Kopenhaga 1941: spotkanie Wernera Heisenberga z Nielsem Bohrem

Czy obłąkańcze ideologie zawsze są samoniszczące? I jakie są ich koszty społeczne? Gdzie kończy się patriotyzm, a zaczyna oportunizm i łajdactwo? Czy uczonym wolno zamykać się w wieży z kości słoniowej? Jacy naprawdę są ludzie, których znamy? Czy historia jest w ogóle możliwa inaczej niż jako rozmowa duchów na Polach Elizejskich?
Sztuka Michaela Frayna Copenhagen jest dialogiem trzech duchów: Wernera Heisenberga, Nielsa Bohra i jego żony Margharete. Chyba nie wystawiona nigdy w Polsce, odniosła wielki sukces w Londynie, Nowym Jorku i w innych miejscach świata.

Spotkanie owych trzech duchów poprzedzone było wieloma latami ziemskiej znajomości. Bohr pierwszy raz zetknął się z Heisenbergiem, gdy wygłaszał w Getyndze w czerwcu 1922 roku swe słynne wykłady, zwane potem Festiwalem Bohra. Dwudziestolatek o chłopięcym wyglądzie zwrócił publicznie uwagę na pomyłkę Bohra i tym go zaintrygował. Trzeba rozumieć kontekst: Niels Bohr był wtedy najbardziej znanym fizykiem atomowym, w listopadzie miano ogłosić, że otrzymuje Nagrodę Nobla. Tak się złożyło, że Bohr otrzymał ją jednocześnie z Albertem Einsteinem, który został laureatem za rok 1921. W grudniu 1922 Svante Arrhenius, przewodniczący Komitetu Noblowskiego z fizyki zaprezentował osiągnięcia obu uczonych: w ten sposób Einstein, najwybitniejszy fizyk pierwszej ćwierci wieku XX, został symbolicznie złączony z Bohrem, patronem intelektualnym nurtu, który za kilka lat miał przynieść mechanikę kwantową. Sytuacja niecodzienna nawet jak na uroczystości noblowskie (nie spotkali się jednak przy tej okazji, ponieważ Einstein był w Japonii). Teoria względności i mechanika kwantowa do dziś są dwoma najważniejszymi osiągnięciami ostatniego stulecia. Rok 1922 stanowił też początek powojennego przełamywania lodów w nauce: wizyta Bohra w Getyndze i Einsteina w Paryżu były pierwszymi zapowiedziami powrotu do międzynarodowej współpracy po latach pierwszej wojny światowej, o której dziś rzadko mówimy, bo niebawem wybuchła następna wojna, jeszcze bardziej brutalna i bezwzględna.

Heisenberg był asystentem Maksa Borna i okazał się najzdolniejszym spośród tamtych chłopaków, ich fizykę nazywano czasem Knabenphysik – fizyką chłopców. Rewolucje robią ludzie młodzi: zarówno Einstein, jak i twórcy mechaniki kwantowej, zaczynali jako dwudziestoparolatkowie, a po trzydziestce już raczej kontynuowali poprzednie osiągnięcia (czasem tak wielkie jak teoria grawitacji). Bohr zaczął wkrótce współpracować z Heisenbergiem, i to podczas stażu w Danii wiosną roku 1925 powstała pierwsza przełomowa praca z mechaniki kwantowej. Max Born, pełen wątpliwości, pisał do Einsteina: „Moi młodzi ludzie: [Werner] Heisenberg, [Pascual] Jordan, [Friedrich] Hund są znakomici. Muszę się czasem poważnie wysilić, aby nadążyć za ich rozważaniami. Wprost bajecznie opanowali tak zwaną zoologię termów [chodzi o termy atomowe, pojęcie z dziedziny spektroskopii, widma pierwiastków są skomplikowane, lecz ich szczegółowa znajomość okazała się kluczem do fizyki mikroświata]. Najnowsza praca Heisenberga, która się niebawem ukaże, wygląda bardzo mistycznie, ale jest prawdziwa i głęboka”. Praca Heisenberga była zupełnie samodzielna, miał on silną osobowość i umiał się przeciwstawić apodyktycznemu Bohrowi. Duński uczony był wprawdzie kimś w rodzaju duchowego ojca mechaniki kwantowej, ale jego wpływ na młodszych bywał szkodliwy: kilku naukowców miało za złe Bohrowi, że odwiódł ich od słusznych myśli, przez co przeszło im koło nosa jakieś odkrycie. Jednocześnie jednak Bohr troszczył się o wszystkich swoich pupilów i z nimi przyjaźnił, wspólnie pływali żaglówką, jeździli na nartach albo odbywali długie, nawet kilkudniowe spacery.

Gdy Hitler został kanclerzem Niemiec, Werner Heisenberg był już sławny. W grudniu tego roku otrzymał Nagrodę Nobla za rok 1932 razem ze swoimi dwoma konkurentami w tworzeniu mechaniki kwantowej: Erwinem Schrödingerem i Paulem Dirakiem, którzy podzieli się Nagrodą za rok 1933. Trzydziestodwuletni profesor był wielką nadzieją nauki niemieckiej, nie miał Żydów w rodzinie i czuł się gorącym patriotą, choć może z lekka brzydził go NSDAP-owski sztafaż. Orszak studentów z pochodniami przeszedł ulicami Lipska pod dom laureata. Heisenberg zdecydowany był nie wyjeżdżać z Niemiec, chciał też pracować dla ojczyzny, kultywując swoją dziedzinę, czyli fizykę teoretyczną. Okazało się to nieproste. W 1937 roku został publicznie zaatakowany w organie prasowym SS jako „biały Żyd”, tzn. ktoś, kto głosi idee fizyki żydowskiej wśród niemieckiej młodzieży. Porównano go nawet do Carla von Ossietzky’ego, działacza pokojowego i laureata pokojowej Nagrody Nobla, niebawem zamęczonego w Dachau. Do fizyki żydowskiej zaliczano oczywiście teorię względności, ale także mechanikę kwantową. W tym drugim przypadku kryterium było całkowicie polityczne (to ja decyduję, kto jest Żydem): akurat ani Heisenberg, ani Schrödinger, ani Dirac nie byli Żydami. Pół-Żydem był Niels Bohr, co wkrótce zaczęło mieć znaczenie. Przez następny rok Heisenberg starał się „oczyścić” z zarzutów, jego list dotarł do samego Heinricha Himmlera, który zarządził śledztwo. Badano w nim życie fizyka, sprawdzano m.in. czy aby nie jest homoseksualistą (ożenił się bowiem niedawno i dotąd miał raczej przyjaciół mężczyzn, choć homoseksualistą nie był) i dlaczego nie wykazywał entuzjazmu wobec nazistów. Przesłuchiwano go też w podziemiach SS w Berlinie naprzeciwko napisu: „Oddychaj głęboko i spokojnie”. W końcu dano mu spokój i uznano, że jest nieszkodliwym profesorem, trzymającym się swojej dziedziny i być może przydatnym reżimowi. Zaczęto go potrzebować szybciej, niż ktokolwiek sądził. Podjęto bowiem w Niemczech prace nad projektem uranowym, który miał prowadzić do zbudowania reaktora, a może także bomby nuklearnej. Najważniejszym uczonym pracującym nad tym projektem został w naturalny sposób Werner Heisenberg.

Niels Bohr między Elisabeth i Wernerem Heisenbergiem, z tyłu Victor Weisskopf (1937, pewnie przy okazji ślubu Heisenberga)

I właśnie jako szef prac nad uzyskaniem energii z uranu Heisenberg pojawił się w Kopenhadze. W zasadzie pracowano nad reaktorem, który mógłby wytwarzać w dalekiej przyszłości pluton. Ale możliwość bomby rysowała się nad horyzontem i, jak się zdaje, Heisenberg ciężko pracował, aby wykazać swoją przydatność dla ojczyzny. Nie przejawiał zbyt wiele inteligencji emocjonalnej: pojawił się w Kopenhadze jako przedstawiciel nauki niemieckiej, miał wygłosić wykład w Instytucie Kulturalnym Niemiec. Duńczycy, poddani okupacji (wprawdzie stosunkowo łagodnej) dużego sąsiada, niezbyt garnęli się do kontaktów z Niemcami, zwłaszcza że w praktyce chodziło o propagandę III Rzeszy. Na wykładzie nie pojawili się najważniejsi naukowcy duńscy. Heisenberg spotkał się natomiast z Bohrem prywatnie, odbyli też wspólny spacer, aby porozmawiać (obaj, słusznie, obawiali się podsłuchów). O swojej wizycie Heisenberg pisał do swej żony, Elisabeth:

Moja droga Li,
oto znowu jestem w tym tak dobrze mi znanym mieście, gdzie pozostała cząstka mego serca od tamtego czasu sprzed piętnastu lat. Kiedy usłyszałem znowu kuranty z wieży ratuszowej, zamknąłem okno mego hotelowego pokoju i coś ścisnęło mnie mocno w środku: wszystko było tak samo, jakby nic się na świecie nie zmieniło. To takie dziwne, napotkać własną przeszłość, to tak jakby spotkało się samego siebie. (…) Późnym wieczorem poszedłem pieszo pod jasnym rozgwieżdżonym niebem przez zaciemnione miasto do Bohra.
Bohr i jego rodzina mają się dobrze; on sam się trochę postarzał, jego synowie są już całkiem dorośli. Rozmowa szybko zeszła na ludzkie zmartwienia i nieszczęsne wypadki ostatnich czasów; w sprawach ludzkich konsensus jest oczywisty; w kwestiach politycznych stwierdziłem, że nawet tak wielki człowiek jak Bohr nie potrafi całkowicie rozdzielić myślenia, odczuwania oraz nienawiści. Ale może nie powinno się ich nigdy rozdzielać. (…)
Wczoraj znowu spędziłem cały wieczór z Bohrem; oprócz pani Bohr i dzieci była też młoda Angielka, która mieszka u nich, ponieważ nie może wrócić do Anglii. Trochę dziwnie jest rozmawiać teraz z Angielką. Podczas nieuniknionych rozmów politycznych, podczas których ja broniłem naturalnie i automatycznie naszego systemu, wyszła i pomyślałem, że w sumie to całkiem miłe z jej strony. – Dziś rano byłem na molo z [Carlem Friedrichem] Weizsäckerem, wiesz, tam przy porcie, gdzie znajduje się Langelinie. Teraz stoją tam na kotwicy niemieckie okręty wojenne, kutry torpedowe, krążowniki pomocnicze i tym podobne. Był pierwszy ciepły dzień, port i niebo ponad nim zabarwione bardzo jasnym lekkim błękitem. Dwa duże frachtowce odpłynęły w stronę Elsynoru; przypłynął węglowiec, prawdopodobnie z Niemiec, dwie łodzie żaglowe, pewnie takiej wielkości, jak ta, którą pływaliśmy dawniej wypływały z portu, pewnie na popołudniową wycieczkę. W pawilonie na Langelinie zjedliśmy obiad, wszędzie dokoła byli sami szczęśliwi i radośni ludzie, a przynajmniej takie robili na nas wrażenie. W ogóle ludzie tu wyglądają na szczęśliwych. Wieczorem na ulicach widzi się promieniejące szczęściem młode pary, idące na dancing, nie myślące o niczym innym. Trudno o coś bardziej odmiennego niż życie na ulicach tutaj i w Lipsku.
(…) Pierwszy oficjalny wykład jest mój, jutro wieczorem. Niestety, członkowie Instytutu Bohra nie przyjdą z powodów politycznych. Jeśli wziąć pod uwagę, że Duńczycy żyją bez jakichkolwiek restrykcji i żyją wyjątkowo dobrze, to zadziwiające jest, że wzbudzone tu zostało tak wiele nienawiści i strachu, iż nawet współpraca w dziedzinie kultury, kiedyś tak oczywista, teraz stała się prawie niemożliwa. (list z końca września 1941 roku)

Bohra doszły słuchy, jak Heisenberg opowiada, że okupacja Danii i Norwegii to przykra konieczność, w odróżnieniu od okupacji wschodniej Europy, która jest niezbędna, gdyż kraje te nie potrafią same się rządzić (było to przed Stalingradem). Z perspektywy Danii wyglądało to oczywiście inaczej, tym bardziej że należało się spodziewać dalszych kroków niemieckich władz okupacyjnych. Dotąd aresztowali oni komunistów, dwa lata później przyszła kolej na Żydów i Bohr sam musiał się ratować przeprawą przez Bałtyk (na szczęście znalazł się w niemieckiej ambasadzie przyzwoity człowiek, Georg Ferdinand Duckwitz, który uprzedził o zamiarach nazistów i praktycznie wszyscy Żydzi duńscy zostali w porę przetransportowani łodziami rybackimi do Szwecji). Heisenberg wspomniał Bohrowi, że pracuje nad energią z uranu i nawet spytał go, co należy zrobić z moralnego punktu widzenia. Nie chciał chyba jednak słuchać odpowiedzi. Elisabeth Heisenberg opowiadała, że mąż bardzo się bał, iż alianci zbudują broń nuklearną wcześniej niż Niemcy. Oczywiście reszta świata obawiała się czegoś dokładnie odwrotnego. Rozmowa zostawiła nieprzyjemny osad w pamięci Bohra. Ich dawna przyjaźń z Heisenbergiem nigdy już się nie odrodziła, choć po wojnie spotykali się czasem.

„Był tu Werner Heisenberg, fizyk teoretyczny z Niemiec, kiedyś wielki nazista. Z niego jest wielki uczony, lecz niezbyt przyjemny człowiek” – stwierdził Einstein w 1954 roku. Einstein najprawdopodobniej uważał za nazistów tych, którzy pracowali dla reżimu Hitlera bez względu na to, czy należeli do NSDAP albo innych organizacji nazistowskich.

Po wojnie uczeni niemieccy starali się przekuć swoje niepowodzenie w sukces moralny, lecz wydaje się, że po prostu (i na całe szczęście) zabrakło im wizji i możliwości technicznych.
David C. Cassidy wyliczył techniczne powody niepowodzenia ekipy Heisenberga:

  • Nie obliczyli masy krytycznej uranu 235: nie sądzili, że wystarczą kilogramy, nie tony
  • Nie umieli przeprowadzić separacji izotopów: metodę separacji gazów znał w Niemczech Gustav Hertz, ale jako nieczysty rasowo pracował w prywatnym laboratorium
  • Moderator: ekipa Heisenberga nie wiedziała, że nadaje się do tego grafit, ale musi zostać oczyszczony z domieszek boru, co zauważył Leo Szilard, Żyd oczywiście i emigrant. Z kolei ciężka woda z Norwegii nie docierała dzięki sabotażowi.
  • Reaktor Heisenberga składał się z płaskich płyt uranu w zbiorniku z ciężką wodą, co było wygodne do obliczeń teoretycznych, lecz marne jako rozwiązanie inżynierskie.
  • Projekt wymagał połączonej wiedzy i znakomitej organizacji: amerykańskie zasoby i poziom techniki oraz europejscy uczeni, przeważnie Żydzi albo ofiary antysemityzmu: Bohr, Oppenheimer, Feynman, Bethe, Wigner, von Neumann, Fermi, Peierls, Compton, Ulam, praktycznie jest to słownik wielkich fizyków
  • Przebieg wojny: po początkowych sukcesach zaczęły się niemieckie porażki i coraz trudniej było zmobilizować zasoby na projekt nierokujący natychmiastowych sukcesów

W sumie po stronie naukowo-inżynierskiej zemściła się na nazistach ich obłąkańcza ideologia antysemicka, rządy idiotów, którzy przez rok sprawdzali, czy Heisenberg się nadaje na profesora w ich Rzeszy.

