Kometa 1680-1681: Flamsteed i Newton

W listopadzie 1680 roku ukazała się w gwiazdozbiorze Panny jasna kometa. Widoczna była przed wschodem słońca, nie wszędzie można ją było bez przeszkód obserwować, ponieważ w wielu miejscach Europy niebo było zachmurzone o tej porze roku. W połowie grudnia pojawiła się następna kometa, tym razem łatwiejsza do obserwacji, gdyż świeciła wieczorem po zachodzie słońca i obserwowano ją aż do wczesnej wiosny – stopniowo słabła i pod koniec można ją było dostrzec jedynie przez teleskop.

Przedstawienia toru komety 1680/1681 na niebie wg Gottfrieda Kircha

Zjawisko budziło powszechne zainteresowanie i choć coraz mniej było tych, którzy traktowali je jako znak od Boga, oznajmienie śmierci jakiegoś władcy bądź zapowiedź nadchodzących nieszczęść, to publiczna ciekawość chętnie znajdowała ujście w spekulacjach wiążących kometę z osobliwymi zjawiskami na Ziemi. Oto w Rzymie kura zniosła jajo noszące na skorupce wyraźny znak komety, co miało znaczenie tym większe, że stało się w pałacu panów Maximi. Jajo to widział Jego Świątobliwość Innocenty XI, a także królowa Krystyna Wazówna oraz wiele znakomitych osób oraz naturalistów. Pisał o jaju nawet paryski „Journal des Savants”.

Isaac Newton pędził w Cambridge życie samotnicze, pogrążony w rozważaniach, które akurat przyciągnęły jego uwagę, wiele czasu spędzając nad teologią, alchemią i dość szczególnie pojmowaną historią. Na początku roku 1680 korespondował z Robertem Hookiem na temat hipotetycznego ruchu ciała, które mogłoby spaść aż do środka Ziemi. Jak się zdaje, pod wpływem tej korespondencji sprawdził, że jeśli ciało porusza się po elipsie zgodnie z prawem pól Keplera, to siła wywołująca ów ruch jest przyciąganiem odwrotnie proporcjonalnym do kwadratu odległości. Hooke sugerował, że tak właśnie być powinno, ale nie potrafił tego matematycznie udowodnić. Newton nie napisał mu o tym dowodzie, w ogóle przestał do niego pisać. Jak się zdaje, traktował ten dowód jako ćwiczenie matematyczne bez większego znaczenia. Na pewno nie myślał jeszcze o ciążeniu powszechnym.
Przez cały rok 1680 nie działo się w jego życiu nic dostrzegalnego na zewnątrz. Do Hooke’a napisał w grudniu, ale w zupełnie innej sprawie: chodziło o przybysza z Italii, który chciał przedstawić Towarzystwu Królewskiemu lecznicze działanie kory pewnego peruwiańskiej rośliny, drzewa chinowego (zawierającego chininę, stosowaną jeszcze czasem przeciw malarii, a także do produkcji toniku). W grudniu napisał do Newtona John Flamsteed, królewski astronom z informacjami na temat komety. Flamsteed utrzymywał, że komety z listopada i z grudnia są tym samym ciałem niebieskim. Wyobrażał sobie, że kometa była najpierw przyciągana, a następnie odpychana magnetycznie od Słońca, jednocześnie biorąc udział w wirowym ruchu materii wokół Słońca. Wiry takie miały zdaniem Kartezjusza odpowiadać za uporządkowane ruchy planet. Komety natomiast miały być planetami, które wypadły ze swego wiru i dość bezładnie wędrują między różnymi wirami.

Kometa wg Kartezjusza

Kometa wg Flamsteeda (linia przerywana okrąg wielkości orbity Ziemi, wiadomo było, że kometa nie porusza się w płaszczyźnie ekliptyki)

Magnetyczne przyciąganie i odpychanie przez Słońce zaproponował kiedyś Johannes Kepler jako przyczynę zbliżania i oddalania planet od ciała centralnego. Dodatkowo działać miała na nie pewnego rodzaju siła obrotowa, rodzaj pola siłowego, species immateriata. Kartezjusz wprowadził w miejsce niematerialnego pola wiry cieczy, jak w wannie. W podejściu Flamsteeda najbardziej oryginalny był pomysł, by obie komety: poranną i wieczorną uważać za jedno ciało.
Newton zainteresował się kometą, zaczął ją nawet sam obserwować i robił to tak długo, jak była ona widoczna, korzystając pod koniec z coraz lepszych teleskopów. Uprzejmie wypowiedział się na temat przedstawionych mu rozważań. Po pierwsze sądził, że są to dwie komety. Uważał, że poruszają się one ruchem prostoliniowym albo bliskim prostoliniowemu, starał się nawet wyznaczyć ich tor w przestrzeni. Nie wierzył w żadne przyciąganie magnetyczne w tym przypadku, bo Słońce jest zbyt gorące na magnetyzm (wiedział, że magnesy w wysokiej temperaturze tracą swe własności magnetyczne). Ponadto nie rozumiał, w jaki sposób kometa miałaby być najpierw przyciągana, a potem odpychana. Gdyby była ona jak igła magnetyczna, to obracałaby się zawsze tak do Słońca, że siła byłaby przyciągająca. Mógł sobie wyobrazić jakąś siłę przyciągającą kometę ku Słońcu, ale wówczas powinna się ona poruszać raczej w taki sposób, zataczając wokół niego łuk.

Tor komety zaproponowany przez Newtona w dyskusji z Flamsteedem jako nieco bardziej prawdopodobny (1681 r.)

Ruch radialny (wzdłuż promienia) byłby wówczas opisany za pomocą dwóch sił: przyciągania oraz siły odśrodkowej. W perihelium siła odśrodkowa przeważa nad przyciąganiem i dlatego kometa zaczyna się oddalać od Słońca. Widzimy, że nie tylko nie myślał jeszcze o przyciąganiu komety przez Słońce, ale także opisywał ruch za pomocą siły odśrodkowej, tak jak kartezjaniści (choć w tym przypadku mogło mu też chodzić o to, by Flamsteed rozumiał o czym mowa – Newton miał swoje głębokie przemyślenia na temat mechaniki i był pod tym względem, by tak rzec, w innym punkcie niż jego współcześni). Flamsteed przysłał mu jeszcze proponowany przez siebie tor komety (na rysunku widzimy jego rzut na płaszczyznę orbity Ziemi, kometa poruszała się bowiem płaszczyźnie tworzącej z nią kąt 65º).

Tor komety wg Flamsteeda, z niepewnością w pobliżu Słońca (nie był on obliczony, lecz po prostu narysowany mniej więcej w zgodzie z obserwacjami).

Newton pozostał przy swoim zdaniu, że komety były dwie i poruszały się mniej więcej prostoliniowo, nieprawdopodobna mu się wydawała tak szybka i znaczna zmiana prędkości komety – na niemal przeciwną po minięciu Słońca. Zajął się innymi tematami, do sprawy komet wrócił cztery lata później, kiedy wpadł na pomysł ciążenia powszechnego. Wymyślił też wtedy metodę pozwalającą obliczyć paraboliczny tor komety z trzech obserwacji. Po zastosowaniu tej metody do komety z lat 1680/81 otrzymał następujący tor.

Komety miały stać się jednym z najlepszych przykładów działania siły powszechnego ciążenia. Okazało się, że podlegają ścisłemu matematycznemu prawu. Niemal automatycznie przestano je wiązać z cudami i astrologicznymi przepowiedniami. Nauka czasem wypiera zabobon.

Reklamy

Ernst Chladni: czy można zobaczyć dźwięk? (1787)

Że przedsięwzięcie to, mianowicie doświadczanie natury, wywoływanie jej fenomenów, „kuszenie” jej przez ujawnianie jej działalności przy pomocy eksperymentów – że wszystko to jest już całkiem bliskie czarnoksięstwa, ba, należy już nawet do jego zakresu i samo jest dziełem „kusiciela”, było przeświadczeniem minionych epok; przeświadczeniem godnym szacunku, jeśli mam tu wyrazić swe zdanie. Chciałbym wiedzieć, jakimi oczami spoglądano by wówczas na owego człowieka z Wittenbergi, który (…) przed stu kilkudziesięciu laty dokonał był eksperymentu z widzialną muzyką, co i nam niekiedy pokazywano. Do nielicznych przyrządów fizycznych, jakimi rozporządzał ojciec Adriana, należała okrągła i w środku jedynie na kolcu swobodnie oparta szklana płyta, na której się ów cud dokonywał. Płyta owa była mianowicie posypana drobniutkim piaskiem i ojciec przy pomocy starego smyczka od wiolonczeli, którym po jej brzegu z góry na dół przeciągał, wprawiał ją w drgania, poruszany zaś piasek przesuwał się i układał w zdumiewająco precyzyjne a różnorakie arabeski i figury. Ta wizualna akustyka, w której oczywistość i tajemnica, prawo i osobliwość, nader uroczo wspólnie występowały, bardzo się nam, chłopcom, podobała… [Th. Mann, Doktor Faustus, przeł. M. Kurecka i W. Wirpsza]

Adrian Leverkühn, kompozytor, będący dwudziestowiecznym wcieleniem doktora Fausta, zaprawiał się w ten sposób w początkach muzycznego czarnoksięstwa. Nie były to sztuczki błahe, gdy pamiętać, że śmierć jest mistrzem z Niemiec – u ich końca znajdowały się zniszczona i spustoszona Europa oraz klęska zarówno tych, co popierali, jak i tych, co nie potrafili się przeciwstawić szaleńczym wizjom tysiącletniej Rzeszy. A człowiekiem z Wittenbergi (tam niegdyś przybił Marcin Luter do kościelnych drzwi swoje tezy o zepsuciu kościoła) był Ernst Florens Friedrich Chladni, prawnik i przyrodnik, któremu ojciec surowo zabronił zajmować się muzyką przed dziewiętnastym rokiem życia. Profesor prawa nie życzył sobie najwyraźniej, by syn zarabiał na życie publicznymi występami. Ojciec zmarł, a syn zarabiał na życie nie jako muzyk wprawdzie – na to było za późno, ale jako objazdowy przyrodnik demonstrujący rozmaite zjawiska akustyczne oraz instrumenty muzyczne własnej konstrukcji.

