Po co człowiekowi w życiu logarytmy? Henry Briggs (1617)

Zanim przejdziemy do tytułowego pytania, zacznijmy od tego, jak należy wyobrażać sobie teorię oraz praktykę. Cesare Ripa daje następującą odpowiedź:

Słowo Theoria, oznaczające u Greków kontemplowanie, oglądanie, u nas zaczęło być stosowane na oznaczenie wszelkiego wywodu rozumowego opartego na przyczynach rzeczy stosownie do właściwych im porządków i z uwzględnieniem zasad zależących nie od rozsądku, lecz raczej od intelektu, gdyż zasady zawisłe od rozsądku określają Praktykę, przeciwstawną wszak Teorii. Ze względu na te okoliczności uważam, że Teorię całkiem trafnie przedstawić można w postaci młodej Niewiasty spoglądającej w górę, z dłońmi złączonymi, na głowie mającej cyrkiel o ramionach rozwartych i celujących w Niebo. Ma ona być odziana w dostojną błękitną suknię, i schodzić ze szczytu schodów. Wszystkie te szczegóły symbolizują wybitność, dostojność i wzniosłość. (przeł. I. Kania)

(…) Praktykę można przedstawić w postaci Staruchy z głową i rękami opuszczonymi w dół, ubranej nędznie w bure suknie, z wielkim rozwartym cyrklem, którego jedna nóżka wbita jest w ziemię; jedną ręką wspiera się na rzeczonym cyrklu, drugą – na liniale, w taki sposób, że druga nóżka cyrkla dotyka końca liniału układając się razem w kształt greckiej litery π, którą oni zwykli oznaczać Praktykę, podczas gdy Teorię oznaczali literą θ. (przekł. jw.)

Kto chodził do szkoły, ten wie, że Teoria ma przewagę nad Praktyką: ledwo zdążymy oswoić się z jednym pojęciem, a już mówi się o następnych i idzie dalej i dalej, nie pokazując zastosowań. W podobny sposób działały uniwersytety i szkoły także na przełomie XVI i XVII wieku. Dlatego znaczna część Rewolucji naukowej przebiegała niejako równolegle do systemu edukacji, który nawet owej rewolucji nie zauważył, nadal kształcąc na bazie Arystotelesa.

Logarytmy są wynalazkiem praktycznym, jednym z niewielu ważnych pojęć matematycznych, które powinno się wynosić ze szkoły. I nie chodzi o definicję czy dziwaczne równania z niewiadomymi pod logarytmem, ale o ideę zapisywania bardzo dużych albo bardzo małych liczb w krótki sposób. Logarytmy dziesiętne wprowadził Henry Briggs, profesor w londyńskim Gresham College. Była to szkoła o nastawieniu praktycznym, kształciła mierniczych, inżynierów i nawigatorów (żegluga oceaniczna zmusiła korzystania z astronomicznych metod wyznaczania położenia, a te wymagały obliczeń matematycznych). Pomysł należał do Szkota Johna Napiera, choć niezależnie od niego wpadł na podobną ideę Jost Bürgi, zegarmistrz i konstruktor przyrządów, zaprzyjaźniony z Johannesem Keplerem. Logarytmy pozwalały znacznie przyspieszyć obliczenia numeryczne, ponieważ mnożenie i dzielenie zastępują dodawaniem i odejmowaniem – działaniami znacznie mniej czasochłonnymi. Mówiono, że dzięki logarytmom życie astronomów wydłużyło się dwukrotnie, tak bardzo skracały one bowiem rachunki. Najważniejsze tablice astronomiczne czasów nowożytnych: Tablice Rudolfińskie (1627) Johannesa Keplera zostały obliczone przy wykorzystaniu logarytmów. Dzieło to zawierało frontispis przedstawiający świątynię astronomii, w której kilku sławnych uczonych minionych wieków prowadzi zaświatową debatę nad systemem planetarnym. Jedynie dwie kolumny oznaczone imionami Kopernika i Tychona Brahego są zdrowe i mocne, w suterenie widzimy Johannesa Keplera pochylonego nad swymi pracami.

