Henrietta Swan Leavitt i pulsowanie gwiazd (1908-1912)

Nauka wywodzi się z faktów, ale samo ich zbieranie to jeszcze nie nauka. Oczywiście, doświadczenia czy obserwacje, jeśli są rzetelne, mogą zawsze się przydać. Na miano odkrycia zasługują jednak tylko wówczas, gdy ujawnią coś istotnie nowego: obiekt inny niż dotychczas znane, nowe zjawisko albo nieoczekiwaną prawidłowość. Henrietta Swan Leavitt badała pewną klasę gwiazd zmieniających okresowo jasność. Odkryła, że im jaśniejsza gwiazda, tym dłuższy jest jej okres. Oznaczało to, że mierząc okres, możemy znaleźć jasność absolutną gwiazdy, tzn. obliczyć, jak jasna byłaby ona, gdyby obserwować ją z pewnej ustalonej odległości. Znając więc obserwowaną jasność gwiazdy, można byłoby obliczyć jej odległość. Astronomowie widzą jedynie, z jakiego kierunku przybywa światło, wyznaczenie odległości do różnych ciał niebieskich było zawsze zadaniem bardzo trudnym i zarazem fundamentalnym. Odkrycie Leavitt wykorzystano później do zbadania kształtu Galaktyki i wyznaczenia odległości do innych galaktyk. Była to zatem nie tylko nieoczekiwana prawidłowość, ale i niezastąpione narzędzie dla innych astronomów.

Leavitt pochodziła z rodziny pastorów, jej przodek, John Leavitt, był diakonem swego kościoła i krawcem, który osiadł w Massachusetts. Purytanie szukający dla siebie nowego kraju byli ludźmi przedsiębiorczymi, zdyscyplinowanymi, wytrwałymi, kochającymi wolność i religijnymi. Połączenie tych wszystkich cech nadało Ameryce swoiste piętno, odczuwane do dziś. Surowi i niepobłażający własnym słabościom, sami wybierali sobie pasterzy, tworząc kongregacje silnie ze sobą związane, do których niełatwo było przeniknąć. Gdy chciało się zostać członkiem kościoła, przez lata trzeba było przechodzić próbę charakteru i zachowania. Ich zasady religijne nakazywały, aby każda władza, kościelna bądź świecka, była ograniczona do niezbędnego minimum. Jeśli dodamy do tego wysoki poziom edukacji (już w XVII wieku koloniści w Ameryce osiągnęli poziom alfabetyzacji porównywalny albo wyższy niż w przedwojennej Polsce) i szacunek dla uważnej pracy (w dni powszednie należy stale robić coś pożytecznego, w niedziele modlić się i myśleć o Bogu, nie oddawać się próżnym rozrywkom), to jasne jest, że społeczeństwo takie musiało odnieść sukces ekonomiczny. Ojciec Leavitt był pastorem kongregacji z Plymouth pełniącym posługę w Cleveland. Córka uczyła się tam przez rok w konserwatorium, lecz zaczęła stopniowo tracić słuch, aż w końcu zupełnie ogłuchła. Studiowała potem w koedukacyjnym Oberlin College i następnie w Cambridge (Massachusetts) w żeńskim kolegium, przekształconym później w Radcliffe College. Leavitt zdobyła wszechstronne wykształcenie: od języków starożytnych aż do rachunku różniczkowego i całkowego. Uczyła się też astronomii, lecz nigdy nie zdobyła dyplomu z tej dziedziny.

leavitt_aavso

Nigdy nie była też zatrudniona jako samodzielna badaczka, pracowała jako skromny pracownik techniczny Harvard College Observatory. Jego dyrektor, Edward Pickering, zaczął szeroko stosować fotografię do badania widm oraz jasności gwiazd. Szybko gromadziły się tysiące szklanych płyt fotograficznych, które należało poddać bliższym badaniom. Niezadowolony z asystentów, Pickering stwierdził, że ich pracę lepiej by wykonała jego służąca i rzeczywiście zatrudnił swoją służącą, Willaminę Fleming. Z czasem pod jej kierunkiem zgromadził się cały zespół kobiet, zwanych rachmistrzyniami (computers) albo mniej elegancko „haremem Pickeringa”. Wykształcone kobiety nie miały zbyt wiele możliwości pracy, toteż chętnie pracowały w obserwatorium.

pickerings_harem

(Leavitt trzecia z lewej)

Specjalnością Leavitt były gwiazdy zmienne, potrafiła wyłowić je, porównując płyty fotograficzne naświetlone w różnym czasie. Była to praca żmudna i wymagająca wielkiej koncentracji. Swoistym dowodem uznania ze strony dyrektora była jej stawka godzinowa: 30 centów zamiast 25 płaconych koleżankom (sam zarabiał około 2 dolarów za godzinę). W roku 1908 w „Annals of Harvard College Observatory” Leavitt ogłosiła odkrycie 1777 gwiazd zmiennych w dwóch Obłokach Magellana. Samych Obłoków, będących satelitami naszej galaktyki, Leavitt nigdy nie widziała, opracowywała tylko fotografie zrobione w filii obserwatorium na półkuli południowej. Praca naukowa zaczęła więc przypominać taśmową produkcję w zakładach samochodowych Henry’ego Forda. Leavitt zauważyła, że wśród gwiazd zmiennych okresowych występuje zależność średniej jasności i okresu. Ponieważ należało przypuszczać, iż gwiazdy w Obłokach Magellana znajdują się praktycznie w tej samej odległości od Słońca, znaczyło to, że ich jasności absolutne także skorelowane są z okresem.

lea

Na osi pionowej mamy wielkość gwiazdową (proporcjonalną do ujemnego logarytmu z jasności), na poziomej okres, a z prawej jego logarytm. Dwie linie odpowiadają maksymalnej i minimalnej jasności obserwowanej. Dane dotyczą gwiazd z Małego Obłoku Magellana. Praca ta, z roku 1912, podpisana była przez Pickeringa, który stwierdzał jednak na wstępie, że komunikat „przygotowany został przez pannę Leavitt”. Tak wyglądało cywilizowane traktowanie kobiet sto lat temu.

Czemu niektóre gwiazdy zmieniają okresowo jasność? Zazwyczaj gwiazdy są stabilne, to znaczy ciśnienie głębszych warstw utrzymuje ciężar warstw bardziej zewnętrznych (podobnie ciśnienie w atmosferze ziemskiej maleje z wysokością). Czasem zdarza się jednak, że zamiast stanu równowagi pojawiają się oscylacje: gwiazda okresowo powiększa się i kurczy. Związane to jest z nieprzezroczystością materii gwiazdy. Gdy rośnie temperatura, więcej atomów ulega jonizacji, przez co materia staje się nieprzezroczysta (mieszanina dodatnich i ujemnych ładunków silnie pochłania fale elektromagnetyczne, podczas gdy zwykły gaz złożony z atomów jest przezroczysty, jak powietrze). Jeśli więc wytworzy się na pewnej głębokości taka nieprzezroczysta warstwa, energia cieplna będzie się gromadzić, a w konsekwencji wzrośnie ciśnienie i wypchnie tę warstwę na zewnątrz. Jednak rozszerzaniu towarzyszy zmniejszanie się temperatury i nasza warstwa w stanie ekspansji przepuszcza więcej energii na zewnątrz, co z kolei zmniejsza ciśnienie i wywołuje kurczenie się i wzrost nieprzezroczystości.

