Naukowy idiotyzm roku 2016

714248_bced_51_34

Nie będę się znęcał nad tym artykułem Gościa niedzielnego (sprzedaż ponad 120 000 egzemplarzy!). Nieczuli manipulatorzy trzymają w ciekłym azocie piękne aryjskie bobaski. Dodam tylko z podziwem, że trzeba mieć naprawdę czułe sumienie, aby w dniach, gdy w Aleppo giną tysiącami ludzie, przejąć się dramatem mrozaczków. Katholikos po grecku znaczy powszechny.

Iwo Białynicki-Birula o „dobrej zmianie”

Warto dodać tu uwagę dla niefizyków. Otóż Iwo Białynicki-Birula to uczony klasy światowej, mający ogromny autorytet wśród kolegów. Jak się zdaje, młodsi uczeni zbyt rzadko zabierają głos na temat tego, co od roku dzieje się w Polsce.

Na razie jest to „tylko” festiwal kłamstw, niekompetencji, bufonady, zmasowanej propagandy, odwoływania się do przesądów i najgorszych emocji. Naigrawanie się z rozumu, moralności i wartości chrześcijańskich (które przecież powinny być bliskie niektórym katolikom, także arcybiskupowi Markowi). Psucie niemal każdej instytucji, którą można zepsuć. Szkoły nie są od nauczania, że człowiek ma duszę od chwili poczęcia. Ewolucja nie jest ekstrawaganckim przypuszczeniem niektórych naukowców. Powstanie warszawskie było tragedią, a nie triumfem i okazją do przebieranek. Lech Kaczyński był bardzo przeciętnym politykiem, który zginął tragicznie w wypadku lotniczym. Katastrofa w Smoleńsku nie miała w sobie nic z martyrologii, nikt tu nikogo nie zdradzał o świcie, był już późny ranek i usiłowano lądować, nie widząc lotniska. Doprawdy nie ma za co stawiać pomników. A spieszono się dlatego, że telewizje czekały na rozpoczęcie transmisji. W Katyniu bowiem miało nastąpić otwarcie kampanii wyborczej. Gdyby nie katastrofa Lech Kaczyński przegrałby jesienią 2010 roku wybory i dziś nikt by już o nim nie pamiętał.

Na razie mamy do czynienia z pokojową inwazją barbarzyńców, którzy w nosie mają standardy Europy i których bawi oddawanie stolca do fortepianu. Robią to, by przypodobać się swojemu naczelnikowi, człowiekowi małemu pod każdym względem, mściwemu i tchórzliwemu, który nie zna żadnego języka obcego, a swój własny nieznośnie kaleczy, posługując się nim w sposób pretensjonalny i niegramatyczny, niechlujnie wymawiając słowa. Mądrość naczelnika każe nam zrywać więzy z Niemcami i Francją, licząc na to, że naszej skóry będą bronić Stany Zjednoczone i Wielka Brytania (czemu miałyby to robić, tego nie wiemy). W rezultacie przesuwamy się po mapie na wschód, mozolnie metr po metrze. Dzieje się to powoli, każdego dnia, i właściwie nie wiadomo, kiedy protestować, bo to jak protest przeciwko nasuwaniu się lodowca. Niedługo możemy niepostrzeżenie znaleźć się tam, gdzie Białoruś. Wielu Polaków nie widziałoby w tym pewnie niczego złego, w końcu żyliśmy przez tyle lat na skraju sowieckiego kołchozu i trzeba było jakoś się urządzić. Miało to zresztą pewne zalety: nie było bezrobocia, o wszystkim decydowały urzędy i można sobie było na nie po cichu narzekać. Za to jaki spokój! Media przynoszą same dobre wiadomości, policja ma kartotekę wszystkich nieprawomyślnych, kraj uporządkowany jest do imentu. Zresztą nie ma się co straszyć Białorusią, urodził się tam Adam Mickiewicz, a niedawno odwiedził ten kraj z wizytą Marszałek Senatu, który mówi, że Łukaszenka to ciepły człowiek, a do Bogdana Borusewicza nie ma zaufania.

Konstandinos Kawafis: Czekając na barbarzyńców (1898)

Na cóż czekamy, zebrani na rynku?

Dziś mają tu przyjść barbarzyńcy.

Dlaczego taka bezczynność w senacie?
Senatorowie siedzą – czemuż praw nie uchwalą?

Dlatego że dziś mają przyjść barbarzyńcy.
Na cóż by się zdały prawa senatorów?
Barbarzyńcy, gdy przyjdą, ustanowią prawa.

Dlaczego nasz cesarz zbudził się tak wcześnie
i zasiadł – w największej z bram naszego miasta –
na tronie, w majestacie, z koroną na głowie?

Dlatego że dziś mają przyjść barbarzyńcy.
Cesarz czeka u bramy, aby tam powitać
ich naczelnika. Nawet przygotował
obszerne pismo, które chce mu wręczyć –
a wypisał w nim wiele godności i tytułów.

Czemu dwaj konsulowie nasi i pretorzy
przyszli dzisiaj w szkarłatnych, haftowanych togach?
Po co te bransolety, z tyloma ametystami,
i te pierścienie z blaskiem przepysznych szmaragdów?
Czemu trzymają w rękach drogocenne laski,
tak pięknie srebrem inkrustowane i złotem?

Dlatego że dziś mają przyjść barbarzyńcy,
a takie rzeczy barbarzyńców olśniewają.

Czemu retorzy świetni nie przychodzą, jak zwykle,
by wygłaszać oracje, które ułożyli?

Dlatego że dziś mają przyjść barbarzyńcy,
a ich nudzą deklamacje i przemowy.

