Josef Loschmidt i wielkość cząsteczek powietrza (1865)

Richard Feynman pisał, że gdyby cała obecna nauka miała ulec zniszczeniu w jakimś kataklizmie i można było ocalić tylko jedno zdanie, to powinno ono brzmieć: „Wszystko składa się z atomów – małych cząstek, poruszających się bezładnie, przyciągających się, gdy są od siebie nieco oddalone, odpychających się zaś, gdy je zbytnio ścieśnić”.

Pomysł istnienia takich cząstek, jak i ich nazwę: atomy, czyli „niepodzielne” (a to zaprzeczenie, tomos – cięty, tnący, dzielący się na części, stąd np. określenia anatomia i tomografia) zawdzięczamy starożytnym Grekom Leucypowi i Demokrytowi. Rzeczy zbudowane są z atomów jak słowa z liter. Pisma atomistów były już w starożytności atakowane za wizję świata bez bogów, poddanego tylko konieczności. Istniała w nim tylko materia, nawet dusze, czyli zasady ruchu, miały być bowiem materialne.

Żyjący w I w. p.n.e. Rzymianin Lukrecjusz opisał tę wizję w długim i dydaktycznym, i o dziwo poetycko wybitnym, poemacie heksametrem. Lukrecjusz był epikurejczykiem, a więc nie tylko atomistą, lecz także wyznawcą etyki opartej na wartościach doczesnych – bogowie nie zajmują się bowiem ludźmi, a ci powinni sami zadbać o swe szczęście, żyć tak, by o ile to możliwe szukać przyjemności i unikać cierpienia. Etyka epikurejska była rozsądna i wyważona, obce im było wszelkie zatracanie się w pogoni za szczęściem, jak i nadużycia zmysłowe. Ceniono natomiast proste przyjemności i czystą radość życia. Atomizm, objaśniając funkcjonowanie świata, miał dopomóc ludziom w uwolnieniu się od lęku przed śmiercią, zemstą bogów i wizją wiecznego cierpienia po śmierci. Z tego względu już w starożytności epikureizm uznawano za filozofię bezbożną.

Kanoniczny obraz atomizmu to drobinki pyłu wirujące w smudze światła słonecznego. W mikroskali tak miały wyglądać wszystkie zjawiska: wiecznie poruszające się i zderzające atomy. Niezmienność ukryta pod zmieniającą się powierzchnią zjawisk.

Bo spojrzyj jeno, gdy promienie słonecznego światła wedrą się i rozleją po mrocznym domostwie! Zobaczysz w tym promiennym snopie wiele maleńkich ciałek, mieszających się w próżni na wiele sposobów. Jakoby w wiekuistej wojnie staczają potyczki i bitwy, walczą całymi hufcami bez chwili spoczynku, w utrapieniu ustawicznych skupień i rozłączeń. Z tego więc możesz zmiarkować, jak wygląda wieczne miotanie się zarodków rzeczy w ogromie próżni, o ile mała rzecz może dać przykład i tropy poznania wielkich. A jeszcze z tego powodu winieneś zwrócić baczniejszą uwagę na owe ciałka, co wichrzą dostrzegalnie w promieniach słonecznych, że takie wichrzenia zdradzają nadto istnienie tajnych i niewidocznych ruchów materii. Zobaczysz tam bowiem, że wiele ciałek, podrażnionych niewidzialnymi ciosami, zmienia drogę i w tył zawraca po odepchnięciu, to tu to tam, na wszystkie zewsząd strony. (Lukrecjusz, ks. II, przeł. A. Krokiewicz) (*)