Dlaczego jasność i okres są powiązane? Pomijając szczegóły, można powiedzieć, że jasność L pulsującej gwiazdy jest proporcjonalna do pola jej powierzchni, a więc kwadratu promienia R: L\sim R^2. Okres pulsacji powinien wiązać się z promieniem gwiazdy oraz przyspieszeniem grawitacyjnym g na jej powierzchni (przyspieszenie grawitacyjne wewnątrz gwiazdy stanowi jakiś ułamek g). Z wielkości tych możemy utworzyć tylko jedną kombinację dającą czas (por. wzór na okres wahadła):

T\sim\sqrt{\dfrac{R}{g}}.

Ponieważ przyspieszenie grawitacyjne można zapisać jako

g=\dfrac{GM}{R^2},

gdzie G jest stałą grawitacyjną, a M masą, więc łącząc te wyrażenia, otrzymamy

T\sim R^{\frac{3}{2}}M^{-\frac{1}{2}}\sim L^{\frac{3}{4}}M^{-\frac{1}{2}}.

Obserwowana zależność to T\sim L^{0,86}. Po zlogarytmowaniu otrzymamy linie proste z wykresu Leavitt.

W roku 1926 szwedzki matematyk Gösta Mittag-Leffler, zwolennik równouprawnienia kobiet w nauce, który przyczynił się do profesury Sofii Kowalewskiej w Sztokholmie i Nagrody Nobla dla Marii Skłodowskiej-Curie, chciał nominacji Leavitt do tej nagrody. Dowiedział się jednak, że kilka lat wcześniej zmarła ona na raka w wieku 53 lat. Nagroda Nobla wymaga wielkich osiągnięć, ale często także dobrego zdrowia, by jej dożyć. Leavitt żyła skromnie, pozostawiła po sobie majątek wartości 314 dolarów i 91 centów. Niewątpliwie należała do tych, którym nauka zawdzięcza dużo więcej niż oni nauce.

Antonie van Leeuwenhoek: Delft, czyli wszechświat

W XVII wieku podróże po Europie stały się modne, choć mieszkając w kraju takim, jak Holandia, można było wiedzieć sporo o świecie, nawet nie ruszając się z domu. Antonie van Leeuwenhoek, kupiec bławatny i pasmanteryjny, terminował w Amsterdamie, podróżował do Anglii, większość jednak swego długiego, dziewięćdziesięcioletniego życia spędził w rodzinnym Delft. Nauką zajął się późno, bo grubo po trzydziestce, kiedy porzucił już handel i został urzędnikiem miejskim, służąc na wielu stanowiskach, m.in. geodety i kontrolera sprowadzanych win i innych trunków. Liczące przeszło dwadzieścia tysięcy mieszkańców Delft nigdy nie było tak dużym ośrodkiem, jak pobliska Haga (barki do stolicy odpływały co pół godziny), słynęło jednak ze swych niebieskich, ręcznie malowanych fajansów, miało też własną gildię malarzy. W Delft pracował przez całe życie, znany wówczas jedynie znawcom, Johannes Vermeer, rówieśnik Leeuwenhoeka. Wpis chrztu malarza datowany pięć dni wcześniej od chrztu uczonego znajduje się na tej samej stronie księgi parafialnej z roku 1632. Z pewnością znali się jako wybitni obywatele tego samego miasta, tak niezrównanie przedstawionego przez malarza.

view_of_delft

To o tym obrazie pisał Marcel Proust: „Odkąd w haskim muzeum zobaczyłem Widok Delft, wiem, że widziałem obraz najpiękniejszy na świecie”Niezrównany i subtelny kolorysta, cyzelował długo każdy szczegół swoich płócien. Namalował ich w rezultacie niewiele i mimo bogatego ożenku zmarł pogrążony w długach. Leeuwenhoeka wyznaczono na kuratora spadku po artyście. Nie przyjaźnili się zapewne i fakt ten dowodzi raczej tylko wysokiego mniemania władz miasta o uczciwości Leeuwenhoeka. Zadanie było delikatne i niewdzięczne, zostało jednak pomyślnie przeprowadzone do końca. Francuski szlachcic, Balthasar de Monconys, dziwił się bardzo, znajdując później u piekarza z Delft pewien obraz Vermeera, za który zapłacono sześćset liwrów, a za który podróżnik nie dałby więcej niż sześć pistoli. Mistrz piekarski z Delft znał się więc dużo lepiej na sztuce niż francuski szlachcic.

f1-large

Nie znamy upodobań Leeuwenhoeka, był człowiekiem niewykształconym, nie znał żadnego języka prócz własnego i sam przyznawał, że niechętnie pisze. Jeśli coś mogło zbliżyć tych dwóch ludzi, to upodobanie do wnikliwej obserwacji i mistyczna niemal adoracja światła. Tkaniny u Vermeera oddane są z niezwykłym pietyzmem, a być może właśnie od przyglądania się detalom tkanin za pomocą szkła powiększającego zaczęła się pasja Leeuwenhoeka. Musiał być człowiekiem niezwykle sumiennym i cierpliwym, gdyż wytrwale doskonalił kunszt szlifowania szkieł i zdołał zbudować mikroskopy lepsze niż ktokolwiek inny.

Używane przez niego mikroskopy miały tylko jedną kulistą soczewkę. Kula taka jest soczewką skupiającą i przy typowym współczynniku załamania szkła jej ognisko leży o pół promienia za powierzchnią (a więc w odległości \frac{3}{2}r od jej środka, patrz poniżej). Używając soczewki możemy przedmiot przybliżyć do oka znacznie bliżej niż wynosi odległość dobrego widzenia, równa zwykle D=25 \mbox{ cm}. Dzięki temu widzimy szczegóły pod większym kątem.

oko

Powiększenie kątowe równe jest

\dfrac{\beta}{\alpha}=\dfrac{h}{d}\dfrac{D}{h}=\dfrac{D}{d}.

