Paul Dirac – drugi początek mechaniki kwantowej (1925)

Latem 1925 roku Werner Heisenberg wystąpił w Cambridge z odczytem w Klubie Kapicy. Było to nieformalne stowarzyszenie powołane do życia przez pełnego temperamentu rosyjskiego fizyka Piotra Kapicę, coś w rodzaju klubu naukowego doktorantów i studentów. Chwila była ważna: Heisenberg zaczął właśnie budować pierwsze zręby nowej mechaniki kwantowej. Sam jeszcze nie był pewny, co z tego wyjdzie, nikt pewnie nie przypuszczał, że chodzi o największe odkrycie XX wieku (obok teorii względności). W swoim wystąpieniu Heisenberg omówił swoją pracę na temat efektu Zeemana, a pod koniec wspomniał o nowych rewolucyjnych pomysłach.

Jednym ze słuchaczy był Paul Dirac. Wydawałoby się zatem, że wtedy właśnie dowiedział się, i to wprost od samego autora o koncepcji mechaniki kwantowej. Jeśli A mówił na temat X, a B tego słuchał, to zapewne B zapoznał się w ten sposób z X. Nie zawsze to prawda, podobnie jak z obecności na wykładzie niekoniecznie wynika, że student się czegoś dowiedział. W tym przypadku mamy świadectwo samego Diraca. Twierdził on, że zupełnie zapomniał o tej części wystąpienia Heisenberga i nawet był przekonany, że niemiecki uczony nic nie wpomniał o swej ostatniej pracy. Nie ma powodu nie wierzyć Diracowi, który był prawdomówny do bólu. Pracę Heisenberga otrzymał we wrześniu 1925 roku w postaci korekty drukarskiej. Heisenberg wysłał ją do Ralpha Fowlera, ten zaś napisał na odbitce: „Co o tym myślisz?” i przesłał ją swemu doktorantowi Diracowi do Bristolu. Nie był to przypadek, Fowler poznał się na zdolnościach swego milczącego i niezbyt towarzyskiego studenta. Jednak i we wrześniu Dirac nie zrozumiał od razu znaczenia pracy Heisenberga. Stało się tak dopiero po kilku tygodniach. Zaczął wówczas rozmyślać nad tym zagadnieniem i zaproponował własną wersję podejścia do problemu. Werner Heisenberg należał do wąskiej grupy uczonych zajmujących się zagadnieniem budowy atomu, orientował się nie tylko w opublikowanych osiągnięciach, ale brał udział w dyskusjach, wiedział, kto nad czym pracuje – słowem, korzystał w pełni z przynależności do czołówki ówczesnych fizyków. Dirac pracował sam, korzystając jedynie z tego, że Ralph Fowler był dobrze poinformowany w aktualnej sytuacji fizyki kwantowej na kontynencie. Zadziwiające, że potrafił w takich warunkach bardzo wiele osiągnąć w tej i w następnych pracach. Zresztą i później pracował sam, prawdopodobnie inaczej nie potrafił. Niektórzy twierdzą, że Paul Dirac był największym fizykiem XX wieku. Jego prace nigdy wszakże nie były popularne, nie mogły stać się nagłówkami w gazetach, był uczonym budzącym respekt wśród znających się na rzeczy, nie mógł też podobać się dziennikarzom – potrzebującym paru chwytliwych słów i nie mającym czasu, by zgłębić jakąkolwiek sprawę (*).

W pracy Heisenberga Dirac zwrócił przede wszystkim na fakt, że wielkości fizyczne, takie jak pęd czy współrzędna mogą nie być zwykłymi funkcjami czasu, lecz wielkościami, których mnożenie jest nieprzemienne: xy\neq yx. Fizycy wcześniej nie posługiwali się podobnymi pojęciami. Dirac miał naturalną łatwość operowania abstrakcyjnymi pojęciami, nie zaprzątał też sobie zbytnio głowy kwestią interpretacji formalizmu. Zaczął się zastanawiać nad sensem nieprzemienności, czym jest wyrażenie xy-yx? (Obecnie nazywa się ono komutatorem i oznaczane jest [x,y].)
Pewnej październikowej niedzieli, podczas cotygodniowej pieszej wycieczki, Dirac przypomniał sobie, że widział już wyrażenie podobne do komutatora w podręcznikach mechaniki klasycznej. Komutatory przypominały tzw. nawiasy Poissona. Nie był jednak pewien, czy dobrze pamięta. W żadnej z książek, które miał u siebie w pokoju, nie było definicji nawiasów Poissona. Ponieważ w niedzielę biblioteka była zamknięta, nie mógł od razu sprawdzić, czy skojarzenie jest prawidłowe. Wspominał później:

„Noc przeszła mi w męczącym oczekiwaniu, wciąż nie wiedziałem, czy mój pomysł ma jakąkolwiek wartość, ale stopniowo moje przekonanie rosło. Rankiem wybrałem się do biblioteki od razu po jej otwarciu i kiedy znalazłem w Mechanice analitycznej [E.T.] Whittakera definicję nawiasu Poissona, stwierdziłem, że jest dokładnie to, czego mi potrzeba. Był on całkowicie analogiczny do komutatora.

Nawiasy Poissona są zaawansowanym sposobem zapisu równań mechaniki w formalizmie Hamiltona. Stan układu określony jest przez podanie położenia q oraz pędu p (w razie potrzeby wprowadzamy większą liczbę współrzędnych i odpowiadających im pędów). Dynamikę układu, czyli jego ewolucję w czasie, określa funkcja zwana hamiltonianem H. W najprostszym przypadku cząstki o masie m w polu zewnętrznym V(q) hamiltonian jest po prostu sumą energii kinetycznej i potencjalnej:

H(q,p)=\dfrac{p^2}{2m}+V(q).