Przyjrzyjmy się alegorycznym figurom na dachu świątyni. Cesarski orzeł zrzuca guldeny, co było raczej pobożnym życzeniem Keplera niż faktem, choć w sumie dzieło powstało dzięki patronatowi kolejnych cesarzy od Rudolfa II począwszy. Kobiece postaci od lewej strony począwszy to Physica lucis – fizyka światła, Optica – dzierżąca teleskop, Logarithmica – alegoria, niemal bogini logarytmów, Doctrina triangulorum – trygonometria, Stathmica – statyka przedstawiona z dźwignią (prawo dźwigni odgrywało zdaniem Keplera istotną rolę w ruchu planet) oraz Magnetica – alegoria nauki o magnetyzmie (uczony sądził, że jedną z sił poruszających planety jest specjalna siła magnetyczna). W aureoli wokół głowy Logarithmiki znajdują się cyfry 6931472, odpowiadające \ln(2)=0,6931472, dlatego pręty, które trzyma nasza bogini mają stosunek długości 1:2.

Johannes Kepler widział więc wagę logarytmów dla astronomii. Henry Briggs obliczył pierwsze praktyczne tablice logarytmów dziesiętnych. Poniżej wyjaśnimy, jak tego dokonał, najpierw jednak spróbujemy odpowiedzieć na pytanie, do czego w życiu przydają się logarytmy. Są one potrzebne szczególnie wtedy, gdy mamy do czynienia z procesami, w których jakaś wielkość zmienia się bardzo silnie. Np. ludność świata w milionach od czasów prehistorycznych do roku 2015. Widzimy, co znaczy określenie eksplozja demograficzna i dlaczego jest nas dziś więcej niż wszystkich ludzi razem wziętych w minionych epokach. W zaświatach spotkalibyśmy niemal wyłącznie współczesnych.

Drugi wykres ma skalę logarytmiczną na osi pionowej: znacznie lepiej widać zmiany szybkości eksplozji demograficznej: nachylenie krzywej (tangens kąta) mierzy wskaźnik przyrostu naturalnego. Stałe nachylenie to stały przyrost procentowy. Nadal widzimy eksplozję w ostatnich stuleciach, ale teraz widać znacznie więcej szczegółów zachowania krzywej. Spójrzmy jeszcze na wykres obejmujący tylko dwa ostatnie stulecia.

Widać na nim właściwie trzy odcinki prostoliniowe: 1800-1900, 1900-1950, 1950-2015. Zupełnie niewidoczne są obie wojny światowe. Skoki przyrostu naturalnego wiążą się najwyraźniej z postępem cywilizacyjnym: nawozy sztuczne, mniejsza umieralność niemowląt i dzieci, dłuższy średni czas życia.

Logarytm dziesiętny to w zasadzie liczba zer w zapisie: zamiast liczb 0,01;10;100000 piszemy -2,1,5. Oczywiście, musimy umieć obliczać logarytmy także innych liczb niż całkowite potęgi dziesiątki. Jeśli np. naszą liczbą jest a=3\cdot 10^4, to widać od razu, że jej logarytm musi być większy niż 4, lecz mniejszy niż 5 (bo 10^4<3\cdot 10^4<10^5). Trzeba znaleźć taki wykładnik, aby 10^{x}=3. Wiadomo, że x=0,477121, mamy więc

a=3\cdot 10^{4}=10^{0,477121}\cdot 10^{4}=10^{0,477121+4}=10^{4,477121}.

Zatem \log 3\cdot 10^4=4,477121.

Możemy powiedzieć (niestandardowo), że liczba 3\cdot 10^4=30000 ma 4,477121 zer. Logarytm jest więc uogólnieniem liczby zer, skonstruowanym w taki sposób, żeby zachować zwykłe reguły potęgowania, np. 10^{x}\cdot 10^{y}=10^{x+y}.

Jak można skonstruować tablice logarytmów, wiedząc tyle, ile Henry Briggs, to znaczy bez znajomości szeregów, pochodnych itd.? W zasadzie wystarczy umiejętność wyciągania pierwiastka kwadratowego – dawniej uczono, jak to się robi. Szybką metodę przybliżoną znano od czasów starożytnych. Przyjmijmy więc, że umiemy wyciągać pierwiastki kwadratowe. Możemy obliczyć teraz kolejne pierwiastki kwadratowe z 10 aż powstanie tabelka jak poniżej.