Zastępujemy tu kąty (w radianach) ich tangensami, co stanowi dobre przybliżenie, gdy kąty są niewielkie. Odległość d w przypadku soczewki kulistej równa się \frac{3}{2}r. Należy więc używać jak najmniejszych kulek szklanych, powiększenia uzyskiwane przez Leeuwenhoeka sięgały kilkuset razy. Tak wygląda współczesna rekonstrukcja jego mikroskopu.

hl1

Strona Hansa Loncke

Holender prowadził dziennik obserwacji, jego fragmenty wysyłał do Towarzystwa Królewskiego do Londynu. Tłumaczone na angielski lub łacinę, ukazywały się przez wiele lat w „Philosophical Transactions”. Zrazu uczeni byli nieufni, z czasem jednak zaczęto Leewenhoeka i jego odkrycia traktować serio. Zaczęli go odwiedzać inni badacze, którzy mogli się naocznie przekonać, że Holender jest rzeczywiście wytrawnym obserwatorem i niczego nie zmyśla. Niektóre z jego odkryć zostały niezależnie powtórzone, ogólnie jednak był z tym kłopot: nikomu nie udawało się sporządzać tak małych kulek szklanych dobrej jakości optycznej. Angielski autorytet w dziedzinie optyki Robert Hooke, autor zdumiewających rysunków mikroskopowych, takich jak poniższa pchła, używał mikroskopu z dwóch soczewek i nie był przekonany do metody Leeuwenhoeka.

4879769

Odkrycia Holendra nie były aż tak spektakularne, gdyż dotyczyły żyjątek niezwykle drobnych, wręcz nieprawdopodobnie małych, o rozmiarach niewielu mikrometrów. Leeuwenhoek odkrył cały świat mikroflory bakteryjnej, obserwował przejawy życia w kroplach wody i w najróżniejszych płynach ustrojowych, jak krew i sperma. Tak wyglądały np. bakterie z jamy ustnej (specjaliści zidentyfikowali je później).

drawings-of-animalcules-form-leeuwenhoeks-letter-dr-jeremy-byrgess

Nasienie zwierząt i ludzi pełne było zadziwiających, żywo poruszających się stworów, przypominających kijanki. Leeuwenhoek odkrył w ten sposób plemniki. Badania tego rodzaju nieco go krępowały, tłumaczył, że spermę uzyskał bez grzechu jako skutek stosunku małżeńskiego. Sądził jednak, że odkrycie to jest w najwyższym stopniu godne uwagi.

lind006gesc01ill24

Ówcześni uczeni przypuszczali, że początkiem życia człowieka jest komórka jajowa (w istocie to, co brali za komórkę jajową było pęcherzykami jajnikowymi). Sądzono, że pramatka Ewa nosiła w sobie jajeczka wszystkich ludzi, którzy później przyszli na świat. Obserwacje Leeuwenhoeka wskazywały na coś zupełnie innego: to plemniki odgrywają decydującą rolę, podczas gdy komórka jajowa dostarcza jedynie pożywienia wzrastającemu organizmowi. Nicolas Hartsoeker, lekarz i rodak Leewuwenhoeka, przekonywał, że to plemnik zawiera całego człowieka w miniaturze (słówko homunculus pojawiło się dwa wieki później). Jak się zdaje, podobnego mniemania był także Leeuwenhoek.

human-sperm-17th-century-granger

Zapłodnienie zdaniem Hartsoekera nie polegało na tym, że najsilniejszy plemnik (powiedzmy Donald Trump) przebija się do środka komórki jajowej. Sądził on, że plemnik przyczepia się do jajeczka ogonkiem, przez który czerpie substancje odżywcze i który z czasem zamienia się w pępowinę łączącą zarodek z organizmem matki. Interpretując te poglądy w duchu tzw. obrońców życia: nie tylko zygota ludzka byłaby święta, ale należałoby jak osoby ludzkie traktować także wszystkie plemniki, które także byłyby święte. Oczywiście, wszystkie one powinny koniecznie mieć imiona, zanim umrą.

Leeuwenhoek był pionierem, jego badań nikt nie kontynuował. Częściowo sam sobie był winien, ponieważ nie ujawniał swojej metody wytwarzania soczewek i nikt inny tego nie potrafił. Nauka nie była przygotowana na cały ten zawrotny świat mikroorganizmów, kiedy nie można zrozumieć pewnych faktów, spycha się je po prostu na bok. Z czasem Leewenhoek spostrzegł, że młodzi ludzie nie są zainteresowani nauczeniem się jego sekretów i kontynuacją jego badań. Pisał: „Większość studentów idzie tam [na uniwersytet w Lejdzie], aby zarabiać pieniądze dzięki wiedzy albo zdobyć reputację w świecie uczonych. Lecz szlifowanie soczewek i odkrywanie rzeczy ukrytych przed wzrokiem nie ma z tym nic wspólnego”. Trzeba przyznać, że i dziś ten podział nie całkiem się zatarł: na tych, co odnoszą korzyści z nauki i tych, z których korzyść odnosi nauka.

kula
Kąt \beta, jak widać z rysunku, równy jest

\beta=\dfrac{h}{r+f}.

Ogniskową f znajdujemy, rozpatrując dwukrotne załamanie promienia bliskiego środka kuli (w ten sposób wszystkie kąty są małe, zostały na rysunku powiększone dla przejrzystości). Odchylenie na pierwszej powierzchni równe jest \delta-\varepsilon; oba kąty spełniają prawo załamania

\dfrac{\delta}{\varepsilon}=n,

gdzie n jest współczynnikiem załamania.

leeuwenhoek

Odchylenie na drugiej powierzchni jest takie samo. Należy uwzględnić fakt, że nasza soczewka jest gruba, tzn. promień zbliża się do osi z odległości x na odległość y. Ostatecznie, wartość ogniskowej równa jest

f=\dfrac{r}{2}\cdot \dfrac{2-n}{n-1}.

Przy n=1,5 otrzymamy f=\dfrac{1}{2}r.

Evangelista Torricelli: nieskończona trąba i barometr (1643-1644)

Nauka powstająca w XVII wieku była iście rewolucyjna: podważono jednocześnie niemal cały tradycyjny system myślowy, wiedzę zgromadzoną od tysiącleci. Świat materialny zmienił się niewiele od średniowiecza, choć nauczono się żeglować po oceanach i korzystać z broni palnej. Jednak technika była wciąż prymitywna, energia trudno dostępna, a większość ludzi walczyła jedynie o przetrwanie. Zanim przeobraziła się cywilizacja, należało najpierw przebudować zawartość głów. Postęp pojęciowy jest zawsze niezmiernie trudny, trzeba pokonać własne nawyki myślowe, wyciągnąć wnioski z nowych założeń, niewielu ludzi potrafi żyć wśród tymczasowych koncepcji i bez żalu porzucać je na rzecz innych, nowych, lepiej opisujących wymykającą się rzeczywistość. M.in. dlatego niewielu jest einsteinów na świecie, mimo że nie brak ludzi bardzo inteligentnych i utalentowanych.

