Stanisław Ulam (2/2)

Wciąż jest dla mnie źródłem nieustającego zdziwienia, że kilka znaków nagryzmolonych na tablicy lub na kartce papieru może zmienić bieg ludzkich spraw. [S. Ulam]

Każdego roku, od 1936 aż do 1939, Stanisław Ulam spędzał lato w Polsce. Spotykał się ze swoimi matematycznymi przyjaciółmi, w tym Banachem i Mazurem, we Lwowie albo gdzieś w okolicach, gdzie spędzali wakacje. Jego dorobek matematyczny obejmował szereg dziedzin: teorię mnogości, teorię miary i rachunek prawdopodobieństwa, teorię transformacji, teorię grup. Były to na ogół niewielkie prace rozwiązujące lub stawiające jakiś problem. Na uniwersytecie Harvarda we współpracy z Johnem Oxtobym Ulam napisał swoją najdłuższą pracę, opublikowaną następnie w „Annals of Mathematics”, wysoko cenionym piśmie wydawanym w Princeton. Praca dotyczyła teorii ergodycznej. W mechanice klasycznej każdy nietrywialny układ fizyczny wędruje po swojej przestrzeni stanów (in. przestrzeni fazowej) w taki sposób, że wraca kiedyś w sąsiedztwo każdego punktu już odwiedzonego. Fakt ten jest podstawą fizyki statystycznej, w której zakłada się, że wszystkie stany o określonej energii są jednakowo prawdopodobne. Praca Ulama i Oxtoby’ego dowodziła, że przekształcenia spełniające warunek ergodyczności są w pewnym sensie typowe. Uzyskany przez nich wynik nie mógł być wprost zastosowany do fizyki, ale tak jest bardzo często: ścisłe potwierdzenie intuicji fizyków zazwyczaj nie jest łatwe.

Stanisław Ulam łatwo przywykł do amerykańskiego życia i z przyjemnością wracał do niego po wakacjach. Latem 1939 roku zabrał ze sobą młodszego brata, Adama. Na statek w Gdyni odprowadzili ich ojciec i stryj. Widmo wojny wisiało nad Polską, choć, jak zauważył Ulam, zagrożenie to wyraźniej dostrzegano w Stanach Zjednoczonych niż w Polsce, gdzie do ostatniej chwili łudzono się nadziejami na jakiś zwrot dyplomatyczny w zaostrzającym się napięciu. Różnice w sposobie oceny wynikały zapewne nie tylko z dystansu Amerykanów. Do Stanów Zjednoczonych dotarło w ostatnich latach wielu uchodźców z Niemiec, którzy lepiej niż inni rozumieli istotę nazistowskiego reżimu. W Polsce prasa, koła wojskowe i politycy zgodnie uprawiali propagandę w stylu „nie oddamy ani guzika”, co skończyło się klęską nie tylko militarną i polityczną, ale także klęską moralną – kraj był bowiem zupełnie nieprzygotowany do wojny i tysiące, może miliony ludzi, rzuciły się do panicznej i bezładnej ucieczki: jedni na wschód, inni na zachód. Dowódcy niemieccy zdumieni byli łatwością tego zwycięstwa, które po dwu tygodniach było już w zasadzie zupełne.

Dla Stanisława Ulama wojna oznaczała nie tylko lęk o najbliższych i przyjaciół pozostawionych w kraju, ale i obowiązek utrzymywania młodszego brata, który zaczął jesienią studia (z czasem został znanym sowietologiem). Znalezienie płatnej pracy akademickiej nie było łatwe, Ulam musiał zadowolić się uniwersytetem stanu Wisconsin w Madison. Po Harvardzie i Princeton nie było to wymarzonym rozwiązaniem, jednak uczelnia okazała się całkiem przyzwoita, Ulam zaprzyjaźnił się tam z wieloma wykładowcami, nie tylko zresztą z matematykami, ale i z fizykami, ekonomistami. Wygłosił kiedyś zaimprowizowany wykład na zjeździe astronomów (na temat wyboru układu odniesienia, w którym ruch ciał wygląda prościej – była to topologiczna wersja problemu kopernikańskiego). W tym okresie wielu wybitnych uczonych, zwłaszcza pochodzących z Europy, pracowało na mniejszych uczelniach, fala emigracji wywołała bowiem nadmiar szukających pracy akademików. W Madison pracował Eugene Wigner, fizyk i szkolny kolega von Neumanna, przyszły noblista. Na seminaria prowadzone przez Ulama przyjeżdżali do Madison matematycy tej klasy co André Weil, urodzony w Warszawie Samuel Eilenberg czy Paul Erdös, wszyscy oni stali się sławami światowego formatu. Erdös zaprzyjaźnił się z Ulamem i odwiedzał go czasami, rozmowy były jego ulubioną formą pracy matematycznej, z czasem opublikował wspólne prace z kilkuset innymi badaczami. Matematycy obliczają liczbę Erdösa: on sam ma liczbę zero; ci, którzy z nim pracowali, mają liczbę jeden; ci, którzy pracowali z posiadającymi liczbę jeden, mają liczbę dwa itd. Oczywiście, Ulam miał liczbę Erdösa równą jeden. Zabawa ta unaocznia, jak silną rolę odgrywa współpraca nawet w dziedzinie tak z pozoru indywidualnej jak matematyka (choć trzeba też dodać, że Erdös, podobnie jak Ulam, wyjątkowo lubił pracę w towarzystwie innych).