Po Rzymianach rzeczywiście wydarzył się kataklizm: starożytna cywilizacja upadła, o atomistach wiedziano niewiele więcej niż to, że Arystoteles ich zwalczał. Ich pisma przepadły. Półtora tysiąca lat później, w 1417 r., osobliwy poemat Lukrecjusza odnalazł humanista i „łowca rękopisów”, papieski sekretarz, Poggio Bracciolini, prawdopodobnie w alzackim klasztorze w Murbach, gdzie dobrzy mnisi nie bardzo rozumieli, co za tekst przechowują na półkach. Przez następne wieki poemat był wielokrotnie wydawany i tłumaczony na języki narodowe, w tym na język angielski po raz pierwszy w XVII wieku. Atomizm nadal wzbudzał lęk: zderzające się atomy trudno było pogodzić z Opatrznością, choć niektórzy uczeni, jak Isaac Newton, potrafili zbudować jakąś chwiejną syntezę obu koncepcji. Jego Bóg był jednak surowym Pantokratorem, Wszechwładnym Ojcem, nie znoszącym sprzeciwu.

Benjamin Franklin, bystry i zaradny drukarz z Filadelfii, jeden z ojców założycieli Stanów Zjednoczonych, nie był zawodowym uczonym, nigdy nie miał takich ambicji. Ze swoim sposobem uprawiania nauki mieścił się zresztą znakomicie w tradycji Towarzystwa Królewskiego, które od samego początku zrzeszało przede wszystkim hobbystów i amatorów: lekarzy, pastorów, wiejskich dżentelmenów, podróżników (co zresztą nie przeszkadzało niektórym z nich dokonać ważnych odkryć).

Interesował się on legendarnym zjawiskiem uśmierzania fal przez rozlewanie oleju i poczynił w związku z tym pewne obserwacje. Wyniki doświadczeń Franklina przedstawione zostały w listach wymienianych między nim a medykiem Williamem Brownriggiem oraz wielebnym Farishem, opublikowanych w „Philosophical Transactions”. Po opisaniu swych wcześniejszych obserwacji podczas podróży morskich Franklin relacjonuje:

Będąc w Clapham, gdzie na wspólnych gruntach znajduje się duży staw, i widząc pewnego dnia, iż jego powierzchnia jest bardzo wzburzona wiatrem, przyniosłem ampułkę oleju i wylałem go trochę na wodę. Widziałem, jak rozprzestrzenia się on ze zdumiewającą szybkością po powierzchni; lecz efekt uspokojenia fal nie powstał, gdyż zastosowałem go początkowo po nawietrznej stronie stawu, gdzie fale były największe i wiatr zwiewał mój olej z powrotem na brzeg. Następnie przeszedłem na stronę zawietrzną, gdzie [fale] się tworzyły, i tam olej, w ilości nie większej niż łyżeczka do herbaty, spowodował natychmiastowe uspokojenie na obszarze wielu jardów kwadratowych; poszerzało się ono stopniowo w zadziwiający sposób, aż dotarło do przeciwnego brzegu, czyniąc jedną czwartą stawu, jakieś pół akra, gładką jak zwierciadło.

Franklin zwrócił uwagę na zdumiewająco wielką powierzchnię plamy oleju na wodzie.

Jeśli upuścić kroplę oleju na gładki marmurowy stół czy na zwierciadło, kropla pozostanie na swoim miejscu, tylko nieznacznie się rozszerzając. Lecz gdy upuścić ją na wodę, rozprzestrzenia się na wiele stóp dookoła i staje się tak cienka, że na znacznym obszarze wytwarza barwy pryzmatyczne, a jeszcze dalej staje się tak cienka, że aż niewidoczna, prócz efektu wygładzania fal na znacznie większych odległościach. Wydaje się, że wzajemne odpychanie cząsteczek pojawia się, kiedy tylko dotkną one wody, i że jest ono tak silne, iż działa także na inne ciała znajdujące się na powierzchni, takie jak słomki, liście, wióry itp., zmuszając je do ustąpienia ze wszystkich stron wokół kropli niczym centrum i pozostawiając duży pusty obszar.