Zaczerpnęliśmy ją z rozdziału 22 tomu I wykładów Richarda Feynmana. Oczywiście, nietrudno ją obliczyć samemu, ale warto też spojrzeć na stronice Feynmana poświęcone temu zagadnieniu. Richard Feynman cenił matematykę praktyczną, metody uzyskiwania konkretnych liczbowych odpowiedzi. Pewnie dlatego zainteresował się Briggsem i sposobem konstruowania tablic. Gdybyśmy znaleźli się na bezludnej wyspie, będziemy wiedzieć, jak obliczyć tablice logarytmów. Ważniejszym powodem jest może ten, że wiedza powinna tworzyć powiązany system, a nie bezładne nagromadzenie faktów, i Feynman zawsze starał się poznać całe łańcuchy rozumowań od faktów doświadczalnych do teorii. (Nawiasem mówiąc, ta swoista niechęć do wykraczania poza fakty stała się chyba przyczyną, dla której nie podobały mu się kwarki, zaproponowane teoretycznie. Wprowadził nawet swoją nazwę: partony na części protonu, które obserwuje się w rozproszeniach przy dużych energiach. Uparcie nie chciał ich jednak uznać za kwarki.)

Z tabelki widać, że kolejne pierwiastki przejawiają prostą regularność:

10^{x}\approx 1+2,3025 x. \mbox{   (*)}

Także Briggs to zauważył: zamiast obliczać pierwiastki odpowiadające małym wykładnikom, można zastosować powyższe przybliżenie. Weźmy teraz jakąkolwiek liczbę z przedziału (1,10), np. 3. Szukamy w trzeciej kolumnie tabeli czynników, które przybliżą 3 z dołu:

10^{\frac{1}{4}}\cdot 10^{\frac{1}{8}}\cdot 10^{\frac{1}{16}}\cdot 10^{\frac{1}{32}}\cdot 10^{\frac{1}{128}}=10^{0,476563}\approx 2,996143.

Mamy już prawie 3. Brakujący czynnik to 3/2,996143=1,001287. Stosując przybliżenie (*) otrzymamy logarytm tego czynnika równy 0,000559. Liczbę tę należy dodać do wykładnika powyżej:

\log {3}=0,476563+0,000559=0,477121.

Metoda zastosowana przez Briggsa była nieco bardziej skomplikowana, ale w istocie sprowadzała się do tego samego. Zauważmy, że każdą liczbę z przedziału (0,1) możemy zapisać jako sumę potęg dwójkowych – będzie to po prostu owa liczba zapisana dwójkowo. Henry Briggs obliczył 54 kolejne pierwiastki z dokładnością 30 cyfr znaczących, co było pracą iście herkulesową (gdyby tylko Herkules pracował umysłowo, a nie fizycznie). W dodatku prawie wcale się przy tym nie mylił, drobne pomyłki nie wpłynęły na wyniki tablic. Zawierały one w pierwszej wersji logarytmy liczb od 1 do 1000 z dokładnością czternastu znaków. Po sześciu latach rozszerzył te tablice do liczb 1-20 000 oraz 90 000-100 000 z tą samą monstrualną dokładnością czternastu cyfr. Wydawca flamandzki Adriaan Vlacq zatrudnił mierniczego Ezechiela de Deckera, aby dokończyć tablice od 1 do 100 000. Miały one dokładność już tylko dziesięciu cyfr, de Decker stosował interpolację. Tablice Vlacqa ukazały się w 1627, trzy lata po niepełnych tablicach Briggsa.

Korzystałem m.in. z artykułu Iana Bruce’a, The agony and the ecstasy – the development of logarithms by Henry Briggs, „The Matematical Gazette”, t. 86 (2002), s. 216-227.

(*) Przybliżenie znalezione przez Briggsa łatwo uzasadnić rozwijając funkcję wykładniczą w szereg MacLaurina:

10^{x}=e^{x\ln 10}\approx 1+x\ln {10}.

 

 

 

Reklamy

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Google+

Komentujesz korzystając z konta Google+. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj /  Zmień )

Połączenie z %s