Jakob Hermann pisze do Johanna Bernoulliego na temat ruchu planet, 12 lipca 1710 r.

Ulmenses sunt mathematici – mieszkańcy Ulm to matematycy – głosiło stare porzekadło. Znamy jednego matematyka z Ulm Johannesa Faulhabera, który miał kontakty z Keplerem i być może z Kartezjuszem. Słynna ogrzewana komora, w której rozmyślał francuski filozof pewnej jesieni, mieściła się w Neuburgu niezbyt oddalonym od Ulm. No i w Ulm urodził się Albert Einstein, lecz rodzina rok później się przeprowadziła i uczony jako człowiek dorosły nigdy potem nie odwiedził już swego miasta rodzinnego.

Prawdziwą kolebką matematyków była natomiast leżąca niezbyt daleko od Ulm Bazylea. Stąd pochodziła rozgałęziona rodzina Bernoullich, a także Leonhard Euler i Jakob Hermann. Protoplastą naukowego rodu był Jakob Bernoulli, to od niego uczyli się matematyki jego brat Johann oraz Jakob Hermann. Johann z kolei był ojcem wybitnego Daniela i nauczycielem genialnego Eulera. Ponieważ posad dla matematyków nie było w Europie wiele, więc wszyscy ci matematycy sporo podróżowali. Dzięki bazylejskim matematykom rachunek różniczkowy i całkowy Leibniza stał się podstawą nowożytnej matematyki.

Drugim wielkim zadaniem uczonych od końca XVII wieku stało się przyswojenie osiągnięć Isaaca Newtona. Matematyczne zasady filozofii przyrody zawierały rewolucyjną fizykę przedstawioną za pomocą indywidualnego języka matematycznego, stworzonego przez autora. Nie było w historii nauki traktatu tak oryginalnego zarówno pod względem treści fizycznej, jak i matematycznej. Toteż jego zrozumienie i opanowanie zajmowało całe lata nawet wybitnym uczonym. Na kontynencie panował matematyczny idiom Leibniza i twierdzenia Newtona tłumaczono niejako na tę zrozumiałą wśród uczonych symbolikę.

Jakob Hermann pierwszy podał różniczkowe sformułowanie II zasady dynamiki. Miało ono u niego postać

G=M dV: dT,

gdzie G,M oznaczały siłę i masę, a dV, dT – różniczki prędkości i czasu. Zapis ten pojawił się dopiero na 57 stronie jego traktatu Phoronomia (1716) i odnosił się do siły ciężkości zależnej od położenia. Oczywiście, Newton już w 1687 r. rozważał takie siły, ale wyłącznie w postaci geometrycznej. Jego II prawo brzmiało: „Zmiana ruchu jest proporcjonalna do przyłożonej siły poruszającej i następuje w kierunku prostej, wzdłuż której siła ta jest przyłożona.” Newton miał na myśli zmiany pędu ciała w pewnym krótkim czasie. Jednym problemem tego sformułowania była kwestia opisywania zmian w czasie, drugim problemem był wektorowy charakter siły: ilość ruchu, pęd, zmienia się w kierunku przyłożonej siły.

Pokażemy, jak Hermann rozwiązał problem ruchu ciała przyciąganego siłą odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości od nieruchomego centrum. Zwolennicy Leibniza mieli zastrzeżenia do Newtonowskiego dowodu tego faktu, zbyt szkicowego. Pragnęli wyraźnego wykazania, że tylko stożkowe (albo część linii prostej) mogą być torem ciała.

Wyobrażamy sobie przyciągane przez centrum S ciało zakreślające krzywą CD. Jego ruch w nieskończenie krótkim czasie dt można przedstawić jako sumę wektorową ruchu bezwładnego od C do E oraz spadania od E do D wzdłuż kierunku siły w punkcie C, tzn. odcinki SC i DE są równoległe. Zmiana współrzędnej x w ruchu bezwładnym byłaby równa dx. Efekt działania siły przyciągającej to różniczka drugiego rzędu ddx (co później zapisywano d^{2}x). Oczywiście do ddx wchodzi tylko x-owa składowa siły.

Dziś narysowalibyśmy to tak, Hermann odnajduje trójkąty podobne na swoim rysunku i dochodzi do wniosku, że

ddx \propto F\dfrac{x}{r} dt^2.

Pole SCD zakreślane w czasie dt można przedstawić jako pole trójkąta o bokach [x,y] oraz [dx,dy], a więc jest ono równe połowie pola równoległoboku dt\propto y dx-x dy.
Ostatecznie różniczkę ddx możemy zapisać następująco (siła jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości):

-a ddx=\dfrac{x}{r^3}(y dx-x dy)^2,

gdzie a jest stałą proporcjonalności. Naszym zadaniem jest znalezienie równania krzywej.
Całką tego równania jest

a dx=\dfrac{y}{r}(ydx-xdy).

Dzieląc obustronnie przez x^2 i całkując ponownie, otrzymujemy

-\dfrac{a}{x}+c=\dfrac{r}{x}\;\Rightarrow\; -a+cx=r,

gdzie c jest stałą całkowania. Jest to równanie stożkowej (po obustronnym podniesieniu do kwadratu otrzymamy wielomian kwadratowy w zmiennych x,y).

Postępowanie Hermanna jest pomysłowe, choć całkowania są nieintuicyjne. Można jednak, jak zawsze, sprawdzić je, idąc od końca do początku, tzn. wykonując dwa kolejne różniczkowania. Tak naprawdę sztuka rozwiązywania równań różniczkowych jest często zamaskowanym odgadywaniem całek. Różniczkowania wynikają z reguły Leibniza dla iloczynu d(uv)=v du+u dv.
W naszym przypadku mamy np. dla drugiego równania

d\left(\dfrac{y}{r}\right)=\dfrac{rdy-ydr}{r^2}=\dfrac{r^2 dy-y rdr}{r^3}.

Pamiętając, że r^2=x^2+y^2, mamy rdr=xdx+ydy. Itd. itp. rachunki „od końca” są łatwe. W pierwszym całkowaniu przyjęliśmy stałą całkowania równą zeru, co nie zmniejsza ogólności wyniku, bo Hermann zakłada, iż oś Sx jest osią toru planety, tzn. przecięcie z osią x z lewej strony punktu S następuje w peryhelium albo aphelium, czyli przy y=0 powinno być dx=0.
Johann Bernoulli, który miał dość nieznośny charakter (nigdy nie dość wypominania mu, jak to konkurował ze swym synem Danielem) odpowiedział wybrzydzaniem na procedurę Hermanna i przedstawił swoją ogólniejszą, opartą na innym podejściu.

Z dzisiejszego punktu widzenia Hermann odkrył pewną całkę pierwszą problemu Keplera (tak się dziś nazywa problem ruchu wokół centrum przyciągającego jak 1/r^2). Całka pierwsza to wyrażenie, którego wartość nie zmienia się podczas ruchu. U Hermanna jest to

-\dfrac{dx}{dt}L_{z}-\dfrac{y}{r}=A_{y}=const.

W wyrażeniu tym L_z=xp_{y}-yp_{x}. Gdyby zająć się przyspieszeniem wzdłuż osi Sy, otrzymalibyśmy drugą całkę. Razem składają się one na wektor

\vec{A}=\vec{p}\times \vec{L}-\dfrac{\vec{r}}{r}.

Nazywa się go wektorem Rungego-Lenza, choć odkrył go właściwie Jakob Hermann. W pełni zdał sobie sprawę z faktu, że mamy trzy takie całki pierwsze, czyli w istocie wektor, Joseph Lagrange, a po nim Pierre Simon Laplace. Laplace przedyskutował też systematycznie wszystkie całki pierwsze problemu Keplera (trzy to moment pędu, trzy to nasz wektor, jedna to energia całkowita planety). Carl David Runge (ur. 1856) oraz Wilhelm Lenz (ur. 1888) pojawiają się w tej historii późno i w rolach dość przypadkowych. Pierwszy (znany z algorytmu Rungego-Kutty) użył tego wektora w swoim podręczniku analizy wektorowej, drugi zastosował go do pewnego problemu w starej teorii kwantów, przepisując go z podręcznika Rungego. Zupełnie niekosztowny sposób wejścia do historii. Wilhelm Lenz jest natomiast autorem tzw. modelu Isinga (Ernst Ising był jego doktorantem). Wektor odegrał pewną rolę w powstaniu mechaniki kwantowej. Stosując go, Wolfgang Pauli otrzymał wartości energii w atomie wodoru na podstawie formalizmu macierzowego Heisenberga. Chwilę później Erwin Schrödinger zrobił to samo w swoim formalizmie i wielu fizyków nie wiedziało, co o tym myśleć, bo na pierwszy rzut oka oba podejścia różniły się kompletnie.

Najbardziej rewolucyjna praca Einsteina (1905)

Wiosną 1905 roku Einstein pisał do swego przyjaciela matematyka, Conrada Habichta:

Kochany Habichcie!

