Richarda Feynmana droga do równania Schrödingera (1941)

Jeszcze w trakcie swoich studiów pierwszego stopnia w MIT (ukończył je w 1939 r.) Feynman dowiedział się o trudnościach elektrodynamiki kwantowej. Teoria taka była niezbędna do opisania oddziaływań przy większych energiach: kiedy mogą tworzyć się albo anihilować pary elektron-pozyton. Obliczenia prowadziły jednak do całek rozbieżnych, teoria wymagała nowego podejścia.

W swoim wykładzie noblowskim Richard Feynman opowiada o kilku ideach, które starał się rozwijać w trakcie swoich dalszych studiów w Princeton (na egzaminach wstępnych z fizyki uzyskał tam komplet punktów, co zdarzyło się po raz pierwszy). W roku 1942 r uzyskał doktorat pod kierunkiem Johna Archibalda Wheelera i niebawem zaczął pracę w Projekcie Manhattan.

Jednym z pomysłów Feynmana było nowe sformułowanie mechaniki kwantowej. Poszukiwał podejścia, w którym można by opisać, co dzieje się z cząstkami w czasoprzestrzeni. Chodziło mu o teorię relatywistyczną, w której opis taki wydaje się naturalny. Należało się spodziewać, że zamiast hamiltonianu pojawi się tu lagranżian cząstek (sformułowanie Lagrange’a mechaniki daje się łatwo zapisać w postaci jawnie kowariantnej, w której zgodność z teorią względności jest punktem wyjścia, a nie dodatkowym założeniem). Na początek udało mu się sformułować w nowy sposób „starą” mechanikę kwantową, która liczyła wprawdzie dopiero piętnaście lat, lecz dla młodego człowieka była to już prehistoria. Właśnie to sformułowanie znalazło się w doktoracie.

Punktem wyjścia była rozmowa z Herbertem Jehle w „Nassau Inn” w Princeton któregoś wieczoru. Jehle, Niemiec, syn generała, był kwakrem i pacyfistą, wyemigrował z nazistowskiej ojczyzny, pracował w Brukseli, w końcu trafił do obozu internowania w Gurs w Pirenejach w republice Vichy, skąd trafił do Stanów Zjednoczonych. Jehle znał pewną pracę Paula Diraca, w której pojawiał się lagranżian. Nazajutrz wybrali się obaj do biblioteki, aby odszukać tę pracę z 1933 roku. Była ona opublikowana w dość nieprawdopodobnym miejscu, bo w rosyjskim czasopiśmie „Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion”.

Dirac pisze, jak znaleźć funkcję falową w chwili późniejszej t+\varepsilon z funkcji falowej w chwili t, korzystając z zasady Huygensa:

\psi(x,t+\varepsilon)={\displaystyle \int G(x,y)\psi(y,t)dy}.

Funkcja G(x,y) jest dziś zwana propagatorem cząstki. Funkcja falowa w późniejszym czasie jest więc sumą funkcji falowych w czasie wcześniejszym wziętą z odpowiednimi wagami – wagi te opisuje propagator. Angielski uczony stwierdził też, że propagator dla krótkich czasów „odpowiada” (corresponds to) wyrażeniu

e^{iL \varepsilon /\hbar},

gdzie L jest lagranżianem, \hbar – stałą Plancka. W wykładniku mamy tu działanie dla bardzo krótkiego czasu \varepsilon. Feynman spróbował natychmiast ustalić, co oznacza owa odpowiedniość. Jeśli wziąć dwa punkty x i y, to średnia prędkość cząstki powinna się równać

v=\frac{x-y}{\varepsilon},

a energia potencjalna powinna być także jakąś wartością średnią:

V=V(\frac{x+y}{2}).

Lagranżian to różnica energii kinetycznej i potencjalnej, a więc wyrażenie wykładnicze Diraca jest równe:

\exp\left(\frac{im(x-y)^2}{2\hbar\varepsilon}-\frac{i}{\hbar}V(\frac{x+y}{2})\varepsilon\right).

Dla niewielkich \varepsilon pierwszy składnik wykładnika będzie gwałtownie oscylował, drugi natomiast staje się coraz mniejszy i może być zastąpiony przybliżeniem liniowym. Oznaczając x-y=\xi i przyjmując, że „odpowiada” u Diraca znaczy „jest proporcjonalny”, mielibyśmy

\psi(x,t+\varepsilon) =A(\varepsilon) {\displaystyle \int \exp\left(\dfrac{im\xi^2}{2\varepsilon\hbar}\right)\left\{ 1-\dfrac{i}{\hbar}V(x-{\xi}/{2})\right\}\psi(x-\xi)d\xi}.

Ponieważ pierwszy czynnik pod całką gwałtownie oscyluje, więc możemy funkcję falową pod całką przybliżyć jej rozwinięciem Taylora wokół x:

\psi(x-\xi)\approx \psi(x)-\xi \dfrac{\partial \psi}{\partial x}+\dfrac{\xi^2}{2}\dfrac{\partial^2\psi}{\partial x^2}.

Także energię potencjalną możemy zamienić jej wartością w punkcie x. Całki po prawej stronie dają się w tym przybliżeniu bez trudu obliczyć i otrzymujemy:

\psi(x,t+\varepsilon)=\psi(x,t)-\dfrac{i\varepsilon }{\hbar}V(x)\psi(x,t)+\dfrac{i\hbar \varepsilon}{2m}\,\dfrac{\partial^2\psi}{\partial x^2}.

Możemy to równanie przekształcić do postaci

i\hbar \dfrac{\psi(x,t+\varepsilon)-\psi(x,t)}{\varepsilon}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+V(x)\psi(x,t),

co w granicy \varepsilon\rightarrow 0 przechodzi w równanie Schrödingera.

Jak opowiada Feynman, obliczenie to wykonał od razu w obecności Jehlego, który pilnie notował kolejne kroki.
Był to punkt wyjścia do całek Feynmana po trajektoriach (albo po historiach cząstki – jak nazwał to John Wheeler). Wyobraźmy sobie bowiem, że dany przedział czasu (0,T) dzielimy na N+1 podprzedziałów o długości \varepsilon każdy.

Propagator cząstki przyjmuje postać:

G(x,y)=A^{N+1}{\displaystyle \int\ldots\int \exp(\frac{i\varepsilon}{\hbar}(L(y,x_1)+L(x_1,x_2)+\ldots+L(x_N,x))dx_1\ldots dx_N}\mbox{(*)}.

Jeśli wyobrazimy sobie, że N\rightarrow\infty, to wykładnik w funkcji wykładniczej będzie dążył do całki działania pomnożonej przez czynnik i/\hbar:

\dfrac{i}{\hbar}S={\displaystyle \frac{i}{\hbar}\int_0^T L\left(x,\frac{dx}{dt}\right)dt}.

Mamy więc procedurę obliczania wartości G(x,y) za pomocą sumy po różnych możliwych trajektoriach. G można zinterpretować fizycznie: kwadrat modułu tej zespolonej wartości jest prawdopodobieństwem, że cząstka z punktu czasoprzestrzeni (y,0) przemieści się do punktu (x,T). Po drodze „próbuje” ona niejako wszelkich możliwych trajektorii i każda z nich daje wkład proporcjonalny do wartości działania:

G(x,T|y,0) \sim {\displaystyle \sum_{trajektorie}e^{iS[trajektoria]/\hbar}}.

Zapisujemy to następująco:

G(x,T|y,0)= {\displaystyle \int e^{iS[x(t)]/\hbar}{\mathcal D}[x(t)]}.

Całka Feynmana jest w istocie granicą wyrażeń (*) i w celu obliczenia jej wartości musimy wracać do tej definicji. Okazuje się jednak, że sformułowanie to pozwala nie tylko spojrzeć inaczej na znaną fizykę, ale także umożliwia konkretne numeryczne obliczenia metodą Monte Carlo. Pozwala też łatwo zrozumieć, czemu przechodząc od fizyki kwantowej do klasycznej, otrzymujemy zasadę najmniejszego działania.

Wartości potrzebnych całek wynikają ze znanego wzoru:

{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^2}dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}} }.

Jest on słuszny także dla czysto urojonych wartości \alpha. Różniczkowanie tego wzoru po \alpha generuje nam także całkę \int x^2 e^{-\alpha x^2} dx. Stała A równa jest

A=\sqrt{\dfrac{m}{2\pi i\hbar \varepsilon}}.

Kiedyś napiszę może trochę więcej na temat obliczania całek przez Feynmana, nieprzypadkowo zajmował się on w Los Alamos nadzorowaniem praktycznych obliczeń numerycznych – jak mało kto potrafił bowiem szybko obliczyć niemal wszystko, co daje się obliczyć metodami klasycznej analizy.

 

Reklamy

Skąd się bierze Maxwellowski rozkład prędkości cząsteczek w gazie doskonałym?

James Clerk Maxwell podał w roku 1859 postać rozkładu prawdopodobieństwa prędkości cząsteczek w gazie doskonałym. Okazuje się, że prawdopodobieństwo, iż np. x-owa składowa prędkości losowo wybranej cząsteczki należy do przedziału (x, x+dx) równe jest

p(x)dx=C\exp(-\alpha x^2)dx,

gdzie C jest stałą normalizacyjną (wybraną tak, aby prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego było równe 1). Jest to słynny rozkład Gaussa, zwany też rozkladem normalnym, gdyż pojawia się on w najróżniejszych kontekstach.

Składowa x-owa prędkości danej cząsteczki zmienia się wskutek zderzeń z innymi cząsteczkami w sposób przypadkowy i w rezultacie opisywana jest takim rozkładem o kształcie dzwonu. Jeśli całkowita energia gazu jest stała, to stała jest także suma kwadratów wszystkich prędkości:

E=\dfrac{m{\vec{v}_1}\,^2}{2}+\ldots+\dfrac{m\vec{v}_N\,^2}{2}=const.

(m jest masą cząseczki gazu). Kwadrat każdego wektora jest sumą trzech kwadratów jego współrzędnych. Oznaczając więc wszystkie składowe wszystkich prędkości cząsteczek gazu jako x_1,x_2, \ldots, x_{3N}, mamy 3N-wymiarową przestrzeń prędkości. Warunek stałości energii przyjmuje postać:

x_1^2+x_2^2+\ldots+x_{3N}^2=R^2,

co geometrycznie oznacza, że koniec wektora prędkości Y=[x_1, x_2,\ldots, x_{3N}] leży na powierzchni sfery S^{3N-1} o promieniu R (sfera ma o jeden wymiar mniej niż przestrzeń).