Jak Bóg gra w kości: Czemu wzbudzony atom promieniuje? (1927-1930)

Stany elektronu związanego w atomie są w mechanice kwantowej dyskretne, tzn. energia przyjmuje ciąg ściśle określonych wartości. Np. w atomie wodoru jest to ciąg

E=-\dfrac{13,6\;{\rm eV}}{n^2},\;\; \mbox{gdzie}\;\; n=1,2,\ldots.

Konsekwencją tego faktu są linie widmowe: atom wysyła promieniowanie o energii ściśle odpowiadającej różnicy dwóch poziomów energetycznych. Może też pochłaniać promieniowanie o takiej energii. W roku 1916 Albert Einstein, zastanawiając się nad oddziaływaniem światła z materią, odkrył, że mamy tu do czynienia z trzema możliwymi procesami: gdy oświetlimy grupę atomów promieniowaniem o odpowiedniej energii, możemy wywołać przejścia między wyższym i niższym poziomem energetycznym w obie strony, tzw. przejścia wymuszone. Jeśli atom był w stanie podstawowym, może przejść do stanu wzbudzonego i odwrotnie: jeśli początkowo był w stanie wzbudzonym, może przejść do stanu podstawowego. Znaczy to, że jeśli początkowo większość atomów była w stanie o niższej energii (typowa sytuacja), to pod wpływem promieniowania pewna ich część przejdzie do stanu wzbudzonego, a część promieniowania zostanie pochłonięta. Oba procesy: absorpcji i emisji zachodzą z jednakową intensywnością, co Einstein odkrył (jednakowe są współczynniki wymuszonej emisji i absorpcji: B_{1\rightarrow 2}=B_{2\rightarrow 1}.) Czasem mówi się, że w ten sposób pojawiła się teoretyczna możliwość zbudowania lasera. Chodzi o to, że jeśli wytworzymy sytuację, w której większość atomów znajduje się w stanie wzbudzonym, to pod wpływem światła o ustalonej energii atomy zaczną wysyłać jeszcze więcej takiego samego światła. Tak właśnie działa laser, oczywiście wytworzenie i podtrzymanie tej specyficznej sytuacji, gdy stan wzbudzony obsadzony jest liczniej niż stan podstawowy, wymaga dostarczania energii z zewnątrz.

Trzeci proces odkryty przez Einsteina to emisja spontaniczna. Jeśli atom znajduje się w stanie wzbudzonym, to prędzej czy później wyemituje on spontanicznie foton i elektron przejdzie do stanu podstawowego. Spontanicznie, znaczy tu bez żadnego oddziaływania z zewnątrz. Żadnego promieniowania, żadnych pól zewnętrznych itd. itp. W przypadkowo wybranej chwili nasz atom wysyła foton. Dokładnie takie samo zjawisko zachodzi w rozpadzie promieniotwórczym np. radu. Jądro radu jest niestabilne i w przypadkowo wybranej chwili ulega rozpadowi z wysłaniem cząstki alfa, czyli jądra helu. Prawdopodobieństwo, że wybrany atom (jądro) nie ulegnie rozpadowi przez czas t jest równe

p(t)=e^{-\gamma t},

gdzie \gamma jest pewną stałą. Jest to prawo rozpadu promieniotwórczego albo prawdopodobieństwo przeżycia czasu t w rosyjskiej ruletce. Przypadek atomu i jądra różni się tylko rodzajem obiektu i sił oddziaływania, ale fizyka kwantowa jest taka sama. Einstein oznaczał stałą emisji spontanicznej literą A zamiast \gamma. Emisja spontaniczna odpowiada za większość promieniowania obserwowanego wokół nas, np. większość fotonów ze Słońca powstaje w emisji spontanicznej. Zjawisko to odpowiada za fakt, że każdy układ fizyczny z czasem przechodzi do stanu o niższej energii. Tylko stan o najniższej energii jest stabilny.

Einstein w roku 1916 nie zdawał sobie zapewne sprawy, jak niebezpieczny proces zapoczątkował. Szukał bowiem fizyki deterministycznej, w które skutek zawsze jest poprzedzony przyczyną. A tu mamy do czynienia z czymś, co nie ma żadnej określonej przyczyny. Jakby w przypadku wzbudzonego atomu czy jądra natura sama grała bezustannie w rodzaj rosyjskiej ruletki aż do skutku, tzn. aż do chwili gdy nasz układ przejdzie do stanu podstawowego. Co jest przyczyną emisji spontanicznej (rozpadu promieniotwórczego)? Nie ma tu zewnętrznego oddziaływania, tzn. musimy przyjąć, że nawet gdy nie ma zewnętrznych pól, „coś” zostaje: próżnia kwantowa. W roku 1927 Paul Dirac uzyskał teoretyczne wartości współczynników A, B Einsteina, stosując mechanikę kwantową, a właściwie zapoczątkowując kwantową elektrodynamikę.

Atom nigdy nie jest izolowany, istnieje bowiem pole elektromagnetyczne, które może zostać wzbudzone, nawet jeśli z początku nie było. Przyjmiemy, że stan wzbudzony ma energię E=0, a stan podstawowy energię E=-\hbar\omega_0 (istotna jest tylko różnica obu energii, a nie ich wartości z osobna). Znaczy to, że oczekujemy wyemitowania fotonu o częstości (kołowej) \omega_0. Oprócz atomu mamy też pole elektromagnetyczne, możemy je sobie wyobrażać np. jako fale stojące w wielkim pudle (technicznie: wnęce rezonansowej). Jeśli pole elektryczne znika na ściankach wnęki, fale stojące wyglądają następująco: 

tmp_44l2z5nv

Przedstawiliśmy cztery mody o najdłuższych falach i najniższych częstościach. Będą one dane funkcjami sinus: \sin kx, gdzie

kL=m\pi,\;\;\mbox{gdzie}\;\; m=1,2,3,\ldots

Częstości odpowiadające kolejnym wartościom m będą równe \omega_k =ck, gdzie c jest prędkością światła. Ciąg dopuszczalnych częstości jest nieograniczony z góry. Dowolne pole elektryczne w pustym pudle możemy przedstawić jako szereg takich sinusów, jest to matematycznie rzecz biorąc rozwinięcie w szereg Fouriera. Analogiczne rozwinięcie można przeprowadzić w pudle trójwymiarowym, szczegóły nie są nam potrzebne. Skwantowanie pola elektromagnetycznego polega na zastąpieniu zbioru dozwolonych modów fal przez zbiór oscylatorów kwantowych. Energia własna każdego oscylatora jest równa

E_n=\hbar\omega_k n, \;\;\mbox{gdzie}\;\; n=0,1,2,3,\ldots.

Matematyka oscylatorów jest bardzo prosta i omawialiśmy ją już kiedyś. Każdy stan o energii E_n możemy uważać za stan, w którym mamy n fotonów o energii \hbar\omega_k każdy. Przestrzeń stanów oscylatora możemy sobie wyobrażać jako liniowe kombinacje stanów |n\rangle odpowiadających energiom n \hbar\omega_k , czyli stanów różnych liczbach fotonów:

|\psi\rangle={\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}c_n|n\rangle.}

Stan kwantowy pola w pudle podamy określając stan każdego oscylatora-modu z osobna. Stanem o najniższej energii będzie zbiór stanów podstawowych każdego z oscylatorów. Oznacza to w języku kwantowym, że żaden oscylator nie jest wzbudzony albo inaczej: mamy zero fotonów każdego modu. Taki jest stan wyjściowy pola elektromagnetycznego w naszym pudle.

Gdyby pole elektromagnetyczne nie oddziaływało z żadnym elektronem, nie byłoby powodu, aby opuściło ono stan próżni. Podobnie, gdyby atom w stanie wzbudzonym nie oddziaływał z polem elektromagnetycznym, tkwiłby w tym stanie na wieczność. Wiemy jednak, że elektron ma ładunek, a ładunki oddziałują z polem elektromagnetycznym. Oznacza to, że w równaniu Schrödingera musimy uwzględnić dodatkowe wyrazy sprzęgające oba układy: atom i pole. Nie będziemy zajmować się tu konkretną postacią tego oddziaływania, wystarczy nam, by sprzęgało ono oba układy. Najpierw zapiszemy sytuację bez oddziaływania. Stan kwantowy naszego połączonego układu można opisać jako iloczyn stanu atomowego: wzbudzonego |1\rangle (energia E=0) bądź podstawowego |2\rangle (energia E=-\hbar\omega_0) oraz stanu próżni pola elektromagnetycznego |\Phi_0\rangle (energia pola E=0) bądź stanu jednofotonowego |k\rangle (energia pola E=\hbar\omega_k):

|\Psi\rangle=a(t)| 1\rangle | \Phi_0\rangle+{\displaystyle \sum_{k}b_k(t) | 2\rangle | k\rangle},

gdzie stanowi wzbudzonemu towarzyszą próżniowe stany fotonowe, a stanowi podstawowemu – stany  z jednym fotonem o energii \hbar\omega_k. Kwadraty modułu współczynników a, b_k są proporcjonalne do prawdopodobieństwa znalezienia układu odpowiednio w stanie wzbudzonym oraz podstawowym po wypromieniowaniu konkretnego fotonu o wektorze falowym k. Jeśli ograniczymy się tylko do takich stanów (to pierwsze z naszych przybliżeń), równanie Schrödingera sprowadza się do układu równań liniowych:

\dfrac{da}{dt}=-\dfrac{i}{\hbar}{\displaystyle \sum_{k}H_{1k}b_k, }

\dfrac{db_k}{dt}=-i(\omega_k-\omega_0)b_k-\dfrac{i}{\hbar}H_{k1}a.

Bez wyrazów sprzęgających atom z polem elektromagnetycznym, mielibyśmy a(t)=const jako rozwiązanie pierwszego równania, rozwiązanie drugiego miałoby zaś postać

b_k(t)=Ce^{-i(\omega_k-\omega_0)t}.

Oznaczałoby to stan stacjonarny, prawdopodobieństwo nie zmienia się z czasem. Szukamy rozwiązań, dla których a(0)=1 oraz b_k(0)=0. Łatwo jest znaleźć rozwiązanie drugiego równania w takiej sytuacji: ma ono postać pewnej funkcji czasu razy powyższy czynnik eksponencjalny:

b_k(t)=-\dfrac{i}{\hbar} e^{-i(\omega_k-\omega_0)t} {\displaystyle \int_{0}^{t} dt' H_{k1}a(t')e^{i(\omega_k-\omega_0)t'},}

co łatwo sprawdzić różniczkowaniem po t. Wstawiając to rozwiązanie do pierwszego równania otrzymujemy

\dfrac{da}{dt}=-\dfrac{1}{\hbar^2}{\displaystyle \sum_{k}|H_{1k}|^2  \int_{0}^{t} dt' a(t')e^{i(\omega_k-\omega_0)(t'-t)}}.

Skorzystaliśmy z faktu, że H_{1k}=H_{k1}^{\star}. Wyrażenie podcałkowe gwałtownie oscyluje i rozsądnie jest oczekiwać, że największy wkład wniosą wyrazy z t\approx t', wobec tego możemy przyjąć przybliżenie: a(t')=a(t) i wyraz zawierający a(t) wyłączyć przed całkę (przybliżenie Weisskopffa-Wignera, 1930). Zostaje wtedy

\dfrac{da}{dt}=-a(t)\dfrac{1}{\hbar^2}{\displaystyle \sum_{k}|H_{1k}|^2  \int_{0}^{t} dt' e^{i(\omega_k-\omega_0)(t'-t)}}.

Chcielibyśmy mieć

\dfrac{da}{dt}=-\dfrac{\gamma}{2}a,

bo wtedy prawdopodobieństwo przetrwania atomu w stanie wzbudzonym jest równe |a(t)|^2=\exp{(-\gamma t)}. Sumę po dozwolonych wartościach k możemy zapisać za pomocą funkcji gęstości stanów fotonowych. Liczba stanów w przedziale energii dE jest z definicji równa \rho(E)dE=\rho(\hbar\omega)\hbar d\omega. Dostajemy następujące wyrażenie dla stałej \gamma:

\gamma=\dfrac{2}{\hbar} {\displaystyle \int_{0}^{\infty} d\omega \rho(\hbar \omega) |H(\omega)|^2 \;\dfrac{ \sin(\omega-\omega_0)t }{\omega-\omega_0 }}.

Dla dużych wartości t funkcja podcałkowa jest iloczynem potęgowo zmieniającej się funkcji oraz ilorazu z funkcją sinus, który gwałtownie oscyluje. Wkład wnoszą tylko wyrazy \omega\approx \omega_0.

tmp_6gawvumr

Ostatecznie

\gamma=\dfrac{2\pi}{\hbar} |H(\hbar\omega_0)|^2\rho(\hbar\omega_0).

Jest to wynik uzyskany po raz pierwszy przez Diraca, ale zwany zwykle złotą regułą Fermiego. Liczba \pi pojawiła się jako całka 

{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}dx\; \dfrac{\sin x}{x}=\pi.}

Można też obliczyć współczynniki b_k(t) w granicy dużych czasów. Okazuje się, że

|b(\omega)|^2\sim \dfrac{1}{(\omega-\omega_0)^2+\frac{\gamma^2}{4}}.

Daje to tzw. krzywą Lorentza na obrazku. Jest to naturalny kształt linii widmowej emitowanej przez nasz atom. Szerokość rozkładu równa jest \gamma.

tmp_540sr5iv

Wartość \gamma jest odwrotnością średniego czasu życia \tau stanu wzbudzonego:

\gamma=\dfrac{1}{\tau}.

Z obserwacyjnego punktu widzenia stan wzbudzony ma energię rozmytą z szerokością \Delta E= \hbar\gamma. Otrzymujemy zasadę nieoznaczoności dla energii: \Delta E\,\tau=\hbar. W przypadku cząstek elementarnych, które rozpadają się na jakieś inne cząstki będzie to znaczyć, że ich masa nie jest ściśle określona (bo E=mc^2). Ściśle określoną energię może mieć tylko stan podstawowy danego układu.

Kwantowa teoria pola stanowi odpowiedź na pytania stawiane przez Einsteina od roku 1905: Jak zmodyfikować teorię Maxwella, żeby uwzględniała ona efekty kwantowe. Fotony, zjawisko fotoelektryczne, oddziaływanie promieniowania z atomami itd. – wszystkie te kwestie zostały stopniowo rozstrzygnięte w sposób zgodny z obserwacjami. Postęp był tu pełen wahań i pojawiających się trudności natury zarówno fizycznej, jak matematycznej. W naszym przykładzie milcząco przyjęliśmy, że \gamma jest liczbą rzeczywistą, tzn. wzięliśmy część rzeczywistą całki. Jeśli obliczymy jej część urojoną, okaże się ona nieskończona w przypadku emisji w pustym pudle. Fizycznie część urojona współczynnika \gamma oznacza przesunięcie w energii wywołane oddziaływaniem z polem elektromagnetycznym. Takie przesunięcie zostało zaobserwowane w roku 1947 przez Willisa Lamba i zwane przesunięciem Lamba. Jest ono w rzeczywistości niewielkie i dopiero po wojnie udało się je obliczyć teoretycznie. Najpierw zrobił to Hans Bethe, potem inni twórcy elektrodynamiki kwantowej: Julian Schwinger, Sin-Itiro Tomonaga, Richard Feynman i inni. Albert Einstein wyłączył się z rozwijania fizyki kwantowej na początku lat trzydziestych i nie śledził jej kolejnych osiągnięć. Einstein nie zgadzał się z odrzuceniem przyczynowości, właśnie takim jak w emisji spontanicznej. Na jego usprawiedliwienie można dodać, że nie wszyscy fizycy młodszego – „kwantowego” – pokolenia wierzyli w prawdziwość elektrodynamiki kwantowej. Nawet Paul Dirac, który zapoczątkował tę drogę, nie wierzył, by znaleziono zadowalającą odpowiedź. Ostatecznie elektrodynamika kwantowa okazała się najdokładniejszą teorią, jaką stworzono w historii fizyki.