Panuje między nami tak świętobliwe milczenie, że wydaje się niemal grzeszną profanacją naruszać je mało istotną paplaniną. Ale czyż na tym świecie nie dzieje się tak zawsze z rzeczami wzniosłymi? Cóż pan porabiasz, mrożony wielorybie, ty, połciu wędzonej, suszonej i zapuszkowanej duszy? I cóż jeszcze, nadzianego w siedemdziesięciu procentach gniewem, a w trzydziestu litością, mógłbym panu cisnąć w głowę?
(…)
Dlaczegóż nie przysłałeś mi pan jeszcze swojej dysertacji? Czyżbyś pan nie wiedział, o nędzniku, że będę jednym z tych półtora osobników, którzy przeczytają ją z zadowoleniem i zainteresowaniem? Obiecuję panu za to cztery prace, przy czym pierwszą z nich przyślę już wkrótce, ponieważ oczekuję egzemplarzy autorskich. Jest ona poświęcona promieniowaniu oraz energii światła i jest niezmiernie rewolucyjna, jak to sam pan zobaczy,
jeśli n a j p i e r w przyśle mi swoją pracę. Praca druga zawiera określenie rzeczywistych rozmiarów atomów na podstawie dyfuzji oraz lepkości w rozcieńczonych roztworach substancji obojętnych. Trzecia natomiast
dowodzi, iż z założeń molekularnej [kinetycznej – J.K.] teorii ciepła wynika, że cząstki o średnicy rzędu 1/1000 mm, tworzące zawiesinę w cieczy, muszą wykonywać dostrzegalne, chaotyczne ruchy, spowodowane ruchami cieplnymi [cząsteczek cieczy – J.K.]; w rzeczy samej, fzjologowie zaobserwowali niewyjaśnione [słowo skreślone przez autora listu – J.K.] ruchy małych nieożywionych cząstek w zawiesinach, które nazwano molekularnymi ruchami Browna. Czwarta praca istnieje na razie tylko w brudnopisie i dotyczy elektrodynamiki ciał w ruchu przy wykorzystaniu zmodyfkowanej teorii przestrzeni i czasu; czysto kinematyczna część pracy z pewnością
pana zaciekawi.

Rzeczywiście, praca dotycząca światła okazała się najbardziej rewolucyjna z całej tej historycznej serii artykułów dwudziestosześcioletniego urzędnika Biura Patentowego w Bernie. Einstein wysunął w tej pracy hipotezę kwantów światła: promieniowanie elektromagnetyczne ma według niego naturę cząstkową. Był to pogląd niezmiernie heretycki, który fizycy odrzucali przez następnych dwadzieścia lat, nawet wbrew wynikom eksperymentalnym.

Gdyby o naturę światła spytać Isaaca Newtona, odrzekłby, że naturalnie są to cząstki, choć dosyć osobliwe, gdyż można je polaryzować, a przy odbiciu od cienkiej warstewki np. miki cząstki te w jakiś sposób „wiedzą”, jaka jest grubość warstwy pod powierzchnią i stosownie do jej wartości odbijają się albo wnikają w głąb. Na początku XIX wieku zrozumiano dzięki pracom Thomasa Younga i Augustina Fresnela, że światło jest falą. James Clerk Maxwell pokazał, że są to fale elektromagnetyczne, można więc za pomocą urządzeń elektrycznych takie fale generować, co dało początek radiu, telewizji, a także różnym systemom łączności aż do telefonii komórkowej i GPS. Nie ma nic bardziej praktycznego niż dobra teoria: dzięki teorii Maxwella elektryczność, magnetyzm i optyka stały się jedną dziedziną, opisywaną tymi samymi równaniami, a to, co umiemy opisać matematycznie, możemy też zrozumieć albo przynajmniej modelować. Niezliczone doświadczenia pokazywały i wciąż pokazują, że teoria Maxwella znakomicie opisuje zjawiska. W tej sytuacji powiedzenie, że może jednak światło nie jest falą, wyglądało na szaleństwo, zwłaszcza gdy proponował to nikomu nieznany urzędnik, ekspert trzeciej klasy w Biurze Patentowym.

W różnych poradnikach typu „Naucz się przez weekend myśleć jak Einstein” roi się od porad w rodzaju: należy odrzucać przyjęte zasady i myśleć twórczo. Gdyby było to takie proste, każdy dziwak mógłby zostać Einsteinem. Ziemia nie jest płaska, a Słońce nie krąży wokół naszego podwórka. Czemu więc Einstein wysunął taką hipotezę i jak wyjaśniał sukces teorii Maxwella? Jego rozmyślania nad podstawami fizyki trwały już dobre kilka lat i zdążył on przemyśleć rozmaite za i przeciw. Wysuwał hipotezę, za którą przemawiały pewne argumenty.

Albert Einstein miał silne poczucie jedności całego wszechświata. Sądził, że muszą w nim obowiązywać prawa i koncepcje uniwersalne. Tymczasem ówczesna fizyka z jednej strony uznawała istnienie atomów i ich lekkich naładowanych składników elektronów, z drugiej zaś posługiwała się pojęciem pola elektromagnetycznego, a więc czegoś określonego w każdym punkcie przestrzeni i z natury ciągłego. Dyskretne cząstki i ciągłe pola, taka dychotomia niezbyt mu przypadała do gustu. I nie był to jakiś młodzieńczy wybryk, o którym wkrótce się zapomina. Wręcz przeciwnie: aż do końca swego życia naukowego, przez następne pięćdziesiąt lat, zastanawiał się Einstein nad pojęciem cząstki i starał się tę dychotomię zlikwidować, uznając później cząstki za ruchome obszary zwiększonego pola.

We wstępie do pracy z 1905 roku pisze, że wprawdzie doświadczenia optyczne pokazują falowe własności światła, lecz mierzymy zawsze wielkości uśrednione w czasie, więc niekoniecznie świadczy to o falowej naturze światła. Miał rację, rzeczywiście obrazy interferencyjne i dyfrakcyjne są skutkiem nałożenia się dużej liczby cząstek. Jak na poniższych rysunkach (odnoszą się one wprawdzie do elektronów, ale z fotonami jest tak samo).

Co miałoby jednak przemawiać za cząstkowym charakterem światła? Główny argument Einsteina jest subtelny i nie był doceniony przez kolegów. Wyobraźmy sobie naczynie o objętości V_0 wypełnione gazem doskonałym.

Jeśli wydzielimy w nim myślowo pewien obszar o objętości V, to prawdopodobieństwo znalezienia konkretnej cząstki w tej wydzielonej objętości, będzie równe

p=\dfrac{V}{V_0},

ponieważ cząstki poruszają się w sposób chaotyczny. Jeśli liczba cząstek wnaczyniu równa jest n, to prawdopodobieństwo, że wszystkie zgromadzą się w danej chwili w naszej wydzielonej objętości jest równe

p=\left(\dfrac{V}{V_0}\right)^n.

Cząstki poruszają się niezależnie, więc prawdopodobieństwo iloczynu (koniunkcji) zdarzeń jest równe iloczynowi wszystkich prawdopodobieństw jednocząstkowych.

W jaki sposób możemy się przekonać, że powyższe rozumowanie jest prawidłowe? Ludwig Boltzmann powiązał prawdopodobieństwo z wielkością zwaną entropią S, którą można mierzyć na podstawie pomiarów cieplnych. Związek ten ma postać:

S=k\ln p,

gdzie k jest stałą fizyczną (stałą Boltzmanna). W przypadku gazu doskonałego wiadomo, że zmiana entropii odpowiadająca zmianie objętości od V_0 do V jest równa

\Delta S=nk\ln\dfrac{V}{V_0}.

Możemy więc z wielkości zmiany entropii, możliwej do zmierzenia w laboratorium, otrzymać liczbę cząstek gazu. Biorąc jeden mol gazu, wyznaczylibyśmy w ten sposób liczbę Avogadro – sam Einstein, jak też inni fizycy stosowali wówczas szeroko rozumowania tego rodzaju do wyznaczania własności atomów. Był to jakiś sposób przeskoczenia z poziomu makroskopowego, laboratoryjnego, do poziomu atomów i cząsteczek, których wówczas nie można było obserwować bezpośrednio.

Przypadek promieniowania jest bardziej subtelny. Jeśli wyobrazimy sobie zamknięte naczynie o pewnej temperaturze, to będzie ono wypełnione promieniowaniem termicznym. Można w naczyniu zrobić niewielki otwór i badać uciekające promieniowanie – mamy wtedy do czynienia z tzw. promieniowaniem ciała doskonale czarnego, które ma charakterystyki zależne jedynie od częstości i temperatury (a nie np. rodzaju ścianek naczynia albo ich składu chemicznego). Promieniowanie zamknięte w naczyniu jest gazem fotonów, podobnym pod pewnymi względami do zwykłego gazu jak np. powietrze w zwykłych warunkach. Przed rokiem 1905 Einstein opublikował kilka prac dotyczących fizyki statystycznej i stał się jednym z najlepszych znawców jej metod, kontynuatorem Plancka i Boltzmanna. Teraz, w 1905 roku, wykazał, że jeśli promieniowanie z dowolnego niewielkiego przedziału częstości (\nu, \nu+\Delta \nu) zmieni objętość z V_0 do V, to zmiana entropii będzie przy tym równa

\Delta S=k\dfrac{E}{h\nu}\ln\dfrac{V}{V_0},

gdzie E jest energią promieniowania, a h stałą wprowadzoną przez Plancka. Jeśli porównamy oba wyrażenia na zmianę entropii, widzimy, że

n=\dfrac{E}{h\nu}.

