Hermann Minkowski i czasoprzestrzeń (1908)

We wrześniu roku 1908 na Zjeździe Niemieckich Przyrodników i Lekarzy  w Kolonii odczyt wygłosił Hermann Minkowski, matematyk z Getyngi. Powiedział tam:

Poglądy na przestrzeń i czas, które zamierzam tu rozwinąć, wyrosły z gruntu doświadczalno-fizykalnego. Tendencja ich jest radykalna. Odtąd przestrzeń w sobie i czas w sobie mają całkowicie stać się cieniami i tylko pewien rodzaj ich unii utrzymać ma samodzielność. („Wiadomości matematyczne”, t. 13, z. 5-6 (1909), s. 231.)

Chodziło w istocie o usunięcie sprzeczności miedzy dwiema wielkimi teoriami fizyki: mechaniką Newtona i elektrodynamiką Maxwella i Lorentza. Elektrodynamika przewidywała istnienie fal elektromagnetycznych, które w próżni rozchodzić się miały z prędkością światła c. Zbieżność wynikającej z teorii wartości z mierzoną prędkością światła była silnym argumentem za teorią Maxwella. Aby jednak wyznaczyć prędkość czegokolwiek, w tym impulsu świetlnego, musimy sprecyzować układ odniesienia, np. układ współrzędnych kartezjańskich. W jakim układzie odniesienia prędkość światła i innych fal elektromagnetycznych równa się dokładnie c? Sądzono powszechnie, że istnieje pewien nieruchomy ośrodek, eter, w którym rozchodzą się fale elektromagnetyczne, podobnie jak fale dźwiękowe w powietrzu albo innym ośrodku sprężystym. Eter długo zresztą pokutował w mowie potocznej jako „fale eteru”. Ponieważ Ziemia porusza się wokół Słońca, więc nie może zawsze spoczywać względem eteru, a skoro tak to obserwowana na Ziemi prędkość światła nie może być zawsze i w każdym kierunku taka sama. Wektorowe składanie prędkości wynika jednoznacznie z mechaniki Newtona, która miała za sobą dwa wieki sukcesów. Eksperymenty prowadzone przez wiele lat, głównie przez Alberta Michelsona, nie wykazywały żadnych efektów ruchu Ziemi: ani o żadnej porze roku, ani w piwnicy, ani w górach. Hendrik Lorentz wykazał, że można ocalić spójność fizyki za cenę wprowadzenia dość osobliwego założenia o skracaniu się ciał wzdłuż kierunku ruchu. Wprowadził też dodatkowy czas t', pewną matematyczną fikcję, która sprawiała, że równania elektrodynamiki nie zmieniały się w poruszającym się układzie odniesienia. Dopiero Albert Einstein rozciął ów węzeł gordyjski, stwierdzając, że pojecie eteru jest „zbędne”, nie istnieje żaden uprzywilejowany układ odniesienia. W każdym układzie odniesienia prawa fizyki: zarówno mechaniki, jak i elektrodynamiki mają taką samą postać (dokładnie w układzie inercjalnym, tzn. takim, który nie porusza się ruchem przyspieszonym, jak hamujący autobus bądź karuzela w ruchu). Oznacza to w szczególności, że prędkość światła zmierzona przez każdego obserwatora będzie równa c. Ceną za usunięcie sprzeczności była fundamentalna zmiana w pojęciu czasu. Jak pisał Minkowski w dalszym ciągu swego wykładu:

Lecz dopiero zasługą jest A. Einsteina wykazanie ścisłe, że czas jednego elektronu jest tak dobry jak drugiego, tj. że t i t' należy traktować jednakowo.

Einstein był młody i nie pracował na uniwersytecie w Getyndze, lecz w Biurze Patentowym w Bernie. Obie te okoliczności pozwoliły mu na przyjęcie radykalnego rozwiązania, że wyniki pomiaru czasu mogą zależeć od ruchu układu odniesienia. Do tej pory czas miał być absolutną miarą zmian w świecie fizycznym. Pogląd Newtona, zakorzeniony w jego metafizyce i teologii, stał się niewzruszony dla następnych pokoleń uczonych. Młodość oznaczała w tym wypadku pewną bezwzględność w stosunku do szacownych poprzedników. W zasadzie klocki pojęciowe zostały już uformowane przez Lorentza i Henri Poincarégo, Einstein ustawił je tylko w pozornie paradoksalny sposób, nie troszcząc się o wrażliwość starego pokolenia. Ustawienie to przetrwało do dziś. Z Lorentzem zresztą się później zaprzyjaźnił, Poincaré, przyznając mu naukową rangę, mocno się dystansował od jego ujęcia. Dlaczego pomogło mu, że nie pracował w Getyndze? Młody Albert porzucił gimnazjum w Monachium, nie mając jeszcze szesnastu lat, i wyjechał z Niemiec, zrzekł się też wkrótce obywatelstwa Królestwa Wirtembergii, a tym samym Rzeszy Niemieckiej. Nie cierpiał niemieckiego ducha posłuszeństwa, uważał, że w gimnazjum jest jak w wojsku. W rezultacie studiował na Politechnice w Zurychu, która była uczelnią gorszą niż uniwersytety niemieckie albo Uniwersytet Wiedeński. Prawie nie miał tam fizyki teoretycznej oprócz jednego wykładu Minkowskiego, gdzie omawiane były kwestie takie jak włoskowatość, a więc zupełnie już przestarzałe z punktu widzenia fizyka. Einstein nauczył się wszystkiego sam. Po studiach, ponieważ był dość pyskaty, nie znalazł miejsca na uczelni. Nie chcieli go nawet do prowadzenia ćwiczeń ze studentami, których na politechnice było dużo i które były tak samo wtedy, jak i dziś, niezbyt rozwijające intelektualnie. Urząd patentowy był pracą zastępczą. Przedtem różne uniwersytety z całej niemal Europy zdążyły odrzucić podania młodego absolwenta. Gdyby miał szczęście i zaczął pracować w Getyndze, wśród wybitnych matematyków i fizyków, trudniej byłoby mu zachować niezależność. Tamtejsza szkoła wywierała silne piętno na pracujących tam uczonych. Minkowski, który z Zurychu przeniósł się do Getyngi, miał niezbyt wysokie pojęcie o Einsteinie, który niewiele zresztą chodził na wykłady czysto matematyczne (choć stopnie z egzaminów miał dobre, uczył się w ostatniej chwili). Ujmując rzecz ogólnie: Pan Bóg wiedział, co robi, tworząc odrębne profesje matematyków i fizyków. David Hilbert i Felix Klein interesowali się fizyką, ale osiągnięcia, zarówno ich własne, jak i młodszych kolegów w tej dziedzinie były wybitne, a jednocześnie jakoś chybione. Powstawały prace eleganckie, lecz puste z punktu widzenia fizyka. Toteż lepiej, że Einstein nie musiał walczyć z presją tamtejszego środowiska. Możliwe zresztą, że by sobie poradził, bo miał wyjątkowo silny charakter. Sam zresztą mówił, że charakter ważniejszy jest od talentu, chodziło mu o to, żeby robić swoje, nie myśląc, że to się może nie udać. Fizyka w jego wydaniu to były niemal zawsze prace, które mogły się udać albo okazać kompletnym nieporozumieniem. Charakter potrzebny był mu do podejmowania ryzyka i nieprzejmowania się porażkami, których zawsze jest więcej niż sukcesów.