Evangelista Torricelli określany jest często jako uczeń Galileusza. W istocie był bardziej uczniem Benedetta Castellego, wiernego przyjaciela i okazjonalnie współpracownika mistrza z Florencji. Ze starym, niewidomym już uczonym spędził ledwie kilka miesięcy: od października 1641 r. do stycznia roku następnego, gdy Galileusz zmarł. Torricelli był już wtedy po trzydziestce i był ukształtowanym uczonym w duchu archimedesowym, gdzieś między matematyką a inżynierią i eksperymentem. Odziedziczył po Galileuszu stanowisko matematyka przy księciu Toskanii. Galileusz był także nadwornym filozofem, czyli fizykiem i astronomem, ale w owej chwili, dziesięć lat po wyroku inkwizycji, lepiej było nie kłuć w oczy władz kościelnych. Sławnego uczonego pochowano w nieoznaczonym grobie i musiało minąć sto lat, nim pozwolono na postawienie tablicy nagrobnej. Torricelli w roku 1643 stał się sławny w całej uczonej Europie dzięki rozważaniom na temat pewnej nieskończonej bryły, która miała skończoną objętość. Przypominała ona wnętrze trąby.

tromba

Bryła Torricellego powstaje z obrotu hiperboli (równobocznej) wokół jednej z asymptot. Wycinamy z niej tylko część zaznaczoną na rysunku: mamy zwężającą się, nieskończenie długą trąbę. Torricelli wykazał, że pole powierzchni takiej trąby jest nieskończone, lecz objętość jest skończona. Oszacujemy tę objętość. Dzielimy naszą bryłę na cylindryczne cienkie powłoki: leżą one jedna wewnątrz drugiej jak składany tubus. Pole podstawy takiej powłoki (wydrążonego walca) równe jest 2\pi r dr, co jest iloczynem długości okręgu i grubości naszej powłoki dr. Objętość wydrążonego walca o takiej podstawie  i wysokości h(r) możemy łatwo oszacować z góry:

dV=2\pi r dr h(r) < 2 \pi r dr \dfrac{a^2}{r}=2 \pi a^2 dr.

Zatem suma objętości wszystkich wydrążonych walców jest mniejsza niż 2\pi a^2 R, gdzie R to największy promień przekroju poprzecznego trąby. Torricelli obliczył tę objętość, stosując metodę Cavalieriego, a także przeprowadzając dowód w duchu Archimedesa. Paradoksalny wynik wzbudził zainteresowanie i komentowali go najwięksi matematycy epoki: jeśli był prawdziwy, granice matematyki matematyki zostały poszerzone.

W roku następnym został Torricelli odkrywcą barometru. Tak się zwykle mówi, bardzo upraszczając całą sprawę. On sam nie uznawał siebie za wynalazcę takiego przyrządu ani nad nim jakoś szczególnie nie pracował. Dopiero później urządzenie takie zaczęto nazywać barometrem i traktować jako przyrząd służący do pomiaru ciśnienia atmosferycznego. Torricelli niczego nie mierzył w sposób ciągły, lecz uważał swoje doświadczenie za rodzaj filozoficznego (tj. naukowego) pokazu. Chodziło w nim o istnienie próżni. Natura abhorret vacuum – natura nie znosi próżni – mawiali filozofowie scholastyczni, czerpiąc to twierdzenie od Arystotelesa. Wiadomo było z praktycznych doświadczeń inżynierów, iż nie można wciągnąć wody w rurze wyżej niż na 18 łokci. Galileusz objaśniał to siłami spoistości wody: gdy wysokość jej słupa przekracza owe 18 łokci, słup rozrywa się pod własnym ciężarem, tak jak rozerwałaby się pod własnym ciężarem dostatecznie długa kolumna z marmuru zawieszona od góry. Torricelli sądził inaczej, uważał, że słup cieczy równoważony jest ciśnieniem zewnętrznym. A skoro chodzi o równowagę, to zamiast 18 łokci wody wystarczy 5/4 łokcia i jeden cal żywego srebra (rtęci) – gdyż jego ciężar właściwy jest kilkanaście razy większy. Wystarczy wziąć szklaną rurkę długości, powiedzmy, dwóch łokci, zatopioną z jednej strony i nalać do niej rtęci. Następnie zatykamy rurkę palcem i odwracamy zatopioną częścią do góry, po czym wkładamy rurkę do naczynia z rtęcią (nikt w XVII wieku nie rozumiał, jak się zdaje, jak szkodliwe może być takie nieostrożne manipulowanie rtęcią, Newton żartował sobie, że posiwiał wcześnie z powodu używania rtęci w doświadczeniach alchemicznych, naprawdę chyba się tym jednak nie przejmował).

torr

Uczony sądził, że nad rtęcią tworzy się próżnia. A więc łatwo jest ją wytworzyć i natura się jej nie lęka. O swoich doświadczeniach napisał do Michelangela Ricciego w czerwcu 1644 roku. Pokazywał je też ojcu Marinowi Mersenne’owi, który spełniał w owych czasach rolę serwera pocztowego dla środowiska uczonych, gdy ten odwiedził go we Florencji. Nie słychać, aby Torricelli zamienił swoją odwróconą rurkę na stały przyrząd, który można z dnia na dzień obserwować. Spodziewał się chyba, że zmiany ciśnienia atmosferycznego będą większe, niż są w rzeczywistości. W tym samym liście pisał, iż żyjemy na dnie oceanu powietrza – coś podobnego sugerował kilkanaście lat wcześniej Giovanni Battista Baliani w liście do Galileusza. Torricelli mógł o takim poglądzie słyszeć. Tak czy owak nie zajmował się sprawą dłużej, dopiero kilka lat później stała się ona europejską sensacją, gdy doświadczenia podobne zaczęto powtarzać w różnych krajach, a przede wszystkim we Francji, a zagadnieniem ciśnienia atmosferycznego i istnienia próżni zajął się m.in. Blaise Pascal. Dla jego analitycznego i skłonnego do paradoksów umysłu pogląd, który przeczył jednocześnie scholastykom i „nowoczesnemu” Kartezjuszowi, musiał wydawać się wielce interesujący. Torricelli zmarł młodo, w roku 1649, i nie dożył czasów, w których uznano go za „odkrywcę barometru”. Zapewne byłby zdziwiony, że ten maleńki fragment jego naukowego dorobku doczekał się takiej sławy, podczas gdy o reszcie mało kto dziś pamięta.

List Torricellego do Ricciego.

Jego angielski przekład

 

Parabola, sounding-board i piękno geometrii

Wielka Brytania ma do dziś znakomitą tradycję uprawiania nauki za stosunkowo niewielkie pieniądze. Royal Society i inne uczone towarzystwa były długo organizacjami zrzeszającymi amatorów na równi z zawodowcami. Sprawiało to, że rozmaite dziwne eksperymenty czy obserwacje osobliwości sąsiadowały w angielskich czasopismach z rzetelnymi osiągnięciami profesjonalistów. Przynajmniej jednak za dziwactwa te rząd Jego/Jej Królewskiej Mości nie musiał wypłacać wysokich apanaży czy to w formie pensji, czy grantów na dogłębne studia nad niczym.