Dlaczego wszystkich nagle ogarnął niepokój?
Skąd zamieszanie? (Twarze jakże spoważniały.)
Dlaczego tak szybko pustoszeją ulice
i place? Wszyscy do domu wracają zamyśleni.

Dlatego że noc zapadła, a barbarzyńcy nie przyszli.
Jacyś nasi, co właśnie od granicy przybyli,
mówią, że już nie ma żadnych barbarzyńców.

Bez barbarzyńców – cóż poczniemy teraz?
Ci ludzie byli jakimś rozwiązaniem.

(przeł. Z. Kubiak)

Nie jest to najlepszy wiersz Kawafisa, nieco zbyt retoryczny, zbudowany katechizmowo, nie odwołuje się do konkretnej sytuacji historycznej, ironia jest tu zbyt łatwa. Ale nawet słabszy, wczesny Kawafis, to wciąż Kawafis: z wyobraźnią ożywiającą historię, pozwalającą widzieć zarówno materialne i psychologiczne szczegóły, jak i głębszy sens spektaklu. Oto mamy rozwiniętą cywilizację, która nie ma siły trwać, jej elity skoncentrowane są na dogadzaniu własnej próżności, popisywaniu się bogactwem, pomysłowością w sprawach trzeciorzędnych, błyskotkami i błahostkami. Wszyscy czekają na potop, który by odnowił oblicze ziemi.

Na kilkanaście lat przed wielką wojną światową i wielką rewolucją rosyjską, przed czekistami, czarnymi koszulami i brunatnymi koszulami, stalinami i hitlerami, łagrami i lagrami, poeta z prowincjonalnej Aleksandrii umiał zaglądać w głąb czasu i dobrze rozumiał, na czym polega znużenie światem i tęsknota za rządami silnej ręki, przecinającymi beznadziejne dylematy. Tak słodko wyrzec się wolności. Miliony miały sobie powtarzać: co nam po wolności, skoro i tak nasze życie przypomina dożywotnie więzienie, którego murów sami nie przebijemy.

Każdy czytelnik musi zadać sobie nieuchronne pytanie: kim są owi barbarzyńcy. Dla Greków byli to ci, którzy nie mówili po grecku. Definicja ta w jakimś sensie pozostaje użyteczna do dziś, jeśli rozumieć ją szerzej, a więc nie tylko w odniesieniu do języka, ale i do tego, co się myśli. Grecy nauczyli nas szacunku dla człowieka, podziwu dla jego ciała, umysłu, czasem także charakteru. Uczyli pokory wobec świata, przestrzegali przed hybris, zgubną pychą, która narusza prawa boskie i nieuchronnie wiedzie do katastrofy. Zaszczepili nam zmysł tragedii i koncepcję filozofii. Arystotelesowska definicja prawdy nigdy nie przestała być aktualna (w sformułowaniu św. Tomasza jest to zgodność naszych pojęć z faktami, coś niełatwego do osiągnięcia, lecz bezcennego). Zresztą bez Greków chrześcijaństwo byłoby zaledwie jedną więcej egzotyczną żydowską sektą, nigdy nie osiągnęłoby metafizycznej subtelności i intelektualnej dojrzałości. Także prawa logiki i ich nadużycia, retoryka i demagogia, skodyfikowane zostały przez Greków. Ani druk, ani internet nie dodały tu nic nowego oprócz zgiełku i narastającego z czasem przeświadczenia, że liczy się tylko dzień dzisiejszy, a co wczoraj niewarte jest pamiętania. Zasypywani powodzią nieistotnych słów i obrazów, niczym nartniki po powierzchni wody, ślizgamy się po teraźniejszości, niewiele z niej rozumiejąc.

Jakich barbarzyńców obawia się dzisiejszy świat Zachodu? Islamskich terrorystów, chińskich producentów, kolorowych imigrantów, własnych społeczeństw? Cywilizacje mają swoje przypływy i odpływy, ta zachodnioeuropejska i amerykańska prawdopodobnie chyli się ku upadkowi, a ci, którzy chcą jej bronić są gorsi niż barbarzyńcy przybywający od granic. Zdegenerowane chrześcijaństwo, które nie rozumie, kim był żydowski prorok Jezus z Nazaretu i które jest tylko bezmyślnym klepaniem magicznych zaklęć, wznoszeniem nienawistnych okrzyków i paradowaniem z faszystowskimi symbolami, bez żadnej przyszłości. Ludzie, którzy kłamią, nawet wtedy, kiedy się nie odzywają. Uczestnicy polowań z nagonką na Bogu ducha winne ofiary – ale przecież nikt nie jest niewinny. Nowi dygnitarze, bezmyślni albo powtarzający sobie w duchu, że tak trzeba. Prymitywy, których uniwersum mieści się w telefonie. Barbarzyńców nie trzeba daleko szukać – oni są w nas, w naszych sąsiadach, krewnych i znajomych, wystarczą sprzyjające okoliczności, a chamstwo i brutalność wezmą górę. Jacyś barbarzyńcy zawsze się znajdą, wezmą władzę, która leży na ulicy, i ustanowią swoje prawa, proste jak pałka i płaskie jak umysł towarzysza Płaszczaka.