Prawdopodobieństwo wyemitowania fotonu w czasie (t,t+dt) jest równe \exp{(-\gamma t)}\gamma dt (prawdopodobieństwo dotrwania do chwili t razy prawdopodobieństwo rozpadu w przedziale czasu o długości dt, czyli \gamma dt), wobec tego średni czas życia atomu/cząstki jest równy

\tau={\displaystyle \int_{0}^{\infty} t \exp{(-\gamma t)} \gamma dt}=\dfrac{1}{\gamma}.

Najważniejsza chwila w naukowym życiu Alberta Einsteina: wyjaśnienie anomalii Merkurego (18 XI 1915)

Jeszcze latem 1915 roku Einstein sądził, że od dwóch lat jest autorem prawidłowej teorii grawitacji. Chodziło o pracę napisaną wspólnie z Marcelem Grossmannem, dziś zwaną jako teoria Entwurf. Miała ona pewne wady, przede wszystkim była nieelegancka i nie dopuszczała stosowania dowolnych układów współrzędnych, wbrew pierwotnym zamysłom Einsteina. Autor przekonywał jednak swoich korespondentów, że nic lepszego nie można sformułować, choć jak się zdaje, sam był nie do końca przekonany. W czerwcu 1913 roku zastosował teorię Entwurf do obliczeń znanej i od lat niewyjaśnionej anomalii w ruchu Merkurego. Gdyby Merkury podlegał jedynie przyciąganiu grawitacyjnemu Słońca, jego orbita byłaby dokładnie eliptyczna i oś owej elipsy nie zmieniałaby położenia względem gwiazd. Wiemy od czasów Newtona, że inne planety także mają pewien wpływ na ruch Merkurego. Jednym ze skutków ich łącznego oddziaływania jest powolny obrót osi elipsy Merkurego w płaszczyźnie orbity. Stosując prawo powszechnego ciążenia wyjaśniono niemal całkowicie obserwowany obrót osi elipsy (in. obrót peryhelium). W połowie XIX wieku Urbain Le Verrier, współodkrywca planety Neptun, stwierdził, że pozostaje niewielki obrót, którego nie daje się wyjaśnić na podstawie praw Newtona. Różnica 43 sekund kątowych na stulecie nie poddawała się żadnym rachunkom. Znaczyło to, że choć efekt jest drobny, to musi kryć się za nim jakaś nieznana dotąd przyczyna: albo nie zaobserwowaliśmy jeszcze wszystkich planet (hipoteza planety Wulkan), albo newtonowskie prawo ciążenia należy w jakiś sposób zmodyfikować dla małych odległości (dlatego anomalia widoczna była najlepiej w przypadku planety najbliższej Słońca). Obu tych dróg próbowano bez skutku. Toteż w 1913 roku Einstein zastosował znalezioną przez siebie teorię Entwurf do tego problemu. Ponieważ często mylił się w rachunkach, więc poprosił o pomoc Michele Bessa. Otrzymali odchylenie od teorii Newtona, ale równe było tylko 18” i Einstein stracił zapał do tej kwestii. Obserwowana anomalia w ruchu Merkurego była jednak na tyle niewielka, że nie było pewności, czy nawet prawidłowa teoria zdoła ją wyjaśnić. Zanim dojdzie się do owych 43”, trzeba uwzględnić wiele rozmaitych efektów w sumie dających 5600” – istniała więc możliwość, że astronomowie czegoś nie uwzględnili, np. możliwości nieznacznego spłaszczenia Słońca. Na razie teoria Entwurf wydawała się całkiem dobra, sprawę Merkurego Einstein odłożył ad acta.

Dopiero jesienią 1915 roku uświadomił sobie, że teoria Entwurf nie zachowuje się tak, jak tego oczekiwał w obracających się układach współrzędnych. Ten brak, który Einstein przeoczył dzięki elementarnym pomyłkom w rachunkach, zapoczątkował powrót do punktu wyjścia pracy z Grossmannem. I tak, jak rok 1905 był cudownym rokiem Einsteina (kiedyś tego określenia: annus mirabilis użyto w odniesieniu do prac Newtona w roku 1666), listopad 1915 roku okazał się jego mensis mirabilis: w cztery kolejne czwartki tego miesiąca przedstawiał on Królewsko-Pruskiej Akademii Nauk prace rozwiązujące ostatecznie problem równań pola w teorii grawitacji. Były one sukcesywnie publikowane w „Sitzungsberichte” Akademii z tygodniowym opóźnieniem. W pierwszej, drugiej i czwartej przedstawione zostały kolejne propozycje równań pola – dopiero ostatnia była całkowicie poprawna. Sam ich autor napisał pod koniec miesiąca:
„Niestety, unieśmiertelniłem w sprawozdaniach Akademii (…) końcowe błędy popełnione w tej walce”. Praca trzecia zawierała obliczenie ruchu perihelium Merkurego; tym razem Einstein otrzymał 43″ na stulecie, wynik, który trafił do podręczników fizyki. Wyjaśnił też, już na zawsze, iż odchylenie promienia świetlnego w pobliżu Słońca powinno być dwa razy większe, niż sądził do tej pory. Przyczyną było  zakrzywienie przestrzeni trójwymiarowej, które należy wziąć pod uwagę także przy słabym polu grawitacyjnym – coś, o czym wcześniej nie pomyślał.

Szybkie postępy pracy Einsteina w tych  gorączkowych tygodniach wynikały także częściowo z presji, jaką odczuwał: wiedział bowiem, że tym samym problemem zajął się David Hilbert w Getyndze.  Korespondowali nawet trochę w tym czasie, ale  żaden z nich nie znał dokładnie wyników uzyskanych  przez drugiego. Hilbert zapisał tzw. równanie  wariacyjne dla teorii względności – w wielu dzisiejszych  podręcznikach tak właśnie wprowadza się  równania pola Einsteina. Jak się jednak zdaje, Hilbert nie  przeprowadził obliczeń i nie uzyskał w tym czasie równań wynikających z zasady wariacyjnej (w dodatku  jego teoria nie była ogólnie kowariantna). Einstein  zwrócił mu uwagę, że trudność leży nie w napisaniu  równań, lecz w ich fizycznej interpretacji: „Trudno było dostrzec, że równania te są uogólnieniem, tzn. prostym i naturalnym uogólnieniem prawa Newtona”.

Poinformował też kolegę z Getyngi, iż trzy lata wcześniej rozważali już z Grossmannem takie równania.  Była to ścisła informacja, w Notatniku zuryskim znajdujemy tensor, który pojawił się w pierwszej  listopadowej pracy z roku 1915. Cudowna szybkość, z jaką teraz mógł się posuwać, związana była z tym,  że po pierwsze, korzystał z różnych wyników cząstkowych uzyskanych wcześniej, a po drugie, w ciągu  trzech lat nauczył się skutecznie używać geometrii różniczkowej.

Dowiadując się o sukcesie Einsteina w sprawie peryhelium Merkurego, Hilbert zauważył z pewną  zazdrością (i chyba z lekkim poczuciem wyższości): „Gdybym potrafił liczyć tak szybko jak pan, elektron  skapitulowałby w obliczu mojego równania, a atom wodoru musiałby jakoś się wytłumaczyć, dlaczego nie  promieniuje”. Także i tym razem nie chodziło o szybkość prowadzenia obliczeń, Einstein nie był jakimś  szczególnie sprawnym rachmistrzem, po prostu obliczenia ruchu peryhelium Merkurego już wcześniej  przeprowadzał, teraz musiał w nich to i owo zmienić, ale nie był to zupełnie nowy problem. Druga część  cytowanego wyżej zdania Hilberta wskazuje także na inny brak jego pracy: chciał on zbudować za jednym  zamachem teorię wszystkiego, w szczególności miał chyba nadzieję na uzyskanie widma wodoru –  zaledwie dwa lata wcześniej Niels Bohr po raz pierwszy otrzymał na drodze teoretycznej prawidłowe  długości linii widma. Jego teoria nie była całkowicie poprawna z dzisiejszego punktu widzenia, stanowiła  jednak krok ku mechanice kwantowej. David Hilbert próbował alternatywnego podejścia, które nie  okazało się udane.

Obaj uczeni zmagali się też z dość prostymi dziś trudnościami matematycznymi: nie znali np. tzw. zwężonych tożsamości Bianchiego, które automatycznie zapewniają, że zasada zachowania pędu-energii jest spełniona. Tożsamości te znane były w literaturze matematycznej, lecz nie od razu nauczono się ich używać w tym kontekście. Wiele kwestii matematycznych miało być w nadchodzących latach wyjaśnione w ślad za powstaniem teorii Einsteina, co przyciągnęło uwagę zarówno fizyków, jak i może nawet częściej
matematyków. Dziś geometria różniczkowa przestała być wiedzą tajemną, uczą jej setki książek, co świadczy o postępie nauki. Jak napisał kiedyś antropolog społeczny Max Gluckman: „Nauką jest każda dyscyplina, w której głupiec obecnego pokolenia może pójść dalej niż geniusz pokolenia poprzedniego” (nb. napisał to jako wprowadzenie do swojej krytyki poglądów Bronisława Malinowskiego).

Sprawa priorytetu uzyskania równań pola wywołała przejściowe napięcie w  stosunkach Einsteina z Hilbertem, jednak matematyk ostatecznie pogodził się z faktem, że choć wniósł pewien wkład w powstanie teorii grawitacji, to nie on jest jej twórcą.

Anomalia Merkurego była pierwszym wielkim sukcesem nowej teorii. On sam wspominał chwilę, gdy uzyskał zgodny z obserwacjami wynik jako kulminacyjny punkt swego życia naukowego. Pomyślmy tylko: przez osiem lat starał się zbudować teorię, która byłaby logicznym rozwinięciem szczególnej teorii względności. Przez ten czas zajmował się tylko kwestiami warunków fizycznych i matematycznych, jakie nowa teoria powinna spełniać. Nie korzystał z żadnych danych eksperymentalnych. I po tej całej pracy zawieszonej gdzieś w świecie abstrakcyjnych spekulacji okazuje się, że wynik pasuje do superdokładnych obserwacji i obliczeń astronomów poprzednich pokoleń, rozwiązuje problem postawiony jeszcze przez Le Verriera. „Przez kilka dni nie posiadałem się z radosnego podniecenia” – pisał do Paula Ehrenfesta. Innemu koledze zwierzał się: „Coś we mnie wtedy pękło”. Kolejny sukces teorii: zmierzenie w roku 1919 ugięcia światła w pobliżu Słońca, zapoczątkował wprawdzie ogromną sławę uczonego, lecz nie miał już takiego znaczenia w jego życiu wewnętrznym. Od jesieni 1915 roku Einstein wierzył niezachwianie w swoją teorię.

Przyjrzymy się obliczeniu precesji peryhelium Merkurego. Najpierw pokażemy, czemu w teorii Newtona elipsa planety się nie obraca.

Będziemy stosować zasadę zachowania energii i opisywać ruch planety we współrzędnych biegunowych (r,\varphi).

Jak widać z rysunku kwadrat prędkości możemy za pomocą twierdzenia Pitagorasa zapisać w postaci

v^2=\dfrac{\Delta r^2+r\Delta\varphi^2}{\Delta t^2}=\dot{r}^2+r^2\dot{\varphi}^2,

gdzie kropki oznaczają pochodne po czasie. Jeśli planeta o jednostkowej masie znajduje się w odległości r od Słońca o masie M, to jej całkowita energia równa jest

E=\dfrac{1}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\varphi}^2)-\dfrac{GM}{r},

G jest stałą grawitacyjną, a masa planety jest nieistotna, o ile interesuje nas jedynie ruch względny planety wokół Słońca. Oprócz energii zachowany jest także moment pędu równy

L=r^2\dot{\varphi}.\;\; \mbox{(*)}

Matematycznie równanie to jest równoważne prawu pól Keplera. Wyznaczamy stąd prędkość kątową planety i wstawiamy do równania zachowania energii:

\dot{r}^2=2\left(E+\dfrac{GM}{r}-\dfrac{L^2}{2r^2}\right).\;\;\mbox{(**)}

Otrzymaliśmy problem jednowymiarowy dla funkcji r(t). W nawiasie mamy różnicę całkowitej energii i efektywnej energii potencjalnej

V_{eff}=-\dfrac{GM}{r}+\dfrac{L^2}{2r^2}.

Jest to suma funkcji -1/r oraz 1/r^2 z pewnymi współczynnikami liczbowymi. Dla małych r dominuje człon drugi, odpychający. Dla dużych r – pierwszy, przyciągający. Cały potencjał efektywny wygląda następująco:

Gdy całkowita energia odpowiada minimum potencjału, możliwa jest tylko jedna wartość r, co odpowiada ruchowi po okręgu. Gdy energia jest nieco większa, dozwolony pozostaje ograniczony przedział promieni wodzących r\in(r_{-},r_{+}). Dla jeszcze większej energii planeta odleci do nieskończoności.

Aby wyznaczyć kształt toru należy zrobić dwie rzeczy: zastosować nową zmienną u=1/r oraz różniczkowanie po czasie zastąpić różniczkowaniem po kącie \varphi. Korzystamy z (*) i (**)

\dfrac{du}{d\varphi}=-\dfrac{1}{r^2}\dfrac{dr}{d\varphi}=-\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\dot{r}}{\dot{\varphi}}=-\dfrac{\dot{r}}{L}. \;\;\mbox{(***)}

Równanie toru przybiera postać

\dfrac{du}{d\varphi}=\pm \sqrt{\dfrac{2E}{L^2}+\dfrac{2GMu}{L^2}-u^2}\equiv\pm\sqrt{P(u)}.

Wyrażenie podpierwiastkowe musi być nieujemne. Znak przed pierwiastkiem zależy od kierunku ruchu, dalej wybieramy znak plus. Wyrażenie podpierwiastkowe w przypadku planety będzie wyglądało jak na rysunku

Wobec tego kąt zakreślony przed planetę między aphelium i peryhelium będzie równy

\Delta\varphi={\displaystyle \int_{u_{-}}^{u_{+}}\dfrac{du}{\sqrt{P(u)}}=\pi.}

Szczegóły rachunku przytaczam poniżej, idea jest taka, że całka jest typu \int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}, co daje arcus sinus, którego całkowita zmienność to właśnie \pi. Ponieważ planeta oscyluje w promieniu wodzącym od aphelium do peryhelium i z powrotem, całkowity kąt między dwoma apheliami albo dwoma peryheliami równy jest 2\pi. Oznacza to, że tor jest krzywą zamkniętą. Fakt ten znał już Isaac Newton i nieruchomość osi orbit planet przytaczał jako argument świadczący o tym, że siła przyciągania Słońca zmienia się jak 1/r^2. Twierdzenie udowodnione pod koniec XIX wieku przez Bertranda głosi, że tylko siła grawitacji 1/r^2 i siła proporcjonalna do odległości r prowadzą do zamkniętych torów wokół centrum (różnych od okręgu). Oczywiście, jeśli uwzględnimy także siły pochodzące od pozostałych planet, ten prosty obraz zostanie zaburzony: nadal przybliżenie eliptyczne jest dobrym punktem wyjścia, ale elipsy ulegają powolnej precesji, szczególnie wyraźnej w przypadku Merkurego.

