Benjamin Franklin: dwa zastosowania latawca (1752)

Jako mały chłopiec bawiłem się pewnego dnia puszczaniem latawca; znalazłszy się na brzegu stawu, który miał prawie milę długości, przywiązałem sznurek latawca do słupa i poszedłem popływać, ponieważ było bardzo gorąco. Po jakimś czasie, chcąc jednocześnie bawić się dalej latawcem i cieszyć przyjemnością pływania, wróciłem na brzeg i odwiązałem sznurek latawca wraz z kijkiem, do którego był uwiązany; wróciłem z nim do wody, gdzie stwierdziłem, iż leżąc na plecach i trzymając w rękach ów kijek, jestem [przez latawiec] ciągnięty w bardzo przyjemny sposób. Poprosiłem więc swego kolegę, by przeniósł moje ubranie dookoła stawu we wskazane przeze mnie miejsce, a sam puściłem się przez wodę z pomocą latawca, który ciągnął mnie bez żadnego wysiłku z mej strony i najprzyjemniej, jak tylko można (…) od tamtej pory nie praktykowałem owej szczególnej metody pływania, ale wyobrażam sobie, że w razie potrzeby człowiek mógłby w ten sposób przepłynąć z Dover do Calais. [List do Jacquesa Barbeu-Dubourga, marzec 1773]

Wychowywany w Bostonie, największym porcie na wybrzeżu Ameryki, Franklin od małego pływał wpław, a także umiał sterować łodzią żaglową. Gdy znalazł się w Londynie budził sensację, pokazując na Tamizie swe umiejętności w pływaniu i nurkowaniu, przez chwilę zastanawiał się nawet, czy nie zacząć zarabiać na życie jako instruktor pływacki dzieci dżentelmenów. Pływanie z pomocą latawca, a także paletek przywiązanych do rąk i nóg, należało do rozrywek tego pomysłowego i przedsiębiorczego młodzieńca, który mając siedemnaście lat uciekł z domu i od tamtej pory utrzymywał się sam z drukarstwa.

Ćwierć wieku później Franklin był już zamożnym człowiekiem, ojcem rodziny, wydawcą gazety, szanowanym obywatelem Filadelfii, gdzie zakładał różne pożyteczne organizacje, począwszy od biblioteki i straży pożarnej, a skończywszy na ochotniczej milicji do obrony Pensylwanii. Mając czterdzieści lat i więcej wolnego czasu, zajął się eksperymentami elektrycznymi. Opracował pomysłową teorię, która pierwsza wyjaśniła, co dzieje się podczas ładowania i rozładowania butelki lejdejskiej – był to najważniejszy problem końca lat czterdziestych XVIII wieku. Wpadł też na pomysł, jak sprawdzić, czy pioruny są zjawiskiem elektrycznym. Potrzebował do tego metalowego ostrza umieszczonego wysoko nad ziemią. Przymocował więc metalowe ostrze długości jednej stopy do latawca, który unosił się nad ziemią na konopnym szpagacie; na jego dolnym końcu uwiązany był żelazny klucz. Uczony trzymał dolny koniec szpagatu za pomocą jedwabnej taśmy. Chodziło o to, by szpagat sprowadził elektryczność z ostrza do klucza – włókna konopne, nawet suche, były przewodnikiem, a po zamoczeniu przewodziły jeszcze lepiej. Jedwab natomiast był standardowo używanym w eksperymentach izolatorem (pod warunkiem, że nie był mokry – eksperymentator musiał więc stać pod dachem). Według relacji Josepha Priestleya, który słyszał ją zapewne od samego odkrywcy, wyglądało to następująco. Franklin obawiając się śmieszności, nie wtajemniczył w swe zamiary nikogo oprócz syna. Był czerwiec 1752 roku. Pogoda była burzowa, ale bez uderzeń piorunów w pobliżu.

Tu widzimy ilustrację podobnego doświadczenia przeprowadzonego rok później przez Jacques’a de Romas, asesora sądu w Nérac na południu Francji

Latawiec wzniósł się w powietrze i przez dłuższy czas nie wykazywał żadnych oznak naelektryzowania. Jedna bardzo obiecująca chmura przepłynęła nad nim bez żadnego efektu; kiedy po pewnym czasie zaczynał już wątpić w swoje urządzenie, zauważył, iż niektóre luźne nitki wystające ze szpagatu najeżyły się i zaczęły się wzajemnie odpychać, tak jakby były zawieszone na zwykłym [naładowanym] przewodniku. Zachęcony tym obiecującym zachowaniem przybliżył kłykieć dłoni do klucza i oto (niech czytelnik sam osądzi, jak nadzwyczajną przyjemność musiał on poczuć w owym momencie) odkrycie się dokonało: bardzo wyraźnie poczuł iskrę elektryczną. Po niej następne, nim jeszcze szpagat zdążył nasiąknąć, rozstrzygając rzecz ponad wszelką wątpliwość; a kiedy deszcz zmoczył szpagat, zbierał już bardzo obficie ogień elektryczny.

Obawa śmieszności była zrozumiała, Franklin starał się przewidzieć, jak zachowa się przyroda w pewnej sytuacji, nie mógł mieć pewności, że jego rozumowanie było prawidłowe. „Niechaj zostanie przeprowadzony eksperyment” – napisał w swoich notatkach. Wiedział też, że jego pomysły na temat piorunów wyśmiewane są przez ekspertów. Właśnie dlatego wyniki doświadczeń okazały się taką sensacją. W tym samym czerwcu 1752 roku powszechnie czytany w Wielkiej Brytanii „Gentelman’s Magazine” opublikował list „pewnego dżentelmena z Paryża do jego przyjaciela w Tulonie”, oddający przemianę nastrojów wśród uczonych: „Z pewnością pamięta pan, jak bardzo wykpiwaliśmy pomysł pana Franklina, by opróżniać chmury z ich elektryczności i że jego samego uważaliśmy nieledwie za jakąś wyimaginowaną postać. Teraz okazuje się, iż to my byliśmy marnymi filozofami [virtuosi]; gdyż wczoraj spotkałem pewnego uczonego dżentelmena z akademii, który mnie zapewnił, że eksperyment został bardzo niedawno z powodzeniem przeprowadzony”.

Chodziło tu o nieco inne doświadczenie, którego pomysł opublikował Franklin i które zostało po raz pierwszy wykonane w maju 1752 we Francji. Ani Francuzi nie wiedzieli wtedy o latawcu, ani Franklin, w Ameryce, nie słyszał o ich udanej próbie – wiadomości przenosiły się wolno przez Atlantyk.

Dzięki tym doświadczeniom uwierzono, iż elektryczność stanowi potężną siłę przyrody, choć dotąd znano ją głównie z salonowych eksperymentów. Praktyczny Franklin zastosował wyniki do budowy piorunochronu: pierwsze takie urządzenie otrzymała Akademia w Filadelfii (szkoła założona z jego inicjatywy – sam nie mógł chodzić do szkoły jako dziecko i teraz pragnął ułatwić innym zdobycie wykształcenia) oraz na jego domu. To ostatnie urządzenie miało dwa dzwoneczki i młoteczek, który między nimi oscylował, dzwoniąc, kiedy atmosfera stawała się „elektryczna”. Żona Franklina, Deborah, denerwowała się tym dzwonieniem i kiedy Benjamin wyjechał, dopytywała się go w listach, jak można cały ten wynalazek wyłączyć.

