Kopenhaga 1941: spotkanie Wernera Heisenberga z Nielsem Bohrem

Czy obłąkańcze ideologie zawsze są samoniszczące? I jakie są ich koszty społeczne? Gdzie kończy się patriotyzm, a zaczyna oportunizm i łajdactwo? Czy uczonym wolno zamykać się w wieży z kości słoniowej? Jacy naprawdę są ludzie, których znamy? Czy historia jest w ogóle możliwa inaczej niż jako rozmowa duchów na Polach Elizejskich?
Sztuka Michaela Frayna Copenhagen jest dialogiem trzech duchów: Wernera Heisenberga, Nielsa Bohra i jego żony Margharete. Chyba nie wystawiona nigdy w Polsce, odniosła wielki sukces w Londynie, Nowym Jorku i w innych miejscach świata.

Spotkanie owych trzech duchów poprzedzone było wieloma latami ziemskiej znajomości. Bohr pierwszy raz zetknął się z Heisenbergiem, gdy wygłaszał w Getyndze w czerwcu 1922 roku swe słynne wykłady, zwane potem Festiwalem Bohra. Dwudziestolatek o chłopięcym wyglądzie zwrócił publicznie uwagę na pomyłkę Bohra i tym go zaintrygował. Trzeba rozumieć kontekst: Niels Bohr był wtedy najbardziej znanym fizykiem atomowym, w listopadzie miano ogłosić, że otrzymuje Nagrodę Nobla. Tak się złożyło, że Bohr otrzymał ją jednocześnie z Albertem Einsteinem, który został laureatem za rok 1921. W grudniu 1922 Svante Arrhenius, przewodniczący Komitetu Noblowskiego z fizyki zaprezentował osiągnięcia obu uczonych: w ten sposób Einstein, najwybitniejszy fizyk pierwszej ćwierci wieku XX, został symbolicznie złączony z Bohrem, patronem intelektualnym nurtu, który za kilka lat miał przynieść mechanikę kwantową. Sytuacja niecodzienna nawet jak na uroczystości noblowskie (nie spotkali się jednak przy tej okazji, ponieważ Einstein był w Japonii). Teoria względności i mechanika kwantowa do dziś są dwoma najważniejszymi osiągnięciami ostatniego stulecia. Rok 1922 stanowił też początek powojennego przełamywania lodów w nauce: wizyta Bohra w Getyndze i Einsteina w Paryżu były pierwszymi zapowiedziami powrotu do międzynarodowej współpracy po latach pierwszej wojny światowej, o której dziś rzadko mówimy, bo niebawem wybuchła następna wojna, jeszcze bardziej brutalna i bezwzględna.

Heisenberg był asystentem Maksa Borna i okazał się najzdolniejszym spośród tamtych chłopaków, ich fizykę nazywano czasem Knabenphysik – fizyką chłopców. Rewolucje robią ludzie młodzi: zarówno Einstein, jak i twórcy mechaniki kwantowej, zaczynali jako dwudziestoparolatkowie, a po trzydziestce już raczej kontynuowali poprzednie osiągnięcia (czasem tak wielkie jak teoria grawitacji). Bohr zaczął wkrótce współpracować z Heisenbergiem, i to podczas stażu w Danii wiosną roku 1925 powstała pierwsza przełomowa praca z mechaniki kwantowej. Max Born, pełen wątpliwości, pisał do Einsteina: „Moi młodzi ludzie: [Werner] Heisenberg, [Pascual] Jordan, [Friedrich] Hund są znakomici. Muszę się czasem poważnie wysilić, aby nadążyć za ich rozważaniami. Wprost bajecznie opanowali tak zwaną zoologię termów [chodzi o termy atomowe, pojęcie z dziedziny spektroskopii, widma pierwiastków są skomplikowane, lecz ich szczegółowa znajomość okazała się kluczem do fizyki mikroświata]. Najnowsza praca Heisenberga, która się niebawem ukaże, wygląda bardzo mistycznie, ale jest prawdziwa i głęboka”. Praca Heisenberga była zupełnie samodzielna, miał on silną osobowość i umiał się przeciwstawić apodyktycznemu Bohrowi. Duński uczony był wprawdzie kimś w rodzaju duchowego ojca mechaniki kwantowej, ale jego wpływ na młodszych bywał szkodliwy: kilku naukowców miało za złe Bohrowi, że odwiódł ich od słusznych myśli, przez co przeszło im koło nosa jakieś odkrycie. Jednocześnie jednak Bohr troszczył się o wszystkich swoich pupilów i z nimi przyjaźnił, wspólnie pływali żaglówką, jeździli na nartach albo odbywali długie, nawet kilkudniowe spacery.

Gdy Hitler został kanclerzem Niemiec, Werner Heisenberg był już sławny. W grudniu tego roku otrzymał Nagrodę Nobla za rok 1932 razem ze swoimi dwoma konkurentami w tworzeniu mechaniki kwantowej: Erwinem Schrödingerem i Paulem Dirakiem, którzy podzieli się Nagrodą za rok 1933. Trzydziestodwuletni profesor był wielką nadzieją nauki niemieckiej, nie miał Żydów w rodzinie i czuł się gorącym patriotą, choć może z lekka brzydził go NSDAP-owski sztafaż. Orszak studentów z pochodniami przeszedł ulicami Lipska pod dom laureata. Heisenberg zdecydowany był nie wyjeżdżać z Niemiec, chciał też pracować dla ojczyzny, kultywując swoją dziedzinę, czyli fizykę teoretyczną. Okazało się to nieproste. W 1937 roku został publicznie zaatakowany w organie prasowym SS jako „biały Żyd”, tzn. ktoś, kto głosi idee fizyki żydowskiej wśród niemieckiej młodzieży. Porównano go nawet do Carla von Ossietzky’ego, działacza pokojowego i laureata pokojowej Nagrody Nobla, niebawem zamęczonego w Dachau. Do fizyki żydowskiej zaliczano oczywiście teorię względności, ale także mechanikę kwantową. W tym drugim przypadku kryterium było całkowicie polityczne (to ja decyduję, kto jest Żydem): akurat ani Heisenberg, ani Schrödinger, ani Dirac nie byli Żydami. Pół-Żydem był Niels Bohr, co wkrótce zaczęło mieć znaczenie. Przez następny rok Heisenberg starał się „oczyścić” z zarzutów, jego list dotarł do samego Heinricha Himmlera, który zarządził śledztwo. Badano w nim życie fizyka, sprawdzano m.in. czy aby nie jest homoseksualistą (ożenił się bowiem niedawno i dotąd miał raczej przyjaciół mężczyzn, choć homoseksualistą nie był) i dlaczego nie wykazywał entuzjazmu wobec nazistów. Przesłuchiwano go też w podziemiach SS w Berlinie naprzeciwko napisu: „Oddychaj głęboko i spokojnie”. W końcu dano mu spokój i uznano, że jest nieszkodliwym profesorem, trzymającym się swojej dziedziny i być może przydatnym reżimowi. Zaczęto go potrzebować szybciej, niż ktokolwiek sądził. Podjęto bowiem w Niemczech prace nad projektem uranowym, który miał prowadzić do zbudowania reaktora, a może także bomby nuklearnej. Najważniejszym uczonym pracującym nad tym projektem został w naturalny sposób Werner Heisenberg.

