Ludwig Boltzmann: Jak świat pogrąża się w chaosie (1877)

Atomizm był od starożytności doktryną szczególnie ostro zwalczaną. Wydawało się bowiem – i zapewne słusznie – że w świecie z atomów nie ma miejsca na duszę, która może przetrwać śmierć ciała. Jednak odkrycie w XV w. poematu Lukrecjusza O rzeczywistości (nb. przez papieskiego sekretarza, Gianfrancesco Braccioliniego) wywarło spory wpływ na dzieje idei. W Anglii Isaaca Newtona udało się pogodzić bożą wszechmoc z atomizmem, ale nie wszyscy zwolennicy nowej nauki byli przekonani do takich kompromisów. Do nieprzejednanych oponentów atomizmu należeli m.in. René Descartes i Gottfied Wilhelm Leibniz.

Naukowa kariera atomizmu złączona była z chemią oraz nauką o cieple. Od czasu Johna Daltona atomy okazały się niezwykle przydatnym narzędziem dla chemików. Fizycy dopiero w drugiej połowie XIX wieku zaczęli rozwijać teorię kinetyczną, czyli w gruncie rzeczy konsekwencje cząstkowego obrazu materii obdarzonej ruchem. Szczególnie prosta okazała się teoria kinetyczna gazów, ponieważ wystarczyło założyć, że cząsteczki gazów oddziałują tylko za pomocą zderzeń. Ten sposób myślenia przebijał się wszakże bardzo powoli, jak świadczy przykład Johna Waterstona. Kilkanaście lat później James Clerk Maxwell zapoczątkował nowoczesną teorię kinetyczną.

Teoria gazów stała się głównym tematem badań Ludwiga Boltzmanna, wiedeńczyka, który co kilka lat przenosił się niespokojnie z jednego uniwersytetu na drugi, pracując w Wiedniu, Grazu, potem znowu w Wiedniu, znowu w Grazu, w Monachium, jeszcze raz w Wiedniu, w Lipsku i ponownie w Wiedniu. Boltzmann stworzył całą nową dziedzinę wiedzy: fizykę statystyczną – czyli mikroskopowy statystyczny opis zjawisk cieplnych. Głównym zastosowaniem była dla niego teoria gazów, w istocie jednak teorię tę stosować można do wszelkich układów wielu cząstek. Wyjaśnia ona własności makroskopowe różnych ciał: kryształów, cieczy, metali, półprzewodników, magnetyków itd. Pokazuje, jak z poziomu oddziaływań między atomami i cząsteczkami przejść na poziom własności materii obserwowanej w laboratorium.

Zjawiska cieplne podlegają zasadom termodynamiki. Pierwsza z nich to po prostu zasada zachowania energii. Druga jest znacznie bardziej interesująca: mówi bowiem o kierunku możliwych przemian w świecie. Można zdefiniować wielkość zwaną entropią S, która jest funkcją stanu ciała, czyli np. w przypadku gazu zawartego w objętości V i mającego energię E: S=S(V,E). Otóż druga zasada termodynamiki mówi, że entropia układu izolowanego cieplnie nie może maleć, a zazwyczaj rośnie. Intuicyjnie wzrost entropii odpowiada temu, że większa część energii ciała ma postać chaotycznych ruchów cieplnych i trudniej ją wykorzystać do uporządkowanych zmian typu np. zmiany objętości (dlatego nie można zbudować np. silnika samochodowego, który wykorzystywałby w 100% energię uzyskaną ze spalania; samochody elektryczne przenoszą ten problem do elektrowni, które też zazwyczaj coś spalają, z nieco większą wydajnością, ale także daleką od 100%).

Entropia jest wielkością tzw. ekstensywną, to znaczy entropia układu złożonego z dwóch części będzie sumą entropii obu części:

S=S_1+S_2.

Jak na poziomie cząsteczkowym opisać wzrost entropii? Boltzmannowi udało się powiązać entropię z prawdopodobieństwem, a właściwie z liczbą mikrostanów odpowiadających danemu makrostanowi. Rozważmy naczynie z gazem, w którym znajduje się N cząstek o łącznej energii E. Tej samej wartości energii całkowitej odpowiada bardzo wiele różnych konfiguracji cząstek (mikrostanów). Gaz dąży spontanicznie do równowagi cieplnej, ponieważ jest to stan najbardziej prawdopodobny. Wzrost entropii nie jest więc tajemniczym prawem przyrody, lecz konsekwencją trywialnego faktu matematycznego, że zdarzenia bardziej prawdopodobne realizują się częściej niż wyjątkowe.