Voltaire czyli uśmiech rozumu

Pisał Thomas Carlyle:

Niezliczone zastępy strojnych panów, bogów tego niższego świata, obróciły się w nieorganiczny pył, nie zostawiając po sobie ani jednego miłego czy użytecznego wspomnienia; a ten biedny Voltaire, który nie miał nic oprócz własnego języka i umysłu, świeci wciąż blaskiem dla wszystkich narodów, mnie zaś proszą gorąco: „Opowiedz nam o nim, oto człowiek!”.
(Th. Carlyle, History of Friedrich II of Prussia, t. 16)

Różni pustogłowi mędrcy lubią twierdzić, że Oświecenie to epoka naiwna albo nawet złowroga, która w dodatku źle się skończyła, bo Rewolucją Francuską. Zwłaszcza francuscy philosophes, a wśród nich zwłaszcza Voltaire, podkopali religię. Swoim narzekaniem na upały ściągnęli nam na głowę gradobicie. Gdyby nie oni, żylibyśmy dotąd jak u Pana Boga za piecem, nieświadomi zwątpienia, przyjmując choroby i cierpienie jako dopust boży, może głodni, ale przekonani, że kto był dobrym człowiekiem, tego nagroda w niebie nie minie, a władcom należy się cześć niemal taka jak biskupom. Ten okropny, próżny, zarozumiały, cyniczny Voltaire…

A w dodatku, jak pisał. Przeczytajmy tylko jeden krótki liścik (cała jego korespondencja zajmuje pięćdziesiąt tomów, co stanowi jedną trzecią tego, co napisał). Autor ma siedemdziesiąt pięć lat, z wyglądu przypomina szkielet, mieszka w Ferney, blisko Genewy, gdyż we Francji groziłoby mu więzienie z powodu zbyt śmiałych tekstów. Adresatką jest trzydziestotrzyletnia Suzanne Curchod, znana pod nazwiskiem mężowskim jako pani Necker, dama bogata, wpływowa i inteligentna, w której paryskim salonie bywają encyklopedyści, d’Alembert i Diderot, pisarze, artyści. Goście pani Necker wpadli na pomysł, by zebrać pieniądze na posąg Voltaire’a. Wśród subskrybentów znalazło się dwóch królów: Danii i Prus, lecz nie Ludwik XV – ten nigdy Voltaire’a nie lubił. Zadanie wyrzeźbienia posągu otrzymał Jean Baptiste Pigalle, który wybrał się w tym celu do Szwajcarii.

Do Pani Necker
Kiedy ludzie z mej wioski ujrzeli, jak Pigalle rozkłada narzędzia swojej sztuki, powiadali: „Ho, ho, będą mu robić sekcję; ależ będzie zabawa!” Gdyż, jak pani wiadomo, każde widowisko zabawia publiczność; równie dobrze można pójść do teatru marionetek, na ognie świętojańskie, do Opery Komicznej, na sumę czy na pogrzeb. Mój posąg wzbudzi uśmiech paru filozofów i sprawi, że zmarszczy brew jakiś łajdak hipokryta czy jakiś łobuz pismak; marność nad marnościami!
Lecz przecież nie wszystko jest marnością; moja tkliwa wdzięczność dla mych przyjaciół, a przede wszystkim dla ciebie, pani, nie jest marnością.
Tysiąc czułych wyrazów oddania dla pana Necker.
Ferney, 19 czerwca 1770
(przeł. Z. Żabicki)

Anegdotka z początku listu została pewnie zmyślona przez Voltaire’a. Nie chodzi jednak tylko o to, by rozbawić panią Necker. Wprowadzając prostych ludzi i ich sposób widzenia świata, autor podkreśla dystans do własnej osoby i do zniszczonego ciała, które przyszło artyście rzeźbić za pomocą całego instrumentarium. W jednym z poprzednich listów tak opisał siebie po niedawno przebytej chorobie: „Oczy mam zapadnięte na trzy cale, moje policzki przypominają stary pergamin źle przyklejony do kości, które na niczym się nie trzymają. Wypadła mi resztka zębów, które miałem. Nie rzeźbiono dotąd żadnego nieboraka w takim stanie” (przeł. K. Arustowicz). Żarty z samego siebie, owszem, ale bez natarczywego zwracania uwagi na stronę fizyczną starczego rozpadu, byłoby to niestosowne i niesmaczne. Toteż Voltaire nie epatuje zbyt długo swoim stanem, z udaną rezygnacją zgadza się dostarczać innym widowiska. Bo publiczność uwielbia wszelkiego rodzaju zbiegowiska, zgromadzenia, procesje, spektakle, obojętne czy będą wysokiego lotu, czy nie – w dobie Facebooka powinniśmy świetnie rozumieć, że liczy się widowisko i efekt nowości, mniejsza o pretekst. Pani Necker rozumie to oczywiście równie dobrze jak autor, mający za sobą pół wieku doświadczeń w pisaniu i wystawianiu sztuk teatralnych. Suma i pogrzeb także trafiają na listę spektakli: bo przecież i one są przedstawieniami, zwłaszcza w wydaniu wielkoświatowym, gdy liczy się decorum, podniosłość, manifestowanie hierarchii społecznej znacznie bardziej niż treść duchowa owych zgromadzeń. Voltaire, wychowanek jezuitów, nigdy nie rozumiał przeżyć religijnych, uważał je za szalbierstwo albo przesąd kucharek i lokajów (potrzebny zresztą do utrzymania porządku w państwie). Wynikiem zabiegów Pigalle’a miał być posąg, niemający zbyt wiele wspólnego z rzeczywistym wyglądem modela. Przedstawiał on raczej pewien byt idealny, Voltaire’a na Polach Elizejskich (nie tych paryskich, lecz tych antycznych), gdzie znajdzie się wśród innych sławnych postaci.

jeanbaptistepigalle_voltairenude

Bo ostatecznie, jakie to ma znaczenie dla potomności, czy jakiś blok marmuru przypomina tego, a nie innego człowieka”.

Spektakle próżności to oczywiście marność nad marnościami, ale dalecy jesteśmy od tonu Księgi Koheleta: nie wszystko jest marnością. Na przykład przyjaźń. Delikatna, nie narzucająca się, pełna empatii przyjaźń jest jednym z najcenniejszych uczuć tej epoki, która niezbyt wiele sobie robiła z miłości, nie potrafiąc jej traktować z mieszczańską solennością ani z młodzieńczym ponuractwem romantyzmu. Voltaire, zjadliwy i szyderczy wobec wrogów, umiał być niezwykle wyrozumiały wobec tych, którzy mienili się jego przyjaciółmi. Nawet wtedy, gdy pielęgnował tylko złudzenie, nawet wtedy, gdy go to sporo kosztowało, a rzekomy przyjaciel był raczej pieczeniarzem albo obłudnikiem.

Styl Voltaire’a, jego zwięzłość, lekkość, starannie przemyślana prostota to jeden ze szczytów literatury francuskiej i światowej. Po poprzednikach otrzymał język zdolny do wyrażania wielu treści: język Molière’a, Racine’a, Pascala. Potrafił go udoskonalić na tysiącach przykładów, wydestylować co najlepsze z żartobliwego dialogu salonowego, w którym największą zbrodnią jest nudzić. Jego klarowna proza nie utrudniała dotarcia do myśli, przeciwnie, to autor brał na siebie lwią część trudu, nie każąc czytelnikowi przedzierać się przez zawiłe okresy zdaniowe. W dziedzinie stylu najwięcej chyba zawdzięczał Pascalowi, którego poglądy leżały na antypodach jego własnych. Voltaire nie potrafił zrozumieć ponurej zaświatowości tego wybitnego umysłu, opętanego jedną tylko kwestią: własnego zbawienia. Pascal starał się uratować katolicyzm przed życiem ułatwionym i algebraiczną moralnością jezuitów, w której złe i dobre uczynki sumowały się w jednym bilansie i nietrudno było wyjść na swoje. Jego kościół wybrał jednak barokową teatralność, gwałtowne gesty świętych rażonych nagłym widzeniem, cuda ułatwione i dostępne zmysłom. Wybrał jezuitów przeciwko jansenistom. Voltaire nie rozumiał ani jednych, ani drugich, choć po kasacie zakonu przygarnął pewnego jezuitę, z którym grał w szachy.

Wystan Hugh Auden

Voltaire w Ferney 

Teraz prawie szczęśliwy, oglądał gospodarstwo.
Tu zegarmistrz-emigrant w oknie go przywitał
I powrócił do pracy. Gdzie szybko rósł szpital,
Cieśla uchylił czapki. Ogrodnik meldował,
Że dobrze idą drzewa, które sam plantował.
Białe Alpy błyszczały. Był wielki. Było lato.

