J.J. Thomson: Jak powstaje fala elektromagnetyczna? (1903)

Pole elektryczne spoczywającego ładunku zachowuje się tak, jak linie prędkości cieczy (nieściśliwej). Oznacza to, że linie sił pola biegną radialnie z ładunku punktowego i każdą zamkniętą powierzchnię otaczającą nasz ładunek przecina tyle samo linii sił. Strumień pola elektrycznego jest taki sam przez każdą powierzchnię zamkniętą (taka sama objętość cieczy przepływa w jednostce czasu przez każdą powierzchnię: ciecz nie gromadzi się ani nigdzie nie ucieka, np. w czwarty wymiar, ile wpłynęło przez jedną powierzchnię, tyle musi wypłynąć przez drugą).

maxwell fluid

Zatem natężenie pola E razy pole powierzchni sferycznej o promieniu r jest stałe:

E4\pi r^2=\dfrac{q}{\varepsilon_0}\Rightarrow E=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \mbox{(*)}.

Inaczej mówiąc, kwadrat odległości w prawie Coulomba bierze się stąd, że pole powierzchni sfery rośnie jak r^2. W równaniach tych q oznacza ładunek, \varepsilon_0 stałą informującą o wielkości sił elektrycznych, jest to tzw. przenikalność próżni i jest stałą fizyczną. Najczęściej jednak mamy do czynienia nie z polami elektrostatycznymi, lecz z falami elektromagnetycznymi: dzięki tym falom widzimy na ekranie ten tekst, dzięki tym falom możemy rozmawiać przez komórkę albo obserwować wszechświat, można śmiało stwierdzić, że większość naszej jednostkowej i cywilizacyjnej wiedzy zdobyliśmy dzięki falom elektromagnetycznym.

Spójrzmy nieco inaczej na rysunek wyżej. Gdyby punkt w środku oznaczał Słońce (albo jakąś inną gwiazdę, albo dowolne źródło o symetrii kulistej), a linie były promieniami światła, to przez każdą powierzchnię zamkniętą w jednostce czasu powinna przechodzić taka sama ilość energii, inaczej mówiąc: moc przepływająca przez każdą powierzchnię byłaby taka sama – wszechświat jest dość pusty i praktycznie cała energia przepływa dalej (gdybyśmy zresztą wyobrazili sobie planetę między dwiema powłokami, to po pierwsze byłaby ona malutka w porównaniu do gwiazdy, a więc pochłaniałaby niewiele mocy, a poza tym wysyłałaby tyle watów, ile pochłania – inaczej planeta gwałtownie stygłaby albo się ogrzewała.) Równanie zapisane wyżej można by powtórzyć z niewielkimi zmianami: jeśli I to moc na jednostkę powierzchni (W/m2), czyli natężenie promieniowania gwiazdy, to możemy napisać:

I4\pi r^2=P\Rightarrow I=\dfrac{P}{4\pi r^2}.

P jest mocą gwiazdy [W], czyli ilością energii wysyłanej przez nią w jednostce czasu. Zatem natężenie fali powinno maleć jak 1/r^2, ponieważ pole powierzchni sfery rośnie jak r^2. Natężenie fali jest dla wszystkich rodzajów fal, nie tylko elektromagnetycznych, proporcjonalne do kwadratu amplitudy. Mamy zatem

I\sim E^2\sim \dfrac{1}{r^2}\Rightarrow E\sim \dfrac{1}{r}.

Pole elektryczne fali powinno być odwrotnie proporcjonalne do odległości od źródła, a nie do jej kwadratu, jak w przypadku statycznym (*). Możemy teraz zrozumieć, czemu pole elektrostatyczne trudniej zaobserwować: maleje ono bowiem z odległością szybciej niż pole fali elektromagnetycznej. Jest i drugi powód: atomy zawierają tyle samo ładunku ujemnego co dodatniego i w efekcie pola elektrostatyczne niemal się równoważą – niemal, bo ładunki dodatnie (jądra) są średnio biorąc w innym miejscu niż ujemne (elektrony), wypadkowe pole maleje w rezultacie jeszcze szybciej, z sześcianem odległości. Siły elektrostatyczne są bardzo istotne dla wiązań atomów, czyli na niewielkich odległościach.

Jak można z pola spoczywającego ładunku otrzymać pole fali elektromagnetycznej? Zacznijmy od jednostek. Skoro dla pola statycznego E maleje jak 1/r^2, to aby otrzymać zależność 1/r, musimy we wzorze (*) znaleźć dodatkowy czynnik w mianowniku o wymiarze długości (m). Pole fali elektromagnetycznej związane jest z ruchem przyspieszonym ładunku, logicznie jest przypuścić, że powinno być proporcjonalne do jego przyspieszenia a (m/s2). Mamy więc w liczniku metry podzielone przez sekundy do kwadratu. A chcielibyśmy mieć same metry, i w mianowniku. Możemy wykorzystać w tym miejscu drugą stałą fizyczną elektromagnetyzmu, tzn. prędkość światła c (pierwsza to \varepsilon_0). Jeśli przyspieszenie podzielimy przez c^2, dostaniemy taki wymiar, jak potrzeba:

\left[\dfrac{a}{c^2}\right]=\dfrac{m/s^2}{m^2/s^2}=\dfrac{1}{m}.

W wyniku tego zgadywania, zwanego uczenie analizą wymiarową, możemy przypuszczać, że pole elektryczne fali wytwarzanej przez ładunek q powinno mieć postać:

E=\dfrac{qa}{4\pi\varepsilon_0 c^2 r}f(\theta).

Włączyliśmy tu jakąś nieznaną funkcję kąta miedzy przyspieszeniem a promieniem wodzącym. Kąty są bezwymiarowe, więc nie zmienia to naszych wniosków. Zobaczymy, jak można zrozumieć mechanizm wytwarzania fali i ostatni wzór. Rozumowanie poniżej pochodzi od J.J. Thomsona, który w roku 1903 miał wykłady w Yale, gdzie je przedstawił wśród wielu innych rozważań. Fale elektromagnetyczne znane były od kilku dziesięcioleci, wkład Thomsona jest tu czysto dydaktyczny (Główną jego naukową zasługą było odkrycie elektronu, za które otrzymał Nagrodę Nobla w 1906 roku.) Rozumowanie to było zresztą wielokrotnie powtarzane przez autorów podręczników, m.in. w kursie berkeleyowskim, znanym i w Polsce.

Punktem wyjścia jest fakt, że pole elektryczne ładunku poruszającego się jednostajnie wygląda w każdej chwili tak samo jak pole ładunku spoczywającego (*) – chcąc zmierzyć pole w danym punkcie i w danej chwili, musimy wstawić do tego wzoru odległość miedzy punktem a ładunkiem obliczoną właśnie w owej chwili. Zakładamy tu, że prędkość jest niewielka w porównaniu z prędkością światła, jest to założenie do uniknięcia, choć sam Thomson niezbyt dobrze rozumiał ten punkt – było to jeszcze przed teorią względności. W każdym razie w większości przypadków, oprócz akceleratorów cząstek albo kosmicznych katastrof, założenie to jest spełnione.

Impuls typu fali elektromagnetycznej uzyskamy, gdy nasz ładunek zmieni prędkość. Wyobraźmy sobie np., że w pewnej chwili t=0 ładunek zaczął hamować. Oczywiście nie mógł stanąć w miejscu, przez pewien krótki czas \tau poruszał się z przyspieszeniem, a potem już był nieruchomy. Jak powinny wyglądać linie sił w chwili T\gg \tau? Wiemy, że informacja nie może przenosić się szybciej niż c, zatem na zewnątrz sfery o promieniu cT=OR nic jeszcze nie wiadomo, że ładunek się zatrzymał i linie sił zbiegają do punktu O’, w którym powinien się on znaleźć, gdyby nadal poruszał się jednostajnie. W pobliżu ładunku, w odległościach mniejszych niż c(T-\tau)=OP, już wiadomo, że ładunek jest nieruchomy: linie sił zbiegają się w punkcie O. Linie sił pola elektrycznego muszą być ciągłe, nie mogą się zaczynać ani kończyć w punkcie przestrzeni, gdzie nie ma ładunku. Łącząc obraz sprzed hamowania i po hamowaniu uzyskamy co następuje:

electricitymatte00thombw

(Linia sił OPP’Q, oryginalny rysunek z wykładów Thomsona, Electricity and Matter, New Haven 1912)

purcell

(Linia sił to ABCD, ta sama sytuacja w podręczniku Purcella i Morina z roku 2013)

Na pierwszym rysunku nie zaznaczono drogi hamowania, na drugim jest ona zaznaczona, ale tak, że widać, iż jest znacznie krótsza niż droga v_0 T. Do pola radialnego doszło pole skierowane poprzecznie, prostopadle do promienia wodzącego. Właśnie to pole poprzeczne zmienia się jak 1/r. Nie wiem, czy dziś łatwiej się uczyć niż przed wiekiem, z pewnością lepsze są rysunki i liczniejsze źródła wiedzy. Trzymając się oznaczeń drugiego rysunku, widzimy, że stosunek pola poprzecznego E_{\theta} do radialnego E_r równy jest

\dfrac{E_{\theta}}{E_{r}}=\dfrac{v_0 T\sin\theta}{c\tau}=\dfrac{v_0}{\tau}\dfrac{cT}{c^2}\sin\theta=a\dfrac{r}{c^2}\sin\theta.

Widzimy, że wraz z rosnącą odległością stosunek obu składowych pola jest coraz większy: daleko od źródła zostaje jedynie pole poprzeczne. Wstawiając za E_{r} wzór (*), otrzymamy pole promieniowania.