Przejdźmy teraz do przypadku rozważanego przez Einsteina. Metryka czasoprzestrzeni wokół Słońca dana jest rozwiązaniem Schwarzschilda:

ds^2= A(r) dt^2-B(r) dr^2-r^2 d\varphi^2,

gdzie zostawiliśmy tylko ruch w płaszczyźnie, postać funkcji A,B podamy później. Równania ruchu cząstki otrzymujemy z warunku maksymalnego czasu własnego

\delta \int ds =0.

Okazuje się, że zasada ta jest równoważna zasadzie wariacyjnej

\delta\int {\cal L} d\tau, \;\;\mbox{gdzie}\; {\cal L}(t,r,\varphi,\dot{t},\dot{r},\dot{\varphi})= A(r) \left(\dfrac{dt}{d\tau}\right)^2-B(r)\left(\dfrac{dr}{d\tau}\right)^2-r^2\left(\dfrac{d\varphi}{d\tau}\right)^2.

Inaczej mówiąc spełnione są równania Lagrange’a z powyższym lagranżianem, kropka oznacza teraz całkowanie po czasie własnym \tau, trójka (t(\tau), r(\tau), \varphi(\tau)) opisuje ruch cząstki. Ponieważ metryka (i lagranżian) nie zależy jawnie od czasu t oraz kąta \varphi, więc dwa równania wyglądają szczególnie prosto:

\dfrac{d}{d\tau}(A\dot{t})=0 \;\; \Rightarrow A\dot{t}=E,

gdzie E jest pewną stałą podczas ruchu cząstki. Drugie równanie ma postać

\dfrac{d}{d\tau}(r^2\dot{\varphi})=0 \;\;\Rightarrow r^2\dot{\varphi}=L,

gdzie L jest inną stałą ruchu. Oba te równania odpowiadają zasadzie zachowania energii oraz momentu pędu u Newtona i wynikają z podobnych powodów fizycznych: zasada zachowania energii jest spełniona, gdy translacja w czasie jest symetrią układu, zasada zachowania momentu pędu jest spełniona, gdy obrót wokół osi (u nas prostopadłej do płaszczyzny orbity) jest symetrią układu.

Zamiast rozważać równanie Lagrange’a dla zmiennej r możemy skorzystać z faktu, że podczas ruchu cząstki masywnej {\cal L}=1:

{\cal L}= A\left(\dfrac{E}{A}\right)^2-B\dot{r}^2-\dfrac{L^2}{r^2}=1 .

Wyznaczajmy stąd kwadrat prędkości radialnej

\dot{r}^2=\dfrac{E^2}{AB}-\dfrac{1}{B} -\dfrac{1}{B}\dfrac{L^2}{r^2}.

Funkcje A, B dane są w przypadku rozwiązania Schwarzschilda równaniami

A=B^{-1}=1-\dfrac{r_{S}}{r},\;\;\mbox{gdzie} \; r_S=\dfrac{2GM}{c^2}

 jest promieniem Schwarzschilda. Tak jak w przypadku newtonowskim wprowadzamy zmienną u=1/r i korzystamy ponownie ze związku (***). W wyniku dostajemy

\dfrac{du}{d\varphi}=\pm\sqrt{\dfrac{E^2-1}{L^2}+\dfrac{r_S}{L^2}u-u^2+r_S u^3}=\pm\sqrt{P'(u)}.

Porównując to wyrażenie z newtonowskim, widzimy, że pomijając inną definicję stałej energii (wyraz wolny pod pierwiastkiem), mamy dwa wyrazy z u oraz u^2 takie, jak poprzednio, doszedł teraz wyraz trzeciego stopnia. Wyrażenie podcałkowe ma teraz trzy pierwiastki rzeczywiste i wykres jak poniżej.

Szukamy niewielkiej poprawki do ruchu newtonowskiego, wobec tego pierwiastki u_{\pm} powinny leżeć tak jak poprzednio, a trzeci pierwiastek u_0 powinien być znacznie od tamtych większy. Całkę

\Delta\varphi ={\displaystyle \int_{u_{-}}^{u_{+}}\dfrac{du}{\sqrt{P'(u)}}}

można obliczyć jako całkę eliptyczną. Przejrzystsza jest tu jednak metoda przybliżona. Zapisujemy wielomian P'(u) w postaci

P'(u)=r_S(u-u_{-})(u_{+}-u)(u_0-u)\approx r_S u_0\left(1-\dfrac{u}{u_0}\right)(u-u_{-})(u_{+}-u).

Mamy w tym przybliżeniu ponownie do czynienia z całką zawierającą pierwiastek z trójmianu kwadratowego, jaką obliczaliśmy już wcześniej.

\Delta\varphi=\dfrac{1}{\sqrt{r_S u_0}}{\displaystyle \int_{u_{-}}^{u_{+}}\dfrac{du}{\sqrt{(u-u_{-})(u_{+}-u)}}\left(1+\dfrac{u}{2u_0}\right).}

Całkując, dostajemy

\Delta\varphi=\dfrac{\pi}{\sqrt{r_S u_0}}\left(1+\dfrac{u_{-}+u_{+}}{4u_0}\right).

Aby obliczyć wielkość au_0 porównujemy wyrazy zawierające u^2 w wyrażeniu P'(u). Otrzymamy

r_S(u_0+u_{-}+u_{+})=1, \;\;\Rightarrow r_Su_0=1-r_S(u_{-}+u_{+})\approx 1,

możemy więc w przybliżeniu napisać

\dfrac{1}{\sqrt{r_s u_0}}\approx 1+r_S\dfrac{u_{-}+u_{+}}{2}.

Kąt między aphelium a perihelium planety równa się łącznie

\Delta\varphi=\pi\left[1+\dfrac{3}{4} r_S(u_{-}+u_{+})\right]=\pi \left[1+\dfrac{3}{2}\dfrac{GM}{c^2}\left(\dfrac{1}{r_{+}}+\dfrac{1}{r_{-}}\right)\right].

Precesja peryhelium przypadająca na jeden obieg planety będzie dwa razy większa

\Delta\varphi=2\pi+\dfrac{3GM\pi}{c^2}\left(\dfrac{1}{r_{+}}+\dfrac{1}{r_{-}}\right)\equiv 2\pi+\dfrac{3\pi}{2}r_S\left(\dfrac{1}{r_{+}}+\dfrac{1}{r_{-}}\right)\equiv 2\pi+\dfrac{3r_S\pi}{2a(1-e^2)}.

W ostatnim wyrażeniu a,e oznaczają odpowienio dużą półoś i mimośród orbity planety. Jak widać, metoda obliczeń zastosowana przez Einsteina była całkiem elementarna. Poprzednio w teorii Entwurf, w pracy z 1913 roku, którą  pod względem rachunkowym sprawdzał Besso, otrzymywało się wartość dodatkowej precesji na obieg równą

\Delta\varphi=\dfrac{5}{4}\dfrac{GM\pi}{c^2}\left(\dfrac{1}{r_{+}}+\dfrac{1}{r_{-}}\right),

stąd owe nieszczęsne 18” na stulecie.

Całki, które pojawiają się w tym zagadnieniu, oblicza się za pomocą podstawienia

u=\dfrac{u_{-}+u_{+}}{2}+\dfrac{u_{+}-u_{-}}{2}\cos t.

Przedział całkowania (u_{-},u_{+}) przechodzi w przedział (\pi,0). Bardziej wymyślna metoda to użycie konturu na płaszczyźnie zespolonej wokół cięcia (u_{-},u_{+}), choć w tym przypadku jest to trochę overkill. Einstein we wcześniejszej pracy na temat peryhelium z roku 1913 stosuje metodę zespoloną do całej rodziny całek podobnego typu (można to zobaczyć w t. 4 Einstein Papers).

W każdym razie obliczenie ruchu peryhelium nie było bynajmniej czymś wyrafinowanym, co mogłoby sprawić trudność Hilbertowi albo Einsteinowi. Istotny był nowy punkt wyjścia, nowe spojrzenie na czasoprzestrzeń.

Oppenheimer o Einsteinie (1965 r.)

Robert Oppenheimer dziś znany jest głównie z kierowania Projektem Manhattan, czyli programem budowy pierwszych bomb atomowych. Wcześniej jednak, w latach trzydziestych, stworzył pierwszą amerykańską szkołę fizyki teoretycznej. Był charyzmatycznym wykładowcą, który zarażał entuzjazmem, nawet jeśli studenci nie byli pewni, czy się czegoś nauczyli – wykłady bardziej przypominały misteria niż systematyczne wprowadzanie materiału krok po kroku. Zgromadził wokół siebie grono studentów i doktorantów jeżdżących za nim między Caltechem a Berkeley. Znał świetnie i z pierwszej ręki osiągnięcia kwantowe: między 1925 a 1929 rokiem, a więc wtedy gdy powstawała mechanika kwantowa, pracował i dyskutował z Ralphem Fowlerem i Paulem Dirakiem w Cambridge, spędził jakiś czas w Lejdzie u Paula Ehrenfesta, potem w Getyndze zrobił doktorat u Maksa Borna, współpracował także z Wolfgangiem Paulim, poznał też wszystkich innych wielkich fizyków tego okresu. Gdy wracał do Stanów Zjednoczonych, miał już spory i interesujący dorobek. W latach trzydziestych raczej kierował pracą swoich młodych kolegów. Sam rzadko wykonywał jakieś obliczenia i w dodatku często się przy tym mylił. Miał wszakże nosa do wyszukiwania ważnych problemów, a intuicja pozwalała mu podążać w dobrym kierunku. Jego wadą było nietrzymanie się ziemi i brak zainteresowania systematycznymi rachunkami, lecz jako duchowy przewodnik grona młodych sprawdzał się znakomicie. Szerokie zainteresowania humanistyczne wzbudzały często w kolegach mieszane uczucia, lecz magnetyczna osobowość i neurotyczna wrażliwość przyciągała do niego kobiety. Historia jego związków erotycznych jest długa, powikłana i niezbyt nadaje się na przykład dla młodzieży.

Po wojnie i zakończeniu Projektu Manhattan Oppenheimer stał się sławny wśród szerokiej publiczności, uważano go za głównego autora bomby atomowej. Oczywiście, bomba była dziełem zbiorowym, ale też należy przyznać, że niestabilny emocjonalnie i przed wojną komunizujący fizyk przekształcił się w energicznego patriotę i inteligentnego przywódcę grona ludzi o wybujałych osobowościach, którzy niełatwo poddawali się czyimkolwiek poleceniom. W 1947 r. Oppenheimer został dyrektorem Institute for Advanced Study w Princeton i pełnił tę funkcję niemal dwadzieścia lat, najdłużej w dziejach Instytutu. Po raz pierwszy znalazł się tam jeszcze w 1935 r., donosił wtedy bratu w liście:

Princeton to dom wariatów: jego solipsystyczni luminarze błyszczą, każdy odobno, w nieuleczalnej pustce. Einstein jest zupełnie stuknięty.

Albert Einstein był pierwszą i największą gwiazdą IAS, placówki szczególnej, zatrudniających wyłącznie uczonych bardzo wybitnych, niemających żadnych obowiązków dydaktycznych i mogących za znaczne pieniądze w pełni poświęcić się pracy naukowej. Z początku oprócz Einsteina pracowali tam głównie matematycy. Do dziś zresztą fizyka teoretyczna i matematyka jest tam znakomita. Pracują tam Edward Witten, fizyk matematyczny o najwyższym indeksie Hirscha na świecie (158), Nima Arkani-Hamed czy Juan Maldacena, autor zasady holograficznej (najliczniej cytowana praca z fizyki, ponad 10 000 cytowań w niecałe dwadzieścia lat). Do tego mnóstwo medalistów Fieldsa, z których większość jakoś związana była z IAS w pewnym momencie.

Skąd więc negatywna opinia Oppenheimera? Z jego punktu widzenia – fizyka, dla którego w 1925 r. zaczął się najbardziej ekscytujący okres: stworzenie mechaniki kwantowej, ktoś taki jak Einstein, kto ignorując te najnowsze osiągnięcia, prowadził badania na swój własny sposób, mógł się wydawać dziwakiem. Prace Einsteina z tego okresu nie były zresztą całkowicie chybione, przyczyniły się bowiem do wyjaśnienia pewnych kwestii w ogólnej teorii względności. Sama jednak ta teoria była wówczas niezmiernie daleko od obserwacji i eksperymentów, przetestowano ją jedynie w przypadku dość słabych pól grawitacyjnych, a więc nie były to testy zbyt wymagające. Zastosowania kosmologiczne mogły wydawać się zbyt daleko idącą generalizacją: za pomocą mocno spekulatywnej teorii staramy się opisać wszechświat jako całość.

Chyba dopiero po wojnie Einstein zetknął się bliżej z Oppenheimerem, który starał się zdyskontować sławę starszego uczonego. Oto np. zdjęcie z tygodnika „Life”, gdzie ukazał się ilustrowany reportaż z IAS.

Podpis pod tym zdjęciem głosił: „Einstein opowiada Oppenheimerowi o swych najnowszych próbach objaśnienia materii w kategoriach przestrzeni”. Najprawdopodobniej obaj nie rozmawiali na tematy naukowe, dzieliło ich zbyt wiele. Zresztą Oppenheimer w zasadzie przestał już publikować i poświęcił się działalności administracyjnej oraz politycznej. Co ciekawe, choć Oppenheimer nie był jastrzębiem, jak np. Edward Teller, nie bardzo potrafili z Einsteinem uzgodnić poglądy na to, co należy robić w świecie, w którym wraz z bronią atomową pojawiło się niebezpieczeństwo zniszczenia cywilizacji. Anarchiczny Einstein nie potrafił zrozumieć słabości Oppenheimera do kuluarów waszyngtońskich i jego pragnienia odegrania roli w kształtowaniu polityki bezpieczeństwa. Z kolei Oppenheimer miał mu za złe publiczne wystąpienia, wzbudzające wielką wrzawę medialną. Einstein mógł sobie jednak pozwolić, by robić to, co uważał za słuszne, a nie to, co komuś się spodoba bądź nie spodoba.

W 1965 r. Oppenheimer wziął udział w dość dziwacznym międzynarodowym kolokwium w Paryżu poświęconym dziesięcioleciu śmierci Einsteina i Teilharda de Chardin, dziś już zapomnianego jezuity, filozofującego na temat ewolucji w duchu chrześcijańskim pod bożą opieką. Obu myślicieli nie łączyło nic prócz daty śmierci. Robert Oppenheimer postanowił przy tej okazji zdemitologizować postać Einsteina. Jego wystąpienie stało się znane, ukazało się bowiem w „The New York Review of Books” i odnotowała je prasa na całym świecie. Albert Einstein jawi się w nim jako uczony wyrastający z pewnej tradycji: teorii pola w fizyce i determinizmu w filozofii. I to właśnie owa tradycja stała się źródłem jego naukowej klęski w późniejszych latach.

Spędził te lata najpierw na próbach wykazania, że teoria kwantowa jest niekonsekwentna. Nikt nie potrafiłby obmyślić bardziej pomysłowych, nieoczekiwanych i sprytnych przykładów; okazało się jednak, że nie ma żadnych niekonsekwencji, a rozwiązania często można było znaleźć we wcześniejszych pracach samego Einsteina.

