Spadający deszcz i czarna dziura Schwarzschilda

Opiszemy za Thanu Padmanabhanem prosty, choć nie całkiem prawidłowy, sposób otrzymania metryki czarnej dziury Schwarzschilda. Fizycznie jest to zagadnienie pola grawitacyjnego wokół sferycznej masy M. Spróbujmy znaleźć metrykę daleko od naszego ciała, w odległości r od centrum. Wyobrażamy sobie infinitezymalne układy współrzędnych: jeden xy nieruchomy względem centrum, a drugi x_{in}y_{in} swobodnie spadający ku centrum z nieskończoności. Układ swobodnie spadający jest lokalnie inercjalny, więc metryka w nim ma szczególnie prostą postać metryki Minkowskiego (wszędzie c=1):

ds^2=dt_{in}^2-d\vec{r}_{in}\,^2.

Zakładamy teraz, że przejścia od układu spadającego do nieruchomego możemy dokonać za pomocą transformacji Galileusza, czyli tak, jakbyśmy nie uczyli się nigdy o Einsteinie:

\begin{cases}d\vec{r}_{in}=d\vec{r}-\vec{v}dT \\  dt_{in}=dT.\end{cases}

Wstawiając tę transformację do metryki swobodnej, otrzymujemy

ds^2=(1-v^2)dT^2 +2\vec{v}\cdot \vec{dr} dT -d\vec{r}\,^2.

Newtonowska prędkość ciała spadającego z nieskończoności jest równa prędkości ucieczki:

v=\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}.

Ostatecznie nasza metryka wygląda we współrzędnych radialnych następująco:

ds^2=\left(1-\dfrac{2GM}{r}\right)dT^2-2\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}dr dT-d\vec{r}\,^2.

Jest to metryka spadającego deszczu, w której czas jest czasem własnym spadających na centrum cząstek. Inaczej metryka Painlevé’go-Gullstranda. Nasza procedura nie jest prawidłowym wyprowadzeniem, ale nieco ułatwia wyobrażenie sobie, skąd takie wyrażenie może pochodzić. Ostateczną weryfikacją byłoby obliczenie dla tej metryki tensora Ricciego i wykazanie, że znika on dla wszystkich r>0.

Nietrudno pokazać, że spadanie z prędkością

\dfrac{dr}{dT}=-\sqrt{\dfrac{2GM}{r}},

jest ruchem geodezyjnym. Jeśli w metryce wydzielimy po prawej stronie dT^2, otrzymamy (dla ruchu radialnego d\vec{r}\,^2=dr^2):

ds^2=\left[1-\left(\dfrac{dr}{dT}+\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}\right)^2\right]dT\,^2\le dT\,^2.

Maksymalne ds otrzymamy więc, gdy znika nawias zwykły w ostatnim wyrażeniu i wtedy ds=dT. Pokazaliśmy już poprzednio, jak wyglądają stożki świetlne w tych współrzędnych, łatwo zauważyć istnienie horyzontu wokół centralnej osobliwości r=0. Można też przejść od naszych współrzędnych deszczu do zwykłej metryki Schwarzschilda (odwrotną drogę przebył Painlevé w 1921 r.). Należy w tym celu zmienić definicję czasu:

dT=dt+\dfrac{\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}}{1-\dfrac{2GM}{r}}dr.

Funkcję po prawej stronie można otrzymać, pisząc dT=dt+f(r)dr i tak dobierając funkcję f(r), żeby znikł wyraz niediagonalny z dr dt.

Reklamy

Teoria grawitacji Einsteina w kwadrans

Ogólna teoria względności ma tę własność, że możemy używać w zasadzie niemal dowolnych czterech współrzędnych dla opisania miejsca i czasu. Same współrzędne nie muszą nic oznaczać z fizycznego punktu widzenia, tę samą sytuację można więc opisywać na różne sposoby. Często nie widać, że owe różne opisy dotyczą w istocie tej samej sytuacji.

  • Metryka

Czym jest metryka? Jest to przepis, jak z niewielkich różnic współrzędnych zbudować odległość. Np. we współrzędnych kartezjańskich dla dwóch bliskich punktów możemy napisać:

ds^2=dx^2+dy^2,\mbox{ (*) }

gdzie ds, dx, dy oznaczają odpowiednio odległość, różnicę współrzędnej x oraz y. Jest to zwykłe twierdzenie Pitagorasa. Można jednak wprowadzić inne współrzędne na płaszczyźnie, np. biegunowe: należy podać odległość punktu od początku układu r oraz kąt wektora wodzącego z ustaloną osią \varphi. Odległość dwóch bliskich punktów na płaszczyźnie wyraża się teraz następująco:

ds^2=dr^2+r^2 d\varphi^2.

Geometria się nie zmieniła, inny jest tylko układ współrzędnych. Dla każdej dwuwymiarowej i gładkiej powierzchni można zapisać metrykę lokalnie w postaci (*), ponieważ płaszczyzna styczna do powierzchni jest euklidesowa (a lokalnie możemy powierzchnię wiernie opisać za pomocą płaskiego planu – z tego powodu rysując plan miasta zwykle nie potrzebujemy się martwić, jakiej siatki kartograficznej używamy).