Znając hamiltonian, możemy napisać równania na pochodne czasowe położenia oraz pędu:

\dot{q}=-\dfrac{\partial H}{\partial q}, \: \dot{p}=\dfrac{\partial H}{\partial p}.

Łatwo zobaczyć, że w najprostszym przypadku równania te są równoważne II zasadzie dynamiki Newtona. Ich zaletą jest ogólność: możemy w rozmaity sposób definiować nowe współrzędne i pędy tak, by postać równań Hamiltona została zachowana. Hamiltonian będzie się przy tym zmieniać, w szczególnie prostych przypadkach może on się nawet redukować do jakiejś bardzo prostej funkcji, np. liniowej w pędzie i w ogóle nie zawierającej współrzędnych. Wtedy rozwiązanie układu równań jest trywialne (oczywiście, nie zawsze łatwo odgadnąć postać takich współrzędnych, które niejako wykonają pracę za nas).

Jeśli f(q,p), g(q,p) są dowolnymi funkcjami położeń i pędów, to ich nawias Poissona ma postać:

\left\{f,g\right\}=\dfrac{\partial f}{\partial q}\dfrac{\partial g}{\partial p}-\dfrac{\partial f}{\partial p}\dfrac{\partial g}{\partial q}.

Łatwo sprawdzić, że nawiasy Poissona są antysymetryczne (zmieniają znak przy przestawieniu funkcji), liniowe, spełniają dla dowolnych trzech funkcji f,g,h warunek Leibniza:

\left\{fg,h\right\}=f\left\{g,h\right\}+\left\{f,h\right\}g.

oraz tożsamość Jacobiego:

\left\{f,\left\{g,h\right\}\right\}+\left\{g,\left\{h,f\right\}\right\}+\left\{h,\left\{f,g\right\}\right\}.

Łatwo sprawdzić, że komutator dwóch wielkości będzie także spełniał powyższe warunki, jeśli tylko mnożenie jest łączne oraz rozdzielne względem dodawania. Analogię tę zauważył Dirac. A więc komutator w mechanice kwantowej odgrywałby rolę analogiczną do nawiasów Poissona.

Definicja Poissona nie była przypadkowa, pochodną każdej funkcji f położenia i pędu po czasie możemy zapisać jako

\dot{f}=\left\{f,H\right\}.

W szczególności, wstawiając f=q oraz f=p, dostaniemy równania ruchu w postaci Hamiltona. Najbardziej podstawowe nawiasy Poissona mają postać:

\left\{ q,q\right\}=\left\{ p,p\right\}=0, \; \left\{q,p\right\}=1.

Znając te podstawowe nawiasy oraz zakładając wyliczone wyżej własności ogólne nawiasów, można łatwo znaleźć nawiasy dla wielomianów zmiennych q,p, a stąd w zasadzie dla każdej rozsądnej funkcji tych zmiennych.

Praca Diraca była czymś więcej niż tylko trafnym zgadywaniem. Obliczył on, że w granicy dużych liczb kwantowych komutator powinien przechodzić w nawias Poissona pomnożony przez stałą:

[f,g] \approx i\hbar \left\{f,g\right\}.

Przyjmując więc odpowiednie wartości komutatorów, mamy pewność, że formalizm kwantowy redukuje się do klasycznej mechaniki. Dirac otrzymał w ten sposób reguły komutacyjne, które stanowią podstawę nowej teorii. W tym samym czasie w Getyndze Born i Jordan otrzymali je także, o czym jednak Dirac nie wiedział. Odpowiedniość nie jest do końca automatyczna, ponieważ gdy zmienne q,p nie komutują, ich kolejność ma znaczenie i temu samemu wyrażeniu klasycznemu odpowiadają rozmaite wyrażenia kwantowe.

Był to debiut Diraca w dziedzinie mechaniki kwantowej. To ta praca wprawiła w osłupienie Maxa Borna: nikomu nieznany student zrobił to samo, co najznakomitsi uczeni z Getyngi i wykazał przy tym samodzielność i dojrzałość. Dopiero w czerwcu następnego roku miał zrobić doktorat.

(*) Ostatnim przykładem takiej dziennikarskiej hucpy jest doniesienie o udowodnieniu hipotezy Riemanna przez sir Michaela Atiyaha. Pisałem o hipotezie Riemanna, jest to największy otwarty problem matematyki. Atiyah był genialnym matematykiem, który zdobył w swoim czasie wszelkie możliwe nagrody, ale obecnie ma 90 lat i od paru lat zasypuje świat niepotwierdzonymi rewelacjami. W dodatku hipoteza Riemanna miałaby być udowodniona wraz z rozważaniami na temat stałej struktury subtelnej – problem w tym, że stała ta bynajmniej nie jest stałą i nic sensownego na jej temat chyba się nie da powiedzieć. Niegdyś Arthur Eddington twierdził, że zna fundamentalne powody, dla których stała ta równa jest dokładnie 1/137. Jednak w rzeczywistości nie jest ona dokładnie równa tej wartości, więc całe to wyjaśnienie nie ma sensu. Obawiam się, że podobnie jest z dowodem Atiyah. Dziennikarze obwieszczają teraz wiadomość o dowodzie, potem będą mieli drugą okazję, aby to sprostować. Jest skrajnie nieprawdopodobne, aby hipotezę Riemanna udowodnić w paru linijkach – jak twierdzi Atiyah. To tak nie działa.

 

 

Reklamy

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Google+

Komentujesz korzystając z konta Google+. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj /  Zmień )

Connecting to %s