Jak można to opisać ilościowo? Stan ruchu jednej cząstki możemy opisać, podając jej położenie \vec{r} oraz pęd \vec{p}. Załóżmy, że całą przestrzeń dostępnych stanów podzieliliśmy na komórki o jednakowej objętości. Stan makroskopowy gazu znamy, gdy podana zostanie liczba cząstek gazu w każdej komórce. Wyobrażamy sobie przy tym, że liczby te są duże (w jednym molu mamy N_A=6\cdot 10^{23} cząstek, więc nawet po rozdzieleniu tych cząstek na bardzo wielką liczbę komórek, możemy wciąż mieć dużo cząstek w każdej komórce). Stan makroskopowy będzie więc listą liczb cząstek w kolejnych komórkach: (n_1, n_2,\ldots, n_r), gdzie r jest całkowitą liczbą komórek (jeśli całkowita energia gazu równa jest E, to żadna cząstka nie może mieć energii większej niż E, a więc obszar przestrzeni stanów potrzebny nam w rozważaniach jest ograniczony).

Schematyczny rysunek obszaru w przestrzeni stanów (jest on sześciowymiarowy, a więc trudny do narysowania). Zaznaczyliśmy jedną z komórek, na jakie dzielimy całą przestrzeń stanów wraz z liczbą cząstek w tej komórce.

Jeśli znamy poszczególne n_i, to możemy także obliczyć całkowitą liczbę cząstek N:

N=n_1+n_2+\ldots n_r

oraz całkowitą energię E:

E=\varepsilon_1 n_1+\varepsilon_2 n_2+\ldots+\varepsilon_r n_r,

gdzie \varepsilon_i oznacza energię w  i-tej komórce. Dalej zakładamy, że N oraz E (a także objętość gazu) są ustalone. Ilu konfuguracjom cząstek (mikrostanom) będzie odpowiadać dana lista (n_1, n_2,\ldots, n_r)? Zakładając, że cząstki są rozróżnialne, lecz jednakowe, liczba konfiguracji W prowadzących do tej samej listy równa jest

W=\dfrac{N!}{n_1! n_2!\ldots n_r!}.

Nietrudno zrozumieć sens tego wyrażenia: liczbę permutacji wszystkich cząstek dzielimy przez liczby permutacji wewnątrz kolejnych komórek, bo nie zmieniają one wartości n_i. Liczba konfiguracji jest proporcjonalna do prawdopodobieństwa. Możemy poszukać takiej listy (\bar{n}_1, \bar{n}_2, \ldots, \bar{n}_r), dla której W będzie maksymalne. Fizycznie powinno to odpowiadać stanowi równowagi termodynamicznej. Ów rozkład najbardziej prawdopodobny jest tzw. rozkładem Maxwella-Boltzmanna:

\bar{n}_i=C\exp(-\beta \varepsilon_i),

gdzie stałe C,\beta określone są warunkami stałości całkowitej liczby cząstek i energii. Boltzmann wcześniej uzyskał ten rozkład z innych rozważań. Można teraz zdefiniować entropię następującym wzorem:

S=k \ln W\equiv k \ln \dfrac{N!}{n_1! n_2!\ldots n_r!}.

Pojawienie się logarytmu jest tu całkiem oczekiwane, ponieważ gdy weźmiemy dwa układy o liczbach konfiguracji odpowiednio W_1, W_2, to całkowita liczba konfiguracji będzie równa

W=W_1W_2,

a chcemy żeby entropie w takiej sytuacji się sumowały: S=S_1+S_2. Zdefiniowaliśmy entropię nie tylko w stanach równowagowych, którym odpowiadają listy (\bar{n}_1, \bar{n}_2, \ldots, \bar{n}_r), ale także w dowolnych innych, którym odpowiadają listy (n_1, n_2,\ldots, n_r). Żeby nowa definicja miała sens, trzeba było oczywiście wykazać, że w sytuacjach równowagowych, otrzymuje się znane wcześniej wyrażenia. Wzór Boltzmanna

S=k\ln W,

stał się nową definicją entropii, dziś uważaną za podstawową. W istocie wzór Boltzmanna ma znacznie szersze pole zastosowań niż fizyka klasyczna znana w jego czasach. Jeśli rozważymy np. cząstki nierozróżnialne, można z analogicznych rozważań otrzymać prawa obowiązujące dla gazu fermionów (np. elektrony w metalu albo w białym karle) albo gazu bozonów (z czego wynikają prawa promieniowania cieplnego oraz, w innej nieco sytuacji, kondensacja Bosego-Einsteina). Wzór Boltzmanna pozwala też wyprowadzić wniosek, że w niskich temperaturach, gdy układ znajduje się w stanie podstawowym, entropia powinna być równa zeru – jest to treścią trzeciej zasady termodynamiki sformułowanej przez Wilhelma Nernsta.