Pokaz Chladniego w salonie księcia Thurn und Taxis, Ratyzbona, 1800 r.

Public Domain Review

Owe Klangfiguren albo figury Chladniego przyniosły uczonemu sławę. Doszedł on do wielkiej biegłości w ich demonstrowaniu, przytrzymując palcami drgającą płytkę w odpowiednio dobranych miejscach. Pokaz ten fascynował publiczność w całej Europie znacznie bardziej niż wynalezione przez niego eufon i klawicylinder. W zasadzie Chladni nie był odkrywcą tego zjawiska, wspominał o czymś podobnym Leonardo da Vinci, a także Galileusz, który przytacza nie do końca wiarygodny opis doświadczenia, mającego wykazać związek długości fali drgania z wysokością dźwięku. Galileo, syn muzyka Vincenza, widział zapewne takie drgania, trudno to dziś przesądzić. Z fizycznego punktu widzenia chodzi o fale stojące, czyli drgania, których zależność przestrzenna jest ustalona: w pewnych miejscach amplituda jest większa, w innych spada do zera – te ostatnie tworzą w dwuwymiarowym przypadku linie węzłów (albo bardziej uczenie: linie nodalne). Przytrzymując płytkę w odpowiednich miejscach, można taką linię węzłów niejako „przytrzymać”.

Jednym ze szczytowych punktów kariery Chladniego były lata pobytu w Paryżu. Został tam w lutym 1809 roku przyjęty przez cesarza Francuzów Napoleona Wielkiego, który od czasu swoich studiów szkole artylerii żywił szczególne uznanie dla wiedzy fizycznej i matematycznej. Chladni otrzymał od cesarza subwencję na przetłumaczenie swego traktatu o akustyce na francuski. Cesarz raczył też ogłosić konkurs na matematyczną teorię owego zjawiska. Nagrodę 3000 franków przyznano ostatecznie, po pewnych perypetiach, w roku 1816 Sophie Germain, która z racji płci skazana była na pozostawanie na obrzeżach świata naukowego. Jej rozwiązanie nie było całkiem poprawne. Problem drgań poprzecznych dwuwymiarowej sprężystej płytki okazał się trudniejszy, niż początkowo sądzono. Dopiero w 1850 r. Gustav Kirchhoff rozwiązał to zagadnienie dla przypadku kolistej płytki. Rozwiązania przybliżone dla płytki prostokątnej podał Walter Ritz na początku wieku XX. Wbrew pozorom nie są to subtelności, które mogą zaciekawić jedynie matematyków. Jeden ze słynnych wypadków zawalenia się wiszącego mostu w Tacoma (USA) w r. 1940 związany był właśnie z drganiami przypominającymi figury Chladniego, a wywołanymi przez wiatr.

James Clerk Maxwell: Pole magnetyczne jako wiry materii (1862)

Mody intelektualne przychodzą i odchodzą podobnie jak wszelkie inne mody. W XVII wieku starano się wszystkie zjawiska fizyczne wyjaśniać za pomocą ruchu jakichś niewidzialnych cząstek, które miały się zderzać i przekazywać sobie ruch. Chodziło głównie o to, by wyeliminować z nauki wszelkie oddziaływanie na odległość: cząstki oddziaływały tylko podczas zderzeń i nie działały pomiędzy nimi żadne siły spójności. René Descartes, zwany u nas Kartezjuszem, tak sobie wyobrażał działanie magnesu.

(Principia Philosophiae, 1644)

Świat składał się u niego z krążących strumieni cząstek, a ponieważ przestrzeń miała być tym samym co rozciągłość, cząstki owe krążyły wśród drobniejszych cząstek tak, aby nie pozostawiać nigdzie pustego miejsca (tak mu bowiem wyszło z rozumowań: że nie ma próżni, pusta przestrzeń to oksymoron, jak czarny śnieg albo zimny wrzątek). Wiry cząstek objaśniały rzeczy wielkie, jak ruch planet, a także małe, jak przyciąganie magnesu i żelaza. W przypadku magnetycznym cząstki owe przypominały makaron świderki, były skręcone i mogły się albo wkręcać, albo wykręcać z nagwintowanych porów magnesu. Nie wiemy, jak bardzo Kartezjusz wierzył w słuszność tego wyjaśnienia. Na szczęście filozofowie i uczeni nie muszą (zazwyczaj) umierać za swoje teorie, wystarczy, że to one, wiodąc żywot niezależny od swych autorów, giną albo zwyciężają w ich imieniu.

Jednak do połowy XVIII wieku Kartezjusz panował we Francji i z tego powodu nawet Newtonowska grawitacja – przyciągająca i działająca na odległość – przyjmowała się z trudem. Większość uczonych akademików i prowincjonalnych amatorów z upodobaniem wymyślała coraz to nowe cząstki i wiry, np. objaśniające elektryczność. Inaczej do sprawy podchodził Benjamin Franklin, który nie lubił zbyt skomplikowanych teorii i uznał elektryczność za rodzaj fluidu zawartego w ciałach. W naładowanym kondensatorze inne miało być stężenie owego fluidu po obu stronach izolatora. Franklin zauważył, że naładowany kondensator można rozładować za pomocą wahadełka, które przenosi ładunek od okładki do okładki – zawarty jest w tym pewien obraz elektryczności jako czegoś, co może się przenosić od jednego ciała do drugiego, jak jakiś specjalny płyn, nieważki, lecz rzeczywisty.

Butelka lejdejska (czyli kondensator) rozładowywana za pomocą wahadełka z korka

Wariant tego urządzenia zamontowany był w domu Franklina w Filadelfii: między piorunochronem a uziemieniem biegnie drut przerwany dwoma dzwonkami. Wahadełko umieszczone pomiędzy obu dzwonkami poruszało się, gdy pojawiał się w układzie ładunek. Żona badacza, Deborah, w słusznym odruchu twierdziła, że boi się tego dzwonienia podczas burzy czy wtedy, gdy się ma na burzę. Małżonek, przebywający w Londynie, zezwolił jej wówczas na zdemontowanie dzwonków.

W XIX wieku wierzono już w świat wypełniony nie sypkim piaskiem, ale raczej galaretowatym eterem. Wiedziano, że światło to fale poprzeczne, a więc i ośrodek musiał wykazywać pewną sprężystość kształtu, nie mógł przelewać się jak ciecz albo gaz. Trzeba to było jakoś pogodzić np. z ruchem ciał niebieskich, które poruszają się, nie napotykając oporu eteru. Rozwinęły się w związku z tym techniki równań różniczkowych cząstkowych oraz rozmaite fantastyczne idee na temat eteru. Michael Faraday wprowadził do nauki pojęcie linii sił. Wyobrażał sobie, że owe linie się wzajemnie odpychają, dążąc zarazem do skrócenia się, jakby były z gumy, dając w efekcie siły przyciągania bądź odpychania. Jako niematematyk wyobrażał je sobie jako pewne dość konkretne, choć niewidoczne byty. Ładunki elektryczne były dla niego w zasadzie zakończeniami owych linii sił, a nie czymś istniejącym samodzielnie. Fluid Franklina i inne tego rodzaju pomysły trafiły do lamusa. Wahadełko Franklina miało być przyciągane właśnie tymi elastycznymi i odpychającymi się liniami sił (na obrazku kulka przyciągana jest do lewej okładki kondensatora; kulka naładowana jest tak, jak prawa okładka).

W styczniu roku 1862 James Clerk Maxwell opublikował trzecią część pracy On Physical Lines of Force, w której zajmował się m.in. wyjaśnieniem pola magnetycznego za pomocą wirów w eterze. Eter wypełniać miały wielościenne, zbliżone do kul elastyczne cząstki („wiry molekularne”), a pomiędzy nimi była jeszcze pojedyncza warstwa drobniejszych cząstek kulistych.