Aby wyprowadzić rozkład Maxwella, przyjmijmy najprostsze założenie: każde położenie końca wektora Y na sferze jest jednakowo prawdopodobne.

Szukamy teraz rozkładu prawdopodobieństwa którejkolwiek pojedynczej składowej np. x\equiv x_1 (jest ona jednocześnie x-ową składową prędkości cząsteczki nr 1). W przypadku sfery S^2 możemy to narysować.

Prawdopodobieństwo, że x bedzie leżeć w cienkim pasie sfery zaznaczonym na rysunku jest proporcjonalne do pola powierzchni pasa sferycznego równej iloczynowi długości razy szerokość:

\Delta S=2\pi R\sin\vartheta \times R\Delta \vartheta.

Sumując pola powierzchni takich pasów, czyli całkując, otrzymamy wzór na pole powierzchni sfery S^2:

S_2(R)={\displaystyle \int_{0}^{\pi} 2\pi R^2 \sin\vartheta d\vartheta}=4\pi R^2.

Prawdopodobieństwo znalezienia końca wektora Y w pasie sferycznym byłoby w takim razie równe ilorazowi obu tych wielkości

p(\vartheta)\Delta\vartheta=\dfrac{2\pi R \sin\vartheta}{4\pi R^2}\times R\Delta\vartheta= \dfrac{S_1(R\sin\vartheta)}{S_2(R)} R\Delta \vartheta.

Szerokość naszego pasa jest zarazem „polem” sfery S^1, tzn. długością okręgu o promieniu R\sin\vartheta (co widać z rysunku). Dla trójwymiarowego wektora Y rozkład ten nie jest szczególnie interesujący. Fizycznie odpowiadałby jednocząstkowemu gazowi doskonałemu. Prędkość tej jednej jedynej cząsteczki przyjmuje z równym prawdopodbieństwem dowolny kierunek w przestrzeni. Długość wektora jest określona przez energię tej cząstki.

Ostatnie wyrażenie dla prawdopodobieństwa można zastosować równie dobrze w przestrzeni 3N-wymiarowej. Możemy zawsze ustalić wartość jednej ze współrzędnych x_1\equiv x. Pozostałe współrzędne spełniają wtedy warunek

x_2^2+x_3^2+\ldots+x_{3N}^2=R^2-x^2

i jest to jedyne ograniczenie. Znaczy to, że pozostałe składowe leżą na sferze wymiarze o jeden mniejszym i mniejszym promieniu. Pole powierzchni sfery S^n jest równe pewnej stałej zależnej od wymiaru razy promień sfery do potęgi n-tej:

S_n(r)=C_n r^n.

Korzystając z tego faktu możemy szukane prawdopodobieństwo zapisać w postaci

p(x)dx=\dfrac{S_{3N-2}(\sqrt{R^2-x^2})}{S_{3N-1}(R)} R\Delta\vartheta \sim \left(1-\dfrac{x^2}{R^2}\right)^{\frac{3N}{2}}dx.

Ostatnie wyrażenie możemy dla dużych wartości N zapisać jako potęgę liczby e:

\left(1-\dfrac{x^2}{R^2}\right)^{R^2\cdot\frac{3N}{2R^2}}dx=\exp(-\alpha x^2) dx.

Parametr \alpha jest równy

\alpha=\dfrac{3N}{2R^2}=\dfrac{3Nm}{4E}=\dfrac{3m}{4\epsilon},

gdzie \epsilon jest energią przypadającą na jedną cząsteczkę gazu. Możemy wyrazić tę ostatnią energię za pomocą temperatury T:

\epsilon=\dfrac{3}{2}kT \Rightarrow \alpha=\dfrac{m}{2kT}.

Otrzymaliśmy rozkład Maxwella. Stałą C można znaleźć z warunku unormowania (można ją też obliczyć bezpośrednio, potrzeba jednak wówczas wiedzieć więcej nt. stałych C_n, czyli postaci wzoru na pole sfery S^n).

Rozkład Maxwella wynika więc z założenia o równomiernym rozkładzie prawdopodobieństwa na sferze w przestrzeni 3N-wymiarowej. Założenie to nazywane jest rozkładem mikrokanonicznym i jest jednym z postulatów fizyki statystycznej. Wyobrażamy sobie, że stan naszego układu, czyli wektor Y wędruje po dozwolonej powierzchni w taki sposób, że jego koniec może znaleźć się z jednakowym prawdopodobieństwem w otoczeniu każdego punktu sfery. Jest to założenie ergodyczności.

Oczywiście, nie znaczy to, że układ zderzających się cząstek gazu musi być ergodyczny. Jak to często bywa w fizyce: z jednej strony pośrednio sprawdzamy to założenie, badając rozmaite jego konsekwencje i porównując z doświadczeniem. Z drugiej strony, można badać pewne proste przypadki, aby sprawdzić, czy założenie ergodyczności jest prawdziwe w tych sytuacjach. W 1963 r. Yakov Sinai, wybitny matematyk rosyjski, udowodnił, że gaz doskonały sztywnych zderzających się kul jest ergodyczny.

W pewnej chwili zamieniliśmy R \Delta\vartheta wartoscią dx. Nie są one ściśle biorąc równe, mamy bowiem

dx=-R\sin\vartheta d \vartheta \Rightarrow Rd\vartheta=\dfrac{dx}{\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}}}.

Dodatkowy czynnik pod pierwiastkiem nie ma znaczenia, gdy wartości R są duże. Widać to też z rysunku: gdy |x|\ll R, to R d\vartheta \approx dx.

Szczęśliwy rok Erwina Schrödingera (1926)

W listopadzie 1926 roku seria sześciu ostatnich prac Schrödingera ukazała się w wydaniu książkowym. Jak sam pisał we wstępie do tego przedruku:

Młoda przyjaciółka powiedziała o nich niedawno: „Popatrz, kiedy je zaczynałeś, nie myślałeś w ogóle pojęcia, że wyjdzie z nich tak wiele sensownych rzeczy”. Powiedzenie to, z którym (prócz pochlebnego przymiotnika) w pełni się zgadzam, podkreśla fakt, że prace zebrane w tym tomie powstawały jedna po drugiej. Ich autor, pisząc wcześniejsze części, nie znał jeszcze części późniejszych.

Erwin Schrödinger stał się dzięki nim sławny i choć także wcześniej i później tworzył prace interesujące bądź nawet wybitne, żadna z nich nie dorównywała tej złotej serii.

Ową przyjaciółką była czternastoletnia Itha Junger („Ithi”). Ich dziadek Georg Junger był bogatym obywatelem Salzburga, właścicielem firmy zajmującej się handlem hurtowym. Interes prowadzili nadal jego dwaj synowie, to jeden z nich, Hans, był ojcem dwóch niejednakowych bliźniaczek: Ithy i Roswithy, uczęszczających do szkoły klasztornej. Mówiło się, że matka żony Schrödingera Anny była nieślubną córką Georga Jungera. W każdym razie obie rodziny były blisko i żona Hansa była matką chrzestną Anny. Itha miała kłopoty z matematyki, Anny zaproponowała, że Erwin mógłby pomóc, bliźniaczki przeniesiono do klasztoru blisko Zurychu, żeby mogły korzystać z korepetycji. Erwin bardzo się z nimi zaprzyjaźnił, a wkrótce i zakochał w Ithi. Ich osobliwy, nawet w tych swobodnych czasach, romans trwał wiele lat, związek został skonsumowany wkrótce po siedemnastych urodzinach Ithi.

Mechanika kwantowa Heisenberga i jego kolegów z Getyngi przyjmowana była z mieszanymi uczuciami przez środowisko fizyków. Przeskoki kwantowe, abstrakcyjny formalizm macierzowy, filozofia ograniczenia się tylko do wielkości bezpośrednio obserwowalnych i porzucenia raz na zawsze poglądowych wyobrażeń atomu – wszystko to traktowane było z rezerwą. Podejście Schrödingera wydawało się nie tylko bardziej zrozumiałe matematycznie, ale także umożliwiało wyobrażenie sobie, co właściwie dzieje się wewnątrz układów o skali atomowej. Schrödinger wykazał także, że przynajmniej w prostych sytuacjach oba podejścia są równoważne. Mimo to, Heisenberg wykazywał wobec „mechaniki falowej” postawę wrogą i nieprzejednaną. Jego mentor, Niels Bohr, zaprosił Schrödingera do Kopenhagi, gdzie zadręczał wręcz swojego gościa, atakując jego sposób myślenia.

Dla zwolenników Bohra elektron był punktową cząstką, a prawa kwantowe dotyczyły tylko prawdopodobieństw. Historia przyznała im rację, choć pewne problemy interpretacyjne mechaniki kwantowej pozostały do dziś. Trzeba jednak wyraźnie powiedzieć, że jak dotąd żaden eksperyment nie zaprzeczył prawom mechaniki kwantowej, „szara strefa” dotyczy raczej filozoficznego samopoczucia. Wciąż nie znamy wszystkich szczegółów przejścia z poziomu mikroświata do makroświata, w którym żyjemy i w którym powstała fizyka klasyczna.

Błyskawiczna kariera Schrödingera wiązała się z tym, że dla konserwatywnie nastawionych fizyków, jego podejście wydawało się łatwiejszą do przyjęcia wersją teorii kwantowej. Schrödinger został zasypany listami i zaproszeniami od luminarzy ówczesnej fizyki: od sędziwego Hednrika Lorentza, przez Maksa Plancka, Alberta Einsteina aż do Wilhelma Wiena i Arnolda Sommerfelda. Został członkiem bardzo elitarnego grona: Planck gościł go w swoim domu podczas wizyty w Berlinie. Dobiegający siedemdziesiątki i wieku emerytalnego Planck niewątpliwie myślał przy tym o przyszłości swojej katedry w Berlinie, najbardziej prestiżowego stanowiska w dziedzinie fizyki teoretycznej na świecie. Niedługo później Schrödinger trafił na krótką listę kandydatów i uzyskał to stanowisko. Uznano przy tym, że Werner Heisenberg, choć niewątpliwie genialny, jest po prostu jeszcze za młody na katedrę. Schrödinger odbył też podróż do Stanów Zjednoczonych, stając się jednym z długiego szeregu wizytujących sław europejskich. Amerykanie nie byli jeszcze potęgą w fizyce teoretycznej, ale starali się kusić wysokimi honorariami, uzyskując przynajmniej tyle, że odwiedzali Stany Zjednoczone wszyscy właściwie wybitni fizycy i matematycy. Schrödinger też dostał oferty pracy w USA, ale nie rozpatrywał ich poważnie. Ameryka mu się nie podobała, duch purytański, przejawiający się w owych latach, m.in. w prohibicji, wydawał mu się barbarzyństwem. Na widok Statui Wolności miał powiedzieć, że brakuje jej tylko zegarka na ręku.