E=\dfrac{qa\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0 c^2 r}.

Jak widać, f(\theta)=\sin\theta. Ostatnia zależność oznacza, że tylko przyspieszenie ładunku prostopadłe do promienia wodzącego jest źródłem fali. Jeśli patrzymy na poruszający się ładunek i nie widzimy ruchu (bo porusza się on wzdłuż linii widzenia), nie ma promieniowania. Wyrażenie dla E_{\theta} słuszne jest dla dowolnego ruchu nierelatywistycznego. W antenach ładunki oscylują, zatem przyspieszenie zmienia się okresowo, a tym samym zgodnie z naszym wzorem zmienia się okresowo także pole elektryczne. Mamy rozchodzącą się falę elektromagnetyczną. Nie zajmowaliśmy się tu polem magnetycznym, które jest proporcjonalne do pola elektrycznego i prostopadłe do niego, a także do kierunku rozchodzenia się fali.

Uwaga nt. kątów: Natężenie fali elektromagnetycznej będzie zawierało kwadrat pola, a więc \sin^2\theta. Oczywiście, jeśli źródło złożone jest z wielu ładunków, których przyspieszenia rozmieszczone są przypadkowo i izotropowo (jak w przypadku gwiazdy), wypadkowa energia będzie niezależna od kierunku, zostanie tylko zależność od odległości.

Uwaga nt. stałych: Czasem używa się innej pary stałych: \varepsilon_0 oraz \mu_0. Zachodzi zależność:

\mu_0=\dfrac{1}{\varepsilon_0 c^2}.

Jak Ptolemeusz nie odkrył prawa Snella

Klaudiusz Ptolemeusz był astronomem i astrologiem, wierzył zapewne w boskość ciał niebieskich i studiowanie ich ruchów traktował jako udział w pewnym misterium. Bo też zrozumienie każdej, nawet drobnej tajemnicy świata ma w sobie coś z misterium i z obrzędu wtajemniczenia. Nie trzeba do tego mieszać ludzi w szatach rytualnych, profesjonalistów, którzy zazwyczaj niczego nie rozumieją. Nie potrzeba pleść o Bogu, o którym wszyscy wiemy bardzo niewiele.

Wyjaśnienie ruchu planet musiało Ptolemeuszowi przynieść wielką satysfakcję: dokończył dzieła wielu pokoleń. My dzisiaj patrzymy na jego teorię jak na wstęp do Kopernika i Keplera, lecz przez czternaście wieków uważano ją za niedościgniony wzór. Geocentryzm nikomu właściwie nie przeszkadzał, był oczywisty, tak jak my uważamy za oczywistość, że Ziemia się porusza, choć nie każdy potrafiłby wskazać doświadczalne dowody tego faktu. Ptolemeusz zresztą doskonale sobie zdawał sprawę z możliwości ruchu Ziemi, odrzucał ją przedstawiając pewne argumenty, a więc nie z braku wyobraźni.

Był zawodowym uczonym, zajmował się całością nauk matematycznych, a więc także geografią i skalami muzycznymi oraz optyką. Pierwszy opisał ilościowo i doświadczalnie zbadał zjawisko załamania światła. Używał do tego następującego przyrządu.

ptolemy_refraction

Światło biegnie po łamanej ZEH, DEB jest linią rozdziału dwóch ośrodków, np. na dole mamy wodę albo szkło (w kształcie połowy walca), a u góry powietrze. Koło zaopatrzone jest w podziałkę w stopniach. Uczony mierzył kąty padania i oraz załamania r. Oto jego wyniki dla granicy powietrze-woda.

 

i r
10 8
20 15,5
30 22,5
40 29
50 35
60 40,5
70 45,5
80 50

Jest to rzadki przypadek starożytnej pracy eksperymentalnej poza astronomią. Optyka była przedłużeniem astronomii, więc dość naturalne było zainteresowanie zjawiskami świetlnymi. Tabelka Ptolemeusza nie jest jednak do końca wynikiem doświadczalnym, zauważymy to, analizując dokładniej wartości kątów załamania i ich różnice.

i r pierwsze różnice drugie różnice
10 8 8
20 15,5 7,5 -0,5
30 22,5 7 -0,5
40 29 6,5 -0,5
50 35 6 -0,5
60 40,5 5,5 -0,5
70 45,5 5 -0,5
80 50 4,5 -0,5

Uczony najwyraźniej „poprawiał” surowe dane eksperymentalne, być może nawet nie wykonał wszystkich pomiarów, zachował się jak niesumienny student podczas zajęć laboratoryjnych: i tak przecież wiadomo, co ma wyjść. Nie należy z tego powodu wszczynać larum, że przyłapaliśmy Ptolemeusza na oszustwie: w jego czasach i jeszcze bardzo długo potem starano się raczej uzyskać pewną formułę, jakiś rodzaj matematycznego zrozumienia zamiast relacjonować listę wyników obarczonych błędami. Teoria i eksperyment spotykały się w nieco innym miejscu niż dziś. Ptolemeusz zapewne chciał po inżyniersku rozumieć, skąd się biorą liczby w jego tabelce. Funkcja liniowa tu nie pasuje, bo wówczas różnice byłyby stałe. Jeśli drugie różnice (czyli różnice kolejnych różnic) są stałe, to znaczy, że opisujemy obserwowaną zależność funkcją kwadratową (*). Jej wykresem będzie parabola.

woda

Czerwone kropki są prawidłowymi wynikami dla kątów załamania w wodzie. Błędy nie są wielkie, choć znacznie przewyższają niedokładności tolerowane wówczas w astronomii. Podobne dane przedstawia Ptolemeusz dla szkła, także i one są dopasowane do paraboli.

szklo

W istocie Ptolemeusz stracił okazję do odkrycia prawa bardziej zadowalającego pod względem matematycznym. Podał on bowiem także wyniki dla załamania z wody do szkła. Także i tym razem dopasował je do funkcji kwadratowej, choć z pewnymi anomaliami. Nie zauważył jednak, że skoro ma dane dla granic ośrodków powietrze-woda oraz szkło-woda, to kąty dla załamania z wody do szkła powinny już wynikać z poprzednich danych. Wystarczy bowiem wyobrazić sobie następującą sekwencję ośrodków: woda-powietrze-szkło. Dla obu granic znamy zależności miedzy kątami po obu stronach (Ptolemeusz wiedział, że kierunek biegu promieni nie ma znaczenia w załamaniu, wyobrażał sobie zresztą nie promienie świetlne, lecz promienie wzrokowe, które wybiegają z oka). Możemy sobie następnie wyobrazić, że warstwa powietrza staje się coraz cieńsza: kąty w wodzie i w szkle cały czas są takie same, logicznie jest więc przypuścić, że pierwsze dwie zależności dają nam tę trzecią (woda-szkło). Ptolemeusz nie poszedł tą drogą i chyba nie zauważył, że przybliżenie kwadratowe jest nie do utrzymania dla trzeciej pary ośrodków. W gruncie rzeczy prawo Snella, choć takie proste, wymaga spojrzenia na zjawisko załamania w odpowiedni sposób, mieści w sobie od razu pewną teorię. Nie miejmy za złe Ptolemeuszowi w II w.n.e., że nie poradził sobie z problemem, który jeszcze na początku wieku XVII okazał się za trudny dla samego Johannesa Keplera. Ostatecznie prawo załamania odkrył Ibn Sahl, żyjący w X wieku, kiedy nasi przodkowie kryli się po lasach, a w XVII wieku niezależnie od siebie Thomas Harriot, Willebrord Snell i René Descartes. Tylko ten trzeci opublikował to prawo, a także jego mechaniczne uzasadnienie, zresztą fałszywe.

(*) Łatwo zauważyć, że różnice dla funkcji kwadratowej są liniową funkcją argumentu. W przypadku biegu promieni z powietrza do wody Ptolemeusz stosuje (niejawnie) funkcję

r=\dfrac{33}{40}i-\dfrac{1}{400}i^2.

Funkcja odwrotna nie jest już kwadratowa (musimy rozwiązać ostatnią równość względem i). Zatem złożenie tej funkcji odwrotnej z funkcją kwadratową nie może nam dać funkcji kwadratowej dla trzeciej pary ośrodków.

Dane Ptolemeusza

 

Flaszki Kleista i butelki lejdejskie: elektryczny szok uczonej Europy (1745-1746)

Ważne odkrycia niemal zawsze są niespodziewane, bywają także niebezpieczne, gdyż odkrywcy zwykle są w roli ucznia czarnoksiężnika, rozpętując moce, nad którymi nie potrafią zapanować. Odkrycie butelki lejdejskiej stanowiło przełom w badaniach elektryczności. Do tej pory była ona jedynie źródłem interesujących i zabawnych pokazów. Elektron znaczy po grecku bursztyn, i to bursztyn był pierwszą substancją używaną do wywołania zjawisk przyciągania i odpychania lekkich drobnych przedmiotów w rodzaju skrawków papieru. Zauważono, że także inne materiały, jak siarka albo szkło, elektryzują się przez tarcie. Znane było doświadczenie Graya, pokazujące, że elektryczność może być przekazywana także przez ciało ludzkie.