W 1941 roku Ulam otrzymał obywatelstwo amerykańskie i kiedy Stany Zjednoczone przystąpiły do wojny, chciał pracować na rzecz wojska. Dzięki rekomendacji von Neumanna trafił do Los Alamos i Projektu Manhattan jako jeden z niewielu matematyków. Spotkał tam i poznał osobiście wielu fizyków i chemików o głośnych nazwiskach, nigdy chyba w historii nie zgromadzono w jednym miejscu w pracy nad wspólnym projektem tak wielu wybitnych specjalistów. Wielu z nich było emigrantami, których dotychczasowe życie zburzył mniej lub bardziej nazizm. Wśród kierujących projektem byli dwaj znakomici fizycy jądrowi: Hans Bethe i Enrico Fermi. Pierwszy miał babkę Żydówkę, przez co stracił profesurę w Tybindze, drugi miał za żonę Żydówkę i w roku 1938 zmuszony był opuścić Włochy. Ulam obu uczonych bardzo szanował, lecz szczególny respekt budził w nim Fermi – ostatni chyba fizyk będący zarazem eksperymentatorem i teoretykiem. Nie rozstający się z suwakiem logarytmicznym Fermi, który umiał szybko obliczyć każdą potrzebną wielkość, miał też solidne przygotowanie matematyczne i okazało się, że zna np. pracę Oxtoby’ego i Ulama. Dzięki Projektowi Manhattan Stanisław Ulam zaczął pracować z fizykami i tak już miało zostać przez długie lata. Jego talent matematyczny niespodziewanie okazał się przydatny w zagadnieniach z pogranicza inżynierii. Taki przeskok z podstaw matematyki do zagadnień praktycznych byłby niewyobrażalny dla większości matematyków. Ulam trafił do grupy kierowanej przez Edwarda Tellera, jeszcze jednego emigranta z Węgier. Pierwszym zagadnieniem, którym się tam zajął, było oddziaływanie gazu elektronowego z promieniowaniem. Teller uzyskał z rozważań wymiarowych postać równania, chciał aby te rozważania uściślić. Ulam zaproponował własne dość elementarne rozwiązanie, z którego wynikało, że wzór Tellera trzeba uzupełnić współczynnikiem cztery. Niezadowolony Teller zlecił to samo zadanie komuś innemu, kto posługując się znacznie bardziej rozbudowanym aparatem matematycznym, uzyskał dla owego współczynnika liczbowego także wartość zbliżoną do czterech.

Ulam, Richard Feynman i John von Neumann w Los Alamos

Rodzaj talentu matematycznego Stanisława Ulama był nietypowy, jedyny w swoim rodzaju. Posiadał on dar formułowania problemów w sposób jak najprostszy, zachowując jedynie najistotniejsze ich cechy. Wyobrażał sobie przy tym zjawiska, a nie tylko równania, które je opisują. Łatwo też przychodziły mu oszacowania liczbowe, co w Los Alamos było niezwykle ważne – nie chodziło tam przecież o zrozumienie idealnej sytuacji laboratoryjnej, ale o skonstruowanie jak najefektywniejszej bomby. Należało więc wejść w świat rzeczywistych obiektów, kształtów, własności różnych materiałów, współwystępowania rozmaitych zjawisk. Zazwyczaj praca fizyków polega na czymś odwrotnym: szuka się najprostszych i „najczystszych” sytuacji, w których można zmierzyć dane zjawisko.

Po zakończeniu wojny i Projektu Manhattan Stanisław Ulam wrócił do pracy akademickiej. Został profesorem nadzwyczajnym na Uniwersytecie Południowej Kalifornii (USC). Uczelnia okazała się słaba, Los Angeles było miastem trudnym do mieszkania i poruszania się z powodu korków ulicznych. Pewnego dnia Ulam poważnie zachorował, zaczął mieć problemy z mówieniem. Przeprowadzono operację, otwierając czaszkę. Znaleziono ostry stan zapalny, który leczono nowymi wówczas antybiotykami, podawanymi bezpośrednio do wnętrza czaszki. Uczony po pewnym czasie doszedł do siebie, jednak z obawą myślał, czy po tym wszystkim jego umysł wróci do dawnej sprawności. Przekonał się o tym, kiedy odwiedził go Paul Erdös. Zagrali w szachy i Ulam wygrał. Zaczął podejrzewać, że może przyjaciel pozwolił mu wygrać dla podtrzymania go na duchu. Zagrali więc jeszcze raz. Uspokoił się dopiero, kiedy wygrał po raz drugi, a Erdös wyraźnie się tym zirytował.

Nie pozostał na USC długo, tym bardziej że po chorobie wpadł w długi. Otrzymał propozycję pracy w Los Alamos dla armii amerykańskiej. Wprawdzie sławni i wielcy po zakończeniu Projektu Manhattan rozjechali się po różnych ośrodkach, ale laboratorium w Los Alamos zostało i nieoczekiwanie dawało Ulamowi możliwość ciekawej i względnie niezależnej pracy. Problemy, nad którymi tam pracowano, były konkretne, co zdaniem Ulama bardzo się liczyło. Sądził on bowiem, że naprawdę ważne problemy wywodzą się z praktyki, a nie filozoficznych rozważań. Mógł dobierać sobie współpracowników, co było szczególnie ważne wobec jego metody pracy. Polegała ona na tym, że Ulam szkicował możliwości rozwiązania danego zagadnienia, a współpracownicy starali się te pomysły zrealizować. Niewykluczone, że przebyta choroba odebrała Ulamowi czysto techniczną sprawność dokonywania obliczeń czy prowadzenia jakiegoś długiego dowodu. Starał się tego po sobie nie pokazywać. Pozostała mu jednak wyobraźnia i umiejętność dostrzegania bez dowodu, czy twierdzenie jest prawdziwe, czy nie, i w jaki sposób można dążyć do wytyczonego celu. Toteż pracował przede wszystkim nad wytyczaniem kierunków i formułowaniem problemów – co w sumie jest może ważniejsze niż szczegółowe rozwiązania. Przypominał swoim stylem pracy pracującego po przeciwnej stronie Atlantyku Jakowa Zeldowicza.

Dzięki pracy dla armii Ulam należał do pionierów stosowania komputerów. Układając pewien trudny pasjans w okresie rekonwalescencji, zdał sobie sprawę, że bardzo trudno byłoby obliczyć, jakie jest prawdopodobieństwo ułożenia tego pasjansa, łatwo natomiast można by go było modelować za pomocą komputera, który mógłby przeprowadzić wiele prób, dzięki czemu można by empirycznie stwierdzić, jakie jest szukane prawdopodobieństwo. Rozwinięciem tej idei opracowanym we współpracy z von Neumannem i Nickiem Metropolisem są metody Monte Carlo (nazwa zaczerpnięta ze skojarzenia z wujem Ulama, który pożyczał od krewnych pieniądze i następnie przepuszczał je w Monte Carlo). Zamiast np. rozwiązywać równanie różniczkowe, opisujące dyfuzję neutronów z pewnego stanu początkowego, możemy prześledzić losy wielu neutronów i zobaczyć, jakie są charakterystyczne cechy ich rozkładu. Dla pięćdziesięciu cząstek startujących z punktu x=0 tory w błądzeniu przypadkowym mogą być np. takie jak na wykresie.

