Istota teorii względności (1923) – Albert Einstein

Ślepy żuk pełznący po powierzchni globusa nie wie, że tor, po którym się porusza, jest zakrzywiony. Ja miałem szczęście to zauważyć [A. Einstein]

Ta niewielka książeczka jest jedynym kompletnym przedstawieniem teorii przez jej twórcę, adresowanym do zawodowych uczonych, stanowiąc coś pośredniego między monografią a podręcznikiem. Ukazała się najpierw w 1923 roku w wersji angielskiej nakładem Princeton University Press oraz w wersji niemieckiej w wydawnictwie Vieweg & Sohn (z datą roczną 1922). Od tamtej pory doczekała się niezliczonych wydań w wielu językach. Uczony nie zmieniał głównego tekstu, choć z czasem dołączył kilka dodatków traktujących o późniejszych osiągnięciach.

Podstawą książki były wykłady wygłoszone w maju 1921 roku na uniwersytecie w Princeton. Czterdziestodwuletni Einstein wybrał się w swą pierwszą podróż za ocean, towarzysząc Chaimowi Weizmannowi i delegacji syjonistów. Ich celem było zebranie funduszy na założenie uniwersytetu w Jerozolimie. Uczony, który w kilku poprzednich latach z odrazą obserwował antysemityzm narastający w społeczeństwie niemieckim i który sam stał się ofiarą niewybrednych ataków z rasistowskimi podtekstami, zgodził się na ten wyjazd, rezygnując z udziału w pierwszym po wojnie Kongresie Solvaya, konferencji gromadzącej szczupłe grono najwybitniejszych fizyków świata. Po raz pierwszy wystąpił więc Einstein w roli działacza społecznego, wykorzystując autorytet naukowy do propagowania bliskich mu poglądów. Uczony witany był w Ameryce owacyjnie, zwłaszcza przez społeczność żydowską w Nowym Jorku, Bostonie, Cleveland. Niektórzy koledzy Einsteina, jak Fritz Haber, wybitny chemik, Żyd i niemiecki szowinista, mieli mu za złe podróż do Stanów Zjednoczonych, kraju niedawnego wroga. Rany wojenne nie zdążyły się jeszcze zabliźnić, zwłaszcza w Niemczech dźwigających ciężar przegranej wojny. Wielu niemieckich Żydów sądziło też, iż nie należy prowokować antysemityzmu i lepiej siedzieć cicho. Einstein, czy to dlatego, że spędził wiele lat w Szwajcarii, czy też z racji swego charakteru, nie podzielał takiego nastawienia, przeciwnie, to właśnie antysemityzm przyspieszył dojrzewanie jego żydowskiej tożsamości.

Podróż po Stanach Zjednoczonych miała też ważną część naukową. Einstein miał wykłady na Columbia University i w City College w Nowym Jorku, na uniwersytecie w Chicago oraz uniwersytecie Harvarda. W Princeton otrzymał stopień honorowy i wygłosił sławne zdanie, które później wyryto nad kominkiem w sali Wydziału Matematyki: „Pan Bóg jest wyrafinowany, lecz nie jest złośliwy” (odnosiło się ono do pewnych wyników eksperymentalnych zaprzeczających jego teorii). Bezpośrednio po uroczystościach rozpoczął się cykl pięciu wykładów odbywających się w kolejne dni tygodnia. Dwa pierwsze były popularne, następne bardziej techniczne. Wykładu inauguracyjnego słuchało około czterystu osób, podczas drugiego audytorium znacznie się przerzedziło, a kolejne odbywały się już w mniejszej sali dla niewielkiego grona słuchaczy. Na początku pobytu w Princeton uczony podpisał umowę z wydawnictwem uniwersytetu na publikację tekstu jego wystąpień. Ponieważ odbywały się one po niemiecku, wydawnictwo wynajęło niemiecką stenografkę, która notowała na żywo. Każdy z wykładów był na koniec podsumowywany po angielsku przez profesora fizyki Edwina Plimptona Adamsa, który został też tłumaczem wersji książkowej. Dopiero w styczniu 1922 roku uczony przesłał niemiecki tekst książki do wydawnictwa Vieweg & Sohn, wydrukowane przez nie korekty stały się podstawą angielskiego przekładu. Prace te wraz z poprawkami autorskimi zajęły cały rok 1922. Pod jego koniec wydrukowano wydanie niemieckie, a w styczniu ukończono druk wydania angielskiego. W trakcie tych prac ogłoszono wiadomość, że Albert Einstein został laureatem Nagrody Nobla za rok 1921. Laureat przebywał w tym czasie w Azji w drodze do Japonii.

Uczony spodziewał się otrzymać Nagrodę Nobla, w istocie przyszła ona dość późno i z istotnym zastrzeżeniem. Jak pisał Christopher Aurivillius, sekretarz Królewskiej Szwedzkiej Akademii Nauk, w liście do laureata: „Akademia (…) postanowiła przyznać panu Nagrodę Nobla w dziedzinie fizyki za ubiegły rok w uznaniu Pana dokonań w fizyce teoretycznej, w szczególności odkrycia teoretycznych podstaw zjawiska fotoelektrycznego, lecz z pominięciem zasług, które staną się Pana udziałem, gdy potwierdzą się sformułowane przez Pana teorie względności i grawitacji”. Teoria względności była więc w oczach szwedzkich akademików osiągnięciem kontrowersyjnym, podobnie myślało wielu uczonych.

Niewykluczone, że Einstein pragnął swoją książką przekonać część kolegów po fachu. Na początku lat dwudziestych obie teorie względności: szczególną z roku 1905 oraz ogólną z roku 1915 można było uznać za zakończony etap. Dzięki pracy Einsteina, ale także szeregu innych fizyków i matematyków, jak Max Planck, Max von Laue, David Hilbert, Felix Klein, Emmy Noether, Max Born, Hermann Weyl, Tullio Levi-Civita, Karl Schwarzschild, Hans Thirring, Josef Lense, Willem de Sitter, Hendrik Lorentz, Gunnar Nordström, Erich Kretschmann, Arthur Eddington, Paul Ehrenfest, Johannes Droste, Paul Langevin udało się wyjaśnić wiele aspektów nowej teorii – już sama lista nazwisk wskazuje, że praca Einsteina nie przebiegała w próżni, a ranga tych uczonych świadczy o poważnym traktowaniu osiągnięć Einsteina. Miał on jednak także sporo przeciwników, którzy z rozmaitych powodów odmawiali jego teorii naukowej wartości, a często także kwestionowali intelektualną uczciwość jej twórcy. Berliński profesor optyki Ernst Gehrcke uznawał teorię Einsteina za skutek zbiorowej sugestii, wybitni eksperymentatorzy (i laureaci Nagrody Nobla) Philipp Lenard i Johannes Stark nie potrafili się pogodzić ze światem nowych pojęć i widzieli w teorii względności produkt reklamy oraz sprytne pomieszanie elementów filozofii, matematyki i fizyki tak, by trudno było znaleźć uczonego zdolnego ją krytykować bez wykraczania poza ramy swej specjalności. Obaj ostatni nie ukrywali też swego antysemityzmu i stali się zwolennikami Adolfa Hitlera jeszcze we wczesnych latach dwudziestych, na długo przed rządami nazistów. Niektórzy, jak szwedzki oftalmolog i laureat Nagrody Nobla Allvar Gullstrand, sądzili, że teoria względności jest pusta wewnętrznie i może prowadzić do różnych wyników w tej samej sytuacji. Dochodziły do tego ostre podziały wśród filozofów, niektórzy jak Hans Reichenbach i Moritz Schlick mocno ją popierali, wielu jednak, jak Oskar Kraus czy Henri Bergson, wyrażało sceptycyzm, jeśli nie wrogość, wobec nowej teorii.
Większość uczonych była na ogół wciąż zdezorientowana, nie wiedząc, co sądzić. Toteż książka Einsteina skupiła się na podkreślaniu ciągłości w rozwoju fizyki, uwydatnieniu pewnej linii rozwoju, w której teoria względności stawała się naturalnym ogniwem. Nie sposób jednak ukryć, że teorie Einsteina zrywały z pojęciami absolutnej przestrzeni i absolutnego czasu, stanowiącymi fundament mechaniki, a z nią całej fizyki od czasów Isaaca Newtona. Kwestionowanie uświęconych tradycją zdobyczy nauki w oczach wielu było gestem obrazoburczym i świętokradczym. To, co starszych przejmowało zgrozą i oburzeniem, w oczach ówczesnych ludzi młodych stawało się fascynującą rewolucją. Karl Popper wspominał, jak wielką rolę w jego myśleniu o nauce odegrała teoria Einsteina, już sam fakt, że można było stworzyć realną alternatywę wobec królującej mechaniki Newtona miał dla niego rangę intelektualnego objawienia.

Zacząć wypada od samej nazwy: teoria względności. Z początku mówiło się o zasadzie względności, potem określać tak zaczęto teorię Einsteina z roku 1905 (szczególną teorię względności), a później Einstein zaczął mówić o uogólnionej bądź ogólnej teorii względności. W dyskursie potocznym zaczęto nazwy tę wiązać z zanegowaniem absolutnego czasu, a nawet szerzej z zanegowaniem dotychczasowej fizyki czy wręcz obowiązującej logiki albo etyki. Oczywiście, teoria względności, tak jak żadna udana teoria fizyczna, nie zmienia świata doświadczenia, ponieważ musi być zgodna z dotychczasowymi danymi eksperymentalnymi. Zmienia jedynie nasz sposób widzenia świata, przewidując nowe zjawiska i rozszerzając tym samym granice wiedzy. Mechanika newtonowska nadal obowiązuje, znamy tylko dokładniej jej ograniczenia. Max Planck, jeden z najwcześniejszych zwolenników teorii Einsteina, przekonuje w swej autobiografii naukowej, że jego zainteresowanie teorią względności wynikło właśnie z szukania w fizyce absolutu, ponieważ w świecie teorii względności są także wielkości oraz pojęcia niezmienne i absolutne. Dlatego nazwa ta bywa myląca.

W czerwcu 1905 roku redakcja „Annalen der Physik” otrzymała pracę nikomu nieznanego urzędnika Biura Patentowego w Bernie zatytułowaną O elektrodynamice ciał w ruchu. Rzecz dotyczyła jednego z najważniejszych zagadnień fizyki teoretycznej, którym w poprzednim dziesięcioleciu zajmowali się dwaj uznani luminarze Henri Poincaré i Hendrik Lorentz. Chodziło o eter – hipotetyczny ośrodek wypełniający świat. Na początku XIX stulecia Thomas Young i Augustin Fresnel wykazali, że światło jest falą. Wyobrażano sobie, że musi ono być falą sprężystą w eterze, czyli drganiem, które propaguje się na wszystkie strony podobnie jak fale akustyczne w powietrzu bądź innych ośrodkach sprężystych. Eter ów charakteryzować się musiał dość osobliwymi własnościami, gdyż z jednej strony był na tyle rzadki, by nie hamować ruchów planet, z drugiej zaś musiał być niezmiernie sprężysty, gdyż prędkość światła jest niewyobrażalnie duża w porównaniu np. z prędkością dźwięku. W przypadku dźwięku wiemy, że jego prędkość dodaje się wektorowo do prędkości powietrza: zmierzona prędkość będzie więc zależeć od prędkości ruchu powietrza. Podobne zjawisko zachodzić powinno także w przypadku światła. Ruch roczny Ziemi po orbicie wokół Słońca zachodzi z prędkością około 30 km/s, co stanowi 1/10 000 prędkości światła. Precyzyjne pomiary powinny wykryć zmiany obserwowanej prędkości światła. Przez cały wiek XIX szereg eksperymentatorów od François Arago w roku 1810 aż do Alberta Michelsona i Edwarda Morleya w roku 1887 starało się za pomocą różnych metod optycznych wykryć ruch Ziemi w eterze. Wyniki wszystkich tych doświadczeń były negatywne. Wyglądało to tak, jakby eter poruszał się razem z Ziemią, ale taka hipoteza rodziła sprzeczności z innymi obserwacjami.