William F. Meggers Gallery of Nobel Laureates

Erwin Schrödinger bronił w roku 1926 i później stanowiska, że elektron nie jest punktową cząstką, lecz raczej pewnym rozmytym obiektem. Stanowisko to nie dało się obronić. Przedstawimy jeden z argumentów Schrödingera. Jest on prawdziwy, lecz sytuacja, której dotyczy, okazała się nietypowa. Nie można było tego jednak wiedzieć latem 1926 roku.

Rozpatrzmy oscylator harmoniczny, czyli cząstkę oscylującą wokół minimum energii potencjalnej. Ponieważ każdą funkcję wokół minimum można w przybliżeniu uważać za parabolę, więc jest sens rozważać przypadek kwadratowej, czyli parabolicznej, energii potencjalnej. Rozwiązanie równania Schrödingera daje nam wówczas następujące funkcje falowe.

skrypt Sagemath do generowania obrazka

Są to drgania o różnych dopuszczalnych energiach (nieparzyste wielokrotności wielkości \frac{1}{2}\hbar \omega, gdzie \omega jest częstością kołową naszego oscylatora). Klasycznie biorąc, obszar położony poza przecięciem potencjału z poziomą prostą danej energii całkowitej jest niedostępny; cząstka nie może się tam znaleźć, ponieważ musiałaby mieć ujemną energię kinetyczną. W fizyce kwantowej funkcja falowa rozlewa się poza ten klasycznie dostępny obszar, co jest tzw. zjawiskiem tunelowym. Każdy z tych stanów stacjonarnych ma bardzo prostą zależność od czasu. Należy funkcję z wykresu pomnożyć przez czynnik

\exp(-i\frac{Et}{\hbar})=\exp(-i\omega(n+\frac{1}{2})t).

Znaczy to, że zależność od czasu jest trywialna, nic się w naszej funkcji falowej nie porusza, opisane stany są falami stojącymi. Schrödinger zauważył, jak ze stanów o ustalonej energii zbudować rozwiązanie równania, które opisuje drgania w czasie. W gruncie rzeczy jest to bardzo proste. Chcąc zapoczątkować drgania oscylatora, wystarczy wychylić jego masę z położenia równowagi, a następnie puścić ciężarek, który zacznie wykonywać oscylacje.

Można analogicznie, wziąć funkcję falową stanu podstawowego oscylatora

\Psi_0(x)=C\exp(-\frac{x^2}{2}),

a następnie przesunąć ją do jakiegoś nowego położenia x_0:

\Psi(x)=C\exp(-\frac{(x-x_0)^2}{2}),

Jeśli tę ostatnią funkcję potraktujemy jako warunek początkowy w równaniu Schrödingera, to otrzymamy funkcje opisujące paczkę falową poruszającą się oscylacyjnie wokół położenia równowagi. W pracy Schrödingera („Naturwissenschaften”, 1926) przedstawiona została jej część rzeczywista:

Jest to zdjęcie migawkowe, paczka falowa będzie bowiem oscylować wokół położenia równowagi. Zdaniem Schrödingera ta właśnie fala jest elektronem. Ponieważ ciągle traktował on liczby zespolone jako wypadek przy pracy, więc wziął cząść rzeczywistą rozwiązania.

Wiemy jednak, że rację miał tu Max Born: należy obliczyć kwadrat zespolonego modułu funkcji falowej i jego wielkość określa rozkład prawdopodobieństwa. Otrzymamy wówczas klasyczne drgania rozmytej funkcji falowej.

Wikimedia Commons

Nie jest to jednak elektron, lecz prawdopodobieństwo jego znalezienia w danym miejscu i czasie. Dziś stany takie znane są jako stany koherentne. Przypadek oscylatora jest wyjątkowy: na ogół taka zlokalizowana funkcja falowa rozmywa się w czasie, choć w niektórych przypadkach może się później odbudowywać, jak na poniższym obrazku (chodzi tu o wysokowzbudzone stany atomu wodoru: mogą one przez chwilę przypominać klasyczny elektron na orbicie Bohra, potem ten obraz się rozmywa.

Mamy tu trzydzieści keplerowskich obiegów elektronu zbudowanych ze stanów wokół n=180

Erwin Schrödinger nie pogodził się z kopenhaską interpretacją mechaniki kwantowej, stał się jednym z jej krytyków, podobnie jak Einstein poszukujących innej drogi. Romans z Ithi kontyuowany był w latach berlińskich, w jakimś momencie uczony chciał się nawet z nią ożenić, ale do tego nie doszło. Po roku 1933 nie chciał zostać w nazistowskich Niemczech (co było dość wyjątkowe, ponieważ nie był Żydem i nie musiał rezygnować), wrócił na trochę do Austrii, ale wskutek Anschlussu także Austria stała się brunatna. Jego późniejsze afery uczuciowo-erotyczne stanowiły przeszkodę w objęciu katedr w Oxfordzie i Princeton, ostatecznie znalazł sobie miejsce w katolickiej Irlandii.

Stanisław Ulam (2/2)

Wciąż jest dla mnie źródłem nieustającego zdziwienia, że kilka znaków nagryzmolonych na tablicy lub na kartce papieru może zmienić bieg ludzkich spraw. [S. Ulam]

Każdego roku, od 1936 aż do 1939, Stanisław Ulam spędzał lato w Polsce. Spotykał się ze swoimi matematycznymi przyjaciółmi, w tym Banachem i Mazurem, we Lwowie albo gdzieś w okolicach, gdzie spędzali wakacje. Jego dorobek matematyczny obejmował szereg dziedzin: teorię mnogości, teorię miary i rachunek prawdopodobieństwa, teorię transformacji, teorię grup. Były to na ogół niewielkie prace rozwiązujące lub stawiające jakiś problem. Na uniwersytecie Harvarda we współpracy z Johnem Oxtobym Ulam napisał swoją najdłuższą pracę, opublikowaną następnie w „Annals of Mathematics”, wysoko cenionym piśmie wydawanym w Princeton. Praca dotyczyła teorii ergodycznej. W mechanice klasycznej każdy nietrywialny układ fizyczny wędruje po swojej przestrzeni stanów (in. przestrzeni fazowej) w taki sposób, że wraca kiedyś w sąsiedztwo każdego punktu już odwiedzonego. Fakt ten jest podstawą fizyki statystycznej, w której zakłada się, że wszystkie stany o określonej energii są jednakowo prawdopodobne. Praca Ulama i Oxtoby’ego dowodziła, że przekształcenia spełniające warunek ergodyczności są w pewnym sensie typowe. Uzyskany przez nich wynik nie mógł być wprost zastosowany do fizyki, ale tak jest bardzo często: ścisłe potwierdzenie intuicji fizyków zazwyczaj nie jest łatwe.

Stanisław Ulam łatwo przywykł do amerykańskiego życia i z przyjemnością wracał do niego po wakacjach. Latem 1939 roku zabrał ze sobą młodszego brata, Adama. Na statek w Gdyni odprowadzili ich ojciec i stryj. Widmo wojny wisiało nad Polską, choć, jak zauważył Ulam, zagrożenie to wyraźniej dostrzegano w Stanach Zjednoczonych niż w Polsce, gdzie do ostatniej chwili łudzono się nadziejami na jakiś zwrot dyplomatyczny w zaostrzającym się napięciu. Różnice w sposobie oceny wynikały zapewne nie tylko z dystansu Amerykanów. Do Stanów Zjednoczonych dotarło w ostatnich latach wielu uchodźców z Niemiec, którzy lepiej niż inni rozumieli istotę nazistowskiego reżimu. W Polsce prasa, koła wojskowe i politycy zgodnie uprawiali propagandę w stylu „nie oddamy ani guzika”, co skończyło się klęską nie tylko militarną i polityczną, ale także klęską moralną – kraj był bowiem zupełnie nieprzygotowany do wojny i tysiące, może miliony ludzi, rzuciły się do panicznej i bezładnej ucieczki: jedni na wschód, inni na zachód. Dowódcy niemieccy zdumieni byli łatwością tego zwycięstwa, które po dwu tygodniach było już w zasadzie zupełne.

Dla Stanisława Ulama wojna oznaczała nie tylko lęk o najbliższych i przyjaciół pozostawionych w kraju, ale i obowiązek utrzymywania młodszego brata, który zaczął jesienią studia (z czasem został znanym sowietologiem). Znalezienie płatnej pracy akademickiej nie było łatwe, Ulam musiał zadowolić się uniwersytetem stanu Wisconsin w Madison. Po Harvardzie i Princeton nie było to wymarzonym rozwiązaniem, jednak uczelnia okazała się całkiem przyzwoita, Ulam zaprzyjaźnił się tam z wieloma wykładowcami, nie tylko zresztą z matematykami, ale i z fizykami, ekonomistami. Wygłosił kiedyś zaimprowizowany wykład na zjeździe astronomów (na temat wyboru układu odniesienia, w którym ruch ciał wygląda prościej – była to topologiczna wersja problemu kopernikańskiego). W tym okresie wielu wybitnych uczonych, zwłaszcza pochodzących z Europy, pracowało na mniejszych uczelniach, fala emigracji wywołała bowiem nadmiar szukających pracy akademików. W Madison pracował Eugene Wigner, fizyk i szkolny kolega von Neumanna, przyszły noblista. Na seminaria prowadzone przez Ulama przyjeżdżali do Madison matematycy tej klasy co André Weil, urodzony w Warszawie Samuel Eilenberg czy Paul Erdös, wszyscy oni stali się sławami światowego formatu. Erdös zaprzyjaźnił się z Ulamem i odwiedzał go czasami, rozmowy były jego ulubioną formą pracy matematycznej, z czasem opublikował wspólne prace z kilkuset innymi badaczami. Matematycy obliczają liczbę Erdösa: on sam ma liczbę zero; ci, którzy z nim pracowali, mają liczbę jeden; ci, którzy pracowali z posiadającymi liczbę jeden, mają liczbę dwa itd. Oczywiście, Ulam miał liczbę Erdösa równą jeden. Zabawa ta unaocznia, jak silną rolę odgrywa współpraca nawet w dziedzinie tak z pozoru indywidualnej jak matematyka (choć trzeba też dodać, że Erdös, podobnie jak Ulam, wyjątkowo lubił pracę w towarzystwie innych).