Po zebraniu pewnej statystyki można znaleźć kształt rozkładu końcowego. Im więcej wykonamy losowań, tym dokładniej będziemy znali rozkład cząstek po danym czasie.

Rozkład uzyskany w tym przypadku jest łatwy do obliczenia analitycznego (jest rozkładem normalnym). Wystarczy jednak nieco zmodyfikować zagadnienie: dodać dwa wymiary, różne kształty i materiały, a problem dyfuzji stanie się bardzo trudny do rozwiązania metodami analitycznymi, choć symulacja komputerowa nadal będzie stosunkowo prosta. Pionierzy tej metody musieli zaczynać kompletnie od zera, rozwiązując np. zagadnienie, jak komputer, który prowadzi obliczenia arytmetyczne na liczbach – a więc otrzymując zawsze ściśle określony i jednoznaczny wynik, może generować liczby losowe. Jak sprawić, aby liczby te podlegały określonemu prawu statystycznemu? Jak sprawdzać uzyskane wyniki itd itp. Metoda Monte Carlo używana jest dziś w wielu dziedzinach od fizyki do finansów i stała się zespołem wyspecjalizowanych praktyk.

Stanisław Ulam odegrał istotną rolę w projekcie bomby wodorowej. Była to idée fixe Tellera: zbudować bombę opartą na procesie syntezy lekkich pierwiastków w cięższe. W przyrodzie procesy takie odbywają się we wnętrzu gwiazd, gdzie panują ogromne temperatury i materia jest bardzo gęsta. Warunki tak ekstremalne potrzebne są do tego, by dodatnio naładowane jądra mogły zbliżyć się do siebie, pokonując odpychanie elektrostatyczne. Dopiero bowiem w odległościach rzędu 10^{-15} m możliwe jest przegrupowanie nukleonów, wskutek czego wyzwala się energia.

Synteza helu z dwóch izotopów wodoru: deuteru i trytu; bomby wykorzystują głównie deuter (rys. Wikipedia)

Warunki takie można by wytworzyć za pomocą wstępnego wybuchu zwykłej bomby atomowej. Edward Teller (jeszcze jeden żydowski emigrant z Węgier) pracował nad pomysłem „superbomby” już w trakcie Projektu Manhattan. Nie zrezygnował z niego także i później. W roku 1950 prezydent Harry Truman podjął decyzję o pracach nad superbombą. Okazało się jednak szybko, że początkowy pomysł Tellera nie nadaje się do realizacji. Udowodnił to Stanisław Ulam ze współpracownikami, potwierdziły zaś obliczenia Ulama i Enrico Fermiego. Także obliczenia komputerowe von Neumanna dawały ten sam wynik. Sytuacja stała się trudna dla Tellera, którego oskarżano, że nakłonił władze polityczne do decyzji, nie mając w ręku żadnej rozsądnej teorii działania superbomby. Koszt przedsięwzięcia był ogromny, rywalizacja z Rosją zawzięta, a więc i stawka projektu bardzo wysoka. Impas przełamał Stanisław Ulam, który zaproponował implozyjny mechanizm działania superbomby. Razem z Tellerem napisali raport, który stał się podstawą amerykańskiego projektu. Bomba została zbudowana, lecz stosunki miedzy Tellerem a Ulamem gwałtownie się oziębiły. Teller nie potrafił prawdopodobnie wybaczyć Ulamowi dwukrotnej porażki prestiżowej. Ulam natomiast uważał, że zainteresowani i tak wiedzą, ile kto jest wart.

Raport Tellera i Ulama został po latach odtajniony, lecz większość z kilkunastu jego stron jest kompletnie pusta. Armia amerykańska najwyraźniej uznała, że wciąż jest za wcześnie na publiczne informowanie o technologii bomb wodorowych. Może to być zresztą także przykład nadmiernej ostrożności wojskowych w kwestiach tajemnic, militarne znaczenie bomb wodorowych nie jest bowiem aż tak wielkie, jak sądzono na początku. Dalsze prace szły raczej nad zmniejszaniem siły rażenia, bo co po wygranej wojnie, skoro zwycięzcy zostaną w niej zabici powiedzmy dziesięć razy, a pokonani – dwadzieścia. Angielszczyzna ma na to zgrabne słówko: overkill (*).

Gian-Carlo Rota charakteryzuje Ulama następująco:

Dopiero po kilku latach zdałem sobie sprawę z tego, co jest prawdziwą profesją Stana Ulama. Wielu z nas, pracujących w Laboratorium i mających z nim styczność, wiedziało, jak bardzo nie lubi on zostawać sam, że wzywa nas o zaskakujących porach, by wybawić go od samotności hotelowego pokoju albo czterech ścian swego gabinetu, kiedy już skończył codzienną rundę rozmów międzymiastowych.

Pewnego dnia zebrałem się na odwagę i zapytałem, czemu stale potrzebuje towarzystwa; odpowiedź, jakiej udzielił była wielce znamienna. „Kiedy jestem sam – zwierzył się – zmuszony jestem przemyśleć różne rzeczy i widzę ich tak wiele, że wolę nie myśleć”. Ujrzałem go wtedy w prawdziwym świetle: ten człowiek, mający na koncie największą liczbę trafnych przypuszczeń w matematyce, który potrafi pokonać inżynierów na ich własnym polu, który w jednej chwili ocenia zdarzenia i ludzi, należy do niemal już doszczętnie wymarłej profesji proroków.

Z mężami Starego Testamentu i wyrocznią delficką dźwigał on ciężkie brzemię natychmiastowego widzenia. I jak wszyscy zawodowi prorocy cierpiał na coś, co Sigmund Freud nazwałby „kompleksem Proteusza”. Wielka szkoda, że wśród pacjentów Freuda nie było żadnych proroków.

W dawnych czasach ciemne orzeczenia Sybilli interpretowane były przez wyszkolonych specjalistów, tak zwanych hermeneutów, których zadaniem było przełożenie kryptycznych fraz na greckie zdania. W przypadku Ulama laboratorium w Los Alamos wynajmowało konsultantów, których zadaniem było wyrażenie jego kryptycznych komunikatów w popsutym żargonie współczesnej matematyki.

Stanisław Ulam zmarł niespodziewanie w wieku 75 lat na atak serca. Jak pisze Françoise Ulam:

mawiał, że „najlepszym rodzajem śmierci jest nagły atak serca lub zastrzelenie przez zazdrosnego męża”. Miał szczęście umrzeć w ten pierwszy sposób, choć myślę, że chyba wolałby ten drugi.