Wprowadzona przez Minkowskiego czasoprzestrzeń stała się trwałą częścią fizyki. Teoria względności, naruszając niezmienność czasu, wciąga go niejako do gry, pozwalając mu mieszać się z przestrzenią. Ze współczesnego punktu widzenia prędkość światła jest jedynie przelicznikiem między czasem a odległością. Stała c ma obecnie pewną wartość zadekretowaną przez międzynarodowe porozumienia. Żeby mieć te same jednostki na osiach możemy umieszczać ct oraz współrzędne x,y,z (będziemy też czasem pisać po prostu t zamiast $ct$). W czasoprzestrzeni punktami są zdarzenia o określonych współrzędnych (x, y, z, ct). Wygląda to tak dla czasoprzestrzeni (2+1)-wymiarowej:

Powiedzmy, że O jest zdarzeniem, które nas szczególnie interesuje. Zdarzenia, które mogły wywrzeć wpływ na O albo leżą na stożku przeszłości, jak Y – sygnał świetlny mógł dotrzeć do O. Stożek przeszłości, to wszystko, co widzimy: galaktykę w Andromedzie widzimy taką, jaka była dwa miliony lat temu, bo tyle czasu potrzebuje światło, aby do nas dotrzeć. Wszystkie zjawiska, które mogłyby wpłynąć na O leżą na stożku przeszłości albo wewnątrz niego, jak X. Analogiczną rolę pełni stożek przyszłości: leżą na nim albo wewnątrz niego wszystkie zdarzenia, na które O może (w zasadzie) mieć wpływ. Natomiast zdarzenia takie, jak A nie są w żadnym związku przyczynowym ani skutkowym z O. Struktura taka pozostaje niezmienna dla każdego obserwatora, choć inaczej on umiejscowi poszczególne punkty obrazka. To, co pozostaje nienaruszone, to wyżej opisane relacje: jeśli np. X było w stożku przeszłości względem O, to zawsze tak będzie, choć położenie X wewnątrz stożka może się różnym obserwatorom wydać różne.

Pokażemy teraz, jakie wartości różni obserwatorzy przypisują tym samym zdarzeniom. Fizyka powinna być niezależna od układu współrzędnych. Możemy np. obrócić układ współrzędnych w płaszczyźnie xy. Każdy punkt P=(x,y) w nowym układzie osi będzie miał nowe współrzędne (x',y').

\begin{cases}x'=x\cos\varphi-y\sin\varphi \\y'=y\cos\varphi+x\sin\varphi.\end{cases}

Transformacja ta nie zmienia odległości punktu P od początku układu współrzędnych, zatem:

x^2+y^2=x'^2+y'^2.

Łatwo sprawdzić, że wypisane wyżej równania spełniają ten warunek, po drodze musimy skorzystać z jedynki trygonometrycznej \sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1.

Możemy też zmienić układ współrzędnych nieprimowany na poruszający się ruchem jednostajnym układ primowany.

Klasyczny i „zdroworozsądkowy” związek między współrzędnymi przyjmie teraz postać:

\begin{cases}x'=x-vt\\y'=y\\t'=t.\end{cases}

Jest to tzw. transformacja Galileusza. Prawidłową transformacją jest jednak tzw. transformacja Lorentza. Minkowski spojrzał na nią w sposób geometryczny, jak na przekształcenie, które zachowuje następującą wielkość (odtąd zachowujemy tylko x,t, współrzędne y,z nie zmieniają się, gdy ruch zachodzi w kierunku osi x):

x^2-t^2=x'^2-t'^2.

Widzimy tu analogię do obrotów, różny jest tylko znak. Wielkość ta zwana jest interwałem czasoprzestrzennym i tym się różni od kwadratu odległości, że może przyjmować znaki zarówno dodatnie, jak i ujemne. Nowe i stare współrzędne muszą leżeć na jednej gałęzi hiperboli albo na jednej linii prostej (stożek). Narysowaliśmy jeden z możliwych przypadków:

Możemy wprowadzić nowe współrzędne:

\begin{cases}x_{-}=x-t\\x_{+}=x+t.\end{cases}

Zgadujemy następującą postać transformacji Lorentza:

\begin{cases}x'_{-}=e^{\varphi}x_{-}\\x'_{+}=e^{-\varphi}x_{+}.\end{cases}

Łatwo zauważyć, że wielkość interwału czasoprzestrzennego jest zachowana (wzory skróconego mnożenia). Przy okazji widać też, że transformacji odwrotnej odpowiadać będzie parametr -\varphi, a przy złożeniu dwóch ruchów parametry się dodadzą. Nie wiemy tylko jeszcze, jaki jest sens parametru \varphi, powinien on być jakoś związany z prędkością jednego układu względem drugiego. Wracając do zwykłych współrzędnych x,t, otrzymamy

\begin{cases}x'=x\cosh\varphi-t\sin\varphi\\t'=t\cosh\varphi-x\sinh\varphi.\end{cases}

Prędkość układu primowanego, to prędkość ruchu punktu x'=0. Korzystając z tego, dostajemy

v=\dfrac{x}{t}=\dfrac{\sinh\varphi}{\cosh\varphi}=\mbox{tgh }\varphi.

Przy małych wartościach \varphi jest równe prędkości. Widzimy też, że prędkość mieści się w przedziale (-c,c). Dla tangensów hiperbolicznych istnieje wzór podobny, jak w zwykłej trygonometrii:

u=\mbox{tgh }(\varphi_1+\varphi_2)=\dfrac{\mbox{tgh }\varphi_1+\mbox{tgh }\varphi_2}{1+\mbox{tgh }\varphi_1 \mbox{tgh }\varphi_1}=\dfrac{v_1+v_2}{1+v_1 v_2}.

