Kometa 1680-1681: Flamsteed i Newton

W listopadzie 1680 roku ukazała się w gwiazdozbiorze Panny jasna kometa. Widoczna była przed wschodem słońca, nie wszędzie można ją było bez przeszkód obserwować, ponieważ w wielu miejscach Europy niebo było zachmurzone o tej porze roku. W połowie grudnia pojawiła się następna kometa, tym razem łatwiejsza do obserwacji, gdyż świeciła wieczorem po zachodzie słońca i obserwowano ją aż do wczesnej wiosny – stopniowo słabła i pod koniec można ją było dostrzec jedynie przez teleskop.

Przedstawienia toru komety 1680/1681 na niebie wg Gottfrieda Kircha

Zjawisko budziło powszechne zainteresowanie i choć coraz mniej było tych, którzy traktowali je jako znak od Boga, oznajmienie śmierci jakiegoś władcy bądź zapowiedź nadchodzących nieszczęść, to publiczna ciekawość chętnie znajdowała ujście w spekulacjach wiążących kometę z osobliwymi zjawiskami na Ziemi. Oto w Rzymie kura zniosła jajo noszące na skorupce wyraźny znak komety, co miało znaczenie tym większe, że stało się w pałacu panów Maximi. Jajo to widział Jego Świątobliwość Innocenty XI, a także królowa Krystyna Wazówna oraz wiele znakomitych osób oraz naturalistów. Pisał o jaju nawet paryski „Journal des Savants”.

Isaac Newton pędził w Cambridge życie samotnicze, pogrążony w rozważaniach, które akurat przyciągnęły jego uwagę, wiele czasu spędzając nad teologią, alchemią i dość szczególnie pojmowaną historią. Na początku roku 1680 korespondował z Robertem Hookiem na temat hipotetycznego ruchu ciała, które mogłoby spaść aż do środka Ziemi. Jak się zdaje, pod wpływem tej korespondencji sprawdził, że jeśli ciało porusza się po elipsie zgodnie z prawem pól Keplera, to siła wywołująca ów ruch jest przyciąganiem odwrotnie proporcjonalnym do kwadratu odległości. Hooke sugerował, że tak właśnie być powinno, ale nie potrafił tego matematycznie udowodnić. Newton nie napisał mu o tym dowodzie, w ogóle przestał do niego pisać. Jak się zdaje, traktował ten dowód jako ćwiczenie matematyczne bez większego znaczenia. Na pewno nie myślał jeszcze o ciążeniu powszechnym.
Przez cały rok 1680 nie działo się w jego życiu nic dostrzegalnego na zewnątrz. Do Hooke’a napisał w grudniu, ale w zupełnie innej sprawie: chodziło o przybysza z Italii, który chciał przedstawić Towarzystwu Królewskiemu lecznicze działanie kory pewnego peruwiańskiej rośliny, drzewa chinowego (zawierającego chininę, stosowaną jeszcze czasem przeciw malarii, a także do produkcji toniku). W grudniu napisał do Newtona John Flamsteed, królewski astronom z informacjami na temat komety. Flamsteed utrzymywał, że komety z listopada i z grudnia są tym samym ciałem niebieskim. Wyobrażał sobie, że kometa była najpierw przyciągana, a następnie odpychana magnetycznie od Słońca, jednocześnie biorąc udział w wirowym ruchu materii wokół Słońca. Wiry takie miały zdaniem Kartezjusza odpowiadać za uporządkowane ruchy planet. Komety natomiast miały być planetami, które wypadły ze swego wiru i dość bezładnie wędrują między różnymi wirami.

Kometa wg Kartezjusza

Kometa wg Flamsteeda (linia przerywana okrąg wielkości orbity Ziemi, wiadomo było, że kometa nie porusza się w płaszczyźnie ekliptyki)

Magnetyczne przyciąganie i odpychanie przez Słońce zaproponował kiedyś Johannes Kepler jako przyczynę zbliżania i oddalania planet od ciała centralnego. Dodatkowo działać miała na nie pewnego rodzaju siła obrotowa, rodzaj pola siłowego, species immateriata. Kartezjusz wprowadził w miejsce niematerialnego pola wiry cieczy, jak w wannie. W podejściu Flamsteeda najbardziej oryginalny był pomysł, by obie komety: poranną i wieczorną uważać za jedno ciało.
Newton zainteresował się kometą, zaczął ją nawet sam obserwować i robił to tak długo, jak była ona widoczna, korzystając pod koniec z coraz lepszych teleskopów. Uprzejmie wypowiedział się na temat przedstawionych mu rozważań. Po pierwsze sądził, że są to dwie komety. Uważał, że poruszają się one ruchem prostoliniowym albo bliskim prostoliniowemu, starał się nawet wyznaczyć ich tor w przestrzeni. Nie wierzył w żadne przyciąganie magnetyczne w tym przypadku, bo Słońce jest zbyt gorące na magnetyzm (wiedział, że magnesy w wysokiej temperaturze tracą swe własności magnetyczne). Ponadto nie rozumiał, w jaki sposób kometa miałaby być najpierw przyciągana, a potem odpychana. Gdyby była ona jak igła magnetyczna, to obracałaby się zawsze tak do Słońca, że siła byłaby przyciągająca. Mógł sobie wyobrazić jakąś siłę przyciągającą kometę ku Słońcu, ale wówczas powinna się ona poruszać raczej w taki sposób, zataczając wokół niego łuk.

Tor komety zaproponowany przez Newtona w dyskusji z Flamsteedem jako nieco bardziej prawdopodobny (1681 r.)

Ruch radialny (wzdłuż promienia) byłby wówczas opisany za pomocą dwóch sił: przyciągania oraz siły odśrodkowej. W perihelium siła odśrodkowa przeważa nad przyciąganiem i dlatego kometa zaczyna się oddalać od Słońca. Widzimy, że nie tylko nie myślał jeszcze o przyciąganiu komety przez Słońce, ale także opisywał ruch za pomocą siły odśrodkowej, tak jak kartezjaniści (choć w tym przypadku mogło mu też chodzić o to, by Flamsteed rozumiał o czym mowa – Newton miał swoje głębokie przemyślenia na temat mechaniki i był pod tym względem, by tak rzec, w innym punkcie niż jego współcześni). Flamsteed przysłał mu jeszcze proponowany przez siebie tor komety (na rysunku widzimy jego rzut na płaszczyznę orbity Ziemi, kometa poruszała się bowiem płaszczyźnie tworzącej z nią kąt 65º).

Tor komety wg Flamsteeda, z niepewnością w pobliżu Słońca (nie był on obliczony, lecz po prostu narysowany mniej więcej w zgodzie z obserwacjami).

Newton pozostał przy swoim zdaniu, że komety były dwie i poruszały się mniej więcej prostoliniowo, nieprawdopodobna mu się wydawała tak szybka i znaczna zmiana prędkości komety – na niemal przeciwną po minięciu Słońca. Zajął się innymi tematami, do sprawy komet wrócił cztery lata później, kiedy wpadł na pomysł ciążenia powszechnego. Wymyślił też wtedy metodę pozwalającą obliczyć paraboliczny tor komety z trzech obserwacji. Po zastosowaniu tej metody do komety z lat 1680/81 otrzymał następujący tor.

Komety miały stać się jednym z najlepszych przykładów działania siły powszechnego ciążenia. Okazało się, że podlegają ścisłemu matematycznemu prawu. Niemal automatycznie przestano je wiązać z cudami i astrologicznymi przepowiedniami. Nauka czasem wypiera zabobon.

Reklamy

Oliver Heaviside i głuchy telefon (1886-1891)

Heaviside był człowiekiem trudnym w kontaktach, nie bardzo też interesowała go kariera zawodowa. Rodzina była zbyt biedna, aby mógł zdobyć solidne wykształcenie, toteż zakończył swą szkolną edukację w wieku szesnastu lat. Przebyta w dzieciństwie szkarlatyna upośledziła jego słuch, izolując go od rówieśników. Choć z czasem odzyskał w znacznej mierze słuch, to pozostał autsajderem na resztę życia. Krótko pracował jako telegrafista i pracownik techniczny u boku starszego brata Arthura w firmie zarządzającej kablem pomiędzy Danią i Anglią, lecz zwolnił się w wieku dwudziestu czterech lat i już nigdy później nie pracował zawodowo. Mieszkając w pokoju u rodziców, zajmował się eksperymentalnie i teoretycznie elektrycznością, jedyne pieniądze zarabiał z publikacji artykułów w fachowym piśmie „The Electrician”. Był jednym z pierwszych kontynuatorów Jamesa Clerka Maxwella, udało mu się uprościć i przejrzyściej zapisać równania elektromagnetyzmu. Odkrył rachunek operatorowy ułatwiający rozwiązywanie równań różniczkowych (posługiwał się funkcją δ na długo przed Dirakiem). Zastosował też zapis wektorowy, bez którego trudno dziś sobie wyobrazić teorię Maxwella. Dzięki bratu, pracującemu jako inżynier, znał praktyczne problemy telefonii i podał metodę zbudowania linii przesyłowej w taki sposób, aby nie zniekształcała sygnałów. Problem był palący, ponieważ telefonia rozwijała się burzliwie i wraz ze wzrostem odległości sygnał nie tylko był słabszy, ale też ulegał zniekształceniu. Dalsza historia tego odkrycia Heaviside’a była zapewne do przewidzenia: z początku nie chciano mu wierzyć, a później to inni zarobili miliony na wcieleniu jego idei w życie.