Niels Bohr między Elisabeth i Wernerem Heisenbergiem, z tyłu Victor Weisskopf (1937, pewnie przy okazji ślubu Heisenberga)

I właśnie jako szef prac nad uzyskaniem energii z uranu Heisenberg pojawił się w Kopenhadze. W zasadzie pracowano nad reaktorem, który mógłby wytwarzać w dalekiej przyszłości pluton. Ale możliwość bomby rysowała się nad horyzontem i, jak się zdaje, Heisenberg ciężko pracował, aby wykazać swoją przydatność dla ojczyzny. Nie przejawiał zbyt wiele inteligencji emocjonalnej: pojawił się w Kopenhadze jako przedstawiciel nauki niemieckiej, miał wygłosić wykład w Instytucie Kulturalnym Niemiec. Duńczycy, poddani okupacji (wprawdzie stosunkowo łagodnej) dużego sąsiada, niezbyt garnęli się do kontaktów z Niemcami, zwłaszcza że w praktyce chodziło o propagandę III Rzeszy. Na wykładzie nie pojawili się najważniejsi naukowcy duńscy. Heisenberg spotkał się natomiast z Bohrem prywatnie, odbyli też wspólny spacer, aby porozmawiać (obaj, słusznie, obawiali się podsłuchów). O swojej wizycie Heisenberg pisał do swej żony, Elisabeth:

Moja droga Li,
oto znowu jestem w tym tak dobrze mi znanym mieście, gdzie pozostała cząstka mego serca od tamtego czasu sprzed piętnastu lat. Kiedy usłyszałem znowu kuranty z wieży ratuszowej, zamknąłem okno mego hotelowego pokoju i coś ścisnęło mnie mocno w środku: wszystko było tak samo, jakby nic się na świecie nie zmieniło. To takie dziwne, napotkać własną przeszłość, to tak jakby spotkało się samego siebie. (…) Późnym wieczorem poszedłem pieszo pod jasnym rozgwieżdżonym niebem przez zaciemnione miasto do Bohra.
Bohr i jego rodzina mają się dobrze; on sam się trochę postarzał, jego synowie są już całkiem dorośli. Rozmowa szybko zeszła na ludzkie zmartwienia i nieszczęsne wypadki ostatnich czasów; w sprawach ludzkich konsensus jest oczywisty; w kwestiach politycznych stwierdziłem, że nawet tak wielki człowiek jak Bohr nie potrafi całkowicie rozdzielić myślenia, odczuwania oraz nienawiści. Ale może nie powinno się ich nigdy rozdzielać. (…)
Wczoraj znowu spędziłem cały wieczór z Bohrem; oprócz pani Bohr i dzieci była też młoda Angielka, która mieszka u nich, ponieważ nie może wrócić do Anglii. Trochę dziwnie jest rozmawiać teraz z Angielką. Podczas nieuniknionych rozmów politycznych, podczas których ja broniłem naturalnie i automatycznie naszego systemu, wyszła i pomyślałem, że w sumie to całkiem miłe z jej strony. – Dziś rano byłem na molo z [Carlem Friedrichem] Weizsäckerem, wiesz, tam przy porcie, gdzie znajduje się Langelinie. Teraz stoją tam na kotwicy niemieckie okręty wojenne, kutry torpedowe, krążowniki pomocnicze i tym podobne. Był pierwszy ciepły dzień, port i niebo ponad nim zabarwione bardzo jasnym lekkim błękitem. Dwa duże frachtowce odpłynęły w stronę Elsynoru; przypłynął węglowiec, prawdopodobnie z Niemiec, dwie łodzie żaglowe, pewnie takiej wielkości, jak ta, którą pływaliśmy dawniej wypływały z portu, pewnie na popołudniową wycieczkę. W pawilonie na Langelinie zjedliśmy obiad, wszędzie dokoła byli sami szczęśliwi i radośni ludzie, a przynajmniej takie robili na nas wrażenie. W ogóle ludzie tu wyglądają na szczęśliwych. Wieczorem na ulicach widzi się promieniejące szczęściem młode pary, idące na dancing, nie myślące o niczym innym. Trudno o coś bardziej odmiennego niż życie na ulicach tutaj i w Lipsku.
(…) Pierwszy oficjalny wykład jest mój, jutro wieczorem. Niestety, członkowie Instytutu Bohra nie przyjdą z powodów politycznych. Jeśli wziąć pod uwagę, że Duńczycy żyją bez jakichkolwiek restrykcji i żyją wyjątkowo dobrze, to zadziwiające jest, że wzbudzone tu zostało tak wiele nienawiści i strachu, iż nawet współpraca w dziedzinie kultury, kiedyś tak oczywista, teraz stała się prawie niemożliwa. (list z końca września 1941 roku)

Bohra doszły słuchy, jak Heisenberg opowiada, że okupacja Danii i Norwegii to przykra konieczność, w odróżnieniu od okupacji wschodniej Europy, która jest niezbędna, gdyż kraje te nie potrafią same się rządzić (było to przed Stalingradem). Z perspektywy Danii wyglądało to oczywiście inaczej, tym bardziej że należało się spodziewać dalszych kroków niemieckich władz okupacyjnych. Dotąd aresztowali oni komunistów, dwa lata później przyszła kolej na Żydów i Bohr sam musiał się ratować przeprawą przez Bałtyk (na szczęście znalazł się w niemieckiej ambasadzie przyzwoity człowiek, Georg Ferdinand Duckwitz, który uprzedził o zamiarach nazistów i praktycznie wszyscy Żydzi duńscy zostali w porę przetransportowani łodziami rybackimi do Szwecji). Heisenberg wspomniał Bohrowi, że pracuje nad energią z uranu i nawet spytał go, co należy zrobić z moralnego punktu widzenia. Nie chciał chyba jednak słuchać odpowiedzi. Elisabeth Heisenberg opowiadała, że mąż bardzo się bał, iż alianci zbudują broń nuklearną wcześniej niż Niemcy. Oczywiście reszta świata obawiała się czegoś dokładnie odwrotnego. Rozmowa zostawiła nieprzyjemny osad w pamięci Bohra. Ich dawna przyjaźń z Heisenbergiem nigdy już się nie odrodziła, choć po wojnie spotykali się czasem.

„Był tu Werner Heisenberg, fizyk teoretyczny z Niemiec, kiedyś wielki nazista. Z niego jest wielki uczony, lecz niezbyt przyjemny człowiek” – stwierdził Einstein w 1954 roku. Einstein najprawdopodobniej uważał za nazistów tych, którzy pracowali dla reżimu Hitlera bez względu na to, czy należeli do NSDAP albo innych organizacji nazistowskich.

Po wojnie uczeni niemieccy starali się przekuć swoje niepowodzenie w sukces moralny, lecz wydaje się, że po prostu (i na całe szczęście) zabrakło im wizji i możliwości technicznych.
David C. Cassidy wyliczył techniczne powody niepowodzenia ekipy Heisenberga:

  • Nie obliczyli masy krytycznej uranu 235: nie sądzili, że wystarczą kilogramy, nie tony
  • Nie umieli przeprowadzić separacji izotopów: metodę separacji gazów znał w Niemczech Gustav Hertz, ale jako nieczysty rasowo pracował w prywatnym laboratorium
  • Moderator: ekipa Heisenberga nie wiedziała, że nadaje się do tego grafit, ale musi zostać oczyszczony z domieszek boru, co zauważył Leo Szilard, Żyd oczywiście i emigrant. Z kolei ciężka woda z Norwegii nie docierała dzięki sabotażowi.
  • Reaktor Heisenberga składał się z płaskich płyt uranu w zbiorniku z ciężką wodą, co było wygodne do obliczeń teoretycznych, lecz marne jako rozwiązanie inżynierskie.
  • Projekt wymagał połączonej wiedzy i znakomitej organizacji: amerykańskie zasoby i poziom techniki oraz europejscy uczeni, przeważnie Żydzi albo ofiary antysemityzmu: Bohr, Oppenheimer, Feynman, Bethe, Wigner, von Neumann, Fermi, Peierls, Compton, Ulam, praktycznie jest to słownik wielkich fizyków
  • Przebieg wojny: po początkowych sukcesach zaczęły się niemieckie porażki i coraz trudniej było zmobilizować zasoby na projekt nierokujący natychmiastowych sukcesów

W sumie po stronie naukowo-inżynierskiej zemściła się na nazistach ich obłąkańcza ideologia antysemicka, rządy idiotów, którzy przez rok sprawdzali, czy Heisenberg się nadaje na profesora w ich Rzeszy.