Antonie van Leeuwenhoek: Delft, czyli wszechświat

W XVII wieku podróże po Europie stały się modne, choć mieszkając w kraju takim, jak Holandia, można było wiedzieć sporo o świecie, nawet nie ruszając się z domu. Antonie van Leeuwenhoek, kupiec bławatny i pasmanteryjny, terminował w Amsterdamie, podróżował do Anglii, większość jednak swego długiego, dziewięćdziesięcioletniego życia spędził w rodzinnym Delft. Nauką zajął się późno, bo grubo po trzydziestce, kiedy porzucił już handel i został urzędnikiem miejskim, służąc na wielu stanowiskach, m.in. geodety i kontrolera sprowadzanych win i innych trunków. Liczące przeszło dwadzieścia tysięcy mieszkańców Delft nigdy nie było tak dużym ośrodkiem, jak pobliska Haga (barki do stolicy odpływały co pół godziny), słynęło jednak ze swych niebieskich, ręcznie malowanych fajansów, miało też własną gildię malarzy. W Delft pracował przez całe życie, znany wówczas jedynie znawcom, Johannes Vermeer, rówieśnik Leeuwenhoeka. Wpis chrztu malarza datowany pięć dni wcześniej od chrztu uczonego znajduje się na tej samej stronie księgi parafialnej z roku 1632. Z pewnością znali się jako wybitni obywatele tego samego miasta, tak niezrównanie przedstawionego przez malarza.

view_of_delft

To o tym obrazie pisał Marcel Proust: „Odkąd w haskim muzeum zobaczyłem Widok Delft, wiem, że widziałem obraz najpiękniejszy na świecie”Niezrównany i subtelny kolorysta, cyzelował długo każdy szczegół swoich płócien. Namalował ich w rezultacie niewiele i mimo bogatego ożenku zmarł pogrążony w długach. Leeuwenhoeka wyznaczono na kuratora spadku po artyście. Nie przyjaźnili się zapewne i fakt ten dowodzi raczej tylko wysokiego mniemania władz miasta o uczciwości Leeuwenhoeka. Zadanie było delikatne i niewdzięczne, zostało jednak pomyślnie przeprowadzone do końca. Francuski szlachcic, Balthasar de Monconys, dziwił się bardzo, znajdując później u piekarza z Delft pewien obraz Vermeera, za który zapłacono sześćset liwrów, a za który podróżnik nie dałby więcej niż sześć pistoli. Mistrz piekarski z Delft znał się więc dużo lepiej na sztuce niż francuski szlachcic.

f1-large

Nie znamy upodobań Leeuwenhoeka, był człowiekiem niewykształconym, nie znał żadnego języka prócz własnego i sam przyznawał, że niechętnie pisze. Jeśli coś mogło zbliżyć tych dwóch ludzi, to upodobanie do wnikliwej obserwacji i mistyczna niemal adoracja światła. Tkaniny u Vermeera oddane są z niezwykłym pietyzmem, a być może właśnie od przyglądania się detalom tkanin za pomocą szkła powiększającego zaczęła się pasja Leeuwenhoeka. Musiał być człowiekiem niezwykle sumiennym i cierpliwym, gdyż wytrwale doskonalił kunszt szlifowania szkieł i zdołał zbudować mikroskopy lepsze niż ktokolwiek inny.

Używane przez niego mikroskopy miały tylko jedną kulistą soczewkę. Kula taka jest soczewką skupiającą i przy typowym współczynniku załamania szkła jej ognisko leży o pół promienia za powierzchnią (a więc w odległości \frac{3}{2}r od jej środka, patrz poniżej). Używając soczewki możemy przedmiot przybliżyć do oka znacznie bliżej niż wynosi odległość dobrego widzenia, równa zwykle D=25 \mbox{ cm}. Dzięki temu widzimy szczegóły pod większym kątem.

oko

Powiększenie kątowe równe jest

\dfrac{\beta}{\alpha}=\dfrac{h}{d}\dfrac{D}{h}=\dfrac{D}{d}.

Zastępujemy tu kąty (w radianach) ich tangensami, co stanowi dobre przybliżenie, gdy kąty są niewielkie. Odległość d w przypadku soczewki kulistej równa się \frac{3}{2}r. Należy więc używać jak najmniejszych kulek szklanych, powiększenia uzyskiwane przez Leeuwenhoeka sięgały kilkuset razy. Tak wygląda współczesna rekonstrukcja jego mikroskopu.

hl1

Strona Hansa Loncke

Holender prowadził dziennik obserwacji, jego fragmenty wysyłał do Towarzystwa Królewskiego do Londynu. Tłumaczone na angielski lub łacinę, ukazywały się przez wiele lat w „Philosophical Transactions”. Zrazu uczeni byli nieufni, z czasem jednak zaczęto Leewenhoeka i jego odkrycia traktować serio. Zaczęli go odwiedzać inni badacze, którzy mogli się naocznie przekonać, że Holender jest rzeczywiście wytrawnym obserwatorem i niczego nie zmyśla. Niektóre z jego odkryć zostały niezależnie powtórzone, ogólnie jednak był z tym kłopot: nikomu nie udawało się sporządzać tak małych kulek szklanych dobrej jakości optycznej. Angielski autorytet w dziedzinie optyki Robert Hooke, autor zdumiewających rysunków mikroskopowych, takich jak poniższa pchła, używał mikroskopu z dwóch soczewek i nie był przekonany do metody Leeuwenhoeka.