W czasach Boltzmanna teoria kinetyczna była wysoce spekulatywna. Nie było pewności, czy w ogóle istnieją cząstki składające się na gaz. A więc znajdowanie liczby ich konfiguracji mogło wydawać się liczeniem diabłów na łebku szpilki. Ludwig Boltzmann przez całe życie odpierać musiał rozmaite zarzuty i brać udział w polemikach. Część dotyczyła spraw istotnych: w jaki sposób z odwracalnej mechaniki dochodzi się do procesów nieodwracalnych jak stygnięcie herbaty w kubku albo przewidywane wówczas przez niektórych uczonych stygnięcie, śmierć cieplna całego wszechświata? Najbardziej zjadliwe były polemiki filozoficzne. Zaciętym wrogiem Boltzmanna był tu Ernst Mach, dziś znany głównie za sprawą liczby Macha w lotnictwie ponaddźwiękowym. Fotografował on kule w locie.

Chciał też rewizji całej fizyki. Sądził, że posługuje się ona mnóstwem pojęć nie wytrzymujących krytyki. Np. przestrzeń absolutna u Newtona. Rozważania Macha zainspirowały Alberta Einsteina, choć w sposób bardzo swoisty. Sam Mach nie chciał słyszeć o teorii względności. Filozofia Macha miała ambicję wyrugowania z nauki pojęć nieopartych na bezpośrednim doświadczeniu. Chciał on niejako spojrzeć na świat od nowa. Dostrzegał w nim jedynie swoje wrażenia i ich wiązki.

Rysunek Ernsta Macha: jego pokój widziany lewym okiem

Dlatego koncepcja atomów była przez niego uważana za fikcję. Boltzmanna traktował jak naiwnego materialistę, nieświadomego subtelności pojęciowych. Przyszłość należała do fizyki statystycznej i atomów. „Naiwne” koncepcje fizyków zadziwiająco często sprawdzały się w praktyce. Co oczywiście, zdaniem filozofów, niczego nie dowodzi.

Skłonny do zmian nastrojów, Boltzmann cierpiał na napady depresji. W 1906 roku, przebywając na wakacjach w Duino nieopodal Triestu, popełnił samobójstwo, w czasie gdy żona i córka pływały w morzu. Nie dowiemy się, ile zdołałby osiągnąć, gdyby znano wtedy leki antydepresyjne.

Zaprawdę, to osobliwe, nie przebywać już odtąd na ziemi,

wyuczone zaledwie porzucić zwyczaje,

różom i innym odrębnie obiecującym rzeczom

nie dawać znaczeń ludzkiej przyszłości, już nigdy.

Tym, czym się było w dłoniach tak nieskończenie trwożnych,

nie być już więcej i nawet własne swe imię

porzucić, jak się porzuca połamaną zabawkę.

To osobliwe, już nie mieć życzeń. To osobliwe,

wszystko, co było związane, ujrzeć w przestrzeni

rozpierzchłe…

(przeł. M. Jastrun)

Reklamy

Jean Perrin i atomy, 1913

Zeszłoroczne odkrycie bozonu Higgsa przez dwa niezależne zespoły w LHC w CERN-ie ożywiło debatę nad znaczeniem tego wyniku. Z punktu widzenia teoretyków pracujących w dziedzinie cząstek elementarnych sytuacja jest nieco frustrująca: oto potwierdza się model zbudowany jakieś 40 lat temu – mniej więcej tyle, ile trwa profesjonalne życie badacza. Teoretycy przez ten cały czas wciąż pracowali, głównie pod dwoma sztandarami: supersymetrii i teorii strun. Najwybitniejsi, a także najlepiej zabiegający o popularność, badacze stworzyli całe multiświaty różnych wersji tych idei. Oprócz niezliczonych artykułów i monografii napisano całe mnóstwo książek popularnonaukowych, nakręcono trochę filmów. I jest tylko jeden mały kłopot: ta góra nie urodziła nawet myszy. Nie ma jak dotąd żadnych śladów supersymetrii w przyrodzie. Nie ma też żadnych przewidywań teorii strun – to znaczy istnieje ona w tylu wersjach, że pozwala, jak się wydaje, przewidzieć wszystko, trzeba tylko wiedzieć, do jakich faktów należy ją dopasować. Stąd dość ostry czasami ton dyskusji ekspertów. Por. np. blog Not Even Wrong.