Reklamy

Albert Einstein na dwóch fotografiach, czyli jak pionier został konserwatystą (1911, 1927)

Pierwsza fotografia pochodzi z roku 1911 i przedstawia uczestników I Kongresu Solvaya. Ernest Solvay, bogaty przemysłowiec, wzbogacił się na wynalezionej przez siebie metodzie produkcji sody. Nie miał akademickiego wykształcenia, lecz wykazywał pewne ambicje naukowe. Zwołany do Brukseli kongres zgromadził najwybitniejszych fizyków epoki, organizował go Hendrik Lorentz, który zaprosił m.in. Alberta Einsteina.

1911

Podpisana wersja tej fotografii

Trzydziestodwuletni Einstein stoi z cygarem w drugim rzędzie obok Paula Langevina, z którym szybko się zaprzyjaźnił (nb. w tym właśnie czasie wybuchł skandal prasowy w Paryżu wokół romansu żonatego Langevina ze starszą od niego Marią Skłodowską-Curie, jedyną kobietą na zdjęciu). Dla Einsteina był to pierwsza międzynarodowa konferencja naukowa i okazja do poznania sławnych fizyków spoza Niemiec. Zaledwie dwa lata wcześniej zaczął pracować na uczelni, do Brukseli przyjechał z Pragi, gdzie od wiosny tego roku był profesorem zwyczajnym. Okna jego gabinetu wychodziły na ogród szpitala psychiatrycznego. Einstein lubił pokazywać swoim gościom spacerujących alejkami pensjonariuszy tego zakładu ze słowami: „oto wariaci, którzy nie zajmują się kwantami”. Sam intensywnie pracował nad nową fizyką kwantową, m.in. odkrył, dlaczego ciepło właściwe diamentu maleje wraz z temperaturą. Zjawisko to jest kwantowe: drgania atomów węgla w krysztale diamentu mogą bowiem zachodzić tylko ze ściśle określonymi – skwantowanymi – energiami. W ten sposób okazało się, że nowa fizyka potrzebna jest do wyjaśnienia obserwowanych od dawna faktów. Dziś wiemy, że właśnie fizyka kwantowa wyjaśnia własności atomów, kryształów, cieczy – całą chemię i fizykę różnych materiałów, a także sporą część biologii. Inni uczeni zainteresowali się tym kręgiem zagadnień, szybko rosła więc liczba prac poświęconych kwantom. Tak więc stojący skromnie w drugim rzędzie Einstein reprezentował wówczas naukową awangardę, nie zawsze dobrze przyjmowaną przez starszych kolegów.

 

kwanty

Widzimy, jak szybko rosła liczba autorów idących w ślad za Einsteinem. Liczby nie wydają się może imponujące, ale ogólną liczbę fizyków w Europie w tamtej epoce szacuje się na 1000-1500, z czego nie wszyscy byli aktywni naukowo (Wykresy z T.S. Kuhn, Black-Body Theory and the Quantum Discontinuity, 1894-1912, Clarendon Press, Oxford 1978, s. 217).

solvay_conference_1927_

Druga fotografia przedstawia uczestników V Kongresu Solvaya w roku 1927. Nosił on tytuł Elektrony i fotony. Fotony, cząstki światła, zostały zapostulowane przez Einsteina w roku 1905, teraz niejako oficjalnie uznano, że miał rację. A więc niewątpliwy triumf. Nikt przez dwadzieścia lat nie chciał wierzyć w owe kwanty światła, po eksperymentach Comptona i innych, wreszcie w nie uwierzono. Triumf zabarwiony był jednak goryczą. W latach 1925-1926 młodzi fizycy przedstawili mechanikę kwantową, z którą Einstein nie potrafił się zgodzić ani wtedy, ani nigdy później. Był nadal sprawny intelektualnie, nie zapomniał fizyki, ale należało wyjść poza krąg dotychczasowych idei, rozstać się z pewnym ideałem nauki. Rewolucji dokonali ludzie młodzi, mówiono o tym Knabenphysik – fizyka chłopców.
Fotografia ilustruje wymownie, jak wzrosła pozycja Einsteina w środowisku naukowym w ciągu tych kilkunastu lat. Teraz on zajmuje miejsce centralne. Siedzi między starym Lorentzem a posiwiałym Langevinem z nawoskowanymi wąsami, niczym rewolucjonista uwięziony w świecie XIX wieku. Obok Lorentza mocno postarzała, surowa i niepobłażająca Maria Skłodowska-Curie i znużony Max Planck. Dopiero w drugim rzędzie znajdujemy chudego, jakby wyjętego z dramatu Becketta Paula Diraca, arystokratycznego, rasowego Louisa de Broglie’a, uprzejmego i skromnego Maksa Borna, wychowawcę siedmiu noblistów, i wreszcie silnego i skupionego Nielsa Bohra. Elegancki Erwin Schrödinger, sceptyczny Wolfgang Pauli i szelmowsko chłopięcy Werner Heisenberg stoją skromnie w trzecim rzędzie. Trudno o bardziej symboliczny obraz zmiany warty: Einstein stał się teraz kimś podobnym do Lorentza czy Plancka, a więc wybitnym uczonym, którego należy szanować, ale od którego nie można się zbyt wiele nauczyć. Liczyli się młodzi ludzie z drugiego i trzeciego rzędu oraz ich duchowi przewodnicy, Bohr i Born. W ciągu następnych kilku lat twórcy mechaniki kwantowej otrzymali Nagrody Nobla, wszyscy oprócz Diraca nominowani byli zresztą także przez Einsteina. Najwybitniejszy spośród nich, Paul Dirac, musiał zadowolić się Nagrodą Nobla wraz ze Schrödingerem. Właśnie Paul Dirac w latach 1927-1928 pokazał, jak można sformułować kwantową teorię elektronów i fotonów. Było to otwarcie drogi, która zakończyła się dwadzieścia lat później zbudowaniem konsekwentnej elektrodynamiki kwantowej przez Richarda Feynmana, Freemana Dysona, Juliana Schwingera i Shin’itiro Tomonagę.

Einstein i jednolita teoria pola: zmarnowane trzydzieści lat?

W roku 1915 Einstein przedstawił ostateczną wersję równań pola grawitacyjnego. No, może prawie ostateczną, bo niebawem dopisał jeszcze do nich człon kosmologiczny – z czysto matematycznego punktu widzenia wyraz ten może się tam znaleźć, choć nie musi, z fizycznego punktu widzenia nie było wówczas powodu, by to zrobić (dzięki stałej kosmologicznej mógł zbudować wszechświat, w którym przestrzeń trójwymiarowa nie ma brzegu, odpadał więc problem warunków brzegowych, jego motywy były matematyczno-filozoficzne, znane już wtedy obserwacje Sliphera nie zgadzały się z tym modelem). Taki powód istnieje dziś: obserwacje wskazują, że ekspansja wszechświata przyspiesza i człon kosmologiczny opisuje ten fakt (mówimy dziś o ciemnej energii, ale to tylko nowa nazwa dla starej wielkości).