Tam daleko w Paryżu, gdzie jego przeciwnicy
Syczeli, że jest podły, w sztywnym swoim krześle
Stara, ślepa, czekała na śmierć i na listy. Do niej
„Nic lepszego nad życie” pisał. Gdyż jest bojem.
To coś warte. Oprawców, kłamców straszył nieźle.
Pleć chwast. Cywilizować. I tylko to się liczy.

Słodki, cięty, intrygant, prześcignął wszystkich dawno.
Inne dzieci rozważnie wiódł na święte wojny
Przeciw obrzydłym dorosłym. A chytrość miał dziecka.
Wiedział kiedy udawać, że jest już pokorny,
Chronić się w dwulicowość, łgać dla bezpieczeństwa,
Ale jak chłop cierpliwie trwał wiedząc, że upadną.

Nigdy, jak d’Alembert, nie zwątpił o wygranej.
Tylko Pascal był wielkim wrogiem. Ten czy ów
To szczury już otrute. Choć zostało wiele
Do zrobienia, a nie miał nikogo prócz siebie.
Poczciwy Diderot był głupi, starał się jak mógł.
Rousseau, wiedział to zawsze, wykpi się swoim łkaniem.

Więc, jak na warcie, nie spał. Noc była pełna ech:
Krzywdy, trzęsienia ziemi, egzekucje. Umrze,
A straszne niańki ciągle stoją nad Europą
Chcąc dzieci oblać wrzątkiem. Chyba tylko słowo
Wiersza mogło je wstrzymać; musiał pisać. W górze
Nie skarżące się gwiazdy składały jasny śpiew.
(przeł. Cz. Miłosz)

Stara, ślepa korespondentka to markiza du Deffand, kobieta tyleż przenikliwa, co złośliwa, choć nie wobec wszystkich.

D.A. Henderson, synek Franklina i racjonalność decyzji o szczepieniu

W tych dniach zmarł D.A. Henderson, epidemiolog, który walnie przyczynił się do zlikwidowania ospy na świecie. Był to wynik wieloletniej planowej pracy zespołu ludzi, którymi kierował najpierw w amerykańskiej CDC, a później w WHO. Fachowcy mówią, że to największy wymierny sukces w historii medycyny. Dramatem naszego świata jest fakt, że ludzie tacy jak on są niezbyt znani w przeciwieństwie do różnej maści celebrytów, skandalistów i kokainistów płci obojga.  OB-Henderson__13981471621450

Pisałem o epidemii w roku 1721 w Bostonie i tragicznym losie małego synka Benjamina Franklina. Stosując rachunek prawdopodobieństwa, nietrudno uzasadnić racjonalność decyzji o szczepieniu nawet przy niepełnych danych z XVIII wieku. Musimy pamiętać, że ówczesne szczepienie, tzw. inokulacja albo wariolizacja, różniły się od późniejszej metody. Zaszczepiano bowiem ludziom ospę ludzką, co w niektórych przypadkach kończyło się śmiercią. Dopiero pod koniec stulecia Edward Jenner odkrył, że bezpieczniejsze jest zaszczepianie ludziom ospy krowiej.

Zazwyczaj w podręcznikach matematyki mamy do czynienia z urnami, z których wyciąga się kule i w zależności od tego, co wyciągniemy, pojawiają się różne możliwości i budujemy drzewo rozmaitych ewentualności. Szczepienia są przykładem lepiej chyba przemawiającym do wyobraźni niż losowania białych i czarnych kul z urny.

Oto dane dla epidemii w Bostonie w roku 1721.

  • Liczba ludności miasta: 10 700
  • Poddanych inokulacji 281, z czego 6 zmarło
  • Spośród niepoddanych inokulacji 4917 zachorowało i przeżyło, 842 osoby zachorowały i zmarły, a 4654 osoby w ogóle nie zachorowały

Będziemy prawdopodobieństwa przybliżać częstościami, zazwyczaj nie mamy na to lepszego sposobu, należy pamiętać, że dane pochodzące z niewielkiej próby mogą się okazać niedokładne i dysponując większą statystyką, otrzymalibyśmy nieco inne wyniki. Mamy więc prawdopodobieństwo zgonu po inokulacji równe 6/281=0,021 i przeżycia inokulacji 1-0,021=0,979.

Prawdopodobieństwo zgonu wśród niepoddanych inokulacji oraz zarażonych jest równe 842/(842+4917)=0,146, a prawdopodobieństwo przeżycia w tej samej grupie równa się 1-0,146=0,854.

Prawdopodobieństwo zarażenia osoby niepoddanej inokulacji możemy próbować oszacować na podstawie naszych danych jako (4917+842)/(4654+4917+842)=0,553. Jest to szacowanie z dołu: musimy pamiętać, że część spośród 4654 osób, które nie zachorowały, przeszła już kiedyś ospę i była uodporniona na resztę życia. Jeśli prawdopodobieństwo zarażenia osoby, która nie przeszła ospy, oznaczymy przez x, mamy następujące drzewo możliwości.

qc23465.f1

Rysunek z pracy M Best, A Katamba, and D Neuhauser, Making the right decision: Benjamin Franklin’s son dies of smallpox in 1736.

Jeśli przyjmiemy x=0,553, to prawdopodobieństwo przeżycia bez inokulacji będzie równe (1-x)+x \cdot 0,854=0,919. Jak widać, wartość ta jest mniejsza od prawdopodobieństwa przeżycia inokulacji, zatem statystycznie biorąc, zabieg ten zwiększa szanse przeżycia. Gdybyśmy mieli więcej informacji, wartość x mogłaby się okazać jeszcze większa, a to by oznaczało, że prawdopodobieństwo przeżycia bez inokulacji jest jeszcze mniejsze (można zapisać to prawdopodobieństwo jako 1-x+0,854x=1-0,146x, jest to więc malejąca funkcja zmiennej x).

Można też się zastanowić, jaka musi być najmniejsza wartość x, żeby inokulacja była racjonalnym zabiegiem. Granicą racjonalności będą równe prawdopodobieństwa zgonu: x\cdot 0,146=0,021, skąd x> 0,144. Ponieważ dane wskazują, że prawie na pewno ostatni warunek jest spełniony, inokulacja jest racjonalnym zabiegiem.

Nie mamy, niestety, danych dla epidemii w 1736 roku w Filadelfii, gdzie mieszkał Benjamin Franklin z rodziną. Mamy jednak dane dla późniejszej epidemii w Bostonie w roku 1752.

  • Boston liczył wówczas 15 684 mieszkańców
  • 5998 osób przeszło już ospę i nie musiało się jej obawiać
  • 2124 osoby poddały się inokulacji (znacznie więcej niż w roku 1721), 30 z nich zmarło
  • 1843 osoby uciekły na wieś, by przeczekać epidemię, nie wiemy, jak wiele spośród nich zmarło.
  • 5719 osób nie poddało się inokulacji ani nie uciekło; 97% spośród nich zachorowało, a 539 zmarło

Prawdopodobieństwo zgonu po inokulacji równe jest 30/2124=0,014; prawdopodobieństwo przeżycia: 0,986. Wartości zbliżone są do tego, co otrzymaliśmy wyżej dla roku 1721.

Wśród niezaszczepionych i narażonych na zachorowanie śmiertelność była równa 539/(0,97\cdot 5719)=0,097, prawdopodobieństwo przeżycia choroby równało się 1-0,097=0,903. Oznaczało to, że nie robiąc nic, ma się prawdopodobieństwo przeżycia 0,03+0,97\cdot 0,903=0,906. Należy porównywać to z wartością 0,986 dla zaszczepionych. Inokulacja była więc znacznie lepszą decyzją.

Statystyka z roku 1752 obejmuje jeszcze możliwość ucieczki z miasta. Była to najprostsza metoda unikania chorób epidemicznych i kogo było na nią stać, ten ją stosował. Nie znamy prawdopodobieństwa zachorowania wśród tych, co uciekli. Oznaczmy je przez y. Mamy więc następujące drzewo możliwości.

qc23465.f2

(Rysunek z pracy jw.)

