Jak Bóg gra w kości: Czemu wzbudzony atom promieniuje? (1927-1930)

Stany elektronu związanego w atomie są w mechanice kwantowej dyskretne, tzn. energia przyjmuje ciąg ściśle określonych wartości. Np. w atomie wodoru jest to ciąg

E=-\dfrac{13,6\;{\rm eV}}{n^2},\;\; \mbox{gdzie}\;\; n=1,2,\ldots.

Konsekwencją tego faktu są linie widmowe: atom wysyła promieniowanie o energii ściśle odpowiadającej różnicy dwóch poziomów energetycznych. Może też pochłaniać promieniowanie o takiej energii. W roku 1916 Albert Einstein, zastanawiając się nad oddziaływaniem światła z materią, odkrył, że mamy tu do czynienia z trzema możliwymi procesami: gdy oświetlimy grupę atomów promieniowaniem o odpowiedniej energii, możemy wywołać przejścia między wyższym i niższym poziomem energetycznym w obie strony, tzw. przejścia wymuszone. Jeśli atom był w stanie podstawowym, może przejść do stanu wzbudzonego i odwrotnie: jeśli początkowo był w stanie wzbudzonym, może przejść do stanu podstawowego. Znaczy to, że jeśli początkowo większość atomów była w stanie o niższej energii (typowa sytuacja), to pod wpływem promieniowania pewna ich część przejdzie do stanu wzbudzonego, a część promieniowania zostanie pochłonięta. Oba procesy: absorpcji i emisji zachodzą z jednakową intensywnością, co Einstein odkrył (jednakowe są współczynniki wymuszonej emisji i absorpcji: B_{1\rightarrow 2}=B_{2\rightarrow 1}.) Czasem mówi się, że w ten sposób pojawiła się teoretyczna możliwość zbudowania lasera. Chodzi o to, że jeśli wytworzymy sytuację, w której większość atomów znajduje się w stanie wzbudzonym, to pod wpływem światła o ustalonej energii atomy zaczną wysyłać jeszcze więcej takiego samego światła. Tak właśnie działa laser, oczywiście wytworzenie i podtrzymanie tej specyficznej sytuacji, gdy stan wzbudzony obsadzony jest liczniej niż stan podstawowy, wymaga dostarczania energii z zewnątrz.

Trzeci proces odkryty przez Einsteina to emisja spontaniczna. Jeśli atom znajduje się w stanie wzbudzonym, to prędzej czy później wyemituje on spontanicznie foton i elektron przejdzie do stanu podstawowego. Spontanicznie, znaczy tu bez żadnego oddziaływania z zewnątrz. Żadnego promieniowania, żadnych pól zewnętrznych itd. itp. W przypadkowo wybranej chwili nasz atom wysyła foton. Dokładnie takie samo zjawisko zachodzi w rozpadzie promieniotwórczym np. radu. Jądro radu jest niestabilne i w przypadkowo wybranej chwili ulega rozpadowi z wysłaniem cząstki alfa, czyli jądra helu. Prawdopodobieństwo, że wybrany atom (jądro) nie ulegnie rozpadowi przez czas t jest równe

p(t)=e^{-\gamma t},

gdzie \gamma jest pewną stałą. Jest to prawo rozpadu promieniotwórczego albo prawdopodobieństwo przeżycia czasu t w rosyjskiej ruletce. Przypadek atomu i jądra różni się tylko rodzajem obiektu i sił oddziaływania, ale fizyka kwantowa jest taka sama. Einstein oznaczał stałą emisji spontanicznej literą A zamiast \gamma. Emisja spontaniczna odpowiada za większość promieniowania obserwowanego wokół nas, np. większość fotonów ze Słońca powstaje w emisji spontanicznej. Zjawisko to odpowiada za fakt, że każdy układ fizyczny z czasem przechodzi do stanu o niższej energii. Tylko stan o najniższej energii jest stabilny.

Einstein w roku 1916 nie zdawał sobie zapewne sprawy, jak niebezpieczny proces zapoczątkował. Szukał bowiem fizyki deterministycznej, w które skutek zawsze jest poprzedzony przyczyną. A tu mamy do czynienia z czymś, co nie ma żadnej określonej przyczyny. Jakby w przypadku wzbudzonego atomu czy jądra natura sama grała bezustannie w rodzaj rosyjskiej ruletki aż do skutku, tzn. aż do chwili gdy nasz układ przejdzie do stanu podstawowego. Co jest przyczyną emisji spontanicznej (rozpadu promieniotwórczego)? Nie ma tu zewnętrznego oddziaływania, tzn. musimy przyjąć, że nawet gdy nie ma zewnętrznych pól, „coś” zostaje: próżnia kwantowa. W roku 1927 Paul Dirac uzyskał teoretyczne wartości współczynników A, B Einsteina, stosując mechanikę kwantową, a właściwie zapoczątkowując kwantową elektrodynamikę.

Atom nigdy nie jest izolowany, istnieje bowiem pole elektromagnetyczne, które może zostać wzbudzone, nawet jeśli z początku nie było. Przyjmiemy, że stan wzbudzony ma energię E=0, a stan podstawowy energię E=-\hbar\omega_0 (istotna jest tylko różnica obu energii, a nie ich wartości z osobna). Znaczy to, że oczekujemy wyemitowania fotonu o częstości (kołowej) \omega_0. Oprócz atomu mamy też pole elektromagnetyczne, możemy je sobie wyobrażać np. jako fale stojące w wielkim pudle (technicznie: wnęce rezonansowej). Jeśli pole elektryczne znika na ściankach wnęki, fale stojące wyglądają następująco: 

tmp_44l2z5nv

Przedstawiliśmy cztery mody o najdłuższych falach i najniższych częstościach. Będą one dane funkcjami sinus: \sin kx, gdzie

kL=m\pi,\;\;\mbox{gdzie}\;\; m=1,2,3,\ldots

Częstości odpowiadające kolejnym wartościom m będą równe \omega_k =ck, gdzie c jest prędkością światła. Ciąg dopuszczalnych częstości jest nieograniczony z góry. Dowolne pole elektryczne w pustym pudle możemy przedstawić jako szereg takich sinusów, jest to matematycznie rzecz biorąc rozwinięcie w szereg Fouriera. Analogiczne rozwinięcie można przeprowadzić w pudle trójwymiarowym, szczegóły nie są nam potrzebne. Skwantowanie pola elektromagnetycznego polega na zastąpieniu zbioru dozwolonych modów fal przez zbiór oscylatorów kwantowych. Energia własna każdego oscylatora jest równa

E_n=\hbar\omega_k n, \;\;\mbox{gdzie}\;\; n=0,1,2,3,\ldots.

Matematyka oscylatorów jest bardzo prosta i omawialiśmy ją już kiedyś. Każdy stan o energii E_n możemy uważać za stan, w którym mamy n fotonów o energii \hbar\omega_k każdy. Przestrzeń stanów oscylatora możemy sobie wyobrażać jako liniowe kombinacje stanów |n\rangle odpowiadających energiom n \hbar\omega_k , czyli stanów różnych liczbach fotonów:

|\psi\rangle={\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}c_n|n\rangle.}

Stan kwantowy pola w pudle podamy określając stan każdego oscylatora-modu z osobna. Stanem o najniższej energii będzie zbiór stanów podstawowych każdego z oscylatorów. Oznacza to w języku kwantowym, że żaden oscylator nie jest wzbudzony albo inaczej: mamy zero fotonów każdego modu. Taki jest stan wyjściowy pola elektromagnetycznego w naszym pudle.

Gdyby pole elektromagnetyczne nie oddziaływało z żadnym elektronem, nie byłoby powodu, aby opuściło ono stan próżni. Podobnie, gdyby atom w stanie wzbudzonym nie oddziaływał z polem elektromagnetycznym, tkwiłby w tym stanie na wieczność. Wiemy jednak, że elektron ma ładunek, a ładunki oddziałują z polem elektromagnetycznym. Oznacza to, że w równaniu Schrödingera musimy uwzględnić dodatkowe wyrazy sprzęgające oba układy: atom i pole. Nie będziemy zajmować się tu konkretną postacią tego oddziaływania, wystarczy nam, by sprzęgało ono oba układy. Najpierw zapiszemy sytuację bez oddziaływania. Stan kwantowy naszego połączonego układu można opisać jako iloczyn stanu atomowego: wzbudzonego |1\rangle (energia E=0) bądź podstawowego |2\rangle (energia E=-\hbar\omega_0) oraz stanu próżni pola elektromagnetycznego |\Phi_0\rangle (energia pola E=0) bądź stanu jednofotonowego |k\rangle (energia pola E=\hbar\omega_k):

|\Psi\rangle=a(t)| 1\rangle | \Phi_0\rangle+{\displaystyle \sum_{k}b_k(t) | 2\rangle | k\rangle},

gdzie stanowi wzbudzonemu towarzyszą próżniowe stany fotonowe, a stanowi podstawowemu – stany  z jednym fotonem o energii \hbar\omega_k. Kwadraty modułu współczynników a, b_k są proporcjonalne do prawdopodobieństwa znalezienia układu odpowiednio w stanie wzbudzonym oraz podstawowym po wypromieniowaniu konkretnego fotonu o wektorze falowym k. Jeśli ograniczymy się tylko do takich stanów (to pierwsze z naszych przybliżeń), równanie Schrödingera sprowadza się do układu równań liniowych:

\dfrac{da}{dt}=-\dfrac{i}{\hbar}{\displaystyle \sum_{k}H_{1k}b_k, }

\dfrac{db_k}{dt}=-i(\omega_k-\omega_0)b_k-\dfrac{i}{\hbar}H_{k1}a.

Bez wyrazów sprzęgających atom z polem elektromagnetycznym, mielibyśmy a(t)=const jako rozwiązanie pierwszego równania, rozwiązanie drugiego miałoby zaś postać

b_k(t)=Ce^{-i(\omega_k-\omega_0)t}.

Oznaczałoby to stan stacjonarny, prawdopodobieństwo nie zmienia się z czasem. Szukamy rozwiązań, dla których a(0)=1 oraz b_k(0)=0. Łatwo jest znaleźć rozwiązanie drugiego równania w takiej sytuacji: ma ono postać pewnej funkcji czasu razy powyższy czynnik eksponencjalny:

b_k(t)=-\dfrac{i}{\hbar} e^{-i(\omega_k-\omega_0)t} {\displaystyle \int_{0}^{t} dt' H_{k1}a(t')e^{i(\omega_k-\omega_0)t'},}

co łatwo sprawdzić różniczkowaniem po t. Wstawiając to rozwiązanie do pierwszego równania otrzymujemy

\dfrac{da}{dt}=-\dfrac{1}{\hbar^2}{\displaystyle \sum_{k}|H_{1k}|^2  \int_{0}^{t} dt' a(t')e^{i(\omega_k-\omega_0)(t'-t)}}.

Skorzystaliśmy z faktu, że H_{1k}=H_{k1}^{\star}. Wyrażenie podcałkowe gwałtownie oscyluje i rozsądnie jest oczekiwać, że największy wkład wniosą wyrazy z t\approx t', wobec tego możemy przyjąć przybliżenie: a(t')=a(t) i wyraz zawierający a(t) wyłączyć przed całkę (przybliżenie Weisskopffa-Wignera, 1930). Zostaje wtedy

\dfrac{da}{dt}=-a(t)\dfrac{1}{\hbar^2}{\displaystyle \sum_{k}|H_{1k}|^2  \int_{0}^{t} dt' e^{i(\omega_k-\omega_0)(t'-t)}}.

Chcielibyśmy mieć

\dfrac{da}{dt}=-\dfrac{\gamma}{2}a,

bo wtedy prawdopodobieństwo przetrwania atomu w stanie wzbudzonym jest równe |a(t)|^2=\exp{(-\gamma t)}. Sumę po dozwolonych wartościach k możemy zapisać za pomocą funkcji gęstości stanów fotonowych. Liczba stanów w przedziale energii dE jest z definicji równa \rho(E)dE=\rho(\hbar\omega)\hbar d\omega. Dostajemy następujące wyrażenie dla stałej \gamma:

\gamma=\dfrac{2}{\hbar} {\displaystyle \int_{0}^{\infty} d\omega \rho(\hbar \omega) |H(\omega)|^2 \;\dfrac{ \sin(\omega-\omega_0)t }{\omega-\omega_0 }}.

Dla dużych wartości t funkcja podcałkowa jest iloczynem potęgowo zmieniającej się funkcji oraz ilorazu z funkcją sinus, który gwałtownie oscyluje. Wkład wnoszą tylko wyrazy \omega\approx \omega_0.

tmp_6gawvumr

Ostatecznie

\gamma=\dfrac{2\pi}{\hbar} |H(\hbar\omega_0)|^2\rho(\hbar\omega_0).

Jest to wynik uzyskany po raz pierwszy przez Diraca, ale zwany zwykle złotą regułą Fermiego. Liczba \pi pojawiła się jako całka 

{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}dx\; \dfrac{\sin x}{x}=\pi.}

Można też obliczyć współczynniki b_k(t) w granicy dużych czasów. Okazuje się, że

|b(\omega)|^2\sim \dfrac{1}{(\omega-\omega_0)^2+\frac{\gamma^2}{4}}.

Daje to tzw. krzywą Lorentza na obrazku. Jest to naturalny kształt linii widmowej emitowanej przez nasz atom. Szerokość rozkładu równa jest \gamma.

tmp_540sr5iv

Wartość \gamma jest odwrotnością średniego czasu życia \tau stanu wzbudzonego:

\gamma=\dfrac{1}{\tau}.

Z obserwacyjnego punktu widzenia stan wzbudzony ma energię rozmytą z szerokością \Delta E= \hbar\gamma. Otrzymujemy zasadę nieoznaczoności dla energii: \Delta E\,\tau=\hbar. W przypadku cząstek elementarnych, które rozpadają się na jakieś inne cząstki będzie to znaczyć, że ich masa nie jest ściśle określona (bo E=mc^2). Ściśle określoną energię może mieć tylko stan podstawowy danego układu.

Kwantowa teoria pola stanowi odpowiedź na pytania stawiane przez Einsteina od roku 1905: Jak zmodyfikować teorię Maxwella, żeby uwzględniała ona efekty kwantowe. Fotony, zjawisko fotoelektryczne, oddziaływanie promieniowania z atomami itd. – wszystkie te kwestie zostały stopniowo rozstrzygnięte w sposób zgodny z obserwacjami. Postęp był tu pełen wahań i pojawiających się trudności natury zarówno fizycznej, jak matematycznej. W naszym przykładzie milcząco przyjęliśmy, że \gamma jest liczbą rzeczywistą, tzn. wzięliśmy część rzeczywistą całki. Jeśli obliczymy jej część urojoną, okaże się ona nieskończona w przypadku emisji w pustym pudle. Fizycznie część urojona współczynnika \gamma oznacza przesunięcie w energii wywołane oddziaływaniem z polem elektromagnetycznym. Takie przesunięcie zostało zaobserwowane w roku 1947 przez Willisa Lamba i zwane przesunięciem Lamba. Jest ono w rzeczywistości niewielkie i dopiero po wojnie udało się je obliczyć teoretycznie. Najpierw zrobił to Hans Bethe, potem inni twórcy elektrodynamiki kwantowej: Julian Schwinger, Sin-Itiro Tomonaga, Richard Feynman i inni. Albert Einstein wyłączył się z rozwijania fizyki kwantowej na początku lat trzydziestych i nie śledził jej kolejnych osiągnięć. Einstein nie zgadzał się z odrzuceniem przyczynowości, właśnie takim jak w emisji spontanicznej. Na jego usprawiedliwienie można dodać, że nie wszyscy fizycy młodszego – „kwantowego” – pokolenia wierzyli w prawdziwość elektrodynamiki kwantowej. Nawet Paul Dirac, który zapoczątkował tę drogę, nie wierzył, by znaleziono zadowalającą odpowiedź. Ostatecznie elektrodynamika kwantowa okazała się najdokładniejszą teorią, jaką stworzono w historii fizyki.

Prawdopodobieństwo wyemitowania fotonu w czasie (t,t+dt) jest równe \exp{(-\gamma t)}\gamma dt (prawdopodobieństwo dotrwania do chwili t razy prawdopodobieństwo rozpadu w przedziale czasu o długości dt, czyli \gamma dt), wobec tego średni czas życia atomu/cząstki jest równy

\tau={\displaystyle \int_{0}^{\infty} t \exp{(-\gamma t)} \gamma dt}=\dfrac{1}{\gamma}.

Reklama

Oppenheimer o Einsteinie (1965 r.)

Robert Oppenheimer dziś znany jest głównie z kierowania Projektem Manhattan, czyli programem budowy pierwszych bomb atomowych. Wcześniej jednak, w latach trzydziestych, stworzył pierwszą amerykańską szkołę fizyki teoretycznej. Był charyzmatycznym wykładowcą, który zarażał entuzjazmem, nawet jeśli studenci nie byli pewni, czy się czegoś nauczyli – wykłady bardziej przypominały misteria niż systematyczne wprowadzanie materiału krok po kroku. Zgromadził wokół siebie grono studentów i doktorantów jeżdżących za nim między Caltechem a Berkeley. Znał świetnie i z pierwszej ręki osiągnięcia kwantowe: między 1925 a 1929 rokiem, a więc wtedy gdy powstawała mechanika kwantowa, pracował i dyskutował z Ralphem Fowlerem i Paulem Dirakiem w Cambridge, spędził jakiś czas w Lejdzie u Paula Ehrenfesta, potem w Getyndze zrobił doktorat u Maksa Borna, współpracował także z Wolfgangiem Paulim, poznał też wszystkich innych wielkich fizyków tego okresu. Gdy wracał do Stanów Zjednoczonych, miał już spory i interesujący dorobek. W latach trzydziestych raczej kierował pracą swoich młodych kolegów. Sam rzadko wykonywał jakieś obliczenia i w dodatku często się przy tym mylił. Miał wszakże nosa do wyszukiwania ważnych problemów, a intuicja pozwalała mu podążać w dobrym kierunku. Jego wadą było nietrzymanie się ziemi i brak zainteresowania systematycznymi rachunkami, lecz jako duchowy przewodnik grona młodych sprawdzał się znakomicie. Szerokie zainteresowania humanistyczne wzbudzały często w kolegach mieszane uczucia, lecz magnetyczna osobowość i neurotyczna wrażliwość przyciągała do niego kobiety. Historia jego związków erotycznych jest długa, powikłana i niezbyt nadaje się na przykład dla młodzieży.