Pole magnetyczne polegać miało na wirowaniu cząstek wielościennych – im silniejsze ple, tym większa prędkość kątowa. Obraz tych „wirów molekularnych” wiązał się z obserwacją Faradaya, że płaszczyzna polaryzacji światła obraca się, gdy fala biegnie wzdłuż kierunku pola magnetycznego. Efekt Faradaya wskazywał na związek pola magnetycznego i fali świetlnej. Aby sąsiednie wiry mogły obracać się w tym samym kierunku, potrzebna była dodatkowa warstwa cząstek przekazujących ruch i obracających się bez tarcia, nieco podobnie jak w łożysku kulkowym.

Gdy prędkość sąsiednich wirów była taka sama, owe dodatkowe kulki jedynie się obracały (lewa część rysunku), gdy natomiast prędkości wirowania się różniły, kulki dodatkowe przemieszczały się, odpowiadając za prąd elektryczny. Jednak według Maxwella nie były one nośnikami ładunku, inaczej niż to wyobrażamy sobie dziś. Włączając do modelu sprężystość wirów molekularnych, które mogły nie tylko się obracać, ale i odkształcać, Maxwell wprowadził do swej teorii prąd przesunięcia i efekty elektrostatyczne. W tej samej pracy obliczył prędkość rozchodzenia się sprężystych fal poprzecznych w swoim modelu eteru. Okazała się ona równa prędkości światła. Tak naprawdę jego model nie był do końca ściśle określony i dokładna zgodność z prędkością światła była do jakiegoś stopnia przypadkowa. Maxwell uwierzył jednak, że ma ona znaczenie i zainteresował się pomiarami elektrycznymi i magnetycznymi, które mogły dostarczyć dokładniejszej wartości stałych do modelu. Fale poprzeczne w tym eterze nie były jeszcze falami elektromagnetycznymi: pola elektryczne i magnetyczne nie zmieniały się w nich tak, jak w fali elektromagnetycznej. Dalsze prace Maxwella stopniowo oddalały się od tego modelu. Spełnił on jednak ważną rolę heurystyczną. Większość uczonych XIX wieku wierzyła, że zjawiska elektromagnetyczne w taki czy inny sposób należy sprowadzić do ruchów eteru. Mechanika była ich sposobem myślenia, był to wiek pary i urządzeń mechanicznych: przekładni, tłoków, łożysk, regulatorów itd.
Pierre Duhem, ważny filozof nauki i znacznie słabszy uczony, dostrzegał te inżynierskie parantele i patrzył na nie z pewnym politowaniem. Pisał, rozróżniając fizykę angielską i niemiecko-francuską (było to przed I wojną światową, zanim Niemcy przestali być jego faworytami):

Fizyk francuski bądź niemiecki przyjmował w przestrzeni dzielącej dwa przewodniki abstrakcyjne linie sił bez grubości, bez realnego istnienia; fizyk angielski uzna te linie za materialne, przyda im grubości, by stały się rozmiarów rurki, którą wypełni zwulkanizowanym kauczukiem; w miejsce idealnych linii sił, możliwych do pojęcia jedynie rozumowo, pojawi się u niego wiązka elastycznych strun, widzialnych i dotykalnych, mocno przyklejonych swymi końcami do powierzchni obu przewodników, naciągniętych, dążących do skrócenia się i pogrubienia zarazem (…) Tak przedstawia się słynny model oddziaływań elektrostatycznych wyobrażony przez Faraday i podziwiany jako owoc geniuszu przez Maxwella oraz całą szkołę angielską.
(…) Oto książka, która ma na celu przedstawienie nowoczesnej teorii elektryczności, przedstawienie nowej teorii; a mowa w niej wyłącznie o sznurach poruszających kołami obracającymi się w bębnach, poruszających kulkami, podnoszącymi ciężary; o rurach pompujących wodę i rurach skracających się i poszerzających, kołach zębatych sprzęgniętych ze sobą i z zębatkami; sądziliśmy, że wkraczamy do spokojnego i starannie zaprojektowanego gmachu dedukcyjnego rozumu, a trafiliśmy do fabryki”. [La Théorie physique: Son objet et sa structure, Paris 1906, s. 110-111]

Duhem ma tu na myśli książkę Olivera Lodge’a Modern views of electricity, ale i całą brytyjską szkołę naukową. Zabawnie pomyśleć, że Francuz, potomek Kartezjusza, tak bardzo gorszył się wyjaśnieniami mechanicznymi. Filozof słabo rozumiał swoje czasy, był bardzo konserwatywnym katolikiem, który starał się wykazać, że Galileusz niezbyt się przyczynił do rozwoju nauki; mniej w każdym razie niż kardynał Bellarmine, który spalił Giordana Bruna i wciągnął Kopernika na Indeks ksiąg zakazanych. Prawdopodobnie główną winą Galileusza oczach Duhema był fakt, że naraził się Kościołowi, a ten z zasady jest nieomylny. Oliver Lodge rzeczywiście miał przesadne upodobanie do mechanicznych wynalazków ilustrujących elektryczność i magnetyzm. Takie upodobanie miał także i Boltzmann, najważniejszy fizyk europejski między Maxwellem a Einsteinem. Można przypuszczać, że James Clerk Maxwell nie wykonałby swej ogromnej wieloletniej pracy nad teorią elektromagnetyzmu, gdyby nie mechaniczne modele. Odegrały one ważną rolę, bo pomagały mu w myśleniu. Duhem, podobnie jak wielu filozofów i wielu katolików, obszczekiwał nie to drzewo.

Wiry molekularne Maxwella znalazły jakiś rodzaj kontynuacji we współczesnym opracowaniu matematycznym jego teorii. Pole magnetyczne okazuje się 2-formą, czymś, co w naturalny sposób daje się całkować po powierzchni. Obiekt taki geometrycznie przedstawia się jako rurkę z pewną skrętnością. Pole elektryczne jest 1-formą, czyli czymś, co daje się naturalnie całkować wzdłuż krzywej. Obiekt taki można przedstawić jako układ płaszczyzn czy powierzchni dwuwymiarowych, które przecinamy idąc w pewnym kierunku.

Rozważania Maxwella nie były więc tak bardzo od rzeczy, jak moglibyśmy dziś sądzić, słysząc o wirach molekularnych w eterze. Opisu świata dostarczają więc raczej obiekty matematyczne niż dziewiętnastowieczne przekładnie i zębatki.

Wydaje się, że ludzie najlepiej wyobrażają sobie to, co sami potrafią w danej epoce zbudować: dawniej były to mechanizmy zegarowe i urządzenia hydrauliczne, w wieku XIX różne pomysłowe maszyny, od końca wieku XX na wyobraźnię wpływają komputery. Wyobraźnia typu inżynierskiego, obrazowego, miała zawsze duże znaczenie w nauce: od Galileusza i Kartezjusza, przez Newtona aż do lorda Kelvina, Maxwella i Einsteina – wszyscy oni mieli spore kompetencje praktyczne. W tym sensie świat jednak bardziej jest fabryką niż świątynią dogmatycznego albo tylko matematycznego rozumu. Dziś co chwila pojawiają się „komputerowe” teorie świata, np. czy zamieszkujemy wszyscy jakiś program komputerowy, którego założenia poznajemy tylko przez obserwację? Jeden z największych sporów w fizyce dotyczy tego, co dzieje się z informacją wpadającą do czarnej dziury. Z jednej strony teoria grawitacji Einsteina mówi bowiem, że informacja ta ginie razem ze swym nośnikiem pod horyzontem dziury. Z drugiej strony teoria kwantów wymaga, aby informacja nigdy nie ginęła na dobre – może być praktycznie nie do odzyskania, ale co do zasady powinno być to możliwe. Promieniowanie Hawkinga nie rozwiązuje sprawy, ponieważ dziura nie jest wprawdzie absolutnie czarna, ale jej promieniowanie jest termiczne, a więc chaotyczne, nie zawierające informacji. Stworzono gigabajty prac na ten temat, lecz wciąż nie wiadomo, czy w którejś z nich zawarta jest poszukiwana informacja.

Emmy Noether i jej twierdzenie, część II (1918) Albo: Formalizm Lagrange’a w kwadrans

Podamy tu uproszczoną postać twierdzenia Noether, słuszną w mechanice punktów materialnych. Najważniejsze zastosowania tego twierdzenia dotyczą sytuacji ogólniejszej, to znaczy pól, czyli pewnych funkcji zależnych od położenia i czasu. Uogólnienie jest zresztą dość oczywiste. Jeszcze jedna rzecz: Noether udowodniła dwa twierdzenia, nas interesuje tu tylko pierwsze z nich.

Zaczniemy od mechaniki w sformułowaniu Lagrange’a. Zamiast mówić o siłach, możemy użyć energii potencjalnej V i zbudować lagranżian {\cal L}=E_k-V. Dwa przykłady, które nam się w dalszym ciągu przydadzą:

Przykład 1 Jednowymiarowy ruch dwóch punktów materialnych o współrzędnych x_1, x_2 oraz masach m_1, m_2. Energia potencjalna zależy tylko od względnego położenia obu punktów (co oznacza, że oddziałują one tylko na siebie nawzajem, nie ma żadnych sił zewnętrznych). Lagranżian ma postać:

{\cal L}=\dfrac{m_1\dot{x_1}^2}{2}+\dfrac{m_2\dot{x_1}^2}{2}-V(x_1-x_2).