4879769

Odkrycia Holendra nie były aż tak spektakularne, gdyż dotyczyły żyjątek niezwykle drobnych, wręcz nieprawdopodobnie małych, o rozmiarach niewielu mikrometrów. Leeuwenhoek odkrył cały świat mikroflory bakteryjnej, obserwował przejawy życia w kroplach wody i w najróżniejszych płynach ustrojowych, jak krew i sperma. Tak wyglądały np. bakterie z jamy ustnej (specjaliści zidentyfikowali je później).

drawings-of-animalcules-form-leeuwenhoeks-letter-dr-jeremy-byrgess

Nasienie zwierząt i ludzi pełne było zadziwiających, żywo poruszających się stworów, przypominających kijanki. Leeuwenhoek odkrył w ten sposób plemniki. Badania tego rodzaju nieco go krępowały, tłumaczył, że spermę uzyskał bez grzechu jako skutek stosunku małżeńskiego. Sądził jednak, że odkrycie to jest w najwyższym stopniu godne uwagi.

lind006gesc01ill24

Ówcześni uczeni przypuszczali, że początkiem życia człowieka jest komórka jajowa (w istocie to, co brali za komórkę jajową było pęcherzykami jajnikowymi). Sądzono, że pramatka Ewa nosiła w sobie jajeczka wszystkich ludzi, którzy później przyszli na świat. Obserwacje Leeuwenhoeka wskazywały na coś zupełnie innego: to plemniki odgrywają decydującą rolę, podczas gdy komórka jajowa dostarcza jedynie pożywienia wzrastającemu organizmowi. Nicolas Hartsoeker, lekarz i rodak Leewuwenhoeka, przekonywał, że to plemnik zawiera całego człowieka w miniaturze (słówko homunculus pojawiło się dwa wieki później). Jak się zdaje, podobnego mniemania był także Leeuwenhoek.

human-sperm-17th-century-granger

Zapłodnienie zdaniem Hartsoekera nie polegało na tym, że najsilniejszy plemnik (powiedzmy Donald Trump) przebija się do środka komórki jajowej. Sądził on, że plemnik przyczepia się do jajeczka ogonkiem, przez który czerpie substancje odżywcze i który z czasem zamienia się w pępowinę łączącą zarodek z organizmem matki. Interpretując te poglądy w duchu tzw. obrońców życia: nie tylko zygota ludzka byłaby święta, ale należałoby jak osoby ludzkie traktować także wszystkie plemniki, które także byłyby święte. Oczywiście, wszystkie one powinny koniecznie mieć imiona, zanim umrą.

Leeuwenhoek był pionierem, jego badań nikt nie kontynuował. Częściowo sam sobie był winien, ponieważ nie ujawniał swojej metody wytwarzania soczewek i nikt inny tego nie potrafił. Nauka nie była przygotowana na cały ten zawrotny świat mikroorganizmów, kiedy nie można zrozumieć pewnych faktów, spycha się je po prostu na bok. Z czasem Leewenhoek spostrzegł, że młodzi ludzie nie są zainteresowani nauczeniem się jego sekretów i kontynuacją jego badań. Pisał: „Większość studentów idzie tam [na uniwersytet w Lejdzie], aby zarabiać pieniądze dzięki wiedzy albo zdobyć reputację w świecie uczonych. Lecz szlifowanie soczewek i odkrywanie rzeczy ukrytych przed wzrokiem nie ma z tym nic wspólnego”. Trzeba przyznać, że i dziś ten podział nie całkiem się zatarł: na tych, co odnoszą korzyści z nauki i tych, z których korzyść odnosi nauka.

kula
Kąt \beta, jak widać z rysunku, równy jest

\beta=\dfrac{h}{r+f}.

Ogniskową f znajdujemy, rozpatrując dwukrotne załamanie promienia bliskiego środka kuli (w ten sposób wszystkie kąty są małe, zostały na rysunku powiększone dla przejrzystości). Odchylenie na pierwszej powierzchni równe jest \delta-\varepsilon; oba kąty spełniają prawo załamania

\dfrac{\delta}{\varepsilon}=n,

gdzie n jest współczynnikiem załamania.

leeuwenhoek

Odchylenie na drugiej powierzchni jest takie samo. Należy uwzględnić fakt, że nasza soczewka jest gruba, tzn. promień zbliża się do osi z odległości x na odległość y. Ostatecznie, wartość ogniskowej równa jest

f=\dfrac{r}{2}\cdot \dfrac{2-n}{n-1}.

Przy n=1,5 otrzymamy f=\dfrac{1}{2}r.

Evangelista Torricelli: nieskończona trąba i barometr (1643-1644)

Nauka powstająca w XVII wieku była iście rewolucyjna: podważono jednocześnie niemal cały tradycyjny system myślowy, wiedzę zgromadzoną od tysiącleci. Świat materialny zmienił się niewiele od średniowiecza, choć nauczono się żeglować po oceanach i korzystać z broni palnej. Jednak technika była wciąż prymitywna, energia trudno dostępna, a większość ludzi walczyła jedynie o przetrwanie. Zanim przeobraziła się cywilizacja, należało najpierw przebudować zawartość głów. Postęp pojęciowy jest zawsze niezmiernie trudny, trzeba pokonać własne nawyki myślowe, wyciągnąć wnioski z nowych założeń, niewielu ludzi potrafi żyć wśród tymczasowych koncepcji i bez żalu porzucać je na rzecz innych, nowych, lepiej opisujących wymykającą się rzeczywistość. M.in. dlatego niewielu jest einsteinów na świecie, mimo że nie brak ludzi bardzo inteligentnych i utalentowanych.