Po wojnie i zakończeniu Projektu Manhattan Oppenheimer stał się sławny wśród szerokiej publiczności, uważano go za głównego autora bomby atomowej. Oczywiście, bomba była dziełem zbiorowym, ale też należy przyznać, że niestabilny emocjonalnie i przed wojną komunizujący fizyk przekształcił się w energicznego patriotę i inteligentnego przywódcę grona ludzi o wybujałych osobowościach, którzy niełatwo poddawali się czyimkolwiek poleceniom. W 1947 r. Oppenheimer został dyrektorem Institute for Advanced Study w Princeton i pełnił tę funkcję niemal dwadzieścia lat, najdłużej w dziejach Instytutu. Po raz pierwszy znalazł się tam jeszcze w 1935 r., donosił wtedy bratu w liście:

Princeton to dom wariatów: jego solipsystyczni luminarze błyszczą, każdy odobno, w nieuleczalnej pustce. Einstein jest zupełnie stuknięty.

Albert Einstein był pierwszą i największą gwiazdą IAS, placówki szczególnej, zatrudniających wyłącznie uczonych bardzo wybitnych, niemających żadnych obowiązków dydaktycznych i mogących za znaczne pieniądze w pełni poświęcić się pracy naukowej. Z początku oprócz Einsteina pracowali tam głównie matematycy. Do dziś zresztą fizyka teoretyczna i matematyka jest tam znakomita. Pracują tam Edward Witten, fizyk matematyczny o najwyższym indeksie Hirscha na świecie (158), Nima Arkani-Hamed czy Juan Maldacena, autor zasady holograficznej (najliczniej cytowana praca z fizyki, ponad 10 000 cytowań w niecałe dwadzieścia lat). Do tego mnóstwo medalistów Fieldsa, z których większość jakoś związana była z IAS w pewnym momencie.

Skąd więc negatywna opinia Oppenheimera? Z jego punktu widzenia – fizyka, dla którego w 1925 r. zaczął się najbardziej ekscytujący okres: stworzenie mechaniki kwantowej, ktoś taki jak Einstein, kto ignorując te najnowsze osiągnięcia, prowadził badania na swój własny sposób, mógł się wydawać dziwakiem. Prace Einsteina z tego okresu nie były zresztą całkowicie chybione, przyczyniły się bowiem do wyjaśnienia pewnych kwestii w ogólnej teorii względności. Sama jednak ta teoria była wówczas niezmiernie daleko od obserwacji i eksperymentów, przetestowano ją jedynie w przypadku dość słabych pól grawitacyjnych, a więc nie były to testy zbyt wymagające. Zastosowania kosmologiczne mogły wydawać się zbyt daleko idącą generalizacją: za pomocą mocno spekulatywnej teorii staramy się opisać wszechświat jako całość.

Chyba dopiero po wojnie Einstein zetknął się bliżej z Oppenheimerem, który starał się zdyskontować sławę starszego uczonego. Oto np. zdjęcie z tygodnika „Life”, gdzie ukazał się ilustrowany reportaż z IAS.

Podpis pod tym zdjęciem głosił: „Einstein opowiada Oppenheimerowi o swych najnowszych próbach objaśnienia materii w kategoriach przestrzeni”. Najprawdopodobniej obaj nie rozmawiali na tematy naukowe, dzieliło ich zbyt wiele. Zresztą Oppenheimer w zasadzie przestał już publikować i poświęcił się działalności administracyjnej oraz politycznej. Co ciekawe, choć Oppenheimer nie był jastrzębiem, jak np. Edward Teller, nie bardzo potrafili z Einsteinem uzgodnić poglądy na to, co należy robić w świecie, w którym wraz z bronią atomową pojawiło się niebezpieczeństwo zniszczenia cywilizacji. Anarchiczny Einstein nie potrafił zrozumieć słabości Oppenheimera do kuluarów waszyngtońskich i jego pragnienia odegrania roli w kształtowaniu polityki bezpieczeństwa. Z kolei Oppenheimer miał mu za złe publiczne wystąpienia, wzbudzające wielką wrzawę medialną. Einstein mógł sobie jednak pozwolić, by robić to, co uważał za słuszne, a nie to, co komuś się spodoba bądź nie spodoba.

W 1965 r. Oppenheimer wziął udział w dość dziwacznym międzynarodowym kolokwium w Paryżu poświęconym dziesięcioleciu śmierci Einsteina i Teilharda de Chardin, dziś już zapomnianego jezuity, filozofującego na temat ewolucji w duchu chrześcijańskim pod bożą opieką. Obu myślicieli nie łączyło nic prócz daty śmierci. Robert Oppenheimer postanowił przy tej okazji zdemitologizować postać Einsteina. Jego wystąpienie stało się znane, ukazało się bowiem w „The New York Review of Books” i odnotowała je prasa na całym świecie. Albert Einstein jawi się w nim jako uczony wyrastający z pewnej tradycji: teorii pola w fizyce i determinizmu w filozofii. I to właśnie owa tradycja stała się źródłem jego naukowej klęski w późniejszych latach.

Spędził te lata najpierw na próbach wykazania, że teoria kwantowa jest niekonsekwentna. Nikt nie potrafiłby obmyślić bardziej pomysłowych, nieoczekiwanych i sprytnych przykładów; okazało się jednak, że nie ma żadnych niekonsekwencji, a rozwiązania często można było znaleźć we wcześniejszych pracach samego Einsteina.

Historię piszą zwycięzcy, mechanika kwantowa okazała się niezwykle skuteczna, więc nie zwracano uwagi na trudności pojęciowe, jakie zawiera. Nurt głębokich wątpliwości odżył w ostatnich latach, nie wszystkie zastrzeżenia Einsteina były chybione. Oppenheimer patrzył jak szeregowy fizyk zaangażowany w bieżące osiągnięcia, Einsteina interesowały kwestie strategiczne: tworzenie teorii i szukanie pojęciowej jedności w naszej wiedzy o świecie.

Chociaż Einstein budził u wszystkich ciepłe uczucia, a nawet miłość za swą determinację w wypełnianiu własnego programu, stracił w dużym stopniu kontakt z profesją fizyka, ponieważ niektóre rzeczy przyszły w jego życiu zbyt późno, by mógł się nimi przejąć.

Znów: jest to część prawdy, lecz wypowiedziana w sposób cokolwiek arogancki jak na kogoś, kto od piętnastu lat sam nic nie opublikował. Einstein pracował do końca życia naukowo, nie zamienił się w działacza społecznego czy politycznego. Czy jego prace były świadectwem utraty kontaktu z profesją fizyka? Z pewnością nie były to prace nadzwyczajne czy przełomowe. Einstein przez jakieś dwadzieścia lat publikował prace wielkie. To bardzo długo, niektórzy wybitni uczeni są twórcami kilku ważnych prac. Żaden z twórców mechaniki kwantowej: ani Heisenberg, ani Schrödinger, ani nawet Dirac nie wpływali tak długo na rozwój fizyki. Zazwyczaj dziesięć twórczych lat to skala uczonego genialnego. Późne prace Einsteina nie miały wpływu na naukę, ale tak jest z ogromną większością prac – niech nas nie zwiodą ogromne liczby publikacji w dzisiejszym świecie, naprawdę ważnych prac ukazuje się niezbyt wiele, nawet w najlepszych czasopismach. Najlepszą pracą Oppenheimera okazała się paradoksalnie jego analiza (ze Snyderem) kolapsu grawitacyjnego gwiazdy z punktu widzenia ogólnej teorii względności. Sam chyba nie wierzył w jej prawdziwość. Można by więc orzec, że Oppenheimer stracił kontakt z profesją fizyka już po 1939 roku, a ostatnie ćwierć wieku był jedynie organizatorem i mówcą na konferencjach niewiążących się ściśle z fizyką.

Chyba tylko kompleksami uzasadnić można inne stwierdzenie Oppenheimera, że wczesne prace Einsteina były „olśniewająco piękne, ale z licznymi błędami”.

Po tym, co usłyszeliście, nie muszę dodawać jak błyskotliwa była jego inteligencja. Był niemal całkiem pozbawiony wyrafinowania i wyzbyty światowości. Myślę, że w Anglii określono by to jako brak wychowania, a w Ameryce jako brak edukacji.

Oppenheimer pochodził z rodziny bogatych Żydów nowojorskich, Einstein z żydowskiej drobnej burżuazji niemieckiej. Oczywiście, Einstein nie był jakimś prostaczkiem obdarzonym geniuszem naukowym. Jednak studiowanie Bhadgavadgity czy poezji T.S. Eliota niekoniecznie oznacza intelektualną rafinadę. Zdaniem Oppenheimera Einstein był dwudziestowiecznym Eklezjastesem, który z nieustępliwą i nieposkromioną radością powtarza: „Marność nad marnościami i wszystko marność”. Niewykluczone, że Oppenheimer nie potrafił uwolnić się od myśli o przemijalności własnych osiągnięć. Dowiedział się w tym czasie, że jest chory na raka krtani. Z pewnością jednak nie potrafił się zdobyć na spokojny obiektywizm, który był jedną z piękniejszych cech osobowości Einsteina.

Gauss, lemniskata i wyjątkowy algorytm (30 V 1799)

Pisałem o tym, jak metodą Archimedesa obliczano liczbę \pi. Można tę starożytną metodę sformułować jako algorytm niezależny od geometrii. Bierzemy dwie dodatnie liczby rzeczywiste a_0,b_0 (niech b_0<a_0). Potem rekurencyjnie obliczamy kolejne wartości ciągów

\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a_n}+\dfrac{1}{b_n}\right), \; b_{n+1}=\sqrt{a_{n+1}b_{n}}.

Kolejne wyrazy są tu średnimi harmonicznymi i średnimi geometrycznymi poprzednich wyrazów. Średnia harmoniczna dwóch liczb to np. średnia prędkość na pewnej drodze, gdy połowę drogi jedziemy z pierwszą prędością, a drugą połowę z drugą prędkością. Można pokazać bez trudu (*), że ciąg a_n jest malejący, a ciąg b_n rosnący. Ponieważ oba są ograniczone, muszą być zbieżne, i to do wspólnej granicy równej

a_{\infty}=b_{\infty}=\dfrac{a_0 b_0}{\sqrt{a_0^2-b_0^2}}\arccos \dfrac{b_0}{a_0}.

Wynik ten znał nauczyciel Carla Friedricha Gaussa Johann Friedrich Pfaff, uważany za najwybitniejszego niemieckiego matematyka epoki przed Gaussem.

Biorąc a_0=2\sqrt{3} oraz b_0=3, otrzymujemy w granicy liczbę \pi.

Gdy b_0>a_0, należy zamienić kolejność pod pierwiastkiem oraz arcus cosinus zamienić na arcosh. W roku 1880 odkrył ponownie ten algorytm Carl Wilhelm Borchardt, znany najbardziej jako redaktor „Journal für die reine und angewandte Mathematik”, zwanego też Żurnalem Crelle’a od nazwiska pierwszego redaktora. Dlatego w literaturze nazywa się go algorytmem Borchardta albo Archimedesa-Borchardta.

Młody Gauss od dziecka zapowiadał się na wyjątkowy talent matematyczny i w tym przypadku cudowne dziecko wyrosło na czołowego matematyka Europy. Podobnie jak Euler należał on do matematyków, którzy lubią i potrafią sprawnie wykonywać rozmaite rachunki numeryczne. 

Zainteresował się on następującym algorytmem:

a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2},\;b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n},

gdzie a_0>b_0>0. Zauważmy, że jest to „kuzyn” algorytmu Archimedesa: średnie harmoniczne zostały zastąpione tu średnimi arytmetycznymi. Łatwo wykazać, że oba ciągi dążą do wspólnej granicy, którą oznaczymy M(a_0,b_0) i będziemy nazywać średnią arytmetyczno-geometryczną obu wyjściowych liczb. Oto przykładowe rachunki Gaussa, a_0=\sqrt{2}, b_0=1. Widać, że zbieżność jest niezwykle szybka (dokładność danych w tabeli odpowiada rachunkom Gaussa, który oczywiście musiał przeprowadzać je ręcznie z całym mozołem, ale też chyba i radością.  

tabella

Mamy więc znakomity algorytm, ale nie wiemy, co jest jego granicą. Gauss potrafił udowodnić, że granica jest w tym przypadku związana z długością lemniskaty Bernoulliego, eleganckiej krzywej, przez którą bracia Jakob i Johann Bernoulli skłócili się śmiertelnie w 1694 roku (poszło o kwestie pierwszeństwa – nie tylko w tamtej epoce traktowane niezwykle ambicjonalnie, choć dziś trochę więcej wiemy o nieuniknionej równoległości pewnych odkryć i rozumowań). Oto lemniskata.

tmp_tr67pffh

Jest to miejsce geometryczne punków, których iloczyn odległości od dwóch ognisk jest stały (przy warunku, że środek odcinka łączącego ogniska leży na krzywej, w przeciwnym razie otrzymamy owal Cassiniego). Równanie biegunowe lemniskaty ma postać r^2=\cos2\theta (to lemniskata jednostkowa, wszelkie inne są do niej geometrycznie podobne). Możemy za jego pomocą wyrazić element łuku krzywej jako

ds^2=dr^2+r^2d\theta^2=\dfrac{dr^2}{1-r^4}.

Zatem długość całkowita lemniskaty jest równa

{\displaystyle 2\,\widetilde{\omega}\equiv 4\int_{0}^{1}\dfrac{dt}{\sqrt{1-t^4}}}.

Gauss najpierw zauważył, porównując liczby, a następnie udowodnił, że 

\widetilde{\omega}=\dfrac{\pi}{M(\sqrt{2},1)}.

Wielkość ta przypomina liczbę \pi: też jest stosunkiem długości krzywej do jej „promienia”. Jak wskazuje to postać całki dającej długość łuku lemniskaty, mamy tu do czynienia z pierwiastkiem z wielomianu czwartego stopnia. Wiadomo, że całki pierwiastków z wielomianu drugiego stopnia dają się wyrazić przez funkcje elementarne. W przypadku wielomianów stopnia trzeciego i czwartego otrzymujemy tzw. całki eliptyczne: jest to nazwa wspólna, wywiedziona z zagadnienia obliczania długości łuku elipsy. Tak się składa, że całki dające długość łuku elipsy są całkami eliptycznymi drugiego rodzaju. Całkę pierwszego rodzaju spotkaliśmy w zagadnieniu wahadła matematycznego. Możemy także za Gaussem dowieść, że całkę eliptyczną zupełną pierwszego rodzaju K(k) można wyrazić przez średnią arytmetyczno-geometryczną.

{ \displaystyle K(k)\equiv \int_0^{ \frac{\pi}{2} } \dfrac{d\varphi}{ \sqrt{1-k^2\sin^2\varphi} } ,\; \mbox{gdzie } 0\le k<1.}

Mamy równość

\dfrac{1}{M(1,k')}=\dfrac{2}{\pi}K(k),\,\mbox{gdzie } k'=\sqrt{1-k^2}.

Można ją wyrazić:

{\mathcal AGM}(1,\sqrt{1-k^2})={\mathcal AGM}(1/min,1/max)=\left\langle \dfrac{1}{ \sqrt{1-k^2\sin^2\varphi} } \right\rangle,

gdzie min, max oznaczają najmniejszą i największą wartość funkcji podcałkowej na przedziale [0,\frac{\pi}{2}], a nawiasy kątowe oznaczają uśrednienie funkcji po przedziale całkowania. Twierdzenie to zapewnia szybki algorytm do obliczania całek eliptycznych, w istocie tak szybki, że można go stosować także do innych celów: obliczania liczby \pi albo funkcji w rodzaju \ln x, jeśli powiąże się je odpowiednio z całkami eliptycznymi.

Jeden z takich algorytmów, podany przez Eugene’a Salamina, korzysta z trzech ciągów a_n, b_n zdefiniowane jak wyżej oraz s_{n+1}=s_n-2^n(a_n-a_{n+1})^2; przy s_0=\frac14; \, a_0=1;\; b_0=1/\sqrt{2}. Otrzymuje się wówczas nierówność, którą spełnia \pi:

\dfrac{a_n^2}{s_n}>\pi>\dfrac{a_{n+1}^2}{s_n}.

Daje to w kolejnych iteracjach:

0 : 2.914213562373095048801689 < π < 4.000000000000000000000000
1 : 3.140579250522168248311331 < π < 3.187672642712108627201930
2 : 3.141592646213542282149344 < π < 3.141680293297653293918070
3 : 3.141592653589793238279513 < π < 3.141592653895446496002915
4 : 3.141592653589793238462643 < π < 3.141592653589793238466361

Dla porównania oryginalny algorytm Archimedesa:

0 : 3.0000000 < π < 3.4641017
1 : 3.1058285 < π < 3.2153904
2 : 3.1326286 < π < 3.1596600
3 : 3.1393502 < π < 3.1460863
4 : 3.1410319 < π < 3.1427146

Widzimy, jak bardzo średnie arytmetyczno-geometryczne przyspieszają zbieżność, przy czym algorytm Salamina pochodzi z roku 1976 i od tamtej pory przedstawiono znacznie szybsze.

Na koniec pokażemy, czemu całka eliptyczna pierwszego rodzaju daje się obliczać w sposób odkryty przez Gaussa (dla ścisłości historycznej należy dodać, że nie tylko Gauss odkrył takie podejście, trochę wcześniej był Joseph Lagrange, choć zdaje się tylko Gauss zrozumiał dobrze od razu aspekt numeryczny sprawy).

Oznaczmy I(a,b) (0<b<a) następującą całkę:

{\displaystyle I(a,b)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{d\varphi}{\sqrt{a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi}}=\dfrac{1}{a}K(k'),\, k=\dfrac{b}{a}. }

Pokażemy, że I(a,b) nie zmienia się, kiedy przechodzimy do kolejnych kroków rekurencyjnych:

I(a,b)=I(\dfrac{a+b}{2},\sqrt{ab}) \;\; \mbox{(**)}.