Te obserwacje z roku 1773 zostały podjęte po przeszło stu latach przez wybitnego fizyka brytyjskiego lorda Rayleigha, w celu oszacowania rozmiarów cząsteczek oleju. Jeśli przyjąć, że zgodnie z tym, co spostrzegł Franklin, 2 cm3 oleju rozprzestrzeniają się na powierzchni pół akra, czyli 2000 m2, otrzymujemy grubość warstwy równą 1 nm. Wiemy obecnie, że olej tworzy na wodzie warstwę o grubości jednej cząsteczki, więc dane te pozwalają oszacować jej rozmiary. Amerykanin nie wykonał jednak tego rachunku, zadowolił się samą obserwacją.

Atomy zaczęły odgrywać bardziej konkretną rolę dzięki chemii Johna Daltona. W drugiej połowie XIX wieku fizycy tacy, jak James Clerk Maxwell i Rudolf Clausius, zauważyli, że obraz zderzających się molekuł można rozwinąć w teorię kinetyczną gazów. Ciśnienie gazu było objaśniane bombardowaniem ścianek naczynia przez jego cząsteczki poruszające się z ogromnymi prędkościami (rzędu prędkości dźwięku w danym gazie). Teoria ta dawała też zaskakujący wynik: otóż lepkość gazu miała być niezależna od jego gęstości. Maxwell z pomocą żony przeprowadził odpowiednie pomiary, które potwierdziły teorię. Znając lepkość, można było obliczyć średnią drogę swobodną cząsteczek. W powietrzu w warunkach normalnych wynosiła ona wg Maxwella \lambda=620 \mbox{ nm} .

Pierwszym fizykiem, który wyznaczył wielkość cząsteczek powietrza, był Josef Loschmidt. Urodzony w 1821 r. niedaleko Karlsbadu (dziś Karlovy Vary) w rodzinie chłopskiej, przeszedł długą i nieoczywistą drogę do działalności naukowej, pracował nad zagadnieniami z pogranicza matematyki i psychologii, skończył studia politechniczne w Wiedniu, założył własną firmę, zbankrutował, potem był nauczycielem i dopiero w 1866 r., a więc dobrze po czterdziestce, zaczął uczyć na Uniwersytecie Wiedeńskim, zrobił doktorat i został profesorem. Z młodym Ludwigiem Boltzmannem chodzili na koncerty i spierali się o Eroikę Beethovena.

Praca dotycząca wielkości cząsteczek była pionierska, do dziś mówi się czasem o liczbie Loschmidta (liczba cząsteczek gazu w 1 cm3 w warunkach normalnych), choć sam uczony nie podał jej wartości w swej pracy. Znany był związek między koncentracją n, drogą swobodną \lambda oraz przekrojem czynnym cząsteczek \sigma:

n\sigma \lambda=\dfrac{1}{\sqrt{2}}. \mbox{ (**)}

Zakładając, że cząsteczki są kuliste o średnicy s, przekrój czynny zapisać można jako pole powierzchni koła o  średnicy 2s (cząsteczki zderzają się, gdy ich środki są w odległości s od siebie). Nie znamy koncentracji ani promienia, potrzebne jest więc jeszcze jedno równanie. Loschmidt przyjął, że w stanie ciekłym cząsteczki upakowane są ciasno, a więc porównując objętość grama cieczy do objętości gazu, możemy określić, jaką część \varepsilon objętości gazu zajmują cząsteczki. Mamy więc

\varepsilon=n \dfrac{\pi s^3}{6}.

Wyznaczając z obu równań s, otrzymujemy

s=6\sqrt{2}\varepsilon \lambda.

W przypadku powietrza, które nie było jeszcze wtedy skroplone (Wróblewski, Olszewski 1883 r.), Loschmidt wyznaczył wartość \varepsilon pośrednio, uzyskując 0,000866 zamiast 0,0014. Wyznaczona przez niego średnica cząsteczki równa była około 1 nm, a więc nieco za dużo. Drugą nieznaną wielkością w tym układzie równań jest koncentracja powietrza w warunkach normalnych, czyli właśnie liczba Loschmidta.