Oba wyrażenia opisują zwykłą geometrię euklidesową, czyli taką, w której suma kątów trójkąta jest zawsze równa 180^{\circ}. Odległość ds ma pewien sens fizyczny: jest to odległość, jaką można zmierzyć linijką. Gdy zmienimy układ współrzędnych, przepis na obliczanie odległości, czyli właśnie metryka, może się zmienić, ale sama odległość jest niezmienna.

Przykład metryki na sferze dwuwymiarowej (globus). Współrzędnymi są \vartheta – odpowiednik szerokości geograficznej, ale liczy się przeważnie od bieguna północnego oraz \varphi  – odpowiednik długości geograficznej. Jak wynika z obrazka metryka ma postać:

ds^2=R^2 d\vartheta^2+R\sin^2 \vartheta d\varphi^2.

Sfera dwuwymiarowa jest powierzchnią zakrzywioną: żaden atlas świata nie jest wierny, gdy trzeba przedstawić np. Afrykę albo Azję. 

W szczególnej teorii względności należy uwzględnić jeszcze różnicę czasu między dwoma punktami (zdarzeniami). Znów jednak „odległość” (interwał czasoprzestrzenny) jest niezależna od układu odniesienia. Możemy ją wyrazić dla czasoprzestrzeni 3+1 wymiarowej (trzy wymiary przestrzenne plus czas) jako:

ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2.\mbox{ (**) }

Tym razem ds^2 ma być zachowane przy przekształceniach współrzędnych (przyjmujemy tu c=1, czas i przestrzeń w tych samych jednostkach). Przekształcenia, które zachowują tę wielkość, są to transformacje Lorentza (ew. z obrotami). Zauważmy, że nasze ds^2 nie musi być dodatnie, może być zerowe albo ujemne: czas i współrzędne przestrzenne wchodzą z innymi znakami – czas nawet w teorii względności nie jest tym samym co przestrzeń. Odległość czasoprzestrzenna zdarzeń OB i OX jest dodatnia, OY zerowa, OA ujemna. Nie jest to więc odległość w takim sensie jak w zwykłej geometrii. Znak odległości (albo położenie względem stożków przeszłości i przyszłości) mają decydujące znaczenie: X albo Y mogą być przyczynowo związane z O, a B może być następstwem O. Zdarzenia O i A nie mogą być związane przyczynowo, bo oddziaływanie musiałoby się rozchodzić szybciej niż c, a w dodatku ich kolejność w czasie zależy od obserwatora.

Ten sam interwał czasoprzestrzenny moglibyśmy wyrazić za pomocą współrzędnych biegunowych, wymiar jest (2+1) dla uproszczenia:

ds^2=dt^2-dr^2-r^2 d\varphi^2.

Jest to nadal rzeczywistość szczególnej teorii względności, czyli czasoprzestrzeń Minkowskiego, ale w nieco innych współrzędnych. Taka czasoprzestrzeń nadal jest płaska, sama zmiana współrzędnych niczego tu nie zmienia.

  • Geodezyjne i krzywizna

Mając metrykę, możemy obliczyć odległość dwóch bliskich punktów, a sumując odległości także i długość łamanej, skąd łatwo przejść do dowolnej krzywej przez całkowanie. Krzywe o długości minimalnej nazywamy geodezyjnymi: w  przestrzeni euklidesowej są to odcinki prostej łączącej dwa punkty. Geodezyjne są więc uogólnieniem pojęcia linii prostej. Możemy z nich budować np. trójkąty albo wielokąty. Okazuje się, że suma kątów trójkąta może być zarówno zawsze większa od 180^{\circ}, jak i zawsze równa 180^{\circ} albo zawsze mniejsza od 180^{\circ}. Odpowiednio do tego mamy do czynienia z krzywizną dodatnią (np. powierzchnia kuli), zerową (geometria euklidesowa) albo ujemną (powierzchnie przypominające przełęcz w górach).

  • Zasada równoważności

Einstein mówił, że to najszczęśliwsza myśl jego życia: „Siedziałem sobie na krześle w Biurze Patentowym w Bernie, kiedy nagle uderzyła mnie myśl: «Jeśli człowiek spada swobodnie, to z pewnością nie odczuwa wtedy własnego ciężaru»”. Delikwent ów znajduje się w stanie nieważkości, który dobrze znamy z filmów przesyłanych ze stacji kosmicznych. Swobodnie spadający układ współrzędnych jest układem inercjalnym – to do niego stosuje się szczególna teoria względności, transformacje Lorentza itd. Inaczej mówiąc, nie możemy odróżnić sił grawitacji od sił bezwładności odczuwanych np. w hamującym albo skręcającym pojeździe. Wynika to z faktu, że siły jednego i drugiego rodzaju są ściśle proporcjonalne do masy.

Mogłyby istnieć dwa pojęcia masy: grawitacyjna – mierzona siłami ciężkości oraz bezwładna – mierzona bezwładnością ciała, masa występująca w drugiej zasadzie dynamiki: F=ma. Jednak w przyrodzie jest tylko jeden rodzaj masy, fakt ten z niejakim zdziwieniem odnotował Isaac Newton, przeprowadzając dla pewności doświadczenia z wahadłami (w ruchu wahadła mamy zarówno masę grawitacyjną, jak i bezwładną, można więc sprawdzić z jaką dokładnością się one pokrywają).