 A skoro tak jest (szczegóły niżej), to kolejne wartości I(a_n,b_n) są takie same i przechodząc do granicy otrzymamy

{\displaystyle I(a,b)=I(M(a,b),M(a,b))=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{d\varphi}{M(a,b)\sqrt{\cos^2\varphi+\sin^2\varphi}}=\dfrac{\pi}{2 M(a,b)}}.

Jako przykład pokażemy, jak procedura tego rodzaju pozwala obliczać okres wahadła matematycznego „niemal stającego na głowie” dla amplitud bliskich 180^{\circ}. Np. dla amplitudy 179^{\circ} otrzymamy k'=\sin 89,5^{\circ}=0,008726535498374. Obliczamy średnią M(k',1):

a_n                       b_n

0,008726535498374 1,00000000000000
0,504363267749187 0,093415927434105
0,298889597591646 0,217061195105173
0,257975396348409 0,254710292798989
0,256342844573699 0,256337645964924
0,256340245269312 0,256340245256133

Okres wahadła wydłuża się przy tak dużym wychyleniu 1/0,256340245256133=3,90106516038909 razy. Euler w pracy E503, na którą powoływaliśmy się w poprzednim poście, także pokazuje rachunki dla takiego wychylenia, jednak jego wynik jest błędny.  

(*) Nasze liczby wyjściowe a_0,\,b_0 można zapisać jako

b_0=\lambda\sin\theta,\;a_0=\lambda \,\mbox{tg }\theta

dla pewnych wartości \lambda i \theta. Pierwszy związek rekurencyjny daje nam

\dfrac{1}{a_1}=\dfrac{1}{2\lambda}\left( \mbox{ctg }\theta+\dfrac{1}{\sin\theta}\right)=\dfrac{1}{2\lambda \,\mbox{tg }\frac{\theta}{2}}\Rightarrow a_1=2\lambda\,\mbox{tg}\,\dfrac{\theta}{2} .

Drugi związek rekurencyjny przyjmuje postać

b_1=\sqrt{a_1 b_0}=\sqrt{2\lambda \,\mbox{tg}\,\dfrac{\theta}{2}\cdot\lambda 2\sin\dfrac{\theta}{2}\cos\dfrac{\theta}{2}}=2\lambda\sin\dfrac{\theta}{2}.

Widać, że wzór ogólny będzie

a_n=2^{n}\lambda \,\mbox{tg}\,\dfrac{\theta}{2^{n}},\; b_n=2^{n}\lambda \sin\dfrac{\theta}{2^{n}}.

Oba ciągi zbieżne są do granicy \lambda\theta. Związek z geometrią wielokątów wpisanych i opisanych na okręgu przedstawia rysunek. Zaczynając od sześciokąta, otrzymamy wartości początkowe przytoczone w tekście.

borchardt

Wykażemy tożsamość (**). Topornym sposobem jej udowodnienia jest odpowiednia zamiana zmiennych pod całką. Wadą tego podejścia jest to, że podstawienie pojawia się jako deus ex machina i nam zostaje tylko sprawdzenie rachunków. Można też tożsamość przekształcić do postaci bardziej przydatnej w naszym przypadku

K(\dfrac{2\sqrt{k}}{1+k})=(1+k)K(k).

Funkcja podcałkowa po obu stronach jest odwrotnością pierwiastka, będziemy więc korzystać z rozwinięcia dwumianowego

{\displaystyle (1+t)^{-\frac12}=\sum_{m=0}^{\infty} {-\frac{1}{2}\choose m} t^{m},\;\mbox{gdzie}\; {\alpha\choose m}\equiv\dfrac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-m+1)}{m!}.}

Dla m=0 przyjmujemy z definicji {\alpha\choose 0}=1

Rozwinięcie K(k) ma postać

{\displaystyle K(k)=\sum_{m=0}^{\infty} {-\frac{1}{2}\choose m} (-1)^m k^{2m} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m}\varphi d\varphi.}

Całka, która się tu pojawia, może być zapisana w postaci

{\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2m}\varphi d\varphi=\dfrac{\pi}{2}{-\frac12\choose m}(-1)^{m}.} 

Mamy więc dla K(k) rozwinięcie

{\displaystyle K(k)=\dfrac{\pi}{2}\sum_{m=0}^{\infty}{-\frac12\choose m}^2 k^{2m}. }

Funkcję podpierwiastkową po lewej stronie tożsamości możemy zapisać przy użyciu tożsamości 2\sin^2\varphi=1-\cos2\varphi jako

\dfrac{1+k^2+2k\cos2\varphi}{(1+k)^2}=\dfrac{(1+ke^{i2\varphi})(1+ke^{-i2\varphi})}{(1+k)^2}.

Otrzymujemy wówczas

{\displaystyle 2K\left(\dfrac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)=(1+k)\int_0^{\pi}(1+ke^{i2\varphi})^{-\frac12}(1+ke^{-i2\varphi})^{-\frac12}d\varphi = }

Dwójce przed K(\frac{2\sqrt{k}}{1+k}) odpowiada podwojenie przedziału całkowania: [0,\pi]. Rozwijamy oba pierwiastki w szereg:

{\displaystyle =(1+k)\sum_{m,m'=0}^{\infty}{-\frac12\choose m}{-\frac12\choose m'}k^mk^{m'}\int_0^{\pi}e^{i 2(m-m')\varphi}d\varphi=. }

Tylko wyrazy diagonalne m=m' przeżywają całkowanie, zostaje nam

{\displaystyle 2\dfrac{\pi}{2}(1+k)\sum_{m=0}^{\infty}{-\frac12\choose m}^2 k^{2m}=2(1+k)K(k). }

Całkę z sinusa w potędze łatwo znaleźć zauważając, że

\sin\varphi=\dfrac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i},

a także rozszerzając przedział całkowania do [0,2\pi]. W rozwinięciu dwumianowym \sin^{2m}\varphi całkowanie przeżywają tylko wyrazy, w których wykładniki są przeciwne, stąd przytoczony wyżej wzór. Korzystałem ze sformułowania Petera Durena w świetnej książce Invitation to Classical Analysis.

 

Leonhard Euler: wahadło (1777)

Pisałem o początkach kariery Leonharda Eulera. Później przez całe długie życie, dzień po dniu niestrudzenie prowadził obliczenia, tworząc setki prac, jakby na potwierdzenie kalwińskiej doktryny predestynacji: to Stwórca wybiera, a jego wybrani właściwie nawet nie odczuwają rozterek, jak postępować, bo muszą czynić dobrze. W naszych sceptycznych oczach był człowiekiem ambitnym, który wciąż musiał rozwiązywać zagadki i mało kto potrafił mu w tym dorównać. Czasem d’Alembert i Clairaut we Francji potrafili z nim konkurować. Pomysłowość metod łączył Euler z nadzwyczajną sumiennością w rachunkach. Spis prac Eulera liczy ponad 800 pozycji. Pisał, później raczej dyktował, ponieważ niemal całkiem stracił wzrok, co nie tylko nie zahamowało tempa jego pracy, lecz nawet je przyspieszyło, gdyż mniej spraw go rozpraszało, a rachunki i tak robił w pamięci. My zajmiemy się pracą E503, poświęconą ruchowi wahadła o dużej amplitudzie (wydrukowaną w roku 1780). Pojawia się w niej całka eliptyczna pierwszego rodzaju. To niejako zapowiedź wielkiego tematu matematyki w XIX wieku, a mianowicie funkcji eliptycznych, rozwijanych później przez Legendre’a, Abela, Jacobiego, Weierstrassa i Riemanna.

Pokażemy, jak okres oscylacji wahadła zależy od amplitudy. I pokażemy, jak zrobić o jeden krok dalej niż Euler, bo nauka to jedyny może obszar ludzkiej działalności, gdzie postęp jest rzeczywisty, co oznacza, że niemal każdy później urodzony może sięgać dalej niż dawni mistrzowie.

W czasach Eulera zegary wahadłowe wciąż były najdokładnieszym przyrządem do mierzenia czasu, teoria wahadła miała więc pewne znaczenie praktyczne. Euler zajmował się także wcześniej ruchami brył sztywnych, potrafił więc wykazać, że wahadłem może być jakakolwiek bryła o dowolnym kształcie. Jej ruch zawsze jest taki sam jak wahadła matematycznego o pewnej długości. Dlatego wystarczy rozważać wahadło matematyczne. Możemy sobie wyobrażać takie wahadło jako czerwony koralik o masie m=1 ślizgający się bez tarcia po okręgu o promieniu L. II zasada dynamiki daje wtedy

\ddot{\varphi}=-\dfrac{g}{L}\sin\varphi,

kropki oznaczają różniczkowanie po czasie. Możemy też zacząć nie od II zasady dynamiki, lecz od zasady zachowania energii (technicznie biorąc mamy wtedy o jedną całkę mniej). Ponieważ prędkość koralika to \dot{\varphi}L (\dot{\varphi} jest prędkością kątową), otrzymujemy równanie

\dfrac{L^2\dot{\varphi}^2}{2}+gL(1-\cos\varphi)=gL(1-\cos\varphi_m),

gdzie g jest przyspieszeniem ziemskim, a \varphi_m – kątem maksymalnego wychylenia. Nie rozpatrujemy przypadku energii na tyle dużej, by nasz koralik obiegał okrąg, nie jest to przypadek szczególnie interesujący. Możliwe ruchy wahadła przedstawia portret fazowy, wykres rozmaitych ruchów we współrzędnych (\varphi,\dot{varphi}).

Energia potencjalna ma kształt sinusoidy. Dla niewielkich energii ruch jest oscylacyjny w przedziale [-\vartheta,\vartheta], dla dużych energii prędkość kątowa \dot{\varphi} nie zmienia znaku. Jest wreszcie energia graniczna pozwalająca dotrzeć koralikowi do punktu \varphi=\pi, tym przypadkiem zajmiemy się osobno, bo jest ciekawy. Zasadę zachowania energii możemy przekształcić do postaci

\dot{\varphi}^2+4\omega^2\sin^2{\dfrac{\varphi}{2}}=4\omega^2\sin^2{\dfrac{\varphi_m}{2}},

wprowadziliśmy tu oznaczenie \omega=\sqrt{g/L} – jest to zwykła częstość kołowa wahadła przy małych wychyleniach. Możemy to sprawdzić. Przy małych wychyleniach \varphi\approx\sin\varphi. Mamy więc

\dot{\varphi}^2=\omega^2(\varphi_m^2-\varphi^2), \mbox{(*)}

i przekształcając

{\displaystyle  \int\dfrac{d\varphi}{\sqrt{\varphi_m^2-\varphi^2}}=\omega t+C \;\; \Rightarrow \arcsin{\dfrac{\varphi}{\varphi_m}}=\omega t+C,}

otrzymujemy zatem znane rozwiązanie oscylacyjne \varphi=\varphi_m\sin (\omega t+C).

Ruch przy małych wychyleniach ma własność izochronizmu, którą zaobserwował według legendy młody Galileusz w katedrze w Pizie, gdy zamiast skupiać się na przesłaniu duchowym, obserwował kołyszący się kandelabr. Amplituda wahań malała z czasem, ale okres się nie zmieniał. Widzimy, że wniosek ten jest słuszny, póki wychylenia są niewielkie. Gdybyśmy chcieli zbudować wahadło ściśle izochroniczne, zamiast łuku okręgu należy wziąć łuk cykloidy, co odkrył Christiaan Huygens.

W dalszym ciągu przyjmiemy \omega=1, czyli okresem wahadła przy małych wychyleniach bedzie okres sinusa, jaki przyjmują matematycy, tzn. 2\pi. Przy dużych wychyleniach okres będzie większy. Wygląda to następująco.

Można uzyskać takie krzywe numerycznie (por. Dziewiąty wykład Feynmana: Co mówi druga zasada dynamiki?), można je także wyrazić przez funkcje eliptyczne, znane każdemu programowi matematycznemu, jak darmowy SageMath albo kosztowna i ciężka Mathematica). Euler nie znał takich krzywych, choć musiał zdawać sobie sprawę z ich jakościowego przebiegu.

Wracając do równania (*), wprowadzamy podstawienie Eulera: k\sin\psi=\sin\varphi/2, gdzie k=\sin\varphi_m/2. Ma ono taką zaletę, że \psi może rosnąć monotonicznie, podczas gdy \varphi oscyluje. Równanie przyjmuje postać:

\left(\dfrac{d\psi}{dt}\right)^2=1-k^2\sin^2\psi.

Okres ruchu wahadła jest cztery razy większy niż czas potrzebny na zmianę \psi od 0 do do \pi/2:

{\displaystyle T=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{d \psi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\psi}}\equiv 4 K(k)}.

Wprowadziliśmy standardowe oznaczenie: K(k) nazywa się całką eliptyczną zupełną pierwszego rodzaju. Euler zastosował do jej obliczenia rozwinięcie funkcji podcałkowej w szereg dwumianowy. Otrzymuje się wówczas rozwinięcie

{\displaystyle K(k)=\dfrac{\pi}{2}\sum_{m=0}^{\infty}\left[\dfrac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\right]^2 k^{2m}. }

Podwójna silnia to iloczyn kolejnych liczb parzystych bądź nieparzystych aż do największej. Zapis jest współczesny. Po drodze potrzebna jest całka \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2m}\psi d\psi, którą Euler oczywiście znał. Szereg ten jest zbieżny dla k<1, choć jego praktyczna przydatność ogranicza się do niezbyt wielkich amplitud. Okres wahadła jest więc w przybliżeniu równy

T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\left(1+\dfrac{1}{4}\sin^2{\dfrac{\vartheta}{2}}+\dfrac{9 }{64}\sin^4 {\dfrac{\vartheta}{2}}+\ldots\right).

Na wykresie mamy stosunek okresu wahadła przy danej amplitudzie do okresu dla niewielkich amplitud. Widzimy, skąd się wziął obserwowany izochronizm: trzeba mocno wychylić wahadło, żeby dostrzec wydłużenie okresu. Jednak przy amplitudach bliskich \pi=180^{\circ} wydłużenie staje się duże, całka K(k)\rightarrow \infty.

Zajmiemy się teraz przypadkiem, gdy amplituda \varphi_m=\pi-\alpha_m, gdzie \alpha_m\ll 1. Korzystamy tu z poglądowego podejścia z pracy E. Butikova, Oscillations of a simple pendulum with extremely large amplitudes. Asymptotyczna postać całki eliptycznej przy wartościach k bliskich 1 jest dobrze znana (por. np. F. Bowman, Introduction to elliptic functions with applications), ale podejście Butikova pozwala nam lepiej zrozumieć ruch przy dużych amplitudach.

Najpierw zajmijmy się ruchem wahadła dla przypadku \varphi_m=\pi. Mamy wtedy

\dot{\varphi}=\cos\dfrac{\phi}{2}.

Rozwiązanie, w którym \varphi(0)=0, jest postaci

\varphi=\pi-4\;\mbox{arctg }(e^{-\omega t}).

Na wykresie kąty wyrażone są w stopniach. Widzimy, że położenie \varphi=\pi=190^{\circ} koralik osiąga po nieskończenie długim ruchu. Większość tego ruchu odbywa się w okolicach t=0, gdzie wykres stromo się wznosi. Jednak takie przybliżenie nie wystarczy do tego, aby znaleźć skończony okres odpowiadający \alpha_m\ne 0. Możemy zastosować je aż do pewnego kąta 1 \gg\alpha_c>0 i drugi odcinek ruchu od \alpha_c do maksymalnego wychylenia \alpha_m obliczyć w przybliżeniu małych kątów. Najłatwiej o tym myśleć jako o czasie potrzebnym do tego, by koralik znajdujący się początkowo w punkcie \alpha_m ześliznął się do punktu \alpha_c. Przyjmujemy, że oba te punkty leżą blisko najwyższego punktu okręgu. II zasada dynamiki przybiera postać (kąt \alpha liczony jest od szczytu okręgu)

\ddot{\alpha}=\omega^2 \sin \alpha\approx \omega^2\alpha \;\Rightarrow \alpha=\alpha_m \cosh \omega t.

Stąd znajdujemy czas t_1 potrzebny na osiągnięcie punktu \alpha_c:

\omega t_1=\ln \dfrac{2\alpha_c}{\alpha_m}.

Korzystając z poprzedniego rozwiązania, znajdujemy czas t_2 potrzebny na dotarcie od \varphi=0 do \varphi=\pi-\alpha_c:

\omega t_2=\ln\dfrac{4}{\alpha_c}.

Ćwierć okresu wahadła to t_1+t_2, otrzymujemy więc

T=\dfrac{2}{\pi}T_0 \ln\dfrac{8}{\alpha_m},

gdzie T_0 jest okresem przy niewielkich wychyleniach. Z równań wypadło pośrednie położenie \alpha_c. Okres wahadła jest więc logarytmicznie rozbieżny gdy \alpha_m\rightarrow 0.

I tutaj Euler zawiódł. Wiedział, że graniczne rozwiązanie ma postać, której użyliśmy powyżej. Próbował obliczyć czas, pisząc równanie

{\displaystyle \int\dfrac{d\alpha}{2 \sqrt{ \sin^2\dfrac{\alpha}{2}-\sin^2\dfrac{\alpha_m}{2}}}=\omega t+C}

i rozwijając je w szereg, a następnie sumując ten szereg. Niestety, jego wyrażenie asymptotyczne okazało się błędne. W czasach Eulera nie przywiązywano nadmiernej wagi do zbieżności szeregów, prawdopodobnie w tym tkwi problem. Bo rachunki wydają się prawidłowe.

Obwód świata w Samarkandzie: Al-Kashī i liczba pi (1424)  

W pierwszej połowie XV wieku położona na Jedwabnym Szlaku Samarkanda (dziś Uzbekistan) przeżywała swój okres świetności dzięki Uług Begowi, władcy wielce oświeconemu, miłośnikowi poezji, i co rzadsze: matematyki i astronomii. Pod jego patronatem stworzono szkołę, medresę, w której nauczali wybitni mędrcy, a także obserwatorium z największym na świecie kwadrantem.