Obok optyki innym wielkim tematem dziewiętnastowiecznej fizyki były elektryczność i magnetyzm. W latach sześćdziesiątych XIX wieku James Clerk Maxwell podsumował te wszystkie badania, podając jednolitą matematyczną teorię zjawisk elektrycznych, magnetycznych oraz optycznych – okazało się bowiem, że powinny istnieć fale elektromagnetyczne. Ich prędkość wynikająca z teorii Maxwella była bliska prędkości światła w próżni. Maxwell wysnuł więc wniosek, że światło jest rodzajem fal elektromagnetycznych. W latach 1887-1888 Heinrich Hertz wykazał, że można w laboratorium wytworzyć fale elektromagnetyczne o długości kilku metrów, które także rozchodzą się z prędkością światła. Teoria Maxwella została potwierdzona, stając się praktycznym narzędziem pracy inżynierów. Niemal równocześnie rozwijały się bowiem techniczne zastosowania elektromagnetyzmu: oświetlenie elektryczne, telefon i pierwsze elektrownie. Ojciec i stryj Einsteina, bracia Rudolf i Jakob, prowadzili najpierw w Monachium, później w północnych Włoszech firmę elektryczną i Albert niemal od dziecka miał do czynienia z techniką elektryczną. Elektrodynamika była także ważnym tematem zajęć laboratoryjnych i wykładów na Politechnice w Zurychu. Einstein jednak od początku nie chciał zostać inżynierem i narzekał, że program studiów nie obejmuje teorii Maxwella.

Teoria Maxwella pozwalała w jednolity sposób opisać ogromny obszar zjawisk. Czyniła to za pomocą pojęć pola elektrycznego oraz magnetycznego. W każdym punkcie przestrzeni i w każdej chwili można było za pomocą dwóch wektorów scharakteryzować stan pola. Wydawało się, że eter z początku wieku zyskał teraz nową funkcję, nośnika pola. Ważną cechą nowego podejścia była lokalność: to, co dzieje się z polem elektrycznym i magnetycznym w danym punkcie zależy od ładunków i prądów w tym samym punkcie. Zaburzenia pola rozchodzą się jako fale elektromagnetyczne. Była to więc fizyka pojęciowo odmienna od Newtonowskiej grawitacji, w której dwie masy oddziałują na siebie na odległość w sposób natychmiastowy. W teorii Maxwella ładunek jest źródłem pola w otaczającej go przestrzeni i pole to z kolei oddziałuje na inne ładunki. Prędkość rozchodzenia się zmian pola jest wielka, ale nie nieskończona. Choć Maxwell dokonał najważniejszej pracy, formułując teorię w sposób logicznie zamknięty, to dopiero jego następcy, m.in. Oliver Heaviside i Hendrik Lorentz, znaleźli prostsze i bardziej eleganckie jej wersje. Okazało się np., że każdy prąd elektryczny jest jedynie ruchem ładunków. Mamy więc dwa rodzaje ładunków, których położenia i prędkości określają stan pola w różnych miejscach – są to równania pola, czyli równania Maxwella. Znając zaś wartość pola elektrycznego i magnetycznego, możemy obliczyć siłę działającą na ładunek – są to równania ruchu (siła Lorentza).

Teoria Maxwella wyrastała z modelu pewnego ośrodka sprężystego i uczony, podobnie jak większość współczesnych, uważał, że jego rolą jest sprowadzenie zjawisk elektrycznych i magnetycznych do zjawisk mechanicznych. W odróżnieniu od teorii Newtona, w której mamy pojedyncze punkty materialne, tutaj substratem jest eter, który wyobrażano sobie jako pewien sprężysty materiał. Paradoksalny status eteru opisał na zjeździe Brytyjskiego Towarzystwa Krzewienia Nauk w Oksfordzie w roku 1894 markiz Salisbury, stwierdzając, że „główną, jeśli nie wyłączną, własnością słowa eter było dostarczanie rzeczownika do czasownika falować”.

Problem wykrycia ruchu Ziemi w eterze stał się tym bardziej palący. Wiadomo było wprawdzie, że inżynier stosować może równania Maxwella, nie przejmując się takimi subtelnościami, ale należało wyjaśnić negatywne wyniki doświadczeń. Hendrik Lorentz spróbował podejść do tego problemu w sposób systematyczny i wykazał, że każdemu stanowi pól w nieruchomym eterze odpowiada pewien stan pól w eterze ruchomym. Chciał w ten sposób podać ogólny dowód, że wszelkie zjawiska elektromagnetyczne przebiegają w taki sposób, aby nie można było ruchu Ziemi wykryć. Wprowadził przy tym dość szczególną konstrukcję matematyczną: w poruszającym się układzie należało zdefiniować czas w taki sposób, że zależał on od współrzędnej przestrzennej. Był to zdaniem Lorentza czas fikcyjny, potrzebny do dowodu niemożliwości wykrycia ruchu przez eter. Okazało się też, że należy założyć coś osobliwego na temat długości obiektów poruszających się: powinny one ulec nieznacznemu skróceniu o czynnik \sqrt{1-v^2/c^2}, gdzie v jest prędkością ruchu obiektu, a c – prędkością światła.

Praca Alberta Einsteina, eksperta technicznego III klasy z Berna, proponowała już we wstępie krok decydujący: pojęcie eteru świetlnego jest w fizyce „zbyteczne”. W ten sposób cała dziedzina badań nad zjawiskami w poruszającym się eterze przechodziła do historii, rozpoczynała się natomiast era szczególnej teorii względności.

Fizycy znali wcześniej zasadę względności. Dotyczyła ona mechaniki. I zasada dynamiki, czyli zasada bezwładności, mówi, że gdy żadne siły nie działają na ciało, to porusza się ono ruchem jednostajnym i prostoliniowym bądź spoczywa. Zasada ta nie dotyczy każdego układu współrzędnych (in. układu odniesienia). Obserwator w hamującym pociągu widzi, jak przewracają się przedmioty, które dotąd spokojnie sobie tkwiły w bezruchu. Hamujący pociąg nie jest więc układem odniesienia, w którym zasada bezwładności ma zastosowanie. Fizycy mówią: nie jest układem inercjalnym (tzn. takim, w którym obowiązuje zasada bezwładności). Pociąg jadący ruchem jednostajnym jest dobrym przybliżeniem układu inercjalnego, podobnie jak powierzchnia Ziemi. Wiemy jednak, że także powierzchnia Ziemi nie jest idealnym układem inercjalnym, ponieważ Ziemia wiruje wokół osi, a także porusza się ruchem rocznym wokół Słońca. Układ inercjalny jest więc pewnym ideałem teoretycznym. Zasady dynamiki mają w takim układzie szczególnie prostą postać i zazwyczaj tak są domyślnie sformułowane.

Ważną cechą układów inercjalnych jest to, że każdy układ odniesienia poruszający się ruchem jednostajnym i prostoliniowym względem jednego z nich jest także układem inercjalnym. mamy więc do czynienia z klasą równoważnych fizycznie układów odniesienia. W każdym z nich obowiązują zasady dynamiki w zwykłej postaci. Nie znaczy to, że nie możemy opisywać ruchu np. w odniesieniu do hamującego pociągu, musimy jednak wtedy uwzględnić dodatkowe siły, które nie wynikają z żadnych oddziaływań, lecz są skutkiem ruchu układu: w hamującym pociągu pasażerowie odczuwają siłę zwróconą ku jego przodowi, która znika, gdy pociąg się zatrzyma.

Isaac Newton sformułował w Matematycznych zasadach filozofii przyrody pojęcia absolutnej przestrzeni – czegoś w rodzaju nieskończonego pojemnika na wszystkie obiekty w świecie oraz absolutnego czasu. Prawa dynamiki obowiązywać miały, gdy ruch odnosimy do owej przestrzeni absolutnej, ale także w każdym układzie odniesienia poruszającym się ruchem jednostajnym i prostoliniowym. W rezultacie w fizyce Newtona nie ma sposobu na ustalenie, który z nieskończonego zbioru układów inercjalnych jest absolutną przestrzenią albo w języku dziewiętnastego wieku: eterem. Nie możemy więc ustalić absolutnego położenia żadnego przedmiotu w sposób empiryczny: dwa zdarzenia zachodzące w odstępie jednej minuty w tym samym punkcie (inercjalnego) pociągu zachodzą w różnych miejscach przestrzeni zdaniem obserwatora na peronie. Fizycznie oba punkty widzenia są równoprawne, a także punkty widzenia wszelkich innych obserwatorów inercjalnych. Absolutna przestrzeń należy więc do założeń metafizycznych Newtona, żadne eksperymenty nie pozwalają jej zlokalizować. Inaczej można powiedzieć, że w fizyce Newtona obowiązuje zasada względności: prawa fizyki są takie same w każdym układzie inercjalnym.

Czas w fizyce Newtona jest rzeczywiście absolutny, to znaczy, można zawsze ustalić, czy zdarzenia są równoczesne, nawet gdy zachodzą one daleko od siebie (zresztą dla pewnego obserwatora inercjalnego będą one równoczesne i zarazem w tym samym punkcie przestrzeni).

Einstein uważał, iż zasadę względności należy rozciągnąć także na zjawiska elektromagnetyczne i zaproponował, aby obowiązywała ona jako nowe prawo fizyki: wszelkie prawa fizyki mają taką samą postać w każdym układzie inercjalnym. Drugim postulatem jego teorii było przyjecie, że prędkość światła w próżni jest dla każdego obserwatora inercjalnego równa tej samej wartości c (wynikającej z teorii Maxwella). Zamiast analizować szczegóły zaproponował więc dwie zasady ogólne, które jego współczesnym wydawały się przeczyć sobie wzajemnie. Rozszerzenie zasady względności na całą fizykę byłoby wprawdzie eleganckim wyjaśnieniem, dlaczego nie obserwujemy ruchu Ziemi w eterze (bo eteru nie ma), ale pojawia się trudność z drugim postulatem. Znaczy on bowiem, że nie tylko prędkość światła zawsze jest równa c, bez względu na ruch źródła światła, ale także równa jest c bez względu na to, czy obserwator goni falę świetlną, czy też porusza się jej naprzeciw. Przeczy to prawu składania prędkości, a przecież eksperymenty potwierdzają je na co dzień: gdy pasażer porusza się z prędkością u (względem pociągu) w kierunku do przodu pociągu jadącego z prędkością v (względem peronu), to jego prędkość względem peronu jest sumą u+v. Dlaczego prawo to nie działa, gdy jednym z obiektów jest światło?

Czyniono często zarzut Einsteinowi, że prędkość światła w próżni jest w jego teorii jakoś szczególnie wyróżniona. Rzeczywiście, istnieje w tej teorii graniczna prędkość poruszania się obiektów materialnych, np. przekazywania energii albo informacji, i to jest właśnie c. Można powiedzieć, że światło ma tę szczególną własność, iż porusza się z ową maksymalną prędkością. Nie ma jednak żadnych przeszkód, aby istniały inne obiekty poruszające się z prędkością c. Wiemy, że światło składa się z fotonów (było to treścią innej pracy Einsteina z tego samego roku, nie bez powodu nazywanego jego „cudownym rokiem”), cząstek poruszających się z prędkością c. Podobnie poruszają się inne cząstki, odkryte później, jak gluony, albo wciąż czekające na odkrycie, jak grawitony. Cząstki takie nie istnieją w stanie spoczynku, lecz zawsze poruszają się z prędkością c.

Istnienie maksymalnej prędkości, i to w dodatku zawsze jednakowej, pozwala na eksperymentalne badanie równoczesności dwóch zjawisk. Obserwator inercjalny może rozmieścić w swoim układzie odniesienia zegary w różnych punktach. Znając odległość tych puntów oraz prędkość światła, może te zegary zsynchronizować. Gdy jego zegar wskazuje czas t, wysyła sygnał do punktu odległego o r i umawia się z kolegą, który tam przebywa, że moment odebrania sygnału będzie czasem t+r/c. Dzięki temu przepisowi wszystkie zegary zostaną zsynchronizowane i można będzie ustalić zawsze czas danego zdarzenia, obserwując go na pobliskim zegarze. Metoda ta zastosowana w innym układzie inercjalnym może dać inne wyniki w odniesieniu do tej samej pary zdarzeń.

Przykład podany przez Einsteina pomaga to zrozumieć. Wyobraźmy sobie jadący pociąg i obserwatora na peronie. W chwili, gdy mija go środek pociągu, w jego początek i koniec uderzają równocześnie dwa pioruny. Ich uderzenia są równoczesne, ponieważ światło obu błyskawic dociera do naszego obserwatora w jednej chwili, a wiadomo, że odległość obu końców pociągu od obserwatora była w tym momencie taka sama. Inaczej opisze te zdarzenia obserwator siedzący w środku pociągu. Jego zdaniem piorun najpierw uderzył w przód pociągu, a dopiero później w jego tył (linia świata pasażera jest na rysunku zakreskowana, jest to zarazem jego oś czasu). Skoro równoczesność dwóch zdarzeń zależy od układu odniesienia, to znaczy, że czas absolutny nie istnieje. Wbrew pozorom nie burzy to jednak naszych koncepcji przyczyny i skutku. Musimy tylko precyzyjnie opisywać zdarzenia, podając ich położenie oraz czas. Zdarzenia takie, jak jednoczesne uderzenia dwóch piorunów w dwóch różnych punktach nie są z pewnością połączone związkiem przyczynowo-skutkowym, ponieważ wymagałoby to oddziaływania przenoszącego się natychmiastowo, z nieskończoną prędkością. Wszystkie zaś oddziaływania fizyczne mogą przenosić się co najwyżej z prędkością światła w próżni. Dlatego zmiana kolejności czasowej obu uderzeń pioruna nie burzy fizyki. Jeśli natomiast jakieś zdarzenie A może potencjalnie być przyczyną innego zdarzenia B, to dla każdego obserwatora ich kolejność czasowa będzie taka sama: t_A<t_B. Obalenie koncepcji absolutnego czasu nie oznacza zatem wprowadzenia anarchii w relacjach czasoprzestrzennych, lecz zaprowadzenie innego ładu niż dotąd.