Zasada równoważności mówi, że w małym obszarze czasoprzestrzeni (statek kosmiczny) możemy uniknąć grawitacji, jeśli wybierzemy właściwy układ współrzędnych. Matematycznie rzecz ujmując, w każdym punkcie czasoprzestrzeni przestrzeń styczna jest czasoprzestrzenią Minkowskiego (tzn. można wprowadzić w niej metrykę (**)). Oznacza to np., że możemy wprowadzić trzy współrzędne przestrzenne i jedną czasową, różniącą się znakiem w metryce. W przypadku fizycznej grawitacji możemy metrykę Minkowskiego wprowadzić w pobliżu dowolnego punktu, ale tylko lokalnie, nie dla całej przestrzeni. Winda spadająca na antypodach będzie miała przyspieszenie dokładnie przeciwne do windy spadającej obok nas. Siły grawitacyjne zależą od miejsca i czasu, nie da się ich więc wyłączyć wszędzie za jednym zamachem.

  • Ruch ciał pod działaniem grawitacji

W ogólnej teorii względności nie ma grawitacji, jest tylko zakrzywiona czasoprzestrzeń (trzeba pamiętać, że zakrzywiona musi być czasoprzestrzeń, niekoniecznie zwykła fizyczna 3-przestrzeń). Krzywizna czasoprzestrzeni powiązana jest z masami/energiami, które się w tej czasoprzestrzeni znajdują. Opisują to równania Einsteina, gdy je rozwiążemy dla danego przypadku, otrzymujemy metrykę danej czasoprzestrzeni. Co wynika z tego, że znamy metrykę? Ano tyle, że możemy ustalić, jak fizyczne odległości i czasy są związane ze współrzędnymi. Możemy też obliczyć, jak powinny się w naszej czasoprzestrzeni poruszać ciała. Zamiast siły grawitacji mamy tu po prostu zasadę najdłuższego czasu własnego: ciała poruszają się po takich krzywych, że \Delta s jest dla nich największe. Zatem ruch pod wpływem grawitacji przedstawiamy jako ruch po krzywych geodezyjnych, a samą grawitację opisujemy za pomocą geometrii: brak grawitacji daje czasoprzestrzeń płaską, w obecności mas czasoprzestrzeń się zakrzywia, co znajduje swe odbicie w metryce. Mówimy tu wyłącznie o ruchu pod działaniem grawitacji, jeśli obecne są jakieś inne siły, to ruch cząstki nie będzie geodezyjny.

Idea zastąpienia grawitacji geometrią możliwa była dlatego, że w polu grawitacyjnym wszystkie masy spadają jednakowo: nie musimy wiedzieć, z czego zrobiony jest sztuczny satelita, ponieważ każdy będzie się poruszał jednakowo. Skoro ten ruch nie zależy od masy poruszającego się ciała ani od żadnych innych jego własności, to możemy powiązać go z samą czasoprzestrzenią i powiedzieć, że czasoprzestrzeń jest tak ukształtowana, iż każde ciało szuka geodezyjnej, i to jest właśnie grawitacja. Można na geodezyjną spojrzeć również jako na krzywą, która po prostu zachowuje kierunek (wtedy nie musimy się zastanawiać, skąd cząstka wie, na której drodze czas własny będzie maksymalny, cząstki zwykle nie są inteligentne).

  • Przykład: pole grawitacyjne przy powierzchni Ziemi

Jak wygląda metryka czasoprzestrzeni w przypadku słabego pola grawitacyjnego, takiego jak przy powierzchni Ziemi? Możemy ją zapisać jako

ds^2=c^2\left(1+\dfrac{2gh}{c^2}\right) dt^2-dl^2.

We wzorze tym g, h oznaczają przyspieszenie ziemskie i wysokość, a dl euklidesową (zwykłą) odległość dwóch punktów. Zapisaliśmy tu jawnie prędkości światła, żeby widać było, które wielkości są małe, gdy pole jest słabe, a prędkości niewielkie (w porównaniu z c! zawsze trzeba pamiętać w porównaniu z czym coś jest małe). Możemy całe powyższe wyrażenie zapisać jako

ds=c\sqrt{1+\dfrac{2gh}{c^2}-\dfrac{v^2}{c^2}}dt.

Skorzystaliśmy z tego, że droga dl podzielona przez czas dt daje prędkość v. Pod pierwiastkiem mamy niewielkie dodatki do jedynki, można więc użyć przybliżonego wyrażenia dla pierwiastka:

\sqrt{1+x}\approx 1+\dfrac{x}{2},\mbox{ gdy }|x|\ll 1.

Otrzymujemy

ds \approx c\left(1+\dfrac{gh}{c^2}-\dfrac{v^2}{2c^2}\right) dt=c dt-\dfrac{1}{c}\left(\dfrac{v^2}{2}-gh\right)dt.