W 1941 roku Ulam otrzymał obywatelstwo amerykańskie i kiedy Stany Zjednoczone przystąpiły do wojny, chciał pracować na rzecz wojska. Dzięki rekomendacji von Neumanna trafił do Los Alamos i Projektu Manhattan jako jeden z niewielu matematyków. Spotkał tam i poznał osobiście wielu fizyków i chemików o głośnych nazwiskach, nigdy chyba w historii nie zgromadzono w jednym miejscu w pracy nad wspólnym projektem tak wielu wybitnych specjalistów. Wielu z nich było emigrantami, których dotychczasowe życie zburzył mniej lub bardziej nazizm. Wśród kierujących projektem byli dwaj znakomici fizycy jądrowi: Hans Bethe i Enrico Fermi. Pierwszy miał babkę Żydówkę, przez co stracił profesurę w Tybindze, drugi miał za żonę Żydówkę i w roku 1938 zmuszony był opuścić Włochy. Ulam obu uczonych bardzo szanował, lecz szczególny respekt budził w nim Fermi – ostatni chyba fizyk będący zarazem eksperymentatorem i teoretykiem. Nie rozstający się z suwakiem logarytmicznym Fermi, który umiał szybko obliczyć każdą potrzebną wielkość, miał też solidne przygotowanie matematyczne i okazało się, że zna np. pracę Oxtoby’ego i Ulama. Dzięki Projektowi Manhattan Stanisław Ulam zaczął pracować z fizykami i tak już miało zostać przez długie lata. Jego talent matematyczny niespodziewanie okazał się przydatny w zagadnieniach z pogranicza inżynierii. Taki przeskok z podstaw matematyki do zagadnień praktycznych byłby niewyobrażalny dla większości matematyków. Ulam trafił do grupy kierowanej przez Edwarda Tellera, jeszcze jednego emigranta z Węgier. Pierwszym zagadnieniem, którym się tam zajął, było oddziaływanie gazu elektronowego z promieniowaniem. Teller uzyskał z rozważań wymiarowych postać równania, chciał aby te rozważania uściślić. Ulam zaproponował własne dość elementarne rozwiązanie, z którego wynikało, że wzór Tellera trzeba uzupełnić współczynnikiem cztery. Niezadowolony Teller zlecił to samo zadanie komuś innemu, kto posługując się znacznie bardziej rozbudowanym aparatem matematycznym, uzyskał dla owego współczynnika liczbowego także wartość zbliżoną do czterech.

Ulam, Richard Feynman i John von Neumann w Los Alamos

Rodzaj talentu matematycznego Stanisława Ulama był nietypowy, jedyny w swoim rodzaju. Posiadał on dar formułowania problemów w sposób jak najprostszy, zachowując jedynie najistotniejsze ich cechy. Wyobrażał sobie przy tym zjawiska, a nie tylko równania, które je opisują. Łatwo też przychodziły mu oszacowania liczbowe, co w Los Alamos było niezwykle ważne – nie chodziło tam przecież o zrozumienie idealnej sytuacji laboratoryjnej, ale o skonstruowanie jak najefektywniejszej bomby. Należało więc wejść w świat rzeczywistych obiektów, kształtów, własności różnych materiałów, współwystępowania rozmaitych zjawisk. Zazwyczaj praca fizyków polega na czymś odwrotnym: szuka się najprostszych i „najczystszych” sytuacji, w których można zmierzyć dane zjawisko.

Po zakończeniu wojny i Projektu Manhattan Stanisław Ulam wrócił do pracy akademickiej. Został profesorem nadzwyczajnym na Uniwersytecie Południowej Kalifornii (USC). Uczelnia okazała się słaba, Los Angeles było miastem trudnym do mieszkania i poruszania się z powodu korków ulicznych. Pewnego dnia Ulam poważnie zachorował, zaczął mieć problemy z mówieniem. Przeprowadzono operację, otwierając czaszkę. Znaleziono ostry stan zapalny, który leczono nowymi wówczas antybiotykami, podawanymi bezpośrednio do wnętrza czaszki. Uczony po pewnym czasie doszedł do siebie, jednak z obawą myślał, czy po tym wszystkim jego umysł wróci do dawnej sprawności. Przekonał się o tym, kiedy odwiedził go Paul Erdös. Zagrali w szachy i Ulam wygrał. Zaczął podejrzewać, że może przyjaciel pozwolił mu wygrać dla podtrzymania go na duchu. Zagrali więc jeszcze raz. Uspokoił się dopiero, kiedy wygrał po raz drugi, a Erdös wyraźnie się tym zirytował.

Nie pozostał na USC długo, tym bardziej że po chorobie wpadł w długi. Otrzymał propozycję pracy w Los Alamos dla armii amerykańskiej. Wprawdzie sławni i wielcy po zakończeniu Projektu Manhattan rozjechali się po różnych ośrodkach, ale laboratorium w Los Alamos zostało i nieoczekiwanie dawało Ulamowi możliwość ciekawej i względnie niezależnej pracy. Problemy, nad którymi tam pracowano, były konkretne, co zdaniem Ulama bardzo się liczyło. Sądził on bowiem, że naprawdę ważne problemy wywodzą się z praktyki, a nie filozoficznych rozważań. Mógł dobierać sobie współpracowników, co było szczególnie ważne wobec jego metody pracy. Polegała ona na tym, że Ulam szkicował możliwości rozwiązania danego zagadnienia, a współpracownicy starali się te pomysły zrealizować. Niewykluczone, że przebyta choroba odebrała Ulamowi czysto techniczną sprawność dokonywania obliczeń czy prowadzenia jakiegoś długiego dowodu. Starał się tego po sobie nie pokazywać. Pozostała mu jednak wyobraźnia i umiejętność dostrzegania bez dowodu, czy twierdzenie jest prawdziwe, czy nie, i w jaki sposób można dążyć do wytyczonego celu. Toteż pracował przede wszystkim nad wytyczaniem kierunków i formułowaniem problemów – co w sumie jest może ważniejsze niż szczegółowe rozwiązania. Przypominał swoim stylem pracy pracującego po przeciwnej stronie Atlantyku Jakowa Zeldowicza.

Dzięki pracy dla armii Ulam należał do pionierów stosowania komputerów. Układając pewien trudny pasjans w okresie rekonwalescencji, zdał sobie sprawę, że bardzo trudno byłoby obliczyć, jakie jest prawdopodobieństwo ułożenia tego pasjansa, łatwo natomiast można by go było modelować za pomocą komputera, który mógłby przeprowadzić wiele prób, dzięki czemu można by empirycznie stwierdzić, jakie jest szukane prawdopodobieństwo. Rozwinięciem tej idei opracowanym we współpracy z von Neumannem i Nickiem Metropolisem są metody Monte Carlo (nazwa zaczerpnięta ze skojarzenia z wujem Ulama, który pożyczał od krewnych pieniądze i następnie przepuszczał je w Monte Carlo). Zamiast np. rozwiązywać równanie różniczkowe, opisujące dyfuzję neutronów z pewnego stanu początkowego, możemy prześledzić losy wielu neutronów i zobaczyć, jakie są charakterystyczne cechy ich rozkładu. Dla pięćdziesięciu cząstek startujących z punktu x=0 tory w błądzeniu przypadkowym mogą być np. takie jak na wykresie.

Po zebraniu pewnej statystyki można znaleźć kształt rozkładu końcowego. Im więcej wykonamy losowań, tym dokładniej będziemy znali rozkład cząstek po danym czasie.

Rozkład uzyskany w tym przypadku jest łatwy do obliczenia analitycznego (jest rozkładem normalnym). Wystarczy jednak nieco zmodyfikować zagadnienie: dodać dwa wymiary, różne kształty i materiały, a problem dyfuzji stanie się bardzo trudny do rozwiązania metodami analitycznymi, choć symulacja komputerowa nadal będzie stosunkowo prosta. Pionierzy tej metody musieli zaczynać kompletnie od zera, rozwiązując np. zagadnienie, jak komputer, który prowadzi obliczenia arytmetyczne na liczbach – a więc otrzymując zawsze ściśle określony i jednoznaczny wynik, może generować liczby losowe. Jak sprawić, aby liczby te podlegały określonemu prawu statystycznemu? Jak sprawdzać uzyskane wyniki itd itp. Metoda Monte Carlo używana jest dziś w wielu dziedzinach od fizyki do finansów i stała się zespołem wyspecjalizowanych praktyk.

Stanisław Ulam odegrał istotną rolę w projekcie bomby wodorowej. Była to idée fixe Tellera: zbudować bombę opartą na procesie syntezy lekkich pierwiastków w cięższe. W przyrodzie procesy takie odbywają się we wnętrzu gwiazd, gdzie panują ogromne temperatury i materia jest bardzo gęsta. Warunki tak ekstremalne potrzebne są do tego, by dodatnio naładowane jądra mogły zbliżyć się do siebie, pokonując odpychanie elektrostatyczne. Dopiero bowiem w odległościach rzędu 10^{-15} m możliwe jest przegrupowanie nukleonów, wskutek czego wyzwala się energia.

Synteza helu z dwóch izotopów wodoru: deuteru i trytu; bomby wykorzystują głównie deuter (rys. Wikipedia)

Warunki takie można by wytworzyć za pomocą wstępnego wybuchu zwykłej bomby atomowej. Edward Teller (jeszcze jeden żydowski emigrant z Węgier) pracował nad pomysłem „superbomby” już w trakcie Projektu Manhattan. Nie zrezygnował z niego także i później. W roku 1950 prezydent Harry Truman podjął decyzję o pracach nad superbombą. Okazało się jednak szybko, że początkowy pomysł Tellera nie nadaje się do realizacji. Udowodnił to Stanisław Ulam ze współpracownikami, potwierdziły zaś obliczenia Ulama i Enrico Fermiego. Także obliczenia komputerowe von Neumanna dawały ten sam wynik. Sytuacja stała się trudna dla Tellera, którego oskarżano, że nakłonił władze polityczne do decyzji, nie mając w ręku żadnej rozsądnej teorii działania superbomby. Koszt przedsięwzięcia był ogromny, rywalizacja z Rosją zawzięta, a więc i stawka projektu bardzo wysoka. Impas przełamał Stanisław Ulam, który zaproponował implozyjny mechanizm działania superbomby. Razem z Tellerem napisali raport, który stał się podstawą amerykańskiego projektu. Bomba została zbudowana, lecz stosunki miedzy Tellerem a Ulamem gwałtownie się oziębiły. Teller nie potrafił prawdopodobnie wybaczyć Ulamowi dwukrotnej porażki prestiżowej. Ulam natomiast uważał, że zainteresowani i tak wiedzą, ile kto jest wart.