Można zadać pytanie, jakie powinno być y, aby ucieczka była lepszym wyjściem niż pozostanie w Bostonie i poddanie się inokulacji. Prawdopodobieństwo zgonu osoby uciekającej to 0,097y, należy je porównać z prawdopodobieństwem zgonu po inokulacji, równym 0,014. A zatem, jeśli y< 0,144, to ucieczka jest racjonalna. Trudno jest oczywiście oszacować wartość y, zależy ona np. od tego, czy uciekniemy, zanim jeszcze epidemia się rozwinie, czy w jej późniejszej fazie (choroba ma pewien okres inkubacji, możemy więc wyjeżdżając czuć się dobrze mimo zarażenia). W dodatku uciekając, nadal nie mamy odporności na ospę, a w Bostonie w ciągu osiemnastego wieku większe epidemie wystąpiły w latach 1721, 1730, 1752, 1764, 1776, 1778 oraz 1792. Można się było spodziewać, że za kilkanaście lat choroba znów się pojawi.

Flaszki Kleista i butelki lejdejskie: elektryczny szok uczonej Europy (1745-1746)

Ważne odkrycia niemal zawsze są niespodziewane, bywają także niebezpieczne, gdyż odkrywcy zwykle są w roli ucznia czarnoksiężnika, rozpętując moce, nad którymi nie potrafią zapanować. Odkrycie butelki lejdejskiej stanowiło przełom w badaniach elektryczności. Do tej pory była ona jedynie źródłem interesujących i zabawnych pokazów. Elektron znaczy po grecku bursztyn, i to bursztyn był pierwszą substancją używaną do wywołania zjawisk przyciągania i odpychania lekkich drobnych przedmiotów w rodzaju skrawków papieru. Zauważono, że także inne materiały, jak siarka albo szkło, elektryzują się przez tarcie. Znane było doświadczenie Graya, pokazujące, że elektryczność może być przekazywana także przez ciało ludzkie.

0154.P.2.1612.1032

Stephen Gray, farbiarz, astronom i okazjonalnie demonstrator eksperymentów w Towarzystwie Królewskim, został pod koniec życia pensjonariuszem Charterhouse, czegoś w rodzaju szpitala z domem starców dla gentlemanów (pojęcie w Anglii bardzo rozciągliwe) połączonego z sierocińcem i szkołą. Do eksperymentów używał czterdziestosiedmiofuntowego chłopca zawieszonego na jedwabnych izolujących pasach. Na rysunku widzimy jeden z wariantów takiego doświadczenia. Osoba B obraca tu za pomocą przekładni szklaną kulę C, która jest pocierana ręką osoby D. Zawieszony w powietrzu chłopiec stopami dotyka kuli, podając rękę dziewczynce G (stojącej na izolacyjnej podkładce z żywicy albo smoły). Jej ręka przyciąga skrawki złotej folii leżące na gerydonie H. Na drugim rysunku mamy naelektryzowaną szklaną rurkę TT, która za pomocą brązowego drutu B połączona jest z dzwonkiem A. Młoteczek C zawieszony jest na jedwabnym sznurze i jest na przemian przyciągany oraz odpychany przez A, w rezultacie oscyluje między dzwonkami A i E, wywołując ich dzwonienie.

Georg Matthias Bose, profesor filozofii naturalnej z Wittenbergi i autor marnych francuskich wierszy, w swych eksperymentach przejawiał iście germańskie poczucie humoru. Jeden z nich, znany jako Venus electrificata, polegał na tym, by naelektryzować damę stojącą na izolowanej podkładce. Gdy następnie jakiś kawaler próbował ją pocałować, rażony był iskrą wybiegającą z warg wybranki. Innym jego popisowym doświadczeniem była „beatyfikacja”: delikwent wkładał na głowę specjalną koronę, która po naelektryzowaniu świeciła. Mimo tak bezceremonialnego podejścia do aureoli i świętości starał się Bose o uznanie wszędzie, nawet w Turcji i u Ojca Świętego Benedykta XIV. To ostatnie ściągnęło na niego represje na macierzystej uczelni, kolebce luteranizmu, spór musiał zażegnywać król Fryderyk.

bub_gb_FSJWAAAAcAAJ-xx

Jesienią 1745 roku eksperymentami elektrycznymi zajął się dziekan luterańskiej kapituły katedralnej w Kamieniu Pomorskim, Ewald Georg von Kleist. Dwadzieścia lat wcześniej studiował on w Lipsku i w Lejdzie i mógł się już wtedy zetknąć z elektrycznością, choć bezpośredniej inspiracji dostarczyły mu stosunkowo niedawne eksperymenty Bosego, m.in. uzyskiwanie iskry z wody oraz zapalanie spirytusu za pomocą elektryczności. Wyobrażano sobie wówczas elektryczność jako jakiś pewien rodzaj rodzaj subtelnej materii jakoś spowinowaconej z ogniem, mówiono nawet o ogniu elektrycznym. Eksperymenty z czerpaniem ognia z wody bądź zamianą iskry elektrycznej na rzeczywisty płomień zdawały się potwierdzać bliski związek obu tych tajemniczych substancji. Kleist pragnął naelektryzować wodę i udało mu się to w następujący sposób: butelkę napełniał częściowo wodą, rtęcią albo spirytusem, następnie zatykał korkiem, przez który przechodził drut albo gwóźdź. Jeśli trzymało się ten wynalazek w ręku, podczas gdy gwóźdź podłączony był do machiny elektrostatycznej, można było go bardzo mocno naelektryzować. Kolba średnicy czterech cali po naelektryzowaniu potrafiła powalić chłopca w wieku ośmiu bądź dziewięciu lat, jak starannie odnotował dobry dziekan (nie podając wszakże wagi chłopca). Po raz pierwszy wytworzona przez człowieka elektryczność przestała być niewinną salonową zabawą. Jak pisał Kleist, każdemu odechciałoby się całowania tak naelektryzowanej Wenus.

flasche-xx

Rysunek von Kleista z listu do Pawła Świetlickiego, diakona luterańskiego kościoła św. Jana w Gdańsku, przedstawiający jego urządzenie (z listu tego korzystał D. Gralath)

Odkrycie von Kleista było przypadkowe: nie rozumiał on, dlaczego musi trzymać swoje urządzenie w ręku, aby działało. Chcąc nagromadzić dużą ilość elektrycznego ognia, należałoby raczej izolować naczynie zamiast trzymać je w ręku i w ten sposób uziemiać. Dziś wiemy, że flaszka Kleista, jak nazywano ją czasem w Niemczech, była po prostu kondensatorem: ręka i woda z gwoździem stanowiły jego dwie okładki rozdzielone szkłem. Z punktu widzenia ówczesnej wiedzy działanie tego urządzenia było jednak niezrozumiałe. Spośród kilku uczonych, którzy otrzymali listowne doniesienia Kleista, eksperyment zdołał powtórzyć chyba tylko Daniel Gralath (a właściwie jego pomocnik Gottfried Reyger) w Gdańsku. Niedługo później, już w roku 1746, podobne doświadczenie przeprowadzono niezależnie w Lejdzie. Także i tu pierwszym odkrywcą był naukowy amator, Andreas Cunaeus, prawnik, zabawiający się eksperymentami w pracowni miejscowego profesora Pietera van Musshenbroeka. Przypadkowo zauważył on to samo co Kleist, jego eksperyment powtórzył później pomocnik profesora, Jean Nicolas Allamand, a na koniec i sam Musshenbroek, który był nim tak mocno wstrząśnięty, że, jak wyznał swemu paryskiemu koledze, nawet za całe królestwo Francji nie chciałby tego przeżyć po raz drugi.

leiden exp-x

Strach niebawem minął i elektrowstrząsy za pomocą butelek lejdejskich zaczęli wytwarzać wszyscy eksperymentatorzy, choć przez pewien czas do dobrego tonu należało informować o przypadkach konwulsji, paraliżu, zawrotów głowy itp. Żona profesora z Lipska, Johanna Heinricha Wincklera, po dwóch wyładowaniach poczuła się tak słabo, że ledwie mogła mówić. Tydzień później mąż zaaplikował jej jeszcze jedno wyładowanie, po którym krew się jej puściła z nosa. Profesor Winckler humanitarnie wstrzymał się jednak od przeprowadzania eksperymentów na ptakach, nie chcąc zadawać owym stworzeniom niepotrzebnych cierpień. Abbé Jean Antoine Nollet, mistrz pokazów fizycznych, utrzymujący się z produkcji naukowych urządzeń dla bogatych klientów, takich jak np. Voltaire i pani du Châtelet, zaprezentował w obecności króla Ludwika XV żywy łańcuch 180 grenadierów, poprzez który rozładowywała się butelka lejdejska. Wszyscy oni jednocześnie podskakiwali, co tak bardzo podobało się suwerenowi, że kazał sobie ten eksperyment powtarzać.