Droga Einsteina do teorii grawitacji, którą nazywał ogólną teorią względności (OTW, dla odróżnienia od szczególnej STW z roku 1905), była wielce zagmatwana, pełna błędów i fałszywych objawień. Jednak ostateczny wynik – równania pola – są praktycznie jedyne możliwe. Zamiast pola grawitacyjnego mamy w OTW wielkość zwaną tensorem metrycznym, jest to dziesięć funkcji współrzędnych i czasu. Znając je, możemy analizować stosunki przestrzenne i czasowe w danej sytuacji fizycznej, obliczać tory cząstek itp. Mamy 10 równań dla tych 10 funkcji, przy czym tylko sześć równań jest niezależnych, bo układ współrzędnych można sobie dość dowolnie wybierać i matematyka nie może tego za nas rozstrzygać. Równania te nie mogą być inne (z dokładnością do członu kosmologicznego). Sama matematyka narzuca ich postać. Einstein nie wiedział o tym przed odkryciem, dopiero po fakcie zorientował się, że w gruncie rzeczy nie miał wielkiego wyboru. Jego droga była tak zagmatwana, ponieważ nie znał dostatecznie głęboko matematyki, którą się posługiwał. Nie on jeden zresztą: David Hilbert czy Felix Klein, wielcy matematycy z Getyngi, też nad nim nie górowali w owym czasie (choć Hilbert próbował się z nim ścigać i przegrał). Geometria różniczkowa, czyli dział matematyki zajmujący się zakrzywionymi przestrzeniami, zaczęła się szybciej rozwijać w następstwie teorii Einsteina, przedtem była to ezoteryczna dziedzina dla kilku wtajemniczonych, jak np. Tullio Levi Civita, z którym Einstein lubił korespondować podczas I wojny światowej, prosił nawet, by Włoch pisał do niego w ojczystym języku, bo przypominało mu to młodość, gdy często bywał we Włoszech u rodziców.

einstein_smalldynamiclead_dynamic_lead_slide

Einstein wypisujący na tablicy równania OTW w próżni: R_{ik}=0.

OTW rozwiązywała problem, którego prawie nikt nie stawiał. Owszem, przypuszczano, że stara teoria grawitacji Newtona musi zostać zmodyfikowana. W XIX wieku James Clerk Maxwell połączył całą naukę o elektryczności, magnetyzmie i optyce w jedną teorię. Było to wielkie osiągnięcie i jest nim do dziś: najróżniejsi specjaliści: od energetyki, prądnic, silników elektrycznych, łączności radiowej, kuchenek mikrofalowych, radarów, optyki, światłowodów, elektroniki itd. uczą się swego fachu startując z czterech równań Maxwella. Ogromny obszar zjawisk daje się zrozumieć w jednolity sposób. Jest to nie tylko eleganckie matematycznie, lecz także nadzwyczaj skuteczne w praktyce. Dlatego się mówi, że nie ma nic bardziej praktycznego niż porządna teoria. Otóż po Maxwellu podejrzewano, że także grawitacja powinna zostać zmodyfikowana, że np. pole grawitacyjne nie powinno rozchodzić się momentalnie, lecz ze skończoną prędkością – gdyby Księżyc znikł w danej chwili, to wody oceanów powinny to odczuć z opóźnieniem około sekundy. Ogólnie jednak biorąc, stara teoria Newtona radziła sobie świetnie, astronomowie potrafili z niezwykłą precyzją obliczać ruchy ciał niebieskich, astronomia stała się synonimem precyzyjnej nauki ścisłej aż nudnej w tym przywiązaniu do drobnych efektów, których nikt nie zauważa. Za czasów Einsteina OTW była piękną teorią zjawisk bardzo trudno mierzalnych. Grawitacja jest najsłabszym ze znanych oddziaływań i dlatego trudnym do badań w laboratorium czy bliskim kosmosie. W sumie OTW nie jest bynajmniej nauką o drobnych efektach, choć okazało się to już w bliższych nam czasach, gdy zaczęto obserwować ekstremalne zjawiska w kosmosie i badać czarne dziury.

Einstein zbudował więc grawitacyjny odpowiednik teorii Maxwella. Kiedy w roku 1919 okazało się, że OTW znajduje potwierdzenie w obserwacjach, stał się z jakiegoś kaprysu zbiorowej wyobraźni pierwszym naukowym celebrytą, może tylko Stephen Hawking cieszy się podobną, lecz zapewne mniejszą sławą. Fizycy w tamtych latach zajmowali się głównie zjawiskami atomowymi i kwantowymi. Czynił to także i Einstein, choć jego punkt widzenia różnił się zasadniczo od tego, co wypracowali Bohr, Born, Heisenberg, Dirac i inni twórcy mechaniki kwantowej. Tamtych interesowały przede wszystkim zjawiska atomowe: widma, zachowanie linii widmowych w polu elektrycznym albo magnetycznym, moment magnetyczny atomów itd. Einstein myślał raczej na poziomie ogólnym: pragnął połączyć swoją teorię grawitacji z elektrodynamiką Maxwella. Połączyć w sposób nietrywialny, bo można po prostu złożyć obie teorie „mechanicznie” w jedną. Nie było żadnych eksperymentów, które wskazywałyby, że pole elektromagnetyczne oraz grawitacyjne mają ze sobą cokolwiek wspólnego. Do dziś zresztą nie ma takich danych eksperymentalnych. Einstein sądził, że skoro brak eksperymentów, to tym gorzej dla faktów: on poszuka syntezy obu teorii i tak. Pozostawała mu jedynie droga matematyczna. Można przypuszczać, że wielkie wrażenie zrobił na nim fakt, iż OTW jest określona jednoznacznie przez ogólne założenia matematyczne i fizyczne, bez szczegółowego zagłębiania się w eksperymentalną kuchnię. Gdyby wiedział o tym przed rokiem 1915, znacznie szybciej znalazłby równania OTW.

Einsteina właściwie nie interesowała fizyka, tzn. rozwiązywanie kolejnych szczegółowych problemów. Oczywiście, lubił od czasu do czasu pokazać, jak się to robi, ale konkretne zagadnienia były dla niego przykładami czegoś bardziej ogólnego. Zawsze spoza drzew widział las i właściwie tylko las go naprawdę interesował. Psychiczną przykrość sprawiał mu brak logicznej spójności, dlatego sytuacja, gdy mamy w fizyce kilka różnych teorii, które niewiele ze sobą mają wspólnego, wydawała mu się zupełnie nieznośna. Natura jest jednolita i my powinniśmy zbudować jednolitą jej teorię. Lubił przywoływać Spinozę z jego bezwzględnie obowiązującą przyczynowością, sam był postacią w jakiś sposób siedemnastowieczną – to w epoce Kartezjusza, Spinozy i Leibniza tak mocno wierzono w racjonalny ład świata. Pogląd, że ze zjawiskiem fizycznym mamy do czynienia dopiero wtedy, gdy dokonamy jego pomiaru (takie było stanowisko Bohra), dla Einsteina było naigrawaniem się z racjonalnej wiary, nieomal świętokradztwem. Wszechświat rządzi się swoimi prawami, Księżyc istnieje także wtedy, gdy nikt na niego nie patrzy, a mysz nie zmienia swym spojrzeniem stanu wszechświata. Element subiektywności wprowadzony przez mechanikę kwantową był dla niego nie do przyjęcia. Dlatego mechanikę kwantową traktował jak szczególnie udaną teorię fenomenologiczną, tj. opisującą doświadczenia, ale bez ambicji dotarcia głębiej. Uważał, że prawidłowości statystyczne to nie nauka, lecz w najlepszym razie wstęp do nauki. Kiedy już poznamy te prawidłowości, to należy starać się zrozumieć, skąd się biorą.

Sądził, że musi istnieć teoria bardziej podstawowa, w ramach której wyjaśni się, z jakich cząstek zbudowany jest świat, a nawet czym jest cząstka. Według niego nie powinno być dwóch elementów teorii: cząstek (np. elektronów) oraz pól przez te cząstki wytwarzanych. Wszystko powinno być opisywane jako pola, cząstka to po prostu zlokalizowany obszar szczególnie silnego pola (coś w rodzaju solitonu – ale Einstein nie znał jeszcze tego pojęcia). Miał też nadzieję, że ruch owych cząstek także będzie wynikał z równań pola. OTW jest nieliniowa: suma dwóch rozwiązań nie jest w niej rozwiązaniem. W teoriach nieliniowych dwa ruchome „zgrubienia” pola będą jakoś ze sobą oddziaływać. W ten sposób spodziewał się zrozumieć zjawiska kwantowe. Z jego punktu widzenia trzeba było tylko znaleźć dobry punkt wyjścia. Jednolita teoria pola miała być połączeniem OTW i elektrodynamiki w nietrywialny matematycznie sposób.