Raport Tellera i Ulama został po latach odtajniony, lecz większość z kilkunastu jego stron jest kompletnie pusta. Armia amerykańska najwyraźniej uznała, że wciąż jest za wcześnie na publiczne informowanie o technologii bomb wodorowych. Może to być zresztą także przykład nadmiernej ostrożności wojskowych w kwestiach tajemnic, militarne znaczenie bomb wodorowych nie jest bowiem aż tak wielkie, jak sądzono na początku. Dalsze prace szły raczej nad zmniejszaniem siły rażenia, bo co po wygranej wojnie, skoro zwycięzcy zostaną w niej zabici powiedzmy dziesięć razy, a pokonani – dwadzieścia. Angielszczyzna ma na to zgrabne słówko: overkill (*).

Gian-Carlo Rota charakteryzuje Ulama następująco:

Dopiero po kilku latach zdałem sobie sprawę z tego, co jest prawdziwą profesją Stana Ulama. Wielu z nas, pracujących w Laboratorium i mających z nim styczność, wiedziało, jak bardzo nie lubi on zostawać sam, że wzywa nas o zaskakujących porach, by wybawić go od samotności hotelowego pokoju albo czterech ścian swego gabinetu, kiedy już skończył codzienną rundę rozmów międzymiastowych.

Pewnego dnia zebrałem się na odwagę i zapytałem, czemu stale potrzebuje towarzystwa; odpowiedź, jakiej udzielił była wielce znamienna. „Kiedy jestem sam – zwierzył się – zmuszony jestem przemyśleć różne rzeczy i widzę ich tak wiele, że wolę nie myśleć”. Ujrzałem go wtedy w prawdziwym świetle: ten człowiek, mający na koncie największą liczbę trafnych przypuszczeń w matematyce, który potrafi pokonać inżynierów na ich własnym polu, który w jednej chwili ocenia zdarzenia i ludzi, należy do niemal już doszczętnie wymarłej profesji proroków.

Z mężami Starego Testamentu i wyrocznią delficką dźwigał on ciężkie brzemię natychmiastowego widzenia. I jak wszyscy zawodowi prorocy cierpiał na coś, co Sigmund Freud nazwałby „kompleksem Proteusza”. Wielka szkoda, że wśród pacjentów Freuda nie było żadnych proroków.

W dawnych czasach ciemne orzeczenia Sybilli interpretowane były przez wyszkolonych specjalistów, tak zwanych hermeneutów, których zadaniem było przełożenie kryptycznych fraz na greckie zdania. W przypadku Ulama laboratorium w Los Alamos wynajmowało konsultantów, których zadaniem było wyrażenie jego kryptycznych komunikatów w popsutym żargonie współczesnej matematyki.

Stanisław Ulam zmarł niespodziewanie w wieku 75 lat na atak serca. Jak pisze Françoise Ulam:

mawiał, że „najlepszym rodzajem śmierci jest nagły atak serca lub zastrzelenie przez zazdrosnego męża”. Miał szczęście umrzeć w ten pierwszy sposób, choć myślę, że chyba wolałby ten drugi.

(*) Ulam komentował w roku 1965: „Mam wrażenie, iż to interesujące pojęcie, jakim jest overkill, przez lewicę atakowane jest z powodu marnotrawstwa – jako nieekonomiczne, podczas gdy skrajna prawica popiera je z przyczyn psychologicznych: gdyż daje im poczucie męskości, której brak odczuwają.”

Toczyła się wówczas debata, czy Stany Zjednoczone powinny zgodzić się na zakaz prób jądrowych. Ulam i Teller stali na odmiennych stanowiskach, ilustruje to rysunek Herblocka: „Mądry ojciec zna swoje własne dziecko”.

Stanisław Ulam (1/2)

Wyraz jego twarzy jest zazwyczaj ironiczny i kpiący. W istocie porusza go bardzo wszystko, co jest komiczne. Być może posiada pewien dar rozpoznawania i natychmiastowego wychwytywania śmieszności, nic więc dziwnego, że maluje się to na jego twarzy.
Jego wypowiedzi są bardzo nierówne, czasem poważne, czasem wesołe, ale nigdy nudne. Stara się bawić i rozweselać ludzi, których lubi. Nic, z wyjątkiem nauk ścisłych, nie wydaje mi się aż tak pewne czy oczywiste, by nie dopuszczał możliwości istnienia różnych opinii: sądzi, że na niemal każdy temat można powiedzieć niemal wszystko.
Posiada pewien talent matematyczny i zręczność, które pozwoliły mu zdobyć rozgłos w młodym wieku. Pracując w samotności aż do ukończenia dwudziestu pięciu lat, raczej późno stał się człowiekiem bardziej światowym. Jednak nigdy nie bywa nieuprzejmy, gdyż nie jest szorstki ani surowy. Jeżeli czasem kogoś obrazi, to przez nieuwagę lub niewiedzę.
Jego mowa nie jest gładka ani pełna wdzięku. Kiedy mówi coś miłego, to dlatego, że tak myśli. Cechuje go szczerość i prawdomówność, czasem nieco zbyt wielka, ale nigdy brutalna.
Niecierpliwy i choleryczny, czasami bywa gwałtowny. Bardzo bierze sobie do serca wszystko, co go rani, ale uraza zazwyczaj mija, kiedy da ujście swoim uczuciom. Łatwo na niego wpływać i nim kierować, pod warunkiem, że nie zdaje sobie z tego sprawy.
Niektórzy sądzą, że jest złośliwy, ponieważ bezlitośnie naśmiewa się z pretensjonalnych głupców. W rzeczywistości ma wrażliwe usposobienie, co sprawia, że jego nastrój często się zmienia. Może być jednocześnie wesoły i smutny.
Pan U. zachowuje się zgodnie z następującą zasadą: mówi mnóstwo głupich rzeczy, rzadko je zapisuje i nigdy żadnej z nich nie robi. (przeł. A. Górnicka, przekład nieco poprawiony za oryginałem d’Alemberta)

Autocharakterystykę tę przedstawił (oczywiście po francusku) Stanisław Ulam swojej przyszłej żonie Françoise, dopiero na końcu dodając, że napisał ją Jean Le Rond d’Alembert, jeden ze sławnych fizyków matematycznych XVIII stulecia i autor większości artykułów na temat nauk ścisłych w Wielkiej Encyklopedii Francuskiej.

Czy jest to tylko zabawny zbieg okoliczności, czy też obu uczonych łączy jakieś głębsze powinowactwo? Z pewnością obaj starali się przez całe życie uparcie zachować wolność, d′Alembert przytacza określenie jednego ze swych przyjaciół, że stał się „niewolnikiem swej wolności” – określenie to dobrze pasuje także do Ulama. Wbrew pozorom zachowanie takiej suwerenności poczynań jest w dzisiejszej nauce równie trudne co w XVIII wieku. Stanisław Ulam starał się pracować tak, żeby sprawiało mu to przyjemność, nie lubił presji. Cenił pomysłowość, szybkość rozumowań, nie był z tych, którzy latami rozwijają jakąś jedną metodę czy teorię, choć oczywiście miał swoje ulubione tematy czy sposoby podejścia. W najlepszym sensie tego słowa (pochodzącego od łacińskiego „kochać”) był raczej amatorem niż profesjonalnym uczonym akademickim – co w XX wieku było znacznie rzadsze niż w XVIII.
Już Galileusz pisał przy okazji pewnej uczonej polemiki:

Jeśliby roztrząsanie trudnych problemów było tym samym co przenoszenie ciężarów, czynność, przy której wiele koni przenosi więcej worków ziarna niż jeden koń, zgodziłbym się z tym, że wiele dysput wartych jest więcej niż jedna; ale dysputowanie (discorrere) przypomina bieganie (correre), a nie dźwiganie, toteż jeden koń berberyjski pobiegnie dalej niż sto koni fryzyjskich. (przeł. A. Wasilewska)

W osiemnastowiecznym Paryżu grzechem było mówić głupstwa, a jeszcze większym mówić głupstwa z wysiłkiem. Coś z tej atmosfery przetrwało może w środkowoeuropejskich kawiarniach, w których na początku XX wieku tak chętnie spotykali się artyści i uczeni. Ulam starał się trzymać rzeczy istotnych. Nie słuchał np. dłużej niż dziesięć minut wykładów zaproszonych uczonych, ponieważ jeśli ktoś w ciągu dziesięciu minut nie powiedział nic ciekawego, to zapewne nie będzie miał nic do powiedzenia i potem.

Cechą, która zdecydowanie różni d’Alemberta i Ulama jest stosunek do priorytetu własnych odkryć. Pierwszy zaciekle walczył o pierwszeństwo, drugi natomiast zupełnie się nie wdawał w spory tego rodzaju, uważając je za uwłaczające godności. Paradoksalnie w obu przypadkach – d’Alemberta i Ulama – przyczyną mogła być duma zraniona postępowaniem ludzi, których niezbyt się ceni.

Stanisław Ulam początkowo nie zamierzał zostać matematykiem. W rodzinnym Lwowie uczęszczał do gimnazjum klasycznego. Program nauczania takich szkół, podobny w większości Europy: daleki od problemów świata współczesnego, z naciskiem na historię i naukę martwych języków. Te abstrakcyjne zajęcia kształtować miały przyszłą elitę: urzędników, lekarzy, prawników, uczonych. Były czymś w rodzaju wieloletniej próby i budowały wspólną kulturę absolwentów. Wiemy, że Albert Einstein nie zniósł bezdusznej dyscypliny panującej w gimnazjum monachijskim i rzucił szkołę dwa lata przed maturą. Utalentowanemu językowo Ulamowi nauka przychodziła z łatwością, maturę zdał znakomicie, a greka i łacina towarzyszyły mu przez resztę życia, stanowiąc rodzaj kodu, jakim mógł się porozumiewać z kolegami, którzy przeszli podobną edukację. Uważał zresztą gramatykę łacińską za dobre wprowadzenie do myślenia logicznego.