Biografia Heaviside’a skłania do zastanowienia nad rolą autorytetów w różnych dziedzinach. Będąc jednym z najwybitniejszych uczonych swoich czasów, postrzegany był jako jakiś niedouczony telegrafista, a przy tym dziwak. Jego artykuły w „The Electrician” były trudne do zrozumienia, a może po prostu nikt nie przykładał się do ich zrozumienia, ponieważ były autorstwa jakiegoś urzędnika, nie wiadomo właściwie kogo. Tymczasem stanowiły one oryginalny wykład do teorii elektromagnetyzmu. Gdy Heinrich Hertz odkrył fale elektromagnetyczne, w pracach Heaviside’a znaleźć można było nowocześniejsze i prostsze ujęcie teorii, która tak wspaniale się potwierdziła. Nasz „telegrafista” wyprzedził tu znacznie większość uczonych brytyjskich i kontynentalnych. W szczególności jego podejście górowało nad konserwatywnym i sceptycznym nastawieniem Williama Thomsona, późniejszego lorda Kelvina. Ten ostatni nie potrafił się przekonać do teorii Maxwella, co miało znaczenie, ponieważ był najsławniejszym uczonym Wielkiej Brytanii, zasiadał we wszystkich możliwych radach i towarzystwach, a każde jego słowo prasa traktowała jak wyrocznię. Tak było, gdy w 1888 roku, po odkryciu Hertza, Thomson orzekł, iż jego zastrzeżenia wobec teorii Maxwella nieco się zmniejszyły (uznał bowiem, że prąd przesunięcia – najważniejszy element pojęciowy zaproponowany przez Maxwella – z „zupełnie nie do utrzymania” awansował w jego oczach do kategorii „niezupełnie do utrzymania”). Thomson miał swoją wizję idealnej teorii elektromagnetyzmu, prawdopodobnie zresztą dlatego nie osiągnął końcowego sukcesu. W każdym razie to młodszy od niego James Clerk Maxwell rozwiązał problem, choć sir William nie chciał się z tym pogodzić.

 

Baron Kelvin of Largs

William Thomson umiał jednak zachowywać się fair i dzięki temu Oliver Heaviside doczekał się nieco uznania za życia. Wcześniej, w roku 1887, przeszedł swe najgorsze chwile, gdy stracił możliwość publikowania, a zarazem też skromne dochody, jakie ta działalność zapewniała. Za 40 funtów rocznie redakcja otrzymywała ciągły strumień oryginalnych publikacji z dziedziny elektromagnetyzmu. Kryzys nastąpił wtedy, gdy Oliver Heaviside wszedł w konflikt z Williamem Henry’m Preece’em, ważnym ekspertem brytyjskiej poczty. Preece starał się przeforsować kosztowną decyzję budowy linii telefonicznych z kablem miedzianym w miejsce żelaznego. Argumentował, że dzięki temu wzrośnie zasięg rozmów, ponieważ kable żelazne wytwarzają pole magnetyczne, a to prowadzi do strat energii (zmienne pole magnetyczne indukuje dodatkowe napięcie, mówi się o indukcyjności kabla: miedziane zmniejszały wg Preece’a indukcyjność i na tym polegała ich wyższość). Mało tego, Preece twierdził, że wykazał fałszywość teorii Maxwella. W tym samym czasie Arthur i  Oliver próbowali opublikować pracę, która podważała poglądy Preece’a, a nawet im przeczyła: otóż pole magnetyczne wcale nie musi przeszkadzać w przesyłaniu rozmów telefonicznych, a nawet może pomagać. Pewny siebie Preece zakazał publikacji. Obaj bracia zareagowali na to rozmaicie: Arthur jako podwładny Preece’a przestał się zajmować tym tematem, Oliver natomiast zaczął z upodobaniem dowodzić niekompetencji Preece’a, którego określał m.in. jako „the eminent scienticulist” – czyli coś w rodzaju „wybitnego mędrka”. Racja naukowa była całkowicie po stronie Heaviside’a, znalazł on warunek, jaki spełniać powinna linia przesyłowa, aby nie zniekształcała rozmów (chodzi o to, by składowe o różnych częstościach tłumione były w jednakowym stopniu, w ten sposób daleki odbiorca otrzymuje sygnał słabszy, lecz podobny do wysłanego). Ów warunek Heaviside’a był kontrintuicyjny, lecz prawdziwy i oznaczał, że należy w praktyce zwiększać indukcyjność linii, czyli wytwarzane przez nie pole magnetyczne. Nacisk Preece’a sprawił, że zmienił się redaktor naczelny „The Electrician” i nowy już nie chciał publikować artykułów Heaviside’a.

Karykatura z 1888 r.: Preece pod sztandarem wieloletnich doświadczeń pokonuje Olivera Lodge’a (który podawał w wątpliwość skuteczność używanych piorunochronów i krytykował jego teoretyczne rozważania, stając po stronie Heaviside’a)

Atmosfera wokół niego poprawiła się dopiero wówczas, gdy publicznie docenił jego teorię William Thomson. Otworzyło to drogę do przyjęcia Heaviside’a w roku 1891 na członka Towarzystwa Królewskiego, ułatwiło też publikację kolejnych prac. Zadziwiająco mało zmieniło się w życiu uczonego, który przywiązywał chyba większą wagę do możliwości publikacji niż do zarobku. Nadal pozostał prywatnym uczonym, po śmierci rodziców jego środki do życia mocno się skurczyły. Dzięki dyskretnym staraniom paru wybitnych uczonych zaczął Heaviside otrzymywać skromną emeryturę (dyskretnych, ponieważ drażliwy Heaviside nie chciał jałmużny). Żył dość długo, by widzieć, jak jego idea zwiększenia indukcyjności kabli telefonicznych została wcielona w życie jako pupinizacja albo krarupizacja. Zarówno Amerykanin serbskiego pochodzenia Mihajlo Pupin, jak i Duńczyk Karl Emil Krarup, wyciągnęli praktyczne wnioski z teorii Heaviside’a. Pupin po długiej batalii prawnej z firmą AT&T zarobił na swoim patencie 450 000 $ (blisko 30 mln $ obecnie). Jego rozwiązanie polegało na umieszczaniu w stałych odległościach cewek zwiększających indukcyjność. Krarup zastosował żelazne druty (zwiększające pole magnetyczne) oplatające miedziany rdzeń. Dzięki temu w pierwszych latach XX wieku wzrósł zasięg linii telefonicznych, a ich układanie stało się tańsze. Także kariera Preece’a, który nigdy nie przyznał się do błędu, nie doznała żadnego uszczerbku i rozwijała się pomyślnie, z czasem doczekał się on tytułu szlacheckiego. Tylko Heaviside dziwaczał coraz bardziej, mieszkał sam, pod koniec życia zastąpił meble blokami granitu, zaniedbał się i cierpiał na rodzaj manii prześladowczej. Nie dowiemy się już, czy dziwaczał, ponieważ nie osiągnął pozycji w społeczeństwie odpowiadającej jego talentowi, czy też odwrotnie: nie udało mu się zdobyć pozycji w bardzo konkurencyjnym wiktoriańskim społeczeństwie, ponieważ zbytnio odbiegał od przyjętych standardów zachowania i nawet talent nie mógł tu pomóc.

Die Vermittlungszentrale im Berliner Fernspreschamt II
Original: Frankfurt am Main, Deutsches Postmuseum
Foto: Berlin, 1894

Centrala telefoniczna w Berlinie, 1894 r.

Technika telefoniczna rozwijała się szybko. Kolejnym krokiem było skonstruowanie wzmacniacza na triodach (regeneratora sygnałów), który zaczął być stosowany komercyjnie tuż przed pierwszą wojną światową. Heaviside zdążył jeszcze przewidzieć istnienie jonosfery, dzięki której fale radiowe rozchodzą się wzdłuż powierzchni Ziemi, umożliwiając np. międzykontynentalne przekazywanie sygnału radiowego.

Pokażemy na przykładzie, jak Heaviside potraktował kwestię przesyłania sygnałów bez zniekształceń. Linia przesyłowa to rozciągnięty bardzo obwód. Można uważać, że każdy jego fragment o długości \Delta x składa się z podstawowych elementów obwodu: oporu R\Delta x, indukcyjności L\Delta x oraz połączonych równolegle pojemności C\Delta x oraz przewodnictwa G\Delta x. Dla pierwszego i ostatniego elementu obowiązuje prawo Ohma (przewodnictwo jest odwrotnością oporu):

\dfrac{U}{I}=R.

Napięcie na końcach indukcyjności równe jest

U=L\dfrac{dI}{dt},

co Heaviside w swoim języku symbolicznym zapisywał jako U=LpI (p oznaczało branie pochodnej po czasie). Dla pojemności mamy natomiast

I=\dfrac{dQ}{dt}=C\dfrac{dU}{dt}=CpU.

gdzie Q jest ładunkiem.

Stosunki napięcia do natężenia są zastępczymi oporami, mamy więc dla indukcyjności Lp, a dla pojemności 1/pC. Ponieważ możemy podzielić naszą linię transmisyjną na dowolnie dużą liczbę powtarzających się segmentów o długości \Delta x, więc dodanie kolejnego segmentu nie powinno zmieniać zastępczego oporu. Opór zastępczy całej linii Z (wejściowy) musi w takim razie być tym samym, co połączenie równoległe elementów G\Delta x, C\Delta x oraz (R+Lp)\Delta x + Z na końcu. W połączeniu równoległym dodają się odwrotności oporów, mamy więc

\dfrac{1}{Z}=(G+pC)\Delta x+\dfrac{1}{(R+pL)\Delta x+Z}.

Po przekształceniach dostajemy równanie kwadratowe na opór zastępczy:

Z^2+(R+pL)\Delta x Z=\dfrac{R+pL}{G+pC}.

Jeśli teraz przyjmiemy, że \Delta x\rightarrow 0, to otrzymamy

Z^2=\dfrac{R+pL}{G+pC}.