Zaczął nad nią pracować niemal od razu po stworzeniu OTW, a w latach dwudziestych zaczął już publikować na ten temat. Sięgał po różne środki, pracowali z nim coraz to inni asystenci, cel pozostawał wciąż niezmienny. Co parę lat Einstein przekonany był, że najnowsza wersja równań jest właśnie tym, czego szuka. Potem zaczynał dostrzegać trudności, wreszcie zarzucał dane podejście. Jak to wyglądało, opisuje Ernst Gabor Straus, który pracował z Einsteinem w latach 1944-1948. Straus został później wybitnym matematykiem, opublikował 21 prac z Paulem Erdösem (co jest swego rodzaju tytułem szlacheckim) i zajmował się wieloma dziedzinami matematyki. Straus zapisywał różne charakterystyczne wypowiedzi Einsteina. „Do naszej pracy konieczne są dwie rzeczy: niezmordowana wytrwałość i gotowość, aby wyrzucić to, na co się poświęciło wiele czasu i pracy”. Sam był dwukrotnie świadkiem takiej sytuacji, za każdym razem Einstein na drugi dzień przychodził i jakby nigdy nic zaczynali pracę od nowa, stosując zupełnie inne podejście.

Einstein pracował nad jednolitą teorią pola aż do śmierci w roku 1955. Kiedy zaczynał, uchodził za największego fizyka świata, wszyscy czekali na jego kolejne prace, kończył jako zupełny outsider, dinozaur z innej epoki. Trzydzieści lat bez wyników. Byłoby to tragiczne, gdyby sam Einstein traktował swą pracę w sposób, by tak rzec romantyczny i ambicjonalny. Nie wierzył on jednak w rzeczy powstające tylko z ambicji. Niewiele znaczyły dla niego różne wyróżnienia. Kiedy dostał Medal Maksa Plancka schował go i nawet nie otworzył pudełeczka, żeby go obejrzeć. Potrafił całymi latami z jednakową koncentracją robić swoje, nie oglądając się na kolegów. Zaczynał działalność naukową jako urzędnik Biura Patentowego i przez wiele lat fizyka była dla niego zajęciem niezwiązanym z zarabianiem pieniędzy. Uważał nawet, że taka sytuacja jest przejrzystsza, bo inaczej człowiek żyje pod presją uzyskiwania wyników, a wyniki przychodzą albo nie. Nie należy drążyć deski w najcieńszym miejscu tylko dlatego, że tak jest najłatwiej.

Starzejący się uczeni często popadają w naukowe dziwactwa. Praca Einsteina nad jednolitą teorią pola nie całkiem pasuje do tego schematu, była raczej konsekwencją jego poglądów niż aberracją. Uczony nie odszedł od zmysłów, potrafił się uczyć (jeśli tylko chciał), nie przestał być twórczy ani nie zapomniał, jak się uprawia naukę.

Z dzisiejszego punktu widzenia jednolita teoria pola była zapewne pomyłką. Fizyka rozwinęła się zupełnie inaczej: najpierw cofnęła się do epoki sprzed teorii względności szczególnej (STW). Równanie Schrödingera z roku 1926 jest nierelatywistyczne. Potem stopniowo nauczono się łączyć STW z mechaniką kwantową – wynikiem jest kwantowa teoria pola. Einstein świadomie ją ignorował, choć za jego życia, mniej więcej w okresie asystentury Strausa, powstała elektrodynamika kwantowa. Już po śmierci Einsteina zbudowano jej uogólnienie – teorię oddziaływań elektrosłabych (tę od bozonu Higgsa). Ostatecznie mamy dziś nie do końca satysfakcjonujący, lecz zgodny z doświadczeniem, Model Standardowy cząstek. Zawiera on mnóstwo parametrów eksperymentalnych i oparty jest na kwantowej teorii pola. Mamy więc połączenie STW i fizyki kwantowej. I mamy też spory impas, ponieważ od czterdziestu lat nie udało się znaleźć teorii bardziej zadowalającej teoretycznie oraz zgodnej z eksperymentem. Może ulepszony LHC pozwoli uzyskać istotnie nowe dane eksperymentalne.

Natomiast OTW nie udało się połączyć z żadną teorią kwantową aż do dziś, mimo różnych cząstkowych osiągnięć. Chyba nikt nie stara się już kontynuować programu jednolitej teorii pola w sensie Einsteina: tzn. zbudowania wspólnej niekwantowej teorii oddziaływań. Wydaje się, że Einstein zaczął nie od tej strony, bo OTW jest marnym punktem wyjścia do badania zjawisk atomowych.

Niepowodzenie Einsteina trzeba widzieć na tle całości. Nauka wbrew pozorom jest bardziej historią niepowodzeń niż sukcesów, tzn. niepowodzenia są chlebem powszednim, sukcesy – świętem. Dzisiejsza fizyka fundamentalna, sześćdziesiąt lat po śmierci Einsteina, wygląda raczej na zagubioną. Ogromny program superstrun, angażujący od paru dziesiątków lat najzdolniejszych teoretyków świata z Edwardem Wittenem na czele (indeks Hirscha 150 i nadal rośnie), ugrzązł zdaje się na dobre, w każdym razie wymierne korzyści przyniósł do tej pory raczej matematyce niż fizyce. Uczeni pracujący w tej dziedzinie powtórzyli podobny błąd co Einstein: dali się uwieść matematyce i wylądowali w tzw. krajobrazie superstrun, w którym udowodnić można wszystko i niczego nie można przewidzieć.

Einstein miał oczywiście nadzieję, że któregoś dnia okaże się, iż w sprawie jednolitej teorii słuszność jest po jego stronie. Z biegiem lat ta nadzieja odsuwała się w coraz dalszą przyszłość. Bardzo niewielu uczonych tak głęboko utożsamiało się z tym, co robi i w co wierzy. Nauka nie była dla niego pracą, lecz sposobem realizacji powołania. Ta sama ścisła przyczynowość, która obowiązywała w jego fizyce, kształtowała także jego wyobrażenia o miejscu człowieka w świecie. Einstein wypowiadał się nieraz, że gdyby wiedział, iż ma umrzeć w ciągu godziny, to wcale by się tym nie przejął, gdyż wierzy w porządek świata, w którym człowiek jest tylko małą cząstką całości, a osobowość czymś w rodzaju złudzenia optycznego. Można mu wierzyć, bo potem rzeczywiście żył z wyrokiem śmierci. Ostatnie siedem lat życia przeżył z dużym zdiagnozowanym tętniakiem aorty brzusznej – nie można było wówczas zrobić operacji, uczony wiedział, że pewnego dnia tętniak pęknie. Kiedy to się stało, nie pozwolił się dręczyć lekarzom, sądził, że lepiej umrzeć, skoro nadszedł czas. Spokojnie porozmawiał z pasierbicą Margot, z synem Hansem Albertem, próbował nawet kontynuować jakieś zaczęte rachunki. Uprzednio zadbał, aby po śmierci jego ciało spalono, a prochy rozrzucono w nieznanym miejscu. Za coś w złym guście uważał pielgrzymki do grobów sławnych ludzi. Piękny przykład, że można obejść się bez magii i bez samozwańczych przedstawicieli Boga na ziemi nawet w obliczu śmierci.

Nie czuł się pokonany ani przegrany. Dwa tygodnie przed śmiercią rozmawiał z nim na różne tematy historyk nauki I.B. Cohen. Wspomina on: „Ogromny kontrast zachodził między jego cichą mową a dudniącym śmiechem. Lubił żartować, za każdym razem, gdy powiedział coś, co mu się podobało, albo usłyszał coś, co do niego przemówiło, wybuchał grzmiącym śmiechem, który odbijał się od ścian”. Jego śmiech wspominało wielu ludzi, którzy go znali. Hedwig Born, żona Maksa, po długich latach niewidzenia pisała do niego: „Chciałabym móc usłyszeć jeszcze raz twój potężny śmiech”.