Jako uczeń interesował się astronomią i fizyką. Ojciec, prawnik, dumny był, że jego nastoletni syn „rozumie” teorię względności, która w latach dwudziestych ubiegłego wieku stała się sensacją daleko wykraczającą poza kręgi naukowe. Młody Ulam zafascynowany też był niektórymi zagadnieniami matematycznymi, np. czy istnieją nieparzyste liczby doskonałe (liczby doskonałe są sumą swoich dzielników właściwych, jak 6=1+2+3. Rozwiązanie nie jest znane do dziś). Nie chciał zostać prawnikiem, w ówczesnej Polsce Żydzi niełatwo zostawali profesorami, więc i kariera naukowa wydawała się utrudniona. Postanowił zapisać się na miejscową politechnikę, z jakichś powodów był to Wydział Ogólny, a nie Elektryczny, który dawał konkretny zawód. Ponieważ młody człowiek nieco nudził się na wykładach dla pierwszego roku, zaczął chodzić na wykłady Kazimierza Kuratowskiego z teorii mnogości. Młody profesor chętnie rozmawiał ze swym studentem, Ulam odprowadzał go do domu i gawędzili o matematyce. Kuratowski, widząc inteligencję swego studenta, podsunął mu do rozwiązania pewne zagadnienie z teorii mnogości. Ulamowi udało się rozwiązać problem i praca została opublikowana w „Fundamenta Mathematicae”, polskim piśmie poświęconym głównie teorii mnogości i będącym czymś w rodzaju organu polskiej szkoły matematycznej. Dopiero jednak po rozwiązaniu drugiego problemu zasugerowanego przez Kuratowskiego Ulam zdecydował się zostać matematykiem, stało się to przed końcem jego pierwszego roku studiów.

Wkrótce poznał też innych matematyków lwowskich i wiele czasu spędzał w ich pokojach na dyskusjach. Później rozmowy te przenosiły się często do kawiarni. Jedna z takich sesji w kawiarni „Szkockiej” ze Stanisławem Mazurem i Stefanem Banachem trwała, jak wspomina Ulam, siedemnaście godzin z przerwami na posiłki. Z rozmów tych pochodził materiał do jego prac, jak też znaczna część jego wiedzy matematycznej. Ulam nigdy nie należał do uczonych, którzy pilnie śledzą postępy w wybranych dziedzinach i wiedzą na ten temat wszystko. Lubił rozpoczynać od zera, nawet gdy przy okazji odkrywał po raz drugi pojęcia czy fakty znane już w literaturze.

Nieformalny sposób uprawiania nauki bardzo odpowiadał towarzyskiemu Ulamowi, który z trudem naginał się do formalnych wymagań i zdawania egzaminów. W 1932 roku jako student został zaproszony do wygłoszenia komunikatu na Kongresie Matematycznym w Zurychu, gdzie spotkał wielu sławnych uczonych, potem jesienią w ciągu kilku tygodni napisał pracę magisterską, w roku następnym doktorat. Miał wtedy dwadzieścia cztery lata i coraz mniejsze szanse na karierę w Polsce. W sąsiednich Niemczech do władzy doszedł Adolf Hitler, bardzo wielu uczonych żydowskiego pochodzenia, w tym matematyków, musiało opuścić Niemcy. Odbywając w 1934 roku podróż po ośrodkach matematycznych Europy, pochłonięty matematyką Stanisław Ulam ledwie zdawał sobie jednak sprawę z tego, co się dzieje w świecie polityki. W roku następnym poznał Johna von Neumanna, który choć tylko kilka lat od niego starszy, był już sławny. Von Neumann, syn budapeszteńskiego bankiera żydowskiego pochodzenia, nie miał złudzeń co do sytuacji w Europie, toteż wyemigrował do Stanów Zjednoczonych, stary kontynent odwiedzając tylko z okazji jakichś konferencji czy spotkań. Obaj uczeni zaprzyjaźnili się. Poza matematyką łączyło ich sporo: dawne Austro-Węgry, kultura żydowska, klasyczne wykształcenie, pewna kosmopolityczna ogłada i dobre wychowanie. Von Neumann cenił ogromną pewność siebie Ulama, a także jego trudny do przewidzenia tok myślenia. Coś podobnego stwierdził też kiedyś na temat Ulama Stefan Banach: że formułuje on problemy w sposób „dziwny” i proponuje też „dziwne” rozwiązania, które często są skuteczne.

Von Neumann sprawił, że zaproszono Stanisława Ulama do Instytutu Badań Zaawansowanych w Princeton, gdzie tworzono coś w rodzaju ziemskiego raju dla uczonych, zaczynając od matematyków i fizyków teoretycznych. Jedną z pierwszych gwiazd tego Instytutu stał się Albert Einstein. Najmłodszym profesorem był tam von Neumann. Ulam należał do grupy młodych badaczy zapraszanych, by mieli okazję popracować wśród uznanych kolegów. Semestr w Princeton zaowocował trzyletnim stypendium na uniwersytecie Harvarda w Society of Fellows, organizacji finansującej dobrze zapowiadających się młodych uczonych.

Erwin Schrödinger: trzeci początek mechaniki kwantowej (1926)

Równanie Schrödingera zasługuje na swoją sławę: dzięki niemu znamy nie tylko budowę atomów, ale i cząsteczek chemicznych czy ciał skondensowanych. Wynikają z niego najprzeróżniejsze własności materii, która nas otacza, a także materii we wszechświecie. Jest więc równaniem niezwykle istotnym tak dla fundamentów fizyki, jak i dla zastosowań.

Autor najsłynniejszego równania dwudziestowiecznej fizyki aż do roku 1926 nie należał do ścisłej czołówki fizyków teoretycznych. Zaledwie osiem lat młodszy od Einsteina, dopiero od 1921 roku zajmował katedrę na uniwersytecie w Zurychu. Studiował w Wiedniu, zbyt późno by zetknąć się osobiście z Ludwigiem Boltzmannem czy Ernstem Machem, choć wpływ obu tych uczonych wciąż dawał się tam odczuć. Fizyki teoretycznej uczył się u Friedricha Hasenöhrla, bliskiego przyjaciela Mariana Smoluchowskiego. Do tej pory niewiele zajmował się teorią kwantową, ponieważ opierała się ona wciąż na bardzo grząskich podstawach, korzystając po trosze z fizyki klasycznej, a po trosze z postulatów kwantowania, wyraźnie z nią sprzecznych. Zwrócił jednak uwagę na pracę Louisa de Broglie na temat fal materii. Postulowała ona, że zarówno fotony, jak i inne cząstki mikroświata mają dualną naturę: zachowują się czasem jak cząstki, a czasem jak fale. Obowiązywał przy tym jeden uniwersalny przelicznik własności cząstkowych: energii E i pędu p na wielkości falowe: częstość (kołową) \omega i liczbę falową k\equiv\frac{2\pi}{\lambda} (\lambda jest długością fali). Współczynnikiem proporcjonalności w obu przypadakch miała być stała Plancka \hbar:

E=\hbar\omega,\,p=\hbar k.

Felix Bloch, wówczas początkujący fizyk, tak wspomina wspólne kolokwia (dziś powiedzielibyśmy raczej seminaria) fizyków z uniwersytetu w Zurychu i z ETH, gdzie najważniejszą postacią był Peter Debye.

Pewnego razu pod koniec kolokwium Debye powiedział coś w tym rodzaju: „Schrödinger nie zajmujesz się teraz żadnym ważnym tematem. Może opowiedziałbyś nam któregoś dnia o tym doktoracie de Broglie’a, który, zdaje się, przyciągnął sporo uwagi”. Więc na jednym z następnych kolokwiów Schrödinger przedstawił cudownie przejrzysty wykład o tym, jak de Broglie wiąże fale z cząstkami i w jaki sposób zdołał on uzyskać reguły kwantyzacji Bohra i Sommerfelda (…) Kiedy skończył, Debye stwierdził od niechcenia, że taki sposób ujęcia jest raczej dziecinny. Jako student Sommerfelda nauczył się, że właściwy sposób podejścia do fal wiedzie przez równanie falowe. Brzmiało to dość trywialnie i na pozór nie zrobiło głębszego wrażenia, ale Schrödinger najwyraźniej wrócił później do tego pomysłu. Zaledwie kilka tygodni później dał następne kolokwium, zaczynając od słów: „Kolega Debye zasugerował, że należy mieć równanie falowe, toteż je znalazłem”. [„Physics Today”, t. 29 (1976), nr 12, s. 23-24]

Najwyraźniej w pierwszej chwili obaj nie zdawali sobie sprawy z wagi tych badań. Erwin Schrödinger dzięki pracom z końca roku 1925 i roku 1926 stał się błyskawicznie jednym z najgłośniejszych fizyków świata. Seria jego artykułów natychmiast zyskała uznanie. Chwalili je Albert Einstein i Arnold Sommerfeld, który wraz ze swymi uczniami rozwijał od lat fizykę kwantową. Napisał do niego sędziwy Hendrik Lorentz, który uważnie śledził nowości i miał parę istotnych uwag. Surowy i poważny Max Planck, profesor najbardziej prestiżowej katedry w Niemczech (co wtedy znaczyło: najbardziej prestiżowej na świecie) – na uniwersytecie w Berlinie, pisał entuzjastycznie do Schrödingera:

Czytam pański artykuł tak, jak ciekawe dziecko, słuchające w napięciu rozwiązania zagadki, nad którą się długo głowiło, i cieszę się bardzo wszystkimi pięknościami, jakie tam dostrzegam, choć muszę go jeszcze dokładniej przestudiować, by wszystko z niego pojąć.

Kiedy w grudniu 1925 roku Schrödinger znalazł swe równanie, był to trzeci początek mechaniki kwantowej albo – jak wolał o tym mówić autor odkrycia – mechaniki falowej. Na pierwszy rzut oka nie miało to nic wspólnego z teorią Heisenberga, Borna, Jordana i Diraca. U Schrödingera nie było żadnych skoków kwantowych, żadnych wielkości macierzowych, nieprzemiennych iloczynów. Język był całkowicie klasyczny – była to matematyka drgań, dobrze już wówczas opracowana. W roku 1924 wyszła dwutomowa monografia Methoden der mathematischen Physik („Metody fizyki matematycznej”) zredagowana przez Richarda Couranta i innych matematyków z Getyngi na podstawie wykładów Davida Hilberta. Zawierała ona wiele materiału, który miał się okazać potrzebny fizykom za kilka lat. Jak na ironię metody Hilberta zastosowali pierwsi nie fizycy z grupy Maksa Borna, pracujący przecież głównie pod bokiem Hilberta w Getyndze, ale Erwin Schrödinger, outsider i naukowy samotnik. Fizycy z Getyngi zlekceważyli nawet wyraźną sugestię Hilberta w jednej z rozmów, że powinni poszukać równania różniczkowego, które opisuje skwantowane wartości energii. Nie próbowali iść tym tropem, przekonani, że ich mechanika kwantowa jest czymś całkowicie nowym i nie może się zawierać w książce sprzed paru lat. Źle przyjęli też pracę Schrödingera, która wydawała się recydywą fizyki klasycznej, odwrotem od kwantowej rewolucji spod sztandaru Heisenberga.