Itd. itp. Łatwo można dalej wyprowadzać wnioski z postaci transformacji Lorentza.

 

Reklamy

Albert Einstein na dwóch fotografiach, czyli jak pionier został konserwatystą (1911, 1927)

Pierwsza fotografia pochodzi z roku 1911 i przedstawia uczestników I Kongresu Solvaya. Ernest Solvay, bogaty przemysłowiec, wzbogacił się na wynalezionej przez siebie metodzie produkcji sody. Nie miał akademickiego wykształcenia, lecz wykazywał pewne ambicje naukowe. Zwołany do Brukseli kongres zgromadził najwybitniejszych fizyków epoki, organizował go Hendrik Lorentz, który zaprosił m.in. Alberta Einsteina.

1911

Podpisana wersja tej fotografii

Trzydziestodwuletni Einstein stoi z cygarem w drugim rzędzie obok Paula Langevina, z którym szybko się zaprzyjaźnił (nb. w tym właśnie czasie wybuchł skandal prasowy w Paryżu wokół romansu żonatego Langevina ze starszą od niego Marią Skłodowską-Curie, jedyną kobietą na zdjęciu). Dla Einsteina był to pierwsza międzynarodowa konferencja naukowa i okazja do poznania sławnych fizyków spoza Niemiec. Zaledwie dwa lata wcześniej zaczął pracować na uczelni, do Brukseli przyjechał z Pragi, gdzie od wiosny tego roku był profesorem zwyczajnym. Okna jego gabinetu wychodziły na ogród szpitala psychiatrycznego. Einstein lubił pokazywać swoim gościom spacerujących alejkami pensjonariuszy tego zakładu ze słowami: „oto wariaci, którzy nie zajmują się kwantami”. Sam intensywnie pracował nad nową fizyką kwantową, m.in. odkrył, dlaczego ciepło właściwe diamentu maleje wraz z temperaturą. Zjawisko to jest kwantowe: drgania atomów węgla w krysztale diamentu mogą bowiem zachodzić tylko ze ściśle określonymi – skwantowanymi – energiami. W ten sposób okazało się, że nowa fizyka potrzebna jest do wyjaśnienia obserwowanych od dawna faktów. Dziś wiemy, że właśnie fizyka kwantowa wyjaśnia własności atomów, kryształów, cieczy – całą chemię i fizykę różnych materiałów, a także sporą część biologii. Inni uczeni zainteresowali się tym kręgiem zagadnień, szybko rosła więc liczba prac poświęconych kwantom. Tak więc stojący skromnie w drugim rzędzie Einstein reprezentował wówczas naukową awangardę, nie zawsze dobrze przyjmowaną przez starszych kolegów.

 

kwanty

Widzimy, jak szybko rosła liczba autorów idących w ślad za Einsteinem. Liczby nie wydają się może imponujące, ale ogólną liczbę fizyków w Europie w tamtej epoce szacuje się na 1000-1500, z czego nie wszyscy byli aktywni naukowo (Wykresy z T.S. Kuhn, Black-Body Theory and the Quantum Discontinuity, 1894-1912, Clarendon Press, Oxford 1978, s. 217).

solvay_conference_1927_

Druga fotografia przedstawia uczestników V Kongresu Solvaya w roku 1927. Nosił on tytuł Elektrony i fotony. Fotony, cząstki światła, zostały zapostulowane przez Einsteina w roku 1905, teraz niejako oficjalnie uznano, że miał rację. A więc niewątpliwy triumf. Nikt przez dwadzieścia lat nie chciał wierzyć w owe kwanty światła, po eksperymentach Comptona i innych, wreszcie w nie uwierzono. Triumf zabarwiony był jednak goryczą. W latach 1925-1926 młodzi fizycy przedstawili mechanikę kwantową, z którą Einstein nie potrafił się zgodzić ani wtedy, ani nigdy później. Był nadal sprawny intelektualnie, nie zapomniał fizyki, ale należało wyjść poza krąg dotychczasowych idei, rozstać się z pewnym ideałem nauki. Rewolucji dokonali ludzie młodzi, mówiono o tym Knabenphysik – fizyka chłopców.
Fotografia ilustruje wymownie, jak wzrosła pozycja Einsteina w środowisku naukowym w ciągu tych kilkunastu lat. Teraz on zajmuje miejsce centralne. Siedzi między starym Lorentzem a posiwiałym Langevinem z nawoskowanymi wąsami, niczym rewolucjonista uwięziony w świecie XIX wieku. Obok Lorentza mocno postarzała, surowa i niepobłażająca Maria Skłodowska-Curie i znużony Max Planck. Dopiero w drugim rzędzie znajdujemy chudego, jakby wyjętego z dramatu Becketta Paula Diraca, arystokratycznego, rasowego Louisa de Broglie’a, uprzejmego i skromnego Maksa Borna, wychowawcę siedmiu noblistów, i wreszcie silnego i skupionego Nielsa Bohra. Elegancki Erwin Schrödinger, sceptyczny Wolfgang Pauli i szelmowsko chłopięcy Werner Heisenberg stoją skromnie w trzecim rzędzie. Trudno o bardziej symboliczny obraz zmiany warty: Einstein stał się teraz kimś podobnym do Lorentza czy Plancka, a więc wybitnym uczonym, którego należy szanować, ale od którego nie można się zbyt wiele nauczyć. Liczyli się młodzi ludzie z drugiego i trzeciego rzędu oraz ich duchowi przewodnicy, Bohr i Born. W ciągu następnych kilku lat twórcy mechaniki kwantowej otrzymali Nagrody Nobla, wszyscy oprócz Diraca nominowani byli zresztą także przez Einsteina. Najwybitniejszy spośród nich, Paul Dirac, musiał zadowolić się Nagrodą Nobla wraz ze Schrödingerem. Właśnie Paul Dirac w latach 1927-1928 pokazał, jak można sformułować kwantową teorię elektronów i fotonów. Było to otwarcie drogi, która zakończyła się dwadzieścia lat później zbudowaniem konsekwentnej elektrodynamiki kwantowej przez Richarda Feynmana, Freemana Dysona, Juliana Schwingera i Shin’itiro Tomonagę.