0154.P.2.1612.1032

Stephen Gray, farbiarz, astronom i okazjonalnie demonstrator eksperymentów w Towarzystwie Królewskim, został pod koniec życia pensjonariuszem Charterhouse, czegoś w rodzaju szpitala z domem starców dla gentlemanów (pojęcie w Anglii bardzo rozciągliwe) połączonego z sierocińcem i szkołą. Do eksperymentów używał czterdziestosiedmiofuntowego chłopca zawieszonego na jedwabnych izolujących pasach. Na rysunku widzimy jeden z wariantów takiego doświadczenia. Osoba B obraca tu za pomocą przekładni szklaną kulę C, która jest pocierana ręką osoby D. Zawieszony w powietrzu chłopiec stopami dotyka kuli, podając rękę dziewczynce G (stojącej na izolacyjnej podkładce z żywicy albo smoły). Jej ręka przyciąga skrawki złotej folii leżące na gerydonie H. Na drugim rysunku mamy naelektryzowaną szklaną rurkę TT, która za pomocą brązowego drutu B połączona jest z dzwonkiem A. Młoteczek C zawieszony jest na jedwabnym sznurze i jest na przemian przyciągany oraz odpychany przez A, w rezultacie oscyluje między dzwonkami A i E, wywołując ich dzwonienie.

Georg Matthias Bose, profesor filozofii naturalnej z Wittenbergi i autor marnych francuskich wierszy, w swych eksperymentach przejawiał iście germańskie poczucie humoru. Jeden z nich, znany jako Venus electrificata, polegał na tym, by naelektryzować damę stojącą na izolowanej podkładce. Gdy następnie jakiś kawaler próbował ją pocałować, rażony był iskrą wybiegającą z warg wybranki. Innym jego popisowym doświadczeniem była „beatyfikacja”: delikwent wkładał na głowę specjalną koronę, która po naelektryzowaniu świeciła. Mimo tak bezceremonialnego podejścia do aureoli i świętości starał się Bose o uznanie wszędzie, nawet w Turcji i u Ojca Świętego Benedykta XIV. To ostatnie ściągnęło na niego represje na macierzystej uczelni, kolebce luteranizmu, spór musiał zażegnywać król Fryderyk.

bub_gb_FSJWAAAAcAAJ-xx

Jesienią 1745 roku eksperymentami elektrycznymi zajął się dziekan luterańskiej kapituły katedralnej w Kamieniu Pomorskim, Ewald Georg von Kleist. Dwadzieścia lat wcześniej studiował on w Lipsku i w Lejdzie i mógł się już wtedy zetknąć z elektrycznością, choć bezpośredniej inspiracji dostarczyły mu stosunkowo niedawne eksperymenty Bosego, m.in. uzyskiwanie iskry z wody oraz zapalanie spirytusu za pomocą elektryczności. Wyobrażano sobie wówczas elektryczność jako jakiś pewien rodzaj rodzaj subtelnej materii jakoś spowinowaconej z ogniem, mówiono nawet o ogniu elektrycznym. Eksperymenty z czerpaniem ognia z wody bądź zamianą iskry elektrycznej na rzeczywisty płomień zdawały się potwierdzać bliski związek obu tych tajemniczych substancji. Kleist pragnął naelektryzować wodę i udało mu się to w następujący sposób: butelkę napełniał częściowo wodą, rtęcią albo spirytusem, następnie zatykał korkiem, przez który przechodził drut albo gwóźdź. Jeśli trzymało się ten wynalazek w ręku, podczas gdy gwóźdź podłączony był do machiny elektrostatycznej, można było go bardzo mocno naelektryzować. Kolba średnicy czterech cali po naelektryzowaniu potrafiła powalić chłopca w wieku ośmiu bądź dziewięciu lat, jak starannie odnotował dobry dziekan (nie podając wszakże wagi chłopca). Po raz pierwszy wytworzona przez człowieka elektryczność przestała być niewinną salonową zabawą. Jak pisał Kleist, każdemu odechciałoby się całowania tak naelektryzowanej Wenus.

flasche-xx

Rysunek von Kleista z listu do Pawła Świetlickiego, diakona luterańskiego kościoła św. Jana w Gdańsku, przedstawiający jego urządzenie (z listu tego korzystał D. Gralath)

Odkrycie von Kleista było przypadkowe: nie rozumiał on, dlaczego musi trzymać swoje urządzenie w ręku, aby działało. Chcąc nagromadzić dużą ilość elektrycznego ognia, należałoby raczej izolować naczynie zamiast trzymać je w ręku i w ten sposób uziemiać. Dziś wiemy, że flaszka Kleista, jak nazywano ją czasem w Niemczech, była po prostu kondensatorem: ręka i woda z gwoździem stanowiły jego dwie okładki rozdzielone szkłem. Z punktu widzenia ówczesnej wiedzy działanie tego urządzenia było jednak niezrozumiałe. Spośród kilku uczonych, którzy otrzymali listowne doniesienia Kleista, eksperyment zdołał powtórzyć chyba tylko Daniel Gralath (a właściwie jego pomocnik Gottfried Renger) w Gdańsku. Niedługo później, już w roku 1746, podobne doświadczenie przeprowadzono niezależnie w Lejdzie. Także i tu pierwszym odkrywcą był naukowy amator, Andreas Cunaeus, prawnik, zabawiający się eksperymentami w pracowni miejscowego profesora Pietera van Musshenbroeka. Przypadkowo zauważył on to samo co Kleist, jego eksperyment powtórzył później pomocnik profesora, Jean Nicolas Allamand, a na koniec i sam Musshenbroek, który był nim tak mocno wstrząśnięty, że, jak wyznał swemu paryskiemu koledze, nawet za całe królestwo Francji nie chciałby tego przeżyć po raz drugi.

leiden exp-x

Strach niebawem minął i elektrowstrząsy za pomocą butelek lejdejskich zaczęli wytwarzać wszyscy eksperymentatorzy, choć przez pewien czas do dobrego tonu należało informować o przypadkach konwulsji, paraliżu, zawrotów głowy itp. Żona profesora z Lipska, Johanna Heinricha Wincklera, po dwóch wyładowaniach poczuła się tak słabo, że ledwie mogła mówić. Tydzień później mąż zaaplikował jej jeszcze jedno wyładowanie, po którym krew się jej puściła z nosa. Profesor Winckler humanitarnie wstrzymał się jednak od przeprowadzania eksperymentów na ptakach, nie chcąc zadawać owym stworzeniom niepotrzebnych cierpień. Abbé Jean Antoine Nollet, mistrz pokazów fizycznych, utrzymujący się z produkcji naukowych urządzeń dla bogatych klientów, takich jak np. Voltaire i pani du Châtelet, zaprezentował w obecności króla Ludwika XV żywy łańcuch 180 grenadierów, poprzez który rozładowywała się butelka lejdejska. Wszyscy oni jednocześnie podskakiwali, co tak bardzo podobało się suwerenowi, że kazał sobie ten eksperyment powtarzać.

James Clerk Maxwell: O liniach sił Faradaya (1855-1856)

Jesienią 1855 roku dwudziestoczteroletni Szkot został wybrany na członka (Fellow) Trinity College, w tym samym mniej więcej wieku co niegdyś Isaac Newton. Kolegium nie wymagało już przyjęcia święceń, choć pobożny Maxwell pewnie nie odrzucałby z góry takiej możliwości (Newton, także pobożny, ale nieortodoksyjny, wykręcił się specjalną dyspensą królewską). Maxwell miał talent matematyczny, należał do wychowanków sławnego tutora Williama Hopkinsa, znanego z kształcenia tzw. wranglers – studentów wyróżniających się na końcowych egzaminach z tego przedmiotu. Hopkins miał ich na koncie dwie setki, zarabiał zresztą w ten sposób całkiem spore pieniądze. Do jego uczniów należeli Arthur Cayley, lord Kelvin, George Gabriel Stokes, a także w roku 1854 Edward Routh jako Senior Wrangler i Maxwell jako Second Wrangler. Ten ostatni zdążył już zająć się w sposób twórczy kilkoma tematami z dziedziny fizyki oraz fizyki matematycznej, teraz próbował swych sił na polu elektryczności i magnetyzmu.
Na przełomie lat 1855 i 1856 Maxwell ogłosił pracę O liniach sił Faradaya. Nawiązywał w niej do badań eksperymentalnych Michaela Faradaya, bodaj największego eksperymentatora w historii fizyki. Prosty chłopak, oddany jako czternastolatek do terminu u introligatora, sam zdobył wykształcenie naukowe i zaczynając od pomocnika w laboratorium, doszedł do pozycji wyroczni w kwestiach eksperymentalnych. W roku 1855 zjawiska elektryczne i magnetyczne znane były całkiem dobrze, brakowało jednak wciąż zadowalającej teorii, która obejmowałaby ich całość. Próbowano sprawdzonego wcześniej podejścia za pomocą oddziaływania na odległość. A więc ładunki elektryczne oraz bieguny magnetyczne przyciągają się albo odpychają, a siła jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości. Prawo takie sprawdził eksperymentalnie Charles Augustin Coulomb jeszcze w poprzednim wieku. Także prądy elektryczne oddziałują ze sobą na odległość, choć prawo w tym przypadku okazało się dość skomplikowane, ponieważ uwzględniać musiało kierunki obu prądów. Faraday odkrył, że zmienne pole magnetyczne generuje prąd – to zjawisko indukcji elektromagnetycznej wykorzystywane jest np. w elektrowniach, trudno wyobrazić sobie naszą cywilizację bez wszelkiego rodzaju generatorów prądu.
Idea oddziaływania na odległość była niezbyt chętnie akceptowanym spadkiem po Isaacu Newtonie. Jego prawo powszechnego ciążenia mówi o przyciąganiu na odległość odwrotnie proporcjonalnym do kwadratu odległości. Jak jakieś ciało może działać tam, gdzie go nie ma? Czemu siła maleje jak kwadrat odległości, a nie jakaś inna jej potęga? Nie znano odpowiedzi na pierwsze pytanie, co do drugiego istniały pewne wskazówki, Układ Słoneczny, jaki znamy wymaga takiego właśnie prawa z wykładnikiem równym dwa. Można więc było podejrzewać, że odpowiadało on zamiarom Stwórcy. Do czasów Maxwella nie dowiedziano się niczego nowego na temat grawitacji, uczeni, nie mogąc odpowiedzieć na te pytania, przestali je zadawać i zajęli się, jak to zawsze bywa, kwestiami rokującymi szybszą odpowiedź.
Faraday, geniusz eksperymentu, nie miał wyrafinowanego wykształcenia matematycznego. Starał się więc wizualizować obserwowane zjawiska. Przykładem były linie sił pola magnetycznego z jednej z jego prac.

