Czemu warto czytać o Einsteinie?

W lutym 2016 roku ogłoszono odkrycie fal grawitacyjnych docierających z kosmosu. Po raz
kolejny potwierdziła się w ten sposób teoria grawitacji Alberta Einsteina. Mimo że od śmierci uczonego minęło przeszło sześćdziesiąt lat, wciąż docierają do nas nowe konsekwencje jego odkryć: soczewkowanie grawitacyjne, kondensacja Bosego-Einsteina, a teraz fale grawitacyjne stają się narzędziem dla nowych pokoleń badaczy. Ten bodaj najsłynniejszy uczony wszech czasów wniósł ogromny wkład do fizyki: fotony, pierwsze zastosowania idei kwantów, względność czasu, równoważność masy i energii, teoria grawitacji, która zmieniła nasz sposób myślenia o wszechświecie – nie jest to wyczerpująca lista jego osiągnięć. Jednak nie tylko one sprawiły, że miliony ludzi tak interesowały się jego życiem i poglądami.
Przebył długą drogę od zbuntowanego ucznia porzucającego gimnazjum do siwowłosego mędrca, którego zna cały świat. Był człowiekiem odważnym i bezkompromisowym, zabierał głos w obronie wolności, zwalczał nacjonalizm i rasizm, zachowując przy tym poczucie humoru i dystans do własnej osoby. Jego niezależny charakter narażał go stale na kłopoty: po studiach on jeden spośród swego rocznika długo nie mógł znaleźć pracy, nie chciała go żadna uczelnia ani szkoła. Pierwszą stałą posadę znalazł w biurze patentowym w Bernie. Przepracował tam siedem lat i w tym czasie powstała znaczna część jego dorobku naukowego. Także później nie stał się typowym profesorem, rzadko prowadził wykłady, nie miał doktorantów, chętnie współpracował z inżynierami, był współautorem wielu patentów. Niemal dwadzieścia lat spędził w Berlinie, gdzie jego żydowskie pochodzenie i lewicowe poglądy często ściągały na niego niewybredne ataki antysemitów i „dobrych Niemców”. Kiedy Adolf Hitler został kanclerzem i zaczął bezwzględnie podporządkowywać sobie kraj, Einstein publicznie oświadczył, że będzie „żył wyłącznie w państwie, w którym na pierwszym miejscu stoją wolności obywatelskie, tolerancja i równość obywateli wobec prawa. Niestety, nie jest to rzeczywistość obecnych Niemiec”. Zerwał wszelkie oficjalne więzi z ojczyzną i zaangażował się w pomoc ludziom zmuszonym do jej opuszczenia. Resztę życia spędził w Stanach Zjednoczonych, pracując w coraz większym osamotnieniu nad jednolitą teorią pola i zabierając od czasu do czasu głos w sprawach publicznych. Także i tutaj jego poglądy nie wszystkim się podobały: FBI Johna Edgara Hoovera zgromadziło grube teczki donosów i podsłuchów, szukając jakichś śladów antyamerykańskiej działalności uczonego.
Pracując nad swą nigdy nieukończoną jednolitą teorią pola, mawiał: „Wielkość naukowa jest w zasadzie kwestią charakteru. Najważniejsze to nie iść na zgniłe kompromisy”. Do końca pozostał nonkonformistą, nie pozował na nadczłowieka i choć mylił się wielokrotnie, zarówno w sprawach naukowych, jak i obywatelskich, były to zawsze błędy uczciwe i popełnione w dobrej wierze.

Werner Heisenberg, zasada nieoznaczoności i istnienie atomów (1927)

W roku 1925 dwudziestotrzyletni Werner Heisenberg zaproponował nową mechanikę dla cząstek mikroświata. Był to początek prawdziwej rewolucji w fizyce, największej do tej pory. Można było wziąć podręcznik, wyszukać jakiś problem klasycznej mechaniki i rozwiązać go nowymi metodami. Niemal zawsze wynik taki znajdował zastosowanie w świecie atomów i cząsteczek, pozwalając zrozumieć zjawiska dotąd zupełnie niezrozumiałe.Heisenberg,Werner_1926

 

Problemem nowej teorii była interpretacja fizyczna (w jakimś sensie stanowi ona zresztą problem do dziś). Pod koniec marca 1927 roku Werner Heisenberg opublikował pracę O poglądowej treści kinematyki i mechaniki kwantowej. Znalazła się w niej słynna zasada nieoznaczoności: w przypadku cząstki kwantowej nie możemy przyjąć, że znamy jednocześnie jej położenie i prędkość. Każdą z tych wielkości z osobna możemy zmierzyć z dowolną dokładnością, ale tracimy wówczas informację o drugiej.

  1. Zilustrujemy to najpierw przykładem, który Heisenberg podał nieco później.
  2. W następnej kolejności rozpatrzymy mikroskop Heisenberga z 1927 roku.
  3. Pokażemy też, jak zasada nieoznaczoności pozwala zrozumieć fundamentalny fakt doświadczalny: stabilność atomów – w myśl fizyki klasycznej takie układy powinny być nietrwałe.
  1. W mechanice klasycznej (niekwantowej), aby obliczyć, co się stanie z pewnym ciałem, np. kamieniem, który rzucamy, należy znać jego położenie oraz prędkość w pewnej chwili. Oczywiście, trzeba znać siły działające na nasze ciało. Warunki początkowe plus siły pozwalają, przynajmniej w zasadzie, obliczyć, co się stanie w chwilach późniejszych albo, co się z naszym kamieniem działo w chwilach wcześniejszych – mechanika nie rozróżnia przeszłości i przyszłości w taki sposób jak my: przeszłość pamiętamy, przyszłości jeszcze nie ma. Heisenberg starał się sformułować swoją teorię, używając jedynie wielkości, które można zmierzyć. Sądził np., że takie pojęcie jak tor elektronu nie ma sensu empirycznego i w związku z tym nie należy sobie wyobrażać, iż elektrony w atomie jakoś się poruszają w sposób klasyczny. Louis de Broglie zaproponował kilka lat wcześniej, aby traktować elektron jako falę o długości

     \lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{mv},

    gdzie h jest stałą Plancka, p – pędem, czyli iloczynem masy m i prędkości v. Fala o ustalonym kierunku i wartości pędu, to fala płaska. Wiemy, że jeśli fala taka przejdzie przez szczelinę, ulegnie ugięciu.electron diffraction

     

     

     

    Przejście przez szczelinę o szerokości d możemy potraktować jak pomiar współrzędnej: znamy położenie elektronu z dokładnością do szerokości szczeliny. Nie możemy jednak określić dokładnie pędu naszego elektronu w kierunku poziomym. Krzywa dyfrakcyjna na rysunku oznacza rozkład prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w różnych punktach. Pęd w kierunku poziomym jest statystycznie rozmyty. Wielkość jego rozmycia, to zgodnie z tym, co pisaliśmy o dyfrakcji:

    \Delta p=p\sin\theta=p\dfrac{\lambda}{d}.

    Mnożąc nieoznaczoność poziomej współrzędnej przez nieoznaczoność poziomego pędu, otrzymujemy:

    \Delta x\Delta p= \lambda p=h.