Gaz promieniowania zachowuje się więc jak gaz niezależnych cząstek o energii h\nu każda, przynajmniej pod względem termodynamicznym. Zarysowała się w ten sposób daleka perspektywa usunięcia dualizmu cząstek i pól. Wynikały z tych rozważań rozmaite konsekwencje możliwe do sprawdzenia. Np. w zjawisku fotoelektrycznym padające światło wybija elektrony z metalu. Jeśli światło występuje w porcjach o energii h\nu, to energia kinetyczna wybijanych elektronów E_k powinna być równa

E_k=h\nu-W,

gdzie W jest pracą potrzebną na ucieczkę elektronu z metalu, zależną od rodzaju metalu. Z równania tego wynika szereg istotnych wniosków: istnieje pewna progowa częstość światła poniżej której zjawisko nie występuje. Zależność energii kinetycznej od częstości jest linią prostą o takim samym nachyleniu dla wszystkich materiałów itd. Równanie Einsteina zostało doświadczalnie zweryfikowane przez Roberta Millikana. Einstein otrzymał Nagrodę Nobla za rok 1921 właśnie za to równanie – nie za teorię względności i nie za koncepcję kwantów światła. Komitet Noblowski wybrał bezpieczne osiągnięcie dobrze sprawdzone eksperymentalnie (Millikan za te pomiary, jak i za wyznaczenie ładunku elektronu otrzymał Nagrodę Nobla za rok 1923).

Wyniki Millikana z roku 1916 (z nachylenia prostej wyznaczył wielkość stałej Plancka h)

Nie należy sądzić, że te i inne wyniki eksperymentalne oznaczały przyjęcie poglądów Einsteina. Sam Millikan wspominał w roku 1949:

Spędziłem dziesięć lat życia na sprawdzaniu równania Einsteina i  wbrew wszystkim moim oczekiwaniom w 1915 roku musiałem uznać, że zostało jednoznacznie potwierdzone, mimo iż wydaje się zupełnie absurdalne, ponieważ pozornie przeczy wszystkiemu, co wiemy na temat interferencji światła.

Einstein i Millikan w 1932 w Caltechu. Public Domain

Millikan był eksperymentatorem, mógł zatem być sceptyczny wobec zbyt nowatorskich teorii, jednak nawet koledzy Einsteina Max Planck czy Niels Bohr długo nie chcieli uwierzyć w istnienie cząstek światła. Dopiero zjawisko Comptona w roku 1923 uznano za przekonujący dowód cząstkowej natury światła. Fotony znalazły swe miejsce w logicznej strukturze fizyki w drugim etapie tworzenia fizyki kwantowej, gdy od mechaniki nierelatywistycznej fizycy przeszli do konstruowania kwantowej teorii pola. Elektrodynamika kwantowa jest precyzyjną teorią fotonów i cząstek naładowanych, lecz jej rozwój nastąpił dopiero pod koniec lat czterdziestych. Einstein pozostał przy swoich próbach zbudowania klasycznej jednolitej teorii pola, ignorując te osiągnięcia.

 

Oppenheimer o Einsteinie (1965 r.)

Robert Oppenheimer dziś znany jest głównie z kierowania Projektem Manhattan, czyli programem budowy pierwszych bomb atomowych. Wcześniej jednak, w latach trzydziestych, stworzył pierwszą amerykańską szkołę fizyki teoretycznej. Był charyzmatycznym wykładowcą, który zarażał entuzjazmem, nawet jeśli studenci nie byli pewni, czy się czegoś nauczyli – wykłady bardziej przypominały misteria niż systematyczne wprowadzanie materiału krok po kroku. Zgromadził wokół siebie grono studentów i doktorantów jeżdżących za nim między Caltechem a Berkeley. Znał świetnie i z pierwszej ręki osiągnięcia kwantowe: między 1925 a 1929 rokiem, a więc wtedy gdy powstawała mechanika kwantowa, pracował i dyskutował z Ralphem Fowlerem i Paulem Dirakiem w Cambridge, spędził jakiś czas w Lejdzie u Paula Ehrenfesta, potem w Getyndze zrobił doktorat u Maksa Borna, współpracował także z Wolfgangiem Paulim, poznał też wszystkich innych wielkich fizyków tego okresu. Gdy wracał do Stanów Zjednoczonych, miał już spory i interesujący dorobek. W latach trzydziestych raczej kierował pracą swoich młodych kolegów. Sam rzadko wykonywał jakieś obliczenia i w dodatku często się przy tym mylił. Miał wszakże nosa do wyszukiwania ważnych problemów, a intuicja pozwalała mu podążać w dobrym kierunku. Jego wadą było nietrzymanie się ziemi i brak zainteresowania systematycznymi rachunkami, lecz jako duchowy przewodnik grona młodych sprawdzał się znakomicie. Szerokie zainteresowania humanistyczne wzbudzały często w kolegach mieszane uczucia, lecz magnetyczna osobowość i neurotyczna wrażliwość przyciągała do niego kobiety. Historia jego związków erotycznych jest długa, powikłana i niezbyt nadaje się na przykład dla młodzieży.

Po wojnie i zakończeniu Projektu Manhattan Oppenheimer stał się sławny wśród szerokiej publiczności, uważano go za głównego autora bomby atomowej. Oczywiście, bomba była dziełem zbiorowym, ale też należy przyznać, że niestabilny emocjonalnie i przed wojną komunizujący fizyk przekształcił się w energicznego patriotę i inteligentnego przywódcę grona ludzi o wybujałych osobowościach, którzy niełatwo poddawali się czyimkolwiek poleceniom. W 1947 r. Oppenheimer został dyrektorem Institute for Advanced Study w Princeton i pełnił tę funkcję niemal dwadzieścia lat, najdłużej w dziejach Instytutu. Po raz pierwszy znalazł się tam jeszcze w 1935 r., donosił wtedy bratu w liście:

Princeton to dom wariatów: jego solipsystyczni luminarze błyszczą, każdy odobno, w nieuleczalnej pustce. Einstein jest zupełnie stuknięty.

Albert Einstein był pierwszą i największą gwiazdą IAS, placówki szczególnej, zatrudniających wyłącznie uczonych bardzo wybitnych, niemających żadnych obowiązków dydaktycznych i mogących za znaczne pieniądze w pełni poświęcić się pracy naukowej. Z początku oprócz Einsteina pracowali tam głównie matematycy. Do dziś zresztą fizyka teoretyczna i matematyka jest tam znakomita. Pracują tam Edward Witten, fizyk matematyczny o najwyższym indeksie Hirscha na świecie (158), Nima Arkani-Hamed czy Juan Maldacena, autor zasady holograficznej (najliczniej cytowana praca z fizyki, ponad 10 000 cytowań w niecałe dwadzieścia lat). Do tego mnóstwo medalistów Fieldsa, z których większość jakoś związana była z IAS w pewnym momencie.

Skąd więc negatywna opinia Oppenheimera? Z jego punktu widzenia – fizyka, dla którego w 1925 r. zaczął się najbardziej ekscytujący okres: stworzenie mechaniki kwantowej, ktoś taki jak Einstein, kto ignorując te najnowsze osiągnięcia, prowadził badania na swój własny sposób, mógł się wydawać dziwakiem. Prace Einsteina z tego okresu nie były zresztą całkowicie chybione, przyczyniły się bowiem do wyjaśnienia pewnych kwestii w ogólnej teorii względności. Sama jednak ta teoria była wówczas niezmiernie daleko od obserwacji i eksperymentów, przetestowano ją jedynie w przypadku dość słabych pól grawitacyjnych, a więc nie były to testy zbyt wymagające. Zastosowania kosmologiczne mogły wydawać się zbyt daleko idącą generalizacją: za pomocą mocno spekulatywnej teorii staramy się opisać wszechświat jako całość.

Chyba dopiero po wojnie Einstein zetknął się bliżej z Oppenheimerem, który starał się zdyskontować sławę starszego uczonego. Oto np. zdjęcie z tygodnika „Life”, gdzie ukazał się ilustrowany reportaż z IAS.

Podpis pod tym zdjęciem głosił: „Einstein opowiada Oppenheimerowi o swych najnowszych próbach objaśnienia materii w kategoriach przestrzeni”. Najprawdopodobniej obaj nie rozmawiali na tematy naukowe, dzieliło ich zbyt wiele. Zresztą Oppenheimer w zasadzie przestał już publikować i poświęcił się działalności administracyjnej oraz politycznej. Co ciekawe, choć Oppenheimer nie był jastrzębiem, jak np. Edward Teller, nie bardzo potrafili z Einsteinem uzgodnić poglądy na to, co należy robić w świecie, w którym wraz z bronią atomową pojawiło się niebezpieczeństwo zniszczenia cywilizacji. Anarchiczny Einstein nie potrafił zrozumieć słabości Oppenheimera do kuluarów waszyngtońskich i jego pragnienia odegrania roli w kształtowaniu polityki bezpieczeństwa. Z kolei Oppenheimer miał mu za złe publiczne wystąpienia, wzbudzające wielką wrzawę medialną. Einstein mógł sobie jednak pozwolić, by robić to, co uważał za słuszne, a nie to, co komuś się spodoba bądź nie spodoba.

W 1965 r. Oppenheimer wziął udział w dość dziwacznym międzynarodowym kolokwium w Paryżu poświęconym dziesięcioleciu śmierci Einsteina i Teilharda de Chardin, dziś już zapomnianego jezuity, filozofującego na temat ewolucji w duchu chrześcijańskim pod bożą opieką. Obu myślicieli nie łączyło nic prócz daty śmierci. Robert Oppenheimer postanowił przy tej okazji zdemitologizować postać Einsteina. Jego wystąpienie stało się znane, ukazało się bowiem w „The New York Review of Books” i odnotowała je prasa na całym świecie. Albert Einstein jawi się w nim jako uczony wyrastający z pewnej tradycji: teorii pola w fizyce i determinizmu w filozofii. I to właśnie owa tradycja stała się źródłem jego naukowej klęski w późniejszych latach.

Spędził te lata najpierw na próbach wykazania, że teoria kwantowa jest niekonsekwentna. Nikt nie potrafiłby obmyślić bardziej pomysłowych, nieoczekiwanych i sprytnych przykładów; okazało się jednak, że nie ma żadnych niekonsekwencji, a rozwiązania często można było znaleźć we wcześniejszych pracach samego Einsteina.