faraday29_1-x

Na lewym rysunku mamy linie sił bieguna magnetycznego, na drugim dwóch różnych biegunów magnetycznych. Są to wyniki eksperymentu: na papierze rozsypywane były opiłki żelaza, a później obraz ten utrwalano za pomocą kleju. Czym były linie sił? Maxwell definiował je jako linie wskazujące w każdym punkcie kierunek siły działającej na biegun magnetyczny (albo ładunek w przypadku elektrycznym). Dalej skupimy się na polu elektrycznym, ponieważ istnieją pojedyncze ładunki elektryczne i jest to nieco łatwiejsze do omówienia. Podobne rozumowania stosują się także do przypadku magnetycznego, trzeba tylko pamiętać, że nie istnieją osobne bieguny magnetyczne. Nb. szukano wielokrotnie cząstek elementarnych, które byłyby takimi biegunami, tzw. monopoli magnetycznych, czasami nawet komunikowano o ich odkryciu, ale żadne z tych doniesień się nie potwierdziło.

y

x

Te same linie sił obliczone dla przypadku pojedynczego ładunku oraz pary przeciwnych ładunków. Linie przerywane są wszędzie prostopadłe (ortogonalne) do linii sił i odpowiadają stałemu potencjałowi.

Maxwell zwrócił uwagę, że linie sił pola tworzą taki sam obraz jak linie przepływu idealnej nieściśliwej cieczy. Moglibyśmy sobie wyobrazić, że te linie sił to w istocie rurki cieczy. W rurce takiej iloczyn szybkości przepływu oraz pola przekroju jest stały. Tam, gdzie przekrój jest mniejszy, ciecz płynie szybciej. Gdyby prędkość była odpowiednikiem natężenia pola, należałoby sobie wyobrażać rurkę jako węższą tam, gdzie pole jest silniejsze, i odwrotnie.

maxwell tube

Pole elektryczne wokół ładunku punktowego składałoby się ze stożkowych rurek o wierzchołku w ładunku. Pole przekroju rośnie jak kwadrat promienia, natomiast prędkość przepływu (a także pole elektryczne) maleje w takim samym stosunku – co zgodne jest z obserwacjami.

maxwell1

maxwell fluid

Ładunek punktowy odpowiada więc źródłu naszej dziwnej cieczy. Z tego punktu, niczym z wywierzyska, wypływa nieściśliwa ciecz na wszystkie strony. Całkowita objętość tej cieczy przepływająca przez powłokę sferyczną nie zależy od promienia powłoki:

v\sim \dfrac{1}{r^2}\Rightarrow vS\sim \dfrac{1}{r^2}4\pi r^2=4\pi=const

Przez każdą powierzchnię sferyczną przepływa tyle samo cieczy w ciągu sekundy. W przeciwnym wypadku ciecz musiałaby się gdzieś gromadzić albo wypływać po drodze między dwiema takimi tymi powierzchniami otaczającymi źródło. Nie musimy wcale ograniczać się do powierzchni kulistych: przez każdą powierzchnię zamkniętą otaczającą źródło w jednostce czasu przepłynie taka sama objętość cieczy.

Oczywiście Maxwell nie twierdził, że pole elektryczne jest przepływem jakiejś tajemniczej cieczy. Podkreślał jedynie analogię czysto matematyczną. W przypadku elektrycznym wielkość „przepływu” nazywamy strumieniem pola elektrycznego przez daną powierzchnię zamkniętą. Okazuje się, że ów strumień \Phi jest równy (w jednostkach SI):

\Phi=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}4\pi r^2=\dfrac{q}{\varepsilon_0}.

Ładunek wewnątrz powierzchni oznaczamy przez q. Znów kształt powierzchni jest obojętny. Prawo to, zwane prawem Gaussa, pozostaje słuszne także dla przypadku większej liczby ładunków. Wypadkowa prędkość przepływu w danym punkcie jest wówczas sumą osobnych prędkości. Podobnie z natężeniem pola elektrycznego: jest ono wektorową sumą pól wytwarzanych przez każdy z ładunków. Ładunki ujemne są „ujemnymi” źródłami, czyli takimi miejscami, w których nasza ciecz ucieka w jakieś matematyczne zaświaty. Prawo Gaussa w wersji elektrycznej stwierdza, że strumień przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest proporcjonalny do algebraicznej sumy ładunków wewnątrz powierzchni.

Prawo Gaussa jest przydatne, pozwala bowiem obliczać pole elektryczne w niektórych sytuacjach, gdy układ jest symetryczny. Możemy np. stosować je do dowolnego kulistosymetrycznego rozkładu ładunków. Można je także przenieść na grawitację: wówczas polem jest przyspieszenie grawitacyjne a strumień jest zawsze ujemny i proporcjonalny do masy (*). Samo prawo Gaussa jednak nie wystarczy: na przepływy owej fikcyjnej cieczy należy jeszcze nałożyć dodatkowy warunek bezwirowości (w przypadku statycznym).

Dlaczego obraz nieściśliwej cieczy lepszy był od tradycyjnego oddziaływania na odległość? Pozwalał wyjaśnić obserwowane linie sił i sprowadzał zagadnienie do lokalnego: ciecz zachowuje się tak, a nie inaczej, tylko wskutek popychania przez inne jej części. Wszystkie zjawiska są więc lokalne. W gruncie rzeczy w takim podejściu nie potrzebujemy wcale sił działających na odległość. Wystarczą pola i ich lokalne zachowanie. Punkt widzenia tego rodzaju miał wielką przyszłość. Koncentrując się na lokalnych równaniach opisujących elektryczność i magnetyzm Maxwell odniósł sukces, budując najważniejszą teorię XIX stulecia. Stało się to jednak znacznie później, na razie była tylko pewna analogia matematyczna, ilustracja pojęć wprowadzonych przez Faradaya.

Charakterystyczna jest reakcja samego Faradaya, człowieka niezwykle skromnego. Sześćdziesięciopięcioletni luminarz nauki pisze do badacza młodszego o dwa pokolenia: „Z początku byłem nieomal przerażony, widząc tak wielką siłę matematyczną zastosowaną do tego przedmiotu, potem jednak zdumiało mnie, jak dobrze przedmiot zniósł to wszystko”.

(*) W szczególności prawo Gaussa pozwala natychmiast rozwiązać problem przyciągania przez kulę (w obu przypadkach: grawitacji oraz elektryczności). Jeśli rozkład ładunku ma symetrię kulistą, to możemy do niego zastosować prawo Gaussa tak, jak do punktowego ładunku w środku kuli. Przeprowadzając doświadczenia na zewnątrz kuli, będziemy obserwowali pole elektryczne takie, jak gdyby nasza kula ściągnięta była do punktu środkowego (z zachowaniem wartości ładunku). Dlatego np. kula ziemska przyciąga tak, jak punktowa masa w środku Ziemi. Wiemy, że nasza planeta w pierwszym przybliżeniu rzeczywiście składa się z koncentrycznych warstw kulistych. Nie musimy przy tym wiedzieć, jaka jest gęstość i grubość różnych warstw, ważna jest tylko całkowita masa Ziemi.

Sny Kartezjusza (10/11 listopada 1619)

Ludzie, a także i całe społeczeństwa robią sobie czasem wakacje od rozumu i popełniają błędy, mimo iż wiedzą, że postępują źle i nierozsądnie. Przedkładają jednak chwilowe upojenie bliskością innych, podobnie czujących, nad ustawiczny wysiłek chłodnego namysłu. Nie pomagają wówczas żadne argumenty ani statystyki. Na ekspertów patrzy się jak na błaznów bądź płatnych zdrajców. Ludzi mądrych uważa się za głupców albo sklerotyków. Największe głupstwa, a nawet szaleństwa prowadzące do zbrodni, zaczynały się wśród powszechnego entuzjazmu. Pod koniec czerwca 1914 roku serbski nacjonalista zastrzelił arcyksięcia Franciszka Ferdynanda i jego żonę Zofię. Uchroniło to być może Puszczę Białowieską przed wytrzebieniem zwierzyny (arcyksiążę był fanatykiem myślistwa), lecz incydent ten uruchomił międzynarodowe domino: wszyscy wszystkim zaczęli stawiać jakieś ultymatywne żądania i wypowiadać wojnę. Latem 1914 roku w całej Europie żegnano na dworcach kolejowych radosnych młodzieńców udających się na krótką – tak się wszystkim zdawało – męską przygodę wojenną. Jesienią roku 1918 wracało ich o siedemnaście milionów mniej i nikt się już nie cieszył: ani zwycięzcy, ani pokonani. W roku 1933 entuzjazm milionów Niemców zagłuszył wszelkie wątpliwości i skrupuły, jakie powinien wzbudzić sposób rządzenia nazistów, jak i sama osoba ich paranoicznego Führera. Cierpieli zresztą „jedynie” Żydzi, komuniści, homoseksualiści i liberałowie – nie było się więc czym przejmować. Dumny naród niemiecki mógł wreszcie wziąć odwet na pogardzanej Europie. Nastrój udzielał się zresztą wszystkim, nawet w biednej, słabej i pełnej analfabetów Polsce wykrzykiwano, że nie oddamy ani guzika – i też bijano Żydów, bo byli bezbronni.
Być może znowu wchodzimy w okres „historii spuszczonej z łańcucha” i tańca na wulkanie. Ostatecznie okresy spokoju i choćby względnego dostatku nigdy nie były dniem powszednim historii, częstsze były plagi, wojny, choroby, zamieszki i głód. Niektórzy próbowali wśród powszechnego zamętu robić coś pożytecznego. Na przełomie roku 1916 i 1917 przebywający na froncie wschodnim astronom Karl Schwarzschild napisał dwie niezmiernie ważne prace na temat Einsteinowskiej teorii grawitacji. Rozwiązanie Schwarzschilda dotyczyło pola grawitacyjnego sferycznej masy, np. gwiazdy. Ani Einstein, ani Schwarzschild, który kilka miesięcy później umarł, nie rozumieli wówczas, jak wielkie znaczenie ma owo rozwiązanie – opisuje ono bowiem czarną dziurę, jeden z najosobliwszych obiektów w przyrodzie. Młody lekarz Tadeusz Żeleński, zajmował się w roku 1917 przekładaniem Kartezjusza na polski, starając się zaszczepić rodakom coś z francuskiej klarowności myślenia i prostej elegancji stylu.

