Wzór Herona, Archimedes i zasada Arnolda

Heron z Aleksandrii żył gdzieś między datą śmierci Archimedesa (212 p.n.e.) a Pappusem, żyjącym w IV w.n.e. Jedyna informacja pozwalająca lepiej zlokalizować go w czasie, to zaćmienie Księżyca w roku 62 n.e., które opisał. Prawdopodobnie więc w owym roku zaliczał się między żywych, nim – jak wszyscy – przeszedł do krainy cieni. Nauczał w aleksandryjskim Muzeum (które było czymś w rodzaju elitarnej uczelni i instytutu badawczego), pozostawił wiele dzieł, i to one nas tu interesują.

Nastawiony praktycznie, w swej Pneumatyce opisał wiele urządzeń poruszanych siłą powietrza albo pary wodnej. Były tam urządzenia takie, jak wrota świątynne, które same się otwierały, gdy rozpalono ogień na ołtarzu. Trzeba było zaczekać, aż w naczyniu z prawej skondensuje się dostatecznie dużo pary, czas biegł wtedy wolniej, ludzie się nie spieszyli.

Samoczynne urządzenia zaspokajały potrzebę cudowności i podziwu, tę samą co dziś Gwiezdne wojny albo krwawiąca hostia w Legnicy, poza tym jednak nie służyły do niczego. Heron napisał podręcznik efektów specjalnych.

Zawartość [tego dzieła] stanowiła zawsze źródło konsternacji i rozpaczy dla poważnie myślących badaczy. Heron opisuje wprawdzie pewne użyteczne urządzenia, jak pompa strażacka albo organy wodne, ale cała reszta to zabawki, mechaniczne kukiełki albo przyrządy do salonowych sztuczek magicznych. Naczynia, które tryskają wodą bądź winem oddzielnie albo w stałych proporcjach, śpiewające ptaszki i grające trąbki, figurki poruszające się, gdy na ołtarzu rozpali się ogień, zwierzęta, które piją, gdy poda im się wodę – jak szanować autora, który poważnie zajmuje się tymi wszystkimi błahostkami? (A.G. Drachmann)

Napisał też Heron sporo dzieł geometrycznych, ale nastawionych inżyniersko, praktycznych. W jednym z nich, Metrikon, znajdują się metody obliczania pola powierzchni oraz objętości brył. W Egipcie, gdzie po każdym wylewie Nilu trzeba było od nowa wyznaczać granice działek rolnych, geometria praktyczna była w cenie. Geometria po grecku znaczy właśnie sztukę mierzenia ziemi.

Oto jeden z przykładów Herona. Mamy trójkąt o bokach 7, 8, 9. Znaleźć jego pole. Uczony podaje przepis: obliczamy najpierw długość obwodu i dzielimy ją przez dwa:

$p=\dfrac{7+8+9}{2}=12.$

Następnie od liczby tej odejmujemy długości poszczególnych boków $a,b,c$ :

$p-a=12-7=5,$

$p-b=12-8=4,$

$p-c=12-9=3,$

Uzyskane w ten sposób cztery liczby mnożymy przez siebie i wyciągamy pierwiastek z wyniku:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{720}.$

Jest to tzw. wzór Herona. Uczony nie kończy jednak na zapisaniu pierwiastka – geodeta potrzebuje jakiegoś przybliżenia. Uczony podaje w tym celu pewien algorytm. Najbliższym pełnym kwadratem większym niż 720 jest liczba $729=27^2$ . Weźmy $27$ jako pierwsze przybliżenie naszego pierwiastka. Wiemy, że to za dużo. Możemy podzielić $720$ przez $27$ – gdyby to była prawidłowa wartość pierwiastka, to otrzymalibyśmy tę samą liczbę. Nasze przybliżenie jest z nadmiarem, po podzieleniu dostaniemy wynik z niedomiarem: $26\frac{2}{3}$ . Bierzemy teraz średnią arytmetyczną obu przybliżeń i to będzie nasz wynik:

$\dfrac{27+26\frac{2}{3}}{2}=26+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}.$

Heron kończy w tym miejscu, obliczając, że kwadrat ostatniej liczby jest trochę za duży. W postaci algebraicznej można by ten algorytm znajdowania $\sqrt{A}$ zapisać następująco:

$x_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(x_n+\dfrac{A}{x_n}\right).$

Jest on bardzo szybko zbieżny kolejne wartości to: $27; 26,83333333; 26,83281573$ – w trzecim przybliżeniu wszystkie cyfry są dokładne!

Heron nie tylko podał przepis na obliczanie pola trójkąta, ale także zamieścił jego dowód. Jak się zdaje, wyrażenie to znał już Archimedes, Heron nie przypisuje sobie zresztą pierwszeństwa. Ponieważ to jego praca się zachowała, mówimy o wzorze Herona. W dziejach nauki jest mnóstwo takich mylnie przypisywanych określeń. Tak wiele, że Michael Berry, znakomity fizyk matematyczny, sformułował kiedyś dwie następujące żartobliwe zasady:

Zasada Arnolda. Jeśli jakieś pojęcie nazwano czyimś imieniem, to nie jest to imię odkrywcy.