Jak Max Planck nie dostał Nagrody Nobla (1908)

Pisałem jakiś czas temu, w jaki sposób Max Planck na dwa tygodnie przed końcem XIX stulecia wyprowadził ważny wzór opisujący promieniowanie termiczne (dokładnie: ciała doskonale czarnego). On sam uważał słusznie, iż to jego najważniejsza praca. Dziś patrzymy na nią jako na pierwszą pracę kwantową, a więc wstęp do najważniejszej dziedziny fizyki w XX wieku. Jednak w roku 1908 widziano to zupełnie inaczej i Planck nie otrzymał Nagrody Nobla właśnie z powodu kwantów. Chciano mu ją wówczas przyznać z zupełnie innych powodów, choć za tę samą pracę.

Nagroda Nobla zawsze była do pewnego stopnia wynikiem wewnętrznych zakulisowych dyskusji, a nawet intryg, wśród uczonych szwedzkich. I w sumie dobrze o nich świadczy fakt, że tak rzadko trafiała ona w niepowołane ręce. W roku 1908 ogromny wpływ na nagrody w dziedzinie chemii i fizyki miał Svante Arrhenius, wybitny fizykochemik, który chciał podkreślić wagę istnienia atomów. Nie był to jeszcze wówczas fakt zupełnie bezsporny, choć główna batalia już się rozegrała: w roku 1905 i 1906 Albert Einstein i Marian Smoluchowski opracowali teorię ruchów Browna, a w roku 1908 Jean Perrin przeprowadził już wiele doświadczeń potwierdzających ową teorię (wyznaczając przy okazji liczbę Avogadro). Trudno byłoby podać jakiekolwiek inne wyjaśnienie tego zjawiska. Arrhenius myślał jednak o czym innym, Perrin został nagrodzony dużo później. Ernest Rutherford i Hans Geiger wykazali, że cząstki α emitowane przez niektóre substancje promieniotwórcze mają masę atomu helu i dodatni ładunek dwa razy większy niż ładunek elektronu (ujemny). Wciąż nie bardzo było wiadomo, jak wyglądają atomy, ale fakt, że ładunki cząstek były wielokrotnością ładunku elementarnego, silnie przemawiał za jakąś formą atomizmu. Także z pracy Maksa Plancka wynikała ta sama wartość ładunku elementarnego – była ona zresztą dokładniejsza niż ta wynikająca z pomiarów Rutherforda. Ta sama wartość wynikająca z pomiarów w tak odległych od siebie dziedzinach, jak promieniotwórczość i promieniowanie termiczne, była silnym argumentem za istnieniem ładunku elementarnego (także bezpośrednie pomiary ładunku elektronu dawały mniej więcej to samo).

W jaki sposób z prawa Plancka wynika ładunek elementarny? Do prawa Plancka wchodzą dwie stałe, oznaczane k i h – pierwszą nazywamy dziś stałą Boltzmanna, drugą – stałą Plancka. Otóż Planck pokazał, że stała k to nic innego niż stała gazowa R podzielona przez liczbę Avogadro N:

k=\dfrac{R}{N},

ponieważ stała gazowa była dokładnie znana, można było wyznaczy liczbę Avogadro, czyli najważniejszą stałą atomową. Dla przypomnienia: jest to liczba atomów w gramoatomie, znając N, natychmiast można obliczyć, ile waży który atom. W dodatku jeśli podzielić stałą Faradaya, znaną z elektrolizy, przez N, otrzymuje się wielkość ładunku elementarnego.

Arrhenius musiał przy okazji wykonać trochę logicznej ekwilibrystyki, gdyż chciał, aby nagrodę z chemii dostał Rutherford, a z fizyki jedynie Planck. Pierwsza połowa planu się powiodła, co Rutherford skomentował, że obserwował różne przemiany atomów, ale żadna nie nastąpiła tak szybko jak jego przemiana z fizyka w chemika (statystycznie rzecz biorąc, było wszystko w porządku, bo w poprzednich latach małżonkowie Curie dostali nagrodę z fizyki za głównie chemiczną pracę wyodrębnienia nowych pierwiastków).

Druga połowa planu się nie powiodła. Po pierwsze wysuwano argument, iż praca Plancka byłaby niemożliwa bez dokładnych pomiarów. I była to szczera prawda. Planck znalazł ścisły wzór opisujący bardzo dokładne pomiary kolegów. Najpierw w roku 1899 Ernst Pringsheim i Otto Lummer zauważyli, że promieniowanie obserwowane w podczerwieni odbiega od tzw. prawa Wiena, przez jakiś czas uważanego za ścisłe. Było ono połączeniem pewnego rozumowania ze zgadywaniem, co jest kombinacją wcale w nauce nierzadką.

lummer_prings

Potem, w roku 1900, Heinrich Rubens i Ferdinand Kurlbaum zmierzyli jeszcze wyraźniejsze odstępstwa od prawa Wiena i od tej chwili Planck miał nad czym myśleć.

RubensKurlbaum

Wykres przedstawia natężenie promieniowania w zależności od temperatury przy długości fali 24 μm, a więc daleko w podczerwieni, autorzy przesunęli granicę możliwości aż do 60 μm, co było poważnym osiągnięciem. Linia ciągła to wzór Plancka, kółka to punkty doświadczalne.

Oczywiście wyprowadzenie prawdziwej i fundamentalnej zależności warte jest Nagrody Nobla, choć można się zastanawiać, czy nie powinna ona przypaść także niektórym przynajmniej z eksperymentatorów wykonujących te pomiary.

Pojawił się także drugi argument przeciwko Planckowi, i on ostatecznie przeważył. Wiosną roku 1908 na kongresie matematyków w Rzymie wystąpił Hendrik Antoon Lorentz, najbardziej szanowany fizyk-teoretyk Europy, i wykazał, że ze znanej fizyki nie może wynikać wzór Plancka. Fizyka, dziś nazywana klasyczną, przewiduje bowiem dla promieniowania to, co przedstawia czarna linia na poniższym wykresie.