Evangelista Torricelli określany jest często jako uczeń Galileusza. W istocie był bardziej uczniem Benedetta Castellego, wiernego przyjaciela i okazjonalnie współpracownika mistrza z Florencji. Ze starym, niewidomym już uczonym spędził ledwie kilka miesięcy: od października 1641 r. do stycznia roku następnego, gdy Galileusz zmarł. Torricelli był już wtedy po trzydziestce i był ukształtowanym uczonym w duchu archimedesowym, gdzieś między matematyką a inżynierią i eksperymentem. Odziedziczył po Galileuszu stanowisko matematyka przy księciu Toskanii. Galileusz był także nadwornym filozofem, czyli fizykiem i astronomem, ale w owej chwili, dziesięć lat po wyroku inkwizycji, lepiej było nie kłuć w oczy władz kościelnych. Sławnego uczonego pochowano w nieoznaczonym grobie i musiało minąć sto lat, nim pozwolono na postawienie tablicy nagrobnej. Torricelli w roku 1643 stał się sławny w całej uczonej Europie dzięki rozważaniom na temat pewnej nieskończonej bryły, która miała skończoną objętość. Przypominała ona wnętrze trąby.

tromba

Bryła Torricellego powstaje z obrotu hiperboli (równobocznej) wokół jednej z asymptot. Wycinamy z niej tylko część zaznaczoną na rysunku: mamy zwężającą się, nieskończenie długą trąbę. Torricelli wykazał, że pole powierzchni takiej trąby jest nieskończone, lecz objętość jest skończona. Oszacujemy tę objętość. Dzielimy naszą bryłę na cylindryczne cienkie powłoki: leżą one jedna wewnątrz drugiej jak składany tubus. Pole podstawy takiej powłoki (wydrążonego walca) równe jest 2\pi r dr, co jest iloczynem długości okręgu i grubości naszej powłoki dr. Objętość wydrążonego walca o takiej podstawie  i wysokości h(r) możemy łatwo oszacować z góry:

dV=2\pi r dr h(r) < 2 \pi r dr \dfrac{a^2}{r}=2 \pi a^2 dr.

Zatem suma objętości wszystkich wydrążonych walców jest mniejsza niż 2\pi a^2 R, gdzie R to największy promień przekroju poprzecznego trąby. Torricelli obliczył tę objętość, stosując metodę Cavalieriego, a także przeprowadzając dowód w duchu Archimedesa. Paradoksalny wynik wzbudził zainteresowanie i komentowali go najwięksi matematycy epoki: jeśli był prawdziwy, granice matematyki matematyki zostały poszerzone.

W roku następnym został Torricelli odkrywcą barometru. Tak się zwykle mówi, bardzo upraszczając całą sprawę. On sam nie uznawał siebie za wynalazcę takiego przyrządu ani nad nim jakoś szczególnie nie pracował. Dopiero później urządzenie takie zaczęto nazywać barometrem i traktować jako przyrząd służący do pomiaru ciśnienia atmosferycznego. Torricelli niczego nie mierzył w sposób ciągły, lecz uważał swoje doświadczenie za rodzaj filozoficznego (tj. naukowego) pokazu. Chodziło w nim o istnienie próżni. Natura abhorret vacuum – natura nie znosi próżni – mawiali filozofowie scholastyczni, czerpiąc to twierdzenie od Arystotelesa. Wiadomo było z praktycznych doświadczeń inżynierów, iż nie można wciągnąć wody w rurze wyżej niż na 18 łokci. Galileusz objaśniał to siłami spoistości wody: gdy wysokość jej słupa przekracza owe 18 łokci, słup rozrywa się pod własnym ciężarem, tak jak rozerwałaby się pod własnym ciężarem dostatecznie długa kolumna z marmuru zawieszona od góry. Torricelli sądził inaczej, uważał, że słup cieczy równoważony jest ciśnieniem zewnętrznym. A skoro chodzi o równowagę, to zamiast 18 łokci wody wystarczy 5/4 łokcia i jeden cal żywego srebra (rtęci) – gdyż jego ciężar właściwy jest kilkanaście razy większy. Wystarczy wziąć szklaną rurkę długości, powiedzmy, dwóch łokci, zatopioną z jednej strony i nalać do niej rtęci. Następnie zatykamy rurkę palcem i odwracamy zatopioną częścią do góry, po czym wkładamy rurkę do naczynia z rtęcią (nikt w XVII wieku nie rozumiał, jak się zdaje, jak szkodliwe może być takie nieostrożne manipulowanie rtęcią, Newton żartował sobie, że posiwiał wcześnie z powodu używania rtęci w doświadczeniach alchemicznych, naprawdę chyba się tym jednak nie przejmował).

torr

Uczony sądził, że nad rtęcią tworzy się próżnia. A więc łatwo jest ją wytworzyć i natura się jej nie lęka. O swoich doświadczeniach napisał do Michelangela Ricciego w czerwcu 1644 roku. Pokazywał je też ojcu Marinowi Mersenne’owi, który spełniał w owych czasach rolę serwera pocztowego dla środowiska uczonych, gdy ten odwiedził go we Florencji. Nie słychać, aby Torricelli zamienił swoją odwróconą rurkę na stały przyrząd, który można z dnia na dzień obserwować. Spodziewał się chyba, że zmiany ciśnienia atmosferycznego będą większe, niż są w rzeczywistości. W tym samym liście pisał, iż żyjemy na dnie oceanu powietrza – coś podobnego sugerował kilkanaście lat wcześniej Giovanni Battista Baliani w liście do Galileusza. Torricelli mógł o takim poglądzie słyszeć. Tak czy owak nie zajmował się sprawą dłużej, dopiero kilka lat później stała się ona europejską sensacją, gdy doświadczenia podobne zaczęto powtarzać w różnych krajach, a przede wszystkim we Francji, a zagadnieniem ciśnienia atmosferycznego i istnienia próżni zajął się m.in. Blaise Pascal. Dla jego analitycznego i skłonnego do paradoksów umysłu pogląd, który przeczył jednocześnie scholastykom i „nowoczesnemu” Kartezjuszowi, musiał wydawać się wielce interesujący. Torricelli zmarł młodo, w roku 1649, i nie dożył czasów, w których uznano go za „odkrywcę barometru”. Zapewne byłby zdziwiony, że ten maleńki fragment jego naukowego dorobku doczekał się takiej sławy, podczas gdy o reszcie mało kto dziś pamięta.

List Torricellego do Ricciego.