Historię piszą zwycięzcy, mechanika kwantowa okazała się niezwykle skuteczna, więc nie zwracano uwagi na trudności pojęciowe, jakie zawiera. Nurt głębokich wątpliwości odżył w ostatnich latach, nie wszystkie zastrzeżenia Einsteina były chybione. Oppenheimer patrzył jak szeregowy fizyk zaangażowany w bieżące osiągnięcia, Einsteina interesowały kwestie strategiczne: tworzenie teorii i szukanie pojęciowej jedności w naszej wiedzy o świecie.

Chociaż Einstein budził u wszystkich ciepłe uczucia, a nawet miłość za swą determinację w wypełnianiu własnego programu, stracił w dużym stopniu kontakt z profesją fizyka, ponieważ niektóre rzeczy przyszły w jego życiu zbyt późno, by mógł się nimi przejąć.

Znów: jest to część prawdy, lecz wypowiedziana w sposób cokolwiek arogancki jak na kogoś, kto od piętnastu lat sam nic nie opublikował. Einstein pracował do końca życia naukowo, nie zamienił się w działacza społecznego czy politycznego. Czy jego prace były świadectwem utraty kontaktu z profesją fizyka? Z pewnością nie były to prace nadzwyczajne czy przełomowe. Einstein przez jakieś dwadzieścia lat publikował prace wielkie. To bardzo długo, niektórzy wybitni uczeni są twórcami kilku ważnych prac. Żaden z twórców mechaniki kwantowej: ani Heisenberg, ani Schrödinger, ani nawet Dirac nie wpływali tak długo na rozwój fizyki. Zazwyczaj dziesięć twórczych lat to skala uczonego genialnego. Późne prace Einsteina nie miały wpływu na naukę, ale tak jest z ogromną większością prac – niech nas nie zwiodą ogromne liczby publikacji w dzisiejszym świecie, naprawdę ważnych prac ukazuje się niezbyt wiele, nawet w najlepszych czasopismach. Najlepszą pracą Oppenheimera okazała się paradoksalnie jego analiza (ze Snyderem) kolapsu grawitacyjnego gwiazdy z punktu widzenia ogólnej teorii względności. Sam chyba nie wierzył w jej prawdziwość. Można by więc orzec, że Oppenheimer stracił kontakt z profesją fizyka już po 1939 roku, a ostatnie ćwierć wieku był jedynie organizatorem i mówcą na konferencjach niewiążących się ściśle z fizyką.

Chyba tylko kompleksami uzasadnić można inne stwierdzenie Oppenheimera, że wczesne prace Einsteina były „olśniewająco piękne, ale z licznymi błędami”.

Po tym, co usłyszeliście, nie muszę dodawać jak błyskotliwa była jego inteligencja. Był niemal całkiem pozbawiony wyrafinowania i wyzbyty światowości. Myślę, że w Anglii określono by to jako brak wychowania, a w Ameryce jako brak edukacji.

Oppenheimer pochodził z rodziny bogatych Żydów nowojorskich, Einstein z żydowskiej drobnej burżuazji niemieckiej. Oczywiście, Einstein nie był jakimś prostaczkiem obdarzonym geniuszem naukowym. Jednak studiowanie Bhadgavadgity czy poezji T.S. Eliota niekoniecznie oznacza intelektualną rafinadę. Zdaniem Oppenheimera Einstein był dwudziestowiecznym Eklezjastesem, który z nieustępliwą i nieposkromioną radością powtarza: „Marność nad marnościami i wszystko marność”. Niewykluczone, że Oppenheimer nie potrafił uwolnić się od myśli o przemijalności własnych osiągnięć. Dowiedział się w tym czasie, że jest chory na raka krtani. Z pewnością jednak nie potrafił się zdobyć na spokojny obiektywizm, który był jedną z piękniejszych cech osobowości Einsteina.

Fizyka dla mieszkańców Syriusza: stałe fizyczne (Max Planck, 1899-Matvei Bronstein, 1935)

Max Planck, profesor fizyki w Berlinie, najwybitniejszy niemiecki fizyk teoretyczny przełomu wieku XIX i XX, przez lata badał własności promieniowania termicznego. Idealnym obiektem badań jest tu tzw. ciało doskonale czarne, czyli takie, które pochłania całe padające nań promieniowanie. Można wykazać, że każde ciało doskonale czarne emituje promieniowanie o rozkładzie widmowym zależnym wyłącznie od temperatury. Np. Słońce jest w dobrym przybliżeniu ciałem doskonale czarnym.

Widzimy tu (szary) teoretyczny rozkład widmowy promieniowania ciała doskonale czarnego o temperaturze T=5777 K zestawiony z rzeczywistym promieniowaniem docierającym ze Słońca. Ciało doskonale czarne nie jest czarne, jego barwa zależy od temperatury. (obrazek: Wikimedia)

Znalezienie postaci krzywej widmowej tego promieniowania stało się największym osiągnięciem Maksa Plancka. Otrzymana przez niego zależność ma następującą postać

I(\lambda)=\dfrac{2hc^2}{\lambda^5}\,\dfrac{1}{\exp{(\frac{hc}{\lambda kT})}-1},

gdzie stałe k,c, h oznaczają odpowiednio stałą Boltzmanna (nazwa wprowadzona przez Plancka), prędkość światła w próżni i stałą Plancka. Mamy tu trzy stałe fizyczne, które ze względu na uniwersalność promieniowania powinny mieć fundamentalne znaczenie.

Max Planck zauważył (w roku 1899, zanim jeszcze wyprowadził swój słynny wzór), że stałe k, c,h w połączeniu ze stałą grawitacyjną G pozwalają wprowadzić jednostki niezależne od zaszłości ludzkiej historii czy w ogóle niezależne od naszych ludzkich parametrów: „pojawia się możliwość ustanowienia jednostek długości, masy, czasu i temperatury niezależnych od szczególnych ciał czy substancji, których znaczenie dla wszystkich czasów i wszystkich kultur, także pozaziemskich i pozaludzkich, pozostanie w konieczny sposób takie same”.

Stała Plancka to h=6,7\cdot 10^{-34} kg\cdot m^2/s , stała grawitacyjna to G=6,7\cdot 10^{-11} m^3/(kg\cdot s^2). Mamy więc dla ich iloczynu i ilorazu jednostki:

[hG]=\dfrac{\mbox{kg}\cdot \mbox{m}^2}{\mbox{s}}\,\dfrac{\mbox{m}^3}{\mbox{kg}\cdot \mbox{s}^2}=\dfrac{\mbox{m}^3}{\mbox{s}^3}\mbox{m}^2=[c^3]\mbox{m}^2,

[h/G]=\dfrac{\mbox{kg}\cdot \mbox{m}^2}{\mbox{s}}\,\dfrac{\mbox{kg}\cdot \mbox{s}^2}{\mbox{m}^3}=\mbox{kg}^2\cdot \dfrac{\mbox{s}}{\mbox{m}}=\mbox{kg}^2 [c^{-1}].

Zatem wielkości l_P, m_P będą nowymi „pozaziemskimi” jednostkami długości oraz masy:

l_P=\sqrt{\dfrac{hG}{c^3}}=4\cdot 10^{-35}\mbox{ m} ,

m_P=\sqrt{\dfrac{hc}{G}}=5,5\cdot 10^{-8}\mbox{ kg}.

Jednostkę czasu otrzymamy, dzieląc odległość przez prędkość światła:

t_P=\sqrt{\dfrac{hG}{c^5}}=1,3\cdot 10^{-43}\mbox { s}.

Te „pozaziemskie” jednostki Planck nazwał naturalnymi, a my dziś nazywamy układem jednostek Plancka. Podstawowe stałe fizyki mają w nim wartości równe 1: h=c=G=1. W roku 1899 interesująca wydawała się sama możliwość wprowadzenia jednostek, umożliwiających porozumiewanie się z fizykiem z Syriusza, który ma – jak to dobrze wiemy – postać  świecącego zielono dodekahedronu zanurzonego w inteligentnym oceanie (oni tam szybciej weszli w fazę AI).

Jednostki długości i czasu w układzie Plancka są skrajnie małe: nie tylko w porównaniu z nami, ale nawet z protonem i czasem potrzebnym światłu na przebycie jego wnętrza. Sens fizyczny tych jednostek stał się jasny znacznie później.

Najpierw powiedzmy, jak interpretuje się dziś stałe użyte przez Plancka.

Stała Boltzmanna jest w zasadzie przelicznikiem temperatury w kelwinach T na wartości energii kT – byłoby logiczniej z punktu widzenia fizyki mierzyć temperatury w jednostkach energii, a skoro tego nie robimy, potrzebujemy stałej Boltzmanna. Według najnowszych ustaleń od roku 2019 stała Boltzmanna równa jest dokładnie k=1,380649\cdot 10^{-13} J/K. Jest to tym samym nowa definicja kelwina (bo dżul zdefiniowany jest na podstawie kilograma, metra i sekundy).

Prędkość światła, czy ogólniej: każdego promieniowania elektromagnetycznego, w próżni wydawała się już około roku 1900 wielkością bardzo ważną. Dzięki teorii względności z roku 1905 wiemy, że jest to coś więcej niż pewna charakterystyczna prędkość w przyrodzie. Jest to bowiem naturalna granica prędkości ciał. Z punktu widzenia teorii względności prędkość światła jest właściwie przelicznikiem między odległościami a czasem. W fizyce poeinsteinowskiej odległości i czas należałoby mierzyć tymi samymi jednostkami. Inaczej mówiąc, stała c wyraża stosunek jednostek odległości do jednostek czasu. Jej wartość w dzisiejszej fizyce jest na mocy konwencji równa dokładnie c=299\,792\, 458 m/s$. Ta dziwna wartość wynika z potrzeby ciągłości dawnych i nowych jednostek.

