Werner Heisenberg, zasada nieoznaczoności i istnienie atomów (1927)

W roku 1925 dwudziestotrzyletni Werner Heisenberg zaproponował nową mechanikę dla cząstek mikroświata. Był to początek prawdziwej rewolucji w fizyce, największej do tej pory. Można było wziąć podręcznik, wyszukać jakiś problem klasycznej mechaniki i rozwiązać go nowymi metodami. Niemal zawsze wynik taki znajdował zastosowanie w świecie atomów i cząsteczek, pozwalając zrozumieć zjawiska dotąd zupełnie niezrozumiałe.Heisenberg,Werner_1926

 

Problemem nowej teorii była interpretacja fizyczna (w jakimś sensie stanowi ona zresztą problem do dziś). Pod koniec marca 1927 roku Werner Heisenberg opublikował pracę O poglądowej treści kinematyki i mechaniki kwantowej. Znalazła się w niej słynna zasada nieoznaczoności: w przypadku cząstki kwantowej nie możemy przyjąć, że znamy jednocześnie jej położenie i prędkość. Każdą z tych wielkości z osobna możemy zmierzyć z dowolną dokładnością, ale tracimy wówczas informację o drugiej.

  1. Zilustrujemy to najpierw przykładem, który Heisenberg podał nieco później.
  2. W następnej kolejności rozpatrzymy mikroskop Heisenberga z 1927 roku.
  3. Pokażemy też, jak zasada nieoznaczoności pozwala zrozumieć fundamentalny fakt doświadczalny: stabilność atomów – w myśl fizyki klasycznej takie układy powinny być nietrwałe.
  1. W mechanice klasycznej (niekwantowej), aby obliczyć, co się stanie z pewnym ciałem, np. kamieniem, który rzucamy, należy znać jego położenie oraz prędkość w pewnej chwili. Oczywiście, trzeba znać siły działające na nasze ciało. Warunki początkowe plus siły pozwalają, przynajmniej w zasadzie, obliczyć, co się stanie w chwilach późniejszych albo, co się z naszym kamieniem działo w chwilach wcześniejszych – mechanika nie rozróżnia przeszłości i przyszłości w taki sposób jak my: przeszłość pamiętamy, przyszłości jeszcze nie ma. Heisenberg starał się sformułować swoją teorię, używając jedynie wielkości, które można zmierzyć. Sądził np., że takie pojęcie jak tor elektronu nie ma sensu empirycznego i w związku z tym nie należy sobie wyobrażać, iż elektrony w atomie jakoś się poruszają w sposób klasyczny. Louis de Broglie zaproponował kilka lat wcześniej, aby traktować elektron jako falę o długości

     \lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{mv},

    gdzie h jest stałą Plancka, p – pędem, czyli iloczynem masy m i prędkości v. Fala o ustalonym kierunku i wartości pędu, to fala płaska. Wiemy, że jeśli fala taka przejdzie przez szczelinę, ulegnie ugięciu.electron diffraction

     

     

     

    Przejście przez szczelinę o szerokości d możemy potraktować jak pomiar współrzędnej: znamy położenie elektronu z dokładnością do szerokości szczeliny. Nie możemy jednak określić dokładnie pędu naszego elektronu w kierunku poziomym. Krzywa dyfrakcyjna na rysunku oznacza rozkład prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w różnych punktach. Pęd w kierunku poziomym jest statystycznie rozmyty. Wielkość jego rozmycia, to zgodnie z tym, co pisaliśmy o dyfrakcji:

    \Delta p=p\sin\theta=p\dfrac{\lambda}{d}.

    Mnożąc nieoznaczoność poziomej współrzędnej przez nieoznaczoność poziomego pędu, otrzymujemy:

    \Delta x\Delta p= \lambda p=h.