Był to najważniejszy wniosek Einsteina. Oznaczał konieczność przebudowy samych podstaw fizyki: pojęć czasu i przestrzeni. Okazywało się, że teoria Maxwella zgodna jest z teorią względności, nie wymaga więc żadnej przebudowy. Przeciwnie, fikcyjny czas lokalny Lorentza należy interpretować jako czas rzeczywisty mierzony przez innego obserwatora. Póki znajdujemy się w jednym ustalonym układzie inercjalnym czas wydaje nam się absolutny. Rewolucja dotyczyła porównywania wyników pomiarów dokonywanych przez różnych obserwatorów. W przypadku elektrodynamiki oznaczało to względność pól elektrycznych i magnetycznych. Jeśli np. w jednym układzie odniesienia mamy spoczywający ładunek wytwarzający pole elektryczne, to w innym układzie ładunek ten będzie się poruszać – będziemy więc mieli do czynienia z prądem, i obserwować będziemy zarówno pole elektryczne, jak i magnetyczne. Oba wektory pola elektromagnetycznego stanowią więc z punktu widzenia teorii względności jedną całość, jeden obiekt matematyczny, którego składowe w różnych układach są różne, podobnie jak składowe zwykłego wektora w różnych układach współrzędnych.

Równania Maxwella są takie same w każdym układzie inercjalnym, więc i prędkość fali świetlnej będzie w każdym układzie taka sama. Większej przebudowy wymagała mechanika. Jej newtonowska wersja nadal pozostaje słuszna, gdy ciała poruszają się wolno w porównaniu do prędkości światła. Najważniejszą konsekwencją nowej mechaniki stało się słynne równanie E=mc^2, które pozwala zrozumieć m.in. reakcje, w których powstają albo giną cząstki, oraz skąd gwiazdy czerpią energię na świecenie przez miliardy lat.

Szczególna teoria względności rozwiązywała problemy, które od lat uciążliwie towarzyszyły fizykom, choć były one głównie natury pojęciowej. Można było na co dzień nie zaprzątać sobie głowy ruchem Ziemi w eterze i uprawiać fizykę tak, jakby Ziemia była nieruchoma. Także narzędzia do rozwiązania owych problemów zostały już wypracowane, głównie przez Lorentza i Poincarégo, Einstein je tylko radykalnie zreinterpretował. Pierwszy z fizyków pogodził się z sytuacją i zaprzyjaźnił z Einsteinem, drugi starał się ignorować prace młodszego kolegi (być może zresztą jego stosunek do Einsteina uległby z czasem zmianie, Poincaré zmarł w roku 1912, a więc przed stworzeniem ogólnej teorii względności). Ostatecznie elektrodynamika ciał w ruchu przeszła do historii, a podstawą fizyki stała się szczególna teoria względności.
Natomiast jej uogólnienie, czyli Einsteinowska teoria grawitacji, było praktycznie dziełem jednego tylko autora, stworzonym w latach 1907-1915.

Pojęciowym punktem wyjścia była prosty eksperyment myślowy: obserwator swobodnie spadający w polu grawitacyjnym nie będzie odczuwał grawitacji – będzie w stanie nieważkości, dziś dobrze znanym z lotów kosmicznych. Einstein uznał tę obserwację za „najszczęśliwsza myśl swego życia”. Z punktu widzenia fizyki Newtonowskiej istnieją dwa rodzaje masy: grawitacyjna i bezwładna. Pierwsza określa siłę, z jaką na ciało będzie oddziaływać grawitacja. Druga określa przyspieszenie ciała. Ponieważ obie te masy są jednakowe, więc przyspieszenie dowolnego ciała w danym polu grawitacyjnym jest takie same. Ilustruje to się czasem, demonstrując spadanie różnych ciał w rurze próżniowej. Obie masy skracają się zawsze, kiedy obliczamy przyspieszenie. Zdaniem Einsteina należało tę tożsamość wbudować w strukturę fizyki, zamiast ją tylko postulować jako dodatkowy warunek. Uczony sformułował zasadę równoważności pola grawitacyjnego i przyspieszenia. Znajdując się w zamkniętej kapsule, nie potrafilibyśmy odróżnić, czy nasza kapsuła porusza się ruchem przyspieszonym, czy spoczywa w polu grawitacyjnym (możliwe byłyby także kombinacje obu stanów). Grawitacja jest więc w fundamentalny sposób związana z bezwładnością. Einstein dążył do stworzenia teorii, która objaśniałaby jednocześnie grawitację oraz bezwładność. Argumentował przy tym, że układy inercjalne są sztucznym ograniczeniem dla fizyki, powinniśmy więc dopuścić także układy przyspieszone, nieinercjalne. Podobnie jak w szczególnej teorii względności każda prędkość ma zawsze charakter względny, w teorii uogólnionej także przyspieszenie miało stać się pojęciem względnym. Nawiązywał tu do rozważań Ernsta Macha, który sądził, że przyspieszenie jest względne. W swoim czasie Isaac Newton posłużył się przykładem wiadra z wodą wirującego na skręconym sznurze. Gdy wiadro przekaże ruch wirowy wodzie, jej powierzchnia staje się wklęsła, co jest skutkiem sił odśrodkowych. Możemy w ten sposób stwierdzić, czy woda wiruje względem absolutnej przestrzeni. Zdaniem Macha eksperyment ten dowodzi tylko tego, że woda obraca się względem dalekich gwiazd. Gdyby to owe gwiazdy zaczęły się obracać, skutek byłby ten sam, a przestrzeń absolutna nie istnieje.

Droga Einsteina do ogólnej teorii względności była zawikłana, lecz z perspektywy roku 1921 jej struktura matematyczna została już wyjaśniona. Rolę układów inercjalnych odgrywały teraz swobodnie spadające układy odniesienia. Obserwator znajdujący się w jednym z nich może stosować szczególną teorię względności. Różnica fizyczna między obiema teoriami polega jednak na tym, że szczególną teorię względności stosować można jedynie lokalnie. Nawet bowiem w spadającym swobodnie laboratorium można wykryć niewielkie zmiany przyspieszenia między różnymi jego punktami – są to siły przypływowe (poznane historycznie na przykładzie zjawiska przypływów i odpływów w oceanach, które są z różnymi siłami przyciągane grawitacyjnie przez Księżyc oraz Słońce). Oznacza to, że nie można wprowadzić jednego układu inercjalnego dla całego wszechświata, można tylko wprowadzać je lokalnie. Matematycznie rzecz biorąc, różnica między teorią ogólną i szczególną polega na geometrii: zakrzywionej w pierwszym przypadku, płaskiej w drugim. Einstein posłużył się czterowymiarowym sformułowaniem swej teorii szczególnej podanym przez Hermanna Minkowskiego. Czas i przestrzeń stanowią tu pewną całość, czasoprzestrzeń. W przypadku dwuwymiarowym w każdym punkcie powierzchni możemy zbudować płaszczyznę styczną. Jest ona zarazem dobrym przybliżeniem geometrii w otoczeniu danego punktu: w taki sposób posługujemy się planami miast, mimo że Ziemia nie jest płaska.

Teorię dwuwymiarowych powierzchni zawartych w trójwymiarowej przestrzeni zbudował Karl Friedrich Gauss. Zauważył przy tym, że wystarczy posługiwać się wielkościami dostępnymi bez wychodzenia poza powierzchnię. Można np. w ten sposób ustalić, czy jest ona zakrzywiona. Podejście Gaussa uogólnił później Bernhard Riemann, a inni matematycy rozwinęli je w systematyczne procedury dla powierzchni o dowolnej liczbie wymiarów.

W geometrii Riemanna współrzędne można wybrać w sposób dowolny, w przypadku zakrzywionych przestrzeni nie istnieje na ogół żaden szczególnie prosty układ współrzędnych, który mógłby odegrać taką rolę jak współrzędne kartezjańskie w przestrzeni euklidesowej. Nadal decydującą rolę odgrywa tu pojęcie odległości. Dla pary bliskich punktów możemy ją zawsze obliczyć w sposób euklidesowy, a długość dowolnej krzywej uzyskać przez sumowanie takich elementarnych odległości. Zamiast równania ds^2=dx^2+dy^2 na płaszczyźnie, mamy teraz równanie nieco bardziej skomplikowane

ds^2=g_{11}dx_1^2+2g_{12}dx_1dx_2+g_{22}dx_2^2.

Geometrię przestrzeni określa więc zbiór funkcji g_{\mu\nu} pozwalających obliczyć odległość punktów. Funkcje g_{\mu\nu} noszą nazwę tensora metrycznego (albo metryki). Można za ich pomocą wyrazić wszelkie własności geometryczne danej przestrzeni. W przypadku dwuwymiarowym wystarczą trzy takie funkcje, w przypadku czterowymiarowym należy znać ich dziesięć.

W zakrzywionej przestrzeni nie ma linii prostych, można jednak znaleźć ich odpowiedniki. Są to linie geodezyjne (albo geodetyki). Mają one niektóre własności linii prostych w geometrii euklidesowej: są np. najkrótszą drogą łączącą dwa punkty. Krzywe geodezyjne w teorii Einsteina są liniami świata cząstek poruszających się pod wpływem grawitacji. Metryka określa więc, jak poruszają się cząstki – grawitacja nie jest z punktu widzenia Einsteina siłą, lecz własnością czasoprzestrzeni. Należy dodać, że inne rodzaje sił działających na dane ciało sprawią, że przestanie się ono poruszać po geodezyjnej. Jedynie grawitacja wiąże się tak ściśle z geometrią. Jest to zgodne z faktem, że grawitacja jest powszechna, tzn. dotyczy wszystkich cząstek, a także działa na wszystkie w taki sam sposób – dzięki czemu można ją opisać jako własność czasoprzestrzeni. W teorii Einsteina nie potrzeba osobnej masy grawitacyjnej i bezwładnej.

Znając metrykę czasoprzestrzeni, możemy wyznaczyć geodezyjne, czyli obliczyć, jak poruszają się ciała pod wpływem grawitacji. Są to równania ruchu, zastępujące zasady dynamiki Newtona. Aby jednak wyznaczyć metrykę, potrzebne są równania, które musi ona spełniać. Są to równania pola, największe osiągnięcie Einsteina jako fizyka. Przystępując do pracy nad ogólną teorią względności uczony wiedział jedynie, że powinna ona zawierać teorię szczególną a także Newtonowską teorię grawitacji. Równania pola powinny mieć postać znaną z teorii Maxwella: (pewne kombinacje pochodnych pól)=(źródła pola). W przypadku grawitacyjnym źródłem powinna być masa, ale to także znaczy: energia. W teorii szczególnej opisuje się energię i pęd zbioru cząstek jako tensor energii pędu T_{\mu\nu}, zbiór dziesięciu wielkości danych w każdym punkcie czasoprzestrzeni. Masy powinny decydować o krzywiźnie czasoprzestrzeni. Zatem po lewej stronie równań pola powinna znaleźć się wielkość informująca o krzywiźnie. Okazuje się, że praktycznie jedyną możliwością jest tu tzw. tensor Einsteina, G_{\mu\nu} zbiór dziesięciu pochodnych metryki. Równania muszą więc przybrać postać

G_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}.

gdzie \kappa jest odpowiednio dobraną stałą związaną ze stałą grawitacyjną. Sama postać zapisu tych równań zapewnia, że możemy w dowolny sposób wybrać współrzędne, a równania nadal pozostaną słuszne. Znalezienie prawidłowych równań pola pod koniec listopada 1915 roku zakończyło odyseję Einsteina: ogólna teoria względności została zbudowana.