Registan_square_Samarkand

512px-Ulugh_Beg's_Astronomic_Observatory

Najtrwalszym rezultatem tego złotego wieku okazały się tablice astronomiczne wraz z katalogiem gwiazd pierwszym po Ptolemeuszu. Najważniejszym matematykiem ośrodka w Samarkandzie był wywodzący się z perskiego miasta Kaszan, Dżiiad ad-Din Dżamszid Al-Kaszi (w transkrypcji angielskiej: Ghiyāth al-Dīn Jamshīd Al-Kāshī), którego będziemy krótko nazywać Al-Kaszi – co znaczy wywodzący się z Kaszan, podobnie jak da Vinci znaczy pochodzący z Vinci. W kwiecistym orientalnym stylu nazywano go „drugim Ptolemeuszem”, „perłą chwały swego wieku”, „królem inżynierów” i „rachmistrzem”. Porównanie z Ptolemeuszem lepiej by pasowało do astronomów z Maragi, ale w dziedzinie matematyki praktycznej, obliczeniowej, był Al-Kaszi mistrzem niewątpliwym. Używał do obliczeń systemu sześćdziesiętnego, jak to było w zwyczaju wśród astronomów, ale także poświęcił wiele uwagi systemowi dzisiętnemu, do którego, jak wiemy, należała przyszłość. W 1424 r. Al-Kaszi obliczył z wielką dokładnością liczbę \pi, potem obliczył także z dużą dokładnością wartość \sin 1^{\circ}. W znacznym stopniu pozostajemy tu w kręgu tradycji Archimedesa i Ptolemeusza, co pokazuje, jak rewolucyjne były w swim czasie te greckie osiągnięcia. W Europie dopiero pod koniec XV wieku trygonometria osiągnęła zbliżony do Samarkandy poziom, a liczbę \pi wyznaczono z podobną dokładnością znacznie później. Kilkanaście wieków po uczonych greckich osiągnięto wprawdzie spore postępy praktyczne, ale wciąż obracano się w kręgu idei tamtych uczonych znad Morza Śródziemnego. Dopiero rozwój algebry pod koniec XVI wieku i analizy matematycznej od połowy wieku XVII dostarczył zupełnie nowych pomysłów, dzięki którym matematyka i fizyka zaczęły się na nowo. Ośrodek w Samarkandzie nie przetrwał długo, Uług Beg został zabity w nieustających walkach o władzę, jakie toczono na obszarach Azji środkowej. Część dorobku tamtejszych uczonych „powróciła” przez Turcję i Wenecję do Europy.  

Metoda obliczania liczby \pi podana została przez Archimedesa. tmp_03uqumjo

Zacznijmy od sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg. Wiemy, że długość jego boku równa jest promieniowi okręgu, który będziemy przyjmować za jednostkę długości. Obwód sześciokąta równy jest więc 6 i mamy biblijne przybliżenie \pi\approx 3. Nie jest ono zbyt dokładne. Archimedes pokazał, jak można je poprawić, podwajając liczbę boków wielokąta. Jeśli obliczyć długość boku takiego wielokąta, otrzymamy następne przybliżenie dla długości okręgu. Są to przybliżenia od dołu, ponieważ obwód wielokątów wpisanych jest mniejszy od długości okręgu. Chcąc uzyskać przybliżenie liczby \pi z góry, należy wziąć wielokąty foremne opisane na okręgu. Są one podobne do wielokątów wpisanych i bez trudu można znaleźć długość ich boku, a więc i przybliżenie \pi z góry. Archimedes użył 96-kąta i otrzymał oszacowanie 3\frac{10}{71}<\pi<3\frac{1}{7}. Al-Kaszi użył w zasadzie tej samej metody. Pragnął osiągnąć taką dokładność, aby można było wyznaczyć obwód świata z dokładnością mniejszą niż grubość końskiego włosa. Jego obliczenie wyglądało następująco. Przyjmijmy z nadmiarem, że promień świata równy jest 600 000 promieni Ziemi (al-Szirazi obliczał go na zaledwie 70 076,5 promieni Ziemi – skutek zadawnionego błędu Arystarcha). Obwód Ziemi to 8000 parasangów, z których każdy ma 12 000 łokci po 24 cale, a cal to 6 średnich ziaren jęczmienia, każde zaś z nich to 6 grubości włosa końskiego (z grzywy). Obwód świata równa się więc 0,5\cdot 10^{16} grubości końskiego włosa, co jest odwrotnością względnej dokładności, jakiej potrzebujemy.

podwajanie1

Rysując boki dwóch kolejnych wielokątów a_1,\,a_2 wpisane w półokrąg, usupełniamy je do trójkątów prostokątnych. Długości przyprostokątnych to c-1\, c_2. Obowiązuje twierdzenie Pitagorasa: a_1^2+c_1^2=a_2^2+c_2^2=4. Podwajanie liczby kątów wielokąta oznacza przepołowienie kąta środkowego, na którym oparty jest bok wielokąta.

podwajanie2

podwojenie3

Mamy więc c_2=\sqrt{2+c_1} i ogólnie dla podwojenia 6\cdot 2^n kąta:

c_{n+1}=\sqrt{2+c_n};\;\; c_1=\sqrt{3}.

Wystarczy więc kolejno wyciągać pierwiastki kwadratowe i dodawać:

c_n=\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+\sqrt{3}} } }

a_n=\sqrt{2-\sqrt{2+\ldots+{2+\sqrt{3}} } }.

Al-Kaszi doszedł w ten sposób do 805306368-kąta foremnego. Liczba \pi jest równa w tym przybliżeniu 3,14159265358979323. Metoda Archimedesa nie jest szczególnie efektywna, dopiero rozwinięcia w szereg od XVIII wieku dostarczyły skutecznych przybliżeń. Oczywiście dla celów praktycznych niemal zawsze wystarczy dokładność Al-Kasziego, późniejsze długie rozwinięcia liczby \pi służyły raczej zbadaniu „anatomii” samej liczby albo testowaniu programów. Obecny rekord dokładności (sierpień 2021 r.) to 62,8\cdot 10^{12} cyfr. Jeszcze w 1914 roku Srinivasa Ramanujan podał szybko zbieżny szereg:

\dfrac{1}{\pi}=\dfrac {\sqrt{8}} {9801}\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^4 396^{4n}}.

Udoskonalenia tej formuły pozwalają obliczać 14 cyfr znaczących z każdym kolejnym wyrazem rozwinięcia.

Innym praktycznym osiągnięciem Al-Kasziego było precyzyjne obliczenie wartości \sin 1^{\circ}. Funkcja sinus nie znana była Grekom, używali oni długości cięciwy okręgu w funkcji kąta środkowego.

crd

Dopiero Hindusi zorientowali się, że wygodniejsza może być funkcja

\sin\alpha=\dfrac{1}{2}\mbox{ crd } 2\alpha.

Uczeni islamscy przejęli tę techniczną nowinkę. Przy podziale kąta prostego na 90 stopni pojawiał się problem obliczenia \sin 1^{\circ}. Chodziło o to, że \sin 3^{\circ} można obliczyć z rozważania kątów w wielobokach: sin 30^{\circ} jest trywialny, \sin 36^{\circ} wynika z obliczenia długości boku pięciokąta foremnego. Łatwo więc uzyskać sinus kąta 6^{\circ}=36^{\circ}-30^{\circ} i jego połowy. Ale kąt 1^{\circ} wymaga podzielenia przez trzy, był to słynny nierozwiązywalny problem greckiej geometrii: trysekcja kąta. Dwa pozostałe to podwojenie sześcianu (konstrukcja \sqrt[3]{2} oraz kwadratura koła (skonstruowanie kwadratu o boku \sqrt{\pi}). Al-Kashi podał geometryczny dowód tożsamości

\sin 3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha.

Można ją odczytać z rysunku (nie pochodzi on z pracy Al-Kasziego):

potrojenie

Przy \alpha=1^{\circ} i oznaczając x=\sin 1^{\circ} oraz 3a=\sin 3^{\circ} otrzymujemy równanie sześcienne, które możemy zapisać następująco:

x=a+\dfrac{4}{3} x^3.

Pierwszym przybliżeniem jest x_0=a. Następne przybliżenia można znaleźć iterując równanie

x_n=a+\dfrac{4}{3}x_{n-1}^3.

Metoda ta działa znakomicie i Al-Kaszi otrzymał wynik \sin 1^{\circ}=0,01745240643728351. Było to pierwsze poważne zastosowanie tej metody. Z poniższego obrazka można sobie wydedukować, w jakich warunkach iteracje równania x=f(x) będą zbieżne.

iteracje

Arnold Sommerfeld i zagadka widma wodoru (1916)

Miał historycznego pecha: był 81 razy nominowany do Nagrody Nobla z fizyki, ale nigdy jej nie dostał. „Planck był autorytetem, Einstein – geniuszem, a Sommerfeld – nauczycielem”, jak ujął to historyk Armin Hermann. Nauczycielem noblistów, trzeba dodać. Czterech jego doktorantów i trzech postdoków zostało później laureatami Nobla, a do tego dochodzi mnóstwo nazwisk uczniów i współpracowników, które i dziś znane są fizykowi. Jego ośrodek w Monachium obok Getyngi Maksa Borna i Kopenhagi Nielsa Bohra wychował całe pokolenie genialnych chłopców lat dwudziestych (osobny był tylko Paul Dirac, ale on był zawsze osobny). Sommerfelda wyjaśnienie struktury subtelnej widma wodoru było eleganckie i niezwykle dokładne. Jednak osiągnięcia Sommerfelda nie stanowiły zamkniętej teorii, było jeszcze za wcześnie na mechanikę kwantową. Trudno czynić mu z tego zarzut: ani Planck, ani Einstein nie posunęli się dalej.

Sommerfeld był właściwie matematykiem zajmującym się zagadnieniami fizyki matematycznej. Gdy w 1906 r. objął katedrę fizyki teoretycznej w Monachium nie było jeszcze fizyki kwantowej oprócz pionierskich prac Plancka i Einsteina. Dopiero podczas wojny Sommerfeld zainteresował się serio zagadnieniami kwantowymi. 

Czterdziestopięcioletni profesor nie został powołany do wojska ze względu na wiek, zresztą pomimo swego patriotyzmu nie był entuzjastą wojny, jak większość jego rodaków. Wkrótce jednak i jemu udzieliła się nieuchronna atmosfera paranoi i oblężonej twierdzy, podpisał np. antybrytyjski apel Wilhelma Wiena wzywający, by niemieccy uczeni nie publikowali w angielskich czasopismach i odrzucali „nieuzasadnione wpływy naukowe Anglików”. Było więcej tego rodzaju wstydliwych wystąpień, zresztą po obu stronach konfliktu. Zaledwie rok wcześniej, w roku 1913, zarówno Wien, jak Sommerfeld brali udział w drugim Kongresie Solvaya, gdzie spotykała się elita ówczesnych fizyków i mogło się wydawać, że nauki ścisłe nie mają narodowości.

855px-Solvay_conference_1913

Sommerfeld znany był z otwartości i bliskich kontaktów ze swymi studentami. Chodził z nimi na piwo i jeździli wspólnie na narty, w tamtych czasach taka postawa była rzadkością. Einstein, kiedy poznał Sommerfelda, obiecywał sobie, że będzie miał podobne podejście do studentów. Podczas wojny Sommerfeld prowadził wprawdzie nadal wykłady, ale wielu studentów i młodszych kolegów było na froncie. Chętnie jednak w miarę możliwości korespondowali na tematy naukowe, pozwalało im to na chwilę zapomnieć o toczącej się wciąż wojnie.

Sommerfeld stosował metodę, którą później wielokrotnie stosował Steven Weinberg: jeśli chcesz nauczyć się jakiegoś przedmiotu, wygłoś na ten temat cykl wykładów. W przypadku Sommerfelda wynikiem jest wielotomowy kurs fizyki teoretycznej, a także monografia Atombau und Spektrallinien („Budowa atomu i linie widmowe”), biblia pierwszych lat fizyki kwantowej. W przypadku Weinberga to seria znakomitych solidnych podręczników na różnym poziomie, a także zarys historii fizyki.

W lutym 1915 roku Sommerfeld pisał do Wiena: „W tym semestrze prowadziłem wykłady na temat [modelu] Bohra i interesuję się tą kwestią, na ile wojna pozwala. Dzisiejsze 100 000 Rosjan to z pewnością piękniejsza wiadomość niż wyjaśnienie serii Balmera przez Bohra. Mam jednak piękne nowe wyniki na ten temat.” Owe 100 000 Rosjan to jeńcy po bitwie nad jeziorami mazurskimi. Przez cały rok 1915 Sommerfeld pracował, choć z przerwami, nad zagadnieniem atomu. Udało mu się uogólnić warunki kwantowania Bohra, a następnie zastosował do elektronu mechanikę szczególnej teorii względności (którą także w owym czasie wykładał). Model relatywistyczny pozwolił wyjaśnić rozszczepienie optycznych linii widmowych wodoru, a także optycznych i rentgenowskich linii cięższych pierwiastków. Wyjaśniła się w ten sposób kwestia znana od wielu lat: linie widmowe pierwiastków mają często kilka blisko położonych składowych widocznych przy dużej zdolności rozdzielczej (np. żółta linia sodu świecąca w lampach sodowych jest dubletem). Tę strukturę subtelną wodoru odkryli Albert Michelson i Edward Morley jeszcze w roku 1887. Dzięki Sommerfeldowi wyjaśniło się, że odgrywa tu rolę szczególna teoria względności, w latach 1915-1916 jej słuszność wcale nie była jeszcze oczywista, obie teorie względności jeszcze długo później uchodziły za „kontrowersyjne”, pamiętajmy, że Nagrodę Nobla przyznano Einsteinowi z wyraźnym zastrzeżeniem, iż nie jest nagrodą za teorię względności. Wspominany w tym blogu kilkukrotnie Ernst Gehrcke, zaciekły przeciwnik teorii Einsteina, był specjalistą od pomiarów widmowych. Przez lata spierał się z Friedrichem Paschenem, który zmierzył wielkość rozszczepienia linii zgodną z wynikami Sommerfelda. Gehrcke otrzymywał wciąż nieco inną wartość. I to z pozornie obiektywnych pomiarów, w których widmo było rejestrowane przez przyrząd. Nienawiść zaślepia. 

Wynik Sommerfelda niemal pokrywa się z tym, co uzyskano później z równania Diraca. Eleganckie i zgodne z obserwacjami wyniki Sommerfelda stały się największym sukcesem tzw. starej teorii kwantów, czyli fizyki sprzed powstania mechaniki kwantowej. Co ciekawe, twórcy mechaniki kwantowej, Schrödinger i Pauli, publikując rozwiązania dla atomu wodoru w styczniu 1926 roku, nie do końca byli usatysfakcjonowani. Obaj bowiem, zupełnie niezależnie, próbowali osiągnąć wynik Sommerfelda i im się to nie udało. Musieli zadowolić się podejściem nierelatywistycznym, bez struktury subtelnej. Mieli więc świadomość, że górują pod względem metody, ale nie dorównują wynikom Sommerfelda. Relatywistyczną mechanikę kwantową zapoczątkował w 1928 r. Paul Dirac, lecz okazało się dość szybko, jeszcze w latach trzydziestych, że potrzebna jest tu kwantowa teoria pola. Obliczenia w ramach teorii pola szybko doprowadziły do impasu: niektóre wyniki okazywały się nieskończone. Wyjście z tego impasu znaleziono dopiero po II wojnie światowej: było nim sformułowanie elektrodynamiki kwantowej przez Juliana Schwingera, Shin’ichirō Tomonagę i Richarda Feynmana. Dopiero wtedy dokładność teorii (a także pomiarów) wyprzedziła wyniki Sommerfelda i Diraca.

W modelu Bohra dozwolone są orbity kołowe, które spełniają warunek

L=mrv=n\dfrac{h}{2\pi},

gdzie L,r,m,v,h to odpowiednio moment pędu, promień orbity, masa i prędkość elektronu oraz stała Plancka, a n jest dodatnią liczbą całkowitą. Max Planck interesował się zagadnieniem oscylatora harmonicznego – oscylatory takie emitują bądź pochłaniają fale elektromagnetyczne. Można opisać je w przestrzeni fazowej, gdzie współrzędnymi są położenie q oraz pęd p. Jeśli położenie w zależności od czasu opisane jest równaniem q=A \sin 2\pi\nu t (\nu jest częstością), to pęd elektronu jest równy p=m2\pi\nu A \cos 2\pi\nu t i łatwo sprawdzić, że tor w przestrzeni fazowej jest elipsą (wystarczy skorzystać z jedynki trygonometrycznej). Warunek kwantowania Plancka ma postać następującą:

quantum action

Pole zakreślane w przestrzeni fazowej przez elektron jest wielokrotnością stałej h. Można ten warunek zapisać w postaci

W={\displaystyle \int dp dq =nh.}

Zastanawiano się także nad dodaniem jakiejś stałej w rodzaju 1/2 do n, ale na razie zostawmy to bez stałej. Dla eliptycznego toru w przestrzeni fazowej, mamy więc W=\pi A (m\omega A)=nh. Obliczając energię oscylatora, otrzymamy

E=\dfrac{p_{max}^2}{2m}= nh\nu.

Jest to zgodne z tym, co na temat oscylatorów twierdzili Planck i Einstein.

Warunek kwantowania można zapisać także w postaci:

W={\displaystyle \int (p_{+}-p_{-})dq=\oint p dq=nh.}

Druga całka jest po zamkniętym konturze, jej sens geometryczny jest taki sam.

quantum_action_3

quantum_action_2

Sommerfeld zastosował warunki kwantowania w tej drugiej postaci do ruchu elektronu w polu kulombowskim. Ruch klasyczny jest płaski, mamy więc dwa stopnie swobody. Położenie elektronu określają np. współrzędne biegunowe: odległość od jądra r oraz kąt \varphi z ustalonym kierunkiem. Odpowiadają tym zmiennym dwa pędy: składowa radialna p_r oraz składowa styczna p_{\varphi}. W naszym przypadku element odległości ds w zmiennych biegunowych ma postać

ds^2=dr^2+r^2 d\varphi^2.

polar coordinates

Iloczyn p dq w przypadku składowej radialnej przyjmuje postać m\frac{dr}{dt} dr=p_r dr, a w przypadku składowej stycznej p_{\perp}r d\varphi = p_{\varphi} d\varphi \equiv L d\varphi, pędem skojarzonym z kątem jest po prostu moment pędu. Można to uzasadnić ściślej, istnieje w mechanice precyzyjny przepis, jak dowolnej zmiennej uogólnionej przypisać odpowiedni pęd, por. niżej (*).