Black_body

Jest to tzw. prawo Rayleigha-Jeansa, które przewiduje, że ilość promieniowania dla każdej częstości powinna rosnąć proporcjonalnie do temperatury bezwzględnej (na wykresie wyżej widać, że prawo Rayleigha wyraźnie odbiega od danych Rubensa i Kurlbauma). Ponadto przewiduje ono, że im wyższa częstość, tym silniejsze powinno być promieniowanie: każdy piecyk byłby źródłem zabójczego promieniowania rentgenowskiego i gamma, co jest oczywiście bez sensu i otrzymało nazwę katastrofy w nadfiolecie. Lorentz wykazał szczegółowo to, co trzy lata wcześniej napisał Einstein: że z fizyki klasycznej wynika prawo Rayleigha, które jest absurdalne. Einstein jednak dopiero debiutował, Lorentza natomiast usłyszeli wszyscy. Jasne się stało wszem wobec, że druga stała wprowadzona przez Plancka w jakiś tajemny sposób pozwala uniknąć katastrofy w nadfiolecie. Dzieje się tak, ponieważ Planck uznał, że energię należy do celów rachunkowych podzielić na porcje o wielkości h\nu, gdzie \nu jest częstością. W zasadzie Planck traktował to jak pewien wybieg formalny. W sumie jego praca była prawidłowa, ale on sam nie wiedział dlaczego. Jedynie Einstein rozumiał to lepiej, ale choć zaczęto już słuchać, co mówi, nikt nie dawał się jeszcze przekonać. Był urzędnikiem biura patentowego i w tych latach jedynym prawdziwym zwolennikiem teorii kwantowej, zastanawiając się nad kwestiami, które koledzy mieli zrozumieć dopiero za kilka lat.

Na konferencji w Rzymie był także matematyk Gösta Mittag-Leffler, który dowiedział się, że teoria Plancka bynajmniej nie jest pewna, wprowadza bowiem jakieś kwanty energii h\nu. Wrócił z tym do Szwecji i sprawa nagrody dla Maksa Plancka upadła. Otrzymał ją dziesięć lat później właśnie za kwantowanie. A w roku 1908 wygrał kandydat popierany przez Francuzów, Gabriel Lippmann, który wynalazł system fotografii barwnej, pomysłowy, lecz zupełnie niepraktyczny i nigdy na szerszą skalę nie zastosowany. Lippmann był już od dwudziestu lat członkiem Akademii Nauk (do której Maria Skłodowska-Curie nigdy nie weszła) i pozostawił po sobie np. takie zdjęcie papugi.Parrot_photo_made_by_Gabriel_Lippmann_in_1891

Jak Einstein odkrył szczególną teorię względności? (1905)

Praca ukończona w czerwcu 1905 roku nosi mało dziś zrozumiały tytuł O elektrodynamice ciał w ruchu. Elektrodynamika to oczywiście teoria pól elektrycznych i magnetycznych Jamesa Clerka Maxwella, wielkie osiągnięcie drugiej połowy XIX wieku – tak ważne, że Einstein oczekiwał, iż będzie się o nim mówić na studiach i kiedy okazało się, że temat jest zbyt nowoczesny, zaczął się o swojej politechnice (dzisiaj ETH w Zurychu, jedna z lepszych szkół w Europie) i profesorze Heinrichu Weberze, który nie stanął na wysokości zadania, wyrażać w lekceważący sposób. Za karę nie dostał pracy na politechnice, a teorii Maxwella i tak musiał się nauczyć sam.

Ważnym elementem tej nauki było zjawisko indukcji elektromagnetycznej, wykorzystywane np. w elektrowniach i różnych prądnicach. Słynna praca Einsteina zaczyna się słowami: „Jak dobrze wiadomo, elektrodynamika Maxwella – tak jak się ją obecnie rozumie – w zastosowaniu do ciał w ruchu prowadzi do asymetrii, które nie wydają się cechą samych zjawisk” (przeł. P. Amsterdamski, w: A. Einstein, 5 prac, które zmieniły oblicze fizyki). O co chodziło? O proste doświadczenie, w którym magnes porusza się w obecności pętli z drutu. W pętli powstaje („indukuje się” – mówiąc uczenie) prąd elektryczny. Zjawisko zależy tylko od ruchu względnego pętli i magnesu: wszystko jedno, czy poruszamy magnesem, a pętla jest nieruchoma, czy poruszamy pętlą, a magnes jest nieruchomy (oczywiście wartość prędkości, położenia itd. muszą być w obu przypadkach takie same). Gdzie zatem tkwi asymetria? W opisie. Gdy magnes się porusza, pole magnetyczne w różnych punktach przestrzeni zmienia się z czasem, co wywołuje powstanie pola elektrycznego, które porusza elektronami w nieruchomej pętli. Gdy natomiast magnes jest nieruchomy, a porusza się pętla, to elektrony w drucie poruszają się w polu magnetycznym magnesu i działa na nie siła, która daje ten sam skutek co wyżej. Raz mamy pole elektryczne, a za drugim razem – nie. Przyroda nie widzi więc komplikacji, które ludzie sobie sami stworzyli. Jak się zdaje, Albert Einstein zwrócił na to uwagę jeszcze na studiach, kiedy nadrabiał braki programu politechniki.

aberracja_0

Czego dotyczyła elektrodynamika ciał w ruchu? Jest to przedmiot, który po omawianej przez nas pracy Einsteina zgasł śmiercią naturalną. Dlatego dziś mało komu coś to określenie mówi. Chodziło przede wszystkim o staroświecki obiekt zwany eterem, mówiono kiedyś np. o falach eteru. Maxwell tuż przed swoją przedwczesną śmiercią pisał w roku 1878: „Mimo różnych trudności, jakie się pojawiają, gdy chcemy sobie wytworzyć konsystentne wyobrażenie eteru, nie ulega wątpliwości, że przestrzeń międzyplanetarna i międzygwiezdna nie jest pusta, lecz wypełnia ją substancja materialna czy też ciało, które jest z całą pewnością największym, a prawdopodobnie także najbardziej jednorodnym ciałem, o którym posiadamy jakąś wiedzę”. Wyobrażano sobie, że eter wypełnia wszechświat, także ciała materialne. Miał to być ośrodek, w którym rozchodzą się fale elektromagnetyczne na podobieństwo dźwięku, który rozchodzi się w ciałach sprężystych i gdy zabraknie takiego ośrodka, nie ma także fal dźwiękowych. Na podstawie pomiarów sił elektrycznych i magnetycznych można było obliczyć prędkość fal elektromagnetycznych, wychodziło mniej więcej c=300 000 km/s, czyli tyle, ile wynosi prędkość światła. Nasuwał się wniosek, że światło też jest falą elektromagnetyczną, a owa wartość c to prędkość mierzona względem eteru.