Kropki oznaczają pochodne po czasie: pochodna współrzędnej po czasie to oczywiście prędkość.

Przykład 2 Punkt na płaszczyźnie poruszający się w potencjale zależnym tylko od odległości od pewnego punktu centralnego (jak planety wokół Słońca). Lagranżian ma w tym przypadku postać:

{\cal L}=\dfrac{m\dot{x}^2}{2}+\dfrac{m\dot{y}^2}{2}-V(\sqrt{x^2+y^2}).

Zauważmy, że te lagranżiany są dość podobne: w obu mamy do czynienia z dwoma stopniami swobody. Z formalnego punktu widzenia to liczba stopni swobody jest ważna, a nie liczba cząstek. Będziemy pisać lagranżian w postaci ogólnej jako {\cal L}={\cal L}(q,\dot{q}), co znaczy, że współrzędnymi są q. Lagranżian będzie też zależał od prędkości \dot{q}. Gdyby liczba stopni swobody była n to powinniśmy te współrzędne ponumerować jakimś wskaźnikiem i=1\ldots n. Wolimy nie wypisywać tych wskaźników, żeby nie gmatwać zapisu.

Następny krok to równania ruchu. Zamiast praw Newtona stosujemy zasadę najmniejszego działania i otrzymujemy równania Lagrange’a. Konkretnie wygląda to tak, tworzymy działanie S,

\displaystyle{S=\int_{0}^{\tau}{\cal L} (q, \dot{q}) dt.}

Szukamy minimum działania (dokładnie: ekstremum), wyobrażając sobie, że do ruchu q=q(t) dodajemy niewielką funkcję \delta q(t). Żądamy teraz, aby zmiana (wariacja) działania znikała. Rozpatrujemy przy tym z założenia tylko takie ruchy, które zaczynają się kończą w ustalonych punktach. Sytuację tę ilustruje rysunek poniżej. Oczywiście do \dot{q} musimy dodać pochodną \dot{\delta q}=\delta\dot{q}.

Łatwo teraz pokazać (co robimy na końcu), że

\delta S=0\iff \dfrac{\partial {\cal L}}{\partial q}-\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial {\cal L}}{\partial\dot{q}}=0.

Otrzymaliśmy równania Lagrange’a, które zastępują teraz równania Newtona. W gruncie rzeczy przypominają one równania Newtona: pochodna po czasie z pewnej wielkości p\equiv \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{q}} nazywanej pędem uogólnionym jest równe sile (uogólnionej). Sprawdźmy to na przykładzie pierwszym. Mamy w istocie dwa równania dla obu naszych zmiennych:

\begin{array}{l}-V'(x_1-x_2)=\dfrac{d}{dt}(m_1 \dot{x_1})\\  \\  V'(x_1-x_2)=\dfrac{d}{dt}(m_2 \dot{x_2}).\end{array}

W równaniach tych V' oznacza pochodną, dostajemy parę sił o przeciwnych znakach, czyli spełniona jest III zasada dynamiki, jak być powinno. Na razie wygląda to wszystko na zawiły sposób sformułowania prostych równań Newtona. Lagrange wiedział jednak, co robi i czemu ogólniejsze podejście jest lepsze. Sformułowanie Lagrange’a łatwo pozwala zastosować inne zmienne niż kartezjańskie. Nasz przykład 2 ma symetrię radialną. Możemy użyć zamiast współrzędnych kartezjańskich współrzędnych biegunowych r, \varphi. Lagranżian przyjmuje wówczas postać:

{\cal L}=\dfrac{m\dot{r}^2}{2}+\dfrac{mr^2\dot{\varphi}^2}{2}-V(r).

Teraz lagranżian nie zależy od jednej ze zmiennych (\varphi), mamy więc dla niej proste równanie:

\dfrac{d}{dt}(mr^2 \dot{\varphi})=0

Inaczej mówiąc, wielkość p_{\varphi}=J=mr^2\dot{\varphi} jest stała. Okazuje się, że pędem uogólnionym sprzężonym z \varphi jest moment pędu J, jak powinno być, gdyż energia potencjalna nie zależy od kierunku, a więc siły są centralne (skierowane do albo od początku układu współrzędnych). Widzimy, że zastosowanie sprytnie dobranych współrzędnych upraszcza nam od razu problem. Jeśli tylko znajdziemy odpowiednie współrzędne, to niektóre pędy uogólnione będą stałe podczas ruchu.

Twierdzenie Noether pozwala nam od symetrii lagranżianu przejść od razu do pewnej wielkości, która musi być zachowana podczas ruchu. Nie musimy przy tym wymyślać jakichś szczególnych współrzędnych. Każdej symetrii odpowiada pewna wielkość, która nie zmienia się z czasem.

Zaczniemy od określenia, czym jest symetria. Żądamy, aby podstawienie (gdzie \delta q jest niewielkie):

\begin{array}{l} q(t) \rightarrow  q(t)+\delta q(t)\\  \\  \dot{q}(t) \rightarrow  \dot{q}(t)+\delta \dot{q}(t).\end{array}

nie zmieniało lagranżianu:

{\cal L}(q,\dot{q})={\cal L}(q+\delta q, \dot{q}+\delta\dot{q}).

Twierdzenie Noether głosi, że wielkość A określona równaniem

A=\delta q_i\dfrac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{q_i}}\equiv \delta q_i \cdot p_i

nie zmienia się podczas ruchu. Wprowadziliśmy tu wskaźniki numerujące stopnie swobody, należy po nich wysumować. Dowód można znaleźć na końcu tekstu.

Najłatwiej wyjaśnić sens twierdzenia na naszych przykładach. W pierwszym z nich operacja przesunięcia jednocześnie obu punktów materialnych o wspólną niezależną od czasu wielkość \delta a, tzn.:

\begin{array}{l} x_1(t) \rightarrow  x_1(t)+\delta a\\  \\  x_2(t) \rightarrow  x_2(t) + \delta a.\end{array}

nie zmienia energii potencjalnej. Energia kinetyczna też się nie zmienia, ponieważ pochodna funkcji stałej jest równa zeru. Zatem jednoczesne przesunięcie obu punktów materialnych nie wpływa na ich ruch względny, co z fizycznego punktu widzenia brzmi rozsądnie. W myśl tw. Noether zachowana powinna być tu wielkość

A=\delta a m_1\dot{x}_1+\delta a m_2\dot{x}_2=\delta a(m_1\dot{x}_1+m_2\dot{x}_2).

Jest to oczywiście pęd całkowity.

Zobaczmy, jak opisać symetrię w przykładzie drugim. Operacją nie zmieniającą lagranżianu będzie oczywiście obrót w płaszczyźnie xy (najprostsze obroty zmieniają dwie współrzędne, dlatego mamy jeden taki obrót na płaszczyźnie, trzy w przestrzeni trójwymiarowej: xy, xz, yz i sześć w przestrzeni czterowymiarowej). Niewielki obrót o kąt \delta\varphi   w płaszczyźnie dany jest równaniami:

\begin{array}{l}x\rightarrow x-y\delta\varphi\\ \\ y\rightarrow y+x\delta\varphi.\end{array}

Szczegóły można znaleźć poniżej. Wielkością zachowaną jest teraz oczywiście moment pędu:

A=\delta\varphi (xp_y-yp_x)=\delta\varphi J.

Widać, skąd tak naprawdę pochodzi ta dziwaczna kombinacja pędów i współrzędnych: bierze się ona z rozpatrzenia obrotów w płaszczyźnie. W przestrzeni trójwymiarowej mielibyśmy trzy składowe momentu pędu, w przestrzeni czterowymiarowej sześć. Moment pędu można uważać za wektor tylko w przypadku trójwymiarowym, tak się składa, że jest to przypadek ważny dla nas, ale z matematycznego punktu widzenia liczba składowych momentu pędu zazwyczaj nie jest równa wymiarowi przestrzeni.

Jeszcze jedna uwaga: nasze transformacje symetrii są niewielkie. Co to dokładnie znaczy, widać intuicyjnie w przypadku translacji czy obrotów. Rzecz w tym, że np. do symetrii zwierciadlanej tw. Noether się nie stosuje.

Tak to wygląda w najprostszej wersji, możliwe są rozmaite uogólnienia. Jednym z najważniejszych są operacje symetrii zawierające czas. Nasze lagranżiany nie zależą jawnie od czasu. W takim przypadku translacja w czasie jest operacją symetrii. Wielkością zachowywaną w tym przypadku jest A=\dot{q_i}p_i-{\cal L}=E_k+V, czyli całkowita energia układu. Poza symetriami fundamentalnymi możliwe są oczywiście rozmaite symetrie obowiązujące dla konkretnego zagadnienia, każda z nich prowadzi do zachowywanej podczas ruchu wielkości.