Nie zapomnę tego wrażenia… Było to rok temu, w lecie, z początkiem czwartego roku wojny. Siedziałem w mojej izdebce dyżurnego lekarza wojskowej stacji opatrunkowej, i korzystając z chwilowej bezczynności, pracowałem nad pierwszymi rozdziałami tej książki. Tuż prawie pod oknami ochoczo rżnęła orkiestra, odprowadzając kilka marszkompanii, jadących, w ślicznych nowych butach, na „włoski front”. Na fali trywialnej melodii, myśl Descartes’a pędziła wartko, skocznie, radośnie, tak iż ledwo piórem mogłem jej nadążyć. Doznawałem szczególnego uczucia. Nigdy nie mam zbyt mocnego przeświadczenia o rzeczywistości zewnętrznego świata – w tej chwili miałem go mniej niż kiedykolwiek…

Rozprawa o metodzie ukazała się wraz z końcem wojny, pod opaską: „Tylko dla dorosłych”. Był to żarcik tłumacza, który chciał w ten sposób dotrzeć do niefilozoficznych czytelników. Rozmyślania swe Kartezjusz rozpoczął w roku 1619, podczas zupełnie innej wojny. Także i tamta wojna rozpoczęła się od zdarzenia dość małej wagi: oto z zamku na Hradczanach w Pradze rozeźleni protestanci wyrzucili przez okno dwóch przedstawicieli cesarza, którzy nie chcieli się zgodzić na budowanie kościołów, mimo że formalnie zagwarantowana była swoboda wyznania. Nieszczęśni wysłannicy przeżyli upadek z wysokości kilkunastu metrów – wedle katolików stało się to dzięki aniołom, które działając w czasie rzeczywistym, złagodziły skutki grawitacji, natomiast nieokrzesani protestanci przypisywali ten efekt kupie gnijących odpadków, nagromadzonych pod oknami wielkiej sali jadalnej zamku. Wojna nie zakończyła się żadnym miękkim lądowaniem, toczyła się przez trzydzieści lat, pustosząc znaczną część środkowej Europy. W zasadzie było to starcie dwóch głównych odmian chrześcijaństwa walczących o to, która z nich bliższa jest nauce Jezusa Chrystusa: czy katolicy przechowujący tradycję, w której niezmienność święcie wierzyli, czy protestanci, starający się samodzielnie zgłębiać tekst Pisma św. i odrzucający takie magiczne atrybuty religii, jak święte obrazy, relikwie, czy kult świętych. Kiedy obie strony wierzą niezachwianie we własne racje, tylko wyczerpanie zasobów może położyć kres konfliktowi.
O początkach swoich rozmyślań pisał Kartezjusz następująco:

Byłem wówczas w Niemczech, dokąd powołały mnie wojny, które ciągną się tam jeszcze. Kiedy wracałem z koronacji cesarza [Ferdynanda II we Frankfurcie we wrześniu 1619 r.] do armii, początek zimy zatrzymał mnie na kwaterze, gdzie, nie znajdując żadnego towarzystwa, które by mi odpowiadało, i nie mając zresztą, na szczęście, trosk ani namiętności, które by mnie mąciły, siedziałem przez cały dzień zamknięty sam w ciepłej izbie, za jedyną rozrywkę zabawiając się z własnymi myślami. Jedną z pierwszych myśli było spostrzeżenie, że często dzieła złożone z rozmaitych części i wykonane ręką rozmaitych mistrzów mniej są doskonałe niż te, nad którymi pracował tylko jeden człowiek. Tak widzimy, że budowle, które jeden architekt podjął i wykonał, są zazwyczaj piękniejsze i lepiej rozmieszczone niż te, które wielu ludzi starało się skleić, posługując się starymi murami zbudowanymi w innych celach. (przeł. T. Żeleński-Boy)

Kartezjuszowi marzyła się więc nauka będąca dziełem jednego autora, jak poemat albo dzieło historyczne. Po części wynikało to chyba z jego temperamentu, trochę może ze swoistej wielkopańskiej wyniosłości w sferze intelektu – nie dopuszczał bowiem myśli, by ktokolwiek inny mógł dokonać czegoś ważnego w obszarze, który jego samego zajmował. Dlatego np. lekceważył dokonania Galileusza na polu mechaniki ani nie uważał za stosowne wspomnieć o tym, co zawdzięczał Willebrordowi Snellowi (prawo załamania światła) albo Isaakowi Beeckmanowi. Francis Bacon wyobrażał sobie naukę jako wielkie biuro patentowe użytecznych wynalazków, Kartezjusz sądził, że liczą się wybitne jednostki i ich myśli, a więc raczej konstrukcja niż detale. Znalazł naśladowców, pycha filozofów tworzących systemy osłabnąć miała dopiero w XX wieku. Podział na naukę i humanistykę przebiega zresztą do dziś w tym samym miejscu: jeśli ważniejszy jest indywidualny styl autora niż to, co mówi, i jeśli może on wybierać z tradycji dowolne elementy, które samodzielnie interpretuje, to mamy do czynienia z humanistyką. W nauce rządzą znacznie surowsze reguły: musimy znać ściśle określony kanon uznanej wiedzy (zazwyczaj z drugiej ręki), liczą się natomiast bezosobowe dokonania, dowód matematyczny czy eksperyment geniusza powtórzyć może każdy wykształcony specjalista i stanowi to wręcz warunek, aby praca była akceptowalna. Zapewne dlatego w nauce tak zażarcie toczą się spory o priorytet: inne cechy indywidualne roztapiają się w podręcznikach i z czasem coraz trudniej odróżnić wkład konkretnych uczonych. Kartezjusz miał nadzieję połączyć oba rodzaje działalności i stworzyć gmach wiedzy, którego żaden sceptycyzm nie mógłby zburzyć. Prawda jest tylko jedna, zatem i jej odkrywca w zasadzie musi być jeden, inni skazani są na pisanie gloss i uzupełnień.
W listopadzie 1619 roku dwudziestotrzyletni uczony kwaterował w Neuburgu. Był żołnierzem zaciężnym księcia Bawarii, nie bardzo mu zależało na wygranej jednej albo drugiej strony, przedtem służył w Holandii. Czekano na cieplejszą porę roku, by na nowo podjąć działania zbrojne.
Na kwaterze unikał rozmów i pijatyk, którym oddawali się jego kompani, mało wychodził, całymi dniami rozmyślał nad nową podstawą wiedzy. Nie stworzył jej od razu, zapamiętał jednak i zapisał trzy sny, jakie miał w nocy z 10 na 11 listopada 1619 roku. Zarys racjonalnej filozofii objawił się więc w sposób zgoła nieracjonalny, uczony wierzył, że sny mogą być zsyłane przez Boga albo demony, to Stwórca w ostatecznym rachunku miał gwarantować, że wszystko to, co tu widzimy i przeżywamy nie jest tylko jakimś uporczywym sennym majakiem.
W pierwszym śnie pojawiły się jakieś zjawy tak straszne, że zmuszony był kroczyć mocno przechylony na lewą stronę, gdyż z prawej strony czuł niezmierną słabość. Zawstydzony sytuacją, młodzieniec spróbował się wyprostować, wtedy jednak zawiał potężny wiatr w formie wiru i okręcił go kilkakroć na lewej nodze. Na swej drodze spostrzegł kolegium (może La Flèche, gdzie się uczył?) i zapragnął się w nim schronić. Miał zamiar dotrzeć do kościoła, aby się pomodlić. Minął znajomą osobę, lecz jej nie pozdrowił; kiedy chciał naprawić ten lapsus, nie mógł się cofnąć, ponieważ znowu zaczął wiać silny wiatr w kierunku kościoła. Spotkał też innego znajomego, który przekazał mu dla pana N. zamorski owoc, przypominający melona. Wszyscy inni widziani we śnie poruszali się i zachowywali normalnie, jedynie on jeden doświadczał trudności w utrzymaniu równowagi. Niebawem się ocknął i spostrzegł, że leży na lewym boku. Sądząc, że sen może być dziełem złego demona, uczony obrócił się na prawy bok i jął się modlić, pamiętając, iż w oczach Boga winny jest wielu grzechów, które popełniał w skrytości, tak aby ludzie ich nie widzieli. Po mniej więcej dwóch godzinach rozmyślań nad dobrem i złem zasnął znowu. We śnie usłyszał wielki huk, który wziął za grzmot pioruna. Natychmiast obudził się ze strachu i dostrzegł mrowie drobnych iskierek ognia wypełniających pokój. Zdarzało mu się już wcześniej doświadczać takiego zjawiska, teraz jednak zdecydowany był zaobserwować jego przyczyny i zamykając oraz otwierając oczy, śledził swoje wrażenia. Filozoficzny namysł rozproszył lęk i uczony zasnął po raz trzeci. Tym razem nie było się czego bać. Znalazł na stole książkę, o której nie pamiętał, by ją wcześniej tam położył. Otworzył ją, stwierdzając zaś, że to słownik, ucieszył się, ponieważ książka mogła się przydać. W tej samej chwili odkrył też obok inną książkę, także dla niego nową, nie mając pojęcia, skąd się wzięła. Była to antologia Corpus poetarum, otwarła mu się na wierszu zawierającym słowa: Quod vitae sectabor iter? (Jaką drogę życia wybiorę?). W tej samej chwili spostrzegł nieznanego mu męża, który wręczył mu, zachwalając jako znakomity, wiersz zaczynający się od słów Est et Non (Tak i nie). Zaczęli rozmawiać o tym wierszu, w którym Kartezjusz rozpoznał jedną z idylli Auzoniusza. Po chwili książki i dziwny interlokutor rozpłynęli się, a uczony, wciąż się nie budząc, uznał, że śni; ów słownik oznacza wszelką wiedzę zgromadzoną w jednym miejscu, antologia poezji, Corpus poetarum zaś – filozofię oraz mądrość złączone w jedno.