Ponieważ Ziemia także się porusza, z prędkością v=30 km/s wokół Słońca, więc należało oczekiwać, że ruch naszej planety względem eteru uda się wykryć w precyzyjnych eksperymentach. W okresie jednego roku koniec wektora prędkości Ziemi zatacza okrąg (mimo że orbita jest eliptyczna). Nie możemy więc stale spoczywać względem eteru. Była wprawdzie teoria George’a Stokesa w myśl której eter jest wleczony wraz z Ziemią, tak jak atmosfera. Teoria ta nie tłumaczyła jednak dobrze zjawiska aberracji światła, o którym niżej. Inne teorie przewidywały, że ruch Ziemi względem eteru powinien być możliwy do wykrycia. Rozmaite i coraz bardziej wyrafinowane eksperymenty mające na celu wykrycie tego ruchu dawały stale wynik negatywny. Zatem nie można było eteru wykryć, choć wydawał się niezbędny dla spokoju ducha fizyków.

W jakimś momencie Albert Einstein, wówczas bezrobotny nauczyciel bez stałej posady, zaczął uważać, że eteru nie ma i że wobec tego nie ma czegoś takiego jak absolutna prędkość. Inaczej mówiąc, ktoś, kto będzie się względem nas jednostajnie przesuwał, będzie obserwował takie same zjawiska i tak samo dobrze będzie mógł twierdzić, że to on spoczywa, a my się poruszamy. Nasuwała się oczywista trudność: dla którego z nas c=300 000 km/s? No bo chyba nie dla obu! Jeśli wieje wiatr o prędkości 10 m/s, a prędkość dźwięku wynosi 340 m/s, to z wiatrem prędkość dźwięku będzie równa 350 m/s, a pod wiatr 330 m/s. Moglibyśmy więc w taki dziwaczny sposób zmierzyć prędkość wiatru. Czemu nie możemy zmierzyć w taki sposób prędkości wiatru eteru?

Jak się zdaje, przez pewien czas, Einstein, już wtedy specjalista techniczny III klasy w Biurze Patentowym w Bernie, rozważał teorię tzw. emisyjną. Zakładał więc, że prędkość światła wynosi c względem źródła. Wówczas zawsze będziemy mierzyć prędkość c, jeśli źródło porusza się razem z Ziemią. Owa teoria emisyjna prowadzi do różnych trudności, które ekspert III klasy przeanalizował i ostatecznie teorię tę odrzucił (kilka lat później teorię tego rodzaju zaproponował Walther Ritz).

Po siedmiu latach daremnych rozważań, nagle przyszło mi do głowy rozwiązanie wraz z myślą, że nasze pojęcia i prawa odnoszące się do przestrzeni i czasu mogą obowiązywać tylko o tyle, o ile pozostają w jasnym związku z doświadczeniem, i że doświadczenie mogłoby równie dobrze doprowadzić do zmiany owych pojęć i praw. Dzięki przeformułowaniu pojęcia równoczesności do bardziej elastycznej postaci doszedłem więc do szczególnej teorii względności.

Było to w maju 1905 roku. Albert Einstein miał przyjaciela, którego nakłonił do pracy w Biurze Patentowym i z którym lubił omawiać swoje rozważania. Ów przyjaciel, Michele Besso, został wymieniony z nazwiska w słynnej pracy, bo w trakcie ich rozmowy Einstein zrozumiał, co powinien zrobić. Przez następne pięć czy sześć tygodni pisał samą pracę, ale to już była łatwa część. Był to zresztą jego cudowny rok, zasłużył w nim na trzy nagrody Nobla (w tym jedną z Marianem Smoluchowskim). Nb. w pracy Einsteina nie ma ani jednego przypisu do literatury, dziś zapewne nie chcieliby mu tej pracy opublikować. Korzystał istotnie z pracy Hendrika Lorentza z roku 1895, w której holenderski uczony wykazał, że teoria Maxwella powinna w przybliżeniu prowadzić do zasady względności. Einstein sądził, że zasada względności musi obowiązywać ściśle. Zamiast ją udowadniać przyjął ją za postulat, odwrócił więc kierunek rozumowań Lorentza.

Nie jest znana dokładnie treść olśnienia z maja 1905 roku. Musiało jednak chodzić o to, że do zasady względności należy dołączyć warunek, że każdy obserwator (inercjalny) zmierzy taką samą wartość prędkości światła w próżni oraz że można te dwa założenia pogodzić. Elektrodynamika jest zgodna z zasadą względności, zmienić należy mechanikę, a właściwie koncepcję czasu. Opiszemy, jak mogło to wyglądać, choć nie ma pewności, czy było dokładnie tak. To, co opiszę poniżej, jest rekonstrukcją historyka nauki, Johna D. Nortona. Dokumenty nie pozwalają rozstrzygnąć, co dokładnie się wtedy działo w głowie Einsteina i zapewne nigdy się tego nie dowiemy. Niewątpliwie kluczem było pojęcie równoczesności. W teorii względności zjawiska równoczesne w jednym układzie odniesienia nie muszą być równoczesne w innym. Inaczej mówiąc, trzeba porzucić przekonanie, że czas płynie tak samo dla wszystkich. A skoro nie płynie tak samo, to coś takiego jak jednakowa dla wszystkich prędkość światła staje się możliwa.

Rozpatrzmy zjawisko aberracji światła z punktu widzenia teorii falowej. James Bradley odkrył, że astronomowie muszą pochylać teleskop w kierunku wektora prędkości Ziemi. Wyobraźmy sobie daleką gwiazdę i falę świetlną od niej. Czoło fali w dwóch momentach 1 i 2 przedstawione zostało na rysunku (czoło fali jest płaskie, bo jest powierzchnią sfery ze środkiem w gwieździe, a więc o niezmiernie wielkim promieniu). Gwiazda spoczywa względem eteru. Teleskop, zaznaczony na niebiesko, na poruszającej się Ziemi należy pochylić tak, aby punkt A czoła fali wchodzącej do teleskopu, przeszedł w punkt B w czasie, gdy światło podróżuje przez teleskop.

aberracja_falowa_1

Kąt pochylenia jest równy

\theta\approx\dfrac{v}{c}=\dfrac{30}{300000}=10^{-4}\mbox{ rd}=20''

(Utożsamiliśmy tangens kąta i jego wartość w radianach, dla małych kątów wolno tak postąpić, jeszcze raz zrobimy to poniżej.) Jeśli zastosujemy naiwnie zasadę względności, to w przypadku, gdy gwiazda porusza się względem eteru, a Ziemia spoczywa, dostaniemy następującą sytuację.