Jeszcze w listopadzie 1915 roku uzyskał Einstein dla swej teorii pierwsze potwierdzenie obserwacyjne. Obliczył bowiem wielkość obrotu orbity Merkurego wokół Słońca – niewielkiej rozbieżności między obserwacjami a teorią Newtona nie udawało się wyjaśnić od półwiecza. Teraz okazało się, że przyczyną rozbieżności było niedokładne prawo grawitacji. Przewidział też Einstein, że promienie gwiazd biegnące blisko powierzchni Słońca powinny uginać się o kąt 1,74’’. Efekt ten został w roku 1919 potwierdzony podczas całkowitego zaćmienia Słońca przez dwie ekspedycje brytyjskie. Teoria grawitacji Einsteina okazała się ogromnym sukcesem, jest powszechnie uważana za najpiękniejszą teorię w fizyce. Nie wszystko jednak poszło po myśli jej twórcy. Okazało się np., że choć wprawdzie grawitacja i bezwładność zostały ze sobą zespolone, to nie udało się jednak zrealizować idei Macha. W teorii Einsteina wirowanie całego wszechświata jest czym innym niż wirowanie wiadra Newtona. Einstein z pewnym uporem trzymał się zasady Macha nawet wówczas, gdy wykazano, że nie obowiązuje ona w jego teorii. Wbrew przewidywaniom twórcy grawitacja może prowadzić do zapadania się materii i tworzenia czarnych dziur, w których zamknięta jest osobliwość czasoprzestrzeni. Einstein zmieniał w ciągu swej późniejszej kariery zdanie na temat tego, czy istnieją fale grawitacyjne: początkowo je przewidywał, później nabrał wątpliwości. Jego początkowe przybliżone podejście okazało się słuszne i fale grawitacyjne zostały odkryte w roku 2015.

Reklamy

Kosmologia relatywistyczna w kwadrans II

  • Metryka czasoprzestrzeni

Dla naszego jednorodnego i izotropowego modelu z płaską 3-przestrzenią metryka wszechświata przyjmuje prostą postać:

ds^2=c^2 dt^2-R^2 d\vec{x}\,^2=c^2 dt^2-R^2 (dr^2+r^2 d\vartheta^2+r^2 \sin^2\vartheta d\varphi^2).

Druga postać zapisana jest przez współrzędne sferyczne r, \vartheta, \varphi. Współrzędne x,y,z oraz r, \vartheta, \varphi dla danej galaktyki pozostają stałe (o ile nie ma ona ruchu własnego, a tylko bierze udział w rozszerzaniu wszechświata: przepływie Hubble’a). Jedyny parametr, czynnik skali R(t) opisuje ewolucję wszechświata, czyli jego rozszerzanie (choć równie dopuszczalne teoretycznie byłoby kurczenie się). Czasoprzestrzeń ta nie jest płaska, mimo że płaska jest 3-przestrzeń. Ogólna teoria względności dopuszcza dowolne układy współrzędnych, ten nasz wyróżniony jest fizycznie: w tym układzie współrzędnych mamy wspólny kosmiczny czas oraz współrzędne współporuszające się. Odległość danej galaktyki od nas (r=0) równa jest

D=R(t)r,

oznacza to, że szybkość oddalania się danej galaktyki równa jest (przyjmujemy, że galaktyka nie ma ruchu własnego):

\dot{D}=\dot{R}r =\dfrac{\dot{R}}{R}Rr\equiv H(t) D.

Jest to prawo Hubble’a. Zauważmy, że ta odległość mierzona jest w danej chwili kosmicznego czasu, a więc i prędkość powinna być obecną prędkością galaktyki. W rzeczywistości nie możemy obserwować całej przestrzeni w żadnej chwili – jedyne, co widzimy, to stożek przeszłości: dalsze obiekty w chwilach odpowiednio wcześniejszych itd. W napisanym powyżej prawie Hubble’a prędkość nie musi być mniejsza niż c. Nie musimy się tym przejmować, ponieważ startujemy z metryki, która automatycznie zapewnia lokalną stałość prędkości, a jedynie to się liczy.

  • Mikrofalowe promieniowanie tła (CMB)

Do tej pory mówiliśmy tylko o grawitacji, nie interesowaliśmy się zjawiskami opisanymi przez inne dziedziny fizyki. Jeśli wszechświat był kiedyś gęsty, to musiał także być gorący. Rozpatrzmy, co się dzieje z gęstością energii promieniowania u (w dżulach na metr sześcienny), gdy objętość V się zmienia. Z I zasady termodynamiki mamy (rozszerzanie jest adiabatyczne):

dE=d(uV)=V du+u dV=-p dV,

gdzie p jest ciśnieniem promieniowania. Jest ono równe p=\frac{1}{3}u. Wstawiając to do I zasady termodynamiki i korzystając z faktu, że V=\frac{4}{3}\pi R^3, a dV=4\pi R^2 dR, dostaniemy

\dfrac{du}{u}+4\dfrac{dR}{R}=0\Rightarrow u\sim R^{-4}.

Gęstość energii podzielona przez c^2 daje wkład promieniowania do całkowitej gęstości materii – wielkość, którą należy traktować jako źródło grawitacji w równaniu (*) z pierwszej części. Patrząc nieco inaczej, długość fali promieniowania powinna skalować się, jak R^{-1}, a liczba fotonów w jednostce objętości jak R^{-3}.

Ponieważ energia atomów zależy od współczynnika skali jak R^{-3}, więc dla małych R energia promieniowania wszystko zdominuje. Wiadomo też, że gęstość energii promieniowania jest proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury T^4, otrzymujemy więc

T\sim\dfrac{1}{R}.

Temperatura promieniowania jest tym wyższa, im bliżej Wielkiego Wybuchu jesteśmy i energia promieniowania dominuje nad innymi postaciami energii. Mamy więc gorący Wielki Wybuch. W 1965 roku zaobserwowano promieniowanie, które pozostało z wczesnego etapu wszechświata i które z tego powodu zwane jest też reliktowym, jest bowiem czymś w rodzaju skamieliny. Od tamtej pory badane jest ono z coraz większą dokładnością przez różne misje, ostatnią był satelita Planck.

To, co dociera do nas z każdego kierunku wszechświata jest promieniowaniem cieplnym, rozkładem Plancka, o temperaturze niecałe 3K, a więc głównie mikrofalowym. Promieniowanie to jest obrazem wszechświata w chwili t=380 \,000 lat po Wielkim Wybuchu. Zostało wyemitowane gdy czynnik skali był 1000 razy mniejszy niż dziś, miało więc ono wówczas temperaturę 3000 K i przypadało na obszar widzialny i podczerwień. Co więcej, okazuje się, że z bardzo dużą dokładnością (10^{-5}) temperatura owego promieniowania jest taka sama w każdym kierunku. Kolejne misje satelitarne badały właśnie owe fluktuacje: ich rozkład i wielkość zawierają najróżniejsze informacje na temat wszechświata w tamtym momencie. Z niejednorodności tych wyewoluował dzisiejszy wszechświat.

Skąd wzięło się promieniowanie tła? Wszechświat przed t=380\, 000 lat składał się głównie z protonów i elektronów, które miały na tyle dużą energię kinetyczną (temperaturę), że nie łączyły się w atomy wodoru. Taka plazma silnie rozprasza promieniowanie elektromagnetyczne, ponieważ naładowane cząstki wprawiane są przez nie w drgania, a to z kolei oznacza wysyłanie nowej fali elektromagnetycznej (jak w antenie) kosztem energii fali pierwotnej. W rezultacie energia wysyłana jest na wszystkie strony, ośrodek nie przepuszcza promieniowania. Sytuacja zmieniła się, gdy temperatura spadła na tyle, by elektrony mogły utworzyć z protonami atomy wodoru. Powstał wtedy zwykły atomowy gaz, tak samo przezroczysty jak np. powietrze. Od tamtej pory termodynamiczne losy atomów i promieniowania rozprzęgły się. Z atomów powstało wszystko, co dziś widzimy: gwiazdy, planety, galaktyki itp., natomiast promieniowanie stygło w miarę rozszerzania, aż dotarło do nas.

Mała dygresja. Przy okazji promieniowania zauważmy, że statyczny wszechświat Einsteina, omawiany poprzednio, byłby niestabilny także z powodów astrofizycznych. Gdyby nawet dobrać odpowiednio jego gęstość i stałą grawitacyjną, to po pewnym czasie zmieniłaby się jego zawartość: gwiazdy syntetyzują hel z wodoru i cięższe pierwiastki z lżejszych, zamieniając różnicę energii na promieniowanie. Z czasem więc mniej będzie materii atomowej, a więcej promieniowania. Gdyby to było wszystko, pole grawitacyjne by się nie zmieniło, ponieważ obie zmiany są równe za sprawą zasady zachowania energii. Jednak źródłem pola grawitacyjnego jest nie sama gęstość materii \varrho, lecz wielkość \varrho+3p/c^2. Oznacza to, że pole grawitacyjne stanie się silniejsze po zamianie materii atomowej na promieniowanie, gdyż dla promieniowania (po uwzględnieniu, że p=u/3c^2\equiv \varrho/3) mamy: \varrho +3p/c^2=2\varrho. W einsteinowskiej grawitacji ciśnienie światła też jest źródłem pola grawitacyjnego.

  • Odległości

W rozszerzającym się wszechświecie należy być ostrożnym, kiedy mówi się o odległościach. Jedną z możliwych definicji wymieniliśmy wyżej: to odległość mierzona w danym momencie kosmicznego czasu. Do innej miary odległości prowadzi chwila wyemitowania światła t_e, które obserwujemy dziś w t_0. Światło to biegło więc t_0-t_e lat. Jak daleko znajdowało się owe źródło w chwili emisji? Inaczej mówiąc, jak daleko dotrze światło wysłane w chwili t_e z punktu r=0 i odebrane w chwili t_0? Światło biegnie po linii świata, dla której ds=0, a więc jego współrzędna r w chwili t_0 będzie równa

c dt=R(t) dr \Rightarrow r={\displaystyle \int_{t_e}^{t_0}}\dfrac{c dt}{R(t)}.

Odległość tego punktu w chwili emisji jest dana równaniem

D=R(t_e)r,

a dzisiejsza odległość tego punktu równa jest

D_{now}=R(t_0)r.

Odległość D jako funkcja chwili emisji jest to stożek przeszłości zbudowany na zdarzeniu tu i teraz. Ponieważ wszechświat kurczy się, gdy cofamy się w czasie, więc odległości D osiągają maksimum dla pewnej chwili emisji. Oznacza to, że wszystko, co widzimy, znajduje się w odległościach nie większych od owego maksimum. W ten sposób kątowe rozmiary galaktyk osiągają pewne minimum, a te, które wysłały światło jeszcze wcześniej, będą widziane jako większe na niebie (choć słabsze).

Na rysunku widzimy kształt stożka przeszłości i dwie linie świata galaktyk. Każdą z nich mogliśmy zobaczyć w chwili przecięcia jej linii świata ze stożkiem przeszłości. Obie były wtedy w podobnej odległości, powinny więc być jednakowej wielkości kątowej. Światło odpowiadające czerwonej galaktyce biegło do nas dłużej, a  jego długość fali rozciągnęła się bardziej, uległa większemu przesunięciu ku czerwieni w języku astronomów. Dziś obie znajdują się znacznie dalej od nas, ale już tego nie zobaczymy.

  • Trudności kosmologii Wielkiego Wybuchu: płaskość i horyzonty

Obserwowana 3-przestrzeń jest płaska. Oznacza to, że całkowita gęstość wszystkich form energii równa się dokładnie wartości krytycznej. Inaczej mówiąc nasz wszechświat ma dokładnie prędkość ucieczki: ani mniej, ani więcej. Oznacza to, że np. w jedną nanosekundę po Wielkim Wybuchu gęstość musiała być dopasowana bardzo ściśle, inaczej nasz wszechświat zachowywałby się całkiem inaczej. To tak, jakbyśmy wystrzelili z Ziemi pocisk z prędkością idealnie równą 11,2 km/s, ani trochę więcej, ani trochę mniej. Nie jest to niemożliwe, nie wygląda jednak na sytuację zbyt „naturalną” – postawiłem cudzysłów, ponieważ nie wiemy, co jest, a co nie jest naturalne dla wszechświata. Fizycy woleliby jakiś mechanizm, który faworyzuje płaski wszechświat.

Źródło: Ned Wright Cosmological Tutorial

Innym problemem jest stałość temperatury promieniowania tła docierającego z każdej strony. Na pierwszy rzut oka stałość ta wygląda zdroworozsądkowo: gaz był w równowadze termicznej, więc wysyłał promieniowanie o jednej temperaturze. Żeby zobaczyć, dlaczego jest to problem, wprowadźmy tzw. czas konforemny, spełniający warunek dt =R d\tau. Mamy wówczas

ds^2=R^2(c^2 d\tau^2-d\vec{x}\,^2).