W 1826 roku zbudowano w Attercliffe koło Sheffield niewielki kościół. Okazało się, że występował w nim silny pogłos i choć dźwięk mowy pastora był dobrze słyszalny, to zamazany i niewyraźny. Standardowym sposobem wzmacniania dźwięku idącego od ambony do wiernych była drewniana płyta, sounding-board, umieszczana zwykle poziomo nad amboną. Odbijała ona część dźwięku w stronę publiczności. Określenie sounding-board do dziś zresztą funkcjonuje w angielszczyźnie, lecz głównie w sensie przenośnym. W Attercliffe tego rodzaju rozwiązanie nie pomogło. Toteż wielebny John Blackburn, który studiował w St. John’s College w Cambridge, sięgnął po rozwiązanie znane z geometrii od czasów starożytnych. Wiadomo, że paraboloida – powierzchnia powstająca przy obrocie paraboli wokół osi – ma własność ogniskowania promieni w jednym punkcie. Może więc także służyć jako reflektor, gdy w ognisku umieścimy źródło naszych promieni. John Blackburn obudował więc ambonę w taki sposób, że mówca znajdował się w jej ognisku, a dźwięk rozchodził się na wnętrze kościoła.

Efekty były znakomite, wielebny Blackburn opisał ze szczegółami swą konstrukcję w „The Philosophical Magazine” w roku 1829. Podobnego rozwiązania używa się do dziś, np. w mikrofonach parabolicznych zbierających dźwięk z jakiegoś kierunku i umożliwiających słuchanie rozmów ze sporej odległości.

512px-parabolicmicrophone

Innych przykładów dostarczają wszelkie teleskopy optyczne i radiowe, tu np. gigantyczny radioteleskop w Arecibo, za pomocą którego Aleksander Wolszczan odkrył pierwsze planety poza Układem Słonecznym (a macierzysty UMK zerwał z nim współpracę, bo uczony kiedyś spotykał się z jakimiś agentami SB – co godne i sprawiedliwe, a także słuszne i zbawienne – wszak mamy tylu uczonych, którzy z nikim się nie spotykali oraz niczego nie odkryli).

telescopio_arecibo_thumb

Z jakichś powodów, znanych wyłącznie wysokim komisjom ds. programów nauczania, nie uczy się w szkole nic ponadto, że parabola to wykres funkcji kwadratowej, np. y=ax^2. W sposób naturalny pojawia się ta krzywa w rzutach (gdy opór powietrza jest do pominięcia). Np. w rzucie poziomym ciało przesuwa się poziomo wciąż z tą samą prędkością początkową v, spadając jednocześnie pionowo z przyspieszeniem ziemskim g. Mamy więc dwa równania: w kierunku poziomym x położenie jest proporcjonalne do czasu, a w kierunku pionowym y – do kwadratu czasu (oś y kierujemy w dół).

\left\{ \begin{array}{l}  x=vt\\  y=\dfrac{gt^2}{2} \end{array} \right.\quad \Rightarrow \quad y=\left(\dfrac{g}{2v^2}\right)x^2=ax^2

Dokładnie tyle potrafił udowodnić Galileusz na temat rzutów (miał techniczny problem z rzutami ukośnymi, nie było jeszcze geometrii analitycznej). Rzut poziomy można zilustrować pokazem, przedstawiony zabytkowy przyrząd pochodzi z Teylers Museum w Haarlemie.

large1

Kulka stacza się po łuku z lewej strony i następnie przelatuje przez kolejne pierścienie rozmieszczone zgodnie z równaniem paraboli.

Pokażemy, że kształt paraboliczny może ogniskować promienie w jednym punkcie. Starożytni, którzy nie znali algebry, definiowali parabolę inaczej: jest to zbiór punktów równoodległych od pewnej zadanej prostej (fioletowa na rysunku)oraz od pewnego punktu F.

parabola

Łatwo pokazać, jak można konstrukcyjnie wyznaczyć punkty paraboli. Zaczynamy od P’. Wystawiamy z tego punktu prostopadłą do naszej poziomej prostej (zwanej kierownicą) oraz budujemy dwusieczną odcinka FP’: XP. Szukany punkt P paraboli leży na przecięciu obu prostych i spełnia warunki definicji paraboli. Z konstrukcji tej wynika też, że kąty FPX oraz XPP’ są równe, więc promień biegnący pionowo z góry do P odbije się w kierunku F. Ponieważ dotyczy to każdego promienia biegnącego wzdłuż osi, więc wszystkie one przetną się w F (zwanym ogniskiem).

Łatwo też pokazać, że tak wyznaczona krzywa spełnia algebraiczne równanie paraboli. Niech ognisko znajduje się w punkcie (0,f) układu współrzędnych, kierownica zaś ma równanie y=-f (na rysunku f=0,25). Równe odległości punktu (x,y) od kierownicy i od ogniska dają równanie

(y+f)^2=x^2+(y-f)^2 \Rightarrow y=\dfrac{x^2}{4f}.

Istnieje jeszcze inna definicja paraboli jako przecięcia stożka. Wyobraźmy sobie stożek, bierzemy płaszczyznę styczną do jednej z jego tworzących SR, a następnie przecinamy stożek inną płaszczyzną równoległą do tej pierwszej. Krzywa powstająca na przecięciu płaszczyzny z powierzchnią stożka będzie parabolą.

parabola_conic

Z rysunku odczytać możemy równanie krzywej. Zaczynając od okręgu na dole, mamy x^2=\mbox{PM}\cdot \mbox{MR} (jest to znane twierdzenie nt. wysokości trójkąta prostokątnego (u nas PLR). Ze środkowego rysunku (obie płaszczyzny są prostopadłe do rysunku) widać, że długość MR nie zależy od tego, na jakiej wysokości przetniemy stożek płaszczyzną prostopadłą do jego osi. Natomiast długość PM z twierdzenia Talesa jest proporcjonalna do y, mamy więc y\propto x^2. Ta ostatnia definicja sugeruje związek paraboli z innymi możliwymi przecięciami stożka: elipsą oraz hiperbolą. Ale to już całkiem inna historia.

Pierre Fermat: zasada najmniejszego działania dla światła (1657-1662)

Greccy geometrzy zauważyli, że światło biegnie po najkrótszej drodze, i to zarówno wtedy, gdy porusza się prostoliniowo między dwoma punktami (np. A i C), jak i wówczas, gdy po drodze odbija się od zwierciadła, biegnąc po łamanej ABC. Najkrótszej drodze odpowiada prawo odbicia: kąt odbicia równy jest kątowi padania.

fermat-heron

Rozumowanie z rysunku znajdujemy u Herona z Aleksandrii w jego Katoptryce (czyli optyce zwierciadeł). Jeśli punkt A odbijemy symetrycznie w płaszczyźnie zwierciadła (prostopadłej do rysunku), otrzymujemy A’. Drogi A’B i AB są więc równe. Zamiast ABC możemy rozpatrywać A’BC. Dowolna łamana AXC ma taką samą długość, jak A’XC. Ponieważ każda łamana biegnąca od A’ do C jest dłuższa niż odcinek prostej, więc najkrótsza droga równa jest ABC i punkt B leży wówczas na odcinku A’C. Łatwo widać, że dla takiej drogi kąt odbicia równa się kątowi padania.