Fizycy klasyczni znali wiele przypadków drgań układów rozciągłych, czyli fal stojących. Są one np. podstawą wytwarzania dźwięku w instrumentach muzycznych takich, jak organy, flet, trąbka czy skrzypce. Wiadomo, że zamocowana na końcach struna drgać może tylko z określonymi ściśle częstościami: podstawową oraz jej wielokrotnościami. Rozważano różne bardziej skomplikowane możliwości, pisaliśmy tu o rówieśniku Einsteina, fizyku z Getyngi, Waltherze Ritzu. Idea Schrödingera polegała na tym, by wartości energii w atomie potraktować analogicznie do częstości dźwięku w pudle rezonansowym, stosując równanie falowe. Ma ono w przypadku trójwymiarowym postać:

\dfrac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2\psi}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2\psi}{\partial z^2}-\dfrac{1}{v^2}\dfrac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\equiv \Delta\psi-\dfrac{1}{v^2}\dfrac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}=0,

gdzie v jest prędkością fal. Jeśli przyjmiemy, że nasze fale są okresowe i mają częstość \omega, możemy rozwiązania zapisać jako

\psi(x,y,z, t)=\psi(x,y,z)e^{\pm i\omega t}.

Drugą pochodna po czasie jest ta sama funkcja wykładnicza pomnożona przez stałą. Wstawiając to do równania falowego, otrzymujemy tzw. równanie Helmholtza (który pod koniec XIX wieku był profesorem w Berlinie):

\Delta \psi+k^2 \psi=0.

W równaniu tym skorzystaliśmy z tego, że \dfrac{\omega}{v}=k. Droga Schrödingera do odkrycia była dość zawikłana. Związki de Broglie’a są relatywistyczne, naturalne wydawało się więc zapisanie równania relatywistycznego. Jednak kiedy spróbujemy je rozwiązać w najprostszym przypadku atomu wodoru, okazuje się, że dopuszczalne energie nie zgadzają się z tym, co wcześniej, w starej teorii kwantów obliczył Sommerfeld i co zgadzało się z doświadczeniem (szczegóły można znaleźć u L. Schiffa, Mechanika kwantowa, s. 409 i n.). Dwa lata później sytuacja się wyjaśniła: potrzebne tu jest równanie Diraca. Dwa lata w tamtej chwili rozwoju fizyki to było więcej niż epoka, Schrödinger znajdował się dopiero u początków tej drogi i nie mógł wiedzieć, co stanie się dalej. Rozsądnie zdecydował się więc na przybliżenie nierelatywistyczne, robiąc niejako krok wstecz w porównaniu do de Broglie’a. Nie pójdziemy tu jego drogą, a właściwie kilkoma różnymi drogami, jakimi próbował uzasadnić swe równanie. Wybierzemy podejście najprostsze zaproponowane pół roku później przez Maksa Borna – musimy jednak pamiętać, że nie jest to wyprowadzenie. Nie można bowiem wyprowadzić praw mechaniki kwantowej z praw klasycznych. Dla cząstki o masie m i całkowitej energii E możemy napisać równanie zachowania energii:

E=\dfrac{\hbar^2 k^2}{2m}+V(x,y,z),

gdzie V jest energią potencjalną (pierwszy składnik to zwykła energia kinetyczna). Jeśli wyznaczymy k^2 z ostatniego równania i wstawimy do równania Helmholtza, otrzymamy tzw. równanie Schrödingera bez czasu:

-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi+V\psi=E\psi.

Chcąc np. opisać ruch elektronu wokół nieruchomego jądra atomowego o ładunku Ze, należy wstawić do równania Schrödingera energię potencjalną postaci

V(r)=-\dfrac{Ze^2}{4\pi \epsilon_0 r},

czyli zwykłą energię potencjalną przyciągania elektrostatycznego dwóch ładunków Ze oraz -e w odległości r. Szukamy takich funkcji \psi(x,y,z), które daleko od jądra zanikają. Okazuje się, że rozwiązania takie są możliwe tylko dla dyskretnych wartości energii równych

E_n=-\dfrac{me^4}{2(4\pi\epsilon_0)^2 \hbar^2}\dfrac{1}{n^2}, \mbox{ gdzie } n=1,2, 3, \ldots.

 Jest to wynik uzyskany w roku 1913 przez Bohra z założeń, które od początku wydawały się aktem rozpaczy, a nie solidną nauką. Równanie Schrödingera miało więc sens, choć nadal brakowało pewnych elementów do kompletnej teorii. Jednym z najważniejszych było znaczenie samej funkcji \psi. Kiedy w piszczałce organowej czy w rurce fletu wytwarzany jest dźwięk, wiemy, co drga – jest to powietrze, które ściśnięte się rozpręża, a rozprężone wraca do początkowej gęstości. Co drga w atomie wodoru? Jakie jest znaczenie funkcji \psi? Co gorsza, okazało się, że powinna ona mieć wartości zespolone, z pewnością nie było to żadne proste drganie klasyczne. Geniusz Schrödingera ujawnił się i w tym, że nie próbował odpowiedzieć na wszystkie pytania naraz i pozwolił swoim ideom rozwijać się w czasie. Publikacje uczonego z pierwszego półrocza 1926 roku wystarczyły na Nagrodę Nobla i objęcie w roku 1927 katedry w Berlinie po odchodzącym na emeryturę Maksie Plancku.

Erwin Schrödinger, człowiek wszechstronnie wykształcony, o szerokich zainteresowaniach, całkowicie zaprzecza ascetycznej wizji uczonego, który nie ma czasu na nic oprócz nauki. Wydaje się wręcz, że jego pomysłowość przy stworzeniu słynnego równania szła w parze z gorączką miłosną. Praca ta powstała w uzdrowisku Arosa, gdzie wybrał się w towarzystwie do dziś nie znanej flamy. Jego małżeństwo należało do nowoczesnych i partnerzy pozostawiali sobie bardzo wielką swobodę. Były przecież lata dwudzieste: kobiety odsłoniły nogi, tańczono charlestona, wszyscy chcieli zapomnieć o koszmarze niedawnej wielkiej wojny.

 

 

 

 

 

Oscylator kwantowy: Paul Dirac i inni (1929-1930)

Mechanika kwantowa wprowadziła rewolucyjnie nowe pojęcie stanu układu fizycznego. Klasycznie stan układu znamy, gdy dane są jego położenie i pęd w pewnej chwili. Na tej podstawie możemy obliczyć przyszłe położenia i pędy (albo i przeszłe – mechanika jest symetryczna wobec zmiany strzałki czasu). Np. znając dziesiejsze położenie i pęd planety, możemy obliczyć, gdzie znajdzie się ona za sto lat albo gdzie była, powiedzmy, w czasach Keplera. Stan układu to punkt w przestrzeni polożeń q i pędów p. Ewolucja w czasie to ruch tego punktu w owej przestrzeni fazowej.

Mechanika kwantowa zastępuje klasyczną na poziomie mikroświata. Zupełnie jednak zmienia się pojęcie stanu układu. Stanem jest teraz nie punkt, lecz wektor, a właściwie cały promień, to znaczy wektor pomnożony przez dowoloną liczbę. Przestrzeń stanów (wektorów) umożliwia dodawanie dwóch stanów. Operacja taka nie miałaby sensu w mechanice klasycznej: bo niby jak mamy dodać do siebie położenie Marsa i położenie Jowisza? Co taka suma miałaby oznaczać? W mechanice kwantowej obowiązuje zasada superpozycji, czyli dodawania stanów.

Wikipedia: Double-slit experiment

Kiedy np. przepuszczamy elektron przez przesłonę z dwiema szczelinami, jego stan kwantowy będzie sumą stanu elektronu, który przeszedł przez szczelinę nr 1 oraz stanu elektronu, który przeszedł przez szczelinę nr 2. Stosując zapis wprowadzony przez Paula Diraca w 1939 roku, możemy to zapisać jako

|\varphi\rangle=| \varphi_1\rangle+| \varphi_2\rangle.

Fizycznie znaczy to, że nasz elektron trochę przeszedł przez szczelinę nr 1, a trochę przez szczelinę nr 2. Jego stan jest superpozycją dwóch stanów. Gdybyśmy chcieli wyznaczyć prawdopodobieństwo, że w jakimś punkcie ekranu x zarejestrujemy nasz elektron, należałoby obliczyć iloczyn skalarny z wektorem przedstawiającym elektron w x:

\langle x | \varphi \rangle=\langle x| \varphi_1\rangle+ \langle x| \varphi_2\rangle.

Zapis Diraca wziął się z rozłożenia nawiasu kątowego na dwie części: nazywa się je wektorem bra i ket (od angielskiego: bracket). Z pomnożenia skalarnego dwóch wektorów otrzymujemy liczbę (prędzej czy później będziemy potrzebowali liczb, jeśli teoria ma coś przewidywać ilościowo). Powyższy zapis Diraca można też zastąpić bardziej konwencjonalnym sumowaniem funkcji:

\varphi(x)=\varphi_1(x)+\varphi_2(x).

Wartość funkcji falowej w danym punkcie x można traktować jako składową wektora \varphi. Zapis Diraca \langle a|b\rangle pozwala nam patrzeć na funkcję jako iloczyn skalarny dwóch wektorów, jeszcze wygodniej jest często operować samymi wektorami stanu: nie precyzujemy wówczas, co chcielibyśmy mierzyć (może np. zamiast położenia, wolelibyśmy pędy – pierwsza forma zapisu  tego nie przesądza.