Niewykluczone, że mieliśmy w XX wieku niespotykane szczęście do fizyki: udało się bowiem w ciągu tego stulecia poznać elementarne składniki materii, przede wszystkim atomy, których budowa i zachowanie nie ma już przed nami tajemnic. To niesłychanie wiele, jeśli weźmiemy pod uwagę, że praktycznie cała materia wokół nas to właśnie atomy. To także niesłychanie wiele, jeśli pomyśleć, że od starożytności aż do początku wieku XX atomy były właściwie hipotezą, jak cząstka Higgsa do zeszłego roku. Np. radca dworu i profesor uniwersytetu w Wiedniu Ernest Mach uważał, że nauka powinna zajmować się jedynie ekonomicznym i jak najprostszym opisem faktów doświadczalnych. Wobec tego teorie wyjaśniające np. zachowanie gazów za pomocą ruchu niewidocznych atomów uważał za nienaukowe. Pytał szyderczo Ludwiga Boltzmanna, pioniera fizyki statystycznej: „Czy widział Pan może jakiś atom?” Mach był konserwatywny, ale na początku XX wieku nie był zupełnie odosobniony w swoich poglądach, przeciwnikiem atomów był także Wilhelm Ostwald, wybitny chemik.

Okazało się niebawem, że choć samych atomów i cząsteczek chemicznych nie można zobaczyć pod mikroskopem (optycznym), to można obserwować skutki ich chaotycznych, bezładnych ruchów termicznych. Są to ruchy Browna, ruchy cząstek różnych zawiesin (np. dymu). Cząstki te są na tyle wielkie w sensie atomowym, że można je bez trudu obserwować bezpośrednio, a zarazem na tyle małe, by reagować na bombardowanie przez otaczające cząsteczki. Statystyczne charakterystyki ruchów Browna zostały w roku 1905 objaśnione w niezależnych pracach Alberta Einsteina i Mariana Smoluchowskiego. Jean Perrin wykonał słynne doświadczenia, które rozwiały ostatnie wątpliwości co do istnienia atomów. Opisał je kilka lat później w książce Les atomes (1913). Pisze w niej, że w nauce można postępować dwojako. Niektórzy, jak Galileusz czy Sadi Carnot, potrafią wyabstrahować prawa z obserwowanych zjawisk, dostrzegając niewidoczne dla innych analogie czy powiązania. Inni starają się objaśnić skomplikowane zjawiska zakładając ukrytą prostotę na innym poziomie – jest to droga Daltona i Boltzmanna, pionierów atomizmu w XIX wieku.

PerrinPlot2.svg

Tory cząstek mastyksu obserwowanych przez Perrina co 30 s. Jedna podziałka skali równa jest 3,125 μm (Les atomes, s. 165)

Charakterystyczną cechą ruchów Browna jest ich skrajna nieregularność, Perrin pisze, że robiąc obserwacje 100 razy częściej, dostalibyśmy zamiast każdego z odcinków poszarpaną linię łamaną. Tory cząstek nie są regularne w żadnej obserwowanej skali. Zjawisko to ilustruje rysunek poniżej, gdzie różnymi kolorami zaznaczono tory uzyskiwane przy obserwacjach z różnym krokiem czasowym. Przypominają one np. linię brzegową przedstawianą na mapach o różnej skali: im dokładniejsza mapa, tym dłuższa linia brzegowa. Tor cząstki jest fraktalem.

Brownian_hierarchical

Źródło: Wikipedia

Pomiary Perrina przypieczętowały sukces teorii atomowej i pozwoliły wyznaczyć liczbę Avogadro, a tym samym masy atomów. Dwadzieścia lat później powstała mechanika kwantowa, która początkowo miała być tylko teorią atomów, słuszną dla zjawisk w skali energii pojedynczych elektronowoltów (eV), a ostatecznie okazała się skuteczna nawet w skali TeV, czyli 10^{12} razy większej.
W jakimś sensie dzisiejsi fizycy, narzekając na Model Standardowy cząstek, cierpią na zawrót głowy od sukcesów. Miejmy nadzieję, że LHC pozwoli jeszcze odkryć jakąś nową fizykę, inaczej trudno będzie przekonać polityków i podatników do następnych, jeszcze kosztowniejszych projektów tego typu i stagnacja może potrwać długo.