Trzecia stałą, pojawiającą się we wzorze Plancka, jest oznaczana przez niego literą h wielkość, dziś zwana stałą Plancka. Pojawia się ona wszędzie tam, gdzie występują zjawiska kwantowe. Podstawowe równanie fizyki kwantowej, równanie Schrödingera, można zawsze zapisać w postaci

i\hbar \dfrac{\partial\psi}{\partial t}=H\psi,

gdzie i to jednostka urojona, a \hbar\equiv \dfrac{h}{2\pi}, \psi jest funkcją falową, a H – hamiltonianem, czyli matematycznym zapisem energii układu. Planck z początku nie wiedział, jak ogromne znaczenie ma jego stała wprowadzona dla promieniowania. Obecnie (od roku 2019) wartość stałej Plancka jest określona raz na zawsze jako h=6,67607015\cdot 10^{-34} J·s. W istocie, jest to nowa definicja kilograma, słynny wzorzec z Sèvres jest już niepotrzebny (kilogram pojawia się w jednostce energii: 1\mbox{J}=1 \mbox{kg}\cdot \dfrac{\mbox{m}^2}{\mbox{s}^2}.).

Stałe h,c,G określają możliwe teorie fundamentalne fizyki. Sytuację tę można przedstawić za pomocą sześcianu Bronsteina (sam obrazek jest późniejszy):

 

W początku układu mamy mechanikę klasyczną bez grawitacji. Odpowiada to wartościom \hbar=G=1/c=0. Szczególna teoria względności odpowiada przyjęciu 1/c<\infty, mechanika kwantowa przyjęciu niezerowej stałej Plancka \hbar\neq 0. Kwantowa teoria pola, czyli Model Standardowy cząstek odpowiada \hbar\neq 0 oraz c<\infty. Ogólna teoria względności zawiera stałą grawitacji G oraz prędkość światła c. Kwantowa teoria grawitacji byłaby „teorią wszystkiego” w tym sensie, że zawierałaby zarówno efekty kwantowe, jak i grawitacyjne. Wszystkie trzy stałe byłyby w niej niezerowe.

Matvei Bronstein, dwudziestoparolatek, już w roku 1933 zaczął się zastanawiać nad kwantowaniem grawitacji. Pięć lat później już nie żył, aresztowany i skazany na śmierć podczas wielkiego terroru w Związku Sowieckim. Także Lew Landau, największy rosyjski teoretyk, był wówczas aresztowany. W jego przypadku pomogła interwencja Piotra Kapicy.

Sześcian Bronsteina jest tylko prostą ilustracją jednego z aspektów poszukiwanej kwantowej teorii grawitacji: wszystkie trzy fundamentalne stałe miałyby w niej skończoną wartość. Wszystkie te stałe (wraz ze stałą Boltzmanna) pojawiają się w we wzorze Hawkinga na temperaturę czarnej dziury. Układ Plancka byłby w kwantowej grawitacji naturalnym układem jednostek. Znaczy to, że zjawisk kwantowych związanych z grawitacją należy oczekiwać w skali długości Plancka, czyli znacznie poniżej dostępnych dziś w badaniach. Masa Plancka jest niemal porównywalna z naszymi jednostkami. Znaczy to jednak, że odpowiadająca jej energia równa będzie E_P=m_P c^2=4,9\cdot 10^{9} J. W teorii fundamentalnej jest to energia olbrzymia, widać to, gdy wyrazimy ją w elektronowoltach:  E_P=3,07\cdot 10^{28} eV. Dla porównania najdroższy akcelerator w dziejach fizyki, LHC w CERN-ie, może maksymalnie osiągnąć energię 14 TeV, czyli 14\cdot 10^{12} eV – jest to piętnaście rzędów wielkości poniżej energii Plancka.

Wartości stałych fundamentalnych stanowią rodzaj przelicznika pomiędzy naszymi zwykłymi jednostkami, jak metry, sekundy, kilogramy, a jednostkami, jakich używa przyroda, zrozumiałymi dla kolegi z Syriusza. Nb. matematyka jest zapewne jedynym językiem, w którym moglibyśmy się z owym dodekaedrem porozumieć. Może należy zwrócić na to uwagę w dyskusji dotyczącej matury z matematyki: matematyka to jedyny język, w którym możemy się porozumiewać z mieszkańcami Syriusza czy szerzej: ze wszechświatem. Zastosowania są chyba oczywiste.

Niezależne od jednostek są stałe bezwymiarowe. Np. kwadrat ładunku elektronu można wyrazić następująco:

\alpha=\dfrac{q_e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar c}=\dfrac{1}{137,036}.

Mając jeszcze do dyspozycji masę elektronu m_e, można wyrazić wszystkie wielkości atomowe. Energia wiązania elektronu w atomie wodoru to

E_j=\alpha^2 m_e c^2=13,6 \mbox{ eV},

a promień atomu (tzw. promień Bohra):

r=\dfrac{\hbar}{\alpha m_e c}=0,5\cdot 10^{-10}\mbox{ m}.

Wielkości te określają skalę zjawisk atomowych i cząsteczkowych. W  fundamentalnej teorii wszystkiego powinniśmy masę elektronu wyrazić w masach Plancka, a promień Bohra w długościach Plancka.

Ilu różnych bezwymiarowych stałych potrzebujemy do opisu świata? Używamy jednostek Plancka. Zatem grawitacja kwantowa nie zawiera żadnych dowolnych stałych. Model Standardowy potrzebuje trzech stałych określających siłę oddziaływań: oprócz \alpha dla oddziaływań elektromagnetycznych, potrzeba jeszcze stałych dla oddziaływań słabych i silnych. W sumie mamy 3 stałe. Dalej, potrzebujemy mas: sześciu kwarków, trzech leptonów i trzech neutrin oraz bozonu Higgsa (wszystko wyrażamy w masach Plancka, więc są to wielkości bezwymiarowe). Dotąd mamy 16 stałych. Potrzebna jest jeszcze wartość oczekiwana pola Higgsa: stała nr 17. Kolejnych 8 stałych bierze się z różnych macierzy mieszania. Daje to 25 parametrów, przy czym większość wynika z Modelu Standardowego. Wielkość ciemnej energii jest parametrem nr 26 (jeśli ciemna energia to stała kosmologiczna). Z jednej strony jest tych stałych za wiele jak na fundamentalną teorię, z drugiej strony jednak od czterdziestu lat nikt nie potrafi wskazać teorii bardziej ekonomicznej, a te stałe nie są jakimiś kaprysami teoretyków, lecz potwierdzane są w eksperymentach (tutaj LHC ma jak najbardziej zastosowanie).

Więcej szczegółów nt. stałych w artykule Johna Baeza.

 

Richarda Feynmana droga do równania Schrödingera (1941)

Jeszcze w trakcie swoich studiów pierwszego stopnia w MIT (ukończył je w 1939 r.) Feynman dowiedział się o trudnościach elektrodynamiki kwantowej. Teoria taka była niezbędna do opisania oddziaływań przy większych energiach: kiedy mogą tworzyć się albo anihilować pary elektron-pozyton. Obliczenia prowadziły jednak do całek rozbieżnych, teoria wymagała nowego podejścia.

W swoim wykładzie noblowskim Richard Feynman opowiada o kilku ideach, które starał się rozwijać w trakcie swoich dalszych studiów w Princeton (na egzaminach wstępnych z fizyki uzyskał tam komplet punktów, co zdarzyło się po raz pierwszy). W roku 1942 r uzyskał doktorat pod kierunkiem Johna Archibalda Wheelera i niebawem zaczął pracę w Projekcie Manhattan.

Jednym z pomysłów Feynmana było nowe sformułowanie mechaniki kwantowej. Poszukiwał podejścia, w którym można by opisać, co dzieje się z cząstkami w czasoprzestrzeni. Chodziło mu o teorię relatywistyczną, w której opis taki wydaje się naturalny. Należało się spodziewać, że zamiast hamiltonianu pojawi się tu lagranżian cząstek (sformułowanie Lagrange’a mechaniki daje się łatwo zapisać w postaci jawnie kowariantnej, w której zgodność z teorią względności jest punktem wyjścia, a nie dodatkowym założeniem). Na początek udało mu się sformułować w nowy sposób „starą” mechanikę kwantową, która liczyła wprawdzie dopiero piętnaście lat, lecz dla młodego człowieka była to już prehistoria. Właśnie to sformułowanie znalazło się w doktoracie.

Punktem wyjścia była rozmowa z Herbertem Jehle w „Nassau Inn” w Princeton któregoś wieczoru. Jehle, Niemiec, syn generała, był kwakrem i pacyfistą, wyemigrował z nazistowskiej ojczyzny, pracował w Brukseli, w końcu trafił do obozu internowania w Gurs w Pirenejach w republice Vichy, skąd trafił do Stanów Zjednoczonych. Jehle znał pewną pracę Paula Diraca, w której pojawiał się lagranżian. Nazajutrz wybrali się obaj do biblioteki, aby odszukać tę pracę z 1933 roku. Była ona opublikowana w dość nieprawdopodobnym miejscu, bo w rosyjskim czasopiśmie „Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion”.