(*) Ulam komentował w roku 1965: „Mam wrażenie, iż to interesujące pojęcie, jakim jest overkill, przez lewicę atakowane jest z powodu marnotrawstwa – jako nieekonomiczne, podczas gdy skrajna prawica popiera je z przyczyn psychologicznych: gdyż daje im poczucie męskości, której brak odczuwają.”

Toczyła się wówczas debata, czy Stany Zjednoczone powinny zgodzić się na zakaz prób jądrowych. Ulam i Teller stali na odmiennych stanowiskach, ilustruje to rysunek Herblocka: „Mądry ojciec zna swoje dziecko”.

Feynman w Cornell i latający talerz (1945-1946)

Nauki przyrodnicze dostarczają jedynej w swoim rodzaju przyjemności, związanej ze zrozumieniem mechanizmów świata. Pomagają nam go odczarować, jak twierdził Max Weber. Oto znane fakty układają się w nowej konfiguracji, czujemy, że dotknęliśmy absolutu, ukazały nam się na chwilę surowe i pozaludzkie kontury rzeczywistości. Zwłaszcza fizyka teoretyczna dostarcza epifanii tego rodzaju. Okazuje się, że można stworzyć matematyczny model prawdziwego świata i model ten działa. Filozofowie mogą się spierać, czy nauka dostarcza nam rzeczywistej wiedzy, jednak równania fizyki prowadzą do jak najbardziej sprawdzalnych wniosków. Przykładem może być Projekt Manhattan, w którym powstała bomba atomowa. Duże zespoły uczonych i inżynierów zbudowały coś, co najpierw zaistniało jedynie jako model matematyczny. I to coś wybuchło na poligonie w Alamogordo, a potem jeszcze w kilku innych miejscach ze znanym skutkiem.

Jesienią 1945 roku uczeni z Projektu Manhattan wracali do życia cywilnego. Richard Feynman jeszcze w Los Alamos został skaperowany na uniwersytet Cornella przez Hansa Bethego. Bethe, jeden z uczonych młodszego pokolenia zmuszonych do emigracji z Niemiec, był teoretykiem uniwersalnym, znającym różne dziedziny fizyki i do tego legendarnie sprawnym w obliczeniach wszelkiego rodzaju: od skomplikowanej matematyki aż do oszacowań liczbowych w pamięci. Feynmanowi, który też był mistrzem metod obliczeniowych, Bethe niewątpliwie imponował. Oczywiście, nie tylko Bethe dostrzegł wyjątkowy talent Feynmana, Los Alamos było wtedy światowym centrum fizyki i przewinęli się przez ten ośrodek najwybitniejsi fizycy wolnego świata. Także Robert Oppenheimer usiłował zwerbować Feynmana. Skutek praktyczny był taki, że zanim jeszcze młody uczony podjął pracę, Cornell kilkukrotnie podnosiło mu przyszłą pensję, aby dorównać konkurencji. Sam Feynman niezbyt na ten ruch zwracał uwagę, bo wybrał Bethego i Cornell (uniwersytet ten stał się zresztą dzięki Bethemu znakomitym ośrodkiem fizyki teoretycznej, Amerykanie wielce tu skorzystali na irracjonalnej polityce nazistów). Dwudziestoośmioletni Feynman czuł się wtedy wypalony i bezużyteczny, wygórowane oczekiwania działały na niego deprymująco, aż w końcu jeden ze starszych kolegów przekonał go, że jeśli prowadzi zajęcia ze studentami, to uniwersytet nie powinien narzekać. Feynman od początku traktował nauczanie bardzo poważnie, sądził w młodzieńczej naiwności, że powinien uczyć rzeczy, które trudno znaleźć w książkach. Taki charakter miał jego wykład z metod matematycznych fizyki. Była to kolekcja sztuczek przydatnych fizykom, zachowały się zresztą notatki jednego ze słuchaczy. Po hektycznej pracy w Los Alamos, gdzie wszystko należało robić natychmiast i jak najszybciej, przejście do pokojowego życia akademickiego nie było łatwe. W dodatku Feynman wciąż myślał o Arline, choć nie widać było po nim depresji. Bethe zauważył, że Feynman w depresji jest tylko trochę bardziej ożywiony niż inni w swoim najlepszym nastroju. We wspomnieniach Feynmana przełomowym momentem, kiedy jego samopoczucie zaczęło się zmieniać, była pewna sytuacja w stołówce uniwersyteckiej. Ktoś wygłupiał się, rzucając do góry obracający się talerz z herbem uczelni. Feynman przyglądał się tej scenie: talerz w locie kołysał się i obracał jednocześnie. Zaintrygowało go, że stosunek częstości kołysania i obrotu wynosi 2:1. Zaczął się nad tym zastanawiać, aż znalazł rozwiązanie. Ponieważ prosty wynik powinien być odzwierciedleniem jakiejś prawidłowości, postarał się go uzyskać w inny sposób, aż w końcu uznał, że zgłębił to niepotrzebne nikomu zagadnienie. Opowiedział o tym Bethemu, który nie był zachwycony – zwerbował młodego geniusza, a ten traci czas na bezużyteczne ćwiczenia. Nie ma jednak zupełnie bezużytecznych ćwiczeń w nauce. Zagadnienie wirującego talerza przywróciło Feynmanowi radość z rozwiązywania zagadek. Obiecał sobie zajmować się odtąd fizyką wyłącznie dla zabawy. Jak to się skończyło, wszyscy wiemy. Jeśli wykłady Feynmana do dziś mają taką siłę przekonywania, to m.in. dlatego, że czujemy, iż autor dobrze się bawi, opowiadając o fizyce, czujemy, jak cieszy go myślenie, proponowanie nowych sposobów podejścia, szukanie powiązań między różnymi zagadnieniami.

Pokażemy niżej, jak można opisać ruch obrotowy talerza w powietrzu. Zagadnienie jest w istocie proste i można znaleźć jego rozwiązanie w wielu podręcznikach. Nieoceniony okazuje się tu kurs Lwa Landaua i Ewgenija Lifszyca, w którym nigdy nie ma zbędnych słów ani wzorów, a fizyka jest niebywale elegancka i zdyscyplinowana. Feynman niewątpliwie rozwiązał to zagadnienie po swojemu bez zaglądania gdziekolwiek. My korzystamy z jednego akapitu Mechaniki Landaua i Lifszyca.