Otrzymany wynik wygląda odrobinę dziwnie, jeśli przypomnimy sobie, że p to różniczkowanie. Nie jest jasne, jak powinniśmy dzielić przez p i jak wyciągać pierwiastek. Heaviside szedł za swoim formalizmem tak daleko, jak tylko się dało i rozpatrywał wyrażenia takie, jak np. p^{\frac{1}{2}}. Uważał on matematykę za naukę empiryczną i jak mówił: „Czy mam odmówić zjedzenia obiadu, ponieważ nie znam wszystkich szczegółów trawienia?” My nie musimy iść aż tak daleko. Widać z ostatniego wyrażenia, że gdy spełniony będzie warunek

\dfrac{R}{G}=\dfrac{L}{C},

nasz ułamek się skróci (cokolwiek to znaczy) i nie będzie zawierał p, w takiej sytuacji sygnał o dowolnym kształcie nie ulegnie zmianie. Jest to warunek Heaviside’a. W praktyce znaczył tyle, że indukcyjność L należy powiększyć, czego nie rozumiał Preece. Dodać należy, że Heaviside formułował tę swoją matematykę także w konwencjonalny sposób – był może dziwakiem, ale w kwestii technik matematycznych zachowywał się całkiem racjonalnie. Obecnie stosuje się transformaty Laplace’a albo można sobie wyobrażać, że zależność od czasu ma postać \exp(i\omega t) (gdzie \omega to częstość kołowa), wówczas różniczkowanie sprowadza się do mnożenia i mamy po prostu p=i\omega.

 

 

 

Masa krytyczna uranu 235: Jakow Borysowicz Zeldowicz i Robert Serber

Naturalny początek tej historii rozgrywa się w Mińsku na Białorusi. W XIX wieku miasto należało do strefy osiedlenia dla Żydów w cesarstwie rosyjskim. Napływali tam m.in. Żydzi wygnani z Petersburga i Moskwy, nie wolno im było mieszkać ani we wsiach, ani w dużych miastach, jak Kijów czy Odessa. Tu i ówdzie powtarzały się pogromy (to rosyjskie słowo stało się z czasem międzynarodowe). Wielu emigrowało, inni trwali. Jednym z emigrantów z Mińska do Stanów Zjednoczonych był Melville Feynman, handlowiec wysoko ceniący wykształcenie: jego dzieci Richard i Joan oboje zostali naukowcami. Richard Feynman jako młody geniusz trafił do Projektu Manhattan w Los Alamos. Kilka lat starszy od Richarda Jakow Zeldowicz urodził się w Mińsku. Jego rodzice, prawnik i tłumaczka, przeprowadzili się do Petersburga i Jakow tam rozpoczął swoją świetną karierę naukową. W jeszcze większym stopniu niż Feynman był samoukiem: nigdy nie skończył studiów. Był podobnie uniwersalny, znał się niemal na wszystkim, należał do najwybitniejszych fizyków rosyjskich, a nie brakowało tam znakomitych ludzi. Nie był tak sławny jak Richard Feynman, ponieważ większość swego twórczego życia pracował w tajnych projektach związanych z bronią jądrową. Dopiero koło pięćdziesiątki, na swoistej emeryturze, zajął się astrofizyką i kosmologią, wnosząc do nich istotny wkład. Zdążył wychować wybitnych uczniów, jak Igor Novikov i Rashid Sunyaev. Słynne telefony Zeldowicza do współpracowników i naukowych znajomych o szóstej rano oraz wielostronicowe listy z rozważaniami naukowymi wspomina wielu uczonych. Stephen Hawking po rozmowach z Zeldowiczem w Moskwie zaczął się zastanawiać nad promieniowaniem czarnych dziur. Novikov zapamiętał swoje pierwsze zetknięcie z Zeldowiczem i niesamowite wrażenie, jakie wywarł na nim starszy uczony, który z miejsca rozumiał wszystko, o czym mu się mówiło. Jego zdolność uczenia się nowych rzeczy zadziwiała. Opowiadał, jak ciekawie jest wejść w nową dziedzinę nauki: trzeba tylko nauczyć się 10% tego, co na dany temat wiadomo, i można zacząć własną pracę. Pracując ciężko, dość szybko osiąga się poziom, przy którym rozumie się 90% prac z danej dziedziny – wtedy należy ją zostawić, bo zrozumienie pozostałych 10% wymaga wielu lat.

Zeldowicz napisał kiedyś nieformalny podręcznik matematyki wyższej dla uczniów i początkujących studentów. Książka wywołała burzę i ataki ze strony matematyków z powodu braku ścisłości. Podejście Zeldowicza było jednak inżynierskie, praktyczne, przypominające rzeczowy stosunek Feynmana do matematyki. Obaj pozostawieni na bezludnej wyspie potrafiliby odtworzyć znaczną część wiedzy matematycznej ludzkości. Niżej przedstawimy prościutkie rozumowania Zeldowicza pozwalające oszacować masę krytyczną uranu. On sam bardzo cenił proste rozważania, które mogą stanowić wstęp do bardziej rozbudowanych teorii i przybliżeń, lubił fizykę uprawianą na odwrocie koperty. W części drugiej pokażemy, jak to samo obliczenie przeprowadzone zostało w wykładach Serbera, stanowiących wstępną informację dla członków Projektu Manhattan. Odtajnione wykłady znaleźć można w sieci jako The Los Alamos Primer.

Wyobraźmy sobie dużą bryłę uranu 235. Biegnący w niej neutron o prędkości v prędzej czy później trafi w jakieś jądro uranu. Pole powierzchni jądra to pole powierzchni koła o promieniu r_0\approx 10^{-12}\mbox{ cm}. Tylko pewien ułamek zderzeń kończy się rozszczepieniem, oznaczmy go przez \alpha. Z punktu widzenia rozszczepienia jądro uranu ma więc pole przekroju

\sigma=\alpha \pi r_0^2\approx 1,6\cdot 10^{-24}\mbox{ cm}^2,

gdzie przyjęto \alpha=\frac{1}{2}. W krótkim czasie dt neutron przebiegnie drogę v dt i może zderzyć się z jądrami znajdującymi się w objętości walca \sigma v dt. Jeśli oznaczymy przez N liczbę jąder uranu na jednostkę objętości, średnia liczba zderzeń z jądrami w czasie dt równa będzie N\sigma v dt. Załóżmy, że w naszej bryle znajduje się n neutronów, po każdym rozszczepieniu przybywa \nu neutronów, a ubywa jeden neutron pochłonięty przez jądro. Liczba aktów rozszczepienia w krótkim czasie jest więc równa

dn=(\nu-1)N\sigma v n dt\Rightarrow \dfrac{dn}{dt}=\dfrac{\nu-1}{\tau}n, \mbox{ gdzie } \dfrac{1}{\tau}=N\sigma v.

Oznacza to, że liczba neutronów rośnie wykładniczo:

n(t)=n_0\exp{\dfrac{(\nu-1)t}{\tau}},

jeśli tylko \nu>1, co jest warunkiem reakcji łańcuchowej: powstaje więcej neutronów, te zaś wywołują jeszcze więcej rozpadów itd.

Typowa prędkość neutronów w rozszczepieniu równa jest v\approx 2\cdot 10^{9} \mbox{cm/s}, liczba jąder na jednostkę objętości równa jest N=4\cdot 10^{22}\mbox{ cm}^{-3} (Łatwo obliczyć tę wielkość, znając gęstość uranu, która równa jest 18 \mbox{g/cm}^3 oraz liczbę Avogadro: 235 g uranu to 6\cdot 10^{23} atomów). Liczba tworzących się neutronów równa jest średnio \nu=2,5. Otrzymujemy więc

\dfrac{\tau}{\nu-1}=5\cdot 10^{-9}\mbox{ s}.

Oznacza to bardzo gwałtowny wzrost liczby neutronów i aktów rozszczepienia, w ciągu 1\mu s=10^{-6} s jest to wzrost o czynnik 10^{88}, a ponieważ nawet 1 tona uranu to mniej niż 10^{28} jąder, więc nawet zaczynając od jednego neutronu, rozszczepienie objęłoby tę objętość uranu w czasie poniżej mikrosekundy. Jest to wybuch.

Zakładaliśmy, że nasz blok uranu jest duży, to znaczy każdy uwolniony neutron prędzej czy później natrafia na jakieś jądro i inicjuje rozszczepienie. Gdy nasza objętość jest mniejsza, musimy wziąć pod uwagę ucieczkę neutronów na zewnątrz. Ucieczka ta będzie zachodzić przez powierzchnię, więc najlepiej, gdy nasza bryła ma najmniejsze pole powierzchni przy danej objętości – znaczy to, że musi ona być kulista. W czasie dt uciekną neutrony z warstwy o grubości v dt przy powierzchni. Założymy też, że wszystkie neutrony (w liczbie n) rozłożone są równomiernie w objętości kuli o promieniu r. Wówczas zmiana liczby neutronów w czasie dt równa jest

dn=-\dfrac{n}{\frac{4}{3}\pi r^3}\cdot v dt \cdot 4\pi r^2=-n \dfrac{3v}{r} dt\Rightarrow \dfrac{dn}{dt}=-\dfrac{3kv}{r}n.

W ostatnim równaniu wprowadziliśmy pewien czynnik poprawkowy k<1 związany z tym, że nie wszystkie neutrony z warstwy przypowierzchniowej mają prędkości na zewnątrz, a także z tym, że zapewne gęstość neutronów przy powierzchni będzie mniejsza niż w głębi. Ucieczka neutronów prowadzi do wykładniczego zaniku ich liczby. Przy uwzględnieniu obu rozważanych wyżej czynników: mnożenia się oraz ucieczki, otrzymujemy równanie

\dfrac{dn}{dt}=\left(\dfrac{\nu-1}{\tau}-\dfrac{3kv}{r}\right) n.

Gdy znak wyrażenia w nawiasie jest dodatni, otrzymujemy wybuch. Wartość graniczna promienia określa masę krytyczną:

R=\dfrac{3kv\tau}{\nu-1}\equiv \dfrac{3k\lambda}{\nu-1}.

Ostatnia równość definiuje drogę swobodną neutronów \lambda=v\tau. Promień kuli krytycznej jest więc równy k\cdot 30\mbox{ cm}. Ponieważ k\approx 0,3, więc R\approx 9 \mbox{cm}, co odpowiada masie około 50 kg.