W roku 1657 Pierre Fermat, radca parlamentu (czyli sądu) w Tuluzie, otrzymał w prezencie książkę poświęconą światłu.

la_lumiere_cureau_de_la-chambre

Jej autorem był Marin Cureau de La Chambre, lekarz, do którego nastoletni Ludwik XIV, przyszły Król-Słońce miał ogromne zaufanie. Fermat, urzędnik królewski, czuł się w obowiązku zajrzeć do książki doradcy tak uczonego i ustosunkowanego na dworze (zręczność dyplomatyczną autora widać i w tym, że na karcie tytułowej jego własne nazwisko złożone jest znacznie mniejszą czcionką niż nazwisko potężnego kardynała Mazarin). Książka zawierała dowód Herona. Cureau de La Chambre zwracał też uwagę, że gdy światło się załamuje, przebywana przez nie droga już nie jest najkrótsza.

fermat0

Droga ABC jest oczywiście dłuższa niż ADC na rysunku. Fermat znał, jak wszyscy, prawo załamania (prawo Snella), opublikowane przez Kartezjusza w 1637 roku. Nie zgadzał się jednak z fizycznym wyprowadzeniem tego prawa, niezbyt wierzył chyba w te wszystkie niewidzialne cząstki rozmaitych kształtów i wielkości, które miały się ze sobą zderzać i na siebie napierać, tłumacząc absolutnie wszystko: od ruchu planet i optyki, po magnetyzm i ciężkość ciał. Jako matematyk szukał wyjaśnienia elegantszego i mniej uwikłanego w trudne do sprawdzenia przesłanki. Gdyby przyjąć, że w gęstszym ośrodku światło napotyka większy opór, to należałoby drogę w ośrodku liczyć np. podwójnie. A więc nadal można podejrzewać, że światło wybiera najłatwiejszą drogę. Należałoby jednak minimalizować nie sumę dróg, lecz pewną ich kombinację, np. AB+2BC. Gęstszemu ośrodkowi odpowiadałby większy współczynnik: wyglądało to rozsądnie, gdyż u Kartezjusza światło miało „większą siłę” w ośrodku gęstszym, co nie jest zbyt intuicyjne (ani zrozumiałe). Nie chcąc wdawać się w spory na temat natury światła, Fermat unikał mówienia o jego prędkości – bowiem zdaniem kartezjan oraz Cureau de La Chambre światło rozchodzi się momentalnie. Sporów z kartezjanami, uczniami mistrza, nie uniknął, podobnie jak dwadzieścia lat wcześniej z ojcem-założycielem tej sekty filozoficznej. Fermat znany był z wysuwania twierdzeń, których nie chciało mu się albo których nie potrafił dowieść, słynnym przykładem jest jego Wielkie Twierdzenie udowodnione pod koniec XX wieku. Także i tym razem niezbyt chętnie brał się do sprawdzenia, czy rzeczywiście światło podlega zasadzie najmniejszego działania. Miał własną metodę szukania ekstremum, dość toporną z dzisiejszego punktu widzenia, zastąpioną później przez obliczanie pochodnych. W wersji Fermata prowadziła ona do długich rachunków, ale w pierwszym dniu nowego roku 1662 zakomunikował Cureau de La Chambre, że obliczenia się udały i prowadzą do znanego prawa załamania. Niemal pięcioletnie opóźnienie między wysunięciem twierdzenia a zbadaniem jego konsekwencji tłumaczył Fermat dwiema przeszkodami: po pierwsze, nie był całkiem pewien, jak należy sformułować zasadę minimum i czy prawo Snella jest ściśle słuszne. Drugą przeszkodą była, typowa dla matematyków, niechęć do długich rachunków. W tym przypadku w grę wchodziły cztery odcinki, a więc cztery pierwiastki z sumy kwadratów współrzędnych. „Obawa, że po długich i trudnych rachunkach dojdę do jakiejś fantastycznej i nieregularnej proporcji oraz moja naturalna skłonność do lenistwa pozostawiły rzecz w tym stanie aż do ostatniego napomnienia, którego udzielił mi w pańskim imieniu pan przewodniczący de Miremont. (…) Nagroda za tę pracę okazała się zupełnie nadzwyczajna, niespodziewana i szczęśliwa. Kiedy bowiem przebrnąłem przez wszystkie równania, mnożenia, antytezy i inne operacje, jakich wymaga moja metoda (…) stwierdziłem, że moja zasada daje dokładnie tę samą proporcję załamania, jaką ustalił pan Descartes. Tak bardzo zaskoczył mnie ten niespodziewany wynik, że z trudem mogłem dojść do siebie. Wiele razy powtórzyłem różne operacje algebraiczne, otrzymując stale ten sam wynik, choć moje rozumowanie zakłada, iż przejście światła przez gęste ciała jest trudniejsze niż przez rzadkie, co uważam za prawdziwe oraz niewątpliwe, niemniej jednak pan Descartes zakłada coś przeciwnego”.

Fermat zakłada więc, że nie suma dróg s_1+s_2 musi być minimalna, lecz suma ich kombinacji liniowych s_1+ns_2, gdzie n jest współczynnikiem załamania drugiego ośrodka (względem pierwszego). Łatwo widać, że jeśli przyjmiemy za prędkość światła w drugim ośrodku wielkość v=c/n (gdzie c jest prędkością w ośrodku pierwszym), to można tę zasadę sformułować jako zasadę najkrótszego czasu:

t=\dfrac{s_1}{c}+\dfrac{s_2}{v}=\dfrac{s_1+n s_2}{c}.

Fermat dumny był z otrzymania eleganckiego wyniku, lecz kartezjanie uważali go za ciekawostkę matematyczną, a nie zasadę odnoszącą się do światła. Zasada Fermata nabrała sensu dopiero dla Christiaana Huygensa, który światło uznawał za rozchodzące się zaburzenie eteru, coś w rodzaju fali nieokresowej, jak np. fala uderzeniowa. Wiedział on już, że prędkość światła jest skończona. Huygens przedstawił też elegancki dowód, że zasada Fermata prowadzi do prawa załamania Snella. Jest on wyraźnie prostszy niż obliczenie Fermata – zwykle udaje się uprościć rozumowanie, kiedy już wiadomo, dokąd prowadzi.

fermat-a-la-huygens

Porównujemy rzeczywisty bieg promienia światła ABC z fikcyjnym AFC. Budujemy prostokąt AOHB, mamy w ten sposób pewność, że AB=OH. Na BC opuszczamy prostopadłą GF z punktu G. Z prawa załamania mamy

\dfrac{\mbox{HF}}{\mbox{BG}}=\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=n.