Pomijamy opór powietrza. Ruch talerza jest sumą ruchu postępowego jego środka masy oraz ruchu obrotowego względem środka masy. Środek masy lecącego swobodnie talerza zakreśli parabolę. Jeśli talerzowi nadamy ruch obrotowy, to jego moment pędu w trakcie lotu nie bedzie się zmieniać. Co to oznacza? Każda bryła, np. jajo albo kartofel, ma trzy wzajemnie prostopadłe osie obrotu (osie główne), dla których moment pędu i prędkość kątowa są proporcjonalne (na rysunkach zaznaczono dwie osie):

M_i=I_i\omega_i,\,i=1,2,3.

Współczynniki proporcjonalności nazywają się momentami bezwładności i zależą od kształtu ciała oraz położenia osi. Np. na rysunku widać, że łatwiej będzie nadać bryle ruch obrotowy wokół osi x_1 niż x_2, bo masy, z których ciało się składa, w pierwszym przypadku położone są bliżej osi obrotu niż w drugim. To samo ciało ma różną bezwładność w różnych kierunkach. Jeśli ciało obraca się ruchem bardziej skomplikowanym, to składowe prędkości kątowej oraz momentu pędu należy do siebie dodać, np. w przypadku dwóch składowych:

\vec{\omega}=\vec{\omega}_1+\vec{\omega}_2,

\vec{M}=I_1\vec{\omega}_1+I_2\vec{\omega}_2,

widzimy, że na ogół kierunki wektorów wypadkowych będą różne, ponieważ prędkości kątowe mnożymy przez różne (zazwyczaj) momenty bezwładności.

Przechodzimy do przypadku wirującego talerza. Technicznie określa się taki przypadek mianem bąka symetrycznego (bo dwa momenty bezwładności I_1=I_2 są równe, a trzeci I_3 jest inny. Moment pędu jest stały, możemy więc zrobić następujący rysunek.

Wektor \vec{\Omega} jest prędkością katową, oś x_3 jest osią symetrii naszego bąka-talerza, x_1 jest do niej prostopadła, x_2 jest prostopadła do rysunku i celuje w widza. Ponieważ M_2=0=I_2\omega_2, więc \omega_2=0. Nasza bryła nie obraca się wokół x_2, kąt \vartheta=\mbox{const} . Prędkości chwilowe punktów osi bryły, leżących na x_3 są prostopadłe do rysunku. Inaczej mówiąc, całość rysunku obraca się wokół stałego wektora \vec{M}. Prędkość kątową naszej bryły rozkładamy na dwie składowe: wzdłuż \vec{M} oraz wzdłuż x_3. Tylko ta pierwsza zmienia położenie osi x_3 ciała (druga dotyczy ruchu bryły wokół osi, nie wpływa więc na jej położenie) i ona jest poszukiwaną przez nas prędkością kątową \vec{\Omega}_{pr} precesji ciała wokół stałego wektora \vec{M}.

\vec{\Omega}=\vec{\Omega}_{pr}+\vec{\Omega}_3.

Rzutując \vec{\Omega}_{pr} na kierunek x_1, otrzymujemy

{\Omega}_{pr}\sin\vartheta=\dfrac{M_1}{I_1}=\dfrac{M\sin\theta}{I_1} \Rightarrow {\Omega}_{pr}=\dfrac{M}{I_1}.

Rzutując \vec{M} na oś x_3, otrzymujemy

M\cos\vartheta=I_3\omega_3 \Rightarrow \omega_3=\dfrac{M\cos\vartheta}{I_3}.

Łącząc oba ostatnie równania, dostajemy

{\Omega}_{pr}=\omega_3 \dfrac{I_3}{I_1 \cos\vartheta}\approx 2\omega_3.

Ostatnia równość zachodzi dla przypadku \vartheta\approx 0, czyli dla precesji pod niewielkim kątem, oraz I_3=2I_1, co jest słuszne dla wirującego dysku. Szczegóły niżej.

Otrzymaliśmy więc proporcję 2:1, która się pojawia wskutek szczególnego stosunku momentów bezwładności. W przypadku ciała spłaszczonego jak talerz rysunek powinien wyglądać nieco inaczej, ale wynik się nie zmienia.

Nie jest to żadne wiekopomne osiągnięcie, podręczniki przed Feynmanem znały i przedstawiały taką sytuację. Pokolenie Feynmana słabiej już znało detale klasycznej mechaniki, on sam był bardzo szczególnym studentem, który zarazem wiedział bardzo dużo i miał ogromne luki. Np. uczniowie Lwa Landaua musieli zdawać egzaminy po kolei ze wszystkich tomów fizyki teoretycznej, nazywało się to u nich „teoreticzeskij minimum” i trwało zazwyczaj kilka lat. Tak czy owak problem był łatwy i jego znaczenie raczej psychologiczne: dzięki niemu uczony przełamał blokadę psychiczną i z powrotem zajął się pracą, tj. tworzeniem na nowo, po swojemu, mechaniki i elektrodynamiki kwantowej.

Została nam jeszcze kwestia momentów bezwładności dysku wokół różnych osi. Przyjrzyjmy się pierścieniowi.

Jego moment bezwładności względem osi x_3 prostopadłej do rysunku jest równy I_3=mR^2, gdzie m, R to odpowiednio masa i promień pierścienia. Momenty bezwładności względem x_1 oraz x_2 muszą być jednakowe i ich suma równa jest I_3, stąd i z faktu, że dysk składa się z pierścieni, wynika równość Feynmana.