Zobaczmy, jak tę samą sytuację opisał Robert Serber. Wprowadzamy koncentrację neutronów P zależną od czasu i położenia w próbce. Równanie ciągłości, czyli warunek zachowania liczby neutronów, należy zmodyfikować tak, by uwzględniał tworzenie się nowych neutronów w rozszczepieniu. Załóżmy najpierw, że P zależy jedynie od współrzędnej x.

Rozpatrując objętość materiału o jednostkowym polu powierzchni przekroju i grubości dx, możemy zapisać:

\dfrac{\partial P}{\partial t}dx=P\dfrac{\nu-1}{\tau}dx-[j_x(x+dx)-j_x(x)],

gdzie j_x jest strumieniem cząstek w kierunku x. (Sens tego równania jest czysto buchalteryjny: przyrost liczby neutronów w zakreślonym obszarze wynika albo stąd, że one tam powstały, albo stąd, że wpłynęły z lewej bądź z prawej strony). Dzieląc obie strony przez dx, otrzymujemy

\dfrac{\partial P}{\partial t}=\dfrac{\nu-1}{\tau}P-\dfrac{\partial j_x}{\partial x}.

Zakładając następnie, że cząstki dyfundują z obszarów o większej gęstości do obszarów o mniejszej gęstości w zwykły sposób (prawo Ficka), mamy

j_x=-D\dfrac{\partial P}{\partial x }.

Stała D to stała dyfuzji. Możemy też zapisać równanie ciągłości zwięźlej w postaci:

\dfrac{\partial P}{\partial t}=\dfrac{\nu-1}{\tau} P+D \dfrac{\partial^2 P}{\partial x^2}.

Dla zmian we wszystkich kierunkach ostatnie równanie powinno być uogólnione w oczywisty sposób:

\dfrac{\partial P}{\partial t}=\dfrac{\nu-1}{\tau} P+D \left( \dfrac{\partial^2 P}{\partial x^2}+\dfrac{\partial ^2 P}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 P}{\partial z^2}\right).

Wyrażenie w nawiasie to laplasjan, otrzymaliśmy równanie dyfuzji w obecności źródeł cząstek: u nas takim źródłem są neutrony już istniejące w danej objętości materiału. Optymalnym kształtem jest nadal kula uranu, wówczas rozkład gęstości neutronów powinien zależeć jedynie od odległości od jej środka \varrho. Jeśli przyjąć, że funkcja P jest ma postać

P(\varrho, t)=\exp{\dfrac{\nu'}{\tau}}f(\varrho),

gdzie znak parametru \nu' przesądza o tym, czy mamy do czynienia z wybuchem, czy z wykładniczym zanikaniem neutronów. Równanie dyfuzji przybiera postać

\Delta f+\dfrac{\nu-1-\nu'}{D\tau}f=0.

Najprostsze rozwiązanie sferycznie symetryczne otrzymamy, korzystając z równości

\Delta \left(\dfrac{\sin k\varrho }{\varrho } \right)=-k^2 \dfrac{\sin k\varrho }{\varrho}.\mbox{(*)}

Nasze równanie sprowadza się wtedy do równania algebraicznego

-k^2+\dfrac{\nu-1-\nu'}{D\tau}=0.

Aby znaleźć parametr k, musimy nałożyć warunki brzegowe: nasze rozwiązanie ma być skończone, zażądajmy też, aby f(R)=0=\sin kR , tzn. gęstość neutronów na powierzchni kuli ma spadać do zera. Mamy więc w najprostszym przypadku kR=\pi (oczywiście istnieją inne miejsca zerowe funkcji sinus, ale dla nich gęstość neutronów by oscylowała wzdłuż promienia, przyjmujemy, że są one niefizyczne).

Chcąc otrzymać warunek krytyczny, musimy zażądać także, aby \nu'=0, otrzymamy wówczas:

R^2=\dfrac{\pi^2 D\tau}{\nu-1}.

Możemy porównać oba warunki, pamiętając, że D=\frac{1}{3}\lambda v, promień krytyczny przybierze postać

R=\dfrac{\pi\lambda}{\sqrt{3(\nu-1)}}.

Nasza teoria zakłada zbyt gwałtowny spadek gęstości neutronów przy powierzchni, w dokładniejszych rozważaniach należałoby to poprawić. Zgromadzenie masy krytycznej materiału rozszczepialnego nie rozwiązuje problemu bomby atomowej, jest jedynie informacją o rzędzie wielkości. W praktyce okazuje się, że w trakcie gwałtownego wybuchu objętość materiału rośnie, a z nią rośnie także droga swobodna neutronów. W rezultacie nie jest łatwo wykorzystać całą energię materiału rozszczepialnego. Bomba, która spadła na Hiroszimę, wykorzystała energię rozszczepienia zaledwie 1 kg uranu 235, potem reakcja się spontanicznie zatrzymała.

(*) Laplasjan dla symetrii sferycznej można zapisać jako

\Delta f=\dfrac{1}{\varrho}\dfrac{\partial^2(\varrho f)}{\partial \varrho^2},

Łatwo sprawdzić, że funkcje \varrho f=\sin k \varrho oraz \varrho f=\cos k\varrho przechodzą na same siebie pod działaniem laplasjanu (są funkcjami własnymi laplasjanu). Tylko pierwsza z nich jest skończona wewnątrz kuli.

 

 

 

 

 

 

Walter Ritz, rówieśnik Einsteina (1878-1909)

Nauka jest przedsięwzięciem zbiorowym, ostatecznie to społeczność uczonych – niczym chór greckiej tragedii – osądza protagonistów i komunikuje boskie wyroki. Jest przedsięwzięciem zbiorowym także w bardziej trywialnym i współczesnym znaczeniu mrowiska, w którym nie należy przeceniać roli poszczególnych mrówczych jednostek. Jednak „lawina bieg od tego zmienia, po jakich toczy się kamieniach”, a tragedia byłaby niemożliwa bez głównych postaci. Z jednej więc strony mamy etos mrówek trudzących się dla kolektywnego dobra, z drugiej – kult bohaterów, herosów wyobraźni i intelektu.

Walter Ritz był człowiekiem niezwykle utalentowanym i zdążył wnieść oryginalny wkład do nauki, mimo że cierpiał na gruźlicę, która odbierała mu siły, a po kilku latach odebrała także i życie. Nie osiągnął tyle, ile by chciał i potrafił, ale zdążył już zaznaczyć swoją indywidualność. Chciałbym zestawić jego drogę naukową z biegiem życia i dorobkiem młodszego niemal dokładnie o rok Alberta Einsteina. Przed rokiem 1909 Einstein nie był jeszcze sławny, wręcz przeciwnie: słyszało o nim niewielu i jego kariera dopiero się zaczynała. Dopiero jesienią tego roku wziął po raz pierwszy udział w konferencji naukowej, zamienił także posadę w Biurze Patentowym w Bernie na stanowisko profesora nadzwyczajnego uniwersytetu w Zurychu. Pensja na obu stanowiskach była dokładnie jednakowa. Konkurentem Einsteina do posady był Walter Ritz, uczelnia by go wolała, „ponieważ jest Szwajcarem i według zdania naszego kolegi Kleinera jego prace wykazują nadzwyczajny talent graniczący z geniuszem”. Choroba nie pozwoliła jednak Ritzowi objąć tego stanowiska. Einstein otrzymał więc swoje pierwsze stanowisko naukowe niejako w zastępstwie za kolegę. Wcześniej ze starań o tę posadę wycofał się Friedrich Adler, który tak jak Einstein, zrobił doktorat u Alfreda Kleinera, profesora zwyczajnego na uniwersytecie w Zurychu. Drugi etat profesorski dla fizyka był skutkiem jego zabiegów, tak to się wówczas odbywało: mógł być jeden Ordinarius z danej dziedziny, ewentualnie tworzono także pomocniczy, nie tak prestiżowy i gorzej płatny, etat Extraordinariusa. Adler wszakże niezbyt walczył o stanowisko, bardziej interesowała go filozofia nauki i działalność socjalistyczna (był synem znanego psychologa i przywódcy austriackich socjalistów Victora Adlera). Pisał w roku 1908 do ojca: „Zapomniałem powiedzieć, kto prawdopodobnie otrzyma profesurę: człowiek, któremu z punktu widzenia społeczeństwa należy się ona znacznie bardziej niż mnie i kiedy ją otrzyma, będę się z tego bardzo cieszył mimo pewnej przykrości. Nazywa się Einstein, studiował w tym samym czasie co ja, chodziliśmy razem na niektóre wykłady. (…) Ludzie z jednej strony odczuwają wyrzuty sumienia z powodu tego, jak go wcześniej potraktowano, z drugiej zaś strony skandal jest szerszy i dotyczy całych Niemiec: żeby ktoś taki musiał tkwić w biurze patentowym”.

Walter Ritz był w tym czasie Privatdozentem w Getyndze. Pochodził ze Sionu w Szwajcarii, ojciec, malarz pejzaży i scen rodzajowych, przyrodnik, geolog, etnograf i alpinista, zmarł w 1894 roku po długiej chorobie. Walter uczęszczał w tym czasie do liceum i uchodził za nader utalentowanego. W 1897 zaczął studia na politechnice w Zurychu, był więc o rok niżej niż Einstein. Ritz z początku miał być inżynierem, lecz zmienił wydział na nauczycielski (jak Einstein). Obaj chodzili na wykłady tych samych profesorów. Albert Einstein nie cieszył się jednak dobrą opinią: profesor fizyki Heinrich Weber uważał go za przemądrzałego i aroganckiego i nie miał najmniejszej chęci zostawiać go na uczelni. Weber nie był wybitnym uczonym, ale Politechnika miała znakomitych matematyków, wśród nich dwóch wielkich: Hermanna Minkowskiego i Adolfa Hurwitza. Einstein w tamtym okresie niezbyt pasjonował się matematyką, toteż i na wykłady chodził rzadko. Minkowski, który później stworzył matematyczne sformułowanie teorii względności, nie spodziewał się zbyt wiele po Einsteinie: „Byłem niezwykle zdumiony, gdyż wcześniej Einstein był zwykłym wałkoniem. O matematykę w ogóle się nie troszczył” [C. Seelig, Albert Einstein, s. 45]. Nie lepszą opinię miał zapewne Hurwitz, kiedy Einstein, nie mogąc nigdzie znaleźć pracy, w akcie rozpaczy, zwrócił się do niego o asystenturę, spotkała go milcząca odmowa, choć nie prosił o wiele: Politechnika stale potrzebowała asystentów do prowadzenia ćwiczeń i sprawdzania prac studenckich.