    Co oznacza ten związek? Jeśli dokładniej chcemy znać wartość współrzędnej x, to musimy za to zapłacić większym rozmyciem pędu, i na odwrót: dokładna znajomość pędu oznacza, że fala elektronu jest płaska, czyli nieskończenie szeroka w kierunku poziomym (przed wejściem do szczeliny) – nic wówczas nie wiemy o położeniu elektronu. Stan kwantowy charakteryzuje się więc tym, że zarówno współrzędna, jak i pęd muszą być rozmyte. Mówimy tu o szerokości rozkładów prawdopodobieństwa: w ściślejszym sformułowaniu należy z lewej strony pomnożyć odchylenia standardowe współrzędnej oraz pędu. Nie dziwmy się, że fizycy z lat dwudziestych ubiegłego wieku mieli trudności w zrozumieniu zachowania elektronów. Rozkład prawdopodobieństwa narysowany powyżej obowiązuje także w przypadku, gdy przez szczelinę przechodzi zawsze tylko pojedynczy elektron. Z jakichś powodów przechodzi on więc przez całą szczelinę jednocześnie, chociaż przyłapać go możemy zawsze tylko w konkretnym punkcie. Zachowanie się cząstki kwantowej w pobliżu przeszkody oddaje dobrze poniższy rysunek Charlesa Addamsa, rysownika zupełnie niezwiązanego z fizyką.
    YAGO600SPAN

  2. Rozpatrzmy jeszcze przykład mikroskopu Heisenberga – jest to Gedankenexperiment – doświadczenie pomyślane, nie interesujemy się techniczną wykonalnością, lecz zasadami fizyki. Załóżmy, że chcemy zmierzyć położenie elektronu oraz jego pęd w kierunku poziomym. Aby elektron zobaczyć, musimy go oświetlić. Nasz przedmiot (elektron) musi znajdować się praktycznie w ognisku obiektywu mikroskopu. mikroskop1Najmniejszy kąt możliwy do rozdzielenia przez nasz mikroskop, to kąt znaleziony przez Airy’ego, mamy więc

     \Delta x=f \alpha=1,22 f\dfrac{\lambda}{D},

    Przyjęliśmy, że \alpha jest nieduży (znacznie mniejszy od jednego radiana, wówczas wartości sinusa i tangensa kąta można zastąpić jego wartością w radianach); f jest ogniskową, D – średnicą obiektywu. Ponieważ oba te parametry soczewki są mniej więcej zbliżonej wielkości, więc najmniejsza odległość przedmiotów, jakie możemy rozdzielić jest rzędu długości fali. Dlatego używa się mikroskopów elektronowych: jeśli elektrony mają znaczny pęd, to zgodnie ze wzorem de Broglie’a ich długość fali jest niewielka i mamy szansę dostrzec mniejsze szczegóły niż za pomocą mikroskopu optycznego. Heisenberg wyobraził sobie mikroskop, w którym używamy promieniowania \gamma o bardzo małej długości fali, wtedy nieoznaczoność współrzędnej może być odpowiednio mniejsza. Co jednak z pędem? Nasz elektron zderza się z fotonem, w zderzeniu tym zachowany jest pęd, zatem mierząc pędu fotonu w kierunku poziomym, możemy znaleźć pęd elektronu. Aby foton wpadł do obiektywu, musi poruszać się w odpowiednim kierunku. mikroskop2To z kolei oznacza, że pozioma składowa jego pędu jest znana z dokładnością

    \Delta p=p\sin\theta\approx p\dfrac{D}{2f}.

    Mnożąc obie nieoznaczoności, otrzymamy

    \Delta x\Delta p=0,61\lambda p\approx h.

  3. Zastosujemy zasadę nieoznaczoności do wyznaczenia wielkości atomu wodoru. Możemy sobie wyobrażać, że mamy nieskończenie ciężki proton, który przyciąga elektron. Energia potencjalna elektronu jest wówczas równa

    V=-\dfrac{e^2}{r},

    gdzie e^2 zawiera ładunek elementarny i stałą z prawa Coulomba, tzn. e^2={q_e}^2/{4\pi\epsilon_0}. Energia potencjalna w funkcji odległości wygląda jak na wykresie.coulomb

    Im bliżej protonu znajdzie się elektron, tym mniejsza będzie jego energia potencjalna. Każdy układ fizyczny, jeśli go zostawić w spokoju, przejdzie do stanu o najniższej możliwej energii. W tym przypadku nie ma najmniejszej energii: studnia potencjału nie ma dna, więc nasz elektron powinien spaść na proton. Znaczyłoby to, że nie mamy atomu wodoru. Rzeczywiście, z punktu widzenia fizyki niekwantowej, nawet jeśli umieścimy elektron na kołowej orbicie wokół protonu, zacznie on wysyłać promieniowanie elektromagnetyczne, ponieważ ruch przyspieszony generuje takie fale. Unoszą one energię i nasz elektron powinien skończyć na protonie. Zasada nieoznaczoności pozwala tego uniknąć. Załóżmy, że r i p oznaczają typowe wartości nieoznaczoności odległości i pędu. Mamy wtedy

    rp\approx h\mbox{, zatem } \dfrac{1}{r}\approx \dfrac{p}{h}.

    Typowe wartości odległości oraz pędu powinny być takiego samego rzędu, dlatego opuściliśmy symbole \Delta. Całkowita energia równa jest sumie energii kinetycznej i potencjalnej:

    E=\dfrac{p^2}{2m}-\dfrac{e^2}{r}=\dfrac{1}{2m}p^2-\dfrac{ e^2}{h} p.

    Wyrażenie to jest funkcją kwadratową zmiennej p. Wykresem tej funkcji jest parabola, współrzędne jej wierzchołka pozwalają nam znaleźć zarówno wartość najmniejszej energii, jak i wartość odpowiadającej jej odległości r_0:

    E=-\dfrac{me^4}{2\hbar^2}\mbox{, } r_0=\dfrac{\hbar^2}{me^2}.

    Oczywiście, w takim oszacowaniu nie otrzyma się dokładnych wartości. Nasze wyniki mogą się różnić o jakieś czynniki liczbowe typu \pi^2. Nieco w tych wzorach oszukałem, wstawiając wartości \hbar=h/{2\pi}, wtedy wszystko się zgadza. Energia wychodzi równa -13,6 eV (oznacza to, że trzeba elektronowi dostarczyć 13,6 eV, aby miał energię równą zero: odpowiada to jonizacji). Odległość elektronu 0,5 Å – jest to jakaś średnia odległość, atom ma średnicę rzędu 10^{-10} \mbox{ m}. Nie o dokładne liczby jednak chodzi, lecz o pewien mechanizm: gdyby elektron stale przebywał bardzo blisko protonu, co daje niską energię potencjalną, musiałby mieć duży pęd, a to oznacza dużą energię kinetyczną. Stan o najmniejszej energii jest więc swoistym kompromisem, który minimalizuje energię.

Albert Einstein na dwóch fotografiach, czyli jak pionier został konserwatystą (1911, 1927)

Pierwsza fotografia pochodzi z roku 1911 i przedstawia uczestników I Kongresu Solvaya. Ernest Solvay, bogaty przemysłowiec, wzbogacił się na wynalezionej przez siebie metodzie produkcji sody. Nie miał akademickiego wykształcenia, lecz wykazywał pewne ambicje naukowe. Zwołany do Brukseli kongres zgromadził najwybitniejszych fizyków epoki, organizował go Hendrik Lorentz, który zaprosił m.in. Alberta Einsteina.

1911

Podpisana wersja tej fotografii

Trzydziestodwuletni Einstein stoi z cygarem w drugim rzędzie obok Paula Langevina, z którym szybko się zaprzyjaźnił (nb. w tym właśnie czasie wybuchł skandal prasowy w Paryżu wokół romansu żonatego Langevina ze starszą od niego Marią Skłodowską-Curie, jedyną kobietą na zdjęciu). Dla Einsteina był to pierwsza międzynarodowa konferencja naukowa i okazja do poznania sławnych fizyków spoza Niemiec. Zaledwie dwa lata wcześniej zaczął pracować na uczelni, do Brukseli przyjechał z Pragi, gdzie od wiosny tego roku był profesorem zwyczajnym. Okna jego gabinetu wychodziły na ogród szpitala psychiatrycznego. Einstein lubił pokazywać swoim gościom spacerujących alejkami pensjonariuszy tego zakładu ze słowami: „oto wariaci, którzy nie zajmują się kwantami”. Sam intensywnie pracował nad nową fizyką kwantową, m.in. odkrył, dlaczego ciepło właściwe diamentu maleje wraz z temperaturą. Zjawisko to jest kwantowe: drgania atomów węgla w krysztale diamentu mogą bowiem zachodzić tylko ze ściśle określonymi – skwantowanymi – energiami. W ten sposób okazało się, że nowa fizyka potrzebna jest do wyjaśnienia obserwowanych od dawna faktów. Dziś wiemy, że właśnie fizyka kwantowa wyjaśnia własności atomów, kryształów, cieczy – całą chemię i fizykę różnych materiałów, a także sporą część biologii. Inni uczeni zainteresowali się tym kręgiem zagadnień, szybko rosła więc liczba prac poświęconych kwantom. Tak więc stojący skromnie w drugim rzędzie Einstein reprezentował wówczas naukową awangardę, nie zawsze dobrze przyjmowaną przez starszych kolegów.