Einstein_laughing

Max Planck: początek fizyki kwantowej (1900)

Max Planck był profesorem fizyki teoretycznej na uniwersytecie w Berlinie, przed nim katedrę tę zajmował Gustav Kirchhoff, współtwórca analizy widmowej, po Plancku objął ją Erwin Schrödinger, jeden z pionierów mechaniki kwantowej. Widać w tym pewną ciągłość: Kirchhoff pierwszy badał promieniowanie termiczne, Planck wyjaśnił jego podstawową własność, wprowadzając kwanty energii, a Schrödinger należał do tych, którzy dokończyli rewolucji kwantowej w fizyce.

Max Planck

W roku 1900 Planck przekroczył już czterdziestkę, ale najważniejsze w jego życiu naukowym miało się dopiero wydarzyć. Wiadomo, że każde ciało wysyła promieniowanie termiczne, dzięki temu można np. wykrywać w ciemności ludzi albo zwierzęta. Promieniowanie ciała doskonale czarnego to pewien teoretyczny ideał: tak promieniowałoby ciało o stuprocentowej zdolności pochłaniania energii. Najlepszym doświadczalnym modelem takiego ciała jest niewielki otwór w pudełku: fale wpadające do otworu mają niewielkie prawdopodobieństwo wydostania się z niego, wewnątrz pudełka (którego ścianki są utrzymywane w pewnej temperaturze T) mamy promieniowanie elektromagnetyczne w stanie równowagi cieplnej ze ściankami. Oczywiście przez taki otwór część promieniowania będzie się wydostawać na zewnątrz: otwór będzie świecił. Kirchhoff wyjaśnił, że promieniowanie takiego idealnego ciała doskonale czarnego scharakteryzowane jest tylko przez temperaturę, nie zależy od materiału, z którego wykonamy pudełko. W dodatku znając promieniowanie ciała doskonale czarnego, można obliczyć, jak będzie promieniować dowolne ciało rzeczywiste.

Black_body

Tak wyglądają widma ciała doskonale czarnego dla różnych temperatur. Czarna krzywa jest przewidywaniem fizyki przedkwantowej: obie zależności nie tylko są różne, ale jeszcze ta krzywa przedkwantowa nieograniczenie rośnie dla krótkich fal. Pole pod krzywą rozkładu widmowego promieniowania ma sens całkowitej mocy wysyłanej przez ciało (z jednostki powierzchni). Wynikałoby więc z tego, że według fizyki dziewiętnastowiecznej każde ciało promieniuje nieskończenie wiele energii w jednostce czasu, co jest oczywiście niemożliwe. Mamy więc tzw. katastrofę w nadfiolecie i problem do wyjaśnienia.

W roku 1900 dzięki nowym pomiarom Heinricha Rubensa i Ferdinanda Kurlbauma stało się jasne, że dotychczasowa fizyka nie nadaje się do opisu obserwowanej krzywej. Max Planck najpierw odgadł równanie opisujące rozkład promieniowania, a następnie pokazał, w jaki sposób można ten rozkład otrzymać teoretycznie. Rzecz wymagała wprowadzenia osobliwego założenia o skwantowaniu energii. Wróćmy do obrazu pudełka wypełnionego promieniowaniem termicznym. Ścianki tego pudełka stale wysyłają oraz pochłaniają fale elektromagnetyczne. Oznacza to, że drgają tam jakieś ładunki: fala elektromagnetyczna wprawia bowiem ładunek w ruch drgający i odwrotnie: każdy drgający ładunek wysyła falę elektromagnetyczną. Z punktu widzenia teorii ścianki pudełka to zbiór oscylatorów czyli układów drgających. Każdy z nich, tak jak wahadło, ma swoją własną częstość drgań. Im wyższa temperatura, tym intensywniej oscylatory drgają. W równowadze termodynamicznej ta sama ilość energii będzie wysyłana i pochłaniana w jednostce czasu. Należałoby więc obliczyć, jaką średnią energię będzie miał oscylator o częstotliwości \nu w zadanej temperaturze. Fizyka klasyczna przewiduje, że każdy oscylator, bez względu na częstość, będzie miał taką samą średnią energię równą kT, gdzie k jest stałą Boltzmanna.

Planck założył natomiast, że oscylatory mogą mieć jedynie energie równe

E=n\varepsilon=nh\nu,

gdzie n jest liczbą naturalną od zera począwszy, a h – nową stałą fizyczną, zwaną obecnie stałą Plancka. Jeśli w jakimś wzorze fizyki pojawia się stała Plancka, to znaczy to, że mamy do czynienia ze wzorem kwantowym. Gdyby stała Plancka była równa zero, obowiązywałaby fizyka klasyczna (co oznacza np., że niemożliwe byłyby stabilne atomy). Oczywiście w roku 1900 Max Planck nie wiedział jeszcze, że odkrywa zarysy nowego kontynentu, choć musiał zdawać sobie sprawę, że dotyka czegoś fundamentalnego.

Mając założenie o kwantowaniu, łatwo już obliczyć średnią energię oscylatora. Planck zrobił to, korzystając z pojęcia entropii. Entropia jest wielkością, którą można zdefiniować makroskopowo i w takiej postaci została ona wprowadzona do fizyki. Później Ludwig Boltzmann pokazał, że entropia jest miarą nieuporządkowania. Co to znaczy w przypadku naszego zbioru oscylatorów? Załóżmy, że mamy wielką liczbę N oscylatorów o danej częstości. Ponieważ energia jest skwantowana, więc całkowita energia naszego układu musi być równa

E=P\varepsilon,

gdzie P jest jakąś liczbą całkowitą. Entropia S związana jest z liczbą sposobów W, na jakie można rozmieścić P porcji energii między N oscylatorów:

S=k\ln W.

Gdzie k to stała Boltzmanna. W naszym przypadku problem kombinatoryczny najłatwiej narysować.

498px-Einstein_solids_1.svg498px-Einstein_solids_2.svg450px-Einstein_solids_3.svg

(obrazki są z Wikipedii, ale pomysł takiego obliczenia W opisali P. Ehrenfest oraz H. Kamerlingh-Onnes)

Mamy dwa rodzaje elementów: N-1 przegródek „między” oscylatorami oraz P elementarnych energii \varepsilon do rozmieszczenia. Inaczej mówiąc, ze zbioru N+P-1 elementowego musimy wybrać P elementów jako koraliki, reszta to przegródki. Liczba możliwości to liczba kombinacji

W=\dfrac{(N+P-1)!}{(N-1)!P!}.

Im wyższa energia, tym większa liczba kwantów energii („koralików”) i tym więcej sposobów na ich rozmieszczenie – co oznacza że rośnie entropia.

Obliczając na tej podstawie entropię, a następnie wyznaczając energię układu oscylatorów jako funkcję temperatury, otrzymamy dla danego rodzaju oscylatorów

\dfrac{E}{N}=\dfrac{\varepsilon}{\exp{\frac{\varepsilon}{kT}}-1} \mbox{. (*)}

Tego samego wyrażenia użył później Einstein dla drgań atomów w sieci krystalicznej. Jeśli uwzględnimy, że \varepsilon=h\nu oraz że liczba oscylatorów w przypadku ścianek pudełka 3D rośnie jak \nu^2, otrzymamy rozkład Plancka:

E(\nu)\Delta\nu\sim \nu^2\dfrac{h\nu}{\exp{\frac{h\nu}{kT}}-1}\Delta\nu=\dfrac{h\nu^3}{\exp{\frac{h\nu}{kT}}-1}\Delta\nu.

Jednym z najpiękniejszych przykładów rozkładu Plancka jest kosmiczne promieniowanie tła.

spectrum

Jest ono z wielką dokładnością opisane krzywą Plancka i ma temperaturę niecałe 3K, co oznacza, że większość energii przypada w nim na mikrofale o długościach milimetrowych. Trudno w tym zakresie prowadzić pomiary z Ziemi, toteż zwykle dokonuje się tego z satelitów. Najdoskonalsza do tej pory aparatura pomiarowa badająca promieniowanie tła nie przez przypadek nazwana została misją PLANCK.