Dirac pisze, jak znaleźć funkcję falową w chwili późniejszej t+\varepsilon z funkcji falowej w chwili t, korzystając z zasady Huygensa:

\psi(x,t+\varepsilon)={\displaystyle \int G(x,y)\psi(y,t)dy}.

Funkcja G(x,y) jest dziś zwana propagatorem cząstki. Funkcja falowa w późniejszym czasie jest więc sumą funkcji falowych w czasie wcześniejszym wziętą z odpowiednimi wagami – wagi te opisuje propagator. Angielski uczony stwierdził też, że propagator dla krótkich czasów „odpowiada” (corresponds to) wyrażeniu

e^{iL \varepsilon /\hbar},

gdzie L jest lagranżianem, \hbar – stałą Plancka. W wykładniku mamy tu działanie dla bardzo krótkiego czasu \varepsilon. Feynman spróbował natychmiast ustalić, co oznacza owa odpowiedniość. Jeśli wziąć dwa punkty x i y, to średnia prędkość cząstki powinna się równać

v=\frac{x-y}{\varepsilon},

a energia potencjalna powinna być także jakąś wartością średnią:

V=V(\frac{x+y}{2}).

Lagranżian to różnica energii kinetycznej i potencjalnej, a więc wyrażenie wykładnicze Diraca jest równe:

\exp\left(\frac{im(x-y)^2}{2\hbar\varepsilon}-\frac{i}{\hbar}V(\frac{x+y}{2})\varepsilon\right).

Dla niewielkich \varepsilon pierwszy składnik wykładnika będzie gwałtownie oscylował, drugi natomiast staje się coraz mniejszy i może być zastąpiony przybliżeniem liniowym. Oznaczając x-y=\xi i przyjmując, że „odpowiada” u Diraca znaczy „jest proporcjonalny”, mielibyśmy

\psi(x,t+\varepsilon) =A(\varepsilon) {\displaystyle \int \exp\left(\dfrac{im\xi^2}{2\varepsilon\hbar}\right)\left\{ 1-\dfrac{i\varepsilon}{\hbar}V(x-{\xi}/{2})\right\}\psi(x-\xi)d\xi}.

Ponieważ pierwszy czynnik pod całką gwałtownie oscyluje, więc możemy funkcję falową pod całką przybliżyć jej rozwinięciem Taylora wokół x:

\psi(x-\xi)\approx \psi(x)-\xi \dfrac{\partial \psi}{\partial x}+\dfrac{\xi^2}{2}\dfrac{\partial^2\psi}{\partial x^2}.

Także energię potencjalną możemy zamienić jej wartością w punkcie x. Całki po prawej stronie dają się w tym przybliżeniu bez trudu obliczyć i otrzymujemy:

\psi(x,t+\varepsilon)=\psi(x,t)-\dfrac{i\varepsilon }{\hbar}V(x)\psi(x,t)+\dfrac{i\hbar \varepsilon}{2m}\,\dfrac{\partial^2\psi}{\partial x^2}.

Możemy to równanie przekształcić do postaci

i\hbar \dfrac{\psi(x,t+\varepsilon)-\psi(x,t)}{\varepsilon}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+V(x)\psi(x,t),

co w granicy \varepsilon\rightarrow 0 przechodzi w równanie Schrödingera.

Jak opowiada Feynman, obliczenie to wykonał od razu w obecności Jehlego, który pilnie notował kolejne kroki.
Był to punkt wyjścia do całek Feynmana po trajektoriach (albo po historiach cząstki – jak nazwał to John Wheeler). Wyobraźmy sobie bowiem, że dany przedział czasu (0,T) dzielimy na N+1 podprzedziałów o długości \varepsilon każdy.

Propagator cząstki przyjmuje postać:

G(x,y)=A^{N+1}{\displaystyle \int\ldots\int \exp(\frac{i\varepsilon}{\hbar}(L(y,x_1)+L(x_1,x_2)+\ldots+L(x_N,x))dx_1\ldots dx_N}\mbox{(*)}.

Jeśli wyobrazimy sobie, że N\rightarrow\infty, to wykładnik w funkcji wykładniczej będzie dążył do całki działania pomnożonej przez czynnik i/\hbar:

\dfrac{i}{\hbar}S={\displaystyle \frac{i}{\hbar}\int_0^T L\left(x,\frac{dx}{dt}\right)dt}.

Mamy więc procedurę obliczania wartości G(x,y) za pomocą sumy po różnych możliwych trajektoriach. G można zinterpretować fizycznie: kwadrat modułu tej zespolonej wartości jest prawdopodobieństwem, że cząstka z punktu czasoprzestrzeni (y,0) przemieści się do punktu (x,T). Po drodze „próbuje” ona niejako wszelkich możliwych trajektorii i każda z nich daje wkład proporcjonalny do wartości działania:

G(x,T|y,0) \sim {\displaystyle \sum_{trajektorie}e^{iS[trajektoria]/\hbar}}.

Zapisujemy to następująco:

G(x,T|y,0)= {\displaystyle \int e^{iS[x(t)]/\hbar}{\mathcal D}[x(t)]}.

Całka Feynmana jest w istocie granicą wyrażeń (*) i w celu obliczenia jej wartości musimy wracać do tej definicji. Okazuje się jednak, że sformułowanie to pozwala nie tylko spojrzeć inaczej na znaną fizykę, ale także umożliwia konkretne numeryczne obliczenia metodą Monte Carlo. Pozwala też łatwo zrozumieć, czemu przechodząc od fizyki kwantowej do klasycznej, otrzymujemy zasadę najmniejszego działania.

Wartości potrzebnych całek wynikają ze znanego wzoru:

{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^2}dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}} }.

Jest on słuszny także dla czysto urojonych wartości \alpha. Różniczkowanie tego wzoru po \alpha generuje nam także całkę \int x^2 e^{-\alpha x^2} dx. Stała A równa jest

A=\sqrt{\dfrac{m}{2\pi i\hbar \varepsilon}}.

Kiedyś napiszę może trochę więcej na temat obliczania całek przez Feynmana, nieprzypadkowo zajmował się on w Los Alamos nadzorowaniem praktycznych obliczeń numerycznych – jak mało kto potrafił bowiem szybko obliczyć niemal wszystko, co daje się obliczyć metodami klasycznej analizy.

 

Szczęśliwy rok Erwina Schrödingera (1926)

W listopadzie 1926 roku seria sześciu ostatnich prac Schrödingera ukazała się w wydaniu książkowym. Jak sam pisał we wstępie do tego przedruku:

Młoda przyjaciółka powiedziała o nich niedawno: „Popatrz, kiedy je zaczynałeś, nie myślałeś w ogóle pojęcia, że wyjdzie z nich tak wiele sensownych rzeczy”. Powiedzenie to, z którym (prócz pochlebnego przymiotnika) w pełni się zgadzam, podkreśla fakt, że prace zebrane w tym tomie powstawały jedna po drugiej. Ich autor, pisząc wcześniejsze części, nie znał jeszcze części późniejszych.

Erwin Schrödinger stał się dzięki nim sławny i choć także wcześniej i później tworzył prace interesujące bądź nawet wybitne, żadna z nich nie dorównywała tej złotej serii.

Ową przyjaciółką była czternastoletnia Itha Junger („Ithi”). Ich dziadek Georg Junger był bogatym obywatelem Salzburga, właścicielem firmy zajmującej się handlem hurtowym. Interes prowadzili nadal jego dwaj synowie, to jeden z nich, Hans, był ojcem dwóch niejednakowych bliźniaczek: Ithy i Roswithy, uczęszczających do szkoły klasztornej. Mówiło się, że matka żony Schrödingera Anny była nieślubną córką Georga Jungera. W każdym razie obie rodziny były blisko i żona Hansa była matką chrzestną Anny. Itha miała kłopoty z matematyki, Anny zaproponowała, że Erwin mógłby pomóc, bliźniaczki przeniesiono do klasztoru blisko Zurychu, żeby mogły korzystać z korepetycji. Erwin bardzo się z nimi zaprzyjaźnił, a wkrótce i zakochał w Ithi. Ich osobliwy, nawet w tych swobodnych czasach, romans trwał wiele lat, związek został skonsumowany wkrótce po siedemnastych urodzinach Ithi.

Mechanika kwantowa Heisenberga i jego kolegów z Getyngi przyjmowana była z mieszanymi uczuciami przez środowisko fizyków. Przeskoki kwantowe, abstrakcyjny formalizm macierzowy, filozofia ograniczenia się tylko do wielkości bezpośrednio obserwowalnych i porzucenia raz na zawsze poglądowych wyobrażeń atomu – wszystko to traktowane było z rezerwą. Podejście Schrödingera wydawało się nie tylko bardziej zrozumiałe matematycznie, ale także umożliwiało wyobrażenie sobie, co właściwie dzieje się wewnątrz układów o skali atomowej. Schrödinger wykazał także, że przynajmniej w prostych sytuacjach oba podejścia są równoważne. Mimo to, Heisenberg wykazywał wobec „mechaniki falowej” postawę wrogą i nieprzejednaną. Jego mentor, Niels Bohr, zaprosił Schrödingera do Kopenhagi, gdzie zadręczał wręcz swojego gościa, atakując jego sposób myślenia.

Dla zwolenników Bohra elektron był punktową cząstką, a prawa kwantowe dotyczyły tylko prawdopodobieństw. Historia przyznała im rację, choć pewne problemy interpretacyjne mechaniki kwantowej pozostały do dziś. Trzeba jednak wyraźnie powiedzieć, że jak dotąd żaden eksperyment nie zaprzeczył prawom mechaniki kwantowej, „szara strefa” dotyczy raczej filozoficznego samopoczucia. Wciąż nie znamy wszystkich szczegółów przejścia z poziomu mikroświata do makroświata, w którym żyjemy i w którym powstała fizyka klasyczna.