 

kwanty

Widzimy, jak szybko rosła liczba autorów idących w ślad za Einsteinem. Liczby nie wydają się może imponujące, ale ogólną liczbę fizyków w Europie w tamtej epoce szacuje się na 1000-1500, z czego nie wszyscy byli aktywni naukowo (Wykresy z T.S. Kuhn, Black-Body Theory and the Quantum Discontinuity, 1894-1912, Clarendon Press, Oxford 1978, s. 217).

solvay_conference_1927_

Druga fotografia przedstawia uczestników V Kongresu Solvaya w roku 1927. Nosił on tytuł Elektrony i fotony. Fotony, cząstki światła, zostały zapostulowane przez Einsteina w roku 1905, teraz niejako oficjalnie uznano, że miał rację. A więc niewątpliwy triumf. Nikt przez dwadzieścia lat nie chciał wierzyć w owe kwanty światła, po eksperymentach Comptona i innych, wreszcie w nie uwierzono. Triumf zabarwiony był jednak goryczą. W latach 1925-1926 młodzi fizycy przedstawili mechanikę kwantową, z którą Einstein nie potrafił się zgodzić ani wtedy, ani nigdy później. Był nadal sprawny intelektualnie, nie zapomniał fizyki, ale należało wyjść poza krąg dotychczasowych idei, rozstać się z pewnym ideałem nauki. Rewolucji dokonali ludzie młodzi, mówiono o tym Knabenphysik – fizyka chłopców.
Fotografia ilustruje wymownie, jak wzrosła pozycja Einsteina w środowisku naukowym w ciągu tych kilkunastu lat. Teraz on zajmuje miejsce centralne. Siedzi między starym Lorentzem a posiwiałym Langevinem z nawoskowanymi wąsami, niczym rewolucjonista uwięziony w świecie XIX wieku. Obok Lorentza mocno postarzała, surowa i niepobłażająca Maria Skłodowska-Curie i znużony Max Planck. Dopiero w drugim rzędzie znajdujemy chudego, jakby wyjętego z dramatu Becketta Paula Diraca, arystokratycznego, rasowego Louisa de Broglie’a, uprzejmego i skromnego Maksa Borna, wychowawcę siedmiu noblistów, i wreszcie silnego i skupionego Nielsa Bohra. Elegancki Erwin Schrödinger, sceptyczny Wolfgang Pauli i szelmowsko chłopięcy Werner Heisenberg stoją skromnie w trzecim rzędzie. Trudno o bardziej symboliczny obraz zmiany warty: Einstein stał się teraz kimś podobnym do Lorentza czy Plancka, a więc wybitnym uczonym, którego należy szanować, ale od którego nie można się zbyt wiele nauczyć. Liczyli się młodzi ludzie z drugiego i trzeciego rzędu oraz ich duchowi przewodnicy, Bohr i Born. W ciągu następnych kilku lat twórcy mechaniki kwantowej otrzymali Nagrody Nobla, wszyscy oprócz Diraca nominowani byli zresztą także przez Einsteina. Najwybitniejszy spośród nich, Paul Dirac, musiał zadowolić się Nagrodą Nobla wraz ze Schrödingerem. Właśnie Paul Dirac w latach 1927-1928 pokazał, jak można sformułować kwantową teorię elektronów i fotonów. Było to otwarcie drogi, która zakończyła się dwadzieścia lat później zbudowaniem konsekwentnej elektrodynamiki kwantowej przez Richarda Feynmana, Freemana Dysona, Juliana Schwingera i Shin’itiro Tomonagę.

Racjonalni inaczej? Kognitywistyka kwantowa

Nie jest to tytuł grantu z Akademii Lagadyjskiej. Chodzi o zastosowanie reguł kwantowej probabilistyki do psychologii. Nie zakładamy, że umysł jest układem kwantowym (być może zresztą jest, ale tutaj to nieistotne). Stosujemy reguły fizyki kwantowej jako alternatywne podejście do kwestii prawdopodobieństwa. Zdaniem wielu współczesnych badaczy, zwłaszcza w obszarze informacji kwantowej, fizyka kwantowa jest czymś więcej niż tylko fizyką, a mianowicie pewnym rodzajem teorii probabilistycznej, różnym od klasycznego prawdopodobieństwa, Laplace’a i Kołmogorowa. Nie jest więc niemożliwe, że zasadnicze reguły prawdopodobieństwa kwantowego można zastosować także poza fizyką.

Stan układu w mechanice kwantowej przedstawia się za pomocą wektora. Ów wektor stanu zawiera potencjalne odpowiedzi na różne pytania eksperymentalne, jakie możemy zadać, wykonując odpowiedni pomiar. W najprostszej sytuacji możemy sobie wyobrażać, że jest to wektor na płaszczyźnie. Pomiar może dać nam binarną odpowiedź: nasz układ ma własność F albo przeciwną ~F. Geometrycznym odpowiednikiem pomiaru jest rzutowanie wektora stanu na osie układu współrzędnych.

linda problem0

Możemy więc nasz wektor zapisać jako sumę rzutów na kierunki F oraz ~F, albo na jakieś inne dwa prostopadłe kierunki B oraz ~B. Operator rzutowania oznaczamy przez P z odpowiednim indeksem:

S=P_{F}S+P_{\sim F}S=P_{B}S+P_{\sim B}S

Kwadraty długości owych rzutów są prawdopodobieństwami uzyskania określonych wyników. Przyjmujemy, że nasz wektor S ma długość jednostkową. Suma kwadratów długości obu rzutów jest zatem także równa 1 (jak powinno być dla prawdopodobieństw wykluczających się zdarzeń, których suma jest pewna), obrót układu współrzędnych tego nie zmienia, bo długość wektora S nadal musi być równa 1.

Oto dwa przykłady zastosowania tego podejścia. Pierwszy to Problem Lindy. Uczestnikom badania przedstawia się sylwetkę Lindy, która studiowała filozofię w liberalnym college’u, interesowała się problemami dyskryminacji i rasizmu, brała udział w demonstracjach przeciwko broni atomowej, jest singielką. Pytamy, co jest bardziej prawdopodobne: czy to, że Linda pracuje w banku przy obsłudze klientów, czy to, że pracuje w banku przy obsłudze klientów oraz jest feministką. Badani częściej wybierają drugą możliwość. Według klasycznej teorii prawdopodobieństwa dołączenie dodatkowego warunku nie może powiększać prawdopodobieństwa (B\cap F\subset B). W modelu kwantowym może być inaczej.

linda problem

Jeśli wektor stanu umysłu S rzutujemy najpierw na oś F, to przechodzi on w wektor P_F S. Pytanie o pracę w banku daje nam kolejne rzutowanie, tym razem na oś B. Wynik jest wyraźnie różny od rzutowania S od razu na oś B (czyli wykonania jednego pomiaru). Kwadraty długości to prawdopodobieństwa, można zatem rozwiązać Problem Lindy.

Jako drugi przykład rozpatrzymy znany z badań opinii publicznej fakt, że kolejność zadania pytań ma wpływ na wyniki. W prowadzonych w Stanach Zjednoczonych sondażach pytano: „Czy uważasz Billa Clintona za człowieka uczciwego i godnego zaufania?”, zadawano też to samo pytanie w odniesieniu do Ala Gore’a (był wiceprezydentem za kadencji Clintona). Ci, którzy, najpierw pytani o Gore’a, odpowiedzieli pozytywnie, częściej byli dobrego zdania o Clintonie niż w przypadku pozytywnej odpowiedzi na pytania w odwrotnej kolejności.

problem gore clinton

 

 

Operacje rzutowania na oś C i na oś G nie są przemienne: wynik zależy od kolejności. Według klasycznego podejścia mamy tu do czynienia z iloczynem zdarzeń, a ten jest przemienny.