Nasza metryka jest taka jak przestrzeni Minkowskiego, choć niezupełnie, gdyż przemnożona jest przez pewien wspólny czynnik skali. Nie ma sztuczki sprowadzającej zakrzywioną przestrzeń do płaskiej, ponieważ są one geometrycznie różne. Nasza czasoprzestrzeń nadal jest zakrzywiona, czego oznaką jest funkcja R(t). Jednak takie współrzędne są wygodne, gdyż zapewniają, że światło na wykresie czasoprzestrzennym biegnie pod kątem \pm 45^{\circ} (przyjmujemy c=1). Galaktyki w tym układzie współrzędnych mają stałe położenia, czyli ich linie świata biegną pionowo w górę. Sytuacja wygląda wówczas następująco. W chwili rozprzęgnięcia promieniowania z atomami stożki przeszłości różnych punktów CMB były rozłączne.

Rozłączne stożki przeszłości oznaczają, że w przeszłości zdarzenia takie nie miały żadnych wspólnych zdarzeń, a więc i możliwości wyrównania temperatury, bo takie wyrównywanie następuje dzięki wymianie energii. Izotropia promieniowania tła staje się więc wynikiem jakiegoś bardzo szczególnego wyboru warunków początkowych. Znów: fizycy woleliby nie zakładać aż tak szczególnych warunków początkowych. Obliczenia pokazują, że promieniowanie docierające z kątów większych niż $1,5^{\circ}$ powinno być fizycznie niezależne. Cała sfera niebieska rozpada się na ok. 10 000 niezależnych kawałków. Z jakiegoś powodu wszystkie te kawałki mają taką samą temperaturę.

Standardowym sposobem uniknięcia tych paradoksów jest inflacja. W bardzo wczesnym etapie po Wielkim Wybuchu, np. t=10^{-35} s przez bardzo krótki czas mamy dużą stałą kosmologiczną i wszechświat rozszerza się wykładniczo zgodnie z modelem de Sittera. Potem wraca do zwykłego modelu, o którym mówiliśmy. W przypadku płaskości skutek inflacji jest taki, jakbyśmy niewiarygodnie mocno nadmuchali balon: jego powierzchnia stanie się automatycznie płaska, przynajmniej dla naszej dokładności pomiarów. Także problem horyzontu rozwiązuje się wtedy dość naturalnie. Inflacja trwa bardzo krótko, licząc w czasie kosmicznym, ale długo w czasie konforemnym. Wygląda to tak.

Skutek jest więc taki, jakbyśmy cofnęli chwilę Wielkiego Wybuchu i dzięki temu stożki przeszłości różnych punktów promieniowania tła zdążyły się zetknąć.

Inflacja przewiduje także właściwe zachowanie fluktuacji promieniowania tła, co jest ważne, bo przesądza o dalszej ewolucji wszechświata.

Jak to zwykle bywa, każde rozwiązanie rodzi dalsze pytania i trudności. Nie wiadomo nic o konkretnym fizycznym mechanizmie inflacji, to znaczy wiadomo tyle, ile wynika z ograniczeń kosmologicznych, nic nie wiemy natomiast o konkretnych polach, które miałyby inflację wywołać. Jest też problem łagodnego wyjścia z fazy inflacyjnej, tzw. graceful exit. Chodzi o to, że modele przewidujące inflację na ogół nie chcą się zatrzymać, lecz dalej wywołują zachowania budzące wątpliwości. Np. generują bąble czasoprzestrzeni, które byłyby oddzielnymi wszechświatami. Nie ma więc żadnego ogólnie przyjętego opisu tej fazy wszechświata. Niektórzy, np. Roger Penrose, sądzą, że idea ta więcej kłopotów rodzi niż rozwiązuje.

Kosmologia relatywistyczna w kwadrans I

Kosmologia, czyli nauka o wszechświecie jako jednym obiekcie fizycznym, została zapoczątkowana przez Einsteina w 1917 roku. Nauka ta ma więc zaledwie sto lat i niesamowite osiągnięcia: potrafimy dziś bardzo wiele powiedzieć na temat wszechświata, w którym się znajdujemy.

  • Sens równań Einsteina

Ponieważ nie chcemy wprowadzać aparatu matematycznego geometrii różniczkowej, skorzystamy ze sformułowania H.C. Baeza i E.F. Bunna, gdzie można znaleźć więcej szczegółów.

Wyobraźmy sobie niewielką kulę cząstek próbnych, które są względem siebie w spoczynku w chwili t=0 i spadają swobodnie w  polu grawitacyjnym. Jeśli chwilę odczekamy, kula ta pod działaniem grawitacji przekształci się w elipsoidę. Przesunięcia cząstek będą proporcjonalne do kwadratu czasu (mierzonego w środku naszej kuli). Objętość kuli także zmieni się proporcjonalnie do kwadratu czasu:

V(\delta t)=V(0)+\dfrac{1}{2}\ddot{V} \delta t^2,

gdzie \ddot{V} jest drugą pochodną objętości naszej kuli (pierwsza pochodna znika, ponieważ cząstki spoczywają w chwili początkowej). Jeśli w objętości naszej kuli znajduje się jakaś materia, to można ją opisać za pomocą gęstości \varrho oraz ciśnień, jakie ona wywiera: p_x, p_y, p_z. W teorii względności ciśnienie (które jest niczym innym niż strumieniem pędu cząstek przypadającym na jednostkę powierzchni) należy dodać do gęstości materii.

Dla naszej kuli cząstek próbnych (zakładamy, że ich masa i energia jest znikomo mała) obowiązuje równanie grawitacyjne:

\dfrac{\ddot{V}}{V}=-4\pi G \left(\varrho+\dfrac{p_x+p_y+p_z}{c^2}\right) \mbox{ (*)}.

Stała G jest stałą grawitacji. Okazuje się, że równanie to jest równoważne tensorowym równaniom Einsteina, musimy tylko dopuścić kule cząstek próbnych poruszających się w chwili początkowej z dowolnymi prędkościami względem naszego inercjalnego (swobodnie spadającego) układu odniesienia. Zazwyczaj ciśnienie jest symetryczne i możemy wtedy zapisać wyraz z ciśnieniami jako 3p/c^2.

Intuicyjny sens tego równania jest jasny: materia (a także ciśnienie) zmniejszają objętość kuli cząstek próbnych – grawitacja jest siłą przyciągającą. Jeśli nasza kula znajduje się w pustej przestrzeni, jej objętość się nie zmieni, zmieniać się będzie natomiast jej kształt.

  • Ekspansja wszechświata

Przyjmiemy przybliżenie wszechświata jednorodnego (taki sam w każdym miejscu) oraz izotropowego (taki sam w każdym kierunku). Obserwacje pokazują, że w dostatecznie dużej skali założenia te są spełnione. Wszechświat nasz się rozszerza, co można sobie wyobrazić, jak na rysunku: daleki obiekty (np. galaktyki) są wciąż względem siebie rozmieszczone tak samo, powiększa się jedynie skala tego obrazu. Możemy ją mierzyć za pomocą jednego parametru R(t). Mamy więc pewien wyróżniony układ współrzędnych dla wszechświata: względem niego galaktyki się nie poruszają (średnio biorąc, ponieważ mogą one mieć swoje prędkości własne, których na rysunku nie zaznaczyliśmy). Jest też jeden wyróżniony czas. Spoczynek galaktyk w tym naszym układzie współrzędnych jest ich ruchem w polu grawitacyjnym (linie stałych współrzędnych są krzywymi geodezyjnymi).

Rozszerzanie nie dotyczy obiektów bliskich, np. Układu Słonecznego albo naszej Galaktyki. Obserwacje wskazują, że R(t) jest funkcją rosnącą czasu. Chwila, w której R(t_{BB})=0, jest chwilą Wielkiego Wybuchu. Skala wszechświata byłaby w niej równa zeru, czyli wszystkie odległości zmniejszyłyby się do zera. Wielki Wybuch jest więc ściągnięciem (być może nieskończonej) przestrzeni do zera, osobliwością. Nie jest wybuchem np. bomby w przestrzeni, lecz wybuchem samej przestrzeni. Znaczy to tylko tyle, że ogólna teoria względności, jak i wszystko, co dziś wiemy, słuszne jest dla t>t_{BB}\equiv 0. Sytuacja jest podobna jak dla funkcji y=1/x: jest ona określona dla wartości x>0 i nie ma sensu w x=0. To wszystko nie wyklucza, że kiedyś jakaś lepsza teoria nie zastąpi owej osobliwości czymś skończonym, gdyż wielkości nieskończone to żadne przewidywanie.

  • Dynamika wszechświata Einsteina-de Sittera

Najprostszy model wszechświata wskazali w 1932 roku Albert Einstein i Willem de Sitter w krótkim komunikacie. Ponieważ chcemy skorzystać z równania Einsteina (*), więc powinniśmy rozpatrzyć kulę cząstek próbnych (galaktyk) spoczywających względem siebie w pewnej chwili. Na rysunku kula ta oznaczona jest jako B’.

Zmiany jej objętości łatwo powiązać ze zmianami jej promienia r(t). Otrzymujemy:

\dfrac{\ddot{V}}{V}=3\dfrac{\ddot{r}}{r}=-4\pi G \varrho,

gdzie pominęliśmy wyraz z ciśnieniem materii.

Wyobraźmy sobie teraz drugą kulę, która rozszerza się wraz z wszechświatem. Dla uproszczenia przyjmijmy, że obie kule mają jednakowy promień w chwili początkowej. Różnią się prędkościami ruchu, czyli pierwszymi pochodnymi współrzędnych, tak jak to zaznaczono na rysunku. Cząstki na powierzchni obu kul poruszają się z tym samym przyspieszeniem, ponieważ ich ruch jest spadaniem w polu grawitacyjnym, a wszystko spada z takim samym przyspieszeniem. Mamy zatem \ddot{R}=\ddot{r} i możemy poprzednie równanie przepisać dla kuli współporuszającej się z galaktykami:

3\dfrac{\ddot{R}}{R}=-4\pi G\varrho.

Zapisaliśmy to dla nieskończenie małej kuli, ale w jednorodnym i izotropowym wszechświecie równanie takie będzie słuszne dla kuli o dowolnych rozmiarach. Druga pochodna promienia równa jest

\ddot{R}=-\dfrac{4}{3}\pi R^3 \varrho \dfrac{G}{R^2}=-\dfrac{GM}{R^2}. \mbox{(2)}

Zastąpiliśmy iloczyn objętości kuli i gęstości masą M. Ta masa zawarta wewnątrz kuli nie zmienia się z czasem, ponieważ kula współporusza się z galaktykami. Otrzymaliśmy równanie, które ma prostą interpretację newtonowską. Jest to równanie ruchu ciała (czerwona kropka) w polu grawitacyjnym masy M.

Wiemy, że zależnie od wartości prędkości możliwe są dwie sytuacje: albo nasza czerwona kropka zawróci po osiągnięciu pewnej maksymalnej odległości, albo będzie oddalać się do nieskończoności. Ten sam wniosek dotyczy kuli galaktyk: albo zawrócą one w pewnej chwili, albo nigdy nie zawrócą i będą się oddalać nieograniczenie. Model Einsteina-de Sittera dotyczy sytuacji granicznej: gdy prędkość oddalania jest równa prędkości ucieczki. Jest to więc najmniejsza prędkość, przy której ekspansja nigdy się nie zatrzyma. Całkowita „energia” naszej czerwonej kropki równa się zero (piszemy w cudzysłowie, bo to nie jest energia świata, lecz jedynie wielkość analogiczna do energii, gdyż takie same równania mają takie same rozwiązania i możemy skorzystać z wiedzy przedeinsteinowskiej):

\dfrac{\dot{R}^2}{2}-\dfrac{GM}{R}=0 \Rightarrow R(t)\sim t^{\frac{2}{3}}.

W modelu tym wszechświat zaczyna się Wielkim Wybuchem. Einstein i de Sitter chcieli zbudować najprostszy relatywistyczny model rozszerzającego się wszechświata i niezbyt przejmowali się szczegółowymi wynikami obserwacji. Model ten ma jeszcze tę własność, że trójwymiarowa przestrzeń jest w nim płaska. W teorii Einsteina to sytuacja szczególna, nasza siatka galaktyk mogłaby bowiem być zakrzywiona.

Oczywiście na obrazku możemy przedstawić dwuwymiarowe powierzchnie, a w tym przypadku chodzi o trójwymiarową przestrzeń.

Wydaje się, że 3-przestrzeń naszego wszechświata jest płaska, tzn. jeśli byłaby zakrzywiona, to promień krzywizny musiałby być gigantyczny nawet w skali kosmologicznej.