Jego angielski przekład

 

Parabola, sounding-board i piękno geometrii

Wielka Brytania ma do dziś znakomitą tradycję uprawiania nauki za stosunkowo niewielkie pieniądze. Royal Society i inne uczone towarzystwa były długo organizacjami zrzeszającymi amatorów na równi z zawodowcami. Sprawiało to, że rozmaite dziwne eksperymenty czy obserwacje osobliwości sąsiadowały w angielskich czasopismach z rzetelnymi osiągnięciami profesjonalistów. Przynajmniej jednak za dziwactwa te rząd Jego/Jej Królewskiej Mości nie musiał wypłacać wysokich apanaży czy to w formie pensji, czy grantów na dogłębne studia nad niczym.

W 1826 roku zbudowano w Attercliffe koło Sheffield niewielki kościół. Okazało się, że występował w nim silny pogłos i choć dźwięk mowy pastora był dobrze słyszalny, to zamazany i niewyraźny. Standardowym sposobem wzmacniania dźwięku idącego od ambony do wiernych była drewniana płyta, sounding-board, umieszczana zwykle poziomo nad amboną. Odbijała ona część dźwięku w stronę publiczności. Określenie sounding-board do dziś zresztą funkcjonuje w angielszczyźnie, lecz głównie w sensie przenośnym. W Attercliffe tego rodzaju rozwiązanie nie pomogło. Toteż wielebny John Blackburn, który studiował w St. John’s College w Cambridge, sięgnął po rozwiązanie znane z geometrii od czasów starożytnych. Wiadomo, że paraboloida – powierzchnia powstająca przy obrocie paraboli wokół osi – ma własność ogniskowania promieni w jednym punkcie. Może więc także służyć jako reflektor, gdy w ognisku umieścimy źródło naszych promieni. John Blackburn obudował więc ambonę w taki sposób, że mówca znajdował się w jej ognisku, a dźwięk rozchodził się na wnętrze kościoła.

Efekty były znakomite, wielebny Blackburn opisał ze szczegółami swą konstrukcję w „The Philosophical Magazine” w roku 1829. Podobnego rozwiązania używa się do dziś, np. w mikrofonach parabolicznych zbierających dźwięk z jakiegoś kierunku i umożliwiających słuchanie rozmów ze sporej odległości.

512px-parabolicmicrophone

Innych przykładów dostarczają wszelkie teleskopy optyczne i radiowe, tu np. gigantyczny radioteleskop w Arecibo, za pomocą którego Aleksander Wolszczan odkrył pierwsze planety poza Układem Słonecznym (a macierzysty UMK zerwał z nim współpracę, bo uczony kiedyś spotykał się z jakimiś agentami SB – co godne i sprawiedliwe, a także słuszne i zbawienne – wszak mamy tylu uczonych, którzy z nikim się nie spotykali oraz niczego nie odkryli).

telescopio_arecibo_thumb

Z jakichś powodów, znanych wyłącznie wysokim komisjom ds. programów nauczania, nie uczy się w szkole nic ponadto, że parabola to wykres funkcji kwadratowej, np. y=ax^2. W sposób naturalny pojawia się ta krzywa w rzutach (gdy opór powietrza jest do pominięcia). Np. w rzucie poziomym ciało przesuwa się poziomo wciąż z tą samą prędkością początkową v, spadając jednocześnie pionowo z przyspieszeniem ziemskim g. Mamy więc dwa równania: w kierunku poziomym x położenie jest proporcjonalne do czasu, a w kierunku pionowym y – do kwadratu czasu (oś y kierujemy w dół).

\left\{ \begin{array}{l}  x=vt\\  y=\dfrac{gt^2}{2} \end{array} \right.\quad \Rightarrow \quad y=\left(\dfrac{g}{2v^2}\right)x^2=ax^2

Dokładnie tyle potrafił udowodnić Galileusz na temat rzutów (miał techniczny problem z rzutami ukośnymi, nie było jeszcze geometrii analitycznej). Rzut poziomy można zilustrować pokazem, przedstawiony zabytkowy przyrząd pochodzi z Teylers Museum w Haarlemie.

large1

Kulka stacza się po łuku z lewej strony i następnie przelatuje przez kolejne pierścienie rozmieszczone zgodnie z równaniem paraboli.

Pokażemy, że kształt paraboliczny może ogniskować promienie w jednym punkcie. Starożytni, którzy nie znali algebry, definiowali parabolę inaczej: jest to zbiór punktów równoodległych od pewnej zadanej prostej (fioletowa na rysunku)oraz od pewnego punktu F.

parabola

Łatwo pokazać, jak można konstrukcyjnie wyznaczyć punkty paraboli. Zaczynamy od P’. Wystawiamy z tego punktu prostopadłą do naszej poziomej prostej (zwanej kierownicą) oraz budujemy dwusieczną odcinka FP’: XP. Szukany punkt P paraboli leży na przecięciu obu prostych i spełnia warunki definicji paraboli. Z konstrukcji tej wynika też, że kąty FPX oraz XPP’ są równe, więc promień biegnący pionowo z góry do P odbije się w kierunku F. Ponieważ dotyczy to każdego promienia biegnącego wzdłuż osi, więc wszystkie one przetną się w F (zwanym ogniskiem).

Łatwo też pokazać, że tak wyznaczona krzywa spełnia algebraiczne równanie paraboli. Niech ognisko znajduje się w punkcie (0,f) układu współrzędnych, kierownica zaś ma równanie y=-f (na rysunku f=0,25). Równe odległości punktu (x,y) od kierownicy i od ogniska dają równanie

(y+f)^2=x^2+(y-f)^2 \Rightarrow y=\dfrac{x^2}{4f}.