Przestrzeń fazowa jest teraz czterowymiarowa. Mamy dwa warunki kwantowania dla obu par zmiennych. Dla kąta \varphi i L warunek jest trywialny i pokrywa się z warunkiem Bohra:

{\displaystyle \oint L d\varphi=L2\pi=n_{\varphi}h.}

Dla zmiennych radialnych otrzymujemy coś nowego:

{\displaystyle \oint p_r dr=n_{\varphi} h}

gdzie liczby kwantowe n_r, n_{\varphi} mogą się różnić. Ponieważ dopuszczamy teraz zmiany odległości od jądra, należy się spodziewać, że podobnie jak w przypadku ruchu planet wokół Słońca dopuszczalne ruchy elektronu będą zachodzić po elipsach (mówimy tylko o stanach związanych, warunki kwantowania dotyczą tylko takiej sytuacji). 

Energia kinetyczna elektronu jest zatem równa

E_k=\dfrac{m}{2}\dfrac{ds^2}{dt^2}=\dfrac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\varphi}^2)=\dfrac{p_r^2}{2m}+\dfrac{p_{\varphi}^2}{2mr^2}.

Całkowita energia elektronu w atomie wodoru (pomijamy ruch jądra) dana jest wyrażeniem

E=\dfrac{p_r^2}{2m}+\dfrac{p_{\varphi}^2}{2mr^2}-\dfrac{e^2}{r},

gdzie piszemy e^2\equiv\dfrac{q_e^2}{4\pi\varepsilon_0} (q_e, \varepsilon_0 to ładunek elementarny i przenikalność dielektryczna próżni). Możemy wyznaczyć p_r z równania energii i wstawić do warunku kwantowania. Obliczając całkę (**) i wyznaczając E dostajemy wynik Bohra:

E=-\dfrac{me^4}{2\hbar^2 (n_r+n_{\varphi})^2}\equiv-mc^2\dfrac{\alpha^2}{2n^2}.

Zamiast jednej liczby kwantowej, mamy teraz sumę dwóch liczb kwantowych: n=n_r+n_{\varphi}. Stała \alpha jest bezwymiarowa i równa

\alpha=\dfrac{e^2}{\hbar c}\approx 1/137.

Stała ta zwana stałą struktury subtelnej nabiera znaczenia w teorii relatywistycznej, jak zobaczymy niżej. Istnieje więc pewna liczba stanów o tej samej energii: wszystkie odpowiadają orbitom o tej samej dużej osi i różnym spłaszczeniu. Łatwo pokazać, że stosunek długości osi małej b i dużej a jest równy

\dfrac{b}{a}=\dfrac{n_{\varphi}}{n_r+n_{\varphi}}.

Sommerfeld wykluczył stany o zerowym momencie pędu, gdy tor elektronu jest odcinkiem o końcu w jądrze atomu. W ten sposób zamiast trzeciej orbity Bohra mamy zestaw okręgu i dwóch elips (jądro jest zawsze w ognisku elipsy). Mamy więc w ogólności wiele stanów o tej samej energii: zdegenerowanych.

sommerfeld 3

Nietrudno procedurę Sommerfelda uogólnić na przypadek relatywistyczny. Klasyczne elipsy ulegają teraz precesji. Nie jest to precesja Einsteina z ogólnej teorii względności, Sommerfeld, śledzący na bieżąco postępy Einsteina, doskonale wiedział o różnicy. Obliczył nawet, że w przypadku Merkurego precesja byłaby równa 7 sekund kątowych na stulecie.

p0347-sel

Rysunek z Atombau Sommerfelda

Wystarczy wstawić mc^2+E=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4} do równania na energię, E jest ujemną energią wiązania. Ponownie wyznaczając p_r i całkując warunek kwantowy, otrzymamy

E+mc^2=mc^2\left\{ 1+\dfrac{\alpha^2}{\left( n_r+\sqrt{n_{\varphi}^2-\alpha^2}\right)^2} \right\}^{-\frac{1}{2}}.

W bardziej przejrzystym przybliżeniu w postaci szeregu w stałej struktury subtelnej:

E\approx -mc^2\dfrac{\alpha^2}{2n^2}-mc^2\dfrac{\alpha^4}{2n^4}\left( \dfrac{n_r+n_\varphi}{n_{\varphi}}-\dfrac{3}{4}\right).

Wyniki te niewiele zmieniają się w teorii Diraca, należy tylko zastąpić n_{\varphi} przez j+\frac{1}{2}, gdzie j jest liczbą kwantową całkowitego momentu pędu z uwzględnieniem spinu. Oczywiście w roku 1916 o spinie jeszcze nikt nie słyszał. W elektrodynamice kwantowej wyniki uzyskuje się w postaci szeregu potęgowego względem \alpha. Dzięki takim rozwinięciom można elektrodynamikę potwierdzić z dokładnością kilkunastu cyfr znaczących.

 

(*) W przypadku współrzędnych uogólnionych pędy zdefiniowane są jako

p_i=\dfrac{\partial E_k}{\partial \dot{q_i}},

gdzie E_k jest energią kinetyczną, a \dot{q_i} pochodną czasową zmiennej q_i.

(**) Całki występujące w obu wersjach kwantowania Sommerfelda są postaci

{\displaystyle \oint \dfrac{dx}{x}\sqrt{-Ax^2+2Bx-C}=2\pi\left(\dfrac{B}{\sqrt{A}}-\sqrt{C}\right) }.

Współczynniki A,B,C są dodatnie i wyrażenie podcałkowe ma dwa miejsca zerowe. Można w tym przypadku znaleźć całkę nieoznaczoną i wziąć ją w odpowiednich granicach. Metoda elegancka to scałkowanie wyrażenia na płaszczyźnie zespolonej z rozcięciem wzdłuż osi rzeczywistej między dwoma pierwiastkami. Można też użyć pakietu Sagemath, Maxima albo Mathematica.

Widmo wodoru i symetrie (1/2)

I. Od Balmera do Bohra

Naszym bohaterem jest zbiór linii widmowych wodoru i proste wyrażenie, które go opisuje. Widmo składa się z serii, z których najbardziej znana jest seria Balmera przypadająca na obszar widzialny i bliski nadfiolet.

 

Długości fali w angstremach (1 {\rm \AA}=10^{-10} {\rm m}).

Jakob Balmer, znając długości czterech pierwszych linii, odgadł ukrytą w nich prawidłowość. Długości fal spełniają równanie

\lambda=h\,\dfrac{n^2}{n^2-4},\;\;n=3,4,5,6,

gdzie h jest stałą. Okazało się, że seria linii jest nieskończona, jeszcze za życia Balmera jego wzór potwierdził się dla kilkunastu linii. Okazało się też, że istnieją inne serie widmowe. Wszystkie można opisać wzorem

\dfrac{1}{\lambda}=R\left(\dfrac{1}{m^2}-\dfrac{1}{n^2}\right),\; n=m+1,\,m+2,\,\ldots,

gdzie m=1,2,3, \ldots, a stała R zwana jest stałą Rydberga. Co ważne, wzór Balmera, w tej wersji zwany najczęściej wzorem Rydberga, w przypadku wodoru spełniony jest bardzo dokładnie, choć jeszcze pod koniec XIX wieku zaobserwowano, że linie widmowe wodoru są naprawdę dubletami: parami bardzo blisko położonych linii. Tą tzw. strukturą subtelną nie będziemy się tu zajmować. Wyjaśnia ją równanie Diraca, a więc uwzględnienie efektów relatywistycznych oraz spinu elektronu. Efekty relatywistyczne są jednak poprawkami do energii rzędu \alpha^2, gdzie \alpha\approx\frac{1}{137} jest stałą struktury subtelnej, a więc pięć rzędów wielkości mniejszymi.

Postać wzoru Rydberga łatwo zrozumieć jako zapis zasady zachowania energii, jeśli posłużymy się pojęciem fotonu, wprowadzonym przez Alberta Einsteina w 1905 r. (określenie foton jest dużo późniejsze). Cząstki światła mają energię

E=h\nu=\dfrac{h c}{\lambda},

h, c, \nu oznaczają odpowiednio stałą Plancka, prędkość światła i częstość fotonu. Zatem wzór Rydberga oznacza, że poziomy energetyczne elektronu w atomie wodoru dane są równaniem

E_n=-\dfrac{hcR}{n^2},\,\, n=1,2,3,\ldots.

Dlaczego taka, a nie inna wartość R? Dlaczego pojawia się tu kwadrat liczby naturalnej? Tak proste wyrażenie powinno mieć jakieś uzasadnienie. 

Niels Bohr pierwszy podał teoretyczne wyjaśnienie wartości stałej Rydberga w swoim planetarnym modelu atomu. Energie elektronu na dozwolonych orbitach są w nim równe

E_n=-\dfrac{me^4}{2\hbar^2 n^2},

tutaj m oznacza masę elektronu, e^2=\frac{q_e^2}{4\pi\epsilon_0} to kwadrat ładunku elementarnego razy stała z prawa Coulomba, \hbar\equiv h/2\pi. Liczba naturalna n jest u niego po prostu numerem orbity i konsekwencją postulatu kwantowego:

L=mvr=n\hbar.

Słowami: moment pędu L elektronu na orbicie o promieniu r i prędkości v jest wielokrotnością stałej Plancka. Postulat ten nie wynikał z głębszych rozważań, trzeba go było przyjąć, aby otrzymać prawidłowe wyniki. Można powiedzieć, że Bohr przesunął zgadywankę Balmera z numerologii na teren fizyki.

Ogromnym sukcesem było powiązanie stałej Rydberga z wielkościami elementarnymi: masą i ładunkiem elektronu, stałą Plancka i siłą oddziaływań elektrostatycznych. Zawsze kiedy uda się tego rodzaju sztuka, znaczy, że jesteśmy blisko jakieś bardziej fundamentalnej prawdy. Jednak model Bohra od początku był prowizoryczny. W myśl klasycznej elektrodynamiki elektron krążący po orbicie z pewną częstością f powinien promieniować falę elektromagnetyczną o częstości f. Tymczasem w jego modelu do emisji promieniowania dochodzi, gdy elektron przeskakuje między dwiema orbitami, z których każda charakteryzuje się jakąś częstością krążenia f_n. Podobieństwo do fizyki klasycznej pojawia się dopiero, gdy weźmiemy dwie orbity o dużych numerach, wtedy

\nu_{n+1 n}\approx f_{n}\approx f_{n+1}.

Niels Bohr bardzo niechętnie pogodził się z ideą fotonu. Rozumiał oczywiście, że eksperyment potwierdza proste równanie h\nu=E_n-E_m, tajemnicą był jednak mechanizm fizyczny, jaki za tym stał. Nie znał go ani Einstein, ani Bohr, foton wszedł do fizyki na dobre dopiero w roku 1925. Teorią, która poprawnie przewiduje wartości energii w atomie wodoru, jest mechanika kwantowa. A w pełni konsekwentny opis emisji fotonu daje dopiero kwantowa teoria pola, w której foton jest kwantem pola elektromagnetycznego.

II. Erwin Schrödinger, 1925

W połowie roku 1925 Werner Heisenberg wpadł na pomysł, aby wprowadzić do fizyki wielkości, których mnożenie jest nieprzemienne: operatory albo macierze. W krótkim czasie powstały trzy na pozór niezależne formalizmy do opisania fizyki kwantowej: macierze Heisenberga (oraz Maksa Borna i Pascuala Jordana, którzy wraz z Heisenbergiem rozwinęli tę ideę), funkcje falowe Erwina Schrödingera oraz abstrakcyjny formalizm Paula Diraca.

Krótkie omówienie formalizmu mechaniki kwantowej znajduje się na końcu wpisu.

Wersja Schrödingera najbardziej przypominała klasyczną fizykę drgań. Aby znaleźć dozwolone energie elektronu należy rozwiązać równanie 

-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi-\dfrac{e^2}{r}\psi=E\psi,

gdzie r jest odległością od jądra, a \Delta to laplasjan, czyli suma drugich pochodnych:

\Delta\equiv \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}.

Wyraz z laplasjanem odpowiada energii kinetycznej, drugi wyraz po lewej stronie odpowiada energii potencjalnej. Szukamy takich funkcji \psi(x,y,z), które wstawione po lewej stronie dadzą po prawej liczbę pomnożoną przez tę samą funkcję \psi. Funkcja taka to funkcja własna, a energia jest wartością własną. Otrzymujemy w ten sposób stany niezależne od czasu, stacjonarne, i tylko takimi będziemy się zajmować.

Funkcje falowe \psi powinny znikać w nieskończoności oraz nie mieć osobliwości. Warunki te prowadzą do skwantowanych poziomów energetycznych. Ponieważ problem jest sferycznie symetryczny (energia potencjalna zależy tylko od odległości elektronu od protonu r), więc można wprowadzić współrzędne sferyczne: odległość od początku układu r, dopełnienie szerokości geograficznej do 90^{\circ} oznaczane \vartheta oraz długość geograficzną oznaczaną \varphi.

spherical

Korzystamy z tożsamości

\Delta\equiv \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}=\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \dfrac{\partial}{\partial r}\right)-\dfrac{L^2}{\hbar^2},

gdzie L^2 jest operatorem zależnym tylko od kątów, a nie od r. Możemy zapisać równanie Schrödingera w postaci

L^2 \psi=\hbar^2\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dfrac{\partial\psi}{\partial r}\right)+2mr^2\left(E+\dfrac{e^2}{r}\right)\psi.

Sama funkcja falowa nie musi być jednak sferycznie symetryczna i można ją zapisać w postaci iloczynu funkcji zależnych od promienia i od kątów:

\psi(r,\vartheta,\varphi)=R(r)Y(\vartheta,\varphi).

Podstawiając tę funkcję do równania Schrödingera i dzieląc obustronnie przez \psi możemy doprowadzić je do postaci:

\dfrac{L^2 Y}{Y}=\lambda=\dfrac{1}{R}\, \hbar^2\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dfrac{\partial R}{\partial r}\right)+2mr^2\left(E+\dfrac{e^2}{r}\right).

Po lewej stronie mamy funkcje zależne od kątów, po skrajnej prawej zależne od odległości. Rozseparowaliśmy zmienne, oba wyrażenia muszą równać się wspólnej stałej \lambda. Mamy więc dwa prostsze równania:

\begin{array}{c} -\dfrac{\hbar^2}{2m}\,\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dfrac{\partial R}{\partial r}\right)+\left(\dfrac{\lambda}{2m r^2}-\dfrac{e^2}{r}\right)R=ER \\[20pt] L^2 Y=\lambda Y. \end{array}

Drugie z tych równań nie zawiera potencjału i jest stałym punktem programu dla wszystkich sytuacji z symetrią sferyczną. Rozwiązaniami są tzw. harmoniki sferyczne Y_{lm}(\vartheta,\varphi), gdzie l=0,1,2,\ldots, a dla każdej wartości l mamy 2l+1 różnych wartości m=-l,-l+1,\ldots. l Dozwolone wartości własne równe są \lambda=\hbar^2 l(l+1). Kształt przestrzenny tych funkcji każdy widział jako obrazki orbitali s,p,d itd. Funkcje te przydają się zawsze, gdy mamy do czynienia z rozkładem jakiejś wielkości na sferze, np. mapy promieniowania tła w kosmologii albo szczegóły ziemskiego pola grawitacyjnego z uwzględnieniem niesferyczności Ziemi itp (Wtedy oczywiście nie pojawia się w tych wzorach stała Plancka, ale to szczegół techniczny).

Spójrzmy raz jeszcze na pierwsze równanie (radialne), w którym wprowadzamy nową funkcję radialną: u(r)\equiv rR(r):

-\dfrac{\hbar^2}{2m}\,\dfrac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\left(\dfrac{\hbar^2 l(l+1)}{2m r^2}-\dfrac{e^2}{r}\right)u=Eu.

Jest to równanie Schrödingera jednowymiarowe. mamy teraz jeden wymiar: radialny, ale bardziej skomplikowany potencjał: do energii elektrostatycznej doszedł dodatni człon z l(l+1). Jego znaczenie fizyczne dość łatwo zidentyfikować przez analogię do mechaniki klasycznej. W ruchu w polu kulombowskim możemy w każdej chwili rozłożyć wektor pędu elektronu na składową radialną p_r i prostopadłą do niego składową styczną p_t. Zgodnie z tw. Pitagorasa energia kinetyczna ma postać

E_k=\dfrac{p_r^2}{2m}+\dfrac{p_t^2}{2m}=\dfrac{p_r^2}{2m}+\dfrac{L^2}{2mr^2},

w ostatniej równości skorzystaliśmy z faktu, że moment pędu elektronu L=rp_{t}. Gdybyśmy dla takiego radialnego problemu napisali równanie Schrödingera, byłoby to właśnie równanie, które uzyskaliśmy w wyniku separacji zmiennych. Zatem dozwolone kwantowe wartości kwadratu momentu pędu są równe L^2=\hbar^2 l(l+1). Nie jest to, rzecz jasna, dowód, lecz wskazanie prawdopodobnej (i prawdziwej) interpretacji fizycznej naszego równania. Mamy więc efektywne potencjały zależne od nieujemnej całkowitej liczby kwantowej l. Wyglądają one w przypadku atomu wodoru następująco:

tmp_iispvexy

Studnia potencjału tylko w przypadku l=0 jest nieskończenie głęboka, wraz z rosnącym l staje się ona coraz płytsza. Nie będziemy rozwiązywać do końca tego równania radialnego. Okazuje się, że aby uzyskać funkcje znikające w nieskończoności i nie wybuchające w pobliżu r=0, rozwiązania mają postać

R_{nl}(r)=W_{n-1 l}(r)e^{-r/na_0},

gdzie n jest tzw. główną liczbą kwantową, a_0 promieniem Bohra (promieniem pierwszej orbity w modelu Bohra), a W jest wielomianem stopnia n-1. Dozwolone wartości l=0,1,\ldots, n-1. Prawdopodobieństwa dane są kwadratami funkcji falowej. Np. dla stanu podstawowego wodoru wygląda to tak.

tmp_72yjso5t

Pionowa linia wskazuje granicę obszaru dozwolonego klasycznie, tzn. takiego, że energia całkowita jest większa od energii potencjalnej (poza tym obszarem energia kinetyczna powinna być ujemna). Falowy charakter równania przejawia się w tym, że nic nie dzieje się nagle, funkcja zanika płynnie w pewnym obszarze. Fizycznie oznacza to możliwość przenikania barier potencjału, czyli efekt tunelowy, odpowiedzialny m.in. za świecenie gwiazd.