Ludwig Boltzmann po śmierci przyjaciela wygłosił wspomnienie o nim. Znalazły się w nim słowa:

Ciało Loschmidta rozpadło się już na atomy: na ile konkretnie atomów – możemy obliczyć, korzystając z ustanowionych przez niego zasad. I aby w przemówieniu dotyczącym fizyka eksperymentatora, nie obyło się bez pokazu, poprosiłem, by napisano tę liczbę na tablicy: 10^{25}. (***)

Sprawa istnienia atomów nie była wszakże wtedy przesądzona. Boltzmann wierzył w ich istnienie, ale Ernst Mach, fizyk i filozof z tego samego uniwersytetu w nie nie wierzył. Dopiero doświadczenia Jeana Perrina przypieczętowały tę kwestię już w XX wieku.

(*) W przekładzie wierszowanym fragment ten brzmi następująco:

Przypatrz się bowiem promieniom słonecznym, kiedy wtargnęły

Do domu i rozlewają światło po ciemnych zakątkach:

Zobaczysz w strumieniu światła bez liku drobniutkich pyłków,

Które mieszają się z sobą w próżni na wiele sposobów;

I jakby ścierał się zastęp z zastępem w wieczystej wojnie,

Wiodąc potyczki i bitwy bez jednej chwili wytchnienia,

Tak one na przemian ciągle to schodzą się, to rozchodzą;

Gdyś widział to, możesz sobie przedstawić, jak w wielkiej próżni

Miotają się bez żadnego przestanku zarodki rzeczy –

O ile rzecz drobna może wystarczyć za podobiznę

Rzeczy ogromnych i wskazać drogę do ich zrozumienia.

Z jednego jeszcze powodu winieneś zwrócić uwagę

Na pyłki, które widomie się kłębią w promieniach słońca:

Ich pomieszanie oznacza, że również wewnątrz materii

Istnieją ruchy, tajemne dla oczu, niedostrzegalne.

Zobaczysz, że wiele pyłków, niedostrzegalnie rażonych,

Odmienia drogę, że wiele pchniętych do tyłu zawraca,

Pędzą to w jedną, to w drugą stronę, we wszystkich kierunkach.

(przeł. G. Żurek, T. Lucretius Carus, O naturze rzeczy, ks. II, w. 113-141)

(**) Sens tego równania jest bardzo prosty: cząsteczka poruszając się, zakreśla w ruchu miedzy zderzeniami walec o objętości \sigma\lambda , średnia liczba cząsteczke w takim walcu równa jest n\sigma\lambda i powinna być rzędu jedności, dokładny współczynnik dają ściślejsze rozważania, nb. Loschmidt użył w tym miejscu współczynnika \frac{3}{4} wynikającego z pracy Clausiusa.

(***) Ciało ludzkie liczy jakieś 7\cdot 10^{27} atomów. Boltzmann nie był tu zbyt precyzyjny.

 

Jak Max Planck nie dostał Nagrody Nobla (1908)

Pisałem jakiś czas temu, w jaki sposób Max Planck na dwa tygodnie przed końcem XIX stulecia wyprowadził ważny wzór opisujący promieniowanie termiczne (dokładnie: ciała doskonale czarnego). On sam uważał słusznie, iż to jego najważniejsza praca. Dziś patrzymy na nią jako na pierwszą pracę kwantową, a więc wstęp do najważniejszej dziedziny fizyki w XX wieku. Jednak w roku 1908 widziano to zupełnie inaczej i Planck nie otrzymał Nagrody Nobla właśnie z powodu kwantów. Chciano mu ją wówczas przyznać z zupełnie innych powodów, choć za tę samą pracę.