Podejście kwantowe może wydawać się zupełnie arbitralne i dowolne: zawsze możemy sobie ustawić osie, jak wygodnie w danym przypadku. Jednak pewne związki miedzy prawdopodobieństwami są niezależne od modelu i potwierdzają się w badaniach empirycznych. Rośnie także liczba sytuacji, w których zastosowano takie podejście (np. dylemat więźnia). Nie jest dla mnie jasne, czy liczby zespolone odgrywają tutaj jakąś rolę. W mechanice kwantowej tylko w szczególnych przypadkach można ograniczać się do wektorów rzeczywistych, najważniejsza część mechaniki kwantowej związana jest z liczbami zespolonymi. Por. też: Piękna fizyka: kwantowe interferencje do kwadratu. W każdym razie se non è vero, è ben trovato.

Podejście to omawia praca: Peter D. Bruza, Zheng Wang, and Jerome R. Busemeyer, Quantum cognition: a new theoretical approach to psychology, „Trends in Cognitive Sciences”, t. 19, nr 7 ((July 2015), s. 383-393, a także wiele innych publikacji.

Oscylacje neutrin, Nagroda Nobla 2015

Tegoroczną Nagrodę Nobla z fizyki otrzymają dwaj badacze: Kanadyjczyk, Arthur B. McDonald, oraz Japończyk, Takaaki Kajita, „za odkrycie oscylacji neutrin, co dowodzi, iż neutrina mają masę”. W latach 1998-2002 przedstawili oni niezależne wyniki eksperymentalne na rzecz oscylacji neutrin. Kajita był szefem międzynarodowego projektu Super-Kamiokande, McDonald szefem innego wielkiego projektu, Sudbury Neutrino Observatory. To coraz częstsza sytuacja, że ważne odkrycia dokonywane są przez wielkie zespoły badaczy, dysponujące złożoną aparaturą. Nagroda Nobla może być podzielona maksymalnie między trzech uczonych, więc w takich sytuacjach otrzymują ją kierownicy projektów. Jest to zapewne niesprawiedliwe, lecz nieuniknione: Alfred Nobel nie wyobrażał sobie, jak ogromne przedsięwzięcia naukowe będzie się przeprowadzać sto lat po jego śmierci. W Projekcie Super-Kamiokande wykorzystywano zbiornik zawierający 10 000 ton wody, umieszczony 1000 m pod ziemią w kopalni Mozumi. SNO wykorzystywało 1000 ton ciężkiej wody, także głęboko pod ziemią, w dawnej kopalni. Neutrina oddziałują tak słabo z pozostałymi rodzajami cząstek, że potrzebne były owe gigantyczne ilości wody, aby móc w ogóle zaobserwować jakieś ich oddziaływania. Dla neutrin Słońce czy Ziemia są praktycznie przezroczyste. Cząstki te biorą udział jedynie w oddziaływaniach słabych oraz, tak jak wszystkie cząstki, w grawitacyjnych. Inaczej mówiąc, nie biorą udziału w oddziaływaniach silnych (jak kwarki) ani elektromagnetycznych (jak wszystkie cząstki naładowane). Przez długie lata sądzono także, iż masa neutrin równa jest zeru. Oznaczałoby to, że nie istnieje spoczywające neutrino, podobnie jak nie ma spoczywającego fotonu: foton porusza się z prędkością światła w każdym układzie odniesienia  i nie sposób go dogonić.

Na czym polegają oscylacje neutrin?

W mechanice kwantowej cząstka może znajdować się w stanie swoistego zawieszenia, które nazywa się superpozycją (czyli po prostu złożeniem). Przypomina to powiedzmy czyjś stan umysłu, kiedy osobnik waha się, czy np. iść do kina, czy też nie iść. W przypadku neutrin może to być alternatywa dotycząca tożsamości: jesteś neutrinem elektronowym albo neutrinem mionowym. Naprawdę istnieje jeszcze trzeci ich rodzaj: neutrina taonowe, ale chcemy tylko pokazać, jak zachodzą oscylacje, więc pominiemy ten fakt. Stan neutrina możemy zapisać jako pewien wektor w dwuwymiarowej przestrzeni (neutrino elektronowe-neutrino mionowe). Interesuje nas tylko to rozróżnienie, zakładamy, że inne parametry są takie same w obu przypadkach. Mamy więc dwie wykluczające się możliwości: albo neutrino elektronowe, albo neutrino mionowe. Matematycznie superpozycję możemy przedstawić jako sumę dwóch prostopadłych wektorów. Sytuację przedstawia rysunek.

neutrinos0

Wektor stanu neutrina |\psi\rangle jest równy

|\psi \rangle=a |\nu_e\rangle + b |\nu_{\mu}.\rangle

Symbole |\nu_e\rangle,|\nu_\mu\rangle oznaczają jednostkowe wektory w naszej przestrzeni stanów. Jeśli chcemy się dowiedzieć, czy nasze neutrino jest elektronowe, czy mionowe, musimy przeprowadzić pomiar. W mechanice kwantowej, dopóki nie mierzymy jakieś wielkości, dopóty układ może przebywać w superpozycji stanów, czyli w naszym przypadku nie być ani takim, ani takim neutrinem. Kiedy pomiar zostanie przeprowadzony, prawdopodobieństwo, że neutrino okaże się elektronowe jest równe |a|^2, a prawdopodobieństwo, że okaże się mionowe, równe jest |b|^2. Możliwe są zatem dwa różne wyniki. Jeśli są to wszystkie wyniki, to suma obu tych prawdopodobieństw musi być równa 1. Mechanika kwantowa zakłada, że Bóg gra w kości, z czym nie potrafił się pogodzić Albert Einstein.

Można sobie wyobrazić inne układy wykluczających się pytań. Matematycznie odpowiadałoby to innemu wyborowi układu współrzędnych. Mógłby on być np. obrócony o pewien kąt \theta, jak na rysunku poniżej.

neutrinos

Wektor |\psi\rangle możemy zapisać za pomocą nowej pary wektorów jednostkowych |\nu_1\rangle,|\nu_2\rangle:

|\psi \rangle=a |\nu_e\rangle + b |\nu_{\mu}\rangle=a' |\nu_1\rangle + b' |\nu_2\rangle.

Ponieważ długość wektora nie zmienia się, gdy wyrazimy ją w nowych współrzędnych, więc

|a|^2+|b|^2=|a'|^2+|b'|^2=1.

Zatem na pytanie: „Czy jesteś w stanie |\nu_1\rangle, czy|\nu_1\rangle?” uzyskujemy wykluczające się odpowiedzi, a suma prawdopodobieństw nadal jest równa 1. Nietrudno też zapisać związki między wektorami niebieskimi i czerwonymi na rysunku.

|\nu_{e} \rangle=\cos\theta |\nu_1\rangle - \sin\theta |\nu_2\rangle \mbox{(*)}

|\nu_{1} \rangle=\cos\theta |\nu_e\rangle + \sin\theta |\nu_{\mu}\rangle \mbox{(**)}

|\nu_{2} \rangle=-\sin\theta |\nu_e\rangle + \cos\theta |\nu_{\mu}\rangle\mbox{(**)}

Z matematycznego punktu widzenia wybór układu współrzędnych jest obojętny. Fizycznie jednak pewne pary wektorów mają wyróżnione znaczenie. Po pierwsze, kiedy neutrino powstaje, to zawsze jako elektronowe albo mionowe (wciąż pomijamy taonowe, żeby nie komplikować opisu). Po drugie, mamy wyróżniony układ współrzędnych związany z określoną wartością energii. W przypadku neutrin oba te układy są obrócone względem siebie o pewien kąt \theta, którego pochodzenia nikt nie zna. Tak po prostu jest, zapewne jest to parametr, który ustalił się zaraz po Wielkim Wybuchu i nie da się go teoretycznie obliczyć.