Zabdiel Boylston, czarna ospa w Bostonie i siła charakteru (1721-1722)

W XX wieku czarna ospa zabiła 300 mln. ludzi – trzy razy więcej niż zginęło w obu wojnach światowych. I w tym samym XX wieku udało się tę chorobę wyeliminować. Można, oczywiście, buntować się przeciwko nowoczesnej cywilizacji, ale żadna z tych 300 mln. osób nie zrozumiałaby, o co nam właściwie chodzi. Nie ma jednak szczepionki przeciwko głupocie i w naszych światłych czasach dzieci chorują albo będą chorować na rozmaite groźne przypadłości jedynie dlatego, że ich rodzice albo rodzice ich kolegów są podejrzliwymi idiotami, którzy sądzą, że wiedzą lepiej niż eksperci.

W XVIII wieku nie znano przyczyn ani mechanizmu szerzenia się ospy, jasne było tylko, że jest to choroba zakaźna. Ponieważ objawy występują dopiero po 12 dniach, więc izolacja chorych była na ogół spóźniona i zdążyli oni już zarazić osoby, z którymi się stykali. Wiadomo też było z obserwacji, że ci, którzy przeszli chorobę i przeżyli, byli na nią później odporni. Ryzyko było tak duże, że w Anglii w XVII wieku był zwyczaj, by nie zapisywać majątku dzieciom, zanim nie przeszły ospy, ponieważ ich przyszłość była wciąż bardzo niepewna. Spośród tych, co przeżyli, wielu było oślepionych albo oszpeconych na całe życie. Jedną z takich osób, których urodę zniszczyła ospa, była Mary Wortley Montagu, arystokratka, pisarka (sama nauczyła się łaciny w ojcowskiej bibliotece) i żona ambasadora brytyjskiego w Konstantynopolu. Dowiedziała się ona o praktyce wariolizacji stosowanej w imperium osmańskim: pobierano płyn z pęcherzyków na skórze chorego i zaszczepiano go osobom zdrowym. Pacjenci chorowali wówczas na ogół w sposób łagodny, nabywając przy tym odporności. Nie zawsze wariolizacja przynosiła pożądane efekty, zdarzały się przy jej stosowaniu wypadki śmiertelne. Montagu propagowała tę metodę w Londynie, przekonując m.in. księżnę Walii Karolinę do zaszczepienia dzieci. Metoda była kontrowersyjna. Wyglądała na jakiś rodzaj zabobonu, w dodatku przychodziła do Europy z krajów niecieszących się zaufaniem w sprawach medycznych i naukowych: stosowano ją na Kaukazie, w Afryce. W Konstantynopolu szczepieniami zajmowały się zwykle stare kobiety, co też nie wyglądało wiarygodnie w oczach Zachodu. Z punktu widzenia dzisiejszej wiedzy wariolizacja stanowiła postęp, lecz była obarczona ryzykiem. Dopiero pod koniec XVIII wieku Edward Jenner wynalazł skuteczną odmianę tej metody szczepienia: należy zaszczepiać ospę krowią, pacjenci wówczas nie chorują i nabierają odporności na ospę ludzką. Także i wtedy nie rozumiano, dlaczego szczepienie jest skuteczne i jak działa, opierano się wyłącznie na obserwacjach.

W kwietniu 1721 roku do Bostonu, stolicy Massachusetts, zawinął okręt „Seahorse”, płynący z Barbadosu. Jeden z członków załogi zachorował na ospę i został odizolowany w domu z czerwoną ostrzegawczą flagą. Później zachorowali także inni marynarze z tej jednostki i stało się jasne, że kwarantanna nie wystarczy, ponieważ choroba zdążyła się już rozprzestrzenić. Ówczesny Boston był małym miastem, liczącym sobie około jedenastu tysięcy mieszkańców. Rządy duchowe sprawowała w nim dynastia purytańskich ministrów: wiekowy Increase Mather i jego dobiegający sześćdziesiątki syn, Cotton Mather. Obaj zapisali się poprzednio w annałach ścigania czarownic i czarowników: to za ich aprobatą toczyła się sprawa w Salem w roku 1692. Wszechstronnie wykształcony w Ameryce i w Anglii, Cotton Mather, członek Towarzystwa Królewskiego, był zarazem ciasnym bigotem, głęboko wierzącym w realność i szkodliwość czarów. W swym dziele Pamiętne zrządzenia opatrzności opisywał przypadek irlandzkiej praczki, niejakiej Glover, która jako czarownica nękała pobożną rodzinę Goodwinów, którzy podczas owych diabelskich ataków głuchli, niemieli, ślepli albo wszystko to na raz. Mather przyczynił się do prześladowań w Salem, choć zarazem podkreślał potrzebę niezbitych dowodów w każdym przypadku. Teraz, wobec zagrożenia ospą, także starał się interweniować i tym razem jego wpływ okazał się jednoznacznie korzystny. Mather przekonany był bowiem do wariolizacji: czytał o niej wcześniej w „Transactions of the Royal Society”, miał też w domu niewolnika z Afryki, który mu opowiadał o tej metodzie. Minister skierował do lekarzy bostońskich pismo przedstawiające zalety wariolizacji. Medycy zareagowali wrogo, obawiając się, że wskutek wariolizacji epidemia jeszcze bardziej się rozszerzy. Wrogo też reagowali niektórzy duchowni. Ich zdaniem człowiek nie powinien ingerować w naznaczony przez Boga bieg wypadków. Znaleziono nawet pierwowzór wariolizacji w Księdze Hioba: „Odszedł szatan sprzed oblicza Pańskiego i obsypał Hioba trądem złośliwym, od palca stopy aż do wierzchu głowy. [Hiob] wziął więc skorupę, by się nią drapać siedząc na gnoju” (Hi 2, 7-8). A więc także Pismo św. wskazywało więc wyraźnie, że nie należy nikogo szczepić. Pismo św, jak zawsze, wskazuje we wszystkich kierunkach jednocześnie.