Pierwszy składnik po prawej stronie nie zmienia się, gdy rozpatrujemy różne krzywe łączące dwa dane zdarzenia, dając po prostu różnicę czasu. Drugi natomiast dla danej krzywej będzie równy (pomijając znak i 1/c sprzed nawiasu)

{\displaystyle \int \left(\dfrac{v^2}{2}-gh\right)dt.}

Łatwo zauważyć, że jeśli pomnożymy to przez masę poruszającego się ciała, dostaniemy klasyczne działanie

{\displaystyle S=\int \left(\dfrac{mv^2}{2}-mgh\right)dt.}

Zatem zasada najdłuższego czasu ds prowadzi do zasady najmniejszego działania w fizyce Newtona. W ten sposób wiemy, że dysponujemy teorią bardziej ogólną zarówno w stosunku do dynamiki Newtona, jak i szczególnej teorii względności. Działanie w teorii względności (jednej i drugiej) można zapisać jako

{\displaystyle S=-mc\int ds}.

Zamiast mgh możemy wstawić lepsze wyrażenie na energię potencjalną grawitacji.

Nasza metryka nie zmienia nic w części przestrzennej, ale wprowadza dodatkowy czynnik obok czasu. Zbadajmy jego znaczenie. Metryka nie zależy od czasu, więc gdy wyślemy dwa sygnały świetlne w odstępie czasu \Delta t do góry, to przyjdą one w takim samym odstępie czasu – są to po prosu takie same linie świata powtórzone. Dla zegara spoczywającego na poziomie h=0 mamy

\Delta s\equiv c\Delta \tau=c\Delta t,

dla znajdującego się wyżej:

\Delta s_1\equiv c\Delta \tau_1\approx c\left( 1+\dfrac{gh}{c^2}\right)\Delta t.

Dzieląc stronami drugie równanie przez pierwsze, otrzymamy

\Delta \tau_1=\left( 1+\dfrac{gh}{c^2}\right)\Delta \tau.

Fizyczny odstęp czasu, czyli czas własny, jest dłuższy na zegarze znajdującym się wyżej w polu grawitacyjnym. Jeśli zegary będą związane z emisją jakiejś linii widmowej, to częstość światła tej linii będzie niższa wg zegara umieszczonego wyżej. Efekt ten jest uwzględniany w działaniu GPS.

  • Przykład: czarna dziura Schwarzschilda

Równania pola grawitacyjnego, czyli równania określające krzywiznę czasoprzestrzeni, wydawały się trudne do ścisłego rozwiązania. Tak sądził Einstein, gdy w ciągu listopada 1915 roku, w pracach publikowanych na kolejnych cotygodniowych posiedzeniach Pruskiej Akademii Nauk, doszedł do ich ostatecznego sformułowania, a także stwierdził, że wyjaśniają one obrót peryhelium Merkurego, którego astronomowie nie potrafili zrozumieć od ponad pół wieku. Toteż bardzo się zdziwił, kiedy jeszcze tej jesieni otrzymał pracę Karla Schwarzschilda, przebywającego na froncie astronoma z Getyngi, zawierającą pierwsze ścisłe rozwiązanie w teorii względności. Dotyczyło ono sferycznie symetrycznego rozkładu mas, czyli np. pola grawitacyjnego na zewnątrz gwiazdy. Wiadomo, że pole grawitacyjne w takim przypadku jest takie jak masy punktowej umieszczonej w środku gwiazdy. W następnym roku metrykę tę otrzymał niezależnie Johannes Droste, był jednak znacznie mniej znanym uczonym, więc zwykle mówi się (niezbyt sprawiedliwie) o metryce Schwarzschilda. Zapiszemy ją tylko w płaszczyźnie równikowej gwiazdy, żeby mniej pisać – zagadnienie ma symetrię sferyczną, więc płaszczyzna równikowa dobrze reprezentuje wszystkie płaszczyzny przechodzące przez środek gwiazdy.

Metryka ma postać:

ds^2=\left(1-\dfrac{r_S}{r}\right)dt^2-\dfrac{dr^2}{1-\dfrac{r_S}{r}}-r^2 d\varphi^2.

Stała r_S to tzw. promień Schwarzschilda, równy

r_S=\dfrac{2GM}{c^2},

gdzie G to stała grawitacyjna, a M – masa naszej gwiazdy. Dziś wiemy, że jest to promień horyzontu czarnej dziury, ale do tej wiedzy uczeni doszli już po śmierci Einsteina. Jakie własności ma metryka Schwarzschilda? Czas własny i czas w danym punkcie związane są zależnością:

d\tau=\sqrt{1-\dfrac{r_S}{r}} dt.

Można sprawdzić, że jest to ogólniejszy przypadek przesunięcia ku czerwieni, czyli spowolnienia zegarów znajdujących się wyżej w polu grawitacyjnym.

Jeśli weźmiemy dwa punkty czasoprzestrzeni różniące się tylko kątem \varphi, ich odległość dana będzie związkiem

dl=\sqrt{-ds^2}=r d\varphi.

Zatem obwód okręgu o promieniu r jest równy 2\pi r. Niezbyt to odkrywcze, ale naprawdę informuje nas o tym, jaki jest sens parametru r – jeśli okrąg ma długość l, to definiujemy promień jako l/2\pi. Odległość wzdłuż promienia równa jest

dl=\dfrac{dr}{\sqrt{1-\dfrac{r_S}{r}}}>dr.

Zatem geometria przestrzeni nie jest euklidesowa, bo w geometrii euklidesowej powinniśmy otrzymać dokładnie dr (jako różnicę promieni okręgów r+dr oraz r).