W przypadku neutrin stanami o określonej energii, a także masie spoczynkowej, byłyby więc stany |\nu_1\rangle oraz |\nu_2\rangle (pod warunkiem, że prawidłowo dobierzemy kąt \theta). Znaczy to, że określoną wartość masy mają nie neutrino elektronowe i mionowe, lecz pewne ich kombinacje. Wiemy też, że oba stany |\nu_1\rangle oraz |\nu_2\rangle mają różną wartość masy/energii spoczynkowej.

Stan o określonej wartości energii zachowuje się bardzo prosto z upływem czasu: jego wektor jest mnożony przez pewną liczbę:

|\nu_{1}, t \rangle=\lambda_1(t)|\nu_{1}, 0 \rangle

|\nu_{2}, t \rangle=\lambda_2(t)|\nu_{2}, 0 \rangle.

Wyobraźmy teraz sobie, że w chwili t=0 powstało neutrino elektronowe. Jego stan można zapisać, korzystając z (*) jako

|\nu_{e} \rangle=\cos\theta |\nu_1\rangle - \sin\theta |\nu_2\rangle.

Po czasie t zmienią się tylko współczynniki:

|\nu_{e} \rangle=\lambda_1(t)\cos\theta |\nu_1\rangle -\lambda_2(t)\sin\theta |\nu_2\rangle.

Korzystając z (**) możemy z powrotem wyrazić ten stan przez „czerwone” wektory |\nu_e\rangle,|\nu_\mu\rangle. Wypiszmy tylko współczynnik przy |\nu_\mu\rangle. Jest on równy

(\lambda_1(t)-\lambda_2(t))\sin\theta\cos\theta.

Kwadrat modułu tego wyrażenia będzie prawdopodobieństwem, że startując od neutrina elektronowego, otrzymamy w chwili t neutrino mionowe:

P(\nu_e \rightarrow \nu_{\mu}, t)=|\lambda_1(t)-\lambda_2(t)|^2 \sin^2\theta\cos^2\theta.

Aby prawdopodobieństwo to było różne od zera, a więc aby nasze neutrino zmieniało tożsamość z czasem kąt \theta musi być różny od całkowitej wielokrotności \frac{\pi}{2}, a ponadto oba czynniki czasowe powinny się różnić. Czynniki czasowe muszą być i są tu liczbami zespolonymi. Wszystko, co było powiedziane wyżej, nadal pozostaje słuszne także dla liczb zespolonych. Kąt \theta jest nadal rzeczywisty. Przypomnijmy, że liczby zespolone to pary liczb rzeczywistych, zapisywane jako z=a+bi. Stosują się do nich zwykłe zasady algebry przy dodawaniu i mnożeniu, należy jedynie pamiętać, że i^2=-1:

(x_1+iy_1)+(x_2+iy_2)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i,

(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2+iy_1x_2+x_1iy_2+i^2 y_1y_2=

=(x_1 x_2-y_1 y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i

Kwadratem modułu liczby z=x+iy jest nieujemna liczba |z|^2=x^2+y^2. Kwadraty modułów są prawdopodobieństwami, więc nie grozi nam, że prawdopodobieństwa będą ujemne albo zespolone. Dla spoczywającej cząstki o energii E czynnik \lambda(t) jest równy:

\lambda(t)=\cos(\frac{Et}{\hbar})-i\sin(\frac{Et}{\hbar}),

gdzie \hbar jest stałą Plancka. Moduł czynnika \lambda(t) jest stale równy 1 na mocy jedynki trygonometrycznej, ale proporcje części rzeczywistej i urojonej oscylują. Gdy odejmiemy dwa takie czynniki odpowiadające dwóm różnym energiom oraz obliczymy kwadrat modułu, otrzymamy wynik:

|\lambda_1(t)-\lambda_2(t)|^2=4\sin^2(\frac{(E_1-E_2)t}{2\hbar}).

Ostatecznie prawdopodobieństwo przemiany neutrina elektronowego w mionowe po czasie t będzie równe

P(\nu_e \rightarrow \nu_{\mu}, t)=\sin^2(2\theta)\sin^2(\frac{(E_1-E_2)t}{2\hbar}).

Otrzymujemy więc zależne od czasu oscylacje prawdopodobieństwa: w pewnych chwilach prawdopodobieństwo zmiany neutrina elektronowego w mionowe jest równe \sin^2 2\theta, potem znowu spada do zera. Wygląda to mniej więcej tak:

neutrina2

W doświadczeniach mierzy się nie zależność od czasu, lecz od drogi przebywanej przez neutrina. Poruszają się one niemal z prędkością światła i okresowo zmieniają tożsamość (zmieniają tzw. zapach, który nie ma nic wspólnego z zapachem, ale nazywa się tak dla odróżnienia od koloru, który też nie ma nic wspólnego z kolorem). Fakt, że zjawisko to w ogóle zachodzi, świadczy o różnicach energii między neutrinami o tym samym pędzie, a to oznacza, że ich masy spoczynkowe się różnią. Ponieważ ich masy spoczynkowe się różnią, wiec nie mogą być równe zeru dla wszystkich trzech neutrin. Bezpośrednio ich mas nie udało się dotąd wyznaczyć. Tak, jak w naszym uproszczonym przykładzie, stany o określonych energiach i masach są kombinacjami różnych zapachów.

Oscylacje są więc przykładem działania superpozycji stanów, zaskakujące okazało się to, że pojawia się tu różnica energii. Dla trzech neutrin mamy trzy różne kąty, ich wartości znane są tylko z eksperymentu. Nie wiadomo, czemu są akurat takie.

Uwaga:

Czynnik \lambda(t) najprościej zapisuje się oczywiście w postaci wykładniczej, korzystając ze wzoru Eulera:

\lambda(t)=\exp(-\frac{iEt}{\hbar}).

Wynika on z równania Schrödingera, które dla stanów o określonej energii ma bardzo proste rozwiązanie. Warto zauważyć, że gdyby \lambda(t) nie było liczbą zespoloną, lecz rzeczywistą, oscylacje w ogóle by nie wystąpiły.

Można tę całą sytuację zapisać jako pewne drzewo możliwości, podobne do tego, co rysuje się w probabilistyce. Wyglądałoby to tak.

neutrinos_treeZaczynamy od neutrina elektronowego, może ono stać się stanem nr 1 albo nr 2, następnie mamy upływ czasu, a na końcu dokonujemy pomiaru, który daje nam w wyniku neutrino elektronowe albo mionowe. Z każdą gałęzią drzewa skojarzony jest pewien czynnik: amplituda prawdopodobieństwa (którą łatwo odczytać ze wzorów (*) i (**) powyżej). Czynniki te należy wymnożyć wzdłuż interesującego nas fragmentu drzewa, a następnie wyniki dodać do siebie. Przekształcenie neutrina elektronowego w mionowe może odbyć się poprzez stan nr 1, mamy wtedy łączną amplitudę prawdopodobieństwa:

A_1=\cos\theta e^{-\frac{iE_1 t}{\hbar}}\sin\theta

Może też przemiana taka odbyć się poprzez stan nr 2:

A_2=-\sin\theta e^{-\frac{iE_2 t}{\hbar}}\cos\theta

Obie możliwości się wykluczają, więc ich amplitudy dodajemy:

A=A_1+A_2=\sin\theta\cos\theta(e^{-\frac{iE_1 t}{\hbar}}-e^{-\frac{iE_2 t}{\hbar}})

Prawdopodobieństwo równe jest kwadratowi modułu amplitudy:

P(\nu_e \rightarrow \nu_{\mu}, t)=|A|^2.

Otrzymujemy wynik jw. Procedura taka różni się od techniki drzew w rachunku prawdopodobieństwa tym, że wykonujemy działania mnożenia i dodawania na amplitudach prawdopodobieństwa, a dopiero na koniec obliczamy kwadrat modułu, czyli prawdopodobieństwo. Najważniejszym elementem jest dodawanie amplitud, ponieważ jest to dodawanie liczb zespolonych, które mają dwie składowe, mogą pojawiać się efekty interferencyjne.

Einstein i jednolita teoria pola: zmarnowane trzydzieści lat?