Nagroda Nobla zawsze była do pewnego stopnia wynikiem wewnętrznych zakulisowych dyskusji, a nawet intryg, wśród uczonych szwedzkich. I w sumie dobrze o nich świadczy fakt, że tak rzadko trafiała ona w niepowołane ręce. W roku 1908 ogromny wpływ na nagrody w dziedzinie chemii i fizyki miał Svante Arrhenius, wybitny fizykochemik, który chciał podkreślić wagę istnienia atomów. Nie był to jeszcze wówczas fakt zupełnie bezsporny, choć główna batalia już się rozegrała: w roku 1905 i 1906 Albert Einstein i Marian Smoluchowski opracowali teorię ruchów Browna, a w roku 1908 Jean Perrin przeprowadził już wiele doświadczeń potwierdzających ową teorię (wyznaczając przy okazji liczbę Avogadro). Trudno byłoby podać jakiekolwiek inne wyjaśnienie tego zjawiska. Arrhenius myślał jednak o czym innym, Perrin został nagrodzony dużo później. Ernest Rutherford i Hans Geiger wykazali, że cząstki α emitowane przez niektóre substancje promieniotwórcze mają masę atomu helu i dodatni ładunek dwa razy większy niż ładunek elektronu (ujemny). Wciąż nie bardzo było wiadomo, jak wyglądają atomy, ale fakt, że ładunki cząstek były wielokrotnością ładunku elementarnego, silnie przemawiał za jakąś formą atomizmu. Także z pracy Maksa Plancka wynikała ta sama wartość ładunku elementarnego – była ona zresztą dokładniejsza niż ta wynikająca z pomiarów Rutherforda. Ta sama wartość wynikająca z pomiarów w tak odległych od siebie dziedzinach, jak promieniotwórczość i promieniowanie termiczne, była silnym argumentem za istnieniem ładunku elementarnego (także bezpośrednie pomiary ładunku elektronu dawały mniej więcej to samo).

W jaki sposób z prawa Plancka wynika ładunek elementarny? Do prawa Plancka wchodzą dwie stałe, oznaczane k i h – pierwszą nazywamy dziś stałą Boltzmanna, drugą – stałą Plancka. Otóż Planck pokazał, że stała k to nic innego niż stała gazowa R podzielona przez liczbę Avogadro N:

k=\dfrac{R}{N},

ponieważ stała gazowa była dokładnie znana, można było wyznaczy liczbę Avogadro, czyli najważniejszą stałą atomową. Dla przypomnienia: jest to liczba atomów w gramoatomie, znając N, natychmiast można obliczyć, ile waży który atom. W dodatku jeśli podzielić stałą Faradaya, znaną z elektrolizy, przez N, otrzymuje się wielkość ładunku elementarnego.

Arrhenius musiał przy okazji wykonać trochę logicznej ekwilibrystyki, gdyż chciał, aby nagrodę z chemii dostał Rutherford, a z fizyki jedynie Planck. Pierwsza połowa planu się powiodła, co Rutherford skomentował, że obserwował różne przemiany atomów, ale żadna nie nastąpiła tak szybko jak jego przemiana z fizyka w chemika (statystycznie rzecz biorąc, było wszystko w porządku, bo w poprzednich latach małżonkowie Curie dostali nagrodę z fizyki za głównie chemiczną pracę wyodrębnienia nowych pierwiastków).

Druga połowa planu się nie powiodła. Po pierwsze wysuwano argument, iż praca Plancka byłaby niemożliwa bez dokładnych pomiarów. I była to szczera prawda. Planck znalazł ścisły wzór opisujący bardzo dokładne pomiary kolegów. Najpierw w roku 1899 Ernst Pringsheim i Otto Lummer zauważyli, że promieniowanie obserwowane w podczerwieni odbiega od tzw. prawa Wiena, przez jakiś czas uważanego za ścisłe. Było ono połączeniem pewnego rozumowania ze zgadywaniem, co jest kombinacją wcale w nauce nierzadką.

lummer_prings

Potem, w roku 1900, Heinrich Rubens i Ferdinand Kurlbaum zmierzyli jeszcze wyraźniejsze odstępstwa od prawa Wiena i od tej chwili Planck miał nad czym myśleć.

RubensKurlbaum

Wykres przedstawia natężenie promieniowania w zależności od temperatury przy długości fali 24 μm, a więc daleko w podczerwieni, autorzy przesunęli granicę możliwości aż do 60 μm, co było poważnym osiągnięciem. Linia ciągła to wzór Plancka, kółka to punkty doświadczalne.