Znacznie wyżej oceniany był Walter Ritz. W roku 1901 wyjechał on na dalsze studia do Getyngi. Minkowski, który był w stałym kontakcie ze swym przyjacielem Davidem Hilbertem, pisał: „W następnym semestrze będziesz miał u siebie matematyka stąd, W. Ritza, który wykazuje dużo zapału, ale jak dotąd wyszukiwał sobie same nierozwiązywalne problemy”. [List do Davida Hilberta, 11 III 1901, Briefe an Hilbert, s. 139] Uniwersytet w Getyndze stał się w tamtych latach najważniejszym ośrodkiem matematycznym, nie brakowało tam także fizyków teoretycznych i doświadczalnych. Centrum stanowili Felix Klein i David Hilbert, dwaj przyjaciele i znakomici matematycy, wytyczający kierunki badań w swej ukochanej dziedzinie. Niedługo dołączyć miał do nich Hermann Minkowski. Walter Ritz uczęszczał na wykłady Hilberta, a także zaczął pracować nad doktoratem pod kierunkiem fizyka teoretycznego i znawcy twórczości Bacha, Woldemara Voigta. Oprócz ważnych nauczycieli poznał Ritz w Getyndze także wybitnych rówieśników. Zaprzyjaźnił się niemal od razu z Paulem Ehrenfestem, a także z Tatianą Afanasevą, Rosjanką, przyszłą żoną Paula, także studiującą fizykę. Ehrenfest był studentem Ludwiga Boltzmanna w Wiedniu i do Getyngi przyjechał, gdy Boltzmann wywędrował z Wiednia.

Doktorat Ritza dotyczył spektroskopii atomowej. Chodziło o wyjaśnienie obserwowanych serii widmowych. Np. częstości widzialnych linii wodoru opisać można wzorem Balmera:

\nu=N\left( \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{n^2} \right), \mbox{ gdzie } n=3,4, 5, \ldots

Stosując mianowniki typu (n+\alpha)^2 można było opisać także inne serie widmowe, np. metali alkalicznych. Serie częstości nasuwały myśl o falach stojących, a więc układzie przypominającym strunę albo membranę. Ładunek drgający z częstością \nu wysyła falę elektromagnetyczną o takiej właśnie częstości. W przypadku kwadratowej membrany równanie ruchu ma postać:

\dfrac{1}{v^2}\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}.

Jest to po prostu dwuwymiarowe równanie falowe (t,x,y są odpowiednio czasem i współrzędnymi kartezjańskimi w płaszczyźnie membrany, f opisuje wychylenie membrany, stała v jest prędkością fal w membranie). Łatwo stwierdzić, że dozwolone częstości własne opisane są wyrażeniem

\nu^2=A(n^2+m^2), \mbox{ gdzie }n,m=1,2,3,\ldots

Zakładamy tu, że krawędzie membrany pozostają cały czas nieruchome. Ritz spróbował znaleźć równania, które mogłyby opisać wzór Balmera i inne podobne przypadki. W przypadku wzoru Balmera odpowiednim równaniem okazało się

\partial_{t}^2\partial_{x}^4 \partial_{y}^4 f=B(\partial_{x}^2-\partial_{y}^2)^2 f.

Oznaczyliśmy tu pochodne cząstkowe po odpowiednich zmiennych przez \partial_{i}, gdzie i=x,y, t. Dobierając odpowiednio warunki brzegowe, udało się Ritzowi znaleźć także bardziej skomplikowane wzory na częstości linii widmowych. Równania te były wysokiego rzędu (tutaj dziesiątego), w dodatku o niespotykanej w fizyce postaci. Znak minus po prawej stronie oznacza, że zamiast laplasjanu (który wynika z symetrii obrotowej) do opisu membrany stosujemy pewne niestandardowe wyrażenie. Ritz pokazał, że jego równania wynikały z zasady wariacyjnej, formalnie więc były w porządku. Słabość tego podejścia tkwiła w braku jakiegokolwiek wyobrażenia drgającego atomu: po prostu bierzemy do obliczeń membranę, która nie może być czymś istniejącym w przyrodzie. Nikt wówczas nie miał pojęcia, jak wyglądają atomy, dopiero niedawno ustalono, że istnieją elektrony – naładowane cząstki o masie tysiące razy mniejszej niż masy atomów. Serie częstości w fizyce klasycznej odpowiadały zawsze falom stojącym, wystarczy pomyśleć o instrumentach muzycznych, które z punktu widzenia fizyka są rozmaicie zbudowanymi generatorami fal opartymi na falach stojących w strunie czy w słupie powietrza.

Model Ritza odniósł pewien sukces: przewidział, że w serii rozmytej potasu powinna istnieć linia widmowa odpowiadająca długości fali \lambda=6964 Å. W następnym roku, udało mu się tę linię zidentyfikować w widmie. Po doktoracie Ritz zaczął podróże naukowe: lato 1903 spędził w Lejdzie, gdzie słuchał wykładów H. Lorentza, potem znalazł się w Bonn, gdzie odkrył „swoją” linię potasu, w listopadzie pracował już w laboratorium profesora Aimé Cottona w École Normale w Paryżu. Zima paryska dała mu się we znaki, jakiś czas musiał spędzić w sanatorium w Sankt Blasien w Schwarzwaldzie. Gdy poczuł się lepiej, pojechał do Zurychu, aby wywołać swe klisze z widmami w podczerwieni naświetlone w Paryżu. Jakiś czas przemieszkał w Sion pod opieką matki. Lekarze zabraniali mu pracować, twierdząc, że to szkodzi jego zdrowiu. Zimą 1906/1907 pisał z Nicei do przyjaciela:

Zgodzi się pan ze mną, że nie mogę w takim stopniu co inni wierzyć w przyszłość, która miałaby mi wynagrodzić stan obecny. Pozostało mi zapewne niewiele czasu i jestem mocno zdeterminowany, aby spędzić go w środowiskach naukowych i intelektualnych, bo tylko tak znaleźć mogę zadowolenie i poczucie, że żyję, a może właśnie to stanowi warunek mojego wyzdrowienia? Drogi przyjacielu, nie mogę mieć nadziei ani na szczęście rodzinne, ani na dobre samopoczucie starego kawalera cieszącego się zdrowiem, pozostaje mi jedynie Nauka i życie intelektualne, i doprawdy nie mam siły zakopywać się tutaj w imię bardzo niepewnego celu.

Wrócił do pracy, zimę 1907/1908 spędził w Tybindze, gdzie współpracował z Friedrichem Paschenem, badającym eksperymentalnie widma pierwiastków. Ritz miał nowe pomysły na temat budowy atomu i mogli wymieniać się pomysłami oraz wynikami. Następnie wrócił do Getyngi, gdzie został Privatdozentem, choć nie prowadził zajęć ze względu na stan zdrowia. Henri Poincaré interesował się jego pracami i odwiedzając Getyngę, spotkał się z nim i ogłosił zamiar przyznania mu nagrody Lecomte’a przez francuską Akademię Nauk. Był to już ostatni rok życia Ritza.

Co robiło tak wielkie wrażenie na jego współczesnych? Badania nad seriami linii widmowych – po doktoracie Ritz zaproponował jeszcze jeden model atomowy: była to drgająca i obracająca się wokół osi naładowana struna. Także i ten model stanowić miał jedynie matematyczne uzasadnienie dla obserwowanych prawidłowości widm, nie mówił nic na temat np. własności chemicznych czy budowy wewnętrznej atomu. Próbował za pomocą swego modelu wyjaśnić anomalny efekt Zeemana: zjawisko rozszczepiania linii widmowych w silnym polu magnetycznym. Cząstkową teorię tego zjawiska podał Hendrik Lorentz, za co otrzymał wraz z Peterem Zeemanem Nagrodę Nobla w roku 1902. Teoria Lorentza nie opisuje jednak wszystkich obserwowanych przypadków, te niewyjaśnione objęto określeniem: anomalny efekt Zeemana – jak to często bywa, za normalne uznajemy to, co dobrze rozumiemy. Prace Ritza zawierały jeden istotny szczegół techniczny: częstości linii widmowych były w nich różnicami dwóch wyrażeń. W istocie chodzi o zasadę zachowania energii:

h\nu=E_{n}-E_{m}.

(Stała h jest stałą Plancka). Ritz nie napisał jednak takiego równania i uznałby je za bezsensowne. Jego rozważania opierały się na klasycznej teorii drgań i nie było w nich miejsca na fotony. Równanie takie znalazło się po raz pierwszy u Bohra, choć on także nie wierzył w fotony. Duński uczony sądził, że energie po prawej stronie określone były warunkami kwantowania (zawierającymi stałą Plancka – sygnał, że mamy do czynienia z fizyką kwantową), ale przejścia miedzy poziomami energetycznymi prowadziły do wysłania fali o energii danej powyższym równaniem. Sama postać tego równania, nawet jeśli nie rozumiemy różnych stałych, może być przydatna. Np. dodając stronami dwa takie równania otrzymać możemy:

\nu_{nm}+\nu_{mk}=\nu_{nk}.

Jest to związek między wielkościami obserwowanymi, mówi się w tym kontekście o zasadzie kombinacji, wcześniej zauważonej przez Janne Rydberga. Ritz znalazł dla tej zasady wyjaśnienie, choć fałszywe. Postęp w rozumieniu budowy atomów oraz wyjaśnieniu widm nastąpił dopiero za kilka lat, po odkryciu przez Ernesta Rutherforda jądra atomowego i sformułowaniu przez Nielsa Bohra znanego modelu, który stanowił przełom w badaniach. Sam Bohr opowiadał później, że o widmach dowiedział się z książki Johannesa Starka Prinzipien der Atomdynamik (cz. 2), gdzie znalazły się wzory Balmera, jak i informacje o różnych pracach na ten temat, m.in. Waltera Ritza. Z kolejnych teorii atomu szwajcarskiego fizyka nie zostało nic. Nie da się zbudować teorii atomu bez fizyki kwantowej.