Energie stanów równe są dokładnie temu, co obliczył Bohr. Zależą one tylko od n, a nie zależą od wartości l, mimo że potencjał efektywny jest zupełnie inny przy różnych l. Łącznie danej wartości n odpowiada n^2 różnych rozwiązań. Bezpośrednie rozwiązanie równania Schrödingera nie bardzo pozwala zrozumieć, skąd się bierze aż taka rozmaitość. Te same energie powinniśmy otrzymywać dla jednakowego l i różnych wartości m, bo oznaczają one różne wartości rzutu momentu pędu na oś z. Zatem symetria obrotowa wyjaśnia tylko część degeneracji stanów w atomie wodoru. Jeśli weźmiemy pod uwagę potencjał inny niż kulombowski, to ta dodatkowa degeneracja zniknie: stany o różnych l rozszczepią się energetycznie. Tak jest np. w atomie litu, gdzie elektron walencyjny porusza się w efektywnym polu jądra oraz dwóch pozostałych elektronów. Z daleka mamy więc tylko ładunek (3-2)q_e=q_e, tak jak w atomie wodoru, z bliska jednak potencjał jest inny, choć nadal sferycznie symetryczny.

lithlev

Nawet po rozwiązaniu zagadnienia atomu wodoru za pomocą równania Schrödingera nadal niezbyt dobrze rozumiemy, dlaczego stany są zdegenerowane: E_{2s}=E_{2p}, E_{3s}=E_{3p}=E_{3d}, itd. W przyszłości pokażemy, że stany związane atomu wodoru wykazują  dodatkową symetrię i że łącznie grupą symetrii jest tu grupa obrotów w przestrzeni czterowymiarowej. Dopiero ten fakt wyjaśnia głębiej wzór Balmera.

Poniżej przedstawiłem niektóre szczegóły matematyczne dla zainteresowanych.

Zasady mechaniki kwantowej w przypadku jednej cząstki

Stany cząstki

Stan elektronu w formalizmie Schrödingera opisujemy za pomocą pewnej funkcji (zespolonej) falowej \psi(x,y,z,t). Rozmaite dopuszczalne funkcje można traktować jak wektory: dodawanie funkcji i mnożenie przez liczbę (zespoloną) daje inną dopuszczalną funkcję. Zbiorem funkcji może być np. zbiór funkcji znikających dostatecznie szybko w nieskończoności:

{\displaystyle \int_{{\bf R}^3}}\; |\psi(x,y,z)|^2 \, dV<\infty.

Określamy także operację iloczynu skalarnego dwóch funkcji:

(\psi,\chi)={\displaystyle \int_{{\bf R}^3}}\; \psi^{\star}\chi\, dV.

Iloczyn wektora przez siebie jest kwadratem jego długości, czyli normy:

\lVert \psi \rVert^2=(\psi,\psi)={\displaystyle \int_{{\bf R}^3}}\; |\psi(x,y,z)|^2 \,dV.

Definiując odległość dwóch wektorów \psi, \chi jako \Vert \psi-\chi\rVert otrzymujemy przestrzeń Hilberta (do definicji należy jeszcze dodać warunek zupełności: żeby ciągi zbieżne w normie nie wyprowadzały poza naszą przestrzeń).

Wielkości fizyczne

Wielkościom fizycznym odpowiadają operatory, czyli przekształcenia liniowe określone na przestrzeni funkcji. Liniowość oparatora A oznacza, że dla dowolnych dwóch wektorów \psi,\chi i dowolnych dwóch liczb zespolonych \alpha,\beta, mamy

A(\alpha \psi+\beta\chi)=\alpha A\psi+\beta A\chi.

Łatwo to sprawdzić w poszczególnych przypadkach, np. dla składowej x pędu otrzymamy: p_x(\psi_1+\psi_2)=p_x\psi_1+p_x\psi_2, bo pochodna sumy funkcji, to suma pochodnych itd. Operatory odpowiadające wielkościom fizycznym muszą być hermitowskie, tzn. dla dowolnych wektorów mamy

(\chi, A\psi)=(A\chi,\psi).

Warunek ten zapewnia, że mierzone wartości wielkości fizycznych są rzeczywiste, mimo że cały formalizm oparty jest na liczbach zespolonych.

Operatory można składać, czyli mnożyć, wykonując po prostu jedną operację po drugiej. Składając więc operator B i następnie operator A otrzymujemy AB, który działa następująco na wektor:

(AB)\psi=A(B\psi).

Jasne jest, że tak określone mnożenie operatorów na ogół jest nieprzemienne, tzn. wynik zależy od kolejności. W fizyce kwantowej szczególne znaczenie mają tzw. komutatory operatorów, zdefiniowane jako różnica między pomnożeniem ich w odmiennej kolejności: [A,B]=AB-BA.

Komutatory tej samej składowej współrzędnej i pędu nie komutują i muszą spełniać warunek odkryty przez Heisenberga:

[x,p_x]=i\hbar,

ale [x,p_y]=[x,p_z]=0. Komutują też między sobą operatory różnych składowych współrzędnej albo pędu. Z operatorów pędu i współrzędnych budować możemy operatory innych wielkości fizycznych, np. momentu pędu badź energii (hamiltonian). Wszystkie one muszą być hermitowskie. Szczególną rolę odgrywa hamiltonian H({\bf x},{\bf p}), gdyż określa ewolucję czasową układu. Spełnione musi być w każdej chwili równanie Schrödingera

i\hbar\dfrac{\partial\psi}{\partial t}=H\psi.

Gdy hamiltonian nie zależy od czasu, możemy szukać funkcji spełniających równanie 

H\chi=E\chi,

tzw. równanie Schrödingera bez czasu. Wówczas 

\psi(t)= \exp{\left(-\dfrac{iEt}{\hbar}\right)}\chi,

jest rozwiązaniem ogólniejszego równania Schrödingera. Ewolucja w czasie polega wówczas tylko na zmianie fazy zespolonej, jest to stan kwantowy o ustalonej energii, stan stacjonarny.

Postulat interpretacyjny

Wartość oczekiwana wielkości fizycznej A w stanie \psi dana jest równaniem

\langle A\rangle=\dfrac{(\psi,A\psi)}{(\psi,\psi)}.

Gdy używamy funkcji unormowanej (\psi,\psi)=1 z wyrażenia tego zostaje tylko licznik. Widzimy, że zawsze można funkcję falową pomnożyć przez dowolny niezerowy czynnik, nie zmieniając wyników doświadczenia. Jeśli interesuje nas pytanie, czy cząstka znajduje się w obszarze V możemy za operator A_V wziąć mnożenie przez funkcję charakterystyczną tego obszaru (równą 1 dla {\bf x}\in V oraz 0 poza obszarem), wtedy prawdopodobieństwo znalezienia cząstki wenątrz V dane jest

Pr(V)={\displaystyle \int_V}|\psi|^2\, dV.

(Zakładamy unormowanie funkcji \psi.)

Widać też szczególną rolę wektorów i stanów własnych. Jeśli spełnione jest równanie 

A\psi=a\psi,

to mówimy, że funkcja \psi jest wektorem własnym, a wartość a wartością własną. Z postulatu interpretacyjnego wynika, że w wyniku pomiaru wielkości A otrzymamy wartość a. A więc w tym przypadku wielkość fizyczna przyjmuje ściśle określoną wartość, nie ma żadnego kwantowego rozmycia. Łatwo zauważyć, że tylko w takim przypadku możemy mówić o ściśle określonej wartości wielkości fizycznej. Tworząc operator (A-a)^2 widzimy, że

\langle (A-a)^2\rangle=0 \Leftrightarrow A\psi=a\psi.

W sytuacji takiej nie ma żadnego rozrzutu wyników, otrzymujemy zawsze tylko i wyłącznie wartość a.

Dwa fakty matematyczne

Gdy pewien stan \psi jest jednocześnie stanem własnym dwóch operatorów A\psi=a\psi oraz B\psi=b\psi, to operatory te komutują na tym stanie:

AB\psi=Ab\psi=ab\psi=ba\psi=BA\psi.

Z kolei stany należące do różnych wartości własnych danego operatora A są ortogonalne, tzn. gdy A\psi=a\psi oraz A\chi=b\chi, to mamy

a(\psi,\chi)=(A\psi,\chi)=(\psi, A\chi)=b(\psi,\chi) \Leftrightarrow (a-b)(\psi,\chi)=0.

Szczegóły matematyczne problemu atomu wodoru

Laplasjan

Dla laplasjanu mamy tożsamość:

\Delta\equiv \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}=\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \dfrac{\partial}{\partial r}\right)-\dfrac{({\bf x}\times {\bf \nabla})^2}{\hbar^2},

Najłatwiej sprawdzić to we współrzędnych kartezjańskich, licząc operator ({\bf x}\times {\bf \nabla})^2 i wyrażając operator r\frac{\partial}{\partial r} przez pochodne kartezjańskie:

r\dfrac{\partial }{\partial r}=x\dfrac{\partial }{\partial x}+y\dfrac{\partial }{\partial y}+z\dfrac{\partial }{\partial z},

gdzie korzystamy wielokrotnie z równości r^2=x^2+y^2+z^2. Podobnie możemy obliczyć kwadrat operatora po lewej stronie.

Moment pędu

Procedura przejścia do mechaniki kwantowej polega na zastąpieniu każdej zmiennej fizycznej odpowiednim operatorem. Każdą ze współrzędnych x,y,z zastępujemy mnożeniem przez odpowiednią współrzędną. Działając na funkcję \psi dają one nowe funkcję, x\psi,y\psi, z\psi. Podobnie operatory składowych pędu działając na funkcję, dają pochodne, \frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial x} itd. 

W przypadku atomu wodoru z punktowym protonem w początku układu dowolny obrót wokół początku układu nie powinien zmieniać fizyki. W fizyce klasycznej oznacza to, że moment pędu układu jest stały. Jest on zdefiniowany jako

{\bf L}={\bf x} \times {\bf p}, \, \Leftrightarrow L_x=y p_z-z p_y, \, L_y=z p_x-x p_z, \, L_z=x p_y-y p_x,

w ostatnich trzech równaniach możemy cyklicznie przestawiać wskaźniki x\rightarrow y\rightarrow\ z\rightarrow x \ldots. Krócej zapisać można te związki w postaci:

L_i=\varepsilon_{ijk}x_jp_k,

gdzie zamiast x,y,z piszemy x_i, a symbol całkowicie antysymetryczny \varepsilon_{123}=1 i zmienia znak przy każdym przestawieniu dwóch wskaźników oraz \varepsilon_{ijk}=0, gdy jakieś wskaźniki się powtarzają. Zakładamy sumowanie po każdej parze powtarzających się wskaźników.

W mechanice kwantowej operatory L_i tworzymy dokładnie tak samo, tyle że teraz musimy pamiętać, że kolejność operatorów może być istotna. Operatory momentu pędu komutują z hamiltonianem atomu wodoru:

[H,L_i]=0,

Także operator kwadratu momentu pędu L^2=L_1^2+L_2^2+L_3^2 komutuje z hamiltonianem, a także z poszczególnymi składowymi momentu pędu:

[L^2,H]=0,\;\; [L^2,L_i]=0, \,\, i=1,2,3.

Jednakże operatory L_i nie komutują ze sobą:

[L_i,L_j]=i\hbar\varepsilon_{ijk} L_k.

Maksymalnym zbiorem komutujących operatorów jest więc H, L^2 oraz jedna z trzech składowych momentu pędu. Standardowo wybiera się tu L_3\equiv L_z. Możemy więc szukać funkcji własnych hamiltonianu, które będą zarazem funkcjami własnymi L^2 oraz L_3.

Wprowadzimy współrzędne sferyczne punktu,  Łatwo sprawdzić, że operatory momentu pędu zależą tylko od kątów, nie od r  Np.

L_3=\dfrac{\hbar}{i} \dfrac{\partial}{\partial \varphi}.

Możemy to sprawdzić, korzystając z wyrażeń na współrzędne kartezjańskie:

\left\{ \begin{array}{l} x=r\sin\vartheta\cos\varphi \\ y=r\sin\vartheta\sin\varphi \\ z=r\cos\vartheta. \end{array}\right.

Obliczamy, stosując wzór na pochodną funkcji złożonej:

\dfrac{\partial}{\partial \varphi}=\dfrac{\partial x}{\partial \varphi}\dfrac{\partial}{\partial x}+\dfrac{\partial y}{\partial \varphi}\dfrac{\partial}{\partial y}=-y\dfrac{\partial}{\partial x}+x\dfrac{\partial}{\partial y}.

W pozostałych składowych momentu pędy odległość r pojawia się raz w liczniku, a drugi raz w mianowniku przy różniczkowaniu, ostatecznie zostają wyrażenia zależne wyłącznie od kątów \vartheta, \varphi. Wracając do naszego równania z głównego tekstu:

L^2 \psi=\hbar^2\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dfrac{\partial\psi}{\partial r}\right)+2mr^2\left(E+\dfrac{e^2}{r}\right)\psi.

Funkcja falowa \psi powinna być w pobliżu początku układu analityczna, tzn. zachowywać się jak wielomian stopnia l (może być stała, wtedy l=0) plus wyrazy wyższego stopnia. Można ją w pobliżu r=0 zapisać jako \psi=r^{l}Y(\frac{ {\bf x}}{r}) – wyłączyliśmy przed funkcję wszystkie potęgi r, pozostała część jest funkcją wektora jednostkowego, tzn. zależy tylko od kierunku. Drugi składnik po prawej stronie zawiera r w potęgach wyższych niż l-2, jest więc do pominięcia blisko początku układu. Obliczając pierwszy składnik po prawej stronie, dostaniemy

L^2 Y \rightarrow \hbar l(l+1) Y.

Funkcje własne kwadratu momentu pędu to wielomiany jednorodne (wszystkie składniki są tego samego stopnia  l) zmiennych x,y,z. Łatwo sprawdzić, że spełniają one warunek

\Delta(r^l Y)=0.

Funkcje Y_{lm} nazywane są harmonikami sferycznymi. Drugi wskaźnik informuje o wartości L_3\equiv L_z. Dla l=1 mamy funkcje (nie wypisujemy stałych normalizacyjnych), tzw. orbitale p:

\left\{ \begin{array}{l} Y_{1\pm 1} \sim\dfrac{x\pm iy}{r}= \sin\vartheta e^{\pm i\varphi}\\[5pt] Y_{10} \sim\dfrac{z}{r}=\cos\vartheta.\end{array}\right.

Dla l=2 otrzymujemy pięć orbitali d:

\left\{ \begin{array}{l} Y_{2\pm 2} \sim\dfrac{(x\pm iy)^2}{r^2}= \sin^2\vartheta e^{\pm i2\varphi}\\[8pt]Y_{2\pm 1} \sim\dfrac{(x\pm iy)z}{r^2}=\sin\theta\cos\vartheta e^{\pm i\varphi}\\[8pt] Y_{20}\sim \dfrac{2z^2-x^2-y^2}{r^2}=3\cos^2\vartheta-1.\end{array}\right.

Czynnik e^{im\varphi} określa wartość składowej z momentu pędu:

\dfrac{\hbar}{i}(e^{im\varphi})=m\hbar e^{im\varphi}.

Dla każdej wartości l mamy 2l+1 dopuszczalnych wartości L_z. Stany te powinny mieć taką samą energię.

 

 

Dlaczego atomy są trwałe?

Atomów nie można opisać za pomocą dziewiętnastowiecznej fizyki klasycznej. W doświadczeniach Hansa Geigera i Ernesta Marsdena, prowadzonych pod kierunkiem Ernesta Rutherforda w Manchesterze w latach 1909-1913, okazało się, że praktycznie cała masa atomu mieści się w bardzo małym obszarze o promieniu pojedynczych femtometrów (1 {\rm fm}=10^{-15} {\rm m}). Przedtem sądzono (model J.J. Thomsona), że atom zawiera rozmyty ładunek dodatni, w którym znadują się, niczym rodzynki w cieście, lekkie punktowe elektrony. Przy bombardowaniu cienkiej złotej folii za pomocą cząstek α (jąder helu) zdarzało się jednak, że cząstki te rozpraszały się pod wielkimi kątami, niemal zawracały. Byłoby to niemożliwe, gdyby dodatni ładunek rozmyty był na znacznym obszarze. Tak silne pole elektryczne wymagało niemal punktowego ładunku – atom musi więc zawierać niewielkie jądro. Tak narodził się model planetarny Ernesta Rutherforda.

Na rysunku nie można oddać różnicy skali między modelami Thomsona i Rutherforda. Elektrony krążą w znacznie większym obszarze kilkudziesięciu pikometrów (1 {\rm pm}=10^{-12} {\rm m}): w przypadku wodoru objętość atomu jest 2\cdot 10^{14} razy większa od objętości protonu w centrum. Znaczy to, że atom jest praktycznie pusty. Analogia z planetami krążącymi wokół Słońca niezbyt się tu jednak stosuje, ponieważ poruszający się z  przyspieszeniem elektron powinien emitować energię w postaci fal elektromagnetycznych. Z teorii Maxwella wynika, że w czasie rzędu 10^{-11} \,{\rm s} elektron powinien spaść na jądro. Atomy nie są stabilne – do takiego wniosku prowadzi Newtonowska mechanika w połączeniu z elektrodynamiką Maxwella.

Prowizorycznym wyjściem z sytuacji był model Nielsa Bohra: wprowadzał on dozwolone orbity elektronów i jakimś cudem przewidywał prawidłowo długości fal w widmie wodoru. Postulat kwantowania orbit jest nie do pogodzenia z fizyką klasyczną: trzeba bowiem założyć, że elektrodynamika czasem działa, a czasem nie. Jej prawa są z jakiegoś powodu zawieszone w przypadku orbit Bohra.