    Co oznacza ten związek? Jeśli dokładniej chcemy znać wartość współrzędnej x, to musimy za to zapłacić większym rozmyciem pędu, i na odwrót: dokładna znajomość pędu oznacza, że fala elektronu jest płaska, czyli nieskończenie szeroka w kierunku poziomym (przed wejściem do szczeliny) – nic wówczas nie wiemy o położeniu elektronu. Stan kwantowy charakteryzuje się więc tym, że zarówno współrzędna, jak i pęd muszą być rozmyte. Mówimy tu o szerokości rozkładów prawdopodobieństwa: w ściślejszym sformułowaniu należy z lewej strony pomnożyć odchylenia standardowe współrzędnej oraz pędu. Nie dziwmy się, że fizycy z lat dwudziestych ubiegłego wieku mieli trudności w zrozumieniu zachowania elektronów. Rozkład prawdopodobieństwa narysowany powyżej obowiązuje także w przypadku, gdy przez szczelinę przechodzi zawsze tylko pojedynczy elektron. Z jakichś powodów przechodzi on więc przez całą szczelinę jednocześnie, chociaż przyłapać go możemy zawsze tylko w konkretnym punkcie. Zachowanie się cząstki kwantowej w pobliżu przeszkody oddaje dobrze poniższy rysunek Charlesa Addamsa, rysownika zupełnie niezwiązanego z fizyką.
    YAGO600SPAN

  2. Rozpatrzmy jeszcze przykład mikroskopu Heisenberga – jest to Gedankenexperiment – doświadczenie pomyślane, nie interesujemy się techniczną wykonalnością, lecz zasadami fizyki. Załóżmy, że chcemy zmierzyć położenie elektronu oraz jego pęd w kierunku poziomym. Aby elektron zobaczyć, musimy go oświetlić. Nasz przedmiot (elektron) musi znajdować się praktycznie w ognisku obiektywu mikroskopu. mikroskop1Najmniejszy kąt możliwy do rozdzielenia przez nasz mikroskop, to kąt znaleziony przez Airy’ego, mamy więc

     \Delta x=f \alpha=1,22 f\dfrac{\lambda}{D},

    Przyjęliśmy, że \alpha jest nieduży (znacznie mniejszy od jednego radiana, wówczas wartości sinusa i tangensa kąta można zastąpić jego wartością w radianach); f jest ogniskową, D – średnicą obiektywu. Ponieważ oba te parametry soczewki są mniej więcej zbliżonej wielkości, więc najmniejsza odległość przedmiotów, jakie możemy rozdzielić jest rzędu długości fali. Dlatego używa się mikroskopów elektronowych: jeśli elektrony mają znaczny pęd, to zgodnie ze wzorem de Broglie’a ich długość fali jest niewielka i mamy szansę dostrzec mniejsze szczegóły niż za pomocą mikroskopu optycznego. Heisenberg wyobraził sobie mikroskop, w którym używamy promieniowania \gamma o bardzo małej długości fali, wtedy nieoznaczoność współrzędnej może być odpowiednio mniejsza. Co jednak z pędem? Nasz elektron zderza się z fotonem, w zderzeniu tym zachowany jest pęd, zatem mierząc pędu fotonu w kierunku poziomym, możemy znaleźć pęd elektronu. Aby foton wpadł do obiektywu, musi poruszać się w odpowiednim kierunku. mikroskop2To z kolei oznacza, że pozioma składowa jego pędu jest znana z dokładnością

    \Delta p=p\sin\theta\approx p\dfrac{D}{2f}.

    Mnożąc obie nieoznaczoności, otrzymamy

    \Delta x\Delta p=0,61\lambda p\approx h.

  3. Zastosujemy zasadę nieoznaczoności do wyznaczenia wielkości atomu wodoru. Możemy sobie wyobrażać, że mamy nieskończenie ciężki proton, który przyciąga elektron. Energia potencjalna elektronu jest wówczas równa

    V=-\dfrac{e^2}{r},

    gdzie e^2 zawiera ładunek elementarny i stałą z prawa Coulomba, tzn. e^2={q_e}^2/{4\pi\epsilon_0}. Energia potencjalna w funkcji odległości wygląda jak na wykresie.coulomb