Formalnie biorąc, rozwiązanie Schwarzschilda obowiązuje dla wszystkich promieni 0\le r<\infty. Pojawiają się jednak dwa problemy: metryka jest osobliwa, gdy r=r_S oraz r=0. Powiedzmy od razu, że pierwsza osobliwość jest pozorna i dotyczy tylko układu współrzędnych. Druga natomiast jest realna.

Gdy zbliżając się do zera, miniemy punkt r=r_S w naszej metryce znaki części z dt^2 i dr^2 też się zmienią. Ale znaki te są związane z tym, co jest czasem, a co przestrzenią, czyli wewnątrz obszaru ograniczonego powierzchnią r=r_S przestrzeń zamienia się w pewnym sensie na czas. Pokazuje to ładnie obrazek Johna Nortona

źródło: Black Holes

Promień Schwarzschilda jest promieniem horyzontu zdarzeń, wewnątrz niego stożki świetlne przyszłości zwrócone są ku osobliwości w r=0 (singularity). Znaczy to, że dla kogoś, kto przekroczył horyzont, osobliwość należy do przyszłości i jest tak samo nieunikniona, jak każda przyszłość. Można obliczyć czas własny, po jakim obserwator przekraczający horyzont dotrze do osobliwości, jest on rzędu r_S/c, co dla wielkich czarnych dziur w centrach galaktyk daje czas rzędu minuty. Im bliżej osobliwości, tym większe siły przypływowe, czyli różnice sił grawitacyjnych działających na różne punkty danego ciała. Prowadzi to do rozerwania wszelkiej materii na coraz drobniejsze fragmenty. Sam horyzont nie jest żadną osobliwością i niezbyt uważny obserwator może go przekroczyć, niczego nie spostrzegając. Nie da się jednak stamtąd wrócić ani nawet wysłać wiadomości, bo wszystkie stożki świetlne zwrócone są ku osobliwości.

Można też tę sytuację przedstawić na diagramie Penrose’a. Linie świata światła biegną na nim stale pod kątem \pm 45^{\circ}, cała czasoprzestrzeń została skompresowana do skończonego obszaru. Ponieważ linie świata cząstek muszą zawsze biec wewnątrz stożków, więc można łatwo zobaczyć, co w tej czasoprzestrzeni jest możliwe, a co nie. Mamy dwa obszary: ponad horyzontem i wewnątrz horyzontu. Zielone kropki są punktami w nieskończoności, ten górny nie należy do osobliwości. Dlatego możliwe są linie świata takie, jak zielona, które omijają horyzont (można np. po prostu krążyć wokół czarnej dziury, jeśli tylko nie znajdujemy się zbyt blisko). Ale możliwe są i takie linie świata, które go przekraczają i wtedy już nie ma powrotu (linia czerwona). Żółte linie świata oznaczają linie zerowe, czyli możliwe linie fotonów. Spod horyzontu nawet światło nie może uciec.

Nasz diagram nie stanowi całości rozwiązania Schwarzschilda. Pole grawitacyjne dopuszcza także istnienie symetrycznych białych dziur i dopiero całość stanowi matematyczne rozwiązanie problemu. Nie narysowaliśmy tej części, ponieważ nie odpowiada ona fizycznej rzeczywistości, w istocie lewa krawędź naszego obrazka też jest niefizyczna. Czarne dziury tworzą się przez kolaps (zapadanie) grawitacyjne i ta część rozwiązania powinna zostać zastąpiona opisem sytuacji wewnątrz zapadającej się gwiazdy. Realne jest natomiast utworzenie się horyzontu oraz osobliwości (cokolwiek może ona oznaczać). Istnienie osobliwości przy pewnych ogólnych założeniach wynika z szeregu twierdzeń udowodnionych przez Rogera Penrose’a, Stephena Hawkinga i innych. innymi słowy: teoria Einsteina przewiduje swoją własną niekompletność, gdyż osobliwości nie należą do czasoprzestrzeni.

  • Równania pola

Same równania pola są w teorii Einsteina są skomplikowane, jeśli wyrazić je jako pochodne metryki. Są to wówczas równania cząstkowe drugiego rzędu, jest ich dziesięć. Opisują one tak zwany tensor krzywizny Ricciego. Fizycznie są bezpośrednim i właściwie nieuniknionym uogólnieniem teorii Newtona. Oczywiście, stało się to takie jasne po stu latach, kiedy Einstein pracował nad swoją teorią nawet matematycy, którzy zajmowali się tym rodzajem geometrii, nie byli od niego dużo mądrzejsi. W pustej przestrzeni równania Einsteina stwierdzają po prostu, że tensor Ricciego znika:

R_{\mu\nu}=0,

gdzie  \mu,\nu=0,1,2,3. Tensor jest symetryczny, ma więc dziesięć składowych. Napisaliśmy te równania tylko dla porządku, żeby można było na nie spojrzeć. W gruncie rzeczy równanie to jest naturalnym uogólnieniem równania Laplace’a dla potencjału grawitacyjnego V w teorii newtonowskiej:

\Delta V\equiv \dfrac{\partial^2 V}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 V}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 V}{\partial z^2}=0.