Wierzył bowiem, że wcale nie należy się dziwić, iż poeci, nawet bawiąc się płochymi rzeczami, wypowiadają wiele zdań poważniejszych, bardziej sensownych i lepiej wyrażonych niż to, co mówią filozofowie. Przypisywał to boskiemu natchnieniu oraz sile wyobraźni, która wydobywa zarodki mądrości (zawarte w umyśle każdego człowieka niczym iskry w krzemieniu) z większą łatwością i błyskotliwiej, niż czyni to rozum filozofów.

Rozmyślał też (ciągle we śnie) nad słowami Quod vitae sectabor iter? Po czym zbudził się, nie przestając się zastanawiać nad symboliką swoich snów. Sen trzeci, przechodzący w jawę, zapowiadać miał życie filozofa, który przezwycięży pokusy płynące z różnych stron. Nazajutrz filozof modlił się gorąco do Boga, by zechciał mu odsłonić swoją wolę, oświecić go i prowadzić w poszukiwaniu prawdy. Potem zwrócił się do Matki Bożej, polecając jej tę sprawę, najważniejszą w swym życiu, złożył też ślub, że przy okazji podróży do Italii, którą planował w najbliższym czasie, odbędzie pielgrzymkę do Loreto. Później zobowiązał się nawet, że od Wenecji odbędzie tę pielgrzymkę pieszo. Religijno-filozoficzny entuzjazm po kilku dniach opadł. Ostatecznie filozof nie wybrał się tej zimy do Italii.
Nie znaczy to bynajmniej, że kiedy później ochłonął, przestał wierzyć w natchnienie płynące z owych snów. Epizod ten odegrał, jak się zdaje, ważną rolę w duchowym rozwoju Kartezjusza, choć trudno treść owych snów powiązać z jakimiś uchwytnymi etapami jego poglądów. Najprawdopodobniej rzecz dotyczy pewnych głębszych skojarzeń, poetyckiej strony filozofii, dopiero później umiał ją wyrazić w terminach jasnych, jak sądził, dla każdego człowieka obdarzonego rozsądkiem.

Wziąwszy pod rozwagę, iż zasady tych nauk winny być wszystkie zaczerpnięte z filozofii, w której nie znajdowałem jeszcze pewnych podstaw, pomyślałem, iż trzeba mi przede wszystkim starać się ustalić takowe, i że – wobec tego, iż jest to rzecz najważniejsza w świecie i w której najbardziej należało się obawiać pośpiechu i uprzedzenia – nie powinienem podejmować dzieła tego wprzódy, aż osiągnę wiek o wiele dojrzalszy niż dwadzieścia trzy lat, które wówczas liczyłem, i aż zużyję wiele czasu na przygotowanie się do tych zadań, tak wykorzeniając z umysłu wszystkie błędne mniemania, jakie przyjąłem weń przed tym czasem, jak też gromadząc rozmaite doświadczenia, aby zbierać materię dla moich rozumowań i ćwicząc się ciągle w metodzie, jaką obrałem, aby umocnić się w niej coraz więcej. (przeł. T. Żeleński-Boy)

Jeśli wierzyć wspomnieniom filozofa, rozpoczął on wtedy swego rodzaju eksperyment poznawczy, traktując życie i jego przypadki jako spektakl odbywający się na jego oczach i dostarczający materiału do przyszłej pracy filozoficznej. Ustalił sobie na okres przejściowy pewne reguły postępowania, ponieważ nie można zanegować wszystkiego jednocześnie. Sceptyczny po to, aby się ze sceptycyzmu raz na zawsze wydobyć, traktował te lata wędrówki jak prolog.

Upewniwszy się w ten sposób co do tych zasad i odłożywszy je na stronę wraz z prawdami wiary, które zawsze były na pierwszym miejscu w moich wierzeniach, osądziłem, iż, co do reszty mniemań, mogę swobodnie przystąpić do ich uprzątnięcia. Otóż, spodziewałem się lepiej z tym uporać, obcując z ludźmi, niż pozostając dłużej zamknięty w komorze, gdzie począłem wszystkie te myśli: zima tedy jeszcze niezupełnie dobiegła końca, a ja już puściłem się w drogę. I przez całe następne dziewięć lat czyniłem nie co innego, jak tylko tłukłem się tu i tam po świecie, starając się być raczej widzem niż aktorem we wszystkich komediach, jakie się na nim odgrywa. Rozważając w każdym przedmiocie szczególnie to, co mogłoby go uczynić podejrzanym i dać nam sposobność do omyłki, wykorzeniałem równocześnie z mego umysłu wszystkie błędy, jakie mogły się weń wprzódy wśliznąć. Nie iżbym w tym naśladował sceptyków, którzy wątpią, aby wątpić, i lubują się zawsze w niezdecydowaniu; przeciwnie, cały mój zamiar dążył tylko ku temu, aby się upewnić. Odrzucałem ruchomą ziemię i piasek, aby natrafić na skałę lub glinę. Udawało mi się to, jak sądzę, dość dobrze, ile że, starając się odkryć fałszywość lub niepewność twierdzeń, jakie rozpatrywałem, nie za pomocą słabych przypuszczeń, ale za pomocą jasnych i pewnych rozumowań, nie spotykałem wśród nich tak wątpliwego, z którego bym nie wyciągnął jakiejś dość pewnej konkluzji, choćby tej właśnie, iż nie zawiera ono nic pewnego. I jako burząc stare domostwo, zachowuje się zazwyczaj gruz, aby się nim posłużyć ku zbudowaniu nowego, tak niwecząc wszystkie mniemania, które osądziłem jako źle ugruntowane, czyniłem rozmaite spostrzeżenia i nabywałem mnogich doświadczeń, które posłużyły mi później ku zbudowaniu pewniejszych. Co więcej, ćwiczyłem się wciąż w metodzie, jaką sobie przepisałem; poza tym bowiem, iż starałem się na ogół prowadzić wszystkie moje myśli wedle reguł, zachowywałem sobie, od czasu do czasu, kilka godzin, które obracałem osobliwie na ćwiczenie się w trudnościach matematycznych lub nawet także w niektórych innych, które mogłem niejako upodobnić do matematycznych, odłączając je od zasad wszystkich nauk, które mi się nie zdawały dość pewne, jako ujrzycie, iż uczyniłem w wielu wyłożonych w tymże tomie. I tak, nie żyjąc na pozór w inny sposób niż ci, którzy, nie mając innego zadania, jak tylko pędzić życie lube a niewinne, starają się oddzielić przyjemności od błędów, i którzy, aby się cieszyć swoim wczasem nie nudząc się, zażywają wszystkich godziwych rozrywek, nie zaniedbywałem statecznego posuwania się w moim zamiarze i zapuszczania się w poznanie prawdy, być może więcej, niż gdybym był tylko czytał książki lub obcował z uczonymi. (przeł. T. Żeleński-Boy)

Niewiele wiemy o tych fascynujących Wanderjahre filozofa. Rok po nocy snów uczestniczył w oblężeniu i zdobyciu Pragi. Nie jest jasne, jaki był jego osobisty udział w walkach, ważnych dla losów Czech, wtedy to bowiem, w bitwie na Białej Górze, czescy protestanci ponieśli sromotną klęskę, która przesądziła o rządach Habsburgów na kilka wieków. Przywódcy powstania przeciw cesarzowi zostali ścięci, a ich głowy zatknięte na moście przez wiele lat stanowiły przestrogę dla potencjalnych buntowników. Palatyn reński, Fryderyk V, „zimowy król” Czech, uciekł, zabierając jedynie trochę klejnotów. Parę lat wcześniej na uroczystościach jego zaślubin z Anną Stuart odegrano Burzę Williama Shakespeare’a. Pochłonięty mocarstwowymi rojeniami młodzik, nie zwrócił zapewne żadnej uwagi na słowa Prospera:

Aktorzy moi, jak ci powiedziałem,
Były to duchy; na moje rozkazy
Na wiatr się lekki wszystkie rozpłynęły.
Jak bezpodstawna widzeń tych budowa,
Jasne pałace i wieże w chmur wieńcu,
Święte kościoły, wielka ziemi kula,
Tak wszystko kiedyś na nic się rozpłynie,
Jednego pyłku na ślad nie zostawi,
Jak moich duchów powietrzne zjawisko.
Sen i my z jednych złożeni pierwiastków;
Żywot nasz krótki w sen jest owinięty. —

Zabdiel Boylston, czarna ospa w Bostonie i siła charakteru (1721-1722)

W XX wieku czarna ospa zabiła 300 mln. ludzi – trzy razy więcej niż zginęło w obu wojnach światowych. I w tym samym XX wieku udało się tę chorobę wyeliminować. Można, oczywiście, buntować się przeciwko nowoczesnej cywilizacji, ale żadna z tych 300 mln. osób nie zrozumiałaby, o co nam właściwie chodzi. Nie ma jednak szczepionki przeciwko głupocie i w naszych światłych czasach dzieci chorują albo będą chorować na rozmaite groźne przypadłości jedynie dlatego, że ich rodzice albo rodzice ich kolegów są podejrzliwymi idiotami, którzy sądzą, że wiedzą lepiej niż eksperci.