    Im bliżej protonu znajdzie się elektron, tym mniejsza będzie jego energia potencjalna. Każdy układ fizyczny, jeśli go zostawić w spokoju, przejdzie do stanu o najniższej możliwej energii. W tym przypadku nie ma najmniejszej energii: studnia potencjału nie ma dna, więc nasz elektron powinien spaść na proton. Znaczyłoby to, że nie mamy atomu wodoru. Rzeczywiście, z punktu widzenia fizyki niekwantowej, nawet jeśli umieścimy elektron na kołowej orbicie wokół protonu, zacznie on wysyłać promieniowanie elektromagnetyczne, ponieważ ruch przyspieszony generuje takie fale. Unoszą one energię i nasz elektron powinien skończyć na protonie. Zasada nieoznaczoności pozwala tego uniknąć. Załóżmy, że r i p oznaczają typowe wartości nieoznaczoności odległości i pędu. Mamy wtedy

    rp\approx h\mbox{, zatem } \dfrac{1}{r}\approx \dfrac{p}{h}.

    Typowe wartości odległości oraz pędu powinny być takiego samego rzędu, dlatego opuściliśmy symbole \Delta. Całkowita energia równa jest sumie energii kinetycznej i potencjalnej:

    E=\dfrac{p^2}{2m}-\dfrac{e^2}{r}=\dfrac{1}{2m}p^2-\dfrac{ e^2}{h} p.

    Wyrażenie to jest funkcją kwadratową zmiennej p. Wykresem tej funkcji jest parabola, współrzędne jej wierzchołka pozwalają nam znaleźć zarówno wartość najmniejszej energii, jak i wartość odpowiadającej jej odległości r_0:

    E=-\dfrac{me^4}{2\hbar^2}\mbox{, } r_0=\dfrac{\hbar^2}{me^2}.

    Oczywiście, w takim oszacowaniu nie otrzyma się dokładnych wartości. Nasze wyniki mogą się różnić o jakieś czynniki liczbowe typu \pi^2. Nieco w tych wzorach oszukałem, wstawiając wartości \hbar=h/{2\pi}, wtedy wszystko się zgadza. Energia wychodzi równa -13,6 eV (oznacza to, że trzeba elektronowi dostarczyć 13,6 eV, aby miał energię równą zero: odpowiada to jonizacji). Odległość elektronu 0,5 Å – jest to jakaś średnia odległość, atom ma średnicę rzędu 10^{-10} \mbox{ m}. Nie o dokładne liczby jednak chodzi, lecz o pewien mechanizm: gdyby elektron stale przebywał bardzo blisko protonu, co daje niską energię potencjalną, musiałby mieć duży pęd, a to oznacza dużą energię kinetyczną. Stan o najmniejszej energii jest więc swoistym kompromisem, który minimalizuje energię.

Reklamy

Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie: błyskotliwy doktorat (1924)

W nauce liczy się nie liczba prac, ale tylko i wyłącznie ich jakość. Na ogół wybitni uczeni publikują sporo, czasem mniej, czasem więcej – np. Albert Einstein publikował niemal wyłącznie prace ważne albo potencjalnie ważne, ale i tak wyszło ich ponad trzysta. Euler napisał blisko tysiąc prac. Nie działa to jednak w drugą stronę: ktoś, kto opublikował trzysta artykułów wcale nie musi być Einsteinem ani Eulerem, nie musi być nawet wybitnym uczonym. Stanisław Lem proponował kiedyś, żeby zacząć robić zakrycia naukowe. Rozwiązałoby to problem lawinowo narastającej liczby publikacji, niepotrzebnych nikomu oprócz ich autorów, którzy pragną rozliczyć grant badawczy. W razie wątpliwości, jak oceniać dorobek uczonego X, należy sobie zadać pytanie, jaki istotny problem został w jego pracach rozwiązany? A może chociaż jakiś istotny problem został w nich sformułowany ze wskazaniem drogi rozwiązania? Peter Higgs pozostanie w historii autorem jednej pracy i to wcale niemało, zważywszy, jaka to praca.