Mamy zatem abstrakcyjne wektory stanu i iloczyn skalarny. Wartości tego iloczynu skalarnego są na ogół zespolone, inaczej mówiąc, funkcje falowe są zespolone (*). Nie mogą one mieć bezpośredniego sensu fizycznego. Sens taki mają natomiast kwadraty ich modułów: |\varphi(x)|^2 daje nam prawdopodobieństwo zarejestrowania elektronu w punkcie x (dokładniej: gęstość prawdopodobieństwa, bo współrzędna przyjmuje dowolne wartości rzeczywiste). Tam gdzie prawdopodobieństwo jest duże, elektrony będą częściej trafiały, gdy zbierze się dostateczna statystyka, będziemy mogli zaobserwować, że „trafienia” układają się w prążki interferencyjne. Wynik jest taki, jakby dwie fale nakładały się na siebie.

Obrazki powyżej pochodzą z rzeczywistego doświadczenia Akira Tonomury, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 102 (2005) 14952-14959. Liczba elektronów wzrasta od 10 do 140 000, widzimy, jak uwidaczniają się prążki interferencyjne. W doświadczeniu tym elektrony przepuszczane były pojedynczo, wiemy więc, że każdy elektron interferuje niejako sam z sobą, nie jest to skutek jakichś oddziaływań między nimi. Ze względów technicznych doświadczenie to przeprowadzone było stosunkowo niedawno, ale że wynik musi być właśnie taki, zdawali sobie sprawę już pierwsi badacze mechaniki kwantowej: Heisenberg, Born, Jordan, Dirac. W 1927 r. Lester Germer i Clinton Davisson oraz niezależnie George Paget Thomson zaobserwowali dyfrakcję elektronów, za co otrzymali Nagrodę Nobla (G.P. Thomson był synem J.J. Thomsona, który odkrył elektron, mówiono, że ojciec dostał Nagrodę Nobla za odkrycie, iż elektron jest cząstką, a syn – za odkrycie, że elektron jest falą). Oczywiście, elektron (podobnie jak np. foton) jest cząstką, do opisu której musimy stosować mechanikę kwantową.

Tak więc choć dodawanie stanów wydaje się abstrakcyjne, to w istocie jest obserwowane w eksperymentach. Skoro stany są wektorami i można je dodawać oraz mnożyć przez liczbę, to naturalnym rodzajem przekształceń takiej przestrzeni są operatory liniowe, czyli odwzorowania przypisujące każdemu wektorowi |\varphi \rangle jakiś inny wektor: A |\varphi \rangle, przy czym

A(\lambda_1 | \varphi_1\rangle+\lambda_2 |\varphi_2\rangle)=\lambda_1 A |\varphi_1\rangle+\lambda_2 A |\varphi_2\rangle,

gdzie \lambda_1,\lambda_2 są dowolnymi liczbami. Operatory takie w mechanice kwantowej zastępują wielkości fizyczne, które można mierzyć: mamy więc operatory pędu, położenia, energii itd. W jaki sposób formalizm ten pozwala otrzymywać w pewnych sytuacjach skwantowane wartości np. energii? Operator wielkości A działając na pewne odpowiednio wybrane wektory daje bardzo prosty wynik: mnoży wektor wyjściowy przez liczbę. Np.

A |\varphi_a\rangle=a|\varphi_a\rangle,

co zwykle zapisuje się krócej:

A|a\rangle =a|a\rangle.

Litera a oznacza wartość wielkości fizycznej, a więc powinna to być liczba rzeczywista, a przynależny jej stan |a\rangle jest wektorem. Mówi się, że jest to wektor własny, a wartość nazywamy wartością własną. Z doświadczalnego punktu widzenia, gdy układ jest w stanie własnym, to wynikiem pomiaru owej wielkości jest na pewno a. Przestrzeń stanów jest nieskończenie wymiarowa i może zawierać wiele różnych wektorów odpowiadających różnym wartościom własnym. Może się np. okazać, że tylko pewien dyskretny zbiór wartości jest dopuszczalny – i wtedy właśnie wielkość fizyczna się kwantuje.

Pokażemy, jak formalizm ten działa w przypadku oscylatora harmonicznego. Jest to najprostszy niecałkiem trywialny układ, mający zresztą liczne zastosowania: wszystko, co gdzieś drga, można w pierwszym przybliżeniu opisać jako oscylator harmoniczny albo ich zbiór – mogą to być drgania kryształów, atomów w cząsteczkach chemicznych, a nawet fale elektromagnetyczne, które matematycznie są podobne do oscylatorów.

W jednowymiarowym przypadku, gdy masa cząstki oraz częstość oscylatora są jednostkowe, energia ma postać:

E=\frac{1}{2}(p^2+x^2),

jest to więc suma kwadratów pędu i współrzędnej (kwadratowy potencjał odpowiada sile proporcjonalnej do wychylenia z położenia równowagi, jak w przypadku masy na sprężynie). W mechanice kwantowej zastępujemy tę funkcję operatorem Hamiltona (hamiltonianem), który ma postać taką samą, jak klasyczna:

H=\frac{1}{2}(p^2+x^2),

teraz jednak po prawej stronie mamy operatory pędu i położenia. Wiemy o nich od czasów Borna i Jordana oraz Diraca, że są nieprzemienne i spełniają regułę komutacji:

xp-px=i\hbar.

Okazuje się, że wystarczy to do znalezienia wartości energii oscylatora (dla uproszczenia przyjmiemy jednostki \hbar=1). Metoda, którą zastosujemy, przypisywana jest zwykle Paulowi Diracowi, choć w druku pojawiła się po raz pierwszy w książce Maksa Borna i Pascuala Jordana z roku 1930.

Hamiltonian jest sumą kwadratów, możemy więc spróbować rozłożyć go na czynniki. Wprowadzamy dwa nowe operatory:

a=\frac{1}{\sqrt{2}}(x+ip), \; a^{\dag}=\frac{1}{\sqrt{2}}(x-ip).

Gdyby x, p były liczbami rzeczywistymi, iloczyn obu naszych operatorów byłby równy hamiltonianowi. Musimy jednak uwzględnić nieprzemienność mnożenia operatorów:

a^{\dag}a=\frac{1}{2}(x^2+p^2+ixp-ipx)=H-\frac{1}{2}.

W podobny sposób możemy obliczyć iloczyn wzięty w odwrotnej kolejności:

aa^{\dag}=\frac{1}{2}(x^2+p^2-ixp+ipx)=H+\frac{1}{2}.

Odejmując ostatnie dwie równości stronami, otrzymamy

a^{\dag}a-aa^{\dag}=1.

Zbadajmy teraz wartości własne operatora N=a^{\dag}a – muszą one być o \frac{1}{2} mniejsze niż wartości własne operatora H. Jeśli |\lambda\rangle jest wektorem własnym N o wartości \lambda, to mamy

Na|\lambda \rangle=(a^{\dag}a)a|\lambda\rangle=(aa^{\dag}-1)a|\lambda\rangle=(\lambda-1)a|\lambda\rangle.

Oznacza to, że wektor a|\lambda\rangle też jest wektorem własnym N o wartości o 1 mniejszej. Działając kolejny raz operatorem a na tak uzyskany wektor, otrzymamy wektor o wartości własnej mniejszej o 2 itd. Procedura ta musi się jednak zakończyć po skończonej liczbie kroków, ponieważ operator N, tak jak i H, jest ograniczony od dołu. Hamiltonian jest sumą kwadratów i nie może mieć ujemnych wartości własnych, energia każdego układu ograniczona jest od dołu, gdyby tak nie było świat by się zapadł w stany o ujemnej energii. Znaczy to, że istnieje taki wektor |0\rangle, że

a  |0\rangle=0.

Po prawej stronie mamy wektor zerowy, czyli brak jakiegokolwiek stanu. Oczywiście, N |0\rangle=0, czyli wektorowi temu odpowiada zerowa wartość własna. Możemy teraz do tego wektora zastosować operator a^{\dag}, otrzymamy

Na^{\dag}|0\rangle=a^{\dag}aa^{\dag}|0\rangle=a^{\dag}(a^{\dag}a+1)|0\rangle=a^{\dag}|0\rangle,

czyli wektor a^{\dag}|0\rangle ma wartość własną 1. Powtarzając ten zabieg stosowania operatora a^{\dag} wykreujemy stany o wartościach własnych równych kolejnym liczbom naturalnym. Z tego powodu operator a^{\dag} nazywa się operatorem kreacji, a a – operatorem anihilacji. Generują one stany o większej bądź mniejszej wartości N. Zatem wartości własne naszego hamiltonianu równe są

E_n=n+\frac{1}{2}, \mbox{ gdzie  } n=0,1, 2,\ldots.

W zwykłych jednostkach energie wyrażają się przez częstość oscylatora \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}:

E_n=\hbar\omega(n+\frac{1}{2}).

Wynik ten znany był od lat, po raz pierwszy jednak powstał w latach 1925-1926 spójny formalizm pozwalający otrzymać ten i wiele innych rezultatów.

Na obrazku widzimy rezultat zastosowania formalizmu: niebieska linia to kształt potencjału (parabola x^2), linie poziome oznaczają dozwolone wartości energii. Nawet najmniejsza energia musi być dodatnia: oznacza to, że kwantowy oscylator nigdy nie może spoczywać. Gdybyśmy zrobili kwantowe wahadło, musiałoby ono zawsze drgać. Z tego powodu nawet w temperaturze zera bezwględnego atomy w kryształach czy cząsteczkach chemicznych drgają – są to tzw. drgania zerowe.

Wynik dla oscylatora ma konsekwencje fizyczne: już w 1900 r. Max Planck zauważył, że energie te powinny przybierać skwantowane wartości, jeśli chcemy prawidłowo opisać promieniowanie ceieplne. Kilka lat później Albert Einstein wyjaśnił eksperymentalne wyniki dotyczące diamentu właśnie za pomocą tego kwantowania.

Prosty formalizm operatorów kreacji i anihilacji odegrał niezmiernie ważną rolę w rozwoju mechaniki kwantowej, pozwalając zbudować kwantową teorię pola. O jej początkach innym razem.

(*) Iloczyn skalarny dwóch wektorów przypisuje parze wektorów liczbę zespoloną i spełnia następujące aksjomaty:

\langle a| b\rangle=\langle b|a\rangle^{\star}.

\langle a| \lambda b+c\rangle=\langle a| b\rangle+\lambda\langle a| c\rangle.

Iloczyn wektora z samym sobą jest liczbą rzeczywistą nieujemną – kwadratem jego długości, zwanym też normą:

||{a}||^2:=\langle a|a\rangle.