 Problem rozwiązała dopiero mechanika kwantowa. Przyjrzymy się, jak objaśnia ona stabilność atomu wodoru. Dla uproszczenia będziemy mówić o ruchu elektronu w polu elektrostatycznym nieruchomego jądra (wprowadzane w ten sposób przybliżenie łatwo zastąpić dokładniejszymi rachunkami). Mamy więc elektron o energii składającej się z energii kinetycznej oraz elektrostatycznej energii potencjalnej:

E=\dfrac{{\mathbf p}^2}{2m}-\dfrac{e^2}{r},

gdzie {\mathbf p} oraz m są odpowiednio pędem i masą elektronu, r jest jego odległością od punktowego jądra, a stała e^2\equiv\frac{q_e^2}{4\pi\varepsilon_0}. Nasz problem stabilności łatwiej zrozumieć, patrząc na wykres energii potencjalnej. 

Energia potencjalna w funkcji odległości elektronu od protonu (zaznaczone są dwa najniższe poziomy energetyczne atomu wodoru)

Zaznaczone są dozwolone wartości energii całkowitej. Energia krążącego elektronu jest stała tylko pod warunkiem pominięcia promieniowania. Inaczej będzie ona szybko się zmniejszać, a więc jak widać z wykresu nasz elektron będzie coraz ciaśniej okrążał proton. Studnia potencjału jest nieskończenie głęboka, bez dna (w przybliżeniu punktowego protonu). 

Mechanika kwantowa opisuje stany elektronu za pomocą funkcji falowej \psi(x,y,z)=\psi({\mathbf r}). Jej znaczenie jest statystyczne, pozwala ona obliczać rozmaite wartości średnie: np. średnią wartość energii kinetycznej, albo potencjalnej. Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w danym obszarze przestrzeni V jest równe

Pr(V)={\displaystyle \int_{V} |\psi|^2 dV}.

Oznacza to, że całka po całej przestrzeni musi być równa 1, mówimy wtedy, że funkcja falowa jest unormowana. Aby otrzymać rozmaite wartości średnie, musimy mieć przepis na ich tworzenie. Jest on następujący: każdej wielkości fizycznej przypisuje się operator. Np. operatorem składowej x położenia jest mnożenie przez x. Znaczy to, że pod działaniem tego operatora funkcja \psi przechodzi w x\psi. Bardziej skomplikowanym przypadkiem jest pęd. Składowa x pędu zastępowana jest braniem pochodnej po x:

\psi \mapsto \dfrac{\hbar}{i} \dfrac{\partial\psi}{\partial x}.

Pojawia się tutaj stała Plancka \hbar znak niechybny, że mamy do czynienia z fizyką kwantową, i jest tu jednostką urojoną – nasza funkcja \psi ma wartości zespolone. Z początku budziło to pewne zdumienie ojców mechaniki kwantowej, dziś wiemy, że liczby zespolone są tu nieodzowne. 

Mając pęd i położenie, możemy zbudować operator energii, czyli hamiltonian: zastępujemy po prostu pędy i położenia ich operatorami.  W jednym wymiarze wyglądałoby to następująco

H=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial ^2}{\partial x^2}- \dfrac{e^2}{x}.

Pierwszy składnik oznacza, że należy dea razy wziąć pochodną po x i pomnożyć przez odpwoednią stałą, drugi składnik jest zwykłym mnożeniem funkcji. W trzech wymiarach mamy trzy składowe pędu, czyli trzy pochodne składające się w symbol zwany laplasjanem (czyli operatorem Laplace’a):

\Delta=\dfrac{\partial ^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial ^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial ^2}{\partial z^2}.

Zapisany w ten sposób hamiltonian ma postać:

H=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta-\dfrac{e^2}{r}.

Ostatni potrzebny nam składnik formalizmu to przepis na znajdowanie wartości średnich. Jeśli operator przypisany szukanej zmiennej nazwiemy A, to wartość średnia zmiennej jest równa

\langle A \rangle={\bf \int }\psi^{\star}A\psi dV.

Pojawia się tu funkcja zespolona sprzężona \psi^{\star}. Operatory odpowiadające wielkościom mierzalnym fizycznie (obserwablom) to tzw. operatory hermitowskie, które dają w powyższym przepisie wynik rzeczywisty, tak jak tego oczekujemy w eksperymencie. Hermitowskie są w szczególności operatory pędu, położenia i hamiltonian.

W zasadzie tyle formalizmu wystarczy, bez rozwiązywania równań różniczkowych, by pokazać, że dla dowolnej rozsądnej funkcji falowej (normowalnej) energia ograniczona jest z dołu. Czyli nie możemy uzyskać w żadnym eksperymencie mniej niż owo dolne ograniczenie. Co więcej, w każdym stanie związanym prawdopodobieństwo, że elektron znajdzie się bardzo blisko jądra jest znikome. Formalizm mechaniki kwantowej osiąga to dzięki wprowadzeniu funkcji \psi, która skoncentrowana w małym obszarze wymusza dużą energię kinetyczną. Jakościowo odpowiada to zasadzie nieoznaczoności: mała nieoznaczoność położenia oznacza dużą nieoznaczoność pędu, a więc i energii kinetycznej. Jednak zasady nieoznaczoności nie możemy tu zastosować wprost. 

Rozpatrzmy operator {\bf A} dany równaniem

{\bf A}={\bf p}-i\beta \dfrac{{\bf r}}{r},

gdzie \beta jest dowolną liczbą rzeczywistą. Ponieważ całka z kwadratu modułu {\bf A}\psi nie może być ujemna, otrzymujemy nierówność

\langle {\bf p}^2\rangle-2\beta\hbar\left\langle\dfrac{1}{r}\right\rangle+\beta^2\ge 0,\mbox{(*)}

słuszną dla każdego \beta. Bierzemy najpierw \beta=\hbar\langle\frac{1}{r}\rangle. Dostajemy nierówność

\langle {\bf p}^2\rangle\ge \hbar^2\left\langle \dfrac{1}{r}\right\rangle^2.

Dla dowolnej wartości r_0>0 możemy ograniczyć wartość całki do obszaru r<r_0, gdzie 1/r>1/r_0, otrzymujemy w ten sposób nierówność

\langle {\bf p}^2\rangle^{\frac{1}{2}}\ge \dfrac{\hbar}{r_0} Pr(r<r_0). 

Wrócimy do niej za chwilę. Raz jeszcze korzystamy z (*), tym razem dla \beta=\frac{me^2}{\hbar}. Porządkując wyrazy, otrzymujemy wartość oczekiwaną energii:

\boxed{ \left\langle \dfrac{{\mathbf p}^2}{2m}-\dfrac{e^2}{r}\right\rangle\ge -\dfrac{me^4}{2\hbar^2.}}

Mechanika kwantowa przewiduje zatem dolną wartość energii, równą -13,6\, \rm{eV}.

Aby oszacować \langle{\mathbf p}^2\rangle , założymy, że mamy elektron w stanie związanym, a więc całkowita energia jest ujemna – klasycznie znaczy to, że elektron nie może uciec z pola elektrostatycznego protonu. 

Mamy

\left\langle \dfrac{{\mathbf p}^2}{2m}-\dfrac{e^2}{r}\right\rangle<0,

co można przepisać w postaci

\left\langle \dfrac{{\mathbf p}^2}{4m}\right\rangle<-\left\langle \dfrac{{\mathbf p}^2}{4m}-\dfrac{e^2}{r}\right\rangle.

Do prawej strony możemy zastosować nierówność z ramki przy masie cząstki równej 2m. Otrzymujemy stąd szacowanie dla

\left\langle {\mathbf p}^2\right\rangle \le \dfrac{2me^2}{\hbar}.

Ostatecznie, prawdopodobieństwo znalezienia elektronu nie dalej niż r_0 od jądra spełnia nierówność

\boxed{Pr(r<r_0)<\dfrac{2 r_0}{a_0},}

gdzie a_0\equiv \frac{\hbar}{me^2}\approx 53 \,{\rm pm} zwane jest promieniem Bohra. Jest to promień pierwszej orbity w modelu Bohra.

Widzimy więc, że formalizm mechaniki kwantowej dostarcza wyjaśnienia, czemu atomy są trwałe, co jest niezmiernie ważnym faktem. Uwzględnienie poprawek relatywistycznych itd. niewiele tu zmienia. Można udowodnić więcej: także w układzie wielu jąder i wielu oddziałujących ze sobą elektronów kolaps jest niemożliwy. W tym przypadku ważną rolę odgrywa także fakt, iż elektrony są fermionami, tzn. żadne dwa z nich nie mogą zajmować tych samych stanów (wliczając spin). Podstawowe wyniki w tym obszarze należą do Elliotta Lieba i Waltera Thirringa. Rozważania takie są interesujące ze względów poznawczych, ale także pomagają zrozumieć zachowanie dużych układów, dla których bezpośrednie rachunki bez żadnych przybliżeń są niemożliwe.

Korzystałem z książki E. B. Manoukian, 100 Years of Fundamental Theoretical Physics in the Palm of Your Hand.
Integrated Technical Treatment, Springer Nature 2020.

Satyendra Nath Bose i ostatnia wielka praca Alberta Einsteina (1925)

Einstein w latach dwudziestych zasypywany był listami. Pisali do niego tacy, którzy właśnie rozwiązali zagadkę świata, inni znaleźli błędy w teorii względności i żądali, by się do nich ustosunkował, ktoś prosił o wsparcie albo pomoc w dostaniu się na uczelnię. Pisali także oczywiście nieznani naukowcy. W czerwcu 1924 roku otrzymał list z Indii od Satyendry Bosego wraz z załączoną pracą. Autor pragnął ni mniej, ni więcej, tylko by Einstein przełożył jego pracę na niemiecki oraz posłał do druku w „Zeitschrift für Physik” (nie wspomniał przy tym, że praca została odrzucona przez „Philosophical Magazine”):

Wielce szanowny panie, ośmielam się przesłać panu załączony artykuł do przejrzenia i zaopiniowania. Chciałbym wiedzieć, co pan o nim sądzi. (…) Nie znam niemieckiego w stopniu wystarczającym, aby przetłumaczyć artykuł. Jeśli uważa pan, że artykuł wart jest publikacji, to będę wdzięczny, jeśli przekaże go pan do publikacji w «Zeitschrift für Physik». Choć zupełnie mnie pan nie zna, to bez wahania proszę pana o taką rzecz. Gdyż wszyscy jesteśmy pańskimi uczniami poprzez pańskie prace. Nie wiem, czy jeszcze pan pamięta, że ktoś z Kalkuty prosił o pozwolenie na przekład pańskich prac z teorii względności na angielski. Udzielił pan zgody. Książka została opublikowana. Ja przełożyłem pański artykuł na temat ogólnej względności.

Rzeczywiście, praca Bosego na początku lipca została posłana do druku, pod tekstem jest notka: „przełożone przez A. Einsteina” oraz uwaga tłumacza, iż praca stanowi „ważny postęp”. Warto zwrócić uwagę na pokorę Alberta Einsteina: był najsławniejszym uczonym świata, niedawno przyznano mu Nagrodę Nobla, lecz zdecydował się na przekład i zarekomendowanie pracy kogoś zupełnie nieznanego (w dodatku jego znajomość angielskiego nie była zbyt dobra, więc rzecz nastręczała kłopoty praktyczne, podejrzewam, że pomagała mu jego pasierbica Ilse albo sekretarka Betty Neumann). Niewątpliwie uczynił to w interesie nauki, ponieważ praca Bosego wydała mu się oryginalna. Trzydziestoletni Bose uczył fizyki na uniwersytecie w Dakce i przedstawił nowe wyprowadzenie wzoru Plancka dla promieniowania cieplnego. Wzór ten wyprowadzano wciąż na nowo, nie tylko dlatego, że był ważny, ale i dlatego że te wszystkie wyprowadzenia nie były do końca zadowalające. Praca Bosego zawierała istotny szczegół techniczny, który zainteresował Einsteina, a mianowicie inne liczenie stanów dla gazu fotonów. Najkrócej mówiąc, Bose obliczał liczbę stanów gazu tak, jakby fotony były nierozróżnialne. Wyobraźmy sobie rzut monetą: mamy dwa wyniki (stany monety): orzeł albo reszka. Rozważmy teraz jednoczesny rzut dwiema monetami. Jakie są możliwe stany? dwa orły; dwie reszki; orzeł i reszka. W przypadku monet zawsze możemy odróżnić od siebie dwa wyniki: reszka na pierwszej i orzeł na drugiej oraz orzeł na pierwszej i reszka na drugiej. Gdy obliczamy prawdopodobieństwa, mamy 4 stany. W przypadku fotonów należy liczyć tak, jakby był tylko jeden stan orzeł-reszka, bo nasze monety są z natury nierozróżnialne.

satyendra
Einstein przełożył na niemiecki jeszcze jedną pracę Bosego, choć się z nią nie zgadzał. Hinduski uczony na podstawie pocztówki od Einsteina uzyskał na uczelni dwuletnie stypendium do Europy oraz – na tej samej podstawie – bezpłatną wizę niemiecką. Przyjechał do Europy, ale nie zrobił już nic podobnej wagi.

Einstein natomiast zastosował podejście Bosego do gazu kwantowego, tzn. zwykłego gazu atomów, lecz potraktowanego kwantowo. Okazało się, że ma on pewną niezwykłą własność: w dostatecznie niskiej temperaturze pewien ułamek atomów zgromadzi się w stanie o najniższej energii, a reszta będzie nadal tworzyć gaz, czyli przyjmować rozmaite dostępne energie. Było to przejście fazowe, jak skraplanie pary albo pojawianie się namagnesowania w żelazie, gdy obniżamy temperaturę. Zjawisko znane jest pod nazwą kondensacji Bosego-Einsteina, choć Bose nie ma z nim zupełnie nic wspólnego(*).

Kondensacja Bosego-Einsteina zachodzi tylko z tego powodu, że atomy „chętnie” zajmują ten sam stan, nie muszą się wcale przyciągać. Praca Einsteina stanowiła pierwszy przykład teoretycznego opisu przejścia fazowego i z tego powodu była zamieszczana w podręcznikach. Wyjaśniło się później, że nie wszystkie atomy będą się tak zachowywać, bo cząstki kwantowe dzielą się na dwie grupy: bozony i fermiony. Pierwsze mogą obsadzać licznie ten sam stan, drugie – tylko pojedynczo – jak np. elektrony. Tylko bozony mogą podlegać kondensacji, chyba że fermiony połączą się np. w pary, które będą już bozonami.

W roku 1925 Einstein zajmował się głównie nie fizyką kwantową, lecz konstruowaniem jednolitej teorii grawitacji i pola elektromagnetycznego. Miał to robić bez powodzenia przez następne 30 lat. W lipcu 1925 zaczęła się kwantowa rewolucja – Werner Heisenberg wysłał pierwszą pracę nt. mechaniki kwantowej, w ciągu miesięcy rozpoczął się najważniejszy przewrót w fizyce XX wieku. Einstein obserwował go z bliska, lecz nie wziął w nim udziału. Nie podzielał entuzjazmu młodszych kolegów i Nielsa Bohra dla nowej fizyki. Dlatego ta praca o gazie kwantowym jest ostatnią, która ma znaczenie, by tak rzec, podręcznikowe.
W końcu roku 1924 Einstein zapisał równania dla takiego gazu nieoddziałujących bozonów i przewidział kondensację (praca została opublikowana w styczniu 1925 r.). W roku 1995, równo siedemdziesiąt lat później, udało się ten podręcznikowy przykład zrealizować doświadczalnie. Wygląda to tak:

640px-Bose_Einstein_condensate

Widzimy tu rozkład prędkości atomów rubidu dla kilku zmniejszających się temperatur. Temperatura kondensatu to 170 nK (nanokelwinów, czyli 10^{-9} K). Atomy kondensują w stanie podstawowym, który ma postać spłaszczonej górki: odzwierciedla to kształt pułapki, w jednym kierunku bardziej stromej niż w drugim (prędkości zachowują się odwrotnie: rozkład jest szerszy w tym kierunku, w którym pułapka jest bardziej stroma – jest to przejaw zasady nieoznaczoności).

Autorzy tych eksperymentów, Eric Cornell i Carl Wieman, kilka lat później dostali Nagrodę Nobla, jest to obecnie cała dziedzina badań eksperymentalnych i teoretycznych.

Przyjrzyjmy się bliżej efektowi odkrytemu przez Einsteina. Bose najprawdopodobniej nie zdawał sobie sprawy, że traktuje fotony jak cząstki nierozróżnialne. Einstein zastosował podejście Bosego do cząstek „zwykłego” gazu jednoatomowego (można wtedy nie zajmować się drganiami i obrotami, które ważne są w przypadku cząsteczek chemicznych). Otrzymał zmodyfikowane równanie stanu gazu doskonałego, w którym ciśnienie jest mniejsze niż wynikałoby z równania Clapeyrona (pV=nRT). Koledzy, m.in. Paul Ehrenfest i Erwin Schrödinger, zwrócili mu uwagę, że licząc stany gazu na sposób Bosego, odchodzi od przyjętych zasad mechaniki statystycznej Boltzmanna. Można to przedstawić na obrazku. Mamy tu dwa stany i dwie cząstki do rozmieszczenia.

W statystyce Bosego-Einsteina cząstki są nierozróżnialne. To nowa cecha mechaniki kwantowej (której, pamiętajmy, wciąż jeszcze nie ma). Wiadomo było, że atomy są jednakowe, ale fizyka klasyczna nie bardzo potrafiła sobie z tym faktem poradzić. James Clerk Maxwell porównywał atomy do standaryzowanych wytworów fabrycznych (fabrykantem byłby tu Bóg). W zasadzie jednak atomy klasyczne powinny być rozróżnialne, co na obrazku statystyki Boltzmanna zaznaczyłem kolorami. Klasyczna fizyka statystyczna Boltzmanna była tu nie do końca konsekwentna, ponieważ we wzorach na entropię, należało wprowadzić dodatkowy czynnik ad hoc (tzw. poprawne zliczanie boltzmannowskie). W roku 1926 pojawił się drugi rodzaj statystyki, obowiązujący dla fermionów. Paul Dirac zauważył, że chodzi o symetrię funkcji falowej, która w przypadku bozonów jest całkowicie symetryczna na przestawienia cząstek identycznych, a w przypadku fermionów – antysymetryczna. Zapełnianie powłok elektronowych i orbitali w chemii są konsekwencją faktu, że elektrony są fermionami.