Istnieje też osobna kategoria błyskotliwych doktoratów: ktoś w młodości pisze ważną pracę i nie udaje mu się dokonać tej sztuki po raz drugi. Louis de Broglie w chwili obrony doktoratu przekroczył trzydziestkę, nie był więc młodzieniaszkiem. Praca dotyczyła jednak kwestii fundamentalnych: czym właściwie są cząstki, którymi zajmuje się fizyka. Dwa lata później myślowy horyzont pracy de Broglie’a został przekroczony: powstała mechanika kwantowa. Sam de Broglie nigdy się nie pogodził z kwantowomechaniczną ortodoksją, przez lata rozwijał teorię alternatywną. Zrobił jednak rzecz ważną, jego pomysły zainspirowały innych wtedy i nie są całkiem martwe nawet dziś. To naprawdę wiele. Nagroda Nobla jest przy tym tylko miłym efektem ubocznym.

Fig1

Książę Louis de Broglie mógłby być bohaterem Marcela Prousta, którego nieco przypominał z wyglądu. Jego rodzina zaczęła piąć się w górę razem z kardynałem Mazarin w XVII wieku. Na początku wieku XVIII marszałek Francji François-Marie de Broglie został pierwszym diukiem. Diukiem nr 6 był starszy (niemal o dwadzieścia lat) brat Louisa, Louis-César-Victor-Maurice de Broglie. Był on także wybitnym fizykiem-eksperymentatorem. Urządził sobie w domu prywatne laboratorium, w którym badał promienie Röntgena. W roku 1911 Maurice był sekretarzem na I Konferencji Solvayowskiej, gdzie spotkali się wszyscy wybitni fizycy tego okresu: Einstein, Rutherford, Lorentz, Maria Curie oraz jej ówczesny kochanek Paul Langevin. O romansie tych dwojga pisała właśnie cała prawicowa i ksenofobiczna prasa francuska: oto imigrantka, w dodatku starsza, rozbija wzorową francuską rodzinę wielodzietną. Gdyby skandal ujawnił się wcześniej, Maria Curie prawie na pewno nie otrzymałaby Nagrody Nobla, ale było już za późno – nagroda została przyznana. Kiedy kilka lat później Paul Langevin miał nieślubne dziecko ze swoją asystentką, prasa milczała.
Louis, obdarzony znakomitą pamięcią i świetnie się zapowiadający, studiował najpierw historię, potem prawo i filozofię, a jeszcze później popadł w depresję. Wyjazd u boku brata na konferencję do Brukseli mógł być swoistą terapią. Louis mógł się przyjrzeć kuluarowemu życiu konferencji i zapewne został przedstawiony niektórym znakomitościom. Jego droga do fizyki nie była całkiem prosta, po drodze przydarzyła się jeszcze pierwsza wojna światowa. A po niej nastąpił doktorat u Langevina, najwybitniejszego fizyka teoretyka francuskiego tamtej epoki, nota bene zdeklarowanego lewicowca, późniejszego członka partii komunistycznej.
Louis de Broglie był pod wrażeniem prac Einsteina, z których wynikało, że światło, będąc falą elektromagnetyczną, ma przy tym własności cząstkowe. De Broglie wysunął przypuszczenie, że może wszystkie cząstki, również takie jak elektrony, są falami. Idea była abstrakcyjna, fale takie powinny się rozchodzić prędzej niż światło. Ale można było z nich zbudować fale złożone (paczki falowe), które miały już podświetlną prędkość rozchodzenia się i mogłyby poruszać się razem z elektronem. Nie wiadomo było, co właściwie znaczą te fale ani co w nich drga. Za ich pomocą można było jednak w nowy sposób wyrazić warunek kwantowania Bohra: orbity dozwolone w atomie to takie, na których obwodzie mieści się całkowita liczba długości fali de Broglie’a.

deBroglie-1024x361

Wszystko to było nie do końca jasne i nie stanowiło zakończonej teorii. Paul Langevin nie wiedział, co myśleć o dysertacji, poprosił o dodatkowy egzemplarz, który wysłał Einsteinowi. Pozytywna opinia Einsteina przesądziła sprawę doktoratu. Niemal natychmiast okazało się, że falowe własności elektronu można zaobserwować eksperymentalnie za pomocą dyfrakcji na kryształach (regularna struktura kryształu działa na fale de Broglie’a jak siatka dyfrakcyjna na światło). Pięć lat później Louis de Broglie otrzymał Nagrodę Nobla.