Wyjaśnienie anomalnego efektu Zeemana udało się dopiero po wprowadzeniu pojęcia spinu elektronu w 1925 r. Nie wiemy, co Walter Ritz potrafiłby wnieść do tych prac, gdyby nadal żył. Wiemy natomiast, że musiałby zmienić podejście, bo tą drogą nie doszedłby do sukcesu. Widać jednak ambicję młodego fizyka, by zmierzyć się z jednym z najtrudniejszych problemów fizyki.

Jedynym fizykiem, który mógłby zapisać równanie na różnicę energii, był w tym czasie Einstein. Energia fotonu to był jego pomysł, traktowany przez kolegów jako aberracja. Ritz nie wierzył ani w prace kwantowe Einsteina, ani w teorię względności. Najwyraźniej on także nie traktował serio pomysłów kolegi ze studiów. Teoria względności zastępowała pojęcia czasu i przestrzeni jedną wspólną rozmaitością: czasoprzestrzenią, co zauważył Hermann Minkowski, który od roku 1902  pracował już w Getyndze. Nienaruszona była przy tym elektrodynamika Maxwella w postaci nadanej jej przez Hendrika Lorentza. Ritz wybrał inną drogę: też nie wierzył w eter i uznawał zasadę względności, ale postulował, aby zmienić elektrodynamikę. Jego podejście oznaczałoby zarzucenie koncepcji pola elektromagnetycznego. Elektrodynamika Ritza została jedynie zarysowana, byłaby ona teorią bardzo skomplikowaną matematycznie i nieelegancką. Gdy źródło światła się poruszało, to jego prędkość powinna się dodawać do c. Einstein dyskutował na temat elektrodynamiki z Ritzem, ogłosili nawet razem króciutki protokół rozbieżności w tej sprawie. Zdaniem Einsteina należy startować z pojęcia pola – cała jego dalsza kariera była z tym pojęciem związana.

Innym osiągnięciem Ritza było sformułowanie eleganckiej metody przybliżonej dla opisu drgań, za jej pomocą rozwiązał zagadnienie figur Chladniego.

Osiągnięcia Ritza są niepełne i niedokończone za sprawą choroby. Jednak w chwili śmierci Ritza i on, i Einstein mieli dorobek porównywalny ilościowo: jeden solidny, pięćsetstronicowy tom dzieł. Einstein ceniony był w Berlinie, gdzie pracowali Max Planck, Max Laue i Walther Nernst. Inni zachowywali dystans wobec jego prac i albo o nich nic nie wiedzieli, albo nie wiedzieli, co myśleć. Hermann Minkowski też niezbyt często wymieniał nazwisko Einsteina, może wciąż go pamiętał jako leniwego studenta? Ritz również zajmował się problemami fundamentalnymi i był chyba lepiej rozumiany przez kolegów. W jego przypadku doktorat był początkiem kontaktów z wieloma uczonymi, niewątpliwie działała tu opinia doktoratu z Getyngi, jeśli nie miał wprost jakichś listów polecających. Można się zastanawiać nad tym, jak potoczyłaby się kariera naukowa Einsteina, gdyby mniej zrażał ludzi do siebie i nie był taki arogancki? Przecież on także mógłby trafić do Getyngi i poddać się czarowi eleganckiej, choć częstokroć jałowej fizyki matematycznej. Pomogłoby mu to niewątpliwie w dalszej karierze, chyba że nie przekonałby Minkowskiego. Czy nie zaszkodziłoby mu to jednak w sensie naukowym? Ritz spędził sporo czasu w naukowym odosobnieniu z powodu choroby, ale był już mimo młodego wieku szanowanym uczonym i miał kontakty. Einstein był w tym czasie niemal całkowicie izolowany. Pracował osiem godzin dziennie w biurze przez sześć dni w tygodniu i zadowolony był, że mają z Milevą co jeść i że zostają mu wieczory oraz niedziele na pracę naukową. Opowiadał potem Infeldowi, że do trzydziestki nie widział prawdziwego fizyka teoretyka. Nie jest to prawda w sensie ścisłym, bo poznał np. Maksa Lauego, ale z pewnością zaczynał jako kompletny autsajder, który niemal wszystkiego nauczył się sam z książek i artykułów.

Do Getyngi trafił Einstein znacznie później, już jako samodzielny mistrz. Przedstawił tam swoją teorię grawitacji w czerwcu roku 1915. Skończyło się to zresztą dwuznacznym incydentem, gdyż praca ta spodobała się Hilbertowi, co miało ten skutek, że pod koniec roku obaj pracowali nad nią równolegle i mało brakowało, a Einstein zostałby pozbawiony satysfakcji postawienia kropki nad i, tzn. zapisania równań pola. W Getyndze bowiem uczeni nie mieli oporów przed korzystaniem z wyników kolegów, traktując je jako rodzaj dobra wspólnego. Nazywało się to u nich „nostryfikacją” cudzych wyników.

Prace Einsteina cechuje ogromna intuicja: zazwyczaj miał on dobre wyczucie, czego należy się trzymać i w którą stronę zmierzać. Tak było np. z polem elektromagnetycznym. Einstein wiedział, że teoria Maxwella ma ograniczenia kwantowe, ale samo pojęcie pola traktował jako fundament. Cenił bardzo dorobek Lorentza (znany mu wyłącznie z publikacji), który na Ritzu nie zrobił wielkiego wrażenia, mimo że znał jego autora. Einstein przed rokiem 1905 rozpatrywał możliwość innej elektrodynamiki, zgodnej z mechaniką Newtona, była ona podobna do późniejszej propozycji Ritza. Dlatego później nie tracił już czasu na koncepcje, które kiedyś odrzucił po starannym namyśle. Prawdopodobnie właśnie przez to, że Ritz był umysłem o wiele mniej rewolucyjnym, współcześni cenili go wyżej, osiągnięcia Einsteina od początku wydawały się kontrowersyjne, niektórzy wielcy uczeni, jak Henri Poincaré podchodzili do nich bardzo sceptycznie. Nie wiemy, jak rozwinąłby się Walter Ritz, gdyby wcześniej odkryto penicylinę, ale można przypuszczać, że był już ukształtowany intelektualnie i nie stać by go było na żaden rewolucyjny skok w nieznane. Teoretycy rzadko robią coś rewolucyjnego po trzydziestce, chyba że kontynuują coś, co już wcześniej sami zaczęli. Dorobek Einsteina z tamtych lat jest bardzo mało techniczny, nie ma tam właściwie wcale skomplikowanych obliczeń, są raczej proste rozumowania i pomysłowe argumenty. W porównaniu prace Waltera Ritza wydają się znacznie bardziej zaawansowane. A jednak: „Ten piękny wysiłek w porównaniu z geniuszem jest tym, czym urywany lot świerszcza w porównaniu z lotem jaskółki” (A. Camus).

Jak można odtworzyć wzór Balmera? Szukając rozwiązań w postaci sinusów wzdłuż x i y oraz o częstości \nu, otrzymamy (a jest długością boku kwadratu):

f(x,y,t)=A \sin \dfrac{n\pi x}{a}\sin\dfrac{m\pi y}{a}\sin 2\pi\nu t.

Drugie pochodne sprowadzają się teraz do mnożenia przez odpowiedni czynnik, podstawiając do równania Ritza, otrzymamy

\nu^2 m^4 n^4 \sim (n^2-m^2)^2,

skąd przy m=2 dostajemy wzór Balmera.

Ernst Chladni: czy można zobaczyć dźwięk? (1787)

Że przedsięwzięcie to, mianowicie doświadczanie natury, wywoływanie jej fenomenów, „kuszenie” jej przez ujawnianie jej działalności przy pomocy eksperymentów – że wszystko to jest już całkiem bliskie czarnoksięstwa, ba, należy już nawet do jego zakresu i samo jest dziełem „kusiciela”, było przeświadczeniem minionych epok; przeświadczeniem godnym szacunku, jeśli mam tu wyrazić swe zdanie. Chciałbym wiedzieć, jakimi oczami spoglądano by wówczas na owego człowieka z Wittenbergi, który (…) przed stu kilkudziesięciu laty dokonał był eksperymentu z widzialną muzyką, co i nam niekiedy pokazywano. Do nielicznych przyrządów fizycznych, jakimi rozporządzał ojciec Adriana, należała okrągła i w środku jedynie na kolcu swobodnie oparta szklana płyta, na której się ów cud dokonywał. Płyta owa była mianowicie posypana drobniutkim piaskiem i ojciec przy pomocy starego smyczka od wiolonczeli, którym po jej brzegu z góry na dół przeciągał, wprawiał ją w drgania, poruszany zaś piasek przesuwał się i układał w zdumiewająco precyzyjne a różnorakie arabeski i figury. Ta wizualna akustyka, w której oczywistość i tajemnica, prawo i osobliwość, nader uroczo wspólnie występowały, bardzo się nam, chłopcom, podobała… [Th. Mann, Doktor Faustus, przeł. M. Kurecka i W. Wirpsza]

Adrian Leverkühn, kompozytor, będący dwudziestowiecznym wcieleniem doktora Fausta, zaprawiał się w ten sposób w początkach muzycznego czarnoksięstwa. Nie były to sztuczki błahe, gdy pamiętać, że śmierć jest mistrzem z Niemiec – u ich końca znajdowały się zniszczona i spustoszona Europa oraz klęska zarówno tych, co popierali, jak i tych, co nie potrafili się przeciwstawić szaleńczym wizjom tysiącletniej Rzeszy. A człowiekiem z Wittenbergi (tam niegdyś przybił Marcin Luter do kościelnych drzwi swoje tezy o zepsuciu kościoła) był Ernst Florens Friedrich Chladni, prawnik i przyrodnik, któremu ojciec surowo zabronił zajmować się muzyką przed dziewiętnastym rokiem życia. Profesor prawa nie życzył sobie najwyraźniej, by syn zarabiał na życie publicznymi występami. Ojciec zmarł, a syn zarabiał na życie nie jako muzyk wprawdzie – na to było za późno, ale jako objazdowy przyrodnik demonstrujący rozmaite zjawiska akustyczne oraz instrumenty muzyczne własnej konstrukcji.