Równania pola plus zasada maksymalnego czasu to całość teorii Einsteina. Oszczędni Szwajcarzy przedstawili to na monecie pięciofrankowej.

Einstein w Paryżu (1922)

Nie była to zwyczajna wizyta naukowa, nie minęły jeszcze cztery lata od zakończenia wojny. Zginęło w niej 1,3 mln Francuzów i w Paryżu nie wszyscy chcieli przyjmować uczonego niemieckiego. Prasa podkreślała wprawdzie, że Einstein nie podpisał podczas wojny Manifestu 93 – szowinistycznego przesłania do reszty Europy, w którym dowodzono, iż Niemcy walczą w imię kultury, Goethego, Beethovena i Kanta. Nie brakowało jednak również głosów takich, jak Roberta Havarda de la Montagne: „Jakakolwiek była postawa Einsteina, jest on Niemcem”. Wizyta miała więc wyraźny podtekst polityczny, miała być pierwszą jaskółką ocieplenia stosunków, Einstein rozmawiał o niej z Harrym Kesslerem, współpracownikiem ministra spraw zagranicznych Walthera Rathenaua, który dążył do ułożenia na nowo stosunków z krajami Ententy. Po drugiej stronie na rzecz ostrożnego zbliżenia działał Paul Painlevé, polityk i matematyk. Einstein przyjeżdżał na zaproszenie Collège de France, inicjatywa należała do profesora owej instytucji i prywatnie jego przyjaciela Paula Langevina. Langevin, uczeń Poincarégo, przekonał się do teorii względności i został jej gorliwym propagatorem. Łączyła go z Einsteinem przyjaźń, jak również socjalistyczne przekonania polityczne.

Prasa wietrzyła sensację, a nawet wypatrywała skandalu. Nagłówki krzyczały: „Einstein w Paryżu”, „Czekając na Einsteina”, „Einstein się ukrywa”, „Einstein nie przybył do Paryża”. Rzeczywiście, uczony postarał się zmylić tropy dziennikarzom, przyjechał niezauważony i zamieszkał w przygotowanym mieszkaniu zamiast w hotelu. W wypowiedzi dla prasy Paul Painlevé stwierdził: „Powinniśmy go przyjąć z szacunkiem jako wielki umysł i z sympatią jako Niemca wiernego swemu krajowi, lecz przy tym szlachetnego i bardzo europejskiego”. Na pytanie o teorie Einsteina Painlevé odpowiedział: „Opierają się one jedynie na potężnych podstawach matematycznych i są raczej wielką próbą ujednolicenia niż konkretnym rezultatem. Ale w nauce początek jest równie ważny jak osiągnięcie równowagi”.

Painlevé osobiście sprawdza bilety wstępu na spotkanie z Einsteinem

Częściowo z przyczyn politycznych Einstein nie brał udziału w spotkaniach otwartych dla publiczności. Wziął udział w czterech sesjach dyskusyjnych w Collège de France, a także wystąpił we Francuskim Towarzystwie Filozoficznym. Wstęp na owe imprezy mieli w zasadzie tylko uczeni oraz studenci, choć pojawiło się także trochę osób z wielkiego świata, jak hrabina Greffulhe, która była prototypem księżny Guermantes w powieści Marcela Prousta, a także hrabina de Noailles, poetka i bliska przyjaciółka pisarza. Sam Proust także bardzo interesował się tą wizytą, mimo że był już bardzo chory i pochłonięty kończeniem swego arcydzieła, były to ostatnie miesiące jego życia. Niewykluczone, że ktoś z kręgu przyjaciół przekazał mu swoje wrażenia na temat Einsteina.

Podwójny portret fotograficzny hrabiny Greffulhe, Otto Wegener, 1899 (Metropolitan Museum of Art)

Siedzą od lewej: Langevin, Einstein, hrabina de Noailles, Painlevé; stoją od lewej: sir Thomas Barclay (prawnik), Leo Strisower (prawnik), Paul Appell (rektor Sorbony), Emil Borel (matematyk) oraz Henri Lichtenberger (germanista),  (Wellcome Collection)

Astronom Charles Nordmann, który wraz z Langevinem organizował tę wizytę, zwrócił uwagę na szeroką czaszkę Einsteina, jego brachycefaliczność. Przypominał on budową czaszki Ernesta Renana. Według rozmaitych rasowych czy może rasistowskich teorii antropologicznych inteligencja miała być skojarzona z długą czaszką, dolichocefaliczną.

Ernest Renan

Uwagi Nordmanna są czysto opisowe, ale zwolennicy rasy aryjskiej już wtedy uciekali się do swoistego fortelu: ponieważ nie można było zanegować żydowskości Einsteina, należało negować jego teorie. Także w przedwojennej Polsce dało się słyszeć głosy różnych mędrków, którzy spod swej gruszy oceniali największe osiągnięcia ludzkości – i wcale ich one nie zachwycały, przeciwnie, byli mocno sceptyczni.