W roku 1915 Einstein przedstawił ostateczną wersję równań pola grawitacyjnego. No, może prawie ostateczną, bo niebawem dopisał jeszcze do nich człon kosmologiczny – z czysto matematycznego punktu widzenia wyraz ten może się tam znaleźć, choć nie musi, z fizycznego punktu widzenia nie było wówczas powodu, by to zrobić (dzięki stałej kosmologicznej mógł zbudować wszechświat, w którym przestrzeń trójwymiarowa nie ma brzegu, odpadał więc problem warunków brzegowych, jego motywy były matematyczno-filozoficzne, znane już wtedy obserwacje Sliphera nie zgadzały się z tym modelem). Taki powód istnieje dziś: obserwacje wskazują, że ekspansja wszechświata przyspiesza i człon kosmologiczny opisuje ten fakt (mówimy dziś o ciemnej energii, ale to tylko nowa nazwa dla starej wielkości).

Droga Einsteina do teorii grawitacji, którą nazywał ogólną teorią względności (OTW, dla odróżnienia od szczególnej STW z roku 1905), była wielce zagmatwana, pełna błędów i fałszywych objawień. Jednak ostateczny wynik – równania pola – są praktycznie jedyne możliwe. Zamiast pola grawitacyjnego mamy w OTW wielkość zwaną tensorem metrycznym, jest to dziesięć funkcji współrzędnych i czasu. Znając je, możemy analizować stosunki przestrzenne i czasowe w danej sytuacji fizycznej, obliczać tory cząstek itp. Mamy 10 równań dla tych 10 funkcji, przy czym tylko sześć równań jest niezależnych, bo układ współrzędnych można sobie dość dowolnie wybierać i matematyka nie może tego za nas rozstrzygać. Równania te nie mogą być inne (z dokładnością do członu kosmologicznego). Sama matematyka narzuca ich postać. Einstein nie wiedział o tym przed odkryciem, dopiero po fakcie zorientował się, że w gruncie rzeczy nie miał wielkiego wyboru. Jego droga była tak zagmatwana, ponieważ nie znał dostatecznie głęboko matematyki, którą się posługiwał. Nie on jeden zresztą: David Hilbert czy Felix Klein, wielcy matematycy z Getyngi, też nad nim nie górowali w owym czasie (choć Hilbert próbował się z nim ścigać i przegrał). Geometria różniczkowa, czyli dział matematyki zajmujący się zakrzywionymi przestrzeniami, zaczęła się szybciej rozwijać w następstwie teorii Einsteina, przedtem była to ezoteryczna dziedzina dla kilku wtajemniczonych, jak np. Tullio Levi Civita, z którym Einstein lubił korespondować podczas I wojny światowej, prosił nawet, by Włoch pisał do niego w ojczystym języku, bo przypominało mu to młodość, gdy często bywał we Włoszech u rodziców.

einstein_smalldynamiclead_dynamic_lead_slide

Einstein wypisujący na tablicy równania OTW w próżni: R_{ik}=0.

OTW rozwiązywała problem, którego prawie nikt nie stawiał. Owszem, przypuszczano, że stara teoria grawitacji Newtona musi zostać zmodyfikowana. W XIX wieku James Clerk Maxwell połączył całą naukę o elektryczności, magnetyzmie i optyce w jedną teorię. Było to wielkie osiągnięcie i jest nim do dziś: najróżniejsi specjaliści: od energetyki, prądnic, silników elektrycznych, łączności radiowej, kuchenek mikrofalowych, radarów, optyki, światłowodów, elektroniki itd. uczą się swego fachu startując z czterech równań Maxwella. Ogromny obszar zjawisk daje się zrozumieć w jednolity sposób. Jest to nie tylko eleganckie matematycznie, lecz także nadzwyczaj skuteczne w praktyce. Dlatego się mówi, że nie ma nic bardziej praktycznego niż porządna teoria. Otóż po Maxwellu podejrzewano, że także grawitacja powinna zostać zmodyfikowana, że np. pole grawitacyjne nie powinno rozchodzić się momentalnie, lecz ze skończoną prędkością – gdyby Księżyc znikł w danej chwili, to wody oceanów powinny to odczuć z opóźnieniem około sekundy. Ogólnie jednak biorąc, stara teoria Newtona radziła sobie świetnie, astronomowie potrafili z niezwykłą precyzją obliczać ruchy ciał niebieskich, astronomia stała się synonimem precyzyjnej nauki ścisłej aż nudnej w tym przywiązaniu do drobnych efektów, których nikt nie zauważa. Za czasów Einsteina OTW była piękną teorią zjawisk bardzo trudno mierzalnych. Grawitacja jest najsłabszym ze znanych oddziaływań i dlatego trudnym do badań w laboratorium czy bliskim kosmosie. W sumie OTW nie jest bynajmniej nauką o drobnych efektach, choć okazało się to już w bliższych nam czasach, gdy zaczęto obserwować ekstremalne zjawiska w kosmosie i badać czarne dziury.

Einstein zbudował więc grawitacyjny odpowiednik teorii Maxwella. Kiedy w roku 1919 okazało się, że OTW znajduje potwierdzenie w obserwacjach, stał się z jakiegoś kaprysu zbiorowej wyobraźni pierwszym naukowym celebrytą, może tylko Stephen Hawking cieszy się podobną, lecz zapewne mniejszą sławą. Fizycy w tamtych latach zajmowali się głównie zjawiskami atomowymi i kwantowymi. Czynił to także i Einstein, choć jego punkt widzenia różnił się zasadniczo od tego, co wypracowali Bohr, Born, Heisenberg, Dirac i inni twórcy mechaniki kwantowej. Tamtych interesowały przede wszystkim zjawiska atomowe: widma, zachowanie linii widmowych w polu elektrycznym albo magnetycznym, moment magnetyczny atomów itd. Einstein myślał raczej na poziomie ogólnym: pragnął połączyć swoją teorię grawitacji z elektrodynamiką Maxwella. Połączyć w sposób nietrywialny, bo można po prostu złożyć obie teorie „mechanicznie” w jedną. Nie było żadnych eksperymentów, które wskazywałyby, że pole elektromagnetyczne oraz grawitacyjne mają ze sobą cokolwiek wspólnego. Do dziś zresztą nie ma takich danych eksperymentalnych. Einstein sądził, że skoro brak eksperymentów, to tym gorzej dla faktów: on poszuka syntezy obu teorii i tak. Pozostawała mu jedynie droga matematyczna. Można przypuszczać, że wielkie wrażenie zrobił na nim fakt, iż OTW jest określona jednoznacznie przez ogólne założenia matematyczne i fizyczne, bez szczegółowego zagłębiania się w eksperymentalną kuchnię. Gdyby wiedział o tym przed rokiem 1915, znacznie szybciej znalazłby równania OTW.

Einsteina właściwie nie interesowała fizyka, tzn. rozwiązywanie kolejnych szczegółowych problemów. Oczywiście, lubił od czasu do czasu pokazać, jak się to robi, ale konkretne zagadnienia były dla niego przykładami czegoś bardziej ogólnego. Zawsze spoza drzew widział las i właściwie tylko las go naprawdę interesował. Psychiczną przykrość sprawiał mu brak logicznej spójności, dlatego sytuacja, gdy mamy w fizyce kilka różnych teorii, które niewiele ze sobą mają wspólnego, wydawała mu się zupełnie nieznośna. Natura jest jednolita i my powinniśmy zbudować jednolitą jej teorię. Lubił przywoływać Spinozę z jego bezwzględnie obowiązującą przyczynowością, sam był postacią w jakiś sposób siedemnastowieczną – to w epoce Kartezjusza, Spinozy i Leibniza tak mocno wierzono w racjonalny ład świata. Pogląd, że ze zjawiskiem fizycznym mamy do czynienia dopiero wtedy, gdy dokonamy jego pomiaru (takie było stanowisko Bohra), dla Einsteina było naigrawaniem się z racjonalnej wiary, nieomal świętokradztwem. Wszechświat rządzi się swoimi prawami, Księżyc istnieje także wtedy, gdy nikt na niego nie patrzy, a mysz nie zmienia swym spojrzeniem stanu wszechświata. Element subiektywności wprowadzony przez mechanikę kwantową był dla niego nie do przyjęcia. Dlatego mechanikę kwantową traktował jak szczególnie udaną teorię fenomenologiczną, tj. opisującą doświadczenia, ale bez ambicji dotarcia głębiej. Uważał, że prawidłowości statystyczne to nie nauka, lecz w najlepszym razie wstęp do nauki. Kiedy już poznamy te prawidłowości, to należy starać się zrozumieć, skąd się biorą.