Oczywiście wyprowadzenie prawdziwej i fundamentalnej zależności warte jest Nagrody Nobla, choć można się zastanawiać, czy nie powinna ona przypaść także niektórym przynajmniej z eksperymentatorów wykonujących te pomiary.

Pojawił się także drugi argument przeciwko Planckowi, i on ostatecznie przeważył. Wiosną roku 1908 na kongresie matematyków w Rzymie wystąpił Hendrik Antoon Lorentz, najbardziej szanowany fizyk-teoretyk Europy, i wykazał, że ze znanej fizyki nie może wynikać wzór Plancka. Fizyka, dziś nazywana klasyczną, przewiduje bowiem dla promieniowania to, co przedstawia czarna linia na poniższym wykresie.

Black_body

Jest to tzw. prawo Rayleigha-Jeansa, które przewiduje, że ilość promieniowania dla każdej częstości powinna rosnąć proporcjonalnie do temperatury bezwzględnej (na wykresie wyżej widać, że prawo Rayleigha wyraźnie odbiega od danych Rubensa i Kurlbauma). Ponadto przewiduje ono, że im wyższa częstość, tym silniejsze powinno być promieniowanie: każdy piecyk byłby źródłem zabójczego promieniowania rentgenowskiego i gamma, co jest oczywiście bez sensu i otrzymało nazwę katastrofy w nadfiolecie. Lorentz wykazał szczegółowo to, co trzy lata wcześniej napisał Einstein: że z fizyki klasycznej wynika prawo Rayleigha, które jest absurdalne. Einstein jednak dopiero debiutował, Lorentza natomiast usłyszeli wszyscy. Jasne się stało wszem wobec, że druga stała wprowadzona przez Plancka w jakiś tajemny sposób pozwala uniknąć katastrofy w nadfiolecie. Dzieje się tak, ponieważ Planck uznał, że energię należy do celów rachunkowych podzielić na porcje o wielkości h\nu, gdzie \nu jest częstością. W zasadzie Planck traktował to jak pewien wybieg formalny. W sumie jego praca była prawidłowa, ale on sam nie wiedział dlaczego. Jedynie Einstein rozumiał to lepiej, ale choć zaczęto już słuchać, co mówi, nikt nie dawał się jeszcze przekonać. Był urzędnikiem biura patentowego i w tych latach jedynym prawdziwym zwolennikiem teorii kwantowej, zastanawiając się nad kwestiami, które koledzy mieli zrozumieć dopiero za kilka lat.

Na konferencji w Rzymie był także matematyk Gösta Mittag-Leffler, który dowiedział się, że teoria Plancka bynajmniej nie jest pewna, wprowadza bowiem jakieś kwanty energii h\nu. Wrócił z tym do Szwecji i sprawa nagrody dla Maksa Plancka upadła. Otrzymał ją dziesięć lat później właśnie za kwantowanie. A w roku 1908 wygrał kandydat popierany przez Francuzów, Gabriel Lippmann, który wynalazł system fotografii barwnej, pomysłowy, lecz zupełnie niepraktyczny i nigdy na szerszą skalę nie zastosowany. Lippmann był już od dwudziestu lat członkiem Akademii Nauk (do której Maria Skłodowska-Curie nigdy nie weszła) i pozostawił po sobie np. takie zdjęcie papugi.Parrot_photo_made_by_Gabriel_Lippmann_in_1891