Albert Einstein (1879-1955), physicien américain d’origine allemande, et Paul Langevin (1872-1946), physicien français.
© Neurdein / Roger-Viollet

Dyskusje w Paryżu były kurtuazyjne, lecz pełne zastrzeżeń. Paul Painlevé przedstawił nową postać metryki Schwarzschilda i wyciągał z niej daleko idące wnioski, sądził, że teoria grawitacji Einsteina jest czymś w rodzaju języka matematycznego, który można dostosować do różnych zjawisk. Inny matematyk, Jacques Hadamard, zastanawiał się nad tym, co by się stało, gdyby jakieś ciało niebieskie osiągnęło tak małe rozmiary, że metryka Schwarzschilda staje się rozbieżna (w istocie chodzi tu o pozorną osobliwość, przy promieniu Schwarzschilda tworzy się horyzont zdarzeń, nikt tego wówczas nie wiedział). Wystąpił też Élie Cartan, wielki geometra francuski, który nawiązał później z Einsteinem współpracę. Przy okazji kolejny raz wystąpił ze swą pseudoteorią Edouard Guillaume, Szwajcar, który prześladował Einsteina, usiłując dowieść, iż teoria względności jest wewnętrznie sprzeczna. Filozoficznym oponentem Einsteina był Henri Bergson, niezwykle wtedy popularny wykładowca i pisarz, głoszący własną teorię czasu. Spotykali się później wiele razy i wszyscy oczekiwali starcia dwóch stanowisk. Einstein zwykle uchylał się od polemiki, kiedyś zniecierpliwiony stwierdził na temat teorii Bergsona: „Niech Bóg mu ją wybaczy”.

Wpływ uczonych na politykę był niewielki. Ambasador niemiecki w Paryżu raportował, że wizyta była sukcesem, także z niemieckiego punktu widzenia, ale Einstein postrzegany jest jako nietypowy Niemiec, więc nie należy się spodziewać ocieplenia w uczuciach Francuzów. Tymczasem w Niemczech szło ku gorszemu, kilka miesięcy później prawicowi bojówkarze zamordowali ministra Rathenaua. Nacjonalistyczna prawica nie chciała demokracji, nie chciała normalizacji stosunków z Europą i nie chciała Żydów na eksponowanych stanowiskach. W następnym roku odbył się pucz monachijski, pierwsza, jeszcze nieudana próba dojścia Adolfa Hitlera do władzy.

Henry Moseley, brakujące pierwiastki i śmierć pod Gallipoli (1887-1915)

W tym roku mija sto lat od wybuchu pierwszej wojny światowej. Przysłonięta jeszcze straszniejszą drugą wojną, wydaje nam się niesłychanie odległa. Trudno zwłaszcza zrozumieć ówczesny entuzjazm: czemu miliony młodych ludzi po obu stronach rwało się na ochotnika do walki i czemu przeciwnicy wojny traktowani byli jak trędowaci, nie tylko przez oficjalną propagandę, ale także przez ogół społeczeństwa (Pisałem o stosunku Alberta Einsteina do tej wojny.) Wśród ofiar znalazł się Karl Schwarzschild, astrofizyk, który odkrył rozwiązanie równań Einsteina odpowiadające czarnej dziurze. Inną z trzydziestu siedmiu milionów ofiar tej wojny był Henry Moseley.
Moseley pochodził z rodziny o naukowych tradycjach, ojciec i obaj dziadkowie byli członkami Towarzystwa Królewskiego. Studiował w Oksfordzie, w egzaminach końcowych zdobył pierwszą lokatę z matematyki i dopiero drugą z fizyki – ten wynik traktował jako porażkę. Studia w Oksfordzie były dla niego w ogóle rozczarowaniem, ponieważ musiał się nauczyć wielu niepotrzebnych rzeczy do egzaminów. Nie ma zresztą czegoś takiego jak studia dobre dla każdego – to, co jednemu przyniesie korzyść, dla innego może być stratą czasu (mówimy o ludziach, którym zależy, żeby później coś z tą wiedzą zrobić).

slide3_moseley

To zdjęcie w Laboratorium Balliol-Trinity w Oksfordzie ok. 1910 roku.

Zaczął pracować w Manchesterze u Ernesta Rutherforda, w najlepszym zespole badawczym tamtych czasów. W Manchesterze odkryto jądro atomowe, a Niels Bohr zaczął serię prac na temat budowy atomu. Moseley słynął z niezwykłej pracowitości, pracował kilkanaście godzin na dobę, jadł owoce, ser i chleb, z laboratorium wychodził o trzeciej nad ranem. Po kilku innych pracach zajął się tematem widm rentgenowskich. Otóż różne atomy wysyłają promieniowanie rentgenowskie o ściśle określonych długościach fali – przypomina to widma optyczne, jakie można oglądać w spektroskopie. Widma optyczne są jednak zwykle skomplikowane, trudne do szczegółowej analizy. W latach 1913-1914 w ciągu mniej więcej roku Moseley zbadał widma rentgenowskie szeregu pierwiastków i odkrył, że są one bardzo regularne. Położenie linii zależy jedynie od liczby atomowej, czyli numeru pierwiastka w układzie okresowym. Do tamtej pory pierwiastki szeregowano głównie na podstawie masy atomowej. Czasem należało się też kierować własnościami chemicznymi: inaczej argon (39,95) musiałby zająć miejsce potasu (39,10) itp. Jednak liczba atomowa była tylko numerem. Teraz się okazało, że ma ona jakiś sens fizyczny.