Sądził, że musi istnieć teoria bardziej podstawowa, w ramach której wyjaśni się, z jakich cząstek zbudowany jest świat, a nawet czym jest cząstka. Według niego nie powinno być dwóch elementów teorii: cząstek (np. elektronów) oraz pól przez te cząstki wytwarzanych. Wszystko powinno być opisywane jako pola, cząstka to po prostu zlokalizowany obszar szczególnie silnego pola (coś w rodzaju solitonu – ale Einstein nie znał jeszcze tego pojęcia). Miał też nadzieję, że ruch owych cząstek także będzie wynikał z równań pola. OTW jest nieliniowa: suma dwóch rozwiązań nie jest w niej rozwiązaniem. W teoriach nieliniowych dwa ruchome „zgrubienia” pola będą jakoś ze sobą oddziaływać. W ten sposób spodziewał się zrozumieć zjawiska kwantowe. Z jego punktu widzenia trzeba było tylko znaleźć dobry punkt wyjścia. Jednolita teoria pola miała być połączeniem OTW i elektrodynamiki w nietrywialny matematycznie sposób.

Zaczął nad nią pracować niemal od razu po stworzeniu OTW, a w latach dwudziestych zaczął już publikować na ten temat. Sięgał po różne środki, pracowali z nim coraz to inni asystenci, cel pozostawał wciąż niezmienny. Co parę lat Einstein przekonany był, że najnowsza wersja równań jest właśnie tym, czego szuka. Potem zaczynał dostrzegać trudności, wreszcie zarzucał dane podejście. Jak to wyglądało, opisuje Ernst Gabor Straus, który pracował z Einsteinem w latach 1944-1948. Straus został później wybitnym matematykiem, opublikował 21 prac z Paulem Erdösem (co jest swego rodzaju tytułem szlacheckim) i zajmował się wieloma dziedzinami matematyki. Straus zapisywał różne charakterystyczne wypowiedzi Einsteina. „Do naszej pracy konieczne są dwie rzeczy: niezmordowana wytrwałość i gotowość, aby wyrzucić to, na co się poświęciło wiele czasu i pracy”. Sam był dwukrotnie świadkiem takiej sytuacji, za każdym razem Einstein na drugi dzień przychodził i jakby nigdy nic zaczynali pracę od nowa, stosując zupełnie inne podejście.

Einstein pracował nad jednolitą teorią pola aż do śmierci w roku 1955. Kiedy zaczynał, uchodził za największego fizyka świata, wszyscy czekali na jego kolejne prace, kończył jako zupełny outsider, dinozaur z innej epoki. Trzydzieści lat bez wyników. Byłoby to tragiczne, gdyby sam Einstein traktował swą pracę w sposób, by tak rzec romantyczny i ambicjonalny. Nie wierzył on jednak w rzeczy powstające tylko z ambicji. Niewiele znaczyły dla niego różne wyróżnienia. Kiedy dostał Medal Maksa Plancka schował go i nawet nie otworzył pudełeczka, żeby go obejrzeć. Potrafił całymi latami z jednakową koncentracją robić swoje, nie oglądając się na kolegów. Zaczynał działalność naukową jako urzędnik Biura Patentowego i przez wiele lat fizyka była dla niego zajęciem niezwiązanym z zarabianiem pieniędzy. Uważał nawet, że taka sytuacja jest przejrzystsza, bo inaczej człowiek żyje pod presją uzyskiwania wyników, a wyniki przychodzą albo nie. Nie należy drążyć deski w najcieńszym miejscu tylko dlatego, że tak jest najłatwiej.

Starzejący się uczeni często popadają w naukowe dziwactwa. Praca Einsteina nad jednolitą teorią pola nie całkiem pasuje do tego schematu, była raczej konsekwencją jego poglądów niż aberracją. Uczony nie odszedł od zmysłów, potrafił się uczyć (jeśli tylko chciał), nie przestał być twórczy ani nie zapomniał, jak się uprawia naukę.

Z dzisiejszego punktu widzenia jednolita teoria pola była zapewne pomyłką. Fizyka rozwinęła się zupełnie inaczej: najpierw cofnęła się do epoki sprzed teorii względności szczególnej (STW). Równanie Schrödingera z roku 1926 jest nierelatywistyczne. Potem stopniowo nauczono się łączyć STW z mechaniką kwantową – wynikiem jest kwantowa teoria pola. Einstein świadomie ją ignorował, choć za jego życia, mniej więcej w okresie asystentury Strausa, powstała elektrodynamika kwantowa. Już po śmierci Einsteina zbudowano jej uogólnienie – teorię oddziaływań elektrosłabych (tę od bozonu Higgsa). Ostatecznie mamy dziś nie do końca satysfakcjonujący, lecz zgodny z doświadczeniem, Model Standardowy cząstek. Zawiera on mnóstwo parametrów eksperymentalnych i oparty jest na kwantowej teorii pola. Mamy więc połączenie STW i fizyki kwantowej. I mamy też spory impas, ponieważ od czterdziestu lat nie udało się znaleźć teorii bardziej zadowalającej teoretycznie oraz zgodnej z eksperymentem. Może ulepszony LHC pozwoli uzyskać istotnie nowe dane eksperymentalne.

Natomiast OTW nie udało się połączyć z żadną teorią kwantową aż do dziś, mimo różnych cząstkowych osiągnięć. Chyba nikt nie stara się już kontynuować programu jednolitej teorii pola w sensie Einsteina: tzn. zbudowania wspólnej niekwantowej teorii oddziaływań. Wydaje się, że Einstein zaczął nie od tej strony, bo OTW jest marnym punktem wyjścia do badania zjawisk atomowych.

Niepowodzenie Einsteina trzeba widzieć na tle całości. Nauka wbrew pozorom jest bardziej historią niepowodzeń niż sukcesów, tzn. niepowodzenia są chlebem powszednim, sukcesy – świętem. Dzisiejsza fizyka fundamentalna, sześćdziesiąt lat po śmierci Einsteina, wygląda raczej na zagubioną. Ogromny program superstrun, angażujący od paru dziesiątków lat najzdolniejszych teoretyków świata z Edwardem Wittenem na czele (indeks Hirscha 150 i nadal rośnie), ugrzązł zdaje się na dobre, w każdym razie wymierne korzyści przyniósł do tej pory raczej matematyce niż fizyce. Uczeni pracujący w tej dziedzinie powtórzyli podobny błąd co Einstein: dali się uwieść matematyce i wylądowali w tzw. krajobrazie superstrun, w którym udowodnić można wszystko i niczego nie można przewidzieć.

Einstein miał oczywiście nadzieję, że któregoś dnia okaże się, iż w sprawie jednolitej teorii słuszność jest po jego stronie. Z biegiem lat ta nadzieja odsuwała się w coraz dalszą przyszłość. Bardzo niewielu uczonych tak głęboko utożsamiało się z tym, co robi i w co wierzy. Nauka nie była dla niego pracą, lecz sposobem realizacji powołania. Ta sama ścisła przyczynowość, która obowiązywała w jego fizyce, kształtowała także jego wyobrażenia o miejscu człowieka w świecie. Einstein wypowiadał się nieraz, że gdyby wiedział, iż ma umrzeć w ciągu godziny, to wcale by się tym nie przejął, gdyż wierzy w porządek świata, w którym człowiek jest tylko małą cząstką całości, a osobowość czymś w rodzaju złudzenia optycznego. Można mu wierzyć, bo potem rzeczywiście żył z wyrokiem śmierci. Ostatnie siedem lat życia przeżył z dużym zdiagnozowanym tętniakiem aorty brzusznej – nie można było wówczas zrobić operacji, uczony wiedział, że pewnego dnia tętniak pęknie. Kiedy to się stało, nie pozwolił się dręczyć lekarzom, sądził, że lepiej umrzeć, skoro nadszedł czas. Spokojnie porozmawiał z pasierbicą Margot, z synem Hansem Albertem, próbował nawet kontynuować jakieś zaczęte rachunki. Uprzednio zadbał, aby po śmierci jego ciało spalono, a prochy rozrzucono w nieznanym miejscu. Za coś w złym guście uważał pielgrzymki do grobów sławnych ludzi. Piękny przykład, że można obejść się bez magii i bez samozwańczych przedstawicieli Boga na ziemi nawet w obliczu śmierci.