  • Stała kosmologiczna = ciemna energia

Einstein zauważył, że z formalnego punktu widzenia jego równania pola mogą zawierać dodatkowy wyraz proporcjonalny do metryki. Fizycznie odpowiadałby on stałej gęstości energii w całej przestrzeni równej \varrho_{vac} c^2  oraz stałemu ciśnieniu p. Wyobraźmy sobie pewną objętość V. Energia w niej zawarta równa się \varrho_{vac} c^2 V. Z termodynamiki wiemy, że zmiana energii dE równa się pracy wykonanej nad układem -pdV. W naszym przypadku

dE=\varrho_{vac} c^2 dV=-pdV\Rightarrow p=-\varrho_{vac} c^2.

Nietypowy znak ciśnienia związany jest z tym, że teraz rozszerzanie powiększa energię zamiast ją zmniejszać, jak w przypadku gazu w naczyniu. Jeśli we wszechświecie nie ma żadnej innej formy energii, równania Einsteina przybierają postać:

3\dfrac{\ddot{R}}{R}=-4\pi G (\varrho_{vac} -3\varrho_{vac})=8\pi G \varrho_{vac}\equiv \Lambda c^2.

Parametr \Lambda zwany jest stałą kosmologiczną. Wszechświat taki prędzej czy później zacznie się rozszerzać (przyjmujemy, że stała kosmologiczna jest dodatnia), i to coraz szybciej. Pusty wszechświat ze stałą kosmologiczną nazywa się wszechświatem de Sittera. Czynnik skali R(t) rośnie wykładniczo z czasem:

R(t)=R_0\exp\left(\sqrt{\dfrac{\Lambda c^2}{3}}t\right).

Zauważmy, że w takim modelu nie ma Wielkiego Wybuchu, ponieważ czynnik skali zawsze jest dodatni. Oczywiście, wiemy, że w naszym wszechświecie występuje materia, a więc wszechświat de Sittera nie jest realistycznym modelem, lecz jedynie pewnym przybliżeniem. Obserwacje pokazują, że nasz wszechświat coraz bardziej zbliża się do świata de Sittera. Mówimy dziś o ciemnej energii, co jest inną nazwą dla stałej kosmologicznej (choć może się też okazać, że sytuacja jest bardziej skomplikowana i opis za pomocą \Lambda nie wystarczy).

  • Wszechświat Einsteina i wszechświat w XXI wieku

Stała kosmologiczna wprowadzona została przez Einsteina w pracy, która zapoczątkowała kosmologię w dzisiejszym sensie. Uczony sądził, że obserwacje wskazują, iż wszechświat jest statyczny, nie zmienia się z czasem. Równania pola grawitacyjnego nie dopuszczają takiej możliwości, dopóki nie wprowadzimy stałej kosmologicznej. Równanie (*) przybiera postać:

3\dfrac{\ddot{R}}{R}=-4\pi G\varrho+\Lambda c^2,

co można przekształcić podobnie jak dla modelu EdS:

\ddot{R}=-\dfrac{MG}{R^2}+\dfrac{\Lambda c^2}{3}R\mbox{ (3)}.

W porównaniu z (2) do przyciągającego wyrazu grawitacyjnego doszedł wyraz odpychający ze stałą kosmologiczną. Jeśli zażądamy, aby ich suma była równa zeru, otrzymamy statyczny model Einsteina z 1917 roku. Później, kiedy okazało się, że wszechświat się rozszerza, Einstein bez żalu pozbył się wyrazu kosmologicznego. Model statyczny był zresztą i tak nie do utrzymania, ponieważ nie jest on stabilny. Załóżmy bowiem, że dobraliśmy tak stałe, iż prawa strona równania (3) równa jest zeru. Mamy więc równowagę. Jeśli jednak powiększymy choćby nieznacznie czynnik skali R, to wzrosną oba wyrazy po prawej stronie i przyspieszenie będzie dodatnie, tzn. niewielki przyrost R powiększy się i nasz wszechświat zacznie się rozszerzać. Podobnie, jeśli zmniejszylibyśmy nieznacznie czynnik skali, prawa strona równania stałaby się ujemna i czynnik skali zacząłby się samorzutnie zmniejszać. Można to też pokazać, zapisując zasadę zachowania „energii” dla równania (3), podobnie jak to zrobiliśmy dla równania (2):

\dfrac{v^2}{2}-\dfrac{GM}{R}-\dfrac{\Lambda c^2 R^2}{6}\equiv E_k+E_p=const.

Nasza „energia” potencjalna ma w tym przypadku postać wzniesienia: jeśli nawet znajdziemy się na jego szczycie z zerową „energią” kinetyczną, to każde, nawet najmniejsze, zaburzenie wytrąci nas z położenia równowagi.

Sytuacja ta ma zasadnicze znaczenie dla naszego wszechświata, ponieważ zawiera on zarówno materię, jak i ciemną energię. Znajdujemy się już po prawej stronie zbocza i coraz szybciej staczamy się w dół, co oznacza, że wyraz kosmologiczny dominuje nad zwykłą grawitacją.

Źródło ilustracji: NASA

Na powyższym obrazku mamy porównanie kilku różnych modeli kosmologicznych. Linia czerwona oznacza 30% materii i 70% ciemnej energii (stałej kosmologicznej) – to są proporcje naszego wszechświata. Linia niebieska pokazuje, jak zachowywałby się czynnik skali, gdyby przyjąć, że ciemnej energii nie ma. Linia zielona odpowiada światowi Einsteina-de Sittera, w którym nie ma ciemnej energii. Wreszcie linia pomarańczowa opisuje wszechświat znacznie gęstszy od naszego, który najpierw się rozszerza, po czym zaczyna się kurczyć aż po Wielki Krach.

 

Tu jeszcze raz widzimy czynnik skali zgodny z obserwacjami naszego wszechświata. 3-przestrzeń jest płaska. Funkcję tę można wyrazić przez funkcje elementarne (por. koniec tekstu). Dla małych t zachowanie przypomina model EdS, później przełącza się na model dS (sama ciemna energia). Grawitacja zakrzywia funkcję w dół, ciemna energia wypycha ją w górę. W rezultacie powstaje krzywa dość zbliżona do linii prostej, ale jest to początek wykładniczego wzrostu.

  • Geometria modelu Einsteina

Nasze podejście do równań Einsteina utrudnia nieco zbadanie, jak wygląda geometria różnych modeli. Pokażemy poniżej, że model statyczny Einsteina opisywany jest geometrią sferyczną: tzn. 3-przestrzeń jest sferą trójwymiarową (powierzchnią kuli czterowymiarowej).

Mamy więc

3\dfrac{\ddot{V}}{V}=-4\pi G\varrho_0+\Lambda c^2=0.

Warunek ten otrzymany był dla niewielkiej kuli cząstek próbnych spoczywającej względem materii wszechświata Einsteina. Rozpatrzmy teraz inną kulę cząstek próbnych, która porusza się ruchem jednostajnym z prędkością v względem materii wszechświata. W układzie nowych cząstek próbnych materia świata ma większą energię: zamiast spoczynkowej mc^2 każda cząstka świata ma teraz energię mc^2+\frac{mv^2}{2} (zakładamy, że prędkość jest nierelatywistyczna). Ponadto długość w kierunku ruchu się skróci i objętość zmniejszy o czynnik \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\approx 1-\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}. Łącznie gęstość naszej materii wzrośnie:

\varrho=\varrho_0\left(1+\dfrac{v^2}{c^2}\right).

W naszym układzie odniesienia pojawi się też ciśnienie w kierunku ruchu, ponieważ wszystkie cząstki poruszają się z taką samą prędkością v.

Pęd transportowany przez powierzchnię o polu S w czasie \delta t będzie równy całkowitemu pędowi cząstek na rysunku, czyli \varrho_0 vv\delta t S, a ciśnienie prostopadłe do powierzchni będzie równe p=\varrho_0 v^2. Łącznie otrzymamy

\dfrac{\ddot{V}}{V}=-8\pi G\varrho_0\dfrac{v^2}{c^2}. \mbox{ (4)}

Co to znaczy, że przestrzeń jest zakrzywiona? Prędkości naszych cząstek próbnych są jednakowe i każda z nich porusza się po południku. Zakrzywienie przestrzeni będzie przejawiać się w tym, że takie równolegle poruszające się cząstki będą się do siebie zbliżać: dwóch podróżników startujących na północ z dwóch punktów równika spotka się na biegunie północnym. Kula poruszająca się w przestrzeni kulistej (możemy sobie wyobrazić koło poruszające się po powierzchni sferycznej) o promieniu krzywizny R_U zostaje skrócona w kierunku prostopadłym do ruchu, ponieważ jej cząstki biegną po południkach, a te zbiegają się ku sobie.

Wyobraźmy sobie, że skrajne cząstki naszego koła poruszają się po południkach tworzących ze sobą kąt \delta \varphi. Obie cząstki poruszają się z przyspieszeniem dośrodkowym. Patrząc sponad bieguna północnego naszej kuli, zaobserwujemy przyspieszenia obu cząstek \vec{a}_1 oraz \vec{a}_2.

Przyspieszenie względne, jak to widać z rysunku, będzie równe

\ddot{y}=-a\delta\varphi=-\dfrac{v^2}{R_U}\dfrac{y}{R_U}=-y\dfrac{v^2}{R_U^2}.

Wobec tego kula 3D cząstek próbnych skróci się w kulistej przestrzeni w dwóch wymiarach prostopadłych do kierunku ruchu i będziemy mieli

\dfrac{\ddot{V}}{V}=2\dfrac{\ddot{r}}{r}=-\dfrac{2v^2}{R_U^2}.

Wstawiając ten wynik do równania (4), otrzymamy warunek

\dfrac{2 v^2}{R_U^2}=8\pi G \varrho_0 \dfrac{v^2}{c^2} \Rightarrow R_U=\dfrac{c}{\sqrt{4\pi G\varrho_0}}=\dfrac{1}{\sqrt{\Lambda}}.

Tyle właśnie otrzymał Einstein. Wniosek ten dość mu się podobał, ponieważ wszechświat miałby skończoną objętość, a zarazem nie miał brzegu.

  • Zależność czynnika skali od czasu

Obliczmy czynnik skali wszechświata dla płaskiego świata zbudowanego z chłodnej materii (p=0) i ciemnej energii. Jest to przypadek naszego wszechświata. Płaskość 3-przestrzeni oznacza, że suma „energii” kinetycznej i potencjalnej jest równa zeru:

\dfrac{1}{2}\dot{R}^2=\dfrac{GM}{R^2}\Rightarrow H^2\equiv \dfrac{1}{R^2}\left(\dfrac{dR}{dt}\right)^2=\dfrac{8\pi G \varrho_{crit}}{3}.

Otrzymaliśmy warunek, jaki spełniać musi gęstość wszechświata: musi być ona równa \varrho_{crit}. Wyrażenie \frac{\dot{R}}{R} nazywa się stałą Hubble’a. Stała Hubble’a zależy od czasu (nie jest więc ściśle biorąc stałą). W przypadku gdy wszechświat jest płaski, lecz zawiera oprócz zwykłej materii także ciemną energię, warunek płaskości przybiera postać:

\varrho_{crit}=\varrho_m+\varrho_{vac}.

Przeważnie zapisuje się to, podając ułamek energii każdego składnika:

\Omega_m+\Omega_{\Lambda}=1,\,\mbox{ gdzie } \Omega_m\equiv\dfrac{\varrho_m}{\varrho_{crit}} \mbox{ oraz } \Omega_{\Lambda}\equiv\dfrac{\varrho_{vac}}{\varrho_{crit}}.

Stała Hubble’a w danym momencie od Wielkiego Wybuchu nie zależy od konkretnego wyboru czynnika skali, można więc wybrać go tak, jak lubią astronomowie obserwacyjni, żeby obecna skala wszechświata była równa 1. Możemy teraz napisać:

\dfrac{1}{R}\dfrac{dR}{dt}=H_0 \sqrt{ \dfrac{\Omega_{m,0}}{R^3}+\Omega_{\Lambda,0} }.

W ostatnim równaniu wyraziliśmy gęstości o prawej stronie przez ich dzisiejsze wartości (gęstość materii skaluje się jak R^{-3}, gęstość energii próżni się nie zmienia). Chcemy teraz wyznaczyć z tego równania funkcję R(t). Pomnóżmy obie strony równania przez \frac{3}{2} R^{3/2}, otrzymujemy wówczas;

\dfrac{ dR^{\frac{3}{2}} }{dt}=\dfrac{3}{2}H_0 \sqrt{ \Omega_{m,0}+\Omega_{\Lambda,0}R^{3} }.

Jeśli wprowadzimy nową zmienną u=R^{3/2}, możemy nasze równanie przepisać w postaci

\dfrac{du}{\sqrt{ k^2+u^2} }=\dfrac{3H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda,0}}}{2} dt,

gdzie k^2\equiv \frac{\Omega_{m,0}}{\Omega_{\Lambda,0}}. Wykonując jeszcze jedno postawienie u=k\sinh \zeta, otrzymamy

\zeta=\dfrac{3H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda,0}}}{2} t,

a wracając do starej zmiennej, możemy zapisać wyrażenie na czynnik skali:

R=\left( \dfrac{\Omega_{m,0}} {\Omega_{\Lambda,0} }\right)^{\frac{1}{3}} \sinh^{\frac{2}{3}} \dfrac{3H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda,0} }}{2} t .