Pokaz Chladniego w salonie księcia Thurn und Taxis, Ratyzbona, 1800 r.

Public Domain Review

Owe Klangfiguren albo figury Chladniego przyniosły uczonemu sławę. Doszedł on do wielkiej biegłości w ich demonstrowaniu, przytrzymując palcami drgającą płytkę w odpowiednio dobranych miejscach. Pokaz ten fascynował publiczność w całej Europie znacznie bardziej niż wynalezione przez niego eufon i klawicylinder. W zasadzie Chladni nie był odkrywcą tego zjawiska, wspominał o czymś podobnym Leonardo da Vinci, a także Galileusz, który przytacza nie do końca wiarygodny opis doświadczenia, mającego wykazać związek długości fali drgania z wysokością dźwięku. Galileo, syn muzyka Vincenza, widział zapewne takie drgania, trudno to dziś przesądzić. Z fizycznego punktu widzenia chodzi o fale stojące, czyli drgania, których zależność przestrzenna jest ustalona: w pewnych miejscach amplituda jest większa, w innych spada do zera – te ostatnie tworzą w dwuwymiarowym przypadku linie węzłów (albo bardziej uczenie: linie nodalne). Przytrzymując płytkę w odpowiednich miejscach, można taką linię węzłów niejako „przytrzymać”.

Jednym ze szczytowych punktów kariery Chladniego były lata pobytu w Paryżu. Został tam w lutym 1809 roku przyjęty przez cesarza Francuzów Napoleona Wielkiego, który od czasu swoich studiów szkole artylerii żywił szczególne uznanie dla wiedzy fizycznej i matematycznej. Chladni otrzymał od cesarza subwencję na przetłumaczenie swego traktatu o akustyce na francuski. Cesarz raczył też ogłosić konkurs na matematyczną teorię owego zjawiska. Nagrodę 3000 franków przyznano ostatecznie, po pewnych perypetiach, w roku 1816 Sophie Germain, która z racji płci skazana była na pozostawanie na obrzeżach świata naukowego. Jej rozwiązanie nie było całkiem poprawne. Problem drgań poprzecznych dwuwymiarowej sprężystej płytki okazał się trudniejszy, niż początkowo sądzono. Dopiero w 1850 r. Gustav Kirchhoff rozwiązał to zagadnienie dla przypadku kolistej płytki. Rozwiązania przybliżone dla płytki prostokątnej podał Walter Ritz na początku wieku XX. Wbrew pozorom nie są to subtelności, które mogą zaciekawić jedynie matematyków. Jeden ze słynnych wypadków zawalenia się wiszącego mostu w Tacoma (USA) w r. 1940 związany był właśnie z drganiami przypominającymi figury Chladniego, a wywołanymi przez wiatr.

Spadający deszcz i czarna dziura Schwarzschilda

Opiszemy za Thanu Padmanabhanem prosty, choć nie całkiem prawidłowy, sposób otrzymania metryki czarnej dziury Schwarzschilda. Fizycznie jest to zagadnienie pola grawitacyjnego wokół sferycznej masy M. Spróbujmy znaleźć metrykę daleko od naszego ciała, w odległości r od centrum. Wyobrażamy sobie infinitezymalne układy współrzędnych: jeden xy nieruchomy względem centrum, a drugi x_{in}y_{in} swobodnie spadający ku centrum z nieskończoności. Układ swobodnie spadający jest lokalnie inercjalny, więc metryka w nim ma szczególnie prostą postać metryki Minkowskiego (wszędzie c=1):

ds^2=dt_{in}^2-d\vec{r}_{in}\,^2.

Zakładamy teraz, że przejścia od układu spadającego do nieruchomego możemy dokonać za pomocą transformacji Galileusza, czyli tak, jakbyśmy nie uczyli się nigdy o Einsteinie:

\begin{cases}d\vec{r}_{in}=d\vec{r}-\vec{v}dT \\  dt_{in}=dT.\end{cases}

Wstawiając tę transformację do metryki swobodnej, otrzymujemy

ds^2=(1-v^2)dT^2 +2\vec{v}\cdot \vec{dr} dT -d\vec{r}\,^2.

Newtonowska prędkość ciała spadającego z nieskończoności jest równa prędkości ucieczki:

v=\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}.

Ostatecznie nasza metryka wygląda we współrzędnych radialnych następująco:

ds^2=\left(1-\dfrac{2GM}{r}\right)dT^2-2\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}dr dT-d\vec{r}\,^2.

Jest to metryka spadającego deszczu, w której czas jest czasem własnym spadających na centrum cząstek. Inaczej metryka Painlevé’go-Gullstranda. Nasza procedura nie jest prawidłowym wyprowadzeniem, ale nieco ułatwia wyobrażenie sobie, skąd takie wyrażenie może pochodzić. Ostateczną weryfikacją byłoby obliczenie dla tej metryki tensora Ricciego i wykazanie, że znika on dla wszystkich r>0.

Nietrudno pokazać, że spadanie z prędkością

\dfrac{dr}{dT}=-\sqrt{\dfrac{2GM}{r}},

jest ruchem geodezyjnym. Jeśli w metryce wydzielimy po prawej stronie dT^2, otrzymamy (dla ruchu radialnego d\vec{r}\,^2=dr^2):

ds^2=\left[1-\left(\dfrac{dr}{dT}+\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}\right)^2\right]dT\,^2\le dT\,^2.

Maksymalne ds otrzymamy więc, gdy znika nawias zwykły w ostatnim wyrażeniu i wtedy ds=dT. Pokazaliśmy już poprzednio, jak wyglądają stożki świetlne w tych współrzędnych, łatwo zauważyć istnienie horyzontu wokół centralnej osobliwości r=0. Można też przejść od naszych współrzędnych deszczu do zwykłej metryki Schwarzschilda (odwrotną drogę przebył Painlevé w 1921 r.). Należy w tym celu zmienić definicję czasu:

dT=dt+\dfrac{\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}}{1-\dfrac{2GM}{r}}dr.

Funkcję po prawej stronie można otrzymać, pisząc dT=dt+f(r)dr i tak dobierając funkcję f(r), żeby znikł wyraz niediagonalny z dr dt.

Paul Painlevé, Einstein i czarne dziury (1921-1922)

Dzieje rodziny Paula Painlevé’go mogłyby posłużyć jakiemuś nowemu Balzacowi: dawni winogrodnicy, bednarze i kamieniarze, w pokoleniu dziadków zajęli się drukarstwem i litografią, przyszły ojciec uczonego z drukarza-litografa przeobraził się w przedsiębiorcę, producenta farby drukarskiej. Paul uczył się w renomowanych liceach paryskich Saint-Louis i Louis-le-Grand, a studiował matematykę w prestiżowej École normale supérieure, będącej znakomitym wstępem zarówno do kariery naukowej, jak politycznej. (Jej absolwenci zdobyli trzynaście Nagród Nobla, dziesięć Medali Fieldsa i dwie Nagrody Abela). Painlevé uzupełniał wykształcenie matematyczne w Getyndze u Hermanna Schwarza i Feliksa Kleina. W roku 1900, będąc jeszcze przed czterdziestką został członkiem Akademii Nauk, co naszej rodaczce Marii Skłodowskiej-Curie nie udało się nigdy, pomimo dwóch Nagród Nobla. Francuskie elity naukowe były mocno konserwatywne i nie każdy mógł zostać do nich dopuszczony. Painlevé interesował się także lotnictwem: teoretycznie – obliczając siłę nośną oraz praktycznie – odbywając w roku 1908 z Wilburem Wrightem ponadgodzinny lot na wysokości 10 m, przebyli 55 km i szczęśliwie wylądowali, był to ówczesny rekord. Alma Mahler wspomina, że Painlevé należał do entuzjastów symfonii Gustava Mahlera i jeździł specjalnie w różne miejsca, aby ich wysłuchać. Razem z generałem Georges’em Picquartem grywali je podobno na fortepianie w aranżacjach na cztery ręce. Wyciągi fortepianowe dzieł symfonicznych czy oper były dość popularne w czasach, gdy muzyki można było słuchać jedynie na żywo, a fortepiany lub pianina stały w niemal każdym mieszczańskim domu. Z Picquartem łączyły Painlevé’go poglądy w sprawie Dreyfusa, to właśnie Picquart udowodnił, że nie Alfred Dreyfus, lecz Ferdinand Esterhazy był szpiegiem w armii francuskiej. Przez kraj przetoczyła się wcześniej zajadła kampania antysemicka, wysokie dowództwo armii nie chciało przyznać się do błędu i Dreyfus został zrehabilitowany przeszło dziesięć lat po degradacji i uwięzieniu na Diabelskiej Wyspie. W 1910 r. Painlevé został socjalistycznym deputowanym do parlamentu. Od tej pory zajmował się czynnie polityką, bywał ministrem, przewodniczącym Izby Deputowanych, a nawet premierem. W 1921 roku zaczął zabiegać o wizytę Einsteina w Paryżu, niewątpliwie pragnąc w ten sposób zbliżyć oba narody po krwawej wojnie. W następnym roku Einstein rzeczywiście przyjął zaproszenie i przyjechał, o czym pisałem.