Moseley-Fig3

(Linie są naprawdę wielokrotne, stąd dwie bliskie proste odpowiadające tzw. liniom K oraz cztery wyżej odpowiadające tzw. liniom L, nie będziemy się tą komplikacją przejmować.) Wykres tej zależności staje się linią prostą, jeśli na jednej osi wykreślić pierwiastek z częstotliwości, a na drugiej liczbę atomową. Musiało się to skojarzyć z widmami optycznymi, dla wodoru mamy np. takie prawo (\lambda jest długością fali):

\dfrac{1}{\lambda}=R\left(\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{1}{m^2}\right),

gdzie m, n są liczbami całkowitymi, a R jest stałą fizyczną zwaną stałą Rydberga. Niels Bohr umiał obliczyć jej wartość na podstawie swojego modelu atomu. Moseley zauważył, że podobnie można zapisać długości fal dla widm rentgenowskich. Np. seria K układała się następująco.

moseley

Na osi pionowej mamy \frac{1}{\sqrt{\lambda}} w pewnych jednostkach. Dane pochodzą z pracy Moseleya, czerwone kropki to wyniki pomiarów, kropka niebieska to przecięcie linii prostej z osią. Obserwowana zależność to przeskalowane widmo wodoru (Z jest liczbą atomową):

\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{3}{4}R(Z-1)^2=R\left(\dfrac{1}{1^2}-\dfrac{1}{2^2}\right)(Z-1)^2.

Stała R to ta sama stała Rydberga co wyżej, więc raczej nie może być mowy o przypadku. Podobne prawo zachodzi dla linii serii L, tej wyżej położonej na wykresie Moseleya, tyle że stała liczbowa mnożąca R równa się nie \frac{3}{4}, lecz

\dfrac{5}{36}=\left(\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{3^2}\right),

a wykres przecina oś liczb atomowych w jeszcze innym punkcie. W roku 1914 nie było wiadomo, jak to wszystko należy rozumieć.

Praca eksperymentalna Moseleya miała natomiast oczywistą wartość doraźną: można było wyjaśnić wątpliwości chemików i sprawdzić, których pierwiastków brakuje: były to numery 43, 61, 72, 75. Odkryto je w późniejszym czasie (chemicy podejrzewali zresztą ich istnienie). Można też było łatwo rozróżnić pierwiastki z grupy lantanowców, które chemicznie trudne są do rozseparowania. Wiadomo też było, że jest ich równo 15. Henry Moseley zdążył opublikować dwie prace o widmach rentgenowskich, po czym wybuchła wojna. Był wtedy w Australii, wrócił do kraju i zgłosił się do oddziałów łączności. Turecki snajper zabił go pod Gallipoli 10 sierpnia 1915 roku. W kilku językach podzielonej Europy odnotowano tę stratę: dwudziestosiedmioletni uczony typowany był już wtedy do Nagrody Nobla. Z pewnością mógłby jeszcze coś zdziałać w fizyce, jego szef, Rutherford, po Nagrodzie Nobla za promieniotwórczość odkrył jeszcze jądro atomowe i wszystko to zdążył zrobić przed czterdziestką.

Moseley sądził, że jego wyniki potwierdzają Bohra model atomu. Rzecz nie jest jednak aż tak prosta. Liczba atomowa Z to ładunek jądra (dziś wiemy, że to liczba dodatnich protonów w jądrze). Jeśli przyjmiemy, że wokół jądra krąży tylko jeden elektron, to energia jego wiązania na każdej orbicie powinna być dokładnie Z^2 razy większa niż w wodorze, ponieważ energia fotonu jest proporcjonalna do \frac{1}{\lambda}, więc otrzymalibyśmy niemal to, co trzeba. Można by sobie wyobrazić, że linie K odpowiadają przejściom z drugiej orbity na pierwszą, linie L z trzeciej na drugą itd. Proste \frac{1}{\sqrt{\lambda}} w zależności od Z przechodziłyby przez początek układu, a tak nie jest. W atomie mamy jednak wiele elektronów (musi ich być Z, bo atom jest elektrycznie obojętny), więc zapewne takie skalowanie nie może być ścisłe.

Właściwie nie ma dobrego fundamentalnego wytłumaczenia, dlaczego proste nie przechodzą przez początek układu. W podręcznikach zwykle pisze się o ekranowaniu: chmura elektronowa między jądrem a najniższym elektronem miałaby łącznie ładunek -1, więc nasz elektron przechodząc z drugiej powłoki na pierwszą, znajdowałby się w polu ładunku Z-1. A dlaczego możemy pominąć pozostałe elektrony? Są one dalej od jądra, tworząc sferycznie symetryczną chmurę ładunku – wewnątrz takiej chmury pole elektryczne znika, więc nie mają one wpływu na ruch naszego niskiego elektronu. Niektórzy kwestionują takie wyjaśnienie; tak czy owak, nie można chyba wzorów Moseleya wyprowadzić ściśle. Co nie przeszkadza oczywiście w praktyce: analizatory widma rentgenowskiego pozwalają natychmiast sprawdzić, z jakimi pierwiastkami mamy do czynienia. Producenci tego sprzętu żyją ze sprzedawania odkrycia Henry’ego Moseleya.