Wyrażenie to pozwala natychmiast zobaczyć, że dla małych czasów (\sinh x\approx x) czynnik skali rośnie jak t^{\frac{2}{3}}, dla dużych natomiast staje się wykładniczy (\sinh x\approx \frac{1}{2}e^{x}). Możemy więc opisać ewolucję naszego wszechświata za pomocą trzech parametrów dzisiejszego wszechświata: stałej Hubble’a oraz dwóch gęstości.

  • Wiek wszechświata

Znajomość obecnego składu wszechświata $latex \Omega_{m,0}$ oraz $latex \Omega_{\Lambda,0}$ wraz ze znajomością dzisiejszej stałej Hubble’a pozwala też obliczyć czas T, jaki upłynął od Wielkiego Wybuchu (czyli czas, gdy a(T)=1):

T=\dfrac{2}{3 H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda,0} }} \,\mbox{artgh}\, \sqrt{\Omega_{\Lambda,0}  }.

Dla danych misji Planck z roku 2015: \Omega_{m,0}=1-\Omega_{\Lambda,0}=0.3089 i stałej Hubble’a H_0=67.90 km/s/Mpc wiek wszechświata T=13.80\cdot 10^9 lat. Zadziwiające jest, że tak niewielka liczba parametrów (gęstość, stała Hubble’a plus wiedza o płaskości) wystarczy do obliczenia, co dzieje się z obiektem tak skomplikowanym jak wszechświat.

 

Proxima Centauri

Wszechświat jest niemal pusty: ogromne, niewyobrażalnie rozległe przestrzenie, oddzielają planety od siebie i Słońca, a jeszcze większe odległości dzielą Słońce od innych gwiazd. Światło ze Słońca na Ziemię podróżuje niecałe dziewięć minut, do najbliższej gwiazdy natomiast ponad cztery lata. Gwiazda ta, zwana stosownie Proxima Centauri, jest najmniejszym składnikiem układu potrójnego: dwie gwiazdy mniej więcej podobne do Słońca krążą dość blisko siebie, a w sporej od nich odległości krąży Proxima, czerwony karzeł o masie dziesięć razy mniejszej od Słońca. Całość widoczna jest gołym okiem na niebie południowym jako α Centauri, trzecia spośród najjaśniejszych gwiazd, za Syriuszem i Canopus. W roku 2016 odkryto, że Proxima ma planetę skalistą podobną do Ziemi, lecz znajdującą się bardzo blisko gwiazdy i przez to narażoną na wpływ cząstek wyrzucanych z jej powierzchni. Temperatura owej planety wynikająca z wielkości energii dostarczanej przez gwiazdę to jakieś -40ºC, jednak obecność atmosfery mogłaby podnieść temperaturę dzięki efektowi cieplarnianemu. W sumie więc, mimo że chodzi o nasze najbliższe sąsiedztwo, wiadomo niezbyt wiele. Istnieje projekt, Breakthrough Starshots, którego intencją jest wysłanie grupy miniaturowych bezzałogowych statków kosmicznych do układu α Centauri. Miałyby one osiągnąć prędkość 0,2c dzięki wykorzystaniu ciśnienia promieniowania. Z jednej strony jest to prędkość ogromna, tysiące razy większa niż do tej pory uzyskiwane. Z drugiej zaś, jest to niezbyt wiele, jak na potrzeby lotów międzygwiezdnych: całość misji będzie trwać i trwać przez wiele lat, a potem będzie trzeba latami oczekiwać na informacje.
Przyjrzyjmy się możliwościom między gwiezdnej podróży z punktu widzenia praw fizyki, nie przejmując się, jak można by praktycznie uzyskać prędkości podświetlne. Najszybsza teoretycznie podróż możliwa z ziemską załogą polegałaby na poruszaniu się ze stałym przyspieszeniem. Załoga odczuwałaby wtedy to przyspieszenie jako ciążenie. Z przyczyn fizjologicznych powinno ono być równe przyspieszeniu ziemskiemu g. Wyobraźmy więc sobie rakietę, która porusza się ze stałym przyspieszeniem. Według fizyki galileuszowej przebyta droga s byłaby równa

s=\dfrac{1}{2}gt^2,

gdzie t jest czasem podróży. Moglibyśmy przez połowę czasu przyspieszać, a przez drugą połowę czasu zwalniać. Wtedy t byłoby połową czasu podróży, a s – połową odległości. Gdy wyrazimy przyspieszenie ziemskie w wygodnych w tym zagadnieniu jednostkach, otrzymamy g\approx 1 (rok świetlny)/(rok)2. A więc w ciągu roku uzyskalibyśmy prędkość równą 1, czyli prędkość światła (=rok świetlny/rok). Fizyka galileuszowa nie nadaje się do tego zagadnienia, należy użyć teorii względności.
Stałe przyspieszenie w teorii względności oznacza, że nie prędkość v, lecz parametr prędkości \varphi jest proporcjonalny do czasu mierzonego w rakiecie \tau:

 \varphi=g\tau,

gdzie v= \mbox{tgh }\varphi. (spotkaliśmy go już wcześniej). Parametr \varphi przy małych prędkościach jest równy prędkości (w jednostkach c).

Ma on też bardzo ważną własność: w teorii względności to parametry prędkości się dodają, a nie prędkości jak u Galileusza. Można łatwo obliczyć, że czas mierzony przez obserwatora na Ziemi t oraz położenie rakiety x będą miały następującą postać:

\begin{cases}t=\dfrac{1}{g}\sinh g\tau\\ \\ x=\dfrac{1}{g}\cosh g\tau.\end{cases}

Położenie i czas początkowy wybrane zostały tak, żeby ładniej wyglądały na wykresie poniżej (jednostkami są lata i lata świetlne, przyspieszenie jest równe przyspieszeniu ziemskiemu).

Widzimy, że otrzymaliśmy hiperbolę, która w miarę upływu czasu zbliża się asymptotycznie do linii prostej. Fizycznie oznacza to, że prędkość rakiety zbliża się do prędkości światła. Jest to odpowiednik ruchu jednostajnie przyspieszonego w teorii względności. Dla małych czasów zależność jest kwadratowa: startujemy z wierzchołka hiperboli, a każdy wierzchołek regularnej krzywej ma kształt paraboli w przybliżeniu. Możemy zresztą sprawdzić, że krzywa jest hiperbolą, spełnia bowiem warunek:

x^2-t^2=\dfrac{1}{g^2}=\mbox{const}.

Znów można złożyć podróż z dwóch faz: przyspieszania i hamowania i będą one symetryczne. Czas obserwowany na Ziemi będzie zawsze mniejszy niż zasięg lotu, bo lot odbywa się z prędkością mniejszą niż prędkość światła. Przy długich czasach obie te wielkości będą się przybliżać do siebie. Zupełnie inaczej jednak zachowuje się czas mierzony w rakiecie: jest to parametr \tau. Przy krótkiej podróży oba czasy różnią się niewiele, przy długiej różnice stają się ogromne. Jest to nieco inny przypadek paradoksu bliźniąt.

(Czas na wykresach mierzony jest w latach, g=1 w naszych jednostkach)

Wynika z tego, że w czasie swego życia astronauci mogą zalecieć bardzo daleko (jeśli tylko technika na to pozwoli). Wystąpi jednak efekt podróży w czasie w przód: zanim wrócą, na Ziemi minie bardzo wiele lat i albo już zapanuje raj, albo zupełnie nie będzie do czego wracać.

Obliczenia.

Odstęp czasu własnego d\tau i czasu ziemskiego związane są równaniem:

d\tau^2=dt^2-dx^2=dt^2-v^2 dt^2=dt^2 (1-v^2)=\dfrac{dt^2}{\cosh^2 \varphi}.

Obliczając stąd dt, otrzymujemy

dt=\cosh \varphi d\tau.

Obliczmy jeszcze pochodną

\dfrac{dx}{d\tau}=\dfrac{dx}{dt}\dfrac{dt}{d\tau}=\mbox{ tgh }\varphi \cosh\varphi=\sinh\varphi.

Wstawiając \varphi=g\tau i całkując (sinus i cosinus zamieniają się przy tym miejscami), otrzymujemy wzory w tekście. Jest to przykład, że funkcje hiperboliczne mogą być całkiem przydatne, jeśli uczyliśmy się kiedyś zwykłej trygonometrii.

 

Od zasady najdłuższego czasu do równań Maxwella (I)

Uczeni tacy, jak Albert Einstein, wywierają wpływ znacznie większy, niż by to wynikało z ich konkretnych osiągnięć. Jest to przypadek gdy całość (wkład do nauki) jest znacznie większa niż suma oddzielnych części (tzn. poszczególnych prac). Jednym ze skutków pracy Einsteina nad teorią względności stało się podkreślanie roli rozmaitych symetrii. Dziś właśnie od symetrii zaczyna się najczęściej formułowanie teorii. Praw fizyki oczywiście nie można wyprowadzić, mają one charakter postulatów. Można jednak pokazać często, dlaczego są one takie a nie inne. Kto zna wyrażenie na siłę w polu elektromagnetycznym oraz równania Maxwella, ten zastanawiał się może, dlaczego wyglądają one właśnie tak. Okazuje się, że jeśli żądamy, aby nasza teoria była relatywistyczna, to nie mamy zbyt wiele wyboru. Symetria w znacznym stopniu narzuca postać równań elektromagnetyzmu.

Zanim przejdziemy do przypadków bardziej skomplikowanych, rozważmy ruch cząstki w mechanice Newtona. Można opisać go, podając postać lagranżianu i korzystając następnie z zasady najmniejszego działania. Jaką postać powinien mieć lagranżian dla cząstki swobodnej, która z niczym nie oddziałuje? Lagranżian jest funkcją położenia i prędkości, czyli ogólnie biorąc, musi mieć postać

{\cal L}={\cal L}(x, y, z, v_x, v_y, v_z).

Działanie S możemy obliczyć dla każdego ruchu cząstki miedzy dwoma punktami. Uczenie mówiąc, działanie jest funkcjonałem (czyli funkcją funkcji) ruchu. Jeśli wybierzemy określoną krzywą i sposób jej przebiegania (kiedy wolniej, kiedy szybciej itd.), to działanie jest określone i dane całką:

{\displaystyle S=\int_{t_1}^{t_2}{\cal L}\, dt.}

W przypadku cząstki swobodnej lagranżian nie powinien zależeć od jej położenia, bo przestrzeń jest wszędzie taka sama. Nie powinien też zależeć od czasu, bo powtórzenie jutro takiego ruchu jak dziś powinno niczego nie zmieniać z fizycznego punktu widzenia. Także obrót układu współrzędnych nie powinien nic zmieniać, bo cząstka porusza się tak, jak się porusza, a nasz układ współrzędnych jest naszą sprawą i nie powinien wpływać na fizyczny ruch. Wynika z tego, że lagranżianem powinien być funkcją kwadratu prędkości v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2, ponieważ jest to wielkość, która się nie zmienia przy obrotach układu współrzędnych. Najprostszym takim lagranżianem będzie

{\cal L}=\dfrac{mv^2}{2}.

Wielkość m/2 to pewna stała, tutaj właściwie dowolna, wybraliśmy jej oznaczenie tak, aby zgadzało się z definicją masy. Zasada najmniejszego działania sprowadzi się w tym przypadku do stałości pędu: tak powinno być, skoro lagranżian nie zależy od położenia.

Zastanówmy się teraz, jak powinien wyglądać lagranżian swobodnej cząstki w szczególnej teorii względności. Kto czytał o Hermannie Minkowskim i czasoprzestrzeni, ten łatwo zgadnie, że tym razem lagranżian powinien być związany z interwałem czasoprzestrzennym. Dla dwóch bliskich zdarzeń wzdłuż ruchu cząstki interwał przyjmie następującą postać:

c^2\Delta \tau^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2.