aberracja_falowa2

Nie ma żadnej aberracji. Wygląda, jakby zasada względności nie działała. Hendrik Lorentz rozważył ten i zbliżone problemy w 1895 roku we wspomnianej już pracy, którą Einstein czytał (po niemiecku, po angielsku). Udało się Lorentzowi pokazać następującą rzecz. W teorii Maxwella aberracja powinna być taka sama w obu przypadkach: tzn. bez względu na to, czy my się poruszamy względem eteru, czy gwiazda, w obu przypadkach liczy się tylko prędkość względna gwiazdy względem Ziemi. Nie znaczy to, że Lorentz nie wierzył w eter. Wierzył w eter i dla niego te dwa przypadki były fizycznie różne. Z jakichś względów otrzymywało się w obu przypadkach podobne wyniki. Einstein zinterpretował obliczenia Lorentza jako to samo zjawisko obserwowane w dwóch układach odniesienia. Jeśli poruszamy się razem z gwiazdą, to czoła fali poruszają się w kierunku y’ w dół. To jest primowany układ współrzędnych.

aberracja_falowa_333

Jeśli natomiast znajdziemy się w układzie odniesienia, w którym gwiazda się porusza (nieprimowanym), to zgodnie z obliczeniami Lorentza czoła fali będą pochylone pod kątem \theta.

aberracja_falowa33

Musi to znaczyć, że linie równoczesności mają inny kierunek w obu układach odniesienia. Czoła fali w układzie primowanym spełniają oczywiste równania

y'=-ct'.

W układzie primowanym natomiast mamy

y= -ct+\dfrac{v}{c}x,

gdzie skorzystaliśmy z faktu, że współczynnik kierunkowy to tangens kąta, czyli w naszym przypadku sam kąt aberracji w radianach (czyli stosunek prędkości Ziemi do prędkości światła). Porównując oba równania, a współrzędne y nie powinny się różnić dla obu układów odniesienia, bo ruch zachodzi w kierunku x, dostajemy

t'=t-\dfrac{vx}{c^2}.

(Dla uproszczenia początki obu układów odniesienia pokrywają się w chwili t=t'=0.) Znaczy to, że czas zaczął zależeć od współrzędnej przestrzennej x. Nie jest to ścisła postać transformacji, zrobiliśmy założenie małych prędkości, ale prawidłowe zależności mógł sobie Einstein szybko wyprowadzić (nazywa się je zresztą transformacją Lorentza, z powodu innej pracy tego fizyka). Taki nowy czas t' pojawił się już wcześniej u Lorentza: nazywał go on czasem lokalnym, Ortszeit, i traktował jako pożyteczną matematyczną fikcję. Prawdziwe pole elektromagnetyczne istniało jego zdaniem w eterze, było związane z konkretnym punktem eteru i nie mogło zależeć od tego, czy ktoś się porusza, czy nie. Jak to często w fizyce bywa, formalizm matematyczny okazał się mądrzejszy od tych, którzy go wyprowadzili.

Einstein radykalnie zmienił interpretację tej całej maszynerii i pokazał, że wartość mierzonego doświadczalnie czasu może zależeć od współrzędnej przestrzennej. Podejście Einsteina w ogóle nie potrzebowało elektrodynamiki. Bo tym, co należało zmienić, były relacje przestrzenno-czasowe, a więc podstawa całej fizyki. Zasada względności oraz stałość prędkości światła zostały przez Einsteina uznane za fundamentalne prawa fizyki. Elektrodynamika Maxwella od początku była relatywistyczna, tj. zgodna z teorią względności, tylko nie było tego widać. (Nie należy sądzić, że Einstein jakoś szczególnie wierzył w słuszność teorii Maxwella. Sądził, że jest niezła, ale trzeba ją przekształcić tak, aby uwzględniała fotony – stanowiła dla niego tylko chwilowy punkt oparcia w dziele burzenia i przebudowy całej fizyki.) Na dłuższą metę kontekst elektrodynamiczny nie był jakoś szczególnie ważny, Einstein żądał, aby cała fizyka spełniała jego dwa postulaty –i cała fizyka zbudowana jest teraz tak, aby te postulaty spełnić (myślimy przede wszystkim o kwantowej teorii pola, najlepszej teorii mikroświata, jaką znamy). Oczywiście, skoro każdy układ odniesienia jest tak samo dobry, to nikt już nie potrzebował eteru. Stało się więc tak, jak mówił w roku 1894, lord Salisbury (Robert Arthur Talbot Gascoyne-Cecil, 3. markiz Salisbury, trzykrotny premier Anglii i przewodniczący Brytyjskiego Towarzystwa Krzewienia Nauk): „Od ponad dwóch pokoleń główną, jeśli nie jedyną funkcją słowa «eter» było dostarczanie rzeczownika do czasownika «falować»”. Lord Salisbury nie był naukowym geniuszem, lecz raczej sprawnym retorycznie politykiem zorientowanym w sprawach nauki (bywali tacy w pięknym XIX wieku!). Jego zdanie można było potraktować poważnie dopiero po omawianym artykule Einsteina. W tym samym wystąpieniu zaatakował też lord Salisbury teorię Darwina i tutaj trafił kulą w płot.

Eter przestał być potrzebny. Pola elektromagnetyczne nie są związane z materialnym eterem, lecz mogą sobie abstrakcyjnie bytować w próżni, co może spodobałoby się Pitagorasowi, który wierzył, że wszystko w świecie wywodzi się z liczb. Problem magnesu i pętli z drutem nadal rozwiązuje się na dwa sposoby, ale dziś wiemy, że sposoby te na pewno prowadzą do tych samych wniosków i że to nie przypadek. Pole elektromagnetyczne to pewna całość, jeden obiekt matematyczny (tensor), którego składowe w każdym układzie odniesienia mogą być różne – tak samo jak składowe wektora zależą od wyboru układu współrzędnych, lecz nadal jest to ten sam wektor.

Kilka lat później, po napisaniu tej oraz kilkudziesięciu innych prac, udało się Albertowi Einsteinowi otrzymać pierwszą posadę akademicką, od razu profesorską (co akurat nie było wówczas osobliwe – jego koledzy z roku wcześniej od niego zostali profesorami). Miał trzydzieści lat.