Historię piszą zwycięzcy, mechanika kwantowa okazała się niezwykle skuteczna, więc nie zwracano uwagi na trudności pojęciowe, jakie zawiera. Nurt głębokich wątpliwości odżył w ostatnich latach, nie wszystkie zastrzeżenia Einsteina były chybione. Oppenheimer patrzył jak szeregowy fizyk zaangażowany w bieżące osiągnięcia, Einsteina interesowały kwestie strategiczne: tworzenie teorii i szukanie pojęciowej jedności w naszej wiedzy o świecie.

Chociaż Einstein budził u wszystkich ciepłe uczucia, a nawet miłość za swą determinację w wypełnianiu własnego programu, stracił w dużym stopniu kontakt z profesją fizyka, ponieważ niektóre rzeczy przyszły w jego życiu zbyt późno, by mógł się nimi przejąć.

Znów: jest to część prawdy, lecz wypowiedziana w sposób cokolwiek arogancki jak na kogoś, kto od piętnastu lat sam nic nie opublikował. Einstein pracował do końca życia naukowo, nie zamienił się w działacza społecznego czy politycznego. Czy jego prace były świadectwem utraty kontaktu z profesją fizyka? Z pewnością nie były to prace nadzwyczajne czy przełomowe. Einstein przez jakieś dwadzieścia lat publikował prace wielkie. To bardzo długo, niektórzy wybitni uczeni są twórcami kilku ważnych prac. Żaden z twórców mechaniki kwantowej: ani Heisenberg, ani Schrödinger, ani nawet Dirac nie wpływali tak długo na rozwój fizyki. Zazwyczaj dziesięć twórczych lat to skala uczonego genialnego. Późne prace Einsteina nie miały wpływu na naukę, ale tak jest z ogromną większością prac – niech nas nie zwiodą ogromne liczby publikacji w dzisiejszym świecie, naprawdę ważnych prac ukazuje się niezbyt wiele, nawet w najlepszych czasopismach. Najlepszą pracą Oppenheimera okazała się paradoksalnie jego analiza (ze Snyderem) kolapsu grawitacyjnego gwiazdy z punktu widzenia ogólnej teorii względności. Sam chyba nie wierzył w jej prawdziwość. Można by więc orzec, że Oppenheimer stracił kontakt z profesją fizyka już po 1939 roku, a ostatnie ćwierć wieku był jedynie organizatorem i mówcą na konferencjach niewiążących się ściśle z fizyką.

Chyba tylko kompleksami uzasadnić można inne stwierdzenie Oppenheimera, że wczesne prace Einsteina były „olśniewająco piękne, ale z licznymi błędami”.

Po tym, co usłyszeliście, nie muszę dodawać jak błyskotliwa była jego inteligencja. Był niemal całkiem pozbawiony wyrafinowania i wyzbyty światowości. Myślę, że w Anglii określono by to jako brak wychowania, a w Ameryce jako brak edukacji.

Oppenheimer pochodził z rodziny bogatych Żydów nowojorskich, Einstein z żydowskiej drobnej burżuazji niemieckiej. Oczywiście, Einstein nie był jakimś prostaczkiem obdarzonym geniuszem naukowym. Jednak studiowanie Bhadgavadgity czy poezji T.S. Eliota niekoniecznie oznacza intelektualną rafinadę. Zdaniem Oppenheimera Einstein był dwudziestowiecznym Eklezjastesem, który z nieustępliwą i nieposkromioną radością powtarza: „Marność nad marnościami i wszystko marność”. Niewykluczone, że Oppenheimer nie potrafił uwolnić się od myśli o przemijalności własnych osiągnięć. Dowiedział się w tym czasie, że jest chory na raka krtani. Z pewnością jednak nie potrafił się zdobyć na spokojny obiektywizm, który był jedną z piękniejszych cech osobowości Einsteina.

Gauss, lemniskata i wyjątkowy algorytm (30 V 1799)

Pisałem o tym, jak metodą Archimedesa obliczano liczbę \pi. Można tę starożytną metodę sformułować jako algorytm niezależny od geometrii. Bierzemy dwie dodatnie liczby rzeczywiste a_0,b_0 (niech b_0<a_0). Potem rekurencyjnie obliczamy kolejne wartości ciągów

\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a_n}+\dfrac{1}{b_n}\right), \; b_{n+1}=\sqrt{a_{n+1}b_{n}}.

Kolejne wyrazy są tu średnimi harmonicznymi i średnimi geometrycznymi poprzednich wyrazów. Średnia harmoniczna dwóch liczb to np. średnia prędkość na pewnej drodze, gdy połowę drogi jedziemy z pierwszą prędością, a drugą połowę z drugą prędkością. Można pokazać bez trudu (*), że ciąg a_n jest malejący, a ciąg b_n rosnący. Ponieważ oba są ograniczone, muszą być zbieżne, i to do wspólnej granicy równej

a_{\infty}=b_{\infty}=\dfrac{a_0 b_0}{\sqrt{a_0^2-b_0^2}}\arccos \dfrac{b_0}{a_0}.

Wynik ten znał nauczyciel Carla Friedricha Gaussa Johann Friedrich Pfaff, uważany za najwybitniejszego niemieckiego matematyka epoki przed Gaussem.

Biorąc a_0=2\sqrt{3} oraz b_0=3, otrzymujemy w granicy liczbę \pi.

Gdy b_0>a_0, należy zamienić kolejność pod pierwiastkiem oraz arcus cosinus zamienić na arcosh. W roku 1880 odkrył ponownie ten algorytm Carl Wilhelm Borchardt, znany najbardziej jako redaktor „Journal für die reine und angewandte Mathematik”, zwanego też Żurnalem Crelle’a od nazwiska pierwszego redaktora. Dlatego w literaturze nazywa się go algorytmem Borchardta albo Archimedesa-Borchardta.

Młody Gauss od dziecka zapowiadał się na wyjątkowy talent matematyczny i w tym przypadku cudowne dziecko wyrosło na czołowego matematyka Europy. Podobnie jak Euler należał on do matematyków, którzy lubią i potrafią sprawnie wykonywać rozmaite rachunki numeryczne. 

Zainteresował się on następującym algorytmem:

a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2},\;b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n},

gdzie a_0>b_0>0. Zauważmy, że jest to „kuzyn” algorytmu Archimedesa: średnie harmoniczne zostały zastąpione tu średnimi arytmetycznymi. Łatwo wykazać, że oba ciągi dążą do wspólnej granicy, którą oznaczymy M(a_0,b_0) i będziemy nazywać średnią arytmetyczno-geometryczną obu wyjściowych liczb. Oto przykładowe rachunki Gaussa, a_0=\sqrt{2}, b_0=1. Widać, że zbieżność jest niezwykle szybka (dokładność danych w tabeli odpowiada rachunkom Gaussa, który oczywiście musiał przeprowadzać je ręcznie z całym mozołem, ale też chyba i radością.  

tabella

Mamy więc znakomity algorytm, ale nie wiemy, co jest jego granicą. Gauss potrafił udowodnić, że granica jest w tym przypadku związana z długością lemniskaty Bernoulliego, eleganckiej krzywej, przez którą bracia Jakob i Johann Bernoulli skłócili się śmiertelnie w 1694 roku (poszło o kwestie pierwszeństwa – nie tylko w tamtej epoce traktowane niezwykle ambicjonalnie, choć dziś trochę więcej wiemy o nieuniknionej równoległości pewnych odkryć i rozumowań). Oto lemniskata.

tmp_tr67pffh

Jest to miejsce geometryczne punków, których iloczyn odległości od dwóch ognisk jest stały (przy warunku, że środek odcinka łączącego ogniska leży na krzywej, w przeciwnym razie otrzymamy owal Cassiniego). Równanie biegunowe lemniskaty ma postać r^2=\cos2\theta (to lemniskata jednostkowa, wszelkie inne są do niej geometrycznie podobne). Możemy za jego pomocą wyrazić element łuku krzywej jako

ds^2=dr^2+r^2d\theta^2=\dfrac{dr^2}{1-r^4}.

Zatem długość całkowita lemniskaty jest równa

{\displaystyle 2\,\widetilde{\omega}\equiv 4\int_{0}^{1}\dfrac{dt}{\sqrt{1-t^4}}}.

Gauss najpierw zauważył, porównując liczby, a następnie udowodnił, że 

\widetilde{\omega}=\dfrac{\pi}{M(\sqrt{2},1)}.

Wielkość ta przypomina liczbę \pi: też jest stosunkiem długości krzywej do jej „promienia”. Jak wskazuje to postać całki dającej długość łuku lemniskaty, mamy tu do czynienia z pierwiastkiem z wielomianu czwartego stopnia. Wiadomo, że całki pierwiastków z wielomianu drugiego stopnia dają się wyrazić przez funkcje elementarne. W przypadku wielomianów stopnia trzeciego i czwartego otrzymujemy tzw. całki eliptyczne: jest to nazwa wspólna, wywiedziona z zagadnienia obliczania długości łuku elipsy. Tak się składa, że całki dające długość łuku elipsy są całkami eliptycznymi drugiego rodzaju. Całkę pierwszego rodzaju spotkaliśmy w zagadnieniu wahadła matematycznego. Możemy także za Gaussem dowieść, że całkę eliptyczną zupełną pierwszego rodzaju K(k) można wyrazić przez średnią arytmetyczno-geometryczną.

{ \displaystyle K(k)\equiv \int_0^{ \frac{\pi}{2} } \dfrac{d\varphi}{ \sqrt{1-k^2\sin^2\varphi} } ,\; \mbox{gdzie } 0\le k<1.}

Mamy równość

\dfrac{1}{M(1,k')}=\dfrac{2}{\pi}K(k),\,\mbox{gdzie } k'=\sqrt{1-k^2}.

Można ją wyrazić:

{\mathcal AGM}(1,\sqrt{1-k^2})={\mathcal AGM}(1/min,1/max)=\left\langle \dfrac{1}{ \sqrt{1-k^2\sin^2\varphi} } \right\rangle,

gdzie min, max oznaczają najmniejszą i największą wartość funkcji podcałkowej na przedziale [0,\frac{\pi}{2}], a nawiasy kątowe oznaczają uśrednienie funkcji po przedziale całkowania. Twierdzenie to zapewnia szybki algorytm do obliczania całek eliptycznych, w istocie tak szybki, że można go stosować także do innych celów: obliczania liczby \pi albo funkcji w rodzaju \ln x, jeśli powiąże się je odpowiednio z całkami eliptycznymi.

Jeden z takich algorytmów, podany przez Eugene’a Salamina, korzysta z trzech ciągów a_n, b_n zdefiniowane jak wyżej oraz s_{n+1}=s_n-2^n(a_n-a_{n+1})^2; przy s_0=\frac14; \, a_0=1;\; b_0=1/\sqrt{2}. Otrzymuje się wówczas nierówność, którą spełnia \pi:

\dfrac{a_n^2}{s_n}>\pi>\dfrac{a_{n+1}^2}{s_n}.

Daje to w kolejnych iteracjach:

0 : 2.914213562373095048801689 < π < 4.000000000000000000000000
1 : 3.140579250522168248311331 < π < 3.187672642712108627201930
2 : 3.141592646213542282149344 < π < 3.141680293297653293918070
3 : 3.141592653589793238279513 < π < 3.141592653895446496002915
4 : 3.141592653589793238462643 < π < 3.141592653589793238466361

Dla porównania oryginalny algorytm Archimedesa:

0 : 3.0000000 < π < 3.4641017
1 : 3.1058285 < π < 3.2153904
2 : 3.1326286 < π < 3.1596600
3 : 3.1393502 < π < 3.1460863
4 : 3.1410319 < π < 3.1427146

Widzimy, jak bardzo średnie arytmetyczno-geometryczne przyspieszają zbieżność, przy czym algorytm Salamina pochodzi z roku 1976 i od tamtej pory przedstawiono znacznie szybsze.

Na koniec pokażemy, czemu całka eliptyczna pierwszego rodzaju daje się obliczać w sposób odkryty przez Gaussa (dla ścisłości historycznej należy dodać, że nie tylko Gauss odkrył takie podejście, trochę wcześniej był Joseph Lagrange, choć zdaje się tylko Gauss zrozumiał dobrze od razu aspekt numeryczny sprawy).

Oznaczmy I(a,b) (0<b<a) następującą całkę:

{\displaystyle I(a,b)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{d\varphi}{\sqrt{a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi}}=\dfrac{1}{a}K(k'),\, k=\dfrac{b}{a}. }

Pokażemy, że I(a,b) nie zmienia się, kiedy przechodzimy do kolejnych kroków rekurencyjnych:

I(a,b)=I(\dfrac{a+b}{2},\sqrt{ab}) \;\; \mbox{(**)}.

 A skoro tak jest (szczegóły niżej), to kolejne wartości I(a_n,b_n) są takie same i przechodząc do granicy otrzymamy

{\displaystyle I(a,b)=I(M(a,b),M(a,b))=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{d\varphi}{M(a,b)\sqrt{\cos^2\varphi+\sin^2\varphi}}=\dfrac{\pi}{2 M(a,b)}}.

Jako przykład pokażemy, jak procedura tego rodzaju pozwala obliczać okres wahadła matematycznego „niemal stającego na głowie” dla amplitud bliskich 180^{\circ}. Np. dla amplitudy 179^{\circ} otrzymamy k'=\sin 89,5^{\circ}=0,008726535498374. Obliczamy średnią M(k',1):

a_n                       b_n

0,008726535498374 1,00000000000000
0,504363267749187 0,093415927434105
0,298889597591646 0,217061195105173
0,257975396348409 0,254710292798989
0,256342844573699 0,256337645964924
0,256340245269312 0,256340245256133

Okres wahadła wydłuża się przy tak dużym wychyleniu 1/0,256340245256133=3,90106516038909 razy. Euler w pracy E503, na którą powoływaliśmy się w poprzednim poście, także pokazuje rachunki dla takiego wychylenia, jednak jego wynik jest błędny.  

(*) Nasze liczby wyjściowe a_0,\,b_0 można zapisać jako

b_0=\lambda\sin\theta,\;a_0=\lambda \,\mbox{tg }\theta

dla pewnych wartości \lambda i \theta. Pierwszy związek rekurencyjny daje nam

\dfrac{1}{a_1}=\dfrac{1}{2\lambda}\left( \mbox{ctg }\theta+\dfrac{1}{\sin\theta}\right)=\dfrac{1}{2\lambda \,\mbox{tg }\frac{\theta}{2}}\Rightarrow a_1=2\lambda\,\mbox{tg}\,\dfrac{\theta}{2} .

Drugi związek rekurencyjny przyjmuje postać

b_1=\sqrt{a_1 b_0}=\sqrt{2\lambda \,\mbox{tg}\,\dfrac{\theta}{2}\cdot\lambda 2\sin\dfrac{\theta}{2}\cos\dfrac{\theta}{2}}=2\lambda\sin\dfrac{\theta}{2}.

Widać, że wzór ogólny będzie

a_n=2^{n}\lambda \,\mbox{tg}\,\dfrac{\theta}{2^{n}},\; b_n=2^{n}\lambda \sin\dfrac{\theta}{2^{n}}.