Jedynie chirurg Zabdiel Boylston gotów był spróbować wariolizacji. Nie miał on wykształcenia akademickiego, uczył się medycyny od swego ojca i innego jeszcze lekarza, w Ameryce nie było zresztą żadnej szkoły medycznej. Boylston dał się poznać jako sprawny chirurg, który nie obawiał się przeprowadzać ryzykownych operacji, jak usuwanie kamieni żółciowych czy pierwsza mastektomia w Ameryce. Operacje przeprowadzało się bez znieczulenia, należało wszystko robić błyskawicznie, żeby pacjent nie zmarł wskutek szoku i upływu krwi. Później groziły mu oczywiście wszelkie infekcje, Boylston był ponoć pedantycznie czysty i zapewne pomagało to jego pacjentom (nikt wówczas nie kojarzył chirurgii z czystością). Pierwsze szczepienia ospy przeprowadził na własnym synu oraz parze swych niewolników: ojcu i synu. Wszyscy trzej przeżyli. Boylston zaczął więc stosować tę metodę, choć przyjmowano to wrogo i lekarz obawiał się o swe bezpieczeństwo. W pewnym momencie rada miejska oficjalnie zakazała mu tych praktyk. Nie ujął się też za nim Mather, nie do końca chyba przekonany do wariolizacji (nie zaszczepił np. własnego syna). Ostatecznie Boylston przeprowadzał szczepienia na niezbyt dużą skalę, tylko u pacjentów, którzy sami się z tym do niego zwracali. Był także ostro krytykowany w miejscowej prasie. W tygodniowej gazecie wydawanej przez Jamesa Franklina (terminował u niego wtedy młodszy brat, Benjamin, który z czasem miał zostać najsławniejszym uczonym Ameryki) szczepienia atakowano jako szkodliwy przesąd. W pewnym stopniu postawa gazety wynikała z jej opozycyjności: James Franklin był przeciwny rządom Mathera i atmosferze moralnego terroru wprowadzanej przez purytanów, nietrudno więc było go przekonać, że duchowny także i tym razem broni jakichś przesądów. Ostatecznie w ciągu niecałego roku zachorowało w Bostonie około 6000 osób – ponad połowa ludności (około tysiąca bogatszych wyjechało na wieś i tam przeczekali epidemię). Zmarły w tym czasie na ospę 844 osoby, czyli 14% zainfekowanych. Za Boylstonem przemawiały liczby: spośród 286 osób, jakie zaszczepił, zmarło jedynie sześć. W dodatku nie zawsze było jasne, czy osoby te były zdrowe w momencie wariolizacji, być może choroba już się u nich rozwijała, lecz nie dawała jeszcze widocznych objawów. Tak czy inaczej było to tylko 2,4% – statystycznie biorąc, wariolizacja działała.

smallpox account-x

Doświadczenia swe Boylston opisał w książce, przyjęto go też do Towarzystwa Królewskiego. Wariolizację zaczęto, choć z oporami, uznawać. Nabrał do niej przekonania także Benjamin Franklin, choć obawiał się związanego z nią ryzyka. Pisze w swej autobiografii:

W roku 1736 straciłem jednego z mych synów, pięknego czteroletniego chłopca. Umarł na ospę, którą się w zwykły sposób zaraził. Długo i gorzko żałowałem potem i nadal żałuję, że nie kazałem go szczepić. Wspominam o tym ku przestrodze rodziców, którzy nie szczepią swych dzieci z obawy, że mogłyby wskutek tego umrzeć, czego nigdy nie mogliby sobie wybaczyć. Mój przykład świadczy, że żałować trzeba nieraz i w przeciwnym wypadku, a wobec tego lepiej wybierać drogę bezpieczniejszą. (przeł. J. Stawiński)

Od igły Buffona do metody Monte Carlo: statystyczne wyznaczenie liczby pi oraz wielkości mrowiska

Jean Marie Leclerc, hrabia de Buffon, był obok swego rówieśnika ze Szwecji Carla Linneusza najsławniejszym naturalistą drugiej połowy XVIII wieku. Za jego życia ukazało się trzydzieści sześć tomów historii naturalnej, a jeszcze kilka po jego śmierci z pozostawionych przez uczonego materiałów. W młodości nic nie zapowiadało, że zdolny jest do tak gigantycznej pracy. Studiował nauki przyrodnicze i Newtona zamiast poświęcić się prawu i być jak ojciec, adwokat parlamentu Burgundii oraz poborca podatku od soli. W Angers zabił w pojedynku chorwackiego oficera i musiał uciekać. Podróżował dłuższy czas po Europie razem z Evelynem Pierrepontem, drugim diukiem Kingston-upon-Hall, potem osiadł w Paryżu i zaczął starać się o przyjęcie do Akademii Nauk. Bardziej od zasług naukowych liczyły się kontakty, Buffon napisał jednak oryginalną, choć nietrudną pracę dotyczącą pewnej gry hazardowej, le jeu du franc-carreau. Polegała ona na tym, aby upuszczać przypadkowo monetę na posadzkę z drobnych płytek. Liczyło się, czy moneta mieści się całkowicie wewnątrz jednej z płytek, czy przecina jakieś granice między nimi. Buffon zastanawiał się, jak duże muszą być monety w stosunku do długości boku kwadratowej płytki, aby gra taka była sprawiedliwa. Przedstawił też jej prostszą odmianę: rzucamy w sposób przypadkowy igły długości l na podłogę z desek o szerokości d i sprawdzamy, czy igła przecina linię oddzielającą deski. Znów można zadać pytanie, przy jakim stosunku l/d gra będzie sprawiedliwa.

BuffonsNeedle

http://demonstrations.wolfram.com/BuffonsNeedleProblem/

Okazuje się, że prawdopodobieństwo przecięcia którejś linii równe jest

p=\dfrac{2}{\pi}\dfrac{l}{d}.

Wzór ten słuszny jest dla l\le d.Buffon ogłosił swe rozważania, po czterdziestu z górą latach, w roku 1777, w długiej rozprawie Essai d’arithmétique morale (arytmetyka moralna to rachunek prawdopodobieństwa). Dla kogoś, kto przełożył na francuski Traktat o fluksjach Isaaca Newtona, nie było to trudne zagadnienie. W roku 1812 Pierre Simon de Laplace zwrócił uwagę, że jeśli znamy stosunek długości igły do odległości linii, możemy eksperymentalnie wyznaczyć wartość liczby \pi. Np. na rysunku powyżej wylosowano 100 rzutów i igła przecina linię 66 razy oraz l=d. Wartość liczby \pi oszacowana na podstawie tego eksperymentu równa jest

\pi=\dfrac{2}{0,66}\approx 3,03

 My pokażemy, jak znaleźć to prawdopodobieństwo, nie korzystając z żadnych całek. Jeśli igła dowolnej długości l pada losowo na układ równoległych linii, to może je przeciąć pewną skończoną liczbę razy. Załóżmy, że zliczamy liczby przecięć dla kolejnych rzutów.

buffon1

Wartość oczekiwana liczby przecięć równa jest

E(l)=p_1+2p_2+3p_3+\ldots.

 Prawdopodobieństwo, że przecięć będzie k oznaczyliśmy p_k, suma zawiera tyle składników, ile trzeba dla danej długości igły. Jeśli podzielimy naszą igłę na dwie części o długościach l=l_1+l_2, to można ustalić zawsze, która część przecina daną linię.

buffon1_5

Jeśli przecięcia obu części będziemy zliczać oddzielnie, a następnie je zsumujemy, wynik nie może być inny niż przed podzieleniem igły:

E(l)=E(l_1)+E(l_2).

Moglibyśmy podzielić igłę na dowolną liczbę kawałków, łatwo widać, że E(cl)=cE(l) dla dowolnych wymiernych wartości c. Funkcja E(l) jest rosnąca, możemy więc napisać

E(l)=E(1)l=cl.

Wyznaczenie E(l) sprowadza się więc do znalezienia stałej c, która jest niezależna od długości igły.

Wyobraźmy sobie, że nasza igła to kawałek drutu, który zaginamy, jak na rysunku. Wartość oczekiwana liczby przecięć nadal będzie sumą wartości oczekiwanych liczby przecięć obu części. Inaczej mówiąc, wygięcie drutu nie zmieni wartości oczekiwanej całkowitej liczby liczby przecięć.

buffon2

A skoro tak, to możemy wyobrazić sobie, że rzucamy jakieś wielokąty foremne i obliczamy wartość oczekiwaną całkowitej liczby przecięć wielokąta z liniami prostymi. Nadal powinna to być ta sama funkcja E(l).

buffon2_5

Aby znaleźć wartość stałej c rozpatrzymy zamiast wielokątów ich graniczny przypadek czyli okrąg o średnicy d. Okręgi takie przecinają nasze linie proste dokładnie w dwóch punktach.

buffon3

Możemy więc napisać równość

2=E(d\pi)=d\pi E(1) \Rightarrow E(l)=\dfrac{2l}{\pi d}.

Obliczyliśmy w ten sposób wartość oczekiwaną liczby przecięć dla dowolnej igły. Co to ma wspólnego z prawdopodobieństwem pojedynczego przecięcia? Jeśli nasza igła jest krótsza niż odległość linii, to może przeciąć najwyżej jedną z nich, a więc E(l)=p_1.