Stanisław Ulam (2/2)

Wciąż jest dla mnie źródłem nieustającego zdziwienia, że kilka znaków nagryzmolonych na tablicy lub na kartce papieru może zmienić bieg ludzkich spraw. [S. Ulam]

Każdego roku, od 1936 aż do 1939, Stanisław Ulam spędzał lato w Polsce. Spotykał się ze swoimi matematycznymi przyjaciółmi, w tym Banachem i Mazurem, we Lwowie albo gdzieś w okolicach, gdzie spędzali wakacje. Jego dorobek matematyczny obejmował szereg dziedzin: teorię mnogości, teorię miary i rachunek prawdopodobieństwa, teorię transformacji, teorię grup. Były to na ogół niewielkie prace rozwiązujące lub stawiające jakiś problem. Na uniwersytecie Harvarda we współpracy z Johnem Oxtobym Ulam napisał swoją najdłuższą pracę, opublikowaną następnie w „Annals of Mathematics”, wysoko cenionym piśmie wydawanym w Princeton. Praca dotyczyła teorii ergodycznej. W mechanice klasycznej każdy nietrywialny układ fizyczny wędruje po swojej przestrzeni stanów (in. przestrzeni fazowej) w taki sposób, że wraca kiedyś w sąsiedztwo każdego punktu już odwiedzonego. Fakt ten jest podstawą fizyki statystycznej, w której zakłada się, że wszystkie stany o określonej energii są jednakowo prawdopodobne. Praca Ulama i Oxtoby’ego dowodziła, że przekształcenia spełniające warunek ergodyczności są w pewnym sensie typowe. Uzyskany przez nich wynik nie mógł być wprost zastosowany do fizyki, ale tak jest bardzo często: ścisłe potwierdzenie intuicji fizyków zazwyczaj nie jest łatwe.

Stanisław Ulam łatwo przywykł do amerykańskiego życia i z przyjemnością wracał do niego po wakacjach. Latem 1939 roku zabrał ze sobą młodszego brata, Adama. Na statek w Gdyni odprowadzili ich ojciec i stryj. Widmo wojny wisiało nad Polską, choć, jak zauważył Ulam, zagrożenie to wyraźniej dostrzegano w Stanach Zjednoczonych niż w Polsce, gdzie do ostatniej chwili łudzono się nadziejami na jakiś zwrot dyplomatyczny w zaostrzającym się napięciu. Różnice w sposobie oceny wynikały zapewne nie tylko z dystansu Amerykanów. Do Stanów Zjednoczonych dotarło w ostatnich latach wielu uchodźców z Niemiec, którzy lepiej niż inni rozumieli istotę nazistowskiego reżimu. W Polsce prasa, koła wojskowe i politycy zgodnie uprawiali propagandę w stylu „nie oddamy ani guzika”, co skończyło się klęską nie tylko militarną i polityczną, ale także klęską moralną – kraj był bowiem zupełnie nieprzygotowany do wojny i tysiące, może miliony ludzi, rzuciły się do panicznej i bezładnej ucieczki: jedni na wschód, inni na zachód. Dowódcy niemieccy zdumieni byli łatwością tego zwycięstwa, które po dwu tygodniach było już w zasadzie zupełne.

Dla Stanisława Ulama wojna oznaczała nie tylko lęk o najbliższych i przyjaciół pozostawionych w kraju, ale i obowiązek utrzymywania młodszego brata, który zaczął jesienią studia (z czasem został znanym sowietologiem). Znalezienie płatnej pracy akademickiej nie było łatwe, Ulam musiał zadowolić się uniwersytetem stanu Wisconsin w Madison. Po Harvardzie i Princeton nie było to wymarzonym rozwiązaniem, jednak uczelnia okazała się całkiem przyzwoita, Ulam zaprzyjaźnił się tam z wieloma wykładowcami, nie tylko zresztą z matematykami, ale i z fizykami, ekonomistami. Wygłosił kiedyś zaimprowizowany wykład na zjeździe astronomów (na temat wyboru układu odniesienia, w którym ruch ciał wygląda prościej – była to topologiczna wersja problemu kopernikańskiego). W tym okresie wielu wybitnych uczonych, zwłaszcza pochodzących z Europy, pracowało na mniejszych uczelniach, fala emigracji wywołała bowiem nadmiar szukających pracy akademików. W Madison pracował Eugene Wigner, fizyk i szkolny kolega von Neumanna, przyszły noblista. Na seminaria prowadzone przez Ulama przyjeżdżali do Madison matematycy tej klasy co André Weil, urodzony w Warszawie Samuel Eilenberg czy Paul Erdös, wszyscy oni stali się sławami światowego formatu. Erdös zaprzyjaźnił się z Ulamem i odwiedzał go czasami, rozmowy były jego ulubioną formą pracy matematycznej, z czasem opublikował wspólne prace z kilkuset innymi badaczami. Matematycy obliczają liczbę Erdösa: on sam ma liczbę zero; ci, którzy z nim pracowali, mają liczbę jeden; ci, którzy pracowali z posiadającymi liczbę jeden, mają liczbę dwa itd. Oczywiście, Ulam miał liczbę Erdösa równą jeden. Zabawa ta unaocznia, jak silną rolę odgrywa współpraca nawet w dziedzinie tak z pozoru indywidualnej jak matematyka (choć trzeba też dodać, że Erdös, podobnie jak Ulam, wyjątkowo lubił pracę w towarzystwie innych).

W 1941 roku Ulam otrzymał obywatelstwo amerykańskie i kiedy Stany Zjednoczone przystąpiły do wojny, chciał pracować na rzecz wojska. Dzięki rekomendacji von Neumanna trafił do Los Alamos i Projektu Manhattan jako jeden z niewielu matematyków. Spotkał tam i poznał osobiście wielu fizyków i chemików o głośnych nazwiskach, nigdy chyba w historii nie zgromadzono w jednym miejscu w pracy nad wspólnym projektem tak wielu wybitnych specjalistów. Wielu z nich było emigrantami, których dotychczasowe życie zburzył mniej lub bardziej nazizm. Wśród kierujących projektem byli dwaj znakomici fizycy jądrowi: Hans Bethe i Enrico Fermi. Pierwszy miał babkę Żydówkę, przez co stracił profesurę w Tybindze, drugi miał za żonę Żydówkę i w roku 1938 zmuszony był opuścić Włochy. Ulam obu uczonych bardzo szanował, lecz szczególny respekt budził w nim Fermi – ostatni chyba fizyk będący zarazem eksperymentatorem i teoretykiem. Nie rozstający się z suwakiem logarytmicznym Fermi, który umiał szybko obliczyć każdą potrzebną wielkość, miał też solidne przygotowanie matematyczne i okazało się, że zna np. pracę Oxtoby’ego i Ulama. Dzięki Projektowi Manhattan Stanisław Ulam zaczął pracować z fizykami i tak już miało zostać przez długie lata. Jego talent matematyczny niespodziewanie okazał się przydatny w zagadnieniach z pogranicza inżynierii. Taki przeskok z podstaw matematyki do zagadnień praktycznych byłby niewyobrażalny dla większości matematyków. Ulam trafił do grupy kierowanej przez Edwarda Tellera, jeszcze jednego emigranta z Węgier. Pierwszym zagadnieniem, którym się tam zajął, było oddziaływanie gazu elektronowego z promieniowaniem. Teller uzyskał z rozważań wymiarowych postać równania, chciał aby te rozważania uściślić. Ulam zaproponował własne dość elementarne rozwiązanie, z którego wynikało, że wzór Tellera trzeba uzupełnić współczynnikiem cztery. Niezadowolony Teller zlecił to samo zadanie komuś innemu, kto posługując się znacznie bardziej rozbudowanym aparatem matematycznym, uzyskał dla owego współczynnika liczbowego także wartość zbliżoną do czterech.