Istnieje jeszcze inna definicja paraboli jako przecięcia stożka. Wyobraźmy sobie stożek, bierzemy płaszczyznę styczną do jednej z jego tworzących SR, a następnie przecinamy stożek inną płaszczyzną równoległą do tej pierwszej. Krzywa powstająca na przecięciu płaszczyzny z powierzchnią stożka będzie parabolą.

parabola_conic

Z rysunku odczytać możemy równanie krzywej. Zaczynając od okręgu na dole, mamy x^2=\mbox{PM}\cdot \mbox{MR} (jest to znane twierdzenie nt. wysokości trójkąta prostokątnego (u nas PLR). Ze środkowego rysunku (obie płaszczyzny są prostopadłe do rysunku) widać, że długość MR nie zależy od tego, na jakiej wysokości przetniemy stożek płaszczyzną prostopadłą do jego osi. Natomiast długość PM z twierdzenia Talesa jest proporcjonalna do y, mamy więc y\propto x^2. Ta ostatnia definicja sugeruje związek paraboli z innymi możliwymi przecięciami stożka: elipsą oraz hiperbolą. Ale to już całkiem inna historia.

Pierre Fermat: zasada najmniejszego działania dla światła (1657-1662)

Greccy geometrzy zauważyli, że światło biegnie po najkrótszej drodze, i to zarówno wtedy, gdy porusza się prostoliniowo między dwoma punktami (np. A i C), jak i wówczas, gdy po drodze odbija się od zwierciadła, biegnąc po łamanej ABC. Najkrótszej drodze odpowiada prawo odbicia: kąt odbicia równy jest kątowi padania.

fermat-heron

Rozumowanie z rysunku znajdujemy u Herona z Aleksandrii w jego Katoptryce (czyli optyce zwierciadeł). Jeśli punkt A odbijemy symetrycznie w płaszczyźnie zwierciadła (prostopadłej do rysunku), otrzymujemy A’. Drogi A’B i AB są więc równe. Zamiast ABC możemy rozpatrywać A’BC. Dowolna łamana AXC ma taką samą długość, jak A’XC. Ponieważ każda łamana biegnąca od A’ do C jest dłuższa niż odcinek prostej, więc najkrótsza droga równa jest ABC i punkt B leży wówczas na odcinku A’C. Łatwo widać, że dla takiej drogi kąt odbicia równa się kątowi padania.

W roku 1657 Pierre Fermat, radca parlamentu (czyli sądu) w Tuluzie, otrzymał w prezencie książkę poświęconą światłu.

la_lumiere_cureau_de_la-chambre

Jej autorem był Marin Cureau de La Chambre, lekarz, do którego nastoletni Ludwik XIV, przyszły Król-Słońce miał ogromne zaufanie. Fermat, urzędnik królewski, czuł się w obowiązku zajrzeć do książki doradcy tak uczonego i ustosunkowanego na dworze (zręczność dyplomatyczną autora widać i w tym, że na karcie tytułowej jego własne nazwisko złożone jest znacznie mniejszą czcionką niż nazwisko potężnego kardynała Mazarin). Książka zawierała dowód Herona. Cureau de La Chambre zwracał też uwagę, że gdy światło się załamuje, przebywana przez nie droga już nie jest najkrótsza.

fermat0

Droga ABC jest oczywiście dłuższa niż ADC na rysunku. Fermat znał, jak wszyscy, prawo załamania (prawo Snella), opublikowane przez Kartezjusza w 1637 roku. Nie zgadzał się jednak z fizycznym wyprowadzeniem tego prawa, niezbyt wierzył chyba w te wszystkie niewidzialne cząstki rozmaitych kształtów i wielkości, które miały się ze sobą zderzać i na siebie napierać, tłumacząc absolutnie wszystko: od ruchu planet i optyki, po magnetyzm i ciężkość ciał. Jako matematyk szukał wyjaśnienia elegantszego i mniej uwikłanego w trudne do sprawdzenia przesłanki. Gdyby przyjąć, że w gęstszym ośrodku światło napotyka większy opór, to należałoby drogę w ośrodku liczyć np. podwójnie. A więc nadal można podejrzewać, że światło wybiera najłatwiejszą drogę. Należałoby jednak minimalizować nie sumę dróg, lecz pewną ich kombinację, np. AB+2BC. Gęstszemu ośrodkowi odpowiadałby większy współczynnik: wyglądało to rozsądnie, gdyż u Kartezjusza światło miało „większą siłę” w ośrodku gęstszym, co nie jest zbyt intuicyjne (ani zrozumiałe). Nie chcąc wdawać się w spory na temat natury światła, Fermat unikał mówienia o jego prędkości – bowiem zdaniem kartezjan oraz Cureau de La Chambre światło rozchodzi się momentalnie. Sporów z kartezjanami, uczniami mistrza, nie uniknął, podobnie jak dwadzieścia lat wcześniej z ojcem-założycielem tej sekty filozoficznej. Fermat znany był z wysuwania twierdzeń, których nie chciało mu się albo których nie potrafił dowieść, słynnym przykładem jest jego Wielkie Twierdzenie udowodnione pod koniec XX wieku. Także i tym razem niezbyt chętnie brał się do sprawdzenia, czy rzeczywiście światło podlega zasadzie najmniejszego działania. Miał własną metodę szukania ekstremum, dość toporną z dzisiejszego punktu widzenia, zastąpioną później przez obliczanie pochodnych. W wersji Fermata prowadziła ona do długich rachunków, ale w pierwszym dniu nowego roku 1662 zakomunikował Cureau de La Chambre, że obliczenia się udały i prowadzą do znanego prawa załamania. Niemal pięcioletnie opóźnienie między wysunięciem twierdzenia a zbadaniem jego konsekwencji tłumaczył Fermat dwiema przeszkodami: po pierwsze, nie był całkiem pewien, jak należy sformułować zasadę minimum i czy prawo Snella jest ściśle słuszne. Drugą przeszkodą była, typowa dla matematyków, niechęć do długich rachunków. W tym przypadku w grę wchodziły cztery odcinki, a więc cztery pierwiastki z sumy kwadratów współrzędnych. „Obawa, że po długich i trudnych rachunkach dojdę do jakiejś fantastycznej i nieregularnej proporcji oraz moja naturalna skłonność do lenistwa pozostawiły rzecz w tym stanie aż do ostatniego napomnienia, którego udzielił mi w pańskim imieniu pan przewodniczący de Miremont. (…) Nagroda za tę pracę okazała się zupełnie nadzwyczajna, niespodziewana i szczęśliwa. Kiedy bowiem przebrnąłem przez wszystkie równania, mnożenia, antytezy i inne operacje, jakich wymaga moja metoda (…) stwierdziłem, że moja zasada daje dokładnie tę samą proporcję załamania, jaką ustalił pan Descartes. Tak bardzo zaskoczył mnie ten niespodziewany wynik, że z trudem mogłem dojść do siebie. Wiele razy powtórzyłem różne operacje algebraiczne, otrzymując stale ten sam wynik, choć moje rozumowanie zakłada, iż przejście światła przez gęste ciała jest trudniejsze niż przez rzadkie, co uważam za prawdziwe oraz niewątpliwe, niemniej jednak pan Descartes zakłada coś przeciwnego”.