Nietrudno zauważyć, że nasze obliczenie sprowadza się do ustalenia stosunku dwóch pól powierzchni z rysunku, czyli inaczej mówiąc do obliczenia pola powierzchni między sinusoidą a osią odciętych.

buffon0Można sobie wyobrazić bardziej bezpośredni sposób obliczenia pola powierzchni i tym samym liczby \pi. Wyobraźmy sobie kwadrat i załóżmy, że losujemy w sposób całkowicie przypadkowy punkty wewnątrz tego kwadratu. Jeśli w kwadrat wpiszemy okrąg, to niektóre z nich znajdą się wewnątrz okręgu, inne na zewnątrz.

MonteCarlo1000

Na rysunku wylosowano 1000 punktów, 773 leżą wewnątrz okręgu, zatem

\dfrac{\pi}{4}\approx\dfrac{773}{1000}\Rightarrow \pi\approx 3,092

Obliczenie to stanowi prosty przykład działania metody Monte Carlo. Jest ona dość powolna, bo trzeba wygenerować wiele punktów, aby wynik był w miarę dokładny. Zauważmy jednak, że moglibyśmy w ten sposób zmierzyć pole pod dowolną krzywą, czyli mówiąc inaczej, obliczyć dowolną całkę. Metodę tę zaproponował w roku 1946 Stanisław Ulam, pracujący wówczas w Los Alamos. Dzięki pierwszemu komputerowi ENIAC można już było generować liczby losowe. Podczas rekonwalescencji po chorobie Ulam, specjalista od metod probabilistycznych, a do tego wielki miłośnik gier i hazardu, układał sobie pasjanse Canfielda i zaczął zastanawiać się, jak obliczyć w tym przypadku prawdopodobieństwo sukcesu. Było to trudne, ale można by np. wymodelować pewną liczbę gier i oszacować prawdopodobieństwo na podstawie częstości sukcesów. Razem z Johnem von Neumannem zastosowali po raz pierwszy metodę Monte Carlo do obliczeń dyfuzji neutronów.

Ciekawe zastosowania rozumowania typu igły Buffona można napotkać w biologii. Wyobraźmy sobie płaski obszar wypukły o polu powierzchni S. Zamiast igieł mamy dwa zestawy łuków krzywych. Ich całkowita długość to l_1 oraz l_2. Jeśli będziemy losowo umieszczać krzywe obu rodzajów w naszym obszarze, to średnia liczba przecięć między krzywymi obu rodzajów dana jest wzorem analogicznym do wzoru Buffona:

E=\dfrac{2l_1l_2}{\pi S}.

Możemy np. posłużyć się tą zależnością do statystycznego wyznaczenia pod mikroskopem długości pewnej krzywej (np. kawałka korzenia rośliny). Umieszczamy losowo w naszym obszarze badaną krzywą wraz z odcinkami prostej o ustalonej długości. Teraz wystarczy obliczyć, ile razy badana krzywa przecina się z odcinkami prostoliniowymi, co jest znacznie prostsze niż śledzenie za konkretną krzywą (wyobraźmy sobie, że mamy do zbadania tysiące takich korzeni).

root

Niech N będzie liczbę przecięć, zaś H całkowitą długością wylosowanych odcinków, wówczas długość krzywej równa jest

R=\dfrac{\pi NS}{2H}.

Zależność ta (oraz rysunek) pochodzą z klasycznej pracy E.I. Newmana, A Method of Estimating the total length of root in a SampleJournal of Applied Ecology, t. 3, (May, 1966), s. 139-145. Wzór Newmana można też wykorzystać do znalezienia pola powierzchni S, gdy znane są pozostałe wielkości. Sugerowano, że algorytmu tego rodzaju używają mrówki, szacując, czy jakieś miejsce nadaje się na nowe mrowisko. Dwa zestawy krzywych byłyby w tym przypadku dwoma trasami tej samej mrówki-zwiadowcy: liczyłaby ona, ile razy pierwsza trasa i druga się przecinają (trasy są znaczone feromonami, zakłada się, że mrówka reaguje na swoje indywidualne feromony). Nie potrafię ocenić, czy to dobra hipoteza, z pewnością ciekawa. Szczegóły można znaleźć w pracy: E.B. Mallon, N.R. Franks, Ants estimate area using Buffon’s needle, „Proc. R. Soc. London” B, t. 267 (2000) s. 765-770.

Czy ogon macha psem? – o pewnym argumencie na rzecz heliocentryzmu

W listopadzie 1948 roku Albert Einstein napisał w liście do starego przyjaciela:

U nas, jak dotąd, wszystko dobrze. Także moja siostra nie cierpi, choć obiektywnie jej stan pogarsza się w sposób widoczny. Czytam jej co wieczór – dziś np. dziwne argumenty wysuwane przez Ptolemeusza przeciwko poglądowi Arystarcha, że Ziemia się obraca, a nawet obiega Słońce. Nie mogę się oprzeć skojarzeniu z niektórymi argumentami współczesnych fizyków: uczone i wyszukane, ale bez wyczucia. Ocena wagi argumentów w roztrząsaniach teoretycznych to zawsze kwestia intuicji.

Maja Einstein cierpiała po udarze i powoli gasła, była jednak sprawna umysłowo, toteż brat czytał jej wieczorami rozmaite książki, przeważnie klasyczne (Maja miała doktorat z filologii romańskiej). W sprawie mechaniki kwantowej Albert Einstein zapewne się mylił, miał jednak rację, że póki dane rozwiązanie naukowe dopiero się kształtuje, jest in statu nascendi, dopóty nie ma prostego sposobu ustalenia, jakie argumenty są trafne, a jakie nie, trzeba zawierzyć intuicji.

Dyskusja na temat tez kopernikańskich była długa i zażarta. Spojrzymy tu tylko na jeden argument, który sam nie miał jakiejś ogromnej wagi i niczego nie przesądził, ale wiązał się wyraźnie z wyobrażeniem wszechświata. Według Kopernika porusza się niewielka Ziemia, a nie ogromne niebo. W szczególności to owa niewielka Ziemia krąży wokół znacznie większego Słońca, a nie na odwrót.

Johannes Kepler pisał (Astronomia nova, 1609, Introductio): „Popatrzmy tedy na ciała Ziemi i Słońca i zdecydujmy, któremu z nich bardziej przystoi być źródłem ruchu tego drugiego. Czy to Słońce, które porusza także pozostałe planety, porusza Ziemią, czy też Ziemia – Słońcem, poruszającym owe pozostałe [planety] i tylekroć od niej większym?” Myślał tu o układzie Tychona Brahego, w myśl którego wszystkie planety prócz Ziemi krążą wokół Słońca. Dla Keplera było to nieprawdopodobne, gdyż uważał, że to Słońce jest źródłem siły poruszającej planetami, z jego punktu widzenia układ Tychona nie miał uzasadnienia dynamicznego, bo ruchem Słońca wokół Ziemi rządziłoby wówczas jakieś inne i odrębne prawo. Ponadto Słońce jest znacznie większe od Ziemi. Mamy więc ogon machający psem.

cyrano

Co wiedziano na temat rozmiarów Słońca i Ziemi? Astronomowie mieli zwyczaj używania kąta, tzw. paralaksy (dziennej). Paralaksa Słońca to kąt, pod jakim ze Słońca widać byłoby promień Ziemi. Oczywiście, niełatwo taki kąt znaleźć. Od starożytności wierzono, iż kąt ten wynosi 3′, Kepler przypuszczał, że równy on jest 1′, pod koniec wieku XVII znano już w przybliżeniu prawidłową wielkość: p\approx 9''. Z trójkąta prostokątnego na rysunku łatwo wyznaczyć odległość Słońca w jednostkach promienia Ziemi. Ten sam rysunek moglibyśmy zastosować, zamieniając miejscami Słońce i Ziemię: otrzymalibyśmy wówczas kątowy promień tarczy słonecznej widzianej z Ziemi \theta. W takim razie stosunek promienia Słońca R_S do promienia Ziemi R_Z równy jest

\dfrac{R_S}{R_Z}=\dfrac{\sin\theta}{\sin p}\approx \dfrac{\theta}{p}\approx \dfrac{16'}{p}.