Jeszcze jedna uwaga. W zasadzie omawiana praca Einsteina jest „tylko” nową interpretacją znanych wówczas wyników (choć on sam niektóre wyprowadził, jak się zdaje, niezależnie – nigdy nie był bardzo oczytany w literaturze fachowej, w tych latach miał trudności z korzystaniem z bibliotek, niektóre trywialne: w Bernie biblioteka była czynna tylko w jego godzinach pracy.) Sprawia to, że od czasu do czasu różni oryginałowie (a czasem zwyczajni antysemici) starają się wykazać, że Einstein był plagiatorem albo przynajmniej nie był „pierwszy” (przeważnie wskazuje się na „pierwszeństwo” Henri Poincarégo i/albo Lorentza. Sam Einstein jakoś szczególnie się nie upierał przy oryginalności tej pracy z roku 1905, bardzo szybko miał na tyle wielki dorobek, że nie musiał bronić każdego napisanego słowa. Fizyka poszła w kierunku zaproponowanym przez Einsteina wcale nie dlatego, że światem rządzą Żydzi ani też dlatego, że młody urzędnik miał większy posłuch wśród akademików niż dwaj starzy luminarze. Po prostu rozważania Lorentza i Poincarégo na tle teorii względności wypadają mdło i nieprzekonująco, i nikt ostatecznie za nimi nie podążył.

Więcej o powstaniu szczególnej teorii względności znaleźć można na stronie Johna D. Nortona:

http://www.pitt.edu/~jdnorton/Goodies/rel_of_sim/index.html

a także w jego artykule w The Cambridge Companion to Albert Einstein i literaturze tam cytowanej.

Einstein w Pradze

Niemal równo sto lat temu, w roku 1911/12, Albert Einstein pełnił przez rok funkcję profesora fizyki teoretycznej na niemieckim uniwersytecie w Pradze. Była to jego pierwsza porządnie płatna posada i niewątpliwie głównym motywem przeprowadzki z Zurychu z rodziną była nadzieja na stabilizację życiową.

Stanowisko przypadło Einsteinowi dość przypadkowo. Jego kariera naukowa zaczęła się zaledwie kilka lat wcześniej, w roku 1905. Decyzja uniwersytetu była więc dość odważna, Einstein był autorem kilku wciąż jeszcze kontrowersyjnych prac. Kontrkandydatem był Gustav Jaumann, uczeń Ernsta Macha, który za swym nauczycielem odrzucał istnienie atomów. I zapewne stanowisko przypadłoby Jaumannowi, gdyby on sam się nie uniósł honorem i nie zrezygnował. Zirytowało go bowiem, iż jakiegoś nowinkarza stawia się na równi z nim, solidnym uczonym.

Niedogodnością stanowiska w monarchii austrowęgierskiej była konieczność wypełnienia rubryki „wyznanie” w urzędowym kwestionariuszu. Poddani cesarza Franciszka Józefa nie mogli być bezwyznaniowi. Bez większych wahań Einstein wpisał wyznanie mojżeszowe, choć od dzieciństwa nie należał do żadnego wyznania i trudno go sobie nawet wyobrazić jako członka jakiegokolwiek kościoła. Gdy jego syn musiał się obowiązkowo uczyć religii w szkole, Einstein żartował, że dziecko zacznie sobie wyobrażać Boga jako kręgowca w gazowym stanie skupienia.

Albert Einstein z aparycji przypominał wówczas bardziej skrzypka-wirtuoza niż profesora (znalazł zresztą wkrótce towarzyszy do uprawiania muzyki kameralnej). Świeżo upieczony profesor powinien złożyć około czterdziestu wizyt innym profesorom uniwersytetu niemieckiego (drugi uniwersytet w Pradze, czeski, traktowano jako nieistniejący i nie utrzymywano z nim stosunków). Po odbyciu części wizyt, w których kierował się raczej walorami turystycznymi danej części miasta niż pozycją danego profesora, Einstein zniechęcił się zupełnie do tego przedsięwzięcia. Ostatecznie przebywał w Pradze krótko, często z niej wyjeżdżając. W okresie tym został zaproszony na bardzo elitarny Kongres Solvayowski, gdzie mówił o kwantowym podejściu do drgań atomów w kryształach. Nieco wcześniej poznał osobiście Hendrika Lorentza, jedynego bodaj fizyka, przed którym czuł respekt. Na kongresie poznał też panią Curie, atakowaną właśnie przez prasę francuską za romans z Paulem Langevinem. Znakomity matematyk, Henri Poincaré, nie zrobił na Einsteinie dobrego wrażenia.

A jakie wrażenie sprawiał wówczas Einstein? Mamy pewien portret literacki z tamtego okresu. W roku 1915 ukazała się książka Maksa Broda Tycho Brahes Weg zu Gott („Tychona Brahego droga do Boga”). Brod jest dziś znany głównie jako przyjaciel Franza Kafki, który wbrew ostatniej woli autora nie zniszczył jego dzieł. Powieść o Tychonie Brahe jest marna, jednak postać Keplera przywodziła niektórym znajomym na myśl właśnie Einsteina. Brod pisze o niezwykłym spokoju, z jakim Kepler oddawał się swojej pracy, jakby zupełnie nie poruszały go dziejące się wokół sprawy. Przypomina on rycerza z baśni ludowej, który sprzedał diabłu serce w zamian za zbroję, której się żadne ciosy nie imają. Wiemy dziś, że Einstein pogrążony był wtedy w pracy nad teorią grawitacji, rozpoczynał się też jego związek uczuciowy z kuzynką Elsą, przyszłą żoną.

Być może więcej o Einsteinie mówią jego własne słowa na temat Keplera: „Ani bieda, ani niezrozumienie współczesnych, od których zależały warunki jego życia i pracy, nie mogły go okaleczyć ani zniechęcić. (…) Należał do tych nielicznych, którzy nie potrafią ukrywać swoich poglądów na jakikolwiek temat. Nie należał do ludzi czerpiących instynktowną radość ze ścierania się z innymi, tak jak na przykład Galileusz, którego boska złośliwość nawet i dziś dostarcza przyjemności rozumiejącemu czytelnikowi. Kepler był pobożnym protestantem, który nie robił tajemnicy z faktu, że nie zawsze aprobuje postanowienia swego kościoła; z tego powodu uważano go za łagodnego heretyka i tak też traktowano. (…) Praca jego życia możliwa była dopiero wówczas, gdy udało mu się w znacznym stopniu wyswobodzić z tradycji duchowej, w której wyrastał. (…) Musiał sobie jasno uświadomić, że logiczno-matematyczne teoretyzowanie, bez względu na to jak klarowne, nie może samo przez się zagwarantować dojścia do prawdy. Że w naukach przyrodniczych nawet najpiękniejsza i najbardziej logiczna teoria nic nie znaczy bez porównania z najdokładniejszymi eksperymentami”.