Dziewiąty wykład Feynmana: Co mówi druga zasada dynamiki?

Zadziwiające, jak wiele osób nie czuje sensu drugiej zasady dynamiki, mimo wieloletniej szkolnej mitręgi. Druga zasada to podstawowe prawo matematyczne całej mechaniki: wszystko, co się porusza, można opisać za jej pomocą, dopiero gdy schodzimy na poziom atomowy, potrzebna jest mechanika kwantowa.

Poprzedza ją zasada pierwsza: ruch swobodny ciała (tzn. gdy nie działają na nie siły) to ruch jednostajny i prostoliniowy. Wyobraźmy sobie krążek hokejowy ślizgający się po nieskończonym lodowisku: jeśli sprawimy, że zniknie całkiem tarcie między krążkiem a lodem, będzie on się ślizgał przez całą wieczność ruchem jednostajnym i prostoliniowym. Przy braku sił ciało może więc spoczywać, ale może też poruszać się jednostajnie. To ambitna zasada, gdyż jest idealizacją rzeczywistego świata.

Teraz zasada druga: jeśli ruch nie jest jednostajny lub nie jest prostoliniowy, to znaczy, że na ciało działa jakaś siła. Zmiany prędkości opisuje przyspieszenie, druga zasada mówi, że przyspieszenie ciała proporcjonalne jest do siły. Sens matematyczny tej zasady tkwi w tym, że jeśli znamy skądś siły występujące w danym przypadku, to możemy obliczyć przyspieszenie ciała.

Przyspieszenie nie mówi wszystkiego o ruchu: zazwyczaj interesuje nas położenie, czasem także prędkość ciała. Musimy znać także warunki początkowe: gdzie się nasze ciało znajduje i jak się porusza w chwili zerowej.

  1. Przyspieszenie mówi nam, jak zmieni się prędkość w krótkim odstępie czasu.
  2. Prędkość z kolei mówi nam, jak zmieni się położenie ciała w krótkim odstępie czasu.

Możemy więc, wykonując dwa kroki: od przyspieszenia do prędkości i od prędkości do położenia znaleźć ich wartości w chwili nieco późniejszej. Znając położenie i prędkość, możemy obliczyć siłę i przyspieszenie w owej późniejszej chwili i powtórzyć całą procedurę od nowa.

Rozpatrzmy przykład masy zawieszonej na sprężynie. Jeśli x będzie wychyleniem tej masy z położenia równowagi, to siła wypadkowa F równa jest

F=-kx,

gdzie k jest pewną stałą charakteryzującą sprężynę. Znak minus informuje, że siła ma zwrot przeciwny do wychylenia. Jeśli nasze ciało ma masę m, to z II zasady dynamiki wynika, że przyspieszenie równe jest

a=-\left(\dfrac{k}{m}\right)x.

Ruch ciała będzie drganiem harmonicznym:

Simple_harmonic_oscillator

Znając pojęcie pochodnej, można znaleźć równanie takiego ruchu, tzn. funkcje x(t) oraz v(t). Można też zrobić to numerycznie, co nie tylko jest łatwe, ale także ilustruje sens drugiej zasady dynamiki. Prędkość średnia ciała w przedziale czasu (t, t+\Delta t) to z definicji

v=\dfrac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}.

Dzielimy zmianę współrzędnej przez odstęp czasu. Tak samo definiuje się średnie przyspieszenie:

a=\dfrac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}.

Dokonujemy więc takiej samej operacji co przedtem, ale tym razem na prędkości. Oba te równania opisują, jak szybko zmienia się wielkość z licznika po prawej stronie. Wyobraźmy sobie teraz, że dzielimy czas na krótkie odcinki o długości \Delta t=\varepsilon. Jeśli odcinki są krótkie, to rozsądnie będzie przybliżyć prędkość średnią dla całego przedziału wartością prędkości w środku tego przedziału. W ten sposób współrzędna x(t+\varepsilon)  równa jest

x(t+\varepsilon)=x(t)+v(t+\varepsilon/2)\varepsilon.

Tak samo możemy postąpić z prędkością i przyspieszeniem:

v(t+\varepsilon/2)=v(t-\varepsilon/2)+a(t)\varepsilon.