Zachodzą też nierówności

\mbox{AF}>\mbox{OH}+\mbox{HF}=\mbox{AB}+n\mbox{BG},

n\mbox{FC}>n\mbox{GC}.

Dodając te nierówności stronami, otrzymujemy:

\mbox{AF}+n\mbox{FC}>\mbox{AB}+n\mbox{BC}.

Zmieniając nieco nasz rysunek, możemy zrozumieć przyczynę prawa załamania dla fal. Linie AA’ oraz BH to czoła fali w pierwszym ośrodku, GF oraz CC’ to czoła fali w drugim ośrodku. W czasie potrzebnym na przejście odległości HF w pierwszym ośrodku, w drugim fala przejdzie odległość BG.

fermat-huygens2

Zatem stosunek obu odległości równy jest

\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\dfrac{c}{v}=n.

Bezpośrednie wyjaśnienie zasady Fermata daje nam mechanika kwantowa albo falowa teoria światła: faza światła zależy od czasu. W sąsiedztwie ekstremum fazy zmieniają się bardzo powoli i rezultatem jest silna fala wypadkowa.

Warto może przytoczyć dzisiejszą wersję obliczeń Fermata. Jest ona banalna, co nie oznacza, że jesteśmy mądrzejsi od Fermata, ale że mamy lepsze techniki rachunkowe. Pojawiły się one już kilka lat później w rękopisach Isaaca Newtona, które niewielu widziało, a później w 1684 roku w pierwszej publikacji Leibniza na temat rachunku różniczkowego. Metoda Fermata przekształciła się w algorytmy, do których stosowania wcale nie potrzeba inteligencji, z powodzeniem robią to dziś programy w rodzaju WolframAlpha itp.

fermat

Wielkość, którą mamy zminimalizować, ma postać:

s(x)=\sqrt{(x-x_a)^2+y_a^2}+n\sqrt{((x-x_b)^2+y_b^2}.

Szukamy ekstremum tej funkcji, przyrównując jej pochodną do zera:

s'(x)=\dfrac{2(x-x_a)}{2\sqrt{(x-x_a)^2+y_a^2}}+n\dfrac{2(x-x_b)}{2\sqrt{((x-x_b)^2+y_b^2}}=0.

Łatwo spostrzec, patrząc na rysunek, że pierwszy składnik równy jest \sin\alpha, a drugi -n\sin\beta, skąd otrzymujemy prawo Snella.

Spirala logarytmiczna

Ponieważ pisałem o spiralach u van Gogha, więc może warto napisać trochę więcej o ich matematyce. Zdefiniujmy spiralę jako krzywą, która zawsze tworzy kąt \alpha z promieniem wodzącym z początku układu.

logarithmic_spiral

Najłatwiej równanie spirali zaleźć we współrzędnych biegunowych: położenie punktu określamy przez odległość od początku układu r oraz kąt \varphi, jaki tworzy promień wodzący z ustaloną półosią. Kąty liczymy przeciwnie do wskazówek zegara. Wielkim odkryciem XVII wieku w matematyce było zauważenie, że krzywe gładkie można traktować jak złożone z bardzo krótkich odcinków linii prostych, najlepiej nieskończenie małych odcinków (ale zawsze można sobie wyobrażać coraz mniejsze odcinki skończone). Narysujmy sobie taki nieskończenie mały odcinek spirali. Oczywiście, musimy narysować odcinek skończony (niebieski na rysunku), nieskończenie małe wielkości nie nadają się do rysowania.

logarithmic-spiral

Stałość kąta \alpha oznacza, że stały, tj. niezależny od punktu jest także jego cotangens:

\mbox{ctg}\alpha=k=\dfrac{dr}{rd\varphi}\Rightarrow \dfrac{dr}{r}=k d\varphi.

Oznaczyliśmy cotangens kąta \alpha literą k, żeby mniej pisać. Wielkość ta nie zależy od punktu spirali. Znaczy to, że gdy obracamy wektor wodzący o d\varphi, to jego nowa długość równa się

r+dr=r(1+kd\varphi).

Po dwóch obrotach o d\varphi dostaniemy r(1+kd\varphi)^2. Gdyby kąt był czasem, a k stopą procentową, to mielibyśmy procent składany: po każdym okresie d\varphi nasz kapitał rośnie o stały czynnik (1+kd\varphi). Sens geometryczny tej spirali jest więc łatwy do uchwycenia: każdy obrót o ustalony kąt oznacza wzrost promienia o ustalony procent, czyli o ustalony czynnik. Wzrost jest więc wykładniczy. Zaczynając od promienia r_0 przy kącie \varphi=0, mamy po n obrotach

r=r_0(1+kd\varphi)^n.

Skończony kąt \varphi możemy uzyskać jako złożenie bardzo wielu obrotów o mały kąt d\varphi. Będzie wówczas spełniony warunek \varphi=nd\varphi. Promień r będzie równy

r=r_0\left(1+\dfrac{k\varphi}{n}\right)^n \Rightarrow r=r_0  e^{k\varphi},

gdzie e oznacza podstawę logarytmu naturalnego (*). Wykładnicza zależność r(\varphi) oznacza, że obracając się w kierunku ujemnym, nigdy nie otrzymamy zera, a więc nasza spirala nie tylko rozwija się nieskończenie, ale i zwija w pobliżu zera nieskończenie wiele razy. Wynika to po prostu z faktu, że \varphi może przyjmować dowolne wartości rzeczywiste, dodatnie, ujemne (albo zero), a r zawsze będzie dodatnie. Nie można narysować otoczenia początku układu, bo tam spirala zwija się nieskończenie wiele razy.

logarithmicspiral

Łatwo jest też obliczyć długość spirali od punktu początkowego do danego kąta \varphi. Patrząc jeszcze raz na nasz nieskończenie mały odcinek spirali, widzimy, że całkowita jej długość jest proporcjonalna do r, a więc skończona:

ds=\dfrac{dr}{\cos\alpha}\Rightarrow s=\dfrac{r}{\cos\alpha}.

(*) Możemy sobie wyobrażać, że liczba n staje się coraz większa, ale tak aby nd\varphi=\varphi . Korzystamy z z granicy przy n\rightarrow\infty:

\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n=e^x.