W XVIII wieku nie znano przyczyn ani mechanizmu szerzenia się ospy, jasne było tylko, że jest to choroba zakaźna. Ponieważ objawy występują dopiero po 12 dniach, więc izolacja chorych była na ogół spóźniona i zdążyli oni już zarazić osoby, z którymi się stykali. Wiadomo też było z obserwacji, że ci, którzy przeszli chorobę i przeżyli, byli na nią później odporni. Ryzyko było tak duże, że w Anglii w XVII wieku był zwyczaj, by nie zapisywać majątku dzieciom, zanim nie przeszły ospy, ponieważ ich przyszłość była wciąż bardzo niepewna. Spośród tych, co przeżyli, wielu było oślepionych albo oszpeconych na całe życie. Jedną z takich osób, których urodę zniszczyła ospa, była Mary Wortley Montagu, arystokratka, pisarka (sama nauczyła się łaciny w ojcowskiej bibliotece) i żona ambasadora brytyjskiego w Konstantynopolu. Dowiedziała się ona o praktyce wariolizacji stosowanej w imperium osmańskim: pobierano płyn z pęcherzyków na skórze chorego i zaszczepiano go osobom zdrowym. Pacjenci chorowali wówczas na ogół w sposób łagodny, nabywając przy tym odporności. Nie zawsze wariolizacja przynosiła pożądane efekty, zdarzały się przy jej stosowaniu wypadki śmiertelne. Montagu propagowała tę metodę w Londynie, przekonując m.in. księżnę Walii Karolinę do zaszczepienia dzieci. Metoda była kontrowersyjna. Wyglądała na jakiś rodzaj zabobonu, w dodatku przychodziła do Europy z krajów niecieszących się zaufaniem w sprawach medycznych i naukowych: stosowano ją na Kaukazie, w Afryce. W Konstantynopolu szczepieniami zajmowały się zwykle stare kobiety, co też nie wyglądało wiarygodnie w oczach Zachodu. Z punktu widzenia dzisiejszej wiedzy wariolizacja stanowiła postęp, lecz była obarczona ryzykiem. Dopiero pod koniec XVIII wieku Edward Jenner wynalazł skuteczną odmianę tej metody szczepienia: należy zaszczepiać ospę krowią, pacjenci wówczas nie chorują i nabierają odporności na ospę ludzką. Także i wtedy nie rozumiano, dlaczego szczepienie jest skuteczne i jak działa, opierano się wyłącznie na obserwacjach.

W kwietniu 1721 roku do Bostonu, stolicy Massachusetts, zawinął okręt „Seahorse”, płynący z Barbadosu. Jeden z członków załogi zachorował na ospę i został odizolowany w domu z czerwoną ostrzegawczą flagą. Później zachorowali także inni marynarze z tej jednostki i stało się jasne, że kwarantanna nie wystarczy, ponieważ choroba zdążyła się już rozprzestrzenić. Ówczesny Boston był małym miastem, liczącym sobie około jedenastu tysięcy mieszkańców. Rządy duchowe sprawowała w nim dynastia purytańskich ministrów: wiekowy Increase Mather i jego dobiegający sześćdziesiątki syn, Cotton Mather. Obaj zapisali się poprzednio w annałach ścigania czarownic i czarowników: to za ich aprobatą toczyła się sprawa w Salem w roku 1692. Wszechstronnie wykształcony w Ameryce i w Anglii, Cotton Mather, członek Towarzystwa Królewskiego, był zarazem ciasnym bigotem, głęboko wierzącym w realność i szkodliwość czarów. W swym dziele Pamiętne zrządzenia opatrzności opisywał przypadek irlandzkiej praczki, niejakiej Glover, która jako czarownica nękała pobożną rodzinę Goodwinów, którzy podczas owych diabelskich ataków głuchli, niemieli, ślepli albo wszystko to na raz. Mather przyczynił się do prześladowań w Salem, choć zarazem podkreślał potrzebę niezbitych dowodów w każdym przypadku. Teraz, wobec zagrożenia ospą, także starał się interweniować i tym razem jego wpływ okazał się jednoznacznie korzystny. Mather przekonany był bowiem do wariolizacji: czytał o niej wcześniej w „Transactions of the Royal Society”, miał też w domu niewolnika z Afryki, który mu opowiadał o tej metodzie. Minister skierował do lekarzy bostońskich pismo przedstawiające zalety wariolizacji. Medycy zareagowali wrogo, obawiając się, że wskutek wariolizacji epidemia jeszcze bardziej się rozszerzy. Wrogo też reagowali niektórzy duchowni. Ich zdaniem człowiek nie powinien ingerować w naznaczony przez Boga bieg wypadków. Znaleziono nawet pierwowzór wariolizacji w Księdze Hioba: „Odszedł szatan sprzed oblicza Pańskiego i obsypał Hioba trądem złośliwym, od palca stopy aż do wierzchu głowy. [Hiob] wziął więc skorupę, by się nią drapać siedząc na gnoju” (Hi 2, 7-8). A więc także Pismo św. wskazywało więc wyraźnie, że nie należy nikogo szczepić. Pismo św, jak zawsze, wskazuje we wszystkich kierunkach jednocześnie.

Jedynie chirurg Zabdiel Boylston gotów był spróbować wariolizacji. Nie miał on wykształcenia akademickiego, uczył się medycyny od swego ojca i innego jeszcze lekarza, w Ameryce nie było zresztą żadnej szkoły medycznej. Boylston dał się poznać jako sprawny chirurg, który nie obawiał się przeprowadzać ryzykownych operacji, jak usuwanie kamieni żółciowych czy pierwsza mastektomia w Ameryce. Operacje przeprowadzało się bez znieczulenia, należało wszystko robić błyskawicznie, żeby pacjent nie zmarł wskutek szoku i upływu krwi. Później groziły mu oczywiście wszelkie infekcje, Boylston był ponoć pedantycznie czysty i zapewne pomagało to jego pacjentom (nikt wówczas nie kojarzył chirurgii z czystością). Pierwsze szczepienia ospy przeprowadził na własnym synu oraz parze swych niewolników: ojcu i synu. Wszyscy trzej przeżyli. Boylston zaczął więc stosować tę metodę, choć przyjmowano to wrogo i lekarz obawiał się o swe bezpieczeństwo. W pewnym momencie rada miejska oficjalnie zakazała mu tych praktyk. Nie ujął się też za nim Mather, nie do końca chyba przekonany do wariolizacji (nie zaszczepił np. własnego syna). Ostatecznie Boylston przeprowadzał szczepienia na niezbyt dużą skalę, tylko u pacjentów, którzy sami się z tym do niego zwracali. Był także ostro krytykowany w miejscowej prasie. W tygodniowej gazecie wydawanej przez Jamesa Franklina (terminował u niego wtedy młodszy brat, Benjamin, który z czasem miał zostać najsławniejszym uczonym Ameryki) szczepienia atakowano jako szkodliwy przesąd. W pewnym stopniu postawa gazety wynikała z jej opozycyjności: James Franklin był przeciwny rządom Mathera i atmosferze moralnego terroru wprowadzanej przez purytanów, nietrudno więc było go przekonać, że duchowny także i tym razem broni jakichś przesądów. Ostatecznie w ciągu niecałego roku zachorowało w Bostonie około 6000 osób – ponad połowa ludności (około tysiąca bogatszych wyjechało na wieś i tam przeczekali epidemię). Zmarły w tym czasie na ospę 844 osoby, czyli 14% zainfekowanych. Za Boylstonem przemawiały liczby: spośród 286 osób, jakie zaszczepił, zmarło jedynie sześć. W dodatku nie zawsze było jasne, czy osoby te były zdrowe w momencie wariolizacji, być może choroba już się u nich rozwijała, lecz nie dawała jeszcze widocznych objawów. Tak czy inaczej było to tylko 2,4% – statystycznie biorąc, wariolizacja działała.

smallpox account-x

Doświadczenia swe Boylston opisał w książce, przyjęto go też do Towarzystwa Królewskiego. Wariolizację zaczęto, choć z oporami, uznawać. Nabrał do niej przekonania także Benjamin Franklin, choć obawiał się związanego z nią ryzyka. Pisze w swej autobiografii:

W roku 1736 straciłem jednego z mych synów, pięknego czteroletniego chłopca. Umarł na ospę, którą się w zwykły sposób zaraził. Długo i gorzko żałowałem potem i nadal żałuję, że nie kazałem go szczepić. Wspominam o tym ku przestrodze rodziców, którzy nie szczepią swych dzieci z obawy, że mogłyby wskutek tego umrzeć, czego nigdy nie mogliby sobie wybaczyć. Mój przykład świadczy, że żałować trzeba nieraz i w przeciwnym wypadku, a wobec tego lepiej wybierać drogę bezpieczniejszą. (przeł. J. Stawiński)

Robert M. May, Mitchell Feigenbaum i początki teorii chaosu (1975-1978)

Niektórzy uważają nauki ścisłe za nudne, ponieważ wszystko się w nich oblicza i wszystko poddane jest rygorom jakichś praw i formuł, w których brak rzekomo miejsca na twórczą swobodę. Okazuje się jednak, że nawet najprostsze wzory matematyczne prowadzić mogą do nieprzewidywalnych wyników.