(*) Łatwo uzyskać można wyrażenie dla wariacji działania.

\displaystyle{\delta S=\int_{0}^{\tau}\left(\delta q \dfrac{\partial {\cal L}}{\partial q}+\delta\dot{q}\dfrac{\partial {\cal L}}{\partial\dot{q}}\right) dt}

Nie zakładamy tu żadnego szczególnego zachowania \delta q(t) na końcach przedziału czasu. Sytuację przedstawia rysunek.

Całkując drugi wyraz przez części, otrzymujemy następującą postać wariacji;

\displaystyle{\delta S=\int_{0}^{\tau}\delta q \left(\dfrac{\partial {\cal L}}{\partial q}-\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial {\cal L}}{\partial\dot{q}}\right) dt+\left. \delta q\dfrac{\partial {\cal L}}{\partial\dot{q}}\right|^{\tau}_{0}}.

Wynikają stąd zarówno równania Lagrange’a, jak i tw. Noether.

W przypadku zasady najmniejszego działania żądamy, aby \delta S=0. Ponieważ na początku i końcu wariacja \delta q(0)=\delta q(\tau)=0, więc znika też ostatni, scałkowany, wyraz w powyższym wyrażeniu. A to z kolei oznacza, że wyrażenie w nawiasie znika (gdyż \delta q(t) poza tym, że jest niewielkie, może być dowolne i gdyby nawias w jakimś przedziale był różny od zera, to moglibyśmy tak dobrać \delta q(t), żeby całka była różna od zera).

W przypadku tw. Noether wiemy, że działanie się nie zmienia, ponieważ nie zmienia się lagranżian i przedział całkowania, czyli przy tych założeniach \delta S=0. Zakładamy też, że ruch odbywa się zgodnie z równaniami Lagrange’a, co oznacza, że nawias pod całką jest równy zeru, całka też musi być równa zeru. Zostaje nam warunek A(\tau)-A(0)=0. Zatem A(t) od czasu nie zależy.

Wyrażenia dla współrzędnych przy niewielkim obrocie otrzymujemy, przyjmując \cos\delta\varphi=1 oraz \sin\delta\varphi=\delta\varphi. Pokazuje to, co znaczą małe obroty: zostawiamy wyrazy liniowe w \delta\varphi, pomijamy natomiast wyrazy wyższych rzędów.

Johann Heinrich Lambert i Immanuel Kant: astronomia gwiazdowa po kolacji (1749, 1755)

Niegdyś młodzi uczeni zaczynali często życie zawodowe jako guwernerzy w bogatych domach. Tak było w przypadku Lamberta – syna krawca, zamieszkałego w Szwajcarii hugonockiego emigranta z Francji, i Kanta – syna siodlarza z Królewca. Obaj z czasem wyzwolili się z prostego nauczycielstwa i doszli do znacznej pozycji naukowej. Lambert został członkiem Pruskiej Akademii Nauk i wybitnym matematykiem. Kant, po wielu latach spędzonych na nauczaniu studentów, wyrósł na najważniejszego filozofa epoki, stając się nie tylko najsławniejszym profesorem w Królewcu, ale i w Niemczech, a z czasem w całej Europie.
Obaj wnieśli pewien wkład do poznania budowy Galaktyki. W tamtych czasach, pozbawionych silnych źródeł światła, wszyscy znali widok nocnego nieba. Wywierał on głębokie wrażenie na naturach skłonnych do kontemplacji. Z górą sześćdziesięcioletni Kant wciąż czerpał z tego widoku natchnienie do pracy: „Dwie rzeczy napełniają umysł coraz to nowym i rosnącym podziwem i pełnym pokory szacunkiem, im częściej i trwalej zastanawiamy się nad nimi: Gwiazdami okryte niebo nade mną i prawo moralne we mnie.” (przeł. K. Kierski). Dodawał jednak Kant w dalszym ciągu wywodu:

Atoli podziw i szacunek mogą wprawdzie pobudzić do badania, ale nie mogą zastąpić jego braku. (…) Zastanawianie się nad światem zaczęło się od najwspanialszego widoku, jaki tylko ludzkie zmysły przedstawić mogą i jaki tylko rozsądek nasz znieść może, by śledzić go w jego dalekim zakresie, a zakończyło się – astrologią. Etyka rozpoczęła od najszlachetniejszej własności ludzkiej natury, której rozwój i kultura niezmierną korzyść obiecuje, a zakończyła – fantastycznością albo zabobonem. (…) Kiedy zaś, chociaż późno, weszła w życie maksyma, aby poprzednio dobrze rozważyć wszystkie kroki, które rozum zamierza uczynić, i nie pozwolić mu postępować inaczej, jak torem przedtem dobrze obmyślanej metody, wówczas sąd o budowie świata uzyskał zupełnie inny kierunek, a z nim zarazem bez porównania pomyślniejszy wynik. Rozłożenie spadania kamienia, ruchu procy na ich pierwiastki i ujawniające się przy tym siły, tudzież matematyczne ich opracowanie, spowodowało w końcu to jasne i po wszystkie czasy niezmienne poznanie budowy świata, które przy postępującej obserwacji może spodziewać się zawsze tylko swego rozszerzenia, nigdy zaś nie potrzebuje obawiać się, że będzie musiało się cofać.

Krytyka praktycznego rozumu, z której Zakończenia pochodzą powyższe słowa, prowadzić miała do ustanowienia nauki o moralności godnej istot rozumnych. Moralność ta powinna stosować się wszędzie tam, gdzie występują takie stworzenia, Kant wierzył, że wszechświat, a nawet nasz Układ Słoneczny, pełen jest zamieszkałych planet. Wyobrażał sobie, że im dalej od Słońca, tym lotniejsze i z subtelniejszej materii zbudowane są owe istoty. Co do rasy ludzkiej nie miał wielkich złudzeń, oprócz tego jednego, że można ją nieco poprawić dzięki rozumnemu postępowaniu nauczycieli. Po dwóch wiekach możemy stwierdzić, że nawet to chyba jest niemożliwe. Nauka Kanta stosuje się jedynie do rozumnych kosmitów, jeśli gdzieś tacy istnieją.

Zostawmy więc z boku wiarę filozofa w ludzką moralność jako źródło ładu i zajmijmy się astronomią gwiazd, gdzie postęp jest niewątpliwy.

Od czasu Kopernika gwiazdy przestały jawić się jako światełka na dwuwymiarowej sferze. Przestrzeń kosmiczna zyskała trzeci wymiar. Bardzo prawdopodobne było, że odległości do gwiazd są rozmaite i otacza nas bezmiar, o jakim nie śniło się filozofom (tych, którym się to śniło, palono na wszelki wypadek na stosie). Przeżycie nowego spojrzenia na znany od dawna widok nieba było także udziałem Genezypa Kapena:

Szedł potykając się, zapatrzony w niebo, na którym odprawiało się codzienne (nie każdodzienne oczywiście) misterium gwiaździstej nocy. Astronomia taka, jaką nauczył się ją pojmować w szkole, nie przedstawiała dla niego wielkiego uroku. Horyzont i azymut, kąty i deklinacje, skomplikowane wyliczenia, precesje i nutacje nudziły go okropnie. Krótki zarys astrofizyki i kosmogonii, zagubiony w nawale innych przedmiotów, był jedyną sferą, wzbudzającą lekki niepokój, graniczący z bardzo pierwotnym wzburzeniem metafizycznym. Ale „niepokój astronomiczny”, tak bliski niekiedy wyższym stanom, wiodącym do filozoficznych rozmyślań, codzienny dzień usuwa w dzisiejszych czasach szybko, jako niepotrzebny nikomu zbytek. Idąc teraz, Genezyp miał wrażenie, że patrzy w nocne niebo po raz pierwszy w życiu. Dotąd było ono dlań, mimo wszelkich wiadomości, dwuwymiarową płaszczyzną, pokrytą mniej lub więcej świecącymi punktami. Mimo poznania teorii, uczuciowo nie wychodził nigdy poza tę prymitywną koncepcję. Teraz przestrzeń dostała nagle trzeciego wymiaru, ukazując różnice odległości i nieskończone perspektywy. Myśl rzucona z szaloną siłą okrążyła dalekie światy, starając się przeniknąć ich sens ostateczny. Wiadomości nabyte, leżące w pamięci jak bezwładna masa, zaczęły teraz wydobywać się na wierzch i grupować koło pytań postawionych w nowej formie, nie jako zagadnienia umysłu, ale jako krzyk przerażenia wszechtajemnicą, zawartą w nieskończoności czasu i przestrzeni i w tym pozornie prostym fakcie, że wszystko było właśnie takim, a nie innym.
(…)
Genezyp patrząc w gwiazdy doznawał zawrotu głowy. Góra i dół przestały istnieć — wisiał w straszliwej przepaści, amorficznej, bezjakościowej. Uświadomił sobie na chwilę aktualną nieskończoność przestrzeni: wszystko to istniało i trwało w tej właśnie sekundzie, którą przeżywał. Wieczność wydała mu się niczym wobec potworności istniejącej w nieskończonostce czasu całej nieskończonej przestrzeni i istniejących w niej światów. Jak tu pojąć tę rzecz? Coś niewyobrażalnego, co narzuca się z absolutną ontologiczną koniecznością. Ta sama tajemnica ukazała mu znowu swą twarz zamaskowaną, ale inaczej. [S.I. Witkiewicz, Nienasycenie, s. 22-23].