Błyskawiczna kariera Schrödingera wiązała się z tym, że dla konserwatywnie nastawionych fizyków, jego podejście wydawało się łatwiejszą do przyjęcia wersją teorii kwantowej. Schrödinger został zasypany listami i zaproszeniami od luminarzy ówczesnej fizyki: od sędziwego Hednrika Lorentza, przez Maksa Plancka, Alberta Einsteina aż do Wilhelma Wiena i Arnolda Sommerfelda. Został członkiem bardzo elitarnego grona: Planck gościł go w swoim domu podczas wizyty w Berlinie. Dobiegający siedemdziesiątki i wieku emerytalnego Planck niewątpliwie myślał przy tym o przyszłości swojej katedry w Berlinie, najbardziej prestiżowego stanowiska w dziedzinie fizyki teoretycznej na świecie. Niedługo później Schrödinger trafił na krótką listę kandydatów i uzyskał to stanowisko. Uznano przy tym, że Werner Heisenberg, choć niewątpliwie genialny, jest po prostu jeszcze za młody na katedrę. Schrödinger odbył też podróż do Stanów Zjednoczonych, stając się jednym z długiego szeregu wizytujących sław europejskich. Amerykanie nie byli jeszcze potęgą w fizyce teoretycznej, ale starali się kusić wysokimi honorariami, uzyskując przynajmniej tyle, że odwiedzali Stany Zjednoczone wszyscy właściwie wybitni fizycy i matematycy. Schrödinger też dostał oferty pracy w USA, ale nie rozpatrywał ich poważnie. Ameryka mu się nie podobała, duch purytański, przejawiający się w owych latach, m.in. w prohibicji, wydawał mu się barbarzyństwem. Na widok Statui Wolności miał powiedzieć, że brakuje jej tylko zegarka na ręku.

William F. Meggers Gallery of Nobel Laureates

Erwin Schrödinger bronił w roku 1926 i później stanowiska, że elektron nie jest punktową cząstką, lecz raczej pewnym rozmytym obiektem. Stanowisko to nie dało się obronić. Przedstawimy jeden z argumentów Schrödingera. Jest on prawdziwy, lecz sytuacja, której dotyczy, okazała się nietypowa. Nie można było tego jednak wiedzieć latem 1926 roku.

Rozpatrzmy oscylator harmoniczny, czyli cząstkę oscylującą wokół minimum energii potencjalnej. Ponieważ każdą funkcję wokół minimum można w przybliżeniu uważać za parabolę, więc jest sens rozważać przypadek kwadratowej, czyli parabolicznej, energii potencjalnej. Rozwiązanie równania Schrödingera daje nam wówczas następujące funkcje falowe.

skrypt Sagemath do generowania obrazka

Są to drgania o różnych dopuszczalnych energiach (nieparzyste wielokrotności wielkości \frac{1}{2}\hbar \omega, gdzie \omega jest częstością kołową naszego oscylatora). Klasycznie biorąc, obszar położony poza przecięciem potencjału z poziomą prostą danej energii całkowitej jest niedostępny; cząstka nie może się tam znaleźć, ponieważ musiałaby mieć ujemną energię kinetyczną. W fizyce kwantowej funkcja falowa rozlewa się poza ten klasycznie dostępny obszar, co jest tzw. zjawiskiem tunelowym. Każdy z tych stanów stacjonarnych ma bardzo prostą zależność od czasu. Należy funkcję z wykresu pomnożyć przez czynnik

\exp(-i\frac{Et}{\hbar})=\exp(-i\omega(n+\frac{1}{2})t).

Znaczy to, że zależność od czasu jest trywialna, nic się w naszej funkcji falowej nie porusza, opisane stany są falami stojącymi. Schrödinger zauważył, jak ze stanów o ustalonej energii zbudować rozwiązanie równania, które opisuje drgania w czasie. W gruncie rzeczy jest to bardzo proste. Chcąc zapoczątkować drgania oscylatora, wystarczy wychylić jego masę z położenia równowagi, a następnie puścić ciężarek, który zacznie wykonywać oscylacje.

Można analogicznie, wziąć funkcję falową stanu podstawowego oscylatora

\Psi_0(x)=C\exp(-\frac{x^2}{2}),

a następnie przesunąć ją do jakiegoś nowego położenia x_0:

\Psi(x)=C\exp(-\frac{(x-x_0)^2}{2}),

Jeśli tę ostatnią funkcję potraktujemy jako warunek początkowy w równaniu Schrödingera, to otrzymamy funkcje opisujące paczkę falową poruszającą się oscylacyjnie wokół położenia równowagi. W pracy Schrödingera („Naturwissenschaften”, 1926) przedstawiona została jej część rzeczywista:

Jest to zdjęcie migawkowe, paczka falowa będzie bowiem oscylować wokół położenia równowagi. Zdaniem Schrödingera ta właśnie fala jest elektronem. Ponieważ ciągle traktował on liczby zespolone jako wypadek przy pracy, więc wziął cząść rzeczywistą rozwiązania.

Wiemy jednak, że rację miał tu Max Born: należy obliczyć kwadrat zespolonego modułu funkcji falowej i jego wielkość określa rozkład prawdopodobieństwa. Otrzymamy wówczas klasyczne drgania rozmytej funkcji falowej.

Wikimedia Commons

Nie jest to jednak elektron, lecz prawdopodobieństwo jego znalezienia w danym miejscu i czasie. Dziś stany takie znane są jako stany koherentne. Przypadek oscylatora jest wyjątkowy: na ogół taka zlokalizowana funkcja falowa rozmywa się w czasie, choć w niektórych przypadkach może się później odbudowywać, jak na poniższym obrazku (chodzi tu o wysokowzbudzone stany atomu wodoru: mogą one przez chwilę przypominać klasyczny elektron na orbicie Bohra, potem ten obraz się rozmywa.

Mamy tu trzydzieści keplerowskich obiegów elektronu zbudowanych ze stanów wokół n=180

Erwin Schrödinger nie pogodził się z kopenhaską interpretacją mechaniki kwantowej, stał się jednym z jej krytyków, podobnie jak Einstein poszukujących innej drogi. Romans z Ithi kontyuowany był w latach berlińskich, w jakimś momencie uczony chciał się nawet z nią ożenić, ale do tego nie doszło. Po roku 1933 nie chciał zostać w nazistowskich Niemczech (co było dość wyjątkowe, ponieważ nie był Żydem i nie musiał rezygnować), wrócił na trochę do Austrii, ale wskutek Anschlussu także Austria stała się brunatna. Jego późniejsze afery uczuciowo-erotyczne stanowiły przeszkodę w objęciu katedr w Oxfordzie i Princeton, ostatecznie znalazł sobie miejsce w katolickiej Irlandii.

Erwin Schrödinger: trzeci początek mechaniki kwantowej (1926)

Równanie Schrödingera zasługuje na swoją sławę: dzięki niemu znamy nie tylko budowę atomów, ale i cząsteczek chemicznych czy ciał skondensowanych. Wynikają z niego najprzeróżniejsze własności materii, która nas otacza, a także materii we wszechświecie. Jest więc równaniem niezwykle istotnym tak dla fundamentów fizyki, jak i dla zastosowań.

Autor najsłynniejszego równania dwudziestowiecznej fizyki aż do roku 1926 nie należał do ścisłej czołówki fizyków teoretycznych. Zaledwie osiem lat młodszy od Einsteina, dopiero od 1921 roku zajmował katedrę na uniwersytecie w Zurychu. Studiował w Wiedniu, zbyt późno by zetknąć się osobiście z Ludwigiem Boltzmannem czy Ernstem Machem, choć wpływ obu tych uczonych wciąż dawał się tam odczuć. Fizyki teoretycznej uczył się u Friedricha Hasenöhrla, bliskiego przyjaciela Mariana Smoluchowskiego. Do tej pory niewiele zajmował się teorią kwantową, ponieważ opierała się ona wciąż na bardzo grząskich podstawach, korzystając po trosze z fizyki klasycznej, a po trosze z postulatów kwantowania, wyraźnie z nią sprzecznych. Zwrócił jednak uwagę na pracę Louisa de Broglie na temat fal materii. Postulowała ona, że zarówno fotony, jak i inne cząstki mikroświata mają dualną naturę: zachowują się czasem jak cząstki, a czasem jak fale. Obowiązywał przy tym jeden uniwersalny przelicznik własności cząstkowych: energii E i pędu p na wielkości falowe: częstość (kołową) \omega i liczbę falową k\equiv\frac{2\pi}{\lambda} (\lambda jest długością fali). Współczynnikiem proporcjonalności w obu przypadakch miała być stała Plancka \hbar:

E=\hbar\omega,\,p=\hbar k.

Felix Bloch, wówczas początkujący fizyk, tak wspomina wspólne kolokwia (dziś powiedzielibyśmy raczej seminaria) fizyków z uniwersytetu w Zurychu i z ETH, gdzie najważniejszą postacią był Peter Debye.