Ulam, Richard Feynman i John von Neumann w Los Alamos

Rodzaj talentu matematycznego Stanisława Ulama był nietypowy, jedyny w swoim rodzaju. Posiadał on dar formułowania problemów w sposób jak najprostszy, zachowując jedynie najistotniejsze ich cechy. Wyobrażał sobie przy tym zjawiska, a nie tylko równania, które je opisują. Łatwo też przychodziły mu oszacowania liczbowe, co w Los Alamos było niezwykle ważne – nie chodziło tam przecież o zrozumienie idealnej sytuacji laboratoryjnej, ale o skonstruowanie jak najefektywniejszej bomby. Należało więc wejść w świat rzeczywistych obiektów, kształtów, własności różnych materiałów, współwystępowania rozmaitych zjawisk. Zazwyczaj praca fizyków polega na czymś odwrotnym: szuka się najprostszych i „najczystszych” sytuacji, w których można zmierzyć dane zjawisko.

Po zakończeniu wojny i Projektu Manhattan Stanisław Ulam wrócił do pracy akademickiej. Został profesorem nadzwyczajnym na Uniwersytecie Południowej Kalifornii (USC). Uczelnia okazała się słaba, Los Angeles było miastem trudnym do mieszkania i poruszania się z powodu korków ulicznych. Pewnego dnia Ulam poważnie zachorował, zaczął mieć problemy z mówieniem. Przeprowadzono operację, otwierając czaszkę. Znaleziono ostry stan zapalny, który leczono nowymi wówczas antybiotykami, podawanymi bezpośrednio do wnętrza czaszki. Uczony po pewnym czasie doszedł do siebie, jednak z obawą myślał, czy po tym wszystkim jego umysł wróci do dawnej sprawności. Przekonał się o tym, kiedy odwiedził go Paul Erdös. Zagrali w szachy i Ulam wygrał. Zaczął podejrzewać, że może przyjaciel pozwolił mu wygrać dla podtrzymania go na duchu. Zagrali więc jeszcze raz. Uspokoił się dopiero, kiedy wygrał po raz drugi, a Erdös wyraźnie się tym zirytował.

Nie pozostał na USC długo, tym bardziej że po chorobie wpadł w długi. Otrzymał propozycję pracy w Los Alamos dla armii amerykańskiej. Wprawdzie sławni i wielcy po zakończeniu Projektu Manhattan rozjechali się po różnych ośrodkach, ale laboratorium w Los Alamos zostało i nieoczekiwanie dawało Ulamowi możliwość ciekawej i względnie niezależnej pracy. Problemy, nad którymi tam pracowano, były konkretne, co zdaniem Ulama bardzo się liczyło. Sądził on bowiem, że naprawdę ważne problemy wywodzą się z praktyki, a nie filozoficznych rozważań. Mógł dobierać sobie współpracowników, co było szczególnie ważne wobec jego metody pracy. Polegała ona na tym, że Ulam szkicował możliwości rozwiązania danego zagadnienia, a współpracownicy starali się te pomysły zrealizować. Niewykluczone, że przebyta choroba odebrała Ulamowi czysto techniczną sprawność dokonywania obliczeń czy prowadzenia jakiegoś długiego dowodu. Starał się tego po sobie nie pokazywać. Pozostała mu jednak wyobraźnia i umiejętność dostrzegania bez dowodu, czy twierdzenie jest prawdziwe, czy nie, i w jaki sposób można dążyć do wytyczonego celu. Toteż pracował przede wszystkim nad wytyczaniem kierunków i formułowaniem problemów – co w sumie jest może ważniejsze niż szczegółowe rozwiązania. Przypominał swoim stylem pracy pracującego po przeciwnej stronie Atlantyku Jakowa Zeldowicza.

Dzięki pracy dla armii Ulam należał do pionierów stosowania komputerów. Układając pewien trudny pasjans w okresie rekonwalescencji, zdał sobie sprawę, że bardzo trudno byłoby obliczyć, jakie jest prawdopodobieństwo ułożenia tego pasjansa, łatwo natomiast można by go było modelować za pomocą komputera, który mógłby przeprowadzić wiele prób, dzięki czemu można by empirycznie stwierdzić, jakie jest szukane prawdopodobieństwo. Rozwinięciem tej idei opracowanym we współpracy z von Neumannem i Nickiem Metropolisem są metody Monte Carlo (nazwa zaczerpnięta ze skojarzenia z wujem Ulama, który pożyczał od krewnych pieniądze i następnie przepuszczał je w Monte Carlo). Zamiast np. rozwiązywać równanie różniczkowe, opisujące dyfuzję neutronów z pewnego stanu początkowego, możemy prześledzić losy wielu neutronów i zobaczyć, jakie są charakterystyczne cechy ich rozkładu. Dla pięćdziesięciu cząstek startujących z punktu x=0 tory w błądzeniu przypadkowym mogą być np. takie jak na wykresie.

Po zebraniu pewnej statystyki można znaleźć kształt rozkładu końcowego. Im więcej wykonamy losowań, tym dokładniej będziemy znali rozkład cząstek po danym czasie.

Rozkład uzyskany w tym przypadku jest łatwy do obliczenia analitycznego (jest rozkładem normalnym). Wystarczy jednak nieco zmodyfikować zagadnienie: dodać dwa wymiary, różne kształty i materiały, a problem dyfuzji stanie się bardzo trudny do rozwiązania metodami analitycznymi, choć symulacja komputerowa nadal będzie stosunkowo prosta. Pionierzy tej metody musieli zaczynać kompletnie od zera, rozwiązując np. zagadnienie, jak komputer, który prowadzi obliczenia arytmetyczne na liczbach – a więc otrzymując zawsze ściśle określony i jednoznaczny wynik, może generować liczby losowe. Jak sprawić, aby liczby te podlegały określonemu prawu statystycznemu? Jak sprawdzać uzyskane wyniki itd itp. Metoda Monte Carlo używana jest dziś w wielu dziedzinach od fizyki do finansów i stała się zespołem wyspecjalizowanych praktyk.