Zasada Berry’ego. Zasada Arnolda stosuje się do samej siebie.

(Chodzi o Vladimira Arnolda, też znakomitego matematyka.)

Podamy trzy dowody. Pierwszy, algebraiczny, znaleziony został przez uczonych arabskich i podawany był także przez Leonarda Pisano, zwanego Fibonacci (od filius Bonacci – syn Bonacciego) w XIII w. oraz Niccolò Fontanę, zwanego Tartaglia (Jąkała) w XVI w. Drugi będzie współczesny trygonometryczny. Trzeci, geometryczny, podany przez Herona, jest najmniej przejrzysty dla dzisiejszego czytelnika.

Jest to właściwie dowód „siłowy”, wywodzący się z przekształceń formalnych.

Obliczamy brakującą wysokość trójkąta, wyrażając ją przez $u=b\cos\alpha$ i korzystając z twierdzenia cosinusów. Można tu nie wprowadzać funkcji cosinus i korzystać wyłącznie z twierdzeń zawartych w Elementach Euklidesa.

$16S^2=4c^2h^2=4c^2(b^2-u^2)=4c^2b^2-4c^2u^2.$

Z tw. cosinusów mamy

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha=b^2+c^2-2cu \Rightarrow 2cu=b^2+c^2-a^2.$

Podstawiając to do wyrażenia wyżej i korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, otrzymujemy wynik w postaci

$16S^2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c).$

Punktem wyjścia dwóch pozostałych dowodów jest następująca obserwacja. Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży na przecięciu dwusiecznych kątów trójkąta. Ponieważ dwie styczne poprowadzone z pewnego punktu na zewnątrz okręgu są tej samej długości, możemy łatwo wyrazić pole trójkąta jako sumę trzech prostokątów.

Wynika stąd, że pole trójkąta równe jest

$S=p\rho.$

Należy więc wyrazić $\rho$ przez długości boków.

Podejście trygonometryczne. Korzystamy z następującej tożsamości słusznej, gdy trzy kąty $\alpha, \beta, \gamma$ dają w sumie kąt prosty:

$1=\mbox{ tg }\alpha \mbox{ tg }\beta+\mbox{ tg }\alpha\mbox{ tg }\gamma+\mbox{ tg }\beta\mbox{ tg }\gamma.$

Do wykazania tego faktu wystarczy poniższy rysunek.

Zaczynamy od lewego niebieskiego trójkąta, potem dorysowujemy ten sam trójkąt, lecz przeskalowany (wszystkie boki razy $\mbox{tg}\beta$ ). Uzupełniamy rysunek do prostokąta. Trójkąt wewnątrz musi mieć kąt $\beta$ , a stąd wynika, że trzeci zaznaczony kąt równy jest $\alpha$ . Możemy więc długości boków zapisać jak w wyrażeniach z prawej strony prostokąta. Równość obu boków prostokąta daje nam szukaną tożsamość (*).

Wracając do rysunku trójkąta z okręgiem wpisanym, łatwo zauważyć, że tangensy połowy kątów trójkąta znaleźć możemy z odpowiednich trójkątów prostokątnych, np. w niebieskim trójkącie, mamy

$\mbox{tg }\beta=\dfrac{\rho}{y}=\dfrac{\rho}{p-b}.$

Wstawiając te wyrażenia do powyższej tożsamości, otrzymuje się wyrażenie na promień okręgu wpisanego, a stąd pole trójkąta.

Na koniec przedstawimy oryginalny dowód Herona. Wiadomo, że nie jest to dowód samego Archimedesa, ponieważ uczony z Syrakuz nie używał pewnych środków technicznych tu użytych. Oto rysunek z pracy Herona w wydaniu filologicznym oraz jego przejrzystsza wersja z książki Geometry by Its History, A. Ostermanna i G. Wannera.

Mamy trójkąt $ABC$ z dwusiecznymi $BI, AI, CI$ . Rysujemy dwie prostopadłe: do $BC$ w wierzchołku $C$ oraz do $BI$ w punkcie $I$ . $BL$ jest w ten sposób przeciwprostokątną dwóch trójkątów prostokątnych $BLC$ oraz $BLI$ . Możemy więc na obu opisać wspólny łuk okręgu zaznaczony linią przerywaną. Rozważamy teraz kąty o wierzchołku w punkcie $M$ . Dwa z nich to $\gamma$ i $\beta$ , co wynika z twierdzenia o kacie środkowym i kacie wpisanym opartym na tym samym łuku. Zatem kąt $CML$ musi być równy $\alpha$ , bo suma trzech kątów trójkąta równa się kątowi półpełnemu. Wobec tego kąt $CBL$ jest równy $\alpha/2$ . Mamy więc dwa podobne trójkąty prostokątne: $BLC$ oraz $AID$ . Mamy stąd równość