Pewnego razu pod koniec kolokwium Debye powiedział coś w tym rodzaju: „Schrödinger nie zajmujesz się teraz żadnym ważnym tematem. Może opowiedziałbyś nam któregoś dnia o tym doktoracie de Broglie’a, który, zdaje się, przyciągnął sporo uwagi”. Więc na jednym z następnych kolokwiów Schrödinger przedstawił cudownie przejrzysty wykład o tym, jak de Broglie wiąże fale z cząstkami i w jaki sposób zdołał on uzyskać reguły kwantyzacji Bohra i Sommerfelda (…) Kiedy skończył, Debye stwierdził od niechcenia, że taki sposób ujęcia jest raczej dziecinny. Jako student Sommerfelda nauczył się, że właściwy sposób podejścia do fal wiedzie przez równanie falowe. Brzmiało to dość trywialnie i na pozór nie zrobiło głębszego wrażenia, ale Schrödinger najwyraźniej wrócił później do tego pomysłu. Zaledwie kilka tygodni później dał następne kolokwium, zaczynając od słów: „Kolega Debye zasugerował, że należy mieć równanie falowe, toteż je znalazłem”. [„Physics Today”, t. 29 (1976), nr 12, s. 23-24]

Najwyraźniej w pierwszej chwili obaj nie zdawali sobie sprawy z wagi tych badań. Erwin Schrödinger dzięki pracom z końca roku 1925 i roku 1926 stał się błyskawicznie jednym z najgłośniejszych fizyków świata. Seria jego artykułów natychmiast zyskała uznanie. Chwalili je Albert Einstein i Arnold Sommerfeld, który wraz ze swymi uczniami rozwijał od lat fizykę kwantową. Napisał do niego sędziwy Hendrik Lorentz, który uważnie śledził nowości i miał parę istotnych uwag. Surowy i poważny Max Planck, profesor najbardziej prestiżowej katedry w Niemczech (co wtedy znaczyło: najbardziej prestiżowej na świecie) – na uniwersytecie w Berlinie, pisał entuzjastycznie do Schrödingera:

Czytam pański artykuł tak, jak ciekawe dziecko, słuchające w napięciu rozwiązania zagadki, nad którą się długo głowiło, i cieszę się bardzo wszystkimi pięknościami, jakie tam dostrzegam, choć muszę go jeszcze dokładniej przestudiować, by wszystko z niego pojąć.

Kiedy w grudniu 1925 roku Schrödinger znalazł swe równanie, był to trzeci początek mechaniki kwantowej albo – jak wolał o tym mówić autor odkrycia – mechaniki falowej. Na pierwszy rzut oka nie miało to nic wspólnego z teorią Heisenberga, Borna, Jordana i Diraca. U Schrödingera nie było żadnych skoków kwantowych, żadnych wielkości macierzowych, nieprzemiennych iloczynów. Język był całkowicie klasyczny – była to matematyka drgań, dobrze już wówczas opracowana. W roku 1924 wyszła dwutomowa monografia Methoden der mathematischen Physik („Metody fizyki matematycznej”) zredagowana przez Richarda Couranta i innych matematyków z Getyngi na podstawie wykładów Davida Hilberta. Zawierała ona wiele materiału, który miał się okazać potrzebny fizykom za kilka lat. Jak na ironię metody Hilberta zastosowali pierwsi nie fizycy z grupy Maksa Borna, pracujący przecież głównie pod bokiem Hilberta w Getyndze, ale Erwin Schrödinger, outsider i naukowy samotnik. Fizycy z Getyngi zlekceważyli nawet wyraźną sugestię Hilberta w jednej z rozmów, że powinni poszukać równania różniczkowego, które opisuje skwantowane wartości energii. Nie próbowali iść tym tropem, przekonani, że ich mechanika kwantowa jest czymś całkowicie nowym i nie może się zawierać w książce sprzed paru lat. Źle przyjęli też pracę Schrödingera, która wydawała się recydywą fizyki klasycznej, odwrotem od kwantowej rewolucji spod sztandaru Heisenberga.

Fizycy klasyczni znali wiele przypadków drgań układów rozciągłych, czyli fal stojących. Są one np. podstawą wytwarzania dźwięku w instrumentach muzycznych takich, jak organy, flet, trąbka czy skrzypce. Wiadomo, że zamocowana na końcach struna drgać może tylko z określonymi ściśle częstościami: podstawową oraz jej wielokrotnościami. Rozważano różne bardziej skomplikowane możliwości, pisaliśmy tu o rówieśniku Einsteina, fizyku z Getyngi, Waltherze Ritzu. Idea Schrödingera polegała na tym, by wartości energii w atomie potraktować analogicznie do częstości dźwięku w pudle rezonansowym, stosując równanie falowe. Ma ono w przypadku trójwymiarowym postać:

\dfrac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2\psi}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2\psi}{\partial z^2}-\dfrac{1}{v^2}\dfrac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\equiv \Delta\psi-\dfrac{1}{v^2}\dfrac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}=0,

gdzie v jest prędkością fal. Jeśli przyjmiemy, że nasze fale są okresowe i mają częstość \omega, możemy rozwiązania zapisać jako

\psi(x,y,z, t)=\psi(x,y,z)e^{\pm i\omega t}.

Drugą pochodna po czasie jest ta sama funkcja wykładnicza pomnożona przez stałą. Wstawiając to do równania falowego, otrzymujemy tzw. równanie Helmholtza (który pod koniec XIX wieku był profesorem w Berlinie):

\Delta \psi+k^2 \psi=0.

W równaniu tym skorzystaliśmy z tego, że \dfrac{\omega}{v}=k. Droga Schrödingera do odkrycia była dość zawikłana. Związki de Broglie’a są relatywistyczne, naturalne wydawało się więc zapisanie równania relatywistycznego. Jednak kiedy spróbujemy je rozwiązać w najprostszym przypadku atomu wodoru, okazuje się, że dopuszczalne energie nie zgadzają się z tym, co wcześniej, w starej teorii kwantów obliczył Sommerfeld i co zgadzało się z doświadczeniem (szczegóły można znaleźć u L. Schiffa, Mechanika kwantowa, s. 409 i n.). Dwa lata później sytuacja się wyjaśniła: potrzebne tu jest równanie Diraca. Dwa lata w tamtej chwili rozwoju fizyki to było więcej niż epoka, Schrödinger znajdował się dopiero u początków tej drogi i nie mógł wiedzieć, co stanie się dalej. Rozsądnie zdecydował się więc na przybliżenie nierelatywistyczne, robiąc niejako krok wstecz w porównaniu do de Broglie’a. Nie pójdziemy tu jego drogą, a właściwie kilkoma różnymi drogami, jakimi próbował uzasadnić swe równanie. Wybierzemy podejście najprostsze zaproponowane pół roku później przez Maksa Borna – musimy jednak pamiętać, że nie jest to wyprowadzenie. Nie można bowiem wyprowadzić praw mechaniki kwantowej z praw klasycznych. Dla cząstki o masie m i całkowitej energii E możemy napisać równanie zachowania energii:

E=\dfrac{\hbar^2 k^2}{2m}+V(x,y,z),

gdzie V jest energią potencjalną (pierwszy składnik to zwykła energia kinetyczna). Jeśli wyznaczymy k^2 z ostatniego równania i wstawimy do równania Helmholtza, otrzymamy tzw. równanie Schrödingera bez czasu:

-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi+V\psi=E\psi.

Chcąc np. opisać ruch elektronu wokół nieruchomego jądra atomowego o ładunku Ze, należy wstawić do równania Schrödingera energię potencjalną postaci

V(r)=-\dfrac{Ze^2}{4\pi \epsilon_0 r},

czyli zwykłą energię potencjalną przyciągania elektrostatycznego dwóch ładunków Ze oraz -e w odległości r. Szukamy takich funkcji \psi(x,y,z), które daleko od jądra zanikają. Okazuje się, że rozwiązania takie są możliwe tylko dla dyskretnych wartości energii równych

E_n=-\dfrac{me^4}{2(4\pi\epsilon_0)^2 \hbar^2}\dfrac{1}{n^2}, \mbox{ gdzie } n=1,2, 3, \ldots.

 Jest to wynik uzyskany w roku 1913 przez Bohra z założeń, które od początku wydawały się aktem rozpaczy, a nie solidną nauką. Równanie Schrödingera miało więc sens, choć nadal brakowało pewnych elementów do kompletnej teorii. Jednym z najważniejszych było znaczenie samej funkcji \psi. Kiedy w piszczałce organowej czy w rurce fletu wytwarzany jest dźwięk, wiemy, co drga – jest to powietrze, które ściśnięte się rozpręża, a rozprężone wraca do początkowej gęstości. Co drga w atomie wodoru? Jakie jest znaczenie funkcji \psi? Co gorsza, okazało się, że powinna ona mieć wartości zespolone, z pewnością nie było to żadne proste drganie klasyczne. Geniusz Schrödingera ujawnił się i w tym, że nie próbował odpowiedzieć na wszystkie pytania naraz i pozwolił swoim ideom rozwijać się w czasie. Publikacje uczonego z pierwszego półrocza 1926 roku wystarczyły na Nagrodę Nobla i objęcie w roku 1927 katedry w Berlinie po odchodzącym na emeryturę Maksie Plancku.

Erwin Schrödinger, człowiek wszechstronnie wykształcony, o szerokich zainteresowaniach, całkowicie zaprzecza ascetycznej wizji uczonego, który nie ma czasu na nic oprócz nauki. Wydaje się wręcz, że jego pomysłowość przy stworzeniu słynnego równania szła w parze z gorączką miłosną. Praca ta powstała w uzdrowisku Arosa, gdzie wybrał się w towarzystwie do dziś nie znanej flamy. Jego małżeństwo należało do nowoczesnych i partnerzy pozostawiali sobie bardzo wielką swobodę. Były przecież lata dwudzieste: kobiety odsłoniły nogi, tańczono charlestona, wszyscy chcieli zapomnieć o koszmarze niedawnej wielkiej wojny.