(Sinusy małych kątów możemy zamienić wielkościami samych kątów.) Ptolemeusz sądził więc, że Słońce jest 5 razy większe od Ziemi, Kepler – że jest 15 razy większe, a naprawdę jest ono przeszło sto razy większe.

Digges_Leonard_1596_A_prognostication_everlastinge_of_right_good_effect_Page_15(1)

Leonard Digges, Prognostication Everlasting, 1596

Co odpowiadano na taki argument? Uczony jezuita Giovanni Riccioli w swoim niezwykle obszernym i kompetentnym dziele Almagestum novum (1651) nie miał innego wyjścia niż zwalczać Kopernika, gdyż tak postanowił Kościół Święty, a przynajmniej ówczesny papież, w sprawie Galileusza. Na argument, iż łatwiej i mniejszym kosztem byłoby Bogu i Naturze poruszać niewielką Ziemią zamiast ogromnym niebem, Riccioli stwierdza, że po pierwsze wysiłek nie jest tu aż tak wielki, ponieważ we wszechświecie ruch nie napotyka żadnego oporu, a po drugie Bóg oraz Inteligencje łatwo by sobie poradziły, nawet gdyby jakieś opory występowały.

Huygens_Christiaan_1698_The_celestial_worlds_discoverd_Page_15

Christiaan Huygens, Cosmotheoros, wyd. ang., 1698 (wartość paralaksy Słońca jest już mniej więcej znana)

Popularną wersję odpowiedzi znajdziemy u Besiana Arroya, dokora Sorbony i teologa miasta Lyonu, który w 1671 roku napisał książeczkę Le Prince Instruit (Władca oświecony), zadedykowaną samemu królowi, w której oświeca przyszłych polityków. Otóż Ziemia tkwi nieruchomo w środku, ponieważ jest ciężka. Zgodnie z fizyką Arystotelesa, gdyby nawet się poruszyła, to tylko ruchem prostoliniowym, bo ciężkie ciała spadają ku centrum świata. Gwiazdy zaś (tzn. wszelkie ciała niebieskie) „wedle swej naturalnej dyspozycji są lekkie, okrągłe i ustanowione, aby oświetlać Ziemię, toteż muszą się poruszać zgodnie ze swą naturalną skłonnością i dążnością, jaką dał im Wszechmocny”. Śmiechu warty jest Kopernik, w jego systemie jest tak, jakbyśmy przenosili komnaty, stoły i całe domostwa w pobliże pochodni, by je oświetlić, zamiast wnieść pochodnię do środka. Zwolennicy filozofii Arystotelesa nie wierzyli w jedność materii: dla nich ciała niebieskie były z eteru, nie miały więc bezwładności i stosunkowo nietrudno było nimi poruszyć. Inaczej to wyglądało dla tych, którzy jak Kepler i Galileusz, szukali jednolitych praw i jednolitej materii w całym wszechświecie.

Chrześcijanie tradycyjni wierzyli także, że cały świat stworzony został dla człowieka, jego rozmiary świadczyły o potędze Boga. Sceptycy widzieli to nieco inaczej. Cyrano de Bergerac pisał: „Dorzuć pan do tego nieznośną a właściwą ludziom pychę, która wmówiła im, że Naturę dla nich jedynie stworzono, jak gdyby ktoś mógł dać wiarę, że Słońce, olbrzymie ciało 434 razy większe od Ziemi [chodzi o objętość – J.K.], zapalono tylko z tej racji, aby dojrzewała ich nieszpułki i aby obradzała kapusta” (Tamten świat, przeł. J. Rogoziński). Bernard Le Bovier de Fontenelle dopowiadał: „Do owego szalonego Ateńczyka niejako podobni jesteśmy, który sobie uroił, że wszystkie okręty do portu Pirejskiego przybijające do niego należały. Nasze szaleństwo w tym się wydaje, iż mniemamy, że cały świat dla naszych szczególnie stworzony został wygód, i gdy się pytamy filozofów, na co się przyda tak wiele gwiazd stałych, których jedna część też by czyniła skutki, które wszystkie razem czynią, odpowiadają ozięble, iż do ukontentowania oczu ich służą” (przeł. E. Dębicki, przekład uwspółcześniony. za: W. Voisé, Historia kopernikanizmu w dwunastu szkicach). Książkę Fontenelle’a przełożył na polski ksiądz pijar Eustachy Dębicki w 1765 roku, a więc osiemdziesiąt lat po jej napisaniu. W 1687 roku kwestię, co krąży wokół czego rozstrzygnął Isaac Newton. Stwierdził z pewną satysfakcją, że nikt dotąd nie miał racji, gdyż planety i Słońce krążą wokół wspólnego środka masy, więc ściśle biorąc także Słońce nie jest nieruchome.

W połowie wieku XVIII do przeszłości należały nie tylko fizyka Arystotelesa i boje o kopernikanizm, ale zdążył zapanować i upaść także kartezjanizm, i to nawet we Francji, gdzie był najmocniejszy. Nikt poważnie już nie wątpił w mechanikę Newtona. Rewolucja naukowa XVII wieku dopiero teraz zaczęła docierać także do Polski. Ksiądz Jędrzej Kitowicz, nie do końca świadomie, daje świadectwo potwornego zacofania, z jakiego zaczęto się wówczas wydobywać:

W akademiach zaś publicznych, czyli generalnych, jako to krakowskiej, zamojskiej i wileńskiej, prócz nauk dopiero wyliczonych były nadto: nauka matematyki wszelkiego rodzaju, astrologii, geografii, geometrii, kosmografii, do tego: jurisprudencji, medycyny, i zwały się te akademie universitates. Co się tycze ogółem filozofii – tej patriarchów nie było więcej jak dwóch: Arystoteles i św. Tomasz, ponieważ na wszystkich dysputach nie tłomaczyli się inaczej walczący z sobą, tylko albo „iuxta mentem Aristotelis”, albo „iuxta mentem divi Thomae”. W akademiach kto się promował do godności doktorskiej w filozofii, musiał przysięgać, jako inaczej nie będzie trzymał i uczył, tylko „iuxta mentem divi Thomae”; ci tedy, którzy się trzymali zdania Arystotelesa, zwali się peripatetici, a którzy św. Tomasza, zwali się thomistae.

Pierwsi pijarowie jakoś około roku 1749 czyli trochę wyżej odważyli się wydrukować w jednym kalendarzyku politycznym niektóre kawałki z Kopernika, dowodzące, że się ziemia obraca, a słońce stoi. Czego ledwo dostrzegli jezuici, nie omięszkali i swoich rozumów, co ich tylko mieli najbystrzejszych, użyć przeciwko pijarom, ciężkim przeciwnikom swoim, ale też inne zakony przeciw nim poburzyć o takową hypothesim, czyli zdanie dawnej nauce przeciwne. Rozruch ten po szkołach był na kształt pospolitego ruszenia przeciwko pijarom; wydawali książki zbijające takową opinią, zapraszali pijarów na dysputy i najwięcej z tej materii pijarom dokuczeć usiłowali. Ci atoli, coraz nowy jaki kawałek wyrwawszy z teraźniejszych wodzów filozoficznych: Kopernika, Kartezjusza, Newtona, Leibniza, dokazali tego, że wszystkie szkoły przyjęły neoteryzm, czyli naukę recentiorum [nowszych autorów], według której ziemia się obraca koło słońca, nie słońce około ziemi, tak jak pieczenia obraca się koło ognia, nie ogień koło pieczeni. Koloru nie masz żadnego w rzeczach, tylko te barwy, które na nich widziemy: białe, czarne, zielone, czerwone, żółte etc., sprawuje temperament oczu i światła, czego jest wielkim dowodem jabłko na przykład, w dzień zielone, które toż samo przy świecach wydaje się granatowe; że ból, świerzbienie i inne czucia nie mają swego placu w ciele, tylko w duszy, ponieważ ciało bez duszy nic nie czuje. (Opis obyczajów za panowania Augusta III, rozdział O szkołach publicznych).