Robert M. May zaczynał jako fizyk teoretyczny, potem zajął się matematyką stosowaną, a tak naprawdę jej zastosowaniami w biologii. Zwrócił on uwagę na niezwykłe własności prostego odwzorowania. Załóżmy, że chcemy modelować liczbę organizmów w jakimś zamkniętym środowisku w różnych latach. Organizmy się rozmnażają, więc ich liczba w danym roku x_{n+1} zależy od ich liczby w roku poprzednim x_{n} :

x_{n+1}=r x_{n},

gdzie parametr r oznacza współczynnik związany z przyrostem naturalnym. Jeśli r>1, to przyrost naturalny jest dodatni. Oznaczałoby to, że liczba naszych organizmów będzie rosła coraz szybciej, tworząc ciąg geometryczny. Byłby to przypadek eksplozji demograficznej albo sepsy. Zazwyczaj wzrost hamowany jest dostępnością pożywienia: im więcej jest organizmów, tym trudniej o pożywienie. Jeśli nasza nisza ekologiczna jest skończona, to możemy użyć zmodyfikowanej postaci poprzedniego wzoru:

x_{n+1}=r x_{n} (1-x_{n}),

Liczbę organizmów przedstawiamy teraz jako ułamek pewnej wartości maksymalnej, w ten sposób nasze x_{n} zawarte są w przedziale [0,1]. Efektywny współczynnik przyrostu jest teraz równy r (1-x_{n}) , maleje więc w miarę zapełniania się środowiska. Otrzymujemy w ten sposób proste równanie pozwalające obliczać liczbę organizmów w kolejnych pokoleniach. Odwzorowanie takie nazywa się logistycznym, uwzględnia ono skończoność zasobów i nadal jest stosunkowo proste. Zależy ono tylko od jednego parametru r, który powinien znajdować się w przedziale [0,4], żeby wynik kolejnej iteracji nie wyprowadził nas poza przedział [0,1], co w naszym modelu nie miałoby sensu. Robert May zdał sobie sprawę, że zachowanie odwzorowania logistycznego bywa zaskakujące i nietrywialne. W 1976 roku ogłosił w „Nature” artykuł o „prostych modelach matematycznych z bardzo złożoną dynamiką”. Głównym przykładem było odwzorowanie logistyczne.

Co może się stać, gdy zaczniemy wykonywać kolejne iteracje? Przy pewnym szczęściu mogłoby się okazać, że x=r x(1-x), Mamy wówczas punkt stały: za każdym razem dostaniemy to samo. Jeśli jednak zaczniemy od innej wartości, należy się spodziewać, że z czasem sytuacja będzie dążyć do stanu równowagi. Rzeczywiście tak się dzieje dla r<3. Np. dla r=2,9, startując z punktu x_0=0,5, otrzymamy oscylacje dążące do pewnej granicy. Jej wartość nie zależy od x_0, rozwiązanie dąży do punktu stałego.

image

Mamy więc dążenie do równowagi ekologicznej. Można tę sytuację zilustrować następującym wykresem:

r290

Mamy tu wykresy dwóch funkcji y=rx(1-x) oraz y=x. Startujemy z x_0=0,5, wynikiem pierwszej iteracji jest wartość leżąca na paraboli pionowo nad x_0. Chcemy następnie, aby wartość ta była punktem wyjścia do następnej iteracji: rysujemy więc odcinek poziomy aż do przecięcia z prostą y=x. Opuszczając teraz odcinek pionowy na parabolę, generujemy następny punkt, a przesuwając go poziomo do przecięcia z y=x, mamy punkt wyjścia dla iteracji nr 2. Widać, że punkty dążą do punktu stałego, który odpowiada przecięciu obu naszych wykresów funkcji.

Weźmy teraz wartość r=3,2. Oto, co dostajemy z iteracji: po pominięciu pewnej liczby początkowych wartości nasz wykres zaczyna oscylować:

image (1)

Zamiast równowagi ekologicznej mamy zależność okresową. Wykres pajęczynowy wygląda następująco:

r3.20

Dla jeszcze większych wartości, np. r=3,5 zamiast równowagi, dostajemy cykl o okresie cztery:

image (2)

 

r350

Co dalej? Można się domyślić, że teraz nic już nie zatrzyma kolejnych podwojeń. Nasze okresowe cykle będą się rozdwajać na cykle o podwojonym okresie. Wreszcie dla jeszcze większych wartości parametru r dostaniemy zachowanie chaotyczne, tak jakby okres stał się nieskończony.

image (5)

r380

Okazuje się, że to jeszcze nie koniec komplikacji: otóż dla pewnych wartości r powyżej progu chaotyczności, ponownie otrzymujemy wartości okresowe.

image (7)

r3832

Ten okres równy 3 podwaja się dla nieco większych wartości, w sumie obraz jest dość skomplikowany, i o tym właśnie napisał Robert M. May.

bifurkacje may

Tak przedstawiał się wykres w pracy z roku 1976. Na osi poziomej mamy parametr r, na pionowej wartości x. W istocie sytuacja jest znacznie skomplikowana, niż wówczas sądzono. Oto jakiś jej zwiastun:

tmp_m6W9Wb

Widzimy tu podwojenia i potem następne podwojenia. Wykres ten ma strukturę fraktalną: jego małe fragmenty są w powiększeniu takie jak większe. Łatwo go obejrzeć z większą rozdzielczością. Możemy też sami się pobawić oglądaniem tej struktury.

 

Większość wartości r powyżej 3,56995 wykazuje zachowania chaotyczne. Oznacza to np., że można by kolejnych tak generowanych liczb używać jako liczb pseudolosowych (niemal każda wartość początkowa prowadzi do innego ciągu).

W tym miejscu mogłoby się wydawać, że odwzorowanie logistyczne, dane równaniem kwadratowym jest jakoś wyróżnione. Okazuje się wszakże, że inne krzywe mające maksimum będą prowadzić do podobnych rezultatów. Odkrył to Mitchell Feigenbaum, potomek uchodźców z Polski (ojciec) i z Ukrainy (matka), który zrobił doktorat z cząstek elementarnych, długo nie publikował i jest człowiekiem dość ekscentrycznym. Bawił się on namiętnie wszystkim, co służyło do liczenia, aż wpadł mu w ręce pierwszy programowalny kalkulator HP-65. Za jego pomocą dokonał słynnego odkrycia uniwersalności w dochodzeniu do chaosu. Gdy rozpatrzymy kolejne wartości progów, przy których podwaja się okres, otrzymamy dla odwzorowania logistycznego, co następuje:

n 2^n r_n r_{n}-r_{n-1} ilorazy
1 2 3
2 4 3,44949 0,44949
3 8 3,54409 0,0946 4,751479915
4 16 3,564407 0,020317 4,656199242
5 32 3,5687594 0,0043524 4,667999265
6 64 3,5696916 0,0009322 4,66895516

Ponieważ liczyło się to długo, więc Feigenbaum próbował odgadywać, przy jakiej wartości pojawi się następny próg. Różnice kolejnych wartości bardzo szybko maleją. Feigenbaum odkrył, że

\dfrac{r_{n+1}-r_{n}}{r_{n+2}-r_{n+1}}\rightarrow 4,669201.

Okazało się, że jeśli zastąpić krzywą logistyczną jakąś inną funkcją o podobnym przebiegu, np. połówką sinusoidy, granica ta pozostanie taka sama. Wśród całego tego chaosu coś pozostaje stałe. Wartość tę nazywa się dziś Deltą Feigenbauma. Można ją też oglądać w zbiorze Mandelbrota: gdy powiększamy odpowiedni jego fragment przesuwając się przy tym, obserwujemy kolejne okręgi o promieniach w stosunku stałej Feigenbauma.

Mandelbrot_zoom

 

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Self-similarity

Z podobnym zjawiskiem uniwersalności spotykamy się w dziedzinie przejść fazowych, gdzie także obowiązują prawa skalowania i wykładniki w tych prawach powtarzają się dla wielu różnych układów. Praca Feigenbauma przyniosła mu sławę: nie każdy odkrywa jakąś nową stałą matematyczną. Jest to pewnie jedyny przypadek, aby za pomocą kalkulatora dokonano istotnego odkrycia, niebawem narzędziem stały się komputery, sam Feigenbaum też ich potrzebował, aby dokładniej znaleźć wartość swoich stałych (bo jest jeszcze jedna). Z początku niezbyt ścisłe argumenty oraz eksperymenty numeryczne były jego głównym osiągnięciem, miał w związku z tym spory kłopot z publikacją: przez kilka lat różne pisma odrzucały jego artykuł, który dopiero w 1978 ukazał się on w „Journal of Statistical Physics”. Recenzenci dość często nie wiedzą, co zrobić z pracą zanadto nowatorską i niesztampową. Żyjemy w czasach nauki biurokratycznej, choć realny postęp niekoniecznie nadchodzi z przewidywalnych kierunków.

Arkusz Google’a z odwzorowaniem logistycznym