Oba ciągi zbieżne są do granicy \lambda\theta. Związek z geometrią wielokątów wpisanych i opisanych na okręgu przedstawia rysunek. Zaczynając od sześciokąta, otrzymamy wartości początkowe przytoczone w tekście.

borchardt

Wykażemy tożsamość (**). Topornym sposobem jej udowodnienia jest odpowiednia zamiana zmiennych pod całką. Wadą tego podejścia jest to, że podstawienie pojawia się jako deus ex machina i nam zostaje tylko sprawdzenie rachunków. Można też tożsamość przekształcić do postaci bardziej przydatnej w naszym przypadku

K(\dfrac{2\sqrt{k}}{1+k})=(1+k)K(k).

Funkcja podcałkowa po obu stronach jest odwrotnością pierwiastka, będziemy więc korzystać z rozwinięcia dwumianowego

{\displaystyle (1+t)^{-\frac12}=\sum_{m=0}^{\infty} {-\frac{1}{2}\choose m} t^{m},\;\mbox{gdzie}\; {\alpha\choose m}\equiv\dfrac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-m+1)}{m!}.}

Dla m=0 przyjmujemy z definicji {\alpha\choose 0}=1

Rozwinięcie K(k) ma postać

{\displaystyle K(k)=\sum_{m=0}^{\infty} {-\frac{1}{2}\choose m} (-1)^m k^{2m} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m}\varphi d\varphi.}

Całka, która się tu pojawia, może być zapisana w postaci

{\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2m}\varphi d\varphi=\dfrac{\pi}{2}{-\frac12\choose m}(-1)^{m}.} 

Mamy więc dla K(k) rozwinięcie

{\displaystyle K(k)=\dfrac{\pi}{2}\sum_{m=0}^{\infty}{-\frac12\choose m}^2 k^{2m}. }

Funkcję podpierwiastkową po lewej stronie tożsamości możemy zapisać przy użyciu tożsamości 2\sin^2\varphi=1-\cos2\varphi jako

\dfrac{1+k^2+2k\cos2\varphi}{(1+k)^2}=\dfrac{(1+ke^{i2\varphi})(1+ke^{-i2\varphi})}{(1+k)^2}.

Otrzymujemy wówczas

{\displaystyle 2K\left(\dfrac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)=(1+k)\int_0^{\pi}(1+ke^{i2\varphi})^{-\frac12}(1+ke^{-i2\varphi})^{-\frac12}d\varphi = }

Dwójce przed K(\frac{2\sqrt{k}}{1+k}) odpowiada podwojenie przedziału całkowania: [0,\pi]. Rozwijamy oba pierwiastki w szereg:

{\displaystyle =(1+k)\sum_{m,m'=0}^{\infty}{-\frac12\choose m}{-\frac12\choose m'}k^mk^{m'}\int_0^{\pi}e^{i 2(m-m')\varphi}d\varphi=. }

Tylko wyrazy diagonalne m=m' przeżywają całkowanie, zostaje nam

{\displaystyle 2\dfrac{\pi}{2}(1+k)\sum_{m=0}^{\infty}{-\frac12\choose m}^2 k^{2m}=2(1+k)K(k). }

Całkę z sinusa w potędze łatwo znaleźć zauważając, że

\sin\varphi=\dfrac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i},

a także rozszerzając przedział całkowania do [0,2\pi]. W rozwinięciu dwumianowym \sin^{2m}\varphi całkowanie przeżywają tylko wyrazy, w których wykładniki są przeciwne, stąd przytoczony wyżej wzór. Korzystałem ze sformułowania Petera Durena w świetnej książce Invitation to Classical Analysis.

 

Leonhard Euler: wahadło (1777)

Pisałem o początkach kariery Leonharda Eulera. Później przez całe długie życie, dzień po dniu niestrudzenie prowadził obliczenia, tworząc setki prac, jakby na potwierdzenie kalwińskiej doktryny predestynacji: to Stwórca wybiera, a jego wybrani właściwie nawet nie odczuwają rozterek, jak postępować, bo muszą czynić dobrze. W naszych sceptycznych oczach był człowiekiem ambitnym, który wciąż musiał rozwiązywać zagadki i mało kto potrafił mu w tym dorównać. Czasem d’Alembert i Clairaut we Francji potrafili z nim konkurować. Pomysłowość metod łączył Euler z nadzwyczajną sumiennością w rachunkach. Spis prac Eulera liczy ponad 800 pozycji. Pisał, później raczej dyktował, ponieważ niemal całkiem stracił wzrok, co nie tylko nie zahamowało tempa jego pracy, lecz nawet je przyspieszyło, gdyż mniej spraw go rozpraszało, a rachunki i tak robił w pamięci. My zajmiemy się pracą E503, poświęconą ruchowi wahadła o dużej amplitudzie (wydrukowaną w roku 1780). Pojawia się w niej całka eliptyczna pierwszego rodzaju. To niejako zapowiedź wielkiego tematu matematyki w XIX wieku, a mianowicie funkcji eliptycznych, rozwijanych później przez Legendre’a, Abela, Jacobiego, Weierstrassa i Riemanna.

Pokażemy, jak okres oscylacji wahadła zależy od amplitudy. I pokażemy, jak zrobić o jeden krok dalej niż Euler, bo nauka to jedyny może obszar ludzkiej działalności, gdzie postęp jest rzeczywisty, co oznacza, że niemal każdy później urodzony może sięgać dalej niż dawni mistrzowie.

W czasach Eulera zegary wahadłowe wciąż były najdokładnieszym przyrządem do mierzenia czasu, teoria wahadła miała więc pewne znaczenie praktyczne. Euler zajmował się także wcześniej ruchami brył sztywnych, potrafił więc wykazać, że wahadłem może być jakakolwiek bryła o dowolnym kształcie. Jej ruch zawsze jest taki sam jak wahadła matematycznego o pewnej długości. Dlatego wystarczy rozważać wahadło matematyczne. Możemy sobie wyobrażać takie wahadło jako czerwony koralik o masie m=1 ślizgający się bez tarcia po okręgu o promieniu L. II zasada dynamiki daje wtedy

\ddot{\varphi}=-\dfrac{g}{L}\sin\varphi,

kropki oznaczają różniczkowanie po czasie. Możemy też zacząć nie od II zasady dynamiki, lecz od zasady zachowania energii (technicznie biorąc mamy wtedy o jedną całkę mniej). Ponieważ prędkość koralika to \dot{\varphi}L (\dot{\varphi} jest prędkością kątową), otrzymujemy równanie

\dfrac{L^2\dot{\varphi}^2}{2}+gL(1-\cos\varphi)=gL(1-\cos\varphi_m),

gdzie g jest przyspieszeniem ziemskim, a \varphi_m – kątem maksymalnego wychylenia. Nie rozpatrujemy przypadku energii na tyle dużej, by nasz koralik obiegał okrąg, nie jest to przypadek szczególnie interesujący. Możliwe ruchy wahadła przedstawia portret fazowy, wykres rozmaitych ruchów we współrzędnych (\varphi,\dot{varphi}).

Energia potencjalna ma kształt sinusoidy. Dla niewielkich energii ruch jest oscylacyjny w przedziale [-\vartheta,\vartheta], dla dużych energii prędkość kątowa \dot{\varphi} nie zmienia znaku. Jest wreszcie energia graniczna pozwalająca dotrzeć koralikowi do punktu \varphi=\pi, tym przypadkiem zajmiemy się osobno, bo jest ciekawy. Zasadę zachowania energii możemy przekształcić do postaci

\dot{\varphi}^2+4\omega^2\sin^2{\dfrac{\varphi}{2}}=4\omega^2\sin^2{\dfrac{\varphi_m}{2}},

wprowadziliśmy tu oznaczenie \omega=\sqrt{g/L} – jest to zwykła częstość kołowa wahadła przy małych wychyleniach. Możemy to sprawdzić. Przy małych wychyleniach \varphi\approx\sin\varphi. Mamy więc

\dot{\varphi}^2=\omega^2(\varphi_m^2-\varphi^2), \mbox{(*)}

i przekształcając

{\displaystyle  \int\dfrac{d\varphi}{\sqrt{\varphi_m^2-\varphi^2}}=\omega t+C \;\; \Rightarrow \arcsin{\dfrac{\varphi}{\varphi_m}}=\omega t+C,}

otrzymujemy zatem znane rozwiązanie oscylacyjne \varphi=\varphi_m\sin (\omega t+C).

Ruch przy małych wychyleniach ma własność izochronizmu, którą zaobserwował według legendy młody Galileusz w katedrze w Pizie, gdy zamiast skupiać się na przesłaniu duchowym, obserwował kołyszący się kandelabr. Amplituda wahań malała z czasem, ale okres się nie zmieniał. Widzimy, że wniosek ten jest słuszny, póki wychylenia są niewielkie. Gdybyśmy chcieli zbudować wahadło ściśle izochroniczne, zamiast łuku okręgu należy wziąć łuk cykloidy, co odkrył Christiaan Huygens.

W dalszym ciągu przyjmiemy \omega=1, czyli okresem wahadła przy małych wychyleniach bedzie okres sinusa, jaki przyjmują matematycy, tzn. 2\pi. Przy dużych wychyleniach okres będzie większy. Wygląda to następująco.

Można uzyskać takie krzywe numerycznie (por. Dziewiąty wykład Feynmana: Co mówi druga zasada dynamiki?), można je także wyrazić przez funkcje eliptyczne, znane każdemu programowi matematycznemu, jak darmowy SageMath albo kosztowna i ciężka Mathematica). Euler nie znał takich krzywych, choć musiał zdawać sobie sprawę z ich jakościowego przebiegu.

Wracając do równania (*), wprowadzamy podstawienie Eulera: k\sin\psi=\sin\varphi/2, gdzie k=\sin\varphi_m/2. Ma ono taką zaletę, że \psi może rosnąć monotonicznie, podczas gdy \varphi oscyluje. Równanie przyjmuje postać:

\left(\dfrac{d\psi}{dt}\right)^2=1-k^2\sin^2\psi.

Okres ruchu wahadła jest cztery razy większy niż czas potrzebny na zmianę \psi od 0 do do \pi/2:

{\displaystyle T=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{d \psi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\psi}}\equiv 4 K(k)}.

Wprowadziliśmy standardowe oznaczenie: K(k) nazywa się całką eliptyczną zupełną pierwszego rodzaju. Euler zastosował do jej obliczenia rozwinięcie funkcji podcałkowej w szereg dwumianowy. Otrzymuje się wówczas rozwinięcie

{\displaystyle K(k)=\dfrac{\pi}{2}\sum_{m=0}^{\infty}\left[\dfrac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\right]^2 k^{2m}. }

Podwójna silnia to iloczyn kolejnych liczb parzystych bądź nieparzystych aż do największej. Zapis jest współczesny. Po drodze potrzebna jest całka \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2m}\psi d\psi, którą Euler oczywiście znał. Szereg ten jest zbieżny dla k<1, choć jego praktyczna przydatność ogranicza się do niezbyt wielkich amplitud. Okres wahadła jest więc w przybliżeniu równy

T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\left(1+\dfrac{1}{4}\sin^2{\dfrac{\vartheta}{2}}+\dfrac{9 }{64}\sin^4 {\dfrac{\vartheta}{2}}+\ldots\right).

Na wykresie mamy stosunek okresu wahadła przy danej amplitudzie do okresu dla niewielkich amplitud. Widzimy, skąd się wziął obserwowany izochronizm: trzeba mocno wychylić wahadło, żeby dostrzec wydłużenie okresu. Jednak przy amplitudach bliskich \pi=180^{\circ} wydłużenie staje się duże, całka K(k)\rightarrow \infty.

Zajmiemy się teraz przypadkiem, gdy amplituda \varphi_m=\pi-\alpha_m, gdzie \alpha_m\ll 1. Korzystamy tu z poglądowego podejścia z pracy E. Butikova, Oscillations of a simple pendulum with extremely large amplitudes. Asymptotyczna postać całki eliptycznej przy wartościach k bliskich 1 jest dobrze znana (por. np. F. Bowman, Introduction to elliptic functions with applications), ale podejście Butikova pozwala nam lepiej zrozumieć ruch przy dużych amplitudach.

Najpierw zajmijmy się ruchem wahadła dla przypadku \varphi_m=\pi. Mamy wtedy

\dot{\varphi}=\cos\dfrac{\phi}{2}.

Rozwiązanie, w którym \varphi(0)=0, jest postaci

\varphi=\pi-4\;\mbox{arctg }(e^{-\omega t}).

Na wykresie kąty wyrażone są w stopniach. Widzimy, że położenie \varphi=\pi=190^{\circ} koralik osiąga po nieskończenie długim ruchu. Większość tego ruchu odbywa się w okolicach t=0, gdzie wykres stromo się wznosi. Jednak takie przybliżenie nie wystarczy do tego, aby znaleźć skończony okres odpowiadający \alpha_m\ne 0. Możemy zastosować je aż do pewnego kąta 1 \gg\alpha_c>0 i drugi odcinek ruchu od \alpha_c do maksymalnego wychylenia \alpha_m obliczyć w przybliżeniu małych kątów. Najłatwiej o tym myśleć jako o czasie potrzebnym do tego, by koralik znajdujący się początkowo w punkcie \alpha_m ześliznął się do punktu \alpha_c. Przyjmujemy, że oba te punkty leżą blisko najwyższego punktu okręgu. II zasada dynamiki przybiera postać (kąt \alpha liczony jest od szczytu okręgu)

\ddot{\alpha}=\omega^2 \sin \alpha\approx \omega^2\alpha \;\Rightarrow \alpha=\alpha_m \cosh \omega t.

Stąd znajdujemy czas t_1 potrzebny na osiągnięcie punktu \alpha_c:

\omega t_1=\ln \dfrac{2\alpha_c}{\alpha_m}.

Korzystając z poprzedniego rozwiązania, znajdujemy czas t_2 potrzebny na dotarcie od \varphi=0 do \varphi=\pi-\alpha_c:

\omega t_2=\ln\dfrac{4}{\alpha_c}.

Ćwierć okresu wahadła to t_1+t_2, otrzymujemy więc

T=\dfrac{2}{\pi}T_0 \ln\dfrac{8}{\alpha_m},

gdzie T_0 jest okresem przy niewielkich wychyleniach. Z równań wypadło pośrednie położenie \alpha_c. Okres wahadła jest więc logarytmicznie rozbieżny gdy \alpha_m\rightarrow 0.

I tutaj Euler zawiódł. Wiedział, że graniczne rozwiązanie ma postać, której użyliśmy powyżej. Próbował obliczyć czas, pisząc równanie

{\displaystyle \int\dfrac{d\alpha}{2 \sqrt{ \sin^2\dfrac{\alpha}{2}-\sin^2\dfrac{\alpha_m}{2}}}=\omega t+C}

i rozwijając je w szereg, a następnie sumując ten szereg. Niestety, jego wyrażenie asymptotyczne okazało się błędne. W czasach Eulera nie przywiązywano nadmiernej wagi do zbieżności szeregów, prawdopodobnie w tym tkwi problem. Bo rachunki wydają się prawidłowe.

Obwód świata w Samarkandzie: Al-Kashī i liczba pi (1424)  

W pierwszej połowie XV wieku położona na Jedwabnym Szlaku Samarkanda (dziś Uzbekistan) przeżywała swój okres świetności dzięki Uług Begowi, władcy wielce oświeconemu, miłośnikowi poezji, i co rzadsze: matematyki i astronomii. Pod jego patronatem stworzono szkołę, medresę, w której nauczali wybitni mędrcy, a także obserwatorium z największym na świecie kwadrantem.