Fermat zakłada więc, że nie suma dróg s_1+s_2 musi być minimalna, lecz suma ich kombinacji liniowych s_1+ns_2, gdzie n jest współczynnikiem załamania drugiego ośrodka (względem pierwszego). Łatwo widać, że jeśli przyjmiemy za prędkość światła w drugim ośrodku wielkość v=c/n (gdzie c jest prędkością w ośrodku pierwszym), to można tę zasadę sformułować jako zasadę najkrótszego czasu:

t=\dfrac{s_1}{c}+\dfrac{s_2}{v}=\dfrac{s_1+n s_2}{c}.

Fermat dumny był z otrzymania eleganckiego wyniku, lecz kartezjanie uważali go za ciekawostkę matematyczną, a nie zasadę odnoszącą się do światła. Zasada Fermata nabrała sensu dopiero dla Christiaana Huygensa, który światło uznawał za rozchodzące się zaburzenie eteru, coś w rodzaju fali nieokresowej, jak np. fala uderzeniowa. Wiedział on już, że prędkość światła jest skończona. Huygens przedstawił też elegancki dowód, że zasada Fermata prowadzi do prawa załamania Snella. Jest on wyraźnie prostszy niż obliczenie Fermata – zwykle udaje się uprościć rozumowanie, kiedy już wiadomo, dokąd prowadzi.

fermat-a-la-huygens

Porównujemy rzeczywisty bieg promienia światła ABC z fikcyjnym AFC. Budujemy prostokąt AOHB, mamy w ten sposób pewność, że AB=OH. Na BC opuszczamy prostopadłą GF z punktu G. Z prawa załamania mamy

\dfrac{\mbox{HF}}{\mbox{BG}}=\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=n.

Zachodzą też nierówności

\mbox{AF}>\mbox{OH}+\mbox{HF}=\mbox{AB}+n\mbox{BG},

n\mbox{FC}>n\mbox{GC}.

Dodając te nierówności stronami, otrzymujemy:

\mbox{AF}+n\mbox{FC}>\mbox{AB}+n\mbox{BC}.

Zmieniając nieco nasz rysunek, możemy zrozumieć przyczynę prawa załamania dla fal. Linie AA’ oraz BH to czoła fali w pierwszym ośrodku, GF oraz CC’ to czoła fali w drugim ośrodku. W czasie potrzebnym na przejście odległości HF w pierwszym ośrodku, w drugim fala przejdzie odległość BG.

fermat-huygens2

Zatem stosunek obu odległości równy jest

\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\dfrac{c}{v}=n.

Bezpośrednie wyjaśnienie zasady Fermata daje nam mechanika kwantowa albo falowa teoria światła: faza światła zależy od czasu. W sąsiedztwie ekstremum fazy zmieniają się bardzo powoli i rezultatem jest silna fala wypadkowa.

Warto może przytoczyć dzisiejszą wersję obliczeń Fermata. Jest ona banalna, co nie oznacza, że jesteśmy mądrzejsi od Fermata, ale że mamy lepsze techniki rachunkowe. Pojawiły się one już kilka lat później w rękopisach Isaaca Newtona, które niewielu widziało, a później w 1684 roku w pierwszej publikacji Leibniza na temat rachunku różniczkowego. Metoda Fermata przekształciła się w algorytmy, do których stosowania wcale nie potrzeba inteligencji, z powodzeniem robią to dziś programy w rodzaju WolframAlpha itp.

fermat

Wielkość, którą mamy zminimalizować, ma postać:

s(x)=\sqrt{(x-x_a)^2+y_a^2}+n\sqrt{((x-x_b)^2+y_b^2}.

Szukamy ekstremum tej funkcji, przyrównując jej pochodną do zera:

s'(x)=\dfrac{2(x-x_a)}{2\sqrt{(x-x_a)^2+y_a^2}}+n\dfrac{2(x-x_b)}{2\sqrt{((x-x_b)^2+y_b^2}}=0.

Łatwo spostrzec, patrząc na rysunek, że pierwszy składnik równy jest \sin\alpha, a drugi -n\sin\beta, skąd otrzymujemy prawo Snella.