsetki w sposób ciągły, pod koniec lokaty będziemy mieli na koncie $e$ zł. Możemy uważać tę wartość za granicę następującego ciągu:

$e=\lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n \mbox{ (**)}.$

Wynika stąd, że w przybliżeniu 1% wzrostu przez 100 lat albo 5% wzrostu przez 20 lat, albo 10% wzrostu przez 10 lat dadzą w przybliżeniu ten sam wynik końcowy: $e$ . Błąd będzie tym mniejszy, im mniejsza jest stopa procentowa. Istnieje podobna reguła dla wzrostu dwukrotnego: iloczyn stopy procentowej i liczby okresów powinien równać się około 70%. Czyli np. wzrost gospodarczy 7% rocznie przez 10 lat daje podwojenie PKB. (Reguła 70% to naprawdę reguła 69,3%, chodzi o to, że $e^{0,693}\approx 2$ ).

Przejdźmy teraz do argumentów czysto urojonych. Funkcja $e^{it}$ jest okresowa, czego na pierwszy rzut oka nie widać w jej definicji za pomocą szeregu (wstawiliśmy $x=it$ ):

$z(t)=e^{it}=1+\dfrac{it}{1!}+\dfrac{(it)^2}{2!}+\dfrac{(it)^3}{3!}+\ldots.$

Spróbujmy popatrzeć na tę funkcję okiem fizyka, traktując $t$ jako czas, a wartość funkcji jako współrzędne punktu na płaszczyźnie zespolonej. Łatwo obliczyć moduł liczby $z(t)$ , tzn. odległość punktu od początku układu. Jeśli $z(t)=a+bi$ , to mamy

$|z(t)|^2=a^2+b^2=(a+bi)\cdot(a-bi)=zz^{\star},$

gdzie w ostatniej równości skorzystaliśmy z definicji liczby zespolonej sprzężonej do danej liczby: różni się ona znakiem przy części urojonej. W naszym przypadku otrzymamy:

$|z(t)|^2=zz^{\star}=e^{it}\cdot e^{-it}=e^{0}=1.$

Zatem koniec wektora $z(t)$ będzie leżał na okręgu jednostkowym. Obliczmy prędkość ruchu punktu $z(t)$ . Prędkość średnia w przedziale czasu $(t, t+h)$ będzie równa

$v(t)=\dfrac{z(t+h)-z(t)}{h}=\dfrac{e^{i(t+h)}-e^{it}}{h}=e^{it}\dfrac{e^{ih}-1}{h}.$

Zauważmy, że działania takie jak dodawanie, odejmowanie liczb zespolonych oraz dzielenie przez liczbę rzeczywistą $h$ odbywa się zgodnie z regułami działań na wektorach (w tym przypadku dwuwymiarowych). Jeśli czas $h$ będzie krótki, to w ostatnim ułamku możemy zastosować (*) dla przypadku $x=ih$ i otrzymamy ostatecznie

$v(t)=iz(t).$

Łatwo zauważyć, że mnożenie liczby zespolonej przez i oznacza obrót wektora o 90º w lewo na płaszczyźnie:

$i(a+bi)=-b+ai.$

Moduł obliczonej przez nas prędkości równy jest 1. Sytuację przedstawia rysunek.

Okres ruchu to długość okręgu podzielona przez prędkość, czyli $2\pi$ . Promień wodzący punktu o współrzędnych $z(t)$ tworzy kąt proporcjonalny do czasu. Ponieważ $z(0)=1$ , więc kąt ten po prostu równy jest $t$ . W zapisie zespolonym punkt na okręgu jednostkowym ma przy takim kącie $t$ postać (stosujemy definicje funkcji sinus i cosinus na okręgu jednostkowym):

$\cos t+i\sin t=z(t)=e^{it}.$

Wzór ten zwany jest wzorem Eulera. Wstawiając $t=i\pi$ , otrzymujemy równość, od której zaczęliśmy i która tak zachwyciła młodego Feynmana. Wzór Eulera jest niezwykle użyteczny w rozpatrywaniu fal, drgań, a także w trygonometrii, funkcje wykładnicze są bowiem bardzo proste w użyciu. Powiedzmy, że potrzebujemy wyrażenia na $\sin 2\alpha$ . Wystarczy podnieść do kwadratu wzór Eulera, a dostaniemy szukane wyrażenie oraz przy okazji wyrażenie na $\cos 2\alpha$ :

$e^{i2\alpha}=\cos 2\alpha+ i\sin 2\alpha.$

$(e^{i\alpha})^2=(\cos \alpha+i\sin \alpha)^2=\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha+i 2\sin \alpha\cos \alpha.$

Porównując prawe strony obu wyrażeń otrzymujemy dwie tożsamości trygonometryczne. Wzór Eulera musiał szczególnie podobać się Feynmanowi, bo przydaje się w praktycznych zastosowaniach. Feynman już wtedy starał się rozumieć, „jak działa” matematyka, to znaczy, jak można obliczyć najróżniejsze rzeczy. Nieprzypadkowo w Los Alamos kierował zespołem wykonującym obliczenia numeryczne, wiadomo było, że jest w tej dziedzinie pomysłowy, stosował np. równoległe przetwarzanie danych, żeby było szybciej (za procesory służyli ludzie z kalkulatorami elektrycznymi). Gdyby wysadzić go na bezludnej wyspie, odtworzyłby bez trudu sporą część różnych tablic funkcji i całek. Można zresztą założyć, że w wersji skróconej miał je wszystkie w głowie: zakładał się, że obliczy dowolne wyrażenie z dokładnością 10% w ciągu minuty, jeśli tylko samo zadanie można sformułować w dziesięć sekund. I niemal zawsze wygrywał.

Nieco więcej ścisłości.

Łatwo sprawdzić, że definicja $e^z$ za pomocą szeregu jest prawidłowa, tzn. szereg jest zbieżny absolutnie dla wszystkich wartości $z$ . Tak zdefiniowana funkcja spełnia też prawo mnożenia funkcji wykładniczych:

$e^{z+u}=e^{z}e^{u}.$

Mamy bowiem

$e^{z+u}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(z+u)^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n-k} \dfrac{z^{k}u^{n-k}}{k!(n-k)!} =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{z^k u^{m}}{k!m!} .$