Registan_square_Samarkand

512px-Ulugh_Beg's_Astronomic_Observatory

Najtrwalszym rezultatem tego złotego wieku okazały się tablice astronomiczne wraz z katalogiem gwiazd pierwszym po Ptolemeuszu. Najważniejszym matematykiem ośrodka w Samarkandzie był wywodzący się z perskiego miasta Kaszan, Dżiiad ad-Din Dżamszid Al-Kaszi (w transkrypcji angielskiej: Ghiyāth al-Dīn Jamshīd Al-Kāshī), którego będziemy krótko nazywać Al-Kaszi – co znaczy wywodzący się z Kaszan, podobnie jak da Vinci znaczy pochodzący z Vinci. W kwiecistym orientalnym stylu nazywano go „drugim Ptolemeuszem”, „perłą chwały swego wieku”, „królem inżynierów” i „rachmistrzem”. Porównanie z Ptolemeuszem lepiej by pasowało do astronomów z Maragi, ale w dziedzinie matematyki praktycznej, obliczeniowej, był Al-Kaszi mistrzem niewątpliwym. Używał do obliczeń systemu sześćdziesiętnego, jak to było w zwyczaju wśród astronomów, ale także poświęcił wiele uwagi systemowi dzisiętnemu, do którego, jak wiemy, należała przyszłość. W 1424 r. Al-Kaszi obliczył z wielką dokładnością liczbę \pi, potem obliczył także z dużą dokładnością wartość \sin 1^{\circ}. W znacznym stopniu pozostajemy tu w kręgu tradycji Archimedesa i Ptolemeusza, co pokazuje, jak rewolucyjne były w swim czasie te greckie osiągnięcia. W Europie dopiero pod koniec XV wieku trygonometria osiągnęła zbliżony do Samarkandy poziom, a liczbę \pi wyznaczono z podobną dokładnością znacznie później. Kilkanaście wieków po uczonych greckich osiągnięto wprawdzie spore postępy praktyczne, ale wciąż obracano się w kręgu idei tamtych uczonych znad Morza Śródziemnego. Dopiero rozwój algebry pod koniec XVI wieku i analizy matematycznej od połowy wieku XVII dostarczył zupełnie nowych pomysłów, dzięki którym matematyka i fizyka zaczęły się na nowo. Ośrodek w Samarkandzie nie przetrwał długo, Uług Beg został zabity w nieustających walkach o władzę, jakie toczono na obszarach Azji środkowej. Część dorobku tamtejszych uczonych „powróciła” przez Turcję i Wenecję do Europy.  

Metoda obliczania liczby \pi podana została przez Archimedesa. tmp_03uqumjo

Zacznijmy od sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg. Wiemy, że długość jego boku równa jest promieniowi okręgu, który będziemy przyjmować za jednostkę długości. Obwód sześciokąta równy jest więc 6 i mamy biblijne przybliżenie \pi\approx 3. Nie jest ono zbyt dokładne. Archimedes pokazał, jak można je poprawić, podwajając liczbę boków wielokąta. Jeśli obliczyć długość boku takiego wielokąta, otrzymamy następne przybliżenie dla długości okręgu. Są to przybliżenia od dołu, ponieważ obwód wielokątów wpisanych jest mniejszy od długości okręgu. Chcąc uzyskać przybliżenie liczby \pi z góry, należy wziąć wielokąty foremne opisane na okręgu. Są one podobne do wielokątów wpisanych i bez trudu można znaleźć długość ich boku, a więc i przybliżenie \pi z góry. Archimedes użył 96-kąta i otrzymał oszacowanie 3\frac{10}{71}<\pi<3\frac{1}{7}. Al-Kaszi użył w zasadzie tej samej metody. Pragnął osiągnąć taką dokładność, aby można było wyznaczyć obwód świata z dokładnością mniejszą niż grubość końskiego włosa. Jego obliczenie wyglądało następująco. Przyjmijmy z nadmiarem, że promień świata równy jest 600 000 promieni Ziemi (al-Szirazi obliczał go na zaledwie 70 076,5 promieni Ziemi – skutek zadawnionego błędu Arystarcha). Obwód Ziemi to 8000 parasangów, z których każdy ma 12 000 łokci po 24 cale, a cal to 6 średnich ziaren jęczmienia, każde zaś z nich to 6 grubości włosa końskiego (z grzywy). Obwód świata równa się więc 0,5\cdot 10^{16} grubości końskiego włosa, co jest odwrotnością względnej dokładności, jakiej potrzebujemy.

podwajanie1

Rysując boki dwóch kolejnych wielokątów a_1,\,a_2 wpisane w półokrąg, usupełniamy je do trójkątów prostokątnych. Długości przyprostokątnych to c-1\, c_2. Obowiązuje twierdzenie Pitagorasa: a_1^2+c_1^2=a_2^2+c_2^2=4. Podwajanie liczby kątów wielokąta oznacza przepołowienie kąta środkowego, na którym oparty jest bok wielokąta.

podwajanie2

podwojenie3

Mamy więc c_2=\sqrt{2+c_1} i ogólnie dla podwojenia 6\cdot 2^n kąta:

c_{n+1}=\sqrt{2+c_n};\;\; c_1=\sqrt{3}.

Wystarczy więc kolejno wyciągać pierwiastki kwadratowe i dodawać:

c_n=\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+\sqrt{3}} } }

a_n=\sqrt{2-\sqrt{2+\ldots+{2+\sqrt{3}} } }.

Al-Kaszi doszedł w ten sposób do 805306368-kąta foremnego. Liczba \pi jest równa w tym przybliżeniu 3,14159265358979323. Metoda Archimedesa nie jest szczególnie efektywna, dopiero rozwinięcia w szereg od XVIII wieku dostarczyły skutecznych przybliżeń. Oczywiście dla celów praktycznych niemal zawsze wystarczy dokładność Al-Kasziego, późniejsze długie rozwinięcia liczby \pi służyły raczej zbadaniu „anatomii” samej liczby albo testowaniu programów. Obecny rekord dokładności (sierpień 2021 r.) to 62,8\cdot 10^{12} cyfr. Jeszcze w 1914 roku Srinivasa Ramanujan podał szybko zbieżny szereg:

\dfrac{1}{\pi}=\dfrac {\sqrt{8}} {9801}\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^4 396^{4n}}.

Udoskonalenia tej formuły pozwalają obliczać 14 cyfr znaczących z każdym kolejnym wyrazem rozwinięcia.

Innym praktycznym osiągnięciem Al-Kasziego było precyzyjne obliczenie wartości \sin 1^{\circ}. Funkcja sinus nie znana była Grekom, używali oni długości cięciwy okręgu w funkcji kąta środkowego.

crd

Dopiero Hindusi zorientowali się, że wygodniejsza może być funkcja

\sin\alpha=\dfrac{1}{2}\mbox{ crd } 2\alpha.

Uczeni islamscy przejęli tę techniczną nowinkę. Przy podziale kąta prostego na 90 stopni pojawiał się problem obliczenia \sin 1^{\circ}. Chodziło o to, że \sin 3^{\circ} można obliczyć z rozważania kątów w wielobokach: sin 30^{\circ} jest trywialny, \sin 36^{\circ} wynika z obliczenia długości boku pięciokąta foremnego. Łatwo więc uzyskać sinus kąta 6^{\circ}=36^{\circ}-30^{\circ} i jego połowy. Ale kąt 1^{\circ} wymaga podzielenia przez trzy, był to słynny nierozwiązywalny problem greckiej geometrii: trysekcja kąta. Dwa pozostałe to podwojenie sześcianu (konstrukcja \sqrt[3]{2} oraz kwadratura koła (skonstruowanie kwadratu o boku \sqrt{\pi}). Al-Kashi podał geometryczny dowód tożsamości

\sin 3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha.

Można ją odczytać z rysunku (nie pochodzi on z pracy Al-Kasziego):

potrojenie

Przy \alpha=1^{\circ} i oznaczając x=\sin 1^{\circ} oraz 3a=\sin 3^{\circ} otrzymujemy równanie sześcienne, które możemy zapisać następująco:

x=a+\dfrac{4}{3} x^3.

Pierwszym przybliżeniem jest x_0=a. Następne przybliżenia można znaleźć iterując równanie

x_n=a+\dfrac{4}{3}x_{n-1}^3.

Metoda ta działa znakomicie i Al-Kaszi otrzymał wynik \sin 1^{\circ}=0,01745240643728351. Było to pierwsze poważne zastosowanie tej metody. Z poniższego obrazka można sobie wydedukować, w jakich warunkach iteracje równania x=f(x) będą zbieżne.

iteracje

Arnold Sommerfeld i zagadka widma wodoru (1916)

Miał historycznego pecha: był 81 razy nominowany do Nagrody Nobla z fizyki, ale nigdy jej nie dostał. „Planck był autorytetem, Einstein – geniuszem, a Sommerfeld – nauczycielem”, jak ujął to historyk Armin Hermann. Nauczycielem noblistów, trzeba dodać. Czterech jego doktorantów i trzech postdoków zostało później laureatami Nobla, a do tego dochodzi mnóstwo nazwisk uczniów i współpracowników, które i dziś znane są fizykowi. Jego ośrodek w Monachium obok Getyngi Maksa Borna i Kopenhagi Nielsa Bohra wychował całe pokolenie genialnych chłopców lat dwudziestych (osobny był tylko Paul Dirac, ale on był zawsze osobny). Sommerfelda wyjaśnienie struktury subtelnej widma wodoru było eleganckie i niezwykle dokładne. Jednak osiągnięcia Sommerfelda nie stanowiły zamkniętej teorii, było jeszcze za wcześnie na mechanikę kwantową. Trudno czynić mu z tego zarzut: ani Planck, ani Einstein nie posunęli się dalej.

Sommerfeld był właściwie matematykiem zajmującym się zagadnieniami fizyki matematycznej. Gdy w 1906 r. objął katedrę fizyki teoretycznej w Monachium nie było jeszcze fizyki kwantowej oprócz pionierskich prac Plancka i Einsteina. Dopiero podczas wojny Sommerfeld zainteresował się serio zagadnieniami kwantowymi. 

Czterdziestopięcioletni profesor nie został powołany do wojska ze względu na wiek, zresztą pomimo swego patriotyzmu nie był entuzjastą wojny, jak większość jego rodaków. Wkrótce jednak i jemu udzieliła się nieuchronna atmosfera paranoi i oblężonej twierdzy, podpisał np. antybrytyjski apel Wilhelma Wiena wzywający, by niemieccy uczeni nie publikowali w angielskich czasopismach i odrzucali „nieuzasadnione wpływy naukowe Anglików”. Było więcej tego rodzaju wstydliwych wystąpień, zresztą po obu stronach konfliktu. Zaledwie rok wcześniej, w roku 1913, zarówno Wien, jak Sommerfeld brali udział w drugim Kongresie Solvaya, gdzie spotykała się elita ówczesnych fizyków i mogło się wydawać, że nauki ścisłe nie mają narodowości.

855px-Solvay_conference_1913

Sommerfeld znany był z otwartości i bliskich kontaktów ze swymi studentami. Chodził z nimi na piwo i jeździli wspólnie na narty, w tamtych czasach taka postawa była rzadkością. Einstein, kiedy poznał Sommerfelda, obiecywał sobie, że będzie miał podobne podejście do studentów. Podczas wojny Sommerfeld prowadził wprawdzie nadal wykłady, ale wielu studentów i młodszych kolegów było na froncie. Chętnie jednak w miarę możliwości korespondowali na tematy naukowe, pozwalało im to na chwilę zapomnieć o toczącej się wciąż wojnie.

Sommerfeld stosował metodę, którą później wielokrotnie stosował Steven Weinberg: jeśli chcesz nauczyć się jakiegoś przedmiotu, wygłoś na ten temat cykl wykładów. W przypadku Sommerfelda wynikiem jest wielotomowy kurs fizyki teoretycznej, a także monografia Atombau und Spektrallinien („Budowa atomu i linie widmowe”), biblia pierwszych lat fizyki kwantowej. W przypadku Weinberga to seria znakomitych solidnych podręczników na różnym poziomie, a także zarys historii fizyki.

W lutym 1915 roku Sommerfeld pisał do Wiena: „W tym semestrze prowadziłem wykłady na temat [modelu] Bohra i interesuję się tą kwestią, na ile wojna pozwala. Dzisiejsze 100 000 Rosjan to z pewnością piękniejsza wiadomość niż wyjaśnienie serii Balmera przez Bohra. Mam jednak piękne nowe wyniki na ten temat.” Owe 100 000 Rosjan to jeńcy po bitwie nad jeziorami mazurskimi. Przez cały rok 1915 Sommerfeld pracował, choć z przerwami, nad zagadnieniem atomu. Udało mu się uogólnić warunki kwantowania Bohra, a następnie zastosował do elektronu mechanikę szczególnej teorii względności (którą także w owym czasie wykładał). Model relatywistyczny pozwolił wyjaśnić rozszczepienie optycznych linii widmowych wodoru, a także optycznych i rentgenowskich linii cięższych pierwiastków. Wyjaśniła się w ten sposób kwestia znana od wielu lat: linie widmowe pierwiastków mają często kilka blisko położonych składowych widocznych przy dużej zdolności rozdzielczej (np. żółta linia sodu świecąca w lampach sodowych jest dubletem). Tę strukturę subtelną wodoru odkryli Albert Michelson i Edward Morley jeszcze w roku 1887. Dzięki Sommerfeldowi wyjaśniło się, że odgrywa tu rolę szczególna teoria względności, w latach 1915-1916 jej słuszność wcale nie była jeszcze oczywista, obie teorie względności jeszcze długo później uchodziły za „kontrowersyjne”, pamiętajmy, że Nagrodę Nobla przyznano Einsteinowi z wyraźnym zastrzeżeniem, iż nie jest nagrodą za teorię względności. Wspominany w tym blogu kilkukrotnie Ernst Gehrcke, zaciekły przeciwnik teorii Einsteina, był specjalistą od pomiarów widmowych. Przez lata spierał się z Friedrichem Paschenem, który zmierzył wielkość rozszczepienia linii zgodną z wynikami Sommerfelda. Gehrcke otrzymywał wciąż nieco inną wartość. I to z pozornie obiektywnych pomiarów, w których widmo było rejestrowane przez przyrząd. Nienawiść zaślepia. 

Wynik Sommerfelda niemal pokrywa się z tym, co uzyskano później z równania Diraca. Eleganckie i zgodne z obserwacjami wyniki Sommerfelda stały się największym sukcesem tzw. starej teorii kwantów, czyli fizyki sprzed powstania mechaniki kwantowej. Co ciekawe, twórcy mechaniki kwantowej, Schrödinger i Pauli, publikując rozwiązania dla atomu wodoru w styczniu 1926 roku, nie do końca byli usatysfakcjonowani. Obaj bowiem, zupełnie niezależnie, próbowali osiągnąć wynik Sommerfelda i im się to nie udało. Musieli zadowolić się podejściem nierelatywistycznym, bez struktury subtelnej. Mieli więc świadomość, że górują pod względem metody, ale nie dorównują wynikom Sommerfelda. Relatywistyczną mechanikę kwantową zapoczątkował w 1928 r. Paul Dirac, lecz okazało się dość szybko, jeszcze w latach trzydziestych, że potrzebna jest tu kwantowa teoria pola. Obliczenia w ramach teorii pola szybko doprowadziły do impasu: niektóre wyniki okazywały się nieskończone. Wyjście z tego impasu znaleziono dopiero po II wojnie światowej: było nim sformułowanie elektrodynamiki kwantowej przez Juliana Schwingera, Shin’ichirō Tomonagę i Richarda Feynmana. Dopiero wtedy dokładność teorii (a także pomiarów) wyprzedziła wyniki Sommerfelda i Diraca.