W świecie kwantowym (czyli naszym) każda cząstka jest albo bozonem, albo fermionem. Jest to fakt fundamentalny. Einstein, idąc w ślady Bosego, wprowadził do fizyki cząstki identyczne. Sam Bose prawdopodobnie nie zdawał sobie sprawy z konsekwencji nowego sposobu liczenia stanów. Zdroworozsądkowe liczenie stanów jak u Boltzmanna nie odpowiada rzeczywistości i nie jest zgodne z doświadczeniem. 

Wróćmy do gazu atomowych bozonów. Różni się on od fotonów tym, że liczba cząstek powinna być zachowana: atomy w naczyniu nie znikają ani nie pojawiają się znienacka, podczas gdy fotony mogą być emitowane i pochłaniane przez ścianki naczynia. W danej temperaturze T średnie zapełnienie stanów o energii \varepsilon_i jest równe wg statystyki Boltzmanna

\overline{n}_i=\lambda g_i \exp{\left(-\dfrac{\varepsilon_i}{kT}\right)},

gdzie \lambda jest pewną stałą normalizacyjną, g_i – liczbą stanów o energii \varepsilon_i, a k – stałą Boltzmanna. Iloczyn kT jest temperaturą wyrażoną w jednostkach energii i co do rzędu wielkości jest równy średniej energii cząstek w danej temperaturze (np. w jednoatomowym gazie doskonałym średnia energia kinetyczna atomów jest równa \frac{3}{2}kT).

Wynik otrzymany przez Einsteina dla gazu bozonów miał postać następującą:

\overline{n}_i=\dfrac{g_i}{\lambda^{-1}\exp{\left(\dfrac{\varepsilon_i}{kT}\right)}-1}.

Łatwo zauważyć, że oba wyrażenia dadzą ten sam wynik, gdy wartość eksponenty jest dużo większa od 1 i można tę jedynkę w mianowniku pominąć. Na ogół średnia liczba obsadzonych stanów bozonowych jest większa, niż przewiduje to statystyka Boltzmanna. Podobne wyrażenie można też uzyskać dla fermionów, mamy wtedy do czynienia z gazem fermionów. Przykłady to gaz elektronów w metalu albo białym karle. Wyrażenie różni się znakiem jedynki w mianowniku, ale nie bedziemy tej kwestii rozwijać.

Einstein zastosował statystykę BE do gazu nieoddziałujących atomów zamkniętych w pudle. My zastosujemy ją do innej sytuacji, a mianowicie nieoddziałujących bozonów zamkniętych w parabolicznym potencjale. Jest to zwykły oscylator harmoniczny. Okazuje się, że sytuację taką można zrealizować eksperymentalnie, a w dodatku jest ona fizycznie przejrzysta i Einstein nie miałby żadnych trudności z zapisaniem wyrażeń, które rozpatrzymy niżej. Po prostu nikomu się wówczas nie śniło, że można będzie taki eksperyment zrealizować, więc nie miało sensu robić obliczenia dla tego przypadku. Choć mechaniki kwantowej ciągle jeszcze nie było, to wiadomo było, że energia oscylatora jest skwantowana i równa

E=h\nu(n_x+n_y+n_z),

gdzie h jest stałą Plancka, \nu – częstością oscylatora, a liczby kwantowe n_i są całkowite i nieujemne, przy czym . Kolejne dozwolone tworzą drabinę stanów oddalonych o h\nu. Inaczej mówiąc, dozwolone energie są równe

E=nh\nu,\,\,\, \mbox{gdzie}\,\,\, n=n_x+n_y+n_z.

Jak łatwo obliczyć, liczba stanów o takiej energii równa jest

g_n=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}.

Jeśli do takiego harmonicznego potencjału wprowadzimy N bozonów, to suma średnich liczb obsadzeń musi się równać N:

{\displaystyle N=\sum_{k=0}^{\infty}\overline{n}_k=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{g_k}{\lambda^{-1}\exp{\left(\dfrac{k}{T}\right)}-1}.}

W ostatnim wyrażeniu wprowadziliśmy temperaturę mierzoną w jednostkach h\nu, tzn. nasze nowe T jest równe \frac{kT}{h\nu}. Jest to jedyny parametr teorii. Wartość \lambda musi być taka, żeby ostatnie równanie było spełnione. Ponadto mianownik z funkcją wykładniczą musi być dodatni, więc \lambda<1 (średnie liczby obsadzeń nie mogą być ujemne, tak samo jak np. średnia liczba brunetów w próbce ludzi).

Dalej niesie nas już formalizm, tak jak poniósł Einsteina w grudniu 1924 roku. Możemy z N wydzielić obsadzenie stanu postawowego N_0:

{\displaystyle N=N_0+ \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{g_k}{\lambda^{-1}\exp{\left(\dfrac{k}{T}\right)}-1}\equiv N_0+N_{exc}(T,\lambda).}

Suma N_{exc}(T,\lambda) osiąga maksymalną wartość przy \lambda=1:

{\displaystyle N_{max}(T)=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{g_k}{\exp{\left(\dfrac{k}{T}\right)}-1}.}

Suma ta zależy wyłącznie od temperatury! Wykrzyknik oznacza nasze (i Einsteina) zdziwienie w tym miejscu. Zobaczmy, jak wygląda ta suma w funkcji temperatury.

Przedstawiliśmy tu obliczenia numeryczne (punkty) oraz przybliżenie analityczne:

N_{max}\approx 1.202 T^3\equiv 1.202 \left(\dfrac{kT}{h\nu}\right)^3.

Czemu ten wynik jest dziwny? Ano dlatego, że dla danej temperatury mamy pewną maksymalną liczbę cząstek, jakie można umieścić w danym potencjale. Tymczasem liczba N powinna być dowolnie duża. Ostatnie równanie oznacza, że obniżając temperaturę, osiągniemy w końcu sytuację, w której mamy mniej miejsc do obsadzenia niż cząstek. To oczywiście niemożliwe. Poniżej temperatury zadanej ostatnim równaniem, jakaś część atomów musi znajdować się w stanie podstawowym, i to część makroskopowo zauważalna. Inaczej mówiąc, atomy zaczną się kondensować w stanie o energii zerowej. W tym obszarze temperatur, parametr \lambda jest praktycznie równy 1. Mamy więc warunek

N\approx 1.202 T_{0}^3, \,\, \mbox{(**)}

określający temperaturę krytyczną T_0 przy danej liczbie atomów oraz liczbę atomów w stanach wzbudzonych poniżej temperatury krytycznej:

N_{exc}=N_{max}(T)=N \left(\dfrac{T}{T_0}\right)^3.

Atomy, które nie są wzbudzone, są w stanie podstawowym, zatem ich liczba równa się

N_0=N\left(1-\left(\dfrac{T}{T_0}\right)^3\right).

Funkcję tę przedstawiliśmy na wykresie.

Ważne jest, aby odróżniać kondensację Bosego-Einsteina od zwykłego wzrostu liczby obsadzeń stanu podstawowego wraz ze spadkiem temperatury. Tutaj mamy do czynienia z przejściem fazowym, pierwszym, jakie zostało opisane w fizyce statystycznej. Rozumowanie Einsteina było nieoczywiste dla kolegów. Nie było wcale jasne, czy formalizm fizyki statystycznej w ogóle może opisać przejścia fazowe. Tutaj w dodatku Einstein zaproponował nową statystykę, która mogła, ale wcale nie musiała okazać się prawdziwa. Ponadto model nieoddziałujących atomów jest nadmiernie uproszczony, co jest zarzutem technicznym, ale potencjalnie istotnym dla słuszności konkluzji. Sam Einstein nie był pewien i podkreślał, że tak może być, lecz nie ma co do tego pewności. Jednak jego dwudziestoletnie doświadczenie z fizyką statystyczną nie zawiodło. Statystyka okazała się prawdziwa (dla bozonów). Przejścia fazowe zaczęto na serio badać dopiero w latach trzydziestych (por. Lars Onsager i model Isinga). Jedna ze współpracowniczek Einsteina w latach czterdziestych Bruria Kaufman współpracowała z Larsem Onsagerem przy uproszczeniu jego monumentalnej pracy nt. modelu Isinga w dwóch wymiarach. Także Chen Ning Yang zajmował się modelem Isinga i nawet starał się zainteresować tym tematem Einsteina, gdy pracował w IAS w Princeton.

Ze współczesnego punktu widzenia faza skondensowana jest makroskopowo widocznym stanem kwantowym. Pewien odsetek atomów znajduje się w tym samym stanie, w przypadku pułapki harmonicznej gęstość atomów zarówno w przestrzeni położeń, jak i pędów, jest gaussowska, co odpowiada funkcji falowej stanu podstawowego oscylatora.

Wygląda to jak na obrazkach: w miarę obniżania temperatury pojawia się gaussowskie wąskie skupienie atomów, które rośnie w miarę zbliżania się do zera bezwzględnego. Czerwona linia pionowa obrazuje temperaturę. Widzimy też skok ciepła właściwego, co jest jednym ze wskaźników przejścia fazowego (Obrazki wg Bose-Einstein Condensation in a Harmonic Trap).

Atomy rubidu 87 użyte przez odkrywców kondensacji mają 37 elektronów i 87 nukleonów w jądrze, a więc parzystą liczbę fermionów, dlatego są bozonami. Pułapki stosowane w eksperymencie mają nieco odmienne częstości w różnych kierunkach, przez co rozkłady są iloczynami trzech funkcji Gaussa z róńymi szerokościami wzdłuż osi x,y,z.

(*) Obowiązują w historii nauki dwie zasady:
Zasada Arnolda: Jeśli jakieś pojęcie nazwano czyimś imieniem, to nie jest to imię odkrywcy.
Zasada Berry’ego: Zasada Arnolda stosuje się do samej siebie.
(Chodzi o Michaela Berry’ego i Vladimira Arnolda)

(**) W niskich temperaturach suma może być zastąpiona całką, ponieważ funkcja zmienia się bardzo wolno. Otrzymuje się wówczas

{\displaystyle N_{max}(T)\approx\dfrac{T^3}{2}\int_{0}^{\infty}\dfrac{x^2 dx}{e^{x}-1}= \dfrac{T^3}{2} \Gamma(3)\zeta(3),}

gdzie \Gamma i \zeta to funkcje Eulera i Riemanna.

Flaszki Kleista i butelki lejdejskie: elektryczny szok uczonej Europy (1745-1746)

Ważne odkrycia niemal zawsze są niespodziewane, bywają także niebezpieczne, gdyż odkrywcy zwykle są w roli ucznia czarnoksiężnika, rozpętując moce, nad którymi nie potrafią zapanować. Odkrycie butelki lejdejskiej stanowiło przełom w badaniach elektryczności. Do tej pory była ona jedynie źródłem interesujących i zabawnych pokazów. Elektron znaczy po grecku bursztyn, i to bursztyn był pierwszą substancją używaną do wywołania zjawisk przyciągania i odpychania lekkich drobnych przedmiotów w rodzaju skrawków papieru. Zauważono, że także inne materiały, jak siarka albo szkło, elektryzują się przez tarcie. Znane było doświadczenie Graya, pokazujące, że elektryczność może być przekazywana także przez ciało ludzkie.

0154.P.2.1612.1032

Stephen Gray, farbiarz, astronom i okazjonalnie demonstrator eksperymentów w Towarzystwie Królewskim, został pod koniec życia pensjonariuszem Charterhouse, czegoś w rodzaju szpitala z domem starców dla gentlemanów (pojęcie w Anglii bardzo rozciągliwe) połączonego z sierocińcem i szkołą. Do eksperymentów używał czterdziestosiedmiofuntowego chłopca zawieszonego na jedwabnych izolujących pasach. Na rysunku widzimy jeden z wariantów takiego doświadczenia. Osoba B obraca tu za pomocą przekładni szklaną kulę C, która jest pocierana ręką osoby D. Zawieszony w powietrzu chłopiec stopami dotyka kuli, podając rękę dziewczynce G (stojącej na izolacyjnej podkładce z żywicy albo smoły). Jej ręka przyciąga skrawki złotej folii leżące na gerydonie H. Na drugim rysunku mamy naelektryzowaną szklaną rurkę TT, która za pomocą brązowego drutu B połączona jest z dzwonkiem A. Młoteczek C zawieszony jest na jedwabnym sznurze i jest na przemian przyciągany oraz odpychany przez A, w rezultacie oscyluje między dzwonkami A i E, wywołując ich dzwonienie.

Georg Matthias Bose, profesor filozofii naturalnej z Wittenbergi i autor marnych francuskich wierszy, w swych eksperymentach przejawiał iście germańskie poczucie humoru. Jeden z nich, znany jako Venus electrificata, polegał na tym, by naelektryzować damę stojącą na izolowanej podkładce. Gdy następnie jakiś kawaler próbował ją pocałować, rażony był iskrą wybiegającą z warg wybranki. Innym jego popisowym doświadczeniem była „beatyfikacja”: delikwent wkładał na głowę specjalną koronę, która po naelektryzowaniu świeciła. Mimo tak bezceremonialnego podejścia do aureoli i świętości starał się Bose o uznanie wszędzie, nawet w Turcji i u Ojca Świętego Benedykta XIV. To ostatnie ściągnęło na niego represje na macierzystej uczelni, kolebce luteranizmu, spór musiał zażegnywać król Fryderyk.

bub_gb_FSJWAAAAcAAJ-xx

Jesienią 1745 roku eksperymentami elektrycznymi zajął się dziekan luterańskiej kapituły katedralnej w Kamieniu Pomorskim, Ewald Georg von Kleist. Dwadzieścia lat wcześniej studiował on w Lipsku i w Lejdzie i mógł się już wtedy zetknąć z elektrycznością, choć bezpośredniej inspiracji dostarczyły mu stosunkowo niedawne eksperymenty Bosego, m.in. uzyskiwanie iskry z wody oraz zapalanie spirytusu za pomocą elektryczności. Wyobrażano sobie wówczas elektryczność jako jakiś pewien rodzaj rodzaj subtelnej materii jakoś spowinowaconej z ogniem, mówiono nawet o ogniu elektrycznym. Eksperymenty z czerpaniem ognia z wody bądź zamianą iskry elektrycznej na rzeczywisty płomień zdawały się potwierdzać bliski związek obu tych tajemniczych substancji. Kleist pragnął naelektryzować wodę i udało mu się to w następujący sposób: butelkę napełniał częściowo wodą, rtęcią albo spirytusem, następnie zatykał korkiem, przez który przechodził drut albo gwóźdź. Jeśli trzymało się ten wynalazek w ręku, podczas gdy gwóźdź podłączony był do machiny elektrostatycznej, można było go bardzo mocno naelektryzować. Kolba średnicy czterech cali po naelektryzowaniu potrafiła powalić chłopca w wieku ośmiu bądź dziewięciu lat, jak starannie odnotował dobry dziekan (nie podając wszakże wagi chłopca). Po raz pierwszy wytworzona przez człowieka elektryczność przestała być niewinną salonową zabawą. Jak pisał Kleist, każdemu odechciałoby się całowania tak naelektryzowanej Wenus.

flasche-xx

Rysunek von Kleista z listu do Pawła Świetlickiego, diakona luterańskiego kościoła św. Jana w Gdańsku, przedstawiający jego urządzenie (z listu tego korzystał D. Gralath)

Odkrycie von Kleista było przypadkowe: nie rozumiał on, dlaczego musi trzymać swoje urządzenie w ręku, aby działało. Chcąc nagromadzić dużą ilość elektrycznego ognia, należałoby raczej izolować naczynie zamiast trzymać je w ręku i w ten sposób uziemiać. Dziś wiemy, że flaszka Kleista, jak nazywano ją czasem w Niemczech, była po prostu kondensatorem: ręka i woda z gwoździem stanowiły jego dwie okładki rozdzielone szkłem. Z punktu widzenia ówczesnej wiedzy działanie tego urządzenia było jednak niezrozumiałe. Spośród kilku uczonych, którzy otrzymali listowne doniesienia Kleista, eksperyment zdołał powtórzyć chyba tylko Daniel Gralath (a właściwie jego pomocnik Gottfried Reyger) w Gdańsku. Niedługo później, już w roku 1746, podobne doświadczenie przeprowadzono niezależnie w Lejdzie. Także i tu pierwszym odkrywcą był naukowy amator, Andreas Cunaeus, prawnik, zabawiający się eksperymentami w pracowni miejscowego profesora Pietera van Musshenbroeka. Przypadkowo zauważył on to samo co Kleist, jego eksperyment powtórzył później pomocnik profesora, Jean Nicolas Allamand, a na koniec i sam Musshenbroek, który był nim tak mocno wstrząśnięty, że, jak wyznał swemu paryskiemu koledze, nawet za całe królestwo Francji nie chciałby tego przeżyć po raz drugi.

leiden exp-x

Strach niebawem minął i elektrowstrząsy za pomocą butelek lejdejskich zaczęli wytwarzać wszyscy eksperymentatorzy, choć przez pewien czas do dobrego tonu należało informować o przypadkach konwulsji, paraliżu, zawrotów głowy itp. Żona profesora z Lipska, Johanna Heinricha Wincklera, po dwóch wyładowaniach poczuła się tak słabo, że ledwie mogła mówić. Tydzień później mąż zaaplikował jej jeszcze jedno wyładowanie, po którym krew się jej puściła z nosa. Profesor Winckler humanitarnie wstrzymał się jednak od przeprowadzania eksperymentów na ptakach, nie chcąc zadawać owym stworzeniom niepotrzebnych cierpień. Abbé Jean Antoine Nollet, mistrz pokazów fizycznych, utrzymujący się z produkcji naukowych urządzeń dla bogatych klientów, takich jak np. Voltaire i pani du Châtelet, zaprezentował w obecności króla Ludwika XV żywy łańcuch 180 grenadierów, poprzez który rozładowywała się butelka lejdejska. Wszyscy oni jednocześnie podskakiwali, co tak bardzo podobało się suwerenowi, że kazał sobie ten eksperyment powtarzać.