Painlevé interesował się nie tylko aspektem politycznym, zajął się bliżej teorią względności, z czego wynikło kilka prac oraz ożywione dyskusje z Einsteinem w Paryżu. Matematyk odkrył nowy sposób opisu pola grawitacyjnego wokół masy punktowej, z czego wyciągnął dość radykalne wnioski, osłabiające w jego mniemaniu, teorię względności. Einstein, nie zgadzając się z tymi wnioskami, nie potrafił wtedy udzielić bardziej konkretnej odpowiedzi. Dyskusje te miały także pewne praktyczne następstwa. Otóż szwedzki okulista, ale i matematyk, Allvar Gullstrand także odkrył ową metrykę Gullstranda-Painlevé’go, jak to się dziś nazywa. I uznał, podobnie, jak Painlevé, że teoria względności nie daje jednoznacznych przewidywań. Oznaczałoby to, że światowa sensacja wokół teorii względności po odkryciu ugięcia światła gwiazd w pobliżu tarczy słonecznej była mocno na wyrost. Gullstrand opiniował prace Einsteina dla Komitetu Noblowskiego i w roku 1921 nagrody nie przyznano. Einstein był najpoważniejszym kandydatem, ale Gullstrand podważał wartość jego prac. W końcu Nagrodę przyznano Einsteinowi dopiero w roku 1922 (za poprzedni rok), a więc po długim bardzo namyśle. W dodatku uznano, że bezpieczniej będzie zostawić na boku kwestię teorii względności, toteż przyznano Nagrodę za wyjaśnienie zjawiska fotoelektrycznego – w tym przypadku nie było wątpliwości, że przewidywania Einsteina zostały wyraźnie potwierdzone eksperymentalnie. Painlevé wyrażał swą krytykę o tyle bardziej dyplomatycznie, że uznawał zarazem wartość poznawczą podejścia Einsteina i zestawiał go z Lagrange’em. Obaj jednak, zarówno Francuz, jak Szwed, mieli spore zastrzeżenia.

Opiszę, na czym polegały zastrzeżenia Painlevé’go i co odpowiadał mu Einstein (na ile to dziś wiadomo). W drugiej części opiszę metrykę Gullstranda-Painlevé’go i jej konsekwencje: czarną dziurę. Uczeni pomiędzy rokiem 1915 a latami pięćdziesiątymi XX stulecia wiele razy natykali się na zagadnienie czarnych dziur i na rozmaite sposoby cofali się przed ich uznaniem, błędnie interpretując swoje równania. Pokazuje to, że interpretacja formalizmu matematycznego była tu niesłychanie trudnym problemem, znacznie poważniejszym niż formalne przekształcenia, które w różnych wersjach wykonywało wielu uczonych.

Ogólna teoria względności ma tę własność, że możemy używać w zasadzie niemal dowolnych czterech współrzędnych dla opisania miejsca i czasu. Same współrzędne nie muszą nic oznaczać z fizycznego punktu widzenia, tę samą sytuację można więc opisywać na różne sposoby. Często nie widać, że owe różne opisy dotyczą w istocie tej samej sytuacji. Tak było w przypadku metryki Gullstranda-Painlevé’go.

Czasoprzestrzeń wokół punktowej masy m w teorii Einsteina opisana jest metryką Schwarzschilda:

ds^2=\left(1-\dfrac{r_S}{r}\right)dt^2-\dfrac{dr^2}{1-\dfrac{r_S}{r}}-r^2 d\varphi^2.

Stała r_S jest promieniem Schwarzschilda (dziś: promieniem horyzontu czarnej dziury). Painlevé i niezależnie od niego Gullstrand odkryli, że można tę samą sytuację opisać także za pomocą innej metryki:

ds^2=\left(1-\dfrac{r_S}{r}\right)dt^2+2\sqrt{\dfrac{r_S}{r}}dr dt-dr^2-r^2 d\varphi^2.

W obu przypadkach zapisałem metrykę tylko w płaszczyźnie równikowej, żeby mniej pisać (mamy wtedy jedynie zmienne t, r,\varphi). Painlevé podał także inne możliwe postaci owej metryki, sugerując, że dowodzi to, iż teoria Einsteina jest w istocie pusta, można bowiem wyciągnąć z niej rozmaite wnioski dla tej samej sytuacji fizycznej. Np. w pierwszej metryce przestrzeń trójwymiarowa nie jest euklidesowa, a w drugiej jest. Ergo wnioski Einsteina dotyczące światła w polu grawitacyjnym Słońca oraz ruchu Merkurego są nieuzasadnione. Podobnie rozumował Gullstrand, słuchany uważnie przez Komitet Noblowski.

Painlevé uznał, że wyciąganie z postaci metryki wniosków fizycznych to „czysta fikcja”. Zakomunikował to na posiedzeniu paryskiej Akademii Nauk i uprzejmie doniósł o tym listownie Einsteinowi. Na co Einstein, członek berlińskiej Akademii Nauk, równie uprzejmie oznajmił, że „metryczna interpretacja ds^2 nie jest żadną «pure imagination», lecz samym sednem teorii (der innerste Kern)” [Einstein Papers, t. 12, s. 369]. Podkreślał też, że same współrzędne nie znaczą nic, trzeba z nich dopiero wyciągnąć wnioski fizyczne nt. czasu i odległości.

Pewne zbliżenie stanowisk nastąpiło podczas dyskusji w Paryżu, choć Painlevé pisał już mniej bojowo, wkrótce zresztą wrócił do polityki. Paul Langevin podsumował to, mówiąc, że byłoby lepiej, gdyby Painlevé przeczytał o teorii względności, zanim wystąpił ze swą krytyką, a nie dopiero później. Tak to w akademiach bywa: ludzie dostają się do nich dzięki dawnym osiągnięciom, a nie stanowi to żadnej gwarancji, że dobrze rozumieją nowości naukowe. W dodatku akademie (przynajmniej wtedy) drukowały wszystko, co ich członkowie uznali za ciekawe. Dyskusja w paryskiej Akademii Nauk na temat teorii względności w latach 1921-1922 nie stała na zbyt wysokim poziomie. Akademicy byli na ogół niechętni Einsteinowi. Na propozycję, aby go przyjąć na członka-korespondenta, jeden z szacownych uczonych zareagował stwierdzeniem, że trudno wyróżniać w ten sposób człowieka, który „zniszczył mechanikę”.

Podczas wizyty Einsteina matematyk Jacques Hadamard zapytał o kwestię osobliwości metryki Schwarzschilda dla r=r_S. Niemiecki uczony przekonywał, a nawet poparł pewnymi rachunkami, które przeprowadził z dnia na dzień, że taka „katastrofa Hadamarda” nie może się zdarzyć w rzeczywistości, ponieważ zanim skoncentruje się materię pod promieniem Schwarzschilda, to wcześniej ciśnienie wewnątrz takiej gwiazdy stanie się nieskończone. Nie miał w tej kwestii racji, ale także później starał się dowodzić, że czarne dziury są niemożliwe. Einstein martwił się o spójność własnej teorii, ale wyrażał też dość powszechne stanowisko, Arthur Eddington, największy specjalista od budowy wnętrza gwiazd, twierdził, że z pewnością musi istnieć prawo fizyczne zabraniające takiego upakowania materii.

Jak można spojrzeć na tę dyskusję z perspektywy czasu, mając po swej stronie „łaskę późnego urodzenia”? Na wątpliwości Hadamarda (jak najbardziej uzasadnione) odpowiada metryka Painlevé’ego. Wystarczy spojrzeć, że nic się tam nie dzieje przy r=r_S (także jej wyznacznik jest różny od zera). Zatem w innych współrzędnych osobliwości tu nie ma i Einstein nie musiał się męczyć żadnymi rachunkami. Katastrofa Hadamarda jest osobliwością konkretnych współrzędnych Schwarzschilda, to coś w rodzaju „osobliwości” współrzędnych geograficznych na biegunie ziemskim, gdzie zbiegają się wszystkie południki. Wiemy jednak, że nic się tam złego nie dzieje z Ziemią.

W dodatku metryka Painlevé’go ze znakiem minus przed pierwiastkiem też stanowi rozwiązanie równań Einsteina. Nietrudno zobaczyć, co wtedy otrzymamy dla światła, tzn. gdy ds^2=0. Załóżmy dodatkowo, że promień świetlny biegnie radialnie, tzn. d\varphi=0. Dostajemy

0=\left(1-\dfrac{r_S}{r}\right)dt^2 -2\sqrt{\dfrac{r_S}{r}} dr dt-dr^2.

Dzieląc obie strony przez dt^2, dostajemy równanie kwadratowe dla prędkości radialnej. Jego rozwiązania dane są wyrażeniem:

\dfrac{dr}{dt}=\pm 1 -\sqrt{\dfrac{r_s}{r}}.

Równanie to opisuje dwa skrajne promienie świetlne: spadający na centrum i oddalający się od centrum. Gdy r>r_S jeden z nich zbliża się do centrum, drugi oddala. Kiedy jednak przekroczymy punkt „katastrofy Hadamarda” i r<r_S oba promienie zbliżają się ku centrum. Znaczy to, że nawet promień świetlny nie może się wydostać poza obszar r<r_S, czyli spod horyzontu czarnej dziury.

Przejście do współrzędnych Painlevé’go nie zmienia współrzędnej r, lecz jedynie czas. Jest on teraz mierzony jako czas własny cząstek spadających z nieskończoności na centrum. Są to współrzędne padającego deszczu, jak nazywają to Edwin F. Taylor i John Archibald Wheeler (*) w swej książce Exploring Black Holes.

 

 

(Na rysunku odległości i czasy wyskalowane są w promieniach Schwarzschilda)

Gdy cząstka mija horyzont, jej stożek przyszłości zaczyna być zwrócony ku wnętrzu, a to znaczy, że niebawem spadnie na centralną osobliwość. Drugi znak we współrzędnych Painlevé’go odpowiadałby wznoszeniu się z centrum do nieskończoności. Prawa grawitacji nie mówią nic na temat kierunku czasu: zawsze możliwy jest ruch przeciwny. Jak się zdaje, tylko współrzędne związane ze spadaniem mają jakiś sens fizyczny. W 1922 r. nie miał o tym wszystkim pojęcia ani Paul Painlevé, ani Albert Einstein.

(*) John Wheeler był autorem określenia „czarna dziura”.