W modelu Bohra dozwolone są orbity kołowe, które spełniają warunek

L=mrv=n\dfrac{h}{2\pi},

gdzie L,r,m,v,h to odpowiednio moment pędu, promień orbity, masa i prędkość elektronu oraz stała Plancka, a n jest dodatnią liczbą całkowitą. Max Planck interesował się zagadnieniem oscylatora harmonicznego – oscylatory takie emitują bądź pochłaniają fale elektromagnetyczne. Można opisać je w przestrzeni fazowej, gdzie współrzędnymi są położenie q oraz pęd p. Jeśli położenie w zależności od czasu opisane jest równaniem q=A \sin 2\pi\nu t (\nu jest częstością), to pęd elektronu jest równy p=m2\pi\nu A \cos 2\pi\nu t i łatwo sprawdzić, że tor w przestrzeni fazowej jest elipsą (wystarczy skorzystać z jedynki trygonometrycznej). Warunek kwantowania Plancka ma postać następującą:

quantum action

Pole zakreślane w przestrzeni fazowej przez elektron jest wielokrotnością stałej h. Można ten warunek zapisać w postaci

W={\displaystyle \int dp dq =nh.}

Zastanawiano się także nad dodaniem jakiejś stałej w rodzaju 1/2 do n, ale na razie zostawmy to bez stałej. Dla eliptycznego toru w przestrzeni fazowej, mamy więc W=\pi A (m\omega A)=nh. Obliczając energię oscylatora, otrzymamy

E=\dfrac{p_{max}^2}{2m}= nh\nu.

Jest to zgodne z tym, co na temat oscylatorów twierdzili Planck i Einstein.

Warunek kwantowania można zapisać także w postaci:

W={\displaystyle \int (p_{+}-p_{-})dq=\oint p dq=nh.}

Druga całka jest po zamkniętym konturze, jej sens geometryczny jest taki sam.

quantum_action_3

quantum_action_2

Sommerfeld zastosował warunki kwantowania w tej drugiej postaci do ruchu elektronu w polu kulombowskim. Ruch klasyczny jest płaski, mamy więc dwa stopnie swobody. Położenie elektronu określają np. współrzędne biegunowe: odległość od jądra r oraz kąt \varphi z ustalonym kierunkiem. Odpowiadają tym zmiennym dwa pędy: składowa radialna p_r oraz składowa styczna p_{\varphi}. W naszym przypadku element odległości ds w zmiennych biegunowych ma postać

ds^2=dr^2+r^2 d\varphi^2.

polar coordinates

Iloczyn p dq w przypadku składowej radialnej przyjmuje postać m\frac{dr}{dt} dr=p_r dr, a w przypadku składowej stycznej p_{\perp}r d\varphi = p_{\varphi} d\varphi \equiv L d\varphi, pędem skojarzonym z kątem jest po prostu moment pędu. Można to uzasadnić ściślej, istnieje w mechanice precyzyjny przepis, jak dowolnej zmiennej uogólnionej przypisać odpowiedni pęd, por. niżej (*).

Przestrzeń fazowa jest teraz czterowymiarowa. Mamy dwa warunki kwantowania dla obu par zmiennych. Dla kąta \varphi i L warunek jest trywialny i pokrywa się z warunkiem Bohra:

{\displaystyle \oint L d\varphi=L2\pi=n_{\varphi}h.}

Dla zmiennych radialnych otrzymujemy coś nowego:

{\displaystyle \oint p_r dr=n_{\varphi} h}

gdzie liczby kwantowe n_r, n_{\varphi} mogą się różnić. Ponieważ dopuszczamy teraz zmiany odległości od jądra, należy się spodziewać, że podobnie jak w przypadku ruchu planet wokół Słońca dopuszczalne ruchy elektronu będą zachodzić po elipsach (mówimy tylko o stanach związanych, warunki kwantowania dotyczą tylko takiej sytuacji). 

Energia kinetyczna elektronu jest zatem równa

E_k=\dfrac{m}{2}\dfrac{ds^2}{dt^2}=\dfrac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\varphi}^2)=\dfrac{p_r^2}{2m}+\dfrac{p_{\varphi}^2}{2mr^2}.

Całkowita energia elektronu w atomie wodoru (pomijamy ruch jądra) dana jest wyrażeniem

E=\dfrac{p_r^2}{2m}+\dfrac{p_{\varphi}^2}{2mr^2}-\dfrac{e^2}{r},

gdzie piszemy e^2\equiv\dfrac{q_e^2}{4\pi\varepsilon_0} (q_e, \varepsilon_0 to ładunek elementarny i przenikalność dielektryczna próżni). Możemy wyznaczyć p_r z równania energii i wstawić do warunku kwantowania. Obliczając całkę (**) i wyznaczając E dostajemy wynik Bohra:

E=-\dfrac{me^4}{2\hbar^2 (n_r+n_{\varphi})^2}\equiv-mc^2\dfrac{\alpha^2}{2n^2}.

Zamiast jednej liczby kwantowej, mamy teraz sumę dwóch liczb kwantowych: n=n_r+n_{\varphi}. Stała \alpha jest bezwymiarowa i równa

\alpha=\dfrac{e^2}{\hbar c}\approx 1/137.

Stała ta zwana stałą struktury subtelnej nabiera znaczenia w teorii relatywistycznej, jak zobaczymy niżej. Istnieje więc pewna liczba stanów o tej samej energii: wszystkie odpowiadają orbitom o tej samej dużej osi i różnym spłaszczeniu. Łatwo pokazać, że stosunek długości osi małej b i dużej a jest równy

\dfrac{b}{a}=\dfrac{n_{\varphi}}{n_r+n_{\varphi}}.

Sommerfeld wykluczył stany o zerowym momencie pędu, gdy tor elektronu jest odcinkiem o końcu w jądrze atomu. W ten sposób zamiast trzeciej orbity Bohra mamy zestaw okręgu i dwóch elips (jądro jest zawsze w ognisku elipsy). Mamy więc w ogólności wiele stanów o tej samej energii: zdegenerowanych.

sommerfeld 3

Nietrudno procedurę Sommerfelda uogólnić na przypadek relatywistyczny. Klasyczne elipsy ulegają teraz precesji. Nie jest to precesja Einsteina z ogólnej teorii względności, Sommerfeld, śledzący na bieżąco postępy Einsteina, doskonale wiedział o różnicy. Obliczył nawet, że w przypadku Merkurego precesja byłaby równa 7 sekund kątowych na stulecie.

p0347-sel

Rysunek z Atombau Sommerfelda

Wystarczy wstawić mc^2+E=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4} do równania na energię, E jest ujemną energią wiązania. Ponownie wyznaczając p_r i całkując warunek kwantowy, otrzymamy

E+mc^2=mc^2\left\{ 1+\dfrac{\alpha^2}{\left( n_r+\sqrt{n_{\varphi}^2-\alpha^2}\right)^2} \right\}^{-\frac{1}{2}}.

W bardziej przejrzystym przybliżeniu w postaci szeregu w stałej struktury subtelnej:

E\approx -mc^2\dfrac{\alpha^2}{2n^2}-mc^2\dfrac{\alpha^4}{2n^4}\left( \dfrac{n_r+n_\varphi}{n_{\varphi}}-\dfrac{3}{4}\right).

Wyniki te niewiele zmieniają się w teorii Diraca, należy tylko zastąpić n_{\varphi} przez j+\frac{1}{2}, gdzie j jest liczbą kwantową całkowitego momentu pędu z uwzględnieniem spinu. Oczywiście w roku 1916 o spinie jeszcze nikt nie słyszał. W elektrodynamice kwantowej wyniki uzyskuje się w postaci szeregu potęgowego względem \alpha. Dzięki takim rozwinięciom można elektrodynamikę potwierdzić z dokładnością kilkunastu cyfr znaczących.

 

(*) W przypadku współrzędnych uogólnionych pędy zdefiniowane są jako

p_i=\dfrac{\partial E_k}{\partial \dot{q_i}},

gdzie E_k jest energią kinetyczną, a \dot{q_i} pochodną czasową zmiennej q_i.

(**) Całki występujące w obu wersjach kwantowania Sommerfelda są postaci

{\displaystyle \oint \dfrac{dx}{x}\sqrt{-Ax^2+2Bx-C}=2\pi\left(\dfrac{B}{\sqrt{A}}-\sqrt{C}\right) }.

Współczynniki A,B,C są dodatnie i wyrażenie podcałkowe ma dwa miejsca zerowe. Można w tym przypadku znaleźć całkę nieoznaczoną i wziąć ją w odpowiednich granicach. Metoda elegancka to scałkowanie wyrażenia na płaszczyźnie zespolonej z rozcięciem wzdłuż osi rzeczywistej między dwoma pierwiastkami. Można też użyć pakietu Sagemath, Maxima albo Mathematica.

Konstandinos Kawafis: Czekając na barbarzyńców (1898)

Na cóż czekamy, zebrani na rynku?

Dziś mają tu przyjść barbarzyńcy.

Dlaczego taka bezczynność w senacie?
Senatorowie siedzą – czemuż praw nie uchwalą?

Dlatego że dziś mają przyjść barbarzyńcy.
Na cóż by się zdały prawa senatorów?
Barbarzyńcy, gdy przyjdą, ustanowią prawa.

Dlaczego nasz cesarz zbudził się tak wcześnie
i zasiadł – w największej z bram naszego miasta –
na tronie, w majestacie, z koroną na głowie?

Dlatego że dziś mają przyjść barbarzyńcy.
Cesarz czeka u bramy, aby tam powitać
ich naczelnika. Nawet przygotował
obszerne pismo, które chce mu wręczyć –
a wypisał w nim wiele godności i tytułów.

Czemu dwaj konsulowie nasi i pretorzy
przyszli dzisiaj w szkarłatnych, haftowanych togach?
Po co te bransolety, z tyloma ametystami,
i te pierścienie z blaskiem przepysznych szmaragdów?
Czemu trzymają w rękach drogocenne laski,
tak pięknie srebrem inkrustowane i złotem?

Dlatego że dziś mają przyjść barbarzyńcy,
a takie rzeczy barbarzyńców olśniewają.

Czemu retorzy świetni nie przychodzą, jak zwykle,
by wygłaszać oracje, które ułożyli?

Dlatego że dziś mają przyjść barbarzyńcy,
a ich nudzą deklamacje i przemowy.

Dlaczego wszystkich nagle ogarnął niepokój?
Skąd zamieszanie? (Twarze jakże spoważniały.)
Dlaczego tak szybko pustoszeją ulice
i place? Wszyscy do domu wracają zamyśleni.

Dlatego że noc zapadła, a barbarzyńcy nie przyszli.
Jacyś nasi, co właśnie od granicy przybyli,
mówią, że już nie ma żadnych barbarzyńców.

Bez barbarzyńców – cóż poczniemy teraz?
Ci ludzie byli jakimś rozwiązaniem.

(przeł. Z. Kubiak)

Nie jest to najlepszy wiersz Kawafisa, nieco zbyt retoryczny, zbudowany katechizmowo, nie odwołuje się do konkretnej sytuacji historycznej, ironia jest tu zbyt łatwa. Ale nawet słabszy, wczesny Kawafis, to wciąż Kawafis: z wyobraźnią ożywiającą historię, pozwalającą widzieć zarówno materialne i psychologiczne szczegóły, jak i głębszy sens spektaklu. Oto mamy rozwiniętą cywilizację, która nie ma siły trwać, jej elity skoncentrowane są na dogadzaniu własnej próżności, popisywaniu się bogactwem, pomysłowością w sprawach trzeciorzędnych, błyskotkami i błahostkami. Wszyscy czekają na potop, który by odnowił oblicze ziemi.

Na kilkanaście lat przed wielką wojną światową i wielką rewolucją rosyjską, przed czekistami, czarnymi koszulami i brunatnymi koszulami, stalinami i hitlerami, łagrami i lagrami, poeta z prowincjonalnej Aleksandrii umiał zaglądać w głąb czasu i dobrze rozumiał, na czym polega znużenie światem i tęsknota za rządami silnej ręki, przecinającymi beznadziejne dylematy. Tak słodko wyrzec się wolności. Miliony miały sobie powtarzać: co nam po wolności, skoro i tak nasze życie przypomina dożywotnie więzienie, którego murów sami nie przebijemy.

Każdy czytelnik musi zadać sobie nieuchronne pytanie: kim są owi barbarzyńcy. Dla Greków byli to ci, którzy nie mówili po grecku. Definicja ta w jakimś sensie pozostaje użyteczna do dziś, jeśli rozumieć ją szerzej, a więc nie tylko w odniesieniu do języka, ale i do tego, co się myśli. Grecy nauczyli nas szacunku dla człowieka, podziwu dla jego ciała, umysłu, czasem także charakteru. Uczyli pokory wobec świata, przestrzegali przed hybris, zgubną pychą, która narusza prawa boskie i nieuchronnie wiedzie do katastrofy. Zaszczepili nam zmysł tragedii i koncepcję filozofii. Arystotelesowska definicja prawdy nigdy nie przestała być aktualna (w sformułowaniu św. Tomasza jest to zgodność naszych pojęć z faktami, coś niełatwego do osiągnięcia, lecz bezcennego). Zresztą bez Greków chrześcijaństwo byłoby zaledwie jedną więcej egzotyczną żydowską sektą, nigdy nie osiągnęłoby metafizycznej subtelności i intelektualnej dojrzałości. Także prawa logiki i ich nadużycia, retoryka i demagogia, skodyfikowane zostały przez Greków. Ani druk, ani internet nie dodały tu nic nowego oprócz zgiełku i narastającego z czasem przeświadczenia, że liczy się tylko dzień dzisiejszy, a co wczoraj niewarte jest pamiętania. Zasypywani powodzią nieistotnych słów i obrazów, niczym nartniki po powierzchni wody, ślizgamy się po teraźniejszości, niewiele z niej rozumiejąc.

Jakich barbarzyńców obawia się dzisiejszy świat Zachodu? Islamskich terrorystów, chińskich producentów, kolorowych imigrantów, własnych społeczeństw? Cywilizacje mają swoje przypływy i odpływy, ta zachodnioeuropejska i amerykańska prawdopodobnie chyli się ku upadkowi, a ci, którzy chcą jej bronić są gorsi niż barbarzyńcy przybywający od granic. Zdegenerowane chrześcijaństwo, które nie rozumie, kim był żydowski prorok Jezus z Nazaretu i które jest tylko bezmyślnym klepaniem magicznych zaklęć, wznoszeniem nienawistnych okrzyków i paradowaniem z faszystowskimi symbolami, bez żadnej przyszłości. Ludzie, którzy kłamią, nawet wtedy, kiedy się nie odzywają. Uczestnicy polowań z nagonką na Bogu ducha winne ofiary – ale przecież nikt nie jest niewinny. Nowi dygnitarze, bezmyślni albo powtarzający sobie w duchu, że tak trzeba. Prymitywy, których uniwersum mieści się w telefonie. Barbarzyńców nie trzeba daleko szukać – oni są w nas, w naszych sąsiadach, krewnych i znajomych, wystarczą sprzyjające okoliczności, a chamstwo i brutalność wezmą górę. Jacyś barbarzyńcy zawsze się znajdą, wezmą władzę, która leży na ulicy, i ustanowią swoje prawa, proste jak pałka i płaskie jak umysł towarzysza Płaszczaka.

(grudzień 2016 r.)