(*) Pokażemy, jak można z entropii znaleźć średnią energię w funkcji temperatury. Klasyczna definicja entropii wiąże jej przyrost z ilością ciepła \Delta Q oraz temperaturą:

\Delta S=\dfrac{\Delta Q}{T}=\dfrac{\Delta E}{T}.

Druga równość odnosi się już do przypadku naszych oscylatorów. Musimy więc obliczyć, o ile zmieni się entropia, gdy dostarczymy jakąś niewielką dodatkową energię \Delta P\varepsilon. Zmiana entropii jest równa

\Delta S=k\ln\dfrac{(N+P+\Delta P)!N!P!}{N!(P+\Delta P)!(N+P)!}=k\Delta P\ln\dfrac{N+P}{P}.

Korzystamy tu z \Delta P\ll P, a także pominęliśmy jedynki jako dużo mniejsze od naszych liczb P oraz N. Możemy uzyskane wyrażenie wstawić do związku

\dfrac{\Delta S}{\Delta E}=\dfrac{1}{T}.

Odwracając to równanie i pamiętając, że E=P\varepsilon, otrzymujemy wynik (*).

Wyrażenie kwantowe przechodzi w klasyczne, gdy h\nu=\varepsilon\ll kT, mamy wtedy:

\dfrac{\varepsilon}{\exp{\frac{\varepsilon}{kT}}-1}\approx kT.

Wynika to z faktu, że dla wartości x\ll 1 funkcję wykładniczą można przybliżyć \exp x\approx 1+x. Dla małych częstości przybliżenie klasyczne jest prawidłowe, jednak częstości promieniowania nie są ograniczone z góry, więc aby uzyskać poprawną zależność, potrzebny jest wzór kwantowy.

Dodatkowa proporcjonalność do \nu^2 we wzorze Plancka jest sprawą czysto techniczną: w trójwymiarowym pudełku liczba dozwolonych drgań (czyli fal stojących) rośnie jak pole powierzchni kuli.

Erwin Schrödinger, kwanty i amory, 1926

Stworzenie mechaniki kwantowej było zapewne największym osiągnięciem wieku XX w fizyce, pozwalając – jeśli nie rozumieć – to w każdym razie obliczać, jak zachowują się cząstki mikroświata. Dzisiejszy postęp technologii, genetyki molekularnej, nanotechnologii byłby bez tej teorii zupełnie niemożliwy. Żałować wypada, iż zasad mechaniki kwantowej nie uczy się w szkole – to wcale nie musi być trudne, a z pewnością jest ciekawsze niż równie pochyłe i bloczki zaśmiecające egzaminy maturalne z fizyki i w konsekwencji programy szkolne.

W roku 1925 Werner Heisenberg (23 lata) i niezależnie od niego Paul Dirac (22 lata) sformułowali abstrakcyjne zasady mechaniki kwantowej. Mówiło się o Knabenphysik – fizyce tworzonej przez chłopców. Z początku nie było jasne, jak stosować i jak rozumieć owe dziwne zasady. Formalizm był mądrzejszy od jego autorów. Sytuacja zmieniała się jednak z miesiąca na miesiąc. Już w styczniu 1926 roku było jasne, że mechanika kwantowa ma sens: udało się zastosować formalizm Heisenberga do atomu wodoru i obliczyć skwantowane energie elektronu (Wolfgang Pauli, 25 lat). To samo uzyskał Bohr w 1913 roku, ale jego model był niekonsekwentny: trochę klasyczny, trochę ad hoc. Teraz teoria była na tyle zwariowana, że mogła być prawdziwa.

W zestawieniu z innymi twórcami mechaniki kwantowej trzydziestosiedmioletni Erwin Schrödinger może wydawać się człowiekiem bardzo już dojrzałym.erwin

Jednak to on napisał najpopularniejsze równanie teorii – nazwane jego imieniem i do dziś niezwykle ważne w różnych zastosowaniach. Jego podejście było całkowicie oryginalne i zupełnie różne od wspomnianych „chłopców” z Getyngi i Cambridge, zamiast kwantów Schrödinger mówił o falach. Reguły Bohra określały dozwolone orbity w atomie, orbity te były numerowane kolejnymi liczbami naturalnymi (słowo „kwantowanie” znaczy właśnie to, że nie wszystkie wartości są dozwolone, lecz jedynie pewien ich ciąg). Schrödinger zadał sobie pytanie, skąd mogą się brać takie liczby naturalne? W fizyce klasycznej znane są takie zagadnienia: mówi się wówczas o falach stojących. Są to np. różne drgania struny zamocowanej na końcach: dopuszczalne są tylko takie sinusoidy, które na końcach mają zera. Dzięki temu struna emituje dźwięk podstawowy i jego wielokrotności (w sensie częstotliwości).

Standing_waves_on_a_string

Fale stojące mają ściśle określone częstotliwości, różne instrumenty muzyczne wykorzystują ten fakt na wiele pomysłowych sposobów. Zawsze mamy tam do czynienia z ograniczonym obszarem przestrzennym, w którym powstaje dźwięk – np. piszczałka organów albo układ trębacz+trąbka.

Czy można elektron w atomie wodoru potraktować jako taką falę stojącą? Problem był oczywiście trójwymiarowy – bardziej skomplikowany niż struna, ale komplikacje były wyłącznie natury matematycznej. W dodatku fale były już dobrze znane i zbadane przez poprzednie generacje matematyków i fizyków. Rzeczywiście, elektron w atomie wodoru można uznać za związany przyciąganiem elektrostatycznym. Przyciąganie to sprawia, że jest on zamknięty w czymś, co nazywamy studnią potencjału. Schrödinger obliczył kształt dozwolonych funkcji falowych elektronu – muszą one mieć tę cechę, że maleją asymptotycznie do zera wraz z odległością od protonu. Obliczył też dozwolone wartości – okazały się prawidłowe. Wynik Bohra po raz trzeci został uzyskany z jeszcze innych założeń.

hydrogen_functions

Nasuwało się pytanie, co znaczy sama funkcja falowa, oznaczana odtąd tradycyjnie grecką literą ψ (psi)? W dodatku równanie Schrödingera jest zespolone, więc i funkcja falowa ψ też powinna być zespolona. Liczba zespolona to para liczb rzeczywistych: np. długość wektora na płaszczyźnie i jego kąt z osią Ox. Schrödinger wyobrażał sobie, że kwadrat modułu (długości zespolonego wektora) opisuje rozmycie ładunku elektronu w przestrzeni. Nie miał racji, ów kwadrat opisuje prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w danym obszarze, ale sam elektron nie jest w żaden sposób rozmyty: albo obserwujemy cały elektron, albo nie ma go wcale.

W zasadzie od razu było jasne, że cykl prac Schrödingera z roku 1926 wart jest Nagrody Nobla i rzeczywiście uczony otrzymał ją kilka lat później razem z Dirakiem, a rok po Heisenbergu.