Lord Rayleigh i błękit nieba, 1871

John William Strutt, pierworodny syn barona Rayleigha i dziedzic tytułu, był słabego zdrowia. Nie chodził z tego powodu regularnie do żadnej szkoły, uczył się prywatnie, co chyba mu wyszło na dobre. Studiował w Trinity College w Cambridge i tam w ciągu kilku lat okazało się, że ma talent do matematyki. Z czasem został jednym z najwszechstronniejszych fizyków swoich czasów. Zajmował się wieloma dziedzinami, szczególnie upodobał sobie zjawiska związane z falami różnego rodzaju. Prowadził też eksperymenty, jego największym osiągnięciem było odkrycie argonu, za które uzyskał Nagrodę Nobla w roku 1904, rok po małżonkach Curie. Skromnie opisuje to odkrycie jako rezultat dokładności swoich eksperymentów: argon uzyskany z powietrza i argon uzyskany drogą chemiczną różniły się nieco gęstością. Rayleigh zaczął badać wszystkie możliwe powody tej różnicy i odkrył nowy składnik powietrza, którego istnienia nikt nie podejrzewał.
Prace Rayleigha są znakomicie i przejrzyście napisane, w zbiorowym wydaniu zajmują sześć tomów z pewnością nie dlatego, by autor mnożył je ponad potrzebę, jak to często zdarza się dzisiaj. Zajmiemy się tu tylko jednym tematem badanym przez Rayleigha: rozpraszaniem światła w atmosferze. Bezchmurne niebo jest głęboko błękitne, mimo że powietrze jest przecież oświetlone białym światłem słonecznym. Z punktu widzenia fizyka oznacza to, że światło niebieskie łatwiej jest rozpraszane niż inne barwy. Z tego samego powodu zachodzące słońce jest czerwone: bo światło przechodzi wówczas przez grubszą warstwę atmosfery i światło niebieskie zostało rozproszone na boki – dociera do nas czerwone. Całe piękno wschodów i zachodów słońca sprowadza się więc do zrozumienia, czemu jedne barwy są łatwiej rozpraszane niż inne.

widok z gierlacha
Rozpraszanie światła polega na tym, że padająca fala pobudza do drgań elektrony w cząsteczkach powietrza. Drganiom cząstek naładowanych towarzyszy zawsze powstawanie fali elektromagnetycznej (elektrony drgają w antenie i obwodach naszego telefonu komórkowego, gdy pracuje). Fala ta rozchodzi się we wszystkich kierunkach: w rezultacie część energii fali padającej jest rozpraszana na boki. Gdyby takiego rozproszenia nie było, widzielibyśmy oślepiające słońce na tle czarnego nieba. Dlaczego rozpraszanie zależy od barwy? Barwy światła związane są z długością fali. Fiolet i błękit mają najmniejszą długość fali, pomarańczowy i czerwień – największą. Wyobraźmy sobie falę elektromagnetyczną biegnącą w ośrodku, którego cząstki są znacznie mniejsze niż długość fali. Sytuację przedstawia rysunek: mamy tu falę świetlną wysłaną przez słońce przedstawioną w różnych punktach przestrzeni w jakiejś jednej chwili.

fala

Dwie „cząsteczki powietrza” są mniejsze niż długość fali. Oznacza to, że w każdej z nich pole elektryczne padającej fali jest praktycznie jednakowe. Wobec tego elektrony w naszych „cząsteczkach powietrza” będą drgać zgodnie – a więc wytwarzane przez nie fale będą się dodawać. Gdybyśmy obserwowali falę wytworzoną przez jedną „cząsteczkę powietrza” w pewnej odległości r od tej cząsteczki, to amplituda fali wytworzonej powinna być proporcjonalna do amplitudy fali padającej: dwa razy większa fala wywoła dwa razy większe drgania elektronów. Powinna także maleć odwrotnie proporcjonalnie do r (wszystkie fale w trójwymiarowej przestrzeni tak się zachowują). Amplituda ta powinna też być proporcjonalna do objętości V naszej cząstki powietrza: bo przy dwa razy większej objętości, będzie tam dwa razy więcej elektronów. Mamy jeszcze trzecią wielkość o wymiarze odległości: długość fali λ. Ponieważ stosunek obu amplitud musi być bezwymiarowy, więc jedyną możliwą kombinacją tych wielkości jest

\frac{A_{rozpr}}{A_{pad}}\sim \frac{V}{\lambda^2 r}.