Stanisław Ulam odegrał istotną rolę w projekcie bomby wodorowej. Była to idée fixe Tellera: zbudować bombę opartą na procesie syntezy lekkich pierwiastków w cięższe. W przyrodzie procesy takie odbywają się we wnętrzu gwiazd, gdzie panują ogromne temperatury i materia jest bardzo gęsta. Warunki tak ekstremalne potrzebne są do tego, by dodatnio naładowane jądra mogły zbliżyć się do siebie, pokonując odpychanie elektrostatyczne. Dopiero bowiem w odległościach rzędu 10^{-15} m możliwe jest przegrupowanie nukleonów, wskutek czego wyzwala się energia.

Synteza helu z dwóch izotopów wodoru: deuteru i trytu; bomby wykorzystują głównie deuter (rys. Wikipedia)

Warunki takie można by wytworzyć za pomocą wstępnego wybuchu zwykłej bomby atomowej. Edward Teller (jeszcze jeden żydowski emigrant z Węgier) pracował nad pomysłem „superbomby” już w trakcie Projektu Manhattan. Nie zrezygnował z niego także i później. W roku 1950 prezydent Harry Truman podjął decyzję o pracach nad superbombą. Okazało się jednak szybko, że początkowy pomysł Tellera nie nadaje się do realizacji. Udowodnił to Stanisław Ulam ze współpracownikami, potwierdziły zaś obliczenia Ulama i Enrico Fermiego. Także obliczenia komputerowe von Neumanna dawały ten sam wynik. Sytuacja stała się trudna dla Tellera, którego oskarżano, że nakłonił władze polityczne do decyzji, nie mając w ręku żadnej rozsądnej teorii działania superbomby. Koszt przedsięwzięcia był ogromny, rywalizacja z Rosją zawzięta, a więc i stawka projektu bardzo wysoka. Impas przełamał Stanisław Ulam, który zaproponował implozyjny mechanizm działania superbomby. Razem z Tellerem napisali raport, który stał się podstawą amerykańskiego projektu. Bomba została zbudowana, lecz stosunki miedzy Tellerem a Ulamem gwałtownie się oziębiły. Teller nie potrafił prawdopodobnie wybaczyć Ulamowi dwukrotnej porażki prestiżowej. Ulam natomiast uważał, że zainteresowani i tak wiedzą, ile kto jest wart.

Raport Tellera i Ulama został po latach odtajniony, lecz większość z kilkunastu jego stron jest kompletnie pusta. Armia amerykańska najwyraźniej uznała, że wciąż jest za wcześnie na publiczne informowanie o technologii bomb wodorowych. Może to być zresztą także przykład nadmiernej ostrożności wojskowych w kwestiach tajemnic, militarne znaczenie bomb wodorowych nie jest bowiem aż tak wielkie, jak sądzono na początku. Dalsze prace szły raczej nad zmniejszaniem siły rażenia, bo co po wygranej wojnie, skoro zwycięzcy zostaną w niej zabici powiedzmy dziesięć razy, a pokonani – dwadzieścia. Angielszczyzna ma na to zgrabne słówko: overkill (*).

Gian-Carlo Rota charakteryzuje Ulama następująco:

Dopiero po kilku latach zdałem sobie sprawę z tego, co jest prawdziwą profesją Stana Ulama. Wielu z nas, pracujących w Laboratorium i mających z nim styczność, wiedziało, jak bardzo nie lubi on zostawać sam, że wzywa nas o zaskakujących porach, by wybawić go od samotności hotelowego pokoju albo czterech ścian swego gabinetu, kiedy już skończył codzienną rundę rozmów międzymiastowych.

Pewnego dnia zebrałem się na odwagę i zapytałem, czemu stale potrzebuje towarzystwa; odpowiedź, jakiej udzielił była wielce znamienna. „Kiedy jestem sam – zwierzył się – zmuszony jestem przemyśleć różne rzeczy i widzę ich tak wiele, że wolę nie myśleć”. Ujrzałem go wtedy w prawdziwym świetle: ten człowiek, mający na koncie największą liczbę trafnych przypuszczeń w matematyce, który potrafi pokonać inżynierów na ich własnym polu, który w jednej chwili ocenia zdarzenia i ludzi, należy do niemal już doszczętnie wymarłej profesji proroków.

Z mężami Starego Testamentu i wyrocznią delficką dźwigał on ciężkie brzemię natychmiastowego widzenia. I jak wszyscy zawodowi prorocy cierpiał na coś, co Sigmund Freud nazwałby „kompleksem Proteusza”. Wielka szkoda, że wśród pacjentów Freuda nie było żadnych proroków.

W dawnych czasach ciemne orzeczenia Sybilli interpretowane były przez wyszkolonych specjalistów, tak zwanych hermeneutów, których zadaniem było przełożenie kryptycznych fraz na greckie zdania. W przypadku Ulama laboratorium w Los Alamos wynajmowało konsultantów, których zadaniem było wyrażenie jego kryptycznych komunikatów w popsutym żargonie współczesnej matematyki.

Stanisław Ulam zmarł niespodziewanie w wieku 75 lat na atak serca. Jak pisze Françoise Ulam:

mawiał, że „najlepszym rodzajem śmierci jest nagły atak serca lub zastrzelenie przez zazdrosnego męża”. Miał szczęście umrzeć w ten pierwszy sposób, choć myślę, że chyba wolałby ten drugi.

(*) Ulam komentował w roku 1965: „Mam wrażenie, iż to interesujące pojęcie, jakim jest overkill, przez lewicę atakowane jest z powodu marnotrawstwa – jako nieekonomiczne, podczas gdy skrajna prawica popiera je z przyczyn psychologicznych: gdyż daje im poczucie męskości, której brak odczuwają.”

Toczyła się wówczas debata, czy Stany Zjednoczone powinny zgodzić się na zakaz prób jądrowych. Ulam i Teller stali na odmiennych stanowiskach, ilustruje to rysunek Herblocka: „Mądry ojciec zna swoje własne dziecko”.