Zastanawiano się nieraz nad tym wybuchem kreatywności profesora, który dotąd był szanowanym fizykiem, lecz nie uchodził za geniusza. Herman Weyl, znakomity matematyk, twierdził, że ów przypływ energii twórczej Schrödingera związany był z jego ówczesnymi sukcesami erotycznymi. Weyl zapewne wiedział, co mówi, był bowiem kochankiem żony Schrödingera, Anny. Pierwszą pracę na temat atomu wodoru pisał Schrödinger podczas urlopu bożonarodzeniowego 1925 w Arosie. Towarzyszyła mu tam jedna z jego dawnych flam, jej nazwisko pozostaje nieznane historykom. W trakcie roku 1926 Schrödinger poznał (dzięki żonie) czternastoletnią Ithi Junger, której pomagał w matematyce i w której się zakochał. Ich związek trwał kilka lat, został zresztą w pełni skonsumowany dopiero po ukończeniu przez Ithi lat siedemnastu. Na zdjęciu z lewej strony Ithi, w środku Hilde March, żona kolegi Schrödingera i matka jego nieślubnego dziecka, z prawej Anny. Tryb życia uczonego oburzał niektórych, choć najbardziej zainteresowana, Anny Schrödinger, nie wydawała się nim szczególnie zbulwersowana, Weyl nie był zresztą jej jedynym kochankiem.

women

Splątane cząstki: prosta wersja nierówności Bella

Od samego początku istnienia mechaniki kwantowej wysuwano przeciw niej różne zastrzeżenia, robili to uczeni tak wybitni, jak A. Einstein (słynne „Bóg nie gra w kości”), czy Erwin Schrödinger – autor najczęściej stosowanego równania tej teorii. Jednym z problemów były szczególne korelacje kwantowe, sprawiające wrażenie jakiegoś „niesamowitego (spooky) oddziaływania na odległość” – jak ujęli to Albert Einstein, Nathan Rosen i Boris Podolsky w swej pracy z roku 1935. Dziś fenomen ten nazywamy splątaniem i został on do pewnego stopnia odczarowany, a w każdym razie wiemy, iż jest koniecznym składnikiem mechaniki kwantowej i obserwuje się go doświadczalnie. Wiemy także, iż nie jest oddziaływaniem i nie może posłużyć do przekazywania informacji. Chodzi o to, że cząstki kwantowe mogą zachowywać się jak pewna skorelowana całość mimo tego, że są od siebie daleko.

Rozpatrzmy prosty przykład dwóch cząstek o spinie 1/2 (jak elektron i proton). Spin jest wewnętrznym momentem pędu cząstki – kwantowe cząstki mają zawsze konkretną wartość momentu pędu. Są więc wtedy nie tyle matematycznymi punktami co strzałkami, które mają orientację w przestrzeni. Kiedy wiruje jakiś obiekt makroskopowy, możemy wskazać kierunek osi jego obrotu (stanowiący kierunek wektora momentu pędu. I wiemy, że obiekt ten nie zmienia się od tego, że na niego patrzymy. W mechanice kwantowej nie wolno jednak beztrosko przypisywać wartości wielkościom, których nie zmierzyliśmy. W przypadku elektronu możemy zadać eksperymentalne pytanie, czy jego spin ma kierunek wskazanej przez nas osi. Przyroda odpowiada w losowy sposób tak-nie, a mechanika kwantowa pozwala przewidywać prawdopodobieństwa otrzymania danej odpowiedzi. Dla osi skierowanej do góry (osi z) mamy dwa możliwe stany spinu: spin w górę: |\uparrow\rangle oraz spin w dół: |\downarrow\rangle (stany kwantowe są wektorami: wolno je dodawać do siebie i mnożyć przez liczby, tak samo jak inne wektory).

Do tej chwili mówiliśmy o jednym spinie. Splątanie pojawia się, kiedy mamy do czynienia z dwiema lub więcej cząstkami. Załóżmy, że jakaś spoczywająca cząstka o spinie 0 rozpada się na dwie cząstki o spinie 1/2. Powstała para spinów musi znaleźć się w stanie o łącznym spinie równym zeru (gdyż moment pędu nie może się zmienić w wyniku rozpadu). Oznacza to, że spiny obu cząstek są przeciwne. Zapisuje się to jako następujący stan

|{\downarrow}\rangle_L |\uparrow\rangle_R-|\uparrow\rangle_L \downarrow\rangle_R.

Indeksy L i R wskazują nam cząstki biegnące w lewo i w prawo. Różnica stanów oznacza, że oba jej składniki są możliwe i jednakowo prawdopodobne: a więc możliwe jest, że mierząc spin lewej cząstki, uzyskamy wynik w dół. Będzie temu automatycznie towarzyszyć wynik w górę dla drugiej cząstki. Widzimy, czym niepokoił się Einstein: skąd ta druga cząstka wie, że uzyskałem dla pierwszej wynik spin w dół? Tym bardziej, że mógłbym uzyskać wynik negatywny, tzn. spin w górę, a wtedy druga cząstka z pewnością wskazałaby spin w dół. W dodatku to jeszcze nie wszystko. Mogę zmienić kierunek osi. Zapis stanu powyżej nie zmieni się ani na jotę. Dla tego nowego kierunku osi nadal wyniki będą skorelowane.

Same korelacje nie muszą jednak oznaczać, że potrzebujemy mechaniki kwantowej. Może pary cząstek od samego początku są już w jakichś dwóch skorelowanych stanach, tak jakby jedna zawsze była niebieska a druga żółta. Jeśli ustalę, że ta lewa jest żółta, to prawa będzie niebieska, i na odwrót. Okazuje się, że można wykluczyć takie klasyczne korelacje i to jest właśnie treść nierówności Bella. Jest mnóstwo wersji tej nierówności, my przedstawimy jedną z najprostszych. Załóżmy, że nasza para obserwatorów (zwanych zgodnie ze świecką tradycją mechaniki kwantowej Alice i Bob) wykonuje pomiary dla wybranych kierunków osi i za każdym razem zapisuje kierunek osi oraz wynik (tak-nie). Celem pomiarów jest ustalenie częstości występowania jednakowych wyników w różnych przypadkach i porównanie z tym, co przewiduje mechanika kwantowa. Kierunki A i B oraz C i D różnią się o 45º, A jest pionowy, D – poziomy.
Bell
Mechanika kwantowa przewiduje, że gdy kierunki pomiarów obojga obserwatorów tworzą ze sobą kąt \theta, prawdopodobieństwo uzyskania przez nich jednakowych wyników pomiarów (tak-tak albo nie-nie) jest w naszym przypadku równe \sin^2\frac{\theta}{2} (wzór ten nie ma nic wspólnego ze splątaniem, tak zachowuje się spin 1/2, gdy zmieniamy kierunek osi, wyjaśniają to podręczniki mechaniki kwantowej, nawet gdy nie ma w nich nic o splątaniu i tw. Bella). Dla trzech par kierunków otrzymamy kolejno

P(A=C)=\sin^2\frac{135^{\circ}}{2}=0,85

P(B=C)=\sin^2\frac{180^\circ}{2}=1

P(B=D)=\sin^2\frac{135^{\circ}}{2}=0,85

Kierunki B i C są dokładnie przeciwne, dlatego wynik jest pewny. Kierunki A i C oraz B i D są „prawie” przeciwne, więc wartość jest bliska 1, ale mniejsza. Prawdopodobieństwa te są zgodne z obserwacjami.

Załóżmy teraz, że „naprawdę” nasze cząstki od początku biegną przygotowane w pewnym stanie. Spróbujmy określić prawdopodobieństwo, że wyniki Alice i Boba będą różne przy ustawieniach A i D. Jeśli dla danego pomiaru A\neq D, to mamy A\neq C lub B\neq D (ponieważ zawsze B=C). Wobec tego zdarzenie A\neq D zawarte jest w sumie zdarzeń A\neq C oraz B\neq D. Otrzymujemy

P(A\neq D)\leq P(A\neq C)+P( B\neq D)=0,3.

Tym samym P(A=D)\geq 0,7. Taki jest wynik klasycznej teorii prawdopodobieństwa.
Stosując do A i D wzór przytoczony wyżej, otrzymujemy P(A=D)=0,55. Doświadczenie to potwierdza.

Naruszenia tej i innych nierówności Bella pokazują, że mechaniki kwantowej nie można zastąpić teorią klasyczną w charakterze (lokalną) i jednocześnie pozwalającą na takie same przewidywania. Dziś sceptycyzm, zrozumiały w latach trzydziestych, ustąpił raczej miejsca ciekawości, do czego może nas to doprowadzić. A prowadzić może np. do komputera kwantowego, którego powstanie wydaje się tylko kwestią czasu i który potrafiłby przeprowadzać obliczenia dziś niewykonalne, mógłby np. złamać praktycznie wszystkie stosowane obecnie szyfry.

(Przykład pochodzi od B. Schumachera)