Interwał czasoprzestrzenny jest odstępem czasu, jaki zmierzyłby zegar poruszający się z cząstką, inaczej mówiąc, jest odstępem czasu własnego. Nie zmienia się on przy obrotach układu współrzędnych oraz przy transformacjach Lorentza. Jak widzieliśmy poprzednio przy okazji paradoksu bliźniąt, najdłuższy czas odpowiada ruchowi prostoliniowemu. Zatem dla naszej cząstki działanie postaci

\boxed{{\displaystyle S=-mc^2\int_{\tau_1}^{\tau_2}\, d\tau,}}

ma wbudowane prawidłowe związki przestrzeni i czasu zachodzące w teorii względności (czyli w naszym świecie). Zasada najmniejszego działania stała się teraz zasadą najdłuższego czasu własnego (kto siedzi w miejscu, starzeje się najszybciej, spoczynek i ruch jednostajny prostoliniowy są teraz równoważne). Stałą wybraliśmy tak, żeby całość miała prawidłowy wymiar (działanie to energia razy czas). Cząstka swobodna powinna mieć stały pęd. Analogicznie jak w mechanice Newtona, możemy zapisać działanie za pomocą lagranżianu:

{\displaystyle S=-mc^2\int_{t_1}^{t_2}\, \sqrt{1-v^2/c^2}dt.}

Łatwo się przekonać, że składowe pędu są teraz równe

p_i=\dfrac{\partial {\cal L}}{\partial v_i}=\dfrac{mv_i}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}},

gdzie wskaźniki i=1,2,3 numerują trzy osie współrzędnych kartezjańskich. Możemy też pokazać, że nasza teoria cząstki swobodnej sprowadza się do Newtonowskiej, gdy prędkość jest znacznie mniejsza od prędkości światła. Zastępując pierwiastek kwadratowy jego przybliżoną wartością, otrzymujemy

{\cal L}\approx -mc^2 \left(1-\dfrac{v^2}{2c^2}\right)=-mc^2+\dfrac{mv^2}{2},

pierwsza wielkość po prawej stronie jest stała, więc nie odgrywa roli przy szukaniu minimum, druga to dokładnie Newtonowska energia kinetyczna albo jak kto woli lagranżian cząstki swobodnej.

„So far, so good” – jak powiedział kiedyś John von Neumann, w środku wykładu o teorii komputerów w Princeton. Solomon Lefschetz, który słuchał tego wystąpienia, dodał głośno: „And so trivial”. Jak dotąd mamy świetną teorię cząstki swobodnej, prawdziwa fizyka zaczyna się jednak wtedy, gdy mamy oddziaływania. Następnym krokiem jest cząstka w polu zewnętrznym. Potem należałoby zapisać jeszcze ogólniejsze działanie dla układu cząstek i pól w czasoprzestrzeni. Można wówczas otrzymać równania ruchu cząstek w zadanym polu oraz równania pola wynikające z ruchu cząstek.

Najpierw więc pole zewnętrzne. W mechanice Newtonowskiej należy od lagranżianu cząstki swobodnej odjąć energię potencjalną:

{\displaystyle S=\int_{t_1}^{t_2}\left(\dfrac{mv^2}{2}-e\varphi(x,y,z,t) \right)\, dt.}

Zapisaliśmy energię potencjalną w postaci pewnej stałej e („ładunku”) razy wartość pola. Gdybyśmy powtórzyli ten sam zabieg w przypadku relatywistycznym, nasze działanie przestałoby być niezależne od układu współrzędnych, ponieważ teraz czas nie płynie już tak samo dla wszystkich. Potrzebujemy wyrażenia, które nie będzie się zmieniać nie tylko przy obrotach, ale także przy transformacjach Lorentza. Znamy jedno takie wyrażenie: c^2 t^2-x^2-y^2-z^2. Można je potraktować jako coś w rodzaju kwadratu długości czterowymiarowego wektora o składowych

x^{\mu}=(x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,x,y,z),

gdzie \mu=0,1,2,3. Jest to prototypowy czterowektor, uogólnienie wektora na czasoprzestrzeń. Wygodnie jest wprowadzić jeszcze drugi zestaw współrzędnych czterowektora, pisany z indeksem na dole:

x_{\mu}=(ct,-x,-y,-z).

Można za ich pomocą zapisać interwał czasoprzestrzenny w prostszej postaci jako następujące wyrażenie:

x_{0}x^{0}+x_1x^1+x_2x^2+x_3x^3\equiv x_{\mu}x^{\mu},

ten sam wskaźnik powtarzający się dwa razy oznacza sumowanie. Jest to tzw. konwencja sumacyjna Einsteina, on sam żartował, że to jego największe odkrycie matematyczne. Z pewnością upraszcza to zapis. Oczywiście, istnieją także inne czterowektory. Możemy np. podzielić przyrosty czterech zmiennych wzdłuż linii świata cząstki \Delta x^{\mu} przez odstęp czasu własnego (który się nie zmienia przy zmianie układu współrzędnych):

p^{\mu}=mu^{\mu}\equiv m\dfrac{dx^{\mu}}{d\tau}.

Musi to być także czterowektor. Jego składowe są równe:

p^{\mu}=\left(\dfrac{mc}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}, \dfrac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}\right)=\left(\dfrac{E}{c},\vec{p}\right).

Jest to czterowektor pędu-energii. Jego kwadrat równa się

p_{\mu}p^{\mu}=\dfrac{E^2}{c^2}-\vec{p}^2=m^2c^2.

Kwadrat ten jest w każdym układzie współrzędnych taki sam. Najprostszym dodatkiem do działania dla cząstki swobodnej będzie następujące wyrażenie:

\boxed{\displaystyle{S_{int}=-e\int A_{\mu}u^{\mu} d\tau.}}

Zamiast potencjału całkowanego po czasie mamy tu cztery składowe pewnego pola A_{\mu} mnożone przez odpowiednie prędkości uogólnione u^{\mu}. Jest to uogólnienie iloczynu skalarnego na przypadek czterowymiarowy: wyrażenie podcałkowe jest skalarem, czyli nie zmienia się przy zmianie układu współrzędnych. Wariacja tego działania bierze się stąd, że inny ruch cząstki napotyka po drodze inne wartości pola A_{\mu} oraz stąd, że zmienia się prędkość:

{\displaystyle \delta S_{int}=-e\int \delta A_{\mu} \dfrac{dx^{\mu}}{d\tau}d\tau-e\int A_{\mu}\delta\left(\dfrac{dx^{\mu}}{d\tau}\right)d\tau.}

Po przekształceniach dostaniemy dla całości działania

{\displaystyle \delta S=\int\left(\dfrac{dp_{\mu}}{d\tau}-eF_{\mu \nu}\dfrac{dx^{\nu}}{d\tau}\right)\delta x^{\mu}d\tau,}

gdzie wprowadziliśmy oznaczenie:

F_{\mu\nu}\equiv \dfrac{\partial A_{\nu}}{\partial x^{\mu}}-\dfrac{\partial A_{\mu}}{\partial x^{\nu}}.

Ponieważ wariacja jest dowolna, więc znikać muszą wyrażenia w nawiasie, otrzymujemy w ten sposób następujący układ równań:

\boxed{\dfrac{dp_{\mu}}{d\tau}=eF_{\mu\nu}u^{\nu}.}

Ci, którzy uczyli się o potencjale skalarnym i wektorowym w elektrodynamice, zauważą, że sześć wielkości F_{\mu\nu} powinno mieć coś wspólnego z natężeniami pól elektromagnetycznych. Przyporządkowanie wygląda następująco:

F_{\mu\nu}=\begin{pmatrix}0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c\\-E_x/c & 0 & -B_z & B_y\\  -E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ -E_x/c & -B_y & B_x & 0\end{pmatrix}.

Można pokazać, że równania te są równoważne wyrażeniu na siłę Lorentza:

\dfrac{d\vec{p}}{dt}=e(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}).

Podsumowując: startując z zasady najmniejszego działania w wersji relatywistycznej, jako najprostsze możliwe pole zewnętrzne otrzymujemy sześcioskładnikowe pole elektromagnetyczne, które działa na cząstkę siłą Lorentza. Teoria względności prowadzi, można powiedzieć, niemal nieuchronnie do pól elektrycznych i magnetycznych. W drugiej części zobaczymy jeszcze, jak wyglądają równania dla sześciu składowych pola, czyli równania Maxwella.

 

 

Albert Einstein: Czy Europa okazała się sukcesem? (1934)

Żyjemy w dziwnych czasach. Być może przyszły historyk Polski napisze: „W latach 2015-2025 Polska stała się jednym z państw buforowych między Rosją a Europą, politycznie zależnym od Rosji przy pozorach niezawisłości i antyrosyjskiej retoryce mediów rządowych. Praktyka rządzenia zbliżyła kraj do innych państw buforowych: Ukrainy, Mołdawii, Białorusi”.

Albert Einstein miał dystans do własnej osoby, z pewnością nie był jednak „dużym dzieckiem” ani w nauce, ani w polityce. W roku 1934 redakcja amerykańskiego pisma „The Nation” zwróciła się do niego z prośbą o wypowiedź na temat Europy. Uczony czuł się europejczykiem właściwie od początku, od czasów gimnazjalnych w Monachium. Już wtedy przeszkadzał mu niemiecki nacjonalizm, choć była to jego stosunkowo łagodna wersja z czasów Drugiej Rzeszy. Mieszkał we Włoszech, w Szwajcarii, w Austro-Węgrzech, potem znowu w Niemczech. Jeździł stale do Austrii, do Francji, do Belgii, do Holandii. Zawsze opowiadał się za tym, co stanowi najważniejszy wkład Europy do historii, tzn. za prawem do wolności wyrażania poglądów. Być może Chińczycy zbudują wielką cywilizację bez wolności indywidualnej i bez demokracji, ale na razie stworzyli jedynie bardzo opresyjne, choć skuteczne technologicznie państwo, w którym niewielu z nas miałoby chęć żyć. Europa i jej amerykańskie przedłużenia: Kanada i Stany Zjednoczone to wciąż miejsca, gdzie tworzy się najwięcej wszystkiego, co składa się na cywilizację i kulturę, i czego warto bronić.

Albert Einstein, nowojorski rabin Stephen Wise oraz Thomas Mann na premierze antywojennego filmu The Fight For Peace, 1938

W 1934 roku Europa była podzielona bardziej niż kiedykolwiek: we Włoszech panował faszyzm, Niemcy bezwolnie poddawały się kolejnym „reformom” narodowych socjalistów, w Polsce rozkwitały ruchy takie, jak ONR (choć władze sanacyjne potrafiły szybko ich zdelegalizować). Wielu oglądało się na wschód: z daleka mogło się wydawać, że w Związku Sowieckim kapitalizm został przezwyciężony. Einstein znał wady kapitalizmu, lecz nie podzielał takiego złudzenia, nigdy nie wierzył, aby siłą, odgórnie, bez współpracy i solidarności można było zbudować cokolwiek trwałego i wartego trwania.

Humanitarny ideał Europy wydaje się nierozerwalnie związany ze swobodą wyrażania poglądów, z wolną wolą jednostki, z dążeniem do obiektywizmu myśli, nie kierującym się jedynie względami użyteczności, i z popieraniem różnic w sferze umysłu i upodobań. Te wymagania i ideały należą do istoty europejskiego ducha. Nie można owych wartości i haseł dowieść na drodze rozumowej, gdyż dotyczą podstawowych kwestii w podejściu do życia i stanowią punkt wyjścia, który przyjmuje się bądź odrzuca z przyczyn emocjonalnych. Wiem tylko, że popieram je z całego serca i byłoby dla mnie czymś nie do zniesienia należeć do społeczeństwa, które je konsekwentnie odrzuca. Nie podzielam pesymizmu tych, co sądzą, iż pełnia intelektualnego rozwoju możliwa jest tylko na fundamencie otwartego czy skrywanego niewolnictwa. Mogło to być prawdą w czasach prymitywnej techniki, gdy wyprodukowanie tego, co niezbędne do życia, wymagało wyczerpującej fizycznej pracy większości ludzi. W naszej epoce wysokiego poziomu techniki, przy rozsądnie wyrównanym podziale pracy i odpowiednich świadczeniach dla wszystkich, jednostka powinna mieć zarówno czas, jak i siłę, aby biernie oraz czynnie uczestniczyć w najwyższych osiągnięciach umysłowych i artystycznych w takim stopniu, w jakim pozwalają na to jej skłonności i zdolności. Niestety, społeczeństwo nasze jest bardzo dalekie od spełnienia tych warunków. (…)

Czy uzasadnione jest zawieszenie na jakiś czas podstawowych wolności jednostek ze względu na wyższy cel poprawy organizacji ekonomicznej? Pewien znakomity i bystry uczony rosyjski bronił w dyskusji ze mną takiego poglądu, wskazując na powodzenie przymusu i terroru – przynajmniej na początku – w funkcjonowaniu komunizmu rosyjskiego i na klęskę niemieckiej socjaldemokracji po wojnie. Nie przekonał mnie. Żaden cel nie wydaje mi się tak wzniosły, by można nim było usprawiedliwiać tak niegodne metody. W niektórych wypadkach przemoc może szybko usuwać przeszkody, ale nigdy nie okazała się twórcza.