Natężenie fali, czyli np. przenoszona przez nią energia, jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy, zatem natężenia będą odwrotnie proporcjonalne do czwartej potęgi długości fali – jest to bardzo silna zależność i to właśnie widzimy na niebie. Na wykresie widzimy zależność natężenia światła słonecznego od długości fali (krzywa niebieska) i tę samą zależność przefiltrowaną przez rozpraszanie Rayleigha (krzywa czerwona, jednostki na skali pionowej nie mają znaczenia, długości fal są w nm).

rayleigh

Widzimy, że światło o krótkich falach (niebieskie) jest rozpraszane znacznie silniej. Wrażenie barwne zależy jeszcze od wrażliwości oka na różne barwy i mechanizmu samego widzenia barwnego. Na siatkówce mamy trzy rodzaje pręcików wrażliwych na trzy różne obszary widma. To, co widzimy, jest wynikiem współdziałania tych trzech rodzajów pręcików. Nasze oczy nie są dobrym spektrometrem, ponieważ różne rozkłady natężeń mogą prowadzić do tego samego wrażenia – a więc koloru, jaki widzimy. Doświadczenia takie prowadził zresztą lord Rayleigh, który pokazał, że ustalona proporcja światła czerwonego i zielonego daje to samo wrażenie co światło żółte. W przypadku nieba wrażenie barwne jest takie samo, jak dla mieszanki monochromatycznego błękitu o długości fali 475 nm z bielą widmową.

Okazało się zresztą, że z dwóch krzywych na wykresie trudniej zrozumieć tę niebieską, czyli widmo słoneczne – jest to bowiem promieniowanie termiczne, zależne jedynie od temperatury. Zgodnie z fizyką klasyczną każdy rodzaj drgań pola elektromagnetycznego powinien mieć taką samą energię proporcjonalną do temperatury (kT). A ponieważ im krótsza fala, tym więcej rodzajów drgań, więc promieniowanie termiczne powinno „wybuchać” dla krótkich długości fali, co jest jawnym nonsensem. Trudność tę zauważył lord Rayleigh w roku 1900 i próbował zaproponować jakieś rozwiązanie ad hoc. Prawidłowym rozwiązaniem był wzór Plancka, i szerzej cała fizyka kwantowa.

Dodatek dla wymagających

Trochę inne uzasadnienie zależności \lambda^{-4} wygląda następująco: elektrony w ośrodku w każdej chwili znajdują się w chwilowym położeniu równowagi, tzn. ich wychylenie z położenia równowagi jest w każdej chwili proporcjonalne do chwilowej wartości pola elektrycznego E (przybliżenie adiabatyczne: drgania elektromagnetyczne są stosunkowo powolne). Amplituda emitowanej fali jest proporcjonalna do przyspieszenia elektronu, zatem w ruchu harmonicznym o częstości kołowej \omega jest proporcjonalna do \omega^2 E. Natężenie zaś jest kwadratem amplitudy.

Lord Rayleigh nie ograniczył się oczywiście do argumentu wymiarowego, lecz w roku 1899 podał niezwykle elegancki wzór na współczynnik tłumienia światła, gdy mamy N cząsteczek chaotycznie rozmieszczonych w jednostce objętości:

h=\frac{32\pi^3 (n-1)^2}{3N\lambda^4}

gdzie n jest współczynnikiem załamania gazu. Wzór ten można wyprowadzić nawet w teorii sprężystego eteru. Wynika on także z rozważań w Wykładach Feynmana (t. I cz. II, równania 31.19 oraz 32.19). Wynik jest zbyt prosty, aby zależał od konkretnego modelu (choć Feynman woli raczej trzymać się konkretu). Rzeczywiście, można go uzyskać w sposób fenomenologiczny, co robią różne podręczniki elektrodynamiki. Interesujący współczynnik z trzecią potęgą \pi bierze się częściowo z sumowania natężenia po kącie bryłowym, a częściowo z przeliczania drogi optycznej na fazę, w którym każde \lambda odpowiada zmianie fazy o 2\pi.