Nie czuł się pokonany ani przegrany. Dwa tygodnie przed śmiercią rozmawiał z nim na różne tematy historyk nauki I.B. Cohen. Wspomina on: „Ogromny kontrast zachodził między jego cichą mową a dudniącym śmiechem. Lubił żartować, za każdym razem, gdy powiedział coś, co mu się podobało, albo usłyszał coś, co do niego przemówiło, wybuchał grzmiącym śmiechem, który odbijał się od ścian”. Jego śmiech wspominało wielu ludzi, którzy go znali. Hedwig Born, żona Maksa, po długich latach niewidzenia pisała do niego: „Chciałabym móc usłyszeć jeszcze raz twój potężny śmiech”.

Einstein_laughing

Max Born: Nagroda Nobla za przypis (1926, 1954)

Max Born w roku 1954 otrzymał Nagrodę Nobla za „fundamentalne badania w dziedzinie mechaniki kwantowej, a szczególnie za statystyczną interpretację funkcji falowej”. Nagrodę tę dzielił po połowie z Waltherem Bothe, którego eksperymenty pozwoliły wyjaśnić, że światło ma naturę cząstkową. Była to jedna z tych nagród, które przyznawane są jakby dla wyrównania dawnej niesprawiedliwości. Z perspektywy trzydziestu lat widać było, jak niezwykłym epizodem w dziejach fizyki były lata 1925-1927: ani wcześniej, ani później nie dokonano tak fundamentalnego przełomu w tak krótkim czasie. Fizycy wciąż zajmują się badaniem konsekwencji zasad wtedy sformułowanych, po drodze zrozumiano budowę atomów, cząsteczek chemicznych, ciał stałych, jąder atomowych i samych cząstek elementarnych, zbudowano tranzystory, lasery itd. Współczesna nanotechnologia to nic innego niż praktyczne zastosowania mechaniki kwantowej – coraz częściej uczy się tego przedmiotu inżynierów.

Max_Born

Zdjęcie: Wikimedia

W roku 1925 Max Born miał czterdzieści trzy lata i był profesorem fizyki w Getyndze. Umiał on przyciągać talenty: siedmiu jego studentów i doktorantów otrzymało Nagrody Nobla. To głównie dzięki niemu Getynga stała się w tamtych czasach głównym ośrodkiem fizyki, obok Kopenhagi, gdzie podobną rolę odgrywał Niels Bohr. Born zwierzał się w lipcu Einsteinowi:

Moi młodzi ludzie, Heisenberg, Jordan, Hund są znakomici. Muszę się czasem poważnie wysilić, aby nadążyć za ich rozważaniami. Wprost bajecznie opanowali tak zwaną zoologię termów. [Chodzi o szczegółową wiedzę dotyczącą widm różnych pierwiastków] Najnowsza praca Heisenberga, która się niebawem ukaże, wygląda bardzo mistycznie, ale jest prawdziwa i głęboka.

Heisenberg radził się Borna, co zrobić z tą pracą, czy ma ją już opublikować, nie umiał się bowiem w tamtej chwili dalej posunąć. Max Born też jeszcze zapewne nie rozumiał, jak głęboki przewrót się szykuje. W drugiej połowie roku razem z Jordanem i Heisenbergiem rozwinęli pomysły Heisenberga w systematyczną teorię. Można było w jej ramach obliczać pewne wielkości, np. skwantowane energie oscylatora albo atomu wodoru. Nie bardzo jednak rozumiano, jak należy interpretować matematyczny formalizm, który dostarczał tych wyników.
W czerwcu 1926 roku Max Born zajął się zagadnieniem zderzeń cząstek w nowej teorii. Jeśli początkowo cząstka znajdowała się w stanie opisanym falą \psi^{0}_{n} (np. poruszając się w określonym kierunku z określonym pędem), to po zderzeniu jej stan był sumą wielu różnych stanów m (odpowiadających np. różnym kierunkom rozproszenia).

\psi^{1}_{n}=\sum_{m}\Phi_{nm}\psi^{0}_{m}

Wartości \Phi_{nm} informują o zawartości fal danego rodzaju w stanie końcowym. Jeśli\Phi_{nm} dla jakiegoś m jest równe zeru, to stan m w ogóle się nie pojawi. Born pisze: „Jeśli chce się ten wynik zrozumieć w sposób korpuskularny, to możliwa jest tylko jedna interpretacja: \Phi_{nm} określa prawdopodobieństwo” rozproszenia do stanu m. Do zdania tego została dołączona uwaga na etapie korekty pracy: „Dokładniejsze rozważania pokazują, że prawdopodobieństwo jest proporcjonalne do kwadratu \Phi_{nm}”. To jest właśnie ten przypis wart Nagrody Nobla. Ściśle biorąc, chodzi o kwadrat modułu zespolonego, bo \Phi_{nm} jest zespolone.

Oczywiście, to nie jest cały wkład Borna do mechaniki kwantowej. Podobne myśli chodziły wówczas po głowie co najmniej paru osobom, Born zdecydował się je rozwinąć. Miał też świadomość wagi tego kroku: w tej samej pracy pisze, że osobiście skłonny jest porzucić determinizm w świecie atomowym. A więc jeśli elektron w danym stanie zderzy się z drugą cząstką, to wynik za każdym razem może być inny. Nie dlatego, że nie potrafimy dokładnie powtórzyć warunków doświadczenia, ale dlatego że sama przyroda działa losowo. Był to niezmiernie ważny krok. Wszelka fizyka kwantowa jest właściwie sztuką obliczania takich wielkości zespolonych, zwanych dziś amplitudami prawdopodobieństwa. Chcąc otrzymać wielkość mierzalną doświadczalnie, należy amplitudę podnieść do kwadratu i otrzymujemy wówczas prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia. Tylko tyle i aż tyle.

Nowa fizyka wciągnęła niemal wszystkich. Wyjątkiem był Albert Einstein, tylko kilka lat starszy od Borna, uważany w tamtym momencie za najwybitniejszego żyjącego fizyka. W grudniu 1926 roku Einstein napisał do Borna: „Mechanika kwantowa jest bardzo imponująca. Ale mój głos wewnętrzny mówi, że to nie jest sedno sprawy. Teoria ta wiele daje, ale niewiele nas przybliża do tajemnic Starego. Ja przynajmniej jestem przekonany, że On nie gra w kości”. Pozostał wierny temu przekonaniu aż do śmierci. Po niemal wieku widać, że niezmiernie trudno byłoby jakoś obejść fizykę kwantową, choć niektórzy zastanawiają się nad taką możliwością (np. Gerard t Hooft).

 Max Born był zawiedziony, kiedy kilka lat później jako jedyny z Getyngi Nagrodę Nobla otrzymał Werner Heisenberg. Także Heisenbergowi było głupio, napisał nawet przepraszający list do Borna. Kiedy w latach pięćdziesiątych zdecydowano się naprawić dawny błąd, pominięto Pascuala Jordana, trzeciego ważnego uczonego z Getyngi. To ostatnie było jednak zapewne celowe: Jordan, potomek napoleońskiego żołnierza, został w latach trzydziestych gorącym nazistą. Niecałe dziesięć lat po tym, jak Niemcy zniszczyli pół Europy, przyznawanie mu Nagrody Nobla wywołałoby z pewnością gorące protesty. Jordan został zrehabilitowany i niebawem zajął się znowu polityką, popierając rozmieszczenie broni jądrowej na terenie Niemiec.