D.A. Henderson, synek Franklina i racjonalność decyzji o szczepieniu

W tych dniach zmarł D.A. Henderson, epidemiolog, który walnie przyczynił się do zlikwidowania ospy na świecie. Był to wynik wieloletniej planowej pracy zespołu ludzi, którymi kierował najpierw w amerykańskiej CDC, a później w WHO. Fachowcy mówią, że to największy wymierny sukces w historii medycyny. Dramatem naszego świata jest fakt, że ludzie tacy jak on są niezbyt znani w przeciwieństwie do różnej maści celebrytów, skandalistów i kokainistów płci obojga.  OB-Henderson__13981471621450

Pisałem o epidemii w roku 1721 w Bostonie i tragicznym losie małego synka Benjamina Franklina. Stosując rachunek prawdopodobieństwa, nietrudno uzasadnić racjonalność decyzji o szczepieniu nawet przy niepełnych danych z XVIII wieku. Musimy pamiętać, że ówczesne szczepienie, tzw. inokulacja albo wariolizacja, różniły się od późniejszej metody. Zaszczepiano bowiem ludziom ospę ludzką, co w niektórych przypadkach kończyło się śmiercią. Dopiero pod koniec stulecia Edward Jenner odkrył, że bezpieczniejsze jest zaszczepianie ludziom ospy krowiej.

Zazwyczaj w podręcznikach matematyki mamy do czynienia z urnami, z których wyciąga się kule i w zależności od tego, co wyciągniemy, pojawiają się różne możliwości i budujemy drzewo rozmaitych ewentualności. Szczepienia są przykładem lepiej chyba przemawiającym do wyobraźni niż losowania białych i czarnych kul z urny.

Oto dane dla epidemii w Bostonie w roku 1721.

  • Liczba ludności miasta: 10 700
  • Poddanych inokulacji 281, z czego 6 zmarło
  • Spośród niepoddanych inokulacji 4917 zachorowało i przeżyło, 842 osoby zachorowały i zmarły, a 4654 osoby w ogóle nie zachorowały

Będziemy prawdopodobieństwa przybliżać częstościami, zazwyczaj nie mamy na to lepszego sposobu, należy pamiętać, że dane pochodzące z niewielkiej próby mogą się okazać niedokładne i dysponując większą statystyką, otrzymalibyśmy nieco inne wyniki. Mamy więc prawdopodobieństwo zgonu po inokulacji równe 6/281=0,021 i przeżycia inokulacji 1-0,021=0,979.

Prawdopodobieństwo zgonu wśród niepoddanych inokulacji oraz zarażonych jest równe 842/(842+4917)=0,146, a prawdopodobieństwo przeżycia w tej samej grupie równa się 1-0,146=0,854.

Prawdopodobieństwo zarażenia osoby niepoddanej inokulacji możemy próbować oszacować na podstawie naszych danych jako (4917+842)/(4654+4917+842)=0,553. Jest to szacowanie z dołu: musimy pamiętać, że część spośród 4654 osób, które nie zachorowały, przeszła już kiedyś ospę i była uodporniona na resztę życia. Jeśli prawdopodobieństwo zarażenia osoby, która nie przeszła ospy, oznaczymy przez x, mamy następujące drzewo możliwości.

qc23465.f1

Rysunek z pracy M Best, A Katamba, and D Neuhauser, Making the right decision: Benjamin Franklin’s son dies of smallpox in 1736.

Jeśli przyjmiemy x=0,553, to prawdopodobieństwo przeżycia bez inokulacji będzie równe (1-x)+x \cdot 0,854=0,919. Jak widać, wartość ta jest mniejsza od prawdopodobieństwa przeżycia inokulacji, zatem statystycznie biorąc, zabieg ten zwiększa szanse przeżycia. Gdybyśmy mieli więcej informacji, wartość x mogłaby się okazać jeszcze większa, a to by oznaczało, że prawdopodobieństwo przeżycia bez inokulacji jest jeszcze mniejsze (można zapisać to prawdopodobieństwo jako 1-x+0,854x=1-0,146x, jest to więc malejąca funkcja zmiennej x).

Można też się zastanowić, jaka musi być najmniejsza wartość x, żeby inokulacja była racjonalnym zabiegiem. Granicą racjonalności będą równe prawdopodobieństwa zgonu: x\cdot 0,146=0,021, skąd x> 0,144. Ponieważ dane wskazują, że prawie na pewno ostatni warunek jest spełniony, inokulacja jest racjonalnym zabiegiem.

Nie mamy, niestety, danych dla epidemii w 1736 roku w Filadelfii, gdzie mieszkał Benjamin Franklin z rodziną. Mamy jednak dane dla późniejszej epidemii w Bostonie w roku 1752.

  • Boston liczył wówczas 15 684 mieszkańców
  • 5998 osób przeszło już ospę i nie musiało się jej obawiać
  • 2124 osoby poddały się inokulacji (znacznie więcej niż w roku 1721), 30 z nich zmarło
  • 1843 osoby uciekły na wieś, by przeczekać epidemię, nie wiemy, jak wiele spośród nich zmarło.
  • 5719 osób nie poddało się inokulacji ani nie uciekło; 97% spośród nich zachorowało, a 539 zmarło

Prawdopodobieństwo zgonu po inokulacji równe jest 30/2124=0,014; prawdopodobieństwo przeżycia: 0,986. Wartości zbliżone są do tego, co otrzymaliśmy wyżej dla roku 1721.

Wśród niezaszczepionych i narażonych na zachorowanie śmiertelność była równa 539/(0,97\cdot 5719)=0,097, prawdopodobieństwo przeżycia choroby równało się 1-0,097=0,903. Oznaczało to, że nie robiąc nic, ma się prawdopodobieństwo przeżycia 0,03+0,97\cdot 0,903=0,906. Należy porównywać to z wartością 0,986 dla zaszczepionych. Inokulacja była więc znacznie lepszą decyzją.

Statystyka z roku 1752 obejmuje jeszcze możliwość ucieczki z miasta. Była to najprostsza metoda unikania chorób epidemicznych i kogo było na nią stać, ten ją stosował. Nie znamy prawdopodobieństwa zachorowania wśród tych, co uciekli. Oznaczmy je przez y. Mamy więc następujące drzewo możliwości.

qc23465.f2

(Rysunek z pracy jw.)

Można zadać pytanie, jakie powinno być y, aby ucieczka była lepszym wyjściem niż pozostanie w Bostonie i poddanie się inokulacji. Prawdopodobieństwo zgonu osoby uciekającej to 0,097y, należy je porównać z prawdopodobieństwem zgonu po inokulacji, równym 0,014. A zatem, jeśli y< 0,144, to ucieczka jest racjonalna. Trudno jest oczywiście oszacować wartość y, zależy ona np. od tego, czy uciekniemy, zanim jeszcze epidemia się rozwinie, czy w jej późniejszej fazie (choroba ma pewien okres inkubacji, możemy więc wyjeżdżając czuć się dobrze mimo zarażenia). W dodatku uciekając, nadal nie mamy odporności na ospę, a w Bostonie w ciągu osiemnastego wieku większe epidemie wystąpiły w latach 1721, 1730, 1752, 1764, 1776, 1778 oraz 1792. Można się było spodziewać, że za kilkanaście lat choroba znów się pojawi.