Dzięki takiej procedurze możemy znaleźć wartości położeń i prędkości dla dwóch ciągów chwil. W punktach czerwonych obliczamy prędkości (do czego potrzeba przyspieszenia w środkowym punkcie niebieskim), a w punktach niebieskich – położenia.

second law axis

Jeśli znamy tylko prędkość w chwili zero, potrzebne jest dodatkowe równanie dla pierwszego czerwonego punktu:

v(\varepsilon/2)=v(0)+a(0)\dfrac{\varepsilon}{2}.

Metoda taka jest oczywiście tylko przybliżona, w razie gdyby dawała absurdalne wyniki, trzeba zmniejszyć krok czasowy \varepsilon – w każdym zagadnieniu inny odstęp czasu jest „krótki”. Ponieważ mamy powtarzać w kółko ten sam ciąg obliczeń, najlepiej go zaprogramować, najprostszym narzędziem jest dowolny arkusz kalkulacyjny.

Obliczenia wyglądają następująco.

Wyniki dla k/m=1 oraz dwóch wychyleń początkowych x(0)=1, 2 (prędkość początkowa równa jest zeru):

image (1)

Naprawdę nasze rozwiązanie jest tylko dyskretnym zbiorem punktów, ale gdy punkty położone są gęsto, widać wyraźnie linię. Łatwo też zgadnąć, że jest to po prostu wykres funkcji cosinus: x(t)=A\cos t dla dwóch różnych amplitud. Okresem naszego ruchu jest 2\pi. Okres nie zależy od amplitudy: na tej własności opierała się konstrukcja zegarów wahadłowych, przy małych wychyleniach ruch wahadła można opisać bowiem takim samym równaniem jak masę na sprężynie. Generalnie, konstrukcja każdego zegara musi opierać się na jakimś rodzaju drgań, obecnie są to zazwyczaj drgania niemechaniczne.

Rozwiązanie tego problemu jest proste i nie potrzeba komputera, jeśli zna się własności funkcji sinus i cosinus. Metoda numeryczna pozwala jednak rozwiązywać równie łatwo także i bardziej skomplikowane przypadki. Rozpatrzmy np. wahadło matematyczne dla dowolnie dużych wychyleń (przy wychyleniach większych niż kąt prosty, trzeba sobie wyobrażać, że mamy sztywny lekki drążek z ciężarkiem na końcu).

pendulum

W takim przypadku przyspieszenie styczne do toru (czyli łuku okręgu) równe jest

a=-g\sin\gamma=-g\sin\dfrac{x}{l}.

W naszym arkuszu wystarczy tylko zmienić wzór na przyspieszenie. Wygląda to następująco.

Wykres dla przypadku l=g i początkowego kąta wychylenia 3 radiany przedstawia się następująco:

image (2)

Amplituda wahań równa jest około 172^{\circ}. Widzimy, że wahadło niemal zatrzymuje się w pobliżu skrajnych położeń, dlatego okres jest teraz znacznie dłuższy niż przy małych wychyleniach (*). Richard Feynman w swoim wykładzie dziewiątym pokazuje przykład oscylatora, a także pokazuje, jak zastosować taką samą metodę do ruchu planety: jedyną różnicą jest inne prawo rządzące siłą (prawo ciążenia) oraz to, że trzeba obliczenia prowadzić dla dwóch współrzędnych kartezjańskich.

(*) Tak się składa, że i ten przypadek ruchu wahadła można rozwiązać analitycznie, trzeba jednak posłużyć się funkcjami eliptycznymi zamiast trygonometrycznych, jest to nieco bardziej zaawansowana matematyka.

Poniżej szczegóły obliczenia w arkuszu, gdyby ktoś chciał się pobawić. Najpierw formuły, potem liczby. Wystarczy tylko wpisać dwa pierwsze (jasnoniebieskie) wiersze formuł, resztę uzyskuje się przeciąganiem drugiego z nich w dół tak daleko, jak chcemy. Dla długich okresów czasu błędy naszej procedury będą się kumulować, więc rozwiązania będą się pogarszać. Zawsze jednak można zmniejszyć krok czasowy.

Zrzut ekranu z 2016-03-19 16:44:00Zrzut ekranu z 2016-03-19 16:45:47

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Log Out / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Log Out / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Log Out / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Log Out / Zmień )

Connecting to %s