Dwudziestojednoletni Lambert od dzieciństwa lubił wieczorem przesiadywać przy oknie otwartym na rozgwieżdżone niebo. Widział w nim świątynię Boga, po której rozświetlonym wnętrzu może błądzić wzrokiem. Nie poprzestał na zachwycie. Zwrócił uwagę na gwiazdy widoczne na tle pasa Drogi Mlecznej. Najwyraźniej są one bliżej Słońca niż te, których światło zlewa się w naszych oczach w mglistą poświatę owego pasa. Znaczy to, że układ gwiazd jest płaskim dyskiem, wewnątrz którego się znajdujemy. Był, wedle jego własnych słów, rok 1749.

Kilka lat później, w roku 1755, Immanuel Kant, starający się o posadę na uniwersytecie, ogłosił książkę zatytułowaną ambitnie: Powszechna historia naturalna i teoria nieba i zadedykowaną królowi Fryderykowi II. Podtytuł dzieła wyjaśniał, że oparte jest ono na „prawach Newtona”. Nie wiemy, czy dziełko to dotarło do króla, niebawem drukarz zbankrutował i książka nigdy nie stała się znana. Zaczęto o niej mówić dopiero kilkadziesiąt lat później, gdy Kant zdobył sławę jako filozof i wszelkie jego pisma zaczęły zwracać uwagę.

Punktem wyjścia Kanta była myśl wyczytana w gazecie: chodziło o recenzję dzieła Thomasa Wrighta. Kant uznał, że system gwiezdny, w którym znajduje się Słońce musi być płaski i że gwiazdy poruszają się, podobnie do planet, po orbitach wokół jednego lub większej liczby centrów. Ponieważ wyczytał (u Derhama), że obserwuje się mgławice o kształcie eliptycznym, uznał, iż są to inne systemy gwiezdne widziane z ukosa: dysk wyglądać powinien wówczas jak elipsa. Słyszał też o wykryciu ruchu niektórych gwiazd: porównując dawne i nowe obserwacje astronomowie wykryli zmiany położenia kilku jasnych gwiazd.

Reszta u Kanta jest czystą spekulacją. Stara się on wykazać, że prawa mechaniki muszą prowadzić do takiego właśnie świata, jaki widzimy. W ten sposób z pierwotnego chaosu wyłonić się miał kosmos, czyli porządek. Krążenie ciał zapewnić miała druga, obok ciążenia, siła działająca we wszechświecie, a mianowicie odpychanie. Newton nie mówi wiele o siłach odpychających, choć uznawał, że działają one między cząsteczkami gazów – dzięki temu gazy rozprężają się, wypełniając całą dostępną objętość. Odpychająca siła Kanta nie jest jednak tym samym co u Newtona. Jego fizyka jest bliższa poglądom Leibniza: ruch po okręgu jest w niej stanem równowagi między siłą grawitacyjną i odśrodkową (podobnie widzą to czasem dzisiejsi studenci, co jednak nie znaczy, że studiowali Leibniza). W istocie chodzi tu nie tyle o siłę odpychającą, co o moment pędu, czyli ilość ruchu obrotowego, która musi być zachowana.

Spekulacje Kanta dość przypadkowo najbliższe były rzeczywistości i jego teoria nazwana została teorią wszechświatów wyspowych (czyli galaktyk poprzedzielanych pustą przestrzenią). Był to zbieg okoliczności: filozof z Królewca powoływał się np. na dane Williama Derhama nt. mgławic. Spośród 21 wymienionych przez niego mgławic, pięć miało być eliptycznych (naprawdę tylko jedna z nich ma kształt eliptyczny). Kant niezbyt troszczył się o fakty obserwacyjne, były one dla niego raczej punktem wyjścia do rozważań spekulatywnych.

W XVIII wieku zawodowi astronomowie nie zajmowali się ruchem gwiazd, wiedziano tylko o nieznacznych przesunięciach paru gwiazd, nie znano ich odległości, niewiele można było w tej sytuacji zrobić. Jednak Newtonowskie prawo ciążenia pozwalało na pewne wnioski. Siła przyciągająca działa między dowolnymi rodzajami materii i maleje jak odwrotność kwadratu odległości, a więc nigdy nie staje się równa zeru. Oznacza to, że niemożliwy jest wszechświat statyczny. Ciała we wszechświecie muszą się poruszać.

Dziś wiemy, że także wszechświat jako całość nie może znajdować się w spoczynku, bo byłaby to sytuacja nietrwała. Na skalę kosmiczną działa jedynie grawitacja. Inne siły, np. elektromagnetyczne, są w praktyce krótkozasięgowe (ponieważ mamy tyle samo ładunków dodatnich i ujemnych). Tym, co chroni świat od zapadnięcia się, kolapsu grawitacyjnego albo elektromagnetycznego, jest w ostatecznym rachunku nie jakiś nowy rodzaj sił, lecz inna mechanika: kwantowa. Zasada nieoznaczoności nie pozwala cząstkom zajmować dowolnie małego obszaru przestrzeni, a zakaz Pauliego sprawia, że stany kwantowe cząstek takich, jak elektrony, zajmowane są po kolei (co wyjaśnia układ okresowy pierwiastków). Możliwe są też sytuacje, kiedy grawitacja przeważa i ciało zapada się, tworząc czarna dziurę, czyli obiekt, w którym materia traci jakąkolwiek tożsamość i swoje indywidualne charakterystyki. Zostaje czysta czasoprzestrzeń ukryta za horyzontem zdarzeń. O takiej możliwości także zresztą spekulowano już w wieku XVIII.

Thomas Wright: kosmos jako ogród Boga (1750)

Kopernik odebrał Ziemi wyjątkowy status ciała centralnego, ciężkiego i bezwładnego, zbudowanego z innej materii niż świetliste i lekkie ciała niebieskie. Bardzo to uwierało rzymską Kongregację Indeksu, która w 1620 roku ogłosiła „korektę” dzieła, zalecając na użytek wiernych poprawki, np. „Ziemia nie jest gwiazdą (tzn. ciałem niebieskim), jaką ją czyni Kopernik”. Autor nie żył już od niemal osiemdziesięciu lat, ale nic to: poprawki mogli wprowadzić samodzielnie czytelnicy, by ich własne oko nie musiało się gorszyć (a przyjaciele nie donieśli komu trzeba). Jak wykazała kwerenda Owena Gingericha do zaleceń tych zastosowano się jednak niechętnie, nawet w Italii i Hiszpanii, a więc krajach ultrakatolickich, nieskażonych zarazą protestantyzmu. Poza tym im dalej od Rzymu, tym gorzej.

Zakazy kościelne okazały się patetycznie bezsilne wobec fali nowej nauki wzbierającej nawet w Italii, gdzie po skazaniu Galileusza należało uciekać się do rozmaitych wybiegów. Np. Giovanni Alfonso Borelli ogłosił teorię ruchu księżyców Jowisza, choć w oczywisty sposób chodziło mu o ruch planet wokół Słońca. Matematycznie było to to samo, a nie drażniło się inkwizycji. Nauki ścisłe i eksperymentalne opuszczały jednak Italię i rozkwitały głównie w Anglii, Holandii i Francji, dokąd nie sięgały zakazy teologów rzymskich. Protestanci z upodobaniem głosili poglądy sprzeczne z tym, co głosili „papiści”. Korelacja wyznania i wkładu do rewolucji naukowej w XVII i XVIII wieku jest wyraźna. Różnica kulturowa między Europą północno-zachodnią a południowo-wschodnią stawała się coraz głębsza. Protestantyzm był tu zresztą raczej symptomem niż przyczyną. Chrześcijaństwo Lutra i Kalwina było oczyszczone i odnowione, starało się „odczarować” świat, odrzucając magiczne aspekty religii. Tamten podział Europy istnieje do dziś, podobnie jak w badaniach społecznych widać granice zaborów w Polsce.

Uznanie wszechświata za nieskończony a Słońca za jedną gwiazd (w dzisiejszym znaczeniu tego słowa, a więc ciała niebieskiego, które świeci w zakresie widzialnym) nie wynikało z kopernikanizmu w sensie logicznym, ale było jego naturalną konsekwencją. Galileusz bardzo podkreślał, że nie tylko Ziemia nie spoczywa w środku świata, ale wszechświat zapewne nie ma w ogóle żadnego środka. Nie zgadzał się z tym jego największy współczesny Johannes Kepler, który wierzył, że Słońce spoczywa w centrum świata, a gwiazdy są światłami na nieruchomej sferze niebieskiej. Po Isaacu Newtonie nieskończony wszechświat wydawał się jedyną realną możliwością: gwiazdy w skończonym i statycznym wszechświecie musiałyby się zapaść grawitacyjnie do wspólnego środka masy. Nieskończony wszechświat mógłby teoretycznie znajdować się w stanie równowagi nietrwałej. Sytuację taką zasugerował teolog Richard Bentley w listownej dyskusji z Newtonem, a ten niechętnie uznał to za możliwe. Sam raczej sądził, że grawitacja wywołuje rzeczywiście niestabilność, ale Stwórca od czasu do czasu daje prztyczka ciałom niebieskim, aby je przywołać do porządku bądź zbudować nowy porządek. Na przykład księżyce Jowisza mogłyby być zapasowymi planetami trzymanymi na przyszłość. Hipoteza nieskończonego wszechświata prowadziła też niektórych do wniosku, że niebo w nocy powinno świecić jak powierzchnia Słońca. To poważne zastrzeżenie, które Newton, a właściwie Halley starał się obalić niezbyt przekonującymi argumentami.

Protestancka swoboda spekulacji kosmologicznych zaowocowała sporą liczbą różnych traktatów, w których starano się pogodzić prawo ciążenia i dane astronomiczne z Pismem św. Nie było tu mrożącego efektu inkwizycji. Nie tylko teologowie, ale różnego rodzaju samoucy zastanawiali się nad budową i dziejami wszechświata. Do tej ostatniej kategorii zaliczał się Thomas Wright, który niewiele chodził do szkoły. Jako syn cieśli nie mógł liczyć na głębszą edukację, tym bardziej że rozgniewany ojciec spalił mu kiedyś książki, nad którymi jego zdaniem syn spędzał zbyt wiele czasu. Terminował w zawodzie zegarmistrza, potem w sztuce budowania przyrządów nawigacyjnych. Uczył nawigacji marynarzy spędzających zimy na handlu węglem i czekaniu na sezon żeglugowy. Z czasem uczył także nauk matematycznych w domach arystokratycznych, zaczął też projektować ogrody, na co był spory popyt.

W roku 1750 Wright ogłosił książkę pt. An original theory or new hypothesis of the Universe. Obiecywał w niej wyjaśnić ni mniej, ni więcej tylko budowę wszechświata, trzymając się praw natury i zasad matematycznych – zwłaszcza te ostatnie po Newtonie były w cenie. Dzięki tej modzie wiele dam spośród arystokracji pragnęło poznać tajniki nauk ścisłych i interesowało się astronomią. Szczególną wagę przywiązywał Wright do wyjaśnienia „zjawiska Via Lactea” – czyli Drogi Mlecznej na niebie. Można przypuszczać, że słuchaczki zadawały mu często pytanie, czym jest owa Droga Mleczna. W tamtych czasach marnego oświetlenia nie sposób było nie znać widoku nocnego nieba.

Już Galileusz po pierwszych obserwacjach przez teleskop twierdził, że Droga Mleczna to nagromadzenie słabych gwiazdek, które zlewają się w jednolitą poświatę. W czasach Wrighta wiedziano więcej na temat odległości gwiazd. Przede wszystkim starano się wykryć paralaksę roczną – zjawisko pozornego przemieszczania się gwiazd po sferze niebieskiej w rytmie obiegów Ziemi wokół Słońca. Albo Kopernik nie miał racji, albo gwiazdy były bardzo daleko. Ponieważ po Newtonie system heliocentryczny nabrał sensu fizycznego, więc należało przyznać, że odległości gwiazd od Słońca są niewiarygodnie wielkie. Paralaksa roczna z pewnością nie przekraczała 20”, na co wskazywały obserwacje Jamesa Bradleya. Oznaczałoby to, że gwiazdy są dalej niż 1000 odległości Saturna od Słońca. Można też było oszacować tę odległość na podstawie obserwowanej jasności. Należało wówczas założyć, że gwiazdy są takie jak Słońce i ich obserwowana jasność jest wyłącznie skutkiem ich oddalenia od nas. Newton szacował na tej podstawie, że odległość jasnych gwiazd jest rzędu 100 000 odległości Saturn-Słońce (*). Wszechświat był zatem bardzo pusty i gdyby nawet miał się zapaść, to nie nastąpiłoby to zbyt szybko – musimy pamiętać, że wiek świata liczono w tysiącach lat, zgodnie z Biblią. Newton (nb. fundamentalista biblijny) podał jednak oszacowanie wieku Ziemi na podstawie eksperymentów z czasem stygnięcia na co najmniej 50 000 lat. Wright następująco przedstawił znany wówczas Układ Słoneczny wraz z wydłużonymi orbitami komet (w roku 1750 nie zaobserwowano jeszcze żadnego przypadku komety okresowej).

Odległość do Syriusza, najjaśniejszej gwiazdy na niebie, a więc zapewne także najbliższej przedstawił Wright na środkowym rysunku poniżej (nie udało mu się zachować proporcji). Na dolnym mamy proporcje orbit planetarnych, ukazujące, jak pusto jest nawet w samym Układzie Słonecznym.

Najważniejsze wszakże miało być objaśnienie, czemu widzimy Drogę Mleczną. Najlepiej przedstawia to rysunek.

Jeśli Słońce jest gwiazdą A na rysunku i znajduje się wewnątrz płaskiego zbiorowiska gwiazd, to patrząc w kierunku H albo D widzimy wiele gwiazd, a w kierunku B i C niezbyt wiele. W ten sposób układ gwiazd będzie nam się jawił jako pas wokół sfery niebieskiej.

Mniej więcej w tym miejscu kończy się wkład Wrighta do kosmologii i astronomii. Recenzję z jego książki, bez rysunków, przeczytał w pewnym czasopiśmie pewien zupełnie nieznany magister na prowincjonalnym uniwersytecie w Królewcu. Nazywał się Immanuel Kant i kilka lat później zainspirowany pomysłami Wrighta napisał całą książkę na temat wszechświata. Długo pozostawała ona nieznana, właściwie zwrócono na nią uwagę dopiero po latach, kiedy Kant zdobył sławę, lecz nie jako astronom, tylko jako twórca systemu filozofii.

Thomas Wright nie ograniczył się do tego, co wiadomo z obserwacji i teorii naukowych. Pragnął przede wszystkim zbudować model wszechświata, w którym jest przestrzenne miejsce dla Zbawienia i Potępienia. Jak niemal wszyscy wówczas, traktował dane religijne jako równie pewne jak naukowe. Tradycyjny średniowieczny model świata zawierał Piekło w środku Ziemi i Raj poza sferą gwiazd stałych. Wright spróbował niejako przenicować ten model: w środku miał się znajdować Raj, na zewnątrz, w ciemnościach, Piekło.

Pomysł Wrighta polegał na tym, że wszechświat jest trwały, bo gwiazdy poruszają się po orbitach wokół centrum. Nieporządek wśród gwiazd jest pozorny, patrzymy po prostu z niewłaściwego miejsca. Wcześniej o czymś takim rozmyślał Johannes Kepler, który pisał:

Musielibyśmy bowiem uznać, że Bóg uczynił coś w świecie bez powodu, nie kierując się najlepszymi racjami. Nikt nie przekona mnie do takiego poglądu, gdyż sądzę, że [rozumny ład] panuje nawet wśród gwiazd stałych, których położenia wydają nam się zupełnie bezładne, niczym ziarno rzucone przypadkiem w zasiewie. (Tajemnica kosmosu, rozdz. 2)

Wright go chyba nie czytał, zaczerpnął pomysł zapewne od Williama Whistona, arianina i następcy Newtona na katedrze Lucasa w Cambridge (Whiston miał poglądy religijne zbliżone do Newtona, lecz w odróżnieniu od swego poprzednika głosił je otwarcie, toteż go zwolniono).

Gdyby nasza perspektywa była taka jak Stwórcy, dostrzeglibyśmy ład.

Rzeczywisty obraz wszechświata jest bowiem taki

Słońce A zawarte byłoby wewnątrz ogromnej cienkiej powłoki kulistej. Inną rozpatrywaną przez śmiałego ogrodnika możliwość przedstawia rysunek poniżej:

Takich systemów gwiezdnych miało być nieskończenie wiele.

Oczywiście, wszystko to było czystą fantazją Thomasa Wrighta, który z upodobaniem mieszał rozmaite symbole chrześcijańskie, masońskie i starożytne. Zachował się następujący plan ogrodu kuchennego autorstwa Wrighta, wzorowany na kosmosie.

(*) Interesujące są szczegóły oszacowania odległości do gwiazd. Newton podał je w swoim De mundi systemate liber, czyli popularnej wersji III księgi Matematycznych zasad filozofii przyrody. Metoda opublikowana została w 1668 roku przez szkockiego matematyka Davida Gregory’ego. Co zabawne, oszacowanie to znalazło się w książce opublikowanej w Padwie, a więc za zgodą władz kościelnych, które widocznie nie przyglądały się zbyt dokładnie zawartości książki albo cenzor uznał, że formalnie jest to tylko hipoteza, a więc nie twierdzenie i nie może przeczyć prawdzie natchnionego tekstu. Trudność była w porównaniu jasności Słońca z jasnością jakiejś gwiazdy, nikt nie potrafił wówczas mierzyć jasności. Tak się jednak składa, że planeta Saturn ma średnicę kątową 17” albo 18”. Saturn świeci dla oka niezuzbrojonego jak gwiazda pierwszej wielkości. Znaczy to, że na tę planetę pada 1/(21\cdot 10^8) światła słonecznego, bo w takiej proporcji jest pole powierzchni dysku planety \pi r^2 do pola powierzchni sfery o promieniu R równym wielkości orbity Saturna. mamy

\dfrac{\pi r^2}{4\pi R^2}=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{r}{R}\right)^2.

Wielkość w nawiasie to promień dysku Saturna w radianach. Jeśli przyjmiemy, że jedna czwarta światła słonecznego jest odbijana od powierzchni Saturna, to znaczy, że dysk Saturna świeci 42\cdot 10^8 razy słabiej niż Słońce. A więc gwiazda pierwszej wielkości jest \sqrt(42)\cdot 10^4 razy dalej niż Saturn. Zaokrąglając w górę, otrzymał Newton wartość 100 000. Gregory otrzymał z podobnego rachunku 83 190 jednostek astronomicznych, czyli odległości Ziemia-Słońce, a więc o rząd wielkości mniej. Istniało też oszacowanie Huygensa 27 664 jednostek astronomicznych.

Statyczny wszechświat nie może być stabilny, ten problem przenosi się na teorię grawitacji Einsteina. W przypadku Newtonowskim można łatwo oszacować z III prawa Keplera czas spadku gwiazdy na Słońce, byłby on dla danych Newtona rzędu 30\cdot 10^{5\cdot 3/2}\approx 10^9, liczba 30 to okres obiegu Saturna w latach.

Benjamin Franklin: dwa zastosowania latawca (1752)

Jako mały chłopiec bawiłem się pewnego dnia puszczaniem latawca; znalazłszy się na brzegu stawu, który miał prawie milę długości, przywiązałem sznurek latawca do słupa i poszedłem popływać, ponieważ było bardzo gorąco. Po jakimś czasie, chcąc jednocześnie bawić się dalej latawcem i cieszyć przyjemnością pływania, wróciłem na brzeg i odwiązałem sznurek latawca wraz z kijkiem, do którego był uwiązany; wróciłem z nim do wody, gdzie stwierdziłem, iż leżąc na plecach i trzymając w rękach ów kijek, jestem [przez latawiec] ciągnięty w bardzo przyjemny sposób. Poprosiłem więc swego kolegę, by przeniósł moje ubranie dookoła stawu we wskazane przeze mnie miejsce, a sam puściłem się przez wodę z pomocą latawca, który ciągnął mnie bez żadnego wysiłku z mej strony i najprzyjemniej, jak tylko można (…) od tamtej pory nie praktykowałem owej szczególnej metody pływania, ale wyobrażam sobie, że w razie potrzeby człowiek mógłby w ten sposób przepłynąć z Dover do Calais. [List do Jacquesa Barbeu-Dubourga, marzec 1773]

Wychowywany w Bostonie, największym porcie na wybrzeżu Ameryki, Franklin od małego pływał wpław, a także umiał sterować łodzią żaglową. Gdy znalazł się w Londynie budził sensację, pokazując na Tamizie swe umiejętności w pływaniu i nurkowaniu, przez chwilę zastanawiał się nawet, czy nie zacząć zarabiać na życie jako instruktor pływacki dzieci dżentelmenów. Pływanie z pomocą latawca, a także paletek przywiązanych do rąk i nóg, należało do rozrywek tego pomysłowego i przedsiębiorczego młodzieńca, który mając siedemnaście lat uciekł z domu i od tamtej pory utrzymywał się sam z drukarstwa.

Ćwierć wieku później Franklin był już zamożnym człowiekiem, ojcem rodziny, wydawcą gazety, szanowanym obywatelem Filadelfii, gdzie zakładał różne pożyteczne organizacje, począwszy od biblioteki i straży pożarnej, a skończywszy na ochotniczej milicji do obrony Pensylwanii. Mając czterdzieści lat i więcej wolnego czasu, zajął się eksperymentami elektrycznymi. Opracował pomysłową teorię, która pierwsza wyjaśniła, co dzieje się podczas ładowania i rozładowania butelki lejdejskiej – był to najważniejszy problem końca lat czterdziestych XVIII wieku. Wpadł też na pomysł, jak sprawdzić, czy pioruny są zjawiskiem elektrycznym. Potrzebował do tego metalowego ostrza umieszczonego wysoko nad ziemią. Przymocował więc metalowe ostrze długości jednej stopy do latawca, który unosił się nad ziemią na konopnym szpagacie; na jego dolnym końcu uwiązany był żelazny klucz. Uczony trzymał dolny koniec szpagatu za pomocą jedwabnej taśmy. Chodziło o to, by szpagat sprowadził elektryczność z ostrza do klucza – włókna konopne, nawet suche, były przewodnikiem, a po zamoczeniu przewodziły jeszcze lepiej. Jedwab natomiast był standardowo używanym w eksperymentach izolatorem (pod warunkiem, że nie był mokry – eksperymentator musiał więc stać pod dachem). Według relacji Josepha Priestleya, który słyszał ją zapewne od samego odkrywcy, wyglądało to następująco. Franklin obawiając się śmieszności, nie wtajemniczył w swe zamiary nikogo oprócz syna. Był czerwiec 1752 roku. Pogoda była burzowa, ale bez uderzeń piorunów w pobliżu.

Tu widzimy ilustrację podobnego doświadczenia przeprowadzonego rok później przez Jacques’a de Romas, asesora sądu w Nérac na południu Francji

Latawiec wzniósł się w powietrze i przez dłuższy czas nie wykazywał żadnych oznak naelektryzowania. Jedna bardzo obiecująca chmura przepłynęła nad nim bez żadnego efektu; kiedy po pewnym czasie zaczynał już wątpić w swoje urządzenie, zauważył, iż niektóre luźne nitki wystające ze szpagatu najeżyły się i zaczęły się wzajemnie odpychać, tak jakby były zawieszone na zwykłym [naładowanym] przewodniku. Zachęcony tym obiecującym zachowaniem przybliżył kłykieć dłoni do klucza i oto (niech czytelnik sam osądzi, jak nadzwyczajną przyjemność musiał on poczuć w owym momencie) odkrycie się dokonało: bardzo wyraźnie poczuł iskrę elektryczną. Po niej następne, nim jeszcze szpagat zdążył nasiąknąć, rozstrzygając rzecz ponad wszelką wątpliwość; a kiedy deszcz zmoczył szpagat, zbierał już bardzo obficie ogień elektryczny.

Obawa śmieszności była zrozumiała, Franklin starał się przewidzieć, jak zachowa się przyroda w pewnej sytuacji, nie mógł mieć pewności, że jego rozumowanie było prawidłowe. „Niechaj zostanie przeprowadzony eksperyment” – napisał w swoich notatkach. Wiedział też, że jego pomysły na temat piorunów wyśmiewane są przez ekspertów. Właśnie dlatego wyniki doświadczeń okazały się taką sensacją. W tym samym czerwcu 1752 roku powszechnie czytany w Wielkiej Brytanii „Gentelman’s Magazine” opublikował list „pewnego dżentelmena z Paryża do jego przyjaciela w Tulonie”, oddający przemianę nastrojów wśród uczonych: „Z pewnością pamięta pan, jak bardzo wykpiwaliśmy pomysł pana Franklina, by opróżniać chmury z ich elektryczności i że jego samego uważaliśmy nieledwie za jakąś wyimaginowaną postać. Teraz okazuje się, iż to my byliśmy marnymi filozofami [virtuosi]; gdyż wczoraj spotkałem pewnego uczonego dżentelmena z akademii, który mnie zapewnił, że eksperyment został bardzo niedawno z powodzeniem przeprowadzony”.

Chodziło tu o nieco inne doświadczenie, którego pomysł opublikował Franklin i które zostało po raz pierwszy wykonane w maju 1752 we Francji. Ani Francuzi nie wiedzieli wtedy o latawcu, ani Franklin, w Ameryce, nie słyszał o ich udanej próbie – wiadomości przenosiły się wolno przez Atlantyk.

Dzięki tym doświadczeniom uwierzono, iż elektryczność stanowi potężną siłę przyrody, choć dotąd znano ją głównie z salonowych eksperymentów. Praktyczny Franklin zastosował wyniki do budowy piorunochronu: pierwsze takie urządzenie otrzymała Akademia w Filadelfii (szkoła założona z jego inicjatywy – sam nie mógł chodzić do szkoły jako dziecko i teraz pragnął ułatwić innym zdobycie wykształcenia) oraz na jego domu. To ostatnie urządzenie miało dwa dzwoneczki i młoteczek, który między nimi oscylował, dzwoniąc, kiedy atmosfera stawała się „elektryczna”. Żona Franklina, Deborah, denerwowała się tym dzwonieniem i kiedy Benjamin wyjechał, dopytywała się go w listach, jak można cały ten wynalazek wyłączyć.