Christiaan Huygens o załamaniu światła w atmosferze

W swym Traktacie o świetle Huygens zajmuje się także kwestią rozchodzenia się światła po liniach krzywych. Najbardziej znanym przypadkiem jest tu refrakcja astronomiczna: dzięki załamaniu w atmosferze ciała niebieskie wydają się nieco wyżej niż gdyby atmosfery nie było. Efekt rośnie wraz ze zbliżaniem się do horyzontu, spłaszczony kształt dysku Słońca lub Księżyca pochodzi właśnie stąd: dolna krawędź dysku podniesiona jest bardziej niż górna i widzimy owal. Samo Słońce jest wtedy już pod horyzontem i widzimy je tylko dzięki zakrzywieniu promieni w atmosferze. Astronomowie znali i mierzyli ten efekt od dawna, a od czasów Tychona Brahego jego wielkość znana była dość dokładnie.

Wielkość refrakcji podana jest w minutach kątowych, obserwowana wysokość ciała niebieskiego w stopniach. Dane Tychona zestawione na wykresie z pracy: Waldemar H. Lehn, Siebren van der Werf, Atmospheric refraction: A history, „Applied Optics”, t. 44, (2005), s. 5632. Tycho niepotrzebnie podawał inne wartości dla Słońca i gwiazd, częściowo za tę różnicę odpowiadała przyjmowana wtedy błędna (o wiele za duża) wartość paralaksy Słońca. Dla ciał niebieskich położonych względnie wysoko nad horyzontem efekt zależy jedynie od współczynnika załamania światła w atmosferze na poziomie obserwatora względem próżni.

Z obrazka widzimy, że bez względu na liczbę płaskorównoległych warstw powietrza otrzymamy dla ostatniej z nich równość

gdzie jest kątem refrakcji. Korzystając ze wzoru na sinus sumy kątów i faktu, że dla małych kątów oraz , otrzymujemy

Potrzebujemy znać jedynie współczynnik załamania powietrza względem próżni na wysokości obserwatora, co jest stosunkowo łatwe. Isaac Newton podawał wartość zmierzoną przez Francisa Hauksbeego. Oczywiście, wyrażenie to nie może być słuszne dla kątów bliskich , bo funkcja tangens jest w tym punkcie rozbieżna. Model warstw płaskorównoległych nie wystarczy, trzeba uwzględnić zakrzywienie Ziemi i zależność współczynnika załamania od wysokości.

Huygens podał wyjaśnienie krzywoliniowego rozchodzenia się światła w swojej teorii.

Jeśli prędkość fali świetlnej maleje z wysokością, promień będzie poruszał się po linii zwróconej wypukłością do góry, jak na rysunku. (Musimy pamiętać, że promień światła jest prostopadły do powierzchni czoła fali.) Łatwo też sobie wyobrazić, co stanie się, gdy prędkość światła będzie rosnąć przy ziemi – wtedy promień zakrzywi się wypukłością w dół. Sytuacja taka odpowiada mirażom np. nad rozgrzaną powierzchnią drogi.

Huygens nie rozwijał ilościowo teorii możliwych krzywych, przedstawił natomiast rysunek sytuacji z punktu widzenia teorii falowej.

 

Mamy tu falę płaską biegnącą z prawa na lewo. AFHB stanowi czoło fali w pewnej chwili. W chwili późniejszej czoło fali KL będzie obwiednią fal sferycznych rozchodzących się ze starego czoła fali. Odległość AK jest większa niż BL, ponieważ prędkość fali rozchodzącej się z A jest większa niż prędkość fali rozchodzącej się z B. W chwili następnej utworzy się czoło fali MN jeszcze bardziej zakrzywione w stronę malejącej prędkości rozchodzenia.

Huygens nie rozwinął tego tematu dalej, prawdopodobnie chodziło mu tylko o pokazanie, w jaki sposób można by tego dokonać. Jego rozumowanie jest słuszne, praktycznie tak samo ponad dwa wieki później Einstein pokazał, jak światło powinno się zakrzywiać w polu grawitacyjnym (co także sprowadza się do zmiany współczynnika załamania albo efektywnej prędkości fali, tym razem w pobliżu Słońca).

Zobaczmy, jak Huygens mógłby bez trudu skonkretyzować swoją teorię rozchodzenia się światła w atmosferze. Zacznijmy od jego rysunku.

Widzimy z niego, że kąt odchylenia czoła fali jest równy

Krzywizna promienia światła, czyli odwrotność promienia krzywizny jest równa

Gdy promień biegnie pod kątem do zenitu, możemy zastąpić przez różnicę wysokości . Promień krzywizny promienia świetlnego jest wówczas równy

 

Dla atmosfery płaskiej Ziemi, złożonej z warstw płaskorównoległych, prawo załamania oznacza, że stosunek jest stały wzdłuż promienia. Najprostszą sytuację otrzymamy, gdy prędkość światła rośnie liniowo z wysokością. W takim przypadku krzywizna promienia jest stała, co oznacza, że jest on łukiem okręgu o promieniu .

Tory promieni świetlnych nad powierzchnią płaskiej Ziemi są wówczas łukami okręgów o środkach położonych na poziomie odpowiadającym . Oczywiście, taki model jest pewną matematyczną fikcją, choć Huygens gdyby chciał, mógłby oszacować promień krzywizny. W przypadku promienia biegnącego poziomo nad powierzchnią Ziemi w przypadku atmosfery izotermicznej otrzymuje się . Przy pewnych warunkach, gdy temperatura spada około 1°C na 10 m, promień krzywizny promienia świetlnego staje się równy promieniowi Ziemi i promienie światła mogą biec praktycznie równolegle do powierzchni naszej planety. Zjawisko takie obserwowano czasem w Arktyce. Uwzględnienie zależności prędkości światła od gradientu temperatury była jednak zdecydowanie poza zasięgiem możliwości Huygensa, jak i kogokolwiek w tamtych czasach. Pamiętajmy, że nasze skale temperatur pochodzą z XVIII wieku, a równanie stanu gazu doskonałego z początku wieku XIX.

W teorii Huygensa współczynnik załamania oznacza, że prędkość fali jest razy mniejsza niż w próżni. Na przeszło sto lat wygrała inna teoria światła, wysunięta przez Newtona, w której współczynnik załamania jest proporcjonalny do prędkości cząstek światła. Newton przedstawił też niemal